shopkeeper/kowiki-cleaned-020126 huggingface dataset:
슈뢰딩거 방정식

180px|섬네일|에르빈 슈뢰딩거
슈뢰딩거 방정식(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.

 정의 
파동 함수 에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

해밀토니언 연산자 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)

해밀토니언 연산자 는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.

즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.

 라그랑지언과 이차 양자화 
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.

예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.

여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.

이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.

 역사 
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를

로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해

의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.

위 식들을 각진동수 와 파수 및 를 이용해 표현하면,
 및
p와 k를 벡터로 표현하면

에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.

그리고 그는

이므로

이며, 마찬가지로

이므로

이고, 따라서

및 각 방향의 부분들을 더하면

이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
 (단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것)
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.

 관련 방정식 
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.

 같이 보기 
 파동 방정식
 

 각주 

 외부 링크 
 
 
 
 

분류:편미분 방정식
분류:양자역학
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:오스트리아의 발명품
분류:물리학 개념
분류:에르빈 슈뢰딩거
분류:물리학 방정식
라플라스 방정식

라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.

 정의 
차원 리만 다양체에서 가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
.
3차원 유클리드 공간에서는

이므로,

이 된다.

 관련된 편미분 방정식 
우변을 주어진 함수 로 바꾼 경우

는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

 경계 조건 
라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

 2차원 라플라스 방정식 
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수

의 형태로 나타난다.

 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식 

는 격하게 (mesh size)

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

 해석적 함수 
복소 범위의 해석적 함수 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
이고
 
라 하자. 가 해석적이려면
 
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
 
이다. 따라서 는 라플라스 방정식을 만족한다. 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수 
극좌표계 에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
.
따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
.
이는 함수 의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는

으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

 3차원 라플라스 방정식 
3차원 공간에서, 구면좌표계 에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
.
여기서 는 구면 조화 함수이고, 와 은 임의의 계수다. 물론, 가 원점에서 연속적이려면 이다.

 같이 보기 
 헬름홀츠 방정식
 퍼텐셜 이론
 포텐셜 유동
 언쇼 정리

 외부 링크 
 

분류:방정식
분류:조화해석학
분류:타원 편미분 방정식
분류:푸리에 해석학
분류:피에르시몽 라플라스
분류:조화 함수
적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표(lists of integrals)는 유용하게 사용된다.

아래의 식들에서 C는 적분 상수이다.

 일반적인 적분 규칙 

 적분표 
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
 유리함수 적분표
 무리함수 적분표
 삼각함수 적분표
 역삼각함수 적분표
 쌍곡선함수 적분표
 역쌍곡선함수 적분표
 지수함수 적분표
 로그함수 적분표
 가우스함수 적분표

 간단한 함수의 적분 
 유리함수 

 무리함수 

 로그함수 

 지수함수 

 삼각함수 

 쌍곡선함수 

 정적분 
어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

 외부 링크 
 Paul's Online Math Notes
 A. Dieckmann, Table of Integrals: Indefinite Integrals Definite Integrals
 Math Major: A Table of Integrals
 
 Rule-based Integration
 
 Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik
 울프럼 알파의 적분 예시

 
분류:적분
르장드르 다항식

르장드르 다항식() 는 르장드르 미분 방정식()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.

스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,

이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.

 르장드르 다항식 
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

700px|가운데

 성질 
 간단한 성질 
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
 
 
 
 
 이 홀수이면 
 이 짝수이면 

 수직 관계 
르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
.
여기서 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.

여기서 고윳값 이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)

 르장드르 다항식의 계산 및 표현 
르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.

 로드리게스 공식 
로드리게스 공식()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.

 점화식 
르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.

 생성 함수 
르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.
.

 선적분을 통한 표현 
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.

여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.

 같이 보기 
 가우스 구적법

 외부 링크 

 

분류:직교 다항식
분류:다항식
분류:특수 초기하함수
쿼크

섬네일
쿼크()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다. 경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다. 중입자와 중간자를 이룬다. 이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 '쿼크'(quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야》 12장 '신부선(新婦船)과 갈매기'에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다. 우연의 일치로, 우주 속의 입자들을 구성하는 쿼크는 세 개씩 같이 다닌다.

 종류 
쿼크는 총 6가지의 종류가 있으며, 다음과 같다.

각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 반쿼크()가 존재한다. 반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다. 각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다. 쿼크는 3세대가 있는데 1세대는 위·아래(up·down) 쿼크, 2세대에 맵시·기묘(charm·strange) 쿼크, 3세대에 꼭대기·바닥(top·bottom) 쿼크로 나눈다.

 성질 
쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다. 기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다. 전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷, )란 물리량을 갖는데, 이 양은 '빨강', '초록', 혹은 '파랑'으로 나타낸다. 이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 '무색'이어야 한다고 말한다. 반쿼크는 '반빨강', '반초록', '반파랑'의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.)

양자 색역학의 색가둠 현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다. 중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다. 중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다. 이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다. 쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다.

 어원 
"쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다.

여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다.

 같이 보기 
 고이데 공식
 앞선입자
 쿼크별

 각주 

 외부 링크 
 
 쿼크란 무엇인가? - 입자물리학자 이강영 교수. YTN 사이언스. 2014년 7월 2일.
 CosmicVoyage 초은하단에서 쿼크까지. 2015년 7월 2일.
 빛의 물리학 6부 빛과 끈 #003 쿼크와 랩톤 그리고 끈이론. 2015년 6월 10일.

 
분류:기본 입자
분류:페르미온
분류:양자색역학
분류:피네간의 경야
중력 상수

중력 상수(重力常數, , 기호 G), 만유인력 상수 또는 뉴턴 상수는 중력의 세기를 나타내는 기초 물리 상수다. 중력을 다루는 모든 이론, 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 등장한다. 과학 기술 데이터 위원회 2010년 자료
에 따르면, 국제단위계에서의 값은 다음과 같다.

그 밖에 국제 천문 연맹에서 제공하는 자료도 권위가 있다.

 정의 
right|300px
만유인력의 법칙에 따르면, 두 물체 사이의 중력적 인력은 그 두 질량의 곱에 비례하며 거리의 제곱에 반비례한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

이 식에서 비례 상수 를 중력 상수라고 일컫는다.

중력은 자연의 다른 세 상호작용보다 상대적으로 약하다. 예를 들어 두 대의 3000 kg의 자동차가 각각의 질량 중심에 대해 3 m 떨어져 있을 때 두 자동차에 작용하는 중력은 약 67 µN밖에 되지 않는다. 이는 모래 알갱이의 무게 정도의 힘에 해당한다.

 중력 상수의 측정 
중력 상수는 헨리 캐번디시가 캐번디시 실험을 통해 정교하게 처음으로 측정하였다. 실험을 위해 막대의 양 끝에 납으로 된 공을 매달고 이를 줄에 매달아 수평 방향으로만 회전하게 한다. 막대의 관성 모멘트는 막대가 복원력에 의해 진동하는 주기를 측정하여 알아낼 수 있다. 막대의 한쪽 끝에 다른 공을 가까이 대면 중력에 의해 서로 끌어당기게 되고 막대가 회전한 각도를 측정하여 이 힘을 알아낼 수 있다. (캐번디시의 실험의 본 목적은 중력 상수의 측정이 아니라, 지구의 질량을 측정하는 것이었다. 지구 표면의 중력장은 쉽게 측정할 수 있기 때문에, 지구의 크기와 중력 상수를 알면 지구의 질량을 계산할 수 있다.)

