날개 요소 이론

날개 요소 이론(, BET)은 원래 윌리엄 프루드(1878), 데이비드 W. 테일러(1893), 스테판 드르제비에츠키(1885)가 프로펠러의 거동을 결정하기 위해 고안한 수학적 과정이다. 이는 날개를 여러 개의 작은 부분으로 나누어 각 작은 날개 요소에 작용하는 힘을 결정하는 것을 포함한다. 이 힘들은 전체 날개를 따라 그리고 한 회전자 회전 동안 통합되어 전체 프로펠러 또는 회전자에 의해 생성되는 힘과 모멘트를 얻는다. 주요 어려움 중 하나는 회전자 원판에 유도되는 속도를 모델링하는 데 있다. 이 때문에 날개 요소 이론은 종종 운동량 이론과 결합되어 회전자 원판에 유도되는 속도를 설명하는 데 필요한 추가적인 관계를 제공하며, 이는 날개요소 운동량 이론을 생성한다. 가장 기본적인 근사 수준에서는 원판에 균일한 유도 속도가 가정된다:

대안적으로, 반지름을 따라 유도 속도의 변화는 날개를 작은 환형으로 나누고 각 환형에 질량 보존, 운동량 및 에너지를 적용하여 모델링할 수 있다. 이 접근법은 때때로 윌리엄 프루드-제바스티안 핀스터발더 방정식이라고 불린다.

날개요소 방법이 전진 비행 중인 헬리콥터 로터에 적용될 경우, 날개의 플랩핑 운동과 로터 디스크 상의 유도 속도의 종방향 및 횡방향 분포를 고려해야 한다. 가장 간단한 전진 비행 유입 모델은 1차 조화 모델이다.

 단순 날개요소 이론 
Fig 1. 날개 요소|400x400px|섬네일
400x400px|Fig 2. 날개 요소에 작용하는 공기역학적 힘.|섬네일

운동량 이론은 이상적인 효율을 결정하는 데 유용하지만, 나사 프로펠러의 작용에 대한 매우 불완전한 설명을 제공하며, 특히 돌림힘을 무시한다. 프로펠러 작용을 더 자세히 조사하기 위해 날개를 여러 개의 작은 요소로 구성된 것으로 간주하고, 각 요소에 작용하는 공기역학적 힘을 계산한다. 따라서 운동량 이론은 공기의 흐름을 다루는 반면, 날개요소 이론은 주로 프로펠러 날개에 작용하는 힘을 다룬다. 프로펠러 날개의 미소 요소에 작용하는 힘을 분석하는 아이디어는 1878년 윌리엄 프루드에 의해 처음 발표되었다. 또한 스테판 드르제비에츠키가 독립적으로 연구하여 7년 후인 1885년 러시아에서 출판된 기계 비행에 관한 책에 실렸다. 1907년에는 프레더릭 W. 랜체스터가 이전 연구를 알지 못한 채 날개요소 이론의 다소 진보된 형태를 발표했다. 그러나 단순 날개요소 이론은 일반적으로 드르제비에츠키 이론으로 불리는데, 이는 스테판 드르제비에츠키가 이를 실용적인 형태로 만들고 널리 사용되도록 했기 때문이다. 또한 그는 날개 요소에 작용하는 힘을 합산하여 전체 프로펠러의 추력과 돌림힘을 얻은 최초의 인물이며, 익형 데이터를 사용하여 날개 요소에 작용하는 힘을 찾는 아이디어를 도입한 최초의 인물이다.

스테판 드르제비에츠키의 날개요소 이론에서 프로펠러는 뒤틀리거나 비틀린 익형으로 간주되며, 각 부분은 나선형 경로를 따라 움직이며 일반적인 날개의 한 부분으로 취급된다. 단순 이론에서는 풍동 테스트를 통해 얻은 모형 날개의 계수 (일반적으로 종횡비 6으로 테스트됨)가 동일한 단면 모양을 가진 프로펠러 날개 요소에 직접 적용된다고 가정한다.

각 요소 주변의 공기 흐름은 2차원이며 날개의 인접 부분에 영향을 받지 않는 것으로 간주된다. 주어진 반지름에서의 날개 요소들의 독립성은 이론적으로 입증되었으며, 특별 실험을 통해 날개의 작동 구간에서 실질적으로 사실임이 밝혀졌다. 또한 공기가 방사형 흐름 없이 프로펠러를 통과하며(즉, 프로펠러 디스크를 통과할 때 슬립스트림의 수축이 없음), 날개 간섭이 없다고 가정한다.

 날개 요소에 작용하는 공기역학적 힘 
그림 1에 표시된 반지름 r에서의 요소를 고려한다. 이 요소는 무한소 길이 dr과 너비 b를 가진다. 비행 중 항공기 프로펠러에서 요소의 움직임은 항공기의 전진 속도 V와 프로펠러 원판 평면에서 요소의 접선 속도 2πrn에 의해 결정되는 나선형 경로를 따른다. 여기서 n은 단위 시간당 회전수를 나타낸다. 공기에 대한 요소의 속도 Vr은 그림 2에 표시된 바와 같이 전진 속도와 접선 속도의 합력이다. 요소의 움직임 방향과 회전 평면 사이의 각을 Φ라고 하고, 날개 각을 β라고 한다. 공기에 대한 요소의 받음각 α는 이다.

일반적인 익형 계수를 적용하면 요소에 대한 양력은 다음과 같다:

γ를 양력 성분과 합력 사이의 각이라고 하자. 즉, 이다. 그러면 요소에 작용하는 총 합력은 다음과 같다: 

요소의 추력은 프로펠러 축 방향의 합력 성분이다 (그림 2). 즉,

그리고 이므로

편의상

그리고

그러면

프로펠러(B개의 날개)의 총 추력은 다음과 같다:

다시 그림 2를 참조하면, 접선 또는 돌림힘 힘은

요소에 대한 돌림힘은

만약 라면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

전체 프로펠러의 돌림힘에 대한 표현은 다음과 같다:

프로펠러에 흡수되는 마력, 즉 돌림힘 마력은

그리고 효율은

 효율 
400x400px|Fig 3. 효율 다이어그램|섬네일날개 너비, 각도, 익형 단면이 날개를 따라 달라지기 때문에 일반적으로 프로펠러의 추력, 돌림힘 및 효율에 대한 간단한 표현을 얻는 것은 불가능하다. 그러나 팁 반지름의 약 3분의 2 또는 4분의 3 지점의 단일 요소는 전체 프로펠러를 상당히 잘 대표하므로, 단일 요소의 효율에 대한 표현을 살펴보는 것이 흥미롭다. 요소의 효율은 유효 동력과 흡수된 동력의 비이다.

이제 tan Φ는 전진 속도와 접선 속도의 비이고, 이다. 따라서 단순 날개요소 이론에 따르면 프로펠러 요소의 효율은 전진 속도와 접선 속도의 비와 익형 단면의 에만 의존한다.

효율을 Φ에 대해 미분하고 그 결과를 0으로 놓음으로써 얻어지는 요소의 최대 효율을 제공하는 Φ의 값은
400x400px|Fig 4. 기류|섬네일

400x400px|Fig 5. 음의 엇갈림을 가진 다중 평면|섬네일
Φ에 따른 효율의 변화는 그림 3에 두 가지 극단적인 γ 값에 대해 나타나 있다. 효율은 에서 최댓값에 도달한 후 에서 다시 0으로 떨어진다. 가 28.6일 때, 단순 이론에 따른 요소의 최대 가능 효율은 0.932인 반면, 가 9.5일 때는 0.812에 불과하다. 대부분의 프로펠러의 가장 중요한 요소가 작동하는 Φ 값(10°에서 15°)에서는 가 효율에 미치는 영향이 훨씬 더 크다. 10°에서 15° 범위 내에서 그림 3의 곡선은 익형 단면의 와 각 Φ(또는 회전당 전진 거리, 그리고 결과적으로 피치)를 가능한 한 높게 유지하는 것이 유리함을 나타낸다.

 한계 
운동량 이론에 따르면, 프로펠러를 통과하는 공기에는 속도가 부여되며, 이 속도의 절반은 공기가 프로펠러 평면에 도달할 때까지 공기에 전달된다. 공기가 프로펠러 원판으로 들어갈 때의 이러한 속도 증가는 유입 속도라고 불린다. 이는 유체 내 압력 불연속성이 있는 곳에서 항상 발견된다. 수평으로 움직이는 날개의 경우, 그림 4에 표시된 바와 같이 공기에는 하향 속도가 부여되며, 이론적으로 이 속도의 절반은 날개 앞쪽과 위쪽에, 나머지 절반은 아래쪽과 뒤쪽에 부여된다.

이러한 유도 하강류는 날개요소 이론에 사용되는 익형 계수를 얻는 모형 날개 시험에 존재한다. 따라서 운동량 이론에 의해 지시된 유입은 단순 날개요소 이론에 자동으로 고려된다. 그러나 유도 하강류는 종횡비에 따라 크게 다르며, 무한 종횡비의 경우 0이다. 대부분의 모형 익형 시험은 임의로 선택된 종횡비 6의 직사각형 날개로 수행되며, 그러한 시험의 하강류가 프로펠러 날개의 각 요소에 대한 유입과 일치한다고 가정할 이유가 없다. 실제로, 풍동에서 작동하는 모형 프로펠러의 12개 단면에 걸쳐 압력 분포를 측정한 일련의 철저한 시험에서 얻은 일반적인 결론은, 프로펠러 날개 요소의 양력 계수가 종횡비 6의 익형에서 동일한 받음각에서 측정된 것과 상당히 다르다는 것이다. 이것이 단순 날개요소 이론의 가장 큰 약점 중 하나이다.

또 다른 약점은 프로펠러 날개 간의 간섭이 고려되지 않는다는 것이다. 특정 반지름에서의 날개 요소들은 그림 5에 표시된 바와 같이 음의 엇갈림을 가진 다중 평면과 유사한 캐스케이드를 형성한다. 틈이 큰 팁 근처에서는 간섭이 매우 작지만, 날개 뿌리 안쪽으로는 상당히 크다.

실제 프로펠러에는 팁 손실이 있으며, 날개 요소 이론은 이를 고려하지 않는다. 따라서 이론을 통해 계산된 추력과 돌림힘은 팁 근처 요소의 경우 실험을 통해 얻은 값보다 크다.

축척 효과를 제거하려면 모형 날개에 대한 풍동 시험은 프로펠러 날개의 해당 요소와 동일한 레이놀즈 수 (축척) 값으로 수행되어야 한다. 예를 들어, 3인치 코드 익형으로 시속 30마일의 공기 속도와 같은 낮은 축척에서 측정된 익형 특성은 프로펠러 요소와 비교할 수 있는 축척에서 시험할 때는 발견되지 않는 특이성을 보인다. 그림 11, 12, 13, 14에 제시된 표준 프로펠러 단면 특성은 NACA의 가변 밀도 풍동에서 높은 레이놀즈 수 시험을 통해 얻어졌으며, 다행히도 이들 단면 중 가장 두꺼운 단면을 제외하고는 높은 레이놀즈 수와 낮은 레이놀즈 수에서 특성 차이가 거의 없다. 이 값들은 공기 중 음속보다 훨씬 낮은 팁 속도로 작동하여 압축률의 영향이 비교적 없는 프로펠러에 대해 합리적인 정확도로 축척으로 사용할 수 있다.

단순 날개요소 이론의 낮은 정확도는 윌리엄 F. 듀런드와 레슬리의 보고서에 잘 나타나 있는데, 그들은 수많은 모형 프로펠러(80개)의 성능을 계산하고 계산된 값을 실제 모형 프로펠러 자체 시험에서 얻은 성능과 비교했다. 저자들의 말에 따르면 다음과 같다. 두 결과 세트 간의 차이는 특정 일관성을 보이지만, 전체적으로 너무 크고 변덕스럽게 분포되어 있어 이 가장 단순한 형태의 이론을 대략적인 추정이나 비교 목적으로 사용하는 것을 정당화하기 어렵다. 익형은 두 개의 다른 풍동에서 시험되었고, 한 풍동에서는 두 개의 다른 공기 속도에서 시험되었으며, 세 가지 익형 데이터 세트에서 계산된 프로펠러 특성은 최대 28%까지 차이가 났는데, 이는 올바른 축척에서 익형 시험을 수행해야 할 필요성을 매우 강력하게 보여준다.

모든 부정확성에도 불구하고 단순 날개요소 이론은 숙련된 프로펠러 설계자의 손에서 유용한 도구였다. 이를 통해 숙련된 설계자는 적절한 경험적 요인에 대한 지식을 가지고 엔진 출력을 거의 적절한 회전 속도로 흡수하여 부과된 주요 조건에 상당히 잘 맞는 프로펠러를 설계할 수 있다. 그러나 이들이 항상 목적에 가장 효율적인 프로펠러는 아닌데, 단순 이론은 피치 분포, 평면 형태 등의 변화로 인한 미미한 효율 차이를 보여줄 만큼 충분히 정확하지 않기 때문이다.

 예시 
섬네일|400x400px|Fig 6. R.A.F.-6를 기반으로 한 표준 프로펠러 단면의 좌표.
분석할 프로펠러를 선택할 때는 계산 결과의 정확성을 확인할 수 있도록 공기역학적 특성을 아는 것이 바람직하다. 또한 압축률의 영향을 받지 않고 상대적으로 낮은 팁 속도에서 작동하며, 몸체 간섭이 없는 프로펠러를 분석하는 것이 바람직하다. 이러한 모든 조건을 만족하는 유일한 프로펠러 시험은 풍동에서 모형 프로펠러를 시험하는 것이다. 따라서 우리는 예시로 스탠퍼드 대학교에서 W. F. 듀런드 박사가 시험한 표준 해군 형태의 일련의 모형 목재 프로펠러 중 중앙 또는 주 프로펠러를 선택할 것이다. 이것은 직경 3피트, 균일한 기하학적 피치 2.1피트(또는 피치-직경 비 0.7)의 2날 프로펠러이다. 날개는 R.A.F-6 익형을 기반으로 한 표준 프로펠러 단면(그림 6)을 가지며, 날개 너비, 두께 및 각도는 표 I의 첫 부분에 나와 있다. 분석에서 프로펠러가 시속 40마일의 속도로 전진하고 초당 1,800 회전하는 것으로 간주한다.섬네일|400x400px|Fig 7. 마주보는 두 개의 평평한 단면.팁 반지름의 75% 지점 단면의 경우, 반지름은 1.125피트, 날개 너비는 0.198피트, 두께 비는 0.107, 하부 캠버는 0, 날개 각 β는 16.6°이다.

전진 속도

섬네일|400x400px|Fig 8. 볼록한 하부 캠버에 대한 양력 계수 수정. (참고: 하부 캠버가 있는 단면의 경우 )
그리고

경로 각

따라서 받음각은

그림 7에서 두께 비 0.107의 평평한 단면이 1.1°의 받음각을 가질 때 γ = 3.0°이고, 그림 9에서 CL = 0.425이다. (하부 캠버가 있는 단면의 경우, 그림 8에 주어진 관계에 따라 CL을 수정해야 하며, γ는 상부 캠버만 있는 평평한 단면과 동일한 값을 갖는다.)
400x400px|Fig 9. 추력 및 돌림힘 등급 곡선.|섬네일
그러면

그리고

또한,

프로펠러의 6개 대표 요소에 대한 Tc 및 Qc의 계산은 표 I에 편리한 표 형식으로 주어져 있으며, Tc 및 Qc 값은 그림 9에 반지름에 대해 플로팅되어 있다. 이 점들을 통과하는 곡선들은 때때로 돌림힘 등급 곡선이라고 불린다. 곡선 아래 면적은

그리고

이들은 전진 속도로 인한 단위 동압당 날개당 총 추력과 돌림힘에 대한 표현이다. 면적은 면적기를 사용하여 찾을 수 있으며, 물론 값의 축척을 적절히 고려하거나, 심프슨 공식을 사용하여 대략적으로(그러나 만족스러운 정확도로) 적분을 수행할 수 있다.

심프슨 공식을 사용할 때 반지름은 10개와 같은 짝수 개의 동일한 부분으로 나뉜다. 각 분할 지점의 종좌표는 등급 곡선에서 찾을 수 있다. 원래의 날개 요소가 날개를 짝수 개의 동일한 부분으로 나누는 경우 등급 곡선을 플로팅할 필요는 없지만, 곡선은 날개를 따라 추력과 돌림힘 분포를 그래픽으로 보여준다는 점에서 이점이 있다. 또한 계산 오류가 있는 점은 일반적으로 매끄러운 곡선을 형성하지 않으므로 계산을 확인하는 데 도움이 된다.

만약 횡좌표가 r이고, 각 분할에서의 종좌표가 y1, y2, ..., y11로 표시된다면, 심프슨 공식에 따라 10개의 동일한 분할을 가진 면적은 다음과 같다.

따라서 우리 예시의 추력 등급 곡선 아래 면적은 다음과 같다.

그리고 마찬가지로

위의 적분은 면적기를 사용하여도 수행되었으며, 5회 시도의 평균 결과는 심프슨 공식을 사용하여 얻은 결과와 0.25% 이내로 일치한다.

표준 공기에서의 프로펠러의 추력은

그리고 돌림힘은

프로펠러에 흡수되는 동력은

또는

그리고 효율은

위에서 계산된 성능은 풍동에서 측정된 값과 다음과 같이 비교된다.

섬네일|400x400px|Fig 10. - (R. and M. 681에서 인용.) 범례: • 종횡비 6의 사각형 끝을 가진 익형에 작용하는 힘의 직접 측정; o 종횡비 6의 익형의 중앙 단면에 대한 압력 분포에서 계산; x 프로펠러 날개 형태로 제작되었으나 비틀림이 없는 특수 익형의 단면 C에 대한 압력 분포에서 계산.
이 경우 단순 날개요소 이론으로 계산된 동력은 11% 이상 낮고, 추력은 약 5% 낮으며, 효율은 약 8% 높다. 물론, 다른 풍동에서 동일한 익형 시리즈 시험에서 얻은 프로펠러 단면 특성을 사용했다면 다르게 계산된 성능이 나왔겠지만, 가변 밀도 터널 시험이 아마도 가장 신뢰할 수 있을 것이다.

계산된 성능과 관측된 성능 간의 불일치는 모형 프로펠러에 대한 압력 분포 시험을 다시 참조함으로써 설명될 수 있다. 이 시험에서 프로펠러가 풍동에서 작동하는 동안 프로펠러 날개의 여러 단면에 걸쳐 압력 분포가 측정되었으며, 해당 익형에 대해 다음 세 가지 시험이 수행되었다.

이 세 가지 익형 시험 결과는 보고서에서 발췌한 그림 10에 팁 반지름의 4분의 3 지점 단면에 대해 나타나 있다. 종횡비 6의 익형의 중앙 단면과 특수 프로펠러 날개 익형의 해당 단면에서는 합력 계수 CR이 상당히 잘 일치하지만, 종횡비 6의 전체 익형에 대한 합력 계수는 상당히 낮다는 것을 알 수 있다. 따라서 종횡비 6의 익형 특성을 기반으로 할 때 프로펠러의 계산된 추력과 동력이 너무 낮게 나오는 것은 당연하다.

 수정 
단순 날개요소 이론을 더욱 완벽하고 정확하게 만들기 위해 많은 수정 제안이 이루어졌다. 이러한 수정된 이론 대부분은 날개 간섭을 고려하려고 시도하며, 일부 이론에서는 종횡비가 유한한(예: 6) 날개 시험에서 얻은 익형 데이터를 사용하는 것에서 오는 부정확성을 제거하려는 시도도 이루어졌다. 가장 먼저 이루어진 수정은 단순 드르제비에츠키 이론과 프루드 운동량 이론을 결합하는 형태였다.

 다이어그램 
저작자 표시

 같이 보기 
 순환 (유체 역학)
 전산 유체 역학

 각주 

 외부 링크 
 Blade Element Analysis for Propellers
 Helicopter Theory - Blade Element Theory in Forward Flight from Aerospaceweb.org
 Blade element theory
 Stefan Drzewiecki 1903
 QBlade: Open Source Blade Element Method Software from H.F.I. TU Berlin
 NASA-TM-102219: A survey of nonuniform inflow models for rotorcraft flight dynamics and control applications, by Robert Chen, NASA

분류:유체동역학
분류:공기역학
분류:프로펠러
분류:풍력