stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
دوال مثلثية
حساب التفاضل والتكامل > باستعمال المتسلسلات > متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام

جيب الزاوية:
يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.
جيب تمام الزاوية
وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.
نصف قطر التقارب لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوالتي صحيحتين، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم مركبة وتامة التشكل على مجمل المستوي المركب.
حساب التفاضل والتكامل > باستعمال المتسلسلات > متسلسلات القوى لباقي الدوال

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).
بتعبير أدق،Un هو تبديل متناوب من المرتبة n. وBn هو عدد بيرنولي من المرتبة n، وEn، هو عدد أويلر من المرتبة n.
تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية التشكل، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.
يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافيقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.
عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.
لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.
حساب التفاضل والتكامل > باستعمال المتسلسلات > متسلسلات أخرى

يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا، وفيه تُجمَع دوال المقلوب المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:
ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:
حساب التفاضل والتكامل > الكسور المستمرة المعممة

طالع أيضًا: كسر مستمر معمم
الكسور المستمرة المعممة هي تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية في المجالين الحقيقي والمركب.
يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:
في ما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:
حساب التفاضل والتكامل > متسلسلة الجداء اللانهائي

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل المركب:
\sin z=z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .
من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:
\cos z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .
حساب التفاضل والتكامل > باستخدام المعادلات الدالية

يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.
مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:
cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y
بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.
حساب التفاضل والتكامل > في المستوى المركب

طالع أيضًا: تحليل مركب
يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع الدوال الزائدية:
من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم المركبة بيانياً عن طريق التمثيل بتلوين المجال. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال المركبة من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.
عند تمثيل الدوال في المستوى المركب، تُمثَّل العمدة بالألوان، والمعيار بوسائل أخرى، مثل السطوع أو الإشباع اللوني.
sin z
cos z
tan z
cot z
sec z
csc z
التمثيل البياني للعدد المركب z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.
الخصائص > زوجية وفردية

المقالة الرئيسة: دوال زوجية وفردية
الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق بالتناظر.
جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي فردية، أي:
الخصائص > دورية

المقالة الرئيسة: دالة دورية
الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:
تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في تحويل فورييه والمعادلات الموجية.
الخصائص > استمرارية (اتصال)

الجيب وجيب التمام دالتان مستمرتان دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):
الظل والقاطع: kπ + {π/2}
ظل التمام وقاطع التمام: kπ
الخصائص > تعامد

تكون دالتا الجيب وجيب التمام متعامدتين، أي:
تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.
الخصائص > تحويلا لابلاس وفورييه

تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:
تحويل الجيب:
تحويل جيب التمام:
تحويلا فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:
الجيب:
جيب التمام:
الخصائص > دالة ذاتية

دالتا الجيب وجيب التمام ذاتيتان لمؤثر لابلاس. على سبيل المثال، إذا كان : Δ=∇2 يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان :  \nabla ^{2}f=\lambda f، مع λ تمثل قيمة ذاتية؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية للدالتين.
حساب القيم

المقالة الرئيسة: جداول مثلثية
حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم.
يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.
حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.
تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أو بواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريب تشيبيشيف، تقريب بادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لوران) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح. على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.
يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل إهليلجي (مركب).
متطابقات أساسية ومبرهنات

طالع أيضًا: قائمة المتطابقات المثلثية
هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المتطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم المركبة واستخدام خصائص الدالة الأسية.
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقة فيثاغورس

المقالة الرئيسة: متطابقة فيثاغورس المثلثية
تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:
:sin x + cos x = 1
يجب الانتباه إلى أن التدوين sin2 x + cos2 x يكافئ sin x)2 + (cos x)2).
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات مجموع وفرق زاويتين

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات مجموع وفرق زاويتين > المجموع

ويُحسب كما يأتي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات مجموع وفرق زاويتين > الفرق

ويُحسب كما يأتي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات مجموع وفرق زاويتين > متطابقات ضعف الزاوية

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.
يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء.
بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ كدالة كسرية لـ 



t
=
tan
⁡


θ
2




{\textstyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
{\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}
بالإضافة إلى  d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt
هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى أيضاً تعويض فايرشتراس، وهو يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات ثلاثية الزاوية

ويُحسب كما يأتي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > متطابقات نصف الزاوية

وتُحسب كما يأتي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > قانون الجيب

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:
يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.
في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:
حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.
متطابقات أساسية ومبرهنات > قانون جيب التمام

قانون جيب التمام هو تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.
c= a + -2ab.cos(C)
وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:
في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:
cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)
مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي محيط الكرة/360} ما يعادل ط × نصف قطر الكرة/180 والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c
ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:
\cos C\ ={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}
توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:
\cos c\ ={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}
ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:
cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)
متطابقات أساسية ومبرهنات > قانون الظل

المقالة الرئيسة: قانون الظل
ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:
مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.
يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.
أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > قانون ظل التمام

المقالة الرئيسة: قانون ظل التمام
ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:
و
ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:
نستنتج أن:
متطابقات أساسية ومبرهنات > مبرهنة الساندويتش

طالع أيضًا: مبرهنة الساندويتش
تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال  -{\pi  \over 2}<\theta <{\pi  \over 2}، هي كما يلي:
تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:
 \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}. تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع تفاضل الدوال المثلثية.
المتباينات المشابهة هي كما يلي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > مبرهنة بطليموس

المقالة الرئيسة: مبرهنة بطليموس
مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع رؤوسه).
ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ1+θ2+θ3+θ4=180°، فإن:
متطابقات أساسية ومبرهنات > صيغة مولفيده

المقالة الرئيسة: صيغة مولفيده
لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:
متطابقات أساسية ومبرهنات > قانون موري

ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:
وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:
مع n=3 وα=20°.
هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:
بما أن:
توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:
زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:
الدوال العكسية

المقالة الرئيسة: دوال مثلثية عكسية
الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست متباينة، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.
يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.
غالبًا ما تستخدم التدوينات sin−1 وcos−1... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.
يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond"(التي تعني «ثانية القوس»).
يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،
يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات المركبة.
الدوال الزائدية

المقالة الرئيسة: دوال زائدية
الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.
الدوال الزائدية هي:
يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.
بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u هي  {\frac {1}{2}}r^{2}u ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.
سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.
في حالة القطع الزائد الذي معادلته x2 - y2 =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x2 + y2 =1.
في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:
هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام الأعداد المركبة تُعْرَف بالدالة الغودرمانية، وهي معرّفة في ℝ نحو  \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[ بـ:
وsgn (x) هي دالة الإشارة.
(4.ب) الدائرة والقطع الزائد متلامسان عند النقطة (1,1) تعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مقدار الزاوية u، والدوال الزائدية اعتمادًا على مقدار الزاوية u.
(4.ج)
(4.د)
علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة

يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.
دالة بيسل من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:
متعدد الحدود لتشيبيشيف: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
مع n ممثلةً للمرتبة.
يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:
Tn = cos(n.arccos(x))
تطبيقات > حساب المتجهات

تُستخدم المتجهات (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الضرب النقطي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:
يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:
تطبيقات > الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:
تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.
تطبيقات > المساحات

مثلث: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:
متوازي أضلاع: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:
مضلع منتظم: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:
تطبيقات > المحيطات

مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه n والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه b ودالة الجيب:
قطع ناقص: يمكن إيجاد محيطه إنطلاقًا من نصف محوره الأكبر a والأصغر b باستخدام إحدى الدوال المثلثية:
تطبيقات > الحجوم

متوازي السطوح: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:
مع  \ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}) وa,b,c هي أطوال الأحرف.
تطبيقات > علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد المركبة

يمكن كتابة أي عدد مركب على الشكل المثلثي:
يطلق على العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية اسم صيغة أويلر:
إثبات: لتكن متسلسلة تايلور للدالة الأسية:
بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:
من متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام:
فيُبصح:
{\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta }&=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned}}
قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:
يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية المركبة. رياضيا:
يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر باستعمال صيغة دي موافر:
أيضًا، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين للدوال الزائدية والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:
تطبيقات > علم الفلك

استخدمت حساب المثلثات الكروية لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ بالكسوف والخسوف، ووصف مدارات الكواكب.
في العصر الحديث، تستخدم تقنية التثليث في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية.
تطبيقات > الخرائط والمساحة

حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات رسم الخرائط والمساحة. قياس زاوية باستخدام الجهاز أو دون استخدامه، إسقاط الخرائط (تحويل سطح ناقصي إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب الاتجاه الزاوي، والمسح الاجتيازي المفتوح والمغلق، وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في المسح الجوي.
على سبيل المثال، في التثليث، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في القياس البصري الثلاثي الأبعاد . يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.
في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:
قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى (الشكل (5.د)). لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:
تطبيقات > متسلسلة فورييه وتحويل فورييه

دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية بشكل عام) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى متسلسلة فورييه:
بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.
تحويل فورييه هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:
تُحوّل الدالة الأسية المركبة إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الموجة والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات.
يستخدم تحويل جيب التمام المتقطع القريب من تحويل فورييه لتقليل حجم ملف JPEG في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية (ضغط الصور)، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.
تطبيقات > الدوال الدورية

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض (نواس مرن )، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط (نواس بسيط)؛ وفي الكهرباء والإلكترونيات، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة الدارات الكهربائية مثل دارة مقاومة وملف ومكثف المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.
تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.
يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه مثل موجة مربعة أو موجة سن المنشار.
نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ φk، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:
f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t)
حيث ck هو معامل المتسلسلة.
على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:
f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.
في الصورة المتحركة لموجة مربعية (5.هـ)، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.
تطبيقات > المنحنيات الوسيطية

طالع أيضًا: معادلة وسيطية
يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:
الدائرة: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز  (x_{0},y_{0}) ونصف القطر r بواسطة:
القطع الناقص: يُمثَّل القطع الناقص ذو المركز  (x_{0},y_{0}) ونصف المحور الكبير a ونصف المحور الصغير b كما يلي:
منحنى ليساجو: يُعبَّر عن منحنى ليساجو بواسطة:
القطع الزائد، يمكن تمثيل وسيطيًا القطع الزائد الأفقي بواسطة:
بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك المنحنى العجلي التحتي، اللولب، السطوح الوسيطية ،... وهكذا.