گروه لی
مفاهیم پایه‌ای > نگاشت نمایی

نگاشت نمایی از جبر لی  M(n;\mathbb {C} ) مربوط به گروه خطی عام  \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ) به  \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )، توسط ماتریس نمایی تعریف شده و برای ماتریس‌هایی همچون  X، به صورت سری توانی معمولی زیر تعریف می‌گردد:
\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots
اگر  G زیرگروه بسته‌ای از  \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ) باشد، نگاشت نمایی، جبر لی  G را به  G خواهد نگاشت؛ ازین رو، برای تمام گروه‌های ماتریسی نگاشتی نمایی وجود خواهد داشت. هر عضو از  G که به میزان کافی به عنصر همانی نزدیک باشد، تابع نمایی از یک ماتریس در جبر لی خواهد بود.
استفاده از تعریف فوق ساده است، اما این تعریف برای گروه‌های لی که شکل ماتریسی نداشته باشند قابل استفاده نبوده و مشخص نیست که نگاشت نمایی یک گروه لی به نمایشش به عنوان یک گروه ماتریسی، وابستگی ندارد. می‌توانیم هردوی این مشکلات را با استفاده از تعریفی مجرد تر از نگاشت نمایی که برای تمام گروه‌های لی کار می‌کند، حل کنیم. این تعریف در ادامه خواهد آمد.
برای هر بردار چون  X در جبر لی  {\mathfrak {g}} از  G (یعنی فضای مماس بر  G در همانی)، می‌توان اثبات کرد که زیرگروه تک-پارامتری یکتایی چون  c\colon \mathbb {R} \rightarrow G چنان وجود دارد که  c'(0)=X. زیرگروه تک-پارامتری بودن  {\mathfrak {c}}، به این معنا است که  {\mathfrak {c}} نگاشت همواری به توی  G است و این که برای تمام  s و  t:
c(s+t)=c(s)c(t)\
عمل سمت راست رابطه بالا، ضرب گروهی در  G است. شباهت صوری این فرمول با خاصیت توابع نمایی، تعریف زیر را توجیه می‌کند:
\exp(X)=c(1).\
به نگاشت فوق، نگاشت نمایی گفته می‌شود. این نگاشت، جبر لی  {\mathfrak {g}} را به توی گروه لی  G می‌نگارد. این نگاشت، دیفئومورفیسمی بین همسایگی صفر در  {\mathfrak {g}} و یک همسایگی از عنصر همانی  e در  G را ارائه می‌نماید. نگاشت نمایی، تعمیمی از تابع نمایی برای اعداد حقیقی (چون  \mathbb {R} ، جبر لی از گروه لی اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب می‌باشد)، اعداد مختلط (چون  \mathbb {C} ، جبر لی از گروه لی اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب می‌باشد)، و ماتریس‌ها (چون  \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )، به همراه جابجاگر عادی اش، جبر لی از گروه لی  \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ) می‌باشد) است.
از آنجا که نگاشت نمایی روی برخی از همسایگی‌های  N از  e، پوشا است، اغلب به عناصر جبر لی، مولدان بی‌نهایت‌کوچک از گروه  G گفته می‌شود. زیرگروه  G تولید شده توسط  N، مؤلفه همانی  G است.
نگاشت نمایی و جبر لی، ساختار گروه موضعی هر گروه لی همبند را تعیین می‌کنند. علت آن، فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف است: همسایگی چون  U از عنصر صفر  {\mathfrak {g}} چنان موجود است که برای  X,Y\in U داریم:
\exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),
به طوری که جملات حذف شده معلوم بوده و مربوط به کروشه‌های لی روی چهار عضو یا بیشتر می‌شوند. هرگاه   X و  Y جابه‌جا شوند، این فرمول به قانون نمایی رایج تقلیل پیدا می‌کند:  \operatorname {exp} (X)\operatorname {exp} (Y)=\operatorname {exp} (X+Y)
نگاشت نمایی، هم‌ریختی‌های گروه لی را به هم مرتبط می‌سازد؛ یعنی، اگر  \phi \colon G\rightarrow H یک هم‌ریختی گروه لی بوده و  \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}، نگاشت القاء شده روی جبرهای لی متناظر با آن باشند، سپس برای تمام  x\in {\mathfrak {g}} داریم:
\phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,
به بیان دیگر، نمودار زیر جابجا می‌شود:
(نماد exp، تبدیل طبیعی از یک تابعگون لی به تابعگون همانی روی رسته گروه‌های لی است)
نگاشت نمایی از جبر لی به گروه لی همیشه پوشا (بِرو) نیست، حتی اگر گروه مورد نظر همبند باشد (گرچه که برای گروه‌های همبندی که فشرده یا پوچتوان باشند، پوشا است). به عنوان مثال، نگاشت نمایی  \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )، پوشا نیست. همچنین، نگاشت نمایی برای گروه‌های لی بی‌نهایت-بعدی (پایین را ببینید) که روی فضای فرشه  \mathbb {C} ^{\infty } مدل شده باشند، نه پوشا و نه یک-به-یک اند، حتی برای همسایگی‌های به دلخواه کوچکی از صفر به همسایگی متناظرش از ۱.