اثر کاسیمیر
اشتقاق اثر کازیمیر با فرض تنظیم تابع زتا

در محاسبه اصلی کازیمیر،فاصله بین یک جفت صفحات فلزی با فاصله الفا در نظر گرفته شده‌است.در این حالت،محاسبه امواج ایستاده بسیار آسان است،زیرا اجزای عرضی میدان الکتریکی و مؤلفه طبیعی میدان مغناطیسی باید در سطح یک هادی از بین بروند.با فرض اینکه صفحات به موازات صفحه xy قرار دارند،امواج ایستاده به صورت زیر هستند:
 \psi _{n}(x,y,z;t)=e^{-i\omega _{n}t}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}\sin(k_{n}z)
جایی که  \psi  مخفف عنصر الکتریکی میدان الکترومغناطیسی است و برای کوتاه بودن،قطبش و اجزای مغناطیسی در اینجا نادیده گرفته می‌شود.در اینجا،  k_{x} and  k_{y} عدد موج در جهت های موازی با صفحه ها هستند و عبارت ریاضی
 k_{n}={\frac {n\pi }{a}}
عدد موج عمود بر صفحات است.در اینجا، n یک عدد صحیح است،که ناشی از شرطی است که ψ بر روی صفحات فلزی ناپدید شود.فرکانس این موج به صورت زیر است:
 \omega _{n}=c{\sqrt {{k_{x}}^{2}+{k_{y}}^{2}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}}
جایی که c سرعت نور است.در نتیجه انرژی خلاء در کل،تمام حالت‌های تحریک ممکن است.از آنجا که مساحت صفحات بزرگ است،ممکن است با ادغام بیش از دو بعد در فضای k خلاصه شویم. فرض شرایط مرزی دوره ای به صورت زیر است :
 \langle E\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\cdot 2\int {\frac {Adk_{x}dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}
جایی که A مساحت صفحات فلزی است و یک عامل 2 برای دو قطبش احتمالی موج معرفی می‌شود.این عبارت کاملاً نامتناهی است و برای ادامه محاسبه برای معرفی یک تنظیم کننده راحت است (در مورد جزئیات بیشتر در زیر بحث شده‌است).تنظیم کننده در خدمت تنظیم دقیق بیان است و در آخر حذف می‌شود.نسخه تنظیم شده زتا از انرژی در واحد سطح بشقاب به صورت زیر است:
 {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=\hbar \int {\frac {dk_{x}dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\vert \omega _{n}\vert ^{-s}.
در پایان،حد مجاز  s\to 0 است.در اینجا فقط یک عدد پیچیده وجود دارد که نباید با شکلی که قبلاً مورد بحث قرار گرفته اشتباه گرفته شود.این انتگرال / جمع برای s واقعی و بزرگتر از 3 محدود است.جمع دارای قطب در s = 0 است،اما ممکن است به صورت تحلیلی به s = 0 ادامه یابد،در جایی که بیان متناهی باشد.عبارت فوق به این شرح ساده می‌شود:
 {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}={\frac {\hbar c^{1-s}}{4\pi ^{2}}}\sum _{n}\int _{0}^{\infty }2\pi qdq\left\vert q^{2}+{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}\right\vert ^{(1-s)/2},
که در آن مختصات قطبی  q^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2} برای تبدیل انتگرال دوگانه به یک انتگرال واحد معرفی شده‌است.
 q در جلو جاکوبیتن می باشد و math>2\pi</math> از یکپارچه‌سازی زاویه‌ای ناشی می‌شود.اگر انتگرال در صورت Re[s]> 3 همگرا شود،در نتیجه
 {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}}}{\frac {1}{3-s}}\sum _{n}\vert n\vert ^{3-s}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}(3-s)}}\sum _{n}{\frac {1}{\left|n\right|^{s-3}}}.
مقدار جمع شده اس در همسایگی صفر است،اما اگر از بین بردن تحریکات با فرکانس بزرگ که مربوط به ادامه تحلیلی عملکرد Zemma Riemann به s = 0 است،فرض می‌شود که به طریقی از نظر جسمی معنا پیدا کند،پس به صورت
 {\frac {\langle E\rangle }{A}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{6a^{3}}}\zeta (-3).
اما
 \zeta (-3)={\frac {1}{120}}
شامل می‌شود :
 {\frac {\langle E\rangle }{A}}={\frac {-\hbar c\pi ^{2}}{720a^{3}}}.
به نوعی دقیقاً انرژی صفر (که در بالا گنجانده نشده‌است) خارج از شکاف بین صفحات است،اما در حرکت صفحات در یک سیستم بسته تغییر می‌کند.نیروی کازیمیر در واحد سطح  F_{c}/A برای صفحات ایده‌آل و کاملاً رسانا با خلاء بین آن‌ها به صورت زیر است:
 {F_{c} \over A}=-{\frac {d}{da}}{\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{240a^{4}}}
جایی که:
\hbar  (hbar, ħ) ثابت پلانک است.
c سرعت نور می‌باشد.
a فاصله بین صفحات است.
نیرو منفی است و این نشانگر جذابیت نیرو است با نزدیکتر شدن دو صفحه به یکدیگر،انرژی کم می‌شود.وجود  \hbar  نشان می‌دهد که نیروی کازیمیر در واحد سطح  F_{c}/A می‌باشد که بسیار ناچیز است و علاوه بر این،این نیرو ذاتاً از منشأ کوانتومی-مکانیکی است.
با ادغام معادله فوق می‌توان انرژی لازم برای جداسازی تا بینهایت دو صفحه را محاسبه کرد:
 U_{E}(a)=\int F(a)\,da=\int -\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{240a^{4}}}\,da
 U_{E}(a)=-\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{720a^{3}}}
جایی که
\hbar  (hbar, ħ) ثابت پلانک است.
c سرعت نور است.
A مساحت یکی از صفحات است.
a فاصله بین دو صفحه است.
توجه: در مشتق اصلی کازیمیر یک صفحه رسانا قابل جابه‌جایی با فاصله کوتاه از یکی از دو صفحه گسترده به صورت جدا از هم قرار گرفته است (فاصله L از هم فاصله دارد). انرژی 0 نقطه در هر دو طرف صفحه در نظر گرفته شده‌است.به جای فرض ادامه تحلیلی ad hoc میزان غیر همگرا و انتگرال‌ها با استفاده از جمع‌بندی اویلر-ماکلاورین با یک عملکرد منظم محاسبه می‌شوند (به عنوان مثال،تنظیم نمایی) نه چندان غیر عادی به عنوان  \vert \omega _{n}\vert ^{-s} می‌باشد.