이론 (논리학)

수학 및 논리학에서 공리계 또는 공리 시스템(axiomatic system 또는 axiom system)은 이론 컴퓨터 과학에서도 사용되는 표준적인 종류의 연역적 논리 구조이다. 이것은 다른 진술의 논리적 귀결을 위해 사용되는 공리로 알려진 형식적인 진술 집합으로 구성된다. 수학에서 공리의 이러한 논리적 결과는 보조정리 또는 정리로 알려질 수 있다. 수학 이론은 공리계와 모든 파생된 정리들을 지칭하는 데 사용되는 표현이다.

공리계 내에서의 증명은 새로운 진술을 공리의 결과로 확립하는 일련의 연역적 단계이다. 그 자체로 공리 시스템은 의도적으로 통사적 구성이다. 공리가 책과 기술 논문에서 흔히 사용되는 자연어로 표현될 때, 명사는 플레이스홀더 단어로 의도된다. 공리적 접근 방식의 사용은 명사가 실제 세계의 의미적 가치를 가질 수 있는 비형식적 추론에서 벗어나 형식적 증명으로 향하는 움직임이다. 완전히 형식적인 환경에서는 술어 논리와 같은 논리 시스템이 증명에 사용되어야 한다. 형식적 공리적 추론의 현대적 적용은 의미론적 고려 사항의 배제와 사용 중인 논리 시스템의 사양이라는 점에서 전통적인 방법과 다르다.

 수학의 공리적 방법 
명제 집합을 특정 공리 모음으로 축소하는 것은 수학 연구의 기본을 이룬다. 이러한 의존성은 20세기 전반의 수학에서 매우 두드러지고 논란이 많았으며, 이 시기는 공리적 방법의 주요 이정표 중 일부가 속한다. 안드레이 콜모고로프의 1933년 확률의 공리는 두드러진 예이다. 이 접근 방식은 수학자들과 수학을 적용하는 사람들의 직관의 일부를 잘라냈기 때문에 때때로 "형식주의"로 공격받았다. 역사적 맥락에서 이 주장된 형식주의는 현재 연역주의로 논의되며, 여전히 수학에 대한 널리 퍼진 철학적 접근 방식이다.

 1900년까지의 공리계의 타임라인 

주요 공리계는 19세기에 개발되었다. 여기에는 비유클리드 기하학, 게오르크 칸토어의 추상 집합론, 그리고 힐베르트의 유클리드 기하학에 대한 수정주의적 공리가 포함되었다.

 20세기 초의 상황 
다비트 힐베르트는 "수학기초론 연구를 위한 탐구 프레임워크로서 공리적 방법을 명시적으로 채택한 최초의 인물"이었다. 힐베르트에게 중요한 기초 문제 중 하나는 칸토어의 집합론의 논리적 지위였다. 1900년에 발표된 그의 23가지 미해결 수학 문제 목록에서 힐베르트는 연속체 가설을 목록의 첫 번째 문제로 삼았다.

힐베르트의 여섯 번째 문제는 "수학이 중요한 역할을 하는 모든 과학 분야의 공리화"를 요구했다. 그는 적어도 수리물리학과 확률의 주요 분야를 염두에 두었다. 과학에 미친 영향에 대해 조르지오 이스라엘은 다음과 같이 썼다.

수학자 펠릭스 클라인이 설립한... 데이비드 힐베르트의 영향 아래 괴팅겐 학파는... 집합론, 함수해석학, 양자역학 및 수리논리학에 노력을 기울였다. 이는 확률 이론에서 이론 물리학에 이르기까지 [20세기] 과학을 혁신할 공리적 방법을 방법론적 원칙으로 채택함으로써 이루어졌다.

이스라엘은 또한 프랑스와 이탈리아에서 이 "독일 모델"과 그 국제적 범위에 대한 문화적 저항에 대해서도 언급한다. 초기 세계 수학자 대회에서는 프랑스의 앙리 푸앵카레의 수리물리학에 대한 견해를 들었으며, 힐베르트의 목록은 두 번째 대회에 제출되었다. 이탈리아 대수기하학 학파는 이론 구축 및 교육학에서의 공리적 작업에 대해 다른 태도를 취했다.

 1901년 이후의 공리계 타임라인 
1950년까지의 기간 동안 순수수학의 대부분은 널리 받아들여지는 공리적 기초를 얻었다. 공리적 집합론에서는 여러 시스템이 공존했다. 수학은 더 간결하고, 비록 비형식적이지만 덜 서술적인 스타일로 작성되기 시작했다.

반면에 공리적 방법을 근본적인 것으로 간주하는 힐베르트와 관련된 접근 방식은 비판을 받았다. 라위천 에흐베르튀스 얀 브라우어르의 힐베르트의 전체 프로그램에 대한 비판의 일부는 아런트 헤이팅에 의한 직관주의 명제 논리의 공리화로 이어졌다. 이는 브라우어르-헤이팅-콜모고로프 해석이라는 제목 아래 논리적 계산의 교환을 통해 수학의 구성주의와 "연역주의"를 조화시킬 수 있게 했다.

 20세기 중반의 상황 
1950년 수학의 세 가지 주요 특징은 다음과 같다.

 부르바키 그룹의 수학 원론 시리즈의 지속적인 출판. 이는 기초 개념에 대한 백과사전적 처리를 목표로 했다.
 앙드레 베유의 대수 기하학의 기초 출판 이후 대수기하학 기초의 역동적인 상황.
 만족스러운 공리적 기초가 부족했던 양자장론(QFT).

 부르바키식 공리론 
부르바키의 목표는 (a) 집합론의 최소화된 논리적 기초에 기반을 둔 공리적인, (b) 물리학과 계산의 요구를 제외한 힐베르트와 괴팅겐 학파의 전통에 따른, (c) 현재 발전 상황에 대한 프랑스의 수용과 같이 수학의 광범위한 처리를 위한 것이었다. 초기 작업은 20세기 초의 고전 해석학에 대한 표준 교과서인 에두아르 구르사의 Cours d'analyse mathématique에 대한 급진적인 젊은 터키인 반응과 바르털 레인더르트 판데르바르던의 1930년대 초 추상대수학에 대한 Moderne Algebra 교과서에 찬성하여 수행되었다.

1950년의 익명 논문(실제로는 장 디외도네의 저작)은 부르바키의 공리적 방법에 대한 태도를 설명했다. 공리적으로 작업하는 주요 장점은 수학적 "형식", 즉 수학적 구조의 "정교화"에 있으며, 이는 기초 작업과 추론의 명확화보다 우선시된다고 주장된다. 디외도네가 쓴 내용은 힐베르트의 접근 방식에서 벗어난 당시의 것이었으며, 아직 범주론의 사상이 암시하는 의미의 구조에 도달한 것은 아니었다.

 추상 다양체의 타임라인 
유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설 증명 설명을 위해 베유는 곡선의 야코비 다양체와 일부 교차수 이론 결과를 사용했다. 그는 복소수가 아닌 표수 p의 체 위에서 작업했기 때문에 고전적인 결과를 이월하기 위해 순전히 대수적인 증명이 필요했다. 또한 그는 야코비 다양체를 "추상 다양체", 즉 복소 투영 공간에서 발견되는 투영 대수 다양체가 아닌 내재적인 수학적 대상으로 구성하는 방법을 사용했다.

한 세대 후, 로빈 하츠혼의 교과서 대수기하학 출판과 함께 "추상 다양체"는 스키마 이론 내에서 표준적인 정의를 얻었다.

 공리적 QFT 
QFT에 대한 그럴듯한 공리인 와이트먼 공리계는 아서 와이트먼에 의해 도입되었다. 이러한 공리에 대한 비자명한 예제의 필요성은 1960년대 중반 와이트먼의 지도 아래 아서 재피와 오스카 란포드의 박사 학위 논문을 통해 시작된 구성적 양자장론으로 이어졌다.

 공리계에 대한 논의 
수학에서 공리화는 지식 체계를 취하여 그 공리로 역추적하는 과정이다. 이것은 일련의 모순 없는 명제가 이 진술들로부터 연역적으로 도출될 수 있도록 여러 무정의 용어를 연결하는 진술(즉, 공리) 시스템을 공식화하는 것이다. 이후, 모든 명제의 증명은 원칙적으로 이러한 공리까지 거슬러 올라갈 수 있어야 한다. 공리화는 일반적으로 선택을 포함하며, 일단 이론이 공리화되면 암시된 수학적 결과에 영향을 주지 않고 공리 집합을 변경할 수 있다.

 공리와 공준 
고대 그리스 논리학에서는 공리와 공준 사이의 대조가 인식되었다(그러나 "공준"은 중세 라틴어에서 유래한 영어 용어이다). 이는 일관되게 적용되지는 않았지만, 공리는 무정의 용어에 대해 공통 기반이 되어야 하는 방식으로 말하는 것으로, 공준은 논증의 목적을 위한 "요청" 또는 "요구"로 반영되었다. 아리스토텔레스의 견해는 공준에 대해 최소주의적이었다.

1840년대 불의 불 대수 전통 작업 이후, 논리 자체는 "공준"만으로 발전했다. 19세기 말에 최소주의적 견해는 공리의 독립성에 대한 연구를 의미하는 것으로 받아들여졌다. 수학적 우아함도 고려 사항이었다. 프리드리히 슈르는 기하학의 기초(Grundlagen der Geometrie)에서 주어진 힐베르트 공리의 독립성 부족을 비판했다.

 공준적 분석의 타임라인 
수잔 스테빙에 따르면 공준적 분석은 "연역 체계의 구성에 사용되는 것"이다. 이는 공리계를 수정하거나 조정하는 데 적용되는 용어이다. 공리는 시스템에 추가되거나 제거될 수 있으며, 강화되거나 약화될 수 있다. 또한 연역에 사용되는 논리적 계산을 변경하는 것도 가능하다.

 속성 

공리계의 네 가지 중요한 속성은 무모순성, 상대적 무모순성, 완전성 및 독립성이다. 공리계는 무모순적이라고 하는 것은 모순이 없다는 것을 의미한다. 즉, 시스템의 공리로부터 진술과 그 부정 모두를 도출하는 것이 불가능하다.
모순의 존재는 어떤 진술이든 증명될 수 있게 하므로(폭발 원리) 무모순성은 대부분의 공리계에 대한 핵심 요구 사항이다.
상대적 무모순성은 공리계의 무모순성을 증명할 수 없을 때 발생한다. 그러나 어떤 경우에는 다른
공리 집합 B가 무모순적이라면 공리계 A가 무모순적임을 보일 수 있다.

공리계에서 공리는 시스템의 다른 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없을 때 독립적이라고 불린다. 시스템은 그 기본 공리 각각이 독립적일 때 독립적이라고 불린다. 무모순성과 달리, 많은 경우에 독립성은 작동하는 공리계에 필수적인 요구 사항은 아니다. 비록 일반적으로 시스템의 공리 수를 최소화하기 위해 추구되기는 한다.

공리계는 모든 진술에 대해 그 자체 또는 그 부정이 시스템의 공리로부터 도출 가능할 때, 즉 모든 진술이 공리를 사용하여 참 또는 거짓으로 증명될 수 있을 때 완전하다고 불린다. 그러나 어떤 경우에는 진술이 증명될 수 있는지 여부가 결정 불가능할 수도 있다는 점에 유의해야 한다.

 공리와 모형 

공리계의 모형은 시스템에 제시된 정의되지 않은 용어에 대해 시스템에 정의된 관계와 일치하는 방식으로 의미를 할당하는 형식적 구조이다. 공리계에 모형이 있다면 공리는 만족되었다고 한다. 공리계를 만족하는 모형의 존재는 시스템의 무모순성을 증명한다.

모형은 또한 시스템 내에서 공리의 독립성을 보여주는 데 사용될 수 있다. 특정 공리 없이 부분 시스템에 대한 모형을 구성함으로써 생략된 공리가 부분 시스템으로부터 그 정확성이 반드시 따르지 않는다면 독립적임을 보여준다.

두 모형은 그 요소들 사이에 관계를 보존하는 방식으로 일대일 대응이 발견될 수 있을 때 동형적이라고 한다. 모든 모형이 다른 모형과 동형적인 공리계는 범주형 또는 범주적이라고 불린다. 그러나 이 용어는 범주론의 주제와 혼동되어서는 안 된다. 범주적 특성(범주성)은 시스템의 완전성을 보장하지만, 그 역은 참이 아니다. 두 모형이 시스템의 의미론으로 표현할 수 없는 속성에서 다를 수 있기 때문에 완전성이 시스템의 범주적 특성을 보장하지 않는다.

 불완전성 
형식 시스템이 완전하지 않다면 모든 증명이 속한 시스템의 공리로 거슬러 올라갈 수 없다. 예를 들어, 수론적 진술이 산술의 언어(즉, 페아노 공리의 언어)로 표현될 수 있고, 위상수학 또는 복소해석학에 호소하는 증명이 주어질 수 있다. 오직 페아노 공리로부터만 파생되는 다른 증명을 찾을 수 있는지 여부는 즉시 명확하지 않을 수 있다.

 같이 보기 

 
 
 
 
 
 
 
 , 집합론의 공리계이자 오늘날 수학의 가장 일반적인 기초이다.

 각주 

 더 읽어보기 
 
 Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com

분류:공리
분류:형식 체계