آونگ دوتایی
تحلیل و تفسیر > لاگرانژی

لاگرانژی است {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}
عبارت اول انرژی جنبشی خطی مرکز جرم جسم‌ها و جمله دوم انرژی جنبشی دورانی حول مرکز جرم هر میله است. آخرین عبارت انرژی پتانسیل اجسام در یک میدان گرانشی یکنواخت است. علامت نقطه نشان دهنده مشتق زمانی متغیر مورد نظر است.
{\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\right)\\[1ex]{\dot {y}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\right)\end{aligned}}برای سرعت می توان نوشت:
v_{1}^{2}={\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\ell ^{2}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {1}{4}}\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}.به طور مشابه
{\begin{aligned}{\dot {x}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\\{\dot {y}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\end{aligned}}بنابراین؛
{\begin{aligned}v_{2}^{2}&={\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right).\end{aligned}}با جایگزینی مختصات بالا به دست می‌آید:
{\begin{aligned}L&={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {1}{24}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\[1ex]&={\tfrac {1}{6}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{2}^{2}+4{\dot {\theta }}_{1}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).\end{aligned}}
با مرتب‌کردن معادله به دست می‌آید:
تنها یک کمیت پایسته (انرژی) وجود دارد و هیچ گشتاور پایسته وجود ندارد. دو گشتاور تعمیم یافته ممکن است به صورت نوشته شود
این عبارات ممکن است برای بدست‌آوردن وارون شوند
معادلات حرکت باقیمانده نوشته می‌شوند به صورت
این چهار معادله آخر فرمول‌های صریحی برای تکامل زمانی سامانه با توجه به وضعیت فعلی آن هستند. نمی‌توان جلوتر رفت و این معادلات را با یک عبارت به شکل بسته یکپارچه‌سازی کرد تا فرمول‌های θ۱ و θ۲ را به عنوان تابعی از زمان به دست آورد. با این حال، می‌توان این یکپارچه‌سازی را به صورت عددی با استفاده از روش رونگه‐کوتا یا فنونی مشابه انجام داد.