stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
دایره
کاربرد

دایره کامل‌ترین شکل ریاضیاتی دانسته می‌شود و در تاریخ تمدن بشری اهمیتی عمده داشته‌است.
تقریباً همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش چرخ کار می‌کنند که وسیله‌ای دایره‌شکل است.
اغلب ابزار مکانیکی و الکترومکانیکی نیز برای انتقال توان از چرخ‌دنده بهره می‌برند که معمولاً به شکل دایره است.
مولدهای الکتریکی هم بر اساس چرخش دوّار هادی در میدانی مغناطیسی عمل می‌کنند.
مثلث رولو (اشتراک سه دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در تقاطع دو تای دیگر واقع شده‌است) می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.
این ویژگی بنیاد سازوکار متهٔ واتز است.
روتور موتور وانکل نیز به شکل مثلث رولو است.
در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است.
در دین هندو و آیین بودا، ماندالا یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر و جهان اکبر به تصویر می‌کشند.
در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است و در مسیحیت پرگار بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی خدای پدر است.
در عرفان یهودی هم درخت زندگی دیاگرامی با ده دایره به نام سفیروت است که هرکدام نماد صورتی از هستی‌اند.
پرگار و گونیا نماد اصلی انجمن برادری فراماسونری است و نشان ماسونی نقطه‌ای درون دایره نیز به عنوان نماد جهان هستی به کار می‌رود.
در علوم خفیه دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «دایره تعویذ» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود.
صوفی‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن نماز‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند.
در روان‌شناسی تحلیلی نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند.
حلقه هم در فرهنگ‌های مختلف به‌عنوان نماد اتحاد، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار می‌رود.
از آغاز معماری در دوران نوسنگی، دایره به دلایل کاربردی و نمادین نقشی بنیادی در ساخت‌وساز بوده‌است.
استون‌هنج، شناخته‌شده‌ترین اثر دوران نوسنگی، به شکل دایره است.
ردپای مسئلهٔ تربیع دایره را هم می‌توان در تاریخ معماری دید؛ چنان‌که محیط مقطع هرم بزرگ جیزه برابر است با محیط دایره‌ای به شعاع ارتفاع هرم.
همچنین مفهوم مرد ویترویوسی، که بنیان معماری غربی از دوران روم تا دوران مدرن بوده، بر اساس تربیع دایره شکل گرفته‌است.
به باور پال کلتر، از آنجا که مربع نماد زمین است و دایره نماد تکامل و الوهیت، تربیع دایره نماد جهانی ایجاد تعادل بین دنیای دنی و عالی است.
به گفتهٔ هانری استیرلن هم عمدهٔ تلاش‌ها و نوآوری‌های معماران ایرانی بعد از دوران اشکانی معطوف به ایجاد ارتباط بین پلان مربعی ابنیه و مقطع دایره‌ای پایهٔ گنبد بوده‌است.
از دیگر الگوهای دایره‌ای در تاریخ معماری می‌توان به معابد گرد و روتونداها در معماری رومی، رمانسک و رنسانس، معابد آسمان و خانه‌های فوجیان تالو در چین، و پنجره‌ها در معماری گوتیک اشاره کرد.
از آنجا که پرگار از ابزار اصلی سازندگان و معماران در طول تاریخ بوده‌است، اشکالی که می‌توان آن‌ها را با پرگار کشید (مانند چهارضلعی، پنج‌ضلعی، و شش‌ضلعی) در آثار معماری نقش عمده‌تری دارند و اشکالی که نمی‌توان با پرگار ترسیمشان کرد (مانند هفت‌ضلعی) نادرند.
در نقاشی‌های مذهبی، قدیسان غالباً با هالهٔ نوری دایره‌ای شکل به گرد سرشان به تصویر کشیده می‌شوند.
در تئوری موسیقی غربی، برای نمایش هندسی اعتدال مساوی دوازده‌نتی گام کروماتیک غالباً از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله دایره پنجم‌ها، که قدمت آن به فیثاغورث می‌رسد، و دایره کروماتیک) استفاده می‌شود.
در تئوری موسیقی قدیم ایران و کشورهای دیگر جهان اسلام هم نظریهٔ ادوار دستان‌بندی سازها (نحوهٔ کوک ساز و موقعیت پردههای آن) را با کمک مجموعه‌ای از دایره‌ها توصیف می‌کرده‌است.
تعریف دایره > تعریف اقلیدسی

دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند؛ یعنی:
این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در اصول ارائه می‌کند:
دایره شکلی مسطح است که در یک خط به نام محیط مظروف شده‌است، به‌شکلی که همهٔ خط‌های راستی که از یک نقطهٔ معین در داخل آن به محیط کشیده می‌شوند با یکدیگر مساویند.
و
نقطهٔ مذکور «مرکز دایره» نام دارد.
تعریف دایره > تعریف آپولونیوسی

آپولونیوس نشان داد که دایره را می‌توان به عنوان مکان هندسی همهٔ نقاطی نشان داده که نسبت فواصلشان از دو نقطهٔ ثابت عددی است ثابت و برابر با نسبت فواصل دو نقطهٔ ثابت از دایره؛ یعنی:
این دو نقطه به «کانون» های دایره موسومند. می‌توان با عملیات‌های جبری ساده ثابت کرد که تعریف آپولونیوسی و اقلیدسی معادل یکدیگرند.
تعریف دایره > دایره به عنوان حالت خاص چندضلعی

دایره را می‌توان چندضلعی منتظمی با شعاع محاطی  r و شعاع محیطی  R دانست که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. در هندسه، از دایره‌ای با این تعریف با عنوان‌های بی‌نهایت‌ضلعی و تک‌ضلعی یاد شده‌است.
با این تعریف، محیط دایره برابر است با:
و مساحت آن برابر است با:
که هر دو حدشان یکی است، چرا که با میل کردن  n به بی‌نهایت،  r و  R به یک پاره‌خط (شعاع دایره) میل می‌کنند.
تعریف دایره > به عنوان مقطع مخروطی

دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید.
در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.
ویژگی‌های دایره > شعاع، قطر، و وتر

پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را «بردار شعاع» آن نقطه دانست. شعاع معمولاً با حرف لاتین  r نشان داده می‌شود.
قطر دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود.
قطر دایره معمولاً با حرف لاتین  d نشان داده می‌شود.
پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زِه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است.
ویژگی‌های دایره > خط مماس

خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط مماس (یا خط تانژانت) بر دایره در آن نقطه موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان» نام دارند.
از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ  D بیرون دایره‌ای به مرکزیت  O بتوان دو مماس بر نقاط  A و  B روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های  \angle BOA و   \angle BDA مکملند.
شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است ({\overline {AC}}\perp {\overline {CD}}).
ویژگی‌های دایره > زاویه مرکزی و زاویه محاطی

همچنین ببینید: زاویه محاطی و زاویه مرکزی
زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویهٔ مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند. همچنین هر زاویهٔ مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویهٔ مرکزی  (L) برابر حاصلضرب شعاع دایره  (r) در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب رادیان  (\theta ) است  (L=r\theta ). اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی  (\alpha ) بر حسب درجه نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با  L={\tfrac {\alpha \pi r}{180}}.
از برخورد دو خط سکانت روی محیط دایره زاویهٔ محاطی پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره قرار دارد.
هر زاویهٔ محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ محاطی گفته می‌شود.
اندازه کمان نظیر هر زاویهٔ محاطی در دایره نصف اندازهٔ زاویهٔ محاطی روبروی آن کمان است.
حالت تبهگون زاویهٔ محاطی زمانی رخ می‌دهد که یکی از اضلاع زاویه بر دایره مماس باشد، و به زاویهٔ مماسی موسوم است.
ویژگی‌های دایره > زاویه مرکزی و زاویه محاطی > زاویه مرکزی

زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره و دو ضلع آن شعاع‌های دایره می‌باشند.
نکته: اندازه زاویه مرکزی با اندازه کمان روبرو آن برابر است.
ویژگی‌های دایره > زاویه مرکزی و زاویه محاطی > زاویه محاطی

زاویه‌ای که راس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن وترهایی از دایره می‌باشد.
نکته: اندازه زاویه محاطی برابر است با نصف کمان روبرو.
ویژگی‌های دایره > کمان، قطاع، و قطعه

همچنین ببینید: کمان، قطاع، و قطعه دایره
هر دو نقطه A و B روی محیط دایره آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند. برحسب عرف، کمان کوچکتر روی دایره (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن کمتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن  ({\widehat {AB}}) و کمان بزرگتر (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن بیشتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن و نقطه‌ای در میان آن دو  ({\widehat {ACB}}) مشخص می‌گردد. کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن مساوی ۱۸۰° باشد نیم‌دایره نام دارد.
مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر ۳۶۰° است.
قطاع بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویهٔ مرکزی) و یک کمان محدود شده‌است. قطعه دایره نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویهٔ مرکزی قرار دارد.
ویژگی‌های دایره > محیط

مقالهٔ اصلی: محیط منحنی
اگر شعاع دایره  r و قطر آن  d باشد، محیط دایره برابر است با:
این فرمول را می‌توان با استفاده از حسابان و فرمول طول قوس در مختصات قطبی اثبات کرد:
دایره حداقل محیط برای یک مقدار معین مساحت را دارد.
نسبت محیط به قطر دایره  ({\tfrac {C}{d}}) با بزرگ و کوچک شدن آن ثابت می‌ماند. این نسبت با علامت  \pi  (پی) نشان داده می‌شود و می‌توان ثابت کرد که عددی متعالی و تقریباً برابر ۳/۱۴۱۵۹ است.
ویژگی‌های دایره > مساحت

مقالهٔ اصلی: مساحت دایره
هم چنان‌که ارشمیدس با استفاده از روش افنا ثابت کرد، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مساحت مربعی که ضلعش برابر شعاع دایره است در نسبت محیط دایره به قطر آن (که همیشه عدد ثابت است و با حرف  \pi  نشان داده می‌شود). یعنی:
دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط را دارد.
ویژگی‌های دایره > مساحت > اثبات

همچنین ببینید: روش افنا
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود.
اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود:
و به صورت زیر کنار هم چیده شود:
مشاهده می‌شود که شکل حاصل نامتعارف است. اما اگر دایرهٔ مفروض به قطاع‌های بیشتری تقسیم شود و همین روند ادامه یابد، مشاهده می‌شود که شکل به دست آمده به متوازی‌الاضلاع نزدیک می‌شود. به عنوان نمونه در مرحله‌ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می‌شود، حاصل شکل زیر خواهد بود (که به متوازی‌الاضلاع نزدیک تر است):
اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است.
با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الاضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الاضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن  {\tfrac {C}{2}}={\tfrac {2\pi r}{2}}=\pi r خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الاضلاع هم که  r (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره  A=r\times \pi r=\pi r^{2} خواهد بود.
این اثبات را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت:
ویژگی‌های دایره > اِفرازِ صفحه توسط دایره

دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:
داخل دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند  I، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است. داخل دایره به قرص موسوم است.
روی دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند  M، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است.
خارج دایره: مجموعهٔ نقطه‌هایی مانند  E، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.
ویژگی‌های دایره > اشتراک دایره‌ها

مقاله‌های اصلی: عدسی، هلال، و مثلث رولو
اشتراک دو قرص دایره به عدسی یا اهلیلجی موسوم است. اگر دو دایره شعاع برابر داشته باشند عدسی متقارن و در غیر این‌صورت عدسی نامتقارن (یا کلی) پدید می‌آید. مساحت عدسی متقارن با شعاع  R و طول کمان  \theta  رادیان عبارت است از:
با جدا کردن عدسی از هر یک از دو دایره هلال ایجاد می‌شود. در کل از تقاطع دو دایرهٔ غیرمماس، یک عدسی و دو هلال پدید می‌آید. هلال بقراط، هلالی حاصل از برخورد دو دایره است به‌گونه‌ای که قطر دایرهٔ کوچکتر وتر و شعاع‌های متعامد دایرهٔ بزرگتر اضلاع یک مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه باشند. می‌توان نشان داد که مساحت هلال بقراط با مساحت مثلث مذکور برابر است.
از اشتراک سه قرص دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در نقطهٔ تقاطع دو تای دیگری قرار گرفته باشد مثلث رولو حاصل می‌شود. مثلث رولو حداقل مساحت برای عرض معین در میان منحنی‌هایی با عرض ثابت را دارد. مساحت مثلث رولو ساخته‌شده از دوایری با شعاع  r عبات است از:
مثلث رولو می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.
برخی از قضایای دایره

| 0 | 1 |
| --- | --- |
: قضیهٔ تالس: زاویهٔ محاطی متناظر به نیم‌دایره همواره ۹۰° است.
: در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.
: در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و بالعکس. شکل دیگر: در یک دایره، وترهای مساوی از مرکز دایره به یک فاصله‌اند.
: عمودمنصف هر وتر دایره از مرکز دایره می‌گذرد.
: قضیه وتر: در یک دایره، حاصلضرب پاره‌خط‌های روی هر وتر حاصل از تقاطع با یک وتر دیگر برابر با حاصلضرب پاره‌خط‌های حاصل‌شده روی وتر دومی است، یعنی  |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}.
: اگر دو خط سکانت متقاطع رسم شوند، اندازهٔ زاویه بین آن دو  (\angle {A}) برابر است با نصف تفاضل کمان‌های محاط‌شده ( DE و  BC)، یعنی   2\times \angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}.
: قضیه پنج دایره: هرگاه پنج دایره که مرکزهایشان بر روی محیط دایرهٔ ششمی جای گرفته‌است، یکدیگر را زنجیروار بر روی همان دایره قطع کنند، آنگاه نقطه دوم تقاطع دایره‌ها رئوس داخلی ستاره‌ای پنج‌پرند که رئوس خارجی‌اش بر روی محیط این دایره‌ها جای گرفته‌است.
: زوایای روبرو در هر چهارضلعی محاطی مکملند (مجموعشان برابر ۱۸۰° است).
: قضیه بطلمیوس: مجموع حاصلضرب اضلاع روبروی هر چهارضلعی محاطی برابر است با حاصلضرب قطرهای آن؛ یعنی:  |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|
دستگاه دوایر > مراکز و دوایر تشابه

نقاط تقاطع مماس‌های مشترک دو دایره به «مراکز تشابه» آن دو دایره موسومند. مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های مستقیم (خط‌هایی که هر دو دایره را در یک سمت لمس می‌کنند) ایجاد می‌شود «مرکز تشابه بیرونی» و مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های اریب (خط‌هایی که دو دایره را در دو سمت مقابل لمس می‌کنند) «مرکز تشابه درونی» نامیده می‌شود. می‌توان ثابت کرد که مراکز تشابه دایره روی خطی قرار دارند که از مراکز دو دایره می‌گذرد و این خط و امتداد آن را به نسبت شعاع‌های دو دایره تقسیم می‌کنند.
همچنین دایره‌ای که مرکزش روی این خط باشد و از هر دو مرکز تشابه بگذرد (قطر آن برابر فاصلهٔ بین دو مرکز تشابه باشد) به «دایرهٔ تشابه» موسوم است. می‌توان ثابت کرد که این دایره مکان هندسی همهٔ مراکز تشابه داخلی و خارجی ممکن است.
در دستگاه سه زاویه‌ای شش مرکز تشابه (دو تا  ———  یکی بیرونی و یکی درونی  ———  برای هر جفت دایره) وجود دارد. می‌توان ثابت کرد که سه مرکز تشابه بیرونی روی یک خط قرار دارند و هر دو مرکز تشابه درونی با مرکز تشابه بیرونی سوم روی یک خطند.
دستگاه دوایر > دوایر هم‌محور

دستگاه دوایر به دایره‌هایی گفته می‌شود که مرکز آن‌ها روی یک خط قرار دارد و خط رادیکال (مکان هندسی نقاطی که مماس‌های ترسیم شده به هر دایره طول مساوی داشته باشند) مشترکی داشته باشند.
مجموعهٔ همهٔ دوایر هم‌محور به «مدادِ دوایر هم‌محور» موسوم است.
اگر خط رادیکال یک مداد دوایر  x=0 (برابر محور  yها) گرفته شود، معادلهٔ دستگاه برابر  x^{2}+y^{2}+2ax\pm k^{2}=0 خواهد بود که  k مقداری ثابت است، و می‌توان نشان داد که طول مماس بر هر دایره از هر نقطه معین روی خط رادیکال  ((0,h)) برابر   h^{2}\pm k^{2} و مستقل از  a و شعاع دایره‌ها است.
معادله‌های دایره > معادلهٔ متعارف

معادلهٔ دایره‌ای که مرکزش  c(h,k) و شعاعش  r باشد عبارت است از:
و اگر مرکز دایره در مبدأ مختصاتی  (h,k)=(0,0) قرار بگیرد معادلهٔ آن عبارت است از:
نقطهٔ  P(x,y) روی دایره است اگر و تنها اگر:
یعنی اگر و تنها اگر:
این درست است اگر و تنها اگر:
معادله‌های دایره > معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو

برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو (یعنی  ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2fy+g=0) دایره باشد، باید  b را برابر صفر قرار داد و  a را برابر  c. با شرط  a\neq 0 این معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:
که به معادلهٔ کلی دایره موسوم است. برای تبدیل این معادله به معادلهٔ متعارف دایره، می‌توان با استفاده از اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای عبارت بالا را به شکل زیر نوشت:
که در آن  k=g-d^{2}-f^{2}. در این معادله مرکز دایره در نقطهٔ  (d,f) و شعاع آن برابر با  {\sqrt {-k}} است. اگر  k کوچکتر از صفر باشد حاصل یک «دایرهٔ حقیقی»، اگر  k بزرگ‌تر از صفر باشد دایره حاصل یک «دایرهٔ مجازی» و اگر  k برابر صفر باشد حاصل نقطه خواهد بود.
معادله‌های دایره > معادلهٔ پارامتری

معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع  a عبارت است از:
که در آن  0\leq t<2\pi .
معادلهٔ پارامتری دایره را به صورت عبارت‌های گویا نیز می‌توان نوشت. در این حالت معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع  a عبارت است از:
طول کمان  (s)، انحنا  (\kappa )، و زاویه مماسی  (\phi ) را نیز می‌توان به‌صورت پارامتری نوشت، که عبارتند از:
معادله‌های دایره > صورت سه‌نقطه‌ای

معادلهٔ دایره‌ای که از سه نقطهٔ غیر هم‌خط  (x_{i},y_{i}) به ازای  i=1,2,3 می‌گذرد (یعنی دایرهٔ محیطی مثلثی که رئوسش این سه نقطه‌اند) عبارت است از:
این معادله را می‌توان به صورت معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو نوشت:
که در آن  a=c، مقدار  b صفر است (چرا که عبارتی قطری بین  x و  y در دایره نیست)، و:
در این‌صورت مرکز دایره در نقطهٔ   (x_{0},y_{0})=(-{\tfrac {d}{2a}},-{\tfrac {e}{2a}}) خواهد بود و شعاع آن عبارت است از:
معادله‌های دایره > معادله قطبی

