جبر فون نیومن
پیش دال

هر جبر فون نویمان M دارای M ∗ ماقبلی است که فضای باناخ همه تابع‌های خطی بسیار ضعیف پیوسته روی M است. همانطور که از نام آن پیداست، M (به عنوان فضای باناخ) دوگانه پیش‌دوال آن است. پیش‌دوال از این نظر منحصربه‌فرد است که هر فضای باناخ دیگری که دوگانه‌اش M باشد، از نظر متعارف هم‌مورف به M * است. (Sakai 1971) نشان داد که وجود یک پیش‌دوال جبرهای فون نویمان را در بین جبرهای C* مشخص می‌کند.
به نظر می رسد تعریف پیش فرضی که در بالا داده شد به انتخاب فضای هیلبرت بستگی دارد که M روی آن عمل می کند، زیرا این موضوع توپولوژی فوق ضعیف را تعیین می کند. با این حال، پیش‌دوال را می‌توان بدون استفاده از فضای هیلبرت که M روی آن عمل می‌کند، با تعریف آن به عنوان فضای تولید شده توسط همه تابع‌های خطی عادی مثبت در M تعریف کرد. (در اینجا «نرمال» به این معنی است که وقتی برای شبکه‌های افزایش‌دهنده عملگرهای خود الحاق اعمال می‌شود، یا به طور معادل برای افزایش دنباله‌های برآمدگی، برتری را حفظ می‌کند.)
M ∗ پیش‌فرض، زیرفضای بسته‌ای از M* دوگانه است (که از همه تابع‌های خطی پیوسته هنجار روی M تشکیل شده است) اما عموماً کوچک‌تر است. اثبات اینکه M ∗ (معمولاً) با M* یکسان نیست غیرسازنده است و از اصل انتخاب به صورت اساسی استفاده می کند. نمایش عناصر صریح M* که در M * نیستند بسیار سخت است. به عنوان مثال، اشکال خطی مثبت عجیب و غریب در جبر فون نویمان l ∞ ( Z ) توسط اولترافیلترهای آزاد ارائه می شود. آنها با همومورفیسم های عجیب و غریب * به C مطابقت دارند و فشرده سازی Stone-Čech Z را توصیف می کنند.
مثال ها:
مقدمه جبر فون نویمان L∞ ( R ) از توابع اساساً محدود در R فضای Banach L 1 ( R ) از توابع قابل ادغام است . دوگانه L ∞ ( R ) به شدت بزرگتر از L 1 ( R ) است برای مثال ، تابعی در L ∞ ( R ) که اندازه دیراک δ 0 را در زیر فضای بسته توابع پیوسته محدود C 0b ( R ) گسترش می دهد نمی تواند به عنوان یک تابع در L 1 ( R ) نشان داده شود.
پیشینی جبر فون نویمان B ( H ) از عملگرهای محدود در فضای هیلبرت H فضای باناخ همه عملگرهای کلاس ردیابی با هنجار ردیابی است || A ||= Tr(| A |). فضای Banach از عملگرهای کلاس ردیابی خود دوگانه جبر C * عملگرهای فشرده است (که جبر فون نویمان نیست).
اوزان و حالات و موارد خاص آنها به تفصیل در (Takesaki 1979)   مورد بحث قرار گرفته است .
وزن ω در جبر فون نویمان یک نقشه خطی از مجموعه عناصر مثبت (آنهایی به شکل a*a ) تا [0,∞] است.
تابع خطی مثبت وزنی است با ω(1) محدود (یا بهتر بگوییم امتداد ω به کل جبر با خطی بودن).
حالت وزنی است با ω(1) = 1.
ردیابی وزنی است با ω( aa* ) = ω( a*a ) برای همه a .
حالت ردیابی ردی است با ω(1) = 1.
هر عاملی دارای ردی است به طوری که رد یک برآمدگی غیر صفر غیر صفر است و رد یک برآمدگی نامتناهی است اگر و فقط در صورتی که برآمدگی نامحدود باشد. چنین ردیابی تا مقیاس بندی مجدد منحصر به فرد است. برای عواملی که قابل تفکیک یا متناهی هستند، دو پیش بینی معادل هستند اگر و تنها در صورتی که دارای ردیابی یکسان باشند. نوع یک عامل را می توان از مقادیر احتمالی این ردیابی بر روی پیش بینی های فاکتور به شرح زیر خواند:
نوع I n : 0، x ، 2 x ، .... ، nx برای مقداری x مثبت (معمولاً 1/ n یا 1 نرمال می شود).
نوع I ∞ : 0، x ، 2 x ، .... ,∞ برای مقداری x مثبت (معمولاً 1 نرمال می شود).
نوع II 1 : [0, x ] برای مقداری x مثبت (معمولاً 1 نرمال می شود).
نوع II ∞ : [0،∞].
نوع III: {0،∞}.
اگر جبر فون نویمان روی فضای هیلبرت حاوی بردار هنجار 1 v عمل کند، آنگاه تابعی a → ( av, v ) یک حالت عادی است. این ساختار را می توان معکوس کرد تا یک عملکرد در فضای هیلبرت از حالت عادی ارائه شود: این ساختار GNS برای حالت های عادی است.