양자장론

섬네일|강하고 일정한 전기장 하에서는 전자와 양전자가 자발적으로 생성된다.

물리학에서 양자장론(量子場論, , ) 혹은 양자 마당 이론은 장을 통해 물리 현상을 기술하는 양자 이론이다. 입자물리학이나 응집물질물리학 등의 이론적인 바탕을 이룬다. 좁은 의미에서는 양자장론은 양자역학과 특수 상대성이론을 결합한 이론이다. 양자 전기역학이나 표준 모형이 대표적인 예다. 넓은 의미에서는 비상대론적이지만 양자화된 장을 다루는 이론도 포함한다. 응집물질물리학에서 다루는 양자장론이 이 경우에 속한다. 주요한 예로 BCS 이론 등이 있다.

 역사 

역사적으로 양자장론은 양자역학과 특수 상대성이론을 결합하려는 시도에서 비롯되었다. 비상대론적으로, 양자역학은 슈뢰딩거 방정식으로 기술된다. 슈뢰딩거 방정식은 여러 방법을 통해 상대론적인 기술이 가능한데, 이렇게 하면 클라인-고든 방정식이나 디랙 방정식을 얻는다. 그러나 이 방정식들은 다입자적(입자의 개수가 시간에 대해 일정해서)으로 해석하기 힘들다. 이를 다입자적으로 해석하면 음의 확률 내지 음의 에너지를 갖는 입자 등 비상식적인 결과를 얻는다.

이 문제를 풀기 위해 이차 양자화(二次量子化, )라는 개념이 도입되었다. 이는 처음에는 이미 양자화를 거친 파동 함수를 다시 양자화하는 것으로 생각되었다. 이에 따라, 이론을 단(單)입자 이론에서 다(多)입자 이론으로 재해석한다. 이렇게 하면 이론의 여러 비상식적인 결론을 없앨 수 있다. 예를 들어, 단입자 이론에서의 음의 확률은 다입자 이론에서 반입자의 파동 함수로 재해석한다.

오늘날 이차 양자화는 양자 파동 함수를 거듭 양자화하는 것이 아니라, 사실 고전적인 장을 한 번 양자화하는 것으로 여겨진다. 즉, 양자장론은 고전장론을 양자화한 것이다. 예를 들어, 고전역학에선 맥스웰 이론의 전자기장, 일반상대론의 중력장(계량 텐서) 등 여러 장을 다루는데 이런 장은 고전적이다. 즉, 장의 값이 가환(혹은 그라스만 장의 경우 반가환)한다. 이를 양자화하여 장을 연산자 값을 가지게 한다. 맥스웰 이론을 양자화하면 양자 전기역학을 얻고, 일반상대론을 양자화하면 여러 가지의 양자 중력 이론을 얻는다.

 양자전기역학 
섬네일|250픽셀|철가루를 사용하여 자석 주위의 자기장을 시각화하는 모습. 철가루는 자석 주위에 흩어지면 자기장의 방향에 따라 정렬된다. 이때 자석 위에 종이를 놓고 그 위에 철가루를 뿌리면 철가루가 자기장의 방향을 따라 정렬되어 고리 형태로 나타난다. 이를 통해 관찰자들은 자석의 극과 자석이 생성하는 자기장을 명확하게 볼 수 있다.

1920년대에 전자기장이 유일하게 알려진 고전장이었기 때문에 양자장론은 자연스럽게 전자기 상호작용에 대한 연구와 함께 시작되었다.

1925~1926년 보른, 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단의 작업을 통해 자유 전자기장(물질과 상호작용이 없는 것)의 양자 이론은 전자기장을 일련의 양자 조화 진동자로 취급하여 표준 양자화를 통해 개발되었다. 그러나 상호작용을 배제한 그러한 이론은 현실 세계에 대한 정량적 예측을 할 수 없었다.

