مسألة مونتي هول
التحليل البايزي

تقترح تحليل المسألة بأن نقوم باستعمال الصياغة النظرية لللإحتمالية البايزية (Gill 2002) بقاعدة لافتراضات الموجودة ضمن المسألة.
في الحدود البايزية، تكون الاحتمالية  P(A|I)\, هي عدد في الفترة  [0,1]\, المرتبطة بالافتراض  A\,. يحدد ذلك العدد درجة الاعتقاد في الحقيقة  A\,, وذلك اعتماداً على ما إذا كانت المعلومات الأساسية  I\, قد حدثت وأصبحت معلومة.
بالنسبة لهذه المسألة، تأتي المعلومات الرئيسية من قواعد اللعبة، أما قيم الافتراضات التي تؤدي إلى نتيجة مغينة فهي:
فعلى سبيل المثال،  C_{1}\, تشير إلى الافتراض  بأن تكون فيه السيارة خلف الباب ذو الرقم 1، وتشير  H_{12}\, إلى الافتراض الذي يفتح فيه المضيف الباب ذو الرقم 2 بعد أن يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1.
تكون الافتراضات التي تقوم على التفسير الشائع للغز مونتي هول المذكورة رسمياً على النحو التالي:
أولاً، يمكن أن تكون السيارة خلف أي باب، وحميع الأبواب لها نفس الاحتمالات البديهية لأن موقع السيارة غير معروف. ومن هذا السياق، يكون معنى بديهي أي قبل أن تُقام اللعبة، أو تعني قبل رؤية الماعز. لذلك، تكون الاحتمالية البديهية للافتراض  C_{i}\, هي:
ثانياً، يفتح المضيف دائماً الباب الذي لا يوجد خلفه السيارة، وذلك باختيار إحدى البابين الذين لم يفتحهما اللاعب. إذا كان البابين المتبقيين لا يوجد خلفهما السيارة، فكل واحدة منهما لها نفس المقدار من الاحتمالات. بذلك يحدد هذه القاعدة الاحتمال الشرطي للافتراض  H_{ij}\, أعتماداً على مكان السيارة — بمعنى آخر، أنها مشروطة على الافتراض  C_{k}\,. وعلى وجه التحديد، تكون:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,0\, |   | إذا كانت i = j، (لن يستطيع المضيف فتح الباب الذي أختاره اللاعب) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,0\, |   | إذا كانت j = k، (لن يستطبع المضيف فتح الباب الذي خلفه السيارة) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,1/2\, |   | إذا كانت i = k، (يكون البابين الغير مفتوحين لهما نفس القدر من الاحتمالات لكي تُفتح) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,1\, |   | إذا كانت i  \neq k وj  \neq  k, (هناك فقط باب واحد يمكن أن يُفتح) |
يمكن أن تُحل المسألة الآن بتسجيل كل إستراتيجية بواسطة احتمالياتها اللاحقة المرتبطة بالفوز، مع احتمالياتها المعتمدة على فتح المضيف لأحد الأبواب. وبدون فقدان العمومية، افترض، وبإعادة ترقيم الأبواب إن كنت تريد ذلك، بأن اللاعب قد اختار الباب ذو الرقم 1، وافترض بأن المضيف أتى بعدك وقام لفتح الباب ذو الرقم 3، كاشفاً بذلك الماعز. وبتعبير أخرى، يجعل المضيف من الافتراض  H_{13}\, قيمة حقيقية.
الاحتمال اللاحق للفوز بعدم تغيير الاختيار، وذلك باعتماد على قواعد اللعبة والافتراض  H_{13}\,, هي  P(C_{1}|H_{13},\,I). وباستعمال مبرهنة بايز، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:
وبسبب الافتراض المذكور أعلاه، يكون البسط الموجود في الجهة اليمنى هي:
وبقسمة ثابت الاستنظام على البسط، ينتج:
لاحظ بأن الناتج يساوي الاحتمالية البديهية لكون السيارة خلف الباب المختار مبدئياً، مما يعني بأن حركة المضيف لم تساهم بأي معلومات جديدة بالنسبة إلى هذا الاحتمال. في الواقع، يوضح البرهان القادم بأن حركة المضيف تقوم بإعادة توزيع احتمالات في كون السيارة خلف إحدى البابين المتبقيين بشكل كلي.
من الممكن تقييم احتمالية الفوز بالتغيير إلى الباب 2،  P(C_{2}|H_{13},\,I)، بشرط أن يُضاف الاحتماليات اللاحقة لجميع الافتراضات  C_{i}\, إلى العدد 1. وتكون:
وبما أن السيارة لاتوجد خلف الباب ذو الرقم 3، لأن المضيف قد قام بفتحها بالفعل، فيجب أن يكون الحد الأخير مساوياً للصفر. ويكمن أن تُبرهن باستعمال مبرهنة بايز مع النتائج السابقة
و لذلك يكون:
هذا يظهر بأن الإستراتيجية المناسبة للفوز هي بتبديل الاختيار إلى الباب ذو الرقم 2. كما أنها تقوم بتوضيح بأن كشف المضيف للماعز -الذي كان خلف الباب -3 قد قامت بتأثير على النتيجة، وذلك بنقل 1/3 فرصة للفوز من الباب ذو الرقم 3 إلى الباب المرتبط بها بشكل بديهي -الباب الذي لم يتم فتحه-، وهذا ما يجعل لديه الاحتمال الأكبر للفوز.