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러셀의 역설

논리학에서 러셀의 역설(-逆說, )은 버트런드 러셀이 1901년에 발견한 역설이다. 고틀로프 프레게의 《산술의 기본 법칙》과 게오르크 칸토어의 소박한 집합론 따위의 논리 체계가 모순을 지닌다는 것을 보여준다. 예를 들어, 칸토어의 집합론에서 자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합들의 집합을 정의하고 이 집합이 자기 자신의 원소인지 여부를 물으면, 이에 대한 긍정과 부정 가운데 어느 하나를 가정하더라도 모순이 유도된다. 유형 이론과 공리적 집합론이 도입되면서 해결되었다.

 정의 
섬네일
러셀의 역설은 19세기 말 20세기 초 이전 대부분의 논리 체계가 함의한 모순이다. 몇 가지 대표적인 예는 다음과 같다.

 소박한 집합론 
칸토어의 집합론이나 주세페 페아노의 집합론을 가정하고, 다음과 같은 집합을 생각하자.

즉, 임의의 에 대하여,

이다. 특히, 인 경우

이며, 이는 모순이다. 다시 말해, 만약 라고 가정하면, 의 정의에 따라 이므로 가정에 모순되며, 반대로 만약 라고 가정하여도 의 정의에 따라 이므로 가정과 모순이다.

 프레게의 《산술의 기본 법칙》 
프레게가 저술한 《산술의 기본 법칙》의 논리 체계를 가정하자. 이 논리 체계에서 논리식의 변수는 논리식으로 직접 치환될 수 없으나, 논리식의 값렬(-列, )로는 치환될 수 있으므로, 러셀의 역설을 함의한다. 구체적으로, 1개의 자유 변수를 갖는 논리식 의 값렬 는 다음과 같은 공리로 정의된다.

《산술의 기본 법칙》의 논리 체계에서, 1개의 자유 변수를 갖는 논리식 , 에 대하여, 는 논리식이 아니지만, 는 새로운 논리식이다. 이제, 다음과 같은 논리식 를 생각하자.

이는 1개의 자유 변수 를 갖는 논리식이다. 그러면

이며, 이는 모순이다. 다시 말해, 만약 라고 가정하면, 의 정의에 따라

이며, 특히 이므로 이다. 이는 가정 과 모순이다. 반대로, 만약 라고 가정하면, 값렬의 정의에 따라

이며, 다시 의 정의에 따라 이다. 이는 가정 과 모순이다.

 기타 
논리식의 변수를 논리식으로 치환할 수 있는 논리 체계의 경우, 단순히 1개의 자유 변수 를 갖는 논리식

을 생각하면 모순

을 얻는다.

 역사 
러셀은 1901년 5월이나 6월에 칸토어의 논문을 검토하는 과정에서 이 역설을 발견하였다. 러셀은 1902년에 프레게에게 보내는 서신에서 프레게의 《개념 표기법》의 논리 체계에서 “자기 자신을 술어로 가할 수 없다는 술어”를 정의할 경우 모순이 유도된다고 지적하였다. 러셀에게 보낸 회신에서 프레게는 그 역설이 《개념 표기법》에 적용될 수 없다고 정정하면서도, (《개념 표기법》을 확장한) 《산술의 기본 법칙》 속의 역설로 수정될 수 있음을 설명하였다. (《개념 표기법》에는 “변수를 함수로 치환하는 것은 신중해야 한다”는 짧은 주해가 있으며, 이와 관련된 자세한 설명은 프레게의 1891년 논문 《함수와 개념》()에 등장한다.)

에른스트 체르멜로도 비슷한 시기에 이 역설을 독립적으로 발견하였다.

 러셀의 역설과 소박한 집합론 
칸토어가 세상에 내어 놓은 집합론은 러셀의 역설과 같은 서술이 논리적으로 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 강력한 수학이론이다. 이러한 소박한 집합론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합을, ψ = { } 로 표시하는데, 이러한 공집합을 표현할 수 있는 서술 방법은 무한히 많다. 예를 들어 { x | x=1 and x≠1 } = ψ, 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면, ψ, {ψ}, {ψ, {ψ}},….  되고, 자연수가 도출된다. 다른 수학이론의 기초가 되고, 함수를 정의할 수 있으면, 또한 무한한 대상들을 다룰 수 있는 유일한 방법을 제공한다. 그래서, 수학자 힐버트는 칸토어의 집합론이 이끄는 세계를 수학자의 낙원이라고 묘사했다.

소박한 집합론에서 ‘소박한’은 후대 수학자들이 칸토어가 발견한 집합론을 공리 집합론과 구분 짓기 위해 붙인 것이다. ‘naïve’ 란 단어를 ‘소박한’이라고 긍정적으로 해석했지만, ‘덜 성숙된’, ‘생각이 얕은’ 이런 느낌의 단어이다. 칸토어의 집합론에 그런 단어를 붙여 부르는 것이 옳은지는 의문이다.

천재 칸토어는 집합론을 세상에 내어 놓으면서 다른 한편으로는 제논의 역설 이후 금기 시 되어온 무한의 개념을 집어 들었다. 당연히 엄청난 부담감을 느꼈을 것이다. 그리고 조심스럽게 무한한 집합을 분류하기 시작했다. 그리곤, 당시 수학자들로부터 엄청난 반발을 불러일으켰다. 동년배인 수학자 푸앙카레는 칸토어의 집합론과 무한 수를 심각한 수학 질병이라고 불렀고, 칸토어에게 중요했던 선배 수학자 크로네커는 그를 과학 사기군, 배교자, 젊은이를 지적 타락으로 이끄는 자라고 매도했다. 철학자들도 이러한 비난에 가세했고, 성직자들은 그의 시도를 신에 대한 심각한 도전으로 여겼다. 그리고, 러셀의 역설과 베른의 역설과 같은 역설들이 쏟아져 나온다.

한편, 그의 당대 일부 수학자들은 칸토어 집합론의 공리화를 시작한다. 유클리드의 원론(elements) 에 나오는 그 공리화 방법론을 집합론에 도입한 것이다. 집합론을 체계화 시킨 측면도 있지만, 러셀의 역설을 비롯한 역설들이 주장하는 칸토어 집합론이 지닌 모순들을 극복하기 위해 시작되었다는 점에서 문제의 소지도 있다. 오직 이러한 역설들을 극복하기 위해 도입된 계급의 공리(Axiom of class)는 그 필요성이 의문일 뿐만 아니라, 칸토어의 집합론에 심각한 제약을 가한다.

 같이 보기 
 자기언급
 각주 

 외부 링크 
 

분류:소박한 집합론의 역설
분류:자기언급 역설
분류:버트런드 러셀
분류:1901년 과학
토요일

토요일(土曜日, Saturday)은 요일 중의 하나로, 금요일 뒤의 날, 일요일 앞의 날이다. 토요일은 대부분의 서방 국가에서 주말의 일부로 취급한다.

 이름 
일부 게르만어파 언어에서 토요일은 '사투르누스의 날'(, )을 어원으로 하고 있는데, 사투르누스는 토성을 상징하는 신이므로, 대한민국과 일본에서는 '토요일'로 불린다. 나머지 대부분의 경우 북게르만어 즉 노르만어 위주로는 lördag이라고 한다. 그러나 게르만어의 중심인 독일어는 Samstag[zámsta:k]라고 다르게 부른다. 잠(Sam)이라는 위인/신이 있는가 혹은 아래 라틴어파 sabato 특히 불어를 접해 들어온 것이 아닐까 하는 의견이 있다.

남부 유럽 언어 및 동남아 언어에서 '토요일'이란 낱말은 안식일(샤밭)을 어원으로 하고 있다. 그 예로는 그리스어 , 이탈리아어 , 인도네시아어 등이 있다.

 중국 
 중국에서는 토요일을 한 주의 여섯째 날이라는 의미로 '星期六'이라고 한다.

 페르시아 

 이란에서는 일반적인 요일을 뜻하는 샴베(شنبه)라고 부른다. 이란은 이슬람교를 믿는 국가이므로, 토요일이 한 주의 첫번째 날이다. 당나라 대의 점성술 서적인 수요경에서는 토요일을 '흡삼물(翕森勿)'이라고 했다고 했는데, 이는 7번째 날이라는 것을 뜻한다.

 행사와 문화 
 대한민국의 초·중·고등학교는 2012학년도부터 주5일제를 전면 실시하여 토요일에 등교를 하지 않게 되었다.
 대한민국의 기업체에서는 2005년 1월 1일부터 주5일제를 적용하면서 토요일에는 근무하지 않게 되었다. 공식적으로는 토요일에 휴무지만 일부 중소기업 등에서는 토요일에도 사실상 근무한다.
 일본에서는 1월 14일 이후 첫 토요일에 센터시험의 지리역사•공민, 국어, 외국어 시험을 본다.
 2009-10시즌부터 UEFA 챔피언스리그와 UEFA 유로파리그의 결승전이 토요일에 열린다.
 프리미어리그 등 프로 축구 리그는 대체로 토요일에 경기를 한다.
 중화인민공화국이나 헝가리는 공휴일이 화요일이나 목요일이면 연휴를 만들고 직전 토요일을 평일로 한다.

 같이 보기 

 토요일로 시작하는 평년
 토요일로 시작하는 윤년
동중국해

섬네일|240px|동중국해의 위치

동중국해(東中國海) 또는 동지나해(東支那海, )는 제주도 남쪽부터 대만에 걸쳐있는 서태평양의 연해이다. 일본에서는 히가시시나카이(東支那海, )라고 부르며 한국에서 동지나해로 불렀다가 최근에는 동중국해라고 부른다. 지나는 영문 차이나를 한자로 표현한 것이다. 중국에서는 동해()라고 부른다.

 수역의 정의 
대만 해협을 통해 남중국해와, 대한 해협과 제주도 북동쪽 해역을 통해 동해와, 제주도 서쪽 해역을 통해 황해와 이어져 있다.

국제 수로 기구에서 1953년 발간한 《해양과 바다의 경계》(Limits of Oceans and Seas) 제3판에 따르면, 동중국해는 동쪽의 규슈와 류큐 열도를 따라 그은 곡선을 경계로 필리핀해와 나뉜다. 북동쪽은 제주도 동쪽 끝부터 일본의 후쿠에섬 남쪽 끝과 규슈까지 이은 직선을 경계로 동해와 접한다. 북서쪽은 제주도 서쪽(북위 33°17')부터 중국 대륙의 장강 하구까지 이은 직선을 경계로 황해와 접한다. 남서쪽은 대만 북쪽 끝과 푸젠성의 동쪽 해안(북위 25°24')을 이은 선을 경계로 남중국해와 접한다. 해역의 크기는 약 1,249,000 km2이다.

 자원 분쟁 

동중국해 해역의 천연 가스 개발을 둘러싸고 중국과 일본, 대한민국 사이에 분쟁이 계속되고 있다.

일본은 동중국해의 배타적 경제 수역(EEZ)의 경계로 중일 중간선을 주장하는 반면, 중국은 오키나와 해구를 주장하고 있다. 중국이 중일 중간선 서쪽 약 4킬로미터 지점에서 천연가스 채굴시설 준샹, )를 건설하자 일본은 중간선 동쪽의 천연가스까지 흡수될 수 있다며 개발 중단을 요구했다. 이후 양국은 2008년 6월 중간선을 포함한 해역의 공동 개발에 합의했고, 춘샤오 개발에 일본 기업이 투자하기로 합의하였다. 이후 구체적인 교섭이 좀처럼 진행되지 않았다.

 같이 보기 

 센카쿠 제도(중국명 댜오위다오)
 대만
 제주도
 마라도
 이어도
 남해
 남중국해

 각주 

 
분류:태평양의 해역
분류:아시아의 해역
분류:중국의 해역
분류:일본의 해역
분류:대한민국의 해역
분류:대만의 해역
트롬쇠

트롬쇠(Tromsø)는 노르웨이 트롬스주의 주도이다. 2012년 현재 72,066 명의 주민이 있다. 트롬쇠 시의 면적은 도심 바깥의 넓은 지역까지 포함해서 2558 km2이다.

트롬쇠는 노르웨이에서 일곱 번째로 큰 도시로 북극권 트롬쇠위아섬(Tromsøy)에 위치해 있다(북위 69° 40' 33", 동경 18° 55' 10"). 세계에서 최북단에 있는 대학교인 트롬쇠 대학교가 있어 세계 최북단의 대학 도시로 알려져 있다.

 역사 
트롬쇠는 1250년 세워져 1794년 도시 헌장을 받았다. 19세기 후반에는 북극해의 주요 무역 기지가 되어 많은 북극 탐험대가 이곳으로부터 출발했다.

1940년 4월 9일에 나치스 독일군이 노르웨이를 침공하여 노르웨이 남부가 점령되자 트롬쇠는 1940년 5월부터 6월 7일에 국왕과 정부가 강제로 나라를 떠나기 전 까지 노르웨이의 수도였다.

오늘날 트롬쇠는 의료산업 관련 소프트웨어와 원격치료 관련 프로그램의 분야에서 국제적인 기지로 부상하고 있다.

 문화 
노르웨이 리그에 참가하는 축구 구단으로 트롬쇠 I.L.과 트롬쇠 U.I.L.이 있다.

수많은 북극 탐험대들이 트롬쇠를 출발지로 삼아 '북극의 관문'이라고도 한다. 트롬쇠 주민들이 터득한 북극의 조건에 대한 실제 지식은 로알 아문센(Roald Amundsen), 움베르토 노빌레(Umberto Nobile), 프리티오프 난센(Fridtjof Nansen) 등 여러 탐험가들에게 도움이 되었으며 이들은 대원들을 트롬쇠에서 모집하기도 했다.

북극권에 위치한 관계로 5월 21일부터 7월 23일까지는 해가 지지 않는다(백야 현상). 매년 6월에 백야 마라톤을 개최한다. 최근에는 1월에 북극야 하프 마라톤을 개최하기 시작했다.

트롬쇠에서 발행되는 신문으로는 '블라데 트롬쇠(Bladet Tromsø)'와 '노르뤼스(Nordlys)'가 있다.

 백야 

하지 때에 이곳 트롬쇠 지역에서도 백야 관측이 가능하다. 저녁 무렵 태양이 서쪽으로 점점 높이가 낮아지다가 자정 때에는 태양이 북쪽의 낮은 하늘을 거쳐서 북동쪽으로 떠오른다.

 인구 

 기후 

 인물 
트롬쇠 출신 주요 인물은 다음과 같다.

 바이오스피어(Biosphere)의 게이르 옌센(Geir Jenssen)
 작가 및 철학가 페테르 베셀 삽페(Peter Wessel Zapffe)
 영화감독 에리크 숄비에르그(Erik Skjoldbjaerg)
 조각가 요르겐 드레위에르(Jorgen Dreyer)
 미국의 변호사, 민주당 국회의원 아이나 호이달(Einar Hoidale)
 대중음악 가수 레네 말린(Lene Marlin)
 일렉트로닉 음악 그룹 로익솝(Röyksopp)의 스베인 베르게(Svein Berge)와 토르비에른 브룬틀란(Torbjørn Brundtland)

섬네일|왼쪽|트롬쇠 전경

 자매결연도시 

 케미 (, 1940년)
 룰레오 (, 1950년)
 링쾨빙 (, 1950년)
 그림스비 (, 1961년)
 푸네 (, 1966년)
 앵커리지, (, 1969년)
 자그레브 (, 1971년)
 무르만스크 (, 1972년)
 케찰테낭고 (, 1999년)
 가자 지구 (, 2001년)

 각주 

 외부 링크 
 공식 홈페이지

 
분류:노르웨이의 도시
분류:노르웨이의 항구 도시
분류:노르웨이의 스키장
고틀로프 프레게

프리드리히 루트비히 고틀로프 프레게( , 1848년 11월 8일 ~ 1925년 7월 26일)는 독일의 수리논리학자이자 철학자이다. 예나 대학교에서 수학 교수를 지내며 수리철학, 언어철학과 논리철학에 집중하여 분석철학의 기초를 마련하였다.

《개념표기법》()을 통한 현대 논리학에 대한 기여로 알려져 있으며, 마이클 더밋은 그의 논리주의 프로그램의 텍스트인 《산수의 기초》()를 언어적 전회의 중요한 지점으로 인용하였다. 또한 철학 논문인 〈뜻과 지시체에 대하여〉, 〈사고: 논리적 탐구〉로도 알려져 있다.

 생애 
1848년 11월 8일에, 당시 공식적으로 스웨덴-노르웨이 제국에 속해 있었지만 독일 통치 아래 있던 도시 비스마르()에서 태어났다. 비스마르의 김나지움을 1869년에 졸업하였고, 김나지움의 교사 구스타프 아돌프 레오 작세()는 프레게의 수학적 재능을 알아보고 예나 대학교에 입학할 것을 권고하였다.

프레게는 1869년에 예나 대학교에 입학하여 4학기를 공부하였고, 1871년에 괴팅겐 대학교로 전학하여 1873년 12월에 사영기하학에 대한 논문으로 박사 학위를 수여받았다. 1874년에 예나 대학교에서 하빌리타치온을 마치고, 예나에서 수학 개인 강사로 일했다. 1887년 3월 14일에 마르가레테 카타리나 소피아 아나 리제베르크(, 1856년 2월 15일 ~ 1904년 6월 25일)와 결혼하였다.

1879년에 예나 대학교의 조교수()로 임용되었다. 1879년에 《개념 표기법: 순수 사고의 산술적 형식 언어의 모형》()을 출판하였고, 이 책에서 술어 논리를 최초로 도입하였다. 1884년에는 《산술의 기초: 수의 개념의 수리논리학적 탐구》()를 출판하여 수의 개념의 심리주의적 정의를 비판하였다.

1893년에 《개념 표기법으로부터 유도된 산술의 기본 법칙》() 1권을 출판하였고, 1896년에 예나 대학교의 정교수()로 승진하였다. 1903년에 《산술의 기본 법칙》2권을 출판하였다.

1917년 또는 1918년에 예나 대학교에서 은퇴하였다. 이후 발견된 1920년대의 일기에 그는 반유대주의와 파시즘 성향의 글을 썼다. 1925년 7월 26일에 메클렌부르크포어포메른주의 작은 마을 바트클라이넨()에서 사망하였다.

 업적 
 《개념 표기법》 
섬네일|오른쪽|《개념 표기법》 표지
1879년에 출판된 책 《개념 표기법: 순수 사고의 산술적 형식 언어의 모형》()에서 프레게는 기존에 알려진 명제 논리를 술어 논리로 확장하였고, 명제 논리와 술어 논리를 표현하는 형식적 언어를 고안하였다. 프레게의 표기법은 다음과 같다.

버트런드 러셀의 기술 이론(theory of description)과 버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 《수학 원리》의 중요한 핵심이 되는 양화(quantification)가 바로 술어논리를 표현하기 위하여 고안한 프레게의 개념이다. 그의 업적은 당시에는 거의 인정받지 않았으나, 그의 생각에 영향을 받은 주세페 페아노, 버트런드 러셀 등에 의해 세상에 알려지기 시작했다. 루트비히 비트겐슈타인과 에드문트 후설도 프레게의 영향을 받았다.

 《산술의 기본 법칙》 
프레게는 수학이 논리학으로 귀결될 수 있다는 논리주의의 초기 주창자 중에 하나였다. 프레게는 1884년에 출판된 《산술의 기초: 수의 개념의 수리논리학적 탐구》()에서 기존의 심리주의적 수의 개념을 비판하였고, 수의 개념이 종합적() 개념이 아니라 해석적() 개념이라고 주장하였다.

《개념 표기법으로부터 유도된 산술의 기본 법칙》(, 1권 1893년, 2권 1903년)에서 프레게는 논리학으로부터 산술을 유도하려고 시도하였다. 1판이 출판된 뒤 버트런드 러셀은 프레게의 공리계가 러셀의 역설을 함의한다는 것을 지적하였다. 프레게는 이미 완성된 2권에 이 역설이 존재한다는 사실을 실토하는 부록을 추가하였다.

