stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
اینار هرتس‌اشپرونگ

| اینار هرتس‌اشپرونگ | اینار هرتس‌اشپرونگ |
| --- | --- |
هرتس‌اشپرونگ (راست) و کارل شوارتزشیلد (چپ): هرتس‌اشپرونگ (راست) و کارل شوارتزشیلد (چپ)
زادهٔ: ۸ اکتبر ۱۷۸۳ کپنهاگ، دانمارک
درگذشت: ۲۱ اکتبر ۱۹۶۷ (۹۴ سال) راسکیله، دانمارک
ملیت: دانمارکی
شهروندی: دانمارک
محل تحصیل: پلی تکنیک کپنهاگ Copenhagen Polytechnic
شناخته‌شده برای: نمودار هرتسپرونگ-راسل
جوایز: مدال طلائی اتحادیه بین‌المللی اخترشناسی در ۱۹۲۹ و مدال بوروس در ۱۹۳۷
پیشینه علمی: پیشینه علمی
شاخه(ها): شیمی، اخترشناسی
 :  
اینار هرتس‌اشپرونگ (به دانمارکی: Ejnar Hertzsprung)؛ (۸ اکتبر ۱۸۷۳ – ۲۱ اکتبر ۱۹۶۷) شیمی‌دان و اخترشناس برجستهٔ دانمارکی است که سال‌ها در رصدخانه لَیدن در هلند؛ یکی از قدیمی‌ترین رصدخانه‌های هنوز برپای دانشگاهی جهان است٬ فعالیت داشت. همکاری‌های او با اخترشناس بنام هنری نوریس راسل در سال‌های ۱۹۱۱-۱۹۱۳ در پیشبرد نمودار هرتسپرونگ-راسل که از پایه‌های اخترفیزیک شناخته شده٬ او را به جهان شناساند و در شمار اخترشناسان بزرگ قرار داد. به پاس کارهای ارزشمند این دو نفر نمودار یاد شده بنام آن‌ها نامگذاری شد. این اخترشناس همچنین مدال طلائی انجمن سلطنتی اختر شناسان را در سال ۱۹۲۹ و مدال بوروس یا انجمن اختر شناسان پاسیفیک را در سال ۱۹۳۷ دریافت کرد. دهانه برخوردی بسیار بزرگ هرتس‌اشپرونگ در کره ماه نیز از سوی اتحادیه بین‌المللی اخترشناسی (IAU) به نام این اخترشناس نامگذاری شده است.
هرتس‌اشپرونگ دانشمندی سخت پرکار بود و در برابر کارها و کمک‌های برجسته‌اش به اخترشناسی در یازده انجمن بین‌المللی علمی و فرهنگی در اروپا و آمریکا عضو انتخابی بود. او از دانشگاه‌های اوترخت (به هلندی: Utrecht) در(۱۹۲۳)، کپنهاگ(۱۹۴۶)، پاریس (۱۹۴۷)، دکترای افتخاری دریافت کرد. مدال اوله رومر کپنهاگ که به افتخار اوله کریستنسن رومر اخترشناس دانمارکی سدهٔ هفدهم و نخستین کسی که سرعت نور را اندازه گرفت پایه‌گذاری شده نیز در سال ۱۹۵۹ میلادی به او داده شد.
هومر بون

| هومر بون Homer Truett Bone | هومر بون Homer Truett Bone |
| --- | --- |
سناتور ایالات متحدهٔ آمریکا   از ایالت واشینگتن: سناتور ایالات متحدهٔ آمریکا   از ایالت واشینگتن
دوره مسئولیت ۴ مارس ۱۹۳۳ – ۱۳ نوامبر ۱۹۴۴: دوره مسئولیت ۴ مارس ۱۹۳۳ – ۱۳ نوامبر ۱۹۴۴
پس از: الایجا اس. گرامر
پیش از: وارن جی. مگنوسون
 :  
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
زاده: ۲۵ ژانویهٔ ۱۸۸۳ Franklin, ایندیانا
درگذشته: ۱۱ مارس ۱۹۷۰ (۸۷ سال) تاکوما، واشینگتن، ایالت واشینگتن
حزب سیاسی: حزب دموکرات ایالات متحده آمریکا
هومر بون (به انگلیسی: Homer Bone) سناتور سابق عضو حزب دموکرات ایالات متحده آمریکا بود. وی در سال ۱۹۳۳ تا ۱۹۴۴ میلادی سناتور ایالت واشینگتن در سنای ایالات متحده آمریکا بود.
آراس‌ای

