دائرة
إنشاءات المسطرة والفرجار

المقالات الرئيسة: إنشاء بمسطرة وفرجار فرجار مرسام
الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أو أقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هو أداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من بلاستيك أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أو حِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أو الإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.
الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.
القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:
إنشاء عمود منصف لقطعةٍ مُستقيمةٍ: بافتراض أنَّ  {\overline {AB}} قطعة مستقيمة، ارسم الدائرتين  C(A,{\overline {AB}}),C(B,{\overline {AB}}) وافترض أنهما يتقاطعان في  X,Y. إنَّ  XY هُو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة  {\overline {AB}}.
إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية  \angle ABC كالآتي:
أنشئ الدائرة  C(B,r) وافترض أنها تقطع شعاعا الزاوية  {\overrightarrow {BA}},{\overrightarrow {BC}} في  A',C' على الترتيب.
ارسم الدائرتين  C(A',r),C(C',r) بأيِّ نصفِ قُطرٍ  r، وافترض أن إحدى نقطتي تقاطعهما هي  T.
إن منصفَ الزاويةِ  \angle ABC هو  BT.
لإنشاء المنصف الخارجي للزاوية، طبق الخطوات السابقة لكن مع أخذ الشعاعين:  {\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CB}}.
| إنشاء عمود منصف | إنشاء منصف زاوية | إنشاء سداسي منتظم | إنشاء مربع |
| --- | --- | --- | --- |
: رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية.
إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن  A،  B،  C ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين  AB وَ BC غير متوازيين لانعدام تَسامُتِ النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي  O، وبما أن  OA=OB=OC فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها  O. بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.إنشاءات المسطرة والفرجار هي التي ميّزت الهندسةَ الإقليدية. ولهذا كانت تُسمّى: «هندسة المسطرة والفرجار».
إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت  C(O,r) دائرةً، و P نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة  P إلى الدائرة يكون كالآتي:
صِلْ  OP ولتكن  M نقطة تقاطعه مع الدائرة.
خُذ نقطة منتصف  OM ولتكن  N.
ارسم الدائرة  \Omega  التي قطرها  {\overline {OM}} أو بترميز الدائرة:  C(N,{\frac {|{\overline {OM}}|}{2}}).
تقاطع الدائرة  \Omega  مع الدائرة الأصلية  C(O,r) هما نقطتا تماس النقطة  P مع الدائرة  C(O,r).
إنشاء المماس المشترك الداخلي لدائرتين: لتكن  A,B دائرتين معلومتين مركزاهما  O_{1},O_{2} على الترتيب. إنشاء المماس المشترك لهما من الداخل، يكون كالآتي:
صِل  O_{1}O_{2} وارسم الدائرة ذات القطر  O_{1}O_{2} ولتكن  \Gamma .
ارسم الدائرتين  C(O_{1},{\overline {O_{1}O_{2}}}),C(O_{2},{\overline {O_{1}O_{2}}}) وافرض أن نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة  \Gamma  هما  C,D على الترتيب.
صل  O_{1}C,O_{2}D وليقطعا الدائرتين  A,B في  E,F على الترتيب.
كرِّر العملية مع نصف الدائرة  \Gamma  الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي  E',F'.
المستقيمان  EE',FF' هما مماسان مشتركان داخليان للدائرتين الأصليتين  A,B.