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콜린 화이트는 그 기원을 프랑수아 마장디 (1783–1855)로 거슬러 올라간다. 화이트에 따르면, 마장디는 발열 치료에 사혈을 사용하는 것에 반대하며 조작되었다고 믿는 통계 수치에 직면했을 때, 이 프랑스 생리학자는 다음과 같이 말했다. "따라서 거짓말과 위증의 점진적인 형태로 이미 나타나고 있는 진실의 변질은 우리에게 최상급으로 통계를 제공한다." 화이트의 의견으로는 세상은 이 문구를 필요로 했고, 많은 사람들이 그것을 만들어냈다고 "자랑스러워했을" 것이며, 그 문구가 "재치에서 재치로" 전달되면서 그 기원은 이제 모호해졌다고 한다. 화이트는 폴 들로네의 작품을 언급하고 있지만, 들로네의 텍스트는 그 문구를 사용하면서도 명시적으로 마장디에게 귀속시키지는 않는다. 존 비비와 데이비드 R. 벨하우스도 마장디의 저작권을 언급한다.
이 문구는 여러 인기 있는 해설의 제목으로 사용되었다.
스티븐 제이 굴드의 에세이 《중앙값은 메시지가 아니다》는 이 인용문을 반복하며 시작한다. 굴드는 1982년에 그가 진단받은 암의 형태인 복막 중피종이 "중앙 생존 기간이 8개월"이라는 통계가 어떻게 오해의 소지가 있는지를 설명한다.
"거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계"는 NBC 드라마 웨스트 윙 (드라마)의 시즌 1, 21화의 제목이다.
수학에서 산술기하학(arithmetic geometry)은 대략적으로 대수기하학의 기법을 수론의 문제에 적용하는 학문이다. 산술기하학은 대수다양체의 유리점을 연구하는 디오판토스 기하학을 중심으로 한다.
더 추상적인 용어로, 산술기하학은 대수적 정수환의 환의 스펙트럼 상의 유한형인 스킴을 연구하는 학문으로 정의될 수 있다.
산술기하학의 고전적인 관심 대상은 유리점이다. 즉, 수체, 유한체, p-진수체 또는 대수 함수체, 즉 대수적으로 닫힌 체가 아닌 (실수를 제외한) 체 상에서 다항 방정식계의 해집합이다. 유리점은 그 산술적 복잡성을 측정하는 높이 함수에 의해 직접적으로 특성화될 수 있다.
대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 상에서 정의된 대수다양체의 구조는 대수기하학의 현대적이고 추상적인 발전과 함께 관심의 중심 영역이 되었다. 유한체 상에서는 에탈 코호몰로지가 대수다양체와 관련된 위상적 불변량을 제공한다. p-진 호지 이론은 복소수 상의 다양체의 코호몰로지적 특성이 p-진수 상의 다양체로 확장되는지 여부를 조사하는 도구를 제공한다.
19세기: 초기 산술기하학.
19세기 초, 카를 프리드리히 가우스는 유리수 계수를 가진 동차다항식 방정식에 비영 유리해만 존재한다면 비영 정수해도 존재한다고 관찰했다.
1850년대에 레오폴트 크로네커는 크로네커-베버 정리를 공식화하고, 인자 이론을 도입했으며, 수론과 대수학 사이에 수많은 다른 연결을 만들었다. 그는 이후 "liebster Jugendtraum" ("가장 소중한 청춘의 꿈")을 제안했는데, 이는 후에 힐베르트가 수정된 형태로 그의 열두 번째 문제로 제시했으며, 수론이 정수 상의 다항식환의 몫환으로만 작동하는 목표를 제시한다.
20세기 초중반: 대수적 발전과 베유 추측.
1920년대 후반, 앙드레 베유는 대수기하학과 수론 사이에 깊은 연결을 보여주었으며, 그의 박사 연구는 아벨 다양체의 유리점 집합이 유한생성 아벨 군임을 증명하는 모델-베유 정리로 이어졌다.
대수기하학의 현대적 기초는 1930년대와 1940년대에 오스카 자리스키 등에 의해 가환대수학의 발전(값매김 이론과 아이디얼 이론 포함)에 기반하여 개발되었다.
1949년, 앙드레 베유는 유한체 상의 대수다양체의 국소 제타 함수(local zeta-function)에 대한 획기적인 베유 추측을 제기했다. 이 추측들은 대수기하학과 수론 사이의 틀을 제공하여 알렉산더 그로텐디크가 1950년대와 1960년대에 장피에르 세르와 함께 층 이론을, 그리고 나중에는 스킴 이론을 사용하여 기초를 재구성하도록 이끌었다. 버나드 드워크는 1960년에 네 가지 베유 추측 중 하나(국소 제타 함수의 유리성)를 증명했다. 그로텐디크는 1965년까지 마이클 아틴과 장루이 베르디에와 함께 두 가지 베유 추측을 증명하기 위해 에탈 코호몰로지 이론을 개발했다. 마지막 베유 추측(리만 가설의 유사체)은 1974년에 피에르 들리뉴에 의해 최종적으로 증명되었다.
20세기 중후반: 모듈러성, p-진 방법론 등의 발전.
1956년에서 1957년 사이에 다니야마 유타카와 시무라 고로는 타원 곡선을 모듈러 형식과 연결시키는 다니야마-시무라 추측 (현재는 모듈러성 정리로 알려짐)을 제기했다. 이 연결은 궁극적으로 앤드루 와일스가 1995년에 개발한 모듈러성 리프팅의 대수기하학적 기법을 통해 수론의 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 증명으로 이어졌다.
1960년대에 시무라 고로는 모듈러 곡선의 일반화로서 시무라 다양체를 도입했다. 1979년 이래로 시무라 다양체는 랭글랜즈 프로그램에서 추측을 시험하기 위한 자연스러운 예제 영역으로서 중요한 역할을 해왔다.
1977년과 1978년 논문에서 배리 메이저는 꼬임 추측을 증명하여 유리수 상의 타원 곡선의 가능한 꼬임 부분군에 대한 완전한 목록을 제공했다. 메이저의 이 정리의 첫 번째 증명은 특정 모듈러 곡선 상의 유리점에 대한 완전한 분석에 의존했다. 1996년에는 로이크 메렐에 의해 꼬임 추측의 증명이 모든 수체로 확장되었다.
1983년에 게르트 팔팅스는 모델 추측을 증명하여, 종수가 1보다 큰 곡선은 유한개의 유리점만을 가진다는 것을 보여주었다 (모델-베유 정리는 유리점 집합의 유한 생성만을 증명하며 유한성을 직접 증명하지 않는다).
2001년, GLn에 대한 국소 랭글랜즈 추측의 증명은 특정 시무라 다양체의 기하학에 기반을 두었다.
2010년대에 페터 숄체는 p-진 체 상의 산술기하학에서 퍼펙토이드 공간과 새로운 코호몰로지 이론을 개발했으며, 이는 갈루아 표현과 가중치 단조성 추측의 특정 사례에 적용되었다.
