smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
നീണ്ട ദേഹമുള്ള ഇവയുടെ ശരീരം അനവധി ഖണ്ഡങ്ങളായി (segments) ഭാഗിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ഓരോ ദേഹഖണ്ഡത്തെയും മെറ്റാമിയർ (metamere) എന്നു വിളിക്കുന്നു.
മെറ്റാമിയറുകൾക്കോരോന്നിനും അന്തർഭാഗത്ത് രക്തക്കുഴലുകൾ, നാഡീഗുഛിക(Nerve ganglion)കൾ, ജനനഗ്രന്ഥികൾ, പേശീവ്യൂഹഭാഗങ്ങൾ എന്നിവ കണ്ടുവരുന്നു.
യഥാർഥത്തിൽ അവശ്യഭാഗങ്ങളിൽ മിക്കതും ഇപ്രകാരം ആവർത്തിക്കപ്പെട്ടുകാണുന്നു.
ഇങ്ങനെയുള്ള ദേഹഖണ്ഡങ്ങൾക്കുള്ളിലെ ആന്തരാവയവങ്ങളുടെ ആവർത്തനത്തെയാണ് മെറ്റാമെറിസം (metamerism) അതായത് അംശീകരണം എന്നു പറയുന്നത്.
ശരീരഘടന ദ്വന്തസമമിതിയുള്ള ഏതൊരു ജീവികളുടേയും ശരീരഘടന
അടിസ്ഥാനപരമായി അനലിഡകളുടെ ഘടന പുറമേ കാണുന്ന നാളിപോലെയുള്ള ദേഹഭിത്തിയും ഉള്ളിൽ ഒരു പചനനാളിയും ഇവയെ തമ്മിൽ വേർതിരിക്കുന്ന സീലോമും (coelom) ഉൾപ്പെട്ടതാണ്.
ദഹനേന്ദ്രിയനാളത്തിന്റെ അഗ്രഭാഗത്തായി വായും പശ്ചഭാഗത്തായി ഗുദവും കാണപ്പെടുന്നു.
വായുടെ മുന്നോട്ടു തള്ളിനില്ക്കുന്ന പ്രോസ്റ്റോമിയം (prostomium) എന്നൊരു ശരീരഭാഗമുണ്ട്.
ഇതേത്തുടർന്നു പുറകോട്ടാണ് മറ്റു ശരീരഖണ്ഡങ്ങൾ കാണപ്പെടുന്നത്.
ഓളിഗോക്കീറ്റയിൽ (Oligochaeta) ദേഹഖണ്ഡങ്ങൾ ഏകരൂപമുള്ളവയാണ്.
ഹിറുഡീനിയയിൽ (Hirudinea) ഇവയ്ക്ക് ദ്വിതീയ ഖണ്ഡനം സംഭവിച്ചിരിക്കുന്നു.
എന്നാൽ പോളിക്കീറ്റുകളിൽ (Polychaeta) ഇവ പല അളവിൽ വിഭേദനം (differentiation) സംഭവിച്ചവയാണ്.
അനലിഡകളുടെ ബാഹ്യഭാഗം കട്ടിയുളള ഒരു കോശപാളി(cuticle)യാൽ നിർമിതമാണ്.
ഇതിൽ ശൂകങ്ങളോ (setae) പരിവർത്തിത സീലിയകളോ പ്രത്യേകതരം പാപ്പിലകളോ കാണാം.
ഇവയെല്ലാംതന്നെ ആഹാരസമ്പാദനത്തിനോ ശ്വസനത്തിനോ പരിരക്ഷയ്ക്കോ ആയിട്ടാണ് ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നത്.
ബാഹ്യചർമത്തിൽ കാണുന്ന ശൂകങ്ങൾ എണ്ണത്തിലും ആകൃതിയിലും, വിവിധ ഇനങ്ങളിൽ വ്യത്യസ്തങ്ങളായിരിക്കും.
പേശീഘടന
പേശീവ്യൂഹം പ്രധാനമായും മൂന്നുതരം പേശികളുൾക്കൊള്ളുന്നു; വർത്തുളപേശികൾ (circular muscles), അനുദൈർഘ്യപേശികൾ (longitudinal muscles), തിര്യക് പേശികൾ (oblique muscles).
ഇവയുടെ വലിപ്പവും കനവും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും.
ഇവ രേഖിതപേശീകോശങ്ങളാൽ (striated muscle cells) നിർമിതമാണ്.
സംവേദകാംഗങ്ങൾ (sens organs) പ്രധാനമായും കണ്ണുകൾ, സംവേദക പാപ്പിലകൾ, ഗ്രസനി-സ്വാദേന്ദ്രിയങ്ങൾ, സംതുലനപുടി (statocyst) എന്നിവയാണ്.
മൃദുശരീരത്തിന്റെ സ്വരക്ഷയെക്കരുതി മിക്ക അനലിഡുകളിലും വഴുക്കൽ-സ്രവണം (slime-secretion), നാളികൾ, പുനങ്ങൾ, തുരങ്കങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർമ്മാണം എന്നീ പ്രക്രിയകളെ പ്രേരിപ്പിക്കത്തക്കവിധം ഗ്രന്ഥികോശ (glandular cell) വളർച്ച കൂടുതലായി കാണാറുണ്ട്.
നാഡീവ്യൂഹത്തിന്റെ പ്രധാന ഭാഗം പൃഷ്ഠീയ-മസ്തിഷ്ക-ഗുച്ഛിക (dorsal cerebral ganglion) അഥവാ മസ്തിഷ്കമാണ്.
ഇത് പ്രോസ്റ്റോമിയത്തിനുള്ളിലായോ അല്പം പുറകിലായോ കാണപ്പെടുന്നു.
ഇതേത്തുടർന്നു ഒന്നോ രണ്ടോ പരിഗ്രസനി സംധായികൾ (circum cesophagial commissures) കാണാം.
ഇവ ഒരു അധര-തന്ത്രികാരജ്ജു(ventral nerve cord)വുമായി ബന്ധിച്ചിരിക്കുന്നു.
അധര-തന്ത്രികാരജ്ജുവിന് ഓരോ ഖണ്ഡത്തിലും ഗുച്ഛിക(ganglion)കളുണ്ട്.
ചംക്രമണ വ്യൂഹം
ചംക്രമണ വ്യൂഹത്തിൽ രണ്ടു അധരപൃഷ്ഠ-അനുദൈർഘ്യ വാഹികൾ (dorsal and ventral longitudinal vessels) ഉണ്ട്.
ഇവയ്ക്ക് പാർശ്വശാഖകളുമുണ്ട്.
അധരവാഹികയിൽ രക്തം മുൻപോട്ടും പൃഷ്ഠവാഹികയിൽ പിൻപോട്ടും ഒഴുകുന്നു.
ചില അനലിഡുകളിൽ സീലോമിക ദ്രാവകവും രക്തവും തമ്മിൽ വേർപെട്ടു കാണപ്പെടുന്നു.
മറ്റു ചിലവയിൽ രക്തവാഹികൾ കാണുന്നില്ല.
ഇവയിൽ സീലോമിൽ ആണ് രക്തം കാണപ്പെടുന്നത്.
സ്പന്ദിക്കുന്ന വാഹികകളോ ഹൃദയമോ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഖണ്ഡങ്ങളിൽ ഉണ്ടാകാറുണ്ട്.
വിസർജന വ്യവസ്ഥ
വിവിധ പരിണാമഘട്ടങ്ങളിലുള്ള വിസർജനേന്ദ്രിയങ്ങളാണ് അനലിഡുകൾക്കുള്ളത്.
സാധാരണയായി ജോഡിയായി കാണപ്പെടുന്ന നെഫ്രീഡിയം (Nephridium) എന്ന അവയവമാണുള്ളത്.
ഇവ ഖണ്ഡങ്ങൾതോറും കാണപ്പെടുന്നു.
സീലിയാമയ കോശങ്ങളോടുകൂടിയ ഇവയുടെ നാളികൾ സീലോമിൽനിന്നും വെളിയിലേക്ക് തുറക്കുന്നു.
ചില അനലിഡുകളിൽ ലിംഗകോശങ്ങളുടെ ബഹിർഗമനവും പ്രത്യേകതരം നെഫ്രീഡിയകൾവഴിയാണ്.
പ്രത്യുത്പാദന വ്യൂഹം
മിക്ക അനലിഡുകളിലും ലിംഗഭേദം കണ്ടുവരുന്നു.
ഉൾഭിത്തികളിൽനിന്നാണ് ലിംഗകോശങ്ങൾ വളർന്നുവരുന്നത്.
അവ സീലോമിനുള്ളിൽവച്ച് പൂർണ വളർച്ച പ്രാപിക്കുന്നു.
ഇവയ്ക്ക് ബാഹ്യബീജസങ്കലനമാണുള്ളത്.
ഏറിയകൂറും പോളിക്കീറ്റുകളും എല്ലാ ക്ലൈറ്റലേറ്റുകളും ഉഭയലിംഗികൾ (bisexual) ആണ്.
മുകുളനം (budding), വിഖണ്ഡനം (fragmentation) തുടങ്ങിയ അലൈംഗിക പ്രത്യുത്പാദനരീതികളും കണ്ടുവരുന്നുണ്ട്.
പുനരുദ്ഭവം
(Regeneration).
നഷ്ടപ്പെട്ട ശരീരഭാഗങ്ങളെ വീണ്ടും വളർത്തിയെടുക്കാനുള്ള കഴിവ് അനലിഡുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.
ഞാഞ്ഞൂലുകൾ, കണ്ണട്ടകൾ എന്നിവയിൽ നേരിട്ടുള്ള പരിവർധനം (development) ആണ് നടക്കുന്നത്.
നീറിസ്സുകൾ, ആർക്കി അനലിഡുകൾ (Archianneldia) എന്നിവയിൽ സ്വതന്ത്രമായി നീന്തിനടക്കുന്ന ട്രോക്കോഫോർ (Trochophore) ലാർവയെ കണ്ടുവരുന്നു.
അനലിഡുകൾ പല വലിപ്പത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു.
മണ്ണിരയുടെ ഇനത്തിലെ കീറ്റോഗാസ്റ്ററിന് ഒരു മി.മീ.
നീളംവരും.
റൈനോഡ്രൈലസ്, മെഗാസ്കോലക്സ് ഓസ്ട്രാലിസ് എന്നിവ 175 സെ.
നീളവും രണ്ട് സെ.
വണ്ണവും വരെ വളരുന്നു.
നീറിസ് വർഗത്തിലെ യൂണിസ് ജൈജാൻഷായ്ക്ക് 300 സെ.
വരെ നീളം വരും വർഗീകരണം
ഫൈലം അനലിഡയെ നാലു വർഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.
പാരപ്പോഡിയം (parapodium), ശൂകങ്ങൾ (setae), മെറ്റാമിയറുകൾ എന്നിവയേയും മറ്റു ബാഹ്യസവിശേഷതകളെയും ആധാരമാക്കിയാണ് ഈ വർഗീകരണം നടത്തിയിരിക്കുന്നത്.
വർഗം ഒന്ന്
ഓളിഗോക്കീറ്റ (Oligochaeta).
ശരീരത്തിന്റെ ബാഹ്യാന്തർഭാഗങ്ങൾ ഖണ്ഡരൂപത്തിലുള്ളതാണ്.
പാരപ്പോഡിയ കാണാറില്ല.
ശൂകങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറവായിരിക്കും.
തല ചെറുതാണ്.
ഇവ ഉഭയലിംഗികളാണ്.
ലാർവാ ദശ കാണാറില്ല.
ലംബ്രീക്കസ്, റ്റ്യൂബിഫെക്സ്.
വർഗം രണ്ട്
പോളിക്കീറ്റ (Polychaeta).
പാരപ്പോഡിയകളും ശൂകങ്ങളുമുള്ള അനലിഡുകൾ.
തലയും, തലയിൽ കണ്ണുകൾ, പാല്പുകൾ (palps), ഗ്രാഹികൾ (antennae) എന്നിവയും കാണപ്പെടുന്നു.
ശരീരത്തിന്റെ ബാഹ്യാന്തർഭാഗങ്ങൾ ഖണ്ഡനം സംഭവിച്ചവയാണ്.
ക്ലൈറ്റല്ലം (clitellum) കാണാറില്ല.
ഏകലിംഗാശ്രയികളാണിവ.
പരിവർധനഘട്ടത്തിൽ ട്രോക്കോഫോർ ലാർവാ ദശ കാണപ്പെടുന്നു.
കീറ്റോപ്ടെറസ് (Chaetopterus), അരണിക്കോള (Arenicola), അഫ്രോഡൈറ്റ് (Aphrodite).
വർഗം മൂന്ന്
ഹിറുഡീനിയ (Hirudinea).
അട്ടകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന വർഗം.
വർഗം നാല്
ആർക്കി-അനലിഡ.
ഇവയെ ആദി അനലിഡകളായി കരുതുന്നു.
ഖണ്ഡനം ആന്തരികഭാഗത്തു മാത്രമേ കാണുന്നുള്ളു, പാരപ്പോഡിയങ്ങളും ശൂകങ്ങളും കാണുന്നില്ല.
ഏകലിംഗാശ്രയികളാണ്.
പോളിഗോർഡിയസ് (Polygordius).
ഓളിഗോക്കീറ്റയെയും പോളിക്കീറ്റയെയും ചേർത്ത് കീറ്റോപ്പോഡ (Chaetopoda) എന്നും പറയാറുണ്ട്.
ജാതിവൃത്തം
മൊളസ്കുകൾ (Mollusca), എക്കൈനോഡേമുകൾ (Echinoderm) എന്നിവയുടെ മുൻഗാമികൾ അനലിഡുകളായിരുന്നുവെന്നു പരക്കെ സമ്മതിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിലും, ഇവയുടെ പൂർവികർ ആരാണെന്ന് വ്യക്തമല്ല.
ജീവാശ്മീയ (palaeontological) തെളിവുകൾ ഒട്ടുംതന്നെ ഇക്കാര്യത്തിൽ ലഭ്യമല്ല.
അനലിഡുകളുടെ മുൻതലമുറയെപ്പറ്റി പ്രധാനമായും രണ്ടു സിദ്ധാന്തങ്ങളാണുള്ളത്: ട്രോക്കോഫോർ സിദ്ധാന്തവും (Trocho phore theory) ടർബലേറിയൻ സിദ്ധാന്തവും (Turbellarian theory).
ആദ്യത്തെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് അനലിഡുകൾ ട്രോക്കോഫോർസമരായ പൂർവികരിൽ നിന്നും ഉദ്ഭവിച്ചതാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.
ഒരു പ്രത്യേക പൂർവജീവിയുടെ അഭാവത്തിൽ ട്രോക്കോസൂൺ (Trochozoon) എന്ന ഭാവനാ ജീവിയെ ഇവയുടെ പൂർവികനായി കരുതുന്നു.
ഇതിന് പോളിഗോർഡിയസിന്റെ ലാർവയുമായി നല്ല സാമ്യമുള്ളതായി പറയപ്പെടുന്നതിനാൽ, ട്രോക്കോഫോർ ലാർവയുള്ള ജീവികളുടെയെല്ലാം മുൻഗാമിയായി ഇതിനെ ഗണിക്കുന്നു.
എന്നാൽ മറ്റു ചില ശാസ്ത്രജ്ഞർ ട്രോക്കോസൂൺ, ടീനോഫോർ (ctenophore) പോലെയുള്ള പൂർവികരിൽനിന്നും ഉദ്ഭവിച്ചതായി കരുതുന്നു.
ടർബലേറിയൻ സിദ്ധാന്തമാകട്ടെ, ഇവ ടർബലേറിയ പോലെയുള്ളവയിൽനിന്നും ഉണ്ടായതായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഇവയിലെ സർപ്പിള വിദളനം (spiral cleavage) ഇതിനൊരു തെളിവായി ചൂണ്ടിക്കാണിക്കപ്പെടുന്നു.
കൂടാതെ ടർബലേറിയയുടെ ഭ്രൂണവളർച്ചയുടെ പല വിശദാംശങ്ങളും, ലാർവകളും അനലിഡുകളുടേതുമായി സാമ്യം വഹിക്കുന്നു.
മറ്റു പല ദേഹാവയവങ്ങളുടെ (നാഡീവ്യൂഹം, ആദിവൃക്ക, ലാർവയുടെ ഘടന) രീതിയിലെല്ലാം തന്നെ ഐകരൂപ്യം കാണാം.
ഈ തെളിവുകളെല്ലാം ടർബലേറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് പിൻബലം നൽകുന്നു.
അവലംബം കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അനലിഡ എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി വിക്കിപീഡിയയുടെ ഗുണനിലവാരത്തിലും, മാനദണ്ഡത്തിലും എത്തിച്ചേരാൻ ഈ ലേഖനം വൃത്തിയാക്കി എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്‌.
ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Analytic_number_theory
പൂർണസംഖ്യകളുടെ ബഹുമുഖമായ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയാണ് അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി (Analytic number theory) അഥവാ വിശ്ലേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തം .
ലീഷാൺ, ഗോസ്, വോൺ മങ്കോൾട്, ബെർട്രന്റ്, ഷെബിഷെഫ്, മെർടൺസ്, ലാന്റോ, മിങ്കൌസ്കീ, ഡിറീക്ലെ, റീമാൻ, ഇങ്ഹാം, ഉസ്പെൻസ്കി, സീഗൽ, ഹഡമാർഡ്, ഡെലാവാലി പൂസ്സിൻ, ലിന്നിക്ക്, സെൽബർഗ്, വിനഗ്രഡോഫ്, ഹാർഡി, രാമാനുജൻ, എസ്.എസ്.പിള്ള എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻമാർ വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെ പരിപോഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.
അനാലിസിസ്' (Analysis) അഥവാ വിശ്ളേഷണം എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പൂർണസംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അനന്തശ്രേണികളുടേയും അനന്തമായി തുടരുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളുടേയും (prime numbers) ഗുണധർമ വിചിന്തനം സാധിക്കുന്നു.
വിശ്ളേഷണത്തിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വമായ സീമ (limit) ഇതിൽ സാർവത്രികമായി പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു.
സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രാഥമികമായ തത്ത്വങ്ങളും അതിലുപരി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൌലികമായ ഗുണധർമങ്ങളും വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവശ്യഘടകങ്ങളാണ്.
ഈ തത്ത്വങ്ങളിൽ പടുത്തുയർത്തിയിട്ടുള്ള ഈ ഗണിതശാഖ ഗവേഷണരംഗത്തെ സജീവപ്രശ്നമായി തുടരുന്നു.
ആധുനിക ഗണിതശാഖകളായ ഗണസിദ്ധാന്തം (Set Theory), കേവല ബീജഗണിതം (Abstract Algebra), ടോപോളജി (Topology) എന്നിവയുടെ പ്രേരണകൊണ്ട് ബഹുമുഖമായ വളർച്ചയ്ക്കു വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയാണ് അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി.
മൗലിക തത്ത്വങ്ങൾ
പൂർണസംഖ്യകളുടെ ലളിതമായ സവിശേഷതകൾ ഏകദേശമായ സ്വയംസമ്പൂർണതയ്ക്കായി താഴെചേർക്കുന്നു.
1-ഉം അതേ സംഖ്യയുമൊഴികെ മറ്റൊരു ഘടകവുമില്ലാത്ത പൂർണസംഖ്യയാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ (prime number); ഇത്തരത്തിലല്ലാത്തവ സങ്കീർണസംഖ്യയും (composite number).
ഏതു പൂർണസംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.
ഒരു പൂർണസംഖ്യയ്ക്ക് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ രൂപത്തിൽ ഈ അഭാജ്യഘടകസംവിധാനം ഉണ്ടായിരിക്കയില്ല.
പൂർണസംഖ്യകളുടെ ഈ സവിശേഷതയ്ക്ക് ഐകഘടകീകരണതത്ത്വം (Unique Factorisation Theorem) എന്നു പറയുന്നു.
ഇതനുസരിച്ചാണ് പൂർണസംഖ്യയെ n = pa qb ......
rc അഥവാ IIpa എന്നിങ്ങനെ ഘടകരൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത്.
അനന്തത
ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ തുടർന്നു വരുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യയുണ്ട്.
ഈ ദർശനം തുടർന്നു പോയാൽ സ്വാഭാവികമായി തോന്നുന്ന ഒരു ആശയമാണ് അനന്തത.
പൂർണസംഖ്യകൾ അനന്തമായി അനുസ്യൂതം തുടരുന്നുവെന്നൂഹിക്കാം.
എന്നാൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളും ഇതുപോലെ അനന്തമായി തുടരുന്നുണ്ടോയെന്ന് അല്പം ചിന്തിക്കേണ്ടിവരും.
അഭാജ്യസംഖ്യകളും അപ്രകാരം തന്നെ തുടരുന്നുണ്ട്.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 എന്നു തുടങ്ങിയ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം അനന്തമാണ്.
യൂക്ളിഡ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രാചാര്യൻ ഈ വസ്തുത തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.
അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം ഒന്നും വിടാതെ p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യവരെ, തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഈ ഗുണിതത്തെ p വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകൾകൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നു.
എന്നാൽ ഈ ഗുണിതത്തിനോട് 1 ചേർത്തുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ p വരെയുള്ള ഏതൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്നതിനാൽത്തന്നെ ആ സംഖ്യ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണന്നോ, അല്ലാത്തപക്ഷം അതിന് p യേക്കാൾ വലിയ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകം ഉണ്ടന്നോ മനസ്സിലാക്കാം.
ഈ വാദം തുടരുന്നതായാൽ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്കപ്പുറത്ത് മറ്റൊന്നുണ്ടെന്നും അങ്ങനെ ആ അനുക്രമം അനന്തമായി തുടരുന്നുവെന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
അനന്തതയുമായുള്ള ഈ ബന്ധം യഥാർഥമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കു വഴിതെളിച്ചു.
ഏതെങ്കിലുമൊരു പൂർണസംഖ്യക്ക് താഴെ ആ സംഖ്യയോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യതയുള്ള (relative prime), അതായത് ആ സംഖ്യയുമായി 1 ഒഴികെ പൊതുഘടകമില്ലാത്ത, സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അവയുടെ ആകെത്തുക എന്നീ പ്രശ്നങ്ങൾ അങ്കഗണിതഫലനംവഴി മനസ്സിലാക്കി.
(n), d(n), (n) എന്നിവ ക്രമത്തിൽ ഈ ഫലനങ്ങളാണ്.
വിഗണസംഖ്യകൾ -ഗണസംഖ്യകൾ-ഏകദേശനം
Irrationals -Rationals-Approximation
√ 2 ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ്.
√ 2 വിന് 1.414 എന്നൊരു മൂല്യം ആരോപിക്കുന്നതായി കാണാം.
ഇതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുള്ള തത്ത്വമാണ് ഏകദേശനം എന്ന ആശയത്തിലുള്ളത്.
ഏതൊരു വിഗണസംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഗണസംഖ്യയെ ഏകദേശ മൂല്യമായി അംഗീകരിക്കാമെന്നു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഈ പ്രമേയങ്ങൾ ഇതിനുപോദ്ബലകമായി എടുക്കാം.
a ഒരു വിഗണസംഖ്യയും, N ധനാത്മക പൂർണസംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ താഴെപറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലേതെങ്കിലും ഒന്നനുസരിച്ച്, a-യോട് അടുപ്പമുള്ള h/k എന്ന ഒരു ഗണസംഖ്യയുണ്ടായിരിക്കും.
ഇവിടെ (k = N)
പ്രമാണം:P482.png
ഇതിലെ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ വാസ്തവത്തിൽ ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ കണിശമാണ്; രണ്ടാമത്തേതിൽ ഒന്നാമത്തേതും ഉൾപ്പെടുന്നു.
ഇത്തരം മെച്ചപ്പെടുത്തലുകളാണ് ഇമ്മാതിരി പ്രക്രിയയിലുള്ള ഗവേഷണത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.
അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങളും ജാലിക ബിന്ദുക്കളും
Arithmetical Functions and Lattice Points
അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യത്തിൽ ആധാരസംഖ്യയുടെ വലിപ്പച്ചെറുപ്പമനുസരിച്ചുണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം ഈ ശാഖയിലെ പ്രധാന വശമാണ്.
n-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞതും n-നോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യവുമായ പൂർണ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, അതായത് ø (n), n-നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമെന്നത് വളരെ എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം: ø (n) n ഈ അസമതാവാക്യത്തെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.
അതുപോലെ d(n) എന്ന ഘടകഫലന (divisor function) ത്തിന്റെ മൂല്യം, n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ, 2 ആണ്; അതായത് d(n)-ന്റെ അല്പതമ സീമ 2.
σ (n), μ (n), gama; (n) എന്നീ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളും ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളും പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്.
അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിലെ ഏറ്റവും മൌലികമായ പ്രശ്നം അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി (Prime Number Theorem) എന്നതാണ്.
ഓയിലർ, സീഗൽ, ഷെബിഷെഫ്, ലാന്റോ, സെൽബർഗ്, വിനഗ്രഡോഫ് എന്നിവരെല്ലാം  ഈ പ്രമേയത്തിനു ഭേദഗതികൾ നല്കിയിട്ടുണ്ട്.
അഭാജ്യസംഖ്യാ ശ്രേണി അനന്തമായി തുടരുന്നു.
അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു ക്ളിപ്തസംഖ്യയ്ക്കു താഴെ എത്ര അഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ടായിരിക്കുമെന്നു മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാവശ്യമായി വരുന്നു.
ഇതിനൊരു ഫോർമുല തീർക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ ഏകദേശനിലയിൽ തിട്ടപ്പടുത്താൻ ശ്രമം നടന്നു.
ഇതിന്റെ ഫലമായിട്ടാണ് ഈ പ്രസിദ്ധമായ പ്രമിതി രൂപപ്പെട്ടത്.
f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനം ആണെങ്കിൽ താഴെയുള്ള
F(N)= Σ N n=1 f(n)
എന്ന ആകെത്തുകയ്ക്ക് ആകലനഫലനം (summatory function) എന്നു പറയാം.
അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഗതിവിഗതികൾ പഠിക്കാൻ ആകലനഫലനവും അതിന്റെ ശരാശരി ഫലനവും (average function) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
ചില അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങൾക്കു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്.
എളുപ്പത്തിൽ ഗ്രഹിക്കാവുന്ന ജ്യാമിതീയ മാർഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ വിശ്ളേഷണ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കാണാൻ കഴിയും.
n-മാന യുക്ളീഡിയ പ്രതലത്തിലെ (n-Dimensional Euclidean Space) പൂർണ സംഖ്യാനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുള്ള (Integer co-ordinates) ബിന്ദുവാണ് ജാലികബിന്ദു.
ഒരു പ്രത്യേക തലത്തിലെ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികൾ തിട്ടപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.
വിഭജന പ്രശ്നം
n എന്ന ധനപരമായ ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ ധനപരമായ മറ്റു പൂർണസംഖ്യകളുടെ തുകയായി എത്രവിധത്തിൽ എഴുതാമെന്നൊരു പ്രശ്നമുണ്ട്.
വിഭജനപ്രശ്നം എന്നാണിതിനു പേര്.
p(n) എന്നാണ് ഈ ഫലനത്തെ സൂചിപ്പിച്ചുപോരുന്നത്.
5 =  4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1
=  2+1+1+1  =  1+1+1+1+1
അങ്ങനെ 5 എന്ന സംഖ്യയെ ഏഴു തരത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ തുകകളായി പ്രകടിപ്പിക്കാം.
അതായത് p(5) = 7.
p(n)-ന്റെ മൂല്യം കണിശമായി കണ്ടുപിടിക്കുവാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല :
പ്രമാണം:P483.png
രാമാനുജനും ഹാർഡിയും കൂടി കണ്ടെത്തിയ ഒരു വ്യഞ്ജകം ആണിത് (1917).
വെയറിങ് പ്രശ്നം
Waring Problem
നിസർഗസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്ന രൂപങ്ങളെ (forms) കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്.
അതായത്, ഏത് ഒറ്റ സംഖ്യയും രണ്ടു നിസർഗ സംഖ്യകളുടെ വർഗവ്യത്യാസത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും: 7 = 4 2 -3 2 ; 2n+1 = (n+1) 2 -n 2 .
ഇതിൽ 7-നെ 4 2 -3 2 എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാവ് എ.ഡി. മൂന്നാം ശ.
-ത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഡയോഫാന്റസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്.
1 + 2 + 3 + .......
+ n = n (n+1) / 2
എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തുനിന്ന് n എന്നതിന് 1, 2, 3, 4, ....
എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ ക്രമത്തിൽ 1, 3, 6, 10, ...
ഈ സംഖ്യകളെ  ത്രിഭുജസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു.
ഇതുപോലെ ബഹുഭുജസംഖ്യകളെ n + 1/2(x-2)(n 2 -n) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.
ഇതിൽ n = 0, 1, 2,...
എന്നെടുത്താൽ വിവിധതരം ബഹുഭുജസംഖ്യകൾ കിട്ടുന്നു; x ന്റെ മൂല്യം 4 ആണെങ്കിൽ വർഗസംഖ്യകളായിരിക്കും കിട്ടുക.
ഏതു വർഗസംഖ്യയും ത്രിഭുജസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടോ മൂന്നോ അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയോ ആയിരിക്കുമെന്ന് ഫെർമെ (1636) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പ്രസ്താവിക്കുകയുണ്ടായി.
അതിൽ കവിഞ്ഞ്, ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും x രാശിയിലുള്ള x ബഹുഭുജസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും എന്നുകൂടി ഫെർമെയുടെ പ്രമേയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും 4 വർഗസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കുമെന്ന് ലഗ്രാഞ്ചെ (1772) തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി; ത്രിഭുജസംഖ്യകൾക്കു ലീഷാണും (1798) മറ്റുള്ളവയ്ക്കു കോഷിയും (1813-15).
ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും കവിഞ്ഞത് 9 ഘനമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും; അഥവാ കവിഞ്ഞത് 19 ചതുർമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക; കവിഞ്ഞത്, 37 പഞ്ചമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.
1770-ൽ ഇ.
വെയറിങ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടതാണിത്.
ചുരുങ്ങിയത് എത്ര പദങ്ങൾ (terms) ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലുമുണ്ടായിരിക്കുമെന്ന പ്രശ്നം അവശേഷിച്ചു.
ജി.എച്ച്. ഹാർഡി, ലിറ്റിൽവൂഡ്, രാമാനുജൻ എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം പിന്നീട് (1917) ഗഹനമായി പഠിച്ചത്.
ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലും ഉണ്ടാകാവുന്ന k-രാശിയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ചുരുങ്ങിയത് g(k) ആണെങ്കിൽ, g(k)-യെ വെയറിങ് സ്ഥിരാങ്കമെന്നു പറയുന്നു.
g(6)-ന്റെ മൂല്യം 184-ൽ താഴെയും g(7)-ന്റേത് 323-ൽ താഴെയും g(8)-ന്റേത് 596-ൽ താഴെയും ആയിരിക്കുമെന്ന് 1934-ൽ ആർ.ഡി. ജെയിംസ് തെളിയിച്ചു.
ഐ.എം. വിനഗ്രഡോഫ് ചില ഗവേഷണഫലങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിനെത്തുടർന്ന് യു.എസ്സിലെ എൽ.ഇ.
ഡിക്സണും ഇന്ത്യയിലെ എസ്.എസ്. പിള്ളയും കുറെ പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി.
1936-ൽ അവർ സ്വതന്ത്രമായി ഈ പ്രശ്നം മിക്കവാറും പരിഹരിച്ചു.
q=(3/2) k എന്നിരിക്കട്ടെ.
അവർ തെളിയിച്ചത് ഇതാണ്:
g (k) =2 k + q-2; k ≥ 7
(3/2) k - q ≤ 1 -(1/2) k (q+3)
400-ൽ താഴെയാണ് k-യുടെ മൂല്യമെങ്കിൽ ഇത് ശരിയായിരിക്കും.
മറ്റുള്ള മൂല്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച വ്യവസ്ഥയാണ് താഴെ കാണുന്നത്:
(3/2) k - q =1-(1/2) k (q+2)
1944-ൽ ഐ. നിവൻ ഈ വ്യവസ്ഥയിലും പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.
1940-ൽ എസ്.എസ്.പിള്ള തന്നെ g(6) = 73 എന്നു തെളിയിച്ചു.
1944 ആയപ്പോഴേക്കും k = 4, 5 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളൊഴികെ മറ്റെല്ലാം വെയറിങ് പ്രശ്നത്തിൽ പരിഹൃതങ്ങളായി.
പ്രമാണം:Pno483.png ജാലികബിന്ദു ഫലനം
Lattice Point Function
ഒരു പൂർണസംഖ്യ(n)യെ രണ്ടു പൂർണസംഖ്യകളുടെ വർഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ഏതേതുവിധത്തിലെല്ലാം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്നതിന്റെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ ഫലനം.
γ (n) എന്നാണിതിന്റെ ചിഹ്നം.
അതായത്, x 2 +y 2 = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്നതിന്റെ എണ്ണം γ (n).
1 = (+ - 1) 2 + 0 2 =0 2 + (+-1) 2 .
അതുകൊണ്ട് γ (1) = 4.
γ (n) ഗുണനാത്മകഫലനം (multiplicative function) അല്ല.
നോ: അങ്കഗണിതഫലനം
ചില സംഖ്യകളെ (n), n = x 2 + y 2 എന്ന രൂപത്തിൽ n, x, y പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴികയില്ല.
അതുകൊണ്ട് γ (n) ചുരുങ്ങിയത് പൂജ്യം ആകാം.
പ്രമാണം:Pno484.png
k  n-നെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ.
γ (n)-ന്റെ ഈ അളവുമാനത്തെക്കാൾ (order of magnitude) പഠനവിധേയത്വമുള്ളത് R(N)എന്നൊരു ഫലനമാണ്.
x 2 + y 2 =  N എന്ന വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിൻമേലും അകത്തും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് R(N) സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ വഴി മനസ്സിലാക്കാം.
ഏകദേശം ആ വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ആയിരിക്കും R(N).
ഗോസ് തിയറം
Gauss Theorem
ചിത്രം (1)-ൽ ഏകക വിസ്തീർണം (unit area) ഉള്ള ചതുരങ്ങളുടെ ശീർഷങ്ങളാണ് വൃത്തത്തിന്റെ സമതലത്തിലുള്ള ജാലികബിന്ദുക്കൾ.
വൃത്തത്തിനകത്തും പരിധിയിൻമേലും ഉള്ള ജാലികബിന്ദുക്കൾക്ക് അനുയോഗത്തിലുള്ള ചതുരങ്ങൾ കണക്കാക്കിയാൽ R(N) ഈ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം.
കണക്കാക്കേണ്ടതായ എല്ലാ ചതുരങ്ങളും വൃത്തത്തിനകത്തല്ല.
ഏതായാലും x 2 +y 2 = ( √ N + √ 2) 2 എന്ന വൃത്തത്തിനകത്തായിരിക്കും.
അതുകൊണ്ട് R(N) π ( √ N + √ 2)2.
അതുപോലെതന്നെ ആ ചതുരങ്ങൾ ( √ N - √ 2) വ്യാസാർധമുള്ള വൃത്തത്തിനു പുറത്തായിരിക്കും.
R(N) π ( √ N - √ 2) 2 ,N ≥ 2 അതുകൊണ്ട് π (N-2 √ 2N + 2) R(N) π (N+2 √ 2N + 2) അതുകൊണ്ട്,R(N)= π N + O( √ N) .
ഘടക ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം
d(n)-ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം 2 ആണ്.
കൂടിയത് എത്രയുമാകാം.
xy = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂർണ സംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്ന എണ്ണമാണ് d(n).
ചിത്രം 2-ലെ, xy = n എന്ന ബഹിർവളയത്തിൻമേലും, അതിനും OX-, OY- അക്ഷങ്ങൾക്കുമിടയിലുള്ളതുമായ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് d(n).
d(n) = O(n ε ), ε ഓയിലർ ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം
ø (n) n എന്നത് എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം.
, ø (n) = n(1-1/p), n=p m , 1/p = ε എന്നെടുത്താൽ ( ø (n) ø ) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
ഇതിൽനിന്നു
പ്രമാണം:P484a.png
ø (n)-ന്റെ അളവുമാനത്തിന്റെ മറ്റൊരു സീമയാണ്.
പ്രമാണം:P484b.png മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം
മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനമെടുക്കാൻ Σ ∞ n=1 μ (n)/n 2 എന്ന വാക്യമാണുപയോഗിക്കുന്നത്.
പ്രമാണം:P484c.png
എന്നീ അനന്തശ്രേണികൾ രണ്ടും നിരപേക്ഷ-അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണ്.
പ്രമാണം:P484d.png
ഈ ഗുണിതത്തിൽ ആദ്യത്തെപദം ഒന്നും മറ്റെല്ലാം പൂജ്യവുമായിരിക്കും.
പ്രമാണം:P484e.png
എന്നു തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.
ഇതിൽ നിന്നു മനസ്സിലാക്കുന്നത്.
പ്രമാണം:P484f.png
റീമാൻ സീറ്റാഫലനം
(s)ഡിറീക്ലെ ശ്രേണികൾ.
പ്രമാണം:P484g.png
ഇതിനു റീമാൻ സീറ്റാ ഫലനമെന്നു പറയുന്നു.
സീറ്റാ ഫലനമുപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ശ്രേണികളുടെ പഠനം നടത്താവുന്നതാണ്.
f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെങ്കിൽ,
പ്രമാണം:P484h.png
ഒരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിയാണ്.
അഭികേന്ദ്രസരണവ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി
പ്രമാണം:P484i.png
എന്നിവ ഗുണിച്ചാൽ ഫലം
പ്രമാണം:P484j.png
എന്നൊരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിതന്നെയായിരിക്കും.
ഇവിടെ  h(n) എന്ന അങ്കഗണിതഫലനം,
പ്രമാണം:P484k.png
എന്ന ഡിറീക്ലെ സംയോഗമാണ്.
റീമാൻ സീറ്റാഫലനവുമായി ഇതിനെ ബന്ധപ്പെടുത്താൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.
ഈ ആശയങ്ങളെല്ലാം ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യവത്കരിക്കാനും പുതിയ രൂപങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാനും കഴിയുന്നതാണ്.
അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി
Prime Number Theorem
x സാമാന്യമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെ കുറിക്കുന്നു.
x ഉൾപ്പെടെ x വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെയും എണ്ണം π (x).
π (x)-ന്റെ 'ഏകദേശമൂല്യം' (approximate value) x / log e x ആണെന്ന് ക്രിസ്ത്വബ്ദം 1800-നടുപ്പിച്ച് ലീഷാൺ (ലജന്റർ: Legendre,1752-1833) എന്ന ഫ്രഞ്ചുഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗോസ് (Gauss,1777-1855) എന്ന ജർമൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ കണ്ടെത്തി.
പ്രമാണം:P485a.png
എന്ന അംശബന്ധത്തിന്റെ വില ഒന്നിനോടടുക്കുന്നു.
ഇതാണ് അഭാജ്യസംഖ്യാപ്രമിതി.
ഗണിതശാസ്ത്രമണ്ഡലത്തിൽ മികച്ച ഒരു സ്ഥാനമാണ് ഈ തിയറത്തിനുള്ളത്.
ജെ. ഹഡമാർഡ് (J.Hadamard, 1865-1963) എന്ന ഫ്രഞ്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ബൽജിയക്കാരനായ ഡെ ല വാലി പൂസ്സിൻ (De la Vallee Poussin, 1866-1962) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ അഭാജ്യസംഖ്യാ പ്രമിതിക്ക് 1896-ൽ ഉപപത്തി (proof) കണ്ടുപിടിച്ചു.
പിന്നീടു പല ഉപപത്തികളും ആവിഷ്കൃതങ്ങളായിട്ടുണ്ടെങ്കിലും 1949-ൽ എർഡോ, സെൽബർഗ് (Erdoo and Selberg) എന്നിവർ ചേർന്ന് പ്രൊസീഡിങ്സ് ഒഫ് നാഷണൽ അക്കാദമി ഒഫ് സയൻസസ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും അതേകൊല്ലം സെൽബർഗ് തനിച്ച് ആനൽസ് ഒഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും ഇതിനു സരളമായ ഉപപത്തികൾ പ്രസിദ്ധം ചെയ്തു.
നോ: അനാലിസിസ്, അങ്കഗണിതഫലനം, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അനസൂയ (വിവക്ഷകൾ) അനസൂയ അനസൂയ (ശാകുന്തളം) അനസൂയ (തെലുങ്ക് ചലചിത്രം) ഇതൊരു വിവക്ഷാതാളാണ് : ഒരേ വാക്കിനാൽ വിവക്ഷിക്കാവുന്ന വിവിധ കാര്യങ്ങളെ കുറിച്ചുള്ള താളുകൾ ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
അനലോഗ്-ടു-ഡിജിറ്റൽ കൺവെർട്ടർ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Analog-to-digital_converter 4-ചാനൽ അനലോഗ് ടു ഡിജിറ്റൽ കൺവെർട്ടർ
അനലോഗ് ഉള്ള സിഗ്നലുകളെ ഡിജിറ്റൽ സിഗ്നൽ ആയി മാറ്റുന്ന ഒരു ഉപകരണം ആണ് അനലോഗ്-ടു-ഡിജിറ്റൽ കൺവെർട്ടർ .
ഈ ഉപകരണത്തിന്റെ ചുരുക്കപ്പേര് എ ഡി സി ( ADC ), എ / ഡി ( A/D ) അല്ലെങ്കിൽ എ-ടു-ഡി ( A to D ) എന്നാണ്.
ഇതിന്റെ നേർ വിപരീതമായി സിഗ്നൽ മാറ്റുന്ന ഉപകരണം ആണ് ഡിജിറ്റൽ-ടു-അനലോഗ് കൺവെർട്ടർ ( DAC ).
സാധാരണയായി എഡിസി എന്നു പറയുന്നത് ഒരു ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണമാണ്.
അത് ഇൻപുട്ടായി നൽകുന്ന അനലോഗ് തരത്തിലുള്ള വോൾട്ടേജിനേയോ കറണ്ടിനേയോ തത്തുല്യ മൂല്യമുള്ള ഡിജിറ്റൽ സിഗ്നലുകളാക്കി മാറ്റുന്നു.
ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണമല്ലെങ്കിലും ഭാഗികമായി ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണമായ റോട്ടറി എൻകോഡറുകളേയും എ ഡി സി ആയി കണക്കാക്കുന്നു.
ഡിജിറ്റലായി ലഭിക്കുന്ന ഔട്ട്പുട്ട് പലതരത്തിലുള്ള കോഡിംഗിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
സാധാരണയായി കൊടുക്കുന്ന ഇൻപുട്ടിന്റെ തത്തുല്യമായ ബൈനറി സംഖ്യയുടെ 2's കോംപ്ലിമെന്റ് (2's complement) ആണ് ഔട്ട്പുട്ടായി ലഭിക്കുന്നത്.
എന്നാൽ അത്തരത്തിൽ അല്ലാതിരിക്കാനും സാധ്യതകളുണ്ട്.
ചില എൻകോഡറുകൾ ഗ്രേ കോഡ് ആണ് ഔട്ട്പുട്ടായി നൽകുന്നത്.
വൈദ്യുത ചിഹ്നം
അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Analytical_Engine സയൻസ് മ്യൂസിയത്തിൽ (ലണ്ടൻ) പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ബാബേജ് നിർമ്മിച്ച അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിന്റെ ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ ട്രയൽ മോഡൽ
ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും കമ്പ്യൂട്ടർ പയനിയറുമായ ചാൾസ് ബാബേജ് രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത നിർദ്ദിഷ്ട മെക്കാനിക്കൽ ജനറൽ പർപ്പസ് കമ്പ്യൂട്ടറാണ് അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ .
ലളിതമായ മെക്കാനിക്കൽ കമ്പ്യൂട്ടറിനുള്ള രൂപകൽപ്പനയായ ബാബേജിന്റെ ഡിഫറൻസ് എഞ്ചിന്റെ പിൻഗാമിയായാണ് 1837 ൽ ഇതിനെ ആദ്യമായി വിശേഷിപ്പിച്ചത്.
അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ ഒരു ഗണിത ലോജിക് യൂണിറ്റ്, സോപാധികമായ ബ്രാഞ്ചിംഗിന്റെയും ലൂപ്പുകളുടെയും രൂപത്തിലുള്ള നിയന്ത്രണ പ്രവാഹം, സംയോജിത മെമ്മറി എന്നിവ ഉൾപ്പെടുത്തി, ഒരു പൊതു-ഉദ്ദേശ്യ കമ്പ്യൂട്ടറിനായുള്ള ആദ്യ രൂപകൽപ്പനയായി ഇത് ആധുനിക പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ട്യൂറിംഗ്-കംപ്ലീറ്റ് എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കാം.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിന്റെ ലോജിക്കൽ ഘടന പ്രധാനമായും ഇലക്ട്രോണിക് കാലഘട്ടത്തിൽ കമ്പ്യൂട്ടർ രൂപകൽപ്പനയിൽ ആധിപത്യം പുലർത്തിയതിന് സമാനമായിരുന്നു.
ചാൾസ് ബാബേജിന്റെ ഏറ്റവും വിജയകരമായ നേട്ടങ്ങളിലൊന്നാണ് അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ.
ചീഫ് എഞ്ചിനീയറുമായുള്ള പൊരുത്തക്കേടുകളും ഫണ്ടിന്റെ അപര്യാപ്തതയും കാരണം ബാബേജിന് ഒരിക്കലും യന്ത്രങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല 1941 വരെ ബാബേജ് 1837 ൽ പയനിയറിംഗ് അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ നിർദ്ദേശിച്ചതിന് ഒരു നൂറ്റാണ്ടിലേറെ കഴിഞ്ഞാണ് ആദ്യത്തെ പൊതു ആവശ്യത്തിനുള്ള കമ്പ്യൂട്ടർ Z3 നിർമ്മിച്ചത്.
ഡിസൈൻ മെഷീൻ പ്രോഗ്രാം ചെയ്യുന്നതിന് രണ്ട് തരം പഞ്ച് കാർഡുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
മുൻ‌ഗണന: നിർദ്ദേശങ്ങൾ‌ നൽ‌കുന്നതിന് 'ഓപ്പറേഷൻ‌ കാർ‌ഡുകൾ‌'; പശ്ചാത്തലം: ഡാറ്റ ഇൻപുട്ട് ചെയ്യുന്നതിന് 'വേരിയബിൾ കാർഡുകൾ'
ഒരു മെക്കാനിക്കൽ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഉപകരണത്തിലെ ബാബേജിന്റെ ആദ്യ ശ്രമം, ഡിഫറൻസ് എഞ്ചിൻ, ഏകദേശ പോളിനോമിയലുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന് പരിമിതമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ വിലയിരുത്തി ലോഗരിതം, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നതിനായി രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ഒരു പ്രത്യേക-ഉദ്ദേശ്യ യന്ത്രമാണ്.
ഈ യന്ത്രത്തിന്റെ നിർമ്മാണം ഒരിക്കലും പൂർത്തിയായിട്ടില്ല; ബാബേജിന് തന്റെ ചീഫ് എഞ്ചിനീയറായ ജോസഫ് ക്ലെമന്റുമായി അഭിപ്രായവ്യത്യാസമുണ്ടായിരുന്നു, ഒടുവിൽ ബ്രിട്ടീഷ് സർക്കാർ പദ്ധതിക്കുള്ള ധനസഹായം പിൻവലിച്ചു.
ഈ പ്രോജക്റ്റിനിടെ, കൂടുതൽ പൊതുവായ രൂപകൽപ്പനയായ അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിൻ സാധ്യമാണെന്ന് ബാബേജ് മനസ്സിലാക്കി.
അനലിറ്റിക്കൽ എഞ്ചിന്റെ രൂപകൽപ്പനയുടെ പ്രവർത്തനം തുടങ്ങിയത് സി. 1833-ൽ ആണ്.
പ്രോഗ്രാമുകളും ("ഫോർമുലകളും") ഡാറ്റയും അടങ്ങുന്ന ഇൻപുട്ട് പഞ്ച് കാർഡുകൾ വഴി മെഷീന് നൽകേണ്ടതായിരുന്നു, ജാക്കാർഡ് ലൂം പോലുള്ള മെക്കാനിക്കൽ തറികൾ അക്കാലത്ത് ഇത് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.
ഔട്ട്‌പുട്ടിനായി, മെഷീന് ഒരു പ്രിന്റർ, ഒരു കർവ് പ്ലോട്ടർ, ഒരു മണി എന്നിവ ഉണ്ടായിരിക്കും.
പിന്നീട് വായിക്കാനായി കാർഡുകളിലേക്ക് നമ്പറുകൾ പഞ്ച് ചെയ്യാനും മെഷീന് കഴിയും.
ഇത് സാധാരണ ബേസ്-10 ഫിക്സഡ്-പോയിന്റ് അരിത്മെറ്റിക് ഉപയോഗിച്ചു.
40 ദശാംശ അക്കങ്ങളുടെ 1,000 എണ്ണം (ca. 16.2 kB) ഹോൾഡ് ചെയ്യാൻ കഴിവുള്ള ഒരു സ്റ്റോർ (അതായത്, ഒരു മെമ്മറി) ഉണ്ടായിരിക്കണം.
ഒരു ഗണിത യൂണിറ്റിന് ("മിൽ") നാല് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും കൂടാതെ താരതമ്യങ്ങളും സ്വകയർ റൂട്ട് കണ്ടുപിടിക്കാനും കഴിയും.