درخت ای‌وی‌ال
عملیات > درج کردن

اگر ضریب توازن تمام گره‌ها ۱-، ۰ یا ۱ باشد درخت در حال حاضر متوازن است و هیچ چرخش دیگری نیاز ندارد.
اگر ضریب توازن یک گره ۲ یا ۲- شود، درخت با ریشه این گره نامتوازن است و چرخش درخت نیاز است. حداکثر دو چرخش برای متوازن کردن درخت نیاز خواهد بود.
چهار حالت اساسی برای محاسبه وجود دارد که دو تای آن‌ها متناسب، یا به عبارت دیگر متقارن با دو حالت دیگر است.
برای سادگی ریشه زیر درخت نامتوازن را P، فرزند سمت راست آن را R، و فرزند سمت چپ را L بنامید. اگر ضریب توازن P مساوی ۲ بود یعنی زیر درخت سمت راست سنگین تر از زیر درخت سمت چپ است و باید ضریب توازن فرزند سمت راست بررسی شود. اگر ضریب توازن (R)برابر ۱ است، این بدان معنا است که درج در سمت راست آن گره رخ داده و یک چرخش درخت به چپ با محوریت ریشه P است. اگر ضریب توازن R برابر ۱- باشد، این بدان معنا است که درج در سمت چپ گره اتفاق افتاده‌است. در این حالت نیاز به دو بار چرخش می‌باشد. اولین چرخش به سمت راست با محوریت R به عنوان ریشه و سپس یک چرخش به سمت چپ با محوریت P است. مراحل کامل متوازن کردن در بخش متوازن‌سازی توضیح داده خواهد شد.
for (X = parent(Z); X != null; X = parent(Z)) { // Loop (possibly up to the root)
    // BalanceFactor(X) has to be updated:
    if (Z == right_child(X)) { // The right subtree increases
        if (BalanceFactor(X) > 0) { // X is right-heavy
            // === > the temporary BalanceFactor(X) == +2
            // ===> rebalancing is required.
            G = parent(X); // Save parent of X around rotations
            if (BalanceFactor(Z) < 0)      // Right Left Case     (see figure 5)
                N = rotate_RightLeft(X, Z); // Double rotation: Right(Z) then Left(X)
            else                           // Right Right Case    (see figure 4)
                N = rotate_Left(X, Z);     // Single rotation Left(X)
            // After rotation adapt parent link
        } else {
            if (BalanceFactor(X) < 0) {
                BalanceFactor(X) = 0; // Z’s height increase is absorbed at X.
                break; // Leave the loop
            }
            BalanceFactor(X) = +1;
            Z = X; // Height(Z) increases by 1
            continue;
        }
    } else { // Z == left_child(X): the left subtree increases
        if (BalanceFactor(X) < 0) { // X is left-heavy
            // === > the temporary BalanceFactor(X) == –2
            // ===> rebalancing is required.
            G = parent(X); // Save parent of X around rotations
            if (BalanceFactor(Z) > 0)      // Left Right Case
                N = rotate_LeftRight(X, Z); // Double rotation: Left(Z) then Right(X)
            else                           // Left Left Case
                N = rotate_Right(X, Z);    // Single rotation Right(X)
            // After rotation adapt parent link
        } else {
            if (BalanceFactor(X) > 0) {
                BalanceFactor(X) = 0; // Z’s height increase is absorbed at X.
                break; // Leave the loop
            }
            BalanceFactor(X) = –1;
            Z = X; // Height(Z) increases by 1
            continue;
        }
    }
    // After a rotation adapt parent link:
    // N is the new root of the rotated subtree
    // Height does not change: Height(N) == old Height(X)
    parent(N) = G;
    if (G != null) {
        if (X == left_child(G))
            left_child(G) = N;
        else
            right_child(G) = N;
        break;
    } else {
        tree->root = N; // N is the new root of the total tree
        break;
    }
    // There is no fall thru, only break; or continue;
}
// Unless loop is left via break, the height of the total tree increases by 1.