중력 상수의 측정은 캐번디시의 실험 이후로 점차 정확도가 향상되어 왔다. 중력이 다른 기본 상호 작용에 대해 매우 약하고, 다른 물체의 영향을 없애기 어렵기 때문에 중력 상수 를 측정하는 것은 여러 모로 어렵다. 게다가 중력과 다른 상호 작용 사이에 알려진 상관 관계가 없기 때문에 간접적으로 이를 측정할 수 없다. 최근의 리뷰(Gilles, 1997)에 따르면, 중력 상수의 측정값은 크게 변해 왔고, 최근의 몇몇 측정값은 실제로는 서로 배타적이라고 한다.

 "GM" 곱 

 곱 또는 표준 중력 변수는 여러 가지 중력과 관계된 수식을 간단히 표현하는 데 자주 활용된다. 특히 태양계에 대해 중력 법칙을 이용할 때 매우 높은 정확도로 측정할 수 있기 때문에 빈번하게 사용된다. 중력 상수의 정확도가 높지 않은 데 반해 행성의 위치나 중력 가속도와 같은 양은 매우 정확하게 측정할 수 있다. 따라서 중력 상수와 질량의 곱은 매우 정확하게 알아낼 수 있다(따라서 지구나 태양의 질량의 측정값의 정확도는 중력 상수의 정확도에 의존한다.). 태양계에서의 중력을 계산할 때 거의 대부분의 계산에서 GM 값이 함께 붙어서 나오며, 대부분의 계산에서 이 둘을 따로 대입할 필요가 없어 정확도를 높일 수 있다. 표준 중력 변수의 값은 로도 표시하며 국제단위계에서 다음과 같은 값을 갖는다.

 

천체 역학에서는 주로 국제단위계의 킬로그램보다 태양 질량을 기준으로 한 단위계를 사용하는 것이 계산에 편하다. 이 단위계로 쓴 중력 상수를 가우스 중력 상수() 라 부르며,그 값은 다음과 같다.

여기서 는 천문 단위, 는 평균 태양일, 그리고 는 태양의 질량이다.

 플랑크 단위계 

중력 상수를 플랑크 상수와 광속을 이용하여, 임의적인 기본 단위가 전혀 없는 단위계를 만들 수 있다. 이를 막스 플랑크의 이름을 따 플랑크 단위계라고 부른다. 플랑크 단위계에서 중력 상수는 플랑크 상수와 진공에서의 빛의 속도와 함께 모두 1로 맞추어진다.

 같이 보기 
 중력 가속도

 각주 

분류:중력
분류:물리 상수
변형력

오른쪽|섬네일|450px|응력의 일반적인 개념을 그림으로 나타낸 것. 오른쪽 직육면체는 응력 텐서를 표현한다.
변형력(變形力) 또는 스트레스() 또는 응력(應力)은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다.

사실상 응력의 개념은 연속체(continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다.

응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다.

일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉,

실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다.

이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.

 변형력 
변형력(stress, 응력(應力))은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원형을 지키려는 힘을 말하며 층밀림 변형력(shear stress, 전단응력)과 깊은 관계를 가지있으며 고체역학, 유체역학과도 연관있다. 한편 응집력(cohesion, 응력(凝力))은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 변형력과 연관있다.

정의
수직 및 층밀림

 같이 보기 
 연속체 역학
 층밀림(shearing, 전단)
 층밀림 변형력(shear stress, 전단 응력)
 층밀림 힘(shear force, 전단력)
 층밀림 비율(shear rate, 전단율)
 변형 (역학)
 일그러짐 (물리학)

 각주 

 외부 링크 
 

분류:연속체역학
분류:고전역학
분류:텐서
대수학

섬네일
대수학(代數學, )은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.

기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.

 어원 

algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《》()에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르()’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.

‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 드 모르간의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 와 이선란이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.

 역사 

고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 에우클레이데스의 원론(기원전 3세기)이나 구장산술(3세기), 디오판토스의 (3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《》(820년)를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.

19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.

 대수학의 연구 분야 
 군론
 환론
 체론
 정수론
 대수기하학
 추상대수학
 선형대수학

 같이 보기 

 대수 구조
 대수학의 기본 정리
 수학

 각주 

 외부 링크 
 

*
군론

섬네일|유명한 퍼즐인 루빅스 큐브는 순열군 개념을 이용해 해결할 수 있다.

수학에서 군론(群論, )은 군에 대해 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 대수 구조로, 군에 특정 연산이나 공리를 추가하면 환, 체, 또는 벡터 공간이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 대수학의 여러 분야에 영향을 주었다.

결정이나 수소 원자, 표준 모형에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 대칭군을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 표현론은 물리학과 화학, 재료과학, 공개 키 암호 방식 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다.

군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 유한 단순군의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다.

 발전 배경 
18세기까지 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.

 군의 종류 
유한 순열군과 일반선형군, 그리고 생성원과 관계식으로 표현되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다.

 순열군 
가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 순열군이다. 임의의 집합 X와, X에서 X로 가는 전단사 함수들의 모임 G가 주어졌을 때(이때 G는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), G는 X에 작용하는 군이 된다. 만약 X가 n개의 원소로 이루어져 있고 G는 X에서 X로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 n에 대한 모든 순열을 포함할 때, G는 대칭군이 되며 이를 Sn이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 G는 X에 대한 대칭군의 부분군이다. 케일리의 정리에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 X=G인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다.

 일반선형군 
몇몇 군은 일반선형군에 속한다. 일반선형군 G는 체 K 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 n×n 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 n차원 벡터 공간 Kn에 대해 선형 변환으로서 작용한다.

 변환군 
변환군이란 어떤 공간 X에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 X는 집합, 일반선형군의 경우 X는 벡터 공간이다.
변환군은 미분기하학에도 적용되는데, 다양체에의 군의 작용을 위상동형사상이나 미분동형사상으로 볼 수 있다. 이때 군은 이산적일 수도, 연속적일 수도 있다.

 추상군 
군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 동형인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 생성원과 관계식을 이용해 표현된다.
 
많은 종류의 추상군은 몫군으로부터 구성된다. 군 H가 군 G의 정규 부분군일 때, H의 잉여류들이 이루는 군을 몫군이라 하며 G/H로 쓴다. 대수적 수체가 몫군의 대표적인 예시이며, 정수론에서 주요하게 쓰인다.

 기타 군의 종류 
 아벨 군
 리 군
 로런츠 군
 공간군
 갈루아 군

 같이 보기 
 군 (수학)
 환론
 체론
 벡터 공간

 각주 

 외부 링크
파동 방정식

섬네일|양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동
섬네일|한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동

물리학과 수학에서 파동 방정식(波動方程式, )은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다.

 개요 
파동 방정식은 에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다.

여기서 는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 는 다양한 값을 가질 수 있다.
는 시각 , 위치 에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. 는 위치 에 대한 라플라스 연산자이다.

기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.

2차원에선 다음과 같다.

식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.

 역사 
현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다.

 같이 보기 
 헬름홀츠 방정식
 라플라스 연산자
 맥스웰 방정식
 슈뢰딩거 방정식
 정상파

분류:편미분 방정식
분류:파동
분류:물리학 개념
비오-사바르 법칙

비오-사바르 법칙(Biot-Savart法則, )은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다.

 정의 
원점 에 전류 가 무한소의 길이의 전선 을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 은 다음과 같다.
.
여기서 은 의 방향의 단위벡터이고, 은 진공의 투자율이다.

유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다.

 활용 
직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다.

원형 도선 중심에서의 자기장
453x453픽셀

원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다.

r2=x2+R2이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다.

파일:비오사바르 1번.PNG
원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다.

파일:비오사바르 3번.PNG이므로 x=0일 때 가 된다.

 같이 보기 
 쿨롱 법칙
 앙페르 회로 법칙
 자기
 소용돌이도

 외부 링크 
 
 Science World - Biot-Savart Law
 

분류:공기역학
분류:전자기학
분류:사람 이름을 딴 낱말
벡터곱

선형대수학에서 벡터곱(vector곱, ) 또는 가위곱()은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.

 정의 
두 벡터 와 의 벡터곱은 라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

식에서 는 와 가 이루는 각을 나타내며, 은 와 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 와 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, 이 수직이면, 도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향()에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 는, 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 유사벡터다.)

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

섬네일|벡터곱의 정의

 성질 
a, b, c ∈ R3, α ∈ R이라 하자.

 반대칭성 : a×b = -b×a
교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.

 스칼라곱에 대한 선형성: (αa)×b = a×(αb) = α(a×b).

 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: a×(b + c) = a×b + a×c

 스칼라 삼중곱 : 

 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)

 벡터곱의 크기: ||a×b||2 = (a·a)(b·b)-(a·b)2
 ||a×b|| = ||a|| ||b|| sin θ
 여기서 θ는 a로부터 b까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.

 야코비 항등식: a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0

 수직성
 a×b ⊥ a 이고 a×b ⊥ b이다.

 두 벡터의 평행성 확인
 a와 b가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0인 것은 a와 b가 서로 평행인 것과 동치이다.

 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱
 유클리드 공간의 단위벡터 i, j, k는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
 i×j = k, j×k = i, k×i = j

이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
 
 
로 표기할 때,
 

위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.

따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
det(a,b,c) = a·(b×c).

사원수와 벡터곱
 벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 가 사원수 를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.)

 리 대수
분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 이다.

 외적(外積, exterior product)과의 관계 
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 와 의 외적은 다음과 같다.

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, 이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

여기서 를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

이다. 그리고 여기에 를 곱하면

되고 마지막으로 을 곱하면

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

 응용 
벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.

 고차원에서의 벡터곱 
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.

 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.
 x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x
 반가환성 (anti-commutative)
 x×y + y×x = 0
 x와 y 모두에 수직
 x·(x×y) = y·(x×y) = 0
 야코비 항등식이 성립한다.
x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0
 ||x×y||2 = ||x||2||y||2-(x·y)2

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 같이 보기 
 오른손 법칙
 스칼라곱

분류:선형대수학
분류:이항연산
분류:해석기하학
무리수

섬네일|220px|제곱근 2는 무리수이다.
무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉 분수로 나타낼 수 없는 소수이다.

이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다.

유리수의 집합은 로 정의하고,
무리수의 집합은 로 정의한다.

무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.

무리수는 다시 와 같은 대수적 수와 등의 초월수로 나뉜다.

 역사와 어원 

무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.

에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는()’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는()’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다.

 몇 가지 무리수의 증명 
 특수한 로그 꼴의 수 
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:
 을 유리수라 하자. 그러면 어떤 자연수 에 대해, 을 만족한다.
 따라서 이 되고.
 변형하면 이다.
 그런데 은 짝수이고, 은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
 따라서 가정이 틀렸다. 즉 은 무리수이다.

 2의 제곱근 

무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.
 가 유리수라 하자.
 그러면, 는 기약분수 로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 에 대해, .
 위 식을 풀면
 
 이다.
 따라서, 은 짝수이다.
 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, 는 짝수여야 한다.
 따라서, 는 4의 배수이다.(이것은 가 값에 상관없이 항상 가 되기 때문이다.)
 즉, 는 짝수이다.
 (3)에서, 이다.
 (7)과 (8)로부터, 가 짝수임을 알 수 있다.
 (4), (5)과 같은 방법으로, 는 짝수이다.
 (5)와 (10)에 의해, 와 는 모두 짝수. 이는 가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의 가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

 원주율 

1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.

또한 가 0이 아닌 유리수일 때, 위 연분수는 무리수가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(π/4) = 1 이므로, π/4는 무리수가 된다. 따라서 π는 무리수라는 것이 증명된다.
다른 수학자들의 증명은 이 문서에 나와 있다.

 무리수+유리수 
 을 유리수라 가정하자.
 위의 식이 유리수라면 를 만족하는 유리수 가 있을 것이다.
 두 번째 식에서 3을 이항시키면 이 된다.
 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
 위의 소제목에서 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 이 유리수라는 가정과 위배된다.
 모순에 의해 이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
 따라서, 무리수와 유리수의 합은 무리수이다.

 같이 보기 
 소수점 표기
 분수 (수학)
 유리수
 실수

 각주 

 
분류:실수 집합
플랑크 상수

섬네일
플랑크 상수(Planck常數, , 기호 h)는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 ()이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 ""이다. 유니코드 기호 ()가 있다.

2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의되었다.

새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효되었다.

양자역학에서는 대신에 다음과 같이 정의되는 가 더 자주 쓰이기도 한다.

식에서 는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 '( 에이치 바)', 독일어에서는 '')(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 는 폴 디랙의 이름을 따 디랙 상수(Dirac's constant) 또는 환산 플랑크 상수라고도 한다. 유니코드 기호로는 에이치바()로 표기한다.

는 각운동량의 양자이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 의 정수배의 값으로 양자화한다.

는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다.

그래서 가 보다 더 기본적이라고 주장한다.

그 밖에 는 플랑크 단위의 정의에 사용된다.

 역사 
처음에 고전물리는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였었다. 막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다. 하지만 고전물리는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다.

아주 잘 밀폐된(외부와 에너지 교류가 없는) 한 용기 안에 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.

이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.

 상수 개정 
역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.
 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다.
 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다.
 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다.
 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다.
 2018년에 6.626 070 15로 정의되었다.

 같이 보기 
 슈뢰딩거 방정식
 불확정성 원리
 플랑크 단위

 각주 

분류:양자역학
분류:물리 상수
분류:막스 플랑크
분류:플랑크 단위계
분류:1900년 과학
포인팅 벡터

섬네일
포인팅 벡터()는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.

 역사 
영국의 존 헨리 포인팅()이 1883년에 유도하였다.

 정의 
포인팅 벡터 S는 국제단위계에서 다음과 같다.

CGS 단위계에서는 대신 를 쓴다.

 성질 
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

 전자기장의 운동량과 각운동량 
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 와 각운동량 과도 다음과 같이 연관되어 있다.

 포인팅 정리 
포인팅 정리()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.

역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.

 같이 보기 
 파수 벡터

 각주 

분류:전자기학
분류:벡터
분류:광학
미세 구조 상수

미세 구조 상수(微細構造常數, , 기호 α) 또는 조머펠트 미세 구조 상수(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.

2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다. 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.

 정의 
미세 구조 상수 는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
 
여기서 는 기본 전하, 는 원주율, 는 디랙 상수, 는 빛의 속도, 은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 (전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 의 비로 해석할 수 있다.

 유도 
CGS 단위계에서는 인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.
 

는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
 =0.00729231
 =137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
 =0.0072973525698(24)
 =137.035999074(44)

 같이 보기 
 무차원 물리 상수
 각주 

 외부 링크 
 CODATA 미세 구조 상수 권장값
 Eric Weisstein's World of Physics — Fine Structure Constant

분류:물리 상수
분류:물리학 개념
크라메르 법칙

선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, ) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

 정의 
연립 일차 방정식

에서, 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다.

여기서 는 의 번째 열을 로 대신하여 얻는 행렬이다.

 증명 
연립 일차 방정식

의 계수 행렬 의 -여인자를 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

이에 따라, 각 번째 방정식에 을 곱한 뒤 모두 합하면

를 얻는다. 이므로, 양변을 로 나누면

를 얻는다.

 예 
 2개의 방정식의 경우 
연립 일차 방정식

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

 3개의 방정식의 경우 
연립 일차 방정식

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

 응용 
 미분기하학 
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다.

여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다.

 역사 
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

 같이 보기 
 가우스 소거법

 외부 링크 
 
 
 

분류:선형대수학 정리
분류:행렬식
분류:대수학 정리
분류:1750년 과학