دایره

برای دیگر کاربردها، دایره (ابهام‌زدایی) را ببینید.
| دایره | دایره |
| --- | --- |
یک دایره   محیط C   قطر D   شعاع R   مرکز O: یک دایره   محیط C   قطر D   شعاع R   مرکز O
نوع: مقطع مخروطی
گروه تقارن: O(2)
مساحت: πR2
| 0 | 1 |
| --- | --- |
از سلسله مقالاتی دربارهٔ مقاطع مخروطی: از سلسله مقالاتی دربارهٔ مقاطع مخروطی
: 
سهمی: سهمی
معادله:  y^{2}=4ax\,
گریز از مرکز ( e):  1\,
نیم‌راست‌وتر کانونی ( l):  2a\,
 :  
هذلولی: هذلولی
معادله:  {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1
گریز از مرکز ( e):  {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}
نیم‌راست‌وتر کانونی ( l):  {\frac {b^{2}}{a}}
 :  
بیضی: بیضی
معادله:  {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1
گریز از مرکز ( e):  {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}
نیم‌راست‌وتر کانونی ( l):  {\frac {b^{2}}{a}}
 :  
دایره (حالت خاص بیضی): دایره (حالت خاص بیضی)
معادله:  x^{2}+y^{2}=a^{2}\,
گریز از مرکز ( e):  0
نیم‌راست‌وتر کانونی ( l):  a
 :  
 •  •  • :  •  •  • 
ن ب و: ن ب و
در هندسه، دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود.
همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.
دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره (یا قرص)، روی دایره (یا محیط)، و بیرون دایره.
نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی  (\pi ) نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. ارشمیدس روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و غیاث‌الدین جمشید کاشانی هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند.
همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ مربعِ شعاع دایره در عدد پی.
دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.
فلاسفهٔ یونان باستان (به پیروی از فیثاغوری‌ها و افلاطون) معمولاً مدل زمین‌مرکزی را با مدلی مبنی بر کروی بودن زمین درمی‌آمیختند و بر این باور بودند که زمین کره‌ای است در مرکز جهان و افلاک در دایره‌هایی به دور زمین در گردشند. بطلمیوس با ابداع دایره‌هایی به عنوان فلک تدویر و فلک حامل نظامی ارائه داد که ساختار هستی را بر اساس دایره توجیه کند. کوپرنیک هم با ارائهٔ نظریهٔ خورشیدمرکزی‌اش ساختار جهان را متشکل از دایره‌هایی به گرد خورشید دانست. در نهایت کپلر اعلام کرد که مسیر گردش سیارات به شکل بیضی و نه دایره است و نیوتن شرایطی را مشخص کرد که تحت آن مسیر حرکت دایره‌ای به یکی دیگر از مقاطع مخروطی بدل می‌شود.
دایره کامل‌ترین شکل هندسی دانسته می‌شود و در فناوری، هنر، دین، و فرهنگ اهمیتی عمده داشته‌است.
پرگار (که ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف آن با مرکز و شعاع [تعریف اقلیدسی] است) و خط‌کش، تنها ابزار مجاز در هندسه اقلیدسی‌اند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. تربیع دایره، تثلیث زاویه، و تضعیف مکعب سه مسئلهٔ دشوار و مهمی بودند که در طول تاریخ هندسه‌دانان را درگیر خود کردند. در قرن نوزدهم پیر ونزل و فردیناند فون لیندمن ثابت کردند که این مسائل غیرممکنند.