stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
آلوارو موراتا
ویژگی‌های تاکتیکی

آلوارو موراتا ۳۱ساله تا اینجا در طول دوران حرفه ایش ۵ فصل به‌طور جدی در سطح نخست فوتبال اروپا به میدان رفته: ۳ فصل در رئال مادرید و ۲ فصل نیز در یوونتوس. مهاجم اسپانیایی طی این ۵ فصل در ۳ نقش برای رئال مادرید و یوونتوس بازی کرده که البته همان‌طور که انتظار می‌رود غالب این نقش‌ها به عنوان مهاجم پست ۹ در سیستم‌های تک مهاجمه یا دو مهاجمه تعریف شده‌است. او البته طی این این سال‌ها در نقش مهاجم سایه یا حتی به عنوان مهاجم در سمت چپ و راست نیز در هر دو تیم رئال مادرید و یونتوس به میدان رفته که اتفاقاً توانست در این نقش بهترین بازی‌هایش را زیر نظر مکس آلگری در یوونتوس ارائه کند. نمایش درخشان مقابل منچستر سیتی علی‌الخصوص در نیمه دوم در لیگ قهرمانان اروپا در این نقش یکی از بهترین بازی‌های او در کل دوران حرفه ایش محسوب می‌شود. بازی در چنین نقش‌هایی طی ۵ فصل گذشته نشان از توانایی‌های چند بعدی موراتا به عنوان یک مهاجم نوک دارد.
یکی از مهم‌ترین نکاتی که تاکتیک نویسان پیرامون موراتا همواره به آن اشاره داشته‌اند، بحث عدم تخصص این بازیکن برای بازی در پست شماره ۹ است. بازیکنان در پست شماره ۹ به‌طور کلی می‌توانند ۳ نقش مختلف عهده‌دار شوند که هر ۳ نقش به‌طور تخصصی ویژگی‌ها و مشخصات خاص خودش را دارد. با این حال موراتا علی‌رغم اینکه تقریباً تمام دوران حرفه‌ای خود را در این پست بازی کرده، از داشتن ویژگی‌های تخصصی نقش‌های آن بی بهره است. جِی جِی بول، فوتبال‌نویس تلگراف، به خوبی در آخرین یادداشت تحلیلی - فنی اش پیرامون موراتا این مسئله را وصف می‌کند: «موراتا بازیکنی نیست که در یک حوزه مشخص متخصص باشد اما او در مجموع حوزه‌ها توانایی‌هایی عالی دارد.» البته این مسئله تا حدی به شرایط خاص او بازمی‌گردد. جایی که موراتا همان‌طور که گفته شد طی ۵ فصل گذشته هیچ‌گاه نتوانست به مهره ثابت رئال و یوونتوس تبدیل شود. او فصل گذشته در لالیگا تنها ۱۳۴۱ دقیقه برای مادرید به میدان رفت و فصل پیش از آن در سری آ تنها ۱۴۸۴ دقیقه فرصت بازی کردن پیدا کرد. این آمار با استانداردهای یک مهاجم پست ۹ در سطح کلاس A+ فاصله زیادی دارد.
یکی از دلایلی که موراتا هنوز نتوانسته مانند مهاجمانی همچون زلاتان ابراهیموویچ، روبرت لواندوفسکی، لوییس سوارز یا روملو لوکاکو، یک متخصص پست ۹ شود، همین مسئله است چرا که تنها بازی کردن مداوم می‌تواند به رشد، پیشرفت و شکوفایی توانایی‌های یک بازیکن پست ۹ کمک کند. مسئله‌ای که برای لوکاکو طی ۲ فصل اخیر در اورتون رخ داد و توانست نام او را به عنوان یک متخصص پست ۹ مطرح کند. به همین علت است که حضور مداوم در ترکیب ثابت چلسی می‌تواند در فصل نخست برای موراتا بسیار کلیدی باشد. با این حال همان‌طور که جِی جِی بول اشاره کرد، مسئله اصلی که آلوارو موراتا را به عنوان یک مهاجم، هیجان انگیز می‌کند، توانایی‌های عالی او در مجموع حوزه‌ها و پارامترها است. او گرچه یک متخصص نیست اما توانایی‌های چند بعدی اش او را برای هر سرمربی تبدیل به یک گزینه جذاب در بخش تهاجمی می‌کند.
آمار باشگاهی

تا تاریخ ۲۳ فوریه   ۲۰۲۴
| عملکرد> فصل.— | عملکرد> باشگاه.— | عملکرد> لیگ.— | لیگ> بازی.لیگ کشوری | لیگ> گل.لیگ کشوری | جام> بازی.جام حذفی | جام> گل.جام حذفی | قاره‌ای> بازی.اروپا | قاره‌ای> گل.اروپا | دیگر> بازی.دیگر | دیگر> گل.دیگر | مجموع> بازی.مجموع | مجموع> گل.مجموع |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ۲۰۱۰–۲۰۱۱ | رئال مادرید کاستیا | سگوندا دیویسیون بی | ۲۶ | ۱۴ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۲ | ۱ | ۲۸ | ۱۵ |
| ۲۰۱۱–۲۰۱۲ | رئال مادرید کاستیا | سگوندا دیویسیون بی | ۳۳ | ۱۵ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۴ | ۳ | ۳۷ | ۱۸ |
| ۲۰۱۲–۲۰۱۳ | رئال مادرید کاستیا | سگوندا دیویسیون بی | ۱۸ | ۱۲ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱۸ | ۱۲ |
| مجموع رئال مادرید کاستیا | مجموع رئال مادرید کاستیا | مجموع رئال مادرید کاستیا | ۷۷ | ۴۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۶ | ۴ | ۸۳ | ۴۵ |
| ۲۰۱۰–۲۰۱۱ | رئال مادرید | لالیگا | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۲ | ۰ |
| ۲۰۱۱–۲۰۱۲ | رئال مادرید | لالیگا | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ |
| ۲۰۱۲–۲۰۱۳ | رئال مادرید | لالیگا | ۱۲ | ۲ | ۲ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱۵ | ۲ |
| ۲۰۱۳–۲۰۱۴ | رئال مادرید | لالیگا | ۲۳ | ۸ | ۶ | ۰ | ۵ | ۱ | ۰ | ۰ | ۳۴ | ۹ |
| ۲۰۱۶–۲۰۱۷ | رئال مادرید | لالیگا | ۲۶ | ۱۵ | ۵ | ۲ | ۹ | ۳ | ۳ | ۰ | ۴۳ | ۲۰ |
| مجموع رئال مادرید | مجموع رئال مادرید | مجموع رئال مادرید | ۶۳ | ۲۵ | ۱۴ | ۲ | ۱۵ | ۴ | ۳ | ۰ | ۹۵ | ۳۱ |
| ۲۰۱۴–۲۰۱۵ | یوونتوس | سری آ | ۲۹ | ۸ | ۴ | ۲ | ۱۲ | ۵ | ۱ | ۰ | ۴۶ | ۱۵ |
| ۲۰۱۵–۲۰۱۶ | یوونتوس | سری آ | ۳۴ | ۷ | ۵ | ۳ | ۸ | ۲ | ۰ | ۰ | ۴۷ | ۱۲ |
| ۲۰۲۰–۲۰۲۱ | یوونتوس | سری آ | ۳۲ | ۱۱ | ۳ | ۲ | ۸ | ۶ | ۱ | ۱ | ۴۴ | ۲۰ |
| ۲۰۲۱–۲۰۲۲ | یوونتوس | سری آ | ۳۵ | ۹ | ۵ | ۱ | ۷ | ۲ | ۱ | ۰ | ۴۸ | ۱۲ |
| مجموع یوونتوس | مجموع یوونتوس | مجموع یوونتوس | ۱۳۰ | ۳۵ | ۱۷ | ۸ | ۳۵ | ۱۵ | ۳ | ۱ | ۱۸۵ | ۵۹ |
| ۲۰۱۷–۲۰۱۸ | چلسی | لیگ جزیره | ۳۱ | ۱۱ | ۶ | ۲ | ۷ | ۱ | ۴ | ۱ | ۴۸ | ۱۵ |
| ۲۰۱۸–۲۰۱۹ | چلسی | لیگ جزیره | ۱۶ | ۵ | ۱ | ۲ | ۴ | ۲ | ۳ | ۰ | ۲۴ | ۹ |
| مجموع چلسی | مجموع چلسی | مجموع چلسی | ۴۷ | ۱۶ | ۷ | ۴ | ۱۱ | ۳ | ۷ | ۱ | ۷۲ | ۲۴ |
| ۲۰۱۸–۲۰۱۹ | اتلتیکو مادرید | لالیگا | ۱۵ | ۶ | ۰ | ۰ | ۲ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱۷ | ۶ |
| ۲۰۱۹–۲۰۲۰ | اتلتیکو مادرید | لالیگا | ۳۴ | ۱۲ | ۰ | ۰ | ۸ | ۳ | ۲ | ۱ | ۴۴ | ۱۶ |
| ۲۰۲۲–۲۰۲۳ | اتلتیکو مادرید | لالیگا | ۳۶ | ۱۳ | ۴ | ۲ | ۵ | ۰ | ۰ | ۰ | ۴۵ | ۱۵ |
| ۲۰۲۳–۲۰۲۴ | اتلتیکو مادرید | لالیگا | ۲۲ | ۱۳ | ۴ | ۱ | ۷ | ۵ | ۱ | ۰ | ۳۴ | ۱۹ |
| مجموع اتلتیکو مادرید | مجموع اتلتیکو مادرید | مجموع اتلتیکو مادرید | ۱۰۷ | ۴۴ | ۸ | ۳ | ۲۲ | ۸ | ۳ | ۱ | ۱۴۰ | ۵۶ |
| مجموع آمار | مجموع آمار | مجموع آمار | ۴۲۴ | ۱۶۱ | ۴۶ | ۱۷ | ۸۳ | ۳۰ | ۲۲ | ۷ | ۵۷۵ | ۲۱۵ |
آمار ملی > بازی‌های ملی

