Modelo bayesiano probit de dependencias espaciales y demográficas 
Autor: Valeria Jimeno Villegas
Año: 2021
Carrera: Actuaría

Las personas, al ser parte de una sociedad, viven constantemente interactuando entre ellas. Comparten sus experiencias, creencias y preferencias entre sí, y muchas veces a raíz de esta interacción se forman grupos de convivencia. Estos grupos se pueden definir a partir de una serie de variables sociales como la edad, la religión, la etnia, el nivel económico, laboral, educativo, así como también dela proximidad que existe entre ellos, es decir, qué tan lejos habitan unos de otros. ¿Alguna vez te has preguntado cómo influyen tus círculos sociales en las decisiones que haces día con día? Se sabe que las personas que forman parte de un mismo grupo tienden a adoptarlos gustos de este, lo que lleva a que las preferencias sean interdependientes. A pesar de que este es un tema social, es de gran interés en la estadística. Generalmente el modelo Probit se utiliza para explicar la variación en las decisiones de los individuos con base en las covariables exógenas y suponiendo que los efectos individuales son independientes entre sí. No obstante, al definirla varianza constante, el modelo no toma en cuenta la interdependencia quepudiera llegar a existir entre los individuos. Si las preferencias en un mercado se determinan de forma interdependiente, su patrón no estará bien representado por este modelo. Por lo tanto, al momento de hacer inferencia en las decisiones, es importante ser realista y tomar en cuenta tanto los efectos individuales de las covariables como la dependencia que pudiera existir entre las preferencias de losindividuos. Pero, ¿cómo se puede introducir el nivel de interdependencia, en caso de que exista, en un modelo estadístico? En (LeSage 2000) se introduce un parámetro autorregresivo θi (del modelo de regresión espacial (ver Figura 1)) al modelo Bayesiano Probit. Este parámetro mide los efectos de interacción espacial basado en la proximidad de los individuos dentro de una matriz de pesos W, que es la matriz que refleja la interdependencia. Como consecuencia de esto se tiene una varianza no constante para cada observación (ui N(0, σ2)). Dándole seguimiento al modelo en (Smith y LeSage 2002) extendieron la idea, pero ahora separando los efectos de interacción, individual y espacial ε,θ respectivamente. Si bien ahí se expone un modelo Probit Bayesiano con efectos individuales que exhiben dependencias, estas dependencias son meramente geográficas. De manera que se pudieran implementar las dependencias demográficas al modelo, en (Yang y Allenby 2003) implementan una composición conjunta de las dependencias geográficas y demográficas dentro de θ, respetando la separación de ambos efectos. Específicamente θi viene definida por: θi=ρm∑j=1wi, jθi+ui, (1)wi, j=φ(τ)wgi, j+ (1−φ(τ))wdi, j, en dondeρes el parámetro que mide el nivel de asociación entre los individuos más allá del capturado por las covariables X, W es la matriz que refleja la interdependencia geográfica (wgi, j) y demográfica (wdi, j) entre los individuos yφ(τ) es la función que le da la importancia relativa a las matrices wg, di, j. El objetivo de este trabajo es presentar el modelo Bayesiano Probit de dependencias espaciales y demográficas (InterProbit) como una herramienta para hacer inferencia acerca de la toma de decisiones (binaria) que pudieran tomarun conjunto de individuos tomando en cuenta no sólo las covariables X, sino también utilizando las redes de influencia que existen entre los individuos. Para la comprensión del modelo en el primer capítulo, “Estadística Bayesiana”, se aborda la teoría elemental de esta. El desarrollo teórico que acompaña a la inferencia y predicción Bayesiana, la presentación del modelo jerárquico Bayesiano y la explicación de los métodos para la comparación de modelos Bayesianos, en particular Newton y Raftery y el criterio de información Bayesiana, se encuentranen este capítulo. En el segundo capítulo, “Monte Carlo Vía Cadenas de Markov”, se da una breveintroducción a las cadenas de Markov para abrir camino a los algoritmos de simulación MCMC, Cadenas de Markov Monte Carlo, en particular se explicanlos algoritmos MetropolisHastings, Muestreo de Gibbs y el algoritmo Metropolis Hastings dentro de Gibbs. Posteriormente en “Modelos Espaciales”, el tercer capítulo, se presentan las estructuras fundamentales que se utilizan dentro de los modelos espaciales para explicar las interacciones espaciales (autocorrelación espacial). Se describen las formas particulares que toma la matriz de pesos W. En el cuarto capítulo, “Modelo InterProbit”, se desarrolla la teoría del modelo Bayesiano InterProbit. Se comienza con una breve introducción al modelo probitde variables latentes, seguido de la descripción detallada de los componentes del modelo InterProbit, el desarrollo de las distribuciones iniciales seguidas de las posteriores para terminar con la estimación por MCMC.