stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
توابع مثلثاتی
تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه > مقدار توابع مثلثاتی برای زاویه‌های خاص

برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار توابع مثلثاتی را به دست آورد.
در زاویهٔ صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است؛ در زاویهٔ ۹۰ درجه اما، کسینوس برابر صفر و سینوس برابر ۱ می‌شود؛ بنابراین:
مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویهٔ °۴۵ داشته باشد، زاویهٔ تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیهٔ فیثاغورس اندازه وتر،  {\sqrt {2}} برابر اندازهٔ هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:
با استفاده از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل روبرو) می‌توان نشان داد که ضلع روبرو به زاویهٔ ۳۰ درجه، نصف وتر است؛ بنابراین:
به همین ترتیب، اندازهٔ ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس برابر  {\frac {\sqrt {3}}{2}} به دست می‌آید. در نتیجه:
سایر توابع مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.
مقدار توابع مثلثاتی در زاویه‌های تند در جدول زیر خلاصه شده‌است:
| تابع | ۰° | ۱۵° (π/۱۲) | ۳۰° (π/۶) | ۴۵° (π/۴) | ۶۰° (π/۳) | ۹۰° (π/۲) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| سینوس |  0 |  {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}} |  {\frac {1}{2}} |  {\frac {\sqrt {2}}{2}} |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} |  1 |
| کسینوس |  1 |  {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}} |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} |  {\frac {\sqrt {2}}{2}} |  {\frac {1}{2}} |  0 |
| تانژانت |  0 |  2-{\sqrt {3}} |  {\frac {\sqrt {3}}{3}} |  1 |  {\sqrt {3}} |  +\infty  |
| کتانژانت |  +\infty  |  2+{\sqrt {3}} |  {\sqrt {3}} |  1 |  {\frac {\sqrt {3}}{3}} |  0 |
| سکانت |  1 |  {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1) |  2 |  {\sqrt {2}} |  {\frac {\sqrt {3}}{6}} |  +\infty  |
| کسکانت |  +\infty  |  {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1) |  2 |  {\sqrt {2}} |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} |  1 |
تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه > یکای اندازه‌گیری

| واحد | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| درجه | ۰° | ۳۰° | ۴۵° | ۶۰° | ۹۰° | ۱۸۰° | ۲۷۰° | ۳۶۰° |
| رادیان | ۰ | π/۶ | π/۴ | π/۳ | π/۲ | π | ۳π/۲ | ۲π |
| گراد | ۰g | ۱۰۰/۳g | ۵۰g | ۲۰۰/۳g | ۱۰۰g | ۲۰۰g | ۳۰۰g | ۴۰۰g |
| دور | ۰ | ۱/۱۲ | ۱/۸ | ۱/۶ | ۱/۴ | ۱/۲ | ۳/۴ | ۱ |
چند یکای بی‌بعد برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد.
درجه: یکایی است که از گذشتهٔ دور مورد استفاده قرار گرفته‌است. مقدار این یکا با تقسیم‌بندی یک دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی به دست می‌آید. به بیان دیگر، یک درجه برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که اندازهٔ آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
رادیان: یکای مورد استفاده در محاسبات مربوط به مثلثات است. یک رادیان برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایرهٔ کامل برابر ۲π رادیان (۶٫۲۸۳۲ رادیان) است.
گراد: یک دایرهٔ کامل ۴۰۰ گراد است. به بیان دیگر، گراد یک‌صدم ربع دایره است. کاربرد عمدهٔ گراد در محاسبات نقشه‌برداری است.
دور: یک دور معادل یک دایرهٔ کامل و برابر با ۳۶۰ درجه یا ۲π رادیان است.
در محاسبات ریاضی که شامل توابع مثلثاتی هستند (مانند معادلات دیفرانسیل و انتگرال)، از یکای رادیان استفاده می‌شود.
تعریف بر پایهٔ دایرهٔ واحد

