ولگشت
ولگشت در یک بعد

ابتدا سعی می‌کنیم مسئله را مجسم کنیم. یک نشان گر را در نقطه صفر روی محور قرار می‌دهیم و به کمک یک سکه شیر یا خط می‌اندازیم. اگر شیر آمد، نشان گر را یه خانه به سمت راست می‌بریم، اگر خط آمد، نشان گر را در خانهٔ سمت چپ می‌گذاریم. بعد از ۵ بار سکه انداختن، نشان گر می‌تواند در یکی از خانه‌های ۱ و -۱ و ۳ و -۳ و ۵ و -۵ باشد. اگر سه بار شیر بیاید و دو بار خط، نشان گر روی ۱ می‌رود. به ۱۰ حالت نشان گر می‌تواند به خانهٔ ۱ برود، و همچنین به ۱۰ حالت می‌تواند به -۱ برود (چون کاملاً متقارن است و حالت سه بار شیر آمدن و دو بار خط آمدن (حرکت به ۱) برابر با سه بار خط آمدن و دو بار شیر آمدن است (حرکت به -۱). ۵ حالت برای رفتن به خانهٔ ۳ است (با چهار بار شیر آمدن و یک بار خط آمدن) و ۵ حالت برای رفتن به -۳ (با چهار بار خط آمدن و یک بار شیر آمدن). تنها یک حالت برای رفتن به خانهٔ ۵ و -۵ است (۵ بار شیر آمدن – ۵ بار خط آمدن). در تصویر زیر حالت‌های ممکن نشان داده شده‌اند:
خطی در نظر بگیرید که در فاصله‌های برابر با اعداد صحیح مدرج شده‌است. حالت ساده و ملموس ولگشت را می‌توان روی این خط در نظر گرفت که از  S_{0}=0 آغاز می‌شود و متحرک در هر مرحله با احتمال برابر، یک گام به جلو (۱+) یا عقب (۱-) می‌رود. با تعریف  S_{n}:=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}. سری  \{S_{n}\}\,\! یک ولگشت ساده بر  \mathbb {Z}  نامیده می‌شود.
موقعیت متحرک پس از n گام، کجاست؟ مسلماً نمی‌توان موقعیت تصادفی متحرک را محاسبه کرد. اما می‌توان در مورد توزیع آن بحث کرد. به راحتی با استفاده از خاصیت جمع پذیری، می‌توان نشان داد که امید ریاضی یا متوسط سری  S_{n}\,\! برابر صفر است:  E(S_{n})=\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j})=0
همچنین با استفاده از استقلال گام‌ها نتیجه می‌شود که:  E(S_{n}^{2})=n. این نشان می‌دهد که متوسط جابجایی متحرک پس از n گام باید از مرتبهٔ  {\sqrt {n}} باشد. به عبارت دیگر:  \lim _{n\to \infty }{\frac {E(|S_{n}|)}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}..
حال سؤال این است که ولگشتی که آزاد و رها باشد که برای همیشه قدم بزند چند بار از یه خط مشخص و محدود عبور می‌کند؟ در مدل ولگشت ساده روی محور اعداد صحیح، قدم زن از تمام نقاط به تعداد نامتناهی بار عبور می‌کند. این نتیجه اسم‌های گوناگونی دارد: پدیده عبور – از – سطح، بازگشت، پاکباختگی قمار باز. علت نامگذاری اسم آخر این است که قمار بازی با مقدار متناهی پول، در یک بازی عادلانه با یک «بانکی» با مقدار نامتناهی پول، بالاخره می‌بازد. شباهت این دو مسئله در این دید است که پول قمار بازمانند یک ولگشت عمل می‌کند و بالاخره به نقطه صفر می‌رسد، یعنی بالاخره بازی تمام می‌شود.
بعضی از نتایج بالا می‌تواند از مثلث پاسکال نیز بدست آید. تعداد هر قدم ممکن بعد از  nقدم برابر است با  2^{n}. در مدل ولگشت ساده، هر کدام از این قدم‌ها هم احتمال است. حال برای این که  S_{n}برابر با عددی، مثلاً  kشود، باید تعداد ۱+ها (قدم‌های راست رونده) به اندازهٔ  k از تعداد ۱-ها (تعداد قدم‌های چپ رونده) بیشتر باشد. این نتیجه بدست می‌آید که ۱+ها باید به تعداد  {\frac {n+k}{2}}بار از میان  nقدم رخ دهند. پس تعداد قدم‌هایی که  S_{n}را دقیقاً برابر با  kکند، تعداد راه انتخاب این  {\frac {n+k}{2}}تا از  nاست:  {\binom {n}{(n+k)/2}}. لازم است ذکر شود برای معنادار بودن این عبارت  n+kباید زوج باشد، یعنی  nو  kیا هر دو زوج باشند، یا هر دو فرد. پس احتمال این که  S_{n}=kباشد برابر است با  2^{-n}{\binom {n}{(n+k)/2}}. اگر این عبارت را بر حسب فاکتوریل‌ها بنویسیم و سپس از فرمول استرلینگ استفاده کنیم، می‌توانیم تقریبی برای  nهای زیاد بزنیم.
ارتباط این مدل با مثلث پاسکال برای  nهای کم آورده شده‌است. اگر تعداد قدم ۰ باشد، تنها احتمال ممکن نیز ۰ است. با یک قدم، یک احتمال برای حضور در خانه ۱+ و یک احتمال برای حضور در خانه ۱- وجود دارد. با دو قدم، به یک طریق می‌توان به خانه‌های ۲+ یا ۲- رفت. اما می‌توان دو قدم را به این شکل نیز رفت که اول به خانهٔ ۱+ برویم و بعد به ۰، یا اول به ۱- برویم و سپس به ۰ بازگردیم. پس به دو حالت می‌توان روی ۰ ماند، که یعنی احتمال متناسب با آن ۲ است. جدولی را برای  nو  kهای مختلف آورده‌ایم.
|  5 |  4 |  3 |  2 |  1 |  0 |  -1 |  -2 |  -3 |  -4 |  -5 |  k |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  | ۱ |  |  |  |  |  |  P(S_{0}=k) |
|  |  |  |  | ۱ |  | ۱ |  |  |  |  |  2P(S_{1}=k) |
|  |  |  | ۱ |  | ۲ |  | ۱ |  |  |  |  2^{2}P(S_{2}=k) |
|  |  | ۱ |  | ۳ |  | ۳ |  | ۱ |  |  |  2^{3}P(S_{3}=k) |
|  | ۱ |  | ۴ |  | ۶ |  | ۴ |  | ۱ |  |  2^{4}P(S_{4}=k) |
| ۱ |  | ۵ |  | ۱۰ |  | ۱۰ |  | ۵ |  | ۱ |  2^{5}P(S_{5}=k) |
از قضیه حد مرکزی و قانون لگاریتم‌های تکراری می‌توان ویژگی‌های جالبی از ولگشت ساده روی محور اعداد صحیح بدست آورد. مثلاً، قضیه حد مرکزی نتیجه می‌دهد که با افزایش  N، احتمال‌ها که متناسب با اعداد هر سطر هستند به تابع توزیع نرمال میل می‌کند.