تفرد بي كي إل
حل عام مع الذبذبات الصغيرة

في النماذج المذكورة أعلاه، تمت دراسة التطور المتري بالقرب من التفرد على مثال مقاييس الفضاء المتجانسة. يتضح من خاصية هذا التطور أن البناء التحليلي للحل العام لتفرد من هذا النوع يجب أن يتم بشكل منفصل لكل من مكونات التطور الأساسية: لعصور كاسنر، من أجل عملية الانتقال بين العصور التي تسببها " الاضطرابات "، لفترات طويلة مع اضطرابين يعملان في وقت واحد. خلال حقبة كاسنر (أي عند الاضطرابات الصغيرة)، يتم إعطاء المقياس بواسطة eq. 7 بدون الشرط λ = 0.
طور تفرد بي كي إل أيضاً نموذجًا مستقلًا عن توزيع المادة (متجانس أو غير متجانس) لعصر طويل مع تذبذبات صغيرة. تبين أن الاعتماد على الوقت لهذا الحل مشابه جدًا لتلك الموجودة في الحالة الخاصة للنماذج المتجانسة ؛ يمكن الحصول على الأخير من نموذج التوزيع المستقل عن طريق اختيار خاص للوظائف التعسفية الواردة فيه.
من الملائم، مع ذلك، بناء حل عام في نظام إحداثيات يختلف نوعًا ما عن الإطار المرجعي المتزامن: g 0α = 0 كما هو الحال في الإطار المتزامن، ولكن بدلاً من g 00 = 1 أصبح الآن g 00 = - g 33 . تحديد موتر الفراغ المترية γ αβ = - g αβ واحد، لذلك
يتم كتابة إحداثي الفضاء الخاص كـ x 3 = z ويتم كتابة إحداثي الوقت كـ x 0 = ξ (يختلف عن الوقت المناسب t ) ؛ سيظهر أن ξ يتوافق مع نفس المتغير المحدد في النماذج المتجانسة. يُشار إلى التفاضل بـ ξ و z، على التوالي، بالنقطة والرئيسية. تأخذ المؤشرات اللاتينية أ، ب، ج القيم 1، 2، المقابلة لإحداثيات الفضاء x 1، x 2 والتي ستكتب أيضًا كـ x، y . لذلك، فإن المقياس هو
يجب أن يلبي الحل المطلوب عدم المساواة
(تحدد هذه الشروط أن إحدى الوظائف a 2، b 2، c 2 صغيرة مقارنة بالوظيفتين الأخريين، وهو ما حدث أيضًا مع النماذج المتجانسة).

عدم المساواة eq. 94 يعني أن المكونات a 3 صغيرة بمعنى أنه في أي نسبة من الإزاحات dx a و dz، يمكن حذف مصطلحات حاصل الضرب dx a dz في مربع عنصر الطول المكاني dl 2 . لذلك، فإن أول تقريب تقريبي للحل هو مقياس متري eq. 92 مع γ a 3 = 0:
يمكن حساب مكونات موتر ريتشي  R_{0}^{0} و  R_{3}^{0} و  R_{3}^{3} و  R_{a}^{b} باستخدام eq. 95 والشرط eq. 93 أن جميع المصطلحات التي تحتوي على مشتقات بواسطة الإحداثيات x a صغيرة مقارنة بالمصطلحات ذات المشتقات بـ و z (نسبتها هي ~ γ 33 / γ ab ). بمعنى آخر، للحصول على معادلات التقريب الرئيسي، γ 33 و ab في eq. 95 كما لو أنها لا تعتمد على x a . التعيين
يتم الحصول على المعادلات التالية:
يتم رفع المؤشر وخفضه هنا بمساعدة γ ab . الكميات  \varkappa  و λ هي الانقباضات  \varkappa _{a}^{a} و  \lambda _{a}^{a} بواسطة
أما مكونات موتر ريتشي  R_{a}^{0} و  R_{a}^{3}، من خلال هذا الحساب فهي متطابقة صفر. في التقريب التالي (على سبيل المثال، مع مراعاة الصغير a 3 والمشتقات بواسطة x، y )، يحددان الكميتين a 3 بواسطة 33 و γ ab المعروفين بالفعل.

