Una aplicación de medidas de riesgo y órdenes estocásticos 
Autor: Brenda Liliana Transito Pimentel
Año: 2019
Carrera: Actuaría

En 1952, Harry Markovitz propuso un modelo basado en encontrar las ponderaciones de un portafolio que minimizara la varianza y por mucho tiempo este modelo fue aceptado universalmente. Sin embargo, se comprobó que el modelo, más que medir el riesgo, medía la dispersión delos activos. Como consecuencia de las grandes crisis financieras, se planteó la necesidad de quelas medidas de riesgo tenían que expresar las pérdidas potenciales a cierto nivel de confianzaαy en un horizonte de tiempo dado. Por ello, surgieron las medidas de riesgo. Otra manera de expresar lo anterior es la siguiente: Los inversionistas buscarán perder, entérminos monetarios, lo menos posible. Es decir, si tienen una gama de activos disponibles en losque pueden invertir, siempre elegirán aquellos que les generen las mínimas pérdidas posibles. Es decir, desean “ordenar” las pérdidas generadas por los activos financieros con base en la aleatoriedad de sus comportamientos y así elegir el activo que les genere la menor pérdida. En esta interpretación entran naturalmente los órdenes estocásticos. Si se comparan la pérdida entre un activo 1 y un activo 2, y se sabe que bajo un cierto “orden” (que es necesario definir con cuidado) las pérdidas generadas por el activo 1 son menores a las pérdidas generadas por el activo 2, es natural cuestionarse si al medir el riesgo asociado a estosactivos el orden se preserva. A lo largo de este trabajo, estudiamos los distintos órdenes estocásticos que existen, sus propiedades y las relaciones que existen entre ellos. También, se examinan las medidas deriesgo en general y los casos notables particulares dados por el VaR y el CVaR. Se muestra larepresentación que tienen las medidas de riesgo que cumplen ciertas condiciones y se responde la pregunta formulada en el párrafo anterior. Finalmente, se presenta una implementación para la optimización del CVaR a un nivel de confianza α dado para portafolios de inversión. Este trabajo consta de 4 capítulos y dos apéndices. En el primer capítulo se presenta la definición y la caracterización del primer orden estocástico. Posteriormente, se estudia otro criterio para saber cuándo una variable aleatoria domina en primer orden estocástico a otra y después se generaliza el primer orden estocástico paranvariables. También se define el orden por cociente de verosimilitud, se estudia la relación de este orden con el primer orden estocástico y se ejemplifica con un problema de inversión de un periodo. Finalmente, se presenta la definición ycaracterización del segundo orden estocástico y se estudia el caso particular de variables aleatorias gaussianas. En este primer capítulo, se ejemplifican a los órdenes estocásticos con variablesaleatorias que representan rendimientos, sin embargo, posteriormente, se ejemplificarán como pérdidas. En el segundo capítulo se presenta la definición formal de Medida de Riesgo y sus propiedades; se dan las condiciones para que las medidas de riesgo sean coherentes. Se definen el VaR y el CVaR, y finalmente se demuestra que el CVaR es una medida de riesgo coherente. En el tercer capítulo, se muestra la relación existente entre Órdenes Estocásticos y Medidasde Riesgo para variables aleatorias definidas enL1, para ello se estudia la propiedad de Fatoupara medidas de riesgo. El objetivo de este capítulo es estudiar cuándo las medidas de riesgo sonconsistentes con el primer orden estocástico, el orden convexo y el orden convexo creciente. Parademostrar la consistencia de este último orden, se extendió la representación de una medida deriesgo invariante bajo traslaciones y coherente con la propiedad de Fatou en L ∞ presentada enKusuoka (2001) [7] al espacio L1. En el cuarto capítulo se presenta la metodología para la optimización del CVaR entperiodos, a un nivel de confianza α, de dos portafolios de rendimientos pertenecientes a acciones que cotizan en Bolsa Mexicana de Valores, el primer portafolio consiste de 3 activos y el segundoconsiste de 9 activos. Dado que se necesitan q escenarios para la misma, se realizó un ajuste deseries de tiempo multivariadas para posteriormente simular dichos escenarios. La optimizaciónse traduce a un problema de programación lineal, que se resolvió mediante la implementación del método simplex revisado.