stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
کره (هندسه)
تعریفات کره بر اساس حوزه ریاضیات > هندسه کروی

عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ "خط" ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.
بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.
هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، نقاط پادپای نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره
روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
طول قوس فرعی کمترین فاصله بین آنها روی کره باشد.
هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.
تعریفات کره بر اساس حوزه ریاضیات > هندسه دیفرانسیل

کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ r2 است.  طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi .
کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت.
کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :
این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.
در هندسه ریمانی ، حدس ناحیه پر شدن بیان می کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است .
منحنی روی یک کره > منحنی دایره ای(حلقه ای)

دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است.  دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.
سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم محور هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.
منحنی روی یک کره > لوکسودروم

در ناوبری ، خط رومب یا لوکسودروم کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.
منحنی روی یک کره > منحنی کلیا

منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است \varphi و همبستگی \theta معادله را برآورده کند
\varphi =c\;\theta ,\quad c>0
موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی ( c=1) و مارپیچ های کروی ( c>2) مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .
منحنی روی یک کره > مخروط های کروی

آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:
به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می گذرد.
به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.
بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.
منحنی روی یک کره > تقاطع یک کره با سطح عمومی تر

اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.
منحنی روی یک کره > تقاطع یک کره با سطح عمومی تر > مثال

تقاطع کره - استوانه
تقاطع کره با معادله \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;و استوانه با معادله \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است
مداد کروی

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به طور کلی، یک کره به طور منحصر به فردی با چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می شود.این ویژگی مشابه این ویژگی است که سه نقطه غیر خطی یک دایره منحصر به فرد را در یک صفحه تعیین می کنند. در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند). با بررسی راه حل های رایج معادلات دو کره می توان دریافت که دو کره در یک دایره قطع می شوند و صفحه حاوی آن دایره رادیکال نامیده می شود. صفحه ' کره های متقاطع. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند).اگر
f(x، y، z) = 0 و g( x، y، z) = 0
سپس  معادلات دو کره مجزا هستند پس : \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0
همچنین معادله یک کره برای مقادیر دلخواه پارامترهای λ و μ است. مجموعه تمام کره‌هایی که این معادله را برآورده می‌کنند «مداد کره‌ها» نامیده می‌شوند که توسط دو کره اصلی تعیین می‌شود. در این تعریف، کره مجاز است یک صفحه باشد (شعاع بی نهایت، مرکز در بی نهایت) و اگر هر دو کره اصلی صفحه باشند، تمام کره های مداد صفحه هستند، در غیر این صورت فقط یک صفحه (صفحه رادیکال) در آن وجود دارد. مداد.
خواص

یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل.
یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .
در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).
با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، صفحه رادیکال کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند).
زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد.
حجم کره

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
که در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.
حجم کره > اثبات حجم کره

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.
حجم استوانه=
\!V=(\pi r^{2}).(2r)=2\pi r^{3}
اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
V={\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}
که در اینجا r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.
حجم کره > محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).
اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:
پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:
در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:
با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:
پس به جای  s^{2} از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار  h^{2} است استفاده می‌کنیم:
مقدار تازهٔ  s^{2} را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:
مقدار انتگرال برابر است با:
حجم نیمی از کره برابر با  \!V={\frac {2}{3}}\pi r^{3} است پس حجم کل کره می‌شود:
حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:
 \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi
بنابراین حجم کره برابر با این رابطه است.
V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.
حجم کره > روش دیگر

حجم کره، حجمی است که توسط سطح و رویه کره محدود شده است و فضای کره را اشغال کرده است.
حجم کره > روش دیگر > اشتقاق ارشمیدسی

از نتیجهٔ قضیهٔ فیثاغورس داریم:
مساحت هر دیسک یا مساحت مقطع مخروط در هر برش عرضی از مقطع شکل برابر است با:
بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع  r میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه  r و ارتفاع  r به a مخروط (به طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه  r و ارتفاع  r حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادم
می توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش های بی نهایت با ضخامت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود.) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله  h از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.
شعاع  s این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می شود:
این برای محتوای رابط می دهد
از طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی  r و یک شعاع داخلی  h است. مساحت این تقاطع بنابراین
برای فاصله دلخواه  h تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.
اکنون می توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:
یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.
بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می کند:
حجم کره > روش دیگر > اشتقاق جایگزین

کره را می توان به بی نهایت هرم با ارتفاع  r (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:
V={\frac {O\,r}{3}}={\frac {(4\pi r^{2})r}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.
حجم کره > روش دیگر > استخراج با استفاده از حساب انتگرال

شعاع در فاصله  x:
ناحیه دایره ای در فاصله  x:
حجم کره V:
حجم یک قطعه کروی  V_{\mathrm {KS} } از ارتفاع  h را می توان به همین ترتیب محاسبه کرد:
حجم کره > روش دیگر > مشتقات بیشتر

کره ای با شعاع  R که مرکز آن در مبدا مختصات است، می تواند با معادله نمایش داده شود:
توضیح داده می شود که در آن  x,\ y,\ z مختصات فاصله هستند.
این مشکل را می توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:
ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می کنیم {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r~\sin \vartheta ~\cos \varphi \\r~\sin \vartheta ~\sin \varphi \\r~\cos \vartheta \end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq R,\ 0\leq \vartheta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ).
با تعیین عملکردی:
عنصر حجم مورد نیاز  \mathrm {d} V به عنوان نتیجه می‌شود:
بنابراین حجم کره به این صورت داده می شود:
امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:
اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای  \,\!\varphi  و  \,\!r به جای  \,\!x و  \,\!y. انگیزه این تحول، ساده سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است:  \mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\;\xrightarrow {\text{می‌شود}} \;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi
راه دیگر با کمک فرمول بدنه های انقلاب:
اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می شود. این را می توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.
فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست می‌دهد:
معادله به صورت دایره ای است:
با مرکز:
با وصل کردن معادله دایره، دریافت می کنیم"
با جایگزین کردن فرمول بدنه های چرخشی حول محور x، دریافت می کنیم:
مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:
حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:
هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:
چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:
از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:
که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:
در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت  dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi  و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت  dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-\sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}\Pi _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k بدست می‌آید.
مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:
مساحت کره > روش دیگر

سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می دهد. بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت  r است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همانطور که گفتیم برابر با  {A}=4\pi {r^{2}} است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایره‌ای است که کره را در بر می گیرد.برای یک حجم معین، کره کوچکترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.
مساحت کره > روش دیگر > محاسبه مساحت

اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:
لایه های هر کدام با ارتفاع  d باشد.
طولی که در خط استوا نیز  d از هم فاصله دارند.
و اجازه دهید  d برای  0 تلاش کند،
بنابراین طول  c هر سلول برعکس متناسب با  x است—یعنی با فاصله آن از محور مرکزی.
با این حال، عرض هر فیلد با  x متناسب است.
بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان های مربع مساحت یکسانی دارند.
مساحت خط استوا  d^{2} است ( c\cdot d که در آن  c به  d تمایل دارد زیرا  >{\frac {r}{x}} در خط استوا به  1 سریعتر از  d به  0 تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای  d^{2} هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد  {\frac {\text{size}}{d}}\cdot {\frac {\text{diameter}}{d}}={\frac {2\pi r\cdot 2r}{d^{2}}} در آنجا فیلد می‌شود مساحت کل همه فیلدها است:  {A}={4}\pi {r^{2}}.
مساحت کره > روش دیگر > مشتق جایگزین با استفاده از حجم کره

کره ای را می توان متشکل از بی نهایت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره  r است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول  V_{P}={\tfrac {1}{3}}Gh داده می‌شود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرم‌ها، یعنی حجم کره اعمال می‌شود:
بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:
مساحت کره > روش دیگر > مشتق جایگزین با استفاده از حجم یک کره و حساب دیفرانسیل

حجم کره بر اساس این فرمول V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}تعریف میشود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می شود:
این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می کند.
مساحت کره > روش دیگر > استخراج با استفاده از حساب انتگرال

به صورت انتگرالی اینگونه بدست می آید
برای سطح جانبی بدنه چرخشی:
مساحت کره > روش دیگر > استخراج با استفاده از حساب انتگرال در مختصات کروی

برای عنصر سطح روی سطوح  r = ثابت در مختصات کروی اعمال می شود:
این امر محاسبه سطح را آسان می کند:
کره احاطه شده توسط استوانه
نیم کرهٔ مورد بحث
نگارهٔ مربوط به روش دوم
شرونگوویتسه

| شرونگوویتسه | شرونگوویتسه |
| --- | --- |
روستا: روستا
Houses: Houses
شرونگوویتسه: شرونگوویتسه
مختصات: ۵۰°۲۷′ شمالی ۱۸°۲۱′ شرقی﻿ / ﻿۵۰٫۴۵۰°شمالی ۱۸٫۳۵۰°شرقی﻿ / 50.450; 18.350: مختصات: ۵۰°۲۷′ شمالی ۱۸°۲۱′ شرقی﻿ / ﻿۵۰٫۴۵۰°شمالی ۱۸٫۳۵۰°شرقی﻿ / 50.450; 18.350
کشور:  لهستان
استان: استان اوپوله
شهرستان: شهرستان ستژلتسه
گمینا: گمینا اویازد (استان اوپوله)
جمعیت: جمعیت
 • کل: ۶۴۰
شرونگوویتسه (به لهستانی:  Sieroniowice) یک روستا در لهستان است که در گمینا اویازد (استان اوپوله) واقع شده‌است. شرونگوویتسه ۶۴۰ نفر جمعیت دارد.
شریکان جنایت (فیلم ۱۹۳۷)

| شریکان جنایت | شریکان جنایت |
| --- | --- |
کارگردان: رالف مورفی
تهیه‌کننده: Harold Hurley
فیلمنامه‌نویس: گلادیس اونگر Garnett Weston
بازیگران: لین آورمن  چارلز سی. ویلسون هری سی. بردلی  ویلیام بورِس
فیلم‌بردار: هنری شارپ
تدوین‌گر: Eda Warren
شرکت تولید: پارامونت پیکچرز
توزیع‌کننده: Paramount Pictures
تاریخ‌های انتشار:  ۸ اکتبر ۱۹۳۷ (۱۹۳۷-۱۰-۰۸)  
مدت زمان: ۶۶ دقیقه
کشور: آمریکا
زبان: انگلیسی 
شریکان جنایت (انگلیسی: Partners in Crime) فیلمی آمریکایی به کارگردانی رالف مورفی است که در سال ۱۹۳۷ منتشر شد.[نیازمند منبع]
شرکت کشاورزی استرالیا

| 0 | 1 |
| --- | --- |
نوع: شرکت سهامی عام
نماد سهام شرکت: ASX: AAC
صنعت: کشاورزی
بنا نهاده: ۱۸۲۴؛ ۲۰۰ سال پیش (۱۸۲۴-خطا: زمان نامعتبر}})
دفتر مرکزی: بریزبن، کوئینزلند، استرالیا
تعداد کارکنان: ۵۰۰
وبگاه: www.aaco.com.au
شرکت کشاورزی استرالیا (انگلیسی: Australian Agricultural Company) شرکت صنایع کشاورزی استرالیایی است، که در سال ۱۸۲۴ تأسیس شد.
سی‌اس‌اس شنندوا

| 0 | 1 |
| --- | --- |
پیشینه: پیشینه
مالک: 
آغاز کار::  ۱۷ اوت ۱۸۶۳
به دست آورده شده::  ۲۵ نوامبر ۱۸۶۳
مشخصات اصلی: مشخصات اصلی
وزن::  1160 tons
درازا::  ۲۳۰ فوت (۷۰ متر)
پهنا::  ۳۲٫۵ فوت (۹٫۹ متر)
آبخور::  ۲۰ فوت ۶ اینچ (۶٫۲۵ متر)
سرعت::  ۸ گره (۱۵ کیلومتر بر ساعت)
سی‌اس‌اس شنندوا (به انگلیسی: CSS Shenandoah) یک کشتی بود که طول آن ۲۳۰ فوت (۷۰ متر) بود. این کشتی در سال ۱۸۶۳ ساخته شد.
سیریاک

| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 :  
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
نام کامل:  Gohi Bi Zoro Cyriac Sede
زادروز:  ۵ اوت ۱۹۹۰ ‏(۳۴ سال)
زادگاه:  دالوا، ساحل عاج
قد:  ۱٫۷۲ متر (۵ فوت ۷ ۱⁄۲ اینچ)
پست:  مهاجم
اطلاعات باشگاهی: اطلاعات باشگاهی
باشگاه کنونی:  اوستنده
شمارهٔ پیراهن:  ۱۶
باشگاه‌های جوانان: باشگاه‌های جوانان
۲۰۰۴–۲۰۰۷:  باشگاه فوتبال ای‌اس‌ای‌سی میموزاز
باشگاه‌های حرفه‌ای*: باشگاه‌های حرفه‌ای*
| سال‌ها |  باشگاه‌ها |  بازی† |  (گل)† |
| ۲۰۰۷–۲۰۰۸'"`UNIQ--ref-۰۰۰۰۰۰۰۰-QINU`"' |  باشگاه فوتبال ای‌اس‌ای‌سی میموزاز |  ۲۴ |  (۸) |
| ۲۰۰۸–۲۰۰۹ |  باشگاه فوتبال چارلتون اتلتیک |  ۰ |  (۰) |
| ۲۰۰۹–۲۰۱۲ |  استاندارد لیژ |  ۴۸ |  (۱۶) |
| ۲۰۱۲–۲۰۱۵ |  اندرلشت |  ۵۰ |  (۸) |
| ۲۰۱۵– |  اوستنده |  ۵۴ |  (۱۸) |
| ۲۰۱۷ |  ← باشگاه فوتبال فولام (قرضی) |  ۹ |  (۱) |
تیم ملی‡: تیم ملی‡
| ۲۰۱۳– |  تیم ملی فوتبال ساحل عاج |  ۷ |  (۲) |
 تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲۲:۳۰, ۳ آوریل ۲۰۱۷ (UTC).   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۴ آوریل ۲۰۱۷:  تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲۲:۳۰, ۳ آوریل ۲۰۱۷ (UTC).   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۴ آوریل ۲۰۱۷
گوهی بی زورو سیریاک سِده (انگلیسی: Gohi Bi Zoro Cyriac Sede؛ زادهٔ ۵ اوت ۱۹۹۰) یا به اختصار سیریاک؛ بازیکن فوتبال اهل ساحل عاج است که در پست مهاجم برای اوستنده در لیگ برتر فوتبال بلژیک بازی می‌کند.
از باشگاه‌هایی که در آن بازی کرده‌است می‌توان به استاندارد لیژ، باشگاه فوتبال ای‌اس‌ای‌سی میموزاز، اندرلشت، باشگاه فوتبال اوستنده، و باشگاه فوتبال چارلتون اتلتیک اشاره کرد.
وی همچنین در تیم ملی فوتبال ساحل عاج بازی کرده‌است.
سی‌اس‌اس ریچموند

| 0 | 1 |
| --- | --- |
پیشینه: پیشینه
مالک: 
سفارش ساخت::  ۲۵ نوامبر ۱۸۶۲
آب‌اندازی::  ۱ مارس ۱۸۶۲
آغاز کار::  ۶ مه ۱۸۶۲
اعزام::  ۱ ژوئیه ۱۸۶۲
مشخصات اصلی: مشخصات اصلی
درازا::  ۱۷۲ فوت ۶ اینچ (۵۲٫۵۸ متر)
پهنا::  ۳۴ فوت (۱۰ متر)
آبخور::  ۱۲ فوت (۳٫۷ متر)
سرعت::  5 to 6 knots
سی‌اس‌اس ریچموند (به انگلیسی: CSS Richmond) یک کشتی بود که طول آن ۱۷۲ فوت ۶ اینچ (۵۲٫۵۸ متر) بود. این کشتی در سال ۱۸۶۲ ساخته شد.
سیریان راوه

سیریان راوه (فرانسوی: Cyrian Ravet‎؛ زادهٔ ۵ سپتامبر ۲۰۰۲) تکواندوکار اهل فرانسه است.
وی در مسابقات کشوری و بین‌المللی در مجموع برندهٔ ۴ مدال طلا، ۲ مدال برنز شده است.
شنگلی بالا

| شنگلی بالا اردو: شنگلی بالا پشتو: شنګلی بالاBare Shingalo | شنگلی بالا اردو: شنگلی بالا پشتو: شنګلی بالاBare Shingalo |
| --- | --- |
Town and Village: Town and Village
شنگلی بالاموقعیت در پاکستان: شنگلی بالاموقعیت در پاکستان
مختصات: ۳۴°۴۰′۳۹″ شمالی ۷۲°۵۹′۰۴″ شرقی﻿ / ﻿۳۴٫۶۷۷۵۰°شمالی ۷۲٫۹۸۴۴۴°شرقی﻿ / 34.67750; 72.98444: مختصات: ۳۴°۴۰′۳۹″ شمالی ۷۲°۵۹′۰۴″ شرقی﻿ / ﻿۳۴٫۶۷۷۵۰°شمالی ۷۲٫۹۸۴۴۴°شرقی﻿ / 34.67750; 72.98444
کشور:  پاکستان
ایالت: خیبر پختونخوا
ناحیه: ناحیه بتگرام
تحصیل: تحصیل بتگرام
شورای اتحادیه: Gijbori
اداره پست: Shingli bala
ارتفاع: ۱۰۱۰ متر (۳۲۳۲ فوت)
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی ۵ (ساعت رسمی پاکستان)
کد منطقه: ۰۹۹۷
شنگلی بالا (به انگلیسی: Shingli Bala) یک منطقهٔ مسکونی در پاکستان است که در خیبر پختونخوا واقع شده‌است. شنگلی بالا ۱٬۰۱۰ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
شهرستان دونگوانگ

