소진법

소진법(method of exhaustion, )은 도형의 넓이를 구하는 방법으로, 도형 안에 다각형 수열을 (하나씩) 내접시켜 그 넓이가 포함된 도형의 넓이로 수렴하도록 하는 방법이다. 만약 이 수열이 올바르게 구성된다면, n번째 다각형과 포함된 도형 사이의 넓이 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아질 것이다. 이 차이가 임의로 작아짐에 따라, 도형 넓이의 가능한 값들은 수열의 구성원들에 의해 연속적으로 설정되는 하한 넓이들에 의해 체계적으로 "소진"된다.

소진법은 일반적으로 귀류법의 한 형태인 Reductio ad absurdum을 필요로 했다. 이는 먼저 한 영역의 넓이를 두 번째 영역의 넓이와 비교하여 해당 영역의 넓이를 찾아내는 것으로, 두 번째 영역은 "소진"되어 실제 넓이에 임의로 가까워지게 된다. 증명은 실제 넓이가 두 번째 영역보다 크다고 가정하여 그 주장이 틀렸음을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하여 그 주장 또한 틀렸음을 증명하는 과정을 포함한다.

 역사 
섬네일|150px|right|생뱅상 그레고리
이 아이디어는 기원전 5세기 후반에 안티폰에게서 시작되었지만, 그가 이 아이디어를 얼마나 잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다. 이 이론은 몇십 년 후 에우독소스에 의해 엄밀해졌고, 그는 이를 사용하여 넓이와 부피를 계산했다. 이후 3세기 AD에 유휘에 의해 중국의 산학에서 다시 발명되어 원의 넓이를 찾는 데 사용되었다. 이 용어의 첫 사용은 1647년 생뱅상 그레고리의 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.

소진법은 미적분학 방법의 전신으로 여겨진다. 17세기부터 19세기에 걸쳐 해석기하학과 엄밀한 적분학이 발전하면서 소진법은 더 이상 문제를 해결하는 데 명시적으로 사용되지 않게 되었다. 중요한 대안적 접근법은 카발리에리의 원리였으며, 이는 또한 불가분량의 방법이라고 불렸고 결국 로베르발, 에반젤리스타 토리첼리, 존 월리스, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등의 무한소 미적분학으로 발전했다.

 에우클레이데스 
에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.

명제 2: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.

명제 5: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.

명제 10: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.

명제 11: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.

명제 12: 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.

명제 18: 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.

 아르키메데스 

섬네일|right|300px|아르키메데스는 원 안의 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했다.

아르키메데스는 소진법을 사용하여 원 안에 변의 수가 증가하고 그에 따라 넓이도 증가하는 다각형 수열을 채워넣음으로써 원 안의 넓이를 계산했다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 다각형 변의 수가 커질수록 π에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 반지름이 인 원 안의 넓이가 임을 증명한다. 여기서 는 원주와 지름의 비율()로 정의된다.

그는 또한 내접 및 외접하는 96변 정다각형의 둘레와 원의 둘레를 비교하여 (범위 )의 경계를 제시했다.

그가 소진법으로 얻은 다른 결과는 다음과 같다:
 선과 포물선의 교차점에 의해 둘러싸인 넓이는 같은 밑변과 높이를 가진 삼각형 넓이의 4/3배이다 (포물선 구적법).
 타원의 넓이는 장축과 단축을 변으로 하는 직사각형에 비례한다.
 구의 부피는 같은 반지름의 밑면과 이 반지름과 같은 높이를 가진 원뿔 부피의 4배이다.
 지름과 같은 높이를 가진 원기둥의 부피는 같은 지름을 가진 구 부피의 3/2배이다.
 하나의 아르키메데스 와선 회전과 선에 의해 둘러싸인 넓이는 선분 길이와 같은 반지름을 가진 원 넓이의 1/3배이다.
 소진법의 사용은 또한 무한 기하급수의 성공적인 평가 (최초로)로 이어졌다.

 기타 
갈릴레오 갈릴레이는 소진법을 사용하여 절단된 원뿔의 질량 중심을 찾았다.

현대 미적분학의 발전 직전에 크리스토퍼 렌은 소진법을 사용하여 사이클로이드의 정확한 호의 길이를 발견했다.

 예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다 
섬네일|아르키메데스 나선 한 바퀴의 넓이는 그를 둘러싼 원 넓이의 3분의 1이다.
아르키메데스는 로 주어지는 나선 의 한 바퀴 넓이를 계산하여 를 찾았는데, 이는 이를 둘러싼 원의 넓이 의 3분의 1이다.

증명의 개요를 위해, 를 보여주고자 한다고 가정하자. 귀류법으로, 라고 가정하자. 구간 를 개의 동일한 조각 으로 나누고, 각 하위 구간에 대해 나선을 둘러싸는 가장 작고 가장 큰 원형 부채꼴을 찾는다. 두 번째 이미지를 참조하여 명확히 한다. 를 나선 내부에 있는 부채꼴들의 집합으로, 를 외부에 있는 부채꼴들의 집합으로 두자. 그러면 는 나선 넓이의 과소추정치이고, 는 과대추정치이다. 아르키메데스는 이 충분히 클 때, 임의의 에 대해 임을 보일 수 있었다.

섬네일|일 때, 이미지는 P (파란색)와 Q (빨간색)를 보여준다. 짙은 회색 영역은 이고, 짙은 회색과 밝은 회색 영역을 합친 것이 를 나타낸다.

이제 라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 이고, 따라서 나선이 를 둘러싸므로 이다. 그러나 의 넓이는 명시적으로 계산할 수 있는데, 이는 개의 외부 원형 부채꼴 넓이의 합과 같으며, 각각의 넓이는 ()이다. 즉,

아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.

따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.

원의 반지름이 였으므로, 원의 넓이는 이다. 이를 위의 부등식에 와 함께 대입하면 다음과 같다.

이는 다음과 같이 더 줄어든다.

그러나 이는 모든 양의 에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 보다 크고 두 번째 항은 보다 크므로 그 곱은 보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.

라는 증명은 전적으로 동일하다. 나선 넓이가 원 넓이의 3분의 1보다 작지도 크지도 않으므로, 아르키메데스는 그 둘이 같다고 결론지었다.

 예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다 

이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.
섬네일|원 와 내접 다각형 . 는 변의 수가 같음에 유의하라.
증명의 개요를 위해, 귀류법으로 라고 가정하자.
를 각각 에 내접하는 변 정다각형이라고 하자.
로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, 일 때마다 이 되는 을 찾을 수 있다. 따라서 의 정의를 사용하여 를 얻는다.

그러나 두 정볼록다각형(원이 아닌)에 대해서는 임을 쉽게 보일 수 있다. 단, 이 고정되어야 한다.
이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.

그러나 이므로 이는 모순이다. 다음 단계는 또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 임을 알 수 있다.

 분석 
리만 합과 소진법을 사용하여 넓이를 계산하는 것은 두 방법 모두 일련의 다각형을 사용하여 해당 넓이를 근사하는 방식으로 시작한다는 점에서 유사하다. 그러나 리만 합에서는 근사 다각형 넓이의 극한을 로 간주한다. 반대로 소진법에서는 극한을 피하고 대신 이중 귀류법을 사용한다. 따라서 소진법은 무한에 대한 엄밀한 처리가 필요 없이 복잡한 넓이를 계산할 수 있게 한다.

 같이 보기 
 기계적 정리의 방법
 포물선 구적법
 사다리꼴 공식
 피타고라스 정리

 각주 

분류:유클리드 기하학
분류:수학사
분류:부피
분류:적분학
분류:그리스 수학
분류:기원전 5세기 그리스