دستگاه مختصات کروی
دیفرانسیل‌ها

المان خط برای جابه جایی بینهایت کوچک از (r, θ, φ) به (r + dr, θ + dθ, φ + dφ)برابر است با:
دیفرانسیل خطی:
دیفرانسیل سطحی:
دیفرانسیل حجمی:
به ترتیب بردارهای واحد متعامد محلی در جهت افزایش r، θ و φ و  هستند. x̂، ŷ و ẑ بردارهای واحد در مختصات دکارتی هستند. تبدیل خطی به این سه گانه مختصات راست دست یک ماتریس چرخش است، R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}.این تبدیل از کروی به دکارتی را می دهد، برعکس آن با معکوس آن مشخص می شود. نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی جابجایی آن است. بنابراین، بردارهای واحد دکارتی با بردارهای واحد کروی مرتبط هستند: {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}شکل کلی فرمول برای اثبات عنصر خط دیفرانسیل، است: \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},یعنی تغییر در  \mathbf {r}  به تغییرات فردی مربوط به تغییرات در مختصات فردی تجزیه می شود.
برای اعمال این مورد در مورد حاضر، باید محاسبه کرد که  \mathbf {r}  چگونه با هر یک از مختصات در کنوانسیون های مورد استفاده تغییر می کند؟
جواب به این صورت است: \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.بدین ترتیب: {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}.ضرایب مورد نظر، بزرگی این بردارها هستند: \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .عنصر سطحی که از θ تا θ + dθ و φ تا φ + dφ را در یک سطح کروی در شعاع r (ثابت) پوشانده است، سپس: \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.بنابراین زاویه جامد دیفرانسیل برابر  است با: \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .عنصر سطح در سطحی با زاویه قطبی θ ثابت (یک مخروط با راس مبدأ) است \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.عنصر سطح در سطحی با آزیموت φ ثابت (نیم صفحه عمودی) است: \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .عنصر حجمی که از r تا r + dr، θ تا θ + dθ، و φ تا φ + dφ را شامل می‌شود، توسط تعیین‌کننده ماتریس ژاکوبین مشتقات جزئی مشخص می‌شود: J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}},برای مثال: \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.بنابراین، برای مثال، یک تابع f(r، θ، φ) را می توان در هر نقطه در R3 توسط انتگرال سه گانه ادغام کرد. \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.عملگر del در این سیستم به عبارات زیر برای گرادیان، واگرایی، کرل و (اسکالر) لاپلاسین منجر می شود. {\begin{aligned}\nabla f={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial  \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial  \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial  \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~.\end{aligned}}علاوه بر این، ژاکوبین معکوس در مختصات دکارتی است J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.تانسور متریک در سیستم مختصات کروی است:
g=J^{T}J.