آراس‌ای
Rivest–Shamir–Adleman آراس‌اِی ریوست-شمیر-ادلمن (RSA)  از اولین شیوه‌های رمزنگاری به روش کلید عمومی (Public Key Cryptography PKC) است که به صورت گسترده برای تأمین امنیت انتقال داده استفاده می‌شود. در این چنین سیستم‌های رمزنگاری، کلید رمزگذاری عمومی است و از کلید رمزگشایی که مخفی است، جداست. در آراس‌اِی، این عدم تقارن مبتنی بر این است که تجزیه از عددی که ضرب دو عدد اول بزرگ است در عمل بسیار دشوار است.
این روش، نخستین روش مورد اعتماد در بین روش‌های رمزنگاری دیگر است و یکی از بزرگ‌ترین پیشرفت‌ها در زمینهٔ رمزنگاری به حساب می‌آید. آراس‌ای همچنان به صورت گسترده‌ای در تبادلات الکترونیکی استفاده می‌شود و در صورت استفاده درست با کلیدهای طولانی کاملاً امن به نظر می‌رسد.
حروف اولیه RSA، حروف اولیه نام‌های خانوادگی Ron RIvest , Adi Shamir و Adleman است که در سال ۱۹۷۷ این الگوریتم را به‌طور عمومی معرفی کردند. یک ریاضی‌دان انگلیسی به نام Clifford Cocks، که برای ستاد ارتباطات دولت بریتانیا کار می‌کرد، سیستمی معادل این سیستم را در سال ۱۹۷۳ پیاده‌سازی کرده بود، که تا سال ۱۹۷۳ به صورت محرمانه باقی ماند.
یک کاربر RSA، یک کلید عمومی را بر اساس دو عدد اول بزرگ را همراه با یک مقدار تصادفی ساخته و به صورت عمومی منتشر می‌کند. هر کسی می‌تواند از این کلید عمومی برای رمزگذاری یک پیام استفاده کند، اما تنها کسی که آن دو عدد اولی که کلید بر اساس آن‌ها ساخته شده را می‌داند، قادر به رمزگشایی پیام است. شکستن رمزگذاری RSA به مسئلهٔ RSA معروف است. تاکنون هیچ روشی برای شکست دادن این سیستم (در صورت استفادهٔ کلید به اندازهٔ کافی بزرگ) منتشر نشده‌است.
RSA به صورت نسبی، الگوریتم کندی است و به همین علت، کمتر برای رمزگذاری مستقیم اطلاعات کاربر استفاده می‌شود. بیشتر اوقات، RSA کلید رمزگشایی شده را برای الگوریتم کلید متقارن انتقال می‌دهد که در عوض قادر است توده ای از عملیات رمزگذاری-رمزگشایی را با سرعتی بسیار بالاتر انجام دهد.
تاریخچه

ایدهٔ کلید عمومی-خصوصی نامتقارن در سال ۱۹۷۶ (میلادی) توسط وایتفیلد دیفی (Whitfield Diffie) و مارتین هلمن (Martin Hellman) دانشجویان دانشگاه استنفورد معرفی و به ثبت رسانده شد. در این روش که به روش رمزنگاری نامتقارن (asymmetric encryption) نیز شناخته می‌شود از دو کلید برای رمزنگاری اطلاعات استفاده می‌کند. در روش‌های قدیمی‌تر از یک کلید استفاده می‌شد که به آن رمزنگاری متقارن (symmetric encryption) گفته می‌شد. آن‌ها هم چنین امضای مجازی را معرفی کردند و تلاش کردند تا نظریه اعداد را نیز اعمال کنند. آن‌ها مقاله خود را با نام Transactions on Information Theory در یکی از شماره‌های سال ۱۹۷۶ مجله مؤسسه مهندسان برق و الکترونیک (IEEE) منتشر کردند که خیلی زود انقلابی در صنعت رمزنگاری در جهان به وجود آورد. رمزنگاری به روش کلید عمومی به معنی استفاده از کلید عمومی برای رمزنگاری و پنهان کردن اطلاعات است. در این روش هر کاربر برای رمزنگاری یا بازکردن رمز، دو کلید، یکی کلید عمومی (Public) و یکی کلید خصوصی (Private) در اختیار دارد. ویژگی این روش آن است که هر کدام از این کلیدها می‌توانند اطلاعاتی را که کلید دیگر رمزنگاری کرده‌است رمزگشایی کند.
رونالد ریوست، ادی شامیر، و لئونارد آدلمن در مؤسسه فناوری ماساچوست (اِم‌آی‌تی) تلاش‌های بسیاری برای ساختن یک تابع یک طرفه که معکوس کردن آن بسیار دشوار بود کردند. ریوست و شامیر که دانشمند حوزه علوم کامپیوتر بودند توابع بسیاری را پیشنهاد دادند در حالی که آدلمن که یک ریاضی‌دان بود، مسئول یافتن نقاط ضعف این توابع بود. آن‌ها رویکردهای متعددی از جمله رویکردی بر اساس مسئلهٔ کوله پشتی و «جایگشت چند جمله ای» را امتحان کردند. برای مدتی به نظر می‌رسید یافتن تابعی که در جستجوی آن هستند، ناممکن است. در آوریل سال ۱۹۷۷، پس از این که از یک جمع دانشجویی بازگشتند و مقداری نوشیده بودند، ریوست که نمی‌توانست بخوابد روی مبل دراز کشید و شروع به مطالعهٔ یک کتاب ریاضی کرد و کل شب را به تفکر راجع به تابع مذکور کرد. روز بعد، مقدار زیادی از مقاله ای که منتشر کردند آماده بود.
الگوریتم RSA در سال ۱۹۷۷ (میلادی) پایه‌گذاری و به این نام شناخته شد.
هرچند روش‌های اولیه آن پیشتر در سال ۱۹۷۳ (میلادی) توسط فردی به نام کلیفورد کاکس که در ستاد روابط دولت بریتانیا بدست آمده بود اما تا سال ۱۹۷۷ اولاً الگورتیم رمزنگاری او کاملاً محرمانه بود و دوم اینکه به سادگی آنچه در سال ۱۹۷۶ مطرح شد نبود. گرچه این الگوریتم در زمانی که توسط کاکس کشف شد به علت هزینهٔ بسیار زیاد کامپیوترهایی که برای پیاده‌سازی آن لازم بودند، هیچ‌گاه پیاده‌سازی نشد.
RSA کودکان یا kid-RSA، یک الگوریتم رمزگشایی کلید عمومی ساده‌سازی شده‌است که در سال ۱۹۹۷، برای اهداف آموزشی معرفی شد. بعضی افراد معتقدند که مطالعهٔ این الگوریتم، برای فهم RSA دید می‌دهد.
ثبت اختراع

اختراع ۴٬۴۰۵٬۸۲۹ در سال ۱۹۸۳ به موسسهٔ فناوری ماساچوست یا MIT با عنوان «سیستم و روش ارتباطات رمزنگاری» که در سال ۱۹۸۳از این الگوریتم استفاده کرد، اهدا شد.
چگونگی کارکرد > کلیات

RSA شامل ۴ مرحله است: ساخت کلید، توزیع کلید، رمزنگاری و رمزگشایی.
یک اصل اساسی در RSA این است که یافتن سه عدد صحیح مثبت بسیار بزرگ مانند e, n و d که رابطهٔ زیر برایشان بر قرار باشد، عملی است.
(m^{d})^{e}\equiv m(\mod n\qquad )
و با دانستن این که e و n یا حتی m، یافتن d می‌تواند بسیار مشکل باشد.
آراس‌ای به‌طور کلی از دو کلید تشکیل می‌شود. کلید عمومی و کلید خصوصی. کلید، عددی ثابت است که در محاسبات رمزنگاری استفاده می‌شود. کلید عمومی برای همه معلوم بوده و برای رمزنگاری پیام استفاده می‌شود. این پیام فقط توسط کلید خصوصی باز می‌شود. به بیان دیگر همه می‌توانند یک پیام را رمز کنند اما فقط صاحب کلید خصوصی می‌تواند پیام را باز کند و بخواند.
کلید عمومی توسط اعداد صحیح n و e نمایش داده می‌شود و کلید خصوصی، توسط عدد صحیح d(گرچه n در فرایند رمزگشایی هم استفاده می‌شود بنا بر این ممکن است قسمتی از کلید خصوصی هم در نظر گرفته شود). m، نمایان گر پیام است که از قبل توسط یک تکنیک خاص آماده شده‌است و در ادامه این تکنیک شرح داده شده‌است.
هر چند از لحاظ ریاضی کلیدهای عمومی و خصوصی با یکدیگر ارتباط دارند اما تقریباً محال است که کسی بتواند حتی با تجیهزات پیشرفته و صرف وقت زیاد با داشتن یکی از کلیدها، دیگری را تشخیص دهد. در واقع می‌توان گفت که با توجه به سطح دانش کنونی و سامانه‌های رایانه‌ای موجود، الگوریتم رمزنگاری و ارتباط میان کلیدها تقریباً غیرقابل شکستن است.
آراس‌ای مبتنی بر توان‌رسانی پیمانه‌ای است و از اعداد طبیعی خیلی بزرگ استفاده می‌کند. مستندات آراس‌ای تحت عنوان PKCS 1 استاندارد شده‌اند.
چگونگی کارکرد > ساخت کلید

مراحل زیر برای ساخت کلید طی می‌شود:
دو عدد اول بزرگ  p و  q را به صورت تصادفی بیابید به‌طوری‌که  p\neq q.
برای اهداف امنیتی، p و q باید به صورت تصادفی انتخاب شوند، و در اندازه مشابه باشند اما طول آن‌ها در حد چند رقم متفاوت باشد
تا تجزیه را کمی دشوارتر کند. اعداد صحیح اول می‌توانند به صورت کارآمد توسط یک تست اول بودن یافت شوند.
p و q پنهان باقی می‌مانند.
۲. عدد n را محاسبه کنید به‌طوری‌که  n=pq.
n به عنوان پیمانه برای هر دو کلید خصوصی و عمومی استفاده می‌شود. طول کلید، تعداد بیت‌های n، طول کلید را مشخص می‌کند.
۳. تابع  \lambda (n) را محاسبه کنید که  \lambda  Carmichael function است. از آن جایی که n=pq,  \lambda (n)=lcm(lambda(p),lambda(q))
و از آن جایی که p و q اول هستند،  \lambda (p)=\phi (p)=p-1 و به همین روال  \lambda (q)=q-1. بنابراین  \lambda (n)=lcm(p-1,q-1)
این مقدار مخفی باقی می‌ماند.
مقدار lcm ممکن است از طریق الگوریتم اقلیدسی محاسبه شود، از آن جایی که  lcm(a,b)=|ab|/\gcd(a,b)
۴. عدد  e را انتخاب کنید به‌طوری‌که  1<e<\lambda (n) و نسبت به  \lambda (n)\, اول باشد.
عدد  e به عنوان توان کلید عمومی منتشر می‌شود.
e با داشتن تعداد کم بیت و وزن وزن همینگ کم، منجر به رمزگذاری کارآمد تری می‌شود. معمول‌ترین مقدار انتخاب شده برای e، حدود
عدد۲۱۶ یک که برابر با ۶۵۵۳۶ است می‌باشد. کوچک‌ترین و سریع‌ترین مقدار ممکن برای e، عدد ۳ است اما چنین مقدار کمی نشان داده‌است
که در بعضی ساختارها امنیت کم تری را ایجاد می‌کند.
۵. عدد  d که   d\equiv e^{-1}(\mod \lambda (n)) را به دست بیاورید.
عدد  d به عنوان توان کلید خصوصی محافظت می‌شود.
در واقع  de\equiv 1{\pmod {\lambda (n)}} . این مقدار می‌تواند به صورت کارآمدی توسط الگوریتم تعمیم‌یافته اقلیدس پیدا شود از آن جایی که d
و  \lambda (n) اول هستند، این معادله یک فرمی از قضیه بزو است که در آن d یکی از ضریب‌ها است.
دو عدد اول می‌توانند توسط روش پیدا کردن اعداد اول احتمالی پیدا شوند.
کلید عمومی تشکیل می‌شود از:
عدد n (عدد مشترک)
عدد e (عدد عمومی)
کلید خصوصی تشکیل می‌شود از:
عدد n (عدد مشترک)
عدد d (عدد خصوصی)
کلید خصوصی به صورت‌های دیگری غیر از d ممکن است نگهداری شود.
p\, و  q\,: اعداد اول برای ساختن کلید.
d\mod (p-1)\, و  d\mod (q-1)\,،
q^{-1}\mod (p)\,.
در تمام مراحل باید اجزای کلید خصوصی سری نگه داشته شود، دو عدد  p و  q اگر به عنوان صورتی از کلید خصوصی نگهداری نشود بهتر است
به شیوه‌ای امن نابود شوند؛ زیرا با این دو عدد تمام اعداد  n و  e،  d قابل محاسبه خواهند بود.
چگونگی کارکرد > توزیع کلید

فرض کنید که باب می‌خواهد اطلاعاتی را به آلیس بفرستد. اگر آن‌ها تصمیم بگیرند که از RSA استفاده کنند، باب باید کلید عمومی آلیس را برای رمز گذاری پیام بداند و آلیس باید از کلید خصوصی ای که در اختیار دارد استفاده کند تا پیام را رمزگشایی نماید. بنابر این برای این که باب قادر باشد پیام رمز شده اش را ارسال کند، آلیس کلید عمومی (n,e) خود را توسط یک مسیر مطمئن ولی نه لزوماً مخفی به باب منقل می‌کند. کلید خصوصی آلیس(d) هرگز منتقل نمی‌شود.
چگونگی کارکرد > رمزنگاری پیام

