stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
فهرست ویکی‌ها
ویکی‌های فارسی

یکی از دلایل ویکی‌نویس‌ها برای نگارش مطالب در این دانشنامه‌ها، نبود مقاله و اطلاعات مختصر در برخی از زمینه‌هاست. در زمینه ویکی‌نویسی شرط اولیه برای نگارش مطالب در این دانشنامه‌ها، ساختار مناسب مقاله، بی‌طرفی و آوردن منبع معتبر است.
| نام و پیوند | درون‌مایه | تاریخ آغاز کار | وضعیت | مجوز | امکان مشارکت |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| آنارکوپدیای فارسی | موضوعات مرتبط با اقتدارگریزی (آنارشیسم) | مارس ۲۰۰۸ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| اسلامیکال | دانشنامه آزاد اسلامی | ژانویهٔ ۲۰۲۳ | فعال | CC BY-SA 4.0 | آزاد |
| امامت‌پدیا | دانشنامهٔ امامت و ولایت | ژانویهٔ ۲۰۱۶ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| بایگانی مطبوعات ایران | کتاب جمعه و دیگر مطبوعات | مهٔ ۲۰۱۰ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| بنیاد دانش آزاد | ویکی بنیاد دانش آزاد | اوت ۲۰۱۱ | غیرفعال | GFDL | آزاد |
| پروژهٔ اَرتَه | متون قدیمی فارسی | فوریهٔ ۲۰۰۸ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| دانشنامهٔ اسلامی | تبیین، توضیح و تفسیر موضوعات مطرح اسلامی بر مبنای باورهای شیعهٔ اثنی‌عشری | ژوئیهٔ ۲۰۰۶ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| دانشنامه اهل‌بیت |  | دسامبر ۲۰۱۰ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | غیرفعال |
| دانشنامهٔ تخصصی فارسی اندروید | ویکی انجمن تخصصی اندروید ایران |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| دانشنامهٔ جغرافیای تاریخی جهان اسلام | جغرافیای تاریخی جهان اسلام | آوریل ۲۰۱۱ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| دانشنامهٔ محلات تهران | دانشنامه آزاد شهر تهران | اوت ۲۰۰۹ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| دانشنامه هاگوارتز کلاب |  |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| دائرةالمعارف تخصصی حسابداری | دائرةالمعارف تخصصی حسابداری |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| سلامت ویکی | اطلاعات کاربردی برای شناخت بیماری‌ها | اکتبر ۲۰۱۵ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| نانشنامه | نانشنامه |  | غیرفعال | CC-By-NC-SA | آزاد |
| ویکی پلیس، دانشنامه پلیس | مرکز دانشنامه نگاری پلیس ایران |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی جزوه | ویکی جزوه دانشگاه قم | ژانویهٔ ۲۰۱۴ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی حسین | دانشنامه ای مربوط به امام سوم شیعیان | آوریل ۲۰۱۶ | فعال | CC BY-SA 4.0 | آزاد |
| ویکی حقوق | دانشنامه آزاد حقوق و قانون ایران | ژوئیه ۲۰۲۲ | فعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| ویکی خیر | تنها دانشنامه تخصصی امر خیر در ایران | ژانویه ۲۰۱۵ | فعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| ویکی رخداد | دانشنامه آزاد رویدادها | اوت ۲۰۲۳ | فعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| ویکی‌دُرج | کتابخانه آزاد شعر پارسی |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی‌دی‌ام | دانشنامه آزاد دیجیتال مارکترها |  | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی شیعه | دانشنامه مجازی مکتب اهل‌بیت | ژوئن ۲۰۱۳ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی فرق | دانشنامه فرقه‌های اسلامی |  | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی‌فقه | درمورد فقه و اصول | ژوئیه ۲۰۱۲ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی مبنا | دانشنامهٔ تخصصی پولی و مالی | مارس ۲۰۱۵ | غیرفعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| ویکی نجوم | دانشنامه تخصصی نجوم، اخترشناسی و کیهان‌شناسی | ژانویه ۲۰۱۲ | فعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
| ویکی‌نور | دانشنامهٔ تخصصی کتاب‌شناسی و زندگی‌نامه | مهٔ ۲۰۱۶ | فعال | ذکر نشده‌است | بسته |
| EverybodyWiki | دایرةالمعارف آنلاین شامل گرا |  | فعال | ذکر نشده‌است | آزاد |
این‌سونگ

| این‌سونگ | این‌سونگ |
| --- | --- |
این‌سونگ در سال ۲۰۲۰: این‌سونگ در سال ۲۰۲۰
نام هنگام تولد: کیم این-سونگ
زادهٔ: ۱۲ ژوئیهٔ ۱۹۹۳ ‏(۳۱ سال) سئول، کره جنوبی
پیشه‌ها: خواننده بازیگر
قد: ۱۸۴ سانتیمتر (۶ فوت ۰ اینچ)
پیشه موسیقی: پیشه موسیقی
ژانر: کی-پاپ
سال‌های فعالیت: ۲۰۱۶–اکنون
ناشر(ان): اف‌ان‌سی
عضو کنونیِ: اس‌اف‌ناین
 :  
نام کره‌ای: نام کره‌ای
هانگول: 김인성
هانجا: 金仁成
لاتین‌نویسی اصلاح‌شده: Gim In-seong
مک‌کیون–ریشاور: Kim Insŏng
نام هنری: نام هنری
هانجا: 인성
لاتین‌نویسی اصلاح‌شده: In-seong
مک‌کیون–ریشاور: Insŏng
کیم این-سونگ (کره‌ای: 김인성؛ زادۀ ۱۲ ژوئیه ۱۹۹۳) همچنین با نام هنری این‌سونگ شناخته می‌شود، خواننده و بازیگر اهل کره جنوبی است. او خوانندهٔ اصلی گروه پسرانۀ اس‌اف۹ است.
او در سال ۲۰۱۷، در مجموعه تلویزیونی بچه‌های قرن بیستم در نقش جوانی گونگ جیون ظاهر شد و در مجموعه تلویزیونی این عشق بود؟ نیز با بقیه اعضای اس‌اف۹ حضور افتخاری پیدا کرد. او نقش اصلی را در مجموعه‌های اینترنتی دوک گو-بین در حال بروزرسانی است (۲۰۲۰) و دو گیتی (۲۰۲۲) بازی کرد. او همچنین در بسیاری از تئاترهای درام موزیکال بازی کرده، از جمله روزها (۲۰۲۰)، کتاب قرمز (۲۰۲۱)، جک قاتل (۲۰۲۱)، و کلاه آبی: آواز میسا (۲۰۲۲). در ۲۱ مارس ۲۰۲۲، اعلام شد که این‌سونگ در حال گذراندن خدمت سربازی اجباری است. او خدمت سربازی اجباری خود را در ۲۰ سپتامبر ۲۰۲۳ به پایان رساند.
تپه قدیم‌آباد

| تپه قدیم‌آباد | تپه قدیم‌آباد |
| --- | --- |
نام: تپه قدیم‌آباد
کشور: ایران
استان: استان قزوین
شهرستان: شهرستان البرز
بخش: بخش مرکزی شهرستان البرز
اطلاعات اثر: اطلاعات اثر
کاربری: تپه
دیرینگی: دوران پیش از تاریخ ایران باستان
دورهٔ ساخت اثر: دوران پیش از تاریخ ایران باستان، دوران‌های تاریخی پس از اسلام
اطلاعات ثبتی: اطلاعات ثبتی
شمارهٔ ثبت: ۳۲۲۳
تاریخ ثبت ملی: ۲۵ اسفند ۱۳۷۹
تپه قدیم آباد مربوط به دوران پیش از تاریخ ایران باستان تا دوران‌های تاریخی پس از اسلام است و در استان قزوین، شهرستان البرز، بخش مرکزی شهرستان البرز، روستای قدیم آباد واقع شده و این اثر در تاریخ ۲۵ اسفند ۱۳۷۹ با شمارهٔ ثبت ۳۲۲۳ به‌عنوان یکی از آثار ملی ایران به ثبت رسیده است.
فهرست وابسته‌های دیپلماتیک ایالات فدرال میکرونزی

نقشهٔ وابسته‌های دیپلماتیک ایالات فدرال میکرونزی
این مقاله فهرستی از وابسته‌های دیپلماتیک ایالات فدرال میکرونزی است. ایالات فدرال میکرونزی در سال ۱۹۸۶ از ایالات متحده مستقل شد.
ایالات فدرال میکرونزی در چهار کشور آسیا-اقیانوسیه سفارتخانه‌های دائمی دارد: چین، فیجی، ژاپن و ایالات متحده. ایالات فدرال میکرونزی همچنین دارای سه کنسولگری مقیم در هونولولو، هاوایی، پورتلند، اورگن و تامونینگ، گوآم است. ایالات فدرال میکرونزی سفارتخانه‌های غیر مقیم برای چهار کشور دارد: اندونزی، مالزی و سنگاپور (همه در ژاپن) و اسرائیل در فیجی.
آمریکا

ایالات متحده آمریکا
واشینگتن، دی.سی. (سفارت)
هونولولو (سرکنسولگری)
پورتلند (سرکنسولگری)
تامونینگ (سرکنسولگری)
آسیا

چین
پکن (سفارت)
ژاپن
توکیو (سفارت)
اقیانوسیه

فیجی
سووا (سفارت)
سازمان‌های چندجانبه

سازمان ملل متحد
نیویورک
نگارخانه

سفارت‌خانه در توکیو
سفارت‌خانه در واشینگتن، دی.سی.
عیسی مرادی

Iranian footballer
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 عیسی مرادی با سپاهان در سال ۱۴۰۱ پس از گلزنی در مقابل تراکتور:  عیسی مرادی با سپاهان در سال ۱۴۰۱ پس از گلزنی در مقابل تراکتور
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
نام کامل:  عیسی مرادی
زادروز:  ۲۰ جولای ۱۹۹۷
زادگاه:  قیدار، ایران
قد:  ۱٫۷۷ متر (۵ فوت ۹ ۱⁄۲ اینچ)
پست:  مهاجم
اطلاعات باشگاهی: اطلاعات باشگاهی
باشگاه کنونی:  مس رفسنجان
باشگاه‌های حرفه‌ای*: باشگاه‌های حرفه‌ای*
| سال‌ها |  باشگاه‌ها |  بازی† |  (گل)† |
| ۲۰۱۹_۲۰۲۱ |  نفت ایرانیان تهران |  ؟ |  (۱۷) |
| ۲۰۲۰ |  پاراگ تهران (قرضی) |  ۱۰ |  (۰) |
| ۲۰۲۱_۲۰۲۲ |  شهدای رزکان البرز |  ۱۲ |  (۴) |
| ۲۰۲۲ |  دارایی تهران |  ؟ |  (۲) |
| ۲۰۲۲ |  خوشه طلایی ساوه |  ؟ |  (؟) |
| ۲۰۲۲_۲۰۲۴ |  سپاهان |  ۱۷ |  (۳) |
| ۲۰۲۴-۲۰۲۳ |  ←شمس‌آذر قزوین (قرضی) |  ۲۶ |  (۴) |
| ۲۰۲۴- |  مس رفسنجان |  ۶ |  (۲) |
 تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۱۳ خرداد ۱۴۰۳.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۱۳ خرداد ۱۴۰۳:  تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است و آمار به روز شده در تاریخ ۱۳ خرداد ۱۴۰۳.   ‡ آمار بازی‌ها و گل‌های ملی به‌روز شده در تاریخ ۱۳ خرداد ۱۴۰۳
عيسی مرادی (زاده ۲۰ جولای ۱۹۹۷) بازیکن فوتبال اهل شهر قیدار است که در پست مهاجم برای باشگاه فوتبال باشگاه فوتبال مس رفسنجان در لیگ برتر فوتبال ایران بازی می‌کند.
سابقه باشگاهی

عیسی مرادی سابقه حضور در تیم‌های پاراگ تهران ،نفت ایرانیان، شهدای رزکان البرز ، خوشه طلایی ، سپاهان ، شمس آذر قزوین و آلومینیوم را خود دارد.
دوران باشگاهی

مرادی سابقه آقای گلی با به ثمر رساندن ۱۷ گل در رقابت‌های لیگ سه با پیراهن تیم نفت ایرانیان در فصل ۱۳۹۹–۰۰ را نیز دارد.
این مهاجم فصل ۱۴۰۰–۰۱ در تیم دسته دومی شهدای رزکان البرز عضویت داشت و ۴ گل هم زد و پس از آن به بنیامین تهران پیوست و در پلی‌آف بازی کرد، سپس در نقل و انتقالات پیش‌فصل سال‌جاری راهی خوشه طلایی ساوه شده بود که پس از یک بازی دوستانه بین خوشه طلایی و سپاهان این بازیکن مورد توجه ژوزه مورایس قرار گرفت و پس از توافق انجام شده بین دو باشگاه خوشه طلایی و سپاهان در نهایت این انتقال نهایی شد. 
مرادی اولین بازی خود برای سپاهان را در ۱۹ شهریور ۱۴۰۱ در هفته ششم لیگ برتر مقابل آلومینیوم اراک انجام داد. مرادی از دقیقه ۵۶ به جای فرشاد احمدزاده وارد زمین شد و بازی در نهایت با نتیجه ۰–۰ به پایان رسید. این اولین حضور مرادی در سطح اول فوتبال ایران بود. 
مرادی اولین حضور خود ثابت خود را در هفته هفتم لیگ در تاریخ ۱۰ مهر ۱۴۰۱ در برد ۲ بر ۱ مقابل هوادار تجربه کرد و در تاریخ ۲۸ مهر ۱۴۰۱ موفق شد ۲ گل مقابل تراکتور به ثمر برساند و نقش مهمی در برد ۴ بر ۲ سپاهان در هفته دهم مسابقات لیگ داشته باشد.
عیسی مرادی در تاریخ ۹ مرداد ۱۴۰۲ با امضای قرارادی قرضی از سپاهان راهی تیم فوتبال شمس آذر شد. مرادی اولین گل خود را در این تیم مقابل مس رفسنجان به ثمر رساند.
افتخارات > فردی

آقای گل لیگ دسته سوم فوتبال ایران: ۱۳۹۹–۰۰
افتخارات > تیمی > سپاهان

نایب قهرمانی لیگ برتر خلیج فارس: ۱۴۰۱–۰۲
دنباله‌های بیتی

دنباله‌های بیتی (به انگلیسی: Beatty Sequences) یکی از مباحث موجود در نظریه اعداد و ریاضیات گسسته هستند که به دلیل ویژگی‌های منحصر به فردشان در تقسیم‌بندی اعداد حقیقی و کاربردهایشان در الگوریتم‌ها و رمزنگاری مورد توجه قرار گرفته‌اند. این دنباله‌ها با استفاده از یک عدد حقیقی مثبت  r\geq 1 تعریف می‌شوند.
به این ترتیب، دنباله بیتی مربوط به  r به صورت زیر بیان می‌شود:
A_{r}=\{\lfloor nr\rfloor :n\in \mathbb {N} \}
به عنوان مثال،  A_{1}=\mathbb {N} ، اما ویژگی کلیدی دنباله‌های بیتی در ارتباط آن‌ها با قضیه ریلی نهفته است که به موجب آن دو دنباله بیتی مکمل یکدیگر می‌شوند و تمام اعداد صحیح مثبت را بدون هم‌پوشانی پوشش می‌دهند.
قضیه ریلی (Rayleigh theorem)

اگر  \alpha ,\beta >1 دو عدد گنگ باشند که  {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1 آنگاه دنباله‌های  A_{\alpha } و  A_{\beta } مجموعه اعداد طبیعی  \mathbb {N}  را افراز می‌کنند.
قضیه ریلی (Rayleigh theorem) > اثبات قضیه

ابتدا برای عدد ۱ بررسی می‌کنیم:
1\in A_{\alpha }\iff 1=\lfloor \alpha \rfloor \iff 1<\alpha <2
1\in A_{\beta }\iff 1=\lfloor \beta \rfloor \iff 1<\beta <2
{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1,\,(\alpha ,\beta \neq 2)\implies \min(\alpha ,\beta )<2<\max(\alpha ,\beta )
پس ثابت شد عدد ۱ عضو دقیقاً یکی از دو مجموعه  A_{\alpha } و  A_{\beta } است.
حال کافی است ثابت کنیم برای هر  m\in \mathbb {N} ، مجموعه‌های  A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m\} و  A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m\} مجموعه  \{1,\cdots ,m\} را افراز می‌کنند.
برای این کار نیاز داریم تا اندازه مجموعه  A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m\} را محاسبه کنیم.
بزرگ‌ترین  n\in \mathbb {N}  که  \lfloor n\alpha \rfloor  عضو مجموعه بالا باشد را در نظر بگیرید. در این صورت خواهیم داشت:
n\alpha <m+1
(n+1)\alpha >m+1
از دو عبارت بالا نتیجه می‌شود که n=\left\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\right\rfloor  و لذا  \left\vert A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m\}\right\vert =\left\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\right\rfloor .
با توجه به گنگ بودن  \alpha  و  \beta  داریم:
{\frac {m+1}{\alpha }}-1<\left\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\right\rfloor <{\frac {m+1}{\alpha }}
{\frac {m+1}{\beta }}-1<\left\lfloor {\frac {m+1}{\beta }}\right\rfloor <{\frac {m+1}{\beta }}
با جمع دو نامساوی بالا:
(m+1)\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)-2=m-1<\left\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+1}{\beta }}\right\rfloor <(m+1)\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)=m+1
عبارت وسط اکیداً بین دو عدد طبیعی متوالی قرار گرفته است پس:
\left\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+1}{\beta }}\right\rfloor =m
اکنون حکمی را که به دنبال اثبات آن بودیم را به کمک استقراء قوی ثابت می‌کنیم.
حالت پایه  m=1 را قبلاً بررسی کردیم.
فرض کنیم برای هر  k<m+1 حکم برقرار باشد یعنی  A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,k\} و  A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,k\} مجموعه  \{1,\cdots ,k\} را افراز کنند. داریم:
\left\vert (A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\cup (A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\right\vert =\left\lfloor {\frac {m+2}{\alpha }}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+2}{\beta }}\right\rfloor -s=m+1-s
که  s=\left\vert A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m+1\}\right\vert .
با توجه به فرض  s می‌تواند مقدار صفر یا یک را اختیار کند، اگر  s=0 حکم به‌سادگی نتیجه می‌شود.
اگر  s=1 یعنی  m+1\in A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m+1\} و یعنی:
\left\vert (A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\cup (A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\right\vert =m+1
ولی با جای‌گذاری مقدار  s در رابطه‌ای که بالا به‌دست آوردیم داریم:
\left\vert (A_{\alpha }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\cup (A_{\beta }\cap \{1,\cdots ,m+1\})\right\vert =m
که تناقض است پس  s فقط می‌تواند مقدار صفر را اختیار کند و این اثبات حکم را به اتمام می‌رساند.
از آن‌جایی که حکم را برای تمامی  mها ثابت کردیم قضیه ریلی به‌طور خودکار نتیجه می‌شود.
خواص

