تکانه زاویه‌ای اسپینی نور
بیان ریاضی

عبارت کلی تکانه زاویه‌ای اسپین چنین است:
\mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\mathbf {\pi } \times \mathbf {A} ,
که  c سرعت نور در فضای آزاد است و  \mathbf {\pi }  تکانه متعارف مزدوج پتانسیل برداری  \mathbf {A}  است. عبارت کلی تکانه زاویه‌ای گردشی چنین است:  \mathbf {L} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\pi ^{\mu }\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\mu }, که  \mu =\{0,1,2,3\} بیانگر چهار شاخص فضازمان است و قرارداد جمع اینشتین اعمال شده‌است. برای کوانتایی کردن نور، باید روابط جابه‌جایی زمان‌مساوی (equal-time commutation) فرض شوند،  [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=i\hbar cg^{\mu \nu }\delta ^{3}(\mathbf {x} -\mathbf {x} '), [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),A^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=[\pi ^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=0, که  \hbar  ثابت پلانک کاهش‌یافته است و  g^{\mu \nu }={\rm {{diag}\{1,-1,-1,-1\}}} تانسور متریک فضای مینکوفسکی است.
\mathbf {S}  و  \mathbf {L}  روابط جابه‌جایی تکانه زاویه‌ای متعارف را برمی‌آورند [S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}, [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}, و با هم جابه‌جا می‌شوند  [S_{i},L_{j}]=0 .
پس از بسط دادن عبارت موج تخت، اسپین فوتون را می‌توان، ساده و شهودی، در فضای موج-بردار چنین بیان کرد.  \mathbf {S} =\hbar \int d^{3}k{\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }^{\dagger }\mathbf {\hat {s}} {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} } که در آن بردار ستونی {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }=[{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,3}]^{T} عمل‌گر میدان فوتون در فضای بردار-موج است و ماتریس  3\times 3  \mathbf {\hat {s}} =\sum _{\lambda =1}^{3}{\hat {s}}_{\lambda }\mathbf {\epsilon } (\mathbf {k} ,\lambda ) عملگر اسپین-1 فوتون با ماتریس‌های مولد چرخشی SO(3) است  {\hat {s}}_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{3}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}, و دو بردار واحد  {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,1)\cdot \mathbf {k} ={\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,2)\cdot \mathbf {k} =0 دو قطبش عرضی نور در فضای آزاد را نشان می‌دهند و و بردار واحد  {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,3)=\mathbf {k} /|\mathbf {k} |، نشان‌دهنده قطبش طولی است.
به‌سبب این‌که اینجا فوتون قطبیده طولی و فوتون اسکالر وارد شده‌اند،  \mathbf {S}  و  \mathbf {L}  پیمانه‌نامتغیر (به انگلیسی: gauge invariant) نیستند. برای گنجاندن تغییرناپذیری پیمانه در تکانه‌های زاویه‌ای فوتون، عبارت‌های تکانه زاویه‌ای الکترودینامیک کوانتومی کل و شرط پیمانه لورنتس باید دوباره جدا شوند. سرانجام، تکانه‌های زاویه‌ای اسپینی و گردشی نور، چنین می‌شوند  \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=i\hbar \int d^{3}k({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}x\mathbf {E} _{\perp }\times \mathbf {A} _{\perp }, و  \mathbf {L} _{M}^{\rm {obs}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}xE_{\perp }^{j}\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\perp }^{j} که تکانه‌های زاویه‌ای نور عرضی کلاسیک را به دست می‌دهند. اینجا، \mathbf {E} _{\perp } ( \mathbf {A} _{\perp }) بخش عرضی میدان الکتریکی (پتانسیل برداری) و  \varepsilon _{0} گذردهی خلاء است.
می‌توان عمل‌گرهای فنا را برای فوتون قطبیده دایره‌ای عرضی تعریف کرد:  {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {L} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right), {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {R} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}+i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right), با بردارهای واحد قطبش  \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {L} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)+i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right], \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)-i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right].
سپس، اسپین فوتون میدان عرضی را می توان دوباره به این صورت بیان کرد  \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=\int d^{3}k\hbar \left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}},
برای یک فوتون موج تخت، اسپین فقط می‌تواند دو مقدار بگیرد؛  \pm \hbar ، که مقادیر ویژه عملگر اسپین  {\hat {s}}_{3} هستند. توابع ویژه مربوطه که تکانه‌ زاویه‌ای اسپینی فوتون‌ را کاملاً مشخص می‌کنند، به‌صورت امواج قطبیده دایره‌ای توصیف می‌شوند:  |\pm \rangle ={\begin{pmatrix}1\\\pm i\\0\end{pmatrix}}.