شبکه متقابل
توضیحات ریاضی > سه بعدی

برای یک شبکه سه بعدی بی نهایت {\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}} ، توسط بردارهای اولیه آن تعریف می شود {\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\راست)} و زیرنویس اعداد صحیح
{\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\راست)}، شبکه متقابل آن
{\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}} با زیرنویس عدد صحیح {\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})} را می توان با تولید سه بردار اولیه متقابل آن تعیین کرد {\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\راست)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _ {3}\\\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\ \\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{تراز شده} }}
جایی که
{\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{ 2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}
محصول سه‌گانه اسکالر است . انتخاب اینها
{\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\راست)} راضی کردن است aibj=2πδij{\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}به عنوان شرط شناخته شده (ممکن است شرایط دیگری وجود داشته باشد.) بردارهای ترجمه اولیه برای شبکه متقابل که در رویکرد اکتشافی بالا و بخش سری فوریه چند بعدی به دست آمده‌است. این انتخاب همچنین نیاز شبکه متقابل را برآورده می‌کند
{\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1} به صورت ریاضی در بالا مشتق شده‌است. با استفاده از نمایش بردار ستونی بردارهای اولیه (مقابله)، فرمول‌های بالا را می‌توان با استفاده از وارونگی ماتریس بازنویسی کرد:
این روش به تعریف متوسل می‌شود و امکان تعمیم به ابعاد دلخواه را می‌دهد. فرمول محصول متقابل بر مواد مقدماتی در کریستالوگرافی غالب است.
تعریف فوق را تعریف «فیزیک» می‌نامند، به عنوان عامل {\displaystyle 2\pi } به‌طور طبیعی از مطالعه ساختارهای دوره ای ناشی می‌شود. یک تعریف اساساً معادل، تعریف «بلورنگار»، از تعریف شبکه متقابل ناشی می‌شود.
{\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }. که بردارهای اولیه متقابل را تغییر می‌دهد
و به همین ترتیب برای سایر بردارهای اولیه. تعریف کریستالوگراف این مزیت را دارد که تعریف از {\displaystyle \mathbf {b} _{1}} فقط قدر متقابل است
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}} در مسیر {\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}} ، حذف عامل از {\displaystyle 2\pi } . این می تواند دستکاری های ریاضی خاصی را ساده کند و ابعاد شبکه متقابل را در واحدهای فرکانس فضایی بیان می‌کند. اینکه کدام تعریف از مشبک استفاده شود، به شرطی که این دو با هم مخلوط نشده باشند، سلیقه ای است.
{\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})} به‌طور متعارف به عنوان نوشته می‌شود {\displaystyle (h,k,l)} یا {\displaystyle (hkl)} به نام شاخص‌های میلر ; {\displaystyle m_{1}} جایگزین می شود {\displaystyle h} ، {\displaystyle m_{2}} جایگزین شده با {\displaystyle k} ، و {\displaystyle m_{3}} جایگزین شده با {\displaystyle l}. هر نقطه شبکه {\displaystyle (hkl)} در شبکه متقابل مربوط به مجموعه ای از صفحات شبکه است {\displaystyle (hkl)} در شبکه فضایی واقعی (صفحه شبکه صفحه ای است که از نقاط شبکه عبور می‌کند) جهت بردار شبکه متقابل مطابق با صفحات فضایی نرمال به واقعی است. بزرگی بردار شبکه متقابل {\displaystyle \mathbf {K} _{m}} در طول متقابل داده می‌شود و برابر است با فاصله متقابل بین صفحات صفحات فضایی واقعی.