نظریه اشتورم-لیوویل

در ریاضیات و کاربردها، یک معادلهٔ اشتورم-لیوویل کلاسیک، نام‌گذاری شده به نام ژاک شارل فرانسوا استورم (۱۸۵۵-۱۸۰۳) و جوزف لیوویل (۱۸۸۲-۱۸۰۹) یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبهٔ دوم حقیقی به صورت
-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y      (معادله ۱)
است که در آن y تابعی از متغیر x می‌باشد. توابع  p(x)<0 و  w(x)>0 و  q(x) در ابتدا مشخص شده‌اند. در ساده‌ترین حالت، همهٔ ضرایب در بازهٔ متناهی  [a,b] پیوسته هستند و p دارای مشتق پیوسته است. در ساده‌ترین حالت، تابع y یک پاسخ خوانده می‌شود، اگر در  (a,b) به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر باشد و معادلهٔ بالا را در هر نقطه از بازهٔ (a،b) ارضا نماید. علاوه‌براین، معمولاً تابع y باید در a و b برخی شرایط مرزی را ارضا کند. تابع (w(x که گاهی با (r(x نمایش داده می‌شود تابع وزن یا تابع چگالی نامیده می‌شود.
مقدار λ در معادله مشخص نیست. یافتن مقادیری از λ که به ازای آن مقادیر، پاسخی غیربدیهی(پاسخ بدیهی یعنی جواب حاصل برابر صفر شود و غیر بدیهی یعنی جواب حاصل ناصفر شود) برای معادلهٔ ۱ که شرایط مرزی را نیز ارضا می‌کند وجود داشته باشد، جزئی از مسئله به نام مسئلهٔ اشتورم-لیوویل است. ( S–L) problem) )
این مقادیر λ اگر موجود باشند، ویژه‌مقدارهای مسئلهٔ مقدار مرزی تعریف شده توسط معادلهٔ بالا و شرایط مرزی تعیین شده خوانده می‌شوند. پاسخ‌های متناظر به هر λ، ویژه‌تابع‌های مسئله نامیده می‌شوند.
تحت فرضیات آورده شده در بالا برای ضرایب، این معادله و ضرایب آن، یک عملگر دیفرانسیلی هرمیتی در یک فضای تابع تعریف شده با شرایط مرزی تعریف می‌کنند. نظریه بررسی وجود و رفتار مجانبی ویژه‌مقدارها، بررسی کیفی ویژه‌تابع‌ها و تمامیت آن‌ها در یک فضای تابع مناسب با نام نظریه اشتورم-لیوویل خوانده می‌شود. این نظریه در ریاضیات کاربردی بسیار مهم است و مسائل اشتورم-لیوویل بسیار معمول هستند، به خصوص هنگام روبه‌رو شدن با معادلات دیفرانسیل خطی با مشتقات پاره‌ای جدایی‌پذیر.
| ن ب ونظریه طیفی و *-جبرها | ن ب ونظریه طیفی و *-جبرها |
| --- | --- |
مفاهیم پایه ای:  پیچش/*-جبر  جبر باناخ  بی*-جبر  سی*-جبر  توپولوژی ناجابجایی  اندازه تصویری-مقدار  طیف (آنالیز تابعی)  طیف یک سی*-جبر  شعاع طیفی  فضای عملگری 
نتایج اصلی:  قضیه گلفاند-مازور  قضیه گلفاند-نایمارک  نمایش گلفاند  تجزیه قطبی  تجزیه مقدارهای منفرد  قضیه طیفی  نظریه طیفی سی*-جبرهای نرمال 
عناصر/عملگرهای خاص:  ایزوطیفی  نرمال عملگر  هرمیتی/خود-الحاقی عملگر خودالحاقی  یکانی عملگر  واحد 
طیف (آنالیز تابعی):  قضیه کراین-روتمن  مقدارویژه نرمال  طیف یک سی*-جبر  شعاع طیفی  ناتقارنی طیفی  شکاف طیفی 
تجزیه طیف:  (طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی))  طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی)  گسسته  طول طیف 
قضیه طیفی:  حساب تابعی بورل  قضیه کمینه-بیشینه  اندازه تصویری-مقدار  پروژکتور ریس  فضای هیلبرت جعلی  قضیه طیفی  نظریه طیفی عملگرهای فشرده  نظریه طیفی سی*-جبرهای نرمال 
جبرهای خاص:  جبر باناخ رام‌شدنی  با یک همانی تقریبی  جبر تابع باناخ  جبر دیسکی  جبر یکنواخت 
متناهی-بعدی:  کران آلون-بوپانا  قضیه باور-فیکه  برد عددی  قضیه شور هورن 
تعمیم ها:  طیف دیراک  طیف اساسی  شبه-طیف  فضای ساختار (مرز شیلوف) 
متفرقه:  گروه اندیس مجرد  کوهمولوژی جبر باناخ  قضیه تجزیه کوهن-هویت  توسیع های عملگرهای متقارن  اصل محدود کردن جذب  عملگر بی‌کران 
مثال‌ها:  Wiener algebra 
کاربردها:  Almost Mathieu operator  Corona theorem  Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue)  Heat kernel  Kuznetsov trace formula  Lax pair  Proto-value function  Ramanujan graph  Rayleigh–Faber–Krahn inequality  Spectral geometry  روش‌های طیفی  Spectral theory of ordinary differential equations  نظریه اشتورم-لیوویل  Superstrong approximation  Transfer operator  Transform theory  Weyl law 
| ن ب ونظریه طیفی و *-جبرها | ن ب ونظریه طیفی و *-جبرها |
| --- | --- |
مفاهیم پایه ای:  پیچش/*-جبر  جبر باناخ  بی*-جبر  سی*-جبر  توپولوژی ناجابجایی  اندازه تصویری-مقدار  طیف (آنالیز تابعی)  طیف یک سی*-جبر  شعاع طیفی  فضای عملگری 
نتایج اصلی:  قضیه گلفاند-مازور  قضیه گلفاند-نایمارک  نمایش گلفاند  تجزیه قطبی  تجزیه مقدارهای منفرد  قضیه طیفی  نظریه طیفی سی*-جبرهای نرمال 
عناصر/عملگرهای خاص:  ایزوطیفی  نرمال عملگر  هرمیتی/خود-الحاقی عملگر خودالحاقی  یکانی عملگر  واحد 
طیف (آنالیز تابعی):  قضیه کراین-روتمن  مقدارویژه نرمال  طیف یک سی*-جبر  شعاع طیفی  ناتقارنی طیفی  شکاف طیفی 
تجزیه طیف:  (طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی))  طیف (آنالیز تابعی)  طیف (آنالیز تابعی)  گسسته  طول طیف 
قضیه طیفی:  حساب تابعی بورل  قضیه کمینه-بیشینه  اندازه تصویری-مقدار  پروژکتور ریس  فضای هیلبرت جعلی  قضیه طیفی  نظریه طیفی عملگرهای فشرده  نظریه طیفی سی*-جبرهای نرمال 
جبرهای خاص:  جبر باناخ رام‌شدنی  با یک همانی تقریبی  جبر تابع باناخ  جبر دیسکی  جبر یکنواخت 
متناهی-بعدی:  کران آلون-بوپانا  قضیه باور-فیکه  برد عددی  قضیه شور هورن 
تعمیم ها:  طیف دیراک  طیف اساسی  شبه-طیف  فضای ساختار (مرز شیلوف) 
متفرقه:  گروه اندیس مجرد  کوهمولوژی جبر باناخ  قضیه تجزیه کوهن-هویت  توسیع های عملگرهای متقارن  اصل محدود کردن جذب  عملگر بی‌کران 
مثال‌ها:  Wiener algebra 
کاربردها:  Almost Mathieu operator  Corona theorem  Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue)  Heat kernel  Kuznetsov trace formula  Lax pair  Proto-value function  Ramanujan graph  Rayleigh–Faber–Krahn inequality  Spectral geometry  روش‌های طیفی  Spectral theory of ordinary differential equations  نظریه اشتورم-لیوویل  Superstrong approximation  Transfer operator  Transform theory  Weyl law