shopkeeper/kowiki-cleaned-020126 huggingface dataset:
GeoRSS

GeoRSS는 웹 피드의 일부로 위치를 인코딩하기 위한 사양이다. (웹 피드는 뉴스 기사, 오디오 블로그, 브이로그 및 텍스트 블로그 항목과 같은 콘텐츠 피드("채널")를 설명하는 데 사용된다. 이러한 웹 피드는 뉴스 애그리게이터 및 웹 브라우저와 같은 프로그램에 의해 렌더링된다.) "GeoRSS"라는 이름은 가장 잘 알려진 웹 피드 및 신디케이션 형식인 RSS에서 유래되었다.

GeoRSS에서 위치 콘텐츠는 지리적 관심 지점, 선, 다각형 및 관련 기능 설명으로 구성된다. GeoRSS 피드는 지도 생성기와 같은 지리적 소프트웨어에서 사용하도록 설계되었다. GeoRSS 협업은 공통 정보 모델을 기반으로 이러한 인코딩을 구축함으로써 인코딩 간의 상호 운용성과 "상향 호환성"을 촉진하고 있다.

이 시점에서 GeoRSS 협업은 GeoRSS 지리 마크업 언어 (GML) 및 GeoRSS Simple이라는 두 가지 주요 인코딩에 대한 작업을 완료했다. GeoRSS-Simple은 기본적인 기하학 (점, 선, 상자, 다각형)을 지원하고 위치 인코딩 시 일반적인 사용 사례를 다루는 매우 경량의 형식이다. GeoRSS GML은 공식적인 개방형 공간 정보 컨소시엄 (OGC) GML 애플리케이션 프로필이며, GeoRSS Simple보다 더 넓은 범위의 기능, 특히 WGS84 위도/경도 이외의 좌표 참조 시스템을 지원한다. 또한 더 오래되었고 부분적으로는 더 이상 사용되지 않지만 여전히 가장 널리 사용되는 W3C GeoRSS 직렬화도 있다.

GeoRSS는 RSS 1.0과 2.0은 물론, IETF의 최신 피드 표준인 Atom을 확장하는 데 사용될 수 있다.

예시
다음은 Atom을 사용한 GeoRSS Simple 예시이다.
 

Earthquakes

International earthquake observation labs

2005-12-13T18:30:02Z

Dr. Thaddeus Remor

tremor@quakelab.edu

urn:uuid:60a76c80-d399-11d9-b93C-0003939e0af6

M 3.2, Mona Passage

urn:uuid:1225c695-cfb8-4ebb-aaaa-80da344efa6a

2005-08-17T07:02:32Z

We just had a big one.

45.256 -71.92

다음은 RSS 2.0용 GeoRSS GML 인코딩에 대한 스키마 단편이다.
 

http://maps.google.com
 
Cambridge Neighborhoods

One guy's view of Cambridge, Massachusetts

00000111c36421c1321d3

Thu, 05 Apr 2007 20:16:31 +0000

Central Square

The heart and soul of the "new" Cambridge. Depending on where you
 stand, you can feel like you're in the 1970s or 2020.

rajrsingh

 +71.106216 42.366661
 +71.105576 42.367104
 +71.104378 42.367134
 +71.103729 42.366249
 +71.098793 42.363331
 +71.101028 42.362541
 +71.106865 42.366123
 +71.106216 42.366661
 

다음은 W3C geo GeoRSS의 예시이다.
 

USGS M5+ Earthquakes

Real-time, worldwide earthquake list for the past 7 days

https://earthquake.usgs.gov/eqcenter/
 
U.S. Geological Survey

Thu, 27 Dec 2007 23:56:15 PST

Fri, 28 Dec 2007 05:24:17 GMT

M 5.3, northern Sumatra, Indonesia

December 28, 2007 05:24:17 GMT

https://earthquake.usgs.gov/eqcenter/recenteqsww/Quakes/us2007llai.php
 
5.5319

95.8972

 같이 보기 
 아톰 (표준), IETF의 XML 기반 웹 신디케이션 형식.
 RSS - Really Simple Syndication.

 각주 

 외부 링크 
 Georss.org (2020-09-09 보존), GeoRSS 사양 (모든 3가지 인코딩 설명) 및 예시 웹사이트
 OGC 백서 (pdf), 개방형 공간 정보 컨소시엄: GeoRSS 소개.

분류:지리 기술
분류:웹 매핑
샹베를랑 필터

섬네일|right|파스퇴르-샹베를랑 필터의 구성 요소

샹베를랑 필터(Chamberland filter)는 파스퇴르-샹베를랑 필터로도 알려져 있으며, 1884년 샤를 샹베를랑이 발명한 도자기 워터 필터이다.
이는 1827년 헨리 돌턴의 세라믹 워터 필터 이후에 개발되었다. 원리는 베르케펠트 필터와 유사하다.

설계
섬네일|right|샹베를랑 필터의 개략도
필터는 유입 파이프가 끼워지는 에나멜 도자기 링이 포함된 투과성 유약 없는 도자기 튜브(비스킷 도자기라고도 함)로 구성된다. 도자기의 중심은 물이 흘러나와 수집되는 구멍이 있는 금속 파이프로 이루어져 있다. 유입은 여압되어 여과가 강제로 이루어진다.

L1에서 L13까지 13가지 유형이 있다. L1 필터는 가장 거친 기공 크기를 가지며 L13은 가장 미세하다.

유용성
파스퇴르-샹베를랑 필터는 다른 세라믹 및 도자기 필터만큼 유용하다. 주로 대량 워터 필터로 사용되는 우수한 세균 워터 필터이다. 공급되는 물이 압력을 받을 때 필터가 더 빠르게 작동한다. 다른 유사 필터와 마찬가지로 바이러스나 미코플라스마와 같이 매우 작은 입자는 걸러낼 수 없다. 이는 세균 독소를 얻기 위해 유체 배양액에서 유기체를 제거하는 데 사용된다.

역사
샹베를랑 필터는 루이 파스퇴르의 파리 조수 중 한 명인 샤를 에두아르 샹베를랑에 의해 개발되었다. 원래 목적은 파스퇴르의 실험에 사용할 세균이 없는 여과수를 생산하는 것이었다.

이 필터는 당시 알려진 가장 작은 살아있는 유기체인 세균을 걸러내는 능력으로 점점 더 유명해졌다. 이 필터는 샹베를랑과 파스퇴르에 의해 미국과 유럽에서 특허를 받았다. 한 미국 회사가 오하이오주에서 이 이름의 라이선스를 취득했다. 그들은 개인 가정, 호텔, 레스토랑, 그리고 1893년 시카고 1893년 만국 박람회에 필터를 판매했다.

