صلب مقوى
الحل

يمكن عرض حل هذه المسألة بشكل أكثر ملاءمة للحسابات اليدوية. يمكن عرضه بطريقة بيانية. يمكن أيضًا عرضه بشكل أكثر ملاءمة للتطبيق على الحاسب الآلي. في هذه المقالة، سنستعرض الطريقة الأخيرة.
هناك 12 حل تعزيز ممكن لهذه المسألة، وهي موضحة في الجدول أدناه. يحتوي كل صف حلًّا ممكنًا. يحتوي أول عمود رقم الحل. العمود الثاني يعطي الشروط التي يصلح عندها الحل. في حين تعطي الأعمدة 3 و4 و5 الصيغ لحساب نسب التعزيز.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | الشرط |  \rho _{x}  f_{y} |  \rho _{y}  f_{y} |  \rho _{z}  f_{y} |
| 1 |  I_{1} ≤ 0,  I_{2} ≥ 0,  I_{3} ≤ 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 |  \sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2} > 0  I_{1}(\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2})-I_{3} ≤ 0 I_{2}(\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2})-I_{3}(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}) ≥ 0 |  {\frac {I_{3}}{\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2}}} | 0 | 0 |
| 3 |  \sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2} > 0  I_{1}(\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2})-I_{3} ≤ 0 I_{2}(\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2})-I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}) ≥ 0 | 0 |  {\frac {I_{3}}{\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2}}} | 0 |
| 4 |  \sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2} > 0  I_{1}(\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2})-I_{3} ≤ 0 I_{2}(\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2})-I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}) ≥ 0 | 0 | 0 |  {\frac {I_{3}}{\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2}}} |
| 5 |  \sigma _{xx}<0 | 0 |  \sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{xy}^{2}}{\sigma _{xx}}}+|\sigma _{yz}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}| |  \sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{xz}^{2}}{\sigma _{xx}}}+|\sigma _{yz}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}| |
| 6 |  \sigma _{yy}<0 |  \sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xy}^{2}}{\sigma _{yy}}}+|\sigma _{xz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}| | 0 |  \sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{yz}^{2}}{\sigma _{yy}}}+|\sigma _{xz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}| |
| 7 |  \sigma _{zz}<0 |  \sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xz}^{2}}{\sigma _{zz}}}+|\sigma _{xy}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xz}}{\sigma _{zz}}}| |  \sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{yz}^{2}}{\sigma _{zz}}}+|\sigma _{xy}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{yz}}{\sigma _{zz}}}| | 0 |
| 8 |  \sigma _{yz}+\sigma _{xz}+\sigma _{xy} ≥ 0  \sigma _{xz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xz} ≥ 0 |  \sigma _{xx}+\sigma _{xz}+\sigma _{xy} |  \sigma _{yy}+\sigma _{yz}+\sigma _{xy} |  \sigma _{zz}+\sigma _{yz}+\sigma _{xz} |
| 9 |  -\sigma _{yz}-\sigma _{xz}+\sigma _{xy} ≥ 0  -\sigma _{xz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xz} ≥ 0 |  \sigma _{xx}-\sigma _{xz}+\sigma _{xy} |  \sigma _{yy}-\sigma _{yz}+\sigma _{xy} |  \sigma _{zz}-\sigma _{yz}-\sigma _{xz} |
| 10 |  \sigma _{yz}-\sigma _{xz}-\sigma _{xy} ≥ 0  \sigma _{xz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xz} ≥ 0 |  \sigma _{xx}-\sigma _{xz}-\sigma _{xy} |  \sigma _{yy}+\sigma _{yz}-\sigma _{xy} |  \sigma _{zz}+\sigma _{yz}-\sigma _{xz} |
| 11 |  -\sigma _{yz}+\sigma _{xz}-\sigma _{xy} ≥ 0  -\sigma _{xz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xz} ≥ 0 |  \sigma _{xx}+\sigma _{xz}-\sigma _{xy} |  \sigma _{yy}-\sigma _{yz}-\sigma _{xy} |  \sigma _{zz}-\sigma _{yz}+\sigma _{xz} |
| 12 |  \sigma _{xy}\sigma _{xz}\sigma _{yz}<0 |  \sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yz}}} |  \sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xz}}} |  \sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xz}}{\sigma _{xy}}} |
I1, I2,I3 هي ثوابت الإجهاد الخاصة بموتر إجهاد المادة المركبة.
خوارزمية الحصول على الحل الصحيح بسيطة. حساب نسب التعزيز التي تحقق الشروط لكل حل ممكن. تجاهل الحلول ذات نسب التعزيز الأصغر من الصفر. حساب قيم  \rho _{x}  +  \rho _{y}  +  \rho _{z} واختيار الحل الذي تكون فيه هذه القيمة أصغر ما يمكن. يمكن حساب الإجهادات الرئيسية في المادة الهشة على أنها القيم الذاتية لموتر إجهادات المادة الهشة، باستخدام طريقة ياكوبي على سبيل المثال.
يمكن التحقق من الصيغ ببساطة باستبدال نسب التعزيز في موتر إجهادات المادة الهشة وحساب الثوابت. يجب أن يكون أول ثابت أقل من الصفر أو مساويًا له. يجب أن يكون الثابت الثاني أكبر من الصفر أو مساويًا له. هذه هي الشروط في العمود الثاني. للحل 2 حتى 12، يجب أن يكون الثابت الثالث صفرًا.