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순환군

군론에서, 순환군(循環群, )은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

 정의 
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.

 차수 
군 의 차수(次數, ,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 를 뜻한다.

군의 원소 의 차수 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 지수 
군 의 지수(指數, ) 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 분류 
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

 성질 
 약수 관계 
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 
 

(2) ⇒ (1) 이라면, 인 가 존재하므로, 이다.

(1) ⇒ (2) 이라면, 과 의 나머지 있는 나눗셈을 라고 하면, 이므로, 차수의 정의에 따라 이다. 즉, 이다.

지수가 유한한 군 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 임의의 에 대하여, 
 

(2) ⇒ (1) 이라면, 인 가 존재하므로, 임의의 에 대하여, 이다.

(1) ⇒ (2) 임의의 에 대하여 이라면, 임의의 에 대하여 이므로, 지수의 정의에 따라 이다.

유한군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

군의 유한 차수 원소 및 정규 부분군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

 항등식 
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 
 증명: 
 
 증명: 이므로, 이므로, 이므로, 

군의 원소 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 
 
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 
 증명: 
 
 증명: 이므로, 이므로, 이다. 비슷하게, 이다. 따라서, 이다.

반대로, 군의 원소 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다.
 
 
 

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.

조건을 만족시키는 를 다음과 같이 취할 수 있다.

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
 , 
 증명: 
 , 
 증명: 

유한 아벨 군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
즉, 다음이 성립한다.

최대 차수 원소 를 취하자. 임의의 에 대하여,

라고 가정하자. 그렇다면,

를 만족시키는 소인수 가 존재한다. 이 경우,

이므로,

이며, 이는 모순이다.

 순환군 
모든 순환군은 자명하게 유한 생성 아벨 군이다.

군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 의 크기는 소수이다.
 는 순환군이며, 단순군이다.
 는 아벨 군이며, 단순군이다.

(1) ⇒ (2): 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 밖에 없으므로, 는 단순군이다. 를 취하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 즉, 는 순환군이다.

(2) ⇒ (3): 모든 순환군은 아벨 군이다.

(3) ⇒ (1): 가 소수가 아니라고 가정하자. 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 순환군이다.
 임의의, 의 양의 약수 에 대하여, 이다.
 임의의 에 대하여, 이다.

(1) ⇒ (2): 순환군 의, 크기 의 부분군은 가 유일하다.

(1) ⇐ (2): 임의의 에 대하여, 임을 증명하자. (여기서 는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 인 가 존재하므로, 는 순환군이다.

인 를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 이므로, 인 가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 를 얻는다. 즉, 는 0이거나 이다. 그런데

이므로, 이다.

(1) ⇒ (3): 이다. 그런데 가정에 따라 이 방정식의 해는 개 밖에 없으므로, 는 전체 해의 집합이다. 따라서, 는 의 유일한 -쉴로브 부분군이며, 는 의 정규 부분군이다. 서로 다른 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 크기는 서로소이므로, 는 쉴로브 부분군들의 직접곱이다.

이제, 크기가 서로소인 순환군들의 직접곱은 순환군이므로, 모든 쉴로브 부분군이 순환군임을 보이면 충분하다. 제1 쉴로브 정리에 따라, 는 지표 의 부분군 을 가지며, 가정에 따라 이는 방정식 이며, 이다. 즉, 는 를 생성하며, 는 순환군이다.

순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 
 

(2) ⇒ (1) 

(1) ⇒ (2) 만약 이라면, 이므로, 이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 에 대하여, 인 가 존재한다.

 응용 
 유한 아벨 군의 분해 

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. 가 아벨 유한 p-군, 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다.

귀류법을 사용하여, 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 최소 차수 원소 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
 
 증명: 그렇지 않다면, ()이며, 이므로, 이다. ()이라고 하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 따라서, 이며, 인데, 이는 의 선택과 모순이다.
 
 증명: ()라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재하며, 이다. 이는 모순이다.
 은 최대 차수 원소이다.
 증명: 우선 이다. 라고 가정하면, 이므로, 이다. 이는 모순이다. 따라서 이며, 은 최대 차수 원소이다.
 인 가 존재한다.
 증명: 
 
 증명: 우선, 이므로, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다.

 같이 보기 
 프뤼퍼 군
 원군

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

분류:아벨 군론
연산군 (동음이의)

연산군은 다음과 같은 뜻으로 쓰인다.

 사람 
 연산군(燕山君)은 조선의 10대 임금이자 폭군이다.
 연산군(延山君)은 조선 전기의 문신 김효성(金孝誠)의 작위이다.
 연산군(延山君)은 조선 전기의 문신 김처의(金處義)의 작위이다.
 연산군(連山君)은 고려말기와 조선전기의 문신 이원굉(李元紘)의 작위이다.

 지명 
 연산군(延山郡)은 조선민주주의인민공화국의 황해북도에 있는 군이다.
 연산군(連山郡)은 조선시대 충청남도 남부에 있던 행정구역이다. 논산시의 동부에 해당된다.

 영화 
 《연산군》은 1962년 대종상을 받은 박종화 원작의 1961년 대한민국 영화이다.
 《연산군》은 이대근, 강수연, 정혜선 주연의 1987년 대한민국 영화이다.

 같이 보기
아라카와구

아라카와구()는 일본 도쿄도에 있는 특별구 중 하나이다. 구의 이름은 아라카와강에서 유래했다.

"미카와시마"() 역 주변은 도쿄를 대표하는 코리아타운으로 제주도 출신자를 중심으로 한 재일 한국인이 많이 살고 있다.

 지리 
도쿄의 북동부에 있다. 구의 모양은 길고 좁으며 동서로 뻗어 있으며 스미다강이 구의 북쪽 경계를 이룬다. 구는 북쪽으로 아다치구, 서쪽으로 기타구, 남서쪽으로 분쿄구, 남쪽으로 다이토구, 남동쪽으로 스미다구와 각각 접한다. 그리고 이 안에는 고양이만을 위한 마을인 유야케단단이라는 고양이 마을도 물론 존재한다.

 역사 
이 지역은 에도 시대에 주로 농경지였다. 1651년에 도쿠가와 막부의 가장 큰 사형장인 고주카파라가 현재의 미나미센주역 옆에 세워졌다. 메이지 시대가 시작될 무렵에 이 지역의 강 유역에 공장이 세워져 산업이 발달한 지역이 되었다. 1932년에 아라카와는 도쿄시의 35개 구 중 하나가 되었다.

