نظریه هسته زایی کلاسیک
رفتارمکانیکی آماری

فرضیه نظریه هسته‌زایی کلاسیک برای شکل  \Delta G با استفاده از ابزارهای مکانیک آماری می توان با دقت بیشتری بررسی کرد.  به طور خاص، سیستم به عنوان گازی از خوشه‌های غیر متقابل در مجموعه بزرگ متعارف مدل‌سازی می‌شود. حالت تعادل ناپایدار فرض می‌شود، به طوری که روش‌های مکانیک آماری حداقل تقریباً حفظ می‌شوند.  تابع پارتیشن بزرگ  است.
Q=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}\sum _{\mu _{S}|N}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{N}(\mu _{S})},\qquad z\equiv e^{\beta \mu }.
در اینجا جمع درونی بر روی همه ریز حالت ها است  \mu _{S} که دقیقا شامل  N ذرات. می‌توان آن را به مشارکت‌هایی از هر ترکیب ممکن از خوشه‌ها تجزیه کرد که منجر به آن می‌شود  N کل ذرات  برای مثال،
\sum _{\mu _{S}|N=3}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{3}(\mu _{S})}=q_{3}+q_{2}q_{1}+{\frac {1}{3!}}q_{1}^{3}
جایی که  q_{n} پیکربندی انتگرال یک خوشه با است  n ذرات و انرژی پتانسیل  U_{n}\left(\{\mathbf {r_{n}} \}\right) :
{\begin{aligned}q_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {1}{\Lambda ^{3n}}}\int d\mathbf {r} ^{n}e^{-\beta U_{n}\left(\{\mathbf {r_{n}} \}\right)}.\end{aligned}}
کمیت  \Lambda  طول موج حرارتی دو بروگلی ذره است که به دلیل ادغام روی ذره وارد می‌شود.  3n درجات حرکتی آزادی فاکتوریل‌های معکوس برای جبران اضافه شماری گنجانده شده‌اند، زیرا ذرات و خوشه‌ها به طور یکسان غیر قابل تشخیص فرض می‌شوند.
فشرده تر،
Q=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }q_{n}z^{n}\right]
سپس با گسترش  Q در اختیارات  q_{m}z^{m} ، احتمالی  P(m,\ell ) از پیدا کردن دقیقا  \ell  خوشه هایی که هر کدام دارند  m ذرات است
{\begin{aligned}P(m,\ell )&={\frac {z^{\ell m}q_{m}^{\ell }}{\ell !}}\cdot {\frac {\exp \left(\sum _{n\neq m}^{\infty }q_{n}z^{n}\right)}{\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }q_{n}z^{n}\right)}}\\&={\frac {z^{\ell m}q_{m}^{\ell }}{\ell !}}\exp \left(-q_{m}z^{m}\right).\end{aligned}}
چگالی عدد  \rho _{m} از  m بنابراین خوشه ها را می توان به صورت محاسبه کرد
{\begin{aligned}\rho _{m}&={\frac {1}{V}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\ell {\frac {z^{\ell m}q_{m}^{\ell }}{\ell !}}\exp \left(-q_{m}z^{m}\right)\\&={\frac {z^{m}q_{m}}{V}}.\end{aligned}}
به این توزیع اندازه خوشه ای نیز می‌گویند.
پتانسیل بزرگ  \Omega  برابر است با  -k_{B}T\ln Q ، که با استفاده از رابطه ترمودینامیکی  \Omega =-pV ، منجر به انبساط زیر برای فشار می‌شود:
{\frac {p}{k_{B}T}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q_{n}}{V}}z^{n}.
اگر سمت راست معادله بالا را به عنوان تابع تعریف کنیم  \Pi (T,z) ، سپس مقادیر مختلف ترمودینامیکی دیگر را می‌توان بر حسب مشتقات محاسبه کرد  \Pi  با توجه به  z .
ارتباط با نسخه ساده این نظریه با فرض خوشه‌های کاملا کروی صورت می‌گیرد که در این صورت  U_{n}\left(\{\mathbf {r_{n}} \}\right) فقط به  n ، در فرم
U_{n}=-E_{0}n+wn^{1/2}
جایی که  E_{0} انرژی اتصال یک ذره منفرد در داخل یک خوشه است و  w>0 انرژی اضافی در واحد سطح سطح خوشه است. سپس،  q_{n}\propto \exp(-\beta \cdot (-E_{0}n+wn^{1/2})) ، و توزیع اندازه خوشه است
\rho _{n}\propto e^{-\beta [-(E_{0}+\mu )n+\beta wn^{1/2}]},
که دلالت بر یک چشم انداز انرژی آزاد موثر دارد  \Delta G(n)=-(E_{0}+\mu )n+wn^{1/2} ، مطابق با شکل ارائه شده توسط نظریه ساده
از سوی دیگر، این اشتقاق تقریب قابل‌توجهی را در فرض خوشه‌های کروی با  U_{n}\left(\{\mathbf {r_{n}} \}\right)=-E_{0}n+wn^{1/2} . در واقعیت، پیکربندی یکپارچه است  q_{n} شامل مشارکت از مجموعه کامل مختصات ذرات است  \{\mathbf {r_{n}} \} بنابراین شامل انحراف از شکل کروی و همچنین درجات آزادی خوشه‌ای مانند انتقال، ارتعاش و چرخش می‌شود. تلاش های مختلفی برای گنجاندن این اثرات در محاسبه صورت گرفته است  q_{n} اگرچه تفسیر و کاربرد این نظریه های بسط یافته مورد بحث قرار گرفته است.    یک ویژگی مشترک اضافه کردن یک تصحیح لگاریتمی است  \sim \ln n به  \Delta G(n) ، که نقش مهمی در نزدیکی نقطه بحرانی سیال ایفا می‌کند.