smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
ഫിലിമോഗ്രാഫി വർഷം സിനിമ റോൾ ഭാഷ Notes 1986 കൂടണയും കാറ്റ് മലയാളം അവൾ അറിയാതെ മലയാളം 1988 മധുരയ്ക്കര തമ്പി തമിഴ് 1988 എൻ തങ്കൈ കല്ല്യാണി തമിഴ് 1989 സംസാര സംഗീതം തമിഴ് 1990 കുട്ടേട്ടൻ തോമസ് ചാക്കോയുടെ ഗേൾ ഫ്രെൻണ്ട് മലയാളം 1990 ബ്രഹ്മ രക്ഷസ്സ് കാർത്തിക മലയാളം 1991 അദ്വൈതം കൃഷ്ണൻകുട്ടി മേനോൻറെ ഭാര്യ മലയാളം 1991 അഭിമന്യു സാവിത്രി മലയാളം 1991 പുതു നെല്ലു പുതു നാടു തമിഴ് 1992 കൺഗ്രാജുലേഷൻസ് മിസ്സ് അനിതാമേനോൻ മലയാളം 1992 തേവർ മകൻ അണ്ണി തമിഴ് 1992 സർഗം കുഞ്ഞുലക്ഷ്മി മലയാളം 1992 കുടുംബസമേതം ദേവു മലയാളം 1992 ഡാഡി ആലിസ് മലയാളം 1993 സ്ത്രീധനം വിദ്യയുടെ സഹോദരി മലയാളം 1993 മാഫിയ ഉമ മലയാളം 1993 ബട്ടർഫ്ലൈസ് ശാരദ മലയാളം 1993 വാത്സല്യം അംബിക മലയാളം 1993 അമ്മയാണെ സത്യം പാർവതിയുടെ അമ്മ മലയാളം 1993 പെരിയമ്മ തമിഴ് 1993 തിരുടാ തിരുട ശ്രീരംഗത്തേയ്ക്ക് യാത്രചെയ്യുന്ന ലക്ഷ്മിനാരായണന്റെ ഭാര്യ തമിഴ് 1993 അസാദിയുരാലു തെലുങ്ക് 1994 കുടുംബ വിശേഷം ഊർമിള മലയാളം 1994 ചുക്കാൻ ലീല മലയാളം 1994 പവിത്രം നിർമ്മല രാമകൃഷ്ണൻ (നിമ്മി) മലയാളം 1994 പാണ്ഢ്യന്റെ ഭാര്യ പാണ്ഢ്യന്റെ ഭാര്യ തമിഴ് 1995 അച്ഛൻ കൊമ്പത്ത് അമ്മ വരമ്പത്ത് സുമിത്ര മലയാളം 1995 നിർണയം രാജന്റെ ഭാര്യ മലയാളം 1995 തക്ഷശില ഷീല നമ്പ്യാർ മലയാളം 1995 ചന്ത ഷേർളി മലയാളം 1996 കൽകി കർപകം തമിഴ് 1996 മഹാത്മ രാമകൃഷ്ണ കുറുപ്പിന്റെ മകൾ മലയാളം 1996 സത്യഭാമയ്ക്കൊരു പ്രണയലേഖനം താത്രി മലയാളം 1996 ദ പ്രിൻസ് ഇന്ദു മലയാളം 1997 ഗുരു രാമനാഗന്റെ സഹോദരി മലയാളം 1997 ഭാരതീയം സെബാസ്റ്റ്യന്റെ ഭാര്യ മലയാളം 1997 ആറ്റുവേല സുഗന്ധി മലയാളം 1998 സമാന്തരങ്ങൾ റസിയ മലയാളം 1998 ചിത്രശലഭം ഗീത മലയാളം 1998 ദിനംതോറും തമിഴ് 1999 പ്രണയ നിലാവ് ജമീല മലയാളം 2000 മിസ്റ്റർ ബട്ട്ലർ മഞ്ജു മലയാളം 2001 മൺസൂൺ വെഡ്ഡിംങ് മഴയത്തെ സ്ത്രീ ഹിന്ദി 2006 അഴകൈ ഇരിക്കുറൈ ബയമെ ഇരിക്കിറത് മലർ തമിഴ് 2006 പൊയ് മേനക തമിഴ് 2008 മിഴികൾ സാക്ഷി അമ്പിളിയുടെ അമ്മ മലയാളം 2008 ദേ ഇങ്ങോട്ടു നോക്കിയേ സത്യഭാമ മലയാളം 2009 ക്വിക്ക് ഗൺ മുരുകൻ കിഡ്നാപ്പെഡ് മം ഇംഗ്ലീഷ് ഹിന്ദി 2009 അയൻ കാവേരി വേലുസാമി തമിഴ് Nominated - ഫിലിം ഫെയർ അവാർഡ് ഫോർ ബെസ്റ്റ് സപ്പോർട്ടിംഗ് ആക്ട്രസ് – തമിഴ് 2009 ഗുരു എൻ ആള് ഗുരുവിന്റെ അമ്മ തമിഴ് 2012 ചട്ടക്കാരി ശശിയുടെ അമ്മ മലയാളം 2012 ഗ്രാമം ഗ്രാമം മലയാളം 2013 അലക്സ് പാണ്ഡ്യൻ റാണി തമിഴ് 2013 അന്നക്കൊടി തമിഴ് 2013 വണക്കം ചെന്നൈ അജയന്റെ അമ്മ തമിഴ് 2013 കാഞ്ചി ഭഗീരഥിയമ്മ മലയാളം 2014 നമ്മ ഗ്രാമം തങ്കം തമിഴ് 2014 നളനും നന്ദിനിയും രാജലക്ഷ്മി തമിഴ് 2014 അയിന്തം തലമുറൈ സിദ്ധ വൈദ്യ സിങ്കമണി തമിഴ് 2014 പൂജയ് മണിമേഖലൈ തമിഴ് 2014 തിരുടൻ പോലീസ് വിശ്വന്റെ അമ്മ തമിഴ് 2015 കാഞ്ചന 2 നന്ദിനിയുടെ നാത്തൂൻ തമിഴ് 2015 വാസുവും ശരവണനും ഒന്നാ പഠിച്ചവങ്ക കാമാച്ചി തമിഴ് 2016 വെട്രിവേൽ സരതം തമിഴ് 2017 പോക്കിരി സൈമൺ മഹാലക്ഷ്മി മലയാളം 2017 കളവു തൊഴിർക്കലൈ തമിഴ് 2017 കറുപ്പൻ കറുപ്പന്റെ അമ്മ തമിഴ് ടെലിവിഷൻ വർഷം റ്റൈറ്റിൽ റോൾ ചാനൽ പ്രേമി സൺ TV , Vijay TV കൈയളവ് മനസ്സ് സൺ TV 1998 ജന്നൽ-മറബുകവിതൈകൾ Sun TV 1996-1998 കാതൽ പഗഡൈ 2006 - 2008 ഗംഗ യമുന സരസ്വതി രാജ് TV 2008 ഗംഗ യമുന സരസ്വതി സംഗമം സൺ TV 2008-2009 ശിവശക്തി ഗിവഗാമി സൺ TV സഹന സിന്ധു ഭൈരവി പാർട്ട്-II ജയ TV 2011-2012 പരിണയം (മലയാളം) നായികയുടെ രണ്ടാനമ്മ മഴവിൽ മനോരമ 2012-2014 അമുത ഒരു ആചാര്യക്കുറി അമുത(Female lead role) Kalaignar TV 2013–2013 നടുവുല കൊഞ്ചം തൂക്കത്ത കാണും (Female lead role) Singapore Tamil drama broadcast on MediaCorp Vasantham 2014–2015 നെഞ്ചത്തി കിള്ളാതെ സീ തമിഴ് അവലംബം പുറത്തേയ്ക്കുള്ള കണ്ണികൾ ഇന്റർനെറ്റ് മൂവി ഡാറ്റാബേസിൽ നിന്ന് Renuka
രേഖീയ വിശ്ലേഷണം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Real_analysis ഈ ലേഖനം ഏതെങ്കിലും സ്രോതസ്സുകളിൽ നിന്നുള്ള വേണ്ടത്ര തെളിവുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നില്ല.
ഒരു ഗണിത വിശ്ലേഷണശാഖയാണ് രേഖീയ വിശ്ലേഷണം (Real analysis).
രേഖീയ സംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവങ്ങളും സവിശേഷതകളും ആണ് ഈ ശാഖ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്.
പ്രധാനമായും രേഖീയഫലനങ്ങളും അനുക്രമങ്ങളുടെ അഭിസാരിത്വവും ഫലന-അനുക്രമസീമകളും കലനവും രേഖീയവിലയുള്ള ഫലനങ്ങളുടെ വിതതസ്വഭാവവുമെല്ലാം ഈ ശാഖ വിവരിക്കുന്നു.
രേഖീയ വിശ്ലേഷണം രേഖീയ സംഖ്യകളുടെ അഭിസാരി അനുക്രമങ്ങൾ, അനുക്രമസീമ, അവകലനം , സമാകലനം എന്നീ സ്വഭാവങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുന്നു.
ഇത് സമ്മിശ്ര വിശ്ലേഷണവുമായി(Comlpex analysis) അടുത്ത് ബന്ധപ്പെട്ടിരിയ്ക്കുന്നു.
സമ്മിശ്ര വിശ്ലേഷണത്തിൽ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവങ്ങളാണ് വിവരിക്കുന്നത്.
രേഖീയ ശ്രേണികളേയും അവയുടെ സീമ (ഗണിതശാസ്ത്രം) , അവകലനം , സമാകലനം ഇവയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് ഈ ശാഖയിൽ പ്രധാനമായും ഉൾക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നത്.
സമ്മിശ്ര വിശ്ലേഷണം , ഫലനവിശ്ലേഷണം , ടൊപോളജിയുടെ വികസനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉപയോഗങ്ങൾ വരുന്ന മറ്റുശാഖകളിൽ എല്ലാം രേഖീയവിശ്ലേഷണം പ്രധാനമാണ്.
ബൊൾസാനോ-വൈറസ്ട്രാസ് തിയറം,ഹൈൻ-ബോറൽ തിയറം,കലനശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഇവയെല്ലാം രേഖീയവിശ്ലേഷണത്തിനുപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന ആശയങ്ങളാണ്
രേഖീയ സാന്ദ്രത
രേഖീയ സാന്ദ്രത എന്നത് യൂണിറ്റ് നീളത്തിലുള്ള പരിമാണത്തിന്റെ നൈസർഗ്ഗികമായ മൂല്യത്തെ അളവുകോലാണ്.
ലീനിയർ മാസ് ഡെൻസിറ്റി, ലീനിയർ ചാർജ്ജ് ഡെൻസിറ്റി എന്നിവയാണ് ശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിങ്ങിലും ഉപയോഗിക്കുന്നവയുടെ ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ.
രേഖീയസാന്ദ്രത എന്ന പദമുപയോഗിക്കുന്നത് ഏകമാനവസ്തുക്കളുടെ സ്വഭാവങ്ങൽ വിവരിക്കാനാണ്.
എങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേക മാനത്തിലുള്ള ത്രിമാനഅളവുകളുടെ സാന്ദ്രതയെപ്പറ്റി വിവരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
രേഖീയചാർജ്ജ്സാന്ദ്രത
ചാർജ്ജ് Q {\displaystyle Q} ഉം നീളം L {\displaystyle L} ഉം ഉള്ള കട്ടികുറഞ്ഞ വയറിനെ കണക്കിലെടുക്കുക.
ഈ ഏകമാനവസ്തുവിന്റെ ശരാശരി രേഖീയ ചാർജ്ജ് സാന്ദ്രത λ ¯ q {\displaystyle {\bar {\lambda }}_{q}} കണക്കുകൂട്ടാൻ നമുക്ക് ലളിതമായി ആകെ ചാർജ്ജ് Q {\displaystyle Q} വിനെ  ആകെ നീളം L {\displaystyle L} കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി.
λ ¯ q = Q L {\displaystyle {\bar {\lambda }}_{q}={\frac {Q}{L}}}
മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ചാർജ്ജുള്ള വയറിനെപ്പറ്റി വിവരിക്കുമ്പോൾ നമുക്കിങ്ങനെ എഴുതാം: q = q ( l ) {\displaystyle q=q(l)}
ചാർജ്ജിന്റെ അതിസൂക്ഷ്മമായ ഏകകമായ d q {\displaystyle dq} , രേഖീയചാർജ്ജ്സാന്ദ്രതയുടേയും λ q {\displaystyle \lambda _{q}} നീളത്തിന്റെ അതിസൂക്ഷ്മമായ ഏകകമായ d l {\displaystyle dl} ഗുണനഫലത്തിന് തുല്യമാണ്.
d q = λ q d l {\displaystyle dq=\lambda _{q}dl}
രേഖീയചാർജ്ജ്സാന്ദ്രതയെ വയറിന്റെ ഏകമാനത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ട ചാർജ്ജിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവായി മനസ്സിലാക്കാം.
λ q = d q d l {\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dq}{dl}}}
രേഖീയചാർജ്ജ്സാന്ദ്രതയുടെ എസ്.ഐ ഏകകം കൂളംബ് പെർ മീറ്റർ (C/m) ആണ്.
വരയ്ക്കുന്നതിലും പ്രിന്റ് ചെയ്യുന്നതിലും രേഖീയസാന്ദ്രത എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത് വരയ്ക്കുന്ന രേഖ എത്ര സാന്ദ്രവും കട്ടിയുള്ളതുമാണ് എന്നുമാണ്.
പൊതുവായ ഏകകങ്ങൾ: kilogram per meter ounce (mass) per foot ounce (mass) per inch pound (mass) per yard: used in the North American railway industry for the linear density of rails pound (mass) per foot pound (mass) per inch tex , a unit of measure for the linear density of fibers , defined as the mass in grams per 1,000 meters denier , a unit of measure for the linear density of fibers , defined as the mass in grams per 9,000 meters decitex (dtex), the SI unit for the linear density of fibers , defined as the mass in grams per 10,000 meters ഇതും കാണുക Density Columnar density Paper density അവലംബം
രേഖീയസമവാക്യം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Linear_equation ഏകമാന സമവാക്യങ്ങളുടെ ആരേഖചിത്രീകരണം
ഗണിതത്തിൽ താഴെകൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ് രേഖീയസമവാക്യം ( ഏകമാന സമവാക്യം ): a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + c = 0 , {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+c=0,}
x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} എന്നിവ ചരങ്ങളും c , a 1 , … , a n {\displaystyle c,a_{1},\ldots ,a_{n}} എന്നിവ ഗുണാങ്കങ്ങളും ആണ്.
മറ്റൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ ഒന്നാം ഘാതത്തിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ അഥവാ പോളിനോമിയലിനെ പൂജ്യത്തോട് സമമാക്കി കിട്ടുന്ന സമവാക്യമാണിത്.
ഈ ചരങ്ങൾക്ക് ഏതു വിലകൾ നൽകിയാലാണോ ആ സമവാക്യം സത്യമാവുക, ആ വിലകളെ ആ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നു.
പലപ്പോഴും ഉപയോഗത്തിൽ വരുന്ന ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ലഘുവായ രൂപമാണ്: a x + b = 0.
{\displaystyle ax+b=0.}
a യുടെ വില 0 അല്ലെങ്കിൽ ( a ≠ 0 ) ഇതിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യം x = − b a {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
a എന്ന സ്ഥിരാങ്കം നേർരേഖയുടെ ആനതിയെ (സ്ലോപ്പ്, Slope) സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
b എന്ന സ്ഥിരാങ്കം നേർരേഖ Y അക്ഷത്തിന് കുറുകെകടക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
രണ്ടു ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങളെയും രണ്ടു മാനങ്ങളുള്ള ഒരു യൂക്‌ളീഡിയൻ പ്രതലത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു നേർരേഖ ലഭിയ്ക്കുന്നു.
അതുപോലെ തിരിച്ച് ഏതൊരു നേർരേഖയും ഏതെങ്കിലും ഒരു രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ കിട്ടുന്നതാണെന്നും പറയാം.
രേഖകളുമായുള്ള ഈ ബന്ധത്തിൽ നിന്നാണ് രേഖീയ സമവാക്യം എന്ന പേര് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്.
കൂടുതൽ സാമാന്യമായി, n ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം n മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു യൂക്‌ളീഡിയൻ സ്പേസിൽ n – 1 മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു ഹൈപ്പർ-സർഫേസ് സൃഷ്ടിയ്ക്കുന്നു.
ഗണിതത്തിലെ പല ശാഖകളിലും ഇതിന്റെ ഉപയോഗം വരുന്നുണ്ട്.
ഇത് കൂടാതെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിംഗ് മേഖലയിലും പല പ്രായോഗികപ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിയ്ക്കാനും ഇത് ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.
ആമുഖം കോഴികളുടെ എണ്ണത്തെയും അവയുടെ കാലുകളുടെ എണ്ണത്തെയും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിയ്ക്കുന്ന രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ ആരേഖം
നിത്യജീവിതത്തിലെ അംശബന്ധം എന്ന ആശയമാണ് നിന്നാണ് രേഖീയസമവാക്യങ്ങളുടെ ഉറവിടം.
ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു കൂട്ടിലുള്ള കോഴികളുടെ എണ്ണം എടുക്കുക.
ഇനി ഇവയുടെ കാലുകളുടെ എണ്ണം എടുക്കുക.
കോഴികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടി എണ്ണം കാലുകൾ ഉണ്ടാകുമല്ലോ.
അതായത് ഇവിടെ കോഴിയുടെയും കാലുകളുടെയും എണ്ണം 1:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ആണ്.
ഇതേ അംശബന്ധത്തെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ എഴുതിയാൽ y = 2 x {\displaystyle y=2x}
എന്ന രേഖീയസമവാക്യം ലഭിയ്ക്കും.
ഇവിടെ x എന്നത് കോഴികളുടെ എണ്ണത്തെ കാണിയ്ക്കുന്നുവെങ്കിൽ y അവയുടെ കാലുകളുടെ എണ്ണത്തെ കാണിയ്ക്കുന്നു.
ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും കോഴികളുടെ എണ്ണത്തെ ലഭിച്ചാൽ ആകെയുള്ള കാലുകളുടെ എണ്ണത്തെ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടിയെടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്നു.
ഇനി ഈ സമവാക്യത്തെ സഫലീകരിയ്ക്കുന്ന ചില വിലകൾ കൊടുത്തുനോക്കാം.
ഈ വിലകൾ ഒരു പട്ടിക ആയി താഴെ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്നു.
ഇതേ പട്ടികയുടെ ആരേഖം അതിന്റെ വലതുവശത്ത് കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്നു.
കോഴികളുടെ എണ്ണം( x ) കാലുകളുടെ എണ്ണം( y ) 0 0 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 10 20 മാസവരുമാനത്തിന്റെ രേഖീയ ഗ്രാഫ്
ഇതിനോട് ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊരുദാഹരണം എടുക്കുക.
ഒരു കാർ ഷോറൂമിലെ സെയിൽസ്മാന്റെ ഒരു മാസത്തെ ശമ്പളം 1000 രൂപ ആണെന്ന് കരുതുക.
അയാൾക്ക് ഓരോ കാർ വിൽക്കുമ്പോളും 100 രൂപ വെച്ച് കമ്മീഷനും ലഭിയ്ക്കുന്നുണ്ടെന്നു കരുതുക.
അയാളുടെ ഒരു മാസത്തെ ആകെ വരുമാനം എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിയ്ക്കാം എന്നു നോക്കാം.
അയാളുടെ ശമ്പളം സ്ഥിരമായതിനാൽ എല്ലാ മാസവും അയാൾ എത്ര കാർ വിൽക്കുന്നു എന്നതിനെ അനുസരിച്ച് അയാളുടെ വരുമാനം മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കും.
അയാൾ ഒരു മാസം വിൽക്കുന്ന കാറുകളുടെ എണ്ണം x ആണെന്ന് വിചാരിച്ചാൽ അയാളുടെ മാസവരുമാനം ( y ) കണ്ടെത്താൻ താഴെപറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയാകും.
y = 100 x + 1000 {\displaystyle y=100x+1000}
ഇതും രേഖീയ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.
ഇതിന്റെ ആരേഖം ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക.
മുകളിലെ രണ്ടു ആരേഖങ്ങളും തമ്മിൽ ഉള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേതിൽ നിന്നും വിഭിന്നമായി Y അക്ഷത്തിൽ ആധാരബിന്ദു(origin) വിൽ നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത അളവ് മുകളിലാണ്.
വിൽക്കുന്ന കാറിന്റെ എണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമായി ഒരു തുക ലഭിയ്ക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും ഈ അംശബന്ധത്തിന് പുറമെ ഉള്ള ഒരു നിശ്ചിത ശമ്പളം ആണ് ഈ വ്യത്യാസം കൊണ്ടുവരുന്നത്.
രണ്ടാമത്തെ വ്യത്യാസം ഈ ഗ്രാഫുകൾ X അക്ഷവുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണളവ് ആണ്.
ഇത് അംശബന്ധത്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു.
ഇതാണ് ഈ രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ സ്ലോപ്പ്(ആനതി).
ഓരോ കാറിനുമുള്ള അയാളുടെ കമ്മീഷൻ 100 രൂപയ്ക്കു പകരം ഉയർന്ന ഒരു തുകയാണെങ്കിൽ ആരേഖത്തിൽ നേർരേഖയുടെ കോണളവും തൽഫലമായി സ്ലോപ്പും വർദ്ധിയ്ക്കും.
ഒരു ചരം മാത്രമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ
ഒരു ചരം x മാത്രമുള്ള രേഖീയസമവാക്യം ഇങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം: a x = b .
{\displaystyle ax=b.}
a ≠ 0 ആണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു നിർദ്ധാരണമൂല്യം ഉണ്ട്: x = b a .
{\displaystyle x={\frac {b}{a}}.
a = 0 യും, b = 0 യും ആണെങ്കിൽ ഏത് വിലയും ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യം ആണ്.
എന്നാൽ a = 0 യും b ≠ 0 യും ആണെങ്കിൽ x ന്റെ ഒരു വിലയും ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തില്ല.
രണ്ടു ചരങ്ങൾ വരുന്ന രേഖീയസമവാക്യങ്ങൾ
ഒരു രേഖീയ ഫലനത്തിന്റെ ഇൻപുട്ട് വിലകളെയും ഔട്ട്പുട്ട് വിലകളെയും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിച്ച് എഴുതുന്ന സമവാക്യമാണ് രണ്ടു ചരങ്ങളിൽ ഉള്ള രേഖീയസമവാക്യം.
ഇൻപുട് വിലകളെ x എന്നും ഔട്ട്പുട്ട് വിലകളെ y എന്നും അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ : y = m x + y 0 , {\displaystyle y=mx+y_{0},}
m , y 0 {\displaystyle y_{0}} എന്നിവ വാസ്തവികസംഖ്യകളായി എടുക്കുന്നു.
ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങളെയും ഒരു ആരേഖത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു നേർരേഖ ലഭിയ്ക്കുന്നു.
m എന്നത് ഈ രേഖയുടെ ആനതിയും y 0 {\displaystyle y_{0}} എന്നത് ആ രേഖ Y അക്ഷവുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവുമായിരിയ്ക്കും.
പൊതുവായി x , y എന്നീ രണ്ടു ചരങ്ങളിലുള്ള രേഖീയസമവാക്യത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം : a x + b y + c = 0 , {\displaystyle ax+by+c=0,}
a , b എന്നീ രണ്ടു ഗുണാങ്കങ്ങളും ഒന്നിച്ച് 0 ആകാൻ പാടില്ല.
ഇതിൽ b ≠ 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഇതിന്റെ നിർധാരണമൂല്യങ്ങൾ ഒരു ആരേഖത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു നേർരേഖ ലഭിയ്ക്കും.
ബീജഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മുകളിൽ കൊടുത്ത സമവാക്യത്തെ ഉപകാരപ്രദമായ പല വ്യത്യസ്ത രീതികളിലും എഴുതാം.
പൊതുവിൽ ഇതിനെയെല്ലാം നേർരേഖാസമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു.
താഴെ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന വിവിധ രൂപങ്ങളിൽ x , y , t , θ എന്നിവ ചരങ്ങളും മറ്റുള്ളവ ഗുണാങ്കങ്ങളും ആകുന്നു.
സാമാന്യ രൂപം
ഏറ്റവും സാമാന്യമായ രീതിയിൽ രേഖീയ സമവാക്യത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: A x + B y = C , {\displaystyle Ax+By=C,\,}
A യും B യും ഒന്നിച്ച് പൂജ്യം ആകാൻ പാടില്ല.
ഇത് A ≥ 0 ആകത്തക്ക രീതിയിലാണ് എഴുതുക.
ഇതിന്റെ ആരേഖം ഒരു നേർരേഖയായിരിയ്ക്കും.
അതുപോലെ എല്ലാ നേർരേഖകൾക്കും ഇത്തരത്തിൽ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കുകയും ചെയ്യും.
A പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഈ നേർരേഖ X അക്ഷവുമായി സന്ധിയ്ക്കും.
"x"-ഇന്റർസെപ്റ്റ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഈ ബിന്ദുവിന്റെ "x" നിർദ്ദേശാങ്കം C / A ആയിരിയ്ക്കും(Y നിർദ്ദേശാങ്കം 0 ആണെന്ന് വ്യക്തമാണല്ലോ).
B പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഈ നേർരേഖ Y അക്ഷവുമായി സന്ധിയ്ക്കും.
"y"-ഇന്റർസെപ്റ്റ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഈ ബിന്ദുവിന്റെ "y" നിർദ്ദേശാങ്കം C / B ആയിരിയ്ക്കും.
"B" പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഈ നേർരേഖയുടെ സ്ലോപ്പ് − A / B ആയിരിയ്ക്കും.
B പൂജ്യം ആണെങ്കിൽ ഈ നേർരേഖ Y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരം ആയിരിയ്ക്കുന്നതിനാൽ സ്ലോപ്പ് അനന്തം ആയിരിയ്ക്കും.
വലതുവശത്തെ "C" വിലയെ ഇടതുവശത്തേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് a x + b y + c = 0 , {\displaystyle ax+by+c=0,\,}
എന്നും ഇതിനെ എഴുതാറുണ്ട്.
സ്ലോപ്പ്–ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം y = m x + b , {\displaystyle y=mx+b,}
m നേർരേഖയുടെ സ്ലോപ്പും b അതിന്റെ y ഇന്റർസെപ്റ്റ്'ഉം ആണ്.
മുകളിൽ പറഞ്ഞ പോലെ y ഇന്റർസെപ്റ്റ് എന്നത് നേർരേഖ y അക്ഷത്തിനെ സന്ധിയ്ക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ്.
x നു ഈ സമവാക്യത്തിൽ 0 എന്ന വില കൊടുത്തുനോക്കിയാൽ ഈ ഇന്റർസെപ്റ്റ് ലഭിയ്ക്കും.
എന്നാൽ നിശ്ചിത സ്ലോപ്പ് ഇല്ലാത്ത ലംബരേഖകളെ ഈ രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധ്യമല്ല.
x ഇന്റർസെപ്റ്റ് കണ്ടെത്താനായി ഈ ഫലനത്തെ തിരിച്ചു എഴുതിയാൽ മതി.
ഇങ്ങനെ എഴുതിയാൽ : x = n y + a .
{\displaystyle x=ny+a.}
n എന്നത് സ്ലോപ്പിന്റ വ്യുൽക്രമം ആണ്.
ഒരു തിരശസ്ചീന രേഖയെ ഇത്തരത്തിൽ എഴുതാൻ സാധ്യമല്ല.
ലംബവും തിരശ്ചീനവുമല്ലാത്ത രേഖകളുടെ m , n എന്നീ വിലകൾ താഴെക്കാണുന്ന രീതിയിൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിയ്ക്കുന്നു.
m ⋅ n = 1 {\displaystyle m\cdot n=1} .
y യെ x ന്റെ ഫലനം ആയി എഴുതിയാൽ താഴെ കാണുന്ന സമവാക്യം ലഭിയ്ക്കും: y = m ( x − a ) {\displaystyle y=m(x-a)} ബിന്ദു–ആനതി രൂപം y − y 1 = m ( x − x 1 ) , {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}),\,}
m എന്നത് സ്ലോപ്പും(ആനതി) ( x 1 , y 1 ) എന്നത് രേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവുമാണ്.
രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ ഈ രൂപം മുകളിൽ എഴുതിയ അംശബന്ധത്തിന്റെ ആശയം കൂടുതൽ സ്പഷ്ടമായി കാണിയ്ക്കുന്നു.
ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുടെയും y നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം x നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മടങ്ങ് ( m ) ആണെന്നാണ് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നത്.
ബിന്ദു–ബിന്ദു രൂപം y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) , {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}),\,}
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) എന്നിവ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ ആണ്.
മുകളിൽ കൊടുത്ത ബിന്ദു-ആനതി രൂപത്തിന്റ മറ്റൊരു രൂപമാണിത്.
ഈ സമവാക്യത്തിൽ 'x 2 ≠ x 1 ആയിരിയ്ക്കണം.
സ്ലോപ്പ് m എന്നതിനെ താഴെക്കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്നതു പോലെ എഴുതിയിരിയ്ക്കുന്നു.
( y 2 − y 1 )/( x 2 − x 1 )
ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളെയും ( x 2 − x 1 ) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ സമമിതരൂപം എന്നറിയപ്പെടുന്ന രൂപം ലഭിയ്ക്കും.
( x 2 − x 1 ) ( y − y 1 ) = ( y 2 − y 1 ) ( x − x 1 ) .
{\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1}).
ഇതിനെ വികസിപ്പിച്ചെഴുതിയാൽ മുകളിൽ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന സാമാന്യ രൂപം ലഭിയ്ക്കുന്നു: x ( y 2 − y 1 ) − y ( x 2 − x 1 ) = x 1 y 2 − x 2 y 1 {\displaystyle x\,(y_{2}-y_{1})-y\,(x_{2}-x_{1})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}
സാരണികം (determinant) ഉപയോഗിച്ച് ഇതിന്റെ സാരണികരൂപം എഴുതാവുന്നതാണ്: | x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 .
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x y 1\\x_{1} y_{1} 1\\x_{2} y_{2} 1\end{vmatrix}}=0\,.
} ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം x a + y b = 1 , {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1,\,}
a യും b യും പൂജ്യം ആകരുത്.
ഇതിന്റെ ആരേഖത്തിൽ x -ഇന്റർസെപ്റ്റ് a യും y -ഇന്റർസെപ്റ്റ് b യും ആകുന്നു.
നേർരേഖയുടെ സാമാന്യരൂപത്തെ A / C = 1/ a ആയും B / C = 1/ b ആയും മാറ്റി ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപത്തിലേക്ക് ആക്കാം.
ആധാരബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖകളോ ലംബരേഖകളോ തിരശ്ചീനരേഖകളോ ഇപ്രകാരം രേഖപ്പെടുത്താൻ സാധ്യമല്ല.
നോർമൽ രൂപം നേർരേഖയുടെ നോർമൽ രൂപം x cos ⁡ α + y sin ⁡ α = p {\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha =p}
p {\displaystyle p} എന്നത് ആധാരബിന്ദുവിൽ(origin) നിന്നും രേഖയിലേക്കുള്ള ലംബരേഖയും α {\displaystyle \alpha } എന്നത് ഈ ലംബരേഖ X അക്ഷവുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണളവും ആകുന്നു.
വലതുവശത്തെ ചിത്രം കാണുക.
ഇവിടെ X ഇന്റർസെപ്റ്റ് p cos ⁡ α {\displaystyle {\frac {p}{\cos \alpha }}} ഉം Y ഇന്റർസെപ്റ്റ് p sin ⁡ α {\displaystyle {\frac {p}{\sin \alpha }}} ഉം ആകുന്നു.
ചതുരമൂശ (മാട്രിക്സ്) രൂപം
ചതുരമൂശകൾ ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യരൂപത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: ( A B ) ( x y ) = ( C ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}}.
ഇതേ മാതൃക ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയസമവാക്യങ്ങളുടെ താഴെക്കാണുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തെ A 1 x + B 1 y = C 1 , {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y=C_{1},\,} A 2 x + B 2 y = C 2 , {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y=C_{2},\,}
ഇങ്ങനെ എഴുതാം: ( A 1 B 1 A 2 B 2 ) ( x y ) = ( C 1 C 2 ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1} B_{1}\\A_{2} B_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{pmatrix}}.
ഈ രൂപം രണ്ടുമാനങ്ങൾക്കു മാത്രം ബാധകമായ ഒന്നല്ല.
എത്ര ചരങ്ങൾ ഉള്ള സിസ്റ്റം ആയാലും ഈ രൂപത്തിൽ ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിച്ച് രേഖപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.
രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ ഇത്തരത്തിൽ എഴുതുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ ചതുരമൂശകളുടെ അടിസ്ഥാനസങ്കേതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള വ്യത്യസ്തത പ്രക്രിയകൾ വഴി നിർദ്ധരിയ്ക്കാവുന്നതാണ്.
ഗൗസ്-ജോർദാൻ രീതി ഇത്തരം ഒരു പ്രക്രിയയാണ്.
പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം x = T t + U {\displaystyle x=Tt+U\,} y = V t + W .
{\displaystyle y=Vt+W.\,}
മുകളിലെ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങൾ ഒരുമിച്ചു ചേർന്നതാണ് പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം.
ഇവിടെ t എന്നത് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു പാരാമീറ്റർ ആണ്.
x ഉം y ഉം ഈ പാരാമീറ്ററിന്റെ വിലകൾക്കനുസരിച്ച് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്നു.
ഈ രേഖയുടെ സ്ലോപ്പ് m = V / T ഉം x -ഇന്റർസെപ്റ്റ് ( VU - WT ) / V ഉം y -ഇന്റർസെപ്റ്റ് ( WT - VU ) / T ഉം ആണ്.
പ്രത്യേക രൂപങ്ങൾ y = b {\displaystyle y=b\,} തിരശ്ചീനരേഖ y = b
ഇത് സാമാന്യരൂപത്തിൽ A = 0 വും B = 1 ഉം ആകുന്ന  ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ആണ്.
ഈ നേർരേഖയുടെ ആരേഖം ഒരു തിരശ്ചീനരേഖയാകുന്നു.
ഇതേ y അക്ഷത്തെ b എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിയ്ക്കുന്നു.
ഇതിന് x ഇന്റർസെപ്റ്റ് ഇല്ല.
b = 0 ആണെങ്കിൽ ഇത് x അക്ഷം തന്നെയാണ്.
x = a {\displaystyle x=a\,} ലംബരേഖ x = a
ഇത് സാമാന്യരൂപത്തിൽ A = 1 ഉം B = 0 വും ആകുന്ന  ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ആണ്.
ഈ ലംബരേഖ x അക്ഷത്തെ a എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിയ്ക്കുന്നു.
a = 0 ആണെങ്കിൽ ഇത് y അക്ഷത്തിന്റെ തന്നെ സമവാക്യം ആകുന്നു.
