가가속도

가가속도(加加速度, Jerk, jolts라고도 함)은 시간에 대한 물체의 가속도 변화율이다. 이는 벡터량이다 (크기와 방향을 모두 가짐). 가속도 변화율은 주로 기호 로 표시되며 m/s3 (국제단위계 단위) 또는 초당 표준 중력(g0/s)으로 표현된다.

 표기 
벡터로서의 가속도 변화율 는 가속도의 1차 시간 미분, 속도의 2차 시간 미분, 위치의 3차 시간 미분으로 표기한다.

여기서:
는 가속도이다.
는 속도이다.
는 위치이다.
는 시간이다.

형태가 다음과 같은 3차 미분방정식

는 때때로 가속도 변화율 방정식이라고 불린다. 세 개의 상 1차 비선형 미분방정식의 등가 시스템으로 변환될 때, 가속도 변화율 방정식은 혼돈 행동을 보이는 해를 위한 최소 설정이다. 이 조건은 가속도 변화율 시스템에 대한 수학적 관심을 불러일으킨다. 이에 따라 4차 또는 그 이상의 미분을 포함하는 시스템은 하이퍼저크(hyperjerk) 시스템이라고 불린다.

 생리학적 영향과 인간의 인지 

인체의 자세는 대항근의 균형 잡힌 힘으로 조절된다. 무게를 들어 올리는 것과 같은 주어진 힘의 균형을 맞출 때, 중심뒤이랑은 원하는 평형을 달성하기 위한 제어 루프를 설정한다. 힘이 너무 빨리 변하면 근육이 충분히 빨리 이완되거나 수축되지 않아 어느 방향으로든 과도하게 움직여 일시적인 제어 상실을 초래한다. 힘의 변화에 반응하는 반응 시간은 생리학적 한계와 뇌의 주의 수준에 따라 달라진다. 예상되는 변화는 갑작스러운 부하 감소나 증가보다 더 빠르게 안정화된다.

차량 승객이 신체 움직임에 대한 통제력을 잃고 부상당하는 것을 방지하기 위해서는 최대 힘(가속도)과 최대 가속도 변화율 모두에 대한 노출을 제한하는 것이 필요하다. 왜냐하면 근육 긴장을 조절하고 제한된 스트레스 변화에 적응하는 데 시간이 필요하기 때문이다. 가속도의 급격한 변화는 목뼈 손상과 같은 부상을 유발할 수 있다. 과도한 가속도 변화율은 부상을 유발하지 않는 수준에서도 불쾌한 승차감을 초래할 수 있다. 엔지니어는 엘리베이터, 노면전차 및 기타 운송 수단에서 "급격한 움직임"을 최소화하기 위해 상당한 설계 노력을 기울인다.

예를 들어, 자동차를 탈 때 가속도와 가속도 변화율의 영향을 고려해 보자.

 숙련된 운전자는 부드럽게 가속할 수 있지만, 초보 운전자는 종종 급격한 움직임을 유발한다. 발로 작동하는 클러치가 있는 자동차에서 기어를 바꿀 때, 가속력은 엔진 출력에 제한되지만 미숙한 운전자는 클러치 작동 중 간헐적인 힘으로 인해 심한 가속도 변화율을 유발할 수 있다.
 고성능 스포츠카에서 시트에 눌리는 느낌은 가속도 때문이다. 자동차가 정지 상태에서 출발할 때, 가속도가 급격히 증가하면서 큰 양의 가속도 변화율이 발생한다. 출발 후, 공기 저항력이 자동차의 속도에 따라 증가하면서 가속도가 점진적으로 감소하고 승객을 시트에 누르는 힘이 줄어들면서 작고 지속적인 음의 가속도 변화율이 발생한다. 자동차가 최고 속도에 도달하면 가속도는 0이 되어 일정하게 유지되며, 운전자가 감속하거나 방향을 바꾸기 전까지는 가속도 변화율이 발생하지 않는다.
 갑작스러운 제동이나 충돌 시, 승객은 제동 시작 또는 충격 발생 후 근육 긴장이 빠르게 신체를 제어하기 때문에 제동 과정의 나머지 부분보다 큰 초기 가속도로 앞으로 밀려난다. 이러한 효과는 시체와 충돌 테스트용 인형이 능동적인 근육 제어를 가지고 있지 않기 때문에 차량 테스트에서 모델링되지 않는다.
 가속도 변화율을 최소화하기 위해 도로의 곡선은 클로소이드로 설계되며, 철도 곡선과 롤러코스터 루프도 마찬가지이다.

 힘, 가속도, 가속도 변화율 
일정한 질량 의 경우, 가속도 는 뉴턴의 제2운동법칙에 따라 힘 에 직접 비례한다.

강체의 고전역학에서는 가속도의 미분과 관련된 힘이 없지만, 물리 시스템은 가속도 변화율의 결과로 진동과 변형을 겪는다. 허블 우주망원경을 설계할 때 NASA는 가가속도와 가가가속도(jounce)에 모두 제한을 두었다.

아브라함-로렌츠 힘은 복사를 방출하는 가속된 전하 입자에 가해지는 반동력이다. 이 힘은 입자의 가속도 변화율과 전하의 제곱에 비례한다. 휠러-파인만 흡수체 이론은 상대론적이고 양자 역학적인 환경에 적용 가능하며 자체 에너지를 설명하는 보다 진보된 이론이다.

 이상적인 환경에서 
변형, 양자역학 효과 및 기타 여러 원인 때문에 실제 환경에서는 가속도의 불연속성이 발생하지 않는다. 그러나 이상적인 설정, 예를 들어 구간별로 매끄럽고, 전체가 연속 경로를 따라 움직이는 이상적인 점 질량의 경우 가속도의 순간 불연속성이 나타나며 따라서 무한한 가속도 변화율이 가능하다. 순간 불연속성은 경로가 매끄럽지 않은 지점에서 발생한다. 이러한 이상적인 설정을 외삽하여 실제 상황에서의 가속도 변화율의 효과를 정성적으로 설명, 해석 및 예측할 수 있다.

가속도의 순간 불연속성은 가속도 변화율의 디랙 델타 함수를 사용하여 모델링할 수 있으며, 이 불연속한 높이에 비례하도록 스케일링된다. 디랙 델타를 가로질러 시간에 대해 가속도 변화율을 적분하면 순간 불연속성이 생성된다.

예를 들어, 반지름 의 호를 따라가는 경로를 고려해 보자. 이 경로는 직선에 접선으로 연결된다. 전체 경로는 연속이며, 각 부분은 매끄럽다. 이제 점 입자가 이 경로를 따라 일정한 속도로 움직인다고 가정해 보자. 따라서 접선 가속도는 0이다. 로 주어지는 구심 가속도는 호에 수직이며 안쪽을 향한다. 입자가 조각들의 연결부를 통과할 때, 로 주어지는 가속도의 순간 불연속성을 경험하고, 순간 불연속성에 비례하여 스케일링된 디랙 델타로 모델링할 수 있는 가속도 변화율을 겪는다.

불연속적인 가속도의 보다 구체적인 예로, 마찰이 있는 이상적인 표면에서 질량이 진동하는 이상적인 스프링-질량 시스템을 고려해 보자. 질량에 작용하는 힘은 스프링 힘과 운동 마찰력의 벡터 합과 같다. 속도가 부호를 바꿀 때 (변위의 최대 및 최소 지점에서), 질량에 작용하는 힘의 크기는 마찰력 크기의 두 배만큼 변한다. 왜냐하면 스프링 힘은 연속적이고 마찰력은 속도에 따라 방향이 바뀌기 때문이다. 가속도의 점프는 질량에 작용하는 힘을 질량으로 나눈 것과 같다. 즉, 질량이 최소 또는 최대 변위를 통과할 때마다 질량은 불연속적인 가속도를 경험하고, 질량이 멈출 때까지 가속도 변화율은 디랙 델타를 포함한다. 정지 마찰력은 잔여 스프링 힘에 적응하여 순 힘이 0이고 속도가 0인 평형 상태를 이룬다.

제동하고 감속하는 자동차의 예를 고려해 보자. 브레이크 패드는 바퀴의 디스크 (또는 드럼)에 운동 마찰력과 일정한 제동 돌림힘을 생성한다. 회전 속도는 일정한 각 감속도로 0까지 선형적으로 감소한다. 마찰력, 토크, 자동차 감속은 갑자기 0에 도달하며, 이는 물리적 가속도 변화율의 디랙 델타를 나타낸다. 디랙 델타는 실제 환경에 의해 부드럽게 완화되며, 그 누적 효과는 생리적으로 인지되는 가속도 변화율의 감쇠와 유사하다. 이 예시는 타이어 미끄러짐, 서스펜션 기울기, 이상적으로 강체인 모든 메커니즘의 실제 변형 등의 효과를 무시한다.

첫 번째 예시와 유사한 또 다른 중요한 가속도 변화율의 예시는 끝에 입자가 매달린 밧줄을 자르는 경우이다. 입자가 0이 아닌 구심 가속도로 원형 경로에서 진동한다고 가정해 보자. 밧줄이 잘릴 때, 입자의 경로는 갑자기 직선 경로로 바뀌고, 안쪽 방향의 힘은 갑자기 0이 된다. 레이저로 단일 분자 섬유를 자른다고 상상해 보자. 입자는 극도로 짧은 절단 시간 때문에 매우 높은 가속도 변화율을 경험할 것이다.

 회전에서 
섬네일|upright=1.3|각도, 각속도, 각가속도 및 각가속도 변화율에 대한 한 회전 동안의 타이밍 다이어그램

관성 좌표계의 고정 축 주위로 회전하는 강체를 고려해 보자. 시간의 함수로서의 각 위치가 이면 각속도, 각가속도, 각가가속도는 다음과 같이 표현될 수 있다.

 각속도, ,는 의 시간 미분이다.
 각가속도, ,는 의 시간 미분이다.
 각가가속도, ,는 의 시간 미분이다.

각가속도는 물체에 작용하는 돌림힘을 순간적인 회전 축에 대한 물체의 관성 모멘트로 나눈 것과 같다. 돌림힘의 변화는 각가가속도를 만든다.

회전하는 강체의 일반적인 경우는 축방향 유사벡터, 각속도 , 극성 유사벡터, 선형 속도 를 포함하는 운동학적 스크류 이론을 사용하여 모델링할 수 있다. 이로부터 각가속도는 다음과 같이 정의된다.

각가속도 변화율은 다음과 같다.

삼차원 입자에서 각가속도를 취하면
, 여기서 우리는 다음을 얻는다.

를 대체하면 마지막 항목은 다음과 같다.
, 마침내 다음을 얻는다.

또는 반대로 를 로 대체하면 다음과 같다.

섬네일|upright|4위치 외부 제네바 드라이브의 작동 애니메이션

예를 들어, 구동 바퀴(애니메이션의 빨간색 바퀴)의 연속적인 회전에 의해 피구동 바퀴(애니메이션의 파란색 바퀴)의 간헐적인 회전을 생성하는 데 사용되는 장치인 제네바 드라이브를 고려해 보자. 구동 바퀴의 한 주기 동안 피구동 바퀴의 각 위치 는 90도 변경된 후 일정하게 유지된다. 구동 바퀴 포크(구동 핀용 슬롯)의 유한한 두께 때문에 이 장치는 각가속도 에 불연속성을 생성하고, 피구동 바퀴에 무한한 각가속도 변화율 를 생성한다.

가속도 변화율은 영화 프로젝터나 캠과 같은 응용 분야에서 제네바 드라이브 사용을 방해하지 않는다. 영화 프로젝터에서는 필름이 프레임별로 진행되지만 필름 부하가 낮고(몇 그램의 작은 필름 부분만 구동됨), 속도가 적당하며(2.4m/s), 마찰이 낮기 때문에 프로젝터 작동 소음이 적고 신뢰성이 높다.

캠 드라이브 시스템에서는 이중 캠을 사용하면 단일 캠의 가속도 변화율을 피할 수 있지만, 이중 캠은 더 크고 비싸다. 이중 캠 시스템은 한 축에 두 개의 캠을 가지고 있으며, 이 캠은 두 번째 축을 회전의 일부만큼 이동시킨다. 이 그림은 구동 축의 한 회전당 6분의 1 및 3분의 1 회전의 스텝 움직임을 보여준다. 계단형 바퀴의 두 팔이 항상 이중 캠과 접촉하고 있기 때문에 방사형 간극이 없다. 일반적으로 단일 팔로워(예를 들어, 슬롯을 따라 미끄러지면서 슬롯의 한쪽에서 다른 쪽으로 접촉점을 바꾸는 단일 팔로워)와 관련된 가가속도(및 마모 및 소음)를 피하기 위해 동일한 슬롯을 따라 양쪽을 미끄러지는 두 팔로워를 사용하는 복합 접촉을 사용할 수 있다.

 탄성 변형 가능한 물질에서 

탄성 변형 가능한 질량은 가해진 힘(또는 가속도) 아래에서 변형된다. 변형은 뻣뻣함과 힘의 크기에 따라 달라진다. 힘의 변화가 느리면 가속도 변화율이 작고, 변형의 전파는 가속도의 변화에 비해 즉각적이라고 간주된다. 변형된 물체는 준정적 상태에 있는 것처럼 작용하며, 변화하는 힘(0이 아닌 가속도 변화율)만이 기계적 파동(또는 전하 입자의 경우 전자기파)의 전파를 유발할 수 있다. 따라서 0이 아닌 높은 가속도 변화율의 경우 충격파와 그 전파가 물체를 통해 전파되는 것을 고려해야 한다.

변형의 전파는 "압축 파동 패턴" 그림에서 탄성 변형 가능한 재료를 통한 압축 평면파로 표시된다. 또한 각가속도 변화율의 경우 원형 패턴으로 전파되는 변형파가 표시되어 층밀림 변형력과 가능한 다른 모드의 진동을 유발한다. 경계를 따라 파동이 반사되면 건설적인 간섭 패턴이 발생하여(그림에는 없음) 재료의 한계를 초과할 수 있는 응력을 생성한다. 변형파는 진동을 유발할 수 있으며, 이는 특히 공명의 경우 소음, 마모 및 고장을 초래할 수 있다.

thumbnail|left|질량체가 위에 있는 기둥

"질량체가 위에 있는 기둥"이라는 제목의 그림은 탄성 기둥과 질량체가 위에 연결된 블록을 보여준다. 블록이 가속할 때 기둥은 휘어지고, 가속이 멈추면 질량체는 기둥의 뻣뻣함에 따라 (감쇠하는) 진동을 할 것이다. 더 큰 (주기적인) 가속도 변화율이 더 큰 진동 진폭을 유발할 수 있다고 주장할 수 있는데, 이는 작은 진동이 충격파에 의해 강화되기 전에 감쇠되기 때문이다. 또한 더 큰 가속도 변화율이 공명 모드를 유발할 확률을 높일 수 있다고 주장할 수 있는데, 이는 충격파의 더 큰 파동 구성 요소가 더 높은 진동수와 푸리에 계수를 가지고 있기 때문이다.

thumbnail|right|정현파 가속도 프로파일

여기서 발생하는 응력파와 진동의 진폭을 줄이려면, 움직임을 조절하고 가속도를 가능한 한 완만한 기울기로 연속적으로 만들어 가속도 변화율을 제한할 수 있다. 추상 모델의 한계로 인해 진동을 줄이는 알고리즘은 가가가속도(가가속도의 변화율)와 같은 더 높은 미분을 포함하거나, 가속도와 가속도 변화율 모두에 대해 연속적인 상태를 제안한다. 가속도 변화율을 제한하는 한 가지 개념은 가속과 감속을 정현파 형태로 만들고 그 사이에 가속도를 0으로 만드는 것이다 (위 "정현파 가속도 프로파일" 그림 참조). 이렇게 하면 속도는 일정한 최대 속도로 정현파처럼 보인다. 그러나 가속도 변화율은 가속도가 0인 구간에 진입하거나 이탈하는 지점에서 불연속적으로 유지된다.

 도로 및 철도의 기하학적 설계에서 
섬네일|완화곡선은 가속도 변화율을 제한한다. 파란색 직선과 녹색 원호 사이의 전환은 빨간색으로 표시되어 있다.

도로와 철도는 곡률 변화로 인한 가속도 변화율을 제한하도록 설계된다. 고속철도의 설계 기준은 0.2 m/s3에서 0.6 m/s3까지 다양하다. 완화곡선은 직선에서 곡선으로 또는 그 반대로 전환할 때 가속도 변화율을 제한한다. 일정한 속도로 원호를 따라 움직일 때 가속도는 접선 방향으로는 0이고 안쪽 법선 방향으로는 0이 아님을 상기하라. 완화곡선은 곡률을 점진적으로 증가시키고, 결과적으로 구심 가속도를 증가시킨다.

이론적으로 최적의 완화곡선인 클로소이드는 구심 가속도를 선형적으로 증가시키고 일정한 가속도 변화율을 유발한다 (). 실제 응용에서는 곡선 구간을 따라 트랙의 평면이 기울어져 있다 (캔트). 이 기울기는 수직 가속도를 유발하며, 이는 트랙과 제방의 마모에 대한 설계 고려 사항이다. 비엔나 곡선(Wiener Kurve)은 이러한 마모를 최소화하기 위해 특허받은 곡선이다.

롤러코스터 또한 가속도 변화율을 제한하기 위해 트랙 전환으로 설계된다. 루프에 진입할 때 가속도 값은 약 4g (40 m/s2)에 도달할 수 있으며, 이러한 높은 가속도 환경에서 타는 것은 트랙 전환을 통해서만 가능하다. 8자 모양의 곡선과 같은 S자형 곡선도 부드러운 승차감을 위해 트랙 전환을 사용한다.

 모션 제어에서 
모션 제어에서는 한 안정된 위치에서 다른 안정된 위치로 시스템을 이동하는 것(점대점 모션)의 필요성과 함께 직선 선형 모션에 설계 초점이 맞춰진다. 가속도 변화율 관점에서 설계 고려 사항은 수직 가속도 변화율이다. 선형 모션은 비회전적이므로 접선 가속도에 의한 가속도 변화율은 사실상 0이다.

모션 제어 애플리케이션에는 승객용 엘리베이터 및 가공 도구가 포함된다. 수직 가속도 변화율을 제한하는 것은 엘리베이터 승차 편의를 위해 필수적인 것으로 간주된다. ISO 8100-34는 가속도 변화율, 가속도, 진동 및 소음에 대한 엘리베이터 승차 품질 측정 방법을 지정한다. 그러나 이 표준은 허용되거나 허용되지 않는 승차 품질 수준을 지정하지 않는다. 대부분의 승객은 2 m/s3의 수직 가속도 변화율을 허용 가능한 것으로, 6 m/s3를 견딜 수 없는 것으로 평가한다고 보고되었다. 병원의 경우 0.7 m/s3가 권장 한도이다.

모션 제어의 주요 설계 목표는 속도, 가속도 또는 가속도 변화율 한계를 초과하지 않으면서 전환 시간을 최소화하는 것이다. 속도에서 이차 램핑 및 램프 다운 위상을 갖는 3차 모션 제어 프로파일을 고려해 보자.

center|이 그림은 가속도 변화율, 가속도 및 속도의 개략적인 다이어그램을 보여주며, 세 가지 모두 크기가 제한될 때, 서로 충분히 멀리 떨어진 한 지점에서 다른 지점으로 선형적으로 이동할 때 해당 최대값에 도달한다.|frameless

이 모션 프로파일은 다음과 같은 7개의 세그먼트로 구성된다.
 가속도 증가 — 양의 가속도 변화율 한계, 양의 가속도 한계까지 가속도의 선형 증가, 속도의 2차 증가
 상위 가속도 한계 — 0의 가속도 변화율, 속도의 선형 증가
 가속도 램프 다운 — 음의 가속도 변화율 한계, 가속도의 선형 감소, (음의) 속도의 이차 증가, 원하는 속도 한계에 접근
 속도 한계 — 0 가속도 변화율, 0 가속도
 감속도 증가 — 음의 가속도 변화율 한계, 음의 가속도 한계까지 가속도의 선형 감소, (음의) 속도의 이차 감소
 하위 감속도 한계 — 0 가속도 변화율, 속도의 선형 감소
 감속도 램프 다운 — 양의 가속도 변화율 한계, 0까지 가속도의 선형 증가, 속도의 이차 감소, 0 속도 및 0 가속도에서 원하는 위치에 접근

네 번째 세그먼트의 시간 주기 (일정한 속도)는 두 위치 사이의 거리에 따라 달라진다. 이 거리가 너무 작아서 네 번째 세그먼트를 생략하는 것으로는 충분하지 않다면, 두 번째 및 여섯 번째 세그먼트 (일정한 가속도)도 동일하게 줄일 수 있으며, 일정한 속도 한계에 도달하지 않을 것이다. 이 수정으로 교차된 거리가 충분히 줄어들지 않는다면, 첫 번째, 세 번째, 다섯 번째 및 일곱 번째 세그먼트를 동일한 양만큼 줄일 수 있으며, 일정한 가속도 한계에 도달하지 않을 것이다.

다른 모션 프로파일 전략도 사용되는데, 주어진 전환 시간 동안 가속도 변화율의 제곱을 최소화하는 것과 위에서 논의된 바와 같이 정현파 형태의 가속도 프로파일이 있다. 모션 프로파일은 기계, 사람 운송 장치, 체인 호이스트, 자동차 및 로봇 공학을 포함한 특정 응용 분야에 맞게 조정된다.

 제조업에서 
가속도 변화율은 제조업 공정에서 중요한 고려 사항이다. 절삭 공구의 가속도가 급격하게 변하면 공구 마모가 조기에 발생하고 고르지 못한 절단이 초래될 수 있다. 따라서 최신 모션 제어 장치에는 가속도 변화율 제한 기능이 포함되어 있다. 기계 공학에서 가속도 변화율은 속도 및 가속도와 함께 마찰학적 함의와 작동되는 물체가 채터 없이 캠 프로파일을 따를 수 있는 능력 때문에 캠 프로파일 개발에 고려된다.
가속도 변화율은 진동이 문제될 때 종종 고려된다. 가속도 변화율을 측정하는 장치를 "가속도 변화율 측정기"라고 한다.

 추가 미분 

가가속도 이상의 시간에 대한 미분은 스냅(snap) 또는 조운스(jounce) (4차 미분), 크래클(crackle) (5차 미분), 팝(pop) (6차 미분)이라고 명명되었다. 4차보다 높은 차수의 위치의 시간 미분은 드물게 나타난다.

스냅, 크래클, 팝즉, 위치의 4차, 5차, 6차 미분이라는 용어는 광고 마스코트인 스냅, 크래클, 앤 팝에서 영감을 받았다.

 같이 보기 
 지자기 급변
 충격 (역학)
 양크

 각주 

 외부 링크 
 What is the term used for the third derivative of position? , description of jerk in the Usenet Physics FAQ 
 Mathematics of Motion Control Profiles 
 Elevator-Ride-Quality 
 Elevator manufacturer brochure
 Patent of Wiener Kurve
 Description of Wiener Kurve

분류:고전역학
분류:가속도
분류:물리학에서의 시간