MÉMOIRE DE RECHERCHE
de Mathématiques Pures
intitulé
“LA FORMULE DE LIE - TROTTER
POUR LES
SEMI-GROUPES FORTEMENT CONTINUS”
par Ludovic Dan LEMLE
sous la direction de Gilles CASSIER
SOUTENU À L’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1
Le 4 juillet 2001
http://arXiv.org/abs/0704.1399v1
Remerciements.
Tout d’abord, je veux profiter de cette occasion pour présenter mes remer-
ciements à Monsieur Gilles Cassier de l’Université Claude Benard Lyon 1 pour
le choix du sujet de ce mémoire, ses suggestions et son aide constante. J’ai été très
enchanté de cette collaboration avec Monsieur Gilles Cassier.
De même, je veux exprimer ma reconnaissance à Monsieur Dan Timotin
de l’Institut de Mathématiques de l’Académie Roumaine de Bucharest pour ses
excellents conseils pendant son sejour à Lyon.
En même temps, il convient d’exprimer ma gratitude à Monsieur Dumitru
Gaşpar et à Monsieur Nicolae Suciu de l’Université de l’Ouest de Timişoara,
qui m’ont donné l’occasion d’étudier dans une très grande université européenne.
Finalement, je veux exprimer toute ma reconnaissance pour l’hospitalité et
l’amabilité avec lesquelles j’ai été accueilli par toutes les personnes que j’ai eu le
plaisir de connâıtre pendant mon stage à l’Université Claude Bernard Lyon 1.
Ludovic Dan LEMLE
Facultatea de Inginerie
Str. Revoluţiei Nr. 5
COD 2750 Hunedoara
ROMÂNIA
tel: +4 02 54 20 75 43
e-mail: lemledan@fih.utt.ro
Table des matières
1 Introduction 5
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les opérateurs dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Semi-groupes de classe C0 31
2.1 Définitions. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Propriétés générales des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Le théorème de Hille - Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 La représentation de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Conditions suffisantes d’appartenances à GI(M, 0) . . . . . . . . . . 70
2.6 Propriétés spectrales des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 C0-semigroupes avec propriétés spéciales 87
3.1 C0-semi-groupes différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 C0-semi-groupes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 C0-semi-groupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 La formule de Lie - Trotter 113
4.1 Le cas des semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . 113
4.2 Propriétés de convergence des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-groupes . . . . . . . . . . 127
4.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Introduction
1.1 Préliminaires
Dans la suite, nous noterons par E un espace de Banach sur le corps des
nombres complexes C et par B(E) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires
bornés dans E . Nous désignerons par I l’unité de B(E).
Pour un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E nous noterons par:
Im A = {Ax |x ∈ D(A)}
l’image de A et par:
Ker A = {x ∈ D(A) |Ax = 0}
le noyau de A.
L’opérateur A : D(A) ⊂ E −→ Im A est surjectif. Si Ker A = {0}, alors A est
injectif. Pour un opérateur bijectif, on peut définir l’opérateur inverse:
A−1 : D
⊂ E −→ E
par A−1y = x si Ax = y. Evidemment D (A−1) = Im A. Dans la suite nous
noterons par GL(E) l’ensemble des éléments inversibles de B(E). L’ensemble GL(E)
est un ensemble ouvert dans B(E) ([Is’81, Theorem 4.1.13, pag. 145]).
Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire. Pour tout n ∈ N, nous définissons:
n : D(An) −→ E
A0 = I , A1 = A , ..., An = A
6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
D(An) =
x ∈ D(An−1)
x ∈ D(A)
quel que soit n ∈ N.
Lemme 1.1.1 Soit f : [a, b] → E une fonction continue. Alors:
f(s) ds = f(a) .
Preuve Nous avons:
f(s) ds − f(a)
[f(s) − f(a)] ds
≤ sup
s∈[a,a+t]
‖f(s) − f(a)‖ .
L’égalité de l’énoncé résulte de la continuité de l’application f .
Lemme 1.1.2 Si A ∈ B(E) et ‖A‖ < 1, alors I − A ∈ GL(E) et:
(I − A)−1 =
Preuve Soit Yn = I + A + A
2 + . . . + An. Alors:
‖Yn+p − Yn‖ ≤
‖A‖n+1
1 − ‖A‖ −→ 0 pour n → ∞.
Par conséquent, (Yn)n∈N est une suite Cauchy. Mais B(E) est une algèbre de
Banach. La suite (Yn)n∈N est donc convergente. Notons Y ∈ B(E) sa limite.
De l’égalité (I − A)Yn = I − An+1, il résulte que limn→∞(I − A)Yn = I, d’où
(I − A)Y = I.
Nous obtenons Y (I − A) = I de façon analogue.
Finalement, on voit que I − A ∈ GL(E) et que (I − A)−1 =
Remarque 1.1.3 Si ‖I − A‖ < 1, alors A ∈ GL(E) et A−1 =
(I − A)n.
Définition 1.1.4 L’ensemble:
ρ(A) =
λ ∈ C
∣(λI − A)−1 est inversible dans ∈ B(E)
s’appelle l’ensemble résolvant de A ∈ B(E).
Proposition 1.1.5 Soit A ∈ B(E). Alors ρ(A) est un ensemble ouvert.
1.1. PRÉLIMINAIRES 7
Preuve Définissons l’application:
φ : C −→ B(E)
φ(λ) = λI − A .
Evidemment, φ est continue. Si λ ∈ ρ(A), alors λI − A ∈ GL(E) et par suite
ρ(A) = φ−1 (GL(E)). Comme GL(E) est un ensemble ouvert, on voit que ρ(A) est
ouvert.
Définition 1.1.6 L’application:
R( . ; A) : ρ(A) −→ B(E)
R(λ; A) = (λI − A)−1
s’appelle la résolvante de A.
Proposition 1.1.7 La résolvante d’un opérateur linéaire A ∈ B(E), a les pro-
priétés suivantes:
i) si λ, µ ∈ ρ(A), alors:
R(λ; A) − R(µ; A) = (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A) ;
ii) R( . ; A) est une application analytique sur ρ(A);
iii) si λ ∈ C et |λ| > ‖A‖, alors λ ∈ ρ(A) et nous avons:
R(λ; A) =
iv) Nous avons:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1
quels que soient n ∈ N∗ et λ ∈ ρ(A).
Preuve i) Nous avons successivement:
R(λ; A) − R(µ; A) = (λI − A)−1 − (µI − A)−1 =
= (λI − A)−1 (µI − A − λI + A) (µI − A)−1 =
= (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A)
8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
quels que soient λ, µ ∈ ρ(A).
ii) Soit λ0 ∈ ρ(A). Notons D
‖R(λ0;A)‖
le disque ouvert de centre λ0 et de
rayon 1
‖R(λ;A)‖
. Alors, pour λ ∈ D
‖R(λ0;A)‖
, nous avons:
λI − A = [I − (λ0 − λ)R(λ0; A)] (λ0I − A) .
Mais:
‖(λ0 − λ)R(λ0; A)‖ = |λ0 − λ|‖R(λ0; A)‖ < 1 .
Compte tenu du lemme 1.1.2, il résulte que:
I − (λ0 − λ)R(λ0; A) ∈ GL(E) ,
d’où λI − A ∈ GL(E) et:
(λI − A)−1 = (λ0I − A)−1[I − (λ0 − λ)R(λ0; A)]−1 =
= R(λ0; A)
(λ0 − λ)nR(λ0; A)n =
(−1)n(λ − λ0)nR(λ0; A)n+1 .
Donc R( . ; A) est analytique sur ρ(A).
iii) Soit λ ∈ C tel que |λ| > ‖A‖. Alors ‖λ−1A‖ < 1, d’où I − λ−1A ∈ GL(E). De
plus:
I − λ−1A
Par conséquent:
R(λ; A) = (λI − A)−1 = λ−1
I − λ−1A
L’assertion (iv) s’obtient par récurrence. Pour n = 1, nous avons:
R(λ; A) =
(λI − A)−1 = −(λI − A)−2 = R(λ; A)2 .
Supposons que pour k ∈ N, on ait:
R(λ; A) = (−1)kk!R(λ; A)k+1 .
Montrons que:
dλk+1
R(λ; A) = (−1)k+1(k + 1)!R(λ; A)k+2 .
1.1. PRÉLIMINAIRES 9
Nous avons:
dλk+1
R(λ; A) =
R(λ; A)
(−1)kk!(λI − A)−k−1
= (−1)kk!(−k − 1)(λI − A)−k−2 = (−1)k+1(k + 1)!R(λ; A)k+2
et par conséquent:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1 , (∀)n ∈ N∗.
Remarque 1.1.8 Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), il résulte que:
{λ ∈ C ||λ| > ‖A‖} ⊂ ρ(A).
Définition 1.1.9 L’ensemble σ(A) = C − ρ(A) s’appelle le spectre de A ∈ B(E).
Proposition 1.1.10 Soit A ∈ B(E). Alors:
i) σ(A) 6= ∅;
ii) σ(A) est un ensemble compact.
Preuve i) Supposons que σ(A) = ∅. Alors ρ(A) = C. Par conséquent, l’application
λ 7−→ (λI − A)−1 est définie sur C. De plus, pour |λ| > ‖A‖, nous avons:
R(λ; A) =
, (∀)λ ∈ ρ(A).
Il s’ensuit que:
|λ|→∞
R(λ; A) = 0.
Donc il existe M > 0 tel que ‖R(λ; A)‖ < M , (∀)λ ∈ C. Le théorème de Liouville
([DS’67, pag. 231]) implique que R(.; A) est constante sur C et que cette constante
ne peut être que 0. Donc (λI − A)−1 = 0 pour tout λ ∈ C, ce qui est absurde.
Par conséquent σ(A) 6= ∅.
ii) Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), nous obtenons que:
σ(A) ⊂ {λ ∈ C ||λ| ≤ ‖A‖} .
L’ensemble σ(A) est donc borné. Comme nous avons vu que σ(A) est un ensemble
fermé, il est donc compact.
10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Définition 1.1.11 Pour un opérateur linéaire A ∈ B(E), le nombre
r(A) = sup
λ∈σ(A)
s’appelle le rayon spectral de A.
Remarque 1.1.12 Evidemment, pour un opérateur A ∈ B(E), σ(A) est contenu
dans l’intérieur du cercle de centre O et de rayon r(A). De plus, on peut montrer
r(A) = lim
et on voit que r(A) ≤ ‖A‖.
Par la suite, nous présenterons quelques problèmes concernant la théorie spec-
trale pour un opérateur linéaire fermé A : D(A) ⊂ E −→ E .
Définition 1.1.13 L’ensemble:
ρ(A) = {λ ∈ C |λI − A : D(A) −→ E est opérateur bijectif}
s’appele l’ensemble résolvant de A.
Remarque 1.1.14 Il résulte du théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]) que l’opérateur:
(λI − A)−1 : E −→ E
est continu dans E .
Définition 1.1.15 L’application:
R( . ; A) : ρ(A) −→ B(E)
R(λ; A) = (λI − A)−1 , (∀)λ ∈ ρ(A)
s’appelle la résolvante de A.
Proposition 1.1.16 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E , un opérateur linéaire fermé.
Alors:
i) ρ(A) est un ensemble ouvert et R( . ; A) est une application analytique sur ρ(A);
ii) si λ, µ ∈ ρ(A), alors:
R(λ; A) − R(µ; A) = (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A) ;
1.1. PRÉLIMINAIRES 11
iii) Nous avons:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1
quels que soient n ∈ N et λ ∈ ρ(A).
Preuve Elle est analogue à celle de la proposition 1.1.7.
Définition 1.1.17 L’ensemble σ(A) = C − ρ(A) s’appelle le spectre de A.
Remarque 1.1.18 σ(A) est un ensemble fermé.
Remarque 1.1.19 Il existe des opérateurs fermés qui ont un spectre non borné.
Exemple 1.1.20 Prenons E = C[0,1] et considérons l’opérateur:
D : C1[0,1] −→ E
défini par:
Df = f
Dans ce cas, nous avons σ(D) = C.
Définition 1.1.21 Soit D ⊂ C un ensemble ouvert. Une application analytique:
D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E)
qui vérifie la propriété:
Rλ − Rµ = (µ − λ)RλRµ , (∀)λ, µ ∈ D,
s’appelle une pseudo-résolvante.
Théorème 1.1.22 Soit D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E) une pseudo-résolvante. Alors:
i) RλRµ = RµRλ, (∀)λ, µ ∈ D;
ii) KerRλ et ImRλ ne dépendent pas de λ ∈ D;
iii) Rλ est la résolvante d’un opérateur linéaire A fermé et défini sur un sous
espace dense si et seulement si KerRλ = {0} et ImRλ = E .
12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Preuve i) Soient λ, µ ∈ D. Alors, nous avons:
Rλ − Rµ = (µ − λ)RλRµ
Rµ − Rλ = (λ − µ)RµRλ ,
d’où:
0 = (µ − λ)RλRµ + (λ − µ)RµRλ .
Par suite, on a RλRµ = RµRλ.
ii) Soient µ ∈ D et x ∈ Ker Rµ. Alors Rµx = 0. Si λ ∈ D, on a:
Rλx − Rµx = (µ − λ)RλRµx .
Donc Rλx = 0. Par conséquent x ∈ Ker Rλ. Il s’ensuit que Ker Rλ ne dépend pas
de λ ∈ D.
Soient µ ∈ D et y ∈ Im Rµ. Alors il existe x ∈ E tel que Rµx = y. Si λ ∈ D,
nous avons:
Rλx − Rµx = (µ − λ)RλRµx .
Donc:
Rλx − y = (µ − λ)Rλy ,
ou bien:
y = Rλ (x + (λ − µ)y) .
Donc il existe u = x + (λ− µ)y ∈ E tel que y = Rλu. Par conséquent y ∈ Im Rλ.
Il s’ensuit que Im Rλ ne dépend pas de λ ∈ D.
iii) =⇒ Si Rλ est une résolvante pour un opérateur linéaire A fermé et défini sur
un sous espace dense, alors Rλ est une application bijective, d’où Ker Rλ = {0}
et Rλ = (λI − A)−1. Par suite, Rλ−1 = λI − A et D
= D(A) = E . Par
conséquent Im Rλ = D
= E .
⇐= Soient D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E) une pseudo-résolvante et λ ∈ D tel que Ker Rλ =
{0}. Alors pour y ∈ Im Rλ, il existe un seul xλ ∈ E tel que y = Rλxλ. Mais pour
λ, µ ∈ D, on a:
Rλy − Rµy = (µ − λ)RλRµy .
D’autre part:
Rλy − Rµy = RλRµxµ − RµRλxλ =
= RλRµxµ − RλRµxλ = RλRµ (xµ − xλ) .
1.2. LES OPÉRATEURS DISSIPATIFS 13
Donc xµ − xλ = (µ − λ)y, d’où λy − xλ = µy − xµ. Par conséquent, l’opérateur:
A : Im Rλ −→ E
Ay = λy − xλ = λy − Rλ−1y
est correctement défini (valeur indépendante de λ). De même D(A) = Im Rλ = E .
Puis que Rλ ∈ B(E), il résulte du théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]) que R−1λ est un opérateur fermé. Donc A = λI − Rλ−1 est un
opérateur fermé. De plus, on a:
−1y = xλ = λy − Ay = (λI − A)y .
Par conséquent Rλ = (λI − A)−1 est la résolvante de A.
1.2 Les opérateurs dissipatifs
Dans la suite, nous notons par E∗ l’espace dual du E et par ‖ . ‖∗ sa norme.
Pour tout x ∈ E , nous désignerons par J (x) l’ensemble:
x∗ ∈ E∗
∣〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2∗
Définition 1.2.1 On dit que l’opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E est dissi-
patif si pour tout x ∈ D(A), il existe x∗ ∈ J (x) tel que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.
Dans la proposition suivante nous présentons une caractérisation très utile pour
les opérateurs dissipatifs.
Proposition 1.2.2 Un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E est dissipatif si et
seulement si pour tout α > 0 on a:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A).
Preuve =⇒ Supposons que A : D(A) ⊂ E −→ E est un opérateur dissipatif. Pour
tout x ∈ D(A), il existe x∗ ∈ J (x) tel que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0. Si α > 0, alors nous
14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
avons:
‖(αI − A)x‖ ‖x‖ = ‖(αI − A)x‖ ‖x∗‖∗ ≥
≥ |〈(αI − A)x, x∗〉| ≥ Re〈(αI − A)x, x∗〉 =
= Re〈αx, x∗〉 − Re〈Ax, x∗〉 ≥ α‖x‖2 ,
d’où il résulte l’inégalité de l’énoncé.
⇐= Soit A : D(A) ⊂ E −→ E tel que pour tout α > 0 et x ∈ D(A) on ait:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ .
Soit y∗α ∈ J ((αI − A)x). On a donc:
〈(αI − A)x, y∗α〉 = ‖(αI − A)x‖
= ‖y∗α‖
d’où:
‖y∗α‖∗ = ‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ .
Nous définissons:
z∗α =
‖y∗α‖∗
et désignons par B1(E∗) la boule unité de E∗ et par ∂B1(E∗) sa frontière. Il est
évident que z∗α ∈ ∂B1(E∗). De plus:
α‖x‖ ≤ ‖(αI − A)x‖ = 1‖y∗α‖∗
〈(αI − A)x, y∗α〉 =
= 〈(αI − A)x, z∗α〉
et par conséquent:
α‖x‖ ≤ Re〈(αI − A)x, z∗α〉 = Re〈αx, z∗α〉 − Re〈Ax, z∗α〉 ≤
≤ α |〈x, z∗α〉| − Re〈Ax, z∗α〉 ≤ α‖x‖ ‖z∗α‖∗ − Re〈Ax, z
= α‖x‖ − Re〈Ax, z∗α〉 .
Il s’ensuit que:
Re〈Ax, z∗α〉 ≤ 0 ,
d’où:
−Re〈Ax, z∗α〉 ≤ |〈Ax, z∗α〉| ≤ ‖Ax‖ ‖z∗α‖∗ = ‖Ax‖
et par conséquent:
α‖x‖ ≤ αRe〈x, z∗α〉 + ‖Ax‖ .
1.2. LES OPÉRATEURS DISSIPATIFS 15
Donc:
Re〈x, z∗α〉 ≥ ‖x‖ −
‖Ax‖ .
D’autre part, en appliquant le théorème d’Alaoglu ([DS’67, Theorem V.4.2, pag.
424]), on voit que la boule unité B1(E∗) est faiblement compacte. Par conséquent,
il existe une sous suite
⊂ (z∗α)α>0 et il existe z∗ ∈ B1(E∗) tel que:
z∗β −→ z∗ si β → ∞
pour la topologie faible. Comme on a
Re〈Ax, z∗β〉 ≤ 0
Re〈x, z∗β〉 ≥ ‖x‖ −
‖Ax‖ ,
on obtient par passage à limite en β → ∞:
Re〈Ax, z∗〉 ≤ 0
Re〈x, z∗〉 ≥ ‖x‖ .
Mais comme:
Re〈x, z∗〉 ≤ |〈x, z∗〉| ≤ ‖x‖‖z∗‖∗ ≤ ‖x‖ ,
il s’ensuit que:
〈x, z∗〉 = ‖x‖ .
Si nous prenons x∗ = ‖x‖z∗, il vient:
〈x, x∗〉 = 〈x, ‖x‖z∗〉 = ‖x‖〈x, z∗〉 = ‖x‖2 .
Il en résulte que x∗ ∈ J (x). Finalement, on voit que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0, d’où l’on
tire que l’opérateur A est dissipatif.
Proposition 1.2.3 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur dissipatif. S’il existe
α0 > 0 tel que Im (α0I − A) = E , alors pour tout α > 0 on a Im (αI − A) = E .
Preuve Soient A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur dissipatif et α0 > 0 tel que
Im (α0I − A) = E . Compte tenu de la proposition 1.2.2, on voit que:
‖(α0I − A)x‖ ≥ α0‖x‖ , (∀)x ∈ D(A)
16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et comme Im (α0I − A) = E , il en résulte que α0I − A ∈ GL(E) et α0 appartient
donc bien à ρ(A). Soit (xn)n∈N ⊂ D(A) tel que xn −→ x et Axn −→ y si n → ∞.
Il est clair que:
(α0I − A)xn −→ α0x − y si n → ∞
et par conséquent:
xn = R(α0; A)(α0I − A)xn −→ R(α0; A)(α0x − y) si n → ∞.
Par suite, nous obtenons:
R(α0; A)(α0x − y) = x .
Comme Im R(α0; A) ⊂ D(A), on voit que x ∈ D(A). De plus:
(α0I − A)x = α0x − y ,
d’où il résulte que Ax = y. Par conséquent, A est un opérateur fermé.
Nous désignerons par A l’ensemble:
{α ∈]0,∞) |Im(αI − A) = E } .
Soit α ∈ A. Comme A est un opérateur dissipatif, on voit que:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A),
d’où il résulte que α ∈ ρ(A). Puisque ρ(A) est un ensemble ouvert, il existe un
voisinage V de α contenu dans ρ(A). Comme V∩]0,∞) ⊂ A, on voit que A est un
ensemble ouvert.
Soit (αn)n∈N ⊂ A tel que αn −→ α si n → ∞. Comme Im (αnI − A) = E ,
(∀)n ∈ N, on observe que pour tout y ∈ E , il existe xn ∈ D(A) tel que:
(αnI − A)xn = y , (∀)n ∈ N,
et par suite, il existe C > 0 tel que:
‖xn‖ ≤
‖y‖ ≤ C , (∀)n ∈ N.
Par conséquent:
αn‖xn − xm‖ ≤ ‖(αmI − A)(xn − xm)‖ =
= ‖(αmI − A)xn − (αmI − A)xm‖ = ‖αmxn − Axn − y‖ =
= ‖αmxn − αnxn + αnxn − Axn − y‖ =
= ‖(αm − αn)xn + y − y‖ = |αm − αn|‖xn‖ ≤ C|αm − αn| ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 17
d’où il résulte que (xn)n∈N est une suite de Cauchy. Puisque E est un espace de
Banach, il s’ensuit que (xn)n∈N converge vers un point x ∈ E . Alors, on en déduit
Axn −→ αx − y si n → ∞
et comme A est un opérateur fermé, on obtient x ∈ D(A) et αx − Ax = y. Par
suite, Im (αI − A) = E et α ∈ A. Donc A est fermé dans ]0,∞) et comme il
existe α0 ∈ A, nous déduisons que A =]0,∞).
1.3 Semi-groupes uniformément continus
Dans la suite nous présenterons quelques problèmes concernant les semi-
groupes uniformément continus d’opérateurs linéaires bornés sur un espace de Ba-
nach E .
Définition 1.3.1 On appelle semi-groupe uniformément continu d’opérateurs li-
néaires bornés sur E une famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) vérifiant les propriétés sui-
vantes:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 ‖T (t) − I‖ = 0.
Définition 1.3.2 On appelle générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément
continu {T (t)}
t≥0 l’opérateur linéaire:
A : E −→ E ,
A = lim
T (t) − I
Lemme 1.3.3 Soit A ∈ B(E). Alors
est un semi-groupe uniformément
continu d’opérateurs linéaires bornés sur E dont le générateur infinitésimal est A.
Preuve Soit A ∈ B(E) et [0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E) une application définie par:
T (t) = etA =
18 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
La série du membre de droite de l’égalité est convergente pour la topologie de la
norme de B(E). De plus, il est évident que T (0) = I et T (t + s) = T (t)T (s) quels
que soient t, s ≥ 0.
Compte tenu de l’inégalité:
‖T (t) − I‖ ≤ et‖A‖ − 1 , (∀)t ≥ 0,
il résulte:
‖T (t) − I‖ = 0 .
Donc la famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe uniformément continu.
D’autre part, puisque:
T (t) − I
etA − I − tA
− I − tA
I + tA +
− I − tA
tk‖A‖k
1 + t‖A‖ +
tk‖A‖k
− 1 − t‖A‖
et‖A‖ − 1 − t‖A‖
et‖A‖ − 1
t‖A‖ ‖A‖ − ‖A‖ −→ 0 si t ց 0,
nous obtenons:
T (t) − I
= A .
Le semi-groupe {T (t)}
t≥0 admet donc pour générateur infinitésimal l’opérateur
Lemme 1.3.4 Etant donné un opérateur A ∈ B(E), il existe un unique semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0 tel que:
T (t) = etA , (∀)t ≥ 0.
Preuve Si {S(t)}
t≥0 est un autre semi-groupe uniformément continu engendré par
A, nous avons:
T (t) − I
S(t) − I
= A .
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 19
Par conséquent:
T (t) − S(t)
= 0 .
Pour a ∈]0,∞), nous considérons l’intervalle Ia = [0, a[. Comme {T (t)}t≥0 et
{S(t)}
t≥0 sont des semi-groupes uniformément continus, nous voyons que les ap-
plications:
t 7−→ ‖T (t)‖
t 7−→ ‖S(t)‖
sont continues. Il existe ca ∈ [1,∞) tel que:
{‖T (t)‖, ‖S(t)‖} ≤ ca .
Si ε > 0, il existe t0 ∈ Ia, t0 > 0, tel que:
T (t) − S(t)
, (∀)t ∈]0, t0[.
Soit t ∈ Ia arbitrairement fixé et n ∈ N tel que tn ∈]0, t0[. Alors:
T (t) − S(t) =
(n − 1) t
(n − 1) t
(n − 2) t
(n − 2) t
− · · · − T
(n − k) t
(n − k − 1) t
(k + 1)
(n − k − 1) t
quel que soit t ∈ Ia.
De l’inégalité:
nous obtenons:
20 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et par suite:
‖T (t) − S(t)‖ ≤
ca < ε , (∀)t ∈ Ia.
Puisque ε > 0 est arbitraire, il en résulte que T (t) = S(t), pour tout t ∈ Ia. Mais,
comme a ∈]0,∞) est aussi arbitraire, il s’ensuit que T (t) = S(t), (∀)t ∈ [0,∞).
Présentons maintenant la condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur
soit le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu.
Théorème 1.3.5 Un opérateur A : E −→ E est le générateur infinitésimal d’un
semi-groupe uniformément continu si et seulement si A est un opérateur linéaire
borné.
Preuve =⇒ Soit A : E −→ E le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uni-
formément continu {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E). Alors:
‖T (t) − I‖ = 0 .
L’application [0,∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ B(E) est continue et par suite
T (s) ds ∈ B(E).
Avec le lemme 1.1.1, on voit que:
T (s) ds = T (0) = I .
Il existe donc τ > 0 tel que:
T (t) dt − I
< 1 .
Compte tenu de la remarque 1.1.3, l’élément 1
T (t)dt est inversible, d’où il s’ensuit
T (t) dt est inversible. Nous avons:
T (h) − I
T (t) dt =
T (t + h) dt −
T (t) dt
T (u) du − 1
T (u) du .
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 21
Avec le lemme 1.1.1, nous obtenons:
T (h) − I
T (t) dt =
= lim
T (u) du − 1
T (u) du
= T (τ) − T (0) = T (τ) − I ,
d’où:
T (h) − I
= [T (τ) − I]
T (t) dt
Par conséquent, le générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continue
{T (t)}
t≥0 est l’opérateur:
A = [T (τ) − I]
T (t) dt
∈ B(E) .
⇐= Cette implication est évidente compte tenu du lemme 1.3.3 et du lemme 1.3.4.
Corollaire 1.3.6 Soient {T (t)}
t≥0 un semi-groupe uniformément continu et A
son générateur infinitésimal. Alors:
i) il existe ω ≥ 0 tel que ‖T (t)‖ ≤ eωt , (∀)t ≥ 0;
ii) l’application [0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E) est différentiable pour la topologie de
la norme et:
dT (t)
= AT (t) = T (t)A , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Nous avons:
‖T (t)‖ =
∥ ≤ et‖A‖ , (∀)t ≥ 0.
Pour ω = ‖A‖, nous obtenons l’inégalité:
‖T (t)‖ ≤ eωt , (∀)t ≥ 0.
L’assertion (ii) provient des égalités suivantes:
A = lim
T (t) − I
= lim
T (t) − T (0)
t − 0 ,
22 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
nous en déduisons que l’application considérée est dérivable au point t = 0.
Soient t > 0 et h > 0. Alors:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
T (h) − I
‖T (t)‖ ≤
T (h) − I
et‖A‖ ,
d’où:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
= 0 .
Par conséquent, l’application considérée dans l’énoncé est dérivable à droite et on
d+T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Soient t > 0 et h < 0 tel que t + h > 0. Alors:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
I − T (−h)
− AT (−h)
‖T (t + h)‖ ≤
T (−h) − I
−h − AT (−h)
e(t+h)‖A‖ ,
d’où il vient:
T (t + h) − T (t)
= AT (t) .
Par conséquent l’application considérée dans l’énoncé est dérivable à gauche et
nous avons:
d−T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Finalement on voit que l’application considérée dans l’énoncé est dérivable sur
[0,∞) et nous avons:
dT (t)
= AT (t) , (∀)t ≥ 0.
On vérifie que AT (t) = T (t)A , (∀)t ≥ 0.
Maintenant abordons quelques problèmes de théorie spectrale pour un semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0 ayant pour le générateur infinitésimal
l’opérateur A ∈ B(E).
Théorème 1.3.7 Soient {T (t)}
un semi-groupe uniformément continu et A
son générateur infinitésimal. Si λ ∈ C tel que Reλ > ‖A‖, alors l’application:
Rλ : E −→ E ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 23
Rλx =
e−λtT (t)x dt
définit un opérateur linéaire borné, λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout x ∈ E .
Preuve Soit λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖. Avec le corollaire 1.3.6 (i), on voit que:
‖T (t)‖ ≤ e‖A‖t , (∀)t ≥ 0.
De même, nous avons:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−(Reλ−‖A‖)t‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
e−(Reλ−‖A‖)t dt =
Reλ − ‖A‖ .
L’application Rλ est donc bornée et il est clair que Rλ est linéaire.
Pour x ∈ E , nous avons:
RλAx =
T (t)Ax dt =
−λt d
T (t)x dt =
= −x + λ
e−λtT (t)x dt = −x + λRλx ,
d’où x = Rλ(λI − A)x, pour tout x ∈ E . Par conséquent Rλ(λI − A) = I.
De même, nous avons:
ARλx = A
e−λtT (t)x dt =
e−λtAT (t)x dt =
e−λtT (t)Ax dt = RλAx , (∀)x ∈ E .
Par suite, on a ARλx = RλAx = −x + λRλx, pour tout x ∈ E . Il en résulte que
(λI − A)Rλ = I.
Par conséquent λ ∈ ρ(A) et Rλ = R(λ; A).
Définition 1.3.8 L’opérateur Rλ : E −→ E défini par:
Rλx =
e−λtT (t)x dt , λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖,
s’appelle la transformée de Laplace du semi-groupe uniformément continu {T (t)}
ayant pour générateur infinitésimal l’opérateur A.
24 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Remarque 1.3.9 On a:
{λ ∈ C |Reλ > ‖A‖} ⊂ ρ(A)
σ(A) ⊂ {λ ∈ C |Reλ ≤ ‖A‖} .
De même, nous obtenons:
‖R(λ; A)‖ ≤ 1
Reλ − ‖A‖
pour tout λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖.
Pour obtenir des représentations de type Riesz-Dunford et de type Bromwich,
on a besoin d’une classe spéciale de contours de Jordan.
Définition 1.3.10 Un contour de Jordan lisse et fermé qui entoure σ(A), s’appelle
un contour de Jordan A-spectral s’il est homotope avec un cercle Cr de centre O
et de rayon r > ‖A‖.
Théorème 1.3.11 (Riesz-Dunford) Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Si ΓA est un contour de Jordan A-
spectral, alors nous avons:
T (t) =
eλtR(λ; A) dλ , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soit ΓA un contour de Jordan A-spectral. Alors ΓA est homotope avec
un cercle Cr de centre O et de rayon r > ‖A‖. Par conséquent, on a:
R(λ; A) dλ =
R(λ; A) dλ , (∀)t ≥ 0.
Compt tenu de la proposition 1.1.7 (iii), on voit que:
R(λ; A) =
uniformément par rapport à λ sur les sous-ensembles compacts de {λ ∈ C| |λ| >
‖A‖}, particulièrement sur le cercle Cr. On a:
R(λ; A) dλ =
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 25
Appliquons la formule de Cauchy ([DS’67, pag. 228]) avec la fonction f(λ) = eλt,
nous obtenons:
, (∀)n ∈ N .
Par conséquent:
eλtR(λ; A) dλ =
= etA = T (t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 1.3.12 (Bromwich) Soient {T (t)}
t≥0 un semi-groupe uniformément
continu et A son générateur infinitésimal. Si a > ‖A‖, alors nous avons:
T (t) =
a+i∞∫
eztR(z; A) dz
et l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t sur les intervalles com-
pacts de ]0,∞).
Preuve Soit a > ‖A‖, pour R > 2a nous considérons le contour de Jordan lisse
et fermé
ΓR = Γ
R ∪ Γ”R
R = {a + iτ |τ ∈ [−R, R]}
Γ”R =
a + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Remarquons que pour z ∈ Γ′R on a:
|z| = |a + iτ | > a > ‖A‖ .
De même, si z ∈ Γ”R, alors nous avons:
|z| = |a + (cos ϕ + i sin ϕ)| = |a − [−R(cos ϕ + i sin ϕ)]| ≥
≥ ||a| − | − R(cos ϕ + i sin ϕ)|| = |a − R| = R − a > ‖A‖ .
Par conséquent, z ∈ ΓR implique z ∈ ρ(A). De plus, on voit que ΓR est homotope
au cercle C de centre O et de rayon R− a. Il s’ensuit donc que ΓR est un contour
de Jordan A-spectral et avec le théorème de Riesz-Dunford nous obtenons:
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
26 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
pour tout R > 2a. Il en résulte:
T (t) = I
t(R) + I
t (R) , (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a, où nous avons noté
t(R) =
eztR(z; A) dz
I”t (R) =
eztR(z; A) dz .
Montrons que
eztR(z; A) dz = 0 , (∀)t ≥ 0.
Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), on voit que:
R(z; A) =
la série de la partie droite de l’égalité étant uniformément convergente par rapport
à z sur les sous-ensembles compacts de {z ∈ C| |z| > ‖A‖}, particulièrement sur
Γ”R. Il s’ensuit que:
I”(R) =
An dz
, (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a. Notons
At(R) =
Bt(R) =
Pour l’intégrale At(R), avec la paramétrisation suivante
z = a + R(cos ϕ + i sin ϕ) , ϕ ∈
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 27
on obtient:
At(R) =
et(a+R cos ϕ+i sinϕ)
R(− sin ϕ + i cos ϕ) dϕ
etR cos ϕeitR sinϕ
(cos ϕ + i sin ϕ) dϕ
Il en résulte que:
‖At(R)‖ ≤
∣etR cos ϕ
∣eitR sin ϕ
|z| | cos ϕ + i sin ϕ| dϕ ≤
tR cos ϕ 1
R − a dϕ =
R − ae
etR cos ϕ dϕ
parce que z ∈ Γ”R implique
|z| = |a + R(cos ϕ + i sin ϕ)| > R − a
|z| <
R − a .
De l’inégalité R > 2a, on obtient 2R − 2a > R, d’où
R − a < 2 .
Par conséquent:
‖At(R)‖ ≤
etR cos ϕ dϕ , (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a. Soient 0 ≤ t1 < t2 et t ∈ [t1, t2]. Pour tout R > 2a et tout
etR cos ϕ ≤ 1 .
Comme
etR cos ϕ = 0 ,
28 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
avec le théorème de la convergence bornée de Lebesgue il résulte que
etR cos ϕ dϕ = 0
et par conséquent
At(R) = 0
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2].
Soit maintenant l’intégrale
Bt(R) =
Pour tout t ∈ [t1, t2] et tout R > 2a on a:
etR cos ϕ ≤ 1 , (∀)ϕ ∈
On voit que:
(R − a)n+1
etR cos ϕ dϕ ≤ πeta R
(R − a)n+1 .
Puisque R > 2a > a + ‖A‖, il vient:
‖Bt(R)‖ ≤
R − a
R − a
et comme
R − a < 1 ,
il en résulte que:
‖Bt(R)‖ ≤ eta
R − a
R − a − ‖A‖ ,
quel que soit R > 2a. Donc
Bt(R) = 0 ,
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2]. Il s’ensuit donc que
I”t (R) = 0 ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 29
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2].
Par conséquent:
T (t) = lim
eztR(z; A) dz =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; A) dz ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de ]0,∞).
Nous finissons cette section avec le théorème spectral pour les semi-groupes
uniformément continus.
Théorème 1.3.13 (spectral mapping) Soit A le générateur infinitésimal du
semi-groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Alors:
etσ(A) = σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Preuve Montrons que etσ(A) ⊂ σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Soit ξ ∈ σ(A). Pour λ ∈ ρ(A), l’application:
gξ(λ) =
eξt − eλt
ξ − λ
est analytique dans un voisinage de σ(A). Compte tenu du théorème 1.3.11, on
voit que:
eξtI − eAt = (ξI − A)gξ(A) .
Si eξt ∈ ρ (T (t)), alors il existe Q =
eξtI − T (t)
∈ B(E). Par conséquent:
I = (ξI − A)gξ(A)Q ,
d’où il résulte que ξ ∈ ρ(A), ce qui est absurde. Donc eξt ∈ σ (T (t)) et par suite
etσ(A) ⊂ σ (T (t)).
Montrons que σ (T (t)) ⊂ etσ(A).
Soit µ ∈ σ (T (t)). Supposons par absurde que µ 6∈ etσ(A). Alors pour λ ∈ ρ(A),
l’application:
h(λ) =
µ − eλt
est définie sur un voisinage du σ(A). Donc:
µI − etA
30 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et il en résulte que µ ∈ ρ (T (t)) et cela est absurde. Par suite µ ∈ etσ(A), d’où
σ (T (t)) ⊂ etσ(A). Finalement on voit que:
etσ(A) = σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0 .
1.4 Notes
Les notions préséntées dans cet chapitre se trouvent en majorité des travaux concernant les semi-
groupes d’opérateurs linéaires. Pour les propriétés de la pseudo-résolvante, on peut consulter
[Pa’83-1, pag. 36].
De même, on peut trouver les opérateurs dissipatifs dans [Pa’83-1, pag. 13], [Da’80,
pag. 52] et [Ah’91, pag. 30]. Une jolie généralisation pour ces opérateurs est donnée dans
[CHADP’87, pag. 61].
Le théorème 1.3.5 a été montré pour la première fois indépendemment par Yosida dans
[Yo’36] et par Nathan dans [Na’35]. Nous avons consulté aussi les preuves données par Pazy
dans [Pa’83-1, pag. 2], Ahmed dans [Ah’91, pag. 4] et Davies dans [Da’80, pag. 19]. Compte
tenu du ce théorème, on peut introduire la transformée de Laplace pour un semi-groupe uni-
formément continu et on peut montrer le théorème 1.3.11 et le théorème 1.3.13 comme des
applications du calcul fonctionnel de Dunford ([DS’67, pag. 568]). Pour le théorème 1.3.12 on
peut consulter [Pa’83-1, pag. 25].
Chapitre 2
Semi-groupes de classe C0
2.1 Définitions. Propriétés élémentaires
Dans le cadre de ce paragraphe, nous introduisons une classe plus générale
que la classe des semi-groupes uniformément continus et nous étudions leurs pro-
priétés élémentaires.
Définition 2.1.1 On appelle C0-semi-groupe (ou semi-groupe fortement continu)
d’opérateurs linéaires bornés sur E une famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) vérifiant les
propriétés suivantes:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 T (t)x = x , (∀)x ∈ E .
Définition 2.1.2 On appelle générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0,
un opérateur A défini sur l’ensemble:
D(A) =
x ∈ E
T (t)x − x
existe
Ax = lim
T (t)x − x
, (∀)x ∈ D(A).
Remarque 2.1.3 Il est clair que le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe
est un opérateur linéaire.
Remarque 2.1.4 Puisque:
‖T (t)x − x‖ ≤ ‖T (t) − I‖ ‖x‖
32 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
pour tout x ∈ E et tout t ≥ 0, il en résulte que les semi-groupes uniformément
continus sont C0-semi-groupes. Mais il existe des C0-semi-groupes qui ne sont pas
uniformément continus, comme nous pouvons le voir dans les exemples suivants.
Exemple 2.1.5 Soit:
C[0,∞) = {f : [0,∞) → R| f est uniformément continue et bornée} .
Avec la norme ‖f‖C[0,∞) = supα∈[0,∞) |f(α)|, l’espace C[0,∞) devient un espace de
Banach. Définissons:
(T (t)f) (α) = f(t + α) , (∀)t ≥ 0 et α ∈ [0,∞).
Evidemment T (t) est un opérateur linéaire, et, en plus, on a:
i) (T (0)f) (α) = f(0 + α) = f(α). Donc T (0) = I;
ii) (T (t + s)f) (α) = f(t + s + α) = (T (t)f) (s + α) = (T (t)T (s)f) (α), (∀)f ∈
C[0,∞). Donc T (t + s) = T (t)T (s), (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 ‖T (t)f − f‖C[0,∞) = limtց0
supα∈[0,∞) |f(t + α) − f(α)|
= 0, (∀)f ∈
C[0,∞).
De même, nous avons:
‖T (t)f‖C[0,∞) = sup
α∈[0,∞)
|(T (t)f) (α)| = sup
α∈[0,∞)
|f(t + α)| =
= sup
β∈[t,∞)
|f(β)| ≤ sup
β∈[0,∞)
|f(β)| = ‖f‖C[0,∞) , (∀)t ≥ 0.
Donc ‖T (t)‖ = 1, (∀)t ≥ 0. Par conséquent {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe
d’opérateurs linéaires bornés sur C[0,∞), nommé le C0-semi-groupe de translation
à droite.
Soit A : D(A) ⊂ C[0,∞) −→ C[0,∞) le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0. Si f ∈ D(A), alors nous avons:
Af(α) = lim
T (t)f(α) − f(α)
= lim
f(α + t) − f(α)
= f ′(α) ,
uniformément par rapport à α. Par conséquent:
D(A) ⊂ {f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} .
Si f ∈ C[0,∞) tel que f ′ ∈ C[0,∞), alors:
T (t)f − f
− f ′
C[0,∞)
= sup
α∈[0,∞)
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 33
Mais:
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
f(α + t) − f(α)
− f ′(α)
f(τ)|α+tα − f ′(α)
[f ′(τ) − f ′(α)] dτ
|f ′(τ) − f ′(α)| dτ −→ 0
uniformément par rapport à α pour t ց 0. Par suite:
T (t)f − f
− f ′
C[0,∞)
−→ 0 si t ց 0,
d’où f ∈ D(A) et:
{f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} ⊂ D(A) .
Par conséquent D(A) = {f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} et Af = f ′. Comme cet
opérateur est non borné, compte tenu du théorème 1.3.5, il ne peut pas engendrer
un semi-groupe uniformément continu.
Exemple 2.1.6 Considérons l’espace Lp]0,∞), 1 ≤ p < ∞, avec la norme:
‖f‖p =
|f(α)|p dα
Avec cette norme, Lp]0,∞), 1 ≤ p < ∞, est un espace de Banach. Définissons:
(T (t)f) (α) = f(t + α) , (∀)t ≥ 0 et α ∈]0,∞).
Nous avons:
‖T (t)f‖
|(T (t)f) (α)|p dα
|f(α + t)|p dα
|f(β)|p dβ
|f(β)|p dβ
= ‖f‖p .
Donc ‖T (t)‖ = 1, (∀)t ≥ 0.
Il est évident que T (0) = I et T (t + s) = T (t)T (s), (∀)t, s ≥ 0.
34 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
De plus, on a:
‖T (t)f − f‖
= lim
|(T (t)f) (α) − f(α)|p dα
= lim
|f(α + t) − f(α)|p dα
= 0 .
Par suite {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe d’opérateurs linéaires bornés sur Lp]0,∞).
Soit A : D(A) ⊂ Lp]0,∞) −→ Lp]0,∞) le générateur infinitésimal du C0-semi-
groupe {T (t)}
t≥0. Si f ∈ D(A), alors nous avons:
Af(α) = lim
T (t)f(α) − f(α)
= lim
f(α + t) − f(α)
= f ′(α)
uniformément par rapport à α. Par conséquent:
D(A) ⊂ {f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)} .
Si f ∈ Lp]0,∞) tel que f ′ ∈ Lp]0,∞), alors on a:
T (t)f − f
− f ′
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
Mais:
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
f(α + t) − f(α)
− f ′(α)
′(α)τ
[f ′(τ) − f ′(α)] dτ
uniformément par rapport à α si t ց 0. Alors:
T (t)f − f
− f ′
−→ 0 si t ց 0
et on voit que:
{f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)} ⊂ D(A) .
Par conséquent:
D(A) = {f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)}
et Af = f ′.
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 35
Théorème 2.1.7 Soit {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) une famille ayant les propriétés:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0.
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
iii’) limtց0 T (t) = I dans la topologie forte;
iii”) limtց0 T (t) = I dans la topologie faible.
Preuve iii′) =⇒ iii′′) Cette implication est évidente.
iii′′) =⇒ iii′) Supposons que:
T (t) = I
dans la topologie faible. Alors, pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ E∗ on a:
〈T (t)x, x∗〉 = 〈x, x∗〉 .
Si t0 > 0, alors pour tout h > 0, nous obtenons:
|〈T (t0 + h)x, x∗〉 − 〈T (t0)x, x∗〉| =
= |〈T (t0)T (h)x, x∗〉 − 〈T (t0)x, x∗〉| =
= |〈T (t0)[T (h)x − x], x∗〉| −→ 0 si h ց 0,
quel que soit x ∈ E et x∗ ∈ E∗. Par suite, l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est faiblement continue à droite sur [0,∞) et on voit qu’elle est faiblement continue
sur ]0,∞). En particulier, elle est faiblement mesurable sur ]0,∞). Pour x ∈ E
arbitrairement fixé, considérons l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
et désignons par:
Im T ( . )x = {T (t)x|t ∈ [0,∞)}
son image. Supposons que l’ensemble:
Kx = {T (q)x|q ∈ Q∗+} ⊂ Im T ( . )x
n’est pas dense dans Im T ( . )x. Alors, il existe t0 ∈ [0,∞) tel que T (t0)x ∈
Im T ( . )x et:
d (T (t0)x,Kx) > 0 .
36 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
En appliquant un corollaire du théorème de Hahn-Banach ([DS’67, Corollary
II.3.13, pag. 64]), on voit qu’il existe x∗0 ∈ E∗ tel que:
〈kn, x∗0〉 = 0 , (∀)kn ∈ Kx
〈T (t0)x, x∗0〉 = 1 .
Soit tn ∈ Q∗+ tel que limn→∞ tn = t0. Alors, compte tenu de la continuité faible de
l’application considérée, il vient:
0 = lim
〈T (tn) x, x∗0〉 = 〈T (t0)x, x∗0〉 = 1 ,
ce qui est absurde. Il s’ensuit que:
Kx = Im T ( . )x ,
pour tout x ∈ E . Par conséquent, l’application considérée a une image séparable.
En appliquant le théorème de Pettis ([Hi’48, Theorem 3.2.2, pag. 36]), il vient
que cette application est fortement mesurable sur ]0,∞). Alors, il résulte que pour
tout xn ∈ E avec ‖x‖ ≤ 1, l’application:
‖T ( . )‖ = sup
‖T ( . )xn‖ < ∞
est mesurable sur ]0,∞). Montrons que l’application ‖T ( . )‖ est bornée sur les
intevalles [α, β] ⊂]0,∞). Compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67,
Theorem II.1.11, pag. 52]), il est suffisant de montrer que ‖T ( . )x‖ est bornée sur
les intervalles [α, β], pour tout x ∈ E . Soient α, β ∈]0,∞). Supposons qu’il existe
x0 ∈ E tel que pour tout M > 0 on puisse trouver s ∈ [α; β] tel que:
‖T (s)x0‖ > M .
Donc il existe tn ∈ [α, β], n ∈ N, tel que:
tn = τ ∈ [α, β]
‖T (tn)x0‖ > n , (∀)n ∈ N.
D’autre part, l’application ‖T ( . )x0‖ est mesurable sur ]0,∞). Donc il existe une
constante K > 0 et un ensemble mesurable F ⊂ [0, τ ] avec m(F) > τ
tel que:
‖T (t)x0‖ ≤ K .
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 37
Si nous considérons:
En = {tn − η|η ∈ F ∩ [0, tn]} ,
on voit que En est un ensemble mesurable et pour n suffisamment grand, nous
obtenons:
m(En) ≥
Alors, pour tout η ∈ F ∩ [0, tn], n ∈ N, nous avons:
n ≤ ‖T (tn)x0‖ ≤ ‖T (tn − η)‖ ‖T (η)x0‖ ≤ ‖T (tn − η)‖K ,
d’où:
‖T (t)‖ ≥ n
, (∀)t ∈ En.
Si nous notons:
E = lim sup
alors on voit que:
m(E) ≥ τ
‖T (t)‖ = ∞ , (∀)t ∈ E
ce qui est absurde. Par conséquent, il existe M > 0 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ∈ [α, β].
Soient α, β, t, t0 ∈]0,∞) tel que:
0 < α < t < β < t0
et ε > 0 tel que β < t0 − ε. Alors pour tout x ∈ E , l’application:
[α, β] ∋ t 7−→ T (t0)x = T (t)T (t0 − t)x ∈ E
ne dépend pas de t, donc elle est Bôchner intégrable par rapport à t ∈ [α, β] et
pour tout x ∈ E on a:
(β − α) [T (t0 ± ε)x − T (t0)x] dt =
T (t) [T (t0 ± ε − t)x − T (t0 − t)x] dt ,
38 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
d’où:
|β − α|‖T (t0 ± ε)x − T (t0)x‖ ≤
‖T (t)‖ ‖T (t0 ± ε − t)x − T (t0 − t)x‖ dt ≤
t0−α∫
‖T (τ ± ε)x − T (τ)x‖ dτ −→ 0 si ε ց 0 ,
compte tenu de [Hi’48, théorème 3.6.3, pag.46]. Il s’ensuit que l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est fortement continue sur ]0,∞).
En particulier, pour x ∈ E arbitrairement fixé, l’ensemble:
X = {T (t)x|t ∈ [0, 1]}
est séparable. Donc il contient une partie dénombrable dense:
X0 = {T (tn)x|tn ∈]0, 1[, n ∈ N} .
Par conséquent, il existe une suite (xn)n∈N ⊂ X0 tel que:
‖xn − x‖ = lim
‖T (tn)x − x‖ = 0 .
Comme:
‖T (t)x − x‖ ≤
≤ ‖T (t)x − T (t + tn)x‖ + ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ + ‖T (tn)x − x‖ ≤
≤ ‖T (t)‖ ‖x − T (tn)x‖ + ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ + ‖T (tn)x − x‖ ≤
t∈[0,1]
‖T (t)‖ + 1
+ ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ ,
il vient:
T (t)x = x , (∀)x ∈ E
et par conséquent:
T (t) = I
dans la topologie forte.
Dans la suite, nous considérons la topologie forte pour étudier les propriétés
des C0-semi-groupes.
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 39
Théorème 2.1.8 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe d’opérateurs linéaires bornés.
Alors:
i) il existe τ > 0 et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ∈ [0, τ ];
ii) il existe ω ∈ R et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Supposons que pour tout τ > 0 et tout M ≥ 1, il existe t ∈ [0, τ ] tel que
‖T (t)‖ > M . Pour τ = 1
et M = n ∈ N∗, il existe tn ∈
tel que ‖T (tn)‖ >
n. Donc la suite (‖T (tn)‖)n∈N∗ est non bornée. Si la suite (‖T (tn)x‖)n∈N∗ était
bornée pour tout x ∈ E , alors compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus
([DS’67, Theorem II.1.11, pag. 52]), il en résulterait que (‖T (tn)‖)n∈N∗ serait
bornée, mais cela contredit l’affirmation précédente. Donc il existe x0 ∈ E tel que
(‖T (tn)x0‖)n∈N∗ soit non bornée. D’autre part, compte tenu de la définition 2.1.1
(iii), il résulte que limn→∞ ‖T (tn)x0‖ = x0 et cela est contradictoire.
ii) Pour h > 0 et t > h, nous noterons m =
∈ N∗. Compte tenu du théorème
de division avec reste, il existe r ∈ [0, h) tel que t = mh + r. Alors:
‖T (t)‖ = ‖T (mh)T (r)‖ ≤ ‖T (h)‖m ‖T (r)‖ ≤
≤ MmM ≤ Me th ln M .
L’inégalité de l’énoncé en résulte en prenant ω = 1
ln M .
Corollaire 2.1.9 Si {T (t)}
est un C0-semi-groupe, alors l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est continue sur [0,∞), quel que soit x ∈ E .
Preuve Soient t0, h ∈ [0,∞) et x ∈ E .
Si t0 < h, nous avons:
‖T (t0 + h)x − T (t0)x‖ ≤ ‖T (t0)‖ ‖T (h)x − x‖ ≤
≤ Meωt0 ‖T (h)x − x‖ .
40 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Si t0 > h, nous obtenons:
‖T (t0 − h)x − T (t0)x‖ ≤ ‖T (t0 − h)‖ ‖T (h)x − x‖ ≤
≤ Meω(t0−h) ‖T (h)x − x‖ .
La continuité forte en t0 de l’application considérée dans l’énoncé est évidente.
Définition 2.1.10 On dit que le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est uniformément borné
s’il existe M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.1.11 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe pour lequel il existe ω ∈ R
et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Alors la famille {S(t)}
t≥0 ⊂ B(E), où:
S(t) = e−ωtT (t) , (∀)t ≥ 0,
est un C0-semi-groupe ayant la propriété:
‖S(t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
De plus, si A est le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe {T (t)}t≥0, alors le
C0-semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour générateur infinitésimal l’opérateur B = A−ωI.
Preuve Dans les conditions du théorème, il est évident que {S(t)}
t≥0 est un C0-
semi-groupe et:
‖S(t)‖ =
∥eωtT (t)
∥ ≤ e−ωtMeωt = M , (∀)t ≥ 0.
Donc {S(t)}
est un C0-semi-groupe uniformément borné. Soit A le générateur
infinitésimal du C0-semi-groupe {T (t)}t≥0. Si B est le générateur infinitésimal du
C0-semi-groupe {S(t)}t≥0, alors pour tout x ∈ D(A), nous avons:
S(h)x − x
= lim
e−ωhT (h)x − x
= lim
e−ωh − 1
T (h)x
+ lim
T (h)x − x
= −ωx + Ax = (A − ωI)x ,
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 41
d’où il résulte que x ∈ D(B) et Bx = (A − ωI)x. Soit x ∈ D(A). Alors, nous
obtenons:
T (h)x − x
= lim
eωhS(h)x − x
= lim
eωh − 1
+ lim
S(h)x − x
= (ωI + B)x ,
d’où il vient que x ∈ D(A) et Ax = (ωI + B)x. Par conséquent D(A) = D(B) et
B = A − ωI.
Remarque 2.1.12 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe pour lequel il existe ω ∈ R
et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Si ω < 0, alors nous obtenons:
‖T (t)‖ ≤ Meωt ≤ M , (∀)t ≥ 0.
Par conséquent on peut considérer que ω ≥ 0.
Nous noterons par SG(M, ω) l’ensemble des C0-semi-groupes {T (t)}t≥0 ⊂ B(E)
pour lesquels il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0 .
Avec le théorème 2.1.11 nous voyons que le passage entre la classe SG(M, ω) avec
ω > 0 et la classe SG(M, 0) est très simple.
2.2 Propriétés générales des C0-semi-groupes
Proposition 2.2.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitési-
mal. Si x ∈ D(A), alors T (t)x ∈ D(A) et on a l’égalité:
T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
42 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Preuve Soit x ∈ D(A). Alors pour tout t ≥ 0, nous avons:
T (t)Ax = T (t) lim
T (h)x − x
= lim
T (h)T (t)x − T (t)x
Donc T (t)x ∈ D(A) et on a T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
Remarque 2.2.2 On voit que:
T (t)D(A) ⊆ D(A) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.2.3 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est dérivable sur [0,∞), pour tout x ∈ D(A) et nous avons:
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0;
ii) T (t)x − x =
T (s)Ax ds , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Soient x ∈ D(A) , t ≥ 0 et h > 0. Alors:
T (t + h)x − T (t)x
− T (t)Ax
≤ ‖T (t)‖
T (h)x − x
≤ Meωt
T (h)x − x
Par conséquent:
T (t + h)x − T (t)x
= T (t)Ax ,
d’où:
T (t)x = T (t)Ax , (∀)t ≥ 0.
Si t − h > 0, alors nous avons:
T (t − h)x − T (t)x
−h − T (t)Ax
≤ ‖T (t − h)‖
T (h)x − x
− Ax + Ax − T (h)Ax
≤ Meω(t−h)
T (h)x − x
+ ‖T (h)Ax − Ax‖
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 43
Par suite:
T (t − h)x − T (t)x
−h = T (t)Ax
T (t)x = T (t)Ax , (∀)t ≥ 0.
Il s’ensuit que l’application considérée dans l’énoncé est dérivable sur [0,∞), quel
que soit x ∈ D(A). De plus, on a l’égalité:
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
ii) Si x ∈ D(A), alors nous avons:
T (s)x = T (s)Ax , (∀)s ∈ [0, t] , t ≥ 0,
d’où:
T (s)Ax ds =
T (s) ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0.
On peut obtenir une formule de représentation de type Taylor pour les C0-
semi-groupes avec la généralisation du théorème 2.2.3 (ii).
Théorème 2.2.4 (Taylor) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur
infinitésimal. Alors:
T (t)x =
Aix +
(n − 1)!
(t − u)n−1T (u)Anx du
quels que soient x ∈ D(An), t ≥ 0 et n ∈ N∗.
Preuve Compte tenu du théorème 2.2.3 (ii), pour x ∈ D(A) et t ≥ 0 on a:
T (t)x = x +
T (u)Ax du .
Supposons que pour t ≥ 0 et x ∈ D(Ak) nous ayons:
T (t)x =
(k − 1)!
(t − u)k−1T (u)Akx du .
Si x ∈ D(Ak+1), alors x ∈ D(Ak) et Akx ∈ D(A). Il en résulte que:
T (t)x =
(k − 1)!
(t − s)k−1T (s)Anx ds .
44 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Mais:
T (s)x = x +
T (u)Ax du .
Il vient:
(t − s)k−1T (s)Akx = (t − s)k−1Akx + (t − s)k−1
T (u)Ak+1x du
et par conséquent:
(t − s)k−1T (s)Akx ds =
(t − s)k−1Akx ds +
(t − s)k−1
T (u)Ak+1x du ds =
Akx +
(t − s)k−1T (u)Ak+1x ds du =
Akx +
(t − u)k
T (u)Ak+1x du .
Nous en déduisons que:
T (t)x =
Aix +
(k − 1)!
Akx +
(t − u)kT (u)Ak+1x du
(t − u)kT (u)Ak+1x du ,
d’où il résulte l’égalité considérée dans l’énoncé.
Lemme 2.2.5 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe. Alors:
T (s)x ds = T (t)x
quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.
Preuve L’égalité de l’énoncé résulte de l’évaluation:
T (s)x ds − T (t)x
(T (s) − T (t))x ds
≤ sup
s∈[t,t+h]
‖T (s)x − T (t)x‖
et de la continuité de l’application [0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E .
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 45
Proposition 2.2.6 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Si x ∈ E , alors
T (s)x ds ∈ D(A) et on a l’égalité:
T (s)x ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soient x ∈ E et h > 0. Alors:
T (h) − I
T (s)x ds =
T (s + h)x ds − 1
T (s)x ds =
T (u)x du − 1
T (s)x ds =
T (u)x du − 1
T (u)x du − 1
T (u)x du =
T (u)x du − 1
T (u)x du .
Par pasage à limite pour h ց 0 et compte tenu du lemme 2.2.5, nous obtenons:
T (s)x ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0
T (s)x ds ∈ D(A).
Théorème 2.2.7 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
i) D(A) = E ;
ii) A est un opérateur fermé.
Preuve i) Soient x ∈ E et tn > 0 , n ∈ N, tel que limn→∞ tn = 0. Alors:
T (s)x ds ∈ D(A) , (∀)n ∈ N,
d’où:
xn = lim
T (s)x ds = T (0)x = x .
46 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Par conséquent D(A) = E .
ii) Soit (xn)n∈N ⊂ D(A) tel que limn→∞ xn = x et limn→∞ Axn = y. Alors:
‖T (s)Axn − T (s)y‖ ≤ ‖T (s)‖ ‖Axn − y‖ ≤ Meωt ‖Axn − y‖
quel que soit s ∈ [0, t]. Par suite T (s)Axn −→ T (s)y, pour n → ∞, uniformément
par rapport à s ∈ [0, t].
D’autre part, puisque xn ∈ D(A), nous avons:
T (t)xn − xn =
T (s)Axn ds ,
d’où:
[T (t)xn − xn] = lim
T (s)Axn ds ,
ou bien:
T (t)x − x =
T (s)y ds .
Finalement, on voit que:
T (t)x − x
= lim
T (s)y ds = y .
Par suite x ∈ D(A) et Ax = y, d’où il résulte que A est un opérateur fermé.
Nous montrons maintenant un résultat qui concerne l’unicité de l’engendrement
pour les C0-semi-groupes.
Théorème 2.2.8 (l’unicité de l’engendrement) Soient deux C0-semi-groupes
{T (t)}
et {S(t)}
ayant pour générateur infinitésimal le même opérateur A.
Alors:
T (t) = S(t) , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soient t > 0 et x ∈ D(A). Définissons l’application:
[0, t] ∋ s 7−→ U(s)x = T (t − s)S(s)x ∈ D(A).
Alors:
U(s)x =
T (t − s)S(s)x + T (t − s) d
S(s)x =
= −AT (t − s)S(s)x + T (t − s)AS(s)x = 0
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 47
quel que soit x ∈ D(A). Par suite U(0)x = U(t)x, pour tout x ∈ D(A), d’où:
T (t)x = S(t)x , (∀)x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Puisque D(A) = E et T (t), S(t) ∈ B(E), pour tout t ≥ 0, il résulte que:
T (t)x = S(t)x , (∀)t ≥ 0 et x ∈ E ,
ou bien:
T (t) = S(t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.2.9 Soient {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe, A son générateur infinité-
simal et F ∈ B(E). Alors T (t)F = FT (t) pour tout t ≥ 0 si et seulement si:
FD(A) ⊆ D(A)
FAx = AFx , (∀)x ∈ D(A).
Preuve =⇒ Soit F ∈ B(E) tel que:
T (t)F = FT (t) , (∀)t ≥ 0
et x ∈ D(A). Alors, nous avons:
T (t)Fx − Fx
= lim
FT (t)x − Fx
= lim
T (t)x − x
Par conséquent Fx ∈ D(A) et on a AFx = FAx, pour tout x ∈ D(A).
⇐= Soit F ∈ B(E) tel que:
FD(A) ⊆ D(A)
AFx = FAx , (∀)x ∈ D(A).
Pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ D(A), définissons l’application:
[0, t] ∋ s 7−→ U(s)x = T (t − s)FT (s)x ∈ D(A) .
Alors nous avons:
U(s)x =
T (t − s)FT (s)x + T (t − s) d
FT (s)x =
= −AT (t − s)FT (s)x + T (t − s)FAT (s)x = 0 ,
48 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
compte tenu de la commutativité. Par conséquent:
U(0)x = U(t)x , (∀)x ∈ D(A),
d’où on obtient:
T (t)Fx = FT (t)x ,
pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ D(A). Comme D(A) = E et T (t)F, FT (t) ∈ B(E)
pour tout t ≥ 0, nous obtenons:
T (t)Fx = FT (t)x ,
pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ E .
Nous finissons cette section avec une généralisation du théorème 2.2.7.
Théorème 2.2.10 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
i) D(Ap) = E , quel que soit p ∈ N∗;
ii) Ap est un opérateur fermé, quel que soit p ∈ N∗;
iii) l’application:
‖ . ‖D(Ap) : D(Ap) −→ R+ ,
‖x‖D(Ap) =
est une norme avec laquelle D(Ap) devient un espace de Banach, pour tout p ∈ N∗.
Preuve i) Pour p = 1, compte tenu du théorème 2.2.7(i), il résulte que D(A) = E .
Soit:
C∞0 = {ϕ :]0,∞) → E |ϕ indéfiniment dérivable avec un support compact} .
Notons:
ϕ(t)T (t)x dt
x ∈ E , ϕ ∈ C∞0
Nous montrons que F ⊂ D(Ap) , (∀)p ∈ N.
Pour y ∈ F et h > 0, nous obtenons:
T (h) − I
ϕ(t)T (t + h)x dt −
ϕ(t)T (t)x dt
ϕ(u − h) − ϕ(u)
T (u)x du .
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 49
Puisque:
ϕ(u − h) − ϕ(u)
T (u)x −→ −ϕ(u)(1)T (u)x si h ց 0,
uniformément par rapport à u ∈ supp ϕ, en passant à limite pour h ց 0, nous
obtenons:
Ay = −
T (u)x du .
Donc y ∈ D(A). Il en résulte que F ⊂ D(A) et par récurrence on peut montrer
que F ⊂ D(Ap) et:
Apy = (−1)p
T (t)x dt
quel que soit p ∈ N∗.
Nous montrons maintenant que F est dense dans E .
Supposons que F n’est pas dense dans E . Alors il existe x0 ∈ E tel que d(x0,F) > 0.
En appliquant un corollaire du théorème de Hahn-Banach ([DS’67, Corollary
II.3.13, pag. 64]), on voit qu’il existe x∗0 ∈ E∗ tel que 〈x0, x∗0〉 = 1 et 〈y, x∗0〉 = 0,
pour tout y ∈ F . Alors:
ϕ(t)〈T (t)x, x∗0〉 dt =
ϕ(t)T (t)x dt, x∗0
= 0 , (∀)ϕ ∈ C∞0 et x ∈ E .
Par conséquent, pour tout x ∈ E , nous avons:
〈T (t)x, x∗0〉 = 0 , (∀)t ∈ [0,∞),
parce que dans le cas contraire, on peut trouver ϕ ∈ C∞0 tel que:
ϕ(t)〈T (t)x, x∗0〉 dt 6= 0
ce qui est contradictoire. Il s’ensuit que pour tout x ∈ E , on a:
〈T (t)x, x∗0〉 = 0 , (∀)t ∈ [0,∞),
d’où:
〈x, x∗0〉 = 〈T (0)x, x∗0〉 = 0 , (∀)x ∈ E ,
ce qui est absurde. Finalement, on voit que F est dense dans E et donc D(An) = E .
ii) Compte tenu du théorème 2.2.7(ii), on voit que:
A : D(A) ⊂ E −→ E
50 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
est un opérateur fermé. Supposons que:
Ak : D(Ak) ⊂ E −→ E
est un opérateur fermé et montrons que:
Ak+1 : D(Ak+1) ⊂ E −→ E
est un opérateur fermé.
Soit (xn)n∈N ⊂ D(Ak+1) tel que:
xn = x
Ak+1xn = y .
Mais xn ∈ D(Ak+1) est équivalent avec xn ∈ D(Ak) et Akxn ∈ D(A). Alors xn ∈
D(Ak), limn→∞ xn = x, comme Ak est un opérateur fermé, ceci implique x ∈ D(Ak)
et limn→∞ A
kxn = A
kx. Comme Akxn ∈ D(A), limn→∞ Akxn = Akx et A est un
opérateur fermé, il s’ensuit que Akx ∈ D(A) et limn→∞ A
. Nous
avons obtenu donc que x ∈ D(Ak+1), Akx ∈ D(A) et limn→∞ Ak+1xn = Ak+1x,
d’où il résulte que x ∈ D(Ak+1) et Ak+1x = y. Par conséquent Ak+1 est un
opérateur fermé, d’où on obtient (ii).
iii) Pour p = 1 on peut vérifier facilement les propriétés de norme de l’application:
‖ . ‖D(A) : D(A) −→ R+ ,
‖x‖D(A) = ‖x‖ + ‖Ax‖ .
Donc D(A) est un espace normé.
Soit (xn)n∈N∗ ⊂ D(A) tel que ‖xm − xn‖D(A) −→ 0 pour m, n → ∞. Alors:
‖xm − xn‖ + ‖Axm − Axn‖ −→ 0 pour m, n → ∞.
Donc:
‖xm − xn‖ −→ 0 et ‖Axm − Axn‖ −→ 0 pour m, n → ∞.
Puis que E est un espace de Banach, il résulte que les suites (xn)n∈N et (Axn)n∈N
sont convergentes. Donc xn −→ x et Axn −→ y pour n → ∞. Comme A est un
opérateur fermé, il résulte que x ∈ D(A) et y = Ax. Par conséquent:
‖xn − x‖D(A) = ‖xn − x‖ + ‖Axn − Ax‖ −→ 0 pour n → ∞.
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 51
Donc la suite (xn)n∈N est convergente par rapport à la norme ‖ . ‖D(A). Il s’ensuit
que D(A) est un espace de Banach avec la norme ‖ . ‖D(A).
Supposons que l’application:
‖ . ‖D(Ak) : D(Ak) −→ R+ ,
‖x‖D(Ak) =
est une norme avec laquelle D(Ak) est un espace de Banach. Montrons que:
‖ . ‖D(Ak+1) : D(Ak+1) −→ R+ ,
‖x‖D(Ak+1) =
est une norme avec laquelle D(Ak+1) devient un espace de Banach. On peut vérifier
facilement les propriétés de norme de l’application ‖ . ‖D(Ak+1). Donc D(Ak+1) est
un espace normé. Soit (xn)n∈N ⊂ D(Ak+1) tel que:
‖xm − xn‖D(Ak+1) −→ 0 si m, n → ∞.
Alors nous avons:
xm − Aixn
∥ −→ 0 si m, n → ∞,
d’où il s’ensuit que:
∥Aixm − Aixn
∥ −→ 0 si m, n → ∞,
pour tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}. Mais E est un espace de Banach. Donc pour
tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}, les suites (Aixn)n∈N sont convergentes et comme les
opérateurs Ai sont fermés pour tout i ∈ {1, 2, . . . , k + 1}, on voit que:
∥Aixn − Aix
∥ −→ 0 si n → ∞,
pour tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}. Par conséquent:
xn − Aix
∥ −→ 0 si n → ∞,
d’où:
‖xm − x‖D(Ak+1) −→ 0 si n → ∞.
52 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Finalement, on voit que D(Ak+1) est un espace de Banach et l’affirmation de
l’énoncé en résulte.
2.3 Le théorème de Hille - Yosida
Dans ce paragraphe nous présentons un résultat très important concernant
les semi-groupes de classe C0. Il s’agit du célèbre théorème de Hille-Yosida qui
donne une caractérisation pour les opérateurs qui sont générateurs de C0-semi-
groupes. Nous avons besoin de quelques résultats intermédiaires. Dans la suite,
pour ω ≥ 0 nous désignerons par Λω l’ensemble {λ ∈ C |Reλ > ω}.
Théorème 2.3.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Si λ ∈ Λω, alors l’application:
Rλ : E −→ E ,
Rλx =
e−λtT (t)x dt
définit un opérateur linéaire borné sur E , λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout
x ∈ E .
Preuve Soit λ ∈ Λω. Puisque {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω), nous avons:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0
et on voit que:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−Reλt ‖T (t)‖ ‖x‖ ≤ Me−(Reλ−ω)t‖x‖ , (∀)x ∈ E .
Définissons l’application:
Rλ : E −→ E ,
Rλx =
T (t)x dt .
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 53
Il est clair que Rλ est un opérateur linéaire. De plus, on a:
‖Rλx‖ ≤
∥e−λtT (t)x
∥ dt ≤ M
Reλ − ω‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte que Rλ est un opérateur linéaire borné.
Si x ∈ E , alors nous avons:
T (h)Rλx − Rλx
e−λtT (t + h)x dt − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λ(s−h)T (s)x ds − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λsT (s)x ds − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λsT (s)x ds −
e−λsT (s)x ds
e−λtT (t)x dt =
eλh − 1
e−λsT (s)x ds − e
e−λsT (s)x ds .
Par passage à limite, on obtient:
T (h)Rλx − Rλx
= λRλx − x .
Il en résulte que Rλx ∈ D(A) et
ARλx = λRλx − x , (∀)x ∈ E ,
ou bien
(λI − A)Rλx = x , (∀)x ∈ E .
Si x ∈ D(A), alors nous obtenons:
RλAx =
e−λtT (t)Ax dt =
T (t)x dt =
e−λtT (t)x
e−λtT (t)x dt = x + λRλx ,
d’où:
Rλ(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Finalement, on voit que λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout x ∈ E .
54 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Remarque 2.3.2 On voit que pour tout λ ∈ Λω on a:
Im R(λ; A) = Im Rλ ⊆ D(A)
R(λ; A)D(A) = RλD(A) ⊆ D(A) .
Définition 2.3.3 L’opérateur:
Rλ : E −→ E
Rλx =
e−λtT (t)x dt , λ ∈ Λω,
s’appelle la transformée de Laplace du semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω).
Remarque 2.3.4 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors nous avons:
{λ ∈ C |Reλ > ω} ⊂ ρ(A).
σ(A) ⊂ {λ ∈ C |Reλ ≤ ω} .
Théorème 2.3.5 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Pour tout λ ∈ Λω on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Preuve Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) . Alors:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Compte tenu du théorème 2.3.1, si λ ∈ Λω, nous avons λ ∈ ρ(A) et:
R(λ; A)x = Rλx =
e−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E .
De plus:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
Reλ − ω .
Il est clair que:
R(λ; A)x = −
T (t)x dt , (∀)x ∈ E
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 55
et par récurrence on peut montrer que:
R(λ; A)x = (−1)n
tne−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
D’autre part, avec la proposition 1.1.16 (iii) nous obtenons:
R(λ; A)x = (−1)nn!R(λ; A)n+1x , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
Par suite, on a:
(−1)nn!R(λ; A)n+1x = (−1)n
T (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗,
d’où il résulte que:
R(λ; A)
(n − 1)!
tn−1e−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
De plus:
‖R(λ; A)nx‖ ≤ M‖x‖
(n − 1)!
tn−1e−(Reλ−ω)t dt =
(n − 1)!
n − 1
Reλ − ω
tn−2e−(Reλ−ω)t dt = · · · = M‖x‖
(Reλ − ω)n
quels que soient x ∈ E et n ∈ N∗. Par conséquent:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Lemme 2.3.6 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire vérifiant les pro-
priétés suivantes:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Alors pour tout λ ∈ Λω, nous avons:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ E .
De plus λAR(λ; A) ∈ B(E) et:
Reλ→∞
λAR(λ; A)x = Ax , (∀)x ∈ D(A).
56 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Preuve Soient x ∈ D(A) et λ ∈ C tel que Reλ > ω. Alors R(λ; A)(λI −A)x = x.
Si Reλ → ∞, nous avons:
‖λR(λ; A)x − x‖ = ‖R(λ; A)Ax‖ ≤ ‖R(λ; A)‖ ‖Ax‖ ≤
Reλ − ω‖Ax‖ −→ 0 ,
d’où il résulte que:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Soit x ∈ E , puisque D(A) = E , il existe une suite (xn)n∈N ⊂ D(A) telle que
xn −→ x si n → ∞. Nous avons:
‖λR(λ; A)x − x‖ ≤
≤ ‖λR(λ; A)x − λR(λ; A)xn‖ + ‖λR(λ; A)xn − xn‖ + ‖xn − x‖ ≤
≤ ‖λR(λ; A)‖ ‖x − xn‖ + ‖λR(λ; A)xn − xn‖ + ‖xn − x‖ ≤
≤ |λ|M
Reλ − ω‖x − xn‖ +
Reλ − ω‖Axn‖ + ‖xn − x‖ =
|λ|M + Reλ − ω
Reλ − ω ‖xn − x‖ +
Reλ − ω ‖Axn‖ .
Mais xn −→ x si n → ∞. Donc pour tout ε > 0 , il existe nε ∈ N tel que:
‖xnε − x‖ < ε
Reλ − ω
|λ|M + Reλ − ω .
Par conséquent:
‖λR(λ; A)x − x‖ < ε + M
Reλ − ω ‖Axnε‖ ,
d’où:
lim sup
Reλ→∞
‖λR(λ; A)x − x‖ < ε , (∀)x ∈ E ,
ou bien:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ E .
De plus:
λAR(λ; A) = λ [λI − (λI − A)] R(λ; A) = λ [λR(λ; A) − I] = λ2R(λ; A) − λI.
Par suite, on a:
‖λAR(λ; A)x‖ = ‖λ [λR(λ; A) − I]x‖ ≤
≤ |λ| ‖λR(λ; A)x − x‖ ≤ |λ| (‖λR(λ; A)x‖ + ‖x‖) ≤
≤ |λ|
Reλ − ω + 1
‖x‖ , (∀)x ∈ E
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 57
et on voit que λAR(λ; A) ∈ B(E).
Si x ∈ D(A), alors nous avons:
λR(λ; A)Ax = λ2R(λ; A) − λI = λAR(λ; A) ,
d’où il résulte que:
Reλ→∞
λAR(λ; A)x = lim
λR(λ; A)Ax = Ax , (∀)x ∈ D(A).
Remarque 2.3.7 On peut dire que les opérateurs bornés λAR(λ; A) sont des
approximations pour l’opérateur non borné A. C’est le motif pour lequel on intro-
duit la définition suivante.
Définition 2.3.8 La famille {Aλ}λ∈Λω ⊂ B(E), où Aλ = λAR(λ; A), pour tout
λ ∈ Λω, s’appelle l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Remarque 2.3.9 Evidemment, pour λ ∈ Λω, on voit que Aλ est le générateur
infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu
. Nous utiliserons
cette famille pour montrer l’existence d’un C0-semi-groupe engendré par A.
Lemme 2.3.10 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire vérifiant les
propriétés suivantes:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Si {Aλ}λ∈Λω est l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A, alors pour
tous α, β ∈ Λω nous avons:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ M2teωt ‖Aαx − Aβx‖ , (∀)x ∈ E et t ≥ 0.
Preuve Soient α, β ∈ Λω, v ∈ [0, 1] et x ∈ E . Alors:
evtAαe(1−v)tAβ x
= tAαe
vtAαe(1−v)tAβ x − tevtAαAβe(1−v)tAβ x .
On peut facilement vérifier que Aα, Aβ, e
vtAα et e(1−v)tAβ commutent quels que
soient α, β ∈ Λω et t ≥ 0. Nous obtenons:
evtAαe(1−v)tAβ x
vtAαAαe
(1−v)tAβ x − tevtAαAβe(1−v)tAβ x
58 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
d’où:
evtAαe(1−v)tAβ x
tevtAαe(1−v)tAβ Aαx − tevtAαe(1−v)tAβ Aβx
ou bien:
etAαx − etAβx = t
evtAαe(1−v)tAβ (Aαx − Aβx) dv
quels que soient t ≥ 0 et x ∈ E . Nous en déduisons que:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ t
∥evtAα
∥e(1−v)tAβ
∥ ‖Aαx − Aβx‖ dv .
D’autre part, nous avons:
∥etAα
t(α2R(α;A)−αI)
∥e−αtIeα
2tR(α;A)
≤ e−Reαt
tkα2kR(α; A)
≤ e−Reαt
tk|α|2k
∥R(α; A)
≤ e−Reαt
tk|α|2kM
k!(Reα − ω)k = Me
−Reαt
t|α|2
Reα−ω
= Me−Reαte
t|α|2
Reα−ω = Me
ωReα+Im2α
Reα−ω
quel que soient α ∈ Λω et t ≥ 0. Soit r > 1 tel que:
ωReα + Im2α
Reα − ω < ωr .
Alors, nous avons:
ωReα + Im2α < ωrReα − ω2r ,
d’où:
ωReα < ωrReα − ω2r ,
ou bien:
ω2r < ω(r − 1)Reα .
Il en découle:
Reα >
r − 1ω .
Par conséquent, pour tout r > 1 et tout α ∈ Λω tel que Reα > rr−1ω, on obtient:
∥etAα
∥ ≤ Merωt , (∀)t ≥ 0
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 59
et par passage à limite pour r ց 1, nous obtenons:
∥etAα
∥ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0,
pour tout α ∈ Λω. Il vient:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ t
MeωvtMeω(1−v)t ‖Aαx − Aβx‖ dv =
= M2teωt ‖Aαx − Aβx‖
quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.
Maintenant nous présentons une variante du célèbre théorème de Hille - Yosida
pour les semi-groupes de classe SG(M, ω).
Théorème 2.3.11 (Hille - Yosida) Un opérateur linéaire:
A : D(A) ⊂ E −→ E
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) si et seule-
ment si:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Preuve =⇒ On obtient cette implication en tenant compte du théorème 2.2.7 et
du théorème 2.3.5.
⇐= Supposons que l’opérateur A : D(A) ⊂ E −→ E posséde les propriétés (i)
et (ii). Soit {Aλ}λ∈Λω , l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Compte tenu du lemme 2.3.6, il résulte que Aλ ∈ B(E) et:
Reλ→∞
Aλx = Ax , (∀)x ∈ D(A).
Pour λ ∈ Λω, soit {Tλ(t)}t≥0 =
le semi-groupe uniformément continu
engendré par Aλ. Avec le lemme 2.3.10, on a:
‖Tα(t)x − Tβ(t)x‖ ≤ M2teωt ‖Aαx − Aβx‖ , (∀)α, β ∈ Λω, x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Soient [D(A)] l’espace de Banach D(A) avec la norme ‖ . ‖D(A), et B([D(A)], E)
l’espace des opérateurs linéaires bornés définis sur [D(A)] avec valeur dans E , doté
60 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
de la topologie forte. Notons par C ([0,∞);B([D(A)], E)) l’espace des fonctions
continues définies sur [0,∞) à valeurs dans B([D(A)], E) doté de la topologie de
la convergence uniforme sur les intervalles compacts de [0,∞). Si [a, b] ⊂ [0,∞),
alors pour tout x ∈ D(A) nous avons:
t∈[a,b]
‖Tα(t)x − Tβ(t)x‖ ≤ M2beωb (‖Aαx − Ax‖ + ‖Aβx − Ax‖) −→ 0
si Reα,Reβ → ∞, d’où il résulte que
{Tλ(t)}t≥0
est une suite de Cauchy
dans C ([0,∞);B([D(A)], E)). Donc, il existe un unique T0 ∈ C ([0,∞);B(D(A), E))
tel que Tλ(t)x −→ T0(t)x, si Reλ → ∞, quel que soit x ∈ D(A), pour la topologie
de la convergence uniforme sur les intervalles compacts de [0,∞). Puisque:
‖Tλ(t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0,
on obtient:
‖T0(t)x‖ ≤ Meωt‖x‖ , (∀)t ≥ 0 et x ∈ D(A)
Considérons l’application linéaire:
Θ0 : D(A) −→ C ([a, b]; E)
Θ0x = T0( . )x
quel que soit [a, b] ⊂ [0,∞). Comme nous avons:
‖Θ0x‖C([a,b];E) = sup
t∈[a,b]
‖T0(t)x‖ ≤ Meωb‖x‖ ≤ Meωb‖x‖D(A) , (∀)x ∈ D(A),
on voit que Θ0 est une application continue et puisque D(A) = E , elle se prolonge
de façon unique en une application linéaire continue:
Θ : E −→ C ([a, b]; E)
telle que:
Θ|D(A) = Θ0
‖Θx‖C([a,b];E) ≤ Me
ωb‖x‖
quel que soit x ∈ E . Par conséquent, il existe un seul opérateur T ∈ C ([a, b];B(E))
tel que:
Θx = T ( . )x , (∀)x ∈ E .
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 61
On peut répéter ce procédé pour tous les intervalles compacts de [0,∞) et on voit
qu’il existe un seul opérateur, noté aussi par T ∈ C ([0,∞);B(E)), tel que pour
tout x ∈ E on ait:
Tλ(t)x −→ T (t)x si Reλ → ∞,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). De plus:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Il est évident que:
T (0)x = lim
Reλ→∞
Tλ(0)x = x , (∀)x ∈ E
T (t)x = lim
Reλ→∞
Tλ(t)x
= lim
Reλ→∞
Tλ(t)x
= x , (∀)x ∈ E .
Soient t, s ∈ [0,∞) et x ∈ E . Alors, nous avons:
‖T (t + s)x − T (t)T (s)x‖ ≤ ‖T (t + s)x − Tλ(t + s)x‖ +
+ ‖Tλ(t + s)x − Tλ(t)T (s)x‖ + ‖Tλ(t)T (s)x − T (t)T (s)x‖ ≤
≤ ‖T (t + s)x − Tλ(t + s)x‖ + ‖Tλ(t)‖ ‖Tλ(s)x − T (s)x‖ +
+ ‖Tλ(t) (T (s)x) − T (t) (T (s)x)‖ .
Puisque Tλ(t) −→ T (t), si Reλ → ∞, pour la topologie forte de B(E), il s’ensuit
que T (t + s)x = T (t)T (s)x, pour tout x ∈ E .
Par conséquent {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω).
Montrons que A est le générateur infinitésimal du semi-groupe {T (t)}
Pour tout x ∈ D(A) on a:
‖Tλ(s)Aλx − T (s)Ax‖ ≤
≤ ‖Tλ(s)‖ ‖Aλx − Ax‖ + ‖Tλ(s)Ax − T (s)Ax‖ ≤
≤ Meωt ‖Aλx − Ax‖ + ‖Tλ(s)Ax − T (s)Ax‖ −→ 0
si Reλ → ∞, uniformément par rapport à s ∈ [0, t], d’où:
T (t)x − x = lim
Reλ→∞
[Tλ(t)x − x] = lim
Reλ→∞
Tλ(s)Aλx ds =
T (t)Ax ds
62 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
quels que soient x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Soit B le générateur infinitésimal du C0-semigroupe {T (t)}t≥0. Si x ∈ D(A), alors:
T (t)x − x
= lim
T (s)Ax ds = Ax
et nous voyons que x ∈ D(B). Par conséquent D(A) ⊂ D(B) et B|
D’autre part, nous avons l’inégalité:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Si λ ∈ Λω, alors λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Soit x ∈ D(B), on a donc (λI − B) x ∈ E
et comme l’opérateur λI − A : D(A) −→ E est bijectif, il existe x′ ∈ D(A) tel
que (λI − A) x′ = (λI − B)x. Puisque B|D(A) = A, il vient que (λI − B)x′ =
(λI − B) x et comme λ ∈ ρ(B), il en résulte que x′ = x. Par suite x ∈ D(A) et
donc D(B) ⊂ D(A).
Finalement on voit que D(A) = D(B) et A = B.
Nous avons montré donc que A est le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0 et compte tenu du théorème de l’unicité de l’engendrement, il résulte
que {T (t)}
t≥0 est l’unique C0-semi-groupe engendré par A.
Corollaire 2.3.12 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal
et {Aλ}λ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A. Alors:
T (t)x = lim
Reλ→∞
etAλx , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Elle résulte du théorème de Hille-Yosida.
Dans la suite nous noterons par GI(E) l’ensemble des opérateurs linéaires qui
sont des générateurs infinitésimaux de C0-semi-groupes sur l’espace de Banach E .
De même, pour ω ≥ 0 et M ≥ 1, nous noterons par GI(M, ω) l’ensemble des
générateurs infinitésimaux A ∈ GI(E) pour lesquels:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n (∀)λ ∈ Λω et n ∈ N
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 63
2.4 La représentation de Bromwich
Dans la section 1.3, avec le théorème 1.3.12 nous avons vu que pour les
semi-groupes uniformément continus on peut obtenir une représentation par la
transformée de Laplace inverse. Dans ce paragraphe nous montrerons qu’il existe
une représentation du même type pour les C0-semi-groupes. Nous commençons
avec quelques propriétés sur l’approximation généralisée de Yosida.
Lemme 2.4.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal et
{Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A. Alors pour tout
µ ∈ Λω, il existe Ω > ω tel que ΛΩ ⊂ ρ(Aµ) et pour tout λ ∈ ΛΩ on a:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − Ω .
De plus, pour ε > 0, il existe une constante C > 0 (qui dépend de M et ε) tel que:
‖R(λ; Aµ)x‖ ≤
|λ| (‖x‖ + ‖Ax‖) , (∀)x ∈ D(A),
quels que soient λ, µ ∈ C, avec Reλ > Ω + ε et Reµ > ω + |µ|
Preuve Soit µ ∈ Λω arbitrairement fixé. Nous avons vu que Aµ est le générateur
infinitésimal du semi-groupe uniformément continu
. En ce cas, nous
avons:
∥etAµ
∥ ≤ Me
ωReµ+Im2µ
Reµ−ω
, (∀)t ≥ 0.
Si nous notons:
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω ,
alors il est clair que:
Ω = ω +
ω2 + Im2µ
Reµ − ω > ω
et que ΛΩ = {λ ∈ C |Reλ > Ω} ⊂ ρ(Aµ). De plus, pour tout λ ∈ ΛΩ, nous avons:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − Ω .
Si nous considérons λ ∈ C tel que Reλ > Ω + ε, où ε > 0, alors on voit que:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
64 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’autre part, pour x ∈ D(A) et µ ∈ Λω tel que Reµ > ω + |µ|2 , nous obtenons:
‖Aµx‖ = ‖µR(µ; A)Ax‖ ≤ |µ|‖R(µ; A)‖‖Ax‖ ≤
≤ |µ| M
Reµ − ω‖Ax‖ ≤ 2M‖Ax‖ .
De l’égalité:
(λI − Aµ)R(λ; Aµ) = I ,
il vient:
R(λ; Aµ) =
R(λ; Aµ)Aµ
et par conséquent:
‖R(λ; Aµ)x‖ ≤
|λ| (‖x‖ + ‖R(λ; Aµ)‖‖Aµx‖) ≤
≤ 1|λ|
‖x‖ + 2M
≤ C|λ| (‖x‖ + ‖Ax‖) , (∀)x ∈ D(A),
où la constante C ne dépend que de M et de ε.
Lemme 2.4.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal,
{Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A et λ ∈ C tel que
Reλ > ω + ε, arbitrairement fixé pour ε > 0. Alors:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0.
Preuve Compte tenu du lemme 2.4.1, pour µ ∈ Λω, il existe Ω > ω tel que
ΛΩ ⊂ ρ(Aµ). Nous avons:
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω .
Donc l’inégalité Reλ > Ω est équivalente avec:
Reλ > ω +
ω2 + Imµ
Reµ − ω .
Soit ε > 0. Si µ ∈ Λω tel que ω
2+Imµ
Reµ−ω
< ε, alors Reλ > ω + ε implique Reλ > Ω.
Par suite, λ ∈ ρ(Aµ). Donc il existe R(λ; Aµ) et avec le lemme 2.4.1 on voit que:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − ω .
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 65
D’autre part, nous avons:
λ + µ
λ − λ
λ + µ
= Reλ − Re λ
λ + µ
> ω + ε − Re λ
λ + µ
Etant donné k > 0 tel que |Imλ| ≤ k, il existe µ ∈ Λω tel que Re λ
s’ensuit que Re λµ
> ω + ε
. Par conséquent, λµ
∈ ρ(A) et donc R
existe bien. Nous avons:
λ + µ
(λI − Aµ)(µI − A)R
λ + µ
λ + µ
λI − µ2R(µ; A) + µI
(µI − A)R
λ + µ
µI − A − µ
λ + µ
λ + µ
λ + µ
I − A
λ + µ
= I .
Par un calcul analogue, on peut obtenir:
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
(λI − Aµ) = I .
Il s’ensuit que:
R(λ; Aµ) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
Par conséquent:
R(λ; Aµ) − R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
− R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
− (λ + µ)R(λ; A)
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
(µI − A)(λI − A) −
− (λ + µ)
λ + µ
I − A
R(µ; A)R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
A2R(µ; A)R(λ; A) =
λ + µ
λ + µ
R(λ; A)A2 .
66 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Mais:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
et: ∥
λ + µ
Si x ∈ D(A2), alors on voit que:
‖R(λ; Aµ)x − R(λ; A)x‖ ≤
≤ 1|λ + µ|
λ + µ
‖R(λ; A)‖‖A2x‖ ≤
≤ 1|µ|
‖A2x‖ ≤ 1
‖A2x‖ .
Il s’ensuit que:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ D(A2),
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0. Avec le théorème 2.2.10, on
sait que D(A2) = E . Comme R(λ; A) et R(λ; Aµ) sont uniformément bornés, on
obtient:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0.
Théorème 2.4.3 Soit A le générateur infinitésimal du semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈
SG(M, ω) et λ ∈ Λω. Alors pour tout x ∈ D(A) on a:
T (s)x ds =
Reλ−i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x
et l’intégrale de la partie droite de l’égalité est uniformément convergente par
rapport à t sur les intervalles compacts de ]0,∞).
Preuve Soit {Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Soit µ ∈ Λω tel que Re µ > ω + |µ|2 . Avec le lemme 2.4.1, nous déduissons qu’il
existe Ω = ωReµ+Im
Reµ−ω
> ω tel que ΛΩ = {λ ∈ C|Re λ > Ω} ⊂ ρ(Aµ). Soit λ ∈ ΛΩ.
En utilisant le théorème 1.3.12, pour R > 2Re λ on peut considérer le contour de
Jordan Aµ-spectral
Γ1R = Γ
R ∪ Γ1
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 67
R = {Re λ + iτ |τ ∈ [−R, R]}
Re λ + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Pour le semi-groupe uniformément continu
engendré par Aµ il en résulte:
etAµ = lim
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ) dz =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ) dz ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Pour R >
2Re λ et x ∈ D(A) nous notons
IR(s) =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezsR(z; Aµ)x dz .
Soient 0 < a < b. Pour tout t ∈ [a, b] nous obtenons:
IR(s) ds =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezsR(z; Aµ)x dz ds =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezs dsR(z; Aµ)x dz =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ)x
Re λ+iR∫
Re λ−iR
R(z; Aµ)x
Montrons que pour l’intégrale
I(R) =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
R(z; Aµ)x
I(R) = 0 .
Soit le contour de Jordan lisse et fermé
Γ2R = Γ
R ∪ Γ2
R = {Re λ + iτ |τ ∈ [−R, R]}
68 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Re λ + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Avec le théorème de Cauchy ([DS’67, pag. 225]), on voit que
R(z; Aµ)x
= 0 ,
ou bien
R(z; Aµ)x
R(z; Aµ)x
= 0 .
Soit z ∈ Γ2” . Compte tenu du lemme 2.4.1, il existe C > 0 tel que
‖R(z; Aµ)x‖ ≤
|z| (‖x‖ + ‖Ax‖) .
De plus, pour z ∈ Γ2”R on a:
|z| = |Re λ + R(cos ϕ + isinϕ)| = |Re λ − [−R(cos ϕ + i sin ϕ)]| ≥
≥ | |Re λ| − | − R(cos ϕ + i sin ϕ)| | = |Re λ − R| = R − Re λ ,
d’où il résulte
|z| ≤
R − Re λ .
Par conséquent, on a:
R(z; Aµ)x
‖R(z; Aµ)x‖
|z| ≤
|z|(‖x‖ + ‖Ax‖)
|z| |dz| ≤
‖x‖ + ‖Ax‖
(R − Re λ)2
|dz| =
(R − Re λ)2 (‖x‖ + ‖Ax‖) .
Il s’ensuit donc que:
R(z; Aµ)x
= 0 .
Par suite, on a:
R(z; Aµ)x
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 69
ou bien
I(R) = 0 .
Alors nous avons:
IR(s) ds = lim
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ)x
d’où
IR(s) ds =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ)x
Avec le corollaire 2.3.12 et le lemme 2.4.2, on obtient:
T (s)x ds = lim
Reµ→∞
esAµx ds =
= lim
Reµ→∞
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ)x
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; A)x
et comme:
Reµ→∞
Ω = lim
Reµ→∞
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω = ω ,
nous obtenons le résultat désiré.
Théorème 2.4.4 (Bromwich) Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe
{T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et λ ∈ Λω. Alors:
T (t)x =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x dz , (∀)x ∈ D(A2)
et pour tout δ > 0, l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t ∈
Preuve Si x ∈ D(A2), alors Ax ∈ D(A). Compte tenu du théorème 2.4.3, on voit
T (s)Ax ds =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)Ax
70 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’où il résulte que:
T (s)x − x = 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)Ax
De l’égalité:
R(z; A)(zI − A) = I ,
nous déduisons:
R(z; A)A = R(z; A) − 1
et par suite:
T (s)x − x = 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x dz − 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
Compte tenu que:
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
et que pour tout δ > 0, l’intégrale est uniformément convergente par rapport à
, nous obtenons l’égalité de l’énoncé.
2.5 Conditions suffisantes d’appartenances à GI(M, 0)
Nous présentons dans la suite deux conditions suffisantes pour qu’un opérateur
soit le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe uniformément borné.
Théorème 2.5.1 Soit A un opérateur linéaire fermé défini sur un sous espace
dense de E et vérifiant les propriétés suivantes:
i) il existe δ ∈
tel que:
ρ(A) ⊃ Σδ =
λ ∈ C
| arg z| < π
∪ {0};
ii) il existe une constante K > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 71
Alors A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il
existe M > 1 tel que ‖T (t)‖ ≤ M , pour tout t ≥ 0.
De plus, pour tout ν ∈
et Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν , où:
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0,∞)}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0,∞)} ,
on a:
T (t) =
eztR(z; A) dz
et l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t > 0.
Preuve Soit δ ∈
. Pour ν ∈
considérons le chemin d’intégration
Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν , où:
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0,∞)}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0,∞)} .
Soit:
U(t) =
eztR(z; A) dz .
Compte tenu du (ii), on voit que l’intégrale est uniformément convergente par
rapport à t > 0. Pour R > 0, nous définissons le contour de Jordan lisse et fermé
Γν = Γ
R,ν ∪ Γ
R,ν ∪ Γ
R,ν où
R,ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0, R]} ,
R,ν = {R(cos ν + i sin ν)| θ ∈ [−ν, ν]} ,
R,ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0, R]} .
D’aprés le théorème de Cauchy ([DS’67, pag. 225]), on a
eztR(z; A) dz = 0 .
72 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Par conséquent, on peut changer le chemin d’intégration Γν par Γt = Γ
r(cos ν − i sin ν)
∣ r ∈
(cos θ + i sin θ) | θ ∈ [−ν, ν]
r(cos ν + i sin ν)
Alors:
U(t) =
eztR(z; A) dz +
eztR(z; A) dz +
eztR(z; A) dz
et si nous notons
U1(t) =
eztR(z; A) dz ,
U2(t) =
eztR(z; A) dz
U3(t) =
eztR(z; A) dz ,
il vient:
‖U(t)‖ ≤ ‖U1(t)‖ + ‖U2(t)‖ + ‖U3(t)‖ .
Comme ν ∈
, on en déduit que cos ν < 0. Avec le changement de variable
z = r(cos ν − i sin ν) , r ∈
nous avons:
‖U1(t)‖ =
eztR(z; A) dz
ert(cos ν−i sin ν)R(r(cos ν − i sin ν); A)(cos ν − isinν) dr
ert cos ν
e−rt(− cos ν)
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 73
s = rt(− cos ν) , s ∈ [− cos ν,∞),
il vient ds = −t cos νdr. Donc:
‖U1(t)‖ ≤
− cos ν
−t cos ν
−t cos ν ds =
− cos ν
− cos ν
− cos ν
De façon analogue, nous obtenons:
‖U3(t)‖ =
eztR(z; A) dz
ert(cos ν+i sin ν)R(r(cos ν + i sin ν); A)(cos ν + isinν) dr
ert cos ν
dr ≤ M ′ .
De même, pour l’intégrale U2(t), avec le changement de variable
(cos θ + i sin θ) , θ ∈ [−ν, ν],
(− sin θ + i cos θ) dθ
‖U2(t)‖ =
eztR(z; A) dz
(cos θ+i sin θ)R
(cos θ + i sin θ); A
(−sinθ + i cos θ) dθ
cos θ K
cos θ
dθ ≤ Ke
dθ = M” .
Par conséquent, il existe M ≥ 1 tel que:
‖U(t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
74 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Nous allons maintenant montrer que pour tout λ ∈ Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0}, on a:
R(λ; A) =
e−λtU(t) dt .
Nous avons successivement:
e−λtU(t) dt =
e−(λ−z)tR(z; A) dzdt =
(z−λ)t
dtR(z; A) dz =
e(z−λ)τ − 1
z − λ R(z; A) dz =
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz +
R(z; A)
λ − z dz =
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz + (λI − A)
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz + R(λ; A) .
Par conséquent:
e−λtU(t) dt − R(λ; A)
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz
|e(z−λ)τ |
|z − λ| ‖R(z; A)‖ |dz| ≤
e(Rez−Reλ)τ
|z − λ|
|z| |dz| =
e−τReλ
|z − λ|
|z| |dz| .
eτRez
|z||z − λ| .
Pour z ∈ Γν on a |z| = r et
|z − λ| ≥ | |z| − |λ| | = |r − |λ| | .
Donc:
τRez 1
|r − |λ||
r|r − |λ|| dr < ∞ .
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 75
Si nous notons
C = sup
alors nous obtenons:
e−λtU(t) dt − R(λ; A)
≤ Ce−τReλ .
En passant à limite pour τ → ∞, on obtient
R(λ; A) =
e−λtU(t) dt
pour tout λ ∈ Λ0. Comme ‖U(t)‖ ≤ M , pour tout t ≥ 0, par récurrence on peut
obtenir:
dλn−1
R(λ; A) = (−1)n−1
tn−1e−λtU(t) dt , (∀)n ∈ N∗.
Mais avec la proposition 1.1.16 (iii), on voit que:
dλn−1
R(λ; A) = (−1)n−1(n − 1)!R(λ; A)n , (∀)n ∈ N∗.
Par conséquent, nous obtenons:
‖R(λ; A)n‖ =
(n − 1)!
tn−1e−λtU(t) dt
(n − 1)!
tn−1e−Reλt dt =
(n − 1)!
n − 1
tn−2e−Reλt dt = · · · = M
(Reλ)n
pour tout n ∈ N∗. Avec le théorème de Hille-Yosida, on voit que l’opérateur A est
le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
Soit x ∈ D(A2) et λ ∈ Λ0. Compte tenu du théorème 2.4.4, nous avons:
T (t)x =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eλtR(λ; A)x dλ
et compte tenu du (ii) et du théorème de Cauchy, on peut remplacer le contour
d’intégration par Γν . Donc:
T (t)x =
R(λ; A)x dλ , (∀)x ∈ D(A2).
76 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Comme D(A2) = E et l’intégrale
eλtR(λ; A)dλ est uniformément convergente,
nous obtenons:
T (t)x =
eλtR(λ; A)x dλ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte l’affirmation de l’énoncé.
Théorème 2.5.2 Soit A un opérateur linéaire fermé défini sur un sous espace
dense de E et vérifiant les propriétés suivantes:
i) σ(A) ⊂ {z ∈ C|Rez ≤ 0};
ii) pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ E∗ on a:
γ+i∞∫
R(λ; A)
x, x∗
∣ |dλ| < ∞ .
Alors A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
Preuve Pour γ > 0 arbitrairement fixé, l’application:
{z ∈ C|Rez > 0} ∋ z 7−→
R(z + γ; A)2x, x∗
se trouve dans l’espace de Hardy H1. Par conséquent elle admet un représentation
par une intégrale de Cauchy et en particulier pour α > 0 et γ ∈]0, α[, on a:
R(α; A)2x, x∗
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
α − λ dλ .
De plus, par récurrence on voit que:
R(α; A)2x, x∗
= (−1)n n!
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
(α − λ)n+1 dλ ,
pour tout n ∈ N∗. D’autre part, avec la proposition 1.1.16 (iii) il vient:
R(α; A) = (−1)nn!R(α; A)n+1 , (∀)n ∈ N∗
Par itération nous obtenons:
R(α; A)n+1x, x∗
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
(α − λ)n dλ ,
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 77
pour tout n ∈ N∗ et tout γ ∈]0, α[. Il s’ensuit que pour tout n ∈ N∗ on a:
R(α; A)n+1x, x∗
(α − γ)n
γ+i∞∫
R(λ; A)2x, x∗
∣ |dλ| ≤
(α − γ)n , (∀)γ ∈]0, α[,
où la constante C ne dépend que de x ∈ E et de x∗ ∈ E∗. Si nous prenons:
n + 1
alors on voit que:
R(α; A)n+1x, x∗
∣ ≤ 1
α − α
1 − 1
n + 1
)−(n+1)
En appliquant le théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67, Theorem II.1.11, pag.
52]), on obtient pour tout α > 0:
‖R(α; A)m‖ ≤ M
, (∀)m ∈ {2, 3, . . .}.
Prouvons que cette inégalité reste valable pour m = 1. On a:
R(τ ; A)2 dτ = −
R(τ ; A)2 dτ =
R(τ ; A) dτ = R(α; A) − R(β; A) , (∀)α, β > 0.
Comme pour m = 2 nous avons:
∥R(β; A)2
∥ ≤ M
on en déduit que la limite existe et on pose
R0x := lim
R(β; A)x , (∀)x ∈ E .
78 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’autre part, si x ∈ D(A), alors nous avons:
R(β; A)x = R(β; A)2(βI − A)x −→ 0 si β → ∞.
Comme D(A) = E , il s’ensuit que R0 = 0 et on voit que:
R(α; A) =
R(τ ; A)2 dτ .
Par conséquent:
‖R(α; A)m‖ ≤ M
, (∀)m ∈ N∗.
En appliquant le théorème de Hille-Yosida, on obtient le résultat désiré.
2.6 Propriétés spectrales des C0-semi-groupes
Nous terminons ce chapitre avec quelques propriétés spectrales pour les C0-
semi-groupes.
Lemme 2.6.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors pour tout λ ∈ Λω et t > 0, l’application:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds
définit un opérateur linéaire borné sur E vérifiant les propriétés suivantes:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
De plus Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t).
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 79
Preuve Pour tout x ∈ E nous avons successivement:
‖Bλ(t)x‖ =
eλ(t−s)T (s)x ds
eReλ(t−s)‖T (s)‖‖x‖ ds ≤
≤ MeReλt‖x‖
e−(Reλ−ω)s ds < ∞ .
Comme la linéarité est évidente, il en résulte que Bλ(t) ∈ B(E), quels que soient
λ ∈ Λω et t > 0.
Si x ∈ E et h > 0, alors nous obtenons:
T (h) − I
Bλ(t)x =
T (h) − I
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−s)T (h + s)x ds − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ+h)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ −
eλ(t−τ)T (τ)x dτ
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − e
eλ(t−τ)T (τ)x dτ +
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds −
eλ(t−τ)T (τ)x dτ =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ +
eλh − 1
eλ(t−s)T (s)x ds −
λ(t−τ)
T (τ)x dτ =
80 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
λ(t−τ)
T (τ)x dτ +
eλh − 1
Bλ(t)x −
λ(t−τ)
T (τ)x dτ .
En passant à limite, on a:
T (h)Bλ(t)x − Bλ(t)x
= T (t)x + λBλ(t)x − eλtx ,
d’où Bλ(t)x ∈ D(A) et:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E .
Si x ∈ D(A), alors nous avons:
Bλ(t)Ax =
λ(t−s)
T (s)Ax ds =
eλ(t−s)
T (s)x ds = T (t)x − eλtx + λBλ(t)x ,
d’où l’on tire:
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
De plus, nous obtenons que:
Bλ(t)D(A) ⊆ D(A)
(λI − A)Bλ(t)x = Bλ(t)(λI − A)x , (∀)x ∈ D(A) ,
d’où:
ABλ(t)x = Bλ(t)Ax , (∀)x ∈ D(A).
Compte tenu du théorème 2.2.9, on voit que:
Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.6.2 (spectral mapping) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son
générateur infinitésimal. Alors:
etσ(A) =
∣λ ∈ σ(A)
⊆ σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 81
Preuve Soit λ ∈ C tel que eλt ∈ ρ(T (t)).
Alors on peut considérer l’opérateur Q =
eλtI − T (t)
∈ B(E). Compte tenu
du lemme 2.6.1 (i), on a:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
Par multiplication avec Q à droite dans la première égalité et à gauche dans la
seconde, nous obtenons:
(λI − A)Bλ(t)Qx = x , (∀)x ∈ E
QBλ(t)(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Mais, avec le lemme 2.6.1, il en résulte que:
eλtI − T (t)
Bλ(t) = Bλ(t)
eλtI − T (t)
et nous voyons que QBλ(t) = Bλ(t)Q. Par conséquent:
(λI − A)Bλ(t)Qx = x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)Q(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Il s’ensuit que λ ∈ ρ(A) et finalement on voit que:
ρ(T (t)) ⊂ etρ(A) , (∀)t ≥ 0,
ou bien:
etσ(A) ⊆ σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Remarque 2.6.3 Nous avons vu que pour les semi-groupes uniformément conti-
nus on a l’égalité:
etσ(A) = σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Mais il existe des C0-semi-groupes pour lesquels l’inclusion du théorème 2.6.2 est
stricte.
82 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Définition 2.6.4 On dit que le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est nilpotent s’il existe
t0 > 0 tel que T (t) = 0, pour tout t > t0.
Proposition 2.6.5 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) un semi-groupe nilpotent et A
son générateur infinitésimal. Alors σ(A) = ∅.
Preuve Comme le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est nilpotent, il existe t0 > 0 tel que
T (t) = 0, (∀)t > t0. Pour tout λ ∈ C et tout x ∈ E , on a:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−ReλtMeωt‖x‖ , (∀)t ∈ [0, t0]
et comme:
e−λtT (t)x dt = 0 ,
on peut définir la transformée de Laplace:
Rλ : E −→ E
Rλx =
e−λtT (t)x dt =
e−λtT (t)x dt
pour tout λ ∈ C. Avec le théorème 2.3.1, il vient λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x,
pour tout x ∈ E . Donc ρ(A) = C, c’est-à-dire σ(A) = ∅.
Remarque 2.6.6 Pour un semi-groupe nilpotent {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A, l’inclusion du théorème 2.6.2 est stricte.
Théorème 2.6.7 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
σ(R(λ; A)) =
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
∪ {0}
quel que soit λ ∈ Λω.
Preuve Soient λ ∈ Λω et µ ∈ ρ(A), µ 6= λ. Définissons:
S : E −→ E
S = (λ − µ)(λI − A)R(µ; A).
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 83
Comme S est un opérateur fermé, avec le théorème du graphe fermé, on voit que
S ∈ B(E). De plus, pour tout x ∈ E nous avons:
SR(λ; A)x = (λ − µ)(λI − A)R(µ; A)R(λ; A)x =
= (λ − µ)(λI − A)R(λ; A)R(µ; A)x = (λ − µ)R(µ; A)x
R(λ; A)Sx = R(λ; A)(λ − µ)(λI − A)R(µ; A)x =
= (λ − µ)R(λ; A)(λI − A)R(µ; A)x = (λ − µ)R(µ; A)x .
Par conséquent SR(λ; A) = R(λ; A)S.
De même, pour x ∈ E on a:
λ − µI − R(λ; A)
= (λ − µ)(λI − A)R(µ; A)
λ − µI − R(λ; A)
= [(λI − A)R(µ; A) − (λ − µ)R(µ; A)]x =
= (λI − A − λI + µI)R(µ; A)x =
= (µI − A)R(µ; A)x = x .
De façon analogue, pour tout x ∈ E on peut montrer que:
λ − µI − R(λ; A)
Sx = x .
Par conséquent:
λ − µ ∈ ρ(R(λ; A)) ,
d’où: {
λ − µ
µ ∈ ρ(A)
⊂ ρ(R(λ; A)) .
Il s’ensuit que:
σ(R(λ; A)) ⊂
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
Réciproquement, soit λ ∈ Λω et µ ∈ C, µ 6= λ, tel que 1λ−µ ∈ ρ(R(λ; A)). Alors il
existe R
; R(λ; A)
∈ B(E) et pour tout x ∈ D(A) nous avons:
R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
x = R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
84 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
R(λ; A)−1
λ − µI − R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
R(λ; A)
λ − µR(λ; A)
−1 − I
R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
R(λ; A)x = R
λ − µ ; R(λ; A)
R(λ; A)x .
Posons:
Q = R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
Pour tout x ∈ D(A), nous avons:
(µI − A)Qx = (µI − λI + λI − A)R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
= [(λI − A)R(λ; A) − (λ − µ)R(λ; A)]R
λ − µ ; R(λ; A)
= [I − (λ − µ)R(λ; A)]R
λ − µ ; R(λ; A)
= (λ − µ)
λ − µI − R(λ; A)
λ − µ ; R(λ; A)
x = (λ − µ)x ,
d’où il résulte que:
λ − µ(µI − A)Qx = x , (∀)x ∈ D(A).
De même, nous obtenons:
Q(µI − A)x = R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
(µI − A)x =
λ − µ ; R(λ; A)
R(λ; A)(µI − λI + λI − A)x =
λ − µ ; R(λ; A)
[R(λ; A)(λI − A) − R(λ; A)(λ − µ)] x =
λ − µ ; R(λ; A)
[I − (λ − µ)R(λ; A)]x =
= (λ − µ)R
λ − µ ; R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
x = (λ − µ)x ,
d’où:
λ − µQ(µI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
2.7. NOTES 85
Par conséquent µ ∈ ρ(A). Il s’ensuit que:
ρ(R(λ; A)) ⊂
λ − µ
µ ∈ ρ(A)
ou bien:
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
⊂ σ(R(λ; A)) , (∀)λ ∈ C avec Reλ > ω.
Finalement, nous voyons que:
σ(R(λ; A)) =
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
, (∀)λ ∈ Λω.
Si 0 ∈ ρ(R(λ; A)), alors il existe (0I − R(λ; A))−1 ∈ B(E), d’où A ∈ B(E) ce qui
est absurde. Par conséquent 0 ∈ σ(R(λ; A)).
2.7 Notes
Les notions et les résultats de ce chapitre se trouvent dans les monographies concernant les C0-
semi-groupes d’opérateurs linéaires bornés. Le théorème 2.1.7 se trouve dans [Hi’48, pag.184],
mais une preuve élégante utilisant le théorème de Krein-Šmulian se trouve dans [Da’80, pag.
15]. De même, dans [Pa’83-1, pag. 43] on peut trouver une caractérisation du générateur
infinitésimal d’un C0-semi-groupe pour la topologie faible.
Pour le théorème de l’unicité de l’engendrement nous avons utilisé [Pa’83-1, pag. 6] et le
théorème 2.2.9 se trouve dans [Da’80, pag. 11].
Le résultat le plus important de ce chapitre est le théorème de Hille-Yosida. Il a été montré
pour la première fois indépendamment par Hille dans [Hi’48] et par Yosida dans [Yo’48] pour les
C0-semi-groupes de contractions. Quelques années plus tard, Feller dans [Fe’53], Miyadera dans
[Mi’52] et Phillips dans [Ph’52] donnent une preuve pour le cas général d’un C0-semi-groupe.
Nous avons utilisé les idées du livre de Pazy [Pa’83-1, pag. 8] pour obtenir une preuve dans le
cas le plus général, en utilisant l’approximation généralisée de Yosida que nous avons introduit
dans la définition 2.3.8.
Pour obtenir le représentation de Bromwich d’un C0-semi-groupe, nous avons utilisé aussi
les idées de Pazy de [Pa’83-1, pag. 29]. Une variante du lemme 2.4.1 se trouve dans [Le’00-2].
Pour le théorème 2.5.1 on peut consulter [Pa’83-1, pag. 30] ou bien [Ah’91, pag. 76]. Le
téorème 2.5.2 a été montré par Gomilko dans [Go’99].
Pour les propriétés spectrales des C0-semi-groupes on peut consulter [Pa’83-1, pag. 44] où
on peut trouver aussi des autres résultats sur cette problème. Finalement, pour le théorème 2.6.7
on pourra consulter [Da’80, pag. 39].
86 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Chapitre 3
C0-semigroupes avec propriétés
spéciales
3.1 C0-semi-groupes différentiables
Par la suite, nous étudierons les propriétés des C0-semi-groupes pour lesquels
l’application ]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E est différentiable, quel que soit x ∈ E .
Définition 3.1.1 On dit que {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe différentiable (et
notons {T (t)}
∈ SGD(M, ω)) si l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est différentiable, quel que soit x ∈ E .
Théorème 3.1.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) ;
ii) Im T (t) ⊂ D(A) , (∀)t > 0.
Preuve i) =⇒ ii) Soient x ∈ E et t, h > 0. Puisque l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est différentiable, la limite du rapport
T (t + h)x − T (t)x
88 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
lorsque h ց 0, existe et est égale par définition avec AT (t)x. Par conséquent,
T (t)x ∈ D(A).
ii) =⇒ i) Considérons x ∈ E et t, h > 0. Comme T (t)x ∈ D(A), nous avons:
d+T (t)x
= lim
T (t + h)x − T (t)x
= AT (t)x .
D’autre part, pour h ∈]0, t[ et δ ∈]0, t − h[ on a:
T (t − h)x − T (t)x
−h − AT (t)x
T (t − δ)T (δ)x − T (t − h − δ)T (δ)x
− AT (δ)T (t − δ)x
t−h−δ
T (τ)T (δ)x dτ −
t−h−δ
AT (δ)T (t − δ)x dτ
t−h−δ
[AT (δ)T (τ) − AT (δ)T (t − δ)] x dτ
‖AT (δ)‖
t−h−δ
‖T (τ) − T (t − δ)‖ dτ‖x‖ =
‖AT (δ)‖h ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ =
= ‖AT (δ)‖ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Par conséquent:
d−T (t)x
= lim
T (t − h)x − T (t)x
−h = AT (t)x .
Donc {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe différentiable.
Proposition 3.1.3 Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) . Alors l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme.
Preuve Soient x ∈ E et t1, t2 ∈]0,∞) tel que t1 < t2. Compte tenu du théorème
3.1.2, nous obtenons:
‖T (t1)x − T (t2)x‖ =
T (s)x ds
AT (t1)T (s − t1)x ds
≤ ‖AT (t1)‖
Me(s−t1)ω‖x‖ ds .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 89
Par suite, nous avons:
‖T (t1) − T (t2)‖ ≤ ‖AT (t1)‖M
e(s−t1)ω ds ,
d’où résulte la continuité uniforme de l’application considérée dans l’énoncé.
Théorème 3.1.4 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) et A son générateur infinitési-
mal. Alors:
i) pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ E , on a T (t)x ∈ D(An) et:
AnT (t)x =
x , (∀)t > 0;
ii) pour tout n ∈ N∗ l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(An)
est n fois différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
T (t) = AnT (t) ∈ B(E) , (∀)t > 0;
iii) pour tout n ∈ N∗ l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(n) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme.
Preuve Prouvons les affirmations de l’énoncé par récurrence.
i) Avec le théorème 3.1.2, on voit que pour tout x ∈ E on a T (t)x ∈ D(A) et:
AT (t)x =
x , (∀)t > 0.
Supposons que pour tout x ∈ E on ait T (t)x ∈ D(Ak) et:
T (t)x =
x , (∀)t > 0.
Soient x ∈ E et δ ∈]0, t[. On voit que T (t − δ)T (δ)x ∈ D(A) et:
AT (t)x = AT (t − δ)T (δ)x = T (t − δ)AT (δ)x ∈ D(Ak) .
Par conséquent T (t)x ∈ D(Ak+1), (∀)t > 0. De plus:
Ak+1T (t)x = A
AkT (t − δ)T (δ)
x = A
T (t − δ)AkT (δ)
= AT (t − δ)
90 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Si δ = kt
, il vient:
Ak+1T (t)x =
k + 1
)]k+1
Finalement, nous obtenons (i).
ii) Pour n = 1, compte tenu du théorème 3.1.2 et de la proposition 3.1.3, il résulte
que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(A)
est différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Comme A est un opérateur fermé et T (t) ∈ B(E), il résulte que AT (t) est un
opérateur fermé défini sur E . Avec le théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]), on voit que AT (t) ∈ B(E), (∀)t > 0. Supposons que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(Ak)
est k fois différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
= AkT (t) ∈ B(E) , (∀)t > 0.
De plus, avec la preuve précédente, on voit que T (t)x ∈ D
, pour tout t > 0.
Soient x ∈ E , ‖x‖ ≤ 1 et t > 0. Si h > 0 et δ ∈]0, t[, on a:
T (t + h)
x − T (t)(k)x
− Ak+1T (t)x
AkT (δ)T (t + h − δ)x − AkT (δ)T (t − δ)x
− Ak+1T (δ)T (t − δ)x
AkT (δ)
[T (t + h − δ) − T (t − δ)] x − Ak+1T (δ)T (t − δ)x
T (δ)
t+h−δ∫
T (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t+h−δ∫
T (t − δ)x dτ
AkT (δ)
t+h−δ∫
AT (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t+h−δ∫
T (t − δ)x dτ
Ak+1T (δ)
t+h−δ∫
[T (τ) − T (t − δ)] x dτ
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 91
∥Ak+1T (δ)
t+h−δ∫
‖T (τ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ dτ =
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − δ, t + h − δ]. Il s’ensuit que:
T (t + h)
(k) − T (t)(k)
− Ak+1T (t)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ,
où c ∈ [t − δ, t + h − δ]. Par conséquent:
T (t + h)
(k) − T (t)(k)
= Ak+1T (t) , (∀)t > 0.
Si h > 0 tel que t − h > 0 et δ ∈]0, t − h[, alors nous avons:
T (t − h)(k)x − T (t)(k)x
−h − A
k+1T (t)x
AkT (δ)T (t− δ)x − AkT (δ)T (t− h − δ)x
− Ak+1T (δ)T (t− δ)x
AkT (δ)
[T (t − δ) − T (t − h − δ)] x − Ak+1T (δ)T (t− δ)x
T (δ)
t−h−δ
T (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t−h−δ
T (t − δ)x dτ
AkT (δ)
t−h−δ
AT (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t−h−δ
T (t − δ)x dτ
Ak+1T (δ)
t−h−δ
[T (τ) − T (t − δ)] x dτ
∥Ak+1T (δ)
t−h−δ
‖T (τ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ dτ =
T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Il vient:
T (t − h)(k) − T (t)(k)
−h − A
k+1T (t)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Par conséquent:
T (t − h)(k) − T (t)(k)
−h = A
T (t) , (∀)t > 0.
92 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Il s’ensuit que T (t)
est différentiable pour la topologie de la convergence uniforme
T (t)
= T (t)
(k+1)
= Ak+1T (t) , (∀)t > 0.
Comme A est un opérateur fermé et AkT (t) ∈ B(E), il résulte que A
AkT (t)
est un opérateur fermé défini sur E . Avec le théorème du graphe fermé ([DS’67,
Theorem II.2.4, pag. 57]), on voit que T (t)
(k+1)
= Ak+1T (t) ∈ B(E), (∀)t > 0.
Finalement, on a obtenu (ii).
iii) Soient x ∈ E avec ‖x‖ ≤ 1 et t > 0. Pour h > 0 et δ ∈]0, t[ nous obtenons:
∥T (t + h)
x − T (t)′x
∥ = ‖AT (t + h)x − AT (t)x‖ ≤
≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où il résulte:
∥T (t + h)
′ − T (t)′
∥ ≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ .
De façon analogue, pour h > 0 et δ ∈]0, t − h[ nous obtenons:
∥T (t − h)′x − T (t)′x
∥ = ‖AT (t − h)x − AT (t)x‖ ≤
≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où:
∥T (t − h)′ − T (t)′
∥ ≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ .
Il est clair que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)′ ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. Supposons que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(k) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. Si h > 0 et δ ∈]0, t[,
alors nous avons:
∥T (t + h)
(k+1)
x − T (t)(k+1)x
∥Ak+1T (t + h)x − Ak+1T (t)x
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où il s’ensuit que:
∥T (t + h)
(k+1) − T (t)(k+1)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 93
D’autre part, pour h > 0 et δ ∈]0, t − h[ nous obtenons:
∥T (t − h)(k+1)x − T (t)(k+1)x
T (t − h)x − Ak+1T (t)x
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖
et on voit que:
∥T (t − h)(k+1) − T (t)(k+1)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ .
Donc l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(k+1) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. La propriété (iii) en
découle immédiatement.
Remarque 3.1.5 Si {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) , alors l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est de classe C∞]0,∞).
Remarque 3.1.6 Si {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) , alors pour tout n ∈ N∗ on a:
T (t)
= AnT (t) =
, (∀)t > 0.
Nous finissons cette section avec le théorème spectral pour les C0-semi-groupes
différentiables. Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) . Pour tout λ ∈ C et tout t > 0, nous
avons défini l’opérateur linéaire borné:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds
et nous avons étudié ses propriétés avec le lemme 2.6.1. Si le C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0 est différentiable, on peut montrer le résultat suivant.
Lemme 3.1.7 Soient {T (t)}
∈ SGD(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
94 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
i) pour tout λ ∈ C et tout t > 0, l’opérateur Bλ(t) ∈ B(E) est indéfiniment
dérivable et:
Bλ(t)
Bλ(t) +
T (t)
 , (∀)n ∈ N∗;
ii) pour tout λ ∈ C et tout t > 0 on a:
Bλ(t)
T (t)
= T (t)
Bλ(t)
, (∀)n ∈ N∗.
Preuve Montrons les affirmations de l’énoncé par récurrence.
i) Soient x ∈ E , λ ∈ C et t > 0. Alors:
Bλ(t)
x = λ
Bλ(t)x +
T (t)x
Supposons que:
Bλ(t)
x = λk
Bλ(t)x +
T (t)
Alors:
Bλ(t)
(k+1)
Bλ(t)
λBλ(t)x + T (t)x +
T (t)
(i+1)
= λk+1
Bλ(t)x +
T (t)
et nous obtenons (i).
ii) Soient λ ∈ C et t > 0. Compte tenu du théorème 3.1.4, pour x ∈ E , on voit
que T (t)x ∈ D(An) et:
AnT (t)x = AnT
x = AnT
+ · · · + t
︸ ︷︷ ︸
n fois
= An T
· · ·T
︸ ︷︷ ︸
n fois
x = T
An = T (t)Anx , (∀)n ∈ N∗,
parce que le semi-groupe commute avec son générateur infinitésimal. De même,
avec le lemme 2.6.1 il résulte que:
Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t) .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 95
Alors pour x ∈ E , nous avons:
Bλ(t)
T (t)x = λn
Bλ(t) +
T (t)
T (t)x =
Bλ(t)T (t) +
AiT (t)T (t)
T (t)Bλ(t) +
T (t)AiT (t)
= T (t)λn
Bλ(t) +
T (t)
x = T (t)Bλ(t)
x , (∀)n ∈ N∗.
D’autre part, pour x ∈ D(A), nous avons:
Bλ(t)(λI − A)x = (λI − A)Bλ(t)x ,
d’où il résulte:
Bλ(t)Ax = ABλ(t)x .
Supposons que pour x ∈ D(Ak) nous avons:
Bλ(t)A
kx = AkBλ(t)x .
Si x ∈ D(Ak+1), il vient:
Bλ(t)A
k+1x = Bλ(t)A
k(Ax) = AkBλ(t)Ax = A
kABλ(t)x = A
k+1Bλ(t)x.
Il s’ensuit donc que:
Bλ(t)A
nx = AnBλ(t)x ,
pour tout x ∈ D(An) et tout n ∈ N∗. De même, si x ∈ D(An), on a:
Bλ(t)
Anx = λn
Bλ(t) +
T (t)
Anx =
Bλ(t)A
AiT (t)An
AnBλ(t) +
AnAiT (t)
= Anλn
Bλ(t) +
T (t)
x = AnBλ(t)x , (∀)n ∈ N∗.
Finalement, pour x ∈ E nous obtenons:
Bλ(t)
T (t)
x = Bλ(t)
AnT (t)x = AnBλ(t)
T (t)x =
= AnT (t)Bλ(t)
x = T (t)
Bλ(t)
x , (∀)n ∈ N∗.
96 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Théorème 3.1.8 (spectral mapping) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) et A
son générateur infinitésimal. Alors pour tout n ∈ N∗ on a:
tσ(A)
∣λ ∈ σ(A)
T (t)
, (∀)t > 0.
Preuve Pour λ ∈ C et t > 0, nous considérons l’opérateur:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds .
Avec le lemme 3.1.7, on déduit que l’opérateur Bλ(t) ∈ B(E) est indéfiniment
dérivable et:
Bλ(t)
Bλ(t) +
T (t)
 , (∀)n ∈ N∗.
Compte tenu du lemme 2.6.1, il résulte que:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
et que:
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
Pour tout n ∈ N∗ il s’ensuit que:
(λI − A)Bλ(t)(n)x = λneλtx − T (t)(n)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)
(λI − A)x = λneλtx − T (t)(n)x , (∀)x ∈ D(A).
Si λ ∈ C est tel que λneλt ∈ ρ
T (t)
, alors on peut considérer:
λneλtI − T (t)(n)
∈ B(E) ,
pour tout n ∈ N∗. Par conséquent:
(λI − A)Bλ(t)(n)Qx = x , (∀)x ∈ E
QBλ(t)
(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A),
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 97
pour tout n ∈ N∗. Mais, avec le lemme 3.1.7, il résulte:
Bλ(t)
T (t)
= T (t)
Bλ(t)
, (∀)n ∈ N∗.
Donc:
λneλT Bλ(t)
(n) − Bλ(t)(n)T (t)(n) = λneλtBλ(t)(n) − T (t)(n)Bλ(t)(n)
Bλ(t)
λneλtI − T (t)(n)
λneλtI − T (t)(n)
Bλ(t)
pour tout n ∈ N∗. Par suite:
Bλ(t)
Q = QBλ(t)
, (∀)n ∈ N∗
et nous voyons que:
(λI − A)Bλ(t)(n)Qx = x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)
Q(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A) ,
d’où on obtient que λ ∈ ρ(A). Nous en déduisons que λ ∈ σ(A) implique λneλt ∈
T (t)
pour tout n ∈ N∗. Par conséquent:
λneλt
∣λ ∈ σ(A)
T (t)
ou bien:
λ ∈ σ(A)
T (t)
et finalement:
etσ(A)
T (t)
pour tout n ∈ N∗ et tout t > 0.
98 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
3.2 C0-semi-groupes analytiques
Par la suite nous étudions la possibilité d’étendre l’intervalle ]0,∞) à une
région du plan complexe, sans abandonner les propriétés de C0-semi-groupe. Nous
désignerons par ∆ l’ensemble:
{z ∈ C|Re z > 0 et ϕ1 < arg z < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2}
Définition 3.2.1 On appelle C0-semi-groupe analytique une famille {T (z)}z∈∆ ⊂
B(E) vérifiant les propriétés suivantes:
i) T (0) = I;
ii) T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), (∀)z1, z2 ∈ ∆;
iii) limz→0 T (z)x = x, (∀)x ∈ E , z ∈ ∆;
iv) l’application:
∆ ∋ z 7−→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le secteur ∆.
Comme la multiplication par eωt n’a aucun effet sur la possibilité ou l’impossibilité
d’extension à un semi-groupe analytique, il est suffit de considérer seulement les C0-
semi-groupes uniformément bornés. Le théorème suivant donne une caractérisation
pour les C0-semi-groupes analytiques uniformément bornés.
Théorème 3.2.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0) et A son générateur infinitésimal
tel que 0 ∈ ρ(A). Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) il existe δ > 0 tel que {T (t)}
t≥0 peut être étendu à un semi-groupe analytique
dans le secteur:
∆δ = {z ∈ C|Re z > 0 et | arg z| < δ} , δ > 0
et {T (z)}
z∈∆δ′
est uniformément borné dans tout sous secteur fermé ∆δ′ ⊂ ∆δ, où
δ′ ∈]0, δ[;
ii) il existe une constante C > 0 telle que pour tout γ > 0 et tout η 6= 0 on ait:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C|η| ;
iii) il existe δ ∈
et K > 1 tel que:
ρ(A) ⊃ Σδ =
λ ∈ C
| arg λ| < π
∪ {0}
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 99
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0};
iv) l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est différentiable et il existe une constante L > 0 tel que:
‖AT (t)‖ ≤ L
, (∀)t > 0.
Preuve i) =⇒ ii) Soit δ ∈
. Si δ′ ∈]0, δ[, il existe C ′ > 0 tel que:
‖T (z)‖ ≤ C ′
pour tout z ∈ ∆δ′ . Comme l’application:
∆δ ∋ z 7−→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le sous secteur ∆δ′ , avec le théorème de Cauchy ([DS’67, pag.
225]), on voit que
T (z) dz = 0 ,
quel que soit le contour de Jordan lisse et fermé Γ ⊂ ∆δ′ . Par conséquent, dans
l’intégrale
R(γ + iη; A)x =
e−(γ+iη)tT (t)x dt , γ > 0,
on peut changer le chemin d’intégration par:
Γθ = {r(cos θ + i sin θ)| 0 < r < ∞, |θ| ≤ δ′} .
Si η > 0, alors pour le chemin
Γ−δ′ = {r(cos δ′ − i sin δ′)| 0 < r < ∞} ,
nous obtenons:
‖R(γ + iη; A)x‖ =
e−(γ+iη)tT (t)x dt
−(γ+iη)r(cos δ′−i sin δ′)
T (r(cos δ′ − i sin δ′))x d(r(cos δ′ − i sin δ′))
∣e−(γ+iη)r(cos δ
′−i sin δ′)
∣ ‖T (r(cos δ′ − i sin δ′)‖ ‖x‖| cos δ′ − i sin δ′| dr ≤
≤ C ′‖x‖
−r(γ cos δ′+η sin δ′)
C ′‖x‖
γ cos δ′ + η sin δ′
η sin δ′
‖x‖ .
100 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Si nous notons:
sin δ′
alors on obtient:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C
Soit maintenant η < 0. Alors pour le chemin
Γδ′ = {r(cos δ′ + i sin δ′)| 0 < r < ∞} ,
nous avons:
‖R(γ + iη; A)x‖ =
e−(γ+iη)tT (t)x dt
e−(γ+iη)r(cos δ
′+i sin δ′)T (r(cos δ′ + i sin δ′))x d(r(cos δ′ + i sin δ′))
∣e−(γ+iη)r(cos δ
′+i sin δ′)
∣ ‖T (r(cos δ′ + i sin δ′)‖ ‖x‖| cos δ′ + i sin δ′| dr ≤
≤ C ′‖x‖
e−r(γ cos δ
′−η sin δ′) dr =
C ′‖x‖
γ cos δ′ − η sin δ′ ≤
−η sin δ′‖x‖ =
−η‖x‖ .
Par conséquent:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C−η .
Finalement on voit que:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C|η| .
ii) =⇒ iii) Comme {T (t)}
∈ SG(M, 0), avec le théorème de Hille-Yosida on
voit que:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
pour tout λ ∈ Λ0. Compte tenu du (ii), il existe C > 0 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ C|Imλ|
pour tout λ ∈ Λ0 avec Imλ 6= 0. Compte tenu des inégalités:
Reλ‖R(λ; A)‖ ≤ M
|Imλ|‖R(λ; A)‖ ≤ C ,
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 101
nous obtenons:
Re2λ‖R(λ; A)‖2 ≤ M2
Im2λ‖R(λ; A)‖2 ≤ C2 ,
d’où il résulte que:
Re2λ + Im2λ
‖R(λ; A)‖2 ≤ M2 + C2 .
Par conséquent, il existe une constante K1 =
M2 + C2 > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K1|λ| , (∀)λ ∈ Λ0.
Considérons λ ∈ C avec Reλ ≤ 0. Soit γ > 0 suffisamment petit et η 6= 0. Comme
l’application R( . ; A) est analytique sur ρ(A), pour tout λ = Reλ+ iη ∈ ρ(A) avec
Reλ ≤ 0, nous obtenons:
R(λ; A) =
(Reλ − γ)n
R(γ + iη; A)
Avec la proposition 1.1.16 (iii), on voit que:
R(γ + iη; A)
= (−1)nn!R(γ + iη; A)n+1 .
Alors il vient:
R(λ; A) =
(−1)n(Reλ − γ)nR(γ + iη; A)n+1
et cette série est uniformément convergente pour:
‖R(γ + iη; A)‖ |Reλ − γ| ≤ α < 1 .
Compte tenu de la propriété (ii), elle est convergente pour la topologie de la norme
si λ = Reλ + iη ∈ ρ(A) est tel que sa partie réelle vérifie Reλ ≤ 0 et
|Reλ − γ| ≤ α|η|
C’est-à-dire qu’il existe un voisinage Vε, ε = α|η|C , de γ + iη ∈ Λ0 contenu dans
ρ(A) lorsque γ > 0 est suffisamment petit. Dans ce voisinage Vε, il existe λ ∈ C
tel que Reλ ≤ 0 et λ ∈ ρ(A). Si nous définissons δ ∈
tel que:
tan δ =
|Reλ|
|Imλ| =
|Reλ|
|η| =
, α ∈]0, 1[,
102 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
δ = arctan
, α ∈]0, 1[,
alors on voit que:
ζ ∈ C
| arg ζ | < π
⊂ ρ(A) .
Nous désignerons par Σδ l’ensemble
λ ∈ C
∣| arg λ| < π
∪{0}, où δ ∈
Si λ ∈ Σδ − {0} et Reλ ≤ 0, alors nous avons:
‖R(λ; A)‖ ≤
∥R(γ + iη; A)
∥ |Reλ − γ|n ≤
|η|n+1
αn|η|n
1 − α
|Imλ| .
Comme:
|Reλ|
|Imλ| <
il vient:
|Reλ|2
|Imλ|2 <
d’où:
|Reλ|2
|Im2λ|2
+ 1 <
+ 1 .
Par conséquent
|Reλ|2 + |Imλ|2
|Imλ|2 <
1 + C2
|Imλ|2 <
1 + C2
Il s’ensuit donc que:
|Imλ| <
1 + C2
C|λ| .
Par suite:
‖R(λ; A)‖ ≤
1 + C2
(1 − α)|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}
et si nous notons
1 + C2
1 − α > 1 ,
alors il vient:
‖R(λ; A)‖ ≤ K2|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 103
Finalement, on obtient qu’il existe K > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
iii) =⇒ iv) Supposons qu’il existe δ ∈
et K > 1 tel que:
λ ∈ C
∣| arg λ| <
∪ {0}
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
Compte tenu du théorème 2.5.1, on voit que l’opérateur A est le générateur in-
finitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il existe M > 1 tel que
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
De plus, pour ν ∈
on considère le chemin
Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν ,
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| 0 < r < ∞}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| 0 < r < ∞} ,
tel que
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
l’intégrale étant uniformément convergente par rapport à t > 0.
ϕ : [0,∞) × Σδ −→ B(E) ,
ϕ(t, z) = eztR(z; A) .
Il est clair que l’application ϕ est différentiable par rapport à t > 0 et:
∂ϕ(z, t)
= zeztR(z; A) .
De plus:
∂ϕ(z, t)
∥zeztR(z; A)
∥ ≤ K
∣ , (∀)t > 0.
104 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Avec le théorème de dérivation de Lebesgue, on voit que l’application
]0,∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ B(E) ,
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
est différentiable et on a:
T (t)′ =
zeztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0.
Comme ν ∈
, il vient cos ν < 0 et compte tenu que:
‖T (t)′‖ =
zeztR(z; A) dz +
zeztR(z; A) dz
rert cos ν‖R(z; A)‖ dr + 1
rert cos ν‖R(z; A)‖ dr ≤
e−rt(− cos ν) dr =
−t cos ν
, (∀)t > 0,
on déduit qu’il existe L = M
π(− cos ν)
> 0 tel que:
‖AT (t)‖ = ‖T (t)′‖ ≤ L
, (∀)t > 0.
iv) =⇒ i) Soit t0 > 0. Avec la formule de Taylor et compte tenu de la remarque
3.1.6, on a:
T (t) =
(t − t0)k
T (k)(t0) +
(n − 1)!
(t − u)n−1T (n)(u) du =
(t − t0)k
T (t0) +
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du ,
pour tout n ∈ N∗.
Compte tenu du (iv) et de la remarque 3.1.6, on voit que:
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du
(n − 1)!
(t − u)n−1
)]n∥∥
(n − 1)!
(t − u)n−1
du ≤ 1
(n − 1)!
)n t∫
(t − u)n−1 du =
(n − 1)!
)n t−t0∫
(t − t0)n .
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 105
Avec la formule de Stirling
n! = nn
2πne−n+
12n , un ∈]0, 1[,
on obtient
n!en ≥ nn .
Par conséquent:
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du
(t − t0)n
n!en =
t − t0
pour t ≥ t0 > 0 et n ∈ N∗ suffisamment grand.
Il en résulte que la série de Taylor est convergente vers T (t) si t− t0 < t0Le et on a:
T (t) =
(t − t0)n
T (t0) .
Il s’ensuit donc que pour z ∈ C vérifiant
Re z > 0 et |z − t0| <
on peut définir une fonction analytique
T (z) =
(z − t0)n
AnT (t0) .
La série de la partie droite de cette égalité est uniformément convergente par
rapport à z ∈ C vérifiant les conditions Re z > 0 et
|z − t0| < α
où α ∈]0, 1[.
Soit z ∈ C tel que Re z = t0 >. On voit que:
|Im z| = |z − t0| <
d’où:
|Im z|
|Re z| <
ou encore
| arg z| ≤ arctan
106 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
En prenant
δ = arctan
nous obtenons que l’application
∆δ ∋ z 7→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le secteur
∆δ = {z ∈ C| Re z > 0 et | arg z| < δ} .
De plus, si nous considérons z ∈ C avec les propriétés Re z > 0 et |z − t0| ≤ α t0Le ,
α ∈]0, 1[, alors nous déduisons que:
‖T (z)‖ ≤ ‖T (t0)‖ +
|z − t0|n
‖AnT (t0)‖ ≤
≤ ‖T (t0)‖ +
)n (Ln
≤ M +
αn = M +
1 − α .
Par conséquent, si nous notons
= arctan
, α ∈]0, 1[,
nous voyons que l’application
∆δ ∋ z 7→ T (z) ∈ B(E)
est uniformément bornée dans le sous secteur
∆δ′ = {z ∈ C| Re z > 0 et | arg z| ≤ δ
′} ⊂ ∆δ .
Il est évident que T (0) = I parce que {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0). De plus, pour tout
t > 0 et tout z ∈ ∆δ, il résulte que:
T (t)T (z) =
(z − t0)n
AnT (t0 + t) =
[(z + t) − (t0 + t)]n
AnT (t0 + t) = T (t + z) .
3.3. C0-SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS 107
Alors, pour tous z1, z2 ∈ ∆δ, nous obtenons:
T (z1)T (z2) = T (z1)
(z2 − t0)n
AnT (t0) =
(z2 − t0)n
AnT (z1)T (t0) =
(z2 − t0)n
AnT (z1 + t0) =
[(z2 + z1) − (z1 + t0)]n
AnT (z1 + t0) = T (z1 + z2) .
0<t<∞
T (t)E .
Nous prouvons que cet ensemble est dense dans E . Soient x ∈ E et tn > 0, n ∈ N,
tel que limn→∞ tn = 0. Alors pour xn = T (tn)x ∈ E0, n ∈ N, nous obtenons:
xn = lim
T (tn)x = x .
Par conséquent, E0 = E .
De plus, nous avons vu que {T (z)}
est uniformément borné dans tout sous
secteur fermé ∆δ′ . De même, pour x ∈ E on obtient T (t)x ∈ E0 et:
T (z)T (t)x = lim
T (z + t) = T (t)x .
Compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67, Theorem II.1.11, pag.
52]), il en résulte que
T (z)x = x , (∀)x ∈ E , z ∈ ∆δ.
Finalement, on voit que {T (z)}
est un C0-semi-groupe analytique qui étend le
semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
3.3 C0-semi-groupes de contractions
Dans la suite nous présentons quelques problèmes concernant la classe du
C0-semi-groupes {T (t)}t≥0 vérifiant la propriété ‖T (t)‖ ≤ 1, pour tout t ≥ 0.
Définition 3.3.1 On dit que {T (t)}
est un C0-semi-groupe de contractions sur
l’espace de Banch E si {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
108 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Lemme 3.3.2 Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω). Alors, l’application:
||| . ||| : E −→ R+
|||x||| = sup
−ωt‖T (t)x‖ , (∀)x ∈ E ,
est une norme sur E équivalente avec la norme initiale ‖ . ‖.
Preuve Soit x ∈ E . Pour tout t ≥ 0, on a:
e−ωt‖T (t)x‖ ≤ e−ωt‖T (t)‖‖x‖ ≤ M‖x‖ .
En passant à la borne supérieure par rapport à t, on voit que:
|||x||| ≤ M‖x‖ , (∀)x ∈ E .
D’autre part, nous avons:
|||x||| = sup
e−ωt‖T (t)x‖ ≥ e−ω0‖T (0)x‖ = ‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte que:
‖x‖ ≤ |||x||| ≤ M‖x‖ , (∀)x ∈ E .
Par conséquent les normes ||| . ||| et ‖ . ‖ sont équivalentes.
Théorème 3.3.3 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω), A son générateur infinitésimal
S(t) = e−ωtT (t) , (∀)t ≥ 0.
Alors:
i) {S(t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0);
ii) le C0-semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour générateur infinitésimal l’opérateur B =
A − ωI.
Preuve i) Il est clair que la famille {S(t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe. De plus,
pour tout t ≥ 0, on a:
|||S(t)x||| = sup
e−ωs‖T (s)e−ωtT (t)x‖ =
= sup
e−ωτ‖T (τ)x‖ ≤ sup
e−ωτ‖T (τ)x‖ = |||x||| , (∀)x ∈ E ,
3.3. C0-SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS 109
d’où on obtient:
|||S(t)x||| ≤ |||x||| , (∀)x ∈ E et t ≥ 0.
Il s’ensuit que:
‖S(t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0
et, par conséquent, {S(t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
ii) Elle est analogue à celle du théorème 2.1.11.
Pour les C0-semi-groupes de contractions, on peut formuler la version suivante
du théorème de Hille-Yosida.
Théorème 3.3.4 Un opérateur linéaire:
A : D(A) ⊂ E −→ E
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
∈ SG(1, 0) si et seule-
ment si:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0} ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λ0, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ 1
(Reλ)n
, (∀)n ∈ N∗.
Preuve i) =⇒ ii) Comme {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0), nous avons:
‖T (t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
Par suite, on peut prendre M = 1 et ω = 0. Avec le théorème de Hille-Yosida, il
résulte que:
(i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
(ii) Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0} ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λ0, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ 1
(Reλ)n
, (∀)n ∈ N∗.
ii) =⇒ i) Soit
A : D(A) ⊂ E −→ E
un opérateur linéaire vérifiant les propriétés (i) et (ii) de l’énoncé. Avec le théorème
de Hille-Yosida, il en résulte que A est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-
groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il existe M = 1 et ω = 0 tel que:
‖T (t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
110 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Donc A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe de contractions.
Une autre caractérisation très intéressante des C0-semi-groupes de contractions
est donnée par le fameux théorème de Lumer-Phillips, dans lequel interviennent
les opérateurs m-dissipatifs.
Définition 3.3.5 On appelle opérateur m-dissipatif un opérateur linéaire A :
D(A) ⊂ E −→ E vérifiant les propriétés suivantes:
i) A est opérateur dissipatif;
ii) il existe α0 > 0 tel que Im (α0I − A) = E .
Théorème 3.3.6 (Lumer - Phillips) Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur
linéaire tel que D(A) = E .
L’opérateur A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0)
si et seulement si A est un opérateur m-dissipatif.
Preuve =⇒ Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le générateur infinitésimal d’un semi-groupe
{T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0). Si x ∈ D(A) et x∗ ∈ J (x), alors pour tout t ≥ 0 on voit
Re〈T (t)x − x, x∗〉 = Re〈T (t)x, x∗〉 − Re〈x, x∗〉 ≤
≤ |〈T (t)x, x∗〉| − Re〈x, x∗〉 ≤ ‖T (t)x‖‖x∗‖∗ − ‖x‖2 ≤
≤ ‖x‖2 − ‖x‖2 = 0 ,
d’où:
Re〈T (t)x − x, x∗〉 ≤ 0 , (∀)t ≥ 0.
En passant à limite pour t ց 0, il vient:
Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0
pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ J (x). Il s’ensuit donc que A est un opérateur
dissipatif.
D’autre part, avec le théorème 3.3.4 , on voit que ]0,∞) ⊂ ρ(A). Donc αI − A ∈
GL(E), (∀)α ∈]0,∞). Par suite, Im (αI − A) = E pour tout α > 0 et finalement
on voit que A est un opérateur m-dissipatif.
ii) Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur m-dissipatif tel que D(A) = E . Alors, il
existe α0 ∈]0,∞) tel que Im (α0I − A) = E . En appliquant la proposition 1.2.3,
3.4. NOTES 111
on voit que Im (αI −A) = E , pour tout α ∈]0,∞). Il s’ensuit que ]0,∞) ⊂ ρ(A).
Comme A est un opérateur dissipatif, compte tenu de la proposition 1.2.2, il vient:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A),
d’où:
‖R(α; A)‖ ≤ 1
pour tout α ∈]0,∞). Avec le théorème 3.3.4, on voit que A est le générateur
infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
Proposition 3.3.7 Soit A ∈ B(E) tel que ‖A‖ ≤ 1. Alors
et(A−I)
est un
semi-groupe uniformément continu de contractions.
Preuve Il est évident que
et(A−I)
est un semi-groupe uniformément continu.
De plus:
∥et(A−I)
∥ ≤ et‖A‖e−t ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
3.4 Notes
Pour les propriétés des C0-semi-groupes différentiables nous avons consulté [Pa’83-1, pag. 51],
[Ah’91, pag. 73] et [Da’80, pag. 28]. Le théorème 3.1.8 se trouve dans [Le’00-1].
Les propriétés des C0-semi-groupes analytiques uniformément bornés se trouvent dans [Pa’83-1,
pag. 60], [Ah’91, pag. 81] ou [Da’80, pag.59]. Une introduction très intéressante des C0-
semi-groupes analytiques, par la construction d’un calcul fonctionnel adéquat, est donné dans
[CHADP’87, pag. 121].
Le théorème 3.3.6 a été montré par Lummer et Phillips dans [LP’61].
112 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Chapitre 4
La formule de Lie - Trotter
4.1 Le cas des semi-groupes uniformément con-
tinus
Dans cette section nous présentons la formule du produit de Lie-Trotter pour
les semi-groupes uniformément continus.
Théorème 4.1.1 Soient A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformé-
ment continu {T (t)}
t≥0 et
{An(t)}t≥0
⊂ B(E) tel que:
‖An(t)‖ = 0 ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Alors:
T (t) = lim
(A + An(t))
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soient 0 ≤ a < b. Si nous notons:
Vn(t) = I +
(A + An(t)) ,
alors, pour tout 0 ≤ k ≤ n, on a:
∥V kn (t)
(A + An(t))
(‖A‖ + ‖An(t)‖)
(‖A‖ + ‖An(t)‖)
114 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
= et(‖A‖+‖An(t)‖) ≤ M ,
cette dernière quantité etant uniformément bornée par rapport à t ∈ [a, b]. De
même, pour:
Un(t) = e
A , (∀)t ≥ 0,
nous obtenons:
Unn (t) = e
tA = T (t) , (∀)t ≥ 0
et pour tout 0 ≤ k ≤ n, nous avons:
∥ ≤ ektn ‖A‖ ≤ entn ‖A‖ ≤ et‖A‖ ≤ N ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Il vient:
V nn (t) − Unn (t) = V nn (t)U0n(t) − V n−1n (t)U1n(t) +
+ V n−1n (t)U
n(t) − V n−2n (t)U2n(t) +
+ V n−2n (t)U
n(t) − · · · − V 0n (t)Unn (t) =
V n−in (t)U
n(t) − V n−i−1n (t)U i+1n (t)
V n−i−1n (t) [Vn(t) − Un(t)] U in(t) .
Comme:
Vn(t) − Un(t) = I +
An(t) − e
= I +
An(t) − I −
A − 1
A2 − · · · ,
il résulte que:
‖Vn(t) − Un(t)‖ ≤
‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · · .
Par conséquent:
‖V nn (t) − Unn (t)‖ ≤
‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · ·
t‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · ·
−→ 0 si n → ∞,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞), ce qui achève
la preuve.
4.1. LE CAS DES SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 115
Théorème 4.1.2 (la formule exponentielle) Soit A le générateur infinitési-
mal d’un semi-groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Alors:
T (t) = lim
= lim
I − t
= lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve La première égalité résulte du théorème 4.1.1 pour An(t) = 0, quels que
soient n ∈ N et t ≥ 0.
Soient 0 ≤ a < b. On a:
pour n suffisamment grand et t ∈ [a, b]. Avec le lemme 1.1.2, il vient:
I − t
A ∈ GL(E)
I − t
= I +
(A + An(t)) ,
An(t) =
A3 + · · ·
‖An(t)‖ = 0 ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Avec le théorème 4.1.1, on voit que:
T (t) = lim
(A + An(t))
= lim
I − t
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
La troisième égalité en résulte compte tenu que:
I − t
I − A
Théorème 4.1.3 (la formule de Lie-Trotter) Soit A1 le générateur infinité-
simal du semi-groupe uniformément continu {T1(t)}t≥0 et A2 le générateur in-
finitésimal du semi-groupe uniformément continu {T2(t)}t≥0, alors l’opérateur:
A : E −→ E ,
Ax = A1x + A2x
116 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 uniformément continu,
tel que:
T (t) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Nous avons successivement:
A21 +
A31 + · · ·
A22 +
A32 + · · ·
= I +
(A1 + A2) +
A21 + A1A2 +
+ · · · =
= I +
(A1 + A2) +
A21 + A1A2 +
+ · · ·
= I +
[A + An(t)] ,
où l’opérateur:
An(t) =
1 + A1A2 +
1A2 +
+ · · ·
a la propriété:
‖An(t)‖ ≤
A21 + A1A2 +
A31 +
A21A2 +
+ · · · −→ 0 si n → ∞ ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Avec le
théorème 4.1.1, on voit que:
T (t) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Remarque 4.1.4 Si A, B ∈ B(E), alors on a:
et(A+B) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 117
4.2 Propriétés de convergence des C0-semi-groupes
Dans cette section on introduit la topologie de la résolvante sur l’ensemble
GI(E) des générateurs infinitésimaux et on montre le théorème de Trotter - Kato.
Définition 4.2.1 On dit que la suite (An)n∈N∗ ⊂ GI(E) est convergente vers A ∈
GI(E) pour la topologie forte de la résolvante si pour tout λ ∈ ⋂
ρ(An) ∩ ρ(A),
on a:
R(λ; An)x −→ R(λ; A)x , si n → ∞ , (∀)x ∈ E .
De même, on dit que la suite (An)n∈N∗ ⊂ GI(E) est convergente vers A ∈ GI(E)
pour la topologie uniforme de la résolvante si pour tout λ ∈ ⋂
ρ(An) ∩ ρ(A), on
‖R(λ; An) − R(λ; A)‖ −→ 0 , si n → ∞.
Par la suite, nous supposerons que GI(E) est doté de la topologie forte de la
résolvante.
Lemme 4.2.2 Soient {T (t)}
t≥0 , {S(t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A, respectivement
B, leur générateurs infinitésimaux. Alors pour tout λ ∈ Λω et tout x ∈ E on a
l’égalité:
R(λ; B) [T (t) − S(t)] R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds
quel que soit t ≥ 0.
Preuve Soient x ∈ E et λ ∈ Λω. Alors R(λ; A)x ∈ D(A) et R(λ; B)x ∈ D(B).
L’application:
[0, t] ∋ s −→ S(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x ∈ E
est différentiable et pour s ∈ [0, t] et x ∈ E nous avons:
S(t − s) [R(λ; B)T (s)R(λ; A)x] =
= S(t − s)(−B)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x + S(t − s)R(λ; B)T (s)AR(λ; A)x =
= S(t − s)(λI − B − λI)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x +
+ S(t − s)R(λ; B)T (s)(−λI + A + λI)R(λ; A)x =
= S(t − s)T (s)R(λ; A)x− λS(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x−
118 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
− S(t − s)R(λ; B)T (s)x + λS(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x =
= S(t − s) [T (s)R(λ; A)x − R(λ; B)T (s)x] =
= S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x
puisque la résolvante R(λ; A) commute avec T (t), (∀)t ≥ 0. Par conséquent:
S(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x|t0 =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds ,
ou encore:
R(λ; B)T (t)R(λ; A)x − S(t)R(λ; B)R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)] T (s)x ds , (∀)x ∈ E .
Comme S(t)R(λ; B) = R(λ; B)S(t) pour tout t ≥ 0, on obtient finalement:
R(λ; B) [T (t) − S(t)] R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds
pour tout x ∈ E .
Le théorème suivant présente une très jolie correspondance entre les C0-semi-
groupes d’opérateurs linéaires bornés et leur générateurs infinitésimaux.
Théorème 4.2.3 Soient
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs
infinitésimaux les opérateurs (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω).
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) An −→ A, si n → ∞, pour la topologie forte de la résolvante;
ii) pour tout t0 ∈]0,∞) on a l’égalité:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
Preuve i) =⇒ ii) Supposons que An −→ A, si n → ∞, pour la topologie forte de
la résolvante. Pour tout λ ∈ Λω, nous avons:
R(λ; An)x −→ R(λ; A)x , si n → ∞ , (∀)x ∈ E .
Soient t0 ∈]0,∞), x ∈ E et λ ∈ Λω arbitrairement fixées. Puisque la résolvante
commute avec le semi-groupe associé, il résulte que:
[Tn(t) − T (t)] R(λ; A)x = Tn(t) [R(λ; A) − R(λ; An)] x +
+ R(λ; An) [Tn(t) − T (t)]x + [R(λ; An) − R(λ; A)] T (t)x.
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 119
Montrons que cette expression tend vers zero si n → ∞.
Comme
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω), il est clair que:
‖Tn(t)‖ ≤ Meωt0 , (∀)t ∈ [0, t0].
Compte tennu de (i), on voit que le premier terme converge vers zero si n → ∞,
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0].
De même, la continuité de l’application t 7→ T (t)x sur l’intervalle compact [0, t0],
conduit au fait que l’ensemble {T (t)x |t ∈ [0, t0]} est compact, comme l’image d’un
compact par une fonction continue. On en déduit facilement que le troisième terme
est fortement convergent vers zero lorsque n → ∞ et cette convergence est uniforme
par rapport à t ∈ [0, t0].
Pour le deuxième terme, compte tenu du lemme 4.2.2, on a:
R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] R(λ; A)x =
Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x ds,
pour tout t ∈ [0, t0]. Si pour s ∈ [0, t0], on pose
ft,n(s)x = Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x , 0 ≤ s ≤ t ≤ t0,
alors on voit que:
‖ft,n(s)x‖ = ‖Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x‖ ≤
≤ ‖Tn(t − s)‖ ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖T (s)‖ ‖x‖ ≤
≤ Meω(t−s) (‖R(λ; A)‖ + ‖R(λ; An)‖) Meωs‖x‖ ≤
≤ Meωt
Re λ − ω +
Re λ − ω
Meωt‖x‖ =
Re λ − ωe
2ωt‖x‖ .
De plus, compte tenu des inégalités:
‖ft,n(s)x‖ = ‖Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x‖ ≤
≤ ‖Tn(t − s)‖ ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖T (s)‖ ‖x‖ ≤
≤ Meω(t−s) ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖Meωs‖x‖ ≤
≤ M2eωt ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖x‖ ,
nous obtenons
‖ft,n(s)x‖ = 0 ,
120 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
quels que soient s ∈ [0, t] et t ∈ [0, t0]. Avec le théorème de la convergence dominée
de Lebesgue ([DS’67, Theorem III.3.7, pag. 124]) il résulte que:
‖ft,n(s)x‖ ds =
‖ft,n(s)x‖ ds ,
pour tout t ∈ [0, t0]. Il s’ensuit donc que:
‖R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] R(λ; A)x‖ = 0 , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0]. Si nous notons y = R(λ; A)x ∈ D(A), on
voit que:
‖R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] y‖ = 0 , (∀)y ∈ D(A),
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0]. Par conséquent, si x ∈ D(A), le deuxième
terme tend vers zero pour n → ∞, uniformément par rapport à t ∈ [0, t0].
Il s’ensuit que:
t∈[0,t0]
‖[Tn(t) − T (t)]R(λ; A)x‖
= 0 , (∀)x ∈ D(A),
d’où il résulte immédiatement:
t∈[0,t0]
‖[Tn(t) − T (t)] y‖
= 0 , (∀)y ∈ R(λ; A)D(A).
Comme R(λ; A)D(A) = D (A2), compte tenu du théorème 2.2.10 on voit que
R(λ; A)D(A) = E . Nous obtenons finalement:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
ii) =⇒ i) En appliquant le théorème 2.3.1, nous obtenons pour λ ∈ Λω:
[R(λ; An) − R(λ; A)] x =
e−λt [Tn(t) − T (t)] x dt , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte:
‖[R(λ; An) − R(λ; A)]x‖ ≤
e−Reλt ‖[Tn(t) − T (t)]x‖ dt , (∀)x ∈ E .
Mais:
‖[Tn(t) − T (t)] x‖ ≤ 2Meωt‖x‖
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 121
quels que soient x ∈ E , t ≥ 0 et n ∈ N∗. Dans ce cas, en posant:
fn(t) = e
λt [Tn(t) − T (t)]x , (∀)t ≥ 0
on voit que:
‖fn(t)‖ ≤ 2Me−(Reλ−ω)t‖x‖ , (∀)t ≥ 0.
De plus, compte tenu de l’inégalité:
‖fn(t)‖ ≤ e−Reλt ‖[Tn(t) − T (t)]x‖ ,
nous obtenons:
‖fn(t)‖ = 0 , (∀)t ≥ 0.
Avec le théorème de la convergence dominée de Lebesgue ([DS’67, Theorem
III.3.7, pag. 124]), il vient:
‖[R(λ; An) − R(λ; A)] x‖ = 0
pour tout x ∈ E et tout λ ∈ Λω. Donc An −→ A, si n → ∞, pour la topologie
forte de la résolvante.
Une version intéressante du théorème 4.2.3 est le théorème suivant.
Théorème 4.2.4 Soient
{Tα(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs in-
finitésimaux les opérateurs (Aα)α>0 ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω).
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) pour tout x ∈ D(A), il existe xα ∈ D(Aα) tel que:
xα = x
Aαxα = Ax;
ii) pour tout λ ∈ Λω, on a:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ;
iii) pour tout t0 ∈]0,∞), nous avons:
t∈[0,t0]
‖Tα(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
122 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve i) =⇒ ii) Soient λ ∈ Λω et x ∈ D(A). Alors il existe xα ∈ D(Aα), α > 0
tel que
xα = x
Aαxα = Ax .
Nous définissons
y = (λI − A)x ∈ (λI − A)D(A)
yα = (λI − Aα)xα ∈ (λI − Aα)D(Aα) , α > 0.
Il résulte que x = R(λ; A)y et xα = R(λ; Aα)yα. Compte tenu des égalités du (i),
nous obtenons:
R(λ; Aα)yα = R(λ; A)y
AαR(λ; Aα)yα = AR(λ; A)y .
On voit que cette dernière égalité devient:
(λI − λI + Aα)R(λ; Aα)yα = (λI − λI + A)R(λ; A)y
ou bien
λR(λ; Aα)yα − lim
(λI − Aα)R(λ; Aα)yα =
= λR(λ; A)y − (λI − A)R(λ; A)y .
Il vient:
λR(λ; A)y − lim
yα = λR(λ; A)y − y ,
d’où:
yα = y .
D’autre part, pour tout α > 0 on a:
‖R(λ; Aα)‖ ≤
Reλ − ω
et pour y ∈ (λI − A)D(A) on voit que:
R(λ; Aα)y = R(λ; Aα)(y − yα + yα) = R(λ; Aα)(y − yα) + R(λ; Aα)yα .
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 123
Par suite:
‖R(λ; Aα)y − R(λ; A)y‖ ≤
≤ ‖R(λ; Aα)(y − yα)‖ + ‖R(λ; Aα)yα − R(λ; A)y‖ ≤
Reλ − ω‖y − yα‖ + ‖R(λ; Aα)yα − R(λ; A)y‖ ,
d’où il vient:
R(λ; Aα)y = R(λ; A)y ,
pour tout y ∈ (λI − A)D(A). Comme (λI − A)D(A) = E , on voit que:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E .
ii) =⇒ i) Soient λ ∈ Λω et x ∈ E tel que:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x .
Si nous définissons:
yα = R(λ; Aα)x ∈ D(Aα)
y = R(λ; A)x ∈ D(A) ,
nous obtenons:
yα = y .
De plus:
Aαyα = lim
AαR(λ; Aα)x = lim
[λR(λ; Aα)x − x] =
= λR(λ; A)x − x = AR(λ; A)x = Ay .
ii) ⇐⇒ iii) Cette équivalence s’obtient avec une preuve analogue à celle du
théorème 4.2.3.
Corollaire 4.2.5 Soient
{Tα(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs in-
finitésimaux les opérateurs (Aα)α>0 ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω). Supposons que pour
tout x ∈ D(A), il existe δ > 0 tel que pour tout α ∈]0, δ[ on ait x ∈ D(Aα) et
limαց0 Aαx = Ax. Alors, pour tout t0 ∈]0,∞) nous avons:
t∈[0,t0]
‖Tα(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
124 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve Dans le théorème 4.2.4, nous pouvons prendre xα = x, (∀)α ∈]0, δ[.
Le théorème suivant montre que sous certaines conditions, GI(M, ω) est une
sous-classe fermée dans GI(E).
Théorème 4.2.6 Soient (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω) et λ0 ∈ Λω tel que:
i) (R(λ0; An))n∈N∗ est fortement convergente vers Rλ0 ∈ B(E);
ii) Im Rλ0 = E .
Alors il existe un unique opérateur A ∈ GI(M, ω) tel que Rλ0 = R(λ0; A).
Preuve Nous notons:
λ ∈ Λω
∣(R(λ; An))n∈N∗ est fortement convergente
Montrons que S = Λω.
Prouvons que S est ensemble ouvert dans Λω. Soit µ ∈ S. Pour tout n ∈ N∗,
l’application:
ρ(An) ∋ λ 7−→ R(λ; An) ∈ B(E)
est analytique et nous avons:
R(λ; An) =
(λ − µ)k
R(µ; An) =
(λ − µ)k
(−1)kk!R(µ; An)k+1 =
(µ − λ)kR(µ; An)k+1 .
Comme An ∈ GI(M, ω) implique:
∥R(µ; An)
∥ ≤ M
(Reµ − ω)k , (∀)k ∈ N
on voit que:
‖R(λ; An)‖ ≤
|µ − λ|k
∥R(µ; A)k+1
∥ ≤ M
Reµ − ω
|µ − λ|
Reµ − ω
La série de la partie droite de cette inégalité est convergente sur l’ensemble:
λ ∈ Λω
∣ |µ − λ|(Reµ − ω)−1 < 1
Il en résulte que la série:
R(λ; An) =
(µ − λ)kR(µ; An)k+1
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 125
est uniformément convergente sur les compacts
λ ∈ Λω
∣ |µ − λ|(Reµ − ω)−1 ≤ ν < 1
⊂ V .
Comme
‖R(λ; A)‖ ≤ M
Re µ − ω
on voit que la suite (R(λ; An))n∈N∗ est fortement convergente pour tout λ ∈ Vν .
Donc il existe un voisinage de µ contenu dans S. Par conséquent S est ensemble
ouvert dans Λω.
Maintenant, nous allons montrer que S est un ensemble relativement fermé dans
Λω. Soient (λm)m∈N ⊂ S et λ ∈ Λω tel que
λ = lim
Pour tout ν ∈]0, 1[, il existe λm,ν ∈ S tel que:
|λm,ν − λ| (Re λm,ν − ω)−1 ≤ ν < 1 .
Compte tenu de la première partie de la preuve, on voit que la série
R(λ; An) =
(λm,ν − λ)k R(λm,ν ; An)k+1
est uniformément convergente et que la suite (R(λ; An))n ∈ N∗ est fortement
convergente. Par conséquent, λ ∈ S et S est un ensemble relativement fermé dans
Λω. Comme λ0 ∈ S, nous voyons que S = Λω par connexité.
Pour λ ∈ Λω, définissons l’opérateur Rλ ∈ B(E) par:
Rλx = lim
R(λ; An)x , (∀)x ∈ E .
Soient λ , µ ∈ Λω arbitraires. On a:
(Rλ − Rµ) x = lim
[R(λ; An) − R(µ; An)]x =
= lim
(µ − λ)R(λ; An)R(µ; An)x =
= (µ − λ)RλRµx , (∀)x ∈ E .
Par conséquent Rλ est une pseudo-résolvante, quel que soit λ ∈ Λω. Comme il
existe λ0 ∈ Λω tel que Im Rλ0 = E , compte tenu du théorème 1.1.22 (ii), on
déduit que Im Rλ = E , quel que soit λ ∈ Λω. Avec l’inégalité:
‖R(λ; An)m‖ ≤
(Reλ − ω)m , (∀)λ ∈ Λω et m ∈ N
126 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
on voit que pour tout compact K ⊂ Λω, il existe MK > 0 tel que
‖R(λ; An)‖ ≤ MK ,
quel que soit n ∈ N∗. Avec le lemme de Montel ([GS’99, pag. 220]), on déduit
qu’il existe une sous-suite (R(λ; Ank))k∈N∗ telle que
Rλx = lim
R(λ; Ank)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à λ sur les compacts de Λω. Comme R(λ; Ank) est un
opérateur injectif pour tout k ∈ N∗, avec le théorème de Hurwitz ([GS’99, pag.
193]) nous obtenons que Rλ est un opérateur injectif, donc Ker R(λ; An) = {0}.
En appliquant le théorème 1.1.22 (iii), on voit que pour tout λ ∈ Λω, il existe un
opérateur linéaire A : D(A) −→ E , A = λI − R−1λ fermé et défini sur un sous
espace dense tel que Rλ = R(λ; A), (∀)λ ∈ Λω. De plus:
‖R(λ; A)m‖ ≤ M
(Reλ − ω)m .
et le théorème de Hille - Yosida implique alors que A ∈ GI(M, ω).
Maintenant, nous avons toutes les conditions pour formuler un autre résultat
important concernant les C0-semi-groupes.
Théorème 4.2.7 (Trotter - Kato) Soit
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant
pour générateurs infinitésimaux les opérateurs (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω).
S’il existe λ0 ∈ Λω tel que:
i) (R(λ0; An))n∈N∗ est fortement convergente vers Rλ0 ∈ B(E);
ii) Im Rλ0 = E ,
alors il existe un unique opérateur A ∈ GI(M, ω) tel que Rλ = R(λ; A), (∀)λ ∈
Λω. De plus, si {T (t)}t≥0 est le C0-semi-groupe engendré par A, alors pour tout
t0 ∈]0,∞) on a:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
Preuve Les affirmations du théorème résultent du théorème 4.2.3 et du théorème
4.2.6.
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 127
4.3 Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-
groupes
Dans la suite, nous montrons le théorème de représentation générale, la for-
mule exponentielle et la formule de Lie-Trotter pour les semi-groupes fortement
continus. Nous commençons par un résultat technique.
Lemme 4.3.1 Soient T ∈ B(E) et M, N ≥ 1 tel que:
∥ ≤ MNk , (∀)k ∈ N∗.
Alors, pour tout n ∈ N, nous avons:
∥en(T−I)x − T nx
∥ ≤ MNn−1e(N−1)n
n2(N − 1)2 + nN‖Tx − x‖
pour tout x ∈ E .
Preuve Soient k, n ∈ N tel que k ≥ n. Alors, nous avons:
∥T kx − T nx
T i+1x − T ix
∥ ‖Tx − x‖ ≤ ‖Tx − x‖
MN i ≤
≤ M‖Tx − x‖
Nk−1 = (k − n)MNk−1‖Tx − x‖ ≤
≤ |k − n|MNn+k−1‖Tx − x‖ , (∀)x ∈ E .
Compte tenu de la symétrie, il est clair que cette inégalité reste valable si nous
considérons n > k. Par suite, on voit que:
∥T kx − T nx
∥ ≤ |k − n|MNn+k−1‖Tx − x‖ , (∀)x ∈ E et n, k ∈ N.
Si t ≥ 0 et n ∈ N, alors nous avons:
∥et(T−I)x − T nx
T kx − T nx
≤ e−t
∥T kx − T nx
∥ ≤ MNn−1e−t‖Tx − x‖
(tN)k
|k − n| .
128 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Avec l’inégalité de Cauchy-Schwartz, il vient:
(tN)k
|k − n| =
(tN)k
(tN)k
|k − n|
(tN)k
(tN)k
(k − n)2 = etN
(n − Nt)2 + Nt .
Il s’ensuit que:
∥et(T−I)x − T nx
∥ ≤ MNn−1e(N−1)t
(n − Nt)2 + Nt‖Tx − x‖
quel que soit x ∈ E . Finalement, en prenant t = n, nous obtenons l’inégalité
considérée dans l’énoncé.
Théorème 4.3.2 (de représentation générale) Soit {F (t)}
t≥0 ⊂ B(E) une famille
d’opérateurs linéaires bornés avec F (0) = I. Supposons qu’il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1
tel que:
∥F (t)
∥ ≤ Mekωt , (∀)k ∈ N∗,
pour tout t ≥ 0.
Si A est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 tel que:
F (t)x − x
= Ax , (∀)x ∈ D(A),
alors nous avons:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soient 0 ≤ a < b. Pour t ∈ [a, b], définissons:
, (∀)n ∈ N∗.
Il est clair que An ∈ B(E), (∀)n ∈ N∗, d’où il résulte que pour tout n ∈ N∗, An
est le générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continu
de plus, nous avons:
Anx = Ax , (∀)x ∈ D(A).
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 129
Avec le corollaire 4.2.5, nous voyons que:
etAnx = T (t)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Compte tenu du lemme 4.3.1, si x ∈ D(A),
il vient:
tAnx −
n[F( tn)−I]x −
≤ Meω tn (n−1)e
n − 1
+ neω
x − x
(n−1)+
n − 1
+ neω
x − x
(n−1)+ e
n − 1
x − x
d’où:
etAnx −
−→ 0 si n → ∞,
pour tout x ∈ D(A), uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. De plus, pour tout
x ∈ D(A), nous avons:
T (t)x −
∥T (t)x − etAnx
etAnx −
−→ 0 si n → ∞,
d’où l’on déduit que:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ D(A),
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Comme D(A) = E et
∥ ≤ Meωt, on voit que:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Théorème 4.3.3 (la formule exponentielle) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et
A son générateur infinitésimal. Alors:
T (t)x = lim
I − t
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intevalles compacts de [0,∞).
130 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve Pour A ∈ GI(M, ω) et t ∈
, nous définissons:
F (t) = (I − tA)−1 = 1
Compte tenu du théorème de Hille-Yosida, on voit que:
∥F (t)k
(1 − ωt)k .
Comme:
(1 − ωt)k ≤ e
1−ωt ,
il vient:
∥F (t)k
∥ ≤ Me2kωt
pour t ∈
. D’autre part, avec le lemme 2.3.6 nous obtenons:
F (t)x − x
= lim
[F (t) − I] x = lim
AF (t)x =
= lim
= Ax , (∀)x ∈ D(A).
Compte tenu du théorème de représentation générale, on voit que:
T (t)x = lim
x = lim
I − t
= lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compactes de [0,∞).
Théorème 4.3.4 (la formule de Lie-Trotter) Soient A1 ∈ GI(M1, ω1) le générateur
infinitésimal du semi-groupe {T1(t)}t≥0 ∈ SG(M1, ω1), respectivement A2 ∈ GI(M2, ω2)
le générateur infinitésimal du semi-groupe {T2(t)}t≥0 ∈ SG(M2, ω2). Supposons
qu’il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que:
∥[T1(t)T2(t)]
∥ ≤ Mekωt , (∀)k ∈ N∗.
Si l’opérateur
A : D(A) ⊂ E −→ E ,
défini par:
Ax = A1x + A2x , (∀)x ∈ D(A) = D(A1) ∩ D(A2),
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 131
est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0, alors:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soit:
F : [0,∞) −→ B(E)
F (t) = T1(t)T2(t) , (∀)t ≥ 0.
Il est évident que F (0) = I. De plus, pour x ∈ D(A), nous avons:
F (t)x − x
= lim
T1(t)T2(t)x − x
= lim
T1(t)T2(t)x − T1(t)x
+ lim
T1(t)x − x
= lim
T1(t)
T2(t)x − x
+ A1x = A1x + A2x = Ax .
Avec le théorème de représentation générale, on voit que:
T (t)x = lim
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Remarque 4.3.5 Si A ∈ GI(M, ω), compte tenu de la formule exponentielle, on
peut définir:
etAx = lim
I − t
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Avec cette
notation, dans les hypothèses du théorème 4.3.4, nous obtenons pour la formule
de Lie-Trotter l’expression:
etAx = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
132 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
4.4 Notes
Pour les résultats de la section 4.1 on peut consulter [Ka’82, pag. 35].
Les propriétés de convergence pour les C0-semi-groupes ont été étudiées par Trotter dans
[Tr’58]. Pour les théorèmes 4.2.3, 4.2.6, 4.2.7 on peut consulter [Pa’83-1, pag. 84] ou [Ah’91,
pag. 131] et pour le théorème 4.2.4 nous avons utilisé [Da’80, pag. 80].
Le théorème 4.3.4 a été montré par Trotter dans [Tr’59] et a été étudié par Chernoff dans
[Ce’68]. Les résultats que nous avons présentés se trouvent dans [Pa’83-1, pag. 89]. Dans
[Da’80, pag. 90], on peut trouver ces problèmes pour les C0-semi-groupes de contractions.
Bibliographie
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[Ba’76] Barbu, V. Nonliniar semigroups and differential equations in Banach
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	Introduction
	Préliminaires
	Les opérateurs dissipatifs
	Semi-groupes uniformément continus
	Notes
	Semi-groupes de classe C0
	Définitions. Propriétés élémentaires
	Propriétés générales des C0-semi-groupes
	Le théorème de Hille - Yosida
	La représentation de Bromwich
	Conditions suffisantes d'appartenances à GI(M,0)
	Propriétés spectrales des C0-semi-groupes
	Notes
	C0-semigroupes avec propriétés spéciales
	C0-semi-groupes différentiables
	C0-semi-groupes analytiques
	C0-semi-groupes de contractions
	Notes
	La formule de Lie - Trotter
	Le cas des semi-groupes uniformément continus
	Propriétés de convergence des C0-semi-groupes
	Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-groupes
	Notes

  In this research project we presents the general properties, the spectral
properties and the representation formulas for $C_0$-semigroups of linear
operators in Banach spaces

Introduction 5
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les opérateurs dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Semi-groupes de classe C0 31
2.1 Définitions. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Propriétés générales des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Le théorème de Hille - Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 La représentation de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Conditions suffisantes d’appartenances à GI(M, 0) . . . . . . . . . . 70
2.6 Propriétés spectrales des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 C0-semigroupes avec propriétés spéciales 87
3.1 C0-semi-groupes différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 C0-semi-groupes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 C0-semi-groupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 La formule de Lie - Trotter 113
4.1 Le cas des semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . 113
4.2 Propriétés de convergence des C0-semi-groupes . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-groupes . . . . . . . . . . 127
4.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Introduction
1.1 Préliminaires
Dans la suite, nous noterons par E un espace de Banach sur le corps des
nombres complexes C et par B(E) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires
bornés dans E . Nous désignerons par I l’unité de B(E).
Pour un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E nous noterons par:
Im A = {Ax |x ∈ D(A)}
l’image de A et par:
Ker A = {x ∈ D(A) |Ax = 0}
le noyau de A.
L’opérateur A : D(A) ⊂ E −→ Im A est surjectif. Si Ker A = {0}, alors A est
injectif. Pour un opérateur bijectif, on peut définir l’opérateur inverse:
A−1 : D
⊂ E −→ E
par A−1y = x si Ax = y. Evidemment D (A−1) = Im A. Dans la suite nous
noterons par GL(E) l’ensemble des éléments inversibles de B(E). L’ensemble GL(E)
est un ensemble ouvert dans B(E) ([Is’81, Theorem 4.1.13, pag. 145]).
Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire. Pour tout n ∈ N, nous définissons:
n : D(An) −→ E
A0 = I , A1 = A , ..., An = A
6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
D(An) =
x ∈ D(An−1)
x ∈ D(A)
quel que soit n ∈ N.
Lemme 1.1.1 Soit f : [a, b] → E une fonction continue. Alors:
f(s) ds = f(a) .
Preuve Nous avons:
f(s) ds − f(a)
[f(s) − f(a)] ds
≤ sup
s∈[a,a+t]
‖f(s) − f(a)‖ .
L’égalité de l’énoncé résulte de la continuité de l’application f .
Lemme 1.1.2 Si A ∈ B(E) et ‖A‖ < 1, alors I − A ∈ GL(E) et:
(I − A)−1 =
Preuve Soit Yn = I + A + A
2 + . . . + An. Alors:
‖Yn+p − Yn‖ ≤
‖A‖n+1
1 − ‖A‖ −→ 0 pour n → ∞.
Par conséquent, (Yn)n∈N est une suite Cauchy. Mais B(E) est une algèbre de
Banach. La suite (Yn)n∈N est donc convergente. Notons Y ∈ B(E) sa limite.
De l’égalité (I − A)Yn = I − An+1, il résulte que limn→∞(I − A)Yn = I, d’où
(I − A)Y = I.
Nous obtenons Y (I − A) = I de façon analogue.
