جنگ فرسایشی (نظریه بازی‌ها)
مطالعه دقیق بازی

برای اینکه ببینیم این بازی چگونه عمل می‌کند، به بررسی بازی «all-pay auction» می‌پردازیم. فرض کنید بازیکن‌ها به صورت هم‌زمان برای یک منبع به ارزش  V قیمتی پیشنهاد می‌دهند، و بازیکنی که بیش‌ترین قیمت را پیشنهاد دهد، منبع را برنده می‌شود؛ و همه بازیکنان به اندازه کم‌ترین قیمت پیشنهاد شده هزینه متحمل می‌شوند (در بعضی از نسخه‌های این بازی هزینه هر بازیکن به اندازه پیشنهادی است که خودش داده‌است). به بیان دیگر اگر قیمت پیشنهادی بازی‌کن iام را  b_{i} در نظر بگیریم، نتیجه نهایی برای او در صورتی ک برنده نشود،  -b_{i} و در صورتی که منبع را برنده شود  V-b_{i} می‌شود. در صورتی که چند (k) بازیکن بیش‌ترین قیمت ( b) را پیشنهاد داده باشند، منبع بین آن‌ها به‌طور مساوی تقسیم می‌شود؛ بنابراین نتیجه نهایی برای این بازیکنان  {\frac {V}{b}} می‌شود. نهایتاً قیمت پیشنهادی در هر زمان، یک جنگ فرسایشی محسوب می‌شود. با این که قیمت پیشنهادی بالا می‌تواند احتمال بدست آوردن جایزه را بالا برد، اما هزینه بیش‌تری را نیز دربردارد (این جمله حاکی از بده-بستان سود و زیان در این بازی است).
فرض اینکه بازیکنان می‌توانند هر قیمتی را پیشنهاد دهند در تحلیل بازی بسیار مهم است. قیمت پیشنهادی حتی می‌تواند از ارزش منبع که رقابت بر سر آن است نیز بیش‌تر شود. در ابتدا این انتخاب ممکن است غیرعقلانی به نظر آید ـ پرداخت قیمتی بالاتر از ارزش آن به نظر نابخردانه می‌آید ـ از آن‌جایی که هر بازیکن به اندازه کم‌ترین قیمت پرداخت می‌کند، بنابراین به نظر می‌آید هر بازیکن مایل به پیشنهاد بیش‌ترین قیمت ممکن باشد تا قیمتی کم‌تر مساوی ارزش منبع.
اگر همه بازیکنان قیمتی بیش از  V پیشنهاد دهند، بازیکن پیشنهاد دهندهٔ بالاترین قیمت، به جای سود، ضرر می‌کند. به بیان دیگر بازیکنی که کم‌ترین قیمت( b) را پیشنهاد داده به اندازه  b هزینه می‌کند و بازیکنی که بیش‌ترین قیمت را پیشنهاد داده، هزینه  V-b را متحمل می‌شود (که در این حالت  b>V است) و این وضعیت  پیروزی شکست‌آمیز نامیده می‌شود. اگر همه بازیکنان قیمتی مثل  b>{\frac {V}{n}} را پیشنهاد دهند، همگی  {\frac {V}{n}}-b از دست می‌دهند. Luce و Raiffaاین حالت اخیر را وضعیت ویران‌گر نامیده‌اند؛ که همه بازیکنان ضرر می‌کنند و هیچ برنده‌ای وجود ندارد.
استنتاجی که می‌توان از این شبه ماتریس داشت این است که قیمتی پیشنهادی وجود ندارد تا در همه حالات سودمند باشد، بنابراین هیچ  استراتژی غالبی وجود ندارد. همچنین در این بازی هیچ   تعادل نشی وجود ندارد، که در ادامه آن را برای بازی دو نفره اثبات خواهیم کرد:
اگر دو بازیکن پیشنهادهای متفاوتی داده باشند: پس بازی یک بالاترین پیشنهاد دهنده و یک پایین‌ترین پیشنهاد دهنده دارد، استراتژی عقلانی برای پایین‌ترین پیشنهاد دهنده، که می‌داند قرار است زیان کند، این است که قیمت صفر را پیشنهاد دهد؛ و بالاترین پیشنهاد دهنده، یک قیمت بالاتر و مایل به صفر را ترجیح می‌دهد تا نتیجه نهایی خود را بیشینه کند. در این حالت پایین‌ترین پیشنهاد دهنده انگیزه این را دارد تا قیمتی اندکی بیش‌تر از رقیب خود را پیشنهاد دهد تا منبع را برنده شود. پس هر دو بازیکن ممکن است استراتژی خود را برای افزایش سود یا کاهش ضرر تغییر دهند.
اگر دو بازیکن قیمتی یکسان پیشنهاد داده باشند: اگر قیمت پیشنهاد شده از  {\frac {V}{2}} بیش‌تر باشد، سود دو بازیکن منفی می‌شود؛ و برای هر پیشنهاد زیر  {\frac {V}{2}}، هر بازیکن انگیزه این را دارد تا قیمت بالاتری پیشنهاد دهد؛ بنابراین هر کدام از بازیکنان ممکن است استراتژی خود را تغییر دهند. در نتیجه این حالت نیز نمی‌تواند تعادل نش باشد.
برای دو حالت کلی در بالا اثبات شد، می‌توان اثبات کرد از آن‌جایی که هر بازیکن انگیزه تغییر استراتژی خود را در هر شرایط منطقی دارد، هیچ تعادل نشی در این بازی وجود ندارد.