L’espace Riemannien et pseudo-Riemannien
non symétrique SO(2m)/Sp(m).
Elisabeth REMM ∗- Michel GOZE †
Université de Haute Alsace, F.S.T.
4, rue des Frères Lumière - 68093 MULHOUSE - France
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53C30, Secondary 53C20, 53C50,
17Bxx
Mots clés. Homogeneous manifolds, Riemannian structures, non symmetric spaces.
Abstract
In this work, we are interested in a non symmetric homogeneous space, namely
SO(2m)/Sp(m). We show that this space admits a structure of (Z2)
2-symmetric
space. We describe all the non degenerated metrics and classify the Riemannian and
Lorentzian ones.
Dans ce travail, nous nous intéressons à un espace homogène non symétrique, à
savoir SO(2m)/Sp(m). Nous montrons que cet espace admet une structure d’espace
2-symétrique. Nous décrivons toutes les métriques non dégénérées et classons les
métriques riemanniennes et lorentziennes.
1 Rappel. Espaces Γ-symétriques
Soit Γ un groupe abélien fini. Un espace Γ-symétrique est un espace homogène M = G/H
où G est un groupe de Lie connexe et H un sous-groupe fermé de G tel qu’il existe un
homomorphisme injectif de groupes
ρ : γ ∈ Γ −→ ρ(γ) ∈ Aut(G),
tel que le groupe H vérifie (GΓ)1 ⊂ H ⊂ G
Γ où GΓ = {g ∈ G/∀γ ∈ Γ, ρ(γ)(g) = g} et (GΓ)1
sa composante connexe passant par l’élément neutre 1 de G. On a en particulier:
ρ(γ1) ◦ ρ(γ2) = ρ(γ1 · γ2),
ρ(eΓ) = Id où eΓ est l’élément neutre de Γ,
∀γ ∈ Γ, ρ(γ)(g) = g ⇐⇒ g ∈ H dès que H est connexe.
∗corresponding author: e-mail: E.Remm@uha.fr
†M.Goze@uha.fr.
http://arxiv.org/abs/0704.1541v1
Si M = G/H est un espace Γ-symétrique, alors l’algèbre de Lie g de G est Γ-graduée:
g = ⊕γ∈Γgγ
[gγ1 , gγ2 ] ⊂ gγ1·γ2
geΓ = h
où h est l’algèbre de Lie de H . On dit que la paire (g, h) est l’espace Γ-symétrique local de
G/H . Si G est simplement connexe alors toute algèbre de Lie Γ-graduée g = ⊕γ∈Γgγ définit
une paire (g, ge) qui est l’espace Γ-symétrique local d’un espace Γ-symétrique G/H .
Soit M = G/H un espace Γ-symétrique. En tout point x de M on peut définir un
sous-groupe Γx de Diff(M) isomorphe à Γ tel que x soit le seul point fixe commun à tous
les éléments sγ,x de Γx.
Les premiers exemples d’espaces Γ-symétriques lorsque Γ n’est pas cyclique correspon-
dent au cas où Γ = (Z2)
2. Rappelons que tout espace Z2-symétrique n’est rien d’autre qu’un
espace symétrique.
Exemple. La sphère S3.
Nous savons que la sphère S3 (ou plus généralement Sn) est munie d’une structure
d’espace symétrique. Il suffit de considérer un difféomorphisme de Sn sur l’espace homogène
SO(n+ 1)/SO(n). L’algèbre de Lie so(n+ 1) admet une Z2-graduation
so(n+ 1) = so(n)⊕m
où so(n) est l’ensemble des points fixes de l’automorphisme involutif
τa : so(n+ 1) → so(n+ 1)
donné par
τa(A) = SAS
avec S =
−1 0n
0n In
et In est la matrice identité d’ordre n.
Nous pouvons munir la sphère S3 d’une structure d’espace (Z2)
2- symétrique en con-
sidérant un difféomorphisme de S3 sur l’espace homogène SO(4)/Sp(2). Considérons sur
l’algèbre de Lie so(4) les automorphismes τa, τb, τc = τa ◦ τb donnés par
τa : M ∈ SO(4) 7→ J
a MJa
τb : M ∈ SO(4) 7→ J
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
et Jb =
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
La famille {Id, τa, τb, τc} détermine un sous-groupe de Aut(so(4)) isomorphe à (Z2)
2. Si
ga = {M ∈ so(4) / τa(M) = M, τb(M) = −M} ,
gb = {M ∈ so(4) / τa(M) = −M, τb(M) = M}
gc = {M ∈ so(4) / τa(M) = −M, τb(M) = −M} ,
on a la décomposition (Z2)
2-symétrique de so(4):
so(4) = sp(2)⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc.
En effet l’ensemble de points fixes pour τa, τb et τc est la sous-algèbre de so(4) dont les
éléments sont les matrices
0 −a2 −a3 −a4
a2 0 −a4 a3
a3 a4 0 −a2
a4 −a3 a2 0
Cette sous-algèbre est isomorphe à sp(2). Ainsi (so(4), sp(2)) est un espace local (Z2)
symétrique déterminant une structure d’espace (Z2)
2-symétrique sur la shpère
S3 = SO(4)/Sp(2).
La structure d’espace symétrique sur S3 est liée à l’existence en tout point x ∈ S3 d’une
symétrie sx ∈ Diff(S
3) vérifiant s2x = Id et x est le seul point tel que sx(x
′) = x′ (seul
point fixe).
La structure d’espace (Z2)
2-symétrique de S3 donne l’existence d’un sous-groupe Γx de
Diff(S3) de ”symétries” de S3:
Γx = {id, sa,x, sb,x, sc,x}
s2x,a = s
= s2x,c = Id
sx,a ◦ sx,b = sx,b ◦ sx,a = sx,c
sx,b ◦ sx,c = sx,c ◦ sx,b = sx,a
sx,a ◦ sx,c = sx,c ◦ sx,a = sx,b
et x est le seul point fixe commun à toutes les symétries:
(sx,a(x
′) = sx,b(x
′) = sx,c(x
′) = x′) ⇔ x = x′.
Notons que chacune des symétries peut avoir un ensemble de points fixes non réduit à {x}
et donc chacune des symétries ne déterminent pas une structure d’espace symétrique sur
S3. Déterminons ces symétries.
Pour tout γ ∈ Γ = (Z2)
2 = {e, a, b, c}, considérons l’automorphisme de SO(4) donné par
ρa(A) = J
a AJa
ρb(A) = J
ρc(A) = ρa ◦ ρb(A)
ρe(A) = A
Si x = [A] désigne la classe dans l’espace homogène SO(4)/Sp(2) de la marice A ∈ SO(4),
alors sa,x[A] = [J
a AJa], sb,x[A] = [J
AJb], sc,x[A] = [J
c AJc], où Jc = JaJb. Ainsi
chacune des symétries a un grand cercle comme variété de points invariants.
2 Espaces riemanniens Γ-symétriques
Soit (M = G/H,Γ) un espace homogène Γ-symétrique.
Définition 1 Une métrique riemannienne g sur M est dite adaptée à la structure Γ-
symétrique si chacune des symétries sγ,x est une isométrie.
Si ▽g est la connexion de Levi-Civita de g, cette connexion ne cöıncide pas en général
avec la connexion canonique ▽ de l’espace homogène (Γ-symétrique). Ces deux connexions
cöıncident si et seulement si g est naturellement réductive.
Par exemple dans le cas de la sphère S3 considérée comme espace (Z2)
2-symétrique,
les métriques adaptées à cette structure sont les métriques sur SO(4)/Sp(2) invariantes
par SO(4) chacune étant définie par une forme bilinéaire symétrique B sur so(4) qui est
ad(sp(2))-invariante. Si so(4) = sp(2) ⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc est la décomposition (Z2)
2-graduée
correspondante, le fait de dire que sur S3 les symétries sγ,x sont des isométries est équivalent
à dire que les espaces ge, ga, gb, gc sont deux à deux orthogonaux pour B. Décrivons en détail
cette graduation:
sp(2) =
0 −a2 −a3 −a4
a2 0 −a4 a3
a3 a4 0 −a2
a4 −a3 a2 0
, ga =
0 0 0 x
0 0 −x 0
0 x 0 0
−x 0 0 0
0 y 0 0
−y 0 0 0
0 0 0 −y
0 0 y 0
et gc =
0 0 z 0
0 0 0 z
−z 0 0 0
0 −z 0 0
Si {A1, A2, A3, X, Y, Z} est une base adaptée à cette graduation et si {α1, α2, α3, ω1, ω2, ω3}
en est la base duale alors
B |ga⊕gb⊕gc= λ
1 + λ
2 + λ
La métrique correspondante sera naturellement réductive si et seulement si λ1 = λ2 = λ3
et dans ce cas-là elle correspond à la restriction de la forme de Killing Cartan.
3 Métriques adaptées à la structure (Z2)
2-symétrique de
SO(2m)/Sp(m)
3.1 La graduation (Z2)
2-symétrique
Considérons les matrices
−In 0
, Xa =
, Xb =
, Xc =
Soit M ∈ so(2m). Les applications
τa(M) = J
a MJa
τb(M) = J
τa(M) = J
c MJc
où Ja = Sm ⊗ Xa, Jb = Sm ⊗ Xb, Jc = Sm ⊗ Xc sont des automorphismes involutifs de
so(2m) qui commutent deux à deux. Ainsi {Id, τa, τb, τc} est un sous groupe de Aut(so(2m))
isomorphe à (Z2)
2. Il définit donc une (Z2)
2-graduation
so(2m) = ge ⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc
ge = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τb(M) = τc(M) = M}
ga = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τc(M) = −M, τb(M) = M}
gb = {M ∈ so(2m) / τb(M) = τc(M) = −M, τa(M) = M}
gc = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τb(M) = −M, τc(M) = M}
Ainsi
A1 B1 A2 B2
−B1 A1 B2 −A2
−tA2 −
tB2 A1 B1
tA2 −B1 A1
tA1 = −A1,
tB1 = B1
tA2 = A2,
tB2 = B2
X1 Y1 Z1 T1
Y1 −X1 −T1 Z1
tT1 −X1 −Y1
−tT1 −
tZ1 −Y1 X1
tX1 = −X1,
tY1 = −Y1
tZ1 = −Z1,
tT1 = T1
X2 Y2 Z2 T2
−Y2 X2 T2 Z2
−tZ2 −
tT2 −X2 −Y2
−tT2 −
tZ2 Y2 −X2
tX2 = −X2,
tY2 = Y2
tZ2 = −Z2,
tT2 = −T2
X3 Y3 Z3 T3
Y3 −X3 −T3 Z3
tT3 X3 Y3
−tT3 −
tZ3 Y3 −X3
tX3 = −X3,
tY3 = −Y3
tZ3 = Z3,
tT3 = −T3
Notons que dimge = m(2m+ 1), dimga = dimgb = dimgc = m(2m− 1).
Proposition 2 Dans cette graduation ge est isomorphe à sp(m) et toute (Z2)
2-graduation
de so(2m) telle que ge soit isomorphe à sp(m) est équivalente à la graduation ci-dessus.
En effet ge est simple de rang m et de dimension m(2m+1). La deuxième partie résulte
de la classification donnée dans [1] et [2].
Corollaire 3 Il n’existe, à équivalence près, qu’une seule structure d’espace homogène (Z2)
symétrique sur l’espace homogène compact SO(2m)/Sp(m).
Cette structure est associée à l’existence en tout point x de SO(2m)/Sp(m) d’un sous-
groupe de Diff(M) isomorphe à (Z2)
2. Notons Γx ce sous-groupe. Il est entièrement défini
dès que l’on connait Γ1̄ où 1̄ est la classe dans SO(2m)/Sp(m) de l’élément neutre 1 de
SO(2m). Notons
Γ1̄ =
se,1̄, sa,1̄, sb,1̄, sc,1̄
les symétries sγ,1̄(x) = π(ργ(A)) où π : SO(2m) → SO(2m)/Sp(m) est la submersion
canonique, x = π(A) et ργ est un automorphisme de SO(2m) dont l’application tangente
en 1 coincide avec τγ . Ainsi
ρa(A) = J
a AJa
ρb(A) = J
ρc(A) = J
c AJc
Si B ∈ π(A) alors il existe P ∈ Sp(m) tel que B = AP . On a J−1a BJa = J
a AJaJ
a PJa =
J−1a AJa car P est invariante pour tous les automorphismes ρa, ρb, ρc.
3.2 Structure métrique (Z2)
2-symétrique
Une métrique non dégénérée g invariante par SO(2m) sur SO(2m)/Sp(m) est adaptée à la
2-structure si les symétries sx,γ sont des isométries c’est-à-dire si les automorphismes
ργ induisent des isométries linéaires.
