stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
نتائج منتخب إيران لكرة القدم – عقد 2000
الإحصائيات > المدربون

| الاسم | أول مباراة | آخر مباراة | لعب | ف | ت | خ | له | عليه | ف> أ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  منصور بورحيدري | 9 يناير 2000 | 4 فبراير 2000 | 3 | 0 | 2 | 1 | 3 | 4 | –1 |
|  جلال طالبي | 22 مارس 2000 | 23 أكتوبر 2000 | 21 | 13 | 5 | 3 | 39 | 15 | +24 |
|  أديمار براغا | 24 نوفمبر 2000 | 19 يناير 2001 | 3 | 3 | 0 | 0 | 25 | 0 | +25 |
|  ميروسلاف بلاجيفيتش | 24 أبريل 2001 | 15 نوفمبر 2001 | 19 | 10 | 4 | 5 | 31 | 20 | +11 |
|  برانكو إيفانكوفيتش | 6 فبراير 2002 | 19 سبتمبر 2002 | 10 | 4 | 4 | 2 | 13 | 9 | +4 |
|  همايون شاهرخي | 4 فبراير 2003 | 26 سبتمبر 2003 | 5 | 1 | 1 | 3 | 8 | 8 | 0 |
|  برانكو إيفانكوفيتش | 12 أكتوبر 2003 | 21 يونيو 2006 | 42 | 29 | 6 | 7 | 101 | 40 | +61 |
|  أمير قلعة نويي | 8 أغسطس 2006 | 22 يوليو 2007 | 17 | 10 | 6 | 1 | 30 | 12 | +18 |
|  برويز مظلومي * | 16 يونيو 2007 | 24 يونيو 2007 | 4 | 3 | 1 | 0 | 5 | 1 | +4 |
|  منصور إبراهيم زاده | 10 يناير 2008 | 6 فبراير 2008 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|  علي دائي | 20 مارس 2008 | 28 مارس 2009 | 24 | 15 | 6 | 3 | 43 | 15 | +28 |
|  إريش روتيمولر | 1 أبريل 2009 | 1 أبريل 2009 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  أفشين قطبي | 1 يونيو 2009 | 30 ديسمبر 2009 | 13 | 4 | 4 | 5 | 14 | 15 | –1 |
|  غلام حسين بيرواني ** | 5 يوليو 2009 | 5 يوليو 2009 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| المجموع | المجموع | المجموع | 166 | 92 | 44 | 30 | 313 | 141 | +172 |
* درب منتخب إيران الرديف في بطولة اتحاد غرب آسيا 2007.
** درب منتخب إيران تحت 23 سنة في مباراة بوتسوانا الودية.
الإحصائيات > الخصوم

| فريق | لعبت | ف | ت | خ | له | عليه | ف> أ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  أنغولا | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  النمسا | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 5 | –4 |
|  أذربيجان | 3 | 2 | 1 | 0 | 4 | 2 | +2 |
|  البحرين | 9 | 3 | 2 | 4 | 11 | 11 | 0 |
|  بيلاروس | 2 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | –1 |
|  البوسنة والهرسك | 5 | 4 | 1 | 0 | 16 | 7 | +9 |
|  بوتسوانا | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  كندا | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | –1 |
|  الصين | 6 | 3 | 2 | 1 | 12 | 5 | +7 |
|  تايبيه الصينية | 2 | 2 | 0 | 0 | 6 | 0 | +6 |
|  كوستاريكا | 2 | 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | +1 |
|  كرواتيا | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 |
|  قبرص | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|  الإكوادور | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | –1 |
|  مصر | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  جورجيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | +1 |
|  ألمانيا | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | –2 |
|  غوام | 1 | 1 | 0 | 0 | 19 | 0 | +19 |
|  آيسلندا | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | +1 |
|  العراق | 9 | 6 | 2 | 1 | 11 | 5 | +6 |
|  جمهورية أيرلندا | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | –1 |
|  جامايكا | 1 | 1 | 0 | 0 | 8 | 1 | +7 |
|  اليابان | 3 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 0 |
|  الأردن | 11 | 6 | 1 | 4 | 13 | 8 | +5 |
|  كازاخستان | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 | +3 |
|  كينيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | +1 |
|  كوريا الشمالية | 6 | 5 | 1 | 0 | 11 | 2 | +9 |
|  كوريا الجنوبية | 9 | 2 | 4 | 3 | 10 | 11 | –1 |
|  الكويت | 5 | 2 | 2 | 1 | 9 | 7 | +2 |
|  لاوس | 2 | 2 | 0 | 0 | 14 | 0 | +14 |
|  لبنان | 5 | 5 | 0 | 0 | 14 | 0 | +14 |
|  ليبيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 4 | 0 | +4 |
|  مقدونيا | 2 | 1 | 1 | 0 | 4 | 2 | +2 |
|  ماليزيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | +2 |
|  المالديف | 2 | 2 | 0 | 0 | 11 | 0 | +11 |
|  مالي | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | –1 |
|  المكسيك | 3 | 0 | 0 | 3 | 2 | 9 | –7 |
|  نيوزيلندا | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 | +3 |
|  عمان | 2 | 1 | 1 | 0 | 7 | 4 | +3 |
|  فلسطين | 3 | 2 | 1 | 0 | 6 | 1 | +5 |
|  بنما | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | +1 |
|  باراغواي | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  البرتغال | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | –2 |
|  قطر | 9 | 6 | 1 | 2 | 19 | 10 | +9 |
|  السعودية | 4 | 1 | 2 | 1 | 6 | 5 | +1 |
|  السنغال | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  سنغافورة | 1 | 1 | 0 | 0 | 6 | 0 | +6 |
|  سلوفاكيا | 2 | 1 | 0 | 1 | 6 | 6 | 0 |
|  سوريا | 12 | 8 | 4 | 0 | 24 | 6 | +18 |
|  طاجيكستان | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | +2 |
|  تايلاند | 5 | 2 | 3 | 0 | 5 | 1 | +4 |
|  توغو | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | +2 |
|  أوكرانيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | +1 |
|  الإمارات العربية المتحدة | 8 | 6 | 2 | 0 | 10 | 1 | +9 |
|  الولايات المتحدة | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  الأوروغواي | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|  أوزبكستان | 2 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | +1 |
|  فنزويلا | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | +1 |
|  زامبيا | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 2 | +1 |
| المجموع | 166 | 92 | 44 | 30 | 313 | 141 | +172 |
بيلي غراهام (ملاكم)

لمعانٍ أخرى، طالع بيلي غراهام (توضيح).
بيلي غراهام (بالإنجليزية: Billy Graham)‏ مواليد 09 سبتمبر 1922 في نيويورك، الولايات المتحدة - الوفاة 22 يناير 1992، كان ملاكم أمريكي صنّف ضمن فئة وزن الوسط. دخل قاعة مشاهير الملاكمة الدولية.
إحصائيات

خاض خلال مسيرته 126 نزالا، فاز في 102 وتعادل في 9 وخسر في 15. فاز بالضربة القاضية في 27 نزالا.
مراجع

↑  سجل الملاكمة لـ Billy Graham من بوكس ريك
بوابة أعلام
بوابة ملاكمة
بوابة الولايات المتحدة
(24619)

| (24619) 1979 DA | (24619) 1979 DA |
| --- | --- |
تاريخ الاكتشاف: 26 فبراير 1979  
الأسماء البديلة: 1979 DA،  و1999 XY120  
فئة الكوكب الصغير: حزام الكويكبات  
الأوج: 3.314 وحدة فلكية،  و3.315520152245895 وحدة فلكية  
الحضيض: 2.0203624 وحدة فلكية،  و2.01791246054559 وحدة فلكية  
نصف المحور الرئيسي: 2.6670718 وحدة فلكية،  و2.666716306395742 وحدة فلكية  
الشذوذ المداري: 0.24  0.2424792  0.2432969132464852   
فترة الدوران: 4.36 سنة،  و1590.609791963186 يوم  
زاوية وسط الشذوذ: 340.05414 درجة،  و73.1267463023575 درجة  
الميل المداري: 13.53328 درجة،  و13.5280077170272 درجة  
زاوية نقطة الاعتدال: 45.88970 درجة 45.84989617794115 درجة  
زاوية الحضيض: 137.88473 درجة،  و137.4735157540825 درجة  
تابع إلى: الشمس  
القدر المطلق(H): 14.3 ،  و14.45   
  (24618) 1978 XD1    (24620) 1979 MO2    :   (24618) 1978 XD1    (24620) 1979 MO2    
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
1979 دي أي (ويعرف أيضًا باسم (24619) 1979 دي أي وفق تسمية الكوكب الصغير) (بالإنجليزية: 1979 DA)‏ هو كويكب ضمن حزام الكويكبات؛ وترتيبه 24619 من حيث الاكتشاف.
اكتُشف هذا الجُرم الفلكي بواسطة Antonín Mrkos ‏ في 26 فبراير 1979.
مراجع

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   https://www.minorplanetcenter.net/db_search/show_object?object_id=24619. {{استشهاد ويب}}: |url= بحاجة لعنوان (مساعدة) والوسيط |title= غير موجود أو فارغ (من ويكي بيانات) (مساعدة)
↑  "معلومات عن (24619) 1979 DA على موقع ssd.jpl.nasa.gov". ssd.jpl.nasa.gov. مؤرشف من الأصل في 2020-01-11.
↑  "معلومات عن (24619) 1979 DA على موقع minorplanetcenter.net". minorplanetcenter.net. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
لونوكي

لونوكي (بالإنجليزية: Lonoke, Arkansas)‏ هي مدينة تقع في مقاطعة لونوك، أركنسو بولاية أركنساس في الولايات المتحدة. تبلغ مساحة هذه المدينة 11.9 (كم²)، وترتفع عن سطح البحر 73 م، بلغ عدد سكانها 4553 نسمة في عام 2000 حسب إحصاء مكتب تعداد الولايات المتحدة.
التركيبة السكانية

حدّد مكتب تعداد الولايات المتحدة بيانات التركيبة السكانية للونوكي في تعداد الولايات المتحدة. في ما يلي، التركيبة السكانية حسب تعدادي 2000 و2010.
التركيبة السكانية > تعداد عام 2000

بلغ عدد سكان لونوكي 4,287 نسمة بحسب تعداد عام 2000، وبلغ عدد الأسر 1,595 أسرة وعدد العائلات 1,093 عائلة مقيمة في المدينة. في حين سجلت الكثافة السكانية 333.1 نسمة لكل كيلومتر مربع (862.7/ميل2). وبلغ عدد الوحدات السكنية 1,703 وحدة بمتوسط كثافة قدره 132.3 لكل كيلومتر مربع (342.7/ميل2).
وتوزع التركيب العرقي للمدينة بنسبة 73.29% من البيض و23.40% من الأمريكيين الأفارقة و0.77% من الأمريكيين الأصليين و0.33% من الأمريكيين ذوي الأصول الآسيوية و0.05% من سكان جزر المحيط الهادئ و0.98% من الأعراق الأخرى و1.19% من عرقين مختلطين أو أكثر و1.84% من الهسبانيون أو اللاتينيون من أي عرق.
بلغ عدد الأسر 1,595 أسرة كانت نسبة 37.7% منها لديها أطفال تحت سن الثامنة عشر تعيش معهم، وبلغت نسبة الأزواج القاطنين مع بعضهم البعض 50.4% من أصل المجموع الكلي للأسر، ونسبة 14.1% من الأسر كان لديها معيلات من الإناث دون وجود شريك،  بينما كانت نسبة 4% من الأسر لديها معيلون من الذكور دون وجود شريكة وكانت نسبة 31.5% من غير العائلات. تألفت نسبة 28.5% من أصل جميع الأسر من عدة أفراد يعيشون في نفس المنزل ونسبة 14.9% كانت تتألف من شخص يعيش بمفرده يبلغ من العمر 65 عاماً أو أكثر. وبلغ متوسط حجم الأسرة المعيشية 2.53، أما متوسط حجم العائلات فبلغ 3.14.
بلغ العمر الوسطي للسكان 37.2 عاماً. وكانت نسبة 26.3% من القاطنين تحت سن الثامنة عشر، وكانت نسبة 8.4% بين الثامنة عشر والرابعة والعشرين عاماً، ونسبة 24.7% كانت واقعةً في الفئة العمرية ما بين الخامسة والعشرين والرابعة والأربعين عاماً، ونسبة 21% كانت ما بين الخامسة والأربعين والرابعة والستين، ونسبة 13.9% كانت ضمن فئة الخامسة والستين عاماً فما فوق. يوجد لكل 100 أنثى 90.3 ذكر، ويوجد لكل 100 أنثى في الثامنة عشر من عمرها فما فوق 84.3 ذكر.
بلغ متوسط دخل الأسرة في المدينة 31,558 دولارًا، أما متوسط دخل العائلة فبلغ 44,423 دولارًا. وكان متوسط دخل الذكور 34,315 دولارًا مقابل 22,642 دولارًا للإناث. وسجل دخل الفرد الخاص بالمدينة 15,598 دولارًا. وكانت نسبة 11.9% من العائلات ونسبة 15% من السكان تحت خط الفقر، وكان من هؤلاء نسبة 17.8% تحت سن الثامنة عشر ونسبة 19.5% في الخامسة والستين من العمر وما فوق.
التركيبة السكانية > تعداد عام 2010

بلغ عدد سكان لونوكي 4,245 نسمة بحسب تعداد عام 2010، وبلغ عدد الأسر 1,595 أسرة وعدد العائلات 1,085 عائلة مقيمة في المدينة. في حين سجلت الكثافة السكانية 329.8 نسمة لكل كيلومتر مربع (854.2/ميل2). وبلغ عدد الوحدات السكنية 1,773 وحدة بمتوسط كثافة قدره 137.8 لكل كيلومتر مربع (356.9/ميل2).
وتوزع التركيب العرقي للمدينة بنسبة 70.86% من البيض و25.32% من الأمريكيين الأفارقة و0.16% من الأمريكيين الأصليين و0.38% من الأمريكيين ذوي الأصول الآسيوية و2.33% من الأعراق الأخرى و0.94% من عرقين مختلطين أو أكثر و3.35% من الهسبانيون أو اللاتينيون من أي عرق.
بلغ عدد الأسر 1,595 أسرة كانت نسبة 36.7% منها لديها أطفال تحت سن الثامنة عشر تعيش معهم، وبلغت نسبة الأزواج القاطنين مع بعضهم البعض 47% من أصل المجموع الكلي للأسر، ونسبة 16.8% من الأسر كان لديها معيلات من الإناث دون وجود شريك،  بينما كانت نسبة 4.3% من الأسر لديها معيلون من الذكور دون وجود شريكة وكانت نسبة 32% من غير العائلات. تألفت نسبة 28.7% من أصل جميع الأسر من عدة أفراد يعيشون في نفس المنزل ونسبة 14.2% كانت تتألف من شخص يعيش بمفرده يبلغ من العمر 65 عاماً أو أكثر. وبلغ متوسط حجم الأسرة المعيشية 2.51، أما متوسط حجم العائلات فبلغ 3.09.
بلغ العمر الوسطي للسكان 39.2 عاماً. وكانت نسبة 25.1% من القاطنين تحت سن الثامنة عشر، وكانت نسبة 7.9% بين الثامنة عشر والرابعة والعشرين عاماً، ونسبة 24.3% كانت واقعةً في الفئة العمرية ما بين الخامسة والعشرين والرابعة والأربعين عاماً، ونسبة 24.9% كانت ما بين الخامسة والأربعين والرابعة والستين، ونسبة 17.8% كانت ضمن فئة الخامسة والستين عاماً فما فوق. وتوزع التركيب الجنسي للسكان بنسبة 46.7% ذكور و53.3% إناث.
أعلام

بولا جونز
جيم لي هويل
توماس كلارك تريمبل الثالث
جوزيف تايلور روبنسون
إد هام
ميتش بيتروس
مراجع

↑     "صفحة  لونوكي في  خريطة الشارع المفتوحة". OpenStreetMap. اطلع عليه بتاريخ 2024-10-11.
↑    "صفحة  لونوكي في GeoNames ID". GeoNames ID. اطلع عليه بتاريخ 2024-10-11.
↑  تعداد الولايات المتحدة 2020، QID:Q23766566
↑  مكتب تعداد الولايات المتحدة، المحرر (17 مارس 2022)، 2016–2020 American Community Survey، QID:Q111610221
↑  "GCT-PH1 – Population, Housing Units, Area, and Density: 2010 – State — Place and (in selected states) County Subdivision". تعداد الولايات المتحدة 2010. مكتب تعداد الولايات المتحدة. مؤرشف من الأصل في 2014-02-14. اطلع عليه بتاريخ 2013-08-04.
1 2  مكتب تعداد الولايات المتحدة (19 Dec 2012). "U.S. Census website" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2021-7-9. Retrieved 2021-07-10. {{استشهاد ويب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (help)
أولاد اخليفة التيرس (العثامنة التيرس)

| أولاد اخليفة التيرس> تقسيم إداري  | أولاد اخليفة التيرس> تقسيم إداري  |
| --- | --- |
البلد:  المغرب  
الجهة: الدار البيضاء سطات
الإقليم: بنسليمان
الدائرة: بنسليمان
الجماعة القروية: زيايدة
المشيخة: العثامنة التيرس
السكان : السكان 
التعداد السكاني: 265 نسمة (إحصاء 2004)
  • عدد الأسر: 41
معلومات أخرى : معلومات أخرى 
التوقيت: ت ع م±00:00 (توقيت قياسي)،  وت ع م+01:00 (توقيت صيفي)  
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
أولاد اخليفة التيرس هو دُوَّار يقع بجماعة زيايدة، إقليم بنسليمان، جهة الدار البيضاء سطات في المملكة المغربية. ينتمي الدوّار لمشيخة العثامنة التيرس التي تضم 8 دواوير. يقدر عدد سكانه بـ 265 نسمة حسب الإحصاء الرسمي للسكان والسكنى لسنة 2004.
مراجع

1 2   http://www.worldtimezone.com/time-africa24.php. {{استشهاد ويب}}: |url= بحاجة لعنوان (مساعدة) والوسيط |title= غير موجود أو فارغ (من ويكي بيانات) (مساعدة)
↑  "الإحصاء العام للسكان والسكنى لسنة 2004 (المغرب)" (PDF). المندوبية السامية للتخطيط. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2012-04-23.
كاي دالتون

| كاي دالتون>  معلومات شخصية  | كاي دالتون>  معلومات شخصية  |
| --- | --- |
الميلاد: 4 مايو 1932     مواب  
تاريخ الوفاة: سنة 2022   
مواطنة:  الولايات المتحدة  
 الحياة العملية  :  الحياة العملية  
المدرسة الأم: جامعة كولورادو الحكومية  
المهنة: مدير فني،  ولاعب كرة قدم أمريكية  
الرياضة: كرة القدم الأمريكية  
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
كاي دالتون (بالإنجليزية: Kay Dalton)‏ هو لاعب كرة قدم أمريكية أمريكي، ولد في 4 مايو 1932 في مواب في الولايات المتحدة.
مراجع

↑  Sports News Greeley Colorado | GreeleyTribune.com نسخة محفوظة 27 سبتمبر 2007 على موقع واي باك مشين.
وصلات خارجية

بوابة كرة القدم الأمريكية
بوابة الولايات المتحدة
بوابة أعلام
جسيم ضمن كمون دائري متناظر

من المسائل المهمة في ميكانيكا الكم هي مسألة حركة جسيم في كمون متماثل كرويًا  Particle in a spherically symmetric potential   ؛ أي جهد يعتمد فقط على المسافة بين الجسيم ونقطة المركز المحددة على وجه الخصوص.
فإذا كان الجسيم المعني عبارة عن إلكترون وكان الكمون  potential  مشتقا من قانون كولوم ، فيمكن استخدام هذا النظام  لوصف ذرة تشبه الهيدروجين . تتكون  ذرة الهيروجين من نواة موجبة الشحنة  (بروتون) وإلكترون (سالب الشحنة) يدور حولها. بمراعاة أن البروتون أثقل من الإلكترون  (نحو 1840 مرة) فيمكن القول أن الإلكترون واقع في كمون النواة ويتحرك فيه؛ مثل جسيم في بئر.
على الرغم من تجاذب  الإلكترون والبروتون بسبب شحنتيهما المختلفة فإن الإلكترون لا يسقط على البروتون ؛ بل يبقى في مدارات حول النواة .
حاول العلماء في بداية الأمر استخدام الميكانيكا الكلاسيكية في التعامل مع هذا النظام الغريب ، وفشلت كل المحاولات . مشكلة عدم سقوط الإلكترون على النواة الذرية اقتضت  ابتكار ميكانيكا جديدة وهي  ميكانيكا الكم. بواسطة  ميكانيكا الكم نجح العلماء في تفسير سلوك الإلكترون في ذرة الهيدروجين. كان ذلك خلال الأعوام 1920 - 1928 على يد العلماء هايزنبرغ و شرودنغر و نيلز بوهر وغيرهم.
في الحالة العامة المستقلة عن الزمن، ديناميكية الجسيم في كمون متناظر كروي ، تصفها 
معادلة هاملتون على الشكل التالي:
مثال على الكمون الفعال (أحمر) في حالة حقل كولوم جذاب يتحرك فيه الإلكترون. الإلكترون محبوس  في الكمون ويتحرك داخله على مسافة قصيرة r من النواة وحركته تقع تحت قوتين "الحركة المركزية الطاردة " و "قوة الكمون الجاذبة".
حيث:
m_{0} كتلة الجسيم (إلكترون) ،
{\hat {p}} هو زخم الإلكترون.
والكمون   V(r) يعتمد فقط على    r؛ إنه  متجه نصف قطر r  مدار الإكترون حول النواة .
بالاستعانة بمعادلة شرودنغر   طبقا لـ  ميكانيكا الكم في حل مسألة حركة الإلكترون حول النواة الذرية (من دون الانهيار عليها) ، تم تعيين مستويات طاقة الإلكترون المتطابقة في الذرة. تلك المستويات تسمى  (القيم الذاتية eigen values ) لأن الإلكترون يتخذ طاقات كمومية محددة.
من خلال حل معادلة شرودنغر مع هاملتوني بسبب التناظر الكروي للنظام. ومن الطبيعي تم استخدام الإحداثيات الكروية  r و  \theta  و  \phi  في حل تلك المسألة .
أمكن  فصل معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن في النظام، مما يسمح بمعالجة المشاكل الزاوية بسهولة، وتتبع حل معادلة تفاضلية عادية تعتمد فقط على المكان   r للإلكترون في تحديد مستويات طاقته حول النواة الذرية الموصوف بالكمون   V(r) الذي لا يعتمد على الزمن.
في الشكل يمثل المحور الرأسي طاقة الإلكترون ، مستويات طاقة الإلكترون في الذرة تكون سالبة (أقل من الصفر) ، فإذا زادت طاقة الإلكترون بحيث تعلو عن الصفر يصبح الإلكترون حرا طليقا وينفصل عن  الذرة. رمز طاقة الألكترون هي p (زخم الإلكترون)  أو E .
هيكل الحالات الذاتية

إن eigenstate للنظام لها الشكل:
والتي تمثل فيها الزاويتان الكرويتان θ وφ  كولاتيتيود /colatitude
الزاوية القطبية والسمتية،على التوالي. وغالبًا ما يتم تجميع العاملين الأخيرين ل ψ
معًا على شكل توافقيات كروية بحيث تأخذ الدوال الذاتية هذا الشكل:
المعادلة التفاضلية التي تصف الدالة  R(r) تسمى المعادلة الشعاعية.
اشتقاق المعادلة الشعاعية

مؤثر الطاقة الحركية في الإحداثيات القطبية الكروية هو:
بالتعويض بهذا في معادلة شرودنغر نحصل على معادلة ذات قيمة ذاتية أحادية البعد.
ويمكن اختزال هذه المعادلة وتحويلها إلى معادلة شرودنجر المكافئة في بعد واحد بالتعويض:  \ u(r) ,  R(r)=\ u(r)/r
وهي بالضبط معادلة شرودنجر أحادية البعد بجهد فعال يعطى بالمعادلة
يمتد الاحداثي الشعاعي r من 0 إلى  \infty .ويسمى تصحيح الجهد V ( r ) بحد (حاجز الطرد المركزي).
لو  \lim _{r\rightarrow 0}r^{2}V(r)=0، ثم بالقرب من الأصل،  R\sim r^{l}.
حلول لجهود مهمة

تنشأ خمس حالات خاصة ذات أهمية خاصة:
V ( r ) = 0، أو الحل لحالة انعدام الجهد على أساس التوافقيات الكروية التي تعمل كأساس لحالات أخرى.
V(r)=V_{0} (جهد محدود) لـ  r<r_{0} ، وجهد صفري في أي مكان آخر.
V ( r ) = 0، لـ  r<r_{0} ، وجهد لا نهائي فيما عداه، وهي المكافئ الكروي للبئر المربع، وهي مفيدة لوصف الحالات المقيدة في النواة أو للنقاط الكمومية.
V ( r) ~ r 2 للمذبذب التوافقي ثلاثي الأبعاد.
V ( r) ~ 1 / r لوصف حالات مقيدة لذرات شبيهة بالهيدروجين.
نحدد الحلول في هذه الحالات والتي ينبغي مقارنتها بنظيراتها في الإحداثيات الديكارتية.
راجع: الجسيمات في صندوق. حيث أن هذه المقالة بشكل كبير على
دوال بيسيل ومتعددة حدود لاجير.
حلول لجهود مهمة > حالة فراغ

أنظروا إلى هذه :
(if
 V_{0}
 V_{0}V ( r ) = 0 (if)
استبدل في كل مكان E بـ ( E-V_{0} ).
يكون إدخال المتغير بلا أبعاد
ويمكن أن تصبح معادلة (باسييل/ Bessel) معادلة يتم تحديدها ل J
J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)
ومن هنا كان الاختيار الترميذي لـ J
ماهي الحلول المنتظمة للطاقات الإيجابية التي يتم توفيرها من خلال ما يسمى بدوال بيسل من النوع الأو R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{l+1/2}(kr)ل '  J_{l+1/2}(\rho ) بحيث تكون الحلول المكتوبة لـ R هي ما يسمى بوظيفة Bessel الكروية.
حلول معادلة شرودنغر في الإحداثيات القطبية لجسيم كتلتة  m_{0} في الفراغ يتم تمييزها بثلاثة أعداد كمية: مؤشرات منفصلة l و m، و k تتباين باستمرار في  [0,\infty ) :
أين  k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E}}/\hbar  و  j_{l} هي وظائف Bessel الكروية و  Y_{lm} هي التوافقيات الكروية.
تمثل هذه الحلول حالات الزخم الزاوي المحدد، بدلاً من الزخم المحدد (الخطي)، والذي توفره الموجات المستوية  \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} ).
حلول لجهود مهمة > كرة ذات إمكانات «مربعة» محدودة

دعونا ننظر الآن في الإمكانات  V(r)=V_{0} ل  r<r_{0} و  V(r)=0 في مكان آخر. أي داخل كرة نصف قطرها  r_{0} الجهد يساوي V 0 وهو صفر خارج الكرة. يُطلق على الإمكانية مع مثل هذا الانقطاع المحدود اسم الإمكانات المربعة.
نعتبر أولاً الحالات المقيدة، أي الحالات التي تعرض الجسيم في الغالب داخل الصندوق (الحالات المحصورة). هؤلاء لديهم طاقة E أقل من الإمكانات خارج الكرة، أي لديهم طاقة سالبة، وسنرى أن هناك عددًا منفصلاً من هذه الحالات، والتي سنقارنها بالطاقة الإيجابية ذات الطيف المستمر، والتي تصف التشتت على مجال (من الدول غير المنضمة). وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه على عكس إمكانات كولوم، التي تتميز بعدد لا حصر له من حالات الربط المنفصلة، فإن البئر المربع الكروي ليس له سوى عدد محدود (إن وجد) بسبب نطاقه المحدود (إذا كان له عمق محدود).
يتبع القرار بشكل أساسي الفراغ مع تطبيع دالة الموجة الكلية المضافة، وحل معادلتين من شرودنغر — داخل وخارج الكرة — من النوع السابق، أي مع جهد ثابت. أيضا القيود التالية تنطبق:
يجب أن تكون الدالة الموجية منتظمة في الأصل.
يجب أن تكون دالة الموجة ومشتقاتها مستمرة عند الانقطاع المحتمل.
يجب أن تتقارب الدالة الموجية عند اللانهاية.
يأتي القيد الأول من حقيقة أن وظائف Neumann N وHankel H متفردة في الأصل. الحجة الفيزيائية القائلة بأن ψ يجب تعريفها في كل مكان يتم تحديد وظيفة Bessel من النوع الأول J على الاحتمالات الأخرى في حالة الفراغ. للسبب نفسه، سيكون الحل من هذا النوع داخل الكرة:
مع A ثابت يتم تحديده لاحقا. لاحظ أنه بالنسبة للدول المقيدة،  V_{0}<E<0.
تجلب الحالات المقيدة الحداثة مقارنة بحالة الفراغ التي أصبحت E سالبة (في الفراغ كان من المفترض أن تكون إيجابية). هذا، جنبًا إلى جنب مع القيد الثالث، يحدد وظيفة Hankel من النوع الأول باعتبارها الحل الوحيد المتقارب عند اللانهاية (التفرد في أصل هذه الوظائف لا يهم لأننا الآن خارج المجال):
القيد الثاني على استمرارية ψ في  r=r_{0} جنبا إلى جنب مع التطبيع يسمح بتحديد الثوابت A و B. تتطلب استمرارية المشتق (أو المشتق اللوغاريتمي للراحة) تكميم الطاقة.
حلول لجهود مهمة > كرة ذات إمكانات «مربعة» لانهائية

في حالة حيث يكون البئر المحتمل عميقًا بشكل غير محدود، حتى نتمكن من تحمله  V_{0}=0 داخل الكرة و  \infty  في الخارج، تصبح المشكلة هي مطابقة الدالة الموجية داخل الكرة ( وظائف Bessel الكروية ) مع دالة موجية متطابقة صفرية خارج الكرة. الطاقات المسموح بها هي تلك التي تختفي فيها الدالة الموجية الشعاعية عند الحدود. وبالتالي، فإننا نستخدم أصفار دوال بيسيل الكروية لإيجاد طيف الطاقة ودوال الموجة. الاتصال  u_{l,k} الصفر ال k من  j_{l}، نملك:
لذلك يتم اختزال واحد إلى حسابات هذه الأصفار  u_{l,k}، عادةً باستخدام جدول أو آلة حاسبة، لأن هذه الأصفار غير قابلة للحل للحالة العامة.
في الحالة الخاصة  l=0 (المدارات الكروية المتماثلة)، وظيفة بيسيل الكروية هي  j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}، والتي يمكن بسهولة إعطاؤها الأصفار  u_{0,k}=k\pi . وبالتالي، فإن قيم الطاقة الذاتية الخاصة بهم هي:
حلول لجهود مهمة > مذبذب توافقي ثلاثي الأبعاد

إمكانات المذبذب التوافقي ثلاثي الأبعاد الخواص هي
في هذه المقالة، يتضح أن المذبذب التوافقي المتناحي الأبعاد N له الطاقات
على سبيل المثال، n هو عدد صحيح غير سالب ؛ ω هو (نفس) التردد الأساسي للأنماط N للمذبذب. في هذه الحالة N = 3، بحيث تصبح معادلة شرودنغر الشعاعية،
واستذكر ذلك  u(r)=rR(r)\,، سوف نظهر أن معادلة شرودنجر الشعاعية لها الحل الطبيعي،
حيث الوظيفة  L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2}) هي كثيرة حدود لاجير معممة في γr 2 من الترتيب k (أي أن أعلى قوة لكثير الحدود تتناسب مع γ k r 2 k ).
ثابت التطبيع N nl هو،
دالة eigenfunction R n، l (r) تنتمي إلى الطاقة E n ويجب ضربها بواسطة التوافقي الكروي  Y_{lm}(\theta ,\phi )\,، أين
هذه هي نفس النتيجة الواردة في مقالة Harmonic Oscillator، مع اختلاف تدويني ثانوي قدره  \gamma =2\nu \,.
حلول لجهود مهمة > مذبذب توافقي ثلاثي الأبعاد > الاشتقاق

أولاً نقوم بتحويل المعادلة الشعاعية من خلال عدد قليل من الاستبدالات المتتالية إلى معادلة لاجير التفاضلية المعممة، والتي لها حلول معروفة: دوال لاجير المعممة. ثم نقوم بتطبيع دوال لاجير المعممة للوحدة. يتم هذا التطبيع مع عنصر الحجم المعتاد r2 dr.
أولاً نقوم بقياس الإحداثي الشعاعي
ثم تصبح المعادلة
مع  v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right).
يقترح النظر في السلوك المحدود لـ v ( y ) في الأصل وعند اللانهاية الاستبدال التالي لـ v ( y )،
هذا الاستبدال يحول المعادلة التفاضلية إلى
حيث قسمنا من خلاله  y^{l+1}e^{-y^{2}/2}، وهو ما يمكن إجراؤه طالما أن y ليست صفرًا.
حلول لجهود مهمة > مذبذب توافقي ثلاثي الأبعاد > الاشتقاق > التحول إلى كثيرات حدود لاجير

إذا كان الاستبدال  x=y^{2}\, يستخدم،  y={\sqrt {x}}، وتصبح العوامل التفاضلية
يصبح التعبير بين الأقواس المربعة بضرب f ( y ) هو المعادلة التفاضلية التي تميز معادلة Laguerre المعممة (انظر أيضًا معادلة Kummer ):
مع  g(x)\equiv f({\sqrt {x}})\,\;.
متاح  k\equiv (n-l)/2\, هو رقم متكامل غير سالب، حلول هذه المعادلات معممة (مرتبطة) متعدد حدود لاجير
من الشروط على k يلي: (i)  n\geq l\, و (ii) n و l كلاهما فردي أو زوجي. هذا يؤدي إلى حالة على ل الواردة أعلاه.
حلول لجهود مهمة > مذبذب توافقي ثلاثي الأبعاد > الاشتقاق > استعادة الدالة الموجية الشعاعية الطبيعية

تذكر ذلك  u(r)=rR(r)\,، نحصل على الحل الشعاعي الطبيعي
حالة التطبيع لوظيفة الموجة الشعاعية هي
أستعاض  q=\gamma r^{2}\,\; يعطي  dq=2\gamma r\,dr\,\; وتصبح المعادلة
من خلال الاستفادة من خصائص التعامد في كثيرات حدود لاجير المعممة، يتم تبسيط هذه المعادلة إلى
ومن ثم، يمكن التعبير عن ثابت التطبيع كـ
يمكن اشتقاق الأشكال الأخرى من ثابت التسوية باستخدام خصائص دالة جاما، مع ملاحظة أن كلا من n و l لهما نفس التكافؤ. هذا يعني أن n + l دائمًا زوجي، بحيث تصبح وظيفة جاما
حيث استخدمنا تعريف العامل المزدوج. ومن ثم، يتم إعطاء ثابت التطبيع أيضًا بواسطة