곱 적분

곱 적분()은 미적분학의 일반적인 합 기반 적분에 대한 곱 기반 대응물이다. 곱 적분은 1887년 수학자 비토 볼테라가 선형 미분 방정식 시스템을 해결하기 위해 개발했다.

 비공식적 개요 
함수 의 고전적인 리만 적분은 다음 관계로 정의될 수 있다.

여기서 극한은 구간 의 모든 구간의 분할에 대해 취해지며, 이들의 노름은 0에 접근한다. 곱 적분은 비슷하지만 합의 극한 대신 곱의 극한을 취한다. 이는 "이산수학적" 곱의 "연속" 버전으로 생각될 수 있다. 다음과 같이 정의된다.

의 경우, 곱 적분은 르베그 적분의 경우, 즉 고전 미적분학으로 정확히 환원된다. 따라서 흥미로운 경우는 가 유한 차원 행렬장과 같은 가환대수학이거나 가 비가환대수인 함수 에 대해 발생한다. 이 두 경우, 가환 경우와 비가환 경우에 대한 이론은 공통점이 거의 없다. 비가환 경우는 훨씬 더 복잡하다. 적분을 잘 정의하기 위해서는 적절한 경로 정렬이 필요하다.

 가환 경우 
가환 경우의 경우, 문헌에는 Type-I, Type-II 또는 기하학적, Type-III 또는 이중기하학적이라고 불리는 세 가지 명확한 정의가 일반적이다. 이러한 적분은 역학(카플란-마이어 생존분석) 및 확률적 개체군 역학에서 사용되었다. 기하학적 적분은 기하학적 미분과 함께 이미지 분석 및 성장/감쇠 현상(예: 경제성장, 박테리아 성장, 방사성 붕괴) 연구에 유용하다. 이중기하학적 적분은 이중기하학적 미분과 함께 프랙탈의 일부 응용 프로그램, 및 경제학의 함수의 탄력성 이론에서 유용하다.

 비가환 경우 
비가환 경우는 일반적으로 양자역학과 양자장론에서 발생한다. 피적분 함수는 일반적으로 일부 비가환대수에 속하는 연산자이다. 이 경우, 적분할 때 경로 정렬을 설정하는 데 주의해야 한다. 일반적인 결과는 정렬된 지수이다. 마그누스 전개는 볼테라 적분을 계산하는 한 가지 기술을 제공한다. 예로는 다이슨 전개, 연산자 곱 전개 및 게이지 장에 대한 곱 적분인 윌슨 선에서 발생하는 적분이 있다. 윌슨 고리는 윌슨 선의 트레이스이다. 곱 적분은 제어이론에서도 발생하며, 선형계에서 마스터 방정식 유형으로 작성된 상태 전이를 설명하는 페아노-베이커 급수로 나타난다.

 일반(비가환) 경우 
볼테라 곱 적분은 행렬값 함수 또는 바나흐 대수의 값을 갖는 함수에 적용될 때 가장 유용하다. 비가환 필드에 속하는 스칼라, 행렬 및 연산자, 즉 교환하지 않는 수학적 개체에 적용될 때, 볼테라 적분은 두 가지 정의로 나뉜다.

왼쪽 곱 적분은 다음과 같다.

이러한 왼쪽 곱(즉, 왼쪽에서 적용되는 일반 곱) 표기법으로

오른쪽 곱 적분

이러한 오른쪽 곱(즉, 오른쪽에서 적용되는) 표기법으로

여기서 은 항등 행렬이고 D는 리만 의미에서 구간 [a,b]의 분할, 즉 극한은 분할에서 최대 구간에 대한 것이다. 이 경우 시간 순서가 정의에서 어떻게 명확해지는지 주목하라.

마그누스 전개는 곱 적분을 계산하는 기술을 제공한다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 연속 시간 버전을 정의한다.

곱 적분은 1-매개변수 연속군을 정의하는 일련의 속성을 만족한다. 이들은 응용 프로그램을 보여주는 두 기사, 즉 다이슨 급수와 페아노-베이커 급수에 명시되어 있다.

 가환 경우 
가환 경우는 훨씬 간단하며, 결과적으로 다양한 표기법과 정의가 나타났다. 문헌에는 세 가지 고유한 스타일이 인기가 있다. 이 하위 섹션은 비토 볼테라 등이 선호하는 적분 (일반적으로 곱셈 기호 또는 문자 P로 수정됨) 대신 곱 적분을 위해 곱셈 표기법을 채택한다. 분야에 질서를 부여하기 위해 유형의 임의 분류가 채택되었다.

적분될 함수가 실수값을 가질 때, 이론은 정확히 르베그 적분 이론으로 환원된다.

 Type I: 볼테라 적분 
Type I 곱 적분은 비토 볼테라의 원래 정의에 해당한다. 스칼라 함수 에 대해 다음 관계가 존재한다.

 Type II: 기하학적 적분 

이를 기하학적 적분이라고 한다. 로그는 f가 실수 또는 복소수 값을 취하거나 f가 교환하는 트레이스-클래스 연산자의 가환 필드 값을 취할 때 잘 정의된다. 이 곱 적분의 정의는 이산수학적 곱 범함수 (여기서 )의 연속 아날로그이며, (정규/표준/가법) 적분 (여기서 )의 곱셈 아날로그이다.

이는 확률론에서 매우 유용한데, 여기서 로그 가능도(즉, 독립 확률 변수들의 곱 적분의 로그)는 이들(무한히 많은) 확률 변수들의 로그의 적분과 같다.

 Type III: 이중기하학적 적분 

Type III 곱 적분은 이중기하학적 적분이라고 불린다.

 기본 결과 
가환 경우의 경우, 다음 결과는 Type II 곱 적분(기하학적 적분)에 대해 성립한다.

 

 

 

 

 

기하학적 적분(위의 Type II)은 기하학적 미적분학에서 중심적인 역할을 한다. 이는 곱셈적 미적분학이다. 기하학적 적분의 역수, 즉 로 표기되는 기하학적 미분은 다음 관계를 사용하여 정의된다.

 
따라서 다음을 결론 내릴 수 있다.
기본 정리

 

곱 규칙

 

몫 규칙

 

큰 수의 법칙

 

여기서 X는 확률 분포 F(x)를 갖는 확률 변수이다.

표준 큰 수의 법칙과 비교하라.

 

 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분 
피적분 함수가 실수 값을 가질 때, 단순 함수를 사용하여 곱 적분을 쉽게 다룰 수 있다. 르베그 버전의 (고전) 적분의 경우와 마찬가지로, 단순 함수의 곱 적분으로 근사하여 곱 적분을 계산할 수 있다. Type II 기하학적 적분은 정확히 고전 르베그 적분의 경우로 환원된다.

 Type I: 볼테라 적분 
단순 함수는 계단 함수를 일반화하므로, 여기서는 계단 함수인 단순 함수의 특수한 경우만 고려할 것이다. 이는 르베그 정의를 리만 정의와 비교하기 쉽게 할 것이다.

태그가 지정된 분할을 갖는 계단 함수 가 주어졌을 때

 

Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 한 근사는 다음과 같다.

 

(Type I) 곱 적분은 1931년 루트비히 슐레징거의 논문에서 대략적으로 이러한 곱의 극한으로 정의되었다.

Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 또 다른 근사는 다음과 같이 정의된다.

 

가 상수 함수일 때, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사와 같다. 일반적으로 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 한 분할에 의존하지 않는 반면, 첫 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 경우에도 분할의 세밀함에 의존한다는 점을 주목하라.

어떤 곱 적분 가능 함수 에 대해서든, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사의 극한과 같음이 밝혀졌다. 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 "충분히 세밀한" 분할에 대해 분할의 세밀함에 의존하지 않으므로, 계단 함수의 "르베그 (Type I) 곱 적분"을 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.

 

여기서 는 계단 함수 에 해당하는 태그가 지정된 분할이다. (대조적으로, 해당 양은 첫 번째 유형의 근사를 사용하여 모호하게 정의되지 않을 것이다.)

이것은 임의의 측도 공간으로 쉽게 일반화된다. 가 측도 를 갖는 측도 공간이고, 인 곱 적분 가능 단순 함수(즉, 일부 서로소 가측 집합 에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type I 곱 적분은 다음과 같이 정의된다.

 

는 의 임의의 지점에서 의 값이므로. 특수한 경우 , 가 르베그 측도, 그리고 모든 가측 집합 가 구간일 때, 이것이 해당 특수한 경우에 주어진 정의와 같음을 확인할 수 있다. (고전) 르베그 적분 이론과 유사하게, 임의의 곱 적분 가능 함수 의 Type I 곱 적분은 곱 적분 가능 단순 함수의 볼테라 곱 적분의 증가하는 수열의 극한으로 작성될 수 있다.

위 정의의 양변에 로그를 취하면, 어떤 곱 적분 가능 단순 함수 에 대해 다음을 얻는다.

 
 

여기서 단순 함수에 대한 적분의 정의를 사용했다. 또한, 와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 곱 적분 가능 함수 의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 극한과 같으므로, 다음 관계가

 

어떤 곱 적분 가능 에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에서 언급된 속성을 분명히 일반화한다.

Type I 적분은 집합 함수로서 곱셈적이며, 이는 위 속성을 사용하여 보여줄 수 있다. 더 구체적으로, 곱 적분 가능 함수 가 주어졌을 때, 모든 가측 집합 에 대해 정의하여 집합 함수 를 정의할 수 있다.

 

여기서 는 의 지시 함수를 나타낸다. 그러면 임의의 두 서로소 가측 집합 에 대해 다음이 성립한다.

 

이 속성은 시그마-가법 집합 함수인 측도와 대조될 수 있다.

그러나 Type I 적분은 범함수로서 곱셈적이 아니다. 두 개의 곱 적분 가능 함수 와 가측 집합 가 주어졌을 때, 일반적으로 다음이 성립한다.

 

 Type II: 기하학적 적분 
가 측도 를 갖는 측도 공간일 때, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 (즉, 서로소 가측 집합 에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type II 곱 적분은 다음과 같이 정의된다.

 

이것은 위에서 주어진 정의를 일반화하는 것으로 볼 수 있다.

양변에 로그를 취하면, 임의의 곱 적분 가능 단순 함수 에 대해 다음을 알 수 있다.

 

여기서 단순 함수에 대한 르베그 적분의 정의가 사용되었다. 이 관찰은 위에서 Type II 적분에 대해 이미 한 관찰과 유사하며, "Type II 기하학적 적분의 르베그 이론"을 (고전) 적분의 르베그 이론으로 완전히 환원할 수 있게 한다. 다시 말해, 및 와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 임의의 곱 적분 가능 함수 의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 증가하는 수열의 극한과 같으므로, 다음 관계가

 

임의의 곱 적분 가능 에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에 언급된 기하학적 적분의 속성을 일반화한다.

 같이 보기 
 하르 측도
 피카드 반복
 대체 미적분학의 미분 및 적분 목록
 부정곱
 로그 미분
 정렬된 지수
 프랙탈 미분

 각주 

 외부 링크 
 Non-Newtonian calculus website
 Richard Gill, Product Integration
 Richard Gill, Product Integral Symbol
 David Manura, Product Calculus
 Tyler Neylon, Easy bounds for n!
 An Introduction to Multigral (Product) and Dx-less Calculus
 Notes On the Lax equation
 Antonín Slavík, An introduction to product integration
 Antonín Slavík, Henstock–Kurzweil and McShane product integration

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분류:비뉴턴 미적분학