ميكانيكا المصفوفة
تطوير ميكانيكا المصفوفة > الأوراق الأساسية الثلاث

بعد عودة هايزنبرغ إلى غوتلينغن، أرى وولفغانغ باولي حساباته، معلقًا عند نقطة معينة:
«ما يزال كل شيء مبهمًا وغير واضح بالنسبة لي، ولكن يبدو وكأن الإلكترونات لن تتحرك في مدارات بعد الآن».
في التاسع من يوليو أعطى هايزنبرغ نفس ورقة حساباته لماكس بورن، قائلًا: «... لقد كتب ورقةً مجنونة ولم يجرؤ أن يرسلها للنشر، وتجب على بورن قراءتها وإعطاء المشورة بشأنها...» قبل النشر. غادر هايزنبرغ بعدها لفترة، تاركًا بورن ليحلل الورقة.
في الورقة، صاغ هايزنبرغ نظرية الكم دون مدارات واضحة الحدود للإلكترونات. حسب هندريك كرامرز قبلها الشدات النسبية لخطوط الطيف في نموذج سومرفيلد عن طريق تفسير معاملات فورييه للمدارات على أنها تمثل الشدة. ولكن إجابته، ككل الحسابات الأخرى في نظرية الكم القديمة، كانت صحيحةً فقط لأجل المدارات الكبيرة.
بدأ هايزنبرغ، بعد تعاونه مع كرامرز، فهم أن احتمالات الانتقال لم تكن كميات تقليدية لأن الترددات الوحيدة التي تظهر في سلسلة فورييه يجب أن تكون الترددات المشاهدة في القفزات الكمومية، وليس الترددات الوهمية التي تأتي من تحليل فورييه للمدارات التقليدية واضحة الحدود. استبدل بسلسلة فورييه التقليدية مصفوفة معاملات، مماثلة شواشية كمومية لسلسلة فورييه. تقليديًّا، تعطي معاملات فورييه شدة الإشعاع المبثوث؛ فتكون في ميكانيكا الكم قيمة عناصر المصفوفة الخاصة بعامل الموضع هي شدة إشعاع طيف الخط الساطع. الكميات في صيغة هايزنبرغ كانت هي الموضع الكلاسيكي وكمية الحركة، ولكن الآن لا يمكن تحديدهما بدقة تامة. تمثلت كل كمية بمجموعة من معاملات فورييه بدليلين اثنين يوافقان كلًّا من الحالة الابتدائية والحالة النهائية.
عندما قرأ بورن الورقة، رأى أن الصيغة تمكن كتابتها وتوسعتها بلغة المصفوفات المنهجية، التي تعلمها خلال دراسته على يد جاكوب روزانيس في جامعة بريسلو. بدأ بورن بمساعدة مساعده وطالبه السابق باسكال جوردان مباشرةً بصياغة طريقة الكتابة والتوسعة، وسلما نتائجهما للنشر؛ استُقبلت ورقتهما للنشر بعد 60 يوم فقط من ورقة هايزنبرغ.
سُلمت ورقة متابعة للنشر قبل نهاية العام من قبل الكتّاب الثلاثة جميعهم. (مراجعة قصيرة لدور بورن في تطوير صيغة ميكانيك المصفوفات لميكانيك الكم مع مناقشة للصيغة المفتاحية التي تتضمن لاتبادلية سعات الاحتمالات يمكن إيجادها في مقالة لجيريمي بيرنستاين. يمكن إيجاد إفادة تاريخية وتقنية مفصلة في كتاب ميهرا وريشينبرغ المسمى التطور التاريخي لنظرية الكم. المجلد الثالث. صياغة ميكانيك المصفوفات وتعديلاته 1925-1926).
حتى هذا الوقت، نادرًا ما كان الفيزيائيون يستخدمون المصفوفات؛ فقد كانت تعتبر خاصة بمملكة الرياضيات الصرفة. استخدمها غوستاف مي في ورقة عن ديناميك الكهرباء (إلكتروديناميك) في عام 1912 واستخدمها بورن في عمله على نظرية التصاميم الشبكية للبلورات في عام 1921. في حين استخدمت المصفوفات في هذه الحالات، فإن جبر المصفوفات الذي يتضمن جداء المصفوفات لم يدخل في الصورة كما فعل لاحقًا في الصياغة المصفوفية لميكانيكا الكم.
لكن بورن تعلم جبر المصفوفات من روزانيس، كما لوحظ مسبقًا، ولكن بورن تعلم أيضًا نظرية هيلبرت عن المعادلات التكاملية والصيغ الرباعية لعدد غير منتهٍ من المتغيرات كما كان ظاهرًا في اقتباس بورن لعمل هيلبرت: أساسيات النظرية العامة للمعادلات التكاملية الخطية المنشور عام 1912.
كان جوردان أيضًا ملائمًا للمهمة؛ فلسنوات عديدة كان مساعد ريتشارد كورانت في غوتنغن في التحضير لكتاب كورانت وديفيد هيلبرت: طرق الفيزياء الرياضية الجزء الأول المنشور في عام 1924. احتوى هذا الكتاب مصادفةً عددًا كبيرًا من الأدوات الرياضية الضرورية للتطوير المستمر لميكانيكا الكم.
في عام 1926، أصبح جون فون نيومان مساعد ديفيد هيلبرت، فصاغ في ما بعد مصطلح فضاء هيلبرت لوصف الجبر والتحليل اللذين استخدما في تطوير ميكانيك الكم.