جریان جابجایی ماکسول
التزامات > عمومیت قانون مدار آمپر > جریان در خازن‌ها

مثالی که نیاز ما به جریان جابجایی را نشانی می‌دهد در رابطه با خازن‌هایی است که مادهٔ واسطی بین صفحاتش ندارد. خازن در حال شارژ نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. این خازن در یک مدار قرار دارد که بار را (در یک سیم خارج از خازن) از صفحهٔ سمت چپ به صفحه س سمت راست منتقل می‌کند و باعث شارژ شدن خازن و افزایش میدان الکتریکی بین صفحات می‌شود. همان جریان (مثلاً I) با خروج از صفحهٔ چپ، به صفحهٔ سمت راست وارد می‌شود. با وجود اینکه جریان از خازن عبور می‌کند، هیچ باری بین دو صفحه و توسط خلأ جابجا نمی‌شود. با این وجود یک جریان مغناطیسی، علاوه بر وجود یک جریان، بین صفحات قرار دارد. تعریف به این صورت است که جریان جابجایی ID در خلأ جریان پیدا می‌کند و میدان مغناطیسی بین دو صفحه را طبق قانون آمپر تولید می‌کند:
\oint _{C}B.dl=\mu _{0}I_{D}
که در آن:
\oint _{C} انتگراد روی خم بسته c،
B میدان مغناطیسی بر حسب تسلا،
dl حاصلضرب داخلی بردار،
µ۰ یک المان بسیار کوچک بر روی خم c، یعنی برداری که اندازه اش برابر با المان c و جهتش مماس با c است،
ثابت مغناطیسی است که به نام ضریب نفوذپذیری خلأ نیز شناخته می‌شود،
IDنیز جریان جابجایی ای است که از یک سطح کوچک که توسط خم c احاطه شده، می‌گذرد.
میدان مغناطیسی بین صفحات همانند میدان بیرون صفحات است، بنابراین جریان جابجایی باید برابر با جریان القایی در درون سیم‌ها باشد، یعنی،
I_{D}=I
که این عبارت مفهوم جریان فراتر از جابجایی بار بسط می‌دهد. این جریان جابجایی به شارژ شدن خازن مربوط است. فرض این جریان استوانهٔ فرضی باشد که صفحه سمت چپ را احاطه کرده‌است. جریان I به بیرون سطح سمت چپ استوانه L حرکت می‌کند، اما هیچ جریان هدایتی ای (انتقال بارهای حقیقی) از سطح سمت راست R عبور نمی‌کند. باید توجه داشت که میدان الکتریکی بین صفحات E، با افزایش بار خازن بیشتر می‌شود. این رفتاری است که توسط قانون گوس، بدون در نظر گرفتن مادهٔ دی الکتریک بین صفحات، تعریف می‌شود:
Q(t)=\epsilon _{0}\oint _{S}dS.E(t)
در رابطهٔ بالا S، سطح استوانهٔ فرضی است. اگر یک خازن با صفحات موازی، با میدان الکتریکی یکنواخت را در نظر بگیریم، و از اثرات لبه‌های صفحات صرف نظر کنیم، این رابطه بدست می‌آید:
{\frac {{\text{d}}Q}{{\text{d}}t}}=I=\epsilon _{0}\oint _{S}dS.{\frac {\partial E}{\partial t}}\approx -S\epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}
علامت منفی به دلیل این است که بار صفحه را ترک می‌کند (بار در حال کاهش است) و S مساحت صفحهٔ R است. میدان الکتریکی در صفحهٔ L صفر است زیرا میدان مربوط به بار در صفحهٔ سمت راست توسط بار مساوی اما مخالف بر روی صفحهٔ سمت چپ از بین می‌رود. با در نظر گرفتن توزیع یکنواخت میدان الکتریکی در درون خازن، چگالی جریان جابجایی با تجزیهٔ مساحت صفحات به دست می‌آید:
J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}=-{\frac {I}{S}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}
در این رابطه I جریانی است که صفحهٔ استوانه‌ای را ترک می‌کند (و باید برابر با –ID باشد تا برآیند دو جریان صفر شود) و JD شار بار بر واحد سطح به درون سطح استوانه‌ای از سطح R است.
با ترکیب این نتایج، در صورتی که عبارت چگالی جریان جابجایی به چگالی جریان هدایتی اضافه شده باشد، میدان مغناطیسی با استفاده از صورت انتگرالی قانون آمپر، و در نظر گرفتن سطح محیطی دلخواه به دست می‌آید (تساوی آمپر-ماکسول):
\oint _{\partial S}B.dl=\mu _{0}\int _{S}(J+\epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}).dS
این تساوی بیان می‌کند که انتگرال میدان مغناطیسی B حول یک حلقه ∂S برابر با مجموع جریان عبوری J از هر سطح دلخواه احاطه شده توسط حلقه به علاوه عبارت جریان جابجایی عبوری ε۰ ∂E / ∂t از همان سطح است. با اعمال تساوی آمپر-ماکسول برای سطح S1 رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}
همچنین با اعمال این قانون به سطح S2 که توسط خم احاطه شده اما بین دو صفحه قرار دارد، داریم:
B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}
هر صفحه‌ای که سیم را قطع کند، جریان I از آن عبور می‌کند بنابراین قانون آمپر مقدار صحیح میدان مغناطیسی را محاسبه می‌کند. همچنین هر صفحه‌ای که توسط همان حلقه احاطه شود، اما در فضای بین دو صفحه قرار گیرد، هیچ بار عبوری ندارد، اما عبارت ε۰ ∂E / ∂t منبع ثانویه‌ای برای میدان مغناطیسی در کنار جریان هدایتی بار است. به دلیل اینکه جریان الکتریکی بار را در صفحات خازن افزایش می‌دهد، میدان الکتریکی بین این صفحات افزایش پیدا می‌کند، و نرخ تغییرات میدان الکتریکی مقدار واقعی میدان مغناطیسی B را که در بالا پیدا شد، محاسبه می‌کند.