Finalement, on voit que I − A ∈ GL(E) et que (I − A)−1 =
Remarque 1.1.3 Si ‖I − A‖ < 1, alors A ∈ GL(E) et A−1 =
(I − A)n.
Définition 1.1.4 L’ensemble:
ρ(A) =
λ ∈ C
∣(λI − A)−1 est inversible dans ∈ B(E)
s’appelle l’ensemble résolvant de A ∈ B(E).
Proposition 1.1.5 Soit A ∈ B(E). Alors ρ(A) est un ensemble ouvert.
1.1. PRÉLIMINAIRES 7
Preuve Définissons l’application:
φ : C −→ B(E)
φ(λ) = λI − A .
Evidemment, φ est continue. Si λ ∈ ρ(A), alors λI − A ∈ GL(E) et par suite
ρ(A) = φ−1 (GL(E)). Comme GL(E) est un ensemble ouvert, on voit que ρ(A) est
ouvert.
Définition 1.1.6 L’application:
R( . ; A) : ρ(A) −→ B(E)
R(λ; A) = (λI − A)−1
s’appelle la résolvante de A.
Proposition 1.1.7 La résolvante d’un opérateur linéaire A ∈ B(E), a les pro-
priétés suivantes:
i) si λ, µ ∈ ρ(A), alors:
R(λ; A) − R(µ; A) = (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A) ;
ii) R( . ; A) est une application analytique sur ρ(A);
iii) si λ ∈ C et |λ| > ‖A‖, alors λ ∈ ρ(A) et nous avons:
R(λ; A) =
iv) Nous avons:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1
quels que soient n ∈ N∗ et λ ∈ ρ(A).
Preuve i) Nous avons successivement:
R(λ; A) − R(µ; A) = (λI − A)−1 − (µI − A)−1 =
= (λI − A)−1 (µI − A − λI + A) (µI − A)−1 =
= (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A)
8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
quels que soient λ, µ ∈ ρ(A).
ii) Soit λ0 ∈ ρ(A). Notons D
‖R(λ0;A)‖
le disque ouvert de centre λ0 et de
rayon 1
‖R(λ;A)‖
. Alors, pour λ ∈ D
‖R(λ0;A)‖
, nous avons:
λI − A = [I − (λ0 − λ)R(λ0; A)] (λ0I − A) .
Mais:
‖(λ0 − λ)R(λ0; A)‖ = |λ0 − λ|‖R(λ0; A)‖ < 1 .
Compte tenu du lemme 1.1.2, il résulte que:
I − (λ0 − λ)R(λ0; A) ∈ GL(E) ,
d’où λI − A ∈ GL(E) et:
(λI − A)−1 = (λ0I − A)−1[I − (λ0 − λ)R(λ0; A)]−1 =
= R(λ0; A)
(λ0 − λ)nR(λ0; A)n =
(−1)n(λ − λ0)nR(λ0; A)n+1 .
Donc R( . ; A) est analytique sur ρ(A).
iii) Soit λ ∈ C tel que |λ| > ‖A‖. Alors ‖λ−1A‖ < 1, d’où I − λ−1A ∈ GL(E). De
plus:
I − λ−1A
Par conséquent:
R(λ; A) = (λI − A)−1 = λ−1
I − λ−1A
L’assertion (iv) s’obtient par récurrence. Pour n = 1, nous avons:
R(λ; A) =
(λI − A)−1 = −(λI − A)−2 = R(λ; A)2 .
Supposons que pour k ∈ N, on ait:
R(λ; A) = (−1)kk!R(λ; A)k+1 .
Montrons que:
dλk+1
R(λ; A) = (−1)k+1(k + 1)!R(λ; A)k+2 .
1.1. PRÉLIMINAIRES 9
Nous avons:
dλk+1
R(λ; A) =
R(λ; A)
(−1)kk!(λI − A)−k−1
= (−1)kk!(−k − 1)(λI − A)−k−2 = (−1)k+1(k + 1)!R(λ; A)k+2
et par conséquent:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1 , (∀)n ∈ N∗.
Remarque 1.1.8 Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), il résulte que:
{λ ∈ C ||λ| > ‖A‖} ⊂ ρ(A).
Définition 1.1.9 L’ensemble σ(A) = C − ρ(A) s’appelle le spectre de A ∈ B(E).
Proposition 1.1.10 Soit A ∈ B(E). Alors:
i) σ(A) 6= ∅;
ii) σ(A) est un ensemble compact.
Preuve i) Supposons que σ(A) = ∅. Alors ρ(A) = C. Par conséquent, l’application
λ 7−→ (λI − A)−1 est définie sur C. De plus, pour |λ| > ‖A‖, nous avons:
R(λ; A) =
, (∀)λ ∈ ρ(A).
Il s’ensuit que:
|λ|→∞
R(λ; A) = 0.
Donc il existe M > 0 tel que ‖R(λ; A)‖ < M , (∀)λ ∈ C. Le théorème de Liouville
([DS’67, pag. 231]) implique que R(.; A) est constante sur C et que cette constante
ne peut être que 0. Donc (λI − A)−1 = 0 pour tout λ ∈ C, ce qui est absurde.
Par conséquent σ(A) 6= ∅.
ii) Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), nous obtenons que:
σ(A) ⊂ {λ ∈ C ||λ| ≤ ‖A‖} .
L’ensemble σ(A) est donc borné. Comme nous avons vu que σ(A) est un ensemble
fermé, il est donc compact.
10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Définition 1.1.11 Pour un opérateur linéaire A ∈ B(E), le nombre
r(A) = sup
λ∈σ(A)
s’appelle le rayon spectral de A.
Remarque 1.1.12 Evidemment, pour un opérateur A ∈ B(E), σ(A) est contenu
dans l’intérieur du cercle de centre O et de rayon r(A). De plus, on peut montrer
r(A) = lim
et on voit que r(A) ≤ ‖A‖.
Par la suite, nous présenterons quelques problèmes concernant la théorie spec-
trale pour un opérateur linéaire fermé A : D(A) ⊂ E −→ E .
Définition 1.1.13 L’ensemble:
ρ(A) = {λ ∈ C |λI − A : D(A) −→ E est opérateur bijectif}
s’appele l’ensemble résolvant de A.
Remarque 1.1.14 Il résulte du théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]) que l’opérateur:
(λI − A)−1 : E −→ E
est continu dans E .
Définition 1.1.15 L’application:
R( . ; A) : ρ(A) −→ B(E)
R(λ; A) = (λI − A)−1 , (∀)λ ∈ ρ(A)
s’appelle la résolvante de A.
Proposition 1.1.16 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E , un opérateur linéaire fermé.
Alors:
i) ρ(A) est un ensemble ouvert et R( . ; A) est une application analytique sur ρ(A);
ii) si λ, µ ∈ ρ(A), alors:
R(λ; A) − R(µ; A) = (µ − λ)R(λ; A)R(µ; A) ;
1.1. PRÉLIMINAIRES 11
iii) Nous avons:
R(λ; A) = (−1)nn!R(λ; A)n+1
quels que soient n ∈ N et λ ∈ ρ(A).
Preuve Elle est analogue à celle de la proposition 1.1.7.
Définition 1.1.17 L’ensemble σ(A) = C − ρ(A) s’appelle le spectre de A.
Remarque 1.1.18 σ(A) est un ensemble fermé.
Remarque 1.1.19 Il existe des opérateurs fermés qui ont un spectre non borné.
Exemple 1.1.20 Prenons E = C[0,1] et considérons l’opérateur:
D : C1[0,1] −→ E
défini par:
Df = f
Dans ce cas, nous avons σ(D) = C.
Définition 1.1.21 Soit D ⊂ C un ensemble ouvert. Une application analytique:
D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E)
qui vérifie la propriété:
Rλ − Rµ = (µ − λ)RλRµ , (∀)λ, µ ∈ D,
s’appelle une pseudo-résolvante.
Théorème 1.1.22 Soit D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E) une pseudo-résolvante. Alors:
i) RλRµ = RµRλ, (∀)λ, µ ∈ D;
ii) KerRλ et ImRλ ne dépendent pas de λ ∈ D;
iii) Rλ est la résolvante d’un opérateur linéaire A fermé et défini sur un sous
espace dense si et seulement si KerRλ = {0} et ImRλ = E .
12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Preuve i) Soient λ, µ ∈ D. Alors, nous avons:
Rλ − Rµ = (µ − λ)RλRµ
Rµ − Rλ = (λ − µ)RµRλ ,
d’où:
0 = (µ − λ)RλRµ + (λ − µ)RµRλ .
Par suite, on a RλRµ = RµRλ.
ii) Soient µ ∈ D et x ∈ Ker Rµ. Alors Rµx = 0. Si λ ∈ D, on a:
Rλx − Rµx = (µ − λ)RλRµx .
Donc Rλx = 0. Par conséquent x ∈ Ker Rλ. Il s’ensuit que Ker Rλ ne dépend pas
de λ ∈ D.
Soient µ ∈ D et y ∈ Im Rµ. Alors il existe x ∈ E tel que Rµx = y. Si λ ∈ D,
nous avons:
Rλx − Rµx = (µ − λ)RλRµx .
Donc:
Rλx − y = (µ − λ)Rλy ,
ou bien:
y = Rλ (x + (λ − µ)y) .
Donc il existe u = x + (λ− µ)y ∈ E tel que y = Rλu. Par conséquent y ∈ Im Rλ.
Il s’ensuit que Im Rλ ne dépend pas de λ ∈ D.
iii) =⇒ Si Rλ est une résolvante pour un opérateur linéaire A fermé et défini sur
un sous espace dense, alors Rλ est une application bijective, d’où Ker Rλ = {0}
et Rλ = (λI − A)−1. Par suite, Rλ−1 = λI − A et D
= D(A) = E . Par
conséquent Im Rλ = D
= E .
⇐= Soient D ∋ λ 7−→ Rλ ∈ B(E) une pseudo-résolvante et λ ∈ D tel que Ker Rλ =
{0}. Alors pour y ∈ Im Rλ, il existe un seul xλ ∈ E tel que y = Rλxλ. Mais pour
λ, µ ∈ D, on a:
Rλy − Rµy = (µ − λ)RλRµy .
D’autre part:
Rλy − Rµy = RλRµxµ − RµRλxλ =
= RλRµxµ − RλRµxλ = RλRµ (xµ − xλ) .
1.2. LES OPÉRATEURS DISSIPATIFS 13
Donc xµ − xλ = (µ − λ)y, d’où λy − xλ = µy − xµ. Par conséquent, l’opérateur:
A : Im Rλ −→ E
Ay = λy − xλ = λy − Rλ−1y
est correctement défini (valeur indépendante de λ). De même D(A) = Im Rλ = E .
Puis que Rλ ∈ B(E), il résulte du théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]) que R−1λ est un opérateur fermé. Donc A = λI − Rλ−1 est un
opérateur fermé. De plus, on a:
−1y = xλ = λy − Ay = (λI − A)y .
Par conséquent Rλ = (λI − A)−1 est la résolvante de A.
1.2 Les opérateurs dissipatifs
Dans la suite, nous notons par E∗ l’espace dual du E et par ‖ . ‖∗ sa norme.
Pour tout x ∈ E , nous désignerons par J (x) l’ensemble:
x∗ ∈ E∗
∣〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2∗
Définition 1.2.1 On dit que l’opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E est dissi-
patif si pour tout x ∈ D(A), il existe x∗ ∈ J (x) tel que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.
Dans la proposition suivante nous présentons une caractérisation très utile pour
les opérateurs dissipatifs.
Proposition 1.2.2 Un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ E −→ E est dissipatif si et
seulement si pour tout α > 0 on a:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A).
Preuve =⇒ Supposons que A : D(A) ⊂ E −→ E est un opérateur dissipatif. Pour
tout x ∈ D(A), il existe x∗ ∈ J (x) tel que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0. Si α > 0, alors nous
14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
avons:
‖(αI − A)x‖ ‖x‖ = ‖(αI − A)x‖ ‖x∗‖∗ ≥
≥ |〈(αI − A)x, x∗〉| ≥ Re〈(αI − A)x, x∗〉 =
= Re〈αx, x∗〉 − Re〈Ax, x∗〉 ≥ α‖x‖2 ,
d’où il résulte l’inégalité de l’énoncé.
⇐= Soit A : D(A) ⊂ E −→ E tel que pour tout α > 0 et x ∈ D(A) on ait:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ .
Soit y∗α ∈ J ((αI − A)x). On a donc:
〈(αI − A)x, y∗α〉 = ‖(αI − A)x‖
= ‖y∗α‖
d’où:
‖y∗α‖∗ = ‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ .
Nous définissons:
z∗α =
‖y∗α‖∗
et désignons par B1(E∗) la boule unité de E∗ et par ∂B1(E∗) sa frontière. Il est
évident que z∗α ∈ ∂B1(E∗). De plus:
α‖x‖ ≤ ‖(αI − A)x‖ = 1‖y∗α‖∗
〈(αI − A)x, y∗α〉 =
= 〈(αI − A)x, z∗α〉
et par conséquent:
α‖x‖ ≤ Re〈(αI − A)x, z∗α〉 = Re〈αx, z∗α〉 − Re〈Ax, z∗α〉 ≤
≤ α |〈x, z∗α〉| − Re〈Ax, z∗α〉 ≤ α‖x‖ ‖z∗α‖∗ − Re〈Ax, z
= α‖x‖ − Re〈Ax, z∗α〉 .
Il s’ensuit que:
Re〈Ax, z∗α〉 ≤ 0 ,
d’où:
−Re〈Ax, z∗α〉 ≤ |〈Ax, z∗α〉| ≤ ‖Ax‖ ‖z∗α‖∗ = ‖Ax‖
et par conséquent:
α‖x‖ ≤ αRe〈x, z∗α〉 + ‖Ax‖ .
1.2. LES OPÉRATEURS DISSIPATIFS 15
Donc:
Re〈x, z∗α〉 ≥ ‖x‖ −
‖Ax‖ .
D’autre part, en appliquant le théorème d’Alaoglu ([DS’67, Theorem V.4.2, pag.
424]), on voit que la boule unité B1(E∗) est faiblement compacte. Par conséquent,
il existe une sous suite
⊂ (z∗α)α>0 et il existe z∗ ∈ B1(E∗) tel que:
z∗β −→ z∗ si β → ∞
pour la topologie faible. Comme on a
Re〈Ax, z∗β〉 ≤ 0
Re〈x, z∗β〉 ≥ ‖x‖ −
‖Ax‖ ,
on obtient par passage à limite en β → ∞:
Re〈Ax, z∗〉 ≤ 0
Re〈x, z∗〉 ≥ ‖x‖ .
Mais comme:
Re〈x, z∗〉 ≤ |〈x, z∗〉| ≤ ‖x‖‖z∗‖∗ ≤ ‖x‖ ,
il s’ensuit que:
〈x, z∗〉 = ‖x‖ .
Si nous prenons x∗ = ‖x‖z∗, il vient:
〈x, x∗〉 = 〈x, ‖x‖z∗〉 = ‖x‖〈x, z∗〉 = ‖x‖2 .
Il en résulte que x∗ ∈ J (x). Finalement, on voit que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0, d’où l’on
tire que l’opérateur A est dissipatif.
Proposition 1.2.3 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur dissipatif. S’il existe
α0 > 0 tel que Im (α0I − A) = E , alors pour tout α > 0 on a Im (αI − A) = E .
Preuve Soient A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur dissipatif et α0 > 0 tel que
Im (α0I − A) = E . Compte tenu de la proposition 1.2.2, on voit que:
‖(α0I − A)x‖ ≥ α0‖x‖ , (∀)x ∈ D(A)
16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et comme Im (α0I − A) = E , il en résulte que α0I − A ∈ GL(E) et α0 appartient
donc bien à ρ(A). Soit (xn)n∈N ⊂ D(A) tel que xn −→ x et Axn −→ y si n → ∞.
Il est clair que:
(α0I − A)xn −→ α0x − y si n → ∞
et par conséquent:
xn = R(α0; A)(α0I − A)xn −→ R(α0; A)(α0x − y) si n → ∞.
Par suite, nous obtenons:
R(α0; A)(α0x − y) = x .
Comme Im R(α0; A) ⊂ D(A), on voit que x ∈ D(A). De plus:
(α0I − A)x = α0x − y ,
d’où il résulte que Ax = y. Par conséquent, A est un opérateur fermé.
Nous désignerons par A l’ensemble:
{α ∈]0,∞) |Im(αI − A) = E } .
Soit α ∈ A. Comme A est un opérateur dissipatif, on voit que:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A),
d’où il résulte que α ∈ ρ(A). Puisque ρ(A) est un ensemble ouvert, il existe un
voisinage V de α contenu dans ρ(A). Comme V∩]0,∞) ⊂ A, on voit que A est un
ensemble ouvert.
Soit (αn)n∈N ⊂ A tel que αn −→ α si n → ∞. Comme Im (αnI − A) = E ,
(∀)n ∈ N, on observe que pour tout y ∈ E , il existe xn ∈ D(A) tel que:
(αnI − A)xn = y , (∀)n ∈ N,
et par suite, il existe C > 0 tel que:
‖xn‖ ≤
‖y‖ ≤ C , (∀)n ∈ N.
Par conséquent:
αn‖xn − xm‖ ≤ ‖(αmI − A)(xn − xm)‖ =
= ‖(αmI − A)xn − (αmI − A)xm‖ = ‖αmxn − Axn − y‖ =
= ‖αmxn − αnxn + αnxn − Axn − y‖ =
= ‖(αm − αn)xn + y − y‖ = |αm − αn|‖xn‖ ≤ C|αm − αn| ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 17
d’où il résulte que (xn)n∈N est une suite de Cauchy. Puisque E est un espace de
Banach, il s’ensuit que (xn)n∈N converge vers un point x ∈ E . Alors, on en déduit
Axn −→ αx − y si n → ∞
et comme A est un opérateur fermé, on obtient x ∈ D(A) et αx − Ax = y. Par
suite, Im (αI − A) = E et α ∈ A. Donc A est fermé dans ]0,∞) et comme il
existe α0 ∈ A, nous déduisons que A =]0,∞).
1.3 Semi-groupes uniformément continus
Dans la suite nous présenterons quelques problèmes concernant les semi-
groupes uniformément continus d’opérateurs linéaires bornés sur un espace de Ba-
nach E .
Définition 1.3.1 On appelle semi-groupe uniformément continu d’opérateurs li-
néaires bornés sur E une famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) vérifiant les propriétés sui-
vantes:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 ‖T (t) − I‖ = 0.
Définition 1.3.2 On appelle générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément
continu {T (t)}
t≥0 l’opérateur linéaire:
A : E −→ E ,
A = lim
T (t) − I
Lemme 1.3.3 Soit A ∈ B(E). Alors
est un semi-groupe uniformément
continu d’opérateurs linéaires bornés sur E dont le générateur infinitésimal est A.
Preuve Soit A ∈ B(E) et [0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E) une application définie par:
T (t) = etA =
18 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
La série du membre de droite de l’égalité est convergente pour la topologie de la
norme de B(E). De plus, il est évident que T (0) = I et T (t + s) = T (t)T (s) quels
que soient t, s ≥ 0.
Compte tenu de l’inégalité:
‖T (t) − I‖ ≤ et‖A‖ − 1 , (∀)t ≥ 0,
il résulte:
‖T (t) − I‖ = 0 .
Donc la famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe uniformément continu.
D’autre part, puisque:
T (t) − I
etA − I − tA
− I − tA
I + tA +
− I − tA
tk‖A‖k
1 + t‖A‖ +
tk‖A‖k
− 1 − t‖A‖
et‖A‖ − 1 − t‖A‖
et‖A‖ − 1
t‖A‖ ‖A‖ − ‖A‖ −→ 0 si t ց 0,
nous obtenons:
T (t) − I
= A .
Le semi-groupe {T (t)}
t≥0 admet donc pour générateur infinitésimal l’opérateur
Lemme 1.3.4 Etant donné un opérateur A ∈ B(E), il existe un unique semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0 tel que:
T (t) = etA , (∀)t ≥ 0.
Preuve Si {S(t)}
t≥0 est un autre semi-groupe uniformément continu engendré par
A, nous avons:
T (t) − I
S(t) − I
= A .
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 19
Par conséquent:
T (t) − S(t)
= 0 .
Pour a ∈]0,∞), nous considérons l’intervalle Ia = [0, a[. Comme {T (t)}t≥0 et
{S(t)}
t≥0 sont des semi-groupes uniformément continus, nous voyons que les ap-
plications:
t 7−→ ‖T (t)‖
t 7−→ ‖S(t)‖
sont continues. Il existe ca ∈ [1,∞) tel que:
{‖T (t)‖, ‖S(t)‖} ≤ ca .
Si ε > 0, il existe t0 ∈ Ia, t0 > 0, tel que:
T (t) − S(t)
, (∀)t ∈]0, t0[.
Soit t ∈ Ia arbitrairement fixé et n ∈ N tel que tn ∈]0, t0[. Alors:
T (t) − S(t) =
(n − 1) t
(n − 1) t
(n − 2) t
(n − 2) t
− · · · − T
(n − k) t
(n − k − 1) t
(k + 1)
(n − k − 1) t
quel que soit t ∈ Ia.
De l’inégalité:
nous obtenons:
20 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et par suite:
‖T (t) − S(t)‖ ≤
ca < ε , (∀)t ∈ Ia.
Puisque ε > 0 est arbitraire, il en résulte que T (t) = S(t), pour tout t ∈ Ia. Mais,
comme a ∈]0,∞) est aussi arbitraire, il s’ensuit que T (t) = S(t), (∀)t ∈ [0,∞).
Présentons maintenant la condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur
soit le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu.
Théorème 1.3.5 Un opérateur A : E −→ E est le générateur infinitésimal d’un
semi-groupe uniformément continu si et seulement si A est un opérateur linéaire
borné.
Preuve =⇒ Soit A : E −→ E le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uni-
formément continu {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E). Alors:
‖T (t) − I‖ = 0 .
L’application [0,∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ B(E) est continue et par suite
T (s) ds ∈ B(E).
Avec le lemme 1.1.1, on voit que:
T (s) ds = T (0) = I .
Il existe donc τ > 0 tel que:
T (t) dt − I
< 1 .
Compte tenu de la remarque 1.1.3, l’élément 1
T (t)dt est inversible, d’où il s’ensuit
T (t) dt est inversible. Nous avons:
T (h) − I
T (t) dt =
T (t + h) dt −
T (t) dt
T (u) du − 1
T (u) du .
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 21
Avec le lemme 1.1.1, nous obtenons:
T (h) − I
T (t) dt =
= lim
T (u) du − 1
T (u) du
= T (τ) − T (0) = T (τ) − I ,
d’où:
T (h) − I
= [T (τ) − I]
T (t) dt
Par conséquent, le générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continue
{T (t)}
t≥0 est l’opérateur:
A = [T (τ) − I]
T (t) dt
∈ B(E) .
⇐= Cette implication est évidente compte tenu du lemme 1.3.3 et du lemme 1.3.4.
Corollaire 1.3.6 Soient {T (t)}
t≥0 un semi-groupe uniformément continu et A
son générateur infinitésimal. Alors:
i) il existe ω ≥ 0 tel que ‖T (t)‖ ≤ eωt , (∀)t ≥ 0;
ii) l’application [0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E) est différentiable pour la topologie de
la norme et:
dT (t)
= AT (t) = T (t)A , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Nous avons:
‖T (t)‖ =
∥ ≤ et‖A‖ , (∀)t ≥ 0.
Pour ω = ‖A‖, nous obtenons l’inégalité:
‖T (t)‖ ≤ eωt , (∀)t ≥ 0.
L’assertion (ii) provient des égalités suivantes:
A = lim
T (t) − I
= lim
T (t) − T (0)
t − 0 ,
22 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
nous en déduisons que l’application considérée est dérivable au point t = 0.
Soient t > 0 et h > 0. Alors:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
T (h) − I
‖T (t)‖ ≤
T (h) − I
et‖A‖ ,
d’où:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
= 0 .
Par conséquent, l’application considérée dans l’énoncé est dérivable à droite et on
d+T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Soient t > 0 et h < 0 tel que t + h > 0. Alors:
T (t + h) − T (t)
− AT (t)
I − T (−h)
− AT (−h)
‖T (t + h)‖ ≤
T (−h) − I
−h − AT (−h)
e(t+h)‖A‖ ,
d’où il vient:
T (t + h) − T (t)
= AT (t) .
Par conséquent l’application considérée dans l’énoncé est dérivable à gauche et
nous avons:
d−T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Finalement on voit que l’application considérée dans l’énoncé est dérivable sur
[0,∞) et nous avons:
dT (t)
= AT (t) , (∀)t ≥ 0.
On vérifie que AT (t) = T (t)A , (∀)t ≥ 0.
Maintenant abordons quelques problèmes de théorie spectrale pour un semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0 ayant pour le générateur infinitésimal
l’opérateur A ∈ B(E).
Théorème 1.3.7 Soient {T (t)}
un semi-groupe uniformément continu et A
son générateur infinitésimal. Si λ ∈ C tel que Reλ > ‖A‖, alors l’application:
Rλ : E −→ E ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 23
Rλx =
e−λtT (t)x dt
définit un opérateur linéaire borné, λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout x ∈ E .
Preuve Soit λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖. Avec le corollaire 1.3.6 (i), on voit que:
‖T (t)‖ ≤ e‖A‖t , (∀)t ≥ 0.
De même, nous avons:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−(Reλ−‖A‖)t‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
e−(Reλ−‖A‖)t dt =
Reλ − ‖A‖ .
L’application Rλ est donc bornée et il est clair que Rλ est linéaire.
Pour x ∈ E , nous avons:
RλAx =
T (t)Ax dt =
−λt d
T (t)x dt =
= −x + λ
e−λtT (t)x dt = −x + λRλx ,
d’où x = Rλ(λI − A)x, pour tout x ∈ E . Par conséquent Rλ(λI − A) = I.
De même, nous avons:
ARλx = A
e−λtT (t)x dt =
e−λtAT (t)x dt =
e−λtT (t)Ax dt = RλAx , (∀)x ∈ E .
Par suite, on a ARλx = RλAx = −x + λRλx, pour tout x ∈ E . Il en résulte que
(λI − A)Rλ = I.
Par conséquent λ ∈ ρ(A) et Rλ = R(λ; A).
Définition 1.3.8 L’opérateur Rλ : E −→ E défini par:
Rλx =
e−λtT (t)x dt , λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖,
s’appelle la transformée de Laplace du semi-groupe uniformément continu {T (t)}
ayant pour générateur infinitésimal l’opérateur A.
24 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Remarque 1.3.9 On a:
{λ ∈ C |Reλ > ‖A‖} ⊂ ρ(A)
σ(A) ⊂ {λ ∈ C |Reλ ≤ ‖A‖} .
De même, nous obtenons:
‖R(λ; A)‖ ≤ 1
Reλ − ‖A‖
pour tout λ ∈ C avec Reλ > ‖A‖.
Pour obtenir des représentations de type Riesz-Dunford et de type Bromwich,
on a besoin d’une classe spéciale de contours de Jordan.
Définition 1.3.10 Un contour de Jordan lisse et fermé qui entoure σ(A), s’appelle
un contour de Jordan A-spectral s’il est homotope avec un cercle Cr de centre O
et de rayon r > ‖A‖.
Théorème 1.3.11 (Riesz-Dunford) Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-
groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Si ΓA est un contour de Jordan A-
spectral, alors nous avons:
T (t) =
eλtR(λ; A) dλ , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soit ΓA un contour de Jordan A-spectral. Alors ΓA est homotope avec
un cercle Cr de centre O et de rayon r > ‖A‖. Par conséquent, on a:
R(λ; A) dλ =
R(λ; A) dλ , (∀)t ≥ 0.
Compt tenu de la proposition 1.1.7 (iii), on voit que:
R(λ; A) =
uniformément par rapport à λ sur les sous-ensembles compacts de {λ ∈ C| |λ| >
‖A‖}, particulièrement sur le cercle Cr. On a:
R(λ; A) dλ =
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 25
Appliquons la formule de Cauchy ([DS’67, pag. 228]) avec la fonction f(λ) = eλt,
nous obtenons:
, (∀)n ∈ N .
Par conséquent:
eλtR(λ; A) dλ =
= etA = T (t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 1.3.12 (Bromwich) Soient {T (t)}
t≥0 un semi-groupe uniformément
continu et A son générateur infinitésimal. Si a > ‖A‖, alors nous avons:
T (t) =
a+i∞∫
eztR(z; A) dz
et l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t sur les intervalles com-
pacts de ]0,∞).
Preuve Soit a > ‖A‖, pour R > 2a nous considérons le contour de Jordan lisse
et fermé
ΓR = Γ
R ∪ Γ”R
R = {a + iτ |τ ∈ [−R, R]}
Γ”R =
a + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Remarquons que pour z ∈ Γ′R on a:
|z| = |a + iτ | > a > ‖A‖ .
De même, si z ∈ Γ”R, alors nous avons:
|z| = |a + (cos ϕ + i sin ϕ)| = |a − [−R(cos ϕ + i sin ϕ)]| ≥
≥ ||a| − | − R(cos ϕ + i sin ϕ)|| = |a − R| = R − a > ‖A‖ .
Par conséquent, z ∈ ΓR implique z ∈ ρ(A). De plus, on voit que ΓR est homotope
au cercle C de centre O et de rayon R− a. Il s’ensuit donc que ΓR est un contour
de Jordan A-spectral et avec le théorème de Riesz-Dunford nous obtenons:
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
26 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
pour tout R > 2a. Il en résulte:
T (t) = I
t(R) + I
t (R) , (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a, où nous avons noté
t(R) =
eztR(z; A) dz
I”t (R) =
eztR(z; A) dz .
Montrons que
eztR(z; A) dz = 0 , (∀)t ≥ 0.
Compte tenu de la proposition 1.1.7 (iii), on voit que:
R(z; A) =
la série de la partie droite de l’égalité étant uniformément convergente par rapport
à z sur les sous-ensembles compacts de {z ∈ C| |z| > ‖A‖}, particulièrement sur
Γ”R. Il s’ensuit que:
I”(R) =
An dz
, (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a. Notons
At(R) =
Bt(R) =
Pour l’intégrale At(R), avec la paramétrisation suivante
z = a + R(cos ϕ + i sin ϕ) , ϕ ∈
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 27
on obtient:
At(R) =
et(a+R cos ϕ+i sinϕ)
R(− sin ϕ + i cos ϕ) dϕ
etR cos ϕeitR sinϕ
(cos ϕ + i sin ϕ) dϕ
Il en résulte que:
‖At(R)‖ ≤
∣etR cos ϕ
∣eitR sin ϕ
|z| | cos ϕ + i sin ϕ| dϕ ≤
tR cos ϕ 1
R − a dϕ =
R − ae
etR cos ϕ dϕ
parce que z ∈ Γ”R implique
|z| = |a + R(cos ϕ + i sin ϕ)| > R − a
|z| <
R − a .
De l’inégalité R > 2a, on obtient 2R − 2a > R, d’où
R − a < 2 .
Par conséquent:
‖At(R)‖ ≤
etR cos ϕ dϕ , (∀)t ≥ 0,
pour tout R > 2a. Soient 0 ≤ t1 < t2 et t ∈ [t1, t2]. Pour tout R > 2a et tout
etR cos ϕ ≤ 1 .
Comme
etR cos ϕ = 0 ,
28 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
avec le théorème de la convergence bornée de Lebesgue il résulte que
etR cos ϕ dϕ = 0
et par conséquent
At(R) = 0
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2].
Soit maintenant l’intégrale
Bt(R) =
Pour tout t ∈ [t1, t2] et tout R > 2a on a:
etR cos ϕ ≤ 1 , (∀)ϕ ∈
On voit que:
(R − a)n+1
etR cos ϕ dϕ ≤ πeta R
(R − a)n+1 .
Puisque R > 2a > a + ‖A‖, il vient:
‖Bt(R)‖ ≤
R − a
R − a
et comme
R − a < 1 ,
il en résulte que:
‖Bt(R)‖ ≤ eta
R − a
R − a − ‖A‖ ,
quel que soit R > 2a. Donc
Bt(R) = 0 ,
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2]. Il s’ensuit donc que
I”t (R) = 0 ,
1.3. SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 29
uniformément par rapport à t ∈ [t1, t2].
Par conséquent:
T (t) = lim
eztR(z; A) dz =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; A) dz ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de ]0,∞).
Nous finissons cette section avec le théorème spectral pour les semi-groupes
uniformément continus.
Théorème 1.3.13 (spectral mapping) Soit A le générateur infinitésimal du
semi-groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Alors:
etσ(A) = σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Preuve Montrons que etσ(A) ⊂ σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Soit ξ ∈ σ(A). Pour λ ∈ ρ(A), l’application:
gξ(λ) =
eξt − eλt
ξ − λ
est analytique dans un voisinage de σ(A). Compte tenu du théorème 1.3.11, on
voit que:
eξtI − eAt = (ξI − A)gξ(A) .
Si eξt ∈ ρ (T (t)), alors il existe Q =
eξtI − T (t)
∈ B(E). Par conséquent:
I = (ξI − A)gξ(A)Q ,
d’où il résulte que ξ ∈ ρ(A), ce qui est absurde. Donc eξt ∈ σ (T (t)) et par suite
etσ(A) ⊂ σ (T (t)).
Montrons que σ (T (t)) ⊂ etσ(A).
Soit µ ∈ σ (T (t)). Supposons par absurde que µ 6∈ etσ(A). Alors pour λ ∈ ρ(A),
l’application:
h(λ) =
µ − eλt
est définie sur un voisinage du σ(A). Donc:
µI − etA
30 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
et il en résulte que µ ∈ ρ (T (t)) et cela est absurde. Par suite µ ∈ etσ(A), d’où
σ (T (t)) ⊂ etσ(A). Finalement on voit que:
etσ(A) = σ (T (t)) , (∀)t ≥ 0 .
1.4 Notes
Les notions préséntées dans cet chapitre se trouvent en majorité des travaux concernant les semi-
groupes d’opérateurs linéaires. Pour les propriétés de la pseudo-résolvante, on peut consulter
[Pa’83-1, pag. 36].
De même, on peut trouver les opérateurs dissipatifs dans [Pa’83-1, pag. 13], [Da’80,
pag. 52] et [Ah’91, pag. 30]. Une jolie généralisation pour ces opérateurs est donnée dans
[CHADP’87, pag. 61].
Le théorème 1.3.5 a été montré pour la première fois indépendemment par Yosida dans
[Yo’36] et par Nathan dans [Na’35]. Nous avons consulté aussi les preuves données par Pazy
dans [Pa’83-1, pag. 2], Ahmed dans [Ah’91, pag. 4] et Davies dans [Da’80, pag. 19]. Compte
tenu du ce théorème, on peut introduire la transformée de Laplace pour un semi-groupe uni-
formément continu et on peut montrer le théorème 1.3.11 et le théorème 1.3.13 comme des
applications du calcul fonctionnel de Dunford ([DS’67, pag. 568]). Pour le théorème 1.3.12 on
peut consulter [Pa’83-1, pag. 25].
Chapitre 2
Semi-groupes de classe C0
2.1 Définitions. Propriétés élémentaires
Dans le cadre de ce paragraphe, nous introduisons une classe plus générale
que la classe des semi-groupes uniformément continus et nous étudions leurs pro-
priétés élémentaires.
Définition 2.1.1 On appelle C0-semi-groupe (ou semi-groupe fortement continu)
d’opérateurs linéaires bornés sur E une famille {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) vérifiant les
propriétés suivantes:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 T (t)x = x , (∀)x ∈ E .
Définition 2.1.2 On appelle générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0,
un opérateur A défini sur l’ensemble:
D(A) =
x ∈ E
T (t)x − x
existe
Ax = lim
T (t)x − x
, (∀)x ∈ D(A).
Remarque 2.1.3 Il est clair que le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe
est un opérateur linéaire.
Remarque 2.1.4 Puisque:
‖T (t)x − x‖ ≤ ‖T (t) − I‖ ‖x‖
32 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
pour tout x ∈ E et tout t ≥ 0, il en résulte que les semi-groupes uniformément
continus sont C0-semi-groupes. Mais il existe des C0-semi-groupes qui ne sont pas
uniformément continus, comme nous pouvons le voir dans les exemples suivants.
Exemple 2.1.5 Soit:
C[0,∞) = {f : [0,∞) → R| f est uniformément continue et bornée} .
Avec la norme ‖f‖C[0,∞) = supα∈[0,∞) |f(α)|, l’espace C[0,∞) devient un espace de
Banach. Définissons:
(T (t)f) (α) = f(t + α) , (∀)t ≥ 0 et α ∈ [0,∞).
Evidemment T (t) est un opérateur linéaire, et, en plus, on a:
i) (T (0)f) (α) = f(0 + α) = f(α). Donc T (0) = I;
ii) (T (t + s)f) (α) = f(t + s + α) = (T (t)f) (s + α) = (T (t)T (s)f) (α), (∀)f ∈
C[0,∞). Donc T (t + s) = T (t)T (s), (∀)t, s ≥ 0;
iii) limtց0 ‖T (t)f − f‖C[0,∞) = limtց0
supα∈[0,∞) |f(t + α) − f(α)|
= 0, (∀)f ∈
C[0,∞).
De même, nous avons:
‖T (t)f‖C[0,∞) = sup
α∈[0,∞)
|(T (t)f) (α)| = sup
α∈[0,∞)
|f(t + α)| =
= sup
β∈[t,∞)
|f(β)| ≤ sup
β∈[0,∞)
|f(β)| = ‖f‖C[0,∞) , (∀)t ≥ 0.
Donc ‖T (t)‖ = 1, (∀)t ≥ 0. Par conséquent {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe
d’opérateurs linéaires bornés sur C[0,∞), nommé le C0-semi-groupe de translation
à droite.
Soit A : D(A) ⊂ C[0,∞) −→ C[0,∞) le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0. Si f ∈ D(A), alors nous avons:
Af(α) = lim
T (t)f(α) − f(α)
= lim
f(α + t) − f(α)
= f ′(α) ,
uniformément par rapport à α. Par conséquent:
D(A) ⊂ {f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} .
Si f ∈ C[0,∞) tel que f ′ ∈ C[0,∞), alors:
T (t)f − f
− f ′
C[0,∞)
= sup
α∈[0,∞)
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 33
Mais:
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
f(α + t) − f(α)
− f ′(α)
f(τ)|α+tα − f ′(α)
[f ′(τ) − f ′(α)] dτ
|f ′(τ) − f ′(α)| dτ −→ 0
uniformément par rapport à α pour t ց 0. Par suite:
T (t)f − f
− f ′
C[0,∞)
−→ 0 si t ց 0,
d’où f ∈ D(A) et:
{f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} ⊂ D(A) .
Par conséquent D(A) = {f ∈ C[0,∞) |f ′ ∈ C[0,∞)} et Af = f ′. Comme cet
opérateur est non borné, compte tenu du théorème 1.3.5, il ne peut pas engendrer
un semi-groupe uniformément continu.
Exemple 2.1.6 Considérons l’espace Lp]0,∞), 1 ≤ p < ∞, avec la norme:
‖f‖p =
|f(α)|p dα
Avec cette norme, Lp]0,∞), 1 ≤ p < ∞, est un espace de Banach. Définissons:
(T (t)f) (α) = f(t + α) , (∀)t ≥ 0 et α ∈]0,∞).
Nous avons:
‖T (t)f‖
|(T (t)f) (α)|p dα
|f(α + t)|p dα
|f(β)|p dβ
|f(β)|p dβ
= ‖f‖p .
Donc ‖T (t)‖ = 1, (∀)t ≥ 0.
Il est évident que T (0) = I et T (t + s) = T (t)T (s), (∀)t, s ≥ 0.
34 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
De plus, on a:
‖T (t)f − f‖
= lim
|(T (t)f) (α) − f(α)|p dα
= lim
|f(α + t) − f(α)|p dα
= 0 .
Par suite {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe d’opérateurs linéaires bornés sur Lp]0,∞).
Soit A : D(A) ⊂ Lp]0,∞) −→ Lp]0,∞) le générateur infinitésimal du C0-semi-
groupe {T (t)}
t≥0. Si f ∈ D(A), alors nous avons:
Af(α) = lim
T (t)f(α) − f(α)
= lim
f(α + t) − f(α)
= f ′(α)
uniformément par rapport à α. Par conséquent:
D(A) ⊂ {f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)} .
Si f ∈ Lp]0,∞) tel que f ′ ∈ Lp]0,∞), alors on a:
T (t)f − f
− f ′
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
Mais:
(T (t)f) (α) − f(α)
− f ′(α)
f(α + t) − f(α)
− f ′(α)
′(α)τ
[f ′(τ) − f ′(α)] dτ
uniformément par rapport à α si t ց 0. Alors:
T (t)f − f
− f ′
−→ 0 si t ց 0
et on voit que:
{f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)} ⊂ D(A) .
Par conséquent:
D(A) = {f ∈ Lp]0,∞) |f ′ ∈ Lp]0,∞)}
et Af = f ′.
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 35
Théorème 2.1.7 Soit {T (t)}
t≥0 ⊂ B(E) une famille ayant les propriétés:
i) T (0) = I;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) , (∀)t, s ≥ 0.
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
iii’) limtց0 T (t) = I dans la topologie forte;
iii”) limtց0 T (t) = I dans la topologie faible.
Preuve iii′) =⇒ iii′′) Cette implication est évidente.
iii′′) =⇒ iii′) Supposons que:
T (t) = I
dans la topologie faible. Alors, pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ E∗ on a:
〈T (t)x, x∗〉 = 〈x, x∗〉 .
Si t0 > 0, alors pour tout h > 0, nous obtenons:
|〈T (t0 + h)x, x∗〉 − 〈T (t0)x, x∗〉| =
= |〈T (t0)T (h)x, x∗〉 − 〈T (t0)x, x∗〉| =
= |〈T (t0)[T (h)x − x], x∗〉| −→ 0 si h ց 0,
quel que soit x ∈ E et x∗ ∈ E∗. Par suite, l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est faiblement continue à droite sur [0,∞) et on voit qu’elle est faiblement continue
sur ]0,∞). En particulier, elle est faiblement mesurable sur ]0,∞). Pour x ∈ E
arbitrairement fixé, considérons l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
et désignons par:
Im T ( . )x = {T (t)x|t ∈ [0,∞)}
son image. Supposons que l’ensemble:
Kx = {T (q)x|q ∈ Q∗+} ⊂ Im T ( . )x
n’est pas dense dans Im T ( . )x. Alors, il existe t0 ∈ [0,∞) tel que T (t0)x ∈
Im T ( . )x et:
d (T (t0)x,Kx) > 0 .
36 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
En appliquant un corollaire du théorème de Hahn-Banach ([DS’67, Corollary
II.3.13, pag. 64]), on voit qu’il existe x∗0 ∈ E∗ tel que:
〈kn, x∗0〉 = 0 , (∀)kn ∈ Kx
〈T (t0)x, x∗0〉 = 1 .
Soit tn ∈ Q∗+ tel que limn→∞ tn = t0. Alors, compte tenu de la continuité faible de
l’application considérée, il vient:
0 = lim
〈T (tn) x, x∗0〉 = 〈T (t0)x, x∗0〉 = 1 ,
ce qui est absurde. Il s’ensuit que:
Kx = Im T ( . )x ,
pour tout x ∈ E . Par conséquent, l’application considérée a une image séparable.
En appliquant le théorème de Pettis ([Hi’48, Theorem 3.2.2, pag. 36]), il vient
que cette application est fortement mesurable sur ]0,∞). Alors, il résulte que pour
tout xn ∈ E avec ‖x‖ ≤ 1, l’application:
‖T ( . )‖ = sup
‖T ( . )xn‖ < ∞
est mesurable sur ]0,∞). Montrons que l’application ‖T ( . )‖ est bornée sur les
intevalles [α, β] ⊂]0,∞). Compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67,
Theorem II.1.11, pag. 52]), il est suffisant de montrer que ‖T ( . )x‖ est bornée sur
les intervalles [α, β], pour tout x ∈ E . Soient α, β ∈]0,∞). Supposons qu’il existe
x0 ∈ E tel que pour tout M > 0 on puisse trouver s ∈ [α; β] tel que:
‖T (s)x0‖ > M .
Donc il existe tn ∈ [α, β], n ∈ N, tel que:
tn = τ ∈ [α, β]
‖T (tn)x0‖ > n , (∀)n ∈ N.
D’autre part, l’application ‖T ( . )x0‖ est mesurable sur ]0,∞). Donc il existe une
constante K > 0 et un ensemble mesurable F ⊂ [0, τ ] avec m(F) > τ
tel que:
‖T (t)x0‖ ≤ K .
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 37
Si nous considérons:
En = {tn − η|η ∈ F ∩ [0, tn]} ,
on voit que En est un ensemble mesurable et pour n suffisamment grand, nous
obtenons:
m(En) ≥
Alors, pour tout η ∈ F ∩ [0, tn], n ∈ N, nous avons:
n ≤ ‖T (tn)x0‖ ≤ ‖T (tn − η)‖ ‖T (η)x0‖ ≤ ‖T (tn − η)‖K ,
d’où:
‖T (t)‖ ≥ n
, (∀)t ∈ En.
Si nous notons:
E = lim sup
alors on voit que:
m(E) ≥ τ
‖T (t)‖ = ∞ , (∀)t ∈ E
ce qui est absurde. Par conséquent, il existe M > 0 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ∈ [α, β].
Soient α, β, t, t0 ∈]0,∞) tel que:
0 < α < t < β < t0
et ε > 0 tel que β < t0 − ε. Alors pour tout x ∈ E , l’application:
[α, β] ∋ t 7−→ T (t0)x = T (t)T (t0 − t)x ∈ E
ne dépend pas de t, donc elle est Bôchner intégrable par rapport à t ∈ [α, β] et
pour tout x ∈ E on a:
(β − α) [T (t0 ± ε)x − T (t0)x] dt =
T (t) [T (t0 ± ε − t)x − T (t0 − t)x] dt ,
38 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
d’où:
|β − α|‖T (t0 ± ε)x − T (t0)x‖ ≤
‖T (t)‖ ‖T (t0 ± ε − t)x − T (t0 − t)x‖ dt ≤
t0−α∫
‖T (τ ± ε)x − T (τ)x‖ dτ −→ 0 si ε ց 0 ,
compte tenu de [Hi’48, théorème 3.6.3, pag.46]. Il s’ensuit que l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est fortement continue sur ]0,∞).
En particulier, pour x ∈ E arbitrairement fixé, l’ensemble:
X = {T (t)x|t ∈ [0, 1]}
est séparable. Donc il contient une partie dénombrable dense:
X0 = {T (tn)x|tn ∈]0, 1[, n ∈ N} .
Par conséquent, il existe une suite (xn)n∈N ⊂ X0 tel que:
‖xn − x‖ = lim
‖T (tn)x − x‖ = 0 .
Comme:
‖T (t)x − x‖ ≤
≤ ‖T (t)x − T (t + tn)x‖ + ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ + ‖T (tn)x − x‖ ≤
≤ ‖T (t)‖ ‖x − T (tn)x‖ + ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ + ‖T (tn)x − x‖ ≤
t∈[0,1]
‖T (t)‖ + 1
+ ‖T (t + tn)x − T (tn)x‖ ,
il vient:
T (t)x = x , (∀)x ∈ E
et par conséquent:
T (t) = I
dans la topologie forte.
Dans la suite, nous considérons la topologie forte pour étudier les propriétés
des C0-semi-groupes.
2.1. DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 39
Théorème 2.1.8 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe d’opérateurs linéaires bornés.
Alors:
i) il existe τ > 0 et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ∈ [0, τ ];
ii) il existe ω ∈ R et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Supposons que pour tout τ > 0 et tout M ≥ 1, il existe t ∈ [0, τ ] tel que
‖T (t)‖ > M . Pour τ = 1
et M = n ∈ N∗, il existe tn ∈
tel que ‖T (tn)‖ >
n. Donc la suite (‖T (tn)‖)n∈N∗ est non bornée. Si la suite (‖T (tn)x‖)n∈N∗ était
bornée pour tout x ∈ E , alors compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus
([DS’67, Theorem II.1.11, pag. 52]), il en résulterait que (‖T (tn)‖)n∈N∗ serait
bornée, mais cela contredit l’affirmation précédente. Donc il existe x0 ∈ E tel que
(‖T (tn)x0‖)n∈N∗ soit non bornée. D’autre part, compte tenu de la définition 2.1.1
(iii), il résulte que limn→∞ ‖T (tn)x0‖ = x0 et cela est contradictoire.
ii) Pour h > 0 et t > h, nous noterons m =
∈ N∗. Compte tenu du théorème
de division avec reste, il existe r ∈ [0, h) tel que t = mh + r. Alors:
‖T (t)‖ = ‖T (mh)T (r)‖ ≤ ‖T (h)‖m ‖T (r)‖ ≤
≤ MmM ≤ Me th ln M .
L’inégalité de l’énoncé en résulte en prenant ω = 1
ln M .
Corollaire 2.1.9 Si {T (t)}
est un C0-semi-groupe, alors l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est continue sur [0,∞), quel que soit x ∈ E .
Preuve Soient t0, h ∈ [0,∞) et x ∈ E .
Si t0 < h, nous avons:
‖T (t0 + h)x − T (t0)x‖ ≤ ‖T (t0)‖ ‖T (h)x − x‖ ≤
≤ Meωt0 ‖T (h)x − x‖ .
40 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Si t0 > h, nous obtenons:
‖T (t0 − h)x − T (t0)x‖ ≤ ‖T (t0 − h)‖ ‖T (h)x − x‖ ≤
≤ Meω(t0−h) ‖T (h)x − x‖ .
La continuité forte en t0 de l’application considérée dans l’énoncé est évidente.
Définition 2.1.10 On dit que le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est uniformément borné
s’il existe M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.1.11 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe pour lequel il existe ω ∈ R
et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Alors la famille {S(t)}
t≥0 ⊂ B(E), où:
S(t) = e−ωtT (t) , (∀)t ≥ 0,
est un C0-semi-groupe ayant la propriété:
‖S(t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
De plus, si A est le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe {T (t)}t≥0, alors le
C0-semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour générateur infinitésimal l’opérateur B = A−ωI.
Preuve Dans les conditions du théorème, il est évident que {S(t)}
t≥0 est un C0-
semi-groupe et:
‖S(t)‖ =
∥eωtT (t)
∥ ≤ e−ωtMeωt = M , (∀)t ≥ 0.
Donc {S(t)}
est un C0-semi-groupe uniformément borné. Soit A le générateur
infinitésimal du C0-semi-groupe {T (t)}t≥0. Si B est le générateur infinitésimal du
C0-semi-groupe {S(t)}t≥0, alors pour tout x ∈ D(A), nous avons:
S(h)x − x
= lim
e−ωhT (h)x − x
= lim
e−ωh − 1
T (h)x
+ lim
T (h)x − x
= −ωx + Ax = (A − ωI)x ,
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 41
d’où il résulte que x ∈ D(B) et Bx = (A − ωI)x. Soit x ∈ D(A). Alors, nous
obtenons:
T (h)x − x
= lim
eωhS(h)x − x
= lim
eωh − 1
+ lim
S(h)x − x
= (ωI + B)x ,
d’où il vient que x ∈ D(A) et Ax = (ωI + B)x. Par conséquent D(A) = D(B) et
B = A − ωI.
Remarque 2.1.12 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe pour lequel il existe ω ∈ R
et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Si ω < 0, alors nous obtenons:
‖T (t)‖ ≤ Meωt ≤ M , (∀)t ≥ 0.
Par conséquent on peut considérer que ω ≥ 0.
Nous noterons par SG(M, ω) l’ensemble des C0-semi-groupes {T (t)}t≥0 ⊂ B(E)
pour lesquels il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0 .
Avec le théorème 2.1.11 nous voyons que le passage entre la classe SG(M, ω) avec
ω > 0 et la classe SG(M, 0) est très simple.
2.2 Propriétés générales des C0-semi-groupes
Proposition 2.2.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitési-
mal. Si x ∈ D(A), alors T (t)x ∈ D(A) et on a l’égalité:
T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
42 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Preuve Soit x ∈ D(A). Alors pour tout t ≥ 0, nous avons:
T (t)Ax = T (t) lim
T (h)x − x
= lim
T (h)T (t)x − T (t)x
Donc T (t)x ∈ D(A) et on a T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
Remarque 2.2.2 On voit que:
T (t)D(A) ⊆ D(A) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.2.3 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors l’application:
[0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est dérivable sur [0,∞), pour tout x ∈ D(A) et nous avons:
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0;
ii) T (t)x − x =
T (s)Ax ds , (∀)t ≥ 0.
Preuve i) Soient x ∈ D(A) , t ≥ 0 et h > 0. Alors:
T (t + h)x − T (t)x
− T (t)Ax
≤ ‖T (t)‖
T (h)x − x
≤ Meωt
T (h)x − x
Par conséquent:
T (t + h)x − T (t)x
= T (t)Ax ,
d’où:
T (t)x = T (t)Ax , (∀)t ≥ 0.
Si t − h > 0, alors nous avons:
T (t − h)x − T (t)x
−h − T (t)Ax
≤ ‖T (t − h)‖
T (h)x − x
− Ax + Ax − T (h)Ax
≤ Meω(t−h)
T (h)x − x
+ ‖T (h)Ax − Ax‖
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 43
Par suite:
T (t − h)x − T (t)x
−h = T (t)Ax
T (t)x = T (t)Ax , (∀)t ≥ 0.
Il s’ensuit que l’application considérée dans l’énoncé est dérivable sur [0,∞), quel
que soit x ∈ D(A). De plus, on a l’égalité:
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x , (∀)t ≥ 0.
ii) Si x ∈ D(A), alors nous avons:
T (s)x = T (s)Ax , (∀)s ∈ [0, t] , t ≥ 0,
d’où:
T (s)Ax ds =
T (s) ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0.
On peut obtenir une formule de représentation de type Taylor pour les C0-
semi-groupes avec la généralisation du théorème 2.2.3 (ii).
Théorème 2.2.4 (Taylor) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur
infinitésimal. Alors:
T (t)x =
Aix +
(n − 1)!
(t − u)n−1T (u)Anx du
quels que soient x ∈ D(An), t ≥ 0 et n ∈ N∗.
Preuve Compte tenu du théorème 2.2.3 (ii), pour x ∈ D(A) et t ≥ 0 on a:
T (t)x = x +
T (u)Ax du .
Supposons que pour t ≥ 0 et x ∈ D(Ak) nous ayons:
T (t)x =
(k − 1)!
(t − u)k−1T (u)Akx du .
Si x ∈ D(Ak+1), alors x ∈ D(Ak) et Akx ∈ D(A). Il en résulte que:
T (t)x =
(k − 1)!
(t − s)k−1T (s)Anx ds .
44 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Mais:
T (s)x = x +
T (u)Ax du .
Il vient:
(t − s)k−1T (s)Akx = (t − s)k−1Akx + (t − s)k−1
T (u)Ak+1x du
et par conséquent:
(t − s)k−1T (s)Akx ds =
(t − s)k−1Akx ds +
(t − s)k−1
T (u)Ak+1x du ds =
Akx +
(t − s)k−1T (u)Ak+1x ds du =
Akx +
(t − u)k
T (u)Ak+1x du .
Nous en déduisons que:
T (t)x =
Aix +
(k − 1)!
Akx +
(t − u)kT (u)Ak+1x du
(t − u)kT (u)Ak+1x du ,
d’où il résulte l’égalité considérée dans l’énoncé.
Lemme 2.2.5 Soit {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe. Alors:
T (s)x ds = T (t)x
quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.
Preuve L’égalité de l’énoncé résulte de l’évaluation:
T (s)x ds − T (t)x
(T (s) − T (t))x ds
≤ sup
s∈[t,t+h]
‖T (s)x − T (t)x‖
et de la continuité de l’application [0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E .
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 45
Proposition 2.2.6 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Si x ∈ E , alors
T (s)x ds ∈ D(A) et on a l’égalité:
T (s)x ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soient x ∈ E et h > 0. Alors:
T (h) − I
T (s)x ds =
T (s + h)x ds − 1
T (s)x ds =
T (u)x du − 1
T (s)x ds =
T (u)x du − 1
T (u)x du − 1
T (u)x du =
T (u)x du − 1
T (u)x du .
Par pasage à limite pour h ց 0 et compte tenu du lemme 2.2.5, nous obtenons:
T (s)x ds = T (t)x − x , (∀)t ≥ 0
T (s)x ds ∈ D(A).
Théorème 2.2.7 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
i) D(A) = E ;
ii) A est un opérateur fermé.
Preuve i) Soient x ∈ E et tn > 0 , n ∈ N, tel que limn→∞ tn = 0. Alors:
T (s)x ds ∈ D(A) , (∀)n ∈ N,
d’où:
xn = lim
T (s)x ds = T (0)x = x .
46 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Par conséquent D(A) = E .
ii) Soit (xn)n∈N ⊂ D(A) tel que limn→∞ xn = x et limn→∞ Axn = y. Alors:
‖T (s)Axn − T (s)y‖ ≤ ‖T (s)‖ ‖Axn − y‖ ≤ Meωt ‖Axn − y‖
quel que soit s ∈ [0, t]. Par suite T (s)Axn −→ T (s)y, pour n → ∞, uniformément
par rapport à s ∈ [0, t].
D’autre part, puisque xn ∈ D(A), nous avons:
T (t)xn − xn =
T (s)Axn ds ,
d’où:
[T (t)xn − xn] = lim
T (s)Axn ds ,
ou bien:
T (t)x − x =
T (s)y ds .
Finalement, on voit que:
T (t)x − x
= lim
T (s)y ds = y .
Par suite x ∈ D(A) et Ax = y, d’où il résulte que A est un opérateur fermé.
Nous montrons maintenant un résultat qui concerne l’unicité de l’engendrement
pour les C0-semi-groupes.
Théorème 2.2.8 (l’unicité de l’engendrement) Soient deux C0-semi-groupes
{T (t)}
et {S(t)}
ayant pour générateur infinitésimal le même opérateur A.
Alors:
T (t) = S(t) , (∀)t ≥ 0.
Preuve Soient t > 0 et x ∈ D(A). Définissons l’application:
[0, t] ∋ s 7−→ U(s)x = T (t − s)S(s)x ∈ D(A).
Alors:
U(s)x =
T (t − s)S(s)x + T (t − s) d
S(s)x =
= −AT (t − s)S(s)x + T (t − s)AS(s)x = 0
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 47
quel que soit x ∈ D(A). Par suite U(0)x = U(t)x, pour tout x ∈ D(A), d’où:
T (t)x = S(t)x , (∀)x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Puisque D(A) = E et T (t), S(t) ∈ B(E), pour tout t ≥ 0, il résulte que:
T (t)x = S(t)x , (∀)t ≥ 0 et x ∈ E ,
ou bien:
T (t) = S(t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.2.9 Soient {T (t)}
t≥0 un C0-semi-groupe, A son générateur infinité-
simal et F ∈ B(E). Alors T (t)F = FT (t) pour tout t ≥ 0 si et seulement si:
FD(A) ⊆ D(A)
FAx = AFx , (∀)x ∈ D(A).
Preuve =⇒ Soit F ∈ B(E) tel que:
T (t)F = FT (t) , (∀)t ≥ 0
et x ∈ D(A). Alors, nous avons:
T (t)Fx − Fx
= lim
FT (t)x − Fx
= lim
T (t)x − x
Par conséquent Fx ∈ D(A) et on a AFx = FAx, pour tout x ∈ D(A).
⇐= Soit F ∈ B(E) tel que:
FD(A) ⊆ D(A)
AFx = FAx , (∀)x ∈ D(A).
Pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ D(A), définissons l’application:
[0, t] ∋ s 7−→ U(s)x = T (t − s)FT (s)x ∈ D(A) .
Alors nous avons:
U(s)x =
T (t − s)FT (s)x + T (t − s) d
FT (s)x =
= −AT (t − s)FT (s)x + T (t − s)FAT (s)x = 0 ,
48 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
compte tenu de la commutativité. Par conséquent:
U(0)x = U(t)x , (∀)x ∈ D(A),
d’où on obtient:
T (t)Fx = FT (t)x ,
pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ D(A). Comme D(A) = E et T (t)F, FT (t) ∈ B(E)
pour tout t ≥ 0, nous obtenons:
T (t)Fx = FT (t)x ,
pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ E .
Nous finissons cette section avec une généralisation du théorème 2.2.7.
Théorème 2.2.10 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
i) D(Ap) = E , quel que soit p ∈ N∗;
ii) Ap est un opérateur fermé, quel que soit p ∈ N∗;
iii) l’application:
‖ . ‖D(Ap) : D(Ap) −→ R+ ,
‖x‖D(Ap) =
est une norme avec laquelle D(Ap) devient un espace de Banach, pour tout p ∈ N∗.
Preuve i) Pour p = 1, compte tenu du théorème 2.2.7(i), il résulte que D(A) = E .
Soit:
C∞0 = {ϕ :]0,∞) → E |ϕ indéfiniment dérivable avec un support compact} .
Notons:
ϕ(t)T (t)x dt
x ∈ E , ϕ ∈ C∞0
Nous montrons que F ⊂ D(Ap) , (∀)p ∈ N.
Pour y ∈ F et h > 0, nous obtenons:
T (h) − I
ϕ(t)T (t + h)x dt −
ϕ(t)T (t)x dt
ϕ(u − h) − ϕ(u)
T (u)x du .
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 49
Puisque:
ϕ(u − h) − ϕ(u)
T (u)x −→ −ϕ(u)(1)T (u)x si h ց 0,
uniformément par rapport à u ∈ supp ϕ, en passant à limite pour h ց 0, nous
obtenons:
Ay = −
T (u)x du .
Donc y ∈ D(A). Il en résulte que F ⊂ D(A) et par récurrence on peut montrer
que F ⊂ D(Ap) et:
Apy = (−1)p
T (t)x dt
quel que soit p ∈ N∗.
Nous montrons maintenant que F est dense dans E .
Supposons que F n’est pas dense dans E . Alors il existe x0 ∈ E tel que d(x0,F) > 0.
En appliquant un corollaire du théorème de Hahn-Banach ([DS’67, Corollary
II.3.13, pag. 64]), on voit qu’il existe x∗0 ∈ E∗ tel que 〈x0, x∗0〉 = 1 et 〈y, x∗0〉 = 0,
pour tout y ∈ F . Alors:
ϕ(t)〈T (t)x, x∗0〉 dt =
ϕ(t)T (t)x dt, x∗0
= 0 , (∀)ϕ ∈ C∞0 et x ∈ E .
Par conséquent, pour tout x ∈ E , nous avons:
〈T (t)x, x∗0〉 = 0 , (∀)t ∈ [0,∞),
parce que dans le cas contraire, on peut trouver ϕ ∈ C∞0 tel que:
ϕ(t)〈T (t)x, x∗0〉 dt 6= 0
ce qui est contradictoire. Il s’ensuit que pour tout x ∈ E , on a:
〈T (t)x, x∗0〉 = 0 , (∀)t ∈ [0,∞),
d’où:
〈x, x∗0〉 = 〈T (0)x, x∗0〉 = 0 , (∀)x ∈ E ,
ce qui est absurde. Finalement, on voit que F est dense dans E et donc D(An) = E .
ii) Compte tenu du théorème 2.2.7(ii), on voit que:
A : D(A) ⊂ E −→ E
50 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
est un opérateur fermé. Supposons que:
Ak : D(Ak) ⊂ E −→ E
est un opérateur fermé et montrons que:
Ak+1 : D(Ak+1) ⊂ E −→ E
est un opérateur fermé.
Soit (xn)n∈N ⊂ D(Ak+1) tel que:
xn = x
Ak+1xn = y .
Mais xn ∈ D(Ak+1) est équivalent avec xn ∈ D(Ak) et Akxn ∈ D(A). Alors xn ∈
D(Ak), limn→∞ xn = x, comme Ak est un opérateur fermé, ceci implique x ∈ D(Ak)
et limn→∞ A
kxn = A
kx. Comme Akxn ∈ D(A), limn→∞ Akxn = Akx et A est un
opérateur fermé, il s’ensuit que Akx ∈ D(A) et limn→∞ A
. Nous
avons obtenu donc que x ∈ D(Ak+1), Akx ∈ D(A) et limn→∞ Ak+1xn = Ak+1x,
d’où il résulte que x ∈ D(Ak+1) et Ak+1x = y. Par conséquent Ak+1 est un
opérateur fermé, d’où on obtient (ii).
iii) Pour p = 1 on peut vérifier facilement les propriétés de norme de l’application:
‖ . ‖D(A) : D(A) −→ R+ ,
‖x‖D(A) = ‖x‖ + ‖Ax‖ .
Donc D(A) est un espace normé.
Soit (xn)n∈N∗ ⊂ D(A) tel que ‖xm − xn‖D(A) −→ 0 pour m, n → ∞. Alors:
‖xm − xn‖ + ‖Axm − Axn‖ −→ 0 pour m, n → ∞.
Donc:
‖xm − xn‖ −→ 0 et ‖Axm − Axn‖ −→ 0 pour m, n → ∞.
Puis que E est un espace de Banach, il résulte que les suites (xn)n∈N et (Axn)n∈N
sont convergentes. Donc xn −→ x et Axn −→ y pour n → ∞. Comme A est un
opérateur fermé, il résulte que x ∈ D(A) et y = Ax. Par conséquent:
‖xn − x‖D(A) = ‖xn − x‖ + ‖Axn − Ax‖ −→ 0 pour n → ∞.
2.2. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES C0-SEMI-GROUPES 51
Donc la suite (xn)n∈N est convergente par rapport à la norme ‖ . ‖D(A). Il s’ensuit
que D(A) est un espace de Banach avec la norme ‖ . ‖D(A).
Supposons que l’application:
‖ . ‖D(Ak) : D(Ak) −→ R+ ,
‖x‖D(Ak) =
est une norme avec laquelle D(Ak) est un espace de Banach. Montrons que:
‖ . ‖D(Ak+1) : D(Ak+1) −→ R+ ,
‖x‖D(Ak+1) =
est une norme avec laquelle D(Ak+1) devient un espace de Banach. On peut vérifier
facilement les propriétés de norme de l’application ‖ . ‖D(Ak+1). Donc D(Ak+1) est
un espace normé. Soit (xn)n∈N ⊂ D(Ak+1) tel que:
‖xm − xn‖D(Ak+1) −→ 0 si m, n → ∞.
Alors nous avons:
xm − Aixn
∥ −→ 0 si m, n → ∞,
d’où il s’ensuit que:
∥Aixm − Aixn
∥ −→ 0 si m, n → ∞,
pour tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}. Mais E est un espace de Banach. Donc pour
tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}, les suites (Aixn)n∈N sont convergentes et comme les
opérateurs Ai sont fermés pour tout i ∈ {1, 2, . . . , k + 1}, on voit que:
∥Aixn − Aix
∥ −→ 0 si n → ∞,
pour tout i ∈ {0, 1, . . . , k + 1}. Par conséquent:
xn − Aix
∥ −→ 0 si n → ∞,
d’où:
‖xm − x‖D(Ak+1) −→ 0 si n → ∞.
52 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Finalement, on voit que D(Ak+1) est un espace de Banach et l’affirmation de
l’énoncé en résulte.
2.3 Le théorème de Hille - Yosida
Dans ce paragraphe nous présentons un résultat très important concernant
les semi-groupes de classe C0. Il s’agit du célèbre théorème de Hille-Yosida qui
donne une caractérisation pour les opérateurs qui sont générateurs de C0-semi-
groupes. Nous avons besoin de quelques résultats intermédiaires. Dans la suite,
pour ω ≥ 0 nous désignerons par Λω l’ensemble {λ ∈ C |Reλ > ω}.
Théorème 2.3.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Si λ ∈ Λω, alors l’application:
Rλ : E −→ E ,
Rλx =
e−λtT (t)x dt
définit un opérateur linéaire borné sur E , λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout
x ∈ E .
Preuve Soit λ ∈ Λω. Puisque {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω), nous avons:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0
et on voit que:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−Reλt ‖T (t)‖ ‖x‖ ≤ Me−(Reλ−ω)t‖x‖ , (∀)x ∈ E .
Définissons l’application:
Rλ : E −→ E ,
Rλx =
T (t)x dt .
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 53
Il est clair que Rλ est un opérateur linéaire. De plus, on a:
‖Rλx‖ ≤
∥e−λtT (t)x
∥ dt ≤ M
Reλ − ω‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte que Rλ est un opérateur linéaire borné.
Si x ∈ E , alors nous avons:
T (h)Rλx − Rλx
e−λtT (t + h)x dt − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λ(s−h)T (s)x ds − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λsT (s)x ds − 1
e−λtT (t)x dt =
e−λsT (s)x ds −
e−λsT (s)x ds
e−λtT (t)x dt =
eλh − 1
e−λsT (s)x ds − e
e−λsT (s)x ds .
Par passage à limite, on obtient:
T (h)Rλx − Rλx
= λRλx − x .
Il en résulte que Rλx ∈ D(A) et
ARλx = λRλx − x , (∀)x ∈ E ,
ou bien
(λI − A)Rλx = x , (∀)x ∈ E .
Si x ∈ D(A), alors nous obtenons:
RλAx =
e−λtT (t)Ax dt =
T (t)x dt =
e−λtT (t)x
e−λtT (t)x dt = x + λRλx ,
d’où:
Rλ(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Finalement, on voit que λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x , pour tout x ∈ E .
54 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Remarque 2.3.2 On voit que pour tout λ ∈ Λω on a:
Im R(λ; A) = Im Rλ ⊆ D(A)
R(λ; A)D(A) = RλD(A) ⊆ D(A) .
Définition 2.3.3 L’opérateur:
Rλ : E −→ E
Rλx =
e−λtT (t)x dt , λ ∈ Λω,
s’appelle la transformée de Laplace du semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω).
Remarque 2.3.4 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors nous avons:
{λ ∈ C |Reλ > ω} ⊂ ρ(A).
σ(A) ⊂ {λ ∈ C |Reλ ≤ ω} .
Théorème 2.3.5 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Pour tout λ ∈ Λω on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Preuve Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) . Alors:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Compte tenu du théorème 2.3.1, si λ ∈ Λω, nous avons λ ∈ ρ(A) et:
R(λ; A)x = Rλx =
e−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E .
De plus:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
Reλ − ω .
Il est clair que:
R(λ; A)x = −
T (t)x dt , (∀)x ∈ E
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 55
et par récurrence on peut montrer que:
R(λ; A)x = (−1)n
tne−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
D’autre part, avec la proposition 1.1.16 (iii) nous obtenons:
R(λ; A)x = (−1)nn!R(λ; A)n+1x , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
Par suite, on a:
(−1)nn!R(λ; A)n+1x = (−1)n
T (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗,
d’où il résulte que:
R(λ; A)
(n − 1)!
tn−1e−λtT (t)x dt , (∀)x ∈ E et n ∈ N∗.
De plus:
‖R(λ; A)nx‖ ≤ M‖x‖
(n − 1)!
tn−1e−(Reλ−ω)t dt =
(n − 1)!
n − 1
Reλ − ω
tn−2e−(Reλ−ω)t dt = · · · = M‖x‖
(Reλ − ω)n
quels que soient x ∈ E et n ∈ N∗. Par conséquent:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Lemme 2.3.6 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire vérifiant les pro-
priétés suivantes:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Alors pour tout λ ∈ Λω, nous avons:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ E .
De plus λAR(λ; A) ∈ B(E) et:
Reλ→∞
λAR(λ; A)x = Ax , (∀)x ∈ D(A).
56 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Preuve Soient x ∈ D(A) et λ ∈ C tel que Reλ > ω. Alors R(λ; A)(λI −A)x = x.
Si Reλ → ∞, nous avons:
‖λR(λ; A)x − x‖ = ‖R(λ; A)Ax‖ ≤ ‖R(λ; A)‖ ‖Ax‖ ≤
Reλ − ω‖Ax‖ −→ 0 ,
d’où il résulte que:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Soit x ∈ E , puisque D(A) = E , il existe une suite (xn)n∈N ⊂ D(A) telle que
xn −→ x si n → ∞. Nous avons:
‖λR(λ; A)x − x‖ ≤
≤ ‖λR(λ; A)x − λR(λ; A)xn‖ + ‖λR(λ; A)xn − xn‖ + ‖xn − x‖ ≤
≤ ‖λR(λ; A)‖ ‖x − xn‖ + ‖λR(λ; A)xn − xn‖ + ‖xn − x‖ ≤
≤ |λ|M
Reλ − ω‖x − xn‖ +
Reλ − ω‖Axn‖ + ‖xn − x‖ =
|λ|M + Reλ − ω
Reλ − ω ‖xn − x‖ +
Reλ − ω ‖Axn‖ .
Mais xn −→ x si n → ∞. Donc pour tout ε > 0 , il existe nε ∈ N tel que:
‖xnε − x‖ < ε
Reλ − ω
|λ|M + Reλ − ω .
Par conséquent:
‖λR(λ; A)x − x‖ < ε + M
Reλ − ω ‖Axnε‖ ,
d’où:
lim sup
Reλ→∞
‖λR(λ; A)x − x‖ < ε , (∀)x ∈ E ,
ou bien:
Reλ→∞
λR(λ; A)x = x , (∀)x ∈ E .
De plus:
λAR(λ; A) = λ [λI − (λI − A)] R(λ; A) = λ [λR(λ; A) − I] = λ2R(λ; A) − λI.
Par suite, on a:
‖λAR(λ; A)x‖ = ‖λ [λR(λ; A) − I]x‖ ≤
≤ |λ| ‖λR(λ; A)x − x‖ ≤ |λ| (‖λR(λ; A)x‖ + ‖x‖) ≤
≤ |λ|
Reλ − ω + 1
‖x‖ , (∀)x ∈ E
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 57
et on voit que λAR(λ; A) ∈ B(E).
Si x ∈ D(A), alors nous avons:
λR(λ; A)Ax = λ2R(λ; A) − λI = λAR(λ; A) ,
d’où il résulte que:
Reλ→∞
λAR(λ; A)x = lim
λR(λ; A)Ax = Ax , (∀)x ∈ D(A).
Remarque 2.3.7 On peut dire que les opérateurs bornés λAR(λ; A) sont des
approximations pour l’opérateur non borné A. C’est le motif pour lequel on intro-
duit la définition suivante.
Définition 2.3.8 La famille {Aλ}λ∈Λω ⊂ B(E), où Aλ = λAR(λ; A), pour tout
λ ∈ Λω, s’appelle l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Remarque 2.3.9 Evidemment, pour λ ∈ Λω, on voit que Aλ est le générateur
infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu
. Nous utiliserons
cette famille pour montrer l’existence d’un C0-semi-groupe engendré par A.
Lemme 2.3.10 Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur linéaire vérifiant les
propriétés suivantes:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Si {Aλ}λ∈Λω est l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A, alors pour
tous α, β ∈ Λω nous avons:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ M2teωt ‖Aαx − Aβx‖ , (∀)x ∈ E et t ≥ 0.
Preuve Soient α, β ∈ Λω, v ∈ [0, 1] et x ∈ E . Alors:
evtAαe(1−v)tAβ x
= tAαe
vtAαe(1−v)tAβ x − tevtAαAβe(1−v)tAβ x .
On peut facilement vérifier que Aα, Aβ, e
vtAα et e(1−v)tAβ commutent quels que
soient α, β ∈ Λω et t ≥ 0. Nous obtenons:
evtAαe(1−v)tAβ x
vtAαAαe
(1−v)tAβ x − tevtAαAβe(1−v)tAβ x
58 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
d’où:
evtAαe(1−v)tAβ x
tevtAαe(1−v)tAβ Aαx − tevtAαe(1−v)tAβ Aβx
ou bien:
etAαx − etAβx = t
evtAαe(1−v)tAβ (Aαx − Aβx) dv
quels que soient t ≥ 0 et x ∈ E . Nous en déduisons que:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ t
∥evtAα
∥e(1−v)tAβ
∥ ‖Aαx − Aβx‖ dv .
D’autre part, nous avons:
∥etAα
t(α2R(α;A)−αI)
∥e−αtIeα
2tR(α;A)
≤ e−Reαt
tkα2kR(α; A)
≤ e−Reαt
tk|α|2k
∥R(α; A)
≤ e−Reαt
tk|α|2kM
k!(Reα − ω)k = Me
−Reαt
t|α|2
Reα−ω
= Me−Reαte
t|α|2
Reα−ω = Me
ωReα+Im2α
Reα−ω
quel que soient α ∈ Λω et t ≥ 0. Soit r > 1 tel que:
ωReα + Im2α
Reα − ω < ωr .
Alors, nous avons:
ωReα + Im2α < ωrReα − ω2r ,
d’où:
ωReα < ωrReα − ω2r ,
ou bien:
ω2r < ω(r − 1)Reα .
Il en découle:
Reα >
r − 1ω .
Par conséquent, pour tout r > 1 et tout α ∈ Λω tel que Reα > rr−1ω, on obtient:
∥etAα
∥ ≤ Merωt , (∀)t ≥ 0
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 59
et par passage à limite pour r ց 1, nous obtenons:
∥etAα
∥ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0,
pour tout α ∈ Λω. Il vient:
∥etAαx − etAβx
∥ ≤ t
MeωvtMeω(1−v)t ‖Aαx − Aβx‖ dv =
= M2teωt ‖Aαx − Aβx‖
quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.
Maintenant nous présentons une variante du célèbre théorème de Hille - Yosida
pour les semi-groupes de classe SG(M, ω).
Théorème 2.3.11 (Hille - Yosida) Un opérateur linéaire:
A : D(A) ⊂ E −→ E
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) si et seule-
ment si:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n , (∀)n ∈ N
Preuve =⇒ On obtient cette implication en tenant compte du théorème 2.2.7 et
du théorème 2.3.5.
⇐= Supposons que l’opérateur A : D(A) ⊂ E −→ E posséde les propriétés (i)
et (ii). Soit {Aλ}λ∈Λω , l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Compte tenu du lemme 2.3.6, il résulte que Aλ ∈ B(E) et:
Reλ→∞
Aλx = Ax , (∀)x ∈ D(A).
Pour λ ∈ Λω, soit {Tλ(t)}t≥0 =
le semi-groupe uniformément continu
engendré par Aλ. Avec le lemme 2.3.10, on a:
‖Tα(t)x − Tβ(t)x‖ ≤ M2teωt ‖Aαx − Aβx‖ , (∀)α, β ∈ Λω, x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Soient [D(A)] l’espace de Banach D(A) avec la norme ‖ . ‖D(A), et B([D(A)], E)
l’espace des opérateurs linéaires bornés définis sur [D(A)] avec valeur dans E , doté
60 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
de la topologie forte. Notons par C ([0,∞);B([D(A)], E)) l’espace des fonctions
continues définies sur [0,∞) à valeurs dans B([D(A)], E) doté de la topologie de
la convergence uniforme sur les intervalles compacts de [0,∞). Si [a, b] ⊂ [0,∞),
alors pour tout x ∈ D(A) nous avons:
t∈[a,b]
‖Tα(t)x − Tβ(t)x‖ ≤ M2beωb (‖Aαx − Ax‖ + ‖Aβx − Ax‖) −→ 0
si Reα,Reβ → ∞, d’où il résulte que
{Tλ(t)}t≥0
est une suite de Cauchy
dans C ([0,∞);B([D(A)], E)). Donc, il existe un unique T0 ∈ C ([0,∞);B(D(A), E))
tel que Tλ(t)x −→ T0(t)x, si Reλ → ∞, quel que soit x ∈ D(A), pour la topologie
de la convergence uniforme sur les intervalles compacts de [0,∞). Puisque:
‖Tλ(t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0,
on obtient:
‖T0(t)x‖ ≤ Meωt‖x‖ , (∀)t ≥ 0 et x ∈ D(A)
Considérons l’application linéaire:
Θ0 : D(A) −→ C ([a, b]; E)
Θ0x = T0( . )x
quel que soit [a, b] ⊂ [0,∞). Comme nous avons:
‖Θ0x‖C([a,b];E) = sup
t∈[a,b]
‖T0(t)x‖ ≤ Meωb‖x‖ ≤ Meωb‖x‖D(A) , (∀)x ∈ D(A),
on voit que Θ0 est une application continue et puisque D(A) = E , elle se prolonge
de façon unique en une application linéaire continue:
Θ : E −→ C ([a, b]; E)
telle que:
Θ|D(A) = Θ0
‖Θx‖C([a,b];E) ≤ Me
ωb‖x‖
quel que soit x ∈ E . Par conséquent, il existe un seul opérateur T ∈ C ([a, b];B(E))
tel que:
Θx = T ( . )x , (∀)x ∈ E .
2.3. LE THÉORÈME DE HILLE - YOSIDA 61
On peut répéter ce procédé pour tous les intervalles compacts de [0,∞) et on voit
qu’il existe un seul opérateur, noté aussi par T ∈ C ([0,∞);B(E)), tel que pour
tout x ∈ E on ait:
Tλ(t)x −→ T (t)x si Reλ → ∞,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). De plus:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Il est évident que:
T (0)x = lim
Reλ→∞
Tλ(0)x = x , (∀)x ∈ E
T (t)x = lim
Reλ→∞
Tλ(t)x
= lim
Reλ→∞
Tλ(t)x
= x , (∀)x ∈ E .
Soient t, s ∈ [0,∞) et x ∈ E . Alors, nous avons:
‖T (t + s)x − T (t)T (s)x‖ ≤ ‖T (t + s)x − Tλ(t + s)x‖ +
+ ‖Tλ(t + s)x − Tλ(t)T (s)x‖ + ‖Tλ(t)T (s)x − T (t)T (s)x‖ ≤
≤ ‖T (t + s)x − Tλ(t + s)x‖ + ‖Tλ(t)‖ ‖Tλ(s)x − T (s)x‖ +
+ ‖Tλ(t) (T (s)x) − T (t) (T (s)x)‖ .
Puisque Tλ(t) −→ T (t), si Reλ → ∞, pour la topologie forte de B(E), il s’ensuit
que T (t + s)x = T (t)T (s)x, pour tout x ∈ E .
Par conséquent {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω).
Montrons que A est le générateur infinitésimal du semi-groupe {T (t)}
Pour tout x ∈ D(A) on a:
‖Tλ(s)Aλx − T (s)Ax‖ ≤
≤ ‖Tλ(s)‖ ‖Aλx − Ax‖ + ‖Tλ(s)Ax − T (s)Ax‖ ≤
≤ Meωt ‖Aλx − Ax‖ + ‖Tλ(s)Ax − T (s)Ax‖ −→ 0
si Reλ → ∞, uniformément par rapport à s ∈ [0, t], d’où:
T (t)x − x = lim
Reλ→∞
[Tλ(t)x − x] = lim
Reλ→∞
Tλ(s)Aλx ds =
T (t)Ax ds
62 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
quels que soient x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Soit B le générateur infinitésimal du C0-semigroupe {T (t)}t≥0. Si x ∈ D(A), alors:
T (t)x − x
= lim
T (s)Ax ds = Ax
et nous voyons que x ∈ D(B). Par conséquent D(A) ⊂ D(B) et B|
D’autre part, nous avons l’inégalité:
‖T (t)‖ ≤ Meωt , (∀)t ≥ 0.
Si λ ∈ Λω, alors λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Soit x ∈ D(B), on a donc (λI − B) x ∈ E
et comme l’opérateur λI − A : D(A) −→ E est bijectif, il existe x′ ∈ D(A) tel
que (λI − A) x′ = (λI − B)x. Puisque B|D(A) = A, il vient que (λI − B)x′ =
(λI − B) x et comme λ ∈ ρ(B), il en résulte que x′ = x. Par suite x ∈ D(A) et
donc D(B) ⊂ D(A).
Finalement on voit que D(A) = D(B) et A = B.
Nous avons montré donc que A est le générateur infinitésimal du C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0 et compte tenu du théorème de l’unicité de l’engendrement, il résulte
que {T (t)}
t≥0 est l’unique C0-semi-groupe engendré par A.
Corollaire 2.3.12 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal
et {Aλ}λ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A. Alors:
T (t)x = lim
Reλ→∞
etAλx , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Elle résulte du théorème de Hille-Yosida.
Dans la suite nous noterons par GI(E) l’ensemble des opérateurs linéaires qui
sont des générateurs infinitésimaux de C0-semi-groupes sur l’espace de Banach E .
De même, pour ω ≥ 0 et M ≥ 1, nous noterons par GI(M, ω) l’ensemble des
générateurs infinitésimaux A ∈ GI(E) pour lesquels:
‖R(λ; A)n‖ ≤ M
(Reλ − ω)n (∀)λ ∈ Λω et n ∈ N
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 63
2.4 La représentation de Bromwich
Dans la section 1.3, avec le théorème 1.3.12 nous avons vu que pour les
semi-groupes uniformément continus on peut obtenir une représentation par la
transformée de Laplace inverse. Dans ce paragraphe nous montrerons qu’il existe
une représentation du même type pour les C0-semi-groupes. Nous commençons
avec quelques propriétés sur l’approximation généralisée de Yosida.
Lemme 2.4.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal et
{Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A. Alors pour tout
µ ∈ Λω, il existe Ω > ω tel que ΛΩ ⊂ ρ(Aµ) et pour tout λ ∈ ΛΩ on a:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − Ω .
De plus, pour ε > 0, il existe une constante C > 0 (qui dépend de M et ε) tel que:
‖R(λ; Aµ)x‖ ≤
|λ| (‖x‖ + ‖Ax‖) , (∀)x ∈ D(A),
quels que soient λ, µ ∈ C, avec Reλ > Ω + ε et Reµ > ω + |µ|
Preuve Soit µ ∈ Λω arbitrairement fixé. Nous avons vu que Aµ est le générateur
infinitésimal du semi-groupe uniformément continu
. En ce cas, nous
avons:
∥etAµ
∥ ≤ Me
ωReµ+Im2µ
Reµ−ω
, (∀)t ≥ 0.
Si nous notons:
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω ,
alors il est clair que:
Ω = ω +
ω2 + Im2µ
Reµ − ω > ω
et que ΛΩ = {λ ∈ C |Reλ > Ω} ⊂ ρ(Aµ). De plus, pour tout λ ∈ ΛΩ, nous avons:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − Ω .
Si nous considérons λ ∈ C tel que Reλ > Ω + ε, où ε > 0, alors on voit que:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
64 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’autre part, pour x ∈ D(A) et µ ∈ Λω tel que Reµ > ω + |µ|2 , nous obtenons:
‖Aµx‖ = ‖µR(µ; A)Ax‖ ≤ |µ|‖R(µ; A)‖‖Ax‖ ≤
≤ |µ| M
Reµ − ω‖Ax‖ ≤ 2M‖Ax‖ .
De l’égalité:
(λI − Aµ)R(λ; Aµ) = I ,
il vient:
R(λ; Aµ) =
R(λ; Aµ)Aµ
et par conséquent:
‖R(λ; Aµ)x‖ ≤
|λ| (‖x‖ + ‖R(λ; Aµ)‖‖Aµx‖) ≤
≤ 1|λ|
‖x‖ + 2M
≤ C|λ| (‖x‖ + ‖Ax‖) , (∀)x ∈ D(A),
où la constante C ne dépend que de M et de ε.
Lemme 2.4.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son générateur infinitésimal,
{Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A et λ ∈ C tel que
Reλ > ω + ε, arbitrairement fixé pour ε > 0. Alors:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0.
Preuve Compte tenu du lemme 2.4.1, pour µ ∈ Λω, il existe Ω > ω tel que
ΛΩ ⊂ ρ(Aµ). Nous avons:
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω .
Donc l’inégalité Reλ > Ω est équivalente avec:
Reλ > ω +
ω2 + Imµ
Reµ − ω .
Soit ε > 0. Si µ ∈ Λω tel que ω
2+Imµ
Reµ−ω
< ε, alors Reλ > ω + ε implique Reλ > Ω.
Par suite, λ ∈ ρ(Aµ). Donc il existe R(λ; Aµ) et avec le lemme 2.4.1 on voit que:
‖R(λ; Aµ)‖ ≤
Reλ − ω .
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 65
D’autre part, nous avons:
λ + µ
λ − λ
λ + µ
= Reλ − Re λ
λ + µ
> ω + ε − Re λ
λ + µ
Etant donné k > 0 tel que |Imλ| ≤ k, il existe µ ∈ Λω tel que Re λ
s’ensuit que Re λµ
> ω + ε
. Par conséquent, λµ
∈ ρ(A) et donc R
existe bien. Nous avons:
λ + µ
(λI − Aµ)(µI − A)R
λ + µ
λ + µ
λI − µ2R(µ; A) + µI
(µI − A)R
λ + µ
µI − A − µ
λ + µ
λ + µ
λ + µ
I − A
λ + µ
= I .
Par un calcul analogue, on peut obtenir:
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
(λI − Aµ) = I .
Il s’ensuit que:
R(λ; Aµ) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
Par conséquent:
R(λ; Aµ) − R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
− R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
− (λ + µ)R(λ; A)
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
(µI − A)(λI − A) −
− (λ + µ)
λ + µ
I − A
R(µ; A)R(λ; A) =
λ + µ
(µI − A)R
λ + µ
A2R(µ; A)R(λ; A) =
λ + µ
λ + µ
R(λ; A)A2 .
66 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Mais:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
et: ∥
λ + µ
Si x ∈ D(A2), alors on voit que:
‖R(λ; Aµ)x − R(λ; A)x‖ ≤
≤ 1|λ + µ|
λ + µ
‖R(λ; A)‖‖A2x‖ ≤
≤ 1|µ|
‖A2x‖ ≤ 1
‖A2x‖ .
Il s’ensuit que:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ D(A2),
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0. Avec le théorème 2.2.10, on
sait que D(A2) = E . Comme R(λ; A) et R(λ; Aµ) sont uniformément bornés, on
obtient:
Reµ→∞
R(λ; Aµ)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à Imλ ∈ [−k, k], où k > 0.
Théorème 2.4.3 Soit A le générateur infinitésimal du semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈
SG(M, ω) et λ ∈ Λω. Alors pour tout x ∈ D(A) on a:
T (s)x ds =
Reλ−i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x
et l’intégrale de la partie droite de l’égalité est uniformément convergente par
rapport à t sur les intervalles compacts de ]0,∞).
Preuve Soit {Aµ}µ∈Λω l’approximation généralisée de Yosida de l’opérateur A.
Soit µ ∈ Λω tel que Re µ > ω + |µ|2 . Avec le lemme 2.4.1, nous déduissons qu’il
existe Ω = ωReµ+Im
Reµ−ω
> ω tel que ΛΩ = {λ ∈ C|Re λ > Ω} ⊂ ρ(Aµ). Soit λ ∈ ΛΩ.
