تفرد بي كي إل
الوضع المتذبذب نحو التفرد

الحل العام بالتعريف مستقر تمامًا ؛ وإلا لما كان الكون موجودًا. أي اضطراب يعادل تغيير في الظروف الأولية في وقت ما ؛ نظرًا لأن الحل العام يسمح بشروط أولية عشوائية، فإن الاضطراب غير قادر على تغيير طابعه. بالنظر إلى هذه الزاوية، فإن الشروط الأربعة المفروضة على وظائف الإحداثيات في الحل eq. 7 أنواع مختلفة: ثلاثة شروط تنشأ من المعادلات  R_{\alpha }^{0} = 0 هي "طبيعية" ؛ هم نتيجة لهيكل معادلات آينشتاين. ومع ذلك، فإن الشرط الإضافي λ = 0 الذي يتسبب في فقدان وظيفة مشتقة واحدة، هو من نوع مختلف تمامًا: عدم الاستقرار الناجم عن الاضطرابات يمكن أن يكسر هذا الشرط. يجب أن يؤدي عمل هذا الاضطراب إلى إحضار النموذج إلى وضع آخر أكثر عمومية. لا يمكن اعتبار الاضطراب صغيراً: الانتقال إلى وضع جديد يتجاوز نطاق الاضطرابات الصغيرة جدًا.
يحدد تحليل سلوك النموذج تحت تأثير الاضطراب، الذي أجرته بي كي إل، وضعًا تذبذبًا معقدًا عند الاقتراب من التفرد.   لم يتمكنوا من إعطاء كل التفاصيل عن هذا الوضع في الإطار العريض للحالة العامة. ومع ذلك، أوضح بي كي إل أهم خصائص وخصائص الحل على نماذج محددة تسمح بدراسة تحليلية بعيدة المدى.
تعتمد هذه النماذج على مقياس فضاء متجانس من نوع معين. إن افتراض تجانس المساحة دون أي تناظر إضافي يترك حرية كبيرة في اختيار المقياس. يتم تصنيف جميع المساحات المتجانسة الممكنة (ولكن متباينة الخواص)، وفقًا لبيانكي، في عدة أنواع بيانكي (من النوع الأول إلى التاسع) .  (انظر أيضًا الحل المتجانس المعمم ) يبحث بي كي إل فقط في مساحات من أنواع بيانكي الثامن والتاسع.
إذا كان المقياس على شكل eq. 7 الشكل 7، لكل نوع من المساحات المتجانسة توجد علاقة وظيفية بين المتجهات المرجعية l و m و n وإحداثيات الفضاء. الشكل المحدد لهذه العلاقة ليس مهما. الحقيقة المهمة هي أنه بالنسبة للمسافات من النوع الثامن والتاسع، فإن الكميات λ و μ و ν eq. 10 عبارة عن ثوابت بينما جميع المنتجات "المختلطة" l rot m و l rot n و m rot l وما إلى ذلك . هي أصفار. بالنسبة للمسافات من النوع IX، فإن الكميات λ و μ و لها نفس العلامة ويمكن للمرء أن يكتب λ = μ = ν = 1 (تغيير الإشارة المتزامن للثوابت الثلاثة لا يغير شيئًا). بالنسبة للمسافات من النوع VIII، يكون للثوابتين إشارة معاكسة لعلامة الثابت الثالث ؛ يمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال، λ = - 1، μ = ν = 1.
وبالتالي تقتصر دراسة تأثير الاضطراب على "وضع كاسنر" على دراسة تأثير المصطلحات المحتوية على λ في معادلات أينشتاين. تعد الفراغات من النوع الثامن والتاسع أكثر النماذج ملاءمة لمثل هذه الدراسة. نظرًا لأن جميع الكميات الثلاثة λ و μ و في أنواع بيانكي هذه تختلف عن الصفر، فإن الشرط λ = 0 لا ينطبق بغض النظر عن الاتجاه l، m، n له اعتماد سالب على وقت قانون الطاقة.
معادلات أينشتاين للنماذج الفضائية من النوع الثامن والنوع التاسع هي
(المكونات المتبقية  R_{l}^{0} و  R_{m}^{0} و  R_{n}^{0} و  R_{l}^{m} و  R_{l}^{n} و  R_{m}^{n} هي أصفار متطابقة). تحتوي هذه المعادلات على وظائف الوقت فقط ؛ هذا شرط يجب الوفاء به في جميع المساحات المتجانسة. هنا، eq. 22 eq. 23 دقيقة ولا تعتمد صحتها على مدى قرب المرء من التفرد عند t = 0. 

