شكل دقيق
دمج

يمكن دمج نموذج k التفاضلي على شكل متعدد الأبعاد k. يمكن التفكير في شكل واحد تفاضلي كقياس طول متناهي الصغر (موجه) ، أو كثافة أحادية البعد. يمكن التفكير في شكل ثنائي الشكل كقياس منطقة متناهية الصغر (موجهة) ، أو كثافة ثنائية الأبعاد. وما إلى ذلك وهلم جرا.
يتم تعريف التكامل من الأشكال التفاضلية بشكل جيد فقط على المشعبات الموجهة. مثال لمجموع ذي بُعد واحد هو الفاصل الزمني [a، b] ، ويمكن إعطاء الفواصل الزمنية اتجاهًا: فهي موجّهة بشكل إيجابي إذا كانت <b ، موجّهة سلبًا بخلاف ذلك. إذا كانت a <b ، فإن التكامل التفاضلي للنمط f (x) dx المفرط خلال الفاصل الزمني [a ، b] (مع اتجاهه الموجب الطبيعي) هو
هذا يعطي سياقًا هندسيًا لاتفاقيات التكاملات أحادية البعد ، التي تتغير بها الإشارة عندما يتم عكس اتجاه الفاصل الزمني. والتفسير المعياري لهذا في نظرية التكامل الواحد المتغير هو أنه عندما تكون حدود التكامل في الترتيب المعاكس (b <a) ، تكون dx الزيادة سالبة. التكاملات هي سلبيات لبعضها البعض لأن الأطوال "dx" الموجهة لها اتجاهات معاكسة.
بشكل أكثر عمومية ، شكل m عبارة عن كثافة موجهة يمكن دمجها عبر مشعب ذو أبعاد m- الأبعاد. (على سبيل المثال ، يمكن دمج نموذج 1 على منحنى موجه ، يمكن دمج نموذج 2 على سطح مرسوم ، إلخ). إذا كانت M عبارة عن مشعب ذو أبعاد m ، ويكون M ′ هو نفس المشعب مع الاتجاه و ω هو شكل m ، ثم واحد لديه:
{\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M '} \ omega \ ،.} \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M'} \ omeg
هذه الاتفاقيات تتوافق مع تفسير integrand كشكل تفاضلي ، متكاملة عبر سلسلة. في نظرية المقياس ، على النقيض من ذلك ، يفسر واحد integrand كوظيفة f فيما يتعلق مقياس μ ويتكامل على مجموعة فرعية A ، دون أي فكرة عن التوجه ؛ واحد يكتب {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {A} f \، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu}} \ textstyle {\ int _ {A} f \ ، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu} للإشارة إلى التكامل عبر مجموعة فرعية A. وهذا تمييز ثانوي في بُعد واحد ، ولكنه يصبح أقل دقة في عمليات التجميع ذات الأبعاد الأعلى ؛ انظر أدناه للحصول على التفاصيل. جعل مفهوم كثافة موجهة موجهة بدقة ، وبالتالي من شكل تفاضلي ، ينطوي على الجبر الخارجي. النماذج الأساسية 1 هي فروق الإحداثيات: dx1، ...، dxn. كل من هذه تمثل covector يقيس إزاحة صغيرة في اتجاه إحداثيات المقابلة. شكل 1 العام هو مزيج خطي من هذه التفاضلات {\ displaystyle f_ {1} dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} dx ^ {n}} f_ {1} dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} dx ^ {n} حيث {{displaystyle f_ {k}} f_ {k} هي وظائف للإحداثيات. تم دمج النموذج التفاضلي 1 على طول منحنى موجه كخط متكامل. النموذجين الأساسيين هما التعبيرات dxi ∧ dxj ، حيث i <j. يمثل ذلك مربعًا متوازيًا متناهي الصغر موازٍ لمستوى xi-xj-plane. النموذج العام الثاني هو مزيج خطي من هذه ، ويتم دمجه تمامًا مثل التكامل السطحي. العملية الأساسية المحددة في النماذج التفاضلية هي المنتج الخارجي (الرمز هو الإسفين ∧). يشبه هذا المنتج المتقاطع من حساب التفاضل والتكامل
لأن المربع الذي يكون جانبه الأول dx1 والجانب الثاني هو dx2 يعتبر أنه له اتجاه معاكس مثل المربع الذي يكون جانبه الأول dx2 ويكون وجهه الثاني dx1. يسمح المنتج الخارجي بتكوين أشكال تفاضلية ذات أبعاد أعلى من الأشكال ذات الأبعاد الضيقة ، بنفس الطريقة التي يسمح بها المنتج المتقاطع في حساب المتجهات بحساب متجه المنطقة من متوازي الأضلاع من المتجهات التي تشير إلى الجانبين.
بالإضافة إلى المنتج الخارجي ، هناك أيضًا مشغل مشتق خارجي d. مثل الاختلاف في الوظيفة ، يعطي المشتق الخارجي طريقة لتحديد حساسية النموذج التفاضلي للتغيير. في Rn ، إذا كانت ω = f dxa هي k-form ، فإن dω هو k + 1-form المحدد بواسطة
{\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partialmi x_ {i}}} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ {a} .} {\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partialmi x_ {i}}} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ { ا}.}
مع التمديد إلى نماذج k العامة التي تحدث خطيا.
ويسمح هذا النهج الأكثر عمومية بإتباع نهج أكثر انسجاما طبيعيا للتكامل في عمليات التجميع. كما يسمح بالتعميم الطبيعي للنظرية الأساسية للحساب التفاضلي (انظر § نظرية ستوكس).
حساب التفاضل
اسمحوا U يكون مجموعة مفتوحة في RN. يُعرَّف النموذج 0 التفاضلي ("شكل صفري") بأنه دالة سلسة f على U. إذا كانت v هي أي متجه في Rn ، عندئذ يكون لـ f مشتق اتجاهي ∂vf ، وهي دالة أخرى على U قيمتها في النقطة p ∈ U هي معدل التغيير (عند p) لـ f في الاتجاه v:
{\ displaystyle (\ جزئي _ {v} f) (p) = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.} {\ displaystyle ( \ جزئي _ {v} f) (p) = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.}