مسألة مونتي هول
الحل الشرطي

الحل الشعبي الذي ذُكر في الأعلى يقول بأن احتمال الفوز لأي لاعب يقوم بتغيير اختياره المبدئي إلى اختيار آخر هو 2/3، ولكن هذا لا يعني بالضرورة بأن يكون احتمالية الفوز بالتغيير هي 2/3 دائماً فهذه الاحتمالية تعتمد على الباب الذي سيفتحه المضيف. هذه الاحتمالية هي نوع من الاحتمالات الشرطية (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137). فالاختلاف موجود فقط في التحليل المذكور في الأعلى، فيما إذا كان التحليل يأخذ جميع السيناريوهات بعين الاعتبار أو فقط السيناريوهات التي يفتح فيها المضيف باباً محدداً. أو بتعبير مختلف، هل يأخذ التحليل بعين الاعتبار الوقت الذي يقوم فيه اللاعب بتغيير اختياره، أي قبل أن يفتح المضيف الباب، أو أنه سيقرر بعد رؤية الباب الذي سيفتحه المضيف (Gillman 1992). الاحتمال الشرطي قد يختلف عن الاحتمال الإجمالي وذلك اعتماداً على الصيغة الدقيقة للمسألة.
الاحتمالات الشرطية للفوز يمكن أن تُعرف وذلك اعتماداً على أي باب سيفتحه المضيف، فالشكل الموسع الموجود أدناه أو المخطط الشجري الموجود في اليسار يمكن أن تبين احتمالات الفوز والقرارات المتكافئة (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138). فعلى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3 وغير اللاعب اختياره، فإن اللاعب سيفوز باحتمالية إجمالية مقدارها 1/3 إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2 وسيخسر باحتمالية إجمالية مقدارها 1/6 إذا كانت السيارة موجودة خلف الباب ذو الرقم 1 —هذا الشرح سيكون خاطئاً إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2-. لكي نقوم بتحويلها إلى احتمالات شرطية، علينا أن نقوم بتقسيمها على مجموعها، وبالتالي يكون الاحتمال الشرطي للفوز بالتغير عندما يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 وعندما يفتح المضيف الباب ذو الرقم 3 هي (1/3)/(1/3 + 1/6)، التي تساوي 2/3. هذا التحليل يعتمد على تقييد المضيف الذي ذُكر في حالة المسألة الواضحة عندما يختار اللاعب السيارة مبدئياً، ويضظر فيها بأن يختار أي باب عشوائياً ليقوم بفتحه.
لقد عرض مورغان وآخرون (1991) وجيلمان (1992) حل أكثر عموماً وذلك عندما يكون فيه المضيف غير مقيد بالاختيار عشوائياً إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً، وقاما يتفسير واضح لللتعبير المشهور للمسألة التي ذُكرت في مجلة باريد. ففيها يعبران عن السيناريو الذي سيختار فيه المضيف الباب الذي يحب عليه أن يفتحه، ورمزا الأفضلية بالاحتمال q، التي تمتلك قيمة بين 0 و 1. إذا اختار المضيف عشوائياً فأن q سيكون بمقدار 1/2 ويكون احتمالية الفوز بالتغيير هو 2/3 بغض النظر عن أي باب سيفتحه المضيف. وإذا اختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 فإن أفضلية المضيف للباب 3 هي q، إذاً، في حالة فتح المضيف للباب ذو الرقم 3 سيكون الاحتمال الإجمالي للفوز بالتغيير هو 1/3 هذا إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2، ويكون الاحتمال الإجمالي للخسارة هو (1/3)q عندما تكون السيارة خلف الباب ذو الرقم 1. إن الاحتمال الشرطي للفوز بالتغيير الذي يختار فيه المضيف الباب ذو الرقم 3 هو (1/3)/(1/3 + (1/3)q) التي تُبسط إلى 1/(1+q). حيث يكون q متراوحة بين 0 و 1 وبالتالي يتراوح الاحتمال الشرطي هنا بين 1/2 و 1. هذا يعني أنه حتى ولو لم نقم بتقييد المضيف بالاختبار العشوائي إذا أختار اللاعب مبدئياً السيارة، فإن اللاعب ليس أسوأ حالاً عندما يقوم بالتغيير.
| السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 3> اللاعب يختار مبدئياً الباب ذو الرقم 1 | السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 1> اللاعب يختار مبدئياً الباب ذو الرقم 1 | السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 1> اللاعب يختار مبدئياً الباب ذو الرقم 1 | السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 2> اللاعب يختار مبدئياً الباب ذو الرقم 1 |
| --- | --- | --- | --- |
: 
| يجب على المضيف فتح الباب ذو الرقم 2 | المضيف يفتح أحد الأبواب عشوائياً التي يوجد خلفها الماعز | المضيف يفتح أحد الأبواب عشوائياً التي يوجد خلفها الماعز | يجب على المضيف فتح الباب ذو الرقم 3 |
: 
| احتمال 1/3 | احتمال 1/6 | احتمال 1/6 | احتمال 1/3 |
| يفوز بالتغيير | يخسر بالتغيير | يخسر بالتغيير | يفوز بالتغيير |
| إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره | إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره | إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره | إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره |