smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
അനാഹതശബ്ദം തരംഗാകൃതിയിൽ ആയതിനുശേഷവും വായുപ്രേരിതമായാലേ ആഹതശബ്ദമായി നമുക്കു കേൾക്കാൻ സാധിക്കുന്നമട്ടിൽ ആവുകയുള്ളൂ.
പര
നാദം പുറപ്പെടുവിക്കണമെന്ന ഇച്ഛ ഒരാൾക്കുണ്ടാകുമ്പോൾ, നാഭിയുടെ താഴെ മധ്യചക്രം എന്നു പേരുള്ള സ്ഥലത്തുനിന്നുള്ള അന്തരഗ്നി, ബ്രഹ്മഗ്രന്ഥി എന്നു പേരായ നാഭീചക്രത്തിലുള്ള വായുവിൽ തട്ടുന്നു.
അഭിഹതമായ ആ വായുവിലുണ്ടാകുന്ന അതിസൂക്ഷ്മപരികമ്പത്താൽ അവിടെയുള്ള അന്തരീക്ഷത്തിലെ അനാഹതനാദാണുക്കളിൽ അതിസൂക്ഷ്മമായ ഒരു ചലനമുണ്ടാകുന്നു.
പ്രസ്തുത ചലനം അനാഹതനാദാണുക്കൾക്കു ഘനീഭാവം വരുത്തുന്നു.
നാദാരംഭരൂപമായ പര എന്നു പേരുള്ള ഒരു നാദാവസ്ഥയാണ് ആദ്യത്തേതും സൂക്ഷ്മതമവുമായിട്ടുള്ള ഈ അവസ്ഥ.
പശ്യന്തി
അതിനുശേഷം ചലനവിശേഷംകൊണ്ടു ഘനീഭാവത്തെ അവലംബിച്ച ആ നാദാണുക്കൾ പ്രാണവായു വഴിക്കുതന്നെ അല്പം മേല്പോട്ടുകയറി ഹൃദയത്തിലേക്കു വ്യാപിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു.
തരംഗാകൃതിയെ പ്രാപിക്കാൻ തുടങ്ങുന്ന ഈ അണുചലനവിശേഷത്തിന്റെ സ്ഥിതിയാകട്ടെ, ബിന്ദുരൂപമായി പരിണമിച്ചതും നാദരൂപമായി പരിണമിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതുമായ പ്രത്യേക സ്ഥിതിയിലുള്ളതാണ്.
ഓരോരോ തരത്തിലുള്ള തരംഗാകൃതിയിലേക്ക് ഉൻമുഖമായതിനാൽ പശ്യന്തി എന്നു പ്രാചീനാചാര്യൻമാർ പേര് കൊടുത്തിട്ടുള്ള ആനാദസ്ഥിതിയാണ് രണ്ടാമത്തേതായ സൂക്ഷ്മതരാവസ്ഥ.
മധ്യമ
സൂക്ഷ്മതരാവസ്ഥയിലുള്ള ചലനവിശേഷം പിന്നീട് തരംഗാകൃതിയെ പ്രാപിച്ച് ഹൃദയത്തിലേക്കു വ്യാപിക്കുന്നു.
ഹൃദയത്തിലെത്തിയ ഈ നാദം യോഗാഭ്യാസം ശീലിച്ചിട്ടുള്ള യോഗികൾക്കു ശ്രോത്രേന്ദ്രിയം കൊണ്ടുതന്നെ കേൾക്കാൻ സാധിക്കുന്നതാണ്.
പ്രണവം ശരിയായി ജപിച്ചുകൊണ്ടു പ്രാണായാമം ചെയ്തു ശീലിച്ചാൽ ആ പ്രണവനാദം തനിക്കുതന്നെ കേൾക്കാറായിത്തീരുമെന്നും മറ്റും യോഗശാസ്ത്രം വിധിക്കുന്നു.
സാധാരണജനങ്ങൾക്കാകട്ടെ ആ നിലയിൽ അതു ശ്രോത്രേന്ദ്രിയംകൊണ്ടു കേൾക്കാൻ സാധിക്കുകയില്ല.
മധ്യമ എന്നു പേരുള്ള നാദസ്ഥിതിയാണ് മൂന്നാമത്തേതായ ഈ സൂക്ഷ്മാവസ്ഥ.
വൈഖരി
ഈ സൂക്ഷ്മനാദം ഹൃദയത്തിൽനിന്നു മേല്പോട്ടു വ്യാപിച്ച്, കണ്ഠത്തിന്റെ സമീപത്തെത്തി അവിടെ ശബ്ദവാഹികളായ നാഡികളെ അതതുതരം ഗതിവേഗത്തിനനുസരിച്ചു പരികമ്പനം ചെയ്യിച്ച് കണ്ഠത്തിൽകൂടി പുറത്തേക്കു പ്രവഹിക്കുന്നു.
അപ്പോൾ അത് എല്ലാവർക്കും കേൾക്കത്തക്കവിധത്തിലുള്ളതും വ്യക്തവുമായ സ്ഥൂലനാദമായിത്തീരുകയും ചെയ്യുന്നു.
അപ്രകാരം കണ്ഠത്തിലെത്തി വ്യക്തമായി പരിണമിക്കുന്ന അവസ്ഥയ്ക്ക് വൈഖരി എന്നു പേര്.
ഇങ്ങനെ നാദത്തിന് പര, പശ്യന്തി, മധ്യമ, വൈഖരി എന്നു നാല് പരിണാമാവസ്ഥകളുണ്ട്.
കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ സംഗീതത്തിൽ എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അനാവരണം
എ. വിൻസെന്റ് സംവിധാനം ചെയ്ത് 1976-ൽ പുറത്തിറങ്ങിയ മലയാളചലച്ചിത്രമാണ് അനാവരണം .
കെ ജെ ജോസഫാണ് ചിത്രം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
എം.ചന്ദ്രൻ നായർ, സത്താർ , ജനാർദ്ദനൻ , റാണി ചന്ദ്ര എന്നിവർ പ്രധാന വേഷങ്ങൾ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.
ജി. ദേവരാജൻ സംഗീതസംവിധാനം നിർവഹിച്ചു.
അഭിനേതാക്കൾ സത്താർ ജനാർദ്ദനൻ എം. ചന്ദ്രൻ നായർ റാണി ചന്ദ്ര ശൈലജ ഗാനങ്ങൾ
ഈ ചിത്രത്തിൽ വയലാർ എഴുതിയ ഗാനങ്ങൾക്ക് ജി. ദേവരാജനാണ് സംഗീതം നൽകിയത്.
ഗാനം ഗായകർ രചന നീളം (m:ss) 1 "നൻമ നിറഞ്ഞൊരു" പി. ലീല, പി. മാധുരി വയലാർ 2 "പച്ചക്കർപ്പൂരമലയിൽ" പി. സുശീല വയലാർ 3 "സ്വരസ്വതീയാമം കഴിഞ്ഞൂ" കെ.ജെ. യേശുദാസ് വയലാർ 4 "തേവി തിരു തേവീ" പി. മാധുര വയലാർ 5 "തിന്തിനത്തിം" കെ.ജെ. യേശുദാസ്, പി. മാധുരി വയലാർ അവലംബം ↑ ↑ ↑
അനാറ്റോളി കാർപ്പോവ് ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Anatoly_Karpov
ഒരു സോവിയറ്റ് റഷ്യൻ ചെസ് ഗ്രാന്റ് മാസ്റ്ററും, മുൻ ലോക ചെസ് ചാമ്പ്യനുമായിരുന്നു അനാറ്റോളി യുവ്ജ്നെവിച് കാർപ്പോവ് ( Russian : Анатолий Евгеньевич Карпов Anatolij Evgen'evič Karpov ; ജനനം മേയ് 23 , 1951 ) അഥവാ അനാത്തൊളി കാർപ്പോവ് .
1975 മുതൽ 1985 വരെ ചെസ്സ് ഔദ്യോഗിക ലോക ചാമ്പ്യനായിരുന്നു കാർപ്പോവ്.
1993 മുതൽ 1999 വരെ ഫിഡെ ലോക ചാമ്പ്യനും കാർപ്പോവായിരുന്നു.
ദശാബ്ദങ്ങളായി ചെസ്സിൽ നിലനിർത്തിയിരുന്ന സ്ഥാനമാനങ്ങളെ പരിഗണിച്ച് ലോക ചെസ്സ് ചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച കളിക്കാരനായി കാർപ്പോവ് പരിഗണിക്കപ്പെടാറുണ്ട്.
മികച്ച പൊസിഷണൽ കളിയാണ് കാർപ്പോവ് പുറത്തെടുക്കുന്നത്.
എതിരാളിയുടെ നേരിയ പിഴവുപോലും നന്നായി മുതലെടുക്കുവാൻ കാർപ്പോവ് ശ്രദ്ധിയ്ക്കുന്നു.
തന്റെ സ്വതസ്സിദ്ധമായ ശൈലിയിൽ നീങ്ങുന്ന കാർപ്പോവ് വലിയ സാഹസങ്ങൾക്കു മുതിരാറുമില്ല.
കളിച്ച അന്താരാഷ്ട്ര ചെസ്സ് മത്സരങ്ങളിൽ 160-ൽ അധികം തവണ കാർപ്പോവ് ഒന്നാം സ്ഥാനം നേടിയിട്ടുണ്ട്.
കാസ്പറോവുമായുള്ള മത്സരങ്ങൾ
ചെസ്സ് ബോർഡിൽ ദശകങ്ങളോളം ഗാരി കാസ്പറോവ് കാർപ്പോവിന്റെ ശക്തനായ ഒരു എതിരാളിതന്നെയായിരുന്നു.
മൂന്നു ലോക ചാമ്പ്യൻഷിപ്പുകളിൽ കാർപ്പോവ് കാസ്പറോവുമായി ഏറ്റുമുട്ടുകയുണ്ടായി.
1986,1987,1990 വർഷങ്ങളിൽ ചാമ്പ്യൻപട്ടത്തിനായുള്ള പോരാട്ടത്തിൽ കാർപ്പോവ് നേരീയ വ്യത്യാസത്തിൽ കാസ്പറോവിനു മുന്നിൽ പരാജയപ്പെടുകയായിരുന്നു.
11½ to 12½ (+4 −5 =15), 12 to 12 (+4 −4 =16), and 11½ to 12½ (+3 −4 =17) ഇപ്രകാരമായിരുന്നു മത്സരങ്ങളിലെ പോയന്റ് നില.
പഴയ സൊവിയറ്റ് റഷ്യയിലെ യുറാൽ പ്രൊവിൻസിലെ സ്ലത്തൂസ്തി ലാണ് കാർപ്പോവ് ജനിച്ചത്.
കേവലം നാലാം വയസ്സിൽ തന്നെ ചെസ്സിന്റെ ബാലപാഠങ്ങൾ അഭ്യസിക്കുകയും  പന്ത്രണ്ടാം വയസ്സിൽ റഷ്യയിലെ പ്രശസ്തമായ മിഖായേൽ ബൊട്‌വിനിക് ചെസ് സ്കൂളിൽ പ്രവേശനം ലഭിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു.
ബൊട്‌വിനികിന്റെ ശിഷ്യത്വം സ്വീകരിച്ച കാർപ്പോവിന്റെ ഉയർച്ച ഏവരെയും അത്ഭുതപ്പെടുത്തുന്നതായിരുന്നു.
പതിനഞ്ചാം  വയസ്സിൽ സോവിയറ്റ് നാഷനൽ മാസ്റ്റർ ആയിത്തീരുകയും ചെയ്തു.
തുടർന്നു ഗ്രാൻഡ് മാസ്റ്റർ പദവിയും കൈവരിച്ച കാർപ്പോവ് അന്നത്തെ ലോകനിലവാരമുള്ള കളിക്കാരെയെല്ലാം നേരിടുകകയുണ്ടായി.
മറ്റൊരു അതികായനായ ബോബി ഫിഷറുമായി ലോക ചാമ്പ്യൻ പട്ടത്തിനുവേണ്ടി ഏറ്റുമുട്ടും എന്നു കരുതിയെങ്കിലും ഫിഷർ സംഘാടകസമിതിയുമായി തെറ്റിപ്പിരിഞ്ഞതിനാൽ അതുണ്ടായില്ല.
കാർപ്പോവ് കളിക്കളത്തിലും പുറത്തുംതന്റെ സ്ഥിരം വൈരിയായ ഗാരി കാസ്പറോവുമായി ഏറ്റുമുട്ടിയതും ചെസ്സ് ലോകത്തിനു മറ്റൊരു കൌതുകമായിരുന്നു.
ലോക ചെസ്സിലെ എന്നത്തേയും  വലിയ ശക്തിദുർഗ്ഗങ്ങളിലൊരാൾ ആണ് കാർപ്പോവ് എന്നുകരുതാം.
കാർപ്പോവിന്റെ ലോക ചാമ്പ്യൻഷിപ്പ് മത്സരങ്ങൾ
ചെസ്സ് ലോക കിരീടം അലഖിനും, ലാസ്കർക്കും ശേഷം ഏറ്റവും കൂടുതൽ നാൾ കൈവശം വച്ച മൂന്നാമത്തെ കളിക്കാരനും എതിരാളിയുടെ അഭാവത്തിൽ കളിയ്ക്കാതെ ലോകചാമ്പ്യൻഷിപ്പു നേടിയ ആദ്യത്തെകളിക്കാരനുമാണ് കാർപ്പോവ്.
കോർച്ചുനോയിയെ അവസാന ഘട്ട മത്സരത്തിൽ പരാജയപ്പെടുത്തി ഫൈനലിൽ ബോബി ഫിഷറുടെ ചാലഞ്ചർ ആകാനുള്ള യോഗ്യത കാർപ്പോവ് നേടുകയും എന്നാൽ കാർപ്പോവുമായി കളിയ്ക്കാൻ കൂട്ടാക്കാതിരുന്ന ഫിഷറെ  അയോഗ്യനാക്കി കാർപ്പോവിനെ 12മത്തെ ലോകചാമ്പ്യനായി  ഫിഡെ അംഗീകരിയ്ക്കുകയുമാണ് ചെയ്തത്.
1978 ൽ മ്6-5 എന്ന സ്കോറിലും,,1981ൽ 6-2 എന്ന വിജയത്തിലും ചാലഞ്ചറായി എത്തിയ കോർച്ചുനോയിയെ പരാജയപ്പെടുത്തി ലോക കിരീടം ഉറപ്പിച്ചു.
പിന്നീടുള്ള ചാമ്പ്യൻഷിപ്പിൽ കാസ്പറോവിനോട് 3-5 എന്ന സ്കോറിനു ലോക കിരീടം നഷ്ടപ്പെട്ടു.
എന്നാൽ 1993 ൽ നടന്ന ഫിഡെ ലോക ചാമ്പ്യൻഷിപ്പിൽ യാൻ ടിമ്മനെ 6-2 എന്ന ഏകപക്ഷീയമായ മത്സരത്തിൽ പരാജയപ്പെടുത്തി വീണ്ടും ലോക ചാമ്പ്യനായി.
ഫിഡേയുമായി തെറ്റിപ്പിരിഞ്ഞ കാസ്പറോവ് സമാന്തരമായി പ്രൊഫഷണൽ ചെസ്സ് അസോസിയേഷൻ രൂപീകരിച്ചു നടത്തിയ ചാമ്പ്യൻ ഷിപ്പിൽ  കാസ്പറോവ് നൈജൽ ഷോർട്ടിനെ പരാജയപ്പെടുത്തി ലോകചാമ്പ്യനാകുകയും ചെയ്തു.
1996ൽ ഗറ്റ കാംസ്കിയെ 6-3 എന്ന സ്കോറിനു പരാജയപ്പെടുത്തിയ കാർപ്പോവ് 1998 ൽ ചാലഞ്ചറായി എത്തിയ ആനന്ദിനെയും ടൈ ബ്രേക്കറിൽ തോത്പിച്ച് ലോക ചെസ്സിൽ തന്റെ ആധിപത്യം ഉറപ്പിച്ചു.
അവലംബം ↑ പുറമെ നിന്നുള്ള കണ്ണികൾ Anatoly Karpov എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
Karpov's official homepage Archived 2006-06-29 at the Wayback Machine .
in Russian.
അനാറ്റോളി കാർപ്പോവ് rating card at FIDE അനാറ്റോളി കാർപ്പോവ് player profile at ChessGames.com Edward Winter , List of Books About Karpov and Korchnoi
അനാവൃതബീജി ഈ ലേഖനം പ്രതിപാദ്യവിഷയത്തെക്കുറിച്ച് പ്രാഥമികവിവരങ്ങൾ പോലും നൽകാത്ത ഒറ്റവരിലേഖനമായി  2023 നവംബർ മുതൽ തുടരുന്നു.
ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Gymnosperms
ബീജസസ്യങ്ങളിലെ ഒരു വിഭാഗം ആണ് അനാവൃതബീജികൾ .
(Gymnosperms).
അന്ത്യ ഡെവോണിയൻ കാലഘട്ടത്തിൽ ആണ് ഇവയുടെ ഉത്ഭവം.
അനാസ്ടാകിയ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Anastacia
ഒരു അമേരിക്കൻ ഗായികയും ഗാനരചയിതാവുമാണ് ഷിക്കാഗോയിൽ ജനിച്ച അനാസ്ടാകിയ (ജനനം: 1968 സെപ്റ്റംബർ 14) ആൽബങ്ങൾ 1999 - Not That Kind 2001 - Freak of Nature 2004 - Anastacia 2005 - Pieces of a Dream 2008 - Heavy Rotation 2012 - It's a Man's World 2014 - Resurrection 2015 - Ultimate Collection
1993: One More Chance 1993: Forever Luv (duet with David Morales) 1998: Mi Negra, Tu Bombón (duet with Omar Sosa) 1998: Not That Kind 1999: Tienes Un Solo (duet with Omar Sosa) 1999: I'm Outta Love 2000: Saturday Night's Alright for Fighting (duet with Elton John) 2001: Let It Be (duet with Paul McCartney, Anastacia other artists) 2001: I Ask of You (duet with Luciano Pavarotti) 2001: What More Can I Give (duet with Michael Jackson and other artists) 2001: Love Is Alive (duet with Vonda Shepard) 2001: 911 (duet with Wyclef Jean) 2001: Cowboys And Kisses 2001: Made For Lovin' You 2001: Paid My Dues 2002: One Day in Your Life 2002: Boom 2002: Why'd You Lie To Me 2002: You'll Never Be Alone 2002: I Thought I Told You That (duet with Faith Evans) 2002: You Shook Me All Night Long (duet with Celine Dion) 2002: Bad Girls (duet with Jamiroquai) 2003: Love Is a Crime 2003: We Are the Champions, We Will Rock You, Amandla (duet with Queen, Beyoncé, Bono, Cast and David A. Stewart) 2004: Left Outside Alone 2004: Sick And Tired 2004: Welcome To My Truth 2004: Heavy On My Heart 2004: I Do (duet with Sonny Sandoval) 2005: Everything Burns (duet with Ben Moody) 2005: Pieces Of A Dream 2006: I Belong To You (duet with Eros Ramazzotti) 2007: Sing (duet with Annie Lennox and other artists) 2008: I Can Feel You 2008: Absolutely Positively 2009: Holding Back the Years (duet with Simply Red) 2009: Defeated 2009: Stalemate (duet with Ben's Brothers) 2010: Safety (duet with Dima Bilan) 2010: Burning Star (duet with Natalia Druyts) 2011: What Can We Do (A Deeper Love) (duet with Tiësto) 2012: If I Was Your Boyfriend (duet with Tony Moran) 2012: Dream on 2012: Best Of You 2014: Stupid Little Things 2014: Staring at the Sun 2014: Lifeline 2015: Take This Chance അവലംബം പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ Wikimedia Commons has media related to Anastacia .
