قضیه آخر فرما
مرور کلی > صورت‌های معادل قضیه

راه‌های مختلفی برای بیان قضیه آخر فرما وجود دارند که از نظر ریاضیاتی با مسئله اصلی معادلند.
به منظور بیانشان، ما از نمادهای ریاضیاتی استفاده می‌کنیم: فرض کنید  \mathbb {N}  مجموعه اعداد طبیعی  1,2,3,\dotsc  باشد و  \mathbb {Z}  مجموعه اعداد صحیح  0,\pm 1,\pm 2,\dotsc  و  \mathbb {Q}  مجموعه اعداد گویای  {\frac {a}{b}} باشد که  a و  b عضو  \mathbb {Z}  بوده به گونه‌ای که  b\neq 0. در ادامه ما به حلی از  x^{n}+y^{n}=z^{n} که در آن یکی از  x,y یا  z صفر باشند حل بدیهی می‌گوییم. یک حل که در آن تمام سه متغیر نا-صفر باشند را حل نابدیهی نامیم.
جهت مقایسه، ابتدا از فرمول اصلی شروع می‌کنیم.
حکم اصلی: فرض کنید  n,x,y,z\in \mathbb {N}  و  n>2، معادله  x^{n}+y^{n}=z^{n} هیچ جوابی ندارد.
حکم معادل 1:  x^{n}+y^{n}=z^{n}، که در آن عدد صحیح  n\geq 3 است، هیچ جواب غیر بدیهی  x,y,z,\in \mathbb {Z}  ندارد.
معادل بودن این حکم هنگامی که  n زوج باشد واضح است. اگر  n فرد بود و تمام سه عدد  x,y,z منفی بودند، آنگاه می‌توانیم  x,y,z را با  -x,-y,-z برای بدست آوردن جوابی در  \mathbb {N}  جایگزین کنیم. اگر دوتا از آن‌ها منفی باشند، این دوتا باید  x,z یا  y,z باشند، در این صورت اگر مثلاً  x,z منفی بودند و  y مثبت بود، آنگاه آن‌ها را به صورت  (-z)^{n}+y^{n}=(-x)^{n} می‌نویسیم که منجر به جوابی در  \mathbb {N}  می‌شود؛ در حالت دیگر به روش مشابه عمل می‌کنیم. حال اگر تنها یکی از آن‌ها منفی بود، باید عدد منفی یکی از  x یا  y باشد. اگر  x منفی بود، و  y و  z مثبت بودند، آنگاه می‌توان معادله را به صورت  (-x)^{n}+z^{n}=y^{n} نوشت، که مجدداً منجر به حل آن در  \mathbb {N}  می‌شود؛ اگر  y منفی بود، طبق تقارن باز به همان نتیجه اخیر می‌رسیم.
حکم معادل 2:  x^{n}+y^{n}=z^{n}، که در آن عدد صحیح  n\geq 3 است، هیچ جواب نا-بدیهی  x,y,z\in \mathbb {Q}  ندارد.
به این علت که توان‌های  x,y و  z برابر (با  n) است، چنان‌که اگر جوابی در  \mathbb {Q}  داشته باشد، آنگاه آن جواب را می‌توان در مخرج مشترک مناسبی ضرب کرد تا جوابی در  \mathbb {Z}  بدست آید که در نتیجه جوابی در  \mathbb {N}  خواهد بود.
حکم معادل 3:  x^{n}+y^{n}=1، که در آن عدد صحیح  n\geq 3 است، هیچ جواب نا-بدیهی  x,y\in \mathbb {Q}  ندارد.
جواب نابدیهی  a,b,c\in \mathbb {Z}  برای  v^{n}+w^{n}=1 منجر به جواب نابدیهی  {\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\in \mathbb {Q}  برای  v^{n}+w^{n}=1 خواهد شد. برعکس، جواب  {\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\in \mathbb {Q}  برای  v^{n}+w^{n}=1 منجر به جواب نابدیهی  ad,cb,bd برای  x^{n}+y^{n}=z^{n} خواهد شد.
فرمولبندی اخیر به‌طور خاص ثمر بخش و مفید است، چرا که مسئله اصلی رویه سه بعدی را به مسئله خم دو بعدی تقلیل می‌دهد. علاوه بر این، امکان آن را می‌دهد تا به جای حلقه  \mathbb {Z}  روی میدان  \mathbb {Q}  کار شود؛ میدان‌ها ساختار خاص تری نسبت به حلقه‌ها هستند و امکان تحلیل عمیق‌تر و بهتری را فراهم می‌آورند.
حکم معادل ۴ - ارتباط با خم‌های بیضوی: اگر  a,b,c جواب نا-بدیهی برای  x^{p}+y^{p}=z^{p} بوده و  p عدد اول فردی باشد آنگاه  y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}) (خم فری (Frey)) یک خم بیضوی خواهد بود.
بررسی این خم بیضوی بر اساس قضیه ریبت (Ribet) نشان می‌دهد که این خم فرم پیمانه‌ای (مدولار) ندارد. با این حال، اثبات اندرو وایلز نشان می‌دهد که هر معادله به فرم  y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}) فرم پیمانه‌ای دارد؛ لذا هر جواب نابدیهی به معادله  x^{p}+y^{p}=z^{p} (که در آن  p یک عدد اول فرد است) منجر به تناقض می‌گردد، که به نوبه خود اثبات می‌کند که هیچ جواب نابدیهی وجود ندارد.
به بیان دیگر، هر جوابی که بتواند قضیه آخر فرما را دچار تناقض کند می‌تواند برای ایجاد تناقض در قضیه پیمانه‌ای (مدولاریتی) هم استفاده گردد. بنابر این اگر قضیه پیمانه‌ای درست بود، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که قضیه آخر فرما هم می‌تواند برقرار باشد. همان‌طور که توصیف شد، کشف این حکم معادل اخیر برای حل قضیه آخر فرما حیاتی بود، چرا که طریقی ایجاد می‌کرد که بوسیله آن می‌توانستند به مسئله با بررسی همه اعداد به صورت یک جا «حمله» کنند.