COMPARAISON ENTRE COHOMOLOGIE CRISTALLINE ET
COHOMOLOGIE ÉTALE p-ADIQUE SUR CERTAINES
VARIÉTÉS DE SHIMURA
Sandra Rozensztajn
Résumé. — Soit X un modèle entier en un premier p d’une variété de Shimura de
type PEL, ayant bonne réduction associée à un groupe réductif G. On peut associer
aux Zp-représentations du groupe G deux types de faisceaux : des cristaux sur la fibre
spéciale de X, et des systèmes locaux pour la topologie étale sur la fibre générique.
Nous établissons un théorème de comparaison entre la cohomologie de ces deux types
de faisceaux.
Abstract (Comparison between crystalline cohomology and p-adic étale
cohomology on certain Shimura varieties)
Let X be an integral model at a prime p of a Shimura variety of PEL type having
good reduction, associated to a reductive group G. To Zp reprsententations of the
group G can be associated two kinds of sheaves : crystals on the special fiber of X,
and locally constant étale sheaves on the generic fiber. We establish a comparison
between the cohomology of these two kinds of sheaves.
1. Introduction
Considérons X un modèle entier d’une variété de Shimura de type PEL, défini
sur une extension de Zp. Cette variété de Shimura correspond à un groupe réductif
G, défini sur Z(p). On peut associer aux Z(p)-représentations du groupe G différents
faisceaux : des systèmes locaux en Zp-modules sur la fibre générique de X , et des
cristaux sur sa fibre spéciale. Nous établissons une comparaison entre la cohomologie
étale du système local d’une part, et la cohomologie log-cristalline d’une extension
du cristal à une compactification appropriée de X , pour une même représentation V
du groupe G. Nous traitons ici le cas des variétés de Shimura unitaires et de celles
de type Siegel. Dans le cas unitaire, nous obtenons un résultat qui tient compte de
la torsion (théorème 6.3), dans le cas Siegel les résutats sont moins précis et ne sont
valables qu’après tensorisation par Qp (théorème 6.4). L’intérêt de cette comparaison
est que nous pouvons obtenir des renseignements sur le côté cristallin : des techniques
de type complexe BGG, décrites par exemple dans [3], chapitre VI, permettent d’avoir
http://arxiv.org/abs/0704.1347v1
2 SANDRA ROZENSZTAJN
des renseignements sur la filtration de Hodge. On déduit alors des informations sur le
côté étale, vu comme représentation galoisienne.
La théorie de Hodge p-adique nous donne de tels théorèmes de comparaison entre
cohomologie étale p-adique et log-cristalline dans le cas des coefficients constants, pour
des schémas propres et possédant certaines propriétés de lissité. Ces résultats sont dûs
entre autres à Tsuji ([15]) pour le cas où l’on considère les groupes de cohomologie
après tensorisation par Qp, et à Tsuji et Breuil pour le cas où l’on tient compte de la
torsion ([16] et [2], il y a alors des restrictions sur le degré des groupes de cohomologie
que l’on peut étudier). Ces théorèmes sont rappelés dans le paragraphe 6.1.
Le principe de notre méthode est de considérer la cohomologie à coefficients constants
de la variété abélienne universelle sur X et de ses puissances, et d’en déduire la com-
paraison qui nous intéresse en découpant les groupes de cohomologie des faisceaux
considérés dans les groupes de cohomologie à coefficients constants à l’aide de cer-
taines correspondances algébriques.
Le premier problème est que de tels théorèmes de comparaison n’étant valables
que sur des schémas propres, nous devons supposer l’existence (prouvée dans certains
cas seulement) de compactifications non seulement de X , mais aussi des variétés de
Kuga-Sato, et plus précisément un système projectif de telles compactifications. La
partie 2 explique précisément dans quelle situation nous nous pla cons, ainsi que les
propriétés des compactifications que nous utilisons.
Le deuxième problème est que toutes les représentations de G ne donnent pas
des faisceaux dont la cohomologie puisse être découpée par des correspondances
algébriques dans la cohomologie de la variété abélienne universelle. On détermine
dans la partie 3 quelles sont les représentations de G qui donnent des faisceaux que
l’on peut atteindre de cette fa con, qui sont les seuls pour lesquels nous obtenons
un résultat. Cette partie utilise fortement la structure des représentations du groupe
réductif G, ce qui explique que l’on soit obligé de faire une description cas particulier
par cas particulier.
Nous expliquons la construction des faisceaux ainsi que l’action de ces correspon-
dances algébriques dans la partie 4.
Enfin l’énoncé et la preuve du théorème principal occupent la partie 6. C’est ici
qu’apparâıt une différence entre les cas unitaire et Siegel : en effet le point-clé de
la preuve est la compatibilité de l’action des correspondances algébriques que nous
considérons avec les théorèmes de comparaison à coefficients constants. Le cas Siegel
utilise la compatibilité de cet isomorphisme de comparaison avec les structures produit
sur les groupes de cohomologie, ce qui n’est démontré que dans le cas rationnel et non
dans le cas de torsion.
2. Les objets considérés
2.1. Variétés de Shimura de type PEL. —
2.1.1. Les données. — On se donne B une Q-algèbre simple finie, munie d’une invo-
lution positive notée ∗ (c’est-à-dire que trB/Q(xx
∗) > 0 pour tout x non nul de B),
V un module de type fini sur B, muni d’une forme bilinéaire (, ) telle que pour tous
v et w dans V, et tout b dans B on ait (bv, w) = (v, b∗w). On notera 2g la dimension
de V sur Q.
On fixe dans toute la suite un nombre premier p, et on fera l’hypothèse que p > 2g.
Le rôle de cette hypothèse est expliqué au paragraphe 4.3.1.
On suppose que B est non ramifié en p, c’est-à-dire que BQp est un produit
d’algèbres de matrices sur des extensions non ramifiées de Qp.
On se donne un Z(p)-ordre OB dans B qui devient un ordre maximal de BQp après
tensorisation par Zp, et stable par l’involution de B.
On se donne aussi V un OB-réseau de V autodual. Le fait que V soit autodual
implique en particulier que la forme bilinéaire induite sur V est non dégénérée.
Soit C l’anneau des endomorphismes B-linéaires de V.
On définit le groupe G par G(R) = {g ∈ (C ⊗ R)∗, ∃µ ∈ R∗, ∀v, w ∈ V ⊗
R, (gv, gw) = µ(v, w)}, pour toute Z(p)-algèbre R.
On se donne un R-homomorphisme d’algèbres h : C → C∞ = C ⊗Q R tel que
h(z)∗ = h(z̄), et la forme (v, h(i)w) soit définie positive sur V∞ = V⊗QR. On associe
à h le morphisme µh : C
∗ → GC, qui définit la filtration de Hodge sur VC, c’est-à-dire
la décomposition V = Vz ⊕V1, où µh(z) agit par z sur Vz et par 1 sur V1.
Le corps dual associé à ces données est le corps E(G, h) qui est le corps de définition
de la classe d’isomorphisme de Vz comme B-représentation. C’est le sous-corps de C
engendré par les tr(b), b ∈ B agissant sur Vz.
2.1.2. Deux cas particuliers. — Dans la suite nous nous intéresserons uniquement
à deux cas particuliers : le cas Siegel et le cas unitaire. Le cas Siegel correspond à
la situation où B est réduit à Q. La variété de Shimura associée est alors la variété
modulaire de Siegel. Le cas unitaire correspond au cas où B est une extension qua-
dratique imaginaire de Q. La forme alternée (, ) est alors la partie imaginaire d’une
forme hermitienne sur V, qu’on peut voir comme un B-espace vectoriel de dimension
moitié.
2.1.3. Le problème de modules. — On peut associer aux données de Shimura prcédentes
un problème de modules, tel que décrit dans [10], dont on rappelle ici l’essentiel.
Fixons Kp un sous-groupe compact ouvert de G(A
f ). On considère le foncteur des
OE(G,h) ⊗ Z(p)-schémas dans les ensembles, qui à S associe l’ensemble à équivalence
près des quadruplets (A, λ, i, η), où A est un schéma abélien A sur S, muni d’une
polarisation λ première à p, et d’une flèche i : OB → End(A) ⊗ Z(p) qui est un
morphisme d’algèbres à involution, l’involutin sur End(A) ⊗ Z(p) étant l’involution
de Rosati donnée par λ, et η est une structure de niveau. Enfin on suppose que OB
agit sur Lie(A) comme sur Vz, c’est-à-dire que det(b,Lie(A)) = det(b,Vz) pour tout
b ∈ OB . La structure de niveau consiste en ce qui suit : on considère le A
f -module
de Tate de A, c’est un A
f -faisceau lisse sur S. Soit s un point géométrique de S, une
structure de niveau consiste en une Kp-orbite η d’isomorphismes VAp
→ H1(As,A
de B-modules munis d’une forme alternée, et qui soit fixée par π1(S, s).
4 SANDRA ROZENSZTAJN
Deux quadruplets (A, λ, i, η) et (A′, λ′, i′, η′) sont dit équivalents s’il existe une
isogénie première à p de A vers A′, commutant à l’action de OB, transformant η en
η′, et λ en un multiple scalaire (dans Z∗(p)) de λ
Ce foncteur est représentable, par un schéma quasi-projectif et lisse M sur OE ⊗
Z(p) pourvu que l’on choisisse K
p suffisamment petit.
Notons A le schéma abélien universel sur M.
Pour les cas Siegel et unitaire, on a le résultat suivant (lemme 7.2 de [10]) :
Lemme 2.1. — OM ⊗ V et H
1(A/M)∨ sont localement isomorphes comme OB-
modules munis d’une forme alternée.
2.1.4. La situation géométrique considérée. — On obtient alors la situation suivante :
NotonsK le complété en une place v|p de E(G, h), etO son anneau des entiers. Notons
On = O/̟
n+1, où ̟ est une uniformisante de O. C’est l’anneau des vecteurs de Witt
de longueur n sur le corps résiduel de O puisque p est non ramifié dans E(G, h).
Posons S = SpecO, et Sn = SpecOn. D’une fa con générale, on notera avec un indice
n la réduction d’un O-schéma modulo ̟n+1
On notera X = MO, c’est donc un schéma lisse sur S, muni d’un schéma abélien
A, provenant du schéma abélien universel sur la variété de Shimura. De plus, on a
un morphisme OB → End(A) ⊗Z Z(p). On note f : A → X , et fs : A
s → X les
morphismes structuraux.
2.2. Existence de compactifications. — Nous aurons besoin d’utiliser aussi des
compatifications de X , ainsi que du schéma abélien universel A et de ses puissances.
Ces compactifications ont été décrites en détail dans le cas Siegel ([3]), pour le cas
unitaire la construction détaillée n’est écrite que pour GU(2, 1), c’est-à-dire les sur-
faces modulaires de Picard (voir [11] pour la compactification de la base et [14] pour
celle du schéma abélien universel), même si leur existence dans le cas unitaire général
ne pose pas de problèmes. Nous résumons dans ce paragraphe les seules propriétés de
ces compactifications que nous utilisons.
2.2.1. Compactifications de la base. — Nous avons besoin tout d’abord de compactifi-
cation du modèle entier de la variété de Shimura. En considérant des compactifications
toröıdales (décrites dans [3], chapitre IV pour le cas Siegel, et dans [11] pour le cas
de GU(2, 1)), on obtient l’existence d’un schéma X vérifiant la propriété suivante :
Propriété 1. — il existe un schéma X propre et lisse sur S, contenant X comme
ouvert dense, tel que le complémentaire de X dans X est un diviseur à croisements
normaux relatifs.
On fixera dans la suite une fois pour toute une telle compactificationX . On peut re-
marquer que les résultats ne dépendent en fait pas du choix de X parmi l’ensemble des
compactifications toröıdales : deux compactifications toröıdales sont toujours compa-
rables, au sens où il existe une troisième qui les domine toutes les deux, ce qui permet
de voir que les groupes de cohomologie décrits en 5.2.5 ne dépendent pas de ce choix
de compactification.
2.2.2. Compactifications du schéma abélien universel. — On se donne X propre lisse
sur S, muni d’un diviseur à croisements normaux relatifs D, et on note X l’ouvert
complémentaire. Pour chaque s, on appelle bonne compactification de As une com-
pactification As de As, telle que f−1s (X \X) est un diviseur à croisements normaux
relatifs.
Considérons la des compactifications toröıdales « lisses » des As (voir [3] dans le
cas Siegel, [14] dans le cas de GU(2, 1)), on obtient pour tout s ≥ 1, une famille de
bonnes compactifications As de As, vérifiant les deux propriétés suivantes :
Propriété 2. — 1. Pour toute isogénie u de As, il existe deux bonnes compacti-
fications As1 et As2, et un morphisme As1 → As2 prolongeant u.
2. Étant donné deux bonnes compactificationsAs1 etAs2, il en existe une troisième
As3 et des X-morphismes As3 → As1 et As3 → As2 induisant l’identité sur A
Dans le cas Siegel, nous utiliserons encore une propriété supplémentaire de la famille
des compactifications toröıdales :
Propriété 3. — Si L est un faisceau symétrique sur As, il existe des entiers a et b, et
une compactification de la famille As tels que le faisceau (O(2)⊗a ⊗L)⊗b se prolonge
en un faisceau sur As. De plus, on peut choisir a et b premiers à p.
Cette construction fait l’objet du chapitre VI du livre [3]. Elle n’est détaillée que
pour le cas où le faisceau symétrique ample considéré est O(2), mais cela s’adapte
au cas d’un faisceau symétrique ample quelconque, pour lequel on prendra donc
O(2)⊗a ⊗ L, avec a assez grand pour que le faisceau soit ample.
3. Représentations de G
3.1. Z(p)-représentations. — On note Rep(G) la catégorie des représentations de
G sur un Z(p)-module libre de type fini, et RepQ(G) celles des représentations de G
sur un Q-espace vectoriel de dimension finie.
Notons V0 ∈ Rep(G) la duale de la représentation standard de G, c’est-à-dire la
duale du réseau V défini au paragraphe 2.1.1.
