تبدیل فوریه
جدول تبدیل‌های فوریه مهم > فرمول‌هایی برای توابع عمومی n بعدی

|  | تابع | تبدیل فوریه فرکانس واحد، عادی | تبدیل فوریه فرکانس واحد، زاویه ای | تبدیل فوریه فرکانس زاویه ای غیر واحد | ملاحظات |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۵۰۰ |  f(\mathbf {x} )\, |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})=\\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot {\boldsymbol {\xi }}}\,d\mathbf {x} \end{aligned}} |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}({\boldsymbol {\omega }})=\\&{\frac {1}{{(2\pi )}^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}} |  {\begin{aligned}&{\hat {f}}({\boldsymbol {\nu }})=\\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i\mathbf {x} \cdot {\boldsymbol {\nu }}}\,d\mathbf {x} \end{aligned}} |  |
| ۵۰۱ |  \chi _{[0,1]}(|\mathbf {x} |)\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right)^{\delta } |  {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }\,|{\boldsymbol {\xi }}|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(2\pi |{\boldsymbol {\xi }}|) |  2^{\delta }\,{\frac {\Gamma (\delta +1)}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(|{\boldsymbol {\omega }}|) |  {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }}}\left|{\frac {\boldsymbol {\nu }}{2\pi }}\right|^{-{\frac {n}{2}}-\delta }J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(\!|{\boldsymbol {\nu }}|\!) | The function χ[0, 1] is the indicator function of the interval [0, 1]. The function Γ(x) is the gamma function. The function Jn/2 + δ is a Bessel function of the first kind, with order n/2 + δ. Taking n = 2 and δ = 0 produces 402. |
| ۵۰۲ |  |\mathbf {x} |^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n. |  {\frac {(2\pi )^{\alpha }}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\xi }}|^{-(n-\alpha )} |  {\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )} |  {\frac {(2\pi )^{n}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\nu }}|^{-(n-\alpha )} | See Riesz potential where the constant is given by  c_{n,\alpha }=\pi ^{\frac {n}{2}}2^{\alpha }{\frac {\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-\alpha }{2}}\right)}}. The formula also holds for all α ≠ −n, −n − 1, ... by analytic continuation, but then the function and its Fourier transforms need to be understood as suitably regularized tempered distributions. See homogeneous distribution. |
| ۵۰۳ |  {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {\sigma }}\right|\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} } |  e^{-2\pi ^{2}{\boldsymbol {\xi }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\xi }}} |  (2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}} |  e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nu }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\nu }}} | This is the formula for a multivariate normal distribution normalized to 1 with a mean of 0. Bold variables are vectors or matrices. Following the notation of the aforementioned page, Σ = σ σT and Σ−1 = σ−T σ−1 |
| ۵۰۴ |  e^{-2\pi \alpha |\mathbf {x} |} |  {\frac {c_{n}\alpha }{\left(\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\xi }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}} |  {\frac {c_{n}(2\pi )^{\frac {n+2}{2}}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}} |  {\frac {c_{n}(2\pi )^{n+1}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\nu }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}} | Here c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\pi ^{\frac {n+1}{2}}}}, Re(α)> ۰ |
انیمیشن تبدیل فوریه یک سیگنال منتقل شونده در زمان را نشان می‌دهد. [در قسمت بالا] سیگنال اصلی (نارنجی)، به‌طور مداوم با زمان جابجا می‌شود (آبی). [در قسمت پایین] نتیجه تبدیل فوریه نشان داده شده‌است. به سرعت بالای چرخش مولفه‌های فرکانس بالا در صفحه مختلط نسبت به مولفه‌های سرعت پایین توجه کنید.