Anastacia.com — Anastacia's official website Anastacia at Allmusic Anastacia at Billboard Anastacia on Twitter Anastacia on YouTube ഇന്റർനെറ്റ് മൂവി ഡാറ്റാബേസിൽ നിന്ന് അനാസ്ടാകിയ
അനാഹതനാദം
ആഹനനം (അടിക്കൽ) കൊണ്ടല്ലാതെ ഉണ്ടാക്കപ്പെട്ട നാദത്തെ അനാഹതനാദം എന്നു പറയുന്നു.
നാദം അഥവാ ശബ്ദം ഒരു ദ്രവ്യമാണെന്നും പൃഥ്വി , ജലം , തേജസ്സ്, വായു എന്നിങ്ങനെയുള്ള മറ്റു ദ്രവ്യങ്ങളുടേതുപോലെ ഇതിന്റെയും പരമാണുക്കൾ പ്രപഞ്ചത്തിൽ സർവത്ര വ്യാപിച്ചിരിപ്പുണ്ടെന്നും ആചാര്യന്മാർ അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു.
സർവവ്യാപ്തമായ ഈ ശബ്ദാണുസമൂഹത്തെ അനാഹതനാദം എന്നു പറയുന്നു.
അനാഹതനാദം ശരീരത്തിനകത്തും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുണ്ട്.
സുഷുമ്നയുടെ മേൽപ്പോട്ടുള്ള മാർഗ്ഗം അടഞ്ഞിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടാണ് സാധാരണക്കാർക്ക് അത് കേൾക്കാൻ കഴിയാതിരിക്കുന്നത്.
ഹഠയോഗപരിശീലനംമൂലം കുണ്ഡലിനിശക്തി ഉണരുമ്പോൾ ആ മാർഗ്ഗം തുറക്കപ്പെടുകയും നാദം കേൾക്കാൻ കഴിയുകയും ചെയ്യുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.
ആദ്യം ഇത് സമുദ്രഗർജനം , മേഘഗർജനം എന്നിവപോലെ സ്ഥൂലമായും പിന്നീട് ക്രമത്തിൽ ശംഖം , മണി, കിങ്ങിണി, ഓടക്കുഴൽ , വണ്ട് എന്നിവയുടെ നാദംപോലെ സൂക്ഷ്മമായും മധുരമായും അനുഭവപ്പെടുമെന്നു യോഗികൾ സ്വാനുഭവത്തിലൂടെ അറിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.
അനാഹതനാദം പ്രകൃതിയുടെ സംഗീതമാണ് അഥവാ പ്രപഞ്ചത്തിലെ നിസർഗസംഗീതമാണ്.
അത് ആഹതമായിത്തീർന്ന്- അടിക്കപ്പെട്ട്-ഉപാധിഭേദമനുസരിച്ച് സംഗീതശാസ്ത്രത്തിനാധാരമായ സപ്തസ്വരങ്ങളായി പരിണമിക്കുന്നു.
അനാഹതനാദത്തെ പ്രണവം , ഓംകാരം , ശബ്ദബ്രഹ്മം, സോഹംധ്വനി എന്നെല്ലാം സാധകന്മാരും യോഗികളും വ്യവഹരിച്ചുപോരുന്നു.
വൈയാകരണന്മാർ ഇതിനെ സ്ഫോടമെന്നാണ് പറയുന്നത്.
ശരീരത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു എന്ന് സങ്കല്പിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന മൂലാധാരം, സ്വാധിഷ്ഠാനം, മണിപൂരകം, അനാഹതം, വിശുദ്ധി, ആജ്ഞ എന്നീ ആറു ചക്രങ്ങളുള്ളതിൽ നാലാമത്തേതാണ് അനാഹതം.
ഹൃച്ചക്രം എന്നും ഇതിനു പേരുണ്ട്.
ഉദയസൂര്യന്റെ നിറമുള്ളതും പന്ത്രണ്ടു ദളങ്ങളുള്ളതുമായ പദ്മമായിട്ടാണ് ഈ ചക്രത്തെ സങ്കല്പിച്ചിട്ടുള്ളത്.
അനാഹതചക്രമാണ് അനാഹതനാദത്തിന്റെ സ്ഥാനം എന്നു പറയപ്പെടുന്നു.
കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അനാഹതനാദം എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അനാലിസിസ് (ഗണിതം) ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis ഈ  ലേഖനം വിക്കിപീഡിയ ശൈലി അനുസരിച്ച് വിക്കിവൽക്കരിക്കേണ്ടതുണ്ട് .
ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ശാഖ.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റു ശാഖകളാണ് ജ്യാമിതി അഥവാ ക്ഷേത്രഗണിതം (Geometry), ടോപോളജി (Topology), ബീജഗണിതം (Algebra), അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്നിവ.
എല്ലാ ശാഖകളിലേക്കും വ്യാപിക്കുന്ന ബൃഹത്തായ വളർച്ചയാണ് 19-ാം ശ.
മുതൽ അനാലിസിസിന് ഉണ്ടായിട്ടുള്ളത്.
വിശ്ളേഷണം അഥവാ വിശ്ളേഷികം എന്നും ഈ ഗണിതശാഖയെ വിളിക്കുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രാചീനകാലത്തു ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലുമുണ്ടായിട്ടുള്ള ജ്യാമിതീയവും ബീജഗണിതപരവുമായ വളർച്ച അനാലിസിസിന്റെ അന്തർധാരകളായിരിക്കാമെങ്കിലും എ.ഡി. 1600 മുതലാണ് ഇതു ശ്രദ്ധാർഹമായ ഒരു ശാസ്ത്രശാഖയായിത്തീർന്നത്.
ബലതന്ത്ര (Mechanics)ത്തിന്റെയും താത്ത്വികഭൌതിക (Theoretical Physics)ത്തിന്റെയും അവശ്യ വളർച്ചയ്ക്കാധാരമായിട്ടാണ് ഈ ശാഖയുണ്ടായത്.
അവകലനവും സമാകലനവും (Diiferentiation and integration), സാധാരണ അവകലസമവാക്യങ്ങളും വ്യതിയാനകലനവും (Ordinary Differential equations and Different Calculus) ബലതന്ത്രത്തിനുവേണ്ടിയാണുണ്ടായത്.
ധ്വാനിക (Acoustics)ത്തിൽ നിന്നും താപഗതിക (Thermodynamics)ത്തിൽ നിന്നും ഫൂറിയേ ശ്രേണി (Fourier series)യും പ്രകാശിക(Optics)ത്തിൽനിന്ന് സമ്മിശ്ര വിശ്ളേഷണവും (Complex Analysis), ഇലാസ്തികത (Elasticity), ദ്രവഗതികം (Hydrodynamics), വിദ്യുത്ഗതികം (Electrodynamics) എന്നിവയിൽ നിന്ന് ആംശിക-അവകലവാക്യങ്ങളും (Partial Diiferential equations) പ്രേരിതമായെന്നു സാമാന്യമായി പറയാം.
-ത്തിൽ ബലതന്ത്രം, താപഗതികം എന്നിവയിലെ സാംഖ്യികദർശനങ്ങളിൽനിന്നാണ് സാംഖ്യികസംഭാവ്യത (Statistical probability) പോലും ഉണ്ടായതെന്നവാദം നിലവിലുണ്ട്.
ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ ഐസക്ന്യൂട്ടനും (1642-1727) ഗോട്ഫ്രീഡ് ലൈബ്നിറ്റ്സും (1646-1716) കലന (Calculus)ത്തിന്റെ നിശ്ചിതമായ മാർഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതോടെയാണ് അനാലിസിസ് സർവശാസ്ത്രവ്യാപിയായ ഒരു വിജ്ഞാനശാഖയായിത്തീർന്നത്.
അവകലനവും സമാകലനവും അനാലിസിസിലെ അടിസ്ഥാനമാർഗങ്ങളാണെങ്കിലും അനന്തത (Infinityശ്യ) ആണ് അടിസ്ഥാനതത്ത്വം.
വാസ്തവത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം തന്നെ അനന്തതകളുടെ പഠനമാണെന്നു പറയാം.
പരിമിതമായ കാര്യങ്ങൾ മിക്കവയും പ്രാഥമികഗണിതത്തിൽ കഴിഞ്ഞാൽ അവശേഷിക്കുന്ന തൊണ്ണൂറു ശ.
വും അനന്തത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പഠനങ്ങളാണ്.
അനന്തമായ വലിപ്പം, അനന്തസൂക്ഷ്മം , അനന്തസാമീപ്യം , അനന്തമായ ഉപവിഭജനം എന്നിവയും അനന്ത-അനുക്രമം , അനന്തശ്രേണി , ഫലനം , ഫലനത്തിന്റെ അവിച്ഛിന്നത , ഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നം (derivative), ഫലനത്തിന്റെ സമാകലം (Integral) എന്നിവയുമാണ് വിശ്ളേഷണത്തിൽ സ്പർശിക്കപ്പെടുന്ന കാര്യങ്ങൾ.
അവകലജഗുണാങ്കം (differential) ഗണിത തത്ത്വങ്ങളിലെന്നല്ല, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം പോലുള്ള എല്ലാ വിജ്ഞാനശാഖകളിലും മൌലികപ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്ന ആശയമാണ്.
വാസ്തവിക സംഖ്യകൾ
ശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങൾ ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ അവയ്ക്കു പ്രത്യേകമായ തെളിമയും കൃത്യതയുമുണ്ടാകുന്നു.
യുക്തിയുക്തമായ ഒരു പരസ്പരബന്ധം ആ തത്ത്വങ്ങൾ തമ്മിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നതായി മനസ്സിലാക്കാനും കഴിയുന്നു.
ഭൌതികശാസ്ത്രത്തിലെ ധ്വാനികം , ദ്രവഗതികം , വൈദ്യുതീപ്രാകാശികം എന്നിവയിലെല്ലാം തരംഗങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികൾ മിക്കവാറും ഒരേതരത്തിലുള്ള അവകലസമവാക്യങ്ങൾകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.
ശാസ്ത്രീയ വിവരണങ്ങൾ സംഖ്യകളിലൂടെയാണ് പ്രകടമാവുന്നത്; അതായത്; വാസ്തവിക സംഖ്യകളിലൂടെ പ്രകടമാകുന്ന ശാസ്ത്രസത്യങ്ങൾ കൂടുതൽ വ്യക്തവും കണിശവുമായിരിക്കും.
സംഖ്യകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനസമ്പ്രദായം 17-ാം ശ.
-ത്തിലാണ് നടപ്പായതെന്നു പറയാം.
ത്തോടെ വാസ്തവിക പൂർണസംഖ്യകളോ സംഖ്യകൾ തന്നെയോ കൂടാതെ ഭൌതിക സത്യങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായം വളർന്നിട്ടുണ്ട്. ' അതീതഗണിതശാസ്ത്ര ' (Meta Mathematics) ത്തിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ സംഖ്യാപ്രകടന സമ്പ്രദായത്തിൽ അതീവ സംശയാലുക്കളാണ്.
സംഖ്യകളിലൂടെ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങൾ പോലും കാണുന്നതിൽ വളരെ അപകാതയുണ്ടെന്ന് ഈ നൂതന ഗണിതശാഖയിലൂടെ തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമം ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്.
ബി.സി. 5-ഉം 4-ഉം ശ.
-ങ്ങളിൽ ഗ്രീക്കുകാർ അനാലിസിസിലെ അതിപ്രധാനമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം നല്കി.
√ 2  ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ് (irrational number: അനാനുപാതികസംഖ്യ).
ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലും π = 3.14159....
എന്ന വിഗണസംഖ്യയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളുണ്ടായി.
വ്യാസാർധം 1 ആയിട്ടുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ആണ് π വൃത്തത്തിനു തുല്യവ്യാപ്തിയുള്ള ചതുരം നിർമ്മിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിനു പ്രാചീനകാലത്തുതന്നെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ പരിശ്രമം ആരംഭിച്ചിരുന്നു.
ഈ വഴിക്കുള്ള പരിശ്രമങ്ങളെല്ലാം 17-ാം ശ.
-ത്തിലെ സമാകലസിദ്ധാന്തത്തിനും കലനത്തിന്റെ താത്വികവളർച്ചയ്ക്കും കാരണമായി.
ഗണസിദ്ധാന്ത (Set Theory)ത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തോടെ അതിസൂക്ഷ്മത (infinitely small), അത്യനന്തം (infinitely large) എന്നീ ആശയങ്ങൾക്കു പുതിയ ഭാവങ്ങളുണ്ടായി.
അനാലിസിസ് മനസ്സിലാക്കാൻ അവശ്യം അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ടത് ഗണസിദ്ധാന്തമാണ്.
ക്ളാസിക്കൽ അനാലിസിസ് ഗണസിദ്ധാന്തത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിലും അതിലെ ആശയങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ പഠിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.
തുടർന്നുള്ള വിശദാംശങ്ങൾക്ക് ഗണസിദ്ധാന്തബോധം ആവശ്യമാണ്.
ക്രമം
വാസ്തവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച ഒരാശയമാണ് ക്രമം.
ഗണങ്ങളെയും 'ക്രമ'പ്പെടുത്താൻ കഴിയും.
8-നെക്കാൾ ചെറുതാണ് 3 എന്നത് 3 8 എന്നും 3 നെക്കാൾ വലുതാണ് 8 എന്നത് 8 ≤ , ≥ എന്നീ പ്രതീകങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
a leb;; c ≥ d; ഇതിൽ a,b, c, d എന്നിവ വാസ്തവിക സംഖ്യകളാണ്.
നിരപേക്ഷമൂല്യം
പ്രമാണം:P500.png പൂർണത
Completenes
വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഇതിൽ ആശയങ്ങൾ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്.
ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണ(S)ത്തിലുള്ള ഏത് അംഗത്തിനെക്കാളും വലിയതായി ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യ (b) സ്വീകരിക്കാനുണ്ടെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യ b ആണ്, s ഗണത്തിന്റെ ഒരു b എന്ന ഒരു ഉന്നത പരിബന്ധം (upper bound); S-ലെ ഒരംഗമാകണമെന്നില്ല.
S ={1/8,1/4,1/2}എന്ന ഗണത്തിലെ ഏതു സംഖ്യയും 1-നെക്കാൾ ചെറുതാണ്.
അതുകൊണ്ട് ട-ന്റെ ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമാണ് 1.
S ഗണത്തിനുണ്ടാകാവുന്ന അനവധി പരിബന്ധങ്ങളിൽവച്ച് ഏറ്റവും ചെറുതിനെയാണ് അല്പതമ-ഉന്നതപരിബന്ധം (least upper bound:lub ) അഥവാ സുപ്രീമം (Supremum:sup) എന്നു പറയുന്നത്.
അതുപോലെ ഏത് അംഗത്തെക്കാളും ചെറുതായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യയുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ ഒരു നിമ്നപരിബന്ധം (lower bound) എന്നും അത്തരം പരിബന്ധങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലിയതിനെ അധികതമ നിമ്നപരിബന്ധം (greatest lower bound:glb) അഥവാ ഇൻഫിമം (infimum: inf) എന്നും പറയുന്നു.
വാസ്തവികസംഖ്യകളെ നേർവരയിലെ ബിന്ദുക്കളുമായി അനുയോഗബന്ധത്തിൽ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയും.
ആ  രേഖയെയാണ് വാസ്തവിക സംഖ്യാരേഖയെന്നോ വാസ്തവികരേഖയെന്നോ വാസ്തവികാക്ഷമെന്നോ പറയുന്നത്; R എന്നാണ് ചിഹ്നം.
R 2 വാസ്തവിക സമതലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ചേർന്ന ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
പൂർണതാതത്ത്വം.
ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണമാണ് A എന്നു കരുതുക.
R-ന്റെ ഉപഗണമായിരിക്കും A.  
Rൽ A-യ്ക്ക് ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമുണ്ടെങ്കിൽ R-ൽത്തന്നെ അതിന് സുപ്രീമവും ഉണ്ടായിരിക്കും.
ഇതാണ് പൂർണതാതത്ത്വം.
R-നെ സംബന്ധിച്ചാണിവിടെ വ്യാഖ്യാനിച്ചതെങ്കിലും മറ്റു ചില സാമാന്യഗണങ്ങൾക്കും 'പൂർണത'യുണ്ട്.
R ഒരു പൂർണക്രമിക ഫീൽഡ് (completely ordered field) ആണ്.
b ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയും c ധനവാസ്തവികസംഖ്യയുമാണ് എന്നാണെങ്കിൽ 
nc b) എന്നീ ക്രമത്തിലുള്ള വാസ്തവികസംഖ്യകൾക്കിടയിൽ ഒരു ഗണസംഖ്യ (rational number: ആനുപാതികസംഖ്യ)r ഉണ്ടായിരിക്കും.
അതായത് a r b; ഒന്നുണ്ടെങ്കിൽ അനന്തം ഗണസംഖ്യകളും ഉണ്ടായിരിക്കും.
ഏകദിഷ്ടഫലനങ്ങൾ
( Monotonic functions).
A , B ഇവ ശൂന്യമല്ലാത്ത രണ്ടു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണങ്ങളും  f : A → B ഒരു ഫലനവും ആണെന്നു കരുതുക.
x 1 , x 2 ഇവ A-യിലെ അംഗങ്ങളും x 1 x 2 ഉം ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) ആണെങ്കിൽ f വർധമാനഫലനം ആണ് എന്നു പറയുന്നു.
, x 1 , x 2 ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) ആണെങ്കിൽ f ഹ്രസ്വമാനഫലനം ആണെന്നും പറയുന്നു.
അ എന്ന ഗണത്തിൽ f എന്ന ഫലനം വർധമാനമോ അഥവാ ഹ്രസ്വമാനമോ ആണെങ്കിൽ f ഏകദിഷ്ടമാണ് എന്നു പറയുന്നു.
മിതീയ ഗണങ്ങൾ
(Metric Sets).
ദൂരഫലനം അഥവാ മെട്രിക്'
a, b എന്നിവ A എന്ന ഗണത്തിലെ രണ്ടംഗങ്ങളാണെന്നു കരുതുക.
d(a, b) എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതും a, b എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താവുന്നതുമായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യ താഴെ ചേർക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾക്കു വിധേയമാണെങ്കിൽ d ഒരു മെട്രിക് അഥവാ ദൂരഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു; (i) d (a, b) അന്യൂന സംഖ്യയാണ്; അതായത് d(a, b) ≥ o.(ii) a-ഉം b-ഉം തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ, d(a, b)യുടെ മൂല്യം പൂജ്യം ആകുന്നുള്ളു.
(iii) d(a,b)ഉം d(a, b)ഉം തുല്യമാണ്.
(iv) a, b, c എന്നിവ A ഗണത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ, d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c).
ഇതിനെ ത്രികോണ-അസമത എന്നു പറയുന്നു.
മിതീയഗണം എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്, ഒരു ഗണവും (A) അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു മെട്രിക്കും (d) ചേർന്ന ജോടി (A,d) ആണ്.
ഇതിന് A എന്നു മാത്രമായിട്ടും പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
A {x:x വാസ്തവികസംഖ്യ}  A-യിലുള്ള ഏതു അംഗജോടികൾ (x 1 ,x 2 )ക്കും യോജിക്കുന്നവിധം d-യെ നിർവചിക്കാം.
d (x 1 ,x 2 ) = |x 1 -x 2 | ഒരു മെട്രിക് ആണ്.
സാമീപ്യങ്ങൾ
Neighbourhoods പ്രമാണം:P.no.474.jpg ചിത്രം 1
(A, d) മിതീയഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ.
A-യിലെ ഒരുസ്ഥിരബിന്ദുവും ε ഒരു ധനവാസ്തവിക സംഖ്യയുമാണെന്നു കരുതുക.
ഈ വ്യവസ്ഥിതിയിൽ d(a,x)-ന്റെ മൂല്യം ε -നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള A-യിലെ x അംഗങ്ങൾ ചേർന്ന ഗണത്തെ a-യുടെ ഒരു സാമീപ്യം എന്നു പറയുന്നു; N(a, ε ) എന്നാണിതിന്റെ പ്രതീകം.
അതായത് N (a, ε ) = {x:x € A,d(a,x) ε }.
ഈ ഗണത്തിൽനിന്ന് a എന്ന ബിന്ദു ഒഴിവാക്കിയാൽ, അവശേഷിക്കുന്നത്, N' (a, ε ) അപവർജിതസാമീപ്യം (deleted nighbourhood) ആണ്.
ആന്തരബിന്ദുക്കളും അതിർത്തിബിന്ദുക്കളും
(Interior points and boundary points).
m എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണമാണ് A എന്നു കരുതുക.
ഒരു ഗണ(A)ത്തിലെ അംഗം 'a' ആ ഗണത്തിന്റെ ഒരു 'ആന്തരബിന്ദു'വാകുന്നത്, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു സാമീപ്യം N (a, ε ) മുഴുവനും അ-ൽ ഉൾക്കൊള്ളുമ്പോഴാണ്; സാമീപ്യം ഒന്നും A-യിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്നില്ലെങ്കിൽ ആ അംഗം 'a' A-യുടെ ഒരു ബഹിർബിന്ദു (exterior point) വും ആകും; ഓരോ സാമീപ്യ N(a, ε ) വും A യിലെയും A-യ്ക്കു പുറത്തുള്ള ഭാഗത്തെയും അതായത്, M-A യേയും സന്ധിക്കുന്നു (Intersect) എങ്കിൽ A-യുടെ ഒരു അതിർബിന്ദുവാണ് a എന്നു പറയുന്നു.
ആന്തരബിന്ദു സമൂഹത്തിന് ആ ഗണത്തിന്റെ ആന്തരഭാഗം (interior) എന്നും ബാഹ്യബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹത്തിന് ആ ഗണത്തിന്റെ ബഹിർഭാഗം (exterior) എന്നും പറയുന്നു; അതിർബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹം ആ ഗണത്തിന്റെ അതിർത്തിഭാഗ(boundary)വും.
അതിർത്തിഭാഗവുംകൂടി ഉൾപ്പെടുന്ന ഗണത്തെ സംവൃതഗണം (closed set) എന്നും ആന്തരഭാഗം ഉൾപ്പെടുന്ന ഗണത്തെ വിവൃതഗണം (open set) എന്നും പറയുന്നു.
M എന്ന മിതീയഗണത്തിന്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ് A; M-ലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവാണ് a.  a-യുടെ ഓരോ അപവർജിത സാമീപ്യത്തിലും a-യുടെ ഒരു ബിന്ദുവെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, a എന്ന ബിന്ദു A-യുടെ ഒരു സീമാബിന്ദു (limit point) ആണെന്നു പറയുന്നു.
ഒരു ഗണത്തിന്റെ എല്ലാ സീമാബിന്ദുക്കളും അതിൽത്തന്നെ ഉൾപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗണം സംവൃതഗണമാണ്.
രണ്ടു ഗണങ്ങൾ തമ്മിൽ പൊതുബിന്ദുവില്ലാതിരിക്കയും ഒന്നു മറ്റൊന്നിന്റെ സീമാബിന്ദുക്കൾ ഉൾക്കൊള്ളാതിരിക്കയുമാണെങ്കിൽ, അവ വിച്ഛേദിതഗണങ്ങളാണ്.
രണ്ടു വിച്ഛേദിതഗണങ്ങളുടെ സംയോഗം (union) ആയി പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയാത്ത ഗണം ബന്ധിത (connected)വും ആണ്.
അനുക്രമങ്ങൾ
അനുക്രമം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നത് ഒരു ഫലനമായിട്ടാണ്.
f : N → M അതായത്, നിസർഗസംഖ്യകളെ ങ എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് ങ-ലെ ഒരു അനുക്രമം.
പ്രമാണം:P501.png അനുക്രമസീമ
'ബിന്ദുക്കൾ' ക്രമമായിരിക്കുമ്പോൾ ആ അനുക്രമത്തിന്റെ പ്രവണത നിർണയിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയമാണ് സീമ.
ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവാണ് സീമയെന്നു പറയാം.
സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാൽ പരിമേയമായ ഏതാനും അംഗങ്ങളൊഴിച്ച് ശേഷിക്കുന്ന മറ്റു സാന്തമോ അനന്തമോ അംഗങ്ങൾ മുഴുവനും ഉൾപ്പെടുന്നതായ ഒരു സാമീപ്യം b എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിനുണ്ടെങ്കിൽ, bയെ അനുക്രമത്തിന്റെ സീമയെന്ന് പറയുന്നു.
ഇതിനെ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   f(n)=b     , f(n) = b. എന്ന് എഴുതും.
{1,1/2,1/3,...........}.
എന്ന അനുക്രമത്തിന്റെ സീമ  0 ആണ്.
എന്തുകൊണ്ടെന്നാൽ N (0, ε ) എന്ന സാമീപ്യത്തിൽ അതിലെ അനന്തം അംഗങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.
ε എന്ന ധനവാസ്തവികസംഖ്യയെ അപേക്ഷിച്ച് N (0, ε ) എന്ന ഗണത്തിനു പുറമേ പോകുന്ന അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്.
സീമ ഉള്ള അനുക്രമത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണമെന്നും അല്ലാത്തതിനെ അപകേന്ദ്രസരണമെന്നും പറയുന്നു.
കോഷി അനുക്രമങ്ങൾ =
അനുക്രമത്തിലെ ഒരു പരിധിക്കുശേഷമുള്ള പദങ്ങളിൽ ഏതു രണ്ടെണ്ണവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം വളരെ ചെറിയ ഒരു ധനവാസ്തവിക സംഖ്യയ്ക്കു താഴെയായിരിക്കുമെങ്കിൽ ആ അനുക്രമം ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും.
അഭികേന്ദ്രസരണം ആയ ഏതു അനുക്രമത്തിന്റെയും ഒരു സാമാന്യ സവിശേഷതയാണിത്.
എന്നാൽ എല്ലാ മിതീയ ഗണങ്ങളിലും കോഷി അനുക്രമങ്ങൾ അഭികേന്ദ്രസരണമാകണമെന്നില്ല.
വാസ്തവിക സംഖ്യാഅനുക്രമങ്ങളിൽ കോഷി അനുക്രമങ്ങൾ എല്ലാം അഭികേന്ദ്രസരണങ്ങൾ ആണ്.
ബോൽസാനോ-വെയർസ്റ്റ്രോസ് തത്ത്വം
സമതലത്തെ ആസ്പദമാക്കി, അതായത് R 2 എന്ന തലത്തെ സംബന്ധിച്ച്, ഈ തത്ത്വം തെളിയിക്കുന്ന മാർഗ്ഗം ഉപയോഗിച്ചു തന്നെ സാമാന്യമായ യൂക്ളിഡിയാതലങ്ങൾക്കും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.
ഇതിന്റെ പ്രണേതാക്കൾ ബോൽസാനോ, വെയർസ്റ്റ്രോസ് എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ്.
പ്രമാണം:P502.png
R n -എന്ന n-മാനതലത്തിലെ ഓരോ ബന്ധിത (bounded) അനന്തഗണത്തിനും ഒരു സീമാബിന്ദുവെങ്കിലുമുണ്ട്.
A എന്ന ഗണം ബന്ധിതമായതിനാൽ അതുൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംവൃത സമചതുരം (S) കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
ഈ ചതുരത്തെ നാലു തുല്യ സമചതുരങ്ങളായി തിരിക്കാം (ചിത്രം 2).
ഇതിൽ ഏതെങ്കിലുമൊരു ചതുരത്തിന് (S 1 ), A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയും.
A അനന്തമായതിനാൽ ഇതു സാധ്യമാണ്.
S 1 -നെ വീണ്ടും നാലു തുല്യഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കുക.
ഇവയിലൊന്നിൽ A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലഘുചതുരം തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം.
അങ്ങനെ S, S 1 , S 2 , S 3 ...
എന്നു ചുരുങ്ങിവരുന്ന ഗണങ്ങളുടെ അനുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു.
n വർധിപ്പിച്ചുകൊണ്ടു പോയാൽ S n - എന്ന ചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറുതായി വരികയും സീമ 0 ആയിത്തീരുകയും ചെയ്യും.
S 1 -ൽ നിന്ന് (a 1 ,b 1 ) എന്നൊരു ബിന്ദു, S 2 -ൽ നിന്നു മറ്റൊരു ബിന്ദു (a 2 , b 2 ), S 3 -ൽ നിന്നു (a 3 , b 3 ) അങ്ങനെ S n -ൽ നിന്നു (a n , b n ) (ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്) എന്നിവ ക്രമത്തിലെടുത്താൽ അത് ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും.
S n -ന്റെ വശത്തിനു സീമ 0 ആയിരിക്കുന്നതാണ് അതിനു കാരണം.
അതുകൊണ്ട് (a,b) എന്നൊരു ബിന്ദു R 2 തലത്തിലുണ്ടാകുന്നു.
അതിനുള്ളവ്യവസ്ഥ n സീമ → ∞ (a n ,b n ), = (a, b) എന്നതാണ്.
N ((a, b), ε ) എന്ന ഓരോ സാമീപ്യത്തിലും A യിലെ (a n ,b n ) എന്നീ അനന്തം വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, (a, b) എന്ന ബിന്ദു A യുടെ സീമാബിന്ദുവാണ് (ചിത്രം 2).
പ്രമാണം:P502A.png ഫലനത്തിന്റെ സീമ
A, B എന്നിവ രണ്ടു മിതീയ ഗണങ്ങളായിരിക്കട്ടെ; a, b എന്നിവ A, B ഗണങ്ങളിലെ സ്ഥിരബിന്ദുക്കളും.
A ഗണത്തെയോ a ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള A-നെയോ (അതായത് A- {a}), B യിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് f,a ഉൾപെടാത്ത A യുടെ സാമീപ്യത്തെ N' (a, ∂ )  എന്നു സൂചിപ്പിക്കുക.
∂ ഒരു ധനപൂർണസംഖ്യയാണെന്നും N' (a, ∂ ) ശൂന്യഗണമല്ലെന്നും സങ്കല്പിക്കുക.
B-ൽ N (b, ε ) എന്ന bയുടെ ഓരോ സാമീപ്യത്തിനും അനുയോഗമായി A-ൽ N' (a, ∂ ) എന്നൊരു സാമീപ്യം ഉണ്ടാവുകയും N' (a, ∂ ) യുടെ രൂപാന്തരണമായ f [N' (a, ∂ ) N (b, ε )-ൽ ഉൾക്കൊള്ളുകയും ആണെങ്കിൽ, f (x)-ന്റെ സീമ b ആണെന്നു പറയുന്നു; x → af(x)=b എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.