قبلة
تحديد اتجاه القِبلة > الرياضيات والمسلمون > القِبلةُ بواسطة حساب المثلثات الكروية

طالع أيضًا: حساب المثلثات الكروية
وهو العِلْم الذي برع فيه عُلماء المُسْلِمين قديمًا واستقر العَمل في تحديد القِبلة عليه ؛
المُعادلة مِن حساب المثلثات الكروية تعتمد فقط على إحداثيات الطُّول والعَرْض لكل مِن مَكَّة وموقع المُتَوَجِّه إليها بالصَّلاة، ومِن خلالها نحسب المسافة بين موقعِهِ وموقع مكة بمعادلة، ثُمَّ قيمة زاوية القِبلة بِمُعادلةٍ أُخرى
وتكون زاوية القِبلة مع اتجاه الشَّمال في اتجاه دوران عقارب الساعة دائمًا، لذا يَلْزَمُ تحديدُ الشَّمال الجُغرافي (والذي غالبًا ما يشير إليه الظِّل ظُهرًا لِمَنْ يَسْكُنُ شَمَالَ مَوقعِ تعامد الشَّمس، أو إلى الجنوب لِمَن يَسكُنُ جنوبَ موقِعِ تعامُدِها ) أو تكونُ مع الشَّمال المغناطيسي بواسطة البوصلة (أو مغناطيس معلق بوضع حُر مِن منتصف المسافة بين قُطبيه حيث يشير قُطبُه المُوْجَب للشَّمال المغناطيسي للأرض وهناك مواقع متخصصة لِحساب الفرق بين الشمال المغناطيسي والجُغرافي حيث تُخصم القِيَمُ المُوجَبة مِن زَاويَةِ القِبلة، وتُضاف القيم السَّالبة إليها) وذلك لكي تُطَبَّق نتائج المُعادَلات بِشكْلٍ عَمَليّ.
المعادلة الأولى لتحديد أقصر مسافة بين مَوْقِع المُصَلِّي وموقع مَكَّة :-
\cos a=(\cos b\,.\,\cos c)+(\sin b\,.\,\sin c\,.\,\cos A\,)
حيث a وb وc هي الأقواس الثَّلاثة للمُثَلَّثِ الكُرَوِيّ، والزَّاوية A هي الزَّاوية المُقابِلَة للقَوْس a.
قِيمَة b =
(90 - رقم دائرة العرض مكة)، وهي المسافة مِن القطب الشَّماليّ إلى مَكَّةَ بِالدرجات القوسيَّة مع أهمية وضع الإشارة في رقم دائرة العرض بحيث تصير 90 + رقم دائرة العرض لو كان الموقع جنوب الاستواء ؛
قيمة c =
(90 - رقم دائرة العرض الموقع المحَلِّيّ)، وهي المسافة مِن القطب الشَّماليّ إلى الموقع المحَلِّيّ بِالدرجات القوسيَّة ؛
قيمة a =
المسافة بين مِكَّة والموقع المَحلِّي بالدرجات القوسية والمحسوبة في المُعادلةِ الأُولى حيث نحصل بواسطة الحاسِبَة على الزاوية التي جيب تمامها يساوي ناتج تِلْكَ المُعادلة ؛
قيمة A =
| خط طول مكة - خط طول الموقع الآخر |، الفَرق المُطلق (المُوجَب) بين خَطَّيّ طُول مَكَّة والموقع المَحلِّيّ ؛
حيث تُكتَبُ الرُّموز الكَبيرة A، B، C للدلالة على الزَّوايا بين جَوانِبِ المُثلَّث الكُرَويّ على السَّطح الخارجي للكُرة والرُّموز الصَّغيرة a، b، c للدلالة على قِيَم جوانِب المُثَلَّث والتي تُحسَب بالدَّرجات القَوسِيَّة وبِحَسَب قِيمة الدرجة القوسية يُعرف الطُّول الحقيقيّ لها وهي (خارج قِسمَة محيط الأرض ÷ 360 درجة) ؛
ثُمَّ نُطَبِّق المعادلة الثانية لِحساب قيمة الزَّاوية B وهي زاوية انحراف جِهة مَكَّة عن جِهَة القُطب الشَّمالي (زاوية القِبلة) بِالنِّسبَة للموقع المَحلِّي (موقع المُصَلِّي)، وهي الزَّاوية المقابلة للقوس b في المثلث الكروي سالف الذِّكر:-
\cos B\ ={\operatorname {} \!\cos b-(\cos a\,.\,\cos c) \over \operatorname {} \!\sin a\,.\,\sin c}
وبواسطة الحاسبة نحصل على قِيمَةِ الزَّاويَّةِ التي جيب تمامها يساوي ناتج المُعادلة السَّابِقة،
هذا ويُمكِنُ كِتابَة المُعادَلَتين بِدون الطَّرح مِن 90 بهذه الصورة :-
\cos a=(\sin b\,.\,\sin c)+(\cos b\,.\,\cos c\,.\,\cos A\,)
وفيها تكتب أرقام دوائِر العَرض مُباشَرةً حيثُ تكون b في المُعادلة = رقم دائرة عرض مكة ، وتكُوْن c رقم دائرة عرض الموقع الذي فيهِ المُصَلِّي ؛
حيث أنَّ :- جيب (90 - الزَّاوية) = جيب تمام نِفْس الزَّاوية ؛ والعكس صحيح ، جيب تمام (90 - الزَّاوية) = جيب نِفْس الزَّاوية ؛
كذلك تُصَاغُ المُعادلة الثَّانية في هذهِ الحالةِ هكذا :
\cos B\ ={\operatorname {} \!\sin b-(\cos a\,.\,\sin c) \over \operatorname {} \!\sin a\,.\,\cos c}
وكَذلِكَ يُمكِن تطبيق المُعادَلة التَّالية  بشكل مُباشِر على رَقَم دائرة عَرض مكَّة b والفرق بين خط طولها وخط طول الموقع المَحَلِّي A وناتج معادلة حِساب أقصر مسافة بين مكَّة والموقع المحلِّي a :-
\sin B\ ={\operatorname {} \!\cos b.\,\sin A \over \operatorname {} \!\sin a\,}
لكن معادلة sin تعطي نفس القيمة لزاوية ما والزاوية المُكَمِلة لها ويمكن تفسير ذلك في كون الزاوية تقاس مع خط الزوال فتكون عند قياسها من جهة الشَّمال بقيمة وعند قياسها مع جهة الجنوب بالقيمة المكملة أي ( 180 - تلك القيمة )
وهُناك مُعادَلَة أُخرى مُباشرة  وليس مُعادلتين للحصول على زاوية القِبلة لكنها تُعطي أقل قيمة لِلزاويّة مَعَ خَطِّ الزَّوال (خَطُّ مُنْتَصَفِ النَّهار أو الخط الواصل بين الشَّمال والجنوب ) بمعنى أنَّهُ يَلْزَمُ النَّظَرُ للخريطة لتوقُّع قِيمة الزَّاوية أولًا مِن حيث الاتجاه للشرق أو للغَرب وللشَّمال أو للجَنوب بطبيعة المَسار المُوَصِّلِ بين موقعيّ مكة والمُصَلِّي فتكون فائدة المُعادَلة فقط تحديد قيمة الزَّاوية رَقَمِيًّا :-
\cot B\ ={\operatorname {} \!(\cos A\,.\,\sin c)-(\cos c\,.\,\tan b) \over \operatorname {} \!\sin A\,}
مَعَ مُراعاة اختلاف شَكْلِ الأرضِ الحقيقي عن النَّموذج الكُروي تَام الاستدارة وهذا مجال عمل المُتَخَصَّصِين في الـجيوديسيا لِذا يَتِمُّ بناءُ المَساجِد الكَبيرة بأجهزة المِساحة المُخَتَصَّة بِذلِك لتوفير أكبر دَرَجَةٍ مِن الدِقَّة في تَعيينِ القِبْلة وتُستَخدَمُ الطُرُق الأُخرى فيما سُوى ذلك حيثُ تكونُ الفُروق ضئيلة نِسْبِيًّا بينَ النَّموذجين الكُرَوَي والبَيضاويّ شِبه الكُروي ؛
هَذَا، ويمكن باستخدام آداة المَسْطَرَة في جوجل إيرث رسم خط بين الموقع ومكة وآخر بينه وبين القطب الشمالي ثم تصوير صورة بالحاسوب للسطح عن قُرب بحيث تظهر الزاوية بين الخَطَّين وتُقاس برسم خَطين مُضافَيْن مطابقين للخَطَّين في الصُّورة المُلتقطة بعد إدخالها لبرنامج هندسي مثل جيوجبرا، وهي طريقة تعتمد على كون نموذج جوجل إيرث نموذج كروي غير تامّ الإستدارة فتكون قيمة الزاوية أكثر دقة؛ وعمومًا معرفة زاوية القِبلة واتجاه الشَّمال يتيح معرفة القِبلة في أي وقت فحينما تكون الزاوية مرسومة بين خطين بورقة موضوعة أُفقيًّا مع سطح الأرض ويشير أحد الخَطَّين لاتجاه الشمال سيشير الخط الآخر لاتجاه مكة المكرمة بحيث تكون جهة القِبلة مائلة للشرق لمن يسكن بنصف الأرض الغربيّ مِن مكة وللغرب لمن يسكن بالنِّصف الشَّرقيّ منها.