مسائل هیلبرت
مسائل هیلبرت

۲۳ مسئلهٔ هیلبرت به شرح زیر است:
| مسئله | توضیح مختصر | وضعیت | سال حل |
| --- | --- | --- | --- |
| اول | مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار |  حل شد. اثبات شده که غیرممکن است که با استفاده از نظریهٔ مجموعهٔ زرملو-فرانکل با یا بدون استفاده از اصل انتخاب ثابت شود. | ۱۹۶۳ |
| دوم | سازگاری اصول موضوعهٔ حساب |  به اجماعی رسیده نشده که نتایج گودل و گنتزن راه‌حلی برای مسئله ارائه می‌دهند (همان‌طور که توسط هیلبرت اشاره شده بود) نظریهٔ دوم ناتمامیت گودل که در سال ۱۹۳۱ اثبات شده بود نشان داد که اثباتی برای ثبات آن به وسیلهٔ محاسبات به تنهایی وجود ندارد. | ۱۹۳۶؟ |
| سوم | امکان تبدیل دو چندوجهی هم حجم به یکدیگر به وسیله تقسیم آنها به چندوجهی‌های کوچکتر و بازچینی آنها | حل شده. نتیجه: خیر. اثبات شده به وسیلهٔ ناوردای دن | ۱۹۰۰ |
| چهارم | مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه | مبهم‌تر از آن که به عنوان حل شده یا حل نشده در نظر گرفته شود | – |
| پنجم | مفهوم لی (Lie) از گروه‌های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کنندهٔ گروه‌ها | حل شده توسط اندرو گلیسون، وابسته به این‌که مسئلهٔ اصلی چطور تفسیر شود. اگر به عنوان معادل حدس هیلبرت-اسمیث در نظر گرفته شود. هنوز حل نشده‌است | ۱۹۵۳؟ |
| ششم | ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک |  حل نشده‌است. | – |
| هفتم | گنگ و متعالی بودن اعدادی معین | حل شده‌است. نتیجه: بله، به وسیلهٔ تئوری گلفوند یا گلفوند-شنیدر نشان داده می‌شود. | ۱۹۳۵ |
| هشتم | مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و حدس ریمان | حل نشده‌است. | – |
| نهم | اثبات کلی‌ترین اصل تقابل در هر میدان | تا حدی حل شده‌است | – |
| دهم | آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد. | حل شده‌است. نتیجه: غیرممکن، تئوری ماتیانسویچ  نتیجه می‌دهد که چنین الگوریتمی موجود نیست. | ۱۹۷۰ |
| یازدهم | ارائهٔ یک نظریه برای فرم‌های درجه دوم با ضرایب عددی جبری | تا حدی حل شده‌است.[نیازمند منبع] | – |
| دوازدهم | تعمیم قضیهٔ کرونکر برای میدان‌های آبلی به هر ساختار جبری گویا | حل نشده‌است. | – |
| سیزدهم | ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر |  مسئله تا حدی توسط ولادمیر آرنود بر مبنای کاری توسط آندری کلمگرو حل شده ه است. | ۱۹۵۷ |
| چهاردهم | اثبات متناهی بودن دستگاه‌های کامل و مشخص از توابع | حل شده‌است. نتیجه: خیر، مثال نقض توسط ماسایوشی ناگاتا ارائه شده‌است. | ۱۹۵۹ |
| پانزدهم | ارائهٔ مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert) | تا حدی حل شده‌است .[نیازمند منبع] | – |
| شانزدهم | مسئله توپولوژی منحنی‌ها و رویه‌های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل‌های حدی دستگاه‌های چندجمله‌ای در صفحه | حل نشده‌است. | – |
| هفدهم | نمایش فرم‌های مشخص توسط مربع جملات | حل شده‌است. نتیجه: , توسط امیل آرتین. یک سقف بالایی برای تعداد جملات مربع لازم است.[نیازمند منبع] | ۱۹۲۷ |
| هجدهم | ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروه‌های چند وجهی | (a) حل شده‌است. نتیجه: بله (توسط کارل رین‌هارت). (b) به صورت گسترده معتقدند که حل شده‌است، اثبات به وسیلهٔ رایانه (توسط توکاس کالیستر هالس). | (a) ۱۹۲۸ (b) ۱۹۹۸ |
| نوزدهم | آیا جواب‌های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوماً تحلیلی اند؟ | حل شده‌است. نتیجه: بله، اثبات توسط اینو جورجی و , به صورت مستقل و با استفاده از روش‌های مختلف توسط، جان فوربز نش. | ۱۹۵۷ |
| بیستم | ارائهٔ یک نظریهٔ کلی برای مسائل شرط مرزی | حل شده‌است. یکی از موضوعات قابل توجه تحقیق در قرن بیستم، که در تعدد جواب به اوج خود رسیده‌است. [نیازمند منبع] برای حالات غیر خطی. |  ? |
| بیست و یکم | اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده | حل شده‌است. نتیجه: آری یا نه، وابسته به فرمول‌بندی دقیق مسئله.[نیازمند منبع] |  ? |
| بیست‌ودوم | یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک | حل شده‌است.[نیازمند منبع] |  ? |
| بیست‌وسوم | توسعهٔ بیشتر روش‌های حساب تغییرات. | حل نشده‌است. | – |