اثر مگنوس
فیزیک مسئله > معادلات حاکم بر مسئله

مختصات سه بعدی را در نظر بگیرید؛ که جهت محور z به سمت بالا (ارتفاعی که کره بالا می‌رود)، جهت محور y جهت حرکت جسم و جهت محور x جهت جانبی جسم است. اگر کُره‌ای در یک شاره‌ای در حرکت باشد، مانند هوا، نیروی FD درخلاف جهتِ حرکتِ جسم به جسم وارد می‌شود حال اگر این کره بچرخد یک نیروی دیگری به نام مگنوس به آن وارد می‌شود. همچنین نیروی گرانش نیز به سمت پایین یعنی در جهت محور z به جسم وارد می‌شود. شکل ۲ دیاگرام جسم کروی چرخان که با سرعت V در حال حرکت است را نشان می‌دهد. از قانون دوم نیوتن داریم که سرعت جسم چرخان به علت نیروی وارد شده تغییر می‌کند پس طبق معادلهٔ زیر
F_{net}=ma(1)
که در آن Fnet نیروی وارد بر جسم چرخان و m جرم و a شتاب جسم است. می‌توان این فورمول را بر اساس مشتق مرتبه دوم جابجایی s و مرتبه اول سرعت v نسبت به زمان نوشت:
\quad \mathbf {F_{net}} =m{\frac {{\rm {d}}\mathbf {v(t)} }{{\rm {d}}t}}=m{\frac {{\rm {d}}^{2}\mathbf {s(t)} }{{\rm {d}}t^{2}}}\,\!(2)
با توجه به محورهای مختصات این معادله به سه معادلهٔ مجزا تبدیل می‌شود:
\quad \mathbf {F_{x}} =m{\ddot {x}}(t),\quad \mathbf {F_{y}} =m{\ddot {y}}(t),\quad \mathbf {F_{z}} =m{\ddot {z}}(t)(3)
که می‌توان نوشت:  \quad \mathbf {F_{net}} =F_{D}+F_{S}+F_{L}+F_{G}(4)
که در آن FD نیروی کشش، FG نیروی گرانش و FL و FS به ترتیب مؤلفهٔ بالابرنده (Lifting component) و مؤلفهٔ جانبی (Sideways component) نیروی مگنوس هستند. در نظر گرفتن این دو مؤلفه برای نیروی مگنوس بسیار مهم است. نیروی کشش و نیروی مگنوس FM توسط این معادله داده می‌شود:
F_{D}=0.5C_{D}\rho Av^{2},(5)F_{M}=0.5C_{L}\rho Av^{2}=0.5C_{M}\rho Ar\omega v(6)
که در آن CD ضریب کشش کرهٔ چرخان، ρ چگالی شاره (مثلا هوا) و A مساحت سطح مقطع جسم و v سرعت جسم است؛ که این سرعت به نوبهٔ خود به سه مؤلفه تقسیم می‌شود. همچنین C_{L}={C_{M}r\omega  \over \ v}(7) که در آن CM ضریب تناسب و ω سرعت زاویه‌ای جسم چرخانی است که دارای سرعت v خطی است. یادمان باشد که ω در سه جهت دارای مؤلفه است در مدل‌های تقریبی ω ثابت در نظر گرفته می‌شود اما در اینجا مدل کلی بررسی می‌شود. در اینجا سرعت مماسی شارهٔ سیال را vt در نظر می‌گیریم یعنی (tangential velocity)که همان‌طور که گفتیم سرعت کلی جسم نسبت به هوا سنجیده می‌شود یعنی یک نیروی کشش ماکزیمم و یک نیروی کشش مینیمم داریم بدین صورت:
F_{Dmax}=(0.5C_{D}\rho A)(v+v_{t})^{2},F_{Dmin}=(0.5C_{D}\rho A)(v-v_{t})^{2}(8)
برای بدست آوردن نیروی کلی باید این دو مقدار را از هم کم کنیم که می‌شود:  F_{net}=2/rhoAC_{D}vv_{t}
این مقدار کلی نیروی کشش است، حال باید گشتاور این نیرو را بدست بیاوریم:
 {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {F} _{net}\times \mathbf {r} (9) و  {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} \mathbf {\alpha }  و  {\boldsymbol {I}}=2/5mr^{2}
که در آن α شتاب زاویه‌ای و I اینرسی است که بستگی به شکل جسم دارد و در اینجا چون کروی هست به صورت بالا داده شد. در نتیجه داریم:
\mathbf {\alpha } ={5\rho AC_{D}v\omega  \over \ m}(10)
دیگر ω ثابت نیست و با معادلات زیر که برای سه راستا بسط داده شده بیان می‌شود:
 \mathbf {\alpha _{x,y,x}} ={5\rho AC_{D}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}\omega _{x,y,z} \over \ m}(11)
حال برای بدست آورد نیرو باید از ضرب خارجی استفاده کنیم زیرا برای هر مؤلفه ما هم تأثیر FL و هم تأثیر FS در نظر گرفته می‌شود. در معادلهٔ (۶) به جای ωr باید ω×r نوشت و مؤلفه‌های x, y و z نیروی مگنوس را بدست می‌آوریم سپس با فرض اینکه FG = ma می‌توان معادلات را نوشت. این کار برای نشان دادن چگونگی این حرکت با استفاده از نرم‌افزار و رسم آن مفید است.