En utilisant le théorème 1.3.12, pour R > 2Re λ on peut considérer le contour de
Jordan Aµ-spectral
Γ1R = Γ
R ∪ Γ1
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 67
R = {Re λ + iτ |τ ∈ [−R, R]}
Re λ + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Pour le semi-groupe uniformément continu
engendré par Aµ il en résulte:
etAµ = lim
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ) dz =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ) dz ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Pour R >
2Re λ et x ∈ D(A) nous notons
IR(s) =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezsR(z; Aµ)x dz .
Soient 0 < a < b. Pour tout t ∈ [a, b] nous obtenons:
IR(s) ds =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezsR(z; Aµ)x dz ds =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
ezs dsR(z; Aµ)x dz =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ)x
Re λ+iR∫
Re λ−iR
R(z; Aµ)x
Montrons que pour l’intégrale
I(R) =
Re λ+iR∫
Re λ−iR
R(z; Aµ)x
I(R) = 0 .
Soit le contour de Jordan lisse et fermé
Γ2R = Γ
R ∪ Γ2
R = {Re λ + iτ |τ ∈ [−R, R]}
68 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Re λ + R(cos ϕ + i sin ϕ)
Avec le théorème de Cauchy ([DS’67, pag. 225]), on voit que
R(z; Aµ)x
= 0 ,
ou bien
R(z; Aµ)x
R(z; Aµ)x
= 0 .
Soit z ∈ Γ2” . Compte tenu du lemme 2.4.1, il existe C > 0 tel que
‖R(z; Aµ)x‖ ≤
|z| (‖x‖ + ‖Ax‖) .
De plus, pour z ∈ Γ2”R on a:
|z| = |Re λ + R(cos ϕ + isinϕ)| = |Re λ − [−R(cos ϕ + i sin ϕ)]| ≥
≥ | |Re λ| − | − R(cos ϕ + i sin ϕ)| | = |Re λ − R| = R − Re λ ,
d’où il résulte
|z| ≤
R − Re λ .
Par conséquent, on a:
R(z; Aµ)x
‖R(z; Aµ)x‖
|z| ≤
|z|(‖x‖ + ‖Ax‖)
|z| |dz| ≤
‖x‖ + ‖Ax‖
(R − Re λ)2
|dz| =
(R − Re λ)2 (‖x‖ + ‖Ax‖) .
Il s’ensuit donc que:
R(z; Aµ)x
= 0 .
Par suite, on a:
R(z; Aµ)x
2.4. LA REPRÉSENTATION DE BROMWICH 69
ou bien
I(R) = 0 .
Alors nous avons:
IR(s) ds = lim
Re λ+iR∫
Re λ−iR
eztR(z; Aµ)x
d’où
IR(s) ds =
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ)x
Avec le corollaire 2.3.12 et le lemme 2.4.2, on obtient:
T (s)x ds = lim
Reµ→∞
esAµx ds =
= lim
Reµ→∞
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; Aµ)x
Re λ+i∞∫
Re λ−i∞
eztR(z; A)x
et comme:
Reµ→∞
Ω = lim
Reµ→∞
ωReµ + Im2µ
Reµ − ω = ω ,
nous obtenons le résultat désiré.
Théorème 2.4.4 (Bromwich) Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe
{T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et λ ∈ Λω. Alors:
T (t)x =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x dz , (∀)x ∈ D(A2)
et pour tout δ > 0, l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t ∈
Preuve Si x ∈ D(A2), alors Ax ∈ D(A). Compte tenu du théorème 2.4.3, on voit
T (s)Ax ds =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)Ax
70 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’où il résulte que:
T (s)x − x = 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)Ax
De l’égalité:
R(z; A)(zI − A) = I ,
nous déduisons:
R(z; A)A = R(z; A) − 1
et par suite:
T (s)x − x = 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eztR(z; A)x dz − 1
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
Compte tenu que:
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
et que pour tout δ > 0, l’intégrale est uniformément convergente par rapport à
, nous obtenons l’égalité de l’énoncé.
2.5 Conditions suffisantes d’appartenances à GI(M, 0)
Nous présentons dans la suite deux conditions suffisantes pour qu’un opérateur
soit le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe uniformément borné.
Théorème 2.5.1 Soit A un opérateur linéaire fermé défini sur un sous espace
dense de E et vérifiant les propriétés suivantes:
i) il existe δ ∈
tel que:
ρ(A) ⊃ Σδ =
λ ∈ C
| arg z| < π
∪ {0};
ii) il existe une constante K > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 71
Alors A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il
existe M > 1 tel que ‖T (t)‖ ≤ M , pour tout t ≥ 0.
De plus, pour tout ν ∈
et Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν , où:
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0,∞)}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0,∞)} ,
on a:
T (t) =
eztR(z; A) dz
et l’intégrale est uniformément convergente par rapport à t > 0.
Preuve Soit δ ∈
. Pour ν ∈
considérons le chemin d’intégration
Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν , où:
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0,∞)}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0,∞)} .
Soit:
U(t) =
eztR(z; A) dz .
Compte tenu du (ii), on voit que l’intégrale est uniformément convergente par
rapport à t > 0. Pour R > 0, nous définissons le contour de Jordan lisse et fermé
Γν = Γ
R,ν ∪ Γ
R,ν ∪ Γ
R,ν où
R,ν = {r(cos ν − i sin ν)| r ∈ [0, R]} ,
R,ν = {R(cos ν + i sin ν)| θ ∈ [−ν, ν]} ,
R,ν = {r(cos ν + i sin ν)| r ∈ [0, R]} .
D’aprés le théorème de Cauchy ([DS’67, pag. 225]), on a
eztR(z; A) dz = 0 .
72 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Par conséquent, on peut changer le chemin d’intégration Γν par Γt = Γ
r(cos ν − i sin ν)
∣ r ∈
(cos θ + i sin θ) | θ ∈ [−ν, ν]
r(cos ν + i sin ν)
Alors:
U(t) =
eztR(z; A) dz +
eztR(z; A) dz +
eztR(z; A) dz
et si nous notons
U1(t) =
eztR(z; A) dz ,
U2(t) =
eztR(z; A) dz
U3(t) =
eztR(z; A) dz ,
il vient:
‖U(t)‖ ≤ ‖U1(t)‖ + ‖U2(t)‖ + ‖U3(t)‖ .
Comme ν ∈
, on en déduit que cos ν < 0. Avec le changement de variable
z = r(cos ν − i sin ν) , r ∈
nous avons:
‖U1(t)‖ =
eztR(z; A) dz
ert(cos ν−i sin ν)R(r(cos ν − i sin ν); A)(cos ν − isinν) dr
ert cos ν
e−rt(− cos ν)
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 73
s = rt(− cos ν) , s ∈ [− cos ν,∞),
il vient ds = −t cos νdr. Donc:
‖U1(t)‖ ≤
− cos ν
−t cos ν
−t cos ν ds =
− cos ν
− cos ν
− cos ν
De façon analogue, nous obtenons:
‖U3(t)‖ =
eztR(z; A) dz
ert(cos ν+i sin ν)R(r(cos ν + i sin ν); A)(cos ν + isinν) dr
ert cos ν
dr ≤ M ′ .
De même, pour l’intégrale U2(t), avec le changement de variable
(cos θ + i sin θ) , θ ∈ [−ν, ν],
(− sin θ + i cos θ) dθ
‖U2(t)‖ =
eztR(z; A) dz
(cos θ+i sin θ)R
(cos θ + i sin θ); A
(−sinθ + i cos θ) dθ
cos θ K
cos θ
dθ ≤ Ke
dθ = M” .
Par conséquent, il existe M ≥ 1 tel que:
‖U(t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
74 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Nous allons maintenant montrer que pour tout λ ∈ Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0}, on a:
R(λ; A) =
e−λtU(t) dt .
Nous avons successivement:
e−λtU(t) dt =
e−(λ−z)tR(z; A) dzdt =
(z−λ)t
dtR(z; A) dz =
e(z−λ)τ − 1
z − λ R(z; A) dz =
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz +
R(z; A)
λ − z dz =
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz + (λI − A)
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz + R(λ; A) .
Par conséquent:
e−λtU(t) dt − R(λ; A)
e(z−λ)τ
z − λ R(z; A) dz
|e(z−λ)τ |
|z − λ| ‖R(z; A)‖ |dz| ≤
e(Rez−Reλ)τ
|z − λ|
|z| |dz| =
e−τReλ
|z − λ|
|z| |dz| .
eτRez
|z||z − λ| .
Pour z ∈ Γν on a |z| = r et
|z − λ| ≥ | |z| − |λ| | = |r − |λ| | .
Donc:
τRez 1
|r − |λ||
r|r − |λ|| dr < ∞ .
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 75
Si nous notons
C = sup
alors nous obtenons:
e−λtU(t) dt − R(λ; A)
≤ Ce−τReλ .
En passant à limite pour τ → ∞, on obtient
R(λ; A) =
e−λtU(t) dt
pour tout λ ∈ Λ0. Comme ‖U(t)‖ ≤ M , pour tout t ≥ 0, par récurrence on peut
obtenir:
dλn−1
R(λ; A) = (−1)n−1
tn−1e−λtU(t) dt , (∀)n ∈ N∗.
Mais avec la proposition 1.1.16 (iii), on voit que:
dλn−1
R(λ; A) = (−1)n−1(n − 1)!R(λ; A)n , (∀)n ∈ N∗.
Par conséquent, nous obtenons:
‖R(λ; A)n‖ =
(n − 1)!
tn−1e−λtU(t) dt
(n − 1)!
tn−1e−Reλt dt =
(n − 1)!
n − 1
tn−2e−Reλt dt = · · · = M
(Reλ)n
pour tout n ∈ N∗. Avec le théorème de Hille-Yosida, on voit que l’opérateur A est
le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
Soit x ∈ D(A2) et λ ∈ Λ0. Compte tenu du théorème 2.4.4, nous avons:
T (t)x =
Reλ+i∞∫
Reλ−i∞
eλtR(λ; A)x dλ
et compte tenu du (ii) et du théorème de Cauchy, on peut remplacer le contour
d’intégration par Γν . Donc:
T (t)x =
R(λ; A)x dλ , (∀)x ∈ D(A2).
76 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Comme D(A2) = E et l’intégrale
eλtR(λ; A)dλ est uniformément convergente,
nous obtenons:
T (t)x =
eλtR(λ; A)x dλ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte l’affirmation de l’énoncé.
Théorème 2.5.2 Soit A un opérateur linéaire fermé défini sur un sous espace
dense de E et vérifiant les propriétés suivantes:
i) σ(A) ⊂ {z ∈ C|Rez ≤ 0};
ii) pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ E∗ on a:
γ+i∞∫
R(λ; A)
x, x∗
∣ |dλ| < ∞ .
Alors A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
Preuve Pour γ > 0 arbitrairement fixé, l’application:
{z ∈ C|Rez > 0} ∋ z 7−→
R(z + γ; A)2x, x∗
se trouve dans l’espace de Hardy H1. Par conséquent elle admet un représentation
par une intégrale de Cauchy et en particulier pour α > 0 et γ ∈]0, α[, on a:
R(α; A)2x, x∗
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
α − λ dλ .
De plus, par récurrence on voit que:
R(α; A)2x, x∗
= (−1)n n!
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
(α − λ)n+1 dλ ,
pour tout n ∈ N∗. D’autre part, avec la proposition 1.1.16 (iii) il vient:
R(α; A) = (−1)nn!R(α; A)n+1 , (∀)n ∈ N∗
Par itération nous obtenons:
R(α; A)n+1x, x∗
γ+i∞∫
〈R(λ; A)2x, x∗〉
(α − λ)n dλ ,
2.5. CONDITIONS SUFFISANTES D’APPARTENANCES À GI(M, 0) 77
pour tout n ∈ N∗ et tout γ ∈]0, α[. Il s’ensuit que pour tout n ∈ N∗ on a:
R(α; A)n+1x, x∗
(α − γ)n
γ+i∞∫
R(λ; A)2x, x∗
∣ |dλ| ≤
(α − γ)n , (∀)γ ∈]0, α[,
où la constante C ne dépend que de x ∈ E et de x∗ ∈ E∗. Si nous prenons:
n + 1
alors on voit que:
R(α; A)n+1x, x∗
∣ ≤ 1
α − α
1 − 1
n + 1
)−(n+1)
En appliquant le théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67, Theorem II.1.11, pag.
52]), on obtient pour tout α > 0:
‖R(α; A)m‖ ≤ M
, (∀)m ∈ {2, 3, . . .}.
Prouvons que cette inégalité reste valable pour m = 1. On a:
R(τ ; A)2 dτ = −
R(τ ; A)2 dτ =
R(τ ; A) dτ = R(α; A) − R(β; A) , (∀)α, β > 0.
Comme pour m = 2 nous avons:
∥R(β; A)2
∥ ≤ M
on en déduit que la limite existe et on pose
R0x := lim
R(β; A)x , (∀)x ∈ E .
78 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
D’autre part, si x ∈ D(A), alors nous avons:
R(β; A)x = R(β; A)2(βI − A)x −→ 0 si β → ∞.
Comme D(A) = E , il s’ensuit que R0 = 0 et on voit que:
R(α; A) =
R(τ ; A)2 dτ .
Par conséquent:
‖R(α; A)m‖ ≤ M
, (∀)m ∈ N∗.
En appliquant le théorème de Hille-Yosida, on obtient le résultat désiré.
2.6 Propriétés spectrales des C0-semi-groupes
Nous terminons ce chapitre avec quelques propriétés spectrales pour les C0-
semi-groupes.
Lemme 2.6.1 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors pour tout λ ∈ Λω et t > 0, l’application:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds
définit un opérateur linéaire borné sur E vérifiant les propriétés suivantes:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
De plus Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t).
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 79
Preuve Pour tout x ∈ E nous avons successivement:
‖Bλ(t)x‖ =
eλ(t−s)T (s)x ds
eReλ(t−s)‖T (s)‖‖x‖ ds ≤
≤ MeReλt‖x‖
e−(Reλ−ω)s ds < ∞ .
Comme la linéarité est évidente, il en résulte que Bλ(t) ∈ B(E), quels que soient
λ ∈ Λω et t > 0.
Si x ∈ E et h > 0, alors nous obtenons:
T (h) − I
Bλ(t)x =
T (h) − I
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−s)T (h + s)x ds − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ+h)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ −
eλ(t−τ)T (τ)x dτ
eλ(t−s)T (s)x ds =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − e
eλ(t−τ)T (τ)x dτ +
eλ(t−τ)T (τ)x dτ − 1
eλ(t−s)T (s)x ds −
eλ(t−τ)T (τ)x dτ =
eλ(t−τ)T (τ)x dτ +
eλh − 1
eλ(t−s)T (s)x ds −
λ(t−τ)
T (τ)x dτ =
80 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
λ(t−τ)
T (τ)x dτ +
eλh − 1
Bλ(t)x −
λ(t−τ)
T (τ)x dτ .
En passant à limite, on a:
T (h)Bλ(t)x − Bλ(t)x
= T (t)x + λBλ(t)x − eλtx ,
d’où Bλ(t)x ∈ D(A) et:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E .
Si x ∈ D(A), alors nous avons:
Bλ(t)Ax =
λ(t−s)
T (s)Ax ds =
eλ(t−s)
T (s)x ds = T (t)x − eλtx + λBλ(t)x ,
d’où l’on tire:
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
De plus, nous obtenons que:
Bλ(t)D(A) ⊆ D(A)
(λI − A)Bλ(t)x = Bλ(t)(λI − A)x , (∀)x ∈ D(A) ,
d’où:
ABλ(t)x = Bλ(t)Ax , (∀)x ∈ D(A).
Compte tenu du théorème 2.2.9, on voit que:
Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t) , (∀)t ≥ 0.
Théorème 2.6.2 (spectral mapping) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son
générateur infinitésimal. Alors:
etσ(A) =
∣λ ∈ σ(A)
⊆ σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 81
Preuve Soit λ ∈ C tel que eλt ∈ ρ(T (t)).
Alors on peut considérer l’opérateur Q =
eλtI − T (t)
∈ B(E). Compte tenu
du lemme 2.6.1 (i), on a:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
Par multiplication avec Q à droite dans la première égalité et à gauche dans la
seconde, nous obtenons:
(λI − A)Bλ(t)Qx = x , (∀)x ∈ E
QBλ(t)(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Mais, avec le lemme 2.6.1, il en résulte que:
eλtI − T (t)
Bλ(t) = Bλ(t)
eλtI − T (t)
et nous voyons que QBλ(t) = Bλ(t)Q. Par conséquent:
(λI − A)Bλ(t)Qx = x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)Q(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
Il s’ensuit que λ ∈ ρ(A) et finalement on voit que:
ρ(T (t)) ⊂ etρ(A) , (∀)t ≥ 0,
ou bien:
etσ(A) ⊆ σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Remarque 2.6.3 Nous avons vu que pour les semi-groupes uniformément conti-
nus on a l’égalité:
etσ(A) = σ(T (t)) , (∀)t ≥ 0.
Mais il existe des C0-semi-groupes pour lesquels l’inclusion du théorème 2.6.2 est
stricte.
82 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Définition 2.6.4 On dit que le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est nilpotent s’il existe
t0 > 0 tel que T (t) = 0, pour tout t > t0.
Proposition 2.6.5 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) un semi-groupe nilpotent et A
son générateur infinitésimal. Alors σ(A) = ∅.
Preuve Comme le C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 est nilpotent, il existe t0 > 0 tel que
T (t) = 0, (∀)t > t0. Pour tout λ ∈ C et tout x ∈ E , on a:
∥e−λtT (t)x
∥ ≤ e−ReλtMeωt‖x‖ , (∀)t ∈ [0, t0]
et comme:
e−λtT (t)x dt = 0 ,
on peut définir la transformée de Laplace:
Rλ : E −→ E
Rλx =
e−λtT (t)x dt =
e−λtT (t)x dt
pour tout λ ∈ C. Avec le théorème 2.3.1, il vient λ ∈ ρ(A) et Rλx = R(λ; A)x,
pour tout x ∈ E . Donc ρ(A) = C, c’est-à-dire σ(A) = ∅.
Remarque 2.6.6 Pour un semi-groupe nilpotent {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A, l’inclusion du théorème 2.6.2 est stricte.
Théorème 2.6.7 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
σ(R(λ; A)) =
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
∪ {0}
quel que soit λ ∈ Λω.
Preuve Soient λ ∈ Λω et µ ∈ ρ(A), µ 6= λ. Définissons:
S : E −→ E
S = (λ − µ)(λI − A)R(µ; A).
2.6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES C0-SEMI-GROUPES 83
Comme S est un opérateur fermé, avec le théorème du graphe fermé, on voit que
S ∈ B(E). De plus, pour tout x ∈ E nous avons:
SR(λ; A)x = (λ − µ)(λI − A)R(µ; A)R(λ; A)x =
= (λ − µ)(λI − A)R(λ; A)R(µ; A)x = (λ − µ)R(µ; A)x
R(λ; A)Sx = R(λ; A)(λ − µ)(λI − A)R(µ; A)x =
= (λ − µ)R(λ; A)(λI − A)R(µ; A)x = (λ − µ)R(µ; A)x .
Par conséquent SR(λ; A) = R(λ; A)S.
De même, pour x ∈ E on a:
λ − µI − R(λ; A)
= (λ − µ)(λI − A)R(µ; A)
λ − µI − R(λ; A)
= [(λI − A)R(µ; A) − (λ − µ)R(µ; A)]x =
= (λI − A − λI + µI)R(µ; A)x =
= (µI − A)R(µ; A)x = x .
De façon analogue, pour tout x ∈ E on peut montrer que:
λ − µI − R(λ; A)
Sx = x .
Par conséquent:
λ − µ ∈ ρ(R(λ; A)) ,
d’où: {
λ − µ
µ ∈ ρ(A)
⊂ ρ(R(λ; A)) .
Il s’ensuit que:
σ(R(λ; A)) ⊂
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
Réciproquement, soit λ ∈ Λω et µ ∈ C, µ 6= λ, tel que 1λ−µ ∈ ρ(R(λ; A)). Alors il
existe R
; R(λ; A)
∈ B(E) et pour tout x ∈ D(A) nous avons:
R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
x = R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
84 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
R(λ; A)−1
λ − µI − R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
R(λ; A)
λ − µR(λ; A)
−1 − I
R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
R(λ; A)x = R
λ − µ ; R(λ; A)
R(λ; A)x .
Posons:
Q = R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
Pour tout x ∈ D(A), nous avons:
(µI − A)Qx = (µI − λI + λI − A)R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
= [(λI − A)R(λ; A) − (λ − µ)R(λ; A)]R
λ − µ ; R(λ; A)
= [I − (λ − µ)R(λ; A)]R
λ − µ ; R(λ; A)
= (λ − µ)
λ − µI − R(λ; A)
λ − µ ; R(λ; A)
x = (λ − µ)x ,
d’où il résulte que:
λ − µ(µI − A)Qx = x , (∀)x ∈ D(A).
De même, nous obtenons:
Q(µI − A)x = R(λ; A)R
λ − µ ; R(λ; A)
(µI − A)x =
λ − µ ; R(λ; A)
R(λ; A)(µI − λI + λI − A)x =
λ − µ ; R(λ; A)
[R(λ; A)(λI − A) − R(λ; A)(λ − µ)] x =
λ − µ ; R(λ; A)
[I − (λ − µ)R(λ; A)]x =
= (λ − µ)R
λ − µ ; R(λ; A)
λ − µI − R(λ; A)
x = (λ − µ)x ,
d’où:
λ − µQ(µI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A).
2.7. NOTES 85
Par conséquent µ ∈ ρ(A). Il s’ensuit que:
ρ(R(λ; A)) ⊂
λ − µ
µ ∈ ρ(A)
ou bien:
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
⊂ σ(R(λ; A)) , (∀)λ ∈ C avec Reλ > ω.
Finalement, nous voyons que:
σ(R(λ; A)) =
λ − ζ
ζ ∈ σ(A)
, (∀)λ ∈ Λω.
Si 0 ∈ ρ(R(λ; A)), alors il existe (0I − R(λ; A))−1 ∈ B(E), d’où A ∈ B(E) ce qui
est absurde. Par conséquent 0 ∈ σ(R(λ; A)).
2.7 Notes
Les notions et les résultats de ce chapitre se trouvent dans les monographies concernant les C0-
semi-groupes d’opérateurs linéaires bornés. Le théorème 2.1.7 se trouve dans [Hi’48, pag.184],
mais une preuve élégante utilisant le théorème de Krein-Šmulian se trouve dans [Da’80, pag.
15]. De même, dans [Pa’83-1, pag. 43] on peut trouver une caractérisation du générateur
infinitésimal d’un C0-semi-groupe pour la topologie faible.
Pour le théorème de l’unicité de l’engendrement nous avons utilisé [Pa’83-1, pag. 6] et le
théorème 2.2.9 se trouve dans [Da’80, pag. 11].
Le résultat le plus important de ce chapitre est le théorème de Hille-Yosida. Il a été montré
pour la première fois indépendamment par Hille dans [Hi’48] et par Yosida dans [Yo’48] pour les
C0-semi-groupes de contractions. Quelques années plus tard, Feller dans [Fe’53], Miyadera dans
[Mi’52] et Phillips dans [Ph’52] donnent une preuve pour le cas général d’un C0-semi-groupe.
Nous avons utilisé les idées du livre de Pazy [Pa’83-1, pag. 8] pour obtenir une preuve dans le
cas le plus général, en utilisant l’approximation généralisée de Yosida que nous avons introduit
dans la définition 2.3.8.
Pour obtenir le représentation de Bromwich d’un C0-semi-groupe, nous avons utilisé aussi
les idées de Pazy de [Pa’83-1, pag. 29]. Une variante du lemme 2.4.1 se trouve dans [Le’00-2].
Pour le théorème 2.5.1 on peut consulter [Pa’83-1, pag. 30] ou bien [Ah’91, pag. 76]. Le
téorème 2.5.2 a été montré par Gomilko dans [Go’99].
Pour les propriétés spectrales des C0-semi-groupes on peut consulter [Pa’83-1, pag. 44] où
on peut trouver aussi des autres résultats sur cette problème. Finalement, pour le théorème 2.6.7
on pourra consulter [Da’80, pag. 39].
86 CHAPITRE 2. SEMI-GROUPES DE CLASSE C0
Chapitre 3
C0-semigroupes avec propriétés
spéciales
3.1 C0-semi-groupes différentiables
Par la suite, nous étudierons les propriétés des C0-semi-groupes pour lesquels
l’application ]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E est différentiable, quel que soit x ∈ E .
Définition 3.1.1 On dit que {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe différentiable (et
notons {T (t)}
∈ SGD(M, ω)) si l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est différentiable, quel que soit x ∈ E .
Théorème 3.1.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) ;
ii) Im T (t) ⊂ D(A) , (∀)t > 0.
Preuve i) =⇒ ii) Soient x ∈ E et t, h > 0. Puisque l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ E
est différentiable, la limite du rapport
T (t + h)x − T (t)x
88 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
lorsque h ց 0, existe et est égale par définition avec AT (t)x. Par conséquent,
T (t)x ∈ D(A).
ii) =⇒ i) Considérons x ∈ E et t, h > 0. Comme T (t)x ∈ D(A), nous avons:
d+T (t)x
= lim
T (t + h)x − T (t)x
= AT (t)x .
D’autre part, pour h ∈]0, t[ et δ ∈]0, t − h[ on a:
T (t − h)x − T (t)x
−h − AT (t)x
T (t − δ)T (δ)x − T (t − h − δ)T (δ)x
− AT (δ)T (t − δ)x
t−h−δ
T (τ)T (δ)x dτ −
t−h−δ
AT (δ)T (t − δ)x dτ
t−h−δ
[AT (δ)T (τ) − AT (δ)T (t − δ)] x dτ
‖AT (δ)‖
t−h−δ
‖T (τ) − T (t − δ)‖ dτ‖x‖ =
‖AT (δ)‖h ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ =
= ‖AT (δ)‖ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Par conséquent:
d−T (t)x
= lim
T (t − h)x − T (t)x
−h = AT (t)x .
Donc {T (t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe différentiable.
Proposition 3.1.3 Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) . Alors l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme.
Preuve Soient x ∈ E et t1, t2 ∈]0,∞) tel que t1 < t2. Compte tenu du théorème
3.1.2, nous obtenons:
‖T (t1)x − T (t2)x‖ =
T (s)x ds
AT (t1)T (s − t1)x ds
≤ ‖AT (t1)‖
Me(s−t1)ω‖x‖ ds .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 89
Par suite, nous avons:
‖T (t1) − T (t2)‖ ≤ ‖AT (t1)‖M
e(s−t1)ω ds ,
d’où résulte la continuité uniforme de l’application considérée dans l’énoncé.
Théorème 3.1.4 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) et A son générateur infinitési-
mal. Alors:
i) pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ E , on a T (t)x ∈ D(An) et:
AnT (t)x =
x , (∀)t > 0;
ii) pour tout n ∈ N∗ l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(An)
est n fois différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
T (t) = AnT (t) ∈ B(E) , (∀)t > 0;
iii) pour tout n ∈ N∗ l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(n) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme.
Preuve Prouvons les affirmations de l’énoncé par récurrence.
i) Avec le théorème 3.1.2, on voit que pour tout x ∈ E on a T (t)x ∈ D(A) et:
AT (t)x =
x , (∀)t > 0.
Supposons que pour tout x ∈ E on ait T (t)x ∈ D(Ak) et:
T (t)x =
x , (∀)t > 0.
Soient x ∈ E et δ ∈]0, t[. On voit que T (t − δ)T (δ)x ∈ D(A) et:
AT (t)x = AT (t − δ)T (δ)x = T (t − δ)AT (δ)x ∈ D(Ak) .
Par conséquent T (t)x ∈ D(Ak+1), (∀)t > 0. De plus:
Ak+1T (t)x = A
AkT (t − δ)T (δ)
x = A
T (t − δ)AkT (δ)
= AT (t − δ)
90 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Si δ = kt
, il vient:
Ak+1T (t)x =
k + 1
)]k+1
Finalement, nous obtenons (i).
ii) Pour n = 1, compte tenu du théorème 3.1.2 et de la proposition 3.1.3, il résulte
que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(A)
est différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
= AT (t) , (∀)t > 0.
Comme A est un opérateur fermé et T (t) ∈ B(E), il résulte que AT (t) est un
opérateur fermé défini sur E . Avec le théorème du graphe fermé ([DS’67, Theorem
II.2.4, pag. 57]), on voit que AT (t) ∈ B(E), (∀)t > 0. Supposons que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) : E → D(Ak)
est k fois différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et:
T (t)
= AkT (t) ∈ B(E) , (∀)t > 0.
De plus, avec la preuve précédente, on voit que T (t)x ∈ D
, pour tout t > 0.
Soient x ∈ E , ‖x‖ ≤ 1 et t > 0. Si h > 0 et δ ∈]0, t[, on a:
T (t + h)
x − T (t)(k)x
− Ak+1T (t)x
AkT (δ)T (t + h − δ)x − AkT (δ)T (t − δ)x
− Ak+1T (δ)T (t − δ)x
AkT (δ)
[T (t + h − δ) − T (t − δ)] x − Ak+1T (δ)T (t − δ)x
T (δ)
t+h−δ∫
T (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t+h−δ∫
T (t − δ)x dτ
AkT (δ)
t+h−δ∫
AT (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t+h−δ∫
T (t − δ)x dτ
Ak+1T (δ)
t+h−δ∫
[T (τ) − T (t − δ)] x dτ
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 91
∥Ak+1T (δ)
t+h−δ∫
‖T (τ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ dτ =
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − δ, t + h − δ]. Il s’ensuit que:
T (t + h)
(k) − T (t)(k)
− Ak+1T (t)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ,
où c ∈ [t − δ, t + h − δ]. Par conséquent:
T (t + h)
(k) − T (t)(k)
= Ak+1T (t) , (∀)t > 0.
Si h > 0 tel que t − h > 0 et δ ∈]0, t − h[, alors nous avons:
T (t − h)(k)x − T (t)(k)x
−h − A
k+1T (t)x
AkT (δ)T (t− δ)x − AkT (δ)T (t− h − δ)x
− Ak+1T (δ)T (t− δ)x
AkT (δ)
[T (t − δ) − T (t − h − δ)] x − Ak+1T (δ)T (t− δ)x
T (δ)
t−h−δ
T (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t−h−δ
T (t − δ)x dτ
AkT (δ)
t−h−δ
AT (τ)x dτ − Ak+1T (δ) 1
t−h−δ
T (t − δ)x dτ
Ak+1T (δ)
t−h−δ
[T (τ) − T (t − δ)] x dτ
∥Ak+1T (δ)
t−h−δ
‖T (τ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ dτ =
T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Il vient:
T (t − h)(k) − T (t)(k)
−h − A
k+1T (t)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (c) − T (t − δ)‖ ,
où c ∈ [t − h − δ, t − δ]. Par conséquent:
T (t − h)(k) − T (t)(k)
−h = A
T (t) , (∀)t > 0.
92 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Il s’ensuit que T (t)
est différentiable pour la topologie de la convergence uniforme
T (t)
= T (t)
(k+1)
= Ak+1T (t) , (∀)t > 0.
Comme A est un opérateur fermé et AkT (t) ∈ B(E), il résulte que A
AkT (t)
est un opérateur fermé défini sur E . Avec le théorème du graphe fermé ([DS’67,
Theorem II.2.4, pag. 57]), on voit que T (t)
(k+1)
= Ak+1T (t) ∈ B(E), (∀)t > 0.
Finalement, on a obtenu (ii).
iii) Soient x ∈ E avec ‖x‖ ≤ 1 et t > 0. Pour h > 0 et δ ∈]0, t[ nous obtenons:
∥T (t + h)
x − T (t)′x
∥ = ‖AT (t + h)x − AT (t)x‖ ≤
≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où il résulte:
∥T (t + h)
′ − T (t)′
∥ ≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ .
De façon analogue, pour h > 0 et δ ∈]0, t − h[ nous obtenons:
∥T (t − h)′x − T (t)′x
∥ = ‖AT (t − h)x − AT (t)x‖ ≤
≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où:
∥T (t − h)′ − T (t)′
∥ ≤ ‖AT (δ)‖ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ .
Il est clair que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)′ ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. Supposons que l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(k) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. Si h > 0 et δ ∈]0, t[,
alors nous avons:
∥T (t + h)
(k+1)
x − T (t)(k+1)x
∥Ak+1T (t + h)x − Ak+1T (t)x
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖ ,
d’où il s’ensuit que:
∥T (t + h)
(k+1) − T (t)(k+1)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t + h − δ) − T (t − δ)‖ .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 93
D’autre part, pour h > 0 et δ ∈]0, t − h[ nous obtenons:
∥T (t − h)(k+1)x − T (t)(k+1)x
T (t − h)x − Ak+1T (t)x
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ ‖x‖
et on voit que:
∥T (t − h)(k+1) − T (t)(k+1)
∥Ak+1T (δ)
∥ ‖T (t − h − δ) − T (t − δ)‖ .
Donc l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t)(k+1) ∈ B(E)
est continue pour la topologie de la convergence uniforme. La propriété (iii) en
découle immédiatement.
Remarque 3.1.5 Si {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) , alors l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est de classe C∞]0,∞).
Remarque 3.1.6 Si {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) , alors pour tout n ∈ N∗ on a:
T (t)
= AnT (t) =
, (∀)t > 0.
Nous finissons cette section avec le théorème spectral pour les C0-semi-groupes
différentiables. Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) . Pour tout λ ∈ C et tout t > 0, nous
avons défini l’opérateur linéaire borné:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds
et nous avons étudié ses propriétés avec le lemme 2.6.1. Si le C0-semi-groupe
{T (t)}
t≥0 est différentiable, on peut montrer le résultat suivant.
Lemme 3.1.7 Soient {T (t)}
∈ SGD(M, ω) et A son générateur infinitésimal.
Alors:
94 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
i) pour tout λ ∈ C et tout t > 0, l’opérateur Bλ(t) ∈ B(E) est indéfiniment
dérivable et:
Bλ(t)
Bλ(t) +
T (t)
 , (∀)n ∈ N∗;
ii) pour tout λ ∈ C et tout t > 0 on a:
Bλ(t)
T (t)
= T (t)
Bλ(t)
, (∀)n ∈ N∗.
Preuve Montrons les affirmations de l’énoncé par récurrence.
i) Soient x ∈ E , λ ∈ C et t > 0. Alors:
Bλ(t)
x = λ
Bλ(t)x +
T (t)x
Supposons que:
Bλ(t)
x = λk
Bλ(t)x +
T (t)
Alors:
Bλ(t)
(k+1)
Bλ(t)
λBλ(t)x + T (t)x +
T (t)
(i+1)
= λk+1
Bλ(t)x +
T (t)
et nous obtenons (i).
ii) Soient λ ∈ C et t > 0. Compte tenu du théorème 3.1.4, pour x ∈ E , on voit
que T (t)x ∈ D(An) et:
AnT (t)x = AnT
x = AnT
+ · · · + t
︸ ︷︷ ︸
n fois
= An T
· · ·T
︸ ︷︷ ︸
n fois
x = T
An = T (t)Anx , (∀)n ∈ N∗,
parce que le semi-groupe commute avec son générateur infinitésimal. De même,
avec le lemme 2.6.1 il résulte que:
Bλ(t)T (t) = T (t)Bλ(t) .
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 95
Alors pour x ∈ E , nous avons:
Bλ(t)
T (t)x = λn
Bλ(t) +
T (t)
T (t)x =
Bλ(t)T (t) +
AiT (t)T (t)
T (t)Bλ(t) +
T (t)AiT (t)
= T (t)λn
Bλ(t) +
T (t)
x = T (t)Bλ(t)
x , (∀)n ∈ N∗.
D’autre part, pour x ∈ D(A), nous avons:
Bλ(t)(λI − A)x = (λI − A)Bλ(t)x ,
d’où il résulte:
Bλ(t)Ax = ABλ(t)x .
Supposons que pour x ∈ D(Ak) nous avons:
Bλ(t)A
kx = AkBλ(t)x .
Si x ∈ D(Ak+1), il vient:
Bλ(t)A
k+1x = Bλ(t)A
k(Ax) = AkBλ(t)Ax = A
kABλ(t)x = A
k+1Bλ(t)x.
Il s’ensuit donc que:
Bλ(t)A
nx = AnBλ(t)x ,
pour tout x ∈ D(An) et tout n ∈ N∗. De même, si x ∈ D(An), on a:
Bλ(t)
Anx = λn
Bλ(t) +
T (t)
Anx =
Bλ(t)A
AiT (t)An
AnBλ(t) +
AnAiT (t)
= Anλn
Bλ(t) +
T (t)
x = AnBλ(t)x , (∀)n ∈ N∗.
Finalement, pour x ∈ E nous obtenons:
Bλ(t)
T (t)
x = Bλ(t)
AnT (t)x = AnBλ(t)
T (t)x =
= AnT (t)Bλ(t)
x = T (t)
Bλ(t)
x , (∀)n ∈ N∗.
96 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Théorème 3.1.8 (spectral mapping) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SGD(M, ω) et A
son générateur infinitésimal. Alors pour tout n ∈ N∗ on a:
tσ(A)
∣λ ∈ σ(A)
T (t)
, (∀)t > 0.
Preuve Pour λ ∈ C et t > 0, nous considérons l’opérateur:
Bλ(t) : E −→ E
Bλ(t)x =
eλ(t−s)T (s)x ds .
Avec le lemme 3.1.7, on déduit que l’opérateur Bλ(t) ∈ B(E) est indéfiniment
dérivable et:
Bλ(t)
Bλ(t) +
T (t)
 , (∀)n ∈ N∗.
Compte tenu du lemme 2.6.1, il résulte que:
(λI − A)Bλ(t)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ E
et que:
Bλ(t)(λI − A)x = eλtx − T (t)x , (∀)x ∈ D(A).
Pour tout n ∈ N∗ il s’ensuit que:
(λI − A)Bλ(t)(n)x = λneλtx − T (t)(n)x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)
(λI − A)x = λneλtx − T (t)(n)x , (∀)x ∈ D(A).
Si λ ∈ C est tel que λneλt ∈ ρ
T (t)
, alors on peut considérer:
λneλtI − T (t)(n)
∈ B(E) ,
pour tout n ∈ N∗. Par conséquent:
(λI − A)Bλ(t)(n)Qx = x , (∀)x ∈ E
QBλ(t)
(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A),
3.1. C0-SEMI-GROUPES DIFFÉRENTIABLES 97
pour tout n ∈ N∗. Mais, avec le lemme 3.1.7, il résulte:
Bλ(t)
T (t)
= T (t)
Bλ(t)
, (∀)n ∈ N∗.
Donc:
λneλT Bλ(t)
(n) − Bλ(t)(n)T (t)(n) = λneλtBλ(t)(n) − T (t)(n)Bλ(t)(n)
Bλ(t)
λneλtI − T (t)(n)
λneλtI − T (t)(n)
Bλ(t)
pour tout n ∈ N∗. Par suite:
Bλ(t)
Q = QBλ(t)
, (∀)n ∈ N∗
et nous voyons que:
(λI − A)Bλ(t)(n)Qx = x , (∀)x ∈ E
Bλ(t)
Q(λI − A)x = x , (∀)x ∈ D(A) ,
d’où on obtient que λ ∈ ρ(A). Nous en déduisons que λ ∈ σ(A) implique λneλt ∈
T (t)
pour tout n ∈ N∗. Par conséquent:
λneλt
∣λ ∈ σ(A)
T (t)
ou bien:
λ ∈ σ(A)
T (t)
et finalement:
etσ(A)
T (t)
pour tout n ∈ N∗ et tout t > 0.
98 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
3.2 C0-semi-groupes analytiques
Par la suite nous étudions la possibilité d’étendre l’intervalle ]0,∞) à une
région du plan complexe, sans abandonner les propriétés de C0-semi-groupe. Nous
désignerons par ∆ l’ensemble:
{z ∈ C|Re z > 0 et ϕ1 < arg z < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2}
Définition 3.2.1 On appelle C0-semi-groupe analytique une famille {T (z)}z∈∆ ⊂
B(E) vérifiant les propriétés suivantes:
i) T (0) = I;
ii) T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), (∀)z1, z2 ∈ ∆;
iii) limz→0 T (z)x = x, (∀)x ∈ E , z ∈ ∆;
iv) l’application:
∆ ∋ z 7−→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le secteur ∆.
Comme la multiplication par eωt n’a aucun effet sur la possibilité ou l’impossibilité
d’extension à un semi-groupe analytique, il est suffit de considérer seulement les C0-
semi-groupes uniformément bornés. Le théorème suivant donne une caractérisation
pour les C0-semi-groupes analytiques uniformément bornés.
Théorème 3.2.2 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0) et A son générateur infinitésimal
tel que 0 ∈ ρ(A). Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) il existe δ > 0 tel que {T (t)}
t≥0 peut être étendu à un semi-groupe analytique
dans le secteur:
∆δ = {z ∈ C|Re z > 0 et | arg z| < δ} , δ > 0
et {T (z)}
z∈∆δ′
est uniformément borné dans tout sous secteur fermé ∆δ′ ⊂ ∆δ, où
δ′ ∈]0, δ[;
ii) il existe une constante C > 0 telle que pour tout γ > 0 et tout η 6= 0 on ait:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C|η| ;
iii) il existe δ ∈
et K > 1 tel que:
ρ(A) ⊃ Σδ =
λ ∈ C
| arg λ| < π
∪ {0}
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 99
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0};
iv) l’application:
]0,∞) ∋ t 7−→ T (t) ∈ B(E)
est différentiable et il existe une constante L > 0 tel que:
‖AT (t)‖ ≤ L
, (∀)t > 0.
Preuve i) =⇒ ii) Soit δ ∈
. Si δ′ ∈]0, δ[, il existe C ′ > 0 tel que:
‖T (z)‖ ≤ C ′
pour tout z ∈ ∆δ′ . Comme l’application:
∆δ ∋ z 7−→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le sous secteur ∆δ′ , avec le théorème de Cauchy ([DS’67, pag.
225]), on voit que
T (z) dz = 0 ,
quel que soit le contour de Jordan lisse et fermé Γ ⊂ ∆δ′ . Par conséquent, dans
l’intégrale
R(γ + iη; A)x =
e−(γ+iη)tT (t)x dt , γ > 0,
on peut changer le chemin d’intégration par:
Γθ = {r(cos θ + i sin θ)| 0 < r < ∞, |θ| ≤ δ′} .
Si η > 0, alors pour le chemin
Γ−δ′ = {r(cos δ′ − i sin δ′)| 0 < r < ∞} ,
nous obtenons:
‖R(γ + iη; A)x‖ =
e−(γ+iη)tT (t)x dt
−(γ+iη)r(cos δ′−i sin δ′)
T (r(cos δ′ − i sin δ′))x d(r(cos δ′ − i sin δ′))
∣e−(γ+iη)r(cos δ
′−i sin δ′)
∣ ‖T (r(cos δ′ − i sin δ′)‖ ‖x‖| cos δ′ − i sin δ′| dr ≤
≤ C ′‖x‖
−r(γ cos δ′+η sin δ′)
C ′‖x‖
γ cos δ′ + η sin δ′
η sin δ′
‖x‖ .
100 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Si nous notons:
sin δ′
alors on obtient:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C
Soit maintenant η < 0. Alors pour le chemin
Γδ′ = {r(cos δ′ + i sin δ′)| 0 < r < ∞} ,
nous avons:
‖R(γ + iη; A)x‖ =
e−(γ+iη)tT (t)x dt
e−(γ+iη)r(cos δ
′+i sin δ′)T (r(cos δ′ + i sin δ′))x d(r(cos δ′ + i sin δ′))
∣e−(γ+iη)r(cos δ
′+i sin δ′)
∣ ‖T (r(cos δ′ + i sin δ′)‖ ‖x‖| cos δ′ + i sin δ′| dr ≤
≤ C ′‖x‖
e−r(γ cos δ
′−η sin δ′) dr =
C ′‖x‖
γ cos δ′ − η sin δ′ ≤
−η sin δ′‖x‖ =
−η‖x‖ .
Par conséquent:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C−η .
Finalement on voit que:
‖R(γ + iη; A)‖ ≤ C|η| .
ii) =⇒ iii) Comme {T (t)}
∈ SG(M, 0), avec le théorème de Hille-Yosida on
voit que:
‖R(λ; A)‖ ≤ M
pour tout λ ∈ Λ0. Compte tenu du (ii), il existe C > 0 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ C|Imλ|
pour tout λ ∈ Λ0 avec Imλ 6= 0. Compte tenu des inégalités:
Reλ‖R(λ; A)‖ ≤ M
|Imλ|‖R(λ; A)‖ ≤ C ,
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 101
nous obtenons:
Re2λ‖R(λ; A)‖2 ≤ M2
Im2λ‖R(λ; A)‖2 ≤ C2 ,
d’où il résulte que:
Re2λ + Im2λ
‖R(λ; A)‖2 ≤ M2 + C2 .
Par conséquent, il existe une constante K1 =
M2 + C2 > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K1|λ| , (∀)λ ∈ Λ0.
Considérons λ ∈ C avec Reλ ≤ 0. Soit γ > 0 suffisamment petit et η 6= 0. Comme
l’application R( . ; A) est analytique sur ρ(A), pour tout λ = Reλ+ iη ∈ ρ(A) avec
Reλ ≤ 0, nous obtenons:
R(λ; A) =
(Reλ − γ)n
R(γ + iη; A)
Avec la proposition 1.1.16 (iii), on voit que:
R(γ + iη; A)
= (−1)nn!R(γ + iη; A)n+1 .
Alors il vient:
R(λ; A) =
(−1)n(Reλ − γ)nR(γ + iη; A)n+1
et cette série est uniformément convergente pour:
‖R(γ + iη; A)‖ |Reλ − γ| ≤ α < 1 .
Compte tenu de la propriété (ii), elle est convergente pour la topologie de la norme
si λ = Reλ + iη ∈ ρ(A) est tel que sa partie réelle vérifie Reλ ≤ 0 et
|Reλ − γ| ≤ α|η|
C’est-à-dire qu’il existe un voisinage Vε, ε = α|η|C , de γ + iη ∈ Λ0 contenu dans
ρ(A) lorsque γ > 0 est suffisamment petit. Dans ce voisinage Vε, il existe λ ∈ C
tel que Reλ ≤ 0 et λ ∈ ρ(A). Si nous définissons δ ∈
tel que:
tan δ =
|Reλ|
|Imλ| =
|Reλ|
|η| =
, α ∈]0, 1[,
102 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
δ = arctan
, α ∈]0, 1[,
alors on voit que:
ζ ∈ C
| arg ζ | < π
⊂ ρ(A) .
Nous désignerons par Σδ l’ensemble
λ ∈ C
∣| arg λ| < π
∪{0}, où δ ∈
Si λ ∈ Σδ − {0} et Reλ ≤ 0, alors nous avons:
‖R(λ; A)‖ ≤
∥R(γ + iη; A)
∥ |Reλ − γ|n ≤
|η|n+1
αn|η|n
1 − α
|Imλ| .
Comme:
|Reλ|
|Imλ| <
il vient:
|Reλ|2
|Imλ|2 <
d’où:
|Reλ|2
|Im2λ|2
+ 1 <
+ 1 .
Par conséquent
|Reλ|2 + |Imλ|2
|Imλ|2 <
1 + C2
|Imλ|2 <
1 + C2
Il s’ensuit donc que:
|Imλ| <
1 + C2
C|λ| .
Par suite:
‖R(λ; A)‖ ≤
1 + C2
(1 − α)|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}
et si nous notons
1 + C2
1 − α > 1 ,
alors il vient:
‖R(λ; A)‖ ≤ K2|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 103
Finalement, on obtient qu’il existe K > 1 tel que:
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
iii) =⇒ iv) Supposons qu’il existe δ ∈
et K > 1 tel que:
λ ∈ C
∣| arg λ| <
∪ {0}
‖R(λ; A)‖ ≤ K|λ| , (∀)λ ∈ Σδ − {0}.
Compte tenu du théorème 2.5.1, on voit que l’opérateur A est le générateur in-
finitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il existe M > 1 tel que
‖T (t)‖ ≤ M , (∀)t ≥ 0.
De plus, pour ν ∈
on considère le chemin
Γν = Γ
ν ∪ Γ(2)ν ,
Γ(1)ν = {r(cos ν − i sin ν)| 0 < r < ∞}
Γ(2)ν = {r(cos ν + i sin ν)| 0 < r < ∞} ,
tel que
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
l’intégrale étant uniformément convergente par rapport à t > 0.
ϕ : [0,∞) × Σδ −→ B(E) ,
ϕ(t, z) = eztR(z; A) .
Il est clair que l’application ϕ est différentiable par rapport à t > 0 et:
∂ϕ(z, t)
= zeztR(z; A) .
De plus:
∂ϕ(z, t)
∥zeztR(z; A)
∥ ≤ K
∣ , (∀)t > 0.
104 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Avec le théorème de dérivation de Lebesgue, on voit que l’application
]0,∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ B(E) ,
T (t) =
eztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0,
est différentiable et on a:
T (t)′ =
zeztR(z; A) dz , (∀)t ≥ 0.
Comme ν ∈
, il vient cos ν < 0 et compte tenu que:
‖T (t)′‖ =
zeztR(z; A) dz +
zeztR(z; A) dz
rert cos ν‖R(z; A)‖ dr + 1
rert cos ν‖R(z; A)‖ dr ≤
e−rt(− cos ν) dr =
−t cos ν
, (∀)t > 0,
on déduit qu’il existe L = M
π(− cos ν)
> 0 tel que:
‖AT (t)‖ = ‖T (t)′‖ ≤ L
, (∀)t > 0.
iv) =⇒ i) Soit t0 > 0. Avec la formule de Taylor et compte tenu de la remarque
3.1.6, on a:
T (t) =
(t − t0)k
T (k)(t0) +
(n − 1)!
(t − u)n−1T (n)(u) du =
(t − t0)k
T (t0) +
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du ,
pour tout n ∈ N∗.
Compte tenu du (iv) et de la remarque 3.1.6, on voit que:
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du
(n − 1)!
(t − u)n−1
)]n∥∥
(n − 1)!
(t − u)n−1
du ≤ 1
(n − 1)!
)n t∫
(t − u)n−1 du =
(n − 1)!
)n t−t0∫
(t − t0)n .
3.2. C0-SEMI-GROUPES ANALYTIQUES 105
Avec la formule de Stirling
n! = nn
2πne−n+
12n , un ∈]0, 1[,
on obtient
n!en ≥ nn .
Par conséquent:
(n − 1)!
(t − u)n−1AnT (u) du
(t − t0)n
n!en =
t − t0
pour t ≥ t0 > 0 et n ∈ N∗ suffisamment grand.
Il en résulte que la série de Taylor est convergente vers T (t) si t− t0 < t0Le et on a:
T (t) =
(t − t0)n
T (t0) .
Il s’ensuit donc que pour z ∈ C vérifiant
Re z > 0 et |z − t0| <
on peut définir une fonction analytique
T (z) =
(z − t0)n
AnT (t0) .
La série de la partie droite de cette égalité est uniformément convergente par
rapport à z ∈ C vérifiant les conditions Re z > 0 et
|z − t0| < α
où α ∈]0, 1[.
Soit z ∈ C tel que Re z = t0 >. On voit que:
|Im z| = |z − t0| <
d’où:
|Im z|
|Re z| <
ou encore
| arg z| ≤ arctan
106 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
En prenant
δ = arctan
nous obtenons que l’application
∆δ ∋ z 7→ T (z) ∈ B(E)
est analytique dans le secteur
∆δ = {z ∈ C| Re z > 0 et | arg z| < δ} .
De plus, si nous considérons z ∈ C avec les propriétés Re z > 0 et |z − t0| ≤ α t0Le ,
α ∈]0, 1[, alors nous déduisons que:
‖T (z)‖ ≤ ‖T (t0)‖ +
|z − t0|n
‖AnT (t0)‖ ≤
≤ ‖T (t0)‖ +
)n (Ln
≤ M +
αn = M +
1 − α .
Par conséquent, si nous notons
= arctan
, α ∈]0, 1[,
nous voyons que l’application
∆δ ∋ z 7→ T (z) ∈ B(E)
est uniformément bornée dans le sous secteur
∆δ′ = {z ∈ C| Re z > 0 et | arg z| ≤ δ
′} ⊂ ∆δ .
Il est évident que T (0) = I parce que {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0). De plus, pour tout
t > 0 et tout z ∈ ∆δ, il résulte que:
T (t)T (z) =
(z − t0)n
AnT (t0 + t) =
[(z + t) − (t0 + t)]n
AnT (t0 + t) = T (t + z) .
3.3. C0-SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS 107
Alors, pour tous z1, z2 ∈ ∆δ, nous obtenons:
T (z1)T (z2) = T (z1)
(z2 − t0)n
AnT (t0) =
(z2 − t0)n
AnT (z1)T (t0) =
(z2 − t0)n
AnT (z1 + t0) =
[(z2 + z1) − (z1 + t0)]n
AnT (z1 + t0) = T (z1 + z2) .
0<t<∞
T (t)E .
Nous prouvons que cet ensemble est dense dans E . Soient x ∈ E et tn > 0, n ∈ N,
tel que limn→∞ tn = 0. Alors pour xn = T (tn)x ∈ E0, n ∈ N, nous obtenons:
xn = lim
T (tn)x = x .
Par conséquent, E0 = E .
De plus, nous avons vu que {T (z)}
est uniformément borné dans tout sous
secteur fermé ∆δ′ . De même, pour x ∈ E on obtient T (t)x ∈ E0 et:
T (z)T (t)x = lim
T (z + t) = T (t)x .
Compte tenu du théorème de Banach-Steinhaus ([DS’67, Theorem II.1.11, pag.
52]), il en résulte que
T (z)x = x , (∀)x ∈ E , z ∈ ∆δ.
Finalement, on voit que {T (z)}
est un C0-semi-groupe analytique qui étend le
semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, 0).
3.3 C0-semi-groupes de contractions
Dans la suite nous présentons quelques problèmes concernant la classe du
C0-semi-groupes {T (t)}t≥0 vérifiant la propriété ‖T (t)‖ ≤ 1, pour tout t ≥ 0.
Définition 3.3.1 On dit que {T (t)}
est un C0-semi-groupe de contractions sur
l’espace de Banch E si {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
108 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Lemme 3.3.2 Soit {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω). Alors, l’application:
||| . ||| : E −→ R+
|||x||| = sup
−ωt‖T (t)x‖ , (∀)x ∈ E ,
est une norme sur E équivalente avec la norme initiale ‖ . ‖.
Preuve Soit x ∈ E . Pour tout t ≥ 0, on a:
e−ωt‖T (t)x‖ ≤ e−ωt‖T (t)‖‖x‖ ≤ M‖x‖ .
En passant à la borne supérieure par rapport à t, on voit que:
|||x||| ≤ M‖x‖ , (∀)x ∈ E .
D’autre part, nous avons:
|||x||| = sup
e−ωt‖T (t)x‖ ≥ e−ω0‖T (0)x‖ = ‖x‖ , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte que:
‖x‖ ≤ |||x||| ≤ M‖x‖ , (∀)x ∈ E .
Par conséquent les normes ||| . ||| et ‖ . ‖ sont équivalentes.
Théorème 3.3.3 Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω), A son générateur infinitésimal
S(t) = e−ωtT (t) , (∀)t ≥ 0.
Alors:
i) {S(t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0);
ii) le C0-semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour générateur infinitésimal l’opérateur B =
A − ωI.
Preuve i) Il est clair que la famille {S(t)}
t≥0 est un C0-semi-groupe. De plus,
pour tout t ≥ 0, on a:
|||S(t)x||| = sup
e−ωs‖T (s)e−ωtT (t)x‖ =
= sup
e−ωτ‖T (τ)x‖ ≤ sup
e−ωτ‖T (τ)x‖ = |||x||| , (∀)x ∈ E ,
3.3. C0-SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS 109
d’où on obtient:
|||S(t)x||| ≤ |||x||| , (∀)x ∈ E et t ≥ 0.
Il s’ensuit que:
‖S(t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0
et, par conséquent, {S(t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
ii) Elle est analogue à celle du théorème 2.1.11.
Pour les C0-semi-groupes de contractions, on peut formuler la version suivante
du théorème de Hille-Yosida.
Théorème 3.3.4 Un opérateur linéaire:
A : D(A) ⊂ E −→ E
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
∈ SG(1, 0) si et seule-
ment si:
i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
ii) Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0} ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λ0, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ 1
(Reλ)n
, (∀)n ∈ N∗.
Preuve i) =⇒ ii) Comme {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0), nous avons:
‖T (t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
Par suite, on peut prendre M = 1 et ω = 0. Avec le théorème de Hille-Yosida, il
résulte que:
(i) A est un opérateur fermé et D(A) = E ;
(ii) Λ0 = {λ ∈ C |Reλ > 0} ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λ0, on a:
‖R(λ; A)n‖ ≤ 1
(Reλ)n
, (∀)n ∈ N∗.
ii) =⇒ i) Soit
A : D(A) ⊂ E −→ E
un opérateur linéaire vérifiant les propriétés (i) et (ii) de l’énoncé. Avec le théorème
de Hille-Yosida, il en résulte que A est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-
groupe {T (t)}
t≥0 pour lequel il existe M = 1 et ω = 0 tel que:
‖T (t)‖ ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
110 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Donc A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe de contractions.
Une autre caractérisation très intéressante des C0-semi-groupes de contractions
est donnée par le fameux théorème de Lumer-Phillips, dans lequel interviennent
les opérateurs m-dissipatifs.
Définition 3.3.5 On appelle opérateur m-dissipatif un opérateur linéaire A :
D(A) ⊂ E −→ E vérifiant les propriétés suivantes:
i) A est opérateur dissipatif;
ii) il existe α0 > 0 tel que Im (α0I − A) = E .
Théorème 3.3.6 (Lumer - Phillips) Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur
linéaire tel que D(A) = E .
L’opérateur A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0)
si et seulement si A est un opérateur m-dissipatif.
Preuve =⇒ Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le générateur infinitésimal d’un semi-groupe
{T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0). Si x ∈ D(A) et x∗ ∈ J (x), alors pour tout t ≥ 0 on voit
Re〈T (t)x − x, x∗〉 = Re〈T (t)x, x∗〉 − Re〈x, x∗〉 ≤
≤ |〈T (t)x, x∗〉| − Re〈x, x∗〉 ≤ ‖T (t)x‖‖x∗‖∗ − ‖x‖2 ≤
≤ ‖x‖2 − ‖x‖2 = 0 ,
d’où:
Re〈T (t)x − x, x∗〉 ≤ 0 , (∀)t ≥ 0.
En passant à limite pour t ց 0, il vient:
Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0
pour tout x ∈ E et tout x∗ ∈ J (x). Il s’ensuit donc que A est un opérateur
dissipatif.
D’autre part, avec le théorème 3.3.4 , on voit que ]0,∞) ⊂ ρ(A). Donc αI − A ∈
GL(E), (∀)α ∈]0,∞). Par suite, Im (αI − A) = E pour tout α > 0 et finalement
on voit que A est un opérateur m-dissipatif.
ii) Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un opérateur m-dissipatif tel que D(A) = E . Alors, il
existe α0 ∈]0,∞) tel que Im (α0I − A) = E . En appliquant la proposition 1.2.3,
3.4. NOTES 111
on voit que Im (αI −A) = E , pour tout α ∈]0,∞). Il s’ensuit que ]0,∞) ⊂ ρ(A).
Comme A est un opérateur dissipatif, compte tenu de la proposition 1.2.2, il vient:
‖(αI − A)x‖ ≥ α‖x‖ , (∀)x ∈ D(A),
d’où:
‖R(α; A)‖ ≤ 1
pour tout α ∈]0,∞). Avec le théorème 3.3.4, on voit que A est le générateur
infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 ∈ SG(1, 0).
Proposition 3.3.7 Soit A ∈ B(E) tel que ‖A‖ ≤ 1. Alors
et(A−I)
est un
semi-groupe uniformément continu de contractions.
Preuve Il est évident que
et(A−I)
est un semi-groupe uniformément continu.
De plus:
∥et(A−I)
∥ ≤ et‖A‖e−t ≤ 1 , (∀)t ≥ 0.
3.4 Notes
Pour les propriétés des C0-semi-groupes différentiables nous avons consulté [Pa’83-1, pag. 51],
[Ah’91, pag. 73] et [Da’80, pag. 28]. Le théorème 3.1.8 se trouve dans [Le’00-1].
Les propriétés des C0-semi-groupes analytiques uniformément bornés se trouvent dans [Pa’83-1,
pag. 60], [Ah’91, pag. 81] ou [Da’80, pag.59]. Une introduction très intéressante des C0-
semi-groupes analytiques, par la construction d’un calcul fonctionnel adéquat, est donné dans
[CHADP’87, pag. 121].
Le théorème 3.3.6 a été montré par Lummer et Phillips dans [LP’61].
112 CHAPITRE 3. C0-SEMIGROUPES AVEC PROPRIÉTÉS SPÉCIALES
Chapitre 4
La formule de Lie - Trotter
4.1 Le cas des semi-groupes uniformément con-
tinus
Dans cette section nous présentons la formule du produit de Lie-Trotter pour
les semi-groupes uniformément continus.
Théorème 4.1.1 Soient A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformé-
ment continu {T (t)}
t≥0 et
{An(t)}t≥0
⊂ B(E) tel que:
‖An(t)‖ = 0 ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Alors:
T (t) = lim
(A + An(t))
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soient 0 ≤ a < b. Si nous notons:
Vn(t) = I +
(A + An(t)) ,
alors, pour tout 0 ≤ k ≤ n, on a:
∥V kn (t)
(A + An(t))
(‖A‖ + ‖An(t)‖)
(‖A‖ + ‖An(t)‖)
114 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
ti (‖A‖ + ‖An(t)‖)i
= et(‖A‖+‖An(t)‖) ≤ M ,
cette dernière quantité etant uniformément bornée par rapport à t ∈ [a, b]. De
même, pour:
Un(t) = e
A , (∀)t ≥ 0,
nous obtenons:
Unn (t) = e
tA = T (t) , (∀)t ≥ 0
et pour tout 0 ≤ k ≤ n, nous avons:
∥ ≤ ektn ‖A‖ ≤ entn ‖A‖ ≤ et‖A‖ ≤ N ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Il vient:
V nn (t) − Unn (t) = V nn (t)U0n(t) − V n−1n (t)U1n(t) +
+ V n−1n (t)U
n(t) − V n−2n (t)U2n(t) +
+ V n−2n (t)U
n(t) − · · · − V 0n (t)Unn (t) =
V n−in (t)U
n(t) − V n−i−1n (t)U i+1n (t)
V n−i−1n (t) [Vn(t) − Un(t)] U in(t) .
Comme:
Vn(t) − Un(t) = I +
An(t) − e
= I +
An(t) − I −
A − 1
A2 − · · · ,
il résulte que:
‖Vn(t) − Un(t)‖ ≤
‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · · .
Par conséquent:
‖V nn (t) − Unn (t)‖ ≤
‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · ·
t‖An(t)‖ +
‖A‖2 + · · ·
−→ 0 si n → ∞,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞), ce qui achève
la preuve.
4.1. LE CAS DES SEMI-GROUPES UNIFORMÉMENT CONTINUS 115
Théorème 4.1.2 (la formule exponentielle) Soit A le générateur infinitési-
mal d’un semi-groupe uniformément continu {T (t)}
t≥0. Alors:
T (t) = lim
= lim
I − t
= lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve La première égalité résulte du théorème 4.1.1 pour An(t) = 0, quels que
soient n ∈ N et t ≥ 0.
Soient 0 ≤ a < b. On a:
pour n suffisamment grand et t ∈ [a, b]. Avec le lemme 1.1.2, il vient:
I − t
A ∈ GL(E)
I − t
= I +
(A + An(t)) ,
An(t) =
A3 + · · ·
‖An(t)‖ = 0 ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Avec le théorème 4.1.1, on voit que:
T (t) = lim
(A + An(t))
= lim
I − t
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
La troisième égalité en résulte compte tenu que:
I − t
I − A
Théorème 4.1.3 (la formule de Lie-Trotter) Soit A1 le générateur infinité-
simal du semi-groupe uniformément continu {T1(t)}t≥0 et A2 le générateur in-
finitésimal du semi-groupe uniformément continu {T2(t)}t≥0, alors l’opérateur:
A : E −→ E ,
Ax = A1x + A2x
116 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {T (t)}
t≥0 uniformément continu,
tel que:
T (t) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Nous avons successivement:
A21 +
A31 + · · ·
A22 +
A32 + · · ·
= I +
(A1 + A2) +
A21 + A1A2 +
+ · · · =
= I +
(A1 + A2) +
A21 + A1A2 +
+ · · ·
= I +
[A + An(t)] ,
où l’opérateur:
An(t) =
1 + A1A2 +
1A2 +
+ · · ·
a la propriété:
‖An(t)‖ ≤
A21 + A1A2 +
A31 +
A21A2 +
+ · · · −→ 0 si n → ∞ ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Avec le
théorème 4.1.1, on voit que:
T (t) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Remarque 4.1.4 Si A, B ∈ B(E), alors on a:
et(A+B) = lim
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 117
4.2 Propriétés de convergence des C0-semi-groupes
Dans cette section on introduit la topologie de la résolvante sur l’ensemble
GI(E) des générateurs infinitésimaux et on montre le théorème de Trotter - Kato.
Définition 4.2.1 On dit que la suite (An)n∈N∗ ⊂ GI(E) est convergente vers A ∈
GI(E) pour la topologie forte de la résolvante si pour tout λ ∈ ⋂
ρ(An) ∩ ρ(A),
on a:
R(λ; An)x −→ R(λ; A)x , si n → ∞ , (∀)x ∈ E .
De même, on dit que la suite (An)n∈N∗ ⊂ GI(E) est convergente vers A ∈ GI(E)
pour la topologie uniforme de la résolvante si pour tout λ ∈ ⋂
ρ(An) ∩ ρ(A), on
‖R(λ; An) − R(λ; A)‖ −→ 0 , si n → ∞.
Par la suite, nous supposerons que GI(E) est doté de la topologie forte de la
résolvante.
Lemme 4.2.2 Soient {T (t)}
t≥0 , {S(t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A, respectivement
B, leur générateurs infinitésimaux. Alors pour tout λ ∈ Λω et tout x ∈ E on a
l’égalité:
R(λ; B) [T (t) − S(t)] R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds
quel que soit t ≥ 0.
Preuve Soient x ∈ E et λ ∈ Λω. Alors R(λ; A)x ∈ D(A) et R(λ; B)x ∈ D(B).
L’application:
[0, t] ∋ s −→ S(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x ∈ E
est différentiable et pour s ∈ [0, t] et x ∈ E nous avons:
S(t − s) [R(λ; B)T (s)R(λ; A)x] =
= S(t − s)(−B)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x + S(t − s)R(λ; B)T (s)AR(λ; A)x =
= S(t − s)(λI − B − λI)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x +
+ S(t − s)R(λ; B)T (s)(−λI + A + λI)R(λ; A)x =
= S(t − s)T (s)R(λ; A)x− λS(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x−
118 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
− S(t − s)R(λ; B)T (s)x + λS(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x =
= S(t − s) [T (s)R(λ; A)x − R(λ; B)T (s)x] =
= S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x
puisque la résolvante R(λ; A) commute avec T (t), (∀)t ≥ 0. Par conséquent:
S(t − s)R(λ; B)T (s)R(λ; A)x|t0 =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds ,
ou encore:
R(λ; B)T (t)R(λ; A)x − S(t)R(λ; B)R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)] T (s)x ds , (∀)x ∈ E .
Comme S(t)R(λ; B) = R(λ; B)S(t) pour tout t ≥ 0, on obtient finalement:
R(λ; B) [T (t) − S(t)] R(λ; A)x =
S(t − s) [R(λ; A) − R(λ; B)]T (s)x ds
pour tout x ∈ E .
Le théorème suivant présente une très jolie correspondance entre les C0-semi-
groupes d’opérateurs linéaires bornés et leur générateurs infinitésimaux.
Théorème 4.2.3 Soient
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs
infinitésimaux les opérateurs (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω).
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) An −→ A, si n → ∞, pour la topologie forte de la résolvante;
ii) pour tout t0 ∈]0,∞) on a l’égalité:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
Preuve i) =⇒ ii) Supposons que An −→ A, si n → ∞, pour la topologie forte de
la résolvante. Pour tout λ ∈ Λω, nous avons:
R(λ; An)x −→ R(λ; A)x , si n → ∞ , (∀)x ∈ E .
Soient t0 ∈]0,∞), x ∈ E et λ ∈ Λω arbitrairement fixées. Puisque la résolvante
commute avec le semi-groupe associé, il résulte que:
[Tn(t) − T (t)] R(λ; A)x = Tn(t) [R(λ; A) − R(λ; An)] x +
+ R(λ; An) [Tn(t) − T (t)]x + [R(λ; An) − R(λ; A)] T (t)x.
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 119
Montrons que cette expression tend vers zero si n → ∞.
Comme
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω), il est clair que:
‖Tn(t)‖ ≤ Meωt0 , (∀)t ∈ [0, t0].
Compte tennu de (i), on voit que le premier terme converge vers zero si n → ∞,
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0].
De même, la continuité de l’application t 7→ T (t)x sur l’intervalle compact [0, t0],
conduit au fait que l’ensemble {T (t)x |t ∈ [0, t0]} est compact, comme l’image d’un
compact par une fonction continue. On en déduit facilement que le troisième terme
est fortement convergent vers zero lorsque n → ∞ et cette convergence est uniforme
par rapport à t ∈ [0, t0].
Pour le deuxième terme, compte tenu du lemme 4.2.2, on a:
R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] R(λ; A)x =
Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x ds,
pour tout t ∈ [0, t0]. Si pour s ∈ [0, t0], on pose
ft,n(s)x = Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x , 0 ≤ s ≤ t ≤ t0,
alors on voit que:
‖ft,n(s)x‖ = ‖Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x‖ ≤
≤ ‖Tn(t − s)‖ ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖T (s)‖ ‖x‖ ≤
≤ Meω(t−s) (‖R(λ; A)‖ + ‖R(λ; An)‖) Meωs‖x‖ ≤
≤ Meωt
Re λ − ω +
Re λ − ω
Meωt‖x‖ =
Re λ − ωe
2ωt‖x‖ .
De plus, compte tenu des inégalités:
‖ft,n(s)x‖ = ‖Tn(t − s) [R(λ; A) − R(λ; An)] T (s)x‖ ≤
≤ ‖Tn(t − s)‖ ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖T (s)‖ ‖x‖ ≤
≤ Meω(t−s) ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖Meωs‖x‖ ≤
≤ M2eωt ‖R(λ; A) − R(λ; An)‖ ‖x‖ ,
nous obtenons
‖ft,n(s)x‖ = 0 ,
120 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
quels que soient s ∈ [0, t] et t ∈ [0, t0]. Avec le théorème de la convergence dominée
de Lebesgue ([DS’67, Theorem III.3.7, pag. 124]) il résulte que:
‖ft,n(s)x‖ ds =
‖ft,n(s)x‖ ds ,
pour tout t ∈ [0, t0]. Il s’ensuit donc que:
‖R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] R(λ; A)x‖ = 0 , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0]. Si nous notons y = R(λ; A)x ∈ D(A), on
voit que:
‖R(λ; An) [T (t) − Tn(t)] y‖ = 0 , (∀)y ∈ D(A),
uniformément par rapport à t ∈ [0, t0]. Par conséquent, si x ∈ D(A), le deuxième
terme tend vers zero pour n → ∞, uniformément par rapport à t ∈ [0, t0].
Il s’ensuit que:
t∈[0,t0]
‖[Tn(t) − T (t)]R(λ; A)x‖
= 0 , (∀)x ∈ D(A),
d’où il résulte immédiatement:
t∈[0,t0]
‖[Tn(t) − T (t)] y‖
= 0 , (∀)y ∈ R(λ; A)D(A).
Comme R(λ; A)D(A) = D (A2), compte tenu du théorème 2.2.10 on voit que
R(λ; A)D(A) = E . Nous obtenons finalement:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
ii) =⇒ i) En appliquant le théorème 2.3.1, nous obtenons pour λ ∈ Λω:
[R(λ; An) − R(λ; A)] x =
e−λt [Tn(t) − T (t)] x dt , (∀)x ∈ E ,
d’où il résulte:
‖[R(λ; An) − R(λ; A)]x‖ ≤
e−Reλt ‖[Tn(t) − T (t)]x‖ dt , (∀)x ∈ E .
Mais:
‖[Tn(t) − T (t)] x‖ ≤ 2Meωt‖x‖
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 121
quels que soient x ∈ E , t ≥ 0 et n ∈ N∗. Dans ce cas, en posant:
fn(t) = e
λt [Tn(t) − T (t)]x , (∀)t ≥ 0
on voit que:
‖fn(t)‖ ≤ 2Me−(Reλ−ω)t‖x‖ , (∀)t ≥ 0.
De plus, compte tenu de l’inégalité:
‖fn(t)‖ ≤ e−Reλt ‖[Tn(t) − T (t)]x‖ ,
nous obtenons:
‖fn(t)‖ = 0 , (∀)t ≥ 0.
Avec le théorème de la convergence dominée de Lebesgue ([DS’67, Theorem
III.3.7, pag. 124]), il vient:
‖[R(λ; An) − R(λ; A)] x‖ = 0
pour tout x ∈ E et tout λ ∈ Λω. Donc An −→ A, si n → ∞, pour la topologie
forte de la résolvante.
Une version intéressante du théorème 4.2.3 est le théorème suivant.
Théorème 4.2.4 Soient
{Tα(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs in-
finitésimaux les opérateurs (Aα)α>0 ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω).
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) pour tout x ∈ D(A), il existe xα ∈ D(Aα) tel que:
xα = x
Aαxα = Ax;
ii) pour tout λ ∈ Λω, on a:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E ;
iii) pour tout t0 ∈]0,∞), nous avons:
t∈[0,t0]
‖Tα(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
122 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve i) =⇒ ii) Soient λ ∈ Λω et x ∈ D(A). Alors il existe xα ∈ D(Aα), α > 0
tel que
xα = x
Aαxα = Ax .
Nous définissons
y = (λI − A)x ∈ (λI − A)D(A)
yα = (λI − Aα)xα ∈ (λI − Aα)D(Aα) , α > 0.
Il résulte que x = R(λ; A)y et xα = R(λ; Aα)yα. Compte tenu des égalités du (i),
nous obtenons:
R(λ; Aα)yα = R(λ; A)y
AαR(λ; Aα)yα = AR(λ; A)y .
On voit que cette dernière égalité devient:
(λI − λI + Aα)R(λ; Aα)yα = (λI − λI + A)R(λ; A)y
ou bien
λR(λ; Aα)yα − lim
(λI − Aα)R(λ; Aα)yα =
= λR(λ; A)y − (λI − A)R(λ; A)y .
Il vient:
λR(λ; A)y − lim
yα = λR(λ; A)y − y ,
d’où:
yα = y .
D’autre part, pour tout α > 0 on a:
‖R(λ; Aα)‖ ≤
Reλ − ω
et pour y ∈ (λI − A)D(A) on voit que:
R(λ; Aα)y = R(λ; Aα)(y − yα + yα) = R(λ; Aα)(y − yα) + R(λ; Aα)yα .
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 123
Par suite:
‖R(λ; Aα)y − R(λ; A)y‖ ≤
≤ ‖R(λ; Aα)(y − yα)‖ + ‖R(λ; Aα)yα − R(λ; A)y‖ ≤
Reλ − ω‖y − yα‖ + ‖R(λ; Aα)yα − R(λ; A)y‖ ,
d’où il vient:
R(λ; Aα)y = R(λ; A)y ,
pour tout y ∈ (λI − A)D(A). Comme (λI − A)D(A) = E , on voit que:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x , (∀)x ∈ E .
ii) =⇒ i) Soient λ ∈ Λω et x ∈ E tel que:
R(λ; Aα)x = R(λ; A)x .
Si nous définissons:
yα = R(λ; Aα)x ∈ D(Aα)
y = R(λ; A)x ∈ D(A) ,
nous obtenons:
yα = y .
De plus:
Aαyα = lim
AαR(λ; Aα)x = lim
[λR(λ; Aα)x − x] =
= λR(λ; A)x − x = AR(λ; A)x = Ay .
ii) ⇐⇒ iii) Cette équivalence s’obtient avec une preuve analogue à celle du
théorème 4.2.3.
Corollaire 4.2.5 Soient
{Tα(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant pour générateurs in-
finitésimaux les opérateurs (Aα)α>0 ⊂ GI(M, ω) et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) ayant
pour générateur infinitésimal l’opérateur A ∈ GI(M, ω). Supposons que pour
tout x ∈ D(A), il existe δ > 0 tel que pour tout α ∈]0, δ[ on ait x ∈ D(Aα) et
limαց0 Aαx = Ax. Alors, pour tout t0 ∈]0,∞) nous avons:
t∈[0,t0]
‖Tα(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
124 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve Dans le théorème 4.2.4, nous pouvons prendre xα = x, (∀)α ∈]0, δ[.
Le théorème suivant montre que sous certaines conditions, GI(M, ω) est une
sous-classe fermée dans GI(E).
Théorème 4.2.6 Soient (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω) et λ0 ∈ Λω tel que:
i) (R(λ0; An))n∈N∗ est fortement convergente vers Rλ0 ∈ B(E);
ii) Im Rλ0 = E .
Alors il existe un unique opérateur A ∈ GI(M, ω) tel que Rλ0 = R(λ0; A).
Preuve Nous notons:
λ ∈ Λω
∣(R(λ; An))n∈N∗ est fortement convergente
Montrons que S = Λω.
Prouvons que S est ensemble ouvert dans Λω. Soit µ ∈ S. Pour tout n ∈ N∗,
l’application:
ρ(An) ∋ λ 7−→ R(λ; An) ∈ B(E)
est analytique et nous avons:
R(λ; An) =
(λ − µ)k
R(µ; An) =
(λ − µ)k
(−1)kk!R(µ; An)k+1 =
(µ − λ)kR(µ; An)k+1 .
Comme An ∈ GI(M, ω) implique:
∥R(µ; An)
∥ ≤ M
(Reµ − ω)k , (∀)k ∈ N
on voit que:
‖R(λ; An)‖ ≤
|µ − λ|k
∥R(µ; A)k+1
∥ ≤ M
Reµ − ω
|µ − λ|
Reµ − ω
La série de la partie droite de cette inégalité est convergente sur l’ensemble:
λ ∈ Λω
∣ |µ − λ|(Reµ − ω)−1 < 1
Il en résulte que la série:
R(λ; An) =
(µ − λ)kR(µ; An)k+1
4.2. PROPRIÉTÉS DE CONVERGENCE DES C0-SEMI-GROUPES 125
est uniformément convergente sur les compacts
λ ∈ Λω
∣ |µ − λ|(Reµ − ω)−1 ≤ ν < 1
⊂ V .
Comme
‖R(λ; A)‖ ≤ M
Re µ − ω
on voit que la suite (R(λ; An))n∈N∗ est fortement convergente pour tout λ ∈ Vν .
Donc il existe un voisinage de µ contenu dans S. Par conséquent S est ensemble
ouvert dans Λω.
Maintenant, nous allons montrer que S est un ensemble relativement fermé dans
Λω. Soient (λm)m∈N ⊂ S et λ ∈ Λω tel que
λ = lim
Pour tout ν ∈]0, 1[, il existe λm,ν ∈ S tel que:
|λm,ν − λ| (Re λm,ν − ω)−1 ≤ ν < 1 .
Compte tenu de la première partie de la preuve, on voit que la série
R(λ; An) =
(λm,ν − λ)k R(λm,ν ; An)k+1
est uniformément convergente et que la suite (R(λ; An))n ∈ N∗ est fortement
convergente. Par conséquent, λ ∈ S et S est un ensemble relativement fermé dans
Λω. Comme λ0 ∈ S, nous voyons que S = Λω par connexité.
Pour λ ∈ Λω, définissons l’opérateur Rλ ∈ B(E) par:
Rλx = lim
R(λ; An)x , (∀)x ∈ E .
Soient λ , µ ∈ Λω arbitraires. On a:
(Rλ − Rµ) x = lim
[R(λ; An) − R(µ; An)]x =
= lim
(µ − λ)R(λ; An)R(µ; An)x =
= (µ − λ)RλRµx , (∀)x ∈ E .
Par conséquent Rλ est une pseudo-résolvante, quel que soit λ ∈ Λω. Comme il
existe λ0 ∈ Λω tel que Im Rλ0 = E , compte tenu du théorème 1.1.22 (ii), on
déduit que Im Rλ = E , quel que soit λ ∈ Λω. Avec l’inégalité:
‖R(λ; An)m‖ ≤
(Reλ − ω)m , (∀)λ ∈ Λω et m ∈ N
126 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
on voit que pour tout compact K ⊂ Λω, il existe MK > 0 tel que
‖R(λ; An)‖ ≤ MK ,
quel que soit n ∈ N∗. Avec le lemme de Montel ([GS’99, pag. 220]), on déduit
qu’il existe une sous-suite (R(λ; Ank))k∈N∗ telle que
Rλx = lim
R(λ; Ank)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à λ sur les compacts de Λω. Comme R(λ; Ank) est un
opérateur injectif pour tout k ∈ N∗, avec le théorème de Hurwitz ([GS’99, pag.
193]) nous obtenons que Rλ est un opérateur injectif, donc Ker R(λ; An) = {0}.
En appliquant le théorème 1.1.22 (iii), on voit que pour tout λ ∈ Λω, il existe un
opérateur linéaire A : D(A) −→ E , A = λI − R−1λ fermé et défini sur un sous
espace dense tel que Rλ = R(λ; A), (∀)λ ∈ Λω. De plus:
‖R(λ; A)m‖ ≤ M
(Reλ − ω)m .
et le théorème de Hille - Yosida implique alors que A ∈ GI(M, ω).
Maintenant, nous avons toutes les conditions pour formuler un autre résultat
important concernant les C0-semi-groupes.
Théorème 4.2.7 (Trotter - Kato) Soit
{Tn(t)}t≥0
⊂ SG(M, ω) ayant
pour générateurs infinitésimaux les opérateurs (An)n∈N∗ ⊂ GI(M, ω).
S’il existe λ0 ∈ Λω tel que:
i) (R(λ0; An))n∈N∗ est fortement convergente vers Rλ0 ∈ B(E);
ii) Im Rλ0 = E ,
alors il existe un unique opérateur A ∈ GI(M, ω) tel que Rλ = R(λ; A), (∀)λ ∈
Λω. De plus, si {T (t)}t≥0 est le C0-semi-groupe engendré par A, alors pour tout
t0 ∈]0,∞) on a:
t∈[0,t0]
‖Tn(t)x − T (t)x‖
= 0 , (∀)x ∈ E .
Preuve Les affirmations du théorème résultent du théorème 4.2.3 et du théorème
4.2.6.
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 127
4.3 Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-
groupes
Dans la suite, nous montrons le théorème de représentation générale, la for-
mule exponentielle et la formule de Lie-Trotter pour les semi-groupes fortement
continus. Nous commençons par un résultat technique.
Lemme 4.3.1 Soient T ∈ B(E) et M, N ≥ 1 tel que:
∥ ≤ MNk , (∀)k ∈ N∗.
Alors, pour tout n ∈ N, nous avons:
∥en(T−I)x − T nx
∥ ≤ MNn−1e(N−1)n
n2(N − 1)2 + nN‖Tx − x‖
pour tout x ∈ E .
Preuve Soient k, n ∈ N tel que k ≥ n. Alors, nous avons:
∥T kx − T nx
T i+1x − T ix
∥ ‖Tx − x‖ ≤ ‖Tx − x‖
MN i ≤
≤ M‖Tx − x‖
Nk−1 = (k − n)MNk−1‖Tx − x‖ ≤
≤ |k − n|MNn+k−1‖Tx − x‖ , (∀)x ∈ E .
Compte tenu de la symétrie, il est clair que cette inégalité reste valable si nous
considérons n > k. Par suite, on voit que:
∥T kx − T nx
∥ ≤ |k − n|MNn+k−1‖Tx − x‖ , (∀)x ∈ E et n, k ∈ N.
Si t ≥ 0 et n ∈ N, alors nous avons:
∥et(T−I)x − T nx
T kx − T nx
≤ e−t
∥T kx − T nx
∥ ≤ MNn−1e−t‖Tx − x‖
(tN)k
|k − n| .
128 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Avec l’inégalité de Cauchy-Schwartz, il vient:
(tN)k
|k − n| =
(tN)k
(tN)k
|k − n|
(tN)k
(tN)k
(k − n)2 = etN
(n − Nt)2 + Nt .
Il s’ensuit que:
∥et(T−I)x − T nx
∥ ≤ MNn−1e(N−1)t
(n − Nt)2 + Nt‖Tx − x‖
quel que soit x ∈ E . Finalement, en prenant t = n, nous obtenons l’inégalité
considérée dans l’énoncé.
Théorème 4.3.2 (de représentation générale) Soit {F (t)}
t≥0 ⊂ B(E) une famille
d’opérateurs linéaires bornés avec F (0) = I. Supposons qu’il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1
tel que:
∥F (t)
∥ ≤ Mekωt , (∀)k ∈ N∗,
pour tout t ≥ 0.
Si A est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0 tel que:
F (t)x − x
= Ax , (∀)x ∈ D(A),
alors nous avons:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soient 0 ≤ a < b. Pour t ∈ [a, b], définissons:
, (∀)n ∈ N∗.
Il est clair que An ∈ B(E), (∀)n ∈ N∗, d’où il résulte que pour tout n ∈ N∗, An
est le générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continu
de plus, nous avons:
Anx = Ax , (∀)x ∈ D(A).
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 129
Avec le corollaire 4.2.5, nous voyons que:
etAnx = T (t)x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. Compte tenu du lemme 4.3.1, si x ∈ D(A),
il vient:
tAnx −
n[F( tn)−I]x −
≤ Meω tn (n−1)e
n − 1
+ neω
x − x
(n−1)+
n − 1
+ neω
x − x
(n−1)+ e
n − 1
x − x
d’où:
etAnx −
−→ 0 si n → ∞,
pour tout x ∈ D(A), uniformément par rapport à t ∈ [a, b]. De plus, pour tout
x ∈ D(A), nous avons:
T (t)x −
∥T (t)x − etAnx
etAnx −
−→ 0 si n → ∞,
d’où l’on déduit que:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ D(A),
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Comme D(A) = E et
∥ ≤ Meωt, on voit que:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Théorème 4.3.3 (la formule exponentielle) Soient {T (t)}
t≥0 ∈ SG(M, ω) et
A son générateur infinitésimal. Alors:
T (t)x = lim
I − t
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intevalles compacts de [0,∞).
130 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
Preuve Pour A ∈ GI(M, ω) et t ∈
, nous définissons:
F (t) = (I − tA)−1 = 1
Compte tenu du théorème de Hille-Yosida, on voit que:
∥F (t)k
(1 − ωt)k .
Comme:
(1 − ωt)k ≤ e
1−ωt ,
il vient:
∥F (t)k
∥ ≤ Me2kωt
pour t ∈
. D’autre part, avec le lemme 2.3.6 nous obtenons:
F (t)x − x
= lim
[F (t) − I] x = lim
AF (t)x =
= lim
= Ax , (∀)x ∈ D(A).
Compte tenu du théorème de représentation générale, on voit que:
T (t)x = lim
x = lim
I − t
= lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compactes de [0,∞).
Théorème 4.3.4 (la formule de Lie-Trotter) Soient A1 ∈ GI(M1, ω1) le générateur
infinitésimal du semi-groupe {T1(t)}t≥0 ∈ SG(M1, ω1), respectivement A2 ∈ GI(M2, ω2)
le générateur infinitésimal du semi-groupe {T2(t)}t≥0 ∈ SG(M2, ω2). Supposons
qu’il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que:
∥[T1(t)T2(t)]
∥ ≤ Mekωt , (∀)k ∈ N∗.
Si l’opérateur
A : D(A) ⊂ E −→ E ,
défini par:
Ax = A1x + A2x , (∀)x ∈ D(A) = D(A1) ∩ D(A2),
4.3. FORMULE DE LIE - TROTTER POUR LES C0-SEMI-GROUPES 131
est le générateur infinitésimal d’un C0-semi-groupe {T (t)}t≥0, alors:
T (t)x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Preuve Soit:
F : [0,∞) −→ B(E)
F (t) = T1(t)T2(t) , (∀)t ≥ 0.
Il est évident que F (0) = I. De plus, pour x ∈ D(A), nous avons:
F (t)x − x
= lim
T1(t)T2(t)x − x
= lim
T1(t)T2(t)x − T1(t)x
+ lim
T1(t)x − x
= lim
T1(t)
T2(t)x − x
+ A1x = A1x + A2x = Ax .
Avec le théorème de représentation générale, on voit que:
T (t)x = lim
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
Remarque 4.3.5 Si A ∈ GI(M, ω), compte tenu de la formule exponentielle, on
peut définir:
etAx = lim
I − t
x = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞). Avec cette
notation, dans les hypothèses du théorème 4.3.4, nous obtenons pour la formule
de Lie-Trotter l’expression:
etAx = lim
x , (∀)x ∈ E ,
uniformément par rapport à t sur les intervalles compacts de [0,∞).
132 CHAPITRE 4. LA FORMULE DE LIE - TROTTER
4.4 Notes
Pour les résultats de la section 4.1 on peut consulter [Ka’82, pag. 35].
Les propriétés de convergence pour les C0-semi-groupes ont été étudiées par Trotter dans
[Tr’58]. Pour les théorèmes 4.2.3, 4.2.6, 4.2.7 on peut consulter [Pa’83-1, pag. 84] ou [Ah’91,
pag. 131] et pour le théorème 4.2.4 nous avons utilisé [Da’80, pag. 80].
Le théorème 4.3.4 a été montré par Trotter dans [Tr’59] et a été étudié par Chernoff dans
[Ce’68]. Les résultats que nous avons présentés se trouvent dans [Pa’83-1, pag. 89]. Dans
[Da’80, pag. 90], on peut trouver ces problèmes pour les C0-semi-groupes de contractions.
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[Yo’67] Yosida, K. Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1967.
	Introduction
	Préliminaires
	Les opérateurs dissipatifs
	Semi-groupes uniformément continus
	Notes
	Semi-groupes de classe C0
	Définitions. Propriétés élémentaires
	Propriétés générales des C0-semi-groupes
	Le théorème de Hille - Yosida
	La représentation de Bromwich
	Conditions suffisantes d'appartenances à GI(M,0)
	Propriétés spectrales des C0-semi-groupes
	Notes
	C0-semigroupes avec propriétés spéciales
	C0-semi-groupes différentiables
	C0-semi-groupes analytiques
	C0-semi-groupes de contractions
	Notes
	La formule de Lie - Trotter
	Le cas des semi-groupes uniformément continus
	Propriétés de convergence des C0-semi-groupes
	Formule de Lie - Trotter pour les C0-semi-groupes
	Notes
