shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
삼풍백화점 붕괴, 대한항공 801편 추락, 대구 지하철 참사 등 대형 재난에서 DNA 기반 신원 확인 업무를 총괄하였다. 화성 연쇄 살인 사건 관련 감정 경험을 대중서와 강연을 통해 소개하였다.
연구·저술 활동.
법생물학과 증거물 감정의 실제를 대중에게 설명하는 저작을 다수 출간하였고, 감정 사례를 바탕으로 과학수사 교육 자료를 보급하였다.
대외 활동과 학회 참여.
한국유전학회와 한국 훔볼트클럽에서 이사로 활동하였고, 추리작가협회 활동을 병행하며 과학수사 소재 창작에도 관여하였다.
개인사와 신념.
천주교 신자로서 호는 '한길'이며, 좌우명으로 "무리말고 방심말고 끈기로 시간을 이겨라"를 사용하였다(출판사 및 인물 소개 자료에 기반).
제이크 오케추크우 에포두(Jake Okechukwu Effoduh)는 나이지리아 출신의 변호사이자 법학자, 전 라디오 진행자로, 토론토 메트로폴리탄 대학교 링컨 알렉산더 로스쿨의 조교수이다. BBC 미디어 액션의 청소년 라디오 프로그램 ‘Flava’와 거버넌스 프로그램 ‘Talk Your Own’을 진행하였고, 이후 국제인권법과 인공지능 거버넌스의 접점에서 연구·정책 자문을 병행하였다. 세계경제포럼(WEF)에서는 저자·전문가로 활동하며 ACADIC의 법률 고문 역할을 수행하였다.
라고스 출생으로, 아부자에서 성장하였다. 아부자 대학교에서 법학사(LL.B)를, 나이지리아 로스쿨을 수료하여 변호사 자격을 취득하였다. 이후 옥스퍼드 대학교와 요크 대학교에서 각각 법학 석사(LL.M)를, 캐나다 오스굿홀 로스쿨에서 박사과정을 밟았다.
라디오 방송 활동.
2006년부터 2013년까지 BBC 미디어 액션의 청소년·보건 라디오 매거진 ‘Flava’를 진행하였고, 나이지리아 전역의 지역 방송망과 협업하였다. 2013년에는 참여형 거버넌스 라디오 ‘Talk Your Own’을 맡아 청취자와 공직자 간 대화를 중개하였다. BBC 미디어 액션의 거버넌스 보고서는 이 프로그램을 "사람들과 지도자들 사이의 신뢰받는 대화의 장(a trusted forum for dialogue)"으로 규정하였다.
법률 실무와 국제 활동.
법률가로서 국내·지역·국제 차원의 인권 옹호에 참여하였고, 2011년에는 아부자 지역 성노동자 인권 실태 연구를 수행하였다. 2012년 TEDxAbuja에 연사로 참여하였고, 같은 해 미국 국무부 초청 글로벌 취재 프로그램의 나이지리아 대표 언론인단에 선발되었다.
학계 임용과 강의.
토론토 메트로폴리탄 대학교 링컨 알렉산더 로스쿨에서 기술법과 사회(Technology Law and Society)를 가르치며 조교수로 재직한다. 대학원 커뮤니케이션·컬처 프로그램에서도 겸무 교수로 참여하였다.
에포두의 연구는 국제법·인권과 데이터 거버넌스, 설명가능한 인공지능, 공중보건 알고리즘의 책임성 및 아프리카 대륙 맥락에서의 제도 설계를 중심으로 전개된다.
인공지능과 사회정의.
선거 과정의 허위정보 문제에서 생성형 기술의 위험과 거버넌스 선택지를 분석하였고, 데이터 거버넌스의 ‘신뢰 가능·포괄’ 원칙을 제시하였다. 2020년에는 나이지리아의 #EndSARS 운동을 인권과 공공책임의 관점에서 해석하였다.
공공정책 참여와 자문.
세계경제포럼 글로벌 퓨처 카운슬에서 프런티어 리스크 관련 의제 형성에 기여하고, ACADIC 법률 고문으로서 캐나다 및 20개 아프리카 국가의 공중보건 전략 수립을 지원하였다.
마고 E. 카민스키(Margot E. Kaminski)는 미국의 법학자이자 인공지능 거버넌스와 정보 프라이버시, 표현의 자유 영역을 연구하는 학자이다. 콜로라도 대학교 로스쿨에서 Moses Lasky Professor of Law로 재직하며 실리콘 플랫아이런스 센터 Privacy Initiative 디렉터를 맡고 있다. 하버드 대학교에서 학사, 예일 로스쿨에서 법무박사(J.D.)를 취득하고, 예일 로스쿨 정보사회프로젝트(ISP)에서 전무이사로 활동했으며, 미국 제9 순회항소법원 판사 앤드루 J. 클라인필드(Andrew J. Kleinfeld)의 로 클럭으로 근무하였다. 카민스키의 연구는 일반 데이터 보호 규정(GDPR) 및 미국·유럽 AI 규제 논의 속에서 알고리즘 책임성과 위험 규제의 해법을 모색하는 데 초점을 둔다.
생애 개관과 연구 지향.
카민스키는 정보기술의 사회적 영향과 법제의 상호작용을 핵심 문제로 삼아, 프라이버시·표현의 자유·AI 책임성을 관통하는 법 이론과 규제 설계를 제시해 왔다. 콜로라도 로스쿨에서는 ‘AI 위험 규제’(risk regulation) 관점에서 규제 도구의 장단을 분석하고, 규제모형 간 선택이 정책 결과를 좌우함을 논증하였다.
학력과 초기 활동.
하버드 대학교를 "magna cum laude"로 졸업(2004)하고 예일 로스쿨에서 J.D.(2010)를 취득하였다. 예일에서는 미디어 자유·정보접근 클리닉(Media Freedom and Information Access, MFIA)을 공동 설립하고 기사 작성과 연구 조교 등 활동을 수행하였다.
연구 주제와 학술적 관점.
카민스키는 알고리즘 영향평가(AIA), 다층 설명(multilayered explanations), 위험 기반 규제, 기록의 자유와 프라이버시 충돌 등 주제를 다루었다. 특히 GDPR의 데이터 보호 영향평가(DPIA)·프로파일링 규정을 근거로 기업의 설명가능성 의무를 다층적으로 구성할 수 있음을 제시하였다. 2021년 "Harvard JOLT"는 AI 영향평가의 제도적 한계를 논하면서 카민스키·말지에리의 견해를 맥락화하였고, 민간의 재량과 유인 구조가 규제의 효력을 약화시킬 수 있음을 지적하였다(“a regime that relies on good-faith partnership from the private sector also has strong potential to be undermined”).
대표 개념과 규제 설계.
카민스키는 일반 데이터 보호 규정 맥락에서 ‘설명의 권리’ 논쟁을 정리하며, 미국 법제에의 함의를 설명하였다. 또한 AI 위험 규제의 네 가지 모형과 그 정책적 트레이드오프를 분석하고, 책임사다리·피해 구제의 한계를 지적하였다.
규제·정책 참여.
카민스키는 미 연방거래위원회(FTC) 세미나, 캘리포니아 개인정보보호국(2022), 콜로라도주 상원 공청회(2022) 등에서 프라이버시·AI 의제를 발표하였고, 2025년 콜로라도주 ‘인공지능 영향 태스크포스’에 참여하였다. 2019년에는 ‘GDPR 하의 알고리즘 영향평가’ 논문으로 FPF ‘Privacy Papers for Policymakers’ 수상작에 선정되어 미 상원에서 연구를 발표하였다.
대중 기고와 미디어 활동.
카민스키는 "뉴욕 타임스"와 "이코노미스트", "디 애틀랜틱" 등에 기고하여 알고리즘 차별, 프라이버시 기대, 감시 프로그램의 법적 근거 등 주제를 다루었다.
패트릭 존 브라운(Patrick John Brown)은 뉴욕시 소방국의 소방대장(캡틴)으로 복무한 미국의 소방관이자 베트남 전쟁에 참전한 미국 해병대 하사 출신이다. 그는 2001년 세계 무역 센터에서 벌어진 9·11 테러 당시 북쪽 타워 구조 활동 중 순직하였다.
브라운은 1952년 일리노이주 오크 파크에서 태어났으며, 성장기 상당 기간을 뉴욕 퀸즈 일대에서 보냈다.
군 복무와 훈련.
미국 해병대에서 하사로 복무하며 베트남전에 두 차례 파병되었고, 복무 중 훈장을 받았다. 강인한 체력과 자기 수양으로도 알려져 마라톤 6회 완주, 공인 2단 검은띠 취득 경력이 전해진다.
뉴욕시 소방국 경력.
브라운은 1977년경 현장에 투입된 이후 20여 년 동안 다양한 현장 경험을 축적하였고, 말년에 맨해튼 이스트빌리지의 라더 컴퍼니 3(3 Truck) 대장을 맡았다. 동료 소방대원 양성에 헌신하였고, 현장 지휘 능력으로 널리 알려졌다.
2001년 9월 11일의 대응.
테러 발생 직후 라더 컴퍼니 3는 자원 출동을 요청하였고, 브라운의 지휘 아래 다수 대원이 북쪽 타워 내부로 진입하였다. 이 회사의 소방차는 후일 9·11 메모리얼&amp;뮤지엄에 보존 전시되었다. 사건 당일 최상층부로의 진입을 시도하던 중 건물 붕괴로 순직하였다.
유해 수습과 장례.
브라운의 유해는 2001년 12월 14일 북쪽 타워 잔해에서 수습되었다. 두 주 뒤 가족과 동료들은 그의 뜻에 따라 센트럴파크 조깅 경로 일대에 유골을 뿌렸다.
기념과 명명.
2002년 맨해튼 이스트강 그린웨이 중 14가와 18가 사이 산책로 구간이 "Captain Patrick J. Brown Walk"로 지정되었다. 브라운의 이름은 9·11 메모리얼 남쪽 풀(South Pool)의 패널 S-27에 새겨져 있다.
형제와 가족.
동생 마이클 브라운은 뉴욕 응급의학 의사로, 월드 트레이드 센터 수색 활동 이후 저서 《What Brothers Do》를 펴냈다. 마이클은 2021년에 9·11 관련 암으로 사망하였다.
다큐멘터리와 회고.
브라운의 삶은 2006년 다큐멘터리 《Finding Paddy》의 주제가 되었다. 생전 약혼자였던 샤론 와츠는 추모 에세이집 《Miss You, Pat》을 출간하였다.
울람 나선(Ulam spiral) 또는 소수 나선(prime spiral)은 소수 집합을 그래픽으로 묘사한 것으로, 1963년 수학자 스타니스와프 울람이 고안했으며 얼마 후 마틴 가드너의 사이언티픽 아메리칸의 수학 게임 칼럼에서 대중화되었다. 이 나선은 양의 정수를 정사각형 나선으로 쓰고 소수를 특별히 표시하여 구성된다.
울람과 가드너는 나선에서 많은 수의 소수를 포함하는 눈에 띄는 대각선, 수평선, 수직선의 놀라운 출현을 강조했다. 울람과 가드너는 나선에서의 이러한 눈에 띄는 선의 존재가 예상치 못한 것이 아니라고 언급했는데, 나선에서의 선은 이차 다항식에 해당하고, 오일러의 소수 생성 다항식 x2 − x + 41과 같은 특정 다항식은 높은 소수 밀도를 생성한다고 믿어지기 때문이다. 그럼에도 불구하고 울람 나선은 란다우 문제와 같은 수론의 주요 미해결 문제와 연결되어 있다. 특히, 어떤 이차 다항식도 무한히 많은 소수를 생성하거나, 훨씬 더 나아가 점근적 밀도가 높다는 것이 증명된 적은 없지만, 그 점근적 밀도가 무엇이어야 하는지에 대한 잘 지지되는 추측이 있다.
1932년, 울람의 발견보다 31년 전에 로렌스 클라우버라는 파충류학자는 소수의 유사한 집중을 보이는 수직선 및 대각선을 포함하는 삼각형 모양의 비나선형 배열을 구성했다. 울람처럼 클라우버는 오일러의 것과 같은 소수 생성 다항식과의 연관성을 언급했다.
울람 나선은 양의 정수를 정사각형 격자 위에 나선 형태로 써서 구성된다.
그리고 나서 소수를 표시한다.
그림에서 소수는 특정 대각선을 따라 집중되는 것처럼 보인다. 위에서 보여준 201×201 울람 나선에서는 대각선이 뚜렷하게 보이며, 그 지점까지의 패턴을 확인시켜준다. 소수 밀도가 높은 수평선과 수직선도 덜 두드러지지만 분명히 나타난다. 가장 흔하게는 숫자 나선이 중앙의 1로 시작되지만, 어떤 숫자로든 시작할 수 있으며, 대각선, 수평선, 수직선을 따라 소수가 동일하게 집중되는 현상이 관찰된다. 중앙을 41로 시작하면 40개의 연속적인 소수로 이루어진 대각선이 나타나는데 (원점 남서쪽 1523에서 시작하여 원점의 41로 감소하고 원점 북동쪽 1601로 증가함), 이는 이 종류의 가장 긴 예이다.
가드너에 따르면, 울람은 1963년에 과학 회의에서 "길고 매우 지루한 논문" 발표 중에 낙서하다가 나선을 발견했다고 한다. 이 손으로 한 계산은 "수백 점"에 달했다. 얼마 후, 울람은 동료인 마이런 스타인과 마크 웰스와 함께 로스앨러모스 과학 연구소의 MANIAC II를 사용하여 계산을 약 100,000점으로 확장했다. 이 그룹은 또한 소수가 많은 선과 소수가 적은 선을 따라 10,000,000까지의 숫자 중에서 소수의 밀도를 계산했다. 65,000점까지의 나선 이미지는 "기계에 연결된 스코프"에 표시된 다음 촬영되었다. 울람 나선은 마틴 가드너의 1964년 3월호 사이언티픽 아메리칸 수학 게임 칼럼에 실렸으며 그 호의 표지를 장식했다. 스타인, 울람, 웰스의 일부 사진이 그 칼럼에 재현되었다.
사이언티픽 아메리칸 칼럼의 부록에서 가드너는 클라우버의 이전 논문을 언급했다.
클라우버는 그의 구성을 다음과 같이 설명한다. "정수는 1을 꼭대기로 하는 삼각형 형태로 배열되고, 두 번째 줄은 2에서 4까지의 숫자를, 세 번째 줄은 5에서 9까지의 숫자를 포함하며, 이러한 방식으로 계속된다. 소수를 표시하면 특정 수직선 및 대각선에 집중되어 있으며, 그 중 소수 집중도가 높은 소위 오일러 시퀀스가 발견된다."
숫자 나선에서의 대각선, 수평선, 수직선은 다음 형태의 다항식에 해당한다.
여기서 b와 c는 정수 상수이다. b가 짝수일 때, 선은 대각선이고, c 값에 따라 모든 숫자가 홀수이거나 모든 숫자가 짝수이다. 따라서 2를 제외한 모든 소수가 울람 나선의 다른 대각선에 놓이는 것은 놀라운 일이 아니다. formula_2과 같은 일부 다항식은 홀수 값만 생성하지만, 정수 formula_3로 인수분해되므로, 인수 중 하나가 1이 되는 경우를 제외하고는 소수가 될 수 없다. 이러한 예는 소수가 없거나 거의 없는 대각선에 해당한다.
나머지 홀수 대각선 중 일부가 다른 대각선보다 소수의 밀도가 더 높은 이유에 대한 통찰력을 얻기 위해 formula_4과 formula_5를 고려해보자. n이 0, 1, 2, ...와 같이 연속적인 값을 취할 때 3으로 나눈 나머지를 계산한다. 이 다항식 중 첫 번째 다항식의 경우 나머지 시퀀스는 1, 2, 2, 1, 2, 2, ...이고, 두 번째 다항식의 경우 2, 0, 0, 2, 0, 0, ...이다. 이는 두 번째 다항식이 취하는 값의 시퀀스에서 세 개 중 두 개가 3으로 나누어 떨어지므로 확실히 소수가 아니며, 첫 번째 다항식이 취하는 값의 시퀀스에서는 어떤 것도 3으로 나누어 떨어지지 않는다는 것을 의미한다. 따라서 첫 번째 다항식이 두 번째 다항식보다 소수의 밀도가 더 높은 값을 생성할 것이라고 가정하는 것이 타당해 보인다. 적어도 이 관찰은 해당 대각선이 소수로 동일하게 밀집되어 있을 것이라고 믿을 이유를 거의 제공하지 않는다. 물론 3 이외의 소수로 나누어 떨어지는지 여부를 고려해야 한다. 5로 나누어 떨어지는지 여부도 함께 조사하면, 첫 번째 다항식의 경우 15로 나눈 나머지는 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 패턴으로 반복되고, 두 번째 다항식의 경우 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 패턴으로 반복된다. 이는 두 번째 시퀀스에서 15개의 값 중 세 개만이 잠재적으로 소수(3으로도 5로도 나누어 떨어지지 않음)인 반면, 첫 번째 시퀀스에서 15개의 값 중 12개가 잠재적으로 소수(세 개만 5로 나누어 떨어지고 어떤 것도 3으로 나누어 떨어지지 않음)임을 의미한다.
이차 수열의 소수에 대한 엄밀하게 증명된 결과는 거의 없지만, 위와 같은 고려 사항들은 다음 섹션에 설명된 바와 같이 그러한 수열의 소수의 점근적 밀도에 대한 타당한 추측을 제시한다.
하디-리틀우드의 추측 F.
골트바흐 추측에 대한 1923년 논문에서 하디와 리틀우드는 일련의 추측을 제시했는데, 그 중 하나가 사실이라면 울람 나선의 놀라운 특징 중 일부를 설명할 수 있을 것이다. 하디와 리틀우드가 "추측 F"라고 부른 이 추측은 베이트먼-혼 추측의 특별한 경우이며, ax2 + bx + c 형태의 소수 개수에 대한 점근적 공식을 주장한다. 울람 나선의 중앙 영역에서 수평 및 수직과 45° 각도를 이루며 방사되는 광선은 b가 짝수인 4x2 + bx + c 형태의 숫자에 해당한다. 수평 및 수직 광선은 b가 홀수인 동일한 형태의 숫자에 해당한다. 추측 F는 그러한 광선을 따라 소수의 밀도를 추정하는 데 사용할 수 있는 공식을 제공한다. 이는 다른 광선을 따라 밀도에 상당한 변동이 있을 것임을 시사한다. 특히, 밀도는 다항식의 판별식 b2 − 16c에 매우 민감하다.
추측 F는 a, b, c가 정수이고 a가 양수인 ax2 + bx + c 형태의 다항식에 관한 것이다. 계수가 1보다 큰 공통 인수를 포함하거나 완전제곱인 판별식 Δ = b2 − 4ac를 가지면, 다항식은 인수분해되어 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 합성수를 생성한다 (인수 중 하나가 1과 같은 x의 한두 값은 제외). 더욱이, a + b와 c가 모두 짝수이면, 다항식은 짝수 값만 생성하므로, 2를 제외하고는 합성수이다. 하디와 리틀우드는 이러한 상황을 제외하고는 ax2 + bx + c가 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 무한히 자주 소수 값을 취한다고 주장한다. 이 진술은 이전 부냐콥스키 추측의 특별한 경우이며 여전히 미해결로 남아 있다. 하디와 리틀우드는 또한 점근적으로, ax2 + bx + c 형태의 소수 중 n보다 작은 P(n)의 개수는 다음과 같이 주어진다고 주장한다.
여기서 A는 a, b, c에 의존하지만 n에는 의존하지 않는다. 소수 정리에 의해, A를 1로 설정한 이 공식은 ax2 + bx + c 형태의 숫자 집합과 같은 밀도를 가진 임의의 숫자 집합에서 예상되는 n 미만의 소수의 점근적 개수이다. 그러나 A는 1보다 크거나 작은 값을 취할 수 있으므로, 추측에 따르면 일부 다항식은 특히 소수가 많고, 다른 다항식은 특히 소수가 적을 것이다. 이례적으로 소수가 많은 다항식은 울람 나선에 눈에 보이는 선을 형성하는 4x2 − 2x + 41이다. 이 다항식의 상수 A는 약 6.6으로, 추측에 따르면 이 다항식이 생성하는 숫자는 비슷한 크기의 무작위 숫자보다 소수일 확률이 거의 7배 높다는 것을 의미한다. 이 특정 다항식은 x를 2x로 대체하거나, 동등하게 x를 짝수로 제한함으로써 오일러의 소수 생성 다항식 x2 − x + 41과 관련되어 있다. 상수 A는 모든 소수에 대한 곱으로 주어진다.
여기서 formula_8는 이차 다항식 모듈로 p의 영점 개수이며, 따라서 0, 1, 2 중 하나의 값을 취한다. 하디와 리틀우드는 곱을 세 가지 인수로 나눈다.
여기서 소수 2에 해당하는 인자 ε은 a + b가 홀수이면 1이고, a + b가 짝수이면 2이다. 첫 번째 곱 인덱스 p는 a와 b를 모두 나누는 유한한 홀수 소수들을 따라간다. 이 소수들에 대해 formula_10인데, p가 c를 나눌 수 없기 때문이다. 두 번째 곱 인덱스 formula_11는 a를 나누지 않는 무한히 많은 홀수 소수들을 따라간다. 이 소수들에 대해 formula_8는 판별식이 모듈로 p에서 0인지, 0이 아닌 제곱수인지, 아니면 제곱수가 아닌지에 따라 1, 2, 0과 같다. 이것은 르장드르 기호 formula_13를 사용하여 설명된다. 소수 p가 a를 나누지만 b를 나누지 않을 때, 모듈로 p에는 하나의 근이 있다. 결과적으로, 그러한 소수들은 곱에 기여하지 않는다.
현재까지 알려진 가장 높은 값인 A ≈ 11.3을 가진 이차 다항식이 Jacobson과 Williams에 의해 발견되었다.
