shopkeeper/kowiki-cleaned-020126 huggingface dataset:
리만 제타 함수

섬네일|오른쪽|복소평면에서의 리만 제타 함수. 색이 짙을수록 절댓값이 작으며, 옅을수록 절댓값이 크다. 색상은 편각을 나타내며, 적색은 양의 실수, 연두색은 양의 허수, 옥색은 음의 실수, 남색은 음의 허수를 나타낸다.

정수론에서 리만 제타 함수() 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.

 정의 
섬네일|400px|실수 s>1에 대한 리만 제타 함수의 그래프
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.

이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.

 성질 
 해석적 연속과 함수 방정식 
야코비 세타 함수

를 쓰자.

이므로,

자이 함수( function)를 얻을 수 있다.
오른쪽의 적분은 모든 복소수 에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 에 대하여 수렴한다.

한편 여기서 세타 함수의 성질

를 사용하면,

를 보일 수 있다.
이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식

를 얻는다.

 특수한 값들 
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.

 ; ()
 ; 이것은 조화급수이다.
 ; () 보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.
 ; () 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.
 ; () 이것은 아페리 상수이다.
 () 이것은 플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.

현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수()인 실수에서는 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.

 오일러 곱셈과 디리클레 덧셈 

레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.

위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉

위에서 제시되는,
 는,
이다.
이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다.

따라서,

리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.

즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.

 
 이고, 양변에 를 곱하고나서
 
 를 곱하기 전의 식과 곱하고 나서의 식을 서로  빼주면,
 
 과 같이

우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,

 위와

동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.

 영점 

함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점()이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 임계 구역()에 존재한다.

임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 임계 직선()이라고 한다.

임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.

리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.

 일반화 
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다.

 참고 문헌 

 
 
 
 
 
 
 

 같이 보기 
 리만 가설
 소수 정리
 베른하르트 리만
 레온하르트 오일러
 소수와 오일러의 곱셈공식
 바젤 문제
 니븐 상수
 제타 함수
 L-함수
 비자명한 영점

 각주 

 외부 링크 
 
 

분류:해석적 수론
분류:유리형 함수
분류:베른하르트 리만
분류:제타 함수와 L-함수
좌표계

섬네일|300px|right|구면좌표계는 물리학에서 흔히 사용된다.
좌표계(座標系, coordinate system) 혹은 자리표계는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 좌표를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 스칼라는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 데카르트 좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.

 대표적인 좌표계 
 수직선
 데카르트 좌표계
 복소평면
 극좌표
 원통 좌표계
 구면 좌표계
 지리 좌표계
 천구 좌표계
 지평 좌표계
 은하 좌표계
 적도 좌표계
 황도 좌표계
 관성 좌표계

기하학적 객체의 좌표
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 쌍대성의 원리로 알려져 있다.

 같이 보기 
 갈릴레이 변환
 기준틀
 갈릴레이 군

 참고 문헌 
 

 각주 

 외부 링크 
 
 Hexagonal Coordinate Systems

 
분류:해석기하학
힐베르트 공간

함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, )은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

 정의 
가 또는 라고 하자. -힐베르트 공간 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, -힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, )을 만족시키는 -바나흐 공간 으로 정의할 수 있다.

이 경우, 내적 구조는

가 된다.

 분류 
힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
 모든 에 대하여,
 다음 집합은 속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 -힐베르트 공간 , 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 와 사이에 유니터리 변환 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 분해 가능 공간이다.
 이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.

 성질 
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 는 스스로의 연속 쌍대 공간 와 동형이며, 만약 일 경우 이는 표준적() 동형이다.

 예 
가 또는 라고 하고, 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 는 -힐베르트 공간을 이룬다.

만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면

이며, 함수

는 의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 가 분해가능 시그마 대수(로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.

 응용 
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

 역사 
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

 각주 

 참고 문헌 
 
 
 
 

 외부 링크 
 
 
 
 

 
분류:선형대수학
분류:함수해석학
분류:양자역학
분류:연산자 이론
분류:다비트 힐베르트
양자역학의 수학 공식화

양자역학의 수학적 공식화()는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다.

여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간(phase space)상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.

 전개 
편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.

 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 의 1차원 부분공간 으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 상태 벡터()라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반() 선형 연산자 로 나타낸다. 여기서 (의 정의역)는 힐베르트 공간 의 조밀 선형 부분공간이다.
 계 와 관측가능량 가 주어지면, 그 기댓값은 이다. 대신 밀도 연산자 로는 이다.
 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.

여기서 는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.

이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

 각주 

 참고 문헌 
 

분류:양자역학
분류:수리물리학
분류:물리학사
가속도

가속도(加速度, )는 시간의 경과에 따른 '속도의 변화율'을 나타내는 물리량이다. 일반적으로 물체는 속력이나 운동방향이 바뀌면서 속도가 변하는데, 이와 같이 속도가 시간에 따라 변할 때는 가속도가 있다고 한다. 속도와 마찬가지로, 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량으로 나타낸다. SI 단위로는 m/s2를 사용하며, 주로 a라는 문자를 사용하여 가속도를 표기한다

고전 물리학에서, 일정한 질량을 가지고 있는 물체는 뉴턴의 운동법칙에 의해 다음 식을 만족하게 된다.

여기서 F는 물체에 주어지는 힘을, m은 물체의 질량을, a는 물체의 가속도를 나타낸다.

 정의 
속도와 마찬가지로 가속도는 시간간격 동안 속도가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 가속도를 평균가속도 라 한다.

어떠한 순간의 가속도는 이 시간간격을 0으로 보내는 극한으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의하는 가속도를 순간가속도 라 한다. 이렇게 정의한 가속도는 어느 순간의 속도를 시간으로 미분한 것으로도 정의된다.

 가속운동 
 등속운동 
등속운동은 속도 혹은 속력이 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다. 이에 반하여 속도 혹은 속력이 시간에 따라 일정하게 증가하는 등가속운동에서는 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

 가속운동 
가속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.

 등가속운동 
등가속운동 또는 등가속도운동은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 가속도가 일정한 등가속운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 가속도로 운동하며 이를 지구의 중력가속도라고 한다.

 감속 운동 
감속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 혹은 등가속운동이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 등감속운동의 용어는 사용하지는 않고 음(−)의 등가속운동으로 취급하는 것이 일반적이다.

 같이 보기 

 변위
 미분
 가가속도
 가가가속도
 각가속도
 중력 가속도
속도

속도(速度, )는 어떠한 물체의 위치 변화를 뜻하는 변위를 변화가 일어난 시간 간격을 나눈 값이다. 변위는 방향과 크기를 갖는 벡터이기 때문에 속도 역시 벡터이다. 단위 시간당 변위의 비로 나타낼 수 있다. 국제단위계에서는 미터 매 초(m/s, 초속 미터)를 사용하며, 일상에서는 킬로미터 매 시간(km/h, 시속 킬로미터)도 자주 쓰인다. 기호로는 주로 v를 사용한다.

 정의 
속도란 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량이므로, 시간간격 동안 위치가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 속도를 평균속도라고 한다. 평균속도 는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다.

물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 순간속도이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다. 순간속도를 라고 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다.

위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것으로 이해할 수 있다. 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.

 속도와 속력 

속도가 방향과 크기를 갖는 벡터량인 반면, 속력은 크기만을 갖는 스칼라량이다. 속력은 물체가 움직인 경로의 전체 거리에 대하여 변화가 일어난 시간 간격으로 나눈 값이다. 예를 들어 자동차가 50초 동안 앞으로 30m 전진한 다음 80m를 후진하였다고 하자. 전진할 때의 위치 변화를 양으로 후진할 때의 위치 변화를 음으로 나타내면 변위는 가 되지만, 움직인 경로의 전체 거리는 가 된다. 따라서 이 자동차의 평균속도와 평균 속력은 다음과 같이 계산 할 수 있다.
평균 속도 
평균 속력 

순간속도는 변화가 일어나는 시간 변화가 0에 접근하기 때문에 변위와 전체 경로의 차이가 없다. 따라서 순간속도를 나타내는 벡터의 크기는 순간속력과 같다. 그러나 보다 큰 시간 간격을 고려하는 평균속도의 크기는 일반적으로 평균속력과 다르다.

 상대속도 

상대속도는 한 좌표계 안의 두 물체의 속도를 비교한 것이다. 두 물체 A, B의 속도를 각각 , 라고 하면, 고전물리학에서는 A에 대한 B의 상대 속도를 다음과 같이 계산 한다.
A에 대한 B의 상대속도 

예를 들어 두 자동차 A, B가 직선 상에서 마주 보며 달리고 있을 때 A의 속도가 3m/s 이고 B의 속도가 -5m/s 라면 A에 대한 B의 상대속도는 -8m/s 이고 B에 대한 A의 상대속도는 8m/s 가 된다. 일차원 운동만을 고려한다면 상대속도는 스칼라값을 갖는다고 생각할 수 있다.

한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.
A에 대한 B의 상대속도 

위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.

 같이 보기 
 미터 매 초
 킬로미터 매 시간
 변위
 가속도
 가가속도
 가가가속도

 각주 
 내용주

 참조주

 외부 링크 
 

 
분류:운동 (물리학)
분류:운동학
운동량

섬네일
운동량 (運動量, )은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 p이다. 선형 운동량() 혹은 병진 운동량()이라고도 부른다.

예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다.

선형 운동량은 보존되는 양으로, 외부에서 가해지는 힘에 의한 영향이 없는 닫힌계의 선형 운동량의 총합은 바뀌지 않는다. 고전역학에서는 선형 운동량 보존법칙이 뉴턴의 운동 법칙에 포함되어 있다. 하지만 특수 상대성 이론에서도 공식을 약간 수정한 형태로 선형 운동량 보존 법칙을 충족시킬 수 있으며, (일반화된) 선형 운동량 보존 법칙은 적절한 정의를 이용하면 전자기학, 양자역학, 양자장론, 일반 상대성 이론에도 적용할 수 있는 보존 법칙이다.

 고전역학에서의 운동량 
고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱으로, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터다. 즉, 운동량을 p, 질량을 m, 속도를 v라고 하면, 운동량은 다음과 같다.

 운동량 보존 법칙 
만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 , , 충돌 전의 속도를 , , 충돌 후의 속도를 , 라고 하면 다음의 식이 성립한다.

이 때 를 반발 계수라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉

이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.

반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌()이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 완전 비탄성 충돌이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.

 충격량 

충격량(impulse)은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 힘은 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 t에 대한 힘 F에 대한 충격량 I는

이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

 상대론적 운동량 

특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.
.
여기서 E는 계의 총 에너지이며, p는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.
E = γmc2.
상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 과 로런츠 인자 , 속도 의 곱이다. 즉,
p = γm0v = m0u .
여기서 는 신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 와 운동량 는 서로 비례한다. 즉
.

일반화
라그랑주 역학

해밀턴 역학

대칭과 보존

전자기
필드의 입자

보존
진공

매질

 양자역학의 운동량 
양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.

전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.
.
여기서,
 는 기울기 연산자이다.
 는 디랙 상수이다.
 은 허수 단위이다

변형 가능한 몸체와 유체에서

개념의 역사

 같이 보기 
 각운동량

 외부 링크 

 Conservation of momentum – A chapter from an online textbook

 
분류:물리량
분류:물리학 개념
분류:역학
분류:운동 (물리학)
분류:보존 법칙
분류:모멘트 (물리학)
도모나가 신이치로

도모나가 신이치로(, 1906년 3월 31일 ~ 1979년 7월 8일)는 일본의 물리학자이다. 양자전기역학의 발전에 큰 영향을 끼쳤으며 그 공로로 1965년 리처드 파인먼과 줄리언 슈윙거와 노벨 물리학상을 수상했다.

 생애 
1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다.

유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창 시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨 물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.

 저서 
 
 
 
 
 한국어판: 

 참조 

 외부 링크 

 노벨상 전기
 양자역학적 세계상
 

분류:1906년 출생
분류:1979년 사망
분류:일본의 물리학자
분류:이론물리학자
분류:노벨 물리학상 수상자
분류:일본의 노벨상 수상자
분류:교토 대학 동문
분류:도쿄도 출신
분류:교토부 출신
분류:이화학연구소 사람
분류:훈1등 욱일대수장 수훈자
분류:도쿄 교육대학 교수
분류:교토시 출신
분류:도쿄도 구부 출신
분류:일본 학사원상 수상자
미분방정식

섬네일|right|200px
미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 함수 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다.

응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다. 이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다.

미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다. 물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다.

미분 방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다. 땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다. 중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자. 이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분 방정식을 풀 수 있다.

수학에서 미분 방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다. 명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분 방정식들 뿐으로, 어떤 미분 방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다. 만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다. 동역학계 이론에서는 미분 방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지이다.
 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것.
 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것.
 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것.

미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 전기회로, 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

 미분 방정식의 종류 
미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.
 상미분 방정식과 편미분 방정식 
 상미분방정식
상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.

 편미분 방정식
미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.

 선형과 비선형 
 선형 미분 방정식
선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다.
 비선형 미분 방정식
비선형 미분 방정식은 선형 미분 방정식과 다르게 y도함수 앞의 계수가 변수이며, 대표적 예시인 나비에-스톡스 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 매개변수의 테일러 급수로 근사해를 구하는 방식이 있다.

, 등 y 앞에 무언가 있을 때 비선형 이라 하며 상수나 는 가능하다.

 미분 방정식의 예 
 제1차 상미분 방정식 

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

 

여기서 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

 

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다.

여기서

, 

는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다. 

 1차 비제차 상미분 방정식 

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자", 에 달려있다.

위의 1차 상미분 방정식의 양변에 를 곱하자.

우리가 선택한 특별한 의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.

미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.

양변을 적분하면,

를 얻고, 마지막으로 에 대해 풀고, 로 양변을 나누면,

를 얻는다. 는 의 함수이므로 더 이상 간단히 할 수 없다.

 같이 보기 
 상미분 방정식
 편미분 방정식
 그린 함수
 차분 방정식

 각주 

 외부 링크 
 

 
분류:미적분학
각운동량

섬네일|오른쪽|200px|자이로스코프는 각운동량 때문에 회전하는 동안에 계속 위를 바라보게 된다.

각운동량(角運動量, angular momentum)은 물리학에서 어떤 원점에 대해 '회전하는 물체가 갖는 운동량'의 정도를 나타내는 벡터 물리량이다. 각운동량은 좌표의 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라지기 때문에, 여러 각운동량을 다룰 때에는 둘을 합하거나 그에 관련한 연산을 하는 것이 물리학적으로 올바른 것인지 신중히 고려하며 사용해야 한다.

각운동량은 물리학뿐만 아니라 여러 공학 분야에서도 매우 중요한 개념이고, 응용분야 또한 매우 다양하다. 이렇게 각운동량이 중요하게 다루어지는 이유는 돌림힘이 작용하지 않으면 각운동량은 보존되는 양이 되기 때문이다. 뇌터의 정리에 의하면 각운동량의 보존은 공간의 회전대칭성 때문이다. 이러한 각운동량의 보존은 공학뿐만 아니라 여러 자연현상을 기술하는 데에도 유용하게 사용된다.

 수학적 정의 
프레임|오른쪽|회전계에서 힘 (F)과 돌림힘 (τ), 그리고 운동량 벡터들 (p 와 L)의 관계
어떤 원점에 대한 입자의 각운동량을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.:

여기서
 : 입자의 질량
 : 입자의 각운동량
 : 입자의 선운동량
 : 원점에서부터 입자까지의 위치벡터
 : 입자의 속도
이다. 물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,

좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.

많은 경우, 고정된 특정한 한 축에 대한 각운동량만을 고려하기 때문에 각운동량을 3차원 벡터로 취급하지 않고 단순히 반시계방향의 회전은 양으로, 시계방향의 회전은 음으로 취급하여 스칼라로 놓기도 한다. 이렇게 할 때에는 벡터곱의 크기로 각운동량을 표기하게 된다.

여기서 는 로부터 까지 재는 각도이다.

 각운동량의 보존 
각운동량을 시간에 대해 미분하면 돌림힘 

가 된다. 만약 어떤 원점을 기준으로 계에 돌림힘이 작용하지 않으면

(상수벡터)
이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 각운동량 보존 법칙 또는 간단히 각운동량 보존()이라고 부른다.

각운동량 보존 법칙은 특히 중심력이 작용하는 운동을 분석하는 데 유용하게 쓰일 수 있다. 중심력이 작용하는 입자들의 운동에서 두 입자는 외부로부터의 영향에서 고립된 계를 이루고, 원점은 두 입자를 잇는 선 위의 한 점으로 잡는다. 서로 작용하는 힘의 방향이 언제나 원점에서 입자들까지의 위치벡터와 같은 방향이 되므로, 앞에서 잡은 원점을 기준으로 한 알짜 토크는 언제나 0이 된다. 따라서, 각운동량은 보존된다. 일정한 각운동량을 갖는 이와 같은 경우는 행성, 위성, 보어의 원자모형등의 분석에 유용하게 사용된다.

 관성 모멘트와 각운동량 
관성 모멘트와 각운동량 사이에는 질량과 운동량사이의 관계

와 유사하게

꼴의 식이 있다. 경우에 따라 스칼라 관성모멘트 나 관성텐서 중 하나를 사용한다.
 회전축이 변하지 않는 경우 
회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트 와 각속도 의 곱으로 쓰일 수 있다.

위 식은 스칼라 관성 모멘트의 정의

와 각속도의 공식 (와 이 수직일 때만 성립.)

을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.

여기서는 입자 하나에 대해서만 유도를 하였지만, 일반적인 경우에도 관성모멘트와 각운동량 사이에는 이와 같은 관계가 성립한다.

 일반적인 경우 
회전축도 변하는 일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도벡터는 평행하지 않다. 때문에 스칼라 관성모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성텐서 를 사용한 아래의 식을 사용한다.

관성텐서의 각 성분 은 다음과 같이 정의된다.

이와 속도와 각속도의 일반적 관계

를 사용하면 각운동량과 관성텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다. 각운동량의 정의에 이를 대입하면,

를 얻고, 여기서 삼중곱을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.

이제, 을 성분 로 표현해 를 분리한다.

관성텐서의 정의를 대입하면,

가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.

 양자역학에서의 각운동량 

고전적인 각운동량에 대응하는 양자역학적 관측 가능량은 궤도 각운동량 이다. 다른 양자역학적 관측 가능량과 마찬가지로, 궤도 각운동량의 값은 디랙 상수 의 정수 또는 반정수()배로 양자화된다. 뿐만 아니라, 양자역학에는 고전적으로 존재할 수 없는 각운동량 항이 존재하는데, 이를 스핀 라고 한다.

 같이 보기 
 관성 모멘트
 운동량
 일반화 운동량
 스핀
 각운동량 결합

 외부 링크 
 

 
분류:물리량
분류:양자역학
분류:고전역학
분류:물리학 개념
분류:보존 법칙
분류:모멘트 (물리학)
일리야 프리고진

일리야 로마노비치 프리고진(, , 1917년 1월 25일~2003년 5월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.

벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.

 저서 
 《확실성의 종말》(The End of Certainty) 

 같이 보기 
 체계 이론
 과정철학

 외부 링크 
 
 including the Nobel Lecture, 8 December 1977 Time, Structure and Fluctuations
 

분류:1917년 출생
분류:2003년 사망
분류:러시아의 화학자
분류:벨기에의 화학자
분류:노벨 화학상 수상자
분류:벨기에의 노벨상 수상자
분류:유대인 노벨상 수상자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 동문
분류:텍사스 대학교
분류:이론화학자
분류:모스크바 출신
분류:열역학자
분류:소련의 노벨상 수상자
분류:텍사스 대학교 오스틴 교수
분류:러시아의 망명자
분류:유대계 러시아인
분류:벨기에 유대인
분류:계산화학자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 교수
분류:소련에서 독일로 이민간 사람
분류:독일에서 벨기에로 이민간 사람
다양체

섬네일|원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 1차원 다양체이다.

위상수학과 기하학에서 다양체(多樣體, )는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.

 정의 
음이 아닌 정수 에 대하여, 차원 국소 유클리드 공간(局所Euclid空間, ) 는 다음 성질을 만족시키는 위상 공간이다.
 임의의 점 에 대하여, 과 위상동형인 근방 이 존재한다.

하우스도르프 국소 유클리드 공간 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 하우스도르프 국소 유클리드 공간을 다양체라고 한다.
 는 파라콤팩트 공간이다.
 는 거리화 가능 공간이다.
 의 각 연결 성분은 제2 가산 공간이다.
 의 각 연결 성분은 시그마 콤팩트 공간이다.

 성질 
만약 어떤 위상 공간 가 차원 다양체이자 차원 다양체이며, 이라면 는 공집합이다.

모든 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
 국소 콤팩트 공간이다.
 제1 가산 공간이다.
 국소 연결 공간이다.

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
 티호노프 공간이다.

모든 콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다양체이다.

국소 유클리드 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 은 시그마 콤팩트 공간이다.
 은 제2 가산 공간이다.
 은 린델뢰프 공간이다.

모든 제2 가산 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
 분해 가능 공간이다.

모든 파라콤팩트 분해 가능 국소 유클리드 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
 시그마 콤팩트 공간이다.
 린델뢰프 공간이다.
 제2 가산 공간이다.

 낮은 차원의 다양체의 분류 
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 이산 공간이다.
 는 0차원 다양체이다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 모든 연결 성분은 원 또는 실수선 와 위상동형이다.
 는 1차원 다양체이다.

 예 
다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.
 유클리드 공간 
 초구 
 열린 공 
 실수 사영 공간 
 이산 공간
 공집합

다양체가 아닌 국소 유클리드 공간으로는 다음을 들 수 있다.
 긴 직선()은 연결 하우스도르프 국소 유클리드 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.
 두 개의 원점을 갖는 직선(): 에, 다음과 같은 동치 관계를 주자.이에 대한 몫공간은 연결 제2 가산 국소 유클리드 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니다.

비가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체는 (정의에 따라 파라콤팩트 공간이지만) 제2 가산 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 다양체에 대하여 제2 가산 공간인 것은 가산 개의 연결 성분을 갖는 것과 동치이다.

 참고 문헌 

 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 같이 보기 
 매끄러운 다양체
 조각적 선형 다양체
 리만 다양체

 
분류:미분위상수학
분류:기하학적 위상수학
분류:미분기하학
마틴 가드너

마틴 가드너(, 1914년 10월 21일 ~ 2010년 5월 22일)는 미국의 과학 저술가이다. 특히 유희수학(recreational mathematics) 분야의 저술로 이름이 높다.

 생애 
오클라호마주 털사 태생으로 시카고 대학에서 철학을 전공하였다. 그는 유희수학(recreational mathematics) 분야를 집대성하고 대중에게 널리 알려 수많은 과학자들에게 큰 영향을 끼쳤다. 수학을 비롯한 과학뿐 아니라 마술, 문학(그는 루이스 캐럴의 전문가이다), 유사과학, 종교 등 다방면에 걸쳐 관심을 가져 60권이 넘는 책을 저술하였으며, 제임스 랜디와 함께 회의주의 운동을 주창하기도 하였다. 미국 노스캐럴라이나 주의 헨더슨빌(Hendersonville)에 만년을 보내다가 2010년 5월 22일 미국 오클라호마주의 노먼(Norman)에서 95세를 일기로 사망하였다.

 《사이언티픽 아메리칸》 
그는 미국의 대중 과학 잡지 사이언티픽 아메리칸지에 1956년부터 1981년까지 수학 게임(Mathematical Games) 컬럼을 연재하였다. 그가 연재를 그만둔 후 더글러스 호프스태터가 컬럼을 물려받았는데, 마틴 가드너에 대한 존경의 뜻에서 '수학 게임'의 애너그램인 Metamagical Themas를 자신의 컬럼 제목으로 정하였다. 1993년이래 그의 유희수학에 대해 관심을 같이하는 사람들이 부정기적으로 모여 Gathering for Gardner(G4G)란 콘퍼런스를 열기도 한다.

 저술 
그는 자신의 컬럼을 통하여 다음과 같은 흥미있는 주제들을 대중에 소개하였다.
 플렉사곤(Flexagon): 마틴 가드너가 사이언티픽 어메리칸에 처음 쓴 글이다. (1956년 12월호)
 존 호턴 콘웨이의 라이프 게임
 폴리오미노
 소마 큐브
 에셔의 작품
 프랙털

65권의 책을 썼으며, 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)의 일원으로 활동하며 사이비과학을 반박하는 책과 글을 다수 발표했다.

