تفرد بي كي إل
تطور متري > مجال الوقت الصغير

تنتهك العصور الطويلة المسار "المنتظم" للتطور مما يجعل من الصعب دراسة تطور الفترات الزمنية التي تمتد عبر عدة عصور. ومع ذلك، يمكن إثبات أن مثل هذه الحالات "غير الطبيعية" تظهر في التطور التلقائي للنموذج إلى نقطة مفردة في الأوقات الصغيرة المتقاربة t على مسافات كبيرة بما يكفي من نقطة البداية ذات الظروف الأولية التعسفية. حتى في العصور الطويلة، تظل كلتا الوظيفتين المتذبذبتين أثناء التحولات بين عهود كاسنر مختلفة تمامًا لدرجة أن الانتقال يحدث تحت تأثير اضطراب واحد فقط. جميع النتائج في هذا القسم تتعلق بنفس القدر بنماذج من النوعين الثامن والتاسع.
خلال كل حقبة كاسنر abc = Λ t، أي α + β + γ = ln Λ + ln t . عند التغيير من حقبة واحدة (بقيمة معينة للمعامل u ) إلى الحقبة التالية، يتم ضرب الثابت Λ بـ 1 + 2 p 1 = (1 - u + u 2 ) / (1 + u + u 2 ) < 1. وبالتالي يحدث انخفاض منهجي في. لكن من الضروري أن تكون القيمة المتوسطة (فيما يتعلق بأطوال k للعصور) للتغير الكامل لـ ln خلال حقبة ما محدودة. في الواقع، يمكن أن يكون الاختلاف في متوسط القيمة ناتجًا فقط عن زيادة سريعة جدًا في هذا التباين مع زيادة k . للحصول على قيمة كبيرة للمعامل u، ln (1 + 2 p 1 ) ≈ −2 / u . بالنسبة إلى k كبير، تكون القيمة القصوى u (max) = k + x ≈ k. ومن ثم فإن الاختلاف الكامل لـ ln Λ خلال حقبة ما يتم الحصول عليه من خلال مجموع النموذج
\sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}
فقط مع المصطلحات التي تتوافق مع القيم الكبيرة لـ u مكتوبة. عندما يزيد k، يزداد هذا المجموع بمقدار ln k . لكن احتمالية ظهور حقبة ذات طول كبير k تقل بمقدار 1 / k 2 وفقًا لـ eq. 76 ؛ ومن ثم فإن القيمة المتوسطة للمبلغ أعلاه محدودة. وبالتالي، فإن الاختلاف المنهجي للكمية ln Λ على مدى عدد كبير من العصور سيكون متناسبًا مع هذا الرقم. ولكن يتم رؤيته في eq. 85 أنه مع t → 0، يزيد الرقم s فقط مثل ln | ln t |. وبالتالي في الحد المقارب لـ t صغير بشكل تعسفي، يمكن بالفعل إهمال المصطلح ln Λ بالمقارنة مع ln t . في هذا التقريب
حيث Ω تشير إلى "الوقت اللوغاريتمي"
ويمكن اعتبار عملية تحولات الحقبة على أنها سلسلة من الومضات الزمنية القصيرة. تخضع مقادير الحد الأقصى لوظائف المقياس المتذبذب أيضًا لتغير منهجي. من eq. 39 أجل u ≫ 1 يتبع ذلك  a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u . بالطريقة نفسها التي تم إجراؤها أعلاه للكمية ln Λ، يمكن للمرء بالتالي أن يستنتج أن متوسط الانخفاض في ارتفاع الحد الأقصى خلال حقبة ما محدود وأن الانخفاض الكلي على مدى عدد كبير من العصور يزداد مع t → 0 فقط مثل ln Ω. في الوقت نفسه، يتم تخفيض الحد الأدنى، وبنفس الطريقة، زيادة سعة التذبذبات، ( eq. 77 ) بما يتناسب مع Ω. بالتوافق مع التقريب المعتمد، يتم إهمال خفض الحد الأقصى بالمقارنة مع زيادة السعات بحيث تكون α max = 0، β max = 0، γ max = 0 للقيم القصوى لجميع الوظائف المتذبذبة والكميات α،، γ قم بتشغيل فقط من خلال القيم السالبة التي ترتبط ببعضها البعض في كل لحظة من الوقت بواسطة العلاقة eq. 63 .
بالنظر إلى مثل هذا التغيير الفوري للعصور، يتم تجاهل الفترات الانتقالية على أنها صغيرة مقارنة بطول الحقبة ؛ تم استيفاء هذا الشرط في الواقع.  يتطلب استبدال α و β و الحد الأقصى بأصفار أن تكون الكميات ln (| p 1 | Λ) صغيرة بالمقارنة مع اتساع تذبذبات الوظائف المعنية. كما ذكر أعلاه، أثناء الانتقال بين العصور | ص 1 | يمكن أن تصبح القيم صغيرة جدًا بينما لا يرتبط حجمها واحتمال حدوثها بمدى التذبذب في اللحظة المعنية. لذلك، من حيث المبدأ، من الممكن الوصول إلى هذا الحجم الصغير | ص 1 | القيم التي تم انتهاك الشرط أعلاه (صفر حد أقصى). يمكن أن يؤدي هذا الانخفاض الحاد في α max إلى مواقف خاصة مختلفة يكون فيها الانتقال بين فترات كاسنر بواسطة القاعدة eq. 37 غير صحيح (بما في ذلك الحالات المذكورة أعلاه ). هذه المواقف "الخطيرة" يمكن أن تخرق القوانين المستخدمة في التحليل الإحصائي أدناه. ومع ذلك، وكما ذكرنا، فإن احتمال مثل هذه الانحرافات يتقارب بشكل مقارب إلى الصفر ؛ سيتم مناقشة هذه المسألة أدناه.
ضع في اعتبارك حقبة تحتوي على فترات k كاسنر مع وجود معلمة u تعمل عبر القيم
ولنفترض أن α و هما الوظيفتان المتذبذبتان خلال هذا العصر (الشكل 4). 

اللحظات الأولية لفترات كاسنر ذات المعلمات u n هي n . في كل لحظة أولية، تكون إحدى القيمتين α أو صفرًا، بينما تحتوي الأخرى على حد أدنى. القيم α أو في الحدود الدنيا المتتالية، أي في اللحظات n
(لا يميز الحدود الدنيا α و β). يمكن للقيم δ n التي تقيس تلك الحدود الدنيا في وحدات n ذات الصلة أن تعمل بين 0 و 1. الوظيفة γ تتناقص بشكل رتيب خلال هذا العصر ؛ حسب eq. 63 قيمتها باللحظة Ω n هي
خلال الحقبة التي تبدأ من اللحظة Ω n وتنتهي في اللحظة Ω n +1 تزيد إحدى الوظائف α أو β من −δ n Ω n إلى الصفر بينما تقل الأخرى من 0 إلى −δ n +1 Ω n +1 بالخطي القوانين، على التوالي:
وطول العصر اللوغاريتمي
حيث، باختصار، f ( u ) = 1 + u + u 2 . يتم الحصول على مجموع أطوال الحقبة n بواسطة الصيغة
يمكن رؤيته من eq. 68 أن | α n + 1 | > | α n |، أي، تزداد اتساع التذبذب للوظائف α و خلال العصر بأكمله على الرغم من أن العوامل δ n قد تكون صغيرة. إذا كان الحد الأدنى في بداية العصر عميقًا، فلن يصبح الحد الأدنى التالي أقل ضحالة ؛ بمعنى آخر، البقايا | α - β | في لحظة الانتقال بين عهود كاسنر لا تزال كبيرة. لا يعتمد هذا التأكيد على طول العصر k لأن الانتقالات بين العصور يتم تحديدها من خلال القاعدة المشتركة eq. 37 أيضا لعصور طويلة.
سعة التذبذب الأخيرة للوظائف α أو في عصر معين مرتبطة بسعة التذبذب الأول بالعلاقة | α k −1 | = | α 0 | ( ك + س ) / (1 + س ). حتى في ك الصورة صغيرة مثل عدة وحدات س يمكن تجاهلها في المقارنة إلى k بحيث زيادة α وسعة التذبذب بيتا تصبح متناسبة مع طول الحقبة. لوظائف 'وه' = α و ب ه = β يعني ذلك أنه إذا كانت السعة من التذبذبات في بداية عصر كان A 0، في نهاية هذا العصر السعة ستصبح  A_{0}^{k/(1+x)} .
كما يزداد طول فترات كاسنر (في الوقت اللوغاريتمي) داخل عصر معين ؛ من السهل حساب من eq. 69 أن Δ ن +1 > Δ ن .  الطول الإجمالي للعصر هو
(المصطلح مع 1 / x ينشأ من الحقبة الأخيرة، k -th، التي يكون طولها كبيرًا عند x الصغيرة ؛ راجع. الصورة 2). لحظة Ω ن عندما ك -th الحقبة من نهايات عصر معين هو في نفس الوقت لحظة Ω '0 من بداية الحقبة المقبلة.

في حقبة كاسنر الأولى من العصر الجديد، كانت الدالة γ هي الأولى التي ارتفعت من أدنى قيمة γ ك = - Ω ك (1 - δ ك ) التي وصلت إليها في العصر السابق ؛ تلعب هذه القيمة دور سعة البداية δ ' 0 Ω' 0 لسلسلة التذبذبات الجديدة. من السهل الحصول على ما يلي:
من الواضح أن δ ' 0 Ω' 0 > 0 Ω 0 . حتى في ك يست كبيرة جدا في زيادة السعة مهمة جدا: وظيفة ج = ه γ يبدأ ذبذبة من السعة  A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}} . يتم ترك المسألة المتعلقة بالحالات "الخطيرة" المذكورة أعلاه من الانخفاض الحاد في حد التذبذب العلوي جانبًا في الوقت الحالي.
حسب eq. 40 الزيادة في كثافة المادة خلال العهود الأولى (ك - 1) تعطى بواسطة الصيغة
\ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.
حتى آخر k لعصر معين، في u = x <1 أعظم قوة هو P 2 (x) (لا P 3 (x)). لذلك، من أجل زيادة الكثافة خلال العصر بأكمله، يحصل المرء
لذلك، حتى مع عدم وجود قيم k كبيرة جدًا،  \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k} . خلال العصر التالي (بطول k ') ستزداد الكثافة بشكل أسرع بسبب زيادة سعة البداية A 0 ':  \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}، إلخ. توضح هذه الصيغ الزيادة الحادة في كثافة المادة.