چند خاصیت دنباله‌های بیتی:
اگر  k,l\in \mathbb {Q}  آنگاه  A_{k}\cap A_{l}=A_{[k,l]}\neq \varnothing .
اگر  \alpha  گنگ و  s گویا باشد آنگاه  A_{\alpha }\cap A_{s}\neq \varnothing .
هرگاه  \alpha  گنگ باشد:
A_{\alpha }^{c}=A_{\frac {\alpha }{\alpha -1}}.
۴) برای هر  m صحیح و  \beta \in \mathbb {Q} ^{c} داریم  A_{m\beta }\subseteq A_{\beta }.
در این لحظه می‌توان چند پرسش کلی طرح کرد!
- در چه صورت  A_{\alpha }\cap A_{\beta }=\varnothing ؟
- در چه صورت  A_{\alpha }\cup A_{\beta }=\mathbb {N} ؟
- آیا عکس خاصیت ۳ برقرار است؟
- آیا عکس خاصیت ۴ برقرار است؟
بررسی پرسش آخر:
A_{\beta }^{c}=A_{\frac {\beta }{\beta -1}}\implies A_{\frac {m\beta }{\beta -1}}\subseteq A_{\beta }^{c}\implies A_{\beta }\subseteq A_{\frac {m\beta }{\beta -1}}^{c}=A_{\gamma }
{\frac {\beta -1}{m\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}=1\implies \gamma ={\frac {m\beta }{(m-1)\beta +1}}
پس:
 A_{\beta }\subseteq A_{\frac {m\beta }{(m-1)\beta +1}}.
قبل از بیان خاصیت آخر نیاز به تعریف چگالی است،
برای  A\subseteq \mathbb {N} ، چگالی به شکل زیر تعریف می‌شود:
\rho (A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\cdots ,n\}|}{n}}
می‌توان به رابطه  \rho (A^{C})=1-\rho (A) نیز اشاره کرد.
حال برای دنباله بیتی دل‌خواه داریم:
5)  \rho (A_{\alpha })={\frac {1}{\alpha }}
اثباتی دیگر برای قضیه ریلی

یکی از اثبات‌هایی که برای قضیه ریلی وجود دارد اثباتی است که از تابع جزء اعشاری (Fractional Part Function) و خواص آن کمک می‌گیرد.
برای هر عدد حقیقی  x این تابع به این شکل تعریف می‌شود:
 f(x)=\{x\}=x-\lfloor x\rfloor
لم. اگر  x و  y دو عدد ناصحیح باشند بطوریکه جمع آن‌ها صحیح باشد آنگاه  f(x)+f(y)=1
اثبات. چون  x و  y صحیح نیستند پس وجود دارد
 0<\epsilon ,\delta <1
بطوریکه:
f(x)=x-\lfloor x\rfloor =\epsilon
f(y)=y-\lfloor y\rfloor =\delta
با جمع دو تساوی بالا خواهیم داشت:
 f(x)+f(y)=x+y-(\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor )=\epsilon +\delta
از فرض نتیجه می‌شود، عبارت وسط تساوی عددی صحیح است لذا سمت راست نیز باید چنین باشد که تنها امکان این است که  \epsilon +\delta =1. بنابراین لم ثابت می‌شود.
قبلاً نشان دادیم که برای هر  m طبیعی داریم:
 |A_{\alpha }\cap \{1,\dots ,m\}|=\lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\rfloor
حال توجه کنید که  {\frac {m+1}{\alpha }} و  {\frac {m+1}{\beta }} در شرایط لم صدق می‌کنند؛ لذا خواهیم داشت:
 f\left({\frac {m+1}{\alpha }}\right)+f\left({\frac {m+1}{\beta }}\right)=1\implies \lfloor {\frac {m+1}{\alpha }}\rfloor +\lfloor {\frac {m+1}{\beta }}\rfloor =m
پس:
 (A_{\alpha }\cap \{1,\dots ,m\})\cup (A_{\beta }\cap \{1,\dots ,m\})=\{1,\dots ,m\}
با استفاده از این تابع می‌توان فهمید که اگر  x\in A_{\alpha } باشد، آنگاه  x باید در چه شرطی صدق کند:
 x\in A_{\alpha }\implies \exists n\in \mathbb {N} \;{\text{s.t.}}\;x=\lfloor n\alpha \rfloor \implies \exists 0<\varepsilon <1\;{\text{s.t.}}\;x=n\alpha -\varepsilon \implies {\frac {-x}{\alpha }}=-n+{\frac {\varepsilon }{\alpha }}
با استفاده از تابع جزء اعشاری داریم:
 f\left({\frac {-x}{\alpha }}\right)={\frac {\varepsilon }{\alpha }}\implies f\left({\frac {-x}{\alpha }}\right)<{\frac {1}{\alpha }}
مشابهاً برای  A_{\beta } این شرط نتیجه می‌شود.
حال اگر  z\in A_{\alpha }\cap A_{\beta }، طبق شرطی که به‌دست آوردیم:
 f\left({\frac {-z}{\alpha }}\right)<{\frac {1}{\alpha }},\;f\left({\frac {-z}{\beta }}\right)<{\frac {1}{\beta }}
توجه کنید که  {\frac {-z}{\alpha }} و  {\frac {-z}{\beta }} در شرایط لم صدق می‌کنند. پس با جمع کردن طرفین دو نابرابری خواهیم داشت:
 f\left({\frac {-z}{\alpha }}\right)+f\left({\frac {-z}{\beta }}\right)=1<{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1
که تناقض است. پس:
 A_{\alpha }\cap A_{\beta }=\emptyset
بنابراین  A_{\alpha } و  A_{\beta } مجموعه اعداد طبیعی را افراز می‌کنند.
بازی ویتوف

