shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
챔퍼는 끼워맞춤 또는 손으로 삽입하는 부품의 조립을 용이하게 하는 데 자주 사용된다. 유체 동력 실과 같은 탄력 있는 재료는 일반적으로 45도보다 얕은 각도, 종종 20도를 요구한다. 조립 시 챔퍼는 절삭 공구에서 오는 내부 반지름을 제거하거나 인접 부품의 용접 비드와 같은 다른 특징을 제거하는 데도 사용된다. 이는 일반적으로 반지름보다 챔퍼의 치수를 제조하고 정확하게 확인하는 것이 훨씬 쉽고, 그렇지 않으면 반지름의 프로필 오류로 인해 평평한 표면이 서로 접촉하기 전에 반지름 사이에 간섭이 발생할 수 있기 때문이다. 챔퍼는 사람이 다룰 부품의 경우 부상을 방지하고 다른 부품의 손상도 방지하는 데 필수적이다. 이는 대부분의 금속과 같은 단단한 재료와 프레스 공구와 같은 무거운 조립품에 특히 중요하다. 또한 챔퍼된 모서리는 조립 또는 분해 또는 유지 보수 중에 다른 모서리나 모퉁이가 부딪혀 찌그러지는 것에 대해 사각 모서리보다 훨씬 강하다.
기계가공.
기계가공에서 챔퍼는 가공물의 모든 직각 모서리, 예를 들어 구멍, 봉, 볼트, 핀의 끝, 판의 긴 모서리 모서리, 두 표면이 날카로운 각도로 만나는 다른 모든 곳에 잘린 경사다. 챔퍼링은 조립을 용이하게 한다. 예를 들어 구멍에 볼트나 너트를 삽입하는 것이다. 챔퍼링은 또한 날카로운 모서리를 제거하여 금속 조각을 다루는 사람들의 상처와 부상 가능성을 크게 줄인다. 또한 철분이 가장 얇고 취약한 영역을 제거하여 녹 발생을 최소화한다.
광학 거울 설계.
미학 외에도 챔퍼링은 수제 포물선 유리 망원경 거울 제작 과정의 일부이다. 디스크의 표면을 연마하기 전에 모서리 깨짐을 방지하기 위해 먼저 모서리를 챔퍼해야 한다. 이는 탄화 규소가 담긴 금속 그릇에 디스크를 놓고 흔드는 동작으로 디스크를 회전시켜 수행할 수 있다. 이렇게 하면 유리 모서리의 날카로운 부분이 마모된다.
콘스탄티노스 타술라스(, 1959년 7월 17일~)는 그리스의 정치인, 변호사로 2025년부터 그리스 대통령으로 재임 중이다. 2000년부터 2025년까지 신민주주의당 이오아니나 지역구 의원을 맡았으며 안토니스 사마라스 정부 시절인 2014년부터 2015년까지 문화체육부 장관을 역임했다. 이후 2019년부터 2025년까지 그리스 의회 의장을 지냈다.
멜빈 로버트 레어드 시니어(, 1878년 8월 7일 ~ 1946년 3월 19일)은 미국의 정치인으로 미국 위스콘신주 상원의원이다.
베벨은 아래 뜻을 함의한다.
체비쇼프 필터(Chebyshev filter)는 버터워스 필터보다 가파른 롤오프를 가지고 통과대역에 리플을 가지거나(1형) 저지대역에 리플을 가지는(2형) 아날로그 또는 디지털 필터이다. 체비쇼프 필터는 이상적인 필터 특성과 실제 필터 특성 간의 오차를 동작 주파수 대역에서 최소화하는 속성을 갖지만, 주파수 응답에서 리플을 통해 이를 달성한다. 이러한 유형의 필터는 그 수학적 특성이 체비쇼프 다항식에서 파생되었기 때문에 파프누티 체비쇼프의 이름을 따서 명명되었다. 1형 체비쇼프 필터는 일반적으로 "체비쇼프 필터"로 불리는 반면, 2형 필터는 보통 "역체비쇼프 필터"로 불린다. 체비쇼프 필터에 내재된 통과대역 리플 때문에 특정 응용 분야에서는 통과대역에서는 더 부드러운 응답을 갖지만 저지대역에서는 더 불규칙한 응답을 갖는 필터가 선호된다.
1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터).
1형 체비쇼프 필터는 가장 흔한 유형의 체비쇼프 필터이다. formula_1차 로우패스 필터의 각주파수 formula_2에 대한 이득(또는 진폭) 응답 formula_3은 formula_4에서 평가된 전달 함수 formula_5의 절댓값과 같다.
여기서 formula_7는 리플 계수, formula_8는 차단 주파수이고 formula_9는 formula_1차 체비쇼프 다항식이다.
통과대역은 리플 계수 formula_7에 의해 결정되는 동일 리플 특성을 나타낸다. 통과대역에서 체비쇼프 다항식은 -1과 1 사이를 교대하므로 필터 이득은 최대값 formula_12과 최소값 formula_13 사이를 교대한다.
따라서 리플 계수 ε는 데시벨로 표시된 통과대역 리플 δ와 다음 관계로 연결된다.
차단 주파수 formula_8에서 이득은 다시 formula_16 값을 갖지만 주파수가 증가함에 따라 저지대역으로 계속 떨어진다. 이 동작은 오른쪽 다이어그램에 표시되어 있다. -3 dB에서 차단 주파수를 정의하는 일반적인 관행은 체비쇼프 필터에는 일반적으로 적용되지 않는다. 대신 차단은 이득이 최종적으로 리플 값으로 떨어지는 지점으로 간주된다.
3 dB 주파수 formula_17는 formula_8와 다음 관계로 연결된다.
체비쇼프 필터의 차수는 아날로그 전자 회로를 사용하여 필터를 구현하는 데 필요한 리액턴스 부품(예: 유도자)의 수와 같다.
리플을 복소 평면의 formula_2 축에 영점을 허용하여 저지대역에서 리플을 허용하면 훨씬 더 가파른 롤오프를 얻을 수 있다. 이는 이러한 영점 및 그 주변에서 거의 무한한 억제를 생성하지만(부품의 품질 계수, 기생 성분 및 관련 요인에 의해 제한됨), 저지대역에서의 전체 억제는 감소한다. 그 결과는 타원 필터라고도 알려진 카우어 필터라고 불린다.
단순화를 위해 차단 주파수가 1과 같다고 가정한다. 체비쇼프 필터의 이득 함수 formula_21의 극점 formula_22은 이득 함수의 분모의 영점이다. 복소 주파수 formula_23를 사용하면 다음에서 발생한다.
formula_25로 정의하고 체비쇼프 다항식의 삼각 함수 정의를 사용하면 다음과 같다.
formula_27에 대해 풀면
여기서 아르코사인 함수의 다중 값은 정수 인덱스 formula_29을 사용하여 명시된다. 체비쇼프 이득 함수의 극점은 다음과 같다.
삼각 함수 및 쌍곡선 함수의 속성을 사용하여 이것은 명시적으로 복소수 형태로 쓸 수 있다.
여기서 formula_34 이고
이는 formula_36의 매개 변수 방정식으로 볼 수 있으며 극점이 formula_23 공간에서 formula_38를 중심으로 한 타원 위에 있으며, 실수 반축 길이는 formula_39이고 허수 반축 길이는 formula_40임을 보여준다.
위의 식은 이득 formula_21의 극점을 나타낸다. 각 복소 극점에 대해 그 복소 켤레가 있으며, 각 켤레 쌍에 대해 그 음수에 해당하는 두 개의 극점이 더 있다. 전달 함수는 안정적이어야 하므로 그 극점은 음의 실수 부분을 갖는 이득의 극점이어야 하며 따라서 복소 주파수 공간의 좌반평면에 위치한다. 따라서 전달 함수는 다음과 같다.
여기서 formula_43은 위 식에서 실수항 앞에 음수 부호를 갖는 이득의 극점만이다.
군지연.
군지연은 위상과 각주파수에 대한 미분으로 정의된다.
ε=0.5인 5차 1형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연은 왼쪽 그래프에 그려져 있다. 저지대역에는 리플이 없다. 그러나 통과대역의 군지연 리플은 다른 주파수 성분이 다른 지연을 가지고 있음을 나타내며, 이는 통과대역의 이득 리플과 함께 파형 모양의 왜곡을 초래한다.
짝수 차수 수정.
짝수 차수 체비쇼프 필터는 수동 소자, 일반적으로 인덕터, 커패시터, 전송선을 사용하여 구현되며, 각 측면의 종단 값이 같을 때, 특히 고주파에서 바람직하지 않거나 실현 불가능할 수 있는 결합 코일을 사용하지 않으면 전통적인 체비쇼프 전달 함수로 구현할 수 없다. 이는 formula_45에서의 S12 값을 초과하는 S12 값을 초래하는 짝수 차수 체비쇼프 반사 영점을 물리적으로 수용할 수 없기 때문이다. 통과대역 S12를 수용하기 위해 한쪽 종단을 증가 또는 감소시켜 필터를 설계하는 것이 실현 불가능하다면, 통과대역의 등리플 응답을 유지하면서 가장 낮은 짝수 차수 반사 영점을 formula_45로 이동시키도록 체비쇼프 전달 함수를 수정해야 한다.
필요한 수정은 가장 낮은 주파수 반사 영점을 0으로 매핑하고 나머지 극점은 등리플 통과대역을 유지하는 데 필요한 방식으로 각 체비쇼프 전달 함수 극점을 매핑하는 것을 포함한다. 가장 낮은 주파수 반사 영점은 체비쇼프 노드, formula_47에서 찾을 수 있다. 완전한 체비쇼프 극점 매핑 함수는 아래에 표시되어 있다.
n은 필터의 차수 (짝수여야 함)
P는 전통적인 체비쇼프 전달 함수 극점
P'는 수정된 짝수 차수 전달 함수에 대한 매핑된 극점.
"Left Half Plane"은 음의 실수 값을 포함하는 제곱근을 사용함을 나타낸다.
완료되면, 동일하게 종단된 수동 네트워크로 구현될 때 S12의 반사 영점 산란 행렬 값이 1이고 S11이 0인 새로운 등리플 전달 함수가 생성된다. 아래 그림은 8차 체비쇼프 필터가 가장 낮은 주파수 반사 영점을 유한 주파수에서 0으로 재배치하여 짝수 차수 동일 종단 수동 네트워크를 지원하도록 수정되었음을 보여주며, 동시에 등리플 통과대역 주파수 응답을 유지한다.
카우어 토폴로지의 LC 요소 값 공식은 짝수 차수 수정 체비쇼프 전달 함수에는 적용되지 않으며 사용할 수 없다. 따라서 반사 계수에서 파생될 수 있는 임피던스 함수의 전통적인 연분수에서 LC 값을 계산해야 하며, 이는 차례로 전달 함수에서 파생될 수 있다.
최소 필수 부품 수를 사용하여 체비쇼프 필터를 설계하려면 체비쇼프 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 방정식은 표준 로우패스 체비쇼프 필터만 고려한다. 짝수 차수 수정 및 유한 저지대역 전달 영점은 이 방정식이 고려하지 않는 오차를 도입한다.
formula_50 및 formula_51는 dB 단위의 통과대역 리플 주파수 및 최대 리플 감쇠
formula_52 및 formula_53는 dB 단위의 저지대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠
formula_1은 최소 극점 수, 즉 필터의 차수
ceil[]는 다음 정수로 올림 함수이다.
차단 감쇠 설정.
체비쇼프 필터의 통과대역 차단 감쇠는 일반적으로 위의 계산에 의해 설정된 통과대역 리플 감쇠와 같다. 그러나 듀플렉서 및 트리플렉서와 같은 많은 응용 분야는 필요한 반사를 얻기 위해 -3.0103 dB의 차단 감쇠를 필요로 한다. 다른 전문 응용 분야에서는 다양한 이유로 차단 감쇠에 다른 특정 값이 필요할 수 있다. 따라서 체비쇼프 통과대역 차단 감쇠를 통과대역 리플 감쇠와 독립적으로 설정할 수 있는 수단이 유용하다 (예: -1 dB, -10 dB 등). 차단 감쇠는 전달 함수의 극점을 주파수 스케일링하여 설정할 수 있다.
스케일링 인자는 정의 체비쇼프 필터 함수, formula_3의 직접적인 대수적 조작으로 결정될 수 있으며, 여기에는 formula_7와 formula_57가 포함된다. 체비쇼프 다항식 방정식에서 파생될 수 있는 체비쇼프 함수 formula_58의 일반적인 정의가 필요하며, 역체비쇼프 함수는 formula_59이다. formula_60 값에 대해 숫자를 실수로 유지하기 위해 복소 쌍곡선 항등식을 사용하여 방정식을 formula_61와 formula_62로 다시 작성할 수 있다.
위의 방정식과 참조에 간단한 대수학을 적용하여 각 체비쇼프 극점을 스케일링하는 표현은 다음과 같다.
formula_64는 원하는 차단 감쇠를 설정하기 위해 재배치된 극점이다.
formula_65은 짝수 차수 통과대역에 대해 수정된 리플 차단 극점이다.
formula_66는 dB 단위의 통과대역 감쇠 리플이다 (.05 dB, 1 dB 등).
formula_67는 dB 단위의 차단 주파수에서 원하는 통과대역 감쇠이다 (1 dB, 3 dB, 10 dB 등).
formula_1은 극점 수 (필터의 차수)이다.
formula_69는 가장 작은 짝수 차수 체비쇼프 노드이다.
2형 체비쇼프 필터 (역체비쇼프 필터).
역체비쇼프 필터라고도 알려진 2형 체비쇼프 필터는 1형만큼 빠르게 롤오프되지 않고 더 많은 부품을 필요로 하기 때문에 덜 일반적이다. 통과대역에는 리플이 없지만 저지대역에는 등리플이 있다. 이득은 다음과 같다.
저지대역에서 체비쇼프 다항식은 -1과 1 사이를 진동하여 이득은 0과 다음 사이를 진동한다.
그리고 이 최대값에 도달하는 가장 작은 주파수가 차단 주파수 formula_72이다. 따라서 매개 변수 ε는 데시벨로 표시된 저지대역 감쇠 γ와 다음과 같이 관련된다.
5 dB의 저지대역 감쇠에 대해 ε = 0.6801이고, 10 dB의 감쇠에 대해 ε = 0.3333이다. 주파수 f0 = ω0/2π는 차단 주파수이다. 3 dB 주파수 fH는 f0와 다음과 같이 관련된다.
차단 주파수가 1과 같다고 가정하면, 체비쇼프 필터 이득의 극점 formula_22은 이득의 분모의 영점이다.
2형 체비쇼프 필터 이득의 극점은 1형 필터의 극점의 역수이다.
여기서 formula_79이다. 2형 체비쇼프 필터의 영점 formula_80은 이득의 분자의 영점이다.
따라서 2형 체비쇼프 필터의 영점은 체비쇼프 다항식의 영점의 역수이다.
formula_79에 대해.
전달 함수는 이득 함수의 좌반평면에 있는 극점에 의해 주어지며 동일한 영점을 가지지만 이 영점은 이중 영점이 아닌 단일 영점이다.
ε=0.1인 5차 2형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연은 왼쪽 그래프에 그려져 있다. 저지대역에는 이득 리플이 있지만 통과대역에는 없다.
체비쇼프 필터 짝수 차수 필터와 마찬가지로, 표준 체비쇼프 II 짝수 차수 필터는 결합 코일을 사용하지 않으면 동일하게 종단된 수동 소자로 구현할 수 없으며, 이는 바람직하지 않거나 실현 불가능할 수 있다. 체비쇼프 II의 경우, 이는 저지대역에서 S12의 유한 감쇠 때문이다. 그러나 짝수 차수 체비쇼프 II 필터는 체비쇼프 II 저지대역의 등리플 함수를 유지하면서 가장 높은 주파수 유한 전달 영점을 무한대로 이동시켜 수정할 수 있다. 이 이동을 수행하기 위해 짝수 차수 수정된 체비쇼프 II 전달 함수를 생성하는 데 필요한 체비쇼프 II 극점을 정의하기 위해 표준 체비쇼프 함수 대신 짝수 차수 수정된 체비쇼프 함수가 사용된다. 영점은 짝수 차수 수정된 체비쇼프 다항식의 근인 짝수 차수 수정된 체비쇼프 노드를 사용하여 생성된다.
아래 그림은 짝수 차수 동일 종단 수동 네트워크를 지원하도록 수정된 8차 역체비쇼프 필터가 가장 높은 주파수 전달 영점을 유한 주파수에서 formula_84로 재배치하여 동시에 등리플 저지대역 주파수 응답을 유지함을 보여준다.
최소 필수 부품 수를 사용하여 역체비쇼프 필터를 설계하려면 역체비쇼프 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 방정식은 표준 로우패스 역체비쇼프 필터만 고려한다. 짝수 차수 수정은 이 방정식이 고려하지 않는 오차를 도입한다. 이 방정식은 체비쇼프 필터 최소 차수에 사용된 것과 동일하지만 변수 정의가 약간 다르다.
formula_50 및 formula_51는 dB 단위의 통과대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠
formula_52 및 formula_53는 dB 단위의 저지대역 주파수 및 최소 저지대역 감쇠
표준 차단 감쇠는 설명된 대로 통과대역 리플 감쇠와 동일하다. 그러나 체비쇼프 필터와 마찬가지로 차단 감쇠를 원하는 값으로 설정하는 것이 유용하며 이유는 동일하다. 체비쇼프 II 차단 감쇠 설정은 체비쇼프 차단 감쇠와 동일하지만, 감쇠 및 리플 입력은 방정식에서 반전되고 극점과 영점은 체비쇼프의 경우처럼 나누는 것이 아니라 결과에 곱해진다.
수동 LC 체비쇼프 로우패스 필터는 카우어 토폴로지를 사용하여 구현할 수 있다. formula_1차 체비쇼프 프로토타입 필터의 인덕터 또는 커패시터 값은 다음 방정식에서 계산할 수 있다.
G1, Gk는 커패시터 또는 인덕터 소자 값이다.
3 dB 주파수 fH는 formula_97로 계산된다.
계수 A, γ, β, Ak, 및 Bk는 다음 방정식에서 계산할 수 있다.
여기서 formula_102는 데시벨 단위의 통과대역 리플이다.
숫자 formula_103는 정확한 값 formula_104에서 반올림되었다.
계산된 Gk 값은 오른쪽 그림과 같이 션트 커패시터와 직렬 인덕터로 변환하거나 직렬 커패시터와 션트 인덕터로 변환할 수 있다. 예를 들어,
G1이 션트 커패시터 또는 직렬 인덕터일 때, G0는 각각 입력 저항 또는 컨덕턴스에 해당한다. 동일한 관계가 Gn+1 및 Gn에도 적용된다. 결과 회로는 정규화된 로우패스 필터이다. 주파수 변환 및 임피던스 스케일링을 사용하여 정규화된 로우패스 필터는 원하는 차단 주파수 또는 대역폭을 갖는 하이패스, 대역 통과, 대역 저지 필터로 변환될 수 있다.
대부분의 아날로그 필터와 마찬가지로 체비쇼프 필터는 쌍선형 변환을 통해 디지털(이산 시간) 재귀 형태로 변환될 수 있다. 그러나 디지털 필터는 유한한 대역폭을 가지므로 변환된 체비쇼프의 응답 형태는 왜곡된다. 대안적으로 응답을 왜곡하지 않는 일치 Z-변환 방법을 사용할 수 있다.
다음 그림은 동일한 개수의 계수(5차)로 얻은 다른 일반적인 필터 유형 옆에 체비쇼프 필터를 보여준다.
체비쇼프 필터는 버터워스 필터보다 더 가파르다. 타원 필터만큼 가파르지는 않지만 대역폭 내에서 리플이 더 적다.
체비쇼프 필터의 고급 주제.
체비쇼프 필터 설계 유연성은 이 섹션에 문서화된 더 고급 설계 방법으로 보강될 수 있다. 특정 원치 않는 주파수를 중화시키거나 차단 감쇠를 증가시키기 위해 저지대역에 전달 영점을 삽입하거나, 더 바람직한 군지연을 얻기 위해 축에서 벗어난 영점을 삽입할 수 있다. 주파수 비대칭 설계 요구 사항을 더 효율적으로 충족시키기 위해 통과대역의 각 측면에 서로 다른 수의 극점을 포함하는 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 생성할 수 있다. 체비쇼프 필터로 알려진 등리플 통과대역은 통과대역의 일부만 등리플을 요구하는 설계 요구 사항을 더 효율적으로 충족시키기 위해 통과대역의 일정 비율로 제한될 수 있다.
체비쇼프 전달 영점.
체비쇼프 필터는 등리플 통과대역을 유지하면서 저지대역에 임의로 배치된 유한 전달 영점을 갖도록 설계될 수 있다. formula_105 축을 따라 있는 저지대역 영점은 일반적으로 원치 않는 주파수를 제거하는 데 사용된다. 실수 축을 따라 있는 저지대역 영점 또는 복소 평면에 있는 4중 저지대역 영점은 군지연을 더 바람직한 형태로 수정하는 데 사용될 수 있다. 전달 영점 설계는 전달 및 반사 영점을 배치하는 특성 다항식 K(S)를 사용하며, 이는 차례로 전달 함수 formula_106를 생성하는 데 사용된다.
K(S) 계산은 다음과 같이 관찰된 등식에 의존한다.
모든 formula_109, 허수 켤레 쌍, 4중 켤레 쌍 또는 실수 반대 부호 쌍에 대해.
통과대역 (formula_110)에서 크기가 항상 1임을 감안할 때, 유리항과 무리항은 0과 1 사이에서 달라져야 한다. 따라서 formula_111 특성 함수를 생성하기 위해 유리항만 사용되면 통과대역에서 등리플 응답이 예상되고 모든 formula_112에서 특성 극점(전달 영점)이 예상된다.
위 식을 사용하여 K(S)를 설계하는 과정은 다음과 같다.
실수 및 허수 formula_114 쌍에 대해 양의 formula_115 해를 사용한다. 4중 복소수 formula_114 쌍에 대해 양의 실수 및 켤레 허수 formula_115 해를 사용한다.
필요한 경우 formula_118에서 formula_119이 되도록 formula_111를 정규화해야 한다.
"유리항만"은 곱의 유리 부분을 유지하고 무리 부분을 버리는 것을 의미한다. 유리항은 수동으로 다항식 산술을 수행하거나 다항식 산술에서 파생된 아래의 단축키를 사용하여 얻을 수 있으며, 이는 이항 계수를 사용한다. 이항 계수가 미리 계산된 값의 조회 테이블에서 구현되면 이 알고리즘은 매우 효율적이다.
모든 M 값이 1로 설정되면 formula_122은 표준 체비쇼프 방정식이 될 것이며, 이는 모든 전달 영점이 formula_84에 있기 때문에 예상된다. 짝수 차수 유한 전달 영점 체비쇼프 필터는 모든 극점의 경우와 동일한 제한을 가지며, 이는 동일하게 종단된 수동 네트워크를 사용하여 구성할 수 없다는 것이다. 짝수 차수 특성 다항식 formula_111에 동일한 짝수 차수 수정을 적용하여 동일하게 종단된 수동 네트워크 구현을 가능하게 할 수 있다. 그러나 짝수 차수 수정은 유한 전달 영점도 약간 이동시킨다. 이 이동은 가장 낮은 체비쇼프 노드 formula_125를 사용하여 짝수 차수 수정의 역수를 사용하여 전달 영점을 미리 배치함으로써 크게 완화될 수 있다.
간단한 전달 영점 예시.
2 rad/sec에 전달 영점 하나와 formula_84에 전달 영점 하나가 있는 3극 체비쇼프 필터를 1 dB 통과대역으로 설계한다.
formula_106 전달 함수를 찾으려면 다음을 수행한다.
좌반평면에서 formula_106를 얻으려면 분자와 분모를 인수분해하여 근을 얻는다. 분모의 우반평면의 모든 근, 분자의 반복 근의 절반은 버리고 나머지 근으로 formula_106를 다시 구성한다. 일반적으로 formula_38에서 formula_134를 1로 정규화한다.
예제 formula_106가 올바른지 확인하기 위해 formula_105를 따른 formula_106의 그래프가 아래에 표시되어 있으며, 통과대역 리플은 1 dB, 차단 주파수는 1 rad/sec, 저지대역 영점은 2 rad/sec이다.
비대칭 대역 통과 필터.
체비쇼프 대역 통과 필터는 위에서 설명한 체비쇼프 전달 영점 방정식의 더 일반적인 형태를 사용하여 0과 무한대에 원하는 수의 전달 영점을 배치하여 기하학적으로 비대칭 주파수 응답을 갖도록 설계될 수 있으며, 이는 아래에 표시되어 있다. 아래 formula_111 방정식은 1에서 formula_140까지의 주파수 정규화된 통과대역을 고려한다. 0에서의 전달 영점 개수가 formula_84에서의 전달 영점 개수와 같지 않으면 필터는 기하학적으로 비대칭이 된다. 또한 유한 전달 영점이 기하학적 중심 주파수, 이 경우 formula_142에 대해 대칭적으로 배치되지 않으면 필터는 비대칭이 된다. 필터는 비대칭 formula_111 방정식이 사용 가능한 결과를 생성하기 위해 순 짝수 차수, 즉 모든 극점의 합이 짝수여야 한다는 제한이 있다. 이 기술을 사용하여 실수 및 복소 4중 전달 영점을 생성할 수 있으며, 저역 통과 경우와 마찬가지로 군지연 응답을 수정하는 데 유용하다. 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 생성하기 위한 특성 방정식 formula_111의 도출은 아래에 표시되어 있다.
간단한 비대칭 예시.
1에서 2 rad/sec까지 1dB 통과대역 리플, formula_84에 전달 영점 하나, 0에 전달 영점 세 개를 갖는 비대칭 체비쇼프 필터를 설계한다. 위의 방정식에 수치 값을 적용하면 특성 다항식 formula_111를 다음과 같이 계산할 수 있다.
무리 부분을 버리고 s=j에서 formula_152를 1로 정규화:
저역 통과 경우와 동일한 과정을 사용하여 formula_111에서 formula_106를 찾고, 상수 formula_156를 사용하여 크기를 스케일링한다.
좌반평면 극점에서 분모를 재구성할 때, 반사 영점이 0dB에서 발생하도록 formula_106 크기를 설정해야 한다. 이를 위해 통과대역 코너 주파수 formula_118 및 formula_160에서 formula_134가 -1dB가 되도록 formula_106를 스케일링해야 한다. 완료되면 설계된 비대칭 체비쇼프 필터의 최종 전달 함수는 아래에 표시되어 있다.
s=j와 s=2j에서 formula_134를 평가하면 두 경우 모두 -1dB의 값이 나오며, 이는 예제가 올바르게 합성되었음을 보증한다. 주파수 응답은 아래에 표시되어 있으며, formula_165에 대한 체비쇼프 1dB 등리플 통과대역 응답, 통과대역 가장자리에서 -1dB의 차단 감쇠, formula_45 방향으로 -60dB/십진 감쇠, formula_167 방향으로 -20dB/십진 감쇠, 통과대역 가장자리 근처에서 체비쇼프 스타일로 가파르게 변하는 기울기를 보여준다.
통과대역 리플 제한.
표준 저역 통과 체비쇼프 필터 설계는 0 rad/sec에서 1 rad/sec까지의 정규화된 주파수 값으로 시작하는 등리플 통과대역을 생성한다. 그러나 일부 설계 요구 사항은 저주파에서 등리플 통과대역을 필요로 하지 않는다. 이러한 응용 분야에 대한 표준 완전 등리플 체비쇼프 필터는 과도하게 설계된 필터를 초래할 것이다. 등리플을 통과대역의 정의된 백분율로 제한하면 더 효율적인 설계가 가능하며, 필터 크기를 줄이고 잠재적으로 하나 또는 두 개의 부품을 제거하여 보드 공간 효율성을 최대화하고 대량 생산 품목의 생산 비용을 최소화하는 데 유용하다.
제한된 통과대역 리플은 이 기사의 위에서 설명한 기술을 사용하여 0차 비대칭 고역 통과 측(0에서 전달 영점 없음)과 제한된 리플 주파수로 설정된 formula_168를 사용하여 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 설계함으로써 달성할 수 있다. 저역 통과 측의 차수는 홀수 차수 필터의 경우 N-1, 짝수 차수 수정된 필터의 경우 N-2, 표준 짝수 차수 필터의 경우 N이다. 이로 인해 formula_45에서 1보다 작은 S12가 발생하며, 이는 짝수 차수 표준 체비쇼프 설계의 일반적인 특징이므로 표준 짝수 차수 체비쇼프 설계의 경우 이 단계에서 프로세스가 완료된다. 홀수 차수 설계의 경우 formula_45에서 단일 반사 영점을 삽입해야 하고, 짝수 차수 수정된 설계의 경우 formula_45에서 두 개의 반사 영점을 삽입해야 한다. 추가된 반사 영점은 통과대역에 눈에 띄는 오차를 유발하며, 이는 반감을 일으킬 수 있다. 이 오차는 방정계에 대한 뉴턴 방법을 사용하여 유한 반사 영점을 재배치함으로써 빠르고 정확하게 제거할 수 있다.
뉴턴 방법의 적용.
뉴턴 방법을 사용하여 반사 영점을 배치하려면 다음 세 가지 정보가 필요하다.
오펜바일러(Oppenweiler)는 독일 바덴뷔르템베르크주 렘스-무르군에 있는 마을이다.
