نظرية الحقل السلمي
نظرية الحقل السلمي الكمي

في سياق نظرية الحقل الكمي، تُستبدل مؤثرات كمية في فضاء هيلبرت بالمجالات وجميع الكميات المُقاسة منها. يقوم فضاء هيلبرت على أساس حالة فراغ كمي، وتخضع ديناميكية الفضاء إلى هاميلتونيان كمي، وهو عبارة عن مؤثر كمي مُعرف موجب يؤدي إلى تلاشي الفراغ الكمي.
طريقة إنشاء نموذج مجال قياسي كمي موضحة بالتفصيل في مقالة التكمية القياسية، وهي تعتمد على العلاقات الإبدالية القياسية بين المجالات. ينطوي نموذج المجال الكمي بصفة أساسية على إعادة إدخال عدد لامتناهٍ من الهزازات الكلاسيكية في الحقل السلمي بعد تكميم أوضاعها التوافقية بصورة معيارية، وبالتالي يصف مجال المؤثر الكمي المناظر عددًا لانهائيًا من الهزازات التوافقية الكمية تؤثر على فضاء فوك المناظر.
باختصار، تتألف المتغيرات الأساسية من المجال الكمي φ وكمية الحركة القياسية المقترنة به π. وكلا هذين المجالين المُعرفين بدلالة المؤثرات هو مجال هيرميتي. تُعطى العلاقات الإبدالية القياسية في الإحداثيات المكانية  x,y في أزمنة متساوية بالعلاقة الآتية:
{\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}
بينما يُعطى المؤثر الهاميلتوني بالتعبير الرياضي الآتي:
H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].
يمكن اشتقاق مجالات فضاء كمية الحركة باستخدام تحويل فورييه كالآتي:
{\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}
وينتج عن ذلك مؤثرات الفناء والتوليد المعطاة بالعلاقات الآتية:
{\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}
حيث: E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}وتستوفي تلك المؤثرات علاقات الإبدال الآتية:
{\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}
تعبر الحالة  |0\rangle  التي تتلاشى بتأثير مصفوفة المؤثرات a عن الفراغ المجرد، وبالتالي يمكن توليد جسيم بكمية حركة معطاة بالمؤثر k عن طريق تطبيق مؤثر التوليد  a^{\dagger }({\vec {k}}) على الفراغ الكمي.
يمكن إنشاء فضاء هيلبرت عن طريق تطبيق جميع التركيبات الممكنة من مؤثرات التوليد على الفراغ الكمي، ويُعرف ناتج تلك العملية بفضاء فوك. يتلاشى حد الفراغ الكمي بواسطة الهاميلتونيان الآتي:
H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),
حيث أُزيلت طاقة نقطة الصفر وفقًا لترتيب ويك.
يمكن إدخال تفاعلات الجسيمات عن طريق إضافة هاميلتونيان التفاعلات. يمكن حساب سعات التشتت باستخدام هذا المؤثر في تصور التآثر الذي يمكن إنشاؤه في نظرية الاضطرابات الكمية بواسطة متسلسلة دايسون التي تعطي نواتج الضرب المرتبة زمنيًا أو دوال غرين للجسيمات النونية \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle  كما هو موضح في مقالة متسلسلة دايسون. يمكن اشتقاق دوال غرين أيضًا عن طريق الدالة المولدة التي تمثل حلًا لمعادلة شفنغر–دايسون.