نمط مواريه
العمليات الحسابية > تموج الأنماط المتوازية > نهج الوظيفة الرياضية

يتمثل جوهر تأثير التموج في النسيج في الإدراك (المرئي بشكل أساسي) لنمط ثالث مختلف تمامًا والذي ينتج عن التراكب غير الدقيق لنمطين متشابهين. لم يتم الحصول على التمثيل الرياضي لهذه الأنماط بشكل تافه ويمكن أن يبدو تعسفيًا إلى حد ما. في هذا القسم، سنقدم مثالًا رياضيًا لنمطين متوازيين يشكل تراكبهما نمط تموج في النسيج، ونبين طريقة واحدة (من العديد من الطرق الممكنة) والتي يمكن من خلالها تقديم هذه الأنماط وتأثير التموج في النسيج رياضيًا.
تعتمد رؤية هذه الأنماط على الوسط أو الركيزة التي تظهر فيها، وقد تكون غير شفافة (كما هو الحال على الورق على سبيل المثال) أو شفافة (كما هو الحال في الفيلم البلاستيكي على سبيل المثال). لأغراض المناقشة، سنفترض أن كلا نمطين أساسيين مطبوعان بالحبر الرمادي على ورقة بيضاء، حيث يتم إعطاء التعتيم (على سبيل المثال، الظل الرمادي) للجزء «المطبوع» بقيمة بين 0 (أبيض) و 1 (أسود) شامل، مع1/2 تمثل الرمادي المحايد. أي قيمة أقل من 0 أو أكبر من 1 باستخدام هذا المقياس الرمادي هي في الأساس «غير قابلة للطباعة».
سنختار أيضًا تمثيل عتامة النمط الناتج عن طباعة أحد النماذج فوق الآخر عند نقطة معينة على الورق كمتوسط (أي الوسط الحسابي) لشفافية كل نمط في هذا الموضع، وهو نصف مجموعها، و، حسب الحساب، لا يتجاوز 1. (هذا الاختيار ليس فريدًا. أي طريقة أخرى لدمج الوظائف التي ترضي الاحتفاظ بقيمة الدالة الناتجة داخل الحدود [0,1] ستعمل أيضًا؛ يتميز حساب المتوسط الحسابي بميزة البساطة - ونأمل أن يلحق ضررًا ضئيلًا بمفاهيم المرء عن عملية الطباعة.)
نحن الآن نأخذ في الاعتبار التراكب «المطبوع» لنمطين متشابهين تقريبًا، متباينين جيبيًا، على مقياس رمادي لإظهار كيفية إنتاجهما لتأثير التموج في النسيج في طباعة نمط واحد على الورق أولاً، ثم طباعة النمط الآخر فوق الأول، مع الحفاظ على إحداثيات المحاور الخاصة بهما في السجل. نحن نمثل كثافة الرمادي في كل نمط بدالة عتامة موجبة للمسافة على طول اتجاه ثابت (على سبيل المثال، الإحداثي x) في المستوى الورقي، بالشكل
حيث يحافظ وجود 1 على الدالة محددة بشكل إيجابي، وإن القسمة على 2 تمنع قيم الدالة الأكبر من 1.
تمثل الكمية k التباين الدوري (أي التردد المكاني) لشدة اللون الرمادي للنمط، مقاسة بعدد دورات الشدة لكل وحدة مسافة. نظرًا لأن الدالة الجيبية هي دورية على التغييرات الوسيطة بمقدار 2π ، فإن زيادة المسافة Δx لكل دورة كثافة (طول الموجة) يتم الحصول عليه بالشكل التالي:
k Δx = 2π
ومنه نستنتج Δx = 2π/k .
فكر الآن في نمطين من هذا القبيل، حيث يكون لأحدهما اختلاف دوري مختلف قليلاً عن الآخر وهما متمثلان في الدالتين:
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\[4pt]f_{2}&={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}}
حيث أن k1 ≈ k2 .
يتم تقييم متوسط هاتين الدالتين، اللذين يمثلان الصورة المطبوعة المتراكبة، على النحو التالي:
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\[5pt]&={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}\end{aligned}}}
حيث يتضح ذلك بسهولة
A={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}و B={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}.من الواضح أن متوسط الدالة f3 يقع في النطاق [0,1]. نظرًا لأن التباين الدوري A هو متوسط لـ وبالتالي هو قريب من k1 و k2 ، فإن تأثير التموج في النسيج يتم توضيحه بشكل واضح من خلال استخدام دالة «النبض beat» للمغلف الجيبي الشكل cos(Bx) ، والتي يكون تباينها الدوري هو نصف فرق التباينات الدورية k1 و k2 (ومن الواضح أن التردد أقل بكثير).
تشتمل تأثيرات التموج في النسيج الأخرى أحادية البعد على نغمة تردد النبض beat الكلاسيكية التي تُسمع عند سماع نغمتين نقيتين من نغمة متطابقة تقريبًا في وقت واحد. هذه نسخة صوتية من تأثير التموج في النسيج في بُعد واحد من الزمن: النغمتان الأصليتان لا تزالان حاضرتين - لكن تصور المستمع هو نغمتان يمثلان متوسط ونصف الفرق في ترددات النغمتين. ينتمي الترادف Aliasing في أخذ عينات الإشارات المتغيرة بمرور الوقت أيضًا إلى نموذج التموج في النسيج.