معادله دیفرانسیل خطی
ناهمگن > روش تغییر پارامتر

این روش (به انگلیسی: method of variation of parameters) برای پیدا کردن جواب خصوصی  L[y_{p}]=g استفاده می‌شود. در حالی که استفاده از روش ضرایب نامعیّن ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد  g محدودیّتی ندارد. ایدهٔ کلّی این روش مشابه کاهش مرتبه است.
در صورتی که جواب عمومی را به فرم  y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} به دست بیاوریم، جواب کلّی را به فرم  y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا  u_{1} و  u_{2} را پیدا کنیم.
همان طور که در ادامه نیز می‌بینیم، توابع  u_{1} و  u_{2} لزوماً یکتا نخواهند بود. البتّه جواب کلّی همیشه یکتا است. به عبارتی دیگر ممکن است  u_{1} و  u_{2} و همچنین  v_{1} و  v_{2} پیدا شوند که  y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن جواب کلّی معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام  u_{1} و  u_{2}های ممکن نداریم. به عبارتی دیگر تنها نیاز داریم یک  u_{1} و  u_{2} خاص پیدا کنیم که ما را به جواب برسانند.
در صورتی که جواب کلّی را به فرم  y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} فرض کنیم، این  y باید در معادلهٔ  L[y]=g صدق کند. پس برای پیدا کردن  u_{1} و  u_{2} از این معادله کمک می‌گیریم. در این جا یک معادله و دو مجهول داریم. همچنین طبق تعریف،  y_{1} و  y_{2} از یکدیگر مستقل اند. از این دو مورد نتیجه می‌گیریم که بی‌نهایت جواب متفاوت برای  u_{1} و  u_{2} وجود دارد.
همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک  u_{1} و  u_{2} خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پیدا کردن تمام  u_{1} و  u_{2}ها در حالت کلّی سخت تر است. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم:
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0
این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از  y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} مقدار  y' را به دست می‌آوریم:
y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\Longrightarrow y'=(u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}')+(u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}')
حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم:
y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'
و از این تساوی مقدار  y'' را نیز به دست می‌آوریم:
y''=(u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}'')+(u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}'')
حال مقادیر  y و  y' و  y'' را در فرم استاندارد معادله  L[y]=g جایگذاری می‌کنیم:
{\begin{aligned}&y''&+&py'&+&qy&=g\\\Longrightarrow &u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''&+&p(u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}')&+&q(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2})&=g\end{aligned}}
پس
{\begin{aligned}&u_{1}(y_{1}''+py_{1}'+qy_{1})\\+&u_{2}(y_{2}''+py_{2}'+qy_{2})\\&\quad +u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'\quad =g\end{aligned}}
طبق تعریف جواب عمومی، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم:
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g
از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان  u_{1} و  u_{2} را به کمک قاعدهٔ کرامر به دست آورد:
u_{1}'=-{y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]},\quad u_{2}'={y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}
در نتیجه جواب خصوصی به صورت زیر به دست می‌آید:
\color {red}y_{p}=y_{2}\int {y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s-y_{1}\int {y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s
و جواب کلّی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:
y=y_{p}+y_{c}=y_{2}(\int {y_{1}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s+c_{2})-y_{1}(\int {y_{2}g \over W[y_{1},y_{2}]}\operatorname {d} \!s+c_{1})
به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ  n) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید:
y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}(\int {gW_{i} \over W}\operatorname {d} \!s+c_{2})
در این جا  W=W[y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}] و  W_{i} نیز مشابه رونسکین به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون  i ام  (0,0,\cdots ,1) قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار  W می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت:  W=ce^{-\int p(t)\operatorname {d} \!t}