توزیع مزدوج پیشین
جدول توزیعات مزدوج > توزیعات پیوسته

| شباهت | پارامترهای مدل | توزیع مزدوج پیشین | هایپرپارامترهای پیشین | هایپرپارامترهای پسین | تفسیر هایپرپارامترها | توزیع پسین پیشگویانه |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| نرمال با واریانس معلوم σ2 | μ (میانگین) | نرمال |  \mu _{0},\,\sigma _{0}^{2}\! |  {\frac {1}{{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}}}\left({\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right),\left({\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\right)^{-1} | میانگین از مشاهدات با دقت کل (مجموع تمام دقت‌های منفرد) 1/\sigma _{0}^{2} و میانگین نمونهٔ  \mu _{0} تحمین زده شده‌است. |  {\mathcal {N}}({\tilde {x}}|\mu _{0}',{\sigma _{0}^{2}}'+\sigma ^{2}) |
| نرمال با دقت معلوم τ | μ (mean) | نرمال |  \mu _{0},\,\tau _{0}\! |  {\frac {\tau _{0}\mu _{0}+\tau \sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\tau _{0}+n\tau }},\,\tau _{0}+n\tau  | میانگین از مشاهدات با دقت کل (مجموع تمام دقت‌های منفرد) \tau _{0} و میانگین نمونهٔ  \mu _{0} تخمین زده شده‌است. |  {\mathcal {N}}\left({\tilde {x}}|\mu _{0}',{\frac {1}{\tau _{0}'}}+{\frac {1}{\tau }}\right) |
| نرمال با میانگین معلوم μ | σ2 (واریانس) | گامای وارونه |  \mathbf {\alpha ,\,\beta }  |  \mathbf {\alpha } +{\frac {n}{2}},\,\mathbf {\beta } +{\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu )^{2}}}{2}} | واریانس از  2\alpha  مشاهدات با واریانس نمونهٔ   \beta /\alpha  (یعنی جمع مجذور انحرافات  2\beta , که انحرافات از میانگین معلوم  \mu  هستند) تخمین زده شده‌است. |  t_{2\alpha '}({\tilde {x}}|\mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ') |
| نرمال با میانگین معلوم μ | σ2 (واریانس) | کی دو وارونهٔ مقیاس شده |  \nu ,\,\sigma _{0}^{2}\! |  \nu +n,\,{\frac {\nu \sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu +n}}\! | واریانس از  \nu  مشاهدات با واریانس نمونهٔ   \sigma _{0}^{2} تخمین زده شده‌است. |  t_{\nu '}({\tilde {x}}|\mu ,{\sigma _{0}^{2}}') |
| نرمال با میانگین معلوم μ | τ (دقت) | گاما |  \alpha ,\,\beta \! |  \alpha +{\frac {n}{2}},\,\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\! | دقت از  2\alpha  مشاهدات با واریانس نمونهٔ   \beta /\alpha  (یعنی جمع مجذور انحرافات  2\beta , که انحرافات از میانگین معلوم  \mu  هستند) تخمین زده شده‌است. |  t_{2\alpha '}({\tilde {x}}|\mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ') |
| نرمال | μ و σ2 با این فرض که تعویض پذیری دارند | گامای نرمال وارونه |  \mu _{0},\,\nu ,\,\alpha ,\,\beta  |  {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,  \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}  {\bar {x}} میانگین نمونه است. | میانگین از  \nu  مشاهدات با میانگین نمونهٔ   \mu _{0} تخمین زده شده‌است؛ واریانس از  2\alpha  مشاهدات با میانگین نمونهٔ   \mu _{0} و مجموع مجذور انحرافات  2\beta  تخمین زده شده‌است. |  t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}|\mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\nu '\alpha '}}\right) |
| نرمال | μ و τ با فرض اینکه تعویض پذیری دارند | نرمال-گاما |  \mu _{0},\,\nu ,\,\alpha ,\,\beta  |  {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,  \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}  {\bar {x}} میانگین نمونه است. | میانگین از  \nu  مشاهدات با میانگین نمونهٔ  \mu _{0}, و دقت از  2\alpha  مشاهدات با میانگین نمونهٔ  \mu _{0} و مجموع مجذور انحرافات  2\beta  تخمین زده شده‌است. |  t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}|\mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\alpha '\nu '}}\right) |
