stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
دائرة
الأوتار والمستقيمات > خط القوة > مركز القوة

لتكن  A,B,C دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.
وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين  A,B مع محور الأساسي الدائرتين  C,D في نقطة  M فإنَّ المماسات المنطلقة من  M لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ:  {\mathcal {Pow}}(M,A)={\mathcal {Pow}}(M,B) وأيضاً  {\mathcal {Pow}}(M,B)={\mathcal {Pow}}(M,C) فبالتعدّي، يُصبح  {\mathcal {Pow}}(M,C)={\mathcal {Pow}}(M,A)وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة  M تقعُ على خط القوة للدائرتين  C,A وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة  M. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة  M مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.
العلاقات مع المضلعات

| حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها | حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها |
| --- | --- |
تسامُتٌ: تلاقٍ
توازٍ: تعامد
تنصيف: انطباقٌ
دَائريَّةٌ: تماس
السعي نحو اللانهاية: انعدامٌ
مُخالَفَةٌ: اشتراك في مستوى
لِكلّ مثلثٍ ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.
هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.
العلاقات مع المضلعات > المُثلَّث

المقالات الرئيسة: دائرة محيطة دوائر خارجية وداخلية لمثلث دائرة النقاط التسع
تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث. لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر  بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.
يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.
يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).
يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.
تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة: a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2})يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع: 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:
 {\begin{aligned}2R&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}
والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:
2R={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة: OI={\sqrt {R(R-2r)}}تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة: OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.
تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية: DF+DG+DH=R+rدائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:
منتصف كل ضلع المثلث.
مسقط كل رأس المثلث.
منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.
من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة  N) القطعة المستقيمة  {\overline {OH}} الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ:  {\overline {NO}}={\overline {NH}}.
العلاقات مع المضلعات > الرباعي الدائري

المقالة الرئيسة: رباعي دائري
الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه. الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:
تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً:  \angle CAD=\angle CBD)
انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.
انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.
جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.
بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه:  a,b,c,d ونصف محيطه  s حيث  S={\frac {a+b+c+d}{2}} بالصيغة الآتية:
A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:
 R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
العلاقات مع المضلعات > مُضلَّعاتٌ مماسيَّة

المقالات الرئيسة: مضلع مماسي رباعي مماسي
المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral)‏ على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral)‏ هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.
يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو  n رأس هي  a_{1},a_{2},...,a_{n} ومساحته  K ونصف محيطه  s فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:
 r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}
مبرهنات

المقالات الرئيسة: نظريات في هندسة الدائرة مبرهنة بطليموس خط أويلر خط سيمسون مبرهنة باسكال مبرهنة فويرباخ مبرهنة مونج مبرهنة ميكيل
بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:
مبرهنات > مبرهنة بطليموس

مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي:  {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.
مبرهنات > خط أويلر

خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات  H، ملتقى المتوسطات  G، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع  O,N. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.
مبرهنات > خط سيمسون

خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line)‏ هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان  \triangle ABC مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ  \Omega  والنّقطةُ  P واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث  CA,AB,BC هي  L,M,N على الترتيب، فإنّ النقاط  L,M,N هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.
مبرهنات > مبرهنة باسكال

في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem)‏ على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.
الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي  ABCDEF تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:
H=AF\cap DC,G=AB\cap DE,K=AF\cap BC.
كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:
{\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.
مبرهنات > مبرهنة مونج

تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge's theorem)‏، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة. بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.
مبرهنات > مبرهنة فويرباخ

تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach's theorem)‏ على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م، وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.
مبرهنات > مبرهنة ميكيل

مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem)‏ هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان  \triangle ABC مثلثاً واختيرت النقاط  A',B',C' على أضلاعه  CA,AB,BC فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات  \triangle AB'C',\triangle A'BC',\triangle A'B'C تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة  M تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| خط سيمسون  LN (بالأحمر) للنقطة  P بالنسبة للمثلث  \triangle ABC يمُرُّ على النقاط  L,M,N. | مبرهنة ميكيل: الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ  \triangle ABCونقاطٍ مشتركةٍ على أضلاعه  A',B',C'، تُسمّى دوائرَ ميكيل وهي متلاقية في نقطةٍ ما  M. | تنص مبرهنة دوائر ميكيل الست على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ. |
| مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام: الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة. | مبرهنة ميكيل على الخماسي. | مبرهنةٌ الفراشة: النقطة  M هي منتصف  X,Y حيث أنَّ الوترين  AB,CD يمرّان بمنتصف  PQ. |
مبرهنات > مبرهنة كايزي

المقالات الرئيسة: مبرهنة كايزي مبرهنة الفراشة
مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس ، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي. تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن  \,O دائرةً شعاعها  \,R. ولتكن  \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4} أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل  \,Oوتمسها على الترتيب. وليرمز  \,t_{ij} إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين  \,O_{i},O_{j}، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:
لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.
مبرهنات > مبرهنة الفراشة

تنصُ مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة  M هي منتصف الوتر  PQ في دائرة، وُرسم وتران آخران  AB,CD يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان  AD,BC يقطعان الوتر  PQ في نقطتين متماثلتين  X,Y حول  M، أي أنَّ النقطة  M هي منتصف القطعة المستقيمة  XY.
التحويلات الهندسية

