متعدد وجوه
تعريف

الأشكال المتعددة السطوح المحدبة واضحة المعالم، ولها عدة تعريفات معيارية مكافئة. ومع ذلك، فإن التعريف الرياضي الرسمي لمتعدد الوجوه غير المطلوب أن يكون محدبًا كان مشكلة. تم تقديم العديد من التعريفات لـ «متعدد السطوح» في سياقات معينة،  بعضها أكثر صرامة من البعض الآخر، ولا يوجد اتفاق عالمي على أي منها تختار. تستثني بعض هذه التعريفات الأشكال التي غالبًا ما تُحسب على أنها متعددات الوجوه (مثل متعدد السطوح ذاتيًا) أو تتضمن أشكالًا لا تُعتبر غالبًا متعددات الوجوه صالحة (مثل المواد الصلبة التي لا تكون حدودها متشعبة). كما لاحظ برانكو جرونباوم،
«تعود الخطيئة الأصلية في نظرية متعددات الوجوه إلى إقليدس، ومن خلال كبلر، وبوينسو، وكوشي والعديد من الآخرين... في كل مرحلة... فشل الكتاب في تحديد ما هي متعددات الوجوه».
ومع ذلك، هناك اتفاق عام على أن متعدد السطوح مادة صلبة أو سطح يمكن وصفه برؤوسه (نقاط الزاوية)، والحواف (مقاطع الخط التي تربط أزواجًا معينة من الرؤوس)، والوجوه (المضلعات ثنائية الأبعاد)، وأنه يمكن في بعض الأحيان يقال أن لها حجمًا داخليًا ثلاثي الأبعاد معينًا. يمكن للمرء أن يميز بين هذه التعريفات المختلفة وفقًا لما إذا كانت تصف متعدد السطوح على أنه مادة صلبة، أو ما إذا كانت تصفها كسطح، أو ما إذا كانت تصفها بشكل أكثر تجريدية بناءً على هندسة الوقوع.
تعريف شائع وساذج إلى حد ما لمتعدد السطوح هو أنه مادة صلبة يمكن تغطية حدودها بعدد محدود من المستويات  أو أنها صلبة تشكلت كاتحاد للعديد من الأشكال المتعددة السطوح المحدبة بشكل محدود. تتطلب التحسينات الطبيعية لهذا التعريف أن يتم تقييد المادة الصلبة، وأن يكون لها جزء داخلي متصل، وربما أيضًا أن يكون لها حدود متصلة. يمكن تعريف أوجه مثل هذا متعدد السطوح على أنها المكونات المتصلة لأجزاء الحدود داخل كل من المستويات التي تغطيها، والحواف والرؤوس مثل مقاطع الخط والنقاط التي تلتقي فيها الوجوه. ومع ذلك، فإن المجسمات المتعددة السطوح المحددة بهذه الطريقة لا تشمل متعددات السطوح النجمية التي تعبر ذاتيًا، والتي قد لا تشكل وجوهها مضلعات بسيطة، وقد تنتمي بعض حوافها إلى أكثر من وجهين.
التعريفات التي تستند إلى فكرة السطح المحيط بدلاً من المواد الصلبة شائعة أيضًا. على سبيل المثال، أورورك (1993) متعدد السطوح على أنه اتحاد من المضلعات المحدبة (أوجهه)، مرتبة في الفضاء بحيث يكون تقاطع أي مضلعين هو قمة مشتركة أو حافة أو مجموعة فارغة بحيث يكون اتحادهم مشعب. إذا لم يكن الجزء المستوي من هذا السطح في حد ذاته مضلعًا محدبًا، فإن أورورك يتطلب تقسيمه إلى مضلعات محدبة أصغر، مع وجود زوايا ثنائية السطح مسطحة بينهما. بشكل عام إلى حد ما، يعرّف جرونباوم متعدد السطوح الأقوعي بأنه مجموعة من المضلعات البسيطة التي تشكل مشعبًا مضمّنًا، مع كل حادث قمة إلى ثلاثة حواف على الأقل ويتقاطع كل وجهين فقط في الرؤوس والحواف المشتركة لكل منهما. يعطي كرومويل متعدد الوجوه تعريفًا مشابهًا ولكن بدون قيود على الأقل ثلاثة حواف لكل رأس. مرة أخرى، هذا النوع من التعريف لا يشمل متعددات الوجوه المتقاطعة الذاتية. تشكل المفاهيم المماثلة أساس التعريفات الطوبولوجية لمتعددات الوجوه، كتقسيمات فرعية لمشعب طوبولوجي إلى أقراص طوبولوجية (الوجوه) التي تتطلب تقاطعاتها الزوجية أن تكون نقاطًا (رؤوسًا)، أو أقواسًا طوبولوجية (حواف)، أو مجموعة فارغة. ومع ذلك، توجد متعددات الوجوه الطوبولوجية (حتى مع كل مثلثات الوجوه) التي لا يمكن إدراكها على أنها متعددة الوجوه أكوبتيكية.
يعتمد أحد الأساليب الحديثة على نظرية المجردة متعددة السطوح. يمكن تعريف هذه المجموعات على أنها مجموعات مرتبة جزئيًا تكون عناصرها هي الرؤوس والحواف والوجوه في متعدد السطوح. يكون عنصر الرأس أو الحافة أقل من عنصر حافة أو وجه (بهذا الترتيب الجزئي) عندما تكون الرأس أو الحافة جزءًا من الحافة أو الوجه. بالإضافة إلى ذلك، يمكن للمرء أن يتضمن عنصرًا سفليًا خاصًا لهذا الترتيب الجزئي (يمثل المجموعة الفارغة) وعنصرًا علويًا يمثل متعدد السطوح بأكمله. إذا كانت أقسام الترتيب الجزئي بين العناصر ثلاثة مستويات متباعدة (أي بين كل وجه والعنصر السفلي، وبين العنصر العلوي وكل رأس) لها نفس بنية التمثيل المجرد للمضلع، فإن هذه المجموعات المرتبة جزئيًا تحمل بالضبط نفس المعلومات مثل متعدد الوجوه الطوبولوجي. ومع ذلك، غالبًا ما يتم تخفيف هذه المتطلبات، بدلاً من ذلك تتطلب فقط أن الأقسام بين العناصر بمستويين متباعدتين لها نفس البنية مثل التمثيل المجرد لقطعة خطية. (هذا يعني أن كل حافة تحتوي على رأسين وتنتمي إلى وجهين، وأن كل رأس على وجه ما ينتمي إلى حافتين من ذلك الوجه.) يمكن وصف متعددات الوجوه الهندسية، المحددة بطرق أخرى، بشكل تجريدي بهذه الطريقة، ولكن من الممكن أيضًا استخدام متعددات الوجوه المجردة كأساس لتعريف متعدد السطوح الهندسية. يؤخذ إدراك متعدد السطوح المجرد عمومًا على أنه تعيين من رؤوس متعدد السطوح المجرد إلى نقاط هندسية، بحيث تكون نقاط كل وجه متحد المستوى. يمكن بعد ذلك تعريف متعدد السطوح الهندسي على أنه تحقيق متعدد السطوح المجرد. كما تم النظر في الإدراك الذي يحذف متطلبات الاستواء، التي تفرض متطلبات إضافية من التناظر، أو التي تعين الرؤوس إلى مسافات ذات أبعاد أعلى. على عكس التعريفات ذات الأساس الصلب والسطح، فإن هذا يعمل بشكل جيد مع متعدد السطوح النجمية. ومع ذلك، بدون قيود إضافية، يسمح هذا التعريف بتعدد السطوح المتدهور أو غير المخلص (على سبيل المثال، عن طريق تعيين جميع الرؤوس إلى نقطة واحدة) ولم تتم تسوية مسألة كيفية تقييد الإدراك لتجنب هذه الانحرافات.
في كل هذه التعريفات، يُفهم متعدد السطوح عادةً على أنه مثال ثلاثي الأبعاد للكوليتوب الأكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، يحتوي المضلع على جسم ثنائي الأبعاد وليس له وجوه، بينما يحتوي الشكل 4 متعدد الأضلاع على جسم رباعي الأبعاد ومجموعة إضافية من «الخلايا» ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك، فإن بعض الأدبيات المتعلقة بالهندسة عالية الأبعاد تستخدم مصطلح «متعدد السطوح» ليعني شيئًا آخر: ليس متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، ولكن شكل مختلف عن متعدد الأطوار بطريقة ما. على سبيل المثال، تحدد بعض المصادر متعدد السطوح المحدب ليكون تقاطعًا بين عدد محدود من المسافات النصفية، وأن يكون متعدد السطوح متعدد السطوح محددًا. ما تبقى من هذه المقالة يعتبر فقط ثلاثي الأبعاد متعدد السطوح.