گروه لی
تاریخچه

براساس موثق‌ترین منبع از تاریخچه ابتدایی گروه‌های لی (هاوکینز، صفحه ۱)، سوفوس لی زمستان ۱۸۷۳–۱۸۷۴ را به عنوان تاریخ تولد گروه‌های پیوسته در نظر گرفت. با این حال، هاوکینز پیش نهاد می‌دهد که «فعالیت تحقیقاتی شگرف لی طی دوره چهارساله از پاییز ۱۸۶۹ تا پاییز ۱۸۷۳» بود که منجر به خلق این نظریه شد (همان مرجع). برخی از ایده‌های اولیه لی در همکاری نزدیک با فلیکس کلاین شکل گرفتند. لی هر روز از اکتبر ۱۸۶۹ تا ۱۸۷۲ با کلاین ملاقات می‌کرد: در برلین از انتهای اکتبر ۱۸۶۹ تا پایان فوریه ۱۸۷۰، و طی دو سال بعدی در پاریس، گوتینگن و ارلانگن (همان مرجع، صفحه ۲). لی بیان نمود که تمام نتایج اصلی تا ۱۸۸۴ بدست آمده بودند. اما طی دهه ۱۸۷۰ میلادی، تمام مقالات او (به جز اولین یادداشت) در ژورنال‌های نروژی منتشر شده بودند، که مانع از شناخته شدن اثر او در بقیه اروپا شد (همان، صفحه ۷۶). در ۱۸۸۴ میلادی، یک ریاضیدان آلمانی به نام فریدریش انگل، برای کار سازمان یافته جهت ارائه نظریه اش در مورد گروه‌های پیوسته، نزد لی آمد. از تلاش‌های او، اثر سه جلدی Theorie der Transformationsgruppen حاصل شد که در سال‌های ۱۸۸۸ و ۱۸۹۰ و ۱۸۹۳ میلادی منتشر شدند. اصطلاح groupes de Lie اولین بار در ۱۸۹۳ میلادی در رساله شاگرد لی به نام آرتور ترسه (Arthur Tresse) در فرانسه ظاهر شد.
ایده‌های لی از بقیه ریاضیات منزوی باقی نماند. در حقیقت علاقه او به هندسه معادلات دیفرانسیل برای اولین بار از کارهای کارل گوستاو یاکوبی، در مورد نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول و معادلات مکانیک کلاسیک سرچشمه گرفت. بیشتر کارهای یاکوبی بعد از مرگش در دهه ۱۸۶۰ میلادی منتشر شد، که علاقه‌مندی‌های زیادی را در فرانسه و آلمان برانگیخت (هاوکینز، صفحه ۴۳). اثر لی با عنوان idée fixe، نظریه ای از تقارن‌های معادلات دیفرانسیلی را توسعه می‌داد که همان نقش اواریست گالوا برای معادلات جبری را در آنجا ایفا می‌نمود: یعنی، آن‌ها را براساس نظریه گروه‌ها رده‌بندی می‌کرد. لی و سایر ریاضی‌دانان نشان دادند که بیشتر معادلات مهم برای توابع خاص و همچنین چندجمله‌ای‌های متعامد، اغلب از تقارن‌های نظریه گروهی ظهور می‌کنند. در اثر اولیه لی، ایده ای مبنی بر ساخت نظریه ای از گروه‌های پیوسته وجود داشت، تا بدین طریق نظریه گروه‌های گسسته که در نظریه فرم‌های ماژولار (پیمانه‌ای) به دست فلیکس کلاین و آنری پوانکاره توسعه یافته بود را تکمیل کند. کاربرد اولیه‌ای که لی در ذهن داشت، مربوط به نظریه معادلات دیفرانسیل بود. براساس مدل نظریه گالوا و معادلات چندجمله‌ای، انگیزه اصلی این بود که با مطالعه تقارن‌ها نظریه ای شکل دهند که کل حوزه مربوط به معادلا دیفرانسیل معمولی را به وسیله آن متحد سازند. با این حال، آرزوی این که نظریه لی تمام معادلات دیفرانسیل معمولی را متحد کند، تحقق نیافت. البته روش‌های تقارنی برای ODEها هنوز هم مورد مطالعه اند، اما در این شاخه نقش غالب را ندارند. نظریه ای به نام نظریه گالوای دیفرانسیلی موجود است، ولی این نظریه توسط دیگرانی چون پیکارد (Picard) و وسیوت (Vessiot) توسعه داده شده و نظریه تربیعات (quadratures)، که انتگرال‌های نامعینی جهت بیان جواب‌ها لازم اند را ارائه می‌کند.
