ميكانيكا الكم
صياغة رياضية

المقالة الرئيسة: صياغة رياضية لميكانيكا الكم
تكون حالة النظام الميكانيكي الكمومي في الصيغة الرياضية الدقيقة لميكانيكا الكم عبارةً عن متجه  \psi  ينتمي إلى فضاء هيلبرت العقدي (القابل للفصل)  {\mathcal {H}}. يُفترض أن هذا المتجه يجري تطبيعه ضمن الجداء الداخلي لفضاء هيلبرت، أي إنه يخضع لـ \langle \psi ,\psi \rangle =1، وهو محدد جيد حتى عدد معقد من المعامل 1 (المرحلة العامة)، أي  \psi  و e^{i\alpha }\psi  تمثل النظام الفعلي نفسه. بعبارةٍ أخرى الحالات المحتملة هي نقاط في الفضاء الإسقاطي لفضاء هيلبرت، والتي تسمى عادةً فضاء الإسقاط العقدي. تعتمد الطبيعة الدقيقة لفضاء هيلبرت على النظام؛ فعلى سبيل المثال لوصف الموقع والزخم، فإن فضاء هيلبرت هو فضاء الدوال العقدية القابلة للتكامل المربع  L^{2}(\mathbb {C} )، بينما فضاء هلبرت لمغزل بروتون واحد هو ببساطة فضاء المتجهات العقدية ثنائية الأبعاد  \mathbb {C} ^{2} مع الجداء الداخلي المعتاد.
يجري تمثيل الكمومات المادية ذات الأهمية -الموقع، والزخم، والطاقة، والمغزلية- بواسطة المراقبات، وهي مؤثرات خطية هيرميتية (بتعبيرٍ أدق مساعد ذاتي) تعمل في فضاء هيلبرت. يمكن أن تكون الحالة الكمومية متجهًا ذاتيًا يمكن ملاحظته، وفي هذه الحالة يطلق عليها اسم حالة ذاتية، وتتوافق القيمة الذاتية المرتبطة مع قيمة ما يمكن ملاحظته في تلك الحالة الذاتية. ستكون الحالة الكمومية مزيجًا خطيًا من حالاتٍ ذاتيةٍ عموماً، والمعروف باسم التراكب الكمومي. عندما يجري قياس ما يمكن ملاحظته، ستكون النتيجة واحدة من قيمها الذاتية مع الاحتمال الذي قدمته قاعدة بورن: في أبسط الحالات، تكون القيمة الذاتية  \lambda  غير منهارةٍ ويجري إعطاء الاحتمال بواسطة  |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}، وفيه  {\vec {\lambda }} هو المتجه الذاتي المرتبط به. تنهار القيمة الذاتية عادةً ويُعطى الاحتمال باستعمال  \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle ، وفيه  P_{\lambda } هو الإسقاط على الفضاء الذاتي المرتبطة به. في الحالة المستمرة تعطي هذه الصيغ بدلاً من ذلك كثافة الاحتمال.
إذا تُوُصِّلَ -بعد القياس- إلى النتيجة  \lambda  فيُفترض أن الحالة الكمومية تنهار إلى  {\vec {\lambda }}، في الحالة غير المنهارة أو  P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }} في الحالة العامة. وعليه فإن الطبيعة الاحتمالية لميكانيكا الكم تنبع من فعل القياس، وهو أحد أصعب جوانب الأنظمة الكمومية قابليةً للفهم، وقد كان الموضوع الرئيسي في مناظرات بور-أينيشتاين الشهيرة، حيث حاول فيها العالمان توضيح هذه المبادئ الرئيسة عن طريق التجارب الفكرية. وفي العقود التي تلت صياغة ميكانيكا الكم جرت دراسة مسألة ماهية «القياس» على نطاقٍ واسع، وصيغت تفسيرات جديدة لميكانيكا الكم تتخلص من مفهوم «انهيار الدالة الموجية» (انظر على سبيل المثال تفسير العوالم المتعددة). الفكرة الأساس هي أن دوال الموجة الخاصة بنظامٍ كميٍّ وجهاز قياسٍ تتشابك عندما يتفاعلان، وحينها يتوقف النظام الكمي الأصيل عن الوجود بصفته كيانًا مستقلًا. لمزيدٍ من التفاصيل راجع مقال القياس في ميكانيكا الكم.
جرى وصف النمو الزمني للحالة الكمومية بواسطة معادلة شرودنغر:
وتشير  H فيها إلى هاملتوني يمكن ملاحظته المقابلة للطاقة الكلية للنظام، و \hbar  هو ثابت بلانك المختزَل. يُدخل الثابت  i\hbar  لكي يقلل هاميلتوني إلى هاملتونيان الكلاسيكي في الحالات التي يُقرَّب فيها النظام الكمومي باستعمال النظام الكلاسيكي؛ وتسمى القدرة على إجراء مثل هذا التقريب في حدودٍ معينةٍ مبدأ التطابق.
يُعطى حل هذه المعادلة التفاضلية كما يأتي:
يُعرف عامل المؤثر  U(t)=e^{-iHt/\hbar } باسم عامل النمو الزمني ولديه الخاصة الحاسمة بأنه وحدوي. يعتبر النمو الزمني هذا حتميًا بمعنى أنه -بالنظر إلى حالةٍ كموميةٍ أوليةٍ  \psi (0)- يقدم تنبؤًا محددًا لماهية الحالة الكمية  \psi (t) في أي وقت لاحق.
من خلال دوال الموجة «المتزنة». على سبيل المثال يُصوَّر إلكترون واحد في ذرة غير مستثارةٍ تصويراً تقليدياً على هيئة جسيمٍ متحرِّكٍ في مسارٍ دائريٍّ حول النواة الذرية، بينما يجري وصفه في ميكانيكا الكم بواسطة دالة موجةٍ متزنةٍ تحيط بالنواة. مثلًا دالة الموجة الإلكترونية لذرة هيدروجينٍ غير مستثارةٍ هي دالة متناظرة كرويًا تُعرف باسم مدار s (الشكل 1).
تُعرف الحلول التحليلية لمعادلة شرودنغر بعددٍ قليلٍ جدًا من النماذج البسيطة نسبيًا من أتباع هاميلتونيين بما في ذلك الهزاز التوافقي الكمومي والجسيم في الصندوق وكاتيون ثنائي الهيدروجين وذرة الهيدروجين. حتى ذرة الهليوم -التي تحتوي على إلكترونين فقط- تحدت جميع المحاولات في علاجٍ تحليليٍّ كامل.
ومع هذا ثمة تقانات لإيجاد حلولٍ تقريبية. تستخدم إحدى الطرق -المسماة نظرية الاضطراب- النتيجة التحليلية لنموذجٍ ميكانيكيٍّ كميٍّ بسيطٍ لإنشاء نتيجةٍ لنموذجٍ ذي صلةٍ، ولكنه أكثر تعقيدًا -على سبيل المثال- عن طريق إضافة طاقةٍ كامنةٍ ضعيفة. هناك طريقة أخرى تسمى «معادلة الحركة شبه الكلاسيكية»، والتي تنطبق على الأنظمة التي ينتج عنها ميكانيكا الكم انحرافات صغيرة فقط عن السلوك الكلاسيكي. يمكن بعد ذلك حساب هذه الانحرافات بناءً على الحركة الكلاسيكية. هذا النهج مهم خصوصاً في حقل الفوضى الكمومية.