파스퇴르-샹베를랑 필터의 사용은 디프테리아와 파상풍 독소 등이 여과 후에도 질병을 유발할 수 있음을 발견하는 계기가 되었다. 이러한 독소의 식별은 그러한 질병을 치료하기 위한 항독소의 개발에 기여했다. 또한 처음에는 "여과성 바이러스"로 알려진 한 유형의 물질이 가장 작은 파스퇴르-샹베를랑 필터를 통과하고 살아있는 세포 내에서 스스로 복제한다는 사실도 발견되었다. 세균보다 작은 생물체가 존재한다는 발견은 바이러스학 분야를 확립하는 데 중요했다.

 각주 

분류:미생물학 장비
분류:프랑스의 발명품
분류:19세기 발명품
구간별 함수

섬네일|280px|구간별 선형 함수 의 그래프

수학에서 구간별 함수(piecewise function) 또는 구간별 정의 함수, 혼합 함수, 경우별로 정의된 함수는 함수의 정의역이 여러 구간("부분 정의역")으로 분할되어 함수가 다르게 정의될 수 있는 함수를 말한다. 구간별 정의는 결과 함수 자체의 특성이라기보다는 함수를 지정하는 방법인데, 정의역이 적어도 두 개의 점을 포함하는 모든 함수는 구간별 함수로 다시 작성할 수 있기 때문이다. 이 문서의 처음 세 문단은 "구간별"의 이러한 첫 번째 의미만을 다룬다.

구간별 선형, 구간별 매끄러움, 구간별 연속 등과 같은 용어들도 매우 흔하다. 어떤 속성 에 대해 함수가 구간별 라는 의미는 대략적으로 함수의 정의역을 속성 가 성립하는 조각들로 분할할 수 있다는 것이지만, 저자마다 약간 다르게 사용된다. 첫 번째 의미와 달리, 이것은 함수 자체의 속성이지 그것을 지정하는 방법만이 아니다. 때로는 이 용어가 삼각 분할과 관련된 더 전역적인 의미로 사용되기도 한다. 구간별 선형 다양체를 참고하라.

 표기법 및 해석 

섬네일|280px|right|절댓값 함수 의 그래프
섬네일|280px|함수 는 구간별 단조함수 (부분 정의역 , )이며 구간별 미분 가능 함수 (부분 정의역 , , )이다.
구간별 함수는 일반적인 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 함수의 본문은 함수의 배열과 관련 부분 정의역으로 구성된다. 부분 함수 또는 부분 정의역 열 뒤에 세미콜론이나 쉼표가 올 수 있다. 오른쪽 열 시작 부분의 또는 는 거의 생략되지 않는다.

부분 정의역들은 함께 전체 정의역을 덮어야 한다. 때로는 이들이 쌍별로 서로소여서 정의역의 분할을 형성해야 한다는 요구사항도 있다. 이것만으로도 함수가 "경우별로 정의"될 수 있지만, 전체 함수가 "구간별"이 되려면 부분 정의역들은 일반적으로 비어 있지 않은 구간(일부는 특이 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간일 수 있음)이어야 하며, 어떤 유계 구간에서도 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 없는 경우가 많다. 이는 유계 정의역을 가진 함수는 유한한 수의 부분 정의역만 가지며, 무한 정의역을 가진 함수는 적절하게 퍼져 있는 한 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 있음을 의미한다.

예를 들어, 절댓값 함수의 구간별 정의를 고려해보자.

0보다 작은 모든 값에 대해서는 첫 번째 부분 함수 ()가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 반전시켜 음수를 양수로 만든다. 0보다 크거나 같은 모든 값에 대해서는 두 번째 부분 함수 가 사용되며, 이는 입력 값 자체로 자명하게 평가된다.

다음 표는 특정 값에 대한 절댓값 함수를 보여준다.

주어진 입력 값에 대해 구간별 정의 함수를 평가하려면, 올바른 부분 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 부분 정의역을 선택해야 한다.

 예시 

 계단 함수 또는 구간별 상수 함수, 상수 부분 함수들로 구성됨
 구간별 선형 함수, 일차 함수 부분 함수들로 구성됨
 파워 법칙, 파워 법칙 부분 함수들로 구성된 함수
 스플라인 곡선, 다항식 부분 함수들로 구성된 함수로, 종종 조각 사이의 연결점에서 매끄러워야 하는 제약이 있음
 B-스플라인 곡선
 PDIFF
 및 기타 일반적인 범프 함수들. 이들은 무한히 미분 가능하지만, 해석성은 구간별로만 유지된다.

 구간별 정의 함수의 연속성과 미분 가능성 

섬네일|280px|구간별 이차 함수 의 그래프. 유일한 불연속점은 이다.
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 연속이려면 다음 조건이 충족되어야 한다.
 부분 함수가 해당 구간(부분 정의역)에서 연속이어야 한다.
 해당 구간 내의 어떤 부분 정의역의 끝점에서도 불연속이 없어야 한다.

예를 들어, 그림에 있는 함수는 부분 정의역들 내에서는 구간별 연속이지만, 에서 점프 불연속을 포함하므로 전체 정의역에서는 연속이 아니다. 채워진 원은 이 위치에서 오른쪽 부분 함수의 값이 사용됨을 나타낸다.

구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 미분 가능하려면, 위의 연속성 조건 외에 다음 조건들도 충족되어야 한다.
 부분 함수가 해당 열린 구간에서 미분 가능해야 한다.
 모든 구간의 끝점에서 일측 도함수가 존재해야 한다.
 두 부분 구간이 만나는 지점에서, 두 이웃한 부분 구간의 해당 일측 도함수가 일치해야 한다.
 응용 

응용 수학적 분석에서 "구간별 정규" 함수는 많은 인간 시각 시스템 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌는데, 이 모델에서 이미지는 첫 번째 단계에서 가장자리로 분리된 매끄러운 영역(마치 카툰)으로 인식된다.
카툰과 같은 함수는 불연속 곡선이 존재하는 것을 제외하고는 매끄러운 C2 함수이다.
특히, 쉬어렛은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하는 표현 시스템으로 사용되었다.

구간별 정의 함수는 최근접 이웃 보간법과 같은 보간법에도 일반적으로 사용된다.

 같이 보기 

 구간별 선형 연속

 각주 

분류:함수와 사상
점별

수학에서 수식어 점별(pointwise)은 어떤 함수 의 각 값 를 고려하여 특정 속성이 정의됨을 나타내기 위해 사용된다. 점별 개념의 중요한 종류는 점별 연산으로, 이는 정의 영역의 각 지점에 대해 개별적으로 함수 값에 연산을 적용하여 함수에 정의된 연산이다. 중요한 관계론 또한 점별로 정의될 수 있다.

 점별 연산 
섬네일|sin (아래 그림, 파랑) 및 ln (빨강) 함수의 점별 합 (위 그림, 보라) 및 곱 (초록). 강조 표시된 수직 슬라이스는 x=2π 지점에서의 계산을 보여준다.
형식적 정의
집합 에 대한 이항 연산 는 에서 로 가는 모든 함수 집합 에 대한 연산 로 점별로 확장될 수 있다. 다음과 같다. 두 함수 및 가 주어졌을 때, 함수 는 다음과 같이 정의된다.

일반적으로 o와 O는 같은 기호로 표시된다. 단항 연산 o 및 다른 항수의 연산에도 유사한 정의가 사용된다.

예시

동일한 정의역과 공역을 가진 두 함수 와 의 점별 덧셈 는 다음과 같이 정의된다.

점별 곱 또는 점별 곱셈은 다음과 같다.

스칼라와의 점별 곱은 일반적으로 스칼라 항이 먼저 오도록 작성된다. 따라서 가 스칼라일 때:

점별 연산이 아닌 함수의 연산의 예로는 합성곱이 있다.

속성
점별 연산은 공역에 대한 해당 연산으로부터 결합법칙, 교환법칙 및 분배법칙과 같은 속성을 상속받는다.
가 어떤 대수 구조일 때, 에서 의 캐리어 집합으로 가는 모든 함수의 집합은 유사한 방식으로 동일한 유형의 대수 구조로 바뀔 수 있다.

 성분별 연산 
성분별 연산은 일반적으로 벡터에 대해 정의되며, 여기서 벡터는 어떤 자연수 과 어떤 체 에 대한 집합 의 원소이다. 임의의 벡터 의 번째 성분을 로 나타내면, 성분별 덧셈은 이다.

성분별 연산은 행렬에 대해 정의될 수 있다. 행렬 덧셈, 즉 는 성분별 연산인 반면 행렬 곱셈은 아니다.

튜플은 함수로 간주될 수 있으며, 벡터는 튜플이다. 따라서 임의의 벡터 는 인 함수 에 해당하며, 벡터에 대한 모든 성분별 연산은 해당 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산이다.

 점별 관계 
순서론에서는 함수에 대한 점별 부분 순서를 정의하는 것이 일반적이다. A, B가 부분 순서 집합일 때, 함수 A → B의 집합은 인 경우 f ≤ g로 정의하여 순서를 매길 수 있다. 점별 순서는 또한 기본 부분 순서 집합의 일부 속성을 상속받는다. 예를 들어, A와 B가 연속 격자라면 점별 순서가 있는 함수 A → B의 집합도 그렇다. 함수에 대한 점별 순서를 사용하여 다음과 같은 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있다.

 포셋 P의 폐포 연산자 c는 P에 대한 단조 및 멱등 자체 사상(즉, 사영 연산자)이며, idA ≤ c의 추가 속성을 가진다. 여기서 id는 항등 함수이다.
 유사하게, 사영 연산자 k는 k ≤ idA인 경우에만 핵 연산자라고 불린다.

무한 점별 관계의 예는 함수의 점별 수렴이다.

와

의 수렴은 각 에 대해 에서

 각주 

 참고 자료 
순서론 예시:
 T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, .
 G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. 스콧: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

분류:수학 용어
제곱 적분 가능 함수

수학에서 제곱 적분 가능 함수(square-integrable function)는 이차 적분 가능 함수 또는 함수 또는 제곱 합 가능 함수라고도 불리며, 절댓값의 제곱의 적분이 유한한 실수 또는 복소수 값을 갖는 가측 함수이다. 따라서 실수 직선 에서의 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 정의된다.

에 대해 와 같은 유계 구간에서의 이차 적분 가능성을 언급할 수도 있다.

동등한 정의는 함수 자체의 제곱(절댓값이 아닌)이 르베그 적분 가능하다는 것이다. 이것이 참이 되려면 실수 부분의 양수 및 음수 부분의 적분이 모두 유한해야 하며, 허수 부분도 마찬가지다.

( 르베그 측도에 대한) 제곱 적분 가능 함수의 동치류로 구성된 벡터 공간은 인 공간을 형성한다. 공간 중에서 제곱 적분 가능 함수 클래스는 내적과 호환된다는 점에서 독특하며, 이를 통해 각도 및 직교성과 같은 개념을 정의할 수 있다. 이 내적과 함께 제곱 적분 가능 함수는 힐베르트 공간을 형성하는데, 모든 공간은 각 -노름에 대해 완비 거리 공간이기 때문이다.

종종 이 용어는 특정 함수를 지칭하기보다는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 지칭하는 데 사용된다.

속성

제곱 적분 가능 함수(여기서 "함수"는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 의미한다)는 다음으로 주어지는 내적을 갖는 내적 공간을 형성한다.

여기서
 와 는 제곱 적분 가능 함수이다.
 는 의 켤레 복소수이다.
 는 적분하는 집합이다. 첫 번째 정의(위 도입부에서 주어진)에서는 가 이고, 두 번째 정의에서는 가 이다.

이므로, 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 말하는 것과 같다.

제곱 적분 가능 함수는 위에 정의된 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비 거리 공간을 형성한다는 것을 보일 수 있다.
완비 거리 공간은 코시 공간이라고도 불리는데, 이러한 거리 공간의 수열은 코시 열일 때만 수렴하기 때문이다.
노름에 의해 유도된 거리 공간에서 완비인 공간은 바나흐 공간이다.
따라서 제곱 적분 가능 함수 공간은 노름에 의해 유도된 거리 공간에서 바나흐 공간이며, 이 노름은 다시 내적에 의해 유도된다.
내적의 추가 속성을 가지고 있으므로, 이 공간은 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비이므로 특히 힐베르트 공간이다.

이 내적 공간은 관례적으로 로 표시되며 여러 번 로 축약된다.
는 제곱 적분 가능 함수의 집합을 나타내지만, 이 표기법으로 거리, 노름 또는 내적의 선택은 지정되지 않는다.
집합은 특정 내적 와 함께 내적 공간을 지정한다.

제곱 적분 가능 함수 공간은 인 공간이다.

예시

에서 정의된 함수 은 일 때는 에 속하지만 일 때는 속하지 않는다.
에서 정의된 함수 는 제곱 적분 가능하다.

에서 정의된 유계 함수는 제곱 적분 가능하다. 이 함수들은 어떤 값에 대해서도 에 속한다.

비-예시

에서 정의된 함수 (여기서 에서의 값은 임의적이다). 또한 이 함수는 의 어떤 값에 대해서도 에 속하지 않는다.

 같이 보기 

 내적 공간
 

 각주 

분류:함수해석학
분류:해석학 (수학)
시간 척도 미적분학

수학에서 시간 척도 미적분학(Time-scale calculus)은 차분 방정식 이론과 미분방정식 이론을 통합하고, 적분 및 미분학과 유한 차분 미적분학을 통합하여 하이브리드 시스템을 연구하기 위한 형식을 제공한다. 이는 이산 및 연속 데이터를 동시에 모델링해야 하는 모든 분야에 응용된다. 이 이론은 새로운 미분 정의를 제공하는데, 실수에 정의된 함수를 미분할 경우 표준 미분과 동일하지만, 정수에 정의된 함수를 사용할 경우 전진 차분 연산자와 동일하다.

