Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu
Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup M\ddot{o}b(\mathbb{H}) ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. M\ddot{o}b(\mathbb{H}) nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır.