توزیع خی‌دو
معرفی

توزیع کای-اسکور در درجه اول در hypothesis testing و به میزان کمتری برای فواصل اطمینان confidence intervals برای واریانس جمعیت هنگامی که توزیع نرمال هستند، استفاده می‌شود. برخلاف توزیع‌های مشهورتر مانند توزیع نرمال و توزیع نمایی، توزیع کای-اسکور به‌طور معمول در مدل‌سازی مستقیم پدیده‌های طبیعی اعمال نمی‌شود. این در آزمون فرضیه زیر وجود دارد:
۱- تست کای-اسکور مستقل در جداول احتمالی contingency tables
(جدول پیشایندی نوعی جدول در شکل ماتریس است، که توزیع فراوانی متغییرها را نشان می‌دهد. فرض کنید ما دو متغیر داریم، جنسیت و راست‌دستی و چپ‌دستی. سپس فرض کنید، می‌خواهیم برای مطالعه اختلاف راست‌دستی یا چپ‌دستی با توجه به جنس، ۱۰۰ نفر را به عنوان نمونه از جامعه آماری بسیار بزرگ انتخاب کنیم. می‌توان برای نشان دادن تعداد افراد مذکر و راست‌دست، مذکر و چپ‌دست، مؤنث راست‌دست و مؤنث چپ‌دست، از یک جدول پیشایندی استفاده کرد)
تست کای-اسکور برای برازش داده‌های مشاهده شده با توزیع‌های فرضی
Likelihood-ratio test برای مدل‌های تو در تو
Log-rank test در تجزیه و تحلیل بقا
آزمون Cochran – Mantel – Haenszel برای جداول احتمالی طبقه ای stratified contingency tables
این همچنین مولفه ای از تعریف توزیع t و توزیع F است که در آزمونهای t، تحلیل واریانس و تحلیل رگرسیون استفاده می‌شود.
دلیل اصلی استفاده از توزیع کای-اسکور در hypothesis testing، ارتباط آن با توزیع طبیعی است. در بسیاری از hypothesis testing آماری یک تست آماری استفاده می‌شود مانند آمار t در آزمون t t-statistic in a t-test. برای این hypothesis testing، با سایز نمونه n با افزایش توزیع نمونه تست به توزیع طبیعی نزدیک می‌شود (قضیه حد مرکزی).
از آنجا که آمار آزمون (مانند t) بصورت مجانبی به توزیع نرمال میل می‌کند، به شرط آنکه اندازه نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد، توزیع مورد استفاده برای hypothesis testing ممکن است تقریباً توزیع نرمال باشد. hypothesis testing با استفاده از توزیع نرمال کاملاً شناخته شده و نسبتاً آسان است. ساده‌ترین توزیع کای-اسکور؛ مربع یک توزیع نرمال استاندارد است؛ بنابراین هر جا یک توزیع نرمال داشتیم می‌توان از hypothesis testing استفاده کرد و می‌توان از توزیع کای-اسکور استفاده کرد.
فرض کنید Z یک متغیر تصادفی است که از توزیع نرمال استاندارد نمونه برداری شده‌است standard normal distribution، که میانگین برابر با ۰ و واریانس: 1 Z ∼ N (0، ۱). اکنون متغیر تصادفی Q = Z ^ {2} را در نظربگیرید. توزیع متغیر تصادفی Q نمونه ای از توزیع کای-اسکور است: Q ∼ χ ۱ ۲. زیرنویس ۱ نشان می‌دهد این توزیع کای-اسکور خاص فقط از ۱ توزیع نرمال استاندارد ساخته شده. یک توزیع کای-اسکور ساخته شده از مربع یک توزیع نرمال استاندارد واحد استاندارد که دارای ۱ درجه آزادی است؛ بنابراین، با افزایش سایز نمونه برای یک hypothesis testing، توزیع آماری به یک توزیع طبیعی نزدیک می‌شود. همان‌طور که مقادیر شدید توزیع نرمال احتمال کمی دارند (و پی ولیو آن‌ها کوچک است)، مقادیر شدید توزیع کای-اسکور نیز احتمال کمی دارند.
یک دلیل دیگر که توزیع کای-اسکور به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد این است که به عنوان توزیع نمونه زیادی از تست هایlikelihood ratio tests (LRT) تبدیل می‌شود. LRT چندین خاصیت مطلوب دارد. به‌طور خاص، LRT ساده معمولاً بالاترین قدرت را برای رد فرضیه صفر (لیمای نیمان-پیرسون) فراهم می‌کند و این امر به خصوصیات بهینه‌سازی LRTهای تعمیم یافته نیز منجر می‌شود. با این حال، تقریب‌های کای-اسکور نرمال فقط به صورت مجانبی معتبر هستند. به همین دلیل، استفاده از توزیع t به جای تقریب نرمال یا تقریب کای-اسکور برای نمونه‌های کوچک ترجیح داده می‌شود. به همین ترتیب، در تجزیه و تحلیل جداول احتمالی contingency tables، تقریب کای-اسکور برای نمونه کوچک ضعیف خواهد بود و استفاده از آزمون دقیق فیشر ترجیح داده می‌شود. رمزی نشان می‌دهد که تست دو جمله ای همیشه قدرتمندتر از تقریب طبیعی است. [۷]
لنکستر ارتباطات بین توزیع دوجمله ای، توزیع نرمال و توزیع کای-اسکور را به شرح زیر نشان می‌دهد. دی موایر و لاپلاس ثابت کردند که یک توزیع دوجمله ای می‌تواند تقریباً یک توزیع نرمال باشد. آنها به‌طور خاص نرمال مجانبی متغیر تصادفی را نشان دادند.