تا تاریخ ۱۹ نوامبر ۲۰۲۳
| اسپانیا> سال | اسپانیا> بازی | اسپانیا> گل | اسپانیا> پاس گل |
| --- | --- | --- | --- |
| ۲۰۱۴ | ۲ | ۰ | ۰ |
| ۲۰۱۵ | ۴ | ۱ | ۰ |
| ۲۰۱۶ | ۱۲ | ۷ | ۲ |
| ۲۰۱۷ | ۵ | ۵ | ۱ |
| ۲۰۱۸ | ۴ | ۰ | ۰ |
| ۲۰۱۹ | ۶ | ۴ | ۱ |
| ۲۰۲۰ | ۳ | ۱ | ۱ |
| ۲۰۲۱ | ۱۴ | ۵ | ۱ |
| ۲۰۲۲ | ۱۱ | ۷ | ۱ |
| ۲۰۲۳ | ۸ | ۴ | ۰ |
| مجموع | ۶۹ | ۳۴ | ۷ |
آمار ملی > گل‌های ملی

| شماره | تاریخ | میزبان | بازی ملی | حریف | نتیجه | رقابت |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  ۱ | ۲۷ مارس ۲۰۱۵ | سویل |  ۳ |  اوکراین | ۳–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۱۶ |
|  ۲ | ۱ ژوئن ۲۰۱۶ | زالتسبورگ |  ۹ |  کرهٔ جنوبی | ۶–۱ | دوستانه |
|  ۳ | ۱ ژوئن ۲۰۱۶ | زالتسبورگ |  ۹ |  کرهٔ جنوبی | ۶–۱ | دوستانه |
|  ۴ | ۱۷ ژوئن ۲۰۱۶ | نیس |  ۱۱ |  ترکیه | ۳–۰ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۱۶ |
|  ۵ | ۱۷ ژوئن ۲۰۱۶ | نیس |  ۱۱ |  ترکیه | ۳–۰ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۱۶ |
|  ۶ | ۲۱ ژوئن ۲۰۱۶ | بوردو |  ۱۲ |  کرواسی | ۱–۲ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۱۶ |
|  ۷ | ۵ سپتامبر ۲۰۱۶ | لئون |  ۱۵ |  لیختن‌اشتاین | ۸–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۱۸ |
|  ۸ | ۵ سپتامبر ۲۰۱۶ | لئون |  ۱۵ |  لیختن‌اشتاین | ۸–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۱۸ |
|  ۹ | ۷ ژوئن ۲۰۱۷ | مورسیا |  ۲۰ |  کلمبیا | ۲–۲ | دوستانه |
|  ۱۰ | ۲ سپتامبر ۲۰۱۷ | مادرید |  ۲۱ |  ایتالیا | ۳–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۱۸ |
|  ۱۱ | ۵ سپتامبر ۲۰۱۷ | فادوتس |  ۲۲ |  لیختن‌اشتاین | ۸–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۱۸ |
|  ۱۲ | ۵ سپتامبر ۲۰۱۷ | فادوتس |  ۲۲ |  لیختن‌اشتاین | ۸–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۱۸ |
|  ۱۳ | ۱۱ نوامبر ۲۰۱۷ | مالاگا |  ۲۳ |  کاستاریکا | ۵–۰ | دوستانه |
|  ۱۴ | ۲۶ مارس ۲۰۱۹ | تاکالی |  ۲۹ |  مالت | ۲–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۱۵ | ۲۶ مارس ۲۰۱۹ | تاکالی |  ۲۹ |  مالت | ۲–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۱۶ | ۱۰ ژوئن ۲۰۱۹ | مادرید |  ۳۱ |  سوئد | ۳–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۱۷ | ۱۵ نوامبر ۲۰۱۹ | کادیس |  ۳۲ |  مالت | ۷–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۱۸ | ۱۷ نوامبر ۲۰۲۰ | سویل |  ۳۶ |  آلمان | ۶–۰ | لیگ ملت‌های اروپا ۲۱–۲۰۲۰ |
|  ۱۹ | ۲۵ مارس ۲۰۲۱ | گرانادا |  ۳۷ |  یونان | ۱–۱ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۲۲ |
|  ۲۰ | ۱۹ ژوئن ۲۰۲۱ | سویل |  ۴۲ |  لهستان | ۱–۱ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۲۱ | ۲۸ ژوئن ۲۰۲۱ | کپنهاگ |  ۴۴ |  کرواسی | ۵–۳ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۲۲ | ۶ ژوئیه ۲۰۲۱ | لندن |  ۴۶ |  ایتالیا | ۱–۱ | جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۰ |
|  ۲۳ | ۱۴ نوامبر ۲۰۲۱ | سویل |  ۵۰ |  سوئد | ۱–۰ | مقدماتی جام جهانی ۲۰۲۲ |
|  ۲۴ | ۲۹ مارس ۲۰۲۲ | لاکرونیا |  ۵۲ |  ایسلند | ۵–۰ | دوستانه |
|  ۲۵ | ۲۹ مارس ۲۰۲۲ | لاکرونیا |  ۵۲ |  ایسلند | ۵–۰ | دوستانه |
|  ۲۶ | ۲ ژوئن ۲۰۲۲ | سویل |  ۵۳ |  پرتغال | ۱–۱ | لیگ ملت‌های اروپا ۲۳–۲۰۲۲ |
|  ۲۷ | ۲۷ سپتامبر ۲۰۲۲ | براگا |  ۵۷ |  پرتغال | ۱–۰ | لیگ ملت‌های اروپا ۲۳–۲۰۲۲ |
|  ۲۸ | ۲۳ نوامبر ۲۰۲۲ | دوحه |  ۵۸ |  کاستاریکا | ۷–۰ | جام جهانی ۲۰۲۲ قطر |
|  ۲۹ | ۲۷ نوامبر ۲۰۲۲ | الخور |  ۵۹ |  آلمان | ۱–۱ | جام جهانی ۲۰۲۲ قطر |
|  ۳۰ | ۱ دسامبر ۲۰۲۲ | الریان |  ۶۰ |  ژاپن | ۱–۲ | جام جهانی ۲۰۲۲ قطر |
|  ۳۱ | ۸ سپتامبر ۲۰۲۳ | تفلیس |  ۶۵ |  گرجستان | ۷–۱ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۴ |
|  ۳۲ | ۸ سپتامبر ۲۰۲۳ | تفلیس |  ۶۵ |  گرجستان | ۷–۱ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۴ |
|  ۳۳ | ۸ سپتامبر ۲۰۲۳ | تفلیس |  ۶۵ |  گرجستان | ۷–۱ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۴ |
|  ۳۴ | ۱۲ اکتبر ۲۰۲۳ | سویل |  ۶۷ |  اسکاتلند | ۲–۰ | مقدماتی جام ملت‌های اروپا ۲۰۲۴ |
موراتا در حال تمرین با رئال مادرید در سال ۲۰۱۰
ریاضیات

خوارزمی ریاضی‌دان ایرانی نویسنده کتاب الجبر والمقابله
اقلیدس (در حالی که پرگار در دست دارد)
ریاضیدان یونانی سده سوم قبل از میلاد
این حد از جزئیات بر اساس تصور رافائل از مکتب آتن است.
ریاضیات (به پارسی سره: انگارش یا رایش یا مزداهیک)  فن محاسبهٔ اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)، ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضیات) می‌پردازد. در حقیقت، تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند، برای ریاضیات وجود ندارد.
استدلال‌های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند؛ به‌خصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، داویت هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه‌ای در پایان سدهٔ نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با استدلال ریاضی از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم‌کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد.
ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند؛ مثل نظریهٔ بازی‌ها. ریاضی‌دانان در ریاضیات محض (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچ‌گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود. مادر علوم جهان ریاضیات است.
شاخه‌های ریاضیات

مقالهٔ اصلی: شاخه‌های ریاضیات
ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، برنامه لنگلندز ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل گروه‌های گالوا، رویه‌های ریمانی و نظریه اعداد.
شاخه‌های ریاضیات > بنیان ریاضیات و فلسفه

مقالهٔ اصلی: فلسفه ریاضیات
نظریه مجموعه‌ها و منطق ریاضی به منظور تببین بنیان‌های ریاضیات توسعه یافته‌اند. منطق ریاضی شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای منطق صوری به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. نظریه رسته‌ها که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد. اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود.
دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. به‌طور مثال قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضایای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه به‌دست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با علوم رایانه و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد.
علوم رایانه شامل نظریه محاسبه پذیری، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات است. نظریه رایانش‌پذیری محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون ماشین تورینگ می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای رایانه حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ "P=NP"؟ است که برای حل آن جایزهٔ مسائل هزاره تعیین شده‌است. در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 p\Rightarrow q: 
| منطق ریاضیاتی | نظریه مجموعه‌ها | نظریه رسته‌ها | نظریه محاسبات |
شاخه‌های ریاضیات > ریاضی محض

مقالهٔ اصلی: ریاضیات محض
شاخه‌های ریاضیات > ریاضی محض > کمیت

مقالهٔ اصلی: چندی
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورت می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند.
با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا («کسرها») شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم «بی نهایت» بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله‌ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  (0),1,2,3,\ldots  |  \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots  |  -2,{\frac {2}{3}},1.21 |  -e,{\sqrt {2}},3,\pi  |  2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}} |
| اعداد طبیعی | اعداد صحیح | اعداد گویا | اعداد حقیقی | اعداد مختلط |
شاخه‌های ریاضیات > ریاضی محض > ساختار

مقالهٔ اصلی: جبر
بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعه‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات حساب به‌دست‌آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را می‌دهند.
جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروه‌ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| جبر مجرد | نظریه اعداد | نظریه گروه‌ها |
| توپولوژی | نظریه مدول‌ها | نظریه ترتیب |
شاخه‌های ریاضیات > ریاضی محض > فضا

مقالهٔ اصلی: هندسه
مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، به‌خصوص هندسه اقلیدسی که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و قضیه معروف فیثاغورس را به‌وجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویه‌های مثلث و توابع مثلثاتی است. در مطالعات مدرن فضا، این ایده‌ها تعمیم یافته تا به هندسه‌هایی با ابعاد بالاتر، فضاهای غیر-اقلیدسی (که نقش بنیادینی در نسبیت عام دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینه‌سازی و علوم رایانه دنبال می‌شوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم کلاف‌های تاری و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، به‌خصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ای‌ها بحث می‌شود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب می‌کند. همچنین در مطالعه بر روی گروه‌های توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروه‌های لی در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده می‌شود. توپولوژی در تمام شاخه‌های متعدد خویش را می‌توان به عنوان بزرگ‌ترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخه‌های توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعه‌ها، نظریه هوموتوپی و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل حدس اثبات شدهٔ پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است که به کمک رایانه‌ها اثبات شده‌اند.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| توپولوژی | هندسه | مثلثات | هندسه دیفرانسیل | هندسه فراکتال‌ها |
شاخه‌های ریاضیات > ریاضی محض > تغییر

مقالهٔ اصلی: حساب دیفرانسیل و انتگرال
فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  36\div 9=4 |  |  |  \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S) |
| حساب | حسابان | حساب برداری | آنالیز ریاضی |
 {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c: 
| معادلات دیفرانسیل | سیستم‌های دینامیکی | نظریه آشوب |  |
شاخه‌های ریاضیات > ریاضیات کاربردی

مقالهٔ اصلی: ریاضیات کاربردی
ریاضیات کاربردی به دنبال روش‌های ریاضیاتی است که اغلب در علوم، مهندسی، بازرگانی و صنعت به کار برده می‌شوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت ریاضیات کاربردی تخصصی حرفه ای را توصیف می‌کند که بر روی مسائل عملی تمرکز کرده‌است، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدل‌های ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزه‌هایی که ریاضیات به کار می‌رود تمرکز می‌کند.
در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در ریاضیات محض شده‌اند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه می‌شود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی به‌طور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خورده‌است.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| نظریه بازی‌ها | دینامیک سیالات | آنالیز عددی | بهینه‌سازی | نظریه احتمال | آمار | رمز نگاری |
| ریاضیات مالی | ریاضی فیزیک | شیمی ریاضیاتی | ریاضیات زیستی | ریاضیات اقتصاد | نظریه کنترل |  |
جوایز ریاضیاتی

می‌توان مدعی شد که مهم‌ترین جایزه ریاضیاتی جایزهٔ فیلدز است، که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال‌ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود جنگ جهانی دوم) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته‌است (یکی از دارندگان مدال فیلدز مریم میرزاخانی است که اولین زن است که دارنده این مدال است). فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای نوبل در ریاضیات در نظر گرفته شده.
جایزهٔ وولف در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاوردهایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش به آنها نایل گشته. جایزهٔ آبل در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاوردهای یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کارهای نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده‌اند.
لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها «مسائل هیلبرت» می‌گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی داویت هیلبرت معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده‌اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام «مسائل جایزه هزاره» نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن‌ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار است.
خلاقیت و شهود ریاضیات

نیاز به درستی و دقت به این معنا نیست که ریاضیات جایی برای خلاقیت ندارد. برعکس، بیشتر کارهای ریاضی فراتر از محاسبات بی‌درنگ نیازمند حل مسئله هوشمندانه و کاوش شهودی دیدگاه‌های جدید است. افرادی که به ریاضیات تمایل دارند اغلب نه تنها خلاقیت را در ریاضیات می‌بینند، بلکه یک ارزش زیبایی شناختی را نیز می‌بینند که معمولاً به عنوان ظرافت توصیف می‌شود. کیفیت‌هایی مانند سادگی، تقارن، کامل بودن، و عمومیت به ویژه در اثبات‌ها و تکنیک‌ها ارزشمند است. جی.اچ. هاردی در کتاب «عذرخواهی یک ریاضیدان» معتقد است که این ملاحظات زیباشناختی به خودی خود برای توجیه مطالعه ریاضیات محض کافی هستند. او همچنین معیارهای دیگری مانند اهمیت، غیرمنتظره بودن و اجتناب ناپذیر بودن را که به زیبایی‌شناسی ریاضی کمک می‌کنند، شناسایی کرد. پل اردوس این احساس را به شکل طعنه آمیزی با صحبت از «کتاب»، مجموعه ای فرضی الهی از زیباترین شواهد بیان کرد. کتاب (شواهدی از کتاب) در سال۱۹۹۸، با الهام از کتاب (جنگل) مجموعه ای از استدلال‌های ریاضی مختصر و وحیانی است. برخی از نمونه‌های نتایج به‌ویژه ظریف شامل اثبات اقلیدس مبنی بر وجود بی‌نهایت اعداد اول و تبدیل فوریه سریع برای تحلیل هارمونیک است. برخی بر این باورند که علم دانستن ریاضیات به معنای کم‌اهمیت جلوه دادن هنر و تاریخ آن در هفت هنر سنتی لیبرال است. یکی از راه‌هایی که این تفاوت دیدگاه نشان می‌دهد، در بحث فلسفی است که آیا نتایج ریاضی ایجاد می‌شوند (مانند هنر) یا کشف می‌شوند (مانند علم). محبوبیت ریاضیات تفریحی نشانه دیگری از لذت بسیاری از حل سوالات ریاضی است. در قرن بیستم، ریاضیدان (لی.ای. جی براور) حتی دیدگاهی فلسفی به نام شهودگرایی را آغاز کرد که در درجه اول ریاضیات را با فرآیندهای خلاقانه خاصی در ذهن شناسایی می‌کند. شهودگرایی به نوبه خود یکی از مزه‌های موضعی است که به عنوان ساخت‌گرایی شناخته می‌شود، که تنها زمانی یک شی ریاضی را معتبر می‌داند که بتوان آن را مستقیماً ساخت، نه اینکه صرفاً توسط منطق به‌طور غیرمستقیم تضمین شود. این امر سازنده‌های متعهد را به رد نتایج معین، به‌ویژه استدلال‌هایی مانند براهین وجودی مبتنی بر قانون میانه حذف‌شده، سوق می‌دهد. در نهایت، نه ساخت‌گرایی و نه شهودگرایی جایگزین ریاضیات کلاسیک نشد و به مقبولیت اصلی دست یافتند. با این حال، این برنامه‌ها انگیزه‌ای برای پیشرفت‌های خاصی مانند منطق شهودی و سایر بینش‌های بنیادی داشته‌اند که در نوع خود مورد قدردانی قرار می‌گیرند.