Ceci implique que g soit définie par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur
ga ⊕ gb ⊕ gc telle que les espaces ga, gb, gc soient deux à deux orthogonaux. Déterminons
toutes les formes bilinéaires B vérifiant les hypothèses ci-dessus. Une telle forme s’écrit donc
B = Ba +Bb +Bc
où Ba(resp. Bb, resp. Bc ) est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée invariante par
ge dont le noyau contient gb ⊕ gc (resp. ga ⊕ gc, resp. ga ⊕ gb).
3.3 Exemples
1) Dans le cas de la sphère SO(4)/Sp(2) la métrique adaptée à la structure (Z2)
2-symétrique
est définie par la forme bilinéaire B sur ga⊕gb⊕gc qui est ad(sp(2))-invariante. Nous avons
vu qu’une telle forme s’écrivait
B = λ21ω
1 + λ
2 + λ
Elle est définie positive si et seulement si les coefficients λi sont positifs ou nuls.
2) Considérons l’espace (Z2)
2-symétrique compact SO(8)/Sp(4). Afin de fixer les nota-
tions écrivons la (Z2)
2-graduation de so(8) ainsi:
X1 Y1 Z1 T1
Y1 −X1 −T1 Z1
tT1 −X1 −Y1
−tT1 −
tZ1 −Y1 X1
tX1 = −X1,
tY1 = −Y1
tZ1 = −Z1,
tT1 = T1
X2 Y2 Z2 T2
−Y2 X2 T2 Z2
−tZ2 −
tT2 −X2 −Y2
tZ2 Y2 −X2
tX2 = −X2,
tY2 = Y2
tZ2 = −Z2,
tT2 = −T2
X3 Y3 Z3 T3
Y3 −X3 −T3 Z3
tT3 X3 Y3
−tT3 −
tZ3 Y3 −X3
tX3 = −X3,
tY3 = −Y3
tZ3 = Z3,
tT3 = −T3
et pour la matrice Xi (resp. Yi, Zi, Ti) on notera Xi =
−xi 0
si elle est anti-
symétrique ou Xi =
x1i x
x2i x
si elle est symétrique, c’est à dire Xi =
Enfin on notera par les lettres αi, βi, γi, δi les formes linéaires duales des vecteurs définis
respectivement par les matrices Xi, Yi, Zi, Ti. Ainsi si Xi est antisymétrique, la forme duale
correspondante sera notée αi, et si Xi est symétrique, les formes duales α
i , α
i , α
i cor-
respondent aux vecteurs
. Ceci étant la forme B s’écrit
Ba+Bb+Bc où la forme Bγ a pour noyau gγ1 ⊕gγ2 avec gγ 6= gγ1 et gγ 6= gγ2 . Déterminons
Ba. Comme elle est invariante par ad(sp(2)) on obtient:
Ba(X1, Y1) = Ba(X1, Z1) = Ba(X1, T
1) = 0
Ba(Y1, Z1) = Ba(Y1, T
1) = 0
Ba(Z1, T
1) = Ba(T
1 ) = 0pour i = 1, 3
Ba(X1, X1) = Ba(Y1, Y1) = Ba(Z1, Z1) = Ba(T
1 , T
1 ) = 0
1 , T
1 ) = Ba(T
1 , T
Ba(X1, X1) = 2Ba(T
1 , T
1 )− 2Ba(T
1 , T
Ainsi la forme quadratique associée s’écrit
qga = λ1(α
1 + β
1 + γ
1 + (δ
2) + λ2((δ
2) + (δ31)
2) + (λ2 −
)((δ11)(δ
qga = λ1(α
1 + β
1 + γ
1 + (δ
2) + (
)(δ11 + δ
2 + (
)(δ11 − δ
De même nous aurons
qgb = λ3(α
2 + (β
2 + γ22 + δ
2) + (
)(β12 + β
2 + (
)(β12 − β
qgc = λ5(α
3 + β
3 + (γ
2 + δ23) + (
)(γ13 + γ
2 + (
)(γ13 − γ
Remarques. 1. La forme B définit une métrique riemannienne si et seulement si
λ2p >
λ2p−1
pour p = 1, 2, 3. Si cette contrainte est relachée, la forme B, supposée non dégénérée, peut
définir une métrique pseudo riemannienne sur l’espace (Z2)
2-symétrique. Nous verrons cela
dans le dernier paragraphe.
2. Considérons le sous-espace ge ⊕ ga. Comme [ga, ga] ⊂ ge c’est un sous-algèbre de
so(8) (ou plus généralement de g) admettant une stucture symétrique. La forme Ba induit
donc une structure riemannienne ou pseudo-riemannienne sur l’espace symétrique associé à
l’espace symétrique local (ge, ga). Dans l’exemple précédent ge ⊕ ga est la sous-algèbre de
so(8) donnée par les matrices:
X1 X3 X4 X5
−tX3 X2 X6 −
−tX4 −
tX6 X2
−tX5 X4 −
tX3 X2
tX1 = −X1,
tX2 = −X2
tX5 = X5,
tX6 = X6
Dans [3], on détermine les espaces réels en étudiant ces structures symétriques ge ⊕ ga
données par deux automorphismes commutant de g. En effet si g est simple réelle et si
σ est un automorphisme involutif de g, il existe une sous-algèbre compacte maximale g1
de g qui est invariante par σ et l’étude des espaces locaux symétriques (g, ge) se ramène
à l’étude des espaces locaux symétriques (g1, g11) où g1 est compacte. Dans ce cas g est
définie à partir de g1 par un automorphisme involutif τ commutant avec l’automorphisme
σ. Ici notre approche est en partie similaire mais le but est de regarder la structure des
espaces non symétrique associés aux paires (g, ge).
Dans le cas particulier de l’espace (Z2)
2-symétrique compact SO(8)/Sp(4) l’algèbre de
Lie ge⊕ga est isomorphe à so(4)⊕R où R désigne l’algèbre abélienne de dimension 1. Notons
également que chacun des espaces symétriques ge⊕ga, ge⊕gb, ge⊕gc est isomorphe à so(4)⊕
R. Mais ceci n’est pas général, les algèbres symétriques peuvent ne pas être isomorphes
ni même de même dimension. L’espace symétrique compact connexe associé est l’espace
homogène Su(4)/Sp(2) × T où T est le tore à une dimension. C’est un espace riemannien
symétrique compact non irréductible. La métrique qga définie précédemment correspond
à une métrique riemannienne ou pseudo riemannienne sur cet espace. La restriction au
premier facteur correspond à la métrique associée à la forme de Killing Cartan sur su(4).
Elle correspond à λ2 =
3.4 Cas général: métriques adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
Notations. Nous avons écrit une matrice générale de ga sous la forme (3.1). Si on note
(X1, Y1, Z1, T1) un élément de ga, on considère la base de ga, {X1,ij , Y1,ij , Z1,ij , T1,ij} cor-
respondant aux matrices élémentaires . La base duale sera notée (αa,ij , βa,ij , γa,ij , δa,ij).
Rappelons que X1, Y1, Z1 sont antisymétriques alors que T1 est symétrique. Les crochets
correspondent aux représentations de so(m
) sur lui-même ou de so(m
) sur l’espace des
matrices symétriques. On aura donc
qga = λ
(α2a,ij + β
a,ij + γ
a,ij) +
δ2a,ij) + λ
a,ii) + (λ
(δa,iiδa,jj).
Les formes qgb et qgc admettent une décomposition analogue, en tenant compte du fait que
dans gb ce sont les matrices Y2 qui sont symétriques et pour ga les matrices Z1 (3.1). On note
(αb,ij , βb,ij , γb,ij , δb,ij) la base duale de {X2,ij, Y2,ij , Z2,ij, T2,ij} et par (αc,ij , βc,ij, γc,ij , δc,ij)
la base duale de {X3,ij , Y3,ij , Z3,ij , T3,ij}.
Proposition 4 Toute métrique non dégénéré adaptée à la structure (Z2)
2-symétrique de
l’espace homogène SO(2m)/Sp(m) est définie à partir de la forme bilinéaire ad(ge)-invariante
sur ga ⊕ gb ⊕ gc B = qga + qgb + qgb avec
qga = λ
(α2a,ij + β
a,ij + γ
i6=j δ
a,ij) + λ
a,ii) + (λ
(δa,iiδa,jj)
qgb = λ
+ γ2ij) + δ
i6=j β
) + λb2(β
) + (λb2 −
(βb,iiβb,jj)
qgc = λ
(β2c,ij + γ
c,ij) + δ
c,ij +
i6=j α
c,ij) + λ
c,ii) + (λ
(αc,iiαc,jj)
4 Métriques pseudo-riemanniennes (Z2)
2-symétriques sur
SO(2m)/Sp(m)
4.1 Signature des formes qgγ
Soit γ ∈ {a, b, c}. Les valeurs propres de la forme qgγ sont
µ1,γ = λ
1 , µ2,γ = λ
2/2 + λ
1/4, µ3,γ = λ
r + 1
r − 1
où r est l’ordre commun des matrices symétriques X4, Y2, Z1. Ces valeurs propres sont
respectivement de multiplicité dimgγ − r, r − 1, 1. Le signe des valeurs propres µ2,γ et µ3,γ
est donc
µ2,γ > 0 ⇐⇒ λ
2 > −λ
µ3,γ > 0 ⇐⇒ λ
2 > −λ
2(r+1)
On en déduit, si s(q) désigne la signature de la forme quadratique q :
s(qgγ ) = (dimgγ , 0) ⇔ (λ
1 > 0, λ
2 > λ
2(r+1)
= (dimgγ − 1, 1) ⇔ (λ
1 > 0, −λ
1/2 < λ
2 < λ
2(r+1)
= (dimgγ − r, r) ⇔ (λ
1 > 0, λ
2 < −λ
= (r, dimgγ − r) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2 > −λ
= (1, dimgγ − 1) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2(r+1)
2 < −λ
= (0, dimgγ) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2 < λ
2(r+1)
Notons que µ2,γ = µ3,γ si et seulement si λ
1 = 2λ
4.2 Classification des métriques riemanniennes adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
Comme r = m
2+m−2
m2+m+2
on a le résultat suivant
Théorème 5 Toute métrique riemannienne sur SO(2m)/Sp(m) adaptée à la structure
2-symétrique est définie à partir de la forme bilinéaire sur gaø
plusgb ⊕ gc
B = qga(λ
1 , λ
2) + qgb(λ
2) + qgb(λ
1 > 0
2 > λ
2+m−2
2(m2+m+2
pour tout γ ∈ {a, b, c}.
Pour une telle métrique, la connexion de Levi-Civita ne cöıncide pas en général avec la
connexion canonique associée à la structure (Z2)
2-symétrique ( [2]). Ces deux connexions
sont les mêmes si et seulement si la mt́rique riemannienne est naturellement réductive. Elle
correspond donc à la restriction de la forme de Killing (au signe près) de SO(2m). Cette
métrique correspond à la forme bilinéaire B définie par les paramètres
λa1 = λ
1 = λ
1 = 2λ
2 = 2λ
2 = 2λ
4.3 Classification des métriques lorentziennes adaptées sur l’espace
SO(2m)/Sp(m)
Les métriques lorentziennes adaptées à la structure (Z2)
2-symétrique sont définies par les
formes bilinéaires B, définies dans la section précédente, dont la signature est (dim(ga) +
dim(gb) + dim(gc)− 1, 1). On a donc
Théorème 6 Toute métrique lorentzienne sur SO(2m)/Sp(m) adaptée à la structure (Z2)
symétrique est définie par l’une des formes bilinéaires
B = qga(λ
1 , λ
2) + qgb(λ
2) + qgb(λ
∀γ ∈ {a, b, c}, λ
1 > 0
∃γ0 ∈ {a, b, c} tel que − λ
1 /2 < λ
2 < λ
2(r+1)
∀γ 6= γ0, λ
2 > λ
2(r+1)
References
[1] Bahturin Y., Goze M., Γ-symmetric homogeneous spaces. Preprint Mulhouse (2006).
[2] Bouyakoub A., Goze M., Remm E. On Riemannian nonsymmetric spaces and flag
manifolds. Preprint Mulhouse (2006).
[3] Berger M., Les espaces symétriques non compacts, Ann.E.N.S. 74, 2, (1957), 85-177.
	Rappel. Espaces -symétriques
	Espaces riemanniens -symétriques
	Métriques adaptées à la structure (Z2)2-symétrique de SO(2m)/Sp(m)
	La graduation (Z2)2-symétrique
	Structure métrique (Z2)2-symétrique 
	Exemples
	Cas général: métriques adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
	Métriques pseudo-riemanniennes (Z2)2-symétriques sur SO(2m)/Sp(m) 
	Signature des formes qg 
	Classification des métriques riemanniennes adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
	Classification des métriques lorentziennes adaptées sur l'espace SO(2m)/Sp(m)

  In this work, we are interested in a non symmetric homogeneous space, namely
$SO(2m)/Sp(m)$. We show that this space admits a structure of $Z_2^2$-symmetric
space. We describe all the non degenerated metrics and classify the Riemannian
and Lorentzian ones.

L’espace Riemannien et pseudo-Riemannien
non symétrique SO(2m)/Sp(m).
Elisabeth REMM ∗- Michel GOZE †
Université de Haute Alsace, F.S.T.
4, rue des Frères Lumière - 68093 MULHOUSE - France
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53C30, Secondary 53C20, 53C50,
17Bxx
Mots clés. Homogeneous manifolds, Riemannian structures, non symmetric spaces.
Abstract
In this work, we are interested in a non symmetric homogeneous space, namely
SO(2m)/Sp(m). We show that this space admits a structure of (Z2)
2-symmetric
space. We describe all the non degenerated metrics and classify the Riemannian and
Lorentzian ones.
Dans ce travail, nous nous intéressons à un espace homogène non symétrique, à
savoir SO(2m)/Sp(m). Nous montrons que cet espace admet une structure d’espace
2-symétrique. Nous décrivons toutes les métriques non dégénérées et classons les
métriques riemanniennes et lorentziennes.
1 Rappel. Espaces Γ-symétriques
Soit Γ un groupe abélien fini. Un espace Γ-symétrique est un espace homogène M = G/H
où G est un groupe de Lie connexe et H un sous-groupe fermé de G tel qu’il existe un
homomorphisme injectif de groupes
ρ : γ ∈ Γ −→ ρ(γ) ∈ Aut(G),
tel que le groupe H vérifie (GΓ)1 ⊂ H ⊂ G
Γ où GΓ = {g ∈ G/∀γ ∈ Γ, ρ(γ)(g) = g} et (GΓ)1
sa composante connexe passant par l’élément neutre 1 de G. On a en particulier:
ρ(γ1) ◦ ρ(γ2) = ρ(γ1 · γ2),
ρ(eΓ) = Id où eΓ est l’élément neutre de Γ,
∀γ ∈ Γ, ρ(γ)(g) = g ⇐⇒ g ∈ H dès que H est connexe.
∗corresponding author: e-mail: E.Remm@uha.fr
†M.Goze@uha.fr.
http://arxiv.org/abs/0704.1541v1
Si M = G/H est un espace Γ-symétrique, alors l’algèbre de Lie g de G est Γ-graduée:
g = ⊕γ∈Γgγ
[gγ1 , gγ2 ] ⊂ gγ1·γ2
geΓ = h
où h est l’algèbre de Lie de H . On dit que la paire (g, h) est l’espace Γ-symétrique local de
G/H . Si G est simplement connexe alors toute algèbre de Lie Γ-graduée g = ⊕γ∈Γgγ définit
une paire (g, ge) qui est l’espace Γ-symétrique local d’un espace Γ-symétrique G/H .
Soit M = G/H un espace Γ-symétrique. En tout point x de M on peut définir un
sous-groupe Γx de Diff(M) isomorphe à Γ tel que x soit le seul point fixe commun à tous
les éléments sγ,x de Γx.
Les premiers exemples d’espaces Γ-symétriques lorsque Γ n’est pas cyclique correspon-
dent au cas où Γ = (Z2)
2. Rappelons que tout espace Z2-symétrique n’est rien d’autre qu’un
espace symétrique.
Exemple. La sphère S3.
Nous savons que la sphère S3 (ou plus généralement Sn) est munie d’une structure
d’espace symétrique. Il suffit de considérer un difféomorphisme de Sn sur l’espace homogène
SO(n+ 1)/SO(n). L’algèbre de Lie so(n+ 1) admet une Z2-graduation
so(n+ 1) = so(n)⊕m
où so(n) est l’ensemble des points fixes de l’automorphisme involutif
τa : so(n+ 1) → so(n+ 1)
donné par
τa(A) = SAS
avec S =
−1 0n
0n In
et In est la matrice identité d’ordre n.
Nous pouvons munir la sphère S3 d’une structure d’espace (Z2)
2- symétrique en con-
sidérant un difféomorphisme de S3 sur l’espace homogène SO(4)/Sp(2). Considérons sur
l’algèbre de Lie so(4) les automorphismes τa, τb, τc = τa ◦ τb donnés par
τa : M ∈ SO(4) 7→ J
a MJa
τb : M ∈ SO(4) 7→ J
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
et Jb =
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
La famille {Id, τa, τb, τc} détermine un sous-groupe de Aut(so(4)) isomorphe à (Z2)
2. Si
ga = {M ∈ so(4) / τa(M) = M, τb(M) = −M} ,
gb = {M ∈ so(4) / τa(M) = −M, τb(M) = M}
gc = {M ∈ so(4) / τa(M) = −M, τb(M) = −M} ,
on a la décomposition (Z2)
2-symétrique de so(4):
so(4) = sp(2)⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc.
En effet l’ensemble de points fixes pour τa, τb et τc est la sous-algèbre de so(4) dont les
éléments sont les matrices
0 −a2 −a3 −a4
a2 0 −a4 a3
a3 a4 0 −a2
a4 −a3 a2 0
Cette sous-algèbre est isomorphe à sp(2). Ainsi (so(4), sp(2)) est un espace local (Z2)
symétrique déterminant une structure d’espace (Z2)
2-symétrique sur la shpère
S3 = SO(4)/Sp(2).
La structure d’espace symétrique sur S3 est liée à l’existence en tout point x ∈ S3 d’une
symétrie sx ∈ Diff(S
3) vérifiant s2x = Id et x est le seul point tel que sx(x
′) = x′ (seul
point fixe).
La structure d’espace (Z2)
2-symétrique de S3 donne l’existence d’un sous-groupe Γx de
Diff(S3) de ”symétries” de S3:
Γx = {id, sa,x, sb,x, sc,x}
s2x,a = s
= s2x,c = Id
sx,a ◦ sx,b = sx,b ◦ sx,a = sx,c
sx,b ◦ sx,c = sx,c ◦ sx,b = sx,a
sx,a ◦ sx,c = sx,c ◦ sx,a = sx,b
et x est le seul point fixe commun à toutes les symétries:
(sx,a(x
′) = sx,b(x
′) = sx,c(x
′) = x′) ⇔ x = x′.
Notons que chacune des symétries peut avoir un ensemble de points fixes non réduit à {x}
et donc chacune des symétries ne déterminent pas une structure d’espace symétrique sur
S3. Déterminons ces symétries.
Pour tout γ ∈ Γ = (Z2)
2 = {e, a, b, c}, considérons l’automorphisme de SO(4) donné par
ρa(A) = J
a AJa
ρb(A) = J
ρc(A) = ρa ◦ ρb(A)
ρe(A) = A
Si x = [A] désigne la classe dans l’espace homogène SO(4)/Sp(2) de la marice A ∈ SO(4),
alors sa,x[A] = [J
a AJa], sb,x[A] = [J
AJb], sc,x[A] = [J
c AJc], où Jc = JaJb. Ainsi
chacune des symétries a un grand cercle comme variété de points invariants.
2 Espaces riemanniens Γ-symétriques
Soit (M = G/H,Γ) un espace homogène Γ-symétrique.
Définition 1 Une métrique riemannienne g sur M est dite adaptée à la structure Γ-
symétrique si chacune des symétries sγ,x est une isométrie.
Si ▽g est la connexion de Levi-Civita de g, cette connexion ne cöıncide pas en général
avec la connexion canonique ▽ de l’espace homogène (Γ-symétrique). Ces deux connexions
cöıncident si et seulement si g est naturellement réductive.
Par exemple dans le cas de la sphère S3 considérée comme espace (Z2)
2-symétrique,
les métriques adaptées à cette structure sont les métriques sur SO(4)/Sp(2) invariantes
par SO(4) chacune étant définie par une forme bilinéaire symétrique B sur so(4) qui est
ad(sp(2))-invariante. Si so(4) = sp(2) ⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc est la décomposition (Z2)
2-graduée
correspondante, le fait de dire que sur S3 les symétries sγ,x sont des isométries est équivalent
à dire que les espaces ge, ga, gb, gc sont deux à deux orthogonaux pour B. Décrivons en détail
cette graduation:
sp(2) =
0 −a2 −a3 −a4
a2 0 −a4 a3
a3 a4 0 −a2
a4 −a3 a2 0
, ga =
0 0 0 x
0 0 −x 0
0 x 0 0
−x 0 0 0
0 y 0 0
−y 0 0 0
0 0 0 −y
0 0 y 0
et gc =
0 0 z 0
0 0 0 z
−z 0 0 0
0 −z 0 0
Si {A1, A2, A3, X, Y, Z} est une base adaptée à cette graduation et si {α1, α2, α3, ω1, ω2, ω3}
en est la base duale alors
B |ga⊕gb⊕gc= λ
1 + λ
2 + λ
La métrique correspondante sera naturellement réductive si et seulement si λ1 = λ2 = λ3
et dans ce cas-là elle correspond à la restriction de la forme de Killing Cartan.
3 Métriques adaptées à la structure (Z2)
2-symétrique de
SO(2m)/Sp(m)
3.1 La graduation (Z2)
2-symétrique
Considérons les matrices
−In 0
, Xa =
, Xb =
, Xc =
Soit M ∈ so(2m). Les applications
τa(M) = J
a MJa
τb(M) = J
τa(M) = J
c MJc
où Ja = Sm ⊗ Xa, Jb = Sm ⊗ Xb, Jc = Sm ⊗ Xc sont des automorphismes involutifs de
so(2m) qui commutent deux à deux. Ainsi {Id, τa, τb, τc} est un sous groupe de Aut(so(2m))
isomorphe à (Z2)
2. Il définit donc une (Z2)
2-graduation
so(2m) = ge ⊕ ga ⊕ gb ⊕ gc
ge = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τb(M) = τc(M) = M}
ga = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τc(M) = −M, τb(M) = M}
gb = {M ∈ so(2m) / τb(M) = τc(M) = −M, τa(M) = M}
gc = {M ∈ so(2m) / τa(M) = τb(M) = −M, τc(M) = M}
Ainsi
A1 B1 A2 B2
−B1 A1 B2 −A2
−tA2 −
tB2 A1 B1
tA2 −B1 A1
tA1 = −A1,
tB1 = B1
tA2 = A2,
tB2 = B2
X1 Y1 Z1 T1
Y1 −X1 −T1 Z1
tT1 −X1 −Y1
−tT1 −
tZ1 −Y1 X1
tX1 = −X1,
tY1 = −Y1
tZ1 = −Z1,
tT1 = T1
X2 Y2 Z2 T2
−Y2 X2 T2 Z2
−tZ2 −
tT2 −X2 −Y2
−tT2 −
tZ2 Y2 −X2
tX2 = −X2,
tY2 = Y2
tZ2 = −Z2,
tT2 = −T2
X3 Y3 Z3 T3
Y3 −X3 −T3 Z3
tT3 X3 Y3
−tT3 −
tZ3 Y3 −X3
tX3 = −X3,
tY3 = −Y3
tZ3 = Z3,
tT3 = −T3
Notons que dimge = m(2m+ 1), dimga = dimgb = dimgc = m(2m− 1).
Proposition 2 Dans cette graduation ge est isomorphe à sp(m) et toute (Z2)
2-graduation
de so(2m) telle que ge soit isomorphe à sp(m) est équivalente à la graduation ci-dessus.
En effet ge est simple de rang m et de dimension m(2m+1). La deuxième partie résulte
de la classification donnée dans [1] et [2].
Corollaire 3 Il n’existe, à équivalence près, qu’une seule structure d’espace homogène (Z2)
symétrique sur l’espace homogène compact SO(2m)/Sp(m).
Cette structure est associée à l’existence en tout point x de SO(2m)/Sp(m) d’un sous-
groupe de Diff(M) isomorphe à (Z2)
2. Notons Γx ce sous-groupe. Il est entièrement défini
dès que l’on connait Γ1̄ où 1̄ est la classe dans SO(2m)/Sp(m) de l’élément neutre 1 de
SO(2m). Notons
Γ1̄ =
se,1̄, sa,1̄, sb,1̄, sc,1̄
les symétries sγ,1̄(x) = π(ργ(A)) où π : SO(2m) → SO(2m)/Sp(m) est la submersion
canonique, x = π(A) et ργ est un automorphisme de SO(2m) dont l’application tangente
en 1 coincide avec τγ . Ainsi
ρa(A) = J
a AJa
ρb(A) = J
ρc(A) = J
c AJc
Si B ∈ π(A) alors il existe P ∈ Sp(m) tel que B = AP . On a J−1a BJa = J
a AJaJ
a PJa =
J−1a AJa car P est invariante pour tous les automorphismes ρa, ρb, ρc.
3.2 Structure métrique (Z2)
2-symétrique
Une métrique non dégénérée g invariante par SO(2m) sur SO(2m)/Sp(m) est adaptée à la
2-structure si les symétries sx,γ sont des isométries c’est-à-dire si les automorphismes
ργ induisent des isométries linéaires.
