رفتار حرارتی اسپیندل
تحلیل خمش گرمایی

۲٫۱. تغییر شکل گرمایی المان تیر
تغییر شکل گرمایی تئوریکی یک المان تیر نمونه در ابتدا مورد نظر قرار می‌گیرد. تغییر شکل گرمایی خطی در سازه در رابطهٔ ۱۸ بیان شده‌است و مستقل از سطح مقطع یا مدول الاستیسیته است.
ey = α ∫Tdy (18)
که ey خطای حرارتی در راستای Y، α ضریب پخشندگی گرمایی و T دما است.
این معادله برای تحلیل خمش گرمایی در معادلهٔ ۱۹ استفاده شده‌است، وقتی فقط بار گرمایی داریم:
d2e z/dy2 = de θ/ds = -α/I ∫∫ ZTdxdz (19)
که S محور عمودی و I ممان اینرسی است.
شکل ۱۵
حل معادلهٔ ۱۹ برای تیر یک سر گیردار، اگر دما در راستای Z به صورت خطی تغییر کند به صورت معادلهٔ ۲۰ و ۲۱ است:
ez = -۱/۲ αk y2 (20)
eθ = -αky (21)
که k گرادیان دما dT/dZ است. خمش گرمایی را نمی‌توان با تنش مکانیکی شرح داد و این خمش با افزایش سفتی سازه‌ای با استفاده از ممان اینرسی دوم سطح مقطع از بین نمی‌رود. به علاوه، همان‌طور که در شکل 16-b نشان داده می‌شود، اگر گرادیان دمای k در سازه تغییر کند، خیز گرمایی نیز مورد انتظارخواهد بود. هرچند، این حل در اینجا مورد نظر نیست. چون اثر آن در مورد ماشین ابزار کوچک است. گرادیان گرمایی همچنین روی انبساط در راستای Y مانند خمش گرمایی به‌طور مستقل تأثیر می‌گذارد. رابطه در معادلهٔ ۲۲ نشان داده می‌شود.
ey = eN – Z(dez/dy) (22)
که eN انبساط در راستای عمودی معادلهٔ ۱۸ است. قبل از اعمال حل تحلیلی روی دیوارهٔ توخالی با ضخامت 20 mm یا کمتر، یک روش المان محدود روی سازه مانند جدول ۱ اعمال می‌شود. نتیجه کاملاً مطابق با تفاضل دمای ۱۰ °C است.
۲٫۲. تحلیل یک ماشین ابزار آزمایشی
بدنهٔ کلگی شکل 11-b مانند شکل ۱۷ مدل می‌شود که در آن سیستم کشیده شده و تحت خمش گرمایی تحت اثرات گرمایی قرار می‌گیرد. یک ستون از مدل حذف شده چون یک تغییر دمای کوچک و محدود روی حالت گذرا با تغییر دمای ناگهانی اثر می‌گذارد. همان‌طور که در شکل ۱۷ نشان داده شده، اسپیندل (طول مرجع L1 است) بینP1 و P0 مدل شده چون المان تیر خمش گرمایی تحت تأثیر یک گرادیان دما است.
نقطهٔ P0 محل تقاطع بین کروشهٔ بدنهٔ کلگی است. تا به پیچ و مهره و مسیر راهنمای ستون متصل شود. با استفاده از این نقطه به عنوان مرجع، جابجایی گرمایی انتهای ابزار می‌تواند در راستای Y و Z توصیف شود. همان‌طور که قبلاً شرح داده شد، خمش گرمایی اجزای خطا را می‌دهد. کشیده شدن نقطهٔ P1 از e y,1 تغییر شکل e Z,1 به علت خمش، و یک تغییر زاویه‌ای eθ,۱ در نقاط P3 و P2.
شکل ۱۶
بدنهٔ کلگی بین P1 و P2 (طول مرجع L2 است) انبساط خطی دارد و مانند e2 مدل‌سازی می‌شود. نقطهٔ P2 در نقطهٔ مرجع مونتاژ بین بدنهٔ کلگی و اسپیندل اصلی است. اسپیندل اصلی (طول مرجع L3 است) بین نقاط P2 و P3 است؛ و مثل جزء e3 کشیده می‌شود. از شکل ۱۷ خطای گرمایی آن نقطه به شرح زیر است:
y1 (t) = L1 + ey,1 (t) (23)
Z1 (t) = eZ,1 (t) (24)
شکل ۱۷
با جاگذاری معادلهٔ ۲۰ و ۲۱ در معادلهٔ ۲۴ معادلهٔ ۲۵ به دست می‌آید:
Z1 (t) = eZ,1 (t) =1/2 L1eθ,1 (25)
خطای تغییر شکل گرمایی نقاط P2 و P3 به ترتیب با نقاط P1 و P2 به صورت زیر به دست می‌آیند:
Y2,1 (t) = {L2 + e2 (t)}* eθ,1 (t) (۲۶)
Z 2,1 (t) = L 2 + e 2 (t) (27)
y 3,2 (t) = {L 3 + e 3 (t)}* eθ,1 (28)
Z 3,2 (t) = L 3 + e 3 (t) (29)
با استفاده از روابط فوق، موقعیت با توجه به مبدأ مختصات تحت تأثیرات گرمایی تغییر می‌کند:
Z 3 (t) = L 2 + L 3 + δ Z,3 = L 2 + L 3 + {e Z,1 (t) + e 2 (t) + e 3 (t)} (31)
y 3 (t) = L 1 + δ y3 = L 1 + {e y,1 (t) + (L 2 + L 3)* eθ,1 (t)} (۳۰)
که در آن‌ها δ خطای گرمایی کل است.
با توجه به معادلات ۳۰ و ۳۱، e Z,1 همچنین وابسته به eθ,۱ است. مانند معادلهٔ ۲۵.
بنابراین، تغییر زاویه به علت خمش گرمایی می‌تواند خطای موقعیتی انتهای ابزار را با یک افزایش طول L1 و
L2 و L3 بزرگ کند. به علاوه، اجزای گرمای خطی e y,1، e 2، e 3 توسط افزایش طول در معادلهٔ ۱۸ تحت تأثیر قرار می‌گیرند. در این مورد، قدرتمندی گرمایی همان‌طور که در شکل ۱۸ نشان داه شده فرض می‌شود. در مورد سیستم گرمایی قوی خروجی تغییر شکل گرمایی به تغییرات ورودی گرمایی حساس نیست.
بنابراین خطای گرمایی در این مورد محدود است. همان‌طور که در معادلات ۳۰ و ۳۱ اشاره شده، این خطا به افزایش طول وابسته است و اگر افزایش طول کم باشد خطا بزرگ نخواهد بود. هرچند به علت حساسیت بالای آن به دما، تغییر شکل گرمایی بزرگ است، حتی اگر تغییر دما کوچک باشد؛ بنابراین، قدرتمندی گرمایی در طی طراحی فرض مهمی است.
Table 1
Calculation results
Analytical FEM
-۶۷ µm
ez -69 µm 219 µrad
eq 209 µrad
Model (L660 mm)