stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
تيرداري (بهمئي غرمسيري الجنوبي)

| تيرداري>  - قرية -  .تقسيم إداري  | تيرداري>  - قرية -  .تقسيم إداري  |
| --- | --- |
البلد:  إيران
المحافظة: كهكيلويه وبوير أحمد
المقاطعة: مقاطعة بهمئي
الناحية: Central
القسم الريفي: بهمئي غرمسيري الجنوبي
إحداثيات: 30°59′53″N 50°01′36″E﻿ / ﻿30.99806°N 50.02667°E﻿ / 30.99806; 50.02667
السكان : السكان 
التعداد السكاني: 151 نسمة (إحصاء 2016)
معلومات أخرى : معلومات أخرى 
التوقيت: توقيت إيران (+3:30 غرينيتش)
توقيت صيفي: توقيت إيران (+4:30)
ar: ar
تعديل مصدري - تعديل  : تعديل مصدري - تعديل  
تيرداري (بالفارسية: تیرداری) هي قرية تقع في إيران في قسم بهمئي غرمسیري الجنوبي الريفي. يقدر عدد سكانها بـ 151 نسمة بحسب إحصاء 2016.
انظر أيضاً

قائمة مدن إيران
مراجع

↑  "سرشماری 1385 - نتایج سرشماری 85" (بالفارسية). مرکز آمار ایران. مؤرشف من الأصل في 5 أبريل 2014. اطلع عليه بتاريخ نوفمبر 2014. {{استشهاد ويب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
↑  "سرشماری 1395 - نتایج سرشماری 95" (بالفارسية). مرکز آمار ایران. مؤرشف من الأصل في 26 مايو 2020. اطلع عليه بتاريخ يونيو 2020. {{استشهاد ويب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
بوابة تجمعات سكانية
بوابة إيران
بوابة جغرافيا
الخلاف السعودي اللبناني 2017

الخلاف السعودي اللبناني بدأ بعد استقالة رئيس الوزراء اللبناني سعد الدين الحريري في كلمة متلفزة أثناء زيارته للعاصمة السعودية الرياض استقالته بشكل مفاجئ لما وصفه احتجاجاً على سياسة إيران في لبنان والوطن العربي. في 4 نوفمبر 2017. بعد الاستقالة بدأت العلاقات بالتوتر بين البلدين، عندما شكك الأمين العام لحزب الله حسن نصر الله وتيارات سياسية أخرى في صحة الاستقالة واتهمت الحكومة السعودية باحتجاز الحريري وإجباره على الاستقالة. في 6 نوفمبر أعلن وزير الدولة السعودي لشؤون الخليج العربي ثامر السبهان بأن السعودية: «ستعامل حكومة لبنان كحكومة إعلان حرب بسبب ميليشيات حزب الله». في 9 نوفمبر، دعت السعودية، والإمارات العربية المتحدة، والبحرين، والكويت، مواطنيها إلى مغادرة لبنان وعدم السفر اليها. الخلاف السعودي اللبناني هو جزء من الصراع الإيراني والسعودية بالوكالة.
استقالة رئيس الوزراء الحريري

في 4 نوفمبر 2017، قدم الحريرى استقالته من منصبه في بيان تلفزيونى من المملكة العربية السعودية، مستشهدا بمخاوف من الاغتيال ومتهما إيران وحزب الله بتهديد أمن المنطقة. رفضت إيران بشدة تصريحات سعد الحريري ووصفت استقالته بأنها طليعة مغامرة أمريكية إسرائيلية سعودية جديدة، لإزدياد التوتر في الشرق الأوسط. وأعلن قيادة الجيش اللبناني أنه بنتيجة التوقيفات والتحقيقات الجارية، بالإضافة إلى المعلومات والمعطيات المتوفرة، لم يتبين وجود أي مخطط لعمليات اغتيال في البلاد.
أبلغ الرئيس اللبناني ميشال عون السفراء الأجانب بأن الحريري «مختطف». واشار عون إلى انه «لا شيء يبرّر عدم عودة الرئيس سعد الحريري بعد مضي 12 يوماً، وعليه نعتبره محتجزاً وموقوفاً.» كما شكك الأمين العام لحزب الله حسن نصر الله في صحة الاستقالة واتهم الحكومة السعودية باحجتاز الحريري وإجباره على الإستقالة. مشيرا إلى أن «استقالة الرئيس الحريري غير قانونية وباطلة لأنه كان مجبراً على ذلك». لكن نفی معاونو الحريري والمسؤولون السعوديون ذلك. علق العديد من المعلقين اللبنانيين على الصور المنشورة للحريري في السعودية بأنها تدل على انه يقبع تحت الإقامة الجبرية. في نوفمبر، قام الحريري بزيارة إلى دولة الإمارات العربية المتحدة من السعودية. وأفادت وسائل الإعلام التابعة للحريري أنه سيتوجه بعد ذلك إلى البحرين ثم يعود إلى بيروت. لكن فيما بعد ألغيت كلتا الرحلتين وأعيد الحريري إلى الرياض.
طالع أيضاً

العلاقات الإيرانية السعودية.
علاقات السعودية الخارجية.
علاقات حزب الله الخارجية.
صراع إيران والسعودية بالوكالة.
قياس الضغط (فيزياء)

قياس الضغط (بالإنجليزية: Pressure measurement)‏ هو قياس القوة المطبقة بواسطة مائع (سائل أو غاز) على السطح. يقاس الضغط عادة بوحدات القوة لكل وحدة مساحة السطح. طورت العديد من التقنيات لقياس الضغط والفراغ. تسمى الأدوات المستخدمة لقياس وعرض الضغط ميكانيكيًا مقاييس الضغط أو مقاييس الفراغ أو المقاييس المركبة (الفراغ والضغط). مقياس بوردون المستخدم على نطاق واسع هو جهاز ميكانيكي، يقوم بالقياس والإشارة، وربما يكون أفضل أنواع المقاييس المعروفة.
توزيع بواسون

| 0 | 1 |
| --- | --- |
دالة  الكثافة الاحتمالية  : دالة  الكثافة الاحتمالية  
دالة التوزيع التراكمي    : دالة التوزيع التراكمي    
المؤشرات:  \lambda \in [0,\infty [
الدعم:  k\in \{0,1,2,\ldots \}
د۔ك۔ح۔:  {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!
د۔ت۔ت:  {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ for }}k\geq 0
المتوسط الحسابي:  \lambda \,
الوسيط الحسابي:  \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor 
المنوال:  \lceil \lambda \rceil -1
التباين:  \lambda \,
التجانف:  \lambda ^{-1/2}\,
التفرطح:  \lambda ^{-1}\,
الاعتلاج:  \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}
د۔م۔ع:  \exp(\lambda (e^{t}-1))\,
الدالة المميزة:  \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
معلومات فيشر: {{{معلومات فيشر}}}
توزيع بواسون (بالإنجليزية: Poisson distribution)‏(/ˈpwɑːsɒn/; 
تنطق بالفرنسية: [pwasɔ̃]
)،(ويسمى أيضا قانون بواسون للأعداد الصغيرة) هو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمالية حدوث عدد من الأحداث ضمن فترة محددة من الوقت إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل وسطي معروف وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث.
في نظرية الاحتمالات والإحصاءات هو التوزيع الاحتمالي المنفصل الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون، وهو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث في الفاصل الزمني أو المكان إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت معروف وبشكل مستقل عن الزمن منذ آخر حدث. يمكن أيضًا استخدام توزيع بواسون لعدد الأحداث في فترات زمنية محددة أخرى مثل المسافة أو المنطقة أو الحجم.
على سبيل المثال، يتلقى مركز الاتصال الهاتفي 180 مكالمة في المتوسط في الساعة، 24 ساعة في اليوم. المكالمات مستقلة. استقبال واحد لا يغير من احتمالية وصول الآخر. عدد المكالمات التي يتم تلقيها خلال أي دقيقة له توزيع احتمالية بواسون: الرقم الأكثر احتمالًا هو 3، ولكن من المحتمل أيضًا أن يكون الرقم 2 أو 4 محتملًا؛ وهناك احتمال ضئيل لكونه منخفضًا حتى الصفر وكذلك احتمال صغير جدًا أن يكون 10 .
مثال آخر هو عدد أحداث الانحلال التي تحدث من مصدر مشع في فترة مراقبة معينة قصيرة.
في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا). لنرمز ب X المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X. T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...
يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:
مهما كان العدد الطبيعي k.
λعدد حقيقي موجب
(p(k : احتمال حصول الحدث k في T.
هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.
تعريفات > دالة الكتلة الاحتمالية

يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة .
يُقال إن المتغير العشوائي X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ> 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2... دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة:
\!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},
عندما
e هو رقم أويلر (e = 2.71828. . .)
k هو عدد مرات الحدوث
!k هو مضروب k .
الرقم الحقيقي الموجب λ يساوي القيمة المتوقعة لـ X وأيضًا تباينها
يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث. عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.
يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث  \lambda ، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث  r يحدث. ثم  \lambda =rt (عرض  r عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و
مثال
قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل
عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد والتي تضرب الأرض في السنة.
عدد المرضى الذين يصلون إلى غرفة الطوارئ بين الساعة 10 و 11 مساءً.
عدد فوتونات الليزر التي تصطدم بالكاشف في فترة زمنية معينة.
تعريفات > الافتراضات والصلاحية

يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة:
k هو عدد المرات التي يقع فيها حدث ما في فترة ما ويمكن لـ k أن تأخذ القيم 0، 1، 2....
لا يؤثر وقوع حدث واحد على احتمال وقوع حدث ثان. أي أن الأحداث تحدث بشكل مستقل.
متوسط المعدل الذي تحدث به الأحداث مستقل عن أي تكرارات. من أجل التبسيط، يُفترض عادةً أن يكون هذا ثابتًا، ولكن قد يختلف عمليًا مع مرور الوقت.
لا يمكن أن يحدث حدثان في نفس اللحظة بالضبط؛ بدلاً من ذلك، في كل فترة فرعية صغيرة جدًا، يحدث حدث واحد بالضبط أو لا يحدث.
إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن k هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع k هو توزيع بواسون.
توزيع بواسون هو أيضًا حد التوزيع ذي الحدين، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة λ مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة).
تعريفات > الافتراضات والصلاحية > أمثلة على احتمالية توزيعات بواسون

مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من λ = 1 و k = 0
لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة (λ = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال k = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟
في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 تقريبًا. الباقي 1 - 0.37 = 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام (λ = 1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام تقريبًا 0.37، بنفس الحساب.
بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية (λ = 1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم  P  (0 أحداث في الفترة التالية) & nbsp ؛ = 0.37. بالإضافة إلى ذلك، P (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.
تعريفات > أمثلة تنتهك افتراضات بواسون

من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى اتحاد الطلاب في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).
قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.
الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون بدون اقتطاع.
يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام نموذج مضخم صفري.
تميز > الإحصاء الوصفي

تساوي القيمة والتباين المتوقعان لمتغير عشوائي موزع بواسون λ.
معامل الاختلاف هو  \textstyle \lambda ^{-1/2} بينما مؤشر التشتت 1.
متوسط الانحراف المطلق عن المتوسط هو
وضع المتغير العشوائي الموزع بواسون مع عدد غير صحيح يساوي  \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor ، وهو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي λ . هذا هو مكتوب أيضا الكلمة (λ). عندما λ هو عدد صحيح موجب، وسائط هي λ λ و - 1.
جميع تراكمات توزيع بواسون تساوي القيمة المتوقعة λ . العزم المضروب n لتوزيع بواسون هو λ n .
تتحلل أحيانًا القيمة المتوقعة لعملية بواسون إلى نتاج الكثافة والتعرض (أو يتم التعبير عنها عمومًا على أنها جزء لا يتجزأ من «وظيفة الكثافة» عبر الزمان أو المكان، والتي توصف أحيانًا باسم «التعرض»).
تميز > الوسيط

حدود الوسيط ( \nu ) من التوزيع معروف وحاد:
تميز > لحظات أعلى

اللحظات الأعلى حول الأصل، m · k لتوزيع بواسون، هي توشارد كثيرات الحدود في λ:
m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\},
للحظات غير المركزية نحددها  B=k/\lambda ، ثم
E[X^{k}]^{1/k}\leq C\cdot {\begin{cases}k/B&{\text{if}}\quad B<e\\k/\log B&{\text{if}}\quad B\geq e\end{cases}}
عندما  C هو الثابت المطلق أكبر من 0.
تميز > خصائص أخرى

توزيعات بواسون هي توزيعات احتمالية لا نهائية للقسمة.
الاختلاف الموجه تباعد كولباك - ليبلير  \operatorname {Pois} (\lambda _{0}) من  \operatorname {Pois} (\lambda ) اعطي من قبل
X\sim \operatorname {Pois} (\lambda ) يمكن اشتقاقها باستخدام وسيطة منضمة لـ تشيرنوف.
يمكن تشديد احتمال الذيل العلوي (بمعامل لا يقل عن اثنين) على النحو التالي:
P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,
أين  \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda ) هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.
المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي  X\sim \operatorname {Pois} (\lambda ) إلى دالة التوزيع العادي القياسية  \Phi (x) هي كالتالي:
\Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda )}}\right)<P(X\leq k)<\Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda +1){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(k+1\mid \lambda )}}\right),{\text{ for }}k>0,
أين  \operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda ) هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.
تميز > سباقات بواسون

يترك  X\sim \operatorname {Pois} (\lambda ) و  Y\sim \operatorname {Pois} (\mu ) تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع  \lambda <\mu ، ثم لدينا ذلك
{\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}
تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.
يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك  P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i) هو احتمال أن  Z\geq {\frac {i}{2}}، أين  Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)، والتي يحدها أدناه  {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{\left(-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)\right)}، أين  D هو إنتروبيا نسبية (انظر المدخل على حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن  X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu )، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون.
التوزيعات ذات الصلة > عام

لو  X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\, و  X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\, مستقلة، ثم الاختلاف  Y=X_{1}-X_{2} يتبع توزيع سكيلام.
لو  X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\, و  X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\, مستقلة، ثم توزيع  X_{1} على الشرطي  X_{1}+X_{2} هو توزيع ذو الحدين.
لو  X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\, وتوزيع  Y، شرطي على X = ك، هو توزيع ذي الحدين،  Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p)، ثم يتبع توزيع Y توزيع بواسون  Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p)\, . في الواقع، إذا  \{Y_{i}\}، الشرطي على X = k، يتبع توزيعًا متعدد الحدود،  \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right)، ثم كل منهما  Y_{i} يتبع توزيع بواسون المستقل  Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0 .
يمكن اشتقاق توزيع بواسون كحالة مقيدة للتوزيع ذي الحدين حيث أن عدد المحاكمات يذهب إلى اللانهاية والعدد المتوقع للنجاحات يظل ثابتًا - انظر قانون الأحداث النادرة أدناه. لذلك، يمكن استخدامه كتقريب للتوزيع ذي الحدين إذا كان n كبيرًا بدرجة كافية وكان p صغيرًا بدرجة كافية. هناك قاعدة عامة تنص على أن توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع ذي الحدين إذا كان n على الأقل 20 و p أصغر من أو يساوي 0.05، وتقريب ممتاز إذا كان n ≥ 100 و np ≤ 10-
F_{\mathrm {Binomial} }(k;n,p)\approx F_{\mathrm {Poisson} }(k;\lambda =np)\,
توزيع بواسون هو حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب المنفصل (أو توزيع بواسون المتلعثم) بمعامل فقط.  يمكن استنتاج توزيع بواسون المركب المنفصل من التوزيع المحدود للتوزيع أحادي المتغير متعدد الحدود. وهي أيضًا حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب.
للحصول على قيم كبيرة بما فيه الكفاية لـ λ، (مثل λ> 1000)، التوزيع الطبيعي بمتوسط λ والتباين λ (الانحراف المعياري  {\sqrt {\lambda }}) هو تقريب ممتاز لتوزيع بواسون. إذا كانت أكبر من حوالي 10، فإن التوزيع الطبيعي هو تقريب جيد إذا تم إجراء تصحيح استمراري مناسب، أي إذا كان P (X ≤ x)، حيث x هو عدد صحيح غير سالب، يتم استبداله بـ P (X ≤ x + 0.5).
F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )\,
تحول استقرار التباين: إذا  X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,، من ثم
إذا كان لكل ر > 0 عدد الوافدين في الفترة الزمنية [0، t ] يتبع توزيع بواسون بمتوسط λt، ثم يكون تسلسل أوقات الوصول بين المتغيرات المستقلة والأسية الموزعة بشكل متماثل لها متوسط 1 / λ .
ترتبط دالات التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع بالطرق التالية:
F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,
و
\Pr(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).
التوزيعات ذات الصلة > تقريب بواسون

