تفرد بي كي إل
حل كاسنر

يبدأ نهج بي كي إل للمساحات المتجانسة (على عكس الخواص) بتعميم حل معين دقيق مشتق من كاسنر  لحقل في الفراغ، يكون فيه الفراغ متجانسًا وله مقياس إقليدي يعتمد على الوقت وفقًا لمقياس كاسنر.
( dl هو عنصر الخط ؛ dx، dy، dz هي عمليات نزوح متناهية الصغر في الأبعاد المكانية الثلاثة، و t هي الفترة الزمنية التي مرت منذ بعض اللحظات الأولية t 0 = 0). هنا، p 1، p 2، p 3 هي أي ثلاثة أرقام تفي بشروط كاسنرالتالية
بسبب هذه العلاقات، يكون رقم واحد فقط من الأعداد الثلاثة مستقلًا ( معادلتان بثلاثة مجاهيل ). جميع الأرقام الثلاثة ليست هي نفسها أبدًا ؛ رقمان متماثلان فقط في مجموعات القيم 



(
−


1
3


,


2
3


,


2
3


)


{\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}

 و (0، 0، 1).  في جميع الحالات الأخرى، تكون الأرقام مختلفة، رقم واحد سلبي والآخران موجبان. تم إثبات ذلك جزئيًا من خلال تربيع جانبي الشرط الأول eq. 3 و تطوير الساحة:
\left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1
المصطلح  \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right) يساوي 1 عن طريق الشرط الثاني eq. 3 وبالتالي يجب أن يكون المصطلح مع حاصل الضرب المختلط صفرًا. هذا ممكن إذا كانت واحدة على الأقل من p 1 و p 2 و p 3 سالبة.
إذا تم ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي، p 1 < p 2 < p 3، فإنها تتغير في الفترات (الشكل 4)
مقياس كاسنر eq. 2 يتوافق مع مساحة مسطحة متجانسة ولكن متباينة الخواص حيث تزداد جميع الأحجام بمرور الوقت بطريقة تزيد فيها المسافات الخطية على محورين y و z بينما تقل المسافة على طول المحور x. تسبب اللحظة t = 0 تفردًا في الحل ؛ لا يمكن تجنب التفرد في المقياس عند t = 0 بواسطة أي تحويل للإطار المرجعي. عند التفرد، تذهب ثوابت موتر الانحناء رباعي الأبعاد إلى اللانهاية. الاستثناء هو الحالة p 1 = р 2 = 0، р 3 = 1 ؛ تتوافق هذه القيم مع الزمكان المسطح: التحويل t sh z = ζ، t ch z = τ يحول مقياس كاسنر ( eq. 2 ) إلى تحويل جاليليو.
معامل بي كي إل المتغير في التجربة بأرقام P1، P 2، P 3، وكمعامل واحد مستقل وحقيقي معامل u (ليفشيتز - خالاتنيكوف  ) على النحو التالي:
تبدو معلمات مؤشر كاسنر غامضة حتى يفكر المرء في القيدين على المؤشرات eq. 3 . يعمل كلا القيدان على إصلاح المقياس العام للمؤشرات بحيث يمكن أن تختلف نسبها فقط. من الطبيعي اختيار إحدى هذه النسب كمعامل جديد، والذي يمكن القيام به بست طرق مختلفة. انتقاء u = u 32 = p 3 / p 2، على سبيل المثال، من السهل التعبير عن جميع النسب الست الممكنة بدلالة ذلك. حذف p 3 = up 2 أولاً، ثم استخدام القيد الخطي لإزالة p 1 = 1 - p 2 - up 2 = 1 - (1 + u ) p 2، يقلل القيد التربيعي إلى معادلة من الدرجة الثانية في p 2.
مع الجذور p 2 = 0 (واضح) و p 2 = (1 + u ) / (1 + u + u 2 )، ومن ثم يتم الحصول على p 1 و p 3 بالتعويض العكسي . يمكن للمرء تحديد ستة من هذه المعلمات u ab = p a / p b، والتي لها p c ≤ p b ≤ p a عندما ( c، b، a ) هي تبديل دوري لـ (1، 2، 3). 

