smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
താരം വേഷം 1 മുകേഷ് ഉണ്ണി 2 ശങ്കർ ഹരിദാസ് 3 മേനക ഇന്ദു 4 ജലജ വിമല 5 അഹല്യ മിനി 6 ഷഫീഖ് ഷഫീഖ് 7 സുകുമാരി ഹരിദാസിന്റ് അമ്മ 8 ഇന്നസെന്റ് ഗംഗാധരമുൻഷി 9 വി.ഡി. രാജപ്പൻ നളിനാക്ഷൻ 10 പൂജപ്പുര രവി പ്യൂൺ പിള്ള 11 വത്സല മേനോൻ പത്മാവതി 12 പ്രതാപചന്ദ്രൻ ദിവാകരമേനോൻ 13 മാള അരവിന്ദൻ മാത്തച്ചൻ 14 ബൈജു നാണപ്പൻ 15 ടോണി രമേഷ് 16 ലളിതശ്രീ ദേവയാനി 17 കൊല്ലം അജിത്ത് ഗാനങ്ങൾ വരികൾ: ചുനക്കര ഈണം: ശ്യാം
ഗാനം ഗായകർ വരികൾ നീളം (m: ss) 1 "ആലിപ്പഴം" കെ എസ് ചിത്ര , കോറസ് ചുനക്കര രാമൻകുട്ടി 2 "മാധവമാസം" കെ ജെ യേശുദാസ് ചുനക്കര രാമൻകുട്ടി അവലംബം ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ നാളെ ഞങ്ങളുടെ വിവാഹം (1986) ഇന്റർനെറ്റ് മൂവി ഡാറ്റാബേസിൽ ചിത്രം കാണുക
നാളെ ഞങ്ങളുടെ വിവാഹം 1986
കുമാരനല്ലൂർ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Kumaranellur(Kerala)
9°37′0″N 76°31′0″E ﻿ / ﻿ 9.61667°N 76.51667°E ﻿ / 9.61667; 76.51667 കോട്ടയം ജില്ലയിലെ ( കേരളം , ഇന്ത്യ ) ഒരു പ്രദേശമാണ് കുമാരനല്ലൂർ .
കുമാരനല്ലൂർ ദേവി ക്ഷേത്രവും അവിടുത്തെ തൃക്കാർത്തിക മഹോത്സവവും വളരെ പ്രശസ്തമാണ്.
കുമാരനല്ലൂരിനു അഞ്ചു കിലോമീറ്റർ മാറിയാണ് കോട്ടയം നഗരഹൃദയം.
ക്ഷേത്രം നിലവിൽ വരുന്നതിനു മുൻപ്‌ ഈ പ്രദേശം തിങ്കൾ കാട് എന്നപേരിലാണ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത് .
പിന്നീട് ഇന്ദു കാനനം എന്നപേരിൽ അറിയപ്പെടാൻ തുടങ്ങി.
ഇപ്പോൾ ദേവി ക്ഷേത്രം നിലവിലിരിക്കുന്ന സ്ഥലത്ത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു കുമാര (സുബ്രഹ്മണ്യ) ക്ഷേത്രം ആയിരുന്നു വരേണ്ടത്.
അങ്ങനെ കുമാരൻ അല്ല ഊരിൽ എന്ന അർത്ഥത്തിൽ കുമാരനല്ലൂർ എന്നപേർ ലഭിച്ചു.
ഏറ്റുമാനൂർ ബ്ലോക്ക് പഞ്ചായത്തിലുൾപ്പെട്ട പ്രദേശമാണ് കുമാരനല്ലൂർ.
കോട്ടയം നഗരത്തിന് ഏകദേശം 4 കിലോമീറ്റർ കിഴക്കുഭാഗത്തായി ഇത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
ഏറ്റുമാനൂരിൽ നിന്ന് ഇവിടേയ്ക്ക് ഏകദേശം 4 കിലോമീറ്റർ ദൂരമുണ്ട്.
ഗാന്ധിനഗർ (3 കിലോമീറ്റർ), കഞ്ഞിക്കുഴി (3 കിലോമീറ്റർ), തിരുവഞ്ചൂർ (2 കിലോമീറ്റർ), നട്ടാശ്ശേരി ഈസ്റ്റ് (1 കിലോമീറ്റർ), കളത്തിപ്പടി (2 കിലോമീറ്റർ) എന്നിവയാണ് കുമാരനല്ലൂരിന് സമീപമുള്ള മറ്റ് ഗ്രാമങ്ങൾ.
വടക്ക് ഏറ്റുമാനൂർ ബ്ലോക്ക്, തെക്ക് പള്ളം ബ്ലോക്ക്, കിഴക്ക് പാമ്പാടി ബ്ലോക്ക്, തെക്ക് മാടപ്പള്ളി ബ്ലോക്ക് എന്നിവയാൽ വലയം ചെയ്യപ്പെട്ടതാണ് ഈ ഗ്രാമം.
ചങ്ങനാശ്ശേരി , പാലാ , കോട്ടയം എന്നിവയാണ് കുമാരനല്ലൂരിന് സമീപമുള്ള വലിയ നഗരങ്ങൾ.
കോട്ടയം നഗരത്തിൻറെ പ്രാന്തപ്രദേശമായ ഒരു പുരാതന സാംസ്കാരിക കേന്ദ്രമാണ് കുമാരനല്ലൂർ.
കുമാരനല്ലൂർ ദേവി ക്ഷേത്രത്തിനും ക്ഷേത്രത്തിലെ വാർഷികാഘോഷമായ തൃക്കാർത്തിക ഉത്സവത്തിനും ഈ പട്ടണം പ്രസിദ്ധമാണ്.
ക്ഷേത്രം നിലവിൽ വരുന്നതിന് മുമ്പുള്ള കാലത്ത് ഈ സ്ഥലം 'തിങ്കൾക്കാട്' എന്നറിയപ്പെട്ടിരുന്നു.
പിന്നീട് 'തിങ്കൾക്കാട്' എന്ന പേര് മാറി 'ഇന്ദു കാനനം' എന്നറിയപ്പെട്ടു.
ചില പുരാതന ലിപികളിൽ, ഈ ക്ഷേത്രം മഹിഷാരി കോവിൽ (ക്ഷേത്രം) എന്ന് അറിയപ്പെടുകയും വിവരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
കുമാരനല്ലൂർ ഭഗവതിക്ഷേത്രം
കേരളത്തിലെ നൂറ്റെട്ടു ദുർഗാലയങ്ങളിൽ (ദുർഗ്ഗ പ്രതിഷ്ഠയുള്ള ക്ഷേത്രം) ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ക്ഷേത്രങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് കുമാരനല്ലൂർ ഭഗവതീക്ഷേത്രം .
ചരിത്രപരമായ തെളിവുകൾ, പുരാണപരമായ തെളിവുകൾ, മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകൾ എന്നിവ അനുസരിച്ച് 2400-ൽ പരം വർഷങ്ങളുടെ പഴക്കം ഈ ക്ഷേത്രത്തിനുണ്ടെന്നു പറയപ്പെടുന്നു.
കേരളത്തിൽ വളരെ ചുരുക്കമായി കാണപ്പെടുന്ന 'ശ്രീചക്ര' രീതിയിൽ  (ദേവിയുടെ വലതുകൈയിൽ വച്ചിരിക്കുന്ന കൈപ്പിടിയുള്ള മോതിരം പോലെയുള്ള വസ്തു) പണികഴിപ്പിച്ച ശ്രീകോവിലും നാലമ്പലവും ക്ഷേത്ര ചുവരുകളിലെ ചുമർചിത്രങ്ങളും ഈ ക്ഷേത്രത്തിന്റെ എടുത്തുപറയേണ്ട സവിശേഷതകളാണ്.
ക്ഷേത്ര വാസ്തുവിദ്യയിൽ ഇത്തരത്തിലുള്ള വാസ്തുവിദ്യ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണാനാകൂ.
കുമാരനെല്ലൂർ തൃക്കാർത്തിക പ്രസിദ്ധമാണ്.
ആറ്റന രാഗത്തിലും ആദി താളത്തിലും സജ്ജീകരിച്ച്, ശെമ്മാങ്കുടി ശ്രീനിവാസ അയ്യർ, എം എസ് സുബ്ബലക്ഷ്മി തുടങ്ങിയവർ ഉൾപ്പെടെയുള്ള നിരവധി പ്രശസ്തർ ജനപ്രിയമാക്കിയ സ്വാതി തിരുനാൾ മഹാരാജാവിൻ്റെ പ്രശസ്ത കർണാടക കൃതി 'ശ്രീ കുമാര നഗരാലയേ' ഇവിടുത്തെ ക്ഷേത്രകൃതിയാണ് (ഒരു പ്രത്യേക ക്ഷേത്രത്തിലെ പ്രതിഷ്ഠയെക്കുറിച്ചുള്ള രചന).
ഒമ്പത് ഊരാണ്മ ഇല്ലങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന കുമാരനല്ലൂർ ഊരാണ്മ ദേവസ്വമാണ് കുമാരനല്ലൂർ ദേവീക്ഷേത്രം നിയന്ത്രിക്കുന്നത്.
എടനാട്ട് ഇല്ലം, ചൂരക്കാട് ഇല്ലം, ചെങ്ങഴിമറ്റം ഇല്ലം, കാഞ്ഞിരക്കാട്ട് ഇല്ലം, കീരന്തിട്ട ഇല്ലം, വടക്കുംയൽ ഇല്ലം, എളവണ്ണാട്ട് ഇല്ലം, ഇളയിടം ഇല്ലം, താന്നിക്കാട്ട് ഇല്ലം എന്നിവയാണ് ഈ ഒമ്പത് ഊരാണ്മ ഇല്ലങ്ങൾ.
ഈ ദേവസ്വത്തിന് കീഴിൽ വിവിധ പ്രദേശങ്ങളിലായി വേറെയും കീഴൂട്ട് ക്ഷേത്രങ്ങളുണ്ട്.
മാഞ്ഞൂർ ഭഗവതി ക്ഷേത്രം, ചെങ്ങളം ഭഗവതി ക്ഷേത്രം, അർത്ഥ്യാകുളം ദേവീ ക്ഷേത്രം, ഇടമന ശ്രീകൃഷ്ണസ്വാമി ക്ഷേത്രം, ചേന്നോത്ത് ശാസ്താ ക്ഷേത്രം, തുടങ്ങിയവയാണ് ഇവ.
കുമാരനല്ലൂരിലെ ദേവി വിലാസം ഹയർ സെക്കൻഡറി സ്കൂളും സേവാധി മ്യൂസിയവും ഇൻഡോളജിക്കൽ റിസർച്ച് സെൻ്ററും കുമാരനല്ലൂർ ഊരാണ്മ ദേവസ്വം നിയന്ത്രിക്കുന്നു.
ചേരമാൻ പെരുമാൾ
വൈക്കത്തിനടുത്തുള്ള ഉദയനാപുരത്ത് ദുർഗ്ഗാദേവിയുടെ ഒരു വിഗ്രഹം സ്ഥാപിക്കാൻ ക്ഷേത്രനിർമ്മാണം തുടങ്ങിയപ്പോൾ ചേരമാൻ പെരുമാൾ ആയിരുന്നു കേരളം ഭരിച്ചിരുന്ന ചക്രവർത്തി.
കുമാരന്റെയോ സുബ്രഹ്മണ്യന്റെയോ വിഗ്രഹം സ്ഥാപിക്കുന്നതിനായി അദ്ദേഹം ഒരു സ്ഥലത്ത് (പിന്നീട് കുമാരനല്ലൂർ എന്നറിയപ്പെട്ടു) മറ്റൊരു ക്ഷേത്രത്തിന്റെയും നിർമ്മാണം ആരംഭിച്ചു.
അതിനിടെ തമിഴ്‌നാട്ടിലെ മധുര മീനാക്ഷി ക്ഷേത്രത്തിൽ ഞെട്ടിക്കുന്ന ഒരു സംഭവം അരങ്ങേറി.
ദേവിയുടെ രത്നങ്ങൾ പതിച്ച മൂക്കുത്തി മോഷ്ടിക്കപ്പെടുകയോ കാണാതാവുകയോ ചെയ്തു.
ഭരണാധികാരിയായിരുന്ന പാണ്ഡ്യ രാജാവ് അന്വേഷണത്തിന് ഉത്തരവിട്ടു.
അതേസമയം, പൂജാരി അറിയാതെ മൂക്കുത്തി കാണാതാവുകയില്ല എന്ന വിശ്വാസത്താൽ 41 ദിവസത്തിനകം ഈ പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കാൻ സാധിച്ചില്ലെങ്കിൽ ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജാരിയെ വധിക്കാനും രാജാവ് ഉത്തരവിട്ടു.
എന്നിരുന്നാലും, പുരോഹിതൻ നിരപരാധിയായിരുന്നു.
ഈ ആശയക്കുഴപ്പത്തിൽ അദ്ദേഹം ദേവിയുടെ പാദങ്ങളിൽ അഭയം പ്രാപിച്ചുവെന്നാണ് ഐതിഹ്യം.
ദിവസങ്ങളും ആഴ്‌ചകളും കടന്നുപോകവേ ദുഃഖിതനായ പുരേഹിതൻ തന്റെ ദിനരാത്രങ്ങൾ കരഞ്ഞും പ്രാർത്ഥിച്ചുംകൊണ്ട് ചെലവഴിച്ചു.
40-ാം ദിവസം രാത്രി, അടുത്ത ദിവസം തന്റെ ജീവിതം അവസാനിക്കുമെന്ന വിധിയെ പഴിച്ചുകൊണ്ട് അദ്ദേഹം ക്ഷേത്രത്തിന്റെ വാതിൽപ്പടിയിൽ ഉറങ്ങി.
ദേവി മുമ്പിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട് ഉടൻ തന്നെ അവിടെനിന്ന് സ്ഥലം വിടാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നതായി അന്നു രാത്രി അദ്ദേഹം ഒരു സ്വപ്നം കണ്ടു.
ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായ പുരോഹിതൻ കണ്ണടച്ചു.
ഒരു തേജസ് (ദിവ്യ വെളിച്ചം) മുന്നോട്ട് നീങ്ങുന്നത് അദ്ദേഹം കണ്ടു.
എവിടേക്കാണ് പോകുന്നതെന്നറിയാതെ അദ്ദേഹം അതിനെ വളരെദൂരം പിന്തുടർന്നു.
തേജസ് അദ്ദേഹത്തെ വളരെ ദൂരേയ്ക്ക് നയിച്ചു, ഒടുവിൽ കുമാരനല്ലൂർ എന്നറിയപ്പെട്ട സ്ഥലത്ത് എത്തിച്ചേർന്നു.
അക്കാലത്ത് കുമാരനല്ലൂരിൽ, സുബ്രഹ്മണ്യൻ്റെയോ കുമാരൻ്റെയോ വിഗ്രഹം പ്രതിഷ്ഠിക്കുന്നതിനായി ചേരമാൻ പെരുമാൾ ക്ഷേത്രം പണിതുകൊണ്ടിരിക്കുകയായിരുന്നു.
തേജസ്സ് ക്ഷേത്രത്തിന്റെ ശ്രീകോവിലിൽ (ശ്രീകോവിലിൽ) പ്രവേശിച്ചു.
മാത്രമല്ല, പ്രതിഷ്ഠാ സമയത്താണ് തേജസ് ശ്രീകോവിലിനുള്ളിൽ പ്രവേശിച്ചത്.
അപ്പോൾ ‘ഈ സ്ഥലം കുമാരനുള്ളതല്ല’.
ഇതാണ് കുമാരിയുടെ അല്ലെങ്കിൽ ദേവിയുടെ സ്ഥലം എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ‘ കുമാരൻ അല്ല ഊരിൽ ’ എന്ന ഒരു ആശരീരി (അരൂപിയും ദിവ്യവുമായ ശബ്ദം) മുഴങ്ങി.
അതിനാൽ ഇതിന് കുമാരനല്ലൂർ എന്ന പേര് ലഭിച്ചു.
പെരുമാൾ, നിർമ്മാണത്തിലിരിക്കുന്ന ക്ഷേത്രത്തിൽ കുമാരവിഗ്രഹം പ്രതിഷ്ഠിക്കുന്നതിനായി ഉദയനാപുരത്തേക്ക് പോയി.
വഴിയിൽ, ചില തടസ്സങ്ങൾ നേരിട്ടെങ്കിലും ഒടുവിൽ ഉദയനാപുരത്തെത്തി ക്ഷേത്രത്തിലെ ശ്രീകോവിലിൽ സുബ്രഹ്മണ്യൻ്റെ വിഗ്രഹം പ്രതിഷ്ഠിക്കാൻ പെരുമാളിന് കഴിഞ്ഞു.
പിന്നീട് പെരുമാൾ ദേവീ വിഗ്രഹവുമായി കുമാരനല്ലൂരിലേക്ക് മടങ്ങിയെത്തുകയും അവിടെ അത് പ്രതിഷ്ഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരുക്കങ്ങൾ ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്തു.
വിഗ്രഹം മാറ്റണം എന്നൊരു ചിന്ത കൂടി ഇതിനിടെ അദ്ദേഹത്തെ അലട്ടി.
അടുത്തുള്ള വേദഗിരി എന്ന സ്ഥലത്ത് ഒരു വിഗ്രഹം വെള്ളത്തിലാണ്ട് കിടക്കുന്നുണ്ടായിരുന്നു.
വേദഗിരിയിൽ നിന്ന് പെരുമാൾ വിഗ്രഹം കണ്ടെടുത്ത് കൊണ്ടുവന്നു.
പണ്ട് ഈ വിഗ്രഹം മഹർഷി പരശുരാമൻ ഉണ്ടാക്കി ആരാധിച്ചിരുന്നതായാണ് ഐതിഹ്യം.
പ്രതിഷ്ഠാസമയത്ത്, ജടകെട്ടിയ മുടിയുള്ള ഒരു ബ്രാഹ്മണ സന്യാസി വന്ന് ശ്രീകോവിലിൽ പ്രവേശിച്ച് ഒരു നിമിഷം കൊണ്ട് വിഗ്രഹം പ്രതിഷ്ഠിച്ചു.
വിഗ്രഹം സ്ഥാപിച്ചയുടനെ തന്നെ അദ്ദേഹം അപ്രത്യക്ഷനായി.
ബ്രാഹ്മണ മുനി മഹർഷി പരശുരാമനാണെന്നാണ് ഇന്നുവരെ ആളുകൾ വിശ്വസിക്കുന്നത്.
മധുരയിൽ നിന്ന് തേജസ് പിന്തുടർന്നുവന്ന ബ്രാഹ്മണ പൂജാരി ഈ ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജാരിയായി.
മധുര ഇല്ലം എന്നാണ് അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ വസതി അറിയപ്പെടുന്നത്.
അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പിൻഗാമികൾ ഇന്നും ദേവിയെ ആരാധിക്കുന്നു.
15,000 ചതുരശ്ര മീറ്റർ വിസ്തൃതിയിലാണ് ക്ഷേത്രം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.
ക്ഷേത്രത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഗോപുരം (കവാടം) കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക് തിരിഞ്ഞിരിക്കുന്നതും കൂടാതെ ക്ഷേത്രത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഉയർന്ന മതിലുകളും മറ്റ് മൂന്ന് ഗോപുരങ്ങളും (പ്രവേശന) ഓരോ ദിശയിലേയ്ക്കുമാണ് (തെക്ക്, പടിഞ്ഞാറ്, വടക്ക്).
ക്ഷേത്രത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ, ക്ഷേത്ര കാഴ്ച ഒരു ദിവ്യ പരിവേഷം ഉണർത്തുന്നതാണ്.
പ്രധാന ഗോപുരത്തിലൂടെ ക്ഷേത്രത്തിനുള്ളിൽ പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ സ്വർണ്ണ ധ്വജവും (കൊടിമരം) തൂണുകളിൽ ഗണപതിയുടെയും ശിവന്റെയും മറ്റ് വിശുദ്ധരുടേയും ഉൾപ്പെടെ നിരവധി കൊത്തുപണികളുള്ള ശിൽപങ്ങളുള്ള ബലിക്കൽ പുരയും കാണാം.
നാലമ്പലത്തിനകത്ത് ശ്രീകോവിലിനും പ്രധാന മണ്ഡപത്തിനും ചുറ്റുമായി കൊത്തുപണികളാൽ തീർത്ത ശിലാ പാതകളുണ്ട്.
പ്രധാന ശ്രീകോവിലിൻ്റെ വലതുവശത്താണ് ശിവക്ഷേത്രം.
ഭദ്രകാളി ക്ഷേത്രം ക്ഷേത്രത്തിൻ്റെ തെക്ക് ഭാഗത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ ക്ഷേത്രം മുഴുവനും കൊത്തിയെടുത്ത കല്ലുകൾക്കൊണ്ടുള്ള പാതകൾ നീണ്ടുകിടക്കുന്നു.
ചുവർചിത്രങ്ങൾ
കുമാരനല്ലൂർ ക്ഷേത്രത്തിലെ ചുമർചിത്രങ്ങൾ അമൂല്യവും അപൂർവവുമാണ്.
ശ്രീകോവിലിൻ്റെ പുറം ഭിത്തികൾ ഹിന്ദു ദേവന്മാരുടെയും ദേവതകളുടെയും അതുപോലെ ഇതിഹാസങ്ങളായ രാമായണത്തിലെയും മഹാഭാരതത്തിലെയും സംഭവങ്ങൾ കൊണ്ട് അലങ്കരിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഈ ചുമർച്ചിത്രമെഴുത്തിന് നിറം പകരാൻ പ്രകൃതിദത്തമായ നിറങ്ങളും ഔഷധ സസ്യങ്ങളുമാണ് ഉപയോഗിച്ചത്.
കുമാരനല്ലൂർ തൃക്കാർത്തിക ഉത്സവം
വൃശ്ചികമാസത്തിൽ (നവംബർ-ഡിസംബർ) ആഘോഷിക്കുന്ന തൃക്കാർത്തികയാണ് കുമാരനല്ലൂർ ക്ഷേത്രത്തിലെ പ്രധാന ഉത്സവം.
കാർത്തിക നാളിൽ ഉദയനാപുരം, തൃശൂർ വടക്കുന്നാഥ ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ ചുറ്റമ്പലത്തിൽ നിവേദ്യം (വഴിപാട്) നടത്തുന്നത് പതിവാണ്.
ഐതിഹ്യപ്രകാരം കാർത്തിക നാളിലെ നീരാട്ടിനു ശേഷം തിരികെ വരുന്ന ദേവിയുടെ സൗന്ദര്യത്തിൽ ഈ രണ്ട് ക്ഷേത്രങ്ങളിലെയും ദേവന്മാർ അത്യധികം ആകൃഷ്ടരായി എന്നാണ് കഥ.
അവർ ക്ഷേത്രങ്ങളിൽ നിന്ന് പുറത്തിറങ്ങി, മതിലുകൾ കടന്നു അകലേയ്ക്ക് പോകുകയും വഴിയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ദേവിയുടെ വശീകരണ രൂപത്തിലേക്ക് വികാരാവേശത്തോടെ നോക്കി നിൽക്കുകയും ചെയ്തു.
ദൈവങ്ങളെ അന്വേഷിച്ച് ഓടിയ ക്ഷേത്ര പൂജാരി, ഒടുവിൽ തെക്കേ അറ്റത്തുള്ള ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ മതിലുകളിൽ അവരെ കണ്ടുമുട്ടി.
അന്നുമുതൽ, കാർത്തികയിൽ, ഈ ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ ചുവരുകളിൽ പൂജ നടത്തുന്നു.
കാർത്തിക വിളക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്ന സന്ധ്യാദീപങ്ങളുടെ പ്രദർശനം കുമാരനല്ലൂർ ക്ഷേത്രത്തിലെ ഈ ആഘോഷത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകതയാണ്.
ബാഹ്യ കണ്ണികൾ ഭൂപടം അവലംബം
ഐതിഹ്യമാല - കൊട്ടാരത്തിൽ ശങ്കുണ്ണി
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm BA, DC എന്ന നീളങ്ങളുടെ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കാൻ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
രണ്ട് നീളങ്ങളും ഒരു അടിസ്ഥാന നീളത്തിന്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗുണിതമായാണ് എടുക്കുന്നത്.
BA യിൽ നിന്ന് DC ഒരു തവണ കുറച്ചാൽ EA ലഭിക്കുന്നു.
ഇതിനുശേഷം DCയിൽ നിന്ന് EA രണ്ടു തവണ കുറയ്ക്കാം.
ബാക്കി വരുന്ന CFന്റെ മൂന്നിരട്ടിയാണ് EA.
ഇതിനു ശേഷം ശിഷ്ടമില്ലാത്തതിനാൽ CF ആണ് ഉസാഘ എന്ന് ലഭിക്കുന്നു.
വലതുഭാഗത്ത് നിക്കോമാക്കസിന്റെ ഉദാഹരണമായ 49ന്റെയും 21ന്റെയും ഉസാഘ ഈ വിധത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് കാണിക്കുന്നു (7 ആണ് ഉത്തരം).
രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (ഉസാഘ) കാര്യക്ഷമമായി കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു ഉപായമാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം അഥവാ യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം .
പ്രാചീന ഗ്രീസിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.
ക്രിസ്തുവിന് മുന്നൂറ് വർഷം മുമ്പ് എലിമെന്റ്സ് എന്ന തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തിൽ യൂക്ലിഡാണ് ആദ്യമായി ഈ രീതി വിവരിച്ചത്.
ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണത്തിന് പടിപടിയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിശ്ചിതമായ ക്രിയകളുടെ ശ്രേണിയായ അൽഗൊരിതത്തിന് ഉത്തമോദാഹരണമാണിത്.
ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെയും ഗൂഢാലേഖനവിദ്യയിലെയും മറ്റനേകം കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഈ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കുമ്പോൾ വലിയ സംഖ്യയ്ക്കു പകരം സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ചാൽ ഉസാഘയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല എന്ന തത്ത്വമാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് അടിസ്ഥാനം.
ഉദാഹരണമായി, 252, 105 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 21 ആണ് (252 = 21 × 12, 105 = 21 × 5).
252നു പകരം അതിൽ നിന്ന് 105 കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന 147 ഉപയോഗിച്ചാൽ ഉസാഘ 21 തന്നെ ലഭിക്കുന്നു (252 − 105 = 147 = 21 × 7).
ഇങ്ങനെ വരുത്തുന്ന മാറ്റം ഓരോ പടിയിലും വലിയ സംഖ്യയുടെ വില കുറയ്ക്കുന്നതിനാൽ സംഖ്യകൾ ചെറുതായി വരുകയും ഒടുവിൽ തുല്യമാവുകയും ചെയ്യും.
ആ അവസരത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ വില ഉസാഘയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.
ഇതിനു ശേഷം അൽഗൊരിതത്തെ പിന്നോട്ടോടിച്ചാൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയുടെ തുക കണ്ടാലാണ് ഉസാഘ ലഭിക്കുക എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാം.
മുകളിലെ ഉദാഹരണമെടുത്താൽ, 21 = 5 × 105 + (−2) × 252.
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയെ എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാൻ സാധിക്കും എന്നത് ബെസു അനന്യത എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
അൽഗൊരിതം മേൽ വിവരിച്ച പ്രകാരമാണ് ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ ഒരുപാടു പ്രാവശ്യം കുറയ്ക്കേണ്ടി വന്നേക്കാം.
ആദ്യത്തെ സംഖ്യ മറ്റേതിനെക്കാൾ വളരെയധികം വലുതാണെങ്കിലാണ് ഇങ്ങനെ സംഭവിക്കുക.
സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനു പകരം ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം ഉപയോഗിച്ചാൽ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു.
സംഖ്യകൾ തുല്യമാകുന്നതിനു പകരം ഒരു സംഖ്യ പൂജ്യമാകുമ്പോഴാണ് ക്രിയകൾ അവസാനിപ്പിക്കേണ്ടതെന്നു മാത്രം.
ചെറിയ സംഖ്യയിൽ ( ദശാംശ സമ്പ്രദായത്തിൽ ) എത്ര അക്കങ്ങളുണ്ടോ അതിന്റെ അഞ്ചു മടങ്ങിൽ കുറവ് ക്രിയകൾ മാത്രമേ കാര്യക്ഷമമായ അൽഗൊരിതത്തിൽ വേണ്ടിവരൂ എന്ന് 1844-ൽ ഗബ്രിയേൽ ലാമേ തെളിയിച്ചു.
ഇതാണ് അൽഗൊരിതങ്ങളുടെ ഗണനപരമായ സങ്കീർണ്ണതാസിദ്ധാന്തത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചത്.
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത വർദ്ധിപ്പിക്കാനുള്ള കൂടുതൽ വഴികൾ ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് സൈദ്ധാന്തികമായും പ്രായോഗികമായും വളരെയധികം പ്രയോജനങ്ങളുണ്ട്.
ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും മോഡ്യുലാർ അങ്കഗണിതത്തിൽ ഹരണം നടത്താനും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.
ഇന്റർനെറ്റിൽ ആശയവിനിമയം നടത്താനുപയോഗിക്കുന്ന ഗൂഢാലേഖനവിദ്യയുടെ (ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫി) അടിസ്ഥാനം യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമാാണ്, ഈ ഗൂഢാലേഖനവിദ്യകളെ തകർക്കാൻ വേണ്ടി വലിയ സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും ഈ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കുക, ചൈനീസ് ശിഷ്ട പ്രമേയമുപയോഗിച്ച് സർവ്വസമതകളുടെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് നിർദ്ധാരണം കാണുക, സതതഭിന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുക, അഭിന്നകങ്ങളെ ഭിന്നസംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് ഏകദേശനം ചെയ്യുക എന്നതിനെല്ലാം സഹായിക്കുന്നതിനു പുറമെ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രമേയങ്ങൾ തെളിയിക്കാനും ഈ അൽഗൊരിതം സഹായിക്കുന്നു.
ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ നാല് വർഗ്ഗ പ്രമേയം , അഭാജ്യ ഘടകക്രിയയുടെ അനന്യത എന്നിവ ഇങ്ങനെ തെളിയിക്കാവുന്നവയാണ്.
ആദിമ അൽഗൊരിതം സംഖ്യകൾക്കും നീളങ്ങൾക്കും വേണ്ടി മാത്രമുള്ളതായിരുന്നെങ്കിലും പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗോസിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ , ഒരു ചരത്തിലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ മുതലായവയ്ക്കും ഉപയോഗിക്കാവുന്ന രീതിയിൽ സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു.
അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലെ ആധുനിക വിഭാവനമായ യൂക്ലിഡിയൻ മണ്ഡലം ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.
പശ്ചാത്തലം: ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം
a , b എന്ന രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (ഉസാഘ) കണ്ടുപിടിക്കാനാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
g ഇവയുടെ ഉസാഘയാണെങ്കിൽ a , b എന്നിവയെ g കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം വരാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയായിരിക്കുമത്.
ഇംഗ്ലീഷിലെ പല പേരുകളിലൊന്ന് greatest common divisor എന്നായതിനാൽ gcd( a , b ) എന്നാണ് സാധാരണയായി ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
( a , b ) എന്ന് കൂടുതൽ ലളിതമായി എഴുതാമെങ്കിലും വലയസിദ്ധാന്തത്തിൽ ഗുണജത്തെ (ideal) സൂചിപ്പിക്കാനും ഈ പ്രതീകമുപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാകാം.
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 1 ആണെങ്കിൽ അവയെ സഹ-അഭാജ്യം (coprime) എന്ന് പറയുന്നു.
എന്നാൽ ഇതുകൊണ്ടുമാത്രം സംഖ്യകൾ അഭാജ്യമാണെന്നു വരുന്നില്ല.
ഉദാഹരണമായി 6, 35 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളും അഭാജ്യമല്ല: 6 = 2 × 3, 35 = 5 × 7.
എങ്കിലും അവ രണ്ടിനെയും ശിഷ്ടം വരാതെ ഹരിക്കാനാകുന്ന ഒരേയൊരു എണ്ണൽ സംഖ്യ 1 ആയതിനാൽ അവ സഹ-അഭാജ്യമാണ്.
24×60 ചതുരത്തെ 12×12 വലിപ്പമുള്ള പത്ത് സമചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കാം.
ഇവിടെ 24, 60 എന്നിവയുടെ ഉസാഘയാണ് 12.
സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, a × b വലിപ്പമുള്ള ചതുരത്തെ c × c സമചതുരങ്ങളാക്കി മുറിക്കാൻ സാധിക്കുക c രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും ഭാജകമാവുമ്പോഴാണ്.
g = gcd( a , b ) എന്ന് കരുതുക.
a , b എന്നിവ g യുടെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ a = mg എന്നും b = ng എന്നും എഴുതാം.
ഉസാഘയായതിനാൽ G g ആയ ഒരു സംഖ്യയെയും ഇപ്രകാരം എഴുതാൻ സാധിക്കുകയുമില്ല.
m , n എന്ന സംഖ്യകൾ സഹ-അഭാജ്യമായിരിക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ അവയെ അവയുടെ ഉസാഘ കൊണ്ട് ഗരിച്ച് g യെ ഗുണിക്കുക വഴി g യുടെ വില വർദ്ധിപ്പിക്കാമെന്നു വരും.
അതിനാൽ a , b എന്നിവയുടെ രണ്ടിന്റെയും ഭാജകമായ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ c ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് g യുടെ കൂടി ഭാജകമായിരിക്കണം എന്ന് കാണാം.
അതായത്, a , b എന്നിവയുടെ എല്ലാ ഭാജകങ്ങളുടെയും ഗുണിതമായ ഒരേയൊരു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യ എന്ന രീതിയിലും ഉസാഘയെ നിർവചിക്കാം.
ഉസാഘയെ ഈ വിധത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം.
a × b വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരമെടുക്കുക, രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ഭാജകമായ ഒരു c ഉണ്ടെന്നും കരുതുക.
എങ്കിൽ വശങ്ങളെ രണ്ടിനെയും c നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കാൻ സാധിക്കും, അതുവഴി ചതുരത്തെ c × c വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളായും ഭാഗിക്കാം.
ഇങ്ങനത്തെ ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമാണ് a , b എന്നിവയുടെ ഉസാഘ.
ഉദാഹരണമായി, നീളം 60ഉം വീതി 24ഉം ഉള്ള ചതുരത്തെ 1×1, 2×2, 3×3, 4×4, 6×6  അഥവാ 12×12 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളായി ഭാഗിക്കാം.
അതിനാൽ 24, 60 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 12 ആണ്.
24×60 ചതുരത്തെ 12×12 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളാക്കിയാൽ വീതിയുടെ ഭാഗത്ത് രണ്ടും (24/12 = 2) നീളത്തിന്റെ ഭാഗത്ത് അഞ്ചും (60/12 = 5) സമചതുരങ്ങളാണുണ്ടാവുക.
രണ്ട് സംഘ്യകളുടെയും അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ് അവയുടെ ഉസാഘ.
ഇതിൽ ഒരേ അഭാജ്യഘടകം ഒന്നിലേറെ തവണ ഉപയോഗിക്കാം, എന്നാൽ അവയുടെ ഗുണനഫലം രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും ഭാജകമായി തുടരുന്നതുവരെ മാത്രമേ ഇങ്ങനെ ചെയ്യാവൂ.
ഉദാഹണമായി, 1836 നെ 2 × 3 × 3 × 7 × 11 എന്നും 3213 നെ 3 × 3 × 3 × 7 × 17 എന്നും അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി ഘടകക്രിയ ചെയ്യാം.
അവയുടെ ഉസാഘ പൊതുവായ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായ 63 = 3 × 3 × 7 ആണ്.
രണ്ട് സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായി അഭാജ്യഘടകങ്ങളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഉസാഘ 1 ആയിരിക്കും (ശൂന്യഗണത്തിന്റെ ഗുണനഫലം), ആയതിനാൽ അവ സഹ-അഭാജ്യമായിരിക്കും.
ഘടകക്രിയ ചെയ്യാതെ തന്നെ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കാമെന്നതാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഒരു പ്രധാനമായ മെച്ചം.
വലിയ സംഖ്യകളെ ഘടകക്രിയ ചെയ്യുന്നത് ഗണനപരമായ സങ്കീർണ്ണതയേറിയ പ്രശ്നമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ചില ഗൂഢാലേഖനവിദ്യകളുടെ സ്ഥൈര്യത്തിന് അടിസ്ഥാനം തന്നെ ഈ സങ്കീർണ്ണതയാണ്.
വലയസിദ്ധാന്തം പോലുള്ള ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖകളിൽ ഉപയോഗം വരുന്ന മറ്റൊരു വിധത്തിലും ഉസാഘയെ നിർവചിക്കാം: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾകൊണ്ടുള്ള രേഖീയസഞ്ചയങ്ങളിൽ (linear combinations) വച്ച് ഏറ്റവും ചെറിയ ധനസംഖ്യയാണ് ഉസാഘ.
അതായത്, u , v എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായുള്ള ua + vb എന്ന തരത്തിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറീയ ധനസംഖ്യ.
a , b എന്നിവയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കൊണ്ടുള്ള രേഖീയസഞ്ചയങ്ങളുടെ ഗണം g യുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ( mg , ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്) ഗണം തന്നെയാണ്.
ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ, a , b എന്നിവ ജനകങ്ങളായുള്ള ഗുണജം g മാത്രം ജനകമായുള്ള ഗുണജത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഒറ്റ അംഗം ജനകമായുള്ള ഗുണജത്തെ പ്രിൻസിപൽ ഗുണജം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണജങ്ങളെല്ലാം തന്നെ പ്രിൻസിപൽ ആണ്.
ഉസാഘയുടെ ചില ഗുണധർമ്മങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ ഈ നിർവചനമാണ് കൂടുതൽ സഹായകമാവുക.
ഉദാഹരണമായി, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഭാജകങ്ങളെല്ലാം അവയുടെ ഉസാഘയുടെ ഭാജകമായിരിക്കണമെന്നത് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിരീക്ഷിക്കാം.
ഈ നിർവചനങ്ങളുടെയെല്ലാം തുല്യത താഴെ തെളിയിക്കുന്നുണ്ട്.
മൂന്നോ അധികമോ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ അവയുടെ പൊതുവായ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.
സംഖ്യകളെ ഈരണ്ടെണ്ണമായെടുത്ത് ഉസാഘ കണ്ടാലും മതി..
ഉദാഹരണമായി, gcd( a , b , c ) = gcd( a , gcd( b , c )) = gcd(gcd( a , b ), c ) = gcd(gcd( a , c ), b ).
അതിനാൽ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കാനുതകുന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം രണ്ടിൽ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾക്കു വേണ്ടിയും ഉപയോഗിക്കാം.
വിവരണം നടപടിക്രമം
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിൽ ഒരേ ക്രിയ തന്നെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ അവസാനം വരെ കറേ തവണ ആവർത്തിക്കുന്നു.
ഓരോ ക്രിയയുടെയും ഫലം അടുത്ത പടിയിൽ ഉപയോഗിക്കും.
ഇതുവരെ ചെയ്ത ക്രിയകളുടെ എണ്ണം k ആണെന്നെടുക്കുക.
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ k = 0 ആയിരിക്കും, അടുത്ത പടിയിൽ k = 1 അങ്ങനെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്നു.
ഓരോ ക്രിയയുടെയും ഇൻപുട്ട് r k − 1 , r k − 2 എന്ന രണ്ട് ശിഷ്ടങ്ങളാണ്, ഇവ രണ്ടും ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും.
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഓരോ പടിയിലും ശിഷ്ടങ്ങൾ കുറഞ്ഞുവരുന്നതിനാൾ r k − 1 അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ r k − 2 നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമായി q k എന്ന ഹരണഫലവും r k എന്ന ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് k ആമത്തെ പടിയുടെ ലക്ഷ്യം.
r k − 2 = q k r k − 1 + r k {\displaystyle r_{k-2}=q_{k}r_{k-1}+r_{k}}
ഈ നിർദ്ധാരണത്തിൽ r k r k − 1 ആയിരിക്കുകയും വേണം.
മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫലം r k − 1 ൽ കുറവാകുന്നതു വരെ r k − 2 ൽ നിന്ന് r k − 1 കുറയ്ക്കുന്നു.
ഇതിന്റെ അവസാനം കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ് r k .
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ( k = 0) ശിഷ്ടങ്ങളായ r −2 , r −1 എന്നിവ ഉസാഘ കാണേണ്ട സംഖ്യകളായ a , b എന്നിവയായിരിക്കും.
അടുത്ത പടിയിൽ ( k = 1) b യും മുൻപത്തെ പടിയിലെ ഫലമായ r 0 യുമാണ് ശിഷ്ടങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കുക.
ഇങ്ങനെ നമുക്ക് അൽഗൊരിതത്തെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതാം a = q 0 b + r 0 b = q 1 r 0 + r 1 r 0 = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}a =q_{0}b+r_{0}\\b =q_{1}r_{0}+r_{1}\\r_{0} =q_{2}r_{1}+r_{2}\\r_{1} =q_{3}r_{2}+r_{3}\\ \,\,\,\vdots \end{aligned}}}
a തുടക്കത്തിൽ b യെക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ പടി അവയെ പരസ്പരം വച്ചുമാറ്റുക മാത്രമേ ചെയ്യൂ.
ഈ ക്രിയയുടെ ഫലങ്ങളായ ഹരണഫലം q 0 പൂജ്യവും ശിഷ്ടം r 0 a യും ആയതിനാലാണിത്.
അതിനാൽ k ≥ 0 ആകുമ്പോഴൊക്കെ ശിഷ്ടം r k അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ r k −1 നെക്കാൾ ചെറുതാണെന്നു വരുന്നു.
ശിഷ്ടങ്ങൾ ഓരോ പടിയിലും ചെറുതാവും, എന്നാൽ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ കുറവാവുകയുമില്ല എന്നതിനാൽ ഒടുവിൽ ശിഷ്ടം r N പൂജ്യമാവുന്ന അവസ്ഥയുണ്ടാവണം.
അതോടെ അൽഗൊരിതം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു.
പൂജ്യത്തിനു തൊട്ടുമുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടമായ r N −1 ആണ് a , b എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ.
തുടക്കത്തിലെ ശിഷ്ടമായ r 0 നും r N നും ഇടയിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ N ഒരിക്കലും അനന്തമാവുകയില്ല.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ശരിയായി ഉസാഘ കണ്ടുപിടിക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് രണ്ടു പടിയായാണ്.
പൂജ്യത്തിനു മുമ്പായി കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമായ r N −1 ഉസാഘ കാണേണ്ട a , b എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഭാജകമാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് ആദ്യത്തെ പടി.
പൊതു ഭാജകമായതിനാൽ അത് ഉസാഘയായ g യെക്കാൾ വലുതായിരിക്കില്ല എന്ന് വരുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ പടിയിൽ a , b എന്ന സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായുള്ള ഉസാഘയുൾപ്പെടെയുള്ള ഏത് ഭാജകവും r N −1 ന്റെയും ഭാജകമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.
അതിനാൽ ഉസാഘ ഈ സംഖ്യയെക്കാൾ ചെറുതോ അതിന് തുല്യമോ ആയിരിക്കണം.
ഈ രണ്ട് പ്രസ്താവനകളും പരസ്പരവിരുദ്ധമാവാതിരിക്കാനുള്ള ഒരേയൊരു വഴി r N −1 = g ആവുകയാണ്.
ആദ്യ പടിയായി a , b എന്നിവയുടെ ഭാജകമാണ് r N −1 എന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം.
ആദ്യമായി, r N −1 അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ r N −2 ന്റെ ഭാജകമാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക r N −2 = q N r N −1
അവസാനത്തെ ശിഷ്ടമായ r N പൂജ്യമായതിനാലാണിത്.
ഇതിനു മുമ്പത്തെ പടിയിലെ സമവാക്യമെടുത്താൽ r N −3 = q N −1 r N −2 + r N −1
വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളും r N −1 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ r N −1 അതിന്റെ അടുത്ത മുൻഗാമിയായ r N −3 ന്റെയും ഭാജകമാണെന്നു കാണാം.
ഈ വിധത്തിൽ തുടരുകയാണെങ്കിൽ r N −1 അതിനു മുമ്പുള്ള എല്ലാ ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും ഭാജകമാണെന്നു വരുന്നു, ഈ ശിഷ്ടങ്ങളിൽ a , b എന്നിവയും പെടുന്നു എന്നത് പ്രധാനമാണ്.
r N −1 നു മുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടങ്ങളായ r N −2 , r N −3 മുതലായവയൊന്നും തന്നെ ശിഷ്ടം വരുന്നതിനാൽ a യുടെയോ b യുടെയോ ഭാജകങ്ങളാവില്ല.
r N −1 എന്നത് a , b എന്നിവയുടെ പൊതു ഭാജകമായതിനാൽ r N −1 ≤ g .
a , b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഭാജകമായ ഏത് c യും അൽഗൊരിതത്തിലെ എല്ലാ ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും ഭാജകമായിരിക്കും എന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് അടുത്ത പടി.
നിർവചനമനുസരിച്ച് a യെയും b യെയും c യുടെ ഗുണിതങ്ങളായി എഴുതാം: a = mc , b = nc .
ഇവിടെ m , n എന്നിവ എണ്ണൽ സംഖ്യകളാണ്.
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ പടിയെടുത്താൽ r 0 = a − q 0 b = mc − q 0 nc = ( m − q 0 n ) c
അതായത്, c ആദ്യത്തെ പടിയിലെ ശിഷ്ടമായ r 0 യുടെ ഭാജകമാണ്.
ഇതേ വാദമുപയോഗിച്ചാൽ c ഇതെത്തുടർന്നു വരുന്ന പടികളിലെ ശിഷ്ടങ്ങളായ r 1 , r 2 മുതലായവയുടെയും ഭാജകമാണെന്ന് കാണാം.
അതായത്, r N −1 ന്റെ ഭാജകമാണ് ഉസാഘയായ g എന്നും, അതിനാൽത്തന്നെ g ≤ r N −1 എന്നും വരുന്നു.
ഇതിന്റെ വിപരീതം ( r N −1 ≤ g ) നേരത്തെ തെളിയിച്ചിട്ടുള്ളതിനാൽ g = r N −1 എന്ന് ലഭിക്കുന്നു.
അതായത്, ഇതിനു മുമ്പുള്ള എല്ലാ ജോടികളുടെയും ഉസാഘ g തന്നെയാണ്: g = gcd( a , b ) = gcd( b , r 0 ) = gcd( r 0 , r 1 ) = … = gcd( r N −2 , r N −1 ) = r N −1 .
ഉദാഹരണം വ്യവകലനം ഉപയോഗിക്കുന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ആനിമേഷൻ.
തുടക്കത്തിൽ ചതുരത്തിന്റെ നീളം a = 1071 ഉം വീതി b = 462 ഉം ആണ്.
462 × 462 സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് ചതുരം നിറയ്ക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ 462 × 147 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ചതുരം ബാക്കിയാകും.
ഈ ചതുരത്തെ അടുത്ത പടിയിൽ 147 × 147 സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് നിറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, 21 × 147 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ചതുരങ്ങളാണ് ബാക്കിയാവുക.
തുടർന്ന് ഇതിനെ 21 × 21 സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് നിറച്ചാൽ ശിഷ്ടമുണ്ടാവില്ലെന്ന് കാണാം.
ഏറ്റവും ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശമായ 21 ആണ് തുടക്കത്തിലെ സംഖ്യകളായ 1071, 462 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് a = 1071, b = 462 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ കാണേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക.
ശിഷ്ടം 462-ൽ കുറവാകുന്നതുവരെ 462-ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ 1071-ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയാണ് ആദ്യ പടി.
രണ്ടുതവണയേ ( q 0 = 2) ഇങ്ങനെ കുറയ്ക്കാൻ പറ്റുകയുള്ളൂ, അതോടെ 147 ശിഷ്ടമായി ലഭിക്കും: 1071 = 2 × 462 + 147.
ഇതിനു ശേഷം ശിഷ്ടമായ 147-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളെ 462-ൽ നിന്ന് ആവുന്നത്ര തവണ കുറയ്ക്കും.
മൂന്നു തവണ കുറച്ചാൽ ( q 1 = 3) ശിഷ്ടം 147ലും കുറവായി 21 ആവും: 462 = 3 × 147 + 21.
അടുത്ത പടിയിൽ 21-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളെ 147ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു.
ഏഴ് തവണ ( q 2 = 7) കുറച്ചാൽ ഒന്നും ബാക്കി വരാതെ സംഖ്യ പൂജ്യമാവും: 147 = 7 × 21 + 0.
അവസാനത്തെ ശിഷ്ടം പൂജ്യമായതിനാൽ 1071,462 എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയായി 21 (മുമ്പത്തെ പടിയിലെ ശിഷ്ടം) കണ്ടുപിടിച്ച് അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കുന്നു.
1071 = 3^2 × 7 × 17, 462 = 2 × 3 × 7 × 11 എന്നിങ്ങനെ സംഖ്യകളുടെ ഘടകക്രിയ ചെയ്താൽ ഈ ഉത്തരം ശരിയാണെന്നു കാണാം.
അൽഗഗൊരിതത്തിലെ പടികൾ ഇവിടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു പടി k സമവാക്യം ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും 0 1071 = q 0 462 + r 0 q 0 = 2 , r 0 = 147 1 462 = q 1 147 + r 1 q 1 = 3 , r 1 = 21 2 147 = q 2 21 + r 2 q 2 = 7 , r 2 = 0 ; അൽഗൊരിതം അവസാനിച്ചു ചിത്രീകരണം
മേലെ ഉസാഘയെ ജ്യാമിതീയമായ വ്യാഖ്യാനിച്ച രീതിയിൽ അൽഗൊരിതത്തിലെ ക്രിയകളെയും ചിത്രീകരിക്കാം.
a × b വിസ്തീർണ്ണമുള്ള (ഇവിടെ a , b യെക്കാൾ വലുതാണ്) ഒരു ചതുരത്തെ സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് നിറയ്ക്കണമെന്ന് കരുതുക.
ആദ്യം നമുക്ക് ചതുരത്തെ b × b സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് മൂടാൻ ശ്രമിക്കാം.
പക്ഷെ ആവുന്നത്ര സമചതുരങ്ങൾ ചേർത്തുകഴിഞ്ഞാൽ ഒരു r 0 × b ചതുരം ബാക്കിയാവും.
ഇതിനെ പിന്നീട് r 0 × r 0 സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് മൂടാൻ ശ്രമിക്കാം.
ഇതിന്റെ അവസാനം ഒരു r 1 × r 0 ചതുരം ബാക്കിയാവുകയും അതിനെ അടുത്ത പടിയിൽ r 1 × r 1 സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് മൂടാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യാം.
ഒരു പടിയിൽ ചതുരത്തെ സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി മൂടാൻ സാധിക്കുകമ്പോഴാണ് ഈ ക്രിയാശ്രേണി അവസാനിക്കുന്നത്.
ഒടുവിൽ ചേർത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമാണ് ആദ്യത്തെ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ ഉസാഘ.
ഉദാഹരണമായി, ആനിമേഷനിലെ തുടക്കത്തിലെ പച്ച ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം 1071, 462 ആണ്, ഇവയുടെ ഉസാഘയായ 21 ആണ് ഏറ്റവും ചെറിയ ചുവന്ന സമചതുരമത്തിന്റെ വശം.
യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം
k ആമത്തെ പടിയിൽ r k −1 , r k −2 എന്നീ സംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് ഹരണഫലമായ q k യും ശിഷ്ടമായ r k യും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ചെയ്യേണ്ടത്.
r k −2 = q k r k −1 + r k
ഇവിടെ r k യുടെ കേവലവില r k −1 ന്റേതിനെക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം.