فضاء هيلبرت
تاريخ

قبل فضاءات هلبرت، كانت التعميمات الأخرى للفضاءات الإقليدية معروفة لعلماء الرياضيات والفيزياء. على وجه الخصوص، اكتسبت فكرة الفضاء الخطي المجرد (فضاء المتجهات) بعض الزخم قرب نهاية القرن التاسع عشر: ففي فضاء المتجهات يمكن للمرء جمع المتجهات معا أو ضربها في كميات قياسية (مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة) ولا يشترط بالضرورة أن تكون معبرة عن عناصر هندسية فيزيائية، مثل متجهات الموقع والزخم. في مطلع القرن العشرين درس علماء الرياضيات أيضًا فضاءات يمكن اعتبارها خطية كـ المتواليات (بما في ذلك المتسلسلات) والدوال. فعلى سبيل المثال، في فضاءات الدوال يمكن إضافة الدوال معًا أو ضربها بعدد قياسي ثابت، وهذه العمليات تخضع لنفس القواعد الجبرية التي تنطبق على عمليات الجمع والضرب القياسي في فضاء المتجهات.
في العقد الأول من القرن العشرين، أدت تطورات موازية لظهور فضاءات هلبرت. كان أولها أثناء دراسة ديفيد هيلبرت وإيرهارد شميدت للمعادلات التكاملية، حيث لاحظوا أن الدالتين f و g لهم قيم حقيقية قابلين للتكامل تربيعيا على a, b لهما جداء داخلي بالشكل التالي:
 \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x
له العديد من الخصائص المعروفة للجداء النقطي الإقليدي. بالتحديد، خاصية فئة الدوال المتعامدة. استغل شميدت تشابه هذا الجداء الداخلي مع الجداء النقطي المعروف لإثبات وجود تناظر بين التفريق الطيفي والمؤثر من الشكل التالي
حيث K دالة متصلة متناظرة في x و y. ويعبر التوسع الذاتي عن الدالة K في صورة متسلسلة من الشكل التالي:
حيث الدوال φn متعامدة بمعنى أن ⟨φn, φm⟩ = 0لجميع القيم n ≠ m يشار أحيانًا للحدود الفردية في هذه المتسلسلة على أنها حلول جداء أولية "elementary product solutions". ومع ذلك، هناك توسعات للدالة الذاتية تفشل في التقارب نحو دالة كمولة تربيعيا: وهنا نشير لأهمية الاكتمال، الذي يضمن حدوث التقارب.
كان التطور الثاني هو تكامل لوبيغ الذي طوره هنري لوبيغ عام 1904 كبديل لتكامل ريمان. وأصبح من الممكن تكامل فئة أوسع بكثير من الدوال. في عام 1907، أثبت كلا من Frigyes Riesz و Ernst Sigismund Fischer بشكل مستقل أن الفضاء L2 لدوال لوبيغ القابلة للتكامل (الكمولة) هو فضاء متري كامل. بسبب مفهوم الاكتمالوتوظيفه هندسيا، فإن نتائج القرن التاسع عشر لجوزيف فورييه وفريدريك بيسيل ومارك أنطوان بارسيفال "Marc-Antoine Parseval" على المتسلسلات المثلثية تم استخدامها بيسر في هذه الفضاءات العامة، مما أنتج أداة هندسية وتحليلية تعرف الآن عادة باسم نظرية ريش فيشر "Riesz–Fischer theorem".
اُثبتت المزيد من النتائج الأساسية في أوائل القرن العشرين. على سبيل المثال، وُضِعَتْ نظرية تمثيل ريش "Riesz representation theorem" بشكل مستقل من قبل موريس فريشيه وفريغيس ريش "Frigyes Riesz" في عام 1907. كما صاغ جون فون نيومان مصطلح فضاء هيلبرت المجرد في عمله على المؤثرات الهرميتية "Hermitian operators" غير المحدودة. على الرغم من أن علماء رياضيات آخرين مثل هيرمان فايل ونوربرت وينر قد درسوا بالفعل بتعمق فضاءات معينة من فضاءات هلبرت، غالبًا من وجهة نظر فزيائية، فإن فون نيومان قدم أول معالجة كاملة مع مسلماتها. واستخدمها فون نيومان لاحقًا في عمله الأساسي في أسس ميكانيكا الكم، وفي عمله مع يوجين ويغنر. وسرعان ما تبنى آخرون اسم «فضاء هلبرت»، مثل هيرمان فايل في كتابه عن ميكانيكا الكم ونظرية المجموعات.
تأكدت أهمية مفهوم فضاء هلبرت بتوفيره واحدة من أفضل الصيغ الرياضية لميكانيكا الكم. وإختصارًا، فإن حالات نظام ميكانيكي كمي هي متجهات في فضاء هيلبرت معين، والمرصودات "observables" هي مؤثرات هرميتية "Hermitian operators" في هذا الفضاء، والمتناظرات في النظام هي مؤثر واحدي "Unitary operator"، والقياسات هي إسقاط عمودي. قدمت العلاقة بين التناظرات الميكانيكية الكمومية والمؤثرات الواحدية حافزًا لتطوير نظرية التمثيل الوحدوي للمجموعات، التي بدأت في عمل هيرمان فايل عام 1928. من ناحية أخرى، في أوائل الثلاثينيات من القرن العشرين أصبح من الممكن وصف الميكانيكا الكلاسيكية بمصطلحات فضاء هيلبرت (ميكانيكا كوبمان-فون نيومان الكلاسيكية "Koopman–von Neumann classical mechanics") وتحليل خصائص معينة للأنظمة الديناميكية الكلاسيكية باستخدام تقنيات فضاء هلبرت في إطار نظرية إرجوديك.
وفقًا لصياغة فيرنر هايزنبرغ لميكانيكا المصفوفة الكمية فإن جبر المرصودات  في ميكانيكا الكم هو بطبيعة الحال جبر المؤثرات المعرفة في فضاء هيلبرت. بدأ فون نيومان دراسة جبر المؤثرات في ثلاثينيات القرن العشرين، كحلقة مؤثرات في فضاء هيلبرت. يُعرف نوع الجبر الذي درسه فون نيومان ومعاصروه الآن باسم جبر فون نيومان "Von Neumann algebra". في الأربعينيات من القرن العشرين، قدم إسرائيل جيلفاند ومارك نيمارك "Mark Naimark" وإيرفينغ سيغال تعريفًا لنوع من جبر المؤثرات يُدعى "C*-algebra" الذي لم يشر إلى فضاء هيلبرت، ولكنه استنبط العديد من المميزات المفيدة في جبر المؤثرات السابق دراستها. النظرية الطيفية للمؤثرات الهرميتية على وجه الخصوص والتي تكمن وراء الكثير من نظرية فضاء هلبرت الحالية عُممت على "C * -algebras". هذه التقنيات هي الآن أساسية في التحليل التوافقي التجريدي ونظرية التمثيل.