مقالهٔ اصلی: دایرهٔ واحد
شکل روبرو، یک دایرهٔ واحد را نشان می‌دهد که توابع مثلثاتی زاویهٔ θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامی که شعاع OA با زاویهٔ θ نسبت به محور افقی روی دایره زده شود، می‌توان مقدار توابع مثلثاتی را به صورت اندازهٔ پاره‌خط‌هایی مشخص به دست آورد. مقدار توابع سینوس و کسینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب به رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. به بیان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر با کسینوس θ و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس θ است. اندازهٔ پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) که مماس بر دایره از نقطه A تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت θ است. امتداد همین پاره‌خط از نقطه A تا محور عمودی (به رنگ نارنجی) نیز کتانژانت θ را نشان می‌دهد. به همین ترتیب، می‌توان مقدار سکانت و کسکانت زاویهٔ θ را نیز محاسبه کرد.
در دایرهٔ واحد، امکان محاسبهٔ توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، به شکلی مشابه بالا تعیین می‌شود. علامت یک تابع بر پایهٔ مقدار زاویه در دایرهٔ واحد بر پایه جدول زیر به دست می‌آید:
| تابع | ربع اول | ربع دوم | ربع سوم | ربع چهارم |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| سینوس کسکانت | + | + | – | – |
| کسینوس سکانت | + | – | – | + |
| تانژانت کتانژانت | + | – | + | – |
تعریف بر پایهٔ دایرهٔ واحد > دوران

توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. همچنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان‌دهنده این رابطه‌ها است:
| دوران حول محور افقی | دوران با زاویهٔ π/۲ | دوران با زاویهٔ π | دوران با زاویهٔ ۲π |
| --- | --- | --- | --- |
|  \sin(-\theta )=-\sin \theta  |  \sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\cos \theta  |  \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta  |  \sin(\theta +2\pi )=+\sin \theta  |
|  \cos(-\theta )=+\cos \theta  |  \cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\sin \theta  |  \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta  |  \cos(\theta +2\pi )=+\cos \theta  |
|  \tan(-\theta )=-\tan \theta  |  \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta  |  \tan(\theta +\pi )=+\tan \theta  |  \tan(\theta +2\pi )=+\tan \theta  |
|  \cot(-\theta )=-\cot \theta  |  \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta  |  \cot(\theta +\pi )=+\cot \theta  |  \cot(\theta +2\pi )=+\cot \theta  |
|  \sec(-\theta )=+\sec \theta  |  \sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\csc \theta  |  \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta  |  \sec(\theta +2\pi )=+\sec \theta  |
|  \csc(-\theta )=-\csc \theta  |  \csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\sec \theta  |  \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta  |  \csc(\theta +2\pi )=+\csc \theta  |
تعریف بر پایهٔ انتگرال

تعریف تابع سینوس توسط مثلث قائم الزاویه از نظر ریاضی دقیق نیست، چرا که مفهوم زاویه (یا همان طول کمان در دایرهٔ واحد) به صورت دقیق بیان نشده‌است. تعریف دیگری را می‌توان براساس طول دقیق کمان یک دایره به دست آورد. با در نظر گرفتن معادلهٔ دایره  y={\sqrt {1-x^{2}}} و پیدا کردن طول قوس، می‌توان رابطهٔ بین یک زاویه  \theta  و  \sin \theta  را برحسب معادلهٔ ضمنی زیر نوشت:
\int _{0}^{\sin \theta }{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\theta
که در آن θ زاویه‌ای در محدودهٔ  0\leq \theta \leq \pi /2 است.
تعریف بر پایهٔ سری توانی

با استفاده از سری مکلورن هر تابع پیوسته‌ای را می‌توان به صورت یک سری توانی حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:
ضریب‌های رابطهٔ بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن در نقطه صفر، قابل محاسبه هستند؛ بنابراین می‌توان مقدار تقریبی یک تابع را به صورت مجموع یک سری نامتناهی به دست آورد. در محاسبات ریاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین می‌شود) چشم‌پوشی می‌کنند.
تعریف بر پایهٔ سری توانی > سری توانی توابع مثلثاتی

سری توانی توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. در ادامه، سری‌های توانی توابع مثلثاتی آورده می‌شوند.
شکل روبرو، نمودار تابع سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان می‌دهد. مقدار تابع سینوس در نقطه صفر برابر صفر است؛ بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن می‌شوند) صفر هستند. در نتیجه، سری توانی سینوس تنها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.
به‌طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانی کسینوس صفر هستند و این سری تنها دارای جمله‌های با توان زوج است.
تعریف براساس سری توانی این مزیت را دارد که قابل استفاده در اعداد مختلط است و امکان مطالعهٔ خواص تحلیلی بودن این توابع را فراهم می‌سازد.
توابع دیگر مثلثاتی، دارای نقطهٔ تکین در دامنه خود هستند؛ بنابراین نمی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را برای هر مقداری تعریف نمود. برای توابع تانژانت و سکانت که در π/۲ (یا °۹۰) تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین π/۲- تا π/۲ است. همچنین برای توابع کتانژانت و کسکانت که در صفر درجه تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین صفر تا π می‌باشد.
تعریف بر پایهٔ سری توانی > استفاده از سری‌های توانی

تعداد جملات سری‌های توانی که برای تقریب توابع به کار می‌روند، نامتناهی است؛ ولی در محاسبات ریاضی از تعداد محدودی از این جملات (بسته به دقت مورد نیاز) استفاده می‌شود. سایر جملات که محاسبه نمی‌شوند، جملهٔ باقی‌مانده یا جملهٔ خطا نامیده می‌شوند. جملهٔ خطای مرتبهٔ n برای یک سری به صورت زیر تعریف می‌شود:
با افزایش مقدار x، تعداد بیشتری از جملات برای رسیدن به یک دقت مشخص، مورد نیاز خواهند بود و در نتیجه، سرعت همگرایی کاهش می‌یابد. افزون بر این، توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت دارای نقاط ناپیوستگی هستند و سری‌های توانی این توابع تنها برای یک بازهٔ پیوسته تعریف شده‌اند.
برای جلوگیری از کند شدن همگرایی و رفع ناپیوستگی توابع، بایستی پیش از بهره گرفتن از سری‌ها زاویه را تا حد امکان کوچک کنیم. با به کار گرفتن اتحادهای مثلثاتی تبدیل زاویه، می‌توان زاویه را تا بازهٔ (۰،π/۲) و با استفاده از اتحادهای زاویه متمم تا (۰،π/۴) کاهش داد. به این ترتیب، سرعت همگرایی سری و کارایی محاسبه، افزایش می‌یابد.
تعریف توسط معادله دیفرانسیل

یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با ضرایب ثابت، به صورت زیر نوشته می‌شود:
پاسخ این معادله، تابع نمایی به صورت  y=A_{1}e^{m_{1}x}+A_{2}e^{m_{2}x} است که در آن،  m_{1} و  m_{2} ریشه‌های معادلهٔ مشخصهٔ معادله (یعنی  am^{2}+bm+c=0) هستند. همچنین  A_{1} و  A_{2} ثابت‌های انتگرال‌گیری است که بر پایهٔ شرایط اولیه به دست می‌آیند.
اگر معادلهٔ مشخصه دارای ریشه‌های مختلط باشد، پاسخ عمومی آن شامل تابع نمایی با توان مختلط است:
که در آن،  \alpha  جزء حقیقی و  \beta  جزء موهومی ریشهٔ معادلهٔ مشخصه هستند. بر پایهٔ فرمول اویلر، تابع نمایی مختلط به توابع سینوس و کسینوس تبدیل می‌شود؛ بنابراین در صورت داشتن ریشه‌های مختلط، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل شامل توابع مثلثاتی خواهد بود:
برای نمونه، هر دو تابع سینوس و کسینوس در معادله دیفرانسیل  y''+y=0 (با معادله مشخصه  m^{2}+1=0 که ریشه‌های آن i± هستند) صدق می‌کنند. یعنی هر دو، قرینهٔ مشتق دوم خود هستند. به بیان دیگر، این معادلهٔ دیفرانسیل، خانوادهٔ منحنی توابع سینوس و کسینوس را تعریف می‌کند.
در فضای دوبعدی V، نوع تابع بر پایه شرایط اولیه به صورت زیر تعیین می‌شود:
اگر  \left(y'(0),y(0)\right)=(1,0)؛ سینوس، پاسخ یکتای معادله است؛
اگر  \left(y'(0),y(0)\right)=(0,1)؛ کسینوس، پاسخ یکتای معادله است.
از آن‌جایی که سینوس و کسینوس، دو تابع مستقل خطی هستند، با یکدیگر تابع پایهٔ V را تشکیل می‌دهند. این روش تعریف توابع سینوس و کسینوس، معادل با استفاده از فرمول اویلر است.
همچنین تابع تانژانت، پاسخ یکتای معادلهٔ دیفرانسیل غیرخطی  y'=1+y^{2} با شرط اولیه  y(0)=0 است.
ویژگی‌های توابع مثلثاتی

مقالهٔ اصلی: توابع زوج و فرد
بر پایهٔ تعریف توابع مثلثاتی و دایرهٔ واحد، می‌توان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به‌طور خلاصه:
کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند. (برای نمونه،  \cos(-x)=\cos(x))
سینوس، تانژانت، کتانژانت و کسکانت، تابع فرد هستند. (برای نمونه،  \sin(-x)=-\sin(x))
مقالهٔ اصلی: تابع متناوب
از تعریف دایرهٔ مثلثاتی و همچنین در جدول بالا مشاهده می‌شود که توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است. برای نمونه، تناوب توابع سینوس و تانژانت به صورت رابطهٔ زیر است:
در تبدیل فوریه و معادلات موج از این خاصیت تناوبی توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.
توابع سینوس و کسینوس همواره پیوسته و مشتق‌پذیر هستند. این مطلب، با تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه و تعریف بر پایهٔ دایره واحد، به روشنی قابل ملاحظه است.
سایر تابع‌ها که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند؛ زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند ( k یک عدد صحیح دلخواه است):
کتانژانت و کسکانت:  k\pi
تانژانت و سکانت:  k\pi +{\frac {\pi }{2}}
توابع سینوس و کسینوس برهم عمود هستند و در معادله اشتورم-لیوویل صدق می‌کنند.
\int _{0}^{2\pi }\cos n\theta \sin m\theta \,d\theta =0.
همچنین داریم:
{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos n\theta \cos m\theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l l}0&\quad n\neq m\\1&\quad n=m\end{array}}\right.
\int _{0}^{2\pi }\sin m\theta \sin n\theta \,d\theta =0\quad (n\neq m).
از این خواص در محاسبهٔ ضرایب سری فوریه استفاده می‌شود.
مقاله‌های اصلی: مشتق توابع مثلثاتی و فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی می‌توان از قاعدهٔ مشتق‌گیری تابع کسری بهره برد. مشتق اول و دوم توابع مثلثاتی به همراه تابع اولیه (انتگرال) آن‌ها به صورت زیر است:
| تابع | مشتق اول | مشتق دوم | مشتق n-ام | انتگرال |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin(x) |  \cos(x) |  -\sin(x) |  (-1)^{n}.\sin(x+{\frac {n\pi }{2}}) |  -\cos(x) |
|  \cos(x) |  -\sin(x) |  -\cos(x) |  (-1)^{n}.\cos(x+{\frac {n\pi }{2}}) |  \sin(x) |
|  \tan(x) |  \sec ^{2}(x) |  2\sec ^{2}(x).\tan(x) | پیچیده |  -\ln |\cos(x)| |
|  \cot(x) |  -\csc ^{2}(x) |  2\csc ^{2}(x).\cot(x) | پیچیده |  \ln |\sin(x)| |
|  \sec(x) |  \sec(x).\tan(x) |  \sec(x)(\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(x)) | پیچیده |  \ln |\sec(x)+\tan(x)| |
|  \csc(x) |  -\csc(x).\cot(x) |  \csc(x)(\csc ^{2}(x)+\cot ^{2}(x)) | پیچیده |  -\ln |\csc(x)+\cot(x)| |
تبدیل لاپلاس یکی از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل است. تبدیل لاپلاس توابع سینوس و کسینوس به صورت زیر است:
تبدیل سینوس:
تبدیل کسینوس:
تبدیل فوریهٔ تابع‌های سینوس و کسینوس نیز به صورت زیر است:
تبدیل سینوس:
تبدیل کسینوس:
که در این روابط  \delta (\cdot ) نشان‌دهندهٔ تابع دلتای دیراک است.
توابع سینوس و کسینوس یک تابع ویژه برای لاپلاسین هستند. به عنوان مثال، اگر  \nabla ^{2} بیانگر عملگر لاپلاس یک بعدی باشد، توابع سینوس و کسینوس در معادلهٔ  \nabla ^{2}f=\lambda f صدق می‌کنند که با توجه به تعریف توسط معادله دیفرانسیل توابع مثلثاتی قابل بررسی است.
روش‌های محاسبه

مقالهٔ اصلی: مقدارهای دقیق مثلثاتی
محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده‌است؛ ولی امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. سه روش متداول برای محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.
برای بعضی از زاویه‌ها می‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را به دست آورد. برای نمونه، برای همه زاویه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت به صورت دقیق وجود دارد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویه برای زاویه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه می‌شوند (۳=۱۵–۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم به دست می‌آیند. برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز می‌توان از اعمال رابطه نصف زاویه برای زاویه °۳۰ استفاده کرد. پس از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳، می‌توان مقادیر مربوط به زاویه‌هایی که ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویه و زاویه دو برابر، به دست آورد.
برای محاسبهٔ مقدار تابع برای هر زاویه‌ای، نخست باید زاویه را به یک بازه مشخص (مثلاً صفر تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام می‌شود.
پیش از رایانه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با درون‌یابی از داده‌های موجود در جدول‌های مثلثاتی به دست می‌آوردند. این جدول‌ها پیشینه‌ای به دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود در جدول‌ها با استفادهٔ پیاپی از اتحادهای نصف زاویه و مجموع دو زاویه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) به دست می‌آمدند. برای نمونه، می‌توان جداول مثلثاتی سینوس و کسینوس خوارزمی را نام برد.
رایانه‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را به کار می‌گیرند. یک روش متداول، به ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یا کسری (مانند تقریب چبیشف، تقریب پد و معمولاً برای دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه به جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویه انتخاب می‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام می‌شود) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود می‌برند که تنها از جمع، تفریق، شیفت بیتی و نگاه به جدول استفاده می‌کند.
برای محاسبات بسیار دقیق، که سری‌ها به کندی همگرا می‌شوند، می‌توان از میانگین حسابی-هندسی برای تقریب استفاده کرد که تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب می‌زند.
اتحادهای مثلثاتی

مقالهٔ اصلی: فهرست اتحادهای مثلثاتی
بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای هر زاویهٔ دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی می‌نامند. نمونه‌هایی از این اتحادها در زیر آورده می‌شوند.
ساده‌ترین شکل قضیهٔ فیثاغورس در مثلثات به صورت زیر است:
کسینوس حاصل جمع:
سینوس حاصل جمع:
رابطه‌های زیر برای محاسبهٔ سینوس و کسینوس زاویه‌ای دو برابر زاویهٔ معلوم به کار می‌روند:
یک نابرابری مهم مثلثاتی، در محاسبهٔ حدهای مبهم و مشتق توابع مثلثاتی کاربرد دارد. این نابرابری که در بازهٔ -π/۲<θ<π/۲ معتبر است، به صورت زیر است:
با کمک این نابرابری و استفاده از قضیهٔ فشردگی، حد مبهم  \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }} محاسبه می‌شود. این حد در محاسبهٔ مشتق توابع مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
نابرابری‌هایی مشابه به شرح زیرند:
{\frac {2}{\pi }}x\leq \sin x\leq x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}.
x\leq \tan x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}.
x<{\frac {\sin(\pi x)}{x(1-x)}}\leq 4\qquad 0\leq x\leq 1.
با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویهٔ مجاور آن، اندازهٔ دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. همچنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایرهٔ محیطی آن (R) را به دست آورد:
بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها از رابطهٔ زیر، قابل محاسبه است:
با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها، اندازهٔ ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:
همچنین با این قانون می‌توان با داشتن اندازهٔ سه ضلع مثلث، اندازهٔ زاویه‌های آن را به دست آورد.
بعضی از توابع خاص را می‌توان به صورت ترکیبی از توابع از جمله توابع مثلثاتی نوشت.
تابع بسل مرتبهٔ ۱/۲: تابع بسل، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:
که a مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. حل این معادله، به صورت سری توانی است. می‌توان یکی از حالت‌های خاص تابع بسل (a=۱/۲) را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:
چندجمله‌ای چبیشف: چندجمله‌ای چبیشف، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:
که n مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. می‌توان چندجمله‌ای چبیشف مرتبهٔ n را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:
تابع معکوس

مقالهٔ اصلی: توابع معکوس مثلثاتی
توابع معکوس مثلثاتی به عنوان قرینهٔ توابع مثلثاتی نسبت به خط y=x تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند.
توابع مثلثاتی در همهٔ دامنهٔ خود، یک‌به‌یک و معکوس‌پذیر نیستند. برای آن که بتوان تابع معکوس برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن معکوس‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است. افزون بر این، مشتق توابع معکوس مثلثاتی که با روش مشتق‌گیری ضمنی به دست می‌آید، در جدول آورده شده‌است.
| تابع اصلی | دامنهٔ تابع اصلی | تابع معکوس | دامنهٔ تابع معکوس | مشتق تابع معکوس |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin y=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\, |  \arcsin x=y\, |  -1\leq x\leq 1\, |  {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}} |
|  \cos y=x\, |  0\leq y\leq \pi \, |  \arccos x=y\, |  -1\leq x\leq 1\, |  {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}} |
|  \tan y=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\, |  \arctan x=y\, | اعداد حقیقی |  {\frac {1}{1+x^{2}}} |
|  \csc y=x\, |  -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0\, |  \operatorname {arccsc} x=y\, | اعداد حقیقی |  {\frac {-1}{1+x^{2}}} |
|  \sec y=x\, |  0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}}\, |  \operatorname {arcsec} x=y\, |  1\leq x\,or\,x\leq -1\, |  {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}}} |
|  \cot y=x\, |  0<y<\pi \, |  \operatorname {arccot} x=y\, |  1\leq x\,or\,x\leq -1\, |  {\frac {-1}{x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}}} |
کاربرد

توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند.
کاربرد > فضای برداری

در ریاضیات و فیزیک، از بردارها برای نشان دادن یک کمیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده می‌شود. بسیاری از کمیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند. در برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده می‌شود. برای نمونه، ضرب داخلی دو بردار x و y متعلق به ℝ۳ را می‌توان به کمک قانون کسینوس‌ها به صورت زیر محاسبه کرد:
همچنین برای محاسبهٔ ضرب خارجی آن‌ها نیز می‌توان رابطهٔ زیر را به کار بست:
کاربرد > مختصات قطبی، استوانه‌ای و کروی

توابع مثلثاتی، پایهٔ تعریف دستگاه مختصات قطبی هستند که در ساده‌سازی بسیاری از مسائل ریاضیات و فیزیک از جمله برخی انتگرال‌ها مؤثر است. در این دستگاه مختصات، به جای طول و عرض (x,y) یک نقطه (که در دستگاه مختصات دکارتی به کار می‌رود)، فاصلهٔ آن با مرکز و زاویهٔ بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت به خط افقی (r,θ) به عنوان مختصات یک نقطه در نظر گرفته می‌شوند. تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس با استفاده از توابع مثلثاتی انجام می‌شود:
دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی که تعمیم‌یافتهٔ مختصات قطبی در سه‌بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفته‌اند. از این دستگاه‌ها در مسائلی مانند انتگرال‌های سه‌بعدی که دارای تقارن استوانه‌ای یا کروی هستند استفاده می‌شود.
کاربرد > اعداد مختلط

