دایره
تاریخچه > رنسانس و قرون جدید

در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزی‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک:
عطارد در نهایت بر روی هفت دایره می‌چرخد، زهره بر پنج، زمین بر سه، و به دور آن ماه بر چهار، و در نهایت مریخ و مشتری و زحل هر کدام بر پنج؛ یعنی در کل ۳۴ دایره کافی است تا بتوان همهٔ ساختار گیتی و رقص سیارات را توصیف کرد.
کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقاً با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل خودش از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود.
کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ آرتور کستلر در خوابگردها، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.»
در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در صورت سه نقطه‌ای دایره قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد.
او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خاگی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود.
تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد.
براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در نظام براهه‌ای زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید.
براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ — که آن زمان پایتخت امپراتوری مقدس روم بود — برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی (برون‌مرکزی‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.
کپلر همچنین در کتاب هارمونی جهان (۱۶۱۸) مفهوم هارمونی و هم‌نهشتی را به صورت هندسی در ریاضیات، موسیقی، اختربینی، و اخترشناسی مطالعه می‌کند و فواصل مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت ۳:۵ (فاصلهٔ ششم بزرگ در نظام کوک خالص) مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت ۳:۷ نامطبوع این است که پنج‌ضلعی منتظم را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی هفت‌ضلعی منتظم را نمی‌توان.
نیوتن (۱۶۴۲—۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی از دایره با عنوان «مسیر» یاد می‌کند. نیوتن، بیست سال پیش از نگارش اصول، حرکت دایره‌ای را (که در زمان تعادل کامل گرانش و مرکزگریزی روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در صورت عدم تعادل کامل بین گرانش و مرکزگریزی، برون‌مرکزیِ مسیرِ حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از مقاطع مخروطی (بیضی، سهمی، یا هذلولی) بدل می‌گردد.
همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.
انتگرال‌گیری (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ تربیع دایره (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف لایبنیتس گرفته‌شده‌است) از عبارت «تربیع منحنی» استفاده می‌کرد.