نسبت طلایی
تاریخچه

همچنین ببینید: ریاضیات و هنر و اعداد فیبوناچی
به گفته ماریو لیویو:
برخی از بزرگترین ذهن‌های ریاضیاتی تمام اعصار، از فیثاغورس گرفته تا اقلیدس در یونان باستان، تا ریاضیدان قرون وسطای ایتالیایی، لئوناردو فیبوناچی و منجم عصر رنسانس یوهانس کپلر، تا شخصیت‌های علمی عصر حاضر همچون فیزیکدان آکسفورد، راجر پنروز، ساعت‌های بی‌پایانی را بر روی این نسبت ساده و خواصش سپری کرده‌اند. … زیست‌شناسان، هنرمندان، موسیقی‌دانان، تاریخ‌دانان، معماران، روان‌شناسان و حتی عارفان، در مورد ماهیت همه‌جا حاضر بودن و زیبایی این نسبت اندیشه کرده و در موردش به مباحثه پرداخته‌اند. در حقیقت، می‌توان گفت که هیچ عددی در طول تاریخ ریاضیات همچون نسبت طلایی، ملهِم متفکران تمام رشته‌های علمی نبوده‌است.
ریاضی‌دانان یونان باستان اولین کسانی بودند که آن چیزی که امروز به نسبت طلایی می‌شناسیم را به دلیل حضور فراوانش در هندسه مورد مطالعه قرار دادند؛ تقسیم خط به «نسبت میانگین و غایی» (مقطع طلایی)، درهندسه ستاره پنج‌پر و پنج‌ضلعی‌ها واجد اهمیت است. براساس یک روایت، ریاضیدان قرن پنج پیش از میلاد به نام هیپاسوس کشف نمود که نسبت طلایی نه یک عدد صحیح است و نه گویا (بلکه یک عدد گنگ است)، این امر موجب شگفتی فیثاغورسیان گشت. کتاب «اصول اقلیدس» (حدود ۳۰۰ قبل از میلاد)، چندین گزاره و اثبات‌های آن را به نسبت طلایی اختصاص داده و اولین تعریف شناخته شده از آن را بیان نموده‌است:
گویند یک خط راست به نسبت غایی و میانگین تقسیم‌بندی شده، هرگاه نسبت کل خط به قسمت بزرگتر برابر با نسبت بخش بزرگتر به کوچکتر باشد.
نسبت طلایی طی هزاره بعدی به عنوان موضوعی حاشیه‌ای و غیر مهم مورد مطالعه قرار گرفت. ابوکامل (حدود ۸۵۰ تا ۹۳۰ میلادی) این نسبت را جهت محاسبات هندسی پنج‌ضلعی‌ها و ده‌ضلعی‌ها به کار برد؛ نوشتجات او الهام‌بخش فیبوناچی بود (لئوناردو از پیزا) (در حدود ۱۱۷۰ تا ۱۲۵۰)، که از این نسبت در مسائل هندسی مرتبط با آن استفاده نمود، گرچه که هیچگاه بین آن‌ها و دنباله عددی که اکنون به نام خودش معروف‌اند، ارتباطی ایجاد نکرد.
لوکا پاچیولی کتاب خود را با نام در باب تناسب الهی (۱۵۰۹ میلادی) را بر اساس همین نسبت نامگذاری نمود، این کتاب خواص این نسبت همچون ظهور آن در برخی از اجسام افلاطونی را نیز در بر می‌گرفت. لئوناردو داوینچی، که کتاب مذکور را تصویر آرایی نمود، از این نسبت، sectio aurea (به معنی «مقطع طلایی») یاد نمود. ریاضی‌دانان قرن ۱۶م میلادی چون رافائل بومیلی، برخی از مسائل هندسی را با کمک این نسب حل نمودند.
ریاضی‌دان آلمانی به نام سیمون جیکوب (فوت در ۱۵۶۴ میلادی) خاطر نشان می‌سازد که اعداد فیبوناچی پیاپی، به نسبت طلایی میل می‌کنند (یعنی نسبت اعداد فیبوناچی پشت سرهم)؛ این حقیقت مجدداً توسط یوهانس کپلر در ۱۶۰۸ میلادی کشف شد. اولین تخمین در مبنای ده از معکوس نسبت طلایی، در سال ۱۵۹۷ میلادی توسط مایکل مستلین از دانشگاه توبینگن، در قالب نامه‌ای به دانش‌آموز گذشتهٔ خود به نام کپلر، به صورت «حدوداً ۰٫۶۱۸۰۳۴۰» بیان شد. در همان سال، کپلر به مستلین از مثلث کپلر نامه نوشت و در آن نسبت طلایی را با قضیه فیثاغورس ترکیب نمود. کپلر اینگونه می‌نویسد:
هندسه دو گنجینه بزرگ دارد: یکی از آن‌ها قضیه فیثاغورس است، دیگری تقسیم خط به دو نسبت غایی و میانگین است. اولین قسمت را می‌توانیم به توده‌ای از طلا مقایسه کنیم، دومی را می‌توان نوعی جواهر قیمتی در نظر گرفت.
ریاضی‌دانان قرن ۱۸م میلادی به نام‌های ابراهام دو مواور، دانیل برنولی، و لئونارد اویلر از فرمولی بر مبنای نسبت طلایی استفاده نمودند که مقدار عدد فیبوناچی را بر پایه موقعیتش در دنباله به‌دست می‌آورد؛ در ۱۸۴۳ میلادی، این حقیقت توسط جکوئس فیلیپ ماری بینت، مجدداً کشف شد و از همین رو این فرمول به «فرمول بینت» (Binet's Formula) معروف شد. مارتین اهم، اولین کسی بود که از اصطلاح آلمانی goldener Schnitt (به معنی «مقطع طلایی») جهت توصیف این نسبت در ۱۸۳۵ میلادی استفاده نمود. جیمز سولی در سال ۱۸۷۵ میلادی از اصطلاح انگلیسی معادلی برای آن استفاده نمود.
در ۱۹۱۰ میلادی، ریاضی‌دانی به نام مارک بار، شروع به استفاده از الفبای یونانی فی « \varphi »، به عنوان نمادی برای نسبت طلایی نمود. همچنین این عدد با نماد  \tau  (تاو)، حرف اول کلمه ای از یونان باستان (τομή به معنای «برش» یا «مقطع») نیز نمایش داده شده.
راجر پنروز، بین سال‌های ۱۹۷۳ و ۱۹۷۴ میلادی، کاشی‌کاری پنروز را توسعه داد که الگویی مرتبط با نسبت طلایی است، هم از نظر نسبت مساحت‌های دو کاشی لوزی شکل آن و همچنین از نظر فراوانی نسبی‌شان در الگو. کاشی‌کاری پنروز منجر به کشف شبه‌کریستال‌ها توسط دن شختمن در اوایل دهه ۱۹۸۰ میلادی شد، برخی از این شبه‌بلورها از خود تقارن بیست‌وجهی بروز می‌دهند.