نظرية الحقل السلمي
نظرية الحقل السلمي الكمي > تكامل مسار فاينمان

يمكن اشتقاق مفكوك مخطط فاينمان باستخدام صيغة تكامل مسار فاينمان. إذ يمكن اشتقاق قيم الفراغ المتوقعة المرتبة زمنيًا لكثيرات الحدود الخاصة بالمجال φ، أو ما يُعرف أيضًا بدوال غرين النونية عن طريق إجراء عملية التكامل على جميع المجالات الممكنة المُعايرة باستخدام قيمة الفراغ المتوقعة كالآتي:
\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.
يمكن اشتقاق دوال غرين عن طريق فك الدالة الآسية في الحد J(x)φ(x) المُعطى في الدالة المولدة الآتية:
Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .
يمكن تطبيق مؤثر دوران ويك لتحويل الزمن إلى كمية تخيلية. ومن ثم يمكن تغيير نمط الإشارات إلى (+،+،+،+) لتحويل تكامل فاينمان إلى جملة الحالات في الفضاء الإقليدي:
Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.
في العادة، ينطبق التعبير السابق على تشتت الجسيمات التي تمتلك كمية حركة ثابتة، وفي تلك الحالة يمكن إجراء تحويل فورييه للوصول إلى النتيجة الآتية:
{\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left[{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}+{\lambda  \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}-{\widetilde {J}}{\widetilde {\phi }}\right]}.
تكمن الخطوة الرياضية التالية لحساب التكامل الوظيفي السابق في كتابته على صيغة حاصل ضرب عوامل أسية، ويعبر عن ذلك بالآتي:
{\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]\sim \int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}}e^{-{g \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}}e^{{\widetilde {J}}{\widetilde {\phi }}}\right].
يمكن فك العامل الأسي الأخير على صورة متسلسلة قوى، ومن ثم يمكن تمثيل توافيق هذا المفكوك بيانيًا باستخدام مخططات فاينمان.
في حالة (λ = 0)، يمكن التعامل مع تلك التكاملات على صورة حاصل ضرب عدد لانهائي من تكاملات غاوس الابتدائية، إذ يمكن التعبير عن الناتج على صورة مجموع مخططات فاينمان التي يمكن إنشاؤها باتباع قواعد فاينمان الآتية:
يُمثل كل مجال  ~φ(p)في دالة غرين الإقليدية النونية باستخدام خط خارجي في الرسم، وهو مُقترن بكمية الحركة p.
تُمثل جميع الرؤوس بالمعامل –g.
يجب إنشاء جميع المخططات التي تحتوي على عدد n من الخطوط الخارجية وعدد k من الرؤوس بحيث يكون مجموع كميات الحركة المتدفقة إلى كل رأس يساوي الصفر. تُمثل جميع الخطوط الداخلية بدالة الانتشار 1/(q2 + m2) حيث q هو مجموع كميات الحركة المتدفقة عبر هذا الخط.
تتم مكاملة جميع كميات الحركة غير المقيدة على المسار الذي يتضمن جميع القيم.
يُقسم الناتج على معامل التماثل الذي يساوي عدد جميع الطرق الممكنة لإعادة ترتيب الخطوط والرؤوس بدون تغيير طريقة توصيلها.
لا تصح إضافة رسومات تحتوي على فقاعات الفراغ، ولا تجوز الرسومات الفرعية التي لا تحتوي على خطوط خارجية.
تراعي القاعدة الأخيرة تأثير القسمة على ~Z[0]. تتشابه القواعد السابقة مع قواعد فاينمان الخاصة بفضاء مينكوفسكي باستثناء الرؤوس التي تُمثل بالمعامل –ig والخطوط الخارجية التي تُمثل بدالة الانتشار i/(q2−m2+iε)، بينما يمثل الحد ε دوران ويك الصغير اللازم لجعل ناتج تكامل فضاء مينكوفسكي متقاربًا.