오펜바일러는 1938년 4월 1일에 라이헨베르크와 합병되었다.
오펜바일러의 게마인데는 독일연방공화국의 16개 주 중 하나인 바덴뷔르템베르크주의 렘스-무르군에 위치해 있다. 오펜바일러는 북쪽의 뢰벤슈타인 언덕과 남쪽의 백낭 베이 사이에 위치하며, 슈바벤-프랑켄 숲의 광역 지역에 속한다. 시역 내 해발 고도는 Normalnull (NN) 기준 에서 NN까지 다양하다.
오펜바일러는 오펜바일러라는 한 개의 구역(Ortsteil)과 아이헬바흐, 베른할덴, 엘렌바일러, 라이헨바흐, 라이헨베르크, 로이텐호프, 로르바흐, 뤼플렌스뮐레, 쉬프라인, 운터스타이가커, 빌헬름스하임, 첼 등 12개의 마을을 가지고 있다. 또한 시역에는 Wachthäusle 산업지구와 버려진 마을인 샬로텐호프 및 기젤마르가 있다.
오펜바일러의 문장은 황금색 필드에 세 개의 황금색 도끼 머리를 품은 붉은색 벤드 덱스터가 가로질러 있다. 블레이즌은 바덴의 문장과 동일하지만, 1288년부터 1901년 멸종까지 오펜바일러에 거주했던 을 나타내기 위해 도끼 머리가 추가되었다. 이 문장은 1955년 11월 14일 바덴뷔르템베르크 정부로부터 시 깃발과 함께 오펜바일러에 수여되었다.
오펜바일러는 독일의 도로망과 독일연방도로 14호선으로 연결되어 있으며, 바일블링겐-슈베비슈할 철도를 통해 철도망과 연결된다. 지역 대중교통은 슈투트가르트 교통 및 운임 연합에서 제공한다.
아날로그 필터(Analogue filter)는 일렉트로닉스에서 신호 처리에 많이 사용되는 기본 구성 요소이다. 이 필터의 많은 응용 분야 중 일부는 저음, 중음, 트위터 라우드스피커에 적용하기 전 오디오 신호를 분리하는 것; 다수의 전화 통화를 단일 채널에 결합하고 나중에 분리하는 것; 라디오 수신기에서 원하는 라디오 방송국을 선택하고 다른 방송국을 거부하는 것이다.
수동 선형 전자 아날로그 필터는 선형 미분 방정식으로 설명할 수 있는 필터(선형)이다. 이 필터는 축전기, 유도자로 구성되며, 때로는 저항기(수동)도 포함한다. 이 필터는 연속적으로 변하는 아날로그 신호에 대해 작동하도록 설계되었다. 구현이 아날로그가 아닌 많은 선형 필터(디지털 필터)가 있으며, 수동 토폴로지를 갖지 않는 많은 전자 필터가 있다. 이 두 가지 모두 이 문서에서 설명하는 필터와 동일한 전달 함수를 가질 수 있다. 아날로그 필터는 주로 파형 필터링 응용 분야에 사용된다. 즉, 아날로그(연속 시간) 신호에서 특정 주파수 성분을 통과시키고 다른 성분을 거부해야 하는 경우에 사용된다.
아날로그 필터는 전자 기술 발전에 중요한 역할을 했다. 특히 전기 통신 분야에서 필터는 여러 기술적 혁신에 결정적인 중요성을 가지며 통신 회사들에게 막대한 이익을 가져다주었다. 따라서 필터의 초기 개발이 전송선로와 밀접하게 관련되어 있다는 것은 당연하다. 전송선 이론은 필터 이론을 탄생시켰으며, 초기에는 매우 유사한 형태를 취했다. 필터의 주요 응용 분야는 통신 전송선이었다. 그러나 네트워크 합성 기법의 등장으로 설계자의 제어 능력이 크게 향상되었다.
오늘날에는 복잡한 알고리즘을 구현하기 훨씬 쉬운 디지털 영역에서 필터링을 수행하는 것이 선호되는 경우가 많지만, 아날로그 필터는 여전히 응용 분야를 찾고 있다. 특히 낮은 차수의 간단한 필터링 작업에 적합하며, 디지털 기술이 아직 비실용적이거나 적어도 비용 효율성이 떨어지는 높은 주파수에서는 여전히 표준으로 사용되는 경우가 많다. 가능한 한, 특히 낮은 주파수에서는 아날로그 필터가 이제 활성 필터 토폴로지로 구현된다. 이는 수동 토폴로지에 필요한 권선 부품(즉, 인덕터, 변압기 등)을 피하기 위한 것이다.
기계적 부품을 사용하여 기계적 진동 또는 음향 파동을 필터링하는 선형 아날로그 기계 필터를 설계하는 것도 가능하다. 이러한 장치는 기계 자체에는 응용 분야가 거의 없지만, 트랜스듀서를 추가하여 전기 도메인으로 또는 전기 도메인에서 변환하여 전자 제품에 사용할 수 있다. 실제로 필터에 대한 초기 아이디어 중 일부는 음향 공진기였다. 당시에는 전자 기술이 잘 이해되지 않았기 때문이다. 원칙적으로 이러한 필터의 설계는 기계적 양에 해당하는 전기적 대응물을 사용하여 완전히 달성할 수 있으며, 운동 에너지, 위치 에너지 및 열 에너지는 각각 인덕터, 커패시터 및 저항기의 에너지에 해당한다.
수동 아날로그 필터 개발 역사에는 세 가지 주요 단계가 있다.
이 문서 전체에서 R, L, C 문자는 각각 전기 저항, 유도계수, 전기 용량을 나타내는 일반적인 의미로 사용된다. 특히 LC와 같은 조합으로 사용되어, 예를 들어 인덕터와 커패시터로만 구성된 네트워크를 의미한다. Z는 온저항, RLC 요소의 모든 2단자 조합에 사용되며, 일부 섹션에서는 드물게 볼 수 있는 일래스턴스, 즉 전기 용량의 역수에 D가 사용된다.
초기 필터는 신호를 필터링하기 위해 공명 현상을 사용했다. 전기 공명은 초기부터 연구자들에 의해 연구되었지만, 처음에는 전기 기술자들에게 널리 이해되지 않았다. 결과적으로, 훨씬 더 친숙한 음향 공명 개념(이는 차례로 훨씬 더 친숙한 기계 공명으로 설명될 수 있다)이 전기 공명보다 먼저 필터 설계에 도입되었다. 공진 장치는 공진 주파수 또는 그 근처의 주파수에 응답하지만 공진 주파수에서 멀리 떨어진 주파수에는 응답하지 않으므로 필터링 효과를 얻기 위해 공진을 사용할 수 있다. 따라서 공진에서 멀리 떨어진 주파수는 장치의 출력에서 필터링된다.
전기 공명.
공명은 1746년에 발명된 라이덴병을 사용한 실험에서 일찍부터 발견되었다. 라이덴병은 전기 용량 때문에 전기를 저장하며, 사실 초기 형태의 축전기이다. 라이덴병이 전극 사이에 스파크가 튀도록 하여 방전될 때, 방전은 진동적이다. 이것은 1826년에 프랑스의 펠릭스 사바리와 나중에(1842년) 미국의 조지프 헨리가 방전 근처에 놓인 강철 바늘이 항상 같은 방향으로 자화되지 않는다는 것을 발견할 때까지는 의심되지 않았다. 그들은 둘 다 독립적으로 시간에 따라 사라지는 일시적인 진동이 있다는 결론을 내렸다.
헤르만 폰 헬름홀츠는 1847년에 에너지 보존에 대한 중요한 논문을 발표했는데, 그 일부에서 그 원리를 사용하여 진동이 왜 사라지는지 설명했다. 그것은 회로의 저항이 각 연속적인 사이클에서 진동 에너지를 소산시키기 때문이다. 헬름홀츠는 또한 윌리엄 하이드 울러스턴의 전기 분해 실험에서 진동의 증거가 있다는 것을 지적했다. 울러스턴은 전기 충격으로 물을 분해하려고 시도했지만, 두 전극 모두에 수소와 산소가 존재한다는 것을 발견했다. 일반적인 전기 분해에서는 각각의 전극으로 분리된다.
헬름홀츠는 왜 진동이 감쇠하는지 설명했지만, 왜 처음부터 발생했는지는 설명하지 않았다. 이것은 1853년에 윌리엄 톰슨 경(켈빈 경)에게 맡겨졌다. 그는 회로에 병의 전기 용량과 부하의 저항뿐만 아니라 인덕턴스도 존재한다고 가정했다. 이것은 현상의 물리적 기반을 확립했다. 병에서 공급된 에너지는 부하에서 부분적으로 소산되었지만, 인덕터의 자기장에도 부분적으로 저장되었다.
지금까지 연구는 갑작스러운 자극으로 인한 공진 회로의 과도 진동의 자연 주파수에 대한 것이었다. 필터 이론의 관점에서 더 중요한 것은 외부 AC 신호에 의해 구동될 때 공진 회로의 동작이다. 구동 신호 주파수가 회로의 공진 주파수와 일치할 때 회로의 응답에 갑작스러운 피크가 있다. 제임스 클러크 맥스웰은 1868년에 다이너모에 대한 실험과 관련하여 윌리엄 그로브 경으로부터 현상을 들었고, 1866년의 헨리 와일드의 이전 연구도 알고 있었다. 맥스웰은 RLC 회로가 오늘날 설명되는 방식과 거의 같은 용어로 미분 방정식 집합을 사용하여 공진을 수학적으로 설명했다.
하인리히 헤르츠(1887)는 두 개의 공진 회로를 만들어 공진 현상을 실험적으로 입증했다. 그중 하나는 발전기에 의해 구동되었고, 다른 하나는 튜닝 가능하며 첫 번째 회로에 전자기적으로만 결합되었다 (즉, 회로 연결 없음). 헤르츠는 두 번째 회로의 응답이 첫 번째 회로와 튜닝될 때 최대임을 보여주었다. 이 논문에서 헤르츠가 생성한 다이어그램은 전기 공진 응답의 첫 번째 출판된 플롯이었다.
음향 공명.
앞서 언급했듯이 필터링 응용 분야에 영감을 준 것은 음향 공명이었다. 그중 첫 번째는 "조화 전신"으로 알려진 전신 시스템이었다. 이 시스템은 일라이셔 그레이, 알렉산더 그레이엄 벨(1870년대), 등이 개발했다. 이 시스템의 목적은 동일한 선로를 통해 여러 전신 메시지를 동시에 전송하는 것이었고, 주파수 분할 다중화(FDM)의 초기 형태를 나타낸다. FDM은 각 개별 통신 채널에 대해 송신 측이 다른 주파수로 송신해야 한다. 이는 개별 튜닝된 공진기뿐만 아니라 수신 측에서 신호를 분리하기 위한 필터도 필요하다. 조화 전신은 송신 측에서 전자기적으로 구동되는 튜닝된 리드를 사용하여 이를 달성했으며, 이는 수신 측에서 유사한 리드를 진동시킨다. 송신기와 동일한 공진 주파수를 가진 리드만이 수신 측에서 상당한 정도로 진동한다.
덧붙여, 조화 전신은 벨에게 전화의 아이디어를 직접적으로 제시했다. 리드는 소리를 전기 신호로 변환하는 트랜스듀서로 볼 수 있다. 조화 전신에 대한 이러한 관점에서 음성을 전기 신호로 변환할 수 있다는 생각으로 이어지는 것은 큰 도약이 아니다.
초기 다중화.
1890년대에는 전기 공명이 훨씬 더 널리 이해되었고 기술자의 도구 상자의 일반적인 부분이 되었다. 1891년에 후틴과 레블랑은 공진 회로 필터를 사용한 전화 회로용 FDM 방식을 특허받았다. 유사한 아이디어를 가진 마이클 푸핀과 존 스톤 스톤은 1892년에 경쟁 특허를 출원했으며, 최종적으로 푸핀에게 우선권이 부여되었다. 그러나 단순한 공진 회로 필터만 사용하는 방식으로는 허용할 수 없는 음성 대역폭 제한이나 다중화의 이점을 비경제적으로 만드는 너무 넓은 채널 간격 없이 전화 채널의 더 넓은 대역폭을 성공적으로 다중화(즉, 결합)할 수 없다 (전신과 달리).
이러한 어려움의 근본적인 기술적 이유는 단순 필터의 주파수 응답이 공진점으로부터 멀리 떨어져 있을 때 6 dB/옥타브 감소에 접근한다는 것이다. 이것은 전화 채널이 주파수 스펙트럼에 나란히 압축될 경우, 주어진 채널에 인접 채널로부터 누화가 발생한다는 것을 의미한다. 필요한 것은 요구되는 통과대역에서 낮은 Q 공진 회로처럼 평탄한 주파수 응답을 갖지만, 통과대역에서 저지대역으로의 전환에서 고Q 공진 회로처럼 응답이 빠르게 감소하는(6 dB/옥타브보다 훨씬 빠르게) 훨씬 더 정교한 필터이다. 분명히, 이것들은 단일 공진 회로로 충족하기에는 모순적인 요구 사항이다. 이러한 요구에 대한 해결책은 전송선 이론에 기반했으며, 결과적으로 필요한 필터는 이 이론이 완전히 개발될 때까지 사용할 수 없었다. 이 초기 단계에서는 신호 대역폭의 개념, 따라서 이에 맞추기 위한 필터의 필요성이 완전히 이해되지 않았다. 실제로 대역폭의 개념이 완전히 확립된 것은 1920년이 되어서였다. 초기 라디오에서는 Q 인자, 선택도 및 튜닝 개념으로 충분했다. 이것은 다음 섹션에서 설명하는 이미지 필터가 기반으로 하는 전송선로의 개발 이론으로 모두 바뀌었다.
세기가 바뀔 무렵 전화선이 보급되자, 전화선에 접지 귀선 팬텀 회로를 이용하여 전신을 추가하는 것이 인기를 끌었다. 전화선에 전신 클릭 소리가 들리지 않도록 LC 필터가 필요했다. 1920년대부터 전화선 또는 이 목적에 전용된 평형선은 오디오 주파수에서 FDM 전신에 사용되었다. 영국에서 이러한 시스템 중 첫 번째는 런던과 맨체스터 간의 지멘스와 할스케 설치였다. GEC 및 AT&amp;T도 FDM 시스템을 갖추고 있었다. 송수신 신호에는 별도의 쌍이 사용되었다. 지멘스와 GEC 시스템은 각 방향에 6개의 전신 채널이 있었고, AT&amp;T 시스템은 12개 채널이 있었다. 이 모든 시스템은 전자 발진기를 사용하여 각 전신 신호에 대해 다른 반송파를 생성했으며, 수신 측에서 다중화된 신호를 분리하기 위해 대역 통과 필터 뱅크가 필요했다.
전송선로 이론.
전송선로의 가장 초기 모델은 아마도 게오르크 옴(1827)에 의해 설명되었을 것이다. 그는 도선의 저항이 길이에 비례한다는 것을 확립했다. 따라서 옴 모델은 저항만 포함했다. 래티머 클라크는 케이블을 따라 신호가 지연되고 늘어나는 것을 관찰했는데, 이는 현재는 분산이라고 불리지만 당시에는 지연이라고 불린 바람직하지 않은 형태의 왜곡이었다. 마이클 패러데이(1853)는 이것이 전송선로에 존재하는 전기 용량 때문이라는 것을 확립했다. 켈빈 경(1854)은 초기 대서양 케이블 작업에서 필요한 정확한 수학적 설명을 발견했다. 그는 금속 막대를 따라 열 펄스 전도와 동일한 방정식에 도달했다. 이 모델은 저항과 전기 용량만 포함하지만, 전기 용량 효과가 지배적인 해저 케이블에는 이것만으로도 충분했다. 켈빈의 모델은 케이블의 전신 신호 속도에 제한을 예측했지만, 켈빈은 여전히 대역폭 개념을 사용하지 않았다. 제한은 전신 심볼의 분산으로 완전히 설명되었다. 전송선로의 수학적 모델은 올리버 헤비사이드에 이르러서야 가장 완벽하게 발전했다. 헤비사이드(1881)는 직렬 유도계수와 병렬 전도율을 모델에 도입하여 총 네 가지 분포정수회로를 만들었다. 이 모델은 현재 전신 방정식으로 알려져 있으며, 분포정수회로 매개변수는 주요 선 상수라고 불린다.
헤비사이드의 연구(1887)에서 전신선, 특히 전화선의 성능은 선로에 인덕턴스를 추가함으로써 향상될 수 있다는 것이 명확해졌다. AT&amp;T의 조지 캠벨은 이 아이디어를 선로를 따라 일정한 간격으로 가입자 코일을 삽입함으로써 구현했다(1899). 캠벨은 통과대역에서 선로의 특성에 대한 원하는 개선뿐만 아니라 상당한 감쇠 없이는 신호가 통과할 수 없는 특정 주파수도 존재한다는 것을 발견했다. 이것은 가입자 코일과 선로 커패시턴스가 로우패스 필터를 형성하는 결과로, 이는 집중정수회로와 같은 가입자 코일을 포함하는 선로에서만 명확하게 나타나는 효과이다. 이것은 자연스럽게 캠벨(1910)이 사다리 토폴로지를 가진 필터를 생산하게 이끌었다. 이 필터의 회로도를 한눈에 보면 가입자 전송선과의 관계를 알 수 있다. 가입자선에서 차단 현상은 바람직하지 않은 부작용이지만, 전화 FDM 필터에는 정확히 필요한 것이다. 이 응용을 위해 캠벨은 인덕터와 커패시터를 각각 공진기와 반공진기로 대체하여 동일한 사다리 토폴로지로 대역 필터를 생산했다. 가입자선과 FDM 모두 AT&amp;T에 경제적으로 큰 이익을 가져다주었고, 이것은 이 시점부터 필터링이 빠르게 발전하게 이끌었다.
이미지 필터.
캠벨이 설계한 필터는 특정 파를 통과시키고 다른 파를 강력하게 거부하는 특성 때문에 파동 필터라고 명명되었다. 이 필터를 설계하는 방법은 이미지 매개변수법이라고 불렸고 이 방법으로 설계된 필터를 이미지 필터라고 한다. 이미지 방법은 기본적으로 동일한 필터 섹션의 무한 체인의 전달 상수를 개발한 다음 원하는 유한한 수의 필터 섹션을 이미지 임피던스로 종단하는 것으로 구성된다. 이는 유한 길이의 전송선로 속성이 무한 선로의 이론적 속성으로부터 파생되는 방식과 정확히 일치하며, 이미지 임피던스는 선로의 특성 임피던스에 해당한다.
1920년부터 AT&amp;T에서 일하던 존 랜쇼 카슨은 기본적으로 주파수 영역에서 작동하는 헤비사이드의 연산 미적분학을 사용하여 신호를 보는 새로운 방식을 개발하기 시작했다. 이것은 AT&amp;T 엔지니어들에게 그들의 필터가 작동하는 방식에 대한 새로운 통찰력을 제공했고, 오토 조벨은 많은 개선된 형태를 발명하게 되었다. 카슨과 조벨은 많은 옛 아이디어를 꾸준히 무너뜨렸다. 예를 들어 옛날 전신 엔지니어들은 신호를 단일 주파수로 생각했고, 이 아이디어는 카슨의 1922년 논문이 출판될 때까지 기저 대역 신호보다 더 작은 대역폭으로 주파수 변조(FM) 전송을 달성할 수 있다고 여전히 믿는 일부 사람들과 함께 라디오 시대까지 지속되었다. 또 다른 발전은 잡음의 특성에 관한 것이었다. 카슨과 조벨(1923)은 잡음을 연속적인 대역폭을 가진 무작위 과정으로 취급했다. 이는 당시로서는 매우 앞선 생각이었다. 따라서 필터링으로 제거할 수 있는 잡음의 양은 통과 대역 밖에 있는 잡음 스펙트럼의 부분으로 제한되었다. 이것 또한 처음에는 일반적으로 받아들여지지 않았으며, 특히 에드윈 암스트롱 (아이러니하게도 실제로 광대역 FM으로 잡음을 줄이는 데 성공했다)의 반대에 부딪혔고, 해리 나이퀴스트의 연구에 이르러서야 마침내 해결되었다. 그의 열잡음 전력 공식은 오늘날 잘 알려져 있다.
이미지 필터와 그 작동 이론에는 오토 조벨에 의해 몇 가지 개선이 이루어졌다. 조벨은 캄벨의 필터를 나중에 개발된 형태, 특히 조벨의 m-유도 필터 (또는 m-형 필터)와 구별하기 위해 정수 k 필터 (또는 k-형 필터)라는 용어를 만들었다. 조벨이 이러한 새로운 형태로 해결하려 했던 특정 문제는 종단 장치와의 임피던스 매칭 및 롤오프의 가파른 기울기 개선이었다. 이러한 개선은 필터 회로 복잡성 증가의 대가로 달성되었다.
이미지 필터를 생성하는 보다 체계적인 방법은 헨드릭 보드(1930)에 의해 도입되었고, 필로티(1937~1939)와 빌헬름 카우어(1934~1937)를 포함한 여러 다른 연구자들에 의해 더 발전되었다. 특정 회로의 동작(전달 함수, 감쇠 함수, 지연 함수 등)을 열거하는 대신 이미지 임피던스 자체에 대한 요구 사항이 개발되었다. 이미지 임피던스는 필터의 개방 회로 및 단락 회로 임피던스를 formula_1로 표현할 수 있다. 이미지 이론에 따르면 이미지 임피던스는 통과 대역에서 실수이고 정지 대역에서 허수이어야 하므로 Zo와 Zs의 극점과 영점은 통과 대역에서 상쇄되고 정지 대역에서 일치해야 한다. 필터의 동작은 이러한 극점과 영점 쌍의 복소평면에서의 위치로 완전히 정의될 수 있다. 필요한 극점과 영점을 가진 모든 회로는 필요한 응답을 가질 것이다. 카우어는 이 기술에서 발생하는 두 가지 관련 질문을 추구했다. 즉, 어떤 극점과 영점 사양이 수동 필터로 실현 가능한지, 그리고 어떤 실현이 서로 등가인지이다. 이 작업의 결과는 카우어가 새로운 접근 방식, 즉 현재 네트워크 합성이라고 불리는 접근 방식을 개발하게 이끌었다.
이 필터 설계의 "극점과 영점" 관점은 서로 다른 주파수에서 작동하는 필터 뱅크가 모두 동일한 전송선로에 연결될 때 특히 유용했다. 이전 접근 방식으로는 이 상황을 제대로 처리할 수 없었지만, 극점과 영점 접근 방식은 결합된 필터에 대해 일정한 임피던스를 지정함으로써 이를 포괄할 수 있었다. 이 문제는 원래 FDM 전화와 관련이 있었지만, 현재는 라우드스피커 크로스오버 필터에서 자주 발생한다.
네트워크 합성 필터.
네트워크 합성의 본질은 필요한 필터 응답으로 시작하여 해당 응답을 제공하거나 지정된 경계 내에서 근사화하는 네트워크를 생성하는 것이다. 이것은 주어진 네트워크로 시작하여 다양한 전기 회로 이론을 적용하여 네트워크의 응답을 예측하는 네트워크 분석의 역순이다. 이 용어는 위크윙 리의 박사 학위 논문(1930)에서 처음 사용되었으며, 버니바 부시와의 대화에서 유래한 것으로 보인다. 이전 방법에 비해 네트워크 합성의 장점은 설계 사양을 정확하게 충족하는 솔루션을 제공한다는 것이다. 이는 이미지 필터의 경우에는 해당되지 않는다. 이미지 필터는 자체 이미지 임피던스로 종단될 때만 설계 사양을 충족하며, 이를 위해서는 정확한 회로가 필요하기 때문에 설계에는 어느 정도의 경험이 필요하다. 반면에 네트워크 합성은 설계되는 네트워크에 종단 임피던스를 포함하여 단순히 처리한다.
네트워크 합성이 가능하려면 네트워크 분석의 발전이 필요했다. 구스타프 키르히호프 등의 정리와 찰스 스타인메츠의 아이디어(파서) 및 아서 케넬리의 아이디어(복소 임피던스)는 기초를 닦았다. 포트의 개념도 이론 발전에 중요한 역할을 했으며, 네트워크 단자보다 더 유용한 아이디어로 입증되었다. 네트워크 합성으로 가는 첫 번째 이정표는 로널드 M. 포스터(1924)의 중요한 논문이었다. 그는 논문 '리액턴스 정리'에서 발전기에 연결된 임피던스, 즉 구동점 임피던스의 개념을 소개한다. 이 임피던스에 대한 표현은 필터의 응답을 결정하며 그 반대도 마찬가지이다. 이 표현을 확장함으로써 필터의 실현을 얻을 수 있다. 어떤 임의의 임피던스 표현도 네트워크로 실현할 수는 없다. 포스터 리액턴스 정리는 실현 가능성에 대한 필요충분조건을 제시한다. 즉, 리액턴스는 주파수에 따라 대수적으로 증가해야 하고, 극점과 영점은 교대로 나타나야 한다.
빌헬름 카우어는 포스터의 연구(1926)를 확장했으며, 주어진 주파수 함수를 가진 1포트 임피던스의 실현에 대해 처음으로 이야기했다. 포스터의 작업은 리액턴스만 고려했다(즉, LC 형태의 회로만). 카우어는 이것을 모든 2요소 형태의 1포트 네트워크로 일반화했으며, 그들 사이에는 동형성이 있음을 발견했다. 그는 또한 토마스 스틸티스의 연속 분수 전개를 사용한 네트워크의 사다리 실현을 발견했다. 이 작업은 네트워크 합성이 구축된 기반이 되었지만, 카우어의 작업은 처음에는 엔지니어들에게 많이 사용되지 않았다. 부분적으로는 제2차 세계 대전의 개입 때문이었고, 부분적으로는 다음 섹션에서 설명하는 이유 때문이었으며, 부분적으로는 카우어가 상호 결합된 인덕터와 이상적인 변압기를 요구하는 토폴로지를 사용하여 결과를 제시했기 때문이다. 설계자는 가능하면 상호 인덕턴스와 변압기의 복잡성을 피하는 경향이 있다. 비록 변압기 결합 이중 조정 증폭기는 선택도를 희생하지 않고 대역폭을 넓히는 일반적인 방법이지만 말이다.
이미지 방법 대 합성.
이미지 필터는 우수한 네트워크 합성 기술이 사용 가능해진 후에도 설계자들에게 오랫동안 사용되었다. 그 이유 중 일부는 단순히 관성 때문일 수도 있지만, 네트워크 합성 필터에 필요한 더 많은 계산 때문이기도 했다. 이는 종종 수학적 반복 과정이 필요했다. 이미지 필터는 가장 단순한 형태로 동일한 섹션이 반복되는 체인으로 구성된다. 섹션을 더 추가하는 것만으로 설계가 개선될 수 있으며, 초기 섹션을 생성하는 데 필요한 계산은 "봉투 뒷면" 설계 수준이다. 반면에 네트워크 합성 필터의 경우 필터 전체가 하나의 단일 엔티티로 설계되며, 섹션을 더 추가하려면(즉, 차수를 늘리려면) 설계자는 처음으로 돌아가서 다시 시작할 수밖에 없다. 합성된 설계의 장점은 실제적이지만, 숙련된 이미지 설계자가 달성할 수 있는 것에 비해 압도적이지 않으며, 많은 경우 시간 소모적인 계산을 생략하는 것이 더 비용 효율적이었다. 이것은 현대의 컴퓨팅 능력 가용성에서는 문제가 되지 않지만, 1950년대에는 존재하지 않았고, 1960년대와 1970년대에는 비용이 많이 들었으며, 1980년대 데스크톱 개인용 컴퓨터의 등장으로 모든 설계자에게 널리 보급되기까지는 오랜 시간이 걸렸다. 이미지 필터는 그 시점까지 계속 설계되었으며, 많은 필터가 21세기까지 서비스 상태로 남아 있었다.
네트워크 합성 방법의 계산적 어려움은 프로토타입 필터의 부품 값을 표로 작성한 다음 주파수와 임피던스를 스케일링하고 대역 형태를 실제로 필요한 것으로 변환함으로써 해결되었다. 이러한 종류의 접근 방식 또는 이와 유사한 접근 방식은 예를 들어 조벨과 같은 이미지 필터에서도 이미 사용되었다. 그러나 "참조 필터" 개념은 시드니 달링턴에게 기인한다. 달링턴(1939)은 또한 네트워크 합성 프로토타입 필터의 값을 표로 작성한 최초의 인물이었지만, 카우어-달링턴 타원 필터가 사용되기 시작한 것은 1950년대에 이르러서였다.
일단 계산 능력이 쉽게 가용하게 되자, 임의의 매개 변수(예: 시간 지연 또는 부품 변동에 대한 허용 오차)를 최소화하도록 필터를 쉽게 설계할 수 있게 되었다. 이미지 방법의 어려움은 과거에 확실히 사라졌고, 프로토타입의 필요성조차도 거의 불필요해졌다. 또한, 활성 필터의 등장은 계산적 어려움을 완화했다. 섹션을 분리할 수 있었고 반복 과정이 일반적으로 필요하지 않았기 때문이다.
실현 가능성 및 등가성.
실현 가능성(즉, 어떤 함수가 실제 임피던스 네트워크로 실현 가능한지)과 등가성(어떤 네트워크가 등가적으로 동일한 함수를 가지는지)은 네트워크 합성에서 두 가지 중요한 질문이다. 라그랑주 역학과의 유추를 따라 카우어는 행렬 방정식을 형성했다.