امید ریاضی
ویژگی‌ها > نامساوی > تعریف

متغیر تصادفی گسسته، حالت متناهی فرض کنید که متغیر تصادفی  X بتواند مقدار  x_{1} با احتمال  p_{1}، مقدار  x_{2} با احتمال  p_{2}، و غیره تا مقدار  x_{k} با احتمال  p_{k} را بگیرد. پس امید انی متغیر تصادفی  X به صورت زیر تعریف می‌شود:
چون جمع همهٔ احتمالات pi برابر یک است p1 + p2 + … + pk = ۱ (بنابر این می‌توان مقدار مورد انتظار را به صورت میانگین وزن دار به همراه pi’sهایی که وزن هستند دید:
اگر همهٔ جواب‌های xi دارای احتمال یکسان باشند (یعنی p1 = p2 = … = pk), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می‌شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همهٔ مقادیری است که می‌توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب‌های  x_{i} هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب‌های محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می‌ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می‌رود روی میانگین اتفاق بیفتد.
مثال ۱- فرض کنید X جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد.  X تعداد خال‌های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می‌باشد. مقادیر ممکن برای X، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵و۶ (که همگی دارای احتمال برابر ۱/۶ هستند) می‌باشند. امید Xبرابر است با:
اگر تاس n بار پرتاب شود و میانگین نتایج محاسبه شوند پس با افزایش n، میانگین به مقدار مورد انتظار همگرا خواهد بود. به این موضوع قانون قوی مقادیر بزرگ می‌گویند. برای مثال دنبالهٔ ده تاس به صورت ۲, ۳, ۱, ۲, ۵, ۶, ۲, ۲, ۲, ۶ است که میانگین آن‌ها برابر ۳٫۱ با فاصلهٔ ۰٫۴ از مقدار مورد انتظار ۳٫۵ می‌باشند. همگرایی نسبتاً پائین است. احتمالی که میانگین در بین محدودهٔ ۳٫۵ ± ۰٫۱ افت می‌کند برای ده پرتاب ۲۱٫۶٪ و برای هزار پرتاب ۹۳٫۷٪ است. شکل که برای توضیح میانگین‌های دنباله‌های طولانی‌تر پرتاب‌ها نشان داده شده را ببینید و توجه کنید که چطور آن‌ها به مقدار مورد انتظار ۳٫۵ همگرا می‌شوند. عموماً نسبت همگرایی را می‌توان از طریق مثلاً نامساوی چبیشف و نظریهٔ بری-اسن (Berry-Esseen theorem) به سختی کمی کرد.
مثال ۲- بازی رولت شامل یک توپ کوچک و یک چرخ با ۳۸ پاکت شماره گذاری شده در اطراف لبهٔ آن است. همان‌طور که این چرخ می‌چرخد، توپ به‌طور تصادفی به چرخش در می‌آید تا در یکی از این پاکت‌ها متوقف شود. فرض کنید متغیر تصادفی X جواب یک شرط‌بندی ۱دلاری (شرط مستقیم) رانشان دهد. اگر این شرط برنده شود (که با احتمال ۱/۳۸ اتفاق می‌افتد)، حاصل ۳۵ دلار می‌شود. در غیر اینصورت بازیکن شرط را می‌بازد. سود مورد انتظار از این چنین شرطی به صورت زیر خواهد بود:
متغیر تصادفی گسسته، حالت قابل شمارش فرض کنیدXیک متغیر تصادفی گسسته‌ای باشد که مقادیر x
1, x
۲, … به ترتیب با احتمالات، p
1, p
۲, … را در خود می‌گیرد. پس مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی جمع متناهی زیر می‌باشد:
مشروط بر اینکه این سری مطلقاً همگرا است (که این جمع باید در صورتی متناهی باشد که ما همهٔ x
i's را با مقادیر قدرمطلقشان جایگزین کنیم). اگر این سری مطلقاً همگرا نباشد می گوئیم که مقدار مورد انتظار X وجود ندارد.
برای مثال فرض کنید که متغیر تصادفی X شامل مقادیر ۱, −۲, ۳, −۴, … به ترتیب با احتمالات c/12, c/22, c/32, c/42, … ,باشد که c = 6/π2 یک ثابت نرمال‌ساز است که مطمئن می‌سازد که مجموع احتمالات برابر یک است. پس جمع متناهی زیر همگرا است و جمعش برابر ln(2) ≃ ۰٫۶۹۳۱۵. می‌باشد:
با این حال صحیح نیست که ادعا کنیم مقدار مورد انتظار X با این مقدار برابر است در حقیقت E[X] وجود ندارد جون این سری مطلقاً همگرا نیست (سری‌های هارمونیک را ببینید).