رگرسیون خطی
کاربردها و محدودیت‌ها

رگرسیون خطی به‌طور گسترده‌ای در علوم زیستی، رفتاری و اجتماعی برای توصیف روابط احتمالی بین متغیرها مورد استفاده قرار می‌گیرد و از مهترین ابزارها برای این کار است. رگرسیون خطی همچنین در قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای و تحلیل و اندازه‌گیری خطر سرمایه‌گذاری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مدل مستقیماً از ضریب بتا در مدل رگرسیون خطی به دست می‌آید که بازده سرمایه را به بازده تمام دارایی‌ها با ریسک بالا مربوط می‌کند. همچنین در علم اقتصاد رگرسیون خطی یکی از مهم‌ترین و پراستفاده‌ترین ابزارهاست. به عنوان مثال، برای پیش‌بینی هزینه مصرف، هزینه سرمایه‌گذاری ثابت، سرمایه‌گذاری موجودی، خرید صادرات کشور، هزینه برای واردات، تقاضا برای نگهداری دارایی‌های نقد، تقاضای کار، و عرضه نیروی کار از این مدل استفاده می‌شود. در علوم محیط زیست نیز رگرسیون خطی کاربردهای گسترده‌ای دارد. برای نمونه در کانادا، از رگرسیون خطی برای پیش‌بینی اثرات زیست‌محیطی کارخانه‌های کاغذسازی و معادن فلزات بر روی ماهی‌ها و مناطق دریابُن استفاده می‌کنند. رگرسیون خطی در علم پزشکی نیز کاربرد دارد. به عنوان مثال اولین تحقیقاتی که رابطه استعمال دخانیات و مرگ و میر را نشان می‌داد از مدل رگرسیون خطی استفاده می‌کرد. رگرسیون خطی در تخمین خط روند نیز کاربرد دارد. خط روند، سیر تغییرات یک سری داده را در یک بازه زمانی طویل‌المدت نشان می‌دهد. معمولاً به صورت چشمی سیر صعودی یا نزولی بودن این تغییرات را می‌توان تشخیص داد ولی برای محاسبه دقیق‌تر شیب این تغییرات از رگرسیون خطی استفاده می‌شود. در مواردی که سیر تغییرات را با یک چندجمله‌ای تخمین می‌زنند از رگرسیون خطی تعمیم یافته استفاده می‌کنند. همچنین رگرسیون خطی و مشتقات آن یکی از ابزارهای شناخته شده و پرکاربرد در شاخه‌های هوش مصنوعی مخصوصاً در شاخه یادگیری ماشین است.
گرچه رگرسیون خطی ابزاری بسیار انعطاف‌پذیر برای تحقیقات علوم مختلف است، اما بدون محدودیت هم نیست. همه مسائل پژوهشی در قالب مدلهای رگرسیون نمی‌گنجد، به ویژه مسائلی که یک متغیر خروجی ندارند. به عنوان نمونه، تجزیه و تحلیل خوشه‌ای یک ابزار آماری است که برای آشکار ساختن گروه‌های منسجم (یا خوشه‌ها) در داده‌ها به کار می‌رود. رگرسیون مدل مناسبی برای کشف این نوع الگو در داده‌ها نیست.
از آنجا که رگرسیون بر پیشینی متغیر خروجی (متغیر وابسته) متمرکز است، این شبهه ممکن است ایجاد شود که وجود رابطه بین متغیرهای مستقل و وابسته در مدل رگرسیون دال بر علیت این رابطه است. این نوع تعمیم نتایج مدل رگرسیونی نادرست است، و برای تحلیل علیت باید از روش‌های آماری و تحقیقی دیگری بهره جست.
در استفاده از مدل رگرسیون برای استنباط آماری نیز محدودیت‌هایی می‌تواند وجود داشته باشد. برای ارائهٔ استنباط معتبر، داده‌ها باید نمونه‌ای تصادفی از یک جمعیت باشند یا در مطالعهٔ تجربی مورد نظر تصادفی شده باشند. بیشتر نمونه‌ها در علوم اجتماعی این شرط را برآورده نمی‌کنند و استفاده از مدل رگرسیون برای تحلیل آن‌ها خالی از اشکال نیست. البته، این یک انتقاد از خود رگرسیون نیست بلکه از طراحی مطالعات تجربی و محدودیت‌های استنباط آماری با نمونه‌گیری غیر تصادفی است. با وجود همهٔ این محدودیت‌ها، رگرسیون و مدل‌های تعمیم‌یافتهٔ آن همچنان ابزاری فوق‌العاده مفید برای پژوهشگران علوم مختلف محسوب می‌شوند.
رگرسیون خطی برای بسیاری از مسائل مدل مناسبی نیست. این امکان وجود دارد که چندین مجموعه دادهٔ کاملاً متفاوت، مدل رگرسیون خطی یکسانی داشته باشند. چهارتایی آنسکوم نمونهٔ کلاسیک این حالت است. چهارتایی آنسکوم متشکل از چهار مجموعه داده‌است که نمودارهای کاملاً متفاوتی دارند ولی مدل رگرسیون خطی آنها کاملاً یکسان است. یک مجموعه در این مجموعهٔ چهارتایی (بالا سمت راست در شکل) دارای یک رابطهٔ کاملاً غیر خطی بین متغیرهاست. در یک مجموعه دیگر (پایین سمت چپ در شکل) با اینکه یک رابطهٔ خطی بین متغیرها حاکم است ولی به علت وجود یک دادهٔ پرت، مدل رگرسیون خطی به دست آمده نامناسب است. نهایتاً در یک مجموعه دیگر (پایین سمت راست در شکل) بین متغیرهای وابسته و مستقل هیچ همبستگی وجود ندارد ولی به علت وجود یک دادهٔ پرت، ضریب همبستگی این دو متغیر بالاست و یک مدل رگرسیون نامناسب برای پیش‌بینی متغیر وابسته تخمین زده شده‌است.