قانون علمي
قوانين الفيزياء > قوانين الميكانيكا الكلاسيكية > مبدأ العمل الأقل

المقالة الرئيسة: مبدأ العمل الأقل
يمكن اشتقاق الميكانيكا الكلاسيكية، بما في ذلك قوانين نيوتن ومعادلات لاغرانج ومعادلات هاملتون وما إلى ذلك، من المبدأ التالي:
\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0
أين  {\mathcal {S}} هو العمل تكامل لاغرانج
L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)
من النظام الفيزيائي بين مرتين t 1 و t 2 . الطاقة الحركية للنظام هي T (دالة لمعدل التغيير في تكوين النظام)، والطاقة الكامنة هي V (دالة التكوين ومعدل التغيير). يتم تحديد تكوين النظام الذي يحتوي على درجات N من الحرية من خلال الإحداثيات المعممة q = (q 1، q 2... q N).
هناك عزم معمم مترافق مع هذه الإحداثيات، ص = (ص 1، ص 2... ص ن)، حيث:
p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}
يحتوي كل من الإجراء ولاغرانج على ديناميكيات النظام في جميع الأوقات. يشير مصطلح «المسار» ببساطة إلى منحنى يتتبعه النظام من حيث الإحداثيات المعممة في مساحة التكوين، أي المنحنى q (t)، المحدد بواسطة الوقت (انظر أيضًا المعادلة البارامترية لهذا المفهوم).
العمل هو وظيفي وليس وظيفة، لأنه يعتمد على لاغرانج، واغرانج يعتمد على ف المسار (ر)، وذلك يعتمد العمل على كامل «شكل» من مسار لجميع الأوقات (في فاصل زمني من ر 1 إلى ر 2). بين لحظتين من الزمن، هناك عدد لا نهائي من المسارات، ولكن المسار الصحيح هو المسار الذي يكون فيه الإجراء ثابتًا (من الدرجة الأولى). القيمة الثابتة للسلسلة الكاملة لقيم لاغرانج المقابلة لمسار ما، وليس قيمة واحدة فقط من لاغرانج، مطلوبة (بمعنى آخر، ليس الأمر بسيطًا مثل «تمييز دالة وضبطها على الصفر، ثم حل المعادلات إلى أوجد نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى وما إلى ذلك»، بدلاً من تطبيق هذه الفكرة على«شكل» الوظيفة بالكامل، راجع حساب التباينات لمزيد من التفاصيل حول هذا الإجراء).
الملاحظة L ليست إجمالي الطاقة E للنظام بسبب الاختلاف، وليس المجموع:
الأساليب العامة التالية للميكانيكا الكلاسيكية أدناه بترتيب التأسيس. إنها صيغ متكافئة. يشيع استخدام نيوتن بسبب البساطة، لكن معادلات هاملتون ولاجرانج أكثر عمومية، ويمكن أن يمتد مداها إلى فروع الفيزياء الأخرى مع التعديلات المناسبة.
| قوانين الحركة | قوانين الحركة |
| --- | --- |
 {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,\!:  {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,\!
معادلات أويلر-لاغرانج هي :  {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}} باستخدام تعريف الزخم المعمم، هناك التناظر:  p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}: معادلات هاملتون  {\dfrac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}=-{\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }} {\dfrac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}={\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }} ال هاميلتوني كدالة للإحداثيات والعزم المعمم له الشكل العام:  H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L
معادلات أويلر-لاغرانج هي :  {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}} باستخدام تعريف الزخم المعمم، هناك التناظر:  p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}: معادلة هاملتون - جاكوبي  H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)=-{\frac {\partial S}{\partial t}}
قوانين نيوتن قوانين نيوتن للحركة إنها حلول محدودة للنسبية. الصياغات البديلة لميكانيكا نيوتن هي ميكانيكا لاغرانج وهاملتونيان. يمكن تلخيص القوانين من خلال معادلتين (حيث أن الأولى هي حالة خاصة من الثانية، صفر الناتج من التسارع):  \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {F} _{ij}=-\mathbf {F} _{ji} حيث p = زخم الجسم، Fij = القوة على الجسم i بواسطة الجسم j، Fji = القوة المؤثرة على الجسم j بواسطة الجسم i. بالنسبة للنظام الديناميكي، تتحد المعادلتان (بشكل فعال) في واحدة:  {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {i} }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{\mathrm {i} \neq \mathrm {j} }\mathbf {F} _{\mathrm {ij} }\,\! حيث FE = القوة الخارجية الناتجة (بسبب أي عامل ليس جزءًا من النظام). الجسد أنا لا يمارس قوة على نفسه.: قوانين نيوتن قوانين نيوتن للحركة إنها حلول محدودة للنسبية. الصياغات البديلة لميكانيكا نيوتن هي ميكانيكا لاغرانج وهاملتونيان. يمكن تلخيص القوانين من خلال معادلتين (حيث أن الأولى هي حالة خاصة من الثانية، صفر الناتج من التسارع):  \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {F} _{ij}=-\mathbf {F} _{ji} حيث p = زخم الجسم، Fij = القوة على الجسم i بواسطة الجسم j، Fji = القوة المؤثرة على الجسم j بواسطة الجسم i. بالنسبة للنظام الديناميكي، تتحد المعادلتان (بشكل فعال) في واحدة:  {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {i} }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{\mathrm {i} \neq \mathrm {j} }\mathbf {F} _{\mathrm {ij} }\,\! حيث FE = القوة الخارجية الناتجة (بسبب أي عامل ليس جزءًا من النظام). الجسد أنا لا يمارس قوة على نفسه.
مما سبق، يمكن اشتقاق أي معادلة للحركة في الميكانيكا الكلاسيكية.
النتائج الطبيعية في الميكانيكا:
قوانين أويلر للحركة.
معادلات أويلر (ديناميكيات الجسم الصلبة).
النتائج الطبيعية في ميكانيكا الموائع:
يمكن اشتقاق المعادلات التي تصف تدفق السوائل في مواقف مختلفة، باستخدام معادلات الحركة الكلاسيكية المذكورة أعلاه وغالبًا ما يتم الحفاظ على الكتلة والطاقة والزخم. تتبع بعض الأمثلة الأولية.
مبدأ أرخميدس.
مبدأ برنولي.
قانون هاجن-بوازوي.
قانون ستوكس.
معادلات نافيير-ستوكس.
قانون الفاكس.