다변수 미적분학

다변수 미적분학(multivariable calculus) 또는 다변량 미적분학(multivariate calculus)은 변수가 하나인 미적분학을 여러 변수 함수로 확장한 것이다. 즉, 하나의 변수만 포함하는 함수가 아니라 여러 변수(다변량)를 포함하는 함수의 미분과 적분을 다룬다.

다변수 미적분학은 유클리드 공간 위의 미적분학의 기초적인 부분으로 생각할 수 있다. 3차원 공간에서의 미적분학의 특수한 경우는 종종 벡터 미적분학이라고 불린다.

 서론 
일변수 미적분학에서는 미분과 적분과 같은 연산이 단일 변수의 함수에 대해 이루어진다. 다변수 미적분학에서는 이를 여러 변수로 일반화해야 하며, 정의역은 따라서 다차원이 된다. 따라서 1차원 공간과 고차원 공간 간의 두 가지 주요 차이점 때문에 이러한 일반화에 주의가 필요하다.
 고차원에서는 단일 점에 접근하는 무한한 방법이 있는 반면, 1차원에서는 두 가지 방법(양의 방향과 음의 방향에서)만 있다.
 차원과 관련된 여러 확장된 객체가 존재한다. 예를 들어, 1차원 함수는 2차원 데카르트 평면에 곡선으로 표현되지만, 두 변수의 스칼라 값 함수는 3차원 공간의 표면이며, 곡선도 3차원 공간에 존재할 수 있다.

첫 번째 차이점의 결과는 극한과 연속성의 정의의 차이이다. 방향 극한과 도함수는 1차원 매개변수화된 곡선을 따라 극한과 미분을 정의하여 문제를 1차원 경우로 축소한다. 이러한 연산자로부터 더 높은 차원의 객체를 구성할 수 있다.

두 번째 차이점의 결과는 선적분, 면적분, 부피적분을 포함한 여러 유형의 적분이 존재한다는 것이다. 이러한 적분의 비유일성 때문에 부정적분을 제대로 정의할 수 없다.

 극한 
다변수 미적분학에서 극한과 연속성을 연구하면 단일 변수 함수에서는 나타나지 않는 직관에 반하는 많은 결과가 나온다.

경로를 따른 극한은 n차원 유클리드 공간에서 매개변수화된 경로 를 고려하여 정의할 수 있다. 어떤 함수 도 와 같이 1차원 함수로 경로에 투영될 수 있다. 따라서 경로 를 따라 점 으로 향하는 의 극한은 다음과 같이 정의할 수 있다.

이 극한값은 의 형태, 즉 선택된 경로에 따라 달라질 수 있으며, 극한이 접근하는 점에만 의존하지 않는다는 점에 유의해야 한다. 예를 들어, 다음 함수를 고려해 보자.

점 에 직선 를 통해 접근하거나, 매개변수 형태로 접근하면 다음과 같다.

섬네일|함수 의 그래프

그러면 경로를 따른 극한은 다음과 같다.

반면에, 경로 (또는 매개변수적으로 )를 선택하면 극한은 다음과 같다.

동일한 점으로 다른 경로를 취하면 다른 값이 나오므로, 함수에 대해 점 에서의 일반적인 극한을 정의할 수 없다.

함수 에 대해 인 어떤 점 으로 향하는 의 극한이 L이라고 하는 것은 다음과 같은 경우에만 가능하다.

인 모든 연속 함수 에 대해.

 연속성 
경로를 따른 극한의 개념으로부터, 우리는 다변수 연속성에 대한 정의를 동일한 방식으로 도출할 수 있다. 즉, 함수 에 대해 에서 가 연속이라고 하는 것은 다음과 같은 경우에만 가능하다.

인 모든 연속 함수 에 대해.

극한과 마찬가지로, 하나의 경로 를 따라 연속인 것이 다변수 연속성을 의미하지는 않는다.

각 인수에 대한 연속성이 다변수 연속성을 위한 충분 조건이 아님은 다음 예시에서도 볼 수 있다. 예를 들어, 두 개의 실수 매개변수를 갖는 실수 값 함수 , 즉 에 대해, 고정된 에 대한 의 의 연속성과 고정된 에 대한 의 의 연속성이 의 연속성을 의미하지는 않는다.

다음을 고려하자.

이 함수는 사각형 의 경계와 외부에서는 정의에 따라 0임을 쉽게 확인할 수 있다. 또한, 상수 와 및 에 대해 정의된 함수는
 및 
연속이다. 구체적으로,
 for all and . 따라서, 이며, 좌표 축을 따라 및 이다. 따라서 이 함수는 두 개별 인수를 따라 연속이다.

그러나 매개변수 경로 를 고려해 보자. 매개변수 함수는 다음과 같다.

따라서,

따라서 이 함수는 두 좌표에서 연속임에도 불구하고 다변수 연속이 아님이 분명하다.

 다변수 극한과 연속성에 관한 정리 
 일변수 미적분학의 모든 선형성과 중첩의 속성은 다변수 미적분학으로 이어진다.
 합성: 와 가 각각 점 와 에서 다변수 연속 함수이면, 도 점 에서 다변수 연속 함수이다.
 곱셈: 와 가 모두 점 에서 연속 함수이면, 는 에서 연속이고, 인 경우 도 에서 연속이다.
 가 점 에서 연속 함수이면, 도 동일한 점에서 연속이다.
 가 점 의 근방에서 립시츠 연속 (필요에 따라 적절한 노름 공간 포함)이면, 는 에서 다변수 연속이다.

에 대한 립시츠 연속성 조건으로부터 우리는 다음을 얻는다.

여기서 는 립시츠 상수이다. 또한 가 에서 연속이므로, 모든 에 대해 을 만족하는 모든 에 대해 인 이 존재한다.

따라서, 모든 에 대해 를 선택한다. 그러면 이 존재하여 을 만족하는 모든 에 대해 이고, 이다. 따라서 는 의 정확한 형태에 관계없이 로 수렴한다.

 미분 

 방향도함수 
일변수 함수의 도함수는 다음과 같이 정의된다.

위에서 논의한 극한의 확장을 사용하여, 스칼라 값 함수 의 도함수 정의를 어떤 경로 를 따라 확장할 수 있다.

극한과는 달리, 도함수는 경로 의 정확한 형태에 따라 달라지는 것이 아니라, 가 에서 립시츠 연속이고, 적어도 하나의 그러한 경로에 대해 극한이 존재한다면, 에서의 경로의 접선 벡터, 즉 에만 의존한다는 것을 보일 수 있다.

첫 번째 도함수까지 연속인 에 대해 (이 진술은 가 한 변수의 함수이므로 잘 정의됨), 우리는 테일러 정리를 사용하여 주변의 의 테일러 전개를 쓸 수 있다.

여기서 이다.

이를 에 대입하면,

여기서 이다.

립시츠 연속성은 어떤 유한한 에 대해 를 제공한다. 따라서 이다.

또한 의 연속성을 고려하면 일 때 이다.

이 두 조건을 에 대입하면,

{{NumBlk|:|
\left . \frac{df}{dx} \right |_{s(t),t=t_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(s(t_0)+s'(t_0)h)-f(s(t_0))+O(h^2)}
다변수 미적분학은 여러 자유도를 가진 결정론적 시스템을 분석하는 데 적용될 수 있다. 각 자유도에 해당하는 독립변수를 가진 함수는 종종 이러한 시스템을 모델링하는 데 사용되며, 다변수 미적분학은 시스템 다이내믹스를 특성화하기 위한 도구를 제공한다.

다변량 미적분학은 연속 시간 동역학계의 최적 제어에 사용된다. 또한 다양한 경험적 데이터 집합 간의 관계를 추정하는 공식을 도출하기 위해 회귀 분석에 사용된다.

다변수 미적분학은 자연과학과 사회과학 및 공학의 많은 분야에서 결정론적 행동을 보이는 고차원 시스템을 모델링하고 연구하는 데 사용된다. 예를 들어 경제학에서는 다양한 상품에 대한 소비자 선택과 다양한 투입물을 사용하고 산출물을 생산하는 생산자 선택이 다변수 미적분학으로 모델링된다.

비결정론적, 즉 확률적 시스템은 확률미적분학과 같은 다른 종류의 수학을 사용하여 연구할 수 있다.

 같이 보기 
 다변수 미적분학 주제 목록
 다변량 통계

 각주 

 외부 링크 

 UC Berkeley Multivariable Calculus, 2009년 가을, 에드워드 프렌켈 교수 강의 영상
 MIT Multivariable Calculus, 2007년 가을 강의 영상
 Multivariable Calculus: 조지 케인(George Cain)과 제임스 헤로드(James Herod)의 무료 온라인 교과서
 Multivariable Calculus Online: 제프 니즐리(Jeff Knisley)의 무료 온라인 교과서
 Multivariable Calculus – A Very Quick Review, 블레어 페로 교수, 매사추세츠 대학교 애머스트
 Multivariable Calculus, 제리 슈어먼 박사의 온라인 텍스트