چندجمله‌ای رخی
صفحه‌های مستطیل شکل کامل > مسائل رخی

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | a | b | c | d | e | f | g | h |  |
| 8 |  |  |  |  |  |  |  |  | 8 |
| 7 |  |  |  |  |  |  |  |  | 7 |
| 6 |  |  |  |  |  |  |  |  | 6 |
| 5 |  |  |  |  |  |  |  |  | 5 |
| 4 |  |  |  |  |  |  |  |  | 4 |
| 3 |  |  |  |  |  |  |  |  | 3 |
| 2 |  |  |  |  |  |  |  |  | 2 |
| 1 |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |
|  | a | b | c | d | e | f | g | h |  |
شکل ۱: تعداد ماکسیمال رخ‌های غیر تهاجمی بر روی یک صفحه شطرنج ۸×۸ برابر ۸ می‌باشد. رخ‌ها و نقطه‌ها نشان می‌دهند تعداد خانه‌های یک ردیف برای هر رخ بعد از قرار دادن رخ‌های ردیف‌های پایین‌تر کدامند.
پیشگام چندجمله‌ای رخی، مسئله کلاسیک "معمای ۸ رخ (Eight rooks problem)" توسط HE Dudeney می‌باشد، که در آن او با قرار دادن رخ‌ها روی یکی از قطرهای اصلی نشان می‌دهد که حداکثر تعداد رخ‌های غیرتهاجمی روی یک صفحه شطرنج معمولی ۸ است (شکل ۱). سؤالی که مطرح می‌شود این است: "به چند حالت می‌توان هشت رخ را روی صفحه شطرنج ۸ × ۸ قرار داد تا هیچ یک از آنها دیگری را تهدید نکد؟" پاسخ این است: "بدیهی است که در هر ردیف و هر ستون باید یک رخ وجود داشته باشد. با شروع از ردیف پایین، مشخص است که اولین رخ را می‌توان روی هر یک از هشت خانه مختلف قرار داد (شکل ۱). هر جا که قرار داده شود، هفت خانه برای رخ دوم در ردیف دوم وجود دارد. سپس شش خانه برای انتخاب ردیف سوم، پنج خانه برای ردیف چهارم و غیره وجود دارد؛ بنابراین تعداد راه‌های مختلف باید ۸ × ۷ × ۶ × ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۴۰٬۳۲۰ باشد. (یعنی !۸، که "!" فاکتوریل است).
همین نتیجه را می‌توان با روشی کمی متفاوت بدست آورد. بیایید هر رخ را با یک عدد موقعیتی، متناسب با شماره ردیف آن، تطبیق دهیم و همچنین یک نام متناسب با نام ستون آن به آن اختصاص دهیم؛ بنابراین، رخ a1 دارای موقعیت ۱ و نام "a" می‌باشد؛ همچنین رخ b2 دارای موقعیت ۲ و نام "b" می‌باشد و غیره. سپس اجازه دهید رخ‌ها را با توجه به موقعیت آنها به یک لیست مرتب (دنباله) ترتیب دهیم. نمودار در شکل ۱ سپس به دنبالهٔ (a , b، c , d، e , f، g , h) تبدیل می‌شود. قرار دادن هر رخ بر روی ستون دیگری نیاز به جابجایی رخی که تا آن زمان آن ستون دوم را اشغال کرده بود، به ستون اول تخلیه شده‌است. به عنوان مثال، اگر رخ a1 به ستون "b" منتقل شود، رخ b2 باید به ستون "a" منتقل شود، و اکنون آنها رخ b1 و رخ a2 می‌شوند. دنباله جدید تبدیل خواهد شد (b , a، c , d، e , f، g , h). در ترکیبیات، این عملیات را جایگشت می‌نامند و دنباله‌هایی که در نتیجه جایگشت بدست می‌آیند، جایگشت‌های دنباله داده شده هستند. تعداد کل جایگشت‌ها، حاوی ۸ عنصر از دنباله ۸ عنصر، !۸ است (۸ فاکتوریل).
برای ارزیابی تأثیر محدودیت تحمیل شده «رخ‌ها نباید همدیگر را تهدید کنند»، مسئله را بدون چنین محدودیتی در نظر بگیرید. از چند طریق می‌توان هشت رخ را در صفحه شطرنج ۸ × ۸ قرار داد؟ این تعداد کل ترکیب ۸ رخ در ۶۴ خانه خواهد بود:
بنابراین، محدودیت «رخ نباید همدیگر را تهدید کنند» تعداد کل موقعیت‌های مجاز را از ترکیب به جایگشت‌ها کاهش می‌دهد که ضریب حدوداً برابر ۱۰۹٬۷۷۶ است.
تعدادی از مسائل از حوزه‌های مختلف فعالیت‌های انسانی را می‌توان با دادن «فرمول رخی» به مشکل رخ ساده کرد. به عنوان مثال: یک شرکت باید n کارمند در n شغل مختلف استخدام کند و هر شغل باید فقط توسط یک کارمند انجام شود. از چند طریق می‌توان این کار را انجام داد؟
بیایید ما کارمندان را در ردیف‌های یک صفحه شطرنج n×n قرار دهیم، و مشاغل را روی ستون‌ها. اگر کارمند i به شغل j منصوب شود، یک رخ در خانه‌ای قرار می‌گیرد که بر روی ردیف i و ستون j باشد. از آنجا که هر شغل فقط توسط یک کارمند انجام می‌شود و هر کارمند فقط به یک شغل منصوب می‌شود، در نتیجه آرایش n رخ روی تخته، کلیه ستون‌ها و ردیف‌ها فقط شامل یک رخ خواهند بود، یعنی رخ‌ها همدیگر را تهدید نمی‌کنند.