smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
അതായത്, സഹഗണങ്ങളുടെയെല്ലാം യോഗം G ആയിരിക്കും, തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് രണ്ട് സഹഗണങ്ങളുടെയും സംഗമം ശൂന്യഗണവുമായിരിക്കും .
g 1 , g 2 എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്ന സഹഗണങ്ങളായ g 1 H , g 2 H എന്നിവ തുല്യമായി  വരുന്നത് g 1 − 1 • g 2 ∈ H ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്, അതായത്, സഹഗണത്തിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായിരിക്കും.
സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമാകണമെന്നില്ല.
അങ്ങനെ വരുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും gH = Hg ആകുന്നവയെ - അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D 4 ന്റെ പരിക്രമണങ്ങൾ മാത്രമടങ്ങിയ ഉപഗ്രൂപ്പായ R ന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങൾ R തന്നെയും U = f c R = {f c , f v , f d , f h } എന്ന ഗണവുമാണ്.
ഈ സഹഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിൽ പച്ചനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
f c R = U = R f c ആയതിനാൽ R ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.
ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ മേൽ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാകും.
ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിനെ ഘടകഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഹരണഫലഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
G യുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഘടകഗ്രൂപ്പിനെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം: G / N = { gN , g ∈ G }, " G മോഡ്യുലോ N ".
G ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് പകർന്നുകിട്ടുന്ന സഹഗണ ഗുണനം (അഥവാ സഹഗണ സങ്കലനം‌) ആണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയ: ( gN ) • ( hN ) = ( gh ) N .
ഈ സംക്രിയ വ്യക്തമായി നിർവചിതമായിരിക്കുന്നത് ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാവുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.
ഏതൊരംഗത്തെയും അതിന്റെ സഹഗണത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന ഫലനമായ G → G / N ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതയായിരിക്കാൻ വേണ്ടിയാണ് സംക്രിയ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കുന്നത്.
eN = N എന്ന സഹഗണമാണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം, gN എന്ന അംഗത്തിന്റെ വിപരീതം ( gN ) − 1 = ( g − 1 ) N എന്ന അംഗവും.
• R U R R U U U R ഘടകഗ്രൂപ്പായ D 4 / R ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക.
ഉദാഹരണമായി, D 4 / R എന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പെടുക്കുക.
ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ R തന്നെയും U = f v R എന്ന സഹഗണവുമാണ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക വലതുഭാഗത്ത് കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
R = {id, r 1 , r 2 , r 3 } എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ഘടകഗ്രൂപ്പും ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണ്, എന്നാൽ മാതൃഗ്രൂപ്പായ D 4 ക്രമഗ്രൂപ്പല്ല.
R , D 4 / R എന്നീ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ നിന്ന് D 4 നെ നിർമ്മിക്കുന്നതുപോലെ ചെറിയ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ നിന്ന് വലിയ ഗ്രൂപ്പുകളെ നിർമ്മിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന അമൂർത്ത ആശയമാണ് അർദ്ധനേർ ഉല്പന്നം .
ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയും ഘടകഗ്രൂപ്പുകളെയുമുപയോഗിച്ച് ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനെയും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ വഴി വർണ്ണിക്കാവുന്നതാണ്.
ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ജനകങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്രഗ്രൂപ്പിനെ അതിന്റെ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൊണ്ട് ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പാണ്.
D 4 എന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകങ്ങൾ r എന്ന ഒരു 90° പരിക്രമണവും f എന്ന ഒരു പ്രതിഫലനവുമാണ് (ഉദാഹരണമായി, r = r 1 , f = f v എന്നെടുക്കാം) - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റേതംഗത്തെയും ഈ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളുടെയും മേൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്.
ഈ അംഗങ്ങളോടൊപ്പം r 4 = f 2 = ( r • f ) 2 = 1,
എന്ന ബന്ധങ്ങളും കൂടി ഉപയോഗിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിനെ പൂർണ്ണമായി വർണ്ണിക്കാം.
ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാനും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സാധിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും ഒരു വാൾപേപ്പറിലെ ആവർത്തിച്ചുവരുന്ന മാതൃകകൾ വാൾപേപ്പർ ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രതലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു നീക്കിയാൽ കിട്ടുന്ന ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ ആ ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള വളയങ്ങളാണ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് സമരൂപമാണ്.
ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ഗണിതത്തിനകത്തും പുറത്തും വളരെയേറെ ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളുമുണ്ട്.
മുകളിൽ വിവരിച്ച പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പ് ഗ്രൂപ്പുകളെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ ആദ്യപടിയാണ്.
സങ്കലനത്തിനു പകരം ഗുണനം സംക്രിയയായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗുണനഗ്രൂപ്പുകൾ .
അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിൽ പ്രാധാന്യമുള്ള ഘടനകളുടെ അടിസ്ഥാനമാണിവ.
ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് മറ്റ് ഗണിതശാഖകളിലും പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്.
ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി ആ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, ഹെൻറി പോങ്കാരെ ബീജീയ സംസ്ഥിതി എന്ന ശാഖക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചത് അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ചുകൊണ്ടാണ്.
ഈ ആശയമുപയോഗിച്ച് സംസ്ഥിതിയിലെ സാമീപ്യം , സന്തതി മുതലായ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താനാകുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ വളയങ്ങളാണ്.
വലതുഭാഗത്തെ രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം ഒരു പ്രതലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു നീക്കിയാൽ കിട്ടുന്ന ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളായ വളയങ്ങളെ കാണിക്കുന്നു.
നീല വളയത്തെ സന്തതമായി ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് ഒരു ബിന്ദുവായി മാറ്റാമെന്നതിനാൽ അത് null-homotopic ആണ്, അതിനാൽ അപ്രധാനവും.
എന്നാൽ ഓറഞ്ച് നിറത്തിലെ വളയത്ത് ഇങ്ങനെ ചുരുക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കേന്ദ്രത്തിലെ ബിന്ദു തടയുന്നു.
ബിന്ദു ഒഴിവാക്കിയ പ്രതലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് അനന്തവും ചാക്രികവുമാണ്.
ഓറഞ്ച് വളയം (അഥവാ നീക്കപ്പെട്ട ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ഒരു തവണ കറങ്ങുന്ന ഏതെങ്കിലും വളയം) ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ്.
അതായത്, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിന് പ്രതലത്തിലെ തുള കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.
ബഹിർവലയഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെ പഠിക്കാൻ ജ്യാമിതീയ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ശാഖ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളെ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ബീജീയജ്യാമിതി , സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നിവ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ശാഖകളാണ്.
മേല്പറഞ്ഞ ശാഖകളിലേതുപോലെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് സൈദ്ധാന്തികപ്രാധാന്യം മാത്രമല്ല ഉള്ളത്.
അമൂർത്ത ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളെയും കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ അൽഗൊരിതങ്ങളെയും പ്രായോഗികതലത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ശാഖയാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രം .
പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രത്തിൽ കൂടുതലായി കൈകാര്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നത്.
ഗണിതത്തിനു പുറമെ ഭൗതികശാസ്ത്രം , രസതന്ത്രം , കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് എന്നീ ശാസ്ത്രശാഖകളിലും വിവിധ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.
സംഖ്യകൾ
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഭിന്നകസംഖ്യകൾ മുതലായ സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്.
ഭിന്നകസംഖ്യകളുൾപ്പെടെയുള്ള ചില വ്യവസ്ഥകൾ സങ്കലനത്തിനു കീഴിലും ഗുണനത്തിനു കീഴിലും ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നു, അവയ്ക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയ്ക്കു പുറമെ വലയ , ക്ഷേത്ര ഘടനകകളുമുണ്ടാകും.
അമൂർത്ത ബീജഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ആശയങ്ങളായ മോഡ്യൂളുകൾ , സദിശസമഷ്ടികൾ , ആൾജിബ്രകൾ എന്നിവയ്ക്കും ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്.
പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണമായ Z സങ്കലനത്തിനുകീഴിൽ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ചതുപോലെ ( Z , +) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
എന്നാൽ സങ്കലനത്തിനുപകരം ഗുണനം സംക്രിയയാക്കിയാൽ ( Z , ·) ഗ്രൂപ്പാവുകയില്ല.
സംവൃതിനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, തൽസമകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ അനുസരിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിലും ഗണത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും വിപരിത അംഗങ്ങളില്ല എന്നതാണ് കാരണം.
ഉദാഹരണമായി, a = 2 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിലും a · b = 1 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരേയൊരു നിർദ്ധാരണമായ b = 1/2 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല.
ഭിന്നകങ്ങൾ
ഗുണനത്തിലും സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതം വേണം എന്നതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുനോക്കാം: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
b പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലങ്ങളെ ഭിന്നകസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ Q എന്നാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
ഗുണനം സംക്രിയയായുള്ള ഭിന്നസംഖ്യാഗണം ( Q , ·) ഇപ്പോഴും ഒരു ഗ്രൂപ്പായിട്ടില്ല.
കാരണം, ഭിന്നസംഖ്യയായ പൂജ്യത്തിന് ഗുണനവിപരിതമില്ല.
അതായത്, x · 0 = 1 എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന x എന്ന ഭിന്നകമില്ലാത്തതിനാൽ ( Q , ·) ഒരു ഗ്രൂപ്പല്ല.
എന്നാൽ പൂജ്യമൊഴികെയുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ Q \ {0} = { q ∈ Q , q ≠ 0} ഗുണനത്തിനു കീഴിൽ ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു ( Q \ {0}, ·) അഥവാ ( Q * , ·) എന്നാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
സാഹചര്യനിയമവും തൽസമക അസ്തിത്വനിയമവും ഗുണനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലം അനുസരിക്കപ്പെടുന്നു.
പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരിക്കലും പൂജ്യമാകാത്തതിനാൽ സംവൃതിനിയമവും, a / b യുടെ ഗുണനവിപരിതം b / a ആയതിനാൽ വിപരീത അസ്തിത്വനിയമവും ഗ്രൂപ്പ് അനുസരിക്കുന്നു.
പൂജ്യമുൾപ്പെടെയുള്ള ഭിന്നകങ്ങളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തിനുകീഴിലും ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്.
ഒരേ ഗണത്തിൽ തന്നെ ഈവിധം സങ്കലനവും ഗുണനവും ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബീജീയഘടനയായ വലയങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു.
Q ഗണത്തിലെപ്പോലെ വലയത്തിൽ ഹരണവും സാധ്യമാണെങ്കിൽ ബീജീയഘടനയെ ക്ഷേത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ക്ഷേത്രങ്ങൾക്ക് അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും സുപ്രധാന സ്ഥാനമാണുള്ളത്.
ഈ ബീജീയഘടനകളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിലും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ നിയമങ്ങൾ സഹായിക്കുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മോഡ്യുലോ അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ഗ്രൂപ്പ്
p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണെങ്കിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ p കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന അശൂന്യ ശിഷ്ടങ്ങൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
p കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ, എന്നാൽ ഈ സംഖ്യകളെ മോഡ്യുലോ p ആയാണ് കണക്കിലെടുക്കുക.
അതായത്, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം p യുടെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ അവയെ തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഇങ്ങനെ നോക്കുമ്പോൾ 1 മുതൽ p-1 വരെയുള്ള സംഖ്യകളാണ് ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ എന്നും പറയാം.
ഉദാഹരണമായി, p = 5 ആണെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ 1, 2, 3, 4 എന്നിവയാണ്: അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളല്ല; 6, -4 മുതലായ സംഖ്യകൾ 1 ന് തുല്യമായാണ് കണക്കാക്കുക താനും.
ഗുണനമാണ് ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ.
ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 4 · 4 = 1 ആണ്.
സാധാരണ രീതിയിലുള്ള ഗുണിതമായ 16 ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 1 ന് തുല്യമാണ് ( 16 − 1 = 15 , ഇത് അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതമാണ്) എന്നതാണിതിന് കാരണം.
ഇതിനെ 16 ≡ 1 (mod 5) എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായതിനാൽ p യുടെ ഗുണിതമല്ലാത്ത രണ്ട് സംഖ്യഗളുടെ ഗുണനഫലവും p യുടെ ഗുണിതമായിരിക്കുകയില്ല.
അതിനാൽ ഈ ഗ്രൂപ്പ് സംവൃതിനിയമമനുസരിക്കുന്നുവെന്ന്  കാണാം.
ഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം സാധാരണ ഗുണനത്തിലേതുപോലെ 1 ആണ്.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ സാഹചര്യനിയമം ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയിലേക്കും പകർന്നുകിട്ടുന്നു.
നാലാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണം പാലിക്കപ്പെടണമെങ്കിൽ p യുടെ ഗുണിതമല്ലാത്ത ഏതൊരു a യ്ക്കും a · b ≡ 1 (mod p ), അതായത് p യുടെ ഗുണിതമാണ് a · b − 1
എന്ന തരത്തിൽ ഒരു b ഉണ്ടായിരിക്കണം.
gcd( a , p ) = 1 ആയതിനാൽ അത്തരമൊരു b ഉണ്ടെന്ന് വരുന്നു, ബെസൗ അനന്യത ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്യാം.
p = 5 ആണെങ്കിൽ 4 ന്റെ വിപരിതം 4 ഉം, 3 ന്റെ വിപരിതം 2 ഉമാണ് ( 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) ).
അതായത്, ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളെല്ലാം ഇവിടെ പാലിക്കപ്പെടുന്നു.
മോഡ്യുലോ അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ( p ) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് യഥാർത്ഥത്തിൽ പരിബദ്ധക്ഷേത്രമായ F p യുടെ ഗുണനഗ്രൂപ്പാണ്.
F p × എന്നാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുക.
മുകളിൽ വിവരിച്ച ഗ്രൂപ്പായ ( Q \{0}, ·) ന് സമാനമാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പുകൾ പബ്ലിക് കീ ഗൂഢശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നു.
ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകൾ ഒന്നിന്റെ ആറാം മിശ്രസംഖ്യാമൂലങ്ങൾ ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
z ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ്, എന്നാൽ z 2 ജനകമല്ല
ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഒരു പ്രത്യേക അംഗത്തിന്റെ ഘാതങ്ങളായി (ഗുണനരിതിയിൽ എഴുതുമ്പോഴാണിത്, സങ്കലനരീതിയിലെഴുതുമ്പോൾ ഗുണിതങ്ങൾ) വരുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ ...
, a − 3 , a − 2 , a − 1 , a 0 = e , a , a 2 , a 3 , ...
എന്നിവയായിരിക്കും.
ഇവിടെ a 2 = a • a , a − 3 = a − 1 • a − 1 • a − 1 = ( a • a • a ) − 1 എന്നിങ്ങനെയാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്.
a എന്ന അംഗത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം അഥവാ primitive element എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒന്നിന്റെ n -ആം മിശ്രസംഖ്യാമൂലങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ z n = 1 എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന മിശ്രസംഖ്യകളും സംക്രിയ ഗുണനവുമാണ്.
n അംഗങ്ങളുള്ള ഏത് ചാക്രികഗ്രൂപ്പും ഈ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്.
ക്ഷേത്രസിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് F p × എന്ന ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണമായി, p = 5 ആണെങ്കിൽ 3 ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ് ( 3 1 = 3, 3 2 = 9 ≡ 4, 3 3 ≡ 2, 3 4 ≡ 1. ).
ചില ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ തൽസമകമല്ലാത്ത ഏതൊരംഗം a ക്കും, a യുടെ ഘാതങ്ങളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്.
അതായത്, ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്ന പേരുണ്ടെങ്കിലും, ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളെ വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിച്ച് തുടങ്ങിയേടത്തു  തന്നെ എത്തിച്ചേരാനാകില്ല.
അനന്തചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പായ ( Z , +) ന് സമരൂപമാണ്.
ക്രമഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ സംക്രിയ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ മേൽ ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ക്രമഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ആബേലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
മുകളിൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഭാഗത്ത് വിശദീകരിച്ച രണ്ടുതരം ഗ്രൂപ്പുകളും ക്രമഗ്രൂപ്പുകളായതിനാൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് കാണാം.
ക്രമഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം വളരെയധികം വികസിച്ച ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തശാഖയാണ്.
പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം ഈ വിഷയത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ഗവേഷണഫലമാണ്.
ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രം , ക്രമവിനിമയകം മുതലായ ആശയങ്ങൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രമഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് എത്രത്തോളം വ്യതിചലിക്കുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.
സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ
ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ .
സമമിതികൾ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിലേതുപോലെ ജ്യാമിതീയമോ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണങ്ങളുടേതുപോലെ ബീജീയമോ ആകാം.
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തെ സമമിതികളുടെ പഠനമായി കാണാവുന്നതാണ്.
സമമിതികൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ പഠനത്തിൽ വളരെയേറെ സഹായിക്കുന്നു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ ഗ്രൂപ്പ് നിയമത്തിനനുസൃതമായ ഏതെങ്കിലും ക്രിയ ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പ് ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, താഴെ വലതുഭാഗത്തായി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഘടനയുടെമേൽ (2,3,7) ത്രികോണഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യുന്ന ക്രിയ പച്ചനിറത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളെ (മറ്റുള്ളവയെയും) ക്രമചയത്തിന് വിധേയമാക്കുകയാണ്.
ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനം വഴി ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതവസ്തുവിന്റെ ഘടനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ക്രിസ്റ്റലോഗ്രഫി മുതലായ രസതന്ത്രശാഖകളിൽ സ്പേസ് ഗ്രൂപ്പുകളും പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകളും തന്മാത്രകളുടെയും പരലുകളുടെയും സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്നു.
ഇവയുടെ രാസ, ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ നിശ്ചയിക്കുന്നതിൽ സമമിതികൾക്ക് പ്രധാന പങ്കുണ്ട്.
ഈ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള ക്വാണ്ടം ഭൗതിക പഠനം എളുപ്പമാക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം സഹായിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി, ചില ക്വാണ്ടം നിലകൾക്കിടയിൽ പ്രകാശിക അവസ്ഥാന്തരണം സാധ്യമല്ലെന്ന് നിലകളുടെ സമമിതികളിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.
ചില അവസരങ്ങളിൽ തന്മാത്രകൾക്ക് സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നത് പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കുന്നു.
ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള ചില തന്മാത്രകൾ അസ്ഥിരമായിരിക്കുമെന്നും അതിനാൽ സമമിതി കുറയ്ക്കാൻ വേണ്ടി അവ ജ്യാമിതീയഘടനയിൽ വ്യത്യാസം വരുത്തുമെന്നും ഹെർമൻ ആർതർ യാൻ , എഡ്വേഡ് ടെല്ലർ എന്നിവർ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ചു.
ഈ പ്രതിഭാസത്തെ യാൻ-ടെല്ലർ പ്രഭാവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
അവസ്ഥാന്തരണത്തിന് വിധേയമാകുന്ന വസ്തുക്കളുടെ ഭൗതികസവിശേഷതകളിലെ വ്യത്യാസം പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സഹായം തേടാം.
ഉദാഹരണമായി, ക്യൂബിക് പരലാകൃതിയിൽ നിന്ന് ടെട്രാഹെഡ്രൽ പരലാകൃതിയിലേക്ക് ഒരു വസ്തൂ മാറുമ്പോൾ അതിന്റെ സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നു.
പാരാഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഫെറോഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിലേക്ക് ക്യൂറി താപനിലയിൽ വച്ച് പദാർത്ഥങ്ങൾക്ക് അവസ്ഥാന്തരണമുണ്ടാവുമ്പോൾ അവ ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് താഴ്ന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിലേക്കാണ് മാറുന്നത്.
കണികാഭൗതികത്തിലും സമമിതിനഷ്ടം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നുണ്ട്.
ഇത് ഗോൾഡ്സ്റ്റോൺ ബോസോണുകളുടെ ആവിർഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ബക്മിൻസ്റ്റർഫുള്ളെറിൻ ഐകോസാഹെഡ്രൽ സമമിതി കാണിക്കുന്നു അമോണിയയുടെ (NH 3 ) സമമിതിഗ്രൂപ്പ് D 3 ആണ്.
പ്രതിഫലനവും 120° പരിക്രമണവുമാണ് ജനകങ്ങൾ ക്യൂബേൻ (C 8 H 8 ) ഒക്ടാഹെഡ്രൽ സമമിതി കാണിക്കുന്നു [Cu(OH 2 ) 6 ] 2+ അയോൺ .
യാൻ-ടെല്ലർ പ്രഭാവം മൂലം പൂർണ്ണ സമമിതീയരൂപത്തിൽ നിന്ന് ലംബദിശയിൽ 22% വ്യതിയാനം കാണിക്കുന്നു ബഹിർവലയഗ്രൂപ്പായ (2,3,7) ത്രികോണഗ്രൂപ്പ് ബഹിർവലയപ്രതലത്തിന്റെ ഈ ടൈലിങ്ങിനുമേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു
മാത്യൂ ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള പരിബദ്ധ സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ കോഡിങ്ങ് സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.
സിഡി പ്ലെയറുകളിലും അയക്കുന്ന വിവരങ്ങളിലെ തെറ്റുകൾ തിരുത്തുന്നതിലും ഇത് ഉപയോഗം കാണുന്നു.
ഡിഫറെൻഷ്യൽ ഗാൽവ സിദ്ധാന്തം, ജ്യാമിതീയ നിശ്ചരസിദ്ധാന്തം എന്നിവയും സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രയോഗമേഖലകളാണ്.
സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പും പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തവും ഇടതുഭാഗത്തെ രണ്ട് സദിശങ്ങളെ ഘടികാരദിശയിലുള്ള 90° പരിക്രമണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന മാട്രിക്സുകൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മധ്യത്തിലെ സദിശങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു.
ഈ സദിശങ്ങളെ x നിർദ്ദേശാങ്കത്തെ ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ വലതുവശത്തെ സദിശങ്ങളും ലഭിക്കുന്നു
മാട്രിക്സുകൾ അംഗങ്ങളും മാട്രിക്സ് ഗുണനം സംക്രിയയുമായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകൾ .
സാരണികം പൂജ്യമല്ലാത്തതും (അതായത്, ഗുണനവിപരീതമുള്ളവ) അംഗങ്ങൾ വാസ്തവികസംഖ്യകളുമായ n × n മാട്രിക്സുകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണ് GL ( n , R ) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പ് .
ഇവയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയാണ് മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകൾ അഥവാ രേഖീയഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.
മുകളിൽ വിവരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചെറിയ മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പാണ്.
n മാനങ്ങളിലെ എല്ലാ പരിക്രമണങ്ങളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന മാട്രിക്സുകളടങ്ങിയ വിശിഷ്ട ഓർത്തോഗണൽ ഗ്രൂപ്പ് SO ( n ) ഒരു പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പാണ്.
ഓയ്ലർ കോണുകൾ വഴി പരിക്രമണമാട്രിക്സുകൾ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.
ഗ്രൂപ്പുകളെ കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ശാഖയാണ് പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം .
മറ്റ് സമഷ്ടികളുടെമേലുള്ള ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനം വഴിയാണ് പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം ഗ്രൂപ്പുകളെ പഠിക്കുന്നത്.
ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ത്രിമാന യൂക്ലിഡിയൻ സമഷ്ടി ( R 3 ) ഉൾപ്പെടെയുള്ള സദിശസമഷ്ടികളുടെ മേലാണെങ്കിൽ  ആ ഗ്രൂപ്പ് പ്രാതിനിധ്യങ്ങളെ രേഖീയ പ്രാതിനിധ്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ n മാനങ്ങളുള്ള വാസ്തവിക സദിശസമഷ്ടിക്കുമേലുള്ള പ്രാതിനിധ്യം ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള ρ : G → GL ( n , R )
എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതയാണ്.
അമൂർത്തമായ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയെ മാട്രിക്സ് ഗുണനമാക്കി മാറ്റുക വഴി ഗ്രൂപ്പിന്മേൽ മൂർത്തമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണിതവസ്തുവിനുമേലുള്ള പ്രവർത്തനം ആ ഗണിതവസ്തുവിനെക്കുറിച്ചും ഗ്രൂപ്പിനെക്കുറിച്ചും കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ, ബീജീയഗ്രൂപ്പുകൾ , സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ മുതലായവയുടെ പഠനത്തിൽ പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം പ്രധാന പങ്കുവഹിക്കുന്നു.
ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ
ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ സമമിതികളുപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് അവയുടെ നിർദ്ധാരണം എളുപ്പമാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ.
ഉദാഹരണമായി, ax 2 + bx + c = 0 എന്ന ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a .
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.
ഈ വ്യഞ്ജകത്തിൽ "+", " − " ചിഹ്നങ്ങൾ തമ്മിൽ പരസ്പരം മാറ്റുന്നത് മൂലങ്ങളുടെ ക്രമചയത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിനെ ലളിതമായ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയായി കണക്കാക്കാം.
ഇതുപോലെ കൃതി മൂന്നും നാലുമുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെയും മൂലങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്.
എന്നാൽ അഞ്ചോ അധികമോ കൃതിയുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്കൊന്നും നിർദ്ധാരണം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ല.
ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്ക് ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിലേതുപോലെ സങ്കലനം, വ്യവകലനം, മൂലങ്ങൾ എന്നിവ മാത്രമുപയോഗിച്ചുള്ള നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് ബന്ധപ്പെട്ട ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകളുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം.
പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകൾ സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S 4 ന്റെ കെയ്ലി ആരേഖം .
സമമിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു പ്രധാന വിഭാഗമാണ്
അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിബദ്ധമായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകൾ .
ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ കോടി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
N വസ്തുക്കളുടെ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പായ സമമിതീയഗ്രൂപ്പ് S N പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു പ്രധാന വർഗ്ഗമാണ്.
കെയ്ലി പ്രമേയമനുസരിച്ച് ഏതൊരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിനെയും ഒരു സമമിതീയഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി എഴുതാൻ സാധിക്കും.
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമാണ് a എന്നുണ്ടെങ്കിൽ a n = e എന്ന സമവാക്യം ശരിയായി വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ധനസംഖ്യയായ n നെ a യുടെ കോടി എന്ന് വിളിക്കുന്നു (• ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ a n = a • a •...• a ( n തവണ) ).
G ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ ഏതൊരംഗത്തിനും a n = e സമവാക്യം ശരിയായിവരുന്ന ഒരു n ഉണ്ടായിരിക്കും, എന്നാൽ അനന്തഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾക്ക് ഇങ്ങനെ ഉണ്ടായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല.
a യുടെ കോടി a ജനകമായ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിക്ക് തുല്യമാണ്.
സഹഗണങ്ങളുൾപ്പെടെയുള്ള ആശയങ്ങളുപയോഗിച്ചുള്ള കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ എണ്ണൽ രിതികൾ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു: ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടി അതിന്റെ ഓരോ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടിയുടെ ഗുണിതമായിരിക്കുമെന്ന് ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം പറയുന്നു.
ഇതിന്റെ ഭാഗികവിപരിതമാണ് സൈലോ പ്രമേയങ്ങൾ .
മുകളിൽ വിവരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D 4 ൽ 8 അംഗങ്ങളാണുള്ളത്.
ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായ r 1 ന്റെയും അത് ജനകമായ R എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടി 4 ആണ്.
പ്രതിഫലന അംഗങ്ങളുടെയെല്ലാം കോടികൾ 2 ആണ്.
ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം പ്രവചിക്കുന്നതുപോലെ ഈ കോടികളെല്ലാം ഗ്രൂപ്പ് കോടിയുടെ ഘടകങ്ങളാണെന്ന് കാണാം.
പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിൽ പ്രധാന പങ്കു വഹിച്ച ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ
ഗണിതസങ്കല്പങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണം നടത്തി പട്ടികകളുണ്ടാക്കാൻ ഗണിതജ്ഞർ ശ്രമിക്കാറുണ്ട്.
എന്നാൽ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെ ഇപ്രകാരം വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയമനുസരിച്ച് കോടി p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളാണ് ( Z p ).
p 2 കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളൊക്കെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും, എന്നാൽ p 3 കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ ക്രമമാകണമെന്നില്ല (ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D 4 ഉദാഹരണമാണ്).
കമ്പ്യൂട്ടർ ആൾജിബ്ര സിസ്റ്റങ്ങളുപയോഗിച്ച് ചെറിയ ഗ്രൂപ്പുകളെയൊക്കെ പട്ടികപ്പെടുത്താനാകും, എന്നാൽ എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും ഇതുവരെ ഇങ്ങനെ വർഗ്ഗീകരിച്ച് പട്ടികപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചിട്ടില്ല.
എന്നിരുന്നാലും ഈ ദിശയിലേക്കുള്ള ഒരു പ്രധാന കാൽവെപ്പാണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം.
തുച്ഛമല്ലാത്ത ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പും ആ ഗ്രൂപ്പു തന്നെയും ആണെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിനെ ലളിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ കൊണ്ടാണെന്ന് ജോർഡാൻ-ഹോൾഡർ പ്രമേയം പറയുന്നു.
ആധുനിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു മുഖ്യമായ നേട്ടമായാണ് ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തെ കണക്കാക്കുന്നത്.
1983-ൽ ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ ആണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം വർഗ്ഗീകരിക്കപ്പെട്ടതായി പ്രഖ്യാപിച്ചത്.
എന്നാൽ quasithin ഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ കാര്യം അദ്ദേഹം ശരിയായി മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നില്ല.
ഈ പ്രത്യേക ഗ്രൂപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ തെളിവു കണ്ടുപിടിച്ച മൈക്കൽ ആഷ്ബാക്കർ ആണ് 2004-ൽ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം പൂർത്തിയാക്കിയത്.
പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് നൂറോളം ഗണിതജ്ഞരുടെ നൂറുകണക്കിന് ലേഖനങ്ങളിലായി പതിനായിരക്കണക്കിന് പേജൂകളെടുത്തു.
1998-ലെ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ജേതാവായ റിച്ചാർഡ് ബോർച്ചെർഡ്സ് ഏറ്റവും വലിയ സ്പൊറാഡിക് ലളിതഗ്രൂപ്പായ മോൺസ്റ്റർ ഗ്രൂപ്പിന് മോഡ്യുലർ ഫലനങ്ങളുമായും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ സ്ട്രിങ് തിയറിയുമായും ഉള്ള അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധം തെളിയിച്ചു.
കൂടുതൽ ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ
പല ഗ്രൂപ്പുകളും മറ്റ് ഗണിതഘടനകൾക്കും ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
വർഗ്ഗസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവ ഒരു വർഗ്ഗത്തിലെ ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുക്കളാണ് .
അതായത്, അവ മറ്റൊരു ഗണിതഘടനയിലെ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾക്ക് സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളടങ്ങിയ വസ്തുക്കളാണ്.
ഉദാഹരണമായി, ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും ഒരു ഗണം കൂടിയായതിനാൽ ഓരോ ഗ്രൂപ്പും ഗണങ്ങളുടെ വർഗ്ഗത്തിലെ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുവാണ്.
സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും ഹരണവും സന്തതമായതിനാൽ മിശ്രസംഖ്യാഗുണനത്തിനുകീഴിൽ മിശ്രപ്രതലത്തിലെ യൂണിറ്റ് വൃത്തം ഒരു സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പാണ്.
ഏതൊരു പരിസരവും വാസ്തവികരേഖയ്ക്ക് സമാനമായതിനാൽ വൃത്തം ഒരു മെനിഫോൾഡും അതിനാൽ ലീ ഗ്രൂപ്പുമാണ്.
ചില സംസ്ഥിതീയസമഷ്ടികളിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാവും.
ഗ്രൂപ്പ് നിയമവും സംസ്ഥിതിയുടെ സവിശേഷതകളും ഒത്തുപോകണമെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയകൾ സന്തതഫലനങ്ങളായിരിക്കണം .
അതായത് g , h എന്നിവ അല്പം മാത്രമേ മാറുന്നുള്ളൂ എങ്കിൽ g • h , g − 1 എന്നിവയും അല്പമേ മാറാൻ പാടുള്ളൂ.
ഇത്തരം ഗ്രൂപ്പുകളെ സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സംസ്ഥിതീയസമഷ്ടികളുടെ വർഗ്ഗത്തിലെ ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുക്കളാണിവ.
സങ്കലനം സംക്രിയയായ വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ( R , +) , ഗുണനം സംക്രിയയായ അശൂന്യ വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ( R \ {0}, ·) തുടങ്ങിയവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
ഈ ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം തദ്ദേശീയമായി സാന്ദ്രമായതിനാൽ (locally compact) അവയ്ക്ക് ഹാർ അളവുകളുണ്ട് , അവയെ ഹാർമോണിക് അനാലിസിസ് വഴി പഠിക്കാനാകും.
ഈ ക്ഷേത്രങ്ങൾക്കു മേലുള്ള മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകളും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ അഡെൽ വലയങ്ങളും അഡെൽ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
അനന്തക്ഷേത്രങ്ങളുടെ വിപുലീകരണങ്ങളുടെ ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾക്കുമേലും ( കേവല ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പ് ഉദാഹരണമാണ്) ക്രൾ സംസ്ഥിതി എന്ന സംസ്ഥിതി ചേർക്കാനാകും.
ബീജീയജ്യാമിതിയുടെ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഈ ആശയത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമാണ് എറ്റാലെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് .
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ നാമകരണം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് ഗണിതജ്ഞനായ സോഫസ് ലീയുടെ ബഹുമാനാർത്ഥമാണ്
മെനിഫോൾഡ് ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ.
അതായത്, തദ്ദേശീയമായി അവ ഏതെങ്കിലും മാനമുള്ള യൂക്ലിഡിയൻ സമഷ്ടിക്ക് സമാനമായിരിക്കും .
നോർവീജിയൻ ഗണിതജ്ഞനായ സോഫസ് ലീയുടെ ബഹുമാനാർഥമാണ് ഈ നാമകരണം.
ഇവിടെയും മെനിഫോൾഡ് ഘടന ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളുമായി ഒത്തുപോവണമെങ്കിൽ ഗുണനവും വിപരീതവും smooth ഫലനങ്ങളായിരിക്കണം.
മേൽ വിവരിച്ച  സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പ് n × n മാട്രിക്സുകളുടെ സമഷ്ടിയുടെ തുറന്ന ഉപഗണമായതിനാൽ ഒരു ലീ ഗ്രൂപ്പാണ്.
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ളവയാണ്.
സന്തതസമമിതികളെ നോയ്തർ സിദ്ധാന്തം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ സംരക്ഷിതപരിമാണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു.
പരിക്രമണം, സ്ഥലത്തിലും കാലത്തിലുമുള്ള നീക്കൽ (translation) എന്നിവ ബലതന്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനപരമായ സന്തതസമമിതികളാണ്.
ഇവ യഥാക്രമം കോണീയസംവേഗം , രേഖീയസംവേഗം , ഊർജ്ജം എന്നിവയുടെ സംരക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ആപേക്ഷികമായി ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന രണ്ട് നിരീക്ഷകരുടെ സ്ഥലകാല അളവുകളെ തമ്മിൽ ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ലോറെന്റ്സ് പരിവർത്തനം മറ്റൊരുദാഹരണമാണ്.
മിങ്കോവ്സ്കി സമഷ്ടിയിലെ പരിക്രമണസമമിതിയായി ഇതിന്റെ കണ്ട് തികച്ചും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തരിതിയിൽ ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്.
സാമാന്യ ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തത്തിൽ സ്ഥലകാലത്തിന്റെ മാതൃകയാണിത്.
നീക്കലുകലും കൂടി ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മിങ്കോവ്സ്കി സമഷ്ടിയിലെ സമമിതികളുടെ ഗ്രൂപ്പ് പോങ്കാരെ ഗ്രൂപ്പ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
ഇതിന് സാമാന്യ ആപേക്ഷികതയിലും ക്വാണ്ടം ഫീൽഡ് സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗമുണ്ട്.
ഗേജ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രതിപ്രവർത്തനങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുന്നതിൽ തദ്ദേശീയസമമിതികൾക്ക് കേന്ദ്രസ്ഥാനമുണ്ട്.
അവലംബം ഗ്രന്ഥസൂചി പൊതുവായ അവലംബങ്ങൾ പ്രത്യേക അവലംബങ്ങൾ (in French) (in German) {{citation | last=Neukirch | first=Jürgen | author-link=Jürgen Neukirch | title=Algebraic Number Theory | publisher= Springer-Verlag | location=Berlin | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-65399-8 | id= MR 1697859 | zbl=0956.11021 | year=1999 | volume=322}} ചരിത്രപരമായ അവലംബങ്ങൾ (in German) (in French) (in French) (in German)
ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ടെൻ (ഐഎംഎഫ്) ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Group_of_Ten_(IMF)
അന്താരാഷ്ട്ര നാണയ നിധിയുടെ വായ്പ നൽകാനുള്ള കഴിവ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് വേണ്ടി അധിക ഫണ്ട് നൽകാനുള്ള കരാറായ ജനറൽ അറേഞ്ച്മെന്റ് ടു ബോറോ (GAB) പ്രകാരം അന്താരാഷ്ട്ര നാണയ നിധിക്ക് (ഐഎംഎഫ്) പണം കടം നൽകാൻ സമ്മതിച്ച പത്ത് സമ്പന്ന വ്യാവസായിക രാജ്യങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ആണ് ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ടെൻ ( ജി-10 അല്ലെങ്കിൽ ജി10 ).