فیلتر تطبیقی

نام دیگر فیلترتطبیقی فیلتر سازگار یا فیلتر وفقی است.
وقتی مطالعه دربارهٔ فیلترهای سازگار را آغاز می‌کنیم اهمیت زیادی دارد تا نگاهی دقیق‌تر به مفهوم دو کلمه اصلی فیلتر و سازگار داشته باشیم. صفت سازگار دربارهٔ سیستم‌هایی بکار می‌رود که تلاش آن‌ها بر وفق دادن رفتار خود نسبت به محیطی است که در آن قرار دارند. به بیان دیگر سیستم‌هایی سازگار هستند که می‌کوشند تا با تغییر مقدار پارامترهای خود عملکردشان را به نحوی متناسب با محیط اطراف خود تنظیم کنند. در این فرایند سیستمی که پارامترهای آن دچار تغییرات شده‌است، فیلتر نام دارد. بر اساس پیچدگی این سیستم یا سرعت عملکرد آن، فیلترهای سازگار گوناگونی وجود دارند که می‌توانند عملکردی خطی یا غیر خطی داشته باشند.
کلی‌ترین ساختاری که برای فیلترهای سازگار بکار می‌رود، ساختار یک فیلتر متقاطع است.
فیلتر سازگار دارای یک سیگنال ورودی و یک سیگنال خروجی است. سیگنالی که علاقه مند هستیم تا خروجی فیلتر مشابه آن تنظیم شود، سیگنال است.
در اینجا دنباله ضرایب، فیلتر است که مقدار دامنه این ضرایب، وزن‌های فیلتر نامیده می‌شود و نیز طول فیلتر می‌باشد و نیز دنباله‌ای نمونه برداری شده از سیگنال پیوسته ورودی است که دارای ضریب مطابق با تعداد ضرایب فیلتر است. آنچه در طول این فرایند تغییر می‌کند، دامنه ضرایب فیلتر یا همان وزن‌های فیلتر است که چگونگی تغییر آن‌ها بر اساس الگوریتم فیلتر سازگاری می‌باشد که برای سیستم خاص تعریف خواهد شد.
بر اساس نظریه وینر هاف، با یک رویکرد احتمالی می‌توان تخمین زد که وزن‌های بهینه برای فیلتر زمانی بدست می‌آیند که میانگین مربع خطا به حداقل مقدار خود برسد. در این حالت فیلتر همگرا شده‌است. آنچه در فیلترهای سازگار اهمیت زیادی دارد این است که بتوان الگوریتمی پیاده کرد که با کمترین پیچیدگی‌های محاسباتی ریاضی و در حداقل زمان اجرای الگوریتم به مقدار بهینه برسد. زمان اجرای الگوریتم با اندازه گام‌های حرکت به سمت نقطه بهینه قابل تنظیم است. اندازه گام کوچک باعث افزایش دقت و کاهش خطا می‌شود و در عین حال سرعت اجرای الگوریتم را نیز کاهش می‌دهد. انتخاب اندازه گام بزرگ در حالی که سرعت اجرای الگوریتم را زیاد می‌کند، به همان نسبت نیز خطای همگرایی را افزایش خواهد داد. پس انتخاب اندازه گام مناسب در فیلترهای سازگار امری بسیار مهم و اساسی است. بر اساس همین نظریه الگوریتم حداقل میانگین مربعات شکل گرفت که مبنای احتمالی و آماری براساس یافتن نقطه بهینه داشته و وزن‌های آن بر این اساس تغییر می‌یابند. الگوریتم حداقل میانگین مربعات، یکی از کلی‌ترین و اساسی‌ترین روش‌های اصلاح وزن است که به دلیل سادگی در مفهوم و اجرا کاربرد بسیار زیادی در شاخه‌های گوناگون دیگر از جمله الگوریتم‌های اصلاح وزن‌ها در شبکه‌های عصبی نیز دارد.
در کنار فواید بی‌شمار، این الگوریتم دارای معایبی نیز هست که از جمله مهم‌ترین معایب این الگوریتم وابستگی بسیار زیاد رفتار همگرایی الگوریتم به تابع چگالی طیف توان سیگنال ورودی است. اگر ورودی فیلتر سیگنال سفید باشد، به این معنا که سیگنال طیف توان دارای مولفه‌هایی کاملاً مسطح و یکنواخت در تمام فرکانس‌های موجود باشد، آنگاه نرخ همگرایی الگوریتم حداقل میانگین مربع بسیار بالا خواهد بود و در غیر این صورت، سرعت همگرایی الگوریتم افت قابل ملاحظه‌ای پیدا خواهد کرد. برای رفع این مشکل الگوریتم‌های بسیار زیادی طراحی شد.
در مقابل نظریه وینر هاف که دیدگاهی احتمالی و آماری به اصلاح وزن‌ها دارد، الگوریتم‌هایی نیز به وجود آمد که با محاسبات دقیق ریاضی نقطه بهینه همگرایی را تعیین می‌کند. در این الگوریتم‌ها خطای همگرایی بسیار کوچک است و همگرایی الگوریتم با سرعت بسیار بیشتری نسبت به الگوریتم‌های مبتنی بر حداقل میانگین مربعات انجام می‌شود. این افزایش سرعت و دقت در همگرایی در حالی به دست می‌آید که محاسبات بسیار دقیق و زیاد ریاضی باید در طول همگرایی الگوریتم توسط رایانه انجام شود که سرعت اجرای الگوریتم را به شدت کاهش خواهد داد. به عبارت دیگر افزایش سرعت همگرایی به قیمت افزایش پیچیدگی محاسبات الگوریتم به دست آمده‌است. این الگوریتم‌ها اغلب از معادلات بازگشتی ریاضی استفاده می‌کنند و در غالب روش کلی الگوریتم‌های فیلترهای سازگار حداقل مربعات بازگشتی ارائه شده‌است.
الگوریتم استاندارد حداقل مربعات بازگشتی، یکی از زیر شاخه‌های این الگوریتم است که از جبر خطی ماتریس معکوس لما استفاده می‌کند. در نتیجه اجرای این الگوریتم محاسبات پیچیده جبری ماتریس‌ها به همراه تکرارهای زیاد متناسب با طول فیلتر به الگوریتم افزوده خواهند شد.