stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
هرمن بادییو
معاون شهردار شهر نیویورک

بادییو در ۳۱ دسامبر ۱۹۷۷ از کنگره استعفا داد تا تحت شهر دار نیویورک اد کاچ، معاون شهردار نیویورک شود، سمتی که وی تا سپتامبر ۱۹۷۹ در آن خدمت کرد. بادییو یکی از هفت معاون-شهرداری بود که کوچک در طول نخستین دوره خدمت خود به عنوان شهردار، گماشته بود. وی در کنار باسیل پترسون خدمت کرد. هنگام خدمت به عنوان معاون شهردار، بادییو امور روابط کارگران و رسیدگی به اجتماع را برای کاچ مدیریت می‌کرد. بادییو به دلیل یک اختلاف نظر بزرگ با شهردار کوچ بخاطر عدم حمایت شهردار از برنامه‌های وی برای احیای مجدد برانکس جنوبی، از سمت معاون شهردار کنار رفت. بعضی‌ها می‌گویند که بابیو با استعفا دادن از سمت خود در کنگره بخاطر خدمت تحت شهردار کاچ، اشتباهی بزرگی را مرتکب شد.
حرفه پسا سیتی-هال و کارزار برای سرحسابدار ایالتی

پس از ترک سیتی-هال، بادییو به عنوان یک وکیل مدافع در شهر نیویورک خدمت کرد. در انتخابات درون-حزبی ۱۹۸۲ دموکرات‌ها برای کرسی فرمانداری میان ماریو کومو و کاچ، وی از کومو حمایت نمود. کومو در اواخر ۱۹۸۳ میلادی بادییو را به عنوان رئیس اداره وام مسکن ایالت نیویورک گماشت. در ۱۹۸۵ میلادی، بادییو بار دیگر تلاش نمود تا در انتخابات مقدماتی شهرداری دموکرات‌ها با کاچ مبارزه نماید. انتخابات شهرداری ۱۹۸۵ عواقب سیاسی مهمی برای شهر نیویورک داشت. بادییو در انتخابات ۱۹۸۶ میلادی نامزد دموکرات برای کرسی سرحسابدار ایالت نیویورک بود، اما این انتخابات را به متصدی جمهوری‌خواه ادوارد ریگان واگذار کرد. در جریان این سالها، بادیو در سیاست‌های مرتبط با ریاست جمهوری نیز فعال بود و در انتخابات مقدماتی دموکرات‌ها در ۱۹۸۴ میلادی از آلن کرانستون و در انتخابات ۱۹۸۸ از مایکل دوکاکیس حمایت کرد.
کارزار سرحسابدار شهر

در ۱۹۹۳ میلادی، بادییو که هنوز دموکرات بود، با ستاد انتخاباتی شهرداری نامزد جمهوری‌خواه رودی جولیانی همراه شده و به‌طور فیوژن (مشترک) برای سمت سرحسابدار شهر نیویورک وارد کارزار انتخاباتی شد. وی تلاش نمود تا نامزد دموکرات برای این سمت شود، اما پس از آلان هوسی و متصدی سرحسابدار الیزابت هولتزمن، در رده سوم قرار گرفت.
آیزنگارد

| 0 | 1 |
| --- | --- |
مکانی در رشته‌افسانه‌های‌ جی.آر.آر. تالکین: مکانی در رشته‌افسانه‌های‌ جی.آر.آر. تالکین
برج اورتانک، در مرکز آیزنگارد: برج اورتانک، در مرکز آیزنگارد
نام‌های دیگر: آنگرنوست، نان کورونیر، واله جادوگر
شرح: قلعه ساخته شده برای محافظت از شکاف روهان
مکان: آیزنگارد
زمان: دوران دوم – دوران چهارم
بنیان‌گذار: گاندور در زمان ایسیلدور
ارباب: سارومان
کتاب‌(ها): ارباب حلقه‌ها: یاران حلقه (کتاب)  ارباب حلقه‌ها: دو برج (کتاب)  ارباب حلقه‌ها: بازگشت پادشاه (کتاب)  سیلماریلیون  تاریخچه سرزمین میانه  افسانه‌های ناتمام
آیزنگارد (به زبان سینداری، قلعه بزرگ) در دنیای خیالی جان رونالد روئل تالکین مکانی از سرزمین میانی می‌باشد.
ادبیات

در تاریخ سرزمین میانه، تالکین می‌گوید که آیزنگارد در دوره دوم در اطراف برج اورتانک توسط نومه‌نوری‌های در تبعید در گوشهٔ شمال غربی روهان ساخته شده‌است.
رودخانه آنگرن (یا آیزن) در پشت آیزنگارد، که همچنین دیوار شمالی با آن تشکیل می‌شود آغاز می‌شود. سه ضلع دیگر توسط یک دیوار بزرگ، شناخته شده به عنوان حلقه آیزنگارد، که فقط توسط جریان رودخانه آنگرن در شمال شرق از طریق یک ورودی شکسته شده و دروازه آیزنگارد در جنوب، در هر دو ساحل محافظت می‌شد.
آیزنگارد پیش از پلید شدن سارومان به رنگ سبز و دلپذیر با بسیاری از درختان بزرگ و زمین‌های سرسبز بود.
ادبیات > سپر دست سفید از آیزنگارد

در طول جنگ حلقه، آیزنگارد پایگاه سارومان برای عملیات علیه روهان بود، و آن را با قطع درختان به دره‌ای پلید تبدیل کرد. دره آیزنگارد با چاله‌های عمیق، برای پرورش اوروک‌ها استفاده می‌شد. سارومان آیزنگارد را خانهٔ اورک‌ها برای حمله به روهان تبدیل کرده بود. در نهایت یک ارتش از انتها به رهبری چوب ریش از فنگورن به تشویق هابیت‌هایی به نام مریادوک برندی‌باک و پره‌گرین توک به آیزنگارد حمله کردند.
در طول دوران چهارم آیزنگارد، دوباره بازسازی شد و کل دره به انتها اعطا شد.
ادبیات > سپر دست سفید از آیزنگارد > آرمور و نمادها

اورک‌های آیزنگارد بر سپرشان نماد دست سپید در یک زمینه سیاه، و در کلاه خودشان یک s سفید () به معنی سارومان حک شده‌است.
اورتانک

اورتانک برج سیاه و سفید آیزنگارد، به معنی «نیش کوه» در سیندارین و «حیله‌گری ذهن» در زبان انگلیسی قدیم می‌باشد.
اورتانک بر اساس رشته‌افسانه‌های جان رونالد روئل تالکین، در پایان دوران دوم توسط مردان گاندور از چهار ستون چند وجهی از سنگ با یک فرایند ناشناخته ساخته شده‌است؛ و با هیچ سلاح شناخته شده‌ای نمی‌توان به آن آسیب رساند اگر چه انتها در جریان اتحاد دو برج با پرتاب قطعه سنگ‌هایی توانستند خراش‌هایی بر رو آن ایجاد کنند. اورتانک تا بیش از ۱۵۰ متر بالاتر از دشت آیزنگارد ارتفاع داشت.
در اورتانک یکی از گوی‌های جهان بین قرار داشت.
سارومان در طول جستجوی خود را برای حلقه و بعد از حمله به روهان در طول جنگ حلقه آن را پایگاه خود عملیات ساخته شده‌است.
سپر دست سپید آیزنگارد
چدرک

مکان
| چدرک | چدرک |
| --- | --- |
روستا: روستا
محل : محل 
مختصات: : مختصات: 
استان: سیستان و بلوچستان
شهرستان: نیک‌شهر
بخش: بنت
دهستان: دستگرد
جمعیت: ۶۳ نفر (سرشماری ۹۵)
چدرک، روستایی در دهستان دستگرد بخش بنت شهرستان نیک‌شهر در استان سیستان و بلوچستان ایران است.
جمعیت

بر پایه سرشماری عمومی نفوس و مسکن در سال ۱۳۹۵، جمعیت این روستا برابر با ۶۳ نفر (۱۶ خانوار) بوده است.
اشنایدر الکتریک

| 0 | 1 |
| --- | --- |
نوع: اس.ای.
ISIN: FR0000121972 
صنعت: تجهیزات الکتریکی
بنا نهاده: ۱۸۳۶
بنیانگذاران: جوزف اوژن اشنایدر
دفتر مرکزی: روی ملمزون، فرانسه
محدودهٔ فعالیت: جهانی
مدیر عامل اجرایی: ژان-پاسکال تریکو
رئیس هیئت مدیره: هنری لاکمان
محصولات: حسگرها کنترلگرهای موتور کنترل‌کننده منطقی برنامه‌پذیر منبع تغذیه بدون وقفه مدارشکن قدرت
درآمد:  ۲۷٫۲ میلیارد یورو (۲۰۱۹)
سود خالص:  ۲٫۴ میلیارد یورو (۲۰۱۹)
مجموع دارایی:  ۴۵ میلیارد یورو (۲۰۱۹)
تعداد کارکنان: ۱۳۵،۰۰۰ نفر (۲۰۱۹)
شرکت‌های وابسته: ای‌پی‌سی اشنایدر الکتریک اینونسیس
وبگاه: www.se.com
اشنایدر الکتریک (به انگلیسی: Schneider Electric) شرکت تجهیزات الکتریکی چندملیتی فرانسوی است، که در زمینهٔ مهندسی برق و تولید تجهیزات الکترونیکی و الکتریکی، همچنین تولید تجهیزات تولید، توزیع و انتقال انرژی الکتریکی فعالیت می‌کند.
شرکت اشنایدر الکتریک در سال ۱۸۳۶ توسط جوزف اوژن اشنایدر و آدولف اشنایدر تأسیس شد. دفتر مرکزی این شرکت در شهر روی ملمزون، فرانسه قرار دارد و بخشی از سهام آن در بازار بورس یورونکست معامله می‌شود.
هویتسرک

هویتسرک (هویتسرکر، "پیراهن سفید") یکی از پسران افسانه ای قرن نهمی دانمارکی، راگنار لوتبروک و همسرش اسلاگ بود. قصه پسران راگنار (Ragnarssona þáttr) شاهد وجود داشتن اوست. در هر منبعی که از هالفدان راگنارسون، یکی از رهبران ارتش بزرگ هیتن که به پادشاهی آنگلیای شرقی در سال ۸۶۵ حمله کرد، نامی آمده باشد، هیچ اثری از نام هویتسرک به چشم نمی‌خورد، همین موضوع سبب شده تا محققان متصور شوند این دو در واقع یک نفر هستند و هویتسرک لقب هلفدان بوده‌است.
پس از اینکه با برادران خود انتقام پدرشان را گرفتند، او به رفت گارداریکی رفت. هویتسرک همچنین در کنار روس‌ها به تاخت‌وتاز پرداخت. با این وجود دشمن بسیار قدرتمندی برای خود تراشید که یارای پیروزی برابر او را نداشت. هنگامی که از او پرسیدند چگونه آرزو دارد بمیرد، او تصمیم گرفت که زنده‌زنده بر روی تلی از بقایای نفرات سوزانده شود.
مورخ اوکراینی لئونتی ویتویچ می‌گوید هویتسرک احتمالاً نام مستعار کیوان شاهزاده آسکولد بوده.
شبکه هیستوری، در درام تاریخی وایکینگها او را (با بازی مارکو ایلسه) به عنوان یکی از پسران راگنار و اسلاگ معرفی می‌کند.
کمبریج، نیوزیلند

مکان در Waikato
| کمبریج، نیوزیلند | کمبریج، نیوزیلند |
| --- | --- |
شهر: شهر
کمبریج، نیوزیلندموقعیت کمبریج، نیوزیلند در نقشه: کمبریج، نیوزیلندموقعیت کمبریج، نیوزیلند در نقشه
مختصات: ۳۷°۵۳′ جنوبی ۱۷۵°۲۸′ شرقی﻿ / ﻿۳۷٫۸۸۳°جنوبی ۱۷۵٫۴۶۷°شرقی﻿ / -37.883; 175.467: مختصات: ۳۷°۵۳′ جنوبی ۱۷۵°۲۸′ شرقی﻿ / ﻿۳۷٫۸۸۳°جنوبی ۱۷۵٫۴۶۷°شرقی﻿ / -37.883; 175.467
Region: Waikato
Territorial authority: Waipa District
جمعیت (June 2013 estimate): جمعیت (June 2013 estimate)
 • کل: ۱۷۳۰۰
کمبریج، نیوزیلند (به لاتین: Cambridge, New Zealand) یک شهرک در نیوزیلند است که در وایکاتو واقع شده‌است.
چندوجهی

شکلی سه بعدی با وجوه چندضلعی، اضلاع صاف و رئوس تیز
| 0 | 1 |
| --- | --- |
 دوازده‌وجهی (جسم افلاطونی):  دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک (چندوجهی کپلر–پوآنسو)
  بیست‌دوازده‌وجهی (جسم ارشمیدسی):  گنبد پنج‌ضلعی (گنبد)
 سی لوزوجهی (جسم کاتالان):  گرد پنج‌ضلعی (جسم جانسون)
چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.
چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.
به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.
چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.
تعاریف > زوایا

هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:
زاویه مسطحه: به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
زاویه فضایی:به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
زاویه دووجهی:به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.
تعاریف > سطح چندوجهی

«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوماً فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.
اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.
مفاهیم دیگر > محدب بودن

چندوجهی محدب چندوجهی‌ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:
برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.
چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.
مفاهیم دیگر > اسکلت

رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.
اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
مفاهیم دیگر > تور

:
آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟
(مسائل حل‌نشده بیشتر در ریاضیات)
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرف‌ها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چندوجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.
در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
خواص توپولوژیکی

خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.
خواص توپولوژیکی > توپولوژی رویه

تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.

تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر توپولوژیکی یک چنبره است.
رویه یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.
در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.
از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه‌ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه‌ای به شکل چنبره است.
خواص توپولوژیکی > طبقه‌بندی توپولوژیکی

برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت‌دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت‌ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ‌آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.
خواص توپولوژیکی > مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر

مقالهٔ اصلی: مشخصه اویلر
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی ( \chi \,) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
که V, E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.
قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
| نام | تصویر | خانواده | رأس‌ها V | اضلاع E | وجه‌ها F | مشخصهٔ اویلر: V − E + F |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| چهاروجهی منتظم |  | اجسام افلاطونی | ۴ | ۶ | ۴ | ۲ |
| چهاروجهی بریده شده |  | اجسام ارشمیدسی | ۱۲ | ۱۸ | ۸ | ۲ |
| دوازده‌مثلث وجهی |  | اجسام کاتالان | ۸ | ۱۸ | ۱۲ | ۲ |
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.
مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره‌ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره‌ای را بیان می‌کند:
| نام | تصویر | خانواده | رأس‌ها V | اضلاع E | وجه‌ها F | مشخصهٔ اویلر: V − E + F |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| دوازده وجهی بزرگ |  | ستاره‌ای منتظم (کپلر-پوآنسو) | ۱۲ | ۳۰ | ۱۲ | ۶- |
| بیست دوازده وجهی بزرگ |  | ستاره‌ای شبه منتظم | ۳۰ | ۶۰ | ۳۲ | ۲ |
| بیست دوازده دوازده وجهی اسناب |  | ستاره‌ای نیمه منتظم | ۶۰ | ۱۸۰ | ۱۰۴ | ۱۶- |
خواص توپولوژیکی > چندوجهی چنبرواری

چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک چنبروار نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک منیفولد را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل چنبره (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با V − E + F = ۲ − ۲N می‌باشد.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > تعداد وجوه

چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نام‌گذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نام‌گذاری می‌گردند.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > شکل گوشه‌ها

برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > شکل گوشه‌ها > نماد رأس

نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی‌کاری به عنوان دنباله‌ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.
نماد راس به عنوان دنباله‌ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
| 0 | 1 |
| --- | --- |
 بیست دوازده وجهی:  شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل ۳٫۵٫۳٫۵ یا ۲(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل ۲(۳٫۵) نمایش داد.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > شکل گوشه‌ها > پیکربندی وجه

دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا ۲(۳٫۴)V است.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > زاویه داخلی چندوجهی

چندوجهی‌ها از چندضلعی‌های منتظم درست شده اند. چندوجهی‌ها مثل چندضلعی‌ها زاویه داخلی و خارجی دارند.
زاویه داخلی چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوه و اضلاع راس بدست می‌آید.
مثلا چهاروجهی چهار تا مثلث متساوی الاضلاع دارد و اندازه زاویه داخلی وجه آن 60 درجه است و مجموع زاویه داخلی آن برابر با180درجه است.ولی چهاروجهی مجموع زاویه داخلی فضایی‌اش برابر با720 درجه است.
پس مجموع زاویه داخلی و اندازه زاویه داخلی به ترتیب بر این اساس نوشته می‌گردد.
180n[(n'-2)]
{\frac {180}{n'}}n[(n'-2)]
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > حجم

جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده‌ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی‌السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.
حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده‌ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچک‌تر، حجم این چندوجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چندوجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.
به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود: {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,
که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است،  Q_{F} نقطه‌ای دلخواه روی وجه F بوده،  N_{F} بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > مساحت

جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام مساحت هم هستند که میزان سطح رویه وجه های چندوجهی را محاسبه و اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای مساحت خود داشته باشند. به عنوان مثال،مساحت اهرام، منشورها و متوازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.اما چندوجهی ها به دلیل انواع زیادشان ممکن است مساحت پیچیده داشته باشند.(مثل مساحت چندضلعی ها)
مساحت چندوجهی های منتظم دارای مساحت رویه هستند.وجه‌های چندوجهی منتظم،چندضلعی منتظم است.چندوجهی های ثابت مثل منشور٬هرم٬متوازی‌السطوح مساحت های ثابتی دارند.هرم ها و منشورهای چندوپهلو نیز بر اساس مساحت منشور بدست می‌آید اما چون قاعده منشور٬چندضلعی منتظم می‌باشد٬براساس مجموع مساحت چندضلعی و مساحت جانبی منشور(محیط چندضلعی×ارتفاع)بدست می‌آید.
مساحت چندوجهی: n[{\frac {1}{4}}n'a^{2}cot({\frac {\pi }{n'}})].
nدر اینجا تعداد وجه و'nتعداد ضلع چندضلعی است عددπدر اینجا برحسب رادیان است
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > نماد اشلفلی

مقالهٔ اصلی: نماد اشلفلی
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.
چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.
نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.
چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > نماد اشلفلی > نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم

کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
| شکل | نمادهای اشلفلی | نمادهای اشلفلی | نمادهای اشلفلی | تقارن | نمودار کاکسیتر-دینکین | نمودار کاکسیتر-دینکین | مثال، {۴٬۳} | مثال، {۴٬۳} | مثال، {۴٬۳} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| منتظم |  {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}} | {p,q} | {t0{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |    |    |  | مکعب |   |
| بریده شده |  t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}} | {t{p,q | {t0,1{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |    |    |  | مکعب بریده شده |  |
| دوبریده (بریده دوگان) |  t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}} | {2t{p,q | {t1,2{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |  |  |  | هشت وجهی بریده شده |  |
| اصلاح شده  (بریده شده تا وسط یال‌ها) |  {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}} | {r{p,q | {t1{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |  |  |  | مکعب هشت وجهی |  |
| دو بریده کامل (دوگان منتظم) |  {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}} | {2r{p,q | {t2{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |  |  |  | هشت وجهی |  |
| گسترش داده شده (اصلاح شده اصلاح شده) |  r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}} | {rr{p,q | {t0,2{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |  |  |  | لوز مکعب هشت وجهی |  |
| همه بریده (بریده اصلاح شده) |  t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}} | {tr{p,q | {t0,1,2{p,q | [p,q] یا [(p,q,2)] |  |  |  | مکعب هشت وجهی بریده شده |  |
| اسناب شده |  s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}} | {sr{p,q | {ht0,1,2{p,q | [p,q]+ |  |  |  | مکعب اسناب |  |
ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر > ناوردای دن

در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی اقلیدسی با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.
یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را مفروش می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.
تقارن

بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.
گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.