 언어철학 
프레게는 언어철학에 중요한 기여를 하였고, 특히 고유명사의 뜻과 지시체() 사이의 차이에 관해 논의하였다.

 주요 저서 
 
 《개념 표기법: 순수 사고의 산술적 형식 언어의 모형》
 
 《산술의 기초: 수의 개념의 수리논리학적 탐구》
 
 〈함수와 개념〉
 
 〈뜻과 지시체에 관하여〉
 
 〈개념과 대상에 관하여〉
 
 
 《개념 표기법으로부터 유도된 산술의 기본 법칙》 (총 2권)
 
 〈기하학의 기초에 관하여〉
 
 〈함수란 무엇인가?〉
 
 〈사고: 논리적 연구〉
 
 〈부정〉
 
 〈복합 사고〉
마지막 3편의 논문은 합쳐 《논리 연구》()라는 제목으로 출판한 계획이었으나, 프레게 생전에 출판되지 않았다.

 각주 

 참고 문헌 
 『산수의 기초』 / 최훈 pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 외부 링크 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:1848년 출생
분류:1925년 사망
분류:19세기 철학자
분류:20세기 철학자
분류:독일의 철학자
분류:독일의 수학자
분류:독일의 논리학자
분류:19세기 수학자
분류:20세기 수학자
분류:예나 대학교 동문
분류:버트런드 러셀
분류:형이상학자
분류:과학철학자
분류:수리철학자
분류:언어적 전회
골트바흐의 추측

골트바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 오래전부터 알려진 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(Prime number)의 합으로 표시할 수 있다는 것이다. 이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다.

 기원 
1742년 6월 7일, 프로이센의 수학자 크리스티안 골트바흐(Christian Goldbach)는 레온하르트 오일러에게 편지를 보내 다음과 같은 추측을 제안하였다.

그는 편지의 말미에 다음과 같은 두 번째 추측을 했다.

그는 1을 소수로 취급했지만 후에 이 개념은 폐기되었다. 이 두 추측은 동치이지만 당시에 이슈가 되지는 못했다. 골트바흐의 마지막 문장은 오늘날의 개념으로 다음과 같이 설명할 수 있다

오일러는 1742년 6월 30일에 답장을 보내 골트바흐와 한 예전의 대화를 떠올리면서 다음과 같은 문장으로 바뀌었다.

이것은 골트바흐의 원래 추측을 포함한다. 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현가능하다면, 홀수의 경우 3을 더하면 되고, 짝수의 경우는 2를 더하면 세 소수의 합으로도 표현가능해지기 때문이다.

 골트바흐 추측의 종류 
위 추측을 강한 골트바흐의 추측(strong Goldbach conjecture)이라고 부르고 최초에 골트바흐가 제시했던 '5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현 가능하다'는 주장은 약한 골트바흐의 추측(weak Goldbach conjecture)이라고 불린다. 강한 골트바흐의 추측이 참이라면, 약한 골트바흐의 추측은 당연히 참이 된다. 강한 골든바흐의 추측을 짝수 골트바흐 추측(even number Goldbach conjecture), 약한 골든바흐의 추측을 홀수 골트바흐 추측(odd number Goldbach conjecture)이라 부르는 사람도 있다.

 골트바흐 숫자 
오른쪽|500px
예를 들어, 50까지의 짝수는
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17
32 = 3+29 = 13+19
34 = 3+31 = 5+29 = 11+23 = 17+17
36 = 5+31 = 7+29 = 13+23 = 17+19
38 = 7+31 = 19+19
40 = 3+37 = 11+29 = 17+23
42 = 5+37 = 11+31 = 13+29 = 19+23
44 = 3+41 = 7+37 = 13+31
46 = 3+43 = 5+41 = 17+29 = 23+23
48 = 5+43 = 7+41 = 11+37 = 17+31 = 19+29
50 = 3+47 = 7+43 = 13+37 = 19+31

위와 같이, 두 개의 소수의 합으로 표현할 수 있다. 그러나 모든 짝수에서 가능한지는 아직까지 해결하지 못하고 있다.

 확인된 수치적 결과 
섬네일|오른쪽|288px|짝수 n을 두 소수의 합으로 표현하는 방법의 수 (4 ≤ n ≤ 1,000)
섬네일|오른쪽|288px|짝수 n을 두 소수의 합으로 표현하는 방법의 수 (4 ≤ n ≤ 1,000,000)
컴퓨터로 직접 계산하여 짝수가 두 소수의 합인지 확인하는 시도가 예전부터 있었다. T. Oliveirae Silva는 이하에서 골트바흐의 추측이 참임을 확인했다.
골트바흐의 추측은 반드시 두 소수의 합으로 표현하는 방법이 유일하다고 주장하는 것은 아니다. 소수 한 쌍의 합으로 표현하는 방법은 여러가지가 있을 수 있고, 같은 두 수를 쓸 수도 있다.

 최근의 결과 
 1930년 러시아 수학자 Lev Schnirelmann은 4보다 큰 모든 짝수는 20개 이하의 소수의 합으로 표현 가능함을 증명했다. 20이라는 수치는 수학자들이 계속 줄여왔고, 2013년 약한 골트바흐의 추측이 증명됨으로써 4까지 줄어들었다.
 1937년 러시아 수학자 Vinogradov는 매우 놀라운 결과를 발표했는데, 충분히 큰 수 이상의 홀수에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참이라는 것을 증명하였다. 여기서 충분히 큰 수는 이었는데, 이후 중국 수학자 첸(천징룬)과 왕에 의해 이 값은 까지 떨어졌다. 그러나 남은 결과를 직접 확인하기에는 여전히 큰 수이다.
 1975년 미국의 수학자 휴 몽고메리 (Hugh Montgomery)와 영국의 수학자 로버트 찰스 본(Robert Charles Vaughan)은 "대부분"의 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능함을 증명했다. 즉, 두 소수의 합으로 표현가능하지 않은 짝수 개수의 비율의 극한값이 숫자 0에 수렴한다는 것을 증명한 것이었다.
 2013년 Harald Helfgott은 위의 충분히 큰 수 이하의 홀수들에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참임을 증명하였고, 따라서 약한 골트바흐의 추측은 참임이 증명되었다.

 쌍둥이 소수 추측과의 관계 
쌍둥이 소수 추측 (twin prime conjecture)과 골트바흐의 추측은 구조적으로 유사성이 있다. 쌍둥이 소수 추측은 와 가 모두 소수인 수가 무한히 많다는 것이다. 즉, 에서 정확히 두 개의 소인수를 가지는 수가 무한히 많다는 추측이다. 골트바흐 추측은 4 이상의 모든 짝수에 대해 두 소수의 합으로 표현 가능하다는 것, 다시 말해서, 모든 4 이상의 짝수 에 대해 가 두 개의 소인수를 가지는 1과 사이의 k가 반드시 존재한다는 추측이다. 이러한 구조적 유사성 때문에 두 추측은 같이 다루어져 왔으며, 지금까지 검증된 수치적 자료들도 이를 뒷받침하는 듯 보인다.

 각주 

 외부 링크 

 
 

 같이 보기 
 수학의 미해결 문제
 천의 정리
 리만 제타 함수
 디리클레 급수
 오일러의 곱셈 공식

분류:수론
분류:소수에 관한 추측
분류:힐베르트 문제
분류:수론의 미해결 문제
분류:해석적 수론
인터내셔널가

섬네일|오른쪽|스웨덴어로 된 인터내셔널가

인터내셔널가(, , , , ), 또는 국제가(國際歌)는 노동자 해방과 사회적 평등을 담고 있는 민중가요이다.

 역사 
섬네일|왼쪽|1895년 제작된 인터내셔널가 포스터
프랑스어 원 가사는 외젠 포티에에 의해 1871년 파리코뮌이 시기에 쓰여졌고 피에르 드 게테르가 1888년에 곡을 붙였다. 참고로 작사자인 외젠 포티에는 철도 노동자였고, 피에르 드 게테르는 가구세공인으로, 작사자와 작곡자 모두 노동자 출신이다.

프랑스 국가(國歌)인 라 마르세예즈가 '프랑스 혁명' 이후 면면히 계승되어온 '자코뱅식 애국주의' 전통을 상징한다면, 인터내셔널가는 자코뱅주의와 더불어 프랑스 정치사에 큰 영향을 미쳐온 '사회주의 전통을 상징하는 노래'로 애창된다. 인터내셔널가가 처음 유래되어 만들어진 파리 코뮌은 급진적인 자코뱅주의와 사회주의가 결합된 정치 운동이었다.

인터내셔널가는 전 세계로 퍼져나가 가장 많은 언어로 번역된 노래 중 하나이며, 러시아어판은 소비에트 연방의 국가이자 소비에트 연방 공산당의 당가로 채택되어 1922년부터 1944년까지 쓰였다. 1943년 소비에트 연방 공산당의 서기장인 이오시프 스탈린은 제2차 세계대전 중, 코민테른을 해체하면서 새 당가와 국가를 채택하게 되었는데 1944년 이후에는 인터내셔널가 대신 소비에트 연방 찬가로 대체되었다.

여기서 '인터내셔널'은 단순히 '국제적'이라는 뜻이 아닌, 사회주의자들의 국제기구인 제1인터내셔널을 의미한다. 제1차 세계대전과 러시아 혁명을 겪으면서 소비에트 연방의 공산주의와 서유럽의 공상주의가 갈라선 이후로는 인터내셔널은 무의미해졌지만, 인터내셔널가는 소련 공산당과 코민테른에 의해 전승되어 오늘날까지 각국 공산당의 당가로 불리고 있다.

원곡은 프랑스어이지만, 러시아 혁명 이후 수십 개 언어로 번역되었으며 언어별로 다양한 가사가 존재한다.

 번안 
 한국의 인터내셔널가 
한국에는 일제강점기 1920년대때 조선공산당이 인터내셔널가를 일역한 일본의 '국제가'를 조선어로 직역, 번역되어 불린 것이 시초다. 이 가사는 현재 조선민주주의인민공화국에서 '인터나쇼날', '국제가', '국제공산당가'라는 제목으로 불리고 있으며, 주로 의전용으로 사용된다. 한편 대한민국에서는 한국전쟁 이후 좌익과 연관된 모든 것들이 금기시되어 인터내셔널가 또한 잊혀졌다. 그러다가 1980년대 민중음악 활동가들이 외국에서 악보를 다시 들여오며 복원되었다. 그 뒤에 전노협(전국노동조합협의회)시기 노동운동 노래패를 통해 현재 대한민국에서 부르는 인터내셔널가 가사가 확립되었다. 그래서 대한민국과 조선민주주의인민공화국의 인터내셔널가 가사는 서로 다르다.

가사
프랑스어

러시아어

독일어

영어
영국

고전 영국 버전

1990년 개사 버전

미국

중국어

스페인어
스페인

멕시코

쿠바, 콜롬비아

페루

아르헨티나

한국어
1984년 ver.

1989년 ver.

문화어

기타 언어

 역사 속의 인터내셔널가 

 같이 보기 
 민중가요
 파리코뮌
 사회주의
 코민테른

 각주 
설명주

인용주

 외부 링크 
 

 혁명을 꿈꾸는 자여, 이 노래를 부르라!
 음악으로 읽어보는 혁명의 역사
 여러 언어로 된 인터내셔널(MP3 형식)
 MP3파일
 소련 등 제2세계 노래 모음 사이트. 영문 및 가사 지원

분류:1871년 노래
분류:사회주의 상징
분류:소련의 상징
분류:옛 국가
분류:국제주의
분류:노동가요
분류:다언어 노래
분류:제1인터내셔널
분류:파리 코뮌
분류:공산주의 상징
분류:반파시즘을 소재로 한 작품
분류:스페인 내전을 소재로 한 작품
케냐의 국기

섬네일|right|300px|케냐의 국기 (비율 2:3)
케냐의 국기는 1963년 12월 12일 독립과 동시에 지정되었다. 국기의 디자인은 케냐의 독립 운동을 주도한 케냐의 정치 단체인 케냐 아프리카 민족동맹(Kenya African National Union)의 기를 바탕으로 한 디자인이다.

검은색, 빨간색, 초록색 가로 줄무늬 사이에 얇은 하얀색 가로 줄무늬 2개가 그려져 있으며 국기 가운데에는 마사이족의 방패와 창이 그려져 있다. 검정, 빨강, 녹색은 각각 흑인, 피, 자연을 상징하는 범아프리카색이다. 흰색은 평화를 뜻하며, 마사이족의 방패와 창은 자유의 수호를 나타낸다.

 규격과 색상 
케냐의 국기 규격과 색상은 다음과 같다.
섬네일|center|350px|케냐의 국기|대체글=

 여러 가지 기 

 과거의 기 

국기
분류:국기
나트륨

나트륨(, , ) 또는 소듐(, , )은 알칼리 금속에 속하는 화학 원소로 기호는 Na(←)이고 원자 번호는 11, 원자량은 22.9898 g/mol이다. 자연상태로는 생성되지 않으며, 화합물로부터 추출이 가능하다.

 명칭 
"나트륨"이란 이름은 이집트의 소다 광산이 있는 나트론(Natron)에서 유래했다. "소듐"이란 이름은 아라비아어의 소다(Soda)에서 유래하였으며, 1807년에 영국의 험프리 데이비가 수산화나트륨을 전기분해하여 발견하였다.

한국에서는 대한화학회가 정한 학술어로서 소듐을 우선 사용하되 나트륨도 함께 사용한다.

 성질 
섬네일|왼쪽|등유(파라핀 오일)에 잠긴 나트륨 덩어리.
 물리적 성질 
무르고 금속 광택이 있는 금속으로 노란 불꽃을 내며 산화된다. 나이프로 몹시 쉽게 잘리며 잘린 단면은 즉시 산화되어 흰색의 산화나트륨, 수산화나트륨, 탄산나트륨 등으로 덮인다.
 화학적 성질 
반응성이 강하여 공기중에 보관할 수 없고 좌측 그림과 같이 보관하여야 한다. 공업용 나트륨의 경우 큰 주괴 형태로 운송되고 거래되기도 한다. 알칼리 금속 중에서는 반응성이 아주 큰 편은 아니기에 겉에 케로센을 발라 밀봉하여 보관할 수 있다. 순도 높은 나트륨 금속은 진공이나 아르곤 대기 하에서 보관해야만 한다. 연성과 전성이 크기에 포일 형태로 쉽게 제조할 수 있으나 대기와 접촉시 급속히 산화하며 때때로 불이 붙기 때문에 거의 생산하지 않는다. 에탄올, 이소프로판올 등과 온순한게 반응하여 알콕사이드(alkoxide) 화합물을 생성한다. 습기 높은 공기 중에서는 생성된 수산화 나트륨 탓에 수증기를 빨아들이며 때때로 폭발한다. 밀폐된 공간에서 열이 빠져나가지 못하도록 단열하여도 어느 순간 갑자기 폭발할 수 있다. 건조한 대기 하에서는 어느 정도 안정한 편이다. 소량의 물과 반응시키면 쉽게 불이 붙는다. 다량의 물과는 수산화나트륨을 생성하고 수소를 방출하며 격렬히 반응하다 불타는 용융된 나트륨 방울을 튀기며 폭발한다. 폭발의 원인은 쿨롱폭발로 알려져 있다. 강력하고 값싼 환원제로 유기화학에서 종종 사용된다. 다른 금속들을 소량 환원하는데도 유용하게 사용될 수 있다. 3주기 1족의 알칼리 금속으로 1개의 원자가 전자를 가지고 있기 때문에 1가 양이온이 되기 쉽다.

 나트륨의 특성 
지구 지각 내 원소 함량에서 6번째에 속하지만 높은 반응성으로 인하여 금속임에도 불구하고 화학식으로 나타낼수 있으며, 홑원소 물질로는 존재하지 않고 대부분 장석이나 염화 나트륨과 같은 형태로 존재한다.

 생산 
암염이나 소다회, 또는 바닷물에서 전기분해로 얻는다. 나트륨 금속의 가격은 알칼리 금속중에서 가장 낮기 때문에 유용한 환원제로 종종 선택된다. 공업용 나트륨은 주로 주괴(ingot) 형태로 만든다.

 나트륨 화합물 
 소금 
소금(염화 나트륨, NaCl)의 구성 요소로서 주로 바닷물 속에 용해되어 있으며 일부는 암염 등의 형태로 육지 및 지하에도 존재한다. 해수의 염류 중 가장 많은 비율을 차지한다.
 탄산나트륨 
탄산 나트륨(Na2CO3)은 무기화합물의 한 종류로, 탄산과 수산화 나트륨의 염이다. 유리에 주로 포함되어 있어 빛의 통과시, 자외선을 차단해주는 역할을 하기도 한다.
 기타 화합물 
NaOH(수산화 나트륨, 가성소다), NaNO3(질산 나트륨), Na2S(황화 나트륨), Na2SO4(황산 나트륨) 등이 있다. 이들 나트륨 이온(Na+)이 포함된 염들은 물에 잘 녹는다.

 용도 
 생물 
액체나 세포의 삼투압을 일정하게 보존하고, 나트륨 이온은 칼륨 이온과 함께 신경 내부에서 신호의 전달에 사용된다. 이러한 생리적인 메카니즘의 조절에 관여하는 세포 내에서의 나트륨-칼륨 펌프는 물질대사에 매우 중요하다.

 같이 보기 
 포타슘
 알케인
 알켄
 알카인
 망가니즈

 각주 

 외부 링크 

 나트륨 종류 
 
 나트륨 - WebElements.com

 
분류:알칼리 금속
분류:화학 원소
분류:환원제
분류:전형 원소
핵확산방지조약

섬네일|450px|국가별 조약인준

핵무기의 비확산에 관한 조약(核武器-非擴散-關-條約, Treaty on the Non-Proliferation of Nuclear Weapons), 약칭 핵확산방지조약(核擴散防止條約, Non-Proliferation Treaty - NPT, (核武器 傳播 防止 條約))은 핵무기를 보유하지 않은 나라가 핵무기를 갖는 것과 핵무기 보유국이 비보유국에 핵무기를 제공하는 것을 금지하는 조약으로, 핵확산 금지 조약이라고 불리기도 한다.

 상세 

 핵무기 개발과 핵군축 
1966년 후반부터 미·소의 타협이 진전되어 1967년 초에는 미·소 간에 기본적인 합의가 이루어졌다. 미·소 초안의 심의를 맡았던 제네바 군축위원회에서는 비핵보유국이 특히 비판적이었다. 그들은 문제점으로 핵의 평화적 이용도 금지된다는 것, 핵보유국의 핵군축의무가 명기되어 있지 않다는 것, 비핵보유국의 핵활동에 대한 사찰이 내정간섭 수준이라는 것, 비핵보유국은 아무런 안전보장도 받을 수 없다는 것, 기한이 너무 길다는 것 등을 지적하였다. 미국과 소련 그리고 비핵보유국가의 논쟁은 1968년 6월 19일 미, 영, 소 3국이 '적극적 안전보장'을 유엔안보리에 제출, 발표함으로써 NPT의 구성이 완료가 되었다.

 핵확산금지 조약 결의 채택 
그러나 미·소 양국은 약자인 이들 비핵보유국에게 조약을 강요한 면이 없지 않다. 그 결과 1969년 6월 12일 유엔 총회는 95:4, 기권 13으로 이 조약의 지지 결의를 채택하였다. 핵무기 보유국인 서명국 전부와 나머지 40개국의 비준을 필요로 하는 이 조약의 발효는 미·소의 비준서 기탁이 끝난 1970년 3월 5일 이루어졌다. 2010년 6월 현재 가맹국은 미국·러시아·중국·영국·프랑스 등 핵보유국을 비롯한 189개국이다. 조약은 매 5년마다 핵확산금지조약의 평가회의를 통해 재검토된다. 본디, 핵 확산 금지 조약은 25년 기한이었으나 1995년 5월 11일, 뉴욕에서의 평가회의에서 서명국이 합의하여 조약을 조건없이 무기한 연장하기로 결정했다.

 구성 
NPT는 서문과 11개 조항으로 구성되어 있으며, 내용은 1. 핵의 비확산 2. 핵무기 군비 축소 3. 핵 기술의 평화적 사용의 3가지로 요약될 수 있다.

NPT의 조약의 목적은 핵을 보유하지 않은 국가들의 핵 보유를 막고, 핵 보유국 내에서는 핵무기 증가, 핵무기 기술발전, 핵실험 등을 방지하며, 원자력의 평화적 이용을 추진하기 위해 체결된 것이다. 대한민국은 1975년 4월 23일 86번째 정식 비준국이 되었고, 조선민주주의인민공화국은 1985년 12월 12일에 가입을 했으나, 1993년 3월 12일 탈퇴를 선언하였다. 그러나 규약에 따라 탈퇴 선언 발효에 필요한 3개월이 지나기 직전인 1993년 6월 11일 조미공동성명에 따라 탈퇴를 일방적으로 유보하였다. 이후 2차 북핵위기가 가열되던 2003년 1월 10일에 유보하였던 탈퇴 선언을 재발효하여 NPT에서 탈퇴하였다.

 조약의 한계 
NPT는 조약당사국을 핵국가와 비핵국가로 구분하며, 비핵국가에 대해 어떤 경우에도 핵무기를 제조, 획득, 관리하거나 이양받을 수 없도록 규정하는 반면, 핵국가에 대해서는 핵무기 이양이나 개발 지원만을 금지할 뿐이다. 핵군축에 관한 조치나 조약에 대해서도 아무런 성과가 없으며, 핵확산금지나 핵무기의 완전한 부재도 전혀 실현되지 않고 있다. 이와 같이 NPT는 핵보유 국가가 비핵국가의 핵무장을 막기 위한 정책 위에 기초하고 있으며, 불평등조약이라는 것은 모든 가입국에게 공공연한 사실이다.

이러한 불평등 조약이 체결된 것은 어떤 경우에든 핵확산을 막음으로써 인류와 지구의 공멸을 피해야 한다는 일부 시민단체의 주장을 이용해 핵 강대국들이 억지로 조약을 만든 것이기 때문이다. 그러나 비핵국가들 사이에서는 핵보유국들이 핵무기 감축을 전혀 하지 않는 것에 대해 불만이 잠재되어 있다. 게다가 조약의 비당사국들은 오히려 NPT의 틈새를 이용하여 핵국가와 비핵국가 사이에서 이익을 추구해왔으며 핵개발에 앞장서 왔다. 인도와 파키스탄, 조선민주주의인민공화국은 그 어떠한 눈치도 보지 않고 마음껏 핵실험을 하여 핵무기 개발에 성공하였으며, 이스라엘과 조선민주주의인민공화국은 핵무기를 보유하고 있는 것으로 알려졌다. 그 외에도 이란, 태국, 브라질, 독일 등은 핵개발 의혹을 받고 있다.

NPT는 핵국가와 비핵국가 간의 차별적 구도 위에 세워진 조약이다. 핵확산을 막기 위해 비핵국가들은 핵무기 개발이나 획득이 절대 금지되고 안전조치제도에 의한 사찰을 받아야 하는 반면, 핵국가들은 단지 점진적인 핵무기 감축에 노력하는 것만이 요구되고 있다. 대다수 비핵국가들은 이 조약에서 요구하는 대로 핵무기를 개발하지 않고 평화적 핵활동에만 전념하고 있으나 핵국가들은 안전조치라는 명목으로 비핵국가들의 모든 연구 활동을 감시하는 한편, 자국들이 보유한 핵 무기의 감축을 위해서는 어떠한 노력도 기울이지 않고 있다.

 조약의 탈퇴 
조약의 제 10조 1항을 보면, '각 당사국은 당사국의 주권을 행사함에 있어서 본 조약상의 문제에 관련되는 비상사태가 자국의 지상이익을 위태롭게 하고 있음을 결정하는 경우에는 본 조약으로부터 탈퇴할 수 있는 권리를 가진다. 각 당사국은 동 탈퇴 통고를 3개월 전에 모든 조약 당사국과 유엔 안전보장이사회에 행한다. 동 통고에는 동 국가의 지상이익을 위태롭게 하고 있는 것으로 그 국가가 간주하는 비상사태에 관한 설명이 포함되어야 한다.'라고 규정하고 있다.

 가입국 
전 세계 대부분 국가가 가입돼 있으나 핵보유국인 프랑스와 중국은 미·소 위주의 성격에 반발해 최초에는 가입하지 않았다가 1992년이 돼서야 가입했으며, 인도, 파키스탄, 이스라엘, 쿠바 등이 미가입국으로 남아있다. 조선민주주의인민공화국은 1993년 3월과 2003년 1월 탈퇴를 선언하였다. 국제 원자력 기구 (IAEA)는 이 조약에 가입된 비핵무장 국가만을 대상으로 원자력시설 감시를 정기 및 수시로 실시하고 있다.

 같이 보기 

 포괄적 핵 실험 금지 조약
 핵무기 보유국
 핵무기금지조약(TPNW)

 각주 

분류:북핵문제
분류:1970년
분류:냉전기의 조약
분류:핵무기
분류:반핵무기 운동
분류:1968년 체결된 조약
분류:1970년 발효된 조약
분류:동독의 조약
분류학

분류학(分類學, ) 또는 생물분류학(生物分類學)은 지구상에 살고 있는 생물의 계통과 종속을 특정 기준에 따라 나누어 정리하는 생물학의 한 분야이다.

분류학이 추구하는 목적은 크게 다음과 같이 간추려 볼 수 있다.
 지구상에 현존하는 모든 생물체를 대상으로 한다.
 이 모든 생물체에 대한 정보 수집을 통하여 그들의 계보역사의 재구성.
 생물체에 관한 진화과정 및 관련학의 도움을 빌어 그의 원인추적.
 관련 학문, 예컨대 생지질학, 생화학에 필요한 정보 제공.
 생물학 관련 세부 분야, 예컨대 생물환경학, 유전학의 조직 혹은 분류체계 설정.
 위의 분류체계 설정을 통하여 실제 생태계에서 필요로 하는 설계에 기여.

