역합성곱

섬네일|right|리처드슨-루시 알고리즘을 사용하여 달 분화구 코페르니쿠스 이미지의 역합성곱 전후.

수학에서 역합성곱 또는 디컨볼루션(deconvolution)은 합성곱의 역함수이다. 두 연산 모두 신호 처리 및 영상 처리에 사용된다. 예를 들어, 특정 정확도로 역합성곱 방법을 사용하여 필터(합성곱) 후 원래 신호를 복구할 수 있다. 기록된 신호 또는 이미지의 측정 오류로 인해 신호 대 잡음비(SNR)가 나쁠수록 필터를 뒤집는 것이 더 나빠진다는 것을 알 수 있다. 따라서 필터를 뒤집는 것이 항상 좋은 해결책은 아닌데, 오류가 증폭되기 때문이다. 역합성곱은 이 문제에 대한 해결책을 제시한다.

역합성곱 및 시계열 분석의 기초는 매사추세츠 공과대학교의 노버트 위너가 저서 "정상 시계열의 외삽, 보간 및 스무딩"(1949)에서 주로 확립했다. 이 책은 위너가 제2차 세계 대전 동안 수행했지만 당시에는 기밀이었던 작업을 기반으로 했다. 이러한 이론을 적용하려는 초기 시도 중 일부는 일기예보 및 경제학 분야에서 이루어졌다.

 설명 
일반적으로 역합성곱의 목표는 다음과 같은 합성곱 방정식의 해 f를 찾는 것이다.

 

일반적으로 h는 기록된 신호이고, f는 우리가 복구하고자 하는 신호이지만, 기록하기 전에 필터 또는 왜곡 함수 g와 합성곱되었다. 일반적으로 h는 f의 왜곡된 버전이며, f의 모양은 눈으로 또는 더 간단한 시간 영역 연산으로 쉽게 인식할 수 없다. 함수 g는 장비의 임펄스 응답 또는 물리적 시스템에 적용된 구동력을 나타낸다. g를 알거나 적어도 g의 형태를 안다면, 결정론적 역합성곱을 수행할 수 있다. 그러나 g를 미리 알지 못한다면, g를 추정해야 한다. 이는 통계적 추정 방법 또는 전기 회로 방정식이나 확산 방정식과 같은 기본 시스템의 물리적 원리를 구축하여 수행할 수 있다.

측정 오류 및 역합성곱 매개변수 선택에 따라 몇 가지 역합성곱 기술이 있다.

 원시 역합성곱 

측정 오류가 매우 낮을 때(이상적인 경우), 역합성곱은 필터 뒤집기로 축소된다. 이러한 종류의 역합성곱은 라플라스 영역에서 수행할 수 있다. 기록된 신호 h와 시스템 응답 함수 g의 푸리에 변환을 계산하여 H와 G를 얻고, G는 전달 함수이다. 합성곱 정리를 사용하면,

 

여기서 F는 f의 추정된 푸리에 변환이다. 마지막으로 함수 F의 역 푸리에 변환을 취하여 추정된 역합성곱 신호 f를 찾는다. G는 분모에 있으며, 존재하는 경우 오류 모델의 요소를 증폭시킬 수 있다는 점에 유의하라.

 노이즈가 있는 역합성곱 

물리적 측정에서는 상황이 보통 다음과 비슷하다.

 

이 경우 ε는 기록된 신호에 유입된 노이즈이다. 노이즈가 있는 신호 또는 이미지가 노이즈가 없다고 가정하면 g의 통계적 추정은 부정확할 것이다. 차례로 ƒ의 추정도 부정확할 것이다. 신호 대 잡음비가 낮을수록 역합성곱된 신호의 추정은 더 나빠질 것이다. 이것이 신호를 역필터링하는 것(위의 "원시 역합성곱"에서처럼)이 보통 좋은 해결책이 아닌 이유이다. 그러나 데이터에 있는 노이즈 유형에 대한 지식(예: 백색 잡음)이 최소한 일부 존재한다면, 위너 역합성곱과 같은 기술을 통해 ƒ의 추정을 개선할 수 있다.

 응용 

 지진학 

역합성곱의 개념은 반사파 지진학에서 초기에 적용되었다. 1950년, 엔더스 로빈슨은 MIT의 대학원생이었다. 그는 노버트 위너, 노먼 레빈슨, 경제학자 폴 새뮤얼슨과 같은 MIT의 다른 사람들과 함께 반사 지진계의 "합성곱 모델"을 개발했다. 이 모델은 기록된 지진계 s(t)가 지구 반사율 함수 e(t)와 포인트 소스에서 오는 지진 웨이블릿 w(t)의 합성곱이라고 가정하며, t는 기록 시간을 나타낸다. 따라서 우리의 합성곱 방정식은

지진학자는 지구 구조에 대한 정보를 포함하는 e에 관심이 있다. 합성곱 정리에 의해 이 방정식은

 

로 푸리에 변환될 수 있으며, 여기서 는 주파수 변수이다. 반사율이 백색이라고 가정하면, 반사율의 파워 스펙트럼이 일정하고 지진계의 파워 스펙트럼이 웨이블릿의 스펙트럼에 그 상수를 곱한 값이라고 가정할 수 있다. 따라서,

 

웨이블릿이 최소 위상이라고 가정하면, 방금 찾은 파워 스펙트럼의 최소 위상 등가물을 계산하여 웨이블릿을 복구할 수 있다. 반사율은 추정된 웨이블릿을 디랙 델타 함수(즉, 스파이크)로 형성하는 위너 필터를 설계하고 적용하여 복구할 수 있다. 결과는 일련의 스케일링된, 시프트된 델타 함수로 볼 수 있다(비록 수학적으로 엄밀하지는 않지만).

 

여기서 N은 반사 이벤트의 수, 는 반사 계수, 는 각 이벤트의 반사 시간, 는 디랙 델타 함수이다.

실제로, 우리는 노이즈가 많고, 유한한 대역폭, 유한한 길이, 이산적으로 표본화된 데이터셋을 다루고 있기 때문에 위의 절차는 데이터를 역합성곱하는 데 필요한 필터의 근사치만을 제공한다. 그러나 문제를 퇴플리츠 행렬의 해로 공식화하고 레빈슨 재귀 알고리즘을 사용함으로써, 가능한 가장 작은 평균 제곱 오차를 가진 필터를 비교적 빠르게 추정할 수 있다. 또한 주파수 영역에서 직접 역합성곱을 수행하여 유사한 결과를 얻을 수 있다. 이 기술은 선형 예측과 밀접하게 관련되어 있다.

 광학 및 기타 이미징 
섬네일|245x245px|역합성곱된 현미경 이미지의 예.
광학 및 이미징에서 "역합성곱"이라는 용어는 특히 광학 현미경, 전자 현미경, 망원경 또는 기타 이미징 기기에서 발생하는 광학 왜곡을 되돌려 더 선명한 이미지를 생성하는 과정을 의미하는 데 사용된다. 이는 일반적으로 소프트웨어 알고리즘을 통해 디지털 영역에서 현미경 이미지 처리 기술 세트의 일부로 수행된다. 역합성곱은 캡처 중 빠른 움직임이나 흔들림으로 인해 손상된 이미지를 선명하게 하는 데에도 실용적이다. 초기 허블 우주망원경 이미지는 결함 있는 거울로 인해 왜곡되었으며 역합성곱으로 선명하게 처리되었다.

일반적인 방법은 기기를 통과하는 광학 경로가 광학적으로 완벽하며, 점 확산 함수(PSF), 즉 빛(또는 기타 파동)의 이론적 포인트 소스가 기기를 통과하는 경로를 설명하는 수학 함수와 합성곱된다고 가정하는 것이다. 일반적으로 이러한 포인트 소스는 최종 이미지에 작은 흐릿한 영역을 기여한다. 이 함수를 결정할 수 있다면, 그것의 역함수 또는 보완 함수를 계산하고 획득한 이미지를 그것과 합성곱하는 문제가 된다. 그 결과는 원래의 왜곡되지 않은 이미지이다.

실제로, 진정한 PSF를 찾는 것은 불가능하며, 일반적으로 이론적으로 계산되거나 알려진 프로브를 사용하여 일부 실험적 추정을 기반으로 한 근사치가 사용된다. 실제 광학 장치는 다른 초점 및 공간 위치에서 다른 PSF를 가질 수도 있으며, PSF는 비선형적일 수 있다. PSF 근사치의 정확도는 최종 결과를 결정할 것이다. 더 나은 결과를 제공하기 위해 다양한 알고리즘을 사용할 수 있지만, 계산량이 더 많아진다. 원래 합성곱은 데이터를 버리기 때문에 일부 알고리즘은 손실된 정보의 일부를 보충하기 위해 인근 초점에서 획득한 추가 데이터를 사용한다. 정칙화는 반복 알고리즘(예: 기대-최대화 알고리즘)에서 비현실적인 해를 피하기 위해 적용될 수 있다.

PSF를 알 수 없을 때, 다른 가능한 PSF를 체계적으로 시도하고 이미지가 개선되었는지 평가하여 PSF를 추론할 수 있다. 이 절차를 블라인드 역합성곱이라고 한다. 블라인드 역합성곱은 사진 찍힌 물체의 점 특성이 PSF를 노출시켜 더 실현 가능하게 만드는 천문학에서 잘 확립된 이미지 복원 기술이다. 또한 형광 현미경 검사에서 이미지 복원을 위해, 그리고 형광 스펙트럼 이미징에서 여러 알 수 없는 형광염료의 스펙트럼 분리를 위해 사용된다. 이 목적을 위한 가장 일반적인 반복 알고리즘은 리처드슨-루시 역합성곱 알고리즘이다. 위너 역합성곱(및 근사치)은 가장 일반적인 비반복 알고리즘이다.
섬네일|316x316px|고해상도 테라헤르츠 이미지는 테라헤르츠 이미지와 수학적으로 모델링된 테라헤르츠 PSF의 역합성곱을 통해 얻어진다. (a) 향상 전 집적 회로(IC)의 테라헤르츠 이미지; (b) 수학적으로 모델링된 테라헤르츠 PSF; (c) (a)에 표시된 테라헤르츠 이미지와 (b)에 표시된 PSF의 역합성곱 결과로 얻어진 고해상도 테라헤르츠 이미지; (d) 고해상도 X선 이미지는 측정값의 정확성을 확인한다.
레이저 펄스 테라헤르츠 시스템과 같은 특정 이미징 시스템의 경우 PSF를 수학적으로 모델링할 수 있다. 결과적으로 그림에 표시된 대로 모델링된 PSF와 테라헤르츠 이미지의 역합성곱은 테라헤르츠 이미지의 고해상도 표현을 제공할 수 있다.

 전파천문학 
특정 종류의 전파천문학인 전파 간섭계에서 이미지 합성을 수행할 때, 한 단계는 생성된 이미지를 "더티 빔"(점 확산 함수의 다른 이름)으로 역합성곱하는 것이다. 일반적으로 사용되는 방법은 CLEAN 알고리즘이다.

 생물학, 생리학 및 의료 기기 
역합성곱의 일반적인 용도는 추적자 동력학이다. 예를 들어, 혈액 내 호르몬 농도를 측정할 때, 역합성곱을 통해 그 분비율을 추정할 수 있다. 또 다른 예는 측정된 간질 포도당으로부터 혈당 농도를 추정하는 것인데, 이는 실제 혈당의 시간 및 진폭 왜곡된 버전이다.

 흡수 스펙트럼 
역합성곱은 흡수분광학에 광범위하게 적용되었다. 반 시테르트 알고리즘(독일어 문서)을 사용할 수 있다.

 푸리에 변환 측면 
역합성곱은 푸리에 변환 공동 영역에서의 나눗셈에 매핑된다. 이를 통해 푸리에 변환의 영향을 받는 실험 데이터에 역합성곱을 쉽게 적용할 수 있다. 한 예는 NMR 분광법으로, 데이터는 시간 영역에서 기록되지만 주파수 영역에서 분석된다. 시간 영역 데이터를 지수 함수로 나누는 것은 주파수 영역에서 로렌츠 선의 폭을 줄이는 효과가 있다.

 같이 보기 
 합성곱
 비트 플레인
 디지털 필터
 필터 (신호 처리)
 필터 설계
 최소 위상
 독립 성분 분석
 위너 역합성곱
 리처드슨-루시 역합성곱
 디지털 룸 보정
 자유 역합성곱
 점 확산 함수
 디블러링
 언샤프 마스킹

 각주 

분류:신호 처리
분류:영상 처리