فرایند مورن
رانش خنثی

وجود رانش خنثی بر اساس این باور است که یک جهش خنثی می‌تواند در سرتاسر یک جمعیت پخش شود به‌طوری‌که نهایتاً منجر به گم شدن آلل اصلی بشود. یک جهش خنثی سازگاری موجود با محیط را نسبت به حالت قبلی افزایش یا کاهش نمی‌دهد. فرایند مورن می‌تواند این پدیده را توصیف کند.
اگر تعداد موجودات گونهٔ A با i مشخص شده باشد، بنابراین فرایند مورن روی فضای حالت i = ۰, … , N تعریف می‌شود. از آنجایی که تعداد موجودات A حداکثر به اندازهٔ یکی در هر گام زمانی تغییر می‌کند، فقط یک‌گذار بین دو حالت i و i - 1 و دو حالت i و i + 1 وجود دارد؛ بنابراین ماتریس‌گذار این فرایند تصادفی، یک ماتریس سه‌قطری است و احتمال‌های آن از روابط زیر به دست می‌آیند:
P_{i,j} نشان دهنده احتمال رفتن از حالت i به حالت j است. برای درک روابط احتمال‌های گذار، باید به تعریف فرایند رجوع شود که در آن همیشه یک موجود برای تولید مثل و یک موجود برای مرگ انتخاب می‌شود. از آنجایی که فرایند چندین جهش را مدل نمی‌کند، زمانی که همهٔ موجودات گونهٔ A بمیرند، هرگز دوباره در جمعیت مطرح نمی‌شوند و برعکس؛ بنابراین  P_{0,0}=1. به دلیل مشابه اندازهٔ جمعیت موجودات A زمانی که به N برسد و کل جمعیت را فرا بگیرد، همیشه N می‌ماند؛ بنابراین  P_{N,N}=1. حالت‌های ۰ و N، جذب‌کننده و حالت‌های ۱, … , N − ۱ گذرا نامیده می‌شود. احتمال‌های‌گذار میانی می‌توانند با در نظر گرفتن اولین جمله به عنوان احتمال انتخاب فردی که فراوانی گونهٔ آن یکی افزایش می‌یابد و جملهٔ دوم به عنوان احتمال انتخاب یک موجود از موجودات آن گونه برای مرگ، توجیه شوند. بدیهی است که اگر دو موجود انتخاب شده برای تولید مثل و مرگ هر دو از یک گونه باشند، تعداد موجودات گونه‌ها تغییری نمی‌کند.
در نهایت جمعیت به یکی از حالات جذب‌کننده می‌رسد و تا ابد در آن حالت می‌ماند. در حالت‌های گذرا، نوسانات تصادفی رخ می‌دهد ولی نهایتاً جمعیت A یا منقرض می‌شود یا به تثبیت می‌رسد. این یکی از مهم‌ترین تفاوت‌ها با فرایندهای قطعیست که نمی‌توانند رخدادهای تصادفی را مدل کنند. امیدریاضی و واریانس تعداد افراد گونهٔ A، X(t)، در زمان t، هنگامی که حالت اولیهٔ X(0) = i داده شده باشد به صورت زیر محاسبه می‌شود:
برای نمایش نحوهٔ استخراج ریاضی رابطهٔ بالا، نمایش را بزنید.
برای امید ریاضی محاسبات به صورت زیر است. با گرفتن p = i/N,
با گرفتن  Y=X(t) و  Z=X(t-1) و اعمال قانون امید ریاضی کل،  \operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z]. اعمال پشت سر هم عملگر  \operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)], یا  \operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i را نتیجه می‌دهد.
\\
برای واریانس محاسبات به صورت زیر هستند. با گرفتن  V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i), داریم:
برای تمام t,  (X(t)\mid X(t-1)=i)ها و  (X(1)\mid X(0)=i) دارای توزیع یکسان هستند بنابراین واریانس آن‌ها برابر است. همانند قبل با گرفتن e  Y=X(t) و  Z=X(t-1) و اعمال قانون واریانس کل داربم:
اگر  X(0)=i، به دست می‌آید:
نوشتن مجدد عبارت به صورت
نتیجه می‌دهد:
احتمال رسیدن A به تثبیت، احتمال تثبیت خوانده می‌شود. برای یک فرایند مورن ساده این احتمال برابر xi = i/N. است.
از آنجایی که تمامی افراد جمعیت سازگاری یکسانی دارند، تمام آن‌ها شانس یکسانی برای این که جد کل جمعیت باشند، دارند. این احتمال برابر 1/N است و بنابراین جمع این احتمال برای کل افراد گونهٔ A برابر i/N. است. زمان متسط رسیدن به حالت جذب از حالت i در رابطهٔ زیر ارائه شده‌است:
برای نمایش نحوهٔ استخراج ریاضی رابطهٔ بالا، نمایش را بزنید.
زمان متوسط سپری شده برای رسیدن به حالت j با شروع از حالت i به صورت زیر است:
در اینجا δij نمایانگر دلتای کرونکر است. این رابطهٔ بازگشتی می‌تواند با در نظر گرفتن متغیر جدید qi که با آن  P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i} و بنابراین  P_{i,i}=1-2q_{i} و عبارت به صورت زیر بازنویسی می‌شود:
متغیر  y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j} استفاده شده و بنابراین عبارت به صورت زیر تغییر می‌کند:
با دانستن  k_{N}^{j}=0 و
می‌توانیم  k_{1}^{j} را محاسبه کنیم:
بنابراین
با  k_{j}^{j}=N. حال ki, زمان کل تا رسیدن به تثبیت با شروع از حالت i، به صورت زیر قابل محاسبه است:
برای Nهای بزرگ تقریب زیر برقرار است: