استقرای ریاضی
استقرای کامل

نوعی از استقرای ریاضی، که استقرای کامل (یا استقرای قوی یا روش استقرای ارزش‌ها) نامیده می‌شود، می‌گوید که در مرحلۀ دوم ممکن است ما فرض کنیم که نه تنها این حالت برای  n=k درست است، بلکه برای همۀ  n-های کمتر یا مساوی با  k نیز درست می‌باشد. در واقع تفاوت این نوع از استقرا با استقرای ساده، تنها در فرض استقرا است.
استقرای کامل زمانی که موارد بیشماری از فرض استقرایی برای هر مرحلۀ استقرا نیاز است، بسیار مفید می‌باشد. برای نمونه، استقرای کامل می‌تواند برای اثبات فرمول فیبوناچی استفاده شود. فرمول فیبوناچی برای  n-اُمین عدد با عبارت پایین برابر است (در اینجا  \varphi  (فی) همان عدد طلایی است که با   {\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}  برابر است):
F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}
درستی جملۀ عمومی را می‌توان از روش استقرای کامل ریاضی اثبات کرد.
برای  n=0 داریم:
F(0)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}}{\sqrt {5}}}={\frac {1-1}{\sqrt {5}}}=0
برای  n=1 داریم:
F(1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}=1
در نتیجه برای  n=0 و  n=1 فرمول درست است.
حال با فرض درستی رابطه برای  n\leq k، می‌خواهیم فرمول را برای  n=k+1 ثابت کنیم.
برای  n=k داریم:
F(k)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}
برای  n=k-1 داریم:
F(k-1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}
حال فرمول را برای  F(k+1) که برآیه  F(k) و  F(k-1) است، ثابت می‌کنیم:
{\begin{aligned}F\left(k+1\right)&=F\left(k\right)+F\left(k-1\right)\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}+{\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}}{\sqrt {5}}}\end{aligned}}
یکی دیگر از اثبات‌ها با استقرای کامل از این فرضیه، که این حالت برای همۀ  n-های کوچک‌تر به‌طور کامل درست است، استفاده می‌کند. حالتی که هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ برآمده از (یک یا چند) عدد اول است را در نظر بگیرید و فرض کنید که برای یک  m داده شده و  m>1، برای همۀ  n>1-های کوچک‌تر درست است. اگر  m عدد اول باشد، پس قطعاً یک برآمده از اعداد اول است، و اگر نه، پس بنابر تعریف آن برآمدۀ  m=n_{1}\cdot n_{2} است، که در آن هیچ‌یک از عوامل برابر با ۱ نیست. از این رو با  m برابر نیست، و به همین ترتیب هر دو کوچک‌تر از  m می‌باشند. حال فرض استقرا به  n_{1} و  n_{2} اعمال می‌شود، بنابراین هر یک برآمده‌ای از اعداد اول استند. پس  m برآمده‌ای از اعداد اول است. برای نمونه یک برآمده از اعداد اول.
این تعمیم از استقرای کامل، برابر است با استقرای عادی ریاضی. فرض کنید که  P(n) حالتی است که ما قصد داریم آن را با استقرای کامل اثبات کنیم. اجازه دهید  Q(n) به معنای  P(m) برای همۀ  m-ها به‌طوری‌ که  0\leq m و  m\leq n باشد. پس  Q(n) برای همه  n-ها درست است اگر و تنها اگر  P(n) برای تمام  n-ها درست باشد، و یک اثبات  P(n) با استقرای کامل با یک اثبات  Q(n) توسط استقرا (عادی) کاملاً یکسان است.