حداقل مربعات خطی
هندسه روش حداقل مربعات معمولی

فرمول کلی یک برآورد خطی با معادله  Y=\beta X+u به صورت  \beta =(XX^{\prime })^{-1}YX^{\prime } است. حال می‌خواهیم این رابطه و خصوصیات آن را به‌طور هندسی مورد بررسی قرار داده و ببینیم چه نتایجی برای ما در بردارند. این بررسی نه تنها از دیدگاه تئوری دارای ارزش می‌باشد بلکه بسیاری از روابطی که از حل معادله‌های پیچیده جبری بدست می‌آیند را بااستفاده از اثبات‌های هندسی ساده کرده و فهم ارتباط این روابط را برای ما آسان می‌کند. فرض کنید مجموعه متغیرهای توضیح دهنده ما به صورت  \{X_{1},...,X_{k}\} باشند می‌دانیم از هم مستقل هستند و بنابراین می‌توانند پایه‌هایی برای زیر فضای  S(X) از E^{k} به وجود آورند در حقیقت اگر  \beta دلخواهی را در نظر بگیریم  X\beta یک عضو دلخواه از زیر فضای ما خواهد بود و داریم:
X\beta =[X_{1}...X_{k}]{\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}=X_{1}\beta _{1}+...+X_{k}\beta _{k}=\sum _{i=0}^{i=k}X_{i}\beta _{i}

در حقیقت می‌توانیم هر عضو  Xرا به صورت  \beta xبنویسیم و حتی را حت تر به صورت مختصات {\begin{bmatrix}\beta _{1}\cdots \beta _{k}\end{bmatrix}}بیان کنیم و به همین دلیل برآورد گر OLS(روش حداقل مربعات معمولی) در فضای  S(X)قرار دارد یعنی  X{\hat {\beta }}\in S(X) می‌دانیم که  {\hat {\beta }}از معادله اساسی زیر محاسبه می‌شود:

 X^{\prime }(Y-X{\hat {\beta }})=0

با دقت در معادله بالا متوجه می‌شویم که این معادله دارای تفسیر بسیار ساده‌ای می‌باشد. X را در نظر بگیرید می‌دانیم که X همان ماتریس متغیرهای توضیح دهنده‌است و هر ستون آن مربوط به یک متغیر توضیح دهنده می‌باشد که می‌توان معادله بالا را به صورت زیر نوشت
 {\begin{bmatrix}X_{1}^{\prime }\\\vdots \\X_{k}^{\prime }\end{bmatrix}}(Y-X{\hat {\beta }})=\langle X_{i},Y-X{\hat {\beta }}\rangle 


که همان ضرب داخلی متغیر توضیح دهنده  iام در بردارهای خطا می‌باشد نکته‌ای که در اینجا وجود دارد این است که با توجه به معادله اساسی برای محاسبه برآوردگر در روش OLS متغیرهای بردار متغیرهای توضیح دهنده نسبت به متغیرهای خطای تخمین زده شده عمود می با شند یعنی  Y-X{\hat {\beta }} و X_{i}ها نسبت به هم عمودند و به این شرط اصطلاحاً شرط عمود بودن (orthogonality conditions) می‌گویند.

همان‌طور که در بالا گفتیم  Y-X\beta  همان متغیرهای خطای ما می‌باشند که با توجه به برآورد گر ما و روش برآورد به متغیرهای خطای تخمین زده شده (residuals) تبدیل می‌شوند در حقیقت اگر خطا را با u نمایش دهیم می‌توان آن را به صورت تابعی از  \beta نمایش داد یعنی به صوت اختصاری  u(\beta ). آنچه ما در اینجا بدان علاقه‌مندیم بررسی عناصر خطا در زمانی می‌باشند که متغیر \beta  با روش OLS تخمین زده شده‌است. ومی توانیم آن را به اختصار به صورت  u({\hat {\beta }})={\hat {u}}بنویسیم. ملاحظه کردید که این  {\hat {u}}نسبت به همه متغیرهای توضیح دهنده عمود است و چون به تک تک پایه‌های فضای برداری ما عمود می‌باشد پس بر کل فضا عمود است و می‌توان آن را به صورت  {\hat {u}}\bot S(X)نوشت؛ و از آن نتیجه گرفت که هر عضو در این فضا عمود بر  {\hat {u}}است یعنی:
\langle X\beta ,{\hat {u}}\rangle =(X\beta )^{\prime }{\hat {u}}=\beta ^{\prime }X^{\prime }{\hat {u}}=0


پس می‌توان از بحث بالا نتیجه گرفت که  X{\hat {\beta }} که به آن اصطلاحاً بردار مقادیر برازانده شده (fitted values) می‌گویند در فضای  S(X)قرار دارد و بر  {\hat {\beta }} عمود است، یعنی شرط عمود بودن برای آن بر قرار است و از شرط عمود بودن می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌ای که این دو بردار با هم می‌سازند همان‌طور که شکل ۱ نشان می‌دهد قائمه‌است.
برای اینکه تا حدودی مفهوم عمود بودن (orthogonality) را تشریح کرده باشیم. فرض می‌کنیم دو متغیر توضیح دهنده داشته باشیم و به ترتیب آنهارا با  X_{1},X_{2} نمایش می‌دهیم با توجه به شکل ۲ می‌بینیم که این دومتغیر فضایی را پدید می‌آورند که می‌توانیم آن را با  S(X_{1},X_{2}) نمایش دهیم و همانطور که در شکل نشان می‌دهد این دو متغیر می‌توانند دارای طول‌های یکسان و زاویه‌های یکسان در بین آنه می‌باشند. همان‌طور که می‌بینید بردار متغیرهای برازانده شده (fitted values) در داخل فضای  S(X_{1},X_{2}) قرار گرفته و متغیر  u نسبت به صفحهَ A(شکل۳)عمود است (شکل۴)و  Y متغیرهای وابسته که از مجموع متغیرهای مستقل و متغیرهای خطا تشکیل می‌شوند در بیرون و قدری بالاتر ز صفحهA قرار می‌گیرند.
با توجه به توضیحاتی که در بالا داده شد می‌توان فهمید که چرا به روش برآورد مذکور حداقل مربعات گفته می‌شود در واقع با توجه به شکل‌های ۱ و۴ می‌توان فهمید که متغیرهای خطای تخمین زده شده {\hat {u}} دارای حداقل فاصله از متغیرهای برازانده شده (fitted values) تا فضای متغیرهای توضیح دهنده می‌باشد. یعنی  \vert \vert {\hat {u}}\vert \vert  اندازه تابع  \vert \vert u(\beta )\vert \vert  را کمینه می‌کند. اگر کمی دقت کنیم متوجه می‌شویم که \vert \vert u(\beta )\vert \vert ^{2} همان مجموع مربعات خطاست  SSR(\beta ) و می‌دانیم که برآورد گر  {\hat {\beta }} که  u(\beta ) را کمینه می‌کند \vert \vert u(\beta )\vert \vert ^{2} را نیز کمینه می‌کند.

همان‌طور که در شکل۳ مشاهده می‌کنید شکل به ما صفحه را از بال نشان می‌دهد که دو بعدی است نقطه A در این صفحه به‌طور عمودی در زیر  Y قرار گرفته‌است و با توجه به معادله  Y=X{\hat {\beta }}+{\hat {u}} و اینکه برآورد از روش OLS انجام شده‌است. می‌توان نتیجه گرفت که بردار OA در صفحه همان بردار مقادیر برازانده شده (fitted values) می‌باشد یعنی بدار OA به‌طور هندسی نمایش دهنده  X{\hat {\beta }} می‌باشد. والبته چون ستون‌های ماتریس  X همان پایه‌های فضای ما می‌باشند می‌توان OA را با مختصات  {\hat {\beta }} نمایش داد. از آنجا که بحث مختصات پیش کشیده شد می‌توان تفسیر جالبی را ارائه داد اینکه در حقیقت  {\hat {\beta }}_{i} میزان مشارکت متغیر پایه  X_{i} در تشکیل  Y است.
حال به شکل۴ نگاهی بیندازید همان‌طور که می‌بینید در شکل ۴ زاویه بین متغیرهای برازانده شده (fitted values)  X{\hat {\beta }}و خطای تخمین زده شده (residuals) {\hat {u}} قائمه‌است، که با استفاده از آن می‌توانیم اساسی‌ترین معادله مربوط به OLS را بدست آوریم. یعنی:

 \vert \vert Y\vert \vert ^{2}=\vert \vert X{\hat {\beta }}\vert \vert ^{2}+\vert \vert {\hat {u}}\vert \vert ^{2}


می‌دانیم  \vert \vert Y\vert \vert ^{2} همان مجموع مربعات کل  TSS و همان‌طور که پیش تر گفتیم  \vert \vert X{\hat {\beta }}\vert \vert ^{2} مجموع مربعات متغیرهای توضیح دهنده ESS و  \vert \vert {\hat {u}}\vert \vert ^{2} مجموع مربعات خطای تخمین زده شده RSS می‌باشد؛ و فرمول معروف  TSS=ESS+RSS اثبات می‌شود، می‌توان رابطه‌های فوق را نیز با استفاده از رابطه زیر به صورتی دیگر نمایش داد:
Y^{\prime }Y={\hat {\beta }}^{\prime }X^{\prime }X{\hat {\beta }}+(Y-X{\hat {\beta }})^{\prime }(Y-X{\hat {\beta }})

که نکته مهمی را بیان می‌کند تغییرات کل برابر است با تغییرات متغیرهای توضیح دهنده به علاوه تغییرات خطای تخمین زده شده.