حالا که باب کلید عمومی آلیس را دریافت کرد، قصد دارد پیام M را به توسط الگوریتم RSA به آلیس بفرستد. باب باید پیام خود را در قالب یک عدد (m) در بیاورد به‌طوری‌که این فرایند برگشت‌پذیر بوده و روی آن توافق شده باشد و شناخته شده باشد. به این فرایند طرح لایه گذاری گفته می‌شود. عدد باب باید از n کوچک‌تر باشد. بدیهی است اگر پیام بزرگ‌تر از حد معمول باشد آن را در بسته‌های جداگانه می‌فرستیم. او اکنون عدد C را محاسبه می‌کند به‌طوری که
c=m^{e}\mod {n}
این کار با استفاده از به توان رسانی پیمانه ای می‌تواند خیلی سریع انجام شود، حتی برای اعداد خیلی بزرگ.
حال باب می‌تواند c را به آلیس بفرستد و آلیس توسط کلید خصوصی اش آن را رمزگشایی کند و آن را بفهمد.
چگونگی کارکرد > رمز گشایی پیام

آلیس c را دریافت کرده‌است و کلید خصوصی خود را در دسترس دارد. حال می‌تواند عدد m را که معادل پیام اصلی است از C ,n، و d بازیابی کند.
m=c^{d}\mod {n}
چگونگی کارکرد > نمونه

انتخاب دو عدد اول مانند:
 p=61 and  q=53
محاسبه n = pq:
 n=61\times 53=3233
محاسبه تابع فی اویلر با ساخت φ(n) = (p − 1)(q − ۱) خواهدشد:
 \varphi (3233)=(61-1)(53-1)=3120
انتخاب هر عددی  1<e<3120 که نسبت به ۳۱۲۰ اول باشد.
 e=17 در نظر می‌گیریم
محاسبه d, the وارون ضربی (هم‌نهشتی) e (mod φ(n)) ,
 d=2753
 e\times d\;\operatorname {mod} \;\varphi (n)=1
 17\times 2753\;\operatorname {mod} \;3120=1
کلید عمومی (n = 3233, e = ۱۷) برای پیام m هست. بنابران تابع رمز به صورت زیر است:
کلید خصوصی (d = ۲۷۵۳) هست. برای متن رمز c تابع رمزگشایی به صورت زیر خواهد بود:
برای نمونه در رمزنگاری m = ۶۵, را حساب می‌کنیم.
برای رمزگشایی c = ۲۷۹۰ را حساب می‌کنیم.
چگونگی کارکرد > امضای پیام

فرض کنید آلیس از کلید عمومی باب برای ارسال پیام رمزگذاری شده برای وی استفاده می‌کند. در این پیام، او می‌تواند ادعا کند که آلیس است، اما باب هیچ راهی برای تأیید این که این پیام واقعاً از طرف آلیس است ندارد، چرا که هر کس می‌تواند از کلید عمومی باب برای ارسال پیام‌های رمز گذاری شده به وی استفاده کند. برای تأیید منشأ پیام، می‌توان از RSA برای امضا کردن یک پیام استفاده کرد.
فرض کنید آلیس مایل است پیام امضا شده‌ای را به باب ارسال کند. او می‌تواند برای این کار از کلید خصوصی خود استفاده کند. برای این کار، او مقدار هش پیام مورد نظر خود را محاسبه می‌کند، آن را به توان d می‌رساند (در پیمانهٔ n)(همان‌طور که هنگام رمزگشایی یک پیام این کار را انجام می‌دهد) و آن را به عنوان «امضا» به پیام خود الصاق می‌کند. هنگامی که باب این پیام امضا شده را دریافت می‌کند، او هم از همان تابع هش در رابطه با کلید عمومی آلیس استفاده می‌کند. او این امضا را به توان e (در پیمانهٔ m) می‌رساند (همان‌طور که این کار را هنگام رمزگشایی یک پیام نیز انجام می‌دهد) و مقدار هش حاصل را با مقدار هش واقعی پیام مقایسه می‌کند. اگر این دو با هم توافق داشته باشیند، او می‌داند که نویسده پیام کلید خصوصی آلیس را در اختیار داشته‌است و پیام از آن زمان دست نخورده باقی مانده‌است.
این روش به دلیل قوانین به توان رسانی، کار می‌کند:
h=hash(m)
(h^{e})^{d}=h^{ed}=(h^{d})^{e}\equiv h(\mod n)
بنابر این، کلید خصوصی می‌تواند برای:
رمزگشایی یک پیام که برای یک گیرنده فرستاده شده‌است، که می‌تواند توسط هر فردی که دارای کلید عمومی است، برای رمزنگاری استفاده شود.
رمزنگاری یک پیام که ممکن است توسط هر کس رمزگشایی شود، اما فقط توسط یک نفر می‌تواند رمزنگاری شود، این استفاده، امضای دیجیتال را ممکن می‌سازد.
اثبات درستی > اثبات با استفاده از قضیه کوچک فرما

