크기 제한 공리

섬네일|존 폰 노이만
집합론에서 크기 제한 공리()는 존 폰 노이만이 1925년에 제안한 공리이다. 어떤 모임은 집합이 되기에는 너무 크다고 정함으로써 이전의 집합론이 지녔던 역설들을 회피하는 크기 제한 원칙을 형식화한 것이다. 폰 노이만은 지나치게 큰 모임이 다른 모임의 원소가 되도록 허용하는 데서 집합론의 역설들이 발생한다는 사실을 깨달았다. 다른 모임의 원소인 모임은 집합이고, 그렇지 않은 모임은 진모임이다. 모든 모임은 모든 집합의 모임인 전체모임 의 부분모임이다. 크기 제한 공리에 따르면, 어느 모임이 집합일 필요충분조건은 크기가 보다 작을 것이다. 즉, 그 모임에서 로 가는 전사 함수가 없을 것이다. 일반적으로 크기 제한 공리는 이와 동치인 다음의 형태로 서술된다. 어느 모임이 진모임일 필요충분조건은 그 모임에서 로 가는 전사 함수가 존재할 것이다.

폰 노이만이 제안한 이 공리는 치환 공리, 분류 공리, 합집합 공리, 대역적 선택 공리를 함의한다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)과 모스-켈리 집합론(MK)에서 크기 제한 공리는 치환 공리, 합집합 공리, 대역적 선택 공리를 합친 것과 동치이다. 파울 베르나이스, 쿠르트 괴델, 존 리로이 켈리 등 이후의 집합론자들은 폰 노이만의 공리를 사용하기보다는 치환 공리, 합집합 공리, 그리고 대역적 선택 공리와 동치인 선택 공리의 일종을 사용했다. 1930년에 에른스트 체르멜로는 크기 제한 공리를 만족하는 집합론의 모형들을 정의했다.

아브라함 프렝켈과 아즈리엘 레비는 크기 제한 공리가 멱집합 공리를 함의하지 않기 때문에 집합론의 모든 '크기 제한 원칙'을 담고 있지는 않다고 평가했다. 마이클 핼릿은 크기 제한 원칙이 멱집합 공리를 정당화하지는 않으며, "[멱집합의 작음에 대한] 폰 노이만의 명시적인 가정이 멱집합의 작음에 대한 체르멜로, 프렝켈, 레비의 알아보기 힘들게 숨겨진 암묵적인 가정보다 바람직해 보인다"고 주장했다.

 정의 
크기 제한 공리의 일반적인 형태, 즉 어느 모임이 진모임이라는 것은 그 모임에서 로 가는 전사 함수가 존재한다는 것과 동치라는 명제는 집합론의 형식 언어로 다음과 같이 표현된다.

괴델은 대문자 변수는 모든 모임을 그 범위로 하고, 소문자 변수는 모든 집합을 그 범위로 하는 표기법을 도입했다. 여기에 따르면

 대신 처럼 적을 수 있고,
 대신 처럼 적을 수 있다.

괴델의 표기법을 따르면 크기 제한 공리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 함의 
폰 노이만은 크기 제한 공리가 가 함수이고 가 집합이면 도 집합이라는 치환 공리를 함의한다는 사실을 증명했다. 이는 귀류법으로 보일 수 있다. 가 함수이고 가 집합이라 하자. 가 진모임이라 가정하면, 에서 로 가는 전사 함수 가 존재한다. 합성 함수 는 에서 로 가는 전사 함수이므로, 크기 제한 공리에 따라 는 진모임이다. 이는 가 집합이라는 가정에 모순이다. 따라서 는 집합이어야 한다. 치환 공리는 분류 공리를 함의하므로, 크기 제한 공리는 분류 공리도 함의한다.

폰 노이만은 자신의 공리가 위의 정렬순서의 존재를 함의한다는 사실도 증명했다. 이 증명은 귀류법으로 모든 순서수의 모임인 가 진모임임을 보이는 데서 출발한다. 가 집합이라 가정하자. 그러면 는 포함관계 에 의해 비반사 정렬된 추이적 집합이므로 그 자체로 순서수이다. 따라서 여야 하지만, 이는 이 비반사 순서라는 것과 모순이다. 그러므로 는 진모임이다. 따라서 크기 제한 공리에 따라 에서 로 가는 전사 함수 가 존재한다. 위의 정렬순서를 정의하기 위해, 의 부분모임 를 다음과 같이 정의하자. 모든 순서쌍 에 대해, 는 를 만족하는 가장 작은 순서수이다. 즉, 이다. 함수 는 의 부분모임과 사이의 일대일 대응이다. 따라서 이면 라 하면 위의 정렬순서가 된다. 이 정렬순서는 대역적 선택 함수를 정의한다. 공집합 아닌 집합 에 대해 를 의 최소 원소라 정의하자. 이므로 이 함수는 공집합 아닌 모든 집합 에서 한 원소를 선택한다. 따라서 는 대역적 선택 함수이므로, 크기 제한 공리는 대역적 선택 공리도 함의한다.

1968년에 아즈리엘 레비는 폰 노이만의 공리가 합집합 공리를 함의함을 증명했다. 그는 먼저 합집합 공리를 사용하지 않고 임의의 순서수의 집합은 상계를 가짐을 보였고, 다음으로 에서 로 가는 전사 함수를 사용하여 가 집합이면 도 집합임을 보였다.

치환 공리, 대역적 선택 공리, 합집합 공리는 (NBG의 다른 공리들과 함께) 크기 제한 공리를 함의한다. 따라서 크기 제한 공리는 NBG나 모스-켈리 집합론에서 치환 공리, 대역적 선택 공리, 합집합 공리를 합친 것과 동치이다. 폰 노이만의 공리계는 합집합 공리를 포함하고 있었기 때문에 이들 이론은 크기 제한 공리를 치환 공리와 선택 공리의 일종만으로 대신했다. 크기 제한 공리가 있다면 합집합 공리는 잉여적이라는 레비의 증명은 훨씬 뒤에야 나왔다.

NBG에서 대역적 선택 공리를 보통의 선택 공리로 바꾼 공리계는 크기 제한 공리를 함의하지 않는다. 1964년에 윌리엄 B. 이스턴은 강제법을 사용해 대역적 선택 공리를 보통의 선택 공리로 바꾼 NBG의 모형을 만들었다. 이스턴의 모형에서 에는 전순서를 줄 수 없고, 따라서 정렬순서도 줄 수 없다. 그러므로 이 모형에서 대역적 선택 공리는 성립하지 못한다. 이 모형에서 는 그에서 로 가는 전사 함수가 존재하지 않는 진모임의 한 예시가 된다. 그런 함수가 존재한다면 는 정렬 가능하기 때문이다.

NBG에서 치환 공리를 그보다 약한 분류 공리로 바꾼 공리계는 크기 제한 공리를 함의하지 않는다. 를 번째 무한 초기 순서수라 하자. 이는 기수 와 같다. 번호는 0에서 시작하므로 이다. 1939년에 괴델은 구성 가능 전체의 부분집합인 가 치환 공리를 분류 공리로 바꾼 ZFC의 모형임을 지적했다. 이를 치환 공리를 분류 공리로 바꾼 NBG의 모형으로 확장하기 위해서, 이 모형의 모임들을 의 구성 가능한 부분집합들인 의 집합들이라 하자. 이 모형은 NBG의 모임 존재 공리들을 만족하는데, 왜냐하면 이 공리들의 집합 변수들을 에 제한하면 치환 공리의 사례들이 되고, 이는 에서 성립하기 때문이다. 이 모형은 대역적 선택 공리를 만족하는데, 왜냐하면 에는 에서 로 가는 전사 함수가 있고, 이는 가 정렬집합임을 함의하기 때문이다. 그러나 크기 제한 공리는 만족하지 않는데, 왜냐하면 크기가 인 진모임 에서 크기가 인 로 가는 전사 함수는 존재할 수 없기 때문이다.

폰 노이만은 1923년에 체르멜로에게 보낸 편지에서, "어느 모임이 진모임일 필요충분조건은 그 모임과 사이의 일대일 대응이 존재할 것이다"라는 크기 제한 공리의 최초 형태를 제시했다. 크기 제한 공리는 폰 노이만의 1923년 공리를 함의한다. 즉, 크기 제한 공리는 모든 진모임이 와 대등함을 함의한다.

 가 모임이고 가 와 사이의 일대일 대응이라 하자. 는 에서 로 가는 전사 함수이므로, 크기 제한 공리에 따라 는 진모임이다.

 가 진모임이라 하자. 정렬 순서 와 를 정의하고, , 와 사이의 순서 동형사상을 구성하고자 한다. 그러면 에서 로 가는 순서 동형사상은 와 사이의 일대일 대응이 되어 증명이 끝난다.

크기 제한 공리는 에서 로 가는 전사 함수 의 존재를 함의함은 위에서 보였다. 또, 의 부분모임으로서 와 사이의 일대일 대응 도 정의하였다. 이면 라 하면 위의 정렬순서가 된다. 따라서 는 와 사이의 순서 동형사상이다.

정렬 모임 와 에 대해, 를 의 앞절편이라 한다. 는 그 앞절편이 모두 집합이라는 성질을 지닌다. 이므로, 도 같은 성질을 지닌다. 는 순서 동형사상이므로, 도 같은 성질을 지닌다. 이므로, 도 같은 성질을 지닌다.

와 사이의 순서 동형사상을 얻기 위해 다음 정리를 사용한다. 가 진모임이고 의 모든 앞절편이 집합이면, 와 사이의 순서 동형사상이 존재한다. 와 는 이 정리의 전제를 만족하므로, 순서 동형사상 와 가 존재한다. 따라서, 순서 동형사상 은 와 사이의 일대일 대응이다.

 체르멜로의 모형 
섬네일|1900년대의 에른스트 체르멜로
1930년 체르멜로는 집합론의 모형에 관한 논문에서 자신의 모형들 중 일부가 크기 제한 공리를 만족함을 보였다. ZFC에서 이 모형들은 초한 재귀로 정의되는 누적 위계 를 사용해 만들어진다.

 
 즉, 와 그 멱집합의 합집합이다.
 극한 순서수 에 대해, 즉, 는 그 앞의 모든 의 합집합이다.

체르멜로는 가 기수일 때 꼴의 모형들을 탐구했다. 이런 모형에서 모임은 의 부분집합들이고, ∈-관계는 표준적인 ∈-관계이다. 집합들은 를 만족하는 모임 들이다. 체르멜로는 가 다음의 성질을 만족하는 기수 들이 무엇인지 알아냈다.

 정리 1. 모임 가 집합임은 와 동치이다.
 정리 2. 

모든 모임은 의 부분집합이므로, 정리 2는 모든 모임의 크기가 이하임을 함의한다. 이를 정리 1과 결합하면 모든 진모임의 크기가 임을 알 수 있다. 따라서 모든 진모임은 와 일대일 대응을 이룬다. 이 일대일 대응은 의 부분집합이므로, 이 모형에 속한 모임이다. 따라서 모형 는 크기 제한 공리를 만족한다.

가 정렬 가능함은 직접 증명할 수 있다. 순서수 의 크기는 이고 이므로, 와 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이 일대일 대응은 위의 정렬순서를 준다. 폰 노이만은 간접적인 증명을 제시했다. 부랄리포르티 역설에 따라 모든 순서수의 모임은 진모임이다. 따라서 크기 제한 공리에 의해 모든 순서수의 모임에서 모든 집합의 모임으로 가는 전사 함수가 존재한다. 이 함수는 위의 정렬순서를 준다.

 모형 Vω 
어떤 에 대해 정리 1과 2가 성립함을 보이기 위해, 먼저 어떤 집합이 에 속한다면 그 뒤의 모든 에도 속함을 보인다. 즉, 이면 임을 보인다. 이는 에 대한 초한 귀납법으로 증명할 수 있다.
 인 경우: 
 의 경우: 귀납 가설에 의해 이다. 따라서 이다.
 가 극한 순서수인 경우: 이면, 이다.
다음과 같이 정의하자.
 집합 의 계수 는 를 만족하는 가장 작은 순서수 이다.
 순서수들의 집합 의 상한 는 모든 에 대해 를 만족하는 가장 작은 순서수 이다.

