DÄlenÃ ÄÃsel
DÄlenÃ ÄÃsel je opaÄnÃ½ proces k nÃ¡sobenÃ ÄÃsel. ZÃ¡roveÅ je dÄlenÃ dobrÃ½m zdrojem humoru, protoÅ¾e, jak kaÅ¾dÃ½ vÃ, nemÅ¯Å¾eme dÄlit nulou, neboÅ¥ by nÃ¡m shoÅel seÅ¡it.
Co je to dÄlenÃ ÄÃsel
DÄlenÃ si mÅ¯Å¾eme pÅedstavit na pÅÃkladÄ rozdÄlenÃ nÄjakÃ©ho velkÃ©ho celku na stejnÄ velkÃ© menÅ¡Ã dÃlky. MÅ¯Å¾eme mÃt tatÃnka, kterÃ½ potÅebuje rozÅezat desku o dÃ©lce 100 cm na pÄt stejnÄ velkÃ½ch dÃlÅ¯. Jak velkÃ© jednotlivÃ© dÃly budou?
MÅ¯Å¾eme postupovat naopak â pokud seÄteme dÃ©lky vÅ¡ech pÄti uÅezanÃ½ch ÄÃ¡stÃ, musÃ nÃ¡m vyjÃt zpÃ¡tky ÄÃslo 100. JakÃ© ÄÃslo to splÅuje? Je to ÄÃslo 20, protoÅ¾e 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. MÃsto sÄÃtÃ¡nÃ mÅ¯Å¾eme pouÅ¾Ãt i nÃ¡sobenÃ. MÅ¯Å¾eme se zeptat, jakÃ© ÄÃslo po vynÃ¡sobenÃ pÄti dÃ¡ sto? OpÄt ÄÃslo 20, protoÅ¾e 5 Â· 20 = 100.
Graficky bychom to mohli vyjÃ¡dÅit jako rozdÄlenÃ ÃºseÄky o dÃ©lce 100 na pÄt stejnÄ dlouhÃ½ch ÄÃ¡stÃ:
Pokud chceme vydÄlit ÄÃslo 100 ÄÃslem 5, zjiÅ¡Å¥ujeme, âkolikrÃ¡t se ÄÃslo pÄt vleze do ÄÃsla stoâ. DÄlenÃ zapisujeme bud pomocÃ lomÃtka: 100 / 5 nebo pomocÃ dvojteÄky: 100 : 5. VÃ½sledkem dÄlenÃ dvou ÄÃsel je podÃl. V naÅ¡ich pÅÃkladech je ÄÃslo 20 podÃl ÄÃsel 100 a 5. ÄÃslo nalevo se nazÃ½vÃ¡ dÄlenec, ÄÃslo napravo dÄlitel. DÄlenÃ mÅ¯Å¾eme takÃ© zapsat pomocÃ zlomku, mÃsto 100 / 5 mÅ¯Å¾eme napsat $\frac{100}{5}$. ShrnutÃ nÃ¡zvoslovÃ:
$$ a : b = \frac{a}{b} = c $$
- a se nazÃ½vÃ¡ dÄlenec,
- b se nazÃ½vÃ¡ dÄlitel,
- c se nazÃ½vÃ¡ podÃl.
Definice pomocÃ nÃ¡sobenÃ
PodÃl mÅ¯Å¾eme nejjednoduÅ¡eji definovat pomocÃ nÃ¡sobenÃ. Pro pÅÃklad si vezmeme podÃl tÄchto ÄÃsel: 35 / 7. JakÃ½ bude vÃ½sledek? My hledÃ¡me takovÃ© ÄÃslo, kterÃ© kdyÅ¾ vynÃ¡sobÃme 7, tak zÃskÃ¡me ÄÃslo 35. Kdybychom dÄlili 48 / 8, tak bychom hledali takovÃ© ÄÃslo, kterÃ© by po vynÃ¡sobenÃ 8 dalo ÄÃslo 48.
VÃ½sledkem 35 / 7 je tak ÄÃslo 5, protoÅ¾e 7 Â· 5 = 35. VÃ½sledkem 48 / 8 je ÄÃslo 6, protoÅ¾e 8 Â· 6 = 48.
Pokud obecnÄ dÄlÃme a / b, pak vÃ½sledkem je ÄÃslo c, pro kterÃ© platÃ b Â· c = a.
AÄkoliv jsme si vÅ¡echny pÅÃklady ukazovali na pÅirozenÃ½ch ÄÃslech, tak dÃky definici pomocÃ nÃ¡sobenÃ mÅ¯Å¾eme dÄlit i jakÃ¡koliv jinÃ¡ ÄÃsla. MÅ¯Å¾eme napÅÃklad najÃt podÃl â85,76 / 6,7 tak, Å¾e najdeme ÄÃslo x, pro kterÃ© platÃ 6,7 Â· x = â85,76. To platÃ pro x = â12,8.
Nulu mÅ¯Å¾eme podÄlit jinÃ½m ÄÃslem
Nulu mÅ¯Å¾eme podÄlit nÄjakÃ½m ÄÃslem, toto je platnÃ½ vÃ½raz: 0 / 15. V podstatÄ tÃm ÅÃkÃ¡me, Å¾e chceme nulu rozdÄlit na 15 stejnÃ½ch ÄÃ¡stÃ. MÅ¯Å¾eme si to pÅedstavit tak, Å¾e nemÃ¡me Å¾Ã¡dnÃ½ kolÃ¡Ä a tento kolÃ¡Ä, kterÃ½ nemÃ¡me, chceme rozdÄlit na 15 ÄÃ¡stÃ â jak velkÃ© budou jednotlivÃ© ÄÃ¡sti? Budou nulovÃ©, protoÅ¾e Å¾Ã¡dnÃ½ kolÃ¡Ä zkrÃ¡tka nemÃ¡me. PÅÃpadnÄ si pÅedstavte, Å¾e mÃ¡te v penÄÅ¾ence nula korun a Å¾e chcete tÄchto nula korun rozdÄlit mezi tÅi dÄti. Kolik kaÅ¾dÃ© dÃtÄ dostane? Dostane kulovÃ©, protoÅ¾e zkrÃ¡tka nic nemÃ¡te. Proto 0 / 15 = 0.
DÄlit nulu jinÃ½m ÄÃslem mÅ¯Å¾eme, ale nemÅ¯Å¾eme jinÃ© ÄÃslo dÄlit nulou. Tento vÃ½raz je neplatnÃ½: 8 / 0.
ProÄ ale nemÅ¯Å¾eme dÄlit nulou?
DÄlit nulou nemÅ¯Å¾eme, protoÅ¾e nÃ¡m to zakazuje jedenÃ¡ctÃ© pÅikÃ¡zÃ¡nÃ.
Ale existujÃ i pÃ¡dnÄjÅ¡Ã dÅ¯vody. ZatÃm se budeme zajÃmat o pÅÃpad, kdy je dÄlenec rÅ¯znÃ½ od nuly â dÄlenÃ je ve tvaru a / 0, kde a â 0. Vyjmenujeme si dva dÅ¯vody:
- Zkusme zÅ¯stat u analogie s rozdÄlenÃm celku do menÅ¡Ãch, stejnÄ velkÃ½ch, ÄÃ¡stÃ. MÃ¡me 15, tÄch nejkrutÄjÅ¡Ãch, PokÃ©monÅ¯. NynÃ je chceme rozdÄlit mezi nula dÄtÃ. Kolik kaÅ¾dÃ© dÃtÄ dostane PokÃ©monÅ¯?
Eh???
Ano, to zadÃ¡nÃ Ätete sprÃ¡vnÄ a ano, nedÃ¡vÃ¡ smysl. NemÅ¯Å¾eme se ptÃ¡t, kolik PokÃ©monÅ¯ dostalo kaÅ¾dÃ© dÃtÄ, kdyÅ¾ jsme nemÄli Å¾Ã¡dnÃ© dÃtÄ, kterÃ©mu bychom ty PokÃ©mony dali. Proto ani dÄlenÃ nulou nedÃ¡vÃ¡ smysl a proto ÅÃkÃ¡me, Å¾e vÃ½raz x / 0 je nedefinovanÃ½.
- DÄlenÃ jsme si zavedli pomocÃ nÃ¡sobenÃ. KdyÅ¾ se pokouÅ¡Ãme dÄlit nulou 15 / 0, tak hledÃ¡me nÄjakÃ© ÄÃslo x, pro kterÃ© platÃ x Â· 0 = 15. JenomÅ¾e cokoliv krÃ¡t nula je nula, nikdy nenajdeme x, pro kterÃ© by tato rovnice mÄla smysl.
A co podÃl 0/0?
Ten je nedefinovanÃ½ stejnÄ jako x / 0. DÅ¯vody:
TentokrÃ¡t mÃ¡me nula nejkrutÄjÅ¡Ãch PokÃ©monÅ¯, kterÃ© chceme rozdÄlit mezi nula dÄtÃ. To je opÄt nesmyslnÃ½ poÅ¾adavek.
Dle definice dÄlenÃ, kdyÅ¾ dÄlÃme 0 / 0, tak hledÃ¡me takovÃ© ÄÃslo x, pro kterÃ© platÃ x Â· 0 = 0. ÅeÅ¡enÃ bychom naÅ¡li, Äi pÅesnÄji: jakÃ©koliv reÃ¡lnÃ© ÄÃslo je ÅeÅ¡enÃm tÃ©to rovnice. AÅ¥ uÅ¾ za x dosadÃme 4, 1 nebo Ï, tak bude rovnice splnÄna. SamozÅejmÄ je nepÅÃpustnÃ©, aby vÃ½sledkem dÄlenÃ byla celÃ¡ mnoÅ¾ina reÃ¡lnÃ½ch ÄÃsel, to nemÃ¡ smysl.
Museli bychom z celÃ© mnoÅ¾iny vybrat jedno konkrÃ©tnÃ ÄÃslo a ÅÃci, Å¾e prÃ¡vÄ toto ÄÃslo je vÃ½sledkem dÄlenÃ 0 / 0. JenÅ¾e jakÃ©? MÄlo by se to rovnat jednÃ©? Osmi? Nule? Minus jednÃ©? A proÄ? ZkusÃme si uvÃ©st argumenty pro nulu a pro jedniÄku:
- VÃme, Å¾e pokud mÃ¡me zlomek ve tvaru x / x, pak je tento zlomek roven jednÃ©. NapÅÃklad 7 / 7 = 1 nebo 3 / 3 = 1. Odtud bychom mohli odvodit, Å¾e 0 / 0 bychom mÄli definovat tak, aby platilo 0 / 0 = 1.
- PodÃvejme se na tuto posloupnost jistÄ platnÃ½ch zlomkÅ¯. V kaÅ¾dÃ©m z nich budeme nulu dÄlit ÄÃslem, kterÃ© se stÃ¡le vÃce a vÃce blÃÅ¾Ã nule:
$$\begin{eqnarray} \frac{0}{1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}01} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}001} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}0001} &=& 0\\ &â¦&\\ \frac{0}{0{,}0000000001} &=& 0\\ &â¦&\\ \frac{0}{0} &=& 0?\\ \end{eqnarray}$$
VidÃme, Å¾e aÅ¥ dÄlÃme ÄÃslem jakkoliv blÃzkÃ½m k nule, tak stÃ¡le zÃskÃ¡vÃ¡me jako vÃ½sledek podÃlu nulu. Z toho bychom mohli odvodit, Å¾e 0 / 0 = 0.
Toto jsou oba platnÃ© argumenty, jak bychom mohli podÃl 0 / 0 definovat. JenÅ¾e kterÃ½ z nich je lepÅ¡Ã? Nakonec, i kdybychom jeden z nich zvolili a prohlÃ¡sili za jedinÃ½ platnÃ½, stejnÄ bychom doÅ¡li ke sporu s jinÃ½mi ÄÃ¡stmi matematiky.
Proto je dÄlenÃ nulou radÄji ponechÃ¡no jako nedefinovanÃ©.
FinÃ¡lnÃ argument proti dÄlenÃ nulou
Pokud by vÃ¡m pÅedchozÃ argumenty nestaÄily, tak vÃ¡s snad pÅesvÄdÄÃ nÃ¡sledujÃcÃ fotodokumentace pÅÃpadu, kdy se nÄkdo opravdu pokouÅ¡el dÄlit nulou: