معادله ولاسوف
معادلات پیوستگی

معادله پیوستگی چگونگی تغییر چگالی با زمان را توصیف می‌کند و با انتگرال‌گیری از معادله ولاسوف در کل فضای سرعت بدست می‌آید:
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}fd^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+\nabla _{v}\cdot (\mathbf {a} f)\right)d^{3}v=0}
پس از محاسبات، بدین شکل پایان می‌یابد:
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}
مرتبهٔ اول چگالی تعداد n، چگالی تکانه nu بدین شکل بدست می‌آیند:
{\displaystyle n=\int fd^{3}v}
{\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} fd^{3}v}
معادلات تکانه:
نرخ تغییر چگالی ذره با معادلات لورنتس داده می‌شود:
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
با استفاده از این معادله و معادله ولاسوف، معادله تکانه برای هر سیال بدست می‌آید:
{\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} }
که  {\displaystyle {\mathcal {P}}} فشار تانسوری است. مشتق کامل به این صورت است:
{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}
که فشار تانسوری از حاصل ضرب جرم ذره در ماتریس کوواریانس سرعت تعریف می‌شود:
{\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})fd^{3}v.}
تقریب یخ‌زذه
همانند MHD، پلاسما را می‌توانیم مانند خطوط میدان مغناطیسی در نظر بگیریم، انگار که خطوط میدان مغناطیسی به پلاسما فریز شده‌اند. شرایط فریز شدن را با معادلات ولاسوف می‌توان بدست آورد.
در اینجا T, L و V را به ترتیب به عنوان زمان، فاصله و سرعت در نظر می‌گیریم، که نشان دهنده بزرگی پارامترهای مختلف هستند و باعث تغییرات بزرگی در f می‌شوند. منظور از بزرگ این است:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}
سپس می‌نویسیم:
{\displaystyle t^{\prime }={\frac {t}{T}}\quad \mathbf {r} ^{\prime }={\frac {\mathbf {r} }{L}}\quad \mathbf {v} ^{\prime }={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}
حالا معادله ولاسوف بدین شکل در می‌آید:
{\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} ^{\prime }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0.}
تاکنون هیچ تقریبی نزده‌ایم. برای ادامه  {\displaystyle V=R\omega _{g}} که  {\displaystyle \omega _{g}=qB/m} فرکانس لارمور و R ژیرورادیوس است. با جدا کردن ωg بدست می‌آوریم:
{\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0}
اگر  {\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T} و  {\displaystyle R\ll L}، باشند، دو جملهٔ اول خیلی کمتر از  {\displaystyle f} خواهند بود، بطوریکه  {\displaystyle \partial f/\partial t^{\prime }\sim f,v^{\prime }\lesssim 1} و  {\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} ^{\prime }\sim f} از آن‌جایی که آخرین جمله از مرتبه f است، می‌توانیم از دو جمله اول صرف نظر کرده و بنویسیم:
{\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}
که این معادله را می‌توانیم در دو راستای عمودی و موازی تجزیه کنیم:
{\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}
مرحله بعدی این است که بنویسیم  {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }، جایی که:
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}
در ادامه می‌بینیم که چرا این تقریب را به کار بردیم. با این جایگذاری‌ها:
{\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}
اگر مولفه موازی میدان الکتریکی کوچک باشد:
{\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}
این معادله نشان می‌دهد که توزیع ژیروتروپیک است. سرعت متوسط توزیع ژیروتروپیک صفر است، بنابراین  {\displaystyle \mathbf {v} _{0}} با سرعت متوسط u برابر است و داریم:
{\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0}
به‌طور خلاصه دوره تناوب و شعاع لارمور باید خیلی کوچک‌تر از زمان‌ها و طول‌های معمولی که منجر به تغییرات بزرگ در تابع توزیع می‌شوند، باشند. شعاع لارمور معمولاً از جایگذاری V با سرعت حرارتی تخمین زده می‌شود. شرایط فریز شدن باید به صورت جداگانه برای هر گونه از ذرات بررسی شود، چون الکترون‌ها شعاع و دوره تناوب لارمور کوچک‌تری نسبت به یون‌ها دارند.