جسم افلاطونی
قضایا و ویژگی‌ها > اثبات هندسی

| نام فارسی | چهاروجهی منتظم | شش‌وجهی منتظم (مکعب) | هشت‌وجهی منتظم | دوازده‌وجهی منتظم | بیست‌وجهی منتظم |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| نام انگلیسی | Tetrahedron | Hexahedron (Cube) | Octahedron | Dodecahedron | Icosahedron |
| تعداد وجه‌ها | چهار تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) | شش تا چهارضلعی منتظم (مربع) | هشت تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) | دوازده تا پنج‌ضلعی منتظم | بیست تا سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) |
شِما: 
شکل گسترده: 
پویانمایی گسترش: 
| وجه‌ها در هر راس | سه تا | سه تا | چهار تا | سه تا | پنج تا |
دیاگرام راس: 
| مجموع زوایای بین اضلاع در هر راس | ۱۸۰° | ۲۷۰° | ۲۴۰° | ۳۲۴° | ۳۰۰° |
| تعداد راس | ۴ | ۸ | ۶ (۲ × ۳) | ۱۲ (۴ × ۳) | ۲۰ (۸ + ۴ × ۳) |
| تعداد ضلع | ۶ | ۱۲ | ۱۲ | ۳۰ | ۳۰ |
| آرایش راس‌ها | ۳٫۳٫۳ | ۴٫۴٫۴ | ۳٫۳٫۳٫۳ | ۵٫۵٫۵ | ۳٫۳٫۳٫۳٫۳ |
| نماد شلفلی | {۳, ۳} | {۴, ۳} | {۳, ۴} | {۵, ۳} | {۳, ۵} |
یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر
همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک رأس به هم می‌رسند «هرم رأس» گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعدهٔ این هرم ممکن است مسطح نباشد.
حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است.
اگر چندوجهی محدب باشد، مجموع زوایای مسطحه‌ای که در هر رأسش به هم می‌رسند، کمتر از ‎۳۶۰° است.
با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۶۰° = ۱۸۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۴ × ۶۰° = ۲۴۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است.
همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۵ × ۶۰° = ۳۰۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۶ × ۶۰° = ۳۶۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر نیست و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از ۳۶۰° بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت.
با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، شش‌وجهی منتظم (مکعب) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۹۰° = ۲۷۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم (مکعب) جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر رأس برابر ۴ × ۹۰° = ۳۶۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر نیست و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از ۳۶۰° بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت.
با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۱۰۸° = ۳۲۴° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.
با به‌هم رسیدن چهار پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۴ × ۱۰۸° = ۴۳۲° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر نیست و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از ۳۶۰° بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت.
با به‌هم رسیدن سه شش‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر ۳ × ۱۲۰° = ۳۶۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر نیست و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر ۳ × ۱۲۸° = ۳۸۵° و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد ۳ × ۱۳۵° = ۴۰۵° است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از چهاروجهی منتظم، شش‌وجهی منتظم (مکعب)، هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، و بیست‌وجهی منتظم.