Ceci implique que g soit définie par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur
ga ⊕ gb ⊕ gc telle que les espaces ga, gb, gc soient deux à deux orthogonaux. Déterminons
toutes les formes bilinéaires B vérifiant les hypothèses ci-dessus. Une telle forme s’écrit donc
B = Ba +Bb +Bc
où Ba(resp. Bb, resp. Bc ) est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée invariante par
ge dont le noyau contient gb ⊕ gc (resp. ga ⊕ gc, resp. ga ⊕ gb).
3.3 Exemples
1) Dans le cas de la sphère SO(4)/Sp(2) la métrique adaptée à la structure (Z2)
2-symétrique
est définie par la forme bilinéaire B sur ga⊕gb⊕gc qui est ad(sp(2))-invariante. Nous avons
vu qu’une telle forme s’écrivait
B = λ21ω
1 + λ
2 + λ
Elle est définie positive si et seulement si les coefficients λi sont positifs ou nuls.
2) Considérons l’espace (Z2)
2-symétrique compact SO(8)/Sp(4). Afin de fixer les nota-
tions écrivons la (Z2)
2-graduation de so(8) ainsi:
X1 Y1 Z1 T1
Y1 −X1 −T1 Z1
tT1 −X1 −Y1
−tT1 −
tZ1 −Y1 X1
tX1 = −X1,
tY1 = −Y1
tZ1 = −Z1,
tT1 = T1
X2 Y2 Z2 T2
−Y2 X2 T2 Z2
−tZ2 −
tT2 −X2 −Y2
tZ2 Y2 −X2
tX2 = −X2,
tY2 = Y2
tZ2 = −Z2,
tT2 = −T2
X3 Y3 Z3 T3
Y3 −X3 −T3 Z3
tT3 X3 Y3
−tT3 −
tZ3 Y3 −X3
tX3 = −X3,
tY3 = −Y3
tZ3 = Z3,
tT3 = −T3
et pour la matrice Xi (resp. Yi, Zi, Ti) on notera Xi =
−xi 0
si elle est anti-
symétrique ou Xi =
x1i x
x2i x
si elle est symétrique, c’est à dire Xi =
Enfin on notera par les lettres αi, βi, γi, δi les formes linéaires duales des vecteurs définis
respectivement par les matrices Xi, Yi, Zi, Ti. Ainsi si Xi est antisymétrique, la forme duale
correspondante sera notée αi, et si Xi est symétrique, les formes duales α
i , α
i , α
i cor-
respondent aux vecteurs
. Ceci étant la forme B s’écrit
Ba+Bb+Bc où la forme Bγ a pour noyau gγ1 ⊕gγ2 avec gγ 6= gγ1 et gγ 6= gγ2 . Déterminons
Ba. Comme elle est invariante par ad(sp(2)) on obtient:
Ba(X1, Y1) = Ba(X1, Z1) = Ba(X1, T
1) = 0
Ba(Y1, Z1) = Ba(Y1, T
1) = 0
Ba(Z1, T
1) = Ba(T
1 ) = 0pour i = 1, 3
Ba(X1, X1) = Ba(Y1, Y1) = Ba(Z1, Z1) = Ba(T
1 , T
1 ) = 0
1 , T
1 ) = Ba(T
1 , T
Ba(X1, X1) = 2Ba(T
1 , T
1 )− 2Ba(T
1 , T
Ainsi la forme quadratique associée s’écrit
qga = λ1(α
1 + β
1 + γ
1 + (δ
2) + λ2((δ
2) + (δ31)
2) + (λ2 −
)((δ11)(δ
qga = λ1(α
1 + β
1 + γ
1 + (δ
2) + (
)(δ11 + δ
2 + (
)(δ11 − δ
De même nous aurons
qgb = λ3(α
2 + (β
2 + γ22 + δ
2) + (
)(β12 + β
2 + (
)(β12 − β
qgc = λ5(α
3 + β
3 + (γ
2 + δ23) + (
)(γ13 + γ
2 + (
)(γ13 − γ
Remarques. 1. La forme B définit une métrique riemannienne si et seulement si
λ2p >
λ2p−1
pour p = 1, 2, 3. Si cette contrainte est relachée, la forme B, supposée non dégénérée, peut
définir une métrique pseudo riemannienne sur l’espace (Z2)
2-symétrique. Nous verrons cela
dans le dernier paragraphe.
2. Considérons le sous-espace ge ⊕ ga. Comme [ga, ga] ⊂ ge c’est un sous-algèbre de
so(8) (ou plus généralement de g) admettant une stucture symétrique. La forme Ba induit
donc une structure riemannienne ou pseudo-riemannienne sur l’espace symétrique associé à
l’espace symétrique local (ge, ga). Dans l’exemple précédent ge ⊕ ga est la sous-algèbre de
so(8) donnée par les matrices:
X1 X3 X4 X5
−tX3 X2 X6 −
−tX4 −
tX6 X2
−tX5 X4 −
tX3 X2
tX1 = −X1,
tX2 = −X2
tX5 = X5,
tX6 = X6
Dans [3], on détermine les espaces réels en étudiant ces structures symétriques ge ⊕ ga
données par deux automorphismes commutant de g. En effet si g est simple réelle et si
σ est un automorphisme involutif de g, il existe une sous-algèbre compacte maximale g1
de g qui est invariante par σ et l’étude des espaces locaux symétriques (g, ge) se ramène
à l’étude des espaces locaux symétriques (g1, g11) où g1 est compacte. Dans ce cas g est
définie à partir de g1 par un automorphisme involutif τ commutant avec l’automorphisme
σ. Ici notre approche est en partie similaire mais le but est de regarder la structure des
espaces non symétrique associés aux paires (g, ge).
Dans le cas particulier de l’espace (Z2)
2-symétrique compact SO(8)/Sp(4) l’algèbre de
Lie ge⊕ga est isomorphe à so(4)⊕R où R désigne l’algèbre abélienne de dimension 1. Notons
également que chacun des espaces symétriques ge⊕ga, ge⊕gb, ge⊕gc est isomorphe à so(4)⊕
R. Mais ceci n’est pas général, les algèbres symétriques peuvent ne pas être isomorphes
ni même de même dimension. L’espace symétrique compact connexe associé est l’espace
homogène Su(4)/Sp(2) × T où T est le tore à une dimension. C’est un espace riemannien
symétrique compact non irréductible. La métrique qga définie précédemment correspond
à une métrique riemannienne ou pseudo riemannienne sur cet espace. La restriction au
premier facteur correspond à la métrique associée à la forme de Killing Cartan sur su(4).
Elle correspond à λ2 =
3.4 Cas général: métriques adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
Notations. Nous avons écrit une matrice générale de ga sous la forme (3.1). Si on note
(X1, Y1, Z1, T1) un élément de ga, on considère la base de ga, {X1,ij , Y1,ij , Z1,ij , T1,ij} cor-
respondant aux matrices élémentaires . La base duale sera notée (αa,ij , βa,ij , γa,ij , δa,ij).
Rappelons que X1, Y1, Z1 sont antisymétriques alors que T1 est symétrique. Les crochets
correspondent aux représentations de so(m
) sur lui-même ou de so(m
) sur l’espace des
matrices symétriques. On aura donc
qga = λ
(α2a,ij + β
a,ij + γ
a,ij) +
δ2a,ij) + λ
a,ii) + (λ
(δa,iiδa,jj).
Les formes qgb et qgc admettent une décomposition analogue, en tenant compte du fait que
dans gb ce sont les matrices Y2 qui sont symétriques et pour ga les matrices Z1 (3.1). On note
(αb,ij , βb,ij , γb,ij , δb,ij) la base duale de {X2,ij, Y2,ij , Z2,ij, T2,ij} et par (αc,ij , βc,ij, γc,ij , δc,ij)
la base duale de {X3,ij , Y3,ij , Z3,ij , T3,ij}.
Proposition 4 Toute métrique non dégénéré adaptée à la structure (Z2)
2-symétrique de
l’espace homogène SO(2m)/Sp(m) est définie à partir de la forme bilinéaire ad(ge)-invariante
sur ga ⊕ gb ⊕ gc B = qga + qgb + qgb avec
qga = λ
(α2a,ij + β
a,ij + γ
i6=j δ
a,ij) + λ
a,ii) + (λ
(δa,iiδa,jj)
qgb = λ
+ γ2ij) + δ
i6=j β
) + λb2(β
) + (λb2 −
(βb,iiβb,jj)
qgc = λ
(β2c,ij + γ
c,ij) + δ
c,ij +
i6=j α
c,ij) + λ
c,ii) + (λ
(αc,iiαc,jj)
4 Métriques pseudo-riemanniennes (Z2)
2-symétriques sur
SO(2m)/Sp(m)
4.1 Signature des formes qgγ
Soit γ ∈ {a, b, c}. Les valeurs propres de la forme qgγ sont
µ1,γ = λ
1 , µ2,γ = λ
2/2 + λ
1/4, µ3,γ = λ
r + 1
r − 1
où r est l’ordre commun des matrices symétriques X4, Y2, Z1. Ces valeurs propres sont
respectivement de multiplicité dimgγ − r, r − 1, 1. Le signe des valeurs propres µ2,γ et µ3,γ
est donc
µ2,γ > 0 ⇐⇒ λ
2 > −λ
µ3,γ > 0 ⇐⇒ λ
2 > −λ
2(r+1)
On en déduit, si s(q) désigne la signature de la forme quadratique q :
s(qgγ ) = (dimgγ , 0) ⇔ (λ
1 > 0, λ
2 > λ
2(r+1)
= (dimgγ − 1, 1) ⇔ (λ
1 > 0, −λ
1/2 < λ
2 < λ
2(r+1)
= (dimgγ − r, r) ⇔ (λ
1 > 0, λ
2 < −λ
= (r, dimgγ − r) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2 > −λ
= (1, dimgγ − 1) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2(r+1)
2 < −λ
= (0, dimgγ) ⇔ (λ
1 < 0, λ
2 < λ
2(r+1)
Notons que µ2,γ = µ3,γ si et seulement si λ
1 = 2λ
4.2 Classification des métriques riemanniennes adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
Comme r = m
2+m−2
m2+m+2
on a le résultat suivant
Théorème 5 Toute métrique riemannienne sur SO(2m)/Sp(m) adaptée à la structure
2-symétrique est définie à partir de la forme bilinéaire sur gaø
plusgb ⊕ gc
B = qga(λ
1 , λ
2) + qgb(λ
2) + qgb(λ
1 > 0
2 > λ
2+m−2
2(m2+m+2
pour tout γ ∈ {a, b, c}.
Pour une telle métrique, la connexion de Levi-Civita ne cöıncide pas en général avec la
connexion canonique associée à la structure (Z2)
2-symétrique ( [2]). Ces deux connexions
sont les mêmes si et seulement si la mt́rique riemannienne est naturellement réductive. Elle
correspond donc à la restriction de la forme de Killing (au signe près) de SO(2m). Cette
métrique correspond à la forme bilinéaire B définie par les paramètres
λa1 = λ
1 = λ
1 = 2λ
2 = 2λ
2 = 2λ
4.3 Classification des métriques lorentziennes adaptées sur l’espace
SO(2m)/Sp(m)
Les métriques lorentziennes adaptées à la structure (Z2)
2-symétrique sont définies par les
formes bilinéaires B, définies dans la section précédente, dont la signature est (dim(ga) +
dim(gb) + dim(gc)− 1, 1). On a donc
Théorème 6 Toute métrique lorentzienne sur SO(2m)/Sp(m) adaptée à la structure (Z2)
symétrique est définie par l’une des formes bilinéaires
B = qga(λ
1 , λ
2) + qgb(λ
2) + qgb(λ
∀γ ∈ {a, b, c}, λ
1 > 0
∃γ0 ∈ {a, b, c} tel que − λ
1 /2 < λ
2 < λ
2(r+1)
∀γ 6= γ0, λ
2 > λ
2(r+1)
References
[1] Bahturin Y., Goze M., Γ-symmetric homogeneous spaces. Preprint Mulhouse (2006).
[2] Bouyakoub A., Goze M., Remm E. On Riemannian nonsymmetric spaces and flag
manifolds. Preprint Mulhouse (2006).
[3] Berger M., Les espaces symétriques non compacts, Ann.E.N.S. 74, 2, (1957), 85-177.
	Rappel. Espaces -symétriques
	Espaces riemanniens -symétriques
	Métriques adaptées à la structure (Z2)2-symétrique de SO(2m)/Sp(m)
	La graduation (Z2)2-symétrique
	Structure métrique (Z2)2-symétrique 
	Exemples
	Cas général: métriques adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
	Métriques pseudo-riemanniennes (Z2)2-symétriques sur SO(2m)/Sp(m) 
	Signature des formes qg 
	Classification des métriques riemanniennes adaptées sur SO(2m)/Sp(m)
	Classification des métriques lorentziennes adaptées sur l'espace SO(2m)/Sp(m)
