كارل فريدريش غاوس
هوامش

↑  بالإضافة إلى أرخميدس ونيوتن.
↑  المتسلسلة أو السلسلة الرياضية (بالإنجليزية: Series)‏ هي عددٌ متتالٍ من الحدود ينتج أحدها عن الحد الذي قبله بقانونٍ معين، ومجموعها هو مجموع هذه الحدود. ربما تكون هذه الحدود أعداداً أو دالاتٍ، وربما يكون عددها منتهياً (محدوداً) أو لا منتهٍ. يدعى (an) الحد العام أو الحد النوني.

 S_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}
↑  أرجح الروايات حول الحادثة أن أستاذه بوتنر اعتاد تكليف تلامذته بمسائلَ للحل أثناء الدرس، وربما كي يشغلهم عن الشغب، وذات مرةٍ طلب منهم أن يجمعوا الأعداد من الواحد إلى المئة. لم يتوانَ غاوسُ ذو الأعوام التسعةِ سوى ثوانٍ عن إعطاء الإجابة الصحيحة ما أدهش الأستاذ ومساعده مارتن بارتلز. لقد رتب في ذهنه الأرقامَ على شكل مجاميعَ متساويةٍ لثنائياتٍ متتاليةٍ قائمةٍ على الجمع الحسابي كما يلي:




عددعمليةعددنتيجة

1+100= 101

2+99= 101

3+98= 101

...+...= 101

...+...= 101

49+52= 101

50+51= 101

ومنه استنتج أن المجموع المتكرر (101) مضروباً بخمسين (عدد الثنائيات) يعطي (50 * 101 = 5050) هو المجموع المطلوب. للقصة رواياتٌ مختلفةُ التفاصيلِ بحسب "وولفغانغ سارتوريوس فون ڤالترزهاوزن" حتى إن أحد المؤلفين المُحْدثين "جوزيف روتمان" في كتابه "دورة أولى في الجبر المجرد" (2000م) شكّك في حدوثها أصلاً، لكنها متداولة. يطلق اليوم على طريقة الحساب هذه "معادلة تجميع غاوس".
↑  القوة في المصطلح الرياضياتي تتألف من عددين؛ أساسٍ وأسٍّ؛ مثال: 32 نقول عن 3 الأساس، وعن 2 الأس. إن التعبيرَ الشائعَ الرفع إلى قوةٍ خطأ لأن القوة هي مجمل العددين مرتبين وفق الشكل الأسي المبين، والصواب القول الرفع إلى أس.
↑  فيما بعد قدّم بيير ڤانتزل برهاناً كاملاً على هذا الشرط.
↑  نقول عن عدة حدودٍ في تركيبٍ جبريٍّ إنها تؤلف كثيرَ حدودٍ (أو متعدد حدودٍ) إذا كان الذي يربط فيما بينها هو الجمع الجبري (بمعنى الجمع والطرح)، أما المعاملات فتترابط فيما بينها بعملية الضرب. مثلاً في متعدد الحدود التالي:

 \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}

نقول عن 3 و5- و4 عوامل، وعن (X1 * 5) حد.
↑  تقوم الهندسة الإقليدية على مُسَلّماتِ إقليدسَ الخمسِِ ومنها المُسَلّمةِ الأشهرُ في عالم الرياضيات؛ «من نقطةٍ خارجَ مستقيمٍ يمكن إنشاءُ مستقيمٍ واحدٍ موازٍ لذلك المستقيمِ الأول، وهذا المستقيم وحيد».

لكن ريمان -الذي كان أحد طلبة غاوس النجباء- استناداً إلى الافتراض بأنه «من نقطةٍ خارج مستقيمٍ يمكن إنشاءُ أكثرَ من مستقيمٍ واحدٍ موازٍ لذلك المستقيم الأول» أسس هندسةً خاصةً («هندصة ريمان») مختلفةً عن الهندسة الإقليدية. فيما بعد أثبتت «هندصة ريمان» جدواها غندما اعتمد أينشتاين بين 1911 و1916 عليها في تطوير نظريته من النسبية الخاصة إلى النسبية العامة والبرهان عليها.
↑  بمعنى أن معتقداتِ غاوسَ الدينيةَ كانت غيرَ تقليديةٍ ليس فحسب بالنسبة إلى عصرها (عصر التنوير) الميال إلى العقل على حساب الدين، وإنما كذلك بالمقارنة مع المواقف الليبرالية جداً للكنيسة البروتستانتية.
↑  لم يتلقَّ فريدريش بيسل مطلقاً أي تعليمٍ جامعيٍّ في حياته.
↑  وكان هذا على النقيض تماماً من آراء معاصره لودڤيغ ڤان بيتهوفن (1770-1827) الذي كان معجباً جداً بنابليون، فلما أخبروه بإعلانه نفسه إمبراطوراً (عام 1804)، علق في خيبةِ أملٍ: "الآن أصبح رجلاً عادياً".
↑  قسمة ثلاثِ درجاتٍ على 360 درجةً تبلغ أقل من تسعةٍ بالألف: (360 / 3 < 9 بالألف) وتمثل أقل من واحدٍ بالمئة من إجمالي المدار.
↑  يُفترض في الخط الذي يمثل رياضيّاتباً مجموع المشاهدات (أو القياسات) أن يكون أقربَ ما يكون إلى هذه المشاهدات، وعليه تقوم "طريقة المربعات الصغرى" أو الدنيا (بالإنجليزية: Least squares)‏ في الإحصاء على التقليل من مجموع الفروق بين القيم الفعلية والقيم المحسوبة رياضياتباً إلى أقل حدٍّ ممكنٍ [تؤخذ مربعات الفروق لجعل القيم جميعاً موجبة، وإلغاء التقاصّ عند الجمع بين القيم السالبة (عندما تكون القيم الفعلية أكبر من القيم النظرية) والقيم الموجبة (حيث القيم الفعلية أصغر من القيم النظرية)].

يُستفاد من "طريقة المربعات الصغرى" لتقدير "خط الانحدار" (أو الخط الممثل للبيانات) وهو الخط الذي يؤدي إلى تقليل مجموع الانحرافات (أو الأخطاء الاحتمالية) الرئيسة الواردة في النقاط التي جرت ملاحظتها وتسجيلها، بمعنى يجري تقليص مجموع مربعات الفروق بين كلٍّ من القيم الفعلية والقيم المحسوبة رياضياتياً إلى أدنى حد. يمكن القول أيضاً إنها طريقة تقريبٍ قياسيّةٍ تُستخدم لحل أنظمة المعادلات التي يكون فيها عدد المتغيرات أكبرُ من عدد المعادلات (من الناحية الرياضياتية بلزمنا عدد معادلاتٍ مساوٍ لعدد المتغيرات المجهولة (المتحولات) حتى يمكن إيجاد قيم جميع المتغيرات). تعني «المربعات الدنيا» بأن الحل الكلي (الذي يشمل جميع البيانات) يتجه نحو جعل قيمة مجموع مربعات الخطأ الناتج عن حل كل معادلةٍ أصغريّاً.

أحد أهم تطبيقاتِ هذه الطريقة هو "الإسقاط الشكلي للبيانات" (بالإنجليزية: Data Fitting)‏ (المعنى الحرفي مواءمة البيانات). ويكون أفضلُ إسقاطٍ شكليٍّ لمجموعة بياناتٍ هو الذي ينحو باتجاه تصغير مجموع مربعات الأخطاء، حيث إن الخطأ هو "الفرق بين القيمةِ المقيسةِ [الفعليةِ] للبيانات والقيمةِ المُسقَطَةِ على الشكل الرياضياتي".

يجدر التنويه إلى الخطأ في تسمية هذه الطريقة (بالإنجليزية: Least Squares)‏ فهي لا تعني "المربعات الصغرى"، بل بالأحرى -وبمعنىً أدقَّ- "المحموع الأصغر للمربعات". في جميع الأحوال إن طريقة توظيف غاوس لها مع الأدوات الرياضياتية الأخرى (كالتوزيع الطبيعي) في توقع مسار الكويكب "سيريس" لدليلٌ على مدى عبقريته.
↑  
التوزيع الطبيعي (بالإنجليزية: Normal Distribuition)‏ هو توزيع احتمالي يستخدم لنمذجة ظواهر ذات سلوكٍ افتراضيٍّ معينٍ وانحرافاتٍ تراكميةٍ محتمَلةٍ عن هذا السلوك. فإذا كان من المتوقع -مثلاً- لرامٍ ماهرٍ أن تصيب سهامه حول الهدف، ومع ذلك -ونظراً لتراكم العيوب في أسلوب هذا الرامي- فإن معظم السهام ستخطئ عين الهدف ببعض المسافة. يُعرف "المتوسط الحسابي" (مجموع القيم مقسوماً على عددها) لهذه المسافة في الرماية بـ"الدقة" (بالإنجليزية: Accuracy)‏، بينما يُعرف مقدار التباين في المسافات بـ"الإحكام" أو "الضبط" (بالإنجليزية: Preciseness)‏. يُشار -في سياق "التوزيع الطبيعي"- إلى الدقة والإحكام بـ"المتوسط الحسابي" و"الانحراف المعياري" (بالإنجليزية: Standard Deviation)‏ على التوالي. وبذلك يمكن التعبير في مقياسٍ محدودٍ عن إتقان (كفاءة) رامي السهام بقيمتين؛ متوسطٍ وانحرافٍ معياريٍّ. تعني هاتان القيمتان -في التوزيع الطبيعي- أن ثمة احتمالاً بنسبة 68٪ تقريباً أن يهبط السهم ضمن انحرافٍ معياريٍّ واحدٍ لمتوسط دقة الرامي، واحتمالاً يصل إلى 95٪ تقريباً أن يهبط السهم في حدود انحرافين معياريين لمتوسط دقة الرامي، و99.7٪ تقريباً ضمن ثلاثة انحرافاتٍ معياريةٍ، وهكذا زيادةً ببطءٍ حتى 100٪.
↑  "التوليف" (بالإنجليزية: «Synderesis») أو (بالإنجليزية: «Synteresis»): في الفلسفة الأخلاقية هو القدرة الطبيعية أو تصرف العقل العملي بهدف فهم المبادئ العامة الأولى للفعل البشري بشكلٍ حدسيٍّ، والمقصود أنه يطرح استنتاجه الذي خلص إليه عن طريق الحدس دون تقديم البرهان.