stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
موقعیت‌یابی مغناطیسی

موقعیت یابی مغناطیسی یک سیستم موقعیت یابی فضاهای داخلی است که از ناهنجاری‌های میدان مغناطیسی معمولی در تنظیمات داخلی با استفاده از آنها به عنوان امضاهای تشخیص مکان متمایز استفاده می‌کند. اولین استناد از موقعیت یابی بر اساس ناهنجاری مغناطیسی را می‌توان به کاربردهای نظامی در سال ۱۹۷۰ ردیابی کرد. استفاده از ناهنجاری‌های میدان مغناطیسی برای موقعیت یابی داخل ساختمان برای اولین بار در مقالات مربوط به رباتیک در اوایل سال ۲۰۰۰ ادعا شد.
بیشتر برنامه‌های کاربردی اخیر می‌توانند از داده‌های سنسور مغناطیسی از تلفن هوشمند استفاده کنند که برای مکان‌یابی بی‌سیم اجسام یا افراد در داخل ساختمان استفاده می‌شود.
در حال حاضر هیچ استانداردی برای IPS وجود ندارد، با این حال به نظر می‌رسد موقعیت یابی مغناطیسی کامل‌ترین و مقرون به صرفه‌ترین باشد. این دقت بدون نیاز به سخت‌افزار و هزینه کل مالکیت نسبتاً پایین را ارائه می‌دهد. بر اساس تحقیقات Opus، موقعیت یابی مغناطیسی به عنوان یک فناوری مکان یابی داخلی «بنیادی» ظاهر خواهد شد.
شرکت‌ها > GiPStech

تحقیقات مستقل در سال ۲۰۱۱ تیمی از محققان را گرد هم آورد تا بر روی ناهنجاری‌های میدان ژئومغناطیسی به عنوان یک میدان طبیعی در دسترس برای بومی سازی دستگاه‌های الکترونیکی مصرفی استفاده شود.
پس از چند سال تحقیق و آزمایش، آنها توانستند یک پلتفرم محلی سازی داخلی را پیاده‌سازی کنند که بر اساس اثرانگشت یک میدان ژئومغناطیسی ساختمان و همجوشی حسگر پیشرفته، قادر به مکان یابی دقیق دستگاه و کاربر آن بدون هیچ گونه زیرساختی بود. علاوه بر این، این پلتفرم همچنین قادر به جبران بسیاری از مسائل شناخته شده تغییرپذیری میدان مغناطیسی محلی بود.
در سال ۲۰۱۴، این تیم GiPStech را - به عنوان آکادمیک فرعی دانشگاه دلا کالابریا - برای تکمیل تحقیق و توسعه و تجاری‌سازی پلتفرم تأسیس کرد.
شرکت‌ها > Indoor Atlas

پروفسور Janne Haverinen و Anssi Kemppainen نیز روی رویکرد مغناطیسی کار کردند. با توجه به اینکه اعوجاج مغناطیسی ساختمان‌ها باعث گمراهی ماشین‌ها می‌شود، در نهایت مشکل را تغییر دادند و توجه را بر تداخل‌های مغناطیسی ناشی از سازه‌های فولادی متمرکز کردند. چیزی که آنها دریافتند این بود که اختلالات درون آنها ثابت بود و یک اثر انگشت مغناطیسی منحصر به فرد برای یک ساختمان ایجاد کرد.
پروفسور Janne Haverinen در سال ۲۰۱۲ شرکت IndoorAtlas را برای تجاری سازی راه حل موقعیت یابی مغناطیسی با دفتر مرکزی دوگانه در مانتین ویو، کالیفرنیا(Mountain View, CA) و اولو(Oulu) فنلاند تأسیس کرد.
مشکلات

میدان مغناطیسی محلی تحت تأثیر اجسام فلزی متحرک مانند بالابرها یا کابینت‌های فلزی قرار می‌گیرد.
تابع هیون

