갈루아 이론의 기본 정리

수학에서 갈루아 이론의 기본 정리(Fundamental theorem of Galois theory)는 특정 유형의 체의 확대의 구조를 군과 관련하여 설명하는 결과이다. 이 정리는 에바리스트 갈루아가 갈루아 이론을 개발하면서 증명했다.

가장 기본적인 형태로, 이 정리는 유한 확대이며 갈루아 확대인 체의 확대 가 주어졌을 때, 중간 필드와 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응이 존재한다고 주장한다. (중간 필드는 를 만족하는 체 이며, 의 부분 확대라고도 불린다.)

대응의 명시적 설명
유한 확대의 경우, 대응은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다.
 의 모든 부분군 에 대해, 해당 고정체 는 의 모든 자기 동형 사상에 의해 고정되는 의 원소들의 집합이다.
 의 모든 중간 필드 에 대해, 해당 부분군은 이며, 이는 의 모든 원소를 고정하는 의 자기 동형 사상 집합이다.

기본 정리는 가 갈루아 확대일 때 (그리고 그 경우에만) 이 대응이 일대일 대응이라고 말한다.
예를 들어, 가장 상위 필드 는 의 자명군에 대응하고, 기본 필드 는 전체 군 에 대응한다.

 표기는 갈루아 확대에만 사용된다. 만약 가 갈루아라면, 이다. 만약 가 갈루아가 아니라면, "대응"은 에서 로의 단사 함수 (하지만 전사 함수는 아님)만 제공하며, 역방향으로는 전사 함수 (하지만 단사 함수는 아님)를 제공한다. 특히, 가 갈루아가 아니라면, 는 의 어떤 부분군의 고정체도 아니다.

대응의 속성
이 대응은 다음과 같은 유용한 속성을 가지고 있다.

 포함 관계를 반전시킨다. 부분군의 포함 관계 는 필드의 포함 관계 가 성립하는 경우에만 성립한다.
 확대의 차수는 포함 관계를 반전시키는 속성과 일관된 방식으로 군의 위수와 관련된다. 구체적으로, 가 의 부분군이라면, 이고 이다.
 필드 가 의 정규 확대 (또는, 분해 가능 확대의 부분 확대는 모두 분해 가능하므로, 갈루아 확대)가 되는 것은 가 의 정규 부분군인 경우에만 해당된다. 이 경우, 의 원소들을 로 제한하는 것은 와 몫군 사이에 군 동형 사상을 유도한다.

예시 1
섬네일|600px|의 부분 필드 격자 (왼쪽)와 의 부분군 격자 (역전)
필드

을 고려하자. 는 기본 필드 에 와 을 첨가하여 구성되었으므로, 의 각 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다:

갈루아 군 는 를 고정하는 의 자기 동형 사상들로 구성된다. 이러한 자기 동형 사상들은 모든 기약 다항식의 근을 순열하므로, 를 또는 로 보내고, 을 또는 로 보내야 한다. 가 와 를 교환한다고 가정하면,

이고, 가 와 을 교환하면,

이들은 의 덧셈과 곱셈을 존중하는 자기 동형 사상임이 분명하다. 각 원소를 고정하는 항등 자기 동형 사상 도 있으며, 와 의 합성으로 두 근호의 부호를 모두 바꾸는 자기 동형 사상이 있다:

갈루아 군의 위수는 체의 확대 차수와 같으므로, 이므로 더 이상의 자기 동형 사상은 있을 수 없다:

이것은 클라인 4원군과 동형이다. 이 군의 5개 부분군은 기본 필드 와 확대 사이의 중간 필드에 대응한다.
 자명 부분군 은 전체 확대 필드 에 대응한다.
 전체 군 는 기본 필드 에 대응한다.
 부분군 는 가 을 고정하므로 부분 필드 에 대응한다.
 부분군 는 가 를 고정하므로 부분 필드 에 대응한다.
 부분군 는 가 을 고정하므로 부분 필드 에 대응한다.

예시 2
섬네일|450px|의 부분 필드 격자 (왼쪽)와 의 부분군 격자 (역전)
다음은 갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 간단한 경우이다.

 상의 기약 다항식 의 분해체 K를 고려하자. 즉, 이며, 여기서 θ는 2의 세제곱근이고, ω는 1의 세제곱근 (그러나 1 자체는 아님)이다. K를 복소수 안에서 고려하면, 는 2의 실수 세제곱근이고, 로 취할 수 있다. ω의 최소 다항식은 이므로, 확대 의 차수는 다음과 같다:

이전 예시와 같이 -기저 를 가진다. 따라서 갈루아 군 는 6개의 원소를 가지며, 의 세 근의 모든 순열에 의해 결정된다:

그러한 순열은 3! = 6개만 존재하므로, G는 세 객체의 모든 순열의 대칭군 (군론)과 동형이어야 한다. 이 군은 다음으로 정의되는 두 자기 동형 사상 f와 g에 의해 생성될 수 있다:

그리고 이며, 관계 을 따른다. 의 순열로서의 효과는 (순환 표기법으로): 이다. 또한, g는 복소수 켤레 매핑으로 간주될 수 있다.

G의 부분군과 해당하는 부분 필드는 다음과 같다:

 항상 그렇듯이, 자명군 {1}은 전체 필드 K에 대응하고, 전체 군 G는 기본 필드 에 대응한다.

 위수 3의 유일한 부분군 는 차수 2의 부분 필드 에 대응한다. 이는 이 부분군의 G에서의 부분군의 지표가 2이기 때문이다. 즉, . 또한, 이 부분군은 정규 부분군이므로, 이 부분 필드는 에 대한 정규 확대이며, 의 분해체이다. 기본 필드에 대한 그 갈루아 군은 몫군 이며, 여기서 [g]는 H를 법으로 하는 g의 잉여류를 나타낸다. 즉, 유일한 비자명 자기 동형 사상은 복소수 켤레 g이다.

 위수 2의 부분군이 세 개 있다: , . 이들은 각각 부분 필드 에 대응한다. 이 부분 필드들은 G에서 부분군의 지표가 3이므로 에 대한 차수가 3이다. 이 부분군들은 G에서 정규가 아니므로, 이 부분 필드들은 에 대한 갈루아 또는 정규가 아니다. 사실, 각 부분 필드는 근 중 단 하나만 포함하므로, 비자명 자기 동형 사상이 없다.

예시 3
λ에 대한 유리 함수 체를 라고 하고, 다음 자기 동형 군을 고려하자:

여기서 자기 동형 사상 를 그 값 로 나타내며, 이다. 이 군은 와 동형이다 (여섯 개의 비조화비 참조).
를 의 고정체라고 하자. 그러면 이다.

가 의 부분군이면, 다항식

 

의 계수들이 의 고정체를 생성한다. 갈루아 대응은 의 모든 부분 필드가 이런 식으로 구성될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, 일 때 고정체는 이고, 일 때 고정체는 이다. 의 고정체는 기본 필드 이며, 여기서 는 모듈러 람다 함수로 표현된 -불변량이다:유사한 예시는 정다면체의 대칭군 각각에 대해 구성될 수 있는데, 이들은 사영 직선 과 따라서 에 대한 충실한 작용을 가지기 때문이다.

 예시 4 
여기서 우리는 갈루아 확대가 아닌 유한 확대 의 예를 제공하며, 이를 통해 가 갈루아 확대가 아닐 때 갈루아 이론(의 기본 정리)이 더 이상 작동하지 않음을 보여준다.

이고 라고 하자. 그러면 는 유한 확대이지만, 에 대한 분해체는 아니다 ( 의 최소 다항식이 에 포함되지 않는 두 개의 복소근을 가지기 때문이다). 임의의 는 에 의해 완전히 결정되며, 이므로, 는 자명군이다. 특히, 이다. 이는 가 갈루아 확대가 아님을 보여준다.

이제, 는 자신만을 유일한 부분군으로 가진다. 를 포함하는 유일한 중간 필드는 이다. 따라서 갈루아 대응은 실패한다.

응용
이 정리는 E/F의 중간 필드를 군론의 관점에서 분류한다. 이 중간 필드와 부분군 사이의 변환은 일반 오차 방정식이 근으로 풀 수 없음을 보여주는 핵심이다 (아벨-루피니 정리 참조). 먼저 근호 확대 (F의 어떤 원소의 n제곱근인 α를 포함하는 F(α) 형태의 확대)의 갈루아 군을 결정한 다음, 기본 정리를 사용하여 가해 확대가 가해군에 대응함을 보여준다.

쿠머 이론 및 유체론과 같은 이론들은 기본 정리에 기반을 두고 있다.

무한 경우
무한 대수적 확대가 주어졌을 때, 그것이 정규적이고 분해 가능하면 여전히 갈루아 확대라고 정의할 수 있다. 무한 경우에 직면하는 문제는, 일반적으로 부분군이 너무 많기 때문에 기본 정리의 전단사가 성립하지 않는다는 것이다. 보다 정확하게 말하면, 모든 부분군을 취하면 일반적으로 동일한 중간 필드를 고정하는 두 개의 다른 부분군을 찾을 수 있다. 따라서 우리는 갈루아 군에 위상을 도입하여 이를 수정한다.

를 갈루아 확대 (무한할 수도 있음)라고 하고, 를 확대의 갈루아 군이라고 하자. 를 모든 유한 중간 갈루아 확대의 갈루아 군 집합이라고 하자. 모든 에 대해 를 로 정의할 수 있음에 유의하라. 그런 다음 에 크룰 위상을 정의하는데, 이는 모든 에 대해 매핑 가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상이다. 여기서 각 에는 이산 위상을 부여한다.. 다르게 말하면 는 위상군의 사영 극한이다 (여기서 각 에는 다시 이산 위상을 부여한다). 이것은 를 사유한군으로 만든다 (사실 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 예를 들어 참조). 가 유한일 때 크룰 위상은 이산 위상이라는 점에 유의하라.

이제 갈루아 군에 위상을 정의했으므로 무한 갈루아 확대에 대한 기본 정리를 다시 기술할 수 있다.

를 의 모든 중간 필드 확대 집합이라고 하고, 를 크룰 위상이 부여된 의 모든 닫힌 부분군 집합이라고 하자. 그러면 다음 매핑에 의해 와 사이에 전단사 함수가 존재한다:
 
로 정의되고 다음 매핑에 의해
 
로 정의된다. 확인해야 할 중요한 점은 가 잘 정의된 매핑이라는 것이다. 즉, 이 모든 중간 필드 에 대해 의 닫힌 부분군이라는 것이다. 이는 Ribes–Zalesskii, 정리 2.11.3에서 증명되었다.

 같이 보기 

 갈루아 연결

 각주 

 추가 자료 

 외부 링크 

분류:갈루아 이론
분류:군론 정리