eq. 97 تعطي  G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0، وبالتالي،
حالات مختلفة ممكنة اعتمادًا على متغير G. في الحالة أعلاه، g 00 = γ 33  \gg  γ أب و  N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2} . الحالة N > 0 (الكمية N تشبه الوقت) تؤدي إلى تفردات زمنية ذات أهمية. استبدال في eq. 101 f 1 = 1/2 (ξ + z ) sin y، f 2 = 1/2 (ξ - z ) ينتج عن sin y G من النوع
هذا الاختيار لا يقلل من عمومية الاستنتاجات ؛ يمكن إثبات أن العمومية ممكنة (في التقريب الأول) فقط بسبب التحولات المتبقية المسموح بها للمتغيرات. عند N <0 (الكمية N تشبه الفضاء) يمكن استبدال G = z الذي يعمم مقياس أينشتاين-روزن المعروف.  عند N = 0 يصل المرء إلى مقياس موجة روبنسون – بوندي  الذي يعتمد فقط على + z أو فقط على ξ - z (راجع  ). العامل sin y في eq. 102 للمقارنة المريحة مع النماذج المتجانسة. مع الأخذ في الاعتبار eq. 102، المعادلات eq. 97 - eq. 99 يصبح
المعادلات الرئيسية هي eq. 103 تحديد مكونات γ ab ؛ إذن، يتم العثور على الوظيفة ψ من خلال تكامل بسيط لـ eq. 104 - eq. 105 .

المتغير ξ يمر عبر القيم من 0 إلى ∞. حل eq. 103 تعتبر حدين، ξ  \gg  1 و  \ll  1. في القيم ξ كبيرة، يمكن للمرء أن نبحث عن الحل الذي يأخذ شكل 1 / √ξ التحلل:
بواسطة
(المعادلة 107 تحتاج إلى الشرط 102 ليكون صحيحاً). استبدال eq. 103 في eq. 106، يتم الحصول على الترتيب الأول
حيث الكميات a ac تشكل مصفوفة معكوسة للمصفوفة a ac . حل eq. 108 لديه الشكل
حيث l a، m a،، هي وظائف عشوائية للإحداثيات x، y مرتبطة بالشرط eq. 110 مشتق من eq. 107 .

للعثور على شروط أعلى لهذا التحلل، من الملائم كتابة مصفوفة الكميات المطلوبة ab في النموذج
حيث الرمز ~ يعني تبديل المصفوفة. المصفوفة H متماثلة وأثرها صفر. عرض eq. 111 يضمن تناظر γ ab واستيفاء شرط eq. 102 . إذا تم استبدال exp H بـ 1، فسيحصل المرء من eq. 111 γ ab = ξ a ab مع a ab من eq. 109 . بمعنى آخر، المصطلح الأول لتحلل γ ab يتوافق مع H = 0 ؛ يتم الحصول على الشروط الأعلى من خلال تحلل القوى للمصفوفة H التي تعتبر مكوناتها صغيرة.

تتم كتابة المكونات المستقلة للمصفوفة H بالشكل σ و بحيث
استبدال eq. 111 في eq. 103 وترك فقط المصطلحات الخطية بواسطة H، يشتق أحدهما لـ و
 {\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,
إذا حاول المرء إيجاد حل لهذه المعادلات مثل سلسلة فورييه بواسطة إحداثي z، فعندئذٍ بالنسبة لمعاملات السلسلة، كوظائف، يحصل المرء على معادلات Bessel. المصطلحات المقاربة الرئيسية للحل بشكل عام هي 
 \sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},
\omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.

