stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
دائرة
التعريف > الدائرة بوصفها حالة حدية

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر. البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق:  \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1 حيث أنَّ  n,a,b أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه  a=b. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما  n=2.
التعريف > الدائرة بوصفها حالة حدية > القطوع المخروطية

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر ( e=0) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.
التعريف > استيفاء المساحة

إن كان الشكلُ مقعراً، فبالإمكانِ زيادةُ مساحَتِه دون تغييرِ مُحيطه بأن يُطوَ جزؤه المقعّر ليكون مُحدّباً.
إذا كان الشكل مُمَطّطاً، فبالإمكانِ جعله أكثر استدارةً وبذلك زيادة مساحته دون تغيُّرٍ يطرأُ على طولِ مُحيطِه.
تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.
ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.
بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.
غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:
4\pi A\leq L^{2}
وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع  R هو  \pi R^{2} ومُحيطُ الدائرةِ هو  2\pi r بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان  4\pi R^{2}. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز. لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:
Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}
تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ  Q\leq 1 بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط {\frac {L^{2}}{A}} هي على الأقل  4\pi  لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:  Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.. إذا كان  C منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:
L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,
حيث أن  L,A,{\widetilde {A}}_{0.5} ترمز إلى طول  C والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان  C منحنى ثابت العرض.
التعريف > دوائر بإعادة تعريف المسافة

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار- p (بالإنجليزية: p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:
\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.
بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون  p=2، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:
\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.
في هندسة سيارة الأجرة، تكون  p=2. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع  r في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع  2r. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.
النَّتائِجُ التَّحليليَّة

المقالات الرئيسة: ط (رياضيات) مساحة القرص
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة  r={\frac {d}{2}}. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة. وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.
النَّتائِجُ التَّحليليَّة > المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة  \pi

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها. ويُرمز لهذه النسبة بـ« \pi » أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة  \pi  وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها: {\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة  \pi ، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة  \pi :
النَّتائِجُ التَّحليليَّة > المِساحَةُ

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ  \pi . ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه  \pi r وعَرْضُه  r. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:
الأقْواسُ

المقالات الرئيسة: درجة (زاوية) راديان
يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ  360^{\circ }. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:
| الدرجة | الراديان |
| --- | --- |
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه  {\frac {1}{360}}من قياس الدائرة كاملةً.: يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية  r.
كانت  A,B نقطتين مختلفتين على الدائرة  C(O,r) فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر  {\widehat {AB}}، وقوس أكبر  {\widehat {AB}} يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر  {\widehat {AB}} أحياناً بالرمز  {\widehat {ACB}} عِوَضاً عن ذكر « {\widehat {AB}} الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر  {\widehat {AB}} على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية  \angle AOB الداخلية ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين  A,B على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن  180^{\circ }. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر  {\widehat {AB}} هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية  \angle AOB المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين  A,B على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن  180^{\circ }. تُسمَّى النقطتان  A,B طرفا القوس  {\widehat {AB}} أو طرفا الوتر  {\overline {AB}}. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ  A,B نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.
إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي  \ell ، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.
{\frac {l}{C_{O}}}={\frac {l}{2\pi r}}={\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}\Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180^{\circ }}}
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| القوس الأصغر  {\widehat {AB}} | القوس الأكبر  {\widehat {AB}} (أو اختصاراً  {\widehat {ACB}}) | نصف الدَّائرة  {\widehat {ADB}} |
:
القطع والجزئيات

المقالات الرئيسة: قرص (رياضيات) دائرة مجزأة قطاع دائري
القطع والجزئيات > القرص

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً: C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}.
القطع والجزئيات > القطاع

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية. A_{S}=\pi r^{2}\cdot {\frac {v}{360^{\circ }}}=(v{\text{ rad}})\cdot r^{2}تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى  360^{\circ } مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة  100\%.
الزوايا

المقالة الرئيسة: زاوية (هندسة)
| الزاوية | التّعريف | موقع رأس الزَّاوية | قياس الزَّاوية | ملاحظة |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| زاوية مركزية | زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ v | مركز الدَّائرة | قياس القوس المقابل |  |
| زاوية محيطية | زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط | محيط الدَّائرة | نصف قياس القوس المقابل |  |
| زاوية مماسية | زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس | محيط الدائرة | نصف قياس القوس المَحصُور. |  |
| زاوية خارجة | زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة | محيط الدائرة | قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي. |  |
| زاوية داخلية | زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة | داخل الدَّائرة | نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس |  |
| زاوية خارجيَّة | زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة | خارج الدَّائرة | نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها |  |
| الحالة الأولى | الحالة الثَّانية | الحالة الثَّالثة | مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة) |
| --- | --- | --- | --- |
| يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ. | يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ. | يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة. | الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ. |
مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية — الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.
المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.
مبرهنة الزاوية الداخلية — الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.
مبرهنة الزاوية الخارجية — الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.
النقاط

|  |  |
| --- | --- |
النِّقاطُ  P_{1},P_{2},P_{3} هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.: النقطتانِ  P,P' نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.
هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:
| التصنيف | التعريف | الترميز | مراجع |
| --- | --- | --- | --- |
| نقطة داخلية | نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر. |  Int~C(O,r) |  |
| نقطة مُحيطيَّة | نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر. |  C(O,r) |  |
| نقطة خارجيَّة | نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر. |  Ext~C(O,r) |  |
| نقطتان متقابلتان | أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة |  P,P' |  |
إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها  O والنقطة المتغيِّرةُ  P، فإنَّ مجموعة نقاط  P في المستوى  E تُعرَّف على أنَّها:  Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}<r\right\} Ext~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {PQ}}>r\right\}تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.
لتكن  A,B\in Int~C(O,r)ولتكن  P\in {\overline {AB}} من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن  OA,OB<r، ولأن  Pعلى القطعة المستقيمة  {\overline {AB}}فهذا يعني أن إحدى الزاويتين  \angle OPA,\angle OPBغير منفرجة. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ  \angle OPA\leq 90^{\circ }، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث  \triangle OPB:  OP<OB<rإذن  P\in Int~C(O,r).
يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:. \left\{P,P'\in C(O,r)~:~{\overline {PP'}}=2r\right\}
النقاط > قوة النقطة

المقالة الرئيسة: قوة نقطة
تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة  P بالنسبة للدائرة  C(O,r) هي المقدار: {\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ  P تكونُ مقداراً سالباً عندما  OP<r أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ  {\mathcal {Pow}}(P) هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي  {\mathcal {Pow}}(P).
كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن  T نقطة تماس المماس الخارج من  P إلى الدائرة  O. من مبرهنة التعامد:  OT\perp PT، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم:  \triangle OTP، فإنَّ  OT^{2}+PT^{2}=OP^{2} أو بشكلٍ مكافئ: OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}.
| الاسم | الصيغة الرياضية | النص |
| --- | --- | --- |
| مبرهنة قِطَع الوتر |  {\mathcal {Pow}}(P)=P_{1}B\cdot P_{1}D=P_{1}A\cdot P_{1}C | إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي. |
| مبرهنة القاطع |  {\mathcal {Pow}}(P)=P_{2}X\cdot P_{2}Y=P_{2}Z\cdot P_{2}W | إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ. |
| مبرهنة قاطعُ التَّماسِ |  {\mathcal {Pow}}(P)=PT^{2}=PA\cdot PB | إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة. |
| 0 | 1 |
| --- | --- |
 :  
مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.: مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.
أزواج الدوائر

| دائرتان متباعدتان | دائرتان متباعدتان | دائرتان متماستان | دائرتان متماستان | دائرتان متقاطعتان | دائرتان متقاطعتان |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ | دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ | دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ | دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ | أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان. | أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان. |
|  |  | خارجيَّاً | داخليَّاً |  |  |
|  |  | دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى | دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى |  |  |
الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار  r_{1} نصف قطر الدائرة الأولى و r_{2} نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم  \ell  الواصل بين المركزين يحقق المعادلة: r_{1}+r_{2}<\ell <r_{1}-r_{2}
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما. | الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه. | الدائرتان متحدتا المركز أو في الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه. | الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه. |
الدائرتان متحدتا المركز:  \odot O التي نصف قطرها  {\overline {OA}} و \odot O التي نصف قطرها  {\overline {OB}} دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان:  \odot O_{1}\cong \odot O_{2}\Leftrightarrow {\overline {O_{1}A}}\cong {\overline {O_{2}B}}.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| الحلقة: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز. | العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع. | مثلث رولو: تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى | سكين الحَذَّاء: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما |
تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به  \theta  بالراديان ونصف قطر الدائرتين  R بالصيغة الآتية: A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.
الأوتار والمستقيمات

| المستقيم | التعريف | رياضياً | ملاحظة |
| --- | --- | --- | --- |
| مستقيمٌ قاطِعٌ | مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين. | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ( {\text{dist}}(O,\ell )<r) |  |
| مستقيمٌ مَاسٌّ | مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة. | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ( {\text{dist}}(O,\ell )=r) |  |
| مستقيمٌ مَارٌّ | مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ( {\text{dist}}(O,\ell )>r) |  |
| مستقيمٌ مُنَصِّفٌ | مستقيم يمر بمركز الدائرة. | مستقيم يمر بنقطة المركز، أو بُعدُه عن المركز معدومٌ. ( {\text{dist}}(O,\ell )=0) |  |
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| المستقيم | التَّعريف | الترميز |
| --- | --- | --- |
| خطُّ مركزين | مستقيم يصل بين مركزي دائرتين |  {\overline {O_{1}O_{2}}} |
| وتر مُشترك | وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين |  {\overline {AB}} |
| مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ | أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين. |  {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}} |
| مماسٌ مشتركٌ داخليّ | أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين. |  {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}} |
| قطعة تماس | قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين |  {\overline {T_{1}T_{2}}} |
| محور أساسي | المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين. |  {\overleftrightarrow {AB}} |
الأوتار والمستقيمات > التناظر في الدائرة

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ  O(2,R). زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة ( \mathbb {T} ) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.
\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}~.
في الدائرة ذات المركز  O والوتر  {\overline {AB}}، المثلث  \triangle ABO متطابق الضلعين. إذا كانت  M نقطة منتصف  {\overline {AB}} فإنَّ  \triangle AMO\cong \triangle BMO من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ  \angle AMO\cong \angle BMO وكذلك  OM\perp AB. أيضاً الزاويتان  \angle AOM\cong \angle BOM. إذا كانت  P,Q نقطتا تقاطعِ المستقيمِ  OM مع الدائرة، فإنَّ من تطابق  \triangle OAP\cong \triangle OBP (SSS) والذي يُنتج  {\overline {AP}}\cong {\overline {BP}}. كنتيجة، القوسان  AP,BP متطابقان أيضاً. بالمثل،  \triangle AOQ\cong \triangle BOQ (من تطابق SAS) و {\overline {AQ}}\cong {\overline {BQ}}. وهذا يعني أن الدائرةَ  O ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر  {\overline {AB}}. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.
إذا كانت  T تقاطع مماسات الدائرة عند  A,B، فمن مبرهنة فيثاغورس،  TA^{2}=TO^{2}-OA^{2}=TO^{2}-OB^{2}=TB^{2}. مما يعني أنَّ  TA=TB. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ  \angle OAT\cong \angle OBT، إذن، الزاوية  TOA=TOB، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ  T تقع على المنصف العمودي لـ AB. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة  O في  {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}} فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.
تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:
أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، يتعامد عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.
يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
المماس عند نقطة التماس يتعامد مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.
الأوتار والمستقيمات > التطابق في الدائرة

ليكن  {\overline {AB}} وتراً في الدائرة  C(O,r). بتطبيقِ متباينة المثلث:  OB+OC>AB لكنَّ  OA=OB=r، إذن بالتعويض ينتجُ  AB<2r. أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون  AB قطراً في الدائرة. في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين  {\overline {AB}},{\overline {CD}} لهما الطول نفسه في الدائرة  C(O,r)، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون:  OA=OB=OC=OD=r. وعلى ذلك  \triangle OAB\cong \triangle OCD، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.
الأوتار والمستقيمات > العمق وطول الوتر

عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta)‏ هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية  \theta  في الدائرة التي نصف قطرها  r بالصيغة:
s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته  \theta  بالصيغة  2r\sin \theta . أما إذا أُعطي وترٌ طوله  y وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ x فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي: r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.
الأوتار والمستقيمات > خط القوة

المقالة الرئيسة: محور أساسي
خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis)‏ لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:
خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.