망델브로 집합

upright=1.35|섬네일|값에 따라 연속색으로 색칠한 망델브로 집합|alt=

망델브로 집합(Mandelbrot set, )은 복소평면에서 정의된 2차원 집합으로, 함수 가 에서 시작하여 반복될 때 무한대로 발산하지 않는 복소수 를 만족하는 집합이다. 즉, 수열 , 등이 절댓값이 유계로 유지되는 의 집합이다.

이 집합은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 처음 정의되고 그려졌다. 이후 1980년 브누아 망델브로는 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 작업하면서 이 집합의 고품질 시각화를 만들었다.

섬네일|계속 반복해서 망델브로 집합의 소위 '해마 계곡'으로 확대하는 모습.

망델브로 집합의 이미지는 확대할수록 점진적으로 더 미세한 재귀적 세부 사항을 드러내는 무한히 복잡한 경계를 보여준다. 수학적으로 망델브로 집합의 경계는 프랙탈 곡선이다. 이러한 재귀적 세부 사항의 "모양"은 확대하는 집합 경계의 영역에 따라 달라진다. 망델브로 집합 이미지는 복소수를 샘플링하고 각 샘플 지점 에 대해 수열 이 무한대로 가는지 테스트하여 생성할 수 있다. 의 실수 부분과 허수 부분을 복소평면의 화소 좌표로 취급하여, 수열 이 임의로 선택된 임계값(임계값은 최소 2여야 하는데, −2는 집합 내에서 가장 큰 크기를 가진 복소수이기 때문이다. 하지만 그 외에는 임계값이 임의적이다.)을 얼마나 빨리 넘어서는지에 따라 픽셀에 색을 입힐 수 있다. 만약 를 상수로 유지하고 의 초기값을 변경하면, 해당 지점 에 대한 쥘리아 집합을 얻을 수 있다.

망델브로 집합은 정의가 상대적으로 간단함에도 불구하고 시각화 및 확대 시 복잡한 프랙탈 구조를 보여준다는 점에서 수학계 외부에서도 잘 알려져 있으며, 수학적 미의 예시로 흔히 인용된다.

 역사 
섬네일|upright=1.35|1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 출판한 망델브로 집합의 첫 번째 그림

망델브로 집합은 20세기 초 프랑스의 수학자 피에르 파투와 가스통 쥘리아가 처음 연구한 분야인 복소역학에서 기원한다. 이 프랙탈은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 그 일환으로 처음 정의되고 그려졌다. 1980년 3월 1일 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 브누아 망델브로가 처음으로 이 집합을 시각화했다.

망델브로는 1980년에 출판된 논문에서 이차 다항식의 매개변수 공간을 연구했다. 망델브로 집합에 대한 수학적 연구는 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드(1985)의 연구로 본격적으로 시작되었다. 둘은 이 집합의 많은 기본 속성을 확립하고 프랙탈 기하학에 대한 망델브로의 영향력 있는 업적을 기려 이 집합에 망델브로의 이름을 붙였다.

수학자 하인츠-오토 파이젠과 피터 리히터(Peter Richter)는 사진, 책(1986), 그리고 독일 독일 문화원의 국제 순회 전시회(1985)를 통해 이 집합을 홍보하여 잘 알려지게 되었다.

1985년 8월 사이언티픽 아메리칸의 표지 기사는 망델브로 집합을 계산하는 알고리즘을 소개했다. 표지는 브레멘 대학교의 파이젠, 리히터 및 디트마르 자우페가 만들었다. 망델브로 집합은 1980년대 중반 개인용 컴퓨터가 고해상도로 집합을 그릴 수 있을 만큼 강력해지면서 컴퓨터 그래픽 데모로 유명해졌다.

두아디와 허버드의 연구는 복소역학과 추상 수학에 대한 관심이 증가하던 시기에 이루어졌으며, 망델브로 집합의 위상수학적 및 기하학적 연구는 복소역학 분야에서 중요한 주제로 남아있다.

 공식적인 정의 
망델브로 집합은 복소평면에서 이차 사상

의 임계점 의 반복에 따른 궤도가 유계로 유지되는 값의 비가산 집합이다. 따라서 복소수 는 에서 시작하여 이를 반복할 때 의 절댓값이 모든 에 대해 유계로 유지되면 망델브로 집합의 원소이다.

예를 들어, 일 때 수열은 0, 1, 2, 5, 26, ... 이고 이는 무한으로 발산하므로 1은 망델브로 집합의 원소가 아니다. 반면, 일 때 수열은 0, −1, 0, −1, 0, ... 이고 이는 유계이므로 −1은 집합에 속한다.

망델브로 집합은 이차 다항식 계열의 연결성 국소로도 정의될 수 있으며, 이는 해당 다항식의 쥘리아 집합이 연결 집합을 형성하는 매개변수 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로 망델브로 집합의 경계는 이 이차 계열의 분기 국소로 정의될 수 있으며, 이는 다항식의 동적 거동(반복적으로 반복될 때)이 의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 매개변수의 부분 집합이다.

