الگوریتم تقسیم
روش‌های تقسیم سریع > بخش نیوتن - رافسون

نیوتن - رافسون از روش نیوتن برای پیدا کردن معکوس D استفاده می‌کند و آن را ضرب می‌کند که با N معکوس می‌شود تا خارج‌قسمت نهایی Q را پیدا کند.
مراحل تقسیم نیوتن - رافسون عبارتند:
یک تخمین  X_{0} برای معکوس  1/D از مقسوم‌علیه  D محاسبه کنید.
محاسبه تخمین‌های دوطرفه پی‌درپی دقیق‌تر  X_{1},X_{2},\ldots ,X_{S} . این‌جایی است که فرد از روش نیوتن-رافسون به این‌ترتیب استفاده می‌کند.
خارج‌قسمت را با ضرب مقسوم در مقسوم‌الیه دوطرفه محاسبه کنید  Q=NX_{S} .
به منظور استفاده از روش نیوتن برای یافتن معکوس  D برای یافتن یک تابع  f(x) که دارای یک صفر در  x=1/D است، لازم است. تابع واضح این است که  f(x)=DX-1 اما تکرار نیوتن - رافسون برای این، بی‌فایده است، چون نمی‌تواند بدون دانستن معکوس بودن آن محاسبه شود.
D (علاوه بر آن، برای محاسبه متقابل دقیق در یک مرحله به جای امکان بهبود تکراری تلاش می‌کند). تابعی که کار می‌کند  f(X)=(1/X)-D است، که در آن تکرار نیوتن - رافسون، را می‌دهد.
که می‌توان از آن  X_{i} را فقط با استفاده از ضرب و تفریق، یا با استفاده از دو ترکیب ضرب - اضافه‌شده محاسبه کرد.
از دیدگاه محاسباتی، عبارات  X_{i+1}=X_{i}+X_{i}(1-DX_{i}) و  X_{i+1}=X_{i}(2-DX_{i}) معادل نیستند برای به دست آوردن نتیجه با دقت 2 n بیت در حالی که از عبارت دوم استفاده می‌کنند، باید نتیجه را بین  X_{i} و  (2-DX_{i}) محاسبه کند و با دقت مضاعف از  X_{i} (تعداد بیت) [نیازمند منبع] در مقابل، نتیجه بین  X_{i} و  (1-DX_{i}) فقط باید با دقت n بیت محاسبه شود زیرا n بیت‌های اصلی (پس از نقطه دودویی) از  (1-DX_{i}) صفر هستند.
اگر این خطا به این‌صورت تعریف شود:  \varepsilon _{i}=1-DX_{i} ، سپس:
این مربع خطا در هر گام تکرار - به اصطلاح هم‌گرایی درجه‌دوم روش نیوتن - رافسون - تأثیری دارد که تعداد ارقام صحیح در نتیجه تقریباً برای هر تکرار دوبرابر می‌شود. یک ویژگی که زمانی بسیار ارزشمند می‌شود که اعداد شامل بسیاری از ارقام باشند (به عنوان مثال در دامنه بزرگ عدد صحیح). اما به این معنی است که هم‌گرایی اولیه این روش می‌تواند نسبتاً کند باشد، به خصوص اگر تخمین اولیه  X_{0} انتخاب ضعیفی باشد.
برای مسئله فرعی انتخاب یک تخمین اولیه  X_{0} ، می‌توان یک تغییر بیتی به مقسوم‌علیه مشترک  D را اعمال کرد تا آن را در مقیاس   0.5\leqslant D\leqslant 1 قرار دهید؛ با اعمال همان تغییر بیت بر روی عدد N، اطمینان حاصل می‌شود که مقدار تغییر نمی‌کند. سپس می‌توان از تقریب خطی با این شکل استفاده کرد
برای دادن مقدار اولیه نیوتن-رافسون. برای شروع به کار انداختن نیوتن - رافسون. برای به حداقل رساندن حداکثر مقدار مطلق خطای این تخمین در فاصله  [0.5,1]، باید استفاده کرد.
ضرایب تخمین خطی به شرح زیر تعیین می‌شود. مقدار مطلق خطا است  |\varepsilon _{0}|=|1-D(T_{1}+T_{2}D)|. حداقل مقدار حداکثر مطلق خطا به وسیله قضیه Chebyshev equioscillation تعیین می‌شود  F(D)=1-D(T_{1}+T_{2}D) . مکان حداقلی که F(D) رخ می‌دهد  F'(D)=0 ، که راه حل دارد  D=-T_{1}/(2T_{2}). تابعی که در آن حداقل باید به عنوان تابع در نقاط نهایی باشد، یعنی  F(1/2)=F(1)=-F(-T_{1}/(2T_{2})) . دو معادله در دو مجهولی که راه حل منحصر به فردی دارد  T_{1}=48/17 و  T_{2}=-32/17 ، و حداکثر خطا است  F(1)=1/17 . با استفاده از این تخمین، مقدار مطلق خطا کم‌تر از مقدار اولیه است.
ایجاد یک چندجمله‌ای با درجه بزرگ‌تر از ۱، محاسبه ضرایب با استفاده از الگوریتم Remez امکان‌پذیر است. نکته اصلی این است که حدس اولیه به چرخه‌های محاسباتی بیشتری نیاز دارد، اما امید به تبادل برای تکرارهای کمتری از نیوتن - رافسون.
از آنجا که برای این روش همگرایی، دقیقاً درجه دوم است، به دنبال آن است که
این مراحل برای محاسبه ارزش تا دو رقم دودویی کافی هستند. این به ۳ مورد برای IEEE تک دقت و ۴ برای هر دو با دقت دو برابر و دو فرمت توسعه یافته ارزیابی می‌شود.