چگالی طیفی
تعریف > چگالی طیف توانی

تعریف بالا برای چگالی طیف انرژی، برای حالت گذرا (سیگنال‌های مشابه پالس) مناسب است، که در آن انرژی در حول یک پنجره زمانی متمرکز شده‌است؛ در آنصورت تبدیل‌های فوریه برای سیگنال‌ها معمولاً وجود دارد. برای سیگنال‌های پیوسته روی همه زمان، به صورت جایگزین باید چگالی طیفی توان (PSD) را تعریف کرد، که این تعریف برای فرایندهای مانا وجود دارد؛ این موضوع توصیف می‌کند که چگونه توان یک سیگنال یا سری زمانی روی فرکانس توزیع شده‌است، مثل مثال ساده‌ای که در قبل داشتیم. در اینجا، توان می‌تواند توان فیزیکی واقعی باشد، یا به صورت معمول‌تر، برای سادگی با سیگنال‌های انتزاعی، به سادگی توسط مقدار مجذور سیگنال شناسایی شود. برای مثال، آماردانان واریانس یک تابع را روی زمان (یا روی متغیر مستقل دیگر)  x(t) مطالعه می‌کنند، و به کمک قیاس با سیگنال‌های الکتریکی (از میان دیگر فرایندهای فیزیکی)، معمول است که به آن طیف توانی بگوییم، حتی وقتیکه هیچ توان فیزیکی درگیر نیست. اگر کسی بخواهد یک منبع ولتاژ فیزیکی را که از  x(t) پیروی می‌کند بسازد، و آن را به پایانه‌های یک مقاومت ۱ اهمی اعمال کند، آنوقت توان آنی هدر رفته در آن مقاومت به اندازه  x(t)^{2} وات است.
توان میانگین  P از یک سیگنال  x(t) در تمام زمان از این رو توسط این میانگین زمانی به دست می‌آید، که در آن دوره  T در یک زمان اختیاری  t=t_{0} مرکزدهی شده‌است:
با این حال، به خاطر تعامل با ریاضیاتی که در ادامه می‌آید، ساده‌تر است که با حدود زمانی موجود در خود سیگنال به جای حدود زمانی موجود در مرزهای انتگرال سروکار داشته باشیم. از این رو، ما یک نمایش جایگزین برای توان میانگین داریم که در آن  x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t) و  w_{T}(t) در یک دوره اختیاری یک و در بقیه محل‌ها صفر اند.
به صورت واضح، در حالاتی که عبارت بالا برای P غیرصفر است (حتی وقتیکه T به صورت بدون مرز افزایش می‌یابد) خود انتگرال هم باید بدون مرز افزایش بیابد. این همان دلیلی است که ما نمی‌توانیم از خود چگالی طیف انرژی استفاده کنیم، زیرا انتگرال را در این حالات واگرا می‌کند.
در تحلیل محتوای فرکانس سیگنال  x(t)، ممکن است بخواهیم تبدیل فوریه معمول  {\hat {x}}(f) را محاسبه کنیم؛ با این حال، برای بسیاری از سیگنال‌های مورد علاقه تبدیل فوریه به صورت صوری موجود نیست. صرفنظر از این موضوع، قضیه پارساول به ما می‌گوید که ما می‌توانیم توان میانگین را به این صورت بازنویسی کنیم:
آنوقت چگالی طیف توان به صورت ساده به صورت زیرانتگرال بالا تعریف می‌شود.
از اینجا ما می‌توانیم  |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2} را به صورت تبدیل فوریه از هم‌گشت زمانی  x_{T}^{*}(-t) و  x_{T}(t) ببنیم:
اکنون، ما همگشت زمانی بالا را بر دوره  T تقسیم می‌کنیم، و سپس حد  T\rightarrow \infty  را می‌گیریم، این تبدیل به تابع خودهمبستگی برای سیگنال فاقد-پنجره  x(t) می‌شود، که توسط  R_{xx}(\tau ) نشان داده می‌شود، با این شرط که  x(t) ارگادیک باشد، که این موضوع در بیشتر، اما نه همه، حالات عملی درست است.
از اینجا، ما می‌بینیم که دوباره با فرض ارگادیک بودن  x(t)، «چگالی طیفی توان» به صورت «تبدیل فوریه تابع خودهمبستگی» به دست می‌آید (قضیه وینر-خینشین).
بیشتر نویسنده‌ها از این معادله برای تعریف واقعی چگالی طیفی توان استفاده می‌کنند.
توان سیگنال در یک باند فرکانسی معین  [f_{1},f_{2}] که در آن،  0<f_{1}<f_{2} توسط انتگرال‌گیری روی فرکانس محاسبه می‌شود. به این دلیل که  S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)، یک مقدار برابر از توان را می‌توان به باندهای فرکانسی مثبت و منفی منتسب کرد، که به دلیل فاکتور ۲ در حالتی که در ادامه است محسوب می‌شود (چنین فاکتورهای بدیهی بستگی به رسوم استفاده شده دارند):
به صورت معمول‌تر، فنون مشابهی را می‌توان برای تخمین چگالی طیفی در زمان-متغیر استفاده کرد. در این حالت، بازه زمانی  T محدود است به جای آنکه به سمت بی‌نهایت میل کند. این منجر به پوشش و رزلوشن طیفی کمتری می‌شود زیرا فرکانس‌های کمتر از  1/T نمونه برداری نمی‌شوند، و منجر به فرکانس‌هایی می‌شوند که یک ضرب عدد صحیح از  1/T مستقل نیستند. فقط به کمک چنین سری زمانی منفردی، طیف توانی تخمین‌زده‌شده بسیار «نویزدار» خواهد بود؛ با این حال، این موضوع اگر بتوانیم مقدار انتظاری را (در معادله بالا) ارزیابی کنیم، این خطاها تسکین می‌یابد، که در این حالت باید از تعداد بزرگی (یا تعداد بی‌نهایتی) از طیف‌های با زمان-اندک متناظر با آنسامبل آماری که از تحقق‌های  x(t) که روی پنجره زمانی معین، ارزیابی شده‌اند، استفاده کرد.
درست مثل چگالی طیفی انرژی، تعریف چگالی طیفی توانی را نیز می‌توان به متغیرهای زمان گسسته  x_{n} تعمیم داد. مثل قبل، ما یک پنجره  -N\leq n\leq N را با سیگنال نمونه‌برداری شده در زمان‌های گسسته  x_{n}=x_{0}+(n\Delta t) برای دوره اندازه‌گیری کلی  T=(2N+1)\Delta t در نظر می‌گیریم.
توجه کنید که یک تخمین منفرد از PSD از طریق یک تعداد محدود نمونه‌برداری قابل دستیابی است. مثل قبل، PSD واقعی موقعی به دست می‌آید که  N (و از این رو  T) به سمت بی‌نهایت میل کند، و مقدار انتظاری به صورت صوری اعمال شود. در یک کاربرد جهان واقعی، می‌توان معمولاً PSD های محدود اندازه‌گیری شده را روی چندین سعی میانگین‌گیری می‌کنیم، تا به یک تخمین دقیق تر از PSD نظری از فرایند فیزیکی زیربنای اندازه‌گیری‌های منفرد برسیم. به این PSD محاسبه‌شده گاهی دوره‌سنج (periodogram) گفته می‌شود. این دوره‌سنج موقعی به PSD درست همگرا می‌شود که تعداد تخمین‌ها و همچنین بازه زمانی میانگین  T به سمت بی‌نهایت میل کند (Brown & Hwang).
اگر دو سیگنال هر دو چگالی طیفی توانی را داشته باشند، آنوقت میان-چگالی طیف را به صورت مشابه می‌توان محاسبه کرد؛ همان‌طور که PSD با خودهمبستگی مرتبط است، چگالی طیف-میانی هم با میان-همبستگی مرتبط است.