افترض  X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n}) أين  \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1، ثم   (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}) يتم توزيعها بشكل متعدد الحدود  (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}) مشروط  N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n} .
هذا يعني ، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية  f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})، لو  (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} ) يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن
عندما  (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ) .
عامل  e{\sqrt {m}} يمكن استبداله بـ 2 إذا  f يُفترض أيضًا أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.
التوزيعات ذات الصلة > توزيع بواسون ثنائي المتغير

تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة ثنائية المتغير.  وظيفة التوليد لهذا التوزيع هي
مع
\theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0\,
التوزيعات الهامشية هي بواسون (θ 1) وبواسون (θ 2) ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة
0\leq \rho \leq \min \left\{{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right\}
طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير  X_{1},X_{2} هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة  Y_{1},Y_{2},Y_{3} بالوسائل  \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3} ثم ضبط  X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3} . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي
{\begin{aligned}&\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})\\={}&\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}\end{aligned}}
التوزيعات ذات الصلة > توزيع بواسون مجاني

توزيع بواسون المجاني  بحجم قفزة  \alpha  ومعدل  \lambda  ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد أقصى للالتفاف الحر المتكرر
\left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}
مثل N. → ∞.
وبعبارة أخرى، دعونا  X_{N} تكون متغيرات عشوائية بحيث  X_{N} له قيمة  \alpha  مع الاحتمال  {\frac {\lambda }{N}} والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضا أن الأسرة  X_{1},X_{2},\ldots  مستقلة بحرية. ثم الحد كما  N\to \infty  من قانون  X_{1}+\cdots +X_{N} يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات  \lambda ,\alpha  .
هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).
يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة
\mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\lambda \nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}
عندما
\nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt
ولديه دعم  [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}] .
ينشأ هذا القانون أيضًا في نظرية المصفوفة العشوائية مثل قانون مارشينكو - باستور. المتراكمات الحرة لها تساوي  \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n} .
التوزيعات ذات الصلة > توزيع بواسون مجاني > بعض التحولات في هذا القانون

نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر؛ يمكن العثور على الحساب في، على سبيل المثال، في كتاب «محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا ور. سبايشر».
يتم إعطاء تحويل R لقانون بواسون المجاني بواسطة
R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.
يتم إعطاء تحويل كوشي (وهو سلبي لتحويل ستيلجس) بواسطة
G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}
يتم إعطاء تحويل S بواسطة
S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}
في الحالة تلك  \alpha =1 .
الاستدلال الإحصائي > تقدير المعامل المتغير

