تربیع دایره
تاریخ

روش‌هایی برای تقریب مساحت یک دایره معین با یک مربع، که می‌توان آن را به‌عنوان مسئله‌ای اولیه برای تربیع دایره در نظر گرفت، قبلاً برای ریاضیدانان بابلی مطرح بود. پاپیروس رایند مصری (مورخ ۱۸۰۰قبل از میلاد) مساحت یک دایره را عنوان می‌کند:  2d64/81 که d قطر دایره است. در اصطلاح مدرن، معادل تقریب  \pi  به256/81 (تقریباً ۳٫۱۶۰۵)، عددی است که در پاپیروس قدیمی‌تر، پاپیروس مسکو، ظاهر شده و برای تقریب حجم استفاده می‌شده‌است (یعنی هکات (واحد حجم)). ریاضیدانان هندی نیز روشی تقریبی پیدا کردند که البته در شولبا سوتراه ثبت شده‌است. ارشمیدس اثبات کرد فرمول مساحت یک دایره A =  \pi r2 که در آن r شعاع دایره است و مقدار  \pi  را بین 3+1/7 (تقریباً ۳٫۱۴۲۹) و3+10/71 (تقریباً ۳٫۱۴۰۸) درنظر گرفت. برای اطلاعات بیشتر در مورد تاریخچه، تقریب عددی مقدار  \pi  را ببینید.
اولین یونانی شناخته شده که با این مسئله دست‌وپنجه نرم کرد آناکساگوراس بود که در زندان روی آن کار می‌کرد. بقراط خیوسی خطوط مشخصی را مربع کرد، به این امید که به راه حلی برسد (برای اطلاعات بیشتر مقاله هلال بقراط را ببینید). آنتیفون سوفسطایی معتقد بود که نوشتن چندضلعی‌های منتظم در یک دایره و دو برابر کردن تعداد ضلع‌ها در نهایت مساحت دایره را پر می‌کند و از آنجایی که یک چند ضلعی را می‌توان تربیع کرد، به این معنی است که دایره را نیز می‌توان تربیع کرد. حتی در آن زمان نیز افراد شکاکی وجود داشتند، من‌جمله اودموس رودسی، استدلال می‌کردند که اندازه‌ها را نمی‌توان بدون محدودیت تقسیم کرد، بنابراین مساحت دایره هرگز پر نمی‌شود. این مشکل حتی در نمایشنامه پرندگان آریستوفان نیز ذکر شد.
اعتقاد بر این است که اونوپیدس اولین یونانی بود که به یک راه‌حل روی صفحه رسید (یعنی فقط با استفاده از پرگاروخط‌کش). جیمز گرگوری، سال ۱۶۶۷ در مقاله Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (تربیع واقعی دایره و هذلولی) اثبات ناممکن بودن آن را انجام داد. اگرچه اثبات او دارای اشکال بود، اما این اولین مقاله ای بود که سعی در حل مسئله با استفاده از ویژگی‌های جبری عدد  \pi  داشت. تنها در سال ۱۸۸۲ بود که فردیناند فون لیندمان با برهان صحیح غیرممکن بودن آن را ثابت کرد.
چارلز لوتویج داجسون، ریاضی‌دان، منطق‌دان و نویسنده عصر ویکتوریایی، که بیشتر با نام مستعار لوئیس کارول می‌شد، نیز به رد کردن نظریه‌های غیرمنطقی تربیع دایره ابراز علاقه کرد. داجسون سال ۱۸۵۵، در یکی از یادداشت‌های روزانه‌اش، کتاب‌هایی را فهرست کرد که امیدوار بود بنویسد، از جمله کتابی به نام «حقایق ساده برای تربیع‌ها دایره». در مقدمه کتب «نظریه جدید موازی‌ها»، داجسون تلاشی را برای نشان دادن خطاهای منطقی به چند روش تربیع دایره را بازگو کرد و بیان کرد:
اولین مورد از این دو رویاپردازی‌های گمراه، من را پر از جاه طلبی کرد تا شاهکاری را انجام دهم که هرگز نشنیده بودم که توسط انسان انجام شده باشد، یعنی متقاعد کردن انجام تربیع دایره از خطای خود! مقداری که دوست من برای Pi انتخاب کرد ۳٫۲ بود: خطای عظیم، من را با این ایده وسوسه کرد که می‌توان به راحتی نشان داد که یک خطا است. متأسفانه بعد از چندین نامه‌نگاری قبل از اینکه کاری کنم متقاعد شدم که هیچ شانسی ندارم.
تمسخر تربیع دایره در کتاب بودجه پارادوکس‌های آگوستوس دمورگان که پس از مرگ توسط بیوه‌اش در سال ۱۸۷۲ منتشر شد، ظاهر می‌شود. او که در اصل این اثر را به‌عنوان مجموعه‌ای از مقالات در آتنئوم منتشر کرده بود، که در زمان مرگش آن را برای انتشار ویرایش می‌کرد. تربیع دایره که در قرن نوزدهم بسیار رایج بود، امروزه ندرتاً کسی از آن لذت می‌برد و اعتقاد بر این است که کار دمورگان به این امر کمک کرده‌است.
دو مشکل کلاسیک دیگر دوران باستان، که به دلیل غیرممکن بودن مشهور بودند، تضعیف مکعب و تثلیث زاویه بود. مانند تربیع دایره، این‌ها را نیز نمی‌توان با روش‌های پرگاروخط‌کش حل کرد. با این حال، بر خلاف تربیع دایره، آنها را می‌توان با روش‌ها کمی قدرتمندتر مانند اوریگامی حل کرد، همان‌طور که در هندسه تاکردن کاغذ توضیح داده شده‌است.