تابع هیون(به انگلیسی: Heun function)، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می‌شود. معادله هیون، کلی‌ترین حالت معادله فوکسین خطی مرتبه دو، با داشتن چهار نقطه منفرد منظم است. حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری‌های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه‌هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی‌های ریاضی متعددی، من‌جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره‌ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر است که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده‌است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته‌ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به توابع هیون موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته‌ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام چندجمله‌ای‌های هیون در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی‌اند. توابع و چندجمله ای‌های هیون، خواص متعددی دارند که می‌توان به وجود تعامد در آن‌ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می‌شوند. تابع هیون، در دینامیک سیالات، فرایند تبدیل کریستالها، مکانیک کوانتوم، مطالعه بر سیاهچاله ها، و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارد. امروزه، نرم‌افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای‌ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند.
معادله دیفرانسیل هیون

حالت کلی معادله هیون را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.
{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0
 a\neq 0,1
معادله هیون را می‌توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط  \left\{0,1,a,\infty \right\} برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ  \left\{0,1,a,\infty \right\}، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح  \left\{0,1-\gamma \right\} و  \left\{0,1-\delta \right\} و  \left\{0,1-\epsilon \right\} و  \left\{\alpha ,\beta \right\} دارند . 
در معادله هیون،  a ثابت تکینگی،  \alpha  ٬  \beta  ٬  \delta  ٬  \gamma  و  \epsilon  ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون، \left\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,a,q\right\}، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در  z=c_{j},j=1,2,...N و  \infty ، به صورت زیر در نظر بگیرید.
{{\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}\right){\frac {dw}{dz}}+\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {p_{j}}{z-c_{j}}}\right)w=0}
در این حالت، جفت پاسخهای معادله مشخصه متناظر با نقاط متناهیِ  c_{j} برابر با  \{0,{1-b_{j}}\} و جفت پاسخ معادله مشخصه متناظر با  \infty  برابر با  \left\{\alpha ,\beta \right\} خواهد بود. مجموع جفت پاسخهای معادله مشخصه، باید در رابطه  \alpha +\beta +1=\sum _{j=1}^{N}b_{j} صدق کنند. بنابراین، ثابت‌های  \alpha  ٬  \beta  ٬  \delta  ٬  \gamma  و  \epsilon  می‌باید شرط  1+\alpha +\beta =\epsilon +\gamma +\delta  را برقرار سازند. با این توصیف، در معادله هیون، شش ثابت مستقل وجود دارد. از این رابطه در برخی از منابع تحت عنوان رابطه فوکس یا شرط فوکسین نام برده شده‌است.
معادله دیفرانسیل هیون > حالت نرمال معادله هیون

با انتخاب  w(z)=z^{-\gamma /2}(z-1)^{-\delta /2}(z-a)^{-\epsilon /2}W(z) حالت نرمال معادله هیون به صورت زیر نوشته می‌شود.
{\frac {{d}^{2}W}{{dz}^{2}}}=\left({\frac {A}{z}}+{\frac {B}{z-1}}+{\frac {C}{z-a}}+{\frac {D}{z^{2}}}+{\frac {E}{(z-1)^{2}}}+{\frac {F}{(z-a)^{2}}}\right)W
در معادله بالا  A+B+C=0 می‌باشند. پارامترهای  A,B,C,D,E,F از روابط زیر قابل محاسبه هستند.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  C={\frac {\gamma \epsilon }{2a}}+{\frac {\delta \epsilon }{2(a-1)}}-{\frac {a\alpha \beta -q}{a(a-1)}} |  B={\frac {\gamma \delta }{2}}-{\frac {\delta \epsilon }{2(a-1)}}-{\frac {q-\alpha \beta }{a-1}} |  A=-{\frac {\gamma \delta }{2}}-{\frac {\gamma \epsilon }{2a}}+{\frac {q}{a}} |
|  F={\tfrac {1}{2}}\epsilon \left({\tfrac {1}{2}}\epsilon -1\right) |  E={\tfrac {1}{2}}\delta \left({\tfrac {1}{2}}\delta -1\right) |  D={\tfrac {1}{2}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}}\gamma -1\right) |
معادله دیفرانسیل هیون > معادله هیون بر اساس توابع مثلثاتی

با تغییر متغیر  z=\sin ^{2}(\theta ) می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد.
{\frac {{d}^{2}w}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+\left(\left(2\gamma -1\right)\cot \left(\theta \right)-(2\delta -1)\tan(\theta )-{\frac {\epsilon \sin(2\theta )}{a-\sin ^{2}(\theta )}}\ \right){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \theta }}+4{\frac {\alpha \beta \sin ^{2}(\theta )-q}{a-\sin ^{2}(\theta )}}w=0
معادله دیفرانسیل هیون > معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی

با جایگذاری  a=k^{-2} و  z={\mathop {\mathrm {sn^{2}} } }\left(\zeta ,k\right) معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است.
{\frac {{d}^{2}w}{{d\zeta }^{2}}}+\left((2\gamma -1){\frac {\mathop {\mathrm {cn} } \zeta \mathop {\mathrm {dn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {sn} } \zeta }}-(2\delta -1){\frac {\mathop {\mathrm {sn} } \zeta \mathop {\mathrm {dn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {cn} } \zeta }}-(2\epsilon -1)k^{2}{\frac {\mathop {\mathrm {sn} } \zeta \mathop {\mathrm {cn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {dn} } \zeta }}\right){\frac {dw}{d\zeta }}+4k^{2}(\alpha \beta {\mathop {\mathrm {sn} ^{2}} }\zeta -q)w=0
پاسخ معادله هیون > پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول نقطه 0=z

پاسخ معادله هیون، با نماد  \mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه  z=0 با احتساب مقدار  1 در این نقطه و اکسپاننت  \left\{0\right\} قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬ \left\{1-\gamma \right\}٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر  \gamma \neq 0,-1,-2,...، پاسخ معادله هیون بر ناحیه  |z|<1 موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است.
\mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}z^{j}
ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب  P_{j}=(j-1+\alpha )(j-1+\beta )٬  Q_{j}=j\left((j-1+\gamma )(1+a)+a\delta +\epsilon \right)٬  R_{j}=a(j+1)(j+\gamma ) و به شرح زیر به دست می آیند.
{c_{0}}=1
a\gamma c_{1}-qc_{0}=0
R_{j}c_{j+1}-(Q_{j}+q)c_{j}+P_{j}c_{j-1}=0
در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم، \left\{1-\gamma \right\}٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا  \gamma =0,-1,-2,...، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است.
z^{1-\gamma }\mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,(a\delta +\epsilon )(1-\gamma )+q;\alpha +1-\gamma ,\beta +1-\gamma ,2-\gamma ,\delta ;z\right)
پاسخ معادله هیون > پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول سایر نقاط تکین

پاسخ حول نقطه  z=1 با احتساب اکسپاننت  \left\{0\right\} برابر با مقدار زیر است.
\mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(1-a,\alpha \beta -q;\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma ;1-z\right)
همینطور پاسخ حول نقطه  z=1 با احتساب اکسپاننت  \left\{1-\delta \right\} به صورت زیر نشان داده می‌شود.
(1-z)^{1-\delta }{H\!\ell }\!\left(1-a,((1-a)\gamma +\epsilon )(1-\delta )+\alpha \beta -q;\alpha +1-\delta ,\beta +1-\delta ,2-\delta ,\gamma ;1-z\right)
پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه  z=a با احتساب اکسپاننت‌های  \left\{0\right\} و  \left\{1-\epsilon \right\} به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند.
{H\!\ell }\!\left({\frac {a}{a-1}},{\frac {\alpha \beta a-q}{a-1}};\alpha ,\beta ,\epsilon ,\delta ;{\frac {a-z}{a-1}}\right)
\left({\frac {a-z}{a-1}}\right)^{1-\epsilon }{H\!\ell }\!\left({\frac {a}{a-1}},{\frac {(a(\delta +\gamma )-\gamma )(1-\epsilon )}{a-1}}+{\frac {\alpha \beta a-q}{a-1}};\alpha +1-\epsilon ,\beta +1-\epsilon ,2-\epsilon ,\delta ;{\frac {a-z}{a-1}}\right)
همچنین در  z=\infty  با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های  \left\{\alpha \right\} و  \left\{\beta \right\} می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد.
z^{-\alpha }{H\!\ell }\!\left({\frac {1}{a}},\alpha \left(\beta -\epsilon \right)+{\frac {\alpha }{a}}\left(\beta -\delta \right)-{\frac {q}{a}};\alpha ,\alpha -\gamma +1,\alpha -\beta +1,\delta ;{\frac {1}{z}}\right)
z^{-\beta }{H\!\ell }\!\left({\frac {1}{a}},\beta \left(\alpha -\epsilon \right)+{\frac {\beta }{a}}\left(\alpha -\delta \right)-{\frac {q}{a}};\beta ,\beta -\gamma +1,\beta -\alpha +1,\delta ;{\frac {1}{z}}\right)
توابع هیون

به ازای دسته مقادیری از ثابت کمکی q، تابع هیون یا  {H\!\ell }\!\left(a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) در نقطه  z=1 و در نتیجه بر بازه  |z|<a تحلیلی می‌شود. این مقادیر  q_{m}٬  m=0,1,... با استفاده از کسرهایی نامتناهی به صورت  q={\cfrac {a\gamma P_{1}}{Q_{1}+q-{\cfrac {R_{1}P_{2}}{Q_{2}+q-{\cfrac {R_{2}P_{3}}{Q_{3}+q-\cdots }}}}}} و با جایگذاری  P_{j}=(j-1+\alpha )(j-1+\beta )٬  Q_{j}=j\left((j-1+\gamma )(1+a)+a\delta +\epsilon \right)٬  R_{j}=a(j+1)(j+\gamma ) به دست می آیند. برای تأکید بر تفاوت این گروه از پاسخهای معادله هیون از نماد  {(0,1){Hf}_{m}}\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) استفاده می‌شود.
در حالتی عمومی تر به ازای هر  (s_{1},s_{2})\in \{0,1,a,\infty \} می‌توان دسته‌ای از مقادیر  q_{m} پیدا کرد که تابع هیون، در نقاط  s_{1} و  s_{2} تحلیلی باشد. شیوه محاسبه  q_{m} بستگی به مقادیر  s_{1} و  s_{2} دارد. به این گروه از تابع‌های هیون که در دو نقطه از چهار نقطه تکین در معادله دیفرانسیل هیون پاسخی تحلیلی دارند، توابع هیون می‌گویند که با نماد  {(s_{1},s_{2}){\mathit {Hf}}_{m}}\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) نمایش داده می‌شوند.
چندجمله‌ای‌های هیون

چندجمله‌ای های هیون، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n هستند که بر سه نقطه متناهی تکین معادله هیون  \left\{0,1,a\right\}، تحلیلی اند و با نماد  {{Hp}_{n,m}}\!\left(a,q_{n,m};-n,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) نشان داده می‌شوند. در چندجلمه ای‌های هیون،  \alpha =-n و با احتساب  n=0,1,2,... هست، به عبارتی  {{Hp}_{n,m}}\!\left(a,q_{n,m};-n,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)={H\!\ell }\!\left(a,q_{n,m};-n,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) . q_{n,m}٬ مقدارهای ویژه ماتریس زیر با درنظرگرفتن  m=0,1,...n می‌باشند.
{\begin{bmatrix}0&a\gamma &0&\dots &0\\P_{1}&-Q_{1}&R_{1}&\dots &0\\0&P_{2}&-Q_{2}&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &R_{n-1}\\0&0&\dots &P_{n}&-Q_{n}\end{bmatrix}}
رابطه تابع هیون با سایر توابع

تابع هیون، با توابع گاوس هایپرژئومتریک و توابع لامه در ارتباط است.
رابطه تابع هیون با سایر توابع > ارتباط با توابع گاوس هایپرژئومتریک