클라우버의 1932년 논문은 n번째 행이 (n  −  1)2 + 1부터 n2까지의 숫자를 포함하는 삼각형을 설명한다. 울람 나선에서와 같이, 이차 다항식은 직선에 놓이는 숫자를 생성한다. 수직선은 k2 − k + M 형태의 숫자에 해당한다. 소수 밀도가 높은 수직선과 대각선이 그림에서 분명히 보인다.
로버트 삭스는 1994년에 울람 나선의 변형을 고안했다. 삭스 나선에서는 음이 아닌 정수가 울람이 사용한 정사각형 나선 대신 아르키메데스 와선에 그려지며, 각 완전 회전마다 하나의 정사각수가 나타나도록 간격을 둔다. (울람 나선에서는 각 회전마다 두 개의 제곱수가 나타난다.) 오일러의 소수 생성 다항식인 x2 − x + 41은 이제 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 단일 곡선으로 나타난다. 이 곡선은 그림의 왼쪽 절반에서 수평선에 점근적으로 접근한다. (울람 나선에서 오일러의 다항식은 두 개의 대각선을 형성하는데, 하나는 시퀀스에서 x의 짝수 값에 해당하는 그림의 위쪽 절반에, 다른 하나는 시퀀스에서 x의 홀수 값에 해당하는 그림의 아래쪽 절반에 있다.)
합성수도 울람 나선에 포함될 때 추가적인 구조가 나타날 수 있다. 숫자 1은 자신이라는 단 하나의 인수를 갖는다. 각 소수는 자신과 1이라는 두 인수를 갖는다. 합성수는 적어도 세 개 이상의 다른 인수로 나누어 떨어진다. 정수를 나타내는 점의 크기를 인수의 개수로 나타내고 소수를 빨간색으로, 합성수를 파란색으로 칠하면 그림과 같은 결과가 나온다.
평면의 다른 테셀레이션을 따르는 나선도 소수가 풍부한 선을 생성한다. 예를 들어 육각형 나선이 있다.
콜린 V. 치엔(Colleen V. Chien)은 미국의 법학자이자 캘리포니아 대학교 버클리 로스쿨 교수로서 지식재산권과 특허 정책, 데이터 기반 형사사법 연구, 법률 실무의 인공지능 활용을 주제로 연구한다. 2013년부터 2015년까지 백악관 과학기술정책실(OSTP)에서 지식재산·혁신 분야 수석보좌관으로 근무하며 개방데이터, 교육 기술, 녹색기술 이전 등 연방 정책을 기획·집행하였다. 2020년에는 조 바이든 대통령직 인수위 상무부 검토팀에 참여하였고, 2021년 상무부 법률고문실 선임고문을 맡았다.
치엔은 코네티컷주 하트퍼드에서 태어났으며 스탠퍼드 대학교에서 공학 학사와 과학·기술·사회 학사를 1996년에, 버클리 로스쿨에서 JD를 2002년에 취득하였다. 1997년 필리핀 탐사저널리즘센터(Philippine Center for Investigative Journalism)에서 풀브라이트 장학생으로 탐사기자 활동을 하였다. 학부 및 로스쿨 재학 시기부터 과학기술과 법의 접점을 연구 주제로 삼았다.
치엔의 연구는 하이테크 산업의 특허 생태, 비실시 주체의 소송 전략, 특허 품질, 공익 고려, 그리고 제도 실험의 법적 타당성과 효과측정을 중심으로 전개된다. 2010년 논문에서 PAE(특허권 행사 주체)라는 용어를 사용하며 분석틀을 제시했고, 2012년에는 ITC 구제와 공익의 조화를 공동연구로 제시하였다.
특허정책과 산업 생태.
치엔은 하이테크 기업의 "무기 경쟁"과 특허 거래 "시장" 패러다임이 공존하는 복합 생태를 제시하고, 정책·사법적 수단이 공익과 혁신을 함께 증진하도록 설계되어야 함을 주장한다. 또한 정책파일럿의 합법성과 실효성을 강조하며 특허품질 제고를 위한 실험·평가를 제안하였다.
스타트업과 특허권 행사.
치엔은 스타트업과 벤처생태계에 대한 특허권 행사(특히 PAE)의 영향을 실증적으로 조사하였다.
행정 참여와 개방정부.
OSTP 근무 동안 치엔은 '오픈 데이터 라이선싱 잼' 공동개최, 교육 성과 기반 투자와 기술 활용, 녹색기술 이전 촉진, 미·중 혁신대화 등 과제를 수행하였다. 또한 2012년 FTC·DOJ PAE 워크숍에서 도입 강연을 맡아 정책 논의의 기초 자료를 제공하였다.
데이터 기반 형사사법 연구와 Paper Prisons.
치엔은 형사기록 말소·시민권 회복 등 '두 번째 기회' 정책의 적용 격차를 'Second Chance Gap'으로 개념화하고, Paper Prisons Initiative를 설립해 주·연방 단위의 격차를 계량·시각화하였다.
인공지능과 법조 실무.
치엔이 이끈 버클리 로스쿨 연구는 법률구조 분야에서 생성형 AI가 생산성과 접근성을 높일 잠재력을 보이되, 정확성·개인정보 등 거버넌스 요건이 병행되어야 함을 보였다. 2025년에는 법률사무 적용에서 회수 가능한 근거(RAG)와 인적 검증의 결합이 중요하다는 정책적 제언을 제시하였다.
초등대수학에서 이차 방정식의 근의 공식(Quadratic formula)은 이차 방정식의 해를 나타내는 닫힌 형식 표현이다. 완전제곱식 만들기와 같은 다른 이차 방정식 해결 방법들도 동일한 해를 도출한다.
미지수 와 계수 , , 가 알려진 실수 또는 복소수이며 인 일반적인 이차 방정식 이 주어질 때, 이 방정식을 만족하는 근 또는 영점이라고 불리는 값은 다음 이차 방정식의 근의 공식을 사용하여 찾을 수 있다.
여기서 플러스마이너스 기호 ""는 방정식이 두 개의 근을 가짐을 나타낸다. 따로 쓰면 다음과 같다.
양 는 이차 방정식의 판별식으로 알려져 있다. 계수 , , 가 실수일 때, 이면 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지며; 이면 방정식은 하나의 중근을 가지며; 이면 방정식은 실근을 가지지 않고 서로 켤레 복소수인 두 개의 서로 다른 복소근을 가진다.
기하학적으로, 근은 이차 함수 , 즉 포물선의 그래프가 -축과 교차하는 값을 나타낸다. 즉, 그래프의 -절편이다. 이차 방정식의 근의 공식은 포물선의 대칭축을 식별하는 데도 사용될 수 있다.
완전제곱식 만들기를 이용한 유도.
이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 표준적인 방법은 일반적인 이차 방정식 에 완전제곱식 만들기 방법을 적용하는 것이다. 아이디어는 방정식을 계수로 표현된 일부 식 와 에 대해 형태로 변형하고, 양변에 제곱근을 취한 다음, 를 분리하는 것이다.
먼저, 가 0이 아니므로 방정식의 양변을 이차 계수 로 나눈다. 그런 다음, 상수항 를 빼서 우변으로 분리한다.
이제 좌변은 형태이므로, 상수 를 더하여 완전제곱식 를 만들 수 있다. 이 예에서는 양변에 를 더하여 좌변을 인수분해한다(그림 참조).
이제 좌변이 완전제곱식이므로 양변에 쉽게 제곱근을 취할 수 있다.
