گروه لی
مفاهیم پایه‌ای > جبر لی متناظر با یک گروه لی

مقالهٔ اصلی: تناظر گروه لی-جبر لی
می‌توانیم برای هر گروه لی، یک جبر لی مرتبط سازیم. در زیربنای جبر لی، فضای برداری وجود دارد که فضای مماس گروه لی متناظر با آن در عنصر همانی بوده که ساختار موضعی گروه لی را به‌طور کامل دربر دارد. به زبان ساده‌تر، می‌توانیم عناصر جبر لی را به عنوان عناصر گروه لی درنظر بگیریم که «بی‌نهایت نزدیک» به عنصر همانی بوده و کروشه لی جبر لی نیز به جابه‌جاگر دوتا عنصر بی‌نهایت کوچک این چنینی مرتبط است. قبل از ارائه تعریف مجرد، چند مثال در ادامه خواهند آمد:
جبر لی فضای برداری  \mathbb {R} ^{n}، صرفاً همان  \mathbb {R} ^{n} است که کروشه لی آن به این صورت داده شده باشد:
\left[A,B\right]=0
(در کل، کروشه لی یک گروه لی همبند همیشه برابر صفر است اگر و تنها اگر گروه لی متناظر با آن آبلی باشد)
جبر لی گروه خطی عام  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) از ماتریس‌های معکوس‌پذیر، فضای برداری  \operatorname {M} (n,\mathbb {C} ) از ماتریس‌های مربعی است که کروشه آن به صورت زیر می‌باشد:
\left[A,B\right]=AB-BA
اگر  G زیرگروه بسته‌ای از  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) باشد، آنگاه جبر لی  G را می‌توان به به زبان ساده به صورت ماتریس‌های m از  \operatorname {M} (n,\mathbb {R} ) در نظر گرفت، چنان‌که  1+\varepsilon m در  G بوده و  \varepsilon  عدد مثبت بی‌نهایت کوچکی با این خاصیت باشد که  \varepsilon ^{2} (مطمئناً چنین عدد حقیقی وجود ندارد). به عنوان مثال، گروه متعامد  \operatorname {O} (n,\mathbb {R} ) شامل ماتریس‌های  A است که  AA^{T}=1، چنان‌که جبر لی آن شامل ماتریس‌های  m است که در  (1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^{T}=1 صدق کرده و در نتیجه در  m+m^{T}=0 صدق می‌کند، چون  \varepsilon ^{2}=0.
توصیف پیشین را می‌توان به این صورت مستحکم تر ساخت: جبر لی از زیرگروه بسته  G از  G را می‌توان به این صورت محاسبه نمود:
\operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},
که در آن  \operatorname {exp} (tX) با استفاده از تابع نمایی ماتریسی تعریف شده‌است. می‌توان نشان داد که جبر لیِ گروه لی چون  G، فضای برداری حقیقی است که تحت عمل کروشه‌گیری بسته‌است  \left[X,Y\right]=XY-YX.
کار کردن با تعریف ملموسی که در بالا برای گروه‌های ماتریسی آمده راحت است، اما مشکلات جزئی دارد: برای این که از این تعریف استفاده شود، ابتدا باید یک گروه لی را به صورت گروهی از ماتریس‌ها نمایش داد، در حالی که این نمایش برای تمامی گروه‌های لی امکان‌پذیر نبوده و حتی مستقل بودن جبر لی از نمایشی که به کار می‌بریم هم واضح نیست. برای این که بر این مسائل فایق آییم، تعریف کلی از جبر لی یک گروه لی را ارائه می‌نماییم (در ۴ مرحله):
میدان‌های برداری روی هر منیفلد هموار چون  M را می‌توان به صورت مشتقات  X از حلقه توابع هموار روی یک منیفلد دید؛ بنابراین میدان‌های برداری تحت کروشه لی تشکیل جبر لی می‌دهند، چون کروشه لی هر دو مشتق، باز یک مشتق است.
اگر  G گروه دلخواهی باشد که روی منیفلد  M به‌طور هموار کنش می‌کند، آنگاه روی میدان‌های برداری هم کنش خواهد کرد و فضای برداری میدان‌های برداری که توسط این گروه ثابت باقی می‌مانند نیز تحت کروشه لی بسته بوده و این رو خود تشکیل یک جبر لی می‌دهند.
ما این روش ساختن را هنگامی که منیفلد  M، فضای زیرین یک گروه لی چون  G باشد نیز به کار می‌بریم، که در آن  G روی  G=M، از طریق انتقال‌های چپی چون  L_{g}(h)=gh کنش می‌کند. این نشان می‌دهد که فضای میدان‌های برداری ناوردای چپ (میدان‌های برداری که برای هر  h\in G در  L_{g^{*}}X_{h}=X_{gh} صدق می‌کنند، که در آن  L_{g^{*}} نشانگر دیفرانسیل  L_{g} است) روی یک گروه لی، تحت کروشه لی از میدان‌های برداری تشکیل جبر لی می‌دهد.
هرکدام از بردارهای مماس در همانی یک گروه لی را می‌توان با انتقال چپ بردار مماس به سایر نقاط منیفلد، به میدان برداری ناوردای چپ توسعه داد. به‌طور خاص، توسعه ناوردای چپ از یک عنصر  v فضای مماس در همانی، میدان برداری است که با  v_{g}^{\wedge }=L_{g^{*}}v تعریف می‌شود. این‌ها فضای مماس  T_{e}G را با کمک فضای میدان‌های برداری ناوردای چپ در عنصر همانی مشخص می‌کنند؛ لذا، فضای مماس حاصل در عنصر همانی را جبر لی گروه  G نامیده و اغلب با نماد  {\mathfrak {g}} (فراکتور جی) نمادگذاری می‌گردد. ازین رو، کروشه لی روی  {\mathfrak {g}} را به صورت صریح با  \left[v,w\right]=\left[v^{\wedge },w^{\wedge }\right]_{e} نمایش می‌دهند.
جبر لی  {\mathfrak {g}}، متناهی-بعدی بوده و دارای بعدی برابر با منیفلد  G است. جبر لی  G، گروه  G را در حد «یکریختی موضعی» تعیین می‌کند، به گونه‌ای که دو گروه لی را موضعاً یکریخت نامند اگر نزدیک عنصر همانی شبیه هم باشند. مسائل مربوط به گروه‌های لی را اغلب، ابتدا با حل مسئله متناظرش در جبرهای لی حل کرده، سپس نتیجه آن برای گروه‌ها اغلب در پی آن به راحتی بدست می‌آیند. به عنوان مثال، برای رده‌بندی گروه‌های لی ساده، اغلب ابتدا به سراغ رده‌بندی جبرهای لی متناظرشان می‌روند.
همچنین ما می‌توانیم ساختار یک جبر لی روی  T_{e} را با استفاده از میدان‌های برداری ناوردای راست، به جای میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف کنیم. این منجر به جبر لی یکسانی می‌گردد، چرا که می‌توان جهت یکی‌سازی میدان‌های برداری ناوردای چپ با میدان‌های برداری ناوردای راست، از نگاشت معکوس روی گروه  G استفاده کرد که روی فضای مماس  T_{e} به عنوان ۱- عمل می‌کند.
همچنین، ساختار جبر لی روی  T_{e} را می‌توان به این صورت توصیف نمود که عمل جابجاگر:
(x,y)\rightarrow xyx^{-1}y^{-1}
روی  G\times G، عنصر  (e,e) را به  e می‌فرستد، چنان‌که مشتقش عملگر دوخطی روی  T_{e}G را نتیجه می‌دهد. این عملگر دوخطی در حقیقت نگاشت صفر است، اما مشتق دوم، تحت یکی‌سازی مناسبی از فضاهای مماس، منجربه عملگری می‌شود که در اصول موضوعه کروشه لی صدق کرده و دو برابر چیزی است که از طریق میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف می‌شود.