احتمال منفی
فیزیک و ریاضیات > مثال: آزمایش دو شکاف

یک آزمایش دو شکاف با فوتون‌ها را در نظر بگیرید. دو موج خارج شونده از هر شکاف می‌توانند به صورت زیر نوشته شوند:
f_{1}(x)={\sqrt {\frac {dN/dt}{2\pi /d}}}{\frac {1}{\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}}\exp \left[i(h/\lambda ){\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}\right],
و
f_{2}(x)={\sqrt {\frac {dN/dt}{2\pi /d}}}{\frac {1}{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}}\exp \left[i(h/\lambda ){\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}\right],
که در آن d فاصله تا صفحه تشخیص، a فاصله بین دو شکاف، x فاصله تا مرکز صفحه، λ طول موج و dN / dt تعداد فوتون‌های ساطع شده در واحد زمان در منبع است. دامنه اندازه‌گیری یک فوتون در فاصله x از مرکز صفحه، مجموع این دو دامنه است که از هر سوراخ بیرون می‌آید، و بنابراین احتمال اینکه یک فوتون در موقعیت x شناسایی شود، توسط مربع این جمع داده می‌شود:
I(x)=\left\vert f_{1}(x)+f_{2}(x)\right\vert ^{2}=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}+\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}+\left[f_{1}^{*}(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{*}(x)\right] ،
این یک قانون احتمال شناخته شده‌است:
{\begin{aligned}P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {either}}\,\,{\mathtt {slit}})=\,&P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {1}})\\&+P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {2}})\\&-P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {both}}\,\,{\mathtt {slits}})\\\\=\,&P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,|\,{\mathtt {went}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {1}})\,P({\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {1}})\\&+P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,|\,{\mathtt {went}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {2}})\,P({\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {2}})\\&-P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {both}}\,\,{\mathtt {slits}})\\\\=\,&P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,|\,{\mathtt {went}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {1}})\,{\frac {1}{2}}\\&+P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,|\,{\mathtt {went}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {slit}}\,\,{\mathtt {2}})\,{\frac {1}{2}}\\&-P({\mathtt {photon}}\,\,{\mathtt {reaches}}\,\,{\mathtt {x}}\,\,{\mathtt {going}}\,\,{\mathtt {through}}\,\,{\mathtt {both}}\,\,{\mathtt {slits}})\end{aligned}}
اگر یکی از سوراخ بسته شده و بدین ترتیب فوتون مجبور به عبور از طریق شکاف دیگر شود، دو شدت مربوط به آن چنین اند:
I_{1}(x)=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{d^{2}+(x+a/2)^{2}}} و  I_{2}(x)=\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{d^{2}+(x-a/2)^{2}}} .
اما اکنون اگر کسی هرکدام از این اصطلاحات را به این روش تفسیر کند، احتمال مشترک تقریباً هر  \lambda {\frac {d}{a}} منفی می‌شود!  {\begin{aligned}I_{12}(x)&=\left[f_{1}^{*}(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{*}(x)\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}{\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}}}\sin \left[(h/\lambda )({\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}-{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}})\right]\\\end{aligned}}
با این حال، این احتمالات منفی هرگز مشاهده نمی‌شوند زیرا نمی‌توان مواردی را که فوتون «در هر دو برش» عبور کند، ایزوله کرد، اما این احتمال‌های منفی می‌تواند به وجود پاد ذره‌ها اشاره کند.