بازی هم‌دستی
راه حل‌های عادلانه

فرض اولیه در بازی‌های باهمکاری این است که ائتلاف بزرگ شکل می‌گیرد. چالش این است که هزینه  v(N) را بین بازیکنان عادلانه تقسیم کنیم. یک راه حل یک بردار   x\in \mathbb {R} ^{n} است که نشان دهنده تخصیص به بازیکنان است. راه حل‌ها براساس تعریف‌های متفاوتی از عادلانه بودن تعریف می‌شوند.
تعاریف:
کارآمد بودن: بردار هزینه دقیقاً مقدار کل را تقسیم می‌کند.
تک به تک عاقلانه: هیج بازیکنی کمتر از چیزی که به تنهایی می‌توانست بدست‌آورد، به‌دست نیاورد.
وجود داشتن: این راه حل برای همه بازی‌ها وجود داشته باشد.
منحصر به فرد بودن: این راه حل برای هر بازی منحصربه‌فرد باشد.
تقارن: راه حل به بازیکن‌های قرینه مقدار یکسان تخصیص دهد. دو بازیکن  i و  j قرینه هستند اگر  v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\}),\forall S\subseteq N/\{i,j\}
افزایشی: تخصیص دادن به یک بازیکن در مجموع دو بازی برابر باشد با مجموع تخصیص دادن به همان بازیکن در دو بازی به صورت تکی.
صفر تخصیص دادن به بازیکنان پوچ یا مصنوعی: بازیکن پوچ یا مصنوعی  i این شرط را دارد:  v(S\cup \{i\})=v(S),\ \forall S\subseteq N/\{i\}  در واقع بازیکن پوچ یا مصنوعی به بازیکنی گفته می‌شود که در فرایند تولید سود هیچ مشارکتی ندارد.
یک بردار هزینه کارآمد و تک به تک عاقلانه یک نسبت دادن نامیده می‌شود.
چانه زنی نش
در حالتی که ۲ بازیکن داریم استفاده می‌شود.
مجموعه پایدار
مجموعه پایدار یک بازی اولین راه حلی بود که برای بازی‌های با بیشتر از ۲ بازیکن پیشنهاد شد.
اگر  v یک بازی باشد و  x و  y دو نسبت دادن به  v، در این صورت  x بر  y غلبه می‌کند اگر اتحاد  S\neq \emptyset  وجود داشته باشد که  x_{i}>y_{i},\forall i\in S و  \sum _{i\in S}^{}x_{i}\leq v(S).
به عبارتی دیگر بازیکنان در  S هزینه‌های  x را به   y ترجیح می‌دهند و اگر   y انتخاب شود می‌توانند تهدید به ترک اتحاد بزرگ کنند زیرا وقتی به تنهایی عمل کنند حداقل به اندازه  y کسب می‌کنند که از y  بیشتر است.
مجموعه پایدار مجموعه‌ای از نسبت دادن هاست که دو شرط زیر را دارند:
پایداری درونی: هیچ برداری در آن توسط بردار دیگری در مجموعه مغلوب نمی‌شود.
پایداری بیرونی: همه بردارهای خارج مجموعه توسط بردارهای داخل آن مغلوب می‌شوند.
فون نیومن و مرگانسترن مجموعه پایدار را به عنوان مجموعه‌ای از رفتارهای قابل قبول در جامعه توصیف می‌کنند؛ زیرا به ازای هر رفتار نامطلوب یک جایگزین قابل قبول وجود دارد و خود رفتارهای قابل قبول برهم برتری ندارند.
مجموعه پایدار لزوماً وجود ندارد و اگر وجود داشته باشد، معمولاً یکتا نیست. پیدا کردن آن‌ها هم بسیار دشوار است. دشواری‌های پیدا کردن این راه حل باعث به وجود آمدن راه حل‌های دیگر شده‌است.
هسته
یکی از ایده‌های اصلی حل این مسئله هسته است. هسته بر مبنای پایداری هر ائتلاف ایجاد شده‌است. این ایده بر این مبنا است که شرط الزامی برای ایجاد یک ائتلاف، آن است که هیچ زیرمجموعه ای از بازیکنان انگیزه خروج از آن را نداشته باشند. به عبارتی ائتلاف پایدار باشد.
core(v)={\bigg \{}(x_{1},...,x_{n})/\sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq v(N),\ \forall S\sum _{i\in S}^{}x_{i}\geq v(S){\bigg \}}
برای بررسی بیشتر این موضوع یک بردار سود را در نظر بگیرید،  (x_{1},...,x_{n}) به صورتی که  x_{i} سود بازیکن  iام باشداگر مجموع توابع مشخصه‌های تک تک بازیکنان حاضر در یک ائتلاف بیشتر از مجموع میزان سود تخصیص یافته به آن‌ها در بردار سود باشد، این ائتلاف حاضر به پذیرش این بردار نخواهد بود این شیوه ناپایدار است. در واقع برای پایداری دو شرط زیر باید برقرار باشند:
اول  \sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq v(N)
دوم اینکه مجموعه  S از بازیکنان حداقل به اندازه وقتی که ائتلاف   S را تشکیل می‌دادند دریافت کنند. به عبارتی دیگر :  \forall S,\sum _{i\in S}^{}x_{i}\geq v(S)
اگر اندازه هسته بازی برابر ۰ باشد یا به عبارتی این مجموعه تهی باشد به‌این معناست که هیچ شیوه تقسیم پایداری برای این بازی وجود ندارد و اگر اندازه این هسته بیشتر از ۰ باشد و مجموعه تهی نباشد به‌این معناست که چند شیوه برای تقسیم پایدار بین ائتلاف‌های موجود وجود دارند.
هسته یک بازی می‌تواند تهی باشد. بازی‌هایی که هسته ناتهی دارند بازی‌های متعادل نامیده می‌شوند.
هسته بازی لزوماً شامل یک بردار منحصر به فرد نیست.
هسته، درون هر مجموعه پایداری وجود دارد.
پس جواب داشتن یا نداشتن یک مسئله بازی هم‌دستی به اندازه هسته بستگی دارد. پس بیشتر بحث‌های مربوط به پاسخ این مسئله پیرامون دو سؤال خواهد بود، آیا اندازه هسته این بازی هم‌دستی برابر ۰ است یا خیر؟ آیا بردار تقسیم سود  (x_{1},...,x_{n}) عضو هسته این بازی هم‌دستی یا خیر؟
مقدار شپلی
راه حل‌های کلی علاوه بر چگونگی تقسیم کلی سود به تقسیم سود بین اعضای مختلف یک ائتلاف هم می‌پردازند. فرض کنید ائتلاف  N شکل گرفته و از شکل‌گیری آن سود  v(N) نصیب این ائتلاف خواهد شد. مقدار شپلی، بردار هزینه یکتایی است که اصولی برای این تقسیم تعیین می‌کند. فرض کنید که به هر بازیکن  i میزان  q_{i} سود خواهد رسید. این توزیع باید ویژگی‌های کارآمد بودن، تقارن و افزایشی را داشته باشد و همچنین در این توزیع بازیگر پوچ یا مصنوعی نباید از سود سهمی ببرد.
مقدار شپلی یک بازی افزایشی، تک به تک عاقلانه است ولی در کل این حکم درست نیست.