تابع هیون، روابط متعددی با توابع گاوس هایپرژئومتریک دارد.
{{}_{2}F_{1}}\!\left(\alpha ,\beta ;\gamma ;z\right)={H\!\ell }\!\left(1,\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)={H\!\ell }\!\left(0,0;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta +1-\gamma ;z\right)={H\!\ell }\!\left(a,a\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta +1-\gamma ;z\right)
{H\!\ell }\!\left(2,\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta -2\gamma +1;z\right)={{}_{2}F_{1}}\!\left({\tfrac {1}{2}}\alpha ,{\tfrac {1}{2}}\beta ;\gamma ;1-(1-z)^{2}\right)
Hl(2,\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,{\frac {\alpha +\beta +2}{4}},{\frac {\alpha +\beta }{2}};z)=_{2}^{}{\textrm {F}}_{1}({\frac {\alpha }{4}},{\frac {\beta }{4}};{\frac {\alpha +\beta +2}{4}};1-4[z(2-z)-{\frac {1}{2}}]^{2})
{H\!\ell }\!\left(4,\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}}(\alpha +\beta );z\right)=\mathop {{}_{2}F_{1}} \!\left({\tfrac {1}{3}}\alpha ,{\tfrac {1}{3}}\beta ;{\tfrac {1}{2}};1-(1-z)^{2}(1-{\tfrac {1}{4}}z)\right)
{H\!\ell }\!\left({\tfrac {1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},\alpha \beta ({\tfrac {1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{6}});\alpha ,\beta ,{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1),{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1);z\right)=\mathop {{}_{2}F_{1}} ({\tfrac {1}{3}}\alpha ,{\tfrac {1}{3}}\beta ;{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1);1-[z/({\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{6}})]^{3})
همچنین روابطی موجود هستند که در آن‌ها متغیر z در تبدیل از تابع هیون به معادلی به صورت یک تابع هایپرژئومتریک، تغییر توانی نمی‌یابد یا به صورت چندجمله‌ای ظاهر نمی‌شود، بلکه تنها تحت تغییرات جبری قرار میگیرد.
رابطه تابع هیون با سایر توابع > ارتباط با توابع لامه

تابع هیون، با تابع لامه نیز دارای ارتباط است. می‌توان با تغییر متغیر  z={sn^{2}}\left(\zeta ,k\right)، معادله هیون را بر حسب متغیر  \zeta  نمایش داد، به‌طوری‌که  a=k^{-2}٬  q=-{\tfrac {1}{4}}ah٬  \alpha =-{\tfrac {1}{2}}\nu ٬  \beta ={\tfrac {1}{2}}(\nu +1)٬  \gamma =\delta =\epsilon ={\tfrac {1}{2}}. لازم به ذکر است که معادله دیفرانسیل لامه به صورت  {\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+(h-\nu (\nu +1)k^{2}{{sn}^{2}}\left(z,k\right))w=0 نمایش داده می‌شود.
تعامد

توابع و چندجمله ای‌های هیون، به ترتیب دارای نوعی تعامد یگانه و دوگانه هستند.
تعامد > تعامد یگانه در توابع هیون

اگر  w_{m}(z)={(0,1){\mathit {Hf}}_{m}}\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) باشد، آنگاه تعامد زیر برقرار است:
\int _{\zeta }^{(1+,0+,1-,0-)}t^{\gamma -1}(1-t)^{\delta -1}(t-a)^{{\textstyle \epsilon }-1}w_{m}(t)w_{k}(t)dt=\delta _{m,k}\theta _{m}
در رابطه بالا،  \zeta  نقطه‌ای دلخواه بر بازه  (0,1) است. مسیر انتگرالگیری از نقطه  \zeta  شروع شده و شامل انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر حول دو نقطه 0 و 1 بوده و در نهایت به نقطه  \zeta  ختم می‌شود.  \delta _{m,n} تابع دلتای کرونکر و  \theta _{m} ثابت نرمال‌سازی تعامد نام دارد.
\theta _{m}=(1-e^{2\pi i\gamma })(1-e^{2\pi i\delta })\zeta ^{\gamma }(1-\zeta )^{\delta }(\zeta -a)^{\textstyle \epsilon }{\frac {f_{0}(q,\zeta )}{f_{1}(q,\zeta )}}\left.{\frac {\partial }{\partial q}}{W}\left\{f_{0}(q,\zeta ),f_{1}(q,\zeta )\right\}\right|_{q=q_{m}}
در رابطه بالا،  f_{0}(q_{m},z)={H\!\ell }\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right) و  f_{1}(q_{m},z)={H\!\ell }\!\left(1-a,\alpha \beta -q_{m};\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma ;1-z\right) و  W نماد رونسکین دو تابع می‌باشد.
تعامد > تعامد دوگانه در چندجمله ایهای هیون

چندجمله ای‌های هیون،  w_{j}={{Hp}_{n_{j},m_{j}}}٬  j=1,2 با شرط  |n_{1}-n_{2}|+|m_{1}-m_{2}|\neq 0 از تعامد دوگانه زیر تبعیت می‌کنند.
\int _{{\mathcal {L}}_{1}}\int _{{\mathcal {L}}_{2}}\rho (s,t)w_{1}(s)w_{1}(t)w_{2}(s)w_{2}(t)dsdt=0
در رابطه بالا،  \rho (s,t)=(s-t)(st)^{\gamma -1}\left((s-1)(t-1)\right)^{\delta -1}\left((s-a)(t-a)\right)^{{\textstyle \epsilon }-1} و  {\mathcal {L}}_{1} و  {\mathcal {L}}_{2} مسیرهای انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر بین هریک از دو نقطه  \left\{0,1\right\}٬  \left\{0,a\right\}٬  \left\{1,a\right\} هستند.
روابط انتگرالی > رابطه انتگرالی یگانه

در صورتی که  w(z) یکی از پاسخهای معادله هیون باشد، می‌توان  W(z)، پاسخی دیگر از معادله هیون را بر اساس رابطه‌ای انتگرالی، با انتخاب ناحیه انتگرالگیری مناسبِ  C، به صورت زیر نشان داد.
W(z)=\int _{C}{\mathcal {K}}(z,t)w(t)\rho (t)dt
در این رابطه،  \rho (t)=t^{\gamma -1}(t-1)^{\delta -1}(t-a)^{\epsilon -1} تابع وزن رابطه انتگرالی و  {\mathcal {K}}(z,t) کِرنِل رابطه انتگرالی است که میبایست در رابطه زیر صدق کند.
({\mathcal {D}}_{z}-{\mathcal {D}}_{t}){\mathcal {K}}=0
{\mathcal {D}}_{z}=z(z-1)(z-a)({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})+\left(\gamma (z-1)(z-a)+\delta z(z-a)+\epsilon z(z-1)\right)({\frac {\partial }{\partial z}})+\alpha \beta z
در رابطه بالا،  {\mathcal {D}}_{z} اپراتور هیون بر اساس متغیر  z می‌باشد و مسیر  C باید رابطه  \left.p(t)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}w(t)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(t)}{dt}}\right)\right|_{C}=0 را برقرار سازد، به‌طوری‌که  p(t)=t^{\gamma }(t-1)^{\delta }(t-a)^{\epsilon }.
شیوه محاسبه تابع کرنل معادله انتگرالی با تغییر متغیرهای زیر امکانپذیر است.
\mathop {\cos } \theta =\left({\frac {zt}{a}}\right)^{1/2}
\mathop {\sin } \theta \mathop {\cos } \phi =i\left({\frac {(z-a)(t-a)}{a(1-a)}}\right)^{1/2}
\mathop {\sin } \theta \mathop {\sin } \phi =\left({\frac {(z-1)(t-1)}{1-a}}\right)^{1/2}
تابع کرنل  {\mathcal {K}}(\theta ,\phi ) باید معادله زیر را پاسخگو باشد. جواب این معادله را می‌توان بر حسب تابع ریمان پی نوشت.
{\mathop {\sin } ^{2}}\theta \left({\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \theta }^{2}}}+\left((1-2\gamma )\mathop {\tan } \theta +2(\delta +\epsilon -{\tfrac {1}{2}})\mathop {\cot } \theta \right){\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \theta }}-4\alpha \beta {\mathcal {K}}\right)+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \phi }^{2}}}+\left((1-2\delta )\mathop {\cot } \phi -(1-2\epsilon )\mathop {\tan } \phi \right){\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \phi }}=0
{\mathcal {K}}(\theta ,\phi )=\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&{\frac {1}{2}}-\delta -\sigma &\alpha &{\mathop {\cos } ^{2}}\theta \\1-\gamma &{\frac {1}{2}}-\epsilon +\sigma &\beta &\end{Bmatrix}}\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&-{\frac {1}{2}}+\delta +\sigma &{\mathop {\cos } ^{2}}\phi \\1-\epsilon &1-\delta &-{\frac {1}{2}}+\epsilon -\sigma &\end{Bmatrix}}
در رابطه بالا، \sigma  ثابت روش جداسازی متغیرهاست. مثلاً در چندجمله ای‌های هیون،  \mathop {{\mathit {Hp}}_{n,m}} \!\left(z\right)٬  \sigma ={\frac {1}{2}}-\delta -j است به‌طوری‌که  j=0,1,\dots ,n.
بسط بر اساس توابع هایپرژئومتریک

فرض کنید  w(z) جواب معادله هیون باشد و بتوان آن را به صورت بسطی از توابع ریمان پی نشان داد.
w(z)=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}P_{j}
P_{j}=\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&\lambda +j&z\\1-\gamma &1-\delta &\mu -j&\end{Bmatrix}}
\lambda +\mu =\gamma +\delta -1=\alpha +\beta -\epsilon
در این صورت می‌توان  c_{j} را از روابط زیر به دست آورد.
L_{0}c_{0}+M_{0}c_{1}=0
K_{j}c_{j-1}+L_{j}c_{j}+M_{j}c_{j+1}=0
به‌طوری‌که:
K_{j}=-{\frac {(j+\alpha -\mu -1)(j+\beta -\mu -1)(j+\gamma -\mu -1)(j+\lambda -1)}{(2j+\lambda -\mu -1)(2j+\lambda -\mu -2)}}
L_{j}=a(\lambda +j)(\mu -j)-q+{\frac {(j+\alpha -\mu )(j+\beta -\mu )(j+\gamma -\mu )(j+\lambda )}{(2j+\lambda -\mu )(2j+\lambda -\mu +1)}}+{\frac {(j-\alpha +\lambda )(j-\beta +\lambda )(j-\gamma +\lambda )(j-\mu )}{(2j+\lambda -\mu )(2j+\lambda -\mu -1)}}
M_{j}=-{\frac {(j-\alpha +\lambda +1)(j-\beta +\lambda +1)(j-\gamma +\lambda +1)(j-\mu +1)}{(2j+\lambda -\mu +1)(2j+\lambda -\mu +2)}}
در سه رابطه بالا،  \lambda  و  \mu  میباید در عبارت  M_{-1}P_{-1}=0 صدق کنند که بر این اساس، می‌توان به مقادیر گوناگونی از این دو پارامتر و در نتیجه بسطهای مختلفی بر اساس توابع هایپرژئومتریک رسید. مثلاً اگر:
\lambda =\alpha
\mu =\beta -\epsilon
شرط  M_{-1}P_{-1}=0 برقرار می‌شود و می‌توان به بسطی بر اساس توابع هایپرژئومتریک دست یافت که در آن:
P_{j}={\frac {\mathop {\Gamma } \!\left(\alpha +j\right)\mathop {\Gamma } \!\left(1-\gamma +\alpha +j\right)}{\mathop {\Gamma } \!\left(1+\alpha -\beta +\epsilon +2j\right)}}z^{-\alpha -j}\mathop {{}_{2}F_{1}} \!\left({\alpha +j,1-\gamma +\alpha +j \atop 1+\alpha -\beta +\epsilon +2j}{\frac {1}{z}}\right)
در زیر مقادیری از  \lambda  و  \mu  که در شرط  M_{-1}P_{-1}=0 صادق هستند قرار داده شده‌اند.
\lambda =\beta  و  \mu =\alpha -\epsilon
\lambda =\gamma +\delta -1 و  \mu =0
\lambda =\gamma  و  \mu =\delta -1
\lambda =\delta  و  \mu =\gamma -1
\lambda =1 و  \mu =\gamma +\delta -2
صورتهای کانفلوئنت معادله هیون

