Ecuaciones diferenciales estocásticas, soluciones fuertes y proceso de Bessel 
Autor: Ulises Pérez Cendejas
Año: 2019
Carrera: Actuaría

El Movimiento Browniano (o Proceso de Wiener) es el proceso estocástico más importanteen la teoría de procesos estocásticos. A partir del Movimiento Browniano 1dimensional sepuede extender su definición para obtener un Movimiento Brownianoddimensional cond∈N. El proceso de Bessel de dimensióndes la distancia de un Movimiento Brownianoddimensional al origen, es decir, es el proceso (ρt)t≥0dado porρt:=[(B(1)t)2+···+ (B(d)t)2]12, t≥0. (1)El proceso de Bessel Cuadrado de dimensiónd∈Nse define con base en el proceso deBessel comoZt:= (ρt)2, t≥0. En esta tesis estudiaremos estos dos procesos definidos de una manera más general, locual se realiza mediante el uso de ecuaciones diferenciales estocásticas. Para estudiar a las ecuaciones diferenciales estocásticas se requiere de una amplia baseteórica de Procesos Estocásticos. En el capítulo 1 de este trabajo presentamos lo indispensable de esta teoría, en particular damos una idea de la construcción de la integralestocástica, presentamos la fórmula de Itˆo y el teorema de caracterización de Lévy, paraesto nos hemos basado enIntroduction to Stochastic Integrationde M. E. Caballero. Finalmente presentamos dos teoremas de Yamada y Watanabe; damos la prueba de uno de ellosy del otro sólo la idea de la demostración. Todo esto lo hacemos con el fin de presentar laecuación diferencial estocástica cuya solución define al Proceso de Bessel cuadrado. Estaecuación es la siguienteZt=Z0+δt+ 2∫t0√|Zs|dBs, t≥0. (2)Se define el proceso de Bessel Cuadrado (Zt)t≥0de dimensiónδ≥0 como laúnica solucióna la ecuación (2) (se prueba que existe y es positiva). Y con base en este definimos elProceso de Bessel (ρt)t≥0de dimensiónδ≥0 comoρt:=√Ztpara todot≥0. Sedemuestra que si el Proceso de Bessel es de dimensiónδ >1, entonces satisface la siguienteecuación diferencial estocásticaρt=ρ0+∫t0δ−12·ρsds+Bt, t≥0. (3)Veremos cómo las soluciones de (2) y (3) se relacionan con la primera definición quedimos del proceso de Bessel y del proceso de Bessel cuadrado de dimensión enterad∈Nmediante la ecuación (1). En el capítulo 2, hacemos una pequeña digresión en el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas para presentar las distintas versiones del lema de DoobDynkin, donde en particular nos será de interés el Teorema 2. 4. 1. Este resultado es poco conocido, aunque resulta ser muyútil para encontrar soluciones fuertes a ecuaciones diferencialesestocásticas. Para la primera parte de estos lemas nos hemos basado enOptimal Learningfrom DoobDynkin Lemma[10] de G. Taraldesn y para el lema de DoobDynkin para procesos estocásticos en el artículo de A. S. Cherny (Teorema 2. 1 de [6]) y mostramos variosejemplos donde fue posible encontrar explícitamente la función subyacente a este teorema. En el capítulo 3, procedemos a estudiar las dos ecuaciones diferenciales estocásticas anteriores. En particular probamos que el Proceso de Bessel Cuadrado de dimensión enterad∈Nsatisface la ecuación (2) para todod≥1 y que el Proceso de Bessel de dimensión enterad∈Nsatisface la ecuación (3) para todod≥2. Para esto hemos seguido laprueba que se da enBrownian Motion and Stochastic Calculus[12] y simplemente hemosintentado dar más detalles. Posteriormente se calculan las probabilidades de transición delproceso definido por (2); esto esta basado en el capítulo XI del libro de D. Revuz y M. YorContinuous Martingales and Brownian Motion[22]. Con lo que finalmente extendemos lademostración que aparece en [12] para probar que el Proceso de Bessel de dimensiónδ >1(es decir, ρt=√Ztdonde (Zt)t≥0es solución de (2)) satisface la ecuación (3). Lo principal de esta tesis es el estudio de las soluciones que tiene la ecuación (3)que está basado en el artículoOn the Strong and Weak Solutions of Stochastic Differential Equations Governing Bessel Processesde A. S. Cherny [6]. En el capítulo 4, hemostrabajado para desarrollar en detalle este artículo donde se prueba el siguiente teorema:Theorem 3. 2(i) Theδdimensional Bessel processes(δ >1)is the unique(with fixedX0andB) nonnegative solution of (4)1. Moreover, it is a strongsolution. (ii) Ifδ≥2andX06= 0then pathwise uniqueness holds for (4). (iii) If1< δ <2orX0= 0, then(a) there exist other strong solutions (with the sameX0andB);(b) there exist weak solutions;(c) the uniqueness in law does not hold for (4). La principal técnica que se utiliza para encontrar soluciones es el Teorema 2. 4. 1 que seencuentra en el capítulo 2. Este teorema nada nos dice en el casoδ∈[0, 1). Para estudiareste caso fue que se introdujo el concepto de tiempo local (L0t)t≥0. En el desarrollo deeste artículo, se pudo dar otra demostración de que el tiempo local del proceso de Bessel(cuandoδ >1) es cero. La demostración usual se puede consultar en [3]. Más aún, quetoda solución de (3) tiene tiempo local nulo. Con ello se comprueba de manera muy simpleque no existen soluciones para (3) en el caso en queδ∈[0, 1).