معادلهٔ قطبی دایره به محوریت مرکز آن نوشته می‌شود و شکلی ساده دارد. معادلهٔ قطبی دایره‌ای به شعاع  r که مرکز آن در مبدأ مختصاتی واقع شده باشد عبارت است از:
اگر مرکز دایره به نقطهٔ  (a,0) منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:
و اگر مرکز دایره به نقطهٔ  (0,a) منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:
معادله‌های دایره > ابرمعادله

همچنین ببینید: ابرمعادله
صورت عام ابرمعادله در دستگاه مختصات قطبی عبارت است از:
اگر در این معادله  m_{1}=m_{2}=m_{3}=2 باشد و  n_{1}،  n_{2}، و  n_{3} هم هر سه مساوی ۲ باشند، منحنی حاصل دایرهٔ واحد (دایره‌ای با شعاع یک) است. با ضرب کردن  r در معادلهٔ بالا، معادلهٔ دایره‌ای با شعاع  r حاصل می‌شود.
ترسیم با خط‌کش و پرگار

مقالهٔ اصلی: ترسیم با خط‌کش و پرگار
خط‌کش و پرگار تنها ابزارهای مجاز ترسیم در هندسه اقلیدسی هستند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. پرگار ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف اقلیدسی آن است و با خط‌کشی با طول بی‌نهایت می‌توان خط راست کشید، و هدف ریاضی‌دانان اقلیدسی این بود که همهٔ اشکال را با این دو ابزار بسازند.
بنابراین در ترسیم با خط‌کش و پرگار تنها از سه اصل اول اصول موضوعه هندسه اقلیدسی می‌توان استفاده کرد.
بنابر اثبات گاوس، تنها شکل‌هایی را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد که اندازه‌شان عدد ترسیم‌پذیر باشد. اعداد ترسیم‌پذیر اعدادی‌اند که بتوان آن‌ها را با اعمال چهار عمل اصلی و ریشه دوم بر یک عدد ترسیم‌پذیر دیگر به دست آورد (صفر و یک بنابر تعریف ترسیم‌پذیرند).
ترسیم با خط‌کش و پرگار > ترسیم‌های بنیادی

همهٔ ترسیم‌ها با خط‌کش و پرگار با تکرار و ترکیب پنج ترسیم بنیادی در صفحه صورت می‌گیرند. این پنج ترسیم بنیادی عبارتند از:
ساخت یک خط با داشتن دو نقطه (اصل اول از اصول موضوعه هندسه اقلیدسی)
ساخت یک دایره با داشتن دو نقطه (اصل سوم از اصول موضوعه هندسه اقلیدسی)
ساخت یک نقطه در محل تقاطع دو خط ناموازی
ساخت دو نقطه در محل تقاطع یک خط و یک دایره (در صورت تقاطع)
ساخت دو نقطه در محل تقاطع دو دایره (در صورت تقاطع)
ترسیم با خط‌کش و پرگار > برخی ترسیم‌های خط‌کش و پرگار

| 0 | 1 |
| --- | --- |
: تنصیف زاویه: برای رسم نیمساز زاویه ابتدا به مرکزیت رأس زاویه  (A) کمانی به شعاع دلخواه زده شود و نقاط تقاطع آن با اضلاع زاویه ( B و  C) مشخص شود. سپس به مرکزیت  B و  C دو کمان با شعاع مساوی و بزرگتر از نصف  BC زده شود. با اتصال نقاط تقاطع این کمان، نیمساز زاویه حاصل می‌شود.
: ترسیم عمودمنصف پاره‌خط: به شعاع بیش از نصف طول پاره‌خط دو کمان به مرکزیت دو سر پاره‌خط زده می‌شود. با وصل کردن نقاط تقاطع دو کمان، عمودمنصف پاره‌خط حاصل می‌شود.
: رسم عمودی بر خط از نقطه‌ای بیرون آن: به مرکزیت نقطه  P کمانی به شعاع دلخواه زده می‌شود تا خط را در  A' و  B' قطع کند. سپس به روش مذکور در بالا عمودمنصف پاره خط  A'B' ترسیم می‌شود.
: ترسیم دایره با داشتن سه نقطه غیرهم‌خط  A،  B، و  C: به روش بالا عمودمنصف پاره‌خط‌های  {\overline {AB}} و  {\overline {BC}} رسم می‌شود. نقطهٔ تقاطع دو عمودمنصف مرکز دایره است و می‌توان از آن به فاصلهٔ هر کدام از نقاط دایره را رسم کرد.
ترسیم با خط‌کش و پرگار > ترسیم‌های غیرممکن

مقاله‌های اصلی: تربیع دایره، تضعیف مکعب، و تثلیث زاویه
یکی از مسائل کهن ریاضی که در طول تاریخ ریاضی‌دانان را درگیر خود کرده بود تربیع دایره است و مطلوب آن ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که مساحت آن با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد. شکل دیگری از این مسئله ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که محیط آن با محیط دایرهٔ مفروض برابر باشد.
در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و تربیع دایره غیرممکن است. در زبان انگلیسی «تربیع دایره» (به انگلیسی: squaring the circle) وارد ادبیات شده‌است و همچنین ضرب‌المثلی به مفهوم «عمل غیرممکن» است.
تثلیث زاویه و تضعیف مکعب (یا «مسئلهٔ دلوسی») نیز دو مسئله کهن دیگر ترسیم با خط‌کش و پرگارند که هدف اولی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی است و هدف دومی ترسیم مکعبی که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض (هر ضلع آن  {\sqrt[{3}]{2}} برابر ضلع مکعب مفروض) باشد.
ترسیم هفت‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار (یا تقسیم دایره به هفت کمان مساوی، موسوم به تسبیع دایره هم از مسائلی است که به‌ویژه دانشمندان عصر طلایی اسلام را به خود مشغول داشته بود.
در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس گاوس نشان داد که هفت کوچک‌ترین عدد ترسیم‌ناپذیر است و نمی‌توان هفت‌ضلعی منتظم را با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد.
در بعدهای بالاتر

تعمیم دایره در فضای سه‌بعدی کره نام دارد. همهٔ نقاط روی سطح کره از مرکز آن به یک فاصله‌اند. همچنین تعمیم دایره در فضای  n+1بعدی به  n-کره موسوم است.  n-کره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که در فضای  n+1بعدی از یک نقطهٔ معین فاصلهٔ یکسانی داشته باشند.
به‌این‌ترتیب ۱-کره همان دایره و ۲-کره همان کره است.
همچنین حاصل اکستروژن موازی دایره استوانه و حاصل اکستروژن مرکزی آن مخروط است.
مسیر حرکت افلاک در نظام بطلمیوسی
طرح جووانی دومنیکو کاسینی از مدل بطلمیوسی جهان هستی
نسخه‌ای از ترجمهٔ عربی مخروطات آپولونیوس
طرح آندریاس سلاریوس از منظومه کوپرنیکی، از کتاب هارمونیا ماکروکاسمیکا (۱۶۶۰)
طرحی از نظام براهه‌ای
سازوکار یک دوربین فیلم‌برداری ساخت شوروی بر اساس چرخش مثلث رولو در مربع
نمای سمت‌الرأسی از اندرونی برج طغرل، که دایره‌شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.
طرحی از مرد ویترویوسی
تعریف آپولونیوسی دایره
یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)

زاویه‌های مرکزی و محاطی
کمان بزرگ و کوچک دایره
کمان، قطاع، و قطعه
پویانمایی رابطهٔ محیط دایره با عدد پی
مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مربع شعاع دایره در عدد پی




عدسی متقارن و نامتقارن
هلال بقراط
مثلث رولو
مراکز تشابه داخلی و خارجی دو دایره
دو مدادِ دوایر هم‌محور با خط رادیکال عمود برهم، که به دایره‌های آپولونیوس موسوم است.
نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r
نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصاتی و شعاع  r
دایرهٔ واحد به عنوان حالت خاص ابربیضی
ترسیم پنج‌ضلعی با خط‌کش و پرگار
ترسیم‌های بنیادی
یک تصویرسازی سه‌بعدی از ۳-کره، یا تعمیم دایره در فضای چهاربعدی. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی ساخت.
آپر هالیفورد

منطقه مسکونی در England
| آپر هالیفورد | آپر هالیفورد |
| --- | --- |
 کلیسای غسل تعمید سنت اندروز:  کلیسای غسل تعمید سنت اندروز
آپر هالیفوردآپر هالیفورد نمایش داده شده در  ساری (انگلستان): آپر هالیفوردآپر هالیفورد نمایش داده شده در  ساری (انگلستان)
مساحت: ۲٫۲۰ کیلومتر مربع (۰٫۸۵ مایل مربع)
جمعیت: ۳٬۱۷۳ (2011 census)
• تراکم جمعیت: ۱٬۴۴۲ بر کیلومتر مربع (۳٬۷۳۰ بر مایل مربع)
مرجع شبکه OS: TQ0968 
• لندن: ۱۵٫۶ مایل (۲۵٫۱ کیلومتر)
منطقه: Spelthorne
Shire county: ساری (انگلستان)
ناحیه: جنوب شرقی انگلستان
کشور: England
کشور مستقل: بریتانیا
پست شهر: شپرتون
کدپستی منطقه: TW17
کد تلفن: ۰۱۹۳۲
پلیس: Surrey
آتشنشانی: Surrey
آمبولانس: South East Coast
 :  
مجلس انگلستان: Spelthorne
 فهرست مکان‌‌ها بریتانیا انگلستان Surrey ۵۱°۲۴′۰۴″شمالی ۰°۲۵′۵۲″غربی﻿ / ﻿۵۱٫۴۰۱°شمالی ۰٫۴۳۱°غربی﻿ / 51.401; -0.431:  فهرست مکان‌‌ها بریتانیا انگلستان Surrey ۵۱°۲۴′۰۴″شمالی ۰°۲۵′۵۲″غربی﻿ / ﻿۵۱٫۴۰۱°شمالی ۰٫۴۳۱°غربی﻿ / 51.401; -0.431
آپر هالیفورد (به انگلیسی: Upper Halliford) یک روستا در بریتانیا است که در ساری واقع شده‌است. آپر هالیفورد ۲٫۲۰ کیلومتر مربع مساحت و ۳٬۱۷۳ نفر جمعیت دارد.
داشاغل

| داشاغل | داشاغل |
| --- | --- |
روستا: روستا
مختصات: ۳۶°۳۲′۰۳″شمالی ۴۶°۲۲′۴۱″شرقی﻿ / ﻿۳۶٫۵۳۴۲۳۳°شمالی ۴۶٫۳۷۸۰۵۵°شرقی﻿ / 36.534233; 46.378055: مختصات: ۳۶°۳۲′۰۳″شمالی ۴۶°۲۲′۴۱″شرقی﻿ / ﻿۳۶٫۵۳۴۲۳۳°شمالی ۴۶٫۳۷۸۰۵۵°شرقی﻿ / 36.534233; 46.378055
کشور: ایران
استان: آذربایجان غربی
شهرستان: بوکان
بخش: بخش سیمینه
دهستان: بهی دهبکری
جمعیت: ۱۸۲ نفر (سرشماری ۹۵)
داشاغل، روستایی از توابع بخش سیمینه شهرستان بوکان در استان آذربایجان غربی ایران است.
جمعیت

این روستا در دهستان بهی دهبکری قرار دارد و براساس سرشماری مرکز آمار ایران در سال ۱۳۹۵، جمعیت آن ۱۸۲ نفر (۶۰ خانوار) بوده‌است.
رنه پریمور لسن

رنه پریمور لسن
رنه پریمور لسن (به فرانسوی: Rene primevere Lesson) (زاده ۲۰ مارس ۱۷۹۴ - مرگ ۲۸ آوریل ۱۸۴۹) جراح، پرنده‌شناس و خزنده‌شناس فرانسوی بود.