اثبات درستی الگوریتم RSA بر اساس قضیه کوچک فرما است که بیان می‌کند که اگر یک عدد p اول و a عددی صحیح باشد که  {\displaystyle p\not |a}در این صورت {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}. .
ما می‌خواهیم نشان دهیم که برای هر عدد صحیح m در صورتی که p و q اعداد اول مجزا از هم هستند و e و e اعداد صحیح مثبتی هستند که مقدار آن‌ها در معادلهٔ  ed\equiv 1(\mod \lambda (pq)). صدق می‌کند:
{\displaystyle (m^{e})^{d}\equiv m{\pmod {pq}}}
از آن جایی که  \lambda (pq)=Icm(p-1,q-1) به علت ساختارش، هم بر p-1 و هم بر q-1 بخش پذیر است، می‌توان به ازای یک مقدار غیر منفی h و k نوشت:
{\displaystyle ed-1=h(p-1)=k(q-1)}
برای بررسی این که آیا دو عدد مانند  m^{d}  و m، به پیمانهٔ pq معادل هستند یا خیر، بررسی می‌کنیم که آیا آن‌ها به پیمانهٔ p و به پیمانهٔ q به صورت جداگانه، معادل هستند یا خیر. اگر بودند، به پیمانهٔ pq هم معادلند.
برای این که نشان دهیم  m^{ed}\equiv m(\mod p)، دو حالت را در نظر می‌گیریم:
اگر  m\equiv 0(\mod p)، آن گاه m، ضریبی از p است؛ بنابراین  m^{ed} ، ضریبی از p است، بنابراین  m^{ed}\equiv m\equiv 0(\mod p)
اگر  m\not \equiv 0(\mod p)
{\displaystyle m^{ed}=m^{ed-1}m=m^{h(p-1)}m=(m^{p-1})^{h}m\equiv 1^{h}m\equiv m{\pmod {p}},}
اینجا از قضیه کوچک فرما استفاده کردیم تا  m^{p-1}\mod p را با ۱ جایگزین کنیم.
برای این که تأیید کنیم  m^{ed}\equiv m(\mod q)، کاملاً مشابه عمل می‌کنیم:
اگر  m\equiv 0(\mod q)، آن گاه m، ضریبی از q است؛ بنابراین  m^{ed} ، ضریبی از q است، بنابراین  m^{ed}\equiv m\equiv 0(\mod q)
اگر  m\not \equiv 0(\mod q)
{\displaystyle m^{ed}=m^{ed-1}m=m^{k(q-1)}m=(m^{q-1})^{k}m\equiv 1^{k}m\equiv m{\pmod {q}}.}
در این نقطه، اثبات می‌شود که برای هر عدد صحیح m و عدد صحیح e و d که  ed\equiv 1(\mod \lambda (pq)).،
{\displaystyle (m^{e})^{d}\equiv m{\pmod {pq}}.}
اثبات درستی > اثبات از طریق قضیه اویلر

اگرچه در مقالهٔ اصلی ریوست، شمیر و آدلمن، از قضیهٔ کوچک فرما برای توضیح چگونگی کارکرد RSA استفاده کردند، شایع است که از اثبات‌های مبتنی بر قضیهٔ اویلر هم استفاده بشود.
می‌خواهیم نشان دهیم که  m^{ed}\equiv m(\mod n) وقتی که n = pq است، حاصل ضرب دو عدد عول است و e و d اعداد صحیح مثبتی هستند که در معادلهٔ  ed\equiv 1(\mod \phi (n)) صدق می‌کنند. از آن جایی که e و d مثبت هستند، می‌توانیم به ازای یک مقدار نامنفی صحیح h بنویسیم  ed=1+h\phi (n). در صورتی که فرض کنیم m نسبت به n اول است، داریم:
{\displaystyle m^{ed}=m^{1+h\varphi (n)}=m(m^{\varphi (n)})^{h}\equiv m(1)^{h}\equiv m{\pmod {n}}}
در دومین آخرین تساوی در معادله بالا، عبارت داخل پرانتز شرایط قضیه اویلر را دارد و بنابر این در تساوی بعدی با ۱ جایگزین می‌شود.
به صورت کلی تر، برای هر e و d که در معادلهٔ  ed\equiv 1(\mod \lambda (pq)). صدق می‌کنند می‌توان نتیجه مشابهی را با استفاده از تعمیم قضیهٔ اویلر توسط کارمایکل، که بیان می‌کند برای همهٔ mهایی که نسبت به n اولند :  m^{\lambda (n)}\equiv 1(\mod n)، گرفت.
هنگامی که m نسبت به n اول نیست، نتیجه‌گیری بالا نا معتبر است. اما احتمال وقوع این امر بسیار پایین است (تنها   1/p+1/q-1/{pq} اعداد این ویژگیرا دارند)، اما حتی در این حالت هم، معادلهٔ مذکور صادق است.
یا  m\equiv 0(\mod p) یا  m\not \equiv 0(\mod q)، که در هر کدام از این موارد، می‌توان اثبات قبلی را به کار گرفت.
اجزای سامانه رمزنگاری

