بلز پاسکال
ابداعات در ریاضی

علاوه بر دستاوردهای دوران کودکی‌اش، پاسکال در بقیه زندگی‌اش نیز بر دانش ریاضی تأثیر گذاشت. در سال ۱۶۵۳، پاسکال رساله‌ای به نام «در باب مثلثات حساب» (به فرانسوی: Traité du triangle arithmétique) نوشت که در آن یک صورت جدولی راحت برای ضرایب دوجمله‌ای شرح داد که امروزه مثلث پاسکال نامیده می‌شود. یانگ هو ریاضی‌دان چینی از سلسله کین ۴ قرن پیش از پاسکال به مسئله‌ای مشابه مثلث پاسکال پرداخته بود.
در سال ۱۶۵۴ پاسکال تحت تأثیر یکی از دوستانش شوالیه دو مره که به مسائل قمار و شرط‌بندی علاقه داشت، با فرما در این باب مکاتبه کرد و نتیجه آن مکاتبات تئوری احتمالات در ریاضی بود؛ و مشکل مورد نظر وی این بود که دو بازیکن قمار که بازی را زودتر ترک می‌کنند، با توجه به وضعیت موجود بازی، می‌خواهند با توجه به شانسشان برای بردن بازی، سهام را عادلانه تقسیم کنند. از این مبحث نظر امید ریاضی به وجود آمد. پاسکال بعدها (در «تفکرات») از استدلال‌های احتمالی استفاده می‌کرد، (شروط پاسکال)، تا ایمان و اعتقاد به خدا و زندگی زاهدانه را توجیه کند. کارهای ارزشمند فرمت و پاسکال در احتمالات و ریاضیات مبنایی بسیار مهم برای لایبنیتس در خلق فرمول ریاضیات بسخردی محسوب می‌شود.
پاسکال پس از تجربیات عرفانیش در سال ۱۶۵۴، کارها و مطالعات خود در ریاضیات را رها کرد. با این حال پس از یک شب بی‌خوابی کشیدن در سال ۱۶۵۸، او به صورت ناشناس جایزه‌ای را برای انتگرال‌گیری عددی سیکلوئید اختصاص داد. ژان والیس، هایجین، کریستفر ورن و چندی دیگر راه‌حل‌هایی را ارائه دادند. پاسکال هم تحت نامی مستعار راه‌حل خود را ارائه داد. پس از آن‌که پاسکال خود را برنده اعلام کرد، مباحثات و مناقشات سختی درگرفت.
دستاورد مهم پاسکال در ارتباط با فلسفهٔ ریاضی مربوط به اثر وی به‌نام De l'Esprit géométrique (در باب مفهوم هندسه) بود که در ابتدا به عنوان مقدمه‌ای برای کتاب هندسه برای یکی از مدارس معروف «مدارس کوچک پورت‌رویال» (Les Petites-Ecoles de Port-Royal) نوشته شده بود. این کار برای مدت بیش از یک قرن از مرگ پاسکال انتشار نیافت. در این اثر پاسکال به مسئلهٔ کشف حقایق پرداخت و عنوان کرد که بهترین راه برای این کار این است که تمامی موضوعات را در مورد حقایق از قبل اثبات‌شده پیدا کرد. در عین حال وی عنوان کرد که این کار غیرممکن است چراکه برای اثبات این حقایق به اثبات رسیده به حقایق دیگری نیاز است و بنابراین اولین اصل قابل حصول نیست. بر این اساس، پاسکال عنوان کرد که روش‌های مورد استفاده در علم هندسه با اصول خاص آن و در نظر گرفتن موضوعات مرتبط با آن‌ها در حد امکان مناسب هستند. با این وجود راهی وجود نداشت که در مورد درستی اصول مطمئن شد.
پاسکال همچنین با استفاده از De l'Esprit géométrique یک تئوری در ارتباط با معنی بسط داد. وی دو گونه معنا را از هم متمایز ساخت، اولی معانی قراردادی هستند که توسط نویسنده طرح می‌شوند و دومی معانی‌ای هستند که در داخل زبان هستند و همه آن‌ها را می‌فهمند، و دلیل این است که مرجع به‌طور طبیعی مشخص است. نوع دوم ویژگی فلسفهِ ماهیت‌گرایی است. پاسکال ادعا کرد که تنها تعاریف گونهٔ اول در مورد علوم و ریاضی مهم هستند و عنوان کرد که در این زمینه‌ها باید فلسفهٔ صورت‌گرایی مطروحه توسط دکارت مورد استفاده قرار گیرد.
در کتاب De l'Art de persuader (در باب هنر قانع‌سازی)، پاسکال نگاهی دقیق‌تر به روش بدیهی هندسه داشت و خصوصاً به این مورد پرداخت که چگونه مردم در مورد اصول بدیهی‌که از آن‌ها نتیجه‌گیری می‌کنند قانع می‌شوند. پاسکال با میشل دو مونتنی هم‌عقیده بود که حصول اطمینان در مورد این بدیهیات و نتیجه‌گیری از طریق روش‌های بشری غیرممکن است. وی اظهار داشت که این اصول تنها از طریق شهود قابل درک است و این‌که این حقیقت لزوم تسلیم در برابر خداوند برای رسیدن به حقایق را مورد تأکید قرار می‌دهد.