Percolación de último pasajero y modelos relacionados 
Autor: Jorge Luis Apatiga Sánchez
Año: 2018
Carrera: Actuaría

En esta tesis estudiaremos el modelo de Percolación deúltimo pasajero, elmodelo de crecimiento, el modelo de filas y almacenes y porúltimo la representación RobinsonSchenstedKnuth (RSK). Y las relaciones que existen entreellos. La percolación deúltimo pasajero es un modelo sobre una malla con pesosaleatorios; es análogo al modelo de primer pasajero analizado en Kesten[5] yDurrett[2]. En el caso deúltimo pasajero lo que se busca es maximizar el pesode la trayectoria entre dos puntos de la malla cuyo movimiento esta restringidoen moverse a la derecha o hacia arriba. La interpretación física de este modelo esde una partícula que se quiere mover en un medio aleatorio de un punto iniciala uno final pero toma los caminos con más peso. En nuestro caso estudiaremosuna malla de dimensión dos cuyos pesos son v. a. i. i. d. con pesos exponencialeso geométricos. Esto se debe a que son losúnicos caso no triviales en donde seconoce explícitamente la función de forma g1; para el caso en que los pesos sonexponenciales el resultado fue demostrado por Rost [13]. En el capítulo 2 estudiaremos el modelo de crecimiento asociado al tiempo depasaje T2. Analizando el conjunto de puntos sobre la malla tales que la suma delos pesos del origen a dicho punto es menor a un cierto tiempo t; básicamentese trata de describir la forma de crecimiento, digamos, de un cristal que estalimitado a crecer sólo a la derecha y hacia arriba. En el tercer capítulo abordaremos el modelo de filas y almacenaje.éste modeloparte de suponer que tenemos una cantidad infinita de clientes y una cantidad infinita de cajas, las cajas y los clientes están etiquetados con naturales1, 2, ... etc. . Para que el cliente 1 pase a formarse a la caja 2 primero debió dehaber acabado su tramite en la caja 1 y así sucesivamente: para cualquier cajak primero debió acabado su tramite en las k1 cajas anteriores. Naturalmentepara que el cliente 2 sea atendido en la caja 1 primero el cliente uno debió haberacabado su tramite en la caja 1; este tipo de modelos se llama FIFO3i. e. elprimero que entra es el primero que sale (por sus siglas en ingles). Por lo quepara que el cliente n sea atendido en la caja k deben suceder las siguientes doscosas: 1) el cliente n1 debió haber acabado su tramite en la caja k y 2) el clienten debió haber concluido su tramite en la caja k1. Este modelo se estudia suponiendo proceso Poisson, así que las llegadas sonv. a. i. i. d. exponenciales. De aquí se sigue que es un proceso de Markoviano. Silos tiempo de servicio también forman un proceso Markoviano estamos ante unafila M/M/1, que quiere decir que el proceso de llegada es Markoviano, el proceso de servicio es Markoviano y el número de cajas que atienden a cada paso esuna. Aquí demostraremos el teorema de Burke, que dice que en el equilibrio elproceso de salida efectiva de una fila M/M/1 estacionaria tiene la misma tasaque el proceso de llegada. Más adelante en esa misma sección se generalizarael teorema de Burke para el proceso puntual marcado formado por el procesode llegada y los tiempos de servicio. Finalmente se introducirá el modelo dealmacenes y veremos algunas igualdades que son naturales en la interpretacióndel modelo. En el capítulo 4 estudiaremos la representación RobinsonSchenstedKnuth (RSK)que nos da un algoritmo para crear un tablero de Young de una palabra sobreun alfabeto K con N letras. Lo relevante es que la palabra puede ser formadapor una serie de variables aleatorias determinadas por dos parámetros; esto nosrecuerda los pesos sobre la malla de la percolación deúltimo pasajero, en lacuál (para dimensión dos) los pesos sobre cada punto están determinados porvariables aleatorias de dos parámetros que representan las coordenadas de cadapunto. Por lo que mostramos la relación entre percolación deúltimo pasajero yel modelo RSK, pues resulta ser que la percolación deúltimo pasajero coincidecon el primer renglón de la tabla de Young formada por el algoritmo RSK. Porúltimo en el quinto capítulo estudiaremos la relación entre los modelos introducidos en los capítulos anteriores.