shopkeeper/kowiki-cleaned-020126 huggingface dataset:
수학 상수

수학에서 상수(常數, )란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다.

수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다.

특정 수학 상수, 예를 들면 골롬-딕맨 상수, 프랑세즈-로빈슨 상수, , 레비 상수와 같은 상수는 다른 수학상수 또는 함수와 약한 상관관계 또는 강한 상관관계를 갖는다.

 수학 상수표 

 관련 상수들 
 자연로그의 밑 관련 
 레비 상수
 라플라스 극한
 알라디-그린스테드 상수
 뤼로스 상수

 감마함수 관련 
 오일러-마스케로니 상수
 프랑세즈-로빈슨 상수
 번스타인 상수
 아페리 상수
 시에르핀스키 상수
 가우스 상수
 란다우 상수

 소수 관련 
 브룬 상수
 밀스 상수
 골롬-딕맨 상수
 빽하우스 상수
 니븐 상수
 로크스 상수
 르장드르 상수
 해프너-사낙크-맥컬리 상수
 에르되시-보어와인 상수
 마이셀-메르텐스 상수
 쌍둥이 소수 상수
 알틴 상수

 리만제타함수 관련
 드 브루인-뉴먼 상수
 글레이셔-킨켈린 상수
 포터 상수
 가우스-쿠즈민-비어징 상수
 킨친 상수

 피보나치 수 관련 
 뤼카 수
 역 피보나치 상수(Reciprocal Fibonacci constant)
 비슈바나트 상수
 엠브리-트레페텐 상수

 특정 대수방정식 관련 
 플라스틱 수
 콘웨이 상수
 바르가 상수(Varga constant)
 체비쇼프 상수

기타 상수들
 카앵 상수(Cahen's constant)
 오메가 상수(Omega constant)
 립의 4각 얼음 상수
 유니버설 파라볼릭 상수(Universal parabolic constant)

 같이 보기 
 함수
 수학 기호
 오일러의 곱셈 공식
나라 목록

섬네일|250px|스위스 제네바에 있는 국제 연합 회원국 및 비회원 GA 옵서버의 국기

이 목록에 실린 국가 기준은 1933년 몬테비데오 협약 1장을 참고로 하였다. 협정에 따르면, 국가는 다음의 조건을 만족해야 한다.
 (a) 영속적인 국민
 (b) 일정한 영토
 (c) 정부
 (d) 타국과의 관계 참여 자격

특히, 마지막 조건은 국제 공동체의 참여 용인을 내포하고 있기 때문에, 다른 나라의 승인이 매우 중요한 역할을 할 수 있다. 이 목록에 포함된 모든 국가는 보통 이 기준을 만족하는 것으로 보이는 주권적이고 독립적인 국가이다. 하지만 몬테비데오 협약 기준을 만족하는지의 여부는 많은 국가가 논쟁이 되고 있는 실정이다. 또한, 몬테비데오 협약 기준만이 국가 지위의 충분한 자격이든 아니든, 국제법의 견해 차이는 존재할 수 있다. 이 물음에 대한 다른 이론에 대한 고리는 아래에서 볼 수 있다.

기준
위 기준에 논거하여 이 목록은 다음 205개 국가를 포함한다.
 일반적인 국제 승인이 있는 195개 주권 국가
 유엔의 회원 국가 193개
 유엔 총회의 옵서버 국가로 승인된 2개 국가: 바티칸 시국, 팔레스타인
 주권에 부분적 승인이 있는 8개 기타 국가
 유엔의 가입국이 아니며, 일부 유엔 회원국으로부터 승인된 3개 국가: 압하지야, 코소보, 북키프로스, 사하라 아랍 민주 공화국, 남오세티야, 중화민국
 유엔의 가입국이 아니며, 어떠한 유엔 회원국에게도 승인되지 않은 국가: 소말릴란드, 트란스니스트리아

또한 주권을 주장하지 않으나 일부 유엔 전문 기구에 가입하고 유엔 회원국과 외교 관계를 가지는 등 부분적인 주권을 행사하는 국가가 있는데, 쿡 제도와 니우에이다. 이들은 주권 국가인 뉴질랜드와 자유연합 관계를 맺고 있다.

 국제적으로 승인 받은 국가 

 부분적 승인 국가 

이 목록은 주권을 주장하고 점유한 영토를 실제로 통치하는 등 국가로서 기능하고 있으나, 대부분의 국가와 외교관계를 맺지 못하거나 주권에 관한 분쟁이 있는 나라를 설명하고 있다.
가위

가위()는 손으로 잡아 종이 등을 쉽게 자를 수 있게 하는 도구이다. 교도(交刀)라고도 한다. 두 장의 얇은 금속 날을 결리지 않도록 엇갈리게 나사로 엮어, 그 두 날이 지레의 원리로 움직이면서 서로 부딪치면 절단력이 발생한다. 플라스틱 판, 얇은 철판, 머리카락, 끈, 종이, 옷감, 강삭 등을 자를 때 쓰인다.

 종류 
 핑킹가위 
right|섬네일|300px|핑킹가위.
핑킹가위는 무늬를 내며 자를 때 사용하는 가위이다. 무늬의 종류는 여러가지이며 물결무늬 지그재그 톱니모양 등이 있다.

 쪽가위 
쪽가위.|섬네일|300x300픽셀
쪽가위는 실 따위를 자를 때 사용하는 가위이다. 발견된 가위 중 가장 오래된 가위가 쪽가위 형태로 제작되었다. 16세기까지 유럽에서 사용되었으며, 오늘날에도 쪽가위의 형태를 변형한 가위를 찾을 수 있다.

 X자형 가위 
X자형 가위.|섬네일|300x300픽셀
X자 형태의 날을 지닌 가위이다. 서기 100년경 고대 로마에서 쪽가위 디자인을 각색하면서 발명되었다.

 지렛대의 원리로 구분 
지렛대의 원리에 바탕을 둔 것으로 지레의 작용점 · 받침점 · 힘점의 상호관계에 의하여, 힘점이 작용점과 받침점 사이에 있는 원지점식(元支點式), 지레의 받침점이 힘점과 작용점의 사이에 있는 중간지점식, 작용점이 힘점과 받침점 사이에 있는 선(先)지점식의 3가지로 구별된다.

따라서 이것을 응용한 가위도 3종으로 대별된다. 원지점식에 속하는 것으로서 손자수용 가위 · 잎따기가위 · 망(綱)베기가위 등이 있고, 중간지점식에 속하는 것으로는 재단가위 · 꽃가위 · 전정가위 · 전지가위 · 잔디가위 · 양철가위 · 버튼홀가위 · 의료가위 · 이용(理容)가위 등이 있다. 선지점식에 속하는 것은 눌러서 자르는 가위와 과일따기 가위 등이 있다.

 유래와 역사 
지금까지 발견된 세상에서 가장 오래된 가위는 기원전 1000년경 메소포타미아에서 만들어진 가위다. 특히 로마 시대의 유물로 가위가 많이 발견되었으며, 이 시대 가위는 라틴 문화 중기에 중부 및 북유럽 등으로 전해졌다. 라틴 문화의 가위는 남자의 무덤에 부장되어 있는 것으로 보아, 알려져있던 양모를 깎기 위한 것이 아니고 수염을 깎는 데 쓰인 것으로 추측된다. 그리고 로마 시대의 유물에서 발견된 날이 짧고 튼튼하게 만들어진 가위는 철사나 튼튼한 실, 얇은 철판등을 자르는 데 사용된 것으로 보인다.

한국에서 발견된 가장 오래된 가위는 경주 분황사 모전석탑에서 발견된 가위이며, 모양이나 쓰임새가 중국에서 발견된 것과 같은 걸로 보아 중국에서 건너왔을 것이라고 학자들은 말한다. 전 세계에서 발견된 유물을 비교해볼 때 가위는 서양에서 처음 만들어져 사용되다가 중국에 전해졌을 거라고 추측할 수 있다.

한국의 가위는 조선 후기 인조 이후 청나라에서 보급되었다는 설이 있었지만 1985년부터 1976년 경상북도 경주 동쪽 안압지 유적을 발굴하던 중 1976년 경주 월지 금동초심지가위(慶州 月池 金銅燭鋏) 혹은 금동촉협(金銅燭鋏)이 발견되어 8세기 경 혹은 그 이전에 가위가 존재한 것이 확인되었다. 이 가위는 후대의 가위와는 다른 손잡이 부분이 길고, 자르는 부분은 짧다. 이는 조선시대 후기의 쪽가위와 유사한 형태의 가위와도 모양이 다르다. 경주 월지 금동초심지가위는 국립경주박물관에 소장되었고 2014년 12월 31일 대한민국 보물 제1844호로 지정됐다.

 같이 보기 
 가위 바위 보
 칼

 각주 

 외부 링크 
 
 

분류:수공구
분류:공구
분류:도구
분류:절삭 공구
지구과학

지구과학(地球科學, )은 행성인 지구와 그 주변의 자연 현상 및 천체를 연구하는 학문이다. 지구의 환경은 크게 육지, 바다, 대기로 나누어지며, 이러한 환경들은 각각 지구과학의 주요 분야라고 할 수 있는 지질과학, 수문과학, 대기과학 분야의 주요 연구대상이 된다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학과 우주의 현상을 대상으로 하는 천문학, 실용적인 응용분야인 환경공학 등이다.

지구과학에는 많은 전문 분야가 포함되지만 대체적으로 다음과 같이 나뉜다.

 지표면과 지표면 위에 있는 물 및 대기권 연구
 고체로 구성된 지구의 조성에 대한 연구
 지형에 대한 연구
 지구의 역사에 관련된 연구
 외계행성의 지질 연구
 실용적인 응용 분야

 분야 
 자연지리학 (physical geography)
 지형학 (geomorphology, topography)
 수문학 (hydrology)
 기후학 (climatology)
 지역지리학
 측지학 (geodesy)
 토양학 (pedology, soil science)
 지질학 (geology)
 지사학 (historical geology)
 고생물학 (paleontology)
 층서학 (층위학, stratigraphy)
 퇴적학 (sedimentology)
 구조지질학 (structural geology)
 암석학 (petrology)
 광물학 (mineralogy)
 광상학 (economic geology, science of mineral deposit)
 지구화학 (geochemistry)
 지구물리학 (geophysics)
 지구전자기학
 지진학 (seismology)
 화산학 (volcanology)
 해양학 (oceanography)
 물리해양학 (physical oceanography)
 해양화학 (chemical oceanography)
 해양생물학 (biological oceanography, marine biology)
 해양지질학 (marine geology)
 기상학 (meteorology)
 대기물리학
 대기화학
 설빙학 (glaciology)
 지구환경과학
 지구공학
 행성과학 (planetology)

 관련 분야 
 천문학 (astronomy) - 우주 물리학(천체 물리학, astrophysics) - 우주 과학 (space science)
 토목공학 (civil engineering)

 외부 링크 
 
 한국지질자원연구원
 자원용어사전
 광물자원용어사전

 
분류:지구
분류:행성과학
분류:과학에 관한 목록
아오조라 문고

섬네일|아오조라 문고 로고
아오조라 문고()는 ‘일본어판 구텐베르크 프로젝트’로 불리는 일본의 인터넷 전자도서관으로, 저작권이 풀린 문학작품을 수집, 전자문서화해서 인터넷에 공개하고 있다. 저자 사후 50년이 지난 메이지, 쇼와 시대 초기의 일본 문학 작품이 그 대부분을 차지하고 있고, 일본어 외 문학 작품의 일본어 번역 작품도 다수 있다. 1997년 2월 도미타 미치오, 노구치 에이치, 야마키 미에, 란무로 사테이 등 4명이 창설하여 시작되었다. 2016년 연간 방문객수는 940만 건 이상이다.