بازی ویتوف (Wythoff's game) یک بازی دو نفره با قواعدی ساده و نتایجی شگفت‌انگیز است. این بازی که به افتخار ریاضی‌دان هلندی ویلیم ویتوف نام‌گذاری شده است، یکی از بهترین نمونه‌های ارتباط بین ریاضیات نظری و استراتژی در بازی‌ها است.
در این بازی، دو دسته مهره وجود دارد. بازیکنان به نوبت بازی می‌کنند و در هر نوبت می‌توانند:
از یکی از دسته‌ها هر تعداد دلخواه مهره بردارند.
یا از هر دو دسته، تعداد برابری مهره بردارند.
هدف این است که تمام مهره‌ها از بازی خارج شوند، بازیکنی که این کار را انجام دهد برنده است
توصیفی معادل از بازی بعدها توسط ریاضی‌دان Rufus Isaacs معرفی شد که بازی روی یک صفحه شطرنجی انجام می‌شود، به این صورت که در ابتدا وزیر یا یک مهره روی صفحه قرار داده شده است حال بازیکنان به نوبت می‌توانند مهره یا وزیر را حرکت دهند که قوانین خودش را دارد:
۱. به تعداد دلخواه خانه می‌توان به سمت چپ رفت
۲. به تعداد دلخواه خانه می‌توان به سمت پایین رفت
۳. یا به تعداد دلخواه به صورت قطری حرکت کند
برنده کسی است که بتواند مهره را به خانه گوشه چپ پایین ببرد
برای معادل ساری کافیست روی این صفحه محورهای مختصات را سوار کنیم بطوریکه خانه برنده مختصاتی برابر  (0,0) داشته باشد. حال مختصات اولیه وزیر که  (x,y) است نشانگر تعداد دسته مهره‌های ما در صورت قبلی بازی است که به‌ترتیب به تعداد  x و  y مهره دارند
بازی ویتوف > استراتژی بهینه

برای توضیح استراتژی با مدل دوم بازی کار می‌کنیم.
همان‌طور که گفته شد هر موقعیت در این بازی را می‌توان با یک زوج مرتب صحیح  (x,y) که در آن  x\leq y است توصیف کرد که این جفت اعداد اندازه هر دو دسته مهره در موقعیت فعلی یا مختصات وزیر را نشان می‌دهد. استراتژی بازی حول دو نوع موقعیت می‌چرخد: موقعیت سرد و موقعیت گرم. در یک موقعیت سرد، بازیکنی که نوبت حرکتش است، در صورت بازی بهینه بازنده خواهد بود، در حالی که در یک موقعیت گرم، بازیکنی که نوبت حرکتش است، در صورت بازی بهینه برنده می‌شود. استراتژی بهینه در یک موقعیت گرم این است که وزیر را به هر موقعیت سردی که قابل دسترسی است، منتقل کند.
طبقه‌بندی موقعیت‌ها به دو دسته سرد و گرم به صورت بازگشتی و با استفاده از سه قانون زیر انجام می‌شود:
۱. موقعیت  (0,0) یک موقعیت سرد است.
۲. هر موقعیتی که بتوان با یک حرکت از آن به یک موقعیت سرد رسید، یک موقعیت گرم است.
۳. اگر هر حرکتی از یک موقعیت به یک موقعیت گرم منتهی شود، آن موقعیت سرد است.
برای مثال در یک صفحه  9*9 خانه‌های سرد و گرم به این صورت هستند:
ویتوف کشف کرد که موقعیت‌های سرد یک الگوی منظم را دنبال می‌کنند که با نسبت طلایی تعیین می‌شود. به‌طور مشخص، اگر  n یک عدد طبیعی باشد، آنگاه:
x_{n}=\lfloor n\phi \rfloor =\lfloor y_{n}\phi \rfloor -y_{n}
y_{n}=\lfloor n\phi ^{2}\rfloor =\lceil x_{n}\phi \rceil =x_{n}+n
که در اینجا  \phi  نسبت طلایی است در این حالت،  (x_{n},y_{n}) و  (y_{n},x_{n}) دو موقعیت سرد  n-ام هستند.
همچنین برای هر  n داریم:  y_{n}-x_{n}=n
این دو دنباله  x_{n} و  y_{n} دنباله‌های بیتی مرتبط با معادله زیر هستند:
{\frac {1}{\phi }}+{\frac {1}{\phi ^{2}}}=1
-  x_{n}: این دنباله موقعیت‌های سرد کوچک‌تر را توصیف می‌کند:
1,3,4,6,8,9,11,12,14,16,17,19,21,22,24,25,27,29,...
-  y_{n}: این دنباله موقعیت‌های سرد بزرگ‌تر را توصیف می‌کند.
2,5,7,10,13,15,18,20,23,26,28,31,34,36,39,41,44,47,...
همان‌طور که در همه دنباله‌های بیتی صادق است، این دو دنباله مکمل هستند؛ یعنی اگر یک عدد طبیعی در یکی از دنباله‌ها ظاهر شود، در دنباله دیگر ظاهر نخواهد شد. این ویژگی برای بازی ویتوف و استراتژی‌های آن بسیار مهم است، زیرا به تفکیک کامل موقعیت‌ها کمک می‌کند و نقش مهمی در تعیین حرکات برنده دارد.
کاربرد در رمزنگاری > شرح کاربرد

