لم زرن
قضیه

اگر A،Bدو مجموعه غیر تهی باشند، آنگاه تابع یک به یکی از Aبه Bو یا یک تابع یک به یک از Bبه A وجود دارد.
اثبات
فرض می‌کنیم X مجموعه تمام زوجهای مرتب  (A_{\alpha },f_{\alpha })\  که A_{\alpha }\  زیر مجموعه‌ای از A و همچنین  F_{\alpha }:A_{\alpha }\to B تابعی یک به یک است، باشند. رابطه  \leq را روی X به طریق زیر تعریف می‌کنیم :
(A_{\alpha },f_{\alpha })\leq (A_{\beta },f_{\beta })\iff A_{\alpha }\subseteq A_{\beta },f_{\alpha }\subseteq f_{\beta }
مسلما این رابطه ترتیبی جزئی است. به منظور استفاده از لم زرن، باید مطمئن شویم که هر زیر مجموعه کاملاً مرتب  T=\lbrace (A_{\gamma },f_{\gamma })|\gamma \in \Gamma \rbrace  از X دارای یک کران بالاست.  (\bigcup _{\gamma \in \Gamma }A_{\gamma },\bigcup _{\gamma \in \Gamma }f_{\gamma }) یک حدس خوب برای کران بالای مجموعه T، است.
قرار می‌دهیم:
 A_{1}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }A_{\gamma },f_{1}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }f_{\gamma }
آنگاه  f_{1}:A_{1}\to B طوری است که اگر (A_{\gamma },f_{\gamma })\in T,x\in A_{\gamma }، آنگاه  f_{1}(x)=f_{\gamma }(x)\ 
برای اثبات خوش تعریف بودن  f_{1}:A_{1}\to B، فرض می‌کنیم که x به زیر مجموعه دیگری مانند  A_{\delta }\  هم باشد (\delta \in \Gamma ). آنگاه  (A_{\gamma },f_{\gamma })\leq (A_{\delta },f_{\delta }) یا  (A_{\delta },f_{\delta })\leq (A_{\gamma },f_{\gamma })، که در هر حالت داریم  f_{\gamma }(x)=f_{\delta }(x)\ ، که نشان می‌دهد f_{1}\ ، خوش تعریف است.
حال نشان می‌دهیم که  f_{1}:A_{1}\to B تابعی یک به یک است.برای این منظور فرض می‌کنیم، به ازای  x,y\in A_{1} خواهیم داشت  f_{1}(x)=f_{1}(y)\ . آنگاه دو زوج مرتب  (A_{\gamma },f_{\gamma }),(A_{\delta },f_{\delta })\in T\  چنان وجود دارند که x\in a_{\gamma },y_{\delta }. دوباره مثل قبل :
 (A_{\gamma },f_{\gamma })\leq (A_{\delta },f_{\delta }) یا  (A_{\delta },f_{\delta })\leq (A_{\gamma },f_{\gamma })
بدون اینکه در اثبات خللی وارد شود، فرض می‌کنیم  (A_{\gamma },f_{\gamma })\leq (A_{\delta },f_{\delta }).
از فرض اخیر نتیجه می‌شود  f_{\delta }(x)=f_{\delta }(y)\ ، که و لذا با توجه به یک به یک بودن  f_{\delta }\  داریمx=y.به این ترتیب اثبات یک به یک بودن  f_{1}\  تکمیل می‌شود. بنابراین:
به ازای هر  \gamma \in \Gamma ، داریم  (A_{1},f_{1})\geq (A_{\gamma },f_{\gamma }). پس  (X,\leq )\  در شرایط لم زرن صدق می‌کند و در نتیجه Xدارای عضو ماکزیمال است که آن را به صورت  ({\tilde {A}},{\tilde {f}})\  مشخص می‌کنیم.در اینجا دو حالت ممکن است اتفاق بیفتد:
۱-  {\tilde {A}}=A
در این حالت، همان تابع یک به یک مورد نظر است.
۲-  {\tilde {A}}\neq A
در این حالت فرض می‌کنیم  x_{0}\in A-{\tilde {A}} و ادعا می‌کنیم که در این حالت، تابع یک به یک  {\tilde {f}}:{\tilde {A}}\to B در واقع تناظری یک به یک است.(زیرا در غیر این صورت، این تابع پوشا نبود و عضوی مانند  Y_{0}\in B-{\tilde {f}}({\tilde {A}}) وجود دارد). حال تابع  {\tilde {f}}:{\tilde {A}}\bigcup x_{0}\to B را به صورت  {\tilde {\tilde {f}}}(x_{0})=y_{0} و {\tilde {\tilde {f}}}(x)={\tilde {f}}(x)، به ازای هر  <math>x\in {\tilde {A}}</math> تعریف می‌کنیم. مسلما  {\tilde {\tilde {f}}}، یک به یک است و  ({\tilde {A}}\bigcup \lbrace x_{0}\rbrace ,{\tilde {\tilde {f}}})>({\tilde {A}},{\tilde {f}}). نامساوی اخیر با فرض ماکزیمال بودن  ({\tilde {A}},{\tilde {f}}) در تناقض است.
لذا  {\tilde {f}}:{\tilde {A}}\to B تناظری یک به یک است و در نتیجه  {\tilde {f^{-}1}} تابع یک به یک مطلوب از B به زیر مجموعه  {\tilde {A}} از A است. به این ترتیب اثبات قضیه تکمیل می‌شود.