حرف مفت
مقاله اصلی کراوفورد و سوبل > قضیه

کراوفورد و سوبل خواص تعادل‌های نش ممکن را مشخص کرده‌اند.
در حالت کلی چند تعادل نش وجود دارد؛ اما تعداد آنها محدود است.
تعادل جداکننده، به معنای انتقال کامل اطلاعات توسط فرستنده وجود ندارد.
تعادل سخن بیهوده که به معنای عدم انتقال هرگونه اطلاعات توسط فرستنده است، همواره یک خروجی تعادلی است.
زمانی که منافع کاملاً هماهنگ باشد، اطلاعات به صورت کامل منتقل می‌شود. زمانی که تضاد منافع بسیار بزرگ باشد، هیچ اطلاعاتی منتقل نمی‌شود. این دو حالت، حالت‌های افراطی مسئله هستند. حالت جالب‌تر زمانی است که منافع به هم نزدیک ولی متفاوت هستند. در این حالت رفتار بهینه انتقال بخشی از اطلاعات (و نه همه آن) خواهد بود.
به طور کلی:
وجود دارد  N^{*}>0 به طوری که به ازای هر  N که  1\leq N\leq N^{*} ،
حداقل یک تعادل وجود دارد که در آن،  N عمل مختلف می‌تواند انجام شود و به علاوه،
هیچ تعادلی وجود ندارد که بیش از  N^{*} عمل را در پی داشته باشد.
پیام‌ها: در حالی که به صورت پیشینی می‌توان بی‌نهایت پیام با مقادیر مختلف و به ازای حالت‌های مختلف جهان t فرستاد، اما در واقعیت تنها تعداد محدودی پیام با مقادیر  (m_{1},m_{2},..,m_{N}) می‌توان ارسال نمود.
در نتیجه تعادل ممکن است توسط یک افراز  (t_{0}(N),t_{1}(N),...,t_{N}(N)) از مجموعه نوع‌های  [0,1] ، که در آن  0=t_{0}(N)<t_{1}(N)<...<t_{N}(N)=1 مشخص شود. این افراز در بخش بالا و راست شکل ۱ نشان داده شده است.
t_{i}(N)ها مرزهای بازه‌هایی هستند که به ازای آنها فرستنده یک پیام ثابت را ارسال می‌کند. یعنی به ازای هر  t_{i-1}<t<t_{i}، خواهیم داشت   \mu (t)=m_{i}.
عمل‌ها: از آنجایی که عمل‌ها توابعی از پیام‌ها هستند، آنها نیز روی این بازه‌ها ثابت هستند. یعنی برای  t_{i-1}<t<t_{i} باید  a(t)=a(m_{i})=a_{i}
تابع عمل، مقداری از  a است که سود انتظاری گیرنده را حداکثر کند، به شرطی که بداند t بین  t_{1} و  t_{2} است. با فرض توزیع یکنواخت t بین صفر و یک، بیان ریاضی مسئله به صورت زیر می‌شود:
a_{i}={\bar {a}}(t_{i-1},t_{i})=\mathrm {arg} \max _{a}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}U^{R}(a,t)dt
\leftarrow تابع مطلوبیت‌های درجه دوم:
به شرطی که R بداند که t بین  t_{1} و  t_{2} است و در حالت خاص تابع مطلوبیت درجه دوم، برای انتخاب a به طوری که تا حد امکان به t نزدیک باشد، R باید وسط بازه مورد نظر باشد (این موضوع را به صورت شهودی می‌توان نشان داد): a_{i}={\frac {t_{i-1}+t_{i}}{2}}
شرط بی‌تفاوتی: اگر t = ti باشد چه می‌شود؟ فرستنده باید بین فرستادن دو پیام  m_{i-1} و  m_{i} بی‌تفاوت باشد. یعنی:
U^{S}(a_{i},t_{i})=U^{S}(a_{i+1},t_{i})  به ازای هر  1\leq i\leq N-1
این شرط به ما اطلاعاتی در مورد N و  t_{i} می‌دهد.
در عمل:
افرازی به اندازه N را در نظر می‌گیریم.
می‌توان نشان داد که:
t_{i}=t_{1}i+2bi(i-1)\qquad t_{1}={\frac {1-2bN(N-1)}{N}}
N باید به قدر کافی کوچک باشد تا صورت کسر مثبت شود. این شرط حداکثر مقدار قابل قبول N را مشخص می‌کند:
N^{*}=\langle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{b}}}}\rangle
که 〈Z〉 سقف عدد Z و به معنای کوچکترین عدد بزرگتر یا مساوی Z می‌باشد.
مثال: با فرض b=۱/۲۰، خواهیم داشت ۳=*N.
اکنون تمام تعادل‌ها را به ازای N=۱٬۲٬۳ بررسی می‌کنیم (شکل ۲ را ببینید).
N = ۱:این یک تعادل سخن بیهوده است. t0 = 0, t1 = 1; a1 = ۱/۲ = 0.5.
N = ۲: در این حالت: t0 = 0, t1 = ۲/۵ = 0.4, t2 = 1; a1 = ۱/۵ = 0.2, a2 = ۷/۱۰ = 0.7.
N = N* = ۳: در این صورت: t0 = 0, t1 = 2/15, t2 = 7/15, t3 = 1; a1 = 1/15, a2 = ۳/۱۰ = 0.3, a3 = 11/15.
به ازای N=۱، بی‌فایده‌ترین تعادل را داریم که در آن هیچ اطلاعاتی منتقل نمی‌شود. در نتیجه تمام شکل در پنل سمت راست به رنگ قرمز درآمده است. به ازای N=۳، وضعیت پیام‌رسانی بهتر است. اما همچنان نسبت به حالت انتقال کامل اطلاعات بسیار ناجذاب است. (حالت انتقال کامل اطلاعات که با خط ۴۵ درجه نشان داده شده است، یک تعادل نش نیست)
به ازای Nهای بزرگ‌تر و در نتیجه ارسال پیام باکیفیت‌تر، سطوح آبی اهمیت بیشتری پیدا می‌کند که به معنای افزایش مطلوبیت است. انتقال اطلاعات بیشتر باعث سود بیشتر هر دو طرف می‌شود.