تغییر شکل قطرات الکترودینامیکی
راه حل تورزا

راه حل تورزا در سال 1971 میلادی  برای تغییر شکل قطره ها در حضور یک میدان الکتریکی یکنواخت و متغیر با زمان، گسترده ترین مدل مرجع برای پیشبینی تغییر شکل قطره ها با دامنه کوچک است. مشابه راه حل توسعه یافته توسط تیلور، تورزا راه حلی برای تغییر شکل قطره ها الکترودینامیکی با در نظر گرفتن گردش سیال در داخل و بیرون از رابط قطره ایجاد کرد. راه حل او از این جهت دارای نوآوری است که بیانی را برای نسبت تغییر شکل قطره ها آنی با در نظر گرفتن مسائل فرعی جداگانه برای استخراج اثرات تنش الکتریکی، تنش هیدرودینامیکی داخلی، تنش هیدرودینامیکی بیرونی و کشش سطحی(رفتاری خاص در لایه بیرونی مایعات) بر روی فصل مشترک قطره ها به دست می‌ دهد. نسبت تغییر شکل قطره ها D کمیتی است که بیان کننده امتداد نسبی و کوتاه شدن ابعاد عمودی و افقی یک کره است .
D = \frac{d_1-d_2}{d_1+d_2}
مشکل فرعی تنش الکتریکی با تعریف میدان‌ های پتانسیل الکتریکی در داخل و بیرون رابط قطره‌ ای که به صورت فازورهای پیچیده با بسامد نوسان به عنوان میدان الکتریکی تحمیلی قابل بیان هستند ، فرمول‌بندی می‌شود.
V=|V| e^{i\omega t}
از آن جهت که تورزا سیال داخل قطره و خارج از قطره را بدون بار خالص حساب می کند ، معادله حاکم برای زیر مساله تنش الکتریکی به قانون گاوس با چگالی بار فضایی صفر کاهش می‌یاب . با بیان مجدد میدان الکتریکی بر حسب گرادیان پتانسیل الکتریکی ، معادله الکتریکی حاکم به معادله لاپلاس کاهش می‌یابد. از جداسازی متغیر ها می توان برای به دست آوردن راه حلی برای این معادله به صورت یک سری توانی ضرب در کسینوس زاویه قطبی نسبت به جهت میدان الکتریکی استفاده کرد . با استفاده از راه حل های بزرگی پتانسیل های الکتریکی در داخل و خارج قطره ، تنش الکتریکی ایجاد شده روی رابط حباب /ق طره را می توان با استفاده از تعریف تانسور تنش ماکسول و نادیده گرفتن میدان الکتریکی تعیین کرد.
\sigma_{i j} = \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left…
لازم به ذکر است که چون میدان الکتریکی به صورت فازور است، حاصل ضرب داخلی و حاصل ضرب تانسوری میدان الکتریکی با خود ، همانطور که در تانسور تنش ماکسول وجود دارد ، منجر به دو برابر شدن فرکانس نوسان می‌شود . مشکل فرعی تورزا که برای تعیین میدان‌ های سرعت و تنش‌ های هیدرودینامیکی ناشی از تنش الکتریکی حل می‌کند ، دقیقاً به همان شکلی است که تیلور برای راه‌ حل خود برای میدان‌ های الکتریکی ثابت استفاده کرد . به طور خاص، تورزا فرمول تابع جریان حلقه معادلات ناویه-استوکس (معادله مربوط به مایعات و گاز ها) را در مختصات کروی با اتخاذ فرم راه حل تابع جریان تیلور و تحمیل شرایط تعادل تنش در سطح مشترک حل می کند. تورزا با استفاده از راه حل تابع جریان ، عبارات تحلیلی را برای میدان های سرعت به دست آورد که می تواند برای استخراج عبارات تحلیلی برای تنش هیدرودینامیکی در سطح مشترک برای سیالات نیوتنی تراکم ناپذیر استفاده شود.
0= \left[
\frac{\partial^2}{\partial r^2} +
\frac{\sin \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta…
\psi = \left[\frac{C_1 b^4}{r^2} + C_2 b^2 + \frac{C_3}{b r^3} + \frac{C_4 r^5}{ b^3})\right] \sin(…
\tau_{ij} = \mu \left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right).
تورزا برای گنجاندن اثر کشش سطحی در تغییر شکل دوره ای یک قطره ، تفاوت تنش های الکتریکی و هیدرو دینامیکی را در سطح مشترک محاسبه کرد و از آن به عنوان تنش محرک، در معادله فشار لاپلاس استفاده کرد . این مهم ترین رابطه برای این سیستم است، چرا که مکانیزمی را وصف می کند که توسط آن تفاوت در تنش در سطح مشترک قطرات می تواند با ایجاد تغییر در شعاع اصلی انحنا باعث تغییر شکل شود .
\Delta \tau_{r r} + \Delta \sigma_{r r} = \gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)
تورزا با استفاده از این رابطه بین فشار های سطحی در ارتباط با استدلال های هندسی به دست آمده توسط تیلور برای تغییر شکل های کوچک ، توانست یک عبارت تحلیلی برای نسبت تغییر شکل به عنوان مجموع یک جزء ثابت و یک جزء نوسانی با بسامدی دو برابر بسامد به دست آورد. میدان الکتریکی تحمیل شده به شرح زیر است .
D = \frac{9 \epsilon_0 K_2}{16 \gamma} \phi (E_0^2 b) + 
              \frac{9 \epsilon_0 K_2}{32
که 𝜙 در ترم ثابت، کسینوس در مدت زمان متغیر، و گاما در هر دو عبارت است. اصطلاح فی همان چیزی است که تیلور و تورزا از آن به عنوان « عملکرد متمایز کننده » یاد می‌کنند ، زیرا مقدار آن تعیین می‌ کند که آیا قطره تمایل دارد زمان بیشتری را به صورت شکل‌های کره وار (نوعی شکل از بیضی گون است که شبیه به کره است) یا بیضی بگذراند . تابعی از تمام خواص مواد و بسامد نوسان است ، اما کاملاً مستقل از زمان است. عبارت کسینوس متغیر زمانی نشان می‌دهد که قطره در واقع با فرکانس دو برابر میدان الکتریکی تحمیلی نوسان می‌کند، اما به دلیل عبارت آلفای ثابتی که به دلیل ریاضیات ایجاد می‌شود، عموماً خارج از فاز است. سایر متغیرها ثابت هایی هستند که علاوه بر فرکانس نوسان به خواص هندسی، الکتریکی و ترمودینامیکی مایعات مربوطه نیز بستگی دارند.
به طور کلی ، آشکار است که بزرگی تغییر شکل قطره توسط کشش سطحی ، که با نماد گاما نشان داده می شود ، محدود می شود . با افزایش کشش سطحی ، قدر خالص به دلیل افزایش نیرو های مویرگی کاهش می یابد . از آنجایی که شکل تعادلی یک قطره به سمت قطره با حداقل انرژی گرایش دارد، مقدار زیادی از کشش سطحی تمایل دارد شکل قطره را به سمت یک کره سوق دهد.