3.2. L’algèbre des endomorphismes. — Les représentations de G de la forme
∧•Vs0 , pour s ≥ 1, jouent un rôle particulier : les faisceaux que nous allons leur
associer dans la section 4 ont une interprétation géométrique. Nous définissons une
sous-algèbre de l’algèbre End(∧•Vs0 ) des endomorphismes G-linéaires de ∧
•Vs0 , formé
de morphismes ayant aussi une interprétation géométrique qui sera décrite dans le
paragraphe 4.2.1. L’objectif est de pouvoir découper dans les ∧•Vs0 des représentations
irréductibles de G à l’aide de cette algèbre d’endomorphismes, en s’inspirant des
constructions de Weyl.
Dans le cas unitaire, on définit pour tout s ≥ 1 une sous-Z(p)-algèbre E(A)s de
End(∧•Vs0). C’est l’algèbre engendrée par l’action de Ms(Z) sur V
0 , muni de la mul-
tiplication opposée, et par l’action de OB sur V0.
6 SANDRA ROZENSZTAJN
Dans le cas Siegel, on note E(C)s la sous-Z(p)-algèbre de End(∧
•Vs0) engendrée
par l’action de Ms(Z) sur V
0 , et par les opérations suivantes. On note Z(p)(1) la
représentation du groupe symplectique correspondant à l’action du groupe sur Z(p)
par le multiplicateur. Observons que V0 = V(−1).
On note u ∈ ∧2V20 (1) l’élément provenant de la forme bilinéaire sur V, et pour tous
1 ≤ i < j ≤ s, on note ui,j l’image de u par l’application ∧
2V20 (1) → ∧
2Vs0(1) induite
par l’application V20 → V
0 consistant à placer les deux facteurs V0 aux places i et j.
Le cup-produit par ui,j définit une application ϕi,j : ∧
•Vs0(−1) → ∧
•Vs0 qui envoie
chaque ∧kVs0(−1) dans ∧
k+2Vs0 .
L’application duale de ϕi,j permet de définir une application ψi,j : ∧
•Vs0 → ∧
•Vs0 (−1).
Enfin on note θi,j = ϕi,j ◦ ψi,j , qui est donc un endomorphisme de ∧
•Vs0 .
On définit alors E(C)s comme l’algèbre engendrée par l’action deMs(Z) et les θi,j ,
1 ≤ i < j ≤ s.
On notera Es pour désigner indifféremment E(A)s et E(C)s. On dira que u ∈ Es
est un projecteur homogène (de degré t) si son image est contenue dans ∧tVs0 ⊂ ∧
•Vs0 .
On donne des définitions similaires pour les éléments de Es ⊗ Q agissant sur
∧•(V0 ⊗Q)
3.3. Représentations atteignables. — On note Repa(G) la sous-catégorie de
Rep(G) formée des représentations isomorphes à une somme directe de représentations
de G de la forme im q, où q est un projecteur homogène de Es agissant sur un ∧
•Vs0 .
Si V ∈ Repa(G), on note t(V ) le plus grand degré des projecteurs homogènes qui
apparaissent dans la définition de V .
On définit de fa con similaire RepaQ(G).
Comme nous n’obtenons des résultats que pour les représentations de G qui sont
dans Repa(G), il va s’agir de voir que cette sous-catégorie n’est pas trop petite, et qu’il
n’est donc pas trop restrictif de s’y limiter. C’est l’objet des paragraphes suivants.
3.4. Poids p-petits. — Supposons notre groupe réductif G déployé sur un certain
corps E. Les représentations irréductibles de G sur E sont paramétrées par l’ensemble
des poids dominants, une fois fixé un tore maximal et un système de racines positives.
Si a est un poids dominant, on note VE(a) la représentation irréductible de G sur E
de plus haut poids a.
On définit comme dans [9], II.3.15 ce qu’est un poids dominant p-petit. La propriété
qui nous intéresse ici est la propriété suivante (voir [13], 1.9) : si le poids a est p-petit,
alors il existe à homothétie près un unique réseau dans VE(a) qui est stable sous
l’action de Dist(G), l’algèbre des distributions de G sur OE,(v), pour v une place de E
divisant p. Cela a donc un sens de définir V (a) comme la représentation irréductible
de G sur OE,(v) de plus haut poids a.
3.5. Description de Repa(G) dans le cas unitaire. — On se place ici dans le cas
unitaire. Le groupe G est alors un groupe unitaire relatif à un corps E quadratique
imaginaire, qui correspond à l’algèbre B du paragraphe 2.1.1, donc G est de la forme
GU(g), et il est déployé sur E. On a donc GE
−→ GL(g)E ⊗Gm,E .
L’ensemble des représentations sur E irréductibles de G est paramétré par les g+1-
uplets (a1, . . . , ag; c) d’entiers, avec a1 ≥ · · · ≥ ag et
ai = c (mod 2), une fois choisi
un isomorphisme entre GE et GL(g)E ×Gm,E. Notons i et j les deux morphismes de
E dans E, le choix de l’isomorphisme revient à en privilégier un des deux.
La représentation V0⊗E correspond à la somme de deux représentations irréductibles
V1 et V2, V1 de plus haut poids (1, 0, . . . , 0; 1) et V2 de plus haut poids (0, . . . , 0,−1; 1).
V1 est l’espace propre associé à la valeur propre i(x) de l’endomorphisme u(x), pour
tout x dans E, et V2 est l’espace propre associé à la valeur propre j(x).
3.5.1. Description de RepaQ(G). — Notons Rep
E(G) l’ensemble des V ⊗QE, où V ∈
RepaQ(G), et V0 = V0 ⊗ E.
Proposition 3.1. — RepaE(G) contient toutes les représentations qui sont de la forme
V (a)⊕V (a∗), où V (a) est la représentation irréductible de plus haut poids (a1, . . . , ag; c)
avec ag ≥ 0 et c =
ai = s, et a
∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1; c).
Lemme 3.2. — Soit a = (a1, . . . , ag; c) un poids dominant de G, tel que ag ≥ 0 et
ai, et V (a) la représentation irréductible associée. Alors il existe un élément
Ca de QSs (où s =
ai) tel que V (a) = CaV
1 et V (a
∗) = CaV
Démonstration. — Regardons d’abord V (a) comme une représentation de GLg, en
oubliant l’action du multiplicateur. Comme expliqué dans [6], 15.5, il existe un Ca ∈
QSs idempotent tel que V (a) = CaV
1 , V (a) et V1 étant vues toutes deux comme des
représentations deGLg. Il faut voir ensuite que l’égalité tient aussi comme représentations
de GL(g)E × Gm,E, donc que le multiplicateur agit de la même fa con sur les deux.
Or il agit par x 7→ xc sur V (a), et par x 7→ xs sur V ⊗s1 , et on a s = c.
Lemme 3.3. — Soit s ≥ 0. Il existe un projecteur q dans E(A)s ⊗ Q commutant à
l’action du groupe des permutations Ss tel que l’image de q agissant sur ∧
•V s0 est
V ⊗s0 .
Démonstration. — ∧•V s0 = ⊕0≤i1≤2g,...,0≤is≤2g ∧
i1 V0 ⊗ · · · ⊗ ∧
isV0.
Considérons un entier m non nul, vj la matrice diagonale [(1, . . . , 1,m, 1, . . . )] avec
un m en j-ème position. L’espace propre correspondant à la valeur propre m est la
somme des termes pour lesquels ij = 1. Soit pj le projecteur sur cet espace propre.
Les pj commutent, leur produit est donc un projecteur q sur l’intersection des images,
c’est-à-dire les termes pour lesquels chaque ij est égal à 1, c’est-à-dire V
0 . De plus,
q commute bien à l’action de Ss.
Enfin on utilise que V0 = V1 ⊕ V2, V
0 est donc égal à une somme de termes de la
forme V ⊗x1 ⊗ V
2 avec x+ y = s.
Lemme 3.4. — Il existe un élément q′ dans le centre de E(A)s⊗Q dont la restriction
de l’action à V ⊗s0 est un projecteur sur V
1 ⊕ V
Démonstration. — Fixons z ∈ OE . z agit par i(z) sur V1 et par j(z) sur V2. Notons
i(z) = a et j(z) = b. Choisissons z de sorte que les axby soient tous distincts. Alors
V ⊗x1 ⊗ V
2 est (dans V
0 ) l’espace propre associé à la valeur propre a
8 SANDRA ROZENSZTAJN
Soit P le polynôme Πr+t=s(X − a
rbt). Il est à coefficients entiers, et c’est le po-
lynôme minimal de l’action de u(z) sur V ⊗s0 . Soit Q = Πr+t=s,r 6=0,t6=0(X−a
rbt). Alors
P = QT où T = (X − as)(X − bs), et Q et T sont premiers entre eux. Il existe donc
des polynômes U et V (à coefficients rationnels), tels que UQ+V T = 1. Alors l’action
de u(1− UQ)(z) sur V ⊗s0 est un projecteur sur V
1 ⊕ V
2 , qu’on note q
On peut maintenant prouver la proposition : soit a comme dans l’énoncé, et s =
ai. Posons P = Caq
′q, alors P ∧• V s0 est la représentation V (a) ⊕ V (a
∗). En
effet, notons que Ca, q
′ et q commutent par construction, donc P est un projecteur.
On a q ∧• V s0 = V
0 , q
′q ∧• V s0 = V
1 ⊕ V
2 , Caq
′q ∧• V s0 = CaV
1 ⊕ CaV
2 . Or
1 = V (a), et CaV
2 = V (a
Une fois décrites les représentations qui sont dans RepaE(G), il faut maintenant
retrouver quelle est la Q-forme de ces représentations qui est dans RepaQ(G). V1 et V2
sont naturellement isomorphes, et Gal(E/Q) agit sur V0 = V1⊕V2 par (x, y) 7→ (ȳ, x̄).
Son action sur V (a)⊕V (a∗) peut être décrite par la même formule, ce qui nous permet
d’obtenir les représentations qui sont dans RepaQ(G).
3.5.2. Description de Repa(G). —
Proposition 3.5. — Repa(G) contient toutes les représentations qui sont de la forme
(V (a)⊕ V (a∗))Gal(E/Q), où V (a) est la représentation irréductible de plus haut poids
(a1, . . . , ag; c) avec ag ≥ 0 et c =
ai = s, et a
∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1; c), a et
a∗ sont p-petits, et 2g < p, et Gal(E/Q) agit sur (V (a) ⊕ V (a∗)) comme décrit au
paragraphe précédent.
Il suffit de voir que si les conditions données sont vérifiées, on peut prendre des
dénominateurs premiers à p dans les lemmes du paragraphe 3.5.1.
Lemme 3.6. — On se place comme dans le lemme 3.2. Alors si
ai < p, Ca est
dans Z(p)Ss.
Démonstration. — Ca est de la forme (1/n)C
a, où C
a est dans ZSs, et n est l’entier
tel que C′a
= nC′a. Or n divise s! (voir [6], 4.2), donc 1/n ∈ Z(p) si s < p.
Lemme 3.7. — Dans le cadre du lemme 3.3, on peut choisir q dans E(A)s dès que
p > 2g.
Démonstration. — Lorsque on écrit pj comme un polynôme en vj , les dénominateurs
qui apparaissent sont les différences entre les valeurs propres de vj , qui sont les m
pour 0 ≤ i ≤ 2g. Si 2g < p, on peut prendre un m dont l’image dans Z/pZ est un
générateur de Z/pZ∗, de sorte que les mi −mi
sont tous premiers à p.
Lemme 3.8. — Dans le lemme 3.4, on peut prendre q′ dans E(A)s dès que p > s.
Démonstration. — Écrivons donc UQ+V T = c, avec U et V à coefficients entiers et
c entiers, et étudions les facteurs premiers de c. On obtient c = Q(as)Q(bs). Il s’agit
donc de trouver z ∈ OE tel que c soit premier à p (et que aucun des a
rbt, r > 0, t >
0, r + t = s ne soit égal à as ou à bs).
On a Q(as) = as(s−1)/2Π1≤t≤s−1(a
t − bt), et Q(bs) = bs(s−1)/2Π1≤t≤s−1(b
t − at).
Supposons d’abord que p est inerte dans E. Alors OE/p est isomorphe à Fp2 . La
conjugaison dans OE se traduit par x 7→ x
p dans OE/p. Choisissons donc x un
générateur de F∗
, alors un z relevant x convient.
Supposons maintenant p décomposé dans E. Alors OE/p est égal à Fp × Fp, et la
conjugaison dans OE échange les deux facteurs dans OE/p. Choisissons un x dans F
tel que xi 6= 1 pour tout i entre 1 et s, et prenons u et v dans F∗p tels que u/v = x.
Alors si z est un relèvement de (u, v), il convient.
3.6. Description de Repa(G) dans le cas Siegel. — Dans le cas Siegel, la descrip-
tion de Repa(G) est faite dans l’article [12], 5.1. On obtient toutes les représentations
de plus haut poids p-petit, à l’action du centre près.
4. Les faisceaux
4.1. Constructions fonctorielles. —
4.1.1. Cas étale. — Soit x un point géométrique de XK . À chaque représentation
du groupe fondamental de la variété π1(XK , x) correspond un système local sur XK .
Considérons le faisceau constant Zp sur A, et F = R
1fK∗Zp(1), où fK : AK → XK
est le morphisme structural. F correspond à la représentation standard de G sur
Zp, autrement dit à un morphisme π1(XK , x) → G(Zp). On peut donc associer par
composition un système local à toute représentation sur Zp de G, et ceci de fa con
fonctorielle. On note F(V ) le système local associé à la représentation V . On définit
de même le foncteur Fn(V ), qui à V associe un fibré en Z/p
nZ-modules, vérifiant
F(V )⊗Zp Z/p
nZ = Fn(V ).
On observe que F(V0) = R
1f∗Zp, et plus généralement F(∧
tVs0) = R
tfs,K∗Zp, où
fs,K est le morphisme structural A
K → XK .
4.1.2. Cas des fibrés à connexion. —
Proposition 4.1. — Il existe un foncteur F de Rep(G) dans l’ensemble des OX-
modules à connexion intégrable sur X, et pour tout n un foncteur Fn de Rep(G) dans
l’ensemble des OXn -modules à connexion intégrable sur Xn, ces deux foncteurs étant
compatibles.
Ici compatible, signifie que Fn(V/̟
n+1) = F(V )/̟n+1. On ne va faire la construc-
tion que sur OX , la construction sur OXn s’obtenant par des méthodes similaires.
Notons H1(A) = (R
)∨. Introduisons T = Isom(OX ⊗ V ,H1(A)), les iso-
morphismes devant respecter la structure de B-module et la forme alternée à une
constante près. C’est un torseur sur X sous l’action (à droite) de G, en effet les deux
faisceaux en question sont localement isomorphes, comme expliqué dans le lemme 2.1.
Soit V ∈ Rep(G), on note F(V ) le faisceau des sections du fibré T ×G V . C’est un
faisceau deOX -modules quasi-cohérent. De même un morphisme entre représentations
se transforme en morphisme entre faisceaux.
Ce fibré est muni d’une connexion qui provient de la connexion de Gauss-Manin
sur H1(A).
10 SANDRA ROZENSZTAJN
Notons Hi(As) = Rifs∗Ω
, on a alors F(∧tVs0) = H
t(As). De même on notera
Hi(Asn) = R
ifs∗Ω
4.2. Action de Es. —
4.2.1. Traduction géométrique. — Comme Es est une sous-algèbre de End(∧
•Vs0),
par fonctorialité de F et F , on a donc aussi des morphismes de Z(p)-algèbres Es
End(R•fs,∗Zp) et Es
acris
→ End(H•(As)). On va donner une interprétation géométrique
de ces deux morphismes.
Soit G ⊂ Es la partie formée des éléments suivants : les matrices de déterminant non
nul, dans le cas unitaire les éléments non nuls de OB, dans le cas Siegel les opérations
θi,j , 1 ≤ i < j ≤ s définies au paragraphe 3.2. L’ensemble G, qu’on appellera ensemble
des éléments géométriques de Es, engendre Es comme Z(p)-algèbre.
Soit u ∈ G qui provient d’une matrice ou, dans le cas unitaire, d’un élément de OB .
Alors u provient d’un élément de End(Vs0), qui agit naturellement sur A
s/X , donc
sur R•fs,∗Zp et H
•(As) par aét(u) et acris(u) respectivement.
Soit P le faisceau de Poincaré sur A × A, pour 1 ≤ i < j ≤ s on note Pi,j le
faisceau sur As obtenu en tirant P par le morphisme de projection sur les i-ièmes et
j-ièmes facteurs As → A×A. Alors l’opération consistant à faire le cup-produit par
la première classe de Chern de Pi,j correspond à aét(ψi,j) et acris(ψi,j), l’opération
duale correspond à aét(ϕi,j) et acris(ϕi,j), comme expliqué dans [12].
Par fonctorialité des constructions précédentes, on a, pour une représentation V
de la forme V = q(∧•Vs0), q étant un projecteur de Es : F(V ) = aét(q)R
•fs,K∗Zp, et
F(V ) = acris(q)H
•(As).
On notera encore acris et aét les morphismes naturels de Es vers End(H
•(Asn)) et
End(R•fs∗Z/p
nZ) respectivement.
4.2.2. Conséquence sur les faisceaux à connexion. —
Lemme 4.2. — Pour tout V ∈ Repa(G) la connexion sur F(V ) et sur Fn(V ) est
quasi-nilpotente.
Démonstration. — Notons que les opérations élémentaires commutent à la connexion
sur H•(As) induite par la connexion de Gauss-Manin, de sorte que, en reprenant
les notations précédentes, F(V ) est stable par la connexion de H•(As). Comme la
connexion de Gauss-Manin sur H•(As) est quasi-nilpotente, c’est aussi le cas pour la
connexion sur F(V ).
Comme X est lisse sur S, chaque Xn est un relèvement de X0 qui est lisse sur
Sn. Les faisceaux Fn(V ), qui sont des OXn -modules cohérents munis d’une connexion
intégrable et quasi-nilpotente, définissent donc des cristaux sur (X0/Sn)cris, ainsi que
dans (Xm/Sn)cris pour tout m ≤ n. On peut donc voir Fn comme un foncteur de
Repa(G) vers la catégorie des cristaux sur (X0/Sn)cris. Avec cette interprétation les
Hi(Asn) s’identifient aux R
ifs,cris∗OAs
/Sn .
Lemme 4.3. — Pour tout V ∈ Repa(G), les faisceaux F(V ) et Fn(V ) sont locale-
ment libres sur X et Xn respectivement.
En effet c’est le cas pour les Hn(As).
4.3. Prolongement des cristaux. — L’objectif est de construire un foncteur F
de Repa(G) vers l’ensemble des fibrés localement libres munis d’une connexion à pôles
logarithmiques le long de X \X intégrable et quasi-nilpotente, qui prolonge F .
4.3.1. Unicité du prolongement. —
Lemme 4.4. — Soit E un fibré localement libre sur X muni d’une connexion intégrable
et quasi-nilpotente.
S’il existe un prolongement de E en un fibré localement libre sur X muni d’une
connexion à pôles logarithmiques le long de X \X intégrable et quasi-nilpotente, alors
il est unique, et de plus tout prolongement de E en un fibré cohérent sur X muni
d’une connexion ayant les mêmes propriétés est aussi localement libre (et donc égal
au prolongement précédent).
De plus, si E1 et E2 sont deux tels faisceaux admettant des prolongements, et u :
E1 → E2 est un morphisme horizontal, u admet un unique prolongement horizontal
entre les prolongements des faisceaux.
Démonstration. — Soit E un tel prolongement cohérent. Regardons tout d’abord EK .
D’après [4], il existe au plus un prolongement de EK en un fibré muni d’une connexion
à pôles logarithmiques, qui est l’extension canonique de Deligne, ce prolongement est
donc nécessairement EK .
Le faisceau E est alors uniquement déterminé. En effet, notons X ′ la réunion de
X et XK dans X, j l’inclusion de X
′ dans X, et E ′ le faisceau qui cöıncide avec E
sur X et avec EK sur XK . Alors pour des raisons de codimension, et le faisceau E
étant cohérent, E = j∗(E
′). En particulier, tous les prolongements cohérents munis de
connexion sont égaux en tant que faisceaux, donc si l’un est localement libre, tous le
sont.
Enfin, E étant localement libre, sa connexion est entièrement déterminée par sa
restriction à EK .
Pour l’existence du prolongement des morphismes, cela provient de la fonctorialité
de l’extension canonique de Deligne.
Corollaire 4.5. — Le fibré Hi(As), muni de la connexion de Gauss-Manin, ne
dépend pas du choix de la compactification As. De plus, étant données deux compac-
tifications A de A et As de As, pour tout i, Hi(As) et ∧iH1(A)s sont égaux comme
sous-faisceaux de (X → X)∗H
i(As) munis d’une connexion à pôles logarithmiques.
Démonstration. — En effet, il suffit pour pouvoir appliquer le lemme précédent de
vérifier que les ∧iH1(A)s sont localement libres, il suffit donc de voir que H1(A) est
localement libre. Cela se déduit des résultats de [8], qu’on peut appliquer car on a
supposé que dimX A < p. Le cas général se déduit de l’identité précédente.
On notera H
(As) ce faisceau à connexion.
Lemme 4.6. — Hi(Asn) est localement libre sur Xn, et ne dépend pas de la com-
pactification As.
12 SANDRA ROZENSZTAJN
Démonstration. — En effet, le faisceau H
(Asn) est obtenu à partir de H
(As) par
changement de base.
On notera dans la suite H
(Asn) pour ce faisceau.
4.3.2. Prolongement de l’action de Es. — Il s’agit maintenant de prolonger le mor-
phismeEs
acris
→ End(H•(As)) en un morphisme de Z(p)-algèbresEs
alog-cris
→ End(H
(As)).
La restriction res : End(H
(As)) → End(H•(As)) est injective. Pour construire
alog-cris, il suffit donc de vérifier que l’image de acris est contenue dans l’image de res.
Comme acris est un morphisme de Z(p)-algèbres, il suffit de vérifier que l’image par
acris d’une partie génératrice de Es est contenue dans l’image de res. Il s’agit donc de
vérifier que l’action des éléments de G sur les H•(As) se prolonge en une action sur
les H
(As).
Soit u ∈ G. Supposons d’abord que u soit une matrice, ou (dans le cas unitaire)
un élément de OB . Alors u agit sur A
s par une isogénie. D’après la propriété 2,
il existe donc deux compactifications As1 et As2, et un morphisme u
′ : As1 → As2
prolongeant l’action de u. Alors u′ fournit l’élément de End(H
(As)) voulu. Supposons
maintenant qu’on est dans le cas Siegel et que u est de la forme θi,j . Il suffit de
montrer que les morphismes acris(ϕi,j) et acris(ψi,j) se prolongent en éléments de
End(H
(As)). Il existe, d’après la propriété 3, une compactification As telle que le
faisceau (O(2)⊗a⊗Pi,j)
⊗b se prolonge en un faisceau L surAs, avec a et b premiers à p.
Il existe aussi une compactification As
telle que le faisceau O(2)⊗c se prolonge en un
faisceau L′ sur As
, avec c premier à p. Alors l’action de 1
(cL)) est dans End(H
(As)),
l’action de − a
(c1(L
′)) aussi, et l’action de 1
(c1(L)) −
(c1(L
′)) prolonge celle de
acris(ϕi,j). Pour acris(ψi,j), on fait le même raisonnement, en utilisant la dualité de
Poincaré.
On note encore alog-cris pour le morphismeEs → End(H
(Asn)) obtenu par réduction.
4.3.3. Définition de F . — Si V ∈ Repa(G), on veut définir F(V ) comme le faisceau
localement libre muni d’une connexion à pôles logarithmiques intégrable et quasi-
nilpotente sur X prolongeant F(V ).
Au vu du paragraphe 4.3.1, il suffit de montrer l’existence de ce prolongement, son
unicité et le fait que la construction est fonctorielle étant alors automatiques. Soit V =
q(∧•Vs0), où q est un projecteur de Es. Il suffit de poser F(V ) = alog-cris(q)(H
(As)).
On note Fn(V ) la réduction modulo ̟
n+1 de F(V ). Munissons Sn de la log-
structure triviale, et Xn de la log-structure provenant du diviseur à croisements nor-
maux (X\X)n. Alors Fn définit un foncteur de Rep
a(G) vers la catégorie des cristaux
sur (X0/Sn)
cris, en effet cette catégorie est équivalente à celle des OXn -modules munis
d’une connexion à pôles logarithmiques intégrable et quasi-nilpotente, Xn étant un
relèvement de X0 log-lisse sur Sn.
5. Structures sur les groupes de cohomologie
5.1. Cas étale. — Notons K la clôture algébrique de K, et Γ = Gal(K/K). Le
groupe Hmét (XK ,Fn(V )) est naturellement muni d’une action de Γ car le faisceau
Fn(V ) est défini sur XK .
On aura besoin du lemme suivant pour comparer l’action de Galois surHmét (XK ,Fn(V ))
et sur la cohomologie de As
Lemme 5.1. — Soit f : Z → T un morphisme de schémas, F un faisceau constant
sur Z (Z/pnZ ou Zp). Soit q agissant sur H
•(Z) = R•f∗F et sur H
•(Z, F ) de fa con
compatible avec la suite spectrale de Leray. On suppose que q agit comme un projec-
teur, dont l’image est entièrement contenue dans Hs(Z). Notons V = qH•(Z), alors
pour tout m on a Hm(T, V ) = qHm+s(Z, F ).
Démonstration. — En effet considérons la suite spectrale de Leray pour calculer la
cohomologie de F sur Z. On lui applique q, on obtient toujours une suite spectrale
convergente car q est un projecteur. D’autre part qHm(T,Hi(Z)) = Hm(T, qHi(Z)),
toujours parce que q est un projecteur. La suite spectrale obtenue a une seule colonne
non nulle, dont les termes sont les Hm(T, qHs(Z)), et aboutit à qHm+s(Z, F ), d’où
le résultat.
Notons encore aét les morphismesEs → End(H
ét(A
,Zp)) et Es → End(H
ét(A
,Z/pnZ)).
Supposons que V = q(∧•Vs0), q étant un projecteur homogène de degré t, alors on
a Hmét (XK ,Fn(V )) = aét(q)H
ét (A
,Z/pnZ). Comme Es agit par des correspon-
dances algébriques définies sur K sur la cohomologie de As, l’action de Γ commute à
l’action de Es, et la structure galoisienne obtenue sur H
ét (XK ,Fn(V )) est compatible
à celle sur la cohomologie de As
5.2. Cas cristallin. —
5.2.1. Les modules de Fontaine-Laffaille. — On note MF
tor la catégorie suivante.
Les objets sont les O-modules M de longueur finie, muni d’une filtration FiliM
décroissante, telle que Fil0M =M et Filp−1M = 0, et pour tout i, un φi : Fil
iM →M
O-semi-linéaire, vérifiant φi|Fili+1M = pφi+1, et
i imφi = M . Les morphismes res-
pectent la filtration et commutent aux φi.
5.2.2. La catégorie MF (φ). — On introduit la catégorieMF (φ) des K-espaces vec-
toriels munis d’une filtration décroissante et d’un Frobenius. Les objets sont les K-
espaces vectoriels de dimension finie M , muni d’une filtration décroissante Fil
et de l’action d’un Frobenius φ semi-linéaire par rapport au Frobenius σ de K. Les
morphismes doivent commuter au Frobenius, et respecter la filtration.
5.2.3. Calculs dans un cas particulier. — On se place dans le cas suivant : on a un
log-schéma Z qui est propre, et lisse sur S muni de la log-structure triviale.
Soit n un entier positif. On note Sn = SpecOn, muni de la log-structure triviale.
Si (Z,M) est un schéma sur SpecO, on note (Zn,Mn) le changement de base à
Sn. Si E est un cristal sur le site ((Zm,Mm)/Sn))
cris, on noteraH
cris((Zm,Mm)/Sn, E)
pourHi(((Zm,Mm)/Sn))
cris, E), etH
cris((Zm,Mm)/Sn) pourH
cris((Zm,Mm)/Sn,OZm/Sn).
14 SANDRA ROZENSZTAJN
On omettra la mention de la log-structure si cela ne cause pas de confusion. Re-
marquons que pour tout m ≤ n, les Hicris((Zm,Mm)/Sn) ne dépendent pas de m,
on notera Hicris((Z,M)/Sn) leur valeur commune. Enfin on note H
cris((Z,M)/S) =
Hicris((Z,M)/Sn).
On a les deux résultats suivants :
Proposition 5.2. — Pour tout 0 ≤ i ≤ p − 2, Hicris((Z,M)/Sn) est un module de
Fontaine-Laffaille. Pour tout i ≥ 0, Hicris((Z,M)/S)⊗K est un élément de MF (φ).
Démonstration. — La preuve de la première partie de la proposition est identique à
celle de l’article [5], qui traite le cas où Z est muni de la log-structure triviale.
Notons S′n le log-schéma dont le schéma sous-jacent est le même que Sn, et dont la
log-structure provient de N → On, 1 7→ 0. Il s’agit de la même log-structure que celle
définie dans [7], paragraphe 3.4. Notons (Z ′,M ′) le log-schéma déduit de (Z,M) par
le changement de base S′n → Sn. Alors H
cris((Z,M)/Sn) et H
cris((Z
′,M ′)/S′n) sont
canoniquement isomorphes pour tout i. Les Hicris((Z
′,M ′)/S′n) sont munis d’un Fro-
benius et d’un opérateur de monodromie, définis dans [7], paragraphe 3. L’opérateur
de monodromie est ici nul, (Z ′,M ′) provenant par changement de base de (Z,M) qui
est log-lisse sur Sn. H
cris((Z
′,M ′)/S′) ⊗ K, et donc aussi Hicris((Z,M)/S) ⊗ K est
ainsi naturellement muni d’une structure d’élément de MF (φ).
5.2.4. Action des endomorphismes sur le prolongement des cristaux. — NotonsH
(As/Sn)
la limite des Hicris(A
n/Sn), pour les As de notre famille de compactifications. Alors :
Proposition 5.3. — Le morphisme Hicris(A
n/Sn) → H
(As/Sn) est un isomor-
phisme pour toute compactification As et pour tout n.
Démonstration. — Il suffit pour cela de voir que tout morphisme entre compactifica-
tions qui est l’identité sur As induit un isomorphisme entre les groupes de cohomolo-
Considérons la suite spectrale de Leray : E
2 = H
i(Xn/Sn, R
jfscris∗OAsn/Sn) ⇒
Hi+j(Asn/Sn)
Un morphisme entre deux compactifications induit un morphisme de suites spec-
trales, qui est un isomorphisme sur les E
2 , donc aussi sur l’aboutissement.
On cherche à définir un morphisme de Z(p)-algèbres Es → End(H
(As/Sn)).
On a la suite spectrale suivante, qu’on appellera encore suite spectrale de Leray,
qui provient de n’importe quelle compactification As de As :
2 = H
i(Xn/Sn,H
(Asn)) ⇒ H
(As/Sn)
Proposition 5.4. — Il existe un unique morphisme alog-cris de Z(p)-algèbres Es →
End(H
(As/Sn)) tel que l’action de Es sur les H
(Asn) et sur les H
(As/Sn) donnée
par alog-cris soit compatible à la suite spectrale de Leray.
Démonstration. — On commence par définir l’image de l’ensemble G des éléments
géométriques de Es, et on montre ensuite que l’on peut prolonger en un morphisme
de Z(p)-algèbres.
Pour définir l’image d’un élément de G, on fait exactement comme dans le pa-
ragraphe 4.3.2. Il faut voir que le choix fait est unique. Cela provient du fait que
l’action de u ∈ G sur les termes E
2 de la suite spectrale ne dépend pas des choix
faits, comme expliqué en 4.3.2, et de la compatibilité de l’action du prolongement à
la suite spectrale de Leray.
Il reste à voir que l’action des éléments de G se prolonge en un morphisme d’algèbres
Es → End(H
(As/Sn)). Cela provient encore une fois de la compatibilité avec la
suite spectrale de Leray, et du fait que Es → End(H
(As/Sn)) est un morphisme
d’algèbres.
5.2.5. La cohomologie des cristaux. — PosonsHicris(X/S,F(V )) = lim←−
Hicris(Xn/Sn,Fn(V )).
On a le résultat suivant :
Proposition 5.5. — Pour tout V ∈ Repa(G), pour tout i, Hicris(X/S,F(V )) ⊗ K
est un élément de MF (φ).
Pour tout V ∈ Repa(G) homogène de degré t, pour tout i tel que i+ t ≤ p−2, pour
tout n, Hicris(Xn/Sn,Fn(V )) est un élément de MF
Démonstration. — En effet, soit V = q(∧•Vs0), avec q homogène de degré t, on a alors
de fa con similaire au lemme 5.1 les égalitésHicris(X/S,F(V ))⊗K = acris(q)H
log-cris(A
s/S)⊗
K et Hicris(Xn/Sn,Fn(V )) = acris(q)H
cris(A
n/Sn). Il reste à voir que l’action de Es
par alog-cris respecte les structures d’élément de MF (φ), et que l’action de E(A)s
respecte les structures de module de Fontaine-Laffaille, ce qui se voir sur les éléments
géométriques.
6. Théorème de comparaison
6.1. Le cas des faisceaux constants. — Notons RepZp(Γ) la catégorie des Zp-
représentations de type fini de Γ = Gal(K/K). Nous avons un foncteur contrava-
riant et pleinement fidèle : Vcris : MF
tor → RepZp(Γ) qui est défini par Vcris(M) =
Hom(M,Acris,∞). L’anneau Acris est défini dans [1], 6.3, et Acris,∞ = Acris ⊗ Qp/Zp.
L’anneau Acris est muni d’une filtration décroissante et d’un Frobenius, et les homo-
morphismes que l’on considère doivent être compatibles à la filtration et à l’action du
Frobenius.
Soit Z un schéma propre et lisse sur SpecOK , et D un diviseur à croisements
normaux relatifs de Z, U l’ouvert complémentaire de D. On munit Z de la log-
structure M définie par le diviseur D, et SpecOK de la log-structure triviale.
Proposition 6.1. — Pour 0 ≤ m ≤ p− 2, on a un isomorphisme canonique compa-
tible à l’action de Galois :
Vcris(H
cris((Z,M)/Sn)) = H
ét (UK ,Z/p
16 SANDRA ROZENSZTAJN
Proposition 6.2. — Pour tout m, il existe un isomorphisme canonique qui respecte
l’action de Γ, la filtration et le Frobenius :
γm : Bcris ⊗O H
cris((Z,M)/S)
−→ Bcris ⊗Qp H
ét (UK ,Qp)
Démonstration. — Le résultat de la proposition 6.1 provient de travaux de Breuil
([2]) et Tsuji ([16]). Ces résultats s’appliquent dans un cadre beaucoup plus général
que celui considéré ici, et décrivent une comparaison entre la cohomologie étale de UK
et la cohomologie de (Z ′,M ′)/En. Ici (Z
′,M ′) est obtenu comme dans le paragraphe
5.2.3 par changement de base de (Z,M) de Sn à S
n. En est le log-schéma dont le
schéma sous-jacent est SpecOn〈u〉, l’enveloppe à puissances divisées de l’algèbreOn[u]
des polynômes en l’indéterminée u, muni de la log-structure associée à N → On〈u〉,
1 7→ u. Dans notre cas particulier, on a une relation simple entre la cohomologie
de (Z ′,M ′)/En et celle de (Z
′,M ′)/S′n, donnée par H
cris((Z
′,M ′)/En) = On〈u〉 ⊗
Hmcris((Z
′,M ′)/S′n), qui nous permet d’obtenir le résultat de la proposition 6.1.
Pour la version rationnelle 6.2, le résultat provient de résultats de Tsuji ([15], voir
aussi [17]). Comme dans le cas de torsion, la situation se simplifie par rapport au cas
général, du fait qu’ici la monodromie agissant sur Hmcris((Z,M)/S)⊗K est nulle.
6.2. Les théorèmes. —
Théorème 6.3. — Dans le cas unitaire, soit V ∈ Repa(G), et m tel que m+ t(V ) ≤
p−2.Hm
(XK ,Fn(V )) est muni d’une action du groupe de Galois Γ,H
cris(Xn/Sn,Fn(V ))
est muni d’une structure de module de Fontaine-Laffaille, et on a un isomorphisme :
Vcris(H
cris(Xn/Sn,Fn(V ))) = H
ét (XK ,Fn(V ))
Notons qu’on peut déduire de ce théorème comme dans l’article [2], paragraphe 4.2,
une comparaison entre les parties de torsion de lim
Hmét (XK ,Fn(V )) et de lim←−
Hmcris(Xn/Sn,Fn(V )),
ainsi qu’une comparaison entre leurs parties libres.
Théorème 6.4. — Dans le cas unitaire et Siegel, soit V ∈ Repa(G), il existe un
isomorphisme
γ : Bcris ⊗O H
log-cris(X/S,F(V ))
−→ Bcris ⊗Zp H
ét (XK ,F(V ))
Le point essentiel de la preuve dans les deux cas est le résultat suivant :
Lemme 6.5. — Soit u ∈ E(A)s. u agit sur H
(As/Sn) et sur H
,Z/pnZ)
(m ≤ p − 2) de fa con compatible avec l’isomorphisme Vcris. Soit u ∈ Es, u agit sur
(As/S)⊗Q et sur Hmét (A
,Qp) de fa con compatible avec l’isomorphisme γm du
théorème 6.2.
Démonstration. — Il suffit de montrer la compatibilité des actions pour l’ensemble
des éléments géométriques G de Es, puisqu’ils engendrent Es comme Z(p)-algèbre.
Soit u un élément de Es provenant d’une matrice de déterminant non nul, ou
d’un élément non nul de OB. Son action sur la cohomologie provient d’une isogénie
de As, qu’on notera encore u. D’après la propriété 2 u se prolonge en un mor-
phisme entre deux compactifications u : As1 → As2. D’où par fonctorialité de
Vcris, Vcris(u : H
cris((A
2)n/Sn) → H
cris((A
1)n/Sn) = (u
∨ : Hmét (A
,Z/pnZ)∨ →
Hmét (A
,Z/pnZ)∨), ce qui est bien la compatibilité voulue. De même, on a aussi la
compatibilité pour l’action sur Hmét (UK ,Qp) et H
cris((X,M)/S)⊗K.
Dans le cas Siegel, il faut aussi considérer les éléments de la forme θi,j . Il s’agit
donc de voir que l’action des ϕi,j et des ψi,j sur H
ét (UK ,Qp) et H
cris((X,M)/S)⊗K
est compatible. Cela provient du fait que l’isomorphisme de comparaison 6.2 fait
correspondre les classes de Chern ([15]) et est compatible aux structures produit sur
les groupes de cohomologie et à la dualité de Poincaré ([17]).
Démonstration des théorèmes 6.3 et 6.4. — Montrons le théorème 6.3. Soit V ∈ Repa(G),
on peut supposer qu’il existe un entier s, et un projecteur q dans E(A)s de degré t,
tels que V = q(∧•Vs0). Le théorème de comparaison s’applique car m+ t ≤ p− 2, et
nous donne un isomorphisme Vcris(H
(As/Sn)) = H
ét (A
,Z/pnZ)∨.
Appliquons q : comme l’action de E(A)s commute à Vcris on a donc un isomor-
phisme : Vcris(alog-cris(q)H
(As/Sn)) = (aét(q)H
ét (A
,Z/pnZ))∨.
D’après le lemme 5.1, cela donne : Vcris(H
log-cris(X,Fn(V ))) = H
ét (XK ,Fn(V ))
La preuve du théorème 6.4 est identique.
Remarque 6.6. — On voit apparâıtre dans le lemme 6.5 le point qui explique pour-
quoi on n’a pas de résultats de comparaison prenant en compte la torsion pour le
cas Siegel : la compatibilité de l’isomorphisme de comparaison à coefficients constants
avec la dualité de Poincaré et les structures produits n’est actuellement montrée que
dans le cas rationnel (même s’il est vraisemblable qu’elle soit vraie aussi dans le cas
de torsion, en introduisant des limitations sur le degré des groupes de cohomolo-
gie considérés). Enfin on peut remarquer que si on se limite aux représentations qui
peuvent être obtenues à l’aide uniquement des éléments de Es provenant de Ms(Z),
on peut prendre en compte la torsion pour le cas Siegel.
Références
[1] C. Breuil – « Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de
Cech », Bull. Soc. Math. France 124 (1996), p. 587–647.
[2] , « Cohomologie étale de p-torsion et cohomologie cristalline en réduction semi-
stable », Duke Math. J. 95 (1998), p. 523–620.
[3] C.-L. Chai & G. Faltings – Degeneration of Abelian Varieties, Springer-Verlag, 1990.
[4] P. Deligne – « Équations différentielles à points singuliers réguliers », Lecture Notes
in Mathematics, vol. 163, Springer-Verlag, 1970.
[5] J.-M. Fontaine & W. Messing – « p-adic periods and p-adic etale cohomology »,
Contemporary mathematics 67 (1987), p. 179–207.
[6] W. Fulton & J. Harris – Representation theory, Springer-Verlag, 1991.
[7] O. Hyodo & K. Kato – « Semi-stable reduction and crystalline cohomology with
logarithmic poles », Astérisque 223 (1994), p. 221–268.
[8] L. Illusie – « Réduction semi-stable et décomposition de complexes de De Rham à
coefficients », Duke Math. J. 60 (1990), p. 139–185.
18 SANDRA ROZENSZTAJN
[9] J. C. Jantzen – Representations of algebraic groups, Academic Press, 1987.
[10] R. Kottwitz – « Points on some Shimura varieties over finite fields », Journal of the
American Mathematical Society 3 (1992), p. 373–444.
[11] M. Larsen – « Arithmetic compactification of some Shimura surfaces », The Zeta
Functions of Picard Modular Surfaces, CRM, 1992, p. 31–45.
[12] A. Mokrane & J. Tilouine – « Cohomology of Siegel Varieties », Astérisque 280
(2002), p. 1–95.
[13] P. Polo & J. Tilouine – « Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of
nilpotent groups over Z(p) for representations with p-small weights », Astérisque 280
(2002), p. 97–135.
[14] S. Rozensztajn – « Compactifications de schémas abéliens dégénérant le long d’un
diviseur régulier », Documenta mathematica (2006), p. 57–71.
[15] T. Tsuji – « p-adic etale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable
reduction case », Inventiones math. 137 (1999), p. 233–411.
[16] , « On p-adic nearby cycles of log smooth families », Bull. Soc. Math. France
128 (2000), p. 529–576.
[17] G. Yamashita – « p-adic étale cohomology and crystalline cohomology for open varie-
ties with semi-stable reduction I », preprint.
Sandra Rozensztajn, IRMA, Université Louis Pasteur, 7 rue René-Descartes, 67084 Strasbourg
Cedex, France • E-mail : rozenszt@math.u-strasbg.fr
	1. Introduction
	2. Les objets considérés
	3. Représentations de G
	4. Les faisceaux
	5. Structures sur les groupes de cohomologie
	6. Théorème de comparaison
	Références

  Let $X$ be an integral model at a prime $p$ of a Shimura variety of PEL type
having good reduction, associated to a reductive group $G$. To $\mathbb{Z}_p$
reprsententations of the group $G$ can be associated two kinds of sheaves :
crystals on the special fiber of $X$, and locally constant \'etale sheaves on
the generic fiber. We establish a comparison between the cohomology of these
two kinds of sheaves.

Introduction
Considérons X un modèle entier d’une variété de Shimura de type PEL, défini
sur une extension de Zp. Cette variété de Shimura correspond à un groupe réductif
G, défini sur Z(p). On peut associer aux Z(p)-représentations du groupe G différents
faisceaux : des systèmes locaux en Zp-modules sur la fibre générique de X , et des
cristaux sur sa fibre spéciale. Nous établissons une comparaison entre la cohomologie
étale du système local d’une part, et la cohomologie log-cristalline d’une extension
du cristal à une compactification appropriée de X , pour une même représentation V
du groupe G. Nous traitons ici le cas des variétés de Shimura unitaires et de celles
de type Siegel. Dans le cas unitaire, nous obtenons un résultat qui tient compte de
la torsion (théorème 6.3), dans le cas Siegel les résutats sont moins précis et ne sont
valables qu’après tensorisation par Qp (théorème 6.4). L’intérêt de cette comparaison
est que nous pouvons obtenir des renseignements sur le côté cristallin : des techniques
de type complexe BGG, décrites par exemple dans [3], chapitre VI, permettent d’avoir
http://arxiv.org/abs/0704.1347v1
2 SANDRA ROZENSZTAJN
des renseignements sur la filtration de Hodge. On déduit alors des informations sur le
côté étale, vu comme représentation galoisienne.
La théorie de Hodge p-adique nous donne de tels théorèmes de comparaison entre
cohomologie étale p-adique et log-cristalline dans le cas des coefficients constants, pour
des schémas propres et possédant certaines propriétés de lissité. Ces résultats sont dûs
entre autres à Tsuji ([15]) pour le cas où l’on considère les groupes de cohomologie
après tensorisation par Qp, et à Tsuji et Breuil pour le cas où l’on tient compte de la
torsion ([16] et [2], il y a alors des restrictions sur le degré des groupes de cohomologie
que l’on peut étudier). Ces théorèmes sont rappelés dans le paragraphe 6.1.
Le principe de notre méthode est de considérer la cohomologie à coefficients constants
de la variété abélienne universelle sur X et de ses puissances, et d’en déduire la com-
paraison qui nous intéresse en découpant les groupes de cohomologie des faisceaux
considérés dans les groupes de cohomologie à coefficients constants à l’aide de cer-
taines correspondances algébriques.
Le premier problème est que de tels théorèmes de comparaison n’étant valables
que sur des schémas propres, nous devons supposer l’existence (prouvée dans certains
cas seulement) de compactifications non seulement de X , mais aussi des variétés de
Kuga-Sato, et plus précisément un système projectif de telles compactifications. La
partie 2 explique précisément dans quelle situation nous nous pla cons, ainsi que les
propriétés des compactifications que nous utilisons.
Le deuxième problème est que toutes les représentations de G ne donnent pas
des faisceaux dont la cohomologie puisse être découpée par des correspondances
algébriques dans la cohomologie de la variété abélienne universelle. On détermine
dans la partie 3 quelles sont les représentations de G qui donnent des faisceaux que
l’on peut atteindre de cette fa con, qui sont les seuls pour lesquels nous obtenons
un résultat. Cette partie utilise fortement la structure des représentations du groupe
réductif G, ce qui explique que l’on soit obligé de faire une description cas particulier
par cas particulier.
Nous expliquons la construction des faisceaux ainsi que l’action de ces correspon-
dances algébriques dans la partie 4.
Enfin l’énoncé et la preuve du théorème principal occupent la partie 6. C’est ici
qu’apparâıt une différence entre les cas unitaire et Siegel : en effet le point-clé de
la preuve est la compatibilité de l’action des correspondances algébriques que nous
considérons avec les théorèmes de comparaison à coefficients constants. Le cas Siegel
utilise la compatibilité de cet isomorphisme de comparaison avec les structures produit
sur les groupes de cohomologie, ce qui n’est démontré que dans le cas rationnel et non
dans le cas de torsion.
2. Les objets considérés
2.1. Variétés de Shimura de type PEL. —
2.1.1. Les données. — On se donne B une Q-algèbre simple finie, munie d’une invo-
lution positive notée ∗ (c’est-à-dire que trB/Q(xx
∗) > 0 pour tout x non nul de B),
V un module de type fini sur B, muni d’une forme bilinéaire (, ) telle que pour tous
v et w dans V, et tout b dans B on ait (bv, w) = (v, b∗w). On notera 2g la dimension
de V sur Q.
On fixe dans toute la suite un nombre premier p, et on fera l’hypothèse que p > 2g.
Le rôle de cette hypothèse est expliqué au paragraphe 4.3.1.
On suppose que B est non ramifié en p, c’est-à-dire que BQp est un produit
d’algèbres de matrices sur des extensions non ramifiées de Qp.
On se donne un Z(p)-ordre OB dans B qui devient un ordre maximal de BQp après
tensorisation par Zp, et stable par l’involution de B.
On se donne aussi V un OB-réseau de V autodual. Le fait que V soit autodual
implique en particulier que la forme bilinéaire induite sur V est non dégénérée.
Soit C l’anneau des endomorphismes B-linéaires de V.
On définit le groupe G par G(R) = {g ∈ (C ⊗ R)∗, ∃µ ∈ R∗, ∀v, w ∈ V ⊗
R, (gv, gw) = µ(v, w)}, pour toute Z(p)-algèbre R.
On se donne un R-homomorphisme d’algèbres h : C → C∞ = C ⊗Q R tel que
h(z)∗ = h(z̄), et la forme (v, h(i)w) soit définie positive sur V∞ = V⊗QR. On associe
à h le morphisme µh : C
∗ → GC, qui définit la filtration de Hodge sur VC, c’est-à-dire
la décomposition V = Vz ⊕V1, où µh(z) agit par z sur Vz et par 1 sur V1.
Le corps dual associé à ces données est le corps E(G, h) qui est le corps de définition
de la classe d’isomorphisme de Vz comme B-représentation. C’est le sous-corps de C
engendré par les tr(b), b ∈ B agissant sur Vz.
2.1.2. Deux cas particuliers. — Dans la suite nous nous intéresserons uniquement
à deux cas particuliers : le cas Siegel et le cas unitaire. Le cas Siegel correspond à
la situation où B est réduit à Q. La variété de Shimura associée est alors la variété
modulaire de Siegel. Le cas unitaire correspond au cas où B est une extension qua-
dratique imaginaire de Q. La forme alternée (, ) est alors la partie imaginaire d’une
forme hermitienne sur V, qu’on peut voir comme un B-espace vectoriel de dimension
moitié.
2.1.3. Le problème de modules. — On peut associer aux données de Shimura prcédentes
un problème de modules, tel que décrit dans [10], dont on rappelle ici l’essentiel.
Fixons Kp un sous-groupe compact ouvert de G(A
f ). On considère le foncteur des
OE(G,h) ⊗ Z(p)-schémas dans les ensembles, qui à S associe l’ensemble à équivalence
près des quadruplets (A, λ, i, η), où A est un schéma abélien A sur S, muni d’une
polarisation λ première à p, et d’une flèche i : OB → End(A) ⊗ Z(p) qui est un
morphisme d’algèbres à involution, l’involutin sur End(A) ⊗ Z(p) étant l’involution
de Rosati donnée par λ, et η est une structure de niveau. Enfin on suppose que OB
agit sur Lie(A) comme sur Vz, c’est-à-dire que det(b,Lie(A)) = det(b,Vz) pour tout
b ∈ OB . La structure de niveau consiste en ce qui suit : on considère le A
f -module
de Tate de A, c’est un A
f -faisceau lisse sur S. Soit s un point géométrique de S, une
structure de niveau consiste en une Kp-orbite η d’isomorphismes VAp
→ H1(As,A
de B-modules munis d’une forme alternée, et qui soit fixée par π1(S, s).
4 SANDRA ROZENSZTAJN
Deux quadruplets (A, λ, i, η) et (A′, λ′, i′, η′) sont dit équivalents s’il existe une
isogénie première à p de A vers A′, commutant à l’action de OB, transformant η en
η′, et λ en un multiple scalaire (dans Z∗(p)) de λ
Ce foncteur est représentable, par un schéma quasi-projectif et lisse M sur OE ⊗
Z(p) pourvu que l’on choisisse K
p suffisamment petit.
Notons A le schéma abélien universel sur M.
Pour les cas Siegel et unitaire, on a le résultat suivant (lemme 7.2 de [10]) :
Lemme 2.1. — OM ⊗ V et H
1(A/M)∨ sont localement isomorphes comme OB-
modules munis d’une forme alternée.
2.1.4. La situation géométrique considérée. — On obtient alors la situation suivante :
NotonsK le complété en une place v|p de E(G, h), etO son anneau des entiers. Notons
On = O/̟
n+1, où ̟ est une uniformisante de O. C’est l’anneau des vecteurs de Witt
de longueur n sur le corps résiduel de O puisque p est non ramifié dans E(G, h).
Posons S = SpecO, et Sn = SpecOn. D’une fa con générale, on notera avec un indice
n la réduction d’un O-schéma modulo ̟n+1
On notera X = MO, c’est donc un schéma lisse sur S, muni d’un schéma abélien
A, provenant du schéma abélien universel sur la variété de Shimura. De plus, on a
un morphisme OB → End(A) ⊗Z Z(p). On note f : A → X , et fs : A
s → X les
morphismes structuraux.
2.2. Existence de compactifications. — Nous aurons besoin d’utiliser aussi des
compatifications de X , ainsi que du schéma abélien universel A et de ses puissances.
Ces compactifications ont été décrites en détail dans le cas Siegel ([3]), pour le cas
unitaire la construction détaillée n’est écrite que pour GU(2, 1), c’est-à-dire les sur-
faces modulaires de Picard (voir [11] pour la compactification de la base et [14] pour
celle du schéma abélien universel), même si leur existence dans le cas unitaire général
ne pose pas de problèmes. Nous résumons dans ce paragraphe les seules propriétés de
ces compactifications que nous utilisons.
2.2.1. Compactifications de la base. — Nous avons besoin tout d’abord de compactifi-
cation du modèle entier de la variété de Shimura. En considérant des compactifications
toröıdales (décrites dans [3], chapitre IV pour le cas Siegel, et dans [11] pour le cas
de GU(2, 1)), on obtient l’existence d’un schéma X vérifiant la propriété suivante :
Propriété 1. — il existe un schéma X propre et lisse sur S, contenant X comme
ouvert dense, tel que le complémentaire de X dans X est un diviseur à croisements
normaux relatifs.
On fixera dans la suite une fois pour toute une telle compactificationX . On peut re-
marquer que les résultats ne dépendent en fait pas du choix de X parmi l’ensemble des
compactifications toröıdales : deux compactifications toröıdales sont toujours compa-
rables, au sens où il existe une troisième qui les domine toutes les deux, ce qui permet
de voir que les groupes de cohomologie décrits en 5.2.5 ne dépendent pas de ce choix
de compactification.
2.2.2. Compactifications du schéma abélien universel. — On se donne X propre lisse
sur S, muni d’un diviseur à croisements normaux relatifs D, et on note X l’ouvert
complémentaire. Pour chaque s, on appelle bonne compactification de As une com-
pactification As de As, telle que f−1s (X \X) est un diviseur à croisements normaux
relatifs.
Considérons la des compactifications toröıdales « lisses » des As (voir [3] dans le
cas Siegel, [14] dans le cas de GU(2, 1)), on obtient pour tout s ≥ 1, une famille de
bonnes compactifications As de As, vérifiant les deux propriétés suivantes :
Propriété 2. — 1. Pour toute isogénie u de As, il existe deux bonnes compacti-
fications As1 et As2, et un morphisme As1 → As2 prolongeant u.
2. Étant donné deux bonnes compactificationsAs1 etAs2, il en existe une troisième
As3 et des X-morphismes As3 → As1 et As3 → As2 induisant l’identité sur A
Dans le cas Siegel, nous utiliserons encore une propriété supplémentaire de la famille
des compactifications toröıdales :
Propriété 3. — Si L est un faisceau symétrique sur As, il existe des entiers a et b, et
une compactification de la famille As tels que le faisceau (O(2)⊗a ⊗L)⊗b se prolonge
en un faisceau sur As. De plus, on peut choisir a et b premiers à p.
Cette construction fait l’objet du chapitre VI du livre [3]. Elle n’est détaillée que
pour le cas où le faisceau symétrique ample considéré est O(2), mais cela s’adapte
au cas d’un faisceau symétrique ample quelconque, pour lequel on prendra donc
O(2)⊗a ⊗ L, avec a assez grand pour que le faisceau soit ample.
3. Représentations de G
3.1. Z(p)-représentations. — On note Rep(G) la catégorie des représentations de
G sur un Z(p)-module libre de type fini, et RepQ(G) celles des représentations de G
sur un Q-espace vectoriel de dimension finie.
Notons V0 ∈ Rep(G) la duale de la représentation standard de G, c’est-à-dire la
duale du réseau V défini au paragraphe 2.1.1.
3.2. L’algèbre des endomorphismes. — Les représentations de G de la forme
∧•Vs0 , pour s ≥ 1, jouent un rôle particulier : les faisceaux que nous allons leur
associer dans la section 4 ont une interprétation géométrique. Nous définissons une
sous-algèbre de l’algèbre End(∧•Vs0 ) des endomorphismes G-linéaires de ∧
•Vs0 , formé
de morphismes ayant aussi une interprétation géométrique qui sera décrite dans le
paragraphe 4.2.1. L’objectif est de pouvoir découper dans les ∧•Vs0 des représentations
irréductibles de G à l’aide de cette algèbre d’endomorphismes, en s’inspirant des
constructions de Weyl.
Dans le cas unitaire, on définit pour tout s ≥ 1 une sous-Z(p)-algèbre E(A)s de
End(∧•Vs0). C’est l’algèbre engendrée par l’action de Ms(Z) sur V
0 , muni de la mul-
tiplication opposée, et par l’action de OB sur V0.
6 SANDRA ROZENSZTAJN
Dans le cas Siegel, on note E(C)s la sous-Z(p)-algèbre de End(∧
•Vs0) engendrée
par l’action de Ms(Z) sur V
0 , et par les opérations suivantes. On note Z(p)(1) la
représentation du groupe symplectique correspondant à l’action du groupe sur Z(p)
par le multiplicateur. Observons que V0 = V(−1).
On note u ∈ ∧2V20 (1) l’élément provenant de la forme bilinéaire sur V, et pour tous
1 ≤ i < j ≤ s, on note ui,j l’image de u par l’application ∧
2V20 (1) → ∧
2Vs0(1) induite
par l’application V20 → V
0 consistant à placer les deux facteurs V0 aux places i et j.
Le cup-produit par ui,j définit une application ϕi,j : ∧
•Vs0(−1) → ∧
•Vs0 qui envoie
chaque ∧kVs0(−1) dans ∧
k+2Vs0 .
L’application duale de ϕi,j permet de définir une application ψi,j : ∧
•Vs0 → ∧
•Vs0 (−1).
Enfin on note θi,j = ϕi,j ◦ ψi,j , qui est donc un endomorphisme de ∧
•Vs0 .
On définit alors E(C)s comme l’algèbre engendrée par l’action deMs(Z) et les θi,j ,
1 ≤ i < j ≤ s.
On notera Es pour désigner indifféremment E(A)s et E(C)s. On dira que u ∈ Es
est un projecteur homogène (de degré t) si son image est contenue dans ∧tVs0 ⊂ ∧
•Vs0 .
On donne des définitions similaires pour les éléments de Es ⊗ Q agissant sur
∧•(V0 ⊗Q)
3.3. Représentations atteignables. — On note Repa(G) la sous-catégorie de
Rep(G) formée des représentations isomorphes à une somme directe de représentations
de G de la forme im q, où q est un projecteur homogène de Es agissant sur un ∧
•Vs0 .
Si V ∈ Repa(G), on note t(V ) le plus grand degré des projecteurs homogènes qui
apparaissent dans la définition de V .
On définit de fa con similaire RepaQ(G).
Comme nous n’obtenons des résultats que pour les représentations de G qui sont
dans Repa(G), il va s’agir de voir que cette sous-catégorie n’est pas trop petite, et qu’il
n’est donc pas trop restrictif de s’y limiter. C’est l’objet des paragraphes suivants.
3.4. Poids p-petits. — Supposons notre groupe réductif G déployé sur un certain
corps E. Les représentations irréductibles de G sur E sont paramétrées par l’ensemble
des poids dominants, une fois fixé un tore maximal et un système de racines positives.
Si a est un poids dominant, on note VE(a) la représentation irréductible de G sur E
de plus haut poids a.
On définit comme dans [9], II.3.15 ce qu’est un poids dominant p-petit. La propriété
qui nous intéresse ici est la propriété suivante (voir [13], 1.9) : si le poids a est p-petit,
alors il existe à homothétie près un unique réseau dans VE(a) qui est stable sous
l’action de Dist(G), l’algèbre des distributions de G sur OE,(v), pour v une place de E
divisant p. Cela a donc un sens de définir V (a) comme la représentation irréductible
de G sur OE,(v) de plus haut poids a.
3.5. Description de Repa(G) dans le cas unitaire. — On se place ici dans le cas
unitaire. Le groupe G est alors un groupe unitaire relatif à un corps E quadratique
imaginaire, qui correspond à l’algèbre B du paragraphe 2.1.1, donc G est de la forme
GU(g), et il est déployé sur E. On a donc GE
−→ GL(g)E ⊗Gm,E .
L’ensemble des représentations sur E irréductibles de G est paramétré par les g+1-
uplets (a1, . . . , ag; c) d’entiers, avec a1 ≥ · · · ≥ ag et
ai = c (mod 2), une fois choisi
un isomorphisme entre GE et GL(g)E ×Gm,E. Notons i et j les deux morphismes de
E dans E, le choix de l’isomorphisme revient à en privilégier un des deux.
La représentation V0⊗E correspond à la somme de deux représentations irréductibles
V1 et V2, V1 de plus haut poids (1, 0, . . . , 0; 1) et V2 de plus haut poids (0, . . . , 0,−1; 1).
V1 est l’espace propre associé à la valeur propre i(x) de l’endomorphisme u(x), pour
tout x dans E, et V2 est l’espace propre associé à la valeur propre j(x).
3.5.1. Description de RepaQ(G). — Notons Rep
E(G) l’ensemble des V ⊗QE, où V ∈
RepaQ(G), et V0 = V0 ⊗ E.
Proposition 3.1. — RepaE(G) contient toutes les représentations qui sont de la forme
V (a)⊕V (a∗), où V (a) est la représentation irréductible de plus haut poids (a1, . . . , ag; c)
avec ag ≥ 0 et c =
ai = s, et a
∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1; c).
Lemme 3.2. — Soit a = (a1, . . . , ag; c) un poids dominant de G, tel que ag ≥ 0 et
ai, et V (a) la représentation irréductible associée. Alors il existe un élément
Ca de QSs (où s =
ai) tel que V (a) = CaV
1 et V (a
∗) = CaV
Démonstration. — Regardons d’abord V (a) comme une représentation de GLg, en
oubliant l’action du multiplicateur. Comme expliqué dans [6], 15.5, il existe un Ca ∈
QSs idempotent tel que V (a) = CaV
1 , V (a) et V1 étant vues toutes deux comme des
représentations deGLg. Il faut voir ensuite que l’égalité tient aussi comme représentations
de GL(g)E × Gm,E, donc que le multiplicateur agit de la même fa con sur les deux.
Or il agit par x 7→ xc sur V (a), et par x 7→ xs sur V ⊗s1 , et on a s = c.
Lemme 3.3. — Soit s ≥ 0. Il existe un projecteur q dans E(A)s ⊗ Q commutant à
l’action du groupe des permutations Ss tel que l’image de q agissant sur ∧
•V s0 est
V ⊗s0 .
Démonstration. — ∧•V s0 = ⊕0≤i1≤2g,...,0≤is≤2g ∧
i1 V0 ⊗ · · · ⊗ ∧
isV0.
Considérons un entier m non nul, vj la matrice diagonale [(1, . . . , 1,m, 1, . . . )] avec
un m en j-ème position. L’espace propre correspondant à la valeur propre m est la
somme des termes pour lesquels ij = 1. Soit pj le projecteur sur cet espace propre.
Les pj commutent, leur produit est donc un projecteur q sur l’intersection des images,
c’est-à-dire les termes pour lesquels chaque ij est égal à 1, c’est-à-dire V
0 . De plus,
q commute bien à l’action de Ss.
Enfin on utilise que V0 = V1 ⊕ V2, V
0 est donc égal à une somme de termes de la
forme V ⊗x1 ⊗ V
2 avec x+ y = s.
Lemme 3.4. — Il existe un élément q′ dans le centre de E(A)s⊗Q dont la restriction
de l’action à V ⊗s0 est un projecteur sur V
1 ⊕ V
Démonstration. — Fixons z ∈ OE . z agit par i(z) sur V1 et par j(z) sur V2. Notons
i(z) = a et j(z) = b. Choisissons z de sorte que les axby soient tous distincts. Alors
V ⊗x1 ⊗ V
2 est (dans V
0 ) l’espace propre associé à la valeur propre a
8 SANDRA ROZENSZTAJN
Soit P le polynôme Πr+t=s(X − a
rbt). Il est à coefficients entiers, et c’est le po-
lynôme minimal de l’action de u(z) sur V ⊗s0 . Soit Q = Πr+t=s,r 6=0,t6=0(X−a
rbt). Alors
P = QT où T = (X − as)(X − bs), et Q et T sont premiers entre eux. Il existe donc
des polynômes U et V (à coefficients rationnels), tels que UQ+V T = 1. Alors l’action
de u(1− UQ)(z) sur V ⊗s0 est un projecteur sur V
1 ⊕ V
2 , qu’on note q
On peut maintenant prouver la proposition : soit a comme dans l’énoncé, et s =
ai. Posons P = Caq
′q, alors P ∧• V s0 est la représentation V (a) ⊕ V (a
∗). En
effet, notons que Ca, q
′ et q commutent par construction, donc P est un projecteur.
On a q ∧• V s0 = V
0 , q
′q ∧• V s0 = V
1 ⊕ V
2 , Caq
′q ∧• V s0 = CaV
1 ⊕ CaV
2 . Or
1 = V (a), et CaV
2 = V (a
Une fois décrites les représentations qui sont dans RepaE(G), il faut maintenant
retrouver quelle est la Q-forme de ces représentations qui est dans RepaQ(G). V1 et V2
sont naturellement isomorphes, et Gal(E/Q) agit sur V0 = V1⊕V2 par (x, y) 7→ (ȳ, x̄).
Son action sur V (a)⊕V (a∗) peut être décrite par la même formule, ce qui nous permet
d’obtenir les représentations qui sont dans RepaQ(G).
3.5.2. Description de Repa(G). —
Proposition 3.5. — Repa(G) contient toutes les représentations qui sont de la forme
(V (a)⊕ V (a∗))Gal(E/Q), où V (a) est la représentation irréductible de plus haut poids
(a1, . . . , ag; c) avec ag ≥ 0 et c =
ai = s, et a
∗ est le poids (−ag, . . . ,−a1; c), a et
a∗ sont p-petits, et 2g < p, et Gal(E/Q) agit sur (V (a) ⊕ V (a∗)) comme décrit au
paragraphe précédent.
Il suffit de voir que si les conditions données sont vérifiées, on peut prendre des
dénominateurs premiers à p dans les lemmes du paragraphe 3.5.1.
Lemme 3.6. — On se place comme dans le lemme 3.2. Alors si
ai < p, Ca est
dans Z(p)Ss.
Démonstration. — Ca est de la forme (1/n)C
a, où C
a est dans ZSs, et n est l’entier
tel que C′a
= nC′a. Or n divise s! (voir [6], 4.2), donc 1/n ∈ Z(p) si s < p.
Lemme 3.7. — Dans le cadre du lemme 3.3, on peut choisir q dans E(A)s dès que
p > 2g.
Démonstration. — Lorsque on écrit pj comme un polynôme en vj , les dénominateurs
qui apparaissent sont les différences entre les valeurs propres de vj , qui sont les m
pour 0 ≤ i ≤ 2g. Si 2g < p, on peut prendre un m dont l’image dans Z/pZ est un
générateur de Z/pZ∗, de sorte que les mi −mi
sont tous premiers à p.
Lemme 3.8. — Dans le lemme 3.4, on peut prendre q′ dans E(A)s dès que p > s.
Démonstration. — Écrivons donc UQ+V T = c, avec U et V à coefficients entiers et
c entiers, et étudions les facteurs premiers de c. On obtient c = Q(as)Q(bs). Il s’agit
donc de trouver z ∈ OE tel que c soit premier à p (et que aucun des a
rbt, r > 0, t >
0, r + t = s ne soit égal à as ou à bs).
On a Q(as) = as(s−1)/2Π1≤t≤s−1(a
t − bt), et Q(bs) = bs(s−1)/2Π1≤t≤s−1(b
t − at).
Supposons d’abord que p est inerte dans E. Alors OE/p est isomorphe à Fp2 . La
conjugaison dans OE se traduit par x 7→ x
p dans OE/p. Choisissons donc x un
générateur de F∗
, alors un z relevant x convient.
Supposons maintenant p décomposé dans E. Alors OE/p est égal à Fp × Fp, et la
conjugaison dans OE échange les deux facteurs dans OE/p. Choisissons un x dans F
tel que xi 6= 1 pour tout i entre 1 et s, et prenons u et v dans F∗p tels que u/v = x.
Alors si z est un relèvement de (u, v), il convient.
3.6. Description de Repa(G) dans le cas Siegel. — Dans le cas Siegel, la descrip-
tion de Repa(G) est faite dans l’article [12], 5.1. On obtient toutes les représentations
de plus haut poids p-petit, à l’action du centre près.
4. Les faisceaux
4.1. Constructions fonctorielles. —
4.1.1. Cas étale. — Soit x un point géométrique de XK . À chaque représentation
du groupe fondamental de la variété π1(XK , x) correspond un système local sur XK .
Considérons le faisceau constant Zp sur A, et F = R
1fK∗Zp(1), où fK : AK → XK
est le morphisme structural. F correspond à la représentation standard de G sur
Zp, autrement dit à un morphisme π1(XK , x) → G(Zp). On peut donc associer par
composition un système local à toute représentation sur Zp de G, et ceci de fa con
fonctorielle. On note F(V ) le système local associé à la représentation V . On définit
de même le foncteur Fn(V ), qui à V associe un fibré en Z/p
nZ-modules, vérifiant
F(V )⊗Zp Z/p
nZ = Fn(V ).
On observe que F(V0) = R
1f∗Zp, et plus généralement F(∧
tVs0) = R
tfs,K∗Zp, où
fs,K est le morphisme structural A
K → XK .
4.1.2. Cas des fibrés à connexion. —
Proposition 4.1. — Il existe un foncteur F de Rep(G) dans l’ensemble des OX-
modules à connexion intégrable sur X, et pour tout n un foncteur Fn de Rep(G) dans
l’ensemble des OXn -modules à connexion intégrable sur Xn, ces deux foncteurs étant
compatibles.
Ici compatible, signifie que Fn(V/̟
n+1) = F(V )/̟n+1. On ne va faire la construc-
tion que sur OX , la construction sur OXn s’obtenant par des méthodes similaires.
Notons H1(A) = (R
)∨. Introduisons T = Isom(OX ⊗ V ,H1(A)), les iso-
morphismes devant respecter la structure de B-module et la forme alternée à une
constante près. C’est un torseur sur X sous l’action (à droite) de G, en effet les deux
faisceaux en question sont localement isomorphes, comme expliqué dans le lemme 2.1.
Soit V ∈ Rep(G), on note F(V ) le faisceau des sections du fibré T ×G V . C’est un
faisceau deOX -modules quasi-cohérent. De même un morphisme entre représentations
se transforme en morphisme entre faisceaux.
Ce fibré est muni d’une connexion qui provient de la connexion de Gauss-Manin
sur H1(A).
10 SANDRA ROZENSZTAJN
Notons Hi(As) = Rifs∗Ω
, on a alors F(∧tVs0) = H
t(As). De même on notera
Hi(Asn) = R
ifs∗Ω
4.2. Action de Es. —
4.2.1. Traduction géométrique. — Comme Es est une sous-algèbre de End(∧
•Vs0),
par fonctorialité de F et F , on a donc aussi des morphismes de Z(p)-algèbres Es
End(R•fs,∗Zp) et Es
acris
→ End(H•(As)). On va donner une interprétation géométrique
de ces deux morphismes.
Soit G ⊂ Es la partie formée des éléments suivants : les matrices de déterminant non
nul, dans le cas unitaire les éléments non nuls de OB, dans le cas Siegel les opérations
θi,j , 1 ≤ i < j ≤ s définies au paragraphe 3.2. L’ensemble G, qu’on appellera ensemble
des éléments géométriques de Es, engendre Es comme Z(p)-algèbre.
Soit u ∈ G qui provient d’une matrice ou, dans le cas unitaire, d’un élément de OB .
Alors u provient d’un élément de End(Vs0), qui agit naturellement sur A
s/X , donc
sur R•fs,∗Zp et H
•(As) par aét(u) et acris(u) respectivement.
Soit P le faisceau de Poincaré sur A × A, pour 1 ≤ i < j ≤ s on note Pi,j le
faisceau sur As obtenu en tirant P par le morphisme de projection sur les i-ièmes et
j-ièmes facteurs As → A×A. Alors l’opération consistant à faire le cup-produit par
la première classe de Chern de Pi,j correspond à aét(ψi,j) et acris(ψi,j), l’opération
duale correspond à aét(ϕi,j) et acris(ϕi,j), comme expliqué dans [12].
Par fonctorialité des constructions précédentes, on a, pour une représentation V
de la forme V = q(∧•Vs0), q étant un projecteur de Es : F(V ) = aét(q)R
•fs,K∗Zp, et
F(V ) = acris(q)H
•(As).
On notera encore acris et aét les morphismes naturels de Es vers End(H
•(Asn)) et
End(R•fs∗Z/p
nZ) respectivement.
4.2.2. Conséquence sur les faisceaux à connexion. —
Lemme 4.2. — Pour tout V ∈ Repa(G) la connexion sur F(V ) et sur Fn(V ) est
quasi-nilpotente.
Démonstration. — Notons que les opérations élémentaires commutent à la connexion
sur H•(As) induite par la connexion de Gauss-Manin, de sorte que, en reprenant
les notations précédentes, F(V ) est stable par la connexion de H•(As). Comme la
connexion de Gauss-Manin sur H•(As) est quasi-nilpotente, c’est aussi le cas pour la
connexion sur F(V ).
Comme X est lisse sur S, chaque Xn est un relèvement de X0 qui est lisse sur
Sn. Les faisceaux Fn(V ), qui sont des OXn -modules cohérents munis d’une connexion
intégrable et quasi-nilpotente, définissent donc des cristaux sur (X0/Sn)cris, ainsi que
dans (Xm/Sn)cris pour tout m ≤ n. On peut donc voir Fn comme un foncteur de
Repa(G) vers la catégorie des cristaux sur (X0/Sn)cris. Avec cette interprétation les
Hi(Asn) s’identifient aux R
ifs,cris∗OAs
/Sn .
Lemme 4.3. — Pour tout V ∈ Repa(G), les faisceaux F(V ) et Fn(V ) sont locale-
ment libres sur X et Xn respectivement.
En effet c’est le cas pour les Hn(As).
4.3. Prolongement des cristaux. — L’objectif est de construire un foncteur F
de Repa(G) vers l’ensemble des fibrés localement libres munis d’une connexion à pôles
logarithmiques le long de X \X intégrable et quasi-nilpotente, qui prolonge F .
4.3.1. Unicité du prolongement. —
Lemme 4.4. — Soit E un fibré localement libre sur X muni d’une connexion intégrable
et quasi-nilpotente.
S’il existe un prolongement de E en un fibré localement libre sur X muni d’une
connexion à pôles logarithmiques le long de X \X intégrable et quasi-nilpotente, alors
il est unique, et de plus tout prolongement de E en un fibré cohérent sur X muni
d’une connexion ayant les mêmes propriétés est aussi localement libre (et donc égal
au prolongement précédent).
De plus, si E1 et E2 sont deux tels faisceaux admettant des prolongements, et u :
E1 → E2 est un morphisme horizontal, u admet un unique prolongement horizontal
entre les prolongements des faisceaux.
Démonstration. — Soit E un tel prolongement cohérent. Regardons tout d’abord EK .
D’après [4], il existe au plus un prolongement de EK en un fibré muni d’une connexion
à pôles logarithmiques, qui est l’extension canonique de Deligne, ce prolongement est
donc nécessairement EK .
Le faisceau E est alors uniquement déterminé. En effet, notons X ′ la réunion de
X et XK dans X, j l’inclusion de X
′ dans X, et E ′ le faisceau qui cöıncide avec E
sur X et avec EK sur XK . Alors pour des raisons de codimension, et le faisceau E
étant cohérent, E = j∗(E
′). En particulier, tous les prolongements cohérents munis de
connexion sont égaux en tant que faisceaux, donc si l’un est localement libre, tous le
sont.
Enfin, E étant localement libre, sa connexion est entièrement déterminée par sa
restriction à EK .
Pour l’existence du prolongement des morphismes, cela provient de la fonctorialité
de l’extension canonique de Deligne.
Corollaire 4.5. — Le fibré Hi(As), muni de la connexion de Gauss-Manin, ne
dépend pas du choix de la compactification As. De plus, étant données deux compac-
tifications A de A et As de As, pour tout i, Hi(As) et ∧iH1(A)s sont égaux comme
sous-faisceaux de (X → X)∗H
i(As) munis d’une connexion à pôles logarithmiques.
Démonstration. — En effet, il suffit pour pouvoir appliquer le lemme précédent de
vérifier que les ∧iH1(A)s sont localement libres, il suffit donc de voir que H1(A) est
localement libre. Cela se déduit des résultats de [8], qu’on peut appliquer car on a
supposé que dimX A < p. Le cas général se déduit de l’identité précédente.
On notera H
(As) ce faisceau à connexion.
Lemme 4.6. — Hi(Asn) est localement libre sur Xn, et ne dépend pas de la com-
pactification As.
12 SANDRA ROZENSZTAJN
Démonstration. — En effet, le faisceau H
(Asn) est obtenu à partir de H
(As) par
changement de base.
On notera dans la suite H
(Asn) pour ce faisceau.
4.3.2. Prolongement de l’action de Es. — Il s’agit maintenant de prolonger le mor-
phismeEs
acris
→ End(H•(As)) en un morphisme de Z(p)-algèbresEs
alog-cris
→ End(H
(As)).
La restriction res : End(H
(As)) → End(H•(As)) est injective. Pour construire
alog-cris, il suffit donc de vérifier que l’image de acris est contenue dans l’image de res.
Comme acris est un morphisme de Z(p)-algèbres, il suffit de vérifier que l’image par
acris d’une partie génératrice de Es est contenue dans l’image de res. Il s’agit donc de
vérifier que l’action des éléments de G sur les H•(As) se prolonge en une action sur
les H
(As).
Soit u ∈ G. Supposons d’abord que u soit une matrice, ou (dans le cas unitaire)
un élément de OB . Alors u agit sur A
s par une isogénie. D’après la propriété 2,
il existe donc deux compactifications As1 et As2, et un morphisme u
′ : As1 → As2
prolongeant l’action de u. Alors u′ fournit l’élément de End(H
(As)) voulu. Supposons
maintenant qu’on est dans le cas Siegel et que u est de la forme θi,j . Il suffit de
montrer que les morphismes acris(ϕi,j) et acris(ψi,j) se prolongent en éléments de
End(H
(As)). Il existe, d’après la propriété 3, une compactification As telle que le
faisceau (O(2)⊗a⊗Pi,j)
⊗b se prolonge en un faisceau L surAs, avec a et b premiers à p.
Il existe aussi une compactification As
telle que le faisceau O(2)⊗c se prolonge en un
faisceau L′ sur As
, avec c premier à p. Alors l’action de 1
(cL)) est dans End(H
(As)),
l’action de − a
(c1(L
′)) aussi, et l’action de 1
(c1(L)) −
(c1(L
′)) prolonge celle de
acris(ϕi,j). Pour acris(ψi,j), on fait le même raisonnement, en utilisant la dualité de
Poincaré.
On note encore alog-cris pour le morphismeEs → End(H
(Asn)) obtenu par réduction.
4.3.3. Définition de F . — Si V ∈ Repa(G), on veut définir F(V ) comme le faisceau
localement libre muni d’une connexion à pôles logarithmiques intégrable et quasi-
nilpotente sur X prolongeant F(V ).
Au vu du paragraphe 4.3.1, il suffit de montrer l’existence de ce prolongement, son
unicité et le fait que la construction est fonctorielle étant alors automatiques. Soit V =
q(∧•Vs0), où q est un projecteur de Es. Il suffit de poser F(V ) = alog-cris(q)(H
(As)).
On note Fn(V ) la réduction modulo ̟
n+1 de F(V ). Munissons Sn de la log-
structure triviale, et Xn de la log-structure provenant du diviseur à croisements nor-
maux (X\X)n. Alors Fn définit un foncteur de Rep
a(G) vers la catégorie des cristaux
sur (X0/Sn)
cris, en effet cette catégorie est équivalente à celle des OXn -modules munis
d’une connexion à pôles logarithmiques intégrable et quasi-nilpotente, Xn étant un
relèvement de X0 log-lisse sur Sn.
5. Structures sur les groupes de cohomologie
5.1. Cas étale. — Notons K la clôture algébrique de K, et Γ = Gal(K/K). Le
groupe Hmét (XK ,Fn(V )) est naturellement muni d’une action de Γ car le faisceau
Fn(V ) est défini sur XK .
On aura besoin du lemme suivant pour comparer l’action de Galois surHmét (XK ,Fn(V ))
et sur la cohomologie de As
Lemme 5.1. — Soit f : Z → T un morphisme de schémas, F un faisceau constant
sur Z (Z/pnZ ou Zp). Soit q agissant sur H
•(Z) = R•f∗F et sur H
•(Z, F ) de fa con
compatible avec la suite spectrale de Leray. On suppose que q agit comme un projec-
teur, dont l’image est entièrement contenue dans Hs(Z). Notons V = qH•(Z), alors
pour tout m on a Hm(T, V ) = qHm+s(Z, F ).
Démonstration. — En effet considérons la suite spectrale de Leray pour calculer la
cohomologie de F sur Z. On lui applique q, on obtient toujours une suite spectrale
convergente car q est un projecteur. D’autre part qHm(T,Hi(Z)) = Hm(T, qHi(Z)),
toujours parce que q est un projecteur. La suite spectrale obtenue a une seule colonne
non nulle, dont les termes sont les Hm(T, qHs(Z)), et aboutit à qHm+s(Z, F ), d’où
le résultat.
Notons encore aét les morphismesEs → End(H
ét(A
,Zp)) et Es → End(H
ét(A
,Z/pnZ)).
Supposons que V = q(∧•Vs0), q étant un projecteur homogène de degré t, alors on
a Hmét (XK ,Fn(V )) = aét(q)H
ét (A
,Z/pnZ). Comme Es agit par des correspon-
dances algébriques définies sur K sur la cohomologie de As, l’action de Γ commute à
l’action de Es, et la structure galoisienne obtenue sur H
ét (XK ,Fn(V )) est compatible
à celle sur la cohomologie de As
5.2. Cas cristallin. —
5.2.1. Les modules de Fontaine-Laffaille. — On note MF
tor la catégorie suivante.
Les objets sont les O-modules M de longueur finie, muni d’une filtration FiliM
décroissante, telle que Fil0M =M et Filp−1M = 0, et pour tout i, un φi : Fil
iM →M
O-semi-linéaire, vérifiant φi|Fili+1M = pφi+1, et
i imφi = M . Les morphismes res-
pectent la filtration et commutent aux φi.
5.2.2. La catégorie MF (φ). — On introduit la catégorieMF (φ) des K-espaces vec-
toriels munis d’une filtration décroissante et d’un Frobenius. Les objets sont les K-
espaces vectoriels de dimension finie M , muni d’une filtration décroissante Fil
et de l’action d’un Frobenius φ semi-linéaire par rapport au Frobenius σ de K. Les
morphismes doivent commuter au Frobenius, et respecter la filtration.
5.2.3. Calculs dans un cas particulier. — On se place dans le cas suivant : on a un
log-schéma Z qui est propre, et lisse sur S muni de la log-structure triviale.
Soit n un entier positif. On note Sn = SpecOn, muni de la log-structure triviale.
Si (Z,M) est un schéma sur SpecO, on note (Zn,Mn) le changement de base à
Sn. Si E est un cristal sur le site ((Zm,Mm)/Sn))
cris, on noteraH
cris((Zm,Mm)/Sn, E)
pourHi(((Zm,Mm)/Sn))
cris, E), etH
cris((Zm,Mm)/Sn) pourH
cris((Zm,Mm)/Sn,OZm/Sn).
14 SANDRA ROZENSZTAJN
On omettra la mention de la log-structure si cela ne cause pas de confusion. Re-
marquons que pour tout m ≤ n, les Hicris((Zm,Mm)/Sn) ne dépendent pas de m,
on notera Hicris((Z,M)/Sn) leur valeur commune. Enfin on note H
cris((Z,M)/S) =
Hicris((Z,M)/Sn).
On a les deux résultats suivants :
Proposition 5.2. — Pour tout 0 ≤ i ≤ p − 2, Hicris((Z,M)/Sn) est un module de
Fontaine-Laffaille. Pour tout i ≥ 0, Hicris((Z,M)/S)⊗K est un élément de MF (φ).
Démonstration. — La preuve de la première partie de la proposition est identique à
celle de l’article [5], qui traite le cas où Z est muni de la log-structure triviale.
Notons S′n le log-schéma dont le schéma sous-jacent est le même que Sn, et dont la
log-structure provient de N → On, 1 7→ 0. Il s’agit de la même log-structure que celle
définie dans [7], paragraphe 3.4. Notons (Z ′,M ′) le log-schéma déduit de (Z,M) par
le changement de base S′n → Sn. Alors H
cris((Z,M)/Sn) et H
cris((Z
′,M ′)/S′n) sont
canoniquement isomorphes pour tout i. Les Hicris((Z
′,M ′)/S′n) sont munis d’un Fro-
benius et d’un opérateur de monodromie, définis dans [7], paragraphe 3. L’opérateur
de monodromie est ici nul, (Z ′,M ′) provenant par changement de base de (Z,M) qui
est log-lisse sur Sn. H
cris((Z
′,M ′)/S′) ⊗ K, et donc aussi Hicris((Z,M)/S) ⊗ K est
ainsi naturellement muni d’une structure d’élément de MF (φ).
5.2.4. Action des endomorphismes sur le prolongement des cristaux. — NotonsH
(As/Sn)
la limite des Hicris(A
n/Sn), pour les As de notre famille de compactifications. Alors :
Proposition 5.3. — Le morphisme Hicris(A
n/Sn) → H
(As/Sn) est un isomor-
phisme pour toute compactification As et pour tout n.
Démonstration. — Il suffit pour cela de voir que tout morphisme entre compactifica-
tions qui est l’identité sur As induit un isomorphisme entre les groupes de cohomolo-
Considérons la suite spectrale de Leray : E
2 = H
i(Xn/Sn, R
jfscris∗OAsn/Sn) ⇒
Hi+j(Asn/Sn)
Un morphisme entre deux compactifications induit un morphisme de suites spec-
trales, qui est un isomorphisme sur les E
2 , donc aussi sur l’aboutissement.
On cherche à définir un morphisme de Z(p)-algèbres Es → End(H
(As/Sn)).
On a la suite spectrale suivante, qu’on appellera encore suite spectrale de Leray,
qui provient de n’importe quelle compactification As de As :
2 = H
i(Xn/Sn,H
(Asn)) ⇒ H
(As/Sn)
Proposition 5.4. — Il existe un unique morphisme alog-cris de Z(p)-algèbres Es →
End(H
(As/Sn)) tel que l’action de Es sur les H
(Asn) et sur les H
(As/Sn) donnée
par alog-cris soit compatible à la suite spectrale de Leray.
Démonstration. — On commence par définir l’image de l’ensemble G des éléments
géométriques de Es, et on montre ensuite que l’on peut prolonger en un morphisme
de Z(p)-algèbres.
Pour définir l’image d’un élément de G, on fait exactement comme dans le pa-
ragraphe 4.3.2. Il faut voir que le choix fait est unique. Cela provient du fait que
l’action de u ∈ G sur les termes E
2 de la suite spectrale ne dépend pas des choix
faits, comme expliqué en 4.3.2, et de la compatibilité de l’action du prolongement à
la suite spectrale de Leray.
Il reste à voir que l’action des éléments de G se prolonge en un morphisme d’algèbres
Es → End(H
(As/Sn)). Cela provient encore une fois de la compatibilité avec la
suite spectrale de Leray, et du fait que Es → End(H
(As/Sn)) est un morphisme
d’algèbres.
5.2.5. La cohomologie des cristaux. — PosonsHicris(X/S,F(V )) = lim←−
Hicris(Xn/Sn,Fn(V )).
On a le résultat suivant :
Proposition 5.5. — Pour tout V ∈ Repa(G), pour tout i, Hicris(X/S,F(V )) ⊗ K
est un élément de MF (φ).
Pour tout V ∈ Repa(G) homogène de degré t, pour tout i tel que i+ t ≤ p−2, pour
tout n, Hicris(Xn/Sn,Fn(V )) est un élément de MF
Démonstration. — En effet, soit V = q(∧•Vs0), avec q homogène de degré t, on a alors
de fa con similaire au lemme 5.1 les égalitésHicris(X/S,F(V ))⊗K = acris(q)H
log-cris(A
s/S)⊗
K et Hicris(Xn/Sn,Fn(V )) = acris(q)H
cris(A
n/Sn). Il reste à voir que l’action de Es
par alog-cris respecte les structures d’élément de MF (φ), et que l’action de E(A)s
respecte les structures de module de Fontaine-Laffaille, ce qui se voir sur les éléments
géométriques.
6. Théorème de comparaison
6.1. Le cas des faisceaux constants. — Notons RepZp(Γ) la catégorie des Zp-
représentations de type fini de Γ = Gal(K/K). Nous avons un foncteur contrava-
riant et pleinement fidèle : Vcris : MF
tor → RepZp(Γ) qui est défini par Vcris(M) =
Hom(M,Acris,∞). L’anneau Acris est défini dans [1], 6.3, et Acris,∞ = Acris ⊗ Qp/Zp.
L’anneau Acris est muni d’une filtration décroissante et d’un Frobenius, et les homo-
morphismes que l’on considère doivent être compatibles à la filtration et à l’action du
Frobenius.
Soit Z un schéma propre et lisse sur SpecOK , et D un diviseur à croisements
normaux relatifs de Z, U l’ouvert complémentaire de D. On munit Z de la log-
structure M définie par le diviseur D, et SpecOK de la log-structure triviale.
Proposition 6.1. — Pour 0 ≤ m ≤ p− 2, on a un isomorphisme canonique compa-
tible à l’action de Galois :
Vcris(H
cris((Z,M)/Sn)) = H
ét (UK ,Z/p
16 SANDRA ROZENSZTAJN
Proposition 6.2. — Pour tout m, il existe un isomorphisme canonique qui respecte
l’action de Γ, la filtration et le Frobenius :
γm : Bcris ⊗O H
cris((Z,M)/S)
−→ Bcris ⊗Qp H
ét (UK ,Qp)
Démonstration. — Le résultat de la proposition 6.1 provient de travaux de Breuil
([2]) et Tsuji ([16]). Ces résultats s’appliquent dans un cadre beaucoup plus général
que celui considéré ici, et décrivent une comparaison entre la cohomologie étale de UK
et la cohomologie de (Z ′,M ′)/En. Ici (Z
′,M ′) est obtenu comme dans le paragraphe
5.2.3 par changement de base de (Z,M) de Sn à S
n. En est le log-schéma dont le
schéma sous-jacent est SpecOn〈u〉, l’enveloppe à puissances divisées de l’algèbreOn[u]
des polynômes en l’indéterminée u, muni de la log-structure associée à N → On〈u〉,
1 7→ u. Dans notre cas particulier, on a une relation simple entre la cohomologie
de (Z ′,M ′)/En et celle de (Z
′,M ′)/S′n, donnée par H
cris((Z
′,M ′)/En) = On〈u〉 ⊗
Hmcris((Z
′,M ′)/S′n), qui nous permet d’obtenir le résultat de la proposition 6.1.
Pour la version rationnelle 6.2, le résultat provient de résultats de Tsuji ([15], voir
aussi [17]). Comme dans le cas de torsion, la situation se simplifie par rapport au cas
général, du fait qu’ici la monodromie agissant sur Hmcris((Z,M)/S)⊗K est nulle.
6.2. Les théorèmes. —
Théorème 6.3. — Dans le cas unitaire, soit V ∈ Repa(G), et m tel que m+ t(V ) ≤
p−2.Hm
(XK ,Fn(V )) est muni d’une action du groupe de Galois Γ,H
cris(Xn/Sn,Fn(V ))
est muni d’une structure de module de Fontaine-Laffaille, et on a un isomorphisme :
Vcris(H
cris(Xn/Sn,Fn(V ))) = H
ét (XK ,Fn(V ))
Notons qu’on peut déduire de ce théorème comme dans l’article [2], paragraphe 4.2,
une comparaison entre les parties de torsion de lim
Hmét (XK ,Fn(V )) et de lim←−
Hmcris(Xn/Sn,Fn(V )),
ainsi qu’une comparaison entre leurs parties libres.
Théorème 6.4. — Dans le cas unitaire et Siegel, soit V ∈ Repa(G), il existe un
isomorphisme
γ : Bcris ⊗O H
log-cris(X/S,F(V ))
−→ Bcris ⊗Zp H
ét (XK ,F(V ))
Le point essentiel de la preuve dans les deux cas est le résultat suivant :
Lemme 6.5. — Soit u ∈ E(A)s. u agit sur H
(As/Sn) et sur H
,Z/pnZ)
(m ≤ p − 2) de fa con compatible avec l’isomorphisme Vcris. Soit u ∈ Es, u agit sur
(As/S)⊗Q et sur Hmét (A
,Qp) de fa con compatible avec l’isomorphisme γm du
théorème 6.2.
Démonstration. — Il suffit de montrer la compatibilité des actions pour l’ensemble
des éléments géométriques G de Es, puisqu’ils engendrent Es comme Z(p)-algèbre.
Soit u un élément de Es provenant d’une matrice de déterminant non nul, ou
d’un élément non nul de OB. Son action sur la cohomologie provient d’une isogénie
de As, qu’on notera encore u. D’après la propriété 2 u se prolonge en un mor-
phisme entre deux compactifications u : As1 → As2. D’où par fonctorialité de
Vcris, Vcris(u : H
cris((A
2)n/Sn) → H
cris((A
1)n/Sn) = (u
∨ : Hmét (A
,Z/pnZ)∨ →
Hmét (A
,Z/pnZ)∨), ce qui est bien la compatibilité voulue. De même, on a aussi la
compatibilité pour l’action sur Hmét (UK ,Qp) et H
cris((X,M)/S)⊗K.
Dans le cas Siegel, il faut aussi considérer les éléments de la forme θi,j . Il s’agit
donc de voir que l’action des ϕi,j et des ψi,j sur H
ét (UK ,Qp) et H
cris((X,M)/S)⊗K
est compatible. Cela provient du fait que l’isomorphisme de comparaison 6.2 fait
correspondre les classes de Chern ([15]) et est compatible aux structures produit sur
les groupes de cohomologie et à la dualité de Poincaré ([17]).
Démonstration des théorèmes 6.3 et 6.4. — Montrons le théorème 6.3. Soit V ∈ Repa(G),
on peut supposer qu’il existe un entier s, et un projecteur q dans E(A)s de degré t,
tels que V = q(∧•Vs0). Le théorème de comparaison s’applique car m+ t ≤ p− 2, et
nous donne un isomorphisme Vcris(H
(As/Sn)) = H
ét (A
,Z/pnZ)∨.
Appliquons q : comme l’action de E(A)s commute à Vcris on a donc un isomor-
phisme : Vcris(alog-cris(q)H
(As/Sn)) = (aét(q)H
ét (A
,Z/pnZ))∨.
D’après le lemme 5.1, cela donne : Vcris(H
log-cris(X,Fn(V ))) = H
ét (XK ,Fn(V ))
La preuve du théorème 6.4 est identique.
Remarque 6.6. — On voit apparâıtre dans le lemme 6.5 le point qui explique pour-
quoi on n’a pas de résultats de comparaison prenant en compte la torsion pour le
cas Siegel : la compatibilité de l’isomorphisme de comparaison à coefficients constants
avec la dualité de Poincaré et les structures produits n’est actuellement montrée que
dans le cas rationnel (même s’il est vraisemblable qu’elle soit vraie aussi dans le cas
de torsion, en introduisant des limitations sur le degré des groupes de cohomolo-
gie considérés). Enfin on peut remarquer que si on se limite aux représentations qui
peuvent être obtenues à l’aide uniquement des éléments de Es provenant de Ms(Z),
on peut prendre en compte la torsion pour le cas Siegel.
Références
[1] C. Breuil – « Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de
Cech », Bull. Soc. Math. France 124 (1996), p. 587–647.
[2] , « Cohomologie étale de p-torsion et cohomologie cristalline en réduction semi-
stable », Duke Math. J. 95 (1998), p. 523–620.
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[4] P. Deligne – « Équations différentielles à points singuliers réguliers », Lecture Notes
in Mathematics, vol. 163, Springer-Verlag, 1970.
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coefficients », Duke Math. J. 60 (1990), p. 139–185.
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American Mathematical Society 3 (1992), p. 373–444.
[11] M. Larsen – « Arithmetic compactification of some Shimura surfaces », The Zeta
Functions of Picard Modular Surfaces, CRM, 1992, p. 31–45.
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[13] P. Polo & J. Tilouine – « Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of
nilpotent groups over Z(p) for representations with p-small weights », Astérisque 280
(2002), p. 97–135.
[14] S. Rozensztajn – « Compactifications de schémas abéliens dégénérant le long d’un
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[15] T. Tsuji – « p-adic etale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable
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[16] , « On p-adic nearby cycles of log smooth families », Bull. Soc. Math. France
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[17] G. Yamashita – « p-adic étale cohomology and crystalline cohomology for open varie-
ties with semi-stable reduction I », preprint.
Sandra Rozensztajn, IRMA, Université Louis Pasteur, 7 rue René-Descartes, 67084 Strasbourg
Cedex, France • E-mail : rozenszt@math.u-strasbg.fr
	1. Introduction
	2. Les objets considérés
	3. Représentations de G
	4. Les faisceaux
	5. Structures sur les groupes de cohomologie
	6. Théorème de comparaison
	Références
