피타고라스 삼조

섬네일|피타고라스 삼조 (3,4,5)
수학에서, 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, )는 등식 을 만족시키는 세 양의 정수의 삼조 이다. 피타고라스 정리와 그 역에 따라, 피타고라스 삼조는 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 삼조와 같다. “가장 작은” 피타고라스 삼조는 이다.

원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, )는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수의 최대 공약수가 1인 경우이다. 임의의 양의 정수의 삼조 에 어떤 양의 정수 을 곱하여 를 만들었을 때, 이 삼조가 피타고라스 삼조인지 여부는 변하지 않는다. 따라서 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다.

원시 피타고라스 삼조는 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다. 대수 곡선의 유리점은 산술 기하학의 연구 주제이다.

 정의 
양의 정수의 삼조 가 2차 디오판토스 방정식

의 해라면 (즉, 이라면), 를 피타고라스 삼조라고 한다. 인 피타고라스 삼조를 원시 피타고라스 삼조라고 한다.

 일반해 
 표준적인 해 
만약 가 피타고라스 삼조이며, 이 양의 정수라면, 역시 피타고라스 삼조이다. 반대로, 만약 가 피타고라스 삼조이며, 양의 정수 가 의 공약수라면, 는 의 약수이며, 는 피타고라스 삼조이다. 이에 따라, 모든 피타고라스 삼조는 어떤 원시 피타고라스 삼조 의 어떤 양의 정수 배

로 유일하게 나타낼 수 있다.

원시 피타고라스 삼조의 첫 번째 및 두 번째 성분은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다 (#성질). 따라서, 모든 원시 피타고라스 삼조는 첫 번째 및 두 번째 성분의 교환을 통해 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조로 만들 수 있다.

두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조들은, 이며, 하나는 짝수, 하나는 홀수인 두 양의 서로소 정수의 순서쌍 들과 일대일 대응한다. 구체적으로, 위 조건을 만족시키는 에 대응하는, 첫 번째 성분은 홀수, 두 번째 성분은 짝수인 원시 피타고라스 삼조는 다음과 같다.

예를 들어, 에 대응하는 원시 피타고라스 삼조는 이다. 특히, 원시 피타고라스 삼조들은 무수히 많이 존재한다.

따라서, 피타고라스 삼조들은 위 조건을 만족시키는 과 임의의 양의 정수 로 이루어진 삼조 와 일대일 대응하며, 이 대응에서 에 대응하는 피타고라스 삼조는 다음과 같다.

피타고라스 삼조의 이러한 풀이를 유클리드 공식()이라고 부르기도 한다.

 표준적인 해의 증명 
이 증명은 원시 피타고라스 삼조의 일부 초등적 성질들을 사용한다 (#성질). 이 두 양의 서로소 정수이고, 이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라고 하자. 자명하게

이므로, 은 피타고라스 삼조이다.

이므로, 은 원시 피타고라스 삼조이다. 마지막으로, 은 자명하게 짝수이다.

반대로, 양의 정수의 삼조 가 원시 피타고라스 삼조이며, 가 짝수라고 하자. 그렇다면 는 홀수이며, 역시 홀수이다. 이므로, 와 는 양의 정수이다. 또한,

이므로, 와 는 서로소이다. 그런데, 두 수의 곱

은 제곱수이므로, 두 수 역시 제곱수이다.

라고 하자. 여기서 은 양의 서로소 정수이며, 이다. 그렇다면 자명하게

이다. 마지막으로, 가 홀수이므로, 은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다.

마지막으로, 에 대응하는 원시 피타고라스 삼조의 첫째 성분과 둘째 성분의 합은 이며, 셋째 성분에서 둘째 성분을 뺀 차는 이다. 따라서, 서로 다른 은 서로 다른 원시 피타고라스 삼조에 대응하며, 이 대응은 일대일 대응이다.

 삼진 트리 표현 
이 절에서, 원시 피타고라스 삼조는 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조를 뜻한다.

임의의 원시 피타고라스 삼조 에 대하여,

역시 원시 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조를 열벡터

로 적을 때, 위 세 연산은 각각 다음과 같은 세 행렬

을 열벡터의 왼쪽에 곱하는 연산이다. 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가한 결과를 원시 피타고라스 삼조의 세 자식()이라고 부르기도 한다.

또한, 모든 원시 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조 에 위 세 연산을 유한 번 가하여 얻을 수 있으며, 이 원시 피타고라스 삼조를 얻게 되는, 세 연산을 가하는 방법은 유일하다.

이에 따라, 원시 피타고라스 삼조를 어떤 삼진 트리 위에 배열할 수 있다. 이 삼진 트리는 원시 피타고라스 삼조들만으로 구성되고, 모든 원시 피타고라스 삼조는 이 삼진 트리 위에 있으며, 겹치지 않는다. 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리를 원시 피타고라스 삼조의 계보()라고 부르기도 한다. 원시 피타고라스의 삼진 트리의 처음 네 열은 다음과 같다.

가운데|600픽셀

만약 가 두 양의 서로소 정수의 순서쌍이며, 이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라면,

역시 이러한 조건을 만족시킨다.

이는 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리에 대응하는, 순서쌍들의 삼진 트리를 묘사한다. 즉, 에 대응하는 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가하면 각각

에 대응하는 원시 피타고라스 삼조를 얻는다.

 표 
원시 피타고라스 삼조 가운데 인 것은 모두 16쌍이 있으며, 이는 다음과 같다.

 성질 
모든 피타고라스 삼조 는 다음 성질들을 만족시킨다.
 와 가운데 적어도 하나는 짝수이다.
 증명: 만약 과 가 둘 다 홀수라면, 과 을 4로 나눈 나머지는 1이므로, 을 4로 나눈 나머지는 2이다. 그러나 는 짝수이므로, 도 짝수이며, 는 4의 배수이다. 이는 모순이다.
 와 가운데 적어도 하나는 3의 배수이다.
 증명: 만약 와 모두 3의 배수가 아니라면, 와 를 3으로 나눈 나머지는 1이므로, 를 3으로 나눈 나머지는 2이다. 제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0이거나 1이므로, 이는 모순이다.
 와 와 가운데 적어도 하나는 5의 배수이다.
 증명: 만약 와 가 모두 5의 배수가 아니라면, 와 을 5로 나눈 나머지는 1 또는 4이므로, 을 5로 나눈 나머지는 0 또는 2 또는 3이다. 제곱수를 5로 나눈 나머지는 0 또는 1 또는 4이므로, 나머지는 0이다. 즉, 는 5의 배수이다.

만약 가 원시 피타고라스 삼조라면, 다음 성질들을 추가로 만족시킨다.
 
 증명: 만약 이라면, , 인 소수 가 존재한다. 이므로 이다. 그런데 가 소수이므로 이다. 따라서 이며, 이는 가 원시 피타고라스 삼조인 것과 모순이다. 따라서, 이다. 마찬가지로 임을 보일 수 있다.
 와 는 하나는 짝수 하나는 홀수이다.
 증명: 가 피타고라스 삼조이므로, 와 가운데 적어도 하나는 짝수이다. 만약 둘 다 짝수라면, 이므로, 모순이다.

 같이 보기 
 오일러 벽돌
 모듈러 산술
 플림톤 322
 이차 초곡면

 참고 문헌 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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분류:피타고라스 정리
분류:사람 이름을 딴 낱말