smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
അപ്പോൾ രണ്ട് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ കോൺവല്യൂഷൻ വഴി കൂടിച്ചേരുമ്പോൾ മൂന്നാമതൊരു അങ്കഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഏത് അങ്കഫലനത്തിനും കോൺവല്യൂഷൻ ക്രിയയിലൂടെ ഒരു പ്രതിലോമഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഈ ക്രിയയുടെതന്നെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ഏകകഫലനമുണ്ടാകുന്നു.
ഇത്രയുമായാൽ അങ്കഗണിതഫലനഗണം തന്നെ സാങ്കേതികാർഥത്തിൽ കോൺവല്യൂഷൻ ക്രിയ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആണെന്നു പറയാം.
ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനം (Multiplicative functions).
അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ പൊതുവേ അനവധി മൂലകാങ്കങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയാകാം:
f(m 1 ,m 2 , .........., m r ).
(m 1 n 1 , m 2 n 2 ) = 1 ആകുമ്പോൾ, f(m 1 ,m 2 ) f(n 1 ,n 2 ) = f(m 1 n 1 , m 2 n 2 ) ആണെങ്കിൽ, f(m 1 ,m 2 ) ഒരു ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു.
ഒരു വ്യവസ്ഥയുമില്ലാതെ തന്നെ f(m 1 ,m 2 ) f(n 1 ,n 2 ) = f(m 1 n 1 , m 2 n 2 ) ആണെങ്കിൽ, f(m 1 ,m 2 ) ഒരു ലീനിയർ അഥവാ മുഴുഗുണനാത്മകഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു.
മൌലിക-അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ എല്ലാംതന്നെ ആദ്യത്തേതിനുദാഹരണമാണ്.
I (n) ഒരു ലീനിയർ ഫലനമാണ്.
μ (n), d(n), σ (n), ø (n), എന്നീ ഫലനങ്ങൾ ഗുണനാത്മകമാണ്.
n-നു പകരം ഒരു അവിഭാജ്യസംഖ്യയുടെ ഘാതം (p a ) ഉപയോഗിച്ച് ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യവാക്യം നിർണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.
ഇങ്ങനെ മൂല്യവാക്യങ്ങൾ നിർണയിച്ചാൽ n = π p a ആണെങ്കിൽ,
d(n)      = π (a+1), φ (n) = n π ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
σ (n)  = π ( p a + 1 − 1 p − 1 ) {\displaystyle \left({\frac {p^{a+1}-1}{p-1}}\right)} ആയിരിക്കും
ഉദാ:  n  = 12  = 2 2 x 3 1 ; d(12) = (2+1) (1+1) = 6
σ (12)= 12 ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) = 4 , {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=4,}
σ (12) = ( 2 3 − 1 2 − 1 ) ( 3 1 − 1 3 − 1 ) = 28 {\displaystyle \left({\frac {2^{3}-1}{2-1}}\right)\left({\frac {3^{1}-1}{3-1}}\right)=28}
ഈ സംഖ്യാഫലനങ്ങൾക്കു വളരെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്.
I k (n), ø k (n),d k (n), σ k (n).
അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ വൈശ്ളേഷികവശത്തെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്നത് അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിലാണ്.
അനാലിസിസ് എന്ന മൗലികഗണിതശാഖയിലെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പഠനം സാധിക്കുന്നത്.
ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വാധീനം അങ്കഗണിതഫലനവിജ്ഞാനത്തെ വളർത്തിയിട്ടുണ്ട്.
വളരെക്കാലത്തെ വളർച്ചയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എൽ.ഇ.
ഡിക്സൺ ഇതിന്റെ ചരിത്രം എഴുതി.
അടുത്തകാലത്താണ് ഇ.
ടി.ബെൽ ഈ ശാഖയെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി വളർത്തിയത് (1927).
സംഖ്യാഫലനസിദ്ധാന്തത്തിൽ, ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ പ്രേരണയോടെ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന് ഒരു താത്വികാടിസ്ഥാനം ഉണ്ടായി.
സംഖ്യാഫലനഗണിതം എന്നൊരു ശാഖതന്നെ വളർത്തിയത് ബെൽ ആണ്.
പിന്നീട് ആർ. വൈദ്യനാഥസ്വാമി, കാർലിറ്റ്സ്, എക്ഫോർഡ് കോഹൻ, ലെഹ്‍മർ എന്നിവർ അത് കുറെക്കൂടി താത്ത്വികമായി വികസിപ്പിച്ചു.
സംഖ്യാഫലനങ്ങൾക്കു കൂടുതൽ വ്യാപകമായ സാമാന്യവത്കരണങ്ങൾ സാധിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ജി.സി. റോട്ട എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഈ വഴിക്കു മൗലികപ്രാധാന്യമുള്ള ഗവേഷണങ്ങൾ ആരംഭിച്ചത്.
ഇൻസിഡൻസ് ആൾജിബ്ര (Incidence Algebra) എന്നൊരു ശാഖ വളർത്തി.
മിശ്രസംഖ്യ (complex numbers)കളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഭാഗികമായി ക്രമപ്പെടുത്തിയ ജാലികാന്തരാളങ്ങൾ (Lattice inrervals) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് സംഖ്യാഫലനങ്ങളുടെ അർഥവ്യാപ്തി വർധിപ്പിച്ചത് റോട്ടയാണ്.
മോബയസ്മ്യൂ-( μ ) ഫലനത്തിന്റെ സാമാന്യവത്കരണത്തിലാണ് റോട്ട കൂടുതൽ ശ്രദ്ധിച്ചത്.
എന്നാൽ ഡേവിഡ് എ. സ്മിത്ത് ഇൻസിഡൻസ് ഫലനങ്ങളെന്ന പേരിൽ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വിപുലമായ സാമാന്യവത്കരണം സാധിച്ചു (1967).
ക്ളാസിക്കൽ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന അനവധി സർവസമീകരണങ്ങ(Identities)ളുടെ ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുന്ന രീതിയിലാണ് ഇൻസിഡൻസ് ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ച് സമാന്തരമായ സർവസമീകരണങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയത്.
ഈ ഗവേഷണം കോമ്പിനറ്റോറിയൽ അനാലിസിസ് എന്ന ശാഖയിലുൾപ്പെടുന്നു.
അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോഴുള്ള ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുകയും കൂടുതൽ സാമാന്യമായ ഫലനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്നതരത്തിലാണ് ഇൻസിഡൻസ് ഗവേഷണം എത്തിയിരിക്കുന്നത്.
നോ: അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി; ആൾജിബ്ര; മോഡേൺ ആൾജിബ്ര; സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം; ലാറ്റിസ്തിയറി അവലംബം കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അങ്കഗണിതഫലനം എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അങ്കക്കാരൻ അങ്കക്കാരൻ തെയ്യം
കടത്തനാട്ട് സ്വരൂപത്തിൽപ്പെട്ട പ്രദേശങ്ങളിൽ മുന്നൂറ്റാന്മാർ കെട്ടിയാടിക്കാറുള്ള ഒരു തിറയാണ് അങ്കക്കാരൻ .
തീയർ സമുദായക്കാരുടെ ആരാധനാമൂർത്തികളിലൊന്നാണ് അങ്കക്കാരൻ.
മറുതലയുമായുള്ള പോരാട്ടം ഇതിന്റെ സവിശേഷതയാണ്.
ചേരമാൻ കെട്ടിൽ പടനായരുടെ സങ്കൽപ്പത്തിലുള്ള വണ്ണാൻ സമുദായക്കാർ കെട്ടിയാടുന്ന കരിവഞ്ചാൽ ദൈവത്താർ എന്ന തെയ്യത്തേയും ചിലയിടങ്ങളിൽ അങ്കക്കാരൻ എന്ന് പറയാറുണ്ട്.
യുദ്ധപരാക്രമിയായ ഒരാളുടെ സ്മരണയ്ക്കുവേണ്ടി കെട്ടിയാടുന്നതാണിത്.
ഈ തെയ്യം അണ്ടലൂർക്കാവ് ദൈവത്താറീശ്വരൻറെ (ശ്രീ രാമൻ) സന്തതസഹചാരിയായ ലക്ഷ്മണനെയാണ് കാണിക്കുന്നത്.
വെളളിയിൽ തീർത്ത മുടിയേന്തി, രൌദ്രഭാവത്തിൻറെ മൂർത്തീമദ്ഭാവം ദ്യോതിപ്പിക്കുന്ന കടുംകറുപ്പിൽ മുഖത്തെഴുത്തോട് കൂടിയതാണ് ഈ തെയ്യം.
അങ്കക്കാരൻ എന്ന പേരിനു (അങ്കം = പോര് = യുദ്ധം) അഥവാ യുദ്ധത്തെ നയിക്കുന്നവൻ എന്നും അർഥമുണ്ട്.
അങ്ക-ലിജിയ ഗ്രോസു ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Anca_Grosu
റൊമാനിയൻ-ജർമ്മൻ റേഡിയേഷൻ ഓങ്കോളജിസ്റ്റും പ്രൊഫസറുമാണ് അങ്ക-ലിജിയ ഗ്രോസു (ജനനം 1962).
റേഡിയേഷൻ ഓങ്കോളജിയിൽ വ്യക്തിഗതമാക്കിയ തെറാപ്പി വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ ഗവേഷണ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചു.
അവർ ജർമ്മനിയിലെ യൂണിവേഴ്സിറ്റി മെഡിക്കൽ സെന്റർ ഫ്രീബർഗിലെ റേഡിയേഷൻ ഓങ്കോളജി ഡിപ്പാർട്ട്മെന്റിന്റെ ചെയർ ആണ്.
അവർ  ജർമ്മൻ നാഷണൽ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസസ് ലിയോപോൾഡിന അംഗമാണ്.
അങ്ക ഗ്രോസു ക്ലൂജ്-നാപോക്കയിലെ മെഡിക്കോ-ഫാർമസ്യൂട്ടിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ (IMF) മെഡിക്കൽ സ്കൂളിൽ ചേർന്നു (ഇന്ന് Iuliu Hațieganu യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് മെഡിസിൻ ആൻഡ് ഫാർമസി).
മ്യൂണിക്കിലെ (ജർമ്മനി) ഹാർലാച്ചിംഗ് ഹോസ്പിറ്റലിലെ ന്യൂറോളജി ഡിപ്പാർട്ട്‌മെന്റിലും മ്യൂണിക്കിലെ ടെക്‌നിക്കൽ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റിയിലെ റെക്റ്റ്‌സ് ഡെർ ഇസാർ ഹോസ്പിറ്റലിലെ റേഡിയോളജി / ന്യൂറോ റേഡിയോളജി, റേഡിയേഷൻ ഓങ്കോളജി ഡിപ്പാർട്ട്‌മെന്റുകളിലും അവർ മെഡിക്കൽ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ് പരിശീലനം തുടർന്നു.
2000-ൽ ബോർഡ് സർട്ടിഫിക്കേഷനും അവരുടെ താമസസ്ഥലവും നേടി.
അവരുടെ ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ റേഡിയോ സർജറി, സ്റ്റീരിയോടാക്റ്റിക് റേഡിയോ തെറാപ്പി തുടങ്ങിയ ഉയർന്ന കൃത്യതയുള്ള റേഡിയേഷൻ സാങ്കേതിക വിദ്യകളുടെ നടപ്പാക്കലിനും പുരോഗതിക്കും പ്രധാന സംഭാവന നൽകി.
റേഡിയോ തെറാപ്പി ആസൂത്രണത്തിലും നിരീക്ഷണത്തിലും ബയോളജിക്കൽ, ഫങ്ഷണൽ ഇമേജിംഗിന്റെ സംയോജനമാണ് ഗ്രോസുവിന്റെ ഗവേഷണത്തിന്റെ മറ്റൊരു പ്രധാന ലക്ഷ്യം.
അവരുടെ പ്രവർത്തനം ഈ മേഖലയിലെ വികസനത്തിന് തുടക്കമിട്ടു അവലംബം
അങ്കം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Ankam
അങ്കം എന്ന മലയാളപദത്തിന്റെ അർത്ഥം യുദ്ധം എന്നാണ്.
പ്രാചീനകേരളത്തിലെ നികുതി ഇനത്തിൽ ഒന്നായി അങ്കം അറിയപ്പെടുന്നു.
രണ്ടു കക്ഷികളോ രണ്ട് വ്യക്തികളോ തമ്മിലുള്ള തർക്കം തീർക്കുന്നതിനുള്ള പേരാണ് അങ്കം .
അങ്കം വെട്ടുന്നത് തർക്കകക്ഷികൾ  തമ്മിലല്ല, അവരുടെ ചേകോന്മാർ തമ്മിലാണ്.
പാരമ്പര്യമായി ആയുധാഭ്യാസം നടത്തുന്നവരും സൈനികവൃത്തി  അനുഷ്ഠിക്കുന്നവരുമാണ് ചേകോന്മാർ.
അങ്കം-വ്യതിയാനങ്ങൾ ഏതാനും നൂറ്റാണ്ടുമുൻപുവരെ വടക്കൻ കേരളത്തിലെ ചെറുരാജ്യങ്ങളിലെ നാടുവാഴികൾ തമ്മിലുള്ള തർക്കം പരിഹരിക്കുന്നത് അങ്കത്തിലൂടെയായിരുന്നു.
ഓരോ നാടുവാഴിയെയും ഓരോ അങ്കച്ചേകവൻ പ്രതിനിധീകരിച്ചിരുന്നു.
നാടുവാഴികൾ തമ്മിലുള്ള യുദ്ധത്തിനെയും അങ്കം എന്നുവിളിച്ചിരുന്നു.
ഈ യുദ്ധങ്ങളിലും അങ്കച്ചേകവന്മാർ തങ്ങളുടെ രാജ്യത്തിനും നാടുവാഴിക്കും വേണ്ടി പടവെട്ടിയിരുന്നു.
അങ്കക്കളരി
അങ്കക്കളരി എന്ന മലയാളപദത്തിന്റെ അർത്ഥം അങ്കം നടക്കുന്ന സ്ഥലം എന്നാണ്.
തുറസ്സായ അങ്കക്കളരിയുടെ മദ്ധ്യത്തിൽ അങ്കത്തട്ട് കെട്ടിയുണ്ടാക്കിയിരുന്നു.
ജനങ്ങൾ അങ്കക്കളരിയിൽ നിന്ന് അങ്കം കണ്ടിരുന്നു.
ഇതും കാണുക കളരിപ്പയറ്റ്, ഇന്ത്യയിലെ ഏറ്റവും പുരാതനമായ ആയോധനകല അങ്കം അങ്കച്ചേകവർ മാമാങ്ക മഹോത്സവം
അങ്കഗണിതം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Arithmetic tables for children, Lausanne, 1835
വാസ്തവിക ധനസംഖ്യകളെയും അവയുടെ പ്രയോഗത്തെയും പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണു അങ്കഗണിതം .
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പഴക്കമേറിയതും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ശാഖയാണിത്.
അങ്കഗണിതത്തിന് അരിത്‌മെറ്റിക് (Arithmetic) എന്നാണ് ഇംഗ്ളീഷിലുള്ള പേര്.
സംഖ്യയെന്നർഥമുള്ള അരിത്മോസ് എന്ന ഗ്രീക്കുപദത്തിന്റെ തദ്ഭവമാണ് അരിത്‌മെറ്റിക്.
ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുന്നോടിയായ അങ്കഗണിതത്തിൽ അമൂർത്തമായ  സങ്കല്പങ്ങൾ ഏറെയില്ല.
മനുഷ്യസംസ്കാരത്തിന്റെ ആവശ്യങ്ങളനുസരിച്ച് വികസിച്ച ഈ ഗണിതശാഖ നമ്മുടെ നിത്യജീവിതത്തിൽ ആവശ്യമായ ഒന്നാണ് .
ആടുമാടുകളുടെയും ആയുധങ്ങളുടെയും എണ്ണം തിട്ടപ്പെടുത്താൻ പ്രാചീനമനുഷ്യന് കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല.
സംഖ്യാസമ്പ്രദായം അവന് അപരിചിതമായിരുന്നു.
ഓരോന്നിനും ഓരോ കല്ല് പെറുക്കി സൂക്ഷിച്ചായിരുന്നിരിക്കണം  (ഒന്നിനൊന്ന് അനുയോഗമായി)  പ്രാചീനമനുഷ്യൻ  ആടുമാടുകളുടെയും ആയുധങ്ങളുടെയും എണ്ണം തിട്ടപ്പെടുത്തിയിരുന്നത് .
ചെറിയവരകൾ ഉപയോഗിച്ചും കൈവിരലുകളിൾ എണ്ണിയും  ഇന്നത്തെ രീതിയിലേക്ക് ആ ഗണനസമ്പ്രദായം പരിഷ്കരിക്കപ്പെട്ടു.
അങ്കഗണിതത്തിൽ മൗലികമായി നാലു ക്രിയകളുണ്ട്: കൂട്ടൽ (സങ്കലനം), കുറയ്ക്കൽ (കിഴിക്കൽ, വ്യവകലനം), ഗുണിക്കൽ (പെരുക്കൽ, ഗുണനം), ഹരിക്കൽ (ഹരണം).
ഇവയുടെ പ്രയോഗം, ഘടകക്രിയ, ലഘുതമസാധാരണഗുണിതം (ലസാഗു), ഉത്തമസാധാരണഘടകം (ഉസാഘ) എന്നിവയും ഭിന്നകങ്ങളുടെ പ്രയോഗം, അനുപാതം, ത്രൈരാശികം, മാനനിർണയം, വ്യാവസായികഗണിതം, ശതമാനം, പലിശ, സ്റ്റോക് നിക്ഷേപങ്ങൾ, ബിൽ ഡിസ് ക്കൗണ്ട് -- എന്നീ പ്രായോഗികപ്രാധാന്യമുള്ള വിഷയങ്ങളുമാണ് അങ്കഗണിതത്തിൽ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്.
വ്യാവസായികകാര്യങ്ങളിൽ ഇടപെടാനായി വേണ്ടത്ര ഗണിത പരിശീലനം കിട്ടുന്നതിനും യുക്തിപരീക്ഷണമെന്ന നിലയിൽ മാനസികമായ അച്ചടക്കമുണ്ടാകുന്നതിനും അങ്കഗണിതം ആവശ്യമാണ്.
ഗുണനപ്പട്ടിക ഹൃദിസ്ഥമാക്കുന്നതുകൊണ്ട് നിത്യോപയോഗമുള്ള കണക്കുകൾ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.
പ്രാചീന ചരിത്രത്തിൽ നിന്നും അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ഉപയോഗത്തിന് കാര്യമായ തെളിവുകൾ ഒന്നും ഇല്ല.
ഉള്ളതിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് മധ്യ ആഫ്രിക്കയിൽ നിന്നും ലഭിച്ച 20,000-18,000 ബി.സി. കാലഘട്ടത്തിലേതെന്ന് വിശ്വസിയ്ക്കപ്പെടുന്ന ഇഷാങ്ങോ എല്ല് ആണ്.
എന്നാൽ ഇത് അങ്കഗണിതത്തിന്റെ പ്രാചീന ഉപയോഗത്തെപ്പറ്റി എന്തുമാത്രം തെളിവ് നൽകുന്നുണ്ട് എന്നതിനെപ്പറ്റി തർക്കങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്.
രേഖകൾ പ്രകാരം ക്രിസ്തുവിനു 2000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപു തന്നെ ഈജിപ്ഷ്യരും ബാബിലോണിയക്കാരും എല്ലാ അടിസ്ഥാന അങ്കഗണിതക്രിയകളും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നാണ് മനസ്സിലാകുന്നത്.
ഈ കാലഘട്ടത്തിലെ തെളിവുകൾ അവർ ക്രിയകൾ ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന വഴികൾ വെളിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിലും അവരുടെ സംഖ്യാ ആലേഖന സമ്പ്രദായങ്ങൾ സങ്കീർണമായിരുന്നെന്നു വേണം അനുമാനിയ്ക്കാൻ.
ഈജിപ്ഷ്യരുടെ ഹൈറോഗ്ലിഫുകൾ അടിസ്ഥാനമായുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായം ടാലി മാർക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്ന രീതിയോട് ഏതാണ്ട് സമാനമായിരുന്നു.
പത്തിന്റെ ഗുണിതങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമായുള്ള ഒരു സമ്പ്രദായമായിരുന്നു ഇതെങ്കിലും ആധുനിക സമ്പ്രദായം പോലെ അക്കങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തിന് വില കൽപ്പിച്ചുള്ള ഒന്നായിരുന്നില്ല ഇത്.
തുടർന്ന് വന്ന റോമൻ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായവും ഇതിനു സമാനമായിരുന്നു.
സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനത്തിന് വിലകൽപ്പിച്ചുള്ള ആദ്യ സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ 60നെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സെക്‌സാഗെസിമൽ സമ്പ്രദായവും മായൻമാരുടെ 20 നെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വീഗെസിമൽ സമ്പ്രദായവുമായിരുന്നു.
സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾക്കനുസരിച്ചു വ്യത്യസ്ത വിലകൾ കൊടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്നു ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ വലിയ സംഖ്യകളും താരതമ്യേന എളുപ്പത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചു.
അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ സാധിച്ചു.
ഹെല്ലനിസ്റ്റിക് കാലഘട്ടത്തിലെ ഗ്രീക്കുകാരിൽ നിന്നാണ് ആധുനിക അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ചരിത്രം തുടങ്ങുന്നത്.
യൂക്ലിഡ് ക്രിസ്തുവിന് 300 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപ് തന്റെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ പ്രചരിപ്പിയ്ക്കുന്നതുവരെ ഗ്രീക്ക് ഗണിതം പൊതുവെ ദാർശനികതയും വിശ്വാസങ്ങളുമായി കെട്ടുപിണഞ്ഞു കിടക്കുകയായിരുന്നു.
ആർക്കിമിഡീസും ഡയഫന്റാസും ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന സ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഗ്രീക്ക് സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ നമ്മുടെ ഇന്നത്തെ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ നിന്നും വളരെയൊന്നും വ്യത്യസ്തമായിരുന്നില്ല.
ഹെല്ലനിസ്റ്റിക് കാലഘഘട്ടം വരെ ഗ്രീക്കുകാർക്ക് പൂജ്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പ്രതീകം ഇല്ലായിരുന്നു.
മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പറ്റം സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അവർ സംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരുന്നത്.
ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ ഒരു പറ്റം സംഖ്യകളും പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ മറ്റൊരു പറ്റവും നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ വേറൊരു പറ്റവും അവർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.
ആയിരത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തിനുവേണ്ടി ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ പുനരുപയോഗിച്ചു പോന്നു.
സങ്കലനത്തിനുള്ള അവരുടെ രീതി നമ്മുടെ രീതിയ്ക്ക് സമാനമായിരുന്നെങ്കിലും ഗുണനത്തിന്റെ രീതി അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരുന്നു.
ഹരണം നമ്മുടേതിന് സമാനമായിരുന്നു.
ആർക്കിമിഡീസ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത വർഗ്ഗമൂലപ്രക്രിയ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ ഹീറോയുടെ സമ്പ്രദായത്തെക്കാൾ വ്യത്യസ്തമായിരുന്നു.
പുരാതന ചൈനീസ് സംസ്കാരത്തിലും മികച്ച സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ നിലനിന്നിരുന്നു.
ഗ്രീക്കുകാരുടേതിന് സമാനമായ, സ്ഥാനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയുള്ള ഒരു സംഖ്യാസമ്പ്രദായമായിരുന്നു അവരുടേതും.
പൂജ്യത്തിന് പ്രത്യേക പ്രതീകം അവർക്കും ഇല്ലാതിരുന്നതിനാൽ പ്രത്യേക പറ്റം സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒറ്റയുടെയും പത്തിന്റെയും സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുക എന്ന രീതി തന്നെയാണ് അവരും പിന്തുടർന്നിരുന്നത്.
നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ പുനരുപയോഗിച്ചു പോന്നു.
എന്നുമുതലാണ് അവർ സ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങിയതെന്ന് തിട്ടമില്ല.
എന്തായാലും ക്രിസ്തുവിനു 400 വർഷങ്ങൾ മുൻപെങ്കിലും അവർക്ക് ഇതറിയാമായിരുന്നു.
ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം ആദ്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചത് അവരായിരുന്നു എന്ന് ലിയു ഹുയി എഴുതിയ ഗണിതകലയെപ്പറ്റി ഒൻപത് അധ്യായങ്ങൾ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നും നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിയ്ക്കും.
പതിയെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിലും അക്കങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ചു വില നൽകുന്ന രീതി തന്നെയാണുണ്ടായത്.
ഈ സമ്പ്രദായം പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയതായിരുന്നു.
എന്നാൽ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാന പ്രത്യേകത പൂജ്യത്തിന് സ്വന്തമായി ഒരു അക്കം ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നുള്ളതാണ്.
ചെറുതും വലുതുമായ സംഖ്യകളെ പ്രയാസഭേദമെന്യേ രേഖപ്പെടുത്താൻ ഈ സമ്പ്രദായം ഉപകരിച്ചു.
ക്രമേണ അതുവരെ നിലനിന്നിരുന്ന മറ്റു രീതികളെയെല്ലാം ഈ രീതി നിഷ്കാസനം ചെയ്തു.
ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ആറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ആര്യഭടൻ തന്റെ കൃതികളിലെല്ലാം ഈ രീതി ഉപയോഗിയ്ക്കുകയും അവയുടെ ആലേഖനത്തിന് പല രീതികൾ പരീക്ഷിച്ചു നോക്കുകയും ചെയ്തു.
അടുത്ത നൂറ്റാണ്ടിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്‌തൻ 0 ത്തെ ഒരു പ്രത്യേക അക്കം ആയി പരിഗണിച്ച് മറ്റു സംഖ്യകളുമായുള്ള പൂജ്യത്തിന്റെ ക്രിയകളുടെ (സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം തുടങ്ങിയവ) ഫലങ്ങൾ ക്രോഡീകരിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു.
എ.ഡി 650 ൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ സമകാലികനായ സിറിയൻ ക്രിസ്ത്യൻ ബിഷപ്പ് സേവേരസ് സെബോക്ത് ഇങ്ങനെ പറയുന്നു: "എത്ര പ്രശംസിച്ചാലും മതിവരാത്ത ഒരു ഗണിത സമ്പ്രദായം ഇന്ത്യക്കാരുടെ പക്കൽ ഉണ്ട്. ഒൻപത് അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതക്രിയകൾ ആണ് ഈ സമ്പ്രദായം".
ഈ രീതി പഠിച്ചെടുത്ത അറബികൾ ഇതിനെ ഹെസാബ് എന്ന് നാമകരണം ചെയ്തു.
ലീബ്നിസിന്റെ സ്റ്റെപ്പ്ഡ് റെക്കനർ ആയിരുന്നു നാലു ഗണിതക്രിയകളും ചെയ്യാൻ സാധിയ്ക്കുന്ന ആദ്യ കണക്കുകൂട്ടൽ യന്ത്രം.
1202 ൽ പിസയിലെ ലിയനാർഡോ ആണ് തന്റെ ലിബേർ അബാച്ചി എന്ന കൃതിയിലൂടെ ഈ സമ്പ്രദായം യൂറോപ്യർക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തിയത്.
അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ എഴുതി : "ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുള്ള ഏതു ഗണിതരീതിയെക്കാളും മികച്ചതാണ് ഇന്ത്യക്കാരുടെ ഗണിതക്രിയാരീതി ( Modus Indoram ). വളരെ മനോഹരമായ ഒരു രീതിയാണിത്. ഒൻപത് അക്കങ്ങളും പൂജ്യം എന്ന ഒരു പ്രത്യേക പ്രതീകവും ചേർത്താണ് അവർ ക്രിയകൾ ചെയ്യുന്നത്".
മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിപ്പിച്ചിരുന്ന ഏഴു കലകളിൽ ഒന്നായിരുന്നു ഗണിതം.
മധ്യകാല ഇസ്ലാമിക സംസ്കാരത്തിലും യൂറോപ്പിലെ നവോത്ഥാന കാലഘട്ടത്തിലും വളർന്നു പന്തലിച്ച ആൾജിബ്ര (ബീജഗണിതം) ഈ ഡെസിമൽ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഫലമായുണ്ടായ ഗണിതക്രിയകളുടെ ലളിതവത്കരണത്തിന്റെ പിന്തുടർച്ചയാണ്.
ഇക്കാലഘട്ടങ്ങളിൽ ഗണിതക്രിയകൾ എളുപ്പമാക്കാനായി പല ഗണനയന്ത്രങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു.
നവോത്ഥാനത്തിന് മുൻപ് പല തരത്തിലുള്ള മണിച്ചട്ടങ്ങൾ (അബാക്കസുകൾ) നിലനിന്നിരുന്നു.
സ്ലൈഡ് റൂൾസ്, നോമോഗ്രാംസ്, പാസ്കലിന്റെ കാൽക്കുലേറ്റർ പോലെയുള്ള മെക്കാനിക്കൽ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ തുടങ്ങിയവ അവയിൽ ചിലതാണ്.
ആധുനിക കാലഘട്ടത്തിൽ കാൽക്കുലേറ്ററുകളും കംപ്യൂട്ടറുകളും ഈ ചുമതല നിർവഹിയ്ക്കുന്നു.
ഗണിതചിഹ്നങ്ങളുടെ കണ്ടുപിടിത്തം '+', '-' എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളുടെ അച്ചടിയ്ക്കപ്പെട്ട രൂപങ്ങൾ, 1489 ലെ യോഹാൻ വിഡ്മാൻ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മെർകാന്റൈൽ അങ്കഗണിതം എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നും.
'+' എന്ന സങ്കലനചിഹ്നം ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് 1360- ൽ നിക്കോൾ ഒറേസ്മേ തന്റെ അൽഗോരിസ്മുസ് പ്രൊപോർഷനം എന്ന കൃതിയിൽ ആണ്. '-' എന്ന വ്യവകലനചിഹ്നം യോഹാൻ വിഡ്മാൻ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ 1489-ൽ പ്രസിദ്ധം ചെയ്ത മെർകാന്റൈൽ അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലാണ് ആദ്യമായി അച്ചടിയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.
അദ്ദേഹം നഷ്ടം രേഖപ്പെടുത്താൻ വ്യവകലനചിഹ്നവും ലാഭം രേഖപ്പെടുത്താൻ സങ്കലനചിഹ്നവും ഉപയോഗിച്ചു.
ഇംഗ്ളീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വില്യം ഔട്രഡ് (1574-1660) പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയ ക്ളാവിസ് മാത്തമാറ്റിക്ക (Clavis Mathematica, 1631) എന്ന ഗ്രന്ഥമാണ് 'x' എന്ന ഗുണനചിഹ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അച്ചടിഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പഴയതായി അറിയപ്പെടുന്നത്.
1659-ലെ ടൃൂഷേ ആൾജിബ്ര എന്ന പുസ്തകത്തിൽ യോഹാൻ റാൻ ആണ്  '÷' എന്ന ഹരണചിഹ്നം ആദ്യമായി പ്രയോഗിച്ചുകാണുന്നത്.
എന്നാൽ ഈ പുസ്തകം എഡിറ്റ് ചെയ്ത ജോൺപെൽ (1610-1685) ആകാം ഈ ചിഹ്നം അതിൽ ഉപയോഗിച്ചത് എന്നും ഒരു വാദം ഉണ്ട്.
അടിസ്ഥാന അങ്കഗണിതക്രിയകൾ
കൂട്ടൽ (സങ്കലനം), കുറയ്ക്കൽ (കിഴിക്കൽ, വ്യവകലനം), ഗുണിക്കൽ (പെരുക്കൽ, ഗുണനം), ഹരിക്കൽ (ഹരണം) എന്നിവയാണ് അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന ക്രിയകൾ.
ഈ ക്രിയകൾക്കെല്ലാം നിശ്ചിതമായ ഒരു പ്രാധാന്യക്രമം (order of precedence) ഉണ്ട്.
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളിൽ ഈ നാലു ക്രിയകളും ചെയ്യാൻ സാധിയ്ക്കുമെങ്കിൽ ആ ഗണത്തെ ഒരു ക്ഷേത്രം എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നു.
സങ്കലനം (+)
അങ്കഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും ലഘുവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ക്രിയയാണ് സങ്കലനം.
രണ്ടു സംഖ്യകളെ പരസ്പരം കൂട്ടി അവയുടെ തുക എന്ന മൂന്നാമതൊരു സംഖ്യയാക്കുന്ന പ്രക്രിയയാണിത്.
ഉദാ: 2 + 2 = 4 അല്ലെങ്കിൽ 3 + 5 = 8 .
രണ്ടിലധികം സംഖ്യകളെ കൂട്ടുന്ന പ്രക്രിയ തുടർച്ചയായുള്ള സങ്കലനക്രിയകൾ ആയി കാണാവുന്നതാണ്.
സമ്മേഷൻ എന്ന ഈ ക്രിയ വഴി എത്ര സംഖ്യകളെ വേണമെങ്കിലും കൂട്ടാവുന്നതാണ്.
എണ്ണൽ എന്ന ക്രിയയയും ഒരു സമ്മേഷൻ ആണ്.
സങ്കലനക്രിയ ക്രമനിയമം , സാഹചര്യനിയമം എന്നിവ അനുസരിയ്ക്കുന്നു.
അതിനാൽ സംഖ്യകളെ ഏതു ക്രമത്തിൽ എഴുതിയാലും തുകയ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നില്ല.
0 ആണ് സങ്കലനത്തിന്റെ അനന്യദം .
ഏതൊരു സംഖ്യയോട് 0 കൂട്ടിയാലും 0 ത്തോട് ഏതു സംഖ്യാ കൂട്ടിയാലും അതെ സംഖ്യ തന്നെ ഫലമായി ലഭിയ്ക്കുന്നു.
അതുപോലെ ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു സങ്കലനവിപരീതം ഉണ്ട്.
ഏതൊരു സംഖ്യയോടും അതിന്റെ സങ്കലനവിപരീതം കൂട്ടിയാൽ അനന്യദമായ 0 കിട്ടുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന് 7 ന്റെ സങ്കലനവിപരീതം -7 ആണ്.
അതിനാൽ 7 + (−7) = 0 ആണ്.
ജ്യാമിതീയമായി സങ്കലനം ഇങ്ങനെ വിവരിയ്ക്കാം:
" 2 , 5 എന്നീ നീളമുള്ള രണ്ടു ദണ്ഡുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ ഒന്നിന് പുറകിൽ മറ്റൊന്നായി വെച്ചാൽ ചേർന്നു കിട്ടുന്ന ദണ്ഡിന്റെ നീളം അവയുടെ നീളങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ( 2 + 5 = 7 ) ആയിരിയ്ക്കും."
വ്യവകലനം (−)
സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീതക്രിയയാണ് വ്യവകലനം.
രണ്ടു സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനാണ് ഇത് ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നത്.
ആദ്യസംഖ്യ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ ഉത്തരം അന്യൂനമായിരിയ്ക്കും.
എന്നാൽ ആദ്യസംഖ്യ ചെറുതാണെങ്കിൽ ഉത്തരം ന്യൂനമായിരിയ്ക്കും.
രണ്ടു സംഖ്യകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉത്തരം 0 ആയിരിയ്ക്കും.
വ്യവകലനം ക്രമനിയമമോ സാഹചര്യനിയമമോ അനുസരിയ്ക്കുന്നില്ല.
അതിനാൽ അവയുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്.
പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയുടെ സങ്കലനവിപരീതം ഉപയോഗിച്ച് വ്യവകലനക്രിയയെ സങ്കലനക്രിയയാക്കി മാറ്റാറുണ്ട്.
അതായത് a − b = a + (− b ) .
വ്യവകലനത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനായി പല വഴികളുണ്ട്.
ടു'സ് കോംപ്ലെമെന്റ് എന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡിജിറ്റൽ കംപ്യൂട്ടറുകളിൽ വ്യവകലനത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്നത്.
ഗുണനം (× or · or *)
അങ്കഗണിതത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അടിസ്ഥാനക്രിയയാണ് ഗുണനം.
ഘടകങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് അവയുടെ ഗുണിതം എന്ന മൂന്നാമതൊരു സംഖ്യ കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്ന ക്രിയയാണിത്.
ആനുപാതികമായി വികസിപ്പിയ്ക്കുക എന്നൊരു ജ്യാമിതീയ ക്രിയയാണ് ഗുണനം വഴി നടക്കുന്നത്.
ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു സംഖ്യാരേഖയിൽ ഒരു സംഖ്യയെ 1 നേക്കാൾ വലുതായ x എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുന്നു എന്നിരിയ്ക്കട്ടെ.
ഇത് സംഖ്യാരേഖയിലെ 0 മുതൽ ആ സംഖ്യ വരെയുള്ള എല്ലാ ഭാഗത്തെയും ഒരേ പോലെ വലിച്ചുനീട്ടുന്ന പ്രക്രിയയാണിത്.
1 എന്ന ഭാഗത്തെ x വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു.
2 എന്ന ഭാഗത്തെ 2x വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു.
അങ്ങനെ ആ സംഖ്യ ഇരിയ്ക്കുന്ന ഭാഗത്തെ അതിന്റെ ഗുണിതം വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു.
അതുപോലെ 1 ൽ താഴെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുന്നത് ഒരു സങ്കോചപ്രക്രിയയാണ്.
ഗുണനം ക്രമനിയമവും സാഹചര്യനിയമവും പാലിയ്ക്കുന്നു.
ഇതിനെ സങ്കലനത്തിനും വ്യവകലനത്തിനും മേൽ വിതരണം നടത്താനും സാധിയ്ക്കും.
ഗുണന അനന്യദം 1 ആണ്.
അതായത് ഏതൊരു സംഖ്യയെ 1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും 1 നെ ഏതൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും അതേ സംഖ്യ തന്നെ ഉത്തരമായി ലഭിയ്ക്കും.
0 ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു വ്യുൽക്രമം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കുകയും ചെയ്യും.
0 ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ വ്യുൽക്രമം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും ഗുണന അനന്യദം ആയ 1 ലഭിയ്ക്കും.
a , b എന്നീ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തെ a × b അഥവാ a · b എന്നിങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം.
കമ്പ്യൂട്ടർ ഭാഷകളിൽ ഇതിനെ പൊതുവെ a * b എന്നു രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.
ഹരണം (÷ or /)
ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീത ക്രിയയാണ് ഹരണം.
ഒരു സംഖ്യയിൽ മറ്റൊരു സംഖ്യ എത്രമാത്രം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട് എന്നതിന്റെ കണക്കാണ് ഹരണം.
ഹരിയ്ക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യയെ ഹാര്യം എന്നും ഹരിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യയെ ഹാരകം എന്നും വിളിയ്ക്കുന്നു.
0 ത്താൽ ഉള്ള ഹരണം നിർവചിയ്ക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.
വ്യത്യസ്തങ്ങളായ അന്യൂനസംഖ്യകളിൽ ഹാര്യം ഹാരകത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ 1 ൽ വലുതായ ഒരു സംഖ്യ ഹരണഫലനമായി ലഭിയ്ക്കുന്നു.
എന്നാൽ ഹാര്യം ചെറുതാണെങ്കിലും 1 ൽ താഴെ ഉള്ള ഒരു ഫലമാണ് ലഭിയ്ക്കുക.
ഹാരകത്തെ ഹരണഫലം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഹാര്യം ലഭിയ്ക്കും.
ഹരണം ക്രമനിയമവും സാഹചര്യനിയമവും പാലിയ്ക്കുന്നില്ല.
അതിനാൽ ഹാര്യ/ഹാരക ക്രമം വളരെ പ്രധാനമാണ്.
a യെ b കൊണ്ട് ഹരിയ്ക്കുക എന്ന ക്രിയയെ a യെ b യുടെ വ്യുൽക്രമം കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുക എന്ന ക്രിയയായും കാണാം.
അതായത് :
a ÷ b = a × 1 ⁄ b ഇവയും കാണുക സങ്കലനം വ്യവകലനം ഗുണനം ഹരണം അവലംബം പുറം കണ്ണികൾ Arithmetic എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
MathWorld article about arithmetic The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes Archived 2017-04-28 at the Wayback Machine .
– an early Western work on arithmetic at Archived 2017-04-28 at the Wayback Machine .
അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം
ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic
ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ അഭാജ്യസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കിൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമോ ആയിരിക്കും എന്നതാണു് അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം.
ഈ ഗുണിതത്തിലെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ക്രമം ഏതുരീതിയിലും ആവാമെങ്കിലും ഉൾപ്പെടുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകൾ എല്ലായ്പോഴും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കും.
ഉദാഹരണം: 1200 = 2 4 × 3 1 × 5 2 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = ⋯ etc. {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3^{1}\times 5^{2}=3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5\times 5=5\times 2\times 3\times 2\times 5\times 2\times 2=\cdots {\text{ etc.}}\!
ഇതനുസരിച്ചു്, 1200 എന്ന സംഖ്യ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമാവുമെന്നും ഈ ഗുണിതത്തിൽ എല്ലായ്പോഴും നാലു രണ്ടുകളും, ഒരു മൂന്നും, രണ്ടു അഞ്ചുകളും നിശ്ചയമായും ഉണ്ടാവുമെന്നും കാണുന്നു.
അങ്കക്കാരനും പപ്പൂരനും ഈ ലേഖനം പ്രതിപാദ്യവിഷയത്തെക്കുറിച്ച് പ്രാഥമികവിവരങ്ങൾ പോലും നൽകാത്ത ഒറ്റവരിലേഖനമായി  2010 ജൂലൈ മുതൽ തുടരുന്നു.
അങ്കക്കാരൻ തെയ്യം
മലബാറിൽ കെട്ടിയാടപ്പെടുന്ന തെയ്യങ്ങളിലൊന്നാണ് അങ്കക്കാരനും പപ്പൂരനും .
അണ്ടല്ലൂർ കാവിലെ തിറയോടനുബന്ധിച്ചു ഇവ കെട്ടിയാടുന്നു.
അങ്കക്കാരൻ ലക്ഷ്മണനും പപ്പൂരൻ ഹനുമാനുമാണെന്നാണു വിശ്വാസം.
അങ്കക്കുളങ്ങര ഭഗവതി ഈ ലേഖനത്തിനു മിഴിവേകാൻ ചിത്രങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും.
അങ്കംവെട്ടി ജയിച്ച അമ്മദൈവമാണ് അങ്കക്കുളങ്ങര ഭഗവതി .
അങ്കക്കുളങ്ങരക്കാവിലാണ് ഈ ദേവതയുടെ മുഖ്യസ്ഥാനം.
വണ്ണാൻ സമുദായക്കാരാണ് ഈ തെയ്യം കെട്ടിയാടിക്കുന്നത്.
വേഷവിധാനം വട്ടമുടി ഒലിയെടുപ്പ് വൈരിദ്ദളമെന്ന പ്രത്യേക മുഖത്തെഴുത്ത് അരയുടയിൽ കുത്തുപന്തം.
അനസ് ഇബ്ൻ മാലിക്
അനസ് ബിൻ മാലിക് ബിൻ നദർ അൽ ഖസ്രാജി അൽ-അൻസാരി ( അറബി : أنس بن مالك الخزرجي الأنصاري ‬ (c.612 – c.712 ) അദ്ദേഹം റസൂലിന്റ സഹാബിയാണ്.
അനസിന്റെ ഹദീസ് അനസ് ഇബ്നു മാലിക് പറഞ്ഞു: ചില ആളുകൾക്ക് അസുഖമുണ്ടായിരുന്നു, അവർ പറഞ്ഞു, "അല്ലാഹുവിന്റെ ദൂതരേ (ﷺ)! ഞങ്ങൾക്ക് അഭയവും ഭക്ഷണവും തരൂ. അവർ ആരോഗ്യമുള്ളപ്പോൾ അവർ പറഞ്ഞു," മദീനയിലെ കാലാവസ്ഥ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല.
"അങ്ങനെ അവൻ അവരെ തന്റെ ചില ഒട്ടകങ്ങളുമായി അൽ-ഹറയിലേക്ക് അയച്ചു," അവരുടെ പാൽ കുടിക്കുക "എന്ന് പറഞ്ഞു.
( Sahih Bukhari , 5685) ജീവചരിത്രം അനസ് ബിന് മാലിക്' പേര് അറബി കാലിഗ്രാഫി Tomb of അനസ് ബിന് മാലിക് in Basra, ഇറാഖ്
അനസ് ബിന് മാലിക്,   , യത്രിബിലെ ഖസ്രാജ് ഗോത്രത്തിലെ നജ്ജാർ വംശത്തിലെ അംഗം  , പ്രവാചകൻ മുഹമ്മദിന്റെ ഹിജറക്ക് പത്ത് വര്ഷം മുമ്പ് ജനിച്ചത് .
അദ്ദേഹത്തിന്റെ പിതാവ് മാലിക് ബിൻ നദ്ര്  മരിച്ചതിനു ശേഷം,ഒരു അമുസ്ലി ആയിരുന്നു.
തന്റെ ഉമ്മ, ഉമ്മു സുലൈം, ഇസ്ലാം വിശ്വസിച്ച തൽഹ ബിൻ താബിതിനെ പുനർവിവാഹം ചെയ്തു.
ഈ വിവാഹത്തിൽ നിന്നുള്ള അനസിന്റെ അർദ്ധസഹോദരൻ അബ്ദുള്ള ബിൻ അബി തൽഹ ആയിരുന്നു. [6]
622 -ൽ പ്രവാചകൻ മദീനയിൽ എത്തിയപ്പോൾ അനസിന്റെ ഉമ്മ അവനെ പ്രവാചകന് ഒരു സേവകനായി അവതരിപ്പിച്ചു.
632 -ൽ പ്രവാചകന്റെ മരണശേഷം, അനസ് വിജയത്തിന്റെ യുദ്ധങ്ങളിൽ പങ്കെടുത്തു.
പ്രവാചകന്റെ പ്രമുഖ സഹാബികളിൽ അവസാനത്തെ ആളായിരുന്നു അദ്ദേഹം.
അനസ് ഹിജ്റ 93 ൽ (712 CE) ബസ്രയിൽ 103 (ചാന്ദ്ര) വയസ്സിൽ മരിച്ചു.
അനസ് ബിൻ മാലിക് ദേവാലയം ബസ്രയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതായി അവകാശപ്പെടുന്നു, , ഇറാഖ് .
അനസ് ഇബ്നു മാലിക്കിന്റെ ശവകുടീരം ഒരു ലളിതമായ ശിലാസ്ഥാപനമാണ്.
എന്നിരുന്നാലും, സ്ഫോടകവസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിച്ച് ദേവാലയം നശിപ്പിക്കപ്പെട്ടു.
പള്ളിക്കും ആരാധനാലയത്തിനും കനത്ത കേടുപാടുകൾ സംഭവിക്കുകയും മതിലുകൾ നശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, ഈ സമുച്ചയം ഇപ്പോഴും സുന്നി മുസ്ലീങ്ങളുടെ ജനപ്രിയ സന്ദർശന സ്ഥലമാണ്.
See also സുന്നി view of the Sahaba അനസ് ബിന് Nadhar കുറിപ്പുകൾ
പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ 1 2 Finding the Truth in Judging the Companions , 1.
84-5; EI2, 1.
482 A. J. Wensinck J. Robson ↑ Bukhari 76:8 ↑ T. P. Hughes , 1885/1999, Dictionary of Islam , New Delhi: Rupa Co. ↑
അനസ്താസിയ പ്രീഖൊഡ്കോ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Anastasia_Prikhodko
ഒരു ഉക്രേനിയൻ ആക്ടിവിസ്റ്റും രാഷ്ട്രീയക്കാരിയും മുൻ ഗായികയും ഗാനരചയിതാവുമാണ് അനസ്താസിയ കോസ്റ്റ്യാന്റിനിവ്ന പ്രീഖൊഡ്കോ.
ഗൗരവമേറിയ കോണ്ട്രാൾട്ടോ ആലാപന ശബ്ദത്തിനും നാടോടി റോക്കിന്റെയും പോപ്പ് സംഗീതത്തിന്റെയും സമന്വയത്തിന് പേരുകേട്ട പ്രീഖൊഡ്കോ 2018 ഒക്ടോബറിൽ രാഷ്ട്രീയത്തിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനായി തന്റെ സംഗീത ജീവിതം അവസാനിപ്പിക്കുമെന്ന് പ്രഖ്യാപിച്ചു.
പ്രീഖൊഡ്കോ മുമ്പ്  സ്വയം ഒരു പ്രധാന വ്യക്തിയായി യൂറോമൈഡാനിലും 2014 ലെ ഉക്രെയ്നിലെ റഷ്യൻ അനുകൂല അശാന്തിയിലും ഉക്രേനിയൻ സേനയ്ക്ക് പിന്തുണ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും റഷ്യയിൽ ഇനി ഒരിക്കലും പ്രകടനം നടത്തില്ലെന്ന് പ്രതിജ്ഞയെടുക്കുകയും ചെയ്തു.
റഷ്യൻ സംഗീത മത്സരത്തിലെ ഏഴാം സീരീസ് ഫാബ്രിക്ക സ്വിയോസ്ഡ് വിജയിച്ചതിന് ശേഷം 2007 ലാണ് പ്രിഖോഡ്കോ ആദ്യമായി മുഖ്യധാരാ ശ്രദ്ധ നേടിയത്.
അവരുടെ വിജയം ഉക്രേനിയൻ നിർമ്മാതാവ് കോൺസ്റ്റാന്റിൻ മെലാഡ്‌സെയുമായി സഹകരിക്കുന്നതിലേയ്ക്ക് അവരെ നയിച്ചു.
2009 ൽ മോസ്കോയിൽ നടന്ന യൂറോവിഷൻ ഗാനമത്സരത്തിൽ മെലഡ്‌സെ എഴുതിയ " മാമോ " എന്ന ഗാനത്തിലൂടെ പ്രീഖോഡ്കോ റഷ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ചു.
ഉക്രേനിയൻ ദേശീയ ഫൈനലിൽ നിന്ന് അയോഗ്യയാക്കിയതിനെത്തുടർന്ന് ജഡ്ജിമാരുടെ സമഗ്രതയെയും മത്സരത്തിന്റെ സാധുതയെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ശേഷം നിരവധി വിവാദങ്ങളുമായാണ് മത്സരത്തിൽ പങ്കെടുത്തത്.
പിന്നീട് റഷ്യൻ ദേശീയ ഫൈനലിൽ പങ്കെടുത്ത് അവർ വിജയിച്ചു.
യൂറോവിഷൻ ഫൈനലിൽ പ്രിഖോഡ്കോ പതിനൊന്നാം സ്ഥാനത്തെത്തി.
2010 ൽ മെലാഡ്‌സെയുമായുള്ള സഹകരണം അവസാനിപ്പിച്ച ശേഷം 2011, 2016 വർഷങ്ങളിൽ രണ്ട് തവണ കൂടി യൂറോവിഷൻ ഗാനമത്സരത്തിൽ ഉക്രെയ്നെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ പ്രിഖോഡ്കോ ശ്രമിച്ചു.