접속 형식

수학 및 특히 미분기하학에서 접속 형식(connection form)은 움직이는 틀과 미분 형식의 언어를 사용하여 접속의 데이터를 구성하는 방식이다.

역사적으로 접속 형식은 20세기 전반에 엘리 카르탕이 그의 움직이는 틀 방법의 일부이자 주요 동기 중 하나로 도입했다. 접속 형식은 일반적으로 좌표 틀의 선택에 따라 달라지므로 텐서적 객체가 아니다. 카르탕의 초기 작업 이후 접속 형식의 다양한 일반화 및 재해석이 공식화되었다. 특히, 주다발에서 주접속은 접속 형식을 텐서적 객체로 자연스럽게 재해석한 것이다. 반면에 접속 형식은 추상적인 주다발이 아닌 미분 다양체에 정의된 미분 형식이라는 장점이 있다. 따라서 텐서성이 부족함에도 불구하고 접속 형식은 계산 수행의 상대적 용이성 때문에 계속 사용된다. 물리학에서 접속 형식은 게이지 공변 미분을 통해 게이지 이론의 맥락에서도 널리 사용된다.

접속 형식은 벡터 다발의 각 기저에 미분 형식의 행렬을 연결한다. 접속 형식은 기저 변환 시 전이 함수의 외미분을 포함하는 방식으로 변환되기 때문에 텐서적이지 않다. 이는 레비치비타 접속의 크리스토펠 기호와 매우 유사하다. 접속 형식의 주요 텐서 불변량은 곡률 형식이다. 벡터 다발을 접다발과 동일시하는 납땜 형식이 있는 경우, 추가적인 불변량인 비틀림 형식이 있다. 많은 경우, 접속 형식은 구조 군을 가진 올다발의 추가 구조를 가진 벡터 다발에서 고려된다.

벡터 다발

벡터 다발의 틀

 위의 올 차원 인 벡터 다발 가 있다고 하자. 의 국소 틀은 의 국소 단면의 순서화된 기저이다. 벡터 다발은 항상 다양체의 아틀라스와 유사하게 국소 자명화로 정의되므로 국소 틀을 구성하는 것은 항상 가능하다. 즉, 밑공간 다양체 의 임의의 점 가 주어졌을 때, 의 열린 근방 이 존재하여 위의 벡터 다발이 국소적으로 자명하다. 즉, 와 동형이며 로 사영한다. 이를 통해 의 벡터 공간 구조를 전체 국소 자명화로 확장할 수 있으며, 의 기저도 확장할 수 있다. 이것이 국소 틀을 정의한다. (여기서는 실수 집합이 사용되었지만, 대부분의 전개는 일반적으로 환 위의 가군, 특히 복소수 위의 벡터 공간으로 확장될 수 있다.)

 위의 국소 틀을 라고 하자. 이 틀은 의 임의의 단면을 국소적으로 표현하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 가 틀 와 동일한 열린 집합 위에서 정의된 국소 단면이라고 가정하자. 그러면

여기서 는 틀 에서 의 성분을 나타낸다. 행렬 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

일반 상대성이론에서 이러한 틀장은 테트라드라고 불린다. 테트라드는 특히 국소 틀을 밑공간 다양체 (아틀라스에 의해 설정된 의 좌표계)의 명시적 좌표계와 관련시킨다.

외적 접속

E의 코쥘 접속은 다음 유형의 미분 연산자이다.

여기서 Γ는 벡터 다발의 국소 단면의 층을 나타내고, Ω1M은 M 위의 미분 1-형식의 다발이다. D가 접속이 되려면 외미분과 올바르게 결합되어야 한다. 특히, v가 E의 국소 단면이고 f가 매끄러운 함수이면 다음이 성립한다.

여기서 df는 f의 외미분이다.

때로는 D의 정의를 임의의 E-값 형식으로 확장하여, 이를 미분 형식의 전체 외대수와 E의 텐서곱에 대한 미분 연산자로 간주하는 것이 편리하다. 이 호환성 속성을 만족하는 외적 접속 D가 주어지면 D의 유일한 확장이 존재한다.

다음과 같이

여기서 v는 차수 deg v의 동차 형식이다. 즉, D는 등급 가군 Γ(E ⊗ Ω*M)의 층에 대한 미분이다.

접속 형식
접속 형식은 외적 접속을 특정 틀 e에 적용할 때 발생한다. eα에 외적 접속을 적용하면 다음을 만족하는 M 위의 1차 미분 형식으로 이루어진 유일한 k × k 행렬 (ωαβ)이다.