조철희(영어: Chul-Hee Cho)는 대한민국 소방청 국립소방연구원 소방정책연구실 소속의 소방경이자 화학공학자이다. 그는 『화학사고 현장대응 가이드북(CIRG-FF)』을 개발·보급하고, 국내 화학사고 통계 분석과 대응기술 연구를 수행하였다. 2020년 대한민국 공무원상 대통령표창을 받았다.
조철희는 중앙대학교에서 화학공학 박사학위를 2004년에 취득하였다. 이후 2006년부터 2009년까지 미국 아이오와 주립대학교 화학과에서 박사후연구원으로 연구했다.
소방청 『화학사고 현장대응 가이드북(CIRG-FF)』의 개발과 개정·보급에 참여해 현장대원 중심의 절차와 안전기술을 제시했다. 가이드북은 2014~2020년 국내 사고 데이터를 반영해 138종 물질 대응 정보를 정리하고, 119 전 대원에게 스마트폰 앱(‘119 e-book’) 형태로 제공된다.
국립소방연구원에서 국내 화학사고 통계를 체계적으로 분석해 우선순위 물질과 취약 현장을 도출하고, 교육시설 수은 누출 등 특성화 이슈에 대한 대응·복구 지침 마련에 기여했다.
화재 연소 시 발생하는 유해물질 노출과 심혈관계 희귀암의 연관성을 논리적으로 제시한 공적으로 2020년 대한민국 공무원상을 수상했다. 해당 연구는 고 김범석 소방관의 공무상 사망 인정(2019년) 과정에서 제시된 근거들과 같은 맥락에서 현장 안전 정책의 개선 필요성을 부각시켰다.
현장 중심의 매뉴얼과 데이터 기반 분석을 결합해 대원 안전을 우선하는 대응체계를 고도화했다는 평가가 있다.
종합기하학(synthetic geometry, 공리적 기하학 또는 순수 기하학)은 좌표를 사용하지 않는 기하학이다. 이는 처음에 공준이라고 불렸고 현재는 공리라고 불리는 몇 가지 기본 속성에서 모든 결과를 증명하기 위해 공리적 방법에 의존한다.
르네 데카르트가 해석기하학이라고 불리는 좌표 방법을 17세기에 도입한 후, "종합기하학"이라는 용어는 데카르트 이전에는 유일하게 알려져 있던 오래된 방법들을 지칭하기 위해 만들어졌다.
펠릭스 클라인에 따르면
종합기하학은 공식에 의존하지 않고 도형을 있는 그대로 연구하는 반면, 해석기하학은 적절한 좌표계를 채택한 후 작성할 수 있는 그러한 공식들을 일관되게 사용한다.
종합기하학에 대한 최초의 체계적인 접근 방식은 에우클레이데스의 원론이다. 그러나 19세기 말에 에우클레이데스의 공준만으로는 기하학을 특징짓기에 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다. 기하학에 대한 최초의 완전한 공리계는 19세기 말에 다비트 힐베르트에 의해서야 주어졌다. 동시에 종합적 방법과 해석적 방법 모두 기하학을 구축하는 데 사용될 수 있음이 밝혀졌다. 두 접근 방식이 동등하다는 사실은 에밀 아르틴이 그의 저서 기하대수학에서 증명했다.
이러한 동등성 때문에 종합기하학과 해석기하학의 구분은 초등 수준이나 일부 유한기하학 및 비데자르그 정리 기하학과 같이 어떤 종류의 숫자와도 관련이 없는 기하학을 제외하고는 더 이상 사용되지 않는다.
논리적 종합.
논리적 종합 과정은 임의적이지만 명확한 시작점에서 시작한다. 이 시작점은 원시 개념 또는 원시 개념과 이러한 원시 개념에 대한 공리의 도입이다.
주어진 공리 집합에서 종합은 신중하게 구성된 논리적 논증으로 진행된다. 중요한 결과가 엄격하게 증명되면 그것은 정리가 된다.
공리 집합의 속성.
기하학에 대한 고정된 공리 집합은 없으며, 두 개 이상의 일관된 집합을 선택할 수 있다. 각각의 그러한 집합은 다른 기하학으로 이어질 수 있으며, 다른 집합이 동일한 기하학을 제공하는 예도 있다. 이러한 가능성이 넘쳐나는 상황에서 단수형으로 "기하학"에 대해 이야기하는 것은 더 이상 적절하지 않다.
역사적으로 에우클레이데스의 평행선 공준은 다른 공리들과 독립적인 것으로 밝혀졌다. 단순히 그것을 버리면 절대기하학이 되고, 그것을 부정하면 쌍곡기하학이 된다. 다른 일관된 공리 집합은 사영기하학, 타원기하학, 구면기하학 또는 아핀 기하학과 같은 다른 기하학을 산출할 수 있다.
연속성 및 "사이성" 공리도 선택 사항이다. 예를 들어, 이산기하학은 이들을 버리거나 수정함으로써 생성될 수 있다.
펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 따라 주어진 기하학의 본질은 발전 방식보다는 대칭과 명제의 내용 사이의 연결로 볼 수 있다.
에우클레이데스의 원래 취급은 2천 년 이상 동안 도전받지 않았다. 19세기에 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키, 베른하르트 리만에 의해 비유클리드 기하학이 동시에 발견되면서 수학자들은 에우클레이데스의 근본적인 가정을 의문시하게 되었다.
초기 프랑스 해석학자 중 한 명은 종합기하학을 다음과 같이 요약했다.
종합기하학의 전성기는 19세기라고 할 수 있는데, 이 시기에는 좌표와 미적분학에 기반한 해석적 방법이 기하학자 목록 중 야코프 슈타이너와 같은 일부 기하학자들에게 무시되었고, 사영기하학의 순전히 종합적인 발전을 선호했다. 예를 들어, 발생 공리에서 시작하는 사영 평면의 처리는 3차원 벡터 공간에서 시작하는 것보다 실제로 더 넓은 이론 (더 많은 모델을 가짐)이다. 사영기하학은 사실 어떤 기하학보다 가장 단순하고 우아한 종합적 표현을 가지고 있다.
펠릭스 클라인은 그의 에를랑겐 프로그램에서 종합적 방법과 해석적 방법 사이의 긴장을 경시했다.
유클리드 기하학에 대한 면밀한 공리적 연구는 람베르트 사각형과 사케리 사각형의 구성으로 이어졌다. 이러한 구조는 에우클레이데스의 평행 공리가 부정되는 비유클리드 기하학 분야를 도입했다. 가우스, 보여이, 로바쳅스키는 독립적으로 쌍곡기하학을 구성했는데, 여기서는 평행선이 분리에 따라 달라지는 평행각을 가진다. 이 연구는 뫼비우스 변환에 의해 운동이 주어지는 푸앵카레 원판 모델을 통해 널리 접근 가능해졌다. 유사하게, 가우스의 학생인 리만은 리만 기하학을 구성했는데, 그 중 타원기하학이 특정 경우이다.
또 다른 예는 루트비히 임마누엘 마그누스가 발전시킨 반전기하학인데, 이는 정신적으로 종합적이라고 볼 수 있다. 밀접하게 관련된 역수 연산은 평면의 분석을 표현한다.
카를 폰 슈타우트는 덧셈과 곱셈의 교환법칙과 결합법칙과 같은 대수적 공리가 실제로는 기하 구성에서 선의 발생의 결과임을 보여주었다. 다비트 힐베르트는 데자르그 정리가 특별한 역할을 한다는 것을 보여주었다. 추가적인 연구는 루트 무팡과 그녀의 학생들에 의해 수행되었다. 이 개념들은 발생 기하학의 동기 중 하나였다.
평행선을 기본으로 취할 때, 종합은 아핀 기하학을 생성한다. 유클리드 기하학은 아핀 기하학이자 거리 기하학이지만, 일반적으로 아핀 공간에는 거리가 없을 수 있다. 따라서 추가된 유연성은 아핀 기하학의 역사에서 논의된 바와 같이 시공간 연구에 아핀 기하학을 적합하게 만든다.
1955년 허버트 부제만과 폴 J. 켈리는 종합기하학에 대한 향수를 표현했다.
예를 들어, 대학 연구에는 이제 선형대수학, 위상수학, 그래프 이론이 포함되며, 이들 과목은 기본 원리에서 개발되고 명제는 초등 증명을 통해 도출된다. 종합기하학을 해석기하학으로 대체하려는 기대는 기하학적 내용의 손실로 이어진다.
오늘날의 기하학 학생들은 에우클레이데스의 공리 외에 다른 공리들을 사용할 수 있다. 힐베르트 공리계와 타르스키 공리계를 참조하라.
에른스트 쾨터는 1901년에 "몽주부터 슈타우트(1847)까지의 종합기하학의 발전"에 대한 (독일어) 보고서를 발표했다.
종합기하학을 이용한 증명.
기하학적 정리의 종합적 증명은 보조선과 같은 보조 구성과 변 또는 각의 동일성, 삼각형의 닮음 및 합동과 같은 개념을 사용한다. 이러한 증명의 예는 나비 정리, 각의 이등분선 정리, 아폴로니우스 정리, 영국 국기 정리, 체바 정리, 등접원 정리, 기하 평균 정리, 헤론 공식, 이등변삼각형 정리, 코사인 법칙 및 에 연결된 다른 문서들에서 찾을 수 있다.
계산 종합기하학.
계산기하학과 연관되어, 예를 들어 매트로이드 이론과 밀접한 관련이 있는 계산 종합기하학이 설립되었다. 합성 미분 기하학은 토포스 이론을 미분다양체 이론의 기초에 적용한 것이다.
박수훈(1988년 4월 22일~2024년 2월 1일)은 대한민국의 소방공무원이다. 경상북도 문경소방서 119구조구급센터 구조대원으로 근무했고, 2024년 1월 31일 저녁 경상북도 문경시 신기산업단지의 육가공 공장 화재 현장에서 인명 수색 중 고립되어 다음날 순직하였다. 정부는 1계급 특진과 함께 옥조근정훈장을 추서했고, 2월 3일 국립대전현충원에 안장되었다.
박수훈은 2022년 2월 3일자로 소방사로 최초 임용되어 문경소방서 119구조구급센터에서 구조임무를 수행했다. 특전사 부사관(중사) 출신으로 체력과 위기 대응 능력을 바탕으로 근무했으며, 재직 약 2년 동안 400여 차례의 화재·구급 현장에 출동해 임무를 수행했다.
박수훈은 1988년 4월 22일 대구광역시에서 태어났다. 경상북도 상주를 고향으로 두었다.
군 복무와 사회 활동.
그는 육군 특수전사령부에서 중사로 복무했다. 전역 후 태권도 지도자로 활동하며 재능기부를 이어갔고, 양식조리기능사 자격을 취득했다.
소방 임용.
2021년 8월 소방공무원 시험에 최종 합격한 뒤 2022년 2월 3일 구조 분야에 임용되어 문경소방서 119구조구급센터에서 근무를 시작했다.
2024년 1월 31일 19시 47분경 경상북도 문경시 신기산업단지의 4층 규모 육가공 공장에서 화재가 발생하였다. 박수훈은 동료 구조대원 김수광과 함께 공장 내부에서 인명 수색을 실시하던 중 급격한 연소 확대와 구조물 붕괴로 고립되었고, 2024년 2월 1일 새벽 3층 내부에서 순직한 채 발견되었다. 사건 직후 소방청과 경북소방본부는 애도 기간을 설정하고 분향소를 운영했다.
장례와 추모.
영결식은 2024년 2월 3일 경상북도청장(葬)으로 경북도청 동락관에서 엄수되었으며, 이철우 경상북도지사가 1계급 특진을, 남화영 소방청장이 옥조근정훈장을 각각 추서했다. 같은 날 유해는 국립대전현충원에 안장되었다. 국가보훈부는 추모의 뜻을 표하며 본부와 지방보훈관서, 국립묘지 등에 조기를 게양했다. 2024년 10월 26일 소방청 주관 국립대전현충원 순직 소방공무원 추모식에서 고인의 넋을 기리는 공식 추모가 거행되었다.
현장 중심의 투입과 강한 책임감으로 동료들 사이에서 “나는 소방과 결혼했다”라는 말을 즐겨 하던 인물로 회고된다. 특전사 복무를 통해 체득한 체력과 기동력은 구조 임무 수행에 강점으로 평가되었다. 순직 이후 현장 인력과 안전대책에 관한 사회적 논의가 이어졌다.
미혼이었으며, 지역 사회에서 태권도 지도자로 활동하며 청소년의 체력훈련과 진로 상담을 도왔다.
기하학에서 반지름 인 원으로 둘러싸인 넓이는 이다. 여기서 그리스 문자 는 모든 원의 원둘레와 지름의 상수 비율을 나타내며, 대략 3.14159와 같다.
아르키메데스로부터 시작된 이 공식을 유도하는 한 가지 방법은 원을 변의 수가 증가하는 정다각형 수열의 극한으로 보는 것이다. 정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 중심에서 변까지의 거리를 곱한 것이며, 이 수열이 원에 가까워지기 때문에 넓이가 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것, 즉 이라는 해당 공식은 원에 대해서도 성립한다.
비공식적인 맥락에서는 종종 원의 넓이로 불리지만, 엄밀히 말하면 원판이라는 용어는 원의 내부 영역을 지칭하며, 원 (기하학)은 곡선이며 그 자체로는 넓이를 포함하지 않는 경계만을 위해 사용된다. 따라서 원판의 넓이는 원에 의해 둘러싸인 넓이에 대한 더 정확한 표현이다.
현대 수학은 적분법 또는 그보다 더 정교한 실해석학의 방법을 사용하여 넓이를 구할 수 있다. 그러나 원판의 넓이는 고대 그리스인들에 의해 연구되었다. 기원전 5세기 에우독소스는 원판의 넓이가 반지름의 제곱에 비례한다는 것을 발견했다. 아르키메데스는 그의 책 《원 측정》에서 유클리드 기하학의 도구를 사용하여 원 안의 넓이가 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형의 넓이와 같음을 보였다. 원둘레는 2r이고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반에 높이를 곱한 것이므로, 원판의 넓이는  r2이다. 아르키메데스 이전에 키오스의 히포크라테스는 히포크라테스의 초승달의 구적법의 일환으로 원판의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 보였지만, 비례 상수는 밝히지 않았다.
