کمانش
کمانش در صفحه

صفحه یک سازه ۳ بعدی است که از عرض قابل مقایسه با طول آن تعریف شده‌است و ضخامت آن نسبت به دو بعد دیگر بسیار کوچک است. صفحات نازک، مشابه ستونها، دچار تغییرات ناشی از کمانش می‌شوند زمانی که در معرض بارهای بحرانی قرار بگیرند. با این حال، برخلاف کمانش ستون، صفحات تحت بارهای کمانش می‌توانند بار خود را تحمل کند، به نام کمانش محلی. این پدیده بسیار در سیستم‌های بی شماری سودمند است، زیرا این امکان را برای مهندسی سیستم فراهم می‌کند تا ظرفیت بارگذاری بیشتری را ارائه دهد.
برای یک صفحه مستطیل شکل، پشتیبانی در امتداد هر لبه، با یک فشار یکنواخت در طول واحد، بارگذاری شده‌است:
داریم:
w، انحراف خارج از صفحه
N_{x}، فشار یکنواخت فشرده سازی
E، مدول الاستیسیته
\nu ، ضریب پواسون
t، ضخامت
انحراف را می‌توان به وسیله دو عملگر هارمونیک نشان داد:
w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)
داریم:
m، تعداد انحنای نیمه سینوسی که در طول آن رخ می‌دهد
n، تعداد انحنای نیمه سینوسی که در جهت عرض رخ می‌دهد
a، طول نمونه
b، عرض نمونه
معادله قبلی را می‌توان جایگزین در معادله دیفرانسیلی که قبل تر در آن  n برابر ۱ است نمود.  N_{x} را می‌توان با ارائه معادله ای برای بار فشاری بحرانی یک صفحه از هم جدا نمود.
N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}
که:
k_{cr}، از رابطه زیر بدست می آید:
k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}
ضریب کمانش تحت تأثیر جنبه نمونه است  {b}/ a، و تعداد انحنای طول. برای تعداد فزاینده ای از این گونه انحناها، نسبت ابعاد ضریب کمانش متغیر را تولید می‌کند. اما هر رابطه ایجاد شده حداقل مقدار را برای  m ایجاد می‌کند. این مقدار حداقل می‌تواند به عنوان ثابت، مستقل از هر دو نسبت ابعاد و  m.
با توجه به وجود تنش در سطح منطقه، استرس بحرانی یافت می‌شود:
\sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}
از معادلات به دست آمده، می توان شباهت های نزدیک بین تنش بحرانی برای یک ستون و یک صفحه را مشاهده کرد. با کوچک شدن عرض b، صفحه بیشتر شبیه یک ستون عمل می کند زیرا مقاومت در برابر کمانش را در طول عرض صفحه افزایش می دهد. افزایش a اجازه می دهد تا تعداد امواج سینوسی تولید شده توسط کمانش در طول طول افزایش یابد، اما همچنین مقاومت کمانش در طول عرض را افزایش می دهد. این ترجیح صفحه را برای کمانش به گونه ای ایجاد می کند که تعداد انحناها در طول و عرض برابر باشد. به دلیل شرایط مرزی، هنگامی که یک صفحه با یک تنش بحرانی و کمانش بارگذاری می شود، لبه های عمود بر بار نمی توانند خارج از صفحه تغییر شکل دهند و بنابراین به تحمل تنش ها ادامه می دهند. این یک بار فشاری غیر یکنواخت در امتداد انتهای آن ایجاد می کند، که در آن تنش ها بر نیمی از عرض موثر در هر دو طرف نمونه اعمال می شود، که به شرح زیر است:
{\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}
داریم:
b_{\text{eff}}، عرض مؤثر
\sigma _{y}، تنش تسلیم
با افزایش تنش بارگذاری شده، عرض موثر همچنان به کوچک شدن ادامه می دهد. اگر تنش های روی انتها به تنش تسلیم برسد، صفحه از کار می افتد. این همان چیزی است که به سازه کمانش کرده اجازه می دهد تا بارگذاری را پشتیبانی کند. هنگامی که بار محوری بر روی بار بحرانی در برابر جابجایی رسم می شود، مسیر اصلی نشان داده می شود. این شباهت صفحه را به ستونی در زیر کمانش نشان می دهد. با این حال، با گذشتن از بار کمانش، مسیر اصلی به یک مسیر ثانویه منشعب می‌شود که به سمت بالا منحنی می‌کند و توانایی قرار گرفتن در معرض بارهای بالاتر از بار بحرانی را فراهم می‌کند.