 교통 
 철도 
 동일본 여객철도
 야마노테선
 게이힌 도호쿠선
 조반선
 도쿄도 교통국
 도덴 아라카와선
 닛포리·도네리 라이너
 도쿄 메트로
 히비야선: (다이토구) - 미나미센주역 - (아다치구)
 지요다선
 게이세이 전철
 본선
 수도권 신도시 철도
 쓰쿠바 익스프레스

 도로 
 국도 제4호선

 픽션 
 만화·애니메이션 
 허리케인 죠
 거인의 별

 주요 인물 
 카메이 에리 (亀井絵里)

 외부 링크 
 
 

 
분류:도쿄도의 구
분류:도쿄시의 구
백제 금동대향로

백제 금동대향로(百濟金銅大香)는 백제에서 만들어진 금동제 박산로다. 1993년 충청남도 부여군 능산리 절터의 목곽 참수형 안에서 발견되었으며 국보 제287호로 지정되었다. 현재 국립부여박물관에 소장되어 있다. 백제 금동대향로는 최고의 기술적 성과라는 평가가 있다.

 발굴 과정 
백제금동대향로는 1993년 12월 12일 충청남도 부여군 부여읍 능산리의 어느 주차장을 건설하던 곳에서 발견되었다. 주차장 공사가 임박한 시점에 출토된 것이다. 당시 백제금동대향로는 돌무더기 속에 있었고, 바닥에서는 기와 조각과 토기 조각이 발견되었다. 주변에서는 섬유 조각이 발굴되었는데, 발굴단은 이 섬유 조각이 백제금동대향로를 감쌌던 것으로 추정했다. 또, 대향로가 오랜 세월에도 완벽하게 보존될 수 있었던 이유는 돌무더기에 잠긴 진공 상태에서 보관되었기 때문으로 보고 있다.

1995년의 발굴 조사로 대향로가 발견된 일대가 백제 시대 왕실 절터였음이 입증되었다. 발굴된 석탑 흔적에서 발견된 부여 능산리사지 석조사리감에서 "창왕(위덕왕) 13년(567년)에 정해공주가 이 절을 지었다"는 기록이 발기된 것이다. 학계는 이 점에 주목하여 백제 금동대향로가 단순한 향로가 아니라 백제 왕실 의식이나 제사용으로 사용된 신물로 추정하고 있다.

 구성 
백제금동대향로는 전체 높이가이며 황룡 모양의 향 받침, 연꽃이 새겨져 있는 향로의 몸체, 산악도가 솟아있는 향로 뚜껑, 뚜껑 위의 봉황 장식의 네 부분으로 이루어져 있다. 봉황과 향로 뚜껑은 각각 다른 주물로 제작되어 있어, 제작 과정에서 여섯 개의 주물틀이 사용되었음을 알 수 있다. 향로 본체의 가운데 테두리의 구름 문양 아래에는 연꽃이 핀 연못이 있고, 그 위인 뚜껑에는 봉우리가 세 개 있는 산들이 있다. 이 산에는 말을 타고 사냥하는 사람, 신선으로 보이는 사람들, 호랑이, 사자, 원숭이, 멧돼지, 코끼리, 낙타 등 많은 동물들이 장식되어 있다. 또한 곳곳에 폭포, 나무, 불꽃 무늬, 귀면상 등이 있다. 제단 모양으로 꾸며진 정상에는 봉황이 날개를 펴고 춤추고 있고, 그 아래에는 7악사가 있는데 이들은 단소, 피리, 비파, 북, 현금 등을 연주하고 있다. 그 주위의 다섯 봉우리에는 각각 갈매기로 보이는 새가 봉황과 함께 춤추는 형상이 있다. 향로의 몸체에는 연꽃이 있는데 그 위에 갖가지 새와 물고기가 새겨져 있다. 또 한쪽에는 무예를 하는 인물도 있다. 그리고 그 아래에 발가락이 네 개 있는 용이 위의 연꽃을 물고 하늘로 날아가려는 듯 용틀임을 하고 있다.

 체계 
중국에 서역의 향품이 전해져서 전국시대 말기부터 악취를 없애고 부정을 쫓기 위해 향로를 만들었다. 백제 금동대향로의 기원을 중국에서 찾는 사람도 있는데, 이들에 의하면 백제 금동대향로는 한나라의 영향을 받아 백제적인 요소가 가미되어 제작되었다고 한다. 하지만 이는 길쭉한 하대에 알의 모양을 얹은 박산 향로의 형식에 있어서만 유효한 논증이다. 중국의 박산형 향로에 비하여 백제 금동 대향로는 그 심미성과 정밀함이 월등하기 때문이다.

불교문화연구가들은 백제금동대향로가 불교의 연화화생설과 관련있다고 하는데, 불교의 이상향인 연화장의 세계는 비로자나불이 있는 광대하고 장엄한 이상세계를 말한다. 연화장 세계의 맨 아래에는 풍륜이 있고, 풍륜 위에는 향수해가 있어 그 향수해에 큰 연꽃이 핀 것을 연화장이라 하는 이상세계이다. 즉, 대향로를 받치고 있는 용은 향수해를 의미하고 연꽃잎 위의 세계가 이상세계라는 설명이다.

봉황을 고대 동북아에서 신성시해 온 천계(天界)로 보고, 5악사와 자지를 백제의 5부로 보아 백제대향로에 고대 동북아의 전통사상이 반영되었다.

한편 최근에는 백제 금동대향로가 '도교와 불교의 습합'을 반영했다는 기존 견해에 반론하기도 한다. 당시 불교계에서 전승되었을 문헌 가운데 '가루라(금시조) 목 아래에 여의주가 있다[如意者, 此鳥頸下有如意珠.]'라는 기록이 있기 때문이다. 또한 《대반열반경》 중 '신선이 기악을 연주한다[神仙呪術，作倡伎樂]'는 기록이 있고, 《묘법연화경》에도 '사람이 북, 퉁소, 거문고, 비파 등을 연주한다[若使人作樂, 擊鼓吹角貝, 簫笛琴箜篌, 琵琶鐃銅鈸]'라는 문구가 있다. 즉, 백제 금동대향로의 도상을 불전(佛典) 내에서 찾을 수 있다는 주장이 제기된 것이다. 특히 수당대에 걸쳐 불교 내에서는 《홍명집》 등을 저술해 도교에 비판적인 입장을 제기하는 경우가 많았다. 따라서 격의불교로 당시의 불교상을 정의하기엔 문제가 있다. 향로의 도상에 대해 지나친 추정과 상상은 지양되어야 하고, 향후 구체적인 전거를 들어 살펴볼 필요가 있다.

2024년도 논문에서는 양무제의 칙명에 의해 편찬된 《경률이상》이라는 불교 설화집에 근거하여 향로의 도상을 분석한다. 향로의 뚜껑과 몸체 경계부에는 구름 문양이 음각되어 있는데, 이것을 '풍륜(風輪)'으로 풀이한다. 이 설화집에 따르면, '금시조가 용을 잡아먹으려고 하나, 풍륜을 지나가지 못한다'고 한다. 이에 근거하여 향로 정상부에 위치한 금시조와 향로 하단부의 용이 풍륜을 중심으로 공간적 배치가 이루어졌을 것이라고 본다. 전통적으로 가루다와 용은 대립적인 관계로 묘사되지만 풍륜이라는 매개체를 통해 공존할 수 있다고 주장한다. 이외에도 향로에 나타난 천추(千秋), 활을 쏘는 인물 등 다소 불교적이지 않아 보이는 것들도 실은 불교 설화 속에서 기인했을 수 있음을 전거로 제시한다.

 세부 모습 

 같이 보기 
 국립부여박물관
 삼국 시대
 각주 

 참고 자료 
 

 외부 링크 
 백제금동대향로 디지털재현관
 백제금동대향로 소개 동영상(유튜브), 국립부여박물관

분류:대한민국의 국보
분류:국립부여박물관 소장품
분류:백제의 조각
분류:백제의 공예
분류:향로
분류:동상 (형상)
분류:7세기 조각 작품
분류:1993년 발굴
분류:백제의 도교
분류:백제의 불교
분류:대한민국에서 출토된 유물
시나가와구

시나가와구()는 일본 도쿄도에 있는 특별구 중 하나이다.

 지리 
시나가와구는 다섯 개의 지구로 이루어져 있다.
 시나가와 지구(品川地区) - 과거 도카이도의 시나가와 초소를 포함한다.
 오사키 지구(大崎地区) - 과거 오사키정(大崎町)으로 오사키역부터 고탄다역과 메구로역까지 뻗어 있다.
 에바라 지구(荏原地区) - 과거 에바라정(荏原町)에 해당한다.
 오이 지구(大井地区) - 과거 오이정(大井町)에 해당한다.
 야시오 지구(八潮地区) - 매립지로 이루어져 있다.

 인접한 자치체 
 고토구
 미나토구
 메구로구
 오타구

 역사 
1947년 3월 15일에 시나가와구는 이전의 시나가와구에 에바라구가 합쳐져 성립되었다. 시나가와구와 에바라구는 모두 1923년 간토 대지진 이후 도쿄시의 경계가 바깥쪽으로 확장됨에 따라 1932년에 설치되었다.

에도 시대에 시나가와는 도쿄와 교토를 잇는 도카이도를 출발한 여행자들이 처음 마주치는 역참이 있던 곳이다. 역참의 기능은 오늘날 역 주변에 있는 6000개의 객실을 가진 몇몇 호텔들에 의해 유지되고 있다. 에도 막부는 시나가와에 스즈가모리 형장을 유지하였다. 도카이도 신칸센은 2003년부터 시나가와역에 정차하기 시작했다.

 교육 
 호시 대학
 릿쇼 대학
 세이센 대학
 쇼와 대학
 스기노 여성 대학

 산업 
섬네일|현재 일본항공의 본사인 JAL 빌딩
몇몇 회사들이 시나가와구에 본사를 두고 있다. 시나가와구에 본사를 둔 기업들로 이스즈 자동차, 일본항공, JAL의 계열사인 JAL 익스프레스, JAL 웨이즈가 있다. 한때 JAL의 계열사로 현재는 일본항공에 인수되어 없어진 일본 아시아 항공이 JAL 빌딩에 본사를 두었다. 반다이 남코 홀딩스의 본사가 다이요 세이메이 시나가와 빌딩에 있다. 소니는 시나가와구에서 고텐야마 테크놀로지 센터와 오사키 이스트 테크놀로지 센터를 운영하고 있다. 이것은 2006년 말에 소니의 본사가 미나토구로 이전하기까지 본사로 사용되었고 시나가와의 오사키 웨스트 테크놀로지 센터는 2007년에 문을 닫았다.

어도비 시스템즈, 지멘스 AG, 피닉스 테크놀로지스의 일본 지사가 시나가와구에 있다. 다른 회사들로 IMAGICA, JTB 주식회사, 필립스, 아쿠라, 폴라 코스메틱스, 일본 정공이 있다.

 교통 
 도로 
 수도고속도로 1호 하네다선
 수도고속도로 2호 메구로선
 수도고속도로 완간선
 국도 제1호선
 국도 제15호선
 국도 제357호선

 철도 
시나가와역은 실제로는 미나토구에 있다.
 도카이 여객철도
 도카이도 신칸센
 시나가와역
 게이힌 급행 전철
 본선
 기타시나가와역 - 신반바역 - 아오모노요코초역 - 사메즈역 - 다치아이가와역 - 오모리카이간역
 도쿄도 교통국(도에이 지하철)
 아사쿠사선
 (오타구) - 나카노부역 - 도고시역 - 고탄다역 - (미나토구)
 미타선
 메구로역 - (미나토구)
 동일본 여객철도
 야마노테선
 오사키역(사이쿄선을 포함) - 고탄다역 - 메구로역
 도카이도 본선
 오이마치역(게이힌 도호쿠선), 니시오이역(요코스카선)
 도큐 전철
 메구로선
 메구로역 - 후도마에역 - 무사시코야마역 - 니시코야마역
 오이마치선
 오이마치역 - 시모신메이역 - 도고시코엔역 - 나카노부역 - 에바라마치역 - 하타노다이역
 이케가미선
 고탄다역 - 오사키히로코지역 - 도고시긴자역 - 에바라나카노부역 - 하타노다이역
 도쿄 모노레일
 하네다 공항선
 덴노즈 아일역 - 오이케이바조마에역
 도쿄 메트로
 난보쿠선
 메구로역
 도쿄 임해 고속 철도
 린카이선
 오사키역 - 오이마치역 - 시나가와 시사이드역 - 덴노즈 아일역

 공항 
오타구에 있는 도쿄 국제공항이 가장 가깝다.

 시설·건축물 
 대사관 

 자매 도시 
 제네바
 오클랜드
 헤이룽장성 하얼빈시
 포틀랜드 (메인주)

 주요 인물 
 아라카와 시즈카(荒川 静香)

 외부 링크 
 
 

 
분류:도쿄도의 구
분류:도쿄시의 구
날개 (동음이의)

날개는 다음 뜻으로 쓰인다.
 날개는 공중을 날기 위한 생체기관이다.
 날개는 항공공학에서 양력을 발생시켜 기체를 공중으로 띄우는 부분이다.
 날개는 선풍기나 바람개비 등에서 바람을 일으키거나 받는 부분이다.
 날개는 윷판의 밭 가운데 하나이다.
 날개(wing)는 메타블로그를 만들 수 있도록 하는 프로그램이다.

 소설·드라마·영화 
 《날개》(Wings, 1927) - 미국의 무성 전쟁 영화.
 《날개》(1936) - 이상의 단편 소설.
 《날개》(1979) - KBS 문예극장.
 《》(, 1966) - 소련의 영화.
 《날개》(1984) - KBS 드라마게임.

 같이 보기 
 
 태풍 날개
폐포 (수학)

수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘()은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, )는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 또는 .

 정의 
 닫힘 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 위의 '항 관계' . 단, 임의의 에 대하여, 이며, 
 특히, 에 대하여, 위의 항 관계를 위 조건 및 를 만족시키는 '항 관계'로 여길 수 있다. 또한, 항 연산은 자연스럽게 항 관계로 여길 수 있다.
만약 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 에 대하여 닫혀있다()고 한다.
 임의의 및 에 대하여, 이면 
보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, 위의 '항 관계'의 집합 가 주어졌을 때, 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다()고 한다.
 는 에 대하여 닫혀있다.
 즉, 임의의 에 대하여, 는 에 대하여 닫혀있다.

 폐포 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 의 부분 집합들에 대한 성질 
의 부분 집합 의 에 대한 폐포 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
 
 임의의 에 대하여, 
폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. 가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, 에 의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

 예 
 위상수학 
위상 공간 의 부분 집합 가 다음 항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 에 대하여,

여기서 는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 의 부분 집합 에 대하여, 최소 닫힌집합 를 의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 항 관계 에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 에 대하여,

 대수학 
군 의 부분 집합 가 군의 연산 집합 에 대하여 닫혀있다면, 의 부분군이라고 한다. 에 대하여, 최소 부분군 를 로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 의 부분체 이 속에서 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체
의 대수적 폐포 는 최소 대수적으로 닫힌 체 이다. 이 의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

 집합론 
집합 가 (모든 집합의 모임 위의) 원소 관계 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 에 대하여, 최소 추이적 집합 를 의 추이적 폐포라고 한다.

집합 위의 이항 관계 가 위의 일항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 즉, 이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 에 대하여, 최소 반사 관계 를 의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

 같이 보기 
 폐포 연산자

분류:폐포 연산자
폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, )는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. 의 폐포는 또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 또는 또는 와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 로 유도되었을 경우 또는 와 같이 써도 좋다.

 정의 
위상 공간 의 부분 집합 이 주어졌다고 하자. 점 이 다음 조건을 만족시킨다면, 의 폐포점(閉包點, )이라고 한다.
 의 모든 근방 에 대하여, 이다.

만약 의 국소 기저 가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 모든 에 대하여, 이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 의 부분 집합 의 폐포 는 의 모든 폐포점들의 집합이다.

 성질 
 극한점과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 이거나, 는 의 극한점이다.

즉, 의 폐포는 와 그 유도 집합의 합집합이다.

 닫힌집합과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 닫힌집합이다.
 
 
 

반대로, 의 폐포는 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

 내부·경계와의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 폐포점이다.
 는 의 내부점이거나 경계점이다.
 는 의 여집합 의 내부점이 아니다.

즉, 의 폐포는 의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

반대로, 의 경계는 와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

 항등식 
위상 공간 의 부분 집합 및 집합족 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

또한, 만약 가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다.

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다.

표준적인 위상을 갖춘 실수선 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

그렇다면, 의 합집합 의 폐포 는 의 폐포 의 합집합 을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, 와 의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 의 폐포 와 의 폐포 의 교집합 의 진부분 집합이다.

 예 
 이산 공간 
이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

 비이산 공간 
비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

 열린 공 
에 대하여, (노름 위상을 갖춘) -노름 공간 위의 열린 공

의 폐포는 닫힌 공

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 위에서, 를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

 갈루아 군 
갈루아 확대 의 갈루아 군 은 사유한군이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 부분군 의 폐포는 다음과 같다.

여기서

는 가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다.

 균등 공간 
(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 의 부분 집합 의 폐포는 의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.

임의의 측근 에 대하여, 는 측근이며, 이다. 따라서, 임의의 에 대하여,

은 의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

 스콧 위상 
원순서 집합 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.

 각주 

 외부 링크 
 
 
 

분류:폐포 연산자
분류:일반위상수학
닫힘

닫힘 또는 닫힌 또는 닫혀있다는 다음과 같은 뜻을 갖는다.

 물리학 
 닫힌계

 수학 
 연산에 대한 닫힘
 닫힌집합
 닫힌구간
 닫힌 함수
 닫힌 몰입
 보편 닫힌 사상
 대수적으로 닫힌 체
 정수적으로 닫힌 정역
 데카르트 닫힌 범주
 닫힌 원순서 집합

 화학 
 닫힌 껍질

 같이 보기 
 
 열림
 폐포 (동음이의)
내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, )는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 의 내부의 기호는 또는 이다.

 정의 
위상 공간 의 부분 집합 의 내부 는 를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 들의 집합이다.
 인 열린집합 가 존재한다.
내부의 원소를 내부점(內部點, )이라고 한다.

 성질 
 열린집합과의 관계 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 열린집합이다.
 
 
반대로 는 의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 의 최대 열린부분집합이다.

 폐포와의 관계 
내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.

 집합 연산과의 관계 
내부는 유한 교집합을 보존한다.

