پارادوکس برتراند (اقتصاد)
بررسی رفتار شرکت‌ها و تعادل نش

با توجه به شرایط گفته شده، در هر لحظه (به جز لحظه‌ای که قیمت هر دو هزینهٔ نهایی باشد)، اگر هر یک از شرکت‌ها قیمتش را از شرکت دیگر پایین‌تر برد؛ آن‌گاه کل بازار و سود بیشتری را به دست خواهد آورد. از آنجا که هر دو شرکت این را می‌دانند، هر کدام تلاش می‌کنند تا قیمتشان را از رقیب خود پایین‌تر ببرند تا زمانی که محصول با سود صفر به فروش برسد (قیمت فروش برابر با هزینهٔ نهایی شود). نشان می‌دهیم که این تنها تعادل نش با استراتژی‌های خالص بازی می‌باشد.
فرض می‌کنیم که هزینهٔ نهایی شرکت‌ها به ازای یک محصول مقدار C می‌باشد. ابتدا ثابت می‌کنیم که نقطهٔ  (C,C) (برای قیمت فروش) یک تعادل نش می‌باشد. برای این که یک استراتژی پروفایل تعادل نش باشد؛ می‌بایست هیچ‌یک از شرکت‌کننده‌ها انگیزه‌ای برای تغییر استراتژی خود نداشته باشد (با تغییر استراتژی خود سود نکند) و استراتژی‌اش بهترین پاسخ به استراتژی رقیب (در بازی‌های بیش از دونفره رقبا) باشد.
حال فرض می‌کنیم  P_{1}=P_{2}=C. در این شرایط سود هر دو شرکت برابر صفر می‌باشد. شرکت ۱ به دو طریق می‌تواند استراتژی خود را تغییر دهد:
کاهش قیمت خود به  P_{1}'<C: در این صورت با توجه به این که  P_{1}'<P_{2}، تمام فروش بازار به سمت شرکت ۱ می‌رود. اما با توجه به این که  P_{1}'<C، شرکت ۱ به ازای فروش هر محصول متحمل ضرر می‌شود؛ بنابراین شرکت ۱ انگیزه‌ای برای کاهش قیمت خود نداشته و این استراتژی بهترین پاسخ به استراتژی شرکت ۲ می‌باشد.
افزایش قیمت خود به  P_{1}'>P_{2}: در این حالت نیز، با توحه به این که  P_{1}'>P_{2}، تمام فروش بازار نصیب شرکت ۲ شده و سود شرکت یک همچنان صفر باقی می‌ماند. پس در این حالت نیز شرکت ۱ انگیزه‌ای برای کاهش قیمت خود و تغییر استراتژی‌اش ندارد.
با توجه به متقارن بودن بازی، استدلال‌های بالا برای شرکت ۲ نیز برقرار می‌باشند؛ بنابراین پروفایل استراتژی  (C,C)، یک تعادل نش خالص برای این بازی می‌باشد.
اکنون نشان می‌دهیم که هیچ تعادل خالص دیگری برای بازی وجود ندارد. چهار حالت کلی وجود داشته که هر یک را بررسی می‌کنیم. در هر حالت فرض می‌شود که از بین  P_{i} و  P_{j}، یکی قیمت شرکت ۱ و دیگری قیمت شرکت ۲ باشد.
اگر داشته باشیم  P_{i}>P_{j}>C، در این حالت سود شرکت  j مقداری مثبت و سود شرکت  i برابر با صفر می‌باشد. در این شرایط با توجه به این که قیمت‌ها اعداد حقیقی می‌باشند، شرکت  i با تغییر قیمت خود به  P_{i}-\epsilon  به طوری که شرط  P_{j}>P_{i}-\epsilon >C برقرار باشد؛ تمام بازار را به دست آورده و سود مثبتی خواهد داشت. پس استراتژی  i بهترین پاسخ به استراتژی شرکت  j نبوده و این پروفایل استراتژی تعادل نش نمی‌باشد.
اگر داشته باشیم  P_{i}>P_{j}=C، در این حالت سود هر دو شرکت برابر با صفر می‌باشد. در این شرایط شرکت  j می‌تواند با تغییر استراتژی و افزودن مقدار  \epsilon  به قیمتش، به طوری که  P_{i}>P_{j}+\epsilon ، همچنان تمام فروش بازار را در دست داشته و سود مثبت نیز به دست می‌آورد. پس این پروفایل استراتژی نیز تعادل نش نمی‌باشد.
اگر داشته باشیم  P_{i}=P_{j}>C، در این حالت سود هر دو شرکت برابر با مقداری مثبت می‌باشد. حال، هر یک از دو شرکت (در این‌جا فرض می‌کنیم  i)، می‌توانند با کاهش قیمت خود به مقداری برابر  P_{i}-\epsilon  به طوری که  P_{i}-\epsilon >C و  D(P_{i}-\epsilon )>{\frac {D(P_{i})}{2}}، تمام بازار را به دست آورده و سود خود را افزایش دهد.
در تمام حالاتی که  P_{i}<C یا  P_{j}<C، شرکتی که قیمت فروش کمتری دارد متحمل ضرر می‌شود. این شرکت با افزایش قیمت خود به هر مقداری که از قیمت فروش شرکت رقیب بالاتر باشد، تمام بازار را به رقیب داده و سود خود را به صفر می‌رساند (در واقع سود خود را افزایش می‌دهد). پس استراتژی فعلی او بهترین پاسخ به استراتژی رقیب نبوده و این پروفایل استراتژی نیز تعادل نش نمی‌باشد.
با توجه به این موارد، این بازی هیچ تعادل نش با استراتژی‌های خالص دیگری ندارد؛ بنابراین پروفایل استراتژی  (C,C) تنها تعادل نش با استراتژی‌های خالص بازی می‌باشد.
البته تحقیقات اخیر نشان داده‌است که با توجه به اینکه سود انحصاری بی‌نهایت است، ممکن است یک تعادل نش با استراتژی‌های ترکیبی با سود اقتصادی مثبت وجود داشته باشد. در مورد حالتی با سود انحصاری محدود، نشان داده شده‌است که سود مثبت تحت شرایط رقابت قیمتی، در تعادل ترکیبی و حتی در حالت کلی‌تر در تعادل‌های همبسته غیرممکن می‌باشد.