دارایی ریسکی
مطلوبیت حاصل از میانگین و واریانس

یکی از رویکردهای انتخاب تحت عدم اطمینان توصیف توزیع‌های احتمالی می‌باشد که موضوعشان بررسی انتخاب با تعداد کمی از متغیرها است، البته با این فرض که تابع مطلوبیت روی این متغیرها تعریف شده‌باشد. شناخته‌ترین مثال از این رویکرد مدل میانگین-واریانس می‌باشد.
در مدل میانگین-واریانس فرض می‌کنیم که مطلوبیت حاصل از یک توزیع احتمال که به سرمایه گذار ثروت ws را با احتمال πs می‌دهد را می‌توان به صورت یک تابع از میانگین و واریانس آن توزیع بیان‌کرد، همچنین می‌توان مطلوبیت را به صورت تابعی از میانگین و انحراف معیار بیان‌کرد.
اگر انتخاب‌هایی که می‌کنیم را بتوان به‌طور کامل با میانگین و واریانس مشخص کرد پس یک تابع مطلوبیت برای میانگین و واریانس قادر خواهد بود که انتخاب‌ها را همانند یک تابع مطلوبیت انتظاری رتبه‌بندی کند. علاوه بر این حتی اگر توزیع احتمال نتواند به‌طور کامل با میانگین و واریانس مشخص شود، مدل میانگین-واریانس همانند یک تقریب مستدل برای مدل مطلوبیت انتظاری به خوبی به کار می‌آید.
اکنون با استفاده از مدل میانگین-واریانس یک مسئلهٔ سادهٔ مالی را تحلیل می‌کنیم. فرض کنید که شما می‌توانید در دو دارایی متفاوت سرمایه‌گذاری کنید، یکی از آن‌ها دارایی بدون ریسک است که همیشه یک نرخ بهرهٔ ثابت rf پرداخت می‌کند، و دیگری دارایی ریسکی X است که ws نرخ بهره این دارایی است، اگر حالت s رخ دهد و πs احتمال رخ دادن این حالت می‌باشد، فرض می‌کنیم rm نرخ بهرهٔ انتظاری این دارایی ریسکی و σw انحراف معیار آن باشد. البته این را هم فرض می‌کنیم که هر فرد می‌تواند ترکیبی از این دو دارایی را انتخاب کند و مجبور نیست فقط یک دارایی را انتخاب کند، به‌طور مثال اگر t واحد از ثروت خود را در دارایی ریسکی و بقیه را در دارایی بدون ریسک سرمایه‌گذاری کنید نرخ بهرهٔ مورد انتظاری در سبد مالی شما به صورت زیر می‌باشد:

rx = trm+(1-t)rf
پس نرخ بهرهٔ مورد انتظاری روی این سبد مالی، میانگین نرخ‌های بهرهٔ انتظاری وزن‌دار می‌باشد، و واریانس و انحراف معیار سبد مالی به صورت زیر می‌باشد:
σx۲=t۲σm۲ ,
σx=tσm
منطقی است فرض کنیم که rm>rf است زیرا یک سرمایه‌گذار ریسک گریز هرگز یک دارایی ریسکی را که نرخ بهرهٔ کمتر از دارایی بدون ریسک دارد را قبول نمی‌کند. و این بیانگر این است که اگر شما یک سهم بیشتری از ثروت خود را در دارایی ریسکی سرمایه‌گذاری کنید، بهرهٔ انتظاری بیشتری هم دریافت می‌کنید البته در حالی که شما با ریسک بیشتری مواجه شده‌اید، که در شکل ۱ نمایش داده شده‌است:
در شکل بالا خط بودجه هزینهٔ بهرهٔ انتظاری بیشتر را در مقابل افزایش انحراف معیار بهره اندازه گیری می‌کند.
سبد مالی بهینه مطابق با نقطه‌ای در شکل است که منحنی بی‌تفاوتی مماس با خط بودجه باشد. در نقطه بهینه انتخاب بهره و ریسک، شیب منحنی بی تفاوتی برابر با شیب خط بودجه‌است که به این شیب قیمت ریسک می‌گویند، که چگونگی بده بستان بهره و ریسک را بیان می‌کند و به صورت زیر محاسبه می‌شود:

p=(rm-rf)/σm
اکنون فرض کنید یک دارایی ریسکی دیگری به اسم Y وجود دارد که میانگین آنry و انحراف معیار آن σy باشد که ry>rx و σy>σx است، که در شکل ۲ نمایش داده شده‌است:
همانگونه که مشاهده می‌شود سرمایه‌گذاری در دارایی Y و دارایی بدون ریسک بهتر از سرمایه‌گذاری در دارایی X و دارایی بدون ریسک می‌باشد زیرا منحنی بی‌تفاوتی بالاتری که بیان کنندهٔ مطلوبیت بیشتری هست بر آن خط بودجه آن مماس است. البته مقداری از دارایی ریسکی که فرد می‌خواهد در آن سرمایه گذاری کند خیلی مهم است، زیرا اگر بخواهد همهٔ ثروت یا هیچ مقداری از آن را در دارایی X یا Y سرمایه‌گذاری کند نتیجهٔ دیگری بدست می‌آید، به‌طور مثال در شکل بالا مصرف‌کننده ترجیح می‌دهد که همهٔ ثروت خود را در دارایی X سرمایه‌گذاری کند تا اینکه همهٔ دارایی خود را در دارایی Y سرمایه‌گذاری کند به این دلیل که X روی منحنی بی تفاوتی بالاتری نسبت به Yقرار می‌گیرد، اما اگر او بتواند ترکیبی از آن‌ها را انتخاب کند او همیشه ترکیب دارایی ریسکی Y و بدون ریسک را به ترکیب X و بدون ریسک ترجیح می‌دهد.