قضیه هیلز–جووت
اثبات قضیه در حالتی خاص

اکنون به اثبات قضیه هیلز–جووت در حالت خاص  n=3,c=2,H=8 که در بالا بحث شد می‌پردازیم. ایده این است که این حکم را به اثبات حالات ساده‌تر قضیه هیلز–جووت کاهش دهیم.(در این حالت خاص منظور  n=2,c=2,H=2 و  n=2,c=6,H=6 است.) حالت کلی قضیه هیلز–جووت را می‌توان با روشی مشابه با استفاده از استقرای ریاضی اثبات کرد.
هر عضو ابرمکعب  w_{3}^{8} رشته‌ای از هشت عدد از ۱ تا ۳ است مثلاً ۱۳۲۱۱۳۲۱ یک عضو ابرمکعب است. ما فرض می‌کنیم که ابر مکعب کاملاً از "دایره" و "ضربدر" پر شده باشد. ما برای اثبات از برهان خلف استفاده می‌کنیم و فرض می‌کنیم که نه دسته دایره‌ها و نه دسته ضربدرها شامل خط ترکیبیاتی نیستند. اگر ما ۶ عضو اینچنین رشته‌ای را ثابت بگیریم و ۲ عضو اخر را متغیر فرض کنیم یک صفحه بازی ایکس-او عادی خواهیم داشت برای مثال ??۱۳۲۱۱۳ چنین صفحه‌ای را به ما می‌دهد. برای صفحه‌ای مانند ??abcdef، حالت‌های abcdef11 ,adcdef12, abcdef22 را در نظر می‌گیریم. هر یک از این حالت‌ها باید یا با دایره یا با ضربدر پر شوند پس طبق اصل لانه کبوتری ۲ تا از آن‌ها باید با علامت مشابه پر شوند. از آن جهت که هر یک از این حالت‌ها قسمتی از خطوط ترکیبیاتی ما هستند، عضو سوم باید با علامت مخالف پر شود (زیرا ما فرض کردیم که هیچ‌کدام از خطوط ترکیبیاتی، ۳ عضو پر شده با علامت مشابه را ندارد). به عبارت دیگر، برای هر یک از انتخاب‌های abcdef (که می‌توان آن را به عنوان عضو ابر مکعب ۶ بعدی در نظر گرفت) ۶ حالت می‌توان در نظر گرفت:
Abcdef11 و12 abcdef دایره هستند و abcdef13 یک ضربدر است.
Abcdef11 و abcdef22 دایره هستند و abbcdef33 یک ضربدر است.
Abcdef12 و abcdef22 دایره هستند و abcdef32 یک ضربدر است.
Abcdef11 و abcdef12 ضربدر هستند و abcdef13 یک دایره است.
Abcdef11 و abcdef22 ضربدر هستند و abcdef33 یک دایره است.
Abcdef12 و abcdef22 ضربدر هستند و abcdef32 یک دایره است.
از این رو ما می‌توانیم ابر مکعب ۶ بعدی  w_{3}^{6} را با توجه به حالت‌های بالا به ۶ دسته تقسیم بندی کنیم.(اگر یک عضو از چند دسته پیروی کند می‌توانیم یک حالت قرار دادی در نظر بگیریم مثلاً بالاترین دسته در دسته بندی بالا).
حال هفت عضو ۱۱۱۱۱۱، ۱۱۱۱۱۲ ،۱۱۱۱۲۲، ۱۱۱۲۲۲، ۱۱۲۲۲۲، ۱۲۲۲۲۲ ،۲۲۲۲۲۲ را در  w_{3}^{6} در نظر بگیرید. طبق قضیه لانه کبوتری ۲ تا از این عضوها باید در یک دسته قرار بگیرند. برای مثال فرض کنید ۱۱۱۱۱۲ و ۱۱۲۲۲۲ در یک دسته قرار بگیرند، پس ۱۱۱۱۱۲۱۱، ۱۱۱۱۱۲۲۲، ۱۱۲۲۲۲۱۱، ۱۱۲۲۲۲۲۲ دارای علامت ضربدر و ۱۱۱۱۱۲۳۳، ۱۱۲۲۲۲۳۳ دارای علامت دایره هستند. اما حال، حالت ۱۱۳۳۳۲۳۳، که باید یا با دایره یا با ضربدر پر شود را در نظر می‌گیریم اگر با ضربدر پر شود، پس خط ترکیبیاتی 11xxx2xx کاملاً با ضربدر پر می‌شود که با فرض ما در تضاد است. برعکس اگر با دایره پر شود خط ترکیبیاتی کاملاً با دایره پر شده‌است که دو باره با فرض ما در تضاد است. این وضعیت برای هر یک از دو عضو از هفت عضو بالا از  w_{3}^{6} که در یک دسته مشابه قرار گیرند مشابه است. از آن جهت که ما برای همه دسته‌ها تضاد داریم، پس فرض اولیه ما غلط بوده، پس باید حداقل یک خط ترکیبیاتی وجود داشته باشد که کاملاً از دایره یا ضربدر تشکیل شده باشد.
بحث بالا به گونه‌ای یک کار بی‌فایده بود، در حقیقت این قضیه برای  H=4 نیز برقرار است.
اگر کسی بحث بالا را برای مقادیر عمومی  n و  c گسترش دهد،  H به سرعت رشد خواهد کرد، حتی زمانی که  c=2 است (که به ۲ بازیکن بازی ایکس او بر می‌گردد)  Hای که از روابط بالا محاسبه شود حتی سریع تر از تابع اکرمن  H رشد خواهد کرد. اولین کران به دست آمده از  H مربوط به Saharon Shelah است، که با استفاده از توابع اصلی بازگشتی به دست آمد، و همچنان، در حالت کلی، بهترین کران برای عدد هالس-جووت، H=h(n,c) می‌باشد.