비 판정법

미적분학에서 비 판정법(比判定法, ) 또는 달랑베르 비 판정법() 또는 코시 비 판정법()은 양의 실수 항의 급수의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한을 사용한다. 공비에 따른 기하급수의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.

 정의와 증명 
양의 실수 항 급수 가 주어졌다고 하자 (). 또한, 극한

가 존재한다고 하자. 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 은 수렴한다.
 만약 이라면, 은 발산한다.

만약 이며, 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이다. 이므로, 기하급수 은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 은 수렴한다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 즉, 은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 은 발산한다.

보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 가 주어졌다고 하자 (). 또한,

라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 이다). 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 은 수렴한다.
 만약 이라면, 은 발산한다.
만약 극한 이 존재한다면 이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약 이라면 (특히, 만약 이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰 에 대하여 이라면, 일 수 없으므로 은 발산한다. (만약 이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면 이지만, 일 필요는 없다.) 근 판정법이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다.

만약 이며, 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이다. 이므로, 기하급수 은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수 은 수렴한다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 즉, 은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 은 발산한다.

 예 
 수렴급수 
급수 을 생각하자. 이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 을 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 를 생각하자. 이는 양의 실수 항의 급수가 아니지만, 비 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. 이라고 하자. 그렇다면,

비 판정법에 의하여, 이 급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

 발산급수 
급수 을 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 을 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 을 생각하자. 자명하게 이다. 하지만 이라고 하였을 때, 충분히 큰 에 대하여 이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다.

 라베 판정법 
 정의와 증명 
양의 실수 항 급수 가 주어졌다고 하자 (). 라베 판정법()에 따르면, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 은 수렴한다.
 만약 이라면, 은 발산한다.
만약 이라면 이며, 만약 이라면 이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수 의, 에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. (이는 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, 을 다음 조건으로 약화하여도 명제가 성립한다. “충분히 큰 에 대하여, .”

임의의 이 주어졌을 때, 어떤 및 임의의 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

이는

라고 하였을 때

이며, 이 연속 함수이기 때문이다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다. 따라서, 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다. 급수 가 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 은 수렴한다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다. 따라서, 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다. 조화급수 은 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 은 발산한다.

 예 
급수 를 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법이나 코시 응집 판정법을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

급수 를 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

 베르트랑 판정법 
 정의와 증명 
양의 실수 항 급수 가 주어졌다고 하자 (). 베르트랑 판정법()에 따르면, 다음이 성립한다.
 만약 이라면, 은 수렴한다.
 만약 이라면, 은 발산한다.
만약 이라면, 이다. 만약 이라면, 이다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 강하다. 베르트랑 판정법의 본질은 주어진 급수를 급수 ()와 비교하는 것이다. 이 급수는 일 때 수렴하며, 일 때 발산한다. (이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, 조건은 “충분히 큰 에 대하여 ” 조건으로 약화할 수 있다.

라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의 이 주어졌을 때, 어떤 및 임의의 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

이는

라고 하였을 때

이기 때문이다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 급수 이 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 은 수렴한다.

만약 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 급수 이 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수 은 발산한다.

 예 
급수 를 생각하자. 이는 양의 항의 급수가 아니지만, 베르트랑 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. 교대급수 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 조건 수렴한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 알 수 없다.

급수 를 생각하자. 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실, 이지만, 충분히 큰 에 대하여 이다. 따라서 베르트랑 판정법 대신 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태를 사용하여도 좋다.

 쿠머 판정법 
양의 실수 항 급수 가 주어졌다고 하자 (). 쿠머 판정법()에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
 은 수렴한다.
 어떤 양의 실수의 수열 ()에 대하여, 
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
 은 발산한다.
 어떤 양의 실수의 수열 ()에 대하여, 은 발산하며, 모든 에 대하여 

만약 이 양의 실수의 수열이며 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 따라서 은 양의 실수로 구성된 감소 수열이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수 을 생각하자. 이 급수의 부분합은

이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 이므로, 비교 판정법에 의하여 역시 수렴한다.

만약 이 양의 실수의 수열이며, 이 발산하며, 이라면, 어떤 및 임의의 에 대하여

이다. 따라서, 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다. 비교 판정법에 의하여 은 발산한다.

만약 양의 실수 항 급수 이 수렴한다면,

은 양의 실수의 수열이며, 임의의 에 대하여

이다.

만약 양의 실수 항 급수 이 발산한다면,

은 양의 실수의 수열이며, 임의의 에 대하여

이다. 이제, 임을 보이는 일만 남았다. 임의의 이 주어졌을 때 어떤 에 대하여 

임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 코시 열이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수 이 발산하므로, 임의의 이 주어졌을 때 어떤 에 대하여

이다. 따라서

이다.

쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건을 제시하며, 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한 을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의 은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수 에 대하여, 인 양의 실수 항 수렴급수 가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수 에 대하여, 인 양의 실수 항 발산급수 가 존재한다.

 역사 
비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다. 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다.

 같이 보기 
 근 판정법
 각주 

 .
 : §8.14.
 : §3.3, 5.4.
 
 
 :§2.36, §2.37

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:수렴판정법