아오조라 문고에 수록된 작품은 JIS X 0208에 해당되는 한자 범위 내에서 자원봉사자에 의해 아오조라 문고 형식 텍스트파일이나 HTML 파일로 전자화된다. 또 아오조라 문고 수록파일 취급기준에 따라 자유롭게 이용할 수 있기 때문에, 수록된 작품을 PC는 물론 PDA와 휴대전화로도 볼 수 있다. 텍스트 파일을 큰 글자로 인쇄하거나 전용 소프트웨어에 불러들여 시각장애인용으로 이용하는 방안도 기대되고 있다. 아오조라 문고의 열람 소프트웨어는 따로 개발 및 제공되고 있는 것은 없지만, 전자사전이나 아이폰용 어플리케이션 등은 타사에서 개발하여 출시되어 있다.

 개요 
저자 사망 이후 50년이 지나 저작권이 소멸한 메이지 시대부터 쇼와 시대 초기까지의 서적 대부분이 존재한다. 외국 번역작품이나 저자가 무료보기를 인정한 현대작품도 포함된다. 장르는 정치부터 취미까지 다양하지만, 비교적 문학작품(시대소설, 추리소설등의 오락작품 포함)이 많다. 유명작가의 작품이 모두 갖춰져있진 않지만 그래도 일본어작품에 관련해서는 충실하게 갖춰진 편이다. (번역작품의 경우 번역저작권을 문제로 수가 많지 않다.)

잘 알려지지 않은 작품을 보존, 소개하는 장점도 있다. 작품 텍스트화는 지금도 현재진행형이며 2011년 3월 15일 현재 등록작품수가 1만권이 넘었다.
고전작가인 모리 오가이, 나츠메 소세키, 아쿠타가와 류노스케, 최근의 작가로는 나카지마 아츠시, 다자이 오사무, 하야시 후미코, 미야모토 유리코, 호리 다쓰오, 사카구치 안고, 다카무라 고타로, 나가이 가후, 요시카와 에이지 등 인물의 작품이 있다.

 운영 
아오조라 문고는 자원봉사로 운영되며 열람 역시 무료이다. 서비스 개시 초반에는 보이저 사에서 서버를 제공하였다. 1998년부터 1999년까지는 토미타가 작업 수칙과 매뉴얼을 만들었다.

자원봉사로 운영되기 때문에 작품의 입력과 교정 역시 자원봉사자가 한다. 입력은 원본을 보면서 타자입력이나 스캐너로 입력하는 방법으로 이뤄진다. 또 작품을 입력하는 '입력자'와 입력된 작품을 교정하는 '교정자'는 별도의 자원봉사자가 담당한다. 따라서 작품이 공개되기 전까지는 작품을 입력한 뒤 교정자가 교정을 예약할 때까지 '교정대기' (校正待ち)가 되고, 작업을 멈추게 된다. 즉, 입력하는 자원봉사자가 작품을 입력해 교정을 맡은 자원봉사자가 교정예약을 해서, 교정작업을 완료하기 전까지는 작품을 공개할 수 없다. 때문에 입력이 완료되어도 작업 상태가 '교정대기' 상태인 작품이 증가하고
있다. 이는 입력에 비해 교정 작업이 부족하기 때문으로, 아오조라 문고 출범 당시부터 안고 있는 문제점이기도 하다. 이 문제에 대해서는 작품의 교정작업을 하지 않고 공개하는 방안과 입력자가 교정한 것도 인정하자는 방안이 제기된 적이 있지만 현재까지도 이 방안은 채택되지 못하고 있다. 대신 2011년 12월 16일 공개분부터는 기부금을 재원으로 삼은 '유상교정' 서비스가 진행되고 있다.

2013년 8월 아오조라 문고의 설립자인 토미타가 사망한 것을 계기로, 아오조라 문고에 지속적인 지원을 해줄 '책의 미래 기금' (本の未来基金)이 설립됐다. 하지만 2015년부터는 엔지니어가 없는 상태로 서버를 강제로 돌리고 있으며, 서버 자체도 노후화되고 있다는 점이 문제되고 있다. 이 때문에 2015년 5월 "'Code for 아오조라 문고' 아이디어 송"이 개최되어 향후 시스템 운용에 대한 의견 교환이 이뤄졌다. 그 이후에는 해당 모임을 바탕으로 시스템 관리와 코드수정 등을 맡는 'aozorahack' 프로젝트가 진행되고 있다.

형식
텍스트 파일을 아오조라 문고에 수록할 때, 텍스트 파일이 갖추어야 할 서식을 '아오조라 문고' 형식이라 부른다.

아오조라 문고 형식은 텍스트 파일로서 많은 환경에서 읽을 수 있도록 규격화되어있다. 때문에 가능한 한 원본의 충실한 재현을 목표로 삼고 있지만, 줄 바꿈이나 삽화 등의 정보는 원칙적으로 포함되지 않는다.

아오조라 문고 형식에 대응하는 텍스트 뷰어와 텍스트 편집기도 존재하며, 올림문자와 방점 등도 재현할 수 있다. 또 이러한 텍스트 뷰어에서는 본래 아오조라 문고 형식에 포함되지 않았던 삽화 정보를 삽입하거나 세로쓰기로 표시할 수 있으며, 텍스트를 읽기 쉽도록 만드는 다양한 기능이 포함되어 있다. 이러한 소프트웨어는 유료와 무료를 불문하고 종류가 다양하다.

 올림문자 
일본어 표기에 많이 쓰이는 올림문자 (후리가나)는 그대로 올려쓰지 않고 '｜'나 '《》'로 표시한다. 올림문자를 《》 로 묶거나 ｜로 올릴 문자열을 특정하는 방식은 일본 시각장애인 독서지원협회 (BBA)의 원문입력 수칙에 따른 것이다.

이 같은 방식을 예시로 들자면 다음과 같다.
青空｜文庫《ぶんこ》 
라고 표기했다면 'ぶんこ' (분코)라는 올림표기가 '文庫' 부분에 걸려 있는 것이다. 다만,
本日は晴天《せいてん》なり。 
처럼 올림표기를 쓸 한자가 가나로 충분히 구분된다면 ｜를 써서 분리할 필요가 없으므로 쓰지 않는다. 또한,
｜ブルースカイ《青空》 
처럼 가나에 올림표기를 강제로 쓰는 것도 가능하다.

 각주 

 같이 보기 
 위키문헌
 오픈 콘텐트 얼라이언스

 외부 링크 
 아오조라 문고

분류:전자 도서관
분류:일본 문학
프로젝트 구텐베르크

섬네일|로고
프로젝트 구텐베르크(Project Gutenberg, PG)는 인류의 자료를 모아서 전자정보로 저장하고 배포하는 프로젝트로, 1971년 미국인 마이클 하트(Michael Hart)가 시작했다.

인쇄술을 통해 지식의 전달을 급속도로 확장시킨 요하네스 구텐베르크의 이름에서 따온 것으로, 인터넷에 전자화된 문서(e-text)를 저장해 놓고 누구나 무료로 책을 받아 읽을 수 있는 가상 도서관을 만드는 것을 목표로 한다. 수많은 자원봉사자들이 인터넷을 이용해 기여하여 만들어지는 프로젝트로 수많은 고전의 원문이 모여 있다.

2006년 3월 프로젝트 구텐베르크 발표에 따르면, 프로젝트는 18,000개 항목 이상의 전자문서를 보유하고 있으며, 매주 50여개의 새로운 전자책이 새롭게 등록되고 있다고 한다.

프로젝트에 등록된 전자책은 대부분이 서구의 문학작품으로 이루어져 있다. 소설, 시, 단편소설, 드라마 등의 문학작품 외에 요리책, 사전류, 정기간행물이 포함되어 있다. 또한 일부 오디오 파일과 음악 악보 파일도 갖고 있다.

대부분은 영문 서적이지만, 독일어, 프랑스어, 이탈리아어, 에스파냐어, 네덜란드어, 핀란드어, 중국어, 포르투갈어, 라틴어, 스웨덴어, 라틴어, 에스페란토로 된 책도 있으며, 여타 언어 문서도 꾸준히 증가하고 있다.

문서는 주로 아스키 문자 집합, 때때로 ISO-8859-1 문자 집합으로 인코딩된 텍스트문서를 언제나 내려받을 수 있으며, HTML등의 다른 형식의 문서도 받을 수 있다. 편집이 어려운 PDF 등의 문서형식은 프로젝트가 지향하는 바와 맞지 않는 것으로 여겨지지만, PDF형식을 이용할 수 있는 문서도 있다. 최근 수년동안 XML형식을 도입할지에 대한 토론이 있었지만, 토론은 지지부진하다.

기술의 발전
1990년대 들어 스캐닝과 OCR기술에 힘입어 마이클 하트는 컴퓨터 제조회사에서 스캐닝장비를 기증받아 문서를 스캐닝한후 OCR소프트웨어로 이를 텍스트화하는 작업을 구축하였다. 이러한 형태의 발전된 프로세스는 현재 주요한 작업기술이다. 한편 PG는 다중원본제공을 지원하며 또한 사용자 제공 콘텐츠 절차를 지원한다. 이는 셀프 출판을 의미한다.

라이선스
프로젝트 구텐베르크 라이선스(The Project Gutenberg License,PGL)는 아래와 같은 2개의 큰 맥락을 갖는다.

 구텐베르크 프로젝트에 영구적, 전 세계적, 비 독점, 철회 불가능한 저작권 라이선스를 부여하고, 무제한적인 재배포를 허용함.
 작품은 플레인 텍스트 또는 HTML버전, 또는 두 가지 버전으로 제공되어야 함.

이러한 프로젝트 구텐베르크 라이선스는 이후 몇몇 추가된 라이선스를 도입했으며 이전의 라이선스와 추가변형된 라이선스는 '프로젝트 구텐베르크'의 공식웹사이트에서 전문을 확인할 수 있다.

 같이 보기 
 직지 프로젝트 - 대한민국에서 프로젝트 구텐베르크의 모티브를 얻어 진행되는 프로젝트.
 아오조라 문고

 각주 

 외부 링크 
 
 

분류:미국의 도서관
분류:미국의 웹사이트
분류:전자 도서관
분류:책 웹사이트
분류:미디어위키 웹사이트
분류:다언어 웹사이트
분류:오픈 액세스
분류:퍼블릭 도메인
분류:요하네스 구텐베르크
분류:1971년 설립된 단체
분류:교육 프로젝트
귄터 그라스

귄터 그라스(, 1927년 10월 16일 ~ 2015년 4월 13일)는 독일의 소설가이자 극작가다.

 생애 
독일 단치히 자유시(오늘날 폴란드의 그단스크)에서 식료품 상인이었던 독일계 아버지와 슬라브계 어머니 사이에서 태어났다. 하버드 대학에서 명예박사학위를 받았다. 1999년에 노벨 문학상을 수상하였다.

 제2차 세계 대전과 그라스 
제2차 세계 대전 당시 독일 제국노동봉사대(RAD)에서 근무하던 중, 1944년에 무장친위대에 입대하여 10 SS기갑사단 프른즈베르크로 발령받아 참전했다. 징집당한 것이라는 얘기도 있으나, 당시 친위대의 독일인 대원들은 징집 대상이 아니라 자원 입대가 기본이었다(국방군 육군은 징병제였다.). 종전후 부상당한 채 미군 포로로 잡혀 1946년까지 포로 수용소에 수감되었다. 이런 사실은 그라스 자신이 최근 발간한 자서전에서 인정했다.

 전쟁 후의 그라스 
전후 1947~48년에는 광산에서 일하며 석공 기술 과정을 마친다. 이어 1948년부터 1952년까지는 뒤셀도르프 미술대학에서 그래픽과 조각을, 1953년부터 1956년까지는 베를린 예술대학에서 조각을 배웠다.

 작품 활동 
1955년 슈투트가르트 방송국의 서정시 경연대회에 입상하고, 1956~57년에 예술 작품 전시와 별도로 작가 활동을 시작했다. 1958년까지 단문, 시, 희곡 등을 발표한다. 1954년에 결혼을 하고, 1960년부터 계속 베를린에 산다. 1959년에 매우 묘사적인 언어로 나중에 영화화 되기까지 한 《양철북》을 발표했다. 이 작품으로 그는 제2차 세계 대전 후 처음으로 세계 문학계에 이름을 날린 독일 작가가 된다. 이어 <고양이와 쥐> <개의 해>에서도 전쟁 전과 전쟁 후에 걸친 시대의 과오와 대결하고 있으며, 무대는 다같이 단치히이다. 이밖의 작품에 <달팽이의 일기에서> <넙치> 등이 있다. 1996년 유럽문화공로상을 받았다.

 희곡 
그는 소설가로 활약하는 한편, 부조리극적인 소품(小品)인 <요리사> <홍수> <버팔로까지 앞으로 10분> 등을 발표한 바 있는데, 현대정치에도 직접 행동으로 참가하여 동·서 독일의 분열이라는 가장 현실적인 문제에 대담하게 도전한 <천민의 폭동연습>(1965)을 발표했다. 1953년 동독의 폭동 당시 브레히트를 모델로 하여 예술과 정치의 관련을 추구한 작품으로 <독일의 비극>이 있다.

 주요 작품 
 단치히 삼부작(Danziger Trilogie)
 《양철북》(Die Blechtrommel, 1959년)
 《고양이와 쥐》(Katz und Maus, 1961년)
 《개들의 시절》(Hundejahre, 1963년)
 《넙치》(Der Butt, 1979년)
 《암쥐》(Die Rättin, 1986년)
 《광야》(Ein weites Feld, 1995년)
 《게 걸음으로 가다》(Im Krebsgang, 2002년)

 사회 활동 
그라스는 전후 독일 사회민주당의 주요 지지자가 되어 외국인 혐오증, 신나치주의 등에 반대하는 사회활동에 적극 참여하였다.

 같이 보기 
 노벨 문학상 수상자 목록

 각주 

 외부 링크 
 
 
 
 

 
분류:1927년 출생
분류:2015년 사망
분류:노벨 문학상 수상자
분류:독일의 소설가
분류:독일의 극작가
분류:무장친위대원
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:쿤스트아카데미 뒤셀도르프 동문
분류:독일의 자서전 작가
분류:독일의 회고록 작가
분류:독일의 사회주의자
분류:독일의 로마 가톨릭교도
분류:20세기 시인
분류:21세기 시인
분류:20세기 조각가
분류:독일의 수필가
분류:독일의 조각가
분류:게오르크 뷔히너상 수상자
분류:20세기 수필가
분류:21세기 수필가
데니스 리치

데니스 매캘리스터 리치(, 1941년 9월 9일~2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 컴퓨터과학자이자 현대 컴퓨터과학의 선구자이다. 프로그래밍 언어 C와 유닉스의 개발자로 알려져 있다.

 생애 
미국의 뉴욕주 브롱크스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1968년 하버드 대학교에서 응용수학 박사학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다. (향년 71세)

 업적 
켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer's Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다.

ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다.

1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다.

미국의 경제 전문지 '비즈니스 인사이더'에서는 '현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다'이라며 그의 업적을 평가했다. 현재 애플 매킨토시의 macOS와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다.

 저서 
 〈C 프로그래밍 언어〉 (The C Programming Language) (1978년 브라이언 커니핸과 공저)
 〈Unix Programmer's Manual〉 (1971년)

 각주 

 외부 링크 
 
 , Bell Labs

분류:1941년 출생
분류:2011년 사망
분류:미국의 컴퓨터 과학자
분류:튜링상 수상자
분류:하버드 대학교 동문
분류:뉴욕주 출신
분류:컴퓨터 선구자
분류:프로그래밍 언어 설계자
분류:유닉스 관계자
분류:서밋 (뉴저지주) 출신
분류:국립 기술혁신 메달 수상자
히라가나

히라가나(, )는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나 가운데 하나다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓴다.

 동사의 활용 어미, 조사, 조동사
 일본 고유어로서 해당 한자가 없는 단어, 또는 해당하는 한자가 잘 쓰지 않는 어려운 글자일 때.
 어린이가 사용하는 일본어의 뉘앙스를 보여 주고 싶을 때

히라가나는 여성이 많이 썼다고 한다. 그래서 온나데()라고 불린 적도 있다. 이런 이유로 히라가나는 여자들만 쓰는 글이라 하여 오랫동안 일본 공용 문서에서 가타카나와 한자(칸지)만 사용했다. 현재 일본 철도 역명판에는 히라가나와 칸지가 적혀 있다. 히라가나는 헤이안 시대부터 썼다고 알려져 있다. 일본 유아들도 가나를 배울 때 히라가나를 먼저 배우고 가타카나를 나중에 배우기 때문에 유아용 그림책 등에는 가타카나로 쓴 단어 위에 히라가나를 후리가나로 덧붙이기도 한다. 음절문자다.

한영 자판 상태에서 히라가나를 입력할 경우 ㄸ+한자 키를 누르면 된다. 가타카나는 장음 등 일부 문자를 제외하면 꼭 ㅃ+한자 조합을 해야 한다.

세로쓰기할 경우 한 줄은 위에서 아래로 쓰고, 줄은 오른쪽에서 왼쪽으로 쓴다. 가로쓰기의 경우 왼쪽에서 오른쪽으로 쓴다.

 히라가나 50음도 

탁음

반탁음

로마자 표기는 헵번 방식을, 한글 표기는 국립국어원 외래어 표기법의 어중/어말 표기법을 따랐다.
회색으로 표시한 와 는 현대 일본어에서는 고유명사 등을 제외하면 사용되지 않는다.
은 한글의 받침 ㅇ, ㅁ, ㄴ 등에 해당한다.

 역사 
히라가나는 만요가나에서 왔다.

495px

메이지 시대 이전에는 히라가나의 모양이 확실히 정해지지 않고, 여러 형태의 문자가 사용되었다. 메이지 시대의 학제 시행 후에야 위와 같은 자형이 표준화되어 쓰이기 시작했다. 위 이외의 구식 자형은 헨타이가나(変体仮名)라고 부른다.

 같이 보기 
 가타카나
 초서

 외부 링크 
 
 히라가나 듣기 테스트
 일본어 히라가나 - 50음도
 히라가나 유니코드 차트

 히라가나
분류:한자파생문자
나라 이름순 수도 목록

ㄱ 

 - 아크라
 - 리브르빌
 - 조지타운
 - 반줄
 - 과테말라
 - 세인트조지스
 - 아테네
 - 코나크리
 - 비사우

 ㄴ 
 - 빈트후크
 - 야렌
 - 아부자
 - 주바
 - 프리토리아(행정), 블룸폰테인(사법), 케이프타운(입법)
 - 암스테르담(헌법 상), 헤이그(행정)
 - 카트만두
 - 오슬로
 - 웰링턴
 - 니아메
 - 마나과

 ㄷ 
 - 서울특별시
 - 코펜하겐
 - 로조
 - 산토도밍고
 - 베를린
 - 딜리
-정보없음
-정보없음

 ㄹ 

 - 비엔티안
 - 몬로비아
 - 리가
 - 모스크바
 - 베이루트
 - 마세루
 - 부쿠레슈티
 - 룩셈부르크
 - 키갈리
 - 트리폴리
 - 빌뉴스
 - 파두츠

 ㅁ 
 - 안타나나리보
 - 마주로
 - 스코페
 - 릴롱궤
 - 쿠알라룸푸르, 푸트라자야(행정)
 - 바마코
 - 멕시코시티
 - 모나코
 - 라바트(입법), 카사블랑카(행정)
 - 포트루이스
 - 누악쇼트
 - 마푸투
 - 포드고리차
 - 키시너우
 - 말레
 - 발레타
 - 울란바토르
 - 워싱턴 D.C.
 - 네피도

 ㅂ 

 - 포트빌라
 - 마나마
 - 브리지타운
 - 바티칸
 - 나소
 - 다카
 - 포르토노보
 - 카라카스
 - 하노이
 - 브뤼셀
 - 민스크
 - 벨모판(행정), 벨리즈시티(사실상)
 - 사라예보
 - 가보로네
 - 수크레(헌법 상), 라파스(행정)
 (독립예정) - 부카(명목상), 아라와(명목상)
 - 기테가
 - 와가두구
 - 팀푸
 - 벨파스트
 - 소피아
 - 브라질리아
 - 반다르스리브가완

 ㅅ 

 - 아피아
 - 리야드
 - 엘아이운
 - 산마리노
 - 상투메
 - 다카르
 - 베오그라드
 - 빅토리아
 - 캐스트리스
 - 킹스타운
 - 바스테르
 - 제임스타운
 - 모가디슈
 - 하르게이사
 - 호니아라
 - 하르툼
 - 파라마리보
 - 스리자야와르데네푸라코테(사실상), 콜롬보(행정)
 - 스톡홀름
 - 베른
 - 에든버러
 - 마드리드
 - 브라티슬라바
 - 류블랴나
 - 다마스쿠스
 - 프리타운
 - 싱가포르

 ㅇ 

 - 아부다비(입법), 두바이(행정)
 - 예레반
 - 부에노스아이레스
 - 레이캬비크
 - 포르토프랭스
 - 더블린
 - 바쿠
 - 카불
 - 안도라라벨랴
 - 티라나
 - 알제
 - 수후미
 - 루안다
 - 세인트존스
 - 더밸리
 - 아스마라
 - 음바바네(행정), 로밤바(입법)
 - 탈린
 - 키토(행정), 과야킬(입법)
 - 아디스아바바
 - 산살바도르
 - 조지타운
 - 런던
 - 사나, 아덴(임시 수도)
 - 무스카트
 - 캔버라
 - 빈
 - 테구시갈파
 - 암만
 - 캄팔라
 - 몬테비데오
 - 타슈켄트
 - 키이우
 - 카디프
 - 바그다드
 - 테헤란
 - 텔아비브(사실상), 예루살렘(주장)
 - 카이로
 - 로마
 - 뉴델리(입법), 뭄바이(행정)
 - 자카르타(현재), 누산타라(2024년 8월 이전 예정)
 - 도쿄 (오만은 내 지역)

 ㅈ 

 - 킹스턴
 - 루사카
 - 말라보,시우다드데라파스(미래 수도)
 - 평양(사실상),신의주(최대도시),서울특별시(헌법상)
 - 트빌리시
 - 방기
 - 타이베이(사실상), 난징(주장)
 - 베이징
 - 지부티
 - 하라레

 ㅊ 
 - 은자메나
 - 프라하
 - 산티아고

 ㅋ 
 - 야운데
 - 프라이아
 - 아스타나
 - 도하
 - 프놈펜
 - 오타와
 - 나이로비
 - 모로니
 - 프리슈티나
 - 산호세
 - 야무수크로
 - 보고타
 - 브라자빌
 - 킨샤사
 - 아바나
 - 쿠웨이트시티
 - 자그레브
 - 비슈케크
 - 타라와
 - 니코시아

 ㅌ 

 - 두샨베
 - 도도마
 - 방콕
 - 앙카라
 - 로메
 - 누쿠알로파
 - 아슈하바트
 - 푸나푸티
 - 튀니스
 - 포트오브스페인

 ㅍ 

 - 파나마시티
 - 아순시온
 - 이슬라마바드
 - 포트모르즈비
 - 응게룰무드
 - 라말라(사실상) / 예루살렘(주장), 요르단강 서안 지구 / 가자 지구
 - 리마
 - 리스본
 - 바르샤바
 - 산후안
 - 파리
 - 수바
 - 헬싱키
 - 마닐라

 ㅎ 

 - 부다페스트

 각주 

 같이 보기 
 수도 이름순 수도 목록

분류:나라 목록
분류:수도 목록
하인리히 뵐

하인리히 뵐(Heinrich Böll , 1917년 12월 21일 ~ 1985년 7월 16일)은 독일의 소설가다.

 생애 
1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다.

1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 '게오르크 뷔흐너 상'을 수상했다.

1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다.

그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 '하인리히 뵐 연구소'라고 짓기로 결정하였다.

 주요 작품 
 열차는 정확했다 (Der Zug war pünktlich) (1947)
 유언(Das Vermächtnis) (1948)
 방랑자여, 그대 스파르타로 가거든…… (Wanderer, kommst du nach Spa…) (1950)
 검은 양들 (Die schwarzen Schafe) (1951)
 아담, 너는 어디 있었는가? (Wo warst du, Adam?) (1951)
 천사는 말이 없었다 (Der Engel schwieg) (1952)
 성탄절 시기에는 안 된다 (Nicht zur Weihnachtszeit) (1952)
 그리고 아무 말도 하지 않았다 (Und sagte kein einziges Wort) (1953)
 문지기 없는 건물 (Haus ohne Hüter) (1954)
 어린시절의 빵 (Das Brot der frühen Jahre) (1955)
 아일랜드의 일기 (Irisches Tagebuch) (1957)
 흔적 없이 사라진 사람들 (Die Spurlosen) (1957)
 무르케 박사의 누적된 침묵과 기타 풍자적 이야기들 (Dr. Murke's gesammeltes Schweigen und andere Satire) (1958)
 9시 반의 당구 (Billard um halb zehn) (1959)
 한 움큼의 흙 (Ein Schluck Erde) (1962)
 어느 어릿 광대의 견해 (Ansichten eines Clowns) (1963)
 군대에서부터의 이탈 (Entfernung von der Truppe) (1964)
 어떤 공무여행의 끝 (Ende einer Dienstfahrt) (1966)
 여인과 군상 (Gruppenbild mit Dame) (1971)
 카타리나 블룸의 잃어버린 명예 (Die verlorene Ehre der Katharina Blum) (1974)
 사려깊은 포위 (Fürsorgliche Belagerung) (1979)
 그 소년이 어떻게 될 것인가?：책들과 관계 있는 어떤 것 (Was soll aus dem Jungen bloss werden? Oder: Irgendwas mit Büchern) (1981)
 지뢰밭 (Vermintes Gelände) (1982)
 치명적 부상 (Die Verwundung) (1983)
 강 풍경을 마주보고 있는 여인 (Frauen vor Flusslandschaft) 1985 (사후 출간) (1985)

 같이 보기 
 독일 문학

 외부 링크 

 하인리히 뵐 재단
 한국 하인리히 뵐 학회

 
분류:1917년 출생
분류:1985년 사망
분류:독일의 소설가
분류:노벨 문학상 수상자
분류:쾰른 대학교 동문
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:쾰른 출신
분류:독일의 로마 가톨릭교도
분류:게오르크 뷔히너상 수상자
분류:국제펜클럽
분류:폐허 문학
분류:미국철학학회 회원
방정식

섬네일|1557년 로버트 레코드가 저술한 《기지의 숫돌》에 나오는 등호를 사용한 최초의 방정식. 현대 표기에서의 14x + 15 = 71과 같은 의미이다.
방정식(方程式, )은 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 등식이다.

방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 미지수의 값을 해(解, solution) 또는 근(根, root)이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫 번째의 경우는 불능이라고 하고, 마지막의 경우는 항등식(부정)이라 한다.

예를 들어

은 미지수 의 값에 따라 등식의 참과 거짓이 결정되므로 방정식이고, 그 해는 와 이다. 한편

은 문자 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식이다. 그리고

는 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로 불능이다.

방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.

방정식에서 미지수를 나타내는 문자로 보통 로마자의 뒤쪽 문자인 등을 사용한다. 이는 프랑스의 수학자 겸 철학자인 르네 데카르트가 시초이다.

방정식은 다양한 종류가 존재한다.

 예시 
 다항 방정식 

섬네일|right|220px|이차방정식 의 두 근인 -1과 2는 이차 함수 의 그래프가 x축과 만나는 교점이다.
유리수, 실수, 복소수 등 체의 원소를 계수로 가지는 다항식 와 에 대해
 또는 
로 표현되는 식을 다항 방정식(多項方程式, ) 또는 대수방정식(代數方程式, ))이라고 한다.

차수가 인 다항식으로 이루어진 다항 방정식을 차 방정식이라고 한다. 즉 차수가 1인 방정식을 일차 방정식, 2인 방정식을 이차 방정식과 같이 부른다. 예를 들어

은 일차 방정식이고,

은 이차 방정식이다.

다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수도 있다. 예를 들어

는 미지수가 하나인 정수계수 다항 방정식이고,

는 미지수가 두 개인 유리수계수 다항 방정식이다.

어떤 유리수계수 다항 방정식은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있다. 즉, 근의 공식이 존재한다. 흔히 근의 공식이라고 하면 이차 방정식의 근의 공식()을 의미한다. 예를 들어 이차 방정식

은

을 두 근으로 가지며, 따라서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 아벨-루피니 정리에 의하면 오차 이상의 다항방정식은 이러한 방식으로 표현할 수 없는 근이 존재한다.

한편 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 복소계수 다항 방정식은 하나 이상의 복소수 근을 가진다.

 무리 방정식 
방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다. 예를 들어

는 무리 방정식이다. 위 방정식을 풀면

가 되어 이 된다. 그런데 무리 방정식에는 위처럼 유도과정을 거쳐 찾은 값이 방정식에 대입했을 때는 성립하지 않는 무연근이 존재할 수 있다. 따라서 앞에서 얻은 값이 무리방정식의 근이 되는지 검산하는 과정이 필요하다. 예시의 방정식에서 을 대입하면 식이 성립하지만, 을 대입하면 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서 은 무연근이고, 만이 무리 방정식의 근이다.

 연립 방정식 
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.

 미분방정식 

섬네일|오일러 방정식은 유체의 비점성 흐름을 다루는 미분방정식이다.
미분방정식은 함수와 그 도함수들로 표현되는 방정식이다. 일반적으로 어떤 물리적 대상을 표현하는 함수에 대해 그 도함수는 대상의 변화율을 의미하며, 따라서 물리적 대상과 그 변화율 간의 관계는 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지한다.

 상미분방정식 

상미분방정식은 하나의 독립 변수만을 가지는 미분 방정식이다.

 편미분방정식 

편미분방정식은 여러 개의 독립 변수를 가지는 미분 방정식이다.

 각주 

 같이 보기 
 디오판토스 방정식
 다항식
 수식
 항등식
 부등식
 연립방정식
 가우스 소거법
 소거법
 근 (수학)
 무연근

 외부 링크 
 

분류:방정식
분류:초등대수학
삼각 함수 항등식

수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, )은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 , 등의 함수는 와 같이 정의된다.

 삼각함수의 정의에서 

 

 

 

 주기성, 대칭성, 이동(Shifts) 

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

 

 

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
섬네일|200px|

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

여기서

 피타고라스 정리 
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

 

 덧셈 정리 

다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)

여기서

 두배각 공식 

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다.

 

 

 

 

 세배각 공식 

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

 

 

 

 네배각 공식 
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
 

 

 

 다섯배각 공식 

 

 

 

 여섯배각 공식 

 n배각 공식 
이 번째 체비쇼프 다항식일 때,

드무아브르의 공식:

디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

 차수 줄이기 

n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

 이차식 공식 

두배각 공식의 코사인 공식을 과 으로 푼다.

 

 

 

 

 삼차식 공식 

 

 

 사차식 공식 

 

 

 오차식 공식 

 

 

 반각 공식 

차수 줄이기 이차식 공식에서 에 을 대입하고, 과 으로 푼다.

또한, 는 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

 곱을 합으로 바꾸는 공식 

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

 

 

 

 

 합을 곱으로 바꾸는 공식 

위 식의 를 로, 를 로 바꾼다.

 

 

 

 

그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

 

 

 

 

 삼각함수의 역함수 

역삼각함수라고도 한다.

 이면

만약 이면, 등식 우변이 가 된다.

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

 변수 없는 항등식 
리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.)

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

 미적분학 

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

과

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 

 

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

적분식은 적분표를 참고하라.

 같이 보기 
 삼각함수 적분표
 피타고라스 정리
 삼각법

 참고 문헌 
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, 

분류:미적분학
분류:기하학
분류:삼각법
분류:항등식