shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
디오스코리데스의 약물에 대하여(기원후 약 50년)에 묘사된 그의 암빅스(ambix)는 응축된 수은을 모으는 헬멧 모양의 뚜껑이다. 아테나이오스(기원후 약 225년)에게는 병이나 플라스크였다. 후대 화학자들에게는 조악한 증류 장치의 다양한 부분을 의미했다.
알렘빅 그림은 연금술사 클레오파트라(3세기), 파노폴리스의 조시모스(기원후 약 300년), 시네시우스(기원후 약 373년 ~ 약 414년)의 작품에 등장한다. 두 개의(디비코스) 또는 세 개의(트리비코스) 수신기를 가진 알렘빅이 있었다. 파노폴리스의 조시모스에 따르면, 알렘빅은 유대인 마리아가 발명했다.
안빅은 이븐 알-아왐의 (농업서)에 묘사되어 있는데, 그는 장미수가 어떻게 증류되는지 설명한다. 그 외에도 콰리즈미의 (과학의 열쇠)과 알-라지의 (비밀의 책)에 언급되어 있다. 게버의 저작으로 알려진 라틴어 번역본에는 몇 가지 삽화가 실려 있다.
유니코드 문자 집합은 알렘빅에 대한 세 가지 기호를 지정한다. 그림문자 ⚗ (), 그 이모지 변형 ⚗️ (), 그리고 고대 연금술 기호 🝪 ()이다.
알렘빅(Alembic)은 소니 픽처스 이미지워크스와 인더스트리얼 라이트 &amp; 매직이 개발한 컴퓨터 그래픽스 파일 형식이다. 이 형식은 2011년 SIGGRAPH에서 발표되었고, 시각 효과 및 애니메이션 전문가들 사이에서 업계 전반에 걸쳐 널리 채택되었다.
주요 초점은 동일한 샷이나 동일한 자산에서 작업하는 여러 그룹 간에 애니메이션된 지오메트리(모델)를 효율적으로 교환하는 것이다. 이들은 서로 다른 애플리케이션을 사용할 수도 있다. 종종 같은 회사나 다른 스튜디오의 다른 부서가 동일한 프로젝트를 작업한다. Alembic은 폴리곤 메시, 서브디비전 서피스, 매개변수 곡선, NURBS 패치 및 입자를 포함하여 업계에서 사용되는 일반적인 지오메트리 표현을 지원한다. Alembic은 또한 변환 계층 및 카메라를 지원한다. 최신 버전에는 재료 및 조명에 대한 초기 지원도 포함된다. Alembic은 특히 절차적 도구의 복잡한 종속성 그래프를 저장하는 데 초점을 맞추지 않고, 애니메이션 장면의 타임라인을 따라 여러 지점에서 모델 데이터를 샘플링하여 "구운" 결과를 저장한다.
양방향 탐색(Bidirectional search)은 유향 그래프에서 초기 꼭짓점에서 목표 꼭짓점까지의 최단 경로를 찾는 그래프 탐색 알고리즘이다. 이는 두 가지 동시 탐색을 실행하는데, 하나는 초기 상태에서 앞으로 진행하고 다른 하나는 목표에서 뒤로 진행하여 두 탐색이 만날 때 중지한다. 이 접근 방식의 이유는 많은 경우 더 빠르기 때문이다. 예를 들어, 두 탐색이 모두 분기 인자 b를 가진 트리를 확장하고 시작점에서 목표까지의 거리가 d인 탐색 문제 복잡성의 단순화된 모델에서, 두 탐색 각각은 O(bd/2)의 복잡도(큰 O 표기법 참조)를 가지며, 이 두 탐색 시간의 합은 시작점에서 목표까지의 단일 탐색에서 발생하는 O(bd) 복잡도보다 훨씬 적다.
앤드루 골드버그 외 다수는 데이크스트라 알고리즘의 양방향 버전에서 올바른 종료 조건을 설명했다.
A* 탐색과 마찬가지로 양방향 탐색은 목표까지의 남은 거리(정방향 트리) 또는 시작점부터의 거리(역방향 트리)에 대한 휴리스틱 추정치에 의해 안내될 수 있다.
이라 폴은 양방향 휴리스틱 탐색 알고리즘을 설계하고 구현한 최초의 인물이었다. 시작 노드와 목표 노드에서 발생하는 탐색 트리가 해법 공간의 중간에서 만나지 못했다. 드 샹포의 BHFFA 알고리즘이 이 결함을 해결했다.
허용 가능한 휴리스틱을 사용하는 단방향 A* 알고리즘에 의해 발견된 해법은 최단 경로 길이를 가지며, 드 샹포가 설명한 BHFFA2 양방향 휴리스틱 버전도 동일한 속성을 가진다. BHFFA2는 BHFFA보다 더 신중한 종료 조건을 가진다.
양방향 휴리스틱 탐색은 특정 상태 formula_1에서 다른 상태 formula_2로의 상태 공간 탐색이며, formula_1에서 formula_2로, 그리고 formula_2에서 formula_1로 동시에 탐색한다. 이는 formula_1에 적용하면 formula_2를 얻을 수 있는 유효한 연산자 목록을 반환한다.
역방향 탐색을 위해 연산자가 가역적이어야 하는 것처럼 보일 수 있지만, 주어진 노드 formula_9에 대해, 각 부모 노드에서 formula_9으로 가는 유효한 연산자가 존재하는 formula_9의 부모 노드 집합을 찾을 수 있는 것만 필요하다. 이는 종종 경로 찾기 영역에서 일방통행 도로에 비유된다. 즉, 양방향으로 이동할 수 있을 필요는 없지만, 도로의 끝에 서 있을 때 도로의 시작을 가능한 경로로 결정하는 것이 필요하다.
마찬가지로, 역방향 아크(즉, 양방향으로 가는 아크)가 있는 엣지의 경우 각 방향의 비용이 같을 필요는 없다. 역방향 탐색은 항상 역비용(즉, 정방향 아크의 비용)을 사용한다. 더 공식적으로, formula_9이 부모 formula_13를 가진 노드라면, formula_14는 formula_13에서 formula_9까지의 비용으로 정의된다.
양방향 휴리스틱 탐색 접근 방식.
양방향 알고리즘은 크게 세 가지 범주로 나눌 수 있다: 프론트 투 프론트, 프론트 투 백(또는 프론트 투 엔드), 그리고 경계 탐색. 이들은 휴리스틱을 계산하는 데 사용되는 함수가 다르다.
프론트 투 백.
프론트 투 백 알고리즘은 노드 formula_19의 formula_43 값을 formula_19과 반대 탐색 트리의 루트인 formula_25 또는 formula_26 사이의 휴리스틱 추정치를 사용하여 계산한다.
프론트 투 백은 세 가지 범주 중 가장 활발하게 연구되는 분야이다. 2004년 현재, 현재 가장 좋은 알고리즘(최소한 15-퍼즐 영역에서)은 BiMAX-BS*F 알고리즘이다.
프론트 투 프론트.
프론트 투 프론트 알고리즘은 노드 의 값을 과 formula_47의 일부 부분 집합 사이의 휴리스틱 추정치를 사용하여 계산한다. 전형적인 예는 BHFFA(양방향 휴리스틱 프론트 투 프론트 알고리즘)이다. 여기서 함수는 현재 노드와 반대쪽 프론트의 노드들 사이의 모든 휴리스틱 추정치 중 최소값으로 정의된다. 또는 공식적으로:
여기서 formula_49는 노드 과 사이의 거리에 대한 허용 가능한(즉, 과대평가하지 않는) 휴리스틱 추정치를 반환한다.
