극값

섬네일|함수f(x) = cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1에서의 극값. 일부 극값은 최대/최솟값이기도 하다.
해석학에서, 함수의 극대점(極大點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, )은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, )은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, )이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값()이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.

함수의 최대점(最大點, )과 최소점(最小點, )은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, )과 최솟값(最小값, )은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다.

극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다.

 정의 
섬네일|300픽셀|함수 의 그래프. 최소점은 , 최대점은 , 극소점은 , , 극대점은 , , , .|대체글=폐구간 [a, b]에 정의된 실숫값 함수 f의 그래프. 대부분의 곳에서 매끄러운 곡선이나, 두 곳의 불연속점 존재. a부터 b까지 A~K의 알파벳이 매겨져있음. A의 x좌표는 a, K의 x좌표는 b. AB는 매끄럽게 상승하는 곡선. BC는 매끄럽게 하강하는 곡선. D는 C 바로 위에 있는 제거 가능 불연속점. CE는 매끄럽게 하강하는 곡선. EF는 매끄럽게 상승하는 곡선. FG는 하강하는 직선. GH는 상승하는 직선. I는 H 바로 위에 있는 비약 불연속점. IJ는 매끄럽게 상승하는 곡선. JK는 매끄럽게 하강하는 곡선.
다음이 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 함수 
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, 의 근방 가 존재한다면, 를 의 극대점이라고 하며, 를 의 극댓값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, 의 근방 가 존재한다면, 를 의 극소점이라고 하며, 를 의 극솟값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
또한, 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 최대점이라고 하며, 를 의 최댓값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
마찬가지로, 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 최소점이라고 하며, 를 의 최솟값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 인 경우에 한하여 부등호 와 를 와 로 대신하면, 엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값(嚴格한..., )의 정의를 얻는다.

유계인 닫힌 구간에서 함수가 연속이면 최대 최소 정리로 최대점,최소점은 항상 유일하게 존재한다.

극소점, 극대점은 존재하지 않을 수 있으며 극대점, 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다.

 일계 도함수 판정법 
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 인 함수 를 생각하자.(여기서 는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다. 즉, 는 함수 의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 부터 까지의 모든 에 대해 임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.

 증명 
n=1일 때
극댓값의 정의에 의하여 를 만족하는 를 포함하는 어떤 개구간 가 존재한다. 개구간은 열린 집합이므로 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다. 가 존재하므로 이를 라하자. 그렇다면 이다. 일 때 이므로 이다.(극한의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 일 때 이므로 이다. 인 동시에이므로 이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다.
모든 n에 대해
임의의 벡터 에 대해 함수 을 로 정의하자. 그렇다면 는 에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 이므로 연쇄법칙에 의하여 이다. 임의의 에 대해 이므로 이다.

 이계 도함수 판정법 

함수 이 함수이고 가 함수 의 임계점일 때, 가 양의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이상이고 일때만 0이라면 에서 극소이다. 반대로 가 음의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이하이고 일때만 0이라면 에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.

여기서 이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. 이라면 이므로 일때만 양의 정부호이고 일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 의 부호를 알아보는 것이다.

 증명 
보조정리: 어떤 실수행렬 가 있을 때 이차 함수 를 정의하자. 만약 가 양의 정부호라면 모든 가 을 만족하는 양의 실수 이 존재한다.
(증명) 인 에 대해 는 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 최솟값 을 가진다. 이때 가 양의 정부호이므로 이다.는 이차함수이므로 이 아닌 모든 에 대해 가 성립한다. 일때는 자명하다.

이므로 테일러 정리에 의하여 이다. 여기서 이다. 만약 가 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 를 만족하는 양의 실수 이 존재하며 극한의 정의에 의하여 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다. 따라서 일 때 , 즉 이다. 그러므로 에서 극소이다. 비슷한 방식으로 가 음의 정부호이면 에서 극대이다.

 헤세 행렬식과의 관계 
프레임|그림과 같은 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 이차 도함수 판정법에 이용된다.
헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.

예를 들어, 이변수 함수 이고 함수일 경우 만약 에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
 
 
 에서 이때 는 의 헤세 행렬의 행렬식이다.
마찬가지로 에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
 
 
 에서 
그리고 가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, 에서 라면 는 안장점이다.

만약 이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.

 같이 보기 
 최대 최소 정리
 라그랑주 승수법

 참고 문헌 
 
 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:해석학 (수학)
분류:수학적 최적화
분류:미적분학