پارادوکس‌های زنون
انتقادها

برخی معتقدند زنون با طرح این پارادوکس‌ها، در تلاش برای قانع کردن ما بوده که حرکت غیرممکن است؛ یعنی ما باید این نتیجهٔ ظاهراً بی‌معنی را بپذیریم که هرگز نمی‌توانیم از نقطهٔ A تکان بخوریم، زیرا اصلاً حرکت وجود ندارد. پارمنیدس قبلاً تلاش کرده بود ما را دراین باره قانع کند و پارادوکس‌های زنون دربارهٔ حرکت را اغلب ادامهٔ آن تلاش‌ها برای رسیدن به همان نتیجه تلقی می‌کنند.
اما حتی اگر زنون از طرح این پارادوکس‌ها چنین هدفی را دنبال می‌کرده، باید گفت که خود آن‌ها ساختار برهان خلف را ندارند. در برهان خلف به جای آن که فرضیه‌ها را بپذیریم و نتیجه را کاملاً قبول کنیم، باید ناچار شویم نتیجهٔ بی‌معنی را رد کنیم و بنابراین در درستی قضیه‌هایی که این نتیجه از آن‌ها قرار گرفته شده‌است تردید کنیم. فرض کنید ما نتیجهٔ بی‌معنی آن‌ها را راحت قبول نکنیم. فرض کنید بگوئیم این که آشیل هرگز از لاک پشت جلو نمی‌زند و این که دونده هرگز به نقطهٔ پایان مسابقه نمی‌رسد نمی‌توانند صادق باشند. آن وقت چه می‌شود؟ در آن صورت باید فرضی را که استدلال را به آن نتیجه رسانده رد کنیم. برخی صاحب نظران معتقدند که هدف او تقسیم نامتناهی زمان و مکان بوده‌است. ما می‌توانیم کاملاً مطمئن باشیم که زنون مایل بود ثابت کند که کثرت غیرممکن است؛ او به پیروی از پارمنیدس معتقد بود که ممکن نیست بیش از یک چیز در جهان وجود داشته باشد. او در این دو پارادوکس نتیجه‌ای عجیب را خلق می‌کند، به این ترتیب که این تصور را القا می‌کند که هر چقدر هم بخشی از زمان یا مکان مفروض شما کوچک باشد، همیشه می‌توانید آن را به بخش‌های کوچک‌تری تقسیم کنید. دونده هر قدر هم به پایان مسابقه نزدیک شود، همواره نیمی دیگر از مسافت باقی است که باید طی شود و آن نیم دیگر را هم می‌توان به دو نیم دیگر تقسیم کرد، الی آخر. از آن جا که این زنجیرهٔ تقسیم‌ها، یعنی به دو نیمه تقسیم کرد، الی آخر.
این نتیجه صادق است و از این قضیه استنتاج می‌شود که مکان‌ها را پیوسته فرض کنیم که به لحاظ نظری تا بینهایت تقسیم‌پذیر است. امروزه ما عموماً معتقدیم مکان (به لحاظ ریاضی) حالت پیوسته دارد، اگر چه به لحاظ فیزیکی نمی‌توان خطوط یا نقاطی را [تا بی‌نهایت] رسم کرد که آن خطوط یا نقاط با هم تداخل نداشته باشند. در نظریهٔ ریاضی هیچ حدی برای تقسیم کردن پاره خط وجود ندارد. همین فرض است که سبب این تصور می‌شود که به پایان رساندن مسیر مسابقه ناممکن است؛ زیرا هیچ مرحلهٔ آخری وجود ندارد. پس شاید زنون می‌خواسته ما به این نتیجه برسیم که تقسیم‌های بی‌نهایتِ مکان ناممکن است. مخالفان از زمان ارسطو به بعد غالباً خاطرنشان کرده‌اند که با پذیرفتن این که زمان هم دقیقاً مانند مکان تا بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است، می‌توان پارادوکس آشیل را حل کرد. اما پارادوکس دوم نشان می‌دهد که پاسخ به این سادگی‌ها نیست؛ زیرا در پارادوکس دوم ما فرض می‌کنیم که زمان، مانند مکان، تا بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است و اصلاً با این فرض است که پارادوکس ادامه می‌یابد. هر چقدر هم‌زمان کوتاهی طول بکشد که آشیل فاصلهٔ میان خودش و لاک‌پشت را طی کند، آن زمانِ کوتاه باز بخشی از زمان است و آنقدر هست که لاک‌پشت از جای قبلی خود جنبیده باشد. در هیچ نقطه‌ای زمان تمام نمی‌شود: ما همیشه می‌توانیم آن را به زمان‌های کوتاه‌تر تقسیم کنیم و بفهمیم که لاک‌پشت وقت دارد که دوباره جلو بیفتد. به این ترتیب منطقی است که پارادوکس اول و دوم را یک جفت استدلال ببینیم که اولی ساده‌تر و دومی پیچیده‌تر است، اما بی‌معنایی هر دو ناشی از تقسیم بی‌نهایتِ زمان و مکان است.