| شهرستان دونگوانگ 东光县 | شهرستان دونگوانگ 东光县 |
| --- | --- |
شهرستان‌های جمهوری خلق چین: شهرستان‌های جمهوری خلق چین
موقعیت شهرستان دونگوانگ در نقشه: موقعیت شهرستان دونگوانگ در نقشه
Cangzhou in Hebei: Cangzhou in Hebei
مختصات: ۳۷°۵۴′ شمالی ۱۱۶°۴۵′ شرقی﻿ / ﻿۳۷٫۹۰۰°شمالی ۱۱۶٫۷۵۰°شرقی﻿ / 37.900; 116.750: مختصات: ۳۷°۵۴′ شمالی ۱۱۶°۴۵′ شرقی﻿ / ﻿۳۷٫۹۰۰°شمالی ۱۱۶٫۷۵۰°شرقی﻿ / 37.900; 116.750
کشور: People's Republic of China
استان‌های جمهوری خلق چین: هبئی
شهر مرکزی: کانگجو
County seat: Dongguang Town (东光镇)
مساحت[نیازمند منبع]: مساحت[نیازمند منبع]
 • کل: ۷۱۰ کیلومتر مربع (۲۷۰ مایل مربع)
ارتفاع: ۱۶ متر (۵۱ فوت)
جمعیت[نیازمند منبع]: جمعیت[نیازمند منبع]
 • کل: ۳۵۰٬۰۰۰
 • تراکم: ۴۹۰/کیلومتر مربع (۱۳۰۰/مایل مربع)
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی +۸ (زمان چین)
Postal code: 061600
کد منطقه: 0317
شهرستان دونگوانگ (به لاتین: Dongguang County) یک منطقهٔ مسکونی در چین است که در کانگجو واقع شده‌است. شهرستان دونگوانگ ۷۱۰ کیلومتر مربع مساحت و ۳۵۰٬۰۰۰ نفر جمعیت دارد و ۱۶ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
شرکت رد بول

| 0 | 1 |
| --- | --- |
نوع: شرکت سهامی عام
صنعت: نوشیدنی
بنا نهاده: ۱۹۸۴
بنیانگذاران: دیتریش ماتسشیتز  شالیو یوویدهیا
دفتر مرکزی:  فوشل ام سی، اتریش
محدودهٔ فعالیت: جهانی
رئیس هیئت مدیره: دیتریش ماتسیتس
محصولات: ردبول نوشابه‌های انرژی‌زا
درآمد:  ۴٫۲ € میلیارد یورو (۲۰۱۱)
سود خالص:  ۶۵۰ € میلیون یورو (۲۰۱۱)
تعداد کارکنان: ۸٫۲۹۴ نفر (۲۰۱۱)
شرکت‌های وابسته: تیم مسابقه ردبول باشگاه فوتبال نیویورک رد بولز باشگاه فوتبال ردبول سالزبورگ باشگاه فوتبال آر بی لایپزیگ
وبگاه: www.Redbull.com
ساختمان مرکزی شرکت رد بول
شرکت رد بول (به انگلیسی: Red Bull GmbH) شرکت نوشیدنی اتریشی است، که در زمینه تولید محصول ردبول و نیز سایر نوشابه‌های انرژی‌زا فعالیت می‌کند. این شرکت همچنین دارای فعالیت گسترده‌ای در مسابقات اتومبیل‌رانی فرمول یک می‌باشد و دارای چندین باشگاه ورزشی در کشورهای مختلف است، همچنین به‌عنوان حامی مالی در ورزش‌های مخاطره‌آمیز نیز فعالیت می‌نماید.
شرکت رد بول در سال ۱۹۸۴ با مشارکت کارآفرین اتریشی؛ دیتریش ماتسیتس و بازرگان تایلندی؛ شالیو یوویدیا راه‌اندازی شد و در حال حاضر محصولات خود را به ۱۶۱ کشور جهان عرضه می‌دارد.
دفتر مرکزی این شرکت در شهر فوشل ام سی، اتریش قرار دارد و دفتر بین‌المللی آن نیز در تایلند مستقر می‌باشد. شرکت رد بول هم‌اکنون مالک تیم مسابقه ردبول، باشگاه فوتبال نیویورک رد بولز، باشگاه فوتبال ردبول سالزبورگ و باشگاه فوتبال لایپزیگ و اسکودریارتورو روسو به‌شمار می‌آید.
شهرستان ویلکینسون

شهرستان ویلکینسون (به انگلیسی: Wilkinson County) ممکن است به یکی از موارد زیر اشاره داشته باشد:
شهرستان ویلکینسون، جورجیا
شهرستان ویلکینسون، میسیسیپی