shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
이 조각상은 트레포일 무늬가 있는 토가와 같은 겉옷을 한쪽 어깨에만 걸치고 있는데, 파키스탄 자료들은 이것이 지역의 아지락 블록 프린팅 기법을 사용한 것이라고 주장한다. 이 위에 돋아난 트레포일 및 다른 형태들의 내부에는 원래 붉은색 물질, 아마도 어떤 종류의 페이스트가 채워져 있었다. 형태의 내부는 거칠게 남겨져 있어 이것이 잘 접착되도록 도왔다. 형태 주변의 공간에서는 원래 발굴 당시 "검붉은색"이었지만 원래는 부조 형태에 녹색이나 파란색 배경을 주었을 물질의 흔적이 발견되었다.
마셜이 인더스 문명에 대해 처음 생각했던 것은 메소포타미아와의 연관성이 매우 밀접하다는 것이었고, 1926년까지의 예비 보고서에서는 이를 "인도-수메르 문명"이라고 불렀다. 그는 나중에 이것이 틀렸다는 것을 깨닫고 "인더스 문명"을 사용하기 시작했다. 사제왕과 다소 유사한 메소포타미아 인물들 사이의 관계 가능성에 대한 많은 논의가 있었다. 미술사학자 벤저민 로우랜드는 "딱딱하고 가면 같은 면으로 머리를 조형한 방식과 특정 다른 기술적 세부 사항들이 상당히 유사하지만, 실제 관계를 증명하기에는 충분히 가깝지 않다"고 결론 내렸다.
그레고리 포셀에 따르면, 특히 얼굴 털을 다룬 방식이 조각상이 완전히 완성되지 않았음을 시사한다. 주된 턱수염은 평행선으로 섬세하게 작업되었지만, 윗입술도 주변 살보다 돌출되어 있으며, 콧수염을 나타내는 선은 추가되지 않고 단순히 매끄럽게 처리되어 있다. 뺨에서는 턱수염 선이 뺨으로 더 희미하게 이어지는데, 완성된 작품에서는 아마도 매끄럽게 처리되었을 것이다.
이 인물을 종교적인 인물로 해석할 수 있는 가능한 증거로는 눈이 코끝에 고정된 것처럼 보이는 모습(이는 요가의 한 수련 방식)과 한쪽 어깨에 걸친 가운이 나중에 불교의 승가티와 같은 의복과 유사하다는 점이다. 코끝에 집중하는 모습은 마셜의 인도인 조수 중 한 명이 주목했으며, 마셜은 파슈파티 인장에서도 같은 특징을 보았다.
발굴 및 최근 역사.
이 조각상은 도시의 "D-K B" 지역에서 고고학자 카시나트 나라얀 딕시트(이후 ASI 국장)에 의해 1.37미터 깊이에서 발견되었으며, 발견 번호 DK-1909가 부여되었다. 정확한 발견 장소는 "이상한 평행 벽이 있는 작은 울타리"였는데, 아마도 하맘이나 사우나의 히포카우스툼이었을 것이다. 이 조각상은 이 벽들 사이의 작은 통로에서 발견되었지만, 이는 정상적인 위치로 보이지 않으며, 도시가 폐허가 될 때 이 공간으로 떨어지거나 굴러들어갔을 것으로 추정된다.
모헨조다로에서 발견된 유물들은 처음에 라호르 국립박물관으로 보내졌지만, 나중에 영국령 인도의 새로운 수도이자 ASI 본부가 있는 뉴델리로 옮겨져 계획된 "중앙 제국 박물관"에 전시될 예정이었다. 결국 1947년 인도의 분할 이후 이것은 인도 국립박물관으로 설립되었다. 새로운 파키스탄 유산 당국은 인더스 문명 유물의 반환을 요청했는데, 독립 당시 발견된 거의 모든 유물은 모헨조다로와 같이 현재 파키스탄에 있는 유적지에서 나왔기 때문이다.
이 조각상은 1972년 심라 협정을 통해 파키스탄과 인도의 정부 수반인 줄피카르 알리 부토 파키스탄 대통령과 인디라 간디 인도 총리가 합의한 후에야 파키스탄으로 반환되었다. 파키스탄 고고학자에 따르면, 간디는 사제왕상과 다른 가장 상징적인 인더스 조각상인 춤추는 소녀상(모헨조다로에서 발견된 더 작은 청동 조각상) 둘 다 반환하기를 거부했고, 부토에게 둘 중 하나만 선택할 수 있다고 말했다.
이 조각상은 1931년 벌링턴 미술 클럽에서 열린 "인도 미술" 전시회에 전시되었으며(카탈로그 114번), 춤추는 소녀상도 함께 전시되었다(카탈로그 136번). 인도 밖에서 인더스 문명 유물이 처음으로 전시된 이 행사는 언론의 상당한 주목을 받았다. 다른 전시회로는 2003년 뉴욕 메트로폴리탄 미술관에서 열린 "최초 도시의 미술: 지중해에서 인더스까지의 기원전 3천년" 전시회(카탈로그 272a번)가 있다. 이 조각상의 복제품은 파키스탄 안팎에서 인기가 많으며, 원본보다 훨씬 큰 복제품이 모헨조다로 유적지 입구에 세워져 있다.
이 조각상은 "모헨조다로에서 발견된 7점의 주요 인간 조각품" 중 하나이다. 다른 조각품으로는 두 점의 작은 전신 나체 청동 여성 조각상이 있는데, 둘 다 어떤 이들은 "무희"라고 부르지만, 제물 운반과 같은 다른 활동들이 제안되기도 했다. 또한 석회암이나 알라바스터로 된 세 점의 남성 머리 조각상(부러진 것으로 보임)과 머리 없는 앉은 남성 조각상도 있다. 이 조각품들과 사제왕 사이에 다양한 대조점과 비교점이 제시되었으며, 세부 묘사에서 상당한 다양성이 나타난다. 머리 없는 앉은 남성 조각상은 사제왕의 없어진 하반신 자세를 보여줄 수 있다. 나무 조각상도 있었을 가능성이 높지만, 현존하는 것은 없다.
또한 인더스 문명 전역에서 매우 많고 단순한 테라코타 인형들이 발견되는데, 대부분 여성상이며, 일반적으로 나중에 인도 전역에서 생산된 것들과 유사하며, 심지어 오늘날까지도 그러하다. 정교한 머리 장식은 이 인형들의 두드러진 특징이다.
동석은 인더스 문명에서 널리 사용되었다. 한 기술에서는 그것을 갈아서 반죽으로 만들고, 구워서 장식된 구슬을 만들었는데, 이 중 많은 것이 수출되었다. 또한 인더스 인장을 조각하는 데 주로 사용된 재료이기도 했다. 때로는 구워지고 때로는 구워지지 않았으며, 많은 인장들은 조각된 후 가볍게 구워진 코팅이 입혀졌다.
일부 학자들은 그곳의 예술과 유사한 점 때문에 사제왕상과 인더스 문명 맥락에서 발견된 소수의 유사한 유물들이 북쪽, 특히 동시대 문화인 박트리아-마르기아나 고고학적 복합체("BMAC")의 전통에서 영향을 받았을 수 있다고 제안했다. 아마도 이 유물들은 인더스 문명 도시에 거주하는 북쪽 출신 사람들을 위해 만들어졌을 수 있다. 인더스 문명과 달리, BMAC는 상당한 사회적 차등화를 시사하는 풍부한 무덤을 남겼으며, 지금까지 발굴된 대규모 정착지들은 각각 거대한 요새화된 복합체를 중심으로 한다. 이들은 이전에는 "사원"으로 묘사되었지만, 아마도 지역 통치자의 거주지였을 가능성이 더 높다.
