قوس بواسون
قوس بواسون في لغة خالية من الإحداثيات

لنفترض أن  M متشعب تماسكي، كما أن المتشعب مزود بنموذج  تماسك: نموذجين  \omega  كلاهما متقاربان حيث أن المشتق الخارجي  d\omega  يختفيK و آخر غير منحل، على سبيل المثال في المعالجة أعلاه نأخذ  M لتكون  \mathbb {R} ^{2n} ولنأخذ أيضًا أن:
\omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.
إذا كان  \iota _{v}\omega  هو الضرب الداخلي أو عملية الانكماش المُعرّف من خلال  (\iota _{v}\omega )(w)=\omega (v,\,w)؛ فإن عدم الانحلال يعادل قول أن لكل نموذج  \alpha  هناك مجال متجه مميز هو  \Omega _{\alpha }، بحيث يكون عوضًا عن  \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)، وإذا كان  H اقتران ناعم في  M فإن مجال المتجه هاملتونيان  X_{H} يمكن تعريفه على أنه  \Omega _{dH}، حيث من السهل ملاحظة أن:
{\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}
قوس بواسون  \ \{\cdot ,\,\cdot \} في (M, ω) يمثل عملية ثنائية الخطية في دالة قابلة للاشتقاق معرفة من خلال:  \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})، وقوس بواسون لاقترانين في M هو نفسه اقتران في M، و كما أن قوس بواسون غير متماثل لأن:
\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}
ضف إلى ذلك أن:
هنا Xgf تدل أن المجال المتجه Xg طُبِق للاقتران f كمشتق اتجاهي ،حيث أن  {\mathcal {L}}_{X_{g}}f تُشير إلى مشتقة لاي للاقتران f بشكل مكافئ بالكامل.
إذا كان α نموذج تعسفي أحادي في M فإن المجال المتجه Ωα يُنتج محليًا على الأقل تدفق  \phi _{x}(t) يُطبق الشروط الحدية  \phi _{x}(0)=x والمعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى:
{\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.
\phi _{x}(t) سيكون هناك تماثل لكل t كاقتران في x إذا وفقط إذا كان  {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0، حيث أنه عندما يكون هذا الشرط صحيح فإن Ωα تُسمى مجال متجه تماسكي، باستدعاء متطابقة كارتان (الضرب الداخلي):  {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega  وأن: dω = 0، هذا يتبعه أن:  {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha ، لذلك Ωα: هو مجال متجه تماسكي إذا وفقط إذا كان α شكل مغلق، وبما أن  d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0، فهذا يتبعه أن كل مجال متجه هاملتوني Xf هو مجال متجه تماسكي وأن تدفق هاملتونيان يحوي تحولات كنسية، ومن XH أعلاه وتحت تدفق هاملتونيان نستنتج أن:
{\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.
هذه نتيجة أساسية في الميكانيكا الهاملتونية التي تحكم التحول الزمني للاقترانات المُعرفة في فضاء الطور، كما هو موضح أعلاه عندما يكون {f,H} = 0؛ فإن f هو ثابت حركة النظام، بالإضافة إلى ذلك في الإحداثيات الكنسية باعتبار  \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0 و \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}: هي معادلات هاملتون لتحول وقت النظام مُتْبَعةً مباشرةً من هذه الصيغة، كما يُتبع من (1) أن قوس بواسون هو اشتقاق، وهذا يعني أنه يوافق الصيغة غير التبديلة لقاعدة ضرب لايبنز:
قوس بواسون متصل بشكلٍ وثيق بقوس لاي لمتجه مجالات هاملتونيان لأن مشتق لاي هو اشتقاق حيث أن:
{\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega
لذلك إذا كان v وw تماسكيين وباستخدام:  {\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0 ومتطابقة كارتان، وحقيقة أن  \iota _{w}\omega  متماثلين:
\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).
هذا يتبعه أن:  [v,w]=X_{\omega (w,v)} إذًا:
لذلك فإن قوس بواسون في الاقترانات يتوافق مع قوس لاي لمتجه لمجالات هاملتونيان والمرتبطة به، وكما أظهرنا أن قوس لاي يتكون من مجالين متجهين تماسكيين هما عبارة عن مجال متجه هاملتوني وبالتالي هو أيضًا تماسكي. في لغة الجبر المجرد تشكل المجالات المتجهة التماسكية جبرًا جزئيًا لجبر لاي لمتجه المجالات الناعمة في M، كما يُشكل متجه المجالات هاملتونيان مثالًا مثاليًا لهذا الجبر الجزئي، ومتجه المجالات التماسكية هو جبر لاي لمجموعة لاي اللانهائية الأبعاد من التماثل في M.
على نطاق واسع من المؤكد أن متطابقة ياكوبي لقوس بواسون تابعٌ توافقها مع قوس لاي للمجالات المتجهة:
\ \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
لكن هذا صحيح فقط للاقتران المحلي الثابت، ومع ذلك لإثبات متطابقة ياكوبي لقوس بواسون فإنه يكفي إثبات أن:
\operatorname {ad} _{\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]
حيث  \operatorname {ad} _{g}: هو عامل في الاقترانات الناعمة في M يُعرف ب  \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\} والقوس في الجانب الأيمن هو مبدل العوامل  [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} ، بواسطة (1) فإن العامل  \operatorname {ad} _{g} مساوي للعامل Xg، وإثبات متطابقة ياكوبي تُتبع من (3)؛ لأن قوس لاي لمتجه المجالات هو فقط مبدلهم كالعوامل التفاضلية.
جبر الاقترانات الناعمة في M بجانب قوس بواسون يُشكل جبر بواسون؛ لأنه هو جبر لاي في قوس بواسون الذي يوافق قاعدة لايبنز (2)، كما أظهرنا أن كل متشعب تماسكي هو متشعب بواسون وهو متشعب مع عامل الحاصرتان في الاقترانات الناعمة، حيث أن الاقترانات الناعمة تُشكل جبر بواسون، ومع ذلك ليس كل متشعب بواسون ينشأ بهذه الطريقة؛ لأن متشعبات بواسون تسمح للانحلال الذي لا يمكن أن ينشأ في حالة التماسك.