smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
ഒരു നേർവര ഉറപ്പിക്കാൻ അത്യാവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളെ ആധാരമാക്കിയാണ് അതിന്റെ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുന്നത്.
(1) രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാകുന്നു.
(II) ഒരു ബിന്ദുവും നേർവര X-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന ചരിവുമാനവും (slope) അറിഞ്ഞാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാക്കാം.
(III) ചരിവുമാനവും y-അക്ഷരേഖയിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡവും (intercept) അറിഞ്ഞാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാക്കാം.
(iv) രേഖ x, y അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങൾ അറിഞ്ഞാൽ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം.
സാധാരണയായി ഇത്തരത്തിലുള്ള വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ചാണ് നേർവരയുണ്ടാകുന്നത്.
(1) ചിത്രം 3-ൽ A,B ആ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ) ആണ്.
ഇവ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാവുന്ന നേർവര(AB)യുടെ സമവാക്യം നിർണയിക്കാം.
p(x,y) രേഖയിലുള്ള ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണെങ്കിൽ AP,AB  എന്നീ രേഖകൾ ഒരേ നേർവരയിലായതിനാൽ ചരിവുമാനങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും.
അതായത് .
AC/PC = AD/BD ഇതിൽനിന്നു
y-y 1 / x- x 1 = y 1 - y 2 /x 1 - x 2 എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
(ii)  A(x 1 ,y 1 ) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടക്കുന്നതും mചരിവുമാനം ഉള്ളതുമായ നേർവരയുടെ സമവാക്യം എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
(1)-ൽ ചരിവുമാനമാണ്.
ചരിവുകോൺ ø ആണെങ്കിൽ tan ø ആണ് ചരിവുമാനം.
(iii) ചരിവുമാനം m-ഉം രേഖ y-അക്ഷത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഖണ്ഡം കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് അളക്കുമ്പോൾ c-യുമാണെങ്കിൽ, രേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയും.
ചിത്രം 5 നോക്കിയാൽ p(x,y) രേഖയിലെ ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവും OQ = c ഛേദഖണ്ഡവും ø ചരിവുകോണുമാണെന്നും കാണാം.
എങ്കിൽ m = tan ø = PN/QN; അതായത്
PN =m.
QN.
ഇതിൽനിന്നു y =mx + c എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
PQ എന്ന രേഖയുടെ സമവാക്യമാണിത്.
(iv) ചിത്രം 6 പരിശോധിച്ചാൽ a, b എന്നിവ, അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങളും p(x,y) ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവുമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം.
ത്രികോണങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷതയനുസരിച്ച്  AM/AO = MP/OB ആണ്.
ഇതിൽനിന്നു a-x/a = y/b എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
അതായത് x/a + y/b = 1
(V) (ചിത്രം 7).
കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നു AB എന്ന ഋജുരേഖയിലേക്കുള്ള ലംബത്തി(OM)ന്റെ നീളം p-ഉം OM  x-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന കോണം α -യുമാണ്.
എങ്കിൽ AB-യുടെ സമവാക്യം
x cos α + y sin α = p ആയിരിക്കും.
മേല്പറഞ്ഞ സമവാക്യരൂപങ്ങളിൽനിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്നത്, നേർവരയുടെ സമവാക്യം ഏകഘാതസമവാക്യമായിരിക്കുമെന്നതാണ്.
അതായത്, ax + by + c = 0 രണ്ടു നേർവരകൾക്കിടയിലുള്ള കോണം ø ആണെങ്കിൽ താഴെ കാണുന്നവിധം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും: (m1
tan ø = m 1 - m 2 / 1+m 1 m 2
ഇവിടെ m 1 ,m 2 എന്നിവ, രേഖകളുടെ ചരിവുമാനമാണ്.
രേഖകൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ,m 1 = m 2 ; ലംബമാണെങ്കിൽ
m 1 m 2 = -1.
ദ്വിഘാത സമവാക്യങ്ങൾ
പൊതുവായ ദ്വിഘാതസമവാക്യമാണ് ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c = 0 ചില വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ച് ഈ വാക്യം ഒരു ജോടി നേർരേഖകളെയോ ഒരു വൃത്തത്തെയോ മറ്റു കോണികഖണ്ഡങ്ങ(conic sections)ളെയോ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതാണ്.
രണ്ടു ഏകഘാതവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണിതമാണ് ഇതിലെ വാക്യമെങ്കിൽ ആ വാക്യം രണ്ടു നേർവരകളെ കുറിക്കുന്നു.
ഈ വ്യവസ്ഥ നിർണയിക്കാൻ കഴിയും.
abc + 2fgh- af 2 - bg 2 - ch 2 = 0 എന്നതാണ് ഈ വ്യവസ്ഥ.
x 2 ,y 2 എന്നിവയുടെ ഗുണനാങ്കങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കയും, xyയുടെ ഗുണനാങ്കം പൂജ്യമായിരിക്കുകയുമാണെങ്കിൽ, അതായത് ax 2 + ay 2 + 2gx + 2fy + c = 0, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമുണ്ടാകുന്നു.
x 2 +y 2 +2gx+2fy+c=0,
x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1
y 2 = 4ax,x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =1
എന്നീ പ്രത്യേക സമവാക്യ രൂപങ്ങൾ വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം  (ellipse), പരവളയം (parabola), ബഹിർവളയം (hyperbola) എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
നിർദിഷ്ടാങ്കrപദ്ധതിയിലെ കേന്ദ്രം വൃത്തകേന്ദ്രമായും r വ്യാസാർധമായും ഉള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ചിത്രം 8-ൽ നിന്നു കണക്കാക്കാം: x 2 + y 2 =
r 2 .
A (x 1 ,y 1 ), B (x 2 , y 2 ) എന്നീ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പിത്തഗറസ്തത്ത്വം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
ചിത്രം 9-ൽ ACB ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.
BC 2 + AC 2 = AB 2 .
ഇതിൽനിന്നു, AB= √ (x 1 - x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 എന്നു നിർണയിക്കാം.
ഇതിൽ B കേന്ദ്രത്തിൽ തന്നെയാണെങ്കിൽ BA, അതായത് OA= √ x 1 2 +y 1 2 എന്നു കാണാം.
(x 1 ,y 1 )ൽ നിന്നു ax + by + c = 0 എന്ന നേർവരയിലേക്കു വരയ്ക്കുന്ന ലംബത്തിന്റെ നീളം,
x cos α +y sin α =p എന്ന സമവാക്യത്തോട് ax + by + c = 0 താരതമ്യപ്പെടുത്തിയാൽ കിട്ടുന്നതാണ്:
കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നുള്ള ദൂരം താഴെ കാണുന്നവിധം ആണ് എന്നു മനസ്സിലാക്കാം.
(കേന്ദ്രം:x1 = 0,  y1 = 0)
p=+- ax 1 +by 1 +c/ √ a 2 +b 2 വിസ്തീർണം
A (x 1 ,y 1 ), B (x 2 , y 2 ), C (x 3 ,y 3 ) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ശീർഷ(vertices)ങ്ങളായുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം കാണുന്നത്, ഈ ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നും X-അക്ഷത്തിലേക്ക് ലംബം വരച്ച് ദ്വിവശസമാന്തര ചതുർഭുജങ്ങളുടെ (trapezium) വിസ്തീർണങ്ങൾ നിർണയിച്ചാണ് (ചിത്രം 10); വിസ്തീർണത്തിനു Δ എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
മൂന്നു ബിന്ദുക്കൾ ഈരണ്ടെണ്ണം നേർവരകൊണ്ടു യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം പൂജ്യം ആണെങ്കിൽ ആ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേർവരയിലാണെന്ന് അതിൽ നിന്നു മനസ്സിലാക്കാം.
ധ്രുവാങ്ക പദ്ധതി
ഇതുവരെ പ്രതിപാദിച്ച കാർത്തീയ നിർദ്ദേശാങ്കപദ്ധതി പോലെ തന്നെ പ്രയോജനകരമായ മറ്റൊരു പദ്ധതിയാണിത്.
ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും അതിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സ്ഥിര നേർവരയും അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി പ്രതലത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾ നിർണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്.
ചിത്രം 11-ൽ o സ്ഥിരബിന്ദുവും ox സ്ഥിരരേഖയും ആണ്.
p എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ നിർണയിക്കുന്നത് op എന്ന  ത്രിജ്യരേഖ(radius vector)യുടെ നീളം r-ഉം OX-ൽ നിന്ന് സമതലത്തിലൂടെ O കേന്ദ്രമാക്കി അപ്രദക്ഷിണമായി (anticlock-wise) തിരിയുമ്പോൾ op ഉണ്ടാക്കുന്ന e എന്ന കോണവും ഉപയോഗിച്ചാണ്.
ഇവിടെ r , ø ഇവ ആണ്  p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ.
p എന്ന ബിന്ദുവിനെ  (r, ø ) എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.
സമ്മിശ്ര സംഖ്യകളെ (Complex numbers) വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു.
x + iy-യുടെ ആംപ്ളിറ്റ്യൂഡ് ø ,r=+ √ x 2 +y 2 മോഡുലസ് എന്നിവ  (r, ø ) എന്ന ബിന്ദുവായി അങ്കനം ചെയ്യുന്നു.
(r, ø ) എന്നതു (r, ø +2n π + 2nII ആയും എഴുതാം.
നോ: സമ്മിശ്ര സംഖ്യ അക്ഷ രൂപാന്തരണം
(i) കേന്ദ്രം o-യിൽനിന്നു o'-യിലേക്കും ആധാരരേഖകൾ x, oy എന്നിവയ്ക്കു സമാന്തരമായി o'x, o'y (ലംബം) എന്നിവയിലേക്കും മാറ്റിയാൽ, പുതിയ ആധാരരേഖകളെ അപേക്ഷിച്ച് നിർദിഷ്ടാങ്കങ്ങൾ നിർണയിക്കാം.
p എന്ന ബിന്ദു x-,y- അക്ഷങ്ങളെ ആധാരമാക്കി (x,y) x -, y- എന്നിവയെ ആസ്പദമാക്കി (x,y) യും ആണെങ്കിൽ, ചിത്രം 12-ൽ നിന്ന്, x = X + h, y = Y + K എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
അതായത് X = x-h, Y =y-k.
ഇവിടെx-, y- അക്ഷങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള കോടികളാണ് (h, k).
(ii) O കേന്ദ്രമാക്കി അക്ഷങ്ങളെ α കോണിലൂടെ തിരിച്ചും അക്ഷങ്ങളുടെ രൂപാന്തരണം സാധിക്കാം (ചിത്രം 13).
p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ (r, ø ) ആയിരുന്നെങ്കിൽ ഇതനുസരിച്ച് (r, ø + α ) ആയിത്തീരും.
അങ്ങനെx =r cos ø ,y=r sin ø എന്നിവയുപയോഗിച്ച് X= r cos( ø + α ),Y=r sin ( ø + α ) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
അതായത്, X = r cos ø cos α -ysin α
Y = r sin ø cos α + r cos ø sin α =x sin α +y cos α വിസ്തീർണ കോടികൾ
ഒരു ത്രികോണത്തെ ആധാരമാക്കി കോടികൾ നിർണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്.
p എന്ന സാമാന്യബിന്ദുവിന്റെ കോടികൾ Δ BPC, Δ CPA, Δ APB എന്നീ വിസ്തീർണങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും.
അതായത് t1, t2, t3 ആണ് കോടികളെങ്കിൽ  
t 1 : t 2 :t 3 = Δ BPC : Δ CPA : Δ APB ഇവയ്ക്ക് p-യുടെ ബേരികേന്ദ്രീയ കോടികളെന്നും (Bary-centric co-ordinates) പറയുന്നു.
ഇവിടെ t 1 + t 2 + t 3 = 1 എന്നാകുന്ന വിധത്തിലാണെങ്കിൽ ഇവയെ വിസ്തീർണ കോടികൾ എന്നു പറയാം.
കോണിക ഖണ്ഡങ്ങൾ
ഇരുഭാഗത്തേക്കും നീണ്ടുകിടക്കുന്ന (ചിത്രം 14) കോണിന്റെ (Cone) പ്രത്യേക ഖണ്ഡങ്ങളുടെ പഠനം വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയിൽ സുപ്രധാനമാണ്.
കോണിന്റെ അക്ഷത്തോടു ചേർത്ത് കോണിനെ ഒരു സമതലംകൊണ്ടു ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ ബാഹ്യമായി കാണുന്ന പരിച്ഛേദം (cross section) രണ്ടു ഋജുരേഖകളായിരിക്കും.
അക്ഷത്തിനു ലംബമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോൾ പരിച്ഛേദം വൃത്താകാരവും ചരിവു വശത്തിനു സമാന്തരമായിട്ടാണെങ്കിൽ പരവളയവും സമാന്തരമല്ലാതെയാണെങ്കിൽ ദീർഘവൃത്തവും രണ്ടു ഭാഗത്തെ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോൾ ബഹിർവളയവും ഉണ്ടാകുന്നു.
കോണിക(conic)ത്തെ സാമാന്യമായി ഇങ്ങനെയാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്: s ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും d ഒരു സ്ഥിര ഋജുരേഖയുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക; p കോണികത്തിലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു സാമാന്യബിന്ദുവും; p-ൽ നിന്നു d-യിലേക്കുള്ള ദൂരം PM .
എങ്കിൽ SP/PM =e (e ഏതെങ്കിലുമൊരു സംഖ്യയാകാം).
e ക്ളിപ്തമായിരിക്കുന്നവിധം p ചലിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുപദമാണ് കോണികം; e കോണികത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയും (eccentricity).
eയുടെ മൂല്യം 1 ആകുമ്പോൾ കോണികം ഒരു പരവളയവും e യുടെ മൂല്യം 1-ൽ കുറവാകുമ്പോൾ ദീർഘവൃത്തവും e യുടെ മൂല്യം 1-ൽ കൂടുതൽ ആകുമ്പോൾ ബഹിർവളയവും ആയിരിക്കും (ചിത്രം 15).
x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 ആണ് ഒരു സാധാരണ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം.
ഈ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും വ്യാസാർധവും കാണാൻ സമവാക്യത്തെ (x + g) 2 +(y + f) 2 = √ g 2 +f 2 -c) 2 എന്നാക്കിയാൽ മതി.
കേന്ദ്രം (-g,-f)-ഉം വ്യാസാർധം √ g 2 +f 2 -cയുമാണ്.
വൃത്തത്തിൻമേലുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിനേയും പ്രാചല(parameter)ത്തിലൂടെ കാണിക്കാൻ കഴിയും.
x 2 + y 2 = r 2 എന്ന വൃത്തത്തിൻമേലുള്ള ഏതു ബിന്ദു
വും x = r cos ø , y= r sin ø എന്ന പ്രാചലപ്രതിനിധാനം വഴി സൂചിപ്പിക്കാം.
പരവളയം
കോണികത്തിന്റെ പൊതു തത്ത്വമനുസരിച്ച്, ചിത്രം (16)-ൽ നിന്നു SP = PM.
p(x,y) ഇവിടെ പരവളയത്തിൻമേലുള്ള സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ്.
s-ൽ കൂടി d-ക്കു ലംബം വരച്ച് അത് x-അക്ഷമായി എടുക്കുകയും SZ (= 2a)-ന്റെ മധ്യബിന്ദു o കേന്ദ്രമായും o-ൽ കൂടി ox-നു വരയ്ക്കുന്ന ലംബം y-അക്ഷമായും എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, s (a, o)-ഉം PM = x+a യുമാണെന്നുകാണാം.
SP = PM-ൽ നിന്നു Y2 = 4 ax എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
S-ൽ കൂടി അക്ഷത്തിനുള്ള ലംബഖണ്ഡമാണ് LSL' .
LSL' = 4a.
S പരവളയത്തിന്റെ അഭികേന്ദ്ര(focus)വും d നിയന്ത്രണരേഖ(directrix)യുമാണ്.
ദീർഘവൃത്തം
CA, CB എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങൾ; C കേന്ദ്രവും.
(ചിത്രം 17) CA = a എന്നെടുത്താൽ CS = ae, CZ = a/e എന്നിവ നിർണയിക്കാം.
ഇവിടെ e ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയാണ്.
ഒന്നിനെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും e. SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാൽ
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1, 
b 2 =a 2 (1-e 2 )
എന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ഉണ്ടാകുന്നു.
b = a ആയാൽ ദീർഘവൃത്തം വൃത്തമായി മാറും.
ബഹിർവളയം
ചിത്രം 18-ൽ ചിത്രം (17)-ലെ നിർദിഷ്ടാങ്കപദ്ധതിതന്നെ.
A, A' എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ബഹിർവളയത്തിലെ ബിന്ദുക്കളാണെന്നു കരുതുക.
AA' = 2a എന്നെടുത്ത് അതിന്റെ മധ്യബിന്ദു C കേന്ദ്രമായും C യിലൂടെയുള്ള ലംബം CY എന്നത് Y-അക്ഷമായും സ്വീകരിക്കുക.
CA = a, CZ = a/e, CS = ae.
ഇവിടെ ഉത്കേന്ദ്രത e ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും.
P(x,y) ബഹിർവളയത്തിലെ ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ് SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാൽ
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1
b 2 = a 2 (e 2 -1)
എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സിദ്ധിക്കുന്നു.
x = at 2 , y = 2 at പരവളയത്തിന്റെയും x = a cos ø , y= b sin ø ദീീർഘവൃത്തത്തിന്റെയും x = a sec ø , y = b tan ø , ബഹിർവളയത്തിന്റേയും പ്രാചലപ്രതിനിധാനങ്ങളാണ്.
ജ്യാവ് (chord), സ്പർശകം (tangent) എന്നിങ്ങനെയുള്ള മറ്റു പ്രമേയങ്ങളും വിശ്ളേഷക ജ്യാമിതിയിൽ പ്രതിപാദിക്കപ്പെടുന്നു.
ത്രിമാന പദ്ധതി
ഭൌതിക സ്വഭാവമുള്ള ഏതു വസ്തുവിനും മൂന്നു അളവുകളുണ്ട്: നീളം, വീതി, കനം.
ഇവയെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള പദ്ധതിയാണിത്.
ദ്വിമാനപദ്ധതിയുടെ ഒരു വിപുലീകരണം മാത്രമാണിത്.
പരസ്പരം ലംബങ്ങളായ മൂന്നു ഋജുരേഖകൾ O എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു (ചിത്രം 19).
XOX', YOY', ZOZ' എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങൾ; O കേന്ദ്രവും.
XOY, YOZ, ZOX എന്നീ മൂന്നു സമതലങ്ങൾ ഈരണ്ടെണ്ണം യോജിക്കുന്ന രേഖകളാണ് OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷങ്ങൾ.
p എന്നൊരു സാമാന്യ ബിന്ദുവിന്റെ നിർദിഷ്ടാങ്കങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ p-ൽ നിന്നു XOY തലത്തിലേക്കു ലംബം വരയ്ക്കുന്നു.
M ലംബത്തിന്റെ പാദമാണ്.
M-ൽ നിന്നു XOX' ലേക്കു ലംബം MN വരയ്ക്കുക.
എങ്കിൽ ON, NM, MP എന്നിവ, ദിശകൾ കൂടി കണക്കിലെടുത്തുകൊണ്ട് x, y, z എന്ന ക്രമത്തിൽ p-യുടെ അങ്കങ്ങളാണെന്നു പറയുന്നു.
ദിശാകോണുകളും ദിശാകൊസൈനുകളും
ഒരു സാമാന്യ ഋജുരേഖയും l 1 ഈരേഖയ്ക്കു സമാന്തരമായി കേന്ദ്രത്തിലൂടെയുള്ള രേഖയും α β γ എന്നിവ OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷരേഖകളുമായി l 1 ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക.
എങ്കിൽ α β gama;എന്നിവ l-ന്റെ ദിശാകോണുകളും cos α , cos β cos gama;ദിശാകൊസൈനുകളുമാണ്.cos 2 α , cos 2 β B,cos 2 γ =1എന്നു തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.y2+u2=1 ആയിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ഏതു സംഖ്യകളും ^,u,yക്ലുപ്തദിശയിലുള്ള ഏതു ഋജുരേഖയുടേയും ദിശാകൊസൈനുകളായിരിക്കും.
ദിശാകൊസൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികമായിട്ടുള്ള a, b, c സംഖ്യകളെ ദിശാസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു.
x 2 -x 1 , y 2 -y 1 , z 2 -z 1 എന്നിവ AB ഋജുരേഖയുടെ ദിശാസംഖ്യകളാണ്.
AB യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് p(x,y) എങ്കിൽ AP-ക്കും PB-ക്കും ദിശാസംഖ്യകൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും.
അതായത് x 1 -x = k (x 2 -x 1 ),y 1 -y = k (y 2 -y 1 ), z 1 -z = k (z 2 - z 1 ).
ഇതിൽ k ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയാണ്.
AB യുടെ ദിശാസംഖ്യകൾ
ആണ്;d = √ (x 1 -x 2 )2+(y 1 -y 2 ) 2 +(z 1 -z 2 ) 2 .l 1 ,l 2 എന്നീ ഋജുരേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺയും അവയുടെ ദിശാകൊസൈനുകൾ cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 എന്നിവയുമാണെങ്കിൽ 
cos ø =cos α 1 cos α 2 +
cos β 1 cos β 2 +cos γ 1 cos γ 2 ആയിരിക്കും.
ക്രമത്തിൽ a 1 , b 1 , c 1 ;  a 2 , b 2 , c 2 എന്നിവ രണ്ടു ലംബരേഖകളുടെ ദിശാസംഖ്യകളെങ്കിൽ, a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 ആകുന്നു.
തലങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും
ചിത്രം 20-ൽ, π ഒരു സമതലം; l π -ക്കു  ലംബരേഖ; a, b, c l-ന്റെ ദിശാസംഖ്യകൾ; A(x 1 , y 1 , z 1 ) l ന്റെ പാദം;B(x,y,z) π -ലുള്ള മറ്റൊരു ബിന്ദു.
ഇതിൽ BAയും l രേഖയും ലംബമാണ്.
a(x 1 -x) + b(y 1 -y) + c(z 1 -z) = 0.
ഏതെങ്കിലുമൊരു സമതലവുമായി ഇങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഏകഘാത സമവാക്യമുണ്ടായിരിക്കും.
അതായത് ax + by + cz + d = 0 എന്ന ഏകഘാതസമവാക്യത്തെ A(x 1 , y 1 , z 1 ) എന്നൊരു ബിന്ദു 'തൃപ്തിപ്പെടുത്തു'മെങ്കിൽ, ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും a, b, c എന്നിവ ദിശാസംഖ്യകളുള്ള ഋജുരേഖയ്ക്കു ലംബവുമായ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം.
a(x-x 1 ) + b(y-y 1 ) + c(z-z 1 ) = 0 ആയിരിക്കും.
yoz,zox,xoyഛദ, ദഛത, തഛഥ  എന്നീ സമതലങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ക്രമത്തിൽ x=o,z=o = 0,  എന്നിവയാണ്.
ലംബീയ ദൂരം
A(x 1 ,y 1 ,z 1 )-ൽ നിന്നു ax + by + cz + d = 0 എന്ന സമതലത്തിലേക്കുള്ള
a 1 x+ b 1 y +c 1 z + d 1 = 0,   a 2 x + b 2 + y 2 + d 2 = 0 എന്നീ സമതലങ്ങൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ,  
a 1 , b 1 , c 1 ;  a 2 , 
b 2 , c 2 എന്നിവ ക്രമത്തിൽ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും.
ലംബമാണെങ്കിൽ,  a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0.
ഒരേ രേഖയിലല്ലാത്ത മൂന്നു ബിന്ദുക്കൾ A(x i ,y i ,z i ),
i = 1,2,3 ഒരു സമതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
ആ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം:
a i x  + b i ,y + c i z + d = 0, i = 1, 2, 3; എന്നീ 3 സമതലങ്ങൾ ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥ.
f(x, y, z) = 0 എന്നൊരു സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥത്തെ പ്രതലം (surface) എന്നു പറയുന്നു.
വക്രരേഖകളുണ്ടാകുന്നതു രണ്ടു തലങ്ങൾ കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോഴാണ്.
അതുകൊണ്ട് f 1 (x1, y1 z) = 0,  f 2 (x, y, z) = 0 എന്നിവ ചേർന്ന് ആ വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു; പ്രാചലം (t) ഉപയോഗിച്ചും വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാം:
x = f(t),  y = g(t),  z = h(t).
ഗോള പ്രതലം
r വ്യാസാർധവും (x 1 , y 1 , z 1 ) കേന്ദ്രവുമുള്ള ഗോളപ്രതലത്തിന്റെ സമവാക്യം
(x-x 1 ) 2 + (y-y 1 ) 2 + (z-z 1 ) 2 = r 2 ആണ്.
x 2 + y 2 + z 2 + 2 dx + 2 ey + 2 fz + g = 0.
വൃത്തസ്തംഭ പ്രതലം
zഅക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ സമവാക്യം
x2+y2 = r2,  z = 0; വൃത്താകാരമായ പരിച്ഛേദത്തിന്റെ വ്യാസാർധം r
ചക്രണതലം (surface of rotation ) ഉണ്ടാകുന്നത് സമതലവക്രം (c: plane curve) ഏതെങ്കിലുമൊരു നേർരേഖ(l)യ്ക്കു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോഴാണ്.
f(x,y) = 0, z = 0 എന്നിവ c എന്ന വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളും l രേഖ x-അക്ഷവുമാണെങ്കിൽ ചക്രണതലസമവാക്യം
f(x, √ y 2 +z 2 ആയിരിക്കും.
n-മാന പദ്ധതി
ത്രിമാനപദ്ധതിയുടെ മാതൃകയെ സാമാന്യവത്കരിക്കുമ്പോൾ n-മാനപദ്ധതിയുണ്ടാകുന്നു.
താത്ത്വിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെന്നല്ല ഭൌതികശാസ്ത്രം, സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്രം എന്നിവയിലും n-മാനപദ്ധതി ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു.
നോ: ആൾജിബ്ര, ത്രികോണമിതി, ജ്യാമിതി അവലംബം കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ വിശ്ലേഷകജ്യാമിതി എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
വിശ്വ കുമാർ ഗുപ്ത
ഒരു ഇന്ത്യൻ ഹോമിയോ വൈദ്യനും, ന്യൂഡൽഹിയിലെ നെഹ്റു ഹോമിയോ മെഡിക്കൽ കോളേജ് മുൻ പ്രിൻസിപ്പളും ആണ് വിശ്വ കുമാർ ഗുപ്ത.
ഇന്ത്യ സർക്കാർ 2013 ൽ പത്മശ്രീ നൽകി ആദരിച്ചു.
ഓം പ്രകാശ് ഗുപ്തയുടെ മകൻ വിശ്വ കുമാർ ഗുപ്ത  ഇന്ത്യൻ കാൺപൂർ സ്വദേശിയും നഗരത്തിൽ നിന്നുള്ള ഹോമിയോപ്പതി ബദൽ മരുന്ന് സമ്പ്രദായത്തിൽ ബിരുദം നേടിയ ആളുമാണ്.
(ജിഎച്ച്എംഎസ്).
ന്യൂഡൽഹിയിലെ നെഹ്രു ഹോമിയോപ്പതിക് മെഡിക്കൽ കോളേജിലായിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഔദ്യോഗിക ജീവിതം.
അവിടെ നിന്ന് പ്രിൻസിപ്പലായി വിരമിച്ചു.
1998 മുതൽ 2002 വരെ തുടർച്ചയായി രണ്ടുവർഷത്തേക്ക് ഇന്ത്യൻ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് ഹോമിയോ ഫിസിഷ്യൻസ് (ഐ‌എ‌എച്ച്‌പി) പ്രസിഡന്റായിരുന്നു ഗുപ്ത.
1990 മുതൽ 1995 വരെ സെൻട്രൽ കൗൺസിൽ ഓഫ് ഹോമിയോപ്പതിയിൽ അംഗമായിരുന്നു ആരോഗ്യ-കുടുംബക്ഷേമ മന്ത്രാലയത്തിന്റെ പല കമ്മിറ്റികളിലും അംഗമായി ഇന്ത്യാ ഗവൺമെന്റ് പ്രോജക്ടുകൾക്കായി പ്രവർത്തിച്ചിട്ടുണ്ട്.
രാഷ്ട്രപതിയുടെ ഡോക്ടർ ആയിരുന്നു.
ഗുപ്ത നിരവധി ദേശീയ അന്തർദേശീയ സമ്മേളനങ്ങളിൽ പങ്കെടുക്കുകയും അവിടെ ശാസ്ത്രീയ പ്രബന്ധങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു.
ഗുപ്ത താമസിക്കുന്നത് രജൗരി ഗാർഡൻ ന്യൂഡൽഹിയിൽ ആണ്.
വിശുദ്ധവിഡ്ഢി
വിരക്തിയും ലോകതിരസ്കാരവും വഴിയുള്ള പുണ്യപ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി ലൗകികമര്യാദകളേയും കീഴവഴക്കങ്ങളേയും മനഃപൂർവം ലംഘിച്ചു പെരുമാറുകയും ജീവിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വ്യക്തിയുടെ വിശേഷണമാണ് വിശുദ്ധവിഡ്ഢി (Holy Fool).
ഈ സങ്കല്പത്തിന് ഏറെ പ്രചാരമുണ്ടായിരുന്ന ക്രിസ്തുമതത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഇങ്ങനെയുള്ള ആൾ "അനുഗൃഹീതവിഡ്ഢി" (Blessed Fool) എന്നും വിശേഷിപ്പിക്കടാറുണ്ട്.  'അനുഗൃഹീതൻ' എന്ന പദം ഇവിടെ വിനീതമനസ്സിനേയും നിഷ്കളങ്കതയേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
"ക്രിസ്തുവിനെ പ്രതിയുള്ള വിഡ്ഢി" എന്ന വിശേഷണവും ഇത്തരം താപസന്മാർക്കുണ്ട്.
ഓർത്തഡോക്സ് സഭയിലെ താപസൻ, മോസ്കോയിലെ അനുഗൃഹീതനായ ബാസിൽ (1469-1552)
"ദൈവികജ്ഞാനം ലോകദൃഷ്ടിയിൽ മൂഢത്വമായിരിക്കും" എന്ന പൗലോസ് അപ്പസ്തോലന്റെ വാദത്തിലാണ് ഈ സങ്കല്പം അടിയുറച്ചിരിക്കുന്നത്.
ക്രൈസ്തവസന്യാസത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിൽ ഏറെ പ്രാധാന്യമുള്ള മരുഭൂമിയിലെ പിതാക്കന്മാരിലും (Desert Fathers) പൗരസ്ത്യക്രിസ്തീയതയിലെ യുറോദിവിമാരിലും (Yurodivy) പലരും വിശുദ്ധവിഡ്ഢികളായിരുന്നു.
അംഗീകൃതമായ കീഴ്വഴക്കങ്ങളെ വെല്ലുവിളിക്കാനും ദീർഘദർശനങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താനും സ്വന്തം വിശുദ്ധി മറച്ചുവയ്ക്കാനും വേണ്ടി ഇവർ പലപ്പോഴും മറ്റുള്ളവർക്ക് ഞെട്ടലും വെറുപ്പും ഉളവാക്കുന്ന വിധത്തിൽ പെരുമാറി.
അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ സിറിയയിലാണ് ഈ താപോമാർഗ്ഗത്തിന്റെ തുടക്കമെന്നു കരുതപ്പെടുന്നു.
യവനസംസ്കാരത്തിൽ നിന്നു ക്രൈസ്തവലോകത്തിനു കിട്ടിയ ഡയോജനസിന്റെ ലോകനിന്ദ ഈ താപസന്മാരിൽ ചിലരെയെങ്കിലും ആകർഷിച്ചിരിക്കാം എന്നും ചൂണ്ടിക്കാണിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.
സിറിയയിലെ താപസന്മാർക്കിടയിൽ ഈവഴിക്കു പ്രശസ്തനായ ആദ്യത്തെയാൾ ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ "വിശുദ്ധവിഡ്ഢി ശിമയോൻ" (Simeon the Holy Fool) ആയിരുന്നു.
ഒരിക്കൽ ഈ താപസൻ സിറിയയിലെ എമേസ നഗരത്തിലെത്തിയത് സ്വയം നായ് എന്നു വിശേഷിപ്പിച്ച ഡയോജനസിനെ അനുസ്മരിപ്പിക്കും വിധം, ഒരു ചത്ത പട്ടിയെ അരയിൽ കെട്ടിയിട്ടു വലിച്ചു കൊണ്ടായിരുന്നു.
ദേവാലയശുശ്രൂഷകളിൽ സ്ത്രീകൾക്കു നേരെ അതുമിതും വാരിയെറിഞ്ഞതും, നഗരത്തിലെ സ്നാനഘട്ടത്തിലെ സ്ത്രീകക്ഷത്തിൽ നഗ്നനായി ഓടിയതും മറ്റും അദ്ദേഹത്തിന്റെ മറ്റു വിഡ്ഢിത്തങ്ങളിൽ പെടുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.
റഷ്യയിലേയും മറ്റും ഓർത്തഡോക്സ് ക്രിസ്തീയതയിലും വിശുദ്ധവിഡ്ഢിയുടെ താപസമാർഗ്ഗം പിന്തുടർന്നവർ ഉണ്ടായിരുന്നു.
താപസധാർമ്മികതയുടെ സമാനമാർഗ്ഗങ്ങൾ ക്രിസ്തീയതക്കു പുറമേയും ഇല്ലാതില്ല.
അവലംബം ↑ Frith, Uta.
(1989) Autism: The Elegant Enigma.
Malden, MA: Blackwell Publishing.
↑ Parry, Ken; David Melling (editors) (1999).
The Blackwell Dictionary of Eastern Christianity.
Malden, MA.
: Blackwell Publishing.
ISBN 0-631-23203-6 ↑ Diarmaid Maccullocch, "ക്രിസ്റ്റ്യാനിറ്റി: ദ ഫസ്റ്റ് ത്രീ തൗസന്റ് ഇയേഴ്സ്" (പുറം 207)
വിശുദ്ധൻ (ചലച്ചിത്രം) ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Vishudhan
വൈശാഖ് രചനയും സംവിധാനവും നിർവ്വഹിച്ച് 2013-ൽ പുറത്തിറങ്ങിയ മലയാളചലച്ചിത്രമാണ് വിശുദ്ധൻ .
കുഞ്ചാക്കോ ബോബൻ , മിയ ജോർജ്ജ് എന്നിവരാണ് പ്രധാനവേഷങ്ങളിൽ അഭിനയിച്ചിരിക്കുന്നത്.
തൊടുപുഴയിലും സമീപ സ്ഥലങ്ങളിലുമാണ് സിനിമയുടെ ചിത്രീകരണം.
അഭിനേതാക്കൾ കുഞ്ചാക്കോ ബോബൻ – സണ്ണി മിയ ജോർജ്ജ് – സെഫി അവലംബം External links വിശുദ്ധൻ ഇന്റർനെറ്റ് മൂവി ഡാറ്റാബേസിൽ
വിശേഷണം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Grammatical_modifier
വ്യാകരണപ്രകാരം ഏതെങ്കിലും ഒരു പദത്തെ പ്രത്യേകം വിശേഷിപ്പിക്കുന്നതിനെ വിശേഷണം എന്ന് പറയുന്നു.
മലയാളവ്യാകരണത്തിൽ വിശേഷണത്തിന്‌ ഭേദകം എന്നും പറയുന്നു.
വിശേഷിപ്പിക്കുമ്പോൾ അതിന്‌ അർത്ഥവ്യത്യാസം ഉണ്ടാക്കുന്നതുകൊണ്ട് ഇതിനെ ഭേദകം എന്നും വിളിക്കുന്നത്.
കറുത്ത പശു , മിടുക്കനായ കുട്ടി തുടങ്ങിയവ വിശേഷണത്തിന്‌ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ആണ്‌.
എന്തിനെയാണോ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത് അതിനെ വിശേഷ്യം എന്ന് പറയുന്നു.
ചില പ്രധാനപ്പെട്ട വിശേഷണങ്ങൾ, വിവിധതരം വിശേഷണങ്ങൾ നാമവിശേഷണം : ഏതെങ്കിലും നാമത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത് നാമവിശേഷണം എന്ന വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു.
ചുവന്ന പൂവ്, കറുത്ത വണ്ടി തുടങ്ങിയവ നാമ വിശേഷണത്തിന്‌ ചില ഉദാഹരണങ്ങളാണ്‌.
കൂടാതെ നാമ വിശേഷണത്തിന്‌ പേരെച്ചം എന്നും പേരുണ്ട്.
ക്രിയാവിശേഷണം : ഏതെങ്കിലും ക്രിയയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നതിനെ ക്രിയാവിശേഷണം എന്ന് പറയുന്നു.
വേഗത്തിൽ ഓടി.
ഇതിൽ ഓടി എന്ന ക്രിയയെ വേഗത്തിൽ എന്ന വിശേഷണം ഉപയോഗിച്ച് വിശേഷിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ക്രിയാവിശേഷണത്തിന്‌ വിനയച്ചം എന്നും പേരുണ്ട്.
വിന എന്നാൽ വ്യാകരണത്തിൽ ക്രിയ എന്നാണ്‌ അർത്ഥം.
വിശേഷണവിശേഷണം .
ഒരു വിശേഷണത്തെ മറ്റൊരു വിശേഷണം കൊണ്ട് വിശേഷിപ്പിച്ചിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ അത്തരം വിശേഷണങ്ങളെ വിശേഷണവിശേഷണം എന്ന് പറയുന്നു.
കുരുവി വളരെ ചെറിയ ഒരു പക്ഷിയാണ്‌.
ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ കുരുവി എന്ന പക്ഷിയെ, ചെറിയ എന്ന വിശേഷണത്തെ വളരെ എന്ന മറ്റൊരു വിശേഷണം കൊണ്ട് വിശേഷിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഭേദകത്തിന്റെ പിരിവുകൾ ശുദ്ധം സാർവനാമികം സാംഖ്യം പാരിമാണികം വിഭാവകം നാമാംഗജം ക്രിയാംഗജം
വിശ്രവസ്സ് ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Visravas
ബ്രഹ്മാവിന്റെ പുത്രനും പ്രജാപതിമാരിൽ ഒരാളായ പുലസ്ത്യമഹർഷിയുടെ പുത്രനാണ്‌ വിശ്രവസ്സ്‌ .
വിശ്രവസ്സിന്റെ പുത്രന്മാരാണ് വൈശ്രവണൻ എന്നറിയപ്പെട്ട കുബേരൻ, ലങ്കാധിപതിയായ രാവണൻ , കുംഭകർണ്ണൻ , വിഭീഷണൻ .
വിശ്രവസ്സിനു ശൂർപ്പണഖ എന്നൊരു പുത്രിയും കൈകസി എന്ന രാക്ഷസിയിലുണ്ടായി.
വാല്മീകിരാമായണം ഉത്തരകാണ്ഡത്തിൽ രാക്ഷസോല്പത്തിയിൽ വിശ്രവസ്സിന്റേയും കൈകസിയുടേയും കഥകൾ വിശദമായി ഉൾക്കൊള്ളിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ബ്രഹ്മപുത്രനായ പുലസ്ത്യമഹർഷി ഹിമാലയത്തിൽ അളകനന്ദയുടെ തീരത്ത് തപസ്സുചെയ്യുന്ന അവസരത്തിൽ യക്ഷ-കിന്നര-ഗന്ധർവ വനിതകൾ നിത്യവും അളകനന്ദ നദിയിൽ വരികയും അവരുടെ ബഹളങ്ങളിൽ തനിക്ക് തപസ്സുചെയ്യുന്നതിനു ബുദ്ധിമുട്ടായപ്പോൾ അദ്ദേഹം, ഇനിമേലിൽ ഇവിടെ വരുന്ന സ്ത്രീകൾ ഗർഭിണികളാവട്ടെ എന്നു ശപിക്കുകയും ചെയ്തു.
ഇതൊന്നുമറിയാതെ ഒരിക്കൽ തൃണവിന്ദുവെന്ന രാജാവിന്റെ പുത്രിയായ മാലിനി അവിടെ ആശ്രമപരിസരത്തുവരികയും അവൾ ഗർഭിണി ആകുകയും ചെയ്തു.
ഇതറിഞ്ഞ് തൃണവിന്ദു മകളേയും കൂട്ടി പുലസ്ത്യനെ സമീപിച്ച് കാര്യങ്ങൾ ധരിപ്പിച്ചു.
നിഷ്കളങ്കയായ ആ പെൺകുട്ടിയെ പുലസ്ത്യമഹർഷി വിവാഹം കഴിക്കുകയും ചെയ്തു.
മാലിനിയിൽ പുലസ്ത്യനു ജനിച്ച  ആ പുത്രനാണ് വിശ്രവസ്സ്.
വിശ്രവസ്സും അച്ഛനെപ്പോലെ തപസ്സു ചെയ്ത് മഹർഷിയായി.
വൈശ്രവണൻ
വിശ്രവസ്സ്‌ മഹർഷി ആദ്യം വിവാഹം കഴിച്ചത്‌ ഭരദ്വാജമഹർഷിയുടെ മകളായ ദേവവർണിനി എന്ന ഇളബിളയെ ആയിരുന്നു.
അതിലുണ്ടായ മകനാണ്‌ വൈശ്രവണൻ അഥവാ കുബേരൻ.
ബ്രഹ്മാവിന്റെ വരപ്രസാദത്താൽ പുഷ്പകവിമാനം ലഭിച്ചു.
കൂടാതെ ധനാധിപതിയായി അഷ്ടദിക് പാലകസ്ഥാനവും ബ്രഹ്മദേവനാൽ ലഭിച്ചു.
രാക്ഷസർ ഉപേക്ഷിച്ച ലങ്കാനഗരിയിൽ സർവ്വാഢംഭരത്തോടെ വസിക്കുവാൻ അച്ഛനായ വിശ്രവസ്സ് മഹർഷി അനുഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്തു.
കൈകസി
ഏറ്റവും ഇളയവളയായിരുന്നു കൈകസി .
കൈകസിയിൽ വിശ്രവസ്സിനു ജനിച്ചവരാണ് രാവണാദികൾ.
അവലംബം ↑ രാമായണം -- ഡോ.പി.എസ്.നായർ -- വിദ്യാരംഭം പബ്ലിഷേസ്
കൃത്രിമവും സ്വാഭാവികവുമായ രാസവസ്തുക്കളെ വേർതിരിക്കൽ, തിരിച്ചറിയൽ, അളവുനിർണയം നടത്തൽ എന്നീ പ്രക്രീയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തെയാണ് വിശ്ലേഷകരസതന്ത്രം (Analytical chemistry) എന്നുവിളിക്കുന്നത്.
ഒരു സാമ്പിളിലെ രാസവസ്തു ഏതെന്ന് നിർണ്ണയം നടത്തുന്നതിനെ ഗുണപരിശോധന എന്നും രാസവസ്തുവിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനെ അളവുപരിശോധന എന്നും വിളിക്കും.
വേർതിരിക്കൽ ഇത്തരം പരിശോധനകൾക്കു മുൻപാണ് നടത്തുന്നത്.
പരമ്പരാഗതമായ രീതിയിലും ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചും ഇത്തരം വിശ്ലേഷണപരിശോധനകൾ നടത്തപ്പെടുന്നുണ്ട്.
ഊറലുകൾ (പ്രിസിപ്പിറ്റേഷൻ)‌, എക്സ്ട്രാക്ഷനുകൾ , വാറ്റൽ (ഡിസ്റ്റിലേഷൻ) എന്നിവയാണ് രാസപരിശോധകളുടെ പരമ്പരാഗത മാർഗ്ഗങ്ങളിൽ ചിലത്.
നിറം, മണം, ഉരുകുകയും ബാഷ്പീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന താപനില എന്നിവ ഗുണപരിശോധനയിൽ പരമ്പരാഗതമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നുണ്ട്.
യന്ത്രമാർഗ്ഗങ്ങളും ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
അവലംബങ്ങൾ പുറത്തേയ്ക്കുള്ള കണ്ണികൾ At Wikiversity you can learn more and teach others about വിശ്ലേഷകരസതന്ത്രം at: The Department of വിശ്ലേഷകരസതന്ത്രം ആനുവൽ റിവ്യൂ ഓഫ് അനാലിറ്റിക്കൽ കെമിസ്ട്രി Archived 2009-01-19 at the Wayback Machine .
അമേരിക്കൻ കെമിക്കൽ സൊസൈറ്റി: ഡിവിഷൻ ഓഫ് അനാലിറ്റിക്കൽ കെമിസ്ട്രി Archived 2016-10-11 at the Wayback Machine .
റോയൽ സൊസൈറ്റി ഓഫ് കെമിസ്ട്രി: അനാലിറ്റിക്കൽ ഗേറ്റ്‌വേ Archived 2012-10-17 at the Wayback Machine .
അനാലിറ്റിക്കൽ രസതന്ത്രം എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
വിശ്ലോകം
ഒരു മാത്രാസമക വൃത്തമാണ് വിശ്ലോകം .
വൃത്തമഞ്ജരിയിൽ മാത്രാവൃത്തപ്രകരണത്തിലാണ് ഈവൃത്തം പാരാമർശിക്കുന്നത്.
- ഇതിൽ ജഗണമോ സർവ്വലഘുവോ 4 മാത്രകഴിഞ്ഞായാൽ ‘വിശ്ലോകം’.
വിശേഷോക്തി (അലങ്കാരം)
വിഭാവന എന്ന അലങ്കാരത്തിന്റെ നേർ വിപരീതഫലങ്ങൾ വർണ്ണിക്കുന്ന അലങ്കാരമാണ്‌ വിശേഷോക്തി .
കാരണം ഉണ്ടായിട്ടും കാരണം സംഭവിക്കാത്തത് വിശേഷോക്കി.
'വിശേഷോക്തി ജനിക്കായ്കിൽ കാര്യം ഹേതുവിരിക്കവേ.
ഉദാ:കുറഞ്ഞീല്ല ഹൃദിസ്നേഹം സ്മരദീപം ജ്വലിക്കിലും' ലക്ഷ്യത്തിൽ ദീപം ജ്വലിക്കുമ്പോൾ സ്നേഹത്തിനു (എണ്ണയ്ക്ക്) ക്ഷയം വരേണ്ടതാണ്.
അതില്ലെന്ന് വർണ്ണിച്ചിരിക്കയാൽ വിശേഷോക്തി.
വിശ്ലേഷകഫലനം വിക്കിപീഡിയയുടെ ഗുണനിലവാരത്തിലും, മാനദണ്ഡത്തിലും എത്തിച്ചേരാൻ ഈ ലേഖനം വൃത്തിയാക്കി എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്‌.
ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Analytic_function
ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയായ സമ്മിശ്രവിശ്ളേഷണ (complex analysis)ത്തിലെ ഗണിതപ്രാധാന്യമുള്ള ഫലനം.
വിശ്ളേഷകഫലനം , ഹോളൊമോർഫികഫലനം (Holomorphic function), നിയമിതഫലനം (Regular function) എന്നീ പേരുകളിലും ഇതറിയപ്പെടുന്നു.
വിശ്ളേഷണഫലന സിദ്ധാന്ത(അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷൻ)ത്തിന്റെ ആദ്യകാല ഗവേഷകർ കോഷി , റീമാൻ , വെയർസ്റ്റ്രോസ് എന്നിവരാണ്.
വ്യുത്പന്നം (derivative) അഥവാ അവകലജഗുണാങ്കം (differential coefficient) ഉള്ള ഫലനങ്ങളാണ് കോഷിസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.
സമ്മിശ്രസമാകല (complex integration)ത്തിന്റെ ഉപാധിയിലൂടെയാണ് 1814-ൽ കോഷി ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു രൂപംകൊടുത്തത്.
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗൂർഷ (Goursat) 1900-ത്തിൽ അതിനെ നവീകരിച്ചു.
അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രാധാന്യമാണ് റീമാൻ പഠന വിധേയമാക്കിയത്.
ഘാതശ്രേണി (power series) ആണ് വെയർസ്റ്റ്രോസ്തത്ത്വത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.
വിശ്ളേഷക-അവിച്ഛിന്നത (analytic continuum)യുടെ താത്ത്വിക വശങ്ങളിലാണ് വെയർസ്റ്റ്രോസ് ശ്രദ്ധിച്ചത്.
സമ്മിശ്രചരങ്ങളുടെ ഫലനം (function of complex variables).
R, S എന്നീ രണ്ടു സമ്മിശ്ര സംഖ്യാഗണങ്ങൾ (sets of complex numbers) ആദ്യത്തേതിലെ ഓരോ അംഗ(z)ത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിലെ ഒരംഗത്തെ നിർദ്ദേശിക്കുന്ന നിയമം (f) ആണ്, ഇവിടെ 'ഫലനം' എന്നതുകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നത്.
ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയിൻ( മണ്ഡലം ,domain) R-ഉം റെയിഞ്ച്( രംഗം ,range) S-ഉം ആണ്.
ഡൊമെയിൻ ഒരു വിവൃത-ബന്ധിതം (open connected) ആയിരിക്കും.
ഇത്തരം R-ഗണത്തെ റീജിയൻ (region) എന്നു പറയുന്നു.
R-റീജിയനിൽ f(z) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; Z എന്ന സമ്മിശ്രചരം Z0-നോടു സമീപിക്കുമ്പോൾ,
എന്ന അംശബന്ധം (ratio) ഒരു പരിമേയ സീമ(finite limit)യോടടുക്കുന്നു; എങ്കിൽ R-ലെ Z 0 ബിന്ദുവിൽ f(Z) അവകലനീയം (differentiable) ആണ് എന്നു പറയുന്നു.
Z 0 -ലേക്കു Z അടുക്കുന്ന രൂപരേഖ (contour) ഏതു തന്നെ ആയാലും f(Z) - f(Z 0 )/Z-Z 0 -ന്റെ സീമയ്ക്കു മാറ്റമുണ്ടാകാൻ പാടില്ല.
ഈ സീമയെ  f(Z)-ന്റെ Z0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ വ്യുത്പന്നം (derivative) f'(Z) എന്നു പറയുന്നു.
R-ലുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും f'(Z)-നു അസ്തിത്വമുണ്ടെങ്കിൽ f(Z) എന്ന ഫലനം R എന്ന പ്രദേശത്തു വിശ്ളേഷകമാണെന്നു പറയുന്നു.
n ഒരു ധനാത്മകപൂർണസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ Zn പരിമിത (സമ്മിശ്ര) തലത്തിൽ വിശ്ളേഷകമാണ്.