بی‌نهایت

«بی‌نهایت» و «بی‌کران» به اینجا تغییر مسیر دارند. برای دیگر کاربردها، بی‌نهایت (ابهام‌زدایی) و بی‌کران (ابهام‌زدایی) را ببینید.
بی‌نهایت یا بی‌پایان مفهومی انتزاعی است که در رشته‌های گوناگون ریاضیات (با تعابیر گوناگون) به‌کار می‌رود و معمولاً به‌معنای «فراتر از هر مقدار» است و برای توصیف مقادیر بیش از هر عدد یا غیرقابل اندازه‌گیری به کار می‌رود. معمولاً نشانهٔ بی‌نهایت در ریاضیات ∞ است.
نماد بی‌نهایت در تایپ‌فیس‌های مختلف
بی‌نهایت از واژه لاتین finites به معنی نامحدود گرفته شده (علامت  \infty ) چیزی است که «محدود» نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
در آنالیز حقیقی بی‌نهایت به معنای حدی بیکران است.  x\rightarrow \infty  یعنی متغیر  x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.
در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته  x\rightarrow \infty 
یعنی قدر مطلق متغیر مختلط  x (که آن را با  |x| نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.
در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بی‌نهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با  \aleph _{0} نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بی‌نهایت» است. جالب است که بدانید عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف یک، می‌خوانند.
بی‌نهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند. مفهوم فیزیکی بی‌نهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بی‌نهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بی‌نهایت تشکیل می‌شود. اما قطعاً تصویر این دو دقیقاً در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بی‌نهایت برای این دو عدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارت‌های متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بی‌نهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بی‌نهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بی‌نهایت در ریاضیات است. در ریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.
این مفهوم، دقیقاً همان مفهومی است که در «حد در بی‌نهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.
یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه‌ها است. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و … بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.
است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر
عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزئی از همه اعداد طبیعی
هستند.
البته این نکته را نباید فراموش کرد که: مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر می‌باشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست.
در جمع‌بندی باید گفت: مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلاً می‌توان گفت: مجموعه اعداد طبیعی به ازای هر عدد خود یک عدد یک دارد.
والبته بودن یا نبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنان‌که بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی.