구조 상수

섬네일|벡터곱을 리 괄호로 사용하면, 3차원 실수 벡터의 대수는 SU(2) 및 SO(3)의 리 대수와 동형인 리 대수가 된다. 구조 상수는 이며, 여기서 는 반대칭 레비치비타 기호이다.
수학에서, 체 위의 대수의 구조 상수() 또는 구조 계수()는 기저 벡터들의 곱을 기저 확장(선형 결합)으로 나타냈을 때의 계수이다. 대수에서의 곱셈 연산은 쌍선형이므로, 선형성에 의해 기저 벡터들의 곱을 알면 모든 원소의 곱을 계산할 수 있다(마치 행렬이 기저 벡터에 대한 선형 연산자의 작용을 제공함으로써 임의의 벡터에 대한 작용을 계산할 수 있게 하는 것과 같다). 따라서 구조 상수는 대수의 곱셈 연산을 지정하는 데 사용될 수 있다(행렬이 선형 연산자를 정의하는 것과 마찬가지이다). 구조 상수가 주어지면, 결과적인 곱은 쌍선형성에 의해 얻어지며 벡터 공간의 모든 벡터로 유일하게 확장될 수 있으므로 대수의 곱을 유일하게 결정한다.

구조 상수는 대수의 명시적인 형태가 제공되어야 할 때마다 사용된다. 따라서 물리학에서 리 대수를 논의할 때 자주 사용되는데, 기저 벡터가 물리적 공간의 특정 방향을 나타내거나 특정 입자에 대응하기 때문이다(리 대수는 체 위의 대수이며, 쌍선형 곱은 보통 교환자를 통해 정의되는 리 괄호로 주어진다는 점을 상기하라).

 정의 
대수의 바탕이 되는 벡터 공간에 대한 기저 벡터 집합 가 주어졌을 때, 곱셈 연산은 기저 벡터들의 곱에 의해 유일하게 정의된다.
 

구조 상수 또는 구조 계수 는 동일한 기저에서 의 계수일 뿐이다.
 

달리 말하면, 이들은 를 기저 벡터 의 선형 결합으로 표현하는 계수이다.

대수에 이를 요구하는 다른 구조(예를 들어, 부정교 직교군 의 대수 위에 정의된 의사 리만 계량)가 부여되지 않는 한, 위 첨자와 아래 첨자는 자주 구별되지 않는다. 즉, 구조 상수는 종종 모두 위 첨자이거나 모두 아래 첨자로 작성된다. 이때 위와 아래의 구별은 관례이며, 아래 첨자는 쌍대 벡터의 성분처럼 행동(즉, 기저 변환에 대해 공변)하고 위 첨자는 반변함을 독자에게 상기시킨다.

구조 상수는 분명히 선택된 기저에 의존한다. 리 대수의 경우, 자주 사용되는 기저 관례 중 하나는 카르탕 부분 대수에 의해 정의된 사다리 연산자이다. 이는 몇 가지 예비 예제 다음에 이 문서의 뒷부분에서 설명된다.

 예: 리 대수 
리 대수의 경우, 기저 벡터는 대수의 생성원이라 불리며, 곱은 리 괄호라고 불린다(종종 리 괄호는 이미 존재하는 곱 외에 추가적인 곱셈 연산이므로 별도의 이름이 필요하다). 대수 내의 두 벡터 와 에 대해 리 괄호는 로 표기된다.

여기서도 위 첨자와 아래 첨자를 특별히 구별할 필요는 없으며, 모두 위로 쓰거나 아래로 쓸 수 있다. 물리학에서는 생성원에 대해 표기법을 사용하고, 구조 상수에 대해(위아래 구분을 무시하고) 또는 를 사용하는 것이 일반적이다. 그러면 생성원 쌍의 리 괄호의 선형 확장은 다음과 같다.
 

마찬가지로 선형 확장에 의해, 구조 상수는 리 대수의 모든 원소의 리 괄호를 완전히 결정한다.

모든 리 대수는 야코비 항등식을 만족한다. 기저 벡터에 대해 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
 
그리고 이는 구조 상수의 관점에서 대응하는 항등식으로 직접 이어진다.
 

위의 내용과 이 문서의 나머지 부분에서는 반복되는 지표에 대해 아인슈타인 표기법을 사용한다.