다양한 수학적 엄밀성으로 formula_1 공식을 확립하기 위해 역사적으로 다양한 논증이 제시되었다. 이들 중 가장 유명한 것은 아르키메데스의 소진법으로, 극한이라는 수학적 개념의 초기 사용 중 하나이며, 실수 시스템의 표준 해석적 처리의 일부로 남아 있는 아르키메데스 성질의 기원이기도 하다. 아르키메데스의 원래 증명은 현대적 기준으로는 엄밀하지 않다. 이는 원호의 길이와 현 및 접선 길이를 비교하고, 넓이에 대한 유사한 진술을 기하학적으로 명확하다고 가정하기 때문이다.
다각형 사용.
정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 변심거리를 곱한 것이다. 정다각형의 변의 수가 증가함에 따라 다각형은 원에 가까워지고 변심거리는 반지름에 가까워진다. 이는 원판의 넓이가 경계 원의 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것임을 시사한다.
아르키메데스의 《원 측정》(기원전 260년경) 논증에 따라, 원으로 둘러싸인 넓이를 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형과 비교한다. 원의 넓이가 삼각형의 넓이와 같지 않다면, 그것은 더 크거나 작아야 한다. 우리는 각각을 모순으로 제거하여 같음만이 유일한 가능성으로 남겨둔다. 우리는 정다각형을 같은 방식으로 사용한다.
크지 않다.
원이 둘러싸는 넓이 C가 삼각형의 넓이 T = cr/2보다 크다고 가정하자. 초과량을 E라고 하자. 원 안에 정사각형을 내접시켜 네 모서리가 원 위에 놓이도록 한다. 정사각형과 원 사이에는 네 개의 조각이 있다. 이 간격의 총 넓이 G4가 E보다 크다면, 각 호를 절반으로 나눈다. 이렇게 하면 내접된 정사각형이 내접된 팔각형이 되고, 더 작은 총 간격 G8을 가진 여덟 개의 조각이 생긴다. 총 간격 넓이 Gn이 E보다 작아질 때까지 분할을 계속한다. 이제 내접된 다각형의 넓이 Pn = C − Gn은 삼각형의 넓이보다 커야 한다.
그러나 이는 다음과 같이 모순을 강요한다. 중심에서 다각형 변의 중간점으로 수직선을 그리면 그 길이 h는 원 반지름보다 작다. 또한 다각형의 각 변의 길이를 s라고 하자. 그러면 변들의 합은 ns인데, 이는 원둘레보다 작다. 다각형 넓이는 높이 h와 밑변 s를 가진 n개의 동일한 삼각형으로 구성되므로 nhs/2와 같다. 그러나 h &lt; r이고 ns &lt; c이므로 다각형 넓이는 삼각형 넓이 cr/2보다 작아야 하며, 이는 모순이다. 그러므로 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀려야 한다.
작지 않다.
원이 둘러싸는 넓이가 삼각형의 넓이 T보다 작다고 가정하자. 부족량을 D라고 하자. 각 변의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 외접시킨다. 정사각형과 원 사이의 총 넓이 간격 G4가 D보다 크다면, 원 접선으로 모서리를 잘라 외접된 팔각형을 만들고, 간격 넓이가 D보다 작아질 때까지 자르기를 계속한다. 다각형의 넓이 Pn은 T보다 작아야 한다.
이 또한 모순을 강요한다. 왜냐하면, 각 다각형 변의 중간점에 대한 수직선은 길이 r인 반지름이기 때문이다. 그리고 총 변의 길이가 원둘레보다 크기 때문에, 다각형은 총 넓이가 T보다 큰 n개의 동일한 삼각형으로 구성된다. 다시 모순이 발생하므로 C가 T보다 작을 수 있다는 우리의 가정 또한 틀려야 한다.
그러므로 원이 둘러싸는 넓이는 삼각형의 넓이와 정확히 같아야 한다. 이것으로 증명이 완료된다.
재배열 증명.
사토 모슌 , 니콜라우스 쿠자누스, 그리고 레오나르도 다 빈치 에 따라, 우리는 내접된 정다각형을 다른 방식으로 사용할 수 있다. 육각형을 내접시킨다고 가정해보자. 육각형을 중심에서부터 잘라 여섯 개의 삼각형으로 나눈다. 마주보는 두 삼각형은 두 개의 공통 지름에 접하며, 한 지름을 따라 밀어 반지름 방향의 변들이 인접하도록 한다. 이제 이들은 평행사변형을 형성하는데, 육각형 변이 두 개의 마주보는 변을 이루고, 그 중 하나는 밑변 s이다. 두 반지름 방향 변은 기울어진 변을 형성하고, 높이 h는 변심거리와 같다 (아르키메데스 증명과 같이). 사실, 모든 삼각형을 연속적인 쌍으로 서로 옆에 놓음으로써 하나의 큰 평행사변형으로 조립할 수도 있다. 변의 수를 여덟 개 등으로 늘려도 마찬가지이다. 2n개의 변을 가진 다각형의 경우, 평행사변형은 길이 ns의 밑변과 높이 h를 가질 것이다. 변의 수가 증가함에 따라 평행사변형 밑변의 길이는 원둘레의 절반에 가까워지고, 높이는 원 반지름에 가까워진다. 극한에서 평행사변형은 폭 r, 높이 r인 직사각형이 된다.
현대적 증명.
상수 π에는 다양한 동등한 정의가 있다. 미적분학 이전 기하학의 전통적인 정의는 원의 원둘레와 지름의 비율이다.
그러나 원의 원둘레는 원시적인 해석적 개념이 아니기 때문에, 이 정의는 현대의 엄밀한 취급에는 적합하지 않다. 표준적인 현대적 정의는 가 코사인 함수의 최소 양의 근의 두 배와 같거나, 동등하게 사인 (또는 코사인) 함수의 반주기와 같다는 것이다. 코사인 함수는 멱급수 또는 특정 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 이는 의 정의에서 원에 대한 모든 언급을 피하므로, 와 원의 원둘레 및 넓이의 관계에 대한 진술은 실제로 정의가 아니라 "넓이" 및 "원둘레"와 같은 개념의 해석적 정의에서 파생되는 정리이다.
원의 원둘레가 다음 적분을 통해 길이 재기 가능한 곡선으로 측정된다는 데 동의하면 해석적 정의는 동등한 것으로 보인다.
오른쪽에 나타나는 적분은 사인 함수의 반주기인 와 같은 값을 갖는 아벨 적분이다. 따라서 formula_6는 정리로서 참으로 보인다.
이어지는 몇 가지 논증은 formula_1 공식을 재현하기 위해 초등 미적분학의 개념만을 사용하지만, 많은 경우 이를 실제 증명으로 간주하려면 삼각 함수와 기본 상수 를 기하학과의 관계와 완전히 독립적인 방식으로 개발할 수 있다는 사실에 암묵적으로 의존한다. 우리는 이들 각 증명을 모든 삼각법과 완전히 독립적으로 만드는 방법을 적절히 표시했지만, 어떤 경우에는 초등 미적분학에서 제공하는 것보다 더 정교한 수학적 아이디어가 필요하다.
양파 증명.
미적분학을 사용하여 원판을 양파의 껍질처럼 얇은 동심원으로 분할하여 넓이를 점진적으로 합산할 수 있다. 이것은 2차원에서 원통셸 방법이다. 반지름 t인 "양파"의 무한히 얇은 고리의 경우, 누적된 넓이는 2t dt이다. 이는 고리의 원둘레 길이와 무한소 너비(이 고리는 너비=2t, 높이=dt인 직사각형으로 근사할 수 있다)를 곱한 것이다. 이것은 반지름 r인 원판에 대한 기본적인 적분을 제공한다.
이는 극좌표에서의 다변수 치환 규칙에 의해 엄밀하게 정당화된다. 즉, 넓이는 원판 자체에 대한 상수 함수 1의 중적분에 의해 주어진다. D가 원판을 나타내면, 중적분은 극좌표계에서 다음과 같이 계산될 수 있다.
이는 위에서 얻은 것과 동일한 결과이다.
삼각법의 특별한 좌표에 의존하지 않는 동등하고 엄밀한 정당화는 코넓이 공식을 사용한다. 함수 formula_10를 formula_11로 정의한다. ρ는 거의 어디서나 기울기가 단위 벡터 formula_12인 립시츠 함수이다. D를 formula_13에서 formula_14인 원판이라고 하자. formula_15임을 보일 것인데, 여기서 formula_16는 formula_13의 2차원 르베그 측도이다. 우리는 원 formula_18의 1차원 하우스도르프 측도가 반지름 r인 원의 원둘레인 formula_19이라고 가정할 것이다. (이것은 원둘레의 정의로 볼 수 있다.) 그러면 코넓이 공식에 의해,
삼각형 증명.
위에서 설명한 양파 증명과 유사하게, 원판의 넓이 공식을 얻기 위해 미적분학을 다른 방식으로 활용할 수 있다. 동심원을 직선 띠로 펼친다고 생각해보자. 이렇게 하면 높이가 r이고 밑변이 2r (양파의 바깥쪽 조각)인 직각삼각형이 형성된다.
이 삼각형의 넓이를 찾으면 원판의 넓이를 얻을 수 있다.
이 삼각형의 대변 각과 인접 각은 각각 9.0430611...도, 80.956939...도이며, 라디안으로는 0.1578311... , 1.4129651...이다.
명시적으로, 우리는 원을 무한히 많은 삼각형으로 나누는데, 각 삼각형은 원의 반지름과 같은 높이와 무한히 작은 밑변을 가진다. 이들 각 삼각형의 넓이는 formula_22와 같다. 이들 삼각형의 넓이를 모두 합하면 (적분하면) 원의 넓이 공식을 얻을 수 있다.
이 또한 원판에 대한 상수 함수 1의 중적분을 통해 정당화될 수 있으며, 위의 반복 적분에서 적분 순서 변경을 뒤집고 변수 변환을 사용하여 다음을 얻는다.
formula_25로 치환하면 적분은 다음과 같이 변환된다.
이는 위의 결과와 동일하다.
삼각형 증명은 삼각법과 상수 에 대한 모든 언급을 피하는 방식으로 플럭스-발산 형태의 그린 정리의 적용으로 재구성될 수 있다(즉, 발산 정리의 2차원 버전). 평면에서 벡터장 formula_27를 고려한다. 따라서 r의 발산 (벡터)은 2와 같고, 그러므로 원판 D의 넓이는 다음과 같다.
그린 정리에 의해, 이것은 D를 경계 짓는 원을 가로지르는 r의 바깥쪽 플럭스와 같다.
여기서 n은 단위 법선 벡터이고 ds는 호 길이 측도이다. 원점을 중심으로 하는 반지름 R인 원의 경우 formula_30이고 formula_31이므로 위의 등식은 다음과 같다.
전체 원 formula_33에 대한 ds의 적분은 단순히 호 길이, 즉 원둘레와 같으므로, 이는 원으로 둘러싸인 넓이 A가 원의 원둘레의 formula_34배와 같음을 보여준다.
삼각형을 사용하는 또 다른 증명은 원으로 둘러싸인 넓이를 무한히 많은 삼각형(즉, 각 삼각형은 원의 중심에서 의 각도를 가짐)으로 구성된 것으로 간주하며, 각 삼각형의 넓이는 와 같다 (삼각형 넓이 공식에서 파생: ). 작은 각도 근사로 인해 임을 주목하라. 삼각형들의 넓이를 합함으로써 원의 넓이 공식을 찾을 수 있다.
반원 증명.
반지름 r인 반원의 넓이는 적분 formula_36로 계산할 수 있다.
삼각 치환을 통해 formula_37를 대입하면 formula_38가 된다.
마지막 단계는 삼각함수 항등식 formula_40가 치환 적분을 사용하여 formula_41와 formula_42가 구간 formula_43에서 동일한 적분 값을 가짐을 의미하기 때문이다. 그러나 다른 한편으로, formula_44이므로, 두 적분의 합은 해당 구간의 길이인 formula_45이다. 결과적으로, formula_46의 적분은 해당 구간 길이의 절반인 formula_47와 같다.
따라서 반지름 r인 원의 넓이, 즉 반원 넓이의 두 배는 formula_48와 같다.
이 특정 증명은 삼각 치환에 포함된 사인 및 코사인 함수가 원과 관련하여 정의된 것으로 간주된다면 질문의 전제를 가정하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 앞서 언급했듯이, 사인, 코사인, 그리고 를 삼각법과 완전히 독립적인 방식으로 정의하는 것이 가능하며, 이 경우 증명은 변수 변환 공식과 푸비니 정리에 의해 유효하며, 사인과 코사인의 기본 속성(원과의 관계에 대한 어떤 가정도 없이 증명될 수 있음)을 가정한다.
등주부등식.
원은 최대 넓이를 둘러싸는 최소 둘레의 닫힌 곡선이다. 이는 등주부등식으로 알려져 있으며, 유클리드 평면에서 조르당 곡선 정리에 따라 길이 재기 가능한 조르당 곡선이 둘레 C와 넓이 A를 둘러싸면 다음이 성립한다.
더욱이, 이 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립하며, 이 경우 formula_1 및 formula_51이다.
빠른 근사.
아르키메데스가 넓이를 수치적으로 근사하는 데 사용한 계산은 고된 작업이었고, 그는 96변 다각형에서 멈췄다. 더 빠른 방법은 빌레브로트 스넬 (Cyclometricus, 1621)의 아이디어를 사용하며, 크리스티안 하위헌스 (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654)에 의해 더욱 발전되었다. 이는 에 기술되어 있다.
