ممتد متري
مركبات المتري > رفع وخفض المؤشرات

في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي X من خلال النموذج التالي:
لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد v1, ..., vnعند تغيير القاعدة fبواسطة مصفوفة غير أحادية A، تتغيير المعامِلات viبالطريقة المذكورة في المعادلة (7) حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:
X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.
وبالتالي v[fA] = A−1v[f]، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية A، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات v[f]بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات vi[f]في الموضع العلوي.
يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات f = (X1, ..., Xn)عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف (θ1[f], ..., θn[f])أي أن:
\theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}
حيث، θi[f](Xj) = δji: دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:
\theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}
بتغيير القاعدة f ↦ fAلمصفوفة غير أحادية A،θ[f]يتحول عن طريق:
\theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ]
يمكن توسيع أي اقتران خطي α في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة θ:
حيث تشير a[f]إلى متجه الصف [ a1[f] ... an[f] ]، والمُرَكِّبات aiتتحول عندما يتم استبدال القاعدة fبـfAبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة (8) صحيحة، هذا يعني:
\alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]
ولأن θ[fA] = A−1θ[f]يتبع ذلك = a[f]A}، أي أن المُرَكِّبات a تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة A بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لa[f]بشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لai[f]في الموضع السفلي.
الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت Xp:
g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})
لمتجه المماس Ypيحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند p، وتأخذ هذه العملية المتجه Xpعند النقطة p مُنتجةً متجه مشتركgp(Xp, −)في قاعدة حقول المتجهات fإذا كان حقل المتجهات X يمتلك مُرَكِّباتv[f]؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك g(X, −)في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:
a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].
بتغيير القاعدة f ↦ fAيتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:
v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A
لذلك يتحول a[fA] = a[f]A: a بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field v[f] = [ v1[f] v2[f] ... vn[f] ]T بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك a[f] = [ a1[f] a2[f] … an[f] ]، حيث أن:
a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]
يسمى خافض المُؤشِّر.
لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت a[f] = [ a1[f] a2[f] ... an[f] ]هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة θ[f]؛ فإن متجه العمود:
يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:
v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].
بالتالي فإن الكمية X = fv[f]لا تعتمد على اختيار القاعدة fبشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في M. العملية (9) ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك a[f]والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه v[f]المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،(9) هي:
v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].