stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
يوسف بن علوي
مناصبه

اتصل به السلطان قابوس في أغسطس عام 1970 بعد شهر من تولّيه السلطة، وعُين بن علوي عضوًا في اللجنة العمانية للنوايا الحسنة الموفدة إلى العواصم العربيّة في العام 1971، ولينتقل بعدها إلى السفارة العمانية في بيروت حيث ترقّى إلى منصب سفير في يوليو من العام 1973. وفي العام 1974، تمّ تعيينه نائبًا للأمين العام لوزارة الخارجيّة.
وفي عام 1982 عين وزيرًا للدولة للشؤون الخارجية، وتمّ ترقيته وزيرا للشؤون الخارجية عام 1997. وفي أغسطس من عام 2020 تم إعفاؤه من منصب وزير الخارجية وتعيين بدر البوسعيدي بدلا منه ضمن تغييرات كبيرة شهدتها الحكومة العمانية الجديدة  بقيادة السلطان هيثم بن طارق آل سعيد.
نسبة ذهبية

نسبة ذهبية
| 0 | 1 |
| --- | --- |
الاستعمال:  الريضيات والهندسة المعيارية  الرياضيات والفن 
قيمة عددية:  1٫6180339887499 
تعريف الصيغة:   \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} 
الرموز في الصيغة:   \varphi   {\sqrt {5}} 
التدوين الرياضي:  فاي 
له جزء أو أجزاء:  النسبة الذهبية في الفن 
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شرائح الخط في النسبة الذهبية
المستطيل الذهبي ذو الضلع الطويل أ والجانب القصير ب المجاور لمربع بجوانب طولها أ ينتج عنه مستطيل ذهبي مشابه له ضلع طويل أ + ب وضلع قصير أ . هذا يوضح العلاقة  {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi
النسبة الذهبية (بالإنجليزية: Golden Ratio)‏ في الرياضيات تتحقق عندما يكون مجموع عددين مقسوم على أكبرهما يساوي خارج قسمة أكبر العددين على أصغرهما، أي أنه توجد كميتان في النسبة الذهبية إذا كانت نسبتهما هي نفس نسبة مجموعهما إلى أكبر الكميتين. يوضح الشكل الموجود على اليمين العلاقة الهندسية. فإذا كان a أكبر من b فإن النسبة الذهبية جبرياً هي تحقق:
حيث الحرف اليوناني phi ( \varphi  أو  \phi ) يمثل النسبة الذهبية.  هو رقم غير نسبي يمثل حلًا للمعادلة التربيعية  x^{2}-x-1=0 بقيمة:
\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .
وهو ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا.
لو نُظر إلى مستطيلات مختلفة، لوُجد بعضها أجمل من الآخر. وفي معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المستطيلات بعضها إلى بعض هي نفسها. وتسمى هذه المستطيلات «المستطيلات الذهبية» وخارج قسمة طولها على عرضها يسمى «الرقم الذهبي».
طريقة إنشاء المستطيل الذهبي. المربع مبين باللون الأحمر
فنجد أنه في المستطيل الذهبي نسبة الطول إلى العرض تساوي  \varphi .
وجرت العادة أن يكتب الرقم الذهبي باعتماد الحرف الاغريقي Φ «يُنطق فاي أو في» أو رياضيا  \varphi . وقد ظهرت هذه التسمية سنة 1914 وفاء لذكرى «فيدياس»، وهو نحّات قام بتزيين «البارثينون» في أثينا.
ويظهر الرقم الذهبي أيضا في أشكال هندسية أخرى منها خماسي الأضلاع المنتظم، وهو شكل هندسي ذو خمس أضلاع محتوى في دائرة، وأضلاعه وزواياه كلها متقايسة. وفي هذا الشكل يمثل خارج قسمة القطر على أحد الأضلاع الرقم الذهبي وهو عرضة للتشكيك في كثير من الأحيان من حيث أن أرقام مشابهة تكون موجودة ويتم الترويج إلى أن الرقم موجود بذاته أو أن الرقم لا يكون موجوداً في حالات كثيرة ويُدعى أنه موجود.
تسمى النسبة الذهبية أيضًا بالمتوسط الذهبي أو القسم الذهبي (لاتيني: مقطع aurea).   وتشمل أسماء أخرى متطرفة ونسبة متوسط،  قسم وسطي، نسبة الإلهية (اللاتينية: الإلهية proportio)، القسم الإلهي (اللاتينية: الإلهية التقطيعة)، نسبة الذهبية، وقطع ذهبية،  ورقم ذهبي.
درس علماء الرياضيات منذ إقليدس خصائص النسبة الذهبية، بما في ذلك مظهرها في أبعاد البنتاغون العادي وفي المستطيل الذهبي، والتي يمكن تقطيعها إلى مربع ومستطيل أصغر بنفس نسبة العرض إلى الارتفاع. تم استخدام النسبة الذهبية أيضًا لتحليل نسب الأشياء الطبيعية وكذلك الأنظمة التي من صنع الإنسان مثل الأسواق المالية، في بعض الحالات بناءً على نوبات مشكوك فيها للبيانات. تظهر النسبة الذهبية في بعض الأنماط في الطبيعة، بما في ذلك الترتيب الحلزوني للأوراق وأجزاء النبات الأخرى.
قام بعض الفنانين والمهندسين المعماريين في القرن العشرين، بما في ذلك لو كوربوزييه وسلفادور دالي، بتناسب أعمالهم لتقريب النسبة الذهبية، معتقدين أن هذا ممتع من الناحية الجمالية. غالبًا ما تظهر هذه في شكل مستطيل ذهبي، حيث تكون نسبة الجانب الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.
عملية حسابية

| 0 | 1 |
| --- | --- |
 قائمة الأعداد  أعداد غير كسرية   γ  ζ(3)  √2  √3  √5  φ  ρ  δS  e  π  δ :  قائمة الأعداد  أعداد غير كسرية   γ  ζ(3)  √2  √3  √5  φ  ρ  δS  e  π  δ 
الثنائية: 1.1001111000110111011. . .
عدد عشري: 1.6180339887498948482. .
السداسي عشري: 1.9E3779B97F4A7C15F39. . .
جزء مستمر:  1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}
شكل جبري:  {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}
يُقال إن الكميتين أ و ب في النسبة الذهبية φ إذا
{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .
إحدى طرق إيجاد قيمة φ هي البدء بالكسر الأيسر. من خلال تبسيط الكسر والتعويض في ب / أ = 1 / φ،
{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.
وبالتالي،
الضرب في φ يعطي
الذي يمكن إعادة ترتيبه إلى
باستخدام الصيغة التربيعية، يتم الحصول على حلين:
لأن φ هي النسبة بين الكميات الموجبة، φ موجبة بالضرورة:
| 0 | 1 |
| --- | --- |
 قائمة الأعداد  أعداد غير كسرية   γ  ζ(3)  √2  √3  √5  φ  ρ  δS  e  π  δ :  قائمة الأعداد  أعداد غير كسرية   γ  ζ(3)  √2  √3  √5  φ  ρ  δS  e  π  δ 
الثنائية: 1.1001111000110111011. . .
عدد عشري: 1.6180339887498948482. . .
السداسي عشري: 1.9E3779B97F4A7C15F39. . .
جزء مستمر:  1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}
شكل جبري:  {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}
التطبيقات والملاحظات > هندسة معمارية

كشف تحليل هندسي أجري عام 2004 لبحث سابق في الجامع الكبير بالقيروان (670) عن تطبيق النسبة الذهبية في كثير من التصميم. ووجدوا نسبًا قريبة من النسبة الذهبية في الشكل العام وفي أبعاد مكان الصلاة والفناء والمئذنة. ومع ذلك، فإن المناطق ذات النسب القريبة من النسبة الذهبية لم تكن جزءًا من الخطة الأصلية، ومن المحتمل أنها تمت إضافتها في إعادة الإعمار.
تم التكهن باستخدام النسبة الذهبية من قبل مصممي ساحة نقش جهان (1629) ومسجد لطف الله المجاور.
ركز المهندس المعماري السويسري لو كوربوزييه، المشهور بإسهاماته في الأسلوب الدولي الحديث، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية وسلسلة فيبوناتشي، التي وصفها بأنها «إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل الأنشطة البشرية. إنهم يترددون في الإنسان بحتمية عضوية، نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال والشيوخ والمتوحشين والمتعلمين.»
استخدم لو كوربوزييه صراحة النسبة الذهبية في نظام المودولور الخاص به لمقياس النسبة المعمارية. لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا للتقليد الطويل لفيتروفيوس، و «فيتروفيان مان» لليوناردو دافنشي، وعمل ليون باتيستا ألبيرتي، وغيرهم ممن استخدموا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة العمارة.
بالإضافة إلى النسبة الذهبية، بنى لو كوربوزييه النظام على القياسات البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في نسبة ذهبية، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق؛ استخدم نسب النسبة الذهبية هذه في نظام المودولور. مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في Garches تطبيق نظام المودولور. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة من المستطيلات الذهبية.
أسس مهندس معماري سويسري آخر، ماريو بوتا، العديد من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون العديد من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في اوريجليو، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل.
التطبيقات والملاحظات > فن

تم نشر Divina نسبة (النسبة الإلهية)، وهو عمل مكون من ثلاثة مجلدات بواسطة لوكا باتشولي، في عام 1509. كان الراهب الفرنسيسكاني باسيولي معروفًا في الغالب بكونه عالم رياضيات، لكنه أيضًا كان مدربًا ومهتمًا للغاية بالفن. استكشفت Divina ratioe رياضيات النسبة الذهبية. على الرغم من أنه كثيرًا ما يُقال إن باسيولي دعا إلى تطبيق النسبة الذهبية لإعطاء نسب متناغمة ومرضية، إلا أن ليفيو يشير إلى أن التفسير قد تم تتبعه إلى خطأ في عام 1799، وأن باسيولي قد دافع بالفعل عن نظام فيتروفيان للنسب العقلانية.  رأى باسيولي أيضًا أهمية دينية كاثوليكية في النسبة، مما أدى إلى عنوان عمله.
أدت الرسوم التوضيحية لليوناردو دافنشي عن متعدد السطوح في Divina ratioe  إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن لوحة الموناليزا الخاصة به، على سبيل المثال، تستخدم نسب النسبة الذهبية، لا تدعمها كتابات ليوناردو. وبالمثل، على الرغم من أن الرجل فيتروفيان يظهر غالبًا فيما يتعلق بالنسبة الذهبية، إلا أن نسب الشكل لا تتطابق معها في الواقع، ويذكر النص فقط نسب الأعداد الصحيحة.
استخدم سلفادور دالي، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا،  بوضوح النسبة الذهبية في تحفته، سر العشاء الأخير. أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف يسوع ويسيطر على التكوين.
وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة 1.34 بمتوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من 1.04 (جويا) إلى 1.46 (بيليني). من ناحية أخرى، أدرج Pablo Tosto أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 من اللوحات ذات المستطيل الذهبي ونسب الجذر 5، وأخرى بنسب مثل root-2 و 3 و 4 و 6.
التطبيقات والملاحظات > الكتب والتصميم

وفقًا لـ جان تشيتشولد، كان هناك وقت كانت فيه الانحرافات عن نسب الصفحات الجميلة حقًا 2: 3، 1: 3، والقسم الذهبي كانت نادرة. تظهر العديد من الكتب التي تم إنتاجها بين عامي 1550 و 1770 هذه النسب بالضبط، في حدود نصف ملليمتر.
ووفقًا لبعض المصادر، يتم استخدام النسبة الذهبية في التصميم اليومي، على سبيل المثال في نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشة العريضة.
التطبيقات والملاحظات > موسيقى

يحلل ارني ليندفاي أعمال Béla Bartók على أنها تستند إلى نظامين متعارضين، نظام النسبة الذهبية والمقياس الصوتي،  الرغم من رفض علماء الموسيقى الآخرين لهذا التحليل.  استخدم الملحن الفرنسي إريك ساتي النسبة الذهبية في العديد من مقطوعاته، بما في ذلك Sonneries de la Rose + Croix . تظهر النسبة الذهبية أيضًا في تنظيم المقاطع في موسيقى Reflets dans l'eau (انعكاسات في الماء) لديبوسي، من الصور (السلسلة الأولى، 1905)، حيث «يتم تمييز تسلسل المفاتيح بواسطة الفترات 34 و 21 و 13 و 8، والذروة الرئيسية تجلس في موقع فاي».
لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن الحدود الرسمية لـ لا مير (ديبوسي) تتوافق تمامًا مع القسم الذهبي. يجد Trezise أن الدليل الجوهري «رائع»، لكنه يحذر من أنه لا يوجد دليل مكتوب أو معلن يشير إلى أن ديبوسي سعى بوعي إلى مثل هذه النسب.
تضع براميل اللؤلؤ فتحات التهوية في طرازات Masters Premium بناءً على النسبة الذهبية. تدعي الشركة أن هذا الترتيب يحسن استجابة الجهير وقد تقدمت بطلب للحصول على براءة اختراع لهذا الابتكار.
على الرغم من أن هاينز بوهلين اقترح مقياس 833 سنتًا غير مكرر للأوكتاف استنادًا إلى النغمات المركبة، فإن الضبط يتميز بالعلاقات القائمة على النسبة الذهبية. كفترة موسيقية، النسبة 1.618 ... هي 833.090 ... سنتًا (Playملف:Golden ratio on C.mid</img> Playملف:Golden ratio on C.mid).
التطبيقات والملاحظات > طبيعة

كتب يوهانس كيبلر أن «صورة الرجل والمرأة تنبع من النسبة الإلهية. في رأيي، تكاثر النباتات والأفعال التكاثرية للحيوانات في نفس النسبة».
لاحظ عالم النفس أدولف زيزينج أن النسبة الذهبية ظهرت في phyllotaxis وجادل من هذه الأنماط في الطبيعة أن النسبة الذهبية هي قانون عالمي. كتب زيزينج في عام 1854 عن قانون تقويم العظام الشامل «للسعي من أجل الجمال والاكتمال في مجالات الطبيعة والفن».
في عام 2010، ذكرت مجلة Science أن النسبة الذهبية موجودة على المقياس الذري في الرنين المغناطيسي للسبينات في بلورات الكوبالت النيوبيتية.
ومع ذلك، فقد جادل البعض بأن العديد من المظاهر الواضحة للنسبة الذهبية في الطبيعة، خاصة فيما يتعلق بأبعاد الحيوانات، وهمية.
التطبيقات والملاحظات > تحسين

النسبة الذهبية هي مفتاح البحث في golden-section (المقطع الذهبي).
الرياضيات > اللاعقلانية

النسبة الذهبية هي رقم غير نسبي. فيما يلي دليلان قصيران على اللاعقلانية:
الرياضيات > اللاعقلانية > تناقض من تعبير بأدنى حد

تذكر أن:
إذا استدعينا n بالكامل والجزء الأطول m، فإن العبارة الثانية أعلاه تصبح
n هو m كما m هو n − m
أو جبريًا
{\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)
إن القول بأن النسبة الذهبية φ منطقية يعني أن φ كسر n / m حيث n و m عددان صحيحان. قد نأخذ n / m في أدنى حد و n و m موجبين. ولكن إذا كانت n / m بأدنى حد، فإن الهوية المسمى (*) أعلاه تقول m / (n - م) بعبارات أقل. هذا تناقض يتبع من افتراض أن φ عقلاني.
بواسطة اللاعقلانية √5
دليل قصير آخر - ربما يكون أكثر شيوعًا - على لاعقلانية النسبة الذهبية يستخدم إغلاق الأعداد المنطقية تحت عمليات الجمع والضرب. إذا  \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} عقلاني، إذن  \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}} هو أيضًا عقلاني، وهو تناقض إذا كان معروفًا بالفعل أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي غير مربع هو غير منطقي.
الرياضيات > كثير الحدود الصغرى

النسبة الذهبية هي أيضًا رقم جبري وحتى عدد صحيح جبري، حيث لديها الحد الأدنى متعدد الحدود (نظرية المجال)
بالحصول على الدرجة 2، فإن كثير الحدود هذا له في الواقع جذران، والآخر هو اقتران النسبة الذهبية.
الرياضيات > اقتران النسبة الذهبية

الجذر المترافق مع الحد الأدنى من كثير الحدود x 2 - x - 1 هو
\Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .
بدلا من ذلك،  \Phi  يمكن التعبير عنها كـ
\Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .
يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأرقام الموجبة، أي
هذا يعني 0.61803 ...: 1 = 1: 1.61803. . . .
الرياضيات > أشكال بديلة

صيغة φ = 1 + 1 / φ يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على جزء المستمر للالنسبة الذهبية:
\varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}
ومتبادله:
φ المعادلة 2 = 1 + φ تنتج أيضا من استمرار الجذر التربيعي :
الرياضيات > الهندسة

φ عدد حتى تتحول في كثير من الأحيان في الهندسة، ولا سيما في الأرقام مع خماسية التماثل. طول القطر المنتظم للخماسي يساوي φ ضلعها. رؤوس الأشكال العشرية الوجوه المنتظمة هي تلك الموجودة في ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة بشكل متبادل.
لا توجد خوارزمية عامة معروفة لترتيب عدد معين من العقد بالتساوي على كرة، لأي تعريف من عدة تعريفات للتوزيع الزوجي (انظر، على سبيل المثال، مشكلة طومسون). ومع ذلك، ينتج تقريب مفيد من تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطح متساوية ووضع عقدة واحدة في كل نطاق على خطوط طول متباعدة بقسم ذهبي من الدائرة، أي 360 درجة / φ ≅ 222.5 درجة. تم استخدام هذه الطريقة لترتيب 1500 مرآة للقمر الصناعي التشاركي الطلابي Starshine-3.
الرياضيات > الهندسة > قسمة قطعة خطية على تقسيم داخلي

باستخدام قطعة مستقيمة AB، أنشئ BC عموديًا عند النقطة B، بحيث يكون BC نصف طول AB. ارسم الوتر AC.
ارسم قوسًا بمركزه C ونصف قطره BC. يتقاطع هذا القوس مع الوتر AC عند النقطة D.
ارسم قوسًا بمركزه A ونصف قطره AD. يتقاطع هذا القوس مع مقطع الخط الأصلي AB عند النقطة S. تقسم النقطة S مقطع الخط الأصلي AB إلى مقاطع خطية AS و SB بأطوال في النسبة الذهبية.
الرياضيات > الهندسة > قسمة قطعة خطية على تقسيم خارجي

ارسم مقطعًا مستقيًا AS وقم بتكوين الجزء S من النقطة SC عموديًا على AS وبنفس طول AS.
قم بتقسيم المقطع المستقيم AS مع M.
يتقاطع قوس دائري حول M بنصف قطر MC في النقطة B على الخط المستقيم عبر النقطتين A و S (المعروف أيضًا باسم امتداد AS). نسبة AS إلى الجزء المشيد SB هي النسبة الذهبية.
يمكنك أن ترى أمثلة تطبيقية في مقالات البنتاغون بطول ضلع معين، عشري مع دائرة معينة وعشر عشر مع طول ضلع معين.
تنتج كل من الخوارزميات المختلفة المعروضة أعلاه إنشاءات هندسية تحدد جزأين من الخط المحاذي حيث تكون نسبة الجزء الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.
الرياضيات > الهندسة > المثلث الذهبي

يمكن وصف المثلث الذهبي بأنه مثلث متساوي الساقين ABC مع خاصية تقطيع الزاوية C إلى نصفين ينتج عنها مثلث جديد CXB وهو مثلث مماثل للمثلث الأصلي.
إذا كانت الزاوية BCX = α، فإن XCA = α بسبب التقسيم، و CAB = α بسبب المثلثات المتشابهة ؛ ABC = 2α من التناظر الأصلي متساوي الساقين، و BXC = 2α بالتشابه. مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذا 5α = 180، مما يعطي α = 36 °. وبالتالي فإن زوايا المثلث الذهبي هي 36 درجة -72 درجة -72 درجة. زوايا المثلث المتساوي الساقين المتبقي AXC (تسمى أحيانًا العقرب الذهبي) هي 36 درجة -36 درجة -108 درجة.
لنفترض أن XB له طول 1، φ BC length. بسبب المثلثات متساوية الساقين XC = XA و BC = XC، فهذه أيضًا هي الطول φ. طول التيار المتردد = إذن AB يساوي φ + 1. لكن المثلث ABC مشابه للمثلث CXB، لذا AC / BC = BC / BX، AC / φ = φ / 1، وبالتالي فإن AC تساوي φ 2 أيضًا. وهكذا φ 2 = φ + 1، مما يؤكد أن φ هي بالفعل النسبة الذهبية.
وبالمثل، فإن نسبة مساحة المثلث الأكبر AXC إلى CXB الأصغر تساوي φ، بينما تكون النسبة العكسية φ - 1.
الرياضيات > الهندسة > خماسي الاضلاع

في البنتاغون العادي، تكون نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية، بينما يتقاطع قسم الأقطار مع بعضها البعض في النسبة الذهبية.
الرياضيات > الهندسة > بناء أودوم

جورج أودوم أعطت بناء بسيط ملحوظ φ التي تنطوي على مثلث متساوي الأضلاع: إذا هو منصوص عليه مثلث متساوي الأضلاع في دائرة والجزء الخط الواصل بين نقاط المنتصف من الجانبين يتم إنتاج لتتقاطع دائرة في أي من نقطتين، ثم هذه النقاط الثلاث هي في نسبة ذهبية. هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لنظرية الأوتار المتقاطعة ويمكن استخدامها لبناء خماسي منتظم، وهو بناء جذب انتباه مقياس الهندسة الكندي الشهير سكوت ماكدونالد كوكستر الذي نشره باسم Odom كرسم تخطيطي في الرياضيات الأمريكية الشهرية مصحوبًا به كلمة واحدة «ها!»
الرياضيات > الهندسة > نجمة خماسية

تلعب النسبة الذهبية دورًا مهمًا في هندسة الخماسي. كل تقاطع للحواف يقسم حواف أخرى في النسبة الذهبية. أيضا، فإن نسبة طول الجزء أقصر إلى الجزء يحدها من قبل اثنين من تقاطع حواف (جانب من البنتاغون في مركز النجم الخماسي) هو φ كما يظهر في الشكل أربعة ألوان.
يشتمل الخماسي على عشرة مثلثات متساوية الساقين: خمسة مثلثات حادة وخمسة منفرجة متساوية الساقين. في كل منهم، نسبة الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر هي φ . المثلثات الحادة هي مثلثات ذهبية. مثلثات متساوية الساقين منفرجة هي عقرب ذهبية.
الرياضيات > الهندسة > نظرية بطليموس

يمكن تأكيد خصائص النسبة الذهبية للبنتاغون المنتظم عن طريق تطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الذي يتكون من إزالة أحد رؤوسه. إذا كانت الحافة الطويلة للشكل الرباعي وأقطارها ب، والحواف القصيرة أ، فإن نظرية بطليموس تعطي ب 2 = أ 2 + AB الذي ينتج
{b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.
الرياضيات > الهندسة > تحجيم المثلثات

ضع في اعتبارك مثلثًا له أطوال أطوال أ، ب، ج بترتيب تنازلي. حدد «حجم» المثلث ليكون الأصغر من النسبتين أ / ب و ب / ج . وscalenity هو دائما أقل من φ ويمكن أن يتم في أقرب وقت المطلوب φ
الرياضيات > الهندسة > مثلث تشكل جوانبه تدرجًا هندسيًا

إذا كانت أطوال أضلاع المثلث تشكل تقدمًا هندسيًا وكانت في النسبة 1 : ص: ص 2، حيث r هي نسبة المشتركة، ثم ص يجب أن تكمن في φ مجموعة -1 <ص φ والتي هي نتيجة ل عدم المساواة مثلث (مجموع أي الجانبين من مثلث يجب أن تكون أكبر بدقة من طول الضلع الثالث). إذا ص = φ ثم الجانبين أقصر هي 1 و φ لكن مجموعهما هو φ 2، وبالتالي ص φ تظهر عملية حسابية مماثلة أن r > φ −1. مثلث أضلاعه في النسبة 1 : √في : φ هو مثلث قائم الزاوية (لأن 1 + φ = φ 2) يُعرف بمثلث كبلر.
الرياضيات > الهندسة > المثلث الذهبي، المعين، ثلاثي السطوح المعيني

المعين الذهبي هو المعين الذي تكون أقطاره في النسبة الذهبية. ثلاثي السطوح المعين هو متعدد الأشكال ومحدب له خاصية خاصة جدًا: جميع وجوهه عبارة عن معينية ذهبية. في المثلث السطوح المعيني، تكون الزاوية ثنائية السطوح بين أي معينين متجاورين هي 144 درجة، وهو ضعف الزاوية المتساوية الساقين في المثلث الذهبي وأربعة أضعاف الزاوية الأكثر حدة.
الرياضيات > العلاقة مع متوالية فيبوناتشي

إن رياضيات النسبة الذهبية ومتوالية فيبوناتشي مترابطة بشكل وثيق. تسلسل فيبوناتشي هو:
يتضمن التعبير المغلق لتسلسل فيبوناتشي النسبة الذهبية:
بشكل عام:
حيث أعلاه، فإن نسب المصطلحات المتتالية لسلسلة فيبوناتشي، هي حالة متى  a=1.
علاوة على ذلك، فإن القوى المتعاقبة لـ φ تخضع لتكرار فيبوناتشي:
بالنسبة للمعاملات المعطاة أ، ب بحيث تحقق س المعادلة. حتى أكثر عموما، أي دالة كسرية (مع معاملات عقلانية) من جذر ن متعدد الحدود غير القابل للاختزال درجة عشر، على rationals يمكن خفضها إلى متعدد الحدود من الدرجة n ‒ 1. مصاغة من حيث نظرية المجال، إذا كانت α جذرًا لكثير حدود من الدرجة n غير القابلة للاختزال، إذن  \mathbb {Q} (\alpha ) درجة ن أكثر  \mathbb {Q}  مع الأساس  \{1,\alpha ,\dots ,\alpha ^{n-1}\}.
الرياضيات > تناظرات

النسبة الذهبية والنسبة الذهبية المعكوسة  \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2 لديها مجموعة من التناظرات التي تحافظ عليها وتربطها. كلاهما محفوظ من خلال التحويلات الخطية الجزئية  x,1/(1-x),(x-1)/x, - هذه الحقيقة تتوافق مع الهوية وتعريف المعادلة التربيعية. علاوة على ذلك، يتم تبادلهم بواسطة الخرائط الثلاث  1/x,1-x,x/(x-1) - هم متبادلون، متماثلون  1/2، و (بشكل إسقاطي) متماثل حوالي 2.
بشكل أعمق، تشكل هذه الخرائط مجموعة فرعية من المجموعة المعيارية  \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} ) متماثل للمجموعة المتماثلة في 3 أحرف،  S_{3}, المقابلة لمثبت المجموعة  \{0,1,\infty \} من 3 نقاط قياسية على خط الإسقاط، وتتوافق التماثلات مع خريطة حاصل القسمة  S_{3}\to S_{2} - المجموعة الفرعية  C_{3}<S_{3} تتكون من 3 دورات والهوية  ()(01\infty )(0\infty 1) يُصلح الرقمين، بينما تتبادل الدورتان هاتين، وبالتالي تتحقق الخريطة.
الرياضيات > خصائص أخرى

النسبة الذهبية لها أبسط تعبير (وأبطأ تقارب) كتوسيع كسر مستمر لأي عدد غير نسبي (انظر الصيغ البديلة أعلاه). ولهذا السبب، فهي واحدة من أسوأ حالات نظرية تقريب لاغرانج وهي حالة متطرفة لعدم مساواة هورويتز لتقديرات ديوفانتين. قد يكون هذا هو السبب في ظهور الزوايا القريبة من النسبة الذهبية في كثير من الأحيان في النمو النباتي (نمو النباتات).
يؤدي تعريف كثير الحدود التربيعي والعلاقة المرافقة إلى قيم عشرية تشترك في φ الكسري مع φ :
الرياضيات > توسيع عشري

يمكن حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية مباشرة من التعبير
مع √5 2.2360679774997896964 OEIS : A002163 . يمكن حساب الجذر التربيعي للرقم 5 بالطريقة البابلية، بدءًا بتقدير أولي مثل x φ = 2 والتكرار
تعادل الخوارزمية البابلية لـ √5 طريقة نيوتن لحل المعادلة × 2 - 5 = 0. في شكلها الأكثر عمومية، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرة على أي معادلة جبرية، بما في ذلك المعادلة × 2 - x - 1 = 0 التي تحدد النسبة الذهبية. يعطي هذا تكرارًا يتقارب مع النسبة الذهبية نفسها،
الاهرام

يمكن تحليل كل من الأهرامات المصرية والأهرامات المربعة العادية التي تشبهها فيما يتعلق بالنسب الذهبية والنسب الأخرى.
الاهرام > الأهرامات الرياضية

الهرم الذي يكون فيه apothem (الارتفاع المائل على طول منصف الوجه) يساوي φ مرة نصف القاعدة (نصف عرض القاعدة) يسمى أحيانًا الهرم الذهبي . يمكن إنشاء المثلث متساوي الساقين الذي يمثل وجه مثل هذا الهرم من نصفي مستطيل ذهبي منقسم قطريًا (بحجم شبه قاعدي من خلال apothem)، وينضم إلى الحواف متوسطة الطول لتكوين apothem. ارتفاع هذا الهرم  {\sqrt {\varphi }} ضرب شبه القاعدة (أي ميل الوجه هو  {\sqrt {\varphi }})؛ مربع الارتفاع يساوي مساحة الوجه، φ في مربع شبه القاعدة.
المثلث الإنسي الأيمن لهذا الهرم «الذهبي» (انظر الشكل)، مع جوانب  1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi  مثير للاهتمام في حد ذاته، مما يدل على العلاقة من خلال نظرية فيثاغورس  {\sqrt {\varphi }}={\sqrt {\varphi ^{2}-1}} أو  \varphi ={\sqrt {1+\varphi }} . مثلث كبلر هذا  هو النسبة الوحيدة للمثلث الأيمن التي لها أطوال حواف في التقدم الهندسي،  تمامًا كما أن المثلث 3–4–5 هو نسبة المثلث الأيمن الوحيد مع أطوال الحافة في التدرج الحسابي. الزاوية مع الظل  {\sqrt {\varphi }} يتوافق مع الزاوية التي يصنعها جانب الهرم بالنسبة إلى الأرض، 51.827 ... درجة (51 ° 49 '38 ").
شكل هرمي مشابه تقريبًا، ولكن بنسب منطقية، موصوف في بردية ريند الرياضية (مصدر جزء كبير من المعرفة الحديثة للرياضيات المصرية القديمة)، استنادًا إلى المثلث 3: 4: 5 ؛  منحدر الوجه المقابل للزاوية ذات المماس 4/3 هو، لأقرب منزلتين عشريتين، 53.13 درجة (53 درجة و 8 دقائق). ارتفاع الميل هو 5/3 أو 1.666 ... أضعاف شبه القاعدة. تحتوي بردية Rhind أيضًا على مشكلة هرمية أخرى، ومرة أخرى بمنحدر منطقي (يُعبر عنه بالدور فوق الارتفاع). لم تتضمن الرياضيات المصرية فكرة الأعداد غير المنطقية،  واستخدم المنحدر العكسي المنطقي (الركض / الارتفاع، مضروبًا في 7 للتحويل إلى وحداتهم التقليدية من النخيل لكل ذراع) في بناء الأهرامات.
هرم رياضي آخر بنسب مماثلة تقريبًا للهرم «الذهبي» هو الهرم الذي محيطه يساوي 2 π ضعف الارتفاع، أو h: b = 4: π . تبلغ زاوية هذا المثلث 51.854 درجة (51 درجة 51 بوصة)، وهي قريبة جدًا من 51.827 درجة لمثلث كبلر. تتوافق هذه العلاقة الهرمية مع علاقة مصادفات رياضية  {\sqrt {\varphi }}\approx 4/\pi  .
الأهرامات المصرية متقاربة جدا بما يتناسب مع هذه الأهرامات الرياضية المعروفة.