Introducción al método Monte Carlo Hamiltoniano 
Autor: Saúl Abraham Granados Carmona
Año: 2021
Carrera: Actuaría

Los métodos de cadenas de Markov Monte Carlo (MCMC, por sus siglas en inglés), son una herramientaútil que permite simular de distribuciones de probabilidad, cuando seconoce su función de densidad salvo constantes. En la actualidad, el uso de los métodos MCMC se ha incrementado notablemente debido al desarrollo computacional, al costo decreciente de almacenamiento y recolección dedatos, y a su utilidad en estadística. En particular, en estadística bayesiana los métodosMCMC resultan de gran utilidad ya que en estaárea las densidades aposteriori, generalmente, no son conocidas analíticamente, por lo que para estimar cantidades de interés esnecesario simular. El objetivo de la presente tesis es dar una introducción, mostrar aplicaciones y presentarlos códigos de programación en Python del algoritmo Monte Carlo Hamiltoniano (HMC, por sus siglas en inglés), un método MCMC que permite simular de distribuciones de probabilidad de una manera eficiente empleando dinámicas hamiltonianas. Estas dinámicas se rigen por las ecuaciones de Hamilton y son unárea de estudio de la física, concretamentede la mecánica hamiltoniana. Este trabajo está dirigido a alumnos deúltimos semestres de actuaría con conocimientos de simulación, probabilidad y estadística. La parte referente a la mecánica hamiltonianase plantea de manera lacónica y de forma estructurada, comenzando con ideas simples demecánica clásica que se pueden consultar en el apéndice A, de tal forma que no se requierenconocimientos específicos de física o mecánica, sin embargo, se espera que para entender eldesarrollo el alumno tenga conocimientos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo 2, se introducen los resultados y conceptos de mecánica hamiltoniana necesarios para la construcción del método HMC, además, se presentan las ideas de mecánica analítica que resultan útiles para una comprensión más clara de la mecánica hamiltoniana. El capítulo 3 presenta los algoritmos Leapfrog, Euler simpléctico, y el método de Euler, enfocados a aproximar la solución de las ecuaciones de Hamilton. Por otro lado, se exponenlos métodos de cadenas de Markov Monte Carlo, profundizando en el algoritmoRandomWalk Metropolis Hastings(RWMH, por sus siglas en inglés), y se da bibliografía sugeridaen caso de que el lector quiera profundizar en el tema. Se introduce también el algoritmoTwalk y se presenta una breve introducción a la estadística bayesiana. Dentro del capítulo 4, se introduce el método HMC, se detalla el planteamiento y algunos resultados teóricos, como los que sustentan su funcionamiento. Porúltimo, se realizanejemplos y comparaciones con el algoritmo RWMH, con el objetivo de resaltar sus principales diferencias y analizar su desempeño. En el capítulo 5, se presenta una ejemplo del método HMC para hacer inferencia bayesiana en un modelo gaussiano jerárquico, y se compara su efectividad con los algoritmosRWMH y Twalk para el mismo fin. En el capítulo 6, se presenta una conclusión de los principales resultados obtenidos eneste trabajo sobre el método HMC, y su comparación con RWMH y Twalk. Los códigos en Python utilizados en este trabajo, se pueden consultar en el repositoriode Github https://git. io/JtA70.