 역사 

시간 척도 미적분학은 1988년 독일 수학자 슈테판 힐거에 의해 소개되었다. 그러나 이와 유사한 아이디어는 이전에 사용되었으며, 적분과 합을 통합하는 리만-스틸티어스 적분의 도입까지 거슬러 올라간다.

 동적 방정식 
미분방정식에 관한 많은 결과는 차분방정식에 해당하는 결과로 쉽게 이어지지만, 다른 결과들은 연속적인 결과와는 완전히 다른 것처럼 보인다. 시간 척도 상의 동적 방정식 연구는 이러한 불일치를 밝혀내고, 결과를 두 번 증명하는 것을 피하는 데 도움을 준다. 즉, 한 번은 미분방정식에 대해, 또 한 번은 차분방정식에 대해 증명하는 것을 피한다. 일반적인 아이디어는 미지의 함수의 도메인이 시간 척도(시간 집합이라고도 함)인 동적 방정식에 대해 결과를 증명하는 것이다. 시간 척도는 실수의 임의의 닫힌 부분 집합일 수 있다. 이러한 방식으로 결과는 실수 집합이나 정수 집합뿐만 아니라 칸토어 집합과 같은 더 일반적인 시간 척도에도 적용된다.

시간 척도 상의 미적분학의 세 가지 가장 인기 있는 예는 미분학, 차분 미적분학, 양자 미적분학이다. 시간 척도 상의 동적 방정식은 개체군 동역학과 같은 응용 분야에 대한 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 계절 동안 지속적으로 진화하고, 겨울에는 알이 부화하거나 휴면하는 동안 사라지고, 새 계절에 부화하여 겹치지 않는 개체군을 형성하는 곤충 개체군을 모델링할 수 있다.

 형식적 정의 
시간 척도(또는 측정 사슬)는 실직선 의 닫힌 부분 집합이다. 일반적인 시간 척도에 대한 일반적인 표기는 이다.

가장 흔하게 접하는 시간 척도의 두 가지 예는 실수 와 이산 시간 척도 이다.

시간 척도 내의 단일 점은 다음과 같이 정의된다.

 시간 척도에 대한 연산 
섬네일|upright=2.0|이산 시간 척도에서의 전방 점프, 후방 점프, 그리고 입상도 연산자
전방 점프 및 후방 점프 연산자는 주어진 점 의 오른쪽 및 왼쪽에 있는 시간 척도에서 가장 가까운 점을 나타낸다. 형식적으로:

 (전진 이동/점프 연산자)
 (후진 이동/점프 연산자)

입상도 는 한 점에서 오른쪽으로 가장 가까운 점까지의 거리이며 다음과 같이 주어진다.

오른쪽 조밀한 의 경우 이고 이다.
왼쪽 조밀한 의 경우 

 점의 분류 
섬네일|upright=2.0|다양한 분류를 가진 시간 척도 상의 여러 점
임의의 에 대해 는 다음이다.
 이면 왼쪽 조밀
 이면 오른쪽 조밀
 이면 왼쪽 산재
 이면 오른쪽 산재
 왼쪽 조밀하고 오른쪽 조밀하면 조밀
 왼쪽 산재하고 오른쪽 산재하면 고립

오른쪽 그림에 설명된 대로:
 점 은 조밀하다.
 점 는 왼쪽 조밀하고 오른쪽 산재한다.
 점 은 고립되어 있다.
 점 는 왼쪽 산재하고 오른쪽 조밀하다.

 연속성 
시간 척도의 연속성은 조밀성과 동등하게 재정의된다. 시간 척도는 점 에서 오른쪽 조밀하면 점 에서 오른쪽 연속이라고 말한다. 유사하게, 시간 척도는 점 에서 왼쪽 조밀하면 점 에서 왼쪽 연속이라고 말한다.

 미분 
함수를 다음과 같이 정의한다.

(여기서 R은 어떤 바나흐 공간이 될 수 있지만, 단순화를 위해 실직선으로 설정된다).

정의: 델타 미분(힐거 미분이라고도 함) 는 다음 경우에만 존재한다.

모든 에 대해 의 근방 가 존재하여 다음을 만족한다.

 내의 모든 에 대해.

로 가정하자. 그러면 , , 는 표준 미적분학에서 사용되는 미분이다. 만약 (정수)이면, , , 는 차분 방정식에서 사용되는 전진 차분 연산자이다.

 적분 

델타 적분은 델타 미분에 대한 원함수로 정의된다. 만약 가 연속 미분 를 갖는다면 다음과 같이 설정한다.

 라플라스 변환 및 Z변환 

시간 척도 상의 함수에 대한 라플라스 변환을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 시간 척도에 대해 동일한 변환표를 사용한다. 이 변환은 시간 척도 상의 동적 방정식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 만약 시간 척도가 음이 아닌 정수이면 이 변환은 수정된 Z변환과 동일하다.

 편미분 

편미분 방정식과 편차분 방정식은 시간 척도 상의 편동적 방정식으로 통합된다.

 다중 적분 

시간 척도 상의 다중 적분은 Bohner(2005)에서 다루어진다.

 시간 척도 상의 확률 동적 방정식 

확률미분방정식과 확률차분 방정식은 시간 척도 상의 확률 동적 방정식으로 일반화될 수 있다.

 시간 척도 상의 측도론 

모든 시간 척도에는 다음을 통해 정의된 자연적인 측도가 관련되어 있다.

여기서 는 르베그 측도를 나타내고 는 에 정의된 후진 시프트 연산자이다. 델타 적분은 이 측도에 대한 일반적인 르베그-스틸티어스 적분으로 판명된다.

그리고 델타 미분은 이 측도에 대한 라돈-니코딤 미분으로 판명된다.

 시간 척도 상의 분포 

디랙 델타 함수와 크로네커 델타는 시간 척도 상에서 힐거 델타로 통합된다.

 

 시간 척도 상의 분수계 미적분학 

시간 척도 상의 분수계 미적분학은 Bastos, Mozyrska, Torres에 의해 다루어진다.

 같이 보기 

 프랙탈 분석 (칸토어 집합 상의 동적 방정식의 경우)
 다중 척도 해석
 평균 방법
 크릴로프-보고류보프 평균화 방법

 각주 

 더 읽어보기 

 시간 척도 상의 동적 방정식 Journal of Computational and Applied Mathematics 특별호 (2002)
 동적 방정식 및 응용 Advances in Difference Equations 특별호 (2006)
 시간 척도 상의 동적 방정식: 질적 분석 및 응용 Nonlinear Dynamics And Systems Theory 특별호 (2009)

 외부 링크 
 베일러 대학교 시간 척도 그룹
 Timescalewiki.org

분류:미적분학
분류:동역학계
분류:점화식
디리클레 적분

thumb|페터 구스타프 르죈 디리클레

수학에는 독일 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 딴 여러 적분이 있으며, 그중 하나는 양의 실수선에 대한 싱크함수의 이상 적분이다.

이 적분은 절대 수렴하지 않으므로, 양의 실수선에 대한 의 르베그 또는 리만 이상 적분은 무한하다. 따라서 싱크함수는 양의 실수선에 대해 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 싱크함수는 이상 리만 적분 또는 일반화된 리만 또는 헨스톡-쿠르츠바일 적분의 의미에서 적분 가능하다. 이는 이상 적분에 대한 디리클레 판정법을 사용하여 알 수 있다.

이 적분은 특정 적분을 평가하는 특별한 기술의 좋은 예시이다. 특히 싱크함수의 역도함수인 사인 적분이 초등함수가 아니므로 적분 함수의 초등 역도함수가 없기 때문에 미적분학의 기본 정리를 직접 적용하는 것이 유용하지 않을 때 더욱 그렇다. 이 경우 이상 적분은 라플라스 변환, 이중 적분, 적분 기호 아래 미분, 경로 적분, 디리클레 핵 등 여러 가지 방법으로 결정할 수 있다. 그러나 적분 함수가 짝함수이므로 적분 영역을 음의 실수선으로 확장할 수도 있다.

 평가 

 라플라스 변환 
일 때 정의된 함수 가 있다고 하자. 그러면 그 라플라스 변환은 다음과 같다.

적분이 존재한다면 말이다.

이상 적분 평가에 유용한 라플라스 변환의 속성은 다음과 같다.

단, 가 존재해야 한다.

다음 과정에서는 함수 의 라플라스 변환인 결과와 아벨 정리의 한 버전(라플라스 변환에 대한 최종값 정리의 결과)이 필요하다.

그러므로

 이중 적분 

라플라스 변환을 사용하여 디리클레 적분을 평가하는 것은 적분 순서를 변경하여 동일한 이중 정적분을 계산하는 것과 동일하다. 즉,

순서 변경은 모든 에 대해 적분이 절대 수렴한다는 사실로 정당화된다.

 적분 기호 아래 미분 (파인만의 트릭) 
먼저 적분을 추가 변수 의 함수, 즉 의 라플라스 변환으로 다시 작성한다. 따라서 다음과 같이 놓는다.

디리클레 적분을 평가하려면 을 결정해야 한다. 의 연속성은 부분 적분 후 지배 수렴 정리를 적용하여 정당화할 수 있다. 에 대해 미분하고 적분 기호 아래 미분에 대한 라이프니츠 규칙을 적용하면 다음을 얻는다.

이제 오일러 공식 를 사용하여 사인 함수를 복소 지수 형태로 표현할 수 있다.

그러므로

에 대해 적분하면

여기서 는 결정해야 할 적분 상수이다. 이므로, 주값을 사용하여 이다. 이는 일 때 다음을 의미한다.

마지막으로, 에서의 연속성에 의해 이 된다. 이는 이전과 같다.

 복소 경로 적분 
를 고려하자.

복소 변수 의 함수로서 원점에 단순 극점을 가지며, 이는 조르단 보조정리의 적용을 방해한다. 조르단 보조정리의 다른 가설들은 만족된다.

그러면 새로운 함수를 정의한다.

극점은 음의 허수축으로 이동되었으므로, 는 을 중심으로 하는 반경 의 반원 를 따라 양의 허수 방향으로 확장하고, 실수축을 따라 닫힌 경로에서 적분할 수 있다. 그런 다음 의 극한을 취한다.

유수 정리에 의해 복소 적분은 0이다. 왜냐하면 적분 경로 내부에 극점이 없기 때문이다.

이 무한대로 갈 때 두 번째 항은 사라진다. 첫 번째 적분에 대해서는 실수축에 대한 적분에 대한 소호츠키-플레멜리 정리의 한 버전을 사용할 수 있다. 실수축에서 정의되고 연속적으로 미분 가능한 복소수 값 함수 와 인 실수 상수 와 에 대해 다음을 얻는다.

여기서 는 코시 주요값을 나타낸다. 위 원본 계산으로 돌아가서 다음을 쓸 수 있다.

양변에 허수 부분을 취하고 함수 가 짝함수임을 감안하면 다음을 얻는다.

결론적으로,

다른 방법으로는, 에 대한 적분 경로로 반지름 과 인 위쪽 반평면 반원들과 이들을 연결하는 실수축의 두 선분들의 합집합을 선택한다. 한편 경로 적분은 과 에 관계없이 0이다. 다른 한편, 이고 일 때 적분의 허수 부분은 로 수렴하고(여기서 는 위쪽 반평면의 어떤 분지의 로그함수이다), 이는 로 이어진다.

 디리클레 핵 
디리클레 핵에 대한 잘 알려진 공식을 고려하자.

다음이 즉시 성립한다.

다음을 정의한다.

분명히 일 때 는 연속이다. 에서의 연속성을 확인하려면 로피탈의 정리를 적용한다.

따라서 는 리만-르베그 보조정리의 요구 사항을 충족한다. 이는 다음을 의미한다.

(여기서 사용된 리만-르베그 보조정리의 형태는 인용된 논문에서 증명되었다.)

우리는 다음을 계산하고자 한다.

그러나 에 대한 실수 극한을 에 대한 적분 극한으로 전환하는 것을 정당화해야 하며, 이는 극한이 존재함을 보여줌으로써 이어진다.

부분 적분을 사용하면 다음을 얻는다.

이제 이고 일 때 왼쪽 항은 문제없이 수렴한다. 삼각함수의 극한 목록을 참조하라. 이제 가 절대 적분 가능함을 보이는데, 이는 극한이 존재함을 의미한다.

먼저 원점 근처에서 적분을 제한하려고 한다. 코사인의 0 주변 테일러 급수 전개를 사용하면,

그러므로

적분을 여러 부분으로 나누면 다음을 얻는다.

어떤 상수 에 대해. 이는 적분이 절대 적분 가능함을 보여주며, 이는 원래 적분이 존재함을 의미하고, 에서 으로 전환하는 것이 실제로 정당화되었음을 의미하며 증명이 완료된다.

 같이 보기 

 디리클레 분포
 디리클레 원리
 싱크함수
 프레넬 적분

 각주 

 외부 링크 
 

분류:특수 함수
분류:적분학
분류:수리물리학
본질적 하한과 본질적 상한

수학에서 본질적 하한(essential infimum)과 본질적 상한(essential supremum)의 개념은 상한과 하한의 개념과 관련이 있지만, 측도론 및 함수해석학에 적용되어 종종 집합의 모든 요소에 대해 유효하지는 않지만 거의 어디서나, 즉 측도 영 집합을 제외하고는 유효한 진술을 다룬다.

정확한 정의가 즉시 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 상한은 측도 영 집합의 점에서의 함수의 동작을 무시하면서 모든 곳에서 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다. 예를 들어, 에서 이고 다른 모든 곳에서 0인 함수 를 생각하면, 함수의 상한은 1이다. 그러나 이 함수의 본질적 상한은 0인데, 르베그 측도 하에서 가 특이한 단일 점에서의 함수의 동작을 무시할 수 있기 때문이다. 본질적 하한은 유사한 방식으로 정의된다.

 정의 

측도론적 질문에서 종종 그렇듯이, 본질적 상한과 하한의 정의는 함수 가 점 에서 무엇을 하는지(즉, 의 상)를 묻는 것으로 시작하지 않고, 대신 가 특정 값 와 같은 점 의 집합(즉, 의 에 대한 원상)을 묻는 것으로 시작한다.

를 집합 에 정의된 실수 값 함수라고 하자. 함수 의 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: 모든 에 대해 이고, 만약 어떤 에 대해 모든 에 대해 이면 이다.
더 구체적으로, 실수 는 모든 에 대해 이면 의 상계라고 불린다. 즉, 집합

가 공집합이면 그렇다.

를 의 상계 집합이라고 하고, 공집합의 하한을 로 정의한다. 그러면 의 상한은

정의에 따라, 상계 집합 가 공집합이면 이다.

이제 추가로 가 측도 공간이라고 가정하고, 간단히 하기 위해 함수 가 가측 함수라고 가정하자. 상한과 유사하게, 함수의 본질적 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: -거의 모든 에 대해 이고, 만약 어떤 에 대해 -거의 모든 에 대해 이면 이다. 더 구체적으로, 는 가측 집합 가 -측도 영 집합인 경우 의 라고 불린다. 즉, 의 -거의 모든 에 대해 이면 그렇다.

를 본질적 상계 집합이라고 하자. 그러면 은 유사하게 다음과 같이 정의된다.

인 경우에, 그렇지 않으면 이다.

정확히 같은 방식으로 은 의 상한으로 정의된다. 즉,

본질적 하계 집합이 공집합이 아닌 경우에, 그렇지 않으면 이다. 다시 다음 대안적인 표현식이 있다.

(집합이 공집합인 경우 이다).

 예시 

실수선 위에서 르베그 측도와 그에 상응하는 -대수 를 고려하자. 함수 를 다음 공식으로 정의한다.

이 함수의 상한(가장 큰 값)은 5이고, 하한(가장 작은 값)은 −4이다. 그러나 함수는 각각 과 집합에서만 이 값을 취하는데, 이들은 측도 영 집합이다. 다른 모든 곳에서 함수는 2의 값을 취한다. 따라서 이 함수의 본질적 상한과 본질적 하한은 모두 2이다.

다른 예로 다음 함수를 고려하자.

여기서 는 유리수를 나타낸다. 이 함수는 위아래로 무한하므로, 상한과 하한은 각각 와 이다. 그러나 르베그 측도의 관점에서 유리수의 집합은 측도 영 집합이다. 따라서 실제로 중요한 것은 이 집합의 여집합에서 일어나는 일인데, 함수는 로 주어진다. 따라서 본질적 상한은 이고 본질적 하한은 이다.

반면에 모든 실수 에 대해 정의된 함수 을 고려하자. 이 함수의 본질적 상한은 이고, 본질적 하한은 이다.

마지막으로 다음 함수를 고려하자.

그러면 모든 에 대해 이므로 이고 이다.

 속성 

만약 이면

그렇지 않고 의 측도가 0이면

만약 와 가 가측 함수이면

그리고

만약 와 가 가측 함수이고 거의 모든 곳에서 이면

그리고

만약 두 함수 와 의 본질적 상한이 모두 음이 아니면

함수의 본질적 상한은 본질적 하계의 하한일 뿐만 아니라 그들의 최소값이다. 유사한 결과가 본질적 하한에도 적용된다.

측도 공간 가 주어졌을 때, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수로 구성된 공간 은 반노름 공간이며, 그 반노름은 다음과 같다.

일 때 함수의 절댓값의 본질적 상한이다.

 같이 보기 
 본질적 치역
 

 내용주 

 각주 

분류:측도론
분류:적분학
다중 척도 해석

수학 및 물리학에서 다중 척도 해석(, 또는 다중 척도 방법()이라고도 함)은 독립 변수의 작은 값과 큰 값 모두에 대해 섭동 이론 문제의 해에 대한 균일하게 유효한 근삿값을 구성하는 데 사용되는 기술을 포함한다. 이는 독립 변수에 대해 빠른 척도와 느린 척도 변수를 도입한 다음, 이 변수들을 빠르고 느리게 마치 독립적인 것처럼 처리함으로써 수행된다. 그 후 섭동 문제의 해 과정에서, 새로운 독립 변수에 의해 도입된 추가적인 자유는 (원치 않는) 영년항을 제거하는 데 사용된다. 후자는 근사 해에 제약을 가하는데, 이를 가해 조건()이라고 한다.

약 1980년대부터의 수학 연구는 좌표 변환과 불변 다양체가 다중 척도 모델링에 대한 더 견고한 지원을 제공한다고 제안한다(예를 들어, 중심 다양체 및 느린 다양체 참조).

 예시: 비감쇠 더핑 방정식 
섬네일|431x431px|여기서 정규 섭동 이론과 다중 척도 해석 모두에 대한 접근 방식의 차이점과 에 대한 정확한 해와 비교할 수 있다.

 미분 방정식과 에너지 보존 
다중 척도 해석 방법의 예시로 비감쇠 비강제 더핑 방정식을 고려해보자.
 
이는 비선형 진동자를 설명하는 2차 상미분 방정식이다. (양의) 비선형성 매개변수 0 < ε ≪ 1의 작은 값에 대한 해 y(t)를 찾는다. 비감쇠 더핑 방정식은 해밀턴 계로 알려져 있다.

여기서 q = y(t)이고 p = dy/dt이다. 결과적으로 해밀턴 H(p, q)는 보존량이며, 주어진 초기 조건에 대해 H0 = + ε와 같다. 이는 q와 p 모두 유계여야 함을 의미한다.
q의 경계는 p = 0일 때 H를 H0와 동일시하여 찾는다. 이고, 그런 다음 q4 항을 제거한다. 이는 실제로 |q|의 상한이지만, q4 항을 유지하면 더 복잡한 공식으로 더 작은 경계가 제공된다.

 단순 섭동 계열 해법 
문제에 대한 정규 섭동 계열 접근 방식은 를 작성하고 이를 비감쇠 더핑 방정식에 대입하는 방식으로 진행된다. 의 거듭제곱을 일치시키면 다음 방정식 계가 얻어진다.

초기 조건에 따라 이들을 풀면 다음이 얻어진다.

정사각형 괄호 안의 마지막 항은 영년항이다. 즉, |t|가 커질수록 무한히 증가한다. 특히, 일 때 이 항은 O(1)이며, 선행 항과 같은 크기 차수를 가진다. 항들이 무질서해졌기 때문에, 이 계열은 더 이상 해의 점근적 전개가 아니다.

 다중 척도 방법 
를 넘어 유효한 해를 구성하기 위해 다중 척도 해석 방법이 사용된다. 느린 척도 t1을 도입한다.

그리고 해 y(t)가 t와 t1 모두에 의존하는 섭동 계열 해라고 가정한다.

