stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی

Award
| جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی | جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی |
| --- | --- |
توصیف: شخصیت‌ها، نهادها یا سازمان‌های بین‌المللی که به نحو ممتازی به ارائه خدمت برجسته بشری پرداخته‌اند و در دفاع از حقوق بشر، حفاظت از جنبش آزادی و حمایت از صلح در سراسر جهان کنش‌های بزرگی انجام داده‌اند.
کشور: لیبی
برگزارکننده: کمیته بین‌المللی خلق برای جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی
نخستین دوره: ۱۹۸۹
آخرین دوره: ۲۰۱۰
نلسون ماندلا و پاپ شنوده سوم از جمله برندگان جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی هستند.
جایزه بین‌المللی حقوق بشر القذافی جایزه‌ای سالانه بود که توسط معمر قذافی رهبر لیبی در سال ۱۹۸۸ بنیان نهاده شد. قذافی در ابتدا ۱۰ میلیون دلار را به بنیاد مستقر در سوییس که بعدها اداره جایزه را بر عهده گرفت اهدا کرد. مبلغ جایزه مجموعاً ۲۵۰۰۰۰ دلار بود که گاهی بین برندگان تقسیم می‌شد.
وبگاه مربوط به این جایزه و همچنین اعطای این جایزه پس از انقلاب لیبی در سال ۲۰۱۱ متوقف شد.
فهرست برندگان

| سال | برنده(ها) |
| --- | --- |
۱۹۸۹: نلسون ماندلا
۱۹۹۰: «کودکان فلسطین»
۱۹۹۱: بومیان آمریکا
۱۹۹۲: مرکز آفریقایی مبارزه با ایدز
۱۹۹۳: کودکان بوسنی و هرزگوین
۱۹۹۴: اتحادیه جوامع و مردم حقوق بشر آفریقا
۱۹۹۵: احمد بن بلا، فرانسیسکو دا کاستا گومز
۱۹۹۶: لوییس فراخان
۱۹۹۷: گریسلین اسمالوود، ملچیور ندادایه، ملبا هرناندز، منال یونس عبدالرزاق، دورین مک نالی
۱۹۹۸: فیدل کاسترو
۱۹۹۹: کودکان عراق
۲۰۰۰:  سهی فواز بشارة، جوزف کی زربو، اوو مورالس، جنبش سپتامبر، مرکز جهان سوم
۲۰۰۲: بلاوجوب دیای، روژه گارودی، ابراهیم الکونی، ژان زیگلر (که جایزه را رد کرد), ندیم البطار، علی م. المصراطی، خیفا م. اقیانوس اطلس، محمد الشریف، علی فهمی خوشیم، رجب مفتاح عبودابوس، محمد مفتاح الفیتوری، علی سودگی عبدالقادر، احمد ابراهیم الفاقیه
۲۰۰۳: پاپ شنوده سوم اسکندریه
۲۰۰۴: هوگو چاوز
۲۰۰۵: مهاتیر محمد
۲۰۰۶: اوو مورالس
۲۰۰۷: کتابخانه‌های تیمبوکتو
۲۰۰۸: دام مینتوف
۲۰۰۹: دانیل اورتگا
۲۰۱۰: رجب طیب اردوغان
لیبریوس

| Pope Liberius | Pope Liberius |
| --- | --- |
آغاز پاپی: 17 May 352
پایان پاپی: ۲۴ سپتامبر ۳۶۶
پیشین: ژولیوس یکم
جانشین: دامازوس
اطلاعات فردی: اطلاعات فردی
نام هنگام تولد: Liberius
درگذشت: ۲۴ سپتامبر ۳۶۶
قدوسیت: قدوسیت
روز بزرگداشت: 27 August
تکریم‌شده در: کلیسای ارتدکس شرقی
پاپ لیبریوس (به انگلیسی: Pope Liberius) یکی از پاپ‌های کلیسای کاتولیک رم بود که بین سال‌های ۳۵۲ تا ۳۶۶ میلادی پاپ بود.
لوئیس اوایه

| اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی |
| --- | --- | --- | --- |
نام کامل:  Luis Carlos Ovalle Victoria
زادروز:  ۷ سپتامبر ۱۹۸۸ ‏(۳۶ سال)
زادگاه:  پاناماسیتی
قد:  ۱٫۷۷ متر (۵ فوت ۹ ۱⁄۲ اینچ)
پست:  مدافع
اطلاعات باشگاهی: اطلاعات باشگاهی
باشگاه کنونی:  Olimpia
شمارهٔ پیراهن:  ۴
باشگاه‌های جوانان: باشگاه‌های جوانان
:  Sporting San Miguelito
باشگاه‌های حرفه‌ای*: باشگاه‌های حرفه‌ای*
| سال‌ها |  باشگاه‌ها |  بازی† |  (گل)† |
| ۲۰۰۵–۲۰۰۸ |  Sporting San Miguelito |  ۵۷ |  (۱۱) |
| ۲۰۰۸ |  ← باشگاه فوتبال مونتری (قرضی) |  ۲۲ |  (۰) |
| ۲۰۰۹–۲۰۱۰ |  Chorrillo |  ۳۲ |  (۰) |
| ۲۰۱۰–۲۰۱۲ |  Sporting San Miguelito |  ۲۱ |  (۰) |
| ۲۰۱۲ |  ← Patriotas (قرضی) |  ۲ |  (۰) |
| ۲۰۱۳–۲۰۱۷ |  Zamora |  ۱۳۶ |  (۳) |
| ۲۰۱۷ |  Deportes Tolima |  ۶ |  (۰) |
| ۲۰۱۸– |  Olimpia |   |   |
تیم ملی‡: تیم ملی‡
| ۲۰۱۰– |  تیم ملی فوتبال پاناما |  ۲۳ |  (۰) |
 تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲۱ نوامبر ۲۰۱۷.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۲۱ نوامبر ۲۰۱۷:  تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲۱ نوامبر ۲۰۱۷.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۲۱ نوامبر ۲۰۱۷
لوئیس اوایه (اسپانیایی: Luis Ovalle‎؛ زادهٔ ۷ سپتامبر ۱۹۸۸) بازیکن فوتبال اهل پاناما است.
از باشگاه‌هایی که در آن بازی کرده‌است می‌توان به باشگاه فوتبال مونتری اشاره کرد.
جایزه بزرگ ایالات متحده ۱۹۶۷

جایزه بزرگ ایالات متحده ۱۹۶۷ (انگلیسی: ‎1967 United States Grand Prix‎) یک مسابقهٔ موتوری در رشتهٔ اتومبیل‌رانی فرمول یک بود که در تاریخ ۱ اکتبر ۱۹۶۷ در مسیر مسابقه جایزه بزرگ واتکینز گلن واقع در واتکینز گلن، نیویورک، ایالات متحده آمریکا برگزار شد. این گراند پری در میان ۱۱ گراند پری در فصل ۱۹۶۷، مسابقهٔ شمارهٔ ۱۰ بود.
در این مسابقه که در ۱۰۸ دور و به مسافت ۴۰۸٫۲ کیلومتر (۲۵۳٫۶۴۴ مایل) برگزار شد، پول پوزیشن توسط گراهام هیل کسب شد و سریع‌ترین زمان برای طی یک دور پیست که برابر با ۱:۰۶٫۰ بود نیز توسط گراهام هیل به ثبت رسید.
جیم کلارک از تیم لوتوس-فورد، گراهام هیل از تیم لوتوس-فورد و دنی هیولم از تیم برابام-رپکو به‌ترتیب مقام‌های اول تا سوم مسابقه را کسب کردند.
رده‌بندی قهرمانی پس از مسابقه

تنها پنج جایگاه نخست از هر رده‌بندی نمایش داده شده‌است.
جام خوان گمپر ۲۰۱۸

Football match
جام خوان گمپر ۲۰۱۸ ۵۳امین دوره جام خوان گمپر که در قالب یک بازی دوستانه برگزار می‌شود، بود.
بوکا جونیورز قبل از این‌هم ۶ بار در این مسابقات حضور داشته که در سال‌های ۱۹۶۷، ۱۹۷۷، ۱۹۸۴، ۲۰۰۳ و ۲۰۰۸ بوده‌است.
جزئیات مسابقه

۱۸:۱۵ CEST
| بارسلونا | ۳–۰ | بوکا جونیورز |
| --- | --- | --- |
| مالکوم  ۱۸' مسی  ۳۹' رافینیا  ۶۷' | گزارش |  |
تماشاگران: ۷۰٬۰۸۹ نفر
داور: آلبرتو آندیانو مالنسو
| 0 | 1 |
| --- | --- |
             بارسلونا :              بوکا جونیورز
لورین فنتون

لورین فنتون (انگلیسی: Lorraine Fenton; ۸ سپتامبر ۱۹۷۳ – ) دونده اهل جامائیکا بود.
وی در مسابقات کشوری و بین‌المللی در مجموع برندهٔ ۱ مدال طلا، ۵ مدال نقره، ۳ مدال برنز شده‌است.
لوگی گیرسون

| لوگی گیرسون | لوگی گیرسون |
| --- | --- |
زادهٔ: ۱۰ اکتبر ۱۹۸۲ ریکیاویک
ملیت: ایسلند
لوگی گیرسون (انگلیسی: Logi Geirsson؛ زادهٔ ۱۰ اکتبر ۱۹۸۲) بازیکن هندبال اهل ایسلند است.
آرویو دو میو

