Algoritmo EM, su implementación y aplicaciones 
Autor: María Cristina Guzmán Solís
Año: 2019
Carrera: Actuaría

En este trabajo hablaremos sobre el algoritmo EsperanzaMaximización, mejor conocido como algoritmo EM. Dada la gran variedad de aplicaciones en los cuales el algoritmo EM se puedeimplementar, así como por el carácter genérico de su procedimiento, muchos prefieren referirsea él como un metaalgoritmo; sin embargo, continuaremos refiriéndonos a él como algoritmoEM. Dicho algoritmo se usa para estimación por máxima verosimilitud en problemas con datos incompletos (incompletedataproblems). A pesar de que en el presente trabajo usaremos elalgoritmo EM para estimación por máxima verosimilitud, cabe mencionar que también dichoalgoritmo puede ser adaptado para obtener el estimador MAP (Maximum a posteriori) en elcontexto bayesiano. A diferencia de sus predecesores como NewtonRhapson y el método de Scoring para la obtención de estimadores máximo verosímiles, el algoritmo EM tiene la ventaja de ser mucho mássencillo y de lidiar con problemas de datos incompletos, en los cuales los métodos antes mencionados pueden resultar más complicados de implementar. Para leer más acerca de los métodosnuméricos de Newton para obtener estimadores máximo verosímiles refiérase a [15]. El propósito de este trabajo es presentar el algoritmo EM como herramienta para resolverel problema de estimación máximo verosímil en problemas de información incompleta. Se muestran algunas implementaciones y aplicaciones del algoritmo EM tanto en su versión deterministacomo en su versión estocástica. Empezamos en el Capítulo 1 con una breve introducción a laestimación por máxima verosimilitud y presentamos propiedades de los estimadores máximoverosímiles, y finalizamos la sección con una introducción a las familias exponenciales. En el Capítulo 2 presentamos la formulación del algoritmo EM, en donde introducimos losconceptos que se utlizarán a lo largo del trabajo. Procedemos con una breve descripción de lahistoria del algoritmo EM, antes de la publicación del artículo de Dempster, Laird y Rubin [12]y después se presentan algunos ejemplos de implementaciones del algoritmo EM. Finalmente, mostramos dos aplicaciones de clasificación, una con datos reales muy conocidos y otra condatos simulados, para clasificación de estados moduladores en un modelo de riesgo modulado [2]. En el Capítulo 3 hablaremos sobre la teoría básica del algoritmo EM, presentamos resultados de convergencia de la secuencia generada por el algoritmo, tanto de la función de logverosimilitud como de los estimadores máximo verosímiles generados a cada iteración. Tambiénpresentamos el Teorema de Convergencia Global y continuamos con el capítulo pasando al temadel cálculo de errores estándar y tasa de convergencia. Concluimos el capítulo presentado métodos de aceleración de convergencia con un ejemplo. Por último, en el Capítulo 4 hablamos sobre las versiones estocásticas del algoritmo EM, que son el algoritmo EM Monte Carlo y el algoritmo EM Estocástico. Iniciamos con una breveintrodución a los métodos de Monte Carlo para integración y procedemos con la formulación delos algoritmos EM Monte Carlo y EM Estocástico. Finalmente, mostramos los ejemplos vistos en el Capítulo 2, pero ahora implementados con las versiones estocásticas. Exponemos algunosresultados importantes de la teoría de dichos algoritmos y concluimos con una aplicación vistaen el Capítulo 2, sólo que esta vez hacemos uso del algoritmo EM Estocástico para estimacióndel proceso de riesgo modulado a tiempo continuo discretamente observado.