الگوریتم پس‌رو-پیش‌رو
مثال

این مثال منشاءاش را از جهان چتری(umbrella world) در راسل و نوریگ ۲۰۱۰ فصل ۱۵, صفحات ۵۶۶ می‌آورد که در آن ما می‌خواهم با مشاهداتمان از چتر داشتن یا نداشتن یک مرد وضعیت آب و هوا را نتیجه‌گیری کنیم. ما دو حالت مختلف را برای آب و هوا فرض می‌کنیم: حالت اول = باران ببارد؛ حالت دوم = باران نبارد. ما فرض می‌کنیم که آب و هوا است ۷۰٪ شانس ماندن در همان وضعیت خودش را دارد و ۳۰٪ شانس برای تغییر حالت دادن. پس ماتریس تغییرات ما به شکل زیر خواهد شد:
ما همچنین فرض کنیم که هر حالت دو واقعه را دربردارد: واقعه اول = مرد چتر بیاورد؛ واقعه دوم = مرد چتر نیاورد. پس احتمالات چتر آوردن و چتر نیاوردن را برای هر حالت (بارانی و غیر بارانی) در ماتریس احتمالات می‌نویسیم. فرض کنید احتمال این که بارانی باشد و چتر بیاورد ۹۰٪؛ بارانی باشد و چتر بیاورد ۱۰٪؛ بارانی نباشد و چتر بیاورد ۲۰٪؛ بارانی نباشد و چتر نیاورد ۸۰٪ است:
با داشتن این اطلاعات بعد از آن که توالی وقایع را به‌ترتیب {چتر، چتر، بدون چتر، چتر، چتر} مشاهده کردیم می‌توانیم محاسبات خود را شروع کنیم:
توجه داشته باشید که  \mathbf {O_{3}}  متفاوت است چون مرد «بدون چتر» مشاهده شده و در بقیه موارد «با چتر» دیده شده‌است.
شروع می‌کنیم به محاسبهٔ احتمالات پیش‌رو، بنابراین یک بردار اولیه می‌گیریم:
به این دلیل بردار اولیه را انتخاب می‌کنیم، چون نمی‌دانیم قبل از مشاهدات ما آب و هوا در چه حالتی بود (بارانی بود یا نبود). بردار اولیه ما باید یک بردار افقی باشد. برای راحت‌تر شدن محاسباتمان این بردار را ترانهاده می‌کنیم. معادلهٔ ما به صورت زیر می‌شود:
به جای:
توجه کنید که ماتریس انتقال نیز ترانهاده شده اما در مثال ما ترانهاده این ماتریس با خودش برابر است (چون ماتریس متقارن است). انجام این محاسبات و نرمال کردن این نتایج را فراهم می‌کند:
شروع می‌کنیم به محاسبهٔ احتمالات پس‌رو، بنابراین یک بردار اولیه می‌گیریم:
و بعد از آن شروع می‌کنیم به انجام محاسبات (مثل قبل):
در نهایت، ما احتمالات صاف‌شده را محاسبه می‌کنیم. این نتایج باید نرمال هم بشوند (جمع ورودی‌ها یک شود) چون ما در احتمالات پیشین، احتمالات را با < c_{t} اسکیل نکرده‌بودیم.
دقت داشته باشید که ارزش  \mathbf {\gamma _{0}}  دقیقاً برابر است با  \mathbf {{\hat {b}}_{0:5}}  و همچنین ارزش  \mathbf {\gamma _{5}}  دقیقاً برابر است با  \mathbf {{\hat {f}}_{0:5}} . این بدین دلیل است که هر دو  \mathbf {{\hat {f}}_{0:5}}  و  \mathbf {{\hat {b}}_{0:5}}  دارایاحتمالات پیشین و حالات‌های پایانی یکسان هستند و شامل تمامی مشاهدات ما هستند.
اگرچه،  \mathbf {\gamma _{0}}  تنها در زمانی برابر  \mathbf {{\hat {b}}_{0:5}}  است که تمامی بردارهای حالت اولیه یکسان داشته باشند (یعنی تمامی آن‌ها ورودی برابر داشته باشند). وقتی شرایط چنین نیست e  \mathbf {{\hat {b}}_{0:5}}  باید با بردار حالت اولیه ترکیب شود تا محتمل‌ترین حالت اولیه را پیدا کنیم. ما همچنان می‌دانیم که احتمالات پسین خودشان به اندازهٔ کافی اعتبار دارند تا محتمل‌ترین حالت پایانی را محاسبه کنند. به همین ترتیب احتمالات پسین هم می‌توانند با بردارهای حالات اولیه ترکیب شوند تا محتمل‌ترین حالت آغازین طبق مشاهدات را به ما بدهند. احتمالات پسین و پیشین با ترکیب با هم می‌توانند احتمال حالات محتمل آغازین و پایانی را محاسبه کنند.
محاسبات فوق نشان می‌دهند که محتمل‌ترین حالت آب و هوا برای هر روز به غیر از روز سوم، آب و هوای «بارانی» است. البته این محاسبات به ما بیشتر از این می‌گویند، چون آن‌ها می‌توانند احتمالات هر حالت را در زمان‌های مختلف به ما ارائه کنند. شاید مهمتر از همه بدست آوردن اطلاع دربارهٔ  \mathbf {\gamma _{5}}  حال ما با استفاده از این اطلاعات و محاسبات می‌توانیم حالات مختلف آب و هوای فردا را تنها با احتمال مشاهده کردن چتر پیش‌بینی کنیم.