نظریه طبیعی مجموعه‌ها
پارادکس‌ها

در مقدمه و ادامهٔ بحث بیان کردیم که در نظریه مجموعه‌ها و بعد از ارائهٔ نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها، ریاضیدانان به یک سری تناقضات و پارادکس‌ها برخورد کردند که باعث شد در نظریهٔ مجموعه‌ها تجدید نظر کنند و نیاز به یک دستگاه اصل موضوعی برای بیان نظریهٔ مجموعه‌ها احساس شد. دستگاه اصل موضوعی که نظریهٔ مجموعه‌ها را بتوان بر پایهٔ اصول آن بنا کرد و دیگر برداشت‌های شهودی و طبیعی در آن تأثیر نداشته باشد.
اما به راستی چه مشکلی در نظریه‌ای که تا به حال ارائه دادیم وجود دارد؟ مشکل در ساختار مجموعه است و اینکه واقعاً مجموعه چیست؟ در نظریه‌ای که ارائه شد، برداشتی که از یک مجموعه می‌شود مانند کیسه‌ای است که تعدادی (متناهی یا نامتناهی) عضو را در آن قرار می‌دهیم. آیا به راستی هرچه که در بین دو { } قرار دهیم یک مجموعه نام دارد، یا به‌طور دقیق‌تر آیا می‌توانیم هر مجموعه‌ای را به دلخواه خودمان تشکیل بدهیم؟
آیا مجموعه مانند یک کیسه است که هر چه در آن قرار دهیم و اسم آن را یک مجموعه بگذاریم؟
خوب ریاضیدانان در آغاز پیدایش نظریهٔ مجموعه‌ها که بر پایهٔ شهود بنیان گذاشته شده بود، یعنی در زمان ریاضیدانانی چون جرج کانتور و فرگه چنین تصور می‌کردند. مثلاً در آن زمان وجود مجموعهٔ همه مجموعه‌ها مسلم شمرده می‌شد. یعنی آن‌ها یک مجموعهٔ بزرگ را در نظر می‌گرفتند که همهٔ مجموعه‌ها در آن قرار داشت. اما آیا ما می‌توانیم چنین مجموعه‌ای را تشکیل دهیم؟ ممکن است در نگاه اول برداشت شهودی ما از مجموعه به این سؤال پاسخ مثبت بدهد ولی در ادامه متوجه می‌شوید که فرض وجود چنین مجموعهٔ بزرگی ما را به تناقض سوق می‌دهد که این تناقض را نخستین بار برتراند راسل، تحت عنوان پارادکس راسل مطرح کرد.
خوب بیاید فرض کنیم هر مجموعه‌ای را می‌توان تشکیل داد. برای هر مجموعه ما می‌توانیم این سؤال عجیب را مطرح کنیم که آیا این مجموعه عضو خودش است یا نه؟
طبیعی است که در هر مورد جواب بلی یا خیر است. حال بر اساس فرضی که کردیم بیاید همهٔ مجموعه‌هایی را که شامل خودشان نیستند در یک مجموعه قرار دهیم. یعنی مجموعهٔ همه مجموعه‌هایی که شامل خود نیست را تشکیل دهیم. این مجموعه را A نام‌گذاری می‌کنیم پس {X مجموعه‌ای باشد که عضو خودش نیست :A={X
A نیز یک مجموعهٔ قابل قبول است و حق داریم سؤال را در مورد A نیز مطرح کنیم. آیا A عضو خودش است یا نه؟ بدیهی است که باید داشته باشیم  A\in A یا  A\not \in A.
اگر  A\in A در این صورت چون A عضو خودش است، بنابر تعریف مجموعه A باید داشته باشیم  A\not \in A که این تناقض است.
اگر  A\not \in A در این صورت A عضوی از خودش است و لذا مطابق تعریف مجموعه A باید داشته باشیم  A\in A که این نیز تناقض است.
بنابراین با سؤالی روبرو می‌شویم که نمی‌توانیم به آن پاسخ بدهیم و هر پاسخ به آن ما را به تناقض سوق می‌دهد و نتیجه می‌گیریم که اساساً چنین مجموعه‌ای را نمی‌توان تعریف کرد زیرا در مورد اعضای آن ابهام وجود دارد.
حال در نگاهی دیگر با همان فرض قبلی که می‌توان هر مجموعه‌ای را تشکیل داد بیاید فرض کنیم مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها وجود دارد. چنین مجموعهٔ بزرگی را  \Omega  می‌نامیم. در مورد اعضای مجموعهٔ  \Omega  نیز می‌توان این سؤال را مطرح کرد که اگر A عضوی از  \Omega  باشد آیا A عضو خودش است یا نه؟
به عبارت دیگر گزاره‌نمای  S(x):x\not \in x یا خاصیت «عضو خود نبودن» را اختیار می‌کنیم و با اعمال آن روی اعضای  \Omega  زیرمجموعه‌ای از اعضای  \Omega  مشخص می‌شود. یعنی زیرمجموعه‌ای از  \Omega  که دقیقاً شامل عناصری از  \Omega  است که عضو خود نمی‌باشند. این زیرمجموعه را B می‌نامیم. در این صورت  B=\{x\in \Omega :x\not \in x\}.
حال چون  \Omega  مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها است، این سؤال پیش می‌آید که آیا  B\in \Omega ؟
اگر  B\in \Omega  آنگاه یا  B\in B یا  B\not \in B. حال:
اگر  B\in B در این صورت B عضو خودش است و لذا باید داشته باشیم  B\not \in B که تناقض است.
اگر  B\not \in B در این صورت B عضو خودش نیست و لذا  B\in B که تناقض است.
B\in \Omega  ما را به تناقض سوق می‌دهد و لذا  B\not \in \Omega  که این با توجه به اینکه  \Omega  مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها است، یک تناقض آشکار است چرا که مجموعه‌ای چون B یافت شد که عضو  \Omega  نیست. پس اساساً فرض وجود مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها نیز ما را به تناقض می‌کشاند و چنین مجموعه‌ای خوش تعریف نیست.
برای اطلاعات بیشتر در مورد این پارادکس‌ها به پارادکس راسل یا پارادکس‌های نظریه مجموعه‌ها رجوع کنید.