확률미분방정식

확률미분방정식(Stochastic differential equation, SDE)은 하나 이상의 항이 확률 과정인 미분방정식으로, 그 결과로 얻어지는 해 역시 확률 과정이다. SDE는 순수 수학 전반에 걸쳐 많은 응용 분야를 가지고 있으며 주가와 같은 확률 모델의 다양한 동작, 무작위 성장 모델 또는 열 요동에 노출되는 물리적 시스템을 모델링하는 데 사용된다.

SDE는 가장 기본적인 경우에 브라운 운동의 분포 미분으로 계산되는 무작위 백색 잡음이거나, 더 일반적으로는 준마팅게일인 무작위 미분을 가지고 있다. 그러나 레비 확률 과정과 같은 점프 과정이나 점프가 있는 준마팅게일과 같이 다른 유형의 무작위 동작도 가능하다.

확률미분방정식은 일반적으로 미분 방정식도 아니고 무작위 미분 방정식도 아니다. 무작위 미분 방정식은 확률미분방정식과 짝을 이룬다. 확률미분방정식은 미분 다양체로도 확장될 수 있다.

 배경 
확률미분방정식은 1905년 알베르트 아인슈타인과 마리안 스몰루호프스키의 연구에서 브라운 운동 이론에서 시작되었지만, 1900년에 브라운 운동을 모델링한 최초의 인물은 루이 바슐리에였으며, 이는 현재 바슐리에 모형으로 알려진 확률미분방정식의 매우 초기 예시이다. 이러한 초기 예시 중 일부는 선형 확률미분방정식으로, 프랑스 물리학자 랑주뱅의 이름을 따서 랑주뱅 방정식이라고도 불리며, 무작위 힘을 받는 조화 진동자의 운동을 설명한다.
확률미분방정식의 수학적 이론은 1940년대 일본 수학자 이토 기요시의 획기적인 연구를 통해 발전했는데, 그는 확률 적분의 개념을 도입하고 비선형 확률미분방정식의 연구를 시작했다. 또 다른 접근 방식은 나중에 러시아 물리학자 스트라토노비치에 의해 제안되었고, 이는 일반 미적분학과 유사한 미적분학으로 이어졌다.

 용어 
문헌에서 가장 일반적인 SDE의 형태는 백색 잡음 변수에 의존하는 항에 의해 우변이 교란되는 상미분 방정식이다. 대부분의 경우, SDE는 해당 확률 차분 방정식의 연속 시간 한계로 이해된다. SDE에 대한 이러한 이해는 모호하며 해당 적분의 적절한 수학적 정의로 보완되어야 한다. 이러한 수학적 정의는 1940년대 이토 기요시에 의해 처음 제안되었으며, 오늘날 이토 적분으로 알려져 있다.
또 다른 구성은 나중에 러시아 물리학자 스트라토노비치에 의해 제안되었으며,
스트라토노비치 적분으로 알려져 있다.
이토 적분과 스트라토노비치 적분은 관련이 있지만 다른 대상이며, 둘 중 어떤 것을 선택할지는 적용 분야에 따라 달라진다. 이토 적분은 변수가 시간인 응용 분야에서 자연스러운 비예측성 또는 인과성 개념에 기반을 둔다.
반면에 스트라토노비치 미적분은 일반 미적분학과 유사한 규칙을 가지며 본질적인 기하학적 속성을 가지고 있어 다양체 상의 무작위 운동과 같은 기하학적 문제에 다룰 때 더 자연스럽지만, 예를 들어 부분 다양체 상의 SDE를 최적으로 근사하려고 할 때 이토 SDE를 통해 다양체 상의 무작위 운동을 모델링하는 것이 가능하며 어떤 경우에는 선호된다.

SDE에 대한 대안적인 관점은 미분 동형의 확률 흐름이다. 이러한 이해는 모호하지 않으며 확률 차분 방정식의 연속 시간 한계의 스트라토노비치 버전에 해당한다. SDE와 관련된 방정식은 스몰루호프스키 방정식 또는 포커르-플랑크 방정식으로, 확률 밀도 함수의 시간 진화를 설명하는 방정식이다. 포커르-플랑크 진화를 미분 형식의 시간 진화로 일반화한 것은 확률적 진화 연산자 개념에 의해 제공된다.

물리학에서는 "랑주뱅 SDE"라는 용어 사용에 모호함이 있다. 랑주뱅 SDE는 더 일반적인 형태를 가질 수 있지만, 이 용어는 일반적으로 구배 흐름 벡터장과 관련된 좁은 범위의 SDE를 지칭한다. 이 SDE 클래스는 파리시-수라스 확률 양자화 절차의 시작점이기 때문에 특히 인기가 있으며, 초대칭 양자역학과 밀접하게 관련된 N=2 초대칭 모델로 이어진다. 그러나 물리적 관점에서 이 SDE 클래스는 위상 초대칭의 자발적인 붕괴를 보이지 않기 때문에 그다지 흥미롭지 않다. 즉, (과도 감쇠) 랑주뱅 SDE는 결코 혼돈적이지 않다.

 확률 미적분 
브라운 운동 또는 위너 확률 과정은 수학적으로 매우 복잡하다는 것이 밝혀졌다. 위너 확률 과정은 거의 확실하게 미분 불가능하며, 따라서 자체적인 미적분 규칙이 필요하다. 확률 미적분학에는 이토 확률 미적분과 스트라토노비치 확률 미적분의 두 가지 주요 버전이 있다. 둘 다 장단점이 있으며, 초보자들은 주어진 상황에서 어느 것이 더 적절한지 종종 혼란스러워한다. 지침이 존재하며 (예: Øksendal, 2003) 편리하게 이토 SDE를 동등한 스트라토노비치 SDE로 변환하고 다시 되돌릴 수 있다. 그러나 SDE가 처음 작성될 때 어떤 미적분을 사용해야 하는지 주의해야 한다.

 수치 해법 
확률미분방정식의 수치 해법에는 오일러-마루야마 방법, 밀스타인 방법, 룽게-쿠타 방법 (SDE), 로젠브록 방법, 및 반복 확률 적분의 다른 표현을 기반으로 하는 방법들이 있다.

 물리학에서의 사용 

물리학에서 SDE는 분자 동역학에서 신경 동역학, 천체 역학에 이르기까지 폭넓게 응용된다. 더 구체적으로, SDE는 양자 효과가 중요하지 않거나 섭동으로 고려될 수 있는 모든 동역학 시스템을 설명한다. SDE는 동역학 시스템 이론을 잡음이 있는 모델로 일반화한 것으로 볼 수 있다. 이것은 실제 시스템이 환경으로부터 완전히 격리될 수 없으며 이 때문에 항상 외부 확률적 영향을 경험하기 때문에 중요한 일반화이다.

고차 방정식을 새로운 미지수를 도입하여 여러 개의 결합된 1차 방정식으로 변환하는 표준 기술이 있다. 따라서 다음은 SDE의 가장 일반적인 클래스이다.

여기서 는 시스템의 위상 (또는 상태) 공간 에서의 위치이며, 미분 다양체라고 가정한다. 는 결정론적 진화 법칙을 나타내는 흐름 벡터장이며, 는 시스템과 가우시안 백색 잡음 의 결합을 정의하는 벡터장 집합이다. 만약 가 선형 공간이고 가 상수이면, 시스템은 가산 잡음에 노출된다고 하며, 그렇지 않으면 곱셈 잡음에 노출된다고 한다. 가산 잡음의 경우, SDE의 이토 및 스트라토노비치 형태는 동일한 해를 생성하며, SDE를 푸는 데 어떤 정의를 사용하든 중요하지 않다. 곱셈 잡음 SDE의 경우, SDE의 이토 및 스트라토노비치 형태는 다르며, 이들 사이의 매핑에 주의해야 한다.

고정된 잡음 구성에 대해 SDE는 초기 조건에 대해 미분 가능한 유일한 해를 가진다. 확률적 경우의 비자명성은 잡음 구성에 대해 관심 있는 다양한 대상을 평균하려고 할 때 나타난다. 이러한 의미에서, SDE는 잡음이 곱셈적이고 SDE가 확률 차분 방정식의 연속 시간 한계로 이해될 때 유일하게 정의된 실체가 아니다. 이 경우, SDE는 이토 또는 스트라토노비치 SDE 해석과 같은 "SDE의 해석"으로 알려진 것으로 보완되어야 한다. 그럼에도 불구하고, SDE가 미분 동형의 연속 시간 확률 흐름으로 간주될 때, 이는 확률 차분 방정식의 연속 시간 한계에 대한 스트라토노비치 접근 방식에 해당하는 유일하게 정의된 수학적 객체이다.

물리학에서 주요 해법은 동등한 포커르-플랑크 방정식(FPE)을 사용하여 시간의 함수로 확률 분포 함수를 찾는 것이다. 포커르-플랑크 방정식은 결정론적 편미분 방정식이다. 이 방정식은 슈뢰딩거 방정식이 양자 파동 함수의 시간 진화를 제공하거나 확산 방정식이 화학 농도의 시간 진화를 제공하는 것과 유사하게 확률 분포 함수가 시간적으로 어떻게 진화하는지를 알려준다. 또는 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 수치 해법을 얻을 수 있다. 다른 기술로는 통계 물리학과 양자역학 사이의 유사성을 활용하는 경로 적분 공식화(예를 들어, 포커르-플랑크 방정식은 몇 가지 변수를 재조정하여 슈뢰딩거 방정식으로 변환될 수 있다) 또는 확률 분포 함수의 통계적 모멘트에 대한 상미분 방정식을 작성하는 것이 있다.

 확률론 및 수리금융학에서의 사용 
확률론 (그리고 확률론의 많은 응용 분야, 예를 들어 신호 처리의 필터링 문제 및 수리금융학)에서 사용되는 표기법은 약간 다르다. 이는 또한 확률미분방정식의 수치 해법에 대한 출판물에서 사용되는 표기법이기도 하다. 이 표기법은 물리학 공식에서 시간의 무작위 함수 의 이국적인 특성을 더 명확하게 보여준다. 엄격한 수학적 용어로는 는 일반 함수로 선택될 수 없고, 일반화된 함수로만 선택될 수 있다. 수학적 공식화는 물리학 공식화보다 이러한 복잡성을 덜 모호하게 다룬다.

전형적인 방정식은 다음과 같은 형태이다.

여기서 는 위너 확률 과정 (표준 브라운 운동)을 나타낸다.
이 방정식은 해당하는 적분 방정식을 비공식적으로 표현하는 것으로 해석되어야 한다.

위 방정식은 연속 시간 확률 과정 Xt의 동작을 일반 르베그 적분과 이토 적분의 합으로 특징화한다. 확률미분방정식에 대한 휴리스틱 (그러나 매우 유용한) 해석은 길이 δ의 작은 시간 간격에서 확률 과정 Xt가 기댓값 μ(Xt, t) δ와 분산 σ(Xt, t)2 δ로 정규 분포되어 있고 과정의 과거 행동과 독립적인 양만큼 그 값을 변화시킨다는 것이다. 이는 위너 과정의 증분이 독립적이고 정규 분포되어 있기 때문이다. 함수 μ는 드리프트 계수라고 불리며, σ는 확산 계수라고 불린다. 확률 과정 Xt는 확산 과정이라고 불리며, 마르코프 확률 과정을 만족한다.

SDE의 형식적인 해석은 SDE에 대한 해의 구성 요소를 통해 주어진다. SDE에 대한 해의 두 가지 주요 정의는 강한 해와 약한 해이다. 둘 다 SDE의 적분 방정식 버전을 만족하는 과정 Xt의 존재를 요구한다. 둘 사이의 차이점은 기본 확률 공간 ()에 있다. 약한 해는 적분 방정식을 만족하는 확률 공간과 과정으로 구성되는 반면, 강한 해는 방정식을 만족하고 주어진 확률 공간에 정의된 과정이다. 야마다가-와타나베 정리는 이 둘 사이의 관계를 만든다.

중요한 예시로는 기하 브라운 운동에 대한 방정식이 있다.

이는 수리금융학의 블랙-숄즈 옵션 가격 모델에서 주식 가격의 동역학에 대한 방정식이다.

기하 브라운 운동을 일반화하여, 강한 해를 허용하고 그 분포가 다른 기하 브라운 운동 또는 블랙-숄즈 모델에서 나오는 밀도들의 볼록 조합인 SDE를 정의하는 것도 가능하다. 이를 통해 솔루션이 다른 블랙-숄즈 모델의 로그 정규 분포의 혼합 동역학으로 분포되는 단일 SDE를 얻을 수 있다. 이는 변동성 스마일을 다룰 수 있는 모델로 이어진다.

더 간단한 SDE인 산술 브라운 운동

는 1900년 루이 바슐리에가 주가에 대한 첫 번째 모델로 사용했으며, 오늘날 바슐리에 모형으로 알려져 있다.

계수 μ와 σ가 확률 과정 Xt의 현재 값뿐만 아니라 과정의 이전 값과 다른 과정의 현재 또는 이전 값에도 의존하는 더 일반적인 확률미분방정식도 있다. 이 경우 해 과정 X는 마르코프 과정이 아니며, 이토 과정이라고 불리며 확산 과정은 아니다. 계수가 X의 현재 값과 과거 값에만 의존할 때, 정의 방정식은 확률 지연 미분 방정식이라고 불린다.

점프가 있는 준마팅게일에 대한 피스크-스트라토노비치 적분으로 일반화된 확률미분방정식은 마커스 유형의 SDE이다. 마커스 적분은 맥셰인의 확률 미적분학의 확장이다.

확률 금융에서의 응용은 오른슈타인-울렌벡 과정에 대한 방정식의 사용에서 파생된다.

이는 수익률이 로그 정규 분포를 나타낸다는 가설 하에 주식 가격의 수익률 동역학에 대한 방정식이다.
이 가설 하에 마르첼로 미넨나(Marcello Minenna)가 개발한 방법론은 시장 남용 현상을 숨길 수 있는 비정상적인 수익률을 식별할 수 있는 예측 구간을 결정한다.

 다양체 위의 SDE 
더 일반적으로는 확률 미적분학 이론을 미분 다양체로 확장할 수 있으며, 이를 위해 피스크-스트라토노비치 적분을 사용한다. 다양체 , 유한 차원 벡터 공간 , 표준 조건을 만족하는 를 가진 필터링된 확률 공간 , 그리고 를 한 점 콤팩트화로, 를 -측정 가능하다고 하자. 위의 확률미분방정식은 다음과 같이 쓰여진다.

여기서 는 쌍으로,
는 연속적인 값의 준마팅게일이다.
는 위의 벡터 다발의 준동형 사상이다.
각 에 대해 사상 은 선형이며, 각 에 대해 이다.

초기 조건 을 가진 위의 SDE의 해는 수명 까지의 연속적인 -순응 값의 과정 으로, 각 시험 함수 에 대해 과정 는 실측 준마팅게일이고, 인 각 정지 시간 에 대해 방정식

이 -거의 확실하게 성립한다. 여기서 는 에서의 미분이다. 수명 가 최대일 때 최대 해라고 한다. 즉,

-거의 확실하게. 각 시험 함수 에 대해 가 준마팅게일이라는 사실로부터 가 위의 준마팅게일이라는 것이 따른다. 최대 해가 주어지면 의 시간을 전체 로 확장할 수 있으며, 위에서 의 연속 후에 다음을 얻는다.

구분 불가능한 과정까지.
스트라토노비치 SDE는 좌표 변환 시 벡터장으로 동작하는 체인 규칙과 드리프트 및 확산 계수를 만족한다는 점에서 다양체 위의 SDE에 대한 자연스러운 선택이지만, 다양체 위의 이토 미적분학이 선호되는 경우도 있다. 다양체 위의 이토 미적분학 이론은 로랑 슈바르츠에 의해 슈바르츠 동형 사상의 개념을 통해 처음 개발되었으며, 제트 다발을 기반으로 하는 다양체 위의 이토 SDE에 대한 관련 2-제트 해석도 참조. 이 해석은 큰 공간에 주어진 SDE의 해를 그 공간의 부분 다양체에 주어진 SDE의 해로 최적으로 근사하려고 할 때 유용하며, 스트라토노비치 기반의 투영은 최적이 아닐 수 있다. 이는 필터링 문제에 적용되어 최적 투영 필터로 이어졌다.

 거친 경로로서의 SDE 
일반적으로 SDE의 해는 확률적 환경을 필요로 한다. 해에 암시된 적분이 확률 적분이기 때문이다. 만약 미분 방정식을 경로별로 다룰 수 있다면 확률 적분을 정의할 필요가 없으며 확률론과 독립적으로 이론을 개발할 수 있을 것이다.
이는 SDE를 다음과 같이 고려하는 것으로 이어진다.

각 에 대해 단일 결정론적 미분 방정식으로, 여기서 는 주어진 확률 공간 ()의 표본 공간이다. 그러나 SDE의 직접적인 경로별 해석은 불가능하다. 브라운 운동 경로는 무한 변동성을 가지며 확률적으로 거의 모든 곳에서 미분 불가능하기 때문에 와 같은 항에 의미를 부여할 수 있는 단순한 방법이 없으며, 각 에 대한 적분으로서 확률 적분의 단순한 경로별 정의도 불가능하다. 그러나 정규 잡음이 있는 SDE 해의 극한에 대한 웡-자카이 결과에 동기 부여를 받고 거친 경로 이론을 사용하며, 브라운 운동의 반복 적분에 대한 선택된 정의를 추가하면, 예를 들어 특정 반복 브라운 적분 선택에 대해 확률적으로 이토 적분과 일치하는 각 에 대한 결정론적 거친 적분을 정의할 수 있다. 반복 적분의 다른 정의는 스트라토노비치 적분과 같은 다른 확률 적분의 결정론적 경로별 등가물로 이어진다. 이것은 예를 들어 확률 없이 옵션 가격을 책정하는 수리금융학에서 사용되었다.

 해의 존재 및 유일성 

결정론적 상미분 및 편미분 방정식과 마찬가지로 주어진 SDE가 해를 가지는지, 그리고 그것이 유일한지 아는 것이 중요하다. 다음은 n-차원 유클리드 공간 Rn에서 값을 취하고 m-차원 브라운 운동 B에 의해 구동되는 이토 SDE에 대한 전형적인 존재 및 유일성 정리이다. 증명은 Øksendal (2003, §5.2)에서 찾을 수 있다.

T > 0이라고 하고,

다음과 같은 상수 C와 D가 존재하는 가측 함수라고 하자.

모든 t ∈ [0, T]와 모든 x, y ∈ Rn에 대해, 여기서

Z를 Bs, s ≥ 0에 의해 생성된 σ-대수와 독립적이며 유한한 2차 모멘트를 가진 확률 변수라고 하자.

그러면 확률미분방정식/초기값 문제

는 P-거의 확실하게 유일한 t-연속 해 (t, ω) ↦ Xt(ω)를 가지며, X는 Z와 Bs, s ≤ t에 의해 생성된 여과 FtZ에 순응하며,

 일반적인 경우: 국소 립시츠 조건과 최대 해 
위의 확률미분방정식은 더 일반적인 형태의 특별한 경우에 불과하다.

여기서
 는 의 연속 준마팅게일이고 는 의 연속 준마팅게일이다.
 는 열린 비어 있지 않은 집합 에서 오는 사상으로, 는 에서 로의 모든 선형 사상 공간이다.
더 일반적으로 다양체 위의 확률미분방정식을 살펴볼 수도 있다.

이 방정식의 해가 발산하는지 여부는 의 선택에 따라 달라진다. 가 어떤 국소 립시츠 조건을 만족한다고 가정하자. 즉, 과 어떤 콤팩트 집합 와 어떤 상수 에 대해 다음 조건이 성립한다.

여기서 는 유클리드 노름이다. 이 조건은 소위 최대 해의 존재와 유일성을 보장한다.

가 연속이고 위 국소 립시츠 조건을 만족한다고 가정하고 를 초기 시그마 대수에 대한 가측 함수인 초기 조건이라고 하자. 를 거의 확실하게 인 예측 가능한 정지 시간이라고 하자. 값의 준마팅게일 는 수명 를 가진

의 최대 해라고 불린다. 만약
 하나 (그리고 모든) 를 알리는 것에 대해 정지된 과정 이 정지된 확률미분방정식의 해이다.

 집합에서 우리는 거의 확실하게 일 때 를 가진다.
는 또한 소위 폭발 시간이다.

 명시적으로 풀 수 있는 예시 

명시적으로 풀 수 있는 SDE는 다음과 같다.

 선형 SDE: 일반적인 경우 

여기서

 환원 가능한 SDE: 경우 1 

주어진 미분 가능한 함수 에 대해 다음 스트라토노비치 SDE와 동등하다.

일반적인 해는 다음과 같다.

여기서

 환원 가능한 SDE: 경우 2 

주어진 미분 가능한 함수 에 대해 다음 스트라토노비치 SDE와 동등하다.

이는 다음으로 환원 가능하다.

여기서 이며 는 이전에 정의된 바와 같다.
그 일반적인 해는 다음과 같다.

 SDE와 초대칭 

SDE의 초대칭 이론에서, 확률 동역학은 모델의 위상/상태 공간 위의 미분 형식에 작용하는 확률 진화 연산자를 통해 정의된다. 확률 동역학의 이러한 공식화에서 모든 SDE는 위상 초대칭을 가지는데, 이는 연속적인 시간 흐름에 의한 위상 공간의 연속성 유지를 나타낸다. 이 초대칭의 자발적 붕괴는 혼돈으로 알려진 어디에나 존재하는 동역학적 현상의 수학적 본질이다.

 같이 보기 
 역확률미분방정식
 랑주뱅 동역학
 국소 변동성
 확률 과정
 확률 변동성
 확률 편미분 방정식
 확산 과정
 확률 차분 방정식
 확률적 동역학의 초대칭 이론

 각주 

 추가 자료 
 에반스, 로렌스 C. (2013). 확률미분방정식 서론 미국 수학회.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 데스몬드 하이엄과 피터 클뢰덴: "확률미분방정식의 수치 시뮬레이션 입문서", SIAM, (2021).

 
분류:미분방정식
분류:확률 과정
분류:수리금융학