shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
사교좌표는 측량 텐서가 비대각 성분(off-diagonal components)을 갖기 때문에 직교 좌표에 비해 다루기 더 복잡한 경향이 있으며, 이는 텐서 대수 및 텐서 미적분학 공식에서 많은 단순화를 방해한다. 측량 텐서의 0이 아닌 비대각 성분은 좌표의 기저 벡터가 직교하지 않는 직접적인 결과이다. 정의에 따르면:
여기서 formula_2는 측량 텐서이고 formula_3는 (공변) 기저 벡터이다.
이러한 좌표계는 문제의 기하학이 사교좌표계에 잘 맞는 경우 유용할 수 있다. 예를 들어, 평행사변형에서 라플라스 방정식을 푸는 것은 적절하게 사교좌표를 사용할 때 가장 쉽다.
하나의 빗축을 가진 데카르트 좌표.
사교좌표계의 가장 간단한 3D 사례는 데카르트 좌표계 중 한 축(예: x축)이 나머지 두 축 중 하나에 직교하면서 특정 각도 formula_4만큼 구부러진 경우이다. 이 예시에서는 데카르트 좌표계의 x축이 y축에 직교한 채로 z축 방향으로 formula_4만큼 구부러져 있다.
대수와 유용한 양.
formula_6, formula_7, formula_8를 각각 formula_9, formula_10, formula_11 축을 따른 단위 벡터라고 하자. 이들은 공변 기저를 나타내며, 이들의 스칼라곱을 계산하면 측량 텐서가 얻어진다.
이들은 나중에 유용하게 쓰일 양들이다.
반변 기저는 다음으로 주어진다.
반변 기저는 사용하기에 그리 편리한 것은 아니지만, 정의에 나타나므로 고려해야 한다. 우리는 공변 기저에 대한 양을 작성하는 것을 선호할 것이다.
기저 벡터는 모두 상수이므로, 벡터 덧셈과 뺄셈은 단순히 익숙한 성분별 덧셈과 뺄셈이 된다. 이제,
여기서 합은 지수(이 경우 i = 1, 2, 3)의 모든 값에 대한 합을 나타낸다. 이들 벡터의 반변 및 공변 성분은 다음 관계를 갖는다.
따라서 명시적으로,
반변 성분으로 표현된 스칼라곱은 다음과 같다.
그리고 공변 성분으로 표현하면
정의에 따르면, 스칼라 함수 f의 기울기는
여기서 formula_26는 x, y, z 좌표를 색인한 것이다. 이를 반변 기저로 표현된 벡터로 인식하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
벡터 formula_28의 발산은
그리고 텐서 formula_30의 발산은
f의 라플라시안은
그리고 공변 기저가 정규직교적이고 상수이므로, 벡터 라플라시안은 공변 기저로 표현된 벡터의 성분별 라플라시안과 동일하다.
스칼라곱과 기울기 모두 (데카르트 좌표계와 비교할 때) 추가 항을 포함하여 다소 복잡하지만, 스칼라곱과 기울기를 결합하는 이류 연산자는 매우 단순하게 나타난다.
이는 스칼라 함수와 벡터 함수 모두에 적용될 수 있으며, 공변 기저로 표현될 때 성분별로 적용된다.
마지막으로, 벡터의 회전은
수학, 특히 위상수학에서 아틀라스(atlas)는 다양체를 설명하는 데 사용되는 개념이다. 아틀라스는 대략적으로 다양체의 개별 영역을 설명하는 개별 좌표계로 구성된다. 일반적으로 아틀라스의 개념은 다양체와 벡터 다발 및 기타 올다발과 같은 관련 구조의 형식적인 정의의 기초를 이룬다.
아틀라스의 정의는 좌표계의 개념에 달려 있다. 위상 공간 M에 대한 좌표계는 M의 열린 부분집합 U에서 유클리드 공간의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 formula_1이다. 좌표계는 전통적으로 순서쌍 formula_2로 기록된다.
유클리드 공간에서 좌표계를 선택하면 formula_3에 좌표가 정의된다. formula_3의 점 formula_5의 좌표는 formula_6의 좌표로 정의된다. 좌표계와 이러한 좌표계로 구성된 쌍을 국소 좌표계, 좌표 차트, 좌표 패치, 좌표 맵 또는 국소 프레임이라고 한다.
아틀라스의 형식적 정의.
위상 공간 formula_7에 대한 아틀라스는 formula_7을 덮는 (즉, formula_9) formula_7 상의 좌표계들의 족 formula_11이다. 만약 고정된 n에 대해 각 좌표계의 상이 n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합이면, formula_7은 n차원 다양체라고 한다.
아틀라스의 복수형은 atlases이며, 일부 저자는 atlantes를 사용하기도 한다.
formula_13차원 다양체 formula_7 상의 아틀라스 formula_15는 다음 조건을 만족하면 적절한 아틀라스라고 한다.
모든 제2 가산 다양체는 적절한 아틀라스를 허용한다. 또한, formula_23가 제2 가산 다양체 formula_7의 열린 덮개이면, formula_7 상에는 formula_26가 formula_27의 덮개의 세분인 적절한 아틀라스 formula_15가 존재한다.
전이 사상.
전이 사상은 아틀라스의 두 좌표계를 비교하는 방법을 제공한다. 이 비교를 위해 한 좌표계와 다른 좌표계의 역함수의 합성을 고려한다. 이 합성은 두 좌표계를 그들의 정의역의 교집합으로 제한하지 않으면 잘 정의되지 않는다. (예를 들어, 유럽 지도가 있고 러시아 지도가 있다면, 이 두 지도를 그들의 겹치는 부분, 즉 러시아의 유럽 부분에서 비교할 수 있다.)
더 정확하게 말하자면, formula_29와 formula_30가 다양체 M에 대한 두 좌표계이고 formula_31가 공집합이 아니라고 가정하자.
전이 사상 formula_32는 다음으로 정의되는 사상이다.
formula_34와 formula_35가 모두 위상동형사상이므로 전이 사상 formula_36도 위상동형사상이다.
다양체에 단순히 위상적 구조 이상의 구조를 원하는 경우가 많다. 예를 들어, 다양체 위의 함수의 미분에 대한 명확한 개념을 원한다면, 전이 함수가 미분 가능한 아틀라스를 구성할 필요가 있다. 이러한 다양체를 미분 다양체라고 한다. 미분 다양체가 주어지면 접벡터와 방향도함수의 개념을 명확하게 정의할 수 있다.
각 전이 함수가 매끄러운 함수이면 아틀라스를 매끄러운 아틀라스라고 하고, 다양체 자체를 매끄럽다고 한다. 또는 전이 맵이 k개의 연속 미분 계수만 갖도록 요구할 수도 있으며, 이 경우 아틀라스를 formula_37라고 한다.
매우 일반적으로, 각 전이 함수가 유클리드 공간의 유사군 formula_38에 속하면 아틀라스를 formula_39-아틀라스라고 한다. 아틀라스의 좌표계 사이의 전이 맵이 국소 자명화를 보존하면 아틀라스는 올다발의 구조를 정의한다.
일반 상대성이론에서 마틴 크러스컬과 세케레시 죄르지의 이름을 딴 크러스컬-세케레시 좌표(Kruskal–Szekeres coordinates)는 블랙홀의 슈바르츠실트 기하학을 위한 좌표계이다. 이 좌표는 최대로 확장된 슈바르츠실트 해의 전체 다양체를 덮으며 물리적 특이점 외부의 모든 곳에서 잘 정의된다는 장점이 있다. 지평선에는 좌표 특이점이 없다.
