انتگرال دوهامل
اثبات ریاضی

معادله تعادل دینامیکی SDOF در حالت سیستم بدون بارگزاری می‌باشد
{\frac {{{d}^{2}}x(t)}{d{{t}^{2}}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0 که در آن پارامترهای  {\bar {c}}={\frac {c}{m}}  و  {\bar {k}}={\frac {k}{m}}  می‌باشد
که در نهایت حل معادله به صورت زیر بیان می‌شود
{x_{h}}(t)=C{}_{1}.\exp((-{\frac {1}{2}}({\widetilde {c}}+{\sqrt {{{\widetilde {c}}^{-2}}-4*{\widetilde {k}}}})t)+C{}_{2}.\exp((-{\frac {1}{2}}(-{\widetilde {c}}+{\sqrt {{{\widetilde {c}}^{-2}}-4*{\widetilde {k}}}})t)
و با جایگزینی
A={\frac {1}{2}}({\widetilde {c}}+{\sqrt {{{\widetilde {c}}^{-2}}-4*{\widetilde {k}}}}
B={\frac {1}{2}}({\widetilde {c}}+{\sqrt {{{\widetilde {c}}^{-2}}+4*{\widetilde {k}}}},
P={\sqrt {{{\widetilde {c}}^{-2}}-4*{\widetilde {k}}}}
P=B-A
منجر به:
{{x}_{h}}(t)=C{}_{1}.\exp(-B.t)+C{}_{2}.\exp(-A.t)
یک راه حل جزئی از غیرهمگن معادله  {\frac {{{d}^{2}}x(t)}{d{{t}^{2}}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p}}(t)  که در آن {\bar {p}}(t)={\frac {p(t)}{m}}  می‌تواند توسط روش لاگرانژی برای حل جزئی معادلات دیفرانسیل ناهمگن به دست آید.
راه حل به صورت
{{x}_{p}}(t)={\frac {\int {{\widetilde {P}}(t).\exp(A.t)dt.\exp(-A.t)-\int {{\widetilde {P}}(t).\exp(B.t)dt.\exp(-B.t)}}}{P}}
با جایگزاری  \int {{\widetilde {P}}(t).\exp(A.t)dt{{|}_{t=z}}}={{Q}_{z}} و \int {{\widetilde {P}}(t).\exp(B.t)dt{{|}_{t=z}}}={{R}_{z}}  که در آن انتگرال  \int {x(t)dt{{|}_{t=z}}} است از  x(t) در زمان t=z می‌باشد
{{x}_{p}}(t)={\frac {{{Q}_{t}}.\exp(-A.t)-{{R}_{t}}.\exp(-B.t)}{P}}
در نهایت معادله غیرهمگن به صورت:
x(t)={{x}_{h}}(t)+{{x}_{p}}(t)=C{}_{1}.\exp(-B.t)+C{}_{2}.\exp(-A.t)+{\frac {{{Q}_{t}}.\exp(-A.t)-{{R}_{t}}.\exp(-B.t)}{P}}
سپس با مشتق‌گیری نسبت به زمان به عبارت زیر می‌رسد:
{\frac {dx}{dt}}=-A.C{}_{2}.\exp(-A.t)-B.C{}_{2}.\exp(-A.t)+{\frac {1}{P}}.[-A.{{\dot {Q}}_{t}}.\exp(-A.t)-A{{Q}_{t}}.\exp(-A.t)-{{\dot {R}}_{t}}\exp(-B.t)+B{{R}_{t}}.\exp(-B.t)]
که در آن   {\dot {Q}}_{t}=p(t).\exp(At) و  {\dot {R}}_{t}=p(t).\exp(Bt)  به منظور پیدا کردن پارامترهای  C_{1},C_{2} شرایط اولیه را اعمال می‌شود.
C{}_{1}+C{}_{2}={\frac {{{R}_{0}}-{{Q}_{0}}}{P}}\Rightarrow x(t){{|}_{t=0}}=0
C{}_{1}+C{}_{2}+{\frac {-{{R}_{0}}.1+{{Q}_{0}}.1}{P}}=0
{\frac {dx}{dt}}{{|}_{t=0}}=0:-A.C{}_{2}-B.C{}_{1}+{\frac {1}{P}}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]=0
[A.C{}_{2}+B.C{}_{1}={\frac {1}{P}}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]
در حال حاضر ترکیب هر دو شرط اولیه سیستم معادلات را می‌دهد:
C{}_{1}+C{}_{2}={\frac {{{R}_{0}}-{{Q}_{0}}}{P}}
[A.C{}_{2}+B.C{}_{1}={\frac {1}{P}}.[-A.{{Q}_{0}}+B.{{R}_{0}}]
C{}_{1}={\frac {{R}_{0}}{P}} و  C{}_{2}={\frac {-{{Q}_{0}}}{P}}
با جایگزاری  C_{1},C_{2} در معادلات بالا مقدار x(t) به دست می‌آید.
x(t)={\frac {{{Q}_{t}}-{{Q}_{0}}}{P}}.\exp(-A.t)-{\frac {{{R}_{t}}-{{R}_{0}}}{P}}.\exp(-B.t)
با قرار دادن  {{R}_{t}}-{{R}_{0}} و {{Q}_{t}}-{{Q}_{0}}  (تفاوت شکل‌های هندسی دز زمان صفر و t) با انتگرال معین توسط متغیر  \tau  به معادله زیر دست پیدا می‌کند.
x(t)={\frac {1}{P}}[\int _{0}^{t}{{\dot {p}}(\tau ).\exp(A\tau )d\tau .}\exp(A\tau )-\int _{0}^{t}{{\dot {p}}(\tau ).\exp(B\tau )d\tau .}\exp(B\tau )
در آخر با جایگزین ، k={{\omega }^{2}}m ،  c=2\zeta \omega m ، بر این اساس  {\overline {k}}={{\omega }^{2}} ،  {\overline {c}}=2\zeta \omega   که در آن  \zeta <1  :
A=\zeta \omega -{{\omega }_{d}}i ,  B=\zeta \omega +{{\omega }_{d}}i ,  P=2{{\omega }_{d}}i , در جایی که  {\omega _{d}}=\omega .{\sqrt {1-{\zeta ^{2}}}} است.
جایگزین این عبارت در راه حل کلی، با قرار دادن شرایط اولیه و با استفاده از فرمول اویلر برای توابع نمایی منجر به ضوابط کلی و اصلی دوهامل (duhamel  )  می‌شود
x(t)={\frac {1}{{\omega }_{d}}}[\int _{0}^{t}{{\dot {p}}(\tau ).\exp(-\zeta \omega (t-\tau )).\sin[{{\omega }_{d}}(t-\tau )]d\tau .}