Análisis comparativo entre series de tiempo y datos espacialmente distribuidos para obtener la tasa de emisión en un modelo de difusiónreacción: aplicación de las funciones adjuntas 
Autor: Francisco Javier Bustamante García
Año: 2017
Carrera: Actuaría

Recuperar la historia de descarga de una fuente contaminante a partir de los datos de la concentración de las sustancias emitidas en una región es un problema inverso que aparece en el estudio de la contaminación en el océano, la atmósfera y el agua subterránea. La solución de este problema es útil en la estimación del impacto ambiental local y regional, y por lo tanto, en la definición de las acciones para proteger a la población asentada en zonas contaminadas. La principal dificultad en este problema inverso es la inestabilidad que surge en el proceso de la recuperación de la tasa de emisión debido a la presencia de errores en los datos de concentración. Tales errores están presentes debido a que el procedimiento de inversión necesita datos de la anomalía de la concentración producida por la fuente puntual, la cual frecuentemente se estima combinando datos de diferente procedencia que contienen errores (salida de modelos de dispersión y datos de instrumentos de medición). En este trabajo de tesis se presenta un método inverso para estimar la tasa de emisión de una fuente puntual noestacionaria que emite un contaminante hacia la atmósfera. El método se formula como un problema variacional (regularización), y se prueba la existencia y la unicidad de su solución. Este método se complementa a través de un modelo de dispersión lineal y el correspondiente modelo adjunto. En este trabajo de tesis se describen modelos tridimensionales de este tipo, y se prueba que están bien formulados en el sentido de Hadamard. Se realizan ejemplos numéricos de la estimación de la tasa de emisión (solución del problema inverso) utilizando una versión unidimensional de dichos modelos. El método inverso se puede aplicar tanto para una serie de tiempo de la anomalía de la concentración de un contaminante atmosférico, es decir, datos recabados en una estación de monitoreo, como para datos de la anomalía de la concentración distribuidos en un dominio a un tiempo fijo. Los resultados del método son diferentes con respecto a estos conjuntos de datos. Se obtiene un buen resultado en la recuperación de la tasa de emisión usando series de tiempo, mientras que se muestra que los datos espacialmente distribuidos no son viables para resolver el problema inverso. Con respecto al problema variacional, se muestra que la minimización de la norma en el espacio L2 de la primera derivada de la tasa de emisión es unaregularización útil para este problema inverso, ya que filtra los errores en los datos de concentración y disminuye la inestabilidad. Tal procedimiento de minimización está sujeto a restricciones integrales (ecuaciones de Fredholm), las cuales contienen información completa, en forma compacta, del proceso de dispersión en la atmósfera. Las funciones adjuntas utilizadas como núcleos en dichas ecuaciones integrales son la clave para exhibir la relación explícita entre la tasa de emisión de la fuente y los datos de la anomalía de la concentración del contaminante. De estas ecuaciones integrales se obtienen expresiones analíticas para calcular la tasa de emisión en dos casos particulares: descarga constante e impulso en el tiempo (explosión). Para resolver el caso de una fuente puntual noestacionario se establece el problema discreto asociado al problema variacional como un problema de programación cuadrática, y se prueba la existencia y la unicidad de la solución. Dicho problema se resuelve eficientemente con la rutina quadprog de MATLAB. Finalmente, utilizando diferentes conjuntos de datos (series de tiempo y datos espacialmente distribuidos), se presentan algunos ejemplos numéricos sintéticos que ilustran el desempeño del método inverso.