stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
قناة المرابطون

| قناة المرابطون | قناة المرابطون |
| --- | --- |
معلومات عامة : معلومات عامة 
النوع: قناة متنوعة
الشعار التجاري: « الوطن بكل ألوانه »
تاريخ التأسيس: 2012
تاريخ أول بث: 5 أغسطس 2012
البلد:  موريتانيا
اللغة: العربية، الفرنسية، البولارية، السوننكية الولفية.
المقر الرسمي: نواكشوط، موريتانيا
الموقع الرسمي: elmourabiton.tv
معلومات البث : معلومات البث 
ساعات البث: 24 ساعة
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
قناة المرابطون هي قناة موريتانية فضائية بدأت بثها في 5 أغسطس 2012 تبثّ على القمر الصناعي عربسات 6 على الباقة الموريتانية، وهي ثالث قناة خاصة موريتانية من حيث البدء في البث،
تعتبر القناة ذا توجه إسلامي نظرا لقربها من حزب تواصل الإسلامي في موريتانيا.
في أكتوبر عام 2017 توقف بث القناة مؤقتاً مع جميع القنوات الموريتانية الخاصة بسبب تأخّر هذه القنوات في دفع مستحقاتها لصالح شركة البث الإذاعي والتلفزي الحكومية، وكانت القناة أول من عاود البث بعد تسوية مشاكلها المالية مع شركة البث الإذاعي والتلفزي، وذلك بعد شهرين من التوقف.
قنوات موريتانية أخرى

التلفزة الموريتانية
القناة الموريتانية الثانية
قناة الساحل الفضائية
قناة شنقيط
وصلات خارجية

بوابة تلفاز
بوابة شركات
بوابة موريتانيا
مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة

| مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة | مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة |
| --- | --- |
مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة: مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة
تفاصيل الوكالة الحكومية: تفاصيل الوكالة الحكومية
البلد:  الولايات المتحدة 
تأسست: 1962
الموظفون: 200   
الإدارة: الإدارة
موقع الويب: ustr.gov
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة ( USTR ) هو وكالة تابعة للحكومة الفيدرالية للولايات المتحدة مسؤولة عن تطوير وتعزيز سياسات التجارة الخارجية للولايات المتحدة. وهو جزء من المكتب التنفيذي للرئيس، ويرأسه الممثل التجاري للولايات المتحدة، وهو منصب على مستوى مجلس الوزراء يعمل مستشاراً رئيسياً لرئيس الولايات المتحدة ومفاوض ومتحدث باسمه بشأن المسائل التجارية. يضم مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة أكثر من مائتي موظف، ولديه مكاتب في جنيف، سويسرا، وبروكسل، بلجيكا.
تأسس مكتب الممثل التجاري الأمريكي باعتباره مكتب الممثل التجاري الخاص (STR) بموجب قانون توسيع التجارة لعام 1962، ويقود المفاوضات التجارية على المستويات الثنائية والمتعددة الأطراف، وينسق السياسة التجارية مع الوكالات الحكومية الأخرى من خلال لجنة السياسة التجارية (TPC)، ومجموعة مراجعة لجنة السياسة التجارية (TPCRG)، ولجنة موظفي السياسة التجارية (TPSC). وتشمل مجالات خبرتها الاستثمار الأجنبي المباشر، واتفاقيات السلع الأساسية، وحماية الملكية الفكرية المتعلقة بالتجارة، والنزاعات التجارية أمام منظمة التجارة العالمية. تعيش كاثرين تاي في واشنطن العاصمة، وهي الممثلة التجارية الحالية للولايات المتحدة.
منظمة > قيادة

يحمل رئيس المكتب لقب الممثل التجاري للولايات المتحدة (USTR)، وهو منصب على مستوى مجلس الوزراء، رغم أنه ليس من الناحية الفنية ضمن مجلس الوزراء، كما هو الحال مع رؤساء المكاتب الذين ليسوا من الوزارات الأمريكية ولكن من المكاتب الموجودة ضمن المكتب التنفيذي للرئيس. لشغل المنصب، يرشح الرئيس شخصًا ما لهذا المنصب، ثم تتم الموافقة على التعيين أو رفضه من قبل أغلبية بسيطة من مجلس الشيوخ. يحمل الممثل التجاري للولايات المتحدة ونائب الممثل التجاري للولايات المتحدة (DUSTR) لقب السفير.
في إدارة أوباما، شغل مايكل فورمان منصب الممثل التجاري للولايات المتحدة من عام 2013 إلى عام 2017، مع مايكل بانك وروبرت هوليمان كممثلين تجاريين للولايات المتحدة. كما شغل السفير بونكي في الوقت نفسه منصب سفير الولايات المتحدة لدى منظمة التجارة العالمية. وشغل روبرت لايتهايزر منصب السفير خلال رئاسة ترامب الأولى. ترشحت كاثرين تاي، الممثلة التجارية الحالية للولايات المتحدة، وقبل تعيينها مجلس الشيوخ في 17 مارس 2021، بتصويت 98-0.
منظمة > مكتب منظمة التجارة العالمية والشؤون المتعددة الأطراف

يشارك الممثل التجاري الأمريكي في منظمة التجارة العالمية، التي شاركت في جولة الدوحة للتنمية. يتم إدارة هذا الأمر جزئيًا من مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة لشؤون منظمة التجارة العالمية والشؤون المتعددة الأطراف (WAMA). وتشمل اتفاقيات منظمة التجارة العالمية ذات الصلة اتفاقية الجوانب المتصلة بالتجارة من حقوق الملكية الفكرية (تريبس) ونظام الأفضليات المعمم.
تاريخ الممثل التجاري للولايات المتحدة

أصبحت المفاوضات التجارية أكثر تعقيدًا في القرن العشرين مع ظهور المنظمات المتعددة الأطراف والتقدم التكنولوجي الذي سمح بالمزيد من التجارة. ونتيجة لذلك، أصبح تنظيم الحكومة الأميركية (حيث يتولى الكونجرس تنظيم التجارة الخارجية وتتولى السلطة التنفيذية الإشراف على المعاهدات) أقل كفاءة، وفي عام 1962 أقر الكونجرس مشروع قانون يدعو الرئيس إلى تعيين ممثل خاص للمفاوضات التجارية لتقديم اقتراحات إلى الرئيس بشأن مسائل التجارة. في سبعينيات القرن العشرين، قام الكونجرس بتوسيع هذا المنصب، مما جعله أكثر مسؤولية أمام الكونجرس (وصف المنصب بأنه "مخلوق من الكونجرس")، وجعله على مستوى مجلس الوزراء. وأخيرًا، في عام 1980، تمت إعادة تسمية المنصب ليصبح الممثل التجاري للولايات المتحدة.
المجالات

زراعة
الاقتصاد والتجارة
التنفيذ
بيئة
المشتريات الحكومية
الصناعة والتصنيع
الملكية الفكرية
تَعَب
برامج التفضيل
الخدمات والاستثمار
الشركات الصغيرة
المنسوجات والملابس
التجارة والتنمية
المنظمات التجارية ( منظمة التجارة العالمية ، ومنتدى التعاون الاقتصادي لآسيا والمحيط الهادئ ، ورابطة دول جنوب شرق آسيا ، ومنظمة التعاون الاقتصادي والتنمية ).
التقارير > تقدير التجارة الوطنية

تقرير تقدير التجارة الوطنية بشأن الحواجز التجارية الأجنبية ( تقدير التجارة الوطنية أو NTE ) هو سلسلة سنوية يعدها مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة، والتي تتناول الحواجز الأجنبية الكبيرة أمام الصادرات الأمريكية. منذ عام 1986، قدمت منظمة التجارة العالمية ، حيثما كان ذلك ممكنا، تقديرات كمية لتأثير هذه الممارسات الأجنبية على قيمة الصادرات الأميركية. وتتضمن المعلومات أيضًا الإجراءات المتخذة لإزالة الحواجز. ويستند هذا إلى المعلومات التي قدمها مكتب الممثل التجاري الأمريكي، ووزارتي التجارة والزراعة الأمريكيتين، وغيرها من الوكالات والمصادر.
التقارير > التقرير الخاص 301

"تحديد تلك الدول الأجنبية التي تنكر الحماية الكافية والفعالة لحقوق الملكية الفكرية، أو تحرم الأشخاص الأميركيين الذين يعتمدون على حماية الملكية الفكرية من الوصول العادل والمنصف إلى الأسواق، وتلك الدول الأجنبية المحددة بموجب هذه الفقرة والتي يحددها الممثل التجاري على أنها دول أجنبية ذات أولوية". ويحدد القانون "الدول الأجنبية ذات الأولوية" على أنها "تلك الدول الأجنبية التي لديها أكثر الأفعال أو السياسات أو الممارسات قسوة أو فظاعة والتي تنكر حقوق الملكية الفكرية الكافية والفعالة، أو تحرم الأشخاص الأميركيين الذين يعتمدون على حماية الملكية الفكرية من الوصول العادل والمنصف إلى الأسواق، والتي تخلف أفعالها أو سياساتها أو ممارساتها الموصوفة في هذه الفقرة أعظم الأثر السلبي (الفعلي أو المحتمل) على المنتجات الأميركية ذات الصلة، والتي لا تدخل في مفاوضات بحسن نية، أو لا تحقق تقدماً كبيراً في المفاوضات الثنائية أو المتعددة الأطراف لتوفير الحماية الكافية والفعالة لحقوق الملكية الفكرية.
قانون اتفاقية جولة أوروغواي ينص أيضاً على أنه يمكن تصنيف البلدان تحت بند "التصنيف الخاص 301" "مع الأخذ في الاعتبار تاريخ قوانين وممارسات حقوق الملكية الفكرية في البلد الأجنبي، بما في ذلك أي تصنيفات سابقة"، و"تاريخ جهود الولايات المتحدة، واستجابة البلد الأجنبي، لتحقيق حماية فعالة وكافية لحقوق الملكية الفكرية وإنفاذها". كما ينص على أن الامتثال لاتفاقية الجوانب التجارية لحقوق الملكية الفكرية لا يشمل البلد من أن يتم تصنيفه على أنه ينكر "الحماية الفعالة والكافية لحقوق الملكية الفكرية".
التقارير > الأسواق سيئة السمعة

في عام 2006، قام مكتب الممثل التجاري للولايات المتحدة، بالتعاون مع التحالف الدولي للملكية الفكرية، بنشر قائمة بالأماكن التي يحدث فيها انتهاك حقوق التأليف والنشر على نطاق واسع في تقرير التصنيف الخاص 301. ومنذ عام 2010، أصبح تقرير الأسواق سيئة السمعة يُنشر كتقرير مستقل.
ستيفن بلازا

| ستيفن بلازا> معلومات شخصية   | ستيفن بلازا> معلومات شخصية   | ستيفن بلازا> معلومات شخصية   | ستيفن بلازا> معلومات شخصية   | ستيفن بلازا> معلومات شخصية   |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
الميلاد: 11 مارس 1999 (العمر 25 سنة)   إسمرالداس  
مواطنة:  الإكوادور 
مركز اللعب: مهاجم
الطول: 1.88 م (6 قدم 2 بوصة)
|  معلومات النادي   |  معلومات النادي   |  معلومات النادي   |  معلومات النادي   |  معلومات النادي   |  |
النادي الحالي: نيو يورك ريد بولز 2
الرقم: 39
|  مسيرة الشباب   |  مسيرة الشباب   |  مسيرة الشباب   |  مسيرة الشباب   |  مسيرة الشباب   |  |
| سنوات | فريق |  |  |  |  |
 2011–2016 : C.S. Norte América ‏
2014: ← Deportivo Azogues ‏ (إعارة)
2015: ← Deportivo Azogues ‏ (إعارة)
2016: أوكاس
2017–2018: إنديبندينتي ديل فال
| المسيرة الاحترافية1  | المسيرة الاحترافية1  | المسيرة الاحترافية1  | المسيرة الاحترافية1  | المسيرة الاحترافية1  |  |
| سنوات | فريق | م. | (هـ.) |  |  |
| 2018 | Alianza Cotopaxi  ‏  | 0 | (0) |  |  |
| 2018 | إنديبندينتي ديل فال | 22 | (7) |  |  |
| 2019–2022 | ريال بلد الوليد | 2 | (0) |  |  |
| 2019–2020 | ريال بلد الوليد ب | 11 | (1) |  |  |
| 2020–2021 | ← طرابزون سبور (إعارة) | 2 | (0) |  |  |
| 2021–2022 | ← إنديبندينتي ديل فال (إعارة) | 8 | (0) |  |  |
| 2022– | نيو يورك ريد بولز 2 | 7 | (1) |  |  |
| المنتخب الوطني 2  | المنتخب الوطني 2  | المنتخب الوطني 2  | المنتخب الوطني 2  | المنتخب الوطني 2  |  |
| 2019 | الإكوادور تحت 20 | 2 | (0) |  |  |
| 2018 | الإكوادور | 2 | (0) |  |  |
| 1 عدد مرات الظهور مع الأندية وعدد الأهداف تحسب للدوري المحلي فقط  وهو محدث في 20 أكتوبر 2022.  2 عدد مرات الظهور مع المنتخب وعدد الأهداف    محدث في 14 يونيو 2019. | 1 عدد مرات الظهور مع الأندية وعدد الأهداف تحسب للدوري المحلي فقط  وهو محدث في 20 أكتوبر 2022.  2 عدد مرات الظهور مع المنتخب وعدد الأهداف    محدث في 14 يونيو 2019. | 1 عدد مرات الظهور مع الأندية وعدد الأهداف تحسب للدوري المحلي فقط  وهو محدث في 20 أكتوبر 2022.  2 عدد مرات الظهور مع المنتخب وعدد الأهداف    محدث في 14 يونيو 2019. | 1 عدد مرات الظهور مع الأندية وعدد الأهداف تحسب للدوري المحلي فقط  وهو محدث في 20 أكتوبر 2022.  2 عدد مرات الظهور مع المنتخب وعدد الأهداف    محدث في 14 يونيو 2019. | 1 عدد مرات الظهور مع الأندية وعدد الأهداف تحسب للدوري المحلي فقط  وهو محدث في 20 أكتوبر 2022.  2 عدد مرات الظهور مع المنتخب وعدد الأهداف    محدث في 14 يونيو 2019. |  |
ستيفن بلازا هو لاعب كرة قدم إكوادوري في مركز مهاجم ‏، ولد في 11 مارس 1999 في إسمرالداس في الإكوادور. لعب مع تايجرز أونال وريال بلد الوليد.
مراجع

↑  "Universidad Católica salvó el empate 1–1 con Independiente del Valle gracias a Jhon Cifuente" [Universidad Católica saved a 1–1 draw with Independiente del Valle thanks to Jhon Cifuente] (بالإسبانية). El Universo. 11 Jun 2018. Archived from the original on 2019-10-07. Retrieved 2019-01-14.
↑  "Independiente logra primer triunfo de la segunda etapa con Stiven Plaza como figura" [Independiente reach the first triumph of the second half with Stiven Plaza as the main man] (بالإسبانية). El Universo. 11 Aug 2018. Archived from the original on 2019-04-15. Retrieved 2019-01-14.
↑  "Stiven Plaza, el delantero que comenzó como volante" [Stiven Plaza, the forward who started as a midfielder] (بالإسبانية). El Comercio  ‏. 3 Nov 2018. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2019-01-14.{{استشهاد ويب}}:  صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
وصلات خارجية

ستيفن بلازا على موقع اتحاد تركيا (لاعب) (الإنجليزية)
ستيفن بلازا على موقع قاعدة بيانات كرة القدم.إي يو (الإنجليزية)
ستيفن بلازا على موقع ناشيونال فوتبول تيمز (الإنجليزية)
ستيفن بلازا على موقع Soccerbase.com (لاعب) (الإنجليزية)
ستيفن بلازا على موقع Soccerway.com (الإنجليزية)
ستيفن بلازا على موقع AS.com (الإسبانية)
بوابة أعلام
بوابة الإكوادور
بوابة كرة القدم
استقراء رياضي

استقراء رياضي
| 0 | 1 |
| --- | --- |
صنف فرعي من:  well-founded induction (en)  
جزء من:  Theorie der natürlichen Zahlen (de)  
الأسباب:  principle of mathematical induction (en)  
المكتشف أو المخترع:   القائمة ... فرانشيسكو موروليكو إقليدس باسكارا الثاني ياكوب برنولي بليز باسكال بيير دي فيرما أفلاطون 
له جزء أو أجزاء:  base case (en)  inductive step (en)  inductive hypothesis (en)  
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
يمكن توصيف الاستقراء الرياضي بالنظر إلى التأثيرات المتعاقبة عند سقوط الدومينو.
الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction)‏ هو أحد أنواع البرهان الرياضي تستخدم عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة. يعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار الدومينو، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ أوّل رقم في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على الفرض وعلى الأساس.
يذكر، لمنع حصول التلابسات، أنّ الاستقراء الرياضي يختلف عن الاستنتاج الاستقرائي - فالأخير لا يعتبر برهانًا كافيًا ودقيقًا في عالم الرياضيات. الأصح هو القول أنّ الاستقراء الرياضي هو ضرب من الاستنتاج الاستدلالي (deductive reasoning).
تاريخ

ربما كانت محاورة أفلاطون سنة 370 قبل الميلاد قد حوت أول إثبات بالاستقراء الرياضي على الإطلاق. يمكن ملاحظة اثارالاستقراء الرياضي المبكرة في إثبات إقليدس بأن عدد الأعداد الأولية لانهائي. كما أن أول إثبات ضمني بالاستقراء الرياضي للمتوالية الحسابية كان على يد العربي البغدادي الكرخي حوالي سنة 1000 ميلادية، والذي استخدمها لإثبات نظرية ذات الحدين، مثلث باسكال، وصيغة المجموع لتكامل المكعبات.
كان إثباته هو الأول الذي استخدم المبدأين الأساسيين في الإثبات الاستقرائي، "وهما صواب التعبير من أجل n = 1 (لاحظ أن 1=13) واشتقاق الصواب من أجل n = k من تلك لقيمة n = k − 1. بالطبع الجزء الثاني غير نقدي لأنه بشكل أو باخر حجة الكراجي معكوسة; من هنا يبدأ الكراكي لـn = 10 ومن ثم النزول حتى 1 بدلا من الاستمرار".
ومن بعده مباشرة جاء الحسن ابن الهيثم لإثبات مجموع قوى الدرجة الرابعة بطريقة الاستقراء. لقد قام بإثبات ذلك على أعداد صحيحة معينه فقط ولكن إثباته لهذه الأعداد كان بالاستقراء وشاملا. كما أن السموأل بن يحيى بن عباس كان أقرب إلى الإثبات الحديث بالاستقراء الرياضي عندما استخدمه في توسيع إثبات مثلث باسكال وذات الحدين.
الوصف

الشكل العام والأبسط في الاستقراء الرياضي يثبت أن التعبير المتمثل في عدد طبيعي n يبقى صحيحا لجميع قيم n. يتألف الإثبات من خطوتين:
الأساس: لإثبات صحة التعبير عند n = 0 أو n = 1 غالباً.
خطوة الاستقراء: لإثبات أنه إذا كان التعبير صحيحا لبعض قيم n, فإن التعبير صحيح أيضا عندما تعويض n + 1 في n.
يدعى الافتراض في خطوة الاستقراء بصحة التعبير لبعض قيم n بفرضية الاستقراء. لإجراء خطوة استقرائية فيجب فرض الفرضية الاستقرائية يثم استخدام هذا الفرض لاثبات التعبير لقيمة n + 1.
فرضية الدومينو

من السهل التمعن في تأثير الدومينو حيث يمكن شرحها كما يلي:
ستسقط حجرة الدومينو الإولى
كلما سقطت حجرة دومينو تلتها أخرى،
وبالتالي يمكن استنتاج أن جميع قطع الدومينو سوف تسقط وهذا أمر محتوم.
مثال

يمكن استخدام الاستقراء الرياضي لاثبات أن التعبير:
يظل صحيحا لكل الأعداد الطبيعية n. هذه العلاقة تعطي صيغة حساب مجاميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n. ويتم إثباتها كما يلي:
لنسمي هذا التعبير (P(n.
الأساس: لنوضح أن التعبير صحيح من أجل n = 1.
تعادل (P(1 التعبير:
في الطرف الأيسر من المعادلة الحد الوحيد هو 1, وعليه يكون الطرف الأيسر واحد.
بما أن الطرفان متساويان، يصبح التعبير صحيح من أجل n=1. وبالتالي أمكن إثبات أن (P(1 صحيحة.
خطوة الاستقراء: تبين أنه إذا كانت  (P(n صحيحة، فإن (P(n + 1 صحيحة أيضا. يتم ذلك على النحو الاتي.
نفرض أن (P(n صحيحة (لقيمة غير معينة n). وينبغي توضيح أن (P(n + 1 صحيحة أي:
وباستخدام الفرضية (P(n صحيحة يمكن إعادة صياغة الطرف الأيسر على الشكل:
إلى:
وسيبين لنا الجبر أن
وعليه نجد أن (P(n + 1 في الحقيقة صحيحة.
وبما أنه تم إثبات كلا الأساسين وخطوة الاستقراء، فقد استطعنا الإثبات بالاستقراء الرياضي أن
(P(n صحيحة لـجميع الأعداد الطبيعية.
أشكال مختلفة

في الواقع العملي تختلف هياكل الإثباتات بالاستقراء الرياضي وفقا لطبيعة الخاصية المرادإثباتها.
أشكال مختلفة > البدء عند رقم اخر

إذا أردنا أن نثبت تعبيرا ليس لكل الأعداد الطبيعية ولكن الأعداد أكبر من أو تساوي عدد معين b, فأننا:
نبين أن التعبير يظل صحيحا عندما n = b.
نبين أنه إن كان التعبير صحيحا من أجل n == m ≥ b فإن هذا التعبير سيبقى صحيحا من أجل n == m + 1.
يمكن استعمال هذه الطريقة مثلا لإثبات أن 'n2> 2n من أجل n ≥ 3. ويمكن التعويض بمثال أكثر من ذلك لاثبات أن
بهذه الطريقة يمكننا اثبات أن (P(n تظل صحيحة لجميع قيم n ≥1, أو حتى عند n ≥−5. هذا النوع من الاستقراء الرياضي هو في الحقيحة حالة خاصة من الشكل السابق لأنه إذا كان التعبير قيد الإثبات هو (P(nفأن اثباته بهاتين القاعدتين مكافئ للاثبات بـ P(n + b) لجميع الأعداد الطبيعية n بالخطوتين الأولتين.
أشكال مختلفة > البناء من n = 2

العديد من الدوال القياسية في الرياضيات بما فيها العوامل مثل "+" والعلاقات مثل "=", هي ثنائية في الحقيقة، بمعنى أن لها وسيطين أو حجتين. تمتلك هذه الدوال غالبا خواصا توسعها ضمنيا لأكثر من وسيطين. على سبيل المثال، عند ما يكون الجمع a + b
معرفا ومعلومابحيث يحقق خاصية التجميع (a + b) + c = a + (b + c), فإن الجمع الثلاثي a + b + c يصبح منطقيا إما على الصورة a + b) + c) أو الصورة (a + (b + c. بالمثل الكثير من البديهيات والنظريات الرياضية يمكن إقراره فقط على التحويلات الثنائية من العمليات والعلاقات، ومن ثم توسيعها ضمنيا لتحويلات أعلى.
لنفرض أننا نرغب بإثبات تعبيرا بطول نوني n عملية معرفة ضمنيا من العمليات الثنائية، باستعمال الاستقراء الرياضي. حينئذ، لن يكون غريبا أن الحالة n = 2 تحمل وزنا خاصا. هنا نسرد بعض الأمثلة:
أشكال مختلفة > البناء من n = 2 > مثال: قاعدة الضرب للمشتقة

في هذا المثال، العملية الثنائية المذكورة انفا هي عملية الضرب (من الدوال). تنص القاعدة المستخدمة غالبا في المشتقات والتي يتم تدريسها في علم التفاضل والتكامل على:
أو بصورة المشتق اللوغاريتمي
ويمكن تعميم هذا على مضاريب n من الدوال.
أو بصورة المشتق اللوغاريتمي
في كل حد من حدود n على الشكل المألوف، يكون هناك فقط واحدا من المعاملات مشتقا والباقي لا.
عند إثبات هذه الحقيقة بالاستقراء الرياضي، سيكون اختيار n = 0 مبتذلا، (1)'=0\! (لأن الضرب الخالي هو 1, والجمع الخالي هو 0).
كما أن اختيار n = 1 سيكون عاديا أيضا.,  f_{1}'=f_{1}'\!. وفي كل n ≥ 3, يكون من السهل إثباتها من الحالة السابقة n − 1. تكمن الصعوبة الفعلية في حالة n = 2 وهذا هو السبب وراء نصها في قاعدة الضرب القياسية.
أشكال مختلفة > البناء من n = 2 > مثال: إثبات بويالا بأنه لايوجد "حصان من لون اخر

في هذا المثال، العملية الثنائية انفة الذكر هي علاقة مكافئة مطبقة على الأحصنة، بحيث أن كل حصانين يكونان متكافئان إذا كان لهما نفس اللون. الحجة في الاساس مماثلة لماسبق، ولكن الحالة الحرجة n = 2 تفشل، مسببة النقاش الداخلي غير مسموح به.
في أواسط القرن العشرين، كانت هناك عبارات عامية تعبر عن فكرة أن هنالك شيء مختلف عن المألوف وبشكل غير متوقع «ذلك من لون اخر!». افترض جورج بوليا التمرين التالي: ابحث عن الخطأ في هذا النقاش، والذي يزعم أن يثبت بالاستقراء الرياضي بأن جميع الأحصنة لها نفس اللون:
الأساس: إن كان هناك حصان واحد فقط، فسيكون هنالك لون واحد فقط.
خطوة الاستقراء: نفرض بالاستقراء أنه في أي مجموعة مكونة من n من الأحصنة، يوجد لون واحد فقط. والان للنظر إلى إي مجموعة بها n + 1 من الأحصنة. لتكن أرقامها: 1, 2, 3,..., n, n + 1. ولنعتبر المجموعات {1, 2, 3,..., n} و{2, 3, 4,..., n + 1}. كل منها محموعة من n من الأحصنة فقط، وعليه فإن في كل منها يوجد لون واحد فقط. ولكن المجموعتان تتداخلان، وبالتالي يجب أن يكون هناك لون واحد فقط بين كل الأحصنةn + 1.
باستهلال الاستقراء عند 1, تكون الحالة n = 1 مبتذلة (فأي حصان له لون واحد كونه نفسه), والخطوة الاستقرائية صحيحة لكل الحالات n ≥ 3. ولكن، يكون منطق الخطوة الاستقرائية خاطئا عندما n = 2., وذلك لأن التعبير«المجموعتان تتداخلان» خاطئ. في الحقيقة، الحالة n = 2 هي لغز المسألة. لو استطاع أحدهم اثبات الحالة n = 2 لكانت الحالات الأعلى قد مرت بخاصية التعدي بنفس العلاقة المكافئة.
أشكال مختلفة > النزول اللانهائي

شكل آخر من أشكال الاستقراء وهو النزول اللانهائي، إحدى وسائل بيير دي فيرما المفضلة. هذه النوع من الإثبات يعمل بشكل عكسي، ويمكن أن يفترض نماذج مختلفة قليلا. على سبيل المثال، قد يبدأ ببيان أنه إذا كان التعبير صحيحا لعدد طبيعي n لزم أن يكون صحيحا أيضا لأعداد طبيعية أصغر m حيث (m < n). باستعمال الاستقراء الرياضي (ضمنيا) مع الفرضيات الاستقرائية بخطأ التعبير لجميع الأعداد الطبيعية أقل أو تساوي m, يمكن الاستنتاج بأن التعبير لايمكن أن يكون صحيحا لأي عدد طبيعي n.
استقراء تام > استقراء محدود

يمكن إعادة صياغة الخطوتين الأخيرتين في خطوة واحدة:
بتوضيح أنه إذا كان التعبير صحيحا لجميع قيم n <m فإن نفس التعبير صحيح أيضا من أجل n = m.
في الحقيقة هذا هو الشكل العام الغالب في الاستقراء الرياضي ويمكن أثبات أنه ليس صالحا لتعابير الأعداد الطبيعية فحسب بل لعناصر أي مجموعة مؤسسة جيدأ، وبتعبير آخر زمرة غير انعكاسية <تلك التي لا تحوي سلاسل تنازلية لانهائية.
عند تطبيق هذا النوع من الاستقراء على الترتيبات (التي تشكل ترتيب حسن وعليه صنف مؤسس جيدا), تدعى استقراء محدود ويعد اثباتا له أهميته في نظرية المجموعات والطوبولوجيا والمجالات الأخرى.
وبشكل عام يميز الاستقراء المحدود ثلاث حالات:
عندما يكون m عنصرا صغريا أي أنه لايوجد عنصر أصغر منm
عندما تمتلك m سلفا مباشرا، أي مجموعة من العناصر أقل من m لها عنصر أعظمي.
عندما لا يكون لـm سلفا مباشرا، أي أن m تدعى نهاية ترتيبية.
وبمعنى أدق، من اللازم في الاستقراء المحدود أن يتم إثبات الأساس، لأنه لاجدوى من حالة خاصة للاقتراح إذا كان P صحيحا لكل قيم n <m, فإن P صحيحا في m.
إثبات أو إعادة صياغة الاستقراء الرياضي

غالبا ما يتم نص مبدأ الاستقراء الرياضي كبديهية الأعداد الطبيعية، انظر.
ومع ذلك، يمكن إثباته في بعض الأنظمة المنطقية. على سبيل المثال، يمكن إثباته إذا افترض أن:
مجموعة الأعداد الطبيعية هي ذات ترتيب حسن.
كل عدد طبيعي إما صفر، أو n+1 لعدد طبيعي أكبر من n.
لعدد طبيعي n يكون n+1 أكبر من n.
لاشتقاق استقراء بسيط من هذه البديهيات، ينبغي أن نبين أنه إذا كانت  P(n)\, اقتراحا ما متوقعا لـn, إذا كان:
P(0)\, صحيحة
عندما تكون  P(k)\, صحيحة فإن  P(k+1)\, صحيحة أيضا
فإن P(n)\, صحيحة لجميع قيم n.
نبين أولا أنه إذا كانت  P(k)\, صحيحة لكل k < m, فإن  P(m)\, صحيحة أيضا. إذا كانت m صفرا، فإن  P(m)\, صحيحة. إذا كانت m = k + 1, فإن  P(k)\, صحيحة لأن k < m وعليه  P(k+1)\, صحيحة مما يعني أن  P(m)\, صحيحة. الباقي يتبع من مبادئ الاستقراء المحدود (انظر أسفل).
المصادر والملاحظات

1 2 3  مذكور في: Insiemi, numeri e polinomi. الفصل: Metodo di dimostrazione per induzione. الصفحة: 25. المُؤَلِّف: Marco Fontana. لغة العمل أو لغة الاسم: الإيطالية. تاريخ النشر: 1989.
↑  William Henry Bussey (Oct 1918). "Fermat's method of Infinite Descent". الرياضيات الأمريكية الشهرية (بالإنجليزية). DOI:10.2307/2974148.
1 2 3 4 5 6  فلوريان كاجوري (مايو 1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"". الرياضيات الأمريكية الشهرية. DOI:10.2307/2972638.
↑  Fabio Acerbi (أغسطس 2000). "Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?". Archive for History of Exact Sciences.
1 2 3  وصلة مرجع: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Induction_axiom.
↑  مذكور في: Insiemi, numeri e polinomi. الفصل: Metodo di dimostrazione per induzione. الصفحة: 26. المُؤَلِّف: Marco Fontana. لغة العمل أو لغة الاسم: الإيطالية. تاريخ النشر: 1989.
↑  Mathematical Induction: The Basis Step of Verification and Validation in a Modeling and Simulation Course نسخة محفوظة 19 أكتوبر 2013 على موقع واي باك مشين.
↑  Cajori (1918), p. 197"The process of reasoning called "Mathematical Induction" has had several independent origins. It has been traced back to the Swiss Jakob (James) Bernoulli, the Frenchman B. Pascal and P. Fermat, and the Italian F. Maurolycus. [...] By reading a little between the lines one can find traces of mathematical induction still earlier, in the writings of the Hindus and the Greeks, as, for instance, in the "cyclic method" of Bhaskara, and in Euclid's proof that the number of primes is infinite."
↑  Katz (1998), p. 255: "فكرة هامة أخرى قدمها الكرخي وعمل عليها السموأل بن يحيى المغربي كانت أن حجة استقرائية تتعامل مع تعاقب معين من الأعداد.
↑  Katz (1998), p. 255: "Al-Karaji's argument includes in essence the two basic components of a modern argument by induction, namely the truth of the statement for n = 1 (1 = 13) and the deriving of the truth for n = k from that of n = k − 1. Of course, this second component is not explicit since, in some sense, al-Karaji's argument is in reverse; this is, he starts from n = 10 and goes down to 1 rather than proceeding upward. Nevertheless, his argument in al-Fakhri is the earliest extant proof of the sum formula for integral cubes."
↑  O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji"، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات
"Al-Karaji also uses a form of mathematical induction in his arguments, although he certainly does not give a rigorous exposition of the principle."
↑  "Strong Induction | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2020-11-11. Retrieved 2020-12-02.
| ضبط استنادي  | ضبط استنادي  |
| --- | --- |
وطنية:  الملف الاستنادي المتكامِل (GND)  المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)  مكتبة الكونغرس (LCNAF) 
أخرى:  موسوعة أوكرانيا الحديثة (ESU) 
في كومنز مواد ذات صلة بـ استقراء رياضي.
بوابة رياضيات
يورغن هانسن

لمعانٍ أخرى، طالع يورغن هانسن (توضيح).
يورغن هانسن (بالدنماركية: Jørgen Hansen)‏ (27 مارس 1943 بآرهوس في الدنمارك - 15 مارس 2018) هو ملاكم دانمركي، صنّف ضمن فئة وزن الويلتر. شارك في الألعاب الأولمبية الصيفية 1968.
إحصائيات

خاض خلال مسيرته 92 نزالا، فاز في 78 ولم يتعادل وخسر في 14. فاز بالضربة القاضية في 34 نزالا.