تقسیم منصفانه
تعریف > منصفانه به چه معنی‌ست؟

اکثر آنچه معمولاً منصفانه تلقی می‌شود از لحاظ تئوری به دلیل استفاده از حاکم و داور این چنین نیست. این نوع موقعیت غالباً هنگامی رخ می‌دهد که تئوری‌های ریاضی از روی موقعیت‌های زندگی واقعی نام‌گذاری می‌شوند. تصمیمات درون تلمود در زمینهٔ حق مالکیت زمانی که یک ملک ورشکسته است نظرات پیچیده‌ای در مورد انصاف را بازتاب می‌نماید، و اکثر مردم نیز آن‌ها را منصفانه تلقی می‌کنند. با این حال، این مسائل بیش‌تر حاصل مناظرات قانونی مابین خاخامها هستند تا اختلافات مدعیان بر سر ارزش‌گذاری.
بر اساس تئوری ذهنی ارزش نمی‌توان برای ارزش هر قلم معیار عینی داشت. از همین رو انصاف عینی ممکن نیست، چرا که افراد مختلف ممکن است ارزش‌گذاری‌های متفاوتی برای هر قلم داشته باشند. آزمایش‌های تجربی در زمینهٔ تعریف مردم از انصاف به نتایج غیر قاطعی ختم می‌شود.
به همین سبب، بیش‌تر تحقیقات فعلی در مورد انصاف بر مفاهیم انصاف ذهنی تکیه دارند. فرض می‌شود که هر کدام از n نفر یک تابع مطلوبیت یا تابع ارزش شخصی و ذهنی دارند، Vi، که به هر زیرمجموعه از X یک ارزش عددی اختصاص می‌دهد. معمولاً این توابع نرمال شده به‌طوری‌که هر نفر به مجموعهٔ تهی ارزش صفر (Vi(Ø)=۰)، و به کل مجموعهٔ اقلام ارزش یک (Vi(X)=۱)، اگر تمام اقلام مطلوب بوده و ارزش ۱- اگر تمامی اقلام نامطلوب باشند، را اختصاص دهد. به عنوان نمونه:
اگر X مجموعه‌ای از اقلام غیرقابل تقسیم {پیانو، ماشین، آپارتمان} باشد، «آلیس» ممکن است به هر کدام ارزش ۳/۱ را بدهد، بدین معنا که هر قلم دقیقاً به اندازهٔ هر کدام از اقلام دیگر برای او ارزش دارد و مهم است. «باب» ممکن است تنها به زیرمجموعهٔ {ماشین، آپارتمان} ارزش یک را اختصاص بدهد، بدین معنا او می‌خواهد ماشین و آپارتمان را با هم به دست آورد، ماشین به تنهایی یا آپارتمان به تنهایی، یا هر کدام آن‌ها به همراه پیانو، برایش ارزشی ندارد.
اگر X یک کیک باریک دراز باشد (که بر بازهٔ [۰٬۱] مدل می‌شود)، ممکن است «آلیس» به هر زیرمجموعه متناسب با طولش ارزش دهد، که بدان معنی‌ست که او می‌خواهد کیک بیش‌تری نصیبش شود، بدون توجه به محتویات. «باب» ممکن است تنها به زیرمجموعه‌های بازهٔ [۰٫۶، ۰٫۴] ارزش اختصاص دهد، چرا که برای مثال این قطعه محتوی گیلاس است و «باب» تنها به گیلاس ارزش می‌دهد.