인더스 문명 정치.
고도로 복잡한 사회 조직에 대한 풍부한 증거에도 불구하고 강력한 지배계급의 증거가 없다는 점은 초기 발굴가들에게 인더스 문명 도시의 가장 놀라운 측면 중 하나였으며, 웅장한 무덤과 궁전의 일반적인 형태로 명확한 증거는 여전히 부족하다. 청동기 시대 조건에서 대규모 도시화를 달성하기 위해 지배계급이 필요했는지 여부는 여전히 미해결 질문이며, 인더스 문명이 국가였는지, 그렇다면 단일 국가였는지 여러 국가였는지에 대한 질문과도 관련이 있다. 군사 기반의 군주나 지배계급에 대한 증거가 부족했기 때문에, 어떤 종류의 신권정치 모델이 초기 고고학자들에게 널리 받아들여졌다.
이것은 메소포타미아 고고학에서 지지를 받았는데, 실제로 수메르의 초기 도시들은 여전히 정치적 및 종교적 역할을 결합한 통치자들을 가졌다고 생각된다. 1940년대 인도에 있던 영국 고고학자 스튜어트 피곳은 인더스 문명이 "두 주요 정부 소재지에서 독재적이고 절대적인 권력을 휘두르는 사제왕들에 의해 통치되는 국가"라고 생각했다. 휠러는 이에 동의하며 다음과 같이 단언했다.
그들의 권위의 근원이 무엇이든—그리고 지배적인 종교적 요소가 상당히 가정될 수 있다—하라파의 통치자들이 그들의 도시를 수메르와 아카드의 사제왕이나 총독의 방식과 다르지 않게 통치했음은 더 이상 의심할 수 없다.
휠러는 큰 남성 조각상에 가해진 손상을 의도적인 것으로 보았으며, 그가 가설을 세운 아리아 침략자에 의한 인더스 문명의 폭력적인 전복 중에 발생한 것으로 보았는데, 이는 현재 일반적으로 신뢰받지 못하는 인더스 문명의 종말에 대한 설명이다. 21세기에는 인더스 문명의 권력이 가족이나 씨족 간에 더 넓게 분산되어 있었을 가능성이 있으며, 아마도 의회와 관련되었을 수도 있고, 도시의 쇠퇴가 더 점진적이었다고 보는 경향이 있다.
사제왕 인물들은 대략 인더스 문명과 동시대였으며 몇 세기 후에 흥망성쇠를 겪었지만, 발견과 발굴은 몇십 년 더 일찍 이루어진 미노스 문명에서도 상정되었다. 인더스 문명처럼 미노스 문명도 해독 가능한 문자가 없었으므로 고고학자들은 오직 물리적 증거에만 의존해야 했다. 인더스 문명과는 대조적으로, 크고 화려하게 장식된 "궁전"들이 매우 분명했지만, 누가 그 안에 살았는지에 대한 단서는 없었다. 발굴 책임자였던 아서 에번스 경은 사제왕의 개념을 선호했으며, 1901년 크노소스에서 발견된 파편적인 부조 프레스코에 그렇게 제목을 붙였다. 이는 휠러가 모헨조다로 인물에 대해 그렇게 한 것보다 훨씬 더 추측성 강한 것이었으며, 대부분의 학자들은 이제 그 파편들이 모두 단일 인물에서 나온 것인지에 대해 의심하고 있으며, 에번스의 재건축물에는 현재 백합 왕자라는 제목이 일반적으로 붙여진다. (에번스 밑에서 훈련받았던) 마셜처럼, 그는 자신의 "사제왕"을 발굴에 대한 주요 저서의 표지 이미지로 사용했다.
양자 컴퓨팅과 특히 양자 회로 계산 모델에서 양자 논리 게이트(, 또는 간단히 양자 게이트(quantum gate))는 소수의 큐비트에서 작동하는 기본 양자 회로이다. 양자 논리 게이트는 기존 디지털 회로의 논리 회로와 마찬가지로 양자 회로의 구성 요소이다.
많은 고전 논리 게이트와 달리 양자 논리 게이트는 가역적이다. 가역 게이트만 사용하여 고전적인 컴퓨팅을 수행할 수 있다. 예를 들어, 가역적인 토폴리 게이트는 종종 보조 비트를 사용해야 하는 비용으로 모든 불 함수를 구현할 수 있다. 토폴리 게이트는 직접적인 양자 등가를 가지며, 이는 양자 회로가 고전 회로가 수행하는 모든 작업을 수행할 수 있음을 보여준다.
양자 게이트는 유니터리 작용소이며, 일부 정규 직교 기저와 관련하여 유니터리 행렬로 설명된다. 일반적으로 계산 기저가 사용되는데, 이는 다른 것과 비교하지 않는 한, d-레벨 양자 시스템(예: 큐비트, 양자 레지스터 또는 큐트리트 및 큐디트)의 경우 정규 직교 기저 벡터 공간 벡터는 또는 이진법 표기법을 사용한다.
양자 게이트의 현재 표기법은 1986년 리처드 파인만이 도입한 표기법을 기반으로 Adriano Barenco, 찰스 H. 베넷, 리처드 클리브, 데이비드 P. 디빈첸조, 노먼 마르골루스, 피터 쇼어, Tycho Sleator, 존 A. 스몰린, Harald Weinfurter를 포함한 양자정보과학의 많은 창시자들에 의해 개발되었다.
양자 논리 게이트는 유니터리 행렬로 표현된다. formula_1 큐비트(양자 레지스터)에서 작동하는 게이트는 formula_2 유니터리 행렬로 표현되며, 행렬 곱셈의 군 연산을 가진 모든 게이트들의 집합은 유니터리 군 U(2n)이다. 게이트가 작동하는 양자 상태는 formula_3 복소수 차원의 단위 벡터이며, 복소 유클리드 노름(2-노름)을 갖는다. 기저 벡터(때때로 고유 상태라고도 함)는 큐비트의 상태가 측정될 경우 가능한 결과이며, 양자 상태는 이러한 결과들의 선형 결합이다. 가장 일반적인 양자 게이트는 일반적인 고전 논리 게이트가 하나 또는 두 개의 비트에서 작동하는 것과 마찬가지로 하나 또는 두 개의 큐비트의 벡터 공간에서 작동한다.
양자 논리 게이트는 연속 대칭군에 속하지만, 실제 컴퓨터 하드웨어는 부정확하므로 정밀도가 제한적이다. 게이트 적용은 일반적으로 오류를 발생시키고, 양자 상태의 충실도는 시간이 지남에 따라 감소한다. 양자 오류 정정을 사용하면 사용 가능한 게이트가 유한 집합으로 더욱 제한된다. 이 문서의 뒷부분에서는 이상적인 양자 게이트의 속성에 초점을 맞추므로 이를 무시한다.
양자 상태는 일반적으로 브라-켓 표기법으로 알려진 표기법에서 "켓"으로 표현된다.
단일 큐비트의 벡터 표현은 다음과 같다.
여기서 formula_5 및 formula_6은 큐비트의 복소 확률 진폭이다. 이 값들은 큐비트의 상태를 측정할 때 0 또는 1을 측정할 확률을 결정한다. 자세한 내용은 아래 측정을 참조한다.
값 0은 켓 으로 표현되며, 값 1은 켓 로 표현된다.
텐서곱(또는 크로네커 곱)은 양자 상태를 결합하는 데 사용된다. 큐비트 레지스터의 결합된 상태는 구성 큐비트의 텐서곱이다. 텐서곱은 기호 로 표시된다.
두 큐비트의 벡터 표현은 다음과 같다.
특정 양자 상태에 대한 게이트의 작용은 게이트를 나타내는 행렬 formula_8에 의해 상태를 나타내는 벡터 formula_9를 곱하여 찾는다. 결과는 새로운 양자 상태 이다.
시간 전개 연산자와의 관계.
슈뢰딩거 방정식은 관측되지 않는 양자 시스템이 시간이 지남에 따라 어떻게 전개되는지를 설명하며, formula_11이다. 시스템이 안정적인 환경에 있어 일정한 해밀토니언을 가질 때, 이 방정식의 해는 formula_12이다. 시간 formula_13가 항상 동일한 경우 단순화를 위해 생략할 수 있으며, 양자 상태가 전개하는 방식은 위 섹션과 마찬가지로 formula_14로 설명할 수 있다.
즉, 양자 게이트는 관측되지 않는 양자 시스템이 특정 시간 동안 어떻게 전개되는지를 나타내거나, 동등하게, 게이트는 특정 시간 동안 양자 상태에서 작동하는 유니터리 시간 변화 연산자 formula_8이다.
셀 수 없이 무한한 수의 게이트가 존재한다. 그 중 일부는 다양한 저자에 의해 이름이 붙여졌다. 다음은 문헌에서 가장 자주 사용되는 몇 가지이다.
항등 게이트.
항등 게이트는 일반적으로 I로 쓰여지는 단위 행렬이며, 단일 큐비트에 대해 다음과 같이 정의된다.
여기서 I는 기저 독립적이며 양자 상태를 수정하지 않는다. 항등 게이트는 다양한 게이트 연산의 결과를 수학적으로 설명하거나 다중 큐비트 회로를 논의할 때 가장 유용하다.
파울리 게이트 (X,Y,Z).
파울리 게이트 formula_17는 세 개의 파울리 행렬 formula_18이며 단일 큐비트에서 작동한다. 파울리 X, Y, Z는 각각 블로흐 구면의 x, y, z 축 주위를 formula_19 라디안만큼 회전하는 것과 같다.
파울리-X 게이트는 블로흐 구면에서 z축을 구분하는 표준 기저 에 대해 고전 컴퓨터의 NOT 게이트와 동등한 양자 게이트이다. 이는 formula_20를 formula_21로, formula_21를 formula_20로 매핑하기 때문에 비트-플립이라고도 한다. 유사하게, 파울리-Y는 formula_20를 formula_25로, formula_21를 로 매핑한다. 파울리 Z는 기저 상태 formula_20를 변경하지 않고 formula_21를 로 매핑한다. 이러한 특성 때문에 파울리 Z는 위상-플립이라고도 한다.
이러한 행렬들은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
파울리 행렬은 거듭 행렬이며, 이는 파울리 행렬의 제곱이 단위 행렬임을 의미한다.
파울리 행렬은 또한 반교환한다. 예를 들어 formula_33이다.
파울리 행렬 formula_34의 행렬 지수 함수는 종종 formula_35로 쓰여지는 회전 연산자이다.
제어 게이트.
제어 게이트는 2개 이상의 큐비트에서 작동하며, 하나 이상의 큐비트가 특정 연산에 대한 제어 역할을 한다. 예를 들어, 제어 NOT 게이트(또는 CNOT 또는 CX)는 2개의 큐비트에서 작동하며, 첫 번째 큐비트가 일 때만 두 번째 큐비트에 NOT 연산을 수행하고, 그렇지 않으면 변경하지 않는다. 기저 에 대해 에르미트 유니터리 행렬로 표현된다.
CNOT(또는 제어 파울리-X) 게이트는 기저 상태 formula_37를 매핑하는 게이트로 설명할 수 있으며, 여기서 formula_38는 배타적 논리합이다.
CNOT는 파울리 기저로 다음과 같이 표현할 수 있다.
헤르미트 유니터리 연산자로서 CNOT는 다음 속성을 가지며, formula_40 이고 formula_41이다. 그리고 이는 거듭 행렬이다.
더 일반적으로, U가 행렬 표현이 다음과 같은 단일 큐비트에서 작동하는 게이트인 경우
제어-U 게이트는 두 큐비트에서 작동하는 게이트이며, 첫 번째 큐비트가 제어 역할을 한다. 이 게이트는 기저 상태를 다음과 같이 매핑한다.
제어 U를 나타내는 행렬은 다음과 같다.
U가 파울리 연산자 X, Y, Z 중 하나인 경우, 각각 "제어-X", "제어-Y" 또는 "제어-Z"라는 용어가 사용되기도 한다. 때로는 이를 CX, CY 및 CZ로 줄여서 부르기도 한다.
일반적으로, 단일 큐비트 유니터리 게이트는 formula_48로 표현될 수 있으며, 여기서 H는 에르미트 행렬이고, 그러면 제어 U는 formula_49이다.
제어는 임의의 수의 큐비트를 가진 게이트로 확장될 수 있으며 프로그래밍 언어의 함수로도 확장될 수 있다. 함수는 중첩 상태에 따라 조건화될 수 있다.
고전적 제어.
게이트는 고전 논리에 의해서도 제어될 수 있다. 양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터에 의해 제어되며, 어떤 큐비트에 어떤 게이트를 실행할지에 대한 지시를 고전 컴퓨터로부터 받는 코프로세서처럼 작동한다. 고전적 제어는 양자 컴퓨터에 대한 명령어 시퀀스에 게이트를 포함하거나 생략하는 것을 의미한다.
위상 편이 게이트.
위상 편이는 기저 상태를 formula_50 및 formula_51로 매핑하는 단일 큐비트 게이트 패밀리이다. 이 게이트를 적용한 후에도 formula_20 또는 formula_21을 측정할 확률은 변하지 않지만, 양자 상태의 위상을 변경한다. 이는 블로흐 구면에서 수평 원(일정한 위도의 선)을 그리거나 z축을 formula_54 라디안만큼 회전하는 것과 동일하다. 위상 편이 게이트는 다음 행렬로 표현된다.
여기서 formula_54는 의 주기를 갖는 위상 편이이다. 몇 가지 일반적인 예로는 formula_57인 T 게이트(역사적으로는 formula_58 게이트로 알려져 있음), formula_59인 위상 게이트(S 게이트라고도 하며, S는 SWAP 게이트에도 사용되지만) 및 formula_60인 파울리-Z 게이트가 있다.
위상 편이 게이트는 다음과 같이 서로 관련되어 있다.
위상 게이트 formula_64는 (모든 formula_65인 경우를 제외하고는) 헤르미트가 아니다. 이 게이트들은 그들의 헤르미트 켤레와 다르다: formula_66. 두 헤르미트 수반 (또는 켤레 전치) 게이트 formula_67와 formula_68는 때때로 명령어 세트에 포함된다.
아다마르 게이트.