체르멜로의 가장 작은 모형은 이다. 모든 에 대해 이 유한집합임은 수학적 귀납법으로 보일 수 있다.
 
 이고, 귀납 가설에 의해 이는 유한하다.

정리 1의 증명: 가 집합이면 어떤 에 대해 이므로 이다. 은 유한집합이므로 도 유한집합이다. 역으로, 모임 가 유한하다 하고, 라 하자. 모든 에 대해 이므로, 이고, 따라서 이다.

정리 2의 증명: 는 크기가 증가하는 개의 유한집합의 합집합이므로 그 크기는 이다.

모형 의 집합들과 모임들은 무한 공리를 제외한 NBG의 모든 공리를 만족한다.

 κ가 도달 불가능한 기수인 경우의 모형 Vκ 
위에서 에 대해 정리 1과 2를 증명할 때 유한기수의 두 가지 성질을 이용했다.
 유한기수 에 대해 도 유한기수이다.
 순서수의 집합 에 대해, 만약 가 유한하고 모든 가 유한하면, 는 유한하다.
여기서 "유한"을 "보다 작은"으로 바꾸면 도달 불가능한 기수를 정의하는 성질들을 얻는다. 기수 가 도달 불가능한 기수라는 것은 다음을 의미한다.
 기수 에 대해 이다. (강극한 기수)
 순서수의 집합 에 대해, 만약 이고 모든 에 대해 이면, 이다. (정칙 기수)
이 성질들은 를 그보다 작은 기수들로부터 얻을 수 없음을 의미한다. 첫 번째 성질은 멱집합을 통해 를 얻을 수 없다는 뜻이고, 두 번째 성질은 치환 공리를 통해 를 얻을 수 없다는 뜻이다. ω의 존재를 보장하기 위해 무한 공리가 필요한 것처럼, 도달 불가능한 기수의 존재를 보장하기 위해서는 새로운 공리가 필요하다. 체르멜로는 도달 불가능한 기수들의 증가하는 무한 수열이 존재한다고 가정했다.

가 도달 불가능한 기수이면, 모든 에 대해 임을 초한 귀납법으로 보일 수 있다.
 인 경우: 
 의 경우: 
 가 극한 순서수인 경우: 

정리 1의 증명: 가 모형 속의 집합이면, 어떤 에 대해 이므로, 이다. 이므로, 이다. 역으로, 모형 속의 모임 에 대해 라 하자. 라 정의하자. 는 도달 불가능한 기수이므로, 이고 모든 에 대해 이면 이다. 모든 에 대해 이므로, 이고, 따라서 이다. 그러므로 이다.

정리 2의 증명: 이다. 이 상한을 라 하자. 위 상한에 속한 순서수 각각이 보다 작으므로, 이다. 여기서 라고 가정하자. 그러면 기수 가 존재하여 이다. 예컨대 가 이를 만족한다. 그러면 이고 도 위 상한에 속하므로, 이다. 이는 라는 데 모순이다. 그러므로 이다.

모형 속의 집합과 모임들은 NBG의 모든 공리를 만족한다.

 크기 제한 원칙 
크기 제한 원칙()은 집합론의 공리들을 정당화하는 데 쓰이는 느슨한 원리이다. 이 원칙은 (모순을 낳는) 무제한적 내포 공리꼴

을 "그것이 사용하는 집합들보다 '지나치게 더 큰' 집합들을 낳지 않는" 사례들에 제한함으로써 집합론의 역설들을 피한다.

"더 큰" 집합이라는 말이 기수로 나타낸 크기가 더 큰 집합이라는 뜻이라면, 대부분의 공리는 크기 제한 원칙으로 정당화할 수 있다. 분류 공리는 집합 보다 크지 않은 의 부분집합을 만든다. 치환 공리는 보다 크지 않은 의 상 를 만든다. 합집합 공리는 합해지는 집합 중 가장 큰 것의 크기와 합해지는 집합의 수를 곱한 것보다 크지 않은 집합을 만든다. 선택 공리는 주어진 공아닌 집합들의 집합보다 크지 않은 집합을 만든다.

크기 제한 원칙은 다음의 무한 공리를 정당화하지 않는다.

무한 공리는 공집합, 그리고 거기에 따름 순서수 연산을 거듭 적용해서 얻은 집합들을 사용한다. 이 집합들은 유한집합이므로, ω와 같이 무한 공리를 만족하는 집합은 이 집합들보다 훨씬 크다. 프렝켈과 레비는 분류 공리와 무한 공리에 의해 존재함이 보장되는 공집합과 자연수 집합을, 다른 집합을 생성하는 출발점으로 여겼다.

크기 제한에 대한 폰 노이만의 접근은 크기 제한 공리를 사용하는 것이었다. 위 #함의 문단에서 언급했듯이, 크기 제한 공리는 분리, 치환, 합집합, 선택 공리를 함의한다. 프렝켈과 레비와 마찬가지로 폰 노이만은 자신의 공리계에 무한 공리를 추가해야 했다. 다른 공리로부터 무한 공리를 증명할 수 없기 때문이다. 크기 제한에 대한 폰 노이만의 접근과 프렝켈과 레비의 접근에는 다음과 같은 차이가 있다.

 폰 노이만의 공리는 크기 제한 원칙을 공리계에 포함시켜, 대부분의 집합 존재 공리를 증명할 수 있게 한다.
 폰 노이만은 멱집합 공리를 다른 공리들로부터 증명할 수 없었기 때문에 자신의 공리계에 포함시켰다. 프렝켈과 레비는 크기 제한 원칙이 멱집합 공리를 정당화한다고 주장한다.

크기 제한 원칙이 멱집합 공리를 정당화하는지에 대해서는 의견이 나뉜다. 마이클 핼릿의 분석에 따르면, 프렝켈과 레비는 기수로 나타낸 크기 외에 다른 기준으로 크기를 논하기도 했다. 예를 들어 프렝켈은 "포괄성"()과 "확장성"()이라는 기준들을 도입했다. 핼릿은 집합론의 연구 결과들에 따르면 무한집합의 크기와 그 멱집합의 크기 사이에는 아무 관련이 없어 보인다는 점을 지적한다. 그렇다면 의 멱집합이 보다 '지나치게 더 큰' 집합이 아니라는 보장이 없으므로, 크기 제한 원칙으로 멱집합 공리를 정당화할 수 없게 된다. 기수로 잰 집합의 크기에 관하여 핼릿은 폴 코언의 연구를 언급한다. ZFC의 모형과 에서 출발하여, 코언은 의 공종도가 ω가 아니면 ω의 멱집합의 크기가 이고, 그렇지 않으면 ω의 멱집합의 크기가 인 모형을 만들었다. ω의 멱집합의 크기에는 상한이 없으므로 ω의 크기와 그 멱집합의 크기 사이에는 아무 관련이 없다.

또 핼릿은 "포괄성"을 기준으로 한 집합의 크기에 대하여 논한다. 이 기준에 따르면 "무제한적 내포"(unbounded comprehension) 또는 "무제한적 외연"(unlimited extent)을 갖는 모임은 "지나치게 큰" 모임이다. 그는 무한집합의 경우, 집합론적 우주(universe)의 무제한적 외연을 검토하지 않고서는 그 부분집합이 모두 존재하는지 확인할 수 없다는 점을 지적한다. 그는 또한 존 레인 벨과 모셰 마호베르의 다음 발언을 인용한다. "... 주어진 [무한]집합 u의 멱집합 P(u)의 크기는 u의 크기뿐만 아니라 우주 전체의 '풍부함'에도 비례한다..." 이러한 관찰 끝에 핼릿은 "우리는 무한한 집합 a의 크기(포괄성)와 P(a)의 크기 사이에는 단순히 아무런 관계도 없는 것이 아닌가 의심하게 된다"고 말한다.

핼릿은 집합론의 공리 대부분을 정당화할 수 있다는 점에서 크기 제한 원칙의 가치를 높이 평가한다. 그의 논지는 크기 제한 원칙이 무한 공리와 멱집합 공리를 정당화하지 못함을 주장할 뿐이다. 그는 "[멱집합의 작음에 대한] 폰 노이만의 명시적인 가정이 멱집합의 작음에 대한 체르멜로, 프렝켈, 레비의 알아보기 힘들게 숨겨진 암묵적인 가정보다 바람직해 보인다"고 결론짓는다.

 역사 
폰 노이만은 어떤 모임이 집합인지 확인하는 새로운 방법으로서 크기 제한 공리를 만들었다. ZFC는 집합 구성 공리들을 통해 어떤 모임이 집합인지를 확인한다. 그러나 아브라함 프렝켈이 지적했듯이 "Z[ZFC]의 공리들이 이론의 기초로 선택한 과정들이 가진 다소 임의적인 성격은 논리적인 주장보다는 집합론의 역사적 발전 과정에 의해 정당화되고 있다".

ZFC의 공리들의 역사적 발전은 1908년 체르멜로가 집합론의 역설들을 없애고 자신의 정렬 정리의 증명을 뒷받침하고자 공리들을 선택한 것에서 시작되었다. 1922년 아브라함 프렝켈과 토랄프 스콜렘은 체르멜로의 공리들이 집합 (단, 은 자연수 집합이고, 은 의 멱집합이다)의 존재를 증명할 수 없다고 지적했다. 그들은 이 집합의 존재를 보장할 수 있는 치환 공리를 도입했다. 그러나 필요한 공리가 있을 때마다 새로 추가하는 방식은 존재할 만한 모든 집합이 존재함을 보장하지 못하고, 안전하게 사용할 수 있는 집합들과 모순을 낳을 수 있는 모임들 사이의 차이를 명확히 설명해 주지 못한다.

1923년 체르멜로에게 보낸 편지에서 폰 노이만은 모순을 낳을 수 있는 "지나치게 큰" 집합들을 구별할 수 있는, 집합론에 대한 새로운 접근을 소개했다. 폰 노이만은 다음과 같은 기준에 따라 그러한 집합을 구별할 수 있다고 했다. "어느 집합이 '지나치게 크다'고 할 필요충분조건은 그것이 모든 것의 집합과 동등할 것이다." 그리고 그는 이러한 집합들의 쓰임새를 다음과 같이 제한했다. "... 역설을 피하기 위해 그런 '지나치게 큰' [집합]들은 원소가 될 수 없도록 정한다." 이러한 기준과 제한을 결합함으로써 폰 노이만은 크기 제한 공리의 최초 형태를 얻었다. 모임의 언어를 사용하면, 이는 '어느 모임이 진모임일 필요충분조건은 그것이 와 동등할 것이다'로 표현된다. 1925년 폰 노이만은 '와 동등할 것'을 '로 가는 전사 함수가 있을 것'으로 바꾸었다. 이렇게 수정함으로써 폰 노이만은 치환 공리를 간단히 증명할 수 있었다. 폰 노이만의 크기 제한 공리는 그로부터 로 가는 전사 함수가 없는 모임이 곧 집합이라고 말해 준다. 폰 노이만은 이 공리가 있다고 해도 자신의 집합론이 집합의 개념을 완전히 결정짓지는 못한다는 사실을 인식하고 있었다.

괴델은 폰 노이만의 공리를 "매우 흥미롭다"고 평가했다.

 "특히 나는 그[폰 노이만]가 제시한, 어떤 성질이 집합을 정의하기 위한 필요충분조건이 매우 흥미롭다고 생각하는데, 왜냐하면 그것이 공리적 집합론과 역설들 사이의 관계를 명확하게 해 주기 때문입니다. 이 조건이 정말로 문제의 본질에 가닿고 있다는 사실은 이전에 다른 존재론적 원리들과 사뭇 달라 보였던 선택 공리를 그것이 함의한다는 점에서 알 수 있습니다. 제가 보기에 이러한 관점을 통해 가능해지는 추론들은, 역설들과 맞닿아 있는 것인데, 아주 우아할 뿐 아니라 논리적 관점에서 매우 흥미롭습니다. 뿐만 아니라 나는 이 방향, 즉 구성주의의 반대 방향으로 나아가는 것만이 추상적 집합론의 기본적 문제들을 해결해 줄 수 있다고 믿습니다."

 내용주 

 참조주 

 참고 문헌 

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분류:집합론 공리