 분류학의 유래 
오늘날 알려지고 남겨진 문헌을 근거로 할 때 생물 분류학의 기원은 기원전 4세기의 고대 그리스로 거슬러 올라간다. 고대 그리스의 철학자 아리스토텔레스는 그의 스승인 플라톤의 "둘로 나누기 방법"(Dihairesis)을 처음으로 동물의 분류에 사용하였는데 이를테면 동물을 온혈 - 냉혈동물로 나누고 여기서 온혈동물을 다시 깃털을 가진 동물과 깃털이 없는 동물 등으로 나누어 동물학을 미흡하나마 처음으로 체계적으로 연구하였다. 아리스토텔레스의 제자인 테오프라스토스는 이와 같은 분류 방법을 식물계에 확장 응용하였으며, 이 분류방법은 그가 이끄는 페리파테토스학파에 의해 계속 연구 발전되었다. 약 2300년 전에 세워진 이와 같은 분류방법은 놀랍게도 18세기에 이르기까지 큰 변화 없이 그대로 쓰였다.

18세기에 들어서면서 생물분류법은 스웨덴의 식물학자 칼 폰 린네에 의해서 비로소 커다란 혁신을 하게 되었다. 이후 몇몇 국제 학술회의를 거쳐 린네에 의해 체계화되고 정의된 분류법을 바탕으로 오늘날 국제 학술상 통일적으로 쓰이고 있는 생물분류법이 정립되었다.

 린네의 분류법 
right
린네가 착안한 분류법의 핵심은 생물의 종과 속을 구분함과 더불어 이들의 소속관계를 체계적으로 밝히는 데에 있으며, 형식상 다음과 같은 원칙을 고수하고 있다.
 종의 이름은 라틴어로 쓴다.
 종의 이름 뒤에는 종의 특징을 12단어 이내로 간추려 기재한다.

 같이 보기 
 생물 분류
 분류군
 존재론
 계통분류학

 외부 링크 
 
 국제 동물명 규약(ICZN, International Code of Zoological Nomenclature)
 국제 식물명 규약 (ICBN, International Code of Botanical Nomenclature)

*
분류:생물학
분류:생물 분류
분류:생물의 명명법
지롤라모 카르다노

지롤라모 카르다노(, 1501년 9월 24일 ~ 1576년 9월 21일) 이탈리아 밀라노에서 태어나 로마에서 죽었다. 수학자로 널리 알려져 있으나, 본업은 의사였다. 점성술사, 도박사, 철학자, 수학자이기도 했다.

 출생과 유년기 
섬네일|De propria vita(자서전), 1821
아버지가 레오나르도 다 빈치의 친구였고, 수학적 재능이 있던 변호사의 사생아로 태어난다. 카르다노의 자서전에는 어머니가 그를 사산시키려 했다고 쓰여 있다. 그의 어머니는 그 외에 3명의 자식을 전염병으로 잃고, 그를 낳은 직후 밀라노에서 파비아로 이주했다. 1520년 파비아 대학에 들어가 의학을 공부하고, 후에 파도바로 학교를 옮겨 약학을 공부했다. 그는 성격이 특이하고 배타적이어서 친구가 거의 없었고, 졸업 후 직업을 찾는 데에도 어려움을 겪는다. 당시 그는 의학을 전공해 의학으로 학위를 받았다. 결혼 후 그는 수학교사가 돼 수학과 물리학을 연구하기도 하고, 시골에서 의사생활을 하기도 했다. 1544년에는 밀라노 대학의 기하학 교수가 됐다.

카르다노는 재판관을 치료해 줌으로써 명망있는 의사가 되고, 돈을 많이 벌게 된다. 또한, 그의 소견은 재판장에서 신뢰를 얻는다. 그는 발진 티프스(typhoid fever)를 처음 발견한 의사이기도 하다.

 수학적 업적 
 일반적인 3차방정식의 해법 발표: 스키피오 델 페로(Scipione del Ferro)는 2차 항이 없는 삼차방정식의 해법을 발견하였고, 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolo Fontana Tartaglia)는 1차 항이 없는 삼차방정식과 일반적인 삼차방정식의 해법을 발견했으나, 이후에 카르다노가 델 페로와 타르탈리아의 업적을 자신의 업적으로 인정하는 글을 실어 해법과 같이 책으로 발표한다.<아르스 마그나>(Ars Magna) 타르탈리아는 카르다노에게 삼차방정식의 해법을 공개하지 않는다는 조건으로 알려주었으나 카르다노가 다음해 논문으로 발표한다. 타르탈리아는 그에게 삼차방정식의 해법을 건 수학경기를 신청한다. 서로에게 문제를 내서 못푸는 사람이 지는 경기였는데, 카르다노의 제자 로도비코 페라리(Lodovico Ferrari)가 카르다노를 돕는다. 페라리는 3차 방정식의 해법을 이용해 4차 방정식의 해법까지 구했었고, 그것을 알지 못하는 타르탈리아는 경기에서 지게 된다.
 허수 개념의 도입: 3차방정식의 근의 공식을 다루던 도중 음수의 제곱근의 필요성을 느끼고 허수의 개념을 도입하였다.
 확률론의 발전에 기여: 도박을 좋아하여 확률에 관하여 연구하게 되었다. 확률에 관한 최초의 저서인 ‘주사위 놀이에 대하여’라는 책을 남겼다. 그가 즐겼던 주사위 도박에서 발견한 것이다.
 16세기에 행렬식을 정의하였다.

 역학 분야의 업적 
‘천체를 제외하고는 영속적인 운동은 없다’는 주장으로 명성을 날렸다.

 의사로서의 명성 
천식 치료, 탈장 수술법 개발, 발진티푸스에 대한 최초의 임상 기록을 남겼다.

 말년 
카르다노가 살던 시대에는 수학경기가 있었는데 주어진 문제를 가장 빨리 푸는 사람에게 상금이 주어졌다고 한다. 카르다노는 상금을 혼자서 많이 갖기도 했다. 1570년에는 종교재판을 받고 몇달간 수감되기도 했다. 점성술을 퍼뜨린 죄였다. 카르다노는 점성술사이기도 해서 자신이 1576년 9월 21일에 죽는다고 하였고, 자신이 옳다고 증명하기 위해 그는 그날 로마에서 자살을 하였다. 또 카르다노는 영예를 누리며 생을 마감했다. 그러나 카르다노의 말년 또한 행복하진 못했다. 아내를 잃고 사랑하는 아들이 처형을 당하는 상황을 견뎌야 했다. 그는 말년에 이런 말을 남겼다. "아들의 파멸을 지켜보며 나는 결국 노름을 끊었다. 그래서 인간은 어떤 학문보다 위대하다!"

 같이 보기 
 앤서니 그래프턴
 외위스테인 오레
 E. M. 포스터
 각주 

분류:1501년 출생
분류:1576년 사망
분류:이탈리아의 수학자
분류:이탈리아의 의사
분류:이탈리아의 점성술사
분류:이탈리아의 발명가
분류:롬바르디아주 출신
분류:파도바 대학교 동문
분류:파비아 대학교 동문
분류:16세기 이탈리아 사람
분류:16세기 수학자
분류:파비아 출신