마지막으로, 양변에서 를 빼서 를 분리하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.
동등한 공식.
이차 방정식의 근의 공식은 다양한 대체 표현식을 사용하여 동등하게 작성될 수 있다. 예를 들어
이것은 이차 방정식을 먼저 로 나누어 를 얻은 다음, 새로운 계수들을 표준 이차 방정식의 근의 공식에 대입하여 유도할 수 있다. 이 변형은 중간에 계산된 양 를 재사용할 수 있게 하여 관련된 산술 계산을 약간 줄일 수 있다.
분모에 제곱근이 있는 경우.
줄리오 파냐노가 처음 언급한 잘 알려지지 않은 이차 공식은 분모에 제곱근이 있는 방정식을 통해 동일한 근을 설명한다 (이라고 가정).
여기서 마이너스-플러스 기호 ""는 표준 이차 방정식의 근의 공식과 같은 순서로 이차 방정식의 두 근이 다음과 같음을 나타낸다.
이 변형은 농담 삼아 "시타르다우크(citardauq)" 공식("quadratic"을 거꾸로 쓴 것)이라고 불린다.
가 또는 와 반대 부호를 가질 때, 뺄셈은 파국적 상쇄를 일으켜 수치 계산에서 정확도가 떨어질 수 있다. 의 부호에 따라 분자에 제곱근이 있는 이차 공식과 분모에 제곱근이 있는 이차 공식 중 하나를 선택하면 이 문제를 피할 수 있다. 아래 을 참조하라.
이 이차 방정식의 근의 공식 버전은 일반 함수의 근을 찾는 뮐러 방법에서 사용된다. 이는 비에트 정리 중 하나인 항등식 에서 표준 공식으로부터 유도될 수 있다. 또는, 방정식 의 각 변을 으로 나누어 을 얻은 다음, 표준 공식을 적용하여 두 근 을 찾고, 그 역수를 취하여 원래 방정식의 근 를 찾을 수 있다.
이차 방정식을 풀기 위한 어떤 일반적인 방법이나 알고리즘이라도 기호 계수를 가진 방정식에 적용하여 이차 방정식의 근의 공식과 동등한 어떤 닫힌 형식 표현을 유도하는 데 사용될 수 있다. 대안적인 방법들은 때로는 완전제곱식 만들기보다 간단하며, 수학의 다른 분야에 대한 흥미로운 통찰력을 제공할 수도 있다.
슈리다라의 방법에 의한 완전제곱식 만들기.
을 분리하기 위해 로 나누는 대신, 를 곱하여 를 만들면 분수 없이 완전제곱식을 만들 수 있어 약간 더 간단할 수 있다. 이 경우 유도 단계는 다음과 같다.
이 방법을 기호 계수를 가진 일반적인 이차 방정식에 적용하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.
완전제곱식을 만드는 이 방법은 고대부터 전해져 왔으며, 8세기에서 9세기 인도의 수학자 슈리다라에게 알려져 있었다. 완전제곱식을 만드는 현대 표준 방법과 비교하여, 이 대체 방법은 마지막 단계까지 분수를 피할 수 있으므로 3단계 이후에 우변에서 공통 분모를 얻기 위한 재배열이 필요하지 않다.
대입을 통해.
또 다른 유도는 변수 변환을 사용하여 일차항을 제거한다. 그러면 방정식은 새로운 변수 와 일부 상수 표현 의 관점에서 형태를 취하며, 그 근은 이다.
를 에 대입하고, 곱을 전개하고 동류항을 결합한 다음, 에 대해 풀면 다음과 같다.
마지막으로, 양변에 제곱근을 취하고 결과적인 에 대한 표현을 다시 에 대입하면 친숙한 이차 방정식의 근의 공식이 나타난다.
대수적 항등식을 사용하여.
다음 방법은 많은 역사적 수학자들이 사용했다.
이차 방정식 의 근을 와 라고 하자. 유도는 (어떤 두 복소수에 대해서도 유효한) 차이의 제곱에 대한 항등식에서 시작하며, 양변에 제곱근을 취할 수 있다.
계수 이므로, 이차 방정식을 로 나누어 동일한 근을 가진 일계수 다항식을 얻을 수 있다. 즉,
이는 합 과 곱 을 의미한다. 따라서 항등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
와 의 각 두 가지 가능성은 순서가 반대인 두 개의 동일한 근이므로, 이를 표준 이차 방정식으로 결합할 수 있다.
라그랑주 분해식을 사용하여.
이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 또 다른 방법은 갈루아 이론의 초기 부분인 라그랑주 분해식 방법을 이용하는 것이다.
이 방법은 삼차 방정식과 사차 방정식의 근을 제공하도록 일반화될 수 있으며, 갈루아 이론으로 이어진다. 갈루아 이론은 근의 대칭군인 갈루아 군의 관점에서 모든 차수의 대수 방정식을 이해하고 풀 수 있게 한다.
이 접근 방식은 원래 방정식을 대수적으로 재배열하기보다는 근 자체에 초점을 맞춘다. 일계수 이차 다항식 가 주어졌을 때, 와 가 두 근이라고 가정하자. 그러면 다항식은 다음과 같이 인수분해된다.
이는 와 를 의미한다.
곱셈과 덧셈은 모두 교환적이므로, 근 와 를 교환해도 계수 와 는 변하지 않는다. 와 는 와 에 대한 대칭 다항식이라고 말할 수 있다. 특히, 이들은 기본 대칭 다항식이며 – 와 에 대한 모든 대칭 다항식은 와 로 표현될 수 있다.
다항식을 분석하고 해결하기 위한 갈루아 이론 접근 방식은 다항식의 계수가 근의 대칭 함수로 주어졌을 때, 대칭성을 "깨뜨려서" 근을 복구할 수 있는지 묻는 것이다. 이 접근 방식을 사용하면 n차 다항식을 푸는 것은 n개의 항을 재배열하는(순열) 방식과 관련이 있으며, 이를 n개 문자에 대한 대칭군이라고 하며 으로 표시한다. 이차 다항식의 경우, 두 근을 재배열하는 유일한 방법은 그대로 두거나 바꾸는 것이므로, 이차 다항식을 푸는 것은 간단하다.
근 와 를 찾기 위해, 그들의 합과 차이를 고려한다.
이들은 다항식의 라그랑주 분해식이라고 불리며, 이로부터 근은 다음과 같이 복구될 수 있다.
는 와 에 대한 대칭 함수이므로, 위에서 설명한 대로 와 로 표현될 수 있다. 특히, 이다. 그러나 는 대칭이 아니다. 왜냐하면 와 를 교환하면 가산 역원 가 나오기 때문이다. 따라서 는 대칭 다항식으로 표현될 수 없다. 그러나 그 제곱 은 근에 대해 대칭이며, 와 로 표현될 수 있다. 특히 이므로, 이는 를 의미한다. 양의 근을 취하면 대칭성이 "깨져서" 다음과 같은 결과가 나온다.
여기서 근 와 는 다음과 같이 복구된다.
이는 일계수 다항식에 대한 이차 방정식의 근의 공식이다.
, 를 대입하면 임의의 이차 다항식에 대한 일반적인 표현식이 나온다. 분해식은 다음과 같이 인식될 수 있다.
각각 일계수 다항식의 꼭짓점과 판별식이다.
