정합 필터

신호 처리에서 정합 필터()의 출력은 미지의 신호 내에 존재하는 기지의 지연된 신호(또는 템플릿)를 감지하기 위해 두 신호를 교차상관시킴으로써 얻어진다. 이는 미지의 신호를 템플릿의 켤레 복소수 및 시간 반전된 버전과 합성곱하는 것과 같다. 정합 필터는 가산성 추계학 잡음이 존재하는 환경에서 신호 대 잡음비(SNR)를 최대화하는 최적의 선형 필터이다.

정합 필터는 기지의 신호를 송신하고 반사된 신호에서 송신 신호의 공통 요소를 검사하는 레이더에서 흔히 사용된다. 펄스 압축이 정합 필터링의 한 예이다. 임펄스 응답이 입력 펄스 신호에 정합되기 때문에 그렇게 불린다. 2차원 정합 필터는 X선 관측의 신호 대 잡음비를 개선하는 등 영상 처리에서 흔히 사용된다. 주목할 만한 추가 응용 분야로는 지진학과 중력파천문학이 있다.

정합 필터링은 신호 대 잡음비를 최대화하기 위해 LTI(선형 시불변) 필터를 사용하는 복조 기술이다. 원래는 노스(North) 필터로도 알려져 있었다.

 유도 
 행렬 대수를 통한 유도 
다음 항목에서는 이산 시간 시스템에 대한 정합 필터를 유도한다. 연속 시간 시스템에 대한 유도도 이와 유사하며, 합산이 적분으로 대체된다.

정합 필터는 출력 신호 대 잡음비를 최대화하는 선형 필터 이다.

여기서 는 독립 변수 에 대한 함수인 입력이며, 은 필터링된 출력이다. 필터를 위와 같이 합성곱 시스템의 임펄스 응답으로 표현하는 경우가 많지만(참조: LTI 시스템 이론), 정합 필터는 곧 보게 될 내적의 맥락에서 생각하는 것이 가장 쉽다.

기하학적 논증을 호출하여 출력 신호 대 잡음비를 최대화하는 선형 필터를 유도할 수 있다. 정합 필터의 직관은 수신된 신호(벡터)를 신호와 평행한 필터(다른 벡터)와 상관시켜 내적을 최대화하는 데 달려 있다. 이는 신호를 향상시킨다. 가산성 확률적 잡음을 고려할 때, 잡음과 직교하는 필터를 선택하여 잡음으로 인한 출력을 최소화해야 하는 추가적인 과제가 있다.

문제를 공식적으로 정의해 보자. 우리는 관측된 신호 와 필터의 내적인 출력을 최대화하는 필터 를 찾고자 한다.

관측된 신호는 원하는 신호 와 가산성 잡음 로 구성된다.

잡음의 자기상관 행렬을 정의하자. 이 행렬이 에르미트 대칭성을 갖는다는 점을 상기하면, 이 속성은 유도 과정에서 유용하게 사용될 것이다.

여기서 는 의 켤레 전치를 나타내고, 는 기댓값을 나타낸다(잡음 의 평균이 0인 경우, 자기상관 행렬 는 공분산 행렬과 같다).

필터와 관측된 신호의 내적인 출력을 라고 부르자.

이제 목적 함수인 신호 대 잡음비를 원하는 신호에 의한 출력 전력과 잡음에 의한 출력 전력의 비율로 정의한다.

위 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

우리는 를 선택하여 이 양을 최대화하고자 한다. 목적 함수의 분모를 확장하면 다음과 같다.

이제 은 다음과 같이 된다.

행렬 조작을 통해 이 식을 다시 써보겠다. 이러한 조치가 겉으로는 비생산적으로 보일 수 있지만, 그 이유는 곧 분명해질 것이다. 자기상관 행렬 의 에르미트 대칭성을 활용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 식에 대한 상한을 찾고자 한다. 이를 위해 먼저 코시-슈바르츠 부등식의 한 형태를 인식한다.

즉, 두 벡터의 내적의 제곱은 각 벡터의 개별 내적의 곱만큼만 커질 수 있다. 이 개념은 정합 필터의 직관으로 돌아간다. 이 상한은 두 벡터 와 가 평행할 때 달성된다. 위의 기하학적 부등식에 비추어 의 상한을 표현하여 유도를 재개한다.

이러한 행렬 조작이 결실을 맺었다. 상한에 대한 식이 크게 단순화될 수 있음을 알 수 있다.

다음과 같이 선택하면 이 상한을 달성할 수 있다.

여기서 는 임의의 실수이다. 이를 확인하기 위해 출력 식에 대입한다.

따라서 최적의 정합 필터는 다음과 같다.

종종 잡음으로 인한 필터 출력 전력의 기댓값을 1로 정규화하도록 선택한다. 즉, 다음과 같은 제약을 둔다.

이 제약 조건은 의 값을 암시하며, 다음과 같이 풀 수 있다.

따라서

정규화된 필터는 다음과 같다.

합성곱 시스템에 대한 필터의 임펄스 응답 를 쓰고자 한다면, 그것은 단순히 입력 의 켤레 복소수 시간 반전이다.

이산 시간에서 정합 필터를 유도했지만, 연속 신호 , 연속 잡음 , 연속 필터 를 가정하고 를 잡음의 연속 시간 자기상관 함수로 대체하면 이 개념을 연속 시간 시스템으로 확장할 수 있다.

 라그랑주를 통한 유도 
대안적으로 라그랑주를 사용하여 최대화 문제를 해결함으로써 정합 필터를 구할 수 있다. 다시 말하지만, 정합 필터는 추계학적 가산 잡음에서 필터링된 결정론적 신호의 출력 신호 대 잡음비()를 최대화하고자 한다. 관측된 시퀀스는 다음과 같다.

잡음 자기상관 행렬은 다음과 같다.

신호 대 잡음비는 다음과 같다.

여기서 이고 이다.

분자의 식을 평가하면 다음과 같다.

분모는 다음과 같다.

신호 대 잡음비는 다음과 같이 된다.

이제 분모를 1로 제한하면 을 최대화하는 문제는 분자를 최대화하는 문제로 축소된다. 그런 다음 라그랑주 승수를 사용하여 문제를 공식화할 수 있다.

이는 일반화된 고윳값 문제로 인식된다.

는 랭크가 1이므로 0이 아닌 고윳값은 하나뿐이다. 이 고윳값은 다음과 같음을 보일 수 있다.

결과적으로 다음과 같은 최적의 정합 필터가 얻어진다.

이는 이전 서브섹션에서 찾은 결과와 동일하다.

 최소제곱 추정기로서의 해석 
 유도 
정합 필터링은 주어진 모델이나 템플릿의 최적 위치와 스케일링을 위한 최소제곱 추정기로도 해석될 수 있다. 다시 한번, 관측된 시퀀스를 다음과 같이 정의하자.

여기서 는 상관관계가 없는 평균이 0인 잡음이다. 신호 는 기지의 모델 시퀀스 의 스케일링되고 이동된 버전으로 가정한다.

관측된 시퀀스 와 "탐색 시퀀스" 사이의 최소제곱 잔차를 최소화하여 미지의 이동 와 스케일링 에 대한 최적 추정치 및 를 찾고자 한다.

적절한 는 나중에 정합 필터인 것으로 밝혀지겠지만, 현재로서는 명시되지 않았다. 를 확장하고 합산 내의 제곱을 전개하면 다음과 같다.

대괄호 안의 첫 번째 항은 (관측된 신호가 주어졌으므로) 상수이며 최적해에 영향을 미치지 않는다. 마지막 항은 잡음이 상관관계가 없고 평균이 0이므로 기댓값이 일정하다. 따라서 최적화에서 두 항을 모두 삭제할 수 있다. 부호를 바꾼 후 동등한 최적화 문제를 얻는다.

에 대한 미분값을 0으로 설정하면 에 대한 해석적 해가 제공된다.

이를 목적 함수에 대입하면 에 대해서만 축소된 최대화 문제가 생성된다.

분자는 코시-슈바르츠 부등식에 의해 상한이 정해질 수 있다.

최적화 문제는 이 식에서 등호가 성립할 때 최댓값을 갖는다. 코시-슈바르츠 부등식의 성질에 따라 이는 다음과 같을 때만 가능하다.

임의의 0이 아닌 상수 또는 에 대해, 최적해는 원하는 대로 에서 얻어진다. 따라서 우리의 "탐색 시퀀스" 는 신호 모델 에 비례해야 하며, 편리한 선택인 은 정합 필터를 제공한다.

필터가 미러링된 신호 모델임에 유의하라. 이는 최적값을 찾기 위해 적용될 연산 가 실제로 관측된 시퀀스 와 정합 필터 사이의 합성곱임을 보장한다. 필터링된 시퀀스는 관측된 시퀀스 가 신호 모델 와 (최소제곱의 의미에서) 가장 잘 일치하는 위치에서 최댓값을 갖는다.

 시사점 
정합 필터는 다양한 방식으로 유도될 수 있지만, 최소제곱 절차의 특수한 경우로서 (유색) 가우스 잡음 모델 및 관련 위틀 가능도(Whittle likelihood)의 맥락에서 최대 가능도 방법으로 해석될 수도 있다. 전송된 신호에 알려지지 않은 매개변수(도착 시간, 진폭 등)가 없는 경우, 정합 필터는 네이만-피어슨 정리에 따라 오류 확률을 최소화한다. 그러나 정확한 신호는 일반적으로 필터링 과정에서 효과적으로 추정(또는 피팅)되는 알려지지 않은 매개변수에 의해 결정되므로, 정합 필터는 일반화된 최대 가능도 (검정) 통계량을 구성한다. 필터링된 시계열은 ("도착") 시간 매개변수의 함수로서 극대화된 조건부 가능도인 프로파일 가능도(profile likelihood)로 (비례하여) 해석될 수 있다. 이는 특히 오류 확률(네이만과 피어슨의 의미에서, 즉 주어진 허위 경보 확률에 대해 탐지 확률을 극대화하는 것과 관련하여)이 반드시 최적인 것은 아님을 의미한다. 일반적으로 정합 필터에 의해 극대화되는 것으로 알려진 신호 대 잡음비(SNR)는 이 맥락에서 에 해당하며, 여기서 은 (조건부로) 극대화된 가능도비이다. 

정합 필터의 구축은 알려진 잡음 스펙트럼을 기반으로 한다. 그러나 실제로는 잡음 스펙트럼이 대개 데이터로부터 추정되므로 제한된 정밀도로만 알려져 있다. 스펙트럼이 불확실한 경우, 정합 필터는 가우스 잡음이 아닌 경우에도 유리한 특성을 갖는 보다 견고한 반복 절차로 일반화될 수 있다.

 주파수 영역 해석 
주파수 영역에서 볼 때, 정합 필터는 가장 큰 신호 대 잡음비를 나타내는 스펙트럼 성분에 가장 큰 가중치를 적용함이 분명하다(즉, 잡음이 상대적으로 낮은 곳에 큰 가중치를 부여하고 그 반대의 경우도 마찬가지임). 일반적으로 이는 평탄하지 않은 주파수 응답을 필요로 하지만, 원래 파형을 알고 있고 목적이 배경 잡음으로부터 이 신호를 감지하는 것인 레이더 및 디지털 통신과 같은 상황에서는 관련 "왜곡"이 우려할 사항이 아니다. 기술적인 측면에서 정합 필터는 (이분산성이 있는) 주파수 영역 데이터에 기반한 가중 최소제곱 방법(여기서 "가중치"는 잡음 스펙트럼을 통해 결정됨, 이전 섹션 참조)이거나, 동등하게 화이트닝 변환된 데이터에 적용된 최소제곱법이다.

 예시 
 레이더 및 소나 
정합 필터는 신호 탐지에 자주 사용된다. 예를 들어, 신호를 반사시켜 물체의 거리를 판단하려 한다고 가정해 보자. 1Hz의 순수 톤 사인을 전송하기로 선택할 수 있다. 수신된 신호는 가산 잡음과 함께 전송된 신호의 감쇠되고 위상이 변이된 형태라고 가정한다.

물체의 거리를 판단하기 위해 수신된 신호를 정합 필터와 상관시킨다. 백색 잡음(상관관계가 없는 잡음)의 경우 정합 필터는 또 다른 순수 톤 1Hz 사인파이다. 정합 필터 시스템의 출력이 특정 임계값을 초과하면 수신된 신호가 물체에서 반사되었다고 높은 확률로 결론을 내린다. 전파 속도와 반사 신호를 처음 관찰한 시간을 사용하여 물체의 거리를 추정할 수 있다. 특별히 설계된 방식으로 펄스의 모양을 변경하면 정합 필터링 후 신호 대 잡음비와 거리 분해능을 더욱 향상시킬 수 있는데, 이는 펄스 압축으로 알려진 기술이다.

또한 정합 필터는 매개변수 추정 문제(추정 이론 참조)에 사용될 수 있다. 이전 예시로 돌아가서, 물체의 위치 외에 속도를 추정하고자 할 수도 있다. 도플러 효과를 활용하기 위해 수신 신호의 주파수를 추정하고자 한다. 이를 위해 수신된 신호를 다양한 주파수의 사인파로 구성된 여러 정합 필터와 상관시킬 수 있다. 출력이 가장 높은 정합 필터는 높은 확률로 반사 신호의 주파수를 밝혀내고 물체의 시선속도, 즉 관찰자를 향하거나 멀어지는 상대 속도를 결정하는 데 도움을 준다. 이 방법은 사실 이산 푸리에 변환(DFT)의 단순한 버전이다. DFT는 개의 값을 갖는 복소수 입력을 받아 개의 서로 다른 주파수에서의 복소 지수함수에 해당하는 개의 정합 필터와 상관시켜, 사인파 성분의 상대적 진폭과 위상에 해당하는 개의 복소수 값을 산출한다.

 디지털 통신 
정합 필터는 통신에서도 사용된다. 송신기에서 수신기로 잡음이 섞인 채널을 통해 이진 메시지를 보내는 통신 시스템의 맥락에서, 정합 필터는 잡음이 섞인 수신 신호에서 전송된 펄스를 감지하는 데 사용될 수 있다.

파일:Matched Filter Total System.jpg

비극성 비제로 복귀(NRZ)로 코딩된 "0101100100" 시퀀스를 특정 채널을 통해 보내고 싶다고 가정해 보자.

수학적으로 NRZ 코드의 시퀀스는 단위 펄스 또는 이동된 구형함수의 시퀀스로 설명될 수 있으며, 각 펄스는 비트가 "1"이면 +1, 비트가 "0"이면 -1로 가중치가 부여된다. 공식적으로 비트에 대한 스케일링 인자는 다음과 같다.

메시지 를 이동된 단위 펄스의 합으로 나타낼 수 있다.

여기서 는 한 비트의 시간 길이이고 는 구형함수이다.

따라서 송신기가 보낼 신호는 다음과 같다.

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잡음이 섞인 채널을 AWGN 채널로 모델링하면 신호에 백색 가우스 잡음이 추가된다. 수신단에서 신호 대 잡음비가 3dB인 경우 다음과 같이 보일 수 있다.

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언뜻 보아서는 원래 전송된 시퀀스를 알 수 없다. 원하는 신호의 전력에 비해 잡음의 전력이 높다(즉, 신호 대 잡음비가 낮다). 수신기가 이 신호를 정확한 순간에 샘플링하더라도 결과 이진 메시지가 정확하지 않을 수 있다.

신호 대 잡음비를 높이기 위해 수신된 신호를 정합 필터에 통과시킨다. 이 경우 필터는 NRZ 펄스(NRZ 코드로 코딩된 "1"에 해당)에 정합되어야 한다. 정확하게는 백색(상관관계가 없는) 잡음을 가정한 이상적인 정합 필터의 임펄스 응답은 우리가 찾는 신호의 시간 반전된 켤레 복소수 스케일링 버전이어야 한다. 다음과 같이 선택한다.

이 경우 대칭성으로 인해 의 시간 반전 켤레 복소수는 사실 와 같으며, 를 정합 필터 합성곱 시스템의 임펄스 응답이라고 부를 수 있다.

올바른 정합 필터와 합성곱한 후의 결과 신호 는 다음과 같다.

여기서 는 합성곱을 나타낸다.

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이제 수신기가 정확한 샘플링 순간에 안전하게 샘플링하고 적절한 임계값과 비교하여 이진 메시지를 올바르게 해석할 수 있다.

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 중력파천문학 
정합 필터는 중력파천문학에서 중심적인 역할을 한다. 중력파의 최초 관측은 각 탐지기의 출력에서 예상되는 모양과 유사한 신호를 대규모로 필터링한 후, 두 장치 간의 일치하고 가 가간섭성 있는 트리거에 대한 후속 스크리닝을 기반으로 이루어졌다. 허위 경보율과 탐지의 통계적 유의성은 재표본 추출 방법을 사용하여 평가되었다. 천체 물리학적 소스 매개변수에 대한 추론은 신호 파형에 대한 매개변수화된 이론적 모델과 (다시 한 번) 위틀 가능도에 기반한 베이즈 추론 방법을 사용하여 완료되었다.

 지진학 
정합 필터는 지진학에서 유사한 지진이나 기타 지진 신호를 탐지하는 데 사용되며, 흔히 다성분 및 다채널 경험적 템플릿을 사용한다. 지진학에서의 정합 필터링 응용 분야에는 지진 활동을 연구하기 위한 대규모 지진 카탈로그 생성, 화산 활동 연구, 그리고 핵폭발의 전 지구적 탐지 등이 포함된다.

 생물학 
상대적으로 정적인 환경에서 사는 동물은 인식해야 할 환경의 특징이 상대적으로 고정되어 있다. 이는 가장 높은 신호 대 잡음비로 예상 신호와 일치하는 필터인 정합 필터의 진화를 가능하게 한다. 그러한 "정합 필터"를 통해 세상을 인식하는 감각기는 "뇌가 외부 세계로부터 받아들일 수 있는 정보의 양을 심각하게 제한하지만, 특정 과업을 수행하는 데 최종적으로 필요한 정보를 추출하기 위해 뇌가 더 복잡한 계산을 수행해야 할 필요로부터 뇌를 해방시킨다."

 같이 보기 
 피리어도그램
 필터링된 역투영 (라돈 변환)
 디지털 필터
 통계적 신호 처리
 위틀 가능도
 프로파일 가능도
 탐지 이론
 다중 비교 문제
 채널 용량
 잡음 채널 부호화 정리
 스펙트럼 밀도 추정
 최소 평균 제곱(LMS) 필터
 위너 필터
 MUSIC (알고리즘) (MUSIC), 인기 있는 매개변수 초해상도 방법
 SAMV

 내용주 

 각주 

 추가 읽기 
 
 
 
 
 

분류:전기통신 이론
분류:신호 추정
분류:중력파천문학
분류:통계학적 신호 처리