گئورگ کانتور
دستاورد ریاضی

کارهای علمی کانتور بین سال‌های ۱۸۷۴ تا ۱۸۸۴، شالودهٔ نظریه مجموعه‌ها را ریخت. تا پیش از آن، مفهوم مجموعه بیشتر یک مفهوم ابتدایی بود که از زمان آغاز ریاضیات و از زمان ایده‌های ارسطو، به‌طور ضمنی همواره مورد استفاده قرار می‌گرفت. اما هیچ‌کس به‌این فکر نیفتاده بود که نظریه مجموعه‌ها، می‌تواند دارای محتوایی باارزش باشد. تا پیش از کانتور، تنها مجموعه‌های متناهی (که درک آن‌ها بسیار ساده است) وجود داشتند و تنها یک بی‌نهایت وجود داشت که بیشتر یک موضوع بحث فلسفی بود و نه ریاضی. کانتور با اثبات این‌که مجموعه‌های بی‌نهایت با اندازه‌های بسیار گوناگونی می‌توانند وجود داشته باشند، نشان داد که نظریه مجموعه‌ها موضوع کم‌اهمیتی نیست و نیازمند مطالعه جدی است. در ریاضیات مدرن، نظریه مجموعه‌ها نقشی بنیادین بازی می‌کند، به‌این ترتیب که این نظریه حکم‌های موجود دربارهٔ اشیاء ریاضی (همچون اعداد و نگاشت‌ها) از تمام زمینه‌های سنتی ریاضیات مانند جبر، آنالیز و توپولوژی را در زیر یک سقف گرد هم می‌آورد، و با استفاده از مجموعه‌ای از اصول موضوع، به اثبات درستی یا نادرستی آن‌ها می‌پردازد. مفاهیم پایه‌ای نظریه مجموعه‌ها اکنون در سرتاسر ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرند.
کانتور در یکی از نخستین مقاله‌هایش ثابت کرد که مجموعه اعداد حقیقی «پرشمارتر» از مجموعه اعداد طبیعی است و این نخستین بار بود که نشان می‌داد بی‌نهایت مجموعه با اندازه‌های گوناگون وجود دارند. وی همچنین نخستین کسی بود که به اهمیت تناظر یک به یک در نظریه مجموعه‌ها پی برد. او از این مفهوم برای تعریف مجموعه‌های متناهی و نامتناهی استفاده، و مجموعه‌های اخیر را به دو بخش شمارای نامتناهی و ناشمارای نامتناهی تقسیم کرد.
کانتور در توپولوژی نیز مفاهیم مهمی را معرفی کرد و ارتباط آن‌ها را با عدد اصلی نشان داد. برای مثال، او نشان داد با این‌که مجموعهٔ کانتور یک مجموعهٔ هیچ‌جاچگال است، اما عدد اصلی آن با عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی برابر است، درحالی‌که اعداد گویا همه‌جاچگال اما شمارا هستند.
کانتور ساختمان‌های مهمی را در نظریه مجموعه‌ها معرفی کرد که از آن جمله می‌توان به مجموعهٔ توانی مجموعهٔ مفروض  A اشاره کرد که عبارت است از مجموعهٔ همهٔ زیرمجموعه‌های  A. او بعداً ثابت کرد که اندازهٔ مجموعهٔ توانی  A اکیداً بزرگتر از اندازهٔ خود مجموعهٔ  A است و این حکم حتی در مورد مجموعه‌های نامتناهی نیز برقرار است. این نتیجه خیلی زود به قضیهٔ کانتور معروف شد. کانتور همچنین به شرح و بسط کامل نظریه و حساب مجموعه‌هایی نامتناهی با نام اعداد اصلی و اعداد ترتیبی پرداخت. این حساب، تعمیمی از حساب معمول اعداد طبیعی بود. نمادگذاری او برای اعداد اصلی، حرف عبری  \aleph  (الف) بود همراه با یک عدد طبیعی به‌صورت زیرنویس. برای اعداد ترتیبی نیز او حرف یونانی  \omega  (امگا) را به‌کار گرفت. این نمادگذاری امروزه نیز مورد استفادهٔ ریاضی‌دانان است.
فرضیهٔ پیوستار نیز، که توسط کانتور معرفی شد، نخستین مسئله از فهرست بیست و سه مسئلهٔ حل نشده در ریاضیات بود که داوید هیلبرت در کنگرهٔ بین‌المللی ریاضی‌دانان که در سال ۱۹۰۰ در پاریس برگزار شد، مطرح کرد. دستاورد کانتور، توجه افراد دیگری را نیز، گذشته از هیلبرت، به‌سوی خود جلب کرد. چارلز سندرز پرس، فیلسوف آمریکایی، نظریه مجموعه‌های کانتور را مورد تحسین قرار داد، و نیز پس از سخنرانی کانتور در نخستین کنگرهٔ بین‌المللی ریاضی‌دانان که در سال ۱۸۹۷ در شهر زوریخ برگزار شد، هورویتز و هادامارد، هر دو نظریه‌های کانتور را تحسین کردند. در همان کنگره، کانتور به تجدید دوستی با ددکیند پرداخت و به مکاتبات خود با وی ادامه داد. از سال ۱۹۰۵، کانتور با دوست انگلیسی خود فیلیپ جوردین در مورد تاریخچهٔ نظریه مجموعه‌ها و عقاید مذهبی خود به مکاتبه پرداخت و حاصل مکاتبات وی بعدها، همچون دیگر نوشته‌های او، به چاپ رسید.