ذره در یک شبکه یک بعدی
ذره در یک شبکه یک بعدی > مدل کرونیگ-پنی

مدل کرونیگ-پنی یک سیستم ساده و ایده‌آل در مکانیک کوانتومی است که از یک آرایه بی‌نهایت دوره‌ای از حاجب‌های پتانسیل مستطیلی تشکیل شده است. تقریباً تابع پتانسیل با یک پتانسیل مستطیلی مدل می‌شود:
استفاده از قضیه بلوخ به ما فقط نیاز به یافتن یک راه حل برای یک دوره است، اطمینان حاصل کنیم که آن پیوسته و صاف است، و همچنین مطمئن شویم که تابع u(x) نیز پیوسته و صاف است. در نظر گرفتن یک دوره از پتانسیل: در اینجا دو منطقه داریم. برای هرکدام به طور مستقل حل خواهیم کرد: اجازه دهید E یک مقدار انرژی بالاتر از چاه باشد (E > 0)
برای :   0<x<(a-b)
{\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}
برای:   -b<x<0
{\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}
برای یافتن u(x) در هر منطقه، ما نیاز به تلاش در تابع موج الکترون داریم:
{\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}
{\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}
و به همان شیوه:
 u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.
u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.
برای تکمیل راه حل، نیاز داریم مطمئن شویم که تابع احتمال پیوسته و صاف است، به عبارت دیگر:
\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).
\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).
و همچنین که u(x) و u′(x) دوره‌ای هستند: u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).
u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).
این شرایط به ماتریس زیر منجر می‌شوند: {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.
{\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.
برای داشتن یک راه حل غیر تافی، تعیین‌کننده این ماتریس باید صفر باشد. این موجب به دست آمدن عبارت زیر می‌شود:
\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].
برای ساده‌تر کردن عبارت، ما تقریب‌های زیر را انجام می‌دهیم:
b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant}
\Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0
\Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.
حال عبارت به شکل زیر خواهد بود:
\cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.
برای مقادیر انرژی درون چاه (E < 0)، به دست می‌آید:
\cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],
با \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}} و \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}
پیروی از تقریب‌های مشابه به آنچه بالا بیان شد، ( b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} )
به عبارت زیر منتهی می‌شود:
\cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}
با همان فرمول برای P که در مورد قبلی آمده است \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)