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마셜은 전쟁 직후 싱가포르 유대인 공동체와 관계를 맺기 시작했으며, 유대인 이익과 문제를 다루는 유대인 단체인 유대인 복지 위원회를 설립했다. 마셜은 1946년 6월 27일 첫 회장으로 선출되었고, 이후 6년간 회장으로 재선되었다. 복지위원회는 워털루 스트리트에 노인 주택을 설립하고, 싱가포르를 경유하는 유대인 이민자들을 돕기 위한 임시 위원회를 만들었다. 마셜은 복지위원회에서 활동하면서도 정치와는 관계를 끊고 있었다. 이스라엘 관리들이 자기 집을 방문했을 때 그는 관리들을 자주 접대했지만 여전히 무소속으로 남았다.
복지위원회 외에도 마셜은 다른 일에도 참여했다. 영국 군정이 바나나 통화를 인정하지 않기로 결정한 후, 바나나 머니를 저축한 많은 사람들은 빈곤을 겪게 되었다. 이들은 일본의 점령 기간 동안 중단되었던 급여와 재산의 반환을 영국 군정으로부터 기다리고 있었다. 1946년 3월, 영국은 영국 정부 및 군대 구성원들에게 말라야에서 전쟁 중 억류된 기간에 대해 1인당 £1500를 지불할 것이라고 발표했다. 이는 일본군에 억류되지 않았던 사람들, 그 중에서도 아시아인들의 분노를 샀고, 현지인들이 유럽인 포로들보다 적은 급여를 받았다는 사실은 인종 차별 문제로 이어졌다.
이후, 마셜은 영국 군정의 계획에 반대하는 집단의 일원이 되었고, 1946년 4월 24일 전쟁 포로 협회를 설립했다. 마셜은 이 협회에서 명예 서기로 활동했다. WPA는 포로, 억류자, 정치범, 민간인 포로를 포함했으며, 주요 목표는 전쟁으로 피해를 입은 사람들의 보상에 중점을 두었다. 서기로서 마셜은 그들의 주요 대변인 역할을 했으며, 식민 정부에 대해 비판적인 발언을 자주 했다. WPA의 인구 구성은 유럽인이 대다수였기 때문에, 마셜은 유럽인의 이익을 위해 일한다는 비난을 받았다. 그러나 실제로 대부분의 유럽인 회원들은 가난했고 전쟁 포로 협회는 피해를 입은 중국인, 유라시아인, 인도인 포로들도 놓치지 않았다.
1946년 8월, 식민지부 장관 조지 헨리 홀은 싱가포르 자원군이 제기한 민사 책임 주장을 거부할 것이라고 발표했다. 전쟁포로 협회는 11월에 싱가포르 총독 프랭클린 김슨에게 책임 주장이 철회되지 않았으므로 여전히 유효하며, 김슨에게 재판소를 설립해 달라고 요청했다. 마셜은 더 스트레이츠 타임스와의 인터뷰에서 김슨이 법무장관 에드워드 존 데이비스와 이야기를 나누고 있었지만, "그 이후로 총독으로부터 소식을 듣지 못했으나 그의 약속을 기다리고 있었다"고 말했다. 1947년 3월, 그는 WPA를 대표하여 식민지부장관 아서 크리치 존스에게 편지를 보내 다음과 같이 썼다. "때때로 이 식민지에 정부는 없고, 게으른 사무원들의 관료주의만 있다는 인상을 받는다면 이는 용서를 구해야 할 일입니다."
1940년대 후반부터 1950년대 초반까지 마셜은 성공한 법조인이었고, 그는 저명한 변호사로 잘 알려지게 되었다. 1950년 1월, 그는 원래 의학을 공부하려던 계획을 실현하기로 결정하고, 시드니 대학교에서 서신을 받은 후 그곳으로 갔다. 당시 그는 앨런 &amp; 글레드힐의 파트너였다. 오스트레일리아에 도착한 후, 그는 먼저 가족을 만나러 퍼스로 갔고, 그곳에서 왕립 퍼스 병원에서 일하는 화이트라는 정신과 의사를 만났다. 마셜은 정신의학을 공부하고 싶어 화이트에게 조언을 구했고, 그로부터 시간에 대한 개념에 관한 책들을 읽으라고 받았다. 책을 읽은 후, 마셜은 정신의학에서 제시된 개념들을 이해할 수 없었고, 대신 싱가포르에서 법조인 경력을 계속하기로 결정했다. 그는 오스트레일리아로 떠날 때 앨런 &amp; 글레드힐에서 사임했었다.
수학의 수치해석학 분야에서 룽게 현상(Runge's phenomenon, )은 등간격 보간점 집합에 대해 고차 다항식을 사용하여 다항식 보간법을 사용할 때 발생하는 구간 가장자리에서의 진동 문제이다. 이는 카를 다비트 톨메 룽게가 1901년에 특정 함수를 근사하기 위해 다항식 보간법을 사용할 때 오류의 동작을 탐색하면서 발견했다.
이 발견은 차수를 높이는 것이 항상 정확도를 향상시키지는 않는다는 것을 보여준다. 이 현상은 푸리에 급수 근사에서의 깁스 현상과 유사하다.
바이어슈트라스 근사 정리는 구간 formula_1에서 정의된 모든 연속 함수 formula_2에 대해, formula_3에 대한 다항식 함수 formula_4 집합이 존재하며, 각 함수의 차수가 최대 formula_5이고, formula_5이 무한대로 갈 때 formula_1에서 formula_2에 균등 수렴한다고 명시한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
함수 formula_2의 formula_11개의 등간격 점들을 통과하는 formula_5차 다항식 formula_4를 사용하여 보간하고자 하는 경우를 생각해보자. 자연스럽게 바이어슈트라스 정리로부터 더 많은 점을 사용하면 formula_2를 더 정확하게 재구성할 수 있을 것이라고 예상할 수 있다. 그러나 이 특정 다항식 함수 집합 formula_4는 균등 수렴 속성을 가질 것이라고 보장되지 않는다. 이 정리는 다항식 함수 집합이 존재한다고만 명시할 뿐, 이를 찾는 일반적인 방법을 제공하지는 않는다.
이러한 방식으로 생성된 formula_4는 사실 formula_5이 증가함에 따라 formula_2에서 벗어날 수 있다. 이는 일반적으로 보간점 끝 근처에서 증폭되는 진동 패턴으로 발생한다. 이 현상의 발견은 룽게에 기인한다.
룽게 함수를 고려하자.
(아녜시의 마녀의 스케일링된 버전).
룽게는 이 함수가 −1과 1 사이의 등간격 점 xi에서 보간될 때 다음과 같이 된다는 것을 발견했다.
차수가 ≤ n인 다항식 formula_4를 사용하면, 결과 보간은 구간의 끝, 즉 −1과 1 근처에서 진동한다. 다항식의 차수가 증가하면 보간 오차가 (무한히) 증가한다는 것을 증명할 수도 있다.
