تحليل تكميم التكرار
قياسات تحليل تكميم التكرار

أبسط القياسات هو معدل التكرار وهو كثافة نقط التكرار في مخطط تكرار:
{\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\mathbf {R} (i,j).
يتفق معدل التكرار مع احتمالية أن تتكرر حالة معينة. يتساوى تقريبًا مع مسألة الارتباط إذ يستبعد خط التطابق من الحسابات. يشكّل المقياس التالي النسبة المئوية لنقاط التكرار التي تشكل خطوطًا قطرية في مخطط التكرار بأصغر طول.
{\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},
حيث  P(\ell ) هي توزيع تردد الطول  \ell  للخطوط القطرية (أي أنها تحسب عدد الحالات التي يمتلكها الطول  \ell . يطلق على هذا القياس الحتمية، وهو يرتبط بالقدرة على التنبؤ بالنظام الديناميكي، لأن للضوضاء البيضاء مخطط تكرار ذو نقاط مفردة فقط تقريبًا وخطوط قطرية قليلة للغاية، في حين أن مخطط تكرار العملية الحتمية ذو نقاط مفردة قليلة لكن عدة خطوط قطرية طويلة. يمكن تحديد مقدار نقاط التكرار التي تشكل خطوط عمودية بالطريقة نفسها:
{\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},
حيث  P(v) هي توزيع تردد الطول v للخطوط الرأسية، التي يكون أقل طول لها هو  v_{\min }. يطلق على هذا القياس الصفائحية ويتعلق بكمية الأطوار الصفائحية في النظام (التقطع).
يمكن قياس أطوال الخطوط القطرية والرأسية أيضًا. يكون متوسط طول الخط القطري:
{\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}
وهو مرتبط بزمن القدرة على التنبؤ للنظام الديناميكي، ووقت التصيد، وقياس الطول المتوسط للخطوط الرأسية.
TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}
ومرتبط بزمن الصفائحية للنظام الديناميكي، أي المدة التي يبقى فيها النظام في حالة معينة.
نظرًا إلى أن طول الخطوط القطرية مرتبط بالمدة التي تسري فيها أجزاء من مسار فضاء الطور بالتوازي، أي على سلوك انحراف المسارات، ذكر في بعض الأحيان أن عكس الطول الأقصى للخطوط القطرية (دون خط التطابق) سيكون مقدارًا لأعلى أس ليابونوف موجب للنظام الديناميكي.
لهذا، يكون طول أقصى خط قطري أو الانحراف:
DIV={\frac {1}{L_{\max }}}
وهي أيضًا قياسات لتحليل تكميم التكرار. مع هذا، ليست العلاقة بين هذه القياسات وأقصى قيمة موجبة لأُس ليابونوف بهذه السهولة، فهي أكثر تعقيدًا بكثير (لحساب أُس ليابونوف من مخططات التكرار، يجب النظر في توزيع الترددات للخطوط القطرية بأكمله). يمكن للانحراف أن يكون له اتجاه القيمة القصوى الموجبة لأس ليابونوف، ليس أكثر من هذا. علاوة على ذلك، يمكن أن يكون لمخططات تكرار عمليات الضوضاء البيضاء خط قطري طويل فعلًا، بالرغم من ندرة حدوث هذا وذلك فقط من خلال احتمالية منتهية.
لذلك لا يمكن للانحراف أن يعكس القيمة القصوى لأس ليابونوف.
احتمالية  p(\ell ) هي إمكانية حساب طول الخط القطري بالتحديد  \ell  من توزيع التردد  P(\ell ) إنتروبيا شانون لهذه الاحتمالية.
p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}
{\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),
تعكس هذه الانتروبيا تعقيد الهيكل الحتمي في النظام. مع هذا، تعتمد بحساسية على عدد الموضع وبالتالي يمكن أن تختلف باختلاف طرق الإدراك لنفس العملية، بالإضافة إلى إعدادات البيانات المختلفة.
يحدد القياس الأخير لتحليل تكميم التكرار التخفف من مخطط التكرار. الاتجاه هو معامل الانحدار للعلاقة الخطية بين كثافة نقاط التكرار في خط موازٍ لخط التطابق والمسافة إلى خط التطابق. بتعبير أدق، فكر في معدل التكرار في خط قطري موازٍ لخط الهوية على مسافة  k (معدل التكرار القطري):
{\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}\mathbf {R} (i,j),
يمكن معرفة الاتجاه عن طريق:
{\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},
حيث  \langle \cdot \rangle  هو القيمة المتوسطة و  {\tilde {N}}<N. يجب أن تضمن هذه العلاقة الأخيرة تجنب تأثيرات الحافة لكثافة نقطة التكرار المنخفضة للغاية في حواف مخطط التكرار. يوفر اتجاه القياس معلومات حول ثبات النظام. على غرار معدل التكرار المحدد قطريًا، يمكن تعريف القياسات الأخرى المعتمدة على الخطوط القطرية (DET، L، ENTR) قطريًا. هذه التعريفات مفيدة لدراسة العلاقات المتبادلة أو التزامن بين الأنظمة المختلفة (باستخدام مخططات التكرار أو مخططات التكرار المتقاطع).
تحليل تكميم التكرار المعتمد على الزمن
بدلاً من حساب مقاييس تحليل تكميم التكرار لمخطط التكرار بأكمله، يمكن حسابها في نوافذ صغيرة تتحرك فوق مخطط التكرار على طول خط التطابق. يوفر ذلك قياسات تحليل تكميم التكرار المعتمدة على الزمن، والتي تسمح برصد أشياء مثل: تحولات الفوضى. ملاحظة: يمكن أن يؤثر اختيار حجم النافذة بشدة على القياس.