stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
كتلة ذرية قياسية

مثال: النحاس في المصادر الأرضية. يوجد نظيران: النحاس 63 (62.9 u) والنحاس 65 (64.9 u)، بوفرة 69 ٪+31 ٪. الوزن الذري القياسي (Ar, standard) للنحاس هو متوسط العينتين، مع أخذ وفرتهما بعين الاعتبار، وبعد ذلك المتوسط يُقسم على الوحد العيارية 1/12 12C.
الكتلة الذرية القياسي أو الوزن الذري القياسي (بالإنجليزية: Standard atomic weight)‏ (Ar، المعياري) هو الوزن الذري (Ar) لعنصر كيميائي كما يظهر ويتواجد في البيئة الأرضية، ويعكس تباين النظائر الطبيعية للعنصر واختلاف أوزانها. يتم تحديد القيم بواسطة التعريف الحصري الخاص بمنظمة إيوباك (CIAAW)  للمصادر الأرضية الطبيعية والمستقرة، وهو الوزن الذري العملي الأكثر شيوعًا واستخداما، لتحديد الكتلة المولية على سبيل المثال.
التعريف الخاص للكتلة الذرية القياسية هو استخدام العديد من المصادر التمثيلية (عينات) من الأرض، بحيث يمكن استخدام القيمة على نطاق واسع باعتبارها «الوزن الذري» للعناصر الحقيقية الموجودة - كما هو الحال في مجال الصيدلة والبحث العلمي. الأوزان الذرية للعنصر تختلف حسب مصادره الفردية وعيناته، مثل الوزن الذري للكربون في عظم معين من موقع أثري معين. تُعمِّم الكتلة الذرية القياسية هذه القيم إلى نطاق الأوزان الذرية التي قد يُتوقع من الكيميائي اشتقاقُها من عينات الأرض العشوائية المتعددة. هذا النطاق هو سبب ترميز المجال في بعض قيم الكتلة الذرية القياسية.
من بين العناصر الكيميائية المعروفة البالغ عددها 118، هناك 84 عنصرًا مستقرًا وله هذه القيمة المبنية على بيئة الأرض. على سبيل المثال الهليوم: Ar, standard(He) = 4.002602(2). يشير الرقم (2) إلى عدم اليقين في آخر رقم معروض، ويُقرأ 4.002602 ±  0.000002. تنشر إيوباك كذلك قيمًا مختصرة تقريبًا إلى خمسة أرقام، وكمثال على هذه القيم المختصر الهليوم Ar, abridged(He) = 4.0026 .
تتباعد وتختلف العينات عن هذه القيمة بالنسبة إلى اثني عشر عنصرًا، لأن لمصادر عيناتها تاريخُ اضمحلالٍ مختلفٍ.على سبيل المثال، لدى الثاليوم (Tl) في الصخور الرسوبية تركيبة نظائرية مختلفة عن مثيلتها في الصخور والغازات البركانية. بالنسبة لهذه العناصر يُشار إلى الكتلة الذرية القياسية كمجال: Ar, standard(Tl) = [204.38, 204.39] بالنسبة للحالات الأقل تطلبًا، تنشر إيوباك كذلك قيمةً متفقا عليها، بالنسبة للثاليوم Ar, conventional(Tl) = 204.38 .
مراجع

↑  IUPAC Definition of Standard Atomic Weight نسخة محفوظة 15 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
| 0 | 1 |
| --- | --- |
معرفات كيميائية:  الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC): S05907  
بوابة كيمياء فيزيائية
بوابة الكيمياء
بوابة الفيزياء
كاثرين غافين

| كاثرين غافين | كاثرين غافين |
| --- | --- |
 معلومات شخصية :  معلومات شخصية 
الميلاد: سنة 1907    أبردين  
تاريخ الوفاة: سنة 2001  (93–94 سنة)  
مواطنة:  المملكة المتحدة  المملكة المتحدة لبريطانيا العظمى وأيرلندا  
 الحياة العملية  :  الحياة العملية  
المدرسة الأم: جامعة أبردين  
المهنة: محاضرة،  ومؤرِّخة،  ومراسلة عسكرية،  وروائية  
اللغات: الإنجليزية  
موظفة في: جامعة أبردين،  وجامعة غلاسكو  
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
كاثرين غافين (بالإنجليزية: Catherine Gavin)‏ (1907، أبردين في المملكة المتحدة - 2001)؛ مؤرخة، مراسلة عسكرية، محاضرة وروائية بريطانية.
المصادر

↑  Alexander، Flora (1 أبريل 2000). "Catherine Gavin". Herald Scotland. مؤرشف من الأصل في 2014-08-21. اطلع عليه بتاريخ 2014-08-18.
بوابة أدب
بوابة أعلام
بوابة المرأة
بوابة المملكة المتحدة
| ضبط استنادي  | ضبط استنادي  |
| --- | --- |
دولية:  الاسم المعياري الدولي (ISNI)  ملف الضبط الاستنادي الافتراضي الدَّولي (VIAF)  مركز المكتبة الرقمية على الإنترنت (WC Entities) 
وطنية:  المكتبة القومية الإسبانية (BNE)  الملف الاستنادي المتكامِل (GND)  المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)  المكتبة الملكية البلجيكية (KBR)  مكتبة الكونغرس (LCNAF)  المكتبة الوطنية السويدية (Libris-URI)  قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)  المَكنز الوطني للمؤلِّفين (NTA) 
تراجم:  نفائس المكتبة القومية الأسترالية (NLA Trove) 
أخرى:  النظام الجامعي للتوثيق (IdRef)
برايان فيشر

لمعانٍ أخرى، طالع برايان فيشر (توضيح).
| برايان فيشر>  معلومات شخصية  | برايان فيشر>  معلومات شخصية  |
| --- | --- |
تاريخ الميلاد: 1 أغسطس 1980 (العمر 44 سنة)  
مواطنة:  الولايات المتحدة  
 الحياة العملية  :  الحياة العملية  
المهنة: ممثل
اللغة الأم: الإنجليزية  
اللغات: الإنجليزية  
سنوات النشاط: 2001-الآن
المواقع : المواقع 
IMDB: صفحته على IMDB  
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
برايان فيشر (بالإنجليزية: Bryan Fisher)‏ مواليد 1 أغسطس 1980(1980-08-01)، هو ممثل أمريكي بدأ مسيرته الفنية سنة 2001.
الأعمال

الرجل الخفي (2001)
دون أثر (2009) (بدور: جيمي)
مراجع

↑  Bryan Fisher في قاعدة بيانات الأفلام على الإنترنت
بوابة تمثيل
بوابة أعلام
بوابة الولايات المتحدة
بوابة سينما
ممتد متري

في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية v وw عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا g(v, w)بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب.
يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة g(v, v) > 0لكل متجه غير صفري v، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة d(p, q)التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط p وq هي المسافة من p إلى q وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.
في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر.
تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.
مقدمة

اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: x وy وz للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: u وv، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:
{\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}
بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية (u, v)ومُعرفة على مجموعة مفتوحة D في مستوى-uv، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.
إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.
مقدمة > طول القوس

إذا أُخذ المتغيرين u وv للاعتماد على متغير ثالث هو t مع أخذ القيم في الفترة [a, b]؛ فإن  {\vec {r}}{\bigl (}u(t),v(t){\bigr )} سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي M، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:
{\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,\end{aligned}}
حيث أن  \left\|\cdot \right\| يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:
{\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,
المُكامل هو الحصر لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:
حيث أن:
الكمية ds في (1) تُسمى عنصر الخط، بينما ds2تُسمى الشكل الأساسي الأول لـM، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له  {\vec {r}}(u,v)عندما ازدادت u بوحدات du، وازدادت v بوحدات dv.
باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:
ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}
مقدمة > التحولات الإحداثية

افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـu وv الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: u′وv′فإن النظيرللمعادلة (2) للمتغيرات الجديدة هو:
تربط قاعدة السلسلة E′وF′وG′بE وF وG من خلال معادلة المصفوفة التالية:
حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: E وF وG المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:
J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,
المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:
{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}
ومع قانون التحويل (3) يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.
مقدمة > ثبات طول القوس الخاضع لتحولات إحداثية

لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: E وF وG التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول (1) ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل EوF وG، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:
ولهذا نحصل على أن:
مقدمة > طول وزاوية

تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي M بالصيغة التالية:
\mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}
للأعداد الحقيقية المناسبة p1وp2إذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:
{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}
ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:
{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+b_{1}a_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,\end{aligned}}
من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: a1و b1و a2و b2، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات a = [a1 a2]و b = [b1 b2]وهي متجهات في المستوى-uv، وهذا يعني أن:
g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G\,
هذه دالة متماثلة في aوb، مما يعني أن:
g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,
هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير aوbعلى حدة، يعني أن:
{\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}
لأي متجهات aو a′و bو b′في المستوى-uv وأي أعداد حقيقية μ وλ.
على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس aمن خلال:
\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}
وتُحسب الزاوية θ بين متجهين aوbمن خلال:
\cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,
مقدمة > مساحة

مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح M حُددت عوامله بواسطة الدالة  {\vec {r}}(u,v) على المجال D في المستوى-uv؛ فإن مساحة السطح M تُعطى من خلال التكامل الآتي:
\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv
حيث تشير ×إلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:
{\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}
حيث: detهي المُحَدِّد.
تعريف

لنجعل M متشعبًا ناعمًا بُعده n، على سبيل المثال سطح في حالة n = 2أو سطح فائق في الفضاء الديكارتي  \mathbb {R} ^{n+1}؛ ففي كل نقطة p ∈ Mهناك فضاء متجهي TpMيسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة p، والموتر المتري عند p هو دالة: gp(Xp, Yp)التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس XpوYpعند p كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:
g_{p} خطي: تكون دالة الوسيطتين المتجهتين خطيتين إذا كانت خطية بشكل منفصل في: كل وسيطة، لذلك إذا كانت  U_{p} و V_{p} و Y_{p}: هي ثلاث: مماسات لمتجهات عند p، وa وb: هي أعداد حقيقية، إذًا:
g_{p} متماثل: تكون دالة الوسيطتين: المتجهتين متماثلة شرط أن تكون لكل المتجهات  X_{p} و Y_{p}؛ حيث أن:
g_{p} غير منحل (غير منعدم): حيث أن الدالة الثنائية الخطية غير منحلة شرط أن تكون الدالة لكل متجه مماس  X_{p}\neq 0 هي:
حُصِل عليها عن طريق بقاء Xpثابت والسماح لـ Ypبالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل Xp ≠ 0يوجد Yp، مثل gp(Xp, Yp) ≠ 0.
حقل الموتر المتري g في M يُخصص لكل نقطة p من M موتر متري gpفي مساحة المماس عند p بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع p، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة U من المتشعب M وأي حقول متجهات ناعمة: X وY في U، فالاقتران الحقيقي:
g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})
هو اقتران ناعم لp.
مركبات المتري

تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارf =  (X1, ..., Xn)من خلال:
عدد n2من الاقترانات gij[f]فإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها n × nهي: G[f]إذا كان:
v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}
متجهان عند p ∈ U؛ فإن قيمة المتري المُطبق على v وw يُحدد بواسطة المعاملات (4) عن طريق الثنائي الخطي:
g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]
دلالة المصفوفة (gij[f])بواسطة G[f]وترتيب مُرَكِّبات المتجهين v وw في متجهات العمود v[f]و w[f]هو:
g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]
حيث تشير v[f]T و w[f]T لمنقولة المتجهين: v[f]و w[f]على التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:
\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A
بالنسبة لمصفوفة عكسية  A=(a_{ij}) رتبتها n × nفإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار A أيضًا، وهذا هو:
G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A
أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:
g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,
لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات gij[f]يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار f.
مركبات المتري > متري في الإحداثيات

نظام عدد n من الاقترانات (x1, ..., xn)ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة U في M، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في U:
\mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,
المتري g يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:
g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,
بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:
y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n
الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:
g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right)
هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي gij(f)عن طريق قاعدة السلسلة:
{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}
لهذا فإن:
g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}
أو من ناحية المصفوفات: G[f] = (gij[f])وG[f′] = (gij[f′]):
G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}
حيث يشير Dy إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.
مركبات المتري > شكل مميز للمتري

يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:
q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M
إذا كان qmموجب لجميع Xmغير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند m، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل m ∈ M؛ فإن g يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية qmلها شكل مميز ثابت مستقل عن m؛ فإن شكل g المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف، أما إذا كان  M متصل؛ فإن شكل  q_{m} المميز لا يعتمد على  m.
وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس  X_{i} محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:
q_{m}{\Bigl (}\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}{\Bigr )}=(\xi ^{1})^{2}+(\xi ^{2})^{2}+...+(\xi ^{p})^{2}-(\xi ^{p+1})^{2}-...-(\xi ^{n})^{2}
بالنسبة لبعض النقاط p بين 1 وn، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـq عند نفس النقطة m في M سيكون لهما نفس العدد p من الإشارات الموجبة، وشكل g هوزوج من الأعداد الصحيحة (p, n − p)، مما يدل على أن هناك p من الإشارات الموجبة و n − pسلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: (p, n − p)إذا كانت المصفوفة gijللمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: p الموجبة و n − pالسلبية.
بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:
إذا كان g له الشكل  (n,0)؛ فإن g هي ريماني متري، وتسمى M متشعب ريماني، خلاف ذلك (g ليس لها توقيع) فإنg هو متري ريماني زائف وM يسمى متشعب ريماني زائف أو شبه ريماني.
إذا كان M رباعي الأبعاد مع الشكل  (1,3) أو  (3,1)، فإن المتري يسمى لورنتزيان، وبشكلٍ عام الموتر المتري في البعد n يمتلك 4 أشكال هي: (1, n − 1)أو (n − 1, 1)تسمى أحيانًا لورنتزيان.
إذا كانت M ثنائية الأبعاد وg لها الشكل  (n,n)، فإن المتري يسمى زائدي.
مركبات المتري > متري معكوس

لنفترض أن f = (X1, ..., Xn)قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع G[f]مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:
g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,
يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة G[f]−1، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار fبواسطة مصفوفة A من خلال الآتي:
يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفةA ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.
لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن αهو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة p هناك α تحدد اقتران αpمُعرف على متجهات مماسية عند p بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية Xpو Ypوجميع الأعداد الحقيقية a وb:
\alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,
مع اختلاف p يُفترض أن تكون α دالة ناعمة بمعنى أن:
p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)
هي دالة ناعمة لـ p لأي حقل متجهات ناعم X.
أي حقل متجهات مشترك α له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات f، حيث يُحددوا من خلال التالي:
\alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.
يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:
\alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.
وبتغيير fبواسطة مصفوفة A؛ فإن α[f]تتغير حسب القاعدة الآتية:
\alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,
وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات α[f]يتحول إلى متجه متغير.
بالنسبة للزوج α وβ في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:
التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة fإلا أنه لا يعتمد فعليًا على fبطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى fAيعطي:
{\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}
حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (6) لا يتأثر بتغيير القاعدة fإلى أي قاعدة أخرى fAعلى الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة G[f]بواسطة gij، حيث تم رفع المؤشرين i و j للإشارة إلى قانون التحول (5).
مركبات المتري > متري مستحث

لنجعل U مجموعة مفتوحة فيℝn، وليكن φ دالة مستمرة قابلة للتفاضل من U إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث m > n، تعيين φ يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في U، وصورة φ تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى m = 3مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو ℝ3، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.
افترض أن φ غُمر في متشعب فرعي M ⊂ Rm، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد ℝmهو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.
افترض أن v متجه مماسي عند نقطة في U، ولنعتبر أن:
v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}
حيث eiهي متجهات الإحداثيات المعيارية في ℝn، وعندما يتم تطبيق φ على U ينتقل المتجه v إلى المتجه المماسي في M المُعطى من خلال:
\varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,
وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ v على طول φ، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: v و w، يُعرف المتري المستحث عن طريق:
g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w)
يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةeتُعطى بواسطة:
G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )
حيث Dφ هي المصفوفة اليعقوبية:
D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}
التعريفات الجوهرية للمتري

يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:
من ضرب الألياف للحزمة المماسية في M مع نفسها في Rبحيث يكون تقييد g لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:
g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R}
الارتباط في (10) يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان M يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.
التعريفات الجوهرية للمتري > متري كجزء من حزمة

بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي (10) يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم g⊗لثنائي حزمة ضرب الموتر لـ TMمع نفسها:
g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right)
يتم تعريف القسم g⊗على عناصر بسيطة من TM ⊗ TMمن خلال:
g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)
ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ TM ⊗ TMمن خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي لg متماثل إذاوفقط إذا:
g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }
حيث أن:
\tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM
هي خريطة الشريط.
نظرًا لأن M ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:
(\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,
بحيث يُنظر إلى g⊗أيضًا كقسم من الحزمة T*M ⊗ T*Mلحزمة ظل التمام T*Mمع نفسها، ونظرًا لأن g متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن g⊗موتر متماثل .
التعريفات الجوهرية للمتري > متري في حزمة متجه

بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في حزمة متجه، فإذا كانت E عبارة عن حزمة متجه على متشعب M؛ فإن المتري هو تعيين:
g:E\times _{M}E\to \mathbf {R}
من ضرب الألياف من E إلى Rوهو ثنائي خطي في كل ليف:
g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .
باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر E* ⊗ E*.