이는 등간격 점에서 고차 다항식 보간이 문제가 될 수 있음을 보여준다.
룽게 현상은 이 문제의 두 가지 속성에서 비롯된다.
두 속성이 결합하여 진동의 크기를 증가시키기 때문에 이 현상은 그래픽적으로 명확하다.
생성함수 (수학)와 n차 보간 다항식 간의 오차는 다음과 같이 주어진다.
(−1,  1)에 있는 어떤 formula_24에 대해. 따라서,
노달 함수 formula_26를 다음과 같이 표기하자.
그리고 formula_28를 formula_29 함수의 크기의 최댓값이라고 하자.
등간격 노드에서 다음과 같다는 것을 증명하는 것은 기본적인 일이다.
여기서 formula_32는 스텝 크기이다.
더욱이, formula_33의 (n+1)차 미분 계수가 유계라고 가정하자. 즉,
그러나 룽게 함수의 (n+1)차 미분 계수의 크기는 n이 증가할 때 증가한다. 그 결과, n이 무한대로 갈 때 결과적인 상한은 무한대로 발산한다.
룽게 현상을 설명하는 데 자주 사용되지만, 오차의 상한이 무한대로 간다는 사실이 반드시
오차 자체도 n과 함께 발산한다는 것을 의미하지는 않는다.
완화책.
보간점 변경.
진동은 구간의 가장자리, 특히 (구간 formula_36에서) 다음 공식으로 주어진 점근 밀도를 가진 노드를 사용하여 최소화할 수 있다.
이러한 노드 집합의 표준 예시는 체비쇼프 노드이며, 이를 사용하면 룽게 함수를 근사하는 최대 오차가 다항식 차수가 증가함에 따라 감소하는 것이 보장된다.
리샘플링 없는 S-룽게 알고리즘.
잘 작동하는 노드 집합에서 리샘플링이 불가능하여 등간격 샘플을 사용해야 하는 경우 S-룽게 알고리즘을 고려할 수 있다. 이 접근 방식에서는 원래 노드 집합을 체비쇼프 노드 집합에 매핑하여 안정적인 다항식 재구성을 제공한다. 이 방법의 특이점은 매핑된 노드(가짜 노드라고도 함)에서 리샘플링할 필요가 없다는 것이다.
조각별 다항식 사용.
조각별 다항식인 스플라인 곡선을 사용하면 이 문제를 피할 수 있다. 보간 오차를 줄이려고 할 때 사용되는 다항식의 차수를 높이는 대신 스플라인을 구성하는 데 사용되는 다항식 조각의 수를 늘릴 수 있다.
제약된 최소화.
또한 더 높은 차수의 다항식(예를 들어, formula_5개의 점을 사용하여 formula_39이 아닌 formula_40 차수의 다항식을 사용)을 맞추고, 첫 번째 (또는 두 번째) 미분 계수의 formula_41 노름이 최소인 보간 다항식을 맞출 수 있다.
유사한 접근 방식은 다항식의 formula_42차 미분 계수와 formula_42차 미분 계수의 평균값 사이의 formula_44 거리의 제약된 버전을 최소화하는 것이다. 명시적으로 다음을 최소화한다.
여기서 formula_46이고 formula_47이며, 다항식 계수와 라그랑주 승수 formula_48에 대해이다. formula_49일 때, 라그랑주 승수에 의해 생성된 제약 방정식은 formula_50를 모든 formula_5개의 점을 통과하는 최소 다항식으로 축소한다. 반대쪽 끝에서 formula_52는 조각별 다항식 근사와 매우 유사한 형태에 접근할 것이다. 특히 formula_53일 때 formula_52는 선형 조각별 다항식, 즉 보간점을 직선으로 연결하는 것에 접근한다.
formula_55를 최소화하는 과정에서 formula_56가 하는 역할은 평균값에서 벗어나는 변동의 크기 중요도를 제어하는 것이다. formula_56가 클수록 작은 변동에 비해 큰 변동이 더 많이 불이익을 받는다. 유클리드 노름, formula_58의 가장 큰 장점은 해석적 해를 허용하고 formula_55가 단일 최소값만 갖는다는 것을 보장한다는 것이다. formula_60일 때는 formula_55에 여러 최소값이 있을 수 있으므로, 발견된 특정 최소값이 국소 최소값이 아닌 전역 최소값이 되도록 보장하기 어렵다.
최소제곱법 피팅.
또 다른 방법은 최소제곱법을 사용하여 낮은 차수의 다항식을 피팅하는 것이다. 일반적으로 formula_42개의 등간격 점을 사용할 때, formula_63이면 최소제곱 근사 formula_50는 잘 조건화된다.
베른슈타인 다항식을 사용하면 닫힌 구간에서 모든 연속 함수를 균등하게 근사할 수 있지만, 이 방법은 계산 비용이 상당히 많이 든다.
외부 가짜 제약 보간법.
이 방법은 보간 구간의 각 면의 끝점 근처에 외부적으로 배치된 노드에 유형의 제약 조건을 최적으로 쌓는 것을 제안하는데, 여기서 P"(x)는 보간 다항식의 2차 미분 계수이다. 이러한 제약 조건을 외부 가짜 제약 조건이라고 부르는데, 이는 보간 구간에 속하지 않고 룽게 함수의 동작과 일치하지 않기 때문이다. 이 방법은 룽게 현상을 완화하는 데 조각별 다항식(스플라인)보다 더 나은 보간 성능을 보여주었다.
근사 이론과 관련된 진술.
미리 정의된 각 보간 노드 표에는 해당 노드에 대한 보간 다항식의 시퀀스가 발산하는 연속 함수가 있다. 모든 연속 함수에는 보간 과정이 수렴하는 노드 표가 있다. 체비쇼프 보간(즉, 체비쇼프 노드에서의)은 모든 절대 연속 함수에 대해 균등하게 수렴한다.
수학에서, 직교 다항식열(orthogonal polynomial sequence)은 수열 내의 임의의 서로 다른 두 다항식이 어떤 내적에 대해 서로 직교하는 다항식들의 다항식족이다.
가장 널리 사용되는 직교 다항식은 에르미트 다항식, 라게르 다항식, 야코비 다항식으로 구성된 고전 직교 다항식이다. 게겐바우어 다항식은 야코비 다항식의 가장 중요한 부류를 형성하며, 체비쇼프 다항식과 르장드르 다항식을 특수한 경우로 포함한다. 이들은 종종 로드리게스 공식으로 주어진다.
직교 다항식 분야는 19세기 후반 파프누티 체비쇼프의 연분수 연구에서 발전하여 안드레이 마르코프와 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 추구되었다. 이들은 수치해석학 (구적법칙), 확률론, 표현론 (수학) (리 군, 양자군 및 관련 대상), 조합론, 대수적 조합론, 수리물리학 (무작위 행렬 이론, 적분가능계 등), 수론과 같은 다양한 분야에서 나타난다. 직교 다항식에 대해 연구한 수학자로는 가보르 세괴, 세르게이 나타노비치 베른슈타인, 나움 아키에제르, 아서 에르델리, 야코프 게로니무스, 볼프강 한, 시오도어 세이오 치하라, 무라드 이스마일, 왈리드 알-살람, 리처드 애스키, 레후엘 로바토 등이 있다.
실수 측도에 대한 1변수 경우의 정의.
실수 상에서 임의의 비감소 함수 가 주어지면, 함수 f에 대한 르베그-스틸티어스 적분
를 정의할 수 있다. 이 적분이 모든 다항식 f에 대해 유한하면, 다항식 f와 g의 쌍에 대한 내적을 다음과 같이 정의할 수 있다.
이 연산은 모든 다항식의 벡터 공간에서 양의 준정부호 내적이며, 함수 α가 무한히 많은 성장점을 가지면 양의 정부호 내적이다. 이것은 일반적인 방식으로 직교의 개념을 유도하며, 즉 두 다항식의 내적이 0이면 직교한다.
그러면 직교 다항식열 은 다음 관계에 의해 정의된다.
다시 말해, 이 수열은 단항식 1, x, x2, …로 이루어진 수열로부터 이 내적에 대한 그람-슈미트 과정을 통해 얻어진다.
일반적으로 이 수열은 정규직교이어야 하며, 즉
이지만, 때때로 다른 정규화가 사용되기도 한다.
절대 연속 경우.
때때로 다음과 같은 경우가 있다.
는 실수선 위의 어떤 구간 에서 지지(support)를 가지는 음이 아닌 함수이다(여기서 및 가 허용된다). 이러한 를 가중 함수라고 한다. 그러면 내적은 다음으로 주어진다.
그러나 측도 가 함수 가 불연속인 0이 아닌 측도를 가진 점을 갖는 직교 다항식의 많은 예가 있으므로, 위에서 설명한 가중 함수 로는 주어질 수 없다.
직교 다항식의 예시.
가장 일반적으로 사용되는 직교 다항식은 실수 구간에서 지지되는 측도에 대해 직교한다. 여기에는 다음이 포함된다.
이산 직교 다항식은 일부 이산 측도에 대해 직교한다. 때때로 측도가 유한 지지(finite support)를 가지는 경우, 직교 다항식족은 무한 수열이 아니라 유한하다. 라카 다항식은 이산 직교 다항식의 예이며, 그 특수한 경우로 한 다항식과 이중 한 다항식을 포함하며, 이들은 다시 마이스너 다항식, 크라프추크 다항식, 샤를리에 다항식을 특수한 경우로 포함한다.
마이스너는 모든 직교 셰퍼 수열을 분류했다. 에르미트, 라게르, 샤를리에, 마이스너, 마이스너-폴라첵만이 존재한다. 어떤 의미에서 크라프추크도 이 목록에 있어야 하지만, 이들은 유한 수열이다. 이 여섯 가지 계열은 NEF-QVF에 해당하며 특정 레비 과정에 대한 마팅게일 다항식이다.
체로 걸러진 직교 다항식 (sieved orthogonal polynomials), 예를 들어 체로 걸러진 초구형 다항식, 체로 걸러진 야코비 다항식, 체로 걸러진 폴라첵 다항식은 수정된 점화식을 갖는다.
또한 복소평면의 어떤 곡선에 대한 직교 다항식을 고려할 수도 있다. (실수 구간 외에) 가장 중요한 경우는 곡선이 단위 원일 때로, 단위 원상의 직교 다항식을 제공하며, 예를 들어 로저스-세괴 다항식 등이 있다.
삼각형이나 원판과 같은 평면 영역에서 직교하는 몇몇 직교 다항식 계열이 있다. 이들은 때때로 야코비 다항식으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 제르니케 다항식은 단위 원판에서 직교한다.
다양한 차수의 에르미트 다항식 간의 직교성은 일반화 주파수 분할 다중화(GFDM) 구조에 적용된다. 시간-주파수 격자의 각 그리드에 하나 이상의 심볼을 실을 수 있다.
실수선 상의 음이 아닌 측도로 정의된 1변수 직교 다항식은 다음과 같은 속성을 갖는다.
모멘트와의 관계.
직교 다항식 Pn은 모멘트 (수학)
로 다음과 같이 표현될 수 있다.
여기서 상수 cn은 임의적이다 (Pn의 정규화에 따라 달라진다).
이것은 단항식에 그람-슈미트 과정을 직접 적용하고, 각 다항식이 이전 다항식에 대해 직교하도록 강제함으로써 얻어진다. 예를 들어, formula_10에 대한 직교성은 formula_11이 다음 형태를 가져야 함을 규정한다.
이는 이전에 주어진 행렬식 표현과 일치함을 알 수 있다.
다항식 Pn은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
여기서 An은 0이 아니다. 역도 참이다. 파바르의 정리를 참조하라.
측도 dα가 구간 [a, b]에서 지지되면, Pn의 모든 영점은 [a, b]에 있다. 더욱이, 영점들은 다음과 같은 교차 속성을 갖는다. m &lt; n이면, Pm의 임의의 두 영점 사이에 Pn의 영점이 하나 존재한다. 영점에 대한 정전기적 해석도 가능하다.
조합론적 해석.
1980년대부터 X. G. Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata 등의 연구를 통해 모든 고전 직교 다항식에 대한 조합론적 해석이 발견되었다.
다른 유형의 직교 다항식.
다변수 직교 다항식.
맥도널드 다항식은 아핀 루트 시스템의 선택에 따라 달라지는 여러 변수의 직교 다항식이다. 이들은 잭 다항식, 홀-리틀우드 다항식, 헤크만-옵담 다항식, 콘빈더 다항식을 포함한 다른 많은 다변수 직교 다항식 계열을 특수한 경우로 포함한다. 애스키-윌슨 다항식은 랭크 1의 특정 비축약 루트 시스템에 대한 맥도널드 다항식의 특수한 경우이다.
다중 직교 다항식.
다중 직교 다항식은 유한 측도족에 대해 직교하는 일변수 다항식이다.
소볼레프 직교 다항식.
이들은 소볼레프 공간 내적, 즉 미분을 포함하는 내적에 대한 직교 다항식이다. 미분을 포함하는 것은 다항식에 큰 영향을 미치며, 일반적으로 고전 직교 다항식의 일부 좋은 특성을 더 이상 공유하지 않는다.
행렬을 포함하는 직교 다항식.
행렬을 포함하는 직교 다항식은 계수가 행렬이거나 부정확한 값이 행렬이다.
두 가지 일반적인 예가 있다. 계수 formula_14가 행렬이거나 formula_15가 행렬인 경우이다.
양자 다항식.
양자 다항식 또는 q-다항식은 직교 다항식의 큐-아날로그이다.
비대칭 직교 다항식.
직교 다항식은 다항식에 대한 대칭 쌍선형 형식 formula_23의 벡터 기저 집합 formula_24으로 정의될 수 있다. 직교 다항식의 기저에서, 쌍선형 형식은 formula_25로 대각화된다. 마찬가지로, 다항식에 대한 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어지면, 쌍선형 형식이 formula_26로 비대칭 대각화되도록 하는 벡터 기저 집합 쌍 formula_24와 formula_28를 찾을 수 있다.
수학에서 몬테카를로 적분(Monte Carlo integration)은 난수를 사용하여 수치 적분을 수행하는 기술이다. 이는 정적분을 수치적으로 계산하는 특정 몬테카를로 방법이다. 다른 알고리즘은 보통 규칙적인 격자에서 피적분 함수를 평가하지만, 몬테카를로는 피적분 함수를 평가할 지점을 무작위로 선택한다. 이 방법은 특히 고차원 적분에 유용하다.
몬테카를로 적분을 수행하는 다양한 방법이 있으며, 예를 들어 균등 표집, 층화표집, 중요도 샘플링, 순차적 몬테카를로(파티클 필터라고도 함), 그리고 평균장 입자 방법 등이 있다.
수치 적분에서 사다리꼴 공식과 같은 방법은 결정론적 알고리즘을 사용한다. 반면 몬테카를로 적분은 비결정론적 접근 방식을 사용한다. 각 실현은 다른 결과를 제공한다. 몬테카를로에서 최종 결과는 오차 막대를 포함한 정확한 값의 근사치이며, 정확한 값은 이 오차 막대 안에 있을 가능성이 높다.
몬테카를로 적분이 다루는 문제는 중적분의 계산이다.
여기서 Ω는 formula_2의 부분집합이며, 부피는 다음과 같다.
단순 몬테카를로 접근 방식은 Ω에서 점들을 균일하게 표집하는 것이다. N개의 균일 표본이 주어지면,
I는 다음과 같이 근사될 수 있다.
이는 큰 수의 법칙에 의해 다음이 보장되기 때문이다.
QN으로부터 I의 추정치가 주어지면, QN의 오차 막대는 분산의 비편향 추정량을 사용하여 표본 분산으로 추정할 수 있다.
수열
이 Var(f)와 동일하여 유한하다고 가정되는 한, 이 분산은 1/N에 따라 점근적으로 0으로 감소한다. 따라서 QN의 오차 추정치는 다음과 같다.
이는 formula_11로 감소한다. 이것은 formula_12를 곱한 표준 오차이다.
이 결과는 적분의 차원 수에 의존하지 않는데, 이는 몬테카를로 적분이 차원에 지수적으로 의존하는 대부분의 결정론적 방법에 비해 약속된 장점이다.
결정론적 방법과는 달리 오차 추정치가 엄격한 오차 한계가 아니라는 점에 주목하는 것이 중요하다. 무작위 표집은 오차를 과소평가할 수 있는 피적분 함수의 중요한 특징을 모두 밝혀내지 못할 수도 있기 때문이다.
단순 몬테카를로는 간단한 예시에는 작동하지만, 결정론적 알고리즘보다 개선될 수 있는 것은 문제별 표집 분포를 사용하는 알고리즘에서만 가능하다.
적절한 표본 분포를 사용하면 거의 모든 고차원 피적분 함수가 매우 국지적이며 작은 부분 공간만이 적분에 현저하게 기여한다는 사실을 활용할 수 있다.
몬테카를로 문헌의 상당 부분은 오차 추정치를 개선하는 전략을 개발하는 데 할애된다. 특히, 층화표집(영역을 부분 영역으로 나누는 것)과 중요도 샘플링(비균일 분포에서 샘플링하는 것)이 이러한 기술의 두 가지 예시이다.
몬테카를로 적분의 전형적인 예시는 π의 추정이다. 다음 함수를 고려해 보자.
그리고 Ω = [−1,1] × [−1,1]이고 V = 4인 집합을 고려한다. 다음을 주목하자.
따라서 몬테카를로 적분으로 π 값을 계산하는 대략적인 방법은 Ω에서 N개의 난수를 선택하고 다음을 계산하는 것이다.
오른쪽 그림에서 상대 오차 formula_16는 N의 함수로 측정되며, formula_11를 확인시켜준다.
C/C++ 예시.
// Initialize the number of counts to 0, setting the total number to be 100000 in the loop.
int throws = 99999, insideCircle = 0;
double randX, randY, pi;
srand(time(NULL));
// Checks for each random pair of x and y if they are inside circle of radius 1.
for (int i = 0; i &lt; throws; i++) {
randX = rand() / (double) RAND_MAX;
randY = rand() / (double) RAND_MAX;
if (randX * randX + randY * randY &lt; 1) {
insideCircle++;
// Calculating pi and printing.
pi = 4.0 * insideCircle / throws;
printf("%lf\n", pi);
rng = np.random.default_rng(0)
throws = 2000
radius = 1
x = rng.uniform(-radius, radius, throws)
y = rng.uniform(-radius, radius, throws)
inside_circle = np.count_nonzero(np.hypot(x, y) &lt;= radius)
area = (2 * radius)**2 * inside_circle / throws
print(area)
Wolfram Mathematica 예시.
아래 코드는 매스매티카에서 몬테카를로 방법을 사용하여
함수를 formula_19 범위에서 적분하는 과정을 설명한다.
func[x_] := 1/(1 + Sinh[2*x]*(Log[x])^2);
Distrib[x_, average_, var_] := PDF[NormalDistribution[average, var], 1.1*x - 0.1];
n = 10;
RV = RandomVariate[TruncatedDistribution[{0.8, 3}, NormalDistribution[1, 0.399]], n];
Int = 1/n Total[func[RV]/Distrib[RV, 1, 0.399]]*Integrate[Distrib[x, 1, 0.399], {x, 0.8, 3}]
NIntegrate[func[x], {x, 0.8, 3}] (*Compare with real answer*)
재귀적 층화표집.
재귀적 층화표집은 1차원 적응형 구적법을 다차원 적분으로 일반화한 것이다. 각 재귀 단계에서 일반 몬테카를로 알고리즘을 사용하여 적분과 오차를 추정한다. 오차 추정치가 필요한 정확도보다 크면 적분 부피를 부분 부피로 나누고 그 부분 부피에 절차를 재귀적으로 적용한다.
일반적인 '절반으로 나누기' 전략은 다차원에서는 너무 빨리 부분 부피의 수가 증가하여 추적하기 어렵기 때문에 작동하지 않는다. 대신 어떤 차원을 따라 분할해야 가장 많은 이득을 가져올지 추정하고 이 차원을 따라 부피를 분할한다.
층화표집 알고리즘은 함수의 분산이 가장 큰 영역에 샘플링 지점을 집중시켜 전체 분산을 줄이고 샘플링을 더 효과적으로 만든다. 이는 그림에서 볼 수 있다.
널리 사용되는 MISER 루틴은 유사한 알고리즘을 구현한다.
MISER 몬테카를로.
MISER 알고리즘은 재귀적 층화표집에 기반한다. 이 기술은 가장 높은 분산을 가진 영역에 적분 지점을 집중시켜 전체 적분 오차를 줄이는 것을 목표로 한다.
층화표집의 아이디어는 서로소 집합인 두 영역 a와 b에 대해 몬테카를로 적분 추정치 formula_20와 formula_21, 그리고 분산 formula_22와 formula_23가 있을 때, 결합된 추정치의 분산 Var(f)가 다음과 같다는 관찰에서 시작한다.
다음과 같이 주어진다.
이 분산은 점들을 다음과 같이 분포시킬 때 최소화됨을 보여줄 수 있다.
따라서 가장 작은 오차 추정치는 각 하위 영역에서 함수의 표준 편차에 비례하여 표본 지점을 할당함으로써 얻어진다.
MISER 알고리즘은 각 단계에서 하나의 좌표축을 따라 적분 영역을 이등분하여 두 개의 하위 영역을 만든다. 방향은 가능한 모든 d개의 이등분을 검토하고 두 하위 영역의 결합된 분산을 최소화할 것을 선택하여 결정된다. 하위 영역의 분산은 현재 단계에서 사용 가능한 총 점 수의 일부를 샘플링하여 추정된다. 동일한 절차는 최적의 이등분에서 나온 두 반공간 각각에 대해 재귀적으로 반복된다. 나머지 표본 점들은 Na와 Nb 공식에 따라 하위 영역에 할당된다. 적분 점의 이러한 재귀적 할당은 사용자가 지정한 깊이까지 계속되며, 각 하위 영역은 일반 몬테카를로 추정치를 사용하여 적분된다. 이 개별 값과 그 오차 추정치는 위로 결합되어 전체 결과와 그 오차 추정치를 제공한다.
중요도 샘플링.
다양한 중요도 샘플링 알고리즘이 있다.
중요도 샘플링 알고리즘.
중요도 샘플링은 몬테카를로 적분을 수행하는 매우 중요한 도구를 제공한다. 이 방법에서 중요도 샘플링의 주요 결과는 formula_27의 균일 샘플링이 더 일반적인 선택의 특정 경우이며, 이 경우 샘플은 임의의 분포 formula_28에서 추출된다는 것이다. 아이디어는 formula_28를 QN 측정의 분산을 감소시키도록 선택할 수 있다는 것이다.
중심이 0이고 σ = 1인 가우스 함수를 −1000에서 1000까지 수치적으로 적분하려는 다음 예시를 고려해 보자. 당연히 [−1000, 1000] 구간에서 샘플이 균일하게 추출되면, 그 중 극히 일부만이 적분에 유의미할 것이다. 이는 샘플이 선택되는 다른 분포를 선택함으로써 개선될 수 있는데, 예를 들어 중심이 0이고 σ = 1인 가우스 분포에 따라 샘플링하는 것이다. 물론 "올바른" 선택은 피적분 함수에 크게 의존한다.
정식으로, 분포에서 선택된 샘플 집합이 주어지면
I에 대한 추정량은 다음과 같다.
직관적으로, 이는 특정 샘플을 다른 샘플보다 두 배 많이 선택하면, 다른 샘플보다 절반의 가중치를 부여한다는 것을 의미한다. 이 추정량은 formula_28가 상수인 경우인 균일 샘플링에 자연스럽게 유효하다.
메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘은 formula_28에서 formula_27를 생성하는 데 가장 많이 사용되는 알고리즘 중 하나이며, 따라서 적분을 효율적으로 계산하는 방법을 제공한다.
VEGAS 몬테카를로.
VEGAS 알고리즘은 적분 영역을 여러 번 통과하여 함수 f의 히스토그램을 생성함으로써 정확한 분포를 근사한다. 각 히스토그램은 다음 통과를 위한 표본 분포를 정의하는 데 사용된다. 점근적으로 이 절차는 원하는 분포로 수렴한다. 히스토그램 빈의 수가 Kd와 같이 증가하는 것을 피하기 위해, 확률 분포는 분리 가능한 함수로 근사된다.
따라서 필요한 빈의 수는 Kd개에 불과하다. 이는 피적분 함수를 좌표축에 투영하여 함수의 극대점을 찾는 것과 동일하다. VEGAS의 효율성은 이 가정의 유효성에 달려 있다. 피적분 함수의 극대점이 잘 국지화되어 있을 때 가장 효율적이다. 피적분 함수를 대략적으로 분리 가능한 형태로 다시 작성할 수 있다면 VEGAS를 사용한 적분 효율성이 증가할 것이다. VEGAS는 여러 추가 기능을 포함하며 층화표집과 중요도 샘플링을 모두 결합한다.
변분법에서 수학적 해석 분야의 범함수 미분(Functional derivative) 또는 변분 미분은 범함수 (이 의미에서 범함수는 함수에 작용하는 함수이다)의 변화를 범함수가 의존하는 함수의 변화와 관련시킨다.
변분법에서 범함수는 일반적으로 함수, 그 인수, 그리고 미분의 적분으로 표현된다. 범함수의 피적분 함수 에서 함수 가 임의로 작은 다른 함수 를 더함으로써 변화하고, 결과 피적분 함수가 의 거듭제곱으로 전개될 때, 1차 항에서 의 계수를 범함수 미분이라고 한다.
예를 들어, 다음 범함수를 고려한다.
여기서 이다. 만약 가 함수 를 더함으로써 변화하고, 결과 피적분 함수 가 의 거듭제곱으로 전개되면, 값의 1차 에 대한 변화는 다음과 같이 표현될 수 있다.
여기서 도함수의 변화, 는 변화의 도함수 로 다시 작성되었고, 이러한 도함수에는 부분 적분이 사용되었다.
이 절에서는 범함수 미분 (또는 변분 또는 1차 변분)이 정의된다. 그런 다음 범함수 미분은 범함수 미분의 관점에서 정의된다.
범함수 미분.
formula_3가 바나흐 공간이고 formula_4가 formula_3에 정의된 범함수라고 가정한다.
formula_6 지점에서 formula_4의 미분은 formula_3에 대한 선형 범함수 formula_9이며, 모든 formula_10에 대해 다음 조건에 의해 정의된다.
여기서 formula_12는 formula_13에 의존하는 실수이며, formula_14일 때 formula_15이 된다. 이는 formula_9가 formula_17에서의 formula_4의 프레셰 도함수임을 의미한다.
그러나 이 범함수 미분의 개념은 너무 강력하여 존재하지 않을 수 있으며, 이러한 경우에는 가토 도함수와 같은 더 약한 개념이 선호된다. 많은 실제적인 경우에 범함수 미분은 방향도함수로 정의된다.
이 범함수 미분 개념은 심지어 노름 없이도 정의될 수 있다는 점에 유의한다.
더 일반적인 경우에 formula_4의 정의역으로 나타나는 함수 공간 formula_21는 벡터 공간이 아니므로,
formula_22 형태의 변분은 의미가 없다.
이 경우, formula_17의 변분 formula_24는 formula_25인 formula_26-함수족으로 간주한다.
이러한 모든 변분들의 공간을 formula_27라고 하면, 범함수 미분 formula_28은 다음 범함수이다.
여기서 formula_30이다. 위 식은 formula_31의 특수한 경우가 된다.
범함수 도함수.
많은 응용 분야에서 범함수 formula_4의 정의역은 어떤 공간 formula_33에 정의된 미분 가능한 함수 formula_17의 공간이며, formula_4는 다음과 같은 형태를 가진다.
어떤 함수 formula_37는 formula_38, 값 formula_39 및 도함수 formula_40에 의존할 수 있다.
이 경우에 더하여 formula_41를 formula_42에 다른 함수(로 표기)를 곱한 적분으로 표현할 수 있다면
이 함수 를 에서의 의 범함수 도함수라고 부른다. 만약 formula_4가 특정 함수 formula_17로만 제한된다면 (예를 들어, 일부 경계 조건이 부과되는 경우), formula_42는 formula_47가 이러한 조건을 계속 만족하는 함수로 제한된다.
직관적으로 formula_42는 formula_17의 변화이므로, '형식적으로' formula_50라고 할 수 있으며, 그러면 이것은 함수 formula_51의 전미분과 유사한 형태를 가진다.
여기서 formula_53은 독립 변수이다.
위 두 방정식을 비교하면, 범함수 미분 formula_54는 편미분 formula_55와 비슷한 역할을 하는데, 여기서 적분 변수 formula_38는 합 인덱스 formula_57의 연속적인 버전과 같다. 를 지점에서의 의 기울기로 생각하며, 따라서 값은 함수 가 지점에서 변경될 때 범함수 가 얼마나 변경될지를 측정한다. 따라서 공식
는 formula_42 방향으로의 formula_17 지점에서의 방향도함수로 간주된다. 이는 벡터 formula_61와 그래디언트의 내적이 formula_61 방향으로의 방향도함수를 제공하는 벡터 미적분학과 유사하다.
함수의 도함수와 마찬가지로, 범함수 도함수는 다음 속성을 만족한다. 여기서 와 는 범함수이다.
범함수 도함수 결정.
일반적인 범함수 클래스에 대한 범함수 도함수를 결정하는 공식은 함수와 그 도함수의 적분으로 작성될 수 있다. 이것은 오일러-라그랑주 방정식의 일반화이다. 실제로, 범함수 도함수는 라그랑주 역학에서 최소 작용 원리로부터 제2종 라그랑주 방정식을 유도하는 과정에서 물리학에 도입되었다 (18세기). 아래 처음 세 예시는 밀도범함수 이론 (20세기)에서 가져왔고, 네 번째 예시는 통계역학 (19세기)에서 가져왔다.
주어진 범함수
및 적분 영역의 경계에서 사라지는 함수 formula_68에 대해 이전 섹션 정의에 따라,
두 번째 줄은 전미분을 사용하여 얻었으며, 여기서 는 벡터에 대한 스칼라 미분이다.
세 번째 줄은 발산에 대한 곱의 법칙을 사용하여 얻었다. 네 번째 줄은 발산 정리와 적분 영역의 경계에서 formula_70이라는 조건을 사용하여 얻었다. formula_42도 임의의 함수이므로, 마지막 줄에 변분법의 기본 정리를 적용하면 범함수 미분은 다음과 같다.
여기서 이고 이다. 이 공식은 이 섹션의 시작 부분에 주어진 형태의 범함수에 대한 것이다. 다른 범함수 형태의 경우, 범함수 미분의 정의를 그 결정의 시작점으로 사용할 수 있다. (예시 쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수 참조).
범함수 미분에 대한 위의 방정식은 더 높은 차원과 더 높은 차수 도함수를 포함하는 경우로 일반화될 수 있다. 범함수는 다음과 같다.
여기서 벡터 이고, 는 개의 성분이 차 편미분 연산자인 텐서이다.
범함수 미분 정의의 유사한 적용은 다음과 같다.
마지막 두 방정식에서 텐서 formula_76의 개 성분은 ρ의 편미분에 대한 의 편미분이다.
여기서 formula_78이고 텐서 스칼라 곱은 다음과 같다.
토머스-페르미 운동 에너지 범함수.
1927년 토머스-페르미 모델은 밀도범함수 이론 전자 구조의 첫 시도에서 비상호작용 균일 전자 기체에 대한 운동 에너지 범함수를 사용했다.
의 피적분 함수는 의 도함수를 포함하지 않으므로, 의 범함수 도함수는 다음과 같다.
쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수.
전자-핵 퍼텐셜 에너지는 다음과 같다.
범함수 미분 정의를 적용하면,
전자-전자 상호작용의 고전적 부분(종종 하트리 에너지라고 불림)의 범함수 도함수는 다음과 같다.
범함수 도함수의 정의로부터,
마지막 방정식의 우변 첫 번째 항과 두 번째 항은 같다. 두 번째 항에서 과 를 교환해도 적분 값은 변하지 않기 때문이다. 따라서,
그리고 전자-전자 쿨롱 퍼텐셜 에너지 범함수 [ρ]의 범함수 도함수는 다음과 같다.
2차 범함수 도함수는 다음과 같다.
폰 바이츠제커 운동 에너지 범함수.
1935년 폰 바이츠제커는 분자 전자 구름에 더 적합하도록 토머스-페르미 운동 에너지 범함수에 기울기 보정을 추가할 것을 제안했다.
이전에 유도된 공식을 사용하여 범함수 미분은 다음과 같다.
이산 확률 변수의 엔트로피는 확률 질량 함수의 범함수이다.
다음과 같이 둔다.
델타 함수를 시험 함수로 사용하면,
이것은 양자장론에서 분배 함수로부터 상관 함수를 계산하는 데 특히 유용하다.
함수의 범함수 도함수.
함수는 범함수처럼 적분 형태로 작성될 수 있다. 예를 들어,
피적분 함수가 ρ의 도함수에 의존하지 않으므로, ρ의 범함수 도함수는 다음과 같다.
반복 함수의 범함수 도함수.
반복 함수 formula_102의 범함수 도함수는 다음과 같다.
을 대입하면 다음이 나온다.
델타 함수를 시험 함수로 사용하기.
물리학에서 일반적인 시험 함수 formula_107 대신 디랙 델타 함수 formula_108를 사용하여 formula_109 지점에서의 범함수 도함수를 구하는 것이 일반적이다 (이것은 편미분이 기울기의 구성 요소인 것과 같이 전체 범함수 도함수의 한 지점이다).
