تاریخ مثلثات
توسعه > دوران اسلامی

کارهای هندیان، در عصر طلایی اسلام، توسط ریاضی‌دانان مسلمان ترجمه  و گسترش یافتند.
افزون بر کارهای هندیان، مسلمانان با روش‌های یونانی برای استفاده از مثلث‌های کروی، به ویژه روش منلائوس که قضیه منلائوس را برای حل مسائل کروی توسعه داد، آشنا بودند.
آنان مثلثات یونانی را که از وتر دایره استفاده میکرد تغییر دادند و از مثلث محاط استفاده کردند که مثلثات امروزی ما است .
پس از این توسعه در ریاضیات اسلامی، مثلثات به صورت علمی مجزا که به مطالعه مثلث‌های مسطح و کروی و اضلاع و زاویه‌های آن‌ها می‌پردازد، معرفی شد.
برای تعیین روزهای مقدس در تقویم اسلامی که زمان‌بندی آن بر پایه گردش ماه بود، ستاره‌شناسان نخست از روش منلائوس برای محاسبه موقعیت ماه و ستاره‌ها استفاده می‌کردند. در این روش، دو مثلث قائم‌الزاویه متقاطع در نظر گرفته می‌شدند و با اعمال قضیه منلائوس با معلوم بودن پنج ضلع، اندازه ضلع ششم به دست می‌آمد. معلوم شد که این روش، مشکل است. برای برخی محاسبات مانند تعیین زمان از روی ارتفاع خورشید، تکرار چندباره قضیه منلائوس ضروری بود. به همین دلیل، ریاضی دانان مسلمان بر آن شدند که روش مثلثاتی تازه‌ای پیدا کنند.
در سده نهم میلادی، محمد ابن موسی خوارزمی جداول دقیق سینوس و کسینوس و نخستین جدول تانژانت را تهیه کرد. او سهم زیادی نیز در توسعه مثلثات کروی دارد. در ۸۳۰ میلادی، مروزی نخستین جدول کتانژانت را تهیه کرد.
بتانی روابط مثلثاتی که امروزه ما استفاده میکنیم را ابداع کرد وی تابع‌های معکوس تانژانت و کتانژانت را ابداع کرد و نخستین جدول کتانژانت را برای هر درجه از °۱ تا °۹۰ تهیه کرد.
در سده دهم میلادی، هر شش تابع مثلثاتی در کار ابوالوفا بوزجانی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. ابوالوفا جدول‌های سینوس را با گام °۰٫۲۵ با دقت ۸ رقم اعشار و جدول‌های دقیق تانژانت را در اختیار داشت. او رابطه مثلثاتی زیر را نیز ایجاد نمود:
ابوالوفا اتحادهای جمع و تفاضل دو زاویه را نیز با اثبات کاملشان ارائه داد:
او قانون سینوس‌ها را برای مثلثات کروی نیز کشف کرد:
در اواخر سده دهم و اوایل سده یازدهم میلادی، ابن یونس (ستاره‌شناس مصری) محاسبات مثلثاتی دقیق را انجام داد و اتحاد مثلثاتی زیر را به دست آورد:
جیانی در سده یازدهم در آندلس کتاب کمان‌های مجهول کره را نوشت که شامل نخستین برخوردها با مثلثات کروی در شکل نوین آن است. این کتاب شامل رابطه‌هایی برای مثلث‌های قائم‌الزاویه کروی، قانون عمومی سینوس‌ها و حل یک مثلث کروی با استفاده از مثلث‌های قطبی است. این نحوه برخورد او بعداً تأثیر بزرگی در ریاضیات اروپا داشت و به نظر می‌رسد تعریف نسبت‌ها با اعداد و روش حل مثلث کروی هنگامی که همه اضلاع مجهول هستند توسط جیانی تأثیراتی داشته‌اند.
ریاضی‌دانان مسلمان، روش مثلث‌سازی را ایحاد کردند و از آن در کارهای عملی مانند نقشه‌برداری و جغرافیا (که در آغاز سده یازدهم میلادی توسط ابوریحان بیرونی شرح داده شده) استفاده نمودند. بیرونی شیوه‌های مثلث‌سازی برای اندازه‌گیری ابعاد زمین و فاصله میان مکان‌های مختلف را معرفی کرد. در پایان سده یازدهم، عمر خیام معادلات درجه سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. خواجه نصیرالدین طوسی در سده سیزدهم، نخستین کسی بود که مثلثات را به عنوان یک شاخه ریاضیات و مستقل از ستاره‌شناسی در نظر گرفت و مثلثات کروی را به شکل امروزی آن درآورد. او فهرستی از شش حالت مثلث قائم‌الزاویه در مثلثات کروی تهیه کرد و قانون سینوس‌ها را برای مثلث‌های مسطح و کروی بیان نمود، قانون تانژانت‌ها را برای مثلث‌های کروی کشف کرد و اثبات‌هایی برای این دو قانون ارائه کرد.
در سده پانزدهم، غیاث‌الدین جمشید کاشانی نخستین تعریف صریح قانون کسینوس‌ها را به صورتی که برای مثلث‌سازی مناسب باشد، بیان کرد. او سینوس زاویه °۱ را نیز با حل معادله درجه ۳ برحسب زاویه °۳ تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.