지수 사상의 미분

220px|섬네일|right|1899년, 앙리 푸앵카레가 리 대수적 관점에서 군 곱셈을 조사한 결과 보편 포락 대수의 정식화로 이어졌다.
리 군 이론에서, 지수 사상은 리 군 의 리 대수 에서 로 가는 사상이다. 가 행렬 리 군인 경우, 지수 사상은 행렬 지수 함수로 환원된다. 로 표기되는 지수 사상은 해석 함수이며, 이에 따라 라는 미분을 가진다. 여기서 는 리 대수 내의 경로이며, 밀접하게 관련된 미분 가 존재한다.

에 대한 공식은 프리드리히 슈어 (1891)에 의해 처음 증명되었다. 이후 앙리 푸앵카레 (1899)가 리 대수적 용어를 사용하여 리 군의 곱셈을 표현하는 문제와 관련하여 이를 구체화했다. 이 공식은 때때로 뒤아멜의 공식()으로도 알려져 있다.

이 공식은 순수 수학과 응용 수학 모두에서 중요하다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식과 같은 정리의 증명에 등장하며, 물리학에서도 빈번하게 사용된다. 예를 들어 양자장론, 섭동 이론의 마그누스 전개, 그리고 격자 게이지 이론 등이 있다.

이하에서 와 는 별도의 구분이 명시되지 않는 한 지수 사상을 나타내는 데 혼용되어 사용된다. 계산 스타일의 표기법은 방정식의 가독성을 위해 선호된다. 반면, 스타일은 인라인 수식에서 더 편리할 때가 있으며, 실제적인 구분이 필요한 드문 경우에 필수적이다.

 공식 
지수 사상의 미분은 다음과 같이 주어진다.

 설명

에서 의 미분 를 계산하기 위해 다음의 표준적인 방법이 사용된다.
 
를 대입하면 결과는 다음과 같다.

이는 로부터 즉시 도출된다. 특히, 는 항등 사상인데, 이는 (가 벡터 공간이므로)이고 이기 때문이다.

 증명 
아래의 증명은 행렬 리 군을 가정한다. 이는 리 대수에서 행렬 리 군으로의 지수 사상이 일반적인 멱급수, 즉 행렬 지수 함수에 의해 주어진다는 것을 의미한다. 각 의 발생을 올바르게 해석한다면 증명의 결론은 일반적인 경우에도 여전히 유효하다. 아래의 일반적인 경우에 대한 주석을 참조하라.

증명의 개요는 매개변수화된 식

을 에 대해 미분하는 기법을 사용하여 에 대한 1계 미분방정식을 얻고, 이를 에 대한 직접 적분으로 풀어내는 것이다. 해는 가 된다.

보조정리

를 리 군의 리 대수에 대한 딸림 작용이라고 하자. 이 작용은 에 대해 로 주어진다. 와 사이의 유용한 관계는 다음과 같다.

증명

곱 규칙을 두 번 사용하면 다음을 얻는다.

그런 다음 위에서 언급한 에 의해 다음을 관찰할 수 있다.

적분하면 다음과 같다.

지수를 전개하기 위해 형식적 멱급수를 사용하고 항별로 적분한 뒤 최종적으로 ()를 적용하면,

이며 결과가 도출된다. 여기에 제시된 증명은 본질적으로 에 제시된 것과 같다. 보다 대수적인 접근 방식의 증명은 에서 찾을 수 있다.

 일반적인 경우에 대한 주석 
일반적인 경우의 공식은 다음과 같이 주어진다.

여기서

이며 이는 형식적으로 다음과 같이 환원된다.

여기서 표기법은 리 대수의 지수 사상을 위해 사용되었으며, 분수에서의 계산 스타일 표기법은 일반적인 형식적 급수 전개를 나타낸다. 일반적인 경우에 대한 더 많은 정보와 두 가지 전체 증명은 자유롭게 이용 가능한 문헌을 참조하라.

 직접적인 형식적 논증 
답이 존재한다고 가정할 때, 답이 무엇이어야 하는지를 즉시 알 수 있는 방법은 다음과 같다. 존재성은 각 경우에 대해 별도로 증명되어야 한다. 지수의 표준 극한 정의를 직접 미분하고 미분과 극한의 순서를 교환함으로써,

를 얻는다. 여기서 각 인수의 위치는 와 의 비가환성 때문에 결정된다.

단위 구간을 개의 섹션 (합 지수가 정수이므로 )으로 나누고 → ∞, , 로 보내면 다음과 같다.

 응용 
 지수 사상의 국소적 거동 
역함수 정리는 지수 사상의 미분과 함께 의 국소적 거동에 대한 정보를 제공한다. 벡터 공간 사이의 임의의 사상 는 (여기서는 먼저 행렬 리 군을 고려함) 정의역의 점 주변의 열린집합에서 가 가역적이라면 가 일대일 대응이 되도록 하는 역함수를 가진다. ()으로부터 이것은 정확히 다음이 성립할 때 발생함을 알 수 있다.

가 가역적일 때이다. 이는 다시 이 연산자의 고윳값이 모두 0이 아닐 때 발생한다. 의 고윳값은 다음과 같이 의 고윳값과 관련이 있다. 만약 가 행렬 에 대해 가 수렴하는 멱급수로 표현된 복소변수의 해석 함수라면, 의 고윳값은 가 된다. 여기서 는 의 고윳값이다. 및 인 현재 사례에서, 의 고윳값은 다음과 같다.

여기서 는 의 고윳값이다. 으로 두면 가 가역적일 조건은 정확히 다음과 같음을 알 수 있다.

의 고윳값은 다시 의 고윳값과 관련이 있다. 의 고윳값을 라고 하자. 가 하삼각행렬이 되도록 기저 벡터 공간 의 순서 기저 를 고정한다. 그러면

이며, 나머지 항들은 인 의 배수들이다. 를 행렬 공간에 대한 대응하는 기저, 즉 라고 하자. 이면 이 되도록 이 기저의 순서를 정한다. 의 작용이 다음과 같이 주어짐을 확인할 수 있다.

나머지 항들은 의 배수들이다. 이는 가 대각선에 고윳값 를 갖는 하삼각행렬임을 의미한다. 결론은 의 고윳값이 다음을 만족할 때 가 가역적이며, 따라서 는 주변의 국소적 해석적 일대일 대응이라는 것이다.

특히 행렬 리 군의 경우, 가 가역적이므로 역함수 정리에 의해 는 행렬 공간의 근방에서 해석적 일대일 대응임이 도출된다. 나아가 는 내부의 근방에서 근방으로의 해석적 일대일 대응이다. 역함수 정리의 다양체 버전을 사용하여 일반적인 리 군에 대해서도 동일한 결론이 유지된다.

또한 음함수 정리로부터 가 충분히 작을 때 자체가 가역적임을 알 수 있다.

 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 유도 

만약 가 다음과 같이 정의된다면

에 대한 표현인 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 위의 공식으로부터 유도될 수 있다.

이 식의 좌변은 Y와 같음을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

이며, 결과적으로 형식적으로는 다음과 같다.

그러나 에 의해 주어진 와 사이의 관계를 사용하면 다음을 더 쉽게 알 수 있다.

따라서

이것을 0에서 1까지 t에 대한 적분 형식으로 바꾸면 다음과 같다.

이것은 에 대한 적분 공식으로, 의 간단한 급수 전개 덕분에 명시적인 딘킨의 급수 공식보다 실제로 더 다루기 쉽다. 이 식은 와 그것들의 또는 에 대한 중첩된 교환자들로 구성되어 있음에 주목하라. 이러한 방식의 교과서적 증명은 및 에서 찾을 수 있다.

 딘킨의 급수 공식 유도 
220px|섬네일|right|2003년 자택에서의 예브게니 딘킨. 1947년 딘킨은 명시적인 BCH 급수 공식을 증명했다. 푸앵카레, 베이커, 캠벨 및 하우스도르프는 주로 브래킷 급수의 존재성에 관심을 가졌으며, 이는 리 대응의 핵심 결과들을 증명하는 등 많은 응용 분야에서 충분했다.

언급된 딘킨의 공식은 매개변수 확장

으로부터 유사하게 유도될 수 있으며, 여기서

이므로 위의 일반 공식을 사용하면 다음을 얻는다.

그러나 다음이 성립하므로,

마지막 단계는 메르카토르 급수 전개에 의한 것이며, 다음과 같이 도출된다.

따라서 적분하면 다음과 같다.

이 시점에서 BCH 공식의 정성적 진술, 즉 가 에 의해 생성된 리 대수에 속하며 반복된 브래킷들의 급수로 표현 가능하다는 것 이 분명해진다. 각 에 대해, 그에 대한 각 분할의 항들이 적분 내부에 정리된다. 결과적으로 딘킨의 공식은 다음과 같다.

상세한 급수 전개가 포함된 유사한 증명은 를 참조하라.

 조합론적 세부 사항 
()의 합 지수를 로 바꾸고 다음을 멱급수로 전개한다.

급수 전개를 간단히 다루기 위해, 먼저 를 고려하자. -급수와 -급수는 각각 다음과 같이 주어진다.

이들을 결합하면 다음을 얻는다.

이는 다음과 같이 된다.

여기서 는 의 조건을 따르는 길이 인 모든 수열 의 집합이다.

이제 ()의 좌변에서 을 로 대체한다. 그러면 식 는 다음을 제공한다.

또는 표기법을 바꾸면( 명시적인 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 참조),

()의 두 번째 항에서 가장 오른쪽 에 대한 합 지수는 로 표기되지만, 수열 의 원소는 아니다. 이제 을 사용하여 를 적분하면,

이를 다음과 같이 쓴다.

이는 모든 에 대해 이라는 간단한 관찰을 사용하여 다음과 같이 정리된다.

여기서 이다. 즉, ()에서 앞의 항은 이 0 또는 1이 아닌 이상 사라지며, 이는 이전 방정식의 첫 번째 및 두 번째 항에 해당한다. 인 경우 은 1이어야 하며, 그렇지 않으면 같은 이유로 항이 사라진다(은 허용되지 않음). 마지막으로 지수를 로 옮기면,

이것이 딘킨의 공식이다. (99)와의 놀라운 유사성은 우연이 아니다. 이는 공식의 독창적이고 차별화된 유도를 뒷받침하는 딘킨-슈페히트-웨버 사상(Dynkin–Specht–Wever map)을 반영한다. 즉, 만약

가 브래킷 급수로 표현 가능하다면, 필연적으로 다음과 같다.

관찰 와 정리 ()를 결합하면 명시적인 BCH 공식에 대한 간결한 증명이 완성된다.

 같이 보기 
 행렬 로그

 내용주 

 각주 

 참고 문헌 
 ; translation from Google books.

 Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.

 외부 링크 
 
 

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