이는 formula_111가 형식적으로 formula_12의 급수(또는 적어도 1차까지)로 확장될 수 있는 경우에 작동한다. 그러나 이 공식은 formula_113가 일반적으로 정의되지 않기 때문에 수학적으로 엄밀하지 않다.
이전 섹션에서 주어진 정의는 모든 시험 함수 formula_107에 대해 성립하는 관계를 기반으로 하므로, 델타 함수와 같은 특정 함수로 formula_107를 선택할 때도 성립해야 한다고 생각할 수 있다. 그러나 후자는 유효한 시험 함수가 아니다 (심지어 적절한 함수도 아니다).
정의에서 범함수 도함수는 전체 함수 formula_39의 작은 변화의 결과로 범함수 formula_117가 어떻게 변하는지 설명한다. formula_39의 변화의 특정 형태는 지정되지 않지만, formula_38가 정의된 전체 구간에 걸쳐 확장되어야 한다. 델타 함수로 주어진 섭동의 특정 형태를 사용하는 것은 formula_39가 formula_109 지점에서만 변한다는 의미를 가진다. 이 지점을 제외하고는 formula_39에 변화가 없다.
수학에는 독일 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 딴 여러 적분이 있으며, 그중 하나는 양의 실수선에 대한 싱크함수의 이상 적분이다.
이 적분은 절대 수렴하지 않으므로, 양의 실수선에 대한 formula_2의 르베그 또는 리만 이상 적분은 무한하다. 따라서 싱크함수는 양의 실수선에 대해 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 싱크함수는 이상 리만 적분 또는 일반화된 리만 또는 헨스톡-쿠르츠바일 적분의 의미에서 적분 가능하다. 이는 이상 적분에 대한 디리클레 판정법을 사용하여 알 수 있다.
이 적분은 특정 적분을 평가하는 특별한 기술의 좋은 예시이다. 특히 싱크함수의 역도함수인 사인 적분이 초등함수가 아니므로 적분 함수의 초등 역도함수가 없기 때문에 미적분학의 기본 정리를 직접 적용하는 것이 유용하지 않을 때 더욱 그렇다. 이 경우 이상 적분은 라플라스 변환, 이중 적분, 적분 기호 아래 미분, 경로 적분, 디리클레 핵 등 여러 가지 방법으로 결정할 수 있다. 그러나 적분 함수가 짝함수이므로 적분 영역을 음의 실수선으로 확장할 수도 있다.
formula_3일 때 정의된 함수 formula_4가 있다고 하자. 그러면 그 라플라스 변환은 다음과 같다.
적분이 존재한다면 말이다.
이상 적분 평가에 유용한 라플라스 변환의 속성은 다음과 같다.
단, formula_7가 존재해야 한다.
다음 과정에서는 함수 formula_8의 라플라스 변환인 formula_9 결과와 아벨 정리의 한 버전(라플라스 변환에 대한 최종값 정리의 결과)이 필요하다.
이중 적분.
라플라스 변환을 사용하여 디리클레 적분을 평가하는 것은 적분 순서를 변경하여 동일한 이중 정적분을 계산하는 것과 동일하다. 즉,
순서 변경은 모든 formula_13에 대해 적분이 절대 수렴한다는 사실로 정당화된다.
적분 기호 아래 미분 (파인만의 트릭).
먼저 적분을 추가 변수 formula_14의 함수, 즉 formula_15의 라플라스 변환으로 다시 작성한다. 따라서 다음과 같이 놓는다.
디리클레 적분을 평가하려면 formula_17을 결정해야 한다. formula_18의 연속성은 부분 적분 후 지배 수렴 정리를 적용하여 정당화할 수 있다. formula_19에 대해 미분하고 적분 기호 아래 미분에 대한 라이프니츠 규칙을 적용하면 다음을 얻는다.
이제 오일러 공식 formula_21를 사용하여 사인 함수를 복소 지수 형태로 표현할 수 있다.
formula_14에 대해 적분하면
여기서 formula_26는 결정해야 할 적분 상수이다. formula_27이므로, 주값을 사용하여 formula_28이다. 이는 formula_13일 때 다음을 의미한다.
마지막으로, formula_31에서의 연속성에 의해 formula_32이 된다. 이는 이전과 같다.
복소 경로 적분.
formula_33를 고려하자.
복소 변수 formula_34의 함수로서 원점에 단순 극점을 가지며, 이는 조르단 보조정리의 적용을 방해한다. 조르단 보조정리의 다른 가설들은 만족된다.
그러면 새로운 함수를 정의한다.
극점은 음의 허수축으로 이동되었으므로, formula_36는 formula_37을 중심으로 하는 반경 formula_38의 반원 formula_39를 따라 양의 허수 방향으로 확장하고, 실수축을 따라 닫힌 경로에서 적분할 수 있다. 그런 다음 formula_40의 극한을 취한다.
유수 정리에 의해 복소 적분은 0이다. 왜냐하면 적분 경로 formula_39 내부에 극점이 없기 때문이다.
formula_38이 무한대로 갈 때 두 번째 항은 사라진다. 첫 번째 적분에 대해서는 실수축에 대한 적분에 대한 소호츠키-플레멜리 정리의 한 버전을 사용할 수 있다. 실수축에서 정의되고 연속적으로 미분 가능한 복소수 값 함수 와 formula_44인 실수 상수 formula_45와 formula_46에 대해 다음을 얻는다.
여기서 formula_48는 코시 주요값을 나타낸다. 위 원본 계산으로 돌아가서 다음을 쓸 수 있다.
양변에 허수 부분을 취하고 함수 formula_50가 짝함수임을 감안하면 다음을 얻는다.
결론적으로,
다른 방법으로는, formula_18에 대한 적분 경로로 반지름 formula_54과 formula_38인 위쪽 반평면 반원들과 이들을 연결하는 실수축의 두 선분들의 합집합을 선택한다. 한편 경로 적분은 formula_54과 formula_38에 관계없이 0이다. 다른 한편, formula_40이고 formula_59일 때 적분의 허수 부분은 formula_60로 수렴하고(여기서 formula_61는 위쪽 반평면의 어떤 분지의 로그함수이다), 이는 formula_62로 이어진다.
디리클레 핵.
디리클레 핵에 대한 잘 알려진 공식을 고려하자.formula_63
다음이 즉시 성립한다.formula_64
다음을 정의한다.
분명히 formula_66일 때 formula_18는 연속이다. formula_68에서의 연속성을 확인하려면 로피탈의 정리를 적용한다.
따라서 formula_18는 리만-르베그 보조정리의 요구 사항을 충족한다. 이는 다음을 의미한다.
우리는 다음을 계산하고자 한다.
그러나 formula_73에 대한 실수 극한을 formula_74에 대한 적분 극한으로 전환하는 것을 정당화해야 하며, 이는 극한이 존재함을 보여줌으로써 이어진다.
부분 적분을 사용하면 다음을 얻는다.
이제 formula_76이고 formula_77일 때 왼쪽 항은 문제없이 수렴한다. 삼각함수의 극한 목록을 참조하라. 이제 formula_78가 절대 적분 가능함을 보이는데, 이는 극한이 존재함을 의미한다.
먼저 원점 근처에서 적분을 제한하려고 한다. 코사인의 0 주변 테일러 급수 전개를 사용하면,
어떤 상수 formula_81에 대해. 이는 적분이 절대 적분 가능함을 보여주며, 이는 원래 적분이 존재함을 의미하고, formula_73에서 formula_74으로 전환하는 것이 실제로 정당화되었음을 의미하며 증명이 완료된다.
수학에서 본질적 하한(essential infimum)과 본질적 상한(essential supremum)의 개념은 상한과 하한의 개념과 관련이 있지만, 측도론 및 함수해석학에 적용되어 종종 집합의 모든 요소에 대해 유효하지는 않지만 거의 어디서나, 즉 측도 영 집합을 제외하고는 유효한 진술을 다룬다.
정확한 정의가 즉시 간단하지는 않지만, 직관적으로 함수의 본질적 상한은 측도 영 집합의 점에서의 함수의 동작을 무시하면서 모든 곳에서 함수 값보다 크거나 같은 가장 작은 값이다. 예를 들어, formula_1에서 formula_2이고 다른 모든 곳에서 0인 함수 formula_3를 생각하면, 함수의 상한은 1이다. 그러나 이 함수의 본질적 상한은 0인데, 르베그 측도 하에서 formula_4가 특이한 단일 점에서의 함수의 동작을 무시할 수 있기 때문이다. 본질적 하한은 유사한 방식으로 정의된다.
측도론적 질문에서 종종 그렇듯이, 본질적 상한과 하한의 정의는 함수 formula_4가 점 formula_6에서 무엇을 하는지(즉, formula_4의 상)를 묻는 것으로 시작하지 않고, 대신 formula_4가 특정 값 formula_9와 같은 점 formula_6의 집합(즉, formula_9의 formula_4에 대한 원상)을 묻는 것으로 시작한다.
formula_13를 집합 formula_14에 정의된 실수 값 함수라고 하자. 함수 formula_4의 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: 모든 formula_16에 대해 formula_17이고, 만약 어떤 formula_18에 대해 모든 formula_16에 대해 formula_20이면 formula_21이다.
더 구체적으로, 실수 formula_22는 모든 formula_16에 대해 formula_20이면 formula_4의 상계라고 불린다. 즉, 집합
가 공집합이면 그렇다.
를 formula_4의 상계 집합이라고 하고, 공집합의 하한을 formula_29로 정의한다. 그러면 formula_4의 상한은
정의에 따라, 상계 집합 formula_32가 공집합이면 formula_33이다.
이제 추가로 formula_34가 측도 공간이라고 가정하고, 간단히 하기 위해 함수 formula_4가 가측 함수라고 가정하자. 상한과 유사하게, 함수의 본질적 상한은 다음 속성으로 특징지어진다: formula_36-거의 모든 formula_16에 대해 formula_38이고, 만약 어떤 formula_18에 대해 formula_36-거의 모든 formula_16에 대해 formula_20이면 formula_43이다. 더 구체적으로, formula_22는 가측 집합 formula_45가 formula_36-측도 영 집합인 경우 formula_4의 라고 불린다. 즉, formula_14의 formula_36-거의 모든 formula_6에 대해 formula_20이면 그렇다.
를 본질적 상계 집합이라고 하자. 그러면 은 유사하게 다음과 같이 정의된다.
formula_54인 경우에, 그렇지 않으면 formula_55이다.
정확히 같은 방식으로 은 의 상한으로 정의된다. 즉,
본질적 하계 집합이 공집합이 아닌 경우에, 그렇지 않으면 formula_57이다. 다시 다음 대안적인 표현식이 있다.
(집합이 공집합인 경우 formula_57이다).
실수선 위에서 르베그 측도와 그에 상응하는 -대수 formula_60를 고려하자. 함수 formula_4를 다음 공식으로 정의한다.
이 함수의 상한(가장 큰 값)은 5이고, 하한(가장 작은 값)은 −4이다. 그러나 함수는 각각 formula_63과 formula_64 집합에서만 이 값을 취하는데, 이들은 측도 영 집합이다. 다른 모든 곳에서 함수는 2의 값을 취한다. 따라서 이 함수의 본질적 상한과 본질적 하한은 모두 2이다.
다른 예로 다음 함수를 고려하자.
여기서 formula_66는 유리수를 나타낸다. 이 함수는 위아래로 무한하므로, 상한과 하한은 각각 formula_67와 formula_57이다. 그러나 르베그 측도의 관점에서 유리수의 집합은 측도 영 집합이다. 따라서 실제로 중요한 것은 이 집합의 여집합에서 일어나는 일인데, 함수는 formula_69로 주어진다. 따라서 본질적 상한은 formula_70이고 본질적 하한은 formula_71이다.
반면에 모든 실수 formula_6에 대해 정의된 함수 formula_73을 고려하자. 이 함수의 본질적 상한은 formula_74이고, 본질적 하한은 formula_57이다.
마지막으로 다음 함수를 고려하자.
그러면 모든 formula_77에 대해 formula_78이므로 formula_79이고 formula_80이다.
만약 formula_81이면
그렇지 않고 formula_14의 측도가 0이면
만약 formula_4와 formula_86가 가측 함수이면
만약 formula_4와 formula_86가 가측 함수이고 거의 모든 곳에서 formula_91이면
만약 두 함수 formula_4와 formula_86의 본질적 상한이 모두 음이 아니면
함수의 본질적 상한은 본질적 하계의 하한일 뿐만 아니라 그들의 최소값이다. 유사한 결과가 본질적 하한에도 적용된다.
측도 공간 formula_97가 주어졌을 때, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수로 구성된 공간 formula_98은 반노름 공간이며, 그 반노름은 다음과 같다.
formula_100일 때 함수의 절댓값의 본질적 상한이다.
선형대수학은 수학의 한 분야로, 편극 항등식 또는 극화 항등식(polarization identity)은 노름 공간의 노름으로 두 벡터의 내적을 표현하는 여러 공식 중 하나이다.
만약 어떤 노름이 내적으로부터 유도된 것이라면, 편극 항등식을 사용하여 이 내적을 노름만을 사용하여 표현할 수 있다. 편극 항등식은 노름이 기껏해야 하나의 내적으로부터 유도될 수 있음을 보여주지만, 어떤 내적으로부터도 유도되지 않는 노름도 존재한다.
모든 내적 공간에 연관된 노름은 평행사변형 법칙을 만족한다: formula_1
사실, 존 폰 노이만이 관찰한 바와 같이, 평행사변형 법칙은 내적으로부터 유도되는 노름을 특징짓는다.