إعطاء عينة من القيم المقاسة n  k_{i}\in \{0,1,...\}، لأني = 1، ... ن، نرغب في تقدير قيمة المعلمة λ لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير الاحتمالية القصوى هو
{\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!
نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو مقدر غير متحيز لـ λ. وهو أيضًا مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد الأدنى كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن التباين الأدنى غير متحيز. كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.
لإثبات الكفاية، قد نستخدم نظرية العوامل. ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة  \mathbf {x}  (مسمى  h(\mathbf {x} )) وواحد يعتمد على المعلمة  \lambda  والعينة  \mathbf {x}  فقط من خلال الوظيفة  T(\mathbf {x} ) . ثم  T(\mathbf {x} ) إحصائية كافية لـ  \lambda  .
P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }
الفصل الأول،  h(\mathbf {x} )، يعتمد فقط على  \mathbf {x}  . الفصل الثاني،  g(T(\mathbf {x} )|\lambda )، يعتمد على العينة فقط من خلال  T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i} . هكذا،  T(\mathbf {x} ) كافي.
للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:
{\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}
نأخذ مشتق من  \ell  فيما يتعلق λ وذلك لمقارنة الصفر:
{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!
الحل من أجل λ يعطي نقطة ثابتة.
\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}
إذن λ هو متوسط قيم k i . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ L عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى λ .
{\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}
يعطي تقييم المشتق الثاني عند النقطة الثابتة :
{\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}
وهو سالب n في مقلوب متوسط k i . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.
من أجل الاكتمال، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا  E(g(T))=0 يعني ذلك  P_{\lambda }(g(T)=0)=1 للجميع  \lambda  . إذا كان الفرد  X_{i} هي iid  \mathrm {Po} (\lambda )، من ثم  T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ) . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.
E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0
من أجل هذه المساواة،  g(t) يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع  t في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ  \lambda  . لذلك،  E(g(T))=0 للجميع  \lambda  يعني ذلك  P_{\lambda }(g(T)=0)=1، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.
الاستدلال الإحصائي > فاصل الثقة

يمكن التعبير عن فاصل الثقة لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع. يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة k من توزيع بواسون بمتوسط μ، فإن فاصل الثقة لـ μ بمستوى الثقة 1 – α هو
{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),
أو مكافئ،
أين  \chi ^{2}(p;n) هي الدالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية p) لتوزيع مربع كاي مع n من درجات الحرية و  F^{-1}(p;n,1) هي دالة كميّة لتوزيع جاما بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1.  هذا الفاصل الزمني «دقيق» بمعنى أن احتمالية تغطيتها لا تقل أبدًا عن 1 – α الاسمي.
عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل ويلسون-هيلفيرتي):
k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},
عندما  z_{\alpha /2} يشير إلى الانحراف القياسي العادي مع منطقة الذيل العليا α / 2 .
لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة n k i مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط λ)، يجب تعيين
k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},\!
احسب الفاصل الزمني لـ μ = nλ، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ λ .
الاستدلال الإحصائي > استدلال بايزي

في الاستدلال البايزي، يكون الاتحاد السابق لمعامل المعدل λ لتوزيع بواسون هو توزيع جاما.  اسمحوا
\lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )\!
تشير إلى أن λ يتم توزيعها وفقًا لكثافة جاما g المحددة من حيث معلمة الشكل α ومعلمة المقياس العكسي β :
g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.
بعد ذلك، بالنظر إلى نفس العينة من قيم n المقاسة k i كما كان من قبل، وقبل غاما (α، β)، يكون التوزيع اللاحق
\lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).\!
والخلفي يعني E [λ] يقترب تقدير أقصى احتمال  {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} } في حدود  \alpha \to 0,\ \beta \to 0، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط توزيع جاما.
التوزيع التنبئي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع سالب ذي الحدين،  يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.