قضایای بنیادی اقتصاد رفاه
اثبات ریاضی > قضیهٔ دوم رفاه

در اقتصادی با مشخصات  (\{X_{i},\succeq _{i}\},Y_{j},{\bar {w}}) تخصیص  (x^{*},y^{*}) و بردار قیمت
 p=(p_{1},...,p_{L})\neq 0 یک شبه تعادل قیمتی بازاری را می‌سازد اگر توزیع ثروت  (w_{1},...,w_{I}) به صورت
 \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot {\bar {w}}+p\cdot \Sigma p\cdot y_{j}^{*} وجود داشته باشد به‌طوری که:
(i)برای تمام j‌ها  y_{j}^{*} سود را در  Y_{j} حداکثر می‌کند یعنی
p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*} برای تمام  y_{j}\in Y_{j}
(ii) برای هر i اگر  x_{i}\succ x_{i}^{*} آنگاه  p\cdot x_{i}\geq w_{i}
(iii)
 \Sigma _{i}x_{i}^{*}={\bar {w}}+\Sigma _{j}y_{j}^{*}
بیان رسمی قضیه بدین شرح است:
اقتصادی با مشخصات  (\{X_{i},\succeq _{i}\},Y_{j},{\bar {w}})را در نظر بگیرید و فرض کنید  Y_{j} محدب است و رابطهٔ ترجیحات  \succeq _{i} محدب و به‌طور موضعی اشباع ناپذیر باشد آنگاه برای هرتخصیص بهینهٔ پرتو  (x^{*},y^{*}) بردار قیمت p=(p_{1},...,p_{L})\neq 0 وجود داردبه‌طوری‌که  (x^{*},y^{*},p) یک شبه تعادل قیمتی بازاری‌ست.
برای هر i تابع  V_{i} را به عنوان تابع تمام  x_{i}‌هایی که بر  x_{i}^{*} ترجیح دارد تعریف می کنیم:
 V_{i}=\{x_{i}\in X_{i};x_{i}\succ x_{i}^{*}\}\subset \mathbb {R} ^{L} سپس تعریف می‌کنیم:
V=\Sigma V_{i}=\{\Sigma x_{i}\in \mathbb {R} ^{L};x_{1}\in V_{1},...,x_{I}\in V_{I}\}
Y=\Sigma _{j}Y_{j}=\{\Sigma y_{j}\in \mathbb {R} ^{L};y_{1}\in Y_{1},...,y_{J}\in Y_{J}\}
در نتیجه V مجموع تمام مصارفی‌ست که بین I نفر تقسیم می‌شود که هر کدام توسط مصرف‌کننده اش به  x_{i}^{*} ترجیح دارد. تابع Y تابع کل تولیدات توابع تولید است.
گام ۱. تمام توابع  V_{i}^{*} محدب‌اند.فرض کنید  x_{i}\succ x_{i}^{*} و 
 x_{i}'\succ x_{i}^{*} به ازای یک 
 0\leq \alpha \leq 1
می خواهیم ثابت کنیم 
 \alpha x_{i}+(1-\alpha )x_{i}'\succeq x_{i}^{*} . از آنجایی که تابع ترجیحات کامل است بدون کاستن از کلیت می‌توان فرض کرد x_{i}'\succeq x_{i}^{*} در نتیجه به دلیل محدب بودن ترجیحات داریم:
 \alpha x_{i}+(1-\alpha )x_{i}'\succeq x_{i} که با فرض تراگذری داریم
 \alpha x_{i}+(1-\alpha )x_{i}'\succ x_{i}^{*}.
گام۲. مجموعه‌های V و  Y+\{{\bar {w}}\} محدب‌اند. جمع هر دو تابع محدب محدب است.
گام۳.  V\cap Y+\{{\bar {w}}\}=\varnothing 
این نتیجه‌ای از بهینگی پرتو در
 (x^{*},y^{*}) است. اگر برداری هم در V و هم در  Y+\{{\bar {w}}\} باشد بدین معنی‌ست که با تکنولوژی و مواهب موجود می‌توان بردار تولیدی به دست آورد که به تمام مصرف کنندگان مقدار مصرفی‌ای برسد که آن را بر  x_{i}^{*} ترجیح می دهند.
گام۴. بردار قیمت 
 p=(p_{1},..,p_{L})\neq 0 و r وجود دارد به‌طوری‌که  p\cdot z\geq r به ازای هر
 z\in V و  p\cdot z\leq r به ازای هر  z\in Y+\{{\bar {w}}\}
این مورد به راحتی توسط قضیهٔ ابر صفحهٔ جداکننده قابل اثبات است.
گام۵.اگربرای هرi
 x_{i}\succeq x_{i}^{*} 
آنگاه
 p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r.فرض کنید برای هرi
 x_{i}\succeq x_{i}^{*} با فرض اشباع ناپذیری موضعی برای هر مصرف‌کنندهٔ i مرز مصرف 
 {\hat {x_{i}}}
به اندازهٔ کافی نزدیک به  x_{i} وجود دارد به‌طوری‌که  {\hat {x_{i}}}\succeq x_{i} وبنابراین  {\hat {x_{i}}}\in V_{i}.در نتیجه  \Sigma {\hat {x_{i}}}\in V و 
 p\cdot (\Sigma {\hat {x_{i}}})\geq r با گرفتن حد  {\hat {x_{i}}}\rightarrow x_{i} نتیجه می‌دهد
 p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r.
گام ۶. p\cdot (\Sigma x_{i}^{*})=p{\dot {(}}{\bar {w}}+\Sigma _{j}y_{j}^{*})=r
از گام ۵ داریم 
 p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r به علاوه از آنجا که 
 \Sigma _{i}x_{i}^{*}={\bar {w}}\Sigma _{j}y_{j}^{*}\in Y+\{{\bar {w}}\}
در نتیجه
 p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r
بنابراین  p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r و چون 
 \Sigma _{i}x_{i}^{*}={\bar {w}}\Sigma _{j}y_{j}^{*} داریم  p{\dot {(}}{\bar {w}}+\Sigma _{j}y_{j}^{*})=r
گام۷. برای هر j داریم  p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}
به ازای هر  y_{j}\in Y_{j}. برای هر بنگاه j داریم 
 y_{j}+\Sigma _{j\neq h}y_{h}^{*}\in Y
در نتیجه
 p\cdot ({\bar {w}}+y_{j}+\Sigma _{h\neq j}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot ({\bar {w}}+y_{j}+\Sigma _{h\neq j}y_{h}^{*})
در نتیجه p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}
گام۸. به ازای هر i اگر  x_{i}\succ x_{i}^{*} آنگاه  p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}. فرض کنید داریم x_{i}\succ x_{i}^{*} از گام ۵ و ۶ نتیجه می گیریم:
p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k\neq i}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k\neq i}x_{k}^{*})(
در نتیجه  p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}
گام ۹. سطح ثروت  w_{i}=p\cdot x_{i}^{*} به ازای هر  i=1,...,I بردار
 (x^{*},y^{*},p) را به عنوان یک شبه تعادل قیمتی بازاری پشتیبانی می‌کند.