تفرد بي كي إل
فهرس

Andersson، Lars؛ Rendall، Alan D. (2001). "Quiescent cosmological singularities". Communications in Mathematical Physics. ج. 218 ع. 3: 479–511. arXiv:gr-qc/0001047. Bibcode:2001CMaPh.218..479A. DOI:10.1007/s002200100406. S2CID:16167683.
Ashtekar، Abhay؛ Henderson، Adam؛ Sloan، David (2011). "Hamiltonian formulation of the Belinskii-Khalatnikov-Lifshitz conjecture". فيزيكال ريفيو. ج. 83 ع. 8: 084024. arXiv:1102.3474. Bibcode:2011PhRvD..83h4024A. DOI:10.1103/PhysRevD.83.084024.
Barrow، John D.؛ Tipler، Frank J. (1979). "Analysis of the generic singularity studies by Belinskii, Khalatnikov, and Lifshitz". Physics Reports. ج. 56 ع. 7: 371–402. Bibcode:1979PhR....56..371B. DOI:10.1016/0370-1573(79)90097-8.
Barrow، John D.؛ Tipler، Frank J. (1981). "Generic singularity studies revisited". Physics Letters. ج. 82A ع. 9: 441–445. DOI:10.1016/B978-0-08-036364-6.50050-8.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، I.M. (1966). "A general solution of the gravitational equations with a simultaneous fictitious singularity". JETP. ج. 49 ع. 3: 1000. Bibcode:1966JETP...22..694B.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، I.M. (1969). "On the nature of the singularities in the general solution of the gravitational equations". JETP. ج. 56: 1700.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، I.M. (1969). "General solution of the gravitational equations with a physical singularity". JETP. ج. 57: 2163.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، Isaak M.؛ Lifshitz، Evgeny M. (1970). "Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. ج. 102 ع. 11: 463–500. Bibcode:1970UsFiN.102..463B. DOI:10.3367/ufnr.0102.197011d.0463.; English translation in Belinskii، V.A.؛ Khalatnikov، I.M.؛ Lifshitz، E.M. (1970). "Oscillatory Approach to a Singular Point in the Relativistic Cosmology". Advances in Physics. ج. 19 ع. 80: 525–573. Bibcode:1970AdPhy..19..525B. DOI:10.1080/00018737000101171.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، Isaak M. (1970). "General solution of the gravitational equations with a physical oscillatory singularity". JETP. ج. 59: 314. Bibcode:1971JETP...32..169B.
Belinsky، Vladimir A.؛ Khalatnikov، I.M.؛ Lifshitz، E.M. (1971). "The oscillatory mode of approach to a singularity in homogeneous cosmological models with rotating axes". JETP. ج. 60 ع. 6: 1969–1979.
Belinsky، V.A. (1992). "Turbulence of a Gravitational Field near a Cosmological Singularity". JETP Letters. ج. 56 ع. 9: 437–440.
Belinski، Vladimir؛ Henneaux، Marc (2018). The Cosmological Singularity. مطبعة جامعة كامبريدج. arXiv:1404.3864. DOI:10.1017/9781107239333. ISBN:978-1-107-04747-1.
Berger، Beverly؛ Moncrief، Vincent (1993). "Numerical investigation of cosmological singularities". Physical Review D. ج. 48 ع. 10: 4676–4687. arXiv:gr-qc/9307032. Bibcode:1993PhRvD..48.4676B. DOI:10.1103/PhysRevD.48.4676. PMID:10016121. S2CID:450414.
Berger، Beverly K.؛ Moncrief، Vincent (1998). "Numerical evidence that the singularity in polarized U(1) symmetric cosmologies on T3 × R is velocity dominated". Physical Review D. ج. 57 ع. 12: 7235–7240. arXiv:gr-qc/9801078. Bibcode:1998PhRvD..57.7235B. DOI:10.1103/PhysRevD.57.7235. S2CID:119539705.
Berger، Beverly؛ Garfinkle، David؛ Isenberg، James؛ Moncrief، Vincent؛ Weaver، Marsha (1998). "The singularity in generic gravitational collapse is spacelike, local, and oscillatory". Modern Physics Letters A. ج. 13 ع. 19: 1565–1573. arXiv:gr-qc/9805063. Bibcode:1998MPLA...13.1565B. DOI:10.1142/S0217732398001649. S2CID:118889710.
