محاسبات برگشت پذیر
برگشت پذیری منطقی

برای اینکه یک عملیات محاسباتی به لحاظ منطقی برگشت‌پذیر باشد، باید خروجی (یا حالت نهایی) عملیات بتواند از ورودی (یا حالت اولیه) محاسبه شود و برعکس. توابع برگشت‌پذیر به صورت یک‌به‌یک و پوشا (بیش‌نما) هستند. این بدان معناست که گیت‌های برگشت‌پذیر (و مدارها، یعنی ترکیب چند گیت) معمولاً تعداد بیت‌های ورودی برابر با تعداد بیت‌های خروجی دارند، به شرطی که تمام بیت‌های ورودی در عملیات مصرف شوند و همه حالت‌های ممکن ورودی/خروجی مجاز باشند.
یک گیت معکوس‌کننده (NOT) به لحاظ منطقی برگشت‌پذیر است زیرا می‌توان عملیات آن را معکوس کرد. با این حال، گیت NOT ممکن است به لحاظ فیزیکی برگشت‌پذیر نباشد، بسته به نحوه‌ی پیاده‌سازی آن.
گیت XOR غیرقابل‌برگشت است زیرا دو ورودی آن را نمی‌توان به طور منحصربه‌فرد از خروجی منفرد آن بازسازی کرد، یا به‌عبارت دیگر، به دلیل اینکه پاک کردن اطلاعات غیرقابل‌برگشت است. با این حال، نسخه برگشت‌پذیر گیت XOR، یعنی گیت کنترل‌شده NOT (CNOT)، را می‌توان با حفظ یکی از ورودی‌ها به‌عنوان خروجی دوم تعریف کرد.
نوع سه‌ورودی گیت CNOT، که گیت توفولی نامیده می‌شود، دو ورودی a,b را حفظ می‌کند و ورودی سوم c را به صورت c⊕(a⋅b) جایگزین می‌کند.
اگر c=0، این گیت عملکرد AND را ارائه می‌دهد.
اگر a⋅b=1، عملکرد NOT را ارائه می‌دهد.
از آنجا که AND و NOT به‌تنهایی یک مجموعه عملکردی کامل هستند، گیت توفولی یک گیت جهانی است و می‌تواند هر تابع بولی را پیاده‌سازی کند (به شرطی که تعداد کافی از بیت‌های کمکی اولیه‌شده در دسترس باشد).
به‌طور مشابه، در مدل ماشین تورینگ برای محاسبات، یک ماشین تورینگ برگشت‌پذیر ماشینی است که تابع انتقال آن معکوس‌پذیر باشد، به‌طوری که هر حالت ماشین حداکثر یک پیشینه (حالت قبلی) داشته باشد.
ایو لسر در سال 1963 در مقاله‌ای یک ماشین تورینگ برگشت‌پذیر پیشنهاد کرد،  اما به نظر می‌رسد که از اصل لاندائر آگاه نبود و این موضوع را بیشتر دنبال نکرد. او بیشتر بقیه‌ی دوران حرفه‌ای خود را به زبان‌شناسی قوم‌شناسانه اختصاص داد. در سال 1973، چارلز اچ. بنت از بخش تحقیقات IBM نشان داد که یک ماشین تورینگ عمومی می‌تواند هم به لحاظ منطقی و هم به لحاظ ترمودینامیکی برگشت‌پذیر باشد،  و بنابراین، در اصل قادر است تعداد دلخواهی از گام‌های محاسباتی را به ازای هر واحد انرژی فیزیکی اتلاف‌شده، در صورت اجرای به‌اندازه کافی آهسته، انجام دهد. کامپیوترهای ترمودینامیکی برگشت‌پذیر می‌توانند محاسبات مفیدی را با سرعت مفید انجام دهند، در حالی که انرژی بسیار کمتری از kT را به ازای هر گام منطقی اتلاف می‌کنند.
در سال 1982، ادوارد فردکین و توماسو توفولی کامپیوتر توپ بیلیاردی را پیشنهاد کردند؛ مکانیزمی که از کره‌های سخت کلاسیک برای انجام محاسبات برگشت‌پذیر با سرعت محدود و بدون اتلاف انرژی استفاده می‌کند، اما به هم‌ترازی اولیه‌ی کامل مسیر توپ‌ها نیاز داشت. بررسی بنت  این الگوهای "براونی" و "بالستیک" را برای محاسبات برگشت‌پذیر مقایسه کرد.
علاوه بر انگیزه‌ی محاسبات با بهره‌وری انرژی بالا، گیت‌های منطقی برگشت‌پذیر بهبودهای عملی در تبدیل‌های دست‌کاری بیت در رمزنگاری و گرافیک کامپیوتری ارائه کردند. از دهه 1980 به بعد، مدارهای برگشت‌پذیر به‌عنوان اجزای الگوریتم‌های کوانتومی مورد توجه قرار گرفتند و اخیراً در فناوری‌های محاسبات نانویی و فوتونی، جایی که برخی دستگاه‌های سوئیچینگ بدون تقویت سیگنال عمل می‌کنند، علاقه‌مند شده‌اند.
بررسی‌هایی درباره مدارهای برگشت‌پذیر، روش‌های ساخت و بهینه‌سازی آن‌ها، و همچنین چالش‌های تحقیقاتی اخیر در این زمینه موجود است.
↑  Williams, Colin P. (2011). Explorations in Quantum Computing. Springer. pp. 25–29. ISBN 978-1-84628-887-6.
↑  «The Reversible and Quantum Computing Group (Revcomp)».
↑  Landauer, Rolf (1961), "Irreversibility and heat generation in the computing process" (PDF), IBM Journal of Research and Development, 5 (3): 183–191, doi:10.1147/rd.53.0183, retrieved 2015-02-18, The entropy of a closed system, e.g., a computer with its own batteries, cannot decrease; hence this entropy must appear elsewhere as a heating effect, supplying 0.6931 kT per restored bit to the surroundings.
↑  Third lecture: Statistical Theories about Information
↑  Costall, B.; Naylor, R. J.; Neumeyer, J. L. (1975-11). "Dissociation by the aporphine derivatives of the stereotypic and hyperactivity responses resulting from injections into the nucleus accumbens septi". The Journal of Pharmacy and Pharmacology. 27 (11): 875–877. doi:10.1111/j.2042-7158.1975.tb10237.x. ISSN 0022-3573. PMID 1503. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
↑  Michael P. Frank. Foundations of Generalized Reversible Computing. Conference on Reversible Computation, July 6–7, 2017, Kolkata, India. doi:10.1007/978-3-319-59936-6 2 Preprint available at https://www.osti.gov/servlets/purl/1456440 (PDF).
↑  Landauer, R. (1961-07). "Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process". IBM Journal of Research and Development. 5 (3): 183–191. doi:10.1147/rd.53.0183. ISSN 0018-8646. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
↑  Frank, Michael P.; Shukla, Karpur (2021-06-01). "Quantum Foundations of Classical Reversible Computing". Entropy (به انگلیسی). 23 (6): 701. doi:10.3390/e23060701. ISSN 1099-4300. PMC 8228632. PMID 34206044.{{cite journal}}:  نگهداری یادکرد:فرمت پارامتر PMC (link)
↑  Marveeva, A. A.; Valueva, I. M.; Bukin, Y. V. (1975). "[Effect of the antibiotic D-cycloserine and its dimer on the activity of tyrosine aminotransferase in liver tissue of intact, adrenalectomized and hypophysectomized rats]". Voprosy Meditsinskoi Khimii. 21 (3): 272–276. ISSN 0042-8809. PMID 1901.
↑  Lecerf (Y.): Logique Mathématique : Machines de Turing réversibles. Comptes rendus des séances de l'académie des sciences, 257: 2597–2600, 1963.
↑  C. H. Bennett, "Logical reversibility of computation", IBM Journal of Research and Development, vol. 17, no. 6, pp. 525–532, 1973
↑  Bennett, Charles H. (1982-12). "The thermodynamics of computation—a review". International Journal of Theoretical Physics (به انگلیسی). 21 (12): 905–940. doi:10.1007/BF02084158. ISSN 0020-7748. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
↑  Rolf Drechsler, Robert Wille. From Truth Tables to Programming Languages: Progress in the Design of Reversible Circuits. International Symposium on Multiple-Valued Logic, 2011. http://www.informatik.uni-bremen.de/agra/doc/konf/11_ismvl_reversible_circuit_design_tutorial.pdf
↑  Bezborodova, S. I.; Markelova, N. Y.; Gulayeva, V. I. (1975). "[Specificity of extracellular alkaline RNAase from Penicillium chrysogenum 152A]". Biokhimiia (Moscow, Russia). 40 (3): 592–597. ISSN 0320-9725. PMID 1110.
↑  Rolf Drechsler and Robert Wille. Reversible Circuits: Recent Accomplishments and Future Challenges for an Emerging Technology. International Symposium on VLSI Design and Test, 2012. http://www.informatik.uni-bremen.de/agra/doc/konf/2012_vdat_reversible_circuits_accompl_chall.pdf
↑  Cohen, Eyal; Dolev, Shlomi; Rosenblit, Michael (2016-04-26). "All-optical design for inherently energy-conserving reversible gates and circuits". Nature Communications. 7: 11424. doi:10.1038/ncomms11424. ISSN 2041-1723. PMC 4853429. PMID 27113510.
↑  "Reports of six individual workshops". Nursing Mirror and Midwives Journal. 142 (2): 56–59. 1976-01-08. ISSN 0143-2524. PMID 1711.