자크 아다마르()와 조세프 월시의 이름을 딴 아다마르 또는 월시-아다마르 게이트는 단일 큐비트에서 작동한다. 이 게이트는 기저 상태를 formula_69) 및 XOR (formula_38) 연산과 관련이 있다. 계산 기저의 상태에서 formula_71 매핑을 수행하기 때문이다.
토폴리 게이트는 파울리 행렬을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
범용 양자 게이트.
범용 양자 게이트 집합은 양자 컴퓨터에서 가능한 모든 연산을 줄일 수 있는 게이트 집합, 즉 유한 집합의 게이트 유한 시퀀스로 다른 모든 유니터리 연산을 표현할 수 있는 게이트 집합이다. 기술적으로, 가능한 양자 게이트의 수는 셀 수 없이 많고, 유한 집합의 유한 시퀀스 수는 셀 수 있기 때문에, 셀 수 없는 게이트 집합 없이는 불가능하다. 이 문제를 해결하기 위해, 우리는 모든 양자 연산이 이 유한 집합의 게이트 시퀀스로 근사될 수 있도록만 요구한다. 또한, 일정한 수의 큐비트에 대한 유니터리 변환의 경우, 솔로바이-키타예프 정리는 이를 효율적으로 수행할 수 있음을 보장한다. 양자 게이트 집합이 범용적인지 여부를 확인하는 것은 군론 방법을 사용하거나 (근사) 양자 t-설계와의 관계를 통해 수행할 수 있다.
일부 범용 양자 게이트 집합은 다음과 같다.
도이치 게이트.
범용 양자 게이트의 단일 게이트 집합은 물리학자 데이비드 도이치의 이름을 딴 매개변수화된 3큐비트 도이치 게이트 formula_73를 사용하여 공식화할 수도 있다. 이는 CC-U, 즉 제어-제어-유니터리 게이트의 일반적인 경우이며, 다음과 같이 정의된다.
불행히도, 작동하는 도이치 게이트는 프로토콜의 부족으로 인해 도달하기 어려웠다. 중성 원자의 쌍극자-쌍극자 상호 작용을 통해 도이치 게이트를 구현하려는 몇 가지 제안이 있다.
가역 고전 컴퓨팅을 위한 범용 논리 게이트인 토폴리 게이트는 도이치 게이트 formula_75로 환원될 수 있으며, 따라서 모든 가역 고전 논리 연산이 범용 양자 컴퓨터에서 수행될 수 있음을 보여준다.
또한 범용성에 충분한 단일 2큐비트 게이트도 존재한다. 1996년 Adriano Barenco는 도이치 게이트가 단일 2큐비트 게이트(바렌코 게이트)만을 사용하여 분해될 수 있음을 보여주었지만, 이는 실험적으로 구현하기 어렵다. 이 기능은 양자 회로에만 독점적인 것으로, 가역적이면서도 범용적인 고전적인 2비트 게이트는 없다. 범용 2큐비트 게이트는 빠르고 저전력 마이크로프로세서에서 고전적인 가역 회로를 개선하는 데 구현될 수 있다.
직렬 연결 게이트.
A와 B 두 게이트가 모두 formula_1 큐비트에서 작동한다고 가정해 보자. B가 직렬 회로에서 A 뒤에 놓이면, 두 게이트의 효과는 단일 게이트 C로 설명될 수 있다.
여기서 formula_78는 행렬 곱셈이다. 결과 게이트 C는 A와 B와 동일한 차원을 갖는다. 게이트가 회로도에 나타나는 순서는 함께 곱할 때 역전된다.
예를 들어, 단일 큐비트에서 작동하는 파울리 X 게이트를 파울리 Y 게이트 뒤에 놓는 것은 단일 결합 게이트 C로 설명할 수 있다.
곱셈 기호 (formula_78)는 종종 생략된다.
양자 게이트의 지수.
유니터리 행렬의 모든 실수 지수도 유니터리 행렬이며, 모든 양자 게이트는 유니터리 행렬이다.
양의 정수 지수는 직렬 연결된 게이트의 시퀀스와 동일하며 (예: ), 실수 지수는 직렬 회로의 일반화이다. 예를 들어, formula_81와 formula_82는 모두 유효한 양자 게이트이다.
어떤 유니터리 행렬 formula_8에 대해서도 formula_84이다. 단위 행렬 (formula_85)은 NOP처럼 동작하며 양자 회로에서 빈 와이어로 표현되거나 아예 표시되지 않을 수 있다.
모든 게이트는 유니터리 행렬이므로 formula_86이고 이다. 여기서 formula_87는 켤레 전치를 나타낸다. 이는 헤르미트 수반이라고도 불린다.
이는 게이트의 음수 지수가 양수 지수화된 게이트의 유니터리 역변환임을 의미한다: . 예를 들어, 위상 편이 게이트의 일부 음수 지수는 formula_88이고 이다.
에르미트 행렬 formula_89의 경우, 유니터리성 때문에 formula_90이므로 모든 헤르미트 게이트에 대해 formula_91이다. 이는 거듭 행렬이다. 헤르미트 게이트의 예로는 파울리 게이트, 아다마르, CNOT, SWAP 및 토폴리가 있다. 각 헤르미트 유니터리 행렬 formula_92는 특정 속성을 가지는데, formula_93이고 formula_94이다.
게이트의 지수는 시간 전개 연산자가 양자 상태에 적용되는 시간의 지속 시간의 배수이다. 예를 들어, 스핀 큐비트 양자 컴퓨터에서 formula_95 게이트는 전체 교환 상호 작용 시간의 절반 동안 두 스핀 전자에 대한 교환 상호 작용을 통해 구현될 수 있다.
병렬 게이트.
두 양자 게이트의 텐서곱(또는 크로네커 곱)은 두 게이트가 병렬로 연결된 것과 동일한 게이트이다.
그림에서와 같이 파울리-Y 게이트를 파울리-X 게이트와 병렬로 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
파울리-X와 파울리-Y 게이트는 모두 단일 큐비트에서 작동한다. 결과 게이트 formula_97는 두 큐비트에서 작동한다.
때때로 텐서곱 기호는 생략되고, 대신 연산자에 인덱스가 사용된다.
아다마르 변환.
게이트 formula_98는 2개의 큐비트에 병렬로 적용되는 아다마르 게이트 이다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 "두 큐비트 병렬 아다마르 게이트"는 예를 들어 두 큐비트 영 벡터 에 적용될 때, 네 가지 가능한 결과 중 어느 하나에서 관측될 동일한 확률을 갖는 양자 상태를 생성한다; 및 . 이 연산을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 각 측정 가능한 상태의 진폭은 이다. 모든 상태를 관측할 확률은 측정 가능한 상태 진폭의 절댓값의 제곱이며, 위 예시에서는 개별 네 가지 경우 중 어느 하나를 관측할 확률이 4분의 1임을 의미한다. 자세한 내용은 측정을 참조한다.
formula_101는 두 큐비트에 대한 아다마르 변환을 수행한다. 유사하게 게이트 formula_102는 formula_1 큐비트의 양자 레지스터에 대한 아다마르 변환을 수행한다.
모든 큐비트가 로 초기화된 formula_1개의 큐비트 레지스터에 적용될 때, 아다마르 변환은 양자 레지스터를 formula_3개의 가능한 상태 중 어느 하나로 측정될 동일한 확률을 가진 중첩 상태로 만든다.
이 상태는 균일한 중첩 상태이며, 예를 들어 진폭 증폭 및 위상 추정과 같은 일부 탐색 알고리즘의 첫 번째 단계로 생성된다.
이 상태를 측정하면 formula_20에서 사이의 난수가 생성된다. 숫자가 얼마나 무작위적인지는 논리 게이트의 양자 충실도에 달려 있다. 측정되지 않으면, 가능한 각 상태에 대해 동일한 확률 진폭 formula_108을 가진 양자 상태이다.
아다마르 변환은 formula_1 큐비트 레지스터 formula_110에 작용하며, formula_111는 다음과 같다.
얽힌 상태에 대한 적용.
두 개 이상의 큐비트를 단일 양자 상태로 간주할 경우, 이 결합된 상태는 구성 큐비트의 텐서곱과 같다. 구성 하위 시스템의 텐서곱으로 표현될 수 있는 모든 상태를 분리 가능한 상태라고 한다. 반면에 얽힌 상태는 텐서 분해될 수 없는 상태, 즉 얽힌 상태는 구성 큐비트 상태의 텐서곱으로 표현될 수 없는 상태이다. 얽힌 상태를 구성하는 큐비트에 게이트를 적용할 때는 특별한 주의를 기울여야 한다.
N개의 얽힌 큐비트 집합이 있고, 그 집합에서 M &lt; N개의 큐비트에 양자 게이트를 적용하려면, 게이트를 N개의 큐비트를 취하도록 확장해야 한다. 이 적용은 게이트를 단위 행렬과 결합하여 텐서곱이 N개의 큐비트에서 작동하는 게이트가 되도록 함으로써 수행할 수 있다. 단위 행렬 은 모든 상태를 자기 자신으로 매핑하는 게이트(즉, 아무것도 하지 않는)의 표현이다. 회로도에서 항등 게이트 또는 행렬은 종종 단순히 빈 와이어로 나타난다.
예를 들어, 아다마르 게이트 는 단일 큐비트에서 작동하지만, 얽힌 벨 상태 &lt;/math&gt;}}를 구성하는 두 큐비트 중 첫 번째 큐비트에 이를 입력하면 그 연산을 쉽게 쓸 수 없다. 두 큐비트에 걸쳐 있는 양자 상태에 작동할 수 있도록 아다마르 게이트 formula_92를 항등 게이트 formula_85로 확장해야 한다.
게이트 formula_116는 이제 얽힌 상태이든 아니든 어떤 두 큐비트 상태에도 적용될 수 있다. 게이트 formula_116는 두 번째 큐비트를 건드리지 않고 첫 번째 큐비트에 아다마르 변환을 적용한다. 이 예시의 벨 상태에 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
계산 복잡도와 텐서곱.
고전적인 기계를 사용할 경우, 두 formula_119 행렬을 곱하는 시간 복잡도는 최소 이다. formula_120 큐비트에서 작동하는 게이트의 크기가 formula_121이므로, 일반적인 얽힌 상태에서 작동하는 양자 회로의 한 단계를 (게이트를 곱하여) 시뮬레이션하는 시간은 이다. 이러한 이유로 고전 컴퓨터를 사용하여 큰 얽힌 양자 시스템을 시뮬레이션하는 것은 다루기 어렵다고 여겨진다. 그러나 클리포드 게이트와 같은 게이트의 부분 집합 또는 고전적인 불 함수만 구현하는 회로의 사소한 경우(예: X, CNOT, 토폴리의 조합)는 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있다.
formula_1개의 큐비트를 가진 양자 레지스터의 상태 벡터는 formula_3개의 복소수 엔트리이다. 부동소수점 값의 목록으로 확률 진폭을 저장하는 것은 큰 formula_1에 대해 실용적이지 않다.
게이트의 유니터리 역변환.
모든 양자 논리 게이트는 가역적이므로, 여러 게이트의 어떤 조합도 가역적이다. 유니터리 행렬의 모든 곱셈과 텐서곱(즉, 직렬 및 병렬 조합) 또한 유니터리 행렬이다. 이는 게이트만 포함하는 모든 알고리즘과 함수에 대한 역변환을 구성할 수 있음을 의미한다.
초기화, 측정, I/O 및 자발적인 양자 결어긋남은 양자 컴퓨터에서 부작용이다. 그러나 게이트는 순수 함수이며 전단사이다.
만약 formula_8가 유니터리 행렬이라면, formula_86이고 이다. 대거(formula_87)는 켤레 전치를 나타낸다. 이는 헤르미트 수반이라고도 불린다.
함수 formula_128가 formula_129개의 게이트 곱인 경우, 함수 formula_130의 유니터리 역변환은 다음과 같이 구성될 수 있다.
formula_131이므로, 반복 적용 후 다음과 같다.
유사하게, 함수 formula_133가 두 게이트 formula_134와 formula_135로 병렬로 구성되어 있다면, formula_136이고 이다.
자신의 유니터리 역변환인 게이트는 헤르미트 또는 자기 수반 작용소라고 불린다. 아다마르(H) 및 파울리 게이트(I, X, Y, Z)와 같은 일부 기본 게이트는 헤르미트 연산자이지만, 위상 편이(S, T, P, CPhase) 게이트와 같은 다른 게이트는 일반적으로 그렇지 않다.
예를 들어, 덧셈을 위한 알고리즘은 "역으로 실행"될 때 그 유니터리 역변환으로서 뺄셈에 사용될 수 있다. 역 양자 푸리에 변환은 유니터리 역변환이다. 유니터리 역변환은 재계산에도 사용될 수 있다. 마이크로소프트의 Q#, Bernhard Ömer의 QCL, 및 IBM의 Qiskit과 같은 양자 컴퓨터용 프로그래밍 언어에는 함수 역변환이 프로그래밍 개념으로 포함되어 있다.
측정(때로는 관측이라고도 함)은 비가역적이며 따라서 양자 게이트가 아니다. 측정된 양자 상태를 단일 값에 할당하기 때문이다. 측정은 양자 상태를 취하여 벡터 길이의 제곱(노름의 2-노름에서)과 동일한 확률로 해당 기저 벡터 중 하나로 투영한다. 이는 보른 규칙으로 알려져 있으며 확률적으로 양자 상태를 측정된 상태를 나타내는 기저 벡터와 동일하게 설정하므로 추계학적 비가역 연산으로 나타난다. 측정 순간에 상태는 측정된 확정적인 단일 값으로 "붕괴"된다고 한다. 측정 시 양자 상태가 왜, 어떻게, 심지어는 붕괴하는지는 측정 문제라고 불린다.
확률 진폭 formula_137를 가진 값을 측정할 확률은 이며, 여기서 formula_138는 모듈러스이다.
양자 상태가 벡터 로 표현되는 단일 큐비트를 측정하면 확률 로 formula_20이, 확률 formula_140로 이 나타난다.
예를 들어, 양자 상태가 formula_141인 큐비트를 측정하면 formula_20 또는 중 하나가 동일한 확률로 나타난다.
개의 큐비트에 걸쳐 있는 양자 상태 formula_143는 formula_3 복소수 차원의 벡터로 쓸 수 있다. . 이는 개의 큐비트의 텐서곱이 formula_3차원 벡터이기 때문이다. 이 방식으로, 개의 큐비트를 가진 양자 레지스터는 formula_3개의 서로 다른 상태로 측정될 수 있으며, 이는 개의 고전적인 비트 레지스터가 formula_3개의 서로 다른 상태를 가질 수 있는 것과 유사하다. 고전 컴퓨터의 비트와 달리, 양자 상태는 여러 측정 가능한 값에서 동시에 0이 아닌 확률 진폭을 가질 수 있다. 이를 중첩이라고 한다.