Berger، Beverly K.؛ Moncrief، Vincent (2000). "Signature for local Mixmaster dynamics in U(1) symmetric cosmologies". Physical Review D. ج. 62 ع. 123501: 123501. arXiv:gr-qc/0006071. Bibcode:2000PhRvD..62l3501B. DOI:10.1103/PhysRevD.62.123501. S2CID:10389665.
Berger، Beverly K (2002). "Numerical Approaches to Spacetime Singularities". Living Reviews in Relativity. ج. 5 ع. 1: 1. arXiv:gr-qc/0201056. Bibcode:2002LRR.....5....1B. DOI:10.12942/lrr-2002-1. PMC:5256073. PMID:28179859.
Bini، Donato؛ Cherubini، Christian؛ Jantzen، Robert (2007). "The Lifshitz-Khalatnikov Kasner index parametrization and the Weyl tensor". Il Nuovo Cimento B. ج. 122 ع. 5: 521–536. arXiv:0710.4902. Bibcode:2007NCimB.122..521B. DOI:10.1393/ncb/i2007-10396-4. S2CID:15854390.
Bini، Donato؛ Cherubini، Christian؛ Geralico، Andrea؛ Jantzen، Robert T. (2009). "Electrocardiogram of the Mixmaster Universe". Classical and Quantum Gravity. ج. 26 ع. 2: 025012. arXiv:0808.0828. Bibcode:2009CQGra..26b5012B. DOI:10.1088/0264-9381/26/2/025012. S2CID:14552653.
Bondi، Herman؛ Pirani، F.A.E.؛ Robinson، I. (1959). "Gravitational Waves in General Relativity. III. Exact Plane Waves". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. ج. 251 ع. 1267: 519–533. Bibcode:1959RSPSA.251..519B. DOI:10.1098/rspa.1959.0124. JSTOR:100727. S2CID:122766998.
Chernoff، David F.؛ Barrow، J.D. (1983). "Chaos in the Mixmaster Universe". Physical Review Letters. ج. 50 ع. 2: 134–137. Bibcode:1983PhRvL..50..134C. DOI:10.1103/PhysRevLett.50.134.
Damour، Thibault؛ Henneaux، Marc (2000). "Chaos in superstring cosmology". Physical Review Letters. ج. 85 ع. 5: 920–923. arXiv:hep-th/0003139. Bibcode:2000PhRvL..85..920D. DOI:10.1103/PhysRevLett.85.920. PMID:10991439. S2CID:10752273.
Damour، Thibault؛ Henneaux، Marc؛ Julia، Bernard؛ Nicolai، Hermann (2001). "Hyperbolic Kac–Moody algebras and chaos in Kaluza-Klein models". Physics Letters B. ج. 509 ع. 3–4: 323–330. arXiv:hep-th/0103094. Bibcode:2001PhLB..509..323D. DOI:10.1016/S0370-2693(01)00498-1. S2CID:16964946.
Damour، Thibault؛ Henneaux، Marc؛ Nicolai، Hermann (2003). "Cosmological billiards". Classical and Quantum Gravity. ج. 20 ع. 9: R145–R200. CiteSeerX:10.1.1.262.7733. DOI:10.1088/0264-9381/20/9/201.
Damour، Thibault؛ Henneaux، Marc؛ Rendall، Alan D.؛ Weaver، Marsha (2002). "Kasner-like behaviour for subcritical Einstein-matter systems". Annales Henri Poincaré. ج. 3 ع. 6: 1049–1111. arXiv:gr-qc/0202069. Bibcode:2002AnHP....3.1049D. DOI:10.1007/s000230200000. S2CID:17092394.
Demaret، Jacques؛ Henneaux، Marc؛ Spindel، Philipe (1985). "Non-oscillatory behaviour in vacuum Kaluza–Klein cosmologies". Physics Letters. ج. 164B ع. 1–3: 27–29. Bibcode:1985PhLB..164...27D. DOI:10.1016/0370-2693(85)90024-3.
Demaret، Jacques؛ Hanquin، Jean-Luc؛ Henneaux، Marc؛ Spindel، Philipe؛ Taormina، Anna (1986). "The fate of the Mixmaster behaviour in vacuum inhomogeneous Kaluza-Klein cosmological models". Physics Letters B. ج. 175 ع. 2: 129–132. Bibcode:1986PhLB..175..129D. DOI:10.1016/0370-2693(86)90701-X.
Demaret، Jacques؛ de Rop، Yves؛ Henneaux، Marc (1989). "Are Kaluza-Klein models of the Universe chaotic?". International Journal of Theoretical Physics. ج. 28 ع. 9: 1067–1079. Bibcode:1989IJTP...28.1067D. DOI:10.1007/BF00670349. S2CID:121065247.
Einstein، Albert؛ Rosen، Nathan (1937). "On gravitational waves". معهد فرانكلين. ج. 223 ع. 1: 43–54. Bibcode:1937FrInJ.223...43E. DOI:10.1016/S0016-0032(37)90583-0.
Frasca، Marco (2006). "Strong coupling expansion for general relativity". International Journal of Modern Physics D. ج. 15 ع. 9: 1373–1386. arXiv:hep-th/0508246. Bibcode:2006IJMPD..15.1373F. DOI:10.1142/S0218271806009091. S2CID:15369171.
Garfinkle، David (2004). "Numerical Simulations of Generic Singularities". Phys. Rev. Lett. ج. 93 ع. 16: 161101. arXiv:gr-qc/0312117. Bibcode:2004PhRvL..93p1101G. DOI:10.1103/PhysRevLett.93.161101. PMID:15524970. S2CID:37917240.
Garfinkle، David (2007). "Numerical simulations of general gravitational singularities". Classical and Quantum Gravity. ج. 24 ع. 12: 295–306. arXiv:0808.0160. Bibcode:2007CQGra..24S.295G. DOI:10.1088/0264-9381/24/12/S19. S2CID:16899122.
Geroch، Robert P. (1966). "Singularities in Closed Universes". Physical Review Letters. ج. 17 ع. 8: 445–447. Bibcode:1966PhRvL..17..445G. DOI:10.1103/PhysRevLett.17.445.
Hawking، Stephen W. (1965). "Occurrence of Singularities in Open Universes". Physical Review Letters. ج. 15 ع. 17: 689–690. Bibcode:1965PhRvL..15..689H. DOI:10.1103/PhysRevLett.15.689.
Hawking، Stephen W.؛ Ellis، G.F.R. (1968). "The Cosmic Black-Body Radiation and the Existence of Singularities in Our Universe". المجلة الفيزيائية الفلكية. ج. 152: 25. Bibcode:1968ApJ...152...25H. DOI:10.1086/149520.
Heinzle، J. Mark؛ Uggla، Claes؛ Röhr، Niklas (2009). "The cosmological billiard attractor". Adv. Theor. Math. Phys. ج. 13 ع. 2: 293–407. arXiv:gr-qc/0702141. Bibcode:2007gr.qc.....2141H. DOI:10.4310/ATMP.2009.v13.n2.a1. S2CID:119470976.
Henneaux، Marc؛ Persson، Daniel؛ Spindel، Philippe (2008). "Spacelike Singularities and Hidden Symmetries of Gravity". Living Reviews in Relativity. ج. 11 ع. 1: 1. arXiv:0710.1818. Bibcode:2008LRR....11....1H. DOI:10.12942/lrr-2008-1. PMC:5255974. PMID:28179821.
Kac، Victor G. (1983). Infinite dimensional Lie algebras: an introduction. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser. ج. 44. ص. 245. DOI:10.1007/978-1-4757-1382-4. ISBN:9780817631185.
Kasner، Edward (1921). "Geometrical Theorems on Einstein's Cosmological Equations". American Journal of Mathematics. ج. 43 ع. 4: 217–221. Bibcode:1921AmJM...43..217K. DOI:10.2307/2370192. JSTOR:2370192.
Khalatnikov، Isaak M.؛ Lifshitz، E.M.؛ Khanin، K.M.؛ Shchur، L.N.؛ Sinai، Ya.G. (1985). "On the stochasticity in relativistic cosmology". Journal of Statistical Physics. ج. 38 ع. 1–2: 97–114. Bibcode:1985JSP....38...97K. DOI:10.1007/BF01017851. S2CID:120521834.
Khalatnikov، Isaak M.؛ Kamenshchik، Aleksander Yu. (2008). "Lev Landau and the problem of singularities in cosmology". Physics-Uspekhi. ج. 51 ع. 6: 609–616. arXiv:0803.2684. Bibcode:2008PhyU...51..609K. DOI:10.1070/PU2008v051n06ABEH006550. S2CID:14878079.
Khalatnikov، I.M.؛ Lifshitz، E.M. (1970). "General Cosmological Solution of the Gravitational Equations with a Singularity in Time". Physical Review Letters. ج. 24 ع. 2: 76. Bibcode:1970PhRvL..24...76K. DOI:10.1103/PhysRevLett.24.76.
Landau، Lev D.؛ Lifshitz، Evgeny M. (1988). Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics (ط. 7th). Moscow: Nauka. ج. 2. ISBN:978-5-02-014420-0. مؤرشف من الأصل في 2023-10-31.
Landau، Lev D.؛ Lifshitz، Evgeny M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics (ط. 2nd). بترورث وهاينمان  ‏. ج. 6. ISBN:978-0-08-033933-7.{{استشهاد بكتاب}}:  صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
Lifshitz، Evgeny M.؛ I.M. Khalatnikov (1961). "On the singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.I". JETP. ج. 39: 149.
Lifshitz، Evgeny M.؛ I.M. Khalatnikov (1961). "On the singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.II". JETP. ج. 39: 800.
Lifshitz، Evgeny M.؛ Sudakov، V.V.؛ Khalatnikov، I.M. (1961). "Singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.III". JETP. ج. 40: 1847.; Physical Review Letters, 6, 311 (1961)
Lifshitz، Evgeny M.؛ Khalatnikov، Isaak M. (1963). "Проблемы релятивистской космологии". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. ج. 80 ع. 7: 391–438. DOI:10.3367/UFNr.0080.196307d.0391.; English translation in Lifshitz, E.M.؛ Khalatnikov، I.M. (1963). "Problems in the Relativistic Cosmology". Advances in Physics. ج. 12 ع. 46: 185. Bibcode:1963AdPhy..12..185L. DOI:10.1080/00018736300101283.
Lifshitz، Evgeny M.؛ Khalatnikov، Isaak M. (1970). "Oscillatory mode of approach to a singularity in the open cosmological model". JETP Letters. ج. 11: 200–203.
Lifshitz، E.M.؛ Lifshitz، I.M.؛ Khalatnikov، I.M. (1970). "Asymptotic analysis of oscillatory mode of approach to a singularity in homogeneous cosmological models". JETP. ج. 59: 322.
Misner، Ch. W. (1969). "Mixmaster Universe". Physical Review Letters. ج. 22 ع. 20: 1071–1074. Bibcode:1969PhRvL..22.1071M. DOI:10.1103/PhysRevLett.22.1071.
Misner، Charles W.؛ Thorne، Kip S.؛ Wheeler، John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W.H. Freeman. ص. 564. ISBN:978-0-7167-0334-1.
Nelson، Robert A. (1981). "Coordinate-dependent 3 + 1 formulation of the General Relativity equations for a perfect fluid". General Relativity and Gravitation. ج. 13 ع. 6: 569–580. Bibcode:1981GReGr..13..569N. DOI:10.1007/BF00757243. S2CID:122196359.
Penrose، Roger (1965). "Gravitational Collapse and Space-Time Singularities". Physical Review Letters. ج. 14 ع. 3: 57–59. Bibcode:1965PhRvL..14...57P. DOI:10.1103/PhysRevLett.14.57.
Petrov، Alexey Z. (1969). Einstein Spaces. Oxford: مطبعة بيرغامون. ISBN:978-0-08-012315-8.
Rugh، Svend E. (1994). "Chaos in the Einstein Equations -- characterization and importance?". Deterministic Chaos in General Relativity. Kananaskis, Alberta, Canada: Springer Science+Business Media New York. ص. 359–422. DOI:10.1007/978-1-4757-9993-4. ISBN:978-1-4757-9995-8.
