تانسور
تعریف > به عنوان آرایه‌های چندبعدی

تانسور را می‌توان به صورت آرایه (معمولاً چندبعدی) نمایش داد. درست همانگونه که یک بردار در یک فضای n-بعدی به صورت آرایه یک بعدی با n مؤلفه و نسبت به پایه دلخواهی نمایش داده می‌شود، هر تانسور را نیز می‌توان برحسب یک پایه و با کمک آرایه‌ای چندبعدی نمایش داد. به عنوان مثال، یک عملگر خطی را برحسب یک پایه و به صورت آرایه‌ای  n\times n نمایش داده می‌شود. درایه‌های این آرایه چندبعدی را مؤلفه‌های اسکالر تانسور نامیده یا صرفاً به آن‌ها مؤلفه‌ها می‌گویند. به کمک اندیس‌ها، موقعیت این درایه‌ها را در آرایه با کمک بالانویس‌ها و پایین نویس‌ها در کنار نماد تانسور مشخص می‌کنند. به عنوان مثال، مؤلفه‌های تانسور مرتبه ۲ را می‌توان به صورت  T_{ij} که در آن  i و  j اندیس‌هایی اند که مقادیرشان را از ۱ تا n انتخاب می‌کنند. همچنین ممکن است تانسور مرتبه دو به صورت  T_{j}^{i} باشد. بالانویس یا پایین‌نویس بودن اندیس‌های تانسور بستگی به خواص تبدیل تانسور داشته که در ادامه توضیح داده خواهد شد. ازین رو در حالی که هردوی  T_{j}^{i} و  T_{ij} را می‌توان به صورت ماتریس‌های n در n بیان نمود، هردوی آن‌ها از طریق عمل بالا و پایین پریدن اندیس‌ها (index juggling) به یکدیگر تبدیل نمود. از آنجا که خواص تبدیلی این دو نوع تانسور از یکدیگر متفاوت اند، نمی‌توان آن‌ها را به طریق مناسب با یکدیگر جمع نمود. تعداد کل اندیس‌های لازم جهت تعیین هر مؤلفه تانسور به‌طور یکتا، برابر بعد آرایه بوده و به آن مرتبه، درجه یا رتبه تانسور گویند. با این حال اصطلاح «رتبه» معنای دیگری در متون مربوط به ماتریس‌ها و تانسورها دارد.
درست همانگونه که مؤلفه‌های بردار هنگام تغییر پایهٔ فضای برداری عوض می‌شوند، مؤلفه‌های یک تانسور نیز تحت چنین تبدیلاتی عوض می‌شوند. هر نوع تانسور مجهز به یک قانون تبدیل است که جزئیات چگونگی واکنش به تغییر پایه را نشان می‌دهد. مؤلفه‌های یک بردار به دو طریق مجزا قادرند به تغییرات پایه واکنش دهند (بردارهای هموردا و پادوردا)، به طوری که بردارهای واقع در پایه‌های جدید  \mathbf {\hat {e}} _{i} را می‌توان برحسب پایه‌های قدیمی  \mathbf {e} _{j} به این صورت بیان نمود:
\mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.
در اینجا  R_{i}^{j} درایه‌های ماتریس تغییر پایه اند و در راست‌ترین قسمت معادله، علامت جمع سیگما به دلیل استفاده از قرارداد جمع اینشتین برداشته شده‌است. در سرتاسر این مقاله از قرارداد اینشتین استفاده خواهد شد. مؤلفه‌های  v^{i} از یک بردار ستونی چون  \mathbf {v} ، تحت معکوس ماتریس  R تبدیل می‌شود:
{\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},
که علامت کلاه روی متغیر، مؤلفه‌های پایه جدید را نشان می‌دهد. به فرمول بالا قانون تبدیل پادوردا گفته می‌شود، چرا که مؤلفه‌های برداری نسبت به تغییر پایه به صورت معکوس تبدیل می‌شوند. در مقایسه با آن، مؤلفه‌های  w_{i} از هم-بردار ستری چون  \mathbf {w}  نیز توسط خود ماتریس  R تبدیل می‌شوند:
{\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}
به این تبدیل، قانون تبدیل هموردا گفته می‌شود، چرا که مؤلفه‌های هموردا براساس همان ماتریس تغییر پایه تبدیل می‌گردند. مؤلفه‌های تبدیلات تانسوری کلی‌تر، براساس ترکیب تبدیلات هموردا و پادوردا تبدیل می‌شوند، به گونه‌ای که برای هر اندیس یک قانون تبدیل به کار می‌رود. اگر ماتریس تبدیل یک اندیس معکوس تبدیل پایه باشد، آنگاه به آن اندیس پادوردا گفته شده و اغلب با اندیس بالا (بالانویس) نمایانده می‌گردد. اگر ماتریس تبدیل یک اندیس، خودِ تبدیل پایه باشد، آنگاه به اندیس مورد نظر هموردا گفته شده و با اندیس پایین (پایین‌نویس) نشان داده می‌شود.
به عنوان مثالی ساده، ماتریس عملگر خطی نسبت به یک پایه، آرایه مستطیلی چون  T است که تحت ماتریس تغییر پایه  R=\left(R_{i}^{j}\right) به صورت  {\hat {T}}=R^{-1}TR تبدیل می‌شود. برای درایه‌های منفرد ماتریس، این قانون تبدیل به این صورت است:  {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}، چنان‌که تانسور متناظر با یک ماتریس عملگر خطی، دارای یک اندیس هموردا و یک اندیس پادوردا، یعنی از نوع  (1,1) می‌باشد.
