베이커-캠벨-하우스도르프 공식

수학에서 베이커-캠벨-하우스도르프 공식()은 리 군의 리 대수에서 (잠재적으로) 비가환인 와 에 대해 다음 방정식을 만족하는 의 값을 제공한다.

이 공식을 기술하는 다양한 방법이 있으나, 궁극적으로는 모두 리 대수적 용어, 즉 와 및 그들의 반복된 교환자들로 이루어진 (반드시 수렴할 필요는 없는) 형식적 급수로 를 표현한다. 이 급수의 처음 몇 항은 다음과 같다.

여기서 ""은 와 의 고차 교환자를 포함하는 항들을 나타낸다. 만약 와 가 리 군 의 리 대수 의 충분히 작은 원소라면, 이 급수는 수렴한다. 한편, 의 단위 원소에 충분히 가까운 모든 원소 는 의 작은 원소 에 대해 로 표현될 수 있다. 따라서 단위 원소 근처에서 로 써지는 의 군 곱셈은 순수하게 리 대수적인 용어로 표현될 수 있다고 말할 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 리 대응의 심오한 결과들을 비교적 간단하게 증명하는 데 사용될 수 있다.

만약 와 가 충분히 작은 행렬이라면, 는 의 로그로 계산될 수 있으며, 여기서 지수 함수와 로그 함수는 멱급수로 계산될 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 핵심은 가 와 의 반복된 교환자들의 급수로 표현될 수 있다는, 전혀 자명하지 않은 주장이다.

이 공식에 대한 현대적인 설명은 로스만과 홀의 저서 등에서 찾을 수 있다.

 역사 
이 공식은 헨리 프레더릭 베이커, 존 에드워드 캠벨, 그리고 펠릭스 하우스도르프의 이름을 따서 명명되었는데, 이들은 공식의 질적인 형태, 즉 해를 표현하는 데 오직 교환자와 교환자의 교환자들만이 무한히 필요하다는 점을 명시했다. 이 형태에 대한 더 이른 언급은 1890년에 프리드리히 슈어에 의해 예견되었으며, 거기서 항들이 재귀적으로 정의된 수렴하는 멱급수가 제시되었다. 이러한 질적인 형태는 리 대응의 비교적 접근하기 쉬운 증명이나 양자장론과 같은 가장 중요한 응용 분야에서 사용되는 것이다. 슈어 이후, 캠벨(1897)에 의해 출판물에 기록되었고; 앙리 푸앵카레(1899)와 베이커(1902)에 의해 정교화되었으며; 하우스도르프(1906)에 의해 기하학적으로 체계화되고 야코비 항등식과 연결되었다. 모든 수치 계수가 포함된 최초의 실제 명시적 공식은 예브게니 딘킨(1947)에 의해 만들어졌다. 이 공식의 역사는 아킬레스와 본필리올리의 논문 및 본필리올리와 풀치의 저서에 자세히 설명되어 있다.

 명시적 형태 
많은 목적을 위해, 를 와 의 반복된 교환자들로 전개하는 것이 가능하다는 사실만 아는 것으로 충분하며, 정확한 계수는 종종 무관하다. (예를 들어, 홀의 저서 5.2절에 있는 리 군과 리 대수 준동형사상 간의 관계에 대한 논의를 보라. 여기서 정확한 계수는 논증에서 아무런 역할을 하지 않는다.) 매우 직접적인 존재성 증명이 마르틴 아이클러에 의해 제시되었으며, 아래의 "존재성 결과" 섹션도 참조하라.

다른 경우에는 에 대한 상세한 정보가 필요할 수 있으므로, 를 가능한 한 명시적으로 계산하는 것이 바람직하다. 수많은 공식이 존재하며, 이 섹션에서는 두 가지 주요 공식(딘킨의 공식과 푸앵카레의 적분 공식)을 설명한다.

 딘킨 공식 
G를 리 대수 를 가진 리 군이라 하자.

를 리 지수 사상이라 하자.
다음과 같은 일반적인 조합론적 공식이 예브게니 딘킨(1947)에 의해 도입되었다.

여기서 합은 와 의 모든 비음의 정수 값에 대해 수행되며, 다음 표기법이 사용되었다:

단, 로 이해한다.

이 급수는 일반적으로 수렴하지 않는다. 충분히 작은 모든 와 에 대해 수렴하며(제시된 공식이 유효함), 이므로, 이거나 및 인 경우 해당 항은 0이다.

처음 몇 항은 잘 알려져 있으며, 모든 고차 항은 와 그들의 중첩된 교환자들을 포함한다(따라서 리 대수 안에 있다).

위 목록은 6차 이하의 모든 항(즉, 6개 이하의 와 를 포함하는 항)을 나열한 것이다. 전개의 교차 차수에서 나타나는 (반)대칭성은 로부터 도출된다. 이 공식에 대한 완전한 기초적인 증명은 지수 사상의 미분에 관한 문서에서 찾을 수 있다.

 적분 공식 
에 대한 수많은 다른 표현들이 있으며, 그 중 많은 것들이 물리학 문헌에서 사용된다. 대중적인 적분 공식은 다음과 같다.

여기서 베르누이 수의 생성 함수가 포함된다.

이 공식은 푸앵카레와 하우스도르프에 의해 활용되었다.

 행렬 리 군 예시 
행렬 리 군 의 경우, 리 대수는 단위 원소 I의 접공간이며, 교환자는 단순히 이다. 지수 사상은 행렬의 표준 지수 사상이다.

다음 식에서 Z를 풀 때

와 의 급수 전개를 사용하면 다음과 같은 더 간단한 공식을 얻는다.

1차, 2차, 3차, 4차 항은 다음과 같다.
 
 
 
 

다양한 들에 대한 공식 자체가 베이커-캠벨-하우스도르프 공식인 것은 아니다. 오히려 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 각 를 와 의 반복된 교환자들로 표현하는 여러 방식 중 하나이다. 핵심은 각 를 교환자들의 관점에서 표현할 수 있다는 사실이 결코 자명하지 않다는 점이다. (예를 들어, 독자는 직접 계산을 통해 가 와 의 두 개의 비자명한 3차 교환자, 즉 와 의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 확인할 수 있다.) 각 가 교환자들의 결합으로 표현 가능하다는 일반적인 결과는 아이클러에 의해 우아하고 재귀적인 방식으로 증명되었다.

베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 결과 중 하나는 대각합에 관한 다음과 같은 결과이다.

즉, 인 각 는 교환자들의 선형 결합으로 표현 가능하므로, 그러한 각 항의 대각합은 0이다.

 수렴 문제 
와 가 리 대수 (대각합이 0인 행렬들의 공간)의 다음과 같은 행렬이라고 가정하자.

그러면

이때 를 만족하는 의 행렬 가 존재하지 않음을 보이는 것은 어렵지 않다. (유사한 예시들을 웨이의 논문에서도 찾을 수 있다.)

이 간단한 예시는 를 와 의 반복된 리 괄호로 표현하는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 다양한 버전들이 수렴이 보장되지 않는 형식적 멱급수를 기술한다는 점을 보여준다. 따라서 (형식적 멱급수가 아닌) 와 를 포함하는 리 대수의 실제 원소로서 를 얻고 싶다면, 와 가 작다고 가정해야 한다. 따라서 리 군에서의 곱셈 연산이 리 대수에 의해 결정된다는 결론은 오직 국소적인 진술일 뿐이다. 실제로 리 대수가 서로 동형이더라도 전역적으로는 동형이 아닌 리 군들이 존재할 수 있으므로, 이 결과는 전역적일 수 없다.

구체적으로, 행렬 리 대수에서 작업하고 가 주어진 행렬 노름일 때, 다음 조건이 만족되면 수렴이 보장된다.

 특수한 경우 
만약 와 가 가환이라면, 즉 이면, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 로 축소된다.

또 다른 경우는 멱영군인 하이젠베르크 군의 경우처럼 가 와 모두와 가환인 경우이다. 이때 공식은 처음 세 항으로 축소된다.

이것은 아래에서 설명하는 바와 같이 양자역학에서 일상적으로 사용되는 퇴화된 경우이며, 때때로 풀림 정리(disentangling theorem)로 알려져 있다. 이 경우 와 에 대한 크기 제한이 없다. 이 결과는 스톤-폰 노이만 정리에 들어가는 "지수화된 교환 관계"의 배경이 된다. 이 항등식에 대한 간단한 증명이 아래에 제시되어 있다.

일반 공식의 또 다른 유용한 형태는 Y에 대한 전개를 강조하고 인접 자기동형사상 표기법 를 사용한다.

이는 위의 적분 공식으로부터 자명하게 도출된다. (하나의 를 포함하는 중첩된 교환자들의 계수는 정규화된 베르누이 수이다.)

이제 교환자가 의 배수라고 가정하자. 즉, 이다. 그러면 모든 반복된 교환자들은 의 배수가 되며, 에 대한 2차 이상의 항은 나타나지 않는다. 따라서 위의 항은 사라지고 다음을 얻는다.

이 경우에도 와 에 대한 크기 제한은 없다. 에 대한 제한은 우변의 표현이 의미를 가짐을 보장한다. (일 때는 로 해석할 수 있다.) 또한 다음과 같은 간단한 " braiding identity"를 얻는다.

이는 인접 확대로 써질 수 있다:

 존재성 결과 

만약 와 가 행렬이라면, 지수 함수와 로그 함수의 멱급수를 사용하여 를 계산할 수 있으며, 와 가 충분히 작으면 급수가 수렴한다. 와 에 대한 총 차수가 고정된 수 와 같은 모든 항을 모아 라고 표현하는 것이 자연스럽다. (처음 몇 개의 에 대한 공식은 위의 "행렬 리 군 예시" 섹션을 참조하라.) 각 가 와 의 반복된 교환자들로 표현 가능하다는 매우 직접적이고 간결한 재귀적 증명이 마르틴 아이클러에 의해 제시되었다.

대안적으로, 다음과 같이 존재성 논증을 제시할 수 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 만약 와 가 또는 와 같이 표수가 0인 임의의 체 위에서 정의된 어떤 리 대수 의 원소라면,

는 형식적으로 의 원소들의 무한 합으로 써질 수 있음을 의미한다. [이 무한 급수는 수렴할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으므로, 의 실제 원소 를 정의할 필요는 없다.] 많은 응용 분야에서 이 형식적 표현의 존재를 보장받는 것만으로 충분하며, 이 무한 합에 대한 명시적인 표현은 필요하지 않다. 예를 들어, 리 대수의 표현으로부터 리 군의 표현을 구축하는 로런츠 구성의 경우가 그러하다. 존재성은 다음과 같이 확인할 수 있다.

비가환 변수 와 에 대해 실수 계수를 가진 모든 비가환 형식적 멱급수의 환 를 고려하자. 에서 위에서 와 의 텐서곱으로 가는 환 준동형사상이 존재하며,

이를 여곱(coproduct)이라 부른다. 이는 다음과 같이 정의된다.
 및 
(Δ의 정의는 R-선형성, 승법성 및 무한 가법성을 요구함으로써 S의 다른 원소들로 확장된다.)

그러면 다음 속성들을 확인할 수 있다.
 표준 테일러 급수로 정의된 사상은 상수항이 0인 의 원소 집합과 상수항이 1인 의 원소 집합 사이의 일대일 대응이다. exp의 역함수는 log이다.
 가 군과 같다(grouplike, 즉 )는 것은 s가 원시적(primitive, 즉 )인 것과 필요충분조건이다.
 군과 같은 원소들은 곱셈 하에서 군을 형성한다.
 원시 원소들은 정확히 X와 Y에 의해 생성된 리 대수 원소들의 형식적 무한 합이며, 여기서 리 괄호는 교환자 로 주어진다. (프리드리히스의 정리)

캠벨-베이커-하우스도르프 공식의 존재성은 이제 다음과 같이 볼 수 있다.
원소 X와 Y는 원시적이므로, 와 는 군과 같다. 따라서 그들의 곱 역시 군과 같으며, 그 로그 는 원시적이다. 그러므로 이는 와 에 의해 생성된 리 대수의 원소들의 무한 합으로 써질 수 있다.

와 에 의해 생성된 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 와 에 대한 모든 비가환 다항식의 대수와 동형이다. 모든 보편 포락 대수와 마찬가지로, 이는 여곱 를 가진 자연스러운 호프 대수 구조를 갖는다. 위에서 사용된 환 는 단지 이 호프 대수의 완비화일 뿐이다.

 자센하우스 공식 
이와 관련하여 이중적 응용 분야에서 유용한 조합론적 전개는 다음과 같다.

여기서 의 고차 지수들은 마찬가지로 중첩된 교환자들, 즉 동차 리 다항식이다.
에 있는 이러한 지수 은 위의 BCH 전개를 적용하여 재귀적으로 도출된다.

이것의 따름정리로 스즈키-트로터 분해가 뒤따른다.

 캠벨 항등식 
다음 항등식(Campbell 1897)은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우로 이어진다.
를 행렬 리 군이라 하고 를 그에 대응하는 리 대수라 하자. 고정된 에 대해 로 정의된 위의 선형 연산자를 라 하자. (위에서 본 인접 자기동형사상이다.) 고정된 에 대해 로 주어지는 의 선형 변환을 로 표기하자.

위의 명시적 전개를 생성하는 데 활용되는 표준 조합론적 보조정리는 다음과 같다.

이것은 양자역학에서 유니터리 변환을 수행하는 데 일반적으로 사용되는 특히 유용한 공식이다. 반복된 교환자를 다음과 같이 정의하면,

이 공식을 더 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

 항등식의 응용 
가 중심에 있는 경우, 즉 와 모두와 가환인 경우,

따라서 에 대해 다음이 성립한다.

이것의 해는 다음과 같다.

로 두면 위에서 설명한 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우 중 하나를 얻는다.

더 일반적으로, 중심에 있지 않은 에 대해 다음이 성립한다.

이는 다음과 같은 braiding identity로 써질 수 있다.

 무한소의 경우 

위 공식의 특히 유용한 변형은 무한소 형태이다. 이는 일반적으로 다음과 같이 써진다.

이 변형은 좌표와 vielbein을 리 군 위의 메트릭의 풀백으로 쓰는 데 흔히 사용된다.

예를 들어, 어떤 함수 와 리 대수의 기저 에 대해 라고 쓰면, 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있다.

여기서 는 리 대수의 구조 상수이다.

이 급수는 다음과 같이 더 간결하게 (본문 참조) 써질 수 있다.

여기서 무한 급수는 다음과 같다.

여기서 은 행렬 원소가 인 행렬이다.

이 표현의 유용함은 행렬 이 vielbein이라는 사실에서 나온다. 따라서 어떤 다양체 에서 다양체 로 가는 어떤 사상 가 주어졌을 때, 다양체 위의 계량 텐서는 리 군 위의 계량 텐서 의 풀백으로 써질 수 있다.

리 군 위의 계량 텐서 은 카르탄 메트릭, 즉 킬링 형식이다. 이 (의사-)리만 다양체일 때, 메트릭은 (의사-)리만 계량이다.

 양자역학에서의 응용 
베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우는 하이젠베르크 리 대수를 생성하는 힐베르트 공간 연산자 와 가 있는 양자역학, 특히 양자광학에서 유용하다. 구체적으로 양자역학의 위치 및 운동량 연산자(보통 와 로 표기됨)는 정준 교환 관계를 만족한다.

여기서 는 항등 연산자이다. 따라서 와 는 그들의 교환자와 가환이다. 따라서 (와 가 비유계 연산자이고 행렬이 아님에도 불구하고) 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특수한 경우를 형식적으로 적용하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

이 "지수화된 교환 관계"는 실제로 성립하며 스톤-폰 노이만 정리의 기초를 형성한다.
나아가, 도 성립한다.

관련된 응용으로 소멸 및 생성 연산자 와 가 있다. 그들의 교환자 는 중심에 있으며, 즉 와 모두와 가환이다. 위에서 지적한 바와 같이, 전개는 다음과 같은 반-자명한 퇴화 형태로 붕괴된다.

여기서 는 단순히 복소수이다.

이 예시는 변위 연산자(displacement operator) 를 소멸 및 생성 연산자와 스칼라의 지수 함수들로 분해하는 것을 보여준다.

이 퇴화된 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 두 변위 연산자의 곱을 (어떤 위상 인자까지 포함하여) 또 다른 변위 연산자로 나타내며, 결과적인 변위는 두 변위의 합과 같다.

이는 그들이 표현하는 하이젠베르크 군이 멱영군이기 때문이다. 퇴화된 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 양자장론에서도 빈번하게 사용된다.

 같이 보기 

 행렬 지수 함수
 행렬 로그 함수
 리 곱 공식 (트로터 곱 공식)
 리 대응
 지수 사상의 미분
 마그누스 전개
 스톤-폰 노이만 정리
 골든-톰슨 부등식

 내용주 

 각주 

 참고 문헌 
 
 
 
 L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, 케임브리지 대학교 출판부, New York, 1990, .
 
 
 
 
 
 Shlomo Sternberg (2004) Lie Algebras, Orange Grove Books, free, online
 Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.

 외부 링크 
 C.K. Zachos, Crib Notes on CBH expansions 
 MathWorld page

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분류:수리물리학