نظرية القشرة الكروية
اشتقاق حقل الجاذبية خارج جسم كروي مصمت

هناك ثلاث خطوات لإثبات نظرية نيوتن القشرية. أولًا، نشتق معادلة الحقل الثقالي (أو حقل الجاذبية) لحلقة مادية (ذات كتلة). ثانيًا، بترتيب عدد لا نهائي من الحلقات لا متناهية الرقة لصنع قرص، تُستخدم تلك المعادلة المطبقة على حلقة لدراسة الحقل الثقالي لقرص. أخيرًا، بترتيب عددٍ لا منتهٍ من الأقراص لا متناهية الرقة لصنع كرة، تُستخدم تلك المعادلة المطبقة على قرص لإيجاد حقل الجاذبية الناتج عن كرة.
يعطى الحقل الثقالي في نقطة تدعى  P عند  (x,y)=(-p,0) على محور السينات  x الناتج عن نقطة مادية  M في مركز الإحداثيات بالعلاقة:
E_{point}={\frac {GM}{p^{2}}}
نفترض تحرك هذه الكتلة إلى الأعلى على محور العينات  y إلى نقطة  (0,R). المسافة بين  P والنقطة المادية أصبحت الآن أكبر مما سبق؛ إذ تصبح بطول وتر المثلث ذي الضلعين  P و  R والذي يساوي  sqrt(p^{2}+R^{2})
E_{elevatedpoint}={\frac {GM}{(p^{2}+R^{2})}}
تساوي شدة الحقل الثقالي الذي يمكنه سحب جسيم عند النقطة  P باتجاه  x إلى حقل الجاذبية مضروبًا بـ  cos{\theta } حيث  \theta  زاوية مجاورة لمحور السينات  x. في هذه الحالة،  cos(theta)=p/sqrt(p^{2}+R^{2}).
E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}
وتكتب بشكل أبسط:
E_{x}={\frac {GMp}{(p^{2}+R^{2})^{3/2}}}
لنفترض أن هذه الكتلة موزعة بانتظام على حلقة مركزها مركز الإحداثيات وتقابل النقطة  P بنفس نصف القطر  R. لأن كل الكتلة تقع على نفس الزاوية بالنسبة لمحور السينات  x، والمسافة بين النقاط الواقعة على الحلقة نفسها المسافة السابقة؛ الحقل الثقالي للحلقة باتجاه  x عند نقطة  P يساوي الحقل الناتج عن نقطة مادية تقع في نقطة  R فوق محور العينات  y:
E_{ring}={\frac {GMp}{(p^{2}+R^{2})^{3/2}}}
لإيجاد الحقل الثقالي لقرص عند نقطة  P، يمكن وضع عدد غير منتهٍ من الحلقات لا متناهية الرقة مقابل النقطة  P، كلًّا بنصف قطر  y، وعرض  dy، وكتلة  dM داخل بعضها البعض لتشكيل قرص. كتلة أي من الحلقات  dM هي كتلة القرص مضروبةً بنسبة مساحة الحلقة  2*pi*y*dy إلى المساحة الكلية للقرص  pi*R^{2}، إذن:  dM=M*2*y*dy/R^{2}.
dE={\frac {Gp*dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}
\int dE=\int {\frac {{\frac {2GM}{R^{2}}}*p*y*dy}{(p^{2}+y^{2})^{(}3/2)}}
بجمع الآثار الجزئية لكل هذه الحلقات في الحقل الثقالي تنتج علاقة الحقل الثقالي لقرص. يكافئ هذا مكاملة العلاقة السابقة من  y=0 إلى  y=R، والنتيجة:
E_{disc}={\frac {2GM}{R^{2}}}*(1-{\frac {p}{sqrt(p^{2}+R^{2})}})
لإيجاد الحقل الثقالي لكرة مركزها مركز الإحداثيات عند نقطة  P، يمكن وضع عدد غير منتهٍ من الأقراص لا متناهية الرقة المقابلة للنقطة  P، كل بنصف قطر  R، وعرض  dx وكتلة  dM مع بعضها البعض.
تتبع أنصاف أقطار هذه الأقراص  R لارتفاع المقطع العرضي من كرة (ذات نصف قطر ثابت  a)، وهي معادلة نصف دائرة:  R=sqrt(a^{2}-x^{2}). تتراوح قيمة  x بين  -a و a.
كتلة أي من الأقراص  dMهي كتلة الكرة  M مضروبةً بنسبة حجم قرص لا منتهي الرقة إلى حجم كرة (ذات نصف قطر ثابت  a). حجم القرص لا متناهي الرقة هو  pi*R^{2}*dx أو  pi*(a^{2}-x^{2})*dx. إذن:  dM=M*pi*(a^{2}-x^{2})*dx/((4/3)*pi*a^{3}). وبالتبسيط:  dM=M*3*(R^{2}-x^{2})*dx/(4*a^{3}). تتراوح  x بين  -a و a.
يتغير بُعد كل قرص عن النقطة  P مع موقعه ضمن «الكرة» المكونة من الأقراص. لذا تجب الاستعاضة عن  p بـ  p+x. تتراوح  x بين  -a و a.
بالاستعاضة عن  M بـ  dM، وعن  R بـ  sqrt(a^{2}-x^{2})، وعن  p بـ  p+x في معادلة «القرص» ينتج:
dE={\frac {\frac {2G*(3M*(a^{2}-x^{2}))}{4a^{3}}}{sqrt(a^{2}-x^{2})^{2}}}*(1-{\frac {p+x}{sqrt((p+x)^{2}+sqrt(a^{2}-x^{2})^{2}))}}dx
بالتبسيط:
\int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}*(1-{\frac {p+x}{sqrt(p^{2}+a^{2}+2px)}})dx
بمكاملة الحقل الناتج عن كل قرص رقيق من  x=-a إلى  x=+a بالنسبة لـ  x، وبعد حسابات جبرية دقيقة، تنتج نظرية نيوتن القشرية بشكل جميل.
E=G*M/p^{2} حيث  p هي المسافة بين مركز الكتلة الكروية ونقطة ما  P. يمكن حساب الحقل الثقالي الناتج عن كتلة كروية باعتبار كل الكتلة جسيمًا نقطيًّا يقع في مركز الكرة.