범함수 미분

변분법에서 수학적 해석 분야의 범함수 미분(Functional derivative) 또는 변분 미분은 범함수 (이 의미에서 범함수는 함수에 작용하는 함수이다)의 변화를 범함수가 의존하는 함수의 변화와 관련시킨다.

변분법에서 범함수는 일반적으로 함수, 그 인수, 그리고 미분의 적분으로 표현된다. 범함수의 피적분 함수 에서 함수 가 임의로 작은 다른 함수 를 더함으로써 변화하고, 결과 피적분 함수가 의 거듭제곱으로 전개될 때, 1차 항에서 의 계수를 범함수 미분이라고 한다.

예를 들어, 다음 범함수를 고려한다.

여기서 이다. 만약 가 함수 를 더함으로써 변화하고, 결과 피적분 함수 가 의 거듭제곱으로 전개되면, 값의 1차 에 대한 변화는 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 도함수의 변화, 는 변화의 도함수 로 다시 작성되었고, 이러한 도함수에는 부분 적분이 사용되었다.

정의

이 절에서는 범함수 미분 (또는 변분 또는 1차 변분)이 정의된다. 그런 다음 범함수 미분은 범함수 미분의 관점에서 정의된다.

범함수 미분

가 바나흐 공간이고 가 에 정의된 범함수라고 가정한다.
 지점에서 의 미분은 에 대한 선형 범함수 이며, 모든 에 대해 다음 조건에 의해 정의된다.

여기서 는 에 의존하는 실수이며, 일 때 이 된다. 이는 가 에서의 의 프레셰 도함수임을 의미한다.

그러나 이 범함수 미분의 개념은 너무 강력하여 존재하지 않을 수 있으며, 이러한 경우에는 가토 도함수와 같은 더 약한 개념이 선호된다. 많은 실제적인 경우에 범함수 미분은 방향도함수로 정의된다.

이 범함수 미분 개념은 심지어 노름 없이도 정의될 수 있다는 점에 유의한다.

더 일반적인 경우에 의 정의역으로 나타나는 함수 공간 는 벡터 공간이 아니므로,
 형태의 변분은 의미가 없다.
이 경우, 의 변분 는 인 -함수족으로 간주한다.
이러한 모든 변분들의 공간을 라고 하면, 범함수 미분 은 다음 범함수이다.

여기서 이다. 위 식은 의 특수한 경우가 된다.

범함수 도함수

많은 응용 분야에서 범함수 의 정의역은 어떤 공간 에 정의된 미분 가능한 함수 의 공간이며, 는 다음과 같은 형태를 가진다.

어떤 함수 는 , 값 및 도함수 에 의존할 수 있다.
이 경우에 더하여 를 에 다른 함수(로 표기)를 곱한 적분으로 표현할 수 있다면

이 함수 를 에서의 의 범함수 도함수라고 부른다. 만약 가 특정 함수 로만 제한된다면 (예를 들어, 일부 경계 조건이 부과되는 경우), 는 가 이러한 조건을 계속 만족하는 함수로 제한된다.

직관적으로 는 의 변화이므로, '형식적으로' 라고 할 수 있으며, 그러면 이것은 함수 의 전미분과 유사한 형태를 가진다.

여기서 은 독립 변수이다.
위 두 방정식을 비교하면, 범함수 미분 는 편미분 와 비슷한 역할을 하는데, 여기서 적분 변수 는 합 인덱스 의 연속적인 버전과 같다. 를 지점에서의 의 기울기로 생각하며, 따라서 값은 함수 가 지점에서 변경될 때 범함수 가 얼마나 변경될지를 측정한다. 따라서 공식

는 방향으로의 지점에서의 방향도함수로 간주된다. 이는 벡터 와 그래디언트의 내적이 방향으로의 방향도함수를 제공하는 벡터 미적분학과 유사하다.

속성
함수의 도함수와 마찬가지로, 범함수 도함수는 다음 속성을 만족한다. 여기서 와 는 범함수이다.
 선형성: 여기서 는 상수이다.
 곱의 법칙: 
 연쇄 법칙:
가 범함수이고 가 다른 범함수인 경우: 
가 보통 미분 가능한 함수(국소 범함수) 인 경우, 다음으로 축소된다. 

범함수 도함수 결정
일반적인 범함수 클래스에 대한 범함수 도함수를 결정하는 공식은 함수와 그 도함수의 적분으로 작성될 수 있다. 이것은 오일러-라그랑주 방정식의 일반화이다. 실제로, 범함수 도함수는 라그랑주 역학에서 최소 작용 원리로부터 제2종 라그랑주 방정식을 유도하는 과정에서 물리학에 도입되었다 (18세기). 아래 처음 세 예시는 밀도범함수 이론 (20세기)에서 가져왔고, 네 번째 예시는 통계역학 (19세기)에서 가져왔다.

공식
주어진 범함수

및 적분 영역의 경계에서 사라지는 함수 에 대해 이전 섹션 정의에 따라,

두 번째 줄은 전미분을 사용하여 얻었으며, 여기서 는 벡터에 대한 스칼라 미분이다.

세 번째 줄은 발산에 대한 곱의 법칙을 사용하여 얻었다. 네 번째 줄은 발산 정리와 적분 영역의 경계에서 이라는 조건을 사용하여 얻었다. 도 임의의 함수이므로, 마지막 줄에 변분법의 기본 정리를 적용하면 범함수 미분은 다음과 같다.

여기서 이고 이다. 이 공식은 이 섹션의 시작 부분에 주어진 형태의 범함수에 대한 것이다. 다른 범함수 형태의 경우, 범함수 미분의 정의를 그 결정의 시작점으로 사용할 수 있다. (예시 쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수 참조).

범함수 미분에 대한 위의 방정식은 더 높은 차원과 더 높은 차수 도함수를 포함하는 경우로 일반화될 수 있다. 범함수는 다음과 같다.

여기서 벡터 이고, 는 개의 성분이 차 편미분 연산자인 텐서이다.

범함수 미분 정의의 유사한 적용은 다음과 같다.

마지막 두 방정식에서 텐서 의 개 성분은 ρ의 편미분에 대한 의 편미분이다.

여기서 이고 텐서 스칼라 곱은 다음과 같다.

예시

토머스-페르미 운동 에너지 범함수
1927년 토머스-페르미 모델은 밀도범함수 이론 전자 구조의 첫 시도에서 비상호작용 균일 전자 기체에 대한 운동 에너지 범함수를 사용했다.

의 피적분 함수는 의 도함수를 포함하지 않으므로, 의 범함수 도함수는 다음과 같다.

쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수
전자-핵 퍼텐셜 에너지는 다음과 같다.

범함수 미분 정의를 적용하면,

따라서,

전자-전자 상호작용의 고전적 부분(종종 하트리 에너지라고 불림)의 범함수 도함수는 다음과 같다.

범함수 도함수의 정의로부터,

마지막 방정식의 우변 첫 번째 항과 두 번째 항은 같다. 두 번째 항에서 과 를 교환해도 적분 값은 변하지 않기 때문이다. 따라서,

그리고 전자-전자 쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수 [ρ]의 범함수 도함수는 다음과 같다.

2차 범함수 도함수는 다음과 같다.

폰 바이츠제커 운동 에너지 범함수
1935년 폰 바이츠제커는 분자 전자 구름에 더 적합하도록 토머스-페르미 운동 에너지 범함수에 기울기 보정을 추가할 것을 제안했다.

여기서

이전에 유도된 공식을 사용하여 범함수 미분은 다음과 같다.

그 결과는 다음과 같다.

엔트로피
이산 확률 변수의 엔트로피는 확률 질량 함수의 범함수이다.

따라서,

따라서,

 지수 함수 

다음과 같이 둔다.

델타 함수를 시험 함수로 사용하면,

따라서,

이것은 양자장론에서 분배 함수로부터 상관 함수를 계산하는 데 특히 유용하다.

함수의 범함수 도함수
함수는 범함수처럼 적분 형태로 작성될 수 있다. 예를 들어,

피적분 함수가 ρ의 도함수에 의존하지 않으므로, ρ의 범함수 도함수는 다음과 같다.

 반복 함수의 범함수 도함수 
반복 함수 의 범함수 도함수는 다음과 같다.

그리고

일반적으로:

을 대입하면 다음이 나온다.

델타 함수를 시험 함수로 사용하기
물리학에서 일반적인 시험 함수 대신 디랙 델타 함수 를 사용하여 지점에서의 범함수 도함수를 구하는 것이 일반적이다 (이것은 편미분이 기울기의 구성 요소인 것과 같이 전체 범함수 도함수의 한 지점이다).

이는 가 형식적으로 의 급수(또는 적어도 1차까지)로 확장될 수 있는 경우에 작동한다. 그러나 이 공식은 가 일반적으로 정의되지 않기 때문에 수학적으로 엄밀하지 않다.

이전 섹션에서 주어진 정의는 모든 시험 함수 에 대해 성립하는 관계를 기반으로 하므로, 델타 함수와 같은 특정 함수로 를 선택할 때도 성립해야 한다고 생각할 수 있다. 그러나 후자는 유효한 시험 함수가 아니다 (심지어 적절한 함수도 아니다).

정의에서 범함수 도함수는 전체 함수 의 작은 변화의 결과로 범함수 가 어떻게 변하는지 설명한다. 의 변화의 특정 형태는 지정되지 않지만, 가 정의된 전체 구간에 걸쳐 확장되어야 한다. 델타 함수로 주어진 섭동의 특정 형태를 사용하는 것은 가 지점에서만 변한다는 의미를 가진다. 이 지점을 제외하고는 에 변화가 없다.

내용주

 각주 

참고 문헌
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 외부 링크 
 

분류:미분 연산자
분류:변분법
분류:미분학
분류:위상 벡터 공간
분류:변분해석학