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에라토스테네스

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에라토스테네스(, Ερατοσθένης, 기원전 274년 ~ 기원전 196년)는 고대 그리스의 수학자이자 천문학자이다. 헬레니즘 시대 이집트에서 활약했으며, 문헌학 및 지리학을 비롯해 헬레니즘 시대 학문 다방면에 걸쳐 업적을 남겼지만, 특히 수학과 천문학의 분야에서 후세에 남는 큰 업적을 남겼다.

지구의 크기를 처음으로 계산해 냈으며, 또 소수를 걸러내는 에라토스테네스의 체를 고안한 것으로도 알려져 있다. 이런 업적으로 제2의 플라톤이라고도 불렸다. “베타”(β)란 별명으로도 알려져 있다. "그를 시기하고 경쟁의 상대로 여겼던 어떤 사람은 그를 '베타'라고 불렀다고 한다. 베타는 알다시피 그리스 어 알파벳의 두 번째 글자이다. 에라토스테네스는 무슨 일을 하든 그 분야에서 여지없이 세계 둘째가는 사람이기 때문에 베타라는 이름으로 불렀다는 것이다. 그러나 에라토스테네스가 손을 댄 거의 모든 분야에서 그는 '베타'가 아니라 아주 확실한 '알파'(α)였다."

 생애 
고대 그리스의 키레네(현재는 리비아의 지역)에서 태어나 아테네에서 교육을 받았으며, 프톨레마이오스 왕조가 세운 알렉산드리아 도서관, 무세이온(Mouseion)의 관장을 맡았다.

 지구의 둘레 
그리스인들은 지역에 따라 북극성의 높이가 다른 사실 등을 근거로 지구가 공처럼 둥글다는 것을 알고 있었다. 에라토스테네스는, 시에네(현재의 아스완)에서는 하지날에 태양빛이 우물의 바닥까지 닿는다는 것을 전해 듣고, 즉 해가 가장 높이 떴을 때의 고도가 90도가 된다는 것을 알아차렸다. 그리고 이로부터 지구의 크기를 계산할 수 있다는 사실을 깨달았다. 알렉산드리아에서는 하짓날의 남중 고도는 82.8도이며, 이 차이가 시에네와 알렉산드리아의 위도의 차에 따른 것이며, 이를 이용하여 지구의 둘레를 구할 수 있었다.

시에네와 알렉산드리아의 거리는 5000 스타디아(미터법으로 925킬로미터)이며, 비율까지 계산하여 지구의 둘레는 250000 스타디아 차이(46,250킬로미터)라고 구했다. 그러나 당시 스타디아의 길이가 엄밀하게 정해져 있던 것도 아니고, 측정 자체도 걸음수를 이용한 대략적인 것으로, 그가 실제로 어느 정도의 정확도로 지구의 둘레를 구한 것인지를 말하는 것은 별 의미가 없다. 문헌에 따라서 종종 스타디아와 미터의 변환시에 자의적인 수치를 이용하여, 매우 정확히 측정한 것처럼 언급되는 경우도 있다.

에라토스테네스는 5가지의 가정을 하였다.
 알렉산드리아(Alexandria)와 시에네(Syene, 현재의 아스완)의 거리는 5000 스타디아(미터법으로 925km).
 알렉산드리아는 시에네의 정북쪽에 있다.
 시에네는 북회귀선에 있다.(시에네의 하짓날 정오에 햇빛이 지면에 수직으로 비춘다.)
 지구는 완전한 구형이다.
 지구로 들어오는 태양광선은 평행하다.

에라토스테네스의 지구 크기 측정이 정확하지 않은 이유는 다음과 같다.
 지구는 완전한 구형이 아니라 적도쪽이 조금 더 부푼 타원체이다.
 알렉산드리아와 시에네는 동일 경도 상에 위치하지 않는다.
 두 지점 사이의 거리를 구한 값에 오차가 있었다.

 에라토스테네스의 체 
에라토스테네스의 체는 에라토스테네스가 고안했다고 여겨지는 소수 판정 방법으로, 자연수를 순서대로 늘어놓은 표에서 합성수를 차례로 지워나가면서 소수 목록을 얻는 것을 말한다. 알고리즘의 예제로도 유명하다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 방법들 중에서 가장 자주 쓰이는 방법이 바로 에라토스테네스의 체이다. 고대에 고안한 이 방법이 현재까지 수학자들 사이에서 활발하게 쓰이고 있다는 생각을 해보면 그의 수학 실력이 얼마나 뛰어난지 짐작할 수 있었다고 한다.

 같이 보기 
 사모스의 아리스타르코스
 히파르코스
 포세이도니오스

 각주 

 외부 링크 

 
 Measuring the Earth

분류:기원전 3세기 출생
분류:기원전 2세기 사망
분류:고대 그리스의 수학자
분류:고대 이집트의 수학자
분류:고대 그리스의 천문학자
분류:고대 이집트의 천문학자
분류:고대 그리스의 지리학자
분류:고대 이집트의 지리학자
분류:고대 그리스의 시인
분류:고대 이집트의 시인
분류:고대 그리스의 음악가
분류:이집트의 음악가
분류:그리스의 사서
분류:이집트의 사서
분류:그리스의 발명가
분류:이집트의 발명가
분류:기하학자
분류:음악 이론가
분류:고대의 사서
분류:그리스계 이집트인
분류:굶어 죽은 사람
분류:기원전 3세기 그리스 사람
분류:기원전 3세기 이집트 사람
분류:기원전 3세기 시인
분류:기원전 276년 출생
분류:수론학자
기원전 4세기

섬네일
섬네일
기원전 4세기는 기원전 400년부터 기원전 301년까지를 말한다.

 주요 사건 
 기원전 399년
 이집트 제28왕조 멸망하고, 이집트 제29왕조 건설.
 아테나이 당국, 소크라테스에게 사형 선고.
 기원전 395년 - 테오도시우스 황제가 죽은 후 로마 제국이 동서로 분리됨.
 기원전 380년 - 이집트 제29왕조 멸망하고, 이집트 제30왕조 건설.
 기원전 375년 - 정나라 멸망.
 기원전 367년 - 로마, 12표법 제정.
 기원전 356년 - 아르테미스 신전이 헤로스트라투스의 방화로 소실됨. (7월 21일)
 기원전 343년 - 아케메네스 제국, 이집트 제30왕조 멸망시키고 다시 이집트를 지배함. (이집트 제31왕조)
 기원전 338년 - 마케도니아, 그리스 정복.
 기원전 334년 - 알렉산드로스 대왕, 동방 원정.
 기원전 332년 - 알렉산드로스 대왕, 이집트를 점령.
 기원전 331년 - 알렉산드로스 대왕이 다리우스 3세의 군대를 아르벨라에서 격파함.
 기원전 330년 - 아케메네스 제국 멸망.
 기원전 321년 - 인도에서 찬드라굽타가 마우리아 왕조를 건국.
 기원전 305년 - 알렉산드로스 대왕의 부하였던 프톨레마이오스가 이집트에서 프톨레마이오스 왕조 건설.

 주요 인물 
 탄생 
 기원전 384년 - 고대 서양의 사상가인 아리스토텔레스
 기원전 382년 - 마케도니아의 왕 필리포스 2세
 기원전 376년 - 마케도니아의 필리포스 2세의 부인이자 알렉산드로스 대왕의 어머니인 올림피아스
 기원전 365년 - 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스 (추정)
 기원전 358년 - 
 기원전 341년 - 고대 그리스의 철학자 에피쿠로스
 기원전 340년 - 중국 전국 시대 초나라의 시인 굴원
 기원전 335년 - 고대 그리스의 철학자 키티온의 제논
 기원전 302년 - 전국 시대 진나라의 왕 진 효문왕

 사망 
 기원전 400년 - 그리스 역사가 투키디데스 (추정)
 기원전 399년 - 고대 그리스의 사상가 소크라테스
 기원전 391년
 중국의 철학자 묵자
 스파르타의 장군 팀브론
 기원전 381년 - 중국 전국 시대의 병법가이자 정치가인 오기
 기원전 371년 - 아기어드 왕통의 스파르타왕 클레옴브로투스 1세 (7월 6일)
 기원전 355년 - 페르시아 제국의 왕 아르타크세르크세스 2세
 기원전 353년 - 카리아의 왕 마우솔로스
 기원전 347년 - 고대 그리스의 사상가 플라톤
 기원전 323년 - 알렉산드로스 대왕 (6월 10일, 바빌론)
 기원전 322년 - 고대 서양의 사상가인 아리스토텔레스
 기원전 317년 - 전국 시대의 인물 소진 (추정)
 기원전 309년 - 전국 시대 진나라의 정치가 장의

 년대와 년도 

 
분류:기원전 제1천년기
기원전 5세기

기원전 5세기는 기원전 500년부터 기원전 401년까지를 말한다.

 주요 사건 
 페르시아 전쟁
 마라톤 전투 (기원전 490년)
 살라미스 해전 (기원전 480년)
 펠로폰네소스 전쟁 (기원전 431년 - 404년)
 시칠리아 원정 (기원전 415년 - 413년)

 기원전 499년 - 그리스-페르시아 전쟁 발발.
 기원전 497년 - 포로 로마노에 사투르누스의 신전이 세워짐.
 기원전 482년 - 페르시아 제국의 침공으로 바벨탑이 파괴됨.
 기원전 480년 - 살라미스 해전 발발. (9월 22일)
 기원전 479년 - 델로스 동맹 성립.
 기원전 450년 - 로마 12표법 제정.
 기원전 448년 - 페르시아 전쟁 종료.
 기원전 441년 - 고대 그리스의 극작가 소포클레스가 《안티고네》를 완성함.
 기원전 432년 - 아테네의 파르테논 신전 완성.
 기원전 431년 - 그리스에서 펠로폰네소스 전쟁 발발.
 기원전 418년 - 제1차 만티네이아 전투 발발.
 기원전 415년
 니키아스 평화조약의 종료.
 아테네 군대의 시실리 원정 시작.
 아테네 정치인 알키비아데스가 사형선고를 받고 스파르타로 도주.
 아테네, 델로나 동맹 참가 요청을 거부한 멜로스를 침공. 살아 남은 남자들은 도륙되고, 여자와 아이들은 노예신세가 된다. 그 잔학성은 동시대인들을 경악시킨다.
 기원전 414년 - 니키아스, 아테네의 시라쿠사(Syracuse) 공격을 선두 지휘.
 기원전 413년
 시라쿠사 전투 - 아테네의 시실리 원정은 재앙으로 마감.
 스파르타가 아티카에서 데켈리아(Decelea) 점령.
 티사페르네스(Tissaphernes)가 소아시아의 총독에 임명됨.
 아르켈라우스 1세(Archelaus I), 페르디카스(Perdiccas)의 뒤를 이어 마케도니아 왕국 왕위 계승.
 기원전 412년
 알키비아데스(Alcibiades), 스파르타와 페르시아 제국 간의 연합을 추진하다가 페르시아를 배신하고 스파르타 쪽에 감.
 아테네, 마지막 비축자원을 사용해 새 함대를 건조할 것을 투표함.
 클라조메내 아테네 반대 봉기를 했으나 생포됨.
 기원전 404년
 펠로폰네소스 전쟁 종료.
 이집트 왕가의 후손 아미르타이오스가 아케메네스 제국을 일시적으로 물리침. (이집트 제29왕조)
 기원전 403년 - 중국 전국시대 시작.

 주요 인물 
 피타고라스, 샤모스의 철학자 (기원전 582 - 496)
 석가모니, 불교의 창시자. (기원전 563 - 483)
 공자, 유교의 창시자 (기원전 기원전 551 - 479)
 다리우스 1세, 페르시아의 왕 (임기 - 기원전 521 - 485)
 헤로도토스, 그리스의 역사가 (기원전 484 - 425?)
 소크라테스, 아테네의 철학자 (기원전 470 - 399)

 탄생 
 기원전 500년 - 아낙사고라스
 기원전 497년 - 고대 그리스의 극작가 소포클레스
 기원전 495년 - 고대 아테네의 정치가이자, 웅변가, 장군인 페리클레스
 기원전 470년 - 고대 그리스의 철학자 소크라테스
 기원전 465년 - 그리스 역사가 투키디데스 (추정)
 기원전 445년 - 페르시아 제국의 왕 아르타크세르크세스 2세 (추정)
 기원전 440년 - 중국 전국 시대의 병법가이자 정치가인 오기
 기원전 427년 - 고대 사상가 플라톤

 사망 
 기원전 500년 - 중국 춘추시대 제(齊)나라 정치가 안영(晏嬰)
 기원전 496년 - 오나라 최대 명군이자 손자 병법서의 손무
 기원전 486년 - 페르시아 제국 황제 다리우스 1세
 기원전 483년 - 석가모니
 기원전 480년 - 스파르타의 왕 레오니다스 1세 (8월 11일)
 기원전 479년 - 공자
 기원전 477년 - 이토쿠 천황
 기원전 470년 - 중국 춘추시대의 전략가 손무(孫武)
 기원전 465년 - 페르시아 제국 황제 크세르크세스 1세
 기원전 430년
 그리스의 철학자 엠페도클레스
 그리스의 조각가 페이디아스
 그리스의 수학자, 철학자 엘레아의 제논
 기원전 428년 - 아낙사고라스
 기원전 425년 - 고조선의 최초 국왕 단군왕검 (추정)
 기원전 422년
 스파르타의 장군 브라시다스
 아테네의 정치가 클레온
 기원전 413년
 데모스테네스(Demosthenes), 펠로폰네소스 전쟁 중 아테네 장군
 마케도니아 왕국의 왕 페르디카스 2세
 기원전 409년 - 스파르타 아기아드 왕조의 왕 플레이스토아낙스
 기원전 406년 - 고대 그리스의 극작가 소포클레스
 기원전 403년 - 아테네의 과두제 정권 삼십인 정권의 우두머리인 크리티아스

 년대와 년도 

 
분류:기원전 제1천년기
말아톤

《말아톤》은 자폐성 장애를 가진 청년이 마라톤을 통해 사회와 소통해 나가는 과정을 그린 영화로 2005년에 개봉하였다.

 개요 
이 영화는 KBS 《인간극장》에서 다큐멘터리로도 소개된 자폐성 장애 당사자 배형진과 그의 어머니 이야기를 바탕으로 각색되었다. 주인공 배형진(극중 윤초원)은 2001년 춘천 마라톤 대회에서 서브쓰리(3시간 이내 완주)를 기록하였다. 배형진과 달리 영화 중 개인코치는 실존하지 않는 인물이다. 배형진은 2002년 철인3종경기(올림픽 코스)에 출전하여 약 15시간의 기록으로 완주하였는데 이 내용은 영화의 끝부분에서 자막으로만 표시된다.
한편 이 영화의 주연 배우 조승우는 〈말아톤〉 촬영현장 공개 때 취재온 기자 한명에게 몹시 화를 내서 분위기를 썰렁하게 만들었다고 한다. “자폐아처럼 한번 포즈를 취해보라”는 주문을 받고 나서였다. 그는 자폐아에 대한 기본적 상식도, 예의도 없는 요구라고 생각했고, 자신의 불쾌함을 숨기지 않았다. 〈말아톤〉 시사회가 끝나고 조승우가 가장 많이 들은 질문은 “자폐아 연기는 어떻게 하셨나요? 힘들지 않았나요?”였는데, 그는 “운동복 입고 뛰느라 겨울에 땀 빼는 게 힘들었어요”라고 대답했다고 한다. 듣는 이로서는 조금 당황스런 대답이다. 조승우는 이렇게 말한 이유에 대해 “배형진군(영화의 실제 모델)이나 다른 자폐아 친구들을 만나면서 자폐아는 ‘자개아’라는 생각이 들었어요. 꾸밈없는 자신의 방식으로 세상과 만난다는 점에서 그래요. 달리 어떤 패턴이나 정의로 자폐아로 묶는 건 엄청난 오해라는 걸 깨달았죠.”라고 말했다.

 줄거리 
다섯 살의 지능을 가진 스무 살 윤초원(조승우 분)은 달리기만큼은 다른 사람들과 똑같은 재능을 가졌다. 이전부터 윤초원의 달리기 가능성에 희망을 가져온 엄마(김미숙 분)는 마라톤을 가르쳐 주기로 결심하고 음주운전으로 인해 사회봉사 명령을 받은 전직 메달리스트이자 체육교사인 정욱(이기영 분)에게 마라톤을 가르쳐 달라고 호소한다. 우여곡절 끝에 정욱은 이를 승락하고 교육이 시작된다. 정욱은 윤초원에게 매일 운동장에서 훈련을 시키지만 윤초원을 놔두고 혼자서 사우나에 가서 시간을 보내는 등 성실하게 가르쳐 주지 않는다. 이들은 곧 있을 마라톤 대회에서 세 시간의 벽을 넘는 일명 '서브쓰리'를 목표로 삼는다. 처음 윤초원이에게 마음을 열지 않았던 정욱은 초원이의 순수한 마음과 가능성에 점점 마음을 열고 열심히 가르치게 된다. 그러나 어느 날 초원이를 가르치던 체육교사의 실수로 인해 말다툼을 벌이던 엄마는 자신이 마라톤을 빌미로 아들 초원이를 혹사시키는 건 아닌지 고민에 빠지고 결국 마라톤 출전을 포기하기로 마음먹는다. 그러나 마라톤 경주 당일 초원이는 이미 경기장에 가 있었고, 엄마는 출전을 말리려고 경기장으로 향한다. 그러나 초원이는 뛰고 싶어하며 엄마가 항상 되짚던 말을 꺼낸다. "초원이 다리는?" "백만불짜리 다리" 아들 초원이의 말에 할 말을 잃은 엄마는 아들 초원이의 손을 놓아 주고 마라톤 경주가 시작된다.

 캐스팅 
 조승우 : 윤초원 역
 조영관 : 어린 초원 역
 김미숙 : 엄마 경숙 역
 백성현 : 윤중원 역
 김민기 : 어린 중원 역
 이기영 : 손정욱 역
 안내상 : 윤희근 역
 김선재 : 초원 담임 역
 탁용신 : 교장 역
 전수지 : 세연 역
 박소은 : 어린 세연 역
 박미숙 : 얼룩무늬 핸드백 역
 우기홍 : 잡지 기자 역
 이상홍 : 지하철 청년 역
 윤갑수 : 양재천 클럽 회장 역
 맹봉학 : 양재천 클럽 총무 역
 김도영 : 정신과 여의사 역
 김재록 : 파출소 경찰 역
 이정성 : 내과 의사 역
 장남열 : 페이스 메이커 역
 이성민 : 정욱 친구 역
 박민경 : 얼룩무늬 스커트를 입은 여자 역
 김영아 : 초코파이 여 역
 김홍택 : 마라톤 의사 역
 김빈 : 마트 여 역
 이진영 : 택시기사 역
 권영헌 : 옆집 아저씨 역
 석명홍 : 택시기사 역
 홍효인 : 친구 역
 장민석 : 특수학교 친구 역
 신동훈 : 특수학교 친구 역
 장지웅 : 특수학교 친구 역
 정옥권 : 특수학교 친구 역
 조용선 : 특수학교 친구 역
 이창헌 : 특수학교 친구 역
 조인기 : 특수학교 친구 역
 장수영 : 마라톤 사진사 역
 김장욱 : 마라톤 사진기자 역
 박봉욱 : 마라톤 아나운서 역
 정철우 : 인라인 역
 김준원 : 교통 순경 역
 이두영 : 춘천 치어리더 역
 정미영 : 춘천 치어리더 역
 정미선 : 야구장 치어리더 역
 이성진 : 야구장 치어리더 역
 이민숙 : 야구장 치어리더 역
 박정미 : 야구장 치어리더 역
 이용헌 : 수영장 안전요원 역
 김종배 : 중국집 배달원 역
 박현수 : 세연 남자친구 역
 허자경 : 미장원 누나 역
 이완호 : 동물의 왕국 나레이션 역

 흥행 성적 
 대한민국 국내 개봉에서 500만 관객 동원
 2005년 상반기 한국 영화 최고의 흥행 성적

 같이 보기 
 레인 맨 - 장애인을 배경으로 하는 내용이 비슷한 동일 소재의 미국 영화
 말아톤 (드라마) - 일본에서 2007년 당시 TBS를 통해 소개된 동명의 원작을 리메이크한 드라마

 수상 및 후보 

 각주 

 외부 링크 
 
 
 말아톤 공식웹사이트

분류:2005년 영화
분류:대한민국의 스포츠 드라마 영화
분류:실화를 바탕으로 한 스포츠 영화
분류:실화를 바탕으로 한 드라마 영화
분류:육상 영화
분류:자폐증을 소재로 한 영화
분류:쇼박스 영화
분류:장애인 스포츠 영화
분류:정윤철 감독 영화
분류:감독 데뷔 영화
분류:대한민국의 액션 영화
분류:모자관계를 소재로 한 영화
분류:백상예술대상 영화부문 대상 수상자(작)
분류:대종상 수상작
조합

수학에서 조합(組合, , )은 유한 개의 원소에서 주어진 수만큼의 원소들을 고르는 방법이다. 조합의 수는 이항 계수로 주어진다.

 조합 
 정의 
섬네일|5개 원소의 집합의 3원소 부분집합의 수는 이다.
집합 와 자연수 가 주어졌을 때, 의 (중복 없는) -조합()은 의 개의 원소로 이루어진 부분집합을 일컫는다. 만약

가 개 원소의 유한 집합이며, 이라면, 의 -조합의 수는 이항 계수

와 같다. 이항 계수 는 다음과 같이 다양하게 적는다.
 
 
 
 
 
 
조합의 수의 공식은 조합론의 방법으로 쉽게 유도할 수 있다. 개의 원소의 집합에서 개의 원소를 골라 한 줄로 배열하는 방법의 가짓수를 세자. 개의 원소를 고르는 방법의 수는 이다. 선택된 개의 원소를 배열할 때, 첫 번째 자리에 둘 수 있는 원소는 개이며, 두 번째 자리는 남은 개 가운데 하나를 놓는다. 나머지 자리도 마찬가지다. 따라서, 개의 원소를 배열하는 방법은

가지가 있다. 다른 한편, 첫 번째 자리에 놓을 원소를 개 가운데 고르고, 두 번째 자리에 놓을 원소를 개 가운데 고르고, 남은 자리 역시 마찬가지로 반복하여 센 방법의 수는

이다. 세는 법이 다를 때 얻는 수가 같아야 하므로 원하는 공식을 얻는다.

 항등식 
섬네일|이항 계수들의 파스칼의 삼각형
이항 계수 항등식

역시 조합론에서 직관적으로 해석할 수 있다. 전자는 개의 원소를 고르는 방법과 개의 원소를 버리는 방법은 일대일 대응함을 나타낸다. 후자는 개의 원소를 고를 때, 어떤 고정된 원소를 고르는 경우와 이 원소를 버리는 경우를 나누어 센 결과다. 즉, 고정된 원소를 제외한 개의 원소에서 개의 원소를 고르는 방법의 수를 세고, 고정된 원소를 고른 뒤 남은 개에서 개를 고르는 방법의 수를 세어 합하면 모든 방법의 수를 얻는다.

 생성 함수 
이항 계수는 다음과 같이 생성 함수를 사용하여 정의할 수 있다.

조합론의 관점에서, 다항식 의 각 항을 얻기 위해서는 개의 이항식 에서 1 또는 가운데 하나를 선택하여 곱하여야 한다. 따라서, 의 차수가 인 항은 총 개가 만들어진다. 즉, 에는 계수 가 붙는다.

 중복조합 
 정의 
섬네일|370픽셀|5개의 원소의 집합의 크기 3의 중복집합의 수는 이다.
집합 및 자연수 가 주어졌다고 하자. 의 -중복조합()은 의 원소들로 구성된, 크기 의 중복집합이다. 개 원소의 집합 의 -중복조합의 수는

이다. 중복조합의 수 의 표기로는 다음이 있다.
 
 
중복조합의 수가 인 사실의 증명은 다음과 같다. 만약 가 의 원소들로 구성된 크기 의 중복집합이며,

라면,

는 의 원소 부분집합이다. 반대로, 의 원소 부분집합

이 주어졌을 때,

는 의 원소들로 구성된 크기 의 중복집합이다. 이는 의 원소들로 구성된 크기 의 중복집합들과 의 크기 의 부분집합들 사이의 일대일 대응을 정의한다. 따라서 이들의 수는 같다. 후자의 수가 이므로 원하는 결론을 얻는다.

이와 다른 기하학적 증명이 존재한다. 는 개의 막대와 개의 공으로 만들 수 있는 (길이 의) 문자열의 수와 같다. 이제, 이와 같은 문자열을 다음과 같이 해석하여, 의 크기 의 중복집합으로 간주하자. 개의 막대는 두 막대 사이의 공간과 양쪽 끝의 공간을 포함하여 총 개의 공간을 만든다. 각 공간에 1부터 까지 번호를 매긴다. 번째 공간에 놓인 공의 수만큼 원소 를 중복하여 취한다. 총 개의 공이 있으므로 크기 의 중복집합이 만들어진다. 예를 들어, , 인 경우, 문자열

은 중복집합 을 나타내며, 문자열

은 중복집합 을 나타낸다. 이는 으로 구성된 크기 의 중복집합들과 개와 개의 두 알파벳으로 구성된 문자열 사이에 일대일 대응을 이루며, 따라서 중복조합의 수는 문자열의 수 와 같다.

 생성 함수 
중복조합의 수의 생성 함수는 다음과 같다.

좌변의 을 멱급수로 전개하면 이다. 개의 멱급수에서 항 ()을 선택하는 방법은 각 의 중복도가 인 중복집합을 선택하는 방법과 일대일 대응한다. 개의 항의 곱이 인 경우는 중복도의 합이

인 경우이다. 즉, 크기 의 중복집합에 대응한다. 따라서 결국 의 계수는 이다.

 참고 문헌 
 

 외부 링크 
 
 

 같이 보기 
 순열
 뤼카의 정리

분류:조합론
이항 계수

섬네일|right|이항 계수의 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.
조합론에서 이항 계수(二項係數, )는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다.

 정의 
자연수 및 정수 가 주어졌을 때, 이항 계수 는 다음과 같다.

여기서 는 계승 (수학)이다. 이항 계수를 대신 나 로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.

인 경우의 이항 계수를 중심 이항 계수(中心二項係數, )라고 한다. 이는 다음과 같다 ().
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … 

 성질 
 항등식 
이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.

다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 파스칼의 법칙(Pascal-法則, )이라고 한다.

 급수 공식 
이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.

 이항 계수의 합 
이 공식들은 생성함수 (의 도함수)의 값으로부터 유도할 수 있다.

또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 은 번째 피보나치 수이다.

 이항 계수의 곱의 합 
다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(朱世傑-Vandermonde恒等式, )이라고 한다.

이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다.

