بیضی
تاریخ > رنسانس و قرون جدید

| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| سیاره | نیم‌قطر بزرگ (نسبت به زمین)  a | برون‌مرکزی  e | زاویهٔ صفحهٔ مدار سیاره (نسبت به زمین)  i |
| عطارد |  0.387 |  0.206 |  7^{\circ }00' |
| زهره |  0.723 |  0.007 |  5^{\circ }24' |
| زمین |  1.000 |  0.017 |  0^{\circ }00' |
| مریخ |  1.881 |  0.093 |  1^{\circ }51' |
| مشتری |  11.857 |  0.048 |  1^{\circ }18' |
| زحل |  29.42 |  0.056 |  2^{\circ }29' |
| اورانوس |  83.75 |  0.046 |  7^{\circ }00' |
| نپتون |  163.72 |  0.009 |  1^{\circ }46' |
منبع: University of Denver   2002: منبع: University of Denver   2002
علاقه به مطالعهٔ مقاطع مخروطی پس از ارشمیدس و آپولونیوس در اروپای تحت کنترل امپراتوری روم و سپس کلیسای کاتولیک فروکش کرد و تا قرن شانزدهم میلادی پیشرفتی در این مورد روی نداد.
نخستین نشانهٔ علاقهٔ جدید به مقاطع مخروطی را در لورنزو والا (۱۴۰۷ – ۱۴۶۷ میلادی) می‌توان یافت. کتاب والا، گونه‌ای دائرةالمعارف در مورد علوم مقدماتی است. در فصل سوم از کتاب هشتم بخشی با عنوان «مقاطع مخروطی» هست که در آن والا توضیحی کوتاه در مورد مساعی اقلیدس، آپولونیوس، و پاپوس می‌دهد. دو دهه بعد از والا، یوهانس ورنر پژوهش‌هایی در باب مقاطع مخروطی کرد، ولی در آثار او نامی از بیضی نیامده‌است.
به گفتهٔ اروین پانوفسکی، طرح اجرانشدهٔ میکل آنژ برای مقبرهٔ پاپ ژولیوس دوم (طراحی شده در ۱۵۰۵ میلادی) به شکل بیضی بوده‌است، ولی اثری از این طرح نمانده. اولین نشانه‌های شکل بیضی در معماری غربی در آثار بالداساره پروتزی (۱۴۸۱ – ۱۵۳۷ میلادی) دیده می‌شود. پس از اینکه سباستیانو سرلیو آثار پروتزی را در کتاب هفت رسالهٔ معماری (انتشار در ۱۵۴۷ میلادی) بررسی کرد، استفاده از الگوهای بیضوی در معماری اروپا گسترش یافت.
بااین‌وجود بیضی در میان نقاشان رنسانس، احتمالاً به‌خاطر مطالعات ایشان در باب ژرفانمایی شناخته‌شده بود. لئوناردو دا وینچی خود ابزاری برای ترسیم بیضی ساخت و آلبرشت دورر، که از ابزار بیضی‌کِشی دا وینچی باخبر بود، روشی بر اساس تصویرسازی موازی برای ترسیم بیضی ابداع کرد.
در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزیاش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره است؛ این امر با داده‌های ریاضی موجود نمی‌خوانْد و کوپرنیک خود از این نارسایی مدلش آگاه بود.

در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خایوی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود.
تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م) با تکیه بر مشاهداتش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پایتخت امپراتوری مقدس روم پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.
بنابر قانون اول کپلر، خورشید همواره روی یکی از کانون‌های این بیضی قرار دارد.
عبارت «کانون بیضی» را هم (که مفهوم آن را سده‌ها پیش آپولونیوس بیان کرده بود) کپلر نخستین بار در سال ۱۶۰۹ در کتاب ستاره‌شناسی نوین به کار برد. به نوشتهٔ کپلر در این کتاب، خورشید موتوری است که نیروی لازم برای حرکت سیاره‌ها را فراهم می‌کند و سرعت سیاره‌ها با نزدیک شدن به خورشید در خم مدارشان بیشتر می‌شود.
در سال ۱۵۷۸ میلادی، اسقف کلیسای انطاکیه آثاری شرقی را به فردیناندو دو مدیچی تقدیم کرد که در میان آن‌ها نسخه‌ای از مخروطات با ویرایش و اضافات ابوالفتح اصفهانی بود. مسئول کتابخانهٔ فردیناندو، جیووانی باتیستا از اهمیت مخروطات آگاه بود و بر آن بود که ترجمه‌ای از آن را منتشر کند، ولی پیش از انجام این کار درگذشت. گالیلئو گالیله نیز در چندین نامه خبر از قصدش برای ترجمهٔ مخروطات به لاتین داده بود اما به‌نظر تلاش چندانی در این زمینه انجام نداده‌است. در نهایت در سال ۱۶۶۱ ریاضی‌دان ایتالیایی جووانی آلفونسو بورلیِ با کمک کشیش مارونی ابراهیم حاقلانی موفق به ترجمه و چاپ مخروطات به لاتین شد. از آنجا که ابوالفتح اصفهانی در ترجمه‌اش قضایای مختلف را با هم ترکیب کرده بود و وفاداری چندانی به نسخهٔ اصلی آپولونیوس نداشت، ترجمهٔ لاتین بورلی تفاوت‌های متعددی با نسخهٔ اصلی مخروطات دارد.
همزمان دو نسخهٔ عربی دیگر از مخروطات به اروپا رسید. یکی نسخه‌ای نفیس از مخروطات بنوموسی (که امروزه در گنجینهٔ کتابخانه بادلین دانشگاه آکسفورد نگهداری می‌شود) و دیگری نسخه‌ای با ویرایش و اضافات عبدالملک شیرازی. ژاکوب گولیوس توانست هر دو نسخه را قرض بگیرد و نسخه‌ای کپی از روی آن‌ها بنویسد. گولیوس سپس، احتمالاً با کمک رنه دکارت، دست به ترجمهٔ مخروطات زد، ولی آن را چاپ نکرد و این اثر تا سی سال پس از مرگش در ۱۶۶۷ چاپ نشد. در نهایت ورثهٔ گولیوس در ۱۶۹۶ آثار او از جمله ترجمهٔ مخروطات را فروختند.
ریاضی‌دانان فرانسوی ژرار دوسارگ و بلز پاسکال مطالعهٔ مقاطع مخروطی را به فراتر از دانسته‌های یونانیان باستان گسترش دادند. ریاضی‌دان هم‌وطن آنان کلود میدورژ نیز اثبات‌های آپولونیوس را به شیوه‌ای سیستماتیک مدون کرد. در سال ۱۶۴۷ (کمتر از یک دهه پس از انتشار اثر میدورژ)، گرگوآر د سن-ویسنت نیز کتاب خود را با عنوان «اثر چهاربخشی هندسی: دایره و مقاطع مخروط» منتشر کرد. در این کتاب هر مقطع مخروطی بخش مخصوص خودش را دارد و تعدادی قضیه دربارهٔ هر یک اثبات شده‌است. بخش مربوط به بیضی مشتمل بر ۲۰۴ قضیه است. سن-وینسنت بیضی را به شیوهٔ ارشمیدس تعریف می‌کند.
یوهان د ویت هلندی (۱۶۲۵–۱۶۷۲ میلادی) هم بخش اول رساله‌ای که در ۱۶۵۸ چاپ کرد را به مقاطع مخروطی اختصاص داده‌است و بیضی را با روشی بدیع به عنوان مکان هندسی نقاطی با فاصلهٔ ثابت از یک خط و یک نقطه تعریف می‌کند. د ویت که تحت تأثیر دکارت بود تلاش داشت یافته‌های هندسی یونانیان را با نمادهای جبری بیان کند. بااین‌حال نقش اصلی در توسعهٔ هندسهٔ دکارتی بر عهدهٔ شاگرد دوسارگ فیلیپ دو لا هیر بود. لا هیر، در اثری که به خزانه‌دار فرانسه ژان-باتیست کولبر تقدیم شده‌است، اصول هندسی را به زبان ساده و آسان توضیح می‌دهد. هر مقطع مخروطی در فصل مخصوص خود بررسی شده‌است. بیضی به عنوان مکان هندسی نقاطی با مجموع ثابت فواصل از دو نقطه تعریف می‌شود و ویژگی‌های خط مماس، قطرهای مزدوج، و معادلهٔ آن بیان شده‌است و پس از آن بحثی در مورد مختصات دکارتی مقاطع مخروطی آمده‌است.
رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود.
بااین‌حال مهم‌ترین اثر لا هیر «مقاطع مخروطی» نام دارد و از نُه کتاب تشکیل شده‌است. لا هیر در کتاب ۲ مخروط را به شیوهٔ آپولونیوس بیان می‌دارد و تعریف‌های جدیدی (از جمله directrix یا «خط هادی»، به عنوان خطی که با تبدیل بیضی به دایره به سمت بینهایت میل می‌کند) را نیز ارائه می‌کند. در کتاب ۳ معادلهٔ مقاطع مخروطی حاصل می‌شود و بقیهٔ اثر هم کم‌وبیش به شرح آرای آپولونیوس می‌پردازد.
نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی علاقهٔ خاصی به مقاطع مخروطی نشان می‌دهد و آن‌ها را «مسیر» می‌نامد.
نیوتن با روشی که امروزه به «ساخت طبیعی نیوتن» موسوم است «مسیر» ها را با داشتن پنج نقطه تعریف می‌کند. سپس با استفاده از نگاشت خطی هر مسیر را با داشتن چهار نقطه و یک خط مماس، سه نقطه و دو خط مماس، و یک نقطه و چهار خط مماس تعریف می‌کند.
مساعی آپولونیوس در باب مقاطع مخروطی، به‌ویژه مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.
همچنین نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و قوانین نیوتن مدار حرکت سیاره‌ها در بیضی کپلر را ثابت کرد.
بین سال‌های ۱۶۸۲ و ۱۷۰۵، ادموند هالی به منظور اثبات قوانین کپلر و قوانین نیوتن مشاهدات دقیقی را از حرکت دنباله‌داری که امروزه با نام او شناخته می‌شود انجام داد. نیوتن و هالی ثابت کردند که این دنباله‌دار در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد و پیش‌بینی کردند که در ۱۷۵۸ در آسمان نمایان خواهد شد.
نیوتن همچنین در اصول ریاضی فلسفه طبیعی بیش‌بینی کرد که شکل کرهٔ زمین کروی نیست و به شکل گوی‌وار پَخ (حجمی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل می‌شود) است. در ۱۷۳۶، دانشمند فرانسوی پی‌یر لوئی موپرتوئی به پشتیبانی لوئی پانزدهم سفری تجسسی به لاپ‌لند انجام داد و این نظریهٔ نیوتن را ثابت کرد.
هالی همچنین تلاش داشت با مقابلهٔ نسخه‌های بنوموسی، اصفهانی، و شیرازی مخروطات آپولونیوس را دقیقاً «بازسازی» کند و به همین منظور زبان عربی را آموخت. در سال ۱۷۱۰ نسخهٔ هالی از مخروطات با عنوان مقاطع مخروطی آپولونیوس پرگا از نسخ عربی به چاپ رسید. تا زمان ترجمهٔ توماس هیت از مخروطات در سال ۱۸۹۶، ترجمهٔ هالی نسخهٔ استاندارد و آموزشی این اثر باقی ماند.