프론트 투 프론트는 지나치게 많은 계산을 요구한다는 단점이 있다. 노드 이 열린 목록에 들어갈 때마다 해당 formula_50 값을 계산해야 한다. 이는 위에서 설명한 대로 에서 반대쪽 집합의 모든 노드까지의 휴리스틱 추정치를 계산하는 것을 포함한다. 인 모든 영역에서 집합의 크기는 기하급수적으로 증가한다.
물리학에서 양자 상태 비소거 정리(No-deleting theorem)는 양자 정보 이론의 불가능 정리로, 일반적으로 임의의 양자 상태의 두 복사본이 주어졌을 때 그 복사본 중 하나를 삭제하는 것은 불가능하다는 것을 명시한다. 이것은 임의의 상태를 복사할 수 없다는 것을 명시하는 복제 불가능성 정리의 시간 역전된 쌍대이다. 이것은 아룬 K. 파티와 새뮤얼 L. 브라운스타인에 의해 증명되었다. 직관적으로, 이는 정보가 유니터리 진화 하에 보존되기 때문이다.
이 정리는 놀랍게 보이는데, 여러 면에서 양자 상태는 깨지기 쉽기 때문이다; 이 정리는 특정 경우에 양자 상태가 또한 견고하다는 것을 주장한다.
양자 상태 비소거 정리는 복제 불가능성 정리와 함께 범주론의 관점에서 양자 역학의 해석을 뒷받침하며, 특히 대거 대칭 단일 범주로 해석한다. 범주형 양자 역학으로 알려진 이 공식화는 결국 양자 역학에서 선형 논리로의 연결을 양자 정보 이론의 논리로서 가능하게 한다 (고전 논리가 데카르트 닫힌 범주에 기초를 둔 것과 정확히 유사하게).
알 수 없는 양자 상태의 두 복사본이 있다고 가정하자. 이 맥락에서 중요한 질문은 두 개의 동일한 복사본이 주어졌을 때 양자 역학적 연산을 사용하여 그 중 하나를 삭제하는 것이 가능한가 하는 것이다. 불가능한 것으로 밝혀졌다. 양자 상태 비소거 정리는 양자역학의 선형성의 결과이다. 복제 불가능성 정리와 마찬가지로 이것은 양자 컴퓨팅, 양자 정보 이론 및 일반적인 양자역학에 중요한 의미를 가진다.
양자 삭제 과정은 입력 포트에서 임의의 알 수 없는 양자 상태의 두 복사본을 받아들이고 원본과 함께 빈 상태를 출력한다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 설명될 수 있다.
여기서 formula_2는 유니터리 연산자, formula_3는 알 수 없는 양자 상태, formula_4는 빈 상태, formula_5는 삭제 기계의 초기 상태이고 formula_6는 기계의 최종 상태이다.
고전적인 비트는 복사하고 삭제할 수 있으며, 직교 상태의 큐비트도 마찬가지이다. 예를 들어, 두 개의 동일한 큐비트 formula_7와 formula_8가 있다면, 우리는 이를 formula_7와 formula_10로 변환할 수 있다. 이 경우 두 번째 복사본을 삭제했다. 그러나 양자 이론의 선형성으로부터 임의의 상태 formula_11에 대해 삭제 연산을 수행할 수 있는 formula_2는 존재하지 않는다는 것이 따른다.
정식 진술.
시스템 formula_13에 대한 세 개의 힐베르트 공간이 주어지고, 시스템 formula_14에 대한 힐베르트 공간은 동일하다.
만약 formula_2가 유니터리 변환이고, formula_16가 보조 상태이며, 다음을 만족한다면 formula_17여기서 보조 상태 formula_18의 최종 상태는 formula_19에 의존할 수 있으며, 이 경우 formula_2는 스와핑 연산인데, 이는 formula_21 매핑이 등거리 임베딩이라는 의미이다.
이 정리는 임의의 차원의 힐베르트 공간에 있는 양자 상태에 대해 성립한다. 간단히 하기 위해, 두 개의 동일한 큐비트에 대한 삭제 변환을 고려해 보자. 만약 두 큐비트가 직교 상태에 있다면, 삭제는 다음을 요구한다.
formula_24를 알 수 없는 큐비트의 상태라고 하자. 만약 알 수 없는 큐비트의 두 복사본을 가지고 있다면, 삭제 변환의 선형성에 의해 다음을 얻는다.
위 표현에서 다음 변환이 사용되었다.
그러나 만약 복사본을 삭제할 수 있다면, 삭제 기계의 출력 포트에서 결합된 상태는 다음과 같아야 한다.
일반적으로 이 상태들은 동일하지 않으므로 기계가 복사본을 삭제하는 데 실패했다고 말할 수 있다. 최종 출력 상태가 동일하도록 요구한다면, 단 하나의 선택만이 있음을 알 수 있다.
보조 상태 formula_31의 최종 상태는 formula_32의 모든 값에 대해 정규화되므로, formula_33와 formula_34는 직교해야 한다. 이는 양자 정보가 단순히 보조 상태의 최종 상태에 있다는 것을 의미한다. 보조 힐베르트 공간에 대한 국소 연산을 사용하여 보조 상태의 최종 상태로부터 알 수 없는 상태를 항상 얻을 수 있다. 따라서 양자 이론의 선형성은 알 수 없는 양자 상태가 완벽하게 삭제되는 것을 허용하지 않는다.
양자 컴퓨팅에서 그로버 탐색 알고리즘은 양자 탐색 알고리즘으로도 알려져 있으며, 특정 출력값을 생성하는 블랙박스 함수의 고유 입력을 높은 확률로 찾는 비정형 탐색을 위한 양자 알고리즘이다. 이 함수는 함수의 정의역 크기를 formula_1이라고 할 때 formula_2번만 평가하면 된다. 이 알고리즘은 1996년 로브 그로버에 의해 고안되었다.
고전적 계산에서 유사한 문제는 formula_3의 쿼리 복잡도를 가지는데(즉, 함수를 formula_3번 평가해야 한다: 평균적으로 formula_5 단계를 거쳐 모든 입력 값을 하나씩 시도하는 것보다 더 나은 접근 방식은 없다).
찰스 H. 베넷, 이선 번스타인, 질 브라사르, 그리고 우메시 바지라니는 문제에 대한 어떤 양자 해결책도 함수를 formula_6번 평가해야 함을 증명했으며, 따라서 그로버 탐색 알고리즘은 점근적으로 최적이다. NP-완전 문제에 대한 고전적 알고리즘은 지수적으로 많은 단계를 요구하며, 그로버 탐색 알고리즘은 비정형 탐색에 대한 고전적 해결책에 비해 기껏해야 제곱근 속도 향상을 제공하므로, 그로버 탐색 알고리즘 자체만으로는 NP-완전 문제에 대한 다항 시간 해결책을 제공하지 못함을 시사한다 (지수 함수의 제곱근은 여전히 다항 함수가 아닌 지수 함수이기 때문이다).
고전적 알고리즘에 비해 지수적 속도 향상을 제공할 수 있는 다른 양자 알고리즘과 달리, 그로버 탐색 알고리즘은 제곱근 속도 향상만을 제공한다. 그러나 formula_1이 클 때 제곱근 속도 향상조차도 상당하며, 그로버 탐색 알고리즘은 광범위한 알고리즘의 속도를 높이는 데 적용될 수 있다. 그로버 탐색 알고리즘은 128비트 대칭 암호화 키를 약 264회 반복으로, 256비트 키를 약 2128회 반복으로 무차별 대입할 수 있다. 그러나 그로버 탐색 알고리즘이 기존 고전적 알고리즘에 비해 암호화에 대한 위험을 크게 증가시키지는 않을 수 있다.
응용과 한계.
그로버 탐색 알고리즘은 진폭 증폭과 같은 변형과 함께 광범위한 알고리즘의 속도를 높이는 데 사용될 수 있다. 특히, 완전 탐색을 서브루틴으로 포함하는 NP-완전 문제 알고리즘은 그로버 탐색 알고리즘에 의해 속도가 향상될 수 있다. 3SAT에 대한 최악의 경우 복잡도 측면에서 현재 이론적으로 가장 좋은 알고리즘이 그러한 예시이다. 일반적인 제약 충족 문제도 그로버 탐색 알고리즘으로 제곱근 속도 향상을 보인다. 이러한 알고리즘은 그로버 탐색 알고리즘이 명시적 함수(예: 비트 집합이 3SAT 인스턴스를 만족하는지 확인하는 함수)와 함께 적용되므로 입력이 오라클 형태로 주어질 필요가 없다. 그러나 그로버 탐색 알고리즘이 이러한 문제에 대한 최상의 실제 알고리즘의 속도를 높일 수 있는지는 불분명하다.
그로버 탐색 알고리즘은 양자 쿼리 복잡도에서 원소 구별성과 충돌 문제를 포함한 블랙박스 문제에 대해 증명 가능한 속도 향상을 제공할 수 있다 (브라사르-호이어-탭 알고리즘으로 해결). 이러한 유형의 문제에서 오라클 함수 f는 데이터베이스로 취급되며, 목표는 이 함수에 대한 양자 쿼리를 가능한 한 적게 사용하는 것이다.
그로버 탐색 알고리즘은 본질적으로 함수 역산의 과제를 해결한다. 대략적으로 말하면, 양자 컴퓨터에서 평가될 수 있는 함수 formula_8가 있다면, 그로버 탐색 알고리즘은 formula_9가 주어졌을 때 formula_10를 계산할 수 있게 해준다. 결과적으로, 그로버 탐색 알고리즘은 충돌 공격 및 원상 공격을 포함한 대칭 키 암호에 대한 여러 종류의 무차별 대입 공격에 광범위한 점근적 속도 향상을 제공한다. 그러나 예를 들어, 폴라드 로 알고리즘은 그로버 탐색 알고리즘보다 SHA-2에서 충돌을 더 효율적으로 찾을 수 있으므로 이것이 반드시 가장 효율적인 알고리즘은 아닐 수 있다.
그로버의 원래 논문은 이 알고리즘을 데이터베이스 탐색 알고리즘으로 설명했으며, 이 설명은 여전히 흔하다. 이 비유에서 데이터베이스는 해당 입력으로 인덱싱된 모든 함수의 출력 테이블이다. 그러나 이 데이터베이스는 명시적으로 표현되지 않는다. 대신, 오라클이 인덱스로 항목을 평가하기 위해 호출된다. 전체 데이터베이스 항목을 하나씩 읽고 그러한 표현으로 변환하는 것은 그로버 탐색보다 훨씬 오래 걸릴 수 있다. 이러한 효과를 설명하기 위해 그로버 알고리즘은 방정식을 풀거나 제약 조건을 만족시키는 것으로 볼 수 있다. 이러한 응용 프로그램에서 오라클은 제약 조건을 확인하는 방법이며 탐색 알고리즘과 관련이 없다. 이러한 분리는 일반적으로 알고리즘 최적화를 방지하는 반면, 기존 탐색 알고리즘은 종종 이러한 최적화에 의존하고 완전 탐색을 피한다. 다행히도, 많은 제약 충족 및 최적화 문제에 대해 빠른 그로버 오라클 구현이 가능하다.
그로버 알고리즘의 속도 향상을 구현하는 데 있어 주요 장벽은 달성된 2차 속도 향상이 근시일 내 양자 컴퓨터의 큰 오버헤드를 극복하기에는 너무 미미하다는 것이다. 그러나 더 나은 하드웨어 성능을 가진 차세대 오류 내성 양자 컴퓨터는 실제 데이터 인스턴스에 대해 이러한 속도 향상을 실현할 수 있을 것이다.
그로버 알고리즘의 입력으로, 함수 formula_11가 있다고 가정하자. "비정형 데이터베이스" 비유에서, 도메인은 데이터베이스에 대한 인덱스를 나타내며, 은 x가 가리키는 데이터가 검색 기준을 만족할 때에만 해당된다. 또한 우리는 오직 하나의 인덱스만이 을 만족하며, 이 인덱스를 ω라고 부른다. 우리의 목표는 ω를 식별하는 것이다.
우리는 유니터리 작용소 Uω 형태로 서브루틴(때때로 오라클이라고 불림)을 사용하여 f에 접근할 수 있으며, Uω는 다음과 같이 작동한다:
이는 formula_13 큐비트를 가진 양자 레지스터가 제공하는 formula_1-차원 상태 공간 formula_15를 사용한다.
이는 종종 다음과 같이 쓰여진다:
그로버 탐색 알고리즘은 Uω를 formula_2번 적용하여 최소 1/2의 확률로 ω를 출력한다. 이 확률은 그로버 탐색 알고리즘을 여러 번 실행함으로써 임의로 크게 만들 수 있다. ω가 발견될 때까지 그로버 탐색 알고리즘을 실행하면, 기대되는 적용 횟수는 평균적으로 두 번만 실행되므로 여전히 formula_2이다.
대안 오라클 정의.
이 섹션에서는 위 오라클 formula_19를 오라클 formula_20와 비교한다.
Uω는 함수 f에 대한 표준 양자 오라클과 다르다. 이 표준 오라클은 여기서 Uf로 표기되며, 보조 큐비트 시스템을 사용한다. 연산은 보조 시스템의 f(x) 값에 따라 주 시스템에서 NOT 게이트 반전 연산을 나타낸다.
또는 간단히,
이러한 오라클은 일반적으로 역계산을 사용하여 구현된다.
만약 Uf가 오라클로 주어진다면, Uω도 구현할 수 있다. Uω는 보조 큐비트가 상태 formula_23에 있을 때 Uf와 같기 때문이다.
따라서 어떤 오라클이 주어지든 그로버 탐색 알고리즘은 실행될 수 있다. Uf가 주어지면, 우리는 formula_25 상태에 있는 추가 큐비트를 유지하고 Uω 대신 Uf를 적용해야 한다.
그로버 탐색 알고리즘의 단계는 다음과 같다.
올바르게 선택된 formula_30 값에 대해, N ≫ 1일 때 출력은 1에 가까운 확률로 formula_31가 된다. 분석 결과 formula_27의 최종 값은 formula_33을 만족한다.
이 알고리즘의 단계를 구현하는 것은 큐비트 수에 비례하는 게이트 수로 가능하다. 따라서 이 알고리즘의 게이트 복잡도는 formula_34 또는 반복당 formula_35이다.
그로버 탐색 알고리즘은 각 단계 후 양자 상태가 2차원 부분 공간에 머무른다는 관찰에 따라 기하학적 해석을 갖는다. formula_36와 formula_31에 의해 생성되는 평면을 고려하자. 동등하게, formula_31와 수직 켓 formula_39에 의해 생성되는 평면을 고려하자.
