برآورد درست‌نمایی بیشینه
مثال > توزیع پیوسته، فضای نمونه پیوسته

برای توزیع نرمال  N(\mu ,\sigma ^{2}) که تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:
f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}exp(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}),
تابع چگالی احتمال n متغیر تصادفی نرمال مستقل با توزیع یکسان به صورت زیر تعریف می‌شود:
f(x_{1},...x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})\displaystyle =({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}})^{\frac {n}{2}}exp(-{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\displaystyle }{2\sigma ^{2}}})
به عبارت دیگر:
f(x_{1},...x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}})^{\frac {n}{2}}exp(-{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\displaystyle }{2\sigma ^{2}}})
که در آن  {\bar {x}} میانگین نمونه‌ای است.
توزیع نرمال دارای دو پارامتر است :  \theta (\mu ,\sigma ) بنابراین درست نمایی  L(\mu ,\sigma )=f(x_{1},...,x_{n}\mid \mu ,\sigma ) را بر روی هر دو پارامتر به صورت هم‌زمان یا در صورت امکان به صورت تک تک بیشینه می‌کنیم. از آنجا که تابع لگاریتم یک تابع پیوسته اکیداً صعودی است، مقداری که درست نمایی را ماکزیمم می‌کند، لگاریتم آن را هم ماکزیمم می‌کند. تابع لگاریتم درست نمایی را می‌توان به صورت زیر نوشت:
log(L(\mu ,\sigma ))=(-n/2)log(2\pi \sigma ^{2})-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}
مشتق لگاریتم درست نمایی را محاسبه می‌کنیم و آن را صفر قرار می‌دهیم:
0={\frac {\partial }{\partial \mu }}log(L(\mu ,\sigma )=0-{\frac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}
که با عبارت زیر حل می‌شود:
{\hat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}
که در واقع بیشینه تابع است چرا که صرفاً یک اکسترمم در μ وجود دارد و مشتق دوم اکیداً کمتر از صفر است؛ بنابراین امید آن برابر است با پارامتر μ.
E[{\hat {\mu }}]=\mu
که به این معنا است که برآوردکننده درست نمایی بیشینه  {\hat {\mu }} بایاس نشده‌است.
علاوه بر این مشتق لگاریتم درست نمایی را نسبت به σ گرفته و مساوی صفر قرار می‌دهیم:
0={\frac {\partial }{\partial \sigma }}log(({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}})^{n/2})exp(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}})
={\frac {\partial }{\partial \sigma }}({\frac {n}{2}}log({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}})-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}
=-{\frac {n}{\sigma }}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{\sigma ^{3}}}
که جواب آن به صورت زیر است:
{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}
با قراردادن تخمین   \mu ={\hat {\mu }} داریم:
{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}x_{j}
برای محاسبه امید، آن را به فرم استاندارد با میانگین صفر   \delta _{i}\equiv \mu -x_{i} بازنویسی می‌کنیم؛ بنابراین داریم:
{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(\mu -\delta _{i})^{2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(\mu -\delta _{i})(\mu -\delta _{j})
با ساده کردن رابطه بالا با استفاده از دو رابطه  E[\delta _{i}]=0 و  E[\delta _{i}^{2}]=\sigma ^{2} خواهیم داشت:
E[{\hat {\sigma }}^{2}]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}
که به این معنا است که برآوردکننده  {\hat {\sigma }} بایاس و سازگار است.
می‌توان گفت برآوردکننده درست نمایی بیشینه برای  \theta =(\mu ,\sigma ^{2})برابر است با:
{\hat {\theta }}=({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})
در این مورد، براوردهای درست نمایی بیشینه می‌توانند به صورت تک به تک و در حالت کلی ممکن است این براوردها به صورت هم‌زمان بدست آیند.
فرم نرمال لگاریتمی درست نمایی در حالت بیشینه خود به صورت زیر است:
log(L({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}))={\frac {-n}{2}}(log(2\pi \sigma ^{2})+1)
می‌توان نشان داد که لگاریتم درست نمایی بیشینه در حالت کلی برا ی کمترین مربعات و برای کمترین مربعات غیر خطی یکی است. این موضوع می‌تواند برای تخمین‌های مبتنی بر درست نمایی بازه اطمینان و منطقه اطمینان استفاده شود که در حالت کلی بسیار دقیق تر از استفاده از نرمال مجانبی که در بالا بحث شد، است.