유사하지만 더 복잡한 방법이 삼차 방정식에도 적용된다. 삼차 방정식은 세 개의 분해식과 와 를 연결하는 이차 방정식("분해 다항식")을 가지며, 이는 이차 방정식을 통해 풀 수 있다. 마찬가지로 사차 방정식 (4차)의 경우 분해 다항식이 삼차 방정식이 되고, 이를 다시 풀 수 있다. 오차 방정식에 동일한 방법을 적용하면 24차 다항식이 나오는데, 이는 문제를 단순화하지 않으며, 사실 오차 방정식의 해는 일반적으로 근호만을 사용하여 표현할 수 없다.
수치 계산.
이차 방정식의 근의 공식은 실수의 이상적인 산술을 사용하여 수행될 때 정확히 옳지만, 부동소수점 이진 산술과 같이 근사적인 산술을 사용할 경우(예: 고정된 자릿수로 손으로 계산하거나 컴퓨터에서 사용 가능한 부동소수점 이진 산술), 구현에 큰 주의를 기울이지 않으면 수 표현의 한계로 인해 상당히 부정확한 결과가 발생할 수 있다. 구체적인 어려움으로는 일 때 합 를 계산할 때 파국적 상쇄가 발생할 수 있다는 점, 일 때 판별식 자체를 계산할 때 파국적 계산이 발생할 수 있다는 점, , , 가 0 또는 무한대로 표현될 때 공식이 퇴화할 수 있다는 점, 그리고 근이 정확하게 표현될 수 있는 경우에도 매우 크거나 작은 수를 곱하거나 나눌 때 오버플로 또는 언더플로가 발생할 수 있다는 점이 있다.
파국적 상쇄는 대략적으로 같은 두 숫자를 뺄 때 발생한다. 각 숫자가 독립적으로 특정 자릿수의 정밀도로 표현될 수 있지만, 각 숫자의 동일한 선행 자릿수가 상쇄되어 상대 정밀도가 낮은 차이가 발생한다. 일 때, 를 평가하면 파국적 상쇄가 발생하며, 일 때 를 평가할 때도 마찬가지이다. 표준 이차 방정식의 근의 공식을 사용할 때, 두 근 중 하나를 계산하는 것은 항상 덧셈을 포함하여 중간 계산의 작동 정밀도를 유지하는 반면, 다른 근을 계산하는 것은 뺄셈을 포함하여 이를 손상시킨다. 따라서 표준 이차 방정식의 근의 공식을 순진하게 따르면 예상보다 낮은 상대 정밀도로 하나의 결과가 나오는 경우가 많다. 불행히도, 초급 대수학 교과서에서는 이 문제를 다루지 않는 경우가 많은데, 이는 학생들이 초급 화학과 같은 다른 학교 과목에서 부정확한 결과를 얻게 하기 때문이다.
예를 들어, 주머니 계산기를 사용하여 방정식 을 풀려고 할 때, 이차 공식 의 결과는 대략 다음과 같이 계산될 수 있다.
계산기가 각 단계에서 10자리의 정밀도를 사용했음에도 불구하고, 대략적으로 같은 두 숫자의 차이를 계산한 결과 에 대해 단 4개의 정확한 자릿수만 얻어졌다.
정확한 결과를 얻는 한 가지 방법은 항등식 를 사용하는 것이다. 이 예에서 는 로 계산될 수 있으며, 이는 10자리에 대해 완전히 정확하다. 또 다른 거의 동등한 접근 방식은 분모에 제곱근이 있는 이차 방정식의 근의 공식 버전을 사용하여 근 중 하나를 계산하는 것이다(위의 참조).
이차 방정식을 푸는 실제 컴퓨터 구현에서는 일반적으로 의 부호에 따라 각 근에 사용할 공식을 선택한다.
이러한 방법들은 또는 를 계산할 때 부동소수점 지수의 가능한 오버플로 또는 언더플로를 방지하지 못하며, 이는 수치적으로 표현 가능한 근이 정확하게 계산되지 못하게 할 수 있다. 더 견고하지만 계산 비용이 많이 드는 전략은 대입 로 시작하여 이차 방정식을 다음으로 변환하는 것이다.
여기서 은 부호함수이다. 라고 하면, 이 방정식은 형태를 가지며, 한 해는 이고 다른 해는 이다. 원래 방정식의 근은 와 이다.
추가적인 복잡성을 통해 제곱근의 비용과 추가적인 반올림은 지수 오버플로를 여전히 피하면서 제곱근을 2의 거듭제곱으로 근사함으로써 피할 수 있다.
이차 방정식을 풀기 위한 가장 초기 방법은 기하학적인 것이었다. 바빌로니아 설형문자판에는 이차 방정식으로 환원될 수 있는 문제들이 포함되어 있다. 이집트 중왕국 (기원전 2050년 ~ 기원전 1650년)으로 거슬러 올라가는 이집트 베를린 파피루스에는 두 항 이차 방정식의 해가 포함되어 있다.
그리스 수학자 에우클레이데스 (기원전 300년경)는 그의 영향력 있는 수학 논문인 에우클레이데스의 원론 제2권에서 기하학적 방법을 사용하여 이차 방정식을 풀었다. 기원전 200년경 중국의 구장산술에 이차 방정식에 대한 규칙이 나타난다. 그리스 수학자 디오판토스 (기원후 250년경)는 그의 저서 아리스메티카에서 에우클레이데스의 기하적 대수학보다 더 대수학적으로 인식할 수 있는 방법으로 이차 방정식을 풀었다. 그의 해는 두 근이 모두 양수일 때도 하나의 근만을 제시한다.
인도의 수학자 브라마굽타는 그의 논문 브라마스푸타싯단타 (기원후 628년경)에 이차 방정식의 한 근을 찾는 일반적인 방법을 포함시켰는데, 당시의 방식으로 글로 쓰여져 있었다. 이차 방정식 에 대한 그의 해는 다음과 같았다: "제곱 [계수]의 네 배로 곱한 절대수에 중간항 [계수]의 제곱을 더한다; 같은 것의 제곱근에서 중간항 [계수]을 뺀 다음 제곱 [계수]의 두 배로 나눈 것이 그 값이다."
현대 표기법으로 이는 로 쓸 수 있다. 인도의 수학자 슈리다라 (8~9세기)는 바스카라 2세가 인용한 현재는 없어진 대수학 저서에서 이차 방정식을 푸는 유사한 알고리즘을 제시했다. 현대의 이차 방정식의 근의 공식은 인도에서는 스리다라차리야의 공식(Sridharacharya's formula), 브라질에서는 바스카라의 공식(Bhaskara's formula)이라고 불리기도 한다.
9세기 페르시아 수학자 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미는 이차 방정식을 대수적으로 풀었다. 모든 경우를 다루는 이차 방정식의 근의 공식은 시몬 스테빈이 1594년에 처음 얻었다. 1637년에 르네 데카르트는 오늘날 우리가 아는 형태의 이차 방정식의 근의 공식의 특수 사례를 담은 라 지오메트리를 출판했다.
좌표 기하학적으로, 축에 정렬된 포물선은 이차 다항식 의 그래프인 곡선이며, 여기서 , , 는 인 실수 값 상수 계수이다.
기하학적으로 이차 방정식의 근의 공식은 포물선이 -축과 교차하는 그래프 상의 점 을 정의한다. 또한, 두 항으로 분리될 수 있다.
첫 번째 항은 대칭축인 선 를 설명한다. 두 번째 항인 는 근이 대칭축에서 떨어진 거리를 제공한다.
포물선의 꼭짓점이 -축 위에 있으면, 해당하는 방정식은 대칭선에 하나의 중근을 가지며, 이 거리 항은 0이 된다. 대수적으로는 판별식 이다.
판별식이 양수이면 꼭짓점은 -축 위에 없지만 포물선은 -축 방향으로 열려 두 번 교차하므로 해당하는 방정식은 두 개의 실근을 가진다. 판별식이 음수이면 포물선은 반대 방향으로 열려 -축과 전혀 교차하지 않으며, 방정식은 실근을 가지지 않는다. 이 경우 두 개의 복소수 근은 서로의 켤레 복소수이며, 그 실수는 대칭축의 값이다.
상수 , , 또는 가 무차원이 아니면, 와 의 양은 같은 단위를 가져야 한다. 왜냐하면 항 와 의 단위가 일치하기 때문이다. 같은 논리로, 계수 는 의 단위와 관계없이 와 같은 단위를 가져야 한다. 이는 물리량의 이차 표현이 올바르게 설정되었는지 확인하는 강력한 도구가 될 수 있다.
산드라 바흐터(Sandra Wachter)는 오스트리아 출신의 법학자이자 옥스퍼드 대학교 옥스퍼드 인터넷 연구소에서 '기술과 규제' 교수로 활동하며, 하소 플라트너 연구소(Hasso Plattner Institute)의 훔볼트(인공지능) 교수로도 재직하는 인공지능·데이터 윤리·알고리즘 규제 전문가이다. 그녀는 '합리적 추론권'과 '반사실적 설명'을 통해 자동화된 의사결정의 설명가능성과 책임성을 높이는 규범·절차를 제시한 연구로 알려져 있다.
바흐터는 오스트리아에서 성장하여 빈 대학교에서 법학을 공부하였고, 2009년 LL.M.을 마친 뒤 오스트리아 보건부 법률자문으로 근무하였다. 이후 기술·지식재산·민주주의를 주제로 박사학위를 취득하고 영국으로 건너가 앨런 튜링 연구소 연구 펠로를 거쳐 옥스퍼드 인터넷 연구소에 합류하였다. 2024년 알렉산더 폰 훔볼트 재단의 인공지능 분야 훔볼트 교수로 선정되었고, 2025년 베를린에서 공식 시상식이 열렸다.
학문적 관점과 연구 방법.
바흐터의 연구는 데이터 보호, 설명가능한 AI, 프로파일링과 추론, 차별금지와 공정성 측정 등 규범·법학·기술을 결합한 문제에 초점을 둔다. 그는 일반 데이터 보호 규정(GDPR)의 문언과 실제 적용 사이의 간극을 분석하여, '설명권'의 법적 지위와 한계를 엄밀히 해석하고 실무적 대안을 제시하였다.
'합리적 추론권' 제안.
바흐터와 브렌트 미텔슈타트는 개인에 대한 데이터 기반 '추론' 자체를 통제·다툴 수 있어야 한다는 '합리적 추론권'을 제안하여, 데이터 평가 단계의 권리 보강을 주장하였다. 이 구상은 기업의 마케팅·신용평가·채용 알고리즘이 생성한 특성 추정·행동 예측 등에 대해 당사자가 설명과 시정을 요구할 수 있도록 법정책의 초점을 '입력'에서 '평가'로 이동시키는 틀을 제공한다.
반사실적 설명과 설명가능성.
바흐터·미텔슈타트·러셀은 '반사실적 설명'을 제시하여 "무엇이 달랐다면 결과가 달라졌는가"를 알려줌으로써 상업상 비밀을 노출하지 않고도 의미있는 설명을 제공할 수 있음을 보였다. 해당 접근은 구글의 'What-If Tool'(TensorBoard) 등에서 대화형 점검 기능과 함께 구현되어 모델 판별 경계와 변수 민감도를 직관적으로 탐색할 수 있게 하였다. 과학저널 '사이언스'의 질의응답에서도 그는 "설명요구가 영업비밀을 침해하지 않도록 반사실적 정보로 균형을 잡을 수 있다"고 논증하였다.
알고리즘 공정성과 CDD.
바흐터·미텔슈타트·러셀은 유럽 차별금지법이 요구하는 '맥락의존적' 판단과 통계적 공정성 지표 간 괴리를 지적하고, '조건부 인구집단 격차'(CDD)를 표준 입증틀로 제안하였다. 이 제안은 튜링연구소 연차보고·아마존 사이언스 등의 기술 문서에서 바이어스 측정의 실무 기준으로 인용되었다.
데이터 보호와 규제 관점.
그는 GDPR의 통지·접근 중심 설계가 데이터 '평가' 단계의 통제에는 미흡하다고 지적하고, 평가 단계의 설명·이의제기 수단을 법·정책으로 보완할 것을 제시하였다. 또한 플랫폼 규제·프로파일링·감정·안면인식의 위험과 한계를 연결해 설명가능성·감사가능성을 제도화할 필요성을 강조하였다.
정책 자문 및 제도 참여.
바흐터는 정부·기업·국제기구 자문에 참여했고, EU '자율주행 윤리 가이드라인' 전문가 그룹(EC High-Level Expert Group on Ethics of Connected and Automated Vehicles) 구성원으로 활동했다.
수학에서 파이트-톰프슨 정리(Feit–Thompson theorem) 또는 홀수 차수 정리(odd order theorem)는 홀수 차수의 모든 유한 군이 가해군이라는 것을 나타낸다. 이 정리는 1960년대 초 월터 파이트와 존 그리그스 톰프슨이 증명했다.
20세기 초, 윌리엄 번사이드는 모든 비가환 유한 단순군이 짝수 차수를 가진다고 추측했다. 리하르트 브라우어는 브라우어-파울러 정리가 주어진 대합의 중심화 부분군을 가진 유한 단순군이 유한한 수임을 보여주기 때문에 단순군의 대합의 중심화 부분군을 유한 단순군 분류의 기초로 사용할 것을 제안했다. 홀수 차수의 군은 대합을 가지지 않으므로, 브라우어의 프로그램을 수행하기 위해서는 비순환 유한 단순군이 결코 홀수 차수를 가지지 않는다는 것을 먼저 보여줄 필요가 있다. 이것은 홀수 차수 군이 가해군임을 보여주는 것과 동등하며, 이는 파이트와 톰프슨이 증명한 내용이다.
번사이드 추측에 대한 공격은 스즈키 미치오가 시작했는데, 그는 CA 군을 연구했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Abelian인 군이다. 그는 선구적인 논문에서 홀수 차수의 모든 CA 군이 가해군임을 보여주었다. (그는 나중에 모든 단순 CA 군을 분류했고, 더 일반적으로는 모든 대합의 중심화 부분군이 정규 2-실로우 부분군을 가지는 모든 단순군을 분류했으며, 그 과정에서 간과되었던 리 군의 형태의 단순군족(현재는 스즈키 군이라고 불린다)을 발견했다.)
파이트, 톰프슨, 마셜 홀 (수학자)는 스즈키의 작업을 CN 군으로 확장했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Nilpotent인 군이다. 그들은 홀수 차수의 모든 CN 군이 가해군임을 보여주었다. 그들의 증명은 스즈키의 증명과 유사하다. 이 증명은 당시 군론 증명으로서는 매우 길다고 여겨졌던 약 17페이지 분량이었다.
파이트-톰프슨 정리는 이 과정의 다음 단계로 볼 수 있다. 그들은 모든 고유 부분군이 가해군인 홀수 차수의 비순환 단순군이 없음을 보여준다. 이것은 홀수 차수의 모든 유한군이 가해군임을 증명하는데, 최소 반례는 모든 고유 부분군이 가해군인 단순군이어야 하기 때문이다. 비록 증명은 CA 정리 및 CN 정리와 동일한 일반적인 개요를 따르지만, 세부 사항은 훨씬 더 복잡하다. 최종 논문은 255페이지 길이었고 퍼시픽 수학 저널 13권 3호를 완전히 채웠다.
증명의 중요성.
파이트-톰프슨 정리는 모든 비아벨 단순군이 대합을 가지기 때문에 대합의 중심화 부분군을 이용한 유한 단순군의 분류가 가능할 수 있음을 보여주었다. 그들이 증명에서 도입한 많은 기법들, 특히 국소 분석의 개념은 분류에 사용되는 도구로 더욱 발전되었다. 아마도 증명의 가장 혁명적인 측면은 그 길이였을 것이다. 파이트-톰프슨 논문 이전에는 군론에서 몇 페이지를 넘는 논증은 거의 없었으며 대부분 하루 만에 읽을 수 있었다. 군 이론가들이 그러한 긴 논증이 효과를 볼 수 있다는 것을 깨닫자, 수백 페이지에 달하는 일련의 논문들이 등장하기 시작했다. 이들 중 일부는 파이트-톰프슨 논문마저도 왜소하게 만들었다. 마이클 애슈바허와 스티븐 D. 스미스의 준가소 군에 대한 논문은 1,221페이지 길이었다.
증명의 개정.
많은 수학자들이 원래의 파이트-톰프슨 증명의 일부를 단순화했다. 그러나 이 모든 개선점들은 어떤 의미에서는 국소적이다. 논증의 전체 구조는 여전히 동일하지만, 논증의 일부 세부 사항들이 단순화되었다.
단순화된 증명은 두 권의 책으로 출판되었다. 는 군 표현의 지표를 제외한 모든 것을 다루고, 는 군 표현의 지표를 다룬다. 이 개정된 증명은 여전히 매우 어렵고, 원래 증명보다 길지만, 더 여유로운 문체로 작성되었다.
조르주 공티에와 마이크로소프트 리서치 및 Inria의 동료 연구원들은 2012년 9월에 Coq 증명 보조기로 검증된 완전히 형식적인 증명을 발표했다.
파이트-톰프슨 정리를 직접 설명하는 대신, 스즈키의 CA 정리를 설명하고 CN 정리와 홀수 차수 정리에 필요한 일부 확장에 대해 언급하는 것이 더 쉽다. 증명은 세 단계로 나눌 수 있다. G를 CA 조건을 만족하는 비아벨 (최소) 홀수 차수 단순군이라고 하자.
1단계. 군 G의 구조에 대한 국소 분석.
CA의 경우 "a는 b와 가환한다"는 관계가 비항등 원소에 대한 동치 관계이므로 이 단계는 쉽다. 따라서 원소들은 동치류로 나뉘며, 각 동치류는 최대 아벨 부분군의 비항등 원소 집합이다. 이들 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군은 정확히 G의 최대 고유 부분군으로 판명된다. 이들 정규화 부분군은 프로베니우스 군이며, 그 군 표현의 지표 이론은 비교적 명확하며 지표 유도를 포함하는 조작에 적합하다. 또한 |G|의 소인수 집합은 |G|의 최대 아벨 부분군의 서로 다른 켤레류의 차수를 나누는 소수에 따라 분할된다. G의 최대 부분군(켤레까지)에 해당하는 특정 쉴로브 기저의 켤레류에 따라 |G|의 소인수를 분할하는 이러한 패턴은 파이트-홀-톰프슨 CN 정리의 증명과 파이트-톰프슨 홀수 차수 정리의 증명에서 모두 반복된다.
각 최대 부분군 M은 정규화 부분군이 M에 포함되는 특정 멱영 쉴로브 기저 Mσ를 가지며, 그 차수는 σ(M) 집합을 형성하는 특정 소수로 나누어진다. 두 최대 부분군은 σ(M) 집합이 같을 경우에만 켤레이고, 켤레가 아니면 σ(M) 집합은 서로소이다. G의 차수를 나누는 모든 소수는 어떤 σ(M) 집합에 나타난다. 따라서 G의 차수를 나누는 소수는 최대 부분군의 켤레류에 해당하는 동치류로 분할된다.
CN-경우의 증명은 CA-경우보다 이미 상당히 더 어렵다. 주요 추가 문제는 두 개의 다른 실로우 부분군이 항등원에서만 교차함을 증명하는 것이다. 홀수 차수 정리 증명의 이 부분은 100페이지가 넘는 저널 페이지를 차지한다. 핵심 단계는 톰프슨 유일성 정리의 증명으로, 정규 랭크가 3 이상인 아벨 부분군은 유일한 최대 부분군에 포함된다는 것을 나타내며, 이는 실로우 p-부분군이 정규 랭크가 최대 2인 소수 p에 대해 별도로 고려해야 함을 의미한다. 벤더는 나중에 벤더의 방법을 사용하여 유일성 정리 증명을 단순화했다. CN-경우에서 결과 최대 부분군 M이 여전히 프로베니우스 군인 반면, 홀수 차수 정리 증명에 나타나는 최대 부분군들은 더 이상 이러한 구조를 가질 필요가 없으며, 그 구조와 상호작용 분석은 유형 I, II, III, IV, V라고 불리는 5가지 가능한 유형의 최대 부분군을 생성한다.
유형 I 부분군은 "프로베니우스 유형"으로, 프로베니우스 군의 약간 일반화된 형태이며, 사실 증명의 후반부에는 프로베니우스 군임이 밝혀진다. 이들은 MF⋊U 구조를 가지는데, 여기서 MF는 가장 큰 정규 멱영 쉴로브 부분군이고, U는 동일한 지수를 가진 부분군 U0를 가지며 MF⋊U0는 커널 MF를 가진 프로베니우스 군이다. 유형 II, III, IV, V는 모두 3단계 군으로 MF⋊U⋊W1 구조를 가지며, 여기서 MF⋊U는 M의 유도 부분군이다. 유형 II, III, IV, V로의 세분화는 다음과 같이 부분군 U의 구조와 임베딩에 따라 달라진다.
최대 부분군의 두 클래스를 제외하고는 모두 유형 I이지만, 유형 II의 최대 부분군 클래스 하나와 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스 하나가 추가로 있을 수 있다.
2단계. G의 군 표현의 지표 이론.
CA 군 G의 최대 아벨 부분군 A의 정규화 부분군 H의 기약 지표 X가 커널에 A를 포함하지 않을 경우, X를 G의 지표 Y로 유도할 수 있으며, Y는 반드시 기약 지표일 필요는 없다. G의 알려진 구조 때문에 G의 항등 원소를 제외한 모든 원소에 대한 Y의 지표 값을 쉽게 찾을 수 있다. 이는 X1과 X2가 H의 두 기약 지표이고 Y1과 Y2가 해당하는 유도 지표일 때, Y1 - Y2가 완전히 결정되며, 그 노름을 계산하면 G의 두 기약 지표의 차이임을 보여준다 (이들은 때때로 H에 대한 G의 예외 지표로 알려져 있다). 계산 인수는 G의 모든 비자명 기약 지표가 G의 어떤 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군과 관련된 예외 지표로 정확히 한 번 나타남을 보여준다.