그러므로:

dt1/dt = ε를 사용한다. 유사하게:

그러면 더핑 방정식에 대한 다중 척도 섭동 계열의 0차 및 1차 문제는 다음과 같다.

 해 
0차 문제는 일반적인 해를 가진다.

여기서 A(t1)는 0차 해 Y0(t, t1)에 대한 복소수 값 진폭이고 i2 = −1이다. 이제 1차 문제에서 미분 방정식의 우변에 있는 강제항은 다음과 같다.

여기서 c.c.는 이전 항들의 켤레 복소수를 나타낸다. 영년항의 발생은 – 아직 알려지지 않은 – 진폭 A(t1)에 대해 가해 조건을 부과함으로써 방지할 수 있다.

초기 조건 및 을 만족하는 가해 조건의 해는 다음과 같다.

그 결과, 다중 척도 해석에 의한 근사 해는 다음과 같다.

를 사용하며 에 대해 유효하다. 이는 린드스테트-푸앙카레 방법을 사용하여 발견된 비선형 진동수 변화와 일치한다.

이 새로운 해는 까지 유효하다. 다중 척도 방법을 사용하는 고차 해는 추가적인 느린 척도, 즉 , 등을 도입해야 한다. 그러나 이는 섭동 계열 해에서 가능한 모호성을 초래하며, 신중한 처리가 필요하다(참조: ; ).

 진폭/위상 변수로의 좌표 변환 
대안적으로, 현대적인 접근 방식은 다음에 설명된 정규 형식 방법과 같은 좌표 변환을 사용하여 이러한 종류의 모델을 도출한다.

새로운 좌표 에서 와 같은 해를 찾는데, 여기서 진폭 는 천천히 변하고 위상 는 거의 일정한 속도로 변한다. 즉, 간단한 대수를 통해 다음 좌표 변환을 찾는다.

더핑 방정식을 반지름은 상수 이고 위상은 다음과 같이 진화하는 한 쌍으로 변환한다.

즉, 더핑 진동은 일정한 진폭 을 가지지만 진폭에 따라 다른 진동수 를 가진다.

더 어려운 예시는 복소 지수(이전 다중 시간 척도 접근 방식에서도 사용됨)를 포함하는 시간 의존적 좌표 변환을 사용하여 더 잘 처리된다. 웹 서비스는 광범위한 예시에 대해 분석을 수행한다.

 같이 보기 
 점근적 일치 전개 방법
 WKB 근사
 평균화 방법
 크릴로프-보고류보프 평균화 방법

 내용주 

 각주 

 
 

 외부 링크 

분류:점근 해석
분류:수리물리학
분류:섭동 이론
반공명

결합 진동자의 물리학에서 반공명()은 공명에 비유하여 특정 진동수에서 진동자의 진폭이 뚜렷한 최소값을 보이며, 그 진동의 위상에 크고 급격한 변화를 수반하는 현상이다. 이러한 진동수는 물리계의 반공명 진동수()로 알려져 있으며, 이 진동수에서 진동 진폭은 거의 0으로 떨어질 수 있다. 반공명은 상쇄 간섭, 예를 들어 외부 구동력과 다른 진동자와의 상호 작용에 의해 발생한다.

반공명은 기계적, 음향적, 전자기적, 양자 시스템을 포함한 모든 유형의 결합 진동자 시스템에서 발생할 수 있다. 이는 복잡한 결합 시스템의 특성화에 중요한 응용 분야를 가진다.

반공명이라는 용어는 유사한 효과를 가진 단일 진동자의 한 형태의 공명에 대해 전기공학에서 사용된다.

 전기공학에서의 반공명 

전기공학에서 반공명은 반응저항이 사라지지만 전기 회로의 저항 온저항은 그럼에도 불구하고 매우 높아서 무한대에 가까워지는 조건이다.

병렬로 연결된 축전기와 유도자로 구성된 전기 회로에서 반공명은 교류 선로 전압과 결과 전류가 위상이 같을 때 발생한다. 이러한 조건에서 반공명 시 병렬 회로의 높은 온저항으로 인해 선로 전류는 매우 작다. 분기 전류는 크기가 거의 같고 위상이 반대이다.

 결합 진동자에서의 반공명 
섬네일|right|250px|진동수의 함수로서 두 결합 조화 진동자의 정상 상태 진폭 및 위상.

반공명이 발생하는 가장 간단한 시스템은 결합된 조화 진동자 시스템으로, 예를 들어 진자 또는 RLC 회로이다.

강도 로 결합된 두 개의 조화 진동자를 고려하고, 한 진동자는 진동하는 외부 힘 에 의해 구동된다. 이 상황은 결합된 상미분 방정식으로 설명된다.

여기서 는 두 진동자의 공명 진동수를 나타내고, 는 감쇠비를 나타낸다. 변수를 복소수 매개변수로 변경하면:

이것을 1차 방정식으로 쓸 수 있다.

구동 진동수에서 회전하는 프레임으로 변환하면

다음과 같이 된다.

여기서 구동 진동수와 진동자의 공명 진동수 사이의 어긋남 을 도입했다. 마지막으로, 우리가 관심 있는 시간 스케일에서 0으로 평균화되는 빠른 역회전 항인 에 비례하는 항을 무시하는 회전파 근사를 사용한다(이 근사는 를 가정하는데, 이는 공명 주변의 작은 진동수 범위에서는 타당하다). 따라서 다음을 얻는다.

감쇠, 구동 또는 결합이 없으면 이 방정식의 해는 다음과 같다.

이는 각진동수 로 복소수 평면에서 회전을 나타낸다.

정상 상태 해는 으로 설정하여 찾을 수 있으며, 이는 다음을 제공한다.

구동 진동수의 함수로서 이러한 정상 상태 해를 조사하면, 두 진동자 모두 두 일반 모드 진동수에서 공명(진폭 피크와 양의 위상 변화를 수반)을 나타내는 것이 분명하다. 또한, 구동 진동자는 일반 모드 사이에 진폭의 뚜렷한 감소를 나타내며, 이는 음의 위상 변화를 수반한다. 이것이 반공명이다. 구동되지 않은 진동자의 주파수 스펙트럼에는 반공명이 없다는 점에 유의해야 한다. 진폭이 일반 모드 사이에 최소값을 가지지만, 뚜렷한 감소나 음의 위상 변화는 없다.

 상쇄 간섭으로서의 해석 
섬네일|right|250px|두 결합 진자의 반공명 정상 상태로의 시간 진화를 보여주는 애니메이션. 빨간색 화살표는 왼쪽 진자에 작용하는 구동력을 나타낸다.

반공명에서 진동 진폭의 감소는 진동자에 작용하는 힘의 상쇄 간섭 또는 소거로 볼 수 있다.

위의 예에서, 반공명 진동수에서 진동자 1에 작용하는 외부 구동력 는 진동자 2와의 결합을 통해 작용하는 힘을 상쇄하여 진동자 1이 거의 정지 상태를 유지하게 한다.

 복잡한 결합 시스템 
섬네일|right|300px|여러 자유도를 가진 동역학계의 주파수 응답 함수 예시로, 진폭과 위상 모두에서 뚜렷한 공명-반공명 행동을 보여준다.

많은 결합 구성 요소로 구성된 모든 선형 동적 시스템의 주파수 응답 함수(FRF)는 일반적으로 구동될 때 독특한 공명-반공명 동작을 나타낸다.

경험칙으로, 구동되는 구성 요소와 측정되는 구성 요소 사이의 거리가 증가할수록 FRF의 반공명 수가 감소한다고 말할 수 있다. 예를 들어, 위에서 언급한 두 진동자 상황에서 구동되지 않은 진동자의 FRF는 반공명을 나타내지 않았다. 공명과 반공명은 구동되는 구성 요소 자체의 FRF에서만 지속적으로 교대한다.

 응용 분야 
반공명 이론의 중요한 결과는 여기점에서 고정된 시스템의 공명으로 해석될 수 있다는 것이다. 이는 위 진자 애니메이션에서 볼 수 있다. 정상 상태 반공명 상황은 왼쪽 진자가 고정되어 진동할 수 없는 경우와 같다. 이 결과의 중요한 귀결은 시스템의 반공명이 구동되는 진동자의 특성과 무관하다는 것이다. 즉, 구동되는 진동자의 공명 진동수 또는 감쇠 계수가 변경되더라도 변하지 않는다.

이 결과는 구성 요소로 쉽게 분리할 수 없는 복잡한 결합 시스템을 특성화하는 데 반공명을 유용하게 만든다. 시스템의 공명 진동수는 모든 구성 요소와 그 결합의 특성에 따라 달라지며, 어떤 구성 요소가 구동되는지와는 무관하다. 반면에 반공명은 구동되는 구성 요소를 제외한 모든 것에 따라 달라지므로, 구동되는 구성 요소가 전체 시스템에 미치는 영향에 대한 정보를 제공한다. 각 구성 요소를 차례로 구동함으로써, 구성 요소들 사이의 결합에도 불구하고 모든 개별 하위 시스템에 대한 정보를 얻을 수 있다. 이 기술은 기계공학, 구조 해석, 및 통합 양자 회로 설계에 응용된다.

전기공학에서 반공명은 파동 트랩에 사용되며, 이는 때때로 무선 수신기의 안테나와 직렬로 삽입되어 간섭하는 방송국의 진동수에서 교류의 흐름을 차단하고 다른 진동수는 통과시킨다.

나노기계 시스템에서, 낮은 진동수(<1 kHz)로 고유 진동수가 변조되는 구동 비선형 모드의 측파대 스펙트럼은 전력 스펙트럼에서 눈에 띄는 반공명 선 모양을 나타내며, 이는 진동 상태를 통해 제어할 수 있다. 반공명 진동수는 비선형 시스템의 열적 변동 및 압착 매개변수를 특성화하는 데 활용될 수 있다.

 같이 보기 
 공명
 진동자
 공명 (교류 회로)
 동조 질량 감쇠기
 파노 공명

 각주 

분류:진동
루스 앤더슨

섬네일|루스 앤더슨
루스 앤더슨(, 1928년 3월 21일~2019년 11월 29일)은 미국의 작곡가, 오케스트라 연주자, 교사이자 플루트 연주자이다.

 생애 
이블린 루스 앤더슨은 1928년 3월 21일 미국 몬태나주 칼리스펠에서 태어났다. 오케스트라 음악과 전자 음악을 작곡했으며, 20년이 넘는 기간 동안 8곳의 기관에서 교육을 받았다. 이 시기 앤더슨은 파리에서 다리우스 미요와 나디아 불랑제에게 작곡을 배울 수 있는 풀브라이트상을 수상하였다. 교육을 마친 후에는 프리랜서 작곡가, 오케스트라 및 합창 편곡가로서 활동했다.

 작품 

 각주 

분류:1928년 출생
분류:2019년 사망
분류:워싱턴 대학교 동문
분류:컬럼비아 대학교 동문
분류:프린스턴 대학교 동문
분류:헌터 칼리지 동문
분류:미국의 성소수자 음악가
분류:성소수자 작곡가
분류:레즈비언 음악가
분류:미국의 작곡가
분류:미국의 전자 음악가
분류:20세기 성소수자 사람
분류:21세기 성소수자 사람
낸시 키신저

낸시 섀런 키신저(Nancy Sharon Kissinger, 혼전 성 매기네스; 1934년 4월 13일 ~ )는 미국의 자선가이자 록펠러 정치 보좌관이며, 전 미국 국무장관 헨리 키신저의 미망인이다. 부부는 1974년 3월 30일 버지니아주 알링턴에서 결혼했다.

삶과 경력
섬네일|upright|1978년 뉴욕 아파트에서 반려견 타일러와 함께 있는 낸시 키신저와 헨리 키신저
낸시 매기네스는 맨해튼에서 태어나 뉴욕주 화이트플레인스에서 자랐다. 그녀는 뉴욕주 돕스페리에 있는 더 마스터스 스쿨에 다녔다. 그녀의 부모는 아그네스(매킨리 출생)와 부유한 변호사이자 축구 선수였던 앨버트 브리스틀 매기네스였다. 그녀는 1955년 마운트 홀리오크 칼리지에서 역사학 학사 학위를 받았고, 1960년대 후반에는 록펠러 연구직에서 휴직하고 소르본에서 공부했다.

결혼 전, 그녀는 오랜 기간 뉴욕 주지사 넬슨 록펠러의 보좌관이었다. 그녀는 하버드 대학교 학생이었던 키신저 교수의 추천으로 1964년에 록펠러와 인연을 맺었다. 그녀의 첫 직업은 록펠러 태스크포스에서 키신저의 연구원이었으며, 태스크포스 업무가 끝난 후에도 록펠러 브라더스 기금에서 록펠러를 위해 계속 일했다. 그녀는 키 6피트(183cm)로 당대 가장 키가 큰 여성 공인 중 한 명이었다. 그녀는 나중에 록펠러의 미국을 위한 중요한 선택 위원회에서 국제 연구 책임자가 되었다.

 각주 

 "Nancy Maginnes Kissinger." Almanac of Famous People, 9th ed. Thomson Gale, 2007. Reproduced in Biography Resource Center. Farmington Hills, Michigan: Gale, 2009. http://galenet.galegroup.com/servlet/BioRC. Document Number: K1601047266. Fee, via Fairfax County Public Library. Accessed 2009-11-17/

 외부 링크 
 1975년 남편과 함께 미주리주 인디펜던스에서 베스 W. 트루먼을 방문했을 때의 인터뷰 ()
 낸시와 아버지 앨버트 브리스틀 매기네스

분류:1934년 출생
분류:살아있는 사람
분류:하버드 대학교 동문
분류:마운트 홀리오크 칼리지 동문
분류:뉴욕주의 자선가
분류:21세기 미국의 여자
분류:20세기 미국의 여자