نظریه اختلال در مکانیک کوانتومی
نظریهٔ اختلال مستقل از زمان

این نظریه یکی از مقوله‌های نظریهٔ اختلال است و مقولهٔ دیگر آن وابسته به زمان می‌باشد. در نظریهٔ مستقل از زمان هامیلتون اختلالی ایستا می‌باشد (یعنی هیچگونه وابستگی زمانی ندارد). نظریهٔ وابسته به زمان در مقاله ۱۹۲۶ آروین شرودینگر ارائه گردید که اندکی پس از ارائهٔ نظریات او در مکانیک امواج بود. در این مقاله شرودینگر به آثار اولیهٔ لرد رایلی اشاره نمود که در ارتعاشات هارمونیک لایه‌های آشفته شده بواسطهٔ ناهماهنگی اندک را بررسی نموده بود. به همین دلیل است که نظریهٔ اختلال رایلی- شرودینگر نیز نامیده می‌شود.
برای مطالعه مسایل حالتهای مانا، روی سه روش متمرکز می‌شویم: نظریه اختلال، روش وردشی، و روش WKB. نظریه اختلال بر این فرض استوار است که مسایلی که می‌خواهیم حل کنیم تنها اندکی با مسئله‌ای که می‌توان آن را به‌طور دقیق حل کرد، اختلاف دارند. در مواردی که اختلاف دو مسئله کوچک است، نظریه اختلال برای محاسبه سهم مربوط به این اختلال مناسب است؛ سپس این سهم به عنوان یک تصحیح به انرژی و تابع موجی هامیلتونی که به‌طور دقیق قابل حل است، اضافه می‌شود؛ بنابراین نظریه اختلال، برای بدست آوردن جواب‌های تقریبی، به جواب‌های دقیق شناخته شده جملاتی اضافه می‌کند. در مورد سیستم‌هایی که هامیلتونی آن‌ها را نمی‌توان به یک قسمت قابل حل دقیق و یک تصحیح کوچک تقسیم کرد، چه می‌توان گفت؟ برای این‌گونه سیستم‌ها می‌توانیم روش وردشی یا تقریب WKB را به کار گیریم. روش وردشی مخصوصاً در تقریب ویژه مقادیر انرژی حالت زمینه و چند حالت برانگیخته اول سیستم که فقط یک ایده کیفی در مورد شکل تابع موج داریم، مفید است.
روش WKB برای یافتن ویژه مقادیر انرژی و تابع موج‌های سیستم‌هایی که حد کلاسیکی معتبر است، مفید است. بر خلاف نظریه اختلال، روش‌های وردشی و WKB نیاز به وجود هامیلتونی بسیار نزدیک که بتوان به‌طور دقیق حل کرد، ندارند.
کاربرد روش‌های تقریبی برای مطالعه حالت‌های مانا شامل پیدا کردن ویژه مقادیر انرژی و ویژه توابع هامیلتونی مستقل از زمان است که جواب‌های دقیقی ندارند. بسته به ساختار H، می‌توانیم از هر سه روش اشاره شده در بالا برای پیدا کردن جواب‌های تقریبی برای این مسئله ویژه مقداری استفاده کنیم.
با هامیلتونی مختل نشده H0، که اغلب فرض می‌شود هیچ وابستگی به زمان ندارد شروع می‌کنیم. سطوح انرژی شناخته شده و ویژه حالت‌هایی دارد، ناشی از معادله شرودینگر مستقل از زمان:
برای سادگی فرض می‌کنیم، انرژی‌ها گسسته هستند. (0) اندیس بالا دلالت بر این دارد که کمیت‌ها با سیستم مختل نشده همبسته هستند. (به استفاده از نشان‌گذاری برا-کت توجه کنید)
هم اکنون هامیلتونی مختل شده را بررسی می‌کنیم. اجازه بدهیدVرا هامیلتونی نشان دهنده یک اختلال ضعیف فیزیکی بگیریم، به عنوان مثال انرژی پتانسیل تولید شده توسط میدان خارجی. (به این ترتیب، V رسماً اپراتور تفکیک‌پذیراست) اجازه بدهید \lambda  پارامتر بدون بعدی باشد که مقادیر پیوسته‌ای از ۰ (بدون اختلال) تا ۱ (اختلال کامل) می‌گیرد. هامیلتونی مختل شده به صورت زیر است:
سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها از هامیلتونی مختل شده دوباره با معادله شرودینگر داده می‌شود:
هدف ما بیان  E_{n} و  |n\rangle  در جمله‌هایی از سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها از هامیلتونی قدیمی است. اگر اختلال به اندازه کافی ضعیف باشد، می‌توانیم آن‌ها را به صورت مجموعه‌های توان در λ بنویسیم:
از آنجایی که
و
وقتی λ = ۰ است، این‌ها مقادیر مختل شده را کاهش می‌دهند، که هر کدام اولین جمله هر سری هستند. از آنجایی که اختلال ضعیف است، سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها نباید بیش از مقادیر مختل شده‌شان منحرف شوند؛ و این جمله‌ها باید به سرعت از آن چیزی که وقتی به مراتب بالاتری می‌رویم کوچکتر شوند. حال اتصال سری توانی را در معادلهٔ شرودینگر بدست می‌آوریم:
گسترش این معادله و مقایسه ضریب‌ها از هر توان ازλنتایج در یک سری نامتناهی از معادلات همزمان است. معادله مرتبه صفر به سادگی معادله شرودینگر برای سیستم مختل نشده‌است.
معادلات مرتبه صفر به صورت زیر است:
اگر \langle n^{(0)}|را در طرفین معادله بالا ضرب کنیم، جمله اول از سمت چپ با جمله اول از سمت راست ساده می‌شوند. (توجه کنید که هامیلتونی مختل نشده هرمیتی است). این امر منجر به تغییر مرتبه اول انرژی می‌شود:
به وضوح این مقدار انتظاری هامیلتونی مختل شده‌است. در حالیکه سیستم در حالت مختل نشده‌است. این نتیجه را می‌توان به این صورت تفسیر کرد: فرض کنید اختلال را اعمال کنیم، اما سیستم را در حالت کوانتومی  |n^{(0)}\rangle  نگه داریم، هر کدام، یک مقدار حالت کوانتومی است، اگر چه یک ویژه حالت انرژی بزرگ نیست. اختلال باعث می‌شود که انرژی متوسط از این حالت با  \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle  افزایش یابد. هر چند تغییر انرژی درست کمی متفاوت است، چرا که ویژه حالت مختل شده دقیقاً شبیه به ویژه حالت  |n^{(0)}\rangle  نیست. این تغییرات بیشتر با تصحیحات انرژی مرتبه دوم و بالاتر داده می‌شوند.
قبل از اینکه تصحیحات ویژه حالت انرژی را محاسبه کنیم، نیاز به روشی برای نرمالیزه کردن مسئله داریم. ممکن است فرض کنیم،  \langle n^{(0)}|n^{(0)}\rangle =1، اما در نظریه اختلال فرض می‌شود که  \langle n|n\rangle =1 راداریم. نظریه اختلال از اینکه مرتبه اول در λ است، پیروی می‌کند، پس باید داشته باشیم:
\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle +\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle =0
از آنجایی که مرحله کلی است، در مکانیک کوانتومی بدون از دست دادن کلیت مشخص نیست، ممکن است فر ض کنیم  \langle n^{(0)}|n\rangle  کاملاً واقعی است؛ بنابراین،  \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =-\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle  و استنباط می‌کنیم که:
بدست آوردن تصحیح مرتبه اول ویژه حالت انرژی: برای توضیح تصحیح مرتبه اول انرژی به نتیجه نشان داده شده در بالا از تساوی ضریب مرتبه اول λ بر می‌گردیم. سپس از تفکیک عینییت استفاده می‌کنیم.
از آنجایی که  |k^{(0)}\rangle  در مکمل متعامد از  |n^{(0)}\rangle  است. نتیجه به صورت زیر می‌شود:
برای لحظه‌ای، فرض می‌کنیم که انرژی مرتبه صفر تبهگن نیست، یعنی هیچ ویژه حالتی از  H_{0} در مکمل متعامد از  |n^{(0)}\rangle  با انرژی  E_{n}^{(0)} وجود ندارد. اگر  \langle k^{(0)}| را به طرفین معادله اخیر اثر بدهیم، نتیجه زیر را می‌دهد:
و از این رو بخشی از تصحیح مرتبه اول انرژی همراه  |k^{(0)}\rangle  می‌شود؛ بنابراین فرض می‌کنیم، E_{n}^{(0)}\neq E_{k}^{(0)} است.
در کل عبارت زیر بدست می‌آید:
تغییر مرتبه اول در nامین ویژه کت انرژی یک سهم از هر ویژه حالت‌های انرژی k ≠ n دارد. هر اصطلاح عنصر ماتریس تناسبی  \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle  است، هر کدام یک اندازه‌گیری از مقدار مخلوط ویژه حالت اختلال n با ویژه حالت k; همچنین معکوسا متناسب است با تفاوت انرژی بین ویژه حالت k و n، به این معنی که اختلال ویژه حالت را به یک موجود بزرگتر تغییر شکل می‌دهد، اگر ویژه حالت‌های بیشتر در نزدیکی انرژی وجود داشته باشند. همچنین می‌بینیم که توضیح منحصر بفرد است اگر هر یک از این حالت‌ها همان انرژی داشته باشند که حالت n دارد، به همین دلیل است که فرض می‌کنیم هیچ واگنی وجود ندارد.