رأی بدیل
معیارهای انتخاباتی

ریاضی‌دانان نظام‌های انتخاباتی را با استفاده از معیارهای انتخاباتی ارزیابی می‌کنند. معیارهای متنوعی در منابع مختلف معرفی و تشریح شده‌اند، اما روی معیارهای کندورسه، استقلال از گزینه‌های نامربوط، و یکنوایی بحث و پژوهش بیشتری شده‌است. طبق قضیهٔ عدم امکان ارو، هیچ نظام انتخاباتی دموکراتیکی وجود ندارد که در هر دو معیار کندورسه و استقلال از گزینه‌های نامربوط صدق کند و بتواند در انتخاباتی با حضور سه نامزد یا بیشتر، برنده را مشخص کند.
روش رأی بدیل معیار یکنوایی را نقض می‌کند. یکنوایی آن است که رأی باکیفیت‌تر به یک نامزد به‌جای کمک به او، به ضررش تمام شود یا اینکه رأی کم‌کیفیت‌تر به او به سودش باشد. مثال ساختگی زیر این ایراد را تبیین می‌کند.
| دسته | تعداد | ترتیب |
| --- | --- | --- |
| الف | ۷ | صنم، ماهکان، کژال، دنیز |
| ب | ۶ | ماهکان، صنم، کژال، دنیز |
| ج | ۵ | کژال، ماهکان، صنم، دنیز |
| د | ۳ | دنیز، کژال، ماهکان، صنم |
| دسته | تعداد | ترتیب |
| --- | --- | --- |
| الف | ۷ | صنم، ماهکان، کژال، دنیز |
| ب | ۶ | ماهکان، صنم، کژال، دنیز |
| ج | ۵ | کژال، ماهکان، صنم، دنیز |
| د | ۳ | صنم، دنیز، کژال، ماهکان |
چهار نامزد به نام‌های صنم، ماهکان، کژال، و دنیز در انتخاباتی با حضور ۲۱ رأی‌دهنده شرکت کرده‌اند. رأی‌دهندگان بر مبنای نحوهٔ اولویت‌بندی نامزدها در برگهٔ رأیشان به چهار دستهٔ «الف»، «ب»، «ج»، و «د» تقسیم شده‌اند. نحوهٔ خواندن جدول به این صورت است که مثلاً در دستهٔ «الف» ۷ رأی‌دهنده، صنم را به عنوان گزینهٔ اول، ماهکان را به عنوان گزینهٔ دوم، کژال را به عنوان گزینهٔ سوم، و دنیز را به عنوان گزینهٔ چهارم مشخص کرده‌اند. هیچ‌یک از نامزدان در شمارش دور اول، اکثریت مطلق (۱۱ رأی) را کسب نکرده‌اند. آخرین نامزد، دنیز، حذف می‌شود و هر سه رأی او به کژال می‌رسد. شمار آرای کژال به ۸ می‌رسد. هنوز هیچ‌یک از نامزدان به اکثریت مطلق نرسیده‌اند؛ در نتیجه ماهکان حذف می‌شود و همهٔ رأی‌هایش به صنم می‌رسد. شمار آرای صنم به ۱۳ می‌رسد و او برندهٔ انتخابات اعلام می‌شود. اما پیش از برگزاری جشن پیروزی توسط صنم و طرفدارانش، کژال خواهان بازشماری آرا می‌شود. در شمارش مجدد آرا مشخص می‌شود که برگه‌های رأی دستهٔ «د» به‌اشتباه چیده شده بودند. در واقع در همهٔ آن‌ها صنم به عنوان ترجیح اول ذکر شده بود. ترتیب درست آرای دستهٔ «د» در جدول خوانش ثانویه آمده است. در ابتدا این تغییر چینش موجب خوشحالی صنم و طرفدارانش می‌شود چون تعداد آرایی که او در آن‌ها به عنوان ترجیح اول ذکر شده به مقدار قابل توجهی افزایش می‌یابد. صنم در دور اول بازشماری صاحب ۱۰ رأی است و فقط به یک رأی دیگر برای تضمین پیروزی نیاز دارد. صنم پیش خود فکر می‌کند که حتماً پیروزی قاطعانه‌تری به دست خواهد آورد. اما در ادامهٔ بازشماری آرا، ورق بر می‌گردد؛ چون دنیز اصلاً رأیی نیاورده است، آخرین نامزد پس از دور اول بازشماری در واقع کژال است. کژال حذف می‌شود و ۵ رأیش به ماهکان می‌رسد و تعداد رأی‌های ماهکان را به ۱۱ می‌رساند. ماهکان برندهٔ جدید انتخابات است.
صاحب‌نظران در نفس وجود نقیصهٔ بالا متفق‌القول‌اند، اما دربارهٔ احتمال وقوع چنین سناریویی در عمل اتفاق نظر ندارند. به گفتهٔ پاتریک بردلی، مجری ارشد برگزاری انتخابات در ایرلند شمالی، طی ۲۲ سال برگزاری انتخابات در آن کشور به روش تک‌رأی انتقال‌پذیر در اندازه‌های بزرگ و کوچک، هیچ مدرک یا نشانه‌ای دال بر وقوع سناریوی بالا «در عمل» به دست نیامده است. کریسپین الارد، ریاضی‌دان بریتانیایی و عضو شورای انجمن اصلاحات انتخاباتی، در یک مطالعهٔ آماری با استفاده از داده‌های یک نظرسنجی انتخاباتی در لندن، احتمال نقض معیار یکنوایی در یک انتخابات چندبرنده به روش ترجیحی را  ۰٫۰۲۵ درصد تخمین زده‌است. یعنی اگر انتخابات سراسری در بریتانیا به روش ترجیحی برگزار شود، احتمال بروز سناریوی بالا کمتر از یک مورد در هر صد سال است. برخی پژوهشگران با انجام مطالعات نظری، تخمین الارد را به چالش کشیده‌اند و احتمال بروز این نقیصه را ناچیز ندانسته‌اند. جوزف اورنستاین، از دانشکدهٔ علوم سیاسی دانشگاه میشیگان، و رابرت نورمن، از دانشکدهٔ ریاضی کالج دارتموث، با ارائهٔ یک مدل فضایی احتمال نقض معیار یکنوایی در یک انتخابات رقابتی با روش رأی بدیل و حضور سه نامزد را حول‌وحوش ۱۵ درصد برآورد کرده‌اند. آنان به این نتیجه رسیده‌اند که هرچه انتخابات رقابتی‌تر باشد، احتمال نایکنوایی بالاتر می‌رود.
روش رأی بدیل معیار برندهٔ کندورسه را نقض، ولی معیار بازندهٔ کندورسه را احراز می‌کند. برندهٔ کندورسه نامزدی است که همهٔ نامزدهای دیگر را در رقابت‌های رودررو شکست دهد، البته اگر چنین نامزدی اصلاً وجود داشته باشد. روش رأی بدیل انتخاب برندهٔ کندورسه را تضمین نمی‌کند. اگرچه کارایی کندورسه (احتمال گزیدن برندهٔ کندورسه) در رأی بدیل نسبت به نظام‌های اکثریتی رایج (مثلاً نظام نخست‌گزینی) در مجموع بالاتر است، ولی مثال‌های نقض فراوانی می‌توان یافت که این روش معیار کندورسه را نقض کرده باشد. مثلاً در انتخابات بالا با همان برگه‌های رأی ترجیحی (خوانش اولیه)، ماهکان برندهٔ کندورسه بود چون صنم را ۱۴ به ۷، کژال را ۱۳ به ۸، و دنیز را ۱۸ به ۳ شکست می‌دهد ولی در نهایت صنم برندهٔ انتخابات شد. بازندهٔ کندورسه، نامزدی است که — در صورت وجود — از همهٔ نامزدهای دیگر در رقابت‌های دوبدو شکست می‌خورد. روش رأی بدیل تضمین می‌کند که چنین نامزدی را تحت هیچ شرایطی به عنوان برندهٔ نهایی بر نخواهد گزید. مثلاً در انتخابات بالا با همان برگه‌های رأی ترجیحی (خوانش اولیه)، دنیز بازندهٔ کندورسه است چون از سایر نامزدها با نتیجهٔ مشابه ۱۸ به ۳ شکست می‌خورد.
رأی بدیل معیار استقلال از گزینه‌های نامربوط را هم نقض می‌کند. استقلال از گزینه‌های نامربوط یعنی آنکه اگر نامزد الف بر نامزد ب مرجح است، معرفی یا حذف نامزد نامربوط ج نباید ب را بر الف مرجح گرداند. در انتخابات بالا با همان برگه‌های رأی ترجیحی (خوانش اولیه)، صنم برنده است اما اگر کژال به‌کل از انتخابات حذف شود، ماهکان برنده خواهد بود.