بيان موجه خال من الحلقات
الخصائص الرياضية

قابلية الوصول، الإغلاق المتعدي، والاختزال المتعدي
يمكن صياغة علاقة قابلية الوصول في أي رسم بياني لا دوري موجه كترتيب جزئي as على رؤوس DAG. في هذا الترتيب الجزئي، يتم ترتيب رأسين u و v على شكل u ≤ v تمامًا عندما يكون هناك مسار موجه من u إلى v في DAG ؛ أي عندما يمكن الوصول إلى v من u. [5] ومع ذلك، قد تؤدي DAGs المختلفة إلى نفس علاقة قابلية الوصول ونفس الترتيب الجزئي. [6] على سبيل المثال، DAG ذات الحافتين a → b و b → c لها نفس علاقة قابلية الوصول مثل الرسم البياني بثلاثة حواف a → b و b → c و a → c. كل من DAGS هذه تنتج نفس الترتيب الجزئي، حيث يتم ترتيب الرؤوس على أنها a a b c.
إذا كانت G عبارة عن DAG ، فإن إغلاقها الانتقالي هو الرسم البياني الذي يحتوي على معظم الحواف التي تمثل نفس علاقة قابلية الوصول. لها حافة u → v كلما تمكنت من الوصول إلى v. أي أنها تتمتع بميزة لكل زوج u ≤ v ذي صلة من العناصر المميزة في علاقة قابلية الوصول لـ G ، وبالتالي يمكن اعتبارها ترجمة مباشرة لقابلية الوصول العلاقة ≤ في المصطلحات النظرية للرسم البياني. تعمل نفس طريقة ترجمة الطلبات الجزئية إلى DAGs بشكل عام: لكل مجموعة محدودة مرتبة جزئيًا (S ، ≤)، يكون الرسم البياني الذي يحتوي على رأس لكل عضو من S وحافة لكل زوج من العناصر المرتبطة بـ u ≤ v هو تلقائيًا DAG مغلق مؤقتًا، وله (S ، ≤) كعلاقة قابلية الوصول. وبهذه الطريقة، يمكن تمثيل كل مجموعة محدودة مرتبة جزئيًا كعلاقة قابلية الوصول لـ DAG.
التخفيض الانتقالي لـ DAG G هو الرسم البياني ذو الحواف الأقل التي تمثل نفس علاقة قابلية الوصول مثل G. إنه رسم فرعي لـ G ، يتشكل من تجاهل الحواف u → v التي يحتوي G أيضًا على مسار أطول يربط نفس الاثنين الرؤوس. مثل الإغلاق المتعدي، يتم تعريف الاختزال الانتقالي بشكل فريد لـ DAGs. في المقابل، بالنسبة للرسم البياني الموجه الذي لا يكون غير دوري، يمكن أن يكون هناك أكثر من رسم بياني فرعي أدنى واحد له نفس علاقة قابلية الوصول.
يمثل مخطط Hasse الترتيب الجزئي لتضمين المجموعة (⊆) بين المجموعات الفرعية لمجموعة من ثلاثة عناصر.
إذا كانت DAG G لها علاقة قابلية الوصول الموصوفة بالترتيب الجزئي ≤ ، فإن التخفيض الانتقالي لـ G هو رسم بياني فرعي لـ G له حافة u → v لكل زوج في علاقة التغطية ≤. تعتبر التخفيضات الانتقالية مفيدة في تصور الطلبات الجزئية التي تمثلها، لأنها تحتوي على حواف أقل من الرسوم البيانية الأخرى التي تمثل نفس الطلبات وبالتالي تؤدي إلى رسومات بيانية أبسط. مخطط Hasse للترتيب الجزئي هو رسم للتصغير الانتقالي حيث يتم عرض اتجاه كل حافة بوضع رأس البداية للحافة في موضع أدنى من رأس النهاية.
الترتيب الطوبولوجي
يحتوي كل رسم بياني لا دوري موجه على ترتيب طوبولوجي، وهو ترتيب للرؤوس بحيث تظهر نقطة نهاية كل حافة في وقت مبكر في الترتيب عن نقطة نهاية الحافة. يمكن استخدام وجود مثل هذا الترتيب لتوصيف DAGs: الرسم البياني الموجه هو DAG إذا وفقط إذا كان يحتوي على ترتيب طوبولوجي. بشكل عام، هذا الترتيب ليس فريدًا؛ يحتوي DAG على ترتيب طوبولوجي فريد إذا وفقط إذا كان يحتوي على مسار موجه يحتوي على جميع الرؤوس، وفي هذه الحالة يكون الترتيب هو نفسه الترتيب الذي تظهر به الرؤوس في المسار.
عائلة الترتيب الطوبولوجي لـ DAG هي نفس عائلة الامتدادات الخطية لعلاقة قابلية الوصول لـ DAG ، لذا فإن أي رسمين بيانيين يمثلان نفس الترتيب الجزئي لهما نفس مجموعة الأوامر الطوبولوجية.
العد التجميعي
تمت دراسة مشكلة تعداد الرسم البياني لعد الرسوم البيانية غير الحلقية الموجهة بواسطة Robinson (1973). عدد DAGs على رؤوس n المسمى، لـ n = 0، 1، 2، 3... (بدون قيود على الترتيب الذي تظهر به هذه الأرقام في الترتيب الطوبولوجي لـ DAG) هو
1، 1، 3، 25، 543، 29281، 3781503... (تسلسل A003024 في OEIS).
يمكن حساب هذه الأرقام من خلال علاقة التكرار
تخمين إريك دبليو وايسشتاين،  وماكي وآخرون. (2004) أثبت أن نفس الأرقام تحسب المصفوفات (0,1) التي تكون جميع القيم الذاتية لها أرقامًا حقيقية موجبة. البرهان حيوي: المصفوفة A هي مصفوفة مجاورة لـ DAG إذا وفقط إذا كانت A + I مصفوفة (0,1) مع جميع القيم الذاتية موجبة، حيث أنا أشير إلى مصفوفة الهوية. نظرًا لأن DAG لا يمكن أن تحتوي على حلقات ذاتية، يجب أن تحتوي مصفوفة تجاورها على صفر قطري، لذا فإن إضافة I تحافظ على خاصية أن جميع معاملات المصفوفة هي 0 أو 1.
عائلات الرسوم البيانية ذات الصلة
الشجرة القطبية عبارة عن رسم بياني موجه يتكون من توجيه حواف الشجرة الحرة. كل شجرة قطب هي DAG. على وجه الخصوص، هذا صحيح بالنسبة للأشجار التي تشكلت عن طريق توجيه جميع الحواف للخارج من جذور الشجرة.
الشجرة المتعددة (تسمى أيضًا الرسم البياني الذي لا لبس فيه أو المنغروف) هي رسم بياني موجه يوجد فيه على الأكثر مسارًا موجهًا واحدًا (في أي اتجاه) بين أي رأسين؛ بشكل مكافئ، هو DAG حيث، لكل رأس v ، يكون الرسم البياني الفرعي الذي يمكن الوصول إليه من v يشكل شجرة.