تأثير صوتي مرن
نظرية المرونة غير الخطية للمواد فائقة المرونة > سرعة الصوت

بافتراض أن تشوهًا ديناميكيًا صغيرًا (صوتيًا) يزعج مادة مضغوطة بشكل ثابت بالفعل، يمكن اعتبار تأثير المرونة الصوتية تأثيرًا على تشوه صغير متراكب على تشوه محدود أكبر (يُطلق عليه أيضًا نظرية صغيرة على كبيرة). دعونا نحدد ثلاث حالات لنقطة مادية معينة. في الحالة المرجعية (غير المشددة) يتم تحديد النقطة بواسطة متجه الإحداثيات  {\boldsymbol {X}} بينما نفس النقطة لها متجه الإحداثيات  {\boldsymbol {x}} في حالة الإجهاد الثابت في البداية (أي تحت تأثير الإجهاد المسبق المطبق). أخيرًا، افترض أن النقطة المادية الواقعة تحت اضطراب ديناميكي صغير (مجال الضغط الصوتي) لها متجه الإحداثيات  {\boldsymbol {x'}} . يمكن بعد ذلك وصف الإزاحة الكلية لنقاط المواد (تحت تأثير كل من الإجهاد المسبق الثابت والاضطراب الصوتي الديناميكي) بواسطة نواقل الإزاحة
{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},
حيث
{\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {x}}
يصف الإزاحة الأولية الساكنة (لاغرانج) بسبب الإجهاد المسبق المطبق، والإزاحة (أويلريان) بسبب الاضطراب الصوتي، على التوالي. قانون كوشي الأول للحركة (أو توازن الزخم الخطي) لاضطراب أويلريان الإضافي  {\boldsymbol {u}}^{(1)} يمكن بعد ذلك اشتقاقها من حيث التشوه الوسيط لاغرانج  {\boldsymbol {u}}^{(0)} على افتراض أن الافتراض الصغير مقابل الكبير
|{\boldsymbol {u}}^{(1)}|\ll |{\boldsymbol {u}}^{(0)}|
يحمل. استخدام صيغة لاغرانج لقانون كوشي الأول للحركة، حيث تم إهمال تأثير قوة الجسم الثابتة (أي الجاذبية)، ينتج عنه
\operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.
لاحظ أنه يتم استخدام الرمز "0" المنخفض / المرتفع في هذا النص للإشارة إلى حالة المرجع غير المشدد، وأن المتغير المنقط هو الوقت المعتاد (  t ) مشتق المتغير  \operatorname {Div}  هو عامل الاختلاف فيما يتعلق بنظام إحداثيات لاغرانج  {\boldsymbol {X}} .
يمكن التعبير عن الجانب الأيمن (الجزء المعتمد على الوقت) من قانون الحركة كـ
{\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}
على افتراض أن كلا من حالة عدم الإجهاد وحالة التشوه الأولية ثابتة وبالتالي
\partial ^{2}/\partial t^{2}({\boldsymbol {u}}^{(0)})=\partial ^{2}/\partial t^{2}({\boldsymbol {X}})=0 .
بالنسبة للجانب الأيسر (الجزء المعتمد على الفضاء)، مشتقات لاغرانج الجزئية المكانية بالنسبة إلى  X_{j} يمكن توسيعها في أويلريان  x_{j} باستخدام قاعدة السلسلة وتغيير المتغيرات من خلال العلاقة بين متجهات الإزاحة على النحو
{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots
حيث الشكل القصير  u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j} تم استخدامه. هكذا
{\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}
على افتراض كذلك أن التشوه الأولي الثابت  {\boldsymbol {u}}^{(0)} (حالة الإجهاد المسبق) في حالة توازن يعني ذلك  \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}، ويمكن لقانون الحركة بالاقتران مع المعادلة التأسيسية المذكورة أعلاه أن يختزل إلى علاقة خطية (أي عندما تكون شروط الترتيب الأعلى في  u_{m,n}^{(0)} ) بين التشوه الأولي الثابت  {\boldsymbol {u}}^{(0)} والاضطراب الديناميكي الإضافي  {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t) مثل  (انظر  للحصول على الاشتقاقات التفصيلية)
B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},
حيث
B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.
يتم التعرف على هذا التعبير على أنه معادلة الموجة الخطية . النظر في موجة مستوية من النموذج
{\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),
حيث  {\boldsymbol {N}} هو متجه وحدة لاغرانج في اتجاه الانتشار (أي موازٍ لرقم الموجة  {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}} طبيعي في مقدمة الموجة،)،  {\boldsymbol {m}} هو متجه وحدة يشار إليه باسم متجه الاستقطاب (يصف اتجاه حركة الجسيمات)،  c هي سرعة موجة الطور، و  f هي وظيفة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر (على سبيل المثال وظيفة جيبية ). إدخال هذه الموجة المستوية في معادلة الموجة الخطية المشتقة أعلاه النتائج
حيث  {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}) يتم تقديمه على أنه موتر صوتي، ويعتمد على  {\boldsymbol {N}} كـ
[{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.
يسمى هذا التعبير بشرط الانتشار ويحدد اتجاه انتشار معين  {\boldsymbol {n}} سرعة واستقطاب الموجات المحتملة المقابلة للموجات المستوية. يمكن تحديد سرعات الموجة بواسطة المعادلة المميزة
\det({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,
حيث  \det  هو المحدد و  {\boldsymbol {I}} هي مصفوفة الهوية .
لمواد مفرطة المرونة  {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}) متماثل (ولكن ليس بشكل عام)، والقيم الذاتية (  \rho _{0}c^{2} ) حقيقية. لكي تكون سرعات الموجة حقيقية أيضًا، يجب أن تكون القيم الذاتية موجبة. إذا كانت هذه هي الحالة، توجد ثلاث موجات مستوية حقيقية متعامدة متبادلة لاتجاه الانتشار المحدد  {\boldsymbol {N}} . من تعبيري الموتر الصوتي، من الواضح أن
\rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},
وعدم المساواة  B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0 (وتسمى أيضًا حالة الإهليلجية القوية) لجميع النواقل غير الصفرية  {\boldsymbol {N}} و  {\boldsymbol {m}} تضمن أن تكون سرعة الموجات المستوية المتجانسة حقيقية. الاستقطاب  {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}} يتوافق مع موجة طولية حيث تكون حركة الجسيم موازية لاتجاه الانتشار (يشار إليها أيضًا باسم الموجة الانضغاطية). الاستقطابين حيث  {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0 يتوافق مع الموجات المستعرضة حيث تكون حركة الجسيمات متعامدة مع اتجاه الانتشار (يشار إليها أيضًا باسم موجات القص).