아르키메데스의 배가법.
원이 주어졌을 때, 내접하는 정n각형의 둘레를 un이라 하고, 외접하는 정n각형의 둘레를 Un이라 하자. 그러면 un과 Un은 n이 증가할수록 점점 더 정밀해지는 원둘레의 하한과 상한이 되며, 그 평균 (un + Un)/2는 원둘레에 대한 특히 좋은 근사치이다. 큰 n에 대해 un과 Un을 계산하기 위해 아르키메데스는 다음 배가 공식을 유도했다.
육각형에서 시작하여 아르키메데스는 n을 네 번 두 배로 늘려 96각형을 얻었고, 이를 통해 원둘레에 대한 좋은 근사치를 얻었다.
현대 표기법으로 그의 계산(및 더 나아가)을 다음과 같이 재현할 수 있다.
단위 원의 경우, 내접 육각형은 u6 = 6을 가지며, 외접 육각형은 U6 = 4을 가진다.
7번 두 배로 늘리면 다음이 생성된다.
표의 마지막 항목에는 최적 유리수 근사 중 하나인 355⁄113이 있다.
즉, 분모가 113까지인 유리수 중 더 나은 근사치는 없다.
숫자 355⁄113은 중국 수학자 조충지에게 귀속되는 의 훌륭한 근사치이기도 하다. 그는 이를 밀률이라 불렀다. 이 근사치는 분모가 16,604보다 작은 다른 어떤 유리수보다 낫다.
스넬-하위헌스 개선.
스넬은 아르키메데스보다 더 엄밀한 상한을 제안했고(하위헌스가 증명했다):
n = 48일 때 이는 아르키메데스의 n = 768 방법보다 더 좋은 근사치(약 3.14159292)를 제공한다.
아르키메데스의 배가 공식 유도.
내접하는 정n각형의 한 변의 길이를 sn이라 하고, 원과 점 A, B에서 접한다고 하자. A에 마주보는 원 위의 점을 A'라 하면 A'A는 지름이 되고, A'AB는 지름에 내접하는 삼각형이 된다. 탈레스의 정리에 의해 이 삼각형은 B에서 직각을 갖는 직각삼각형이다. A'B의 길이를 cn이라 하자. 이는 sn의 보각이라 불린다. 따라서 cn2+sn2 = (2r)2이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하고, C'가 원 위의 C에 마주보는 점이라고 하자. 그러면 CA의 길이는 s2n, C'A의 길이는 c2n이며, C'CA 자체는 지름 C'C에 대한 직각삼각형이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하므로 C'C는 A부터 B까지의 현을 수직으로 이등분하며, 그 점을 P라고 하자. 따라서 삼각형 C'AP는 직각삼각형이며, C'에서 각을 공유하므로 C'CA와 닮음이다. 따라서 세 개의 대응변은 같은 비례를 이룬다. 특히, C'A : C'C = C'P : C'A 및 AP : C'A = CA : C'C가 성립한다. 원의 중심 O는 A'A를 이등분하므로, 삼각형 OAP는 A'AB와 닮음이며, OP는 A'B 길이의 절반이다. 변의 길이에 관해 이는 다음을 제공한다.
첫 번째 방정식에서 C'P는 C'O+OP이며, 길이는 r + cn이고, C'C는 지름 2r이다. 단위 원의 경우 우리는 뤼돌프 판 쾰런의 유명한 배가 방정식을 얻는다.
이제 정n각형을 외접시키고, 변 A"B"가 AB와 평행하도록 하면, OAB와 OA"B"는 닮은 삼각형이며, A"B" : AB = OC : OP이다. 외접하는 변을 Sn이라 하면, Sn : sn = 1 : 1⁄2cn이다. (우리는 다시 OP가 A'B 길이의 절반임을 사용했다.) 따라서 다음을 얻는다.
내접 둘레를 un = nsn, 외접 둘레를 Un = nSn이라 하자. 그러면 방정식을 결합하여 다음을 얻는다.
이는 기하 평균 방정식을 제공한다.
또한 다음을 유추할 수 있다.
이는 조화 평균 방정식을 제공한다.
다트 근사법.
넓이를 찾는 더 효율적인 방법을 사용할 수 없을 때, "다트 던지기"에 의존할 수 있다. 이 몬테카를로 방법은 원이 놓여 있는 정사각형 표면에 무작위 샘플을 균일하게 뿌리면 원을 맞히는 샘플의 비율이 원 넓이 대 정사각형 넓이 비율에 근사한다는 사실을 이용한다. 이는 원판(또는 어떤 모양)의 넓이를 계산하는 최후의 수단으로 간주되어야 한다. 유용한 정확도를 얻으려면 엄청난 수의 샘플이 필요하기 때문이다. 10−n의 정확도를 갖는 추정에는 약 100n개의 무작위 샘플이 필요하다 .
유한 재배열.
우리는 원판을 무한히 많은 조각으로 나누어 이 조각들을 직사각형으로 재조립할 수 있음을 보았다. 상대적으로 최근에 에 의해 발견된 놀라운 사실은 원판을 크지만 유한한 수의 조각으로 해부한 다음, 그 조각들을 같은 넓이의 정사각형으로 재조립할 수 있다는 것이다. 이것을 타르스키의 원 정방형 문제라고 한다. 라츠코비치 증명의 특성은 그러한 분할(실제로 많은 분할)의 존재를 증명하지만, 특정 분할을 제시하지는 않는다.
비유클리드 원.
원은 비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 및 타원 평면에서 정의될 수 있다.
예를 들어, 단위구 formula_62은 2차원 타원 평면의 모델이다. 이는 측지선 길이를 측정함으로써 발생하는 내재된 거리를 가진다. 측지선 원은 측지선 좌표계의 평행선이다.
더 정확하게는, 정점에 놓이는 점 formula_63을 고정하자. 그 정점에 관련된 측지 극좌표계 formula_64가 있는데, formula_65, formula_66이며, z는 점 formula_67이다. 이 좌표계에서 z에서 좌표가 formula_64인 formula_62의 다른 점 formula_70까지의 측지선 거리는 x에서의 formula_71 값이다. 구면 원은 정점 z에서 측지선 거리 R에 있는 점들의 집합이다. 동등하게, formula_72로의 고정된 임베딩을 사용하여, z를 중심으로 하는 반지름 formula_73의 구면 원은 formula_62에서 formula_75를 만족하는 x의 집합이다.
우리는 구면 원 내에 둘러싸인 구면 원판의 넓이도 측정할 수 있는데, 구면의 내재된 표면 넓이 측도를 사용한다. 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
더 일반적으로, 구 formula_77의 곡률 반지름이 formula_78이면, 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
로피탈의 정리의 적용으로, 이것이 평면 극한 formula_80에서 유클리드 넓이 formula_81로 수렴한다는 것을 관찰할 수 있다.
쌍곡선의 경우는 유사하며, (상수 곡률 formula_82) 쌍곡 평면에서 내재된 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
여기서 cosh는 쌍곡 코사인이다. 더 일반적으로, 상수 곡률 formula_84 쌍곡 평면의 경우 답은 다음과 같다.
