مجموعه کانتور
خواص > کاردینال

می توان نشان داد که به همان تعداد نقطه که در ابتدای کار داشتیم، در پایان فرایند باقی‌مانده، به همین دلیل مجموعه کانتور غیرقابل شمارش است. برای دیدن این نشان می‌دهیم یک تابع fاز مجموعه کانتور c به بازهٔ بستهٔ [0,1] وجود دارد که پوشاست. بنابراین کاردینال c کمتر از کاردینال [0,1] نیست. همچنین از انجا که c زیر مجموعهٔ [0,1] است، کاردینال ان بزرگتر نیست. بنابراین دو کاردینال باید با هم برابر باشند.
برای ساختن این تابع نقاط در بازهٔ [0,1] را در مبنای 3 در نظر بگیرید. به خاطر داشته باشید که برخی از نقاط بیش از یک نمایش پیدا خواهند کرد. به عنوان مثال عدد 1/3 که می‌توان ان را هم به شکل 0.13 و هم به فرم ...0.022223 نوشت , یا 2/3 که هم به شکل 0.23 و هم ...0.122223 نوشته می‌شود. وقتی که ما یک سوم وسط را برمی داریم، این شامل اعدادی در مبنای سه به شکل 0.1xxxxx...3 است که xxxxx...3 اکیداً بین ...000003 و...222223 قرار دارند. بنابراین اعدادی که بعد از مرحلهٔ اول قرار می‌گیرند شامل این موارد هستند:
اعداد به فرم 0.0xxxxx...3
0.13 =1/3= 3....0.22222
0.23 =2/3= 3....0.12222
اعداد به فرم 0.2xxxxx...3
این مطلب را می‌توان به این شکل خلاصه کرد که اعدادی در مبنای سه که اولین رقم بعد از نقطه اعشار آن‌ها 1 نیست ،اعدادی هستند که بعد از مرحلهٔ اول باقی می‌مانند.
مرحلهٔ دوم اعداد به شکل 0.01xxxx...3 و 0.21xxxx...3 حذف می‌شوند(با دقت به نقاط پایانی) و می‌توان به این نتیجه رسید که اعدادی که باقی می‌مانند در مبنای سه هستند که یکی از دو رقم ابتدایی آن‌ها 1 نیست. با ادامه دادن این راه، عددی که در مرحلهٔ nام باقی می‌ماند باید فرمی در مبنای سه داشته باشد که رقم nام ان 1 نباشد. پس یک عدد برای این که در مجموعه کانتور باشد، در هیچ مرحله‌ای نباید حذف شود و یک نمایش عددی تماماً شامل اعداد 0 و 2 داشته باشد. لازم به ذکر است اعدادی مانند 1 و 1/3 = 0.13 و 7/9 = 0.213 که در مجموعه کانتور هستند اعدادی در مبنای سه هستند که تماماً شامل 0 و 2 اند :
1= 3....0.2222 ,
1/3= 3....0.22222 ,
7/9= 3....0.20222 .
حدس زده شده‌است که همه اعداد جبری گنگ، طبیعی هستند. از انجا که اعداد مجموعه کانتور طبیعی نیستند نشان می‌دهد که همه اعضای مجموعه کانتور یا گویا یا غیر جبری‌اند.
تابع از C به [0,1] به وسیلهٔ بردن اعدادی که به‌طور کامل از 0 و 1 تشکیل شده‌اند و جایگزین کردن 1ها به جای تمام 2ها و تفسیر دنباله به عنوان نمایش باینری یک عدد حقیقی تعریف می‌شود. در فرمول ,
 f{\bigg (}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}
برای هر عدد y در بازهٔ [0,1] نمایش دودویی ان می‌تواند با جایگزین کردن 2 به جای تمام 1ها به نمایش در مبنای 3 عدد x در C در بیاید. به این ترتیب f (x) = y و y در برد f قرار می‌گیرد. برای مثال اگر y = 3/5 = 0.100110011001...2 ما می نویسیم x = 0.200220022002...3 = 7/10 . در نتیجه f پوشاست. مقدار( f (x برای دو نقطه پایانی یک سوم وسط که برداشته می‌شود مساوی است. مثلاً 7/9= 3....0.20222 و 8/9= 3....0.220000 می‌بینیم (f (7/9) = 0.101111...2 = 0.112 = f (8/9.
بنابراین به همان تعداد که عدد در بازهٔ [0,1] است در مجموعه کانتور هم هست و مجموعه کانتور غیرقابل شمارش است. چون مجموعه نقاط پایانی بازه‌های حذف شده قابل شمارش است پس باید تعداد غیرقابل شمارش عدد در مجموعه کانتور وجود داشته باشد که نقاط پایانی نیستند. همانطور که در بالا ذکر شد یک مثال از چنین عددی 1/4 می‌باشد که می‌شود در مبنای 3 به این شکل نوشته شود
3....0.020202020
مجموعه کانتور از هر بازه‌ای که گرفته شده به تعداد همان بازه نقطه دارد و خودش هیچ بازه‌ای با طول غیر صفر را در بر نمی‌گیرد. اعداد گنگ همین ویژگی را دارند اما مجموعه کانتور ویژگی اضافهٔ بسته بودن را نیز داراست بنابراین بر خلاف اعداد گنگ در هیچ بازه‌ای متراکم نیست.