접속 형식을 사용하여 E의 임의 단면에 대한 외적 접속을 이제 표현할 수 있다. 예를 들어, ξ = Σα eαξα라고 가정하자. 그러면

양변의 성분을 취하면,

여기서 d와 ω는 틀 e에 대한 성분별 미분과 ξ의 성분에 작용하는 1-형식의 행렬을 각각 나타낸다. 반대로, 1-형식 ω의 행렬은 기본 단면 e가 정의된 열린 집합에서 접속을 국소적으로 완전히 결정하기에 선험적으로 충분하다.

틀의 변경
ω를 적절한 전역 객체로 확장하기 위해서는 E의 기본 단면을 다르게 선택할 때 ω가 어떻게 동작하는지 조사할 필요가 있다. ωαβ = ωαβ(e)라고 써서 e의 선택에 대한 의존성을 나타낸다.

e가 국소 기저의 다른 선택이라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 가역 k × k 함수 행렬 g가 존재한다.

양변에 외적 접속을 적용하면 ω의 변환 법칙이 나온다.

특히, ω는 한 틀에서 다른 틀로 전환하는 규칙이 전이 행렬 g의 미분을 포함하기 때문에 텐서적으로 변환되지 않는다는 점에 유의한다.

전역 접속 형식
{Up}가 M의 열린 덮개이고, 각 Up가 E의 자명화 ep로 갖춰져 있다면, 겹치는 영역의 국소 접속 형식 사이의 패치 데이터에 따라 전역 접속 형식을 정의할 수 있다. 자세히 말하면, M 위의 접속 형식은 각 Up에 정의된 1-형식의 행렬 ω(ep) 시스템으로, 다음 호환성 조건을 만족한다.

이 호환성 조건은 특히 E의 단면의 외적 접속이 E ⊗ Ω1M의 단면으로 추상적으로 간주될 때, 접속을 정의하는 데 사용된 기저 단면의 선택에 의존하지 않도록 보장한다.

곡률

E에서 접속 형식의 곡률 2-형식은 다음으로 정의된다.

접속 형식과 달리 곡률은 틀 변경 시 텐서적으로 동작하며, 이는 푸앵카레 보조정리를 사용하여 직접 확인할 수 있다. 특히, e → e g가 틀 변경이면 곡률 2-형식은 다음과 같이 변환된다.

이 변환 법칙의 한 가지 해석은 다음과 같다. e*를 틀 e에 해당하는 쌍대 기저라고 하자. 그러면 2-형식

는 틀 선택과 무관하다. 특히, Ω는 End(E,E)의 자기동형환에 값을 갖는 M 위의 벡터 값 2-형식이다. 기호적으로는 다음과 같다.

외적 접속 D의 관점에서 곡률 자기동형은 다음으로 주어진다.

v ∈ E에 대해 (이 표현을 정의하기 위해 v를 국소 단면으로 확장할 수 있다). 따라서 곡률은 다음 수열의 실패를 측정한다.

드람 코호몰로지 의미에서 사슬 복합체가 되기 위한 실패를 측정한다.

납땜과 비틀림
E의 올 차원 k가 다양체 M의 차원과 같다고 가정하자. 이 경우, 벡터 다발 E는 때때로 접속 외에 추가 데이터, 즉 납땜 형식이 주어진다. 납땜 형식은 M 위에 전역적으로 정의된 벡터 값 1-형식 θ ∈ Ω1(M,E)으로, 모든 x ∈ M에 대해 매핑

는 선형 동형이다. 납땜 형식이 주어지면 (외적 접속 측면에서) 접속의 비틀림을 다음과 같이 정의할 수 있다.

비틀림 Θ는 M 위의 E-값 2-형식이다.

납땜 형식과 관련 비틀림은 E의 국소 틀 e를 사용하여 모두 설명될 수 있다. θ가 납땜 형식인 경우, 틀 성분으로 분해된다.

비틀림의 성분은 다음과 같다.

곡률과 마찬가지로 Θ는 틀 변경 시 반변 텐서처럼 동작함이 증명될 수 있다.

틀에 독립적인 비틀림은 틀 성분에서도 복구될 수 있다.

비앙키 항등식
비앙키 항등식은 비틀림과 곡률을 관련시킨다. 첫 번째 비앙키 항등식은 다음을 나타낸다.

두 번째 비앙키 항등식은 다음을 나타낸다.