Saotome، Ryo؛ Akhoury، Ratindranath؛ Garfinkle، David (2010). "Examining gravitational collapse with test scalar fields". Classical and Quantum Gravity. ج. 27 ع. 165019: 165019. arXiv:1004.3569. Bibcode:2010CQGra..27p5019S. DOI:10.1088/0264-9381/27/16/165019. S2CID:55229333.
Taub، A.H. (1951). "Empty space-times admitting a three parameter group of motions". حوليات الرياضيات. Second Series. ج. 53 ع. 3: 472–490. Bibcode:1951AnMat..53..472T. DOI:10.2307/1969567. ISSN:0003-486X. JSTOR:1969567. MR:0041565.
Thorne، Kip (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W W Norton. ISBN:978-0-393-31276-8.]؛ Kip Thorne (2015). Geometrodynamics: The Nonlinear Dynamics of Curved Spacetime (Video lecture). 28:00–41:00min: The Van Leer Jerusalem Institute.{{استشهاد بوسائط مرئية ومسموعة}}:  صيانة الاستشهاد: مكان (link)
Uggla، Claes؛ van Elst، Henk؛ Wainwright، John؛ Ellis، George F.R. (2003). "Past attractor in inhomogeneous cosmology". فيزيكال ريفيو. ج. 68 ع. 10: 103502. arXiv:gr-qc/0304002. Bibcode:2003PhRvD..68j3502U. DOI:10.1103/PhysRevD.68.103502. S2CID:53635765.
Weaver، Marsha؛ Isenberg، James؛ Berger، Beverly K. (1998). "Mixmaster behavior in inhomogeneous cosmological spacetimes". Physical Review Letters. ج. 80 ع. 14: 2984–2987. arXiv:gr-qc/9712055. Bibcode:1998PhRvL..80.2984W. DOI:10.1103/PhysRevLett.80.2984. S2CID:119467400.
Damour، Thibault (19 نوفمبر 2015). The Structure of Cosmological Singularities (Video lecture). Institut Henri Poincaré.
بوابة الفيزياء
بوابة علم الفلك
بوابة علم الكون
الشكل 3. ديناميكيات مقاييس كاسنر eq. 2 في إحداثيات كروية نحو التفرد. معامل ليفشيتز - خالاتنيكوف هو u = 2 (1 / u = 0.5) وإحداثيات r هي 2 p α (1 / u ) τ حيث τ هي الوقت اللوغاريتمي: τ = ln t .  الانكماش على طول المحاور خطي ومتباين الخواص (بدون فوضى).
الشكل 4. قطعة من p 1، p 2، p 3 مع وسيطة 1 / u . الأرقام p 1 ( u ) و p 3 ( u ) تتزايد بشكل رتيب بينما p 2 ( u ) هي دالة متناقصة بشكل رتيب لـ u .
الشكل 5. نوع بيانكي من النوع الثامن (مفتوح) يمر بديناميات بي كي إل (مكسماستر) الفوضوية القريبة من التفرد وفقًا للقواعد eq. 35 مع الأولي  u={\sqrt {13}} . التفرد في قرصة وسط السطح الزائد.
الشكل 4. تباين α و و كوظائف للوقت اللوغاريتمي Ω خلال حقبة واحدة. تشير خطوط الشرطة العمودية إلى تعديلات عهود كاسنر، المقابلة للمقاطع الخطية للمنحنيات. في الجزء العلوي يشار إلى قيم المعلمة u التي تحدد أسس كاسنر. تكون الفترة الأخيرة أطول إذا كانت س صغيرة. في الحقبة الأولى من الحقبة التالية، تبدأ في الزيادة وتصبح α وظيفة متناقصة بشكل رتيب.
الشكل 5. دالة التوزيع الاحتمالي P (δ). الخط الأحمر: الوظيفة الدقيقة eq. 79h . الخط الأزرق: الحل التقريبي لمعادلة التكامل في. يبدو أن كلا المنحنيين متشابهان بشكل لافت للنظر وأن متوسط التوزيعين هو 0.50.