بر اساس این توابع ارزش ذهنی تعدادی معیار مورد استفاده برای یک تقسیم منصفانه وجود دارد. برخی از این معیارها با هم تناقض دارند اما اکثراً می‌توان آن‌ها را با یکدیگر ترکیب نمود. معیارهایی که در اینجا توضیح داده می‌شوند تنها برای زمانی قابل استفاده‌اند که هر فرد به مقدار مساوی حق داشته باشد:
یک تقسیم متناسب، که تقسیم منصفانهٔ ساده نیز نامیده می‌شود، بدین معنی‌ست که هر فرد حداقل سهم مقتضی خود را بر اساس تابع ارزش خود دریافت می‌کند. برای مثال اگر سه نفر یک کیک را تقسیم کنند، هر نفر با توجه به ارزش‌گذاری خود مقدار ۳/۱ را دریافت خواهد کرد، بدان معنا که هر کدام از n نفر زیرمجموعه‌ای از X را دریافت می‌کند که به آن حداقل ارزش 1/n را اختصاص می‌دهد:
برای هر i
Vi(Xi) ≥ 1/n
' یک تقسیم بدون رشک تضمین می‌کند که هیچ‌کس سهم فرد دیگری را بیش‌تر از سهم خود نمی‌خواهد، بدان معنا که هر فرد سهمی را به دست می‌آورد که حداقل به اندازهٔ سهم هر فرد دیگری به آن ارزش اختصاص می‌دهد:
به ازای هر i و j
(Vi(Xi) >= Vi(Xj
' یک تقسیم exact تقسیمی‌ست که تمامی افراد بر سر ارزش هر سهم اتفاق نظر دارند:
(Vi(Xi) = Vj(Xi
یک تقسیم equitable زمانی صورت می‌پذیرد که تمامی افراد به میزان مساوی احساس رضایت کنند، بدان معنی که میزان کیکی که هر بازی‌کن بر اساس ارزش‌گذاری خود دریافت می‌کند برای تمامی بازی‌کنان برابر است. این هدف مشکلی‌ست چرا که بازی‌کنان می‌بایست در مورد ارزش‌گذاری خود صادق باشند:
' (Vi(Xi) = Vj(Xj
زمانی که دریافت‌کنندگان معیارهای متفاوتی برای ارزش‌گذاری بخش‌های منبع داشته باشند، این امکان وجود دارد که به یک تقسیم «فوق منصفانه» (super fair) (تقسیمی که در آن هر نفر بیش از سهم مقتضی خود را دریافت می‌نماید) دست یابیم. برای مثال، در مسئلهٔ بریدن کیک، ممکن است کسی بیش‌تر به مارزیپان علاقه داشته باشد، کسی به گیلاس، و به همین ترتیب. در این صورت، و تنها در این صورت، امکان دارد هر کدام از n دریافت‌کننده حتی بیش از آنچه از نظرشان بر اساس ارزش‌گذاری شخصی‌شان 1/n ارزش کل کیک باشد را دریافت نمایند. از سوی دیگر، حضور معیارهای متفاوت پتانسیل زیادی را برای طرح سؤالات چالش‌برانگیز و مطالعات گسترده‌تر فراهم می‌آورد.
علاوه بر انصاف، بعضاً مطلوب است که تقسیم بهینهٔ پرتو باشد، بدان معنا که هیچ تخصیص دیگری وجود نداشته باشد که، بدون نامطلوب‌تر کردن سهم یک نفر، سهم فردی را مطلوب‌تر کند. مفهوم کارایی از ایدهٔ بازار کارا در اقتصاد می‌آید.
معیارها و ضوابط یک تقسیم منصفانه بر اساس ارزش‌گذاری هر بازی‌کن، میزان حق مالکیت او، و نتیجهٔ یک فرایند تقسیم منصفانه تعیین می‌گردند. توجه کنید که ارزش‌گذاری سایر بازی‌کنان در این معیارها نقشی ندارند. حق مالکیت‌های متفاوت را می‌توان با استفاده از تعداد بازی‌کنان نمایندهٔ متفاوت برای هر بازی‌کن نشان داد، اما بعضاً ضوابط چیز دیگری را مشخص می‌نمایند.
بعضی اوقات در دنیای واقعی بازی‌کنان دید دقیقی از ارزش‌گذاری سایر بازی‌کنان دارند و بسیار به آن اهمیت می‌دهند. در صورت وجود دانش مطلق مسئله را می‌توان با کمک نظریهٔ الگوریتمی بازی‌ها مدل کرد. مدل کردن دانش نسبی بسیار دشوار است.