صورت کانفلوئنت معادله هیون به نوعی از معادلات هیون گفته می‌شود که حداقل یکی از نقاط منفرد منظم این معادله، تبدیل به یک نقطه منفرد نامنظم گردیده باشد. چهار حالت استندارد برای کانفلوئنت معادله هیون وجود دارد.
صورتهای کانفلوئنت معادله هیون > کانفلوئنت مضاعف معادله هیون

این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در  z=0,\infty  است.
{\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left({\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right){\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0
صورتهای کانفلوئنت معادله هیون > معادله بای کانفلوئنت هیون

معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در  z=0 و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در  z=\infty  است.
{\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left({\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right){\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0
صورتهای کانفلوئنت معادله هیون > معادله تری کانفلوئنت هیون

معادله تری کانفلوئنت هیون تنها یک نقطه منفرد نامنظم از درجه سه در  z=\infty  دارد.
{\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0
صورتهای کانفلوئنت معادله هیون > معادله کانفلوئنت هیون

این معادله، دربرگیرنده معادلاتی است که منجر به توابعی چون توابع متیو، تابع موج کولمب و تابع موج در مختصات اسفرویدال می‌شود و دارای دو نقطه منفرد منظم در  z=0 و  z=1 و یک نقطه منفرد نامنظم در  z=\infty  با درجه یک است.
{\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left({\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right){\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0
کاربردها در ریاضیات و فیزیک

تابع هیون، در تئوری سیاهچاله ها، فیزیک و مکانیک کوانتوم، مطالعه بر دستگاه بلوری در مکانیک آماری، پدیده نابجایی، فیزیک نجومی، حل معادلات موج در دستگاه مختصات اسفرویدال و مکانیک کوانتوم مولکولی و برخی از مطالعات در مکانیک سیالات مانند مدلسازی امواج روسبی کاربرد دارد.
نرم‌افزارهای مرتبط با توابع هیون

این تابع توسط بعضی از نرم‌افزارهای ریاضی مانند میپل قابل محاسبه است و نمایش است.
استوار

| استوار  | استوار  |
| --- | --- |
  :   
کشور: ایران
شاخه خدمات: نیروی زمینی ارتش جمهوری اسلامی ایران نیروی هوایی ارتش جمهوری اسلامی ایران نیروی انتظامی جمهوری اسلامی ایران سپاه پاسداران انقلاب اسلامی
درجه ناتو: OR-9
شکل گرفته: ۱۳۱۳
رتبه بالاتر بعدی: ستوان سوم
رتبه پایین‌تر بعدی: گروهبان یکم
درجه‌های معادل: رزم‌دار یکم پاسدار ناودار یکم پاسدار ناواستوار یکم
| درجه‌های ارتش ایران> نیروها.زمینی و هوایی | درجه‌های ارتش ایران> نیروها.دریایی | درجه‌های ارتش ایران> نیروها. |
| --- | --- | --- |
| ارتشبد | دریابد |  |
| سپهبد | دریاسالار |  |
| سرلشکر | دریابان |  |
| سرتیپ | دریادار |  |
| سرتیپ دوم | دریادار دوم |  |
| سرهنگ | ناخدا یکم |  |
| سرهنگ دوم | ناخدا دوم |  |
| سرگرد | ناخدا سوم |  |
| سروان | ناوسروان |  |
| ستوان ۳، ۲ و ۱ | ناوبان ۳، ۲ و ۱ |  |
استوار ۲ و ۱: ناواستوار  ۲ و ۱
گروهبان ۳، ۲ و ۱: مهناوی ۳، ۲ و ۱
سرجوخه: سرناوی
سرباز ۲ و ۱: ناوی ۲ و ۱
سرباز: ناوی
استوار درجه‌ای درجه‌داری و سمتی در نیروهای مسلح ایران و بسیاری از کشورهای جهان است که پایین‌تر از درجهٔ ستوان و بالاتر از درجهٔ گروهبان جا می‌گیرد.
درجهٔ استوار دو مرحله دارد:
استوار یکم
استوار دوم