<!DOCTYPE html>
<html>
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<title>꼭짓점 배치 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전</title>


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<div></div>
<div>
<a></a>
<div></div>
<div>
</div>
<h1>꼭짓점 배치</h1>
<div>
<div>위키백과, 우리 모두의 백과사전.</div>
<div></div>
<div></div>
<a>둘러보기로 가기</a>
<a>검색하러 가기</a>
<div><div><table>
<tbody><tr>
<td><a><img></a><br/><a>십이이십면체</a>
</td>
<td><a><img></a><br/> 3.5.3.5, 또는 (3.5)<sup>2</sup><br/>으로 표현된 <a>꼭짓점 도형</a>
</td></tr></tbody></table>
<p><a>기하학</a>에서, <b>꼭짓점 배치</b><sup><a>[1]</a></sup><sup><a>[2]</a></sup><sup><a>[3]</a></sup><sup><a>[4]</a></sup>는 다면체나 타일링의 <a>꼭짓점 도형</a>을 꼭짓점 주변의 면의 수열로 간단히 한 표현이다. <a>고른 다면체</a>의 경우, 꼭짓점 종류는 한가지 밖에 없기 때문에 꼭짓점 배치는 다면체를 완전히 정의한다. (같은 꼭짓점 배치를 가지는 <a>카이랄</a> 다면체는 거울상에 존재한다.)
</p><p>꼭짓점 배치는 꼭짓점 주변에 있는 면의 변의 개수를 나타내는 숫자들의 수열로 주어진다. 표기 "<i>a.b.c</i>"는 꼭짓점 주변에 면이 3개가 있고, 각각의 면은 <i>a</i>, <i>b</i>, 그리고 <i>c</i>개의 변으로 이루어져 있다는 것을 의미한다.
</p><p>예를 들어, "3.5.3.5"는 <a>삼각형</a>과 <a>오각형</a>이 번갈아 4개가 있는 꼭짓점을 나타낸다. 이 꼭짓점 배치는 <a>점추이</a>인 <a>십이이십면체</a>를 정의한다. 표기는 순환적이므로 다른 시작점에서 시작하는 표기와 동일하다. 따라서 3.5.3.5는 5.3.5.3과 동일하다. 순서는 중요하기 때문에 3.3.5.5는 3.5.3.5와 다르다. (처음 것은 삼각형 두 개가 나온 뒤 오각형 두 개가 따라 나온다.) 반복되는 원소는 지수로 모아질 수 있다. 따라서 이 예시는 또한 (3.5)<sup>2</sup>으로도 표시할 수 있다.
</p><p>이것은 다양하게 <b>꼭짓점 설명</b>,<sup><a>[5]</a></sup><sup><a>[6]</a></sup><sup><a>[7]</a></sup> <b>꼭짓점 타입</b>,<sup><a>[8]</a></sup><sup><a>[9]</a></sup> <b>꼭짓점 기호</b>,<sup><a>[10]</a></sup><sup><a>[11]</a></sup> <b>꼭짓점 배열</b>,<sup><a>[12]</a></sup> <b>꼭짓점 패턴</b>,<sup><a>[13]</a></sup> <b>면-벡터</b>라고 불렸었다.<sup><a>[14]</a></sup> 이것은 1952년에 저술된 <i>Mathematical Models</i>에 기술된 아르키메데스의 다면체에서의 사용법에 의해 <b>Cundy와 Rollett 기호</b>라고 불린다.<sup><a>[15]</a></sup><sup><a>[16]</a></sup><sup><a>[17]</a></sup><sup><a>[18]</a></sup>
</p>
<div><input><div><h2>목차</h2><span><label></label></span></div>
<ul>
<li><a><span>1</span> <span>꼭짓점 도형</span></a></li>
<li><a><span>2</span> <span>변형과 사용</span></a></li>
<li><a><span>3</span> <span>별 다각형</span></a></li>
<li><a><span>4</span> <span>뒤집힌 정다각형</span></a></li>
<li><a><span>5</span> <span>볼록 정다각형의 모든 고른 꼭짓점 배치</span></a></li>
<li><a><span>6</span> <span>면 배치</span></a></li>
<li><a><span>7</span> <span>각주</span></a></li>
<li><a><span>8</span> <span>참조</span></a></li>
<li><a><span>9</span> <span>외부 링크</span></a></li>
</ul>
</div>
<h2><span></span><span>꼭짓점 도형</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<p><i>꼭짓점 배치</i>는 또한 꼭짓점 주변의 <a>다각형</a> <a>꼭짓점 도형</a>으로 표현할 수 있다. 이 <i>꼭짓점 도형</i>은 면들이 다면체에서 같은 평면에 있지 않는 이상은 3차원 구조를 가지고 있다. 하지만 <a>꼭짓점-고른 다면체</a>에 대해서는 모든 이웃한 꼭짓점은 같은 평면에 있기 때문에 이 정사영은 시각적으로 꼭짓점 배치를 나타내는데 쓰일 수 있다.
</p>
<h2><span></span><span>변형과 사용</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<table>
<caption>정다각형 꼭짓점 도형 전개도, {<i>p</i>,<i>q</i>} = <i>p<sup>q</sup></i>
</caption>
<tbody><tr>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{3,3}</a> = 3<sup>3</sup><br/>
180° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{3,4}</a> = 3<sup>4</sup><br/>
120° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{3,5}</a> = 3<sup>5</sup><br/>
60° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{3,6}</a> =
3<sup>6</sup>
0° 부족
</p>
</td></tr>
<tr>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{4,3}</a><br/>
90° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{4,4}</a> =
4<sup>4</sup>
0° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{5,3}</a> = 5<sup>3</sup><br/>
36° 부족
</p>
</td>
<td><a><img></a><br/>
<p><a>{6,3}</a> =
6<sup>3</sup>
0° 부족
</p>
</td></tr>
<tr>
<td colspan="4">꼭짓점은 면이 최소한 3개가 있고, <a>각이 부족</a>해야 한다.<br/>
<p>0°의 각이 부족할 때는 유클리드 평면을 정다각형 타일링으로 채운다.<br/>
데카르트의 정리에 의해서 꼭짓점의 개수는 720°/<i>부족한 각</i> (4π라디안/<i>부족한 각</i>)이다.
</p>
</td></tr></tbody></table>
<p>다른 표기가 사용되며, 어떤 때는 콤마(,)를 사용하고 다른 때는 마침표(.)가 구분하는 기호로 사용된다. 주기연산자는 이것은 곱셈같이 보이기 때문에 지수 표기를 쓸 수 있어서 유용하다. 예를 들어, 3.5.3.5는 종종 (3.5)<sup>2</sup>로 쓰인다.
</p><p>표기는 또한 <a>정다면체</a>를 위한 단순 <a>슐레플리 기호</a>의 확장이라고 생각할 수 있다. 슐레플리 표기에서 {<i>p</i>,<i>q</i>}는 꼭짓점 주변에 <i>p</i>각형이 <i>q</i>개 있다는 것을 의미한다. 따라서 {<i>p</i>,<i>q</i>}는 <i>p.p.p...</i> (<i>q</i>번 반복) 또는 <i>p<sup>q</sup></i>로 쓸 수 있다. 예를 들어, 정십이면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 3<sup>5</sup>이다.
</p><p>이 표기는 다면체와 같이 다각형 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 고른 타일링을 고른 다면체 같이 평면이 아닌 꼭짓점 배치로 나타낸다.
</p><p>이 표기는 <a>카이랄</a> 형태에 대해서는 모호하다. 예를 들어, <a>다듬은 정육면체</a>는 서울 대칭인 시계방향과 반시계방향 형태가 있다. 하지만 둘 다 꼭짓점 배치가 3.3.3.3.4이다.
</p>
<h2><span></span><span>별 다각형</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<p>이 표기는 볼록하지 않은 <a>별 다각형</a> 같은 면에도 적용된다. 예를 들어, 오각성은 기호 {5/2}인데, 이는 5개의 변이 점을 2번째에 이어간다는 의미이다.
</p><p>예를 들어, 꼭짓점 도형에 정다각형이나 별다각형이 있는 별 정다면체가 4가지가 있다. 작은 별모양 십이면체의 슐레플리 기호는 {5/2,5}이며, 이것은 명시적인 꼭짓점 배치인 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2로 확장하거나 결합해서 (5/2)<sup>5</sup>.로 표기할 수 있다. <a>큰 별모양 십이면체</a>: {5/2,3}은 삼각형의 꼭짓점 도형을 가지고 배치는 (5/2.5/2.5/2) 또는 (5/2)<sup>3</sup>이다. <a>큰 십이면체</a>: {5,5/2}는 오각형 꼭짓점 도형과 배치 (5.5.5.5.5)/2 또는 (5<sup>5</sup>)/2로 표현될 수 있다. <a>큰 이십면체</a>: {3,5/2} 또한 오각형의 꼭짓점 도형과 꼭짓점 배치 (3.3.3.3.3)/2 또는 (3<sup>5</sup>)/2를 가진다.
</p>
<table>
<tbody><tr>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td></tr>
<tr>
<th><a>{5/2,5}</a> = (5/2)<sup>5</sup>
</th>
<th><a>{5/2,3}</a> = (5/2)<sup>3</sup>
</th>
<th>3<sup>4</sup>.5/2
</th>
<th>3<sup>4</sup>.5/3
</th>
<th>(3<sup>4</sup>.5/2)/2
</th></tr>
<tr>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td>
<td><a><img></a>
</td></tr>
<tr>
<th><a>{5,5/2}</a> = (5<sup>5</sup>)/2
</th>
<th><a>{3,5/2}</a> = (3<sup>5</sup>)/2
</th>
<th>V.3<sup>4</sup>.5/2
</th>
<th>V3<sup>4</sup>.5/3
</th>
<th>V(3<sup>4</sup>.5/2)/2
</th></tr></tbody></table>
<h2><span></span><span>뒤집힌 정다각형</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<p>꼭짓점 도형의 면은 한 쪽 방향으로 진행되도록 고려된다. 일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형의 면이 역행하는 반전을 포함한다. 꼭짓점 도형은 이것을 별다각형의 변 표기법 <i>p/q</i> 를 사용하지만 <i>p</i>&lt;2<i>q</i>이다. 여기서 <i>p</i>는 변의 개수 이고, <i>q</i>는 도는 바퀴 수 이다. 예를 들어, "3/2"는 꼭지점을 두번 도는 삼각형을 의미한다. 이것은 반대로 도는 것과 같다. 이와 같이 "5/3"은 뒤집힌 오각성 5/2이다.
</p>
<h2><span></span><span>볼록 정다각형의 모든 고른 꼭짓점 배치</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<p>반정다면체는 양의 부족 각을 갖는 꼭짓점 배치를 가진다.
</p><p>참고: 꼭짓점 도형은 부족 각이 0일 때 평면에서 정 타일링과 반정타일링을 나타낼 수 있다. 꼭짓점 도형의 부족 각이 음일 경우에는 쌍곡면에서의 타일링을 나타낼 수 있다.
</p><p>고른 다면체에서, 부족각은 꼭짓점의 개수를 계산할 때 쓰인다. 데카르트의 정리는 위상적 구에서 부족각을 모두 더하면 4<i>π</i>라디안이나 720도가 된다고 한다.
</p><p>고른 다면체는 모두 동일한 꼭짓점을 가지기 때문에 이 관계로 꼭짓점의 개수를 4<i>π</i>/<i>부족각</i> 또는 720/<i>부족각</i>으로 계산할 수 있다.
</p><p>예시: <a>깎은 정육면체</a> 3.8.8의 부족각은 30도다. 따라서 이것의 꼭짓점은 720/30 = 24개다.
</p><p>특히 {<i>a</i>,<i>b</i>}는 꼭짓점이4 / (2 - <i>b</i>(1 - 2/<i>a</i>))개이다.
</p><p>모든 나열된 꼭짓점 배치는 대부분 유일한 반정다면체를 정의한다. 하지만 모든 꼭짓점 배치가 가능한 것은 아니다.
</p><p>위상적 요구사항은 존재여부를 제한된다. 특히 <i>p.q.r</i> 은 <i>p</i>-각형이 <i>q</i>-각형과 <i>r</i>-각형으로 교대로 둘러싸여 있다는 것을 내포하기 때문에, <i>p</i>가 짝수이거나 <i>q</i>와 <i>r</i>이 같다. 비슷하게 <i>q</i>가 짝수이거나 <i>p</i>가 <i>r</i>과 같거나, 또는 <i>r</i>이 짝수거나 <i>p</i>가 <i>q</i>와 같다. 따라서 세 개로 이루어진 가능한 조합은 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4.<i>n</i> (<i>n</i>&gt;2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. 사실, 각 꼭짓점에서 세 개의 면이 만나는 이 배치들은 존재한다. 각 면이 정육각형 이하인 정다면체나 정다각형을 <a>깎은</a> 것 끼리 <a>분류하거나</a> 꼭짓점에 모인 면의 수를 <a>깎은</a> 것에 따라 <a>분류하기도 한다</a>. 마름모가 들어가면 <a>부풀리기</a>이다.
</p><p>괄호 안의 숫자들은 부족 각으로 계산한 꼭짓점의 개수이다(단, <a>부족각</a>의 크기가 0도인 <a>정다각형 타일링</a>은 720을 0으로 나눌 수 없으므로 꼭짓점은 개수는 무한대로 급상승하게 된다).
</p>
<dl><dt>3개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a>3.3.3</a> (4), <a>4.4.4</a> (8), <a>5.5.5</a> (20)</li>
<li><a>각기둥</a> 4.4.<i>n</i> (2×<i>n</i>), 예시:3.4.4 (6), 4.4.5 (10)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a>3.6.6</a> (12), <a>3.8.8</a> (24), <a>3.10.10</a> (60), <a>4.6.6</a> (24), <a>4.6.8</a> (48), <a>4.6.10</a> (120), <a>5.6.6</a> (60).</li>
<li>정다각형 타일링 <a>6.6.6</a></li>
<li>준정다각형 타일링 <a>3.12.12</a>, <a>4.6.12</a>, <a>4.8.8</a></li></ul>
<dl><dt>4개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a>3.3.3.3</a> (6)</li>
<li><a>엇각기둥</a> 3.3.3.<i>n</i> (2×<i>n</i>), 예시:3.3.3 (4), 3.3.3.4 (8)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a>3.4.3.4</a> (12), <a>3.5.3.5</a> (30), <a>3.4.4.4</a> (24), <a>3.4.5.4</a> (60)</li>
<li>정다각형 타일링 <a>4.4.4.4</a></li>
<li>준정다각형 타일링 <a>3.6.3.6</a>, <a>3.4.6.4</a></li></ul>
<dl><dt>5개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a>3.3.3.3.3</a> (12)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a>3.3.3.3.4</a> (24), <a>3.3.3.3.5</a> (60) (<a>카이랄</a>상 둘 다)</li>
<li>반정다각형 타일링 <a>3.3.3.3.6</a> (카이랄), <a>3.3.3.4.4</a>, <a>3.3.4.3.4</a> (같은 숫자를 다른 순서로 배열하는 것이 다른 패턴을 나타내는것을 주목하라)</li></ul>
<dl><dt>6개</dt></dl>
<ul><li>정다각형 타일링 <a>3.3.3.3.3.3</a></li></ul>
<h2><span></span><span>면 배치</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<div><div><a><img></a> <div><div><a></a></div><a>마름모십이면체</a></div></div></div>
<p>고른 쌍대, 또는 <a>쌍각뿔</a>과 <a>엇쌍각뿔</a>을 포함하는 <a>카탈랑의 다면체</a>는 수직적으로 규칙적(<a>면추이</a>)이고, 따라서 이것들은 <b>면 배치</b>와 동일하게 볼 수 있다.<sup><a>[3]</a></sup> Cundy와 Rollett은 이 쌍대 기호의 앞에 <i>V</i>를 붙였다. 이와 반대로, <i>타일링과 패턴</i>은 대괄호를 기호를 두른다.
</p><p>이 표기는 면 둘레의 꼭짓점에 모인 면의 개수의 수열을 나타낸다.<sup><a>[19]</a></sup> 예를 들어, V3.4.3.4 또는 V(3.4)<sup>2</sup>은 면추이인 <a>마름모십이면체</a>를 나타낸다: 모든 면은 마름모이고, 마름모의 꼭짓점에서 교대로 3 또는 4개의 면이 있어야 한다.
</p>
<h2><span></span><span>각주</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<div>
<div><ol>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Uniform Solution for Uniform Polyhedra</a> <a>Archived</a> 2015년 11월 27일 - <a>웨이백 머신</a> (1993)</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>The Uniform Polyhedra</a> Roman E. Maeder (1995)</span>
</li>
<li><span>↑ <sup><a>가</a></sup> <sup><a>나</a></sup></span> <span><a>Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures</a> by Walter Steurer, Sofia Deloudi, (2009) pp. 18–20 and 51–53</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Physical Metallurgy: 3-Volume Set, Volume 1</a> edited by David E. Laughlin, (2014) pp. 16–20</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Archimedean Polyhedra</a> <a>Archived</a> 2017년 7월 5일 - <a>웨이백 머신</a> Steven Dutch</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Uniform Polyhedra</a> Jim McNeill</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Uniform Polyhedra and their Duals</a> Robert Webb</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids</a>, Jurij Kovič, (2011)</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>3. General Theorems: Regular and Semi-Regular Tilings</a> Kevin Mitchell, 1995</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span>Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles, edited by Brian Hopkins</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Vertex Symbol</a> Robert Whittaker</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span>Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice
 By Michael Hann</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids</a> Jurij Kovič</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><cite>Deza, Michel; Shtogrin, Mikhail. <a>“Uniform Partitions of 3-space, their Relatives and Embedding”</a> <span>(PDF)</span>.</cite><span><span> </span></span></span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><cite>Weisstein, Eric Wolfgang. <a>“Archimedean solid”</a>. 《<a>Wolfram MathWorld</a>》 (영어). Wolfram Research.</cite><span><span> </span></span></span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere</a> 6.4.1 Cundy-Rollett symbol, p. 164</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>Physical Metallurgy: 3-Volume Set, Volume 1</a> edited by David E. Laughlin, (2014) p. 16</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span><a>CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition</a> By Eric W. Weisstein</span>
</li>
<li><span><a>↑</a></span> <span>Cundy and Rollett (1952)</span>
</li>
</ol></div></div>
<h2><span></span><span>참조</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<ul><li>Cundy, H. and Rollett, A., <i>Mathematical Models</i> (1952), (3rd edition, 1989, Stradbroke, England: Tarquin Pub.), 3.7 <i>The Archimedean Polyhedra</i>. Pp. 101–115, pp. 118–119  Table I, Nets of Archimedean Duals, V.<i>a</i>.<i>b</i>.<i>c</i>... as <i>vertically-regular</i> symbols.</li>
<li>Peter Cromwell, <i>Polyhedra</i>, Cambridge University Press (1977) The Archimedean solids. Pp. 156–167.</li>
<li><a>틀:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)</a> Uses Cundy-Rollett symbol.</li>
<li><cite><a>Grünbaum, Branko</a>; <a>Shephard, G. C.</a> (1987). 《Tilings and Patterns》. W. H. Freeman and Company. <a>ISBN</a> <a>0-7167-1193-1</a>.</cite><span><span> </span></span><span> CS1 관리 - 여러 이름 (<a>링크</a>)</span> Pp. 58–64, Tilings of regular polygons a.b.c.... (Tilings by regular polygons and star polygons)  pp. 95–97, 176, 283, 614–620, Monohedral tiling symbol [v<sub>1</sub>.v<sub>2</sub>. ... .v<sub>r</sub>]. pp. 632–642 hollow tilings.</li>
<li><i>The Symmetries of Things</i> 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, <a>ISBN</a> <a>978-1-56881-220-5</a> (p. 289 Vertex figures, uses comma separator, for Archimedean solids and tilings).</li></ul>
<h2><span></span><span>외부 링크</span><span><span>[</span><a>편집</a><span>]</span></span></h2>
<ul><li><a>Consistent Vertex Descriptions</a> Stella (software), Robert Webb</li></ul>



</div><noscript><img></noscript></div>
<div>원본 주소 "<a>https://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=꼭짓점_배치&amp;oldid=23980319</a>"</div>
<div><div><a>분류</a>: <ul><li><a>수학 표기법</a></li><li><a>다면체</a></li></ul></div><div>숨은 분류: <ul><li><a>CS1 - 영어 인용 (en)</a></li><li><a>CS1 관리 - 여러 이름</a></li></ul></div></div>
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“3,5,3,5”의 꼭짓점 배치가 이루는 도형은 무엇인가?
<a>십이이십면체</a>
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<title>꼭짓점 배치 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전</title>
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<h1 class="firstHeading" id="firstHeading" lang="ko">꼭짓점 배치</h1>
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<div class="mw-content-ltr" dir="ltr" id="mw-content-text" lang="ko"><div class="mw-parser-output"><table align="right" class="wikitable" style="margin-bottom: 34px;">
<tbody><tr align="center" valign="top">
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Icosidodecahedron.png"><img alt="Icosidodecahedron.png" data-file-height="1000" data-file-width="1000" decoding="async" height="200" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Icosidodecahedron.png/200px-Icosidodecahedron.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Icosidodecahedron.png/300px-Icosidodecahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Icosidodecahedron.png/400px-Icosidodecahedron.png 2x" width="200"/></a><br/><a href="/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="십이이십면체">십이이십면체</a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png"><img alt="Icosidodecahedron vertfig labeled.png" data-file-height="518" data-file-width="374" decoding="async" height="208" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png/150px-Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png/225px-Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png/300px-Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png 2x" width="150"/></a><br/> 3.5.3.5, 또는 (3.5)<sup>2</sup><br/>으로 표현된 <a href="/wiki/%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%8F%84%ED%98%95" title="꼭짓점 도형">꼭짓점 도형</a>
</td></tr></tbody></table>
<p><a href="/wiki/%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99" title="기하학">기하학</a>에서, <b>꼭짓점 배치</b><sup class="reference" id="cite_ref-1"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-2"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-Steurer_3-0"><a href="#cite_note-Steurer-3">[3]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-Laughlin_4-0"><a href="#cite_note-Laughlin-4">[4]</a></sup>는 다면체나 타일링의 <a href="/wiki/%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%8F%84%ED%98%95" title="꼭짓점 도형">꼭짓점 도형</a>을 꼭짓점 주변의 면의 수열로 간단히 한 표현이다. <a href="/wiki/%EA%B3%A0%EB%A5%B8_%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="고른 다면체">고른 다면체</a>의 경우, 꼭짓점 종류는 한가지 밖에 없기 때문에 꼭짓점 배치는 다면체를 완전히 정의한다. (같은 꼭짓점 배치를 가지는 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EB%9E%84%EC%84%B1_(%EC%88%98%ED%95%99)&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="카이랄성 (수학) (없는 문서)">카이랄</a> 다면체는 거울상에 존재한다.)
</p><p>꼭짓점 배치는 꼭짓점 주변에 있는 면의 변의 개수를 나타내는 숫자들의 수열로 주어진다. 표기 "<i>a.b.c</i>"는 꼭짓점 주변에 면이 3개가 있고, 각각의 면은 <i>a</i>, <i>b</i>, 그리고 <i>c</i>개의 변으로 이루어져 있다는 것을 의미한다.
</p><p>예를 들어, "3.5.3.5"는 <a href="/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95" title="삼각형">삼각형</a>과 <a href="/wiki/%EC%98%A4%EA%B0%81%ED%98%95" title="오각형">오각형</a>이 번갈아 4개가 있는 꼭짓점을 나타낸다. 이 꼭짓점 배치는 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%A0%90%EC%B6%94%EC%9D%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="점추이 (없는 문서)">점추이</a>인 <a href="/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="십이이십면체">십이이십면체</a>를 정의한다. 표기는 순환적이므로 다른 시작점에서 시작하는 표기와 동일하다. 따라서 3.5.3.5는 5.3.5.3과 동일하다. 순서는 중요하기 때문에 3.3.5.5는 3.5.3.5와 다르다. (처음 것은 삼각형 두 개가 나온 뒤 오각형 두 개가 따라 나온다.) 반복되는 원소는 지수로 모아질 수 있다. 따라서 이 예시는 또한 (3.5)<sup>2</sup>으로도 표시할 수 있다.
</p><p>이것은 다양하게 <b>꼭짓점 설명</b>,<sup class="reference" id="cite_ref-5"><a href="#cite_note-5">[5]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-6"><a href="#cite_note-6">[6]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-7"><a href="#cite_note-7">[7]</a></sup> <b>꼭짓점 타입</b>,<sup class="reference" id="cite_ref-8"><a href="#cite_note-8">[8]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-9"><a href="#cite_note-9">[9]</a></sup> <b>꼭짓점 기호</b>,<sup class="reference" id="cite_ref-10"><a href="#cite_note-10">[10]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-11"><a href="#cite_note-11">[11]</a></sup> <b>꼭짓점 배열</b>,<sup class="reference" id="cite_ref-12"><a href="#cite_note-12">[12]</a></sup> <b>꼭짓점 패턴</b>,<sup class="reference" id="cite_ref-13"><a href="#cite_note-13">[13]</a></sup> <b>면-벡터</b>라고 불렸었다.<sup class="reference" id="cite_ref-14"><a href="#cite_note-14">[14]</a></sup> 이것은 1952년에 저술된 <i>Mathematical Models</i>에 기술된 아르키메데스의 다면체에서의 사용법에 의해 <b>Cundy와 Rollett 기호</b>라고 불린다.<sup class="reference" id="cite_ref-15"><a href="#cite_note-15">[15]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-16"><a href="#cite_note-16">[16]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-17"><a href="#cite_note-17">[17]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-18"><a href="#cite_note-18">[18]</a></sup>
</p>
<div class="toc" id="toc"><input class="toctogglecheckbox" id="toctogglecheckbox" role="button" style="display:none" type="checkbox"/><div class="toctitle" dir="ltr" lang="ko"><h2>목차</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div>
<ul>
<li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#꼭짓점_도형"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">꼭짓점 도형</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#변형과_사용"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">변형과 사용</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#별_다각형"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">별 다각형</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#뒤집힌_정다각형"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">뒤집힌 정다각형</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#볼록_정다각형의_모든_고른_꼭짓점_배치"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">볼록 정다각형의 모든 고른 꼭짓점 배치</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#면_배치"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">면 배치</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#각주"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">각주</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#참조"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">참조</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#외부_링크"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">외부 링크</span></a></li>
</ul>
</div>
<h2><span id=".EA.BC.AD.EC.A7.93.EC.A0.90_.EB.8F.84.ED.98.95"></span><span class="mw-headline" id="꼭짓점_도형">꼭짓점 도형</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=1" title="부분 편집: 꼭짓점 도형">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p><i>꼭짓점 배치</i>는 또한 꼭짓점 주변의 <a href="/wiki/%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95" title="다각형">다각형</a> <a href="/wiki/%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%8F%84%ED%98%95" title="꼭짓점 도형">꼭짓점 도형</a>으로 표현할 수 있다. 이 <i>꼭짓점 도형</i>은 면들이 다면체에서 같은 평면에 있지 않는 이상은 3차원 구조를 가지고 있다. 하지만 <a href="/wiki/%EA%B3%A0%EB%A5%B8_%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="고른 다면체">꼭짓점-고른 다면체</a>에 대해서는 모든 이웃한 꼭짓점은 같은 평면에 있기 때문에 이 정사영은 시각적으로 꼭짓점 배치를 나타내는데 쓰일 수 있다.
</p>
<h2><span id=".EB.B3.80.ED.98.95.EA.B3.BC_.EC.82.AC.EC.9A.A9"></span><span class="mw-headline" id="변형과_사용">변형과 사용</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=2" title="부분 편집: 변형과 사용">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<table align="right" class="wikitable" style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">
<caption>정다각형 꼭짓점 도형 전개도, {<i>p</i>,<i>q</i>} = <i>p<sup>q</sup></i>
</caption>
<tbody><tr>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Polyiamond-3-1.svg"><img alt="Polyiamond-3-1.svg" data-file-height="45" data-file-width="90" decoding="async" height="40" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/80px-Polyiamond-3-1.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/120px-Polyiamond-3-1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/160px-Polyiamond-3-1.svg.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a href="/wiki/%EC%82%AC%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="사면체">{3,3}</a> = 3<sup>3</sup><br/>
180° 부족
</p>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Polyiamond-4-1.svg"><img alt="Polyiamond-4-1.svg" data-file-height="80" data-file-width="90" decoding="async" height="71" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/80px-Polyiamond-4-1.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/120px-Polyiamond-4-1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/160px-Polyiamond-4-1.svg.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a href="/wiki/%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="팔면체">{3,4}</a> = 3<sup>4</sup><br/>
120° 부족
</p>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Polyiamond-5-4.svg"><img alt="Polyiamond-5-4.svg" data-file-height="80" data-file-width="90" decoding="async" height="71" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/80px-Polyiamond-5-4.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/120px-Polyiamond-5-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/160px-Polyiamond-5-4.svg.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a href="/wiki/%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="이십면체">{3,5}</a> = 3<sup>5</sup><br/>
60° 부족
</p>
</td>
<td bgcolor="#e0e0ff"><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Polyiamond-6-11.svg"><img alt="Polyiamond-6-11.svg" data-file-height="80" data-file-width="90" decoding="async" height="71" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/80px-Polyiamond-6-11.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/120px-Polyiamond-6-11.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/160px-Polyiamond-6-11.svg.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a class="mw-redirect" href="/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81" title="삼각형 타일링">{3,6}</a> =
3<sup>6</sup>
0° 부족
</p>
</td></tr>
<tr valign="bottom">
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:TrominoV.jpg"><img alt="TrominoV.jpg" data-file-height="200" data-file-width="200" decoding="async" height="80" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/TrominoV.jpg/80px-TrominoV.jpg" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/TrominoV.jpg/120px-TrominoV.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/TrominoV.jpg/160px-TrominoV.jpg 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a href="/wiki/%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="정육면체">{4,3}</a><br/>
90° 부족
</p>
</td>
<td bgcolor="#e0e0ff"><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Square_tiling_vertfig.png"><img alt="Square tiling vertfig.png" data-file-height="600" data-file-width="600" decoding="async" height="80" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Square_tiling_vertfig.png/80px-Square_tiling_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Square_tiling_vertfig.png/120px-Square_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Square_tiling_vertfig.png/160px-Square_tiling_vertfig.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a class="mw-redirect" href="/wiki/%EC%82%AC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81" title="사각형 타일링">{4,4}</a> =
4<sup>4</sup>
0° 부족
</p>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Pentagon_net.png"><img alt="Pentagon net.png" data-file-height="1526" data-file-width="1913" decoding="async" height="64" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Pentagon_net.png/80px-Pentagon_net.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Pentagon_net.png/120px-Pentagon_net.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Pentagon_net.png/160px-Pentagon_net.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a href="/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="십이면체">{5,3}</a> = 5<sup>3</sup><br/>
36° 부족
</p>
</td>
<td bgcolor="#e0e0ff"><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Hexagonal_tiling_vertfig.png"><img alt="Hexagonal tiling vertfig.png" data-file-height="531" data-file-width="536" decoding="async" height="79" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/80px-Hexagonal_tiling_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/120px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/160px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 2x" width="80"/></a><br/>
<p><a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="육각형 타일링 (없는 문서)">{6,3}</a> =
6<sup>3</sup>
0° 부족
</p>
</td></tr>
<tr>
<td colspan="4">꼭짓점은 면이 최소한 3개가 있고, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%B6%80%EC%A1%B1%EA%B0%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="부족각 (없는 문서)">각이 부족</a>해야 한다.<br/>
<p>0°의 각이 부족할 때는 유클리드 평면을 정다각형 타일링으로 채운다.<br/>
데카르트의 정리에 의해서 꼭짓점의 개수는 720°/<i>부족한 각</i> (4π라디안/<i>부족한 각</i>)이다.
</p>
</td></tr></tbody></table>
<p>다른 표기가 사용되며, 어떤 때는 콤마(,)를 사용하고 다른 때는 마침표(.)가 구분하는 기호로 사용된다. 주기연산자는 이것은 곱셈같이 보이기 때문에 지수 표기를 쓸 수 있어서 유용하다. 예를 들어, 3.5.3.5는 종종 (3.5)<sup>2</sup>로 쓰인다.
</p><p>표기는 또한 <a href="/wiki/%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="정다면체">정다면체</a>를 위한 단순 <a href="/wiki/%EC%8A%90%EB%A0%88%ED%94%8C%EB%A6%AC_%EA%B8%B0%ED%98%B8" title="슐레플리 기호">슐레플리 기호</a>의 확장이라고 생각할 수 있다. 슐레플리 표기에서 {<i>p</i>,<i>q</i>}는 꼭짓점 주변에 <i>p</i>각형이 <i>q</i>개 있다는 것을 의미한다. 따라서 {<i>p</i>,<i>q</i>}는 <i>p.p.p...</i> (<i>q</i>번 반복) 또는 <i>p<sup>q</sup></i>로 쓸 수 있다. 예를 들어, 정십이면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 3<sup>5</sup>이다.
</p><p>이 표기는 다면체와 같이 다각형 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 고른 타일링을 고른 다면체 같이 평면이 아닌 꼭짓점 배치로 나타낸다.
</p><p>이 표기는 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EB%9E%84%EC%84%B1_(%EC%88%98%ED%95%99)&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="카이랄성 (수학) (없는 문서)">카이랄</a> 형태에 대해서는 모호하다. 예를 들어, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%93%AC%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="다듬은 정육면체 (없는 문서)">다듬은 정육면체</a>는 서울 대칭인 시계방향과 반시계방향 형태가 있다. 하지만 둘 다 꼭짓점 배치가 3.3.3.3.4이다.
</p>
<h2><span id=".EB.B3.84_.EB.8B.A4.EA.B0.81.ED.98.95"></span><span class="mw-headline" id="별_다각형">별 다각형</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=3" title="부분 편집: 별 다각형">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>이 표기는 볼록하지 않은 <a href="/wiki/%EB%B3%84_%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95" title="별 다각형">별 다각형</a> 같은 면에도 적용된다. 예를 들어, 오각성은 기호 {5/2}인데, 이는 5개의 변이 점을 2번째에 이어간다는 의미이다.
