معاوقة عابرة
الاشتقاق

المعادلات التفاضلية التي تصف اعتمادية الجهد والتيار على الزمن والمكان خطية، إذ يكون الجمع الخطي للحلول حلًا بحد ذاته. هذا يعني أنه يمكننا النظر في الحلول بدلالة الزمن، سيخرج معامل الزمن من المعادلة، وتصبح معادلة تفاضلية عادية لبقية المعاملات.
لنفترض أن
V(x,t)\equiv V(x)\ e^{+j\omega t}
و
I(x,t)\equiv I(x)\ e^{+j\omega t}
باعتبار الاتجاه الموجب للجهد والتيار في الدارة مع عقارب الساعة، سنجد أن:
{\text{d}}V=-(R+j\omega L)\ I\ dx=-Z\ I\ {\text{d}}x
و
{\text{d}}I=-(G+j\omega C)\ V\ {\text{d}}x=-Y\ V\ {\text{d}}x
أو
{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}=-Z\ I
و
{\frac {{\text{d}}I}{{\text{d}}x}}=-Y\ V
هاتان المعادلتان هما معادلتان تفاضليتان عاديتان. نقوم بالاشتقاق مرتين، لنحصل على:
{\frac {{\text{d}}^{2}V}{{\text{d}}x^{2}}}=ZY\ V
و
{\frac {{\text{d}}^{2}I}{{\text{d}}x^{2}}}=ZY\ I
لاحظ أن كلًا من الجهد والتيار يحققان نفس المعادلة. حيث  ZYلا تعتمد على x و t؛ بالتالي يمكن تمثيلها بثابت  -k^{2}. حيث:
-k^{2}\equiv Z\ Y\
بالتالي
j\ k=\pm {\sqrt {Z\ Y\ }}
يمكننا كتابة المعادلة أعلاه كما يلي:
k=\pm \omega {\sqrt {(L-jR/\omega )(C-jG/\omega )\ }}
وهذا صحيح لجميع خطوط النقل. وبالنسبة لخطوط النقل النموذجية، التي صُمّمت لجعل الفقد في الحرارة R صغيرًا وتبدد العزل G منخفضًا، يكون الثابت k قريبًا جدًا من كونه رقمًا حقيقيًا:
k\approx \pm \omega {\sqrt {LC\ }}.
من خلال قيمة k  في المعادلة السابقة؛ ستظهر قيمة x كقيمة تخيلية  \ \pm j\ k\ x\  في أحد الحلول الأسية للمعادلة مشابهًا لجزئية t كقيمة تخيلية  \ +j\ \omega \ t\ ,بالتالي يكون الحل:
V(x)=v^{+}\ e^{-jkx}+v^{-}e^{+jkx}
حيث يكون v^{+} و v^{-} ثابتا التكامل. وعندما نعيد توحيد جزئية t كقيمة تخيلية #رمز#، نحصل على:
V(x,t)\quad =\quad V(x)\ e^{+j\omega t}\quad =\quad v^{+}\ e^{-jkx+j\omega t}+v^{-}e^{+jkx+j\omega t}
ونظرًا لأن معادلة التيار نفس النموذج في الأعلى، فإن حلها يكون:
I(x)=i^{+}\ e^{-jkx}+i^{-}e^{+jkx}
حيث  i^{+} و i^{-} يمثلان ثابتا التكامل.
المعادلات المذكورة أعلاه هي الحل الموجي لـ (V) و(I)، ولكي تكون متطابقة؛ يجب أن تحققا المعادلات التفاضلية الأصلية، إحداها:
{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}=-Z\ I
وبتعويض الحلول في معادلات الجهد والتيار أعلاه، نحصل على:
{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left[v^{+}\ e^{-jkx}+v^{-}\ e^{+jkx}\right]=-(R+j\omega L)\left[\ i^{+}\ e^{-jkx}+i^{-}\ e^{+jkx}\right]
أو
-jk\ v^{+}\ e^{-jkx}+jk\ v^{-}\ e^{+jkx}=-(R+j\omega L)\ i^{+}\ e^{-jkx}-(R+j\omega L)\ i^{-}\ e^{+jkx}
يُعزل الثابت الأسي e وتُجمع القوى المتطابقة، ولكي نحصل على جميع القيم الممكنة لـ x يجب أن يكون لدينا:
للمعامل
e^{-jkx}\quad {\text{ : }}\quad -j\ k\ v^{+}=-(R+j\omega \ L)\ i^{+}
وللمعامل
e^{+jkx}\quad {\text{ : }}\quad +j\ k\ v^{-}=-(R+j\omega L)\ i^{-}
وحيث أن
jk={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)\ }}
+{\frac {v^{+}}{i^{+}}}={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{\text{o}}
-{\frac {v^{-}}{i^{-}}}={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{\text{o}}
وللحصول على حلول صحيحة ممكنة:
v^{+}=+Z_{\text{o}}\ i^{+}\quad {\text{ and }}\quad v^{-}=-Z_{\text{o}}\ i^{-}
يمكن ملاحظة أن الثابت (Z0) المعرف في المعادلات أعلاه له أبعاد المعاوقة (نسبة الجهد للتيار) وهي دالة من الثوابت الأولية للخط وتردد التشغيل. يطلق عليها «المعاوقة العابرة» لخط النقل:
Z_{\text{o}}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {L-jR/\omega }{C-jG/\omega }}\ }}
وبالنسبة لأي خط نقل، وباعتبار أن قيمة R وG صغيرتان جدًا؛ فإنهما تهملان، وتصبح المعادلة:
Z_{\text{o}}\approx {\sqrt {{\frac {L}{C}}\ }}
وتصبح المعاوقة العابرة رقمًا حقيقيًا غير تخيّلي.