비트 환

이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, )은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

 정의 
 비트 분해 
비트 분해 정리(Witt分解定理, )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

여기서 각 성분은 다음과 같다.
 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
 은 비등방성 이차 공간()이다. 즉, 속에서 인 벡터 은 뿐이다. 특히, 은 비퇴화 이차 형식이다.
 는 분해 이차 공간()이다. 즉, 는 비퇴화 이차 형식이며, 는 짝수이며, 속에서 인 차원 부분 공간 이 존재한다.
이 경우 을 의 핵심(核心, )이라고 한다. 또한, 를 의 계수(階數, )라고 하며, 를 의 비트 지표()라고 한다. 만약 가 비퇴화 이차 형식이라면, 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

 비트 환 
같은 체 위의 두 이차 공간 , 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치()라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
 . 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
 
 . 여기서 는 위의 0차원 벡터 공간이다.
 . 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
 
이 가환환을 의 비트 환이라고 한다.

 비트-그로텐디크 환 
가환환의 범주 와 가환 반환의 범주 사이의 포함 함자

는 왼쪽 수반 함자

를 갖는다. 구체적으로, 이 함자는 다음과 같다.
 가환 반환 에 대하여,

 가환 반환 , 및 반환 준동형 에 대하여,

가환 반환의 덧셈 가환 모노이드가 소거 가환 모노이드라면, 대신 다음과 같은 구성을 사용할 수 있다. (이 구성에서, 이 동치 관계라는 사실의 증명은 소거 법칙을 사용한다.)
소거 가환 반환 에 대하여,
두 소거 가환 반환 , 사이의 반환 준동형 에 대하여,
자연스러운 반환 준동형

이 존재한다. 만약 의 덧셈 가환 모노이드가 소거 모노이드라면, 이는 단사 함수이며, 다음과 같이 적을 수 있다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 동형류들의 집합 을 생각하자. 이 위에 다음과 같은 연산을 부여하면, 가환 반환을 이룬다.
 
 
 
 
또한, 비트 소거 정리에 따라 의 덧셈 가환 모노이드는 소거 모노이드이다. 따라서, 는 가환환이며, 를 부분환으로 포함한다. 이를 의 비트-그로텐디크 환이라고 한다.

비트-그로텐디크 환과 비트 환 사이에 전사 환 준동형

이 존재한다. 이 전사 환 준동형의 핵은 분해 이차 공간들과 그 덧셈 역원들로 구성된 아이디얼이다.

 성질 
 함자성 
가 표수가 2가 아닌 체와 체의 확대의 범주라고 하자. 그렇다면, 비트 환과 비트-그로텐디크 환은 함자

를 이룬다. 구체적으로, 체의 확대 에 대응하는 환 준동형

은 다음과 같다.

여기서, 는 위의 이차 공간이지만, 위에 -벡터 공간 구조

를 부여하면 위의 이차 공간을 이룬다. 이 환 준동형에서, 분해 이차 공간의 상은 분해 이차 공간이며, 따라서 이는 비트 환 사이에서도 잘 정의된다.

 계수와 행렬식 
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 -등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 을 비트 환의 기본 아이디얼()이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 의 행렬식() 또는 판별식() 은 를 나타내는 대칭 행렬 의 행렬식 의 에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 를 통해 바꾼다면

가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 에 대하여, 다음과 같은 가환환 를 정의하자.

즉, 의 원소는 의 -등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.

 하세-비트 불변량 
표수가 2가 아닌 체 위의 차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) 들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 의 원소들의 대표원들을 이룬다. 의 하세-비트 불변량()은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

이는 의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

 밀너 환과의 관계 
표수가 2가 아닌 체 의 비트 환 의 기본 아이디얼 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

이에 대응되는 -등급환

을 정의할 수 있다.

체 위의 피스터 이차 형식()은 다음과 같은 꼴의, 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

의 원소들은 모두 유한 개의 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

체 의 밀너 환

의 원소를 로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

이차 형식에 대한 밀너 추측()에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프() · 알렉산드르 비시크() · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.

 예 
 복소수체 
가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 에 따라서 완전히 분류된다.

 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, 의 비트 환은 이다.

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

 실수체 
가 에우클레이데스 체(, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 가 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

의 비트 환은 와 동형이다.

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
 계수 의 양의 정부호 형식은 에 대응한다.
 계수 의 음의 정부호 형식은 에 대응한다.
 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 로 구성되며, 2차 순환군이다.

이 경우 힐베르트 기호가

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 의 비퇴화 이차 형식 의 하세-비트 불변량은

이다.

 국소체 
비아르키메데스 국소체 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 라고 하고, 가 홀수라고 하자. 그렇다면, 의 비트 환은 다음과 같다.

여기서 는 2차 순환군이며, 는 군환을 뜻한다.

 유리수체 
유리수체 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.

 홀수 표수의 유한체 
표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

즉, 다음과 같은 꼴이다.

만약 이 홀수라면, 는 과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 , 둘 다 이다.

만약 이 짝수라면, 은 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.
 이며 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
 이거나 또는 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
이 경우, 비트 지표가 인 경우를 플러스형(), 인 경우를 마이너스형()이라고 한다.

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

홀수 차수 유한체 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 에 따라 구체적으로 다음과 같다.

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

 역사 
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 
 
 
 

분류:이차 형식