구조 상수는 리 대수의 표현에서 역할을 하며, 실제로 리 대수의 딸림표현의 행렬 요소를 정확히 제공한다. 킬링 형식과 카시미르 불변량 또한 구조 상수의 관점에서 작성될 때 특히 단순한 형태를 갖는다.

구조 상수는 리 군의 두 원소의 곱에 대한 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 근사치에서 종종 나타난다. 리 대수의 작은 원소 에 대해 항등원 근처의 리 군 구조는 다음과 같이 주어진다.
 
1/2 계수에 유의해야 한다. 이들은 또한 와 같은 미분의 명시적 표현에도 나타난다.(자세한 내용은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식#무한소의 경우를 참조)

 리 대수 예시 
 𝔰𝔲(2) 및 𝔰𝔬(3)
특수 유니터리 군 SU(2)의 대수 는 3차원이며, 생성원은 파울리 행렬 로 주어진다. 군 SU(2)의 생성원은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다(여기서 는 레비치비타 기호이다).

여기서

이 경우 구조 상수는 이다. 상수 2i는 기저 벡터의 정의에 흡수될 수 있음에 유의하라. 따라서 로 정의하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

이렇게 하면 리 군 SU(2)의 리 대수 가 SO(3)의 리 대수 와 동형임이 강조된다. 이것은 구조 상수를 회전군 SO(3)의 것과 일치하게 만든다. 즉, 각운동량 연산자에 대한 교환자는 흔히 다음과 같이 작성된다.

여기서

는 3차원 공간에서의 회전에 대한 오른손 법칙을 따르도록 작성되었다.

이 두 구조 상수 세트 사이의 2i 계수 차이는 미묘한 차이를 포함하므로 혼란을 줄 수 있다. 예를 들어, 2차원 복소 벡터 공간에 실수 구조를 부여할 수 있다. 이는 의 서로 동형인 두 개의 비동치 2차원 기본 표현으로 이어지지만, 이들은 복소 공액 표현이다. 그러나 둘 다 실수 구조를 가진 공간에 작용하기 때문에 실수 표현으로 간주된다. 3차원의 경우 오직 하나의 3차원 표현인 딸림표현만이 존재하며, 이는 실수 표현이다. 더 정확하게는 위에서 보여준 쌍대 표현과 동일하다. 즉, 전치 행렬이 자신의 음수와 같다. .

어떤 경우든, 구조 상수를 순수하게 실수가 되도록 작성하는 것이 가능하기 때문에 리 군은 실수인 것으로 간주된다.

 𝔰𝔲(3) 
덜 자명한 예는 SU(3)에 의해 제공된다.

정의 표현에서 그 생성원 T는 다음과 같다.
 
여기서 SU(3)에 대한 겔만 행렬 는 SU(2)에 대한 파울리 행렬에 대응한다.

 

이들은 다음 관계를 따른다.
 
 
구조 상수는 완전 반대칭이다. 이들은 다음과 같이 주어진다.
 
 
 
지표 치환으로 이들과 관련되지 않은 다른 모든 는 0이다.

d는 다음과 같은 값을 갖는다.
 
 
 

 𝔰𝔲(N) 
𝔰𝔲(N)의 일반적인 경우, 생성원 사이의 교환 및 반교환 관계를 계산하지 않고도 구조 상수를 얻을 수 있는 닫힌 공식이 존재한다. 먼저 파울리 행렬과 겔만 행렬의 일반화에 기초하여 𝔰𝔲(N)의 개 생성원을 정의한다(여기서 은 행렬 단위인 브라-켓 표기법을 사용한다).
개의 대칭 행렬이 있고,
 
개의 반대칭 행렬이 있으며,
 
그리고 개의 대각 행렬이 있다.
 
이 행렬들을 구별하기 위해 다음과 같은 지표를 정의한다.
 
 
 
조건은 이다.

0이 아닌 모든 완전 반대칭 구조 상수는 다음과 같다.
 
 
 
 

0이 아닌 모든 완전 대칭 구조 상수는 다음과 같다.
 
 
 
 
 
 
 
 
유도에 대한 자세한 내용은 및를 참조하라.

 다른 대수의 예 
 홀 다항식 
홀 다항식(Hall polynomials)은 홀 대수(Hall algebra)의 구조 상수이다.

 호프 대수 
곱 외에도, 호프 대수의 쌍대곱과 안티포드(antipode)는 구조 상수의 관점에서 표현될 수 있다. 호프 대수에서 일관성 조건을 정의하는 연결 공리(connecting axiom)는 이러한 다양한 구조 상수 사이의 관계로 표현될 수 있다.

 응용 
 리 군은 모든 구조 상수가 0일 때만 아벨 리 대수이다.
 리 군은 구조 상수가 실수일 때만 실수 리 군이다.
 구조 상수가 모든 지표에 대해 완전 반대칭인 것은 리 대수가 반단순 콤팩트 리 대수들의 직합인 것과 필요충분조건이다.
 멱영 리 군이 격자를 허용하는 것은 그 리 대수가 유리수 구조 상수를 갖는 기저를 허용하는 것과 필요충분조건이다. 이것이 말체프의 판정법(Malcev's criterion)이다. 모든 멱영 리 군이 격자를 허용하는 것은 아니다. 자세한 내용은 Raghunathan을 참조하라.
 양자 색역학에서 기호 는 양자 전기역학의 전자기장 텐서 Fμν와 유사한 게이지 공변 글루온 장세기 텐서를 나타낸다. 이는 다음과 같이 주어진다. 여기서 fabc는 SU(3)의 구조 상수이다. a, b, c 지표를 올리거나 내리는 규칙은 자명하지만(+,... +), 즉 fabc = fabc = f인 반면, μ 또는 ν 지표에 대해서는 예를 들어 계량 부호수 (+ − − −)에 해당하는 비자명한 상대론적 규칙을 갖는다.

 리 대수의 기저 선택 
리 대수의 기저를 제공하는 한 가지 관습적인 방법은 카르탕 부분 대수의 고유 벡터로 나타나는 소위 "사다리 연산자"를 이용하는 것이다. 관습적인 표기법을 사용한 이 기저의 구성은 다음과 같이 간략하게 요약된다. 대안적인 구성(세르 구성)은 반단순 리 대수 문서에서 찾을 수 있다.

리 대수 가 주어졌을 때, 카르탕 부분 대수 는 극대 아벨 부분 대수이다. 정의에 따라, 이는 서로 교환되는 원소들로 구성된다. 위에서 정규 직교 기저를 자유롭게 선택할 수 있다. 이 기저를 로 쓰면 다음과 같다.
 
여기서 는 벡터 공간 위의 내적이다. 이 부분 대수의 차원 을 대수의 계수(rank)라고 한다. 딸림표현에서 행렬 는 서로 교환 가능하며 동시에 대각화될 수 있다. 행렬 는 (동시) 고유 벡터를 갖는다. 0이 아닌 고유값 를 갖는 고유 벡터는 관습적으로 로 표기된다. 이들은 와 함께 전체 벡터 공간 를 생성한다. 교환 관계는 다음과 같다.
 

고유 벡터 는 전체적인 척도 내에서만 결정된다. 한 가지 관습적인 정규화는 다음과 같이 설정하는 것이다.
 

이를 통해 나머지 교환 관계를 다음과 같이 쓸 수 있다.
 
그리고
 
여기서 마지막 식은 (아래에서 정의되는) 근 의 합이 0이 아닌 값 이어야 한다는 조건을 따른다. 는 의 값을 올리거나 내리는 특성을 가지고 있어 때때로 사다리 연산자라고 불린다.

주어진 에 대해, 의 개수만큼 가 존재하므로 벡터 를 정의할 수 있으며, 이 벡터를 대수의 근(root)이라고 한다. 리 대수의 근은 규칙적인 구조로 나타난다(예를 들어, 단순 리 대수에서 근은 두 가지 다른 길이만 가질 수 있다). 자세한 내용은 근계를 참조하라.

구조 상수 는 가 근일 때만 0이 아니라는 성질을 갖는다. 또한 이들은 반대칭이다.
 
그리고 항상 다음과 같이 선택될 수 있다.
 
이들은 또한 코사이클(cocycle) 조건을 따른다.
 
일 때마다 성립하며, 또한
 
일 때마다 성립한다.

 각주 

분류:리 대수