| آرویو دو میو | آرویو دو میو |
| --- | --- |
شهرداری‌های برزیل: شهرداری‌های برزیل
آرویو دو میو: آرویو دو میو
  پرچممهر:   پرچممهر
موقعیت آرویو دو میو در نقشه: موقعیت آرویو دو میو در نقشه
آرویو دو میوLocation in Brazil: آرویو دو میوLocation in Brazil
مختصات: ۲۹°۲۴′۰۳″ جنوبی ۵۱°۵۶′۴۲″ غربی﻿ / ﻿۲۹٫۴۰۰۸۳°جنوبی ۵۱٫۹۴۵۰۰°غربی﻿ / -29.40083; -51.94500: مختصات: ۲۹°۲۴′۰۳″ جنوبی ۵۱°۵۶′۴۲″ غربی﻿ / ﻿۲۹٫۴۰۰۸۳°جنوبی ۵۱٫۹۴۵۰۰°غربی﻿ / -29.40083; -51.94500
کشور:  برزیل
ایالت: ریو گرانده جنوبی
شهرستان‌های برزیل: Centro Oriental Rio-grandense
Microregion: Lajeado-Estrela
سکونتگاه: ۱۸۵۳
تأسیس‌شده: ۲۸ نوامبر ۱۹۳۴
حکومت: حکومت
 • شهردار: Danilo Bruxel (Progressistas)
مساحت: مساحت
 • Total: ۱۵۷٫۹۵۵ کیلومتر مربع (۶۰٫۹۸۷ مایل مربع)
ارتفاع: ۵۴ متر (۱۷۷ فوت)
جمعیت (۲۰۲۰): جمعیت (۲۰۲۰)
 • Total: ۲۰۹۶۷
 • تراکم: ۱۳۰/کیلومتر مربع (۳۴۰/مایل مربع)
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی -۳ (ساعت هماهنگ جهانی)
 • تابستانی (DST): یوتی‌سی -۲ (ساعت هماهنگ جهانی)
Area/distance code: ۹۵۹۴۰–۰۰۰
شاخص توسعه انسانی: ۰٫۸۳۷
تولید ناخالص داخلی: رئال برزیل ۴۰۵٬۶۶۲٬۰۰۰
GDP per capita: رئال برزیل۲۲٬۱۲۳٫۰۰
وبگاه: www.arroiodomeiors.com.br
آرویو دو میو (به پرتغالی: Arroio do Meio) یک منطقهٔ مسکونی در برزیل است که در ریو گرانده جنوبی واقع شده‌است. آرویو دو میو ۱۵۷٫۹۵۵ کیلومتر مربع مساحت و ۲۰٬۹۶۷ نفر جمعیت دارد و ۵۴ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
خواهرخوانده

شهر بوپارد خواهرخواندهٔ آرویو دو میو هست.
لورنزو کلمبینی

| اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی |
| --- | --- | --- | --- |
زادروز:  ۱۷ ژانویهٔ ۲۰۰۱ ‏(۲۳ سال)
زادگاه:  میلان
پست:  مدافع
اطلاعات باشگاهی: اطلاعات باشگاهی
باشگاه کنونی:  Giana Erminio (on loan from باشگاه فوتبال اسپتزیا)
شمارهٔ پیراهن:  ۳۳
باشگاه‌های جوانان: باشگاه‌های جوانان
:  تیم جوانان اینتر میلان
باشگاه‌های حرفه‌ای*: باشگاه‌های حرفه‌ای*
| سال‌ها |  باشگاه‌ها |  بازی† |  (گل)† |
| ۲۰۲۰– |  باشگاه فوتبال اسپتزیا |  ۰ |  (۰) |
| ۲۰۲۰–۲۰۲۱ |  ← باشگاه فوتبال نووارا (قرضی) |  ۱۱ |  (۰) |
| ۲۰۲۱– |  ← Giana Erminio (قرضی) |  ۰ |  (۰) |
تیم ملی‡: تیم ملی‡
| ۲۰۱۶ |  تیم ملی فوتبال زیر ۱۵ سال ایتالیا |  ۴ |  (۰) |
| ۲۰۱۸–۲۰۱۹ |  تیم ملی فوتبال زیر ۱۸ سال ایتالیا |  ۴ |  (۰) |
| ۲۰۱۹ |  تیم ملی فوتبال زیر ۱۹ سال ایتالیا |  ۳ |  (۰) |
 تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲ مه ۲۰۲۱.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۱۹ نوامبر ۲۰۱۹:  تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۲ مه ۲۰۲۱.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۱۹ نوامبر ۲۰۱۹
لورنزو کلمبینی (انگلیسی: Lorenzo Colombini؛ زادهٔ ۱۷ ژانویهٔ ۲۰۰۱) بازیکن فوتبال است.
وی همچنین در تیم‌های ملی فوتبال زیر ۱۵ سال ایتالیا، زیر ۱۸ سال ایتالیا، و زیر ۱۹ سال ایتالیا بازی کرده‌است.
لولا کرتون

| لولا کرتون | لولا کرتون |
| --- | --- |
زادهٔ: ۱۶ دسامبر ۱۹۹۳ ‏(۳۰ سال) پاریس
ملیت: فرانسه
سال‌های فعالیت: ۲۰۰۴–اکنون
لولا کرتون (فرانسوی: Lola Créton‎؛ زادهٔ ۱۶ دسامبر ۱۹۹۳) هنرپیشه اهل فرانسه است. او از سال ۲۰۰۴ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده و از فیلم‌هایی که در آن بازی کرده می‌توان به عشق جوانی (Un amour de jeunesse) در 2011، پس از ماه مه و اتاق مرگ اشاره کرد.
لولا پونس

| لولا پونس | لولا پونس |
| --- | --- |
اطلاعات پس‌زمینه: اطلاعات پس‌زمینه
نام تولد: Paola Fabiana Ponce
زاده: ۲۵ ژوئن ۱۹۸۲ ‏(۴۲ سال)
ژانر: Opera موسیقی پاپ، پاپ راک، پاپ لاتین
پیشه(ها): خوانندگی، هنرپیشه، مدل، سخنگو
ساز(ها): خوانندگی
سال‌های فعالیت: ۲۰۰۱—اکنون
ناشر(ان): Raimoon/Sony BMG
لولا پونس (انگلیسی: Lola Ponce؛ زادهٔ ۲۵ ژوئن ۱۹۸۲) خواننده، ترانه‌سرا و موسیقی‌دان اهل آرژانتین است. او در سال ۲۰۰۱ با انتشار آلبومی در آرژانتین و آمریکای لاتین به شهرت رسید.
لوید بیتزر

| لوید بیتزر | لوید بیتزر |
| --- | --- |
زادهٔ: ۱ ژانویهٔ ۱۹۳۱
ملیت: ایالات متحده آمریکا
لوید بیتزر (انگلیسی: Lloyd Bitzer؛ زادهٔ ۱ ژانویهٔ ۱۹۳۱، درگذشت ۱۳ اکتبر ۲۰۱۶) دانشمند علوم بلاغی اهل ایالات متحده آمریکا بود. او تحقیق‌های خود را در کالج اجوود آغاز کرد و در سال ۱۹۶۲ از دانشگاه ایووا مدرک دکترایش را گرفت.
بیتزر در سال ۱۹۶۸ نظریهٔ معروف خود مدعو به موقعیت بلاغی منتشر کرد. این نظریه از تاثیرگذارترین آثار در علوم بلاغی است.
لوید ایلدبران

| لوید ایلدبران | لوید ایلدبران |
| --- | --- |
زادهٔ: ۲۵ دسامبر ۱۸۷۰ تاتنهام
درگذشت: ۱ آوریل ۱۹۲۴ لوالوآ-پره
ملیت: فرانسه
لوید ایلدبران (فرانسوی: Lloyd Hildebrand‎; ۲۵ دسامبر ۱۸۷۰ – ۱ آوریل ۱۹۲۴) دوچرخه‌سوار اهل فرانسه بود.
زبان اشاره ایرلندی

| زبان اشاره ایرلندی | زبان اشاره ایرلندی |
| --- | --- |
Teanga Chomharthaíochta na hÉireann: Teanga Chomharthaíochta na hÉireann
بیان: ˈaɪərɪʃ saɪn ˈlæŋgwɪʤ
زبان بومی در: جمهوری ایرلند، ایرلند شمالی
شمار گویشوران: ۵٬۰۰۰ ناشنوا  (۲۰۱۴)
تبار: اشاره فرانسوی  زبان اشاره ایرلندی
وضعیت رسمی: وضعیت رسمی
زبان رسمی در: جمهوری ایرلند
کدهای زبان: کدهای زبان
ایزو ۳–۶۳۹: isg
گلاتولوگ: iris1235
زبان اشاره ایرلندی زبان اشاره‌ای است که توسط ناشنوایان و کم شنوایان در جمهوری ایرلند و ایرلند شمالی استفاده می‌شود.
لوید بلنکفین

| لوید بلنکفین | لوید بلنکفین |
| --- | --- |
مدیر عامل اجرایی و رئیس هیئت مدیره گلدمن ساکس: مدیر عامل اجرایی و رئیس هیئت مدیره گلدمن ساکس
متصدی: متصدی
آغاز به کار  ۲۰۰۶: آغاز به کار  ۲۰۰۶
پس از: هنری پاولسون
 :  
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
زاده: لوید کریگ بلنکفین ۲۰ سپتامبر ۱۹۵۴ ‏(۷۰ سال) برانکس، نیویورک، ایالات متحده آمریکا
ملیت: آمریکایی
همسر(ان): لارا یاکوبس بلکفین
فرزندان: الکس بلکفین جاناتان بلکفین راشل بلکفین
اقامتگاه: نیویورک
محل تحصیل: کالج هاروارد مدرسه حقوق هاروارد
حقوق: ۶۰۰،۰۰۰ دلار (۲۰۱۰) مجموع: ۱۳،۲۰۰،۰۰۰ دلار (۲۰۱۰)
لوید بلنکفین (به انگلیسی: Lloyd Blankfein) (زاده ۲۰ سپتامبر ۱۹۵۴) بانکدار و مدیر ارشد اجرایی آمریکایی است، که اکنون به‌عنوان مدیر عامل اجرایی و رئیس هیئت مدیره شرکت خدمات مالی گلدمن ساکس فعالیت می‌نماید.
وی در سال ۲۰۱۱ در فهرست مجله فوربز از قدرتمندترین افراد جهان در رتبه ۴۳ جای گرفت. در سال ۲۰۰۹ از سوی فایننشیال تایمز به‌عنوان مرد سال ۲۰۰۹ انتخاب شد.
لوید بلنکفاین در بخش برانکس نیویورک در خانواده‌ای یهودی متولد و در بخش شرق نیویورک بروکلین، نیویورک بزرگ شد.
رابطه بازگشتی

رابطهٔ بازگشتی (به انگلیسی: Recurrence relation) در ریاضیات، دنباله‌ای است که به‌صورت بازگشتی تعریف می‌شود.
واژه معادلهٔ تفاضلی (difference equation) مربوط به حالت خاصی از رابطۀ بازگشتی می‌باشد. به هر حال، «مدل تفاضلی» برای اشاره به هر گونه رابطۀ بازگشتی به کار می‌رود. نمونه‌ای از یک رابطۀ بازگشتی، نقشه لجستیک (منطقی) با ثابت داده شدۀ  r می‌باشد که با در نظر گرفتن  x_{0} به عنوان مقدار اولیه، تمام مقادیر بعدی با این رابطه به‌دست می‌آید. بسیاری از روابط بازگشتی ممکن است رفتارهای پیچیده‌ای از خودشان نشان دهند. این نوع روابط توسط فیزیک‌دانان و ریاضی‌دانان در شاخه‌ای از ریاضیات به نام تحلیل غیر خطی مطالعه می‌شوند. حل یک معادلۀ بازگشتی یعنی به‌دست آوردن یک فرم بسته برای آن (یک تابع غیر بازگشتی از  n).
فیبوناچی

اعداد فیبوناچی نمونه اولیه‌ای از یک رابطۀ بازگشتی همگن با ضرائب ثابت می‌باشد. این اعداد با رابطۀ خطی بازگشتی زیر:
با مقادیر اولیه:
تعریف می‌شوند. مشخصاً رابطۀ بازگشتی معادله‌های زیر را ایجاد می‌کند:
به توالی اعداد فیبوناچی می‌رسیم که به شکل: ۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹ و … است. آن را می‌توان با روش‌هایی که در ادامه توضیح داده می‌شوند، حل کرد؛ روش‌هایی که عبارتی بسته (closed-form expression) شامل توان‌های دو ریشه چندجمله‌ای مشخصه  t^{2}=t+1 دارند. تابع ایجادکنندۀ توالی، تابع گویای زیر است:
ساختار > رابطۀ بازگشتی خطی همگن با ضرایب ثابت

رابطۀ بازگشتی خطی همگن با ضرایب ثابت از مرتبۀ  d، معادله‌ای به شکل زیر است:
که در آن  d ضرایب  c_{i} (برای تمام  iها) ثابت است. می‌توان گفت، فهرست معادلات خطی هم‌زمان نامتناهی است که برای هر  n>d-1 می‌باشد. یک توالی که رابطه‌ای چنینی داشته باشد، توالی بازگشتی خطی یا LRS نامیده می‌شود.  d درجۀ آزادی برای LRS وجود دارد بدین معنا که مقادیر اولیۀ  a_{0},\dots ,a_{d-1} هر مقداری را می‌توانند بگیرند ولی رابطۀ بازگشتی خطی توالی یکتایی را مشخص می‌کند. ضرایب یکسان چندجمله‌ای مشخصه را ایجاد می‌کنند:
که ریشه‌های  d نقش مهمی در یافتن و فهمیدن توالی‌های درست از لحاظ تابع بازگشتی دارند. اگر ریشه‌های معادلۀ مشخصه تماماً مشخص باشند، حال راه‌حل بازگشتی به شکل زیر خواهد بود:
که در آن ضرایب  k_{i} برای متناسب کردن شرایط اولیۀ رابطۀ بازگشتی مشخص می‌شوند. وقتی که ریشه‌های یکسان برای چندین بار اتفاق می‌افتند، قسمت‌هایی از این فرمول که مربوط به موارد دوم و بیشتر از یک ریشه است در توان‌های افزایشی از  n ضرب می‌شوند. برای مثال، اگر چندجمله‌ای مشخصه فاکتوری از  (x-r)^{3} با ریشۀ تکراری سه بارۀ  r باشد، راه‌حل به شکل زیر خواهد بود:
در کنار اعداد فیبوناچی، دیگر توالی‌های ایجاد شده توسط روابط بازگشتی خطی همگن شامل اعداد لوکاس و توالی لوکاس، اعداد یاکوبسال، اعداد پل و معادلۀ پل می‌باشد.
ساختار > تابع مولد گویا

توالی‌های بازگشتی خطی دقیقاً توالی‌هایی هستند که تابع مولدشان یک تابع گویا است. مخرج چندجمله‌ای بدست آمده از چندجمله‌ای مشخصه با معکوس کردن ترتیب ضرائب است و صورت با مقادیر اولیه توالی مشخص می‌شود. ساده‌ترین حالت‌ها توالی‌های دوره‌ای
a_{n}=a_{n-d},n\geq dهستند که توالی  a_{0},a_{1},\dots ,a_{d-1},a_{0},\dots
و تابع مولدی مجموع سری هندسی زیر دارند:
عموماً در مورد رابطه بازگشتی زیر:
با تابع مولد:
سری‌ها در ad و بالاتر به وسیله چندجمله‌ای زیر متوقف می‌شوند:
که این یعنی ضرب تابع مولد در چندجمله‌ای، در پی خواهد داشت:
به‌طوری‌که ضرایب  x^{n} برای n ≥ d حذف می‌شوند. پس:
و با تقسیم خواهیم داشت:
که نشان دهنده تابع مولد به عنوان تابع گویا است.
مخرج  x^{d}p\left(x^{-1}\right) است که تبدیلی از چندجمله‌ای مشخصه است. می‌توان هر مضربی از آن را استفاده کرد، ولی این نرمال سازی هر دو را انتخاب کرده تا رابطه ساده‌تری برای چندجمله‌ای مشخصه داشته باشد و همچنین داشته باشد  b_{0}=a_{0}.
ساختار > روابط تفاضلی به دقت تعریف شده

دنباله اعداد حقیقی
\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }
را در نظر بگیرید. اولین دنباله تفاضلی برابر
است. دومین دنباله به صورت
تعریف می‌شود که می‌تواند به صورت
ساده‌سازی شود. به صورت کلی دنباله تفاضلی k ام به صورت زیر تعریف می‌شود:
تعریف محدودتری از معادله تفاضلی معادله‌ای است بر حسب an و k امین تفاضل. در واقع معادله زیر را داریم:
a_{n+k}={n \choose 0}a_{n}+{n \choose 1}\Delta (a_{n})+\cdots +{n \choose k}\Delta ^{n}(a_{n})
بنابراین معادله تفاضلی می‌تواند معادله‌ای بر حسب an, an-1, an-2 یا an, an+1, an+2 باشد.
از آنجایی که معادلات تفاضلی یکی از رایج‌ترین معادلات بازگشتی هستند، بعضی از نویسنده‌ها آن‌ها را به جای هم به کار می‌برند. به‌طور مثال معادله تفاضلی: 3\Delta ^{2}(a_{n})+2\Delta (a_{n})+7a_{n}=0 با دنباله بازگشتی زیر برابر است.
بنابراین معادلات تفاضلی می‌توانند به صورت بازگشتی حل شوند و به صورت مشابه می‌توان روش حل معادلات دیفرانسیل معمولی را یافت. اگرچه اعداد آکرمن نمونه‌ای از دنباله بازگشتی هستند، به معادلات تفاضلی نگاشته نمی‌شوند. معادلات جمعی مرتبط به معادلات تفاضلی هستند همان‌طور که معادلات انتگرال مربوط به معادلات دیفرانسیل هستند.
ساختار > از توالی به شبکه

روابط تک متغیر یا بازگشتی یک بعدی در مورد دنباله است در حالی که روابط بازگشتی چند متغیر یا n بعدی در مورد شبکه‌های n بعدی است. توابعی که بر روی شبکه‌های n بعدی تعریف می‌شوند، با معادلات تفاضلی جزئی قابل حل‌اند.
روش حل > روش‌های کلی

برای دنباله بازگشتی از مرتبه ۱ داریم: a_{n}=ra_{n-1}
در نظر می‌گیریم an = rn و a0 = ۱ و روش کلی تر آن an = krn و a0 = k است. معادله مشخصه این عبارت به سادگی به دست می‌آید که برابر t − r = ۰ است. راه حل برای معادلات با مرتبهٔ بالاتر با قواعد و اصول به دست آمده، غالباً استفاده از روش an = rn برای مواقعی است که t = r یک ریشه معادله مشخصه است. این می‌تواند به‌طور مستقیم یا با تابع مولد یا ماتریس به دست آید.
به‌طور مثال دنباله  a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2} را در نظر بگیرید، این دنباله چه موقع جواب an = rn را دارد؟ این را با دنباله بازگشتی  r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2} جایگزین کنید، در می‌یابیم که برای همه n > 1 معادله درست است. با تقسیم بر rn−2، همان معادلات را به صورت زیر خواهیم داشت:
که یک معادله مشخصه برای دنباله بازگشتی است. با حل کردن معادله دو ریشه برای r خواهیم داشت: λ1 و λ2، که این ریشه‌ها، ریشه‌های مشخصه یا مقادیر ویژه معادله مشخصه نامیده می‌شوند. با توجه به ریشه‌ها، روش‌های متفاوتی برای حل معادله وجود دارد. اگر متمایز باشند، راه حل کلی: a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n} را داریم و اگر برابر بودند
این کلی‌ترین روش است و C و D با توجه به a0 و a1 به دست می‌آیند. برای حالاتی که مقادیر ویژه مختلط اند (که منجر به مختلط شدن C و D نیز می‌شوند) استفاده از اعداد مختلط را می‌توان با بازنویسی راه حل به صورت مثلثاتی حذف کرد. در این حالت مقادیر ویژه را می‌توان به صورت  \lambda _{1},\lambda _{2}=\alpha \pm \beta i نشان داد. هم چنین معادله
را می‌توان به صورت زیر نشان داد.
که در آن
E و F ثابت‌های حقیقی اند که وابسته به شرایط اولیه هستند. استفاده از فرمول‌های زیر راه حل را می‌تواند ساده‌تر کند
که a1 و a2 مقادیر اولیه هستند و
در این روش دیگر احتیاجی به حل λ1 و λ2 نیست. در همه حالات (مقادیر ویژه متمایز حقیقی، مقادیر ویژه تکراری حقیقی، مقادیر ویژه مختلط) دنباله ثابت است. (متغیر به مقدار ثابت، معمولاً صفر، همگراست) اگر و فقط اگر هر دو مقدار ویژه از مقدار ثابت کوچکتر باشند. در این معادله از مرتبه دو، این شرط برای مقادیر ویژه را می‌توان به صورت A| < 1 − B < 2| یا A| < 1 − B، |B| < 1| نشان داد.
مثال نوشته شده مشابه معادله زیر است ولی بدون عدد ثابت. اگر یک دنباله بازگشتی ناهمگن: b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}+K با عدد ثابت K را داشته باشیم، می‌توانیم آن را با روش زیر به معادله همگن تبدیل کنیم. در حالت دائمی (steady state) با جایگذاری *b به جای bn = bn−1 = bn−2 = bخواهیم داشت:
سپس معادله بازگشتی ناهمگن به شکل زیر به صورت همگن نوشته می‌شود:
که با روش‌های بالا قابل حل است.
شرط ثبات بیان شده در بالا از نظر مقادیر ویژه برای معادلات از مرتبه دو، به‌طور کلی برای معادلات مرتبه n نیز معتبر است. معادله پایدار است اگر و تنها اگر تمام مقادیر ویژه از مقدار ثابت در معادله مشخصه کوچکتر باشند.
روش حل > حل به روش جبر خطی

یک دنباله بازگشتی y از مرتبه n به صورت: y_{n+k}-c_{n-1}y_{n-1+k}-c_{n-2}y_{n-2+k}+\cdots -c_{0}y_{k}=0 است که برابر: y_{n}=c_{n-1}y_{n-1}+c_{n-2}y_{n-2}+\cdots +c_{0}y_{0} است و می‌توان این معادله درجه n را با یک سیستم درجه n معادلات خطی ترجمه کرد:
مشاهده می‌کنید که  {\vec {y}}_{n} را می‌توان با n برنامه کاربردی به دست آورد.
با تجزیه کردن  {\vec {y}}_{n}={\vec {C}}^{n}\,{\vec {y}}_{0}=c_{1}\,\lambda _{1}^{n}\,{\vec {e}}_{1}+c_{2}\,\lambda _{2}^{n}\,{\vec {e}}_{2}+\cdots +c_{n}\,\lambda _{n}^{n}\,{\vec {e}}_{n}  با روش تجزیه مقدار ویژه به مقادیر ویژه  \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} و بردارهای ویژه  {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\ldots ,{\vec {e}}_{n} می‌توان  {\vec {y}}_{n} را به دست آورد. با توجه به این واقعیت مهم که سیستم c هر بردار ویژه را با پوسته پوسته کردن اجزایش در λ دفعه، تجزیه می‌کند:
این یک نسخه از بردار ویژه است که اجزای λ برابر بزرگتر دارد و بردارهای ویژه توان‌های λ هستند
 {\vec {e}}_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{n-1}&\cdots &\lambda _{i}^{2}&\lambda _{i}&1\end{bmatrix}}^{T}
و بنابراین راه حل دنباله بازگشتی همگن خطی ترکیبی از توابع نمایی است   {\vec {y}}_{n}=\sum _{1}^{n}{c_{i}\,\lambda _{i}^{n}\,{\vec {e}}_{i}}. متغیرهای  c_{i} با استفاده از شروط اولیه به دست می‌آیند.
که ضرایب آن در زیر آمده:
هم چنین با شرایط مرزی دلخواه به دست می‌آید:
این توصیف، اگر چه روش کوتاهتری است، با روش کلی اولیه فرقی ندارد و همچنین برای حالت‌هایی که چند دنباله بازگشتی داریم، به کار می‌آید:
a_{n}=a_{n-1}-b_{n-1}
 b_{n}=2a_{n-1}+b_{n-1}
روش حل > حل با تبدیل z

معادلات تفاضلی خاص _ معادلات تفاضلی خطی با ضرایب ثابت_ با تبدیل z قابل حل‌اند. این تبدیلات، تبدیلات انتگرالی هستند که به دستکاری جبری مناسب تر و روش‌های مستقیم منجر می‌شود. این‌ها شرایطی اند که در آن‌ها به دست آوردن یک روش مستقیم غیرممکن است، ولی حل آن‌ها با روش تبدیل انتگرالی مستقیم است.
روش حل > قضایا

برای یک دنباله بازگشتی خطی همگن با ضریب ثابت و مرتبه d داریم:
که هر ci به ci در دنباله بازگشتی اصلی مربوط می‌شود. فرض کنید λ یک ریشه (p(t (چندجمله‌ای مشخصه) با درجه تکرار r است. همچنین گفته می‌شود که (p(t بر t−λ)r) بخش پذیر است. دو خاصیت زیر برقرارند:
هر یک از دنباله‌های r، معادله  \lambda ^{n},n\lambda ^{n},n^{2}\lambda ^{n},\dots ,n^{r-1}\lambda ^{n} را برای دنباله بازگشتی برآورده می‌سازند.
هر توالی صدق پذیر در رابطه بازگشتی را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از جواب‌های ایجاد شده در قسمت ۱ به دست آورد.
در نتیجه این قضیه یک دنباله بازگشتی خطی همگن با ضریب ثابت به صورت زیر حل می‌شود:
معادله مشخصه (p(t را پیدا کنید.
ریشه‌های معادله و تکرار آن را بیابید.
an را به صورت ترکیب خطی ریشه‌ها با توجه به تعداد تکرار آن‌ها با ضرایب ناشناخته bi بنویسید:
این همان جواب کلی برای دنباله بازگشتی اصلی است.
هر  a_{0},a_{1},\dots ,a_{d} را با  a_{0},a_{1},\dots ,a_{d} شناخته شده از دنباله بازگشتی اصلی یکسان فرض کنید. اگر چه مقادیر an از دنباله اصلی مرتبط نیستند، مگر در موارد استثنایی، فقط d مورد نیاز است. این روند یک سیستم خطی با معادلات d را درست می‌کند. حل این معادلات برای ضرایب نامعلوم  b_{1},b_{2},\dots ,b_{d} از راه حل کلی و جایگذاری آن در راه حل کلی یک روش خاص برای حل دنباله بازگشتی با شرایط اولیه به دست می‌آید.
روش حل معادلات تفاضلی خطی نیز مانند بالاست. حدس هوشمندانه برای معادلات تفاضلی خطی با ضریب ثابت eλx که λ یک عدد مختلط است، وجود دارد که با جایگزین کردن حدس در معادلات تفاضلی به دست می‌آید.
این یک قرارداد است. بسط تیلور یک روش حل برای معادلات تفاضلی خطی است:
دیده می‌شود که ضرایب این بسط برابر مشتق n ام تابع (f(x است. رابطه دیفرانسیلی مدل تفاضلی خطی ای را مربوط به این ضرایب ایجاد می‌کند. این هم‌ارزی می‌تواند برای حل روابط بازگشتی با ضرایب سری‌های توانی در راه حل معادلات تفاضلی خطی مورد استفاده قرار گیرد. قانون شست _ برای معادلات که در آن چندجمله‌ای ضرب دوره اول غیر صفر صفر است _این است:
و به صورت کلی تر:
به‌طور مثال، دنباله بازگشتی برای ضرایب بسط تیلور در دنباله زیر
به صورت زیر داده شده:
که همان
است. این مثال نشان می‌دهد که چگونه مشکلاتی که با روش‌های کلی توانی در کلاس معادلات تفاضلی قابل حل اند، با روشی ساده‌تر حل می‌شوند.
مثال: معادله تفاضلی  ay''+by'+cy=0 راه حل: y=e^{ax} را دارد. تبدیل این معادله به معادله تفاضلی با بسط تیلور به صورت زیر است:
که به آسانی دیده می‌شود که مشتق n ام eax در که در an ارزیابی می‌شود برابر صفر است.
روش حل > حل روابط بازگشتی ناهمگن

اگر رابطۀ بازگشتی ناهمگن باشد، جواب خاص را می‌توان با روش ضرایب نامعین به‌دست آورد. جواب کلی برابر است با مجموع جواب‌های روابط همگن و خاص. روش دیگر حل یک رابطۀ بازگشتی ناهمگن، روش مشتق‌گیری سمبلیک می‌باشد. برای مثال رابطۀ بازگشتی زیر را در نظر بگیرید:
که یک رابطۀ بازگشتی ناهمگن است. اگر  n+1 را به‌جای  n جایگزین کنیم، به رابطۀ بازگشتی زیر می‌رسیم:
با تفریق رابطۀ بازگشتی اصلی و رابطۀ به‌دست آمده، به رابطۀ زیر می‌رسیم:
یا
این یک رابطۀ بازگشتی همگن است که می‌توان آن را با روش‌های ذکر شده حل کرد. به‌صورت کلی، اگر یک رابطه بازگشتی خطی به شکل زیر وجود داشته باشد:
که در آن  \lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k-1} ضرائب ثابت و  p(n) ناهمگنی باشد، در صورتی که  p(n) چندجمله‌ای با درجۀ  r باشد، می‌توان این رابطۀ بازگشتی ناهمگن را به رابطۀ بازگشتی همگن با استفاده از روش مشتق‌گیری سمبلیک درجۀ  r تبدیل کرد اگر
تابع مولد ناهمگنی باشد و
تابع مولد رابطۀ بازگشتی ناهمگن باشد که در آن ضرائب ثابت ci به روش زیر بدست می‌آیند:
اگر (P(x تابع مولد گویا باشد، (A(x هم مانند آن خواهد بود. در حالت بالا، که pn = K ثابت است، (P(x) = K/(1−x نمونه‌ای از این فرمول خواهد بود. نمونه‌ای دیگر، رابطه بازگشتی  a_{n}=10a_{n-1}+n با ناهمگنی خطی است که از تعریف اعداد شیزوفرنیک بدست می‌آید. جواب روابط همگن به صورت p = P = ۰ است. به علاوه، برای روابط بازگشتی ناهمگن مرتبه اول عمومی با ضرائب متغیر
روش مناسبی برای حل وجود دارد.
فرض کنید
حال
روش حل > روابط بازگشتی همگن خطی کلی

بسیاری از روابط بازگشتی همگن خطی ممکن است با سری فوق هندسی تعمیم یافته حل شوند. شرایط خاصی از اینها منجر به چندجمله‌ای متعامد و بسیاری از توابع خاص می‌شوند. برای مثال راه حل دنباله زیر
به صورت  J_{n}=J_{n}(z) است. تابع بسل تا وقتی که  (b-n)M_{n-1}+(2n-b-z)M_{n}-nM_{n+1}=0\, باشد، به صورت  M_{n}=M(n,b;z)\, حل می‌شود که همریز سری فوق هندسی است.