با استفاده از تعریف مختصات قطبی می‌توان اعداد مختلط را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:
که در آن، |z| اندازهٔ بردار z (فاصله از مبدأ)، θ زاویهٔ آن با محور افقی، و i بیانگر یکهٔ موهومی است. افزون بر این، رابطهٔ میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی توسط فرمول اویلر برقرار می‌شود:
که بر پایهٔ آن، توابع سینوس و کسینوس به شکل توابع فرد و زوج متناظر بر حسب تابع نمایی نوشته می‌شوند:
مشاهده می‌شود که می‌توان کسینوس را به عنوان جزء حقیقی و سینوس را به عنوان جزء مجازی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت. به بیان ریاضی:
شکل توسعه‌یافتهٔ فرمول اویلر، به عنوان فرمول دموآور شناخته می‌شود:
همچنین با استفاده از تعریف بسط مکلورن برای توابع هذلولوی و مثلثاتی، می‌توان رابطه‌های زیر را که معادل با رابطه‌های بالا هستند، به دست آورد:
که در آن‌ها i2=−۱. می‌توان توابع سینوس و کسینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:
این اتحاد، رابطهٔ میان توابع سینوس و کسینوس مختلط و توابع حقیقی (سینوس و کسینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی و کسینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان می‌دهد.
کاربرد > نقشه‌برداری

مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری است. زاویه‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتدادیابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند.
برای نمونه، در مثلث‌سازی که یکی از روش‌های قدیمی نقشه‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود. در مثلث‌سازی از قانون کسینوس‌ها و قانون سینوس‌ها برای محاسبهٔ زاویهٔ مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده می‌شود.
پیمایش روشی برای نقشه‌برداری یک محدودهٔ باز یا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها استفاده می‌شود.
کاربرد > ناوبری

از توابع مثلثاتی در زمینه‌های مختلف ناوبری استفاده می‌شود. برای نمونه، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. همچنین این توابع برای تعیین فاصلهٔ میان دو نقطه روی زمین با در نظر گرفتن کرویت زمین به کار می‌روند. رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ این فاصله مورد استفاده قرار می‌گیرد:
که در آن، α۱ و α۲ عرض جغرافیایی دو نقطهٔ مورد نظر و φ اختلاف طول جغرافیایی میان دو نقطه است.
کاربرد > فیزیک نور

بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی در نورشناسی، قانون اسنل است. این قانون که در پدیدهٔ شکست نور به کار می‌رود، رابطهٔ میان زاویهٔ نور در یک محیط و زاویهٔ آن پس از وارد شدن به یک محیط دیگر با ضریب شکست متفاوت را بیان می‌کند:
که در آن، n و 'n ضریب شکست و θ و 'θ زاویهٔ پرتو نور محیط اول و دوم هستند. قانون اسنل، در تعیین زاویهٔ حد شکست و نیز در شکست نور در منشورها و عدسی‌ها به کار می‌رود. مسیر حرکت نور در عبور از یک عدسی با استفاده از قانون اسنل تعیین می‌شود.
افزون بر شکست نور، از توابع مثلثاتی در زمینه‌های دیگری از نورشناسی مانند تحلیل تداخل امواج، قطبیدگی و پراش در دو شکاف استفاده می‌شود.
کاربرد > سری فوریه و تبدیل فوریه

توابع سینوس و کسینوس مانند چندجمله‌ای‌ها متعامد هستند و استقلال خطی دارند. از این رو می‌توان هر تابع (عموماً متناوب) را بر حسب یک سری از این توابع به صورت رابطهٔ زیر نوشت که سری فوریه نامیده می‌شود:
برای توابع فرد، تنها جملات تابع سینوس و برای توابع زوج، تنها جملات تابع کسینوس و ضریب ثابت در نظر گرفته می‌شوند.
تبدیل فوریه، نوعی تبدیل انتگرالی است که شکل توسعه یافتهٔ سری فوریه است. این تبدیل به صورت زیر تعریف می‌شود:
که تابع نمایی با نمای مختلط توسط فرمول اویلر به توابع مثلثاتی تبدیل می‌شود. از تبدیل فوریه در حل معادلات دیفرانسیل جزئی از جمله معادلهٔ موج، تحلیل طیفی و پردازش سیگنال بهره می‌برند.
همچنین در ذخیره‌سازی تصویر با قالب JPEG از تبدیل کسینوس گسسته برای کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده می‌کنند. در این روش، تصویر به بلوک‌هایی با ابعاد یکسان تقسیم می‌شود و در هر بلوک، ضرایب چند جملهٔ نخست تبدیل فوریه (که تعداد جمله‌ها بر پایهٔ دقت تبدیل، انتخاب می‌شود) بر پایهٔ رنگ همهٔ نقطه‌های درون بلوک محاسبه می‌شوند.