نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
تاریخچه و سیر تحولات

در این قسمت بیشتر به بررسی تاریخچهٔ نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها پرداخته شده‌است. برای مطالعه بیشتر به نظریه مجموعه‌ها مراجعه کنید.
نظریه مجموعه‌ها در اواخر سال ۱۸۷۳، توسط گئورگ کانتور به وجود آمد و شروع به توسعه کرد. او در طی مقالات خود مجموعه‌ها را معرفی کرد و مفاهیمی چون اعداد اصلی، اعداد ترتیبی، اعداد ترامتناهی را معرفی کرد و آن‌ها را گسترش داد.
سال‌های ۱۸۹۵ تا ۱۸۹۷ سال‌های مهم و سرنوشت‌سازی برای کانتور و نظریهٔ مجموعه‌هایش به‌شمار می‌رود. گسترش نظریهٔ مجموعه‌های کانتور بر پایهٔ دید شهودی از مجموعه‌ها و بدور از هر گونه اصول موضوع تدوین‌شده بود و کارهای او بر روی نظریهٔ مجموعه‌ها ادامه داشت تا این‌که در سال ۱۸۹۷ اولین اشکال در نظریهٔ او کشف شد.
در سال ۱۸۹۷، اولین پارادکس نظریهٔ مجموعه‌ها توسط سزار بورالی-فورتی منتشر شد. پارادکس او به پارادوکس بورالی-فورتی (دقت کنید که بورالی-فورتی نام یک نفر است!) شهرت دارد. او نشان داد که در نظر گرفتن مجموعهٔ همه اعداد ترتیبی ما را به تناقض می‌رساند، و این در حالی بود که در نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها هیچ چیز مانع وجود چنین مجموعه‌ای نمی‌شد. این باور وجود دارد که کانتور خود از وجود این پارادکس پیش‌تر در سال ۱۸۸۵ باخبر بود و در مورد آن در ۱۸۸۶ با هیلبرت مکاتبه داشته‌است.
سال ۱۸۹۷ سالی مهم برای کانتور بود چرا که در آن سال اولین کنگرهٔ جهانی ریاضیات در زوریخ برگزار می‌شد و در آن کنفرانس، کارهای کانتور در اوج توجه بود و توسط بسیاری از ریاضیدانان همچون هارویتز و هادامارد مورد تحسین قرار گرفت.
در سال ۱۸۹۹ کانتور خود، دومین پارادکس را کشف کرد که از در نظر گرفتن مجموعه همه مجموعه‌ها نشأت می‌گرفت. اگر M را به عنوان مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها در نظر بگیریم، طبیعی است این سؤال را مطح کنیم که عدد اصلی M چیست؟ به وضوح عدد اصلی این مجموعه باید بزرگ‌ترین عدد اصلی موجود باشد یا به عبارتی عدد اصلی هر مجموعه دیگر باید از M کوچک‌تر یا مساوی باشد اما از طرفی بنابر قضیه کانتور، عدد اصلی مجموعهٔ توانی M (مجموعه همه زیرمجموعه‌های M) اکیداً از عدد اصلی M بزرگ‌تر است و لذا به تناقض برمی‌خوریم. این پاردکس به پارادکس کانتور شهرت دارد.
وجود این تناقضات نشان می‌داد که مخالفت‌هایی که با کارهای کانتور تا آن زمان از سوی ریاضیدانانی چون لئوپارد کرونکر می‌شد، تا حدی معقول است.
آخرین پارادکس در بهار سال ۱۹۰۲ به‌وسیلهٔ برتراند راسل ارائه شد که به پارادکس راسل معروف است. او این پارادکس را هنگامی که بر روی برهان قضیه کانتور مطالعه می‌کرد به دست آورد.
پارادکس راسل مهم‌ترین پارادکس نظریه طبیعی مجموعه‌ها به‌شمار می‌رود. البته لازم است ذکر شود که برخی معتقدند که این پارادکس به صورت جداگانه توسط ارنست تسرملو نیز پیدا شده‌است.
راسل این پارادکس را طی نامه‌ای با فرگه که در حال تکمیل مقالهٔ خود در زمینهٔ مبانی حساب بود، در میان گذاشت. به گفتهٔ فرگه، پارادکس راسل همه ریاضیات را از پایه خراب کرد.
از طرفی نظریهٔ مجموعه‌ها در حال تأثیرگذاری بروی سایر بخش‌های ریاضیات بود. لبگ در سال ۱۹۰۱ اندازه و در سال ۱۹۰۲ انتگرال لبگ را به‌وسیلهٔ مفاهیم نظریهٔ مجموعه‌ها تعریف کرد. واقعیت این بود که آنالیز به نظریهٔ مجموعه‌های کانتور نیاز داشت و نمی‌توانست خود را به مدل شهودگرایانه ریاضیات که اساس کار ریاضیدانانی چون کرونکر را تشکیل می‌داد محدود کند. در حقیقت در آن زمان نظریهٔ مجموعه‌ها به عنوان اساس ریاضیات در نظر گرفته شده‌بود و همهٔ مفاهیم ریاضی بر پایهٔ مجموعه تعریف می‌شدند (که البته اکنون نیز چنین است).
به این ترتیب، ریاضیدانان سعی کردند با حفظ ویژگی‌های اصلی مجموعه‌ها، نظریهٔ مجموعه‌ها را به گونه‌ای پایه‌ریزی کنند تا به دور از پارادکس‌ها باشد. آن‌ها به دنبال دستگاه اصل موضوعی سازگاری بودند که بتواند اساس محکمی برای ریاضیات باشد. دستگاهی که بتوان مفاهیم ریاضی را بر پایه آن تعریف کرد.
راسل و آلفرد نورث وایتهد در تلاش برای رفع مشکلات، نظریهٔ گونه‌ها را مطرح کردند که البته چندان رضایت‌بخش نبود.
در سال ۱۹۰۸، ارنست تسرملو اولین تلاش‌ها را برای ارائهٔ اصول موضوعی نظریهٔ مجموعه‌ها انجام داد و حاصل کار نظریه مجموعه‌های تسرملو بود.
افکار او به‌وسیلهٔ آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم مورد تصحیح قرار گرفت و به این ترتیب نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل یا به اختصار ZF به‌وجود آمد. کمی بعد تسرملو اصل موضوعی با نام اصل موضوع انتخاب را به اصول موضوعی موضوع خود اضافه کرد و از آن برای اثبات قضیه خوشترتیبی استفاده کرد. ZF را به همراه اصل موضوع انتخاب ZFC می‌نامند.
علت این‌که این اصل موضوع را به عنوان عضوی الحاقی به ZF اضافه می‌کنند این است که استفاده از این اصل موضوع در زمان خود و حتی تاکنون مورد بحث است.
هم‌زمان با تسرملو و فرانکیل، ریاضیدانانی چون جان فون نیومن، کورت گورل و پل برنیز نیز بر روی تنظیم دستگاه اصل موضوعی برای نظریهٔ مجموعه‌ها کار می‌کردند. کارهای آن‌ها موجب پیدایش نظریه مجموعه‌های فون نیومن-برنیز-گودل شد که در حقیقت با معرفی مفهوم جدیدی به نام کلاس به بررسی نظریهٔ مجموعه‌ها پرداختند.
البته علاوه بر این‌ها نظریه‌های دیگری نیز همچون نظریه مجموعه‌های مورس-کِلِی و مبانی جدید نیز پا به عرضه ظهور گذاشتند.