رفتار حرارتی اسپیندل
تحلیل نتایج مدلسازی و انتخاب نقاط گرمایی

۲٫۱ مشخصه‌های خطای دمای متغیر با زمان و خطای گرمایی
مشخصات تقارن محوری هندسهٔ اسپیندل و بارهای گرمایی وارده برای اینست که دمای منتجه و انبساط‌های گرمایی را متناسب با محور اسپیندل کند بنابراین در اینجا فقط ۱۱ نقطه روی سطح بیرونی در راستای محور اسپیندل برای مطالعهٔ بیشتر وجود خواهد داشت. دماها برای این نقاط با زمان تغییر می‌کنند که در شکل ۴ نشان داده شده. منحنی با دمای بالاتر به معنی نزدیک تر بودن به منبع گرمایی در حالت پایاست. همچنین در این شکل واضحست که در طول نقاط کاهش آهنگ تغییر دمابا زمان وجود دارد و نقاط نزدیک به منبع گرمایی سرعت تغییر بالاتری دارند.
کار توقف و دوباره شروع به کار کردن هردو به معنی تغییر نهایی دمای تعادل اسپیندل است. هرچند که هرچه نقاط از منبع گرمایی دور شوند، توقف و دوباره شروع کردن‌های کوتاه مدت کم اثر خواهند شد. در این تحلیل‌ها، حدود ۱۴۰۰۰ ثانیه برای رسیدن به حالت پایا زمان لازم است. خطاهای گرمایی کلی عمدتاً از تغییر شکل‌های دماغهٔ اسپیندل در هردو جهت محوری و شعاعی است که در شکل ۵ نشان داده شده‌است.
تغییر شکل گرمایی شعاعی بیشتر از تغییر شکل گرمایی محوری، در ابتدای منحنی شکل ۵ منفی باقی می‌ماند و این پدیده در شکل‌های 6-b و 7-b واضح تر دیده می‌شود. این پدیده می‌تواند به این صورت توجیه شود که اسپیندل به علت کند شدن انتقال گرما در این بازه گرم نمی‌شود و بنابراین بخش نزدیک به انبساط گرمایی زودتر از دماغهٔ اسپیندل شروع به تولید تنش‌های داخلی می‌کند. تحت این تنش‌ها، و چون اسپیندل توخالی است دماغهٔ اسپیندل به سمت محور آن خم می‌شود تا باعث منفی شدن انبساط گرمایی شعاعی شود؛ و کمی بعد، دماغهٔ اسپیندل گرم می‌شود تا منبسط شده و انبساط گرمایی شعاعی را مثبت کند. تغییرات خطاهای گرمایی، محوری و شعاعی با دماهای نقاط مشخص شده در بالا، در شکل‌های ۶ و۷ نشان داده شده‌اند که قسمت b بزرگنمایی شدهٔ قسمت‌های a هستند.
۲٫۲ بهینه‌سازی نقاط کلیدی گرمایی اسپیندل
نقاط گرمایی که به آنها سنسورهای دمایی وصل شده‌است، بهترین نقاطی هستند که می‌توان با مرتبط کردن دمای آن‌ها به خطاهای گرمایی برای بهتر کردن مدل از آن‌ها استفاده کرد. پیدا کردن همهٔ این نقاط کلیدی از تعداد زیادی نقاط منتخب در یک ماشین ابزار کار سختی است؛ و بنابراین برخی الگوریتم‌های بهینه‌سازی مانند الگوریتم ژنتیکی برای حل این مشکل استفاده می‌شود؛ و برای اسپیندل نقاط کلیدی گرمایی عمدتاً در محور اسپیندل پخش می‌شوند. برای رسیدن به دمای مناسب حول محور در هر لحظه و بنابراین تعداد نقاط منتخب کم می‌شود. به طوری که الگوریتم ژنتیکی، غیر اقتصادی می‌شود. به جای آن یک روش ساده برای انتخاب نقاط کلیدی گرمایی استفاده می‌شود. سرعت واکنش خطاهای دمایی به تغییرات گرمایی، حساسیت خطاهای گرمایی نامیده می‌شود. یا به زبان ریاضی اولین مشتق منحنی خطا- دما است.
S = limΔE/ΔT (10)
ΔT۰
که S حساسیت خطای گرمایی است و ΔE و ΔT به ترتیب، تفاضل دو دما و خطای گرمایی نمونهٔ کنار هم هستند. وقتی دقت نمونه کوچک است حساسیت خطای گرمایی می‌تواند به ΔT/ ΔE نزدیک شود.
یک مدل صحیح خطاهای گرمایی باید شامل اجزایی به تعداد نقاط منتخب ممکن باشد و این به سه روش زیر به دست می‌آید:
افزایش مستقیم تعداد نقاط کلیدی گرمایی
بزرگ کردن تفاضل حساسیت خطای گرمایی در نقاط کلیدی گرمایی
راه اول به دلیل محدود بودن شرایط آزمایش، گاهی اوقات عملی نیست. نقاط منتخب معمولاً آن قدر نزدیک می‌شوند که حساسیت خطای گرمایی یکسان خواهند داشت که تمایل به انطباق پیدا می‌کنند؛ بنابراین راه دوم به معنی افزایش غیر مستقیم تعداد نقاط کلیدی گرمایی است.
همچنین، راه دوم کمک به رفع انطباق نقاط کلیدی می‌کند؛ که در مدل‌سازی این انطباق باید رفع شود. حساسیت خطای گرمایی هم با نقاط منتخب و هم با دمای این نقاط تغییر می‌کند. گام‌های اصلی برای انتخاب نقاط کلیدی به صورت زیر است:
(A) محاسبهٔ حساسیت خطای گرمایی Sij برای i امین نقطهٔ منتخب و j امین زمان نمونه برداری که i = ۱٬۲,…,M و j =۱,…N اعداد مشخصهٔ نقاط منتخب و زمان نمونه برداری هستند.
(B) محاسبهٔ تفاضل حساسیت گرمایی dlq بین دو نقطهٔ اختیاری از رابطهٔ زیر:
dlq = Σ |Sqj-S lj| (11)
که l و q از ۱ تا M مشخصهٔ دو نقطهٔ اختیاری هستند.
(C)پیدا کردن بهترین نقاط کلیدی با توجه به عدد خواسته شده (n) ی نقاط کلیدی گرمایی، با بیشینه کردن عبارت زیر
dq1q2+ dq1q3 +… + dq1qn+ dq2q3 +… + dq2qn +… + dqn-1qn (12)
که q1، …، qn همگی از ۱ تا M عدد مشخصهٔ نقاط کلیدی خواسته شده هستند
وقتی تعداد نقاط منتخب و نقاط کلیدی خواسته شده زیاد نیست راحت تر است که بهترین نقاط را پیدا کنیم. برای مثال وقتی دو نقطهٔ کلیدی مد نظر هستند، ما باید بزرگترین dqiqj و سپس qi و qj را پیدا کنیم.
در این تحلیل، سه نقطهٔ کلیدی با استفاده از روش فوق انتخاب می‌شود و نزدیک به یاتاقان جلو و عقب و انتهای اسپیندل نصب می‌شوند. منحنی‌های خطا- دما برای این سه نقطهٔ کلیدی در شکل ۱۰ نشان داده شده‌اند که خطوط پر نشان دهندهٔ نتایج مدل‌سازی و خط چین نشان دهندهٔ نتایج تجربی هستند.