تفرد بي كي إل
تطور متري > اثنان من الاضطرابات

ضع في اعتبارك حقبة طويلة، حيث خضعت اثنتان من الوظائف أ، ب، ج (فليكن أ و ب ) لتذبذبات صغيرة بينما تتناقص الوظيفة الثالثة (ج ) بشكل رتيب. سرعان ما تصبح الوظيفة الأخيرة صغيرة ؛ ضع في اعتبارك الحل فقط في المنطقة حيث يمكن للمرء أن يتجاهل c مقارنةً بـ a و b . يتم إجراء الحسابات أولاً للنموذج الفضائي من النوع IX عن طريق الاستبدال وفقًا لذلك λ = μ = ν = 1.
بعد تجاهل الوظيفة c، فإن المعادلتين eq. 26 إعطاء
eq. 28 كمعادلة ثالثة، والتي تأخذ الشكل
حل eq. 44 مكتوب في النموذج
\alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},
حيث α 0، ξ 0 هي ثوابت موجبة، و 0 هي الحد الأعلى لعصر المتغير τ. من الملائم تقديم متغير جديد (بدلاً من τ)
ثم
المعادلات eq. 45 eq. 46 يتم تحويلها عن طريق إدخال المتغير χ = α - β:
انخفاض τ من τ 0 إلى −∞ يتوافق مع انخفاض ξ من ξ 0 إلى 0. يتم الحصول على العصر الطويل مع إغلاق a و b (أي مع صغير)، المدروس هنا، إذا كانت ξ 0 كمية كبيرة جدًا. في الواقع، بشكل عام، حل eq. 49 في أول تقدير تقريبي بمقدار 1 / هو
حيث A ثابت ؛ المضاعف  {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}} يجعل χ كمية صغيرة بحيث يمكن استبدالها eq. 49 بواسطة sh 2χ ≈ 2χ.
من eq. 50 واحد يحصل
\gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .
بعد تحديد α و من eq. 48 eq. 51 وتوسيع ه α و β الإلكترونية في سلسلة وفقا لتقريب أعلاه، واحد يحصل أخيرا:
يتم الحصول على العلاقة بين المتغير ξ والوقت t من خلال تكامل التعريف dt = abc d τ الذي يعطي
يجب أن يكون الثابت c 0 (قيمة с عند ξ = ξ 0 ) الآن c 0  \ll  α 0 ·
دعونا ننظر الآن في المجال ξ  \ll  1. هنا المصطلحات الرئيسية في حل eq. 49 هم:
\chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,
حيث k ثابت في النطاق - 1 < ك <1 ؛ يضمن هذا الشرط أن المصطلح الأخير في eq. 49 صغير (يحتوي sh 2χ على ξ 2 ك و ξ −2 ك ). ثم، بعد تحديد α و و t، يحصل المرء على
هذا مرة أخرى هو وضع كاسنر مع وجود قوة t السالبة في الوظيفة c ( t ).
هذه النتائج تصور تطورًا مشابهًا نوعيًا لذلك الموصوف أعلاه. خلال فترة زمنية طويلة تتوافق مع قيمة ξ متناقصة كبيرة، تتأرجح الوظيفتان a و b، وتبقى قريبة من حيث الحجم  {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}} ؛ في نفس الوقت، كلتا الوظيفتين أ و ب ببطء (  \sim {\sqrt {\xi }} ) ينقص. فترة التذبذب ثابتة بالمتغير ξ : Δξ = 2π (أو، وهي نفسها، مع فترة ثابتة حسب الوقت اللوغاريتمي: Δ ln t = 2π Α 2 ). الوظيفة الثالثة، c، تتناقص بشكل رتيب بقانون قريب من c = c 0 t / t 0 .
يستمر هذا التطور حتى ξ ≈1 والصيغ eq. 52 eq. 53 لم تعد قابلة للتطبيق. تقابل مدتها الزمنية تغيير t من t 0 إلى القيمة t 1، المرتبطة بـ ξ 0 وفقًا لـ
يمكن تقديم العلاقة بين ξ و t خلال هذا الوقت في النموذج
بعد ذلك، كما رأينا من eq. 55، تبدأ دالة التناقص c في الزيادة بينما تبدأ الدالتان a و b في الانخفاض. تستمر حقبة كاسنر هذه حتى الشروط ج 2 / أ 2 ب 2 في eq. 22 يصبح eq. 22 ~ t 2 وتبدأ سلسلة التذبذبات التالية.

يتم الحصول على قانون تغيير الكثافة خلال الحقبة الطويلة قيد المناقشة عن طريق استبدال eq. 52 في eq. 20 :
عندما تتغير من ξ 0 إلى ξ ≈1، تزداد الكثافة  \xi _{0}^{2} مرات.

يجب التأكيد على أنه على الرغم من أن الوظيفة c ( t ) تتغير بواسطة قانون، بالقرب من c ~ t، فإن المقياس المتري eq. 52 لا يتوافق مع مقياس كاسنر بقوى (0، 0، 1). الأخير يتوافق مع الحل الدقيق الذي وجده Taub  والذي يسمح به المعادلات. 26 - 27 وفي أي
حيث p، δ 1، δ 2 ثابتة. في المنطقة المقاربة τ → −∞، يمكن للمرء الحصول من هنا a = b = مقدار ثابت، c = مقدار ثابت. ر بعد الاستبدال е рτ = t . في هذا المقياس، تكون التفرد عند t = 0 غير مادية.
دعونا الآن نصف الدراسة المماثلة لنموذج النوع الثامن، مع استبدال المعادلات. eqs. 26 - 28 λ = -1، μ = ν = 1.
إذا خلال حقبة طويلة، وظيفة خفض مفردة النغمة هي، لا شيء يتغير في التحليل السابق: تجاهل 2 على الجانب الأيمن من المعادلات 26 و 28، ويعود إلى نفس المعادلات 49 و 50 (مع تدوين تغير). ومع ذلك، تحدث بعض التغييرات إذا كانت الوظيفة المتناقصة بشكل رتيب هي b أو c ؛ فليكن c.
كما كان من قبل، لدى المرء معادلة 49 بنفس الرموز، وبالتالي، التعابير السابقة eq. 52 للوظائف a (ξ) و b (ξ)، ولكن تم استبدال 50
يصبح المصطلح الرئيسي بشكل عام ξ الآن
\gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),
لذلك
قيمة c كدالة للوقت t مرة أخرى c = c 0 t / t 0 لكن اعتماد الوقت على ξ يتغير. يعتمد طول الحقبة الطويلة على ξ 0 وفقًا لـ
من ناحية أخرى، تحدد القيمة ξ 0 عدد التذبذبات للوظائف a و b خلال حقبة (تساوي ξ 0 / 2π). بالنظر إلى طول العصر في الوقت اللوغاريتمي (أي مع النسبة المعطاة t 0 / t 1 )، سيكون عدد التذبذبات للنوع الثامن، بشكل عام، أقل من النوع IX. بالنسبة لفترة التذبذبات، نحصل الآن على Δ ln t = πξ / 2 ؛ على عكس النوع التاسع، فإن الفترة ليست ثابتة طوال العصر الطويل، وتتناقص ببطء مع ξ.