모든 결과에 대한 모든 확률의 합은 항상 과 같아야 한다. 다른 말로 하면, formula_148로 일반화된 피타고라스 정리는 개의 큐비트를 가진 모든 양자 상태 formula_143가 formula_150를 만족해야 한다는 것을 의미하며, 여기서 formula_151는 측정 가능한 상태 의 확률 진폭이다. 이에 대한 기하학적 해석은 개의 큐비트를 가진 양자 상태 formula_143의 가능한 상태 공간은 formula_148의 단위구 표면이며, 이에 적용되는 유니터리 변환(즉, 양자 논리 게이트)은 구면에서의 회전이다. 게이트가 수행하는 회전은 U(2n) 대칭군을 형성한다. 측정은 이 복소수 구면의 표면의 점들을 공간을 확장하는 (그리고 결과를 라벨링하는) 기저 벡터로 확률적으로 투영하는 것이다.
대부분의 경우 공간은 특정 복소 공간보다는 힐베르트 공간 formula_154로 표현된다. 차원의 수(기저 벡터에 의해 정의되며, 따라서 측정 가능한 결과의 수도 정의됨)는 종종 피연산자에 의해 암시되며, 예를 들어 문제를 해결하는 데 필요한 상태 공간이다. 그로버 알고리즘에서 그로버는 이 일반적인 기저 벡터 집합을 "데이터베이스"라고 명명했다.
양자 상태를 측정할 기저 벡터의 선택은 측정 결과에 영향을 미칠 것이다. 자세한 내용은 기저 변환 및 폰 노이만 엔트로피를 참조한다. 이 문서에서는 항상 계산 기저를 사용하는데, 이는 -큐비트 양자 레지스터의 formula_3개 기저 벡터를 또는 이진 표현 으로 라벨링했음을 의미한다.
양자역학에서 기저 벡터는 정규 직교 기저를 구성한다.
대안적인 측정 기저 사용의 예는 BB84 암호에서 찾을 수 있다.
얽힌 상태에 대한 측정의 효과.
두 양자 상태(즉, 큐비트 또는 양자 레지스터)가 얽혀 있는 경우(결합된 상태가 텐서곱으로 표현될 수 없음을 의미함), 한 레지스터의 측정은 다른 레지스터의 상태를 부분적으로 또는 전체적으로 붕괴시킴으로써 그 상태에 영향을 미치거나 드러낸다. 이 효과는 계산에 사용될 수 있으며, 많은 알고리즘에서 활용된다.
아다마르-CNOT 조합은 영 상태에 다음과 같이 작용한다.
이 결과 상태는 벨 상태 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}&lt;/math&gt;}}이다. 이 상태는 두 큐비트의 텐서곱으로 설명될 수 없다. 다음 방정식에 대한 해는 없다.
왜냐하면 예를 들어 는 와 의 경우에 모두 0이 아니어야 하고 0이어야 하기 때문이다.
양자 상태는 두 큐비트에 걸쳐 있다. 이를 얽힘이라고 한다. 이 벨 상태를 구성하는 두 큐비트 중 하나를 측정하면 다른 큐비트가 논리적으로 동일한 값을 가져야 하며, 둘 다 동일해야 한다. 즉, formula_158 상태로 발견되거나 formula_159 상태로 발견될 것이다. 예를 들어, 한 큐비트가 로 측정되면, 다른 큐비트도 이어야 한다. 왜냐하면 그들의 결합된 상태가 이 되었기 때문이다. 한 큐비트의 측정은 두 큐비트에 걸쳐 있는 전체 양자 상태를 붕괴시킨다.
그린버거-혼-자일링거 상태는 세 개 이상의 큐비트에 걸쳐 있는 유사한 얽힌 양자 상태이다.
이러한 종류의 값 할당은 어떤 거리에서도 즉시 발생하며, 2018년 현재 QUESS에 의해 최대 1200km 거리에서도 실험적으로 확인되었다. 이 현상이 빛의 속도로 큐비트 사이의 거리를 통과하는 데 걸리는 시간과 반대로 즉시 일어나는 것처럼 보이는 것을 EPR 역설이라고 하며, 이를 해결하는 방법은 물리학의 미해결 문제이다. 원래는 국소적 실재론이라는 가정을 포기함으로써 해결되었지만, 다른 해석들도 나타났다. 자세한 내용은 벨 테스트 실험을 참조한다. 비통신 정리는 이 현상이 고전 정보의 초광속 통신에 사용될 수 없음을 증명한다.
쌍으로 얽힌 큐비트가 있는 레지스터에 대한 측정.
모두 로 초기화된 개의 큐비트를 가진 양자 레지스터 A를 가져와 병렬 아다마르 게이트 를 통과시킨다. 그러면 레지스터 A는 formula_160 상태가 되며, 측정 시 formula_20부터 까지의 formula_3개 가능한 상태 중 어느 하나로 나타날 동일한 확률을 갖는다. 두 번째 레지스터 B도 개의 큐비트를 formula_20으로 초기화하고, 레지스터 A의 큐비트와 쌍으로 CNOT를 수행하여 각 에 대해 큐비트 formula_164와 formula_165가 상태 &lt;/math&gt;}}를 형성하도록 한다.
이제 레지스터 A의 큐비트를 측정하면 레지스터 B도 A와 동일한 값을 포함하는 것으로 밝혀질 것이다. 그러나 대신 양자 논리 게이트 를 A에 적용한 후 측정하면, 가 성립하며, 여기서 formula_130는 의 유니터리 역변환이다.
게이트의 유니터리 역변환이 작동하는 방식 때문에, 이다. 예를 들어, formula_167이라고 하면, 이다.
평등은 측정 순서(레지스터 A 또는 B)에 관계없이 유지된다. 단, 가 완전히 실행되었다고 가정한다. 측정은 심지어 큐비트별로 무작위적이고 동시에 수행될 수도 있다. 하나의 큐비트 측정 할당이 다른 얽힌 큐비트로부터 가능한 값 공간을 제한하기 때문이다.
동등성은 유지되지만, 가능한 결과들을 측정할 확률은 를 적용한 결과로 변경될 수 있으며, 이는 양자 탐색 알고리즘의 의도일 수 있다.
얽힘을 통한 값 공유 효과는 쇼어 알고리즘, 양자 위상 추정 및 양자 개수 알고리즘에 사용된다. 양자 푸리에 변환을 사용하여 일부 문제의 해답 상태의 확률 진폭을 증폭하는 것은 "푸리에 피싱"으로 알려진 일반적인 방법이다.
논리 함수 합성.
게이트만을 사용하는 함수 및 루틴은 작은 게이트와 마찬가지로 행렬로 설명될 수 있다. formula_120 큐비트에서 작동하는 양자 함수를 나타내는 행렬은 크기를 갖는다. 예를 들어, "큐바이트"(양자 레지스터의 8 큐비트 레지스터)에서 작동하는 함수는 formula_169 요소를 가진 행렬로 표현될 것이다.
