L' assioma di fondazione stabiliva che ogni insieme poteva essere costruito dal basso verso l' alto in una successione ordinata di gradini secondo i principi di Zermelo e Fraenkel, in modo tale che se un insieme apparteneva ad un altro allora il primo doveva necessariamente venire prima del secondo nella successione, escludendo quindi la possibilità di un insieme appartenente a se stesso. Per dimostrare che l' aggiunta di questo nuovo assioma agli altri non produceva contraddizioni, von Neumann introdusse un metodo di dimostrazione, chiamato metodo dei modelli interiori, che in seguito divenne uno strumento essenziale nella teoria del set.
L' assioma di fondazione di Zermelo e Fraenkel stabilì che ogni set doveva essere costruito come?
dal basso verso l' alto in una successione ordinata di gradini