رفتار حرارتی اسپیندل
نمایش تغییر شکل گرمایی در طی یک حالت گذرا

در ماشین ابزار، بدنهٔ کلگی در راستای محوری Z حرکت می‌کند. اسپیندل و سیستم‌های رانندهٔ آن روی بدنهٔ کلگی سوار شده‌اند. یک موتور اسپیندل، اسپیندل را از طریق یک تسمه می‌راند. یم سیلندر در قسمت بالایی بدنهٔ کلگی نصب شده‌است که به عنوان قید و بست در روی اسپیندل استفاده می‌شود.
ماشین کاری با سرعت و کیفیت بالا با مشخصه‌های ماشین کاری مرده و قالبی معمولاً سرعت برش کمتر از 2m/min دارد؛ بنابراین، تغییر شکل گرمایی در اثر چرخش با سرعت بالایاسپیندل بسیار مهم است. به خصوص همان‌طور که در شکل 11-b نشان داده شده، منبع گرمایی فقط در اسپیندل نیست، بلکه در بدنهٔ کلگی متمرکز شده‌است؛ بنابراین، سیستم رانندهٔ تسمه‌ای گرمایی بیشتری نسبت به یاتاقان آزاد می‌کند؛ و معمولاً منبع گرمایی اصلی فرض می‌شود.
چون سیستم راننده در بدنه بسته می‌شود، گرما نمی‌تواند به سرعت خارج شود؛ و این باعث گرادیان دمای زیاد بین نقاط P0 و P1 می‌شود. نتایج آزمایش روی خطاهای گرمایی برای این مرکز ماشین کاری در شکل ۱۲ نشان داده می‌شوند. تغییر شکل گرمایی در نقطهٔ P3 با یک سنسور اندازه‌گیری می‌شود؛ که نقطهٔ P3 در فاصلهٔ ۱۵۰ میلی‌متری از دماغهٔ اسپیندل قرار دارد.
اسپیندل در یک سرعت ثابت 4000 rpm برای ۱۰۸۰۰ ثانیه می‌چرخد سپس برای ۷۲۰۰ ثانیه متوقف می‌شود. دوباره برای ۳۶۰۰ ثانیه با شرایط قبلی شروع به کار می‌کند. چون مرکز ماشین کاری متناسب با محور X است، خطای گرمایی در راستای X نسبت به خطای گرمایی در راستای Y و Z کوچک است؛ بنابراین، تغییر شکل‌های گرمایی در راستای Y و Z بررسی می‌شوند.
همان‌طور که در شکل ۱۲ نشان داده شده، اسپیندل پس از شروع به کار در محور Z کشیده می‌شود. این کشش به معنی گسترش در جهت منفی است. اسپیندل پس از توقف به حالت قبلی خود بازمی‌گردد، و سپس دوباره با چرخش کشیده می‌شود.
تغییرات دمایی که با ترموکوپلی متصل به بدنهٔ کلگی نزدیک به دماغهٔ اسپیندل محاسبه می‌شود، رفتاری مشابه خطای گرمایی دارد؛ که این یک رابطهٔ خطی بین دما و تغییر شکل گرمایی به دست می‌دهد که برای خنثی کردن گرمایی مثبت است.
از سوی دیگر، خطای گرمایی در راستای Y نامشخص است. نقطهٔ P3 برای مدت کوتاهی پس از شروع به چرخش، در مسیر منفی حرکت می‌کند؛ و سپس به سمت مثبت می‌رود. به علاوه، از آنجا که دما طی زمان تلف شده کاهش می‌یابد، با وجود دو زمان تلف شده، خطای گرمایی به‌طور معکوس افزایش می‌یابد. برای روشن شدن موضوع، رابطهٔ بین دما و تغییر شکل گرمایی در شکل ۱۳ نشان داده شده‌است. خطا در راستای Z به ظاهر خطی است. در حالیکه خطا در راستایY با تغییرات دما رابطه‌ای ندارد. این رفتار آشفته به علت اثر خمش گرمایی است. خمش گرمایی به علت گرادیان دما در سازه رخ می‌دهد، که شبیه به تغییر شکل خمش در اثر یک ممان اعمال شده بر روی تیر است. در مورد شکل 11-b، منبع گرمایی (مانند موتور یا سیستم رانندهٔ تسمهای) در قسمت بالای بدنهٔ کلگی قرار دارد و روغن قسمت پایین اسپیندل را خنک می‌کند. این یک گرادیان دما را در بدنهٔ کلگی تولید می‌کند. وقتی دما افزایش می‌یابد، قسمت بالایی انتهای ابزار را در راستای منفی Y حرکت می‌دهد. این رفتار به علت خمش گرمایی است، که باید در مدل خنثی سازی گرمایی مشخص شود. مانند تغییر شکل خطی هرچند، اکثر پژوهش‌ها فقط خطای تغییر شکل خطی را مورد بحث قرار می‌دهند. وقتی گرادیان دما در سازه شدید باشد، خمش گرمایی در طی تبدیل بسیار مهم‌تر است. همان‌طور که در شکل ۱۲ نشان داده شده، تغییر شکل در جهت Y هیچ رفتار خطی پس از شروع یا توقف چرخش اسپیندل نشان نمی‌دهد.
به علاوه، در طی این حالت گذرا، حتی اگر هیچ خمش گرمایی وجود نداشته باشد، خنثی سازی گرمایی با استفاده از دمای سازه، خطا را در راستای Z نشان می‌دهد. شکل ۱۴ این موضوع را نشان می‌دهد. در شکل ۱۴ خطای گرمایی باقی‌مانده، پس از خنثی سازی خطا در راستای Z را نشان می‌دهد. رابطهٔ بین دما و تغییر شکل با استفاده از چند مدل رگرسیونی خطی در معادلهٔ ۱۷ نشان داده شده‌است. کل سنسورهای استفاده شده در آزمایش، سه عدد هستند؛ که در قسمت بالایی و پایینی اسپیندل نصب شده‌اند. (T1 و (T2 مانند عقب تخت ماشین که در دمای مرجع T1 استفده می‌شوند.
e = a0 + Σ ai(Ti – T0) (17)
که e = خطای گرمایی
a= ضریب رگرسیون
T= دما
با توجه به نتایج، کار انجام شده برای خنثی سازی پس از ۶۰۰ ثانیه شروع می‌شود و شکل‌هایی مانند یک دندان فاسد، زمان خنثی سازی را نشان می‌دهند. شکل نشان می‌دهد که اسپیندل در راستای پایینی کشیده شده‌است در حالیکه کنترل‌کننده، اسپیندل را در راستای بالایی حرکت می‌دهد. هرچند، در شروع چرخش ۶۰۰ ثانیه‌ای اسپیندل، یک خطای گرمایی باقی‌مانده در حد ۲۳ µm به علت کمبود خنثی سازی وجود دارد. دلیل آن اینست که تغییر شکل گرمایی به محض شروع به کار اسپیندل رخ می‌دهد. هرچند، ترموکوپل نمی‌تواند تغییرات گرمایی تا ۶۰۰ ثانیه را حس کند چون دور از منبع گرمایی است. ثابت زمانی متفاوت بین دما و تغییر شکل گرمایی، باعث نامتناسب شدن رفتارهایشان می‌شود. همان‌طور که در شکل ۱۵ نشان داده شده‌است.
از این دیدگاه، خنثی سازی نمی‌تواند فقط با استفاده از دما ضامن درست کار کدن ماشین تحت تغییرات شرایط مختلف شود. هرچند، چون زمان تعادل در شکل ۱۴ کوتاهتر از شکل ۱۲ است، به نظر می‌رسد که خنثی سازی گرمایی مؤثر است و می‌تواند با افزودن برخی خنثی سازی‌های اضافی به حالت گذرا، بهتر شود. برای خنثی سازی حالت گذرای اولیه، دما در یاتاقان اسپیندل لازم است؛ که هزینه و پیچیدگی فنی راه حل را بالا می‌برد. چون خمش گرمایی با یک طول اضافی مانند خطای آبه Abbe زیاد می‌شود، در حالت تبدیل مناسب تر از تغییر شکل خطی است. همان‌طور که در آزمایش نشان داده شده، یک تغییر زاویه‌ای سازه، ۲۰۰ µrad در ماشین ابزار مورد آزمایش، به وجود آمد و یک جزء خطای بزرگ‌تر نسبت به خطای خطی ظاهر شد. در حالیکه، خطای آبه تحت شرایط استاتیکی ثابت است، خمش گرمایی تحت گرادیان دما، دینامیکی است و با زمان تغییر می‌کند؛ بنابراین، باید خمش گرمایی که روی خطای جهت Y تأثیر می‌گذارد مستقل از طراحی و خنثی سازی، مورد نظر قرار گیرد.