stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
توالی آکورد
ساختار > آکوردهای دیاتونیک و کروماتیک

هارمونیزه‌کردنِ هر گام ماژور با استفاده از سه آکوردِ سه‌صدایی بر اساس درجه‌های یک، چهار و پنج به‌دست می‌آید. از این سه‌صدایی‌ها به ترتیب با نام آکورد تونیک (I)، آکورد زیرنمایان (IV) و آکورد نمایان (V)، یاد می‌شود، و با سه آکورد مذکور می‌توان هر نتی از گام را هارمونیزه کرد. بسیاری از موسیقی‌های محلی، فولکلور معاصر و راک‌اندرول، فقط از این سه نوع آکورد استفاده می‌کنند.
همچنین در همین گامِ ماژور، به ترتیب سه آکورد فرعی با نام‌های آکورد روپایه (ii)، آکورد میانی (iii) و آکورد رونمایان (vi) وجود دارند که این آکوردها مانند سه آکورد اصلی در ماژور، رابطه‌ای شبیه به یکدیگر در گام مینور نسبی دارند، به‌طوری که می‌توان این سه آکورد را در گام مینور به‌عنوان درجه‌های یک (i)، چهار (iv) و پنج (v)، مشاهده کرد. به‌عنوان مثال مینور نسبیِ دو ماژور، لا مینور است و در این گام، درجات یک (i)، چهار (iv) و پنج (v)، به صورت لا مینور، ر مینور و می مینور ظاهر می‌شوند؛ اما اغلب در گام مینور، سوم آکورد در نمایان (v)، نیم‌پرده به بالا تغییر می‌کند تا به یک آکورد ماژور (V) (یا آکورد هفت نمایان) تبدیل شود.
افزون بر این، درجۀ هفت (محسوس) در گام ماژور (viio) یک آکورد کاسته است.
آکورد ممکن است دارای نت‌هایی خارج از گام دیاتونیک و متعلق به گام کروماتیک باشند. ابتدایی‌ترین تغییر کروماتیکی، شاید آکورد آلتره در آهنگ‌های سادهٔ فولکلور باشد که روی نت چهارم گام رخ می‌دهد و این در زمانی است که سوم آکورد روی درجهٔ دوم (ii) نیم‌پرده بالا می‌رود. چنین آکوردی معمولاً به‌عنوان آکورد ثانویه (V/V) عمل می‌کند. در برخی موارد، نت‌های کروماتیکی برای مدولاسیون به یک گام جدید معرفی گشته و در آن حل می‌شوند تا بعداً به گام اصلی برگردد، به طوری که تمامی توالی یا سکانس آکوردی، به ایجاد و گسترش فرم در قطعهٔ موسیقی کمک می‌کند.
توالی‌های رایج > توالی‌های ساده‌

گام‌های دیاتونیک مانند مینور و ماژور، چون دارای چندین فاصلهٔ پنجم درست هستند، به خوبی ساختار خود را با آکوردهای معمولی می‌سازند. این گام‌ها در مناطقی غالب است که هارمونی بخشِ ذاتیِ موسیقی است (برای مثال در دوران قواعد مشترک).  در سویی دیگر و در موسیقی عربی و هندی که از گام دیاتونیک استفاده می‌شود، تعدادی گام‌های غیر دیاتونیک نیز وجود دارد که در آن، موسیقی هیچ تغییری در آکورد ندارد و همیشه روی آکورد اصلیِ گام باقی می‌ماند. این ویژگی در سبک‌های هارد راک، هیپ هاپ، فانک، دیسکو، جاز و غیره نیز مشاهده شده‌است.
تناوب بین دو آکورد، ممکن است به‌عنوان اساسی‌ترین «توالی آکورد» برای یک قطعهٔ موسیقی در نظر گرفته شود. بسیاری از قطعات شناخته‌شده به صورتی هماهنگ، بر اساس تکرار دو آکورد در یک گام ساخته می‌شوند. برای مثال، شمار زیادی از ملودی‌های ساده‌تر در موسیقی کلاسیک به‌طور کامل یا بیشتر، از تناوب بین دو آکوردِ تونیک (I) و نمایان (V، گاهی اوقات با یک هفتم اضافه‌شده) تشکیل شده‌است.
توالی‌های رایج > توالی با سه آکورد

توالی با «سه‌آکورد» رایج‌ترین است، زیرا ممکن است هر نت از یک ملودی روی یکی از درجات گام ثابت بماند (و نیاز به آکورد سوم باشد). بیشتر اوقات برای ایجاد یک ترکیب دوبخشی، از «ریتم-هارمونی» با توالی «چهار‌آکورد» استفاده می‌شود (همان‌طور که در مثال زیر نشان داده می‌شود)، اما در هر کدام از توالی‌ها، دو آکورد از چهار آکورد، یکسانند:
I → IV → V → V
I → I → IV → V
I → IV → I → V
I → IV → V → IV
اغلب آکوردها ممکن است متناسب با ملودی انتخاب شوند، اما به همان اندازه نیز ممکن است ملودی بر اساس «توالی آکورد» ساخته شود.
در موسیقی عامه‌پسندِ آفریقایی نیز توالی مشابه و فراوانی وجود دارد. آنها ممکن است با افزودن آکورد هفت یا درجاتی از گام‌های دیگر به آکورد، یا جایگزینیِ آکورد روتونیک (ii) از گام نسبی زیرنمایان (IV)، تغییر ایجاد کنند، (مانند: I→ii →V). همچنین این شیوۀ سکانس که حرکتی کادانس‌گونه دارد، یک «توالی آکورد» رایج (ii→V→I) در موسیقی جاز است.
توالی سه‌آکورد، پایهٔ هارمونیکِ بسیاری از موسیقی‌های عامه‌پسندِ آفریقایی و آمریکایی را فراهم می‌کند و این توالی‌ها در آثار فراوانی از موسیقی کلاسیک (مانند میزان‌های ابتدایی سمفونی شماره ۶ بتهوون.) استفاده شده‌است.
در جایی که توالیِ ساده‌ای چنان‌که باید، به راحتی کلِ ساختار هارمونیک یک قطعه را نشان نمی‌دهد، ممکن است برای تنوع بیشتر، توالی آکورد گسترش یابد. در بیشتر مواقع، فراز آغازین دارای توالی (I →IV→V→V) است که به یک آکورد حل نشده در نمایان ختم می‌شود؛ در عین حال  نیم‌جملهٔ بعدی با فرازی مشابه به تونیک برمی‌گردد و ساختاری با طولِ دو برابر، ارایه می‌دهد:
فراز اول: I→IV→V→V
فراز دوم: I→IV→V→I
علاوه بر مثال بالا، به جای فرم‌های «دوبخشی» (A-B)، یا «سه‌بخشی» (A–B–A)، چنین الگویی ممکن است با یک توالیِ متفاوت دیگر (مانند الگوی ۳۲ میزانی در موسیقی عامه‌پسند)، جایگزین شود (ر.ک. فرم).
توالی‌های رایج > توالی در دایره پنجم‌ها

Audio playback is not supported in your browser. You can download the audio file.
مثال از «توالی دایره‌ای» در دو ماژور
در «توالی دایره‌ای» که با این عنوان نامگذاری شده‌اند، معرفی آکورد درجه دومِ (ii) گام، بر جذابیت آن به‌عنوان شکلی مقدماتی برای «توالی دایره‌ای» تأکید دارد. «دایره پنجم‌ها، آکوردهای همسایه از نت پایه هستند که در رابطه با چهارم صعودی یا پنجم نزولی تشکیل شده‌اند». برای مثال، توالی (vi→ii→V→I) با هر حرکت، به فاصلهٔ یک چهارم به بالاتر از آکورد قبلی، صعود می‌کند. چنین حرکتی مبتنی بر روابط هارمونیکِ نزدیک، «بی‌شک رایج‌ترین و قوی‌ترین توالی هارمونیک» را ارائه می‌دهد. «توالی دایره‌ای» کوتاه، ممکن است با انتخاب مجموعه‌ای از دنبالهٔ آکوردها، به ترتیب از تونیک تا تمامیِ هفت آکوردِ گام دیاتونیک، تکمیل و گسترش یابد:
I→IV→viio→iii→vi→ii→V→I
این نوع توالی توسط بسیاری از آهنگسازان کلاسیک استفاده شد و به طور فزاینده‌ای، انعطافی ظریف از این نوع توالی را معرفی کردند؛ به‌ویژه در برخی مواقع جایگزینی آکوردهای ماژور (I→VI→II→V) به جای آکورد مینور (I→vi→ii→V) که دارای کروماتیسمی پیچیده‌تر است و همچنین امکان مدولاسیون را فراهم می‌کند. این مجموعهٔ هارمونیک توسط اجراکنندگان موسیقی عامه‌پسند آمریکایی نیز بهره برده شد و باعث تغییرات زیادی در موسیقی جاز اولیه گردید که به آنها لقب «توالی رگتایم» و «توالی استامپ» داده شد. برای مثال در قطعهٔ «من ریتم گرفتم» ساختهٔ جورج گرشوین، بسیار مورد استفاده قرار گرفته‌است.
توالی‌های رایج > توالی هارمونیک

گوش انسان علاوه بر پذیرش زیربنای چرخشی آکوردها، می‌تواند نسبت به حرکت یک رشتهٔ خطیِ جدا (صعودی یا نزولی)، که از آکوردهای گام پیروی می‌کنند، واکنش خیلی خوبی نشان دهد. این آکوردها اغلب با عنوان «توالی گام» نامیده می‌شوند، زیرا آنها مراحلِ مختلف در گامِ خود را دنبال می‌کنند و این رشته از آکوردها را به خط باس تبدیل می‌کنند. در قرن هفدهم، خط باس نزولی را برای «تقسیم‌کردن از گام» مورد استفاده قرار دادند.
قطعهٔ «کانن در ر» اثرِ یوهان پاخلبل دارای هارمونی بسیار مشابه از این توالی است که با یک خط باس نزولی همراه است و در یک ترکیب پولیفونیک و مستقل از کانن، مرتب تکرار می‌شود. در این مثال: 
 «توالی هارمونیک» (جدا از فرم کانن یا تقسیم‌شده از آن) همراه با هشت آکورد از یک الگوی سکانسی پیروی می‌کنند:
توالی هارمونیک: I→V→vi→iii→IV→I→IV→V
توالی آکوردها: D→A→Bm→F♯m→G→D→G→A
در آن زمان، این اثر مانند دیگر آثار پاخلبل از مُد افتاد و قرن‌ها در گمنامی ماند اما از سال ۱۹۶۸ به بعد محبوبیت پیدا کرد و از دهه ۱۹۷۰، «توالی آکوردِ» این قطعه، در انواع موسیقی پاپ به صورت فزاینده‌ای مورد استفاده قرار گرفت.
توالی‌های رایج > موسیقی بلوز و راک

در موسیقی راک و بلوز، نوازندگان برای استفاده از الگوی «توالی آکورد»، اغلب به اعداد رومی اشاره می‌کنند، زیرا این کار انتقال آهنگ به یک گام جدید را آسان‌تر می‌کند. به‌عنوان مثال در موسیقی راک و بلوز، اغلب آنها الگوی ۱۲ میزانی متشکل از توالیِ (I→IV→V) را به کار می‌گیرند. بنابر این یک الگوی ساده از «بلوزهای ۱۲ میزانی»، ممکن است درجات آن بدین صورت نوشته شود:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| شماره میزان | ۱۲–۹ | ۸–۵ | ۴–۱ |
| درجه‌های گام | V→IV→I→I | IV→IV→I→I | I→I→I→I |
با تمرکزِ نوازندگان بر روی اینگونه الگوی بلوز از توالی آکورد با اعداد رومی، گروه همراهی‌کننده یا «بخش ریتم» به راحتی می‌توانند با دستور سرپرست یا رهبر گروه، این الگو را در هر گامی که بخواهند، بنوازند. اگر در گام دو ماژور باشد، الگو بدین صورت اجرا می‌گردد:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| شماره میزان | ۱۲–۹ | ۸–۵ | ۴–۱ |
| آکوردهای گام | G→F→C→C | F→F→C→C | C→C→C→C |
یا اگر رهبر، این الگوی «توالی آکورد» را در سل ماژور بخواهد، بدین شکل اجرا خواهد شد:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| شماره میزان | ۱۲–۹ | ۸–۵ | ۴–۱ |
| آکوردهای گام | D→C→G→G | C→C→G→G | G→G→G→G |
«بلوزهای ۱۲ میزانی» و انواع مختلف آن که از توالی سه‌آکورد (I→IV→V) استفاده می‌کنند، ضبط‌های موفقیت‌آمیز و بی‌شماری را به‌ همراه داشته‌است، از جمله مهمترین خروجی‌هایی که در سبک راک اند رول وجود دارد، می‌توان به آثار چاک بری و لیتل ریچارد اشاره کرد. همچنین «توالی بلوز» (مانند بلوزهای چارلی پارکر یا «بلوز پرنده»)، دارای پیچیدگی کروماتیک و متراکمی در این نوع است.
واژه‌نامه

↑  Binary form
↑  Ternary form
↑  Ragtime progression
↑  Stomp progression
↑  I Got Rhythm
↑  Twelve-bar blues
↑  Bird blues
یادکرد

↑  George Whitefield Chadwick, Harmony: A Course of Study, 72nd ed. B. F.Wood Music, 1922, Introduction p. xv
↑  Schoenberg, Arnold. Structural Functions of Harmony, Norton, 1954, p. 1.
↑  Jonas, Oswald (1982). Introduction to the Theory of Heinrich Schenker, p.26 (1934: Das Wesen des musikalischen Kunstwerks: Eine Einführung in Die Lehre Heinrich Schenkers). Trans. John Rothgeb. شابک ‎۰−۵۸۲−۲۸۲۲۷−۶.
↑  Chadwick, 1922, p.1
↑  C. H. Kitson, Elementary Harmony, Part One, Oxford University Press, 1920, chapters 3–4.
↑  Jeff Pressing (2002). "Black Atlantic Rhythm: Its Computational and Transcultural Foundations". Music Perception. University of California Press. 19 (3): 285–310. doi:10.1525/mp.2002.19.3.285. JSTOR 10.1525/mp.2002.19.3.285.
↑  "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 19 July 2011. Retrieved 6 May 2011.{{cite web}}:  نگهداری یادکرد:عنوان آرشیو به جای عنوان (link)
↑  "Chord Progressions". guitaralliance.com. Retrieved 1 February 2019.
1 2  Benward, Bruce; Saker, Marilyn (2003). Music: In Theory and Practice. Vol. I (7th ed.). p. 178. ISBN 978-0-07-294262-0.
↑  Gjerdindan, Robert. 2007a. Music in the Galant Style: Being an Essay on Various Schemata Characteristic of Eighteenth-Century Music for Courtly Chambers, Chapel, and Theaters, Including Tasteful Passages of Music Drawn from Most Excellent Chapel Masters in the Employ of Noble and Noteworthy Personages, Said Music All Collected for the Readers Delectations on the World Wide Web. Oxford University Press.
↑  Levine, Alexandra S. (9 May 2019). "How 'Canon in D Major' Became the Wedding Song". The New York Times. Retrieved 29 November 2021.
↑  "Funeral survey charts the demise of popular hymns". Co-Operative Funeralcare. 24 October 2012. Retrieved 28 December 2016.
برای مطالعه بیشتر

R., Ken (2012). DOG EAR Tritone Substitution for Jazz Guitar, Amazon Digital Services, Inc., ASIN: B008FRWNIW
Middleton, Richard (1990/2002). "Studying Popular Music". Philadelphia: Open University Press. شابک ‎۰−۳۳۵−۱۵۲۷۵−۹.
Nettles, Barrie & Graf, Richard (1997). The Chord Scale Theory and Jazz Harmony. Advance Music, شابک ‎۳−۸۹۲۲۱−۰۵۶-X.
Lloyd, Peter (2014). The Secret Life of Chords: A guide to chord progressions and composition. Australian eBook Publisher. شابک ‎۹۷۸۱۹۲۵۰۲۹۷۶۵.
یک مثال از «توالی آکورد» (vi→ii→V→I)، پرلود در فا دیز ماژور، از مجموعۀ کلاویه خوش‌آهنگ، کتاب اول، اثر: یوهان سباستیان باخ.  بشنوید
«توالی آکورد» در موسیقی بلوز، تأثیر زیادی بر موسیقی عامه‌پسندِ آمریکا در قرن بیستم بر جای گذاشت
بوگورسوکوف

| بوگورسوکوف Богурсуков | بوگورسوکوف Богурсуков |
| --- | --- |
Khutor: Khutor
بوگورسوکوفنمایش نقشه آدیغیهبوگورسوکوفنمایش نقشه روسیه: بوگورسوکوفنمایش نقشه آدیغیهبوگورسوکوفنمایش نقشه روسیه
مختصات: ۴۵°۰۲′ شمالی ۳۹°۴۲′ شرقی﻿ / ﻿۴۵٫۰۳۳°شمالی ۳۹٫۷۰۰°شرقی﻿ / 45.033; 39.700: مختصات: ۴۵°۰۲′ شمالی ۳۹°۴۲′ شرقی﻿ / ﻿۴۵٫۰۳۳°شمالی ۳۹٫۷۰۰°شرقی﻿ / 45.033; 39.700
کشور: روسیه
ناحیه‌های فدرال روسیه: آدیغیه
شهرستان: شهرستان کراسنوگواردیسکی، آدیغیه
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی +۳:۰۰
بوگورسوکوف (به لاتین: Bogursukov) یک منطقهٔ مسکونی در روسیه است که در شهرستان کراسنوگواردیسکی، آدیغیه واقع شده‌است.
رنگ‌آمیزی فهرستی گراف

در نظریه گراف، که شاخه‌ای از ریاضیات است، رنگ‌آمیزی لیستی نوعی از رنگ‌آمیزی گراف است. در این رنگ‌آمیزی برای هرراس لیستی از رنگ‌ها وجود دارد که آن راس می‌تواند توسط یکی از رنگ‌های این لیست رنگ شود. این شاخه ابتدا توسط ویزینگ(به انگلیسی: Vising)، اردوش(به انگلیسی: Erdős)، رابین(به انگلیسی: Rubin) و تیلور(به انگلیسی: Taylor) مورد مطالعه قرار گرفت و بنیان آن بنا شد.
تعریف

G را یک گراف در نظر بگیرید و برای هر راس مانند v از گراف، (L(v را لیستی از رنگ‌های موجود برای آن رأس، تعریف کنید. رنگ‌آمیزی لیستی یک رنگ‌آمیزی انتخابی است که به هر راس مانند v یک رنگ دلخواه از لیست رنگ‌های آن راس ((L(v) متناظر می‌کند. به یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب می‌گوییم هرگاه هیچ دو راس مجاوری همرنگ نباشند. یک گراف را k-لیست رنگ‌پذیر می‌نامیم هرگاه مستقل از این که لیست k رنگیِ رنگ‌های هر راس چیست، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. عدد رنگی لیستی ((ch(G) گراف G، کوچکترین عدد k است که گراف k، G رنگ‌پذیر است.
به بیان دقیق‌تری، برای یک تابع مانند f که به هر راس مانند v یک عدد صحیح مثبت، (f(v را نسبت می‌دهد، گراف G را f-لیست رنگ‌پذیر می‌نامند، هرگاه مستقل از این که لیست (f(v رنگیِ هر راس مانند v شامل چه رنگ‌هایی باشد، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. به‌طور خاص اگر برای هر راس مانند f(v) = k ،v باشد، گراف k-لیست رنگ‌پذیر می‌باشد.
مثال

فرض کنید q یک عدد صحیح مثبت باشد و G یک گراف کامل دوبخشی Kq,qq  باشد. رنگ‌های موجود را با q2 عدد دو رقمی مختلف در مبنای q نمایش می‌دهیم. در بخشی از این گراف دو بخشی که q راس دارد، هر راس از گراف را متناظر با مجموعه‌ای از رنگ‌ها در نظر می‌گیریم که رقم باارزش آن‌ها یکسان است. برای مثال به راس شمارهٔ i ام مجموعه رنگ‌های {i0,i1, … ,iq} متناظر می‌کنیم. در بخش دیگر از این گراف دو بخشی، به هر راس از qq راس این گراف یک مجموعه از رنگ‌ها مانند {... ,0a, 1b, 2c}، به طوری که رقم باارزش آن‌ها متفاوت باشد. به تعداد qq تا مجموعه با چنین خاصیتی وجود دارد، زیرا تعداد q-تایی‌های (...,a,b,c)  برابر با qq است. برای مثال اگر q = 2 باشد، گراف دو بخشی K2,4 خواهیم داشت. در این گراف دو راس واقع در یک بخش این گراف مجموعه رنگ‌های {00,01}, {10,11} و  4 راس واقع در بخش دیگر گراف مجموعه رنگ‌های {00,10}, {00,11}, {01,10}, {01,11} را دارند. تصویر روبرو یک مثال بزرگ‌تر را به ازای q = 3 نشان می‌دهد.
عدد رنگی لیستی گراف G از q کوچک‌تر یا مساوی نیست. مستقل از این که چه رنگی برای هر راس انتخاب شود، در بخش بزرگ‌تر راسی که لیست رنگی آن برابر با مجموعه رنگ‌های بخش کوچک‌تر است، نمی‌تواند رنگ شود. برای مثال اگر راس با لیست  رنگی {00,01} با 01 و راس با لیست رنگی {10,11} با 10 رنگ شود، سپس راس با لیست رنگی {01,10} با هیچ‌کدام از دو رنگ 01 و 10 نمی‌تواند رنگ شود. بنابراین عدد رنگی لیستی G حداقل q + 1 است.
به‌طور مشابه، اگر  n={\binom {2k-1}{k}}، گراف کامل دو بخشیk، Kn,n-لیست رنگ‌پذیر نیست. فرض کنید 2k-1 رنگ موجود باشد و در یک بخش از گراف هر راس با بقیه رئوس در یک k-تایی از این رنگ‌ها متفاوت باشد. پس هر بخش از گراف باید حداقل از k رنگ استفاده کند، در غیر این‌صورت، بعضی از راس‌ها، بی‌رنگ می‌مانند، اما این شرط باعث می‌شود که دو راس مجاور هم‌رنگ باشند. به‌طور خاص گراف مسئله سه روستا، 3-لیست رنگ‌پذیر و گراف کامل دوبخشی که هر بخش آن n رأس دارد ۴-لیست رنگ‌پذیر است.
ویژگی‌ها

عدد رنگی لیستی (ch(G از قواعد زیر برای گراف G با n راس، عدد رنگی (X(G و بیشینه درجه (Δ(G :
(ch(G) ≥ χ(G. یک گراف k لیست رنگ‌پذیر، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب دارد، پس این گراف یک رنگ‌آمیزی معمولی با K رنگ دارد.
(ch(G معمولاً، توسط عدد رنگی محدود نمی‌شود، به عبارتی ((ch(G) ≤ f(χ(G به‌طور معمول برای هیچ تابعی مانند f برقرار نخواهد بود. به‌طور خاص، همان‌طور که مثال‌های گراف کامل دوبخشی نشان می‌دهد، گراف‌هایی وجود دارد که χ(G) = 2 ولی (ch(G تقریباً بزرگی دارند.
(ch(G) ≤ χ(G) ln(n
ch(G) ≤ Δ(G) + 1.
اگر G یک گراف مسطح باشد ch(G) ≤ 5.
اگر G یک گراف مسطح دوبخشی باشد ch(G) ≤ 3.
محاسبه عدد رنگی لیستی

دو مسئله الگوریتمی که مطرح شده‌است:
k-لیست رنگ‌پذیری. تصمیم می‌گیرد که گراف داده شده، به ازای k داده شده، k لیست رنگ‌پذیر است یا نه.
(j, k)-لیست رنگ‌پذیری. تصمیم می‌گیرد که گراف داده شده f-لیست رنگ‌پذیر است یا نه، به ازای یک تابع داده شده  f:V\to \{j,\dots ,k\}
مسئلهٔ k-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های دوبخشی برای هر k ≥ 3
 \Pi _{2}^{p}-کامل است، و به‌طور مشابه برای 4-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های مسطح، 3-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های بدون مثلثی، (2, 3)-لیست رنگ‌پذیری برای گراف‌های مسطح دوبخشی.
می‌توان در زمان خطی مشخص کرد که یک گراف 2-لیست رنگ‌پذیر است یا نه. برای این کار به‌طور مکرر راس‌های درجه صفر یا یک را حذف می‌کنیم تا جایی که به یک گراف با بیشینه درجه‌ی دو برسیم. گراف اولیه k-لیست رنگ‌پذیر است اگر و تنها اگر گراف ساده شده یک دور زوج یا یک گراف تتا باشد که از سه مسیر با نقطهٔ پایانی مشترک تشکیل شده‌باشد، که طول 2 تا از آن‌ها دو و طول سومی زوج باشد.
مثالی از لیست رنگی گراف در گراف کامل دوبخشی K3,27 با 3 رنگ برای هر رأس. اهمیتی ندارد که کدام رنگ‌ها برای 3 رأس وسط انتخاب شود، یکی از ۲۷ رأس بیرونی بدون رنگ خواهد ماند، که نشان می دهد عدد رنگی لیستی برای گراف K3,27 حداقل ۴ است.
روونا (ناحیه ستراکونیتسه)

| روونا (ناحیه ستراکونیتسه) | روونا (ناحیه ستراکونیتسه) |
| --- | --- |
شهر: شهر
روونا (ناحیه ستراکونیتسه): روونا (ناحیه ستراکونیتسه)
مختصات: ۴۹°۱۷′۲۰″ شمالی ۱۳°۵۷′۷″ شرقی﻿ / ﻿۴۹٫۲۸۸۸۹°شمالی ۱۳٫۹۵۱۹۴°شرقی﻿ / 49.28889; 13.95194: مختصات: ۴۹°۱۷′۲۰″ شمالی ۱۳°۵۷′۷″ شرقی﻿ / ﻿۴۹٫۲۸۸۸۹°شمالی ۱۳٫۹۵۱۹۴°شرقی﻿ / 49.28889; 13.95194
کشور:  جمهوری چک
منطقه: منطقه بوهمی جنوبی
ناحیه: Strakonice
مساحت: مساحت
 • کل: ۴٫۳۴ کیلومتر مربع (۱٫۶۸ مایل مربع)
ارتفاع: ۴۲۳ متر (۱۳۸۸ فوت)
جمعیت (۲۰۰۶): جمعیت (۲۰۰۶)
 • کل: ۲۵۶
 • تراکم: ۵۹/کیلومتر مربع (۱۵۰/مایل مربع)
کد پستی: ۳۸۶ ۰۱
روونا (به چکی: Rovná) یک منطقهٔ مسکونی در جمهوری چک است که در ناحیه ستراکونیتسه واقع شده‌است. روونا ۴٫۳۴ کیلومتر مربع مساحت و ۲۵۶ نفر جمعیت دارد و ۴۲۳ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
ریچل ویلسون

| ریچل ویلسون | ریچل ویلسون |
| --- | --- |
زادهٔ: ۱۲ مهٔ ۱۹۷۷ ‏(۴۷ سال)
ملیت: کانادا
سال‌های فعالیت: ۱۹۹۱ – اکنون
ریچل ویلسون (انگلیسی: Rachel Wilson؛ زادهٔ ۱۲ مهٔ ۱۹۷۷) یک هنرپیشه اهل کانادا است.
از کارهای معروف او می‌توان به بازی در معما، آلاسکا و از پشت خنجر زدن برای تازه‌کارها اشاره کرد.
جان بوکینن

| جان بوکینن | جان بوکینن |
| --- | --- |
زادهٔ: ۱ ژانویهٔ ۱۸۸۴
درگذشت: ۲۵ نوامبر ۱۹۴۳
ملیت: بریتانیا
جان بوکینن (انگلیسی: John Buchanan; ۱ ژانویهٔ ۱۸۸۴ – ۲۵ نوامبر ۱۹۴۳) قایقران قایق بادبانی اهل بریتانیا بود.
رنگ‌آمیزی گراف

در نظریه گراف، رنگ‌آمیزی گراف یکی از حالت‌های خاص مسئله‌های برچسب‌گذاری گراف است. رویکرد کلی آن استفاده از نظیر کردن رنگهایی به یالها یا راس‌هاست که این رنگ‌آمیزی محدودیت خاصی را رعایت کند. در ساده‌ترین حالت، رنگ‌آمیزی‌ای مورد نظر است که در آن هیچ دو راس مجاوری هم رنگ نباشند (رنگ‌آمیزی راسها). علاوه بر آن رنگ‌آمیزی یالها به همین صورت تعریف می‌شود.
رنگ‌آمیزی گراف کاربردهای زیادی در زمینه‌های عملی و تئوری گوناگون دارد. علاوه بر مسئله‌های کلاسیک تعریف شده در این زمینه، با در نظر گرفتن محدودیت‌های مختلفی روی نوع گرافها، روی روش رنگ‌آمیزی و حتی تعداد و رنگ عناصر گراف مسئله‌های متنوعی با کاربردهای وسیع در صنعت و علوم تعریف و حل می‌شود. با وجود اینکه این مسئله از نظر علمی هنوز در حال رشد و بررسی بیشتر می‌باشد.
تاریخچه

اولین نتیجه‌های بدست آمده در مورد رنگ‌آمیزی گراف از تلاش‌های انجام شده بر روی گراف‌های مسطح برای حل مسئله رنگ‌آمیزی نقشه بدست آمد. در آن زمان فرانسیس گوتری ادعا کرد که رنگ‌آمیزی نقشه ایالت‌های مختلف بریتانیا روی نقشه، به‌طوری‌که هیچ دو ایالت مجاوری همرنگ نشوند، می‌تواند با ۴ رنگ انجام شود (شرط کافی). برادر گوتری این مسئله را برای معلم ریاضی خود آگوستوس دو مورگان، در کالج دانشگاهی فرستاد. دو مورگان، این مسئله را در سال ۱۸۵۲ میلادی در نامه‌ای که به ویلیام همیلتون نوشت مطرح کرد. در سال ۱۸۷۹ آرتور کیلی این مسئله را در انجمن ریاضی شهر لندن مطرح کرد. در همان سال آلفرد کمپ، نتایج بدست آمده را منتشر کرد و برای یک دهه تصور می‌شد این مسئله حل‌شده‌است. برای تلاش‌های کمپ در این زمینه او به عنوان یکی از اعضای جامعه سلطنتی و بعدها به عنوان ریاست انجمن ریاضی شهر لندن انتخاب شد.
در سال1890 Heawood، ادعا کرد که استدلال کمپ اشتباه بوده‌است و اثبات این مسئله را برای ۵ رنگ منتشر کرد. در قرن معاصر او تلاش‌های زیادی برای اثبات روش‌های رنگ‌آمیزی نقشه با تعداد ۴ رنگ صورت گرفت که در نهایت در سال ۱۹۷۶ توسط Kenneth Appel وWolfgang Haken این مسئله به کمک ایده‌های خود Heawood و کمپ انجام شد که در آن زمان به دلیل استفاده از کامپیوتر برای اثبات مسئله، شدیداً مورد قبول واقع نشد.
رنگ‌آمیزی گراف از اوایل دهه ۷۰ به عنوان یک مسئله الگوریتمی مورد بررسی قرار گرفته‌است، به‌طوری‌که جزء یکی از ۲۱ مسئله NP-Complete که Karp معرفی کرد قرار گرفته.
واژه‌ها و اصطلاحات > رنگ‌آمیزی راسی

معمولاً تا زمانی که ذکر نشده‌است، منظور از رنگ‌آمیزی گراف یک رنگ‌آمیزی مناسب رأس‌های یک گراف است. یا به عبارتی یک برچسب‌گذاری رأس‌های گراف است به شکلی که هیچ دو راسی که یک یال آن‌ها را متصل می‌کنند همرنگ نباشند. از آنجایی که یک طوقه نمی‌تواند این ویژگی را داشته باشد، این گراف‌ها باید بدون طوقه باشند.
استفاده از رنگ‌ها برای این رنگ‌آمیزی گراف به استفاده آن‌ها در رنگ‌آمیزی نقشه بازمی‌گردد. چرا که از تعداد رنگ‌های کمی برای این منظور استفاده می‌کنیم. به‌طور طبیعی هر رنگ را متناظر یکی از اعداد طبیعی … و۳و۲و۱ در نظر می‌گیریم.
به رنگ‌آمیزی که در آن حداکثر از k رنگ استفاده می‌شود، رنگ-امیزی k تایی گفته می‌شود. به کوچکترین عددی که می‌توان رأس‌های یک گراف را رنگ‌آمیزی کرد را با (X)G نشان می‌دهیم. گرافی که می‌توان آن را با یک رنگ‌آمیزی k تایی رنگ کرد، گراف k رنگ شونده نامیده می‌شود. مجموعه‌ای از رأس‌های یک گراف که همرنگ رنگ شده‌اند یک کلاس رنگی را تشکیل می‌دهند. هر کلاس رنگی یک مجموعه مستقل را تشکیل می‌دهد.
واژه‌ها و اصطلاحات > چندجمله‌ای رنگی

چندجمله‌ای‌های رنگی به تعداد روش‌های رنگ‌آمیزی یک گراف گفته می‌شود که تعداد رنگ‌های مورد استفاده از تعداد مشخصی بیشتر نشود. برای مثال گراف شکل سمت چپ با ۱۲ روش با ۳ رنگ، رنگ‌آمیزی می‌شود. رنگ‌آمیزی آن با ۲ رنگ غیرممکن است. با ۴ رنگ این کار را می‌توان با ۷۲ = ۴×۱۲ + ۲۴ روش رنگ کرد (اگر حتماً از هر ۴ رنگ استفاده کنیم ۲۴ = !۴ روش ممکن است). برای گراف فوق جدول تعداد حالت‌های ممکن به صورت زیر خواهد بود.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| تعداد رنگ‌ها | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | … |
| تعداد حالت‌های رنگ‌آمیزی | ۰ | ۰ | ۱۲ | ۷۲ | … |
چندجمله‌ای رنگی تابعی است به صورت (P(G, t که تعداد حالت‌های رنگ‌آمیزی t-تایی گراف G را می‌شمارد. همان‌طور که از اسم ان مشخص است این تعداد یک چندجمله‌ای است که برای مثال فوق
(P(G, t) = t(t − 1)2(t − ۲
پس برای این گراف P(G، ۴) = ۷۲ روش خواهیم داشت.
به توابع چندجمله‌ای رنگی برای گراف‌های خاص زیر توجه کنید:
| 0 | 1 |
| --- | --- |
مثلثی K3:  t(t-1)(t-2)
گراف کامل Kn:  t(t-1)(t-2)\cdots (t-(n-1))
درخت با n راس:  t(t-1)^{n-1}
گراف مسیر pn:  t(t-1)^{n-1}
گراف دوری Cn:  (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)
گراف پترسن:  t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)
واژه‌ها و اصطلاحات > رنگ‌آمیزی یالی

رنگ‌آمیزی یالی یک گراف به نوعی از رنگ‌آمیزی گراف گفته می‌شود که در آن یال‌ها طوری رنگ می‌شوند که هیج راسی وجود نداشته باشد که مرتبط با ۲ یال همرنگ باشد. یک رنگ‌آمیزی یال‌های یک گراف با k رنگ یک رنگ‌آمیزی یالی k-رنگی نام دارد که برابر با تعداد تعداد حالت‌های تطابق تایی متناظر می‌باشد.
فردونیا، آریزونا

| فردونیا، آریزونا | فردونیا، آریزونا |
| --- | --- |
شهرک: شهرک
Fredonia, Arizona: Fredonia, Arizona
موقعیت در شهرستان کاکانینو و ایالت آریزونا: موقعیت در شهرستان کاکانینو و ایالت آریزونا
کشور: ایالات متحده آمریکا
ایالت: آریزونا
شهرستان: کاکانینو
مساحت: مساحت
 • کل: ۷٫۴ مایل مربع (۱۹٫۲ کیلومتر مربع)
 • خشکی: ۷٫۴ مایل مربع (۱۹٫۲ کیلومتر مربع)
 • آب: ۰٫۰ مایل مربع (۰٫۰ کیلومتر مربع)
ارتفاع: ۴۶۷۱ فوت (۱۴۲۴ متر)
جمعیت (۲۰۱۰): جمعیت (۲۰۱۰)
 • کل: ۱۳۱۴
 • تراکم: ۱۸۰/مایل مربع (۶۸/کیلومتر مربع)
منطقهٔ زمانی: یوتی‌سی ۷- (MST)
زیپ‌کدها: ۸۶۰۲۲, ۸۶۰۵۲
Area code: 928
کد FIPS: ۰۴-۲۵۷۲۰
وبگاه: http://www.fredoniaaz.net
فردونیا (به انگلیسی: Fredonia) شهری در شهرستان ایالت آریزونا است که در سرشماری سال ۲۰۱۰ میلادی، ۱٬۳۱۴ نفر جمعیت داشته است. فردونیا، به‌طور رسمی در تاریخ ۱۹۵۶ میلادی به‌عنوان یک شهر شناخته شد.
کری (شرکت)

| 0 | 1 |
| --- | --- |
نوع: شرکت تابعه از هیولت پکرد انترپرایز
ISIN: US2252233042 
بنا نهاده: ۱۹۷۲؛ ۵۲ سال پیش (۱۹۷۲-خطا: زمان نامعتبر}}) as Cray Research, Inc. (Current corporate entity founded in ۱۹۸۷؛ ۳۷ سال پیش (۱۹۸۷-خطا: زمان نامعتبر}}) as Tera Computer Company.)
بنیانگذاران: سیمور کری
دفتر مرکزی: سیاتل، واشینگتن آمریکا
افراد کلیدی: مدیر عامل, پیتر اونگارو
محصولات: ابررایانه
درآمد:  $392.5 million (2017)
سود ناخالص:  -$65.6 million (2017)
سود خالص:  -$133.8 million (2017)
مجموع دارایی:  $618.7 million (2017)
مجموع سهام:  $400.2 million (2017)
تعداد کارکنان: ۱٬۲۸۲ (دسامبر ۲۰۱۵)
مادر: هیولت پکرد انترپرایز
وبگاه: www.cray.com
منابع / پانوشت‌ها : منابع / پانوشت‌ها 
کری (به انگلیسی: Cray) یک شرکت از شرکتهای تابعه شرکت هیولت پکرد انترپرایز است که در سیاتل، واشینگتن مستقر است و در زمینه تولید ابررایانه فعالیت می‌کند. همچنین این شرکت سیستمهای ذخیره‌سازی و تحلیل داده تولید می‌کند. بسیاری از ابررایانه‌های این شرکت در لیست TOP500 قرار دارد که جزو قدرتمندترین ابررایانه‌های جهان است.
تیم ملی بسکتبال لیبریا

تیم ملی بسکتبال لیبریا، نماینده لیبریا در مسابقات بین المللی بسکتبال است.
این تیم  توسط فدراسیون بسکتبال این کشور اداره می شود.  آخرین راهیابی آنها به مسابقات قهرمانی آفریقا به سال ۲۰۰۷ باز می گردد.  بهترین عملکرد آنها در سال ۱۹۸۳ بود که لیبریا در بین ۱۰ تیم برتر آفریقا قرار گرفت.