کلید رمزنگاری
الگوریتم رمزنگاری
کلید رمزگشایی
الگوریتم رمزگشایی
اگر از یک کلید برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده شود سامانه رمزنگاری متقارن است و در غیر اینصورت، نامتقارن خواهد بود.
انواع روش‌های رمزنگاری مبتنی بر کلید

الگوریتم‌های کلید متقارن:
رمزنگاری و رمزگشایی با یک کلید انجام می‌گیرد.
الگوریتم‌های کلید نامتقارن (کلید عمومی):
هر فرد یک کلید عمومی و یک کلید خصوصی دارد.
دفی هلمن و RSA نمونه‌ای از این الگوریتم‌ها است.
کاربرد در امضای دیجیتال.
کلیدهای این نوع از الگوریتم‌ها (نامتقارن) بسیار طولانی‌تر از الگوریتم‌های مرسوم (کلید متقارن) هستند.
شکستن الگوریتم

واقعیت آن است که همه روش‌های رمزنگاری قابل شکستن است، اما نکته مهم آن است که در چه مدت زمان و با چه امکاناتی این اطلاعات باید رمزگشایی شوند. در ارتباط با الگوریتم RSA باید گفت روش‌های محدودی برای شکستن متن رمزنگاری شده توسط آن وجود دارد که در اینجا به مواردی از آن اشاره می‌کنیم.
شکستن الگوریتم > تجزیه n به عوامل اول

نخستین روش، آن است که بتوان کلید خصوصی را حدس زد یا پیدا کرد. در این صورت رخنه‌گر می‌تواند همه متن‌های تهیه شده با کلید عمومی را رمزگشایی کند و بخواند یا می‌تواند از امضای الکترونیک صاحب کلید استفاده کند. فرض بر این است که فردی که قصد حدس زدن کلید خصوصی را دارد، از جمله افرادی است که کلید عمومی را دارا است. در این حالت او n و e را در دسترس دارد.
شکستن الگوریتم > روش مؤثر برای محاسبه ریشه e ام

برای بازکردن رمز پیام‌هایی که با الگوریتم RSA رمزنگاری شده‌اند روش‌های محاسبه ریاضی عملاً راه به جایی نمی‌برند و در مواردی که متن کوچک باشد شاید حدس زدن متن اصلی ساده‌ترین روش برای رمزگشایی باشد.
راه‌های مقابله با حمله زمانی به RSA

استفاده از به توان رساندن با زمان ثابت محاسباتی.
تابع باید به ازای همه ورودی‌ها زمان ثابتی به طول بینجامد
قرار دادن اعمال اضافی و گمراه‌کننده در بین محاسبات
ضرب کردن متن رمزنگاری شده در یک عدد تصادفی قبل از عملیات به توان رسانی
اضافه کردن تاخیرهای تصادفی
لایه گذاری > حمله به RSA ساده

چندین نوع حمله به RSA ساده وجود دارد که در پاینن توضیح می‌دهیم
هنگامی که رمز گذاری با توان رمز گذاری پایین مانند e برابر۳ و مقادید کوچک برای m یعنی (m <n1/e) استفاده می‌کند این نتیجه می‌شود که me به شدت از ضریب n کوچک‌تر شود، که این باعث می‌شود که متن رمز شده بتوان به راحتی رمزگشایی شود به وسیلهٔ گرفتن جذر e ام برروی اعداد صحیح به دست آید
اگر متن یکسانی به e یا بیشتر گیرنده فرستاده شود به به صورت رمز شده فرستاده شود و گیرنده‌ها توان e ی یکسانی داشته باشند اما p و q و طبیعتاً n متفاوتی داشته باشند، در آن زمان به راحتی می‌توان متن اصلی را با استفاده از روش قضیه باقی‌مانده چینی به دست آورد. یوان هواستاد متوجه شد که این حمله ممکن است حتی اگر متن رمز نشده یکسان نباشد اما حمله کنند ارتباط بین آن‌ها را بداند. این حمله بعد توسط دان کاپرسمیت پیشرفته تر شد. برای اطلاعات بیشتر حمله مسگر را ببینید
به علت اینکه رمز نگاری RSA الگوریتم قطعی است (به عنوان مثال هیچ بخش تصادفی‌ای ندارد) حمله کننده می‌تواند به راحتی حمله با متن اصلی منتخب را بر روی سیستم رمز نگاری اجرا کند. با رمز کردن متن‌های احتمالی با کلید عمومی و تست کردن برابری با متن رمز شده. یک سیستم رمز نگاری امنیت معنایی خوانده می‌شود اگر حمله کننده نتواند دو رمز نگاری را حتی اگر متن اصلی را بداند تمایز قائل شود. بر همین اساس RSA بدون لایه گذاری به صورت قطعی امن نیست.
RSA یک ویژگی دارد که متن رمز شدهٔ ۲ متن برابر است با محصول به ترتیب ۲ متن رمزنشده‌یشان؛ یعنی (m1em2e ≡ (m1m2)e (mod n. به علت ویژگی ضرب RSA، حمله با متن رمز منتخب ممکن است. به عنوان مثال حمله کننده که خواستار متن رمزنشدهٔ یک متن رمزشدهٔ (c ≡ me (mod n می‌تواند از دارندهٔ کلید خصوصی بخواهد که یک متن غیر مشکوک رمز شده را (c′ ≡ cre (mod n را برای مقدار r که توسط حمله کننده انتخاب شده‌است رمز گشایی کند. به خاطر ویژگی ضرب 'c رمز شدهٔ (mr (mod n است. بنابر این اگر حمله گر موفق باشد در حمله. او مقدار (mr (mod n را می‌فهمد و می‌تواند به وسیلهٔ آن پیام m را با ضرب در mr با پیمانهٔ برعکس r پیمانهٔ n به دست آورد.
لایه گذاری > طرح لایه بندی

برای دوری از این مشکل‌ها RSA کاربردی در پیاده‌سازی معمولاً یک ساحتار رندوم از لایه‌ها را در مقدار m قبل از رمزنگاری تعبیه می‌کند. این لایه بندی تضمین می‌کند که m در بازهٔ متن‌های غیر امن نمی‌افتد و متن داده شده وقتی در لایه قرار می‌گیرد مز می‌شود به یکی از تعداد زیادی حالات ممکن برای رمز شده اش.
استانداردهایی مانند PKCS_1 حیلی محتاتانه طراحی شدند برای خیلی امن لایه کردن مسیج به رمز RSA.
به خاطر اینکه طرح‌های لایه بندی برای متن رمز نشدهٔ m، چند بیت اضافی می‌کند، طول متن لایه نشدهٔ m باید کوتاه‌تر باشد. طرح لایه بندی RSA باید با دقت طراحی شود که بتواند جلوگیری کند از حمله‌های پیچیده که ممکن است کند حدث زدن متن ساختار یافته شده. اولین ورژن استاندارد PKCS_1 (تا ورژن ۱٫۵) از ساختاری که به نظر می‌رسیتد RSA را از نظر معنایی ایمن می‌کرد استفاده می‌کرد. اگر چه در Crypto در سال ۱۹۹۸ Bleichenbacher نشان داد که این ورژن بسیار آسیب‌پذیر است در برابر Adaptive chosen ciphertext attack. علاوه بر این در crypto در سال ۲۰۰۰ Coron et al نشان داد که برای برخی از انواع پیام این لایه بندی میزان لازم از امنیت را فراهم نمی‌کند. ورژن‌های بعدی این استاندارد شامل OAEP شد، که جلوگیری می‌کند از این حمله. همین‌طور OAEP باید استفاده کند از برنامهٔ جدیدی و لایهٔ PKCS#1 ورژن ۱٫۵ باید جایگزین شود در سریع‌ترین زمان ممکن. استاندارد PKCS#1 همچنین شامل پردازش لایه‌های طراحی شده برای فراهم کردم امنیت بیشتر در امضای RSA. به عنوان مثال امضای احتمالی طراحی برای RSA.
طراحی لایه بندی امن مانند RSA-PSS نیاز اساسی برای امنیت امضای مسیج‌هایی که رمز می‌شوند هستند. ۲ ثبت اختراع در آمریکا بر روی PSS ثبت شده‌است. اگر چه این اختراعات در تاریخ ۲۴ ژوئیه ۲۰۰۹ و ۲۵ آوریل ۲۰۱ منقضی شدند. استفاده از PSS دیگر نیازمند ثبت اختراع نیست. دقت کنید که استفاده از جفت کلیدهای RSA متفاوت برای رمزنگاری و امضا بلقوه امنیت بیشتری دارد.
ملاحظات امنیتی و عملی > استفاده از الگوریتم باقی ماندهٔ چینی

برای بهینگی خیلی از کتاب‌خانه‌های معروف رمز نگاری مانند OpenSSL ازقضیه باقی‌مانده چینی برای بهینه‌سازی در رمزگشایی و امضا زدن استفاده می‌کنند.
این کار خیلی بهینه تر است از توان‌رسانی دودویی حتی اگر دو پیمانهٔ نمایی استفاده شود. به این علت که دو پیمانهٔ نمایی خود از دو توان و پیمانهٔ کوچیک تر استفاده می‌کنند.