شكلية المفعول العدسي التثاقلي
سطح فيرمات

هناك طريقة بديلة لاشتقاق معادلة العدسة، تبدأ من وقت وصول الإلكترون (سطح فيرمات)
 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}
حيث dz/c هو وقت السفر في خط متناه الصغر على مدى الخط المستقيم للمصدر-الملاحظ في الفراغ، والذي يُصحح بالعامل 
 ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi  \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi  \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}
للحصول على عنصر الخط بطول المسار المنحني 
 c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi  \over c^{2}}\right)c.
بزاوية صغيرة الدرجة متغيرة α(z) ومعامل الانحراف هو n للأثير؛ أي المجال التثاقلي. يمكن الحصول على الأخير من حقيقة أن الفوتون يسافر على جيوديسية لاغية لكون مينكوفسكي المستقر ضعيف الاضطراب
 n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi  \over c^{2}}\right).
حيث تكون القدرة التثاقلية غير الفردية Φ≪c2 دافعة للتغيير في سرعة الضوء
 t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi  \over c^{2}}.
الحد الأول هو زمن السفر في المسار المستقيم، والحد الثاني هو المسار الهندسي الإضافي، والحد الثالث هو التأخر التثاقلي. قم بالتقريب المثلثي ليكون  \alpha (z)=\theta -\beta  للمسار بين الملاحظ والعدسة، و \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}} للمسار بين العدسة والمصدر. يصبح التأخر الهندسي 
 {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.
(كيف؟ لا يوجد Ds على اليسار. لا يمكن إضافة المسافات الزاوية القطرية بطريقة بسيطة، عموما) 
وبالتالي يصبح سطح فيرمات كالآتي
 {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.
حيث تكون τ التأخر الزمني اللابعدي، والقدرة العدسية ثنائية البعد
 t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]
تقع الصور على أقصى هذا السطح، وبالتالي فإن الاختلاف في t بـθ→ يساوي صفر، 
 \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.
وفي معادلة العدسة. خذ معادلة بويسون للقدرة ثلاثية الأبعاد  {\vec {\theta }} 
ونجد القدرة العدسية ثنائية الأبعاد 
 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})
هنا نجد أن العدسة هي تجميع للكتل النقطية Mi في الإحداثيات الزاوية θ→i والمسافات (معادلة). استخدم (معادلة) للـx الصغيرة جدًا التي نجدها. 
 \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}
يمكن للمرء حساب التقريب بتطبيق اللابلاسية للقدرة العدسية ثنائية الأبعاد
 \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.
بالاتفاق مع التعريف السابق  M_{i} كنسبة لكثافة المسقط مع الكثافة الحرجة. هنا نستخدم  {\vec {\theta }}_{i} و z=D_{i}. 
يمكن تأكيد التعريف السابق لزاوية الانحراف المنخفضة 
 \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right]. 
حيث θEi هو ما يدعى القطر الزاوي لأينشتاين للعدسة النقطية Mi. لعدسة نقطية مفردة في النقطة الصفرية نسترجع النتيجة المعيارية بأنه يوجد صورتان لحلين للمعادلة التربيعية
\kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma  \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})
يمكن الحصول على المصفوفة المضاعفة بمضاعفة المشتقات للتأخر الزمني اللابعدي
 {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}
بينما نعرف المشتقات 
 {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.
والذي يأخذ معنى التقريب والقطع. التكبير هو عكس الجاكوبية 
 A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau  \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi  \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]
حيث A الموجبة تعني القيمة القصوى أو الدنيا والسالبة تعني نقطة سرجية في سطح الوصول. 
لنقطة عدسية مفردة يمكن أن يظهر التالي
 \kappa ={\partial \psi  \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi  \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi  \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi  \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi  \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}
وبالتالي فإن تكبير النقطة يُعطى كالآتي 
 A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}
تنحرف A للصور عند قطر أينشتاين θE.
في حالات أن هناك نقط عدسية متعددة علاوة على خلفية ناعمة للجسيمات (المظلمة) لكثافة السطح Σcrκsmooth، فإن وقت الوصول للسطح 
 \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.
لحساب التكبير، مثل: عند النقط الصفرية (0,0)، بسبب تماثل الكتل النقطية الموزعة عند (θxi,θyi)علينا أن نضيف القطع الكلي ونضمن تقريب الخلفية الناعمة 
 A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.
يخلق ذلك شبكة من المنحنيات الحرجة، الخطوط الموصلة لنقط الصور للتكبير اللامتناهي.