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

 기저와의 관계 
위상 공간 의 기저 가 주어졌을 때, 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 
 인 가 존재한다.
즉, 는 에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

 예 
실수선 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

 스콧 위상 
연속 dcpo 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 의 상폐포의 내부는 다음과 같다.

은 스콧 열린집합: 가 상향 집합이며, 라고 하자. 가 연속 dcpo이므로, 인 가 존재한다. 즉, 이다.

: 임의의 및 상향 집합 가 주어졌으며, 또한 라고 하자. 인 를 찾으면 족하다. 는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, 이다. 따라서, 는 공집합이 아니다.

 같이 보기 
 외부 (위상수학)
 경계 (위상수학)
 근방

 각주 

 외부 링크 
 
 
 

분류:일반위상수학
분류:폐포 연산자
외부 (위상수학)

외부는 한 집합 의 와 만나지 않는 모든 열린 집합의 합집합이다. 한 집합의 외부는 그 집합과 만나지 않는 가장 큰 열린 집합이다. 두 집합이 만나지 않는다는 것은 두 집합이 겹치는 부분이 없다는 뜻이다. 즉 두 집합의 교집합이 공집합이라는 뜻이다. 집합 의 외부는 또는 로 나타낸다.

 정의 
가 위상 공간이고 일 때, 의 외부 는 다음과 같이 정의된다.
인 모든 열린 집합 에 대해서 

 같이 보기 
 내부
 경계

분류:일반위상수학
경계 (위상수학)

섬네일
일반위상수학에서 위상 공간 의 한 부분집합 의 경계(境界, )란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다.

 정의 
위상 공간 의 부분공간 의 경계 는 다음 성질을 만족시키는 점 들의 집합이다.
의 모든 근방 에 대하여, 이며 이다.

 성질 
경계는 다음과 같이 폐포 연산으로 나타낼 수 있다.

여기서 은 폐포, 는 내부를 의미한다.

경계와 집합 연산 (합집합과 교집합) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
 
 

 같이 보기 
 내부 (위상수학)
 외부 (위상수학)

분류:일반위상수학
바이올린 협주곡

섬네일|right|300px|베토벤의 바이올린 협주곡을 연주하는 다비드 오이스트라흐 (1960)
《바이올린 협주곡》은 바이올린 독주와 관현악을 위한 협주곡이다. 드물게 복수의 바이올린 연주자가 있는 경우도 있다.

 개요 
바이올린 협주곡은 협주곡의 형식이 발달하기 시작한 바로크 시대부터 현대까지 많은 유명한 작곡가들이 작곡하고 있어 협주곡의 중요한 장르로 여겨지고 있다.

비발디, 바흐, 모차르트, 베토벤, 파가니니, 멘델스존, 브람스, 브루흐, 시벨리우스, 차이콥스키, 비에니아프스키 등은 유명하며, 특히 베토벤의 《바이올린 협주곡 라장조, 작품 61》, 《멘델스존의 바이올린 협주곡 마단조' 작품 64》, 브람스의 《바이올린 협주곡 라장조' 작품 77》을 선택, 3대 바이올린 협주곡으로 선정하기도 하고, 차이콥스키의 《바이올린 협주곡 라장조, 작품 35》를 추가해서 4대 바이올린 협주곡으로 선정하기도 한다.。

바이올린 협주곡 중에는 관현악이 아니라 실내악 편성에 따른 반주를 동반하는 것도 있다. 예를 들어 비발디의 《조화의 영감》은 네 개의 바이올린, 두 개의 비올라, 첼로, 통주저음을 위한 작품이며, 또한 알란 페터르손의 첫 번째 협주곡은 바이올린과 현악 사중주를 위한 작품이다.

 바이올린 협주곡의 선택된 목록 
가장 유명한 바이올린 협주곡은 베토벤, 멘델스존, 브람스, 차이콥스키, 시벨리우스의 작품으로, 그것들은 바이올린 레퍼토리의 초점을 이룬다.
바로크
 안토니오 비발디
 사계 - 《화성과 창의의 시도》의 처음 네 개의 협주곡.
 조화의 영감 (1711) - 바이올린, 첼로를 포함한 다양한 편성을 위한 열두 곡의 협주곡
 요한 세바스티안 바흐
 바이올린 협주곡 가단조
 바이올린 협주곡 마장조
 두 대의 바이올린을 위한 협주곡 (1717-23)

고전주의
 볼프강 아마데우스 모차르트
 바이올린 협주곡 1번 KV 207 (1773)
 바이올린 협주곡 2번 KV 211 (1775)
 바이올린 협주곡 3번 KV 216 (1775)
 바이올린 협주곡 4번 KV 218 (1775)
 바이올린 협주곡 5번 KV 219 (1775)
 루트비히 판 베토벤
 바이올린 협주곡 라장조, Op. 61 (1806)

낭만주의
 펠릭스 멘델스존
 바이올린 협주곡 마단조, Op. 64 (1844)
 바이올린 협주곡 라단조
 니콜로 파가니니
 바이올린 협주곡 1번
 바이올린 협주곡 2번
 바이올린 협주곡 3번
 바이올린 협주곡 4번
 바이올린 협주곡 5번
 바이올린 협주곡 6번
 로베르트 슈만
 바이올린 협주곡 (1853)
 요하네스 브람스
 바이올린 협주곡 (1878)
 표트르 일리치 차이콥스키
 바이올린 협주곡 라장조 (1878)
 막스 브루흐
 바이올린 협주곡 1번 사단조 (1867)
 바이올린 협주곡 2번 라단조 (1877)
 바이올린 협주곡 3번 라단조 (1891)
 스코틀랜드 환상곡
 카미유 생상스
 바이올린 협주곡 1번 (1859)
 바이올린 협주곡 2번 (1858)
 바이올린 협주곡 3번 (1880)
 장 시벨리우스
 바이올린 협주곡 라단조 (1904)
 헨리크 비에니아프스키
 바이올린 협주곡 1번 올림바단조
 바이올린 협주곡 2번 라단조
 에두아르 랄로
 바이올린 협주곡 1번
 스페인 교향곡
 노르웨이 환상곡
 러시아 협주곡

