استقراء رياضي
استقراء تام

توجد طريقة أخرى للتعميم، تدعى الاستقراء التام أو الاستقراء الشديد أو استقراء مجموعة جرعات, تنص على أنه في الخطوة الثانية يمكننا افتراض ليس بقاء صحة الشرط لقيم n = m فحسب بل أيضا لقيم n أقل أو تساوي m.
ليس ضروريا ذكر حالة الأساس في الاستقرار التام كافتراض منفصل. عندما نأخذ بعين الاعتبار الحالة الأولى، فأن اعتبار صحة الشرط لجميع الحالات السابقة أمر صحيح لاداعي لذكره. فخطوة الاستقراء للاستقراء التام في هذه الحالة مقابلة لحالة الأساس في الاستقراء العادي. وعلى ذلك ينبغي للإثبات بخطوة الاستقراء في الاستقراء التام أن تكون قادرة على العمل مع شرط خالي شبيه لما سبق. الإثبات الأول في السابق ليس من هذا النوع (لكن يمكن تحويله).
إن الاستقراء التام مفيد جدا عندما يتطلب الأمر مراحل عديدة من فرضيات الاستقراء لكل خطوة على حدة. مثلا يمكن استخدام الاستقراء التام لتوضيح أن:
حيث  \operatorname {F} (n) هو عدد فيبوناكسي النوني و  \varphi _{+}=(1+{\sqrt {5}})/2 (النسبة الذهبية) و  \varphi _{-}=(1-{\sqrt {5}})/2 جذور  \ x^{2}-x-1=0. باستعمال التعريف  \operatorname {F} (n+1)=\operatorname {F} (n)+\operatorname {F} (n-1)، يمكن التحقق من المتطابقة السابقة مباشرة بالتفاضل والتكامل  \operatorname {F} (n+1) إذا افترضنا صحتها لكل من  \operatorname {F} (n) و \operatorname {F} (n-1). لاستكمال الإثبات، يجب تحقيق المتطابقة باستخدام كلا حالتي الأساس  n=0 و  n=1.
الأساس: لنوضح أن التعبير صحيح من أجل  n=0 و  n=1 :
F(0)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}}{\sqrt {5}}}={\frac {1-1}{\sqrt {5}}}=0
F(1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}=1
خطوة الاستقراء : تبين أنه إذا كانت  F(n) و  F(n-1) صحيحة، فإن  F(n+1) صحيحة أيضا. يتم ذلك على النحو الاتي.
{\begin{aligned}F\left(k+1\right)&=F\left(k\right)+F\left(k-1\right)\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}+{\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}}{\sqrt {5}}}\end{aligned}}
يوجد اثبات آخر بالاستقراء الرياضي يستخدم الفرضيتين بصحة التعبير لكل قيم n الصغرى تماما. لنعتبر التعبير بأن «كل عدد طبيعي أكبر من 1 هو حاصل ضرب أعداد أولية», وبافتراض أنه بدلالة m > 1 يكون صحيحا لجميع قيم الصغرى n > 1. إذا كان m عدد أولي فمؤكد أنه حاصل ضرب أعداد أولية وإذا لم يكن كذلك، فإنه من التعبير حاصل ضرب: m = n1 n2,
حيث أن أي من المعاملات لا يساوي 1, وعليه ولا يساوي m, وبالتالي كليهما أقل من m. الآن يتم تطبيق فرضية الاستقراء على n1 وn2, وبالتالي فكل منهما حاصل ضرب أعداد أولية. ومن ثم m حاصل ضرب مضاريب أعداد أولية، أي ضرب أعداد أولية. لاحظ أن حالة الأساس m =2 لم يتم اعتبارها بشكل صريح مطلقا.