مقطع مخروطی
صفحات مقاطع مخروطی

برای تعیین اینکه منحنی ها/نقاطی که در بالا به عنوان مقاطع مخروطی به آنها اشاره شد در واقع زمانی رخ می‌دهند که یک مخروط یک صفحه را قطع می‌کند، در اینجا مخروط واحد را قطع می‌کنیم (مستقیم مخروط دایره ای)  K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2} با صفحه موازی با محور y. این یک محدودیت نیست زیرا مخروط به صورت چرخشی متقارن است. هر مخروط دایره‌ای سمت راست، تصویر پیوندی مخروط واحد  K_{1} است و بیضی‌ها/hyperbolas/parabolas/... با یک نقشه‌برداری affine به همان شکل برگردید. داده شده: صفحه  \varepsilon \colon ax+cz=d\ , مخروط  K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}. جستجو: تقاطع  \varepsilon \cap K_{1}.
Fall I: c=0 In diesem Fall ist die Ebene senkrecht und a\neq 0 und x=d/a . Eliminiert man x aus der Kegelgleichung, so erhält man z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2} .
Fall Ia:  d=0. In diesem Fall besteht der Schnitt aus dem Geradenpaar  t(0,1,\pm 1),\ t\in \mathbb {R} ..
Fall Ib:  d\neq 0. Die obige Gleichung beschreibt jetzt eine Hyperbel in der y-z-Ebene. Also ist auch die Schnittkurve  \varepsilon \cap K_{1} selbst eine Hyperbel.
Fall II: c\neq 0 . Eliminiert man z aus der Kegelgleichung mit Hilfe der Ebenengleichung, so erhält man das Gleichungssystem (1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.
Fall IIa: Für  d=0 geht die Ebene durch die Kegelspitze  (0,0,0) und Gleichung (1) hat jetzt die Gestalt  (c^{2}-a^{2})x^{2}+c^{2}y^{2}=0.
Für  c^{2}>a^{2} ist der Schnitt der Punkt  P_{0}=(0,0,0).
Für  c^{2}=a^{2} ist der Schnitt die Gerade  t(c,0,-a),\ t\in \mathbb {R} .
Für  c^{2}<a^{2} ist der Schnitt das Geradenpaar  t(c/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}},1,-a/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}),\ t\in \mathbb {R} .
Fall IIb: Für  d\neq 0 geht die Ebene nicht durch die Kegelspitze und ist nicht senkrecht.
Für  c^{2}=a^{2} geht (1) in  x=-{\frac {c^{2}}{2ad}}y^{2}+{\frac {d}{2a}} über und die Schnittkurve ist eine Parabel.
Für  c^{2}\neq a^{2} formen wir (1) um in  {\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{d^{2}c^{2}}}\left(x+{\frac {ad}{c^{2}-a^{2}}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{d^{2}}}y^{2}=1.
Für  c^{2}>a^{2} ergibt sich als Schnittkurve eine Ellipse und
für  c^{2}<a^{2} ergibt sich eine Hyperbel.
Parameterdarstellungen der Schnittkurven findet man in Weblink CDKG, S. 106–107.
Zusammenfassung:
Enthält die Schnittebene die Kegelspitze nicht, entstehen die nicht ausgearteten Kegelschnitte (s. Bild zu Ib, IIb), nämlich eine Parabel, eine Ellipse oder eine Hyperbel, je nachdem, ob die Kegelachse von der Schnittebene unter dem gleichen, einem größeren oder einem kleineren Winkel geschnitten wird als von den Mantellinien des Kegels.
Liegt hingegen die Kegelspitze in der Schnittebene, entstehen die ausgearteten Kegelschnitte (s. Bild zu Ia, IIa), und zwar ein Punkt (nämlich die Kegelspitze), eine Gerade (nämlich eine Mantellinie) oder ein sich schneidendes Geradenpaar, (nämlich zwei Mantellinien).
Parabel
Entsteht, wenn der Neigungswinkel  \beta  der Schnittebene gleich dem Neigungswinkel  \alpha  der Mantellinie des Kegels ist.
Ellipse
Entsteht, wenn der Neigungswinkel  \beta  der Schnittebene kleiner ist als der Neigungswinkel  \alpha  der Mantellinie des Kegels.
Hyperbel
Entsteht, wenn der Neigungswinkel  \beta  der Schnittebene größer ist als der Neigungswinkel  \alpha  der Mantellinie des Kegels.
Kreis
Entsteht, wenn die Achse des Kegels eine Orthogonale zur Schnittebene ist.
Punkt
Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelpitze verläuft.
Gerade
Entsteht, wenn die Schnittebene entlang der Mantellinie durch die Kegelspitze verläuft.
Geradenpaar
Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze und Mantelfläche verläuft.