تابع رفاه اجتماعی
رای‌گیری اکثریت به‌عنوان تابع رفاه اجتماعی و نواقص آن

یک روش برای جمع کردن ترجیحات افراد آنست که از رای‌گیری استفاده کنیم. برای مثال می‌توانیم فرض کنیم که اگر اکثریت افراد تخصیص x را بر تخصیص y ترجیح دهند آنگاه x بر y از نظر اجتماعی ترجیح دارد. برای نشان دادن مشکلی که ممکن است به وجود بیاید حالت زیر را در نظر می‌گیریم؛ در اینجا رتبه‌بندی سه تخصیص y, x و z را به‌وسیلهٔ جدول زیر نمایش داده‌ایم، بعضی از افراد تخصیص x را به y و بعضی دیگر y را به z و اکثریت افراد z را به y ترجیح می‌دهند.
در ادامه نشان می‌دهیم که جمع کردن ترجیحات افراد از طریق رای‌گیری اکثریت عملی نیست؛ ابتدا مقایسهٔ دو تخصیص x و y را در نظر می‌گیریم، در مرحلهٔ بعد برندهٔ این مقایسه باید در مقابل z قرار بگیرد. چون اکثریت افراد x را به y ترجیح می‌دهند دومین مقایسه بین x و z خواهد بود بود و نتیجه z خواهد بود. اما اگر آنها در ابتدا برای رای‌گیری تخصیص z را در مقابل x قرار دهند و در مرحلهٔ بعد برندهٔ این رای‌گیری در مقابل y بایستد چه می‌شود؟ حال تخصیص z برندهٔ اولین رای‌گیری خواهد بود، ولی y در دومین رای‌گیری z را شکست می‌دهد، بنابراین اینکه کدام پیامد برندهٔ نهایی است بستگی به ترتیبی دارد که در آن انواع راه حل برای رای‌گیرندگان نشان داده می‌شود.


نوع دیگر رای‌گیری این است که به تعداد تکرارهای هر تخصیص رای بدهیم. در اینجا هر فردی کالاها را برحسب ترجیحاتش رتبه‌بندی می‌کند و عددی را برای رتبه‌بندی‌اش مشخص می‌کند؛ مثلاً ۱ به بهترین و ۲ به دومین و همین‌طور الی آخر. در نهایت امتیازات هر تخصیص را برای تمام افراد جامعه جمع می‌کنیم تا امتیاز کلی هر تخصیص به دست آید و اگر پیامدی کمترین امتیاز را داشته باشد آنگاه از نظر اجتماعی ترجیح دارد.
برای نشان دادن مشکلی که در اینجا ممکن است حالت زیر را در نظر بگیرید، در جدول قبل یک نظم ترجیحات ممکن بین سه نوع تخصیص x, y و z و به‌وسیلهٔ دو نفر A و B آورده شده‌است.
فرض کنید که در ابتدا فقط دو انتخاب x و y در دسترس باشد. فرد A به تخصیص x رتبهٔ ۱ و به تخصیص y رتبهٔ ۲ می‌دهد. در مورد فرد B برعکس این اتفاق می‌افتد، از این‌رو نتیجهٔ رای‌گیری برای هر دو تخصیص ۳ می‌باشد.
حال فرض کنید که z به رای‌گیری اضافه شود. فرد A امتیاز ۱ را به x و ۲ را به y و ۳ را به z بدهد و فرد B امتیاز ۱ را به y و ۲ را به z و ۳ را به x بدهد. این مطلب بدین معنی است که حال x رتبهٔ کلی ۴ و y رتبه کلی ۳ را دارد و بنابراین در این حالت y بر x براساس رای‌گیری رتبه‌بندی تنظیم شده ارجح می‌باشد.
مشکل رای‌گیری اکثریت و رای‌گیری براساس تکرار این است که نتایج هر دوی آن‌ها می‌تواند بوسیلهٔ افراد زیرک تحت تأثیر قرار بگیرد، رای‌گیری اکثریت را می‌توان با تغییر ترتیبی که به تخصیص‌ها رای داده شده‌است دستکاری کرد به نحوی که منجر به پیامد مورد نظر بشود. رای‌گیری براساس تکرار را هم می‌توان با معرفی تخصیص‌های جدید که منجر به تغییر در رتبه‌بندی نهایی تکرارهای مربوطه می‌شود جابه‌جا کرد.
به طور طبیعی این سؤال مطرح است که آیا مکانیزم‌های تصمیم‌گیری‌های اجتماعی وجود دارد که از این دستکاری‌ها مصون بماند؟ آیا روش‌هایی وجود دارد که ترجیحات را جمع‌بندی کنیم به نحوی که نواقص فوق را نداشته باشند؟
حال چیزهایی را که می‌خواهیم سازوکار تصمیم‌گیری اجتماعی انجام دهد را فهرست‌وار متذکر می‌شویم:

۱. با مشخص‌بودن هر مجموعهٔ کامل، انعکاس‌پذیر و انتقال‌پذیر ترجیحات فردی، مکانیزم تصمیم‌گیری اجتماعی باید به ترجیحات اجتماعی که همان خواص را دارند منجر گردد.

۲. اگر همهٔ افراد تخصیص x را بر y ترجیح دهند آنگاه ترجیح اجتماعی نیز باید x را بر y ترجیح دهد.

۳. ترجیحات بین x و y فقط باید به این ارتباط داشته باشد که مردم چگونه تخصیص x را در مقابل y رتبه‌بندی می‌کنند نه اینکه چطور تخصیص‌های دیگر را رتبه‌بندی می‌کنند.

با وجود اینکه این سه شرط کاملاً منطقی به نظر می‌رسند پیدا کردن مکانیزمی که در هر سه شرط صدق کند کاملاً مشکل است، در ادامه نتیجهٔ قابل توجهی را که کنت ارو این مورد اثبات کرده‌است را بیان می‌کنیم.