معادله دیفرانسیل معمولی
خلاصه‌ای از روش‌های حل برخی از معادلات

برخی از معادلات دیفرانسیل جواب‌های بسته و دقیق دارند. چند دسته از این معادلات در این بخش معرفی می‌شوند. در جدول زیر P، Q، M و N توابعی انتگرال‌پذیر از x و y هستند. b و c ثوابتی معلوم و حقیقی و C1، C2 و ... ثوابتی اختیاری و در حالت کلی مختلط هستند.

در راه‌حل‌های انتگرالی λ و ε متغیرهای اختیاری انتگرال‌گیری هستند و عبارت xF(λ)dλ∫ به معنای انتگرال‌گیری از تابع ‎F(λ)‎ نسبت به متغیر λ است و پس از انتگرال‌گیری می‌توان به جای λ، از متغیر x استفاده کرد.
| معادلهٔ دیفرانسیل> معادلات قابل تفکیک | روش حل> معادلات قابل تفکیک | پاسخ کلی> معادلات قابل تفکیک |
| --- | --- | --- |
| مرتبهٔ اول (جداپذیر نسبت به x و y)   P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!  P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy=0\,\! | جداسازی متغیرها(تقسیم کردن طرفین بر P2Q1). |  \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C\,\! |
| مرتبهٔ اول، جداپذیر نسبت به x  {\frac {dy}{dx}}=F(x)\,\!  dy=F(x)\,dx\,\! | انتگرال‌گیری مستقیم |  y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C\,\! |
| مرتبه اول، خودگردان و جداپذیر نسبت به y  {\frac {dy}{dx}}=F(y)\,\!  dy=F(y)\,dx\,\! | جداسازی متغیرها ( تقسیم کردن بر F) |  x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C\,\! |
| مرتبه اول، جداپذیر نسبت به x و y  P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)=0\,\!  P(y)\,dy+Q(x)\,dx=0\,\! | انتگرال‌گیری سراسری |  \int ^{y}P(\lambda )\,{d\lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C\,\! |
معادلات مرتبهٔ اول عمومی: معادلات مرتبهٔ اول عمومی
| مرتبه اول، همگن   {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\! | قرار دادن y = uxو سپس حل کردن با جداسازی متغیرها نسبت به u و x |  \ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\! |
| مرتبهٔ اول، قابل جداسازی   yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!  yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\! | جداسازی متغیرها (تقسیم کردن بر xy) |   \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\! اگر N = M، آن‌گاه پاسخ برابر با xy = C است. |
| معادلهٔ کامل، مرتبهٔ اول   M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!  M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\! که در آن  {\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\! | انتگرال‌گیری سراسری |  {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\! که در آن ‎Y(y)‎ و ‎X(x)‎ توابعی از انتگرال‌ها هستند (نه مقادیر ثابت) که به گونه‌ای تعیین می‌شوند تا تابع نهایی ‎n F(x, y)‎ معادلهٔ اولیه را ارضا کند. |
| معادلهٔ غیرکامل، مرتبهٔ اول   M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!  M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\! که در آن  {\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\! | عامل انتگرال‌گیری ‎μ(x, y)‎ که رابطهٔ زیر را برآورده کند:   {\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\! | اگر ‎μ(x, y)‎ پیدا شود:   {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\! |
معادلات عمومی مرتبهٔ دوم: معادلات عمومی مرتبهٔ دوم
| مرتبه دوم، خودگردان  {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\! | معادله را در 2dy/dx ضرب کنید، عبارت زیر را جایگزین کنید:  2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,\! سپس دو بار انتگرال بگیرید. |  x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,d\epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\! |
معادلات خطی تا درجهٔ nام: معادلات خطی تا درجهٔ nام
| مرتبهٔ اول، ناهمگن، خطی با ضرایب تابعی   {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\! | عامل انتگرال‌گیری:  e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda } |  y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,d\epsilon }Q(\lambda )\,{d\lambda }+C\right] |
| مرتبهٔ دوم، خطی، ناهمگن، ضرایب ثابت  {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)\,\! | پاسخ عمومی: با حل معادلهٔ مشخصه به دست می‌آید.  پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادلهٔ دیفرانسیل به دست می‌آید. |  y=y_{c}+y_{p} اگر b2> 4c, آن‌گاه:  y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\! اگر b2 = 4c، آن‌گاه:  y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-bx/2}\,\! اگر b2 <4c، آن‌گاه:  y_{c}=e^{-b{\frac {x}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\! |
| درجهٔ nام، خطی، ناهمگن با ضرایب ثابت   \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\! | تایع مکمل yc: فرض کنید yc = eαx، با جایگزین و حل کردن چندجمله‌ای نسبت به α توابع ناوابستهٔ خطی  e^{\alpha _{j}x} را پیدا کنید.  پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادلهٔ دیفرانسیل به دست می‌آید. |  y=y_{c}+y_{p} از آن‌جا که αj جواب‌های یک چندجمله‌ای از درجهٔ n است،  \prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!، پس:  برای αj های متمایز:  y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\! برای هر ریشهٔ αj که kj بار تکرار شده‌است:  y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\! |