Modelo de valuación para tasas de interés con procesos de Lévy no homogéneos 
Autor: Erick Iván Castro Granados
Año: 2019
Carrera: Actuaría

En el presente trabajo expondré de manera simple un método de valuación de derivados de tasas de interés apoyándome en procesos de Lévyno homogéneos como procesos de conducción para la modelación del preciodel subyacente. La intención principal es el desarrollo y comprensión dela técnica implementada para la valuación, sin embargo se comienza revisando la teoría general de los procesos de Lévy y de algunas herramientasmatemáticas auxiliares, de manera que el desarrollo de los temas se vayadando de manera natural y compresible. A lo largo del tiempo se ha probado que las matemáticas tienen unamarcada influencia en la vida de las personas. Se han convertido en unaherramienta fundamental en sectores tan variados como lo son: industria, computación, mecánica, etc. Elárea en donde más se ha visto una notoriainfluencia, y que es de completo interés para este trabajo, es elárea financiera. Para ilustrar esto tomemos como ejemplo a dos de las preguntas más importantes a las que untraderen algún banco debe enfrentarse: ¿A qué precio debería ofrecer mis productos? y ¿Cómo encontrar la mejor estrategiade cobertura?. Encontrar una respuesta a estas preguntas sería sencillo encaso de siempre existir un mercado para todo el universo de productos financieros, ya que se podría utilizar el precio de mercado, agregar un extra por comisión y así ofrecerlo a sus clientes. En el caso de que su propuestase aceptada, loúnico que tendría que hacer es comprar el producto a preciode mercado, venderlo a su cliente y así cubrirse conservado su margen. La complicación viene cuando dicho mercado no existe y las preguntas sevuelven más difíciles de contestar. Es ahí donde con ayuda de diferentestécnicas matemáticas los analistas intentan dar respuestas. Desde los artículos escritos por F. Black, M. Scholes y R. Merton [3], y la reformulación en términos de teoría de martingalas hecha por M. Harrison, S. Pliska y D. Kreps [7], el análisis estocástico se ha convertido enla base de las matemáticas financieras modernas. Un ejemplo de ello es como la inversión de un activo financiero, sus ganancias y evolución, puedenser representados como una integral estocástica; mientras que el precio deopciones sobre activos es igual a la esperanza delpayoff, o valor a vencimiento, descontado bajo una medida martingala. Tanto el precio de un derivado, así como su estrategia de cobertura, dependen completamente de la manera en que se modela el precio de losactivos. Black, Scholes y Merton empezaron modelando con ayuda del movimiento browniano geométrico y desde su publicación una gran cantidadde autores han utilizado diferentes técnicas para modelar los precios. Estollevó a la conclusión de que el browniano geométrico es un modelo muyrestrictivo y se ha ido optando por otras alternativas, una de las más relevantes es el uso de procesos de Lévy como procesos de conducción. En este trabajo me centraré en derivados de tasas de interés o instrumentos del mercado de deuda. Estará basado en los trabajos realizados porHeathJarrowMorton [8], quienes desarrollaron una clase de modelos paraconocer la dinámica de lastasas forward(tasas futuras), con las cualespodremos modelar la dinámica de nuestro subyacente principal, y uno delos instrumentos más utilizados en el mercado de dinero, el bono cupóncero. Junto con la modelación del precio de un bono, viene la idea de dos delos derivados más básicos en el mercado, Call y Put. El trabajo se puede resumir en mostrar que las fórmulas de valuación de instrumentos más complejos se pueden obtener partiendo de expresiones más sencillas y fáciles de trabajar, ayudados siempre de herramientas de teoría de la medidacomo la esperanza matemática y el cambio de medida. El primer capítulo será dividido en tres secciones: en la primera veremoslas definiciones financieras que serán usadas, productos del mercado dedeuda así como del mercado de derivados, empezando por sus expresionesmatemáticas y hasta llegar a la relación que existe entre ellas. Una vezvisto esto se hará un pequeño repaso de algunos conceptos de teoría de lamedida que se usarán posteriormente y que servirán para entender mejora los procesos de Lévy. La tercera yúltima parte se centra completamenteen los procesos de Lévy no homogéneos, que serán la base de la modelaciónde los precios del subyacente. Se empezará por dar su definición y poco apoco se irán derivando características propias de los procesos que serán degran utilidad para realizar valuación de derivados en los capítulos finales. El segundo capítulo nos servirá para revisar herramientas matemáticasque utilizaremos, no solo para facilitar los cálculos en la parte de la valuación, sino también para sustentar posibles atajos que lleguemos a utilizarpara lograr conseguir expresiones matemáticas como formula para valuarderivados. Se revisaran temas como cambio de medida, derivada de RadonNikodym, no arbitraje, etc. Para el tercer capitulo hacemos la presentación oficial del modelo queutilizaremos para estudiar la dinámica del precio de un bono cupón cero. Se va a revisar el alcance que tenemos con este modelo, y las restriccionesque pueda llegar a haber al utilizarlo para modelar a nuestro subyacenteprincipal en el tiempo. En el capitulo cuatro es donde se encuentra la parte más importante parael trabajo, ya que una vez que terminamos de revisar toda la teoría que seva a utilizar y de fundamentar muchos de nuestros cálculos, es momentode aplicar todo ese conocimiento y encontrar formulas explicitas que nosayuden a valuar un derivado para todo momento en el tiempo. Los capítulostres y cuatro van de la mano y uno complementa al otro, ya que sin unmodelo definido sería imposible poder hacer una valuación completa. Por ultimo, en el quinto capitulo se hace una pequeña recapitulaciónde todos los resultados obtenidos en el trabajo, se analizan y se dan con