근계

섬네일|right|예외 리 군 G2의 근계. 와 는 단순근이다.

리 군 이론에서, 근계(根系, )는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, )이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, )의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표()로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약 근계(旣約根系, )의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

 정의 
유한 차원 실수 내적 공간 속의 부분 집합 가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.
 (선형 생성) . 즉, 의 모든 원소는 의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
 (스칼라배의 제한) 라면, 이고, 그 밖의 다른 스칼라배 ()는 의 원소가 아니다.
 (반사에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 에 대하여 수직인 초평면에 대한 의 반사도 의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
 (정수성) 이며, 
 유한 집합이다.
근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, )는 의 차원이다.

두 실수 내적 공간 , 및 그 속의 근계 , 에 대하여, 만약 가 되는 전단사 실수 선형 변환 이 존재하며, 또한

라면, 와 를 서로 동형이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 또는 이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

 양근과 단순근 
근계 의 양근의 집합(陽根의 集合, ) 는 다음을 만족하는 부분집합이다.
 임의의 에 대하여, 이거나 이지만, 는 아니다.
 이고, 이면 이다.
양근의 집합의 원소를 양근(陽根, )이라고 한다. 양근의 집합 이 주어졌을 때, 격자

위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

 단순근 
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, )은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 의 기저를 이룬다.

 카르탕 행렬 
근계 와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬() 은 다음과 같은 정사각 행렬이다.

정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

 딘킨 도표 
480px|섬네일|기약근계의 딘킨 도표
각 근계 에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, )라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 의 양근의 집합 를 고르자.
 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

 성질 
섬네일|500px|right|정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 , , , 또는 이들의 여각이다.
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
 
이므로,

이다. 즉, 는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

 연산 
 스칼라배 
근계 및 임의의 실수 및 임의의 직교 행렬 에 대하여, 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 와 동형이다.

 직합 
두 근계 , 가 주어졌을 때, 그 직합 은 다음과 같은 근계이다.

여기서 와 은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

기약 근계(旣約根系, )는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(), 짧은 것은 짧은 근()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) 로 잡는다.)

 쌍대 근계 
근계 의 쌍대 근계(雙對根系, )는 다음과 같다.
 는 의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 이 존재한다.
 
 임의의 에 대하여, , 
그렇다면 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 는 그 이중 쌍대 근계 와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, 의 쌍대 근계는 이다. 다른 단순 근계들(, , )은 스스로의 쌍대 근계이다.

 분류 
 기약 근계의 목록 
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계()는 네 개의 족 , , , 으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계() 이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 가 되도록 정규화하였다.

 고전적 기약 근계 
형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 의 원소로 표기하였다.)

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

형 근계의 단순근은 다음과 같다.

 예외적 기약 근계 
예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

 예 
 낮은 차원의 근계 
0차원 근계는 (자명하게) 하나밖에 없다.

1차원 근계는 하나밖에 없으며, 이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, 와 는 서로 동형이며, 과 역시 서로 동형이다.)

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.
파일:Root vectors b3 c3-d3.png

 반단순 리 대수에 대응되는 근계 

복소수체 위의 반단순 리 대수 및 그 카르탕 부분 대수 가 주어졌다고 하자. 는 의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, 의 딸림표현에 대응하는 -무게들

을 생각하자. 그렇다면, 는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.
 의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

 역사 
근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

 각주 

 Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 

 같이 보기 

 무게 (표현론)
 콕서터 군

분류:리 군
분류:리 대수
분류:유클리드 기하학