المقالات الرئيسة: تحاك تعاكس
هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:
التحويلات الهندسية > التحاكي

| 0 | 1 |
| --- | --- |
مركز التشابه الخارجي لدائرتين: مركز التشابه الداخلي لدائرتين
التحاكي (بالإنجليزية: Homothety)‏ هو تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن  C_{1}=(x_{1},y_{1}),C_{2}=(x_{2},y_{2}) مركَزَيْ الدائرتين و r_{1},r_{2} هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي  (x_{0},y_{0}) يُحسَب عبر الصيغة:
(x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).
بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي  (x_{e},y_{e}) بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.
(x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي. تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها  1، فإنّ هذه المراكز متسامتة.
التحويلات الهندسية > التعاكس

التعاكس (بالإنجليزية: Inversion)‏ هو تحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة  P المُختلفة عن المركز حول الدائرة  C(O,r) على أنه نُقطةٌ  P' تقع على الشّعاع  {\overrightarrow {OP}} تُحقّق العلاقة:  OP\cdot OP'=r^{2}. هُناك اختلاف حول صورة المركز  O، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة  O هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه نقطة في اللانهاية. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ  P إلى صورتها  P' أيضاً ينقل الصورة  P' إلى الأصل  P؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس دالةً ارتداديَّة، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.
انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.
انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.
التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.
ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.
الهندسة التحليلية

المقالات الرئيسة: دوال مثلثية إحداثيات ديكارتية إحداثيات قطبية مستوى عقدي تفاضل وتكامل
الهندسة التحليلية > دائرة الوحدة والدوال المثلثية

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و





π
2




{\textstyle {\frac {\pi }{2}}}

 راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.
تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ  \theta  دائرةَ الوحدةِ في النقطة  A=(x,y) فإنّ الدالةُ  \cos \theta  تُعرّف على أنها الإحداثي  x والدالة  \sin \theta  هي الإحداثي  y لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ:  (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta ). وبرسم مماس من النقطة  (x,y) يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين  E=(a,0),F=(0,b) على الترتيب، فإنَّ  a=\sec \theta ,b=\csc \theta .
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة  (0,{\frac {\pi }{2}}) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة  OA=r هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة  P=(x_{0},y_{0}) على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ  x^{2}+y^{2}=1 من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم  \triangle OCA. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات  x,y يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس:  \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1. وأخيراً فإنَّ المسافات  AF,AE تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية:  \cot {\theta },\tan {\theta } على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة  \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEFللوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:
بما أنَّ دوراناً بزاوية  \pm 2\pi  لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط  F,A,E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ  2\pi . وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ  \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right) و \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right) صالحةٌ لأي زاوية  \theta  ولأي عدد صحيح  k. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.
الهندسة التحليلية > الإحداثيات الديكارتية

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة  (a,b) مركزاً لدائرةٍ  C(a,b) نصف قطرها  r، والنُّقطةُ  (x,y) مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين  C,P هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى  r، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:
تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر  r. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان  x-a و y-b طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.
كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل  (0,0) تُصبح المُعادلة بتعويض قيم  a,b: كالآتي x^{2}+y^{2}=r^{2}\!\ وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية (بالإنجليزية: Parametric equation)‏ باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي: x=a+r\,\cos t,\, y=b+r\,\sin t\,حيث أن  t هو وَسِيطٌ (بالإنجليزية: Parameter)‏ تتغيرُ قيمتُه بين العددين  0 و  2\pi . هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين  (a,b) و  (x,y) مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:
إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة:  \left(x-a\right)^{2}+\left(y-r\right)^{2}=r^{2}. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة:  \left(x-r\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.
كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان  AB قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين  A,B هي  A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة  P(x,y) على مُحيط الدائرة وبما أن  AB قُطر في الدائرة، فإن  m{\widehat {\displaystyle APB}}={\frac {1}{2}}\cdot 180=90 وعليه فإن  AP\perp PB، ليكن ميل المستقيمين  m_{1},m_{2} هما على الترتيب، حيث:
m_{1}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}},m_{2}={\frac {y-y_{2}}{x-x_{2}}}ولِكَوْن  AP\perp PB فإن  m_{1}m_{2}=-1 وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة: (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0إذا كانت  P=(x_{1},y_{1}) نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها  r على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل: (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\
الهندسة التحليلية > الإحداثيات الديكارتية > صيغة الثلاث نقاط

بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ:  (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})عبر المعادلة الآتية: {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}
يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً: {\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}=0وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:
حيثُ أنَّ  c=a وَ:
{\begin{aligned}a={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\d=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\e={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\end{bmatrix}}\\f=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}\end{aligned}}وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة:  (x_{0},y_{0})=(-{\tfrac {d}{2a}},-{\tfrac {e}{2a}}) ونصف قطرها:
r={\sqrt {{\frac {d^{2}+e^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {f}{a}}}}
الهندسة التحليلية > الإحداثيات القطبية

في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها  r ومركزها عن النقطة  R(a_{1},\theta _{1}) يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث  \triangle ORP، حيث أنَّ النقطةَ  P(a,\theta ) تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:
حيث أنّ  (r,\theta ) هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و  (r_{0},\phi ) هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة  (r,0^{0}) فإن  \theta _{1}=0^{0} وَ  a_{1}=r وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة:  a=2r\cos \theta . وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة  (r,{\frac {\pi }{2}}) تأخذ المعادلة الصورة:  a=2r\sin \theta .
الهندسة التحليلية > المستوى العَقَدي

في المستوى العقدي، الدائرة ذات المركز  c ونصف قطر  r تُمَثَّلُ بالمعادلةِ  |z-c|^{2}=r^{2}\,. وقد تُكتب أيضاً على الصورة الوسيطية الآتية:  z=re^{it}+c. تُستخدم جذور الوحدة أو أعداد دي موافر أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات الأعداد المركبة لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو عدد عقدي يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة  n ينتج واحداً. تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد وحروف الزمر ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع.