ذره در یک شبکه یک بعدی
ذره در یک شبکه یک بعدی > مدل کرونیگ-پنی: راه حل جایگزین

یک روش جایگزین برای یک مسئله مشابه ارائه شده است. در اینجا، ما یک پتانسیل دلتا دوره‌ای داریم:
V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).
A یک ثابت است و a ثابت شبکه (فاصله بین هر سایت) است. از آنجایی که این پتانسیل دوره‌ای است، می‌توانیم آن را به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:
V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},
جایی که
{\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.
تابع موج با استفاده از قضیه بلوخ برابر با   \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)است، جایی که u_{k}(x) یک تابع است که در شبکه دوره‌ای است، به این معنا که می‌توانیم آن را همچنین به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:
u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.
بنابراین تابع موج به صورت زیر است:
\psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.
اگر این را در معادله شرودینگر قرار دهیم، به دست می‌آید:
\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0
و یا به جای:
\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0
حالا متوجه می‌شویم که:
u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')
این را در معادله شرودینگر قرار دهید:
\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0
این را برای {\tilde {u}}_{k}(K)  حل کردیم و به دست آوردیم:
{\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)
این معادله آخر را برای همه مقادیر  K  جمع کنیم تا به دست آوریم:
\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)
یا
u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)
به راحتی،  u_{k}(0) ، از بین می‌رود و به دست می‌آید:
1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}
یا
{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}
برای صرفه‌جویی در تلاش‌های  بی‌مورد، یک متغیر جدید تعریف می‌کنیم:
\alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}
و سرانجام عبارت ما به صورت زیر خواهد بود:
{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}
حالا،  K  یک بردار شبکه متقابل است، که به این معناست که یک جمع بر  K  در واقع یک جمع بر اعداد صحیح ضرب‌شده در {\frac {2\pi }{a}} است.
{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}
می‌توانیم این عبارت را کمی بازی کرده و جذاب‌تر کنیم.
{\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}
اگر از یک هویت جذاب مربوط به جمع تابع  کوتانژانت استفاده کنیم که می‌گوید:
\cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}
و این هویت را در عبارت ما جایگذاری کنیم به دست می‌آید:
{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]
ما از جمع cot استفاده کرده و سپس حاصلضرب sin (که جزو فرمول جمع cot است) را به دست می‌آوریم: \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)
این معادله ارتباطی بین انرژی (از طریق α و بردار موج  k  را نشان می‌دهد و همانطور که مشاهده می‌شود، از آنجایی که سمت چپ معادله فقط می‌تواند از -1 تا 1 تغییر کند، بنابراین برخی محدودیت‌ها بر روی مقادیری که α (و بنابراین انرژی) می‌تواند داشته باشد، وجود دارد. یعنی در برخی از دامنه‌های مقادیر انرژی، طبق این معادله، هیچ راه‌حلی وجود ندارد و بنابراین سیستم این انرژی‌ها را نخواهد داشت: گاف‌های انرژی. این گاف‌ها به نام گاف‌های باند شناخته می‌شوند که می‌توان نشان داد که در هر شکلی از پتانسیل دوره‌ای (نه فقط حاجب‌های دلتا یا مربعی) وجود دارد. برای یک محاسبه مختلف و دقیقتر از فرمول گاف (یعنی برای گاف بین باندها) و تقسیم سطوح مقادیر ویژه معادله شرودینگر یک بعدی، به مولر-کیرستن مراجعه کنید.
==    شبکه محدود ==در برخی موارد، معادله شرودینگر می‌تواند با استفاده از نظریه معادلات دیفرانسیل دوره‌ای به صورت تحلیلی بر روی یک شبکه یک بعدی با طول محدود حل شود. طول شبکه فرض می‌شود برابر با  L=Na باشد که a دوره پتانسیل و تعداد دوره‌ها  N یک عدد مثبت صحیح است. دو انتهای شبکه در  \tau و L+\tau   قرار دارند که τ نقطه پایان را مشخص می‌کند. تابع موج در خارج از بازه  [\tau ,L+\tau ] صفر است.
حالت های ویژه سیستم محدود را می توان بر حسب حالت های بلوخ یک سیستم نامتناهی با پتانسیل تناوبی یکسان یافت. اگر یک شکاف نواری بین دو باند انرژی متوالی سیستم بینهایت وجود داشته باشد، بین دو نوع حالت در شبکه محدود تمایز شدید وجود دارد. برای هر باند انرژی از سیستم بینهایت، N-1 وجود دارد حالت های توده ای که انرژی آنها به طول بستگی دارد, N اما نه در فسخ  \tau .این حالت ها امواج ایستاده ای هستند که به صورت برهم نهی از دو حالت بلوخ با لحظه ای ساخته شده اند  kو  -k جایی که kطوری انتخاب می شود که تابع موج در مرزها ناپدید شود. انرژی های این حالت ها با نوارهای انرژی منظومه بی نهایت مطابقت دارد.
برای هر شکاف باند، یک حالت اضافی وجود دارد. انرژی این حالت ها به نقطه پایان بستگی دارد  \tau  اما نه در طول N ،انرژی چنین حالتی می تواند در لبه باند یا درون شکاف باند قرار گیرد. اگر انرژی در داخل شکاف نواری باشد، حالت حالت سطحی است که در یک انتهای شبکه محلی شده است، اما اگر انرژی در لبه نوار باشد، حالت در سراسر شبکه غیرمکانی شده است.
↑  Electromagnetic
↑  Bloch, Felix (1929). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (in German). Springer Science and Business Media LLC. 52 (7–8): 555–600. Bibcode:1929ZPhy...52..555B. doi:10.1007/bf01339455. ISSN 1434-6001. S2CID 120668259.
↑  "Quantum mechanics of electrons in crystal lattices". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (به انگلیسی). 130 (814): 499–513. 1931-02-03. doi:10.1098/rspa.1931.0019. ISSN 0950-1207.
↑  Singh, Surjit (1983-02-01). "Kronig–Penney model in reciprocal lattice space". American Journal of Physics (به انگلیسی). 51 (2): 179–179. doi:10.1119/1.13321. ISSN 0002-9505.
↑  cotangent
↑  Harald J. W. Müller-Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed., World Scientific (Singapore, 2012), 325–329, 458–477.
↑  Eastham, M.S.P. (1973). The Spectral Theory of Periodic Differential Equations. Edinburgh, Scottish Academic Press.
↑  Ren, Shang Yuan (2017). Electronic States in Crystals of Finite Size: Quantum Confinement of Bloch Waves (2 ed.). Singapore, Springer.
1 2 3  Ren, Shang Yuan (2017). Electronic States in Crystals of Finite Size: Quantum Confinement of Bloch Waves (2 ed.). Singapore, Springer.


مقدار عبارتی که با آن cos(k a) در رابطه پراکندگی برابر می‌شود با P = 1.5. خطوط سیاه منطقه‌های آلفا را نشان می‌دهند که برای آنها می‌توان مقدار k را محاسبه کرد.
رابطه پراکندگی برای مدل کرونیگ-پنی، با P = 1.5.