چندضلعی منتظم
چندضلعی‌های منتظم > مساحت

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:
(زوایا برحسب رادیان است.)
که در آن R برابر است با:
مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده‌است:
| تعداد اضلاع | نام چندضلعی | مساحت با طول ضلع ۱> دقیق | مساحت با طول ضلع ۱> تقریبی | مساحت با شعاع دایره محیطی ۱> دقیق | مساحت با شعاع دایره محیطی ۱> تقریبی | مساحت با شعاع دایره محیطی ۱> تقریبی به‌صورت کسری از دایره | مساحت با شعاع دایره محاطی ۱> دقیق | مساحت با شعاع دایره محاطی ۱> تقریبی | مساحت با شعاع دایره محاطی ۱> تقریبی به‌صورت کسری از دایره |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | n-ضلعی منتظم |  {\tfrac {n}{4}}\cot {\tfrac {\pi }{n}} |  |  {\tfrac {n}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{n}} |  |  {\tfrac {n}{2\pi }}\sin {\tfrac {2\pi }{n}} |  n\tan {\tfrac {\pi }{n}} |  |  {\tfrac {n}{\pi }}\tan {\tfrac {\pi }{n}} |
| ۳ | مثلث متساوی‌الاضلاع | √3/4 | ۰٫۴۳۳۰۱۲۷۰۲ | 3√3/4 | ۱٫۲۹۹۰۳۸۱۰۵ | ۰٫۴۱۳۴۹۶۶۷۱۴ | 3√3 | ۵٫۱۹۶۱۵۲۴۲۴ | ۱٫۶۵۳۹۸۶۶۸۶ |
| ۴ | مربع | ۱ | ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ | ۲ | ۲٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ | ۰٫۶۳۶۶۱۹۷۷۲۲ | ۴ | ۴٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ | ۱٫۲۷۳۲۳۹۵۴۴ |
| ۵ | پنج‌ضلعی منتظم | 1/4√25+10√5 | ۱٫۷۲۰۴۷۷۴۰۱ | 5/4√(5+√5)/2 | ۲٫۳۷۷۶۴۱۲۹۱ | ۰٫۷۵۶۸۲۶۷۲۸۸ | 5√5-2√5 | ۳٫۶۳۲۷۱۲۶۴۰ | ۱٫۱۵۶۳۲۸۳۴۷ |
| ۶ | شش‌ضلعی منتظم | 3√3/2 | ۲٫۵۹۸۰۷۶۲۱۱ | 3√3/2 | ۲٫۵۹۸۰۷۶۲۱۱ | ۰٫۸۲۶۹۹۳۳۴۲۸ | 2√3 | ۳٫۴۶۴۱۰۱۶۱۶ | ۱٫۱۰۲۶۵۷۷۹۱ |
| ۷ | هفت‌ضلعی منتظم |  | ۳٫۶۳۳۹۱۲۴۴۴ |  | ۲٫۷۳۶۴۱۰۱۸۹ | ۰٫۸۷۱۰۲۶۴۱۵۷ |  | ۳٫۳۷۱۰۲۲۳۳۳ | ۱٫۰۷۳۰۲۹۷۳۵ |
| ۸ | هشت‌ضلعی منتظم | 2+2√2 | ۴٫۸۲۸۴۲۷۱۲۵ | 2√2 | ۲٫۸۲۸۴۲۷۱۲۵ | ۰٫۹۰۰۳۱۶۳۱۶۰ | 8(√2-1) | ۳٫۳۱۳۷۰۸۵۰۰ | ۱٫۰۵۴۷۸۶۱۷۵ |
| ۹ | نه‌ضلعی منتظم |  | ۶٫۱۸۱۸۲۴۱۹۴ |  | ۲٫۸۹۲۵۴۴۲۴۴ | ۰٫۹۲۰۷۲۵۴۲۹۰ |  | ۳٫۲۷۵۷۳۲۱۰۹ | ۱٫۰۴۲۶۹۷۹۱۴ |
| ۱۰ | ده‌ضلعی منتظم | 5/2√5+2√5 | ۷٫۶۹۴۲۰۸۸۴۳ | 5/2√(5-√5)/2 | ۲٫۹۳۸۹۲۶۲۶۲ | ۰٫۹۳۵۴۸۹۲۸۴۰ | 2√25-10√5 | ۳٫۲۴۹۱۹۶۹۶۳ | ۱٫۰۳۴۲۵۱۵۱۵ |
