شرایط پیمانه لورنتس
شرح

در الکترومغناطیس، شرایط لورنتس معمولاً از طریق پتانسیل‌های تاخیری در محاسبه‌های میدان‌های الکترومغناطیسی وابسته به زمان استفاده می‌شود.
به شرطی که:  \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0\!
که  A^{\mu } چهار- پتانسیل است، کاما بیانگر مشتق جزئی است و اندیس‌های مکرر نشان می‌دهد که قائده جمع انیشتین به کار رفته است. این شرط دارای ویژگی ناوردایی لورنتس است و همچنان مقدار قابل توجهی از درجه آزادی را باقی می‌گذارد.
در واقع نماد برداری و واحد SI این شرط این است که:
\nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.
که  {\vec {A}} بیانگر پتانسیل برداری مغناطیسی و  \,\varphi  پتانسیل الکتریکی است. همچنین تثبیت پیمانه را از نظر بگذرانید.
در واحد گاؤسی این شرط به این صورت است:
 \nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.
توجیهی که بلافاصله می‌توان از پیمانه لورنتس یافت، استفاده از معادله‌های ماکسول و رابطه بین پتانسیل برداری مغناطیسی و میدان مغناطیسی است:
 \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}
بنابراین داریم:
 \nabla \times ({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})=0
از آنجایی که کرل مساوی صفر است، این بدان معناست که یک تابع  \,\varphi  اسکالری وجود دارد که:  -\nabla \,\varphi ={\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}
به این ترتیب معادله معروف میدان الکتریکی به دست می‌آید:
{\vec {E}}=-\nabla \,\varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}
این استنتاج می‌تواند برای هرکدام از معادله‌های دیگر ماکسول هم اعمال شود،
 {\nabla \times {\vec {B}}}={\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})}={\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}}={\mu _{0}{\vec {J}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}={\mu _{0}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}\nabla {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}}
در نتیجه داریم:
\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}})=\mu _{0}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}{\vec {A}}
برای داشتن ناوردایی لورنتس، مشتق‌های زمانی و فضایی باید مثل هم رفتار کنند (یعنی از یک مرتبه باشند)، بنابراین مناسب است که شرط پیمانه لورنتس را برگزینیم که نتیجه زیر را در بر دارد:
\Box {\vec {A}}=\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {J}}
یک روش مشابه با تمرکز بر پتانسیل اسکالر الکتریکی و انتخاب همان پیمانه انتخاب شده نتیجه خواهد داد:
\Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,.
این فرم‌ها ساده‌تر و متقارن تر از معادله‌های ناهمگن ماکسول هستند.
همچنین توجه داشته باشید که پیمانه کولن مشکل ناوردایی لورنتس را رفع می‌کند اما با مشتق‌های مرتبه اول یک بخش گشتاوری باقی می‌گذارد.
در اینجا  c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}} سرعت نور در خلأ است، و  \Box  عملگر دالامبرین است.
در نگاه اول به شکلی جالب وغیر منتظره، این معادله‌ها نه تنها در شرایط خلأ بلکه در رساناهای قطبی هم معتبر هستند. اگر  \rho  و  {\vec {J}} به ترتیب، چگالی چشمه و چگالی جریان در میدان الکترومغناطیسی القایی  {\vec {E}},  {\vec {B}}\,, باشند، مثل همیشه از  \,\varphi  و  {\vec {A}} معادلات  {\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}} و  {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}\,. محاسبه می‌شود.
راه حل‌های آسان برای  \,\varphi  و  {\vec {A}} - منحصر به فرد، در صورتی که همهٔ مقادیر باسرعت کافی در بینهایت از بین بروند- به پتانسیل‌های تأخیری معروفند.