stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
بسام (سقز)
السكان

حسب إحصاءات سنة 2006، بلغ إجمالي السكان في بسام 519 نسمة وعدد المساكن 104 مسكن. لغة سكان بسام هي اللغة الكردية و هم من أهل السنة والجماعة والمذهب الشافعي.
انظر أيضاً

قسم سرشيو
مقاطعة سقز
محافظة كردستان
ألينا فاشكوفا

ألينا فاشكوفا (بالتشيكية: Alena Vašková)‏ مواليد 8 نوفمبر 1975 في تشيكوسلوفاكيا، هي لاعبة كرة مضرب تشيكية سابقة بدأت مسيرتها كمحترفة سنة 1992، اعتزلت اللعب في 2005. أعلى تصنيف لها في الفردي كان 115. أعلى تصنيف لها في الزوجي كان 135.
مراجع

↑  Players | WTA Tennis English نسخة محفوظة 18 يونيو 2015 على موقع واي باك مشين.
↑  ITF Tennis - Pro Circuit - Player Profile - NESTICKA, Alena (CZE) نسخة محفوظة 18 مايو 2015 على موقع واي باك مشين.
↑  "Fed Cup - Player profile - Alena NESTICKA (CZE)" en. مؤرشف من الأصل في 2016-03-03. اطلع عليه بتاريخ 2020-01-03. {{استشهاد ويب}}: الوسيط غير صالح |script-title=: بادئة مفقودة (مساعدة)
بوابة أعلام
بوابة التشيك
بوابة المرأة
بوابة كرة المضرب
ط (رياضيات)
الأساسيات > الاسم

الرمز المستخدم من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي  {\pi } و يُقرأ هذا الحرف  باي و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني الجداء. ويُنطق  {\pi } في اللغة الإنجليزية (/paɪ/).
وكان أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي π من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له.
الأساسيات > التعريف

{\pi } هي نسبة محيط الدائرة C على قطرها d:
نسبة C/d هي ثابتة بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل  \pi  يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة  \pi ={\frac {C}{d}}. هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال،  \pi  هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام.
محيط الدائرة هو طول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة x2 + y2 = 1، باعتبارها التكامل:
الأساسيات > الخصائص

π عدد غير كسري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، مثل 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبًا للباي. ولهذا السبب، فإن π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة البرهان على أن باي عدد غير كسري.
π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد كسرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود  \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0.. لتسامي π نتيجتان مهمتان أولهما: لا يمكن أن يُعبر عن π بأي دمج لأعداد كسرية وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك مثل  \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}} أو  \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.. أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة الفرجار والمسطرة، كذلك من المستحيل تربيع الدائرة.
الأساسيات > الكسور المستمرة

العدد ط، كونه عددا غير كسري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الكسرية. ولكن الأعداد غير الكسرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:
ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:
الأساسيات > قيمة مقربة

قيمة  {\pi } التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
15982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
التاريخ

المقالة الرئيسة: التسلسل الزمني لحساب قيمة π
التاريخ > في العصور القديمة والوسطى

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستخدمون التقريب  25/8 بينما استخدم المصريون التقريب  256/81.
ويرجع حصر قيمة  {\pi } بين  22/7 و 221/73 إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط.
في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة.
التاريخ > عصر التقريب بمتعددي الأضلع

اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعدد الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعدد الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها ثابتة أرخميدس.
في عام 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×228. لقد بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة.
التاريخ > المتسلسلات غير المنتهية

تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.
أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:
تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت.
ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس.
في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.
هذهِ الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي  \scriptstyle \pi /4 عندما يساوي z واحدا.
في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.
باستعمال هذهِ الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه تقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن.
سرعة الاقتراب
| متسلسلات تحسب قيمة  {\pi } | بعد الدورة الأولى | بعد الدورة الثانية | بعد الدورة الثالثة | بعد الدورة الرابعة | بعد الدورة الخامسة | تؤول إلى : |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \scriptstyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots . | 4.0000 | 2.6666... | 3.4666... | 2.8952... | 3.3396... |  {\pi } = 3.1415... |
|  \scriptstyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots . | 3.0000 | 3.1666... | 3.1333... | 3.1452... | 3.1396... |  {\pi } = 3.1415... |
التاريخ > كون π عددا غير كسري وكونه عددا متساميا

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة بالنسبة الثابتة π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.
برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن العدد π عدد غير كسري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن  {\pi }^{2} هو أيضا عدد غير كسري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر.
التاريخ > عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن فابريس بيلارد حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين حَسَبَ π على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.
التاريخ > الهدف من حساب ط

حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والاسطوانة
التاريخ > خوارزميات الحنفية

اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.
اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. اكتشفت من طرف سيمون بلوف.
كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.
الاستعمال

المقالة الرئيسة: قائمة الصيغ المحتوية ط
الاستعمال > في الهندسة وحساب المثلثات

يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :
محيط دائرة شعاعها r هو  2\pi r.
مساحة دائرة شعاعها r هي  \pi r^{2}.
حجم كرة شعاعها r هو  {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}.
مساحة كرة شعاعها r هو  4\pi r^{2}.
طريقة مونت كارلو

طرق مونت كارلو من أجل إيجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.
الاستعمال > في الأعداد العقدية والتحليل

كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:
حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :
حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:
يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة zn = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:
الاستعمال > في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي :
كان إيجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي  \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}. هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل  \scriptstyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}.
يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل  \pi ، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.
الاستعمال > في الفيزياء

يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:
الثابت الكوني:
مبدأ الريبة، الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:
معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة:
قانون كولوم للقوة الكهربائية، يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q1 وq2) تفصلهما مسافة r:
النفاذية المغناطيسية في الفراغ:
قوانين كبلر، التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما:
الاستعمال > في الاحتمالات والإحصاء

في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي:
دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ، نتيجة للتكامل الغاوسي:
دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:
صيغ حسابية للعدد ط

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.
صيغ حسابية للعدد ط > النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :
4\times (1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots )
ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل (بالإنجليزية: arctan)‏ حيث
\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!
في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا.
يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:
صيغ حسابية للعدد ط > سلاسل أخرى

هناك حسابات أخرى مثل:
اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:
سلسلة رامانجن:
سلسلة الإخوان شودنوفسكي التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:
و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:
ثم المعاودة:
حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π
في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ، وبالتالي
وأخرى بالشكل،
حيث q = eπ و k هو عدد فردي، وa, b, c هي أعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،
صيغ حسابية للعدد ط > صيغة بيلارد

حسّن منشورَ سيمون بلوف فابريس بيلارد مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.
تدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:
وصلات خارجية

في كومنز مواد ذات صلة بـ ط (رياضيات).
"Pi" على موقع ماثوورلد
Representations of Pi على ولفرام ألفا
| ع ن أعداد غير نسبية | ع ن أعداد غير نسبية |
| --- | --- |
 حلم الطالب الجامعي  أولي (ρ)  أويلر-ماسكيروني (γ)  اللوغاريتم ل 2  الجذر الثاني عشر ل 2 (12√2)  أبيريز (ζ(3))  بلاستيكي (ρ)  الجذر التربيعي ل 2 (√2)  إيردوس-بوروين (E)  النسبة الذهبية (φ)  الجذر التربيعي ل 3 (√3)  الجذر التربيعي ل 5 (√5)  العدد الفضي (δS)  فايينبوم الثاني (α)  أويلر (e)  ط (π)  فايينبوم الأول (δ) :  حلم الطالب الجامعي  أولي (ρ)  أويلر-ماسكيروني (γ)  اللوغاريتم ل 2  الجذر الثاني عشر ل 2 (12√2)  أبيريز (ζ(3))  بلاستيكي (ρ)  الجذر التربيعي ل 2 (√2)  إيردوس-بوروين (E)  النسبة الذهبية (φ)  الجذر التربيعي ل 3 (√3)  الجذر التربيعي ل 5 (√5)  العدد الفضي (δS)  فايينبوم الثاني (α)  أويلر (e)  ط (π)  فايينبوم الأول (δ) 
 فصامي  متسام  Trigonometric :  فصامي  متسام  Trigonometric 
| 0 | 1 |
| --- | --- |
ضبط استنادي: وطنية :  المكتبة القومية الإسبانية (BNE)  الملف الاستنادي المتكامِل (GND)  المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)  مكتبة الكونغرس (LCNAF)  مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)  قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT) 
بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات
بوابة هندسة رياضية
سنة 1797م محمد حسين العطار الدمشقي من علماء الحساب في العصر العثماني، استعمل مقاربة لثابت الدائرة في هذه المخطوطة كما جرت العادة (ثلاثة وسُبع)
عمم ليونهارد أويلر استعمال الحرف الإغريقي  {\pi } في عمل لهُ نشره عام 1748.
مُثل الثابت  {\pi } في هذا الفسيفساء خارج مبنى لتدريس الرياضيات في معهد برلين للتكنولوجيا.
محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما  \pi .
بما أن  {\pi } عدد متسام، تربيع الدائرة غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في الفرجار والمسطرة.
يمكن أن تعطي قيم مقربة للعدد  {\pi } بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.
أرخميدس طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع  {\pi }.
استعمل إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب  {\pi } إلى حدود خمسة عشر رقماً، كاتباً فيما بعد ""استحى ان اخبركم بعدد الارقام التي حملتها لهذه الحسابات".
جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب ط. هذا الحاسوب هو إينياك.
سرينفاسا رامانوجان، عالم رياضي عمل وحدهُ في الهند، وحسب عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب الثابت ط.
مساحة الدائرة تساوي ط مرة مساحة المربع الملون.
دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان دورتهما تساوي 2ط.
الربط بين القوى التخيلية للعدد e والنقط الموجودة على الدائرة الوحدة التي مركزها هو مركز المستوى العقدي أعطته صيغة أويلر.
رسم بياني للدالة الغاوسية 
 ƒ(x) = e−x2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور y لها مساحة تساوي  \scriptstyle {\sqrt {\pi }}.
الحرب الفرنسية والهندية
التسمية

في أمريكا البريطانية، غالبًا ما كانت تُسمى الحروب على اسم الملك البريطاني القائم، مثل حرب الملك ويليام أو حرب الملكة آن. كانت حرب الملك جورج قائمة أساسًا في أربعينيات القرن الثامن عشر في عهد الملك جورج الثاني، لذلك أطلق المستعمرون البريطانيون على هذا الصراع اسم خصومهم، وبات يُعرف باسم الحرب الفرنسية والهندية. لا زال الاسمَ الاصطلاحي للحرب في الولايات المتحدة، على الرغم من أن الهنود قاتلوا على جانبي الصراع. أدت أيضًا إلى اندلاع حرب السنوات السبع في ما وراء البحار، وهو صراع أكبر بكثير بين فرنسا وبريطانيا العظمى لم يشمل المستعمرات الأمريكية؛ يربط بعض المؤرخين بين الحرب الفرنسية والهندية وحرب السنوات السبع في ما وراء البحار، لكن معظم سكان الولايات المتحدة يعتبرونهما نزاعين منفصلين – أحدهما فقط يتعلق بالمستعمرات الأمريكية، ويستخدم المؤرخون الأمريكيون عمومًا الاسم التقليدي. من بين أسماء هذه الحرب الأقل استخدامًا: الحرب الاستعمارية الرابعة والحرب العظمى للإمبراطورية.
في أوروبا، تُجمع الحرب الفرنسية والهندية مع حرب السنوات السبع ولم تُعط اسمًا منفصلًا. تشير عبارة «سبع سنوات» إلى الأحداث التي حصلت في أوروبا، من الإعلان الرسمي للحرب عام 1756 – بعد عامين من بدء الحرب الفرنسية والهندية – إلى توقيع معاهدة السلام في عام 1763. في المقابل، انتهى الجزء الأكبر عمومًا من الحرب الفرنسية والهندية في أمريكا في غضون ست سنوات، من معركة جومونفيل غلين في 1754 إلى الاستيلاء على مونتريال في 1760.
يجمع الكنديون كلًّا من الصراعين الأوروبي والأمريكي في حرب السنوات السبع. يستخدم الكنديون الفرنسيون أيضًا مصطلح «حرب الاستحواذ»، إذ أنها الحرب التي استحوذ البريطانيون فيها على فرنسا الجديدة وأصبحت جزءًا من الإمبراطورية البريطانية. في كيبيك، رُوّج لهذا المصطلح من قِبل المؤرخين المشهورين جاك لاكورسيير ودينيس فوجوا، الذي أخذ من أفكار موريس ساغان في اعتبار هذه الحرب نقطة تحول دراماتيكية للهوية والقومية الفرنسية الكندية.
الموقع الجغرافي

في ذلك الوقت، كانت تمتلك فرنسا الغالبية العظمى من المنطقة المستكشفة من القارة الجديدة (1745)، أكثر من نصف أمريكا الشمالية. وكانت تضم جزء من كيبيك الحالية (نذكر هنا أن منطقة خليج هدسون لم يكن تحت السيطرة الفرنسية)، وجزء كبير من شرق كندا. كانت حدودها، في الشمال حتى الحدود الشمالية لابرادور الحالية، وتشكل قطع مكافئ يمر تحت خليج جيمس لتذهب تُحيط ببحيرة مانيتوبا وبحيرة وينيبيغ، مركز مانيتوبا الحالية وصولا إلى خليج المكسيك، وتتبع نحو الغرب نهر المسيسيبي. فقط مائة كيلومتر على ساحل المحيط الأطلسي لم تكن فرنسية لأنها تتوافق مع أراضي المستعمرات الإنجليزية 13 الأولى في أمريكا (التي تحمل اسم من الشمال إلى الجنوب): نيو هامبشاير، ماساتشوستس ونيويورك ورود آيلاند وكونيتيكت، نيو جيرسي وبنسلفانيا وفيرجينيا وديلاوير وميريلاند ونورث كارولينا وساوث كارولينا وجورجيا .

كانت جميع الأقاليم تحت السيطرة الفرنسية خلال الفترة ما بين 1534 و1763.
التحالف الفرنسي-الهنود الحمر

كان الفرنسيون متحالفين مع القبائل الهندية لأمريكا الشمالية كلها تقريبا. وكان الهنود الحمر قوة رئيسية في الدفاع عن فرنسا الجديدة. كما الميليشيا، كانت مؤثرة في حرب الكمين. على الرغم من أن كل قبيلة لديها الطقوس والتقاليد الأميركية الأصلية الخاصة بها، فإنه من الممكن ملاحظة تكتيكات الحرب والاستراتيجيات التي اعتمدها الهنود الحمر المشاركون في الصراع. فهم، أولا، لا يقتالون في مناطق مفتوحة، تكتيكات الكمين والتمويه هي من أكثر سمات هؤلاء الحلفاء.

في الواقع، فإن الهجوم المفاجئ هو أقوى سمة خاصة بهم. فهم يخطفون الجنود الأوروبيين المدربين على الفيلق في فترة قصيرة، ويُحدثون الكثير من الفوضى. أما الاستعدادات للحرب، على الرغم من بعض الاختلافات من قبيلة إلى أخرى، نلاحظ هناك بعض العناصر المشتركة: مناقشات طويلة قبل المغادرة للحرب، مع تدخين الكالوميت والرقص. كانت الأحلام المنذرة أيضا تحضى بشعبية كبيرة في التنبؤ بنتائج حرب أو إذا كان يشكل خطرا على الفرد أو الأمة بأكملها. وكانت الأسلحة المستخدمة من قبل الأمريكيين الأصليين عموما السكاكين والفؤوس والبنادق.
ميليشيات فرنسا الجديدة

تتألف الميليشيا التي تشكلت في فرنسا الجديدة منذ 1669، من جميع الرجال القادرين على العمل الذين تتراوح أعمارهم بين 16 و60 عاما. الشيء المفضل عند الميليشيا هو حرب الكمين، أي الاختباء في الغابات. تم تجنيد رجال الميليشيات من المناطق الريفية والحضرية الذين ليس لديهم التدريب كجندي. في أوقات الحرب، وجدوا أنفسهم مجبرين على حمل السلاح. دون زي العسكري، الميليشيا يتلقون من كل قرية جزء من المعدات. وكانت قوات الميليشيا تسلح نفسها وكان من المتوقع منهم أنهم يحملون إمدادات جيدة من مسحوق الرصاص والصمامات. أمين المخازن بقدم بندقية للذين لا يملكونها.
تنتمي كل ميليشيا لحكومة إقليمية. في فرنسا الجديدة، كانوا ثلاثة في العدد، كيبيك، وتروا ريفيير ومونتريال. وتعتبر ميليشيا مونتريال الأكثر نشاطا والأكثر فعالية، يرجع ذلك إلى حقيقة أنها كانت تتألف من المسافرين الذين كانوا يتجارون الفراء. ونتيجة لذلك، كانت هذه الميليشيا متدربة بشكل رئيسي على حرب الكمائن في الغابة، مما أدى إلى تسمية رجالها «الذئاب البيضاء» من مناطق أخرى ومن الأميركيين الأصليين. في عام 1759، تمت تعبئة حوالي 5455 رجل ميليشيا بمونتريال، منهم 4200 ذهبوا إلى كيبيك أثناء محاصرتها.
الميليشيات الأمريكية

لحماية المستوطنين الأميركيين في المستعمرات الثلاثة عشر من الهجمات والغارات الفرانية-الهندية، تم تشكيل وحدة خاصة، «رينجرز». وأصبحت هذه الوحدة سلاحا مهما في تكتيكات الولايات المتحدة، وتم إدماجها في الجيش النظامي البريطانية.

في الواقع، في 1755، أدرك لورد لودون أن حرب الكمائن التي يقوم بها الرينجرز، جنبا إلى جنب مع تكتيكات ووحدات من القوات البريطانية، يمكن أن نكون إضافة قوية للجيش. منذ ذلك الحين، أصبحت رينجرز تقاتل على جميع الجبهات.
و بالموازاة مع رينجرز، يُأخذ في الحسبان من الأمريكيين في صفوف القوات البريطانية:المستعمرون الأوائل. المستعمرون الأوائل هم جنود من الأمريكيين المولد. تم تدريب هؤلاء الجنود نحو ثمانية أشهر في السنة من قبل السلطة التشريعية على صعيد الولايات وكانت تدفع أجورهم وتجهيزهم من قبل المستعمرة الأصلية. في ماساتشوستس، المستعمرة الأكثر كثافة من حيث عدد السكان، نجد أكبر عدد من المستعمرون الأوائل: كانوا حوالي 6800 في عام 1759. وفقا لسجلات قيد الحياة أثناء الصراع، لم يشاركوا بشكل مباشر في الأعمال الحربية بل استخدموا بدلا من ذلك لبناء وصيانة التحصينات، والبطاريات والمخيمات البريطانية.
ترحيل الأكاديين

ترحيل الأكاديين، أو الاضطراب الشديد، هو مصطلح يستخدم لوصف مصادرة واسعة النطاق وترحيل الأكاديين، شعب أمريكا الناطق بالفرنسية خلال الحيازة من قبل البريطانيين، وجزء من المستعمرات السابقة الفرنسية في أمريكا. ترحيل الأكاديين هو عملية تطهير عرقي واسعة، نظرا للتركيبة السكانية في ذلك الوقت. في 1754، اندلعت الأزمة مع اندلاع الحرب. الصراع بدأ مع الانتصارات الفرنسية في نهر أوهايو. وأصاب الذعر البريطانيين. فتحدث تشارلز لورنس إلى شيرلي وليام، محافظ ماساتشوستس عن إمكانية استبدال الأكاديين من قبل المستوطنين الأنجلو-أمريكيين. في يونيو، اجتمعوا مع مندوبو الأكاديين ودعوهم لأداء يمين الولاء غير المشروط لملك إنجلترا. رفض الأكاديين ذلك. في يونيو 1755، أمر لورانس إيقاف الرجال القادة الفرنسيين في مناطقهم، الموانئ، واعتقالهم واحتجازهم. تم تقسيم المبعدين إلى مجموعات، وتحميلها على سفن. على العموم تم ترحيل حوالي 10000 إلى 15000 من الأكاديين. فقط 20٪ من سكان الأكاديين تمكنوا من الفرار إلى كيبيك