 기본 속성 
망델브로 집합은 닫혀 있고 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판에 포함되어 있으므로 콤팩트 집합이다. 점 는 모든 에 대해 인 경우에만 망델브로 집합에 속한다. 다시 말해, 가 망델브로 집합 에 속하려면 의 절댓값이 2 이하로 유지되어야 하며, 만약 그 절댓값이 2를 초과하면 수열은 무한대로 발산한다. 이므로 가 성립하며, 이는 가 항상 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판 안에 있음을 의미한다.

섬네일|망델브로 집합과 이차 사상의 분기 다이어그램 사이의 대응 관계
섬네일|수직축에 을 반복한 값을 그래프로 그리면 망델브로 집합이 주기-2k 요소에서 분기하는 것을 볼 수 있다.

과 실수축의 교집합은 구간 이다. 이 구간을 따라 있는 매개변수는 실 로지스틱 계열의 매개변수와 일대일 대응을 이룰 수 있다.

대응은 다음으로 주어진다.

이는 로지스틱 계열의 전체 매개변수 공간과 망델브로 집합의 매개변수 공간 사이에 대응을 제공한다.

두아디와 허버드는 망델브로 집합이 연결되어 있음을 보였다. 둘은 망델브로 집합의 여집합과 닫힌 단위 원판의 여집합 사이에 명시적인 등각 사상을 구성했다. 망델브로는 원래 망델브로 집합이 단절되어 있다고 추측했다. 이 추측은 의 다른 부분을 연결하는 가는 실을 감지할 수 없는 프로그램으로 생성된 컴퓨터 그림을 기반으로 했다. 추가 실험을 통해 그는 자신의 추측을 수정하여 이 연결되어야 한다고 결정했다. 2001년 제레미 칸이 연결성에 대한 위상수학적 증명을 발견했다.

thumbnail|right|망델브로 집합의 주기 1 대륙 근처에서 밖으로 뻗어나가는 외부 반직선의 모습

망델브로 집합의 연결성에 대한 두아디와 허버드의 증명에서 비롯된 망델브로 집합의 여집합의 균일화에 대한 동적 공식은 망델브로 집합의 외부 반직선을 만든다. 이 반직선은 망델브로 집합을 조합론적 용어로 연구하는 데 사용될 수 있으며 요코즈 파라퍼즐의 중추를 형성한다.

망델브로 집합의 경계는 이차 다항식 계열의 분기 국소이다. 다시 말해, 망델브로 집합의 경계는 이차 사상 의 기동이 에 대한 민감한 의존성을 보이는, 즉 의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 모든 매개변수 의 집합이다. 이는 일반적인 유형의 다항식 렘니스케이트로 알려진 일련의 평면 대수 곡선, 즉 망델브로 곡선의 극한 집합으로 구성될 수 있다. 망델브로 곡선은 로 설정한 다음, 복소평면의 점 집합 를 실수 데카르트 평면에서 x와 y에 대한 차 곡선으로 해석하여 정의된다. 각 곡선 은 에 의한 반지름 2의 초기 원의 사상이다. 이러한 대수 곡선은 아래에서 언급된 "탈출 시간 알고리즘"을 사용하여 계산된 망델브로 집합 이미지에 나타난다.

 기타 속성 

 주요 심장형과 주기 다발 
right|섬네일|쌍곡선 요소의 주기

망델브로 집합에서 가장 큰 심장형(하트 모양의 영역)은 주기 1 대륙이다. 이는 사상 가 끌림 고정점을 갖는 매개변수 의 영역이다. 이 영역은 열린 단위 원판의 에 대해 형태의 모든 매개변수로 구성된다.

주요 심장형의 왼쪽에 지점에서 붙어 있는 원형 다발, 즉 주기-2 다발이 보인다. 이 다발은 가 끌림 주기 2 사이클을 갖는 로 구성된다. 이는 -1을 중심으로 하는 반지름 1/4의 채워진 원이다.

left|섬네일|쥘리아 집합 위에 그려진 2/5-다발의 끌림 주기(애니메이션)

보다 일반적으로, 모든 양의 정수 에 대해 주요 심장형에 접하는 개의 원형 다발(여기서 는 오일러 피 함수를 나타냄)이 있는데, 이를 주기-q 다발이라고 한다. 이 여러 다발은 가 주기 의 끌림 주기를 갖는 매개변수 로 구성된다. 더 구체적으로, 각 원시 차 단위근 (여기서 )에 대해 다발이라는 주기-q 다발이 하나씩 존재한다. 이 다발은 매개변수 에서 주요 심장형에 접하며, 조합 회전수 를 갖는 -주기를 가진 매개변수를 포함한다. 더 정확히 말하면, 끌림 주기를 포함하는 개의 주기적 파투 성분은 모두 공통점(일반적으로 -고정점이라고 불림)에서 접한다. 이 성분을 각각 반시계 방향으로 이라고 하면, 는 성분 를 성분 으로 사상한다.

right|섬네일|1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4, 1/5 다발 내 매개변수에 대한 끌림 주기 및 쥘리아 집합

에서 발생하는 행동 변화를 분기라고 한다. 즉, 끌림 고정점이 반발 주기-q 사이클과 "충돌"한다. 분기 매개변수를 지나 -다발로 들어가면, 끌림 고정점은 반발 고정점(-고정점)으로 변하고 주기-q 사이클은 끌림 사이클이 된다.

