کدهای گروهی
کدگشایی با پیشروهای هم مجموعه‌ای

برای تهیه الگویی برای کدگشایی، ساختار گروهی C را، همراه با هم مجموعه‌هایش در 
به کار می بریم. برای این منظور مراحل زیر را طی می کنیم:
ضمن شروع با هنصر همانی، عنصرهای کد گروهی C را در سطری فهرست می کنیم.
سپس عنصر x از Zn۲را چنان برمی گزینیم که در هیچ جای جدولی که تا اینجا درست کرده ایم ذکر نشده باشد و دارای وزن مینیمم باشد. سپس هناصر هم مجموعه x+C با x+c را مستقیما زیر c به ازای هر c∈C ثبت می کنیم.
گام ۲ را تا وقتی هم مجموعه‌ها افرازی از Zn۲ به دست دهند، تکرار می کنیم. این نتایج در جدولی موسوم به جدول کدگشایی گردآوری می‌شوند.
در این جدول، برای هر واژه دریافتی r، ستونی را به دست می آوریم که شامل r است و سه مؤلفه اول کدواژه c در بالای ستون را برای کدگشای r به کار می بریم.
جدول زیر با اعمال روش بالا به تابع کدگذاری 
E : Z۳۲→Z۶۲
است با تعریف روبرو بدست می‌آید:
E(w)=w.{\begin{bmatrix}1&0&0&1&1&0\\0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&1\end{bmatrix}}
 {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\\hline 111000&011110&101011&110101&001101&010011&100110&000000\\011000&111110&001011&010101&101101&110011&000110&100000\\101000&001110&111011&100101&011101&000011&110110&010000\\110000&010110&100011&111101&000101&011011&101110&001000\\111100&011010&101111&110001&001001&010111&100010&000100\\111010&011100&101001&110111&001111&010001&100100&000010\\111001&011111&101010&110100&001100&010010&100111&000001\\101100&001010&111111&100001&011001&000111&110010&010100\\\end{array}}
و ماتریس H که ترانهاده بخش بخش G است را چنین در می یابیم:
H={\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{bmatrix}}
بدین ترتیب برای واژه‌های دریافتی 
r۱ = 101001, r۲ = 111010, r۳ = 001001, r۴ = 111011
کدواژه‌های زیر معتبر خواهند بود
c۱ = 101001, c۲ = 111010, c۳ = 001001, c۴ = 111011
و پیام‌های زیر بدست می آیند:
w۱ = 101, w۲ = 111, w۳ = 001, w۴ = 101
در صورتی که C⊇Zn۲ کدی گروهی برای ماتریس بررسی زوجیت H باشد و r۱,r۲∈Zn۲ برای جدول هم مجموعه‌های C در Zm۲ ، r۱ ،
r۲ در یک هم مجموعه C هستند اگر و تنها اگر H.(r۱)tr = H.(r۲)tr
در واقع اگرr۱ و r۲ در یک هم مجموعه باشند، آن گاه
r۱ = x + c۱ و r۲ = x + c۲
که در آن x پیشرو هم مجموعه‌ای است و c۱و c۲ کدواژه‌های واقع در بالای ستون‌های مربوط به r۱ و r۲هستند، در این صورت :
زیراc۱ کدواژه است. همچنین H.(r۱)tr = H.xtr
پس نشانگان یکی است. از طرف دیگر:
یک کدواژه c است. پس r۱ + r۲ = c لذا r۱ = r۲ + c و 
r۱ ∈ r۲ + C چون r۲ ∈ r۲ + C داریم که r۱ و r۲ در یک هم مجموعه‌اند.
در این روش کدگشایی برای یافتن یک واژه باید تمام درایه‌های جدول تهیه شده را بررسی کرد که در مثال یاد شده این تعداد به 64 می‌رسد. هم چنین در C⊆Z۱۲۲ باید 4096 رشته را بررسی کنیم. همچنین حجم بیت‌های ذخیره شده، در C⊆Z۶۲ برابر با 384 بیت و در C⊆Z۱۲۲ برابر با 49152 بیت است. این وضعیت چندان مطلوب نیست. برای این منظور جدول زیر را تشکیل می دهیم:
{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\\hline 111000&011110&101011&110101&001101&010011&100110&000000&000\\011000&111110&001011&010101&101101&110011&000110&100000&110\\101000&001110&111011&100101&011101&000011&110110&010000&011\\110000&010110&100011&111101&000101&011011&101110&001000&101\\111100&011010&101111&110001&001001&010111&100010&000100&100\\111010&011100&101001&110111&001111&010001&100100&000010&010\\111001&011111&101010&110100&001100&010010&100111&000001&001\\101100&001010&111111&100001&011001&000111&110010&010100&111\\\end{array}}
که در سمت راست هر سطر پیشروهای هم مجموعه نشانگان هر سطر آمده‌است.اینک با دریافت واژه r با شیوه زیر اقدام به کدگشایی آن می کنیم:
نشانگان H.rtr را حساب می کنیم.
پیشرو هممجموعه x را در سمت چپ H.rtr پیدا می کنیم.
x را به r اضافه می کنیم تا c را بدست آوریم. (کدواژه c در دو رابطه  x = c+r و c = x+r صدق می‌کند.)
در نتیجه از جدول بالا به دو ستون سمت راست احتیاج داریم. که در مجموع 72 بیت حافظه نیاز دارد و این عدد در مقابل 384 بیت پیشرفت قابل توجهی به‌شمار می‌رود.(البته باید 18 بیت مربوط به H را نیز در نظر بگیریم که در مجموع می‌شود 90 بیت).
این فرآیند را کدگشایی به وسیله پیشروهای هم مجموعه می گویند.
وقتی به وسیله پیشروهای هم مجموعه‌ای کدگشایی می کنیم، اگرr∈Z۲n
واژه باشد و از r به صورت کدواژه c*
کدگشایی شود، در این صورت برای همه کدواژه‌های c
داریم: d(c*,r) ≤ d(c,r)۰