توزیع توانی
توزیع‌های احتمال توانی

به صورت آزادتر، یک توزیع احتمال توانی، نوعی توزیع است که تابع چگالی (یا تابع جرم در حالات گسسته)، برای مقادیر بزرگ x این فرم را دارد:
P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}
که در آن  \alpha >1، و  L(x) یک تابع با تغییرات آهسته است، یعنی هر تابعی است که در این رابطه  \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1 برای هر فاکتور مثبت r برقرار است. این ویژگی  L(x) به صورت مستقیم از این نیازمندی که  p(x) به صورت مجانبی ثابت مقیاسی است، پیروی می‌کند؛ از این رو فرم  L(x) تنها کنترل‌کننده شکل و گستره محدود برای دنباله پایینی است. برای مثال، اگر  L(x) یک تابع ثابت باشد، آنوقت ما یک توانی داریم که برای تمام مقادیر  x برقرار است. در خیلی از حالات، راحت‌تر است که یک حد پایین  x_{\mathrm {min} } را فرض کرد که از آن مقدار، قانون برقرار می‌شود. با ترکیب این دو حالت و این فرض که x یک متغیر پیوسته‌است، توانی فرم زیر را دارد
p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },
در اینجا پیش-فاکتور  {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}} یک ثابت بهنجارسازی است. ما اکنون می‌توانیم ویژگی‌های مختلف این توزیع را در نظر بگیریم. برای مثال گشتاور آن به صورت زیر است
\langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}
که تنها برای  m<\alpha -1 تعریف شده‌است. یعنی همه گشتاورهای  m\geq \alpha -1 واگرا هستند: موقعی که  \alpha \leq 2 میانگین و همه گشتاورهای سطح بالاتر بینهایت می‌باشند؛ موقعی که  2<\alpha <3 میانگین وجود دارد، اما واریانس و گشتاورهای سطح بالاتر بینهایت اند و غیره. برای نمونه‌های با سایز محدود، که از این توزیع بیرون کشیده شده‌اند، این رفتار به معنی آن است که برآوردگرهای گشتاور مرکزی (مثل میانگین و واریانس) برای گشتاورهای واگرا هیچ وقت همگرا نمی‌شوند - یعنی مادامیکه داده بیشتری جمع‌آوری می‌شود آنها شروع به رشد می‌کنند. به این نوع توزیع‌های احتمال توانی، توزیع‌های با نوع پارتو، توزیع‌های با دنباله پارتو، یا توزیع‌های دارای دنباله‌های به صورت منظم متغیر گفته می‌شود.
یک اصلاح، که در فرم عمومی بالا برآورده نمی‌شود و یک محل مقطع نمایی دارد، به این صورت است:
p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.
در این توزیع، عبارت زوال  \mathrm {e} ^{-\lambda x} در نهایت، در مقادیر بسیار زیاد x، بر رفتار توانیی غلبه می‌کند. این توزیع مقیاس پذیر نیست و بنابراین، از نظر مجانبی، یک توانی نیست؛ با این حال در یک فضای محدود قبل از نقطه قطع، مقیاس پذیر است. (توجه کنید که حالت اصلی بالا نیز مجموعه‌ای از این خانواده است که در آن  \lambda =0 می‌باشد). این توزیع جایگزین معمولی برای توزیع توانی مجانبی است، زیرا به صورت طبیعی اثرات سایز-محدود را در اختیار می‌گیرد.
توزیع‌های توییدی خانواده ای از مدل‌های آماری اند که با تحت «جمع» و «درهم‌پیچی» و نیز تحت «تبدیل‌های مقیاسی» بسته هستند(بستار تشکیل می‌دهند). از این رو، این مدل‌ها همه بیان کننده یک رابطه توانیی بین واریانس و میانگین هستند. این مدل‌ها نقش اساسی ای به عنوان کانون‌های همگرایی ریاضی دارند، مشابه نقشی که توزیع نرمال، به عنوان مرکزیت، در قضیه حد مرکزی دارد. این نوع تأثیر همگرایی توضیح می‌دهد که: چرا توانیی واریانس-به-میانگین به صورت گسترده‌ای در فرایندهای طبیعی ظاهر می‌شود، مثل قانون تیلور در بوم‌شناسی و مقیاس‌های نوسانی در فیزیک. همچنین می‌توان نشان داد که توانیی واریانس-به-میانگین، موقعی که در روش بازکردن جعبه نشان داده می‌شود، به معنی وجود نویز 1/f هستند، و اینکه 1/f درصد از نویز می‌تواند به عنوان نتیجه این تاثیر همگرایی توییدی بروز کند.