تفرد بي كي إل
تطور متري > التحليل الإحصائي قرب التفرد

يكتسب تسلسل أطوال الحقبة k ( s )، المقاسة بعدد فترات كاسنر الموجودة فيها، طابع عملية عشوائية مقاربًا. الأمر نفسه يتعلق أيضًا بتسلسل تقاطعات أزواج الوظائف المتذبذبة عند الانتقال من عصر إلى آخر (يعتمد ذلك على ما إذا كانت الأرقام k ( s ) زوجية أو فردية). مصدر هذه العشوائية هو eqs. 41 - 42 التي بموجبها يتم تحديد الانتقال من عصر إلى آخر في تسلسل عدد لا نهائي من قيم u. تنص هذه القاعدة، بعبارة أخرى، على أنه إذا بدأ التسلسل اللانهائي بأكمله بقيمة أولية معينة  u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}، ثم أطوال العصور ك (0)، ك (1)، ...، هي الأرقام في توسيع الكسر المستمر.
يتوافق هذا التوسيع مع تحويل الفاصل الزمني [0، 1] إلى نفسه بواسطة الصيغة Tx = {1 / x }، أي x s +1 = {1 / x s }. ينتمي هذا التحول إلى ما يسمى بتحولات التوسع للفاصل الزمني [0، 1]، أي التحويلات x → f ( x ) مع | و ′ ( س ) | > 1. تمتلك هذه التحولات خاصية عدم الاستقرار الأسي: إذا أخذنا في البداية نقطتين قريبتين، فإن المسافة المتبادلة بينهما تزداد بشكل كبير في ظل تكرارات التحولات. من المعروف أن عدم الاستقرار الأسي يؤدي إلى ظهور خصائص عشوائية قوية.
من الممكن التحول إلى وصف احتمالي لمثل هذا التسلسل من خلال عدم مراعاة قيمة أولية محددة x (0) ولكن القيم x (0) = x الموزعة في الفترة من 0 إلى 1 وفقًا لقانون توزيع احتمالي معين ث 0 ( x ). ثم قيم x (s) التي تنتهي كل عصر سيكون لها أيضًا توزيعات تتبع قوانين معينة w s (x) . لنفترض أن w s (x) dx هو احتمال أن ينتهي العصر s بالقيمة  u_{\max }^{(s)}=x الكذب في فترة زمنية محددة dx .
قيمة X (s) = X، والتي تنتهي في ليالي عصر s-th، يمكن أن تنجم عن الأولي (لهذا العصر) القيم  u_{\max }^{(s)}=x+k، حيث ك = 1، 2، ... ؛ هذه القيم  u_{\max }^{(s)} تتوافق مع القيم x ( s –1) = 1 / ( k + x ) للعصر السابق. مع ملاحظة ذلك، يمكن للمرء أن يكتب علاقة التكرار التالية، والتي تعبر عن توزيع الاحتمالات w s (x) من حيث التوزيع w s –1 ( x ):
w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert
حيث λ a، μ a، s 1، s 2 هي وظائف تعسفية لجميع الإحداثيات الثلاثة x، y، z، المرتبطة بشروط أخرى
إذا كان التوزيع w s ( x ) يميل إلى زيادة s إلى توزيع محدد ثابت (مستقل عن s ) w ( x )، فيجب أن يفي الأخير بمعادلة تم الحصول عليها من eq. 73c بإسقاط مؤشرات الدوالين w s −1 ( x ) و w s ( x ). هذه المعادلة لها حل
(تم تطبيعه إلى الوحدة ويؤخذ إلى الدرجة الأولى من x ). 

من أجل أن يكون للعصر s طولًا k، يجب أن ينتهي العصر السابق برقم x في الفاصل الزمني بين 1 / ( k + 1) و 1 / k . لذلك، فإن احتمال أن يكون للعصر طول ك يساوي (في الحد الثابت)
عند قيم كبيرة لـ k
في ربط الخصائص الإحصائية للنموذج الكوني مع ارجوديك خصائص التحول س ق +1 = {1 / س ق} يجب ذكر نقطة مهمة. في تسلسل لا نهائي من الأرقام x التي تم إنشاؤها وفقًا لهذه القاعدة، ستتم ملاحظة قيم x الصغيرة (ولكن لا تتلاشى أبدًا) بشكل تعسفي مقابل أطوال كبيرة بشكل تعسفي k. يمكن لمثل هذه الحالات (بأي حال من الأحوال بالضرورة!) أن تؤدي إلى بعض المواقف المحددة عندما تتبادل فكرة العصور، كما هو الحال في تسلسل عهود كاسنر، بعضها البعض وفقًا للقاعدة eq. 37، يفقد معناه (على الرغم من أن الوضع التذبذب لتطور النموذج لا يزال قائماً). يمكن أن يتجلى مثل هذا الوضع "الشاذ"، على سبيل المثال، في ضرورة الاحتفاظ بالجانب الأيمن من eq. 26 مصطلحًا ليس فقط مع إحدى الوظائف أ، ب، ج (على سبيل المثال، أ 4 )، كما هو الحال في التبادل "العادي" لعصر كاسنر، ولكن في نفس الوقت مع اثنين منهم (على سبيل المثال، أ 4، ب 4، أ 2 ب 2 ).
عند الخروج من سلسلة "شاذة" من التذبذبات، يتم استعادة سلسلة من العصور المنتظمة. التحليل الإحصائي لسلوك النموذج الذي يعتمد بالكامل على التكرارات المنتظمة للتحولات eq. 42 من خلال نظرية مهمة: يميل احتمال ظهور الحالات الشاذة بشكل مقارب إلى الصفر حيث أن عدد التكرارات s → ∞ (أي الوقت t → 0) الذي تم إثباته في نهاية هذا القسم. تعود صحة هذا التأكيد إلى حد كبير إلى المعدل السريع جدًا للزيادة في اتساع التذبذب خلال كل عصر وخاصة في الانتقال من عصر إلى آخر.
إن عملية استرخاء النموذج الكوني إلى النظام الإحصائي "الثابت" (مع بدء t → 0 من "لحظة أولية" معينة) أقل إثارة للاهتمام، مع ذلك، من خصائص هذا النظام نفسه مع أخذ الاعتبار الواجب للخرسانة. قوانين تغير الخصائص الفيزيائية للنموذج خلال العصور المتعاقبة.
يتم الحصول على فكرة عن المعدل الذي يتم به تعيين التوزيع الثابت من المثال التالي. دع القيم الأولية x (0) توزع في فاصل زمني ضيق للعرض δ x (0) حول بعض الأرقام المحددة. eq. 73c علاقة التكرار. eq. 73c (أو مباشرة من التوسع eq. 73a ) من السهل استنتاج أن عروض التوزيعات w s ( x ) (حول أرقام محددة أخرى) ستكون عندئذٍ مساوية لـ
(هذا التعبير صالح فقط طالما أنه يحدد الكميات δ x (s) 1).
القيمة المتوسطة  {\bar {k}}، المحسوبة من هذا التوزيع، تتباعد لوغاريتميًا. للحصول على تسلسل، مقطوع عند عدد كبير جدًا، ولكنه لا يزال محدودًا، N، واحد لديه  {\bar {k}}\sim \ln N . فائدة المتوسط في هذه الحالة محدودة للغاية بسبب عدم استقراره: بسبب الانخفاض البطيء لـ W ( k )، تتباعد التقلبات في k أسرع من متوسطها. السمة الأكثر ملاءمة لهذا التسلسل هي احتمال أن ينتمي الرقم المختار عشوائيًا منه إلى عصر بطول K حيث يكون K كبيرًا. هذا الاحتمال هو ln K / ln N. إنه صغير إذا  1\ll K\ll N . في هذا الصدد، يمكن للمرء أن يقول إن رقمًا تم اختياره عشوائيًا من تسلسل معين ينتمي إلى عصر طويل مع احتمال كبير.
من الملائم متوسط التعبيرات التي تعتمد في وقت واحد على k ( s ) و x ( s ) . نظرًا لأن هذه الكميات مشتقة من نفس الكمية x ( s –1) (التي تنتهي العصر السابق)، وفقًا للصيغة k ( s ) + x ( s ) = 1 / x ( s –1)، فإن إحصائهما لا يمكن اعتبار التوزيعات مستقلة. يمكن الحصول على التوزيع المشترك W s ( k، x ) dx لكلا الكميتين من التوزيع w s –1 ( x ) dx من خلال إجراء الاستبدال في الأخير x → 1 / ( x + k ). بمعنى آخر، يتم إعطاء الدالة W s ( k، x ) من خلال التعبير ذاته الموجود أسفل علامة الجمع في الجانب الأيمن من eq. 73c . في الحد الثابت، مع أخذ w من eq. 74، يتم الحصول على
جمع هذا التوزيع على k يعيدنا إلى eq. 74، والتكامل فيما يتعلق dx إلى eq. 75.
الصيغ المتكررة تحديد الانتقالات بين العصور هي إعادة مكتوبة مع مؤشر الصورة ترقيم العصور المتعاقبة (وليس العهود كاسنر في حقبة معينة!)، ابتداء من عصر بعض (ق = 0) تعرف بأنها الأولي. Ω ( s ) و ε ( s ) هي، على التوالي، اللحظة الأولية وكثافة المادة الأولية في العصر s ؛ δ ( s ) Ω ( s ) هي سعة التذبذب الأولية لهذا الزوج من الوظائف α، β،، والتي تتأرجح في عصر معين: k ( s ) هو طول العصر s، و x ( s ) يحدد طول (عدد عهود كاسنر) للعصر التالي وفقًا لـ k ( s +1) = [1 / x ( s ) ]. وفقًا لـ eqs. 71 - 73.
تم تقديم (ξ ( s ) في eq. 77 لاستخدامها لاحقًا).
الكميات δ ( s ) لها توزيع إحصائي ثابت ثابت P (δ) ومستقرة (تقلبات نسبية صغيرة) تعني القيمة. لتحديدها،  (مع التحفظات اللازمة) طريقة تقريبية تعتمد على افتراض الاستقلال الإحصائي للكمية العشوائية δ ( s ) والكميات العشوائية k ( s )، x ( s ) . بالنسبة للوظيفة P (δ)، تم إعداد معادلة متكاملة تعبر عن حقيقة أن الكميات δ ( s +1) و δ ( s ) مترابطة بواسطة العلاقة eq. 78 لها نفس التوزيع ؛ تم حل هذه المعادلة عدديا. في عمل لاحق، لخلاتنيكوف. حيث أظهر أن التوزيع P (δ) يمكن إيجاده بالضبط بطريقة تحليلية.
بالنسبة للخصائص الإحصائية في الحد الثابت، من المعقول إدخال ما يسمى بالامتداد الطبيعي للتحول Tx = {1 / x } من خلال استمراره دون حدود للمؤشرات السالبة. بخلاف ذلك، يعد هذا انتقالًا من تسلسل لا نهائي من جانب واحد للأرقام ( x 0، x 1، x 2، ...)، متصلة بواسطة المساواة Tx = {1 / x }، إلى "مضاعف لانهائي" تسلسل X = (...، x −1، x 0، x 1، x 2، ...) للأرقام المتصلة بنفس المساواة لجميع –∞ < s <. بالطبع، هذا التوسع ليس فريدًا من نوعه في المعنى الحرفي للكلمة (نظرًا لأن x s –1 لا يتم تحديده بشكل فريد بواسطة x s )، ولكن جميع الخصائص الإحصائية للتسلسل الممتد موحدة على طولها بالكامل، أي أنها ثابتة مع فيما يتعلق بالنقل التعسفي (و x 0 يفقد معناه لشرط "أولي"). التسلسل X يكافئ سلسلة من الأعداد الصحيحة K = (...، k −1، k 0، k 1، k 2، ...)، التي تم إنشاؤها بواسطة القاعدة k s = [1 / x s –1 ] . عكسيًا، يتم تحديد كل عدد من X بواسطة الأعداد الصحيحة لـ K ككسر مستمر لانهائي.
(راحة إدخال الترميز  x_{s+1}^{+} مع تحويل الفهرس بمقدار 1 سيصبح واضحًا في ما يلي). للتدوين المختصر، يُشار إلى الكسر المستمر ببساطة عن طريق تعداد قواسمه (بين قوسين معقوفين) ؛ ثم تعريف  x_{s}^{+} يمكن كتابتها كـ
يتم تحديد الكميات العكسية بواسطة كسر مستمر مع تسلسل إلى الوراء (في اتجاه المؤشرات المتناقصة) من القواسم
eq. 78 علاقة التكرار. eq. 78 عن طريق إدخال التدوين η s = (1 - δ s ) / δ s مؤقتًا. ثم eq. 78 يمكن إعادة كتابة eq. 78
\eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}
عن طريق التكرار يتم الحصول على جزء مستمر لانهائي
\eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}
لذلك
\eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}
وأخيرا
يحتوي هذا التعبير لδ الصورة اثنين فقط (بدلا من ثلاثة في  ) كميات عشوائية  x_{s}^{+} و  x_{s}^{-}، يفترض كل منها قيمًا في الفترة [0، 1].

يتبع من تعريف eq. 79c ذلك  1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right] . ومن ثم فإن تحول التسلسل X بأكمله بخطوة واحدة إلى اليمين يعني تحولًا مشتركًا للكميات  x_{s}^{+} و  x_{s}^{-} وفق
هذا تعيين واحد لواحد في مربع الوحدة . وبالتالي لدينا الآن تحويل واحد إلى واحد لكميتين بدلاً من تحويل ليس واحد إلى واحد Tx = {1 / x } لكمية واحدة.

الكميات  x_{s}^{+} و  x_{s}^{-} لها توزيع ثابت مشترك P ( x +، x - ). منذ eq. 79e عبارة عن تحويل واحد إلى واحد، ويتم التعبير عن شرط أن يكون التوزيع ثابتًا ببساطة بواسطة معادلة دالة
حيث J هو جاكوبي من التحول.
يؤدي تغيير التسلسل X بخطوة واحدة إلى التحول التالي T لمربع الوحدة:
x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}
(مع  x\equiv x_{0}^{+} و  y\equiv x_{0}^{-}، راجع. eq. 79e ). تحدد الكثافة P ( x، y ) المقياس الثابت لهذا التحول. من الطبيعي أن نفترض أن P ( x، y ) دالة متماثلة لـ x و y . هذا يعني أن المقياس ثابت فيما يتعلق بالتحول S ( x، y ) = ( y، x ) وبالتالي فيما يتعلق بالمنتج ST مع ST ( x، y ) = ( x ″، y ″ )،
x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}
من الواضح أن ST لديها أول متكامل H = 1 / x + y . على السطر H = const ≡ c، يكون للتحويل الشكل
{\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}
ومن ثم يجب أن تكون كثافة القياس الثابتة لـ ST من الشكل
f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy
عند حساب التناظر P ( x، y ) = P ( y، x )، يصبح هذا f ( c ) = c −2 وبالتالي (بعد التطبيع)
(تكامله على x + أو x - ينتج عنه الدالة w ( x ) eq. 74 ). تم استخدام تقليل التحول إلى رسم الخرائط واحد لواحد بالفعل بواسطة تشيرنوف وبارو  وحصلوا على صيغة على شكل eq. 79g لكن للمتغيرات الأخرى ؛ ورقتهم لا تحتوي على تطبيقات للمشكلات التي تم النظر فيها في صيغة خلاتنيكوف.
eq. 79g يتم التحقق منها أيضًا عن طريق الحساب المباشر؛ اليعقوبي من التحول eq. 79e هو
J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}
(في حسابه يجب على المرء أن يلاحظ ذلك  \left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+} ).
بواسطة eq. 79d δ s من حيث الكميات العشوائية x + و x -، تتيح معرفة التوزيع المشترك بينهما حساب التوزيع الإحصائي P (δ) من خلال دمج P ( x +، x - ) على أحد المتغيرات بقيمة ثابتة δ. بسبب تناظر وظيفة eq. 79g فيما يتعلق بالمتغيرات x + و x -، P () = P (1 - δ)، أي أن الوظيفة P (δ) متناظرة بالنسبة للنقطة δ = 1/2. ثم
P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}
عند تقييم هذا التكامل (لـ 0 δ ≤ 1/2 ثم الاستفادة من التناظر المذكور أعلاه)، أخيرًا
القيمة المتوسطة  {\bar {\delta }} = 1/2 بالفعل نتيجة لتماثل الوظيفة P (δ). وبالتالي، فإن القيمة المتوسطة للسعة الأولية (في كل عصر) للتذبذبات للوظائف α، β، تزداد مثل Ω / 2.
تم العثور على علاقة ذات دلالة إحصائية بين فترات زمنية كبيرة Ω وعدد من عصور الصورة الواردة فيها من خلال تطبيق المتكررة من eq. 77 :
ومع ذلك، فإن حساب المتوسط المباشر لهذه المعادلة لا معنى له: بسبب الانخفاض البطيء في الوظيفة W ( k ) eq. 76، فإن متوسط قيم كمية exp ( s ) غير مستقرة بالمعنى أعلاه - تزداد التقلبات بسرعة أكبر من متوسط القيمة نفسها مع زيادة منطقة المتوسط. يتم التخلص من عدم الاستقرار هذا بأخذ اللوغاريتم: الفاصل الزمني "اللوغاريتمي المزدوج"
يتم التعبير عنها بمجموع الكميات ξ ( p ) التي لها توزيع إحصائي ثابت. متوسط قيمة τ هو  {\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }} . لكي يحسب  {\bar {\xi }} لاحظ أن eq. 77 يمكن إعادة كتابة eq. 77
للتوزيع الثابت  {\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}} وبفضل تناظر الوظيفة P (δ) أيضًا  {\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}} . لذلك
{\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37
(w ( x) من eq. 74)،
الذي يحدد وقت مضاعف لوغاريتمي يعني الفاصلة التي تحتوي على الصورة العصور المتعاقبة.

للقيم والصور الكبيرة عدد من المصطلحات في eq. 81 كبير ووفقًا للنظريات العامة لنظرية إرغوديك، يتم توزيع قيم τ s حولها  {\overline {\tau _{s}}} وفقًا لقانون جاوس مع الكثافة
يعد حساب التباين D τ أكثر تعقيدًا لأنه ليس فقط معرفة  {\bar {\xi }} و  {\overline {\xi ^{2}}} هناك حاجة أيضا ولكن أيضا من الارتباطات  {\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}} . يمكن تبسيط الحساب عن طريق إعادة ترتيب المصطلحات في مجموع eq. 81 . باستخدام eq. 81a يمكن إعادة كتابة المجموع كـ
\sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}
لا يزيد المصطلحان الأخيران مع زيادة s ؛ هذه الشروط يمكن أن يتم حذف مثل القوانين التي تحد عن الصورة الكبيرة هي التي تسيطر. ثم
( eq. 79d for p في الاعتبار). إلى نفس الدقة (أي حتى الشروط التي لا تزيد مع ق ) المساواة
x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}
وبالتالي
\ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}
من خلال جمع هذه الهوية على p eq. 82c تم الحصول على eq. 82c أخيرًا مرة أخرى بنفس الدقة  x_{p}^{+} تم تغييره لـ x p تحت علامة الجمع وبالتالي يمثل τ s كـ
تباين هذا المجموع في حدود s الكبيرة هو
يؤخذ في الاعتبار أنه بحكم التجانس الإحصائي للتسلسل X فإن الارتباطات  {\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}} تعتمد فقط على الاختلافات | ع - ع ′ القيمة المتوسطة  {\bar {\eta }}={\bar {\xi }} ؛ المربع المتوسط
{\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40
من خلال مراعاة قيم العلاقات المتبادلة  {\overline {\eta _{0}\eta _{p}}} مع p = 1، 2، 3 (محسوبة عدديًا) يتم الحصول على النتيجة النهائية D τ s = (3.5 ± 0.1) s .
إلى زيادة الصورة تذبذب نسبي  D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}} يميل إلى الصفر مثل s −1/2 . بمعنى آخر، العلاقة الإحصائية eq. 82 يصبح شبه مؤكد في الصورة الكبيرة. وهذا يجعل من الممكن عكس العلاقة، أي لتمثيل أنها اعتماد متوسط عدد عصور الصورة τ التي يتم تبادلها في τ فترة معينة من الوقت لوغاريتمي مزدوج:
التوزيع الإحصائي للقيم الدقيقة لـ Sτ حول المتوسط هو أيضا التمويه مع الفرق والتباين
D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau
يتم إعطاء التوزيع الإحصائي المعني بنفس التوزيع الغوسي حيث يكون المتغير العشوائي الآن s τ عند معين τ:
من وجهة النظر هذه، فإن مصدر السلوك الإحصائي هو التعسف في اختيار نقطة البداية للفاصل τ المتراكب على التسلسل اللانهائي للعصور المتغيرة.
فيما يتعلق بكثافة المادة، eq. 79 يمكن إعادة كتابتها مع حساب eq. 80 في النموذج
\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]
وبعد ذلك، لتغيير إجمالي الطاقة خلال الصورة العصور،
المصطلح الذي يحتوي على مجموع بواسطة p يعطي المساهمة الرئيسية لهذا التعبير لأنه يحتوي على أس ذو قوة كبيرة. ترك هذا المصطلح فقط ومتوسط eq. 87، يحصل المرء على التعبير في جانبه الأيمن  s{\bar {\xi }} الذي يتزامن مع eq. 82 ؛ جميع المصطلحات الأخرى في مجموع (أيضا حيث مع η ليالي في صلاحياتهم) تؤدي فقط إلى التصويبات من النظام النسبي 1 / ثانية. وبالتالي،
بحكم الطابع شبه المؤكد للعلاقة بين τ s و s eq. 88 يمكن كتابة eq. 88
{\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,
الذي يحدد قيمة اللوغاريتم المزدوج لزيادة الكثافة التي تراوحت بحسب الفترات الزمنية المزدوج لوغاريتمي نظرا τ أو عدد معين من عصور الصورة.
توجد هذه العلاقات الإحصائية المستقرة خصيصًا للفترات الزمنية اللوغاريتمية المزدوجة ولزيادة الكثافة. بالنسبة للخصائص الأخرى، على سبيل المثال، ln (ε ( s ) / ε (0) ) أو Ω (s) / Ω (0) = exp s، يزداد التقلب النسبي أضعافًا مضاعفة مع زيادة نطاق المتوسط وبالتالي يتم إلغاء مصطلح متوسط القيمة ذات معنى ثابت.
أصل العلاقة الإحصائية eq. 88 بالفعل من القانون الأولي الذي يحكم تباين الكثافة خلال عهود كاسنر الفردية. حسب eq. 21، خلال التطور بأكمله لدينا
\ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),
مع تغيير 1 - p 3 ( t ) من حقبة إلى أخرى، عبر القيم في الفاصل الزمني من 0 إلى 1. المصطلح ln Ω = ln ln (1 / t ) يزيد بشكل رتيب ؛ من ناحية أخرى، يمكن للمصطلح ln2 (1 - p 3 ) أن يفترض قيمًا كبيرة (يمكن مقارنتها بـ ln Ω) فقط عندما تظهر قيم p 3 قريبة جدًا من الوحدة (أي صغيرة جدًا | p 1 |). هذه هي بالتحديد الحالات "الخطيرة" التي تزعج المسار المنتظم للتطور الذي تعبر عنه العلاقات المتكررة eq. 77 - eq. 79 .
يبقى إظهار أن مثل هذه الحالات لا تنشأ في الواقع في نظام الحد المقارب. يبدأ التطور التلقائي للنموذج في لحظة معينة يتم فيها تحديد شروط أولية محددة بطريقة تعسفية. وبناءً على ذلك، فإن كلمة "مقارب" تعني نظامًا بعيدًا بدرجة كافية عن اللحظة الأولية المختارة.
الحالات الخطيرة هي تلك التي تظهر فيها قيم صغيرة جدًا للمعامل u = x (وبالتالي أيضًا | p 1 | ≈ x ) في نهاية العصر. معيار لاختيار مثل هذه الحالات هو عدم المساواة
أين | α ( s ) | هو عمق الدنيا الأولي من الوظائف التي ذبذبة في عصر الصورة (فإنه سيكون أكثر ملاءمة لاختيار السعة النهائية، ولكن هذا من شأنه أن يعزز فقط معيار الاختيار).
يتم تحديد قيمة x (0) في العصر الأول بالشروط الأولية. القيم الخطرة هي القيم الموجودة في الفاصل الزمني δ x (0) ~ exp (- | α (0) |)، وكذلك في الفواصل الزمنية التي يمكن أن تؤدي إلى حالات خطيرة في العصور التالية. من أجل أن تقع x ( s ) في الفترة الخطرة δ x ( s ) ~ exp (- | α ( s ) |)، يجب أن تكمن القيمة الأولية x (0) في فاصل عرض δ x (0) ~ δ x ( s ) / ك (1) ^ 2 ... ك ( ق ) ^ 2 .  لذلك، من وحدة الفاصل الزمني لجميع القيم الممكنة لـ x (0)، ستظهر الحالات الخطيرة في الأجزاء λ من هذه الفترة الزمنية:
(يتم أخذ المجموع الداخلي على جميع القيم k (1)، k (2)، ...، ك ( ق ) من 1 إلى ∞). من السهل إثبات أن هذا العصر يتقارب مع القيمة λ  \ll  1 الذي يتم تحديد ترتيب حجمه بواسطة المصطلح الأول في eq. 90 . يمكن إثبات ذلك من خلال التخصص القوي للعصر الذي يستبدل فيه المرء | α ( ق ) | = (ث + 1) | α (0) |، بغض النظر عن أطوال العصور k (1)، k (2)،. . . (في الواقع | α ( s ) | زيادة أسرع بكثير ؛ حتى في أكثر الحالات غير المواتية k (1) = k (2) = ... = 1 قيم | α ( s ) | زيادة مثل q s | α (0 ) | مع q > 1. ) مشيرا إلى ذلك
\sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}
\lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).
إذا كانت القيمة الأولية لـ x (0) تقع خارج المنطقة الخطرة، فلن تكون هناك حالات خطيرة. إذا كانت تقع داخل هذه المنطقة، تحدث حالات خطيرة، ولكن عند اكتمالها، يستأنف النموذج تطورًا "منتظمًا" بقيمة أولية جديدة والتي قد تأتي في بعض الأحيان فقط (مع احتمال λ) في الفترة الخطرة. تحدث الحالات الخطيرة المتكررة باحتمالات λ 2، λ 3، ...، تتقارب بشكل مقارب إلى الصفر.