مشتقات الوقت في eq. 22 eq. 23 تتخذ شكلًا أبسط إذا تم استبدال а، b، с باللوغاريتمات α، β، γ:
استبدال المتغير t بـ وفقًا لما يلي:
ثم (تشير الرموز الفرعية إلى التمايز بواسطة τ):
جمع المعادلات معا eq. 26 والتعويض في الجانب الأيسر بالمجموع (α + β + γ) τ τ وفقًا eq. 27 الشكل 27، يحصل المرء على معادلة تحتوي فقط على المشتقات الأولى والتي تعد أول تكامل للنظام eq. 26 :
تلعب هذه المعادلة دور الشرط الملزم المفروض على الحالة الأولية eq. 26 . وضع كاسنر eq. 8 هو حل eq. 26 عند تجاهل كل الحدود في الجانب الأيمن. لكن مثل هذا الموقف لا يمكن أن يستمر (عند t → 0) إلى أجل غير مسمى لأنه من بين هذه المصطلحات يوجد دائمًا بعض تلك التي تنمو. وبالتالي، إذا كانت القدرة السالبة في الوظيفة a ( t ) ( p l = p 1 )، فإن اضطراب وضع كاسنر سينشأ عن المصطلحات λ 2 a 4 ؛ ستنخفض بقية الشروط مع تناقص t . إذا تم ترك شروط النمو فقط في الجانب الأيمن من eq. 26، يحصل المرء على النظام:
(قارن eq. 16 ؛ أدناه يتم استبداله λ 2 = 1). يجب أن يصف حل هذه المعادلات التطور المتري من الحالة الأولية، حيث يتم وصفه بواسطة eq. 8 مع مجموعة معينة من القوى (مع p l <0) ؛ دع p l = р 1، p m = р 2، p n = р 3 بحيث
ثم
حيث Λ ثابت. الشروط الأولية eq. 29 يتم إعادة تعريف eq. 29
المعادلات eq. 29 مندمجة بسهولة ؛ الحل الذي يفي بشرط eq. 32 هو
حيث b 0 و c 0 هما ثابتان إضافيتان.
يمكن بسهولة ملاحظة أن تقارب الوظائف eq. 33 في t → 0 يساوي eq. 30 . التعبيرات المقاربة لهذه الوظائف والوظيفة t (τ) في τ → −∞ هي
a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.
التعبير عن a، b، c كوظائف لـ t، يكون بـ
حيث
ثم
يوضح ما سبق أن الاضطراب يعمل بطريقة تجعله يغير أحد أوضاع Kasner مع وضع Kasner آخر، وفي هذه العملية تنقلب القوة السلبية لـ t من الاتجاه l إلى الاتجاه m : إذا كانت قبل ذلك p l <0، فهي الآن كذلك ص ' م <0. أثناء هذا التغيير، تمر الوظيفة a ( t ) عبر الحد الأقصى و b ( t ) يمر عبر الحد الأدنى ؛ ب، الذي كان يتناقص من قبل، يزداد الآن: أ من الزيادة يصبح تناقصًا ؛ ونقص c ( t ) يتناقص أكثر. الاضطراب نفسه (λ 2 a 4α في eq. 29 )، والذي كان يتزايد من قبل، يبدأ الآن في الانخفاض ويموت. يؤدي التطور الإضافي بالمثل إلى زيادة الاضطراب من الشروط مع μ 2 (بدلاً من λ 2 ) في eq. 26، التغيير التالي لوضع كاسنر، وهكذا.
من الملائم كتابة قاعدة استبدال الطاقة eq. 35 بمساعدة البارامترات eq. 5 :
تظل القوة الأكبر من القوتين الموجبتين موجبة.
يطلق بي كي إل على هذا الانقلاب في القوة السلبية بين الاتجاهات حقبة كاسنر . إن المفتاح لفهم طبيعة التطور المتري عند الاقتراب من التفرد هو بالضبط عملية تناوب حقبة كاسنر مع تقليب القوى p l، p m، p n بواسطة القاعدة eq. 37.
التناوب المتتالية eq. 37 مع قلب القوة السالبة p 1 بين الاتجاهين l و m (فترة كاسنر) يستمر باستنفاد الجزء الكامل من u الأولي حتى اللحظة التي تكون فيها u <1. تتحول القيمة u <1 إلى u > 1 وفقًا لـ eq. 6 ؛ في هذه اللحظة القوة السالبة هي p l أو p m بينما p n تصبح الأصغر من رقمين موجبين ( p n = p 2 ). السلسلة التالية من عهود كاسنر تقلب القوة السالبة بين الاتجاهين n و l أو بين n و m . عند القيمة الأولية التعسفية ( غير المنطقية ) لـ u تستمر عملية التناوب هذه غير محدودة.
في الحل الدقيق لمعادلات أينشتاين، تفقد القوى p l، p m، p n معناها الأصلي الدقيق. هذا الظرف يقدم بعض "غموض" في تحديد هذه الأرقام (ومعهم، إلى المعلمة ش) التي، وإن كانت صغيرة، يجعل معنى تحليل أي (على سبيل المثال، محددة عقلانية ) قيم ش. لذلك، فقط هذه القوانين التي تهم التعسفي القيم غير المنطقية من ش لها أي معنى خاص.
الفترات الأكبر التي تتأرجح فيها مقاييس المسافات الفضائية على محورين بينما تتناقص المسافات على طول المحور الثالث بشكل رتيب، تسمى العصور ؛ تقل الأحجام بقانون قريب من ~ ر . عند الانتقال من عصر إلى آخر، ينقلب الاتجاه الذي تتناقص فيه المسافات بشكل رتيب من محور إلى آخر. يكتسب ترتيب هذه التحولات الصفة المقاربة لعملية عشوائية . نفس الترتيب العشوائي هو أيضًا سمة من سمات تناوب أطوال العصور المتتالية (حسب طول العصر، تفهم بي كي إل عدد حقبة كاسنر التي تحتوي عليها العصر، وليس الفاصل الزمني).
لكل حقبة تتوافق مع سلسلة من قيم المعامل u بدءًا من الأعظم،  u_{\max }^{(s)} ومن خلال القيم  u_{\max }^{(s)} - 1،  u_{\max }^{(s)} - 2، ...، الوصول إلى الأصغر،  u_{\min }^{(s)} <1. ثم
أي أن k ( s) = [  u_{\max }^{(s)} ] حيث تعني الأقواس الجزء الكامل من القيمة. الرقم k ( s ) هو طول العصر، ويقاس بعدد فترات كاسنر التي تحتوي عليها تلك الحقبة للعصر القادم.
في السلسلة اللامحدودة من الأرقام u، التي تتكون من هذه القواعد، توجد قيم صغيرة متناهية الصغر (ولكن ليست صفرية أبدًا) x ( s ) وأطوال كبيرة بشكل غير محدود بالمقابل k ( s ) .
تصبح سلسلة العصر أكثر كثافة عند الاقتراب من t = 0. ومع ذلك، فإن المتغير الطبيعي لوصف المسار الزمني لهذا التطور ليس الوقت العالمي t، ولكن لوغاريتمه، ln t، والذي من خلاله يتم تمديد العملية الكاملة للوصول إلى التفرد إلى −∞.
حسب eq. 33، إحدى الوظائف أ، ب، ج، التي تمر بحد أقصى أثناء الانتقال بين فترات كاسنر، في ذروة الحد الأقصى لها هي
حيث من المفترض أن الحد الأقصى هو كبير مقارنة ب 0 ج 0؛ في eq. 38 u هي قيمة المعلمة في حقبة كاسنر قبل الانتقال. يمكن أن نرى من هنا أن قمم الحدود القصوى المتتالية خلال كل عصر تنخفض تدريجياً. في الواقع، في حقبة كاسنر التالية، يكون لهذه المعلمة القيمة u ' = u - 1، ويتم استبدال Λ وفقًا لـ eq. 36 مع Λ '= Λ (1-2 | ص 1 ( ش ) |). لذلك، فإن نسبة 2 حد أقصى متتالي هي
{\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};
وأخيراً
ما سبق حلول لمعادلات أينشتاين في الفراغ. أما بالنسبة لصيغة كاسنر الخالصة، فإن الأمر لا يغير الخصائص النوعية لهذا الحل ويمكن كتابته فيه بغض النظر عن رد فعله على الميدان. ومع ذلك، إذا فعل المرء هذا للنموذج قيد المناقشة، والذي يُفهم على أنه حل دقيق لمعادلات أينشتاين، فإن الصورة الناتجة لتطور المادة لن يكون لها طابع عام وستكون محددة للتماثل العالي الوشيك للنموذج الحالي. رياضياً، ترتبط هذه الخصوصية بحقيقة أنه بالنسبة للهندسة الفضائية المتجانسة التي تمت مناقشتها هنا، فإن مكونات موتر Ricci  R_{\alpha }^{0} هي أصفار متطابقة، وبالتالي فإن معادلات أينشتاين لن تسمح بحركة المادة (التي تعطي إجهادًا غير صفريًا لمكونات موتر الطاقة والزخم  T_{\alpha }^{0} ). بمعنى آخر، يجب أن يكون الإطار المتزامن أيضًا متحركًا بشكل مشترك فيما يتعلق بالمادة. إذا كان أحد البدائل في eq. 19 u α = 0، u 0 = 1، يصبح ε ~ ( abc ) −4/3 ~ t −4/3 .

يتم تجنب هذه الصعوبة إذا قام المرء بتضمين المصطلحات الرئيسية للمقياس المحدد (عند t → 0) فقط في النموذج وكتب فيه مسألة بتوزيع أولي تعسفي للكثافات والسرعات. ثم يتم تحديد مسار تطور المادة من خلال قوانينها العامة للحركة eq. 17 eq. 18 ينتج عنه eq. 21 . خلال كل حقبة كاسنر، تزداد الكثافة حسب القانون
حيث p 3، على النحو الوارد أعلاه، أكبر الأعداد ص 1، ص 2، ص 3 . تزداد كثافة المادة بشكل رتيب خلال كل تطور نحو التفرد.