그로버 탐색 알고리즘은 부분 공간에 놓인 초기 켓 formula_36로 시작한다. 연산자 formula_41는 formula_42와 formula_31에 의해 생성되는 평면의 벡터에 대해 formula_31에 수직인 초평면에서 반사이다. 즉, formula_42에 대한 반사로 작동한다. 이는 formula_19를 하우스홀더 반사 형태로 작성함으로써 알 수 있다.
연산자 formula_48는 formula_36를 통한 반사이다. 두 연산자 formula_50와 formula_41는 formula_42와 formula_31에 의해 생성되는 평면의 상태를 평면의 상태로 변환한다. 따라서 그로버 탐색 알고리즘은 전체 알고리즘 동안 이 평면에 머무른다.
각 그로버 반복 단계의 연산자 formula_54가 상태 벡터를 formula_55만큼 회전시킨다는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 충분한 반복을 통해 초기 상태 formula_36에서 원하는 출력 상태 formula_31로 회전할 수 있다. 초기 켓은 formula_31에 수직인 상태에 가깝다.
기하학적으로, formula_36와 formula_42 사이의 각도 formula_62는 다음과 같이 주어진다.
상태 벡터가 formula_31에 가까워졌을 때 멈춰야 한다. 그 후의 반복은 상태 벡터를 formula_31에서 멀어지게 하여 올바른 답을 얻을 확률을 감소시킨다. 올바른 답을 측정할 정확한 확률은 다음과 같다.
여기서 r은 그로버 반복 횟수(정수)이다. 따라서 거의 최적의 측정을 얻는 가장 빠른 시간은 formula_67이다.
대수적 분석을 완성하기 위해 formula_68를 반복적으로 적용할 때 어떤 일이 발생하는지 알아야 한다. 이를 수행하는 자연스러운 방법은 행렬의 고유값 분석을 통하는 것이다. 전체 계산 동안 알고리즘의 상태는 formula_69와 formula_70의 선형 결합이라는 점에 주목하자. formula_71로 생성되는 공간에서 formula_50와 formula_19의 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.
따라서 formula_75 기저(이는 직교 기저도, 전체 공간의 기저도 아니다)에서 formula_19 다음에 formula_50를 적용하는 formula_78의 작용은 다음 행렬로 주어진다.
이 행렬은 매우 편리한 조르당 표준형을 가지고 있다. formula_80라고 정의하면,
여기서 formula_82
따라서 r-번째 행렬 거듭제곱(r번 반복에 해당)은 다음과 같다.
이 형태를 사용하여 삼각 함수 항등식을 통해 이전 섹션에서 언급된 r번의 반복 후 ω를 관찰할 확률을 계산할 수 있다.
또는, 최적에 가까운 구별 시간이 2rt와 −2rt 각도가 가능한 한 멀리 떨어져 있을 때, 즉 formula_85 또는 formula_86일 때라고 합리적으로 상상할 수 있다. 그러면 시스템은 다음 상태에 있게 된다.
간단한 계산을 통해 관찰 결과가 formula_88의 오차로 올바른 답인 ω를 산출함을 알 수 있다.
확장 및 변형.
여러 개의 일치하는 항목.
만약 일치하는 항목이 1개가 아니라 k개라면, 동일한 알고리즘이 작동하지만 반복 횟수는 formula_89 대신 formula_90여야 한다.
k를 알 수 없는 경우를 처리하는 여러 가지 방법이 있다. 간단한 해결책은 상수 계수까지 최적으로 작동한다: k 값을 점진적으로 줄여가면서 그로버 탐색 알고리즘을 반복적으로 실행한다. 예를 들어, 일치하는 항목이 발견될 때까지 t번째 반복에서 formula_91와 같이 formula_92를 취한다.
충분히 높은 확률로, 일부 상수 c에 대해 formula_93 반복으로 표시된 항목이 발견될 것이다. 따라서 총 반복 횟수는 최대
k를 알 수 없는 경우의 또 다른 접근 방식은 양자 계수 알고리즘을 통해 사전에 이를 도출하는 것이다.
만약 formula_95 (또는 formula_96로 실행되는 기존의 단일 표시 상태 그로버 알고리즘)이라면, 알고리즘은 증폭을 제공하지 않을 것이다. 만약 formula_97라면, k가 증가함에 따라 해를 얻는 데 필요한 반복 횟수가 증가하기 시작할 것이다. 반면에, 만약 formula_98라면, 단일 무작위 입력 선택에 대한 고전적인 확인 오라클 실행은 정답을 줄 가능성이 더 높다.
이 알고리즘의 변형은 충돌 문제를 해결하는 데 사용된다.
양자 부분 탐색.
그로버와 라다크리슈난은 2004년에 그로버 탐색 알고리즘의 변형인 양자 부분 탐색을 설명했다. 부분 탐색에서는 대상 항목의 정확한 주소를 찾는 것이 아니라 주소의 처음 몇 자리 숫자에만 관심이 있다. 동등하게, 검색 공간을 블록으로 "나누고" "대상 항목이 어느 블록에 있는가?"라고 묻는 것으로 생각할 수 있다. 많은 응용 분야에서, 대상 주소에 원하는 정보가 포함되어 있다면 이러한 검색만으로도 충분한 정보를 제공한다. 예를 들어, L. K. 그로버가 제시한 예시를 사용하면, 학급 석차별로 정리된 학생 목록이 있을 때, 학생이 하위 25%, 25–50%, 50–75% 또는 75–100% 백분위수에 속하는지에만 관심이 있을 수 있다.
부분 탐색을 설명하기 위해, 각각 formula_99 크기의 formula_100개 블록으로 분리된 데이터베이스를 고려한다. 부분 탐색 문제는 더 쉽다. 고전적으로 우리가 취할 접근 방식을 고려해 보자 – 무작위로 하나의 블록을 선택한 다음 나머지 블록(집합론적 언어에서는 보완)을 통해 일반적인 검색을 수행한다. 대상을 찾지 못하면, 검색하지 않은 블록에 있다는 것을 알 수 있다. 평균 반복 횟수는 formula_5에서 formula_102로 줄어든다.
그로버 탐색 알고리즘은 formula_103번의 반복을 필요로 한다. 부분 탐색은 블록 수 formula_100에 따라 달라지는 수치적 요인만큼 더 빠를 것이다. 부분 탐색은 formula_105번의 전역 반복과 formula_106번의 지역 반복을 사용한다. 전역 그로버 연산자는 formula_107로, 지역 그로버 연산자는 formula_108로 지정된다.
글로벌 그로버 연산자는 블록에 작용한다. 기본적으로 다음과 같이 주어진다.
formula_109과 formula_110의 최적 값은 그로버와 라다크리슈난의 논문에서 논의된다. 또한, "해상도"의 다른 수준에서 연속적인 부분 탐색을 적용하면 어떻게 되는지 궁금할 수도 있다. 이 아이디어는 블라디미르 코레핀과 쉬에 의해 자세히 연구되었으며, 그들은 이를 이진 양자 탐색이라고 불렀다. 그들은 이것이 단일 부분 탐색을 수행하는 것보다 실제로 더 빠르지 않음을 증명했다.
그로버 탐색 알고리즘은 부상수 요인까지 최적이다. 즉, 연산자 Uω만을 사용하여 데이터베이스에 접근하는 어떤 알고리즘도 그로버 탐색 알고리즘만큼 최소 formula_113 비율의 Uω를 적용해야 한다. k개의 일치하는 항목에 대한 그로버 탐색 알고리즘의 확장, (N/k)1/2/4 또한 최적이다. 이 결과는 양자 계산의 한계를 이해하는 데 중요하다.
