برهان يوم القيامة
الاختلافات > صياغة غوت: «السابقة الغامضة» مجموع السكان

غوت يقترح على وجه التحديد شكل وظيفي للتوزيع المسبق لعدد من الناس الذين سوف يولدون على الإطلاق (N). استخدم برهان غوت توزيع السابق الغامض:
حيث
P(N) هو احتمال قبل اكتشاف n، العدد الإجمالي للبشر الذين لم يولدوا بعد.
الثابت، k، تم اختياره لتطبيع مجموع P(N). القيمة التي تم اختيارها ليست مهمة هنا، فقط الشكل الوظيفي (وهذا سابق غير مناسب، لذلك فليست هناك قيمة ل k تعطي توزيعا صالحا، ولكن استدلال بايزي لا يزال بإمكانه استخدامها).
بما أن غوت يحدد التوزيع المسبق لإجمالي البشر، P(N)، مبرهنة بايز ومبدأ اللامبالاة وحدهما يعطوننا P(N|n)، احتمال ولادة N من البشر إذا كان n سحب عشوائي من N:
هذه هي نظرية بايز للاحتمال الخلفي من مجموع السكان الذين ولدوا من N، مكيفة على السكان الذين ولدوا حتى الآن من n. الآن، وباستخدام مبدأ اللامبالاة:
إن توزيع n غير المشروط للسكان الحاليين مطابق للسابق الغامض دالة الكثافة الاحتمالية N، لذا:
باعتبار P(N|n) لكل N معين (من خلال الاستعاضة عن معادلة الاحتمال الخلفي):
أسهل طريقة لإنتاج تقدير ليوم القيامة بثقة معينة (مثلا 95٪) هي التظاهر بأن N هو متغير مستمر (لأنه كبير جدا) وتكامل على كثافة الاحتمال من N = n إلى N = Z. (هذا سوف يعطي دالة لاحتمال N ≤ Z):
باعتبار Z = 20n يعطينا:
هذا هو أبسط اشتقاق بايزي من برهان يوم القيامة:
ويبدو أن استخدام توزيع السابق الغامض محفز بشكل جيد لأنه يفترض معرفة قليلة عن N، باعتبار أنه يجب اختيار أي وظيفة معينة. وهو ما يعادل الافتراض بأن كثافة الاحتمال للوضع الجزئي لأحد لا تزال موزعة بشكل موحد حتى بعد معرفة الموضع المطلق (n).
لم تكن فئة «غوت» المرجعية في ورقته الأصلية عام 1993 هي عدد الولادات، ولكن عدد سنوات التي كان البشر موجودا فيها كنوع، واقترحه في 200،000. أيضا، حاول غوت إعطاء فاصل الثقة بنسبة 95٪ بين الحد الأدنى لوقت البقاء على قيد الحياة والحد الأقصى. بسبب فرصة 2.5٪ التي يعطيها لتقليل الحد الأدنى لديه فقط فرصة 2.5٪ لتكثير الحد الأقصى. وهذا يعادل ثقة بنسبة 97.5٪ أن الانقراض يحدث قبل الحد الأعلى من فترة ثقنه.
97.5٪ فرصة واحدة في الأربعين، والتي يمكن استخدامها في التكامل أعلاه مع Z = 40n، و n = 200,000 سنة:
هذه هي الطريقة التي ينتج بها غوت ثقة 97.5٪ في الانقراض في غضون ≤ 8,000,000 سنة. والعدد الذي نقله هو الوقت المتبقي المحتمل، 7.8 = N - n مليون سنة. وكان هذا أعلى بكثير من الثقة الزمنية المحدودة التي تنتج عن طريق عد الولادات، لأنه يطبق مبدأ اللامبالاة على الوقت. (إنتاج تقديرات مختلفة عن طريق أخذ عينات من عوامل مختلفة في نفس الفرضية هو مفارقة بيرتراند.)
اختياره 95٪ من حدود الثقة (بدلا من 80٪ أو 99.9٪)، يقابل الحد المقبول علميا من الدلالة الإحصائية لرفض الفرضية. ولذلك، قال إن الفرضية القائلة بأن «الإنسانية سوف تتوقف عن الوجود قبل 5100 سنة أو تزدهر بعد 7.8 مليون سنة» يمكن رفضها.
حجة ليسلي تختلف عن نسخة غوت في أنه لا يفترض توزيع الاحتمال المسبق الغامض ل N. بدلا من ذلك يجادل بأن قوة حجة يوم القيامة تكمن فقط في زيادة احتمال يوم القيامة في وقت مبكر بمجرد أن تأخذ في الاعتبار موضع ولادتك، بغض النظر عن توزيع الاحتمال السابق ل N. ويسمي هذا التحول الاحتمالي.
هاينز فون فويرستر جادل بأن قدرات البشرية على بناء المجتمعات والحضارات والتكنولوجيات لا يؤدي إلى تثبيط النفس. بل إن نجاح المجتمعات يختلف بشكل مباشر مع حجم السكان. وجد فون فويستر أن هذا النموذج يصلح نحو 25 نقطة بيانات من ولادة يسوع إلى عام 1958، مع 7٪ فقط من التباين ترك بدون تبرير. نشرت العديد من رسائل المتابعة (1961، 1962...) في العلوم التي تبين أن معادلة فون فويستر لا تزال على الطريق الصحيح. واستمرت البيانات لتناسب حتى عام 1973. وكان الشيء الأكثر تميزا حول نموذج فون فويستر كان يتوقع أن السكان البشرية سوف تصل إلى اللانهاية أو التفرد الرياضية، يوم الجمعة، 13 نوفمبر 2026. في الواقع، فون فونستر لا يعني أن سكان العالم في ذلك اليوم يمكن أن بصبحوا في الواقع لانهائيبن. نتيجة الحقيقية هي أن نمط النمو السكاني العالمي الذي المتبع لقرون عديدة قبل عام 1960 كان على وشك أن ينتهي وأن يتحول إلى نمط مختلف جذريا. مع العلم أن هذا التنبؤ بدأ الوثوق به فقط في غضون سنوات قليلة بعد نشر «يوم القيامة».