이는 조합론적으로 증명할 수 있다. 은 크기가 집합 속에서 개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기 의 집합의 처음 절반에서 개를 고르고, 나머지 절반에서 개를 고르는 가짓수의 에 대한 합 과 같다.

 생성 함수 
이항 계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.

중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.

 점근 공식 
일반적으로, 모든 및 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.

 및 에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

이에 따라, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 특히, 일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다.

이다.

만약 이며 라면, 스털링 근사를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

 수론적 성질 
쿠머 정리(Kummer定理, )에 따르면, 음이 아닌 정수 및 소수 에 대하여,

인 최대 는 다음과 같다.

즉, 이는 를 진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다.

뤼카의 정리는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.

중심 이항 계수 은 에 대하여 항상 제곱 인수가 없는 정수이다. 이를 에르되시 추측(Erdős推測, )라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고, 앤드루 그랜빌()과 올리비에 라마레()가 1996년에 증명하였다.

임의의 양의 정수 에 대하여, 다음이 성립한다.

은 인 이항계수 의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터()가 1974년에 증명하였다.

 초한 이항 계수 
이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, )

는 크기가 인 집합의, 크기가 인 부분 집합들의 수이다. 만약 와 가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다.

초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.

첫 번째 경우는

이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은 개의, 크기가 인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.)

특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다.

초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다.

예를 들어

이다.

 응용 
 조합론 
조합론에서, 이항 계수는 크기가 인 유한 집합의 크기가 인 부분집합의 수이다. 즉, 개의 원소의 개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.
 카탈랑 수 는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
 크기가 인 집합에서, 크기가 인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수는 이다.
 개의 기호 및 개의 기호 를 포함하는 문자열의 수는 이다. 또한, 을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 이다.

 대수학 

이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.

 통계학 

통계학에서, 이항 계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다.

 정수론 
베르트랑의 공준을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 아페리 상수 가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수

에 등장한다.

 역사 
이항 계수는 파스칼의 삼각형의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법 은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠()이 1826년에 도입하였다.

 같이 보기 
 포흐하머 기호
 12정도

 각주 

 
 
 
 
 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 

분류:조합론
분류:계승과 이항식 주제
분류:정수열
항공동맹

섬네일|회색: 스타얼라이언스파란색: 스카이팀보라색: 원월드
항공동맹(航空同盟, Airline alliance)은 여러 항공사 간의 연합체를 말한다. 항공사 동맹체 라고도 말한다.

 장점 

항공 동맹은 여러 장점을 제공한다.
 다양하고 최적화된 항공 운항 계획
 비용 절감
 공동운항 : 동맹사편에 승객을 통합하여 운행한다.

여행객들에게도 항공 동맹은 장점이 많다.
 비용 절감에 따른 운임 할인
 마일리지 공유(단, 적립이 제한되는 클래스 및 탑승시점 확인은 필수다. 같은 동맹 내라도 항공사마다 적립되는 클래스와 적립율은 다를 수 있다.)

 주요 항공 동맹 
 스타얼라이언스
 스카이팀
 원월드
 바닐라 얼라이언스
 유플라이 얼라이언스
 밸류 얼라이언스

 
분류:항공
스타얼라이언스

섬네일|스타얼라이언스 도장 항공기들의 모습
스타얼라이언스()는 1997년 5월 14일 설립된 최초의 항공 동맹이다. 본부는 독일 헤센주 프랑크푸르트암마인에 있다.

 회원사 
 2004년부터 스타얼라이언스는 참여 항공사를 회원사와 지역회원사로 나눠 확대하였으나 현재는 지역회원도 모두 정회원으로 변경되었고, 회원사와 연결 항공사로 가맹이 가능하다.

 정회원 

 미래 제휴사 

 과거 회원사 

 과거 제휴 회원사 

 스타 얼라이언스 허브공항 

 같이 보기 
 스카이팀
 원월드
 항공 동맹

 각주 

 외부 링크 
 

 
분류:1997년 설립
분류:항공동맹
분류:1997년 설립된 항공사
−1

−1은 1의 덧셈의 역원, 즉 1에 더해 덧셈의 항등원인 0이 되는 수이다. −2보다 크고 0보다 작은 음의 정수이다.

 대수적 성질 
어떤 수에 −1을 곱하면 부호가 바뀐다. 이는 곧 어떤 수 에 대해 라는 말과 같다. 이는 1이 곱셈의 항등원이라는 사실과 분배법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

 .

0곱하기 가 0이라는 사실은 다음과 같이 증명한다.

 .

오른쪽|섬네일|복소평면 상에서 0, 1, −1, , −
따라서 정리하면 이므로, 은 의 덧셈의 역원이 된다.

 −1의 제곱 
−1의 제곱은 1이다. 따라서 어떤 두 음수를 곱하면 항상 양수가 나온다.

이를 대수적으로 증명하기 위해 우선 다음의 항등식을 보자.

 .

첫 번째 항등식은 윗 문단에서, 두 번째 항등식은 −1이 1의 덧셈의 역원이라는 사실에서 나온다. 이제 분배법칙을 적용하면 식을 다음과 같이 나눌 수 있다.

 .

−1 곱하기 1이 −1이 되는 까닭은 1이 덧셈의 항등원이기 때문에 그렇다. 이제 양변에 1을 더하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.

 .

위의 논의는 정수와 실수를 일반화한 추상대수학적 개념인 환에서 항상 성립한다.

다시 정리하면 다음과 같다.이므로,

여기에서 분배 법칙을 사용하면,

이 된다. −1을 왼쪽으로 이항하면

이 얻어진다.

 −1의 제곱근 
−1의 제곱근은 실수 안에선 찾을 수 없고, 복소수 안에서 찾아야한다. 복소수 의 제곱이 −1이기 때문에 이를 −1의 제곱근 중 하나로 본다. 다른 제곱근 중 하나는 −이다. 사원수로 논의를 확장하면 −1의 제곱근은 무수히 많다.

 기타 성질 

 
 
 (허수 단위)
 
 모든 정수는 −1을 약수로 가진다.
 −1은 가장 큰 음의 정수이다.
 −1의 역수는 −1이다.
 −1의 반수는 1이다
ㅡ1×4=ㅡ4

 같이 보기 
 균형 3진법
 메넬라오스 정리
 각주 

1
분류:1
헤론

섬네일|200px|헤론
섬네일|200px|헤론의 공
헤론(, 10년경 ~ 70년)은 고대 이집트에서 태어나 알렉산드리아에서 활약한 고대 그리스인 발명가이자 수학자이다. 기록으로 남겨진 가장 오래된 증기기관 헤론의 공(aeolipile)의 고안자로 유명하다. 원자론을 추종했던 것으로 여겨지며, 스승은 크테시비우스(Κτησίβιος)이다.

이론보다 수학·역학의 응용면에서 능력을 발휘하였으며, 조준의로 토지를 측량하거나 월식(月蝕)을 이용하여 로마∼알렉산드리아의 거리를 측정하였다. 또 일종의 증기터빈인 '헤론의 기력구(汽力球)'와 수력(水力) 오르간, 주화(鑄貨)를 넣으면 물이 나오는 '성수함(聖水函)', 기타 여러 가지 자동장치를 발명하였다. 그 일부는 선배들의 발명을 모방·개량한 것이라 한다.

몇 문헌에선 그의 활동시기가 기원전 150년이었던 것으로 언급되지만, 이런 자료는 그의 저서와 발명품의 시기와 맞지 않는다. 이는 ‘첫 번째 세기’라는 구문을 잘못 해석하여 빚어진 오류로 여겨지고 있다. 그가 살았던 시기는 명확하지 않으나, 62년 3월 13일 있었던 월식을 직접 겪었던 것으로 여겨지며, 이에 따라 1세기에 살았다는 설이 정설로 받아들여지고 있다.

증기의 압력을 이용한 다양한 기계를 고안했으나, 스스로 돌아가며 운동하는 증기기관은 실제로 만들지 못했다. 주요 발명품으로 증기 터빈 등을 이용한 자동으로 열리는 문 등이 있다.

수학에서는 측량법을 개량한 것으로 알려져 있다.

헤론의 가장 중요한 기하학 저서 〈도량 Metrica〉은 1896년에 발견되었다. 1권에는 3각형, 4변형, 3~12변의 정다각형, 원과 호, 타원, 포물선의 부분 면적과 원기둥, 원뿔, 구, 구의 부분 면적을 구하는 방법이 열거되어 있다. 이 책에는 헤론의 공식이 유도되어 있다. 여기서 a, b와 c는 3각형 각 변의 길이이고, s는 3각형 둘레길이의 1/2이다. 또한 어떤 수의 제곱근을 어림잡는 방법도 들어 있다. BC 2000년경 고대 바빌로니아인에게도 알려진 이 방법은 현대의 컴퓨터에서도 자주 사용된다. 2권에는 원뿔, 3각뿔, 원기둥, 평행6면체, 각기둥, 원뿔과 3각뿔의 절단체, 구와 구의 부분, 원환면(圓環面), 정5면체, 몇 개의 의(擬)각기둥들의 부피를 계산하는 방법이 있다. 3권에는 어떤 면적과 부피를 주어진 비율로 나누는 내용이 들어 있다.
그러나 유명한 '헤론의 공식(3각형의 3변의 길이에서 그 넓이를 구하는 방법)'은 헤론 자신의 발견은 아닌 듯하다.

 저서 
현재까지 남아있는 저서는 다음과 같다.
 Pneumatica (그리스어, c. 60)
 Automata (그리스어)
 Mechanics (아랍어)
 Metrics (아랍어)
 Dioptra (아랍어)

광학 분야에서 헤론은 빛이 두 지점 간의 최단거리의 경로를 통과하여 지나간다는 가설을 제안했다. 이 가설은 현재는 최단거리가 아닌 최단시간이 걸리는 경로를 지나간다는 페르마의 원리에 의해 부정되었다. 그러나 헤론은 자신의 가설에 기반하여 빛의 입사각과 반사각이 같다는 반사의 원리를 증명했다.

기하학 분야에서 삼각형의 세변의 길이에서 넓이를 구해내는 공식인 헤론의 공식은 유명하다. 그리고, 어떤 수의 제곱근을 반복해서 계산해 내는 알고리즘을 제시하기도 했는데, 이는 바빌로니아 법과 거의 비슷하다.

물, 불, 증기 등을 동력으로 이용하고, 특히 피드백을 교묘하게 이용하여 제어되는 여러 기계를 발명한 것으로 알려져 있다. 그의 기계들은 특히 스스로 움직이며, 동작을 부분적으로 프로그래밍 할 수 있었다.

 외부 링크 

 

분류:10년 출생
분류:70년 사망
분류:고대 그리스의 과학자
분류:고대 로마의 과학자
분류:고대 이집트의 과학자
분류:고대 그리스의 공학자
분류:고대 로마의 공학자
분류:고대 이집트의 공학자
분류:고대 그리스의 수학자
분류:고대 로마의 수학자
분류:고대 이집트의 수학자
분류:고대 그리스의 작가
분류:고대 로마의 작가
분류:고대 이집트의 작가
분류:그리스의 발명가
분류:이집트의 발명가
분류:기하학자
분류:과학 저술가
분류:그리스계 이집트인
분류:1세기 그리스 사람
분류:1세기 이집트 사람
분류:1세기 작가
POSIX

POSIX(포직스, )는 이식 가능 운영 체제 인터페이스(移植可能運營體制 interface, )의 약자로, 서로 다른 UNIX OS의 공통 API를 정리하여 이식성이 높은 유닉스 응용 프로그램을 개발하기 위한 목적으로 IEEE가 책정한 애플리케이션 인터페이스 규격이다.

POSIX의 마지막 글자 X는 유닉스 호환 운영체제에 보통 X가 붙는 것에서 유래한다.

규격의 내용은 커널로의 C 언어 인터페이스인 시스템 콜 뿐 아니라, 프로세스 환경, 파일과 디렉터리, 시스템 데이터베이스(암호 파일 등), tar 압축 포맷 등 다양한 분야를 아우른다.

유닉스 계열 외에 마이크로소프트 윈도우 NT는 POSIX 1.0에 준하는 POSIX 서브 시스템을 탑재하고 있으며, POSIX 응용 프로그램을 서브 시스템에서 실행할 수 있다. 이는 주로 미국 정부기관의 컴퓨터 시스템 도입조건(FIPS)에서 POSIX 준거할 것을 요구하기 때문이다. 윈도우 2000까지 POSIX 서브시스템을 탑재하고 있었지만 윈도우 XP에서 폐지되었다.
이후 윈도 2003 R2부터 POSIX 2.0에 준하는 Subsystem for UNIX-based Applications(SUA)를 통해 POSIX를 지원하고 있다.

 버전 
 1997년 이전 
 POSIX.1
 POSIX.1b
 POSIX.1c
 POSIX.2
 1997년 이후 
 POSIX.1-2001
 POSIX.1-2004 (2개의 TC 포함)
 POSIX.1-2008 (1개의 TC 포함)

 같이 보기 
 POSIX 신호
 POSIX 스레드
 C POSIX 라이브러리
 실시간 운영 체제

 각주 

 외부 링크 

 IEEE POSIX® Certification Authority 

 
분류:ISO 표준
분류:IEC 표준
분류:IEEE 표준
분류:API
분류:오픈 그룹 표준
수 (수학)

섬네일
수(數)는 양을 기술하기 위해 사용해 온 추상적인 개념이다. 컴퓨터 등의 특정 분야에서는 수치(數値)라고도 한다.

수와 숫자는 자주 혼동되며, 경우에 따라서는 혼동해도 문제가 없는 경우가 많으나, 본질적으로는 다르다. 수가 물체의 수량 등을 나타내는 것에 대해, 숫자는 수를 표시하기 위한 기호(문자)이다. 예를 들어 사과가 한 개 있는 것과 자동차가 한 대 있는 것, 사람이 한 명 있는 것은 전혀 다른 사실들이나, 이 사실들이 공통하는 개념을 뽑아, 이를 1이라는 수로 부르는 것이다. 그러나 '1'이라는 숫자가 사과나 자동차, 사람은 아니며, 또한 위에서 아래로 그어진 선분 자체를 가리키는 것도 아닌 것이다.

 수의 개념 
 수의 체계 
수는 인류의 역사와 더불어 많아진다. 자연수는 물건의 개수를 세기 위해 먼 옛날 처음으로 발명한 수다.
여기서 음수를 포함하여 정수의 개념이, 정수의 나눗셈에서 유리수의 개념이 생겨났으며, 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 체계가 생겨났다. 나눗셈 같은 계산을 할 때, 표현할 수 없는 무리수로 인해 실수라는 개념을 만들었다. 무리수는 자유롭게 계산할 수 있는 수가 아니다. 그리고 무리수는 일반적인 사칙연산에서는 생겨나지 않는다. 대수 방정식의 해법을 찾는 과정에서 허수를 포함하여 복소수가 등장하게 되었다. 이로써 수는 양만을 기술하기 위한 개념이 아니게 되었다.

 자연수 → 정수 → 유리수 → 실수 → 복소수
 복소수 - 실수, 허수
 복소수 - 대수적 수, 초월수
 실수 - 유리수(분수), 무리수
 유리수
 정수 - 양의 정수, 0, 음의 정수
 자연수 = 양의 정수

 수의 확장 
일반적으로 수는 실수(또는 복소수) 전체의 집합의 원소를 가리키는 것으로 여겨진다. 한편, 이와는 다른 체계가 있어, 그 일부 또한 '수'로 불린다. 물건의 개수 개념인 자연수를 확장하여 기수, 물건의 순서를 의미하는 자연수를 확장해서 순서수가 정의된다. 또한, 유리수에서 실수로 확장되는 것과 병행하여 소수 p에 대하여 p진수가 존재하며, 복소수를 넘어서서 추가로 허수의 단위가 추가되면서 사원수, 팔원수, 16원수, 이원수, 분할복소수 등이 있다. 또한 실수에 더하여 무한소 또는 무한대를 포함한 초실수 체계도 있다.

 수의 연산 
수에 관한 중요한 점으로, 더하거나 빼거나, 곱하거나 나누는 등의 여러 가지 연산을 수행할 수 있다는 점을 들 수 있다. (사칙연산 참조) 이런 연산에 대해서는 수학의 한 분야인 추상대수학에서 군, 환, 체 등의 형태로 일반화되어 논의되고 있다.

 기수법 
같은 수라 하더라도 다른 숫자로나 다른 방법으로 표시할 수 있다. 그 뿐만 아니라, 어떤 종류의 기수법(n진법)은 그 방법에 따라서는 표시하는 방법이 한 가지 이상 존재하는 경우가 있다. 예를 들어 10진수의 소수 표기에서는 1 = +1 = 1.0 = = = = 0.99999... (소수점 아래 모든 자릿수가 9임) 등과 같이 여러 가지 방법의 표기가 있다.
 분수 표기
 소수점 표기
 지수표기
 n진법

 컴퓨터에서 사용하는 기수법 
 부동소수점
 고정소수점

 같이 보기 
 상수
 정수
 문법에서의 수사
 수 목록

 외부 링크 

 Database of Number Correlations 
 Wiktionary article on number
 What's special about this number?
 What's a Number?

*
분류:군론
분류:수론
분 (각도)

분은 각도를 재는 단위이다. 1분은 1도를 60등분한 각도()로 약 이다. 1도는 한 바퀴(회전)의 이기 때문에 1분은 한 바퀴 원둘레의 에 해당한다. 각도 1분은 라디안이다. 기호는 프라임 부호(′. HTML로는 ′)을 쓴다. 간단히 홑따옴표(')로 쓰기도 한다. 

1분을 다시 60등분한 것을 1초로 정의하며, 이것을 초각이라고도 부른다.

분류:평면각의 단위
분류:SI와 함께 사용되는 비SI 단위
만요가나

섬네일
만요가나()는 가나의 일종으로, 주로 고대 일본어를 표기하기 위해서 한자의 음을 빌려 쓴 문자이다. 「만엽집」()의 표기에 만요가나가 사용된 연유로 이러한 이름이 되었다. 마가나(), 가리지()라고도 한다. 가차 문자(假借文字)의 일종이다.

 개요 
해서를 쓰지 않고 행서로 표현한 한자의 한 글자 한 글자를 그 뜻에 관계 없이 한 음절의 표기를 위해 이용하는 것이 만요가나의 가장 큰 특징이다. 만엽집을 일종의 정점으로 하기 때문에 이렇게 불린다. 『고지키』나 『니혼쇼키』의 가요나 주석 등의 표기도 만엽집과 같다. 『고지키』에는 오음이, 『니혼쇼키』 α군에는 한음이 반영되어 있다.

에도 시대의 학자 슌토 쇼닌()은 『만요요지카쿠』(, 1818년) 안에서, 만요가나를 오십음도 순으로 정리하여 '정음'(), 약음(), 정훈(), 의훈(), 약훈(), 약훈(), 차훈(), 희서() 등으로 분류했다. 만요가나의 자체를 그 글자의 구성에 의해 분류하면, 『고지키』와 『니혼쇼키』, 『만요』를 통해 그 수는 973가지에 달한다.

 종류 
만요슈는 전체 문장이 한자로 쓰여 있고, 한문어순으로 구성되어 있다. 그러나 노래는 일본어 어순으로 구성되어 있다. 노래는, 표의적으로 한자로 표현한 것이나, 표음적으로 한자를 표현한 것이나, 표의나 표음 두가지를 나타낸 것이나 문자를 사용하지 않는 경우 등 사용 방법이 다양하다.

만요슈가 편찬될 무렵에는 아직 가나는 만들어지지 않았기 때문에 신라의 향찰이나 이두와 사실상 마찬가지로, 만요슈에서는 만요가나라고 불리는 독특한 표기법을 사용했다.

만요슈는 삼국 시대에서 사용했던 한자의 음훈의 사용과 사실상 마찬가지로, 한자의 의미와는 관계없이 한자의 음훈 만을 차용해서 일본어로 표기하려고 했던 것이다. 이러한 의미에서 만요 가나는 한자를 이용하면서도, 최초로 일본에서 최초로 문자로 쓰여진 글이자, 일본인을 위해서 문자로 정착된 첫 번째 책이다.

만요가나는, 나라 시대 말에 문자의 모양이 조금씩 바뀌었고 획이 적은 문자를 많이 사용하게 되었다. 헤이안 시대로 오면 그 경향이 계속 나타나면서, 경제적으로는 효율성있고 간략한 문자가 계속 쓰이게 되고, 문자 형태를 계속 간략화(草略)하거나 일부 문자를 생략(省画)해서 만들어졌다. 그렇게 해서 "히라가나"와 "가타카나"가 창조되었다.

현재에도 일본에서 만요가나는 각 지역에서 사용되고, 지명에서는 거의 대부분 만요 지명에서 유래된 것이 많이 있다.

 만요가나의 역사 
만요슈나 니혼쇼키에 등장하는 표기의 원래 모습은 갖추어져 있어서 만요가나가 언제 만들어졌는지는 밝혀내지 못했었다. 쇼소인에 남겨진 문서나 목간 자료의 발굴 등에 의해 만요가나는 7세기 경에는 만들어졌다고 볼 수 있다. 실제로 사용이 확인된 자료 중 가장 오래된 것은, 오사카시 주오구의 나니와궁(難波宮) 터에서 발굴된 652년 이전의 목간이다.

와카의 첫머리라고 볼 수 있는 11글자가 기록되어 있다.

헤이안 시대에는 만요가나를 기반으로 하여 히라가나와 가타카나가 만들어졌다. 히라가나(여자)가 등장하자, 그에 대한 구 만요가나는 남자로 불렸다.

 종류 
 자음을 빌린 것: 샤쿠온가나(借音仮名)
 한 자가 한 음절을 나타내는 것
 全用　以（い）、呂（ろ）、波（は）、…
 略用　安（あ）、楽（ら）、天（て）、…
 한 자가 두 음절을 나타내는 것
 信（しな）、覧（らむ）、相（さが）、…
 자훈을 빌린 것: 샤쿤가나(借訓仮名)
 한 자가 한 음절을 나타내는 것
 全用　女（め）、毛（け）、蚊（か）、…
 略用　石（し）、跡（と）、市（ち）、…
 한 자가 두 음절을 나타내는 것
 蟻（あり）、巻（まく）、鴨（かも）、…
 두 자가 한 음절을 나타내는 것
 嗚呼（あ）、五十（い）、可愛（え）、…

 만요가나 음표 

 같이 보기 
 이두

분류:가나 (문자)
분류:일본어의 한자
분류:나라 시대
분류:아스카 시대
분류:일본어의 역사
정간보

섬네일|정간보
정간보(井間譜)는 한국에서 전통적으로 사용된 기보법의 하나이다. 조선 세종 때 만들어 쓰던 기보법으로 《세종실록(世宗實錄)》에 실린 것이 가장 오래된 것으로 이것은 동양 최고(最古)의 유량악보이다.

정간보법은 시가(時價)만을 나타내는 것이므로 음의 높이를 나타내기 위하여 율자보 혹은 오음약보·육보 등을 섞어 쓴다. 정간(井間)이라고 부르는 네모진 칸의 수효 및 차지하는 공간의 넓이로 음의 길이(時價)를 나타낸다. 1박인 음은 1정간으로, 2박인 음은 2정간으로 나타내되 차지하는 정간들의 첫 정간에만 음표를 한다. 쉼표는 세모꼴(三角形)로 나타내고 쉼표의 길이만큼 정간을 차지한다. 한 박보다 짧은 길이를 갖는 음은 전간을 나누어 음표를 한다. 한국음악에는 3분박자가 많으므로 정간은 3등분 혹은 6등분으로 나누어 음표를 하는 경우가 많다. 박은 3등분, 박은 6등분하여 음표를 한다.

음에 꾸밈음(裝飾音)이 붙을 때는 그 종류에 따라 음표에 여러 가지 기호(記號)를 덧붙인다. 한 장단은 한 행으로 나타내는데 16박이 한 장단인 음악은 16정간이 한 행이 되고, 6박이 한 정간인 음악은 6정간이 한 행이 된다. 고악보를 보면 세종실록 악보엔 32정간 한 행으로 되었고 그후 세조실록 이후의 많은 악보엔 16정간 한 행이 일반적인 예이다. 행은 몇 개로 구분을 하여 강(綱)이 되는데 고악보의 16정간은 3·2·3·3·2·3정간으로 구분하여 제1강부터 제6강까지 6개의 강으로 나뉘어 있다.

정간보에는 여러 악상부호와, 부호(음표 대용), 그리고 꾸밈음이 있는데, 이는 후에 만들어진 것으로, 대마루 김기수 선생이 만들었다.

 참고 문헌 
 

분류:기보법
분류:한국의 음악
분류:한국의 음악사
십이율

섬네일
십이율(十二律)은 중국·한국·일본음악에서 쓰인 음계이다.

 율명 

 조율법이 서로 다르기 때문에 서양 음악의 음높이과 정확히 대응되지는 않지만 이는 서양 음악 안에서의 조율법의 차이에서 오는 오차 범위 안에서 허용되는 정도의 차이이다. #조율 참조

율명 앞에 ‘청(淸)’ · ‘중청(重淸)’을 붙여 옥타브가 높은 소리를, ‘탁(濯)’ · ‘배탁(倍濯)’을 붙여 옥타브가 낮은 소리를 나타낸다. 정간보에 쓸 때에는 ‘황(黃)’, ‘대(大)’처럼 첫글자만 기록하며, 청성·탁성에는 각각 글자 앞에 청(淸)의 삼수변과 배(倍)의 사람인변을 옥타브 수만큼 붙인다.

 조율 

삼분손익법(三分損益法)은 황종에 해당하는 관의 길이를 정하고 이 길이의 1/3을 잘라낸 것에 해당하는 길이(삼분손일)의 관에서 나는 소리를 임종, 임종에 해당하는 관의 길이에 그 자신의 1/3을 덧붙인 것에 해당하는 길이(삼분익일)의 관에서 나는 소리를 태주, 이렇게 삼분손일과 삼분익일을 반복하여 열두 음을 조율한다. 이는 남려에 해당하는 음을 으뜸음으로 한 피타고라스 음률과 동일하다.

 청중배성 
가운데 음넓이는 '중성(中聲)'이라 하여 12율명의 첫자를 그대로 쓰고, 1옥타브 위는 '청성(淸聲)'이라 하여 율명에 삼수변을 붙이고, 2옥타브 위는 '중청성(重淸聲)'이라 하여 율명에 삼수변 둘을 붙인다. 1옥타브 아래는 '배성(倍聲)'이라 하여 율명에 인변을 붙이고, 2옥타브 아래는 '중배성(中倍聲)'이라 하여 인변을 둘 겹친 것을 붙인다. 12율로 음높이를 나타낸 악보를 율자보(律字譜)라 한다.

 참고 자료 

분류:음계
분류:한국의 음악
분류:중국의 음악
분류:일본의 음악
분류:명수 12
분류:반음계주의