20세기
 벨러 버르토크
 바이올린 협주곡 1번 (1908)
 바이올린 협주곡 2번 (1938)
 에드워드 엘가
 바이올린 협주곡 (1910)
 알반 베르크
 바이올린 협주곡 (1935)
 세르게이 프로코피예프
 바이올린 협주곡 제1번 (1917)
 바이올린 협주곡 제2번 (1935)
 아르놀트 쇤베르크
 바이올린 협주곡 (1936)
 파울 힌데미트
 바이올린 협주곡 (1939)
 바이올린 협주곡 1번 (1948)
 바이올린 협주곡 2번 (1967)
 필립 글라스
 바이올린 협주곡 (1987)
 드미트리 카발레프스키
 바이올린 협주곡 다장조
 드미트리 쇼스타코비치
 바이올린 협주곡 1번
 바이올린 협주곡 2번

 바이올린과 앙상블(합주단)을 위한 다른 작품의 선택된 목록 
 버르토크 벨러
 바이올린 랩소디 1번 (1929)
 바이올린 랩소디 2번 (1928)
 루트비히 판 베토벤
 로망스 1번 사장조 Op. 40 (1798–1802)
 로망스 2번 바장조 Op. 50 (1798–1802)
 엑토르 베를리오즈
 꿈과 카프리스, Op. 8 (1841; 1842)
 레너드 번스타인
 플라톤의 '심포지움'에 의한 세레나데 (1954)
 에르네스트 블로흐
 바알 셈 (1939)
 막스 브루흐
 로망스 바장조, Op. 42 (1874)
 스코틀랜드 환상곡, Op. 46 (1880)
 아다지오 아파시오나토 올림가단조, Op. 57 (1890)
 인 메모리엄, Op. 65 (1893)
 바이올린과 관현악을 위한 세레나데 가단조, Op. 75 (1899-1900)
 연주곡집 올림바단조, Op. 84 (1911)
 에르네스트 쇼송
 시곡, Op. 25 (1896)
 안토닌 드보르자크
 로망스 바장조, Op. 25 (1896)
 볼프강 아마데우스 모차르트
 아다지오 마장조, K 261 (1776)
 론도 내림나장조, K 261a (1776)
 론도 다장조, K 373 (1781)
 헨리크 비에니아프스키
 폴로네이즈 협주곡 1번, Op. 4 (1853)
 레겐다 사단조, Op. 17 (1859)
 '파우스트' 주제에 의한 판타지 브릴란테, Op.20 (1865)

 같이 보기 
 바이올린 소나타
 피아노 삼중주

 각주 

 외부 링크
헨리크 비에니아프스키

헨리크 비에니아프스키(, 1835년 7월 10일 ~ 1880년 3월 31일)는 폴란드의 작곡가이자 바이올리니스트이다.

 일대기 
비에니아프스키는 러시아가 지배하고 있었던 당시, 루블린주 루블린 시에서 태어났으며, 어렸을 때부터 음악에 대한 재능을 나타냈다. 그는 1847년에《대 환상 카프리치오 작품번호 1》을 출판했다. 총 24개 작품이 출판되었다.

비에니아프스키는 이사벨라 햄프턴과 약혼했지만, 이를 이사벨라의 부모가 반대하자 《전설 작품번호 17》을 썼고, 그것으로 부모의 마음을 돌려놓아 1860년 결혼했다.

1860년 안톤 루빈슈타인의 초청으로 상트페테르부르크로 이주하여 1872년까지 살았다. 그곳에 있는 Russian Musical Society에서 그는 바이올린을 가르치면서 오케스트라와 현악 사중주 활동을 했다.

1872년부터 1874년까지 비에니아프스키는 안톤 루빈슈타인과 함께 미국을 여행했다. 1875년에는 브뤼셀에 있는 콘소바토리에서 앙리 비외탕의 후임으로 바이올린 교수를 지냈다. 몇 해 동안 건강이 악화되어 콘서트를 몇 년간 가지지 못했다. 1879년 4월 오데사에서 마지막 콘서트를 갖고 이듬해에 사망했다.

비에니아프스키는 천재적인 바이올리니스트로 여겨지고 있다. 두 개의 바이올린 협주곡을 포함해서 그의 작품은 어려운 기교를 가지고 있어 바이올린 레퍼토리로서 많이 연주되고 있다. 그는 사후에 얻은 명성이 많다. 1952년과 1957년, 폴란드 우편 직인에는 그의 얼굴이 도안되었다. 1979년 주화된 100 즈워티 동전에는 그의 얼굴이 있다. 체코브카 강에 있는 한 도시에는 비에니아프스카라는 이름이 붙었다.

흔히 ‘Russian bow grip’이라고 불리는 기법은 ‘Wieniawski bow grip’이 더 올바른 이름이다. 이는 비에니아프스키가 그의 학생들에게 악마의 트릴을 연주하기 쉽게 하기 위해서 지도했던 기법이기 때문이다.

비에니아프스키는 콘서트 순회 중 모스크바에서 숨졌다. 그의 시신은 바르샤바의 포와즈키 묘지에 안장되어 있다.

첫회의 비에니아프스키 바이올린 콩쿨이 1935년 바르샤바에서 열렸고, 1952년부터 5년마다 국제 콩쿨이 열리고 있다.

 외부 링크 
 
 Henryk Wieniawski - 서던캘리포니아 대학교 PMC(Polish Music Center)

분류:1835년 출생
분류:1880년 사망
분류:폴란드의 클래식 작곡가
분류:유대계 폴란드인
분류:낭만주의 작곡가
분류:바이올린 작곡가
분류:폴란드의 클래식 바이올린 연주자
분류:파리 음악원 동문
분류:루블린 출신
분류:19세기 클래식 작곡가
앙리 비외탕

앙리 프랑수아 조제프 비외탕(, 1820년 2월 17일 ~ 1881년 6월 6일)은 벨기에의 작곡가이자 바이올리니스트이다. 주로 프랑스에서 활동했다. 이른바 프랑코-벨기에파의 대표적인 바이올리니스트이다. 브뤼셀에서 같은 벨기에인 바이올리니스트로 지금도 연습곡이나 교본으로 알려진 베리오(Charles Auguste de Beriot)에게 배우고, 작곡은 라이하에게 사사하였다. 상트페테르부르크 음악원이나 브뤼셀 음악원의 교수도 역임하였다. 그의 작품은 모두 바이올린곡인데, 남아 있는 7개의 협주곡 중에서는 제4번, 제5번이 자주 연주된다.

 생애 
벨기에 바이올린 명수이며 작곡자로 통하는 비외탕은 1820년 2월 17일 벨기에의 베르비에르에서 태어났다. 아버지는 피아노 조율사이자 악기 제조사로 일하는 사람이었다. 취미로 바이올린을 연주하던 아버지와 현지 음악가로부터 수업을 받고 6세에 피에르 로데의 작품으로 데뷔했다. 곧 인근 도시를 돌아다니며 순회공연을 하였는데, 브뤼셀에서 당시의 유명한 바이올린 연주자인 샤를 드 베리오에게 사사한다.

1829년 베리오와 함께 프랑스 파리로 가 로드 협주곡을 연주하여 성공적으로 데뷔하지만, 이듬해 7월 혁명이 터지고 스승인 베리오가 정부인 마리아 말리브란과 결혼하고 연주 여행을 떠나는 바람에 브뤼셀로 돌아오게 된다. 비외탕은 말리브란의 누이와 함께 음악 실력을 갈고 닦는다.

1833년에는 독일로 여행을 떠나 루이스 슈포어와 로베르트 슈만과 친교를 쌓는데, 슈만으로부터 '작은 파가니니'라는 별명도 얻는다. 이후 10년간 유럽의 여러 도시를 돌아다니며 엑토르 베를리오즈 및 니콜로 파가니니를 비롯한 여러 청중들 앞에서 공연한다.

한편 작곡에도 관심을 갖고 있어서, 빈의 지몬 제히터에게서 수업을 듣고 1835년-1836년의 겨울에 파리의 앙투안 라이하에게 작곡을 배운다. 비외탕의 바이올린 협주곡 2번은 시기적으로 가장 먼저 쓰여졌는데, 바로 이 때 쓰여진 것이다.

바이올린 협주곡 제1번은 1840년 상트페테르부르크의 초연과 이듬해 파리 초연에서 극찬을 받았는데, 베를리오즈는 "바이올린과 관현악을 위한 격조 높은 교향곡"으로 평가하였다.

비외탕은 파리를 거점으로 활동을 이어간다. 피아니스트 지기스문트 탈베르크를 반주가로 동행하여 미국에서도 연주회를 가진다. 특히 러시아 제국의 초청을 받아 1846년부터 1851년까지 니콜라이 1세의 궁정음악가 및 제국극장 수석연주가로 임명된다. 상트페테르부르크 음악원에 바이올린 교육과정을 세워 향후 '러시아파' 바이올리니스트들의 초석이 된다. 1871년에는 네덜란드 연합왕국으로 돌아와 브뤼셀 음악원의 교수가 된다. 외젠 이자이가 이 때 비외탕을 사사하였다.

그러나 갑작스런 뇌졸중으로 오른팔을 못 쓰게 되자, 헨리크 비에니아프스키에게 교편을 맡기고 1873년에 파리로 돌아간다. 비외탕은 차츰 뇌졸중의 후유증으로부터 회복되었으나, 1879년에는 발작이 재발하여 결국 바이올린을 다시 잡지 못한다. 말년에는 딸 부부가 살고 있던 알제리의 무스타파 수페리에로 간다.

비외탕의 일곱 협주곡과 짧은 실내악 몇 곡을 비롯해 많은 곡들이 이 때 쓰여졌다. 더 이상 바이올린을 연주할 순 없었지만 그 대신 다른 악기에도 관심을 가져 두 개의 첼로 협주곡, 몇 개의 사중주곡도 작곡했다. 루트비히 판 베토벤과 펠릭스 멘델스존의 곡들을 동경하며 보다 고전기의 작품들에 더 관심을 갖고 가벼운 곡들을 몇 곡 쓴다.

1881년 6월 6일, 아프리카의 알제리에서 향년 61세로 별세하였다.

 음악적 특색 
바이올린 주자로서도 당시 최고의 명성을 차지하고 있었던 비외탕의 작품은 우아하고 아름다우며, 기교를 구사한 탁월한 가락과 음색이 풍려함이 그의 뚜렷한 특색이다.

 주요 작품 
 바이올린 협주곡 
 1번 마장조(1840)
 2번 올림 바단조(1836)
 3번 가장조(1844)
 4번 라단조(1849~50)
 5번 가단조 "그레트리"(1858~9)
 6번 사장조(1865)
 7번 가단조 "후보이"(1879~81)

 첼로 협주곡 
 1번 가단조(1875~6)
 2번 나단조(1879)
 그 밖의 실내악 
 바이올린 소나타 라장조(1843)
 비올라 소나타 내림 나장조(1862)
 현악 4중주 1번 마단조(1871)
 36개의 연습곡(1881)
 마음의 소리(바이올린과 피아노, 1883년에 출판)
 현악 4중주 2번 다장조(1884년에 출판)
 현악 4중주 3번 내림 나장조(1884년에 출판)

 가곡 
 나비(1837)

 각주 

 외부 링크 

 앙리 비외탕 - 국제 악보 도서관 프로젝트
 

분류:1820년 출생
분류:1881년 사망
분류:벨기에의 작곡가
분류:벨기에의 바이올린 연주자
분류:벨기에의 클래식 작곡가
분류:19세기 클래식 작곡가
분류:낭만주의 작곡가
분류:베르비에 출신
분류:프랑스계 벨기에인
분류:브뤼셀 왕립음악원 교수
분류:벨기에 왕립 아카데미의 회원
분류:바이올린 작곡가
촉한

촉한(蜀漢, 221년 ~ 263년)은 중국 후한 말의 군웅 유비(劉備)가 지금의 쓰촨성 일대에 세운 국가이다. 정식 국호는 한(漢)이나 중국 역사의 다른 한나라와 구분을 위해 촉한(蜀漢)이라고 부른다.

한 황실의 후예가 세운 마지막 한나라이기에 계한(季漢)이라고도 부르고, 나라가 위치한 지명을 따서 서촉, 촉 등으로도 불린다. 연강 원년(220년), 사실상 후한의 실권을 잡고 있던 조비가 헌제를 폐하고 조위를 건국하자, 당시 익주를 점거하고 있었던 유비가 한 황실의 후예라는 정통성을 내세워 221년에 스스로 황제임을 선언하고, 국호를 ‘한(漢)’이라 하고 연호를 장무(章武)라 하였다. 수도는 성도(成都)이다.

선주(先主) 유비는 자신의 의동생인 관우를 죽인 오를 토벌하기 위해 대대적인 군사를 일으키는데, 이릉에서 육손에 계책에 크게 패하면서 백제성에 눌러앉게 되고, 결국 사망하였다. 유비 사후 후주(後主) 유선이 즉위하였고, 연호를 건흥으로 고쳤다. 승상 제갈량은 남만을 토벌해 맹획을 일곱번 사로잡고 놓아주었는데, 이에 맹획이 항복하고 남만은 평정되었다. 또 제갈량은 북벌에 나섰는데, 이 때 올려진 것이 그 유명한 출사표이다. 하지만 진지 · 황호와 같은 간신의 전횡과 연이은 북벌 실패로 인해 촉한 궁중의 정치를 제대로 처리할 사람이 없고 많은 힘이 소모되어 점점 쇠망의 길을 걸었으며, 특히 황호가 정권을 장악한 경요, 염흥 연간에 이런 현상이 두드러졌다.

 역대 황제 

 같이 보기 
 한나라 황제 가계도
 촉 (춘추 전국)
 전촉
 후촉
 오 (삼국)
 삼국 시대 (중국)
 청두시

 
분류:중국의 옛 나라
분류:221년 설립
분류:263년 폐지
분류:쓰촨성의 역사
분류:후베이성의 역사
이두

섬네일|이두 개설서인 《유서필지》
이두(吏讀, )는 한자에 의한 한국어 표기법의 한 가지이다. '이투(吏套, )', '이서(吏書)', ‘이도(吏道·吏刀)’, ‘이토(吏吐)’라고도 불린다. 신라시대부터 시작하여 19세기 말까지 사용되었다. 고대 한국어를 분석하기 위한 자료의 하나이다.

 개요 

광의의 이두는 구결, 향찰 등을 포함하여 한자를 빌려 이뤄진 한국어 표기법 전체를 가리킨다. 협의의 이두는 이두문에 나타나는 한국어의 한자 표기를 이른다. 이두문이란 이서(吏胥)들이 행정 문서를 작성할 때 사용한 한자 표기의 산문을 이르는데 같은 문체로 쓰인 민간의 글도 이두문이라 부른다. 여기서는 협의의 이두에 관해 언급한다.

이두의 성립 시기는 명확하지 않지만 신라시대에 시작하여 남북국 시대에 확립된 것으로 추정된다. 문헌 자료에는 신라의 설총이 이두를 만들었다는 기술이 나오지만 진평왕 때의 서동요나 진흥왕의 순수비문에 쓰인 것이 있어 설총이 창작한 것은 아니고 집대성한 것으로 보인다. 일찍이 5세기부터 고구려에서는 한문을 한국어 어순으로 재배치하거나, ‘之’자를 문장의 종결어미로 사용했다. 고구려와 백제에서는 6세기 말 이후 차자 표기법 (이두)이 정체 또는 퇴조하였고, 신라에서는 반대로 6세기 말부터 7세기로 접어들면서 표기법상의 큰 발전을 이루었다.

한편 유독 신라에서만 이두가 발전한 이유에 대해서는 많은 시각이 있다. 국어학계 일각에서는 무열왕이 즉위한 7세기 중반까지 당나라의 서신에 쓰인 한문을 해석할 수 있는 지식인이 드물었다는 <삼국사기>의 서술을 두고, “고구려나 백제에 비해 한자를 100여 년 늦게 도입한 신라는 상대적으로 한문 이해력이 떨어졌기 때문에 자국어 표기를 발전시킨 것”이라는 주장이 있다. 반면 역사학계는 다른 시각이 제기되고 있는데, 2016년 윤선태 교수는 "오랫동안 구두 전달 위주로 행정 명령을 내린 신라의 특수성이 한자 도입 이후 문서에도 반영돼, 구어체를 살릴 수 있는 이두 개발로 이어졌다"고 주장하며, 월성 해자 목간 등에서 발견되는 이두의 내용과 어휘를 보면 일상적인 구두 전달 체계를 자세히 표현하고 있다고 설명했다.

 표기법 
이두문에서는 명사, 동사 어간 등 단어의 실질적 부분에서 주로 한자어가 사용되고, 조사(助詞)나 어미(語尾) 등 문법적 부분에서 주로 이두가 사용되었다.(명사, 동사 부분에서 이두가 사용되는 경우도 있음) 한반도에서는 한자를 도입한 뒤에 한동안은 정규 한문만 사용되었다고 추측되는데, 그 후 한국어 어순에 맞춰 글을 쓴 서기체(誓記體)와 같은 의사한문(擬似漢文)이 나타난다. 이두는 이와 같이 한국어 어순으로 쓰인 의사한문에 문법적 요소가 더 보완되어 성립된 것으로 추정된다.

이두는 한자의 음(音)과 훈(訓)을 이용하여 한국어를 표기하는데, 한자 독법은 옛날부터 있는 관습적인 독법이 내려와 있다. 그 중에는 중세 한국어와도 다른 독특한 것도 있다. 예) 처격 ‘良中(-아)’에 대해 중세국어 ‘-애/-에’

아래는 양잠경험촬요(養蠶經驗撮要, 1415년)에 나타나는 이두의 예이다.(밑줄이 이두 부분)

 낱말의 예 
 件記(발기) : 발긔. 궁중에서 자주 쓰이던 말로 물건의 목록, 일람표
 刀子(칼자) : 숙수(熟手), 관청에서 일하는 요리사
 召史(조이) : 일반 상민의 아내, 결혼한 양인 여자 (양반의 아내를 지칭하는데는 사용하지 않음)
 斗洛只(마지기) : 씨 한 말을 뿌릴 만한 땅 ( 升洛只:되지기, 洽洛只:홉지기 )
 侤音(다짐) : 죄인의 공술서. 범죄 사실을 추궁당한 뒤 자기의 진술이 사실임을 못박고, 만일 허위로 드러나면 벌을 받겠다는 진술서
 內人(나인) : 궁궐에서 일하는 여인

 같이 보기 
 구결
 향찰
 군두목
 이문대사

 참고 문헌 
 남풍현(2000) “吏讀研究”, 태학사
 李基文(1998) “新訂版國語史概説”, 태학사
 (1929; 1974) ‘’, “”, 
 안길정, 관아를 통해서 본 조선시대 생활사 하권 53쪽, 2000년, 사계절

 각주 

분류:한국어의 표기법
분류:한국어의 역사
분류:음절 문자
분류:신라