کره (هندسه)
خواص > یازده خواص کره

این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.
نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.
بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.
این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.
عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
تمام نقاط یک کره ناف هستند.
در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع نرمال می گویند و انحنای این منحنی انحنای نرمال است . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام نقاط نافی دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
کره سطحی از مراکز ندارد.
برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، نقاط کانونی نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند
برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.
ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.
از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.
انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.
کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.
انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.
چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی (SO(3 است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.