منحنى إهليلجي
قانون الزمرة

عند العمل داخل مستوى اسقاطي يمكننا أن نعرِّف بناء لزمرة على أي منحنى مكعب ناعم، في صيغة فايرشتراس المنحنى سيحتوي على نقطة إضافية تسمى النقطة عند المالانهاية O، التي إحداثياتها المتجانسة [0:1:0] والتي ستكون عبارة عن العنصر المحايد للزمرة.
بما أن المنحنى متماثل حول محور السنات، لأي نقطة P معطى نستطيع أخذ النقطة P- لتكون النقطة المقابلة لها، وبما أن O هي العنصر المحايد فإن O- هي نفسها O.
إذا كان P و Q نقطتان على المنحنى، نستطيع بشكل مميز وصف نقطة ثالثة P + Q على النحو التالي: أولا ارسم خطا يقطع النقطتين P و Q، هذا الخط سيقطع المنحنى المكعب في نقطة ثالثة R سنأخذ R- لتكون ناتج P + Q التي هي النقطة المقابلة ل R
هذا التعريف للجمع يعمل عند جميع النقاط عدا بعض الحالات الخاصة المتعلقة بالنقطة عند المالانهاية والتقاطعات المتعددة. أول حالة عندما تكون أحد النقاط O، حسب تعريف قاعدة الزمرة نعلم أن P + O = P = O + P حيث O هو العنصر المحايد في الزمرة الآن إذا كانت P و Q متقابلتين فإننا نعرف P + Q = O أيضا إذا كانت P = Q فإنه يوجد عندنا نقطة واحدة لذلك لا نستطيع تعريف خط بدون وجود نقطتين فإننا نلجأ إلى الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة على أنه الخط الذي من خلاله نستطيع إيجاد حاصل الجمع، في أغلب الأحيان سيقطع الخطط المماس لنقطة على المنحنى، المنحنى عند نقطة أخرى ونأخذ النقطة المقابلة لها، بيد أنه إذا كانت P هي نقطة انعطاف فإننا سنأخذ R = P وبالتالي تصبح P + P ببساطة النقطة المقابلة لنفسها.
في المنحنى المكعب الذي ليس على صيغة فايرشتراس نستطيع أن نعرف زمرة عليه عن طريق تعيين واحدة من نقاط الانعطاف التسعة على أنها العنصر المحايد، في المستوى الإسقاطي كل خط سوف يقطع المنحنى امعكب في ثلاث نقاط عند وضع التكرارات بعين الاعتبار. لأي نقطة P النقطة P- معرفة على أنها النقطة المحددة الثالثة على الخط المار بO و P لذلك لأي نقطتين P و Q فأن P + Q معرفة على أنها R- حيث R هي النقطة الثالثة المميزة على الخط الذي يحوي P و Q.
لنفرض K هو الحقل الذي معرف عليه المنحنى (بمعنى أن المعاملات في المعادلة الخاصة بالمنحى هي عناصر من الحقل K) ولنسمي المنحنى E. فإن النقاط النسبية من K للمنحنى E، أعني (K-rational points of E) هي النقاط على المنحنى E اتي تقع احداثياتها في K بما في ذلك النقطة عند المالانهاية مجموعة النقاط النسبية من K ل E سنرمز لها بالرمز E(K) وهي أيضا تشكل زمرة وذلك لأن خصائص معادلات كثيرات الحدود تظهر لنا أنه إذا وجد P في E(K) فأن P- ستتواجد أيضا في E(K) وإذا وجد نقطتان من النقاط الثلاثة P,Q and R في E(K) ف بكل تأكيد ستتواجد النقطة الثالة في E(K)، إضافة إلى ذلك إذا كانت K حقل جزئي من L فإن E(K) ستكون زمرة جزئية من E(L).
الزمرة المعرفة مسبقا يمكن تمثيلها جبريا وهندسيا، للمنحنى الإهليجي المعرف على الحقل K بالقاعدة y2 = x3 + ax + b (و سنفرض أن مححده لن يساوي 2 أو 3) والنقاط P = (xP,yP) و Q = (xQ,yQ) على المنحنى لنفرض أولا أن xP ≠ xQ. لنفرض أن y = sx + d هو الخط الذي يقطع P و Q بالتالي فإن ميله سيساوي:
s={\dfrac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}
بما أن K حقل فإن s معرفة، معادلة الخط ومعادلة المنحنى يحتويان على على نفس y في النقاط xP, xQ and xR
(sx+d)^{2}=x^{3}+ax+b
و التي تكافئ  0=x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2} ونحن نعلم أن جذور هذه المعادلة هي نفس قيم x كما في المعالدة التالية:
(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})
بمساواة المعاملات ل x2 وحل المعادلة بالنسبة إلى xR , yR من معادلة الخط ينتج أن
R=(x_{R},y_{R})=-(P+Q)\;\;\&
x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}
y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})
إذا كانت xp = xq فإنه يوجد خياران إما أن yP = -yQ إضافة إلى ذلك الحالة عندما yP = yQ = 0 فإن الجمع معرف على أنه 0، فينتج أن المعكوس لكل نقطة على المنحنى هو انعكاس النقطة مع محور السنات. إذا كانت yP = yQ ≠ 0 فإن Q = P و R = (xR,yR) = -(P+P) = -2P = -2Q يعطي بالعلاقة التالية:
s={\dfrac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}}
x_{R}=s^{2}-2x_{P}
y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})