علاقة الكتلة والضياء
الإشتقاق

يستلزم إشتقاق معادلة الكتلة والضياء بشكل نظري إيجاد معادلة تصف توليد الطاقة وبناء نموذج ديناميكي-حراري داخل النجم، مع ذلك يمكن إشتقاق الشكل التالي من المعادلة ( L\varpropto M^{3}) بالإعتماد على فيزياء وإفتراضات بسيطة.
أول إشتقاق للمعادلة تم من قبل الفلكي آرثر إدينغتون عام 1924، أظهر ذلك الإشتقاق أنه يمكن بناء نماذج تقريبية للنجوم بإفتراض أنها تتكون من غاز مثالي، كانت الفكرة متطرفة قليلاً في ذلك الوقت. الإشتقاق التالي هو أسلوب أكثر حداثة يقوم على المبادئ نفسها.
عامل مهم يتحكم في مقدار ضياء النجم (معدل الطاقة المنبعثة لوحدة الزمن) هو معدل تبديده للطاقة.
في حالة عدم وجود حمل حراري، يحدث تبدد الطاقة بشكل أساسي عن طريق إنتشار الفوتونات، من خلال تكامل قانون فيك الأول على سطح نصف قطره ( r) في منطقة الإشعاع في النجم حيث الحمل الحراري يكون قليل، نحصل على تدفق فيض الطاقة الكلي والذي يساوي الضياء عن طريق حفظ الطاقة:
L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}
حيث أن ( D) هو معامل الإنتشار ، و ( u) هي كثافة الطاقة.
لاحظ أن هذه المعادلة على إفتراض أن النجم لا يعمل بالحمل الحراري كلياً، وان الحرارة يتم تكوينها في قلب النجم عن طريق الإندماج النووي أسفل منطقة الإشعاع، وهذا الإفتراض لا يصح للعمالقة الحمراء التي لا تتوافق مع علاقة الكتلة والضياء العادية، وأيضاً لاتنطبق على النجوم منخفضة الكتلة والتي تعمل بالحمل الحراري بشكل كامل، ولهذا لا تخضع لهذا القانون.
عند استخدام تقريب الجسم الأسود للنجم، يمكن التعبير عن كثافة الطاقة بدلالة درجة الحرارة من خلال قانون ستيفان-بولتزمان بالشكل التالي:
U={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}
وثابت ستيفان بولتزمان يعطى بالشكل:
\sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.
حيث أن ( c) سرعة الضوء، ( K_{B}) ثابت بولتزمان، و ( \hbar ) ثابت بلانك المختزل.
يمكن التعبير عن معامل إنتشار الغاز بالشكل التالي:
D={\frac {1}{3}}c\,\lambda
يمثل الرمز ( \lambda ) معدل المسار الحر للفوتون.
وبما أن المادة ستكون تامة التآين في قلب النجم، فإن تصادم الفوتونات سيحصل بشكل أساسي مع الألكترونات، لهذا من المناسب التعبير عن قيمة المسار الحر بالشكل:
\lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}
تمثل ( n_{e}) كثافة الألكترونات، و ( \sigma _{e\cdot \gamma }) يمثل المقطع العرضي لإستطارة ألكترون-فوتون، وقيمته:
\sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}
ويساوي مقطع ثومسن العرضي، بينما ( \alpha ) هو ثابت البناء الدقيق، و ( m_{e}) كتلة الألكترون.
معدل كثافة ألكترونات النجم بدلالة الكتلة ونصف القطر هو:
\langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}
وأخيراً باستخدام نظرية فيريال، الطاقة الحركية الكلية ستساوي نصف طاقة الجذب الكامنة ( E_{G})، وعلى فرض أن ( m_{n}) هي معدل كتلة أنوية الذرات، فيكون معدل الطاقة الحركية لكل نواة:
{\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}
( T) معدل درجة الحرارة، و ( C) هو عامل يعتمد على بنية النجم ويمكن تحديده من فهرس البوليتروب التقريبي، لاحظ أن هذا لا ينطبق على النجوم الكبيرة بما يكفي ليكون ضغط الإشعاع أكبر من ضغط الغاز في منطقة الإشعاع، ويؤدي هذا إلى علاقة مختلفة بين الكتلة ودرجة الحرارة ونصف القطر، بربط الثوابت معا ستعطي قيمة تقريبية تساوي ( 1/15) للشمس، وسنحصل على:
L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}
العامل المضاف يعتمد كلياً على الكتلة، لهذا فإن القانون يعتمد بشكل تقريبي على ( M^{3.5}).