آنالیز پایداری فون-نویمان
توضیح روش

روش فون نیومن بر اساس گسسته‌سازی خطاها به سری فوریه بنا شده‌است.
برای توضیح فرآیند ،معادله ی گرمای یک بعدی را فرض کنید .
{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}
فاصله‌های درونی L به صورت زیر مشخص شده‌است :
\quad (1)\qquad u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)
در حالی که
r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}
و پاسخ    u_{j}^{n}  معادله ی گسسته شده حل تحلیلی  u(x,t)  ، معادله ی حاکم PDE در مش را تخمین می زند .
خطای گرد کردن   به صورت زیر تعریف می‌شود :
\epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}
در حالی که   u_{j}^{n}  پاسخ معادله ی گسسته شده ی (1) ممکن است در غیاب خطای گرد کردن محاسبه شده باشد و  N_{j}^{n}  پاسخ عددی بدست آمده از دقت محدود است.از آن جایی که پاسخ    u_{j}^{n}  باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند ،خطای   \epsilon _{j}^{n}  نیز باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند .اینجا ما فرض کرده ایم که  N_{j}^{n}  نیز معادله را ارضا می‌کند .(این تنها در دقت ماشین امکان پذیر است ) بنابراین :
\quad (2)\qquad \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)
یک رابطه ی برگشتی برای خطا است. معادله ی 1 و 2 نشان می دهند که هر دوی خطا و پاسخ عددی در زمان یکسان ،رشد یا کاهش برابر دارند . برای معادلات دیفرانسیل خطی با شرط مرزهای متناوب ، تنوع فضایی خطا ممکن است در یک سری فوریه محدود گسترده شوند ،در L داخلی ، به صورتی که :
\quad (3)\qquad \epsilon (x)=\sum _{m=1}^{M}A_{m}e^{ik_{m}x}
هنگامیکه عدد موج  k_{m}={\frac {\pi m}{L}}  با  m=1,2,\ldots ,M و  M=L/\Delta x  . وابستگی خطا به زمان شامل فرض دامنه ی خطا  A_{m}  ، یک تابع زمان است.
از آن جایی که خطا کاهش یا رشدی توانی با زمان دارد ،فرض آن که دامنه نیز همراه زمان به صورت توانی تغییر می‌کند مناسب است.بنابراین :
\quad (4)\qquad \epsilon (x,t)=\sum _{m=1}^{M}e^{at}e^{ik_{m}x}
در حالی که  a  یک ثابت است.
از آن جایی که معادله ی تفاضلی برای خطا خطی است (رفتار هر عبارت سری مشابه رفتار خود سری است) ،این کافی است تا رشد خطا نیز مانند عبارتی نوعی در نظر گرفته شود .
\quad (5)\qquad \epsilon _{m}(x,t)=e^{at}e^{ik_{m}x}
مشخصه‌های پایداری به این صورت تنها برای خطاهایی که در کل کم نمی شوند می‌تواند مورد مطالعه قرار گیرد  . برای یافتن چگونگی تغییرات خطا در مراحل زمانی ،از معادلات (5) و (2) داریم:
{\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=e^{a(t+\Delta t)}e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}(x-\Delta x)}\end{aligned}}
حاصل (پس از ساده سازی):
\quad (6)\qquad e^{a\Delta t}=1+{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right)
با استفاده از تطابق :
\qquad \cos(k_{m}\Delta x)={\frac {e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}}{2}}\qquad {\text{و}}\qquad \sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}={\frac {1-\cos(k_{m}\Delta x)}{2}}
معادله ی (6) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود :
\quad (7)\qquad e^{a\Delta t}=1-{\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2)
عبارت تشدید به صورت زیر تعریف می‌شود :
G\equiv {\frac {\epsilon _{j}^{n+1}}{\epsilon _{j}^{n}}}
وضعیت ضروری برای آن که خطا در مرز بماند   \vert G\vert \leq 1.  ،اگر چه :
\quad (8)\qquad G={\frac {e^{a(t+\Delta t)}e^{ik_{m}x}}{e^{at}e^{ik_{m}x}}}=e^{a\Delta t}
بنابراین از معادله‌های (7) و (8) شرط پایداری به صورت زیر تعریف می‌شود :
\quad (9)\qquad \left\vert 1-{\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2)\right\vert \leq 1
توجه داشته باشید عبارت  {\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2)  همواره مثبت است.بنابراین از معادله ی (9) داریم:
\quad (10)\qquad {\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2)\leq 2
در محاسبه ی شرط بالا داریم :
\quad (11)\qquad {\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}
معادله ی (11) پایداری مورد نیاز FTCS برای انتقال حرارت یک بعدی را به ما می دهد .که بیان می‌کند برای یک   \Delta x  داده شده ،مقدار   \Delta t  باید به اندازه ی کافی کم باشد تا معادله ی (10) برقرار شود .