이러한 항등식은 기하학에서 비교 부등식에 중요하다. 예를 들어, 평평한 공간에서 반지름 R인 원으로 둘러싸인 넓이는 항상 구면 원의 넓이보다 크고 쌍곡선 원의 넓이보다 작다. 단, 세 원 모두 동일한 (내재된) 반지름을 가질 경우이다. 즉,
모든 formula_87에 대해. 직관적으로, 구는 그 자체로 구부러지는 경향이 있어 평면의 원보다 작은 넓이의 원을 생성하고, 쌍곡 평면은 공간에 잠겼을 때 추가 넓이를 생성하는 테두리를 발전시키기 때문이다. 일반적으로 고정된 반지름 R의 원의 넓이는 곡률의 엄격한 감소 함수이다.
모든 경우에, formula_88가 곡률(상수, 양수 또는 음수)이면, 넓이 A와 둘레 L을 갖는 도메인에 대한 등주부등식은
여기서 등호는 원에 대해서만 성립한다.
원판을 늘려 타원을 만들 수 있다. 이 늘림은 평면의 선형 변환이므로, 넓이를 변경하지만 넓이의 비율을 보존하는 왜곡 인자를 가진다. 이 관찰은 단위 원의 넓이로부터 임의의 타원의 넓이를 계산하는 데 사용될 수 있다.
한 변의 길이가 2인 정사각형에 외접하는 단위 원을 고려하자. 변환은 원을 타원의 장축과 단축으로 수평 및 수직 지름을 늘리거나 줄여 타원으로 보낸다. 정사각형은 타원을 외접하는 직사각형으로 보내진다. 원과 정사각형의 넓이 비율은 /4이며, 이는 타원과 직사각형의 비율도 /4임을 의미한다. 타원의 장축과 단축의 길이가 각각 a와 b라고 가정하자. 직사각형의 넓이가 ab이므로, 타원의 넓이는 ab/4이다.
더 높은 차원에서 유사한 측정을 고려할 수도 있다. 예를 들어, 구 안의 부피를 찾고 싶을 수 있다. 표면 넓이 공식이 있을 때, 원판에 사용했던 것과 동일한 종류의 "양파" 접근법을 사용할 수 있다.
서정용(1974년 11월 20일 ~ 2019년 10월 31일)은 대한민국의 소방청 중앙119구조본부 항공대에서 근무한 소방공무원이며, 항공정비검사관(전문경력관 가군)으로 활동하다 2019년 10월 31일 독도 동도 헬리포트에서 환자 이송 임무 중 이륙 직후 해상으로 추락한 HL9619 헬기 사고로 순직하였다.
출생과 초기.
서정용은 1974년 11월 20일 충청북도 보은군에서 태어났다.
임용과 직무.
2015년 5월 22일 경력경쟁채용으로 소방청 중앙119구조본부에 전문경력관(가군) 항공정비검사관으로 임용되었다. 그는 항공대 정비·검사 업무 전반을 맡아 안전성과 가용성을 유지·향상시키는 역할을 담당하였다.
2019년 10월 31일 밤, 경북소방본부로부터 어선 작업 중 손가락 절단상을 입은 응급환자 이송 요청을 받아 중앙119구조본부 영남1호(등록번호 HL9619) 헬기가 독도 동도 헬리포트에서 이륙하였고, 이륙 직후 인근 해상으로 추락하였다. 탑승자 7명 전원이 사망하였다. 항공·철도사고조사위원회 최종보고(2023년 발표)에 따르면, 야간 바다 위 "블랙홀" 환경에서 공간지각 상실 등 인적요인이 결합되어 이륙 직후 하강해 수면과 충돌하였다. 사고기는 에어버스 H225(EC225)로, 사고 직전 대정비를 받았던 사실이 확인되었다. 조사 요약에 따르면 이륙 후 약 14초 만에 헬리포트에서 약 486m 떨어진 해상과 충돌했고, 충격은 비생존 수준(약 54.54G)으로 평가되었다.
2019년 12월 10일 대구 계명대학교 성서캠퍼스 실내체육관에서 소방청장(葬)으로 합동영결식이 거행되었고, 이후 국립대전현충원에 안장되었다. 같은 날 국가유공 포상에서 김종필·서정용·이종후에게 녹조근정훈장이, 배혁·박단비에게 옥조근정훈장이 각각 추서되었다.
소방청은 그가 “팀보다 나은 개인은 없다”는 신념으로 항공정비검사관의 책무를 성실히 수행하며 중앙119구조본부 소방헬기 안전을 책임져 왔다고 평가하였다.
소진법(method of exhaustion, )은 도형의 넓이를 구하는 방법으로, 도형 안에 다각형 수열을 (하나씩) 내접시켜 그 넓이가 포함된 도형의 넓이로 수렴하도록 하는 방법이다. 만약 이 수열이 올바르게 구성된다면, n번째 다각형과 포함된 도형 사이의 넓이 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아질 것이다. 이 차이가 임의로 작아짐에 따라, 도형 넓이의 가능한 값들은 수열의 구성원들에 의해 연속적으로 설정되는 하한 넓이들에 의해 체계적으로 "소진"된다.
소진법은 일반적으로 귀류법의 한 형태인 Reductio ad absurdum을 필요로 했다. 이는 먼저 한 영역의 넓이를 두 번째 영역의 넓이와 비교하여 해당 영역의 넓이를 찾아내는 것으로, 두 번째 영역은 "소진"되어 실제 넓이에 임의로 가까워지게 된다. 증명은 실제 넓이가 두 번째 영역보다 크다고 가정하여 그 주장이 틀렸음을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하여 그 주장 또한 틀렸음을 증명하는 과정을 포함한다.
이 아이디어는 기원전 5세기 후반에 안티폰에게서 시작되었지만, 그가 이 아이디어를 얼마나 잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다. 이 이론은 몇십 년 후 에우독소스에 의해 엄밀해졌고, 그는 이를 사용하여 넓이와 부피를 계산했다. 이후 3세기 AD에 유휘에 의해 중국의 산학에서 다시 발명되어 원의 넓이를 찾는 데 사용되었다. 이 용어의 첫 사용은 1647년 생뱅상 그레고리의 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.
소진법은 미적분학 방법의 전신으로 여겨진다. 17세기부터 19세기에 걸쳐 해석기하학과 엄밀한 적분학이 발전하면서 소진법은 더 이상 문제를 해결하는 데 명시적으로 사용되지 않게 되었다. 중요한 대안적 접근법은 카발리에리의 원리였으며, 이는 또한 불가분량의 방법이라고 불렸고 결국 로베르발, 에반젤리스타 토리첼리, 존 월리스, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등의 무한소 미적분학으로 발전했다.
에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.
명제 2: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.
명제 5: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.
명제 10: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.
명제 11: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.
명제 12: 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.
명제 18: 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.
아르키메데스.
