حسابان
تاریخچه > مدرن

حسابان اولین دستاورد ریاضیات نوین بود و اغراق نیست اگر از اهمیت فراوان آن گفته شود. من فکر می‌کنم که حسابان واضح تر از هر چیز دیگری، ساختار ریاضیات نوین، و نظام آنالیز ریاضی را که تکوین منطقی آن است، تعریف می‌کند، و هنوز بزرگ‌ترین پیشرفت فنی در تفکرات دقیق را تشکیل می‌دهد.
—جان فون نویمان
در اروپا، کار بنیادینی در قالب رساله بوناونتورا کاوالیری صورت گرفت. او بود که مدعی شد حجم‌ها و مساحت‌ها را باید به صورت جمع حجم‌ها و مساحت‌هایی با مقاطع بی‌نهایت کوچک نوشت. این ایده‌ها مشابه کار ارشمیدس در رساله اش به نام روش بود، اما معتقدند که رساله مذکور ارشمیدس در قرن ۱۳م مفقود شده و در قرن ۲۰م میلادی دوباره کشف شده، بنابر این کاوالیری از وجود آن آگاهی نداشته است. کار کاوالیری به خوبی مورد احترام واقع نشد، چرا که روش او منجر به نتایجی آمیخته با خطا می‌شد، بنابر این روش کمیت‌های بی‌نهایت‌کوچک‌هایی که او معرفی نمود در ابتدا بد سابقه شد.
مطالعه رسمی حسابان، روش بی‌نهایت‌کوچک‌های کاوالیری و حساب تفاضلات متناهی که در اروپا در همان زمان‌ها تکوین یافته بود را گرد هم آورد. پیر دو فرما، مدعی شد که مفهوم «تا حد ممکن برابر» (او برای این مفهوم، به کمک زبان لاتین، کلمه adequality را ابداع نمود) را از دیوفانتوس الهام گرفته است. این مفهوم نمایانگر برابری در حد یک جمله خطای بی‌نهایت کوچک بود. ترکیب این مفاهیم توسط جان ویلیس، ایساک بارو و جیمز گرگوری به‌دست آمد که دو نفر اخیر دومین قضیه اساسی حساب را در حدود ۱۶۷۰ اثبات کردند.
قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای، مفاهیم مشتقات مراتب بالاتر و سری تیلور، و توابع تحلیلی توسط ایزاک نیوتون و با استفاده از نمادگذاری عجیبی به کار گرفته شد تا توسط آن‌ها مسائلی را در ریاضی-فیزیک حل نماید. نیوتون در کارهای خویش، ایده‌هایش را به گونه ای بازگو نمود تا با روش زمانه مطابقت داشته باشد، اینگونه که محاسبات بی‌نهایت‌کوچک‌ها را با معادل هندسیشان جایگزین نمود. او برای حل مسائلی چون حرکت سیاره‌ها، شکل سطح یک سیال دورانی، پهن شدگی کره زمین در قطبین (پخ شدگی در قطبین)، حرکت وزنه با سر خوردن روی یک چرخزاد، و بسیاری دیگر از مسائلی که در اثر خود (کتاب Principia Mathematica نوشته شده در ۱۶۸۷ میلادی) مورد بحث قرار داد، از روش حسابان استفاده کرد. او در آثار دیگر خود، بسط سری‌هایی برای توابع، شامل توان‌های کسری و غیر گویا به کار برد، به گونه ای که واضح بود که اصل سری تیلور را فهمیده است. اما او تمام این اکتشافات را منتشر نکرد و در آن زمان هنوز استفاده از روش بی‌نهایت‌کوچک‌ها بد سابقه بود و جنبه مناسبی نداشت.
این ایده‌ها به حساب بی‌نهایت‌کوچک‌های واقعی منجر شد که توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیز سامان یافت. نیوتون در ابتدا لایبنیز را به سرقت علمی متهم کرد. او اکنون به عنوان مخترع و کمک کننده مستقل به حسابان به حساب می‌آید. کمک‌های او جهت ارائه مجموعه قواعد واضحی برای کار با مقادیر بی‌نهایت‌کوچک‌ها بود که امکان محاسبه مشتقات مراتب دوم و بالاتر را فراهم می‌کرد و قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای را به فرم دیفرانسیلی و انتگرالی ارائه نمود. لایبنیز برعکس نیوتون، توجه بسیاری به صوری سازی می‌نمود، به گونه ای که اغلب روزها صرف تعیین نماد مناسبی برای مفاهیم می‌نمود.
امروزه به هردوی لایبنیز و نیوتون جهت اختراع و توسعه مستقل حسابان اعتبار می‌دهند. نیوتون اولین کسی بود که حسابان را در فیزیک عمومی به کار برد و لایبنیز هم بخش زیادی از نمادگذاری به کار رفته در حسابان کنونی را اولین بار مورد استفاده قرار داد. بینش‌های پایه ای که هردوی نیوتون و لایبنیز ارائه نمودند شامل: قوانین دیفرانسیل‌گیری و انتگرال‌گیری، مشتقات مرتبه دوم و بالاتر و مفهوم تقریب زدن به کمک سری‌های چند جمله ای می‌شود. در زمان نیوتون، قضیه اساسی حساب شناخته شده بود.
زمانی که نیوتون و لایبنیز اولین بار نتایج خویش را منتشر نمودند، جدال فراوانی در مورد این که کدام ریاضیدان (و در نتیجه کدام کشور) مستحق کسب اعتبار است پیش آمد. نیوتون نتایج خود را اولین بار در قالب اثرش به نام Method of Fluxions به‌دست‌آورد، در حالی که لایبنیز در اثر خود به نام Nova Methodus pro Maxmis et Minimis. نیوتون مدعی شد که لایبنیز ایده‌های او را از یادداشت‌های منتشر نشده اش سرقت کرده، یادداشت‌هایی که نیوتون با برخی از اعضای جامعه سلطنتی به اشتراک گذاشته بود. این جنجال برای سال‌ها، شکافی بین ریاضیدانان انگلیسی زبان و ریاضیدانان قاره اروپا پدیدآورد که موجب ضربه به ریاضیات انگلیسی زبان شد. بررسی دقیق مقالات لایبنیز و نیوتون نشان داد که آن‌ها به‌طور مستقل به این نتایج رسیده و لایبنیز اولین کسی بود که به انتگرال‌گیری و نیوتون به دیفرانسیل‌گیری رسید. با این حال این لایبنیز بود که این شاخه جدید را نامگذاری کرد، در حالی که نیوتون به آن «علم فلاکسیون‌ها» می‌گفت.
از زمان لایبنیز و نیوتون، بسیاری از ریاضیدانان به تکوین پیوسته حسابان کمک کردند. یکی از اولین و کامل‌ترین کارهایی که هم بر روی حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها و هم حساب انتگرالی انجام شد، در سال ۱۷۴۸ توسط ماریا گائتنا آگنسی نوشته شد.