تاريخ حساب المثلثات
التطور > العصر الذهبي للحضارة الإسلامية

تمت ترجمة الأعمال السابقة في وقت لاحق وتوسيعها في العالم الإسلامي في العصور الوسطى من قبل علماء الرياضيات المسلمين من أصول فارسية وعربية في الغالب، الذين نصّوا عددًا كبيرًا من المبرهنات التي حررت موضوع حساب المثلثات من الاعتماد على رباعي الأضلاع الكامل، كما كان الحال في الرياضيات الهلنستية بسبب تطبيق مبرهنة منيلاوس. وبحسب إدوارد ستيوارت كينيدي، فبعد هذا التطور في الرياضيات الإسلامية «ظهر حساب المثلثات الحقيقي الأول، بمعنى أنه عندها فقط أصبح موضوع الدراسة هو المثلث الكروي أو المستوي، أضلاعه وزواياه.»
كما عُرفت الطرق التي تتعامل مع المثلثات الكروية، ولا سيما طريقة مينيلاوس الإسكندري، الذي طور مبرهنة منيلاوس للتعامل مع المشاكل الكروية. ومع ذلك ، يشير إدوارد ستيوارت كينيدي إلى أنه في حين كان من الممكن في رياضيات ما قبل الإسلام حساب مقادير الأشكال الكروية، من حيث المبدأ، باستخدام جدول الأوتار و مبرهنة منيلاوس، كان تطبيق المبرهنة على المشاكل الكروية صعبًا للغاية في المزاولة. من أجل مراقبة الأيام الدينية في التقويم الهجري حيث تم تحديد التوقيت حسب أطوار القمر، استخدم الفلكيون في البداية طريقة منيلاوس لحساب أماكن القمر والنجوم، على الرغم من أن هذه الطريقة أثبتت أنها خرقاء وصعبة. تضمن إنشاء مثلثين قائمين متقاطعين؛ من خلال تطبيق مبرهنة منيلاوس، كان من الممكن إيجاد أحد الأضلاع الستة، ولكن فقط إذا كانت الأضلاع الخمسة الأخرى معروفة. لمعرفة الوقت من ارتفاع الشمس، على سبيل المثال، كانت هناك حاجة إلى تطبيقات متكررة مبرهنة منيلاوس. بالنسبة لعلماء الفلك المسلمين في العصور الوسطى، كان هناك تحدٍّ واضح لإيجاد أبسط طريقة مثلثية.
في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أنه أنتج أول جدول للظلال. وكان أيضًا رائدًا في حساب المثلثات الكروية. في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام. اكتشف محمد بن جابر البتاني (853–929) الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°.
بحلول القرن العاشر الميلادي، في عمل أبي الوفاء البوزجاني، كان علماء الرياضيات المسلمون يستخدمون جميع الدوال المثلثية الستة. كان أبو الوفاء لديه جداول الجيوب بزيادات 0.25 درجة، إلى 8 أرقام عشرية بعد الفاصلة، وجداول دقيقة للظل. طور أيضًا الصيغة المثلثية التالية:
في نصه الأصلي حول حساب جيب القوس من جيب نصفها:
«إذا أردنا ذلك، ضربنا جيب القوس المعلومة في جيب تمامها دقائق، فما حصل فهو نصف جيب القوس.»
كما صاغ البوزجاني متطابقات مجموع وفرق الزاوية المقدمة بالبراهين الكاملة:
بالنسبة للمتطابقة الثانية، ينص النص على ما يلي:
«ضربنا جيب كل واحد منهما في جيب تمام الآخر، فما حصل جمعناهما إن أردنا جيب مجموع القوسين، وأخذنا تفاضلهما إن أردنا جيب تفاضلهما.»
اكتشف أيضًا قانون الجيب للمثلثات الكروية:
أيضًا في أواخر القرن العاشر وأوائل القرن الحادي عشر الميلادي، أجرى الفلكي العربي المصري ابن يونس العديد من الحسابات المثلثية الدقيقة وبرهن المتطابقة المثلثية التالية:
\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}
كتب الجياني (989-1079) الأندلسي «مجهولات قسي الكرة»، والذي يعتبر «أول مخطوطة في حساب المثلثات الكروية». «يحتوي على القانون العام للجيوب، وحل المثلثات الكروية باستخدام المثلثات القطبية». وقد أثرت مخطوطته تلك تأثيرًا قويًا على الرياضيات الأوروبية، كما أثّر تعريفه للنسب الرياضية وطريقة حل المثلثات الكروية عندما تكون كافة أضلاعه مجهولة في أعمال ريغيومونتانوس.
تم تطوير طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبو الريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة. في أواخر القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام (1048-1131) المعادلات التكعيبية باستخدام الحلول العددية التقريبية التي وجدها عن طريق الاستيفاء في الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، كان نصير الدين الطوسي أول من تعامل مع حساب المثلثات كتخصص رياضي مستقل عن علم الفلك، وطور حساب المثلثات الكروية في شكله الحالي.  سرد الحالات الست المميزة لمثلث قائم الزاوية في علم المثلثات الكروي ، وفي مخطوطته «رسالة في الشكل القطاع والنسبة المؤلفة»، ذكر قانون الجيوب للمثلثات المستوية والمثلثات الكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، وقدم البراهين لكليهما هذه القوانين. وصف نصير الدين الطوسي بأنه مبتكر حساب المثلثات بأنه نظام رياضي في حد ذاته.
في القرن الخامس عشر، قدم غياث الدين الكاشي أول بيان صريح لقانون جيب التمام في شكل مناسب للتثليث. في فرنسا، لا يزال يشار إلى قانون جيب التمام باسم «مبرهنة الكاشي». كما أنشأ جداول مثلثية لقيم دالة الجيب إلى أربعة أرقام ستينية (تعادل 8 منازل عشرية) لكل درجة مع فروق تضاف لكل 1/60 من 1 درجة. وضع أولوغ بيك أيضًا جداول دقيقة للجيوب والظلال صحيحة إلى 8 منازل عشرية في نفس الوقت تقريبًا.