양자 컴퓨터에서 기본적으로 사용할 수 없는 게이트 집합에 속하지 않는 유니터리 변환은 사용 가능한 기본 게이트를 회로로 결합하여 합성하거나 근사할 수 있다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 유니터리 변환을 인코딩하는 행렬을 사용 가능한 기본 게이트의 텐서곱(즉, 직렬 및 병렬 회로)의 곱으로 인수분해하는 것이다. 군 U(2q)는 formula_120 큐비트에서 작동하는 게이트의 대칭군이다. 인수분해는 기본 게이트의 생성 집합에서 U(2q)의 경로를 찾는 연산 문제이다. 솔로바이-키타예프 정리는 충분한 기본 게이트 집합이 주어지면 모든 게이트에 대한 효율적인 근사치가 존재함을 보여준다. 많은 큐비트를 가진 일반적인 경우에 회로 합성에 대한 이러한 직접적인 접근 방식은 다루기 어렵다. 이는 양자 함수를 기본 양자 게이트로 무작위적으로 인수분해할 수 있는 크기에 한계를 둔다. 일반적으로 양자 프로그램은 일반적인 고전 프로그래밍과 유사하게 비교적 작고 간단한 양자 함수를 사용하여 구축된다.
게이트의 유니터리 행렬적 특성 때문에 모든 함수는 가역적이어야 하고 항상 입력에서 출력으로의 전단사 매핑이어야 한다. 항상 함수 formula_171가 존재하여 를 만족해야 한다. 역함수가 아닌 함수는 입력 또는 출력, 또는 둘 다에 보조 큐비트를 추가하여 역함수로 만들 수 있다. 함수가 완료된 후 보조 큐비트는 재계산되거나 그대로 남겨둘 수 있다. 계산에 계속 사용되는 큐비트와 얽혀 있을 수 있기 때문에, 재계산되지 않은 보조 큐비트의 양자 상태를 측정하거나 다른 방식으로 붕괴시키는 것(예: 값 재초기화 또는 자발적인 양자 결어긋남에 의해)은 오류를 초래할 수 있다.
논리적으로 비가역적인 연산, 예를 들어 두 개의 formula_1큐비트 레지스터 a와 b의 formula_3 모듈러 덧셈, 은 출력에 정보를 추가하여 논리적으로 가역적으로 만들 수 있다. 그렇게 하면 입력이 출력에서 계산될 수 있다(즉, 함수 가 존재한다). 우리 예시에서, 이는 입력 레지스터 중 하나를 출력으로 전달함으로써 이루어질 수 있다. . 그러면 출력은 입력을 계산하는 데 사용될 수 있으며(즉, 출력 formula_174와 가 주어지면 입력을 쉽게 찾을 수 있다; formula_175는 주어지고 ), 함수는 전단사로 만들어진다.
모든 불 논리 대수 표현식은 파울리-X, CNOT 및 토폴리 게이트의 조합을 사용하여 유니터리 변환(양자 논리 게이트)으로 인코딩될 수 있다. 이 게이트들은 불 논리 영역에서 기능적으로 완전하다.
Q#, QCL, Qiskit 및 기타 양자 프로그래밍 언어의 라이브러리에는 많은 유니터리 변환이 있다. 문헌에서도 나타난다.
예를 들어, formula_176는 formula_177가 양자 레지스터 를 구성하는 큐비트의 수이며, QCL에서 다음과 같이 구현된다.
cond qufunct inc(qureg x) { // 레지스터 증가
for i = #x-1 to 0 step -1 {
CNot(x[i], x[0::i]); // 제어-NOT을 적용
} // MSB에서 LSB로
QCL에서 감소는 증가를 "취소"함으로써 이루어진다. 접두사 codice_1는 대신 함수의 유니터리 역함수를 실행하는 데 사용된다. codice_2는 codice_3의 역함수이며 대신 연산 }\rangle&lt;/math&gt;}}를 수행한다. codice_4 키워드는 함수가 조건적일 수 있음을 의미한다.
이 문서에서 사용된 계산 모델(양자 회로 모델)에서 고전 컴퓨터는 양자 컴퓨터를 위한 게이트 구성을 생성하며, 양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터로부터 어떤 기본 게이트를 어떤 큐비트에 적용할지에 대한 지시를 받는 코프로세서처럼 작동한다. 양자 레지스터의 측정은 고전 컴퓨터가 계산에 사용할 수 있는 이진 값을 산출한다. 양자 알고리즘은 종종 고전적 부분과 양자적 부분을 모두 포함한다. 측정되지 않은 I/O(큐비트의 양자 상태를 붕괴시키지 않고 원격 컴퓨터로 전송)는 양자 컴퓨터 네트워크를 생성하는 데 사용될 수 있다. 얽힘 교환은 직접 연결되지 않은 양자 컴퓨터와 함께 분산 알고리즘을 구현하는 데 사용될 수 있다. 몇 가지 양자 논리 게이트만 사용해야 하는 분산 알고리즘의 예로는 초고밀도 부호화, 양자 비잔틴 합의 및 BB84 키 교환 프로토콜이 있다.
논리 회로에서 1980년 토마소 토폴리가 발명한 토폴리 게이트()는 CCNOT 게이트("controlled-controlled-not")라고도 불리며, 두 개의 제어 비트와 하나의 대상 비트를 가진 CNOT 게이트이다. 즉, 첫 번째와 두 번째 비트가 모두 1일 경우 대상 비트(세 번째 비트)가 반전된다. 이는 모든 고전적 가역 회로를 토폴리 게이트로 구성할 수 있다는 의미에서 보편적인 가역 논리 게이트이다. 비트가 큐비트로 대체되는 양자 컴퓨팅 버전도 있다.
진리표와 치환행렬은 다음과 같다(순환 표기법으로 (7,8)로 쓸 수 있다):
입력을 소비하는 논리 게이트 L은 다음 조건을 충족하면 가역적이다. (1) L(x) = y는 어떤 출력 y에 대해 고유한 입력 x가 있는 게이트이다. (2) 게이트 L은 모든 y에 대해 y를 x로 매핑하는 게이트 L´(y) = x가 존재하면 가역적이다.
가역 논리 게이트의 예로는 아래 진리표에서 설명할 수 있는 NOT 게이트가 있다.
일반적인 AND 게이트는 가역적이지 않다. 입력 00, 01, 10이 모두 출력 0에 매핑되기 때문이다.
가역 게이트는 1960년대부터 연구되어 왔다. 원래의 동기는 가역 게이트가 열을 덜 소산시키기 (또는 원칙적으로 열을 전혀 소산시키지 않기) 때문이었다.
최근의 동기는 양자 컴퓨팅에서 비롯된다. 양자역학에서 양자 상태는 두 가지 방식으로 진화할 수 있다: 슈뢰딩거 방정식(유니터리 변환)에 의해서, 또는 파동함수 붕괴에 의해서. 토폴리 게이트가 그 예인 양자 컴퓨터를 위한 논리 연산은 유니터리 변환이므로 가역적으로 진화한다.
하드웨어 설명.
하드웨어 기술 언어 베릴로그로 구현된 고전 토폴리 게이트:
module toffoli_gate (
input u1, input u2, input in,
output v1, output v2, output out);
always @(*) begin
v1 = u1;
v2 = u2;
out = in ^ (u1 &amp;&amp; u2);
보편성과 토폴리 게이트.
입력을 소비하고 모든 입력 계산을 허용하는 모든 가역 게이트는 비둘기집 원리에 따라 출력 비트보다 많은 입력 비트를 가질 수 없다. 하나의 입력 비트에 대해 두 가지 가능한 가역 게이트가 있다. 그중 하나는 NOT이다. 다른 하나는 입력을 변경되지 않은 채 출력으로 매핑하는 항등 게이트이다. 두 개의 입력 비트에 대해 유일하게 비자명한 게이트(대칭까지)는 제어된 NOT 게이트(CNOT)로, 첫 번째 비트를 두 번째 비트에 XOR하고 첫 번째 비트는 변경되지 않은 채로 둔다.
불행히도, 이러한 게이트만으로는 계산할 수 없는 가역 함수들이 있다. 예를 들어, AND는 이러한 게이트로는 구현할 수 없다. 다시 말해, NOT과 XOR 게이트로 구성된 집합은 완전하지 않다. 가역 게이트를 사용하여 임의의 함수를 계산하기 위해서는 1980년 토폴리가 제안한 토폴리 게이트가 실제로 그 목표를 달성할 수 있다. 이는 비트 {a, b, c}를 {a, b, c XOR (a AND b)}로 매핑하는 것으로도 설명할 수 있다. 이것은 종종 {a, b, c} → {a, b, c ⨁ ab}로 쓰이는 비트 c에 대한 모듈러 연산으로도 이해할 수 있다.
토폴리 게이트는 보편적이다. 이는 임의의 불 함수 f(x1, x2, ..., xm)에 대해, x1, x2, ..., xm과 0 또는 1로 설정된 일부 추가 비트를 입력으로 받아 x1, x2, ..., xm, f(x1, x2, ..., xm) 및 일부 추가 비트(가비지라고 불림)를 출력하는 토폴리 게이트로 구성된 회로가 존재한다는 의미이다. 예를 들어, NOT 게이트는 세 개의 입력 비트를 {a, 1, 1}로 설정하여 세 번째 출력 비트가 (1 XOR (a AND 1)) = NOT a가 되도록 토폴리 게이트로 구성할 수 있다. (a AND b)는 {a, b, 0}에서 세 번째 출력 비트이다. 본질적으로 이것은 토폴리 게이트를 사용하여 원하는 불 함수 계산을 가역적인 방식으로 수행하는 시스템을 구축할 수 있음을 의미한다.
양자 컴퓨팅과의 관계.
모든 가역 게이트는 양자 컴퓨터에 구현될 수 있으므로 토폴리 게이트 또한 양자 연산자이다. 그러나 토폴리 게이트는 보편적인 양자 계산에는 사용될 수 없지만, 양자 컴퓨터가 가능한 모든 고전 계산을 구현할 수 있음을 의미한다. 토폴리 게이트는 양자 계산에 보편적이기 위해서는 본질적으로 양자적인 게이트(들)와 함께 구현되어야 한다. 특히 비자명한 양자 상태를 생성할 수 있는 실수 계수를 가진 모든 단일 큐비트 게이트로 충분하다.
양자역학에 기반한 토폴리 게이트는 2009년 1월 오스트리아 인스부르크 대학에서 성공적으로 구현되었다. 회로 모델에서 n-큐비트 토폴리 구현은 formula_1 CNOT 게이트를 필요로 하지만, 가장 잘 알려진 상한은 formula_2 CNOT 게이트이다. 포획 이온 양자 컴퓨터가 n-큐비트 토폴리 게이트를 직접 구현할 수 있다고 제안되었다. 다체 상호작용의 적용은 포획 이온, 리드베리 원자, 초전도 회로 구현에서 게이트의 직접 작동에 사용될 수 있다. 암흑 상태 매니폴드를 따라가는 Khazali-Mølmer Cn-NOT 게이트는 회로 모델 패러다임을 벗어나 단 세 개의 펄스로 작동한다. iToffoli 게이트는 쌍별 결합을 가진 세 개의 초전도 큐비트를 사용하여 단일 단계로 구현되었다.
다윈 라그랑지언(, 박물학자 찰스 다윈의 손자인 찰스 갤턴 다윈의 이름을 따서 명명됨)은 진공 상태에서 두 대전 입자 사이의 상호작용을 차수까지 기술하며, 여기서 c는 빛의 속력이다. 이는 양자역학의 출현 이전에 도출되었으며, 원자 내 전자의 고전적 전자기 상호작용에 대한 보다 상세한 조사의 결과이다. 보어 모형으로부터 전자는 빛의 속도에 가까운 속도로 움직여야 한다는 것이 알려졌다.
두 상호작용 입자에 대한 완전한 라그랑지언은 다음과 같다.
여기서 자유 입자 부분은 다음과 같다.
상호작용은 다음으로 기술된다.
여기서 가우스단위계에서의 쿨롱 상호작용은 다음과 같다.
반면 다윈 상호작용은 다음과 같다.
여기서 및 는 각각 입자 1과 2의 전하이고, 및 는 입자의 질량이며, 및 는 입자의 속도이고, 는 빛의 속력이며, 은 두 입자 사이의 벡터이고, formula_6은 방향의 단위 벡터이다.
첫 번째 부분은 두 상대론적 입자의 자유 라그랑지언을 v에 대한 2차항까지 테일러 급수로 전개한 것이다. 다윈 상호작용 항은 한 입자가 다른 입자에 의해 생성된 자기장에 반응하기 때문에 발생한다. 의 고차항이 유지된다면, 장의 자유도를 고려해야 하며, 상호작용은 더 이상 입자들 사이에서 즉각적으로 일어난다고 볼 수 없다. 이 경우 지연 효과를 고려해야 한다.
진공에서의 유도.
전하 q를 가진 입자가 전자기장과 상호작용하는 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.
여기서 는 입자의 상대론적 속도이다. 우변의 첫 번째 항은 쿨롱 상호작용을 생성한다. 두 번째 항은 다윈 상호작용을 생성한다.
쿨롱 게이지에서 벡터 퍼텐셜은 다음으로 기술된다.
여기서 횡방향 전류 는 두 번째 입자에 의해 생성된 솔레노이드 전류이다. 횡방향 전류의 발산 (벡터)은 0이다.
두 번째 입자에 의해 생성된 전류는 다음과 같다.
이는 푸리에 변환을 가진다.
전류의 횡방향 성분은 다음과 같다.
다음은 쉽게 확인할 수 있다.
이는 횡방향 전류의 발산이 0일 경우에 해당한다. 우리는 formula_13가 푸리에 변환된 전류 중 에 수직인 성분임을 알 수 있다.
벡터 퍼텐셜 방정식으로부터 벡터 퍼텐셜의 푸리에 변환은 다음과 같다.
여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 유지했다.
벡터 퍼텐셜의 역 푸리에 변환은 다음과 같다.
( 참조).
라그랑지언의 다윈 상호작용 항은 다음과 같다.
여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 다시 유지했다.
라그랑주 운동 방정식.
입자 중 하나에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
여기서 은 입자의 운동량이다.
자유 입자.
두 입자 간의 상호작용을 무시한 자유 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.
상호작용하는 입자.
상호작용하는 입자의 경우 운동 방정식은 다음과 같다.
진공에서 두 입자에 대한 해밀토니안.
진공에서 두 입자에 대한 다윈 해밀토니안은 르장드르 변환으로 라그랑지언과 관련된다.
해밀토니안은 다음과 같다.
이 해밀토니안은 두 입자 사이의 상호작용 에너지를 제공한다. 최근 입자 속도로 표현될 때 마지막 항에서 단순히 formula_29를 설정하고 부호를 반전시켜야 한다고 주장되었다.
해밀턴 운동 방정식은 다음과 같다.
양자 전기역학.