فیلتر ذره‌ای
نمونه‌برداری بااهمیت تناوبی

همانگونه که در بخش پیشین بحث شد، گزینش توزیع پیشنهادی در بازدهی و کارایی تخمین برپایه نمونه‌برداری بااهمیت بسیار مهم و حیاتی است؛ بنابراین شیوه گزینش یک توزیع مناسب کلید بهره‌بری از یک تخمین‌گر موفق شمرده می‌شود. با این حال در اغلب موارد یافتن یک توزیع متناسب به‌ویژه در مواردی که با فضاهایی با بعد بالا سروکار داریم کار سختی است [?]. از این رو یک راه مقابله با این مشکل ساختن توزیع پیشنهادی به صورت تناوبی و پی‌درپی است که این ایده اصلی روش نمونه‌برداری با اهمیت تناوبی (Sequential Importance Sampling) یا به اختصار SIS محسوب می‌شود.
برای این منظور بایسته‌است که توزیع پیشنهادی   q(x) به نحوی برگزیده شود تا خاصیت زیر را داشته باشد [?].
q(x_{0:n}|y_{0:n})=q(x_{0})\prod _{t=1}^{N}{q(x_{t}|x_{0:t-1},y_{0:t})}
برپایه این انتخاب، نمونه‌برداری بااهمیت به صورت تناوبی قابل حصول است. برای نشان دادن این مطلب طبق قانون تلسکوپی (Telescope law) در احتمالات برای توزیع   P(x) می‌توان نوشت.
P(x_{0:n})=P(x_{0})P(x_{1}|x_{0})...P(x_{n}|x_{0},...,x_{n-1})
نیز برای توزیع پیشنهادی   q(x) طبق خاصیتی که برای آن مقرر شد داریم:
q(x_{0:n})=q(x_{0})q(x_{1}|x_{0})...q(x_{n}|x_{0},...,x_{n-1})
در نتیجه وزن‌های بااهمیت را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
w(x_{0:n})={\frac {P(x_{0})P(x_{1}|x_{0})...P(x_{n}|x_{0},...,x_{n-1})}{q(x_{0})q(x_{1}|x_{0})...q(x_{n}|x_{0},...,x_{n-1})}}
که در این صورت این وزن‌ها به‌صورت بازگشتی طبق رابطه زیر می‌توانند محاسبه شوند.
w(x_{0:n})=w(x_{0:n-1}){\frac {P(x_{n}|x_{0:n-1})}{q(x_{n}|x_{0:n-1})}}
از جمله مزیت‌های این روش در این است که این وزن‌ها در طول زمان به‌صورت تناوبی محاسبه می‌شوند و بازدهی آن در حین الگوریتم افزوده می‌شود، اما عیب مهم آن در این است که واریانس وزن‌ها ممکن است بزرگ باشد که موجب کاهش دقت در تخمین می‌شوند. به عبارت دیگر در مرجع [?] نشان داده شده‌است که واریانس وزن‌های بااهمیت در طول زمان افزوده شده و پس از چند تکرر (iteration) از الگوریتم تعداد بسیاری از وزن‌ها مقداری نزدیک به صفر و تنها اندکی از وزن‌ها ناصفر خواهند بود. این پدیده که به مشکل تباهیدگی وزن‌ها (Weight degeneracy problem) موسوم است از معایب مهم نمونه‌برداری تناوبی شمرده می‌شود چرا که موجب هدررفت زمان محاسبات در بروزکردن وزن‌ها از روی وزن‌های پیشین خود می‌شود. راه حل مقابله با این مشکل استفاده از متدهای بازنمونه‌برداری است؛ بنابراین بازنمونه‌برداری به عنوان یکی از گام‌های اصلی در الگوریتم SIS شمرده می‌شود که هدف از آن حذف ذره‌هایی با وزن‌های کوچک و تقویت ذره‌های با وزن بزرگ است. یا به عبارت دیگر این فرایند موجب تشدید ذره‌های با احتمال بالا و تضعیف ذره‌های با احتمال کوچک می‌شود. همراهی روش SIS با فرایند بازنمونه‌برداری به فرایند Sequential Importance Resampling موسوم است.
شکل زیر فرایند بازنمونه‌برداری را به صورت نمادین نمایش می‌دهد.
در این شکل گوی‌ها معرف ذره‌ها و ابعاد آن وزن متناظر با آن را نشان می‌دهد، گوی‌های پررنگ در ابعاد مختلف هستند، گوی بزرگ بدین معنی است که وزن ذره متناظر با آن بزرگ است یا به عبارتی احتمال آن ذره بالاست، از طرف دیگر گوی کوچک به معنی اینست که وزن ذره متناظر با آن کوچک است یا به عبارتی احتمال رخداد آن ذره کم است. گوی‌های کم‌رنگ نیز پس از فرایند بازنمونه‌برداری حاصل شده‌اند. در این شکل تشدید ذره‌ها با وزن‌های بالا و تضعیف ذره‌ها با وزن‌های کم توسط فرایند بازنمونه‌برداری به خوبی نشان داده شده‌است؛ بنابراین بر طبق مطالب گفته شده الگوریتم SIR را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد[?].
بنابراین این گام نقشی اساسی در الگوریتم نمونه‌برداری بااهمیت ایفا می‌کند [?] چراکه از طرفی با پدیده پراکندگی ناموزون وزن‌ها که موجب اتلاف محاسباتی می‌شود مقابله کرده و از تباهیدگی وزن‌ها جلوگیری می‌کند و از طرف دیگر هنگامیکه وزن‌ها مورب (Skewed) باشند موجب گزینش وزن‌های بااهمیت‌تر می‌شود. برای همین چه بسا این گام خود موجب تغییراتی در واریانس نمونه‌ها شده و لزوماً تخمین را بهبود ندهد. برای همین این گام با ملاحظاتی انجام می‌شود که خود موجب پیدایش الگوریتم‌های مختلف برای بازنمونه‌برداری شده‌است. نکته قابل تأمل در میان این الگوریتم‌ها در این است که اگر معیار، واریانس ذره‌های تولیدی باشد روش بازنمونه‌برداری‌ای که به روش سیستماتیک (systematic) موسوم است، واریانس کمتری را ایجاد کرده و از این لحاظ ارجح است [?]. در زیر به‌صورت خلاصه این روش بیان شد.
فرض کنید ذره‌ها و وزن‌های مرتبط با آن به صورت روبرو باشد.  \{x^{(i)},w^{(i)}\}_{i=1}^{N}
اینک به ازای هر ذره نخست متغیر   u_{i} به‌صورت یکنواخت در بازه [۰٬۱] تولید شده و به کمک آن متغیر  {\hat {u}}_{i} به صورت روبرو ایجاد می‌شود.  {\hat {u}}_{i}=u_{i}+{\frac {i-1}{N}}
به ازای  i=1,...,N، وند   j_{i} به‌صورت روبرو برگزیده می‌شود.  j_{i}:j_{i}=i\Rightarrow Pr(x^{(i-1)})\leq {\hat {u}}_{i}\leq Pr(x^{(i)})
ذره و وزن‌های جدید برپایه وند j_{i} گزیده می‌شوند.  {\hat {x}}^{(j_{i})}\Rightarrow x^{(j_{i})},~w^{(j_{i})}={\frac {1}{N}}
اینک ذره و وزن‌های جدید به‌صورت رندوم تولید می‌شوند:  \{{\hat {x}}^{(j_{i})},w^{(j_{i})}\}_{i=1}^{N}.
برای درک بهتر نحوه عملکرد فرایند بازنمونه‌برداری سیستماتیک خواننده را به مرجع [?] ارجاع می‌دهیم.