stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
عدد أولي

عدد أولي
| 0 | 1 |
| --- | --- |
صنف فرعي من:  عدد صحيح خال من المربعات عنصر أولي 
جزء من:  set of prime numbers (en)  
تعريف الصيغة:   p:\tau (p)=2 
الرموز في الصيغة:   p  \tau  
ممثلة بـ:  قاسم 
التدوين الرياضي:  P 
النقيض:  عدد غير أولي 
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جُداء (ضَرب) مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.
مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسياً مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسياً مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.
خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساساً هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.
تعريف وأمثلة

يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي :

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
المبرهنة الأساسية في الحسابيات

المقالة الرئيسة: المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،
| 0 | 1 |
| --- | --- |
23244: = 2 · 2 · 3 · 13 · 149
: = 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2.
أ,
3*7=21
كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية :n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هذه الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
المبرهنة الأساسية في الحسابيات > هل العدد 1 عدد أولي ؟

لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
التاريخ

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.
مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n + 1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216 + 1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232 + 1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p − 1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.
احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p − 1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن..
منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
عدد الأعداد الأولية

المقالة الرئيسة: مبرهنة إقليدس
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
عدد الأعداد الأولية > برهان أقليدس

برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.
عدد الأعداد الأولية > برهان أويلر التحليلي

يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي :
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.
هو عدد منته.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية

هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هذه الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية > عن طريق القسمة المتكررة

الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية > الغرابيل

المقالة الرئيسة: غربال إراتوستينس
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية > اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك

الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين : الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية.
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن : a^{p-1}\equiv 1\ \ (p)
عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا  a^{560}\equiv 1\ \ (561)
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان p غير أولي فإن  a^{p-1} متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان:  1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}\ \ (x)، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
| الاختبار | طُور عام | النوع | الوقت الضروري للاختبار | ملاحظات |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما | 2002 | قطعي | ((O(log6+ε(n |  |
| برهان المنحنيات الإهليلجية على أولية عدد ما | 1977 | قطعي | O(log5+ε(n)) heuristically |  |
| اختبار Baillie-PSW لأولية عدد ما | 1980 | احتمالي | O(log3 n) | لا يعرف مثال مضاد |
| اختبار ميلر-رابن لأولية عدد ما | 1980 | احتمالي | O(k · log2+ε (n)) | احتمال الخطأ 4−k |
| اختبار سولوفاي-شتراسن لأولية عدد ما | 1977 | احتمالي | O(k · log3 n) | احتمال الخطأ 2−k |
| اختبار فيرما لأولية عدد ما |  | احتمالي | O(k · log2+ε (n)) | يفشل عند عدد كارميكائيل |
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية > خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف

المقالات الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية أكبر عدد أولي معروف
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية > تعميل الأعداد الصحيحة

المقالة الرئيسة: تحليل عدد صحيح
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
التوزيع > عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين

المقالة الرئيسة: مبرهنة الأعداد الأولية
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.
التوزيع > المتتاليات الحسابية

المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هذه المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
انظر مبرهنة غرين-تاون.
التوزيع > القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية

لاحظ أويلر أن الدالة
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
مسائل لم تحل بعد > دالة زيتا وفرضية ريمان

المقالة الرئيسة: فرضية ريمان
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته :
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي :
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
مسائل لم تحل بعد > حدسيات أخرى

الصفحة الرئيسة: تصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هذه الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هذه الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:
حدسية التوأمين الأولية
خصائص الأعداد الأولية

أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)
برمجة الأعداد الأولية

يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون) :
def isPrime(num):
    if num>1:
        for count in range(2,int(num**(1/2))):
            if not(num%count):
                return False
                break
        return True
    else:
        return False
for count in range(0,100):
    if isPrime(count):
        print(count,end=",")
#in the screen : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
في الجبر التجريدي

مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.
في الجبر التجريدي > الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية

المقالة الرئيسة: حسابيات نمطية
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.
في الجبر التجريدي > الأعداد التقاربية بتردد p

المقالة الرئيسة: عدد تقاربي بتردد p
في الجبر التجريدي > العناصر الأولية في الحلقات

المقالة الرئيسة: عنصر أولي
في الجبر التجريدي > نظرية الزمر

في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت  p^{n} قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها  p^{n}. تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
تطبيقات

لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هذه النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.
تطبيقات > التشفير باستخدام المفتاح المعلن

المقالة الرئيسة: تشفير باستخدام المفتاح المعلن
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
الأكاديمية الأرمنية للعلوم

| الأكاديمية الأرمنية للعلوم> (بالأرمنية: Հայաստանի գիտությունների ազգային ակադեմիա)‏    | الأكاديمية الأرمنية للعلوم> (بالأرمنية: Հայաստանի գիտությունների ազգային ակադեմիա)‏    |
| --- | --- |
الأكاديمية الأرمنية للعلوم: الأكاديمية الأرمنية للعلوم
الاختصار: (بالأرمنية: ՀՀ ԳԱԱ)‏  
البلد:  أرمينيا 
المقر الرئيسي: يريفان  
تاريخ التأسيس: 10 نوفمبر 1943  
عدد الموظفين: 4500   
الجوائز : الجوائز 
 وسام الصداقة بين الشعوب   :  وسام الصداقة بين الشعوب   
الموقع الرسمي: الموقع الرسمي (متعدد اللغات)  
ar: ar
الإحداثيات: 40°11′32″N 44°30′31″E﻿ / ﻿40.1921194°N 44.5086889°E﻿ / 40.1921194; 44.5086889   
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
الأكاديمية الأرمنية للعلوم في يريفان.
الأكاديمية الأرمنية للعلوم (بالأرمنية: Հայկական Գիտությունների Ազգային Ակադեմիա) وتعرف منذ عام 1993 باسم الأكاديمية الوطنية للعلوم لجمهورية أرمينيا. أسست بتاريخ 25 نوفمبر الثاني 1943 على أسس أكاديمية العلوم للاتحاد السوفييتي الفرع الأرمني الذي نُظم عام 1935. يقع المركز الرئيسي للأكاديمية في العاصمة يريفان.
رؤساء الأكاديمية

أحد مؤسسي الأكاديمية الأرمنية وأحد أول رؤسائها هو البروفيسور هوفسيب أوربيلي، عضو أكاديمية الاتحاد السوفييتي. وبين عامي 1947 و1993 كان رئيس الأكاديمية هو البروفيسور فيكتور آمبارتسوميان عضو أكاديميتي العلوم في كل من الاتحاد السوفييتي وأرمينيا. خلفه في منصبه عام 1993 الأكاديمي فادي ساركزيان حتى عام 2006، حيث تسلم المهام الرئاسية الأكاديمي راديك مارتيروسيان.
التنظيم والأقسام

الأكاديمية الأرمنية للعلوم هي منظمة علمية عليا في البلاد ذات إدارة ذاتية، يتوحد فيها أعضاءها مع مؤسسات بحثية وعلمية تابعة لها. تعمل الأكاديمية على دعم وتنفيذ المشاريع والأبحاث الأساسية والتطبيقية في مختلف المجالات العلمية، وكذلك ترعى وتنسق البحوث التي تجري في جميع أنحاء أرمينيا. وتعتبر الأكاديمية المرجع العلمي الأعلى للهيئات التشريعية والحكومية في الدولة.
يتم تمويل الأكاديمية من قبل الدولة الأرمنية وبنفس الوقت تتلقى معونات مالية من عدة دول وجمعيات خاصة أو عن طريق عقود مباشرة تبرم بين الأكاديمية ومنظمات أخرى في أرمينيا والخارج. ويضم جسم الأكاديمية خمسة أقسام علمية يختص كل منها بناحية محددة من العلوم:
قسم العلوم الرياضية والتقنية
قسم الفيزياء والفلك
قسم العلوم الطبيعية
قسم الدراسات الأرمنية (أرمينولوجيا) والعلوم الاجتماعية
قسم الكيمياء وعلوم الأرض.
التعاون العلمي الدولي

للأكاديمية الأرمنية للعلوم اتفاقيات تعاون علمي مع أكاديميات العلوم في كل من روسيا وجورجيا وبيلاروسيا وأوكرانيا وتركمانستان وهنغاريا والصين وأيضاً مع الجمعية الملكية في المملكة المتحدة. وتحافظ المؤسسات العلمية التابعة لها على صلات دولية واسعة وعلاقات تعاون مع العديد من الجامعات والمعاهد في الولايات المتحدة وألمانيا وفرنسا وهولندا وإسرائيل وإيران وقبرص والمكسيك وفي بلدان أخرى. كما أن الأكاديمية الأرمنية تشترك في برامج علمية للعديد في المنظمات والمؤسسات العالمية.
مواضيع ذات صلة

قائمة الأكاديميات اللغوية
روز ناماجوناس

روز ناماجوناس (بالإنجليزية: Rose Namajunas؛ مواليد 29 يونيو 1992) هي مُقاتلة فنون قتالية مختلطة أمريكية محترفة. تُنافس حاليًا في فئة وزن الذبابة للسيدات في يو إف سي، وهي بطلة سابقة لوزن القشة للسيدات في يو إف سي مرتين. اعتبارًا من 2 أبريل 2024، احتلت المركز السادس في تصنيفات وزن الذبابة للسيدات في يو إف سي، واعتبارًا من 9 أبريل 2024، احتلت المركز السابع في تصنيفات وزن الذبابة للسيدات في يو إف سي.
نزالات الدفع مقابل المشاهدة

| # | الحدث | القتال | التاريه | المكان | المدينة | المبلغ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | يو إف سي 237 | ناماجوناس ضد أندرادي | 11 مايو 2019 | صالة إتش إس بي سي | ريو دي جانيرو، البرازيل | لم يُكشف عنه |
سجل فنون القتال المختلطة

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| السجل المهني | السجل المهني |  |
| 19 نزال | 13 فوز | 6 خسارة |
| ضربة قاضية | 2 | 1 |
| إخضاع | 5 | 1 |
| قرار القضاة | 6 | 4 |
وصلات خارجية

في كومنز مواد ذات صلة بـ روز ناماجوناس.
روز ناماجوناس على موقع يو إف سي (الإنجليزية)
روز ناماجوناس على موقع شيردوغ (الإنجليزية)
روز ناماجوناس على موقع Tapology.com (الإنجليزية)
روز ناماجوناس على موقع IMDb (الإنجليزية)
روز ناماجوناس على موقع قاعدة بيانات الفيلم (الإنجليزية)
بوابة أعلام
بوابة المرأة
بوابة الولايات المتحدة
بوابة تايكوندو
بوابة فنون قتالية
بن قاسم (الركابيين)

| بن قاسم> تقسيم إداري  | بن قاسم> تقسيم إداري  |
| --- | --- |
البلد:  المغرب 
الجهة: الرباط سلا القنيطرة
الإقليم: الصخيرات تمارة
الدائرة: عين العودة
الجماعة القروية: عين عتيق
المشيخة: الركابيين
السكان : السكان 
التعداد السكاني: 251 نسمة (إحصاء 2004)
  • عدد الأسر: 53
معلومات أخرى : معلومات أخرى 
التوقيت: ت ع م±00:00 (توقيت قياسي) ت ع م+01:00 (توقيت صيفي)  
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
بن قاسم هو دُوَّار يقع بجماعة عين عتيق، عمالة الصخيرات تمارة، جهة الرباط سلا القنيطرة في المملكة المغربية. ينتمي الدوّار لمشيخة الركابيين التي تضم 7 دواوير. يقدر عدد سكانه بـ 251 نسمة حسب الإحصاء الرسمي للسكان والسكنى لسنة 2004.
مراجع

1 2   http://www.worldtimezone.com/time-africa24.php. {{استشهاد ويب}}: |url= بحاجة لعنوان (مساعدة) والوسيط |title= غير موجود أو فارغ (من ويكي بيانات) (مساعدة)
↑  "الإحصاء العام للسكان والسكنى لسنة 2004 (المغرب)" (PDF). المندوبية السامية للتخطيط. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2012-04-23. اطلع عليه بتاريخ 2020-08-16.
الجسمي 2006 (ألبوم)

الجسمي 2006 هو ألبوم صدر في 2006 للمطرب الإماراتي حسين الجسمي.
الجسمي 2006
| 0 | 1 |
| --- | --- |
الفنان:  حسين الجسمي
نوع العمل:  ألبوم 
الشكل الإبداعي:  ألبوم إستديو 
اللغة:  عربي - مصري، خليجي
عدد الأغاني:  13 اغنية
تاريخ الإصدار:  2006
المدة:  1:02:32
| 0 | 1 |
| --- | --- |
العلامة التجارية:  مجموعة روتانا 
نسق التوزيع:  قرص مضغوط 
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات