تأثير صوتي مرن
نظرية المرونة غير الخطية للمواد فائقة المرونة > العلاقة التأسيسية - المواد مفرطة المرونة (علاقة الإجهاد والانفعال)

المادة المفرطة المرونة هي حالة خاصة لمادة كوشي المرنة حيث يكون الضغط في أي نقطة موضوعيًا ويتم تحديده فقط من خلال الحالة الحالية للتشوه فيما يتعلق بتكوين مرجعي عشوائي (لمزيد من التفاصيل حول التشوه، انظر أيضًا الصفحات تشوه (الميكانيكا ) وسلالة محدودة ). ومع ذلك، قد يعتمد العمل الذي تقوم به الضغوط على المسار الذي يتخذه التشوه. لذلك، فإن مادة كوشي المرنة لها هيكل غير متحفظ، ولا يمكن اشتقاق الضغط من دالة محتملة مرنة قياسية. يشار إلى الحالة الخاصة لمواد كوشي المرنة حيث يكون العمل الذي تقوم به الضغوط مستقلًا عن مسار التشوه مادة خضراء مرنة أو مادة فائقة المرونة. هذه المواد متحفظة ويمكن اشتقاق الضغوط الموجودة في المادة بواسطة جهد مرن قياسي، يُعرف أكثر باسم دالة كثافة طاقة الإجهاد.
يمكن التعبير عن العلاقة التأسيسية بين الإجهاد والانفعال بأشكال مختلفة بناءً على أشكال الإجهاد والتوتر المختارة. اختيار موتر الإجهاد الميكانيكي لبيولا كيرشوف الأول  {\boldsymbol {P}} (وهو تبديل موتر الإجهاد الاسمي  {\boldsymbol {P}}^{T}={\boldsymbol {N}} )، يمكن التعبير عن المعادلة التأسيسية لمادة مرنة شديدة الانضغاط بدلالة سلالة لاغرانج جرين (  {\boldsymbol {E}} ) كما:
{\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,
حيث  {\boldsymbol {F}} هو موتر التدرج التشوهي، وحيث يستخدم التعبير الثاني اصطلاح جمع آينشتاين لتدوين مؤشر التوتر .  W هي دالة كثافة طاقة الإجهاد لمادة مفرطة المرونة وقد تم تحديدها لكل وحدة حجم وليس لكل وحدة كتلة لأن هذا يتجنب الحاجة إلى مضاعفة الجانب الأيمن مع كثافة الكتلة  \rho _{0} من التكوين المرجعي.
بافتراض أن دالة كثافة طاقة السلالة العددية  W({\boldsymbol {E}}) يمكن تقريبه عن طريق توسع سلسلة تايلور في السلالة الحالية  {\boldsymbol {E}}، يمكن التعبير عنها (في تدوين الفهرس) على النحو التالي:
W\approx C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots
فرض القيود على أن وظيفة طاقة الإجهاد يجب أن تكون صفرية ولها حد أدنى عندما تكون المادة في حالة غير مشوهة (أي  W(E_{ij}=0)=0 ) من الواضح أنه لا يوجد حد ثابت أو خطي في دالة طاقة الإجهاد، وبالتالي:
W\approx {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots ,
حيث  C_{ijkl} هو موتر من الدرجة الرابعة لوحدات مرنة من الدرجة الثانية، بينما  C_{ijklmn} هو موتر من الدرجة السادسة لمعايير مرنة من الدرجة الثالثة. تناظر  E_{ij}=E_{ji} جنبًا إلى جنب مع دالة كثافة طاقة السلالة العددية  W يعني أن معاملات الدرجة الثانية  C_{ijkl} لديك التناظر التالي:
C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},
مما يقلل من عدد الثوابت المرنة المستقلة من 81 إلى 36. بالإضافة إلى ذلك، فإن تمدد القوة يعني أن معايير الدرجة الثانية لها أيضًا تناظر كبير
C_{ijkl}=C_{klij},
مما يقلل من عدد الثوابت المرنة المستقلة إلى 21. يمكن استخدام نفس الوسيطات لمعايير المرونة من الدرجة الثالثة  C_{ijklmn} . تسمح هذه التناظرات أيضًا بالتعبير عن المعاملات المرنة بواسطة تدوين Voigt (أي  C_{ijkl}=C_{IJ} و  C_{ijklmn}=C_{IJK} ).
يمكن التعبير عن موتر التدرج المشوه في شكل مكون على النحو التالي
F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},
حيث  u_{i} هو إزاحة نقطة مادية  P من تنسيق  X_{i} في التكوين المرجعي للتنسيق  x_{i} في التكوين المشوه (انظر الشكل 2 في صفحة نظرية السلالة المحدودة). بما في ذلك تمدد القوة لوظيفة طاقة الإجهاد في العلاقة التأسيسية واستبدال موتر الإجهاد اللاغرانج  E_{kl} مع التمدد المعطى على نتائج صفحة موتر الإجهاد المحدودة (لاحظ أن الأحرف الصغيرة  u تم استخدامها في هذا القسم مقارنة بالحالة الكبيرة في صفحة الإجهاد المحدود ) المعادلة التأسيسية
P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,
حيث
M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},
ومصطلحات الرتبة الأعلى تم إهمالها  (انظر  للحصول على الاشتقاقات التفصيلية). للرجوع إليها عن طريق إهمال شروط الترتيب الأعلى في  \partial u_{k}/\partial X_{l} هذا التعبير يقلل إلى  P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}, وهو نسخة من قانون هوك المعمم حيث  P_{ij} هو مقياس للضغط أثناء  \partial u_{k}/\partial X_{l} هو مقياس للضغط، و  C_{ijkl} هي العلاقة الخطية بينهما.