منطق موجهات
معناشناسی > نظریۀ مدل

معناشناسی منطق موجهات معمولاً به‌صورت زیر داده می‌شوند: ابتدا یک قاب را تعریف می‌کنیم که متشکل از یک مجموعۀ ناتهی G است که اعضای آن عموماً جهان‌های ممکن نامیده می‌شوند، و یک رابطۀ دوتایی R که بین جهان‌هایی از G برقرار است (یا نیست). این رابطۀ دوتایی را رابطۀ دسترس‌پذیری گویند. برای مثال w R u بدان معنی است که جهان u از جهان w دسترس‌پذیر است. به عبارتی، وضعیت اموری که به عنوان  u می‌شناسیم، یک امکان زنده برای w است. این یک زوج  \langle G,R\rangle  برخی از طرز نمایش‌ها از منطق موجهات، دارای یک ثابتِ در G موسوم به «جهان واقع» نیز هستند است که اغلب با نماد  w* نشان داده می‌شود.
سپس با مشخص کردن ارزش صدق همۀ گزاره‌ها در هر یک از جهان‌های  G، قاب را به یک مدل تعمیم می‌دهند. این کار را با تعریف یک رابطۀ  v بین جهان‌های ممکن و گزاره‌های مثبت انجام می‌دهیم. اگر یک جهان  w موجود باشد که چنین است که  v(w,P)، در آن صورت، P در w درست است. یک مدل، بنابراین یک سه‌تایی مرتب  \langle G,R,v\rangle  است.
سپس صدق یک فرمول در یک جهان از مدل را به نحوی بازگشتی و به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.
اگر  v(w,P) آنگاه  w\models P
w\models \neg P اگر و تنها اگر  w\not \models P
w\models (P\wedge Q) اگر و تنها اگر  w\models P و  w\models Q
w\models \Box P اگر و تنها اگر برای یک عنصر u از G، اگر w R u آنگاه  u\models P
w\models \Diamond P اگر و تنها اگر برای یک عنصر u از G،اینطور باشد که w R u و  u\models P
\models P اگر و تنها اگر  w*\models P
بر طبق این معناشناسی، یک حقیقت نسبت به یک جهان ممکن w ضروریست، اگر در هر جهان که از سوی w در دسترس است، برقرار باشد؛ و ممکن است، اگر در یک جهان که از w در دسترس است، برقرار باشد. امکان، در نتیجه بستگی به رابطه دسترس‌پذیری R دارد که به ما اجازه می‌دهد طبیعت نسبیِ امکان را تببین کنیم. برای مثال ما ممکن است بگوییم که با توجه به قوانین فیزیک، ممکن نیست انسان با سرعتی بیشتر از سرعت نور سفر کند، اما اگر شرایط دیگری حاکم بود، شاید چنین چیزی ممکن می‌شد. با استفاده از رابطه دسترس‌پذیری، می‌توان این سناریو را به شرح زیر ترجمه کرد: در تمامی جهان‌های قابل دسترس از جهان ما، چنین نیست که انسان‌ها بتوانند سریعتر از سرعت نور حرکت کنند، اما جهان قابل دسترس دیگری، از آن جهان‌ها قابل دسترس است که از جهانِ خود ما در دسترس نیست، اما در آن، انسان‌ها می‌توانند با سرعت بیش از نور حرکت کنند.
همچنین باید توجه کرد که تعریف □ باعث می‌شود برخی جملات به طرز پوچی درست باشند؛ چرا که وقتی از «هر جهانی که در دسترس w است» صحبت می‌کند، تعبیر ریاضیاتی واژه «هر» را تضمینی می‌گیرد. (نگاه کنید به درستی پوچ). از این رو اگر جهان w به هیچ جهان دیگری دسترسی نداشته باشد، هر جمله آغاز شونده با □ درست است.
سیستم‌های مختلف منطق موجهات، به واسطه ویژگی‌های روابط دسترسی پذیری متناظرشان از هم متمایز می‌شوند. چندین سیستم مطرح شده‌اند (اغلب به نام شرایط قاب). یک رابطه دسترسی پذیری:
بازتابی است اگر و تنها اگر w R wبرای هر w در G.
متقارن است اگر و تنها اگر w R u نتیجه دهد u R w برای هر w و u در G.
متعدی است اگر و تنها اگر w R u و u R q با همدیگر نتیجه دهند w R q برای هر w, R, q در G.
سری است اگر و تنها اگر برای هر w در G وجود داشته باشد یک u در G به‌طوری‌که w R u.
اقلیدسی است اگر و تنها اگر برای هر t ،u و w، اینکه w R u و w R t نتیجه دهد u R t (توجه داشته باشید که این همچنین نتیجه می‌دهد: t R u)
منطق‌هایی که از این شرایط قاب‌ها منجر می‌شوند، عبارتند از:
K := بدون شرط
D := سری
T := بازتابی
S4 := بازتابی و متعدی
S5 := بازتابی و اقلیدسی
خاصیت اقلیدسی به همراه بازتابی، تقارنی و تعدی را نتیجه می‌دهند. (همچنین خاصیت اقلیدسی می‌تواند از تقارنی و تعدی بدست آید) از این رو اگر رابطه دسترسی پذیری R بازتابی و اقلیدسی باشد، ثابت می‌شود که R متقارن و متعدی نیز هست؛ لذا برای مدل‌های S5، رابطه R یک رابطه هم‌ارزی است؛ چرا که R بازتابی، متقارن و متعدی است.
می‌توان ثابت کرد که این قاب همان مجموعه از جملات معتبر را اثبات می‌کند که قابهایی که در آنها، همه جهان‌ها، دیگر جهان‌های W را می‌بینند (یعنی، R یک رابطه «تام» است) است. این، گراف وجهی را بدست می‌دهد که تماماً کامل است (یعنی یال (روابط) بیشتری نمی‌تواند اضافه شود). برای مثال در هر منطق موجهات مبتنی بر شرایط قاب:
اگر قاب مبتنی بر رابطه تام را در نظر بگیریم، تنها می‌توان گفت
می‌توانیم بند دسترسی پذیری را از شرط دومی نادیده بگیریم چون در چنین قاب‌های تامی، برای هر w و u ای بدیهیست که w R u. اما توجه داشته باشید که این در مورد همه قاب‌های S5 برقرار نیست، چرا که می‌توانند شامل چند بخش باشند که به‌طور کامل با هم در ارتباطند، اما با این حال از یکدیگر مجزا هستند.
همه این سیستم‌های منطقی را می‌تواند به صورت اصل موضوعی تعریف کرد، آنگونه که در بخش بعدی نشان داده شده. برای نمونه، در S5 اصول موضوعه  P\implies \Box \Diamond P,  \Box P\implies \Box \Box P و  \Box P\implies P (متناظر با تقارنی، تعدی و بازتابی) برقرارند، در حالی که حداقل یکی از این اصول موضوعه در هر یک از دیگر منطقهای ضعیف تر برقرار نیست.