مسئله تاریخ تولد
محاسبه احتمالات

مسئله مورد نظر، محاسبه احتمال تقریبی حضور حداقل دو نفر در اتاقی با حضور n نفر، با تاریخ تولد یکسان است. برای سادگی، تفاوت‌ها در توزیع، مانند سال کبیسه، دوقلوها، تغییرات روزهای هفته و تغییرات فصلی را نادیده بگیرید و فرض کنید ۳۶۵ تاریخ تولدی که امکان پذیرند، احتمال برابری داشته باشند. توزیع تاریخ تولدها در واقعیت یکنواخت نیست، زیرا تمام تاریخ‌ها احتمال برابری ندارند.
اگر P(A) احتمال حضور حداقل ۲ نفر در یک اتاق با تاریخ تولدهای یکسان باشد، محاسبه P(A’)، یعنی احتمال نبود هیچ دو نفری که تولد یکسان داشته باشند می‌تواند آسان تر باشد؛ بنابراین، به این دلیل که P(A) و P(A') تنها احتمالات ممکن و دو به دو ناسازگار هستند، P(A') = ۱ − P(A)).
برای احترام به راه حل‌های منتشر شدهٔ زیادی که نتیجه گرفته‌اند برای داشتن P(A) بیشتر از ۵۰٪ حضور ۲۳ نفر ضروری است، در زیر، برای محاسبه P(A)، ۲۳ نفر به عنوان مثال در نظر گرفته می‌شود.
وقتی رویدادها مستقل از یکدیگر باشند، احتمال کل رویدادهایی که اتفاق می‌افتند برابر است با ضرب احتمالات هر کدام از رویدادها؛ بنابراین اگر P(A') به عنوان ۲۳ رویداد مستقل تعریف شود، می‌توان به این صورت آن را محاسبه کرد:
P(1) × P(2) × P(3) × … × P(23)
این ۲۳ رویداد مستقل، متناظر با این ۲۳ نفر هستند و می‌توانند به ترتیب تعریف شوند. هر رویداد می‌تواند با فرد متناظر با آن که با هیچ‌یک از افراد تحلیل شده قبلی، تاریخ تولد یکسانی ندارد مشخص شود. برای رویداد ۱، هیچ فرد تحلیل شدهٔ قبلی وجود ندارد؛ بنابراین احتمال P(1) یعنی اینکه تاریخ تولد فرد شماره ۱ با هیچ‌یک از افراد تحلیل شدهٔ قبلی یکسان نباشد، ۱ یا ۱۰۰٪ است. بدون در نظر گرفتن سال‌های کبیسه برای این تحلیل، به دلایلی که در زیر به روشنی خواهد آمد، احتمال برابر با یک می‌تواند به صورت ۳۶۵/۳۶۵ نوشته شود.
برای رویداد ۲، تنها فرد تحلیل شدهٔ قبلی نفر ۱ است. با فرض اینکه تاریخ تولدها احتمال برابری برای اتفاق افتادن در هریک از ۳۶۵ روز سال را داشته باشند، احتمال P(2)، اینکه فرد شماره ۲ تاریخ تولد متفاوتی با فرد شماره ۱ داشته باشد، ۳۶۴/۳۶۵ است. این به این دلیل است که اگر فرد شماره ۲ در هر کدام از ۳۶۴ روز دیگر سال متولد شده باشد، فرد شماره ۱ و ۲ تاریخ تولد یکسانی نخواهند داشت.
به‌طور مشابه اگر فرد شماره ۳ در هریک از ۳۶۳ روز دیگر سال غیر از تاریخ تولد فرد شماره ۱ و ۲ متولد شده باشد، فرد شماره ۳ تاریخ تولد یکسانی با آن‌ها نخواهد داشت. در نتیجه P(3)=۳۶۳/۳۶۵.
این تحلیل تا رسیدن به فرد شماره ۲۳ ادامه پیدا می‌کند، فردی که احتمال آنکه تاریخ تولد یکسانی با افراد تحلیل شدهٔ قبلی نداشته باشد، یعنی P(23)، ۳۴۳/۳۶۵ است.
P(A’) برابر با ضرب این احتمالات مجزاست:
(1) P(A') = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 343/365
می‌توان عبارات معادله ۱ را این‌گونه جمع‌بندی کرد:
(2) P(A') = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 × … × 343)
با محاسبه معادله ۲ مقدار P(A’)=۰٫۴۹۲۷۰۳ بدست می‌آید؛ بنابراین P(A) = ۱ − ۰٫۴۹۲۷۰۳ = ۰٫۵۰۷۲۹۷ (۵۰٫۷۲۹۷٪)
این روند می‌تواند برای یک گروه n نفره تعمیم داده شود، به‌طوری‌که p(n) احتمال وجود حداقل دو نفر از این n نفر است که تاریخ تولد یکسانی دارند. ساده‌تر این است که ابتدا احتمال pˉ(n)، یعنی اینکه تمام n تاریخ تولدها متفاوت باشند محاسبه شود. با توجه به اصل لانه کبوتری اگر n˃۳۶۵ باشد، pˉ(n) صفر است. اگر n≤۳۶۵ باشد آنگاه:
که در اینجا ‘!’ عمل فاکتوریل و {365 \choose n} ضریب دو جمله‌ای را نشان می‌دهد.
این معادله این حقیقت را تشریح می‌کند که در نبود افرادی که تاریخ تولد یکسان داشته باشند، یک نفر دوم نمی‌تواند تاریخ تولد مشابهی با نفر اول داشته باشد (۳۶۴/۳۶۵)، سومی نمی‌تواند تاریخ تولد یکسانی با دو تای اول داشته باشد (۳۶۳/۳۶۵)، و در کل nامین تاریخ تولد نمی‌تواند با n-1 تاریخ تولد قبلی یکسان باشد.
این رویداد که حداقل دو نفر از n نفر تاریخ تولد یکسان داشته باشند، متمم این است که کل n تاریخ تولدها متفاوت باشند؛ بنابراین احتمال آن، یعنی p(n) برابر است با:
این احتمال برای n=۲۳ از ½ بیشتر است (با مقداری در حدود ۵۰٫۷٪). جدول زیر این احتمال را برای برخی مقادیر دیگر n نشان می‌دهد (این جدول همان‌طور که در بالا شرح داده شد، از وجود سالهای کبیسه چشم پوشی می‌کند):
| n | p(n) |
| --- | --- |
۱۰: ۱۱٫۷٪
۲۰: ۴۱٫۱٪
۲۳: ۵۰٫۷٪
۳۰: ۷۰٫۶٪
۵۰: ۹۷٫۰٪
۵۷: ۹۹٫۰٪
۱۰۰: ۹۹٫۹۹۹۹۷٪
۲۰۰: ۹۹٫۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۸٪
300: (100 − (۶×10−80))%
350: (100 − (۳×10−129))%
365: (100 − (۱٫۴۵×10−155))%
۳۶۶: ۱۰۰٪