smcproject/ml-wiki-sentences huggingface dataset:
രണ്ടു പ്രാഥമിക കാര്യങ്ങളാൽ ഇന്ത്യക്ക് പോർവിമാനങ്ങളുടെ ആവശ്യം വ്യോമസേന ( IAF)ന് 1983ൽ ബോദ്ധ്യമായി.
അതിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനമായത് 1970തൊട്ട് ഉപയോഗിച്ചു വരുന്ന മിഗ് 21 പോർവിമാനങ്ങളുടെ പ്രായാധിക്യമാണ്.
1981ലെ പുനഃകോപ്പുകൂട്ടൽ പദ്ധതി ("Long Term Re-Equipment Plan 1981")യിൽ മിഗ് 21ന്റെ സേവന കാലാവധി 1995ഓടെ തീരുമെന്ന് കണക്കാക്കിയിരുന്നു.
അതോടെ വ്യോമസേനയ്ക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിമാനങ്ങളിൽ 40% കുറവുവരും.
ലഘു യുദ്ധവിമാന പദ്ധതിയുടെ മറ്റൊരു ഉദ്ദേശം ഭാരതത്തിന്റെ തദ്ദേശ വ്യോമയാന വ്യവസായത്തിന്റെ ഉയർച്ചയായിരുന്നു.
വ്യോമയാന സ്വയം പര്യാപ്തത സംരംഭത്തിനെ മൂല്യം വിമാനം നിർമ്മിക്കുക എന്നു മാത്രമല്ല, തദ്ദേശീയ വ്യവസായത്തെ തദ്ദേശീയ ഉല്പന്നങ്ങൾകൊണ്ട് അന്തരാഷ്ട്ര കമ്പോളത്തിൽ മത്സരിക്കാൻ പ്രാപ്തരാക്കാൻകൂടിയാണ്.
LCA പദ്ധതിയുടെ മേൽനോട്ടം വഹിക്കുന്നതിന് എയറൊനോട്ടീക്കൽ വികസന ഏജൻസി (ADA)യെ രൂപീകരിക്കാൻ 1984ൽ സർക്കാർ തീരുമാനിച്ചു.
തേജസിനെ ഹിന്ദുസ്ഥാൻ എയറോനോട്ടിക്സ് ലിമിറ്റഡ് (HAL)ന്റെ ഉല്പന്നമാണെന്നു പറയുന്നുണ്ടെങ്കിലും അതിന്റെ വികസനത്തിന്റെ ഉത്തരവാദിത്തം മുഴുവൻ ADA യുടേതാണ്.
100 രാജ്യരക്ഷ പരീക്ഷണശാലകളുടേയും വ്യവസായ സംഘടനകളുടേയും വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപങ്ങളുടേയും കൂട്ടായ്മയാണ് അത്.
HAL പ്രധാന കരാറുകാരും.
സർക്കാരിന്റെ സ്വയം പര്യാപ്തത LCA യിൽലക്ഷ്യമിടുന്നത് മൂന്ന് വെല്ലുവിളികളാണ്:ഫ്ലൈ ബൈ വയ്ർ(FBW), ഫ്ലൈറ്റ് കണ്ട്രോൾ സിസ്റ്റം(FCS),  മൾട്ടി-മോഡ് റഡാർ, ആഫ്ട്ടർ ബേണർ ടർബൊ ഫാൻ യന്ത്രം വ്യോമസേനയുടെ LCAക്കു വേണ്ടിയുള്ള വായുസേന അംഗങ്ങൾക്കു വേണ്ടിയുള്ള ആവശ്യം 1985 ഒക്ടോബർ വരെ തീരുമാനിച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നില്ല.
ഈ കാലവിളംബം ആദ്യത്തെപറക്കൽ ഏപ്രിൽ 1990 എന്നതു സേനപ്രവേശം 1995 എന്ന ലക്ഷ്യം മാറ്റാൻ ഇടയാക്കി.
അത് ADAക്ക് ദേശീയ ഗവേഷണവികസന പ്രവർത്തനങ്ങൾ അണിനിരത്തുന്നതിനും വ്യവസായ വിഭവ സമാഹരണത്തിനും ആളുകളെ നിയമിക്കുന്നതിനും വേദി ഒരുകുന്നതിനും കൂടുതൽ വ്യക്തതയുള്ള രൂപരേഖ തയ്യാറാക്കുന്നതിനും നൂതൻ സാങ്കേതിക വിദ്യ ഇറക്കുമതി ചെയ്യുന്നതിനു പകരം തദ്ദേശീയമായി വികസിപ്പിക്കുന്നതിനും സമയം കിട്ടി.
35 പ്രധാന വ്യൊമയാനഘടകങ്ങളിലും ലയിൻ റിപ്ലേസബിളയൂണിറ്റുകളിലുംകുടി മൂന്നെണ്ണം മാത്രമെ വിദേശ ഘടകങ്ങളുള്ളു.
അവ സെക്സന്റ്(ഫ്രാൻസ്)ന്റെ മൾട്ടി ഫങ്ങ്ഷൻ ഡിസ്പ്ലെ (MFDs), ഇസ്രായേലിന്റീൽബിറ്റ് സിസ്റ്റംസ് , എൽബിറ്റിന്റെ ഹെൽമെറ്റ് മൗണ്ടഡ് ഡിസ്പ്ലെ ആന്റ് സൈറ്റ് ക്യൂയിങ്ങ് സിസ്റ്റം ഇസ്രായേലിലെ RAFAEL വിതരണം ചെയ്യൂന്ന ലേസ്ർ പോഡ് എന്നിവയാണ്.
മാർട്ടിൻ - ബേക്കർ ഇജെക്ഷൻ സീറ്റ്പോലുള്ള ചില പ്രധാന ഉപകരണങ്ങൾ ഇറക്കുമതി ചെയ്തതാണ്.
പൊഖ്റാനിൽ 1998 മെയ് മസത്തിൽ അണുപരീക്ഷണം നടത്തിയതിനോടനുബന്ധിച്ച് ഇന്ത്യയുടെമേൽ അടിച്ചേല്പിച്ച ഉപരോധം മൂലം ഇറകുമതി ചെയ്യേണ്ടിയിരുന്ന പലതും ഇന്ത്യയിൽ ഉല്പാദിപ്പിക്കേണ്ടിവന്നു.
ഇതും LCAയുടെ കാലതമസത്തിനു കാരണമായി LCA പദ്ധതി Tejas parked next to F-16 Fighting Falcon (centre) and Eurofighter Typhoon (top) at 2009 Aero India
വാലില്ലാത്ത, റിലക്സ്ഡ് സ്റ്റാറ്റിക് സ്റ്റബിലിറ്റി(RSS)യുള്ളനിയന്ത്രണ രൂപകല്പനയ്ക്ക് മെച്ചപ്പെട്ട മാനോവറബിലിറ്റിയുമുള്ള ചെറിയ വിമാനത്തിന്റെ രൂപരേഖ 1990ൽ തയ്യാറായി 1989മേയിൽ രൂപീകരിച്ച അവലോകന കമ്മിറ്റി, പദ്ധതി നടപ്പാക്കുന്നതിനു വേണ്ട അടിസ്ഥാന സൗകര്യങ്ങളും സാങ്കേതിക വിദ്യകളും മിക്ക മേഖലകളിലും ആവശ്യത്തിനു വികസിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് അറിയിച്ചു.
1987 ഒക്ടോബറിൽ അവലൊകന ഉപദേശകരായ ഫ്രാൻസിന്റെ  ഡസോൽറ്റ് ഏവിയേഷന്റെ (Dassault Aviation) വിവരണപ്രകാരം (project definition) 560 കോടി ചെലവു വന്ന ഈ ഘട്ടം 1988 സെപ്തംബറിൽ പൂർത്തിയായി.
രണ്ടു ഘട്ടമായുള്ള മുഴുനീള എഞിനിയറിങ്ങ് വികസന പരിപാടി(FSED)യാണ് തിരഞ്ഞെടുത്തത്.
രണ്ടു സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ചുള്ള TD-1, TD-2 എന്ന പ്രദർശന വ്യോമയാനങ്ങളുടെ രൂപകല്പന, വികസന, പരീക്ഷണം ഒന്നാം ഘട്ടം 1993 ഏപ്രിലിൽ തുടങ്ങി.
ഇതിനു തുടർച്ചയായി രണ്ട് മൂലരൂപ(prototype) വാഹനങ്ങളും (PV-1 and PV-2)ഉദ്ദേശിച്ചിരുന്നു.
TD-12001 ജനുവരി 4ന് പറന്നു.
FSED പദ്ധതിയുടെ ഒന്നാംഘട്ടം 2188 കോടി ചിലവിൽ 2004 മാർച്ചിൽ പൂർത്തിയായി.
റിലാക്സ്ഡ് സ്റ്റബിലിറ്റി (RSS) വളരെ ആഗ്രഹമുള്ള ആവശ്യമായിരുന്നു.
1988ൽ ഡസോൾട്ട് അനലോഗ് ഫ്ലൈറ്റ് കണ്ട്രോൾ സിസ്റ്റം(FCS) വാഗ്ദാനം ചെയ്തു.
എന്നാൽ  ഡിജിറ്റൽFCS ആയിരിക്കും കൂടൂതൽ മേന്മയുള്ളതെന്ന് ADA തിരിച്ചറിഞ്ഞു.
1974 ഫെബ്രുവരി 2ന് ആദ്യ പറക്കൽ നടത്തിയ ജെനറൽ ഡൈനാമിക്സിന്റെ എഫ് 16ലാണ് വൈദഗ്ദ്യ ഉപയോഗം മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനു വേണ്ടി  ചെറുതായി എയറൊഡയനാമിക്കലി സ്ഥിരതയില്ലാത്ത രൂപകല്പന നടത്തിയത്.
അധികം വ്യോമയാനങ്ങളും “പോസിറ്റീവ്" സ്ഥിരതയുള്ളവയാണ്. ഇവ നിയന്ത്രണോപാധികളെ സ്വതന്ത്രമാക്കിയാൽ വൈദഗ്ദ്യം ആവശ്യമില്ലതെ തന്നെ പറക്കൽ ഉയരവും  നേരെയാക്കലും നടത്തും. എന്നാൽ "നെഗറ്റീവ്” സ്ഥിരതയായി രൂപകല്പന ചെയ്ത വ്യോമയാനങ്ങൾ കൂടുതൽ വൈദഗ്ദ്യം ആവശ്യമുള്ളവയാണ്.
നാഷണൽ ഏറോസ്പേസ് ലാബറട്ടറീസ് 1992ൽ തേജസിനു വേണ്ടി ഫ്ലൈ ബൈ വയർ വിമാന നിയന്ത്രണ സംവിധാനം തദ്ദേശീയമായി വികസിപ്പിക്കുന്നതിന് LCAനാഷണൽ കണ്ട്രോൾ ലോ(CLAW) സംഘത്തെ രൂപവൽക്കരിച്ചു.
മറ്റൊരു നിർണായക സാങ്കേതിക വിദ്യ മൾട്ടി മോഡ് റഡാർ (MMR) ആയിരുന്നു.
എറിക്സൺ/ഫെറാന്റി PS-05/A I/ജെ - ബാൻഡ് വിവിധോപയോഗ റഡാർ ആയിരുന്നു ആദ്യം ഉദ്ദേശിച്ചിരുന്നത്.
എന്നാൽ 1990 ന്റെ ആദ്യത്തിൽ മറ്റു റഡാറുകൾ പരിശോധിച്ചതിൽ നിന്ന് രാജ്യരക്ഷ ഗവേഷണ വികസന സംഘടന(DRDO)യ്ക്ക് ഇവ തദ്ദേശീയമായി വികസിപിക്കാൻ പറ്റുമെന്ന്  ആത്മവിശ്വാസം ഉണ്ടായി.
MMR ഹിന്ദുസ്ഥാൻ എയറോനോട്ടീക്കൽ ലിമിറ്റഡിന്റെ ഹൈദ്രാബാദ് വിഭാഗത്തേയും LRDEയേയും MMR പദ്ധതി സംയുക്തക്തമായി  നയിക്കുന്നതി ന് 1997ൽ തിരഞ്ഞെടുത്തു.
MMRന്റെ പരിക്ഷണ പദ്ധതിയുടെ ഉത്തരവാദിത്തം രാജ്യരക്ഷ ഗവേഷണ വികസന സംഘടന(DRDO) യുടെ സെന്റർ ഫോർ എയർബോൺ സിസ്റ്റത്തിന്(CABS) ആയിരുന്നു.
LCAയുടേ ഏവിയോണിക്സിന്റേയും റഡാറിന്റെയും പരീക്ഷണ സ്ഥലമായി എയർബോൺ സർവിയലെൻസ് പോസ്റ്റിനെ (ASP)1996നും 1997 നും ഇടയ്ക്ക് CABS മാറ്റിയെടുത്തു.
ഫ്ലൈറ്റ് കണ്ട്രോൾ ലോകളെ NALന്റെ CLAW സംഘം FCSസൊഫ്റ്റ്വെയർ ഉപയോഗിച്ച് ഇണക്കിചേർത്തു.
കുഴപ്പം കൂടാതെ 50 മണിക്കൂർ TD-1ലെ വൈമാനികൻ പരീക്ഷിച്ചു.
അതുകൊണ്ട് 2001 ജനുവരിയിൽ വ്യോമയാനത്തിന് പറക്കൽ അനുമതി കിട്ടി.
മിറാഷ് 2000ത്തിനേക്കാൾ പറന്നുയരാൻ LCA എളുപ്പമാണെന്ന് യാന്ത്രിക യാൻ നിയന്ത്രണ സംവിധാനം (AFCS) പരീക്ഷിച്ച എല്ലാ പൈലറ്റുമാരും പ്രശംസിക്കുകയുണ്ടായി.
രണ്ടാം ഘട്ടാം 2001 നവംബറിൽ തുടങ്ങി ഈ ഘട്ടത്തിൽ മൂന്ന് വ്യോമയാനങ്ങൾ (PV-3, PV-4 and PV-5)കൂടി നിർമ്മിക്കാനും വ്യോമസേനയ്ക്കും  നാവികസേനയ്ക്കും വേണ്ട അവസാന രൂപം ഉണ്ടാക്കാനും വഴിയൊരുക്കാനും ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്.
വർഷം തോറും 8 വ്യോമയനങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള അടിസ്ഥാന സൗകര്യം ഒരുക്കലും ഇതിന്റെ ഭാഗമാണ്.
ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാന ചെലവ് 3301 കോടി രൂപയും അധികമായി 2475കോടി രൂപ IOCയ്ക്കും FOCയ്ക്കും ലഭിച്ച് വ്യോമസേനയ്ക്ക് ഏറ്റെടുക്കാനും വേണ്ടി കൊടുകുകയുണ്ടായി.
2013 ആഗസ്റ്റിലെ കണക്കനുസരിച്ച് തേജസിന്റെ  വികാസപ്രിണാമത്തിനായി (പിഡിപി, ഘട്ടം1, ഘട്ടം2നും കൂടി) 7965.56 കോടി രൂപ  ചെലവായി.
2002 മദ്ധ്യത്തോടെ വലിയ തടസ്സങ്ങളും ചെലവ്  വർദ്ധനയും MMR അറിയിപ്പ് നൽകുകയുണ്ടായി.2005 ആദ്യത്തിൽ വായുവിൽ നിന്ന്വായുവിലേക്ക് ലൂക്ക്-അപ്പ്, ലുക്ക് ഡൗൺ മോഡുകൾ മാത്രമെ വിജയകരമായി പൂർത്തിയായിരുന്നു.
2006 മേയിൽ പല മോഡുകളും പ്രതീക്ഷക്കൊപ്പം ഉയർന്നില്ല.
അതിന്റെ ഫലമായി വെപ്പൺ ഡെലിവെറി ബ്പോദുപയോഗിച്ചുള്ള ആയുധവൽക്കരണ പരിപാടി, അതൊരു പ്രാഥമിക സെൻസ്രല്ലത്തതിനാൽ  ADA സാവധാനത്തിലാക്കി.
കൂടാതെ റഡാറും LRDEയുടെ അഡ്വ്വാൻസ്ഡ് സിഗ്നൽ പ്രോസസർ മൊഡ്യൂളും (SPM) തമ്മിൽ ഗുരുതരമായ പൊരുത്തക്കേടുകളും ഉണ്ടായിരുന്നു.
പെട്ടെന്നു കിട്ടാവുന്ന വിദേശ റഡാർ വാങ്ങലായിരുന്നു തൽക്കാലപരിഹാരമായി ഉദ്ദേശിച്ചിരുന്നത്.
അഞ്ച് നിർണ്ണായക സാങ്കേതിക വിദ്യകളാണ് യുദ്ധവിമാനത്തിന്റെ രൂപകല്പനയ്ക്കും നിർമ്മാണത്തിനും വേണ്ടതെന്ന്  ADA കണക്കാകിയതിൽ രണ്ടെണ്ണം മുഴുവനായും വിജയിച്ചവയാണ്:കാർബ്ബൺ ഫൈബർ കോമ്പസിറ്റു (CFC)  കൊണ്ടുള്ള നിർമിതിയും പുറം ഭാഗവും, ആധുനിക സ്പടിക കോക്ക്പിറ്റും.
2008ഓടുകൂടി ലഘു പോർവിമാനത്തിനു വേണ്ട 70% ഭാഗങ്ങളും ഭാരതത്തിൽ നിർമ്മിച്ചു തുടങ്ങിയിരുന്നു.
ഇറക്കുമതി ചെയ്യുന്ന ഘടകങ്ങൾ കുറേശെയായി കുറച്ചു കൊണ്ടു വന്നിരുന്നു.
മൂന്ന് സാങ്കേതിക വിദ്യക്കുണ്ടായ പ്രശ്നങ്ങൾകൊണ്ട് ഈ വിജയം ശോഭിക്കാതെ പോയി.
കോട്ട ഹരിനാരായണയായിരുന്നു , തേജസ് പദ്ധതിയുടെ ഡയറക്ടറും പ്രധാന രൂപകല്പനക്കാരനും.
ആദ്യരൂപവും പരിശോധനയും തേജസ് ട്രൈനർ നിർമ്മാണത്തിൽ തേജസ് ട്രെയിനർ Tejas ഡെൽഹിയിലെ 62മത് റിപ്പബ്ലിക് ദിന പരേഡിൽ
ഇന്ത്യൻ വ്യോമസേന 2005 മാർച്ചിൽ,20 വിമാനങ്ങൾക്കു ഓർഡർ കൊടുത്തു.
മറ്റു 20 വിമാനങ്ങൾക്കു കൂടി കൊടുക്കും.
ഈ 40 വിമാനങ്ങളും  F404-GE-IN20 യന്ത്രത്തോടൂ കൂടിയവയാവും.
തേജസിന്റെ സേവനത്തിനും ഏറ്റെടുക്കലിനും വേണ്ടി 2006 ഡിസംബറിൽ ബംഗളൂരുവിൽ 14 അംഗ “LCA ഇൻഡക്ഷൻ ടീം” രൂപീകരിച്ചു.
രൂപകൽപ്പന പരീക്ഷണങ്ങൾ ആയുധക്ഷമതാ പരീക്ഷണം
സൂപ്പർ സോണിക് വിമാനമായ തേജസ്സിൽനിന്ന് തൊടുത്തുവിട്ട ലേസർനിയന്ത്രിത ബോംബ് അടക്കമുള്ള ആയുധങ്ങൾ ലക്ഷ്യസ്ഥാനം തകർത്തതോടെയാണ് സൈന്യത്തിന്റെ ഭാഗമാകാനുള്ള പ്രധാനകടമ്പ ഇന്ത്യയുടെ അഭിമാനമായ തേജസ്സ് കടന്നത്.
പൊഖ്‌റാൻ മരുഭൂമിയിലാണ് തേജസ്സിന്റെ പ്രഹരശേഷിയളക്കുന്ന പരീക്ഷണങ്ങൾ നടന്നത്.
പ്രതിരോധവകുപ്പ് തേജസ്സിന് പ്രാഥമിക ഓപ്പറേഷൻ ക്ലിയറൻസ് നൽകിയതിനെത്തുടർന്നാണ് വിമാനത്തിന്റെ പ്രഹരശേഷിയും വ്യത്യസ്തവേഗത്തിൽ അക്രമംനടത്താനുള്ള ശേഷിയും പരീക്ഷിച്ചത്.
പരീക്ഷണം വിജയകരമായിരുന്നെന്ന് പ്രതിരോധ ഗവേഷണകേന്ദ്രം അധികൃതർ അറിയിച്ചു.
കരയിൽ നടത്തിയ പരീക്ഷണം വരുംദിവസങ്ങളിൽ കടലിൽ നടത്താനും പദ്ധതിയുണ്ട്.
മണിക്കൂറിൽ 900 മുതൽ 1000 കിലോമീറ്റർ വേഗത്തിൽ പറന്നുകൊണ്ടാണ് തേജസ്സ് ആയുധപ്രയോഗശേഷി പരീക്ഷിച്ചത്.
മിസൈലുകളും ബോംബുകളും വിമാനത്തിൽനിന്ന് വർഷിച്ചുകൊണ്ടായിരുന്നു പരീക്ഷണം.
ഏത് പ്രതികൂലസാഹചര്യത്തിലും ശത്രുലക്ഷ്യങ്ങൾ തകർക്കാൻ ശേഷിയുള്ള വിധത്തിലാണ് വിമാനം രൂപകല്പന ചെയ്തിട്ടുള്ളത്.
പരീക്ഷണപ്പറക്കൽ വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കിയതിനെത്തുടർന്നാണ് പ്രതിരോധസജ്ജമാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള പരീക്ഷണം നടത്തിയത്.
സാങ്കേതിക വിശദാംശങ്ങൾ അവലംബം പുറം കണ്ണികൾ HAL Tejas എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
Official Tejas site Archived 2015-11-27 at the Wayback Machine .
സവിശേഷതകളും വിശകലനവും: "Flying into the unknown" Archived 2007-05-23 at the Wayback Machine .
— A feature by The Hindu on the Tejas test pilots .
"LCA and Economics" by Sunil Sainis and George Joseph Archived 2006-06-13 at the Wayback Machine .
"The Light Combat Aircraft Story" Archived 2006-05-03 at the Wayback Machine .
, by Air Marshal MSD Wollen (Retd).
The case to support the indigenous LCA programme Archived 2008-03-12 at the Wayback Machine .
, by Ashok Parthasarathi and Raman Puri.
സാങ്കേതികം: An Approach to High AoA Testing of the LCA Archived 2007-09-28 at the Wayback Machine .
Development Flight Testing of the Tejas Light Combat Aircraft Archived 2008-02-24 at the Wayback Machine .
LCA Avionics And Weapon System Mission Computer Software Development: A Case Study Archived 2010-09-28 at the Wayback Machine .
പൊതുവായത്: "Tejas / Light Combat Aircraft (LCA)", Fighter-planes.com Archived 2015-01-18 at the Wayback Machine .
"Dawn of Tejas" Aero India special report from flightglobal.com
എച്ച്.എ.എൽ. വിമാനത്താവളം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/HAL_Bangalore_International_Airport എച്ച്.എൽ.എൽ. വിമാനത്താവളത്തിനു സമീപമുള്ള മ്യൂസിയം
ബാംഗളൂർ നഗരത്തിലെ ഒരു പ്രധാന വിമാനത്താവളമാണ് എച്ച്.എ.എൽ ബാംഗളൂർ അന്താരാഷ്ട്രവിമാനത്താവളം .
എച്ച്.എ.എൽ എയർ‌പോർട്ട്, ഹിന്ദുസ്ഥാൻ എയർ‌പോർട്ട് എന്നീപേരുകളിലും ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു.
ഇത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് ഹിന്ദുസ്ഥാൻ എയറനോടിക്സ് ലിമിറ്റഡ് എന്ന കമ്പനിയുടെ മേൽനോട്ടത്തിലാണ്.
ഈ വിമാനത്താവളം ഇപ്പോൾ ഇന്ത്യൻ സാ‍യുധ സേനയുടെ വൈമാനിക ആവശ്യങ്ങളുടെ പരീക്ഷണം, വികസനം എന്നിവക്കായിട്ടാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
ഈ വിമാനത്താവളം ആദ്യം ബാംഗളുരിലെ  അന്തർദേശീയവും, അന്താരാഷ്ട്ര  വൈമാനിക യാത്രാ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്.
യാത്രാ വൈമാനിക ആവശ്യങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ബെംഗലൂരു അന്താരാഷ്ട്ര വിമാനത്താവളത്തിലേക്ക് മാറ്റിയിട്ടുണ്ട്.
പുതിയ വിമാനത്താവളത്തിലേക്ക് ഈ മാറ്റം നടന്നത്  24 മേയ് 2008 ലാണ്.
എച്ച്.എ.എൽ വിമാനത്താവളത്തിൽ 2006 ൽ 7.5 ദശലക്ഷം യാത്രക്കാരെ കൈകാര്യം ചെയ്തു എന്ന് കണക്കാക്കുന്നു.
2006 ൽ ഒരു ദിവസം ശരാശരി 550 വിമാനങ്ങൾ ഇറങ്ങുകയും, ഉയരുകയും ചെയ്തുവെന്നും കണക്കാക്കുന്നു.
ഇത് കൂടി കാണുക ഇന്ത്യയിലെ അന്താരാഷ്ട്രവിമാനത്താവളങ്ങളുടെ പട്ടിക ഇന്ത്യയിലെ വിമാനത്താവളങ്ങളുടെ പട്ടിക HAL Bangalore International Airport എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിത്രങ്ങൾ വിക്കിമീഡിയ കോമൺസിലുണ്ട്.
കാറ്റമരൻ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Catamaran ഒരു ഫോർമുല 16 ബീച്ചബിൾ കാറ്റമരൻ യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സിലെ മസാച്യുസെറ്റ്സിലെ സേലത്ത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന കാറ്റമരൻ പാസഞ്ചർ ഫെറി
രണ്ട് ഹള്ളുകളോടുകൂടിയ തരം ജലയാനങ്ങൾ പൊതുവെ കാറ്റമരൻ എന്ന പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്നു ( / ˌ k æ t ə m ə ˈ r æ n / ) (ചുരുക്കിപ്പറയുമ്പോൾ "cat" എന്ന് പറയാറുണ്ട്).
സമാന്തരമായ രണ്ട് ബോട്ടുകൾ ചേർത്തുകൊണ്ടുള്ള ഒരു യാനമെന്ന് ഇതിനെ വിശദീകരിക്കാം.
ഇതുകാരണം ഇതിലെ യാത്ര സാധാരണ ബോട്ടുയാത്രയേക്കാൾ സുഖകരമാണ്.
ഓളങ്ങൾ കാറ്റമരനെ താരതമ്യേന കുറച്ചുമാത്രമേ സ്വാധീനിക്കുന്നുള്ളൂ.
ഓസ്ട്രോനേഷ്യൻ ജനതയാണ് കാറ്റമരൻ ആദ്യമായി രൂപപ്പെടുത്തിയത്.
തമിഴ് പദമായ കട്ടമരം (ചങ്ങാടം) എന്ന പദത്തിൽ നിന്നാണ് ഈ നാമം രൂപപ്പെടുന്നതെങ്കിലും ഇന്ന് കാറ്റമരൻ എന്നത് ഇത്തരം യാനങ്ങളെ മാത്രമാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
കാറ്ററീന അനറ്റോലിവ്ന പാവ്‌ലെങ്കോ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Kateryna_Pavlenko
ഒരു ഉക്രേനിയൻ ഗായികയും സംഗീതസംവിധായികയും ഫോക്ലോറിസ്റ്റുമാണ് കാറ്ററീന അനറ്റോലിവ്ന പാവ്‌ലെങ്കോ .
അവർ ഉക്രേനിയൻ ഇലക്‌ട്രോ-ഫോക്ക് ബാൻഡായ Go_A യുടെ പ്രധാന ഗായികയാണ്.
മോണോകേറ്റ് (ഉക്രേനിയൻ: Монокейт) എന്ന ഓമനപ്പേരിൽ പാവ്‌ലെങ്കോ അറിയപ്പെടുന്നു.
പവ്‌ലെങ്കോ 1988 ഓഗസ്റ്റ് 10-ന്, തലസ്ഥാനമായ കൈവിന്റെ വടക്കുകിഴക്കൻ നഗരമായ ഉക്രെയ്നിലെ ചെർനിഹിവ് ഒബ്‌ലാസ്റ്റിലെ നിജിനിൽ (അക്കാലത്ത് അത് ഉക്രേനിയൻ എസ്‌എസ്‌ആർ ആയിരുന്നു) ജനിച്ചു.
അവരുടെ അമ്മ മിലിട്ടറിയിൽ കൂലിയില്ലാത്ത ജോലി ചെയ്തിരുന്നു.
അതിനാൽ അവരുടെ കുടുംബം ദരിദ്രവും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വീടില്ലാത്തവരും ആയിരുന്നു.
ചെറുപ്പം മുതലേ നാടോടി സംഗീതത്താൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരുന്നു.
കൂടാതെ ഒരു ഗായികയായിരുന്ന അവരുടെ മുത്തശ്ശി 'വൈറ്റ് വോയ്‌സ്' എന്നറിയപ്പെടുന്ന പരമ്പരാഗത ശൈലിയിലുള്ള ആലാപനശൈലി അവളെ പഠിപ്പിച്ചു.
അവരുടെ മുത്തച്ഛൻ അക്രോഡിയൻ വായിച്ചിരുന്നു.
അവരുടെ അമ്മയും ഒരു നാടോടി ഗായകസംഘത്തിൽ പാടിയിരുന്നു.
സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്ന സമയത്ത് അവർ പാട്ട് പഠിക്കുകയും ഒരു ഓപ്പറ ഗായികയാകാൻ അവരുടെ അധ്യാപകർ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു.
എന്നിരുന്നാലും ഒരു റോക്ക് സംഗീതജ്ഞനാകാൻ അവർ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് അവർ തിരിച്ചറിഞ്ഞു.
അവർ കൗമാരപ്രായത്തിൽ ഒരു പ്രാദേശിക റോക്ക് ബാൻഡിൽ ഉണ്ടായിരുന്നതു കൂടാതെ നിരവധി കച്ചേരികളിൽ പാടുകയും ചെയ്തു.
പാവ്‌ലെങ്കോ നിജിൻ സ്‌കൂൾ ഓഫ് കൾച്ചർ ആന്റ് ആർട്‌സിൽ പഠിച്ചു, 2009-ൽ ബിരുദം നേടി.
തുടർന്ന് കൈവ് നാഷണൽ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഓഫ് കൾച്ചർ ആന്റ് ആർട്‌സിൽ ഫോക്ലോർ പഠിക്കാൻ പോകുകയും  2013-ൽ ബിരുദം നേടുകയും ചെയ്തു.
കൈവ് ഒബ്ലാസ്റ്റിലെ ബെറെസാനിലെ വെറ്ററൻസ് ഗായകസംഘം ഉൾപ്പെടെ ഒന്നിലധികം നാടോടി സംഘങ്ങൾ പാവ്‌ലെങ്കോ സംവിധാനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.
Go_A എന്ന ബാൻഡിന്റെ പ്രധാന ഗായികയാണ് അവർ, മോണോകേറ്റ് എന്ന ഓമനപ്പേരിൽ സ്വന്തം സംഗീതം എഴുതി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.
2021 ജൂണിൽ, ഫോക്കസ് മാഗസിൻ പ്രകാരം ഉക്രെയ്നിലെ ഏറ്റവും സ്വാധീനമുള്ള 100 സ്ത്രീകളിൽ കാറ്റെറിന പാവ്‌ലെങ്കോ 10-ാം സ്ഥാനത്തെത്തി.
Go_A
പാവ്‌ലെങ്കോ യഥാർത്ഥത്തിൽ 2012-ൽ ഒരു ബാക്കപ്പ് ഗായികയായി Go_A എന്ന ഇലക്‌ട്രോ-ഫോക്ക് ബാൻഡിൽ ചേർന്നു, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ അവർ പ്രധാന ഗായികയാണ്.
അവരുടെ ആദ്യ സിംഗിൾ, "കോലിയാഡ" (ഉക്രേനിയൻ: Коляда), 2012-ൽ പുറത്തിറങ്ങി, എന്നാൽ 2015-ൽ അവർ "വെസ്നിയങ്ക" (ഉക്രേനിയൻ: Веснянка) പുറത്തിറക്കുന്നത് വരെ ബാൻഡിന് വലിയ അംഗീകാരം ലഭിച്ചില്ല, അത് 10 ഡാൻസ് ചാർട്ടിൽ ഒന്നാം സ്ഥാനത്താണ്.
ഉക്രേനിയൻ കിസ് എഫ്എം റേഡിയോ സ്റ്റേഷന്റെ, അതേ റേഡിയോ സ്റ്റേഷൻ 'ഡിസ്കവറി ഓഫ് ദി ഇയർ' ആയി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു.
അവരുടെ ആദ്യ ആൽബം Idy Na Zvuk (Ukrainian: Іди на звук) 2016-ൽ പുറത്തിറങ്ങി.
കാറ്റാടിയന്ത്രം കാറ്റാടിയന്ത്രം കാറ്റാടിയന്ത്രം ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Wind_turbine കാറ്റാടിയന്ത്രങ്ങൾ
കാറ്റിൽ നിന്നും വൈദ്യുതി ഉത്പാദിപ്പിക്കുവാനുപയോഗിക്കുന്ന യന്ത്രസംവിധാനമാണ് കാറ്റാടിയന്ത്രം .
അടിത്തറയിൽ ഉറപ്പിച്ച ഒരു ടവറിന്റെ മുകളിലായി ഘടിപ്പിച്ച ഒരു പ്രൊപ്പല്ലർ, ജനറേറ്റർ എന്നിവയടങ്ങുന്നതാണ് കാറ്റാടിയന്ത്രം.
തുടർച്ചയായി കാറ്റ് ലഭ്യമാകുന്ന സ്ഥലങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഈ സംവിധാനം ഏർപ്പെടുത്തുവാൻ സാധിക്കുകയുള്ളു.
ശക്തമായ കാറ്റ് സ്ഥിരമായി ലഭ്യമായ തീരപ്രദേശങ്ങൾ, കുന്നിൻപുറങ്ങൾ, തുറസ്സായ സമതലങ്ങൾ, മലയിടുക്കകൾ എന്നിവയാണ് അനുയോജ്യമായ പ്രദേശങ്ങൾ.
കാറ്റിന്റെ വേഗത്താൽ ഈ പ്രൊപ്പല്ലർ കറങ്ങുമ്പോൾ ഇതിലെ ജനറേറ്റർ പ്രവർത്തിച്ച് വൈദ്യുതി ഉത്പാദിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.
കാറ്റാടിപ്പാടം ഇടുക്കിയിലെ കാറ്റാടിപ്പാടം എന്ന സ്ഥലത്തെ കാറ്റാടിയന്ത്രങ്ങൾ
അനേകം കാറ്റടികൾ ഒരു പ്രദേശത്ത് സ്ഥാപിച്ചാണ് വൈദ്യുതിയിൽ ആനുപാതികമായ വർദ്ധനവ് സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.
ഇത്തരം സ്ഥലങ്ങൾ കാറ്റാടിപ്പാടം (വിൻഡ് ഫാം) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
ഇത്തരത്തിൽ വിവിധ യന്ത്രങ്ങളിൽ നിന്നും ലഭിക്കുന്ന വൈദ്യുതി പരസ്പരബന്ധിതമായ ശൃഖലയിലൂടെ ശേഖരിച്ച് ശക്തിപ്പെടുത്തിയാണ് വിതരണം ചെയ്യുന്നത്.
ലോകത്ത് 75-ലധികം രാജ്യങ്ങളിൽ ഇത്തരം യന്ത്രങ്ങൾ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്.
സെക്കൻഡിൽ നാലു മീറ്റർ വേഗമുള്ള കാറ്റിൽ നിന്നും 80 മീറ്റർ നീളമുള്ള പ്രൊപ്പല്ലറും 425 കിലോവാട്ട് ശക്തിയുള്ള ജനറേറ്ററും ഘടിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു യന്ത്രത്തിൽ നിന്നും 932 മെഗാവാട്ട് വൈദ്യുതി ഉത്പാദിപ്പിച്ച് വിതരണം നടത്തുവാൻ സാധിക്കും.
സെക്കൻഡിൽ നാലു മുതൽ മുപ്പതു മീറ്റർ വരെ വേഗതയുള്ള കാറ്റിൽ നിന്നും വൈദ്യുതി ഉത്പാദിപ്പിക്കുവാനാവശ്യമായ യന്ത്രങ്ങൾ ഇന്ന് നിലവിലുണ്ട്.
കേരളത്തിലെ ഇടുക്കി ജില്ലയിൽ തമിഴ്നാട് അതിർത്തിയിലെ രാമക്കൽമേട്ടിൽ ഇത്തരം കാറ്റാടിയന്ത്രങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട് .
ചിത്രശാല കെട്ടിടത്തിനു മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന കാറ്റാടിയന്ത്രം.
സൗരോർജ്ജ പാനലുകളും ദൃശ്യമാണ്.
കാറ്റനാച്ചിയോ ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം https://ml.wikipedia.org/wiki/Catenaccio
1982ലും 2006ലും ഇറ്റലി ചാംമ്പ്യ൯മാരായതിനു സഹായകമായത് അവരുടെ കാറ്റനാച്ചിയൊ തന്ത്രമായിരുന്നു.
താഴിട്ടു പൂട്ടൽ എന്നാണ് കാറ്റനാച്ചിയൊയുടെ അ൪ത്ഥം.
1930-40 കാലത്ത് വെറോ എന്ന ശൈലി ഓസ്ട്രേലിയ൯ പരിശീലകനായ കാൾറപ്പ൯ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.
ഈ ശൈലി കൂടൂതൽ കരുത്തുറ്റതാക്കിയത് ഇന്റ൪മിലാന്റെ കോച്ചായ റോക്കോ ആയിരുന്നു.
5-3-2 എന്നതാണ് ശൈലി.
പക്ഷെ ഒഴുക്കും വേഗതയുമുള്ള ടോട്ടൽ ഫുട്ബാളിനെ താഴിട്ടുപൂട്ടാ൯ കാറ്റനോച്ചിക്ക് കഴിഞ്ഞില്ല.
കാറ്റലാൻ സംഖ്യ ഒരു അഞ്ചംഗ ഗണത്തിന്റെ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കാത്ത C 5 = 42 വിഭജനങ്ങൾ.
(ബാക്കി പത്ത് വിഭജനങ്ങൾ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു)
സഞ്ചയനശാസ്ത്രത്തിലെ (combinatorics) ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയാണ് കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ .
സ്വാവർത്തനം ഉൾപ്പെടുന്ന അനവധി എണ്ണൽ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഈ സംഖ്യാശ്രേണി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
ബെൽജിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂജീൻ ചാൾസ് കാറ്റലാന്റെ ബഹുമാനാർത്ഥമാണ് ഈ ശ്രേണിയുടെ നാമകരണം.
n-ആമത്തെ കാറ്റലാൻ സംഖ്യയെ ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം: C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n ) !
( n + 1 ) !
= ∏ k = 2 n n + k k for n ≥ 0.
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!
}{(n+1)!
\,n!
}}=\prod \limits _{k=2}^{n}{\frac {n+k}{k}}\qquad {\text{for }}n\geq 0.
n=0,1,2,3… തുടങ്ങിയുള്ള ആദ്യത്തെ കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: 1 , 1, 2 , 5 , 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
( പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ വിജ്ഞാനകോശത്തിലെ A000108 ശ്രേണി ).
ഗുണധർമ്മങ്ങൾ
കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയിലും നിർവ്വചിക്കാം: C n = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = 1 n + 1 ( 2 n n ) for n ≥ 0 , {\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={1 \over n+1}{2n \choose n}\quad {\text{ for }}n\geq 0,}
( 2 n n + 1 ) = n n + 1 ( 2 n n ) {\displaystyle {\tbinom {2n}{n+1}}={\tfrac {n}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}} എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചാൽ ഇത് ആമുഖത്തിലെ നിർവചനത്തിന് സമമാണെന്ന് കാണാം.
കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ എപ്പോഴും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും എന്ന് ഈ സൂത്രവാക്യം തെളിയിക്കുന്നു.
കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവർത്തനബന്ധങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു: C 0 = 1 and C n + 1 = ∑ i = 0 n C i C n − i for n ≥ 0 , {\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}\quad {\text{for }}n\geq 0,} C 0 = 1 and C n + 1 = 2 ( 2 n + 1 ) n + 2 C n .
{\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}.
nന്റെ ഉയർന്ന വിലകൾക്ക് കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളുടെ വളർച്ച ഇപ്രകാരമാണ്: C n ∼ 4 n n 3 / 2 π {\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}
അതായത്, n അനന്തതയോടടുക്കുമ്പോൾ n-ആമത്തെ കാറ്റലാൻ സംഖ്യയുടെയും വലതുഭാഗത്തെ വ്യഞ്ജകത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ സീമ 1 ആണ്.
ഫാക്റ്റോറിയലുകളുടെ സ്റ്റേർലിങ് ഏകദേശനം ഉപയോഗിച്ചും ജനകഫലനം ഉപയോഗിച്ചും ഇത് തെളിയിക്കാം.
n-ന്റെ വില രണ്ടിന്റെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘാതത്തിൽ നിന്ന് ഒന്ന് കുറവാകുമ്പോൾ ( n = 2 k − 1) മാത്രമേ C n ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ആകൂ, മറ്റെല്ലാ വിലകൾക്കും C n ഇരട്ടസംഖ്യ ആയിരിക്കും.
മാത്രമല്ല, C 2 = 2, C 3 = 5 എന്നിവ മാത്രമാണ് അഭാജ്യമായ കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ.
കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളെ സമാകലനം വഴിയും നിർവചിക്കാം C n = ∫ 0 4 x n ρ ( x ) d x , {\displaystyle C_{n}=\int _{0}^{4}x^{n}\rho (x)\,dx,}
ഇവിടെ ρ ( x ) = 1 2 π 4 − x x .
{\displaystyle \rho (x)={\tfrac {1}{2\pi }}{\sqrt {\tfrac {4-x}{x}}}.
} ഹൗസ്ഡോർഫ് ആഘൂർണ പ്രശ്നത്തിന്റെ [0, 4] ഇടവേളയിലെ നിർദ്ധാരണമാണ് കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ എന്നതിനാലാണിത്.
സഞ്ചയനശാസ്ത്രം
സഞ്ചയനശാസ്ത്രത്തിലെ അനവധി എണ്ണൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിൽ കാറ്റലാൻ സംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
റിച്ചാർഡ് പി. സ്റ്റാൻലിയുടെ Enumerative Combinatorics എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ രണ്ടാം വാള്യത്തിലെ അഭ്യാസങ്ങളിൽ കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളുടെ 66 വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്.
ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ C 3 = 5, C 4 = 14 എന്നിവയുടെ സ്പഷ്ടീകരണത്തോടൊപ്പം വിശദീകരിക്കുന്നു: 8 അക്ഷരങ്ങളുള്ള C 4 = 14 ഡൈക്ക് വാക്കുകളുടെ ( , ) എന്നിവയെ മേലേക്കും താഴേക്കുമുള്ള വരകളാക്കിയുള്ള ചിത്രീകരണം 2n നീളമുള്ള ഡൈക്ക് വാക്കുകളുടെ എണ്ണം C n ആണ് : n Xകളും n Yകളും ഉള്ളതും തുടക്കം മുതൽ എണ്ണുകയാണെങ്കിൽ ഒരുവേളയിലും Xകളെക്കാൾ Yകൾ ഇല്ലാത്തതുമായ അക്ഷരശൃംഖലയാണ് ഡൈക്ക് വാക്ക്.
ആറ് അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഡൈക്ക് വാക്കുകൾ ഇവയാണ്: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY.
ഡൈക്ക് വാക്കുകളിലെ X-നെ തുറക്കുന്ന വലയവും Y-നെ അടയ്ക്കുന്ന വലയവുമായി വ്യാഖ്യാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ജോഡികൾ ശരിയായുള്ള n ജോഡി വലയങ്ങളുടെ എണ്ണം C n ആണ്: ((())) ()(()) ()()() (())() (()()) n + 1 ഘടകങ്ങളെ ക്രമം മാറ്റാതെ ജോഡികളായി വലയങ്ങളിലാക്കാനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണം.
ഇത്രയും സങ്കാര്യങ്ങളുടെ മേൽ ഗുണനം പോലുള്ള ഏതെങ്കിലും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പടിപടിയായി നടത്താനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണിത്.
ഉദാഹരണമായി, n = 3 ആണെങ്കിൽ abcd യെ C 3 = 5 രീതിയിൽ നിർദ്ധരിക്കാം: (((ab)c)d) ((a(bc))d) ((ab)(cd)) (a((bc)d)) (a(b(cd))) 5 ലീഫുകളുള്ള C 4 =14 പൂർണ്ണ ബൈനറി ട്രീകളുടെ associahedron ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പടിപടിയായി നടത്തുന്നതിനെ ഒരു പൂർണ്ണ ബൈനറി ട്രീ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (മൂലം നിർണ്ണയിച്ചതും ഓരോ ശീർഷത്തിനും പൂജ്യം അഥവാ രണ്ട് പിൻഗാമികളുള്ളതുമായ ബൈനറി ട്രീയെയാണ് പൂർണ്ണം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്‌).
അതിനാൽ n + 1 ലീഫുകളുള്ള പൂർണ്ണ ബൈനറി ട്രീകളുടെ എണ്ണവും C n ആണ്: n + 1 ശീർഷങ്ങളുള്ള സമരൂപമല്ലാത്ത ക്രമാനുസാര (ordered) ട്രീകളുടെ എണ്ണം C n ആണ്.
ഓരോ ശീർഷത്തിന്റെയും പിൻഗാമികൾക്ക് ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടേക്കുള്ള ക്രമം നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ളതും മൂലമുള്ളതുമായ (rooted) ട്രീകളാണ് ക്രമാനുസാരം.
ഒരു ജാലികയിൽ (0,0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും (n,n) എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ഏകതാനമായ പഥങ്ങളിൽ വികർണ്ണത്തിന് മുകളിൽ പോകാത്തവയുടെ എണ്ണം C n ആണ്.
മുകളിലേക്കും വലത്തേക്കുമുള്ള വക്കുകൾ മാത്രമടങ്ങിയ പഥങ്ങളെയാണ് ഏകതാനം (monotonic) എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.
n = 4 നുള്ള ഇത്തരം C 4 = 14 പഥങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു:
പഥത്തിലെ ഓരോ കോളത്തിന്റെയും ഉയരങ്ങൾ കൊണ്ടും ഇവയെ സംക്ഷിപ്തമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: [0,0,0,0] [0,0,0,1] [0,0,0,2] [0,0,1,1] [0,1,1,1] [0,0,1,2] [0,0,0,3] [0,1,1,2] [0,0,2,2] [0,0,1,3] [0,0,2,3] [0,1,1,3] [0,1,2,2] [0,1,2,3] ബൈനറി ട്രീകളുടെ ആന്തരികശീർഷങ്ങൾക്ക് അനുരൂപമായ ത്രികോണങ്ങൾ n + 2 വശങ്ങളുള്ള അവകല ബഹുഭുജങ്ങളെ പരസ്പരം വിച്ഛേദിക്കാത്ത വികർണ്ണങ്ങൾ കൊണ്ട് n ത്രികോണങ്ങളാക്കി മുറിക്കാനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണവും C n ആണ്.
ഷഡ്ഭുജങ്ങളെ നാല് ത്രികോണങ്ങളായി C 4 = 14 രീതിയിൽ ഭാഗിക്കാം: സ്റ്റാക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ക്രമത്തിലാക്കാവുന്ന {1, ..., n } ന്റെ ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം.
231 എന്ന ക്രമചയക്രമം അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ക്രമചയങ്ങളെയാണ് ഇങ്ങനെ സ്റ്റാക്ക് മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ക്രമത്തിലാക്കാൻ സാധിക്കുക.
231 മാത്രമല്ല, മൂന്ന് അംഗങ്ങളുള്ള മറ്റേത് ക്രമചയക്രമെടുത്താലും അത് അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം C n ആണ്.
ഉദാഹരണമായി, 123 എന്ന ക്രമചയക്രമം (അതായത്, ആരോഹണക്രമത്തിലുള്ള മൂന്ന് സംഖ്യകൾ) ഇല്ലാത്ത n = 4 ന്റെ ക്രമചയങ്ങൾ C 4 = 14 എണ്ണമുണ്ട്: 1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 എന്നിവയാണിവ.
{1, ..., n } എന്ന ഗണത്തിന്റെ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കാത്ത (non-crossing) വിഭജനങ്ങളുടെ (partition) എണ്ണം C n ആണ്.
ഗണത്തിന്റെ ആകെ വിഭജനങ്ങളുടെ എണ്ണം n -ആമത്തെ ബെൽ സംഖ്യ ആയതിനാൽ, ഓരോ കാറ്റലാൻ സംഖ്യയും അതിന്റെ യോജിച്ച ബെൽ സംഖ്യയെക്കാൾ വലുതാകാൻ സാധിക്കില്ലെന്ന് വരുന്നു.
ഓരോ ബ്ലോക്കിന്റെയും വലിപ്പം 2 ആയുള്ള {1, ..., 2 n } ഗണത്തിന്റെ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കാത്ത വിഭജനങ്ങളുടെ എണ്ണവും C n തന്നെ.
n പടികളുള്ള ഒരു പടിക്കെട്ടിന്റെ രൂപം n ചതുരങ്ങളുപയോഗിച്ച് പാവാനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണം.
n = 4 ഉദാഹരണമായെടുക്കാം: ഒരു തിരച്ഛീനരേഖയിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി ഒരിക്കലും ആ രേഖയ്ക്ക് താഴേക്ക് പോകാത്ത വിധത്തിൽ മുകളിലേക്കുള്ള n വരകളും താഴേക്കുള്ള n വരകളുമുപയോഗിച്ച്  നിർമ്മിക്കാവുന്ന "പർവ്വതനിരകളുടെ" എണ്ണം.
Mountain Ranges n = 0 : {\displaystyle n=0:} * 1 way n = 1 : {\displaystyle n=1:} /\ 1 way n = 2 : {\displaystyle n=2:} 0 0 0 0 0 0 0 /\ /\/\, 0 / 0 0 \ 2 ways n = 3 : {\displaystyle n=3:} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /\ 0 0 0 0 /\ 0 0 0 0 0 0 /\/\ 0 0 0 0 / 0 0 \ /\/\/\, 0 /\/ 0 0 \, 0 / 0 0 \/\, 0 / 0 0 0 0 \, 0 / 0 0 0 0 \ 5 ways 2× n ഡയഗ്രം ഉള്ള യങ് ടാബ്ലോകളുടെ എണ്ണം.
അതായത്, ഓരോ വരിയും നിരയും ആരോഹണക്രമത്തിൽ വരുന്ന തരത്തിൽ ഒരു 2× n പട്ടിക 1, 2, ...
, 2 n എന്ന സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് നിറയ്ക്കാനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണം.
2 n വക്കുകളുള്ള ഒരു അവകല ബഹുഭുജത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളെ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കാത്ത n ജോഡികളായി യോജിപ്പിക്കാനുള്ള രീതികളുടെ എണ്ണം.
ലേബൽ ചെയ്യാത്ത n വസ്തുക്കളുടെ സെമി-ഓർഡറുകളുടെ എണ്ണം.
കെമിക്കൽ എൻജിനീയറിംഗിൽ: n ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു മിശ്രിതത്തെ അതിന്റെ ഘടകഭാഗങ്ങളാക്കി മാറ്റാനുതകുന്ന വിശ്ലേഷപരമ്പരകളുടെ എണ്ണം.
സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ തെളിവ്
മേലെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന എണ്ണൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിന് C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}
എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം എന്നത് പല രീതിയിലും തെളിയിക്കാം.
ജനകഫലനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള തെളിവുകളും ഉഭയക്ഷേപ (bijective) തെളിവുകളും (ഒരു കൂട്ടം വസ്തുക്കളെ രണ്ടു രീതിയിൽ എണ്ണി ആ എണ്ണങ്ങളുടെ വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ തുല്യത സ്ഥാപിക്കുന്ന തെളിവുകൾ) ഈ സൂത്രവാക്യത്തിനുണ്ട്.
ജനകഫലനം
മേൽ വിവരിച്ച എണ്ണൽ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം സെഗ്നറുടെ ആവർത്തനബന്ധം ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്ന നിരീക്ഷണമാണ് ആദ്യത്തെ പടി C 0 = 1 and C n + 1 = ∑ i = 0 n C i C n − i for n ≥ 0.
{\displaystyle C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}\quad {\text{for }}n\geq 0.
ഉദാഹരണമായി, w എന്നത് രണ്ടിലധികം അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു ഡൈക്ക് വാക്കാണെങ്കിൽ അതിനെ ഒറ്റ രീതിയിൽ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും: w = X w 1 Y w 2
ഇവിടെ w 1 , w 2 എന്നിവ (ഒരുപക്ഷെ ശൂന്യമായ‌) ഡൈക്ക് വാക്കുകളാണ്.
കാറ്റലാൻ സംഖ്യകളുടെ ജനകഫലനത്തിന്റെ നിർവചനമെടുക്കുക c ( x ) = ∑ n = 0 ∞ C n x n .