크러스컬-세케레시 좌표는 구형 물체 주변의 시공간에도 적용되지만, 이 경우 물체의 반지름 내부의 시공간에 대한 설명을 제공하지 않는다. 별이 블랙홀로 붕괴하는 영역의 시공간은 크러스컬-세케레시 좌표(또는 슈바르츠실트 좌표)로 근사된다. 별의 표면은 슈바르츠실트 좌표에서 사건의 지평선 밖에 머무르지만, 크러스컬-세케레시 좌표에서는 이를 넘어선다. (우리가 관측하는 어떤 "블랙홀"에서도 우리는 그 물질이 아직 붕괴를 마치지 않은 시점에 블랙홀을 보므로, 아직 실제 블랙홀이 아니다.) 마찬가지로, 블랙홀로 떨어지는 물체는 슈바르츠실트 좌표에서 사건의 지평선 밖에 머무르지만, 크러스컬-세케레시 좌표에서는 이를 넘어선다.
블랙홀 기하학에서 크러스컬-세케레시 좌표는 슈바르츠실트 좌표 formula_1에서 t와 r을 새로운 시간 좌표 T와 새로운 공간 좌표 formula_2로 대체하여 정의된다.
사건의 지평선 외부 영역 formula_5에 대해:
내부 영역 formula_8에 대해 정의된다. 여기서 formula_9은 중력 상수와 슈바르츠실트 질량 매개변수를 곱한 값이며, 이 문서는 formula_10 = 1인 자연단위계를 사용한다.
결과적으로 외부 영역, 사건의 지평선 및 내부 영역의 합집합에서 슈바르츠실트 방사형 좌표 formula_11 (슈바르츠실트 반지름 formula_12와 혼동하지 말 것)는 크러스컬-세케레시 좌표로 방정식의 (유일한) 해로 결정된다.
람베르트 W 함수를 사용하여 해는 다음과 같이 작성된다.
또한 블랙홀 외부 영역 formula_15에서는 즉시 다음을 알 수 있다.
블랙홀 내부 영역 formula_17에서는
이러한 새로운 좌표에서 슈바르츠실트 블랙홀 다양체의 계량은 다음과 같이 주어진다.
(− + + +) 계량 부호수 규칙을 사용하여 작성되었으며, 계량의 각 성분(2구의 리만 계량)은 다음과 같다.
계량을 이 형태로 표현하면 일정한 formula_21를 갖는 방사형 널 측지선이 formula_22 선 중 하나와 평행하다는 것이 명확하게 나타난다. 슈바르츠실트 좌표에서 슈바르츠실트 반지름 formula_12은 사건의 지평선 formula_24의 방사형 좌표이다. 크러스컬-세케레시 좌표에서 사건의 지평선은 formula_25으로 주어진다. 계량은 사건의 지평선에서 완벽하게 잘 정의되고 특이점이 없다는 점에 유의해야 한다. 곡률 특이점은 formula_26에 위치한다.
최대로 확장된 슈바르츠실트 해.
r &gt; 2GM 및 formula_27에 대해 정의된 슈바르츠실트 좌표와 크러스컬-세케레시 좌표 사이의 변환은 최소한 formula_26에서 발생하는 첫 번째 특이점까지 해석 함수로 확장될 수 있다. 따라서 위의 계량은 이 영역 전체에서 아인슈타인 방정식의 해이다. 허용되는 값은 다음과 같다.
이 확장은 해가 모든 곳에서 해석적이라고 가정한다는 점에 유의해야 한다.
최대로 확장된 해에는 실제로 r = 0에 두 개의 특이점이 있는데, 하나는 양의 T에 대한 것이고 다른 하나는 음의 T에 대한 것이다. 음의 T 특이점은 시간을 역행시킨 블랙홀이며, 때때로 "화이트홀"이라고 불린다. 입자는 화이트홀에서 탈출할 수 있지만 결코 돌아갈 수 없다.
최대로 확장된 슈바르츠실트 기하학은 각각 적절한 슈바르츠실트 좌표 집합으로 덮일 수 있는 4개의 영역으로 나눌 수 있다. 반면 크러스컬-세케레시 좌표는 전체 시공간 다양체를 덮는다. 네 영역은 사건의 지평선으로 분리된다.
슈바르츠실트 좌표와 크러스컬-세케레시 좌표 사이의 위에 주어진 변환은 (제곱근을 양수로 취하면) 영역 I과 II에만 적용된다. 다른 두 영역에서도 유사한 변환을 작성할 수 있다.
슈바르츠실트 시간 좌표 t는 다음과 같이 주어진다.
각 영역에서 t는 formula_32에서 formula_33까지이며, 무한대는 사건의 지평선에 위치한다.
호킹 복사의 양자 과정이 유니터리라는 요구사항에 따라 헤라르뒤스 엇호프트는 영역 I과 III, 그리고 II와 IV가 평행 우주가 아니라 뿌리에 대한 가지를 선택하는 데서 오는 수학적 인공물이며 다음과 같은 동치 관계가 부과되어야 한다고 제안했다.
여기서 formula_35는 2구면의 대척점이다. 영역 III과 IV를 구면 좌표를 가지지만 formula_11을 계산하기 위해 음수 제곱근을 선택한 것으로 생각한다면, 우리는 공간의 동일한 점을 나타내기 위해 구면의 반대점을 상응하게 사용한다. 예를 들어:
이는 formula_38를 의미한다.
이는 계량을 보존하는 군 formula_39에 의한 자유 군 작용이므로, 잘 정의된 로렌츠 다양체를 제공한다(특이점을 제외한 모든 곳에서). 이는 좌표선 formula_40에 해당하는 내부 영역 II의 극한 formula_41를 formula_42에 해당하는 외부 영역 I의 극한 formula_43와 동일시한다. 이 동일시는 각 쌍 formula_44이 구에 해당하지만, 점 formula_45 (슈바르츠실트 그림에서 사건의 지평선 formula_46에 해당)은 구가 아니라 실사영평면 formula_47에 해당하며, 기저 다양체의 위상은 더 이상 formula_48가 아니다. 이 다양체는 더 이상 단일 연결 공간이 아니다. 왜냐하면 시공간의 한 지점에서 다시 자기 자신으로 돌아가는 루프(초광속 부분을 포함)는 반대 크러스컬-세케레시 좌표에서는 널 루프로 축소될 수 없기 때문이다.
크러스컬-세케레시 도표의 질적 특징.
크러스컬-세케레시 좌표는 슈바르츠실트 시공간에 대한 직관을 형성하는 데 도움이 되는 여러 유용한 특징을 가지고 있다. 이 중 가장 중요한 것은 모든 방사형 광선형 측지선(방사형으로 움직이는 광선의 세계선)이 크러스컬-세케레시 도표에 그려질 때 45도 각도의 직선처럼 보인다는 사실이다(이는 위에서 주어진 계량 방정식에서 도출될 수 있으며, formula_49이면 고유 시간 formula_50임을 보장한다). 광속보다 느린 물체의 모든 시간형 세계선은 모든 지점에서 45도보다 수직 시간축(T 좌표)에 더 가까운 기울기를 가질 것이다. 따라서 크러스컬-세케레시 도표에 그려진 광추는 특수 상대성이론의 민코프스키 도표의 광추와 동일하게 보일 것이다.
블랙홀과 화이트홀 내부 영역을 경계 짓는 사건의 지평선 또한 45도 각도의 직선 쌍인데, 이는 방사형 방향으로(블랙홀의 경우 외부로, 화이트홀의 경우 내부로 향하는) 지평선에서 방출된 광선이 영원히 지평선에 머무를 것이라는 사실을 반영한다. 따라서 두 블랙홀 지평선은 도표 중앙(T=X=0)의 사건의 미래 광추 경계와 일치하고, 두 화이트홀 지평선은 이 동일한 사건의 과거 광추 경계와 일치한다. 블랙홀 내부 영역 내의 모든 사건은 이 영역 내에 남아 있는 미래 광추를 가질 것이며(사건의 미래 광추 내의 모든 세계선은 결국 두 블랙홀 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선으로 나타나는 블랙홀 특이점에 도달할 것이다), 화이트홀 내부 영역 내의 모든 사건은 이 영역 내에 남아 있는 과거 광추를 가질 것이다(이 과거 광추 내의 모든 세계선은 두 화이트홀 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선인 화이트홀 특이점에서 시작되었음에 틀림없다). 지평선이 바깥쪽으로 확장되는 원뿔처럼 보이지만, r로 주어진 이 표면의 면적은 formula_51으로 상수라는 점에 유의해야 한다. 즉, 주의하지 않으면 이러한 좌표는 기만적일 수 있다.
일정한 슈바르츠실트 좌표 곡선이 크러스컬-세케레시 도표에 그려질 때 어떻게 보이는지 고려하는 것이 유익할 수 있다. 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 r-좌표 곡선은 항상 45도에서 한 쌍의 사건의 지평선으로 경계 지어진 쌍곡선처럼 보이는 반면, 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 t-좌표선은 항상 도표의 중심을 통과하는 다양한 각도의 직선처럼 보인다. 외부 영역 I과 경계 짓는 블랙홀 사건의 지평선은 슈바르츠실트 t-좌표 formula_33와 일치하고, 이 영역과 경계 짓는 화이트홀 사건의 지평선은 슈바르츠실트 t-좌표 formula_32와 일치한다. 이는 슈바르츠실트 좌표에서 낙하하는 입자가 지평선에 도달하는 데 무한한 좌표 시간을 필요로 한다는 사실을 반영한다(즉, 슈바르츠실트 t-좌표가 무한대에 접근함에 따라 입자의 지평선으로부터의 거리는 0에 접근한다). 그리고 지평선에서 멀어지는 입자는 무한한 좌표 시간 전에 지평선을 통과했음에 틀림없다. 이것은 슈바르츠실트 좌표가 정의되는 방식의 단순한 인공물이다. 자유 낙하하는 입자는 외부 관찰자와 사건의 지평선 사이를 통과하는 데 유한한 고유 시간(자신의 시계로 측정한 시간)만 필요하며, 입자의 세계선이 크러스컬-세케레시 도표에 그려지면 크러스컬-세케레시 좌표에서도 유한한 좌표 시간만 필요하다.
슈바르츠실트 좌표계는 크러스컬-세케레시 도표의 영역 I과 II와 같은 단일 외부 영역과 단일 내부 영역만 덮을 수 있다. 반면 크러스컬-세케레시 좌표계는 슈바르츠실트 좌표로 덮이는 영역을 포함하는 "최대로 확장된" 시공간을 덮을 수 있다. 여기서 "최대로 확장된"은 시공간에 "가장자리"가 없어야 한다는 아이디어를 나타낸다. 즉, 모든 측지선 경로는 중력 특이점에 부딪히지 않는 한 어느 방향으로든 임의로 확장될 수 있다. 기술적으로 이는 최대로 확장된 시공간이 "측지선적으로 완전하다"(즉, 모든 측지선은 '아핀 매개변수'의 임의로 큰 양수 또는 음수 값으로 확장될 수 있으며, 시간형 측지선의 경우 고유 시간일 수도 있다), 또는 측지선이 불완전한 경우 특이점에서 끝나기 때문이라는 것을 의미한다. 이 요구사항을 충족하기 위해, 입자가 외부(영역 I)에서 사건의 지평선을 통해 떨어질 때 들어가는 블랙홀 내부 영역(영역 II) 외에, 외부 관찰자가 사건의 지평선에서 상승하는 것을 보는 입자의 궤적을 확장할 수 있는 별도의 화이트홀 내부 영역(영역 IV)과 두 내부 영역에서 일부 가능한 입자 궤적을 확장할 수 있는 별도의 외부 영역(영역 III)이 있어야 한다는 것이 밝혀졌다. 외부 슈바르츠실트 해를 최대로 확장된 시공간으로 확장하는 여러 가능한 방법이 실제로 존재하지만, 크러스컬-세케레시 확장은 모든 최대로 확장된 측지선이 완전하거나 곡률 스칼라가 유한한 아핀 시간 내에 발산하는 최대, 해석적, 단일 연결 진공 해라는 점에서 독특하다.
광추 변형.
문헌에서 크러스컬-세케레시 좌표는 때때로 광추 변형으로도 나타난다.
이 경우 계량은 다음과 같이 주어진다.
그리고 r은 방정식에 의해 암시적으로 정의된다.
이 광추 좌표는 방사형으로 나가는 널 측지선이 formula_58로 주어지고, 방사형으로 들어오는 널 측지선이 formula_59로 주어진다는 유용한 특징을 가지고 있다. 또한 (미래 및 과거) 사건의 지평선은 방정식 formula_60으로 주어지고, 곡률 특이점은 방정식 formula_61로 주어진다.
광추 좌표는 에딩턴-핀켈슈타인 좌표에서 밀접하게 파생된다.
추상 지표 표기법(abstract index notation)은 텐서와 스피너를 위한 수학적 표기법으로, 특정 기저의 성분이 아닌 유형을 나타내기 위해 지표를 사용한다. 지표는 단지 자리 표시자에 불과하며 어떤 기저와도 관련이 없으며, 특히 숫자가 아니다. 따라서 리치 미적분학과 혼동해서는 안 된다. 이 표기법은 로저 펜로즈에 의해 현대 추상 텐서 표기법에서 축약과 공변 미분을 설명하는 어려움을 보완하기 위해 아인슈타인 합 규약의 형식적인 측면을 사용하면서 관련된 표현의 명시적 공변성을 보존하는 방법으로 도입되었다.
formula_1를 벡터 공간이라 하고 formula_2를 그 쌍대 공간이라 하자. 예를 들어, 2차 공변 텐서 formula_3를 고려해 보자. 그러면 formula_4는 formula_1에 대한 쌍선형 형식으로 식별될 수 있다. 즉, formula_1의 두 인수에 대한 함수로, 한 쌍의 슬롯으로 표현될 수 있다.
추상 지표 표기법은 단지 라틴 문자로 슬롯에 레이블을 붙인 것으로, 슬롯의 레이블 지정 외에는 중요성이 없다(즉, 숫자가 아니다).
두 텐서 사이의 텐서 축약 (또는 대각합)은 지표 레이블의 반복으로 표현되며, 한 레이블은 반변적이고 (인자 formula_1에 해당하는 위 지표) 다른 레이블은 공변적이다 (인자 formula_2에 해당하는 아래 지표). 따라서 예를 들어,
는 텐서 formula_12의 마지막 두 슬롯에 대한 대각합이다. 반복된 지표로 텐서 축약을 표현하는 이 방식은 아인슈타인 합 규약과 형식적으로 유사하다. 그러나 지표가 숫자가 아니기 때문에 합을 의미하지는 않는다. 오히려 formula_1 유형의 텐서 인자와 formula_2 유형의 텐서 인자 사이의 추상적인 기저 독립적인 대각합 연산 (또는 자연 짝짓기)에 해당한다.
추상 지표와 텐서 공간.
일반적인 동차 텐서는 formula_1와 formula_2의 사본들의 텐서곱의 원소이다.
이 텐서곱의 각 인자에 대해 각 반변 formula_1 인자에는 위쪽에 라틴 문자를, 각 공변 formula_2 위치에는 아래쪽에 라틴 문자를 붙여 레이블을 지정한다. 이런 식으로 곱을 다음과 같이 쓴다.
마지막 두 표현은 첫 번째와 동일한 객체를 나타낸다. 이 유형의 텐서는 예를 들어 다음과 같은 유사한 표기법을 사용하여 나타낸다.
일반적으로 공간의 텐서곱에 하나의 반변 인자와 하나의 공변 인자가 나타날 때마다 관련 축약 (또는 대각합) 사상이 존재한다. 예를 들어,
는 텐서곱의 처음 두 공간에 대한 대각합이다.formula_24는 처음과 마지막 공간에 대한 대각합이다.
이러한 대각합 연산은 지표의 반복으로 텐서에 표시된다. 따라서 첫 번째 대각합 사상은 다음과 같이 주어진다.
두 번째는 다음과 같다.
꼬임.
단일 벡터 공간의 모든 텐서곱에 대해 꼬임 사상이 관련되어 있다. 예를 들어, 꼬임 사상
은 두 텐서 인자를 교환한다 (따라서 간단한 텐서에 대한 동작은 formula_28로 주어진다). 일반적으로 꼬임 사상은 텐서 인자를 치환하여 작용하는 대칭군 (군론)의 원소들과 일대일 대응한다. 여기서 formula_29는 치환 formula_30 (서로소 순환 치환의 곱으로 표현됨)에 관련된 꼬임 사상을 나타낸다.
꼬임 사상은 미분기하학에서 예를 들어, 비안키 항등식을 표현하는 데 중요하다. 여기서 formula_31을 formula_32의 텐서로 간주되는 리만 텐서라 하자. 그러면 첫 번째 비안키 항등식은 다음과 같이 주장한다.
추상 지표 표기법은 다음과 같이 꼬임을 처리한다. 특정 텐서곱에 대해 추상 지표의 순서가 고정된다 (일반적으로 사전식 순서이다). 꼬임은 지표의 레이블을 치환하여 표기법으로 표현된다. 따라서 예를 들어, 리만 텐서의 경우
비안키 항등식은 다음과 같이 된다.
반대칭화와 대칭화.
일반적인 텐서는 반대칭화되거나 대칭화될 수 있으며, 해당 표기법이 존재한다.
예시를 통해 표기법을 설명한다. 세 개의 원소에 대한 대칭군이 formula_36인 유형-(0,3) 텐서 formula_37를 반대칭화해 보자.
마찬가지로 대칭화할 수 있다.
수학과 물리학에서 펜로즈 그래프 표기법(Penrose graphical notation) 또는 텐서 다이어그램 표기법(tensor diagram notation)은 1971년 로저 펜로즈가 제안한 다중선형 함수 또는 텐서의 (보통 손으로 쓴) 시각적 묘사이다. 이 표기법의 다이어그램은 선으로 연결된 여러 도형으로 구성된다.
이 표기법은 현대 양자 이론, 특히 행렬 곱 상태와 양자 회로에서 널리 나타난다. 특히, 범주형 양자역학 (여기에는 ZX-calculus가 포함됨)은 펜로즈 다이어그램 측면에서 양자 이론을 완전히 재정의한 것이다.
이 표기법은 프레드라그 츠비타노비치에 의해 광범위하게 연구되었으며, 그는 파인만의 다이어그램 및 기타 관련 표기법과 함께 "새 발자국(birdtracks)"을 개발하는 데 이를 사용했다. 새 발자국은 고전 리 군을 분류하기 위한 군론적 다이어그램이다. 펜로즈의 표기법은 또한 표현론을 사용하여 물리학의 스핀 네트워크로 일반화되었으며, 행렬군이 있는 경우 선형대수학의 추적 다이어그램으로 일반화되었다.
다중선형대수학의 언어로 각 도형은 다중선형 함수를 나타낸다. 도형에 부착된 선은 함수의 입력 또는 출력을 나타내며, 도형을 어떤 방식으로든 함께 연결하는 것은 본질적으로 함수의 합성이다.
텐서 대수의 언어로, 특정 텐서는 위아래로 뻗어 나가는 많은 선을 가진 특정 도형과 연관되어 있으며, 각각 텐서의 추상 상위 및 하위 인덱스에 해당한다. 두 도형 사이의 선을 연결하는 것은 인덱스의 축약에 해당한다. 이 수학적 표기법의 한 가지 장점은 새로운 인덱스에 대해 새로운 문자를 발명할 필요가 없다는 것이다. 이 표기법은 또한 명시적으로 기저에 독립적이다.
각 도형은 행렬을 나타내며, 텐서곱은 수평으로, 행렬 곱셈은 수직으로 수행된다.
특수 텐서의 표현.
계량 텐서는 사용되는 텐서의 유형에 따라 U자형 고리 또는 뒤집힌 U자형 고리로 표현된다.
레비치비타 텐서.
레비치비타 텐서는 사용되는 텐서의 유형에 따라 아래 또는 위로 향하는 막대기가 있는 두꺼운 수평 막대로 표현된다.
리 대수의 구조 상수(formula_1)는 위로 향하는 선 하나와 아래로 향하는 선 두 개가 있는 작은 삼각형으로 표현된다.
텐서 연산.
인덱스 축약.
인덱스의 텐서 축약은 인덱스 선을 함께 연결하여 표현된다.
인덱스의 대칭화는 인덱스 선을 가로지르는 두꺼운 지그재그 또는 물결 모양의 막대로 표현된다.
반대칭화.
인덱스의 반대칭화는 인덱스 선을 가로지르는 두꺼운 직선으로 표현된다.
행렬식은 인덱스에 반대칭화를 적용하여 형성된다.
공변미분.
공변미분(formula_2)은 미분될 텐서(들) 주위의 원과 원에서 아래쪽으로 향하는 선으로 표현되며, 이는 미분의 하위 인덱스를 나타낸다.
텐서 조작.
다이어그램 표기법은 텐서 대수를 조작하는 데 유용하다. 일반적으로 텐서 조작의 몇 가지 간단한 "항등식"이 포함된다.
예를 들어, formula_3는 일반적인 "항등식"이며, 여기서 n은 차원의 수이다.
리만 곡률 텐서의 리치 및 비안키 항등식은 이 표기법의 위력을 보여준다.
이 표기법은 스피너와 트위스터를 지원하도록 확장되었다.
수학, 특히 다중선형대수학에서 다이애딕(dyadic) 또는 다이애딕 텐서(dyadic tensor)는 벡터 미적분학에 맞는 표기법으로 작성된 2차 텐서이다.
두 유클리드 벡터를 곱하는 방법에는 여러 가지가 있다. 스칼라곱은 두 벡터를 받아 스칼라를 반환하는 반면, 벡터곱은 유사벡터를 반환한다. 이 둘은 모두 중요한 기하학적 해석을 가지며 수학, 물리학, 공학에서 널리 사용된다. 다이애딕 곱은 두 벡터를 받아 이 맥락에서 다이애딕이라고 불리는 2차 텐서를 반환한다. 다이애딕은 물리적 또는 기하학적 정보를 담는 데 사용될 수 있지만, 일반적으로 이를 기하학적으로 해석하는 직접적인 방법은 없다.
