이계 도함수의 대칭성

수학에서 이계 도함수의 대칭성(symmetry of second derivatives) 또는 혼합 편도함수의 등식(equality of mixed partials)은 다변수 함수의 편미분 순서를 바꾸어도

일부 연속성 조건이 충족되면 결과가 변경되지 않는다는 사실이다(아래 참조). 즉, 이계 편도함수는 다음 항등식을 만족한다.

다른 말로 하면, 헤세 행렬로 알려진 이계 편도함수 행렬은 대칭행렬이다.

대칭성이 성립하기 위한 충분 조건은 슈바르츠 정리(클레로 정리 또는 영 정리라고도 함)에 의해 주어진다.

편미분 방정식의 맥락에서는 슈바르츠 적분 가능성 조건이라고 부른다.

 대칭성의 형식적 표현 
기호로 대칭성은 다음과 같이 표현될 수 있다.

다른 표기법은 다음과 같다.

에 대한 편도함수를 취하는 미분 연산자 의 합성으로 표현하면 다음과 같다.

.

이 관계로부터 로 생성되는 환의 상수 계수 미분 연산자가 가환이라는 결론이 나온다. 그러나 이것은 충분히 미분 가능한 함수의 정의역에 대한 연산자로서만 사실이다. 단항식에 적용되는 대칭성을 확인하는 것은 쉽다. 따라서 에서 다항식을 정의역으로 취할 수 있다. 실제로 매끄러운 함수는 또 다른 유효한 정의역이다.

 역사 
특정 조건에서 혼합 편도함수의 등식에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다. 실패한 제안된 증명 목록은 1740년에 발표된 오일러의 증명으로 시작되었지만, 이미 1721년에 베르누이는 형식적인 정당화 없이 이 결과를 암묵적으로 가정했다. 클레로 또한 1740년에 제안된 증명을 발표했으며, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다. 그 이후 70년 동안 여러 불완전한 증명이 제안되었다. 라그랑주의 증명(1797)은 코시에 의해 개선되었지만(1823), 편도함수 와 의 존재와 연속성을 가정했다. P. 블랑셰(1841), 뒤아멜(1856), 스튀름(1857), 슐뢰밀히(1862), 베르트랑(1864)도 다른 시도를 했다. 마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증명을 체계적으로 분석하여 혼합 도함수가 같지 않은 특정 반례를 제시할 수 있었다.

그로부터 6년 후, 슈바르츠는 최초의 엄밀한 증명을 성공적으로 제시했다. 디니는 나중에 슈바르츠의 조건보다 더 일반적인 조건을 찾아 기여했다. 결국 1883년 조르당에 의해 대부분의 교과서에서 여전히 발견되는 깨끗하고 더 일반적인 버전이 발견되었다. 이전 증명의 작은 변형은 로랑(1885), 페아노(1889 및 1893), J. 에드워즈(1892), P. 하그(1893), J. K. 휘트모어(1898), 비반티(1899), 피어폰트(1905)에 의해 발표되었다. 1907-1909년에 E. W. 홉슨과 W. H. 영이 슈바르츠와 디니의 조건보다 더 약한 조건으로 증명을 찾아 추가적인 진전이 있었다. 1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 기반으로 하는 다른 증명을 제시했다.
 슈바르츠 정리 

수학적 해석에서 슈바르츠 정리 (또는 혼합 편도함수의 등식에 대한 클레로 정리)는 알렉시 클로드 클레로와 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었으며, 집합 에서 정의된 함수 에 대해 이 의 근방이 에 포함되고 가 의 그 근방에서 연속 이계 편미분을 가지면, 의 모든 와 에 대해 다음이 성립한다.

이 함수의 편도함수는 해당 지점에서 교환된다.

이계 편도함수가 점 에서만 미분 가능해야 하는 이 정리의 버전이 존재한다.

이 정리(일반적으로 , , 인 경우)를 증명하는 한 가지 쉬운 방법은 의 기울기에 그린 정리를 적용하는 것이다.

평면의 열린 부분집합에 대한 함수의 초등 증명은 다음과 같다(간단한 환원을 통해 슈바르츠 정리의 일반적인 경우는 쉽게 평면의 경우로 환원된다). 점 를 포함하는 열린 직사각형 에서 미분 가능 함수 가 있다고 하자. 그리고 가 위에서 연속인 와 를 가진다고 가정하자.

이 함수들은 에 대해 정의된다. 여기서 이고 는 에 포함된다.

평균값 정리에 의해, 고정된 와 가 0이 아닐 때, 는 열린 구간 에서 다음을 만족한다.

이므로, 아래 첫 번째 등식은 로 나눌 수 있다.

마지막 등식에서 를 0으로 보내면 와 에 대한 연속성 가정에 따라 다음이 성립한다.

이 설명은 버킬, 아포스톨, 루딘 등 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.

위의 유도는 기초적이지만, 이 접근 방식은 더 개념적인 관점에서 볼 수도 있어 결과가 더욱 분명해진다. 실제로 차분 연산자 는 교환 가능하고 는 가 0으로 갈 때 로 수렴하며, 2차 연산자에 대해서도 유사한 설명이 있다. 여기서 평면의 벡터 와 방향 벡터 또는 인 에 대해 차분 연산자는 다음과 같이 정의된다.

열린 구간 에서 인 함수 에 대한 미적분학의 기본 정리에 의해

따라서

.

이것은 평균값 정리의 일반화된 버전이다. 실수 값 함수의 극대 또는 극소에 대한 초등 논의는 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하면 에 다음을 만족하는 점 가 존재한다는 것을 의미한다.

유한 차원 유클리드 공간 를 갖는 벡터 값 함수에서는 위 등식의 아날로그가 존재하지 않으며, 실제로 실패한다. 그러나 이므로 위 부등식은 유용한 대체물이다. 또한 의 이중 공간을 이중 노름과 짝지으면 다음 부등식이 나온다.

.

이러한 평균값 정리의 버전은 루딘, 회르만데르 등에서 논의된다.

평면의 열린집합에서 함수 에 대해 및 를 정의한다. 또한 에 대해 다음을 설정한다.

.

그러면 열린집합의 에 대해 일반화된 평균값 정리를 두 번 적용할 수 있다.

따라서 는 가 0으로 갈 때 로 수렴한다. 같은 논증은 가 로 수렴한다는 것을 보여준다. 따라서 차분 연산자는 교환하므로, 주장된 대로 편미분 연산자 과 도 교환한다.

비고. 고전적인 평균값 정리의 두 가지 응용에 의해,

에 있는 일부 와 에 대해. 따라서 첫 번째 초등 증명은 차분 연산자를 사용하여 재해석될 수 있다. 반대로, 두 번째 증명에서 일반화된 평균값 정리 대신 고전적인 평균값 정리를 사용할 수 있다.

 반복 적분을 이용한 클레로 정리 증명 
콤팩트 직사각형 에서 연속 함수 의 반복 리만 적분 속성은 쉽게 확립된다. 의 균등 연속성은 함수 와 가 연속임을 즉시 의미한다. 다음이 성립한다.

;

더욱이, 가 양수이면 반복 적분도 양수임이 즉시 분명하다. 위의 등식은 측도론을 포함하지 않는 푸비니 정리의 간단한 경우이다. 는 직사각형을 더 작은 직사각형으로 세분하는 것에 해당하는 리만 근사 합을 사용하여 이를 직접적으로 증명한다.

클레로 정리를 증명하기 위해, 열린집합 에서 미분 가능 함수 가 주어지고, 혼합 이계 편도함수 와 가 존재하고 연속이라고 가정하자. 미적분학의 기본 정리를 두 번 사용하면,

마찬가지로,

따라서 두 반복 적분은 같다. 다른 한편으로, 가 연속이므로, 두 번째 반복 적분은 먼저 에 대해 적분한 다음 에 대해 적분하여 수행할 수 있다. 그러나 이 경우 에서 의 반복 적분은 사라져야 한다. 그러나 연속 함수 의 반복 적분이 모든 직사각형에 대해 사라지면 는 항등적으로 0이어야 한다. 그렇지 않으면 또는 가 어떤 점에서 엄격하게 양수이고 따라서 연속성에 의해 직사각형 위에서도 양수여야 하는데, 이는 불가능하다. 따라서 는 항등적으로 0이어야 하므로, 어디에서나 가 성립한다.

 이계 미분 가능성의 충분 조건 
두 번째 편도함수의 연속성(이것은 후자에 의해 암시된다)보다 대칭성을 보장하기에 충분한 약한 조건은 모든 편도함수 자체가 미분 가능하다는 것이다. 치환된 혼합 편도함수의 존재가 주장되는 정리의 또 다른 강화는 1890년 마테시스에 대한 짧은 노트에서 페아노가 제공했다.

 만약 이 열린집합 에 정의되고, 와 가 의 모든 곳에서 존재하며, 가 에서 연속이고, 가 의 근방에서 존재한다면, 는 에서 존재하고 이다.

 분포 이론 공식화 

분포론 (일반화된 함수)은 대칭성과 관련된 해석적 문제를 해결한다. 적분 가능 함수의 도함수는 항상 분포로 정의될 수 있으며, 혼합 편도함수의 대칭성은 항상 분포의 등식으로 성립한다. 분포의 미분을 정의하기 위해 형식적인 부분 적분을 사용하면 대칭성 문제는 시험 함수로 돌아간다. 시험 함수는 매끄럽고 이 대칭성을 확실히 만족한다. 더 자세히 말하면 (여기서 f는 시험 함수에 대한 연산자로 작성된 분포이고 φ는 시험 함수),
 

함수의 푸리에 변환을 정의하는 또 다른 접근 방식은 이러한 변환에서 편미분이 훨씬 더 분명하게 교환하는 곱셈 연산자가 된다는 점에 주목하는 것이다.

 연속성 요구 사항 
클레로 정리가 만족되지 않으면(이계 편도함수가 연속이 아님) 함수가 미분 가능한 편도함수를 갖지 못하여 대칭성이 깨질 수 있다.

섬네일|right|방정식 ()에 표시된 함수 f(x, y)는 원점에서 대칭적인 이계 도함수를 가지지 않는다.
비대칭의 예는 (페아노에 의한) 다음 함수이다.

이것은 극좌표 형식 로 시각화될 수 있다. 이 함수는 모든 곳에서 연속이지만, 에서의 도함수는 대수적으로 계산할 수 없다. 오히려 차분 몫의 극한을 보면 임을 알 수 있다. 따라서 그래프 는 에서 수평 접평면을 가지며, 편도함수 는 존재하고 모든 곳에서 연속이다. 그러나 이계 편도함수는 에서 연속이 아니며 대칭성이 실패한다. 사실, x축을 따라 y-도함수는 이므로 다음과 같다.

반대로 y축을 따라 x-도함수는 이므로 이다. 즉, 혼합 편도함수가 존재함에도 불구하고 에서 이고, 다른 모든 점에서는 대칭성이 성립한다.

위의 함수를 극좌표로 나타내면 다음과 같다.

이는 원점을 포함하는 임의로 작은 루프를 한 번 돌 때 함수가 네 번 진동함을 보여준다. 따라서 직관적으로, (0, 0)에서의 함수의 국소적 행동은 이차 형식으로 설명될 수 없으며, 따라서 헤세 행렬은 대칭적이지 않다.

일반적으로 극한 연산의 교환은 반드시 교환할 필요는 없다. 근처의 두 변수와 다음 식에 대한 두 가지 극한 과정이 주어졌을 때

이는 h → 0을 먼저 하고 k → 0을 먼저 하는 것에 해당한다. 1차 항을 보면 어떤 것을 먼저 적용하는지가 중요할 수 있다. 이는 이계 도함수가 비대칭적인 병적인 예시의 구성으로 이어진다. 이런 종류의 예시는 함수의 점별 값이 중요한 실해석학 이론에 속한다. 분포로 볼 때 이계 편도함수의 값은 르베그 측도가 0인 한 임의의 점 집합에서 변경될 수 있다. 예시에서 헤세 행렬은 을 제외한 모든 곳에서 대칭이므로, 슈바르츠 분포로 본 헤세 행렬이 대칭이라는 사실과 모순되지 않는다.

 리 이론에서 
1차 미분 연산자 Di를 유클리드 공간의 무한소 연산자로 간주한다. 즉, Di는 xi축에 평행한 평행 이동의 1-매개변수군을 생성한다. 이 군들은 서로 교환하므로 무한소 생성자도 교환한다. 리 괄호

 [Di, Dj] = 0

는 이 속성을 반영한다. 다시 말해, 한 좌표에 대한 다른 좌표의 리 미분은 0이다.

 미분 형식에 대한 적용 
클레로-슈바르츠 정리는 모든 (또는 적어도 두 번 미분 가능한) 미분 형식 에 대해 두 번째 외미분이 소멸한다는 것을 증명하는 데 필요한 핵심 사실이다: . 이는 모든 미분 가능한 완전 미분 형식 (즉, 어떤 형식 에 대해 인 형식 )이 닫힌 형식임을 의미한다 (즉, ), 왜냐하면 이기 때문이다.

18세기 중반, 미분 형식 이론은 평면에서의 1차 형식, 즉 의 가장 간단한 경우에서 처음 연구되었다. 여기서 와 는 평면에서의 함수이다. 1차 형식과 함수의 미분에 대한 연구는 클레로의 1739년과 1740년 논문에서 시작되었다. 그 단계에서 그의 연구는 상미분 방정식을 해결하는 방법으로 해석되었다. 클레로는 형식적으로 열린 직사각형에서 1차 형식 가 닫힌 형식, 즉 이라는 것을 보였다. 이는 가 디스크에서 어떤 함수 에 대해 의 형태를 가질 때만 성립한다. 에 대한 해는 코시의 적분 공식으로 쓸 수 있다.

반면 인 경우, 닫힌 속성 은 항등식 이다. (현대 언어로는 이것이 푸앵카레 보조정리의 한 버전이다.)

 내용주 

 각주 

 (reprinted 1978)

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분류:해석학 정리