يتم الحصول على جميع القيم المختلفة لـ p 1 و p 2 و p 3 مرتبة على النحو الوارد أعلاه مع تشغيل u في النطاق u ≥ 1. يتم إحضار القيم u <1 في هذا النطاق وفقًا لـ
في الحل المعمم، الشكل المقابل لـ eq. 2 ينطبق فقط على المقياس المقارب (المقياس القريب من التفرد t = 0)، على التوالي، على الشروط الرئيسية لتوسعه المتسلسل بواسطة قوى t . في الإطار المرجعي المتزامن يتم كتابته في شكل eq. 1 مع عنصر مسافة المسافة
حيث v = l [ mn ]. من المناسب إدخال الكميات التالية
تحدد المتجهات ثلاثية الأبعاد l، m، n الاتجاهات التي تتغير فيها مسافة الفضاء بمرور الوقت بواسطة قوانين القوة eq. 8 . هذه المتجهات، وكذلك الأرقام p l، p m، p n التي، كما كان من قبل، مرتبطة بـ eq. 3، هي وظائف إحداثيات الفضاء. القوى p l، p m، p n ليست مرتبة بترتيب تصاعدي، مع الاحتفاظ بالرموز p 1، p 2، p 3 للأرقام في eq. 5 التي تبقى مرتبة بترتيب تصاعدي. محدد مقياس eq. 7 هو
حيث v = l [mn]. من الملائم إدخال الكميات التالية
مقياس الفضاء في eq. 7 متباين الخواص لأن قوى t في eq. 8 لا يمكن أن يكون لها نفس القيم. عند الاقتراب من التفرد عند t = 0، تنخفض المسافات الخطية في كل عنصر فضائي في اتجاهين وتزداد في الاتجاه الثالث. حجم العنصر يتناسب مع t .
يتم تقديم مقياس كاسنر في معادلات أينشتاين عن طريق استبدال موتر القياس المتري γ αβ من eq. 7 دون تحديد مسبق، تبعية a، b، c من t :
\varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }
حيث تشير النقطة الموجودة فوق الرمز إلى التمايز فيما يتعلق بالوقت. معادلة آينشتاين eq. 11 تأخذ الشكل
جميع شروطه هي من الدرجة الثانية للكمية الكبيرة (عند t → 0) 1 / t . في معادلات أينشتاين، eq. 12، تظهر شروط هذا الطلب فقط من المصطلحات المتباينة زمنيًا. إذا لم تتضمن مكونات P αβ شروط ترتيب أعلى من اثنين، إذن
حيث تحدد المؤشرات l، m، n مكونات الموتر في الاتجاهات l، m، n . هذه المعادلات مع eq. 14 أعط التعبيرات eq. 8 مع القوى التي ترضي eq. 3.

