چانه‌زنی
نظریه چانه‌زنی > بررسی یک مثال خاص (چانه زنی برای تقسیم یک کیک)

دو بازیکن  A,B با یکدیگر برای تقسیم کیکی با سایز  \pi >0 چانه می‌زنند. مجموعه توافق‌های ممکن آن‌ها به صورت  X=\{({{x}_{A}},{{x}_{B}}):0\leq {{x}_{A}}\leq \pi ,{{x}_{B}}=\pi -{{x}_{A}}\} می‌باشد به طوری که  {{x}_{A}},{{x}_{B}} به ترتیب، سهم فرد  A,B از کیک است.

برای هر  {{x}_{i}}\in [0,\pi ]، مطلوبیت فرد  i از به دست آوردن سهم  {{x}_{i}} از کیک برابر است با  {{U}_{i}}({{x}_{i}}). به طوری که  {{U}_{i}}:[0,\pi ]\to \mathbb {R}  (تابع مطلوبیت فرد  i) تابعی اکیداً صعودی و مقعر(concave) است.

اگر بازیکنان به توافق نرسند، آنگاه بازیکن  i مطلوبیتی به اندازه  {{d}_{i}} به دست خواهد آورد به طوری که  {{d}_{i}}\geq 0. همچنین توافق  x\in X وجود دارد که  {{U}_{A}}(x)>{{d}_{A}},{{U}_{B}}(x)>{{d}_{B}} است، تا مطمئن شویم یک توافق سودآور برای طرفین موجود است و این مسئله در قالب چانه زنی قرار دارد. زوج مطلوبیت  ({{d}_{A}},{{d}_{B}}) نقطه عدم توافق (Disagreement point) نام دارد.

برای تعریف جواب نش این وضعیت چانه زنی ابتدا مجموعه همه جفت مطلوبیت‌های ممکن که با توافق طرفین قابل دستیابی هستند را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
\Omega =\{({{u}_{A}},{{u}_{B}})|\exists x\in X:{{U}_{A}}({{x}_{A}})={{u}_{A}},{{U}_{B}}({{x}_{B}})={{u}_{B}}\}
مطلوبیت دلخواه  {{u}_{A}} را برای بازیکن  A ثابت در نظر بگیرید به طوری که  {{u}_{A}}\in [{{U}_{A}}(0),{{U}_{A}}(\pi )] باشد. طبق فرض اکیداً یکنوا بودن  {{U}_{i}}، سهم یکتای  {{x}_{A}}\in [0,\pi ] از کیک وجود دارد که  {{U}_{A}}({{x}_{A}})={{u}_{A}}، یعنی  {{x}_{A}}={{U}_{A}}^{-1}({{u}_{A}}).

 {{U}_{A}}^{-1} تابع وارون  {{U}_{A}} می‌باشد که تابعی اکیداً صعودی و محدب با دامنه  [{{U}_{A}}(0),{{U}_{A}}(\pi )] و برد  [0,\pi ] است.

بنابراین  g({{u}_{A}})={{U}_{B}}(\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}_{A}})) مطلوبیتی خواهد بود که نصیب  B می‌شود، اگر  A مطلوبیت  {{u}_{A}} را انتخاب کند. پس:
\Omega =\{({{u}_{A}},{{u}_{B}})|{{U}_{A}}(0)\leq {{u}_{A}}\leq {{U}_{A}}(\pi ),{{u}_{B}}=g({{u}_{A}})\}
در واقع  \Omega ، نمودار(Graph) تابع  g:[{{U}_{A}}(0),{{U}_{A}}(\pi )]\to \mathbb {R}  خواهد بود.

لم:نابع  g تابعی اکیداً نزولی و مقعر است.

اثبات:

مطلوبیت‌های دلخواه  {{u}^{1}}_{A},{{u}^{2}}_{A} را برای بازیکن  A ثابت در نظر بگیرید به طوری که  {{u}^{1}}_{A}>{{u}^{2}}_{A},{{u}^{1}}_{A},{{u}^{2}}_{A}\in [{{U}_{A}}(0),{{U}_{A}}(\pi )].

 {{U}_{A}}^{-1} اکیداً صعودی است، پس  {{U}_{A}}^{-1}({{u}^{1}}_{A})>{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{2}}_{A}) و این نتیجه می‌دهد که  \pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{1}}_{A})<\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{2}}_{A})، بنابراین  g({{u}^{1}}_{A})>g({{u}^{2}}_{A}) و این یعنی  g اکیداً نزولی است.

حال  \alpha \in [0,1] را ثابت در نظر بگیرید. {{U}_{B}} مقعر است، پس:
{{U}_{B}}({{x}^{3}}_{B})\geq \alpha {{U}_{B}}({{x}^{1}}_{B})+(1-\alpha ){{U}_{B}}({{x}^{2}}_{B})
که:
{{x}^{1}}_{B}=\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{1}}_{A}),{{x}^{2}}_{B}=\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{2}}_{A}),{{x}^{3}}_{B}=\alpha [\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{1}}_{A})]+(1-\alpha )[\pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{2}}_{A})]
حال چون  {{U}_{A}}^{-1} محدب است، پس:
{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{3}}_{A})\leq \alpha {{U}_{A}}^{-1}({{u}^{1}}_{A})+(1-\alpha ){{U}_{A}}^{-1}({{u}^{2}}_{A})
که:
{{u}^{3}}_{A}=\alpha {{u}^{1}}_{A}+(1-\alpha ){{u}^{2}}_{A}



 \Rightarrow \pi -{{U}_{A}}^{-1}({{u}^{3}}_{A})\geq {{x}^{3}}_{B}
حال چون  {{U}_{B}} اکیداً صعودی است، با توجه به روابط فوق نتیجه می‌شود:
g({{u}^{3}}_{A})\geq \alpha g({{u}^{1}}_{A})+(1-\alpha )g({{u}^{2}}_{A})
و این یعنی  g تابعی مقعر است.

اکنون به بررسی جواب نش این مدل چانه زنی می‌پردازیم.

جواب نش چانه زنی (Nash Bargaining Solution-NBS) وضعیت چانه زنی تقسیم کیک، زوج مطلوبیت یکتای  ({{u}_{A}}^{N},{{u}_{B}}^{N}) است که مسئله بهینه‌سازی زیر را حل می‌کند:
{\underset {({{u}_{A}},{{u}_{B}})\in \theta }{\mathop {Max} }}\,({{u}_{A}}-{{d}_{A}})({{u}_{B}}-{{d}_{B}})
به طوری که: \theta =\{({{u}_{A}},{{u}_{B}})\in \Omega |{{u}_{A}}\geq {{d}_{A}},{{u}_{B}}\geq {{d}_{B}}\}=\{({{u}_{A}},{{u}_{B}})|{{U}_{A}}(0)\leq {{u}_{A}}\leq {{U}_{A}}(\pi ),{{u}_{B}}=g({{u}_{A}}),{{u}_{A}}\geq {{d}_{A}},{{u}_{B}}\geq {{d}_{B}}\}

مسئله بهینه‌سازی فوق دارای جواب یگانه‌ای است، زیرا عبارت  ({{u}_{A}}-{{d}_{A}})({{u}_{B}}-{{d}_{B}}) پیوسته و اکیداً شبه مقعر(Strictly Quasi-concave) است،  g اکیداً نزولی و مقعر است و مجموعه  \theta  ناتهی است.

حال چون  {{u}_{B}}^{N}>{{d}_{B}},{{u}_{A}}^{N}>{{d}_{A}}، پس در جواب نش(NBS)، بازیکنان به توافق  ({{x}_{A}}^{N},{{x}_{B}}^{N})=({{U}_{A}}^{-1}({{u}_{A}}^{N}),{{U}_{B}}^{-1}({{u}_{B}}^{N})) خواهند رسید.

حال سعی می‌کنیم با استفاده از شرایط مشتق مرتبه اول جواب نش را بیشتر بشناسیم:

چون جواب نش  ({{u}_{A}}^{N},{{u}_{B}}^{N}) طوری است که  {{u}_{B}}^{N}>{{d}_{B}},{{u}_{A}}^{N}>{{d}_{A}}، پس:
Max({{u}_{A}}-{{d}_{A}})({{u}_{B}}-{{d}_{B}})=Max({{u}_{A}}-{{d}_{A}})(g({{u}_{A}})-{{d}_{B}})
بنابراین طبق شرایط مشتق مرتبه اول خواهیم داشت:
-{g}'({{u}_{A}})={\frac {{{u}_{B}}-{{d}_{B}}}{{{u}_{A}}-{{d}_{A}}}},{{u}_{B}}=g({{u}_{A}})
تساوی‌های فوق به‌طور شهودی به این مفهوم هستند که جواب نش نقطه‌ای است که در آن یکی از منحنی‌های هم مقدار  ({{u}_{A}}-{{d}_{A}})({{u}_{B}}-{{d}_{B}}) (مقدار ثابت ({{u}_{A}}-{{d}_{A}})({{u}_{B}}-{{d}_{B}})=) بر منحنی تابع  g مماس می‌شود.