다이애딕 곱은 벡터 덧셈에 대해 분배적이고 스칼라배에 대해 결합적이다. 따라서 다이애딕 곱은 두 피연산자 모두에서 선형이다. 일반적으로 두 다이애딕은 더하여 다른 다이애딕을 얻을 수 있으며, 숫자로 곱하여 다이애딕을 스케일링할 수 있다. 그러나 이 곱은 교환적이지 않다. 벡터의 순서를 바꾸면 다른 다이애딕이 된다.
다이애딕 대수의 형식은 벡터의 다이애딕 곱을 포함하도록 벡터 대수를 확장한 것이다. 다이애딕 곱은 다른 벡터와의 스칼라곱 및 벡터곱과도 결합적이며, 이를 통해 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱을 결합하여 다른 스칼라, 벡터 또는 다이애딕을 얻을 수 있다.
또한 행렬 대수의 일부 측면을 가지는데, 벡터의 수치 성분은 행 벡터와 열 벡터로 배열될 수 있고, 2차 텐서의 성분은 정사각 행렬로 배열될 수 있다. 또한 스칼라곱, 벡터곱 및 다이애딕 곱은 모두 행렬 형식으로 표현될 수 있다. 다이애딕 표현은 행렬 등가물과 매우 유사할 수 있다.
다이애딕과 벡터의 스칼라곱은 다른 벡터를 제공하며, 이 결과의 스칼라곱을 취하면 다이애딕에서 파생된 스칼라를 얻을 수 있다. 주어진 다이애딕이 다른 벡터에 미치는 영향은 간접적인 물리적 또는 기하학적 해석을 제공할 수 있다.
다이애딕 표기법은 1884년 조사이어 윌러드 기브스에 의해 처음 확립되었다. 이 표기법과 용어는 오늘날 비교적 구식이다. 물리학에서의 용도는 연속체 역학 및 전자기학을 포함한다.
이 문서에서 대문자 굵은 변수는 다이애딕(다이애드 포함)을 나타내고, 소문자 굵은 변수는 벡터를 나타낸다. 대안적인 표기법은 각각 이중 및 단일 위 또는 아래 막대를 사용한다.
다이애딕, 외적 및 텐서곱.
다이애드는 차수 2, 계수 1인 텐서이며, 두 유클리드 벡터(일반적으로 복소수 벡터)의 다이애딕 곱인 반면, 다이애딕은 차수 2인 일반 텐서이다(전체 계수일 수도 있고 아닐 수도 있다).
이 곱에 대해 여러 가지 동등한 용어와 표기법이 있다.
다이애딕 맥락에서 이들은 모두 동일한 정의와 의미를 가지며 동의어로 사용되지만, 텐서곱은 용어의 더 일반적이고 추상적인 사용의 한 예이다.
3차원 유클리드 공간.
동등한 사용법을 설명하기 위해 3차원 유클리드 공간을 고려하고, 다음을 가정한다.
여기서 i, j, k (e1, e2, e3로도 표기됨)는 이 벡터 공간의 표준 기저 벡터이다(또한 데카르트 좌표계 참조). 그러면 a와 b의 다이애딕 곱은 합으로 표현될 수 있다.
또는 행 벡터 및 열 벡터로부터의 확장으로, 3×3 행렬(또한 a와 b의 외적 또는 텐서곱의 결과)로 표현될 수 있다.
다이애드는 다이애딕의 구성 요소(합의 단항식 또는 행렬의 항목)이다. 즉, 한 쌍의 기저 벡터의 다이애딕 곱에 숫자가 스칼라배된 것이다.
표준 기저 (및 단위) 벡터 i, j, k는 다음과 같은 표현을 가진다.
(전치될 수 있다), 표준 기저 (및 단위) 다이애드는 다음과 같은 표현을 가진다.
표준 기저에서의 간단한 수치 예시는 다음과 같다.
N차원 유클리드 공간.
유클리드 공간이 N-차원이고,
여기서 ei와 ej는 N차원의 표준 기저 벡터이다 (ei의 i는 벡터의 구성 요소가 아닌 특정 벡터를 선택한다, ai에서처럼). 그러면 대수 형식으로 이들의 다이애딕 곱은 다음과 같다.
이것은 다이애딕의 비오니온(nonion) 형식으로 알려져 있다. 행렬 형식의 외적/텐서곱은 다음과 같다.
다이애딕이라고도 하는 다이애딕 다항식 A는 여러 벡터 ai와 bj로 구성된다.
N개 미만의 다이애드의 합으로 줄일 수 없는 다이애딕은 완전하다고 한다. 이 경우, 구성 벡터는 동일 평면상에 있지 않다. Chen (1983)을 참조하라.
다음 표는 다이애딕을 분류한다.
다음 항등식은 텐서곱의 정의의 직접적인 결과이다.
다이애딕 대수.
다이애딕과 벡터의 곱.
벡터와 다이애딕에 대해 정의된 네 가지 연산이 있으며, 이는 벡터에 대해 정의된 곱으로부터 구성된다.
다이애딕과 다이애딕의 곱.
하나의 다이애딕을 다른 다이애딕에 적용하는 다섯 가지 연산이 있다. a, b, c, d를 실수 벡터라고 하자. 그러면 다음과 같다.
두 일반 다이애딕을 다음과 같이 두자.
이중 스칼라곱.
이중 스칼라곱의 첫 번째 정의는 프로베니우스 내적이다.
더 나아가,
이므로, 다음과 같다.
표준 기저에서 (i, j, k의 정의는 위 섹션 참조),
명시적으로, 단위 다이애딕의 오른쪽에 있는 스칼라곱은 다음과 같다.
그리고 왼쪽에 있는 것은
해당 행렬은 다음과 같다.
이것은 텐서곱의 언어를 사용하여 더 신중한 기초 위에 놓일 수 있다("병렬 표기법"의 논리적 내용이 무엇을 의미할 수 있는지 설명). V가 유한 차원 벡터 공간인 경우, V상의 다이애딕 텐서는 V와 그 쌍대 공간의 텐서곱에 있는 기본 텐서이다.
V와 그 쌍대 공간의 텐서곱은 V에서 V로의 선형 변환 공간과 동형이다. 다이애딕 텐서 vf는 단순히 V의 모든 w를 f(w)v로 보내는 선형 변환이다. V가 유클리드 n-공간일 때, 우리는 내적을 사용하여 쌍대 공간을 V 자체와 식별할 수 있으며, 다이애딕 텐서를 유클리드 공간의 두 벡터의 기본 텐서곱으로 만든다.
이러한 의미에서 단위 다이애딕 ij는 3차원에서 자신으로 가는 함수로, a1i + a2j + a3k를 a2i로 보내고, jj는 이 합을 a2j로 보낸다. 이제 ii + jj + kk가 항등원인 (정확한) 의미가 드러난다. 즉, 표준 기저의 각 단위 벡터를 해당 기저의 벡터 계수로 스케일링한 것을 합산하는 효과를 가지므로 a1i + a2j + a3k를 자기 자신으로 보낸다.
단위 다이애딕의 속성.
여기서 "tr"은 대각합을 나타낸다.
벡터 사영 및 배제.
0이 아닌 벡터 a는 항상 두 개의 수직 구성 요소, 즉 단위 벡터 n의 방향에 평행한 (‖) 구성 요소와 이에 수직한 (⊥) 구성 요소로 분할될 수 있다.
평행 성분은 벡터 사영으로 찾을 수 있으며, 이는 a와 다이애딕 nn의 스칼라곱과 동일하다.
