رابطه دوتایی
حالات خاص روابط دوتایی > روابط روی مجموعه‌ها

اگر X=Y می‌گوییم یک رابطه روی X تعریف شده‌است. چند تا از رابطه‌ها در گراف‌ها به‌طور کلی بحث شد.مجموعه ی رابطه‌ها در روابط دو تایی که روی 2X*x تعریف شده اند جبر بولی نامیده می‌شوند با واروپذیری گسترش یافتند. بعضی از ویژگی‌ها ی روابط دوتایی:
بازتابی:برای هر X ای در دامنه باید XRX وجود داشته باشد مثلاً رابطه تساوی.
غیر بازتابی: برای هیچ X ای در دامنه XRX وجود نداشته باشد.
تک بازتابی: به ازای هر X,Y ای اگر XRY وجود داشت باید X=Y نیز وجود داشته باشد.مانند رابطه تساوی.
متقارن: برای هر X,Y که رابطه R باری آن‌ها تعریف شده باشد مثلاً XRY باید YRX نیز وجود داشته باشد.
پاد متقارن: برای هر X,Y اگر XRY و YRX باید X=Y باشد.
نامتقارن: برای هر X,Y ای اگر  XRY وجود داشته باشد YRX وجود نداشته باشد.
تراگذری: برای هر X,Y,Z ای اگر XRY در دامنه دقیقاً یکی از XRY وجود داشته باشد و YRZ وجود داشته باشد باید XRZ نیز پیدا کرد.
سه بخشی: برای هر X,Y در دامنه دقیقاً یکی از XRY یا YRX یا X=Y وجود داشته باشد. برای مثال رابطه بزرگتر که هر عدد با عدد دیگری فقط می‌تواند یکی از دو حالت بالا را داشته باشد.
اقلیدسی: برای هر X,Y,Z ای اگر  XRZ,XRY وجود داشته باشد YRZ سپس ZRY وجود داشته باشد. تساوی یک رابطه اقلیدسی است زیرا اگر X=Z,X=Y می‌توان نتیجه گرفت که Y=Z نیز هست.
سریالی: رابطه‌ای که به ازای هر X عضو دامنه Yای وجود داشته باشد که این رابطه برای آن صدق کند مثلاً رابطه بزرگ تر بودن برای اعداد طبیعی سریالی نیست زیرا عددی که یک از آن بزرگ تر باشد در اعداد طبیعی وجود ندارد ولی در اعداد صحیح       می‌توان پیدا کرد پس این رابطه در اعداد طبیعی سریالی نیست ولی در اعداد صحیح سریالی است.
هم ارزی: یک مجموعه از اعداد را کلاس همارزی یک عدد می‌نامیم هنگامی که آن عدد و اعداد در آند مجموعه با یکدیگر هم رابطه بازتابی دارند و هم رابطه تقارن و هم رابطه تراگذری داشته باشند.به عبارت دیگر مجموعه تمام اعداد ی که با عدد مورد نظر رابطه دارند را کلاس هم ارزی آن عدد می‌نامیم.
رابطه‌ای را که خواص بازتابی و تراگذری و پادتقارن داشته باشد ترتیب جزئی می‌نامیم.
عملگرها روی مجمو عه ها:
اگر R و S را رابطه بنامیم و X,Y را نیز دو عدد از این مجموعه می‌توانیم عملیات‌های مجازی روی مجموعه‌ها را به صورت زیر بنویسیم:
اجتماع: یعنی تمام زوج مرتب‌هایی که یا در R یا S یا در هردوی آن‌ها تعریف می‌شوند.
اشتراک:تمام روج مرتب‌هایی که هم در R و هم در S هستند می‌شوند.
ترکیب: ترکیب SOR یعنی تمام روج مرتب‌های (X,Z) ای که (X,Y) در S وجود دارند و (Y,Z)در Rمثلاً اگر رابطه S,R به شکل زیر باشند می‌توانیم بگوییم:
S={(1,2)(2,3)}  R={(1,5)(2,7)}  SOR={(1,7)}
اگر دو رابطه که یکی دیگری را شامل می‌شود داشته باشیم می‌توانیم رابطه‌ای که شامل تر است را جایگزین قبلی کنیم.
مثلاً اگر R روی X,Y و همینطور S نیز روی X,Y تعریف بشوند و R زیرمجموعه‌ای از S باشد می‌توانیم به جای XRY XSY, قرار دهیم.
وارون: یعنی جابجایی Xها و Yها در تمام زوج مرتب‌های (X,Y) تا به شکل (Y,X) در بیایند.مثلاً اگر مجموعه R به شکل زیر باشد می‌توان دید:
R={(1,2)(2,3)(4,5)}  R-1={(2,1)(3,2)(5,4)}
افزودن بازتابی بسته R: می‌شود اضافه کردن زوج مرتب‌هایی که اگر به R اضافه شوند R یک رابطه بازتابی می‌شود.
کاستن بازتابی بسته R: کم کردن تمام زوج مرتب‌هایی که به شکل (X,X) هستنداز R.
افزودن تراگذری: افزودن تمام زوج مرتب‌ها یی که با افزودن آن‌ها R تراگذری می‌شود.
کاستن تراگذری: کاستن تمام(X,Z)هایی که (Y,Z) و (X,Y) در R وجود دارند.
مکمل R: یعنی مجموعه تمام زوج مرتب‌هایی که در توان 2 مجموعه مرجع قرار دارند ولی در R قرار ندارند.مانند:
S={1,2}   S2={(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)}   R={(1,1)}   S-R={(2,1)(1,2)(2,2)}
محدوده: محدوده X یعنی مجموعه همه زوج مرتب‌هایی که می‌توان در بک مجموعه ساخت.
محدوده افزودن تراگذری یعنی تمام زوج مرتب‌هایی که باید به یک مجموعه اضافه کرد تا آن رابطه تراگذر شود.
مثلاً محدوده رابطه پدر بودن برای مرد هاست و رابطه مادر بودن به زن‌ها محدود می‌شود.
برای گسترش مفهوم کامل بودن در یک محدوده می‌توان شامل تمام اعداد حقیقی بین X,Y را زد که از X کوچک‌تر و از Y بزرگتراند.این اعداد به بازه بین X,Y محدودند اما بزرگترین عددی که شامل این مجموعه باشد را نمی‌توان یافت پس اصطلاحاً می‌گوییم X سوپریمم این رابطه است یعنی همه اعداد از X کوچک ترند ولی X خودش عضو این مجموعه نیست.
مچموعه‌ها در مقابل کلاس ها:
روابط دوتایی مانند تساوی زیر مجموعه و... در تعریف بالا نمی‌گنجد یعنی در نظریهٔ مجموعه‌ها نمی‌توان آن‌ها را مدل‌سازی کرد مثلاً رابطه تساوی را باید با دامنه و هم دامنه تعریف کرد ولی اندازه این مجموعه‌ها معلوم نیست پس اصطلاح دیگری مانند کلاس را معرفی می کنیم که شامل یک یا چند مجموعه است.
اگر یخواهیم اعداد ی که با عددی مانند X رابطه دارند را در یک یا چند مجموعه بگنجانیم همه مجموعه‌ها را در یک کلاس میریزیم    و می نویسیم کلاس هم ارزی X.
برای مثال کلاس زیرمجموعه‌های یک مجموعه را مجموعه ی توانی آن مجموعه توانی آن مجموعه می نامیم و با نماد P(A) نشان می دهیم که این مجموعه می‌شود کلاس هم ارزی برای رابطه زیر مجموعه بودن در مجموعه A.