دنباله‌های بیتی به دلیل خواص منحصر به فردشان، در رمزنگاری کاربردهای جالبی دارند. این دنباله‌ها دو ویژگی اساسی دارند که آن‌ها را برای کاربردهای رمزنگاری مناسب می‌کند:
کدگذاری پیام‌ها:
موقعیت‌های خاص در دنباله‌های بیتی می‌توانند به کدگذاری اطلاعات کمک کنند. برای نمونه، می‌توان حروف یا کلمات یک پیام را به مقادیر متناظر در دنباله‌های بیتی نگاشت کرد.
ایجاد الگوریتم‌های امن:
الگوریتم‌های رمزنگاری مبتنی بر خواص ریاضی دنباله‌های بیتی، به دلیل ساختار منظم اما غیرقابل پیش‌بینی، در برابر حملات مقاومت بالایی دارند.
کاربرد در رمزنگاری > مثال عملی > گام‌های رمزنگاری

۱ - تولید کلید
برای تولید دنباله بیتی از عدد گنگ  r={\sqrt {2}}\pi  استفاده می‌کنیم؛ لذا فرمول تولید کلید برای هر  k طبیعی برابراست با:  C_{k}=\left\lfloor k{\sqrt {2}}\pi \right\rfloor .
برای  k=1,2,3,... کلید تولید شده عبارت است از:
(4,8,13,17,22,26,31,35,39,44,48,53,57,62,66,71,75,79,...)
این بردار را تا طول پیام ادامه می‌دهیم.
۲ - تبدیل متن به کد
پیام:
To: Logistics Command, Shipment of ammunition and medical supplies delayed by 12 hours. Adjust plans accordingly. Expect new delivery at 1800 hours. Heil Hitler
حال به حروف A تا Z اعداد ۰ تا ۲۵ را نسبت می‌دهیم اگر در متن، عدد وجود داشت آن را هم به صورت متن می‌نویسیم مثلاً در پیام بالا عدد ۱۲ وجود دارد، جای آن را با کلمه twelve عوض می‌کنیم.
بدون در نطر گرفتن علائم نگارشی پیام تبدیل به بردار زیر می‌شود:
P=[۱۹٬۱۴٬۱۱٬۱۴٬۶٬۸,...]
۳ - اعمال شیفت
برای به‌دست آوردن بردار متن کدگذاری شده یعنی  D، به این صورت عمل می‌کنیم:  D_{k}\equiv P_{k}+C_{k}{\pmod {26}}
لذا  D می‌شود:
D=[۲۳ ۱۰ ۰ ۲۱ ۶ ۰ ۳ ۲۲ ۳ ۱۶ ۲۴ ۱ ۵ ۲۲ ۱۴ ۲۰ ۰ ۸ ۱۶ ۲۳ ۱۷ ۱۶ ۵ ۱۶ ۱۷ ۱۶ ۳ ۱۳ ۰ ۴ ۲۳ ۲۳ ۹ ۲۲ ۰ ۷ ۵ ۲۳ ۲ ۸ ۱۶ ۱۸ ۲ ۱۹ ۱۷ ۳ ۲۰ ۲۳ ۲۳ ۱۷ ۴ ۲۳ ۱۱ ۱ ۱۵ ۲۲ ۲۵ ۱۸ ۱۸ ۲۵ ۱۶ ۱۴ ۶ ۲۲ ۱۱ ۲۵ ۲۰ ۲۱ ۲۰ ۲۳ ۲۴ ۱۹ ۱۹ ۱۷ ۷ ۰ ۱ ۲۲ ۲۰ ۲۴ ۱۴ ۸ ۲۲ ۱۱ ۱۸ ۲۳ ۲۱ ۲۱ ۱۶ ۸ ۱۳ ۸ ۱۲ ۱۰ ۷ ۱۹ ۱۶ ۲۲ ۲۰ ۵ ۱۶ ۲۳ ۱۴ ۲۳ ۱۰ ۱۹ ۳ ۳ ۲۲ ۲۲ ۱۱ ۱۷ ۱۸ ۲۳ ۲۳ ۱۷ ۳ ۱۶ ۸ ۱۷ ۲۴ ۵ ۴ ۳ ۱۹ ۲۰ ۲۵ ۷ ۱ ۲۳ ۱۴ ۷ ۱۲ ۱۸ ۲۳ ۹ ۱۷ ۲۴ ۳ ۲۱ ۱۷ ۱۶ ۱۵ ۴ ۲۴ ۵ ۲۱ ۱۷ ۱۲ ۱ ۲۰ ۲۴ ۸ ۲۰ ۲۵]
۴ - متن رمزنگاری‌شده
پس از اعمال شیفت، بردار D را به حروف برمی‌گردانیم و متن کدگذاری‌شده را ۵ تا ۵ برش می‌زنیم، خواهیم داشت:
XKAVG ADWDQ YBFWO UAIQX RQFQR QDNAE XXJWA HFXCI QSCTR DUXXR EXLBP WZSSZ QOGWL ZUVUX YTTRH ABWUY OIWLS XVVQI NIMKH TQWUF QXOXK TDDWW LRSXX RDQIR YFEDT UZHBX OHMSX JRYDV RQPEY FVRMB UYIUZ
کاربرد در رمزنگاری > مثال عملی > رمزگشایی

برای رمزگشایی، همان عملیات شیفت را خلاف اعمال می‌کنیم یعنی برای به‌دست آوردن متن اصلی P داریم:  P_{k}\equiv D_{k}-C_{k}{\pmod {26}}
متن اصلی بدون تغییر بازیابی می‌شود.
تاریخچه

دنباله‌های بیتی (Beatty sequences) نام خود را از مسئله‌ای گرفته‌اند که در سال ۱۹۲۶ توسط ساموئل بیتی در مجله The American Mathematical Monthly مطرح شد. این مسئله احتمالاً یکی از پرارجاع‌ترین مسائلی است که تاکنون در این مجله مطرح شده است. با این حال، حتی پیش از آن، در سال ۱۸۹۴، چنین دنباله‌هایی به‌طور مختصر توسط لرد ریلی (Lord Rayleigh) در ویرایش دوم کتاب The Theory of Sound ذکر شده بودند.
مطالعه بیش‌تر

چند منبع مرتبط با این دنباله‌ها معرفی می‌شود:
مقاله:Beatty Sequences for a Quadratic Irrational: Decidability and Applications":
این مقاله در arXiv موجود است و به بررسی دنباله‌های بیتی برای اعداد گنگ درجه دوم می‌پردازد.
مقاله:Beatty sequences and Wythoff sequences, generalized": این مقاله در The Fibonacci Quarterly منتشر شده و به تعمیم دنباله‌های بیتی و ویتوف می‌پردازد.
مقاله:Beatty sequences and multiplicative number theory": این مقاله به ارتباط بین دنباله‌های بیتی و نظریه اعداد ضربی می‌پردازد.
مقاله:Beatty Sequences, Fibonacci numbers, and the golden ratio": این مقاله به بررسی ارتباط بین دنباله‌های بیتی، اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی می‌پردازد.
صفحه ویکی‌پدیا دربارهٔ دنباله بیتی
نستی

| 0 | 1 |
| --- | --- |
گونه محصول: یخ‌چای
مالک: نستله
کشور: سوئیس
تاریخ معرفی: ۱۹۴۸؛ ۷۷ سال پیش (۱۹۴۸-خطا: زمان نامعتبر}})
نستی (انگلیسی: Nestea) یک برند سوئیسی از چای سرد و نوشیدنی‌های گازدار متعلق به نستله است. محصولات این برند توسط شرکت کوکاکولا تولید و توسط دپارتمان نوشیدنی نستله در ایالات متحده و شرکت بی‌پی‌دبلیو در سایر نقاط جهان توزیع می‌شوند. این محصول با چای سرد لیپتون (متعلق به پپسی‌کو/یونیلیور) و چای سرد فیوز رقابت می‌کند. نستله انواع مختلفی از محصولات چای، از جمله کنسانتره چای مایع و پودری، چای‌های یخچالی و بطری‌های آماده نوشیدنی را ارائه می‌دهد که توسط فروشنده یا دستگاه فروش خودکار عرضه می‌شوند. این نوشیدنی بسته به بازار هدف، در طعم‌های مختلفی عرضه می‌شود.
پیوتر سوگوفسکی

| پیوتر سوگوفسکی | پیوتر سوگوفسکی |
| --- | --- |
Piotr Cugowski, 2025: Piotr Cugowski, 2025
زادهٔ: ۵ اکتبر ۱۹۷۹ ‏(۴۵ سال) لوبلین، لهستان
ملیت: لهستانی
پیشه(ها): خواننده، ترانه‌پرداز، تهیه‌کننده موسیقی
والدین: کشیشتف سوگوفسکی
پیشه موسیقی: پیشه موسیقی
سال‌های فعالیت: ۱۹۹۷ تا کنون
ناشر(ان): سونی میوزیک لهستان
همکاری‌های مرتبط: راک، پاپ راک
 :  
پیوتر سوگوفسکی (لهستانی: Piotr Cugowski؛ زادهٔ ۵ اکتبر ۱۹۷۹) خواننده، ترانه‌پرداز و تهیه‌کننده موسیقی اهل لهستان است. وی عضو انجمن تولیدکنندگان صدا و تصویر لهستان است.
از فیلم‌ها یا مجموعه‌های تلویزیونی که وی در آن‌ها نقش داشته‌است، می‌توان به راه‌های آزادی اشاره نمود.