I gruppi sono applicati anche in molte altre aree matematiche. Gli oggetti matematici vengono spesso esaminati associando gruppi e studiando le proprietà dei gruppi corrispondenti. Per esempio, Henri Poincaré ha fondato quella che oggi viene chiamata topologia algebrica introducendo il gruppo fondamentale. Grazie a questo collegamento, le proprietà topologiche come la prossimità e la continuità si traducono in proprietà dei gruppi. i["] Per esempio, gli elementi del gruppo fondamentale sono rappresentati da loop. La seconda immagine a destra mostra alcuni loop in un piano meno un punto. L' anello blu è considerato nullo omotopico (e quindi irrilevante), perché può essere continuamente ridotto ad un punto. La presenza del foro impedisce il restringimento dell' occhiello arancione fino a un punto. Il gruppo fondamentale del piano con un punto cancellato risulta essere infinito ciclico, generato dal loop arancione (o da qualsiasi altro avvolgimento del loop una volta intorno al foro).
Che cosa ha introdotto Henri Poincaré quando ha stabilito la topologia algebrica?
il gruppo fondamentale