| ۱۱ | یازده‌ضلعی منتظم |  | ۹٫۳۶۵۶۳۹۹۰۷ |  | ۲٫۹۷۳۵۲۴۴۹۶ | ۰٫۹۴۶۵۰۲۲۴۴۰ |  | ۳٫۲۲۹۸۹۱۴۲۳ | ۱٫۰۲۸۱۰۶۳۷۱ |
| ۱۲ | دوازده‌ضلعی منتظم | 6+3√3 | ۱۱٫۱۹۶۱۵۲۴۲ | ۳ | ۳٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ | ۰٫۹۵۴۹۲۹۶۵۸۶ | 12(2-√3) | ۳٫۲۱۵۳۹۰۳۰۹ | ۱٫۰۲۳۴۹۰۵۲۳ |
| ۱۳ | سیزده‌ضلعی منتظم |  | ۱۳٫۱۸۵۷۶۸۳۳ |  | ۳٫۰۲۰۷۰۰۶۱۷ | ۰٫۹۶۱۵۱۸۸۶۹۴ |  | ۳٫۲۰۴۲۱۲۲۲۰ | ۱٫۰۱۹۹۳۲۴۲۷ |
| ۱۴ | چهارده‌ضلعی منتظم |  | ۱۵٫۳۳۴۵۰۱۹۴ |  | ۳٫۰۳۷۱۸۶۱۷۵ | ۰٫۹۶۶۷۶۶۳۸۵۹ |  | ۳٫۱۹۵۴۰۸۶۴۲ | ۱٫۰۱۷۱۳۰۱۶۱ |
| ۱۵ | پانزده‌ضلعی منتظم |  | ۱۷٫۶۴۲۳۶۲۹۱ |  | ۳٫۰۵۰۵۲۴۸۲۲ | ۰٫۹۷۱۰۱۲۲۰۸۸ |  | ۳٫۱۸۸۳۴۸۴۲۶ | ۱٫۰۱۴۸۸۲۸۲۴ |
| ۱۶ | شانزده‌ضلعی منتظم |  4 (1+√2+√2 (2+√2)) | ۲۰٫۱۰۹۳۵۷۹۷ | 4√2-√2 | ۳٫۰۶۱۴۶۷۴۶۰ | ۰٫۹۷۴۴۹۵۳۵۸۴ |  16 (1+√2)(√2 (2-√2)-۱) | ۳٫۱۸۲۵۹۷۸۷۸ | ۱٫۰۱۳۰۵۲۳۶۸ |
| ۱۷ | هفده‌ضلعی منتظم |  | ۲۲٫۷۳۵۴۹۱۹۰ |  | ۳٫۰۷۰۵۵۴۱۶۳ | ۰٫۹۷۷۳۸۷۷۴۵۶ |  | ۳٫۱۷۷۸۵۰۷۵۲ | ۱٫۰۱۱۵۴۱۳۱۱ |
| ۱۸ | هجده‌ضلعی منتظم |  | ۲۵٫۵۲۰۷۶۸۱۹ |  | ۳٫۰۷۸۱۸۱۲۹۰ | ۰٫۹۷۹۸۱۵۵۳۶۱ |  | ۳٫۱۷۳۸۸۵۶۵۳ | ۱٫۰۱۰۲۷۹۱۸۱ |
| ۱۹ | نوزده‌ضلعی منتظم |  | ۲۸٫۴۶۵۱۸۹۴۳ |  | ۳٫۰۸۴۶۴۴۹۵۸ | ۰٫۹۸۱۸۷۲۹۸۵۴ |  | ۳٫۱۷۰۵۳۹۲۳۸ | ۱٫۰۰۹۲۱۳۹۸۴ |
| ۲۰ | بیست‌ضلعی منتظم |  5 (1+√5+√5+2√5) | ۳۱٫۵۶۸۷۵۷۵۷ | 5/2 (√5-1) | ۳٫۰۹۰۱۶۹۹۴۴ | ۰٫۹۸۳۶۳۱۶۴۳۰ |  20 (1+√5-√5+2√5) | ۳٫۱۶۷۶۸۸۸۰۶ | ۱٫۰۰۸۳۰۶۶۶۳ |
| ۱۰۰ | صدضلعی منتظم |  | ۷۹۵٫۵۱۲۸۹۸۸ |  | ۳٫۱۳۹۵۲۵۹۷۷ | ۰٫۹۹۹۳۴۲۱۵۶۵ |  | ۳٫۱۴۲۶۲۶۶۰۵ | ۱٫۰۰۰۳۲۹۱۱۷ |
| ۱۰۰۰ | هزارضلعی منتظم |  | ۷۹۵۷۷٫۲۰۹۷۵ |  | ۳٫۱۴۱۵۷۱۹۸۳ | ۰٫۹۹۹۹۹۳۴۲۰۰ |  | ۳٫۱۴۱۶۰۲۹۸۹ | ۱٫۰۰۰۰۰۳۲۹۰ |
| ۱۰۰۰۰ | ده‌هزارضلعی منتظم |  | ۷۹۵۷۷۴۶٫۸۹۳ |  | ۳٫۱۴۱۵۹۲۴۴۸ | ۰٫۹۹۹۹۹۹۹۳۴۵ |  | ۳٫۱۴۱۵۹۲۷۵۷ | ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۳۳ |
| ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ | میلیون‌ضلعی منتظم |  | ۷۹٬۵۷۷٬۴۷۱٬۵۴۵٫۶۸۵ |  | ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۴ | ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ |  | ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۴ | ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰ |
در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.