만약 그로버 탐색 문제가 Uω를 formula_114번 적용하여 해결될 수 있었다면, NP 문제를 그로버 유형 탐색 문제로 변환함으로써 NP가 BQP에 포함된다는 것을 의미할 것이다. 그로버 탐색 알고리즘의 최적성은 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 없으며, 따라서 NP가 BQP에 포함되지 않는다는 것을 시사한다.
비지역 숨은 변수 양자 컴퓨터의 한 종류는 formula_1개 항목 데이터베이스의 검색을 최대 formula_116 단계 내에 구현할 수 있음이 밝혀졌다. 이는 그로버 탐색 알고리즘이 걸리는 formula_2 단계보다 빠르다.
양자 담금질 또는 양자 어닐링(Quantum annealing, QA)은 양자 요동을 이용한 과정을 통해 주어진 후보 해 집합(후보 상태)에서 주어진 목표 함수의 전역 최솟값을 찾는 최적화 과정이다. 양자 담금질은 탐색 공간이 조합 최적화 문제와 같이 많은 극소점을 가진 이산 공간이거나, 스핀 유리의 바닥 상태를 찾거나, 최대 절단, 그래프 색칠, 충족 가능성, 외판원 문제와 같은 다양한 문제를 인코딩할 수 있는 QUBO 문제를 해결하는 데 주로 사용된다. "양자 담금질"이라는 용어는 1988년 B. 아폴로니, N. 체사 비안키, D. 드 팔코가 양자 영감을 받은 고전 알고리즘으로 처음 제안했다. 1994년 A. B. 핀닐라, M. A. 고메스, C. 세베니크, J. D. 돌이 양자 결맞음이 없는 허수 시간 변형에 대해 논의했지만, 현재의 형태는 1998년 T. 가도와키와 H. 니시모리()에 의해 정립되었다.
양자 담금질은 모든 가능한 상태(후보 상태)의 양자역학적 중첩에서 동일한 가중치로 시작한다. 그런 다음 시스템은 물리적 시스템의 자연적인 양자역학적 진화인 시간에 따라 달라지는 슈뢰딩거 방정식을 따른다. 모든 후보 상태의 진폭은 시간에 따라 달라지는 횡단 필드의 강도에 따라 계속 변하여 양자 병렬 처리를 실현한다. 횡단 필드는 상태 간 또는 본질적으로 피크를 통한 양자 터널링을 유발한다. 횡단 필드의 변화율이 충분히 느리면 시스템은 순간 해밀토니언의 바닥 상태에 가깝게 유지된다(또한 단열 양자 계산 참조). 횡단 필드의 변화율이 가속되면 시스템은 일시적으로 바닥 상태를 벗어날 수 있지만 최종 문제 해밀토니언의 바닥 상태에 도달할 가능성이 더 높아진다. 즉, 비단열 양자 계산이다. 횡단 필드는 마침내 꺼지고, 시스템은 원래 최적화 문제의 해에 해당하는 고전 이징 모형의 바닥 상태에 도달할 것으로 예상된다. 무작위 자석에 대한 양자 담금질 성공의 실험적 시연은 초기 이론적 제안 직후 보고되었다. 양자 담금질은 많은 NP-완전 문제 해결에서 제곱근 속도 향상을 위한 빠른 그로버 오라클을 제공하는 것으로도 입증되었다.
담금질 기법과의 비교.
양자 담금질은 양자 담금질의 터널링 필드 강도와 유사한 역할을 하는 "온도" 매개변수를 가진 담금질 기법과 비교할 수 있다. 담금질 기법에서 온도는 단일 현재 상태에서 더 높은 "에너지" 상태로 이동할 확률을 결정한다. 양자 담금질에서 횡단 필드의 강도는 모든 상태의 진폭을 병렬로 변경할 양자역학적 확률을 결정한다. 분석적 및 수치적 증거는 특정 조건에서 양자 담금질이 담금질 기법보다 우수함을 시사한다(하이엠 등과 양자 담금질의 임의 대상 해밀토니언에 대한 완전히 해결 가능한 모형 및 다양한 계산 방식의 비교를 위한 옌과 시니친 참조).
양자 역학: 유추와 장점.
터널링 필드는 기본적으로 원래 유리의 고전적 퍼텐셜 에너지 부분과 교환하지 않는 운동 에너지 항이다. 전체 과정은 양자 몬테카를로(또는 다른 확률적 기술)를 사용하여 컴퓨터에서 시뮬레이션될 수 있으므로 고전적 유리의 바닥 상태를 찾는 휴리스틱 알고리즘을 얻을 수 있다.
순수하게 수학적인 목적 함수를 담금질하는 경우, 문제의 변수를 고전적인 자유도로 간주하고 비용 함수를 퍼텐셜 에너지 함수(고전 해밀토니언)로 간주할 수 있다. 그런 다음 원래 수학적 문제의 변수와 0이 아닌 교환자를 갖는 변수(즉, 교환하지 않는 변수)로 구성된 적절한 항을 해밀토니언에 인위적으로 도입하여 터널링 필드(운동 부분)의 역할을 수행해야 한다. 그런 다음 위에서 설명한 대로 구성된 양자 해밀토니니언(원래 함수 + 비교환 부분)으로 시뮬레이션을 수행할 수 있다. 여기서 비비교환 항을 선택하는 데 선택의 여지가 있으며 담금질의 효율성은 이에 따라 달라질 수 있다.
양자 담금질은 특정 경우, 특히 퍼텐셜 에너지(비용) 지형이 얕은 지역 최솟값을 둘러싸는 매우 높지만 얇은 장벽으로 구성된 경우에 열 담금질(담금질 기법)보다 우수하다는 것이 실험적으로나 이론적으로 입증되었다. 열 전이 확률(formula_1는 온도, formula_2는 볼츠만 상수인 formula_3에 비례)은 장벽의 높이 formula_4에만 의존하기 때문에 매우 높은 장벽의 경우 열 요동이 시스템을 그러한 지역 최솟값에서 벗어나게 하는 것은 극히 어렵다. 그러나 1989년 레이, 차크라바티, 차크라바티가 일찍이 주장했듯이, 동일한 장벽을 통한 양자 터널링 확률(단독으로 고려됨)은 장벽의 높이 formula_4뿐만 아니라 너비 formula_6에도 의존하며 대략 formula_7로 주어진다. 여기서 formula_8는 터널링 필드이다. 양자 터널링이 있는 경우 너비 formula_6를 통한 이 추가 제어는 큰 도움이 될 수 있다. 장벽이 충분히 얇으면(즉, formula_10), 양자 요동은 시스템을 얕은 지역 최솟값에서 확실히 벗어나게 할 수 있다. formula_11-스핀 유리에서 장벽 높이 formula_4는 formula_11 정도가 된다. formula_6가 상수 값인 경우 담금질 시간은 formula_15에 비례하고(열 담금질의 경우 formula_16에 비례하는 formula_17 대신), formula_18가 formula_19로 감소하는 경우에는 formula_17가 formula_11에 무관하게 될 수도 있다.
