شبيكة مقلوبة
التعبير الرياضي

لنفرض شبيكة برافيزية ثنائية الأبعاد متمثلة بالمتجه:
\mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2} حيث أن  n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}
بأخذ دالة  f(\mathbf {r} ) بالنسبية إلى ( \mathbf {r} ) وهو متجه من نقطة الأصل إلى أي نقطة في الشبيكة، إذا كانت الدالة  f(\mathbf {r} ) دورية ضمن الشبيكة فمن المفيد أن يُعَبَّر عنها بشكل متسلسلة فورييه:
\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=f\left(\mathbf {r} \right)
ولأنها تحقق شرط الدورية، فإذن ستظهر لها نفس القيمة مع كل إمتداد للمتجة ( \mathbf {r} ) بمقدار متجه شبيكة حقيقية ( \mathbf {R} _{n})، يمكن التعبير عن هذا الشرط بالصيغة التالية:
f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} )
بإدخال هذا الشرط إلى تحويل فورييه نجد:
\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}}=e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}
هذه المعادلة صحيحة في حالة كون ( e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1) وهذا يحصل فقط عند الشرط التالي:
\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi \delta _{mn}N حيث أن  N\in \mathbb {Z}
يسمى المعامل ( \delta _{mn}) كرونكر دلتا، هذا الشرط يحدد قيم ( \mathbf {G} _{m}) بقيم تحقق العلاقة اعلاه فقط. من منظور الرياضيات الشبيكة المقلوبة تتمثل في كافة قيم متجه الشبيكة المقلوبة ( \mathbf {G} _{m}) التي تحقق الشرط أعلاه لكافة قيم متجهات الشبيكة الحقيقية ( \mathbf {R} _{n})، يمكن أيضاً كتابة أي دالة تحقق شرط الدورية للخلية على شكل متسلسلة فورييه بقيم زخم زاوية تؤخذ من الشبيكة المقلوبة.
الشبيكة المقلوبة في حد ذاتها تمثل شبيكة برافيزية، كما أن مقلوب الشبيكة المقلوبة يعطي الشبيكة الحقيقة، وهذا يظهر صفة إزدواجية بونترياغين  لمتجه الفضاء لكل منهما.
إيجاد الشبيكة المقلوبة لشبيكة حقيقية ثنائية الأبعاد لا نهائية متجهاتها الأساسية  \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right) ممكن عن طريق الحصول على المتجات الأساسية المقلوبة وذلك بتطبيق علاقة التحويل التالية:
\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}
حيث أن:
{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}\\\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}
هنا ( \mathbf {R} ) يمثل مصفوفة دوران بزاوية °90.
للشبيكة ثلاثية الأبعاد متجهاتها الأساسية  \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)، يمكن تحديد متجهات الشبيكة المقلوبة الأساسية لها من خلال علاقات التحويل التالية:
\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}
بالتعويض عن الضرب العددي الثلاثي بحجم الشبيكة  V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right):
{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}
يمكن التعبير عن التحويلات أعلاه بدلالة مصفوفة قابلة للعكس:
\left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}
تسمح هذه الطريقة بتطبيق التحويلات وتعميمها على أي عدد من الأبعاد، يكون الضرب الإتجاهي شائع في علم البلورات.
التعريف أعلاه يسمى تعريف «الفيزياء»، وذلك لأن العامل ( 2\pi ) ظهر طبيعياً كنتيجة لدراسة التراكيب الدورية، يوجد تعريف آخر يسمى تعريف «علم البلورات» يأتي من استخدام المساواة  e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1 في التحليل مما يغير صيغة التحويل إلى الشكل التالي:
\mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}} وهكذا للمتجهات الأخرى...
تظهر ميزة تعريف «علم البلورات» في كونها تُبين ببساطة أن المتجة  \mathbf {b} _{1} هو مقلوب المتجه  \mathbf {a} _{1}، بإتجاه  (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}) مع إسقاط المعامل ( 2\pi ) في العلاقة، هذا يبسط من المعالجات الرياضية، ويعبر عن أبعاد الشبيكة المقلوبة بوحدات التردد الفراغي، مع أن استعمال كلا التعرفيين هو مسألة إختيارية لكن بشرط عدم خلطهما مع بعضهما.
كل نقطة في الشبيكة المقلوبة بإحداثيات  (hkl) تقابل مجموعة المستويات  (hkl) في الشبيكة الحقيقية، وإتجاه المتجهات المقلوبة يتوافق مع الإتجاه العمودي لمستويات الفضاء الحقيقي، وقيمة المتجهات العددية تسمى بمقلوب الطول وتساوي مقلوب المسافة الواصلة بين مستويات الفضاء الحقيقي.