stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
لگاریتم
پیشینه > از نپر تا اویلر

روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد. همچنین ژو بورجی (به فرانسوی: Joost Bürgi) نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.
نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت  10^{7}{(1-10^{-7})}^{L}\, را به ازای Lهای میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = L تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ۵-۱۰ و ۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد N در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد L را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند:
نپر ابتدا نام «عدد ساختگی» را بر L نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «لگاریتم» logarithm را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ λόγος برابر logos به معنی «نسبت» است و واژهٔ ἀριθμός برابر arithmos به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد:
با تقریب خوبی داریم:
این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و… مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد.
در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سطح  f(t) زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند:
لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقالهٔ Logarithmotechnia که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد. البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود. در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد:
همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.
پیشینه > جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته

با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه‌برداری، هوانوردی و… کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است:
وسیله‌ای ستودنی است که به کمک آن کار چند ماه به چند روز کاهش می‌یابد، عمر اخترشناسان را دو برابر می‌کند و از خطاهای کوچک می‌گذرد و از جمله‌های طولانی و جدانشدنی ریاضی بیزار است.
وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود. چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار  \log _{b}(x) و  b^{x} برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع  b^{x} وارون  \log _{b}(x) است به آن پادلگاریتم (به انگلیسی: antilogarithm) می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد:
و
زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. روش یاد شده بر پایهٔ اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است:
و
در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند مانند نمونهٔ زیر:
وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود.
مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.
ویژگی‌های ریاضی

مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم تابع است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان x ام عدد حقیقی b که به صورت زیر نوشته می‌شود:
ویژگی‌های ریاضی > تابع لگاریتم

برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:
دارای راه حل و جواب یکتای x است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و b بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم.
می‌توان نشان داد که در تابع  f(x)=b^{x}\, نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار  f(x_{0})\, و  f(x_{1})\, به ازای x۰ و x۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که  f(x)=y\, باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ  y=b^{x}\, یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.
جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم y در پایهٔ b است.
ویژگی‌های ریاضی > قرینه تابع لگاریتمی

اگر قرینه تابع  y=log_{2}x برابر با  y=log_{2}{-x} باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند.
اگر قرینه تابع  y=log_{2}x برابر با  y=-log_{2}x باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند.
ویژگی‌های ریاضی > تابع وارون

لگاریتم تابع توانی برای هر عدد x به صورت زیر نوشته می‌شود:
اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو b باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود x خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود:
بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ b تابع وارون f(x) = bx است.
دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع  \log _{b}(x) اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b> ۱ به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع  \log _{b}(x) اکیداً صعودی است. به ازای b <۱ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع  \log _{b}(x) به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع  \log _{b}(x) برای b> ۱ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای b <۱ به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود.
ویژگی‌های ریاضی > مشتق و پادمشتق

همچنین ببینید: مشتق لگاریتم و مشتق‌گیری لگاریتمی
ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد. پس چون f(x) = bx یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که  log_{b}(y) نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق  f(x) برابر با  ln(b)b^{x} است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق  log_{b}(x) برابر است با:
که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم  log_{b}(x) است که برابر است با  {\frac {1}{xln(b)}}. همچنین مشتق  ln(x) برابر با  {\frac {1}{x}} است که به این معنی است که پادمشتق  {\frac {1}{x}} همان  ln(x)+C است. اگر به جای x حالت کلی  f{x} را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:
گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از  ln(f(x)) استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی  ln(x) برابر است با:
رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.
ویژگی‌های ریاضی > بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال  {\frac {1}{x}}dx از ۱ تا t:
به عبارت دیگر  ln(t) برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع  {\frac {1}{x}} از ۱ = x تا  x=t (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق  \ln(x)،  {\frac {1}{x}} است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه  \ln(tu)=\ln(t)+\ln(u) را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:
بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد ( w=x/t). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = ۱/x از ۱ تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که  \ln(tu) یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع  \ln(t) و  \ln(u) (سطح زرد و آبی)
رابطهٔ توان  \ln(t^{r})=r\ln(t) را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:
در تساوی دوم تغییر متغیر  w=x^{\frac {1}{r}} را داریم.
مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:
که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر:
به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.
محاسبه

در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log۱۰ محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند. همچنین برای محاسبهٔ  lb(x) می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از x
عمل می‌کند استفاده کرد:
روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است. در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد.
محاسبه > سری‌های توانی > سری تیلور

برای هر عدد حقیقی z که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است:
با استفاده از روابط زیر  \ln(z) را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد:
برای نمونه، تقریب سوم به ازای z = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته،  \ln(z) را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند؛ که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای z = ۱ می‌گویند.
محاسبه > سری‌های توانی > دیگر سری‌های پرکاربرد

سری دیگر برپایهٔ تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط z با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود:
با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت:
این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. به ویژه زمانی که z عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای z = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با ۶-۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای zهای نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد:
فرض کنید تقریباً  y\approx \ln {z} و رابطهٔ زیر را نیز داریم:
می‌توان از دو سوی رابطهٔ بالا لگاریتم گرفت:
هرچه مقدار لگاریتم z دقیق‌تر باشد باید  \ln(A) به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار A به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر y بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند.
برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ  \ln(z) می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10b = z و لگاریتم آن را به صورت  \ln(z)=\ln(a)+b.\ln(10) بنویسیم.
از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد:
اگر لگاریتم عدد بزرگ n معلوم باشد، می‌توان لگاریتم n + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد.
محاسبه > میانگین حسابی-هندسی

با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند x را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با  2^{-p} است. این رابطه از سوی ریاضیدان آلمانی کارل فریدریش گاوس پیشنهاد شد.
در اینجا M نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین m از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید:
هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند.
کاربرد

مفهوم لگاریتم کاربردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیشامدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم نامتغیر مقیاس مرتبط است. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک مارپیچ لگاریتمی را ساخته‌است. قانون بنفورد در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم نامتغیر مقیاس توضیح داد. همچنین مفهوم لگاریتم به بحث خودهمانندی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم. شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع log(x) رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای xهای بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادلهٔ فنسک، معادلهٔ نرنست و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد.
کاربرد > مقیاس لگاریتمی

مقالهٔ اصلی: مقیاس لگاریتمی
کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از مقیاس لگاریتمی بهره برده می‌شود، برای نمونه دسی‌بل چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در صداشناسی یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و نورشناسی یا در بیان نسبت سیگنال به نویز و توضیح میزان صداهای نامطلوب به سیگنال‌های بامعنی به دسی‌بل نیاز است. همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا فشرده‌سازی تصویر بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود.
لگاریتم با مفهوم ارتفاع و فاصله در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت بسامد برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: نت لا بسامد ۴۴۰ هرتزی دارد و نت سی بمل نیز دارای  بسامد ۴۶۶ هرتز است.
فاصله میان این دو نت یک نیم ارتفاع نام دارد. همچنان که میان نت سی بمل و نت سی با بسامد ۴۹۳ هرتز هم همین‌طور است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است:
از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ ۲۱/۱۲ یا در پایهٔ ۲۱/۱۲۰۰ اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| فاصله (دو ارتفاعی که هم‌زمان نواخته می‌شوند) | ارتفاع ۱/۱۲ اجراپرونده:1 step in 72-et on C.mid | نیم-ارتفاع اجراپرونده:Minor second on C.mid | سوم بزرگ میانه اجراپرونده:Just major third on C.mid | سوم بزرگ اجراپرونده:Major third on C.mid | ارتفاع سگان اجراپرونده:Tritone on C.mid | هشتگان اجراپرونده:Perfect octave on C.mid |
| نسبت بسامد r |  2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097 |  2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595 |  {\tfrac {5}{4}}=1.25 |  {\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}} |  {\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}} |  2^{\frac {12}{12}}=2 |
| شمارهٔ نیم-ارتفاع‌های متناظر  \log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r) |  {\tfrac {1}{6}}\, |  1\, |  \approx 3.8631\, |  4\, |  6\, |  12\, |
| تعداد سنت‌های مرتبط  \log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r) |  16{\tfrac {2}{3}}\, |  100\, |  \approx 386.31\, |  400\, |  600\, |  1200\, |
کاربرد > نظریهٔ اعداد

لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش اعداد اول دارد. این مطلب موضوعی مهم در نظریهٔ اعداد است. برای هر عدد صحیح x شمار عددهای اول کوچکتر یا مساوی x را با π(x) نمایش می‌دهند. نظریهٔ اعداد اول می‌گوید که π(x) تقریباً برابر است با:
با در نظر گرفتن این مطلب که برای xهایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت π(x) به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود. از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و x با وارون تعداد رقم‌های دهدهی x متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر π(x) با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید:
حدس ریمان یکی از کهن‌ترین حدسهای ریاضی است که در مقایسهٔ π(x) و Li(x) کاربرد دارد. نظریهٔ اردوش-کاک به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است.
لگاریتم n فاکتوریل، n! = ۱ · ۲ ·... · n چنین است:
از این برای بدست آوردن تقریب استرلینگ، یک تقریب n! برای nهای بزرگ، استفاده می‌شود.
حالت کلی

عدد مختلط a جواب معادلهٔ زیر، یک لگاریتم مختلط است.
z عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت z = x + iy نمایش می‌دهیم که x و y هر دو عددی حقیقی و i یکهٔ موهومی است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی صفحهٔ مختلط نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط z است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ r تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از z و مبدأ با محور x زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق z همان r است که برابر است با:
چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به zاند. تنها یک φ است که در رابطهٔ −π <φ صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت Arg(z) نمایش داده می‌شود. گاهی هم به صورت ۰ ≤ Arg(z) <2π تعریف می‌شود.
با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، r و φ را بالاتر تعریف کردیم:
در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان a ام e برابر با z می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار a برابر خواهد بود با:
در این رابطه، n هر عدد صحیحی می‌تواند باشد.
در آموزش و پرورش ایران

در نظام آموزش و پرورش جدید که به کاربردی سازی محتوای دروس توجه دارد، لگاریتم در پایه یازدهم کتاب حسابان ۱ مطرح می شود.
جان نپر (۱۶۱۷–۱۵۵۰) بدست آورندهٔ روش لگاریتم‌گیری
هذلولی y = ۱/x (منحنی قرمز) و سطح زیر آن از x = ۱ تا ۶ (قسمت نارنجی رنگ).
متن سال ۱۷۹۷ دانشنامهٔ بریتانیکا در بارهٔ لگاریتم.
شکل عمومی خط‌کش لغزان، در لبهٔ پایینی به لگاریتم ۲ می‌رسیم و با اضافه کردن فاصله از لبهٔ بالایی، لگاریتم ۳ به حاصل ضرب یعنی لگاریتم ۶ می‌رسیم. این خط‌کش‌ها چنان درجه‌بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا x ضریبی از لگاریتم x است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبهٔ بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد.
خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)
خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطهٔ x = ۱٫۵ (سیاه)
اثبات نموداری رابطهٔ ضرب در لگاریتم طبیعی.
سری تیلور. این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جملهٔ اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است.
یک مارپیچ لگاریتمی در پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس.
شکل قطبی z = x + iy. هم φ هم φ' هر دو به z مربوط می‌شوند.
ژان دالیبرد

ژان دالیبار ، متولد 8 دسامبر 1958 یک فیزیکدان دانشور در دانش مکانیک کوانتومی و استاد دانشکده پلی تکنیک, محقق مدرسه عالی نرمال  وعضو آکادمی علوم و استاد کالج دو فرانس است.
بیوگرافی

ژان دالیبار تحصیلات عالی خود را از سال 1977 تا 1981 در École Normale Supérieure و در دانشگاه Paris-VI  زیر نظر کلود کوهن تانوجی به پایان رساند. در سال 1981 به عنوان دانشیار فیزیک منصوب شد ، سپس به عنوان همکار پژوهشی به مرکز ملی تحقیقات علمی شروع به کار کرد.  پس از اخذ دکترای دولتی در رشته علوم فیزیکی با پایان نامه ای تحت عنوان نقش نوسانات در دینامیک اتم جفت شده به میدان الکترومغناطیسی ، که در سال 1986 در دانشگاه پاریس-VI دفاع شد، شش سال بعد به عنوان پژوهشگر CNRS و سپس مدیر پژوهش ارتقا داده شد. از سال 1989 تا 2002 در اکول پلی‌تکنیک به عنوان مدرس و از  سال 2003 به سمت استاد برگزیده شد و به عضویت فرهنگستان در آمد  .
او با باربارا دالیبارد  دانشجوی سابق مدرسه عالی نرمال و مدیر کل SITA از سال 2016 ازدواج کرد و دارای سه فرزند از جمله ریاضیدان آن-لور دالیبارد است .
مراجع:

↑  "Jean Dalibard - Atomes et rayonnement | Collège de France". www.college-de-france.fr (به فرانسوی). 2022-04-11. Retrieved 2025-02-27.
سواوی تدو

سواوی تدو (انگلیسی: Suavi Tedü؛ ۲۲ فوریه ۱۹۱۵ – ۲۶ مارس ۱۹۵۹) بازیگر اهل ترکیه بود.
| سواوی تدو | سواوی تدو |
| --- | --- |
زادهٔ: ۲۲ فوریه ۱۹۱۵ استانبول، ترکیه
درگذشت: ۲۶ مارس ۱۹۵۹ (۴۳ سال) استانبول، ترکیه
ملیت: ترکیه
پیشه: بازیگر
سال‌های فعالیت: ۱۹۳۱-۱۹۵۹
↑  "Sinema Türk".
ژان کارلوس (بازیکن فوتبال، زاده ۱۹۹۲)

با ژان کارلوس اشتباه نشود.
| اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی | اطلاعات شخصی |
| --- | --- | --- | --- |
نام کامل:  ژان کارلوس ویسنته
زادروز:  ۱۵ فوریهٔ ۱۹۹۲ ‏(۳۳ سال)
زادگاه:  کورنلیو پروکوپیو، برزیل
قد:  ۱٫۷۸ متر (۵ فوت ۱۰ اینچ)
پست:  هافبک بازی‌ساز
اطلاعات باشگاهی: اطلاعات باشگاهی
باشگاه کنونی:  نائوچیکو
باشگاه‌های جوانان: باشگاه‌های جوانان
:  ماریلیا اتلتیکو کلاب
۲۰۱۲–۲۰۱۰:  پالمیراس
باشگاه‌های حرفه‌ای*: باشگاه‌های حرفه‌ای*
| سال‌ها |  باشگاه‌ها |  بازی† |  (گل)† |
| ۲۰۱۳–۲۰۱۰ |  پالمیراس بی |  ۰ |  (۰) |
| ۲۰۱۰ |  پالمیراس |  ۳ |  (۰) |
| ۲۰۱۶–۲۰۱۳ |  سائو برناردو |  ۰ |  (۰) |
| ۲۰۱۶ |  ویلا نوا (قرضی) |  ۲۰ |  (۳) |
| ۲۰۱۶ |  سائوپائولو (قرضی) |  ۳ |  (۰) |
| ۲۰۱۷ |  گویاس |  ۱۴ |  (۱) |
| ۲۰۱۸ |  نووریزونتینو |  ۰ |  (۰) |
| ۲۰۱۹ |  کوریتیبا |  ۲۳ |  (۰) |
| ۲۰۱۹ |  میراسول |  ۱۱ |  (۰) |
| ۲۰۱۹– |  نائوچیکو |  ۶۴ |   |
 تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است. :  تعداد بازی‌ها و گل‌ها فقط مربوط به بازی‌های لیگ داخلی است. 
ژان کارلوس ویسنته (پرتغالی: Jean Carlos Vicente؛ زاده ۱۵ فوریه ۱۹۹۲) ملقب به ژان کارلوس یا خوان کارلوس یک بازیکن اهل برزیل در پست هافبک است. وی در تیم سیارا بازی می‌کند.
زندگی فوتبالی

ژان کارلوس در تیم نوجوانان پالمیراس کشف شد. در سال ۲۰۱۳ به سائو برناردو پیوست و بعد از آن در تیم ویلا نوا به صورت قرصی حضور داشت و با ارسال ۸ پاس گل عنوان بهترین پاسور مسابقات سری B برزیل را کسب کرد.
در ۴ سپتامبر ۲۰۱۶، کارلوس با امضاء قرار دادی به صورت قرضی به باشگاه سائوپائولو پیوست که قرارداد وی بند خرید دائمی نیز داشت.
افتخارات

گویاس
۲۰۱۷: کمپئوناتو گویانو (لیگ فوتبال ایالت گویانو)
نائوچیکو
۲۰۱۹: قهرمانی در سری C برزیل
۲۰۲۱: کمپئوناتو پرنامبوکانو (لیگ قوتبال ایالت پرنامبوکان)
محرق

مکان در 23x15px|border |alt=|link= بحرین
| محرق Muharraq | محرق Muharraq |
| --- | --- |
شهر: شهر
المُحَرَق: المُحَرَق
محرق: محرق
مختصات: ۲۶°۱۵′ شمالی ۵۰°۳۷′ شرقی﻿ / ﻿۲۶٫۲۵۰°شمالی ۵۰٫۶۱۷°شرقی﻿ / 26.250; 50.617: مختصات: ۲۶°۱۵′ شمالی ۵۰°۳۷′ شرقی﻿ / ﻿۲۶٫۲۵۰°شمالی ۵۰٫۶۱۷°شرقی﻿ / 26.250; 50.617
استان: استان محرق
حکومت: حکومت
 • شهردار: -
مساحت: مساحت
 • کل: ۳۰ کیلومتر مربع (۱۰ مایل مربع)
جمعیت (۲۰۱۰): جمعیت (۲۰۱۰)
 • کل: ۱۰۹٬۶۹۵
 • تراکم: ۳۷۰۰/کیلومتر مربع (۹۵۰۰/مایل مربع)
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی ۳+
کد منطقه: ?? ۹۷۳
کد ایزو ۳۱۶۶: BH-15
وبگاه: www.muharraq.gov.bh
محرق (در عربی:  المحرق، تلفظ محلی: مْحَرَگ) نام شهری در «جزیره محرق» واقع شده‌است. از توابع استان محرق به عربی (محافظة المحرق)، در کشور پادشاهی بحرین.
شهر «المحرق» در أقصی شمال کشور بحرین قرار دارد، و مابین سال های:(۱۸۱۰ و ۱۹۲۳) میلادی پایتخت این کشور 
بوده‌است، و دومین شهرهای بزرگ بحرین بعد از شهر  منامه (به عربی: المنامة) پایتخت کنونی کشور بحرین به‌شمار می‌آید.
پیوند جزیره محرق با سایر نقاط کشور

