smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
കർണാടകയിൽ 6,937 ചതുരശ്ര കിലോമീറ്ററും ആന്ധ്രാപ്രദേശിൽ 48,276 km 2 ഡ്രെയിനേജ് ബേസിൻ ഉൾപ്പെടുന്നു.
കിഴക്കൻ ഘട്ടിലെ മഴ ഷാഡോ മേഖലയിൽ നദീതീരത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
ഓരോ വർഷവും 500 മില്ലീമീറ്റർ ശരാശരി മഴ ലഭിക്കുന്നു.
തടാകത്തിന്റെ മുകൾഭാഗം, ഉഷ്ണമേഖലാ വനങ്ങൾ , മുള്ളു കാടുകൾ, സെറിക് ഷുബ്ബ് ലാൻഡ്സ് എന്നിവ കൊണ്ട് മൂടിയിരിക്കുന്നു.
ടിമ്പറും, ഫയർവുഡും മുറിച്ചുമാറ്റുന്നതിലൂടെയും  കാർഷിക ഭൂമിയാക്കുന്നതിലൂടെയും മുള്ളു കാടുകൾ ഭൂരിഭാഗവും ഇപ്പോൾ അപ്രത്യക്ഷമായിരിക്കുന്നു.
ഡെക്കാന്റെ അവശേഷിക്കുന്ന വനത്തിൽ വലിയ തോതിൽ , ശൈത്യകാലത്തും വസന്തകാലത്തും ഇല പൊഴിക്കുന്ന വനങ്ങൾ കാണപ്പെടുന്നു.
തീരദേശ ആന്ധ്രയിലെ കിഴക്കൻ ഡെക്കാൺ വരണ്ട നിത്യഹരിത വനമായിരുന്നു .
എന്നാൽ, ഈ വനമേഖല ചെറിയ അളവിൽ മാത്രം ഇപ്പോൾ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.
The Penna river near the Gandikota fort in Kadapa District of Andhra Pradesh ഇതും കാണുക Krishna Water Disputes Tribunal Palar River Tungabhadra Dam അവലംബങ്ങൾ ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ Penna River എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
Penna River എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
14°35′N 80°10′E ﻿ / ﻿ 14.583°N 80.167°E ﻿ / 14.583; 80.167
ഗ്രൂപ്പ് ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Group_(Mathematics) റൂബിക്സ് ക്യൂബിന്റെ സാധ്യമായ പുനർവിന്യാസങ്ങൾ, റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്നു.
ഒരു ഗണവും ആ ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളെയും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അതേ ഗണത്തിലെ ഒരംഗത്തിനെത്തന്നെ തരുന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടനയെയാണ് ഗണിതത്തിൽ ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.
ഈ വിധത്തിൽ ഒരു ഗണവും സംക്രിയയും ചേർന്ന ജോഡി ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആകണമെങ്കിൽ, ഇവ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എന്ന പേരുള്ള നാല് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
സംവൃതിനിയമം , സാഹചര്യനിയമം , തൽസമകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം , വിപരീതത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എന്നിവയാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ.
പലതരം സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകളുൾപ്പെടെ ,  ഗണിതത്തിലെ സുപരിചിതങ്ങളായ പല വ്യൂഹങ്ങളും ഈ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണവും സുപരിചിതമായ സങ്കലനം എന്ന സംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടന ഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്.
ഒരു പ്രത്യേക ഗണിതവ്യൂഹത്തെ മനസ്സിൽ കാണാതെ അമൂർത്തമായ രീതിയിൽ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ ബീജഗണിതത്തിലെയും ഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ശാഖകളിലെയും നന്നേ വ്യത്യസ്തങ്ങളായ പലതരം ഗണിതരൂപങ്ങളെ അവയുടെ പ്രധാന ഘടനാഗുണങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുത്താതെതന്നെ ഒരേപോലെ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കുന്നു.
ഗണിതത്തിലും വിവിധ ശാസ്ത്രവിഷയങ്ങളിലും ഗ്രൂപ്പുകൾ പലയിടത്തും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിനാൽ ആധുനിക ഗണിതത്തിലെ കേന്ദ്ര ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഗ്രൂപ്പുകൾ.
സമമിതി എന്ന ആശയവുമായി ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധമുണ്ട്.
ഒരു ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ സമമിതികളെ അതിന്റെ സമമിതിഗ്രൂപ്പുപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാൻ സാധിക്കും : ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളും സംക്രിയ രണ്ട് രൂപാന്തരണങ്ങളെ ഒന്നിനുപിന്നാലെ ഒന്നായി പ്രയോഗിക്കലുമാണ്.
സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളായ ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് കണികാഭൗതികത്തിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മോഡലിൽ ഉപയോഗമുണ്ട്.
രസതന്ത്രത്തിൽ തന്മാത്രകളുടെ സമമിതി വിവരിക്കാൻ പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകൾ സഹായിക്കുന്നു.
സാമാന്യ ആപേക്ഷികതയുടെ അടിസ്ഥാനപരമായ സമമിതി വിശദീകരിക്കുന്നത് പോങ്കാരെ ഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപയോഗിച്ചാണ്.
ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്.
1830-കളിൽ ഇവാരിസ്റ്റെ ഗാൽവ ആണ് ഇതിന് തുടക്കം കുറിച്ചത്.
ജ്യാമിതി, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നിവയുൾപ്പെടെയുള്ള മറ്റ് ഗണിതശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള സംഭാവനകളോടെ വികസിച്ച ആശയം 1870 ആയപ്പോഴേക്ക് പൂർണ്ണത നേടി.
ഗ്രൂപ്പുകളെ അമൂർത്തമായ രിതിയിൽ പഠിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഇന്ന് ഗണിതത്തിൽ കാര്യമായി ഗവേഷണം നടക്കുന്ന ശാഖയാണ്.
ഗ്രൂപ്പുകളെ സമഗ്രമായി പഠിക്കുന്നതിൽ സഹായിക്കാനായി ഗണിതജ്ഞർ അവയെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ , ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ , ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ എന്നിങ്ങനെ ചെറിയ കഷണങ്ങളാക്കി ഭാഗിക്കാനുള്ള രീതികളും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്.
അമൂർത്തമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾക്കുപുറമെ പ്രത്യേക ഗ്രൂപ്പുകളെ മൂർത്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നതിന്റെ വിവിധ രീതികളെക്കുറിച്ച് പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം , കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്നീ വിഷയങ്ങളിലും ഗവേഷണങ്ങൾ നടക്കുന്നു.
പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെ സംബന്ധിച്ച് പ്രത്യേകിച്ചും വളരെയധികം ഗവേഷണങ്ങൾ നടന്നിട്ടുള്ളതാണ്.
ഇത് 1983-ൽ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു.
ഇതിനുശേഷം 1980-കളുടെ മധ്യം മുതൽ ജ്യാമിതീയ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ വളരെ സക്രിയമായ ഒരു ശാഖയായിമാറിയിട്ടുണ്ട്.
ഉദാഹരണങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം : പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
ഏറ്റവും പരിചിതമായ ഗ്രൂപ്പുകളിലൊന്നാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണമായ Z , ദ്വയാങ്കസംക്രിയയായ സങ്കലനം എന്നിവ ചേർന്ന ഗ്രൂപ്പ്.
, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
ആണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ താഴെപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ അമൂർത്തമായ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങളുമായി ഒത്തുപോകുന്നു: a , b എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ അവയുടെ തുകയായ a + b യും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കും.
ഈ സ്വഭാവത്തെ സംവൃതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു a , b , c എന്ന ഏത് മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ആയിരിക്കും.
അതായത്, a യും b യും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ c യോടു കൂട്ടിയാലും, a യെ b യും c യും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാലും കിട്ടുന്ന ഫലം തുല്യമായിരിക്കും.
ഇതിനെ സാഹചര്യനിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിലും 0 + a = a + 0 = a .
അതായത് പൂജ്യത്തോട് ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യ കൂട്ടിയാലും ആ സംഖ്യ തന്നെ ലഭിക്കും.
അതിനാൽ പൂജ്യത്തെ സങ്കലനത്തിന്റെ തൽസമകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ a + b = b + a = 0 ആകുന്ന തരത്തിൽ b എന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കും.
b യെ a യുടെ സങ്കലനവിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുകയും − a എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണവും സങ്കലനസംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടന മറ്റനേകം ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുമായി ഘടനയിലും സ്വഭാവത്തിലും ഏറെ സാമ്യം പുലർത്തുന്നു.
ഈ ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെയെല്ലാം സ്വഭാവങ്ങളെ ഒരുമിച്ച് വിശദീകരിക്കാനാണ് ഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന അമൂർത്തമായ ആശയം വികസിപ്പിച്ചെടുക്കുന്നത്.
ഈ ആവശ്യത്തിലേക്കായി ഗ്രൂപ്പുകളെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം: ഗ്രൂപ്പ് : നിർവചനം
G എന്ന ഗണവും ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളെയും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അതേ ഗണത്തിലെ ഒരംഗത്തിനെത്തന്നെ തരുന്ന • എന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും (ഇതിനെ G യുടെ ഗ്രൂപ്പ് നിയമം എന്നും വിളിക്കുന്നു) ചേർന്ന ( G , •) എന്ന ക്രമജോഡിയാണ് ഗ്രൂപ്പ്.
ഗണത്തിലെ a , b എന്ന അംഗങ്ങളുടെമേൽ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ഫലത്തെ a • b അഥവാ ab എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
( G , •) എന്ന ക്രമജോഡി ഒരു ഗ്രൂപ്പാകണമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന നാല് വ്യവസ്ഥകളനുസരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: സംവൃതിനിയമം a , b എന്നിവ G യിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ a • b യും G യിലെ അംഗമായിരിക്കണം.
സാഹചര്യനിയമം a , b , c എന്നിവ G യിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ ( a • b ) • c = a • ( b • c ) ആയിരിക്കണം.
തൽസമകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം a എന്നത് G യിലെ  ഏതൊരംഗമാണെങ്കിലും
e • a = a • e = a എന്ന സമവാക്യം ശരിയായി വരുന്ന തരത്തിലുള്ള e എന്ന ഒരംഗം G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം.
ഇത്തരം ഒരംഗമേ ഗ്രൂപ്പിലുണ്ടാകൂ എന്ന് തെളിയിക്കാനാകും , e യെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു വിപരീതത്തിന്റെ അസ്തിത്വം G യിലെ അംഗമായ ഓരോ a യ്ക്കും, a • b = b • a = e എന്ന സമവാക്യം ശരിയായി വരുന്ന തരത്തിൽ b എന്ന അംഗം G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം.
b യെ a യുടെ വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു
a , b എന്നീ അംഗങ്ങളുടെമേൽ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പ്രയോഗിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ഫലം ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കാം.
a • b = b • a എന്ന സമവാക്യം എല്ലായ്പോഴും ശരിയായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല.
സങ്കലനം ക്രമനിയമമനുസരിക്കുന്നതിനാൽ ഈ സമവാക്യം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയായിരിക്കും, എന്നാൽ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ അങ്ങനെയല്ല.
a • b = b • a എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഗുണനരീതിയിൽ എഴുതുന്ന (അതായത്, ദ്വയാങ്കസംക്രിയയെ • അഥവാ * കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകളുടെ തൽസമകത്തെ 1 അഥവാ 1 G എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്.
ഗുണനത്തിലെ തൽസമകം 1 ആയതിനാലാണിത്.
ഗ്രൂപ്പുകളെ സങ്കലനരിതിയിൽ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ (അതായത്, സംക്രിയയെ + കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ) തൽസമകത്തെ 0 എന്നും സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്.
id എന്നതും തൽസമകത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നമാണ്.
ഗണവും സംക്രിയയും ചേർന്ന ക്രമജോഡിയായ ( G , •) ആണ് ഗ്രൂപ്പെങ്കിലും പലപ്പോഴും ഗ്രൂപ്പിലെ ഗണത്തിന്റെ ചിഹ്നമായ G ഗ്രൂപ്പിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ചുരുക്കരൂപമായി ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
G എന്നത് ഗ്രൂപ്പിനെയാണോ അതോ ഗണത്തെയാണോ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എന്ന് സന്ദർഭത്തിൽ നിന്നും മനസ്സിലാക്കിയെടുക്കാൻ സാധിക്കും.
ഉദാഹരണമായി, G യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് H എന്ന് പറയുമ്പോൾ ( G , •) യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് ( H , •) എന്നാണ് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്.
രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം : ഒരു സമമിതിഗ്രൂപ്പ്
പരിക്രമണം , പ്രതിഫലനം എന്നിവ വഴി ഒരു ദ്വിമാനരൂപത്തെ മറ്റൊന്നാക്കി മാറ്റാൻ സാധിക്കുമെങ്കിൽ ആ ദ്വിമാനരൂപങ്ങൾ സർവ്വസമമാണെന്ന് പറയുന്നു.
ഏതൊരു ദ്വിമാനരൂപവും അതിനോടുതന്നെ സർവ്വസമമാണ്.
എന്നാൽ ചില രൂപങ്ങൾ തങ്ങളോട് ഒന്നിലേറെ രീതികളിൽ സർവ്വസമമായി വരുന്നു, ഈ സർവ്വസമതകളെ ദ്വിമാനരൂപത്തിന്റെ സമമിതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു സമചതുരത്തിന് എട്ട് സമമിതികളാണുള്ളത്: id (തൽസമകം) r 1 (ഘടികാരദിശയിൽ 90° പരിക്രമണം) r 2 (ഘടികാരദിശയിൽ 180° പരിക്രമണം) r 3 (ഘടികാരദിശയിൽ 270° പരിക്രമണം) f v (ലംബപ്രതിഫലനം) f h (തിരശ്ചീനപ്രതിഫലനം) f d (വികർണ്ണപ്രതിഫലനം) f c (വിപരീതവികർണ്ണപ്രതിഫലനം) സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതി ഗ്രൂപ്പായ (D 4 ) ലെ അംഗങ്ങൾ.
ശീർഷങ്ങൾക്ക് നിറങ്ങളും സംഖ്യകളും നൽകിയിരിക്കുന്നത് തിരിച്ചറിയാൻ വേണ്ടിയാണ് തൽസമകം :  സമചതുരത്തെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുക.
id എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു പരിക്രമണം : സമചതുരത്തെ അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റും ഘടികാരദിശയിൽ 90°, 180°, 270° പരിക്രമണം ചെയ്യുക.
യഥാക്രമം r 1 , r 2 , r 3 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം പ്രതിഫലനം : സമചതുരത്തെ തിരശ്ചീനമായുള്ള മധ്യരേഖ, ലംബമായുള്ള മധ്യരേഖ, വിപരീതവികർണ്ണം, വികർണ്ണം എന്നിവയിലൂടെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക.
ഇവയെ യഥാക്രമം f v , f h , f d , f c എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.
ഈ സമമിതികളെയെല്ലാം ഫലനങ്ങൾ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.
ഓരോ ഫലനവും സമചതുരത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിനെയും സമമിതിയനുസരിച്ചുള്ള പുതിയ സ്ഥാനത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു.
ഉദാഹരണമായി r 1 സമമിതിയെ കുറിക്കുന്ന ഫലനം ഓരോ ബിന്ദുവിനെയും സമചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റും 90°ഘടികാരദിശയിൽ പരിക്രമണം ചെയ്യിച്ചാലുള്ള സ്ഥാനത്തേക്കാണ് കൊണ്ടുപോവുക.
രണ്ട് സമമിതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഫലനങ്ങളെ മിശ്രണം ചെയ്താൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലനവും ഒരു സമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതായിരിക്കും.
സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതികൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു : ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D 4 ആണിത്.
ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണം മേല്പറഞ്ഞ സമമിതിഫലനങ്ങളുടെ ഗണവും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ ഫലനമിശ്രണവുമാണ്.
സമചതുരത്തിനുമേൽ a എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിച്ച ശേഷം b എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ ഇപ്രകാരമാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്:
b • a ( a എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിച്ച ശേഷം b എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിക്കുക).
സമമിതിഫലനങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടായി എഴുതുന്നത് സാധാരണ ഫലനമിശ്രണങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതിക്ക് സമാനമായാണ്.
വലതുഭാഗത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്ന കെയ്ലി പട്ടിക ഇത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ ഫലനമിശ്രണങ്ങളെയും കാണിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, സമചതുരത്തെ 270° ഘടികാരദിശയിൽ പരിക്രമണം (r 3 ) ചെയ്യിച്ച ശേഷം തിരശ്ചീനപ്രതിഫലനം (f h ) ചെയ്യുന്നത് സമചതുരത്തെ വികർണ്ണപ്രതിഫലനം (f d ) ചെയ്യുന്നതിന് തുല്യമാണ്.
ഈ മിശ്രണം പട്ടികയിൽ നീലനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:
f h • r 3 = f d .
D 4 ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക • id r 1 r 2 r 3 f v f h f d f c id id r 1 r 2 r 3 f v f h f d f c r 1 r 1 r 2 r 3 id f c f d f v f h r 2 r 2 r 3 id r 1 f h f v f c f d r 3 r 3 id r 1 r 2 f d f c f h f v f v f v f d f h f c id r 2 r 1 r 3 f h f h f c f v f d r 2 id r 3 r 1 f d f d f h f c f v r 3 r 1 id r 2 f c f c f v f d f h r 1 r 3 r 2 id id, r 1 , r 2 , and r 3 എന്നിവ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു, ഇത് ചുവപ്പുനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഈ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു ഇടതുസഹഗണം പച്ചനിറത്തിലും ഒരു വലതുസഹഗണം മഞ്ഞനിറത്തിലും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു
സമമിതികളുടെ ഗണവും സംക്രിയയായ ഫലനമിശ്രണവുമുപയോഗിച്ച് ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എപ്രകാരം അനുസരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം: ഏത് രണ്ട് സമമിതികളുടെ മിശ്രണവും ഒരു സമമിതി തന്നെയായിരിക്കണമെന്നാണ് സംവൃതിനിയമം അനുശാസിക്കുന്നത്.
അതായത്, a , b എന്നിവ സമമിതികളാണെങ്കിൽ b • a എന്നതും ഒരു സമമിതിയായിരിക്കണം.
ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം സമമിതികളാണ് എന്നതിൽ നിന്ന് ഈ ഗ്രൂപ്പ് സംവൃതിനിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാം രണ്ടിൽക്കൂടുതൽ സമമിതികളെ മിശ്രണം ചെയ്യേണ്ടിവരുന്ന അവസരത്തിലാണ് സാഹചര്യനിയമം പ്രസക്തമാവുന്നത്.
a , b , c എന്നിങ്ങനെ D 4 ലെ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ മൂന്ന് സമമിതികളെ ക്രമത്തിൽ മിശ്രണം ചെയ്ത് പുതിയൊരു സമമിതി നിർമ്മിക്കുന്നത് രണ്ട് വിധത്തിലാകാം : ആദ്യം a , b എന്നിവയെ മിശ്രണം ചെയ്ത് ഒറ്റ സമമിതിയാക്കി അതിനെ c യോട് മിശ്രണം ചെയ്യാം, അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം b , c എന്നിവയെ മിശ്രണം ചെയ്ത് a യെ ഈ സമമിതിയോട് മിശ്രണം ചെയ്യാം.
ഈ രണ്ട് രീതികളും ഒരേ ഫലം നൽകുമെന്നാണ് സാഹചര്യനിയമം പറയുന്നത്.
( a • b ) • c = a • ( b • c ) അതായത് കുറേ ഗ്രൂപ്പ് അംഗങ്ങളുടെ മിശ്രണഫലത്തെ ഏത് ക്രമത്തിലും ലഘൂകരിക്കാം.
ഉദാഹരണമായി (f d • f v ) • r 2 = f d • (f v • r 2 ) എന്ന് ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിൽ നിന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും.
(f d • f v ) • r 2 = r 3 • r 2 = r 1 , ഇത് f d • (f v • r 2 ) = f d • f h = r 1 എന്നതിന് തുല്യമാണ്.
സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതികളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനവും സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെങ്കിലും എല്ലാ ദ്വയാങ്കസംക്രിയകളും ഇപ്രകാരമല്ല.
വ്യവകലനം നല്ലൊരു ഉദാഹരണമാണ് : (7 − 3) − 2 = 2 ≠ 7 − (3 − 2) = 6.
സാഹചര്യനിയമമനുസരിച്ച് ലഘൂകരണക്രമം ഏതുമാകാമെങ്കിലും മിശ്രണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ക്രമം തെറ്റാതെ നോക്കേണ്ടതാണ് - അതായത്, ( a • b ) • c , ( b • a ) • c എന്നിവയുടെ ഫലം തുല്യമായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല.
സമചതുരത്തെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്ന id എന്ന സമമിതിയാണ് ഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം.
ഏതൊരംഗത്തിനും മുമ്പോ ശേഷമോ id പ്രയോഗിച്ചാൽ ആ അംഗം തന്നെ ലഭിക്കും.
id • a = a , a • id = a .
ഒരു അംഗം സമചതുരത്തിൽ വരുത്തുന്ന മാറ്റങ്ങൾ തിരസ്കരിക്കുന്ന അംഗത്തെയാണ് അതിന്റെ വിപരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.
സമചതുരത്തിന്റെ മേൽ ഏതൊരു സമമിതി പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിലും ഫലങ്ങൾ മറ്റൊരു സമമിതി ഉപയോഗിച്ച് തിരസ്കരിക്കാൻ സാധിക്കും.
തൽസമകമായ id, പ്രതിഫലനങ്ങളായ f h , f v , f d , f c , 180° പരിക്രമണമായ r 2 എന്നിവ അവയുടെ തന്നെ വിപരീതങ്ങളാണ്.
അതായത്, ഇവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സമമിതി രണ്ടു തവണ പ്രയോഗിച്ചാൽ സമചതുരം ആദ്യമുണ്ടായിരുന്ന അവസ്ഥയിൽ തന്നെ തിരിച്ചെത്തും.
പരിക്രമണങ്ങളായ r 3 , r 1 എന്നിവ പരസ്പരം വിപരീതങ്ങളാണ് - കാരണം, സമചതുരത്തെ 90° പരിക്രമണം ചെയ്ത ശേഷം 270° (അഥവാ വിപരീതക്രമത്തിൽ) പരിക്രമണം ചെയ്താൽ സമചതുരം ആകെ 360° ഡിഗ്രി പരിക്രമണം ചെയ്യപ്പെടുകയും പൂർവ്വാവസ്ഥയിൽ തിരിച്ചെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
f h • f h = id, r 3 • r 1 = r 1 • r 3 = id.
പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണത്തിൽ സങ്കലനം ചെയ്യുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ഫലം സംഖ്യകളുടെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരുന്നില്ലെങ്കിലും D 4 ൽ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്.
f h • r 1 = f c , എന്നാൽ r 1 • f h = f d .
അതായത് D 4 ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പല്ല.
ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക സമമിതീയമല്ലാത്തത് ഇതിനാലാണ്.
ചരിത്രം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ച എവാരിസ്റ്റെ ഗാൽവ വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ഗണിതശാഖയാക്കി ഒരുമിച്ചുചേർക്കുന്നത് ആരംഭിച്ചത് കാമിൽ ജോർഡാൻ 1870-ൽ എഴുതിയ Traité des substitutions et des équations algébriques എന്ന ഗ്രന്ധത്തോടെയാണ്
ഗ്രൂപ്പ് എന്ന അമൂർത്തമായ ആശയം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് ഗണിതത്തിലെ വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ആശയങ്ങളുടെ സമ്മേളനമായാണ്.
നാലിൽ കൂടുതൽ കൃതിയുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്ക് പൊതുവായുള്ള നിർധാരണം കണ്ടെത്താനുള്ള ശ്രമങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആദ്യകാലപ്രചോദനമായത്.
പൗളോ റഫ്ഫിനി , ജോസഫ്-ലൂയി ലഗ്രാഞ്ജ് എന്നിവരുടെ സംഭാവനകൾ വിപുലീകരിച്ച പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഇവാരിസ്റ്റെ ഗാൽവ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ മൂലങ്ങളുടെ സമമിതിഗ്രൂപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ബഹുപദസമവാക്യം നിർധരിക്കുന്നത് സാധ്യമാകാനുള്ള നിബന്ധനകൾ കണ്ടുപിടിച്ചു.
ഈ ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ചില മൂലങ്ങളുടെ ക്രമചയങ്ങളാണ്.
ഗാൽവ ജീവിച്ചിരുന്ന കാലത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തള്ളിക്കളഞ്ഞതിനാൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണശേഷമാണ് അവ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്.
അഗസ്റ്റിൻ ലൂയി കൗച്ചി ക്രമചയഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ പഠിച്ചു.
ആർതർ കെയ്ലിയുടെ 1854-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1 ആണ് പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ആദ്യത്തെ അമൂർത്തനിർവചനം നൽകിയത്.
ഗ്രൂപ്പുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ട മറ്റൊരു ശാഖ ജ്യാമിതി ആയിരുന്നു.
സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെലിക്സ് ക്ലൈന്റെ എർലാങ്ങൻ പദ്ധതിയുടെ ഭാഗമായിരുന്നു.
അതിവലയജ്യാമിതി , പ്രക്ഷേപജ്യാമിതി മുതലായ നവീന ജ്യാമിതികളുടെ ആവിർഭാവത്തിനുശേഷം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് വിവിധ ജ്യാമിതികളെ വർഗ്ഗീകരിക്കാനാണ് ക്ലൈൻ ശ്രമിച്ചത്.
ഈ ആശയങ്ങളെ തുടർന്ന് വിപുലീകരിച്ച സോഫസ് ലീ ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചു.
സംഖ്യാസിദ്ധാന്തവും ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിന് സംഭാവനകൾ നൽകി.
ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് 1798-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച Disquisitiones Arithmeticae എന്ന സംഖ്യാസിദ്ധാന്തഗ്രന്ഥത്തിൽ അസ്പഷ്ടമായും പിന്നീട് ല്യോപോൾഡ് ക്രോണെക്കർ സ്പഷ്ടമായിത്തന്നെയും ഉപയോഗിച്ചു.
1847-ൽ ഫെർ‌മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ഏൺസ്റ്റ് കുമ്മർ സംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകങ്ങളായി ഘടകീകരിക്കുന്നത് വിശദീകരിക്കുന്ന ക്ലാസ് ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉപയോഗിച്ചു.
വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ഈ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ഗണിതശാഖയാക്കി ഒരുമിച്ചുചേർക്കുന്നത് ആരംഭിച്ചത് കാമിൽ ജോർഡാൻ 1870-ൽ എഴുതിയ Traité des substitutions et des équations algébriques എന്ന ഗ്രന്ധത്തോടെയാണ്.
1870-ൽ വാൽത്തെർ ഫോൺ ഡിക്ക് അമൂർത്തഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ആദ്യമായി ആധുനിക നിർവചനം നൽകി.
പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ നടത്തിയ ഫെർഡിനാൻഡ് ജോർജ് ഫ്രോബീനിയസ് , വില്യം ബേൺസൈഡ് എന്നിവരും റിച്ചാർഡ് ബ്രോവർ , ഐസക് ഷൂർ എന്നിവരുടെ പഠനങ്ങളും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടോടെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഇടയിൽ പൊതുസമ്മിതി നേടുന്നതിൽ സഹായിച്ചു.
ഹെർമൻ വെയ്ൽ , ഏലീ കാർട്ടൻ ഉൾപ്പെടെയുള്ളവർ ലീ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം വിപുലീകരിച്ചു.
ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ടയായ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനം 1930-കളിൽ ക്ലോഡ് ഷെവാലെ തുടങ്ങിവെക്കുകയും അർമാൻഡ് ബോറെൽ , ഴാക് റ്റിറ്റ്സ് എന്നിവർ അത് മുന്നോട്ടുകൊണ്ടുപോവുകയും ചെയ്തു.
ഷിക്കാഗോ സർവകലാശാലയുടെ 1960-61 ലെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത വർഷാചരണത്തിന്റെ ഭാഗമായി ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ , ജോൺ ജി. തൊംപ്സൺ , വാൾട്ടർ ഫെയ്റ്റ് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തജ്ഞർ ഒരുമിച്ചു.
ഇവരുടെ കൂട്ടായ്മയാണ് മറ്റനേകം ഗണിതജ്ഞരുടെ സഹായത്തോടെ 1982-ൽ എല്ലാ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെയും വർഗ്ഗീകരണം സാധിച്ചെടുത്തത്.
വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവിന്റെ വലിപ്പത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഭാഗഭാക്കായ ഗവേഷകരുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഈ പദ്ധതി അതുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരുന്ന എല്ലാ ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളെയും കവച്ചുവെച്ചു.
ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് ലളിതവൽകരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ഇപ്പോഴും നടന്നുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്.
മറ്റനേകം ശാസ്ത്ര, ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളെ സ്വാധീനിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഇന്നും ഏറെ ഗവേഷണങ്ങൾ നടക്കുന്ന വിഷയമാണ്.
പ്രാഥമിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം
ഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ച് ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് കണ്ടെത്താനാകുന്ന സവിശേഷതകളുടെ ശേഖരമാണ് പ്രാഥമിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം .
ഉദാഹരണമായി, സാഹചര്യനിയമം വീണ്ടും വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കുകവഴി മൂന്നിലേറെ അംഗങ്ങളുടെ മേൽ സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ചാലുള്ള ഫലം കാണുന്നത് ഏത് ക്രമത്തിൽ വേണമെങ്കിലും ആകാം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.
അതായത് a • b • c = ( a • b ) • c = a • ( b • c )
എന്നതുപോലെ മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അംഗങ്ങളുള്ളപ്പോഴും കോഷ്ഠകങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലും ഇടാം.
അതിനാൽ കോഷ്ഠകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാറാണ് പതിവ്.
ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളെ ദുർബലപ്പെടുത്തി ഇടത് തൽസമകത്തിന്റെയും ഇടത് വിപരീതത്തിന്റെയും മാത്രം അസ്തിത്വം ആവശ്യപ്പെടാം.
ഈ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാൽ വലത് തൽസമകമുണ്ടെന്നും അത് ഇടത് തൽസമകത്തിന് തുല്യമാണെന്നും അതുപോലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വലത് വിപരിതമുണ്ടെന്നും അത് ഇടത് വിപരീതത്തിന് ലഭ്യമാണെന്നും ലഭിക്കുന്നു.
അതായത്, ഈ വിധത്തിൽ ദുർബലപ്പെടുത്തിയ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ പൂർണ്ണമായ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.
തൽസമകവും വിപരിതങ്ങളും അദ്വിതീയമാണ്
തൽസമകവും വിപരീതങ്ങളും അദ്വിതീയമാണ് എന്നുള്ളത് ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമാണ്.
അതായത്, ഗ്രൂപ്പിൽ ഒരു തൽസമക അംഗമേ ഉണ്ടാകൂ.
ഒരോ അംഗത്തിനും ഒരു വിപരീതം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ താനും.
( G , •) എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ a എന്ന അംഗത്തിന്റെ വിപരീതം അദ്വിതീയമാണെന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം.
a യ്ക്ക് b , c എന്ന രണ്ട് വിപരീതങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.
എങ്കിൽ b = b • e e തൽസമകമായതിനാൽ = b • ( a • c ) c എന്നത് a യുടെ വിപരിതമായതിനാൽ e = a • c = ( b • a ) • c സാഹചര്യനിയമമുപയോഗിച്ച് കോഷ്ഠകങ്ങളുടെ സ്ഥാനം മാറ്റാം = e • c b യും a യുടെ വിപരിതമായതിനാൽ b • a = e = c e തൽസമകമായതിനാൽ
അതായത്, a യുടെ വിപരീതങ്ങളായ b യും c യും തുല്യമാണെന്നു വരുന്നു - a യുടെ വിപരിതം അദ്വിതീയമാണ്.
ഇതുപോലെത്തന്നെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകവും അദ്വിതീയമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം.
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന് e , f എന്നീ രണ്ട് തൽസമകങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.
എങ്കിൽ e = e • f = f എന്ന് വരുന്നു, അതായത്, e യും f ഉം തുല്യമാണ്.
ഹരണം
ഗ്രൂപ്പുകൾ ഗുണനരീതിയിൽ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ അംഗങ്ങളെ ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുന്നതാണ്.
a , b എന്നിവ G എന്ന ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ x • a = b എന്ന സമവാക്യം ശരിയാകുന്ന വിധത്തിൽ x എന്ന ഒറ്റ അംഗം മാത്രമേ G യിൽ ഉണ്ടാകൂ.
സമവാക്യത്തെ വലതുഭാഗത്ത് a − 1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഈ അംഗം ലഭിക്കുന്നതാണ് : x = x • a • a − 1 = b • a − 1 .
ഇതുപോലെ a • y = b എന്ന സമവാക്യത്തിനും y = a − 1 • b എന്ന ഒറ്റ നിർദ്ധാരണം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
ഇവിടെ x , y എന്നിവ തുല്യമായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല.
g എന്ന ഗ്രൂപ്പ് അംഗത്തെക്കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഒരു ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണെന്നതാണ് ഇതിന്റെ പരിണതഫലം.
G യിലെ ഒരംഗമാണ് g എങ്കിൽ h ∈ G യെ g • h ലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന, G യിൽ നിന്ന് അതിലേക്കുതന്നെയുള്ള ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണ് left translation .
അതുപോലെ h നെ h • g ലേക്കു കൊണ്ടുപോകുന്ന ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണ് right translation .
G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാണെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ രണ്ട് ഫലനങ്ങളും തുല്യമാണ്.
അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ തുടർന്നുവരുന്ന വിഭാഗങ്ങളിൽ X = { x , y , z } എന്നത് x, y, z എന്നീ അംഗങ്ങളടങ്ങിയ X എന്ന ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
x ∈ X എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാൽ x എന്നത് X ലെ അംഗമാണെന്നാണ് ഉദ്ദേശ്യം.
f : X → Y എന്നത് X ലെ ഓരോ അംഗത്തെയും Y ലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു അംഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന f എന്ന ഫലനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
മേലെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളിൽ നിന്നും മുന്നോട്ടുപോകണമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടനയെക്കുറിക്കുന്ന കൂടുതൽ ആശയങ്ങളുപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഗ്രൂപ്പിൽ നാം ചേർക്കുന്ന ഏതൊരു ഘടനയും ഒരു തരത്തിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംകാരകവുമായി ഒത്തുപോകുന്നതും ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നതുമായിരിക്കണം.
ഇത് നാം സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഘടനകളുടെമേൽ നിബന്ധനകൾ നീർക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, ഗ്രൂപ്പുകളെ തമ്മിൽ ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഫലനങ്ങൾ വഴി ബന്ധിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.
എന്നാൽ ഇത്തരം ഫലനങ്ങൾ കൃത്യമായ രീതിയിൽ ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുമായി ഒത്തുപോകേണ്ടതുണ്ട്.
ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള മറ്റൊരു വഴി ഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ, ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ എന്നിങ്ങനെ ചെറിയ കഷണങ്ങളായി വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്.
ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത
ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്ന ഫലനങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരുപതകൾ.
( G ,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് ( H ,*) എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള a : G → H എന്ന ഫലനം ഒരു സമാംഗരൂപതയാകാനുള്ള നിബന്ധന g , k എന്നിവ G യിലെ അംഗങ്ങളാണ് എന്നുണ്ടെങ്കിൽ
a ( g • k ) = a ( g ) * a ( k ) എന്ന സമവാക്യം അനുസരിക്കലാണ്.
അതായത്, ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ ഫലനം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ചെയ്താലും ശേഷം ചെയ്താലും ഫലം തുല്യമായിരിക്കണം.
ഈ നിബന്ധനയുടെ ഫലമായി a (1 G ) = 1 H എന്നും, g എന്നത് G യിലെ ഏതൊരു അംഗമായാലും a ( g ) − 1 = a ( g − 1 ) എന്നും ലഭിക്കുന്നു.
അതായത്, ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ G യിൽ അടിച്ചേൽപിക്കുന്ന ഘടനയോട് ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതയും ഒത്തുപോകുന്നു.
ഒന്നിനുപിറകെ ഒന്നായി a : G → H , b : H → G എന്നിവ പ്രയോഗിക്കുകവഴി G , H എന്നീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ തൽസമകഫലനം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ a , b എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതകൾ നിർവചിക്കാമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പുകൾ സമരൂപമാണെന്ന് പറയുന്നു.
അതായത്, G യിലെ ഏത് g യ്ക്കും H ലെ ഏത് h നും a ( b ( h )) = h , b ( a ( g )) = g എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കണം.
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ സമരൂപമായ ഗ്രൂപ്പുകൾ തുല്യമാണ്.
ഉദാഹരണമായി G എന്ന ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായ g യ്ക്ക് g • g = 1 G എന്ന സമവാക്യം ശരിയാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് a ( g ) * a ( g ) = 1 H , എന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.
കാരണം, ഒന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ a പ്രയോഗിച്ചാൽ രണ്ടാമത്തേതും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ b പ്രയോഗിച്ചാൽ ആദ്യത്തെ സമവാക്യവും ലഭിക്കുന്നു.
ഉപഗ്രൂപ്പ് സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S 4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലികയുടെ ഹാസെ ഡയഗ്രം
ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ചെറിയ ഗ്രൂപ്പിനെയാണ് ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണം ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നു.
H എന്നത് G യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ G യുടെ തൽസമകം H ൽ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും h 1 , h 2 എന്നിവ H ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ h 1 • h 2 , h 1 − 1 എന്നിവയും H ന്റെ അംഗങ്ങളാവുകയും ചെയ്യും.
മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ തൽസമകവും പരിക്രമണങ്ങളും ചേർന്ന ഉപഗണം R = {id, r 1 , r 2 , r 3 } ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.
ഇത് കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ചുവപ്പുനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു : രണ്ട് പരിക്രമണങ്ങൾ ഒന്നിനുപിറകെ ഒന്നായി ചെയ്താലുള്ള ഫലം ഒരു പരിക്രമണമായിരിക്കും, ഓരോ പരിക്രമണത്തെയും മറ്റൊരു പരിക്രമണം കൊണ്ട് തിരസ്കരിക്കാനും സാധിക്കും.
H എന്ന അശൂന്യ ഉപഗണം G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഉപഗ്രൂപ്പ് പരിശോധന ഉപയോഗിക്കാം : g , h ∈ H ആവുന്ന അവസരങ്ങളിലെല്ലാം g −1 h ∈ H ആണെങ്കിലാണ് H ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നത്.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലിക കണ്ടെത്തുന്നത് അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു.
S എന്നത് G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണമാണെങ്കിൽ S ലെ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരിതങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമടങ്ങിയ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ S ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്നും S നെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം എന്നും വിളിക്കുന്നു.
S ലെ അംഗങ്ങളെയെല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ഉപഗ്രൂപ്പാണിത്.
ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ r 2 , f v എന്നീ അംഗങ്ങളടങ്ങിയ ഉപഗണം ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് ഈ അംഗങ്ങൾക്ക് പുറമെ തൽസമകമായ id യെയും f h = f v • r 2 എന്ന അംഗത്തെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
ഈ നാല് അംഗങ്ങൾ ചേർന്ന ഉപഗണം D 4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും.
സഹഗണം
ഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമാണെങ്കിൽ ആ അംഗങ്ങളെ സമാനമായി കണക്കാക്കാവുന്ന അവസരങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാഹരണമായി, മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D 4 ന്റെ കാര്യമെടുക്കുക.
സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം പ്രയോഗിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ അതിനെ പിന്നീട് പരിക്രമണങ്ങൾ കൊണ്ട് മാത്രം r 2 എന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനാകില്ല.
അതായത്, സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം നടന്നിട്ടുണ്ടോ എന്നത് പരിക്രമണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നില്ല.
ഈ ആശയത്തിന്റെ വിപുലീകരണമാണ് സഹഗണങ്ങൾ.
H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിനെ മുഴുവനായി g എന്ന ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പംഗം കൊണ്ട് translate ചെയ്തതിന്റെ ഫലമായി സഹഗണങ്ങളെ മനസ്സിലാക്കാം.
H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ g എന്ന അംഗമടങ്ങിയ ഇടതുസഹഗണവും വലതു സഹഗണവും യഥാക്രമം
gH = { g • h : h ∈ H } , Hg = { h • g : h ∈ H } എന്നിവയാണ്.
H എന്ന ഏതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളും G യുടെ വിഭജനം തീർക്കുന്നു.