خاصية التمام للأعداد الحقيقية
تعريف ثان

لتكن س مجموعة غير خالية جزئية من مجموعة الاعداد الحقيقية ح.
إذا كانت س محدودة من أعلى فإنه يقال عن العدد ع أنه أصغر حد علوي لـ س إذا حقق هذه الشروط:
حد علوي لـ س , وَ:#إذا كان ف أي حد علوي لـ س فإن ف≥ع.
إذا كانت S محدودة من أسفل فإنه يُقال عن العدد w أنه أكبر حد سفلي (infimum) لـ S إذا حقق هذه الشروط:
w حد سفلي لـ S , وَ:# إذا كان t أي حد سفلي لـ S فإن w≥ t.
ليس من الصعب أن نرى أنه يمكن أن يكون للمجموعة الجزئية S من R حد علوي واحد فقط.(ثم يمكننا الرجوع إلى الحد العلوي الأصغر للمجموعة S بدلا من الحد العلوي الأصغر) .لنفترض أن u1 و u2 يعتبر كل منهما أصغر حد علوي لـ S . إذا كان u2 < u1 فإن الفرضية تعني أن u2أصغر حد علوي وهذا يعني أن u1 لا يمكن أن يكون حداً علوياً للمجموعة S ، بالمثل نرى أن u2 < u1 غير ممكن، بالتالي يجب أن يكون u1=u2 بطريقة مماثلة يمكن اظهار أن أكبر حد سفلي للمجموعة وحيد.                           إذا كان أصغر حد علوي وأكبر حد سفلي للمجموعة موجودين فإننا نرمز لهما بالآتي:
Sup S & inf S 
نلاحظ أيضاً أنه إذا كان u' أي حد علوي اختياري للمجموعة الغير خالية S فإن u≥ S sup .وهذا لأن sup S هو الأصغر من الحدود العلوية للمجموعة S .                                            أولاً: لابد من التأكيد على أنه حتى يكون للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R أصغر حد علوي يجب أن تمتلك حد علوي.وبالتالي ليس كل مجموعة جزئية من R تمتلك أصغر حد علوي.بالمثل ليس كل مجموعة جزئية من R تمتلك أكبر حد سفلي. في الواقع هناك أربعة احتمالات للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R , وهي:
أن تمتلك أصغر حد علوي وأكبر حد سفلي.                                                                                                                                   # أن تمتلك أصغر حد علوي ولا تمتلك أكبر حد سفلي.                                                                                                                                             # أن تمتلك أكبر حد سفلي ولا تمتلك أصغر حد علوي.                                                                                                                                # أن لاتمتلك أصغر حد علوي ولا أكبر حد سفلي.
نود أيضا أن نؤكد أنه من أجل إظهار أن  u=supS بالنسبة للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R نحتاج لإظهار أن كلا من فقرة (1) و (2) للتعريف2 متحققة. وسيكون من المفيد إعادة صياغة هذه العبارات.                     التعريف لـ u=sups يؤكد أن u حد علوي لـ S بحيث أن u≤v لأي حد علوي v لـ S . من المفيد أن يكون لدينا طرق بديلة للتعبير عن فكرة أن u هو ( الأقل ) من الحدود العلوية لـ S . إحدى الطرق هي ملاحظة أن أي عدد أقل من u ليس حدا علويا لـ S . وهذا يعني وجود عنصر sz  في S بحيث أنz < sz  , بالمثل إذا كان ε>0  فإن u-ε أصغر من u وبالتالي يفشل في أن يكون حدا علويا لـ S .                                                                                                    العبارات التالية حول الحد العلوي u لمجموعة S متكافئة:                                                                                                                                                      # إذا كان v أي حد علوي فإن u < v .                                                                                                                                                                      # إذا كان z < u فإن z ليس حدا علويا لـ S .                                                                                                                                                                     # إذا كان z < u فإنه يوجد sz ∈ S بحيث أن z < sz  .                                                                                                                                                                    # إذا كان >0 ε>0 فإنه يوجد s_εبحيث أن u-ε< s_ε  .                                                                                      وبالتالي يمكننا أن نذكر صياغتين بديلتين لأصغر حد علوي.