예시: 레비치비타 접속
예를 들어, M이 리만 계량을 가진다고 가정하자. M 위에 벡터 다발 E가 있다면, 계량을 전체 벡터 다발로 확장할 수 있으며, 이를 다발 계량이라고 한다. 그러면 이 다발 계량과 호환되는 접속을 정의할 수 있으며, 이를 계량 접속이라고 한다. E가 접다발 TM인 특수한 경우, 계량 접속을 리만 접속이라고 한다. 리만 접속이 주어지면, 비틀림 없는 유일하고 동등한 접속을 항상 찾을 수 있다. 이것이 M의 접다발 TM 위의 레비치비타 접속이다.

접다발 위의 국소 틀은 벡터장 의 순서화된 목록으로, 이고, 그 정의역의 모든 점에서 선형 독립적으로 M의 열린 부분집합에 정의된다. 크리스토펠 기호는 다음으로 레비치비타 접속을 정의한다.

θ = 가 공변접다발의 쌍대 기저를 나타내어 θi(ej) = δij (크로네커 델타)를 만족한다면, 접속 형식은 다음과 같다.

접속 형식의 관점에서 벡터장 에 대한 외적 접속은 다음으로 주어진다.

이를 ei와 축약하여 일반적인 의미의 레비치비타 접속을 복구할 수 있다.

곡률
레비치비타 접속의 곡률 2-형식은 다음으로 주어진 행렬 (Ωij)이다.

간단화를 위해 틀 e가 홀로노믹이라고 가정하면 이다. 그러면, 반복되는 지표에 대한 아인슈타인 합 규약을 사용하여

여기서 R은 리만 곡률 텐서이다.

비틀림
레비치비타 접속은 비틀림이 없는 접다발의 유일한 계량 접속으로 특징지어진다. 비틀림을 설명하기 위해 벡터 다발 E가 접다발이라는 점에 유의하자. 이는 접공간의 항등 자기동형 사상에 해당하는 의 단면인 정규 정규 1-형식 (특히 고전역학의 맥락에서는) θ를 가진다. 틀 e에서 납땜 형식은 이며, 여기서 θi는 쌍대 기저이다.

접속의 비틀림은 로 주어지거나, 납땜 형식의 틀 성분으로 표현하면 다음과 같다.

다시 간단화를 위해 e가 홀로노믹이라고 가정하면, 이 표현은 다음으로 축소된다.

이는 Γikj가 하위 지표에 대해 대칭일 때만 사라진다.

비틀림이 있는 계량 접속이 주어지면, 항상 비틀림이 없는 유일한 접속을 찾을 수 있으며, 이것이 레비치비타 접속이다. 리만 접속과 그에 관련된 레비치비타 접속의 차이는 비틀림 텐서이다.

구조 군
벡터 다발 E가 구조 군을 가질 때 더 구체적인 유형의 접속 형식을 구성할 수 있다. 이는 E에 대한 특정 부류의 틀 e를 지정하는 것으로, 이 틀들은 리 군 G에 의해 서로 관련된다. 예를 들어, E에 계량이 있는 경우, 각 점에서 정규 직교 기저를 형성하는 틀로 작업한다. 이 경우 구조 군은 틀의 정규 직교성을 보존하므로 직교군이다. 다른 예시는 다음과 같다.
 이전 섹션에서 고려한 일반적인 틀은 E의 올 차원이 k일 때 구조 군 GL(k)를 가진다.
 복소다양체 (또는 개복소다양체)의 정칙 접다발. 여기서 구조 군은 GL2n(R) ⊂ GLn(C)이다. 에르미트 계량이 주어진 경우, 구조 군은 유니터리 틀에 작용하는 유니터리 군으로 축소된다.
 스핀 구조를 갖춘 다양체의 스피너. 틀은 스핀 공간의 불변 내적에 대해 유니터리하며, 군은 스핀 군으로 축소된다.
 CR 다양체의 정칙 접다발.

일반적으로, 올 차원이 k이고 G ⊂ GL(k)가 Rk의 일반 선형 군의 주어진 리 부분군인 벡터 다발 E가 있다고 하자. (eα)가 E의 국소 틀일 때, 행렬 값 함수 (gij): M → G가 eα에 작용하여 새로운 틀

을 생성할 수 있다. 이러한 두 틀은 G-관련되어 있다. 비형식적으로, 벡터 다발 E는 국소적으로 서로 G-관련된 틀의 선호 부류가 지정되면 ''G''-다발의 구조를 가진다. 형식적으로, E는 Rk를 전형적인 올로 가지고 GL(k)의 부분군으로 G의 자연스러운 작용을 하는 구조 군 G를 가진 올다발이다.

호환 접속
접속은 E 위의 G-다발 구조와 호환되며, 이는 관련된 평행 운송 사상이 항상 한 G-틀을 다른 G-틀로 보낸다는 것을 의미한다. 형식적으로, 곡선 γ를 따라 다음이 국소적으로 (즉, 충분히 작은 t 값에 대해) 성립해야 한다.

어떤 행렬 gαβ (t에 따라 달라질 수 있음)에 대해. t=0에서 미분하면 다음이 나온다.

여기서 계수 ωαβ는 리 군 G의 리 대수 g에 속한다.

이 관찰에 따라 다음으로 정의되는 접속 형식 ωαβ는

1-형식 행렬 ωαβ(e)가 그 값을 g에 취할 때 구조와 호환된다.

호환 접속의 곡률 형식은 더욱이 g-값 2-형식이다.

틀의 변경
틀 변경 시

여기서 g는 M의 열린 부분집합에 정의된 G-값 함수이다. 접속 형식은 다음과 같이 변환된다. 

또는 행렬 곱을 사용하면 다음과 같다.

이러한 각 항을 해석하려면 g : M → G가 G-값 (국소적으로 정의된) 함수임을 상기한다. 이를 염두에 두면

여기서 ωg는 군 G의 모러-카르탕 형식으로, 여기서는 함수 g를 따라 M로 당겨지고, Ad는 G의 리 대수에 대한 딸림표현이다.

주다발
지금까지 소개된 접속 형식은 특정 틀 선택에 따라 달라진다. 첫 번째 정의에서 틀은 단지 단면의 국소 기저이다. 각 틀에 대해 접속 형식은 한 틀에서 다른 틀로 넘어가는 변환 법칙과 함께 주어진다. 두 번째 정의에서 틀 자체는 리 군이 제공하는 추가 구조를 가지며, 틀 변경은 그 값을 취하는 것으로 제한된다. 샤를 에레스만이 1940년대에 개척한 주다발의 언어는 이러한 많은 접속 형식과 그것들을 연결하는 변환 법칙을 하나의 내재적 형식으로 단일 변환 규칙과 함께 구성하는 방법을 제공한다. 이 접근 방식의 단점은 형식이 더 이상 다양체 자체에 정의되지 않고 더 큰 주다발에 정의된다는 것이다.

접속 형식에 대한 주접속
E → M이 구조 군 G를 가진 벡터 다발이라고 가정하자. {U}를 M의 열린 덮개라고 하고, 각 U에 G-틀이 eU로 표시된다고 하자. 이들은 겹치는 열린 집합의 교집합에서 다음으로 관련된다.

U ∩ V에 정의된 G-값 함수 hUV에 대해.

FGE를 M의 각 점에 걸쳐 취해진 모든 G-틀의 집합이라고 하자. 이것은 M 위의 주 G-다발이다. 자세히 말하면, G-틀이 모두 G-관련되어 있다는 사실을 이용하여 FGE는 열린 덮개의 집합 사이의 접합 데이터 측면에서 실현될 수 있다.

여기서 동치 관계 는 다음으로 정의된다.

FGE 위에, 각 곱 U × G에 대해 g-값 1-형식을 지정하여 주접속을 다음과 같이 정의한다. 이는 겹치는 영역의 동치 관계를 존중한다. 먼저 다음을 정의하자.

는 사영 사상이다. 이제 (x,g) ∈ U × G 점에 대해 다음을 설정한다.

이러한 방식으로 구성된 1-형식 ω는 겹치는 집합 간의 전이를 존중하며, 따라서 주다발 FGE 위의 전역적으로 정의된 1-형식을 제공한다. ω는 FGE에 대한 오른쪽 G 작용의 생성자를 재현하고, T(FGE)에 대한 오른쪽 작용과 G의 딸림표현을 동변적으로 얽히게 한다는 의미에서 주접속임을 보일 수 있다.

주접속과 관련된 접속 형식
반대로, 주 G-다발 P→M의 주 G-접속 ω는 M 위의 접속 형식 모음을 생성한다. e : M → P가 P의 국소 단면이라고 가정하자. 그러면 e를 따른 ω의 당김은 M 위의 g-값 1-형식을 정의한다.

G-값 함수 g로 틀을 변경하면, 라이프니츠 규칙과 딸림을 사용하여 ω(e)가 필요한 방식으로 변환되는 것을 볼 수 있다.

여기서 X는 M 위의 벡터이고, d는 밀어내기를 나타낸다.

 같이 보기 
 에레스만 접속
 카르탕 접속
 아핀 접속
 곡률 형식

 각주 

참고문헌
 Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:미분기하학
분류:올다발
분류:접속 (수학)
분류:매끄러운 함수