چند جمله‌ای رخی
صفحه‌های مستطیل شکل کامل > آرایش‌های متقارن

به عنوان یک عارضه دیگر برای مسئله رخ، اجازه دهید ما نه تنها رخ‌ها همدیگر را تهدید نکنند بلکه به‌طور متقارن روی صفحه قرار بگیرند را نیز لازم بدانیم. بسته به نوع تقارن، این معادل چرخش یا انعکاس صفحه است. آرایش‌های متقارن، بسته به شرایط تقارن، منجر به مشکلات زیادی می‌شوند.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | a | b | c | d | e | f | g | h |  |
| 8 |  |  |  |  |  |  |  |  | 8 |
| 7 |  |  |  |  |  |  |  |  | 7 |
| 6 |  |  |  |  |  |  |  |  | 6 |
| 5 |  |  |  |  |  |  |  |  | 5 |
| 4 |  |  |  |  |  |  |  |  | 4 |
| 3 |  |  |  |  |  |  |  |  | 3 |
| 2 |  |  |  |  |  |  |  |  | 2 |
| 1 |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |
|  | a | b | c | d | e | f | g | h |  |
شکل ۲: یک آرایش متقارن حول مرکز از رخ‌های غیر تهاجمی در یک صفحه شطرنج معمولی. نقاط چهار خانه مجاور مرکزتقارن را نمایش می‌دهند.
ساده‌ترین آن ترتیب‌ها زمانی است که رخ‌ها در حول مرکز صفحه متقارن هستند. بیایید Gn تعداد روش‌هایی که n رخ روی صفحه ای با n ردیف و n ستون قرار می‌گیرند، تعیین کنیم. اکنون بیایید صفحه را را شامل 2n ردیف و 2n ستون فرض کنیم. یک رخ روی ستون اول می‌تواند روی هر یک از 2n خانه آن ستون قرار گیرد. با توجه به شرایط تقارن، قرارگیری این رخ محل قرارگیری یک رخ را که روی آخرین ستون قرار دارد مشخص می‌کند - باید به‌طور قرینه با اولین رخ در حول مرکز صفحه چیده شود. اجازه دهید اولین و آخرین ستون‌ها و ردیف‌هایی که توسط رخ‌ها اشغال شده‌اند را حذف کنیم (از آنجا که تعداد ردیف‌ها زوج است، رخ‌های حذف شده نمی‌توانند در ردیف یکسان قرار گیرند). این یک صفحه با 2n-۲ ردیف و 2n-۲ ستون می‌سازد. واضح است که برای هر چیدمان متقارن رخ‌های روی صفحه جدید متناظر به یک چیدمان متقارن رخ‌ها روی صفحه اصلی است؛ بنابراین، G 2n = 2nG 2 n-2 (ضریب 2n در این عبارت از این امکان به‌وجود می‌آید که اولین رخ هر یک از 2n خانه موجود در ستون اول را اشغال کند). با تکرار فرمول فوق می‌توان به حالت صفحه ۲×۲ رسید، که روی آن ۲ ترتیب متقارن (روی قطرها) وجود دارد. در نتیجه این تکرار، عبارت نهایی برابر !G2n = 2nn است. برای صفحه شطرنج معمول (8 × ۸)، G 8 = 24×۴ = 16×۲۴ = ۳۸۴ آرایش متقارن حول مرکز از ۸ رخ وجود دارد. یکی از این آرایش‌ها در شکل ۲ نشان داده شده‌است.
برای تخته‌های با اندازه فرد (حاوی 2n+۱ ردیف و 2n+۱ ستون) همیشه یک خانه وجود دارد که خانه متقارن ندارد - این خانه مرکزی تخته است. همیشه باید یک رخ در این خانه قرار داده شود. حال با حذف ستون و ردیف مرکزی، یک آرایش متقارن 2n رخ بر روی صفحه 2n×2n بدست می‌آید. بنابراین، برای چنین صفحه ای، یک بار دیگر بدست می‌آید !G2n+1 = G2n = 2nn.
مسئله کمی پیچیده‌تر این است که تعداد آرایش‌های غیرتهاجمی را پیدا کنید که با چرخش ۹۰ درجه صفحه تغییر نمی‌کنند. فرض کنیم صفحه دارای 4n ستون و 4n ردیف باشد و تعداد رخ‌ها نیز 4n است. در این حالت، رخی که روی ستون اول است می‌تواند هر مربع روی این ستون را اشغال کند، به غیر از خانه‌های گوشه ای (یک رخ نمی‌تواند در یک خانه گوشه ای باشد زیرا بعد از چرخش ۹۰ درجه، ۲ رخ وجود دارند که همدیگر را تهدید می‌کنند). ۳ رخ دیگر نیز وجود دارد که با آن رخ مطابقت دارد و آنها به ترتیب روی آخرین ردیف، آخرین ستون و ردیف اول قرار می‌گیرند (با چرخش ۹۰ درجه، ۱۸۰ درجه و ۲۷۰ درجه از اولین صخره بدست می‌آیند). با حذف ستون‌ها و ردیف‌های این رخ‌ها، چیدمان رخی برای یک صفحه (4n-۴)×(4n-۴) با تقارن مورد نیاز بدست می‌آید؛ بنابراین، رابطه بازگشتی زیر بدست می‌آید: R4n = (4n -2) R4n-4، که Rn تعداد آرایش‌ها روی صفحه n×n است. با تکرار، نتیجه می‌شود که R4n = 2n(2n−1)(2n−۳)...۱ تعداد آرایش‌ها برای یک صفحهٔ (4n+1)×(4n+۱) برابر با آرایش‌ها برای صفحه 4n×4n می‌باشد؛ زیرا در صفحهٔ (4n+1)×(4n+۱)، یک رخ لزوماً باید در مرکز قرار گیرد و بنابراین می‌توان ردیف و ستون مرکزی را حذف کرد؛ بنابراین R4n+1 = R4n برای صفحه شطرنج معمولی (n = ۲)، R8 = 4×3×۱ = ۱۲ آرایش ممکن با تقارن چرخشی وجود دارد.
برای صفحات (4n+2)×(4n+۲) و (4n+3)×(4n+۳)، تعداد راه حل‌ها صفر است. برای هر رخ دو حالت ممکن است: یا در مرکز قرار دارد یا در مرکز قرار نمی‌گیرد. در حالت ثانوی، این رخ در خانه رخی گنجانده شده‌است که با چرخاندن ۹۰ درجه صفحه بدست می‌آید؛ بنابراین، تعداد کل رخ‌ها باید 4n باشد (وقتی خانه مرکزی روی صفحه وجود ندارد) یا 4n+۱ باشد. این ثابت می‌کند که R4n+2 = R4n+3 = ۰.
تعداد چیدمان n رخ غیر تهاجمی متقارن نسبت به یکی از قطرها (برای تعیین قطر، قطر مربوط به a1-h8 در صفحه شطرنج) در صفحه n×n با شماره تلفن‌های مشخص می‌شود که با بازگشتی Qn = Qn−1 + (n−1)Qn−2 تعریف می‌شود. این بازگشتی از طزیق زیر بدست می‌آید. توجه داشته باشید که رخ موجود در ستون اول یا در خانه گوشه پایین قرار دارد یا در یک خانه دیگر قرار دارد. در حالت اول، حذف ستون اول و ردیف اول منجر به آرایش متقارن n-1 رخ بر روی یک صفحه (n−1)×(n−۱) می‌شود. تعداد حالت‌های آرایش باقیمانده Qn−1 می‌باشد. در حالت دوم، برای رخ اصلی، یک رخ دیگر وجود دارد، متقارن با اولین رخ در حول قطر انتخاب شده. حذف ستون‌ها و ردیف‌های این رخ‌ها منجر به آرایش متقارن n رخ بر روی یک صفحه (n−2)×(n−۲) می‌شود. از آنجا که تعداد حالت‌های آرایش باقیمانده Qn−2 می‌باشد و خانه رخ اصلی را می‌توان به n-1 حالت انخاب کرد، در کل برای حالت دوم (n−1)Qn−2 روش آرایش وجود دارد. که جمع این دو حالت عبارت بازگشتی بالا را نتیجه می‌دهد. تعداد روش‌های آرایش متقارن به قطر از عبارت زیر بدست می‌آید.
این عبارت با تقسیم‌بندی همه آرایش‌های رخی در کلاس‌ها بدست می‌آید. در کلاس s آن آرایش‌هایی هستند که s رخ متقارن روی قطر قرار نگیرند. دقیقاً به همین ترتیب، می‌توان نشان داد که تعداد آرایش‌های n رخ در صفحه n×n، به گونه ای که آنها همدیگر را تهدید نکنند و متقارن با هر دو مورب باشند، توسط معادلات بازگشتی B2n = 2B2n−2 + (2n−2)B2n−4 and B2n+1 = B2n بدست می‌آیند.