عدد استرلینگ
کاربردی برای اعداد استرلینگ نوع اول

محاسبه حاصل جمع سری‌ها در دنباله‌ها
فرمول کلی، برای محاسبه حاصل جمع سری‌ها، در دنباله‌های با ویژگی ساختمان، "تفاضل‌گیری چند مرتبه ای (مرحله ای) برای بدست آمدن مقدار «قدر نسبت»، (Nth difference sequences)".
\sum _{t=1}^{t}(a_{f})_{t}=(a_{1})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=1}^{n,k=(f-0)}[s(n,k)*t^{(f-0)}]\displaystyle }{(f-0)!}}{\Biggr )}+(a_{2})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=2}^{n,k=(f-1)}[s(n,k)*t^{(f-1)}]\displaystyle }{(f-1)!}}{\Biggr )}+(a_{3})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=3}^{n,k=(f-2)}[s(n,k)*t^{(f-2)}]\displaystyle }{(f-2)!}}{\Biggr )}+...+(a_{f})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle \sum _{k=1,f=f}^{n,k=(f-(f-1))}[s(n,k)*t^{(f-(f-1))}]\displaystyle }{(f-(f-1))!}}{\Biggr )}
از فرمول بالا می‌توان برای تعیین حاصل جمع توان‌های یکسان از همه نوع از اعداد، شامل اعداد طبیعی و اعشاری و سایر اعداد، با شکل زیر نیز استفاده نمود. بطور کلی می‌توان فرمول بالا را برای محاسبه کلیه سری‌ها، و دنباله‌ها که فرم ساختمان و مرتبه ای به شکل (Nth difference sequences ) ایجاد می نمایند بکار برد. a^{k}+(a+b)^{k}+(a+2b)^{k}+(a+3b)^{k}+...+(a+nb)^{k} به‌طور مثال حاصل جمع سری‌هایی به‌شکل زیر. 3.3^{6}+5.4^{6}+7.5^{6}+9.6^{6}+11.7^{6}+13.8^{6}+15.9^{6}=26616568.58658 یا 5^{4}+8^{4}+11^{4}+14^{4}+...+29^{4}
لذا لازم است برای تعیین اولین جمله‌های حاصل از تفاضلهای متوالی،  (a_{f})_{t}، که در فرمول بالا، به‌منزله ضرایب کسرهای فاکتوریلی می‌باشند، ساختمان دنباله،  [5^{4},8^{4},11^{4},14^{4},17^{4}] ترسیم گردد. (زیرا در مثال توان چهار، در چهارمین ردیف تفاضل‌گیری از ساختمان دنباله عدد تفاضل مشترک حاصل خواهد شد که برای مثال فوق مقدار ۱۹۴۴ می‌باشد. یا  (a_{f})_{t}=(a_{1})_{1}=1944) و لذا مقدار " (a_{f})_{t}‌های" مثال بالا بترتیب  [(a_{5})_{1}=625],[(a_{4})_{1}=3471],[(a_{3})_{1}=7074],[(a_{2})_{1}=6156],[(a_{1})_{1}=1944] می‌باشد.
و از آنجا که تعداد جمله‌ها در سری مثال فوق (۹) عدد می‌باشد لذا برای مثال بالا  (t=9) جایگذاری خواهد شد.
و به دلیل آنکه سری مثال بالا در پنجمین (۵)، مرتبه از ساختمان دنباله قرار دارد، در فرمول فوق  (f=5) جایگذاری می‌شود. 1944{\Biggl (}{\frac {\textstyle 24*9-50*9^{2}+35*9^{3}-10*9^{4}+9^{5}\displaystyle }{5!}}{\Biggr )}+6156{\Biggl (}{\frac {\textstyle -6*9+11*9^{2}-6*9^{3}+9^{4}\displaystyle }{4!}}{\Biggr )}+7074{\Biggl (}{\frac {\textstyle 2*9-3*9^{2}+9^{3}\displaystyle }{3!}}{\Biggr )}+3471{\Biggl (}{\frac {\textstyle -9+9^{2}\displaystyle }{2!}}{\Biggr )}+625{\Biggl (}{\frac {\textstyle 9\displaystyle }{1!}}{\Biggr )}=1745397 \sum _{t=1}^{t=9}(a_{5})_{t}=5^{4}+8^{4}+11^{4}+14^{4}+17^{4}+20^{4}+23^{4}+26^{4}+29^{4}=1745397
نکته مهم اینکه، همواره مقدار تفاضل مشترک در ساختمان دنباله‌های مانند مثال بالا، (توان‌های یکسان از اعداد طبیعی)، از رابطه d=(b-a)^{k}*k! حاصل می‌شود.
به‌طور مثال، تفاضل مشترک حاصل از ساختمان دنباله مثال بالا، d=(b-a)^{k}*k!=(8-5)^{4}*4!=1944 می‌باشد.
در این فرمول نمادهای  (t,f,a) بترتیب (نماد دنباله "a"، مرتبه دنباله "floor"، تعداد جمله‌های حاصل جمع "time" از ابتدای دنباله) و    s(n,k) اعداد استرلینگ نوع اول می‌باشند. (به دلیل تشابه نمادها در دنباله‌ها با نمادهای "مجموعه استرلینگ  s(n,k)"، تغییراتی در نماد دنباله‌ها اعمال گردیده‌است).
به‌طور مثال، فرمول عمومی برای محاسبه حاصل جمع  (t) جمله اول از دنباله  (a_{7})_{t} و مثالی برای آن، از دنباله  (a_{7})_{8} بشرح زیر است.
\sum _{t=1}^{t}(a_{7})_{t}=(a_{1})_{1}{\Biggl (}{\frac {720t-1764t^{2}+1624t^{3}-735t^{4}+175t^{5}-21t^{6}+t^{7}\displaystyle }{7!}}{\Biggr )}+(a_{2})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -120t+274t^{2}-225t^{3}+85t^{4}-15t^{5}+t^{6}\displaystyle }{6!}}{\Biggr )}+(a_{3})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle 24t-50t^{2}+35t^{3}-10t^{4}+t^{5}\displaystyle }{5!}}{\Biggr )}+(a_{4})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -6t+11t^{2}-6t^{3}+t^{4}\displaystyle }{4!}}{\Biggr )}+(a_{5})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle 2t-3t^{2}+t^{3}\displaystyle }{3!}}{\Biggr )}+(a_{6})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle -t+t^{2}\displaystyle }{2!}}{\Biggr )}+(a_{7})_{1}{\Biggl (}{\frac {\textstyle t\displaystyle }{1!}}{\Biggr )}
به‌طور مثال: دنباله،  \{-1,-24,-38,47,516,2029,5861,14202,...\} در "۶" مرتبه از تفاضل‌گیری متوالی، مقدار قدر نسبت که عدد "۶۰" می‌باشد حاصل می‌گردد؛ لذا، آنرا دنباله مرتبه "۷" می‌نامیم.
بعنوان نمونه، محاسبه حاصل جمع هشت  \{t=8\} جمله اول از دنباله مرتبه "۷" فوق با استفاده از فرمول کلی، به‌صورت زیر می‌باشد. \sum _{t=1}^{8}(a_{7})_{8}=60{\Biggl (}{\frac {720*8-1764*8^{2}+1624*8^{3}-735*8^{4}+175*8^{5}-21*8^{6}+8^{7}\displaystyle }{7!}}{\Biggr )}+180{\Biggl (}{\frac {\textstyle -120*8+274*8^{2}-225*8^{3}+85*8^{4}-15*8^{5}+8^{6}\displaystyle }{6!}}{\Biggr )}+195{\Biggl (}{\frac {\textstyle 24*8-50*8^{2}+35*8^{3}-10*8^{4}+8^{5}\displaystyle }{5!}}{\Biggr )}+90{\Biggl (}{\frac {\textstyle -6*8+11*8^{2}-6*8^{3}+8^{4}\displaystyle }{4!}}{\Biggr )}+9{\Biggl (}{\frac {\textstyle 2*8-3*8^{2}+8^{3}\displaystyle }{3!}}{\Biggr )}+(-23){\Biggl (}{\frac {\textstyle -8+8^{2}\displaystyle }{2!}}{\Biggr )}+(-1){\Biggl (}{\frac {\textstyle 8\displaystyle }{1!}}{\Biggr )}=22592  \sum _{t=1}^{t=8}(a_{7})_{t}=(-1)+(-24)+(-38)+47+516+2029+5861+14202=22592
در فرمول‌های بالا، ضرایب هر یک از عبارت‌های کسری، اولین جمله ی، دنباله‌های ایجاد شده از تفاضل‌گیری‌های متوالی برای حصول به مقدار «قدر نسبت» می‌باشند.
نکته مهم اینکه با علاوه، (اضافه) نمودن مقدار اولین جمله از دنباله مرتبه بالاتر به فرمول کلی، می‌توان مقدار هر یک از جمله‌های دنباله بالاتر را تعیین نمود. لازم به‌ذکر اینکه، فرمول بالا برای محاسبه سری‌ها در دنباله‌های با جمله‌های اعشاری نیز کاربرد دارد.