مشبکه (ترتیب)
مشبکه‌ها به عنوان مجموعه‌های مرتب جزئی

اگر  \left(\geq ,L\right) یک مجموعه مرتب جزئی باشد و  S یک زیر مجموعه دلخواهی از  L باشد، آنگاه  u\in L یک کران بالا برای  S است اگر به ازای هر  s\in S داشته باشیم:  s\leq S. یک مجموعه ممکن است چند کران بالا داشته باشد یا اصلاً کران بالا نداشته باشد. یک کران بالا  u از  S را هنگامی کوچکترین کران بالا یا سوپریمم می‌نامیم که به ازای هر کران بالای دیگری چون  x داشته باشیم:  u\leq x یک مجموعه حتماً کوچکترین کران بالا ندارد ولی نمی‌تواند بیش از یکی داشته باشد. دوگان بحث فوق:  l\in L یک کران پایین برای  S است اگر به ازای هر  s\in S داشته باشیم:  l\leq s. یک کران پایین  l از  S را هنگامی بزرگترین کران پایین یا اینفیمم می‌نامیم که به ازای هر کران پایین دیگری چون  x داشته باشیم  x\leq 1. یک مجموعه ممکن است چند کران پایین داشته باشد، یا اصلاً کران پایین نداشته باشد ولی می‌تواند حداکثر یک بزرگترین کران پایین داشته باشد.
یک مجموعه مرتب جزئی  \left(\geq ,L\right) را یک جوین-نیم-مشبکه می‌نامند اگر هر زیر مجموعه دو عضوی  \{a,b\} از  L دارای جوین (یا  a\vee b) باشد و یک میت-نیم-مشبکه است اگر  \{a,b\} مذکور دارای میت (یا  a\wedge b) باشد. حال  \left(\geq ,L\right) یک مشبکه نامیده می‌شود اگر هم یک جوین-نیم-مشبکه و هم یک میت-نیم-مشبکه باشد. این‌ها عمل های دوتایی  \vee  و  \wedge  را تعریف می کنند. هر دو عملگر نسبت به ترتیب داده شده خاصیت یکنوایی دارند، یعنی:  a_{1}\leq a_{2} و  b_{1}\leq b_{2} نتیجه می دهد که  a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2} و  a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}.
با استدلال استقرایی ثابت می‌شود که هر زیر مجموعه ناتهی متناهی مشبکه دارای یک سوپریمم و اینفیمم است. با فرض های اضافی، نتیجه‌های بیشتری ممکن است به دست آید. برای ادامه این بحث، مقاله کامل‌بودن را در نظریه ترتیب ببینید. در آن مقاله این که چگونه می توان تعریف بالا را بر اساس وجود الصاق های گالوایی مناسب بین مجموعه های جزئی مرتب مربوط بازنویسی نمود، مورد بحث قرار گرفته است. رهیافت مذکور برای رهیافت نظریه رسته‌ای به مشبکه ها و همچنین برای تحلیل مفهوم صوری مناسب است.
یک مشبکه کراندار، مشبکه‌ای است که دارای بزرگترین عضو (که به آن ماکسیمم یا عنصر بالا هم گفته شده و آن را با  1 یا  \top  نیز نشان می دهند) و کوچکترین عضو (که به آن مینیمم یا عنصر پایین هم گفته شده و آن را با  0 یا  \bot  نیز نشان می دهند) است به طوری که تمام اعضای آن بین این دو عضو قرار می گیرند:
هر مشبکه را می توان در یک مشبکه کراندار با اضافه کردن عناصر جدیدی به عنوان ماکسیمم و مینیمم نشاند، و هر مشبکه متناهی ناتهی کراندار است. چرا که برای یک مشبکه متناهی می توان جوین و میت تمام عناصر را به ترتیب به صورت  \bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n} و  \bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n} بدست آورد که در آن ها  L=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}، سپس این دو را به مشبکه متناهی مورد نظر افزوده و اینگونه به ترتیب ماکسیمم و مینیمم را با مشبکه اجتماع کردیم و اینچنین مشبکه (در صورتی که قبلاً کراندار نبوده است) را کراندار کرده ایم.
یک مجموعه جزئی مشبکه کراندار است اگر و تنها اگر هر زیر مجموعه متناهی از عناصرش دارای جوین و میت باشد. برای هر عنصر  x از یک پوست (POSET، مجموعه جزئی مرتب)  \forall a\in \varnothing :x\leq a و  \forall a\in \varnothing :a\leq x به طور بدیهی برقرار است (یعنی به انتفای مقدم برقرار است) و لذا هر عضو از پوست هم کران بالا و هم پایین مجموعه تهی است. نتیجتاً جوین مجموعه تهی  \bigvee \varnothing =0 و میت مجموعه تهی  \bigwedge \varnothing =1 است. این نتیجه گیری با شرکت پذیر بودن و جابجایی بودن میت و جوین سازگار است: جوین اجتماع مجموعه های متناهی برابر جوین جوین های مجموعه هاست، و دوگان آن برای میت هم برقرار است. به طور دقیق تر برای زیرمجموعه های متناهی  A,B\in L داریم:
و
حال اگر در اتحادهای بالا  B تهی باشد اتحادهای زیر بدست می آیند:
و
که با این حقیقت که  A\cup \emptyset =A سازگار است.
گویند که یک عنصر دلخواهی از مشبکه چون  y، عنصر دیگری چون  x را پوشش می دهد اگر  y>x، اما هیچ عنصری چون  z وجود نداشته باشد به طوری که  y>z>x. در اینجا  y>x به معنای  x\leq y و  x\neq y است.
گویند مشبکه  \left(L,\leq \right) مدرج است (برخی مواقع به آن رتبه‌ای نیز می گویند، اما با پوست رتبه ای یا Ranked POSET اشتباه نشود) اگر بتوان آن را مجهز به تابع رتبه کرد. این تابع با r نامگذاری شده و از  L به  \mathbb {N}  می رود، برخی مواقع هم-دامنه آن  \mathbb {Z}  است. ویژگی این تابع سازگاری با ترتیب است (یعنی از  x<y نتیجه می شود  r(x)<r(y))، چنان که هرگاه  y عنصر  x را بپوشاند خواهیم داشت  r(y)=r(x)+1. مقدار تابع رتبه برای یک عنصر مشبکه را رتبه آن عنصر گویند.
برای زیرمجموعه دلخواهی از یک مشبکه چون  H\subseteq L، میت و جوین محدود به توابع جزئی (یعنی دیگر بر روی کل دامنه تعریف نمی شوند) می شوند، اینگونه که اگر مقادیر میت و جوین یک عنصر در زیرمجموعه  H نباشد، میت و جوین آن عنصر تعریف نشده در نظر گرفته می شود. ساختار حاصل روی  H را مشبکه جزئی گویند. به علاوه این تعریف برونگرا که مشبکه را بر اساس ساختار جبری دیگری (یعنی مشبکه دیگری) تعریف می کند، یک مشبکه جزئی را به صورت ذاتی و درونگرا نیز می توان تعریف کرد، اینگونه که میت و جوین را به صورت توابع جزئی تعریف کنیم که در اصول موضوعه های خاصی صدق کنند.