تبدیل فوریه
جدول تبدیل‌های فوریه مهم > روابط تابعی، یک بعدی

تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در (Erdélyi 1954) یا (Kammler 2000، ضمیمه). یافت.
|  | تابع | تبدیل فوریه فرکانس واحد، عادی | تبدیل فوریه فرکانس واحد، زاویه ای | تبدیل فوریه فرکانس زاویه ای غیر واحد | ملاحظات |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  f(x)\, |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx\end{aligned}} |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}} |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\nu )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx\end{aligned}} | تعریف |
| ۱۰۱ |  a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\, |  a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\, |  a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\, |  a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\, | خطی بودن |
| ۱۰۲ |  f(x-a)\, |  e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\, |  e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\, |  e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\, | تغییر در دامنه زمان |
| ۱۰۳ |  f(x)e^{iax}\, |  {\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\, |  {\hat {f}}(\omega -a)\, |  {\hat {f}}(\nu -a)\, | تغییر در دامنه فرکانسی، جفت ۱۰۱ |
| ۱۰۴ |  f(ax)\, |  {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\, |  {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\, |  {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\, | تغییر مقیاس در دامنهٔ زمان. اگر |a| زیاد باشد، آنگاه f (ax) به سمت صفر متمرکز می‌شود و   {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\, پهن‌تر و صاف‌تر می‌شود. |
| ۱۰۵ |  {\hat {f}}(x)\, |  f(-\xi )\, |  f(-\omega )\, |  2\pi f(-\nu )\, | دوگان خود تبدیل فوریه. در این‌جا لازم است f̂ با همان روش ستون تبدیل فوریه محاسبه شود. نتیجهٔ جابه جایی متغیرهای آزاد x و ξ یا ω یا ν. |
| ۱۰۶ |  {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\, |  (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\, |  (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\, |  (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\, |  |
| ۱۰۷ |  x^{n}f(x)\, |  \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\, |  i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}} |  i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}} | این دوگان ۱۰۶ است |
| ۱۰۸ |  (f*g)(x)\, |  {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\, |  {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\, |  {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\, | علامت f ∗ g کانولوشن توابع f و g را نشان می‌دهد — به این قاعده قضیهٔ کانولوشن می‌گویند |
| ۱۰۹ |  f(x)g(x)\, |  \left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\xi )\, |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\omega )\, |  {\frac {1}{2\pi }}\left({\hat {f}}*{\hat {g}}\right)(\nu )\, | این دوگان ۱۰۸ است. |
| ۱۱۰ | For f (x) purely real |  {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\, |  {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\, |  {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\, | Hermitian symmetry. z indicates the complex conjugate. |
| ۱۱۱ | For f (x) purely real and even | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely real even functions. | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely real even functions. | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely real even functions. |  |
| ۱۱۲ | For f (x) purely real and odd | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely imaginary odd functions. | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely imaginary odd functions. | f̂ (ξ), f̂ (ω) and f̂ (ν) are purely imaginary odd functions. |  |
| ۱۱۳ | برای f (x) موهومی خالص |  {\hat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\, |  {\hat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\, |  {\hat {f}}(-\nu )=-{\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\, | z indicates the complex conjugate. |
| ۱۱۴ |  {\overline {f(x)}} |  {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}} |  {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}} |  {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}} | Complex conjugation, generalization of 110 and 113 |
| ۱۱۵ |  f(x)\cos(ax) |  {\frac {{\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\hat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}} |  {\frac {{\hat {f}}(\omega -a)+{\hat {f}}(\omega +a)}{2}}\, |  {\frac {{\hat {f}}(\nu -a)+{\hat {f}}(\nu +a)}{2}} | This follows from rules 101 and 103 using Euler's formula:  \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}. |
| ۱۱۶ |  f(x)\sin(ax) |  {\frac {{\hat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\hat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}} |  {\frac {{\hat {f}}(\omega -a)-{\hat {f}}(\omega +a)}{2i}} |  {\frac {{\hat {f}}(\nu -a)-{\hat {f}}(\nu +a)}{2i}} | This follows from 101 and 103 using Euler's formula:  \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}. |