Problemas de factibilidad de flujo y su generalización 
Autor: Joselyne Selene Herrera Huerta
Año: 2020
Carrera: Actuaría

Uno de los temas principales en la teorÌa de optimizaciÛn sobre gr·Öcas es el de áujos, que puede verse en diferentes circunstancias de la vida cotidiana, por ejemplo: las redes detransporte, redes de comunicaciÛn y sistemas de tuberÌas. En particular, esta tesis tienecomo objetivo ampliar el estudio del áujo factible, que en una red consiste en determinar unoque satisfaga ciertas restricciones sobre los arcos, o restricciones de capacidad[c(j); c+(j)], y restricciones sobre los nodos, o restricciones de oferta b(i). De forma paralela, en el problema del diferencial factible se desea determinar un potencial u(i) sobre los nodos tal que eldiferencial de cada arco se encuentre dentro de un intervalo[b(j); b+(j)]. A diferencia del enfoque cl·sico de programaciÛn lineal, los teoremas de coloraciÛn engr·Öcas pueden establecer un paralelismo entre este par de problemas, asÌ como entre los deoptimalidad correspondientes. Las restricciones mencionadas pueden imponerse a problemasque no necesariamente est·n deÖnidos sobre gr·Öcas, el estudio de esta generalizaciÛn es elobjetivo principal del trabajo. Dicho lo anterior, en el primer capÌtulo se deÖnen los conceptos de cadenas y cortescompatibles con la coloraciÛn sobre una gr·Öca, que dan pasoal problema de la cadenacoloreada resuelto mediante el algoritmo de enrutamiento. El teorema de la red coloreadaencuentra su justiÖcaciÛn en el algoritmo de enrutamiento, que a su vez inspira el lema deMinty. Ambos resultados resultan fundamentales al establecer un algortimo que permitaencontrar la soluciÛn al problema del áujo factible. El segundo capÌtulo trata del problema del áujo factible. Con ayuda de la coloraciÛn deredes se establecen propiedades que deben cumplir la gr·Öcay los intervalos de capacidadpara la existencia de soluciÛn, los cuales son enunciados enel teorema de distribuciÛn factible. El algoritmo de rectiÖcaciÛn de áujo, que veriÖca estas condiciones, resuelve el problema defactibilidad de áujo o determina la no existencia de Èsta. Esimportante seÒalar el uso delos algoritmos de coloraciÛn como subrutinas en el de rectiÖcaciÛn de áujos, formulando laequivalencia de conceptos de áujo con ciertos modelos de coloraciÛn de una manera muyingeniosa. Se estudian los problemas de áujo m·ximo y de corte mÌnimo, bas·ndose en la dualidad delos mismos se replantea el algoritmo de Ford Fulkerson utilizando del algoritmo de coloraciÛncomo subrutinas del mismo. Existe un paralelismo entre los problemas de distribuciÛn factible y de diferencial factible, en el tercer capÌtulo se adentra en el estudio de este ̇ltimo. El teorema de distribuciÛnfactible enuncia las condiciones que se deben cumplir para la existencia de una soluciÛn y elalgoritmo de rectiÖcaciÛn de tensiÛn resuelve el problema del diferencial factible o determinala no existencia de Èsta. De igual forma que en el problema de áujo, se seÒala el uso de losalgoritmos de coloraciÛn como subrutinas en el de rectiÖcaciÛn de tensiÛn. Se estudian los problemas de tensiÛn m·xima y de cadena mÌnima, bas·ndose en ladualidad de los mismos, se plantea un algoritmo que utiliza los de coloraciÛn como subrutinasdel mismo. El capÌtulo cuatro se centra en mostrar la generalizaciÛn delos problemas planteados enlos primeros apartados de esta tesis:El problema del áujo factible, como se describir· de forma muy detallada, se puede escribircomo:Ex=bx2cDe la misma forma, el problema del diferencial factible como:uE=vv2DDonde E es la matriz de incidencia de la gr·Öca. La generalizaciÛn de estos problemassurge cuando E es una matriz con entradas reales que no necesariamente es de incidencia yse conocen como problema de factibilidad primal y problema de factibilidad dual respectivamente. Los conceptos de áujos, divergencias, diferenciales y potenciales son generalizadoscomo variables primales y duales; que a su vez dan paso a la deÖniciÛn de soportes primalesy duales como conjuntos de Ìndices de la matriz. El estudio de las representaciones de Tucker y la teorÌa de bases es fundamental paraplantear un algoritmo que resuelva los problemas generalizados o determine la no existencia deuna soluciÛn. El planteamiento de las representaciones de Tucker permite tambiÈn generalizarlos resultados de coloraciÛn sobre cualquier matriz; que ser·n usados como subrutinas en losalgoritmos de rectiÖcaciÛn primal y dual. Con el objetivo de resolver problemas que surjan en la pr·ctica, con ayuda del programaMatlab se desarrolla la automatizaciÛn del algoritmo de factibilidad primal. Se explica alusuario la forma en que se debe usar el programa, y la forma en que se desarrollan las tresrutinas programadas:SoluciÛn Inicial y RepresentaciÛn de TuckerAlgoritmo del Ìndice coloreadoAlgoritmo de rectiÖcaciÛn PrimalEste programa constituye adem·s una herramienta que permite el proceso de experimentaciÛn y puede ser utilizada como apoyo en los cursos de InvestigaciÛn de Operaciones.