 쌍곡선 성분 
망델브로 집합의 내부 성분으로 사상 가 끌림 주기 사이클을 갖는 다발을 쌍곡선 성분이라고 한다.

이것들이 의 유일한 내부 영역이며 에서 조밀하다는 추측이 있다. 쌍곡선 조밀성(density of hyperbolicity)으로 알려진 이 문제는 복소역학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이다. 망델브로 집합의 가설적인 비쌍곡선 성분은 종종 "괴상한" 또는 유령 성분이라고 불린다. 실수 이차 다항식의 경우, 이 질문은 1990년대 류비히(Lyubich)와 그라치크(Graczyk), 스비아텍(Świątek)이 각각 독립적으로 증명했다. (실수 축과 교차하는 쌍곡선 성분은 파이겐바움 다이어그램의 주기적 창에 정확히 해당한다. 따라서 이 결과는 다이어그램의 모든 매개변수 근처에 이러한 창이 존재한다는 것을 나타낸다.)

모든 쌍곡선 성분이 망델브로 집합의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있는 것은 아니다. 그러한 성분은 작은 망델브로 복사본(아래 참조)의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있다.

섬네일|망델브로 집합의 983개 쌍곡선 성분 중심.

각 쌍곡선 성분에는 중심이 있는데, 이는 의 내부 파투 영역이 초끌림 주기(즉, 끌림이 무한대)를 갖는 점 이다. 이는 주기가 임계점 0을 포함하며, 몇 번의 반복 후에 0으로 다시 반복된다는 것을 의미한다. 따라서 어떤 n에 대해 이다. 이 다항식을 (z 대신 c에 의존하도록 함)라고 하면, 이고 의 차수는 이다. 따라서 쌍곡선 성분의 중심은 방정식 을 차례로 풀어서 구성할 수 있다. 각 단계에서 생성되는 새로운 중심의 수는 Sloane의 OEIS A000740로 주어진다.

 국소적 연결성 
망델브로 집합은 국소적으로 연결되어 있다는 추측이 있다. 이 추측은 MLC(Mandelbrot locally connected의 약자)로 알려져 있다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드의 연구에 따르면, 이 추측은 망델브로 집합의 간단한 추상적 "꼬집힌 원판" 모델을 제시할 것이다. 특히, 이는 위에서 언급한 중요한 쌍곡선 추측을 함축한다.

장크리스토프 요코즈의 연구는 모든 유한하게 재규격화 가능한 매개변수에서 망델브로 집합의 국소 연결성을 확립했다. 즉, 대략적으로 말하면 유한한 수의 작은 망델브로 복사본에만 포함된 매개변수이다. 그 이후로 의 다른 많은 지점에서 국소 연결성이 증명되었지만, 전체 추측은 여전히 미해결 상태이다.

 자기유사성 
right|섬네일|음의 x 방향으로 움직이면서 원형 특징을 보이는 구간을 확대하여 망델브로 집합의 자기유사성을 보여준다. 화면의 중심은 5번째에서 7번째 원형 특징(−1.4002, 0)에서 (−1.4011, 0)으로 왼쪽으로 이동하며, 시야는 파이겐바움 비율의 제곱에 근접하도록 21.78배 확대된다.

망델브로 집합은 미슈레비치 점 근처에서 확대 시 자기유사성을 보인다. 또한 일반화된 파이겐바움 점 (예: -1.401155 또는 -0.1528 + 1.0397i) 주변에서 극한 집합으로 수렴하는 의미에서 자기유사성을 보인다고 추측된다. 망델브로 집합은 일반적으로 유사자기유사성을 보이는데, 이는 작고 약간 다른 형태의 집합이 임의의 작은 스케일에서 발견될 수 있기 때문이다. 이러한 망델브로 집합의 복사본은 모두 약간씩 다르며, 대부분 집합의 본체에 연결되는 얇은 실 때문에 완전히 같진 못하고 차이점이 전부 조금씩 있다.

 추가 계산 결과 
망델브로 집합 경계의 하우스도르프 차원은 시시쿠라 미쓰히로의 결과에 따라 2와 같다. 이것이 위상 차원 1보다 정수 하나만큼 크다는 사실은 망델브로 집합 경계의 극단적인 프랙탈 성질을 반영한다. 대략적으로 말하면, 시시쿠라의 결과는 망델브로 집합 경계가 너무 "구불구불"해서 국소적으로 2차원 평면 영역만큼 효율적으로 공간을 채운다는 것을 의미한다. 하우스도르프 차원 2인 곡선은 (위상적으로) 1차원이지만 종종 0이 아닌 넓이(더 형식적으로는 0이 아닌 평면 르베그 측도)를 가질 수 있다. 이것이 망델브로 집합 경계의 경우에도 해당되는지는 미해결 문제이다.

더 높은 차원의 초복소수 공간에서 일반화된 망델브로 집합(즉, 반복 변수 의 거듭제곱 가 무한대로 가는 경우)이 단위 (−1)-구로 수렴한다는 것이 입증되었다.

블럼–슈브–스메일 머신의 실수 계산 모델에서는 망델브로 집합은 계산 불가능하지만, 그 여집합은 계산적으로 열거 가능하다. 많은 간단한 객체(예: 지수 함수의 그래프)도 BSS 모델에서 계산 불가능하다. 현재 망델브로 집합이 "컴퓨터로 집합을 그리는" 직관적인 개념에 더 가깝게 대응하는 계산 가능한 해석학을 기반으로 한 실수 계산 모델에서 계산 가능한지는 알려져 있지 않다. 허틀링(Hertling)은 쌍곡선 추측이 참이라면 망델브로 집합이 이 모델에서 계산 가능함을 보였다.

 쥘리아 집합과의 관계 
섬네일|쥘리아 집합과 복소평면의 C 값을 일치시켜 만든 모자이크. 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도이다.

망델브로 집합의 정의에 따라 주어진 지점에서의 망델브로 집합의 기하학과 해당 쥘리아 집합의 구조 사이에는 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, 값이 망델브로 집합에 속하는 것은 해당 쥘리아 집합이 연결되어 있는 경우에만 해당한다. 따라서 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도로 볼 수 있다.

이 원리는 망델브로 집합에 대한 거의 모든 심오한 결과에서 활용된다. 예를 들어, 시시쿠라는 망델브로 집합 경계의 조밀한 매개변수 집합에 대해 쥘리아 집합이 하우스도르프 차원 2를 가진다는 것을 증명한 다음, 이 정보를 매개변수 평면으로 전달한다. 마찬가지로, 요코즈는 해당 매개변수에서 망델브로 집합에 대해 확립하기 전에 먼저 쥘리아 집합의 국소 연결성을 증명했다.

 기하학 
서로소인 정수 에 대해, 모든 유리수 에 대해 주기 q의 쌍곡선 성분은 내부 각도 에 해당하는 심장형 가장자리 지점에서 주 심장형으로부터 분기된다. 이 분기점에서 주 심장형에 연결된 망델브로 집합의 부분을 /-돌기라고 한다. 컴퓨터 실험에 따르면 돌기의 지름은 처럼 0으로 수렴한다. 현재 알려진 최상의 추정치는 요코즈 부등식으로, 크기가 처럼 0으로 수렴한다고 말한다.

주기-q 돌기에는 상단에 개의 "안테나"가 있다. 주어진 다발의 주기는 이 안테나의 수를 세어 결정된다. 회전수의 분자 는 돌기에서 반시계 방향으로 각 안테나에 1부터 까지 번호를 매기고 어떤 안테나가 가장 짧은지 찾아서 결정된다.

 망델브로 집합의 원주율 
망델브로 집합에는 숫자 의 발생으로 이어지는 흥미로운 실험이 있다. 인 매개변수 에 대해, 가 망델브로 집합에 속하지 않음을 확인하는 것은 수열이 임의의 반지름 의 주변 원판을 벗어날 때까지 수열을 에서 시작하여 반복하는 것을 의미한다. 이는 실수 부분이 인 수직선이 실수선을 벗어난 지점에서 망델브로 집합과 교차하는지 여부에 대한 (여전히 미해결된) 질문에서 이어진다. 필요한 반복 횟수에 를 곱하면 원주율로 수렴한다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어, = 0.0000001이고 일 때, 반복 횟수는 31415928이고 곱은 3.1415928이다. 이 실험은 1990년대 초 (혹은 그 이전에도) 데이비드 볼(David Boll)을 비롯한 많은 사람들이 독립적으로 수행해 확인했다.

유사한 관찰은 매개변수 및 에서도 이루어졌다(후자의 경우 필요한 수정이 있음). 2001년 아론 클레바노프(Aaron Klebanoff)는 에서 이 현상에 대한 (개념적이지 않은) 증명을 발표했다.

2023년, 폴 지웨르트(Paul Siewert)는 학사 논문에서 값에 대해서도 개념적인 증명을 개발하여, 원주율이 발생하는 이유(기하학적으로 단위 원 둘레의 절반)를 설명했다.

2025년, 세 명의 고등학생인 티스 브록뮐러(Thies Brockmöller), 오스카 셰르츠(Oscar Scherz), 네딤 스르칼로비치(Nedim Srkalovic)는 이 이론과 개념 증명을 망델브로 집합의 모든 무한한 분기점으로 확장했다.

 망델브로 집합의 피보나치 수열 
망델브로 집합은 수많은 다발이 직접 붙어 있는 기본 심장형 모양을 특징으로 한다. 이러한 다발의 배열을 이해하려면 망델브로 집합의 경계를 자세히 조사해야 한다. 기하학적 관점에서 특정 부분을 확대하면, 경계 내의 위치와 해당 다발에서 추출된 매개변수에 대한 해당 동적인 성질에 대한 정확하고 추론 가능한 정보가 나타난다.

망델브로 집합 내의 주 심장형에 달린 다발 중 하나에서 추출된 매개변수 에 대한 이차 다항식 의 반복은 지정된 주기 와 회전수 를 갖는 끌개 주기를 특징으로 하는 사상을 생성한다. 이 맥락에서, 의 끌개 주기는 중심 고정점을 중심으로 회전 운동을 보이며, 각 반복에서 평균 번 회전한다.

망델브로 집합 내의 다발은 끌개 주기와 구조의 기하학적 특징 모두로 구별된다. 각 다발은 접합점에서 뻗어 나와 특정 수의 살을 보여주는 안테나를 가지며, 이는 그 주기를 나타낸다. 예를 들어, 다발은 회전수 를 갖는 끌개 주기로 식별된다. 그 독특한 안테나형 구조는 접합점에서 5개의 살이 뻗어 나온다. 이 살들 중에서 주된 살은 다발에 직접 붙어 있고, '가장 작은' 비주류 살은 주된 살에서 반시계 방향으로 약 회전하는 위치에 있어 -다발로 명확하게 식별된다. 이 때문에 '가장 작은' 살이 무엇인지 어떻게 구별하는가 하는 의문이 제기된다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드가 개발한 외부 반직선 이론에서는 망델브로 집합의 위성 쌍곡선 성분의 근 지점에 정확히 두 개의 외부 반직선이 닿는다. 이 각 반직선은 각도 이중 사상 아래에서 이중화되는 외각을 가진다. 이 정리에 따르면, 두 반직선이 같은 지점에 떨어질 때 그 사이에 다른 반직선이 교차할 수 없다. 따라서 이 영역의 '크기'는 두 각도 사이의 호 길이를 가지고 알 수 있다.

주 심장형의 근 지점이 의 첨점이라면, 주 심장형은 -다발이다. 다른 다발의 근은 단순히 이 다발이 주 심장형에 부착된 지점이다. 이는 다발과 다발의 근 사이에 있는 가장 큰 다발은 무엇인가라는 질문을 제기한다. 이는 분명히 -다발이다. 그리고 은 이전 두 분수에서 페리 합을 통해 얻어진다. 즉, 분자끼리 더하고 분모끼리 더하는 방식이다.

 

마찬가지로, 다발과 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이며, 역시 페리 합으로 주어진다.

 

 다발과 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이며, 다발과 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이다. 망델브로 집합 내의 다발 배열은 과 사이의 모든 유리수를 포함하는 페리 나무라는 구조를 따르는 놀라운 패턴을 따른다. 이 순서는 주 심장형의 경계를 따라 각 다발을 단위 구간의 유리수와 정확히 일치시킨다.

left|섬네일|망델브로 집합 내의 피보나치 수열

상단에 있는 다발에서 시작하여 원으로 진행하면, 수열은 체계적으로 전개된다. 와 사이에 있는 가장 큰 다발은 이고, 와 사이에는 등이 있다. 흥미롭게도 망델브로 집합에서 순차적인 스케일의 원형 다발 주기의 분모는 이전 두 항을 더하여 만들어지는 피보나치 수열을 따른다 – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

피보나치 수열은 망델브로 집합의 독특한 지점에서 나선형 팔의 개수로 나타나며, 상단과 하단 모두에 반영된다. 이 독특한 위치는 상세한 프랙탈 시각화를 위해 가장 많은 반복 횟수를 요구하며, 확대할수록 복잡한 세부 사항이 반복된다.

 확대 영상 모음 
망델브로 집합의 경계는 이미지를 더 가까이 보거나 확대할수록 더욱 복잡한 세부 사항을 보여준다. 다음은 선택된 c 값으로 확대하는 여러 이미지의 예시이다. 표시된 영역은 "-0.75 + 0.1i" 지점을 중심으로 하는 망델브로 집합 영역인 "해마 계곡"으로 알려져 있다.

첫 번째 이미지에 대한 마지막 이미지의 배율은 약 1010배이다. 일반적인 컴퓨터 모니터와 비교하자면 이는 지름 4백만 킬로미터의 망델브로 집합 부분을 나타낸다.

해마 "몸통"은 각각 12개의 "살"로 이루어진 두 그룹과 주 심장형에 연결된 1개의 "살"로 구성된 25개의 "살"로 이루어져 있다. 이 두 집단은 망델브로 집합의 "윗손"의 두 "손가락"에 대한 어떤 변형에 기인할 수 있다. 따라서 "살"의 수는 한 "해마"에서 다음 "해마"로 2씩 증가한다. "허브"는 미슈레비치 점이다. "몸통 윗부분"과 "꼬리" 사이에는 왜곡된 망델브로 집합의 복사본이 있는데, 이를 "위성"이라고 한다.

세 번째 마지막 단계의 섬은 해당 쥘리아 집합 의 경우처럼 무한히 많은 부분으로 구성된 것처럼 보인다. 이들은 미세한 구조로 연결되어 전체가 단일 연결 집합을 이룬다. 이 미세한 구조는 중앙의 위성에서 서로 만나는데, 이 확대율에서는 너무 작아서 인식할 수 없다. 해당 에 대한 값은 이미지 중심이 아니라, 망델브로 집합의 본체에 대해 6단계에서 보여진 위성에 대한 이 이미지 중심과 같은 위치를 가진다.

 내부 구조 
망델브로 집합은 일반적으로 외부 경계의 세부 사항을 보여주도록 렌더링되지만, 유계 집합 내의 구조도 드러낼 수 있다. 예를 들어, 주어진 c 값이 유계인지 비유계인지 계산하는 동안 유계로 남아있을 때 이 숫자가 도달하는 최대값을 해당 위치의 c 값과 비교할 수 있다. 제곱합 방법을 사용하면 계산된 숫자는 max:(실수^2 + 허수^2) − c:(실수^2 + 허수^2)가 된다. 이 계산의 크기는 그라디언트 값으로 렌더링될 수 있다.

위 계산을 하면 다음과 같은 결과를 생성한다. 경계에 접근할수록 뚜렷한 가장자리와 윤곽선을 가진 그라디언트가 나타난다. 애니메이션은 그라디언트 경계를 강조한다.

 일반화 

섬네일|4D 쥘리아 집합은 3D로 투영되거나 단면화될 수 있으며, 이로 인해 4D 망델브로 집합도 가능하다.

 멀티브로 집합 
멀티브로 집합은 다음의 일반적인 단일변수 다항식 재귀족의 구성원에 대해 복소평면에서 발견되는 유계 집합이다.

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정수 d에 대해, 이 집합들은 동일한 공식으로 구성된 쥘리아 집합의 연결성 국소이다. 완전한 3차 연결성 국소도 연구되었는데, 여기서 2매개변수 재귀 를 고려한다. 이 재귀의 두 임계점은 매개변수 k의 복소 제곱근이다. 매개변수는 두 임계점이 모두 안정적이면 3차 연결성 국소에 속한다. 일반적인 정칙 함수 계열의 경우, 망델브로 집합의 경계는 분기 국소로 일반화된다.

멀티브로 집합은 지수 d의 값을 변경하여 얻어진다. 이 문서에는 d = 0에서 7까지의 발달을 보여주는 비디오가 있으며, 이때 둘레 주위에 6개, 즉 개의 엽이 있다. 일반적으로 d가 양의 정수일 때, 이들 각 집합의 중심 영역은 항상 개의 첨점을 갖는 에피사이클로이드이다. 음의 정수 지수로 유사한 발달을 하면 고리의 안쪽에 개의 갈라짐이 생기는데, 이때 집합의 주요 중심 영역은 개의 첨점을 갖는 하이포사이클로이드이다.

 고차원 
망델브로 집합을 3D로 완벽하게 확장할 수는 없다. 3D에는 복소수의 아날로그가 없어 반복할 수 없기 때문이다. 복소수를 4차원으로 확장한 사원수는 망델브로 집합과 쥘리아 집합을 4차원으로 완벽하게 확장한다. 그런 다음 이들을 3D 구조로 단면도를 그리거나 투영할 수 있다. 사원수(4차원) 망델브로 집합은 2차원 망델브로 집합(j-k 평면)의 단순한 회전체이므로 흥미롭지 않다. 에서 3차원 단면을 취하면 실수 축을 중심으로 2차원 망델브로 집합의 회전체가 된다.

 기타 비해석적 사상 
left|섬네일|트리콘/망델바 프랙탈 이미지

트리콘 프랙탈은 망델바 집합이라고도 불리며, 반정칙 함수 계열 의 연결성 국소이다. 이는 존 밀너가 실수 삼차 함수 다항식의 매개변수 단면을 연구하던 중 발견했다. 이는 국소적으로 연결되어 있지 않다. 이 속성은 실수 삼차 다항식의 연결성 국소로 계승된다.

또 다른 비해석적 일반화는 다음을 반복하여 얻어지는 버닝 쉽 프랙탈이다.

.

 컴퓨터로 그리기 

컴퓨팅 장치를 통해 망델브로 집합의 그래프를 그리기 위한 다양한 알고리즘이 존재한다. 여기서는 가장 인기 있고 가장 간단한 알고리즘 중 하나인 순진한 "탈출 시간 알고리즘"을 보여줄 것이다. 탈출 시간 알고리즘에서는 그래프의 각 x, y 지점에 대해 반복 계산을 수행하고 해당 계산의 동작에 따라 픽셀의 색상을 선택한다.

각 지점의 x 및 y 위치는 반복 계산(아래에서 자세히 설명)의 시작 값으로 사용된다. 각 반복의 결과는 다음 반복의 시작 값으로 사용된다. 값은 각 반복 동안 확인되어 임계 "탈출" 조건 또는 "탈출"에 도달했는지 확인한다. 해당 조건에 도달하면 계산이 중지되고 픽셀이 그려진 다음 다음 x, y 지점이 검사된다.

각 점의 색상은 값이 탈출점에 얼마나 빨리 도달했는지를 나타낸다. 종종 검정색은 최대 반복 제한 전에 탈출에 실패한 값을 나타내는 데 사용되며, 점차 색상이 밝아질수록 더 빨리 탈출한 점에 사용된다. 이는 탈출 조건에 도달하기 전에 필요한 주기 수를 시각적으로 표현한다.

