نظریه جبری اعداد
مفاهیم پایه > نقض تجزیه یکتا

یک خاصیت مهم حلقه اعداد صحیح، ارضاء قضیه اساسی حساب است، یعنی هر عدد صحیح (مثبت) را می توان به صورت ضرب عوامل اولش تجزیه کرد، و این تجزیه در حد ترتیب عوامل یکتاست.  اما این خاصیت ممکن است برای حلقه اعداد صحیح جبری  O از یک میدان اعداد جبری  K دیگر برقرار نباشد.
یک عنصر اول، عنصری چون  p از  O است به طوری که اگر ضرب  ab را عاد کند (بشمارد)، آنگاه یا  a را عاد می کند یا  b را. این خاصیت ارتباط نزدیکی با اول بودن اعداد صحیح دارد، چون هر عدد صحیح مثبتی که این خاصیت را ارضاء کند یا ۱ است یا عددی اول. با این حال، این خاصیت به طور اکید ضعیف تر است. به عنوان مثال ۲- عدد اول نیست، چون منفی است، اما یک عنصر اول است. اگر تجزیه به عناصر اول مجاز باشد، آنگاه حتی در اعداد صحیح هم تجزیه های مختلفی وجود خواهند داشت، مثل:
در کل، اگر  u یک عنصر معکوس پذیر باشد، یعنی عددی که در  O معکوس ضربی دارد، آنگاه اگر  p یک عنصر اول باشد،   up هم عنصری اول خواهد بود. اعدادی چون  p و  up را شریک یا مرتبط (associate) گویند. در اعداد صحیح، اعداد اول  p و  -p شریکند، اما تنها یکی از آن ها مثبت است. این که مثبت بودن اعداد اول را الزامی در نظر بگیریم، منجر به این می شود که عنصر یکتایی در بین مجموعه عناصر اول متناظر با آن (شریک با آن) انتخاب شود. با این حال، زمانی که  K میدان اعداد گویا نباشد، مثبت بودن بی معنی خواهد بود. به عنوان مثال در اعداد صحیح گاوسی  \mathbf {Z} [i]، اعداد  1+2i و  -2+i شریک هستند، چون اگر عدد اولی را در  i ضرب کنیم به دومی می رسیم، اما راهی برای انتخاب میان یکی از آن ها وجود ندارد، از این دو عدد به معادله زیر می رسیم:
که اثبات می کند در  \mathbf {Z} [i]، امکان تجزیه یکتا در حد ترتیب عوامل وجود ندارد. به همین دلیل است که از تعریف تجزیه یکتایی که در دامنه های تجزیه یکتا (UFD ها) وجود دارد استفاده می کنند. .در یک UFD، تجزیه به عناصر اول در حد عناصر تجزیه پذیر و ترتیب یکتاست.
به هر حال، حتی با این تعریف ضعیف تر، بسیاری از حلقه های اعداد صحیح در میدان های عددی جبری هم خاصیت تجزیه یکتایی را دارا نیستند. یک مانع به نام گروه کلاس ایده‌آل ها وجود دارد. زمانی که گروه کلاس ایده‌آل در یک میدان اعداد بدیهی باشد، این حلقه (حلقه اعداد صحیح جبری یا  O) UFD است. زمانی که حلقه اعداد صحیح جبری مربوط به یک میدان عددی خاصیت تجزیه یکتایی نداشته باشد، تمایزی بین عنصر اول و عنصر تحویل ناپذیر شکل می گیرد. یک عنصر تحویل ناپذیر چون  x عنصری است که اگر برای آن داشته باشیم  x=yz، آنگاه یا  y یا  z معکوس پذیر خواهد بود. عناصری وجود دارند که نمی توان آن را دچار تجزیه بیشتری کرد. علتش این است که در حالی که تمام عناصر اول تحویل ناپذیرند، برخی عناصر تحویل ناپذیر وجود دارند که ممکن است اول نباشند. مثلاً، حلقه  \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}] را در نظر بگیرید. در این حلقه، اعداد  2+{\sqrt {-5}}،  3 و  2-{\sqrt {-5}} تحویل ناپذیرند. این بدان معناست که عدد ۹ دو تجزیه به عناصر تحویل ناپذیر دارد:
این معادله نشان می دهد که ۳ حاصلضرب  (2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})=9 را می شمارد. اگر ۳ یک عنصر اول بود، آنگاه  2+{\sqrt {-5}} یا  2-{\sqrt {-5}} را می شمرد، اما نمی شمارد، چون تمام عناصری که بر ۳ بخش پذیرند به شکل  3a+3b{\sqrt {-5}} هستند. به طور مشابه  2+{\sqrt {-5}} و  2-{\sqrt {-5}} حاصلضرب  3^{2} را می شمارد، اما هیچ کدام از این عناصر خود ۳ را عاد نمی‌کنند، بنابر این هیچ کدام اول نیستند. چون به هیچ روش نمی توان  3،  2+{\sqrt {-5}} و  2-{\sqrt {-5}} را با هم مساوی کرد، در  \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}] تجزیه یکتا نقض می شود. برعکس شرایطی که در مورد عناصر معکوس‌پذیر وجود دارد، که در آن یکتا بودن را می توان با تعریف ضعیف تری ترمیم کرد، در مورد نقض تجزیه یکتا نیاز به دیدگاه جدید تری وجود دارد.