بسط یک جمله در منطق محمول ها
استفاده از بسط برای اثبات عدم اعتبار یک استدلال

یکی از آسان‌ترین راه‌های اثبات عدم اعتبار یک استدلال در منطق محمول‌ها، استفاده از تعبیری با دامنه‌ی بسیار کوچک است؛ چون مادامی که افراد و اوصافی داشته باشیم که بتوان بر اساس آنها مقدمه‌ها را صادق و نتیجه را کاذب تعیین کرد، تفاوتی نمی‌کند که این اوصاف چه باشد. با استفاده از روش بسط، می‌توان ارزش مقدمه‌ها و نتیجه را به راحتی مشخص کرد و تعبیری یافت که با فرض صدق مقدمات، نتیجه کاذب باشد.. به عنوان مثال، استدلال زیر را که دارای دو مقدمه و یک نتیجه است در نظر بگیرید:
\sim \;
( \exists \;x)
( \sim \;
 \mathrm {A} x
 \And 
 \mathrm {B} x)
( \exists \;x)
( \mathrm {A} x
 \And 
 \mathrm {C} x)
\therefore 
 \sim \;
( \forall \;x)
( \mathrm {C} x
 \supset 
 \sim \;
 \mathrm {B} x)
عدم اعتبار این استدلال را با فرض دامنه‌ای با دو فرد می‌توان نشان داد. این دو فرد را  \mathrm {a}  و  \mathrm {b}  در نظر می‌گیریم و مقدمه‌ها و نتیجه را بر اساس آنها بسط می‌دهیم. بسط مقدمه‌ی اول که دارای یک سور وجودی است عبارت است از:
\sim \;
[(
 \sim \;
 \mathrm {A} a
 \And 
 \mathrm {B} a 
)
 \vee  
(
 \sim \;
 \mathrm {A} b
 \And 
 \mathrm {B} b 
)
]
مقدمه‌ی دوم نیز دارای یک سور وجودی است و بسط آن عبارت است از:
(
 \mathrm {A} a
 \And 
 \mathrm {C} a 
)
 \vee  
(
 \mathrm {A} b
 \And 
 \mathrm {C} b 
)
و در نهایت بسط نتیجه که دارای یک سور عمومی است، عبارت است از:
\sim \;
[(
 \mathrm {C} a
 \supset 
 \sim \;
 \mathrm {B} a 
)
 \And  
(
 \mathrm {C} b
 \supset 
 \sim \;
 \mathrm {B} b 
)
]
حال با توجه به نحوه‌ی ارزش‌دهی جملات و نسبت‌های بین آنها در منطق گزاره‌ها، هر یک از جملات را به گونه‌ای ارزش‌دهی می‌کنیم که دو مقدمه، صادق و نتیجه، کاذب باشد. مقدمه‌ی اول زمانی صادق است که  \sim \; صادق باشد؛ پس،  \vee  باید در مقدمه‌ی اول کاذب باشد تا نقیض آن صادق گردد. مقدمه‌ی دوم نیز زمانی صادق است که  \vee  صادق باشد. همچنین نتیجه زمانی کاذب خواهد بود که  \sim \; در نتیجه، کاذب باشد؛ پس،  \And  در نتیجه باید صادق باشد تا نقیض آن صادق گردد.

توجه داشته باشید که T برابر با صادق و F برابر با کاذب است.
{\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}
[(
 {\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} a}}
 {\underset {\mathrm {F} }{\And }}
 {\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} a}} 
)
 {\underset {\mathrm {F} }{\vee }} 
(
 {\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} b}}
 {\underset {\mathrm {F} }{\And }}
 {\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} b}} 
)
]
(
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} a}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\And }}
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} a}} 
)
 {\underset {\mathrm {T} }{\vee }} 
(
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} b}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\And }}
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} b}} 
)
\therefore 
 {\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}
[(
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} a}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\supset }}
 {\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}
 {\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} a}} 
)
 {\underset {\mathrm {T} }{\And }} 
(
 {\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} b}}
 {\underset {\mathrm {T} }{\supset }}
 {\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}
 {\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} b}} 
)
]
چنانکه مشاهده شد، تعبیری یافتیم که با فرض صدق مقدمات، نتیجه کاذب بود، لذا این استدلال نامعتبر است؛ زیرا استدلالی معتبر محسوب می‌شود که نتیجه‌ی آن در هر تعبیری صادق باشد.