میدان متناهی
ویژگی‌ها

یک میدان متناهی یک مجموعه متناهی است که یک میدان هم هست؛ یعنی ضرب، جمع، تفریق، و تقسیم (به استثنای تقسیم بر صفر) در آن تعریف شده‌است و قواعد حسابی که اصول موضوع میدان نام‌دارد را برآورده می‌سازد.
تعداد عناصر یک میدان متناهی «مرتبه» آن یا گاهی اندازه (سایز) آن نامیده می‌شود. یک میدان متناهی مرتبه q وجود دارد، اگر وتنها اگر q یک نمای اول pk باشد (که در آن p یک عدد اول است و k یک عدد صحیح مثبت است). در یک میدان از مرتبه pk جمع p نسخه از هر عنصر، همیشه منجر به صفر می‌شود؛ یعنی مشخصه میدان برابر p است.
اگر q = pk باشد، همه میدان‌های از مرتبه q یکریخت هستند (بخش وجود و یکتایی را در زیر ببینید). بعلاوه، یک میدان نمی‌تواند شامل دو زیرمیدان متناهی متفاوت با یک مرتبه یکسان باشد. از این‌رو می‌توان همه میدان‌های متناهی با یک مرتبه یکسان را شناسایی کرد، و به صورت غیرمبهم توسط  \mathbb {F} _{q}، Fq، یا GF(q) نشان داد، که در آن حروف GF مخفف «میدان گالوا» یا "Galois field" است.
در یک میدان متناهی از مرتبه q، چندجمله‌ای Xq − X دارای ریشه‌هایی شامل همه q عنصر از میدان متناهی است. عناصر غیرصفر از یک میدان متناهی یک گروه ضربی را می‌سازد. این گروه، یک گروه دوری است، از این رو همه عناصر غیرصفر را می‌توان به صورت توان‌های یک عنصر منفرد که «عنصر اصلی» میدان نام‌دارد، بیان کرد. (در کل برای یک میدان ممکن است چندین عنصر اصلی وجود داشته باشد).
ساده‌ترین مثال‌های میدان‌های متناهی همان میدان‌های مرتبه اول هستند: برای هر عدد اول p میدان اول از مرتبه p یعنی  \mathbb {F} _{p} را می‌توان به صورت اعداد صحیح در پیمانه p یا Z/pZ ساخت.
عناصر میدان اول از مرتبه p توسط اعداد صحیح در محدوده 0, … , p − ۱ نمایش داده می‌شود. جمع، تفریق، و ضرب همان باقیمانده تقسیم بر p از نتیجه عملیات عدد صحیح متناظر هستند. وارون ضربی یک عنصر توسط الگوریتم اقلیدسی تعمیم‌یافته محاسبه می‌شود (الگوریتم تعمیم‌یافته اقلیدس § حساب پیمانه‌ای اعداد صحیح را ببینید).
فرض کنید که F یک میدان متناهی باشد. برای هر عنصر x در F و هر عدد صحیح n، جمع n نسخه از x توسط n ⋅ x نمایش داده می‌شود. کمترین n مثبتی که در آن n ⋅ ۱ = ۰ است برابر مشخصه p میدان است. این موضوع امکان تعریف ضرب  (k,x)\mapsto k\cdot x از یک عنصر k از GF(p) را در یک عنصر x از F می‌دهد، این کار با انتخاب یک عدد صحیح نماینده برای k انجام می‌شود. این ضرب F را داخل یک GF(p)-فضای برداری وارد می‌کند. این منجر به آن می‌شود که تعداد عناصر F برابر pn باشد که در آن n یک عدد صحیح است.
اتحاد
(که گاهی رویای دانشجوی سال اول نامیده می‌شود) در یک میدان با مشخصه p درست است. این از قضیه بسط دوجمله‌ای نتیجه شده‌است، به این دلیل که هر ضریب دوجمله‌ای در بسط (x + y)p، بجز اولین و آخرین ضریب، یک مضرب p است.
از روی قضیه کوچک فرما، اگر p یک عدد اول و x در میدان GF(p) باشد آنوقت xp = x است. این منجر به تساوی زیر
برای چندجمله‌ای‌های روی GF(p) می‌شود. به صورت کلی‌تر، هر عنصر در GF(pn) تساوی چندجمله‌ای xpn − x = ۰ را برآورده می‌کند.
هر بسط میدان متناهی از یک میدان متناهی، قابل‌تفکیک و ساده است؛ یعنی اگر E یک میدان متناهی باشد، و F یک زیرمیدان E باشد، آنوقت E از F قابل دستیابی است، اینکار از طریق مجاروت یک عنصر منفرد که چندجمله‌ای کمینه‌ای آن قابل تفکیک است، انجام می‌شود. در اصطلاح تخصصی، میدان‌های متناهی کامل هستند.
یک ساختار جبری کلی‌تر که همه اصول موضوعی دیگر یک میدان، غیر از این اصل که ضرب آن لازم نیست حتماً جابجایی‌پذیری باشد، را برآورده می‌کند، یک حلقه تقسیم (یا گاهی میدان کج) نامیده می‌شود. از روی قضیه کوچک ودربرن، هر حلقه تقسیم متناهی، جابجایی‌پذیر است، و از این‌رو یک میدان متناهی است.