قانون اشتفان–بولتسمان
منشاء

مشتق ترمودینامیکی چگالی انرژی
این مشتق از رابطه بین فشار تابش P  و چگالی انرژی داخلی استفاده می کند، این رابطه که با استفاده از تانسور تنش انرژی الکترومغناطیسی به صورت زیر نشان داده می شود:
 p={\frac {u}{3}}.
و رابطه ترمودینامیکی زیر:
 dU=T\,dS-p\,dV,
و بعد تقسیم آن به  dV در دمای ثابت و با کمک یکی از روابط ماکسول  (Maxwell relations) نهایتا: \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}. \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.
از تعریف چگالی انرژی بدست می آید که:
 U=uV
که در آن چگالی انرژی تابش فقط به دما بستگی دارد بنابراین:
 \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.
و نهایتا برابر است با:
 u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,و فشار، نرخ (Rate) تغییرات تکانه بر واحد سطح است و از آنجایی که که تکانه فوتون برابر است با تقسیم انرژی بر سرعت نور:
 u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},
جایی که یک سوم از پیش بینی انتقال تکانه در حالت نرمال به دیواره ظرف می آید. از آنجایی مشتق جزئی  \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V} می توان به عنوان رابطه ای بین  u و  T (در حالتی که آن را در ظرف برابری جدا کنیم)، مشتق جزئی را می توان با مشتق معمولی جایگزین کرد. {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}} و برابر  u=AT^{4} است.
مشتق از قانون پلانک( اسخراج قانون استفان-بولتزمن از قانون پلانک)
این قانون را می توان با در نظر گرفتن یک سطح کوچک و مسطح جسم سیاه(Black body) که به صورت نیمکره به بیرون تابش می کند به دست آورد. این مشتق از مختصات کروی با θ به عنوان  زاویه اوج و φ به عنوان زاویه ازیموتال(azimuthal angle) استفاده می کند.و سطح کوچک و مسطح جسم سیاه روی صفحه xy قرار دارد ، جایی که   θ =  \pi /2 است.
شدت نور ساطع شده از جسم سیاه(Black body) توسط قانون پلانک مشخص می شود.
 I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}, 
که در آن:
I(\nu ,T) مقدار توان در واحد سطح در واحد زاویه جسم در واحد فرکانس است که در فرکانس  \nu  توسط جسم سیاه(Black body) در دمای T منتشر می شود
h ثابت پلانک
c سرعت نور (speed of light)
k ثابت بولتزمن
مقدار  I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega  توان تابشی است که توسط صفحه ای از سطح A از طریق یک زاویه جسم(Solid angle) dΩ در محدوده فرکانس بین ν و ν + dν قرار دارد.قانون استفان-بولتزمن توان ساطع شده در واحد سطح جسم ساطع کننده را نشان می دهد:
 {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega 
برای استخراج قانون استفان-بولتزمن باید 



d
Ω
=
sin
⁡
θ

d
θ

d
φ


{\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }

 را روی نیمکره و حد های انتگرال  \nu  را ار 0 تا ∞ ادغام می کنیم.
 {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}
 {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu 
برای حل این انتگرال:
 {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}
که بدست می آید:
 {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.
این یک نوع خاص از یک انتگرال اینشتین است.این اتگرال برابر: \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}} (که  \Gamma (s) تابع گاما است)
این نتیجه را می دهد که برای یک سطح جسم سیاه(Black body) کامل:
 M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.
در نهایت، این اثبات تنها با در نظر گرفتن یک سطح کوچک شروع شد.درحالی که، هر سطح قابل تمایز را می توان با مجموعه ای از سطوح مسطح کوچک تقریب زد.تا زمانی که هندسه سطح باعث نشود جسم سیاه(Black body) تابش خود را دوباره جذب کند. کل انرژی تابش شده فقط مجموع انرژی های تابش شده توسط هر سطح است، و مساحت کل فقط مجموع مساحت های هر سطح است،بنابراین این قانون  برای تمامی اجسام سیاه محدب نیز صادق است، تا زمانی که سطح ، در سرتاسر دمای یکسانی داشته باشد. این قانون با استفاده از این واقعیت که بدنه محدب (Convex hull) یک جسم سیاه تابش کند، به تابش اجسام غیر محدب گسترش می یابد.
چگالی انرژی (انرژی حجمی)
چگالی انرژی کل U را می توان مشابها بدست آورد، با این تفاوت که دیگر کسینوس وجود ندارد(کل کره مدنظر است) و شار انرژی (U c) باید بر سرعت c تقسیم شود تا چگالی انرژی U بدست آید:
 U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega 
سپس 




∫

0


π

/

2


cos
⁡
θ
sin
⁡
θ

d
θ


{\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }

 به جای 




∫

0


π


sin
⁡
θ

d
θ


{\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }

 و در نهایت با اضافه کردن ضریب چهار:
 U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}
که  {\frac {4}{c}}\sigma  به عنوان ثابت تابش یا ثابت چگالی تابش شناخته می شود.