المعاملتان A و B هي وظائف معقدة عشوائية للإحداثيات x و y وتفي بالشروط اللازمة لـ σ و الحقيقيين ؛ التردد الأساسي ω هو دالة حقيقية تعسفية لـ x، y . الآن من eq. 104 - eq. 105 من السهل الحصول على الحد الأول من الوظيفة ψ:
(يختفي هذا المصطلح إذا كانت = 0 ؛ في هذه الحالة، المصطلح الرئيسي هو الخطي الوحيد لـ ξ من التحلل: ψ = ξ q ( x، y ) حيث q دالة موجبة  ).
لذلك، عند قيم الكبيرة، تتأرجح مكونات الموتر المتري γ ab عند تناقص على خلفية انخفاض بطيء ناتج عن تناقص عامل ξ في eq. 111 . وγ مكون 33 ه = ψ ينخفض بسرعة عن طريق وثيقة القانون إلى إكسب (ρ 2 ξ 2)؛ هذا يجعل من الممكن لشرط eq. 93 .
التالي لتفرد بي كي إل النظر في الحالة ξ  \ll  1. التقريب الأول لحل eq. 103 خلال الافتراض (الذي أكدته النتيجة) أنه في هذه المعادلات يمكن استبعاد المصطلحات المتعلقة بالمشتقات بالإحداثيات:
هذه المعادلة مع الشرط eq. 102 يعطي
حيث λ a، μ a، s 1، s 2 هي وظائف تعسفية لجميع الإحداثيات الثلاثة x، y، z، المرتبطة بشروط أخرى
المعادلات eq. 104 - eq. 105 أعط الآن
المشتقات  {\lambda _{a}^{b}}^{\prime }، محسوبة بواسطة eq. 118، تتضمن شروطا ~ ξ 4 ثانية 1-2 و~ ξ 4 الصورة 2-2 بينما حيث غادر في eq. 117 ~ ξ −2 . لذلك، تطبيق eq. 103 بدلاً من eq. 117 مسموحًا بشروط s 1 > 0، s 2 > 0 ؛ ومن ثم 1 -  s_{1}^{2}-s_{2}^{2} > 0.
وبالتالي، عند التذبذبات الصغيرة للوظائف، تتوقف γ ab بينما تبدأ الوظيفة γ 33 في الزيادة عند التناقص ξ. هذا هو وضع Kasner وعندما تتم مقارنة γ 33 مع γ ab، فإن التقريب أعلاه لا ينطبق.
من أجل التحقق من توافق هذا التحليل، قامت BKL بدراسة المعادلات  R_{\alpha }^{0} = 0،  R_{\alpha }^{3} = 0، وحساب المكونات γ a 3 منها، أكد أن eq. 94 يحدث. أظهرت هذه الدراسة  أنه في كلا المنطقتين المتقاربتين، كانت المكونات γ a 3 ~ 33 . لذلك، فإن صحة عدم المساواة eq. 93 يشير على الفور إلى صحة عدم المساواة eq. 94 .
يحتوي هذا الحل، كما ينبغي للحالة العامة للمجال في الفراغ، على أربع وظائف عشوائية للإحداثيات الفضائية الثلاثة x، y، z . في المنطقة ξ  \ll  1 هذه الوظائف هي، على سبيل المثال، 1، λ 2، μ 1، s 1 . في المنطقة ξ  \gg  1 يتم تعريف الوظائف الأربع بواسطة سلسلة فورييه عن طريق إحداثيات z من eq. 115 ذات معاملات هي دوال في x، y ؛ على الرغم من أن تحلل سلسلة فورييه (أو التكامل؟) يميز فئة خاصة من الوظائف، فإن هذه الفئة كبيرة بما يكفي لتشمل أي مجموعة فرعية محدودة من مجموعة جميع الشروط الأولية الممكنة.
يحتوي الحل أيضًا على عدد من الوظائف التعسفية الأخرى للإحداثيات x و y . تظهر مثل هذه الوظائف التعسفية ثنائية الأبعاد، بشكل عام، لأن العلاقات بين الوظائف ثلاثية الأبعاد في حلول معادلات أينشتاين تفاضلية (وليست جبرية)، تاركة جانباً المشكلة الأعمق حول المعنى الهندسي لهذه الوظائف. لم يحسب تفرد بي كي إل عدد الوظائف ثنائية الأبعاد المستقلة لأنه في هذه الحالة من الصعب التوصل إلى استنتاجات لا لبس فيها لأن الوظائف ثلاثية الأبعاد يتم تعريفها بواسطة مجموعة من الوظائف ثنائية الأبعاد (راجع  لمزيد من التفاصيل).
أخيرًا، يستمر تفرد بي كي إل في إظهار أن الحل العام يحتوي على الحل الخاص الذي تم الحصول عليه أعلاه للنماذج المتجانسة.
استبدال النواقل الأساسية لمساحة متجانسة من نوع بيانكي من النوع IX في eq. 7 يأخذ مقياس الزمكان في هذا النموذج الشكل
عندما ج 2  \ll  أ 2، ب 2، يمكن للمرء أن يتجاهل ج 2 في كل مكان باستثناء المصطلح ج 2 دز 2 . للانتقال من الإطار المتزامن المستخدم في eq. 121 إلى إطار بشروط eq. 91، تم إجراء التحويل dt = cd ξ / 2 والاستبدال z → z / 2. بافتراض أن χ ≡ ln ( أ / ب )  \ll  1، يحصل المرء من eq. 121 في أول تقدير تقريبي:
وبالمثل، مع نواقل الأساس لمساحة متجانسة من النوع الثامن من بيانكي، يحصل المرء عليها
وفقًا لتحليل المساحات المتجانسة أعلاه، في كلتا الحالتين ab = ξ (تبسيط  a_{0}^{2} = ξ 0 ) و من eq. 51 ؛ يتم إعطاء الوظيفة ج (ξ) بواسطة الصيغ eq. 53 eq. 61، على التوالي، للطرازين من النوعين التاسع والثامن.

يتم الحصول على المقياس المتطابق للنوع الثامن من eq. 112، eq. 115، eq. 116 اختيار متجه ثنائي الأبعاد l a و m a بالشكل
والاستعاضة عنها
للحصول على مقياس النوع التاسع، يجب استبداله
(لحساب c (ξ) التقريب في eq. 116 غير كافٍ والمصطلح في خطي بمقدار ξ يتم حسابه  )
تم إجراء هذا التحليل للمساحة الفارغة. إن تضمين المادة لا يجعل الحل أقل عمومية ولا يغير خصائصه النوعية.
أحد القيود ذات الأهمية الكبيرة للحل العام هو أن جميع الوظائف ثلاثية الأبعاد الواردة في المقاييس eq. 122 eq. 123 على فترة تغيير مميزة واحدة ومشتركة. هذا فقط يسمح بالتقريب في معادلات أينشتاين لجميع مشتقات المكونات المكانية المترية مع منتجات بسيطة من هذه المكونات بأرقام موجية مميزة مما ينتج عنه معادلات تفاضلية عادية من النوع الذي تم الحصول عليه للنموذج المتجانس من النوع IX. هذا هو سبب التطابق بين الحلول المتجانسة والحلول العامة.
ويترتب على ذلك أن كلاً من نموذج النوع التاسع وتعميمه يحتويان على وضع تذبذب بمقياس مكاني واحد بحجم تعسفي لم يتم اختياره من بين أمور أخرى بواسطة أي ظروف فيزيائية. ومع ذلك، فمن المعروف أنه في الأنظمة غير الخطية ذات درجات الحرية اللانهائية، يكون هذا الوضع غير مستقر ويتبدد جزئيًا إلى اهتزازات أصغر. في الحالة العامة للاضطرابات الصغيرة ذات الطيف التعسفي، سيكون هناك دائمًا بعض الذين تزيد اتساعهم من التغذية على إجمالي طاقة العملية. نتيجة لذلك، تظهر صورة معقدة للحركات متعددة المقاييس مع توزيع معين للطاقة وتبادل الطاقة بين التذبذبات ذات المقاييس المختلفة. لا يحدث ذلك فقط في الحالة التي يكون فيها تطور التذبذبات على نطاق صغير مستحيلًا بسبب الظروف المادية. بالنسبة للأخير، يجب أن يوجد بعض الطول المادي الطبيعي الذي يحدد الحد الأدنى للمقياس الذي تخرج فيه الطاقة من نظام بدرجات ديناميكية من الحرية (والتي، على سبيل المثال، تحدث في سائل مع لزوجة معينة). ومع ذلك، لا يوجد مقياس مادي فطري لحقل الجاذبية في الفراغ، وبالتالي، لا يوجد عائق أمام تطور التذبذبات للمقاييس الصغيرة بشكل تعسفي.