زاویه‌های اویلر
تبدیل به سایر نمایش‌های جهت‌گیری > ماتریس دوران

هر جهت‌گیری را می‌توان با شروع از یک جهت‌گیری استاندارد معین و انجام سه دوران ابتدایی بدست آورد. به طور هم ارز، هر ماتریس دوران R را می‌توان به صورت ضرب سه ماتریس دوران ابتدایی تجزیه کرد. به عنوان مثال:
یک ماتریس دوران است که می‌تواند برای نشان دادن ترکیبی از دوران‌های بیرونی حول محورهای x, y, z (با همین ترتیب) یا ترکیبی از دوران‌های ذاتی حول محورهای z″-y′-x (با همین ترتیب) استفاده شود. با این حال، هر دو تعریف ماتریس دوران اولیه X, Y, Z و ترتیب ضرب آنها بستگی به تعریف کاربر از ماتریس دوران و زاویه‌های اویلر دارد (به ابهامات تعریف ماتریس دوران مراجعه کنید.) متأسفانه، کاربران در زمینه‌های مختلف قراردادهای متفاوتی را مورد استفاده قرار داده‌اند. جدول زیر مطابق این مجموعه قراردادها ساخته شده است:
هر ماتریس از طریق ضرب چپ در بردارهای ستونی 





[



x




y




z



]




{\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}

 اعمال می‌شود (به ابهامات تعریف ماتریس دوران مراجعه کنید)
هر ماتریس نشان دهنده‌ی یک دوران فعال است (قرار است ماتریس های سازنده و ترسیم شده بر روی مختصات بردارهای تعریف شده در قاب مرجع ثابت اولیه عمل کنند و در نتیجه مختصات یک بردار چرخان را تعریف شده در همان قاب مرجع ارائه دهند).
منظور از هر ماتریس ، در درجه اول ، ترکیب چرخش های بیرونی (که مربوط به ارزیابی سازنده ماتریس R با ضرب سه ماتریس واقعاً ابتدایی است) و دوم ، ترکیب سه ماتریس غیر ابتدایی است که به صورت جهانی نشان دهنده چرخش های ذاتی است. (در اطراف محورهای قاب مرجع چرخش ، به ترتیب معکوس).
فریم های مرجع دست راست به تصویب رسیده و از قانون دست راست برای تعیین علامت زاویه ها α ، β ، γ استفاده می شود.
به منظور سادگی، جدول محصولات ماتریسی زیر از نامگذاری زیر استفاده می کند:
X، Y، Z ماتریس‌هایی هستند که چرخش‌ها را حول محورهای ثابت x، y، z نشان می‌دهند (به عنوان مثال، Xα چرخش حول x را با زاویه α نشان می‌دهد).
s و c نشان دهنده سینوس و کسینوس است (به عنوان مثال، Sα نشان دهنده Sin α است).
| زاویه های تایت-برایان | زاویه های مناسب اویلر |
| --- | --- |
 X_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }\\c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}:  X_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }&-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}
 X_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }\\s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}:  X_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }\\s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}
 Y_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\beta }s_{\alpha }\\c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }&-s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }+s_{\alpha }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }\end{bmatrix}}:  Y_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }&-c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}
 Y_{\alpha }Z_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\\s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }\end{bmatrix}}:  Y_{\alpha }Z_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }&c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }\\c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }\\-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }\end{bmatrix}}
 Z_{\alpha }Y_{\beta }X_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }&c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }-c_{\alpha }s_{\gamma }\\-s_{\beta }&c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}:  Z_{\alpha }Y_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\gamma }s_{\alpha }-c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&s_{\alpha }s_{\beta }\\-c_{\gamma }s_{\beta }&s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\beta }\end{bmatrix}}
 Z_{\alpha }X_{\beta }Y_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&-c_{\beta }s_{\alpha }&c_{\alpha }s_{\gamma }+c_{\gamma }s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }&s_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\alpha }c_{\gamma }s_{\beta }\\-c_{\beta }s_{\gamma }&s_{\beta }&c_{\beta }c_{\gamma }\end{bmatrix}}:  Z_{\alpha }X_{\beta }Z_{\gamma }={\begin{bmatrix}c_{\alpha }c_{\gamma }-c_{\beta }s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\gamma }-c_{\beta }c_{\gamma }s_{\alpha }&s_{\alpha }s_{\beta }\\c_{\gamma }s_{\alpha }+c_{\alpha }c_{\beta }s_{\gamma }&c_{\alpha }c_{\beta }c_{\gamma }-s_{\alpha }s_{\gamma }&-c_{\alpha }s_{\beta }\\s_{\beta }s_{\gamma }&c_{\gamma }s_{\beta }&c_{\beta }\end{bmatrix}}