منطق موجهات
معناشناسی > سیستم‌های اصل موضوعه‌ای

نخستین صوری سازی‌ها از منطق موجهات، اصل موضوعه‌ای بودند. از زمانی که سی. آی. لویس در سال ۱۹۱۰ بر روی این زمینه شروع به کار کرد، جایگزین‌های متعدد با خواص بسیار متفاوتی ارائه شده‌است. هیوز و کرسول (۱۹۹۶) به عنوان مثال، ۴۲ منطق موجهات نرمال و ۲۵ مورد غیر نرمال را توصیف می‌کنند. زیمان (۱۹۷۳) برخی از سیستم‌هایی را که هیوز و کرسوِل به آن‌ها نپرداخته‌اند را مطرح می‌کند.
نگرش‌های مدرن از منطق موجهات با افزودن دو عملگر منفرد به حساب گزاره‌ها آغاز می‌شود، یکی دال بر «ضرورت» و دیگر بر «امکان» است. نمادگذاری لویس، که از آن زمان بسیار به کار می‌رود، توسط یک پیشوند «جعبه» (p□) که محدوده اش با پرانتز مشخص شده‌است، به «ضرورتاً p» اشاره می‌شود. به همین ترتیب، یک «الماس» (یا دیاموند) پیشوندیِ (p◇)، نشان دهنده «امکاناً p» است. بدون در نظر گرفتن نماد، هر یک از این اپراتورها در منطق موجهات کلاسیک در غالب دیگری تعریف پذیر است:
p□ (ضرورتاً p) معادل است با ¬◇¬p («ممکن نیست که p برقرار نباشد»)
p◇(امکاناً p) معادل است با ¬□¬p («نه ضرورتاً نقیض p»)
از این رو □ و ◇ یک جفت اپراتورهای دوگان را تشکیل می‌دهند.
در بسیاری از منطق‌های موجهات، اپراتورهای ضرورت و امکان مشابه زیر از قوانین دمورگان در جبر بولی را ارضاء می‌کنند:
اینکه دقیقاً چه اصول موضوعه و قواعدی باید به حساب گزاره‌ها اضافه شود تا یک سامانه به دردبخور از منطق موجهات داشته باشیم، بحثی فلسفیست که اغلب بر اساس قضایایی که افراد مایلند ثابت کنند، برانگیخته می‌شود؛ یا در علوم کامپیوتر، وابسته به نوع محاسبات یا سیستم استنتاجی ایست که افراد مایلند مدل‌سازی کنند. بسیاری از منطقهای وجهی، که مجموعاً تحت عنوان منطقهای وجهی نرمال شناخته می‌شوند، شامل قاعده و اصل زیر هستند:
N، قاعده ضرورت: اگر p یک قضیه (از هر سیستم استنادکننده به N) باشد، آنگاه p□ نیز مشابهاً یک قضیه است.
K، اصل توزیع: □(p → q) → (□p → □q).
ضعیف‌ترین منطق موجهات نرمال، که به افتخار سول کریپکی (به انگلیسی: Saul Kripke) به K نامگذاری شده است، به بیانی ساده، همان منطق گزاره‌ای بعلاوهٔ □، قاعده N و اصل K است. K ضعیف است، به این معنی که قادر به تشخیص اینکه آیا یک گزاره ضروریست است یا وجهاً ضروری، نیست. در واقع، اینکه اگر p□ درست باشد آنگاه p□□ درست است، یک قضیه در K نیست؛ یعنی اینکه حقایق ضروری «الزاماً ضروری»اند. اگر چنین سرگشتی‌هایی خیالات و ساختگی اند، این نقصِ K نقصی بزرگ نیست. در هر صورت پاسخ‌های متفاوت به اینگونه سوالات، منجر به سیستم‌های مختلف از منطق می‌گردند.
اضافه کردن اصول موضوعه به K، منجر به دیگر سیستم‌های وجهی معروف می‌گردند. در K نمی‌توان ثابت کرد که اگر گزاره «p ضروری است» صادق باشد، آنگاه p صادق است. اصل T برای درمان این نقص ارائه شده‌است:
T، اصل بازتابی: □p → p (اگر p ضروری باشد، آنگاه p برقرار است)
T در اکثر، و نه همهٔ منطقهای وجهی برقرار است. منبع Zeman (1973) چند مورد استثنا مانند S10 را توصیف می‌کند.
دیگر اصول موضوعه مقدماتی معروف، عبارتند از:
4:  \Box p\to \Box \Box p
B:  p\to \Box \Diamond p
D:  \Box p\to \Diamond p
5:  \Diamond p\to \Box \Diamond p
این‌ها منجر به سیستم‌هایی می‌شوند (اصول موضوعه، پر رنگ (bold) شده‌اند و سیستم‌ها کج نوشته شده‌اند (italic):
K := K + N
T := K + T
S4 := T + 4
S5 := S4 + 5
D := K + D.
K تا S5، سلسله‌ای تو در تو از سیستم‌ها را می‌سازند که هستهٔ منطقهای وجهی نرمال را تشکیل می‌دهند. اما قوانین یا مجموعه‌ای از قوانین خاص ممکن است مناسب سیستم‌های خاص باشند. برای مثال در منطق فقه،  \Box p\to \Diamond p (اگر واجب است که p، در آنصورت مجاز است که p) مناسب به نظر می‌رسد، اما احتمالاً نباید  p\to \Box \Diamond p را در آن گنجاند. در واقع، انجام این کار یعنی مرتکب شدن به مغالطه طبیعت (یعنی بیان اینکه آنچه طبیعیست، خوب هم هست؛ با گفتن اینکه که اگر p درست است p باید مجاز باشد).
سیستمِ فعلاً مورد استفادهٔ S5، به بیانی ساده، همه حقایق وجهی را ضروری می‌داند. برای مثال اگر p ممکن باشد، در آنصورت «ضروریست» که ممکن باشد. همچنین اگر p ضروری باشد، ضروریست که p ضروری باشد. دیگر سیستم‌های منطق موجهات نیز فرموله شده‌اند؛ جزئاً به این خاطر که S5 همهٔ وجهیات مورد علاقه را توصیف نمی‌کند.