양자 컴퓨터에서 이러한 시뮬레이션은 고전 컴퓨터에서 수행되는 것보다 훨씬 효율적이고 정확할 것으로 예상되는데, 이는 터널링을 수동으로 추가할 필요 없이 직접 수행할 수 있기 때문이다. 더욱이, 더 전통적인 양자 알고리즘에 사용되는 양자 얽힘을 활용하는 데 필요한 엄격한 오류 제어 없이도 이를 수행할 수 있을 것이다. 이에 대한 일부 확인은 정확히 해결 가능한 모델에서 발견된다.
이징 스핀 유리에서 양자 담금질과 관련된 아이디어의 타임라인:
D-웨이브 구현.
2011년, D-웨이브 시스템은 D-Wave One이라는 이름으로 시장에 첫 상용 양자 담금질기를 발표하고 그 성능에 대한 논문을 네이처에 게재했다. 이 회사는 이 시스템이 128 큐비트 프로세서 칩셋을 사용한다고 주장한다. 2011년 5월 25일, D-Wave는 록히드 마틴 기업이 D-Wave One 시스템을 구매하는 계약을 체결했다고 발표했다. 2011년 10월 28일 서던캘리포니아 대학교 (USC)의 정보과학연구소는 록히드 마틴의 D-Wave One을 인도받았다.
2013년 5월, 구글, NASA 에임스 및 비영리 우주연구 대학연합 컨소시엄이 512큐비트의 D-Wave 시스템으로부터 단열 양자 컴퓨터를 구매했다고 발표되었다. 일부 고전 담금질 알고리즘과 비교하여 양자 담금질기로서의 성능에 대한 광범위한 연구가 가능하다.
2014년 6월, D-Wave는 계산 금융 회사인 1QB 인포메이션 테크놀로지스(1QBit) 및 암 연구 그룹인 DNA-SEQ와 함께 양자 하드웨어를 사용하여 실제 문제를 해결하는 데 중점을 둘 새로운 양자 애플리케이션 생태계를 발표했다. 상업적으로 이용 가능한 양자 컴퓨터용 소프트웨어 응용 프로그램을 생산하는 데 전념하는 최초의 회사로서 1QBit의 연구 개발 부서는 D-Wave의 양자 담금질 프로세서에 중점을 두었으며 이러한 프로세서가 실제 응용 프로그램을 해결하는 데 적합함을 입증했다.
양자 얽힘에 대한 시연이 발표되었음에도 불구하고, D-Wave 머신이 모든 고전 컴퓨터에 비해 양자 우월성을 시연할 수 있는지 여부는 여전히 미해결로 남아 있다. 2014년 6월 사이언스에 발표된 연구는 "D-Wave 머신의 성능에 대해 수행된 가장 철저하고 정확한 연구일 가능성이 높다"고 묘사되었고 "가장 공정한 비교"로, 양자 속도 향상을 정의하고 측정하려고 시도했다. 일부는 경험적 테스트로 확인할 수 없는 반면, 다른 일부는 위조되었음에도 불구하고 성능 이점의 존재를 허용할 수 있으므로 여러 정의가 제시되었다. 연구 결과 D-Wave 칩은 "양자 속도 향상을 생산하지 못했으며" 미래 테스트에서의 가능성도 배제하지 않았다. 취리히 연방 공과대학교의 마티아스 트로이어가 이끄는 연구진은 전체 테스트 범위에서 "양자 속도 향상"을 발견하지 못했으며, 테스트의 부분 집합을 살펴보았을 때만 결론을 내릴 수 없는 결과를 얻었다. 그들의 연구는 "양자 속도 향상 질문의 미묘한 본질"을 보여주었다. 추가 연구는 이러한 테스트 지표와 평형 시스템에 대한 의존성에 대한 이해를 발전시켜 양자 역학으로 인한 이점의 어떤 징후도 놓치지 않도록 했다.
양자 속도 향상에 관해서는 많은 미해결 질문이 있다. 이전 섹션의 ETH 참조는 벤치마크 문제의 한 클래스에 불과하다. 잠재적으로 양자 속도 향상이 발생할 수 있는 다른 문제 클래스가 있을 수 있다. 구글, LANL, USC, 텍사스 A&amp;M, D-웨이브의 연구원들은 그러한 문제 클래스를 찾기 위해 노력하고 있다.
2015년 12월, 구글은 D-웨이브 2X가 어려운 최적화 문제 집합에서 담금질 기법과 양자 몬테카를로를 최대 100,000,000배까지 능가한다고 발표했다.
D-Wave의 아키텍처는 전통적인 양자 컴퓨터와 다르다. 보편적인 양자 컴퓨터와 다항식적으로 동일하지 않은 것으로 알려져 있으며, 특히 쇼어 알고리즘을 실행할 수 없는데, 쇼어 알고리즘은 양자 담금질 아키텍처에서는 현재 사용할 수 없는 정밀한 게이트 연산과 양자 푸리에 변환을 필요로 하기 때문이다. 쇼어 알고리즘은 보편적인 양자 컴퓨터를 필요로 한다. D-Wave가 주최한 Qubits 2021 컨퍼런스에서 회사가 QAOA 및 VQE와 같은 다른 게이트 모델 알고리즘 외에 쇼어 알고리즘을 실행할 수 있는 최초의 보편적인 양자 컴퓨터를 개발하고 있다고 발표했다.
"양자 담금질 기반 알고리즘에 대한 다학제적 소개"는 NP-난해 조합 최적화 문제, 양자 담금질 기반 알고리즘의 일반적인 구조, 최대 SAT(최대 만족 가능 문제) 및 최소 멀티컷 문제 사례를 해결하기 위한 두 가지 알고리즘 예제, 그리고 D-Wave Systems가 제조한 양자 담금질 시스템에 대한 개요를 제시한다. 대규모 이산-연속 최적화 문제를 위한 하이브리드 양자-고전 알고리즘은 양자 우월성을 보여주기 위해 보고되었다.
자기공명영상(MRI) 및 핵자기 공명 분광법(NMR)에서 관찰 가능한 핵 스핀 편극(자기화)은 균일한 자기장에 의해 생성된다. 이 자기장은 샘플의 자기 쌍극자 모멘트가 핵의 공명(라모어) 주파수에서 세차운동하게 한다. 열평형 상태에서 핵 스핀은 인가된 자기장 방향을 중심으로 무작위로 세차운동한다. 자기장에 수직으로 생성된 공명 주파수의 무선주파수(RF) 펄스를 받으면 갑자기 위상 결맞음이 발생한다. RF 펄스는 스핀 상태의 모집단이 열평형 값에서 벗어나게 한다. 생성된 횡방향 자기화는 RF 코일에 신호를 유도할 수 있으며, 이 신호는 RF 수신기에 의해 감지되고 증폭될 수 있다. 자기화의 종방향 성분이 평형 값으로 돌아오는 것을 스핀-격자 완화(Relaxation)라고 하는 반면, 스핀의 위상 결맞음 상실을 스핀-스핀 완화라고 하며, 이는 관찰된 자유유도감쇠(FID)로 나타난다.
스핀- 핵(예: 1H)의 경우, 자기장 방향에 정렬된 스핀 N−이 자기장 반대 방향에 정렬된 스핀 N+에 대한 편극은 볼츠만 분포에 의해 주어진다.
