겔판트-나이마르크-세갈 구성

수학의 한 분야인 함수해석학에서, -대수 가 주어졌을 때 겔판트-나이마르크-세갈 구성(, GNS 구성)은 의 순환 -표현과 위의 특정 선형 범함수(상태라고 불림) 사이의 대응 관계를 확립한다. 이 대응은 상태로부터 -표현을 명시적으로 구성함으로써 보여진다. 이 명칭은 이즈라일 겔판트, 마르크 나이마르크, 그리고 어빙 세갈의 이름을 따서 명명되었다.

 상태와 표현 
힐베르트 공간 위에서 -대수 의 -표현이란 다음과 같은 에서 위의 유계 작용소 대수로 가는 사상 이다.
 는 의 대합을 작용소의 대합으로 옮기는 환 준동형사상이다.
 는 비퇴화이다. 즉, 가 전체를 훑고 가 전체를 훑을 때 벡터 들의 공간이 조밀하다. 가 항등원을 가지는 경우, 비퇴화는 가 단위를 보존함(즉, 가 의 항등원을 위의 항등 작용소로 사상함)을 의미한다.

-대수 위의 상태는 노름이 인 양의 선형 범함수 이다. 만약 가 승법 항등원을 가진다면, 이 조건은 과 동치이다.

힐베르트 공간 위에서 -대수 의 표현 에 대하여, 만약 벡터들의 집합

가 에서 노름 조밀하다면 원소 를 순환 벡터(cyclic vector)라고 부르며, 이 경우 를 순환 표현이라고 한다. 기약표현의 모든 0이 아닌 벡터는 순환 벡터이다. 그러나 일반적인 순환 표현에서 0이 아닌 벡터가 순환 벡터가 되지 못할 수도 있다.

 GNS 구성 
를 힐베르트 공간 위에서 -대수 의 -표현이라 하고, 를 에 대한 단위 노름 순환 벡터라고 하자. 그러면

는 의 상태이다.

반대로, 의 모든 상태는 아래와 같이 적절한 정준 표현(canonical representation) 하에서 벡터 상태로 간주될 수 있다.

위 정리의 증명에서 의 상태로부터 -표현을 생성하는 데 사용된 방법을 GNS 구성이라고 한다.
-대수 의 상태에 대해, 대응하는 GNS 표현은 아래 정리에서 보듯이 조건 에 의해 본질적으로 유일하게 결정된다.

 GNS 구성의 의의 
GNS 구성은 -대수를 작용소들의 대수로 특징짓는 겔판트-나이마르크 정리 증명의 핵심이다. -대수는 충분히 많은 순수 상태(아래 참조)를 가지고 있어서 대응하는 기약 GNS 표현들의 직합이 충실하다.

모든 상태에 대응하는 GNS 표현들의 직합을 의 보편 표현이라고 한다. 의 보편 표현은 모든 순환 표현을 포함한다. 모든 -표현은 순환 표현들의 직합이므로, 의 모든 -표현은 보편 표현의 복사본들의 어떤 합의 직합 성분이 된다.

만약 가 -대수 의 보편 표현이라면, 약작용소 위상에서 의 폐포를 의 포괄 폰 노이만 대수라고 한다. 이는 이중 쌍대 와 식별될 수 있다.

 기약성 
또한 기약 -표현과 상태들의 볼록 집합의 극점 사이의 관계도 중요하다. 위의 표현 가 기약이라는 것은 자체와 자명한 부분 공간 이외에 모든 작용소 에 대해 불변인 의 닫힌 부분 공간이 존재하지 않음을 의미한다.

이 두 결과는 바나흐-앨러오글루 정리로부터 즉각 도출된다.

단위원이 있는 가환적인 경우, 어떤 콤팩트 공간 위의 연속 함수들의 -대수 에 대해, 리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리는 노름이 인 양의 범함수들이 정확히 총 질량이 인 위의 보렐 양의 측도임을 말해준다. 크레인-밀만 정리에 의해 극대 상태(extremal states)는 디락 점질량 측도들이다.

반면에, 의 표현이 기약인 것은 그것이 1차원인 것과 동치이다. 따라서 측도 에 대응하는 의 GNS 표현이 기약인 것은 가 극대 상태인 것과 동치이다. 이는 사실 일반적인 -대수에 대해서도 참이다.

이 결과를 증명하기 위해 먼저 표현이 기약인 것은 의 교환자(로 표기)가 항등 작용소의 스칼라배로만 구성되는 것과 동치임을 주목한다.

에 의해 지배되는 위의 임의의 양의 선형 범함수 는 작용소 순서에서 을 만족하는 내의 어떤 양의 작용소 에 대하여

의 형태를 띤다. 이는 라돈-니코딤 정리의 한 버전이다.

그러한 에 대해 를 양의 선형 범함수들의 합 로 쓸 수 있다. 따라서 는 의 부분 표현과 유니터리 동치이다. 이는 가 기약인 것이 그러한 모든 가 와 유니터리 동치인 것, 즉 가 의 스칼라배인 것과 동치임을 보여주며, 이로써 정리가 증명된다.

극대 상태는 보통 순수 상태라고 불린다. 상태가 순수 상태인 것은 상태들의 볼록 집합에서 극점인 것과 동치이다.

-대수에 대한 위의 정리들은 근사 항등원을 가진 -대수의 문맥에서도 더 일반적으로 유효하다.

 일반화 
완전 양 사상을 특징짓는 스타인스프링 분해 정리는 GNS 구성의 중요한 일반화이다.

 역사 
겔판트-나이마르크 정리에 관한 겔판트와 나이마르크의 논문은 1943년에 발표되었다. 세갈은 이 작업에 내재된 구성을 인식하고 이를 더 정교한 형태로 제시했다.

1947년 논문에서 세갈은 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 설명될 수 있는 모든 물리계에 대해 -대수의 기약 표현을 고려하는 것으로 충분함을 보여주었다. 양자론에서 이는 -대수가 관측 가능량들에 의해 생성됨을 의미한다. 세갈이 지적했듯이, 이것은 이전에 존 폰 노이만에 의해 비상대론적 슈뢰딩거-하이젠베르크 이론의 특정 사례에 대해서만 보여진 바 있었다.

 같이 보기 
 순환 및 분리 벡터
 KSGNS 구성

 각주 

 William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
 Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. .
 Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.영어 번역: 
 Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
 Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, , p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)

 Shoichiro Sakai, C*-Algebras and W*-Algebras, Springer-Verlag 1971. 

 내부 참조 

분류:함수해석학