جدول گروه‌های لی
گروه‌های لی حقیقی و جبرهایشان

شرح علائم به کار رفته برای عنوان ستون‌ها:
Cpt: آیا گروه G مورد نظر فشرده است یا خیر? (بله یا خیر)
\pi _{0}: گروه مؤلفه‌های G را می‌دهد. مرتبه بزرگی گروه مؤلفه‌ای، تعداد مؤلفه‌های همبندی را ارائه می‌کند. گروه مورد نظر همبند است اگر و تنها اگر گروه مؤلفه‌ها بدیهی باشد (که با 0 نشان داده شده).
\pi _{1}: هرگاه G همبند باشد، گروه بنیادی G را می‌دهد.
UC: اگر G همبند ساده نباشد، پوشش جهانی G را می‌دهد.
dim/\mathbb {R} : بعد روی فضای برداری با اسکالرهای حقیقی.
| گروه لی | توصیف | Cpt |  \pi _{0} |  \pi _{1} | UC | نکات | جبر لی |  dim/\mathbb {R}  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \mathbb {R} ^{n} | فضای اقلیدسی به همراه جمع | N | 0 | 0 |  | آبلی |  \mathbb {R} ^{n} | n |
|  \mathbb {R} ^{\times } | اعداد حقیقی ناصفر به همراه جمع | N |  {\mathbb {Z} }_{2} | – |  | آبلی |  \mathbb {R}  | 1 |
|  \mathbb {R} ^{+} | اعداد حقیقی مثبت با ضرب | N | 0 | 0 |  | آبلی |  \mathbb {R}  | 1 |
|  S^{1}=U(1) | گروه دایره‌ای: اعداد مختلط با قدر مطلق 1، با ضرب؛ | Y | 0 |  {\mathbb {Z} } |  \mathbb {R}  | آبلی، یکریخت با SO(2)، Spin(2)،  و \mathbb {R} /{\mathbb {Z} } |  \mathbb {R}  | 1 |
| Aff(1) | تبدیلات آفین معکوس‌پذیر از  \mathbb {R}  به  \mathbb {R} . | N |  {\mathbb {Z} }_{2} | 0 |  | گروه حل‌پذیر؛ ضرب نیم‌مستقیم از  \mathbb {R} ^{+} و  \mathbb {R} ^{\times } |  \left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&0\end{smallmatrix}}\right]:a,b\in \mathbb {R} \right\} | 2 |
|  \mathbb {H} ^{\times } | چهارگان‌های ناصفر با ضرب | N | 0 | 0 |  |  |  \mathbb {H}  | 4 |
|  S^{3}=Sp(1) | چهارگان‌هایی با قدر مطلق 1 با ضرب؛ از نظر توپولوژیکی یک 3-کره است. | Y | 0 | 0 |  | یکریخت با SU(2) و Spin(3)؛ پوشش مضاعفی از SO(3) |  Im(\mathbb {H} ) | 3 |
|  GL(n,\mathbb {R} ) | گروه خطی عام: ماتریس‌های حقیقی n×n معکوس‌پذیر | N |  {\mathbb {Z} }_{2} | – |  |  |  M(n,\mathbb {R} ) |  n^{2} |
|  GL^{+}(n,\mathbb {R} ) | ماتریس‌های حقیقی n×n با دترمینان مثبت | N | 0 |  {\mathbb {Z} };n=2  n=2  {\mathbb {Z} }_{2} n>2 |  |  GL^{+}(1,\mathbb {R} ) با  \mathbb {R} ^{+} یکریخت بوده و همبند ساده است | M(n, \mathbb {R} ) | n2 |
| SL(n, \mathbb {R} ) | گروه خطی خاص: ماتریس‌های حقیقی با دترمینان 1 | N | 0 |  {\mathbb {Z} }  n=2  {\mathbb {Z} }_{2} n>2 |  |  SL(1,\mathbb {R} ) تک نقطه است و بنابراین فشرده و همبند ساده است. | sl(n, \mathbb {R} ) | n2−1 |
| SL(2, \mathbb {R} ) | ایزومتری‌های جهت-نگهدار نیم-صفحه پوانکاره، یکریخت با  SU(1,1)، و یکریخت با  Sp(2,\mathbb {R} . | N | 0 |  {\mathbb {Z} } |  | پوشش جهانی اش هیچ نمایش وفادار متناهی بعدی ندارد. | sl(2, \mathbb {R} ) | 3 |
| O(n) | گروه متعامد: ماتریس‌های متعامد حقیقی | Y |  {\mathbb {Z} }_{2} | – |  | گروه متقارن کره (n=3) یا ابرکره. | so(n) | n(n−1)/2 |
| SO(n) | گروه متعامد خاص: ماتریس‌های متعامد حقیقی با دترمینان 1 | Y | 0 |  {\mathbb {Z} }  n=2  {\mathbb {Z} }_{2} n>2 | Spin(n) n>2 |  SO(1) تک نقطه است و  SO(2) یکریخت با گروه دایره‌ای است،  SO(3) نیز گروه دایره‌ای کره است. | so(n) | n(n−1)/2 |
| Spin(n) | گروه اسپین: پوشش مضاعفی از  SO(n). | Y | 0 n>1 | 0 n>2 |  |  Spin(1) یکریخت با  \mathbb {Z} _{2} بوده و همبند نیست؛  Spin(2) یکریخت با گروه دایره‌ای است و همبند ساده نیست. | so(n) | n(n−1)/2 |
|  sp(2n,\mathbb {R} ) | گروه سیمپلکتیک: ماتریس‌های سیمپلکتیک حقیقی | N | 0 |  {\mathbb {Z} } |  |  |  sp(2n,\mathbb {R} ) | n(2n+1) |
| Sp(n) | گروه سیمپلکتیک فشرده: ماتریس‌های یکانی چهارگانی n×n. | Y | 0 | 0 |  |  | sp(n) | n(2n+1) |
|  Mp(2n,\mathbb {R} ) | گروه متاپلکتیک: پوشش مضاعفی از گروه سیمپلکتیک حقیقی  Sp(2n,\mathbb {R} ) | Y | 0 |  {\mathbb {Z} } |  |  Mp(2,\mathbb {R} ) گروه لی بوده که جبری نیست. | sp(2n, \mathbb {R} ) | n(2n+1) |
| U(n) | گروه یکانی: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط. | Y | 0 |  {\mathbb {Z} } |  \mathbb {R} \times SU(n) | برای n=1: یکریخت با  S^{1}. توجه: این یک گروه/جبر لی مختلط نیست. | u(n) |  n^{2} |
| SU(n) | گروه یکانی خاص: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط با دترمینان 1. | Y | 0 | 0 |  | توجه: این گروه/جبر لی مختلط نیست. | su(n) | n2−1 |
: