شبکه عصبی پیچشی
یادگیری > بازگشت به عقب (Backpropagation)، روشی برا محاسبه گرادیانها

برای سلول عصبی  c ورودیی که از سلول عصبی  p به این سلول وارد می‌شود را با  b_{pc} نشان می‌دهیم. وزن این ورودی  w_{pc} است و مجموع ضرب ورودی‌ها با وزنهایشان را با  a_{c} نمایش می‌دهیم، به این معنی که  a_{c}=\sum _{p}w_{pc}\times b_{pc}. حال باید بر روی  a_{c} تابعی غیر خطی اعمال کنیم این تابع را  \theta _{c} می‌نامیم و خروجی آن را با  b_{c} نمایش می‌دهیم یعنی  b_{c}=\theta _{c}(a_{c}). به همین شکل خروجیی که از سلول عصبی  c خارج شده و به سلول  n وارد می‌شود را با  b_{cn} نمایش می‌دهیم و وزن آن را  w_{cn} می‌نامیم. حال تمام وزن‌های این شبکه عصبی را در مجموعه‌ای به اسم  W می‌گنجانیم، هدف یادگیری این وزنهاست. اگر ورودی ما  x باشد و خروجی  y و خروجی شبکه عصبی ما  h_{W}(x)، هدف پیدا کردن انتخاب  W است به قسمی که برای تمام داده‌ها  y و  h_{W}(x) به هم خیلی نزدیک شوند. به عبارت دیگر هدف کوچک کردن یک تابع هزینه بر روی تمام داده هاست، اگر داده‌ها را با  (x_{1},y_{1}),\cdots ,(x_{n},y_{n}) و تابع هزینه را با  l نشان دهیم هدف کمینه کردن تابع پایین است:
Q(W)=\sum _{i=1}^{n}l\left(h_{W}(x_{i}),\,\,y_{i}\right)
به عنوان مثال اگر مسئله رگرسیون است برای  l می‌توانیم خطای مربعات را در نظر بگیریم و اگر مسئله دسته‌بندی است برای  lمی‌شود منفی لگاریتم بازنمایی را استفاده کرد.
برای به‌دست آوردن کمینه  Q(W) باید از روش گرادیان کاهشی استفاده کرد، به این معنی که گرادیان تابع را حساب کرده، کمی در خلاف جهت آن حرکت کرده و این کار را آنقدر ادامه داد تا تابع هزینه خیلی کوچک شود. روش بازگشت به عقب در واقع روشی برای پیدا کردن گرادیان تابع  Q(W) است.
حال فرض کنیم می‌خواهیم گرادیان تابع  Q(W) را نسبت به وزن  w_{pc} به‌دست بیاوریم. برای این کار نیاز به قاعده زنجیری در مشتق‌گیری داریم. قاعده زنجیری به این شکل کار می‌کند: اگر تابعی داشته باشیم به اسم  f که وابسته به سه ورودی  u،  v و  w باشد و هرکدام از این سه ورودی به نوبه خود وابسته به  t باشند، مشتق  f به  t به این شکل محاسبه می‌شود:
{\frac {\partial f\left(u(t),v(t),w(t)\right)}{\partial t}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial t}}
با استفاده از این قاعده زنجیری روش بازگشت به عقب را به این شکل دنبال می‌کنیم:
\delta _{c}={\frac {\partial Q}{\partial a_{c}}}
a_{c}=\sum _{p}w_{pc}\times b_{pc}
b_{c}=\theta _{c}(a_{c})
\delta _{c}={\frac {\partial Q}{\partial a_{c}}}={\frac {\partial Q}{\partial b_{c}}}{\frac {\partial b_{c}}{\partial a_{c}}}={\frac {\partial Q}{\partial b_{c}}}\times {\acute {\theta }}_{c}(a_{c})=\left(\sum _{n}{\frac {\partial Q}{\partial a_{n}}}{\frac {\partial a_{n}}{\partial b_{c}}}\right)\times {\acute {\theta }}_{c}(a_{c})=\left(\sum _{n}w_{cn}\delta _{n}\right)\times {\acute {\theta }}_{c}(a_{c})
{\frac {\partial Q}{\partial w_{pc}}}={\frac {\partial Q}{\partial a_{c}}}{\frac {\partial a_{c}}{\partial w_{pc}}}=\delta _{c}b_{p}
همان‌طور که در خط پیشین دیدیم برای به‌دست آوردن گرادیان نسبت به  w_{pc} به دو مقدار نیاز داریم ورودی به سلول عصبی  c از سلول عصبی  p که همان  b_{p} است و راحت به‌دست می‌آید و  \delta _{c} که از روش بازگشتی به‌دست می‌آید و بستگی به  \delta ‌هایی لایه بعد دارد که سلول  cبه آن‌ها وصل است، به‌طور دقیقتر  \delta _{c}=\left(\sum _{n}w_{cn}\delta _{n}\right)\times {\acute {\theta }}_{c}(a_{c}).
روش بازگشتی برای به‌دست آوردن  \delta ‌ها به این شکل کار می‌کند که ابتدا  \delta  را برای سلول‌های لایه خروجی حساب می‌کنیم، و بعد لایه‌ها را به نوبت پایین آئیم و برای هر سلول  \delta  آن را با ترکیت  \delta ‌های لایه‌های بالایی آن طبق فرمول حساب می‌کنیم. محاسبه کردن  \delta  برای لایه خروجی آسان است و مستقیماً با مشتق گرفتن از  Q به‌دست می‌آید.