اثرات جانبی
اثرجانبی دوجانبه ساده وعدم بهینگی آن

برای بررسی این حالت یک مدل ساده دو مصرف‌کننده‌ای با i=۱٬۲ در نظر می‌گیریم که بخش کوچکی از کل یک اقتصاد را در اختیار دارند. در راستای این تفسیر، فرض را بر این قرار می‌دهیم که فعالیت این مصرف‌کنندگان قیمت L کالای قابل تجارت در اقتصاد را تحت تأثیر قرار نمی‌دهد. در این قیمتها ثروت مصرف‌کننده i ام برابر باWi خواهد بود. با این حال بر خلاف مدل رقابتی استاندارد، فرض را بر این قرار می‌دهیم که هر مصر ف‌کننده دارای ترجیحاتی است که نه تنها بر مصرف او از L کالای قابل تجارت (x1i ,... ,XLi)
بلکه بر بعضی از فعالیت‌های (h) انجام شده توسط مصرف‌کننده ۱، تعریف می‌گردد. در این مدل اقتصادی واحد تولیدکننده اثر جانبی را به عنوان مصرف‌کننده ۱ و واحدی که از آن تأثیر می‌پذیرد را مصرف‌کننده ۲ می‌نامیم. با توجه به اینکه انتخاب مصرف‌کننده ۱ از h رفاه فرد ۲ را نیز تحت تأثیر قرار می‌دهد، یک اثر جانبی تولید می‌کند. برای مثال، دو مصرف‌کننده ممکن است در کنار یکدیگر زندگی کنند و h می‌تواند مقدار بلندی صدای موسیقی مصرف‌کننده ۱ باشد. برای هر مصر ف‌کننده یک تابع مطوبیت مشتق شده بر مقدارh تعریف می‌گردد. با فرض اینکه خریدهای بهینه او از کالاها در قیمت p (بردار قیمت‌ها) و ثروت Wi مطلوبیت او را حداکثر می‌سازد.
Vi(p,Wi ,h)=Max Ui(xi ,h): 2.1
S.t. p.xi ≤ Wi
برای توضیح بیشتر همچنین لازم است، فرض را بر این قرار دهیم که توابع مطلوبیت مصر ف کنندگان شکل شبه خطی(Quasilinear) نسبت به کالای شمارشگر (Numeraire good) داشته باشد. در این حالت می‌توانیم تابع مطلوبیت غیر مستقیم (Indirect utility function) را به صورت زیر
Vi(p,Wi ,h)= Φi(p,h)+ Wi: 2.2
بنویسیم. از آنجاییکه فرض ثابت بودن قیمت L کالای قابل تجارت را پذیرفته‌ایم، می‌توانیم بخشی از تابع مطلوبیت را به صورت
(Φi(h
بنویسیم. فرض را بر این قرار می‌دهیم که (.) Φ مشتق پذیر از مرتبه دوم با مشتق دوم منفی می‌باشد.
حال فرض را بر این قرار دهید که یک تعادل رقابتی(Competitive Equilibrium) داریم که در آن قیمت‌های کالاها برابر باp می‌باشند؛ یعنی در وضعیت تعادل هر یک از دو مصرف‌کننده مطلوبیت خودشان را تنها با قید ثروت و قیمت کالاهای قابل تجارت حداکثر می‌سازند؛ بنابراین باید با موردی مواجه باشیم که در آن مصرف‌کننده ۱ سطح h را برای حداکثرسازی (Φ1(h انتخاب می‌کند؛ بنابراین مقداربهینه رقابتی h برابر با *h به دست می‌آید. شرط لازم و کافی مرتبه اول آن کوچکتر مساوی صفر بودن مشتق مرتبه اول در نقطه تعادل رقابتی (*h)است.
از طرف دیگر، در هر تخصیص بهینه پارتو، سطح بهینه h، یعنی h0، باید مازاد مشترک دو مصر ف‌کننده را حداکثر ساخته و بنابراین باید جوابی برای مسئله
Max Φ1(h)+Φ2(h) :2.3
باشد. این مسئله شرط لازم و کافی مرتبه اول زیر را برای h0به دست می‌دهد:
Φ′1 (h0) ≤ - Φ′2 (h0) :2.4
از اینرو برای یک جواب درونی (Interior solution) برای مسئله با شرط بهینگی پارتو داریم:
Φ′1 (h0) = - Φ′2 (h0) :2.5
هنگامیکه اثرات خارجی وجود دارند، یعنی Φ′1  (h0)≠۰ در هیچ سطحی ازh، سطح تعادلی h بهین نیست. مگر اینکه *h و نیز h0 هردو صفر شوند. برای مثال موردی را در نظر بگیرید که در آن جواب درونی وجود داشته باشد؛ یعنی اینکه *h و نیز h0 هردو بزرگتر از صفر باشند. حال اگر مشتق مرتبه اول تابع مطلوبیت منفی باشد یعنی اثر جانبی منفی داشته باشیم آنگاه ۰<(Φ′1 (h0) = - Φ′2 (h0 و همچنین به دلیل منفی بودن مشتق دوم تابع مطلوبیت و اینکه Φ′1 (h*)=۰ پس نتیجه می‌گیریم که میزان بهینه اثر جانبی در حالت بهینه پارتو کمتر از بهینه رقابتی می‌شود. بالعکس می‌توان نشان داد در حالتی که اثر جانبی مثبت وجود داشته باشد جواب حالت بهینه پارتو از بهینه رقابتی بیشتر می‌شود.
این عدم بهینگی برای اثر جانبی منفی را می‌توان در نمودار زیر مشاهده نمود