 책 
 Mathematical Games
 The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems (2001; W.W. Norton & Company; )
 〈양손잡이 자연세계〉, 과학세대 옮김, 까치
 〈이야기 파라독스〉, 사계절
 〈아하〉, 사계절
 더 애너테이티드 앨리스, 루이스 캐럴이 지은 이상한 나라의 앨리스와 거울 나라의 앨리스의 주석판
 The Last Recreations
 〈아담과 이브에게는 배꼽이 있었을까?〉(원제 Did Adam and Eve Have Navels?: Debunking Pseudoscience)
 SCIENCE GOOD, BAD AND BOGUS
 Fads and Fallacies in the Name of Science
 Relativity Simply Explained

 사이언티픽 아메리칸의 컬럼 모음집 
 Mathematical Puzzles and Diversions (1959; Pelican, UK )
 More Mathematical Puzzles and Diversions (1961; Pelican, UK )
 Further Mathematical Diversions (1969; Pelican, UK )
 Mathematical Carnival (1975; Pelican, UK )
 Mathematical Circus (1979; Pelican, UK )
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 같이 보기 
 피에트 하인
 더글러스 호프스태터
 지구공동설
 제임스 랜디
 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)

 각주 

 외부 링크 

 Notes on Martin Gardner
 An Interview with Martin Gardner
 Short Martin Gardner Bio
 About Gathering for Gardner

분류:1914년 출생
분류:2010년 사망
분류:미국의 수학자
분류:미국의 과학 저술가
분류:미국의 문학 평론가
분류:미국의 언론인
분류:미국의 마술사
분류:게임 이론가
분류:퍼즐 디자이너
분류:대체의학 비판자
분류:이신론자
분류:미국 해군 군인
분류:오클라호마주 출신
분류:시카고 대학교 동문
분류:미국 예술과학 아카데미 석학회원
분류:미국의 제2차 세계 대전 참전 군인
분류:20세기 수학자
분류:21세기 수학자
분류:필명
분류:노먼 (오클라호마주) 출신
분류:20세기 미국 사람
분류:21세기 미국 사람
분류:오클라호마주의 수학자
프리먼 다이슨

프리먼 존 다이슨(, 1923년 12월 15일 ~ 2020년 2월 28일)은 영국 태생의 미국의 물리학자이다. 양자전기역학의 이론적 기반을 닦은 인물 중 하나이다. 또한 저명한 물리학자들 중 거의 유일하게 평생 박사 학위를 취득하지 않았다.

 생애 및 업적 
프리먼 다이슨은 1923년 12월 15일 영국 버크셔주 크로손()에서 태어났다. 1936년에서 1941년까지 윈체스터 칼리지를 다녔다. 18살이던 1940년에는 케임브리지 대학교에서 고드프리 해럴드 하디 아래에서 수학을 공부하기도 했다. 제2차 세계 대전이 발발하자 영국군에 입대하여 20살의 나이에 영국 공군 폭격기 사령부에서 분석가로 일했다. 전쟁이 끝나자 케임브리지 대학교 트리니티 칼리지에서 수학으로 학사 학위를 취득했다. 1947년에는 두 개의 정수론 논문을 출판했다.

그리고 미국으로 건너가 1947년부터 코넬 대학교 박사과정에 등록하여 한스 베테의 지도 아래 물리학을 연구하기 시작했다. 그러나 바로 연구에 뛰어들면서 이후 평생 동안 박사 학위를 취득하지 않았다.

프리먼 다이슨의 가장 널리 알려진 학문적 업적은 양자장론의 이론적 기반을 닦은 작업들이다. 그는 1949년에 양자전기역학을 기술하는 두 가지 방법, 즉 리차드 파인만의 파인만 도표를 이용한 경로적분과 줄리안 슈윙거, 도모나가 신이치로가 제안한 연산자 계산이 동치라는 것을 증명했다. 그리고 파인만 도표를 가지고 재규격화 계산을 구현한 논문을 최초로 썼다. 또한 다이슨 급수라는 기법을 발명했으며, 이것은 워드-다카하시 항등식으로 확장되는 기반이 되었다.

1957년부터 1961년까지는 핵추진기를 이용한 우주비행 계획인 에 참여하였다. 시험 기종은 보통의 폭발물을 사용했으나, 우주에서의 핵무기 사용 금지 조약에 의해 계획은 중도에 파기됐다. 이후 제러드 오닐()이 설립한 우주학 연구소()에서 소장을 역임하기도 했다.

생애의 후기에, 다이슨은 기술적으로 진보한 문명은 자신이 살고 있는 항성계의 태양을 완벽히 둘러싸 항성에서 나오는 복사 에너지를 완전히 사용하고 바깥쪽으로는 적외선을 복사할 것이라는 주장을 폈다. 이에 따르면 밤하늘에서 적외선을 복사하는 거대한 물체를 찾아보는 것이 외계 문명체를 탐사하는 SETI 계획의 한 방법이 된다. 다이슨은 복사 차폐물로 자그마한 운석들의 구름을 생각했지만, 과학 소설에선 이어진 고체 구조물이 선호되어 왔다. 이러한 상상 속의 구조를 다이슨 구라고 부른다. 또한 그는 다이슨 나무라는 것도 제안했는데, 이는 유전자 조작으로 혜성에서도 자랄 수 있는 식물을 말한다. 다이슨은 혜성을 조작하여 내부에 생물이 숨쉴 수 있는 대기를 만들어 내는 것이 가능하며, 태양계 밖으로 인간을 보낼 수 있는 서식지를 조성할 수 있다고 했다.

프리먼 다이슨은 2020년 2월 28일, 98세의 나이로 뉴저지주 프린스턴에서 생을 마감하였다.
딸 에스더 다이슨은 기업가이자 투자자이다. 아들 조지 다이슨은 역사가로, 과학사를 연구한다.

 저서 
 《상상의 세계》 (Imagined Worlds)
 《에로스에서 가이아까지》 (From Eros to Gaia)
 (원제 )

 각주 

 외부 링크 

 프리먼 다이슨의 홈페이지
 우주 연구 재단 (Space Studies Institute)
 와이어드 매거진과의 인터뷰
 

 
분류:1923년 출생
분류:2020년 사망
분류:미국의 물리학자
분류:잉글랜드의 물리학자
분류:미국의 회고록 작가
분류:잉글랜드의 회고록 작가
분류:미국의 반핵무기 운동가
분류:영국의 반핵무기 운동가
분류:이론물리학자
분류:핵물리학자
분류:반국민주의자
분류:케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 동문
분류:코넬 대학교 동문
분류:듀크 대학교 교수
분류:울프 물리학상 수상자
분류:프랑스 과학 아카데미의 회원
분류:미국 과학 아카데미의 회원
분류:왕립학회 석학회원
분류:20세기 영국 사람
분류:20세기 미국 사람
분류:21세기 영국 사람
분류:21세기 미국 사람
분류:막스 플랑크 메달 수상자
분류:잉글랜드에서 미국으로 이민간 사람
분류:미국철학학회 회원
만프레트 아이겐

만프레트 아이겐(, 1927년 5월 9일 ~ 2019년 2월 6일)은 독일의 생물리학자이다.

 인물 
괴팅겐 대학교에서 화학 박사 학위를 받았으며 독일 괴팅겐의 막스 플랑크 생물리학 연구소의 소장을 지냈다. 1967년에는 매우 짧은 간격의 에너지 펄스로 유도된 극히 빠른 화학 반응에 대한 연구에 대한 공로를 인정받아 로널드 조지 레이퍼드 노리시, 조지 포터와 함께 노벨 화학상을 수상했다. 1973년에는 영국 왕립학회 외국인 회원으로 선출되었다.

 각주 

 외부 링크 
 
 The Nobel Prize in Chemistry 1967 - Manfred Eigen - 노벨 재단

분류:1927년 출생
분류:2019년 사망
분류:독일의 화학자
분류:노벨 화학상 수상자
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:괴팅겐 대학교 동문
분류:물리화학자
분류:생물물리학자
분류:프랑스 과학 아카데미의 회원
분류:미국 과학 아카데미의 회원
분류:교황청 과학원의 회원
분류:보훔 출신
분류:푸르 르 메리트 민사훈장 수훈자
분류:독일의 무신론자
분류:왕립학회 외국인 회원
분류:막스 플랑크 협회 인물
분류:미국철학학회 회원