عملگرهای خلق و فنا
استنتاج فرمولهای نوسانگر هارمونیک کوانتومی

در زمینه نوسانگر هارمونیک کوانتوم، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را به عنوان عملگرهای خلق و فنا در نظر می‌گیریم که کوانتوم ثابت انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه یا کم می‌کنند. عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها (اسپین صحیح) و فرمیون‌ها (اسپین نیمه صحیح) متفاوت است. زیرا تابع موج آن‌ها دارای خواص هندسی متفاوتی هستند.
نخست مورد ساده‌تر بوزونی نوسانگر هارمونیک کوانتومی را در نظر بگیرید.
کار را با معادله شرودینگر برای زمان یک بعدی مستقل نوسانگر کوانتومی هارمونیک، شروع کنید:
و معادله شرودینگر برای نوسانگر می‌شود:
توجه کنید که مقدار    \hbar \omega =h\nu   همان انرژی بدست آمده برای کوانتوم نوری است و پرانتزها در هامیلتونی را می‌توان بدین شکل نوشت:
دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن تأثیر آن‌ها بر تابع قراردادی (f(q ساده کرد:
که بیان می‌کند:
بنابراین:
و معادله شرودینگر برای نوسانگر با جابجایی معادله بالا و ترتیب مجدد فاکتورگیری از   {\frac {1}{2}}  بدین شکل در می‌آید:
اگر ما تعریف کنیم:
را به عنوان عملگر خلق یا افزاینده و
را به عنوان عملگر فنا یا کاهنده،
سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید:
این بسیار آسان‌تر از شکل اولیه است. ساده کردن بیشتر این معادله، فرد را قادر می‌سازد تا تمام خواص فهرست بندی شده تا بحال را بدست آورد.
با فرض اینکه
p=-i{\frac {d}{dq}}
که در آن عملگر "P" همان عملگر تکانه بدون بعد است، خواهیم داشت:
و
توجه داشته باشید که این‌ها بیان می‌کنند:
در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح نرمال ریاضی، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g.  A=W_{1}+i\,W_{2})\,,) با خودالحاقی  W_{i}\,.. اما در مورد عملگرهای نرمال، در ارتباط با جابجایی   W_{i}\,, i.e با   W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}\,,  خواهد بود. با    W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}\,,  یک در بینهایت r.h.s معادله قبلی به جای صفر جایگزین خواهد شد؛ که در نتیجه یک مجموعه یکسان ویژه تابع یا ویژه توزیع را برای   W_{1}  و   W_{2}  خواهد داشت. در حالی که در اینجا ویژه تابع‌ها و ویژه مقدارهای عملگرهای p و q وجود ندارند.
بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، عملگر هامیلتونی می‌تواند بیان شود بعنوان:
a و   a^{\dagger }\,, رابطه‌های جابجایی زیر را با هامیلتونی می‌دهد.[۴]
از این رابطه‌ها می‌توان برای پیدا کردن ویژه حالت نوسانگر هارمونیک کوانتومی استفاده کردو با فرض اینکه   \psi _{n} یک ویژه حالت هامیلتونی {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n} است. با استفاده از این رابطه‌های جابجایی می‌توان نشان داد که[۵]:
این مسئله نشان می‌دهد که   a\psi _{n}  و  a^{\dagger }\psi _{n}  همچنین ویژه حالت هامیلتونی با ویژه مقدارهای   E_{n}-\hbar \omega   و   E_{n}+\hbar \omega   می‌باشند.
این مسئله عملگرهای  a  و  a^{\dagger } را به عنوان عملگرهای کاهنده و افزاینده عین ویژه حالتها مشخص می‌کند. تفاوت انرژی بین دو ویژه حالت   \Delta E=\hbar \omega  است.
حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد،  a\,\psi _{0}=0. سپس از هامیلتونی برحسب عملگرهای افزاینده و کاهنده استفاده می‌کنیم
تابع موج در طرف راست / عبارت غیر صفر است. این حالت انرژی حالت پایه را می‌دهد:   E_{0}=\hbar \omega /2. این مسئله امکان تشخیص ویژه مقدار هر ویژه حالت \psi _{n}بوجود می‌آورد. مانند[۶]
علاوه بر این می‌توان نشان داد عملگری که در اول ذکر شد یعنی عملگر عددی   N=a^{\dagger }a\,,  مهم‌ترین نقش را در کاربردها ایفا می‌کند. در حالی که دومین عملگر   a\,a^{\dagger }\,,  را می‌توان با   N+1\,.  جابجا کرد. پس فرد به سادگی چنین بدست می‌آورد: