stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
چندوجهی
تقارن > گروه‌های تقارنی

بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل:
T – تقارن چهاروجهی دست‌سان:گروه چرخشی برای چهاروجهی منتظم
Td – تقارن چهاروجهی کامل:گروه تقارنی چهاروجهی منتظم
Th – تقارن پیریتووجهی:تقارن یک پیریتووجهی (دوازده وجهی با وجوه پنج ضلعی غیر منتظم)
O – تقارن هشت وجهی دست‌سان:گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی
Oh – تقارن هشت وجهی کامل:گروه تقارنی مکعب و هشت وجهی
I – تقارن بیست وجهی دست‌سان:گروه چرخشی بیست وجهی و دوازده وجهی
Ih – تقارن بیست وجهی کامل:گروه تقارنی بیست وجهی و دوازده وجهی
Cnv – تقارن هرم n-پهلو
Dnh – تقارن منشور n-پهلو
Dnv – تقارن پادمنشور n-پهلو
تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.
دوگانگی

برای هر چندوجهی محدب، دوگانی وجود دارد که:
وجوهش به جای رئوس چندوجهی اولیه است و برعکس.
دارای همان تعداد ضلع است.
چندوجهی‌های دوگان با هم جفت هستند، به این معنی که دوگان دوگانشان خودشان است. بعضی چندوجهی‌ها خود دوگانند، یعنی اینکه دوگانشان متجانس با خودشان است.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  چهاروجهی دوگان خودش است |  هشت وجهی دوگان مکعب است |  مکعب دوگان هشت وجهی است |  بیست وجهی دوگان دوازده وجهی است |  دوازده وجهی دوگان بیست وجهی است |
چندوجهی‌های انتزاعی هم دوگان دارند که دارای مشخصه اویلر و جهت‌گیری مشابه با چندوجهی اولیه هستند. با این حال شکل حاصل از دوگانگیشان یک چندوجهی دوگان را توصیف نمی‌کند، بلکه فقط ساختار ترکیبی آن را مشخص می‌کند. برای بعضی تعریف‌ها از چندوجهی‌های انتزاعی هندسی، چندوجهی‌های انتزاعی وجود دارند که دوگانشان یک چندوجهی هندسی نیست.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی منتظم

مقالهٔ اصلی: چندوجهی منتظم
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند. در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی منتظم > اجسام افلاطونی

مقالهٔ اصلی: جسم افلاطونی
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
| n | جسم افلاطونی | تصویر | شکل وجه و  پیکربندی آن | شکل گوشه و  نماد آن | تعداد وجه | تعداد یال | تعداد رأس | دوگانش | نماد اشلفلی |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۱ | چهاروجهی منتظم |  |  V۳٬۳٬۳ |  ۳٬۳٬۳ | ۴ | ۶ | ۴ | چهاروجهی منتظم | {۳٬۳} |
| ۲ | شش‌وجهی منتظم (مکعب) |  |  V۳٬۳٬۳٬۳ |  ۴٬۴٬۴ | ۶ | ۱۲ | ۸ | هشت‌وجهی منتظم | {۴٬۳} |
| ۳ | هشت‌وجهی منتظم |  |  V۴٬۴٬۴ |  ۳٬۳٬۳٬۳ | ۸ | ۱۲ | ۶ | مکعب | {۳٬۴} |
| ۴ | دوازده‌وجهی منتظم |  |  V۳٬۳٬۳٬۳٬۳ |  ۵٬۵٬۵ | ۱۲ | ۳۰ | ۲۰ | بیست‌وجهی منتظم | {۵٬۳} |
| ۵ | بیست‌وجهی منتظم |  |  V۵٬۵٬۵ |  ۳٬۳٬۳٬۳٬۳ | ۲۰ | ۳۰ | ۱۲ | دوازده‌وجهی منتظم | {۳٬۵} |
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی منتظم > چندوجهی کپلر-پوآنسو

مقالهٔ اصلی: چندوجهی کپلر-پوآنسو
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
| n | چندوجهی کپلر-پوآنسو | تصویر | شکل وجه و پیکربندی آن | شکل گوشه و نماد آن | تعداد وجه | تعداد یال | تعداد رأس | دوگانش | نماد اشلفلی |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۱ | دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک |  |  V۵٬۵٬۵٬۵٬۵ |  ۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲ | ۱۲ | ۳۰ | ۱۲ | دوازده‌وجهی بزرگ | {۵/۲٬۵} |
| ۲ | دوازده‌وجهی بزرگ |  |  V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲ |  ۵٬۵٬۵٬۵٬۵ | ۱۲ | ۳۰ | ۱۲ | دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک | {۵٬۵/۲} |
| ۳ | دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ |  |  V۳٬۳٬۳٬۳٬۳ |  ۵/۲٬۵/۲٬۵/۲ | ۱۲ | ۳۰ | ۲۰ | بیست‌وجهی بزرگ | {۵/۲٬۳} |
| ۴ | بیست‌وجهی بزرگ |  |  V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲ |  ۳٬۳٬۳٬۳٬۳ | ۲۰ | ۳۰ | ۱۲ | دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ | {۳٬۵/۲} |
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > اجسام ارشمیدسی

مقالهٔ اصلی: اجسام ارشمیدسی
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
| n | جسم ارشمیدسی | تصویر | شکل گوشه و  نماد آن | تعداد وجه | تعداد یال | تعداد رأس | دوگانش (جسم کاتالان) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۱ | چهاروجهی بریده‌شده |  |  ۶٬۳٬۶ | ۸ | ۱۸ | ۱۲ | دوازده‌مثلث وجهی |
| ۲ | مکعب بریده‌شده |  |  ۸٬۳٬۸ | ۱۴ | ۳۶ | ۲۴ | بیست‌وچهار مثلث وجهی |
| ۳ | مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده |  |  ۶٬۸٬۴ | ۲۶ | ۷۲ | ۴۸ | چهل وهشت مثلث وجهی |
| ۴ | هشت‌وجهی بریده‌شده |  |  ۶٬۴٬۶ | ۱۴ | ۳۶ | ۲۴ | شش‌وجهی تتراکیس |
| ۵ | دوازده‌وجهی بریده‌شده |  |  ۱۰٬۳٬۱۰ | ۳۲ | ۹۰ | ۶۰ | بیست‌وجهی تریاکیس |
| ۶ | بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده |  |  ۶٬۱۰٬۴ | ۶۲ | ۱۸۰ | ۱۲۰ | صد و بیست‌مثلث وجهی |
| ۷ | بیست‌وجهی بریده‌شده |  |  ۶٬۵٬۶ | ۳۲ | ۹۰ | ۶۰ | شصت‌مثلث وجهی |
| ۸ | مکعب‌هشت‌وجهی |  |  ۳٬۴٬۳٬۴ | ۱۴ | ۲۴ | ۱۲ | دوازده‌لوزوجهی |
| ۹ | بیست‌دوازده‌وجهی |  |  ۳٬۵٬۳٬۵ | ۳۲ | ۶۰ | ۳۰ | سی لوزوجهی |
| ۱۰ | لوزمکعب‌هشت‌وجهی |  |  ۴٬۴٬۴٬۳ | ۲۶ | ۴۸ | ۲۴ | بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی |
| ۱۱ | لوزبیست‌دوازده‌وجهی |  |  ۴٬۵٬۴٬۳ | ۶۲ | ۱۲۰ | ۶۰ | شصت‌چهار ضلعی وجهی |
| ۱۲ | مکعب اسناب |  |  ۳٬۴٬۳٬۳٬۳ | ۳۸ | ۶۰ | ۲۴ | بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی |
| ۱۳ | دوازده‌وجهی اسناب |  |  ۳٬۵٬۳٬۳٬۳ | ۹۲ | ۱۵۰ | ۶۰ | شصت‌پنج ضلعی وجهی |
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > اجسام کاتالان

مقالهٔ اصلی: جسم کاتالان
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
| n | جسم کاتالان | تصویر | شکل وجه و  پیکربندی آن | تعداد وجه | تعداد یال | تعداد رأس | دوگانش (جسم ارشمیدسی) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۱ | دوازده‌مثلث وجهی |  |  V۶٬۳٬۶ | ۱۲ | ۱۸ | ۸ | چهاروجهی بریده‌شده |
| ۲ | بیست‌وچهار مثلث وجهی |  |  V۸٬۳٬۸ | ۲۴ | ۳۶ | ۱۴ | مکعب بریده‌شده |
| ۳ | چهل وهشت مثلث وجهی |  |  V۶٬۸٬۴ | ۴۸ | ۷۲ | ۲۶ | مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده |
| ۴ | شش‌وجهی تتراکیس |  |  V۶٬۴٬۶ | ۲۴ | ۳۶ | ۱۴ | هشت‌وجهی بریده‌شده |
| ۵ | بیست‌وجهی تریاکیس |  |  V۱۰٬۳٬۱۰ | ۶۰ | ۹۰ | ۳۲ | دوازده‌وجهی بریده‌شده |
| ۶ | صد و بیست‌مثلث وجهی |  |  V۶٬۱۰٬۴ | ۱۲۰ | ۱۸۰ | ۶۲ | بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده |
| ۷ | شصت‌مثلث وجهی |  |  V۶٬۵٬۶ | ۶۰ | ۹۰ | ۳۲ | بیست‌وجهی بریده‌شده |
| ۸ | دوازده‌لوزوجهی |  |  V۳٬۴٬۳٬۴ | ۱۲ | ۲۴ | ۱۴ | مکعب‌هشت‌وجهی |
| ۹ | سی لوزوجهی |  |  V۳٬۵٬۳٬۵ | ۳۰ | ۶۰ | ۳۲ | بیست‌دوازده‌وجهی |
| ۱۰ | بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی |  |  V۴٬۴٬۴٬۳ | ۲۴ | ۴۸ | ۲۶ | لوزمکعب‌هشت‌وجهی |
| ۱۱ | شصت‌چهار ضلعی وجهی |  |  V۴٬۵٬۴٬۳ | ۶۰ | ۱۲۰ | ۶۲ | لوزبیست‌دوازده‌وجهی |
| ۱۲ | بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی |  |  V۳٬۴٬۳٬۳٬۳ | ۲۴ | ۶۰ | ۳۸ | مکعب اسناب |
| ۱۳ | شصت‌پنج ضلعی وجهی |  |  V۳٬۵٬۳٬۳٬۳ | ۶۰ | ۱۵۰ | ۹۲ | دوازده‌وجهی اسناب |
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی یکنواخت

چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
دارای بی‌نهایت چندوجهی:
منشورها،
پادمنشورها.
استثناهای محدب:
۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
استثناهای ستاره ای (مقعر):
۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > اجسام جانسون

مقالهٔ اصلی: اجسام جانسون
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی گلدبرگ

مقالهٔ اصلی: چندوجهی گلدبرگ
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی ژئودزیک

مقالهٔ اصلی: چندوجهی ژئودزیک
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > دلتاوجهی

دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
| دلتاوجهی‌های افلاطونی> تصویر | دلتاوجهی‌های افلاطونی> نام | دلتاوجهی‌های افلاطونی> تعداد وجوه | دلتاوجهی‌های افلاطونی> تعداد یال‌ها | دلتاوجهی‌های افلاطونی> تعداد رئوس | دلتاوجهی‌های افلاطونی> نماد رأس |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | چهاروجهی منتظم | ۴ | ۶ | ۴ |  ۴ × ۳۳ |
|  | هشت وجهی منتظم | ۸ | ۱۲ | ۶ | ۶ × ۳۴ |
|  | بیست وجهی منتظم | ۲۰ | ۳۰ | ۱۲ | ۱۲ × ۳۵ |
دلتاوجهی‌های جانسون: دلتاوجهی‌های جانسون
| تصویر | نام | تعداد وجوه | تعداد یال‌ها | تعداد رئوس | نماد رأس |
|  | دوهرم مثلثی | ۶ | ۹ | ۵ | ۲ × ۳۳ ۳ × ۳۴ |
|  | دوهرم مخمسی | ۱۰ | ۱۵ | ۷ | ۵ × ۳۴ ۲ × ۳۵ |
|  | دوازده دلتاوجهی | ۱۲ | ۱۸ | ۸ | ۴ × ۳۴ ۴ × ۳۵ |
|  | منشور مثلثی تتراکیس | ۱۴ | ۲۱ | ۹ | ۳ × ۳۱ ۶ × ۳۵ |
|  | پادمنشور مربعی تتراکیس | ۱۶ | ۲۴ | ۱۰ | ۲ × ۳۴ ۸ × ۳۵ |
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > دوهرم‌ها

مقالهٔ اصلی: دوهرم
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > پاددوهرم‌ها

یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی لوزوجه است.
خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها > چندوجهی انعطاف‌پذیر

مقالهٔ اصلی: چندوجهی انعطاف‌پذیر
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.
چندوجهی‌ها در جهان واقعی > طبیعی

با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.
سنگ نمک گاهی در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد (شکل ۱) و بلورهای فلئوریت شبیه هشت‌وجهی‌اند (شکل ۲) پیریت هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود (شکل ۳).
در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند (شکل ۴). برخی ویروس‌ها نظیر ویروس هرپس سیمپلکس (عامل تبخال) شکلی شبیه بیست وجهی دارند (شکل ۵).
هیدروکربن افلاطونی هیدروکربنی است که ساختار آن با یکی از پنج جسم افلاطونی مطابقت دارد، در این صورت اتمهای کربن جایگزین رئوس آن می‌شوند، پیوندهای کربن - کربن جایگزین ضلع‌های آن می‌شوند و در صورت لزوم اتم‌های هیدروژن نیز وجود دارد (شکل ۶). بیست وجهی بریده شده در ساختار
فولرن باکمینستر کاربرد دارد (شکل ۷).
| ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ٦ | ٧ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
موضوع دیگر کمپلکس‌های معدنی است. بیشتر ساختارهای آنها از الگوی نقاط روی کره (یا مثل اینکه اتم مرکزی در وسط یک چندوجهی قرار داشته باشد که رأس‌های آن شکل محل لیگاند‌ها دیگر هستند)، جایی که هم پوشانی مداری (بین اوربیتال‌های لیگاند و فلز) و دافعه‌های لیگاند و لیگاند منجر به هندسه‌های منظم خاصی می‌شوند. بیشترین هندسه‌های مشاهده شده در زیر ذکر شده‌است، اما موارد زیادی وجود دارد که از یک هندسه منظم منحرف می‌شوند، به عنوان مثال به دلیل استفاده از لیگاند از انواع متنوع (که منجر به طول پیوند نامنظم می‌شود؛ اتم‌های هماهنگی از الگوی نقاط روی کره پیروی نمی‌کنند)، به دلیل اندازه لیگاندها یا به دلیل اثرات الکترونیکی:
هندسه مولکولی خطی برای ۲ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی مثلثی پهن برای ۳ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی مربعی پهن و هندسه مولکولی چهاروجهی (شکل ۱) برای ۴ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی دو هرمی مثلثی (شکل ۲) برای ۵ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی هشت‌وجهی (شکل ۳) برای ۶ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی دو هرمی مخمسی (شکل ۴) برای ۷ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی پادمنشوری چهارگوشه (شکل ۵) برای ۸ عدد هم‌آرایی
هندسه مولکولی منشور مثلثی سه وجه هرمی (شکل ۶) (به شکل پنجاه و یکمین جسم جانسون) برای ۹ عدد هم‌آرایی
| ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
:
چندوجهی‌ها در جهان واقعی > مصنوعی

از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود (اشکال ۱و۲). بیست وجهی بریده شده در ساختار توپ فوتبال کاربرد دارد (شکل ۳). به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود؛ مثلاً در گنبدهای ژئودزیک ژئودزیک‌ها با هم تلاقی می‌کنند و عناصر مثلثی شکل را تشکیل می‌دهند مانند چندوجهی‌های ژئودزیک (اشکال ۴و۵و۶).
| ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ٥ | ٦ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
اهرام در بسیاری از نقاط جهان وجود دارند. به عنوان مثال اهرام مصر بناهایی باستانی واقع در مصر هستند. منابع حداقل ۱۱۸ هرم را در مصر شناسایی می‌کنند. در دوره پادشاهی قدیم و میانه بیشتر آنها به عنوان مقبره برای فراعنه کشور و همسایگان آنها ساخته شده‌است. اهرام ثلاثه (شکل ۱) و هرم جوزر (شکل۲) از آن دسته اند. ساکنان بین‌النهرین اولیه‌ترین ساختارهای هرمی را به نام زیگورات ساختند (شکل ۳). با آنکه نام هرم با مصر گره خورده، ملت سودان ۲۲۰ هرم باقیمانده دارد (شکل ۴).
تعدادی از فرهنگ‌های آمریکا مرکزی نیز سازه‌هایی به شکل هرم ساخته‌اند. اهرام آمریکا مرکزی معمولاً پله پله می‌شدند و معابد در بالای آن قرار داشتند که بیشتر شبیه زیگورات‌های بین‌النهرین بودند تا اهرام مصر (اشکال ۵و۶). به جز اینها اهرام در تمدن‌های دیگری نیز ساخته می‌شدند.
| ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ٥ | ٦ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
:
اعمال روی چندوجهی‌ها > بریدن

مقالهٔ اصلی: بریدن (هندسه)
در چندوجهی‌ها، بریدن عملیاتی که طی آن رئوس چندوجهی قطع شده و به جای هر راس وجه جدیدی ایجاد می‌شود. این اصطلاح از نامهای کپلر برای اجسام ارشمیدسی گرفته شده‌است.
نوع خاصی از برش، بریدن یکنواخت است، یک عمل برش که به یک پلیتوپ منتظم (در اینجا چندوجهی منتظم) اعمال شده و یک چندوجهی با وجوه منتظم با طول ضلع‌های مساوی ایجاد می‌کند. درجاتی از آزادی در اندازه بریدن وجود نداشته و این یک هندسه ثابت را نشان می‌دهد، دقیقاً مانند چندوجهی‌های منتظم. شکل زیر نشان می‌دهد چگونه چند عمل بریدن یکنواخت متوالی مکعب را ابتدا به اجسام ارشمیدسی و سپس هشت وجهی تبدیل می‌کند و برعکس:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  مکعب |  مکعب بریده شده |  مکعب هشت وجهی |  هشت وجهی بریده شده |  هشت وجهی |
اعمال روی چندوجهی‌ها > ستاره ای کردن

ستاره ای کردن عملیاتی است که توسط کپلر در سال ۱۶۱۹ تعریف شده‌است: این کار شامل گسترش برخی از وجه‌های چندوجهی به نقطه ای است که آنها دوباره به هم می‌رسند. با این عملیات، چندوجهی‌های کپلر از دوازده وجهی منتظم ساخته شدند، دو تا از چهار چندوجهی که امروزه به عنوان چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. هشت وجهی ستاره ای یک ستاره هشت وجهی منتظم و ترکیب دو چهاروجهی منتظم است.
در زیر برخی از ستاره‌ها آورده شده‌است: یکی هشت وجهی ستاره ای، و سه مورد دیگر دوازده وجهی‌های ستاره ای منتظم (موارد اول و سوم از چندوجهی‌های کپلرند). مورد آخر چندوجهی حاصل از یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی است:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  هشت وجهی ستاره ای |  یک بار ستاره ای کردن دوازده وجهی |  دو بار ستاره ای کردن دوازده وجهی |  سه بار ستاره ای کردن دوازده وجهی |  یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی |
اعمال روی چندوجهی‌ها > مفروش سازی

برخی از چندوجهی‌ها می‌توانند به عنوان آجر برای پر کردن فضا بدون ایجاد سوراخ استفاده شوند، همان چیزی که در کندوها اتفاق می‌افتد: چنین عملیاتی را مفروش سازی می‌نامند. چندوجهی‌ها در یک قالب در امتداد وجه‌هایشان مجاورند. در میان اجسام افلاطونی، تنها چندوجهی ای که قادر به مفروش سازی است مکعب است. در میان اجسام ارشمیدسی، دوازده لوز وجهی و هشت وجهی بریده شده این توانایی را دارند. از هشت وجهی و چهاروجهی منتظم می‌توان به صورت جفت برای مفروش سازی استفاده کرد.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  مکعبی |  دوازده لوزوجهی |  هشت وجهی بریده شده  |  چهاروجهی و هشت وجهی |
اعمال روی چندوجهی‌ها > گسترش

گسترش عملی روی چندوجهی است که در آن وجوه به صورت شعاعی از هم جدا می‌شوند و وجوه جدید در رئوس و اضلاع تشکیل می‌شوند. این عمل را می‌توان با حفظ وجه‌ها در همان موقعیت اما کاهش اندازه آنها تصور کرد. چندوجهی حاصل از گسترش یک چندوجهی، چندوجهی ای است یکنواخت، دارای وجوه آن چندوجهی، وجوه دوگانش و وجوه مربعی جدید در محل ضلع‌های چندوجهی اولیه است. جدول زیر گسترش برخی چندوجهی‌ها را نمایش می‌دهد:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  چهاروجهی   منتظم |  مکعب و   هشت وجهی منتظم |  بیست وجهی و   دوازده وجهی منتظم  |  مکعب هشت وجهی و   دوازده لوزوجهی |  بیست دوازده وجهی و   سی لوزوجهی |
اعمال روی چندوجهی‌ها > اسناب

در هندسه، اسناب عملی است که روی چندوجهی اعمال می‌شود. این اصطلاح از نامهای یوهانس کپلر برای دو جسم ارشمیدسی - مکعب اسناب و دوازده وجهی اسناب - گرفته شده‌است. به‌طور کلی، اسناب‌ها دارای تقارن دستسانی (کایرالیتی) با دو شکل هستند: با جهت‌گیری عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت. با نام‌های کپلر، یک اسناب را می‌توان نوع دیگر گسترش یک چندوجهی منتظم دانست: حرکت دادن وجه‌ها از یکدیگر، چرخاندن آنها در مرکز آنها، افزودن چندضلعی‌های جدید که در راس‌های اصلی قرار دارند و اضافه کردن جفت مثلث‌هایی که بین ضلع‌های اصلی قرار دارند. کاکسیتر این مفهوم را به پلیتوپ‌های یکنواخت گسترش داد. سه تصویر سمت راست عمل اسناب را روی برخی چندوجهی‌ها و دو تصویر سمت چپ ارتباط بین چندوجهی گسترش داده شده و اسناب برخی چندوجهی‌ها را نشان می‌دهند:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  چهاروجهی   منتظم   حاصل بیست وجهی است |  مکعب   حاصل   مکعب اسناب است |  دوازده وجهی   منتظم   حاصل دوازده وجهی اسناب است |  مکعب هشت وجهی و   مکعب اسناب   اسناب و گسترش مکعب  |  بیست دوازده وجهی و   دوازده وجهی اسناب   اسناب و گسترش دوازده وجهی |
اعمال روی چندوجهی‌ها > تناوب

مقالهٔ اصلی: تناوب (هندسه)
در چندوجهی‌ها، تناوب که بریدگی جزئی نیز نامیده می‌شود، عملی است که در اثر آن رئوس چندوجهی یکی در میان برداشته می‌شوند. از آنجا که در اثر تناوب تعداد اضلاع نیز همانند رئوس نصف می‌شود، پس فقط می‌تواند روی چندوجهی‌هایی که تعداد اضلاع همه وجوهشان زوج است صورت گیرد. جدول زیر برخی چندوجهی‌ها (راست) و تناوبشان (چپ) را نشان می‌دهد:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  مکعب: چهاروجهی منتظم |  مکعب هشت وجهی بریده شده: مکعب اسناب غیر یکنواخت |  بیست دوازده وجهی بریده شده: دوازده وجهی اسناب غیر یکنواخت |  هشت وجهی بریده شده: بیست وجهی با تقارن پیریتووجهی |
تاریخچه > دوران باستان > پیش از تاریخ

چندوجهی‌ها در اشکال معماری اولیه مانند مکعب‌ها و مکعب مستطیل‌ها ظاهر شدند. همچنین اولین اهرام مربع القاعده مصر باستان نیز از عصر حجر به جا مانده‌است.
اتروسک‌ها حداقل در مورد بعضی چندوجهی‌های منتظم پیش از یونانیان آگه بودند که از کشف یک دوازده وجهی اتروسکی ساخته شده از سنگ صابون در مونته لوفا مشهود است. وجه‌های آن که با طرح‌های مختلف مشخص شده بود، به برخی از محققان نشان می‌دهد که ممکن است از آن به عنوان قالب بازی استفاده شده باشد.
تاریخچه > دوران باستان > تمدن یونان

نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی (چندوجهی‌های منتظم محدب) را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. اجسام ارشمیدسی نام خود را از ارشمیدس گرفته‌اند، که در یک اثر از دست رفته دربارهٔ آنها بحث کرد. پاپوس اسکندرانی به آن اشاره می‌کند، با بیان اینکه ارشمیدس ۱۳ چندوجهی را ذکر کرده‌است.
تاریخچه > دوران باستان > چین

لیو هوی یکی از بزرگترین عوامل کمک به هندسه چندوجهی بود. به عنوان مثال، او دریافت که می‌توان گوه ای با قاعده مستطیل و دو طرف شیب دار را به یک هرم و یک گوه چهاروجهی تقسیم کرد. وی همچنین دریافت که می‌توان یک گوه با قاعده ذوزنقه و دو طرف شیب دار را به دو گوه چهاروجهی جدا کرد که توسط هرم جدا شده‌است.
تاریخچه > دوران باستان > تمدن اسلامی

ابوالوفا محمد بوزجانی در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان بود. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.
تاریخچه > رنسانس

هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو در کلیسای جامع سنت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی در تصویرسازی‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است. در دوران رنسانس، هنرمندان و ریاضیدانان اشکال خالص را با تقارن بالا بها می‌دادند و در حدود سال ۱۶۲۰ یوهانس کپلر کشف مجدد ۱۳ جسم ارشمیدسی را به پایان رسانده بود.
تاریخچه > چندوجهی ستاره ای منتظم

بیشتر چندوجهی کپلر – پوآنسو، به نوعی قبل از کپلر شناخته شده بودند. یک دوازده وجهی ستاره ای کوچک در تارسیای مرمر (تخته خاتم) در کف کلیسای سنت مارک، ونیز، ایتالیا وجود دارد. قدمت آن از قرن پانزدهم میلادی است و گاهی اوقات آن را به پائولو اوچلو نسبت می‌دهند.
دوازده وجهی‌های ستاره ای بزرگ و کوچک که گاهی اوقات آن را چندوجهی‌های کپلر نیز می‌نامند، برای اولین بار توسط یوهانس کپلر در حدود سال ۱۶۱۹ به شکل منتظم مشاهده شدند.
در سال ۱۸۰۹، لوئیس پوآنسو با جمع کردن پنج ضلعی‌های ستاره ای در اطراف هر راس، چندوجهی‌های کپلر را دوباره کشف کرد. او همچنین چند ضلعی محدب را در اطراف رئوس ستاره جمع کرد تا دو ستاره منتظم دیگر، بیست وجهی بزرگ و دوازده وجهی بزرگ را کشف کند. برخی از افراد این دو را چند وجهی پوآنسو می‌نامند. پوآنسو نمی‌دانست که آیا همه چندوجهی‌های ستاره ای منتظم را کشف کرده‌است یا خیر.
چندوجهی‌های کپلر – پوآنسو را می‌توان از اجسام افلاطونی با فرایندی به نام ستاره‌ای کردن ساخت. بیشتر ستاره‌ها منتظم نیستند. مطالعه ستاره‌های اجسام افلاطونی توسط هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر و دیگران در سال ۱۹۳۸، با مقاله‌ای که اکنون به ۵۹ بیست وجهی مشهور است، شتاب بیشتری گرفت.
تاریخچه > فرمول اویلر و تولد توپولوژی

در سال ۱۷۵۰ لئونارد اویلر برای اولین بار ضلع‌های یک چند وجهی را در نظر گرفت، به او اجازه داد فرمول چندوجهی خود را که مربوط به تعداد رئوس، ضلع‌ها و وجوه است کشف کند. این نشانه تولد توپولوژی بود. هنری پوانکاره ایده‌های اصلیش را در اواخر قرن نوزدهم توسعه داد. این امر باعث شد بسیاری از مسائل دیرینه دربارهٔ اینکه چندوجهی چیست، حل و فصل شوند.
ماکس بروکنر خلاصه ای از کارهای مربوط به چندوجهی، از جمله بسیاری از یافته‌های خود را در کتاب «Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte» در سال ۱۹۰۰ به زبان آلمانی منتشر کرد، اما کمتر شناخته شد.
در همین حال، کشف ابعاد بالاتر منجر به ایده چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ عمومی تر شد.