| نرمال چندمتغیره با ماتریس کوواریانس معلوم Σ | μ (بردار میانگین) | نرمال چند متغیره |  {\boldsymbol {\boldsymbol {\mu }}}_{0},\,{\boldsymbol {\Sigma }}_{0} |  \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {\bar {x}} \right),  \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}  \mathbf {\bar {x}}  میانگین نمونه است. | میانگین از مشاهداتی با دقت کل (مجموع تمام دقت‌های منفرد) {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1} و میانگین نمونهٔ   {\boldsymbol {\mu }}_{0} تخمین زده شده‌است. |  {\mathcal {N}}({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}'+{\boldsymbol {\Sigma }}) |
| نرمال چندمتغیره با ماتریس دقت معلوم Λ | μ (بردار میانگین) | نرمال چندمتغیره |  \mathbf {\boldsymbol {\mu }} _{0},\,{\boldsymbol {\Lambda }}_{0} |  \left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {\bar {x}} \right),\,\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)  \mathbf {\bar {x}}  میانگین نمونه است. | میانگین از مشاهداتی با دقت کل (مجموع تمام دقت‌های منفرد) {\boldsymbol {\Lambda }} و میانگین نمونهٔ   {\boldsymbol {\mu }}_{0} تخمین زده شده‌است. |  {\mathcal {N}}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',({{{\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}'}^{-1}+{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1})^{-1}\right) |
| نرمال چندمتغیره با میانگین معلوم μ | Σ (ماتریس کوواریانس) | ویشارت وارون |  \nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }} |  n+\nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T} | ماتریس کوواریانس از  \nu  مشاهدات با مجموع حاصل‌ضرب‌های انحراف دو به دو  {\boldsymbol {\Psi }} تخمین زده شده‌است. |  t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right) |
| نرمال چندمتغیره با میانگین معلوم μ | Λ (ماتریس دقت) | ویشارت |  \nu ,\,\mathbf {V}  |  n+\nu ,\,\left(\mathbf {V} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\right)^{-1} | ماتریس کوواریانس از  \nu  مشاهدات با مجموع حاصل‌ضرب‌های انحراف دو به دو  \mathbf {V} ^{-1} تخمین زده شده‌است. |  t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right) |
| نرمال چندمتغیره | μ (بردار میانگین) و Σ (ماتریس کوواریانس) | وارون نرمال-ویشارت |  {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,{\boldsymbol {\Psi }} |  {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,  {\boldsymbol {\Psi }}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}  \mathbf {\bar {x}}  میانگین نمونه است.   \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T} | میانگین از  \kappa _{0} مشاهدات با میانگین نمونهٔ  {\boldsymbol {\mu }}_{0} تخمین زده شده‌است؛ ماتریس کوواریانس از  \nu _{0} مشاهدات با میانگین نمونهٔ   {\boldsymbol {\mu }}_{0} و با مجموع حاصل‌ضرب‌های انحراف دو به دو {\boldsymbol {\Psi }}=\nu _{0}{\boldsymbol {\Sigma }}_{0} تخمین زده شده‌است. |  t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right) |
| نرمال چندمتغیره | μ (بردار میانگین) and Λ (ماتریس دقت) | نرمال-ویشارت |  {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,\mathbf {V}  |  {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,  \left(\mathbf {V} ^{-1}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}\right)^{-1}  \mathbf {\bar {x}}  میانگین نمونه است.   \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T} | میانگین از  \kappa _{0} مشاهدات با میانگین نمونهٔ   {\boldsymbol {\mu }}_{0} تخمین زده شده‌است؛ ماتریس کوواریانس از  \nu _{0} مشاهدات با میانگین نمونهٔ   {\boldsymbol {\mu }}_{0} و با مجموع حاصل‌ضرب‌های انحراف دو به دو  \mathbf {V} ^{-1} تخمین زده شده‌است. |  t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right) |
| یکنواخت |  U(0,\theta )\! | پارتو |  x_{m},\,k\! |  \max\{\,x_{1},\ldots ,x_{n},x_{\mathrm {m} }\},\,k+n\! |  k مشاهدات با مقدار بیشینهٔ  x_{m} |  |
| پارتو با کمینهٔ معلوم xm | k (شکل) | گاما |  \alpha ,\,\beta \! |  \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\mathrm {m} }}}\! |  \alpha  مشاهدات با مجموع  \beta  مرتبه بزرگی هر مشاهده (یعنی لگاریتم نسبت هر مشاهده به کمینهٔ  x_{m}) |  |
| توزیع وایبول با شکل معلوم β | θ (مقیاس) | توزیع گامای وارونه |  a,b\! |  a+n,\,b+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }\! |  a مشاهدات با مجموع  b β'امین توان هر مشاهده |  |
| توزیع لگاریتمی نرمال با دقت معلوم τ | μ (میانگین) | نرمال |  \mu _{0},\,\tau _{0}\! |  \left.\left(\tau _{0}\mu _{0}+\tau \sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right)\right/(\tau _{0}+n\tau ),\,\tau _{0}+n\tau  | «میانگین» از مشاهداتی با دقت کل (مجموع تمام دقت‌های منفرد) \tau _{0} و با میانگین نمونهٔ  \mu _{0} تخمین زده شده‌است. |  |
| توزیع لگاریتمی نرمال با میانگین معلوم μ | τ (دقت) | گاما |  \alpha ,\,\beta \! |  \alpha +{\frac {n}{2}},\,\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(\ln x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\! | دقت از  2\alpha  مشاهدات با واریانس نمونهٔ   {\frac {\beta }{\alpha }} (یعنی مجموع مجذور انحرافات لگاریتمی  2\beta  — یعنی انحرافات لگاریتم نقاط داده از "میانگین") |  |
| نمایی | λ (نرخ) | گاما |  \alpha ,\,\beta \! |  \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\! |  \alpha -1 مشاهدات با مجموع  \beta  |  \operatorname {Lomax} ({\tilde {x}}|\beta ',\alpha ') (توزیع لوماکس) |
| گاما با شکل معلوم α | β (نرخ) | گاما |  \alpha _{0},\,\beta _{0}\! |  \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\! |  \alpha _{0}/\alpha  مشاهدات با مجموع  \beta _{0} |  \operatorname {CG} ({\tilde {\mathbf {x} }}|\alpha ,{\alpha _{0}}',{\beta _{0}}')=\operatorname {\beta '} ({\tilde {\mathbf {x} }}|\alpha ,{\alpha _{0}}',1,{\beta _{0}}') |
| توزیع گامای وارونه با شکل معلوم α | β (نرخ معکوس) | گاما |  \alpha _{0},\,\beta _{0}\! |  \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\! |  \alpha _{0}/\alpha  مشاهدات با مجموع  \beta _{0} |  |
| گاما با نرخ معلوم β | α (شکل) |  \propto {\frac {a^{\alpha -1}\beta ^{\alpha c}}{\Gamma (\alpha )^{b}}} |  a,\,b,\,c\! |  a\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,b+n,\,c+n\! |  b or  c مشاهدات ( b برای تخمین  \alpha ,  c برای تخمین  \beta ) با حاصل‌ضرب  a |  |
| گاما | α (شکل), β (نرخ معکوس) |  \propto {\frac {p^{\alpha -1}e^{-\beta q}}{\Gamma (\alpha )^{r}\beta ^{-\alpha s}}} |  p,\,q,\,r,\,s\! |  p\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,q+\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,r+n,\,s+n\! |  \alpha  از  r مشاهدات با حاصل‌ضرب  p تخمین زده شده‌است؛  \beta  از  s مشاهدات با مجموع  q تخمین زده شده‌است. |  |
: