stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
جان ادوارد بولیگنی

| جان ادوارد بولیگنی | جان ادوارد بولیگنی |
| --- | --- |
عضو  مجلس نمایندگان ایالات متحده از لوئیزیانا حوزهٔ اولین: عضو  مجلس نمایندگان ایالات متحده از لوئیزیانا حوزهٔ اولین
دوره مسئولیت ۵ دسامبر ۱۸۵۹ – ۳ مارس ۱۸۶۱: دوره مسئولیت ۵ دسامبر ۱۸۵۹ – ۳ مارس ۱۸۶۱
پس از: George Eustis Jr.
پیش از: Benjamin Flanders (1862)
 :  
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
زاده: ۵ فوریهٔ ۱۸۲۴ نیو اورلئان، لوئیزیانا
درگذشته: ۲۰ فوریهٔ ۱۸۶۴ (۴۰ سال) واشینگتن DC
آرامگاه: قبرستان کنگره
حزب سیاسی: حزب آمریکایی
همسر(ان): Mary Elizabeth Parker (ا. ۱۸۶۰)
محل تحصیل: دانشگاه ترنسیلوانیا
پیشه: وکیل
امضا: 
جان ادوارد بولینی (John Edward Bouligny) (۵ فوریه ۱۸۲۴–۲۰ فوریه ۱۸۶۴)، سیاستمدار آمریکایی که عضو مجلس نمایندگان ایالات متحده به نمایندگی از ایالت لوئیزیانا بود. یک دوره به‌عنوان عضو حزب آمریکایی جنبش هیچ چیز نمی‌دانم خدمت کرد. در جریان دورهٔ خدمتش ایالت لوئیزیانا از اتحادیه جدا شد اما بولینی در واشینگتن ماند و از استعفا خودداری کرد. وی یگانه عضو کنگره بود که پس از جدایی لوئیزیانا از اتحادیه استعفا نداد یا کرسی خود را خالی نگذاشت.
زندگی‌نامه

بولینی که به‌نام میانیش، ادوارد شناخته می‌شد در نیو اورلئان به‌دنیا آمد. بولینی، پسر لیوس بولینی نماینده ایالت لوئیزیانا و الیزابت ویرجینی دوهتریف بود. عمویش به‌نام شارل دومینیک ژوزف بولینی در دههٔ ۱۸۲۰ یک دوره به عنوان سناتور ایالات متحده از ایالت لوئیزیانا خدمت کرد و پدربزرگش به‌نام فرانسیسکو بولینی مقام عالی‌رتبه استعماری اسپانیایی و فرماندار نظامی در اواخر قرن هجدهم در لوئیزیانای اسپانیا بود. بولینی قبل از آموزش در رشته حقوق و پذیرش در کانون وکلا، در مدرسه دولتی در نیو اورلئان درس خواند. بولینی در سال ۱۸۵۲ توسط رئیس‌جمهور میلارد فیلمور «دستیار ارزیاب اموال‌التجاره» ادارهٔ گمرک ایالات متحده در نیو اورلئان منصوب شد.
بولینی در دههٔ ۱۸۵۰ درگیر سیاست‌های حزب هیچ چیز نمی‌دانم شد و در سال ۱۸۵۵ منشی حزب در ایالت بود. در حالی‌که حزب آمریکایی ملی به شدت طرفدار پروتستان بود، حزب هیچ چیز نمی‌دانم در ایالت لوئیزیانا شامل نواحی عمدتاً کاتولیک نشین نیو اورلئان، حمایت قوی پیدا نمود. برعکس حزب ملی، حزب آمریکایی لوئیزیانا از تصویب امتحان دینی برای عضویت خودداری کرد و این کار را به‌خاطر استقبال از ویگ‌های سابق طرفدار برده‌داری و ضد مهاجر از جمله کریاویوها همچون بولینی، انجام داد.
بولینی در سال ۱۸۵۶ مسئول ثبت اسناد منطقه چهارم شهری نیواورلئان انتخاب شد و مسئولیت محاکمه و مجازات پرونده‌های آزار و اذیت عمومی و جرایم قباحت را به‌عهده داشت. ناحیهٔ چهارم در سال ۱۸۵۲ به نیواورلئان ادغام شد؛ جفرسون پاریش و فرانسیس برادر بزرگ بولینی به عنوان شهردار شهر لافایت آن زمان خدمت نمودند.
زندگی‌نامه > عضو کنگره

بولینی در سال ۱۸۵۹ در یک رقابت نامزدی «گرم، تنگاتنگ و جدی» برای رقابت نامزد حزب آمریکایی برای ناحیهٔ اول کنگره لوئیزیانا انتخاب شد. بولینی، قاضی تی.جی.هنت پسر عضو ارشد حزب ویگ و چارلز دیدیر دروکس نمایندهٔ ایالت را شکست داد. بولینی با اختلاف دو رای دروکس را در کنوانسیون حزبی شکست داد. بولینی با اکثریت نسبی ۴۹٫۱۳ درصد آرا و شکست دادن امیل لاسره نمایندهٔ اسبق دموکرات و چارلز بینوین نامزد حقوق ایالات پیروز انتخابات ماه نوامبر بولینی در جریان کنگره سی و ششم بر کرسی کمیتهٔ مطالبات خصوصی زمین تکیه زد.
بولینی در انتخابات ریاست جمهوری سال ۱۸۶۰ علناً از استیون. ای داگلاس نامزد دموکرات حمایت کرد.
بولینی شدیداً با جدایی لوئیزیانا برای پیوستن به ایالات مؤتلفه یا کنفدراسیون آمریکا مخالفت کرد و در یک سخنرانی در کنگره در ۵ فوریه سال ۱۸۶۱ اظهار داشت که او نه به کنوانسیون جدایی لوئیزیانا، بلکه به مردمی که او را انتخاب کرده‌اند، پاسخگو خواهد بود. بولینی در ادامه گفت که اگر موکلینش بخواهند که از قدرت کناره‌گیری نماید، این کار را خواهد کرد اما یک شخص طرفدار اتحادیه باقی خواهد ماند. بولینی پس از خروج لوئیزیانا از اتحادیه در ۲۶ ژانویه سال ۱۸۶۱ الی پایان دوره خدمتش در ۳ مارس سال ۱۸۶۱ کرسی خود را از دست نداد.
زندگی‌نامه > پس از جدایی

بولینی به نیو اورلئان برگشت و در انتخابات ماه نوامبر سال ۱۸۶۱ برای سمت قاضی صلح رقابت نمود که شکست خورد. طبق گزارش‌ها بولینی به‌علت حمایت از اتحادیه چندین مرتبه وارد جنگ تن به تن شد (حداقل یک مرتبه در ماه بین اواخر سال ۱۸۶۱ و اواسط سال ۱۸۶۲)‏ که سبب شکستن دست چپ و فلج شدن بازویش شد. تا سال ۱۸۶۳ از جنگ‌های تن به تن او گزارش داده می‌شد.
در سال ۱۸۶۲ رئیس‌جمهور لینکلن پس از صدور اعلامیه آزادی بردگان، بولینی را استخدام نمود تا معلوم سازد که آیا نواحی نیواورلئانان تحت اشغال و سایر بخش‌های لوئیزیانا قادر به برگذاری انتخابات زودهنگام به‌خاطر فرستادن نماینده به کنگره هستند یا خیر. همین‌که انتخابات تأیید شد، بولینی برای انتخاب مجدد در کرسی خالی خود در کنگره کاندیدا شد اما به آسانی توسط بنجامین فلاندرز که حمایت بنجامین بوتلر فرماندار نظامی اتحادیه برای لوئیزیانا را با خود داشت، شکست خورد. بولینی در مقابل ۲٬۱۸۴ رأی فلاندرز، صرفاً ۱۳۶ رأی به‌دست‌آورد. بولینی شکست خود در انتخابات را به دخالت بوتلر در انتخابات نسبت داد که بوتلر دخالت در انتخابات را رد نمود و بعدها (به دروغ) شایع شد که بوتلر در یک نبرد تن به تن به بوتلر شلیک کرده‌است. هرچند لینکلن در نظر داشتن تا بولینی را پس از ترک کنگره در سمتی در نیو اورلئان منصوب نماید اما پس از این‌که بولینی در تلاش برای انتخاب مجدد شکست خورد، لینکلن تمایل کمتری برای یافتن یک سمت حمایتی برای وی نشان داد.
بولینی بعد به واشینگتن برگشت و در ماه فوریه سال ۱۸۶۴ در همان‌جا در خانهٔ پدر خانمش فوت نمود. بولینی در مقبرهٔ خانوادهٔ پارکر در قبرستان کنگره به خاک سپرده شد.
زندگی شخصی

بولینی به چندین زبان صحبت می‌کرد. از فرانسوی و اسپانیایی در منزل خانوادگیش و در مکاتبات با پسرهای عمویش در اروپا استفاده می‌کرد، در حالی‌که در نامه با خانمش از انگلیسی استفاده می‌نمود. بولینی در کنگره وظیفه را با انگلیسی انجام می‌داد با این وجود در جریان بحث در رابطه با انتخاب رئیس کنگره سی و ششم، بولینی با پرسیدن این سؤال که اگر وی از اظهارات مستثنی قرار داده شده باشد «چون به زبان انگلیسی صحبت نمی‌نماید»، به کنایهٔ امرسون اتریج پاسخ داد که گفته بود «هر مرد دوست من که چهره صادق دارد، زبان انگلیسی صحبت می‌نماید، به کتاب مقدس انجیل سوگند یاد می‌نماید و قانون اساسی را با حرف 'ک' نمی‌نویسد».
بولینی زمانیکه به واشینگتن رسید، مجرد بود اما در ۱ مه سال ۱۸۶۰ با مری الیزابت پارکر دختر جورج پارکر بازرگان واشینگتن، ازدواج نمود. این عروسی «احتمالاً پر زرق و برق‌ترین عروسی بود که تا آن‌زمان در کلان‌شهرهای فدرال برگزار شده بود». رئیس‌جمهور جیمز بیوکنن، چندین تن از دبیران کابینه و تعداد زیادی از اعضای کنگره در این مراسم شرکت نموده بودند. سال‌های بعد این مراسم اشتباهاً به‌عنوان محلی شناخته شد که بوکنن از جدایی کارولینای جنوبی باخبر شد؛ با این وجود این واقعه تا ماه دسامبر سال ۱۸۶۰ اتفاق رخ نداد.
این زوج دو دختر به‌نام‌های کورین و فلیسی داشتند. اودت لی فونتهه دختر فلیسی آوازخوان اپرا در قرن بیستم بود.
در سال ۱۸۶۷ به‌عنوان بخشی از حل و فصل اختلاف طویل‌المدت ملک، کنگره سی و نهم قانونی را تصویب نمود که برمبنای آن یک ششم زمین‌های اهدا شده به ژان آنتوان برنارد دوتریو در سال ۱۸۶۷ به پاس وفاداری بولینی به اتحادیه، به الیزابت مری بیوهٔ بولینی و دخترش اهدا شد.
جسم افلاطونی

در هندسه فضایی، چندوجهی‌های منتظمِ محدب به جسم افلاطونی موسومند. می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از:
چهاروجهی منتظم، متشکل از چهار مثلث متساوی‌الاضلاع،
شش‌وجهی منتظم (مکعب)، متشکل از شش مربع،
هشت‌وجهی منتظم، متشکل از هشت مثلث متساوی‌الاضلاع،
دوازده‌وجهی منتظم، متشکل از دوازده پنج‌ضلعی منتظم،
بیست‌وجهی منتظم، متشکل از بیست مثلث متساوی‌الاضلاع.
وجه‌های هر کدام از این چندوجهی‌ها چندضلعی‌هایی منتظم و هم‌نهشتند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر رأس آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش مزدوجند؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. همچنین در ساخت دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم نسبت طلایی پدید می‌آید.
عنوان این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی، گرفته شده‌است که در نقل داستان آفرینش در دیالوگ تیمائوس، این چندوجهی‌ها را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ گیتی نسبت می‌دهد. اقلیدس، فیثاغوری‌ها، و ابوالوفا بوزجانی نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی یوهانس کپلر هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع قوانین کپلر بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در ساختارهای بلوری و هیبت برخی تک‌یاختگان و ویروس‌ها یافت.
تاریخ

تقارن و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده‌است،
و ویژگی‌های آنها پژوهشگران را از روزگار افلاطون تا رنسانس به‌خود مشغول داشته بود.
یافته‌های باستان‌شناختی از ۴٬۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی است.
تاریخ > یونان باستان

| 0 | 1 |
| --- | --- |
چهاروجهی: آتش
مکعب: خاک
هشت‌وجهی: هوا
دوازده‌وجهی: اثیر
بیست‌وجهی: آب
نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند.
ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب هستند. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود.
خود فیثاغورث (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت. او ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود.
تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی اصول اقلیدس (حدود ۳۰۰ پ.م.) است.
به نوشتهٔ اقلیدس، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد تئائتتوس ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ.م.) بود.
از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ.م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش» در دیالوگ تیمائوس تکرار کرده است، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید.
افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌داد. به نوشتهٔ او:
خداوند آب و هوا در وسط خاک و آتش قرار داد و بین همهٔ آنها تناسبی واحد برقرار ساخت […] به این ترتیب از پیوند این چهار عنصر، جسم جهان به وجود آمد و در سایهٔ تناسب، توازن و هماهنگی در درون آن حکمفرما گردید.
افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.»
مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج منطقةالبروج مرتبط دانسته‌اند.
افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه، دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد.
افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند؛ بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچ آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی متافیزیکی نیز بررسی کرد.
تاریخ > قرون وسطی

ابوالوفا محمد بوزجانی  (۳۲۸–۳۸۸ ه‍.ق.) هم در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج‌ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.
از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌هایش را به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها را به شکل سه‌بعدی ببیند.
به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و پنج‌ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.»
تاریخ > رنسانس و قرون جدید

هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو (۱۳۹۷-۱۴۷۵ م.) در کلیسای جامع سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی (۱۴۵۲-۱۵۱۹ م.) در تذهیب‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است.
کیهان‌شناسی افلاطون در تیمائوس راهنمای مهم یوهانس کپلر (۱۵۷۱–۱۶۳۰ م.) در وضع قوانین کپلر بود.
کپلر در مدلش، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد.
او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست.
کپلر در سال ۱۵۹۶ م. در کتاب رموز جهان هر کدام از شش سیارهٔ شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم‌ مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند.
هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند.
او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند. به نوشتهٔ آرتور کستلر:
[کپلر] در مدار کروی کیوان مکعبی را محاط کرد، و در آن مکعب کرهٔ دیگری را، که مدار مشتری بود. در آن چهاروجهی را محاط کرد و در آن چهاروجهی مدار کروی مریخ را. بین مدارهای مریخ و زمین، دوازده‌وجهی قرار گرفت و بین زمین و زهره، بیست‌وجهی، و بین زهره و عطارد، هشت‌وجهی. یوریکا!... این امر شیفتگی نهایی کپلر بود، چه به عنوان یک فرد و چه به عنوان نمونهٔ تاریخی. چرا که باور غلط او به پنج جسم کامل هوسی گذرا نبود. این باور با کمی تغییر و تعدیل تا آخر عمر با او ماند، که نشان از توهمی پارانویاگونه دارد. با این همه این وهم انگیزه و محرک او بود برای دستیابی به اکتشافات جاودانش.
تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.
تاریخ > در تاریخ معاصر

موریس اِشرِ هلندی (۱۸۹۸-۱۹۷۲ م.) از اشکال خالص اجسام افلاطونی در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای مثال اثر حکاکی روی چوب ستاره‌ها
ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که آفتاب‌پرست‌هایی را محیط کرده‌اند. اشر در اثر دیگری با عنوان
خزندگان
از یک دوازده‌وجهی به‌عنوان نماد آسمان بهره می‌برد.
شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود.
نقاش اسپانیایی سالوادور دالی (۱۹۰۴-۱۹۸۹ م.) نیز شیفتهٔ اجسام افلاطونی بود. در
تصلیب
دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در
تقدیس شام آخر
دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. برونو موناری (۱۹۰۷-۱۹۹۸ م.) نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. زیرسیگاری مکعبی او نمونهٔ شاخص طراحی ایتالیایی در میانهٔ قرن بیستم است.
در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های سبک بین‌المللی معماری بدل شد. معمار سوئیسی لوکوربوزیه نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره گرفته‌است.
اساس باکمینستر فولر در ساخت گنبد ژئودزیک نیز بیست‌وجهی منتظم بود.
اهمیت و کاربرد

| 0 | 1 |
| --- | --- |
بلور سدیم کلراید: ساختار سدیم کلراید
بلور کلسیم فلوراید: ساختار کلسیم فلوراید
بلور پیریت: شبه كريستال هولميم-منيزيم-روى
گونه‌ای از شعاعیان با ساختار بیست‌وجهی: از جسم‌های افلاطونی به شکل گسترده به عنوان تاس استفاده می‌شود.
دودکاهدران، یکی از هیدروکربن‌های افلاطونی: آنيون دودكابورات
با اینکه اجسام افلاطونی، برخلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.
سنگ نمک (NaCl یا نمک خوراکی طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای فلئوریت (CaF2 یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. پیریت (FeS2، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود.
شبه‌کریستال هولميم-منيزيم-روى به شكل دوازده وجهى منتظم بوده و از خانواده شبه كريستال ها با تقارن بيست وجهى R-Mg-Zn است(R=Y، Tb، Dy، Ho، Er). در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی دن شختمن برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم کریستال مایع آلومینیم جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد. هیدروکربن‌های افلاطونی هم نمایش مولکولی چند جسم افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های کربن و اضلاع با پیوند کربن-کربن جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C8H8) و دودِکاهدران (C20H20) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C4H4) از لحاظ جنبشی پایدار باشد. آنيون دودكابورات (−2 [B12H12]) شبيه بيست وجهى منتظم است.
در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند.
ساختار برخی ویروس‌ها مثل تب‌خال نیز به شکل بیست‌وجهی منتظم است. به نوشتهٔ کریک و واتسون، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین کپسیدهای بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. این بدین معنی است که برای ساختن یک کپسید کامل، به ۶۰ زیرواحد همسان نیاز است.
از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود، و همچنین پازل‌های ترکیبی (مثل مکعب روبیک) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد.
قضایا و ویژگی‌ها > اثبات توپولوژیک

می‌توان، تنها با استفاده از اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی، اثباتی کاملاً توپولوژییکی ارائه کرد. نکتهٔ مهم در این اثبات مشخصه اویلر است مبنی بر اینکه V − E + F = 2، و این امر که pF = 2E = qV، که در آن p تعداد اضلاع هر وجه است و q تعداد اضلاعی که در هر رأس به هم می‌رسند. از ترکیب این معادله‌ها نتیجه می‌شود:
و پس از ساده‌سازی جبری:
از آنجا که E همواره مثبت است پس:
با بهره‌گیری از این امر که p و q باید دستکم ۳ باشند، می‌توان نشان داد که پنج حالت مختلف برای {p, q} وجود دارد:
{۳,۳}   ———  (چهاروجهی منتظم)؛
{۳,۴}   ———  (مکعب)؛
{۴,۳}   ———  (هشت‌وجهی منتظم)؛
{۳,۵}   ———  (دوازده‌وجهی منتظم)؛
{۵,۳}   ———  (بیست‌وجهی منتظم).
قضایا و ویژگی‌ها > ویژگی‌های ترکیبی

| جسم افلاطونی | تعداد وجوه (F یا q) | تعداد اضلاع (E یا p) | تعداد رئوس (V) |
| --- | --- | --- | --- |
| چهاروجهی | ۴ | ۶ | ۴ |
| شش‌وجهی (مکعب) | ۶ | ۱۲ | ۸ |
| هشت‌وجهی | ۸ | ۱۲ | ۶ |
| دوازده وجهی | ۱۲ | ۳۰ | ۲۰ |
| بیست وجهی | ۲۰ | ۳۰ | ۱۲ |
نشان داده شد که هر جسم افلاطونی با نماد شِلَفْلی {p, q} نشان داده می‌شود که p تعداد اضلاع (یا رأس‌های) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند.
همهٔ اطلاعات ترکیبی این چندوجهی‌ها، شامل تعداد رأس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو رأس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطهٔ زیر برقرار است:
همچنين تعداد رئوس، اضلاع و وجوه عبارتند از:
E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}}
قضایا و ویژگی‌ها > ویژگی‌های ترکیبی > مشخصهٔ اویلر

رابطهٔ دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از مشخصه اویلر به‌دست می‌آید:
یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوهٔ تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مثلاً در مکعب داریم: ۸ – ۱۲ + ۶ = ۲. مشخصهٔ اویلر، که برای همهٔ چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی در خصوص اجسام افلاطونی به کار می‌رود.
قضایا و ویژگی‌ها > ویژگی‌های ترکیبی > به مثابه پیکربندی

پیکربندی در صفحه مجموعه‌ای است از N0 تا نقطه و N1 تا خط، که از هر کدام از نقطه‌ها N01 تا خط بگذرد و روی هر خط N10 تا نقطه قرار داشته بگیرد. می‌توان نشان داد که:
برای مثال، هر p-ضلعی یک پیکربندی است که در آن N1 = N0 = p (یعنی هر p-ضلعی p تا ضلع و رأس دارد) و N01 = N10 = 2 (یعنی از هر رأس p-ضلعی دو ضلع می‌گذرد و روی هر ضلع آن p رأس قرار دارد).
با تعمیم پیکربندی در هندسهٔ فضایی، می‌توان آن را مجموعه‌ای از N0 تا نقطه، N1 تا خط، و N2 تا صفحه دانست، 
و می‌توان به‌طور خلاصه گفت Nj تا j-فضا (که در آن ۰-فضا همان نقطه، ۱-فضا همان خط، و ۲-فضا همان صفحه است) با Njk تا k-فضا برخورد می‌کنند (j ≠ k).
می‌توان نشان داد که:
این اعداد را می‌توان به‌سادگی در یک ماتریس نمایش داد:
مفهوم پیکربندی اصولا در هندسه تصویری مورد مطالعه قرار می‌گیرد و در آن می‌توان با بهره‌گیری از اصل دوگانگی، رابطهٔ بین نقاط و صفحه‌های متناظر را حفظ کرد. به این مفهوم به‌ویژه در مورد اجسام افلاطونی توجه می‌شود، چرا که با چرخاندن ماتریس هر جسم افلاطونی به اندازهٔ ۱۸۰‌ درجه می‌توان ماتریس مزدوج آن را نوشت.  برای هر جسم افلاطونی با نماد شلفلی {p, q} ماتریس پیکربندی به این شکل است:
ماتریس پیکربندی هر پنج جسم افلاطونی در جدول زیر آمده است.
قضایا و ویژگی‌ها > ویژگی‌های هندسی > زاویه‌ها

زاویهٔ دوسطحی، زاویهٔ داخلی بین هر دو وجه چندوجهی است. اندازهٔ زاویهٔ دوسطحی، θ، برای چندوجهی {p,q} با استفاده فرمول زیر به‌دست می‌آید:
کاستی زاویه‌ای هر رأس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر رأس و 2π  (بر حسب رادیان) است. کاستی زاویه‌ای، δ، در هر رأس جسم افلاطونی {p,q}، با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:
با استفاده از قضیه دکارت در باب مجموع کاستی‌ها، این مقدار برابر است با 4π تقسیم بر تعداد رأس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همهٔ رأس‌ها 4π است).
معادل سه‌بعدی زاویهٔ سطحی، زاویهٔ فضایی است. زاویهٔ فضایی، Ω، در رأس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویهٔ دوسطحی، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. مقدار زوایای فضایی بر حسب استرادیان داده شده‌است. ثابت  \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}، نسبت طلایی است.
| چندوجهی | زاویه دوسطحی (θ) | tan θ/2 | کاستی زاویه‌ای (δ) | زاویه فضایی رأس (Ω) | زاویه فضایی وجه |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| چهاروجهی | ۷۰٫۵۳° |  1 \over {\sqrt {2}} |  \pi  |  \cos ^{-1}\left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286 |  \pi  |
| مکعب | ۹۰° |  1 |  \pi  \over 2 |  {\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080 |  2\pi  \over 3 |
| هشت‌وجهی | ۱۰۹٫۴۷° |  {\sqrt {2}} |  {2\pi } \over 3 |  4\sin ^{-1}\left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935 |  \pi  \over 2 |
| هشت‌وجهی | ۱۱۶٫۵۷° |  \varphi  |  \pi  \over 5 |  \pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174 |  \pi  \over 3 |
| دوازده‌وجهی | ۱۳۸٫۱۹° |  \varphi ^{2} |  \pi  \over 3 |  2\pi -5\sin ^{-1}\left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455 |  \pi  \over 5 |
قضایا و ویژگی‌ها > ویژگی‌های هندسی > شعاع، مساحت، و حجم

همهٔ اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند:
کرهٔ محیطی که از همهٔ رأس‌ها عبور می‌کند،
کرهٔ میانی که بر همهٔ اضلاع در نقطهٔ وسط ضلع مماس است،
کره محاطی که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است.
شعاع این کره‌ها، «شعاع محیطی»، «شعاع میانی»، و «شعاع محاطی» نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از رأس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‍یطی (R) و شعاع محاطی (r) برای چندوجهی {p, q} با طول ضلع a از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:
R=\left({a \over 2}\right)\tan {\frac {\pi }{q}}\tan {\frac {\theta }{2}}

 r=\left({a \over 2}\right)\cot {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\theta }{2}}
که θ، زاویهٔ دوسطحی است.
مساحت سطح کل جسم (A) برای یک جسم افلاطونی {p, q} به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها (F) در مساحت p-ضلعی منتظم به‌دست می‌آید:
شعاع میانی ρ با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:
حجم اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم هرمی با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r:
V={\tfrac {1}{3}}rA.
جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. در این جدول، طول ضلع  a = 2  در نظر گرفته شده‌است.
| چندوجهی | شعاع محاطی (r) | شعاع میانی (ρ) | شعاع محیطی (R) | مساحت سطح (A) | حجم (V) | ضریب حجم (طول ضلع = ۱) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| چهاروجهی |  1 \over {\sqrt {6}} |  1 \over {\sqrt {2}} |  {\sqrt {3 \over 2}} |  4{\sqrt {3}} |  {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809 |  \approx 0.117851 |
| مکعب |  1\, |  {\sqrt {2}} |  {\sqrt {3}} |  24\, |  8\, |  1\, |
| هشت‌وجهی |  {\sqrt {2 \over 3}} |  1\, |  {\sqrt {2}} |  8{\sqrt {3}} |  {\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236 |  \approx 0.471404 |
| دوازده‌وجهی |  {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }} |  \varphi ^{2} |  {\sqrt {3}}\,\varphi  |  12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}} |  {\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952 |  \approx 7.663119 |
| بیست‌وجهی |  {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}} |  \varphi  |  \xi \varphi  |  20{\sqrt {3}} |  {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560 |  \approx 2.181695 |
ثابت‌های φ و ξ در جدول بالا عبارتند از:
\varphi =2\cos {\pi  \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi  \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{\frac {1}{4}}\varphi ^{-{\frac {1}{2}}}