شبکه وارون
توضیحات مبتنی بر موج > شبکه وارون

در کل، یک شبکه هندسی یک آرایه نامتناهی و منظم از راس‌ها (نقاط) در فضا است که می‌تواند به صورت برداری به عنوان شبکه براوه مدل شود. برخی از شبکه‌ها ممکن است کج یا به عبارتی دیگر پیچ خورده باشند، به این معنی که خطوط اولیه آنها ممکن است لزوماً در زاویه درست و ۹۰ درجه خود نباشند. در فضای وارون، یک شبکه وارون به عنوان مجموعه ای از بردارهای موج  \mathbf {k}  تعریف می‌شود. از امواج صفحه در سری فوریه هر تابع  f(\mathbf {r} ) که تناوب آن با یک شبکه مستقیم اولیه در فضای واقعی سازگار است. به همین منوال، یک بردار موج یک راس شبکه وارون است اگر به یک صفحه موج در فضای واقعی که فاز آن در هر زمانی که داده می‌شود برابر باشد (در واقع با  (2\pi )n با یک عدد صحیح  n) در هر رأس شبکه مستقیم.
یک رویکرد ابتکاری برای ساخت شبکه وارون در سه بعد، نوشتن بردار موقعیت یک راس شبکه مستقیم به صورت  \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}{+}n_{2}\mathbf {a} _{2}{+}n_{3}\mathbf {a} _{3}, است که  n_{i} عددهای صحیحی هستند که راس را تعریف می‌کنند و  \mathbf {a} _{i}‌ها بردارهای انتقال اولیه مستقل خطی (یا به اختصار بردارهای اولیه نامیده می‌شوند) هستند که نشانی از شبکه هستند. سپس یک صفحه موج منحصر به فرد (تا یک صفحه منفی ایجاد شود) وجود دارد که جبهه موج آن که مبدأ گذر می‌باشد( \mathbf {R} =0)شامل نقاط شبکه مستقیم در  \mathbf {a} _{2} و  \mathbf {a} _{3}, و جبهه موج مجاور آن (که فاز آن با  2\pi  یا  -2\pi  نسبت به جبهه موجی که از مبدأ می‌گذرد فرق می‌کند) از  \mathbf {a} _{1} عبور می‌کند. بردار موج زاویه ای آن شکل  \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}, می‌گیرد که  \mathbf {e} _{1} بردار واحد عمود بر این دو جبهه موج مجاور است و طول موج  \lambda _{1} است باید در معادله \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1} صدق کند، یعنی که  \lambda _{1} برابر با فاصله بین دو جبهه موج است. از این رو توسط تولید شدنش  \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi  و  \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0. خواهد شد.
با چرخش در میان اندیس‌ها به نوبت، همان راه قبلی، سه بردار موج را تولید خواهد کرد  \mathbf {b} _{j} با  \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}، جایی که دلتای کرونکر  \delta _{ij} برابر یک می‌باشد زمانی که  i=j است، در غیر این صورت صفر است.  \mathbf {b} _{j} شامل مجموعه ای از سه بردار موج اولیه یا سه بردار انتقال اولیه برای شبکه وارون است که هر کدام راس‌هایشان به شکل  \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}{+}m_{2}\mathbf {b} _{2}{+}m_{3}\mathbf {b} _{3}, می‌شود، که  m_{j} اعداد صحیح هستند شبکه وارون نیز یک شبکه براوه است زیرا از ترکیبات صحیح بردارهای اولیه تشکیل می‌شود که در این حالت \mathbf {b} _{1} ،  \mathbf {b} _{2} ، و  \mathbf {b} _{3} می‌باشند. سپس یک محاسبات ساده نشان می‌دهد که برای هر موج صفحه‌ای با بردار موج  \mathbf {G}  در شبکه وارون، تغییر کل فاز  \mathbf {G} \cdot \mathbf {R}  بین مبدأ و هر نقطه  \mathbf {R}  روی شبکه مستقیم ضریبی از  2\pi  است (که ممکت است صفر شود اگر ضریب صفر باشد)، بنابراین فاز صفحه موج با  \mathbf {G}  لزوماً برای هر رأس شبکه مستقیم برابر است، مطابق با تعریف شبکه وارون بالا. (اگرچه هر بردار موجی  \mathbf {G}  در شبکه وارون همیشه این شکل را به خود می‌گیرد، این مشتقات انگیزشی است، نه دقیق، زیرا اثبات این که ممکن است اتفاقات دیگری بیفتد را حذف کرده‌است)
منطقه بریلوین یک سلول ابتدایی (به‌طور خاص یک سلول ویگنر-سایتز) از شبکه وارون است که به دلیل قضیه بلوخ نقش اساسی در فیزیک حالت جامد دارد. در ریاضیات محض، فضای دوگانه اشکال خطی و شبکه دوگانه، تعمیم انتزاعی تری از فضای وارون و شبکه وارون فراهم می‌کند.