الجو الرمادي
اشتقاق وظيفة المصدر باستخدام تقريب إيدينغتون

ينطوي اشتقاق كميات مختلفة من نموذج الجو الرمادي على حل معادلة تفاضلية متكاملة، يكون حلها الدقيق معقدًا. لذلك، يستفيد هذا الاشتقاق من التبسيط المعروف باسم تقريب إيدنغتون. بدءًا من تطبيق نموذج موازٍ للمستوى، يمكننا أن نتخيل نموذجًا في الغلاف الجوي يتكون من طبقات متوازية مستوية مكدسة فوق بعضها البعض، حيث تكون الخصائص مثل درجة الحرارة ثابتة داخل المستوى. هذا يعني أن هذه العوامل هي وظيفة العمق المادي  z، حيث يشير اتجاه z الموجب نحو الطبقات العليا من الجو. من هذا، من السهل أن نرى أن مسار الشعاع  ds بزاوية  \theta  يمنح بواسطة
 ds={\frac {dz}{cos\theta }}
نقوم الآن بتعريف العمق البصري كالتالي
 d\tau =-\alpha ds
حيث  \alpha  هو معامل الامتصاص المرتبط بمختلف مكونات الجو. ننتقل الآن إلى معادلة نقل الإشعاع
{\frac {dI}{ds}}=j-\alpha I
حيث  I هي الكثافة المحددة الكلية،  j هو معامل الانبعاثات. بعد استبدال  ds والقسمة على  -\alpha 
 \mu {\frac {dI}{d\tau }}=I-S
حيث  S هي ما يسمى دالة المصدر الكلي المعرفة بأنها النسبة بين معاملات الانبعاث والامتصاص. يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب كلا الجانبين ب  e^{-\tau /\mu }، إعادة كتابة الجانب الأيسر كما  {\frac {d}{d\tau }}(Ie^{-\tau /\mu }) ثم دمج المعادلة بأكملها فيما يتعلق بـ  \tau . هذا يعطي الحل
 I(\tau ,\mu )={\frac {e^{\frac {\tau }{\mu }}}{\mu }}\int _{\tau }^{\infty }Se^{-{\frac {\tau }{\mu }}}d\tau
حيث استخدمنا الحدود  \tau \in [\tau ,\infty ) ونحن ندمج في الخارج من بعض العمق ضمن الجو؛ لذلك  \mu \in [0,1]. على الرغم من أننا أهملنا الاعتماد على تردد المعلمات مثل S، فإننا نعرف أنها دالة للعمق البصري، ومن أجل دمج هذا، نحتاج إلى وجود طريقة لاشتقاق دالة المصدر. نحدد الآن بعض المعلمات الهامة مثل كثافة الطاقة U، التدفق الكلي Fوضغط الإشعاع P على النحو التالي
 U={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}Id\mu
F=2\pi \int _{-1}^{+1}I\mu d\mu
P={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mu ^{2}d\mu
نحدد أيضا متوسط الشدة المحددة (المتوسط على جميع الترددات) كما يلي
 J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}Id\mu
نلاحظ على الفور أنه من خلال قسمة معادلة النقل الإشعاعي على 2 والتكامل على (معادلة)، لدينا
 {\frac {1}{4\pi }}{\frac {dF}{d\tau }}=J-S
علاوة على ذلك، بضرب نفس المعادلة بواسطة  {\frac {\mu }{2}} ودمج  \mu ، لدينا
 {\frac {dP}{d\tau }}={\frac {F}{c}}
عن طريق استبدال متوسط الكثافة المحددة J في تعريف كثافة الطاقة، لدينا أيضًا العلاقة التالية
 J={\frac {c}{4\pi }}U
الآن، من المهم أن نلاحظ أن التدفق الكلي يجب أن يبقى ثابتًا من خلال الجو لذلك
 {\frac {dF}{d\tau }}=0\iff J=S
تُعرف هذه الحالة بالتوازن الإشعاعي. للاستفادة من ثبات التدفق الكلي، ندمج الآن (معادلة) للحصول على
 P={\frac {F}{c}}(\tau +\kappa )
حيث  \kappa  ثابت من التكامل. نحن نعلم من الديناميكا الحرارية أنه بالنسبة لغاز متماثل في الخواص، تثبت العلاقة التالية
 P={\frac {1}{3}}U={\frac {4\pi }{3c}}J
حيث استبدلنا العلاقة بين كثافة الطاقة ومتوسط الكثافة المحددة المشتقة سابقًا. على الرغم من أن هذا قد يكون صحيحًا في الأعماق السفلية داخل الجو النجمي، إلا أنه من شبه المؤكد أنه ليس كذلك. ومع ذلك، يفترض تقريب إيدينغتون أن هذا يثبت على جميع المستويات داخل الجو. مستبدلًا هذا في المعادلة السابقة للضغط يعطي
 J={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +\kappa )
وتحت شرط التوازن الإشعاعي
 S={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +\kappa )
هذا يعني أننا قد حللنا دالة المصدر باستثناء ثابت التكامل. مستبدلين هذه النتيجة في حل معادلة نقل الإشعاع ويعطي التكامل
 I(\tau =0,\mu )={\frac {3F}{4\pi }}{\frac {e^{\tau /\mu }}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(\tau +\kappa )e^{-\tau /\mu }d\tau ={\frac {3F}{4\pi }}(\mu +\kappa )
لقد قمنا هنا بتعيين الحد الأدنى لـ (معادلة) على الصفر، وهي قيمة العمق البصري على سطح الغلاف الجوي. سيمثل هذا إشعاعًا يخرج من سطح الشمس، على سبيل المثال. أخيرًا، استبدل ذلك بتعريف التدفق الكلي ويعطي التكامل
 F=2\pi \int _{0}^{+1}I\mu d\mu ={\frac {3F}{2}}\int _{0}^{+1}(\mu ^{2}+\kappa \mu )d\mu ={\frac {3F}{2}}({\frac {1}{3}}+{\frac {\kappa }{2}})
لذلك،  \kappa ={\frac {2}{3}} وتُعْطَى دالة المصدر بواسطة
 S(\tau )={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +{\frac {2}{3}})