توابع مثلثاتی
تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه

شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویهٔ C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویهٔ دیگر، زاویهٔ تند و متمم هستند، به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است. ضلع روبرو به زاویهٔ C را وتر می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که زاویهٔ قائمه را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویهٔ A (و مقابل زاویهٔ B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویهٔ A (و مجاور زاویهٔ B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی برای زاویهٔ A به صورت زیر تعریف می‌شوند:
سینوس زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مقابل آن به وتر. به بیان ریاضی:
کسینوس زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مجاور آن به وتر. به بیان ریاضی:
تانژانت زاویهٔ A نیز به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور این زاویه محاسبه می‌شود:
بر پایه قضیهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.
می‌توان برای زاویهٔ B نیز توابع مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویهٔ B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویهٔ A است و ضلع مقابل زاویهٔ B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویهٔ A می‌باشد؛ بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویهٔ B برابر با کسینوس زاویهٔ A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویهٔ متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:
با افزایش مقدار زاویهٔ A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازهٔ ضلع مجاور آن کاهش و اندازهٔ ضلع مقابل، افزایش می‌یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایهٔ قضیهٔ فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است) در نتیجه، سینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به‌طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویهٔ A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویهٔ A است) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود؛ بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.
سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:
| 0 | 1 |
| --- | --- |
سکانت (معکوس کسینوس)::  \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}}
کسکانت (معکوس سینوس)::  \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}}
کتانژانت (معکوس تانژانت)::  \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}
رابطه میان دو زاویهٔ متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.
به‌طور خلاصه، رابطهٔ میان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:
| نام | تعریف | رابطه |
| --- | --- | --- |
| سینوس | سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به وتر | sin A = ضلع مقابل/وتر |
| کسینوس | کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر | cos A = ضلع مجاور/وتر |
| تانژانت | تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به ضلع مجاور | tan A = ضلع مقابل/ضلع مجاور |
| کتانژانت | کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت) | cot A = ضلع مجاور/ضلع مقابل |
| سکانت | سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس) | sec A = وتر/ضلع مجاور |
| کسکانت | کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس) | csc A = وتر/ضلع مقابل |