تابع هیون
روابط انتگرالی > رابطه انتگرالی دوگانه

اگر  w(z) یکی از جواب‌های معادله هیون و  W(z) جوابی دیگر از این معادله باشد، می‌توان رابطه‌ای انتگرالی به شرح زیر بین این دو پاسخ از معادله پیدا کرد.
W(z)=\int _{C_{1}}\int _{C_{2}}{\mathcal {K}}(z;s,t)w(s)w(t)\rho (s,t)dsdt
تابع وزن رابطه انتگرالی به صورت  \rho (s,t)=(s-t)(st)^{\gamma -1}\left((1-s)(1-t)\right)^{\delta -1}\left((1-(s/a))(1-(t/a))\right)^{\epsilon -1} است و کرنل  {\mathcal {K}}(z;s,t) میباید در معادله دیفرانسیل چند متغیره  \left((t-z){\mathcal {D}}_{s}+(z-s){\mathcal {D}}_{t}+(s-t){\mathcal {D}}_{z}\right){\mathcal {K}}=0 صادق باشد. اپراتور  {\mathcal {D}}_{z} نیز اپراتور دیفرانسیلی هیون است. همچنین نواحی انتگرالگیری  C_{1} و  C_{2} باید در روابط زیر صدق کنند.
\left.p(t)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}w(t)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(t)}{dt}}\right)\right|_{C_{1}}=0
\left.p(s)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}w(s)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(s)}{ds}}\right)\right|_{C_{2}}=0
در دو رابطه بالا،  p(t)=t^{\gamma }(t-1)^{\delta }(t-a)^{\epsilon } است.
با تغییر متغیرهای زیر، می‌توان تابع کرنل رابطه انتگرالی را محاسبه کرد.
u={\frac {(stz)^{1/2}}{a}}
v=\left({\frac {(s-1)(t-1)(z-1)}{1-a}}\right)^{1/2}
w=i\left({\frac {(s-a)(t-a)(z-a)}{a(1-a)}}\right)^{1/2}
در نهایت با اعمال تغییر متغیرهای مذکور، کرنل رابطه انتگرالی، میبایست معادله دیفرانسیل چند متغیره زیر را ارضا کند.
{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial u}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial v}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial w}^{2}}}+{\frac {2\gamma -1}{u}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial u}}+{\frac {2\delta -1}{v}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial v}}+{\frac {2\epsilon -1}{w}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial w}}=0
نتیجه معادله مذکور بر حسب توابع بسل، به صورت زیر قابل محاسبه است.
{\mathcal {K}}(u,v,w)=u^{1-\gamma }v^{1-\delta }w^{1-\epsilon }{{F}_{1-\gamma }}\!\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right){{F}_{1-\delta }}\!\left(v{\sqrt {\sigma _{2}}}\right){{F}_{1-\epsilon }}\!\left(iw{\sqrt {\sigma _{1}+\sigma _{2}}}\right)
در رابطه بالا  F_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)٬ F_{1-\delta }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)٬ F_{1-\epsilon }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right) ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و  \sigma _{1} و  \sigma _{2} ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال:
F_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)=C_{1}J_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)+C_{2}Y_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)
با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید.
u=r\mathop {\cos } \theta
v=r\mathop {\sin } \theta \mathop {\sin } \phi
w=r\mathop {\sin } \theta \mathop {\cos } \phi
{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial r}^{2}}}+{\frac {2(\gamma +\delta +\epsilon )-1}{r}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \theta }^{2}}}+{\frac {(2(\delta +\epsilon )-1)\mathop {\cot } \theta -(2\gamma -1)\mathop {\tan } \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}{\mathop {\sin } ^{2}}\theta }}{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \phi }^{2}}}+{\frac {(2\delta -1)\mathop {\cot } \phi -(2\epsilon -1)\mathop {\tan } \phi }{r^{2}{\mathop {\sin } ^{2}}\theta }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \phi }}=0
حل معادله بالا، بر اساس توابع ریمان پی به صورت زیر است.
{\mathcal {K}}(r,\theta ,\phi )=r^{m}{\mathop {\sin } ^{2p}}\theta \mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&a&{\mathop {\cos } ^{2}}\theta \\{\tfrac {1}{2}}(3-\gamma )&c&b&\end{Bmatrix}}\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&a^{\prime }&{\mathop {\cos } ^{2}}\phi \\1-\epsilon &1-\delta &b^{\prime }&\end{Bmatrix}}
پارامترهای معادله بالا، از دسته روابط زیر به دست می آیند.
m^{2}+2(\alpha +\beta )m-\sigma _{1}=0
a+b=2(\alpha +\beta +p)-1
p^{2}+(\alpha +\beta -\gamma -{\tfrac {1}{2}})p-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{2}=0
ab=p^{2}-p(1-\alpha -\beta )-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{1}
c=\gamma -{\tfrac {1}{2}}-2(\alpha +\beta +p)
a^{\prime }+b^{\prime }=\delta +\epsilon -1
a^{\prime }b^{\prime }=-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{2}
ثابتهای  \sigma _{1} و  \sigma _{2} ثابتهای روش جداسازی متغیرها در حل معادله دیفرانسیل هستند.