تاريخ حساب المثلثات
التطور > العصر الكلاسيكي

استخدم علماء الرياضيات اليونانيين والهلنستيين الوتر. باعتبار الدائرة وقوسها، فإن الوتر هو المستقيم الذي يقابل القوس. يمر المُنَصِّف العمودي للوتر عبر مركز الدائرة ويُنَصِّف الزاوية. نصف الوتر المُنَصَّف هو جيب نصف الزاوية المُنَصَّفة، أي:
وتر الزاوية = 2×r × sin (الزاوية/2)
حيث r هو نصف قطر الدائرة.
وبالتالي تُعرف دالة الجيب أيضًا باسم «نصف الوتر». بسبب هذه العلاقة، كان عدد من المتطابقات والمبرهنات المثلثية المعروفة اليوم معروفة أيضًا لدى علماء الرياضيات الهلنستيين، ولكن في شكل الوتر المكافئ لها.
على الرغم من عدم وجود حساب المثلثات في أعمال إقليدس وأرخميدس، بالمعنى الدقيق للكلمة، هناك مبرهنات مقدمة بطريقة هندسية (بدلاً من طريقة مثلثية) تعادل قوانين أو صيغ المثلثات المحددة.  على سبيل المثال ، التقارير الثانية عشرة والثالثة عشرة من الكتاب الثاني لـ «الأصول» هي قوانين جيب التمام للزوايا الحادة والمنفرجة، على التوالي. المبرهنات على أطوال الأوتار هي تطبيقات قانون الجيب. وتعادل مبرهنة أرخميدس عن الأوتار المكسورة الصيغ لجيوب المجموع وفرق الزوايا. للتعويض عن نقص جدول الأوتار، يستخدم علماء الرياضيات في زمن أرسطرخس الساموسي أحيانًا عبارة مفادها أنه بالترميز الحديث: sin α/sin β < α/β < tan α/tan β كلما كان 0° < β < α < 90°، والمعروف الآن باسم متباينة أرسطرخس .
يبدو أن أبرخش (180 - 125 ق.م) قام بانتاج أول جدول مثلثي، والذي يُعرف الآن بالتالي باسم أبي حساب المثلثات. كان أبرخش أول من قام بجدولة القيم المقابلة للقوس والوتر لسلسلة من الزوايا.
على الرغم من أنه من غير المعروف متى جاء الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة في الرياضيات، فمن المعروف أن الإدخال المنهجي لدائرة 360 درجة جاء قليلاً بعد تأليف أرسطرخس الساموسي "عن أحجام ومسافات الشمس والقمر " (حوالي  260 ق.م)، حيث قام بقياس زاوية بدلالة كسر لِرُباعي. يبدو أن الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة يرجع إلى حد كبير إلى أبرخش وجدول الأوتار الخاص به. قد يكون أبرخش قد أخذ فكرة هذا التقسيم من إبسقلاوس الذي قسم اليوم في وقت سابق إلى 360 جزءًا، قد أقتُرِح تقسيم اليوم من قبل علماء الفلك البابليون. في علم الفلك القديم، تم تقسيم دائرة البروج إلى اثني عشر برج أو ستة وثلاثين "ديكان ".  يمكن أن تتوافق دورة موسمية التي تقارب 360 يومًا مع بروج وديكانات الدائرة البروجية بتقسيم كل برج إلى ثلاثين جزءًا وكل ديكان إلى عشرة أجزاء. ويرجع ذلك إلى نظام العد الستيني البابلي الذي يتم تقسيم كل درجة إلى ستين دقيقة وتقسم كل دقيقة إلى ستين ثانية.
كتب منيلاوس الإسكندري (حوالي 100 م) في ثلاثة كتب العمل "Sphaerica". في الكتاب الأول، وضع أساسًا للمثلثات الكروية شبيهة بالأساس الإقليدي للمثلثات المستوية. صاغ مبرهنة التي هي بدون تشابه إقليدي، تتطابق مثلثان كرويان إذا كانت الزوايا المقابلة متساوية، لكنه لم يميز بين المثلثات الكروية المتطابقة والمتناظرة. مبرهنة أخرى صاغها هي أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة. يطبق الكتاب الثاني من "Sphaerica" الهندسة الكروية على علم الفلك.  ويحتوي الكتاب الثالث على «مبرهنة منيلاوس». كما قدم «قاعدة ست كميات» الشهيرة.
في وقت لاحق، توسع بطليموس (حوالي 90 -  168 م) على أوتار أبرخش في دائرة في كتابه المجسطي. المجسطي هو في المقام الأول عمل في علم الفلك، ويعتمد علم الفلك على حساب المثلثات. 
يقدم جدول الأوتار بطليموس أطوال أوتار الدائرة قطرها 120 كدالة لعدد الدرجات n في القوس المقابل للدائرة،  من أجل n يتراوح من 1/2 إلى 180 بزيادات 1/2. الكتب الثلاثة عشر من المجسطي هي أكثر الأعمال المثلثية تأثيرًا وأهمية في جميع العصور القديمة. أثبتت المبرهنة التي كانت محورية في حساب بطليموس للأوتار التي لا تزال تعرف اليوم باسم مبرهنة بطليموس، أن مجموع جداءات الأضلاع المقابلة للرباعي الدائري يساوي جداء أقطار الرباعي. ظهرت حالة خاصة لمبرهنة بطليموس كتقرير 93 في «معطيات إقليدس». تقود مبرهنة بطليموس إلى ما يعادل المتطابقات الأربعة لمجموع وفرق الزوايا لجيب وجيب التمام التي تعرف اليوم بصيغ بطليموس، على الرغم من أن بطليموس نفسه استخدم الأوتار بدلاً من الجيب وجيب التمام. اشتق بطليموس أيضًا ما يعادل صيغة نصف الزاوية:
استخدم بطليموس هذه النتائج لإنشاء جداوله المثلثية، ولكن لا يمكن تحديد ما إذا كانت هذه الجداول مشتقة من عمل أبرخش.
لم يتبق جداول أبرخش ولا جداول بطليموس حتى يومنا هذا، على الرغم من أن الأوصاف التي كتبها المؤلفون القدماء الآخرون تترك القليل من الشك في أنها كانت موجودة في السابق.
اكتشف فيثاغورس العديد من الخصائص التي تطبق الآن على الدوال المثلثية. مبرهنة فيثاغورس، p2 + b2 = h2 هي تمثيل للمتطابقة المثلثية الأساسية sin2 (x) + cos2 (x) = 1. الطول 1 هو وتر المثلث القائم، وأطوال ساقي المثلث تساوي sin (x) و cos (x) مع كون x إحدى الزوايا غير القائمة. ومن هذا المنطلق، المتطابقة التي يقوم عليها حساب المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس.