Inferencia para series de tiempo estacionarias desde una perspectiva bayesiana no paramétrica 
Autor: Bernardo Flores López
Año: 2019
Carrera: Actuaría

En los últimos años se ha realizado un esfuerzo por construir modelos flexibles para series de tiempo. Los modelos clásicos, como los ARMA o losGARCH, imponen supuestos distribucionales rígidos que resultan difícilesde cumplir en la mayoría de los casos, limitando su aplicabilidad. El uso de procesos estacionarios es particularmente atractivo, debido aque las simetrías inducidas por la estacionariedad, como aquella descrita porel Teorema de Representación de Maitra1, permiten obtener una regularidaden la serie que facilita la inferencia y da pie a la predicción. El desarrollo de la estadística bayesiana no paramétrica (BNP) conllevóla creación de una serie de modelos inspirados por la construcción de Pittetal(2002) de un proceso AR con distribución estacionariaQdada, utilizandouna medida aleatoria como distribucióna prioriparaQ. Las construcciones BNP aportan la flexibilidad necesaria para adaptarsea datos reales, manteniendo la estacionariedad que brinda la estabilidad enel tiempo requerida para el análisis de las series temporales. Una manera natural de construir un modelo no paramérico para seriestemporales es construir un proceso autorregresivo tal que su distribuciónestacionaria sea una mezcla infinita de distribuciones, lo que le brinda flexibilidad. Sin embargo, un problema frecuente con este tipo de modelos es ladimensionalidad; la cual puede inducir expresiones complejas que involucrensumas infinitas. El primer intento de contruir un modelo de esta clase fue en (MartínezOvando y Walker, 2011), en donde se utilizó un proceso betaStacy paragenerar los pesos que se utilizarían para el modelo de mezclas de la distribución estacionaria. Si bien esta construcción era flexible, el algoritmo deestimación resultaba tan complejo que la hacía muy ineficiente. En (Mena y Walker, 2005) se utilizó una medida aleatoria para la transición de un proceso AR(1), restringiendo a la distribución invariante a unafamilia paramétrica de distribuciones dada, lo que limitaba la flexibilidad del proceso resultante. Siguiendo la idea expuesta en (MartínezOvando y Walker, 2011), AntonianoVillalobos y Walker (2016) utilizaron una mezcla de procesos Dirichlet parala distribución estacionaria, f, de un proceso de Markov:f(y) =∫k(y|θ)μ(dθ)μ∼PD(G0, α0)en dondek(·|θ)es densidad para todoθ;G0es la medida base yα0es el parámetro de concentración, ambos fijos. La diferencia clave con los enfoquesprevios es la utilización de variables latentes para eliminar los problemas dedimensionalidad en la verosimilitud, simplificando su estimación. Para la comprensión de este último modelo, en el primer capítulo de esta tesis se expondrá la teoría básica necesaria de probabilidad y estadística;procesos estocásticos y series de tiempo. Se presentarán las definiciones y propiedades básicas de los procesos estocásticos y posteriormente se tratarán dos de los modelos básicos de seriestemporales, los procesos ARMA y GARCH, así como sus propiedades, condiciones de estacionariedad y un esbozo de su estimación. Posteriormente, en el segundo capítulo se dará una introducción a la estadística bayesiana no paramétrica, incluyendo métodos de estimación utilizando métodos Monte Carlo vía cadenas de Markov. Se comenzará conintercambiabilidad y la estadística bayesiana, para después pasar a medidasaleatorias y métodos numéricos. En el tercer capítulo se expondrá el modelo desarrollado en (AntonianoVillalobos y Walker, 2016), utilizando una reparametrización propia queevita problemas numéricos en la estimación. Finalmente, con fin de mostrar su utilidad, en el cuarto capítulo se aplicará este modelo en los máximos diarios de 2016 a 2018 de partículas suspendidas menores a diez micrómetros en la Ciudad de México, las cualesrepresentan una de las fuentes principales de contaminación del aire en laciudad.