ترکیب مؤلفه‌های هموردا و پادوردایی که اندیس‌های یکسانی دارند، امکان بیان ناورداهای هندسی را به ما می‌دهد. به عنوان مثال، این حقیقت که یک بردار در دستگاه‌های مختصاتی متفاوت شیء یکسانی است را می‌توان با استفاده از فرمول‌های تعریف شده در بالا به صورت معادلات زیر نوشت:
\mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}
که در آن  \delta _{j}^{k} دلتای کرونکر است که مشابه با ماتریس همانی عمل کرده و اثرش تغییر نام اندیس‌ها است (در این مثال تبدیل  j به  k). این مثال ویژگی‌های مختلف نمادگذاری مؤلفه‌ها را نشان می‌دهد: توانایی بازآرایی جملات (جابه‌جایی)، نیاز به استفاده از اندیس‌های متفاوت هنگام کار با اشیاء مختلف در یک عبارت، توانایی تغییر نام اندیس‌ها و طریقی که تانسورهای هموردا و پادوردا با هم ترکیب می‌شوند، به گونه‌ای که تمام نمونه‌های ماتریس تبدیل و معکوس‌هایشان همدیگر را خنثی کرده به گونه‌ای که می‌توان به‌طور آنی دید که عباراتی چون  {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i} از نظر هندسی در تمام دستگاه‌های مختصاتی یکسان اند.
به‌طور مشابه، یک عملگر خطی را می‌توان به صورت شیء هندسی دید که عملاً به هیچ پایه‌ای وابسته نیست: عملگر خطی صرفاً نگاشتی خطی است که یک بردار را به عنوان آرگومان ورودی پذیرفته و بردار دیگری را تولید می‌کند. قانون تبدیل مربوط به نحوه تغییر یافتن ماتریس مؤلفه‌های یک عملگر خطی برحسب پایه، با قانون تبدیل مربوط به یک بردار پادوردا سازگاری دارد، چنان‌که نمایش مختصاتی کنش عملگر خطی دلخواه بر روی یک بردار پادوردای دلخواه به صورت ضرب ماتریسی نمایش‌های مختصاتی متناظر با هر کدام است؛ یعنی مؤلفه‌های  (Tv)^{i} به صورت  (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j} می‌باشند. این مؤلفه‌ها به صورت پادوردا تبدیل می‌یابند، چون:
\left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{j}^{j'}v^{j}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.
بنابراین قانون تبدیل برای تانسوری از مرتبه  p+q که دارای  p اندیس پادوردا و  q اندیس هموردا است به این صورت داده می‌شود:
{\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}  T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}  R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.
در اینجا اندیس‌های پریم (پرایم) دار، نشان دهنده مؤلفه‌های مختصات جدید اند و اندیس‌های بدون پریم مؤلفه‌های مختصات قدیمی را نشان می‌دهند. به چنین تانسوری، تانسور از نوع  {\it {(p,q)}} گفته می‌شود. اصطلاحات «مرتبه»، «نوع»، «والانس» و «درجه» را برخی مواقع جهت اشاره به یک مفهوم به کار می‌برند. در اینجا اصطلاح «مرتبه» یا «مرتبه کل» را جهت اشاره به بعد کلی آرایه (یا تعمیمش در سایر تعاریف) به کار می‌برند.  p+q در مثال اخیر و به کار بردن اصطلاح «نوع» برای آن زوج مرتب، تعداد اندیس‌های هموردا و پادوردا را مشخص می‌کنند. تانسوری از نوع  {\it {(p,q)}} را به اختصار  {\it {(p,q)}}-تانسور می‌نامندم.
این بحث انگیزه‌ای جهت تعریف صوری زیر ارائه می‌نماید:
تعریف: تانسوری از نوع  (p,q)، آرایه چندبعدی به صورت زیر است:
T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]
به هر پایه  \mathbf {f} =(\mathbf {e_{1}} ,\cdots ,\mathbf {e_{n}} ) از یک فضای n-بعدی است چنان‌که اگر تغییر پایه زیر را اعمال کنیم:
\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)
آنگاه آرایه چندبعدی از قانون تبدیل زیر تبعیت خواهد کرد:
T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}  T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]  R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.
تعریف تانسور به عنوان آرایه چندبعدی که در یک قانون تبدیل صدق می‌کند، به کارهای ریچی بر می‌گردد.
از نمایش‌های گروه خطی عام جهت تعریف معادلی از تانسورها استفاده می‌گردد. در این تعریف، از کنش گروه خطی عام بر روی مجموعه تمام پایه‌های مرتب از یک فضای برداری n بعدی استفاده می‌شود. اگر  \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n}) پایه مرتب و  R=\left(R_{j}^{i}\right) ماتریس  n\times n معکوس‌پذیری باشد، آنگاه این کنش به صورت زیر خواهد بود:
\mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right)
فرض کنید  F مجموعه تمام پایه‌های مرتب باشد. آنگاه  F فضای همگن اصلی برای  {\text{GL}}(n) خواهد بود. فرض کنید  W یک فضای برداری و  \rho  نمایشی از  {\text{GL}}(n) روی  W باشد (یعنی همریختی گروهی  \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)). آنگاه تانسوری از نوع  \rho  نگاشت یکسان‌وردای (equivariant) ‏ T\colon F\to W خواهد بود. در اینجا یکسان‌وردا بودن (equivariance) به معنای این است که داریم:
T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).
که در آن  \rho  نمایش تانسوری از گروه خطی عام است. این تعریف منجر به همان تعریف رایجِ تانسورها به عنوان آرایه‌های چندبعدی می‌گردد. از این تعریف اغلب جهت توصیف تانسورهای روی منیفلدها استفاده شده و به راحتی برای سایر گروه‌ها نیز تعمیم پیدا می‌کند.