그의 중요한 1927년 논문 《The quantum theory of the emission and absorption of radiation》 에서 디랙은 자유 전자기장을 설명하는 용어에 전류 밀도와 전자기 벡터 사이의 추가 상호 작용 용어를 추가하는 이론인 양자 전기역학이라는 용어를 만들었다. 그는 1차 섭동 이론을 사용하여 자발적 방출 현상을 성공적으로 설명했다. 양자역학의 불확정성 원리에 따르면 양자 조화 진동자는 정지 상태를 유지할 수 없지만 최소 에너지가 0이 아니므로 가장 낮은 에너지 상태(바닥 상태)에서도 항상 진동해야 한다. 따라서 완전한 진공 상태에서도 영점 에너지를 갖는 진동하는 전자기장이 남아 있다. 원자의 전자에 의한 자발적인 복사 방출을 "자극"시키는 것은 진공에서 전자기장의 이러한 양자 요동이다. 디랙의 이론은 원자에 의한 방사선의 방출과 흡수 모두를 설명하는 데 큰 성공을 거두었다. 2차 섭동 이론을 적용하여 광자의 산란, 공명형광 및 비상대론적 콤프턴 산란을 설명할 수 있었다. 그럼에도 불구하고 고차 섭동 이론의 적용은 계산에서 문제가 있는 무한대에 시달렸다.

1928년에 디랙은 상대론적 전자를 설명하는 파동 방정식인 디랙 방정식을 작성했다. 그것은 다음과 같은 중요한 결과를 낳았다. 전자의 g 상수는 2이고 스핀은 1/2이다. 그것은 수소 원자의 미세 구조에 대한 올바른 좀머펠트 공식으로 이어졌다. 상대론적 콤프턴 산란에 대한 클레인-니시나 공식을 유도하는 데 사용할 수 있다. 그 결과는 결실을 맺었지만 이 이론은 원자가 방사선 방출에 의해 항상 더 낮은 에너지 상태로 붕괴할 수 있기 때문에 원자를 불안정하게 만드는 음의 에너지 상태의 존재를 분명히 암시했다.

당시 지배적인 견해는 세계가 물질 입자(예: 전자)와 양자장(예: 광자)이라는 아주 다른 두 가지 성분으로 구성되어 있다는 것이었다. 물질 입자는 주어진 공간 영역이나 속도 범위에서 각 입자를 찾을 확률로 설명되는 물리적 상태와 함께 영원한 것으로 간주되었다. 반면에 광자는 기본 양자화된 전자기장의 들뜬 상태일 뿐이며 자유롭게 생성되거나 파괴될 수 있다. 1928년에서 1930년 사이에 요르단, 유진 위그너, 하이젠베르크, 파울리, 엔리코 페르미는 물질 입자가 양자장의 들뜬 상태로 보일 수도 있음을 발견했다. 광자가 양자화된 전자기장의 여기 상태인 것처럼 각 유형의 입자에는 전자장, 양성자장 등 해당하는 양자장이 있다. 충분한 에너지가 주어지면 이제 물질 입자를 생성할 수 있다. 이 아이디어를 바탕으로 페르미는 1932년에 페르미의 상호 작용으로 알려진 베타 붕괴에 대한 설명을 제안했다. 원자핵은 그 자체로 전자를 포함하지 않지만 붕괴 과정에서 주변 전자장에서 전자가 생성된다. 이는 들뜬 원자의 복사 붕괴에서 주변 전자기장에서 생성된 광자와 유사하다.

1929년 디랙 등은 전자와 질량은 같지만 전하가 반대인 입자가 존재한다고 가정하면 디랙 방정식에 의해 음의 에너지 상태가 제거될 수 있음을 깨달았다. 이것은 원자의 안정성을 보장했을 뿐만 아니라 반물질의 존재에 대한 최초의 제안이기도 했다. 실제로, 양전자에 대한 증거는 1932년 칼 데이비드 앤더슨에 의해 우주선에서 발견되었다. 광자를 흡수하는 것과 같은 충분한 에너지로 전자-양전자 쌍이 생성될 수 있으며, 이 과정을 쌍생성이라고 한다. 반대 과정인 소멸은 광자 방출과 함께 발생할 수도 있다. 이것은 상호 작용 중에 입자 번호를 고정할 필요가 없음을 보여주었다. 그러나 역사적으로 양전자는 처음에는 새로운 종류의 입자가 아니라 무한한 전자 바다에 있는 "구멍"으로 생각되었으며, 이 이론을 ‘디랙 구멍 이론’이라고 한다. 양자장론은 자연스럽게 공식화에 반입자를 통합했다.

 무한대 및 재규격화 
로버트 오펜하이머는 1930년에 양자전기역학의 고차 섭동 계산이 항상 전자 자체 에너지와 전자 및 광자 장의 진공 영점 에너지와 같은 무한한 양을 초래한다는 것을 보여주었다. 시간은 매우 높은 운동량을 가진 광자와 관련된 상호 작용을 적절하게 처리할 수 없다. 20년이 지나서야 그러한 무한대를 제거하기 위한 체계적인 접근 방식이 개발되었다.

에른스트 슈튀켈베르크는 1934년에서 1938년 사이에 양자장론의 상대론적 불변 공식을 확립한 일련의 논문을 발표했다. 1947년 슈튀켈베르크는 완전한 재규격화 절차도 독립적으로 개발했다. 그러한 업적은 이론 공동체에 의해 이해되고 인정되지 않았다.

이러한 무한대에 직면한 존 아치볼드 휠러와 하이젠베르크는 각각 1937년과 1943년에 소위 S행렬 이론으로 문제가 있는 양자장론을 대체할 것을 제안했다. 미시적 상호작용의 구체적인 세부 사항은 관측으로 접근할 수 없기 때문에 이론은 상호 작용의 미시적 세부 사항에 관심을 갖기보다는 상호작용에서 소수의 관찰 가능 항목(예: 원자 에너지) 간의 관계를 설명하려고 시도해야 한다. 1945년에 파인만과 휠러는 과감하게 양자장론을 완전히 포기하고 입자 상호 작용의 메커니즘으로 원거리 작용을 제안했다.

1947년에 윌리스 램과 로버트 러더포드는 램 이동이라고도 하는 수소 원자의 2S1/2 및 2P1/2 에너지 준위의 미세한 차이를 측정했다. 에너지가 전자 질량을 초과하는 광자의 기여를 무시함으로써 한스 베테는 성공적으로 램 이동의 수치를 추정했다. 이어서 노르만 크롤, 램, 제임스 프렌치 및 빅토어 바이스코프는 무한대가 다른 무한대를 취소하여 유한한 수량을 생성하는 접근 방식을 사용하여 이 값을 다시 확인했다. 그러나 이 방법은 서투르고 신뢰할 수 없으며 다른 계산으로 일반화할 수 없다.

돌파구는 결국 1950년경 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만, 프리먼 다이슨, 도모나가 신이치로가 무한대를 제거하는 보다 강력한 방법을 개발하면서 이루어졌다. 주요 아이디어는 질량과 전하의 계산된 값을 유한한 측정값으로 대체하는 것이다. 이 체계적인 계산 절차는 재규격화로 알려져 있으며 섭동 이론에서 임의의 순서에 적용될 수 있다. 도모나가는 그의 노벨 강연에서 다음과 같이 말했다.

재규격화 절차를 적용하여 최종적으로 전자의 비정상적인 자기 모멘트 (2에서 전자 g 계수의 편차) 및 진공 분극을 설명하기 위한 계산이 이루어졌다. 이 결과는 실험적 측정치와 놀라울 정도로 일치하여 "무한대와의 전쟁"의 종식을 알렸다.

동시에 파인만은 양자 역학과 파인만 도형의 경로 적분 공식을 도입했다. 후자는 섭동 확장에서 용어를 시각적으로 직관적으로 구성하고 계산하는 데 사용할 수 있다. 각 도형은 상호작용에서 입자의 경로로 해석될 수 있으며 각 꼭지점과 선에는 해당 수학적 표현이 있으며 이러한 표현의 곱은 도형에 표시된 상호작용의 산란 진폭을 제공한다.

재규격화 절차와 파인만 도형의 발명과 함께 양자장론은 마침내 완전한 이론적 프레임워크로 부상했다.

 재규격화 불가능성 
양자전기역학의 엄청난 성공을 감안할 때 많은 이론가들은 1949년 이후 몇 년 동안 양자장론이 곧 광자, 전자 및 양전자 사이의 상호 작용뿐만 아니라 모든 미시적 현상에 대한 이해를 제공할 수 있을 것이라고 믿었다. 이러한 낙관론과는 달리 양자장론은 거의 20년 동안 지속된 또 다른 침체기에 접어들었다.

첫 번째 장애물은 재규격화 절차의 제한된 적용 가능성이었다. 양자전기역학의 섭동 계산에서 작은(유한한) 물리량(즉, 전자의 질량과 전하)을 재정의하여 모든 무한한 양을 제거할 수 있다. 다이슨은 1949년에 양자전기역학이 그 예인 "재규격화 가능 이론"이라고 하는 작은 부류의 이론에서만 가능하다는 것을 증명했다. 그러나 약한 상호작용의 페르미 이론을 포함한 대부분의 이론은 "재규격화 불가능"하다. 이러한 이론에서 1차 이상의 섭동 계산은 유한한 수의 물리량을 재정의하여 제거할 수 없는 무한대를 초래한다.

