Problem: Example

Input

2
10 10


Output

40.00000000

Solution (in CPP):

Solution:
#include <bits/stdc++.h>

// long double dist(long double, long double);

// int main()
// {
//     int N;
//     scanf("%d", &N);
//     std::vector<long double> r(N);
//     int max_i{};
//     for (int i{}; i < N; i++)
//     {
//         scanf("%Lf", &r[i]);
//         if (r[i] > r[max_i])
//             max_i = i;
//     }
//     long double ans{};
//     if (max_i == N - 1)
//         ans += r[max_i];
//     else
//     {
//         long double pre[2]{r[max_i], r[max_i + 1]};
//         for (int i{max_i + 2}; i < N; i++)
//         {
//             if (dist(pre[0], r[i]) < dist(pre[0], pre[1]) + dist(pre[1], r[i]))
//             {
//                 ans += dist(pre[0], pre[1]);
//                 pre[0] = pre[1];
//             }
//             pre[1] = r[i];
//         }
//         ans += std::max(dist(pre[0], pre[1]) + pre[1], pre[0]);
//     }
//     if (max_i == 0)
//         ans += r[max_i];
//     else
//     {
//         long double pre[2]{r[max_i], r[max_i - 1]};
//         for (int i{max_i - 2}; i >= 0; i--)
//         {
//             if (dist(pre[0], r[i]) < dist(pre[0], pre[1]) + dist(pre[1], r[i]))
//             {
//                 ans += dist(pre[0], pre[1]);
//                 pre[0] = pre[1];
//             }
//             pre[1] = r[i];
//         }
//         ans += std::max(dist(pre[0], pre[1]) + pre[1], pre[0]);
//     }
//     printf("%.10Lf\n", ans);
//     return 0;
// }

// long double dist(long double a, long double b)
// {
//     return sqrt((a + b) * (a + b) - (a - b) * (a - b));
// }

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,n)  for(int i = 0; i < (n); i++)
#define FOR(i,a,b) for(int i = (a); i < (b); i++)
using vi = vector<int>;
using ll = long long;

const double EPS = 1e-8;

using P = complex<double>;
namespace std{
  bool operator <(const P &a, const P &b){
    return real(a) != real(b) ? real(a) < real(b) : imag(a) < imag(b);
  }
}
double cross(const P &a, const P &b){
  return imag(conj(a)*b);
}
double dot(const P &a, const P &b){
  return real(conj(a)*b);
}
struct L : public vector<P>{
  L(const P &a, const P &b){
    push_back(a);
    push_back(b);
  }
};
struct C{
  P p; double r;
  C(const P &p_, double r_) : p(p_), r(r_) {}
};

P projection(const L &l, const P &p){
  double t = dot(p-l[0],l[0]-l[1]) / norm(l[0]-l[1]);
  return l[0] + t*(l[0]-l[1]);
}

vector<P> crosspointCL(const C &c, const L &l){
  P h = projection(l, c.p);
  double d = abs(h - c.p);
  vector<P> res;
  if(d < c.r - EPS){
    P dir = l[1]-l[0];
    P x = dir / abs(dir) * sqrt(c.r*c.r - d*d);
    res.push_back(h + x);
    res.push_back(h - x);
  }else if(d < c.r + EPS){
    res.push_back(h);
  }
  return res;
}

int main(){
  int n; cin >> n;
  vector<double> rs(n); rep(i,n) cin >> rs[i];
  vector<C> res;
  res.push_back(C(P(rs[0],rs[0]),rs[0]));
  FOR(i,1,n){ // n番目の円の場所を確定させる
    P tmp(rs[i],rs[i]);
    rep(j,i){
      C tmpc(res[j].p,res[j].r+rs[i]);
      // cerr << tmpc.p.real() << " " << tmpc.p.imag() << " " << tmpc.r << endl;
      L tmpl(P(0,rs[i]),P(100,rs[i]));
      vector<P> cross = crosspointCL(tmpc, tmpl);
      sort(cross.begin(), cross.end());
      // cerr << cross.back().real() << " " << cross.back().imag() << endl;
      tmp = max(tmp, cross.back());
    }
    res.push_back(C(tmp,rs[i]));
  }
  double ans = 0;
  rep(i,n){
    ans = max(ans, res[i].p.real()+res[i].r);
    // cerr << i << " " << res[i].p.real() << endl;
  }
  //cout << ans << endl;
  printf("%.10lf\n",ans);
}