تاریخ مثلثات
توسعه > ریاضیات یونان

ریاضی‌دانان یونان باستان، از وتر  پاره‌خطی در دایره و روبروی یک زاویه مرکزی استفاده میکردند.  نصف وتر، برابر سینوس نصف زاویه مرکزی روبروی آن است:
و در نتیجه، تابع سینوس به عنوان نصف وتر، شناخته می‌شد. به دلیل این رابطه، تعدادی از اتحادهای مثلثاتی کنونی برای ریاضی‌دانان یونان باستان، البته در شکل دیگری شناخته شده بودند.
مثلثات در کارهای اقلیدس و ارشمیدس به وضوح دیده نمی‌شود، ولی برخی از قضیه‌های آنان به روشی هندسی ارائه شده‌اند که معادل با برخی قانون‌ها یا فرمول‌های مثلثاتی هستند. برای نمونه، گزاره‌های ۱۲ و ۱۳ کتاب دوم عناصر، قانون کسینوس‌ها به ترتیب برای زاویه‌های باز و تند هستند. قضیه‌هایی در مورد وتر، کاربرد قانون سینوس‌ها می‌باشند. قضیه ارشمیدس در وترهای شکسته، معادل رابطه‌های سینوس جمع و تفاضل دو زاویه است. برای جبران نبود جدول وترها، ریاضی‌دانان عصر آریستارخوس گاهی از رابطه‌ای که شکل نوین آن به صورت sinα/sinβ<α/β<tanα/tanβ برای زاویه‌هایی در بازه ۰°<β<α<۹۰° با نام نابرابری آرسیستارخوس شناخته می‌شود، استفاده می‌کردند.
ظاهراً نخستین جدول مثلثاتی توسط ابرخس نیقیه (۱۸۰ - ۱۲۵ پ.م) ایجاد شده و او به همین دلیل، اکنون با نام پدر مثلثات شناخته می‌شود. ابرخس نخستین کسی بود که مقدار کمان و وتر متناظر با مجموعه‌ای از زاویه‌ها را جدول‌بندی کرد.
هرچند که زمان آغاز استفاده از دایره °۳۶۰ در ریاضیات مشخص نیست، ولی می‌دانیم که دایره °۳۶۰ مدت کوتاهی پس از آن که آریستارخوس ساموسی مقاله در اندازه‌ها و فاصله‌های خورشید و ماه را نوشت، به ریاضیات معرفی شد. زیرا او زاویه را برحسب نسبتی از ربع دایره، اندازه‌گیری کرد. به نظر می‌رسد که استفاده عملی از دایره °۳۶۰ بسیار تحت تأثیر جدول وترهای ابرخس بوده‌است. ممکن است که ابرخس ایده این تقسیم‌بندی را از هیپسیکلس که پیشتر روز را به ۳۶۰ بخش، تقسیم کرده‌بود گرفته باشد. این تقسیم‌بندی روز احتمالاً توسط ستاره‌شناسان بابلی پیشنهاد شده‌است.
منلائوس اسکندریه سه کتاب اسفریکا را نوشت. در نخستین کتاب، بر پایه مثلثات صفحه‌ای اقلیدس، پایه‌ای برای مثلثات کروی قرار داد. او قضیه‌ای را که متناظر اقلیدسی ندارد، به این صورت برقرار نمود که دو مثلث کروی متجانس هستند، اگر زاویه‌های متناظر آن‌ها برابر باشند. ولی او بین مثلث‌های کروی متجانس و متقارن، تفاوتی قائل نشد. قضیه دیگر او، این است که جمع زاویه‌های یک مثلث کروی، از °۱۸۰ درجه بیشتر است. کتاب دوم اسفریکا هندسه کروی را در ستاره‌شناسی اعمال می‌کند و کتاب سوم، شامل قضیه منلائوس است. او بعدتر قانون مشهور شش مقدار را ارائه کرد.
مدتی پس از منلائوس، کلودیوس بطلمیوس وترهای دایره‌ای ابرخس را در کتاب المجسطی خود توسعه داد. المجسطی در اصل، کاری در زمینه ستاره‌شناسی است و ستاره‌شناسی وابسته به مثلثات می‌باشد. جدول وترهای بطلمیوس، اندازه وترهای یک دایره با قطر ۱۲۰ را به عناون تابعی از درجه در کمان متناظر در بازه ۱/۲ تا ۱۸۰ با گام ۱/۲ می‌دهد. ۱۳ کتاب المجسطی تأثیرگذارترین و مهم‌ترین کار مثلثاتی دوران باستان است. یک قضیه که اساس محاسبات وتری بطلمیوس بود، قضیه بطلمیوس است. بر پایه این قضیه، مجموع حاصل‌ضرب ضلع‌های روبرو در یک چهارضلعی محاطی برابر با حاصل‌ضرب دو قطر آن است. یک حالت خاص قضیه بطلمیوس، در گزاره ۹۳ کتاب داتای اقلیدس مشاهده می‌شود. قضیه بطلمیوس منجر به چهار رابطه جمع و تفاضل سینوس و کسینوس شد که اکنون با نام فرمول‌های بطلمیوس شناخته می‌شوند. هرچند که خود بطلمیوس، به جای سینوس و کسینوس از وتر استفاده کرد. بطلمیوس بعدتر رابطه نصف زاویه را نیز استخراج نمود.
بطلمیوس از این نتایج برای ساخت جدول‌های مثلثاتی حود بهره گرفت. ولی این که آیا این جدول‌ها از کار ابرخس گرفته شده‌اند، مشخص نیست.
اکنون اثری از هیچ یک از جدول‌های ابرخس و بطلمیوس وجود ندارد. ولی توصیفات سایر نویسندگان باستان، احتمال وجود آن‌ها را افزایش می‌دهد.