아르키메데스는 소진법을 사용하여 원 안에 변의 수가 증가하고 그에 따라 넓이도 증가하는 다각형 수열을 채워넣음으로써 원 안의 넓이를 계산했다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 다각형 변의 수가 커질수록 π에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 반지름이 인 원 안의 넓이가 임을 증명한다. 여기서 는 원주와 지름의 비율()로 정의된다.
그는 또한 내접 및 외접하는 96변 정다각형의 둘레와 원의 둘레를 비교하여 (범위 )의 경계를 제시했다.
그가 소진법으로 얻은 다른 결과는 다음과 같다:
갈릴레오 갈릴레이는 소진법을 사용하여 절단된 원뿔의 질량 중심을 찾았다.
현대 미적분학의 발전 직전에 크리스토퍼 렌은 소진법을 사용하여 사이클로이드의 정확한 호의 길이를 발견했다.
예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다.
아르키메데스는 formula_1로 주어지는 나선 formula_2의 한 바퀴 넓이를 계산하여 formula_3를 찾았는데, 이는 이를 둘러싼 원의 넓이 formula_4의 3분의 1이다.
증명의 개요를 위해, formula_5를 보여주고자 한다고 가정하자. 귀류법으로, formula_6라고 가정하자. 구간 formula_7를 formula_8개의 동일한 조각 formula_9으로 나누고, 각 하위 구간에 대해 나선을 둘러싸는 가장 작고 가장 큰 원형 부채꼴을 찾는다. 두 번째 이미지를 참조하여 명확히 한다. formula_10를 나선 내부에 있는 부채꼴들의 집합으로, formula_11를 외부에 있는 부채꼴들의 집합으로 두자. 그러면 formula_12는 나선 넓이의 과소추정치이고, formula_13는 과대추정치이다. 아르키메데스는 formula_8이 충분히 클 때, 임의의 formula_15에 대해 formula_16임을 보일 수 있었다.
이제 formula_17라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 formula_18이고, 따라서 나선이 formula_10를 둘러싸므로 formula_20이다. 그러나 formula_11의 넓이는 명시적으로 계산할 수 있는데, 이는 formula_22개의 외부 원형 부채꼴 넓이의 합과 같으며, 각각의 넓이는 formula_23 (formula_24)이다. 즉,
아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.
따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.
원의 반지름이 formula_27였으므로, 원의 넓이는 formula_28이다. 이를 위의 부등식에 formula_29와 함께 대입하면 다음과 같다.
이는 다음과 같이 더 줄어든다.
그러나 이는 모든 양의 formula_8에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 formula_8보다 크고 두 번째 항은 formula_34보다 크므로 그 곱은 formula_35보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.
formula_36라는 증명은 전적으로 동일하다. 나선 넓이가 원 넓이의 3분의 1보다 작지도 크지도 않으므로, 아르키메데스는 그 둘이 같다고 결론지었다.
예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다.
formula_37이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.
증명의 개요를 위해, 귀류법으로 formula_38라고 가정하자.
formula_39를 각각 formula_40에 내접하는 formula_8변 정다각형이라고 하자.
formula_42로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, formula_43일 때마다 formula_44이 되는 formula_45을 찾을 수 있다. 따라서 formula_46의 정의를 사용하여 formula_47임을 쉽게 보일 수 있다. 단, formula_22이 고정되어야 한다.
이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.
formula_49이므로 이는 모순이다. 다음 단계는 formula_50 또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 formula_40의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 formula_37임을 알 수 있다.
리만 합과 소진법을 사용하여 넓이를 계산하는 것은 두 방법 모두 일련의 다각형을 사용하여 해당 넓이를 근사하는 방식으로 시작한다는 점에서 유사하다. 그러나 리만 합에서는 근사 다각형 넓이의 극한을 formula_53로 간주한다. 반대로 소진법에서는 극한을 피하고 대신 이중 귀류법을 사용한다. 따라서 소진법은 무한에 대한 엄밀한 처리가 필요 없이 복잡한 넓이를 계산할 수 있게 한다.
회전면(surface of revolution)은 유클리드 공간에서 곡선 (생성선)을 회전축 (일반적으로 끝점을 제외하고는 생성선과 교차하지 않음)을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 생성되는 곡면이다.
이 회전으로 생성된 곡면으로 둘러싸인 부피는 회전체이다.
직선으로 생성된 회전면의 예로는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 및 원추표면이 있다. 지름 주위로 회전하는 원은 대원이 되는 구를 생성하고, 원의 내부와 교차하지 않는 축 주위로 원이 회전하면 자체적으로 교차하지 않는 원환면 (환형 원환면)을 생성한다.
축을 통과하는 평면에 의해 생성된 회전면의 단면을 자오선 단면이라고 한다. 모든 자오선 단면은 그 단면과 축에 의해 결정되는 평면의 생성선으로 간주될 수 있다.
축에 수직인 평면에 의해 생성된 회전면의 단면은 원이다.
쌍곡면 (한 장 또는 두 장)과 타원 포물면의 일부 특수한 경우는 회전면이다. 이들은 축에 수직인 모든 단면이 원형인 2차 곡면으로 식별될 수 있다.
곡선이 매개변수 함수 , 로 설명되고, 가 어떤 구간 에 걸쳐 있으며, 회전축이 -축인 경우, 겉넓이 는 다음 적분으로 주어진다.
이때 는 끝점 와 사이에서 음수가 아니다. 이 공식은 파푸스의 중심 정리의 미적분학적 등가물이다. 다음 양
은 피타고라스 정리에서 유래하며, 곡선의 길이 공식에서처럼 곡선 호의 작은 부분이다. 양 는 파푸스의 정리에 따라 이 작은 부분 (의 무게중심)의 경로이다.
마찬가지로, 회전축이 -축이고 가 음수가 아닌 경우, 넓이는 다음으로 주어진다.
연속 곡선이 함수 , 로 설명되면, 적분은 다음과 같다.
-축을 중심으로 회전하는 경우, 그리고
y-축을 중심으로 회전하는 경우 (일 때). 이 공식들은 위 공식에서 파생된다.
이것은 다변수 적분에서도 유도할 수 있다. 평면 곡선이 formula_6로 주어지면, x-축을 중심으로 회전할 때 해당하는 회전면은 formula_7인 formula_8로 주어진 데카르트 좌표를 갖는다. 그러면 표면적은 면적분으로 주어진다.
편미분을 계산하면
이고, 벡터곱을 계산하면
여기서 삼각 함수 항등식 formula_13이 사용되었다. 이 벡터곱으로 다음을 얻는다.
여기서 같은 삼각 함수 항등식이 다시 사용되었다. y-축을 중심으로 회전하여 얻은 표면의 유도도 비슷하다.
예를 들어, 단위 반경의 구면은 가 범위에 있을 때 곡선 , 에 의해 생성된다. 따라서 넓이는 다음과 같다.
반경 의 구형 곡선, 가 -축 주위로 회전하는 경우
최소 회전면은 주어진 두 점 사이의 곡선 중 표면적을 최소화하는 곡선의 회전면이다. 변분법의 기본 문제는 이 최소 회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다.
회전면인 동시에 최소 곡면인 최소 회전면은 평면과 현수면의 두 가지뿐이다.