Comparación de métodos para la construcción de trayectorias por medio de puentes markovianos 
Autor: Ricardo Daniel Fernández Noguez
Año: 2020
Carrera: Actuaría

Un puente Markoviano hereda las aplicaciones del proceso de Markov del cual procede, debido a que, es elmismo proceso sólo que condicionado a una posición inicial y una posición final que tiene por fin simular oreconstruir la trayectoria intermedia de dichas posiciones extremas. En este caso, si el proceso proviene deuna cadena de Markov a tiempo continuo, las aplicaciones abarcan modelos de nacimiento y muerte propiosde demografía [4]; modelos de colas que pueden ser bastante complejos, dependiendo de factores tales comola distribución de probabilidad que rige la llegada de los clientes, la distribución de probabilidad que rige elservicio de los clientes, el número de servidores y el comportamiento de los clientes cuando todos los servidoresestán ocupados [5]. Una aplicación más se presenta en cadenas de ramificación a tiempo continuo, que modelan sistemas departículas que pueden generar o dividirse en otras partículas del mismo tipo. Los ejemplos comunes son: enbiología, donde las partículas son organismos biológicos que se reproducen; química, donde las partículas sonneutrones en una reacción en cadena; física, donde las partículas son electrones en un multiplicador de electrones. En cada uno de estos casos suponemos que la vida útil de cada partícula se distribuye exponencialmentey, al final de su vida, se reemplaza por un número aleatorio de partículas nuevas a las que nos referiremoscomo hijos de la partícula original. El número de hijos de una partícula tiene definida una función de densidadde probabilidad. Las partículas actúan de forma independiente, por lo que, además de estar distribuidas demanera idéntica, el tiempo de vida y el número de hijos son independientes de una partícula a otra. Finalmente, suponemos que, de modo que una partícula no puede simplemente morir y ser reemplazada por una solapartícula nueva, ésta cese y denote la media y la varianza del número de descendientes de una sola partícula [6]. En medicina, una cadena de Markov a tiempo continuo tiene implementaciones al estudiar el comportamiento de enfermedades progresivas o control de enfermedades crónicas, como lo son, la infección de VIH, cáncer de mama, o asma. Estos modelos también se han aplicado en la promoción de la salud, incluidas laspruebas de detección de cáncer y las intervenciones nutricionales [8]. En finanzas, se muestra a una Cadena deMarkov a tiempo continuo como una generalización para el modelo Poisson Geométrico, el modelo de BlackScholes y el modelo de Merton, los cuales, describen el comportamiento del precio de acciones, instrumentosde deuda y derivados [7]. Asimismo, los puentes Markovianos ayudan a comprender cómo la presencia de untrader interno impacta la eficiencia del mercado, cómo se puede detectar el uso de información privilegiadaen los mercados financieros, cómo se asimila la información en los precios del mercado y la política de preciosóptima de un creador de mercado particular [9]. Por otro lado, ha brindado alternativas en el campo de lagenética y la genómica para modelar el comportamiento de las secuencias de ADN que comienzan y terminanuna rama en un árbol filogenético: se pueden hacer inferencias sobre los cambios de secuencia que ocurrieronentre estos puntos finales. En el nivel más detallado, las inferencias serían sobre qué cambios transformaronla secuencia inicial en la final y exactamente cuándo ocurrieron estos cambios. En un nivel menos detallado, varias estadísticas resumidas sobre la trayectoria evolutiva desde el principio hasta el final de la rama puedenser de interés [12]. Existen distintos métodos para generar un puente Markoviano, el objetivo de este proyecto es implementar estos métodos bajo diversas condiciones con el fin de analizar su comportamiento, y lograr especificar bajoqué parámetros cada uno de estos métodos es más eficiente y preciso. Como fue mencionado con anterioridad, las aplicaciones de los puentes Markovianos que proceden de unaCadena de Markov a tiempo continuo son múltiples en distintas áreas de la ciencia, así que, con el objetivode que este proyecto se encuentre autocontenido, en la medida de lo posible, la teoría básica que fundamentaeste tipo de procesos se encuentra en el Capítulo 2. Dentro del Capítulo 3 se explican las principales propiedades y definiciones propias de los procesos desaltos de Markov, así como la descripción del algoritmo para concluir con un par de ejemplos. En el Capítulo 4 se profundiza en la descripción de los puentes Markovianos procedentes de un procesode saltos de Markov y se detallan los principales algoritmos que los simulan. Después de especificar las condiciones que rigen a cada método, el Capítulo 5 integra un análisis exhaustivo de los resultados numéricos generados a partir de la implementación de cada uno de los métodos con el finde mostrar medidas de tendencia central y desviación de las variables relacionadas a la eficiencia y precisióncon el fin de poder comparar cada uno de los algoritmos bajo las distintas condiciones a las que fue expuestoel proceso. Lo anterior, para en la última parte exponer las conclusiones observadas.