이러한 이미지를 렌더링하려면 고려 중인 복소평면 영역이 특정 수의 화소로 세분된다. 이러한 픽셀에 색을 입히려면 를 해당 픽셀의 중간점으로 둔다. 아래에서 임계점 0을 반복하고, 각 단계에서 궤도 점의 반지름이 2보다 큰지 확인한다. 이 경우 는 망델브로 집합에 속하지 않으므로, 이를 확인하는 데 사용된 반복 횟수에 따라 픽셀에 색을 입힌다. 그렇지 않으면 고정된 단계 수까지 반복한 후, 매개변수가 "아마도" 망델브로 집합에 속하거나 적어도 매우 가까이 있다고 판단하여 픽셀을 검정색으로 칠한다.

의사코드로 구현한 이 알고리즘은 다음과 같다. 이 알고리즘은 복소수를 사용하지 않으며, 복소수 자료형이 없는 사용자를 위해 두 개의 실수로 복소수 연산을 수동으로 시뮬레이션한다. 프로그래밍 언어에 복소수 자료형 연산이 포함되어 있다면 프로그램은 단순화될 수 있다.

 for 각 화면의 픽셀(Px, Py)에 대해 do
 x0 := 픽셀의 스케일된 x 좌표 (망델브로 X 스케일 (-2.00, 0.47)에 맞게 스케일됨)
 y0 := 픽셀의 스케일된 y 좌표 (망델브로 Y 스케일 (-1.12, 1.12)에 맞게 스케일됨)
 x := 0.0
 y := 0.0
 iteration := 0
 max_iteration := 1000
 while (x^2 + y^2 ≤ 2^2 AND iteration < max_iteration) do
 xtemp := x^2 - y^2 + x0
 y := 2*x*y + y0
 x := xtemp
 iteration := iteration + 1
 

 color := palette[iteration]
 plot(Px, Py, color)

여기서 의사코드와 , , 의 관계는 다음과 같다.
 
 
 
따라서 x와 y의 계산에서 의사코드에서 볼 수 있듯이
 및 .

집합의 다채로운 이미지를 얻기 위해 실행된 반복 횟수의 각 값에 색상을 할당하는 것은 다양한 함수(선형, 지수 등) 중 하나를 사용하여 수행할 수 있다.

 파이썬 코드 
다음은 위의 알고리즘을 파이썬으로 구현한 코드이다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Setting parameters (these values can be changed)
x_domain, y_domain = np.linspace(-2, 2, 500), np.linspace(-2, 2, 500)
bound = 2
max_iterations = 50 # any positive integer value
colormap = "nipy_spectral" # set to any matplotlib valid colormap

func = lambda z, p, c: z**p + c

# Computing 2D array to represent the Mandelbrot set
iteration_array = []
for y in y_domain:
 row = []
 for x in x_domain:
 z = 0
 p = 2
 c = complex(x, y)
 for iteration_number in range(max_iterations):
 if abs(z) >= bound:
 row.append(iteration_number)
 break
 else:
 try:
 z = func(z, p, c)
 except (ValueError, ZeroDivisionError):
 z = c
 else:
 row.append(0)

 iteration_array.append(row)

# Plotting the data
ax = plt.axes()
ax.set_aspect("equal")
graph = ax.pcolormesh(x_domain, y_domain, iteration_array, cmap=colormap)
plt.colorbar(graph)
plt.xlabel("Real-Axis")
plt.ylabel("Imaginary-Axis")
plt.show()다음은 위의 코드를 numba로 최적화한 코드이다.import numpy as np,matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.colors import LinearSegmentedColormap

from numba import njit, prange

import numpy as np

import time

#cs=[(1,.5,0),(1,.5,0),(1,.6,0),(1,.8,0),(1,1,0),(1,1,.5),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,0,1),(0,0,.6),(0,0,0)]

cs = [(0, 0, .6),(0, 0, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, .5),

 (1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1,0,0),(0, 0, 0)]

cm=LinearSegmentedColormap.from_list('cdiv',cs,N=1024)

@njit(parallel=True)

def compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y):

 divergence_map = np.zeros((nx, ny), dtype=np.float64)

 for i in prange(nx): # prange로 병렬 반복문

 x_val = x0 - eps + (2 * eps) * i / (nx - 1)

 for j in range(ny):

 y_val = y0 - eps_y + (2 * eps_y) * j / (ny - 1)

 c_val = complex(x_val, y_val)

 z = c_val

 divergence_map[i, j] =1.1

 for _ in range(max_iter):

 z = z ** 2 + c_val

 if abs(z) > escape_radius:

 divergence_map[i, j] =_/max_iter

 break

 return divergence_map

# 변수 세팅 (예시)

x0 = 0.3512#-0.87449847947295

y0 = -0.10251#0.25556091434514

eps = 3e-3#1e-13

eps_y = eps * (9/16)

n = 3840 #화질

nx, ny = n, int(n*(9/16))

max_iter = 500

escape_radius = 2

print("start")

s = time.time()

divergence_map = compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y)

e = time.time()

t = e - s

print(str(int(t/3600))+":"+str(int(t%3600/60))+":"+str(t%3600%60/60))

plt.figure(figsize=(10,10));nm=plt.Normalize(vmin=0,vmax=1.1)

plt.imshow(divergence_map.T,extent=[x0-eps,x0+eps,y0-eps_y,y0+eps_y],origin='lower',cmap=cm,norm=nm)

import random;a = random.random()

plt.axis('off');fn=f"mytetration_x_{x0}_y_{y0}_eps_{eps}_{n}_{a}.png"

plt.savefig(fn,dpi=1000,bbox_inches='tight',pad_inches=0);plt.show()섬네일|방정식 로 표현되는 2차원 멀티브로 집합의 이미지.

'power' 변수의 값은 동등한 멀티브로 집합()의 이미지를 생성하도록 수정할 수 있다. 예를 들어, 'p = 2'로 설정하면 관련 이미지가 생성된다.

 대중문화에 미친 영향 
망델브로 집합은 가장 인기 있는 프랙탈로 널리 알려져 있으며, 대중문화에서 여러 번 언급되었다.

 만화 
 미완성 앨런 무어 만화책 시리즈 빅 넘버스(1990)는 망델브로의 프랙탈 기하학 및 혼돈 이론 연구를 이 작품의 구조를 지지하는 데 사용했다. 무어는 한때 이 만화책 시리즈의 이름을 망델브로 집합으로 지으려 했다.
 만화 히카루가 죽은 여름 (2021 – 현재)에서 요시키(Yoshiki)는 가짜 히카루의 몸에 손을 넣었을 때 망델브로 집합을 환각한다.

 문학 
 아서 C. 클라크의 소설 그랜드 뱅크스에서 온 유령(1990)에는 망델브로 집합의 모양을 재현한 인공 호수가 등장한다.
 피어스 앤서니의 모드 시리즈의 두 번째 책인 프랙탈 모드(Fractal Mode)(1992)는 이 집합의 완벽한 3D 모델인 세계를 묘사한다.
 이언 스튜어트의 2001년 책 플랫랜더에는 만델블롯(Mandelblot)이라는 캐릭터가 등장하여 캐릭터와 독자에게 프랙탈을 설명하는 데 도움을 준다.

 음악 
 블루 맨 그룹의 1999년 데뷔 앨범 오디오는 "Opening Mandelbrot", "Mandelgroove", "Klein Mandelbrot"라는 곡 제목에서 망델브로 집합을 언급한다. 그들의 두 번째 앨범 더 콤플렉스(2003)는 "Mandelbrot IV"라는 히든 트랙으로 끝난다.
 미국 록 밴드 하트는 앨범 주피터스 달링(2004) 표지에 망델브로 집합 이미지를 사용했다.
 영국 블랙 메탈 밴드 아나알 나트라흐는 앨범 에스카톤(2006) 커버 아트에 망델브로 집합과 유사한 이미지를 사용한다.
 조너선 콜턴의 노래 "Mandelbrot Set"(2008)은 프랙탈 자체와 그 이름의 주인공인 브누아 망델브로에게 바치는 헌정곡이다.
 닐 시시에레가의 노래 "It's Gonna Get Weird"(2016)는 괴짜가족 괴담일기(2012 – 2016)를 위해 쓰였지만 사용되지 않은 곡으로, 주요 길항제인 빌 사이퍼의 시점에서 불린다. 한 구절에서 빌은 "망델브로 무지개"와 "비명 지르는 토네이도"를 만들 것을 고려한다.

 기타 
 텔레비전 시리즈 더크 젠틀리의 전체론적 탐정 사무소(2016)는 아만다 캐릭터의 환상과 관련하여 망델브로 집합을 두드러지게 다룬다. 시즌 2에서는 그녀의 재킷 등판에 큰 프랙탈 이미지가 그려져 있다.
 브누아 망델브로와 그 이름을 딴 집합은 2020년 11월 20일(고 브누아 망델브로의 96번째 생일)의 구글 두들 주제였다.

 같이 보기 

 부다브로
 콜라츠 프랙탈
 프랙탈
 길브레스 순열
 수학 예술 소프트웨어 목록
 망델박스
 망델벌브
 멩거 스펀지
 뉴턴 프랙탈
 궤도 초상화
 궤도 트랩
 피코버 줄기
 망델브로 집합의 그래프 알고리즘
 바이어슈트라스-망델브로 함수

 각주 

 참고 문헌 
 (1990년 스토니 브룩 IMS 프리프린트로 처음 발행되었으며, arXiV:math.DS/9201272에서 이용 가능)
 (아서 C. 클라크와 데이비드 길모어를 다룬 DVD 포함)
 

 외부 링크 

 비디오: 6.066 e228로 확대되는 망델브로 프랙탈
 수학적 과정에 대한 비교적 간단한 설명, MIT 홀리 크리거 박사
 망델브로 집합 탐색기: 지도와 같은 인터페이스를 가진 브라우저 기반 망델브로 집합 뷰어
 망델브로 집합 계산을 위한 다양한 알고리즘 (로제타 코드에서)
 불가리아 소피아의 Deyan Dobromiroiv가 Lua로 작성한 프랙탈 계산기

분류:프랙탈
분류:복소동역학