대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, )는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

 정의 
체 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.
 다항식환 의 임의의 원소 에 대하여, 인 가 항상 적어도 하나가 존재한다.
 의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
 의 대수적 확대가 자신밖에 존재하지 않는다.
 임의의 에 대해, 인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성 다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 의 대수적 폐포(代數的閉包, ) 는 를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적()이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

대수적 폐포의 존재는 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체 가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,

인 집합 를 잡고, 가 다음 조건들을 만족시키는 대수적 확대 들의 집합이라고 하자.
 
 체의 매장 은 포함 함수로 주어진다.
이제, 에 대하여, 만약 포함 함수 이 체의 매장이라면, 이라고 정의하자. 그렇다면 는 이 이항 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 에 대하여,

는 체를 이루며, 의 대수적 확대이며, 사슬 의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 가 존재한다. 는 그 정의에 따라 의 대수적 확대를 이룬다. 가 대수적 확대이며, 편의상 체의 매장 이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,

이다. (왜냐하면, 임의의 대수적 원소에 최소 다항식을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,

이다. (마지막 등식은 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형

이 존재하는 가 존재한다. 그렇다면, 는 대수적 확대이며, 체의 매장 은 (포함 함수 과 의 확대의 동형 의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉, 이다. 는 극대 원소이므로, 이며, 따라서 이다. 즉, 는 대수적으로 닫힌 체이며, 의 대수적 폐포를 이룬다.

만약 가 대수적 확대이며, 속 모든 다항식이 속에서 근을 갖는다면, 은 의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약 이 대수적 확대라면, 역시 대수적 확대이다. 따라서, 의 임의의 원소는 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라 에 속한다.

대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체 및 기약 다항식 에 대하여, 몫환

는 체이며, 환 준동형

은 체의 확대를 이룬다. 또한, 의 상은 의 상의 근이며, 체를 생성한다.

이제, 무한 개의 -대수의 텐서곱

을 생각하자. 이는 유한 개의 -대수의 텐서곱들의 귀납적 극한으로 주어지며, 여기에 사용된 -대수 준동형들은 다음과 같다.

자연스러운 -대수 준동형

들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다. 가 -대수 의 기저라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.

특히, 이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. 선택 공리에 따라, 무한 텐서곱의 극대 아이디얼 이 존재한다. 이 경우,

는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대 들이 존재하며, 그 상들은 체 를 생성한다. 두 체의 확대의 합성

로 주어지는 체의 확대는 의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로, 도 대수적 확대이다. 임의의 기약 다항식 는 에서 근을 가지므로, 에서 근을 갖는다. 즉, 는 대수적으로 닫힌 체이며, 의 대수적 폐포이다.

같은 체의 두 대수적 폐포

가 주어졌다고 하자. 가 다음과 같은 데이터로 이루어진 순서쌍 들의 집합이라고 하자.
 는 의 부분 확대이다.
 는 체의 확대의 매장(즉, -대수 준동형)이다.
이제, 에 대하여, 만약

인 체의 확대의 매장 가 존재한다면, 이라고 정의하자. 그렇다면, 는 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장

들을 고르면, 귀납적 극한

을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 합집합이다.) 체의 확대의 매장 들은 인 의 매장 을 유도한다. 의 정의에 따라 이다. 즉, 는 사슬의 상계이다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.
 
 만약 이라면, 의 최소 다항식 는 에서도 근 을 갖는다. 따라서, 를 확장하는, 인 유일한 매장 가 존재한다. 그런데 가 극대 원소이므로, 이는 불가능하다.
 
 가 대수적으로 닫힌 체이므로, 도 대수적으로 닫힌 체이다. 가 대수적 확대이므로, 도 대수적 확대이다. 따라서, 이다.

 분류 
두 대수적으로 닫힌 체 와 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 와 은 체로서 서로 동형이다.
 와 은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.
따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 와 초월 차수 로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

또는

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

이다.

 성질 
절대 초월 차수가 기수 인 대수적으로 닫힌 체 의 집합의 크기는 다음과 같다.

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

 예 
 표수 0 
 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 에 대한 다항방정식 은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

 양의 표수 
모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 인 경우, 다항식 은 해를 갖지 않는다. 소수 의 크기를 가진 유한체 의 대수적 폐포 는 귀납적 극한

이다. 즉, 만약 체의 확대

을 집합론적 부분집합으로 간주하여

로 쓴다면,

이다.

 참고 문헌
 
 

 외부 링크 
 
 
 
 
 
 

 같이 보기 
 분해 가능 폐포

분류:체론