브라우어 군

수학에서 체 K의 브라우어 군()은 K 위의 중심 단순 대수의 모리타 동치 동치류로 이루어진 아벨 군이며, 덧셈은 대수의 텐서곱으로 주어진다. 이 군은 대수학자 리하르트 브라우어에 의해 정의되었다.

브라우어 군은 체 위의 나눗셈 대수를 분류하려는 시도에서 시작되었다. 이 군은 갈루아 코호몰로지로도 정의될 수 있다. 더 일반적으로, 스킴의 브라우어 군은 아즈마야 대수 또는 동등하게 사영 다발을 사용하여 정의된다.

 구성 
체 K 위의 중심 단순 대수(CSA)는 K-대수 A가 단순환이고 A의 중심이 K와 같은 유한 차원 결합 대수이다. CSA는 일반적으로 나눗셈 대수가 아니지만, CSA를 사용하여 나눗셈 대수를 분류할 수 있다.

예를 들어, 복소수 C는 그 자신 위에 CSA를 형성하지만, R 위에는 아니다 (중심이 C 자체이므로 R 위의 CSA가 되기에는 너무 크다). 프로베니우스 정리 (환론)에 의해 중심이 R인 유한 차원 나눗셈 대수는 실수와 사원수이며, 실수나 사원수 위의 모든 행렬환 – 또는 –은 실수 위의 CSA이지만 나눗셈 대수는 아니다 (n > 1인 경우).

아르틴-웨더번 정리 (조지프 웨더번의 부분)에 따라 K 위의 CSA에 대한 동치 관계를 얻고, 이는 모든 CSA를 어떤 나눗셈 대수 D에 대한 M(n, D)로 표현한다. D만을 고려하면, 즉 모든 양의 정수 m과 n에 대해 를 와 동일시하는 동치 관계를 부과하면, K 위의 CSA에 대한 브라우어 동치 관계를 얻는다. 브라우어 군의 원소는 K 위의 CSA의 브라우어 동치류이다.

중심 단순 대수 A와 B가 주어지면, 이들의 텐서곱 A ⊗ B를 로 볼 수 있다. 이것은 항상 중심 단순임이 밝혀진다. 이를 깔끔하게 보는 방법은 특징을 사용하는 것이다: K 위의 중심 단순 대수 A는 스칼라의 체를 K의 대수적 폐포로 확장할 때 행렬환이 되는 이다. 이 결과는 K-벡터 공간으로서 중심 단순 대수 A의 차원이 항상 정사각수임을 보여준다. A의 차수는 그 차원의 제곱근으로 정의된다.

결과적으로, K 위의 CSA의 동형류는 텐서곱에 대해 모노이드를 형성하며, 브라우어 동치와 양립하고, 모든 브라우어류는 가역원이다. 대수 A의 역원은 그 역대수 Aop (의 상이 A의 중심에 있으므로 K에 의한 동일한 작용을 갖는 역환)로 주어진다. 명시적으로, CSA A에 대해 이며, 여기서 n은 K 위의 A의 차수이다.

어떤 체의 브라우어 군은 꼬임 군이다. 더 자세히 말하면, K 위의 중심 단순 대수 A의 주기는 브라우어 군의 원소로서의 A의 차수로 정의된다. A의 지수는 A와 브라우어 동치인 나눗셈 대수의 차수로 정의된다. 그러면 A의 주기는 A의 지수를 나누며 (따라서 유한하다).

 예시 
 다음의 경우, 체 K 위의 모든 유한 차원 중심 나눗셈 대수는 K 자신이며, 따라서 브라우어 군 Br(K)는 자명군이다:
 K는 대수적으로 닫힌 체이다.
 K는 유한체이다 (웨더번 정리). 동등하게, 모든 유한 나눗셈환은 가환환이다.
 K는 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 유리 함수체이다 (Tsen 정리). 더 일반적으로, 브라우어 군은 모든 C1 체에 대해 소멸한다.
 K는 모든 단위근을 포함하는 Q의 대수적 확대이다.
 실수의 브라우어 군 Br R은 차수 2의 순환군이다. 중심이 R인 동형이 아닌 실수 나눗셈 대수는 R 자신과 사원수 대수 H 두 개뿐이다. 이므로, H의 클래스는 브라우어 군에서 차수 2를 갖는다.
 K를 비아르키메데스적 국소체라고 하자. 이는 K가 유한 잔여체를 갖는 이산 값매김 아래에서 완비라는 의미이다. 그러면 Br K는 Q/Z와 동형이다.

 세베리-브라우어 다양체 
체 K의 브라우어 군에 대한 또 다른 중요한 해석은 K 위에서 사영 다형체를 분류한다는 것이다. 이들은 K의 대수적 폐포 위에서 사영 공간과 동형이 된다. 이러한 다양체를 세베리-브라우어 다양체라고 하며, K 위에서 차원 인 세베리-브라우어 다양체의 동형류와 K 위에서 차수 n인 중심 단순 대수의 일대일 대응이 존재한다.

예를 들어, 차원 1의 세베리-브라우어 다양체는 정확히 K 위의 사영 평면에서 매끄러운 원뿔 곡선이다. 환의 표수가 2가 아닌 체 K에 대해, K 위의 모든 원뿔 곡선은 K의 어떤 0이 아닌 원소 a와 b에 대해 ax2 + by2 = z2 꼴의 하나와 동형이다. 대응하는 중심 단순 대수는 사원수 대수이다.

원뿔 곡선은 해당 사원수 대수가 행렬 대수 M(2, K)와 동형인 경우에만 K 위의 사영선 P1과 동형이다.

 순환 대수 
양의 정수 n에 대해, n이 가역원이고 K가 원시 n제곱근 ζ를 포함하는 체 K라고 하자. K의 0이 아닌 원소 a와 b에 대해, 연관된 순환 대수는 다음과 같이 정의되는 K 위의 차수 n 중심 단순 대수이다:

순환 대수는 가장 잘 이해되는 중심 단순 대수이다. (n이 K에서 가역원이 아니거나 K가 원시 n제곱근을 갖지 않는 경우, 유사한 구성으로 K의 순환 Z/n-확대 χ 및 K의 0이 아닌 원소 a에 연관된 순환 대수 를 얻는다.)

대수적 K이론의 메르쿠리예프-수슬린 정리는 브라우어 군에 대해 강력한 결과를 제시한다. 즉, 양의 정수 n에 대해, n이 가역원이고 K가 원시 n제곱근을 포함하는 체 K라고 하자. 그러면 n에 의해 소멸되는 K의 브라우어 군의 부분군은 차수 n의 순환 대수에 의해 생성된다. 동등하게, 주기가 n을 나누는 모든 나눗셈 대수는 차수 n의 순환 대수의 텐서곱과 브라우어 동치이다. 소수 p에 대해서도, 주기 p의 나눗셈 대수가 실제로 주기 p의 순환 대수의 텐서곱과 동형일 필요는 없음을 보여주는 예시가 존재한다.

체 위의 소수 차수 나눗셈 대수가 모두 순환 대수인지 여부는 알베르트가 제기한 주요 열린 문제이다. 차수가 2 또는 3인 경우에는 참이지만, 5 이상의 소수에 대해서는 문제가 아직 해결되지 않았다. 알려진 결과는 특별한 종류의 체에 대해서만 유효하다. 예를 들어, K가 대역체 또는 국소체인 경우, K 위의 모든 차수 나눗셈 대수는 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리에 의해 순환 대수이다. 같은 방향의 "고차원" 결과는 솔트만이 증명했다: K가 국소체 Qp 위의 초월 차수 1인 체인 경우, K 위의 소수 차수 인 모든 나눗셈 대수는 순환 대수이다.

 주기-지수 문제 
체 K 위의 모든 중심 단순 대수 A에 대해, A의 주기는 A의 지수를 나누고, 두 수는 동일한 소인수를 갖는다. 주기-지수 문제는 관심 있는 체 K에 대해 주기를 사용하여 지수를 한정하는 것이다. 예를 들어 A가 국소체 또는 대역체 위의 중심 단순 대수라면 알베르트-브라우어-하세-뇌터는 A의 지수가 A의 주기와 같음을 보였다.

대수적으로 닫힌 체 위의 초월 차수 n인 체 K 위의 중심 단순 대수 A에 대해, ind(A)가 per(A)n−1을 나눈다는 추측이 있다. 이것은 인 경우에 참이며, 인 경우는 드 종의 중요한 발전이며, 드 종-스타와 리블리히에 의해 양의 표수에서 정밀화되었다.

 유체론 
브라우어 군은 유체론의 현대적 공식화에서 중요한 역할을 한다. Kv가 비아르키메데스적 국소체인 경우, 국소 유체론은 정규 동형 , 즉 대수의 하세 불변량을 제공한다.

수체와 같은 대역체 K의 경우는 대역 유체론에서 다루어진다. D가 K 위의 중심 단순 대수이고 v가 K의 위치이면, 는 K의 v에서의 완비인 Kv 위의 중심 단순 대수이다. 이는 K의 브라우어 군에서 Kv의 브라우어 군으로의 준동형을 정의한다. 주어진 중심 단순 대수 D는 유한한 v를 제외한 모든 v에 대해 분해되므로, 거의 모든 이러한 준동형에 의한 D의 상은 0이다. 브라우어 군 Br K는 하세가 구성한 완전열에 들어맞는다.
 
여기서 S는 K의 모든 위치 집합이고 오른쪽 화살표는 국소 불변량의 합이다. 실수의 브라우어 군은 Z/2Z와 동일시된다. 왼쪽 화살표의 단사성은 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리의 내용이다.

K 위의 중심 단순 대수의 모든 국소 불변량의 합이 0이라는 사실은 전형적인 상호 법칙이다. 예를 들어, 이를 Q 위의 사원수 대수 에 적용하면 이차 상호 법칙을 얻는다.

 갈루아 코호몰로지 
임의의 체 K에 대해, 브라우어 군은 갈루아 코호몰로지로 다음과 같이 표현될 수 있다.
 
여기서 Gm은 곱셈군을 나타내며, K 위의 대수군으로 간주된다. 더 구체적으로, 표시된 코호몰로지 군은 를 의미하며, 여기서 Ks는 K의 분리 폐포를 나타낸다.

브라우어 군과 갈루아 코호몰로지 군의 동형은 다음과 같이 설명될 수 있다. 행렬 대수의 자기동형군은 사영 선형군 PGL(n)이다. K 위의 모든 중심 단순 대수는 K의 분리 폐포 위의 행렬 대수와 동형이 되므로, K 위의 차수 n인 중심 단순 대수의 동형류 집합은 갈루아 코호몰로지 집합 과 동일시될 수 있다. 에서 중심 단순 대수의 클래스는 짧은 완전열 에 연관된 경계 준동형
 
아래에서 H1의 클래스의 상이다.

 스킴의 브라우어 군 
브라우어 군은 아우스란데르와 골드만에 의해 체에서 가환환으로 일반화되었다. 그로텐디크는 더 나아가 모든 스킴의 브라우어 군을 정의했다.

스킴 X의 브라우어 군을 정의하는 두 가지 방법이 있다. X 위의 아즈마야 대수를 사용하거나 X 위의 사영 다발을 사용하는 것이다. 두 번째 정의는 자리스키 위상에서가 아니라 에탈 위상에서 국소적으로 자명한 사영 다발을 포함한다. 특히, 사영 다발은 벡터 다발의 사영화인 경우에만 브라우어 군에서 0으로 정의된다.

준콤팩트 스킴 X의 코호몰로지 브라우어 군은 에탈 코호몰로지 군 의 꼬임 부분군으로 정의된다. (전체 군 은 정규, 정수적, 준콤팩트 스킴 X의 경우 꼬임 군이지만, 일반적으로 꼬임 군일 필요는 없다.) 브라우어 군은 항상 코호몰로지 브라우어 군의 부분군이다. 가버는 풍부한 가역층을 갖는 모든 스킴 (예: 가환환 위의 모든 준사영 다형체)에 대해 브라우어 군이 코호몰로지 브라우어 군과 같음을 보였다.

전체 군 은 구조 군 Gm을 갖는 X 위의 제르브를 분류하는 것으로 볼 수 있다.

체 위의 매끄러운 사영 다양체에 대해 브라우어 군은 중요한 쌍유리 불변량이다. 예를 들어, X가 복소수 위에서 유리 연결 다양체이기도 한 경우, X의 브라우어 군은 특이 코호몰로지 군 의 꼬임 부분군과 동형이며, 따라서 쌍유리 불변량이다. 아틴과 멈퍼드는 브라우어 군의 이러한 설명을 사용하여 C 위의 유리 다양체 X가 안정적으로 유리적이지 않은 (즉, X와 사영 공간의 어떤 곱도 유리적이지 않은) 첫 번째 예를 제시했다.

 테이트 추측과의 관계 
아틴은 정수 위의 모든 고유 스킴이 유한 브라우어 군을 갖는다고 추측했다. 이는 유한체 위의 매끄러운 사영 다양체 X라는 특수한 경우에도 알려져 있지 않다. 사실, 이 경우 표면의 브라우어 군의 유한성은 X 위의 인자에 대한 테이트 추측과 동등하며, 이는 대수적 순환 이론의 주요 문제 중 하나이다.

수체의 대수적 정수환 위에서 평탄하고 고유하며 차원 2인 정수적 스킴이 단면을 갖는 경우, 브라우어 군의 유한성은 일반 섬유의 야코비 다양체 (수체 위의 곡선)에 대한 테이트-샤파레비치 군 Ш의 유한성과 동등하다. Ш의 유한성은 타원곡선과 더 일반적으로 아벨 다양체의 산술에서 중심적인 문제이다.

 브라우어-마닌 장애 
X를 수체 K 위의 매끄러운 사영 다양체라고 하자. 하세 원리는 K의 모든 완비 Kv 위에서 X가 유리점을 갖는다면, X가 K-유리점을 갖는다고 예측할 것이다. 하세 원리는 특정 종류의 다양체에 대해서는 성립하지만, 일반적으로는 아니다. 마닌은 X의 브라우어 군을 사용하여 브라우어-마닌 장애를 정의했는데, 이는 X가 K의 모든 완비 위에서 점을 갖더라도 X가 K-점을 갖지 않음을 보여주는 많은 경우에 적용될 수 있다.

 내용주 

 각주 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:대수적 수론
분류:환론