여기서 ΔE는 두 스핀 집단 간의 에너지 준위 차이, k는 볼츠만 상수, T는 샘플 온도이다. 실온에서 낮은 에너지 준위의 스핀 수 N−는 높은 에너지 준위의 스핀 수 N+보다 약간 더 많다. MRI 및 NMR 분광법에 일반적으로 사용되는 자기장에서 NMR의 스핀-업 및 스핀-다운 상태 간의 에너지 간격은 원자 방출 표준에 비해 미미하다. NMR에서의 에너지 방출은 자연방출에 의해서가 아니라 핵과 외부 환경의 직접적인 상호작용을 통해 유도되어야 한다. 이러한 상호작용은 다른 핵, 전자 또는 분자에 의해 생성된 전기장 또는 자기장을 통해 이루어질 수 있다. 에너지의 자연방출은 광자 방출을 포함하는 복사 과정이며 형광 및 인광과 같은 현상으로 대표된다. 아브라함이 언급했듯이, 광자의 자연방출을 통해 핵 스핀-1/2이 + 상태에서 - 상태로 전이할 단위 시간당 확률은 무시할 수 있는 현상이다.
오히려 평형으로의 회복은 분자 또는 전자(자유 라디칼) 회전 운동으로 인한 국부 자기장의 변동에 의해 유도되는 훨씬 느린 열 과정이며, 이는 과도한 에너지를 열의 형태로 주변 환경으로 되돌려준다.
T1 및 T2.
RF 유도 NMR 스핀 편극의 감쇠는 각각 자체 시간 상수를 갖는 두 가지 개별 프로세스로 특성화된다. T1이라고 불리는 한 프로세스는 펄스 여기 후 공명 강도 손실을 담당한다. T2라고 불리는 다른 프로세스는 공명의 폭 또는 넓이를 특성화한다. 더 공식적으로 말하면, T1은 외부 자기장 B0(일반적으로 z축으로 지정됨)에 평행한 핵 스핀 자기화 벡터 M의 구성 요소 완화를 담당하는 물리적 프로세스의 시간 상수이다. T2 완화는 B0에 수직인 M의 일관성 있는 구성 요소에 영향을 미친다. 기존 NMR 분광법에서 T1은 펄스 반복률을 제한하고 NMR 스펙트럼을 얻을 수 있는 전체 시간에 영향을 미친다. T1 값은 분자의 크기, 용액의 점도, 샘플의 온도, 상자성 종(예: O2 또는 금속 이온)의 존재 가능성에 따라 밀리초에서 수 초까지 다양하다.
종방향(또는 스핀-격자) 완화 시간 T1은 핵 스핀 자기화의 z 성분 Mz가 열평형 값 formula_2으로 회복되는 감쇠 상수이다. 일반적으로 다음과 같다.
특정 경우:
즉, 자기화는 하나의 시간 상수 T1 후에 평형 값의 63%로 회복된다.
T1 완화는 열평형 분포에 도달하기 위해 핵 스핀 상태의 모집단을 재분배하는 것을 포함한다. 정의상 이는 에너지 보존이 아니다. 더욱이, 자연방출은 NMR 주파수에서 무시할 수 있을 정도로 느리다. 따라서 진정으로 고립된 핵 스핀은 T1 완화율이 무시할 수 있을 정도로 낮게 나타날 것이다. 그러나 다양한 완화 메커니즘은 핵 스핀이 주변 환경(격자라고 함)과 에너지를 교환하여 스핀 모집단이 평형을 이루도록 한다. T1 완화가 주변 환경과의 상호작용을 포함한다는 사실은 대체 설명인 스핀-격자 완화의 기원이다.
T1 완화율(즉, 1/T1)은 일반적으로 NMR 주파수에 강하게 의존하므로 자기장 강도 B에 따라 상당히 달라진다. 샘플에 소량의 상자성 물질이 있으면 완화 속도가 매우 빨라진다. 탈기하여 용해된 산소를 제거하면 액체 샘플의 T1/T2가 쉽게 10초 정도까지 올라간다.
스핀 포화 전이.
특히 느리게 완화되는 (T1) 신호를 나타내는 분자의 경우, 스핀 포화 전이(SST) 기술은 화학적 교환 반응에 대한 정보를 제공한다. 이 방법은 가변 분자에 널리 적용 가능하다. 이 자기화 전이 기술은 1/T1을 초과하는 경우 속도를 제공한다.
횡방향(또는 스핀-스핀) 완화 시간 T2는 B0에 수직인 M의 구성 요소, 즉 Mxy, MT 또는 formula_8의 감쇠 상수이다. 예를 들어, 시간 0의 초기 xy 자기화는 다음과 같이 0(즉, 평형)으로 감쇠한다.
즉, 횡방향 자기화 벡터는 하나의 시간 상수 T2 후에 원래 크기의 37%로 떨어진다.
T2 완화는 복잡한 현상이지만, 가장 기본적인 수준에서는 횡방향 핵 스핀 자기화의 결잃음에 해당한다. 국부 자기장의 무작위 변동은 다른 스핀의 순간 NMR 세차운동 주파수의 무작위 변동으로 이어진다. 그 결과, 핵 스핀의 초기 위상 결맞음이 손실되고, 결국 위상이 무질서해져 순 xy 자기화가 없어진다. T2 완화는 다른 핵 스핀의 위상만을 포함하기 때문에 종종 "스핀-스핀" 완화라고 불린다.
T2 값은 일반적으로 T1 값보다 자기장 강도 B에 훨씬 덜 의존한다.
하네 에코 감쇠 실험은 아래 애니메이션에 표시된 것처럼 T2 시간을 측정하는 데 사용될 수 있다. 두 인가된 펄스의 간격에 따라 에코의 크기가 기록된다. 이는 180° 펄스에 의해 재초점되지 않는 결잃음을 나타낸다. 간단한 경우, formula_10 시간으로 설명되는 지수적 감쇠가 측정된다.
T2* 및 자기장 불균일성.
이상적인 시스템에서는 자기장 내의 주어진 화학적 환경에 있는 모든 핵이 동일한 주파수로 세차운동한다. 그러나 실제 시스템에서는 화학적 환경에 미미한 차이가 있어 이상적인 주파수 주변에 공명 주파수 분포가 발생할 수 있다. 시간이 지남에 따라 이 분포는 자기 스핀 벡터의 밀집된 분포를 분산시키고 신호 손실(자유유도감쇠)을 초래할 수 있다. 실제로 대부분의 자기 공명 실험에서는 이러한 "완화"가 지배적이다. 이는 탈위상을 유발한다.
그러나 자기장 불균일성으로 인한 결잃음은 진정한 "완화" 과정이 아니다. 이는 무작위적이지 않고 자석 내 분자의 위치에 따라 달라진다. 움직이지 않는 분자의 경우 이상적인 완화로부터의 편차는 시간이 지남에 따라 일관되며, 스핀 에코 실험을 수행하여 신호를 복구할 수 있다.
해당 횡방향 완화 시간 상수는 T2*이며, 이는 일반적으로 T2보다 훨씬 작다. 둘 사이의 관계는 다음과 같다.
여기서 γ는 자기회전비율을 나타내고, ΔB0는 국부적으로 변하는 자기장의 강도 차이를 나타낸다.
T2와 달리 T2*는 자기장 기울기 불균일성에 영향을 받는다. T2* 완화 시간은 항상 T2 완화 시간보다 짧으며, 일반적으로 영상 자석의 물 샘플의 경우 밀리초이다.
T1은 항상 T2보다 긴가?
NMR 시스템에서 다음 관계는 절대적으로 참이다. formula_12. 대부분의 상황에서(원칙적으로는 아니지만) formula_13은 formula_10보다 크다. formula_15인 경우는 드물지만 불가능하지는 않다.
블로흐 방정식.
블로흐 방정식은 완화 시간 T1과 T2가 존재할 때 핵 자기화 M = (Mx, My, Mz)를 시간의 함수로 계산하는 데 사용된다. 블로흐 방정식은 1946년 펠릭스 블로흐가 도입한 현상학적 방정식이다.
여기서 formula_19는 벡터 곱이고, γ는 자기회전비율이며, B(t) = (Bx(t), By(t), B0 + Bz(t))는 핵이 경험하는 자기 플럭스 밀도이다.
자기 플럭스 밀도 B의 z 성분은 일반적으로 두 항으로 구성된다. 하나는 B0이며 시간에 따라 일정하고, 다른 하나는 Bz(t)이며 시간에 따라 달라진다. 이는 자기공명영상에 존재하며 NMR 신호의 공간적 디코딩을 돕는다.
T1 및 T2 완화 섹션에 나열된 방정식은 블로흐 방정식에 있는 것들이다.
솔로몬 방정식.
솔로몬 방정식은 쌍극자 시스템에서 완화로 인한 자기화의 전이를 계산하는 데 사용된다. 이는 분자 구조를 결정하는 중요한 도구인 핵 오버하우저 효과를 설명하는 데 사용될 수 있다.
인체 조직의 일반적인 완화 시간 상수.
다음은 비병리학적 인체 조직에서 수소 핵 스핀의 두 완화 시간 상수에 대한 대략적인 값 표이다.
다음은 인체 뇌 자기 공명 분광법(MRS) 연구에서 생리학적 또는 병리학적으로 흔히 나타나는 화학 물질에 대한 두 완화 시간 상수의 대략적인 값 표이다.
회전 프레임에서의 완화, T1ρ.
위의 설명은 일정한 자기장 B0 존재 하에서의 핵 자기화 완화에 대해 기술한다. 이를 실험실 프레임에서의 완화라고 한다.
회전 프레임에서의 완화라고 불리는 또 다른 기술은 B0 자기장과 시간 의존적인 자기장 B1이 함께 존재할 때의 핵 자기화 완화이다. B1 자기장은 B0에 수직인 평면에서 핵의 라모어 주파수로 회전한다. B1의 크기는 일반적으로 B0의 크기보다 훨씬 작다. 이러한 상황에서 자기화의 완화는 B1 자기장에서의 실험실 프레임 완화와 유사하다. B1을 따라 자기화 성분이 회복되는 감쇠 상수는 회전 프레임에서의 스핀-격자 완화 시간이라고 하며 T1ρ로 표시된다.
회전 프레임에서의 완화는 핵의 느린 움직임에 대한 정보를 제공하기 때문에 유용하다.
미시적 메커니즘.
핵 스핀의 완화는 핵이 인가된 자기장에 대해 방향을 바꾸고/바꾸거나 주변 환경(격자라고 함)과 에너지를 교환할 수 있는 미시적 메커니즘을 필요로 한다. 가장 일반적인 메커니즘은 핵의 자기 모멘트와 다른 핵 또는 다른 실체(전자, 원자, 이온, 분자)의 자기 모멘트 사이의 자기 쌍극자-쌍극자 상호작용이다. 이 상호작용은 한 쌍의 쌍극자(스핀) 사이의 거리에 따라 달라지지만, 외부 자기장에 대한 상대적 방향에도 의존한다. 몇 가지 다른 완화 메커니즘도 존재한다. 화학적 이동 이방성(CSA) 완화 메커니즘은 핵 주변의 전자 환경이 비구형일 때 발생하며, 이때 핵의 전자 차폐 크기는 (고정된) 외부 자기장에 대한 분자 방향에 따라 달라진다. 스핀 회전(SR) 완화 메커니즘은 핵 스핀과 전체 분자 회전 각운동량과의 결합 사이의 상호작용에서 발생한다. 스핀 I ≥ 1인 핵은 핵 쌍극자뿐만 아니라 사극자도 가질 것이다. 핵 사극자는 핵 위치에서 존재하는 전기장 기울기와의 상호작용을 가지며, 이는 위에서 설명한 다른 메커니즘과 마찬가지로 방향 의존적이며, 소위 사극자 완화 메커니즘으로 이어진다.
분자 재배향 또는 회전 운동은 이러한 방향 의존적 스핀 상호작용 에너지를 변조할 수 있다.
양자역학에 따르면, 시간 의존적 상호작용 에너지는 핵 스핀 상태 간의 전이를 유발하여 핵 스핀 완화를 초래한다. 양자역학의 시간 의존적 섭동 이론을 적용하면 완화율(및 시간)이 변동하는 자기 쌍극자 상호작용의 자기상관 함수의 푸리에 변환인 스펙트럼 밀도 함수에 의존함을 보여준다. 스펙트럼 밀도 함수의 형태는 물리적 시스템에 따라 다르지만, BPP 이론이라는 간단한 근사법이 널리 사용된다.
또 다른 완화 메커니즘은 전기 사극자 모멘트를 가진 핵과 주변 전하로 인해 핵 위치에 존재하는 전기장 기울기 사이의 정전기적 상호작용이다. 핵의 열 운동은 변동하는 정전기적 상호작용 에너지를 초래할 수 있다. 이러한 변동은 자기 쌍극자-쌍극자 상호작용과 유사한 방식으로 핵 스핀 상태 간의 전이를 생성한다.
BPP 이론.
1948년, 니콜라스 블룸베르헌, 에드워드 밀스 퍼셀, 그리고 로버트 파운드는 분자의 회전 운동이 국부 자기장 교란에 미치는 영향을 고려하여 물질의 상태에 따른 순수 물질의 완화 상수를 설명하기 위해 소위 블룸베르헌-퍼셀-파운드 이론(BPP 이론)을 제안했다. 이 이론은 순수 물질에 대한 실험과 잘 일치하지만, 인체와 같은 복잡한 환경에서는 그렇지 않다.
이 이론은 완화를 일으키는 미시적 변동의 자기상관 함수가 formula_20에 비례한다고 가정하는데, 여기서 formula_21는 상관 시간이라고 불린다. 이 이론에서 자기 쌍극자 완화에 대해 T1 &gt; T2를 얻을 수 있다.
여기서 formula_24는 주 자기장 formula_25의 강도에 해당하는 라모어 주파수이다. formula_26는 분자의 회전 운동의 상관 시간이다. formula_27은 스핀-1/2 핵에 대해 정의되며, formula_28는 자유 공간의 자기 투자율이고, formula_29는 환산 플랑크 상수이며, γ는 해당 핵종의 자기회전비율이고, r은 자기 쌍극자 모멘트를 가진 두 핵 사이의 거리이다.
예를 들어, 산소-17 오염이 없는 액상의 H2O 분자의 경우, K 값은 1.02×1010 s−2이고 상관 시간 formula_26는 피코초 = formula_31 s 정도인 반면, 1.5 테슬라에서 수소 핵 1H (양성자)는 약 64 MHz의 라모어 주파수로 세차운동한다(단순화된 값. BPP 이론은 실제로 각주파수를 사용한다). τc = 5×10−12 s를 사용하여 추정할 수 있다.
이는 실험값인 3.6 s와 가깝다. 한편, 이 극단적인 경우 T1이 T2와 같음을 알 수 있다.
BPP 이론에 따르면, T1 시간을 측정하면 핵간 거리 r을 알 수 있다. 한 가지 예는 다음 방정식을 통해 가변 온도 완화 실험에서 1H 선택적 및 비선택적 T1 시간을 측정하여 용액 내 금속-수소(M-H) 결합 길이를 정확하게 결정하는 것이다.