그리고 수직 성분은 벡터 배제로 찾을 수 있으며, 이는 a와 다이애딕 의 스칼라곱과 동일하다.
회전 다이애딕.
다이애딕
는 2차원에서 90° 반시계 방향 회전 연산자이다. 벡터 r = xi + yj에 왼쪽에서 점곱을 하면 다음 벡터가 생성된다.
요약하면
또는 행렬 표기법으로
임의의 각도 θ에 대해, 평면에서 반시계 방향 회전에 대한 2차원 회전 다이애딕은
여기서 I와 J는 위와 같으며, 모든 2차원 벡터 a = axi + ayj의 회전은 다음과 같다.
3차원 회전.
벡터 a의 일반적인 3차원 회전은 단위 벡터 ω 방향의 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전하는 것으로, 다이애딕 형태의 로드리게스 회전 공식을 사용하여 수행할 수 있다.
여기서 회전 다이애딕은
이며, ω의 데카르트 성분 또한 다이애딕의 성분을 구성한다.
Ω가 a에 미치는 영향은 벡터곱이다.
이는 열 벡터와 함께 벡터곱 행렬의 다이애딕 형태이다.
특수 상대성이론에서 단위 벡터 n 방향으로 속도 v를 가진 로런츠 부스트는 다음과 같이 표현될 수 있다.
는 로런츠 인자이다.
일부 저자들은 다이애딕이라는 용어를 삼진(triadic), 사진(tetradic), 다진(polyadic)과 같은 관련 용어로 일반화한다.
키르기스스탄군(; )은 키르기스스탄의 통일된 군대이다.
수학 및 특히 미분기하학에서 접속 형식(connection form)은 움직이는 틀과 미분 형식의 언어를 사용하여 접속의 데이터를 구성하는 방식이다.
역사적으로 접속 형식은 20세기 전반에 엘리 카르탕이 그의 움직이는 틀 방법의 일부이자 주요 동기 중 하나로 도입했다. 접속 형식은 일반적으로 좌표 틀의 선택에 따라 달라지므로 텐서적 객체가 아니다. 카르탕의 초기 작업 이후 접속 형식의 다양한 일반화 및 재해석이 공식화되었다. 특히, 주다발에서 주접속은 접속 형식을 텐서적 객체로 자연스럽게 재해석한 것이다. 반면에 접속 형식은 추상적인 주다발이 아닌 미분 다양체에 정의된 미분 형식이라는 장점이 있다. 따라서 텐서성이 부족함에도 불구하고 접속 형식은 계산 수행의 상대적 용이성 때문에 계속 사용된다. 물리학에서 접속 형식은 게이지 공변 미분을 통해 게이지 이론의 맥락에서도 널리 사용된다.
접속 형식은 벡터 다발의 각 기저에 미분 형식의 행렬을 연결한다. 접속 형식은 기저 변환 시 전이 함수의 외미분을 포함하는 방식으로 변환되기 때문에 텐서적이지 않다. 이는 레비치비타 접속의 크리스토펠 기호와 매우 유사하다. 접속 형식의 주요 텐서 불변량은 곡률 형식이다. 벡터 다발을 접다발과 동일시하는 납땜 형식이 있는 경우, 추가적인 불변량인 비틀림 형식이 있다. 많은 경우, 접속 형식은 구조 군을 가진 올다발의 추가 구조를 가진 벡터 다발에서 고려된다.
벡터 다발의 틀.
formula_1 위의 올 차원 formula_2인 벡터 다발 formula_3가 있다고 하자. formula_3의 국소 틀은 formula_3의 국소 단면의 순서화된 기저이다. 벡터 다발은 항상 다양체의 아틀라스와 유사하게 국소 자명화로 정의되므로 국소 틀을 구성하는 것은 항상 가능하다. 즉, 밑공간 다양체 formula_1의 임의의 점 formula_7가 주어졌을 때, formula_7의 열린 근방 formula_9이 존재하여 formula_10 위의 벡터 다발이 국소적으로 자명하다. 즉, formula_11와 동형이며 formula_10로 사영한다. 이를 통해 formula_13의 벡터 공간 구조를 전체 국소 자명화로 확장할 수 있으며, formula_13의 기저도 확장할 수 있다. 이것이 국소 틀을 정의한다. (여기서는 실수 집합이 사용되었지만, 대부분의 전개는 일반적으로 환 위의 가군, 특히 복소수 formula_15 위의 벡터 공간으로 확장될 수 있다.)
formula_3 위의 국소 틀을 formula_17라고 하자. 이 틀은 formula_3의 임의의 단면을 국소적으로 표현하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, formula_19가 틀 formula_20와 동일한 열린 집합 위에서 정의된 국소 단면이라고 가정하자. 그러면
여기서 formula_22는 틀 formula_23에서 formula_19의 성분을 나타낸다. 행렬 방정식으로 표현하면 다음과 같다.
일반 상대성이론에서 이러한 틀장은 테트라드라고 불린다. 테트라드는 특히 국소 틀을 밑공간 다양체 formula_1 (아틀라스에 의해 설정된 formula_1의 좌표계)의 명시적 좌표계와 관련시킨다.
외적 접속.
E의 코쥘 접속은 다음 유형의 미분 연산자이다.
여기서 Γ는 벡터 다발의 국소 단면의 층을 나타내고, Ω1M은 M 위의 미분 1-형식의 다발이다. D가 접속이 되려면 외미분과 올바르게 결합되어야 한다. 특히, v가 E의 국소 단면이고 f가 매끄러운 함수이면 다음이 성립한다.
여기서 df는 f의 외미분이다.
때로는 D의 정의를 임의의 E-값 형식으로 확장하여, 이를 미분 형식의 전체 외대수와 E의 텐서곱에 대한 미분 연산자로 간주하는 것이 편리하다. 이 호환성 속성을 만족하는 외적 접속 D가 주어지면 D의 유일한 확장이 존재한다.
여기서 v는 차수 deg v의 동차 형식이다. 즉, D는 등급 가군 Γ(E ⊗ Ω*M)의 층에 대한 미분이다.
접속 형식.
접속 형식은 외적 접속을 특정 틀 e에 적용할 때 발생한다. eα에 외적 접속을 적용하면 다음을 만족하는 M 위의 1차 미분 형식으로 이루어진 유일한 k × k 행렬 (ωαβ)이다.
접속 형식을 사용하여 E의 임의 단면에 대한 외적 접속을 이제 표현할 수 있다. 예를 들어, ξ = Σα eαξα라고 가정하자. 그러면
양변의 성분을 취하면,
여기서 d와 ω는 틀 e에 대한 성분별 미분과 ξ의 성분에 작용하는 1-형식의 행렬을 각각 나타낸다. 반대로, 1-형식 ω의 행렬은 기본 단면 e가 정의된 열린 집합에서 접속을 국소적으로 완전히 결정하기에 선험적으로 충분하다.
틀의 변경.
ω를 적절한 전역 객체로 확장하기 위해서는 E의 기본 단면을 다르게 선택할 때 ω가 어떻게 동작하는지 조사할 필요가 있다. ωαβ = ωαβ(e)라고 써서 e의 선택에 대한 의존성을 나타낸다.
e가 국소 기저의 다른 선택이라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 가역 k × k 함수 행렬 g가 존재한다.
양변에 외적 접속을 적용하면 ω의 변환 법칙이 나온다.
특히, ω는 한 틀에서 다른 틀로 전환하는 규칙이 전이 행렬 g의 미분을 포함하기 때문에 텐서적으로 변환되지 않는다는 점에 유의한다.
전역 접속 형식.
이 호환성 조건은 특히 E의 단면의 외적 접속이 E ⊗ Ω1M의 단면으로 추상적으로 간주될 때, 접속을 정의하는 데 사용된 기저 단면의 선택에 의존하지 않도록 보장한다.
E에서 접속 형식의 곡률 2-형식은 다음으로 정의된다.
접속 형식과 달리 곡률은 틀 변경 시 텐서적으로 동작하며, 이는 푸앵카레 보조정리를 사용하여 직접 확인할 수 있다. 특히, e → e g가 틀 변경이면 곡률 2-형식은 다음과 같이 변환된다.
이 변환 법칙의 한 가지 해석은 다음과 같다. e*를 틀 e에 해당하는 쌍대 기저라고 하자. 그러면 2-형식
는 틀 선택과 무관하다. 특히, Ω는 End(E,E)의 자기동형환에 값을 갖는 M 위의 벡터 값 2-형식이다. 기호적으로는 다음과 같다.
외적 접속 D의 관점에서 곡률 자기동형은 다음으로 주어진다.
v ∈ E에 대해 (이 표현을 정의하기 위해 v를 국소 단면으로 확장할 수 있다). 따라서 곡률은 다음 수열의 실패를 측정한다.
드람 코호몰로지 의미에서 사슬 복합체가 되기 위한 실패를 측정한다.
납땜과 비틀림.
E의 올 차원 k가 다양체 M의 차원과 같다고 가정하자. 이 경우, 벡터 다발 E는 때때로 접속 외에 추가 데이터, 즉 납땜 형식이 주어진다. 납땜 형식은 M 위에 전역적으로 정의된 벡터 값 1-형식 θ ∈ Ω1(M,E)으로, 모든 x ∈ M에 대해 매핑
는 선형 동형이다. 납땜 형식이 주어지면 (외적 접속 측면에서) 접속의 비틀림을 다음과 같이 정의할 수 있다.
비틀림 Θ는 M 위의 E-값 2-형식이다.
납땜 형식과 관련 비틀림은 E의 국소 틀 e를 사용하여 모두 설명될 수 있다. θ가 납땜 형식인 경우, 틀 성분으로 분해된다.
비틀림의 성분은 다음과 같다.
곡률과 마찬가지로 Θ는 틀 변경 시 반변 텐서처럼 동작함이 증명될 수 있다.
틀에 독립적인 비틀림은 틀 성분에서도 복구될 수 있다.
비앙키 항등식.
비앙키 항등식은 비틀림과 곡률을 관련시킨다. 첫 번째 비앙키 항등식은 다음을 나타낸다.
두 번째 비앙키 항등식은 다음을 나타낸다.
예시: 레비치비타 접속.
예를 들어, M이 리만 계량을 가진다고 가정하자. M 위에 벡터 다발 E가 있다면, 계량을 전체 벡터 다발로 확장할 수 있으며, 이를 다발 계량이라고 한다. 그러면 이 다발 계량과 호환되는 접속을 정의할 수 있으며, 이를 계량 접속이라고 한다. E가 접다발 TM인 특수한 경우, 계량 접속을 리만 접속이라고 한다. 리만 접속이 주어지면, 비틀림 없는 유일하고 동등한 접속을 항상 찾을 수 있다. 이것이 M의 접다발 TM 위의 레비치비타 접속이다.
접다발 위의 국소 틀은 벡터장 의 순서화된 목록으로, 이고, 그 정의역의 모든 점에서 선형 독립적으로 M의 열린 부분집합에 정의된다. 크리스토펠 기호는 다음으로 레비치비타 접속을 정의한다.
θ = 가 공변접다발의 쌍대 기저를 나타내어 θi(ej) = δij (크로네커 델타)를 만족한다면, 접속 형식은 다음과 같다.
접속 형식의 관점에서 벡터장 에 대한 외적 접속은 다음으로 주어진다.
이를 ei와 축약하여 일반적인 의미의 레비치비타 접속을 복구할 수 있다.
레비치비타 접속의 곡률 2-형식은 다음으로 주어진 행렬 (Ωij)이다.
간단화를 위해 틀 e가 홀로노믹이라고 가정하면 이다. 그러면, 반복되는 지표에 대한 아인슈타인 합 규약을 사용하여
여기서 R은 리만 곡률 텐서이다.
비틀림.
레비치비타 접속은 비틀림이 없는 접다발의 유일한 계량 접속으로 특징지어진다. 비틀림을 설명하기 위해 벡터 다발 E가 접다발이라는 점에 유의하자. 이는 접공간의 항등 자기동형 사상에 해당하는 의 단면인 정규 정규 1-형식 (특히 고전역학의 맥락에서는) θ를 가진다. 틀 e에서 납땜 형식은 이며, 여기서 θi는 쌍대 기저이다.
접속의 비틀림은 로 주어지거나, 납땜 형식의 틀 성분으로 표현하면 다음과 같다.
다시 간단화를 위해 e가 홀로노믹이라고 가정하면, 이 표현은 다음으로 축소된다.
이는 Γikj가 하위 지표에 대해 대칭일 때만 사라진다.
비틀림이 있는 계량 접속이 주어지면, 항상 비틀림이 없는 유일한 접속을 찾을 수 있으며, 이것이 레비치비타 접속이다. 리만 접속과 그에 관련된 레비치비타 접속의 차이는 비틀림 텐서이다.
구조 군.
벡터 다발 E가 구조 군을 가질 때 더 구체적인 유형의 접속 형식을 구성할 수 있다. 이는 E에 대한 특정 부류의 틀 e를 지정하는 것으로, 이 틀들은 리 군 G에 의해 서로 관련된다. 예를 들어, E에 계량이 있는 경우, 각 점에서 정규 직교 기저를 형성하는 틀로 작업한다. 이 경우 구조 군은 틀의 정규 직교성을 보존하므로 직교군이다. 다른 예시는 다음과 같다.
일반적으로, 올 차원이 k이고 G ⊂ GL(k)가 Rk의 일반 선형 군의 주어진 리 부분군인 벡터 다발 E가 있다고 하자. (eα)가 E의 국소 틀일 때, 행렬 값 함수 (gij): M → G가 eα에 작용하여 새로운 틀
을 생성할 수 있다. 이러한 두 틀은 G"-관련되어 있다. 비형식적으로, 벡터 다발 E는 국소적으로 서로 G-관련된 틀의 선호 부류가 지정되면 G"-다발의 구조를 가진다. 형식적으로, E는 Rk를 전형적인 올로 가지고 GL(k)의 부분군으로 G의 자연스러운 작용을 하는 구조 군 G를 가진 올다발이다.
접속은 E 위의 G-다발 구조와 호환되며, 이는 관련된 평행 운송 사상이 항상 한 G-틀을 다른 G-틀로 보낸다는 것을 의미한다. 형식적으로, 곡선 γ를 따라 다음이 국소적으로 (즉, 충분히 작은 t 값에 대해) 성립해야 한다.
어떤 행렬 gαβ (t에 따라 달라질 수 있음)에 대해. t=0에서 미분하면 다음이 나온다.
여기서 계수 ωαβ는 리 군 G의 리 대수 g에 속한다.
이 관찰에 따라 다음으로 정의되는 접속 형식 ωαβ는
1-형식 행렬 ωαβ(e)가 그 값을 g에 취할 때 구조와 호환된다.
호환 접속의 곡률 형식은 더욱이 g-값 2-형식이다.
틀 변경 시
여기서 g는 M의 열린 부분집합에 정의된 G-값 함수이다. 접속 형식은 다음과 같이 변환된다.
또는 행렬 곱을 사용하면 다음과 같다.
이러한 각 항을 해석하려면 g : M → G가 G-값 (국소적으로 정의된) 함수임을 상기한다. 이를 염두에 두면
여기서 ωg는 군 G의 모러-카르탕 형식으로, 여기서는 함수 g를 따라 M로 당겨지고, Ad는 G의 리 대수에 대한 딸림표현이다.
지금까지 소개된 접속 형식은 특정 틀 선택에 따라 달라진다. 첫 번째 정의에서 틀은 단지 단면의 국소 기저이다. 각 틀에 대해 접속 형식은 한 틀에서 다른 틀로 넘어가는 변환 법칙과 함께 주어진다. 두 번째 정의에서 틀 자체는 리 군이 제공하는 추가 구조를 가지며, 틀 변경은 그 값을 취하는 것으로 제한된다. 샤를 에레스만이 1940년대에 개척한 주다발의 언어는 이러한 많은 접속 형식과 그것들을 연결하는 변환 법칙을 하나의 내재적 형식으로 단일 변환 규칙과 함께 구성하는 방법을 제공한다. 이 접근 방식의 단점은 형식이 더 이상 다양체 자체에 정의되지 않고 더 큰 주다발에 정의된다는 것이다.
접속 형식에 대한 주접속.
E → M이 구조 군 G를 가진 벡터 다발이라고 가정하자. {U}를 M의 열린 덮개라고 하고, 각 U에 G-틀이 eU로 표시된다고 하자. 이들은 겹치는 열린 집합의 교집합에서 다음으로 관련된다.
U ∩ V에 정의된 G-값 함수 hUV에 대해.
FGE를 M의 각 점에 걸쳐 취해진 모든 G-틀의 집합이라고 하자. 이것은 M 위의 주 G-다발이다. 자세히 말하면, G-틀이 모두 G-관련되어 있다는 사실을 이용하여 FGE는 열린 덮개의 집합 사이의 접합 데이터 측면에서 실현될 수 있다.
여기서 동치 관계 formula_70는 다음으로 정의된다.
FGE 위에, 각 곱 U × G에 대해 g-값 1-형식을 지정하여 주접속을 다음과 같이 정의한다. 이는 겹치는 영역의 동치 관계를 존중한다. 먼저 다음을 정의하자.
는 사영 사상이다. 이제 (x,g) ∈ U × G 점에 대해 다음을 설정한다.
이러한 방식으로 구성된 1-형식 ω는 겹치는 집합 간의 전이를 존중하며, 따라서 주다발 FGE 위의 전역적으로 정의된 1-형식을 제공한다. ω는 FGE에 대한 오른쪽 G 작용의 생성자를 재현하고, T(FGE)에 대한 오른쪽 작용과 G의 딸림표현을 동변적으로 얽히게 한다는 의미에서 주접속임을 보일 수 있다.
주접속과 관련된 접속 형식.
반대로, 주 G-다발 P→M의 주 G-접속 ω는 M 위의 접속 형식 모음을 생성한다. e : M → P가 P의 국소 단면이라고 가정하자. 그러면 e를 따른 ω의 당김은 M 위의 g-값 1-형식을 정의한다.
G-값 함수 g로 틀을 변경하면, 라이프니츠 규칙과 딸림을 사용하여 ω(e)가 필요한 방식으로 변환되는 것을 볼 수 있다.
여기서 X는 M 위의 벡터이고, d는 밀어내기를 나타낸다.
애플의 MFi 프로그램(MFi Program) 또는 MFi 인증은 "Made for iPhone/iPod/iPad"를 의미하며, 애플의 아이팟, 아이패드, 아이폰과 함께 작동하는 하드웨어 및 소프트웨어 주변기기 개발자를 위한 라이선싱 프로그램이다. 이 이름은 궁극적으로 MFi가 된 원래 프로그램인 Made for iPod의 약칭이다.
MFi 프로그램은 헤드폰 잭, 원래의 독 커넥터 및 최신 라이트닝 커넥터를 포함한 다양한 장치 커넥터와 에어플레이 지원을 포괄한다. MFi 프로그램에 가입하고 인증 테스트를 통과한 회사는 "Made for iPod" 배지와 같은 특정 MFi 관련 로고를 제품 포장에 표시할 수 있다.
Made for iPod.
Made for iPod 프로그램은 2005년 1월 11일 맥월드 엑스포에서 시작되었지만, 발표 직전에 출시된 일부 제품은 대신 "Ready for iPod" 라벨을 달고 있었다. 당시 애플이 로고가 있는 모든 제품에 대해 10%의 수익을 청구할 것이라고 보도되었고, 언론은 이를 "세금"이라고 묘사했다. 아이팟은 음소거 및 볼륨 조절과 같은 추가 제어 입력을 허용하는 확장된 헤드폰 잭을 사용하며, 잭 또는 독 커넥터에 연결하는 제품에 대한 라이선스를 사용할 수 있었다.
독 커넥터를 사용할 때 장치는 애플 액세서리 프로토콜(AAP)로 알려진 간단한 직렬 프로토콜을 사용하여 아이팟을 제어할 수 있다. 이는 (일반적으로) 19,200 비트/초 8N1 통신 신호를 사용하여 "음성 메모 가져오기" 또는 "볼륨 높이기"와 같은 명령을 포함하는 짧은 패킷을 보낸다. 3세대 아이팟이 도입되면서 AAP는 헤드폰 연결에서도 사용할 수 있게 되었다. 이러한 신호는 자동차 통합 시스템을 포함한 많은 Made for iPod 장치에서 원격 제어를 허용하는 데 사용된다.
2022년까지 모든 아이팟 모델은 단종되었지만, MFi 프로그램은 계속 존재한다.
새로운 제품 라인.
아이폰의 도입으로 프로그램 이름은 "Made for iPod and Made for iPhone"으로 확장되었고, 다시 아이패드로 "Made for iPod, iPhone and iPad"가 되었다. 프로그램 이름은 2010년경 공식적으로 MFi로 변경되었지만, 이 용어는 한동안 비공식적으로 사용되어 왔다.
MFi 프로그램은 이제 무선 음악 스트리밍을 위한 AirTunes 시스템도 다룬다. AirTunes는 원래 2004년 아이튠즈 내의 Mac 및 PC 플랫폼에서 도입되었으며, 나중에 Apple TV와 같은 장치를 지원하기 위해 비디오 출력 기능이 추가되면서 AirPlay로 알려지게 되었다. AirPlay는 아이폰과 아이팟 터치가 도입되면서 와이파이 기능을 얻게 되었을 때 장치에 적용되었다. 하드웨어 구성 요소가 없기 때문에 AirPlay는 공식 및 비 MFi 소프트웨어 시스템 모두에서 널리 구현되었다(자세한 내용은 AirPlay 참조).
라이트닝 커넥터.
라이트닝 커넥터가 도입되면서 브랜딩이 변경되었고, 한동안 비공식적으로 사용되어 온 용어인 MFi로 공식적으로 바뀌었다. 라이트닝은 또한 MFi 프로그램을 통해서만 공식적으로 지원될 수 있는 추가 프로토콜을 도입했다. TUAW에 따르면 기술적 요구 사항 외에도 애플은 모든 제3자가 애플의 공급업체 책임 코드에 동의하도록 요구하는 라이선스 계약을 업데이트할 기회를 가졌다.
iOS 7 이후.