موج یونی آکوستیک
استنتاج

ما رابطه انتشار امواج یونی صوتی برای یک توصیف سیال خطی شده از پلاسما با الکترون‌ها و  



N


{\textstyle N}

 تا گونه‌های یونی را بدست می‌آوریم. ما هر مقدار را به صورت  X=X_{0}+\delta \cdot X_{1}  می‌نویسیم که در آن اندیس ۰ نشان دهنده مقدار تعادل پایدار ثابت "مرتبه-صفر" است و ۱ مربوط به اختلال مرتبه-اول است .  \delta  یک پارامتر مرتبه ایی برای خطی کردن است و مقدار فیزیکی ۱ دارد. برای خطی کردن، ما همه شرایط در هر رابطه‌ای از همان ترتیب در  \delta  را متعادل می‌کنیم. عبارات مربوط به مقادیر فقط اندیس-۰ همگی مرتبه  \delta ^{0} هستند و باید تعادل داشته باشند، و مقادیر با اندیس-۱ همه به مرتبه  \delta ^{1} و متعادل هستند. ما میدان الکتریکی را به شکل مرتبه-1 ( {\vec {E}}_{0}=0) اعمال می‌کنیم و میدان‌های مغناطیسی را نادیده می‌گیریم.
هر گونه  s با استفاده از جرم  m_{s}، بار  q_{s}=Z_{s}e، چگالی تعداد  n_{s}، سرعت جریان  {\vec {u}}_{s} و فشار  p_{s}توصیف می‌شود. ما فرض می‌کنیم که اختلالات فشار برای هر گونه یک فرایند پلی تروپیک است، یعنی  p_{s1}=\gamma _{s}T_{s0}n_{s1} برای گونه  s. برای توجیه این فرض و تعیین مقدار  \gamma _{s}، باید از یک رفتار جنبشی استفاده کرد که برای توابع توزیع گونه در فضای سرعت حل می‌شود. فرضیه چندبعدی اساساً معادله انرژی را جایگزین می‌کند.
هر گونه معادله پیوستگی را برآورده می‌کند:
\partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0
و همین‌طور معادله تکانه:
\partial _{t}{\vec {u}}_{s}+{\vec {u}}_{s}\cdot \nabla {\vec {u}}_{s}={Z_{s}e \over m_{s}}{\vec {E}}-{\nabla p_{s} \over n_{s}}
ما اکنون معادله را خطی می‌کنیم و با معادلات مرتبه-۱ کار می‌کنیم. از آنجا که ما با  T_{s1} به خاطر فرض چندبعدی کار نمی‌کنیم (اما فرض نکنیم که آن صفر است)، برای کاهش نماد گذاری از  T_{s}  T_{s0} استفاده می‌کنیم. با استفاده از معادله پیوستگی یونی، معادله تکانه یونی به این صورت می‌شود:
(-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}
ما میدان الکتریکی  {\vec {E}}_{1} را با چگالی الکترون از طریق معادله تکانه الکترون مرتبط می‌سازیم:
n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}
ما اکنون سمت چپ معادله را به دلیل اینرسی‌های الکترونی صرف نظر می‌کنیم. این برای امواج با فرکانس‌های بسیار کمتر از فرکانس الکترونی پلاسما  (n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2} معتبر است. این یک تقریب خوب برای  m_{i}\gg m_{e}، مانند ماده یونیزه، اما نه برای شرایطی مانند پلاسمای الکترون-حفر در نیمه‌هادی‌ها یا پلاسمای الکترون-پوزیترون است. میدان الکتریکی حاصل بصورت زیر می‌شود:
{\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}
از آنجا که ما میدان الکتریکی را بدست آورده‌ایم، نمی‌توانیم آن را از معادله پواسون پیدا کنیم. معادله تکانه یونی برای هرگونه  n_{i1}به  n_{e1} مربوط می‌شود:
(-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}
ما از معادله پوآسون به معادله پخش می‌رسیم:
{\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{ne0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]
اولین ترم یا عبارت داخل کروشه سمت راست با فرض (تعادل بار - خنثی) صفر است. ما میدان الکتریکی را جایگزین می‌کنیم و برای پیدا کردن مجدد تنظیم می‌کنیم:
(1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}
\lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})طول دبای الکترون را تعریف می‌کند. عبارت دوم در سمت چپ از عبارت  \nabla \cdot {\vec {E}} ناشی می‌شود و درجه را به جایی که اختلال از نظر باری خنثی نیست منعکس می‌کند. اگر  k\lambda _{De} کوچک باشد ممکن است این عبارت را حذف کنیم. این تقریب گاهی تقریب پلاسما نامیده می‌شود.
ما در حال حاضر در فضای فوریه کار می‌کنیم و هر مرتبه-۱ میدان را به صورت  X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+c.c.  می‌نویسیم. ما میدان را کاهش می‌دهیم تا جایی که همه معادلات با دامه فوریه پذیرفته شوند:
n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}
v_{s}=\omega /k سرعت فاز موج است. با جایگزین کردن این معادله در معادله پواسون، حالتی را به ما می‌دهد که در آن هر عبارت متناسب با  n_{e1} است. برای یافتن رابطه انتشار برای حالت‌های طبیعی، به دنبال راه‌حل‌هایی برای  n_{e1} غیر صفر هستیم و پیدا می‌کنیم:
n_{i1}=f_{i}n_{I1}که در آن  n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}، به طوری که کسر یون  \Sigma _{i}f_{i}=1 را ارضا کند، و  \langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i} میانگین روی گونه‌های یونی است. حالت بدون وحدت از این معادله این است:
{\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle }\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}
با  A_{i}=m_{i}/m_{u}،  m_{u} واحد جرم اتمی ،  u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e} ، و:
\tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}
اگر  k\lambda _{De} کوچک باشد (تقریب پلاسما)، می‌توانیم ترم دوم را در سمت راست نادیده بگیریم، و موج  \omega =v_{s}k بدون پراکندگی با  v_{s} مستقل از k باشد.