stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
وجه مشقوق
الاختلافات المظهرية

هناك أربعة اختلافات واضحة من شق الشدق. حسب التصنيفات وهي: الشق الجانبي الكامل على الوجه، شق الشدق البسيط، شق الشدق يحدث ترهل في عضلات الوجه، وتصبح عضلات الوجه المترهلة معزولة.
ويرتبط الفلح المرتبط الشدق بالاندماج غير السليم أو فشل في عمليات تطور الفك أوالفكين أثناء التطور الجنيني.
هذا يمكن أن يؤدي إلى مجموعة متنوعة من التشوهات تشمل الجلد، الأنسجة تحت الجلد، عضلات الوجه، والأغشية المخاطية.
دوال مثلثية

ميّز عن دالة مثلث موجة مثلثية.
في الرياضيات، الدَّوَالّ المُثَلَّثِيَّة أو التَوَابِع المُثَلَّثِيَّة أو الدَّوَالّ المُثَلَّثَاتِيَّة أو الدَّوَالّ الدَائِرِيَّة (بالإنجليزية: Trigonometric Functions)‏ هي مجموعة من الدوال الحقيقية التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه. من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والرئيسة دالة الجيب ودالةُ جيبِ التمام، ودالة الظل. مقاليب هذه الدوال هي دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: قاطع التمام والقاطع وظل التمام على التوالي.
يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات.
بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كوا وغوا شوجينغ وغيورغ يواخيم ريتيكوس وغيرهم.
يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا °180 دائماً.
توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو لوران على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوي المركب.
يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد.
التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل علم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في القياس البصري الثلاثي الأبعاد ؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه القبلة بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد مجال محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.
تعريف الدوال

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).
| التسمية العربية | التسمية الإنجليزية | التسمية الفرنسية | التدوين بالحروف العربية | التدوين بالحروف اللاتينية  | المُنطلق | المستقر |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| الجَيْب، الجَيْب المستوي | Sine | Sinus | جا، جب | sin | جميع الأعداد الحقيقية (أ.ح.) | [-1، 1] |
| جَيْب التَمَام | Cosine | Cosinus | جتا، تجب | cos | أ.ح. | [-1، 1] |
| الظِل، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس | Tangent | Tangente | ظا، ظل | tan | أ.ح. ما عدا π/2 +kπ | أ.ح. |
| ظِل التمام، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي | Cotangent | Cotangente | ظتا، تظل | cot  | أ.ح. ما عدا kπ | أ.ح. |
| القاطع، قطر الظل الأول | Secant | Sécante | قا | sec | أ.ح. ما عدا π/2 +kπ | ]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[ |
| قاطع التمام، قطر الظل الثاني | Cosecant | Cosécante | قتا، تقا | csc  | أ.ح. ما عدا kπ | ]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[ |
تعريف الدوال > أصل تسمية الدوال

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وأيضاً «طَوْق الثَوْب: الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة»، واختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.(101) كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس المحارب»؛ حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛ أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة. في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:
«إن هذه الصناعة إذا أريد إخراجها إلى الفعل بمزاولة الحساب فيها فالأعداد مفتقرة إلى معرفة أوتار قسي الدوائر، فلذلك سمى أهلها كتبها العلمية زيجات من الزيق الذي هو بالفارسية زه، أعني الوتر، وسموا أنصاف الأوتار جيوباً، وإن كان اسم الوتر بالهندية جِيبَا ونصفه جِيبَارد، ولكن الهند إذا لم يستعملوا غير أنصاف الأوتار أوقعوا اسم الكل على النصف تخفيفاً في اللفظ»
أما الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي في أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فيقال أن طول الظل يساوي عدة مرات طول المقياس، عند تمثيل الرياضيين المسلمين للدالة على دائرة وحدة اعتمد نصف قطرها مقياسًا، كانت النتيجة خطاً مستقيماً يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».
وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛ استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».
أما عن بادئة -co الموجودة في (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب الزاوية المتممة لزاوية»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛ أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛ التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب القوس المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس» أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.
التاريخ

المقالة الرئيسة: تاريخ حساب المثلثات
التاريخ > العصر القديم

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.
استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (قرابة 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.
تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية. في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.
التاريخ > الهنود

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «سوريا سِدْهانْتا»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" التي استخدمها الهنود في علم الفلك في الحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية.
كان بهاسكارا الثاني، الذي عاش في القرن الثاني عشر، من أوائل الذين حسبوا جيب مجموع زاويتين (sin (a+b)) أو طرحهما (sin (a-b))، كما يأتي:
sin (a+b) = cos(a).sin(b) + sin(a).cos(b)
خطا مادهافا السانغماغرامي، قرابة العام 1400، خطوات أولى ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية، ويُعتقد أنه وضع متسلسلات مادهافا، التي سميت باسمه، قبل قرنين من وضعها في أوروبا.
التاريخ > الصينيون

لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:  s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}
التاريخ > النهضة الأوروبية وما بعدها

كانت أطروحات العالم ريغيومونتانوس وتعليقاته، خاصةً كتابه المعنون كل شيء عن المثلثات (باللاتينية: De triangulis omnimodis) في 1464) على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا. علّق في كتابه عن المثلثات:
«أنت من تريد دراسة أشياء كبيرةً وعجيبةً، ومن تتعجب من حركة النجوم، عليك أن تدرس هذه المبرهنات حول المثلثات. معرفتك لهذه الأفكار ستفتح لك الباب لعلم الفلك كله ولبعض المعضلات الهندسية.»
استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبير جيرار (1595 – 1632 م) الاختصارات sin، وcos، وtan للمرة الأولى في كتابه حساب المثلثات (بالفرنسية: Trigonométrie)‏.
ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.
استعمل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك مصطلحي "Tangent" و"Secant" للمرة الأولى في كتابه المعنون الهندسة الدائرية (باللاتينية: Geometria rotundi).
برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب (sin(x ليست دالة جبرية تتبع x، أي أنها دالة متسامية في مقال نُشر عام 1682م.
كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).
في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنزو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.
التاريخ > الدوال المثلثية التاريخية

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم «الجيب المعكوس»(102)) وسهم التمام ونصف السهم، والقاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.
{\begin{array}{lcl}\operatorname {crd} (\theta )=2\sin({\tfrac {\theta }{2}})\\\operatorname {versin} (\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2}({\tfrac {\theta }{2}})\\\operatorname {coversin} (\theta )=1-\sin(\theta )=\operatorname {versin} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\operatorname {haversin} (\theta )={1 \over 2}\operatorname {versin} (\theta )=\sin ^{2}({\tfrac {\theta }{2}})\\\operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1\\\operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1\end{array}}
وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءاً متساوياً، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة عليا.
الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري.
الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير أعلى.
الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.
دقيقة القوس وثانيته: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الإحداثيات الجغرافية.
دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°، يشار إليها بقيمة متبوعة بفاصلة عليا (').
ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°، يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامتي التنصيص (").
| وحدة | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار | مقدار |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| درجة | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| راديان | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
| غراد | 0g | 100/3g | 50g | 200/3g | 100g | 200g | 300g | 400g |
| دورة | 0 | 1/12 | 1/8 | 1/6 | 1/4 | 1/2 | 3/4 | 1 |
وحدات قياس الزوايا > راديان مقابل درجات

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، وتقاس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.
لا يكون المتغير زاويةً عند حساب التفاضل والتكامل باستعمال الدوال المثلثية، ولكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية رأسها مركز الدائرة. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.
تكون الصيغ المستعملة عند حساب المشتقات والتكاملات أبسط عند استعمال الراديان، لذلك فهو المُستعمل عادةً اصطلاحاً، أي إذا وحدة الزاوية غير مُذكورة، فيُفترض أن تكون الراديان.
التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

طالع أيضًا: مثلث قائم
يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائماً يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها 90° وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي 90° أو π/2 راديان.
يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل).
عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).
تعرف الدوال المثلثية الرئيسة للزاوية A كما يأتي:
جيب الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر:
sin(A) = a/c
جيب تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى وتر المثلث، بتعبير آخر:
cos(A) = b/c
ظل الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها، أي:
tan(A) = a/b = (a/c) x (c/b) = (a/c)/(b/c) = sin(A)/cos(A)
وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.
بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:
كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).
يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:
ظل تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، أي:
قاطع الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المجاور، أي:
قاطع تمام الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المقابل، أي:
نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:
ملخص العلاقات
تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:
sin (A) = المقابل/الوتر
cos (A) = المجاور/الوتر
tan (A) = المقابل/المجاور
cot (A) = المجاور/المقابل
sec (A) = الوتر/المجاور
csc (A) = الوتر/المقابل
التعريف باستعمال دائرة الوحدة

طالع أيضًا: دائرة وحدة
يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. مع أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 وπ/2 راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.
تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ دائرةَ الوحدةِ في النقطة A=(x,y) فإنّ الدالةُ cos(θ) تُعرّف على أنها الإحداثي x والدالة sin(θ) هي الإحداثي y لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: (x, y) = (cos(θ), sin(θ)). وبرسم مماسٍ من النقطة (x, y) يقطعُ محورَي السينات والصادات في النقطتين E = (a,0), F=(0,b) على الترتيب، فإنَّ a = sec(θ), b = csc(θ).
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في المجال (0, π/2) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة OA = r هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة P = (x0,y0) على دائرة الوحدة تُحقّق x2 + y2 = 1 من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم OCA، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x, y يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: cos2θ+sin2θ=1. وأخيراً فإنَّ المسافات AF, AE تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot(θ) وtan(θ) على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة OAF وOAE وOEF للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:
بما أنَّ دوراناً بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F, A, E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور 2π. بمعنى آخر، المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) محققة أياً كانت قيمة θ زومن أجل أي عدد صحيح k. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.
تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصيل ، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π.
التعريف باستعمال دائرة الوحدة > الدوران

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:
| انعكاس حول المحور الأفقي | دوران بزاوية π/2 | دوران بزاوية π | دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح) | انعكاس حول المحور العمودي |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sin(-θ)= -sin (θ) | sin(θ + (π/2))= +cos (θ) | sin(θ + π) = -sin (θ) | sin(θ + 2kπ) = +sin (θ) | sin(π-θ)= sin(θ) |
| cos(-θ)= +cos (θ) | cos(θ + (π/2))= -sin (θ) | cos(θ + π) = -cos (θ) | cos(θ + 2kπ) = +cos (θ) | cos(π-θ)= -cos (θ) |
| tan(-θ)= -tan (θ) | tan(θ + (π/2))= -cot (θ) | tan(θ + π) = +tan (θ) | tan(θ + 2kπ) = +tan (θ) | tan(π-θ)= -tan (θ) |
| cot(-θ)= -cot (θ) | cot(θ + (π/2))= -tan (θ) | cot(θ + π) = +cot (θ) | cot(θ + 2kπ) = +cot (θ) | cot(π-θ)= -cot (θ) |
| sec(-θ)= +sec (θ) | sec(θ + (π/2))= -csc (θ) | sec(θ + π) = -sec (θ) | sec(θ + 2kπ) = +sec (θ) | sec(π-θ)= -sec (θ) |
| csc(-θ)= -csc (θ) | csc(θ + (π/2))= +sec (θ) | csc(θ + π) = -csc (θ) | csc(θ + 2kπ) = +csc (θ) | csc(π-θ)= csc (θ) |
رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (متقطع)، القاطع (متقطع)، ظل التمام (متقطع).
القيم الجبرية

المقالة الرئيسة: قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية
بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.
إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:
المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي 2√ مرة طول كل من الساقين، إذن:
sin (45°) = cos (45°) =(√2)/2
tan (45°) = cot (45°) = 1
باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:
sin (30°)= cos (60°) = 1/2
وبالمثل، يُحسب على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي 3/2√، نتيجة لذلك:
sin (60°)= cos (30°) = √3/2
توفر كتابة البسوط باستعمال جذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة مع مقام مساوٍ 2، طريقة سهلة لتذكر القيم.
تنص مبرهنة نيفن على أن القيم الكسرية الوحيدة للزاوية θ التي تتواجد في المجال بين [0° ,90°] والتي يكون جيبها عدداً كسريًا هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة. تمتد المبرهنة أيضًا إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض من الزوايا. بالنسبة للقيم الكسرية لـ θ، فإن القيم الكسرية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و (1/2)± و 1±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي 1± و 2±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و1±.
مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام باستعمال المسطرة والفرجار.
يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.
بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.
بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، أُثبتت في عام 1966.
القيم الجبرية > القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.
حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.
لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.
حساب التفاضل والتكامل > الاشتقاق والمكاملة

المقالات الرئيسة: تفاضل الدوال المثلثية قائمة تكاملات الدوال المثلثية قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:
حساب التفاضل والتكامل > التعريف بواسطة التكامل

يمكن الحصول على تعريف آخر استناداً إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف الأعلى لدائرة الوحدة  y={\sqrt {1-x^{2}}}، يمكن إيجاد العلاقة بين الزاوية θ وsinθ وفقًا للمعادلة التالية:
وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].
حساب التفاضل والتكامل > التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:
جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:
بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:
نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:  ay''+by'+cy=0
حساب التفاضل والتكامل > باستعمال المتسلسلات

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.
باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:
حيث تشير !n إلى عاملي عدد.
عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا: