Determinación de portafolios de cobertura de opciones mediante la resolución de problemas de optimización 
Autor: José Alberto Hernández Cruz
Año: 2019
Carrera: Actuaría

No se puede negar la importancia que tienen los productos financieros derivados ni el rápido incremento que su desarrollo está presentando en el mundo financiero actual. El conocimiento de estos productos se ha vuelto imprescindible a medida que su popularidad se ha incrementado en los últimos años. Hoy en día, una gran cantidad de productos financieros son operados en muchos mercados a lo largo y ancho del planeta. La naturaleza de estos instrumentos obliga a los participantes de dichos mercados a analizar con profundidad las posibles eventualidades que puedan llegar a presentarse en el mercado para aprovechar de manera óptima el potencial de estos instrumentos. Los especuladores necesitan poseer toda la información posible para anticiparse a los movimientos financieros y obtener los resultados esperados; las operaciones de arbitraje exigen un profundo conocimiento de los diferentes mercados en los que se puedan realizar las transacciones que produzcan las ganancias deseadas y la construcción de portafolios de cobertura debe comenzar por el total y exacto control de los riesgos a los que se está expuesto en el intercambio de estos instrumentos. El objetivo de este trabajo será, justamente, el análisis de la construcción de portafolios cuyo propósito sea cubrir los riesgos generados al realizar operaciones con instrumentos financieros derivados, así como la caracterización de dichos portafolios como soluciones de problemas de optimización, lo cual garantizaría que estos portafolios no son sólo una manera de cubrir los riesgos, sino que también son la mejor. Operar instrumentos derivados genera distintos riesgos. La razón es la incertidumbre que se tiene sobre los movimientos del mercado. Es por esto que una posición en un derivado puede traducirse en una ganancia abundante pero, de igual manera, puede generar enormes pérdidas. La importancia de la construcción de portafolios de cobertura radica, precisamente, en la pérdida potencial inherente al intercambio de productos derivados y la necesidad de minimizar los impactos que movimientos adversos generan en nuestra posición. La cobertura de productos derivados puede ser engañosa. Se pueden presentar casos en los que el movimiento del mercado favorezca la posición que se mantiene en un derivado, pero su cobertura respectiva limite o incluso anule la ganancia que se hubiera obtenido. Es importante entender que las coberturas se construyen con el fin de reducir las pérdidas, no para generar ganancias. Tomemos como ejemplo el caso de un taller mecánico. El dueño sabe que dentro de tres meses tendrá que comprar insumos que sólo son vendidos en dólares. Si el tipo de cambio sube, los insumos serán más caros, pero si baja, los mismos insumos serán más baratos. En el primer caso, se podría decir que el dueño del taller incurrió en una pérdida por los movimientos del mercado, mientras que en el segundo, se podría considerar que se obtuvo una ganancia. La cobertura podría limitar las pérdidas que se pudieran presentar al momento de subir el tipo de cambio, pero también podría reducir la ganancia si éste llegara a bajar. La forma correcta de analizar una cobertura es que ésta le permitiría al dueño despreocuparse por el nivel del tipo de cambio dentro de tres meses y dedicarse enteramente a su negocio. ¿Cuál es la manera de construir una cobertura? Esto se explicará más adelante, siendo el objetivo principal del trabajo la construcción de un portafolios que cubra las posiciones riesgosas de la mejor manera posible y la forma de comprobarlo será caracterizando dicho portafolios como la solución de un problema de optimización, es decir, como un óptimo. Un problema de optimización se relaciona con la necesidad de minimizar o maximizar alguna función (llamada función objetivo) satisfaciendo un número determinado de restricciones. Estos problemas ayudan en la resolución de un gran número de casos prácticos, desde optimización de espacios y tiempos hasta problemas de producción e inventarios; en este trabajo plantearemos un problema de optimización que nos permita construir un portafolios de cobertura. La hipótesis que se desea comprobar es que los portafolios de cobertura de una posición en opciones son óptimos al cubrir los riesgos que esta posición genera minimizando el precio de dicha cobertura. Éste debería, en teoría, igualar al de la posición tomada, por lo que minimizarlo significaría obtener un valor cercano al precio de la posición en opciones. Para el desarrollo del tema se plantean diversas suposiciones: •Los participantes del mercado aprovechan instantáneamente cualquier oportunidad de arbitraje. Esta hipótesis será equivalente al hecho de que no exista posibilidad alguna de arbitraje. •No existen costos de operación. •Es posible el préstamo de dinero a la tasa libre de riesgo. •Se analizará la cobertura de portafolios de opciones sobre acciones. •El precio de las acciones está determinado por un proceso de Wiener y el precio de las opciones queda determinado por el modelo de Black & Scholes. •Inicialmente se considerará la posibilidad de operar fracciones de acciones, así como opciones que amparen un número no entero de acciones, redondeando al final estas cifras al entero más cercano. Ajustaremos más tarde el problema para que considere únicamente variables enteras para determinar las coberturas de manera correcta. Compararemos los resultados. •La cobertura de las opciones se realizará con un portafolios que contendrá posiciones con el mismo activo subyacente que el de la posición a cubrir. Esto simplificará los cálculos y será fácil entender, por extensión, cómo se construiría una cobertura con derivados cuyo subyacente sea distinto. El trabajo se desarrollará en 3 partes principales. La primera se refiere a la explicación de los riesgos a los que se está expuesto al tomar una posición en un producto financiero derivado, su