حساب مالیاوین
مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته

مشتق مالیاوین بگونه ای تعریف می شود تا تغییرات را نسبت به فرآیند وینر بسنجد. طبیعی است که برای  \int _{0}^{t}h_{s}dw_{s} مشتق مالیاوین برابر با h باشد؛ (در سنجش با مشتق عادی از   \int _{0}^{t}h_{s}ds که برابر  h_{t} است). بنابراین اگر مشتق مالیاوین نسبت به فرایند وینر در زمان s را با  D_{s} نشان دهیم، از روی تعریف داریم. D_{s}\int _{0}^{T}h_{t}dw_{t}=h_{s}~\mathbb {1} _{[0,T]}(s)بنابراین  D_{s}[.] تعییرات یک متغیر کاتوره‌ای را نسبت به فرایند وینر اندازه‌گیری می کند. همچنین توجه کنید که  D_{s}w_{t}=D_{s}\int _{0}^{t}w_{r}dr=1_{[0,t]}(s).
مشتق‌گیری زنجیره‌ای: می توان برطبق قاعده زنجیره ای مشتق مالیاوین از کارکردوار وینر F را که در آن F(W(h_{1}),W(h_{2}),\ldots ,W(h_{n})),\qquad W(h_{i})=\int _{0}^{T}h_{i,s}dw_{s}بصورت زیر داشت: D_{s}F=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}~D_{s}W(h_{i})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}~h_{i,s}~1_{[0,T]}(s),\qquad (A1)
قضیه انتگرال‌گیری پاره‌ای (قضیه دوگان): برای کارکردوارِ وینر  F=F(\int _{0}^{T}h_{s}dw_{s}) داریم: E{\big \{}F\int _{0}^{T}g_{s}dw_{s}{\big \}}=E\{\langle D_{s}F,g_{s}\rangle \},\qquad (A2)که در آن  \langle h_{s},g_{s}\rangle =\int _{0}^{t}h_{s}~g_{s}ds.
اثبات: E\{\langle D_{s}F,g_{s}\rangle \}=E{\Big \{}\int _{0}^{T}D_{s}F~g_{s}~ds{\Big \}}=E\{\int _{0}^{T}F_{x}~h_{s}~g_{s}~ds\}=E\{F_{x}\int _{0}^{T}h_{s}g_{s}ds\}=E{\Big \{}F_{x}{\Big (}\int _{0}^{T}h_{s}dw_{s}{\Big )}{\Big \}}\int _{0}^{T}h_{s}g_{s}ds {\overset {(1)}{=}}E{\Big \{}F_{x}{\Big (}\int _{0}^{T}h_{s}dw_{s}{\Big )}{\Big \}}E{\Big \{}\int _{0}^{T}h_{s}dw_{s}\int _{0}^{T}g_{s}dw_{s}{\Big \}}{\overset {(2)}{=}}E{\Big \{}F(\int _{0}^{T}h_{s}dw_{s})\int _{0}^{T}g_{s}dw_{s}{\Big \}}که برای (1) از قاعده ایزومتری استفاده شد و برای (2) از لم Stein بهره گرفته شد که برپایه آن برای x , y که توزیع گاوسی با میانگین صفر داشته باشند داریم:  E\{f(x)y\}=E\{f'(x)\}E\{xy\}.
مشتق مالیاوین از فرایند پراکنش (diffusion process):
اگر فرایند پراکنش  X=(x_{t})_{t\in [0,T]} از معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE)  dx_{t}=a(x_{t},t)dt+b(x_{t},t)dw_{t} تولید شده باشد. آنگاه داریم: D_{s}x_{t}=b(x_{s},s)+\int _{s}^{t}a_{x}(x_{\tau },\tau )D_{s}x_{\tau }d\tau +\int _{s}^{t}b_{x}(x_{\tau },\tau )D_{s}x_{\tau }dw_{\tau },~s\in [0,T],\qquad (A3) D_{t}x_{t}=b(x_{t},t)که درنتیجه آن به یک SDE وردشی خطی می رسیم. از آنجا که معادله بالا خطی است، حل آن بصورت زیر است: D_{s}x_{t}=b(x_{s},s)\exp {\Big (}\int _{s}^{t}b_{x}(x_{\tau },\tau )dw_{\tau }+\int _{s}^{t}{\Big (}a_{x}(x_{\tau },\tau )-{\frac {1}{2}}b_{x}(x_{\tau },\tau )^{2}{\Big )}d\tau {\Big )},\qquad (A4)اثبات:
از آنجا که  D_{s}[.] حساسیت نسبت به  w_{s} را می سنجد، رابطه SDE را بصورت  x_{t}=\underbrace {\int _{0}^{s}a(x_{\tau },\tau )d\tau +\int _{0}^{s}b(x_{\tau },\tau )dw_{\tau }} _{\text{first term}}+\underbrace {\int _{s}^{t}a(x_{\tau },\tau )d\tau +\int _{s}^{t}b(x_{\tau },\tau )dw_{\tau }} _{\text{second term}} باز می نویسیم. حال توجه کنید که مشتق مالیاوین  D_{s}[.] از جمله اول صفر است چون هیچ وابستگی ای به  w_{s} ندارد. حال با کاربستِ قاعده زنجیره ای و اینکه  D_{s}\int h_{t}dw_{t}=h_{s} داریم: D_{s}x_{t}=\int _{s}^{t}a_{x}(x_{\tau },\tau )~D_{s}x_{\tau }~d\tau +\int _{s}^{t}b_{x}(x_{\tau },\tau )~D_{s}x_{\tau }~dw_{\tau }+b(x_{s},s)
قضیه ای از آنالیز پریشیدیگی: اگر x یک فرایند پراکنش از  dx_{t}=a(x_{t},t)dt+b(x_{t},t)dw_{t} باشد،  h=(h_{s})_{s\in [0,t]} یک تابع مشتق‌پذیر و  W=(w_{s})_{s\in [0,t]} فرایند وینر، در اینصورت داریم: {\frac {1}{\epsilon }}(x_{t}(W+\epsilon h)-x_{t}(W))\to \langle D_{s}x_{t},h_{s}'\rangle ,~as~\epsilon \to 0,\qquad (A5)که در آن  x_{t}(W+\epsilon h) پریشیدگی  x_{t} نسبت به فرایند وینر می باشد.
اثبات: گیریم  y_{t}:={\frac {1}{\epsilon }}(x_{t}(W+\epsilon h)-x_{t}(W))، آنگاه داریم  x_{t}(W+\epsilon h)=x_{t}(W)+\epsilon ~y_{t}، پس می توان داشت: dy_{t}={\frac {1}{\epsilon }}(dx_{t}(W+\epsilon h)-dx_{t}(W))از طرف دیگر
dx_{t}(W+\epsilon h_{t})=dx_{t}+\epsilon dy_{t}=a(x_{t}+\epsilon y_{t},t)dt+b(x_{t}+\epsilon y_{t},t)d(w_{t}+\epsilon h_{t})=a(x_{t}+\epsilon y_{t},t)dt+b(x_{t}+\epsilon y_{t},t)(dw_{t}+\epsilon h_{t}'dt)که می توان نتیجه گرفت:
dy_{t}={\frac {1}{\epsilon }}(dx_{t}(W+\epsilon h)-dx_{t}(W))={\frac {1}{\epsilon }}(\epsilon a_{x}y_{t}dt+\epsilon b_{x}y_{t}dw_{t}+b(x_{t}+\epsilon y_{t})h_{t}'dt)=(a_{x}y_{t}+bh_{t}')dt+b_{x}y_{t}dw_{t},~as~\epsilon \to 0
از طرف دیگر گیریم  z_{t}:=\langle D_{s}x_{t},h_{s}'\rangle =\int _{0}^{t}D_{s}x_{t}h_{s}'ds، در نتیجه داریم:  dz_{t}=D_{t}x_{t}h'_{t}dt+\int _{0}^{t}d(D_{s}x_{t})h_{s}'ds=bh_{t}'dt+\int _{0}^{t}{\big (}a_{x}D_{s}x_{t}dt+b_{x}D_{s}x_{t}dw_{t}{\big )}h'_{s}ds=bh_{t}'tdt+a_{x}z_{t}dt+b_{x}z_{t}dw_{t}بنابراین دیده می شود که  z_{t} و  y_{t} هردو از یک SDE یکسان پیروی می کنند، حال از آنجا که  z_{0}=y_{0}=0، پس نتیجه می شود که  y_{t}  و  z_{t} برابرند.
از این قضیه نتیجه می شود که پریشیدن (اختلال) فرایند وینر به فرایند پراکنشی می انجامد که با مشتق مالیاون رابطه دارد.
نتیجه: از روابط (A2) و (A5) می توان نتیجه گرفت که: {\frac {1}{\epsilon }}{\Bigg (}E{\Big \{}x_{t}{\Big (}W+\epsilon \int _{0}^{t}h_{t}dt{\Big )}{\Big \}}-E\{x_{t}(W)\}{\Bigg )}\to E{\Big \{}x_{t}(W)\int _{0}^{t}h_{s}dw_{s}{\Big \}},~as~\epsilon \to 0,\qquad (A6)نتیجه: از رابطه (A5)، با قرار دادن  h'_{s}=\delta (s-r) ،داریم: {\frac {1}{\epsilon }}{\Big (}x_{t}(W+\epsilon 1_{[r,T]})-x_{t}(W){\Big )}=D_{r}x_{t},\quad as~\epsilon \to 0که تعریفی دیگر برای مشتق مالیاوین بدست می دهد.
رابطه Clark-Ocone-Haussman: این رابطه در ارتباط با قضیه بازنمود مارتینگل می باشد. بطور ویژه برای کارکردوار وینر  F{\Big (}\int _{0}^{t}h_{s}dw_{s}{\Big )} داریم: F=E\{F\}+\int _{0}^{t}E{\big \{}D_{s}F|{\mathcal {F}}_{s}{\big \}}dw_{s}که در آن  {\mathcal {F}}_{s}=\sigma {\big (}(w_{t})_{t\in [0,s]}{\big )} فیلتراسیون طبیعی از فرایند وینر است.
اثبات: از روی بازنمود مارتینگل می دانیم که:   F=E\{F\}+\int _{0}^{t}m_{s}dw_{s}، نیز به یاری رابطه (A2) داریم: E{\Big \{}F\int _{0}^{t}g_{s}dw_{s}{\Big \}}{\overset {(1)}{=}}E\{\langle D_{s}F,g_{s}\rangle \}=E{\Big \{}E\{F\}\int _{0}^{t}g_{s}dw_{s}{\Big \}}+E{\Big \{}\int _{0}^{t}m_{s}dw_{s}\int _{0}^{t}g_{s}dw_{s}{\Big \}}{\overset {(2)}{=}}0+E{\Big \{}\int _{0}^{t}m_{s}g_{s}ds{\Big \}}که برای (1) از رابطه A2 و برای (2) از  قاعده ایزومتری استفاده شد. در نتیجه: \int _{0}^{t}E{\big \{}m_{s}g_{s}{\big \}}ds=E{\Big \{}\int _{0}^{t}D_{s}F~g_{s}~ds{\Big \}}=\underbrace {\int _{0}^{t}E{\Big \{}E\{D_{s}F|{\mathcal {F}}_{s}\}~g_{s}~ds{\Big \}}} _{(*)}و در نتیجه  m_{s}=E{\big \{}D_{s}F|{\mathcal {F}}_{s}{\big \}}. توجه شود که رابطه (*) در بالا، از این جهت بدین صورت نوشته شد که  m_{s} باید حتما یک فرایند  {\mathcal {F}}_{s}-سازگار (adapted- {\mathcal {F}}_{s})  باشد. درنتیجه نمی توان نتیجه گرفت که  m_{s}=D_{s}F چراکه  D_{s}F لزوما سازگار نیست.