هندسه جبری

رویهٔ Togliatti یک رویهٔ جبری درجه پنج است. این تصویر نشان دهندهٔ بخشی از مکان هندسی آن در اعداد حقیقی است.
هندسهٔ جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که به‌طور سنتی به مطالعهٔ صفرهای چندجمله‌ایهای چند متغیره می‌پردازد. هندسهٔ جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک‌های جبر مجرد بنا شده که اساساً از جبر جابجایی استفاده می‌کند تا مسائل هندسی مربوط به این مجموعه صفرها (ریشه این چند جمله‌ای‌ها) را مطالعه کند.
اشیای بنیادی که در مطالعه هندسه جبری استفاده می‌شوند واریته‌های جبری‌اند که بیان هندسی حل دستگاهی از معادلات چند جمله‌ای‌اند. بیشترین واریته‌های جبری مطالعه شده خم‌های جبری صفحه‌اند که شامل خطوط، دایرهها، سهمیها، بیضیها، هذلولیها، خم‌های مکعبی مثل خم‌های بیضوی و خم‌های درجه چهار مثل lemniscateها و Cassini ovalها می‌باشند. یک نقطه از صفحه به خم بیضوی متعلق است اگر مختصات آن در یک معادلهٔ چند جمله‌ای داده‌شده صدق کند. سوالات بنیادی مربوط به مطالعهٔ نقاط خاصی مثل نقاط تکین، نقاط عطف و نقاط در بی‌نهایت می‌باشد. سوالات پیشرفته‌تر مرتبط می‌شوند به توپولوژی خم و معادلات بین خم‌های داده شده به‌وسیله معادلات مختلف.
هندسه جبری نقش محوری در ریاضیات مدرن ایفا کرده و پیوندهای مفهومی چندگانه‌ای با شاخه‌های گسترده‌ای از ریاضیات چون آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد دارد. در ابتدا مطالعهٔ دستگاه معادلات چند جمله‌ایهای چند متغیره موضوع هندسه جبری بود، آنجا که حل معادله از نظر خارج شده و فهمیدن خواص ذاتی جواب دستگاه معادلات اهمیت بیشتری پیدا می‌کند، آنجاست که هندسه جبری ظاهر می‌شود؛ چرا که در این مرحله دیگر یک جواب خاص اهمیت چندانی در مقابل آن خواص ندارد، این ما را به برخی قلمروها می‌کشاند که برخی از آن‌ها جزو عمیق‌ترین قلمروهای ریاضی هستند، چه از نظر مفهومی یا تکنیکی.
در قرن بیستم، هندسه جبری به چندین زیرمجموعه تقسیم‌بندی شدند:
جریان اصلی هندسه جبری به مطالعه نقاط مختلط واریته‌های جبری و به‌طور عمومی‌تر نقاطی که مختصات آن‌ها در میدان بسته جبری قرار دارند می‌پردازد.
هندسه جبری حقیقی به مطالعه نقاط حقیقی یک واریته جبری می‌پردازد.
هندسه سیاله‌ای و به‌طور عمومی‌تر هندسهٔ حساب به مطالعهٔ نقاط یک واریته جبری که مختصاتشان در میدان‌های غیر بسته قرار دارند می‌پردازد، مثل میدان‌هایی که در نظریه جبری اعداد بحث می‌شوند چون اعداد گویا، میدان‌های عددی، میدان‌های متناهی، میدان توابع و میدان p-adicها.
بخش عمده نظریه تکینگی به تکینگی‌های واریته‌های جبری می‌پردازد.
هندسه جبری محاسباتی قلمرویی است که با ظهور رایانهها از برخورد هندسه جبری و جبر رایانه‌ای به‌وجود آمده‌است. این قلمرو عمدتاً شامل طراحی الگوریتم و توسعه نرم‌افزار برای مطالعه خواص بارز یک واریته داده شده می‌باشد.
بسیاری از پیشرفت‌های جریان اصلی هندسه جبری در قرن بیستم در چارچوب جبر مجرد، صورت گرفت، با افزایش تأکید بر روی خواص «ذاتی» واریته‌های جبری که وابسته به هیچ‌کدام از روش‌های متفاوت جاسازی آن واریته در فضای مختصاتی اطرافیش (ambient) وابسته نباشد؛ این هدف موازی با پیشرفت در شاخه‌هایی چون توپولوژی، هندسه دیفرانسیل و هندسه مختلط می‌باشد. یکی از دستاوردهای کلیدی این هندسه جبری مجرد، نظریه اسکیم گروتندیک است که اجازه استفاده از نظریه شیف‌ها برای مطالعهٔ واریته‌های جبری را داده به طوری که این نحوه استفاده، شباهت بسیاری به استفاده از آن در مطالعه منیفلدهای دیفرانسیل و تحلیلی دارد. این دستاورد با توسعهٔ مفهوم نقطه به‌وجود آمد؛ در هندسه جبری کلاسیک، یک نقطه از واریته آفین را از طریق قضیه صفرهای هیلبرت می‌توان شناسایی کرد، به‌وسیله یک ایده‌آل ماکسیمال حلقه مختصاتی، در حالی که نقطه متناظر با آن در اسکیم آفین، همگی ایده‌آل‌های اولی از این حلقه می‌باشند. این بدین معناست که یک نقطه از چنین اسکیمی می‌تواند یا یک نقطه عادی، یا یک زیرواریته باشد. همچنین این رویکرد موجب اتحاد زبان و ابزارهای هندسه جبری کلاسیک گشته که به‌طور عمده با نقاط مختلط، و نظریه جبری اعداد مرتبط می‌گردد. اثبات وایلز بر حدس فرما به نام قضیه آخر فرما که به مدت طولانی، حل‌ناشدنی باقی مانده بود، اثباتی بر قدرت این رویکرد می‌باشد.