شبکه متقابل
توضیحات مبتنی بر موج > فضای متقابل

فضای متقابل (که k-space نیز نامیده می‌شود) راهی برای تجسم نتایج تبدیل فوریه یک تابع فضایی فراهم می‌کند. از نظر نقش شبیه به حوزه فرکانس ناشی از تبدیل فوریه یک تابع وابسته به زمان است. فضای متقابل فضایی است که بر روی آن تبدیل فوریه یک تابع فضایی در فرکانس‌های فضایی یا بردار موج امواج صفحه تبدیل فوریه نشان داده می‌شود. دامنه خود تابع فضایی اغلب به عنوان فضای واقعی نامیده می‌شود. در کاربردهای فیزیکی، مانند کریستالوگرافی، هر دو فضای واقعی و متقابل اغلب دو یا سه بعدی هستند. در حالی که ابعاد فضایی این دو فضای مرتبط یکسان خواهد بود، فضاها در واحدهای طول خود متفاوت خواهند بود، به طوری که وقتی فضای واقعی دارای واحدهای طول L باشد، فضای متقابل آن دارای واحدهای یک تقسیم بر طول L یا معکوس L خواهد بود. (مقابل طول).
فضای متقابل در رابطه با امواج، هم مکانیک کلاسیک و هم مکانیک کوانتومی، وارد بازی می‌شود؛ زیرا یک موج صفحه سینوسی با دامنه واحد را می‌توان به عنوان یک جمله نوسانی نوشت {{nowrap begin}}<math>\cos{(kx {-} \omega t {+} \phi_0)}</math>,{{nowrap end}}
، با فاز اولیه{\displaystyle \phi _{0}} ،عدد موج زاویه ای {\displaystyle k} و فرکانس زاویه ای {\displaystyle \omega }، می توان آن را تابعی از هر دو در نظر گرفت {\displaystyle k} و {\displaystyle x} (و بخش متغیر زمان به عنوان تابعی از هر دو {\displaystyle \omega } و  t).). این نقش مکمل از
{\displaystyle k} و {\displaystyle x} منجر به تجسم آنها در فضاهای مکمل (فضای واقعی و فضای متقابل) می‌شود. تناوب فضایی این موج با طول موج آن تعریف می‌شود {\displaystyle \lambda }، کجا {\displaystyle k\lambda =2\pi }بنابراین عدد موج مربوطه در فضای متقابل خواهد بود {\displaystyle k=2\pi /\lambda }.
در سه بعد، عبارت موج صفحه مربوطه می‌شود
{\displaystyle \cos {(\mathbf {k} {\cdot }\mathbf {r} {-}\omega t{+}\phi _{0})}}، که ساده می‌کند {\displaystyle \cos {(\mathbf {k} {\cdot }\mathbf {r} {+}\phi)}} در یک زمان ثابت{\displaystyle t}
، کجا {\displaystyle \mathbf {r} } بردار موقعیت یک نقطه در فضای واقعی و اکنون است {\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda } بردار موج در فضای متقابل سه بعدی است. (قدر بردار موج را عدد موج می‌گویند) ثابت {\displaystyle \phi } فاز جبهه موج (صفحه فاز ثابت) از مبدأ است {\displaystyle \mathbf {r} =۰} در زمان {\displaystyle t}
، و {\displaystyle \mathbf {e} } یک بردار واحد عمود بر این جبهه موج است. جبهه موج با فاز {\displaystyle \phi +(2\pi)n}، جایی که  n هر عدد صحیح را نشان می‌دهد، شامل مجموعه ای از صفحات موازی است که با طول موج مساوی فاصله دارند. {\displaystyle \lambda }.
به‌طور کلی، یک شبکه هندسی یک آرایه نامتناهی و منظم از رئوس (نقاط) در فضا است که می‌تواند به صورت بردار به عنوان شبکه براوه مدل شود. برخی از شبکه‌ها ممکن است کج باشند، به این معنی که خطوط اولیه آنها ممکن است لزوماً در زاویه قائم نباشند. در فضای متقابل، یک شبکه متقابل به عنوان مجموعه ای از بردارهای موج تعریف می‌شود. {\displaystyle \mathbf {k} } از امواج صفحه در سری فوریه هر تابع {\displaystyle f(\mathbf {r})} که تناوب آن با یک شبکه مستقیم اولیه در فضای واقعی سازگار است. به‌طور معادل، یک بردار موج یک راس شبکه متقابل است اگر به یک موج صفحه در فضای واقعی که فاز آن در هر زمان معین یکسان باشد (در واقع با {\displaystyle (2\pi)n} با یک عدد صحیح
{\displaystyle n}) در هر رأس شبکه مستقیم.
یک رویکرد اکتشافی برای ساخت شبکه متقابل در سه بعدی، نوشتن بردار موقعیت یک راس شبکه مستقیم به صورت {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}{+}n_{2}\mathbf {a} _{2}{+}n_{3}\mathbf {a} _{3}}، جایی که  n_{i} اعداد صحیحی هستند که راس و راس را تعریف می کنند {\displaystyle \mathbf {a} _{i}} بردارهای ترجمه اولیه مستقل خطی (یا به اختصار بردارهای اولیه نامیده می شوند) هستند که مشخصه شبکه هستند. سپس یک موج صفحه منحصر به فرد (تا ضریب منفی) وجود دارد که جبهه موج آن از مبدا می گذرد {\displaystyle \mathbf {R} =0} شامل نقاط شبکه مستقیم در {\displaystyle \mathbf {a} _{2}} و {\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
، و با جبهه موج مجاور آن (که فاز آن با {\displaystyle 2\pi } یا
{\displaystyle -2\pi } از جبهه موج سابق که از مبدأ می‌گذرد) عبور می‌کند
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}} . بردار موج زاویه ای آن شکل می گیرد
{\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}
، کجا {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} بردار واحد عمود بر این دو جبهه موج مجاور و طول موج است {\displaystyle \lambda _{1}} باید راضی کند {\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}} ، یعنی که {\displaystyle \lambda _{1}} برابر با فاصله بین دو جبهه موج است. از این رو توسط ساخت و ساز {\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi } و {\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0} .
با چرخش در میان شاخص‌ها به نوبه خود، همان روش سه بردار موج را به دست می‌دهد
{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} با{\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}، جایی که دلتای کرونکر {\displaystyle \delta _{ij}} برابر یک زمانی که {\displaystyle i=j} و در غیر این صورت صفر است. را {\displaystyle \mathbf {b} _{j}} شامل مجموعه ای از سه بردار موج اولیه یا سه بردار انتقال اولیه برای شبکه متقابل است که هر یک از رئوس آنها به شکل {\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}{+}m_{2}\mathbf {b} _{2}{+}m_{3}\mathbf {b} _{3}}
، جایی که {\displaystyle m_{j}} اعداد صحیح هستند شبکه متقابل نیز یک شبکه براوه است زیرا از ترکیبات صحیح بردارهای اولیه تشکیل می شود. {\displaystyle \mathbf {b} _{1}} ، {\displaystyle \mathbf {b} _{2}} ، و {\displaystyle \mathbf {b} _{3}} در این مورد. سپس جبر ساده نشان می دهد که برای هر موج صفحه ای با بردار موج {\displaystyle \mathbf {G} } در شبکه متقابل، تغییر فاز کل {\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} } بین مبدا و هر نقطه {\displaystyle \mathbf {R} } روی شبکه مستقیم مضربی از است {\displaystyle 2\pi } اگر ضریب صفر باشد، ممکن است صفر باشد)، بنابراین فاز موج صفحه با {\displaystyle \mathbf {G} } اساساً برای هر رأس شبکه مستقیم برابر است، مطابق با تعریف شبکه متقابل بالا. (اگرچه هر بردار موجی {\displaystyle \mathbf {G} } در شبکه متقابل همیشه این شکل را به خود می گیرد، این اشتقاق انگیزشی است، نه دقیق، زیرا اثبات عدم وجود احتمالات دیگر را حذف کرده است. )
منطقه بریلوین یک سلول ابتدایی (به‌طور خاص یک سلول ویگنر-سایتز) از شبکه متقابل است که به دلیل قضیه بلوخ نقش مهمی در فیزیک حالت جامد ایفا می‌کند. در ریاضیات محض، فضای دوگانه اشکال خطی و شبکه دوتایی، تعمیم انتزاعی تری از فضای متقابل و شبکه متقابل ارائه می‌دهند.