ومع ذلك، فإن وجود قوة سالبة واحدة بين القوى الثلاث p l، p m، p n ينتج عنه ظهور مصطلحات من P αβ بترتيب أكبر من t −2 . إذا كانت القدرة السالبة هي p l ( p l = p 1 <0)، فإن P αβ تحتوي على دالة الإحداثيات λ و eq. 12 يصبح
هنا، المصطلحات الثانية من الترتيب t −2 ( p m + p n - p l ) حيث p m + p n - p l = 1 + 2 | ص ل | > 1.  لإزالة هذه الشروط واستعادة eq. 7، من الضروري فرض الشرط λ = 0 على وظائف الإحداثيات.
معادلات أينشتاين الثلاثة المتبقية eq. 13 تحتوي فقط على مشتقات الوقت من الدرجة الأولى للموتر المتري. إنها توفر ثلاث علاقات مستقلة عن الوقت يجب فرضها حسب الشروط الضرورية على وظائف التنسيق في eq. 7 . هذا، مع الشرط λ = 0، يجعل أربعة شروط. تربط هذه الشروط عشر وظائف إحداثيات مختلفة: ثلاثة مكونات لكل من المتجهات l، m، n، ووظيفة واحدة في قوى t (أي من الدوال p l، p m، p n، المرتبطة بالشروط eq. 3 ). عند حساب عدد الوظائف التعسفية جسديًا، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن النظام المتزامن المستخدم هنا يسمح بتحولات عشوائية مستقلة عن الوقت للإحداثيات الفضائية الثلاثة. لذلك، يحتوي الحل النهائي على إجمالي 10 - 4 - 3 = 3 وظائف اعتباطية فيزيائية وهي أقل بواحد مما هو مطلوب للحل العام في الفراغ.
لا يتم التقليل من درجة العمومية التي تم التوصل إليها في هذه المرحلة من خلال إدخال المادة ؛ تتم كتابة المادة في eq. 7 ويساهم بأربع وظائف إحداثية جديدة ضرورية لوصف التوزيع الأولي لكثافته والمكونات الثلاثة لسرعته. هذا يجعل من الممكن تحديد تطور المادة فقط من قوانين حركتها في مجال الجاذبية المعطى مسبقًا وهو المعادلات الهيدروديناميكية.
حيث u i هي السرعة رباعية الأبعاد، ε و هي كثافات الطاقة وانتروبيا المادة (راجع  و ؛  أيضًا ؛  للحصول على التفاصيل، انظر  ). بالنسبة للمعادلة الفائقة الصغر للحالة p = ε / 3 الانتروبيا σ ~ ε 1/4 . المصطلحات الرئيسية في eq. 17 eq. 18 هي تلك التي تحتوي على مشتقات زمنية. من eq. 17 ومكونات الفضاء من eq. 18 واحد لديه
{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,
فينتج،
حيث "const" هي كميات لا تعتمد على الوقت. بالإضافة إلى ذلك، من الهوية u i u i = 1 واحد لديه (لأن جميع المكونات المتغيرة لـ u α لها نفس الترتيب)
u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},
حيث u n هي مكون السرعة على طول اتجاه n المرتبط بأعلى قوة (موجبة) لـ t (بافتراض أن p n = p 3 ). من العلاقات المذكورة أعلاه، يتبع ذلك
أو
يمكن استخدام المعادلات أعلاه لتأكيد أن مكونات المادة موتر الإجهاد-الطاقة-الزخم يقف في الجانب الأيمن من المعادلات
R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,
هي، في الواقع، إلى ترتيب أقل بمقدار 1 / t من الشروط الرئيسية في الجانب الأيسر. في المعادلات  R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0} يؤدي وجود الأمر فقط إلى تغيير العلاقات المفروض على وظائف التنسيق المكونة لها.
حقيقة أن ε تصبح لانهائية بموجب القانون eq. 21 يؤكد أن في حل eq. 7 يتعامل المرء مع التفرد المادي عند أي قيم للقوى p 1، p 2، p 3 باستثناء (0، 0، 1). بالنسبة لهذه القيم الأخيرة، تكون التفرد غير مادية ويمكن إزالتها عن طريق تغيير الإطار المرجعي.
تنشأ التفرد الخيالي المطابق للقوى (0، 0، 1) نتيجة عبور إحداثيات الخط الزمني فوق بعض " السطح البؤري " ثنائي الأبعاد. كما هو  يمكن دائمًا اختيار إطار مرجعي متزامن بطريقة تجعل هذا الخط الزمني الحتمي يحدث بالضبط على هذا السطح (بدلاً من سطح كاوي ثلاثي الأبعاد). لذلك، يجب أن يوجد حل بهذا الشكل المتزامن لكامل التفرد الخيالي للفضاء مع مجموعة كاملة من الوظائف التعسفية اللازمة للحل العام. بالقرب من النقطة t = 0، فإنه يسمح بالتمدد المنتظم بواسطة قوى t الكاملة. لتحليل هذه الحالة، انظر.