두 번째 주요 문제는 섭동 이론의 급수 확장에 기반한 파인만 도형 방법의 제한된 유효성에서 비롯되었다. 급수가 수렴하고 저차 계산이 좋은 근사가 되려면 급수가 전개되는 결합 상수가 충분히 작아야 한다. 양자전기역학의 결합 상수는 미세 구조 상수 이며, 실제 계산에서는 가장 단순하고 가장 낮은 차수의 파인만 도형만 고려할 필요가 있을 정도로 작다. 대조적으로 강한 상호작용의 결합 상수는 대략 1 차수이므로 복소 고차 파인만 도형은 단순한 도형만큼 중요하다. 따라서 섭동 양자장론 방법을 사용하여 강력한 상호 작용에 대한 신뢰할 수 있는 정량적 예측을 도출할 방법이 없었다.

이러한 어려움이 다가오면서 많은 이론가들이 양자장론을 외면하기 시작했다. 일부는 대칭 원리와 보존 법칙에 초점을 맞추었고 다른 일부는 휠러와 하이젠베르크의 오래된 S-행렬 이론을 선택했다. 양자장론은 휴리스틱 방식으로 지침 원칙으로 사용되었지만 정량적 계산의 기초로는 사용되지 않았다.

 소스 이론 
그러나 슈윙거는 다른 길을 택했다. 10년 이상 동안 그와 그의 학생들은 장론의 거의 유일한 주창자였지만 1951년에 외부 소스를 게이지 장에 결합되는 흐름으로 사용하는 새로운 방법으로 무한대 문제를 해결하는 방법을 찾았다. 이전 연구 결과에 동기를 부여받은 슈윙거는 라그랑주 승수로 알려진 구성 공간 매개변수에 외부 힘을 결합하는 고전적 과정을 "양자적으로" 일반화하기 위해 이 접근 방식을 계속 추구했다. 그는 1966년에 자신의 소스 이론을 요약한 다음 입자, 소스 및 장이라는 제목의 세 권의 책에서 양자 전기역학에 대한 이론의 적용을 확장했다. 새로운 관점이 가장 성공적으로 적용된 파이온 물리학의 발전은 그에게 수학적 단순성과 개념적 명확성의 큰 이점을 확신시켰다.

소스 이론에는 발산이나 재규격화가 없다. 장론의 계산 도구로 간주될 수 있지만 더 일반적이다. 소스 이론을 사용하여 슈윙거는 1947년에 수행한 전자의 비정상적인 자기 모멘트를 계산할 수 있었지만 이번에는 무한한 양에 대한 '혼란스러운 언급'이 없었다.

슈윙거는 또한 그의 양자장론 중력 이론에 소스 이론을 적용했으며 아인슈타인의 고전적인 네 가지 결과인 중력 적색 편이, 중력에 의한 빛의 편향 및 감속, 수성의 근일점 세차 운동을 모두 재현할 수 있었다. 물리학계에서 소스 이론을 무시한 것은 슈윙거에게 큰 실망이었다.

 표준 모형 
섬네일|300x300픽셀|표준 모형의 기본 입자: 6가지 유형의 쿼크, 6가지 유형의 경입자, 기본 상호작용을 수행하는 4가지 유형의 게이지 보손, 기본 입자에 질량을 부여하는 힉스 보손
1954년에 양전닝과 로버트 밀스는 양자전기역학의 국소적 대칭성을 일반화하여 보다 복잡한 국소적 대칭군을 기반으로 하는 비-아벨 게이지 이론(양-밀스 이론이라고도 함)을 발표했다. 양자전기역학에서 (전기적으로) 하전된 입자는 광자 교환을 통해 상호 작용하는 반면, 비-아벨 게이지 이론에서는 새로운 유형의 "전하"를 운반하는 입자가 질량이 없는 게이지 보손의 교환을 통해 상호 작용한다. 광자와는 달리 이 게이지 보손 자체는 전하를 띤다.

셸던 글래쇼는 1960년에 전자기 상호작용과 약한 상호작용을 통합한 비-아벨 게이지 이론을 개발했다. 1964년에 압두스 살람과 존 클리브 워드는 다른 경로를 통해 동일한 이론에 도달했다. 그럼에도 불구하고 이 이론은 재규격화 불가능했다.

피터 힉스, 로버트 브라우트, 프랑수아 앙글레르, 제럴드 구랄닉, 카를 하겐 및 톰 키블은 유명한 Physical Review Letters에 게재된 논문에서 양-밀스 이론의 게이지 대칭이 자발적 대칭 깨짐이라는 메커니즘에 의해 깨질 수 있다고 제안했다. 이 과정으로 게이지 보손은 질량을 얻을 수 있다.

글래쇼, 살람 및 와드의 이전 이론과 자발적인 대칭 깨짐의 아이디어를 결합하여 스티븐 와인버그는 1967년에 모든 경입자 사이의 전기약한 상호 작용과 힉스 입자의 효과를 설명하는 이론을 작성했다. 그의 이론은 처음에는 대부분 무시되었다. 1971년 제라드 호프트가 비-아벨 게이지 이론이 재규격화 가능하다는 증명에 의해 다시 빛을 발하기 전까지는 말이다. 와인버그와 살람의 약한 전기자 이론은 1970년 글래쇼, 존 일리오풀로스, 루치아노 마이아니에 의해 경입자에서 쿼크로 확장되어 완성되었다.

하랄드 프리치, 머리 겔만 및 하인리히 로트윌러는 1971년에 강한 상호작용을 포함하는 특정 현상이 비-아벨 게이지 이론으로도 설명될 수 있음을 발견했다. 양자 색역학이 탄생했다. 1973년에 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵 및 휴 데이비드 폴리쳐는 비-아벨 게이지 이론이 "점근적으로 자유롭다"는 것을 보여주었다. (비슷한 발견은 이전에도 여러 번 있었지만 대체로 무시되었다.) 따라서 적어도 고에너지 상호작용에서 양자 색역학의 결합 상수는 섭동 급수 확장을 보증하기에 충분히 작아져 강한 상호작용에 대한 정량적 예측이 가능하다.

이러한 이론적 돌파구는 양자장론의 르네상스를 가져왔다. 전기약력 이론과 색역학을 포함하는 전체 이론은 오늘날 소립자의 표준 모형이라고 한다. 표준 모형은 중력을 제외한 모든 기본 상호작용들을 성공적으로 설명하며, 그 많은 예측들은 이후 수십 년 동안 놀라운 실험적 확인을 받았다. 자발적인 대칭 깨짐 메커니즘의 핵심인 힉스 보손이 마침내 2012년 CERN에서 발견되어 표준 모형의 모든 구성 요소의 존재를 완전히 검증했다.

 기타 발전 
1970년대에는 비-아벨 게이지 이론에서 비섭동적 방법이 개발되었다. 엇호프트-폴랴코프 홀극은 이론적으로 엇호프트와 알렉산더 폴랴코프에 의해 플럭스 튜브는 홀거 벡 닐슨과 Poul Olesen에 의해 순간자는 폴랴코프와 공동 저자에 의해 발견되었다. 이러한 개체는 섭동 이론을 통해 접근할 수 없다.

초대칭도 같은 기간에 나타났다. 최초의 4차원 초대칭 양자장론은 유리 골판드와 이브게니 릭트만이 1970년에 만들었지만 철의 장막으로 인해 광범위한 관심을 끌지 못했다. 초대칭은 1973년 율리우스 베스와 브루노 추미노의 작업 이후에야 이론 커뮤니티에서 시작되었다.

네 가지 기본 상호 작용 중에서 중력은 일관된 양자장론 설명이 부족한 유일한 것으로 남아 있다. 양자 중력 이론에 대한 다양한 시도는 끈 이론의 발전으로 이어졌다. 등각 대칭을 갖는 2차원 양자장론의 한 유형이다. 조엘 셰르크와 존 슈워츠는 끈 이론이 중력의 양자 이론이 될 수 있다고 1974년에 처음 제안했다.

 응집물질물리학 
양자장론은 소립자 사이의 상호 작용 연구에서 비롯되었지만 다른 물리적 계, 특히 응집물질물리학의 다체 계에 성공적으로 적용되었다.

역사적으로 자발적 대칭 깨짐의 힉스 메커니즘은 난부 요이치로가 초전도체 이론을 기본 입자에 적용한 결과인 반면, 재규격화 개념은 물질의 2차 상전이 연구에서 나왔다.

광자가 도입된 직후 아인슈타인은 결정의 진동에 대한 양자화 절차를 수행하여 최초의 준입자인 포논을 생성했다. 레프 란다우는 많은 응집 물질계에서 저에너지 여기가 일련의 준입자 사이의 상호작용으로 설명될 수 있다고 주장했다. 양자장론의 파인만 도형은 자연스럽게 응집 물질계의 다양한 현상 분석에 적합했다.

게이지 이론은 초전도체의 자속 양자화, 양자 홀 효과의 저항을, AC 조지프슨 효과의 주파수와 전압 간의 관계를 설명하는 데 사용된다.

 입자와 장의 이중성 
양자장론에서는 입자물리학에서 다루는 광자와 전자, 쿼크 따위의 입자를 양자화한 장의 들뜸으로 해석한다. 예를 들어, 전자와 양전자는 전자장의 들뜸으로 나타낸다.

물리학의 오랜 의문 중 하나는 왜 양자수가 같은 두 입자는 절대로 구별할 수 없는지다. 예를 들어 양자수가 같은 두 뮤온은 모든 면에서 정확히 같고, 어느 실험으로도 구별할 수 없다. 모든 뮤온의 전하와 질량은 정확히 같다. 이에 반해 똑같은 과정을 거쳐 만들어진 두 자동차나 생명체는 비슷해 보이지만 여러 가지 미세한 차이가 있다. 이와 같은 동일함은 서로 다른 시각에 만들어진 입자에도 성립하는데 예를 들어 만들어진지 1초가 된 뮤온이나 1년이 지난 뮤온이나 다 남은 평균수명은 정확히 같다(다시 말해 입자는 늙지 않는다). 모든 입자를 해당하는 장의 들뜸으로 해석하면 왜 같은 종의 입자가 정확히 같은지 이해할 수 있다. 같은 종의 입자가 같은 이유는 그 입자가 개별적으로 존재하는 것이 아니라, 같은 개체(해당 입자 종의 장)의 일부분이기 때문이다.

고전역학에서는 입자 간의 상호작용을 마당으로 설명할 수 있다. 즉, 전자기력은 전자기장, 중력은 중력장으로 설명할 수 있다. 이는 양자장론에서도 마찬가지이다. 그러나 양자장론에서는 모든 장은 입자로 재해석할 수 있다. 즉, 입자 사이의 힘을 입자로 매개한다고 볼 수 있다. 예를 들어, 전자기장에 해당하는 입자는 광자고, 중력장에 해당하는 입자는 중력자다. 이로써 17세기부터 비롯된 빛이 입자인지 아니면 파동인지에 대한 문제에 대해 두 해석이 모두 맞다고 답할 수 있게 되었다.

 양자장론에서의 계산법 
상대론적 양자장론은 일반적으로 라그랑지언으로 나타낸다(양자역학에서 일반적으로 쓰이는 해밀토니언은 로런츠 공변하지 않는다). 주어진 라그랑지언으로부터 파인만 규칙을 얻는다. 양자장론에서 모든 실험적으로 측정 가능한 값은 산란 행렬로부터 계산할 수 있다. 산란 행렬은 파인만 도형의 합으로 계산할 수 있고, 파인먼 도형은 파인먼 규칙으로부터 계산한다.

고전적인 차원에서는 이와 같은 계산법은 간단하고 고전역학으로 계산한 값과 동일하다. 그러나 고리(loop)를 포함한 파인만 도형의 경우 대개 그 값이 발산한다. 이를 고치기 위하여 우선 도형의 값을 조절하여 그 발산하는 정도를 계산한 다음 그 발산을 이론의 라그랑지언에 든 상수(결합 상수, 질량 등)로 집어넣는다. 이렇게 하면 이론의 각종 상수는 무한해지지만, 이론의 예측은 유한해진다. 이 과정을 재규격화라고 한다. 이렇게 하여 유한하게 만든 무한한 수의 파인만 도형을 더하면 산란 행렬의 값을 얻는다. 이렇게 하여 얻는 값은 역시 대개 발산하는데 이 경우 각종 방법으로 재합(再合, resummation)하여 유한하게 만든다.

 구체적 설명 
표기의 단순성을 위해 다음 절에서는 디랙 상수 와 빛의 속도 가 모두 1로 설정된 자연 단위계가 사용된다.

 고전 분야 

고전적인 장은 공간 및 시간 좌표의 함수이다. 예를 들면 뉴턴 중력 의 중력장과 고전 전자기학의 전기장 과 자기장 이 있다. 고전적인 장은 시간에 따라 변하는 공간의 모든 지점에 할당된 양으로 생각할 수 있다. 따라서 무한히 많은 자유도를 가진다.

양자 역학적 특성을 나타내는 많은 현상은 고전적 장만으로는 설명할 수 없다. 광전 효과와 같은 현상은 공간적으로 연속적인 장이 아니라 불연속 입자(광자)로 가장 잘 설명된다. 양자장론의 목표는 수정된 장의 개념을 사용하여 다양한 양자 역학 현상을 설명하는 것이다.

정준 양자화 및 경로 적분은 양자장론의 두 가지 일반적인 공식이다. 양자장론의 기초에 동기를 부여하기 위해 다음은 고전장론의 개요이다.

가장 단순한 고전적 장은 시간에 따라 변하는 공간의 모든 지점에서 실수인 실수 스칼라장이다. 이것은 로 표시된다. 여기서 는 위치 벡터이고 는 시간이다. 장의 라그랑지언 이

 

라 하자. 여기서 는 라그랑지안 밀도, 는 장의 시간 미분 도함수이고 는 기울기 연산자이며 은 실 매개변수(장의 "질량")이다. 라그랑지언에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면

 

시간과 공간에서 변화하는 방식을 설명하는 장의 운동 방정식

 

을 얻는다. 이것은 클라인-고든 방정식으로 알려져 있다.

클라인-고든 방정식은 파동 방정식이므로 그 해는 다음과 같이 정상 모드 (푸리에 변환을 통해 얻음)의 합으로 표현할 수 있다.

 

여기서 는 복소수 (관습에 의해 정규화됨)이고, 는 켤레 복소수를 나타내며, 는 정상 모드의 주파수이다.

 

여기서 는 의 역이다. 실제 스칼라 장의 경우 일반 시공간 배경의 라그랑지언 밀도는 다음과 같다.

 

여기서 이고 는 공변 도함수를 나타낸다. 양자장론의 라그랑지언, 즉 계산 결과 및 물리적 예측은 시공간 배경의 기하학에 따라 달라진다.

 위상 양자장론 

양자장론의 상관 함수 및 물리적 예측은 시공간 계량 에 따라 달라진다. 위상 양자장론이라고 하는 특수한 양자장론들의 경우 모든 상관 함수는 시공간 계량의 연속적인 변화와 독립적이다.곡선 시공간에서 양자장론은 일반적으로 시공간 배경의 기하학 (국소적 구조)에 따라 변경되는 반면, 위상 양자장론은 시공간 미분동형사상 아래에서 불변이지만 시공간의 위상 (대역적 구조)에 민감하다. 이는 위상 양자장론의 모든 계산 결과가 기본 시공간의 위상 불변량 임을 의미한다. 천–사이먼스 이론은 위상 양자장론의 한 예이며 양자 중력 모형을 구성하는 데 사용되었다. 위상 양자장론의 응용에는 부분 양자 홀 효과 및 위상 양자 컴퓨터가 포함된다. 분할된 입자의 세계선 궤적(애니온으로 알려짐)은 시공간에서 링크 구성을 형성할 수 있으며, 물리학에서 애니온의 땋음 통계를 수학의 링크 불변량과 관련시킨다. 위상 양자 물질의 첨단 연구에 적용할 수 있는 위상 양자 장론에는 2+1 시공간 차원의 천-사이먼스-위튼 게이지 이론, 3+1 시공간 차원 이상의 다른 새로운 별난 위상양자장론이 포함된다.

 섭동 및 비섭동 
섭동 이론을 사용하여 작은 상호 작용 항의 전체 효과는 상호 작용에 참여하는 가상 입자 수의 급수 전개에 의해 차수별로 근사될 수 있다. 확장의 모든 용어는 파인만 도형을 사용하여 시각적으로 표현되는 가상 입자를 통해 (물리적) 입자가 서로 상호 작용할 수 있는 한 가지 가능한 방법으로 이해될 수 있다. 양자 전기역학에서 두 전자 사이의 전자기력은 가상 광자의 전파에 의해 (섭동 이론에서 1차로) 표현된다. 유사한 방식으로 W 및 Z 보손은 약한 상호 작용을 수행하는 반면 글루온은 강한 상호 작용을 수행한다. 다양한 가상 입자의 교환을 포함하는 중간 상태의 합으로서의 상호 작용 해석은 섭동 이론의 틀에서만 의미가 있다. 대조적으로 양자장론의 비섭동 방법은 상호 작용하는 라그랑주를 급수 전개없이 전체적으로 처리한다. 상호 작용을 전달하는 입자 대신에 이러한 방법은 엇호프트–폴랴코프 홀극, 도메인 벽, 플럭스 튜브 및 순간자와 같은 개념을 생성했다. 섭동없이 완전히 풀 수 있는 양자장론의 예로는 등각 장론 및 티링 모형의 최소 모형이 있다.

 양자장론의 엄밀한 수학적 형식화 
입자물리학과 응집물질물리학에서 압도적인 성공을 거두었음에도 불구하고, 양자장론 자체에는 아직까지 수학적 기반이 부족하다. 예를 들어 하그(Haag)의 정리에 따르면 양자장론에 대해 잘 정의된 상호작용 묘사가 존재하지 않으며, 이는 전체 파인만 도형의 기초가 되는 양자장론의 섭동 이론이 근본적으로 잘못 정의되었음을 의미한다.

그러나 어떠한 수렴 요구 사항 없이 형식 멱급수로서 값을 계산할 수만 있으면 되는 섭동 양자장론은 엄격한 수학적 기반이 제공될 수 있다. 특히 케빈 코르텔리오의 책 Renormalization and Effective Field Theory는 카다노프, 윌슨, 폴친스키의 유효 장론 접근 방식과 게이지 양자화 이론에 대한 바탈린-빌코비스키 접근 방식을 결합한 섭동 재규격화의 엄밀한 공식을 제공한다. 또한, 일반적으로 유한 차원 적분 이론에서 영감을 얻은 형식 계산 방법으로 이해되는 섭동 경로 적분 방법은 유한 차원 유사체로부터 적절한 수학적 기반을 얻을 수 있다.

1950년대 이후 수학자들과 수리 물리학자들은 수학적으로 엄격한 방식으로 상대론적 양자장론의 구체적인 모형의 존재를 확립하고 그 특성을 연구하기 위해 모든 양자장론을 일련의 공리로 구성하려고 시도했다. 이 연구는 수리물리학의 부분 분야인 구성적 양자장론이라고 한다. 이것은 CPT 정리, 스핀-통계 정리 및 골드스톤 정리와 같은 결과와 2차원 및 3차원 시공간에서 상호 작용하는 많은 양자장론의 수학적으로 엄밀한 구성(예: 임의의 다항식 상호 작용이 있는 2차원 스칼라 장론, 4차 상호 작용 등이 있는 3차원 스칼라 장론)으로 이어졌다.

일반 양자장론와 비교하여 위상 양자장론과 등각 장론의 수학적 기반은 더 잘 갖춰져 있다. 둘 다 보충 경계 표현으로 분류될 수 있다.

대수적 양자장론은 양자장론의 공리화에 대한 또 다른 접근 방식으로, 기본적 대상은 국소적 연산자와 이들 사이의 대수적 관계이다. 이 접근 방식을 따르는 공리 계에는 와이트만 공리와 하그–카스틀러 공리가 포함된다. 와이트만 공리를 만족하는 이론을 구성하는 한 가지 방법은 오스터발더-슈라더 공리를 사용 하는 것이다. 오스터발더-슈라더 공리를 사용하면 해석적 연속(윅 회전)에 의해 허수 시간 이론에서 실수 시간 이론을 얻기 위한 필요 충분 조건을 얻을 수 있다.

클레이 수학 재단에서 제안한 밀레니엄 수학 문제 중 하나인 양-밀스 이론의 존재성과 질량 간극 가설은 위의 공리계에 의해 설정된 잘 정의된 양-밀스 이론 존재하는지, 그리고 그 이론 안에서 질량 간극의 존재성을 증명할 수 있는지에 대한 문제이다. 전체 문제 설명은 다음과 같다.

 각주 

관련 문헌
 
 
 

 참고 문헌 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 교과서 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 응집물질물리학에 대한 응용 
 
 
 
 

 같이 보기 
 양자화
 양자역학
 표준 모형
 공리적 양자장론
 대수적 양자장론
 끈 이론
 유한군
 리 군

 외부 링크 
 
 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Quantum Field Theory", by Meinard Kuhlmann.
 Siegel, Warren, 2005. Fields. .
 Quantum Field Theory by P. J. Mulders

 
분류:양자역학
분류:수리물리학
분류:물리학 개념