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곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, ) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

 정의 
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, )라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.

 성질 
 연산에 대한 닫힘 
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.
 
 

 항등식 
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.

만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.

곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

여기서 는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,

이다.

 디리클레 합성곱 
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱

와 디리클레 역원

은 곱셈적 함수이다.

곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.

만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

 예 
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
 (는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
 : 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
 : 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
 : 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
 (는 소수): 르장드르 기호. 이 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, 의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
 : 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수
 : 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
 (는 음이 아닌 정수): 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합
 : 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다.
 : 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

즉,

이다.

폰 망골트 함수

는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

 같이 보기 
 오일러의 곱셈 공식

 참고 문헌 

 외부 링크 
 
 

분류:수론적 함수
체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, )은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

 정의 
(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)

실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
 (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.
 (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.
 은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다.
 (최소 상한 노름)
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.

 성질 
 직교성 
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.

 대칭 
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

 근 
차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간 속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

 분지점 
체비쇼프 다항식을 복소수 함수

로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.
 분지점에서의 값들은 모두 또는 이다.
 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)
예를 들어,

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은 및 이다. 마찬가지로,

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각 및 이다.

이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
346px

 예 
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 

 역사 
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다.

 같이 보기 
 르장드르 다항식
 라게르 다항식
 에르미트 다항식

 각주 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:직교 다항식
분류:특수 초기하함수
분류:근사 이론
파이의 날

섬네일|200px|오른쪽|파이의 날 기념 파이

파이의 날()은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.

3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.

분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 부르기도 한다.

 같이 보기 
 몰의 날

 외부 링크 
 
 Exploratorium's Pi Day Web Site
 Pi Day
 Professor Lesser's Pi Day page
 Pi Day in France

분류:원주율
분류:비공식 기념일
분류:3월의 세시
분류:수학과 문화
분류:과학 기념일
분류:1988년 시작된 행사
사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

 정의 
삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.

여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다.

 증명 
 삼각형의 넓이를 통한 증명 
섬네일|200픽셀|사인 법칙의 증명
삼각형 의 변 위의 높이를 라고 하자. 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

 외접원을 통한 증명 

삼각형 의 외접원을 그리자. 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

 코사인 법칙을 통한 증명 
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

 구면 사인 법칙 
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.

 구면 사인 법칙의 증명 
 순수 기하 증명 
구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

 벡터를 통한 증명 
구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

 구면 코사인 법칙을 통한 증명 
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

 쌍곡 사인 법칙 
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.

여기서 는 쌍곡 사인이다.

 쌍곡 사인 법칙의 증명 
 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명 
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

 참고 문헌 

 외부 링크 

 

 같이 보기 
 코사인 법칙
 탄젠트 법칙
 코탄젠트 법칙

분류:삼각법
분류:각
분류:삼각형에 대한 정리
펜로즈 삼각형

섬네일|펜로즈 삼각형
펜로즈 삼각형( 또는 )은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.

이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.

이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다.

펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.

 같이 보기 
 로저 펜로즈
 착시

 외부 링크 
 

분류:착시
분류:위상수학
분류:기하학
분류:불가능한 물체
수론적 함수

정수론에서 수론적 함수(數論的函數, )는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.

중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.

 예시 
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.

 c4(n) - n을 음수가 아닌 정수로 표현하는 방법의 가지수. 덧셈의 순서도 구분한다. 예를 들어 다음과 같다.

1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,

그러므로 c4(1)=4.

 P(n), 분할수 - n을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, P(2 · 5) = P(10) = 42 그리고 P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님.
 π (n), 소수 계량 함수 - 주어진 n과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) = 0 그리고 π(10) = 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7).
 a0(n) - n을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr(n)(Sum of the prime factors with repetition)라고도 불림. a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. 
 a1(n) - n의 서로 다른 소인수의 합. sopf(n)라고도 불림. a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7.

 같이 보기 
 폰 망골트 함수

 외부 링크 
 
 

 
분류:함수와 사상
물리 상수

물리 상수(物理常數, )는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.

물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.

물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.

 물리 상수 일람 
유효자리는 굵게 표시했다.

 참고 문헌 
 aPeter J. Mohr and Barry N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No. 6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000. 

 
분류:과학 법칙
분류:측정
분류:경험적 법칙
대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, )는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.

상수가 아닌 실수 계수 다항식을 복소수체 위에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.

이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다.

 정의 
다항식 의 근은 인 를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식

은 근 을 갖는다.

 역사 
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.

 증명 
 복소해석학적 증명 
 리우빌 정리를 이용한 증명 
복소 다항식

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

를 얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면

이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식

이 성립하므로 식 (a)로부터

인 r에 대해 일 때

는 홀수다. 그런데 실수 계수 홀수차 다항식은 항상 실수인 근을 가지므로, 의 홀수 차수 확대는 스스로밖에 없다. 즉, 이며, 는 2-군이다.

이제, 가 자명군임을 보이면 충분하다. 귀류법을 사용하여, 자명군이 아니라고 가정하자. 는 의 부분군이므로, 2-군이다. 따라서, 지표 2의 부분군 가 존재한다. 그렇다면, 이며, 의 차수는

이다. 그러나 는 제곱근에 대하여 닫혀 있으므로, 2차 확대를 갖지 않으며, 이는 모순이다. 따라서, 는 자명군이며, 이다.

 따름정리 
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.

모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다.

이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

에 대해 복소수 이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)

와 같이 쓸 수 있다.

1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 수학적 귀납법을 쓰기 위해 n차 이하의 다항식이 n개의 근을 가진다고 가정하고, n+1차 다항식 가 주어졌다 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 인 복소수 이 존재하므로

인 n차 다항식 이 존재한다. 귀납적 가정에 의해 는 n개의 근을 가지므로 는 n+1개의 근을 가진다. 

 실계수 다항식의 표현 
실계수 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은

와 같이 (는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

 실계수 다항식의 근의 켤레성 
만일가 실계수 다항식

의 복소수 근이면 즉, 이면 이다.

 복소켤레 
복소켤레 연산의 성질에 의해

이다.

 응용 
대수학의 기본정리에 의해 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.

 참고 문헌 
 역사적 문헌 

 
 
 
 
 – 첫 번째 증명
 – 두 번째 증명
 – 세 번째 증명
 – 네 번째 증명
 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
 
 
 (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

 최근 문헌 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – English translation of Gauss's second proof.
 

 같이 보기 
 드무아브르의 정리

 외부 링크 
 네이버 캐스트 - 대수학의 기본 정리

분류:기본 정리
분류:체론
분류:다항식에 대한 정리
분류:복소해석학 정리
정규 분포

확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, ) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, )는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.

정규분포는 2개의 매개 변수 평균 와 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.

 역사 
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.

라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

 성질 
 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다.

 정규분포는 절대근사한다.
 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.
 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.
 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.

 표준 정규 분포 
정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.

z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.

 불확실성 
에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 불확실성(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.

 같이 보기 
 가우스 함수
 표본 크기
 F 분포
 표준정규분포표

 각주 

 참고 문헌 
 
 (구글북스, Pierre Simon marquis de Laplace, Théorie analytique des probabilités 1812)https://books.google.co.kr/books?id=nQwAAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
 (구글북스,The Doctrine of Chances , 1st edition ,Abraham de Moivre 1718)https://books.google.com/books?id=3EPac6QpbuMC

 외부 링크 
 
 
 

 
분류:연속분포
공각기동대

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공각기동대(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.

 작품 목록 
 만화 
 공각기동대: 최초의 작품.
 공각기동대 1.5 Human Error Processor: 셋째 만화.
 공각기동대 2 ManMachine Interface: 둘째 만화. 속편.

 애니메이션 영화 
 공각기동대: 시로 마사무네의 만화를 바탕으로 1995년에 만들어진 영화.
 이노센스: 2004년에 만들어진 영화.
 공각기동대 ARISE
 공각기동대 신극장판

 애니메이션 시리즈 
 공각기동대 Stand Alone Complex (SAC): 첫 TV 시리즈.
 공각기동대 S.A.C. 2nd GIG: SAC의 둘째 시즌.
 공각기동대 S.A.C. Solid State Society: SAC의 셋째 작품. TV 시리즈가 아닌 OVA 한 편으로 제작되었다.
 공각기동대 ARISE ALTERNATIVE ARCHITECTURE: ARISE를 TV 시리즈 형식으로 재편집한 것.
 공각기동대: SAC 2045
 공각기동대 THE GHOST IN THE SHELL

 실사 영화 
 공각기동대: 고스트 인 더 쉘

 외부 링크 
 공각기동대 - 미만부

 
분류:미디어 프랜차이즈 
분류:포스트사이버펑크
뫼비우스 반전 공식

수론에서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius反轉公式, )은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.

 정의 
양의 정수의 집합 을 정의역으로 하고, 가환환 를 공역으로 하는 임의의 두 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이를 뫼비우스 반전 공식이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 의 양의 약수 에 대한 합이다. 가환환 의 대표적인 예는 복소수체 이다. 첫째 등식은 을 모든 에 대한 들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 을 들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 뫼비우스 함수 이며, 이는 정수 을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 에 대하여

이며, 소수 및 양의 정수 에 대하여

이다.)

두 공식에서 에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.

두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 가 곱셈적 함수라면, 그 상 역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 가 곱셈적이라면, 그 원상 역시 곱셈적이다.

 디리클레 합성곱과의 관계 
가환환 가 주어졌을 때, 두 함수 의 디리클레 합성곱

을 정의할 수 있으며, 함수 의 집합 은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 가환환을 이룬다.

디리클레 합성곱을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다.

가환환 에서, 1과 는 서로 곱셈 역원이다.

여기서

는 의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 라면

이며, 만약 라면

이다.)

두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과 모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 곱셈적 함수 여부가 동치임은 이로부터 자명하다.

 연속 정의역 
조합론에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 를 정의역으로 하고 아벨 군 을 공역으로 하는 임의의 두 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서 우변의 합은 보다 작거나 같은 모든 양의 정수 에 대한 합이다.

 근접 대수 

수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합

을 이룬다. 의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.

함수 에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합

의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.

 예 
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 를 공역으로 한다.)

 역사 
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.

 같이 보기 
 페리 수열
 포함배제의 원리

 참고 문헌 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 

분류:수론적 함수
분류:열거조합론
분류:수론 정리
푸리에 급수

섬네일

수학에서 푸리에 급수(Fourier級數, )는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.

함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.

 역사 
19세기 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.

 정의 
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간()에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,

가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 푸리에 계수() 을 다음과 같이 정의한다.

그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.

.

만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다.

 각주 

 참고 문헌 
 
 
 재판: 
 영역 (역자 Alexander Freeman): 
 
 
 Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
 영역: Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman)
 
 

 같이 보기 
 푸리에 변환
 조화 해석학
 조제프 푸리에

 외부 링크 
 
 
 
 
 

 
분류:푸리에 해석학
분류:급수
분류:디지털 신호 처리
분류:조제프 푸리에
가수

섬네일|브라질의 가수
가수(歌手, )는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 가창하는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.

 같이 보기 
 가수 목록
 가창(singing)
감마 함수

섬네일|300px|실수축 위에서 감마 함수의 그래프

수학에서 감마 함수(Γ函數, )는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 이 성립한다.

 정의 
섬네일|300px|오른쪽|복소평면에서의 감마 함수
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

 오일러 적분 
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.

오일러 적분은 상반평면 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.

 가우스 극한 

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

 바이어슈트라스 무한곱 

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

 계승의 일반화에서 주의점 

만약 감마함수를 자연수 에 대해

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

 성질 
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

 특이점 
섬네일|300px|감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 는 전해석 함수이다.

 함수 방정식 
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

두 번째 공식은 오일러 반사 공식()이라고 불린다.

곱의 정리

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

 미분과 적분 
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

 특별한 값 
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,

이 공식들은 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

 가우스 상수

 응용 
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

 초구의 부피 

반지름이 인 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

 감마분포 

감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다.

여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

 큐-감마 함수 
큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

 구간 예약

 큐-포흐하머 기호

 같이 보기 
 불완전 감마 함수
 베타 함수
 가우스 적분
 가우스 상수
 블로흐 상수
 란다우 상수

 각주 

 외부 링크 
 
 
 
 
 

분류:특수 함수
분류:유리형 함수
분류:특수 초기하함수
분류:감마 함수 및 관련 함수
그리스 신들의 가계도

__NOTOC__
다음은 고대 그리스 신화와 고대 그리스 종교에 등장하는 신, 반신으로 구성된 가계도이다.

 일반적인 올림포스 12신의 이름은 굵은 글씨로 표시하였다.
 초록색 바탕으로 표시된 이름은 열두 명의 1세대 티탄이다.

 같이 보기 
 그리스 신화
 그리스 신화의 등장인물 목록
 헤시오도스의 신통기

 주해 

 각주 

 참고 문헌 

 
 
분류:가계도
보손

섬네일|upright=1.6|보손은 아원자 입자의 두 가지 기본 부류 중 하나이며, 다른 하나는 페르미온이다. 모든 아원자 입자는 둘 중 하나에 속해야 한다. 복합 입자(강입자)는 구성 성분에 따라 어느 한 부류에 속할 수 있다.

입자물리학에서 보손(boson, )은 스핀 양자수가 정수 값(0, 1, 2, ...)을 갖는 아원자 입자이다. 보손은 아원자 입자의 두 가지 기본 부류 중 하나를 형성하며, 다른 하나는 반정수 스핀(1/2, 3/2, 5/2, ...)을 갖는 페르미온이다. 관측된 모든 아원자 입자는 보손 아니면 페르미온이다. 폴 디랙은 인도 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 공헌을 기리기 위해 보손이라는 이름을 지었다.

일부 보손은 입자물리학에서 (때때로 "일반 물질"의 구성 요소로 설명되는) 페르미온의 역할과 구별되는 특별한 역할을 하는 기본 입자이다. 특정 기본 보손(예: 글루온)은 다른 입자들 사이의 힘을 발생시키는 매개 입자로 작용하며, 하나(힉스 보손)는 질량 현상에 기여한다. 중간자와 같은 다른 보손들은 더 작은 구성 성분으로 이루어진 복합 입자이다.

입자물리학의 영역 밖에서, 여러 개의 동일한 복합 보손은 고밀도 또는 저온에서 보스-아인슈타인 통계에 의해 설명되는 특징적인 방식으로 행동한다. 예를 들어, 헬륨-4 원자 기체는 절대 영도에 가까운 온도에서 초유체가 된다. 마찬가지로, 쿠퍼 쌍과 같은 일부 준입자들이 이러한 특징적인 방식으로 행동하기 때문에 초전도 현상이 발생한다.

 이름 
보손이라는 이름은 인도 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 공헌을 기리기 위해 폴 디랙이 명명했다. 보스가 벵골(현재 방글라데시)의 다카 대학교에서 상급 강사(나중에 교수)로 재직할 때, 그와 알베르트 아인슈타인은 현재 보스-아인슈타인 통계 및 보스-아인슈타인 응축으로 알려진 이러한 입자들의 특성을 규명하는 이론을 개발했다.

 기본 보손 

관측된 모든 기본 입자는 보손(정수 스핀) 또는 페르미온(반정수 스핀)이다. 일반 물질을 구성하는 기본 입자(렙톤 및 쿼크)는 페르미온인 반면, 기본 보손은 입자물리학에서 특별한 역할을 차지한다. 이들은 다른 입자들 사이에 힘을 발생시키는 매개 입자로 작용하거나, 한 가지 경우에는 질량 현상을 발생시킨다.

입자물리학의 표준 모형에 따르면 다섯 종류의 기본 보손이 있다:
 한 종류의 스칼라 보손 (스핀 = 0)
 힉스 보손 – 힉스 메커니즘을 통해 질량 현상에 기여하는 입자
 매개 입자로 작용하는 네 종류의 벡터 보손 (스핀 = 1). 이들은 게이지 보손이다:
 광자 – 전자기장의 매개 입자
 글루온 (8가지 유형) – 강한 상호작용을 매개하는 매개 입자
 중성 약보손 – 약한 상호작용을 매개하는 매개 입자
 전하 약보손 (두 종류) – 마찬가지로 약한 상호작용을 매개하는 매개 입자
 중력자(G)라고 불리는 2차 텐서 보손(스핀 = 2)은 중력의 매개 입자로 가설이 세워졌으나, 지금까지 표준 모형에 중력을 포함시키려는 모든 시도는 실패했다.

 복합 보손 

복합 입자(강입자, 원자핵, 원자 등)는 구성 성분에 따라 보손이 될 수도 있고 페르미온이 될 수도 있다. 보손은 정수 스핀을 갖고 페르미온은 반정수 스핀을 가지므로, 짝수 개의 페르미온으로 이루어진 모든 복합 입자는 보손이다 (예: 수소 원자의 쿼크 3개와 전자 1개의 경우, 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2).

