자기 동형 사상

오른쪽|섬네일|400x400픽셀| 두 케일리 그래프 간의 자기 동형 사상, 주기 표기법의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 클라인 4원군의 자기 동형 사상.
수학에서, 자기 동형 사상(自己同型寫像, )은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 어떤 대상을 스스로 위에 사상하며, 대상의 구조를 양향적으로 유지하므로, 그 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 주어진 대상의 모든 자기 동형 사상은 군을 형성한다.

 정의 
범주 의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 이다.
 (자기 사상) 정의역과 공역이 같다. 즉, 이다.
 (동형 사상) 인 가 존재한다.

국소적으로 작은 범주 의 대상 가 주어졌을 때, 의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, )이라고 하고, 로 쓴다. 즉, 자기 동형군은 자기 사상 모노이드의 가역원군이다.

 예 
 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 의 자기 동형군은 대칭군 이라고 한다.
 체 위의 벡터 공간의 범주 에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 의 자기 동형군은 일반선형군 이다.
 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 에 대해 상이 내부 자기 동형군 이고 핵이 중심 인 자연스러운 군 준동형 가 존재한다. 따라서 의 중심이 자명하다면, 는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군 의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
 모노이드 을 하나의 대상 을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 은 의 가역원들의 군 이다. 특히, 만약 이 군이라면, 이다.
 정수의 덧셈군 는 유일한 비항등 자기 동형 사상 을 갖는다. 그러나 환으로서의 는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 와 실수체 의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. 의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, ()는 이차 수체 의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 의 자기 동형 사상은 체의 확대 의 자기 동형 사상과 동치이다. 을 로 보내는 의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, 의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 이다.
 사원수 의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 에 대해 형식을 갖는다. 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다.
 팔원수 의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 이다.
 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 으로 표기한다.
 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

 체의 확대 
임의의 체 가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 를 정의할 수 있다.
 의 대상은 체의 확대 들이다.
 의 확대 와 사이의 사상은 -대수 단사 준동형 이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.)
이 범주에서, 의 자기 동형 사상은 -대수 동형 이다. 가 대수적 확대일 때, 모든 -대수 단사 준동형 은 -대수 동형이다. 즉, 자동적으로 전사 함수가 된다.

임의의 체의 확대 및 -대수 단사 준동형 및 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 가 의 최소 다항식이라고 하고, 가 의 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 는 대수적 확대이자 유한 생성 확대이며, 따라서 유한 확대이다. 즉, 의 -벡터 공간 차원은 유한하다. 는 의 근을 의 근으로 보내므로, 이다. 는 단사 -선형 변환이므로, 와 의 차원은 같다. 따라서, 이다.

 역사 
최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(:en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

 내부 및 외부 자기 동형 사상 
일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 의 각 원소 에 대해 에 의한 켤레 는 으로 주어지는 연산이다. (대신 을 사용할 수도 있다.) 에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 의 정규 부분군을 형성한다. 이는 으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 은 일반적으로 으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

 같이 보기 
 반 자기 동형 사상
 Automorphism (스도쿠 퍼즐에서)
 특성 부분군
 자기준동형환
 프로베니우스 사상
 사상
 순서 자기 동형 (순서론에서).
 관계 보존 자기 동형 사상
 분수 푸리에 변환

 참고 문헌 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 

분류:대칭
분류:추상대수학