صيغ ظل نصف الزاوية
البراهين > البراهين الجبرية

باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة ومتطابقة فيثاغورس 



1
+

tan

2


⁡
α
=
1


/



cos

2


⁡
α


{\textstyle 1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha }

، نحصل على: \sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}} \cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}
بأخذ حاصل قسمة صيغ الجيب وجيب التمام: \tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}بالجمع بين متطابقة فيثاغورس وصيغة ضعف الزاوية لجيب التمام: 



cos
⁡
2
α
=

cos

2


⁡
α
−

sin

2


⁡
α
=
1
−
2

sin

2


⁡
α
=
2

cos

2


⁡
α
−
1
,


{\textstyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1,}
بإعادة ترتيب، وأخذ الجذور التربيعية: \left|\sin \alpha \right|={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}و \left|\cos \alpha \right|={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}التي تعطي عند القسمة: \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\left|\sin 2\alpha \right|}{1+\cos 2\alpha }}.بدلاً عن ذلك: \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\left|\sin 2\alpha \right|}}.اتضح أن إشارات القيمة المطلقة في هاتين الصيغتين الأخيرتين قد تُسْقَط، بغض النظر عن الربع α الموجود فيه. مع أو بدون رموز القيمة المطلقة، لا تنطبق هذه الصيغ عندما يكون البسط والمقام على الطرف الأيمن صفرًا.
أيضًا، باستخدام صيغ جمع وطرح الزوايا لكل من جيب التمام وجيب التمام، نحصل على: {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{aligned}}بجمع الصيغتان الأولى والثانية وجمع الثالثة والرابعة الموضحة أعلاه: {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}بوضع 



a
=



1
2



(
p
+
q
)


{\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(p+q)}

 و  b={\tfrac {1}{2}}(p-q) وتعويض به: {\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}بقسمة مجموع الجيبين على مجموع جيبي التمام، نحصل على: {\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)