قائمة مجسمات جونسون

في الهندسة، تُعَرّف المجسمات بأنها أجسام ثلاثية الأبعاد حيث تتصل النقاط بواسطة خطوط لتشكيل المضلعات. تُعْرَف النقاط والخطوط والمضلعات في المجسم باسم الرؤوس والحواف والوجوه، على التوالي. يُعتبر المجسم محدبًا إذا:
كانت أقصر مسافة بين أي نقطتين من رؤوسه تقع إما داخل داخله أو على حدوده.
لا تتشارك أي من وجوهه في نفس المستوى—لا تتواجد في نفس المستوى ولا "تكون مسطحة".
لا تكون أي من حوافه متساوية في خط مستقيم—ليست أجزاءً من نفس الخط.
يُعرف المجسم المحدب الذي تكون وجوهه مضلعات منتظمة باسم مجسم جونسون، أو أحيانًا باسم مجسم جونسون-زالجالر. يستبعد بعض المؤلفين المجسمات الموحدة من التعريف. المجسم الموحد هو مجسم تكون وجوهه منتظمة وهي متساوية الوجه؛ تشمل الأمثلة المجسمات البلاتونية والمجسمات الأرخيميدسية بالإضافة إلى المكعبات والمضلع المضاد.
تُسمى مجسمات جونسون بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان جونسون (1930–2017)، الذي نشر قائمة تضم 92 من هذه المجسمات في عام 1966، حيث افترض بأن القائمة كاملة وأنه لا توجد أمثلة أخرى. وقد أثبتت صحتها بواسطة عالم الرياضيات الروسي-الإسرائيلي فيكتور زالجالر (1920–2020) في عام 1969.
يمكن تصنيف بعض مجسمات جونسون كمجسمات أساسية، مما يعني أنه لا يمكن فصلها بواسطة مستوى لإنشاء مجسمين صغيرين محدبين بوجوه منتظمة. المجسمات التي تلبي هذه المعايير هي الستة الأولى—هرم مربع متساوي الأضلاع، هرم خماسي الشكل، كوبولا مثلثية، كوبولا مربعة، كوبولا خماسية الشكل، وروتندا خماسية الشكل. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون، وهي على وجه التحديد على وجه التحديد، ، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص،
ديسفينويد أزز، مضاد للمربعات الأزدراء، الوتدي الإكليلي، تضخم الوتدي، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم، بيلونبيروتوندا، وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.
المجسمات العشرونية المتناقصة، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، مجسم ديسفينويد متماثل، مجسم مربع مضاد متماثل، مجسم تاجي إكليلي، مجسم تاجي متضخم، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم بيلونبيروتوندا، ووهيبيسفينوروتوندا الثلاثي. بقية مجسمات جونسون ليست أساسية، ويتم بناؤها باستخدام أول ستة مجسمات جونسون مع المجسمات البلانية والأرخيميدسية بعمليات مختلفة. تتضمن الزيادة ربط مجسمات جونسون بوجه واحد أو أكثر من المجسمات، بينما تتضمن الإطالة أو الإطالة الدورانية ربطها بأسس مكعب أو مضلع مضاد، على التوالي. يتم بناء بعض المجسمات الأخرى عن طريق التقليل، وهو إزالة أحد أول ستة مجسمات من واحد أو أكثر من وجوه المجسم.
يحتوي الجدول التالي على 92 من مجسمات جونسون، مع طول حافة  a. يتضمن الجدول ترقيم المجسم (المشار إليه بـ  J_{n}). كما يتضمن عدد الرؤوس والحواف والوجوه لكل مجسم، بالإضافة إلى مجموعة التناظر، ومساحة السطح  A، والحجم  V. لكل مجسم خصائصه الخاصة بما في ذلك التناظر والقياس. يُقال إن كائنًا ما له تناظر إذا كان هناك تحويل يطابقه بنفسه. يمكن تجميع جميع تلك التحويلات في مجموعة، جنبًا إلى جنب مع عدد عناصر المجموعة، المعروف باسم ترتيب المجموعة. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تشمل هذه التحويلات الدوران حول مركز المضلع وانعكاس كائن حول الخط العمودي للمضلع. يُشار إلى المضلع الذي يتم تدويره بشكل متناظر بمقدار 






360

∘


n




{\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}

 بـ  C_{n}، وهو مجموعة دورانية من ترتيب  n؛ يؤدي دمج هذا مع التناظر الانعكاسي إلى تناظر مجموعة ثنائية  D_{n} من ترتيب  2n. في نقاط تناظر ثلاثية الأبعاد، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر المجسم دوران حول الخط الذي يمر عبر مركز القاعدة، المعروف باسم محور التناظر، والانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية التي تمر عبر قسم القاعدة، والذي يعرف باسم التناظر الهرمي  C_{n\mathrm {v} } من ترتيب  2n. تُعرف التحويلة التي تحافظ على تناظر المجسّم بالانعكاس عبر مستوى أفقي باسم التناظر الهرمي  D_{n\mathrm {h} } من ترتيب  4n. يحافظ التناظر المضاد الهرمي  D_{n\mathrm {d} } من ترتيب  4n على التناظر عن طريق تدوير نصف القاعدة السفلية والانعكاس عبر المستوى الأفقي.
تحتفظ التناظرية بالتماثل من خلال تدوير نصفها السفلي والانعكاس عبر المستوى الأفقي. تُحافظ مجموعة التناظر  C_{n\mathrm {h} } من الرتبة  2n على التماثل من خلال الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي؛ الحالة المحددة التي تحافظ على التماثل من خلال دوران كامل واحد هي  C_{1\mathrm {h} } من الرتبة 2، وغالبًا ما يُشار إليها بـ  C_{s}. تشمل قياسات الأشكال المتعددة السطوح مساحة السطح والحجم. تُحسب المساحة كقياس ثنائي الأبعاد من خلال حاصل ضرب الطول والعرض؛ بالنسبة للمتعدد السطوح، مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع وجوهه. الحجم هو قياس لمنطقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تحديد حجم الشكل المتعدد السطوح بطرق مختلفة: إما من خلال قاعدته وارتفاعه (مثل الأهرامات والمنشورات)، أو عن طريق تقطيعه إلى قطع وجمع أحجامها الفردية، أو من خلال إيجاد جذر متعدد الحدود يمثل الشكل المتعدد السطوح.