نیروی محرکه دیگری جهت بررسی گروه‌های پیوسته، از سوی ایده‌های برنهارت ریمان تأمین شد. این ایده‌ها مربوط به بنیادهای هندسه بودند که کلاین پیشرفت‌های بیشتری در آن‌ها ایجاد نمود. ازین رو، سه سبک اصلی ریاضیات قرن نوزدهم توسط لی ترکیب شدند تا بدین طریق نظریه جدیدش را پایه‌گذاری کند: ایده تقارن، که توسط گالوا و از طریق مفهوم جبری گروه بیان شد؛ نظریه هندسی و جواب‌های صریح در قالب معادلات دیفرانسیل از مکانیک، که توسط پواسون و یاکوبی ارائه شد؛ و فهم جدیدی از هندسه که در کارهای پلوک، موبیوس، گراسمان و سایرین ظهور یافت و همچنین در بینش انقلابی ریمان در ارتباط با این موضوع به حد اعلای خود رسید.
گرچه که امروزه، سوفوس لی را به درستی به عنوان خالق نظریه گروه‌های پیوسته می‌شناسند، قدم بلندی در پیشرفته نظریه ساختاری آن، توسط ویلهلم کیلینگ شکل گرفت که اثرات عمیقی در پیشرفت‌های بعدی ریاضیات داشت. ویلهلم کیلینگ در ۱۸۸۸ میلادی اولین مقاله از سری مقالات خود را با عنوان Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (به معنی: ترکیب گروه‌های تبدیلی متناهی پیوسته) منتشر ساخت (هاوکینز، صفحه ۱۰۰). اثر کیلینگ که بعد توسط الی کارتان تعمیم یافته و اصلاح شد، منجر به کشف و توسعه این موارد شد: رده‌بندی جبرهای لی نیم-ساده، نظریه فضاهای تقارنی، توصیف هرمان ویل در مورد نمایش‌های گروه‌های لی نیم-ساده و فشرده با استفاده از بالاترین وزن‌ها.
در ۱۹۰۰ میلادی، دیوید هیلبرت، متخصصان نظریه لی را با مسئله پنجمش به چالش کشید. او این مسئله را در کنگره جهانی ریاضی‌دانان در پاریس ارائه نمود.
ویل، موجب بارورسازی اولین دوره از توسعه و پیشرفت نظریه گروه‌های لی شد، چرا که نه تنها نمایش‌های تحویل‌ناپذیر گروه‌های لی نیم-ساده را رده‌بندی کرده و نظریه گروه‌ها را با مکانیک کوانتومی مرتبط نمود، بلکه با شفاف سازی تمایز بین گروه‌های بی‌نهایت‌کوچک‌ها (که در حقیقت همان جبرهای لی هستند) و گروه‌های لی واقعی، خود نظریه لی را بر شالوده‌های مستحکمی بنا نهاد و تحقیقات حول توپولوژی گروه‌های لی را آغاز نمود. نظریه گروه‌های لی، در تک‌نگاره‌ای توسط کلاود شوالی، به صورت نظام‌مند و به زبان ریاضیاتی نوین، مورد بررسی مجدد قرار گرفت.