أداء المحرك النفاث
نقطة التصميم > مثال عملي

السؤال

أوجد الدفع الصافي لدورة المحرك النفاث التوربيني أحادي العمود الدوار التالي، عند مستوى سطح البحر الساكن، و الظروف الجوية القياسية، مستخدما الوحدات الإمبراطورية للتوضيح:
معاملات بداية التصميم:
كمية تدفق الهواء لداخل المحرك = 100باوند/ثانية
w_{2}=100\ \mathrm {lb/s} \,
(تساوي 45.359 كجم/ثانية عند استخدام نظام الوحدات الدولي)
افرض أن تدفق الغاز ثابت خلال المحرك.
نسبة الضغط الكلي تساوي
P_{3}/P_{2}=10.0\,
درجة حرارة الدخول = 1400 كلفن
 T_{4}=\mathrm {RIT} =1400\ \mathrm {K} \,
(عند التعامل بدرجة حرارة رانكن، يتم الضرب في معامل قيمته 1.8، حيث أن كل درجة حرارة كلفينية تساوي 1.8 درجة على مقياس رانكن)
فروض أداء عنصر التصميم:
معامل تصحيح ضغط الدخول ،  \mathrm {prf} =1.0\,
الكفاءة العامة للضاغط
{\eta }pc=0.89\ (i.e.89\%)\,
الكفاءة العامة للتربينة (بالإنجليزية: Turbine polytropic efficiency)‏
{\eta }pt=0.90\ (i.e.90\%)\,
تبلغ نسبة الفقد في الضغط في غرفة الاحتراق 5%، لذلك تصبح نسبة الضغط في غرفة الاحتراق  P_{4}/P_{3}=0.95\,
تبلغ نسبة الفقد في الضغط خلال الأنبوب النفاث 1%، لذلك تصبح نسبة الضغط خلال الأنبوب النفاث  P_{8}/P_{5}=0.99\,
الدفع للفوهة  C_{\mathrm {x} }=0.995\,
الثوابت
نسبة الحرارة النوعية للهواء
{\gamma }_{c}=1.4\,
نسبة الحرارة النوعية لنواتج الاحتراق
{\gamma }_{t}=1.333\,
نسبة الحرارة النوعية للهواء، عند ثبوث الضغط C_{\mathrm {pc} }=0.6111\ {\frac {\mathrm {hp} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {lb} \cdot \mathrm {K} }}\,
(تساوي 1.004646 كيلو وات.ثانية/كجم.كلفن، عند استخدام النظام الدولي للوحدات، و تساوي 0.3395 حصان.ثانية/باوند.رانكن، عند استخدام نظام الوحدات الأمريكية)
الحرارة النوعية بثبوت الضغط، لمكونات الاحتراق
C_{\mathrm {pt} }=0.697255\ {\frac {\mathrm {hp} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {lb} \cdot \mathrm {K} }}\,
(تساوي 1.1462 كيلو وات.ثانية/كجم.كلفن، عند استخدام النظام الدولي للوحدات، و تساوي 0.387363889 حصان.ثانية/باوند.رانكن، عند استخدام نظام الوحدات الأمريكية)
عجلة الجاذبية، يرمز لها g و تساوي 32.174 قدم/ثانية مربع (تساوي 9.8 متر/ثانية مربع عند استخدام النظام الدولي للوحدات)
المكافئ الميكانيكي للحرارة  J=550\ \mathrm {ft} \cdot \mathrm {lb} /(\mathrm {s} \cdot \mathrm {hp} )\,
(يساوي 1 عند استخدام وحدات النظام الدولي)
ثابت الغاز
R=96.034\ \mathrm {ft} \cdot \mathrm {lbf} /(\mathrm {lb} \cdot \mathrm {K} )\,
(يساوي 0.287052 كيلو نيوتن.متر/كجم.كلفن، عند استخدام النظام الدولي للوحدات، و يساوي53.3522222 قدم.باوند قوة/باوند.رانكن، عند استخدام نظام الوحدات الأمريكي)
الاجابة
الظروف المحيطة
يُفرض الضغط عند مستوى سطح البحر كما يلي:
الضغط المحيط  p_{0}=14.696\ \mathrm {psia} \,

(حيث أن psia تعني باوند لكل بوصة مربعة، و عند استخدام النظام الدولي للوحدات، يساوي الضغط المحيط 101.325 كيلو نيوتن/متر مربع)
و عند الظروف القياسية عند مستوى سطح البحر، يكون:
درجة الحرارة المحيطة
 t_{0}=288.15\ \mathrm {K} \,
(لاحظ أن هذه درجة الحرارة المطلقة  15\ ^{\circ }\mathrm {C} +273.15\ ^{\circ }\mathrm {C} \,)
(تساوي 518.67 رانكن، عند استخدام نظام الوحدات الأمريكية)
التدفق الحر
عندما يكون المحرك ساكن، تكون كل من سرعة الطيران  V_{0}\,
و رقم ماخ  M\,، مساويا للصفر.
لذلك:
T_{1}=t_{0}=288.15\ \mathrm {K} \,
P_{1}=p_{0}=14.696\ \mathrm {psia} \,
مدخل المحرك
T_{2}=T_{1}=288.15\ \mathrm {K} \,
P_{2}=P_{1}\cdot \mathrm {prf} \,
P_{2}=14.696*1.0=14.696\ \mathrm {psia} \,
الضاغط
T_{3}=T_{2}\cdot ((P_{3}/P_{2})^{({\gamma }_{c}-1)/({\gamma }_{c}\cdot {\eta }pc)}=288.15*10^{(1.4-1)/(1.4*0.89)}=603.456\ \mathrm {K}
P_{3}=P_{2}\cdot (P_{3}/P_{2})\,
P_{3}=14.696*10=146.96\ \mathrm {psia} \,
غرفة الاحتراق
T_{4}=\mathrm {RIT} =1400\ \mathrm {K} \,
P_{4}=P_{3}\cdot (P_{4}/P_{3})=146.96*0.95=139.612\ \mathrm {psia} \,
التربينة
w_{4}\cdot C_{\mathrm {pt} }(T_{4}-T_{5})=w_{2}\cdot C_{\mathrm {pc} }(T_{3}-T_{2})\,
100*0.697255*(1400-T_{5})=100*0.6111*(603.456-288.15)\,
T_{5}=1123.65419\ \mathrm {K} \,
P4/P5=(T4/T5)^{{\gamma }_{t}/(({\gamma }_{t}-1).{\eta }_{\mathrm {pt} })}\,
P4/P5=(1400/1123.65419)^{1.333/((1.333-1)*0.9)}\,
P4/P5=2.65914769\,
الأنبوب النفاث
T_{8}=T_{5}=1123.65419\ \mathrm {K} \,
P_{5}=P_{4}/(P_{4}/P_{5})\,
P_{5}=139.612/2.65914769=52.502537\ \mathrm {psia} \,
P_{8}=P_{5}\cdot (P_{8}/P_{5})\,
P_{8}=52.502537*0.99=51.9775116\ \mathrm {psia} \,
الفوهة
P_{8}/p_{0}=51.9775116/14.696=3.53684755\,
(P_{8}/p_{\mathrm {8s} })crit=(({\gamma }_{t}+1)/2))^{{\gamma }_{t}/(({\gamma }_{t}-1)}\,
(P_{8}/p_{\mathrm {8s} })crit=((1.333+1)/2)^{1.333/(1.333-1)}=1.85242156\,
عندما يكون  P_{8}/p_{0}>P_{8}/p_{\mathrm {8s} }\,, تختنق الفوهة.
الفوهة المختنقة
t_{\mathrm {8s} }=T_{8}/(({\gamma }_{t}+1)/2)\,
t_{\mathrm {8s} }=1123.65419/((1.333+1)/2)\,
t_{\mathrm {8s} }=963.269773\ \mathrm {K} \,
p_{\mathrm {8s} }=P_{8}/((T_{8}/t_{\mathrm {8s} })^{{\gamma }_{t}/({\gamma }_{t}-1)})
p_{\mathrm {8s} }=51.9775116/(1123.65419/963.269773))^{1.333/((1.333-1))}\,
p_{\mathrm {8s} }=28.059224\ \mathrm {psia} \,
V_{8}^{2}=2gJC_{pt}(T_{8}-t_{\mathrm {8s} })\,
V_{8}^{2}=2*32.174*550*0.697255*(1123.65419-963.269773)=3957779.09\,
V_{8}=3957779.09^{0.5}=1989.41677\ \mathrm {ft} /\mathrm {s} \,
{\rho }_{\mathrm {8s} }=p_{\mathrm {8s} }/(R\cdot t_{\mathrm {8s} })\,
{\rho }_{\mathrm {8s} }=(28.059224*144)/(96.034*963.269773)=0.0436782467\ \mathrm {lb} /\mathrm {ft} ^{3}\,
ملاحظة: تم الضرب في 144 بوصة مربعة/قدم مربع، للحصول على الكثافة بوحدة باوند/قدم مكعب.
A_{8}=w_{8}/({\rho }_{\mathrm {8s} }\cdot V_{8})\,
A_{8}=(100*144)/(0.0436782467*1989.41677)=165.718701in^{2}\,
ملاحظة: تم الضرب في 144 بوصة مربعة/قدم مربع، للحصول على المساحة بوحدة بوصة مربعة.
الدفع الكلي
F_{g}=C_{\mathrm {x} }((w_{8}\cdot V_{8}/g)+A_{8}(p_{\mathrm {8s} }-p_{0}))\,
F_{g}=0.995(((100*1989.41677)/32.174)+(165.718701*(28.059224-14.696)))\,
F_{g}=6152.38915+2203.46344\,
يمثل الشق الأول من المعادلة دفع كمية الحركة، حيث يمثل معظم الدفع الكلي للفوهة. و حيث أن الفوهه اختنقت، فلا يكون الشق الثاني من المعادلة مساويا للصفر.
F_{g}=8355.85259\ \mathrm {lbf} \,
احتكاك سحب الرام
F_{r}=w_{0}\cdot V_{0}/g\,
F_{r}=(100*0)/32.174=0\,
في هذا المثال، تساوي قوة احتكاك السحب في الرام صفر، لأن المحرك ثابت و بالتالي سرعة الطيران تساوي صفر.
الدفع الصافي
F_{n}=F_{g}-F_{r}\,
F_{n}=8355.85259-0=8356\ \mathrm {lbf} \,
للدقة، يتم تقريب الاجابة النهائية فقط.