저차원 위상수학

섬네일|가장 단순한 비자명 매듭인 부풀려진 세잎매듭의 3차원 묘사. 매듭 이론은 저차원 위상수학의 중요한 부분이다.

수학에서 저차원 위상수학(low-dimensional topology)은 4개 이하의 차원을 가진 다양체 또는 더 일반적으로 위상 공간을 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 대표적인 주제는 3차원 다양체 및 4차원 다양체 이론, 매듭 이론, 꼬임군 (위상수학)이다. 이는 기하학적 위상수학의 일부로 간주될 수 있다. 또한 1차원 위상 공간 연구를 지칭하는 데 사용될 수도 있지만, 이는 일반적으로 연속체 이론의 일부로 간주된다.

역사
1960년대부터 시작된 여러 발전은 위상수학에서 낮은 차원을 강조하는 효과를 가져왔다. 1961년 스티븐 스메일이 5차원 이상에서 푸앵카레 추측을 해결하면서 3차원과 4차원이 가장 어려운 차원으로 보였다. 실제로 이 차원들은 새로운 방법을 필요로 했고, 더 높은 차원의 자유는 수술 이론에서 사용 가능한 계산 방법으로 문제를 줄일 수 있다는 것을 의미했다. 1970년대 후반에 서스턴이 제시한 기하화 추측은 낮은 차원에서 기하학과 위상수학이 밀접하게 얽혀 있음을 시사하는 틀을 제공했으며, 하켄 다양체에 대한 서스턴의 기하화 증명은 이전에 약하게 연결된 수학 분야의 다양한 도구를 활용했다. 1980년대 초반 본 존스의 존스 다항식 발견은 매듭 이론을 새로운 방향으로 이끌었을 뿐만 아니라 저차원 위상수학과 수리물리학 사이의 여전히 신비로운 연결을 낳았다. 2002년 그리고리 페렐만은 기하학적 해석학 분야에 속하는 리처드 S. 해밀턴의 리치 흐름을 사용하여 3차원 푸앵카레 추측 증명을 발표했다.

전반적으로 이러한 발전은 해당 분야를 나머지 수학과 더 잘 통합하는 결과를 가져왔다.

2차원

곡면은 2차원, 위상다양체이다. 가장 친숙한 예시는 일반적인 3차원 유클리드 공간 R3에서 고체 물체의 경계로 나타나는 것들이다. 예를 들어, 공의 표면이다. 반면에 클라인 병과 같은 곡면은 특이점이나 자기 교차를 도입하지 않고는 3차원 유클리드 공간에 매장될 수 없다.

곡면의 분류
닫힌 곡면의 분류 정리는 모든 연결된 닫힌 곡면이 다음 세 가지 유형 중 하나와 위상동형임을 말한다.

 구
 인 경우, g개의 원환면의 연결합
 인 경우, k개의 실 사영 평면의 연결합

처음 두 유형의 곡면은 방향화 가능하다. 구를 0개의 원환면의 연결합으로 간주하여 두 유형을 결합하는 것이 편리하다. 관련된 원환면의 수 g를 곡면의 종수라고 한다. 구와 원환면의 오일러 지표는 각각 2와 0이며, 일반적으로 g개의 원환면의 연결합의 오일러 지표는 이다.

세 번째 유형의 곡면은 비방향화 가능이다. 실 사영 평면의 오일러 지표는 1이며, 일반적으로 k개의 연결합의 오일러 지표는 이다.

타이히뮐러 공간

수학에서 (실) 위상 곡면 X의 타이히뮐러 공간 TX는 항등 위상동형사상에 동위인 위상동형사상의 작용을 제외하고 X의 복소 구조를 매개변수화하는 공간이다. TX의 각 점은 X에서 X로의 위상동형사상의 동위류인 '표시'를 가진 '표시된' 리만 곡면의 동형류로 간주될 수 있다.
타이히뮐러 공간은 (리만) 모듈러스 공간의 보편 덮개 오비폴드이다.

타이히뮐러 공간은 정준 복소 다양체 구조와 풍부한 자연 메트릭을 가지고 있다. 타이히뮐러 공간의 기본 위상 공간은 Fricke에 의해 연구되었으며, 그 위에 있는 타이히뮐러 메트릭은 에 의해 도입되었다.

균일화 정리

수학에서 균일화 정리는 모든 단일 연결 리만 곡면이 세 가지 영역 중 하나, 즉 열린 단위 원판, 복소평면 또는 리만 구와 등각 동치임을 말한다. 특히, 상수 곡률의 리만 계량을 허용한다. 이는 리만 곡면을 그 보편 덮개에 따라 타원형(양수 곡률 - 오히려 상수 양수 곡률 계량을 허용), 포물선형(평평), 쌍곡선형(음수 곡률)으로 분류한다.

균일화 정리는 평면의 적절한 단일 연결 열린집합에서 임의의 단일 연결 리만 곡면으로의 리만 사상 정리의 일반화이다.

3차원

위상 공간 (수학) X는 X의 모든 점이 근방이 유클리드 3차원 공간과 위상동형인 경우 3차원 다양체이다.

위상적, 조각별 선형 다양체, 매끄러운 범주는 3차원에서 모두 동등하므로, 위상 3차원 다양체나 매끄러운 3차원 다양체와 같은 것을 다루는지 여부에 큰 차이가 없다.

3차원에서의 현상은 다른 차원에서의 현상과 현저하게 다를 수 있으므로, 3차원보다 큰 차원으로 일반화되지 않는 매우 전문화된 기법이 널리 퍼져 있다. 이 특별한 역할은 매듭 이론, 기하학적 군론, 쌍곡기하학, 수론, 타이히뮐러 이론, 위상 양자장론, 게이지 이론, 플뢰어 호몰로지, 편미분 방정식과 같은 다양한 다른 분야와의 밀접한 연결을 발견하게 했다. 3차원 다양체 이론은 저차원 위상수학 또는 기하학적 위상수학의 일부로 간주된다.

매듭 이론과 꼬임 이론

매듭 이론은 수학적 매듭에 대한 연구이다. 신발 끈과 밧줄에서 일상생활에 나타나는 매듭에서 영감을 받았지만, 수학자의 매듭은 끝이 연결되어 풀 수 없다는 점에서 다르다. 수학적 언어로, 매듭은 3차원 유클리드 공간 R3에 원을 매장하는 것이다(위상수학을 사용하기 때문에 원은 고전적인 기하학적 개념에 얽매이지 않고 모든 위상동형사상에 묶여 있다). 두 수학적 매듭은 R3 자체의 변형(주변 동위라고 알려짐)을 통해 하나를 다른 것으로 변형할 수 있으면 동등하다. 이러한 변형은 끈을 자르거나 끈을 통과시키지 않는 매듭 끈의 조작에 해당한다.

매듭 여집합은 자주 연구되는 3차원 다양체이다. 정규 매듭 K의 매듭 여집합은 매듭을 둘러싼 3차원 공간이다. 이를 정확하게 만들기 위해 K가 3차원 다양체 M(대부분 M은 3차원 초구임)의 매듭이라고 가정한다. N을 K의 관상 주변이라고 하자. 따라서 N은 솔리드 토러스이다. 매듭 여집합은 N의 여집합이다.

관련 주제는 꼬임 이론이다. 꼬임 이론은 일상적인 꼬임 개념과 일부 일반화를 연구하는 추상적인 기하학적 이론이다. 아이디어는 꼬임이 군으로 조직될 수 있다는 것이다. 여기서 군 연산은 '일련의 끈에 첫 번째 꼬임을 수행한 다음 뒤틀린 끈에 두 번째 꼬임을 수행하는 것'이다. 이러한 군은 가 보여주듯이 명시적 표시로 설명될 수 있다. 이러한 맥락의 기본적인 처리에 대해서는 꼬임군 (위상수학) 문서를 참조하라. 꼬임군은 또한 더 깊은 수학적 해석을 가질 수 있다. 즉, 특정 짜임새 공간의 기본군으로서이다.

쌍곡 3차원 다양체

쌍곡 3차원 다양체는 상수 단면 곡률 -1의 완비 리만 계량이 장착된 3차원 다양체이다. 다시 말해, 3차원 쌍곡공간을 쌍곡 등거리 변환의 부분군이 자유롭고 적절하게 불연속적으로 작용하는 몫공간이다. 클라인 모델도 참조하라.

그것의 굵은 부분-얇은 부분 분해는 닫힌 측지선의 관형 근방과/또는 유클리드 곡면과 닫힌 반직선의 곱인 끝부분으로 구성된 얇은 부분을 가지고 있다. 다양체는 굵은 부분이 콤팩트한 경우에만 유한한 부피를 가진다. 이 경우, 끝부분은 원환면과 닫힌 반직선의 곱의 형태이며 뾰족점이라고 불린다. 매듭 여집합은 가장 일반적으로 연구되는 뾰족점 다양체이다.

푸앵카레 추측과 기하화

서스턴의 기하화 추측은 특정 3차원 위상 공간 (수학)이 각각 자신과 관련된 고유한 기하학적 구조를 가지고 있다고 말한다. 이것은 모든 단일 연결 곡면에 세 가지 기하학 중 하나(유클리드, 구면, 또는 쌍곡)를 부여할 수 있다고 말하는 2차원 곡면에 대한 균일화 정리의 아날로그이다.
3차원에서는 전체 위상 공간에 단일 기하학을 할당하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 대신 기하화 추측은 모든 닫힌 3차원 다양체가 8가지 유형의 기하학적 구조 중 하나를 갖는 조각들로 정준적으로 분해될 수 있다고 말한다. 이 추측은 에 의해 제안되었으며, 푸앵카레 추측과 서스턴의 타원화 추측과 같은 몇 가지 다른 추측들을 함의한다.

4차원

4차원 다양체는 4차원 위상다양체이다. 매끄러운 4차원 다양체는 매끄러운 구조를 가진 4차원 다양체이다. 4차원에서는 저차원과 현저하게 대조적으로 위상 다양체와 매끄러운 다양체가 상당히 다르다. 매끄러운 구조를 허용하지 않는 일부 위상 4차원 다양체가 존재하며, 매끄러운 구조가 존재하더라도 유일하지 않을 수 있다(즉, 위상동형이지만 미분동형이 아닌 매끄러운 4차원 다양체가 존재한다).

4차원 다양체는 일반 상대론에서 시공간이 유사 리만 4차원 다양체로 모델링되기 때문에 물리학에서 중요하다.

별난 R4

별난 R4은 유클리드 공간 R4와는 위상동형이지만 미분동형이 아닌 미분 다양체이다. 첫 번째 예시는 마이클 프리드먼이 1980년대 초에 프리드먼의 위상 4차원 다양체에 대한 정리와 사이먼 도널드슨의 매끄러운 4차원 다양체에 대한 정리의 대조를 사용하여 발견했다. 클리포드 타우브스가 처음 보여주듯이, R4에는 연속체의 농도만큼 서로 미분동형이 아닌 미분가능 구조들이 존재한다.

이 구성 이전에 구 위에 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조들, 즉 이국적 초구 모노이드가 이미 존재한다는 것은 알려져 있었지만, 4차원 초구의 특정 경우에 대한 그러한 구조의 존재 여부는 여전히 미해결 문제로 남아 있다. 4를 제외한 모든 양의 정수 n에 대해 Rn에는 별난 매끄러운 구조가 없다. 다시 말해, n ≠ 4이면 Rn과 위상동형인 모든 매끄러운 다양체는 Rn과 미분동형이다.

4차원의 다른 특수 현상
다양체에 대한 여러 기본적인 정리는 3차원 이하의 저차원 방법으로, 그리고 5차원 이상의 완전히 다른 고차원 방법으로 증명될 수 있지만, 4차원에서는 거짓이다. 몇 가지 예는 다음과 같다.

 4를 제외한 다른 차원에서는 커비-지벤만 불변량이 PL 구조의 존재에 대한 장애물을 제공한다. 즉, 콤팩트 위상 다양체는 H4(M,Z/2Z)에서 커비-지벤만 불변량이 사라질 때만 PL 구조를 가진다. 3차원 이하에서는 모든 위상 다양체가 본질적으로 유일한 PL 구조를 허용한다. 4차원에서는 커비-지벤만 불변량이 사라지지만 PL 구조가 없는 많은 예가 있다.
 4를 제외한 모든 차원에서 콤팩트 위상 다양체는 본질적으로 서로 다른 PL 또는 매끄러운 구조를 유한한 수만 가진다. 4차원에서는 콤팩트 다양체가 셀 수 있는 무한한 수의 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조를 가질 수 있다.
 4는 Rn이 별난 매끄러운 구조를 가질 수 있는 유일한 차원 n이다. R4는 셀 수 없는 수의 별난 매끄러운 구조를 가진다. 별난 R4를 참조하라.
 매끄러운 푸앵카레 추측의 해는 4를 제외한 모든 차원에서 알려져 있다(보통 7차원 이상에서는 거짓이다. 이국적 초구 모노이드를 참조하라). PL 다양체에 대한 푸앵카레 추측은 4를 제외한 모든 차원에서 증명되었지만, 4차원에서 참인지는 알려져 있지 않다(4차원에서는 매끄러운 푸앵카레 추측과 동등하다).
 매끄러운 h-코보디즘 정리는 코보디즘과 그 경계가 모두 4차원이 아닐 경우 성립한다. 코보디즘의 경계가 4차원인 경우 실패할 수 있다(도널드슨이 보여준 바와 같이). 코보디즘이 4차원인 경우 h-코보디즘 정리가 성립하는지 여부는 알려져 있지 않다.
 4와 같지 않은 차원의 위상 다양체는 핸들바디 분해를 가진다. 4차원 다양체는 스무스화 가능할 경우에만 핸들바디 분해를 가진다.
 어떤 단체 복합체와도 위상동형이 아닌 콤팩트 4차원 위상 다양체가 존재한다. 5차원 이상에서는 단체 복합체와 위상동형이 아닌 위상 다양체의 존재가 미해결 문제였다. 2013년 치프리안 마놀레스쿠는 5차원 이상에서 단체 복합체와 위상동형이 아닌 다양체가 각 차원에 존재한다는 예비 논문을 arXiv에 게시했다.

저차원 위상수학을 구별하는 몇 가지 전형적인 정리
고차원 다양체를 연구하는 데 사용되는 가장 기본적인 도구 중 많은 것이 저차원 다양체에는 적용되지 않는다는 것을 효과적으로 진술하는 몇 가지 정리가 있다. 예를 들면 다음과 같다.

스틴로드의 정리는 방향화 가능한 3차원 다양체는 자명한 접다발을 가진다고 말한다. 다르게 말하면, 3차원 다양체의 유일한 특성류는 방향화에 대한 장애물이다.

모든 닫힌 3차원 다양체는 4차원 다양체의 경계이다. 이 정리는 여러 사람에 의해 독립적으로 제시되었다. 이는 3차원 다양체의 히거 분해를 통한 덴-리코리시 정리에서 비롯된다. 또한 르네 톰의 닫힌 다양체의 코보디즘 환 계산에서도 비롯된다.

R4에 별난 매끄러운 구조가 존재한다. 이는 원래 사이먼 도널드슨과 앤드루 캐슨의 연구를 바탕으로 마이클 프리드먼에 의해 관찰되었다. 이후 프리드먼, 로버트 곰프, 클리포드 타우브스 및 로렌스 테일러에 의해 R4에 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조의 연속체가 존재함을 보여주기 위해 정교화되었다. 한편, Rn은 n ≠ 4일 경우 미분동형에 대해 정확히 하나의 매끄러운 구조를 갖는 것으로 알려져 있다.

 같이 보기 
 기하학적 위상수학 주제 목록

 각주 

 외부 링크 
 롭 커비의 저차원 위상수학의 문제gzipped 포스트스크립트 파일 (1.4 MB)
 마크 브리튼햄의 저차원 위상수학 링크홈페이지, 회의 등의 목록

분류:기하학적 위상수학