ماتریس کوواریانس
برنامه های کاربردی > نقشه برداری کوواریانس

در نگاشت کوواریانس مقادیر  \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ) یا  \operatorname {pcov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {I} ) ماتریس به صورت یک نقشه دو بعدی رسم می شود. زمانی که بردارها  \mathbf {X}  و  \mathbf {Y}  توابع تصادفی گسسته هستند، نقشه روابط آماری بین مناطق مختلف توابع تصادفی را نشان می دهد. مناطق مستقل آماری توابع بر روی نقشه به صورت زمین مسطح سطح صفر نشان داده می شوند، در حالی که همبستگی های مثبت یا منفی به ترتیب به صورت تپه ها یا دره ها نشان داده می شوند.
در عمل بردارهای ستون  \mathbf {X} ,\mathbf {Y}  ، و  \mathbf {I}  به صورت تجربی به عنوان ردیف هایی از نمونه های nتایی به دست می آیند، به عنوان مثال
جایی که  X_{j}(t_{i}) i امین مقدار گسسته در نمونه j تابع تصادفی  X(t) است. مقادیر مورد نیاز در فرمول کوواریانس با استفاده از میانگین نمونه تخمین زده می شود، به عنوان مثال
و ماتریس کوواریانس توسط ماتریس کوواریانس نمونه تخمین زده می شود:
در جایی که براکت‌های زاویه‌ای نشان‌دهنده میانگین‌گیری نمونه هستند، به جز اینکه اصلاح بسل باید برای جلوگیری از سوگیری (BIAS) انجام شود . با استفاده از این تخمین ماتریس کوواریانس جزئی را می توان به صورت محاسبه کرد:
که در آن علامت backslash عملگر تقسیم ماتریس سمت چپ (LMD)را نشان می دهد که شرط معکوس کردن یک ماتریس را دور می زند و در برخی بسته های محاسباتی مانند Matlab موجود است .
شکل 1 نشان می دهد که چگونه یک نقشه کوواریانس جزئی بر روی نمونه ای از آزمایش انجام شده در لیزر الکترون آزاد FLASH در هامبورگ ساخته شده است.  تابع تصادفی  X(t) طیف زمان پرواز یون‌های حاصل از انفجار کولنی از مولکول‌های نیتروژن است که توسط یک پالس لیزر یونیزه شده‌اند. از آنجایی که تنها چند صد مولکول در هر پالس لیزر یونیزه می شوند، طیف های تک شات به شدت در نوسان هستند. با این حال، جمع آوری به طور معمول  m=10^{4} چنین طیف هایی،  \mathbf {X} _{j}(t) ، و میانگین آنها را بیش از حد  j یک طیف صاف تولید می کند توجه کنید به  \langle \mathbf {X} (t)\rangle  که با رنگ قرمز در پایین شکل 1 نشان داده شده است. طیف متوسط  \langle \mathbf {X} \rangle  چندین یون نیتروژن را به شکل پیک هایی که توسط انرژی جنبشی آنها گسترش یافته است نشان می دهد، اما برای یافتن همبستگی بین مراحل یونیزاسیون و گشتاور یونی نیاز به محاسبه یک نقشه کوواریانس است.
در مثال شکل 1 طیف  \mathbf {X} _{j}(t) و  \mathbf {Y} _{j}(t) یکسان هستند، با این تفاوت که محدوده زمان پرواز  t متفاوت است. پنل a نشان می دهد  \langle \mathbf {XY^{\rm {T}}} \rangle  ، پنل b را نشان می دهد  \langle \mathbf {X} \rangle \langle \mathbf {Y^{\rm {T}}} \rangle  و پنل c تفاوت آنها را نشان می دهد که  \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ) است (به تغییر در مقیاس رنگ توجه کنید). متأسفانه، این نقشه توسط همبستگی‌های غیر جالب و معمولی که توسط شدت لیزر در نوسان از عکسی به عکس دیگر ایجاد می‌شود، غرق شده است. برای سرکوب چنین همبستگی هایی شدت لیزر  I_{j} در هر شات ثبت می شود، قرار داده می شود و   \mathbf {I}  و  \operatorname {pcov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {I} ) به عنوان پانل های d و e محاسبه می شود. با این حال، سرکوب همبستگی‌های جالب ناقص است زیرا منابع دیگری از نوسانات حالت معمولی غیر از شدت لیزر وجود دارد و در اصل همه این منابع باید به صورت بردار  \mathbf {I}  بررسی شوند. با این حال در عمل اغلب کافی است که اصلاح کوواریانس جزئی را جبران کنیم همانطور که پانل f نشان می دهد، جایی که همبستگی های جالب لحظه ای یون اکنون به وضوح به صورت خطوط مستقیم متمرکز بر مراحل یونیزاسیون نیتروژن اتمی قابل مشاهده است.