جزیره محرق به وسیله سه پل با سایر مناطق کشور ارتباط داده شده که به شرح زیر می‌باشند:
پل شیخ حمد (جسر الشیخ حمد بن عیسی بن علی آل خلیفة ۱۹۲۹ سال میلادی).
پل شیخ عیسی (جسر الشیخ عیسی بن سلمان سال ۱۹۹۷ میلادی).
پل شیخ خلیفه (جسر الشیخ خلیفة بن سلمان سال ۲۰۰۵ میلادی).
تنها فرودگاه بین‌المللی بحرین در این شهر واقع شده‌است.
نمای بیرونی جزیره محرق

نمای بیرونی جزیره محرق بمانند «نعل اسب» (در عربی:  حدوة الحصان) می‌ماند، مساحت کلی جزیره محرق در حدود هفت میل مربع است، و در حدود ۲ متر از سطح آب دریا ارتفاع دارد
در شهر محرق طایفه ای به نام كريمي (به عربی:فريج كريمي) زندگی می کنند که اصل آنها از ايران استان فارس از شهرهای شیراز ، لار و اشكناز و جهرم و... هست. به زبان فارسى تکلم میکنند.
دوپایان

یک شترمرغ، یکی از چابک‌ترین جانوران دوپا
آسیمو یک ربات دوپا
دوپایان گروهی از جانداران هستند که برای جابه‌جایی و پیمودن راه بر روی خشکی از اندام‌های پشتی یا دو پای خود بر روی زمین استفاده می‌کنند. برخی ربات‌های ساخته شده نیز دوپا هستند.
جابجایی دوپایی (به انگلیسی: Bipedalism) می‌توان به صورت پیاده‌روی، دویدن یا جهیدن باشد.
اریک هولدر

| اریک هولدر | اریک هولدر |
| --- | --- |
Eric Holder: Eric Holder
اریک هولدر: اریک هولدر
۸۲ مین دادستان کل آمریکا: ۸۲ مین دادستان کل آمریکا
دوره مسئولیت ۳ فوریه ۲۰۰۹ – ۲۰۱۴: دوره مسئولیت ۳ فوریه ۲۰۰۹ – ۲۰۱۴
رئیس‌جمهور: باراک اوباما
پس از: مایکل میوکاسی
 :  
اطلاعات شخصی: اطلاعات شخصی
زاده: اریک هیمپتون هولدر جونیور ۲۱ ژانویهٔ ۱۹۵۱ ‏(۷۴ سال) برانکس، نیویورک
ملیت:  ایالات متحده آمریکا
حزب سیاسی: دمکرات
همسر(ان): شارون مالون
محل تحصیل: دانشگاه کلمبیا
پیشه: سیاستمدار
تخصص: قاضی
امضا: 
اریک هیمپتون هولدر جونیور (به انگلیسی: Eric Himpton Holder Jr) دادستان کل ایالات متحده آمریکا از ۲۰۰۹ تا ۲۰۱۵ بود.
اریک هولدر دارای دکترای حقوق از دانشگاه کلمبیا است.
کابینه اول باراک اوباما، رئیس‌جمهوری آمریکا، در اتاق شرقی سال ۲۰۰۹
ردیف اول ایستاده از چپ به راست:
ری لحود، لیسا جکسون، گری لاک، هیلدا سولیس، باراک اوباما، جو بایدن، کن سالازار، شان داناون، پیتر اورزاگ، کریستینا رومر، آرنی دانکن
ردیف دوم ایستاده:
تام ویلساک، استیون چو، جنت ناپالیتانو، رام امانوئل، کاتلین سیبیلیوس، ران کرک، سوزان رایس، اریک شینسکی
ردیف سوم نشسته:
رابرت گیتس، تیموتی گایتنر، هیلاری کلینتون، اریک هولدر