در پارادوکس اول هر چقدر هم به فاصله‌های ریزتر تقسیم شود، فاصله‌ای متناهی باقی می‌ماند و می‌توان آن را در زمانی متناهی طی کرد؛ زیرا دونده، در زنجیرهٔ فاصله‌های کاهش یابنده، هر پاره‌ای از مسافت را در زمان کوتاه‌تری نسبت به پارهٔ بزرگ‌تر قبلی طی می‌کند، و همین‌طور که مسافت‌ها کوچک و کوچک‌تر می‌شوند تا این که محو شوند، زمان لازم برای پیمودن آن‌ها نیز کوچک و کوچک‌تر می‌شود تا این که محو شود؛ در هر دو مورد جمع کل مجموعهٔ اجزاء، اگر آن‌ها را با هم جمع کنیم، برابر همان مسافت و زمان می‌شود که ما پیش از انجام عملِ تقسیم داشتیم. در ریاضیات تکنیک‌هایی برای محاسبهٔ مجموع یک زنجیرهٔ نامتناهی وجود دارد، اما ساده‌ترین برهان این است که خیلی راحت مسئله را در مکان تصویر کنیم.
ریاضی‌دانان ممکن است بگویند پارادوکس‌های زنون فقط به این سبب ادامه می‌یابند که او برخی حقایق روشن ریاضی را متوجه نشده‌است و بنابراین اصلاً لازم نیست فرضی را که زنون امیدوار بود هدف تجدید نظر ما باشد هدف قرار دهیم. بنیان پارادوکس زنون بر تقسیم مداوم به تکه‌های کوچک و کوچک‌تر است؛ تقسیم کردنی که در محدودهٔ بخشی متناهی از زمان و مکان، میان لحظهٔ شروع مسابقه و لحظه‌ای که آشیل به لاک‌پشت می‌رسد - درست پیش از آن که از او جلو بزند - انجام می‌شود. در انتهای آن بخش از مسابقه به هر حال نقطهٔ عبوری وجود دارد و می‌توانیم محاسبه کنیم که آن نقطه کِی پدیدار می‌شود.
ریاضیات می‌تواند با ارائۀ برهان‌هایی اثبات کند که انواع خاصی از زنجیره‌های نامتناهی که به صفر میل می‌کنند دارای مجموع متناهی‌اند و مبنای پارادوکس زنون چنین زنجیره‌هایی است. از آنجا که مجموع اجزا متناهی و سرعت پیش روی ثابت است، زمانی که برای انجام این کار طول می‌کشد باید متناهی باشد. به این ترتیب پارادوکس‌ها حل می‌شوند. بنیان پارادوکس زنون بر تقسیم مداوم به تکه‌های کوچک و کوچک‌تر است؛ تقسیم کردنی که در محدودهٔ بخشی متناهی از زمان و مکان، میان لحظهٔ شروع مسابقه و لحظه‌ای که آشیل به لاک‌پشت می‌رسد - درست پیش از آن که از او جلو بزند - انجام می‌شود. در انتهای آن بخش از مسابقه به هر حال نقطه‌ای عبوری وجود دارد و می‌توانیم محاسبه کنیم که آن نقطه کی پدیدار می‌شود.
پس ریاضیات می‌تواند با ارائه برهان‌هایی اثبات کند که انواع خاصی از زنجیره‌های نامتناهی که به صفر میل می‌کنند دارای مجموع متناهی‌اند و مبنای پارادوکس زنون چنین زنجیره‌هایی است. از آن جا که مجموع اجزا متناهی و سرعت پیش روی ثابت است، زمانی که برای انجام این کار طول می‌کشد باید متناهی باشد. به این ترتیب پارادوکس‌ها حل می‌شوند.
در پارادوکسی که برای اندازه‌گیری حرکت پیکان می‌باشد، باید ببینیم آیا در مجاورت چیزی به اندازهٔ خودش هست یا نه، اما جایی را که پیکان در فضا اشغال می‌کند نمی‌توان معیاری برای نشان دادن نمودار حرکت آن در نظر گرفته شود، زیرا پیکان همواره جایی به اندازهٔ خودش اشغال می‌کند. پیکان هرگز از جای خودش فراتر نمی‌رود و بنابراین، با این معیار سکون، به نظر می‌رسد که در تمام مدت حرکت خود ساکن است.
مسافت و زمان با فرض اینکه سرعت لاک‌پشت نصف سرعت آشیل می‌باشد
آشیل و لاکپشت
پارادوکس پیکان
ردیف‌های متحرک