സംഗ്രഹം പേര് സൂത്രവാക്യം സ്ലോപ്പ് X ഇന്റർസെപ്റ്റ് Y ഇന്റർസെപ്റ്റ് സാമാന്യ രൂപം A x + B y = C {\displaystyle Ax+By=C} − A / B , B ≠ 0 {\displaystyle -A/B,B\neq 0} C / A , A ≠ 0 {\displaystyle C/A,A\neq 0} C / B , B ≠ 0 {\displaystyle C/B,B\neq 0} സ്ലോപ്പ്–ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം y = m x + b {\displaystyle y=mx+b} m -b/m, m\neq 0 b ബിന്ദു–ആനതി രൂപം y − y 1 = m ( x − x 1 ) , {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}),\,} m x_1 y_1 ബിന്ദു–ബിന്ദു രൂപം y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) , {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}),\,} y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} x_1 y_1 സമമിതരൂപം ( x 2 − x 1 ) ( y − y 1 ) = ( y 2 − y 1 ) ( x − x 1 ) .
\,} y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} x_1 y_1 സാരണികരൂപം
| x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 .
} y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} x_1 y_1 ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം x a + y b = 1 , a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1,\,a\neq 0,b\neq 0} − b a {\displaystyle {\frac {-b}{a}}} a b നോർമൽ രൂപം x cos ⁡ α + y sin ⁡ α = p {\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha =p} − 1 tan ⁡ α , α ≠ n π , n = 0 , 1..
{\displaystyle {\frac {-1}{\tan \alpha }},\alpha \neq n\pi ,n=0,1..
} p cos ⁡ α , α ≠ n π 2 , n = 1 , 2..
{\displaystyle {\frac {p}{\cos \alpha }},\alpha \neq n{\frac {\pi }{2}},n=1,2..
} p sin ⁡ α , α ≠ n π , n = 0 , 1..
{\displaystyle {\frac {p}{\sin \alpha }},\alpha \neq n\pi ,n=0,1..
} ചതുരമൂശ (മാട്രിക്സ്) രൂപം ( A B ) ( x y ) = ( C ) .
} − A / B , B ≠ 0 {\displaystyle -A/B,B\neq 0} C / A , A ≠ 0 {\displaystyle C/A,A\neq 0} C / B , B ≠ 0 {\displaystyle C/B,B\neq 0} പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം x = T t + U {\displaystyle x=Tt+U\,} y = V t + W .
{\displaystyle y=Vt+W.\,} V / T , T ≠ 0 {\displaystyle V/T,T\neq 0} V U − W T ) / V , V ≠ 0 {\displaystyle VU-WT)/V,V\neq 0} W T − V U ) / T , T ≠ 0 {\displaystyle WT-VU)/T,T\neq 0} രണ്ടിലധികം ചരങ്ങൾ വരുന്ന രേഖീയസമവാക്യങ്ങൾ
ഒരു രേഖീയസമവാക്യത്തിൽ എത്ര ചരങ്ങൾ വേണമെങ്കിലും ഉണ്ടാകാം.
n ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തെ താഴെ കാണുന്നതു പോലെ എഴുതാം : a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b , {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}
a 1 , a 2 , ...
, a n എന്നിവ ഗുണാങ്കങ്ങളും x 1 , x 2 , ...
, x n എന്നിവ ചരങ്ങളും ആകുന്നു.
b ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.
മൂന്നിൽ താഴെ മാത്രം ചരങ്ങൾ ഉള്ള അവസ്ഥയിൽ അവയെ രേഖപ്പെടുത്താൻ x , y , z എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.
എല്ലാ ഗുണാങ്കങ്ങളും 0 ആകുകയും b ≠ 0 എന്ന അവസ്ഥയും ആണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തെ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധ്യമല്ല.
0 ആകുകയും b = 0 എന്ന അവസ്ഥയും ആണെങ്കിൽ ഏതു വിലകളും ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ ആയിരിയ്ക്കും.
n ന്റെ വില 3 ആണെങ്കിൽ കിട്ടുന്ന സമവാക്യം ത്രിമാന യൂക്‌ളീഡിയൻ സ്പേസിൽ ഒരു പ്രതലത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു.
ഇതിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ ഒരു ആരേഖത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു പ്രതലം ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം.
സാമാന്യമായി പറഞ്ഞാൽ n ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ n മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു യൂക്‌ളീഡിയൻ സ്പേസിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ( n – 1) മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു ഹൈപ്പർ-പ്‌ളെയിൻ ലഭിയ്ക്കുന്നു.
ഇവയും കാണുക സമവാക്യം നേർരേഖ അവലംബം പുറം കണ്ണികൾ Linear Equations and Inequalities Archived 2014-11-15 at the Wayback Machine .
Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
Linear Equations Equation Solving
രേണു ജോഗി
അജിത് ജോഗിയുടെ പത്നിയും ജനത കോൺഗ്രസ് ഛത്തീസ്ഗഡിൻറെ കോട്ടയിൽ നിന്നുമുള്ള നിയമസഭാ അംഗവുമാണ് രേണു ജോഗി .
കോട്ടയിൽ നിന്നും നേരത്തെ മൂന്നു തവണ കോൺഗ്രസ് ടിക്കറ്റിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു.
ജോഗി സ്വന്തം പാർട്ടി രൂപീകരിച്ചപ്പോഴും കോൺഗ്രസിനൊപ്പം നിലകൊണ്ട രേണുവിന് പക്ഷേ പാർട്ടി ഇത്തവണ ടിക്കറ്റ് നിഷേധിച്ചു.
ഇതോടെ ഭർത്താവിൻറെ പാർട്ടിയിൽ ചേക്കേറിയ ഇവർ ജനത കോൺഗ്രസ് ഛത്തീസ്ഗഡിൻറെ ബാനറിലാണ് ഇത്തവണ ജനവിധി തേടിയത്.
രേണു രാജ് ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Dr.
_renuraj
മൂന്നാർ സബ് കലക്റ്റർ എന്ന നിലക്ക് കയ്യേറ്റക്കാർക്കെതിരെ കർശനനിലപാട് എടുത്തതിന്റെ പേരിൽ ശ്രദ്ധേയയായ ഐ.എ.എസ് കാരിയാണ് ഡോ. രേണുരാജ് ഐ. എ. എസ് .
ഐ.എ .
എസ് രണ്ടാം റാങ്കോടെ പാസ്സായ രേണുരാജ്, കല -കായിക മേഖലകളിലും മികവ് തെളീച്ചിട്ടുണ്ട്.
കെ എസ് ആർ ടി സി ബസ് ജീവനക്കാരൻ (റിട്ടയേഡ് ഡി.റ്റി.ഒ) രാജകുമാരൻ നായരുടെയും വി എം ലതയുടെയും  മകളായി കോട്ടയം ജില്ലയിലെ ചങ്ങനാശ്ശേരിയിൽ മലകുന്നം ശ്രീശൈലത്തിൽ  ജനിച്ച രേണു വാഴപ്പിള്ളി സെൻറ് തെരേസാസ് ഹൈസ്കൂളിൽ നിന്നും പത്താം റാങ്കോടെ പത്താം തരം പരീക്ഷ പാസായി കോട്ടയം മെഡിക്കൽ കോളജിൽ നിന്നാണ്  എം.ബി.ബി.എസ്. പാസായത്.
തുടർന്ന് കല്ലുവാതുക്കൽ ഇ.
എസ്.ഐ. ആശുപത്രിയിൽ പ്രവർത്തിച്ചു.
അതിനിടയിൽ 27ആം വയസ്സിൽ ആദ്യ ചാൻസിൽ തന്നെ ഐ.എ.എസ് പരീക്ഷ രണ്ടാം റാങ്കോടെ പാസായി .
തൃശ്ശൂർ സബ് കളക്ടരായിട്ടായിരുന്നു ആദ്യ നിയമനം.
ഇവരുടെ സഹോദരിയും ഒരു ഡോക്ടറാണ്.
മൂന്നാർ വിവാദം
മൂന്നാറിൽ സബ് കളക്റ്റർ ആയ രേണു മുതിരപ്പുഴയാറിന്റെ തീരത്ത് അനധികൃതമായി നിർമ്മിക്കുന്ന കെട്ടിടത്തിനു സ്റ്റോപ് മെമ്മോ കൊടുത്തു.
നേരിട്ടെത്തി പരിശോധിക്കുന്നതിനിടയിൽ ദേവീകുളം എം.എൽ.എ. രാജേന്ദ്രൻ സ്ഥലത്തെത്തുകയും കളക്ടറോട് കയർക്കുകയും അവരെ അവഹേളിക്കുകയും ചെയ്തു.
അദ്ദേഹം രേണുവിനെക്കുറിച്ച് നടത്തിയ മോശമായ പരാമർശങ്ങൾ സമൂഹത്തിന്റെ വിമർശനത്തിനു കാരണമായി.
അതിന്റെ പേരിൽ അദ്ദേഹം പിന്നീട് ഖേദം പ്രകടിപ്പിച്ചിരുന്നു.
അവലംബം ↑ https://www.youtube.com/watch?v=jb2t_EsGXNE ↑ https://www.youtube.com/watch?v=8FPX22OBTp8 ↑ https://www.indiatoday.in/education-today/news/story/upsc-second-rank-holder-renu-raj-280912-2015-07-06 ↑ {{ cite web }} : Cite has empty unknown parameter: | 1= ( help ) ↑ {{ cite web }} : Cite has empty unknown parameter: | 1= ( help ) ↑
രേണു സൗന്ദർ
മലയാളം സിനിമകളിലും ടെലിവിഷൻ പരമ്പരകളിലും അഭിനയിക്കുന്ന നടിയാണ് രേണു സൗന്ദർ (ജനനം: ഒക്ടോബർ 13, 1992) .
മാൻഹോൾ (2016 ചിത്രം) (2016) എന്ന മലയാള ചിത്രത്തിലൂടെയാണ് രേണു സിനിമ അഭിനയം ആരംഭിച്ചത്.
ചാലക്കുടിക്കാരൻ ചങ്ങാതി (2018), ഓട്ടം (2019), മർജാര - ഒരു കല്ലുവച്ച നുണ (2020) എന്നീ സിനിമകളിൽ ശ്രദ്ധേയയമായ വേഷം ചെയ്തു.
തിരുവനന്തപുരം ജിഎച്ച്എസ്എസിൽ പഠിച്ച രേണു പിന്നീട് ഉപരി പഠനത്തിനായി കൊച്ചിയിലേക്ക് മാറി.
ശ്രീ ശങ്കരാചാര്യ സംസ്‌കൃത സർവകലാശാലയിൽ നിന്ന് ഫൈൻ ആർട്‌സിൽ ബിരുദാനന്ദര ബിരുദം നേടിയിട്ടുണ്ട്.
വിധു വിൻസെന്റ് സംവിധാനം ചെയ്ത 2016-ൽ പുറത്തിറങ്ങിയ മാൻഹോൾ എന്ന ചിത്രത്തിലാണ് രേണു ആദ്യമായി അഭിനയിച്ചത്.
2017 -ൽ മെൽബണിൽ നടന്ന ഇന്ത്യൻ ഫിലിം ഫെസ്റ്റിവലിലും മാൻഹോൾ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരുന്നു.
2018ൽ സെന്തിൽ കൃഷ്ണ, ഹണി റോസ് , ജോജു ജോർജ് എന്നിവർക്കൊപ്പം ചാലക്കുടിക്കാരൻ ചങ്ങാതി എന്ന സിനിമയിൽ രേണു അഭിനയിച്ചു.
നടൻ കലാഭവൻ മണിയുടെ ജീവിതത്തെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ളതായിരുന്നു ഈ ചിത്രം.
2019-ൽ ഓട്ടം, പെങ്ങളില എന്നീ ചിത്രങ്ങളിൽ രേണു അഭിനയിച്ചു .
2020-ൽ പുറത്തിറങ്ങിയ മർജാര - ഒരു കല്ലുവച്ച നുണ എന്ന ചിത്രത്തിലും രേണു അഭിനയിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഗുരു സോമസുന്ദരത്തിനൊപ്പം രേണു തമിഴിൽ മഞ്ഞ സട്ട പച്ച സട്ട (2021) എന്ന സിനിമ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.
അഭിനയിച്ച സിനിമകൾ Key ഇതുവരെ റിലീസ് ചെയ്യാത്ത സിനിമകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു പ്രത്യേകം സൂചിപ്പിക്കാത്തപക്ഷം എല്ലാ സിനിമകളും മലയാളത്തിലാണ് .