</p><p>예를 들어, 꼭짓점 도형에 정다각형이나 별다각형이 있는 별 정다면체가 4가지가 있다. 작은 별모양 십이면체의 슐레플리 기호는 {5/2,5}이며, 이것은 명시적인 꼭짓점 배치인 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2로 확장하거나 결합해서 (5/2)<sup>5</sup>.로 표기할 수 있다. <a href="/wiki/%ED%81%B0_%EB%B3%84%EB%AA%A8%EC%96%91_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 별모양 십이면체">큰 별모양 십이면체</a>: {5/2,3}은 삼각형의 꼭짓점 도형을 가지고 배치는 (5/2.5/2.5/2) 또는 (5/2)<sup>3</sup>이다. <a href="/wiki/%ED%81%B0_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 십이면체">큰 십이면체</a>: {5,5/2}는 오각형 꼭짓점 도형과 배치 (5.5.5.5.5)/2 또는 (5<sup>5</sup>)/2로 표현될 수 있다. <a href="/wiki/%ED%81%B0_%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 이십면체">큰 이십면체</a>: {3,5/2} 또한 오각형의 꼭짓점 도형과 꼭짓점 배치 (3.3.3.3.3)/2 또는 (3<sup>5</sup>)/2를 가진다.
</p>
<table class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;">
<tbody><tr>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png"><img alt="Small stellated dodecahedron vertfig.png" data-file-height="627" data-file-width="658" decoding="async" height="143" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png/150px-Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png/225px-Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png/300px-Small_stellated_dodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png"><img alt="Great stellated dodecahedron vertfig.png" data-file-height="538" data-file-width="495" decoding="async" height="163" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png/150px-Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png/225px-Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png/300px-Great_stellated_dodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png"><img alt="Great snub icosidodecahedron vertfig.png" data-file-height="561" data-file-width="579" decoding="async" height="145" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png/150px-Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png/225px-Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png/300px-Great_snub_icosidodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png"><img alt="Great retrosnub icosidodecahedron vertfig.png" data-file-height="502" data-file-width="499" decoding="async" height="151" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png/150px-Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png/226px-Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png/300px-Great_retrosnub_icosidodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png"><img alt="Small retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png" data-file-height="549" data-file-width="453" decoding="async" height="182" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png/150px-Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png/225px-Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png/300px-Small_retrosnub_icosicosidodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td></tr>
<tr>
<th><a href="/wiki/%EC%9E%91%EC%9D%80_%EB%B3%84%EB%AA%A8%EC%96%91_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="작은 별모양 십이면체">{5/2,5}</a> = (5/2)<sup>5</sup>
</th>
<th><a href="/wiki/%ED%81%B0_%EB%B3%84%EB%AA%A8%EC%96%91_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 별모양 십이면체">{5/2,3}</a> = (5/2)<sup>3</sup>
</th>
<th>3<sup>4</sup>.5/2
</th>
<th>3<sup>4</sup>.5/3
</th>
<th>(3<sup>4</sup>.5/2)/2
</th></tr>
<tr>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Great_dodecahedron_vertfig.png"><img alt="Great dodecahedron vertfig.png" data-file-height="582" data-file-width="567" decoding="async" height="154" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Great_dodecahedron_vertfig.png/150px-Great_dodecahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Great_dodecahedron_vertfig.png/225px-Great_dodecahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Great_dodecahedron_vertfig.png/300px-Great_dodecahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Great_icosahedron_vertfig.png"><img alt="Great icosahedron vertfig.png" data-file-height="550" data-file-width="531" decoding="async" height="155" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Great_icosahedron_vertfig.png/150px-Great_icosahedron_vertfig.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Great_icosahedron_vertfig.png/225px-Great_icosahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Great_icosahedron_vertfig.png/299px-Great_icosahedron_vertfig.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:DU57_facets.png"><img alt="DU57 facets.png" data-file-height="1173" data-file-width="1117" decoding="async" height="158" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/DU57_facets.png/150px-DU57_facets.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/DU57_facets.png/226px-DU57_facets.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/DU57_facets.png/301px-DU57_facets.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:DU72_facets.png"><img alt="DU72 facets.png" data-file-height="1200" data-file-width="1200" decoding="async" height="150" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/DU72_facets.png/150px-DU72_facets.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/DU72_facets.png/225px-DU72_facets.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/DU72_facets.png/300px-DU72_facets.png 2x" width="150"/></a>
</td>
<td><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:DU74_facets.png"><img alt="DU74 facets.png" data-file-height="457" data-file-width="1203" decoding="async" height="57" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/DU74_facets.png/150px-DU74_facets.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/DU74_facets.png/225px-DU74_facets.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/DU74_facets.png/300px-DU74_facets.png 2x" width="150"/></a>
</td></tr>
<tr>
<th><a href="/wiki/%ED%81%B0_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 십이면체">{5,5/2}</a> = (5<sup>5</sup>)/2
</th>
<th><a href="/wiki/%ED%81%B0_%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="큰 이십면체">{3,5/2}</a> = (3<sup>5</sup>)/2
</th>
<th>V.3<sup>4</sup>.5/2
</th>
<th>V3<sup>4</sup>.5/3
</th>
<th>V(3<sup>4</sup>.5/2)/2
</th></tr></tbody></table>
<h2><span id=".EB.92.A4.EC.A7.91.ED.9E.8C_.EC.A0.95.EB.8B.A4.EA.B0.81.ED.98.95"></span><span class="mw-headline" id="뒤집힌_정다각형">뒤집힌 정다각형</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=4" title="부분 편집: 뒤집힌 정다각형">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>꼭짓점 도형의 면은 한 쪽 방향으로 진행되도록 고려된다. 일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형의 면이 역행하는 반전을 포함한다. 꼭짓점 도형은 이것을 별다각형의 변 표기법 <i>p/q</i> 를 사용하지만 <i>p</i>&lt;2<i>q</i>이다. 여기서 <i>p</i>는 변의 개수 이고, <i>q</i>는 도는 바퀴 수 이다. 예를 들어, "3/2"는 꼭지점을 두번 도는 삼각형을 의미한다. 이것은 반대로 도는 것과 같다. 이와 같이 "5/3"은 뒤집힌 오각성 5/2이다.
</p>
<h2><span id=".EB.B3.BC.EB.A1.9D_.EC.A0.95.EB.8B.A4.EA.B0.81.ED.98.95.EC.9D.98_.EB.AA.A8.EB.93.A0_.EA.B3.A0.EB.A5.B8_.EA.BC.AD.EC.A7.93.EC.A0.90_.EB.B0.B0.EC.B9.98"></span><span class="mw-headline" id="볼록_정다각형의_모든_고른_꼭짓점_배치">볼록 정다각형의 모든 고른 꼭짓점 배치</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=5" title="부분 편집: 볼록 정다각형의 모든 고른 꼭짓점 배치">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>반정다면체는 양의 부족 각을 갖는 꼭짓점 배치를 가진다.
</p><p>참고: 꼭짓점 도형은 부족 각이 0일 때 평면에서 정 타일링과 반정타일링을 나타낼 수 있다. 꼭짓점 도형의 부족 각이 음일 경우에는 쌍곡면에서의 타일링을 나타낼 수 있다.
</p><p>고른 다면체에서, 부족각은 꼭짓점의 개수를 계산할 때 쓰인다. 데카르트의 정리는 위상적 구에서 부족각을 모두 더하면 4<i>π</i>라디안이나 720도가 된다고 한다.
</p><p>고른 다면체는 모두 동일한 꼭짓점을 가지기 때문에 이 관계로 꼭짓점의 개수를 4<i>π</i>/<i>부족각</i> 또는 720/<i>부족각</i>으로 계산할 수 있다.
</p><p>예시: <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정육면체">깎은 정육면체</a> 3.8.8의 부족각은 30도다. 따라서 이것의 꼭짓점은 720/30 = 24개다.
</p><p>특히 {<i>a</i>,<i>b</i>}는 꼭짓점이4 / (2 - <i>b</i>(1 - 2/<i>a</i>))개이다.
</p><p>모든 나열된 꼭짓점 배치는 대부분 유일한 반정다면체를 정의한다. 하지만 모든 꼭짓점 배치가 가능한 것은 아니다.
</p><p>위상적 요구사항은 존재여부를 제한된다. 특히 <i>p.q.r</i> 은 <i>p</i>-각형이 <i>q</i>-각형과 <i>r</i>-각형으로 교대로 둘러싸여 있다는 것을 내포하기 때문에, <i>p</i>가 짝수이거나 <i>q</i>와 <i>r</i>이 같다. 비슷하게 <i>q</i>가 짝수이거나 <i>p</i>가 <i>r</i>과 같거나, 또는 <i>r</i>이 짝수거나 <i>p</i>가 <i>q</i>와 같다. 따라서 세 개로 이루어진 가능한 조합은 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4.<i>n</i> (<i>n</i>&gt;2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. 사실, 각 꼭짓점에서 세 개의 면이 만나는 이 배치들은 존재한다. 각 면이 정육각형 이하인 정다면체나 정다각형을 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EA%B9%8E%EA%B8%B0_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="깎기 (기하학) (없는 문서)">깎은</a> 것 끼리 <a href="/wiki/%EB%B0%98%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4%EC%9D%98_%EB%B6%84%EB%A5%98" title="반정다면체의 분류">분류하거나</a> 꼭짓점에 모인 면의 수를 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%A0%88%EB%B0%98%EA%B9%8E%EA%B8%B0&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="절반깎기 (없는 문서)">깎은</a> 것에 따라 <a href="/wiki/%EB%B0%98%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4%EC%9D%98_%EB%B6%84%EB%A5%98" title="반정다면체의 분류">분류하기도 한다</a>. 마름모가 들어가면 <a href="/wiki/%EB%B6%80%ED%92%80%EB%A6%AC%EA%B8%B0" title="부풀리기">부풀리기</a>이다.
</p><p>괄호 안의 숫자들은 부족 각으로 계산한 꼭짓점의 개수이다(단, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%B6%80%EC%A1%B1%EA%B0%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="부족각 (없는 문서)">부족각</a>의 크기가 0도인 <a href="/wiki/%EC%A0%95%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC_%EB%8D%AE%EA%B8%B0" title="정다각형 타일 덮기">정다각형 타일링</a>은 720을 0으로 나눌 수 없으므로 꼭짓점은 개수는 무한대로 급상승하게 된다).
</p>
<dl><dt>3개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a href="/wiki/%EC%82%AC%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="사면체">3.3.3</a> (4), <a href="/wiki/%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="정육면체">4.4.4</a> (8), <a href="/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="십이면체">5.5.5</a> (20)</li>
<li><a href="/wiki/%EA%B0%81%EA%B8%B0%EB%91%A5" title="각기둥">각기둥</a> 4.4.<i>n</i> (2×<i>n</i>), 예시:3.4.4 (6), 4.4.5 (10)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%82%AC%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정사면체">3.6.6</a> (12), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정육면체">3.8.8</a> (24), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정십이면체">3.10.10</a> (60), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정팔면체">4.6.6</a> (24), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%9C%A1%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 육팔면체">4.6.8</a> (48), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 십이이십면체">4.6.10</a> (120), <a href="/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="깎은 정이십면체">5.6.6</a> (60).</li>
<li>정다각형 타일링 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="육각형 타일링 (없는 문서)">6.6.6</a></li>
<li>준정다각형 타일링 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="깎은 육각형 타일링 (없는 문서)">3.12.12</a>, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%82%BC%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="깎은 삼육각형 (없는 문서)">4.6.12</a>, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%82%AC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="깎은 사각형 타일링 (없는 문서)">4.8.8</a></li></ul>
<dl><dt>4개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a href="/wiki/%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="팔면체">3.3.3.3</a> (6)</li>
<li><a href="/wiki/%EC%97%87%EA%B0%81%EA%B8%B0%EB%91%A5" title="엇각기둥">엇각기둥</a> 3.3.3.<i>n</i> (2×<i>n</i>), 예시:3.3.3 (4), 3.3.3.4 (8)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a href="/wiki/%EC%9C%A1%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="육팔면체">3.4.3.4</a> (12), <a href="/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="십이이십면체">3.5.3.5</a> (30), <a href="/wiki/%EB%A7%88%EB%A6%84%EB%AA%A8%EC%9C%A1%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="마름모육팔면체">3.4.4.4</a> (24), <a href="/wiki/%EB%A7%88%EB%A6%84%EB%AA%A8%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="마름모십이이십면체">3.4.5.4</a> (60)</li>
<li>정다각형 타일링 <a class="mw-redirect" href="/wiki/%EC%82%AC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81" title="사각형 타일링">4.4.4.4</a></li>
<li>준정다각형 타일링 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%82%BC%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="삼육각형 타일링 (없는 문서)">3.6.3.6</a>, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%B6%80%ED%92%80%EB%A6%B0_%EC%9C%A1%EA%B0%80%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="부풀린 육가형 타일링 (없는 문서)">3.4.6.4</a></li></ul>
<dl><dt>5개</dt></dl>
<ul><li>정다면체 <a href="/wiki/%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="이십면체">3.3.3.3.3</a> (12)</li>
<li>아르키메데스의 다면체 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%93%AC%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9C%A1%EB%A9%B4%EC%B2%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="다듬은 정육면체 (없는 문서)">3.3.3.3.4</a> (24), <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%93%AC%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="다듬은 정십이면체 (없는 문서)">3.3.3.3.5</a> (60) (<a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EB%9E%84%EC%84%B1_(%EC%88%98%ED%95%99)&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="카이랄성 (수학) (없는 문서)">카이랄</a>상 둘 다)</li>
<li>반정다각형 타일링 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%93%AC%EC%9D%80_%EC%9C%A1%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="다듬은 육각형 타일링 (없는 문서)">3.3.3.3.6</a> (카이랄), <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8A%98%EB%A6%B0_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="늘린 삼각형 타일링 (없는 문서)">3.3.3.4.4</a>, <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%8B%A4%EB%93%AC%EC%9D%80_%EC%82%AC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="다듬은 사각형 타일링 (없는 문서)">3.3.4.3.4</a> (같은 숫자를 다른 순서로 배열하는 것이 다른 패턴을 나타내는것을 주목하라)</li></ul>
<dl><dt>6개</dt></dl>
<ul><li>정다각형 타일링 <a class="mw-redirect" href="/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95_%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81" title="삼각형 타일링">3.3.3.3.3.3</a></li></ul>
<h2><span id=".EB.A9.B4_.EB.B0.B0.EC.B9.98"></span><span class="mw-headline" id="면_배치">면 배치</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=6" title="부분 편집: 면 배치">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a class="image" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Rhombic_dodecahedron_v3434.png"><img alt="" class="thumbimage" data-file-height="281" data-file-width="225" decoding="async" height="275" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Rhombic_dodecahedron_v3434.png/220px-Rhombic_dodecahedron_v3434.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Rhombic_dodecahedron_v3434.png 1.5x" width="220"/></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Rhombic_dodecahedron_v3434.png" title="실제 크기로"></a></div><a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%A7%88%EB%A6%84%EB%AA%A8%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="마름모십이면체 (없는 문서)">마름모십이면체</a></div></div></div>
<p>고른 쌍대, 또는 <a href="/wiki/%EC%8C%8D%EA%B0%81%EB%BF%94" title="쌍각뿔">쌍각뿔</a>과 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EC%97%87%EC%8C%8D%EA%B0%81%EB%BF%94&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="엇쌍각뿔 (없는 문서)">엇쌍각뿔</a>을 포함하는 <a href="/wiki/%EC%B9%B4%ED%83%88%EB%9E%91%EC%9D%98_%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="카탈랑의 다면체">카탈랑의 다면체</a>는 수직적으로 규칙적(<a href="/wiki/%EB%A9%B4%EC%B6%94%EC%9D%B4" title="면추이">면추이</a>)이고, 따라서 이것들은 <b>면 배치</b>와 동일하게 볼 수 있다.<sup class="reference" id="cite_ref-Steurer_3-1"><a href="#cite_note-Steurer-3">[3]</a></sup> Cundy와 Rollett은 이 쌍대 기호의 앞에 <i>V</i>를 붙였다. 이와 반대로, <i>타일링과 패턴</i>은 대괄호를 기호를 두른다.
</p><p>이 표기는 면 둘레의 꼭짓점에 모인 면의 개수의 수열을 나타낸다.<sup class="reference" id="cite_ref-19"><a href="#cite_note-19">[19]</a></sup> 예를 들어, V3.4.3.4 또는 V(3.4)<sup>2</sup>은 면추이인 <a class="new" href="/w/index.php?title=%EB%A7%88%EB%A6%84%EB%AA%A8%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EB%A9%B4%EC%B2%B4&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="마름모십이면체 (없는 문서)">마름모십이면체</a>를 나타낸다: 모든 면은 마름모이고, 마름모의 꼭짓점에서 교대로 3 또는 4개의 면이 있어야 한다.
</p>
<h2><span id=".EA.B0.81.EC.A3.BC"></span><span class="mw-headline" id="각주">각주</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=7" title="부분 편집: 각주">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<div class="reflist" style="list-style-type: decimal;">
<div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references">
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</li>
</ol></div></div>
<h2><span id=".EC.B0.B8.EC.A1.B0"></span><span class="mw-headline" id="참조">참조</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=8" title="부분 편집: 참조">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<ul><li>Cundy, H. and Rollett, A., <i>Mathematical Models</i> (1952), (3rd edition, 1989, Stradbroke, England: Tarquin Pub.), 3.7 <i>The Archimedean Polyhedra</i>. Pp. 101–115, pp. 118–119  Table I, Nets of Archimedean Duals, V.<i>a</i>.<i>b</i>.<i>c</i>... as <i>vertically-regular</i> symbols.</li>
<li>Peter Cromwell, <i>Polyhedra</i>, Cambridge University Press (1977) The Archimedean solids. Pp. 156–167.</li>
<li><a class="new" href="/w/index.php?title=%ED%8B%80:The_Geometrical_Foundation_of_Natural_Structure_(book)&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="틀:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) (없는 문서)">틀:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)</a> Uses Cundy-Rollett symbol.</li>
<li><cite class="citation book"><a class="new" href="/w/index.php?title=Branko_Gr%C3%BCnbaum&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="Branko Grünbaum (없는 문서)">Grünbaum, Branko</a>; <a class="new" href="/w/index.php?title=G.C._Shephard&amp;action=edit&amp;redlink=1" title="G.C. Shephard (없는 문서)">Shephard, G. C.</a> (1987). 《Tilings and Patterns》. W. H. Freeman and Company. <a href="/wiki/%EA%B5%AD%EC%A0%9C_%ED%91%9C%EC%A4%80_%EB%8F%84%EC%84%9C_%EB%B2%88%ED%98%B8" title="국제 표준 도서 번호">ISBN</a> <a href="/wiki/%ED%8A%B9%EC%88%98:%EC%B1%85%EC%B0%BE%EA%B8%B0/0-7167-1193-1" title="특수:책찾기/0-7167-1193-1">0-7167-1193-1</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fko.wikipedia.org%3A%EA%BC%EC%A7%93%EC%A0%90+%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;rft.au=Gr%C3%BCnbaum%2C+Branko%3B+Shephard%2C+G.+C.&amp;rft.btitle=Tilings+and+Patterns&amp;rft.date=1987&amp;rft.genre=book&amp;rft.isbn=0-7167-1193-1&amp;rft.pub=W.+H.+Freeman+and+Company&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span style="display:none;"> </span></span><span class="citation-comment" style="display:none; color:#33aa33"> CS1 관리 - 여러 이름 (<a href="/wiki/%EB%B6%84%EB%A5%98:CS1_%EA%B4%80%EB%A6%AC_-_%EC%97%AC%EB%9F%AC_%EC%9D%B4%EB%A6%84" title="분류:CS1 관리 - 여러 이름">링크</a>)</span> Pp. 58–64, Tilings of regular polygons a.b.c.... (Tilings by regular polygons and star polygons)  pp. 95–97, 176, 283, 614–620, Monohedral tiling symbol [v<sub>1</sub>.v<sub>2</sub>. ... .v<sub>r</sub>]. pp. 632–642 hollow tilings.</li>
<li><i>The Symmetries of Things</i> 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, <a href="/wiki/%EA%B5%AD%EC%A0%9C_%ED%91%9C%EC%A4%80_%EB%8F%84%EC%84%9C_%EB%B2%88%ED%98%B8" title="국제 표준 도서 번호">ISBN</a> <a href="/wiki/%ED%8A%B9%EC%88%98:%EC%B1%85%EC%B0%BE%EA%B8%B0/978-1-56881-220-5" title="특수:책찾기/978-1-56881-220-5">978-1-56881-220-5</a> (p. 289 Vertex figures, uses comma separator, for Archimedean solids and tilings).</li></ul>
<h2><span id=".EC.99.B8.EB.B6.80_.EB.A7.81.ED.81.AC"></span><span class="mw-headline" id="외부_링크">외부 링크</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%EA%BC%AD%EC%A7%93%EC%A0%90_%EB%B0%B0%EC%B9%98&amp;action=edit&amp;section=9" title="부분 편집: 외부 링크">편집</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<ul><li><a class="external text" href="http://www.software3d.com/VertexDesc.php" rel="nofollow">Consistent Vertex Descriptions</a> Stella (software), Robert Webb</li></ul>
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