هندسه جبری
مقاله اصلی: واریته‌های آفین

ابتدا با یک میدان  \mathrm {k}  شروع می‌کنیم. در هندسه جبری کلاسیک، این میدان، همیشه میدان اعداد مختلط  \mathbb {C}  بود؛ اما بسیاری از نتایج با فرض یک میدان جبری بسته‌ای چون  \mathrm {k}  هم، معتبر باقی خواهند ماند. ما فضای آفین  \mathrm {n}  بعدی روی  \mathrm {k}  را در نظر گرفته و آن را با  \mathbb {A^{n}(k)}  نمایش می‌دهیم (یا صرفاً با  \mathbb {A^{n}} ، هنگامی که  \mathrm {k}  در متن واضح باشد). هنگامی که دستگاه مختصات ثابت و مشخص باشد، می‌توان  \mathbb {A^{n}}  را با  k^{n} یکی گرفت. هدف کار نکردن با  k^{n} این است که ساختار فضای برداری که  k^{n} با خود حمل می‌کند «فراموش» شود.
یک تابع  f:\mathbb {A} ^{n}\rightarrow \mathbb {A} ^{1} را چندجمله‌ای (یا منظم) گویند اگر آن را بتوان به صورت چندجمله‌ای نوشت، یعنی اگر وجود داشته باشد چندجمله‌ای چون  p در  k[x_{1},...,x_{n}] به گونه‌ای که برای هر نقطه  M با مختصات  (t_{1},...,t_{n}) در  M داشته باشیم  f(M)=p(t_{1},...,t_{n}).
هنگامی که یک دستگاه مختصات، انتخاب شد، توابع منظمِ روی n-فضای آفین را می‌توان با حلقه توابع چندجمله‌ای n متغیره روی  k یکی گرفت؛ به همین دلیل، مجموعه توابع منظم روی  k^{n} حلقه است و آن را با  k[\mathbb {A} ^{n}] نمایش می‌دهند.
یک چندجمله‌ای، در نقطه‌ای ناپدید می‌شود اگر که مقدارش در آن نقطه، صفر شود. فرض کنید  k^{n} مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های درون  k[\mathbb {A} ^{n}] باشد. مجموعه ناپدیدشونده  S (یا مکان هندسی ناپدیدشونده یا مجموعه صفر) مجموعه  V(S) شامل تمام نقاط درون  \mathbb {A} ^{n} است که هر چندجمله‌ای در  S بر روی آن، ناپدید می‌شوند؛ به‌طور نمادین:
برای مجموعه‌ای چون  S، زیرمجموعه  V(S) از  \mathbb {A} ^{n} را مجموعه جبری می‌گویند.  V مخفف کلمه varietry است (یک نوع خاص از مجموعه‌های جبری که در ادامه، تعریف شده‌است).
فرض کنید که مجموعه‌ای مثل  U از  \mathbb {A} ^{n} داده شده باشد، آیا می‌توان مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که آن را تولید کرده‌اند را یافت؟ اگر  U زیرمجموعه دلخواهی از  \mathbb {A} ^{n} باشد،  I(U) را به این صورت تعریف کنید: مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که مجموعه صفرشان شامل  U باشد.  I اول کلمه ایده‌آل است: اگر دو چندجمله‌ای  f و  g هر دو روی  U ناپدید (صفر) شوند، آن‌گاه  f+g هم روی  U ناپدید می‌شود، و اگر  h یک چندجمله‌ای دلخواه باشد، آن‌گاه  hf هم روی  U ناپدید شده؛ به همین دلیل،  I(U) همیشه یک ایده‌آل از حلقه چندجمله‌ای‌های  k[\mathbb {A} ^{n}] است.
دو پرسش طبیعی، پیش می‌آید:
برای یک زیرمجموعه دلخواه  U از  \mathbb {A} ^{n}، چه زمان  U=V(I(U)؟
برای یک مجموعه دلخواه از چندجمله‌ای‌ها چون  S، چه زمان  S=I(V(S))؟
جواب سؤال اول با معرفی توپولوژی زاریسکی داده شد، یک توپولوژی روی  \mathbb {A} ^{n} که مجموعه‌های بسته آن، همان مجموعه‌های جبری هستند که به‌طور مستقیم ساختار جبری  k[\mathbb {A} ^{n}] را انعکاس می‌دهند. آن‌گاه  U=V(I(U)) اگر و تنها اگر  U یک مجموعه جبری یا یک مجموعه بسته زاریسکی باشد. جواب سؤال دوم توسط قضیه صفرهای هیلبرت داده می‌شود. یکی از شکل‌های این قضیه می‌گوید که  I(V(S)) رادیکال ایده‌آل‌های تولید شده توسط  S است. به بیان مجردتر، یک ارتباط گالوایی، وجود دارد که منجر به ظهور دو عملگر بستار می‌گردد؛ آن‌ها را می‌توان شناسایی کرده و به‌طور طبیعی، نقش بنیادینی در این نظریه بازی می‌کنند؛ مثال مربوط در بحث مربوط به ارتباط گالوایی، تشریح شده‌است.
به دلایل مختلف، ممکن است همیشه نخواهیم با کل ایده‌آل مربوط به یک مجموعه جبری چون  U کار کنیم. قضیه بنیادی هیلبرت می‌گوید که ایده‌آل‌های درون  k[\mathbb {A} ^{n}] همیشه متناهی، تولید شده‌اند.
یک مجموعه جبری را تحویل‌ناپذیر گویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه جبری کوچک‌تر نوشت. هر مجموعه جبری به صورت اجتماع متناهی مجموعه‌های جبری تحویل‌ناپذیر بوده و این تجزیه یکتاست؛ لذا عناصر آن را مؤلفه‌های تحویل‌ناپذیر آن مجموعه جبری گویند. به یک مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر واریته هم می‌گویند. مشخص می‌شود که یک مجموعه جبری واریته (مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر) است اگر و تنها اگر به صورت مجموعه ناپدیدکننده (صفر کننده) یک ایده‌آل اول از حلقه چندجمله‌ای باشد.
برخی از مؤلفان، تمایز مشخصی بین مجموعه‌های جبری و واریته‌ها برقرار نمی‌کنند و در صورت لزوم از اصطلاح واریته تحویل‌ناپذیر برای ایجاد چنین تمایزی استفاده می‌کنند.