복합 보손의 예는 다음과 같다:
 모든 유형의 중간자
 중수소, 헬륨-4(알파 입자), 탄소-12, 납-208 및 기타 많은 안정한 질량수가 짝수인 원자핵.

양자역학적 입자로서, 고밀도에서 구별 불가능한 여러 보손의 행동은 보스-아인슈타인 통계에 의해 설명된다. 초유체 현상 및 보스-아인슈타인 응축의 다른 응용에서 중요해지는 한 가지 특징은 동일한 양자 상태를 점유할 수 있는 보손의 수에 제한이 없다는 것이다. 결과적으로, 예를 들어 헬륨-4 원자 기체가 절대 영도에 매우 가까운 온도로 냉각되어 입자의 운동 에너지를 무시할 수 있게 되면, 저에너지 상태로 응축되어 초유체가 된다.

응집물질 시스템의 다른 예로는 초전도체의 쿠퍼 쌍과 반도체의 엑시톤이 있다.

 준입자 
쿠퍼 쌍, 플라스몬, 포논을 포함한 특정 준입자들은 보손으로 행동하며 보스-아인슈타인 통계를 따르는 것이 관찰된다.

 각주 

 내용주

 외부 링크 
 

 
분류:물리학 개념
분류:양자장론
분류:원자물리학
분류:통계역학
디리클레 합성곱

디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.

 정의 
f, g가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f, g의 디리클레 포갬 f * g는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.

여기서 덧셈은 n의 모든 양의 약수 d에 대해 이루어진다.

 성질 

이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
 교환법칙: f * g = g * f
 결합법칙: (f * g) * h = f * (g * h)
 분배법칙: f * (g + h) = f * g + f * h
 항등원: f * ε = ε * f = f, 여기서 ε은 n = 1에서 ε(n) = 1, n > 1에서 ε(n) = 0으로 정의되는 함수.
 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f * g = ε를 만족한다.

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.

나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다.

곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.

 역원의 계산 
주어진 수론적 함수 에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.

그리고 일 경우는 다음과 같다.

예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.

 디리클레 급수와의 관계 

f가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,

L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,

위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.

 수론적 함수의 미분과의 관계 
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.

예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수 이 있다고 할 때, 관계식 때문에 다음이 성립한다

위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.

 같이 보기 
 수론적 함수
 뫼비우스 반전 공식
 각주 

 외부 링크 
 

분류:수론
분류:수론적 함수
동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, )는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

 정의 
 동치 관계 
집합 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, 위의 이항 관계 이다.
 (반사 관계) 임의의 에 대하여, 
 (대칭 관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 
 (추이적 관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면 

 동치류와 몫집합 
집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 동치류(同値類, ) 는 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 의 에 대한 몫집합(-集合, ) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

 모임의 경우 
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 위의 동치 관계는 곱모임 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임 위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 원소 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

즉, 는 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 라고 할 때, 는 집합 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임

을 정의할 수 있다.

 성질 
집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.

즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

 집합의 분할과의 관계 
집합 가 주어졌을 때, 위의 동치 관계들과 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 몫집합 은 집합의 분할이다. 즉, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 의 분할 가 주어졌다고 하자 (즉, 는 의 부분 집합들의 집합이며, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 의 원소에 속한다). 위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.

그렇다면 는 위의 동치 관계이다. 과 는 서로 역함수이다. 즉,

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

 순서론적 성질 
집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 다음 조건을 만족시키는 열 가 존재한다.
 
 
 에 대하여, 이거나 

집합 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 는 완비 격자이다. 의 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합

이다. 의 이음 은 합집합 을 포함하는 최소의 동치 관계

이다.

동치 관계 격자 는 항상 대수적 격자()이자 반모듈러 격자()이다. 유한 집합 의 경우, 는 단순 격자(, 합동 관계가 자명한 격자)이다.

 예 
임의의 집합 위에서, 등호 는 동치 관계를 이룬다.

평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.

임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계

는 정의역 위의 동치 관계이다. 이를테면, 가 어떤 사람들의 집합이며, 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.

 반례 
 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계 
임의의 집합 위에서, 공관계

는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.

 대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계 
정수의 집합 위의 표준적인 순서

를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.

 추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계 
정수 집합 위의 이항 관계

는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.

 같이 보기 
 집합의 분할

 각주 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 

분류:동치 관계