Análisis de espectros raman mediante componentes principales 
Autor: Sofía Edith Díaz López
Año: 2018
Carrera: Actuaría

El Análisis Multivariado(AM)[1], es la parte de la estadística y del análisis de datos que estudia, analiza, representa einterpreta los datos que resultan de observar un número 𝑝>1de variables estadísticas sobre una muestra de 𝑛individuos. Las variables observables son homogéneas y correlacionadas, sin que alguna predomine sobre las demás. La información estadística enelAM es de carácter multidimensional, por lo tanto la geometría, el cálculo matricial y las distribuciones multivariadasjueganun papel fundamentalen ella. La información constituyeuna matriz de datos, pero a menudo, enelAM la información de entrada consiste en matrices de distancias o similaridades, que miden el grado de discrepancia entre los individuos. El análisis dedatos multivariadostienepor objeto el estudio estadístico de varias variables medidas encada elemento de una muestra. Pretende los siguientes objetivos:1. Reducirel conjunto de variables en unas pocas variables, construidas como transformacioneslinealesde las originales, con la mínima pérdida de información. 2. Encontrar grupos en los datos si existen. 3. Relacionar los diversosconjuntos de variables. Disponer de indicadores tiene varias ventajas: (1) si son pocos podemos representarlos gráficamente y comparar distintos conjuntos de datos o instantes en el tiempo; (2) simplifican el análisis al permitir trabajar con un número menor de variables; (3) si las variables indicadaspueden interpretarse, podemos mejorar nuestro conocimiento de la realidad estudiada. El análisis multivariante de datos proporciona métodos objetivos para conocer cuántas variables indicadoras, que a veces se denominan factores, son necesarias para describir una realidad compleja y determinar su estructura. El segundo objetivo es identificar grupos si existen. En muchas situaciones los grupos son desconocidos a priori y queremos disponer de un procedimiento objetivo para obtener los grupos existentes y clasificar las observaciones. Un tercer objetivo relacionado con el anterior aparece cuando los grupos están bien definidos a priori y queremos clasificar nuevas observaciones. Para alcanzar estos tres objetivos una herramienta importante es entender la estructura de dependencia entre las variables, ya que las relaciones entre las variables son las que permiten resumirlas en variables indicadoras, encontrar grupos no aparentes por las variables individuales o clasificar en casos complejos. Un problema distinto es relacionar dos conjuntos de variables(esto es correlación canónica). Algunos métodos delACPconsisten en obtener e interpretar combinaciones lineales adecuadas de las variables observables. Una variable compuesta Y es una combinación lineal de las variables observables con coeficientes𝑎=(𝑎1, ... , 𝑎𝑝)′𝑌=𝑎1𝑋1+⋯+𝑎𝑝𝑋𝑝. Si 𝑋=[𝑋1, ... , 𝑋𝑝]es la matriz de datos, también podemos describir𝑌=𝑋𝑎. Si 𝑍=𝑏1𝑋1+⋯+𝑏𝑝𝑋𝑝=𝑋𝑏es otra variable compuesta, se verifica:1. 𝑌̅=𝑋̅𝑎, 𝑍̅=𝑋̅𝑏. 2. 𝑣𝑎𝑟(𝑌)=𝑎′𝑆𝑎, 𝑣𝑎𝑟(𝑍)=𝑏′𝑆𝑏. 3. 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑍)=𝑎′𝑆𝑏. Donde S es la matriz simétrica 𝑝×𝑝de covarianzas muestrales. Ciertas variables compuestas reciben diferentes nombres según la técnicadel análisis multivariado: componentes principales, variables canónicas, funciones discriminantes, etc. Uno de los objetivos del análisis multivariante es encontrar variables compuestas adecuadas que expliquen aspectos relevantes de los datos. El análisis multivariante puede plantearse a dos niveles. En el primero, el objetivo es utilizar sólo los datos disponibles y extraer la información que contienen. Los métodos encaminados a este objetivo se conocen como métodos de exploración de datos, los cuales son: descripción de datos multivariantes, análisis gráfico y datos atípicos, componentes principales, escalamientomultidimensional, análisis de correspondencias y análisis de conglomerados. A un nivel más avanzado, se pretende obtener conclusiones sobre la población que ha generado los datos, lo que requiere la construcción de un modelo que explique su generación y permita prever los datos futuros. En este segundo nivel hemos generado conocimiento sobre el problema que va más allá del análisis particular de los datos disponibles. Losmétodos encaminados a este objetivo se conocen como inferenciaestadística, y son: distribuciones multivariantes, inferencia con datos multivariantes, métodos de inferencia avanzada multivariante, análisis de factores, análisis discriminante, discriminación logística y otros métodos de clasificación, clasificación mediante mezclas de distribuciones y correlación canónica. El problema de resumir o condensar la información de un conjunto de variables se aborda, desde el punto de vista descriptivo, construyendo unas nuevas variables indicadoras que sinteticen la información contenida en las variables originales. Existen distintos métodos exploratorios para conseguir este objetivo. Con variables continuas, el método más utilizado se conoce como Componentes Principales. Las componentes principales nos muestranlas dimensiones necesarias para representar adecuadamente los datos. Con ello podemos hacer gráficos de los datos en pocas dimensiones, con mínima pérdida de información, para entender su estructura subyacente.