shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
가장 간단한 경우, formula_4가 유한 집합이고 formula_3이 formula_4의 멱집합이며 formula_1가 유한 차원일 때, POVM은 양의 준정부호 에르미트 행렬 formula_19의 집합과 동일하며, 이들은 합쳐서 단위 행렬이 된다.
POVM은 사영값 측도와는 다르다. 사영값 측도의 경우 formula_6의 값은 직교 사영이어야 한다.
이산적인 경우, POVM 요소 formula_22는 측정 결과 formula_23와 연관되며, 양자 상태 formula_24에서 양자 측정을 수행할 때 이를 얻을 확률은 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_26은 대각합 연산자이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태 formula_27일 때, 이 공식은 다음과 같이 축소된다.
POVM의 이산적인 경우는 PVM의 가장 간단한 경우를 일반화한다. PVM은 직교 사영 formula_29의 집합으로, 단위 행렬로 합산된다.
PVM에 대한 확률 공식은 POVM에 대한 것과 동일하다. 중요한 차이점은 POVM의 요소가 반드시 직교하는 것은 아니라는 점이다. 결과적으로 POVM의 요소 수 formula_31은 POVM이 작용하는 힐베르트 공간의 차원보다 클 수 있다. 반면에 PVM의 요소 수 formula_32은 힐베르트 공간의 차원보다 많아야 한다.
나이마르크 확장 정리.
나이마르크 확장 정리는 POVM이 더 큰 공간에 작용하는 PVM으로부터 어떻게 얻어지는지를 보여준다. 이 결과는 양자역학에서 POVM 측정을 물리적으로 구현하는 방법을 제공하므로 매우 중요하다.
유한 차원 힐베르트 공간에 작용하는 유한 개수의 요소가 있는 POVM의 가장 간단한 경우, 나이마르크 정리는 차원 formula_33의 힐베르트 공간 formula_34에 작용하는 POVM formula_35이 있다면, 차원 formula_36의 힐베르트 공간 formula_37에 작용하는 PVM formula_38과 등거리변환 formula_39이 존재하여 모든 formula_23에 대해 다음이 성립함을 말한다.
계수 1 POVM, 즉 formula_42 (일부 비정규화 벡터 formula_43에 대해)의 특정 경우에, 이 등거리변환은 다음과 같이 구성될 수 있다.
그리고 PVM은 단순히 formula_45로 주어진다. 여기서 formula_46이다.
일반적인 경우, 등거리변환과 PVM은 formula_47, formula_48 및
마찬가지로 상태 formula_50는 다음으로 만든다.
그 후 사영 측정은 POVM과 동일한 확률로 원하는 결과를 제공한다.
이 POVM은 광자의 비직교 편광 상태를 실험적으로 구별하는 데 사용되었다. POVM을 사영 측정으로 구현하는 방식은 여기서 설명된 방식과 약간 달랐다.
수학, 특히 함수해석학에서 사영값 측도() 또는 스펙트럼 측도()는 고정된 집합의 특정 부분집합에 정의된 함수이며, 그 값은 고정된 힐베르트 공간의 자기 수반 사영이다. 사영값 측도(PVM)는 실수 대신 자기 수반 사영을 값으로 가진다는 점을 제외하고는 실수값 측도와 형식적으로 유사하다. 일반적인 측도의 경우와 마찬가지로 PVM에 대해 복소수값 함수를 적분하는 것이 가능하며, 이러한 적분의 결과는 주어진 힐베르트 공간에 대한 선형 작용소이다.
사영값 측도는 스펙트럼 이론의 결과를 표현하는 데 사용되며, 자기 수반 작용소에 대한 중요한 스펙트럼 정리가 그 예이다. 이 경우 PVM은 때때로 스펙트럼 측도라고 불린다. 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학은 PVM에 대한 적분을 사용하여 구성된다. 양자역학에서 PVM은 사영 측정의 수학적 설명이다. 이는 순수 상태의 개념을 혼합 상태 또는 밀도 행렬이 일반화하는 것과 같은 의미에서 양의 연산자 값 측도(POVM)에 의해 일반화된다.
formula_1를 분해 가능 복소 힐베르트 공간이라고 하고, formula_2을 집합 formula_3와 formula_3 상의 보렐 시그마 대수 formula_5로 구성된 가측 공간이라고 하자. 사영값 측도 formula_6는 formula_5에서 formula_1 상의 유계 자기 수반 작용소 집합으로 가는 다음 속성을 만족하는 사상이다.
두 번째와 네 번째 속성은 formula_21과 formula_22가 서로소, 즉 formula_23인 경우, formula_24과 formula_25의 상이 서로 직교함을 보여준다.
formula_26와 그 직교 여공간 formula_27를 각각 formula_10의 상과 영공간이라고 하자. 만약 formula_29가 formula_1의 닫힌 부분공간이면, formula_1는 직교 분해 formula_32로 표현될 수 있으며 formula_33는 네 가지 속성을 모두 만족하는 formula_29 상의 유일한 항등 작용소이다.
모든 formula_35와 formula_36에 대해 사영값 측도는 다음과 같이 정의되는 formula_1 상의 복소수값 측도를 형성한다.
전변동은 최대 formula_39이다. 다음의 경우 실수값 측도로 환원된다.
그리고 formula_41가 단위 벡터일 때 확률 측도이다.
예시 formula_42가 -유한 측도 공간이라고 하고, 모든 formula_9에 대해
가 다음과 같이 정의된다고 하자.
즉, L2(X)에서 지시 함수 formula_46에 의한 곱셈으로 정의된다. 그러면 formula_47는 사영값 측도를 정의한다. 예를 들어, formula_48, formula_49, 그리고 formula_50인 경우, 가측 함수 formula_51를 취하여 다음 적분을 제공하는 연관된 복소 측도 formula_52가 있다.
사영값 측도의 확장.
만약 가 가측 공간 (X, M) 상의 사영값 측도라면, 다음 사상
는 X 상의 계단 함수 벡터 공간에 대한 선형 사상으로 확장된다. 사실, 이 사상이 환 준동형사상임을 쉽게 확인할 수 있다. 이 사상은 X 상의 모든 유계 복소수값 가측 함수로 정규적으로 확장되며, 다음이 성립한다.
이 정리는 무계 가측 함수 formula_55에 대해서도 성립하지만, 이 경우 formula_56는 힐베르트 공간 formula_1 상의 무계 선형 작용소가 된다.
이를 통해 그러한 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학을 정의하고 리스–마르코프–카쿠타니 표현 정리를 통해 가측 함수로 넘어갈 수 있다. 즉, formula_58가 가측 함수라면, 다음을 만족하는 유일한 측도가 존재한다.
formula_1를 분해 가능 복소 힐베르트 공간이라고 하고, formula_61를 유계 자기 수반 작용소라고 하며 formula_62를 formula_63의 스펙트럼이라고 하자. 그러면 스펙트럼 정리는 보렐 부분집합 formula_64에 정의된 유일한 사영값 측도 formula_65가 존재하여 다음을 만족한다고 말한다.
여기서 적분은 formula_63의 스펙트럼이 무계일 때 무계 함수 formula_68로 확장된다.
직접 적분.
먼저 직접 적분에 기반한 사영값 측도의 일반적인 예를 제공한다. (X, M, μ)가 측도 공간이라고 가정하고, {Hx}x ∈ X 를 분해 가능한 힐베르트 공간의 μ-가측 군이라고 하자. 모든 E ∈ M에 대해, (E)를 힐베르트 공간에 대한 1E의 곱셈 연산자라고 하자.
그러면 는 (X, M) 상의 사영값 측도이다.
, ρ가 H, K의 사영에서 값을 취하는 (X, M) 상의 사영값 측도라고 가정하자. , ρ는 모든 E ∈ M에 대해
를 만족하는 유니터리 연산자 U:H → K가 존재할 때만 유니터리 동치이다.
정리. (X, M)이 표준 보렐 공간인 경우, 분해 가능한 힐베르트 공간의 사영에서 값을 취하는 (X, M) 상의 모든 사영값 측도 에 대해, 보렐 측도 μ와 μ-가측 힐베르트 공간 군 {Hx}x ∈ X 가 존재하여 가 힐베르트 공간에 대한 1E의 곱셈과 유니터리 동치이다.
μ의 측도 등급과 다중성 함수 x → dim Hx의 측도 동치 등급은 유니터리 동치까지의 사영값 측도를 완전히 특성화한다.
사영값 측도 는 다중성 함수가 상수 값 n을 가질 때만 다중성 n의 동차이다. 분명히,
정리. 분해 가능한 힐베르트 공간의 사영에서 값을 취하는 모든 사영값 측도 는 동차 사영값 측도의 직교 직접 합이다.
양자역학에서, 가측 공간 formula_3에서 힐베르트 공간 formula_1의 연속 자기 동형 공간으로 가는 사영값 측도가 주어졌을 때,
formula_3에 대한 일반적인 선택은 실수선이지만, 다음도 가능하다.
formula_85를 formula_3의 가측 부분집합이라고 하고 formula_79를 formula_1 내의 정규화된 벡터 양자 상태라고 하자. 따라서 그 힐베르트 노름은 단위적이다. formula_89. 계가 상태 formula_79에 있을 때, 관측가능량이 formula_85에서 값을 취할 확률은 다음과 같다.
이것은 두 가지 방식으로 해석될 수 있다. 첫째, 각 고정된 formula_85에 대해, 사영 formula_10는 formula_1 상의 자기 수반 작용소이며, 그 1-고유공간은 관측가능량의 값이 항상 formula_85에 속하는 상태 formula_79이고, 그 0-고유공간은 관측가능량의 값이 결코 formula_85에 속하지 않는 상태 formula_79이다.
둘째, 각 고정된 정규화된 벡터 상태 formula_79에 대해, 다음 대응
는 관측가능량의 값을 확률 변수로 만드는 formula_3 상의 확률 측도이다.
사영값 측도 formula_6에 의해 수행될 수 있는 측정을 사영 측정이라고 한다.
formula_3가 실수선이면, formula_6에 연관된 자기 수반 작용소 formula_63가 formula_1 상에 다음과 같이 정의된다.
이는 formula_6의 지지 집합이 formula_3의 이산 부분집합일 경우 다음과 같이 환원된다.
위의 연산자 formula_63는 스펙트럼 측도와 연관된 관측가능량이라고 불린다.
사영값 측도의 개념은 양의 연산자 값 측도(POVM)에 의해 일반화되는데, 여기서 사영 연산자가 함의하는 직교성의 필요성은 양의 반정부 헤르미트 연산자의 집합으로 구성된 비직교 "단위 분할" 개념으로 대체된다. 이 일반화는 양자 정보 이론에 대한 응용에 의해 동기 부여된다.
버진 EMI 레코드는 2013년에 설립된 영국의 음반사로, 유니버설 뮤직 그룹이 소유하고 있었다. 2020년 6월, 이 레이블은 EMI 레코드로 리브랜딩되었으며, 새로운 EMI 레코드의 임프린트로 버진 레코드를 운영하고 있다.
버진 EMI 레코드는 2013년 3월, 머큐리 레코드 UK와 버진 레코드가 합병되면서 설립되었다. 이 레이블은 버진(Virgin)과 EMI 레코드라는 두 개의 독립적인 A&amp;R 및 마케팅 부문을 운영했다. 버진 EMI는 폴리도르 레코드, 아일랜드 레코드, 데카 레코드, 새로 설립된 캐피톨 레코드 UK와 함께 유니버설 뮤직 UK의 주력 레이블 중 하나가 되었다. 기존에 영국에서 인터내셔널 아일랜드와 데프 잼 아티스트를 발매하던 머큐리 레코드 UK는, 리퍼블릭 레코드 아티스트를 발매하던 유니버설 아일랜드와 함께 버진 EMI의 임프린트로 운영되게 되었다. 새로운 레이블은 영국에서 데프 잼과 아일랜드 US의 인터내셔널 아티스트 명단, 그리고 버진 레코드 아메리카 아티스트들의 발매 레이블로 머큐리와 버진을 대체하게 된다.
2020년 6월 16일, 유니버설은 버진 EMI 레코드를 EMI 레코드로 리브랜딩하고, UMG의 데카 레이블 사장이었던 레베카 앨런을 신임 사장으로 임명했으며, 버진 레코드를 EMI 레코드의 임프린트로 계속 운영하게 되었다.
W 상태()는 브라-켓 표기법에서 다음 형태를 갖는 세 큐비트의 얽힌 양자 상태이다.
이는 특정 유형의 다자 얽힘을 나타내고 양자 정보 이론의 여러 응용 분야에서 발생한다는 점에서 주목할 만하다. 이 상태로 준비된 입자는 국소 은닉 변수(local hidden variable)의 고전 이론으로는 양자 역학의 예측을 생성할 수 없다고 명시하는 벨 부등식의 속성을 재현한다. 이 상태는 2000년에 기프레 비달 및 이그나시오 시락과 함께 이 상태를 처음 보고한 볼프강 뒤르의 이름인 W에서 따왔다.
W 상태는 세 큐비트 상태의 두 비분리성 클래스 중 하나를 대표하며, 다른 하나는 그린버거-호른-자일링거 상태(Greenberger–Horne–Zeilinger state)인 formula_2이다. formula_3와 formula_4 상태는 국소 양자 연산(local quantum operations)을 통해 (확률적으로도) 서로 변환될 수 없으므로 두 가지 매우 다른 종류의 삼자 얽힘을 나타낸다.
이러한 차이는 예를 들어 W 상태의 다음과 같은 흥미로운 속성으로 설명된다. 세 큐비트 중 하나가 손실되더라도 나머지 2큐비트 시스템의 상태는 여전히 얽혀 있다. W형 얽힘의 이러한 강인함은 한 큐비트가 손실된 후 완전히 분리되는 GHZ 상태와는 크게 대조된다.
W 클래스의 상태는 다자 얽힘 측정을 통해 다른 모든 3큐비트 상태와 구별될 수 있다. 특히 W 상태는 모든 이분할에 걸쳐 0이 아닌 얽힘을 가지지만 3-탱글(3-tangle)은 0이 되며, 이는 GHZ형 상태에서는 0이 아니다.
W 상태의 개념은 formula_5 큐비트로 일반화되었으며 이때는 큐비트 중 정확히 하나가 "들뜬 상태" formula_6이고 다른 모든 큐비트가 "바닥 상태" formula_7인 모든 가능한 순수 상태의 동일한 확장 계수를 가진 양자 중첩을 나타낸다.
입자 손실에 대한 강인함과 (일반화된) GHZ 상태와의 LOCC-불일치성 모두 formula_5-큐비트 W 상태에서도 유효하다.
단일 큐비트가 많은 2단계 시스템 앙상블에 저장되는 시스템에서 논리적 "1"은 종종 W 상태로, 논리적 "0"은 상태 formula_10으로 표현된다. 여기서 입자 손실에 대한 W 상태의 강인함은 이러한 앙상블 기반 양자 메모리의 우수한 저장 속성을 보장하는 매우 유익한 속성이다.
formula_1개의 하위 시스템으로 구성된 시스템의 경우, 양자 얽힘 상태의 분류는 이분할 경우보다 더 풍부하다. 실제로 다자 얽힘()에서는 완전히 분리 가능 상태와 완전히 얽힘 상태 외에도 부분적으로 분리 가능한 상태의 개념이 존재한다.
완전 및 부분 분리 가능성.
완전히 분리 가능하고 완전히 얽힌 다자 상태의 정의는 이분할 경우의 분리 가능하고 얽힌 상태의 정의를 다음과 같이 자연스럽게 일반화한다.
m개 시스템의 완전 m-분리 가능성 (m-분리성).
힐베르트 공간 formula_2를 가진 formula_3개 하위 시스템 formula_4의 상태 formula_5는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 완전히 분리 가능하다.
이에 상응하여, 상태 formula_5가 위 형식으로 작성될 수 없는 경우 완전히 얽혀 있다고 한다.
이분할 경우와 마찬가지로, formula_3-분리 가능한 상태의 집합은 트레이스 노름(trace norm)에 대해 볼록하고 닫혀 있으며, 분리 가능성은 이분할 연산의 직접적인 일반화인 formula_3-분리 가능 연산 formula_10 하에서 유지된다.
그러나 위에서 언급했듯이, 다자 환경에서는 부분 분리 가능성에 대한 여러 개념도 존재한다.
분할에 대한 분리 가능성.
formula_3개 하위 시스템 formula_4의 상태 formula_5는 주어진 분할 formula_15에 대해 분리 가능하다. 여기서 formula_16는 인덱스 formula_17의 서로소 부분 집합이며, 이는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 해당한다.
반분리성.
상태 formula_5는 모든 formula_20-formula_21 분할, formula_22 하에서 분리 가능한 경우에만 반분리적이다.
k-생성 가능성.
formula_3-입자 시스템은 formula_24-생성 가능하며, 이는 각각의 상태가 특정 분할 formula_25에 대해 분리 가능한 상태들의 혼합이다. 여기서 formula_26의 크기는 최대 formula_27이다. 상태가 k-생성 가능하지 않으면 최소 formula_28-입자 얽힘이다.
s-입자 얽힘은 여러 입자로 진행된 다양한 실험에서 감지되었다. 이러한 실험은 종종 양자 상태의 얽힘 깊이를 감지하는 것으로 언급된다.
얽힘의 k-확장성.
k-생성 가능하지만 formula_29-생성 가능하지 않고 h-분리 가능하지만 formula_30-분리 가능하지 않은 순수 상태의 경우, 확장성은 formula_31이다. 이 정의는 일반적인 방식으로 혼합 상태로 확장될 수 있다. 입자를 그룹으로 분할하는 것에 기반한 추가적인 속성을 정의할 수 있으며, 이에 대한 연구가 광범위하게 이루어졌다.
분리 가능성 특징화 및 기준.
완전 m-분리 가능성에 대한 동등한 정의는 다음과 같다. formula_3개 하위 시스템 formula_4의 순수 상태 formula_34는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 완전히 formula_3-부분 분리 가능하다.
이를 확인하기 위해서는 기본 하위 시스템의 축약 밀도 행렬을 계산하여 순수 상태인지 확인하는 것으로 충분하다. 그러나 다자 경우에서는 일반화된 슈미트 분해 formula_37를 허용하는 다자 순수 상태가 드물기 때문에 쉽게 수행할 수 없다. 다자 상태는 임의의 하위 시스템을 제거했을 때 나머지가 완전히 분리 가능한 상태인 경우 일반화된 슈미트 분해를 허용한다.
따라서 일반적으로 순수 상태의 얽힘은 모든 이분 분할의 축약 밀도 행렬 스펙트럼으로 설명된다. 즉, 모든 이분 분할이 혼합 축약 밀도 행렬을 생성하는 경우에만 상태는 진정으로 formula_3-얽혀 있다.
다자 경우에는 formula_39 및 formula_40 경우에 PPT 기준이 제공하는 것과 같은 간단한 필요충분 분리 가능성 조건은 없다. 그러나 이분할 설정에서 사용되는 많은 분리 가능성 기준은 다자 경우로 일반화될 수 있다.
양수이지만 완전 양수가 아닌(PnCP) 맵과 얽힘 증거.
양수이지만 완전 양수가 아닌 맵 측면에서 분리 가능성의 특징화는 이분할 경우에서 자연스럽게 일반화될 수 있다.
양수이지만 완전 양수가 아닌 (PnCP) 맵 formula_41은 다음과 같은 형태의 비자명한 필요 분리 가능성 기준을 제공한다.
여기서 formula_43는 첫 번째 하위 시스템 formula_44에 작용하는 항등원이다.
상태 formula_5는 모든 PnCP 맵 formula_41에 대해 위 조건이 충족될 때에만 분리 가능하다.
얽힘 증거의 정의와 이분할 경우에서 PnCP 맵과 얽힘 증거를 연결하는 초이-자미오우코프스키 동형도 다자 설정으로 일반화될 수 있다.
따라서 다자 상태에 대한 얽힘 증거로부터 분리 가능성 조건을 얻는다. 즉, 상태 formula_5는 모든 얽힘 증거 formula_48에 대해 비음수 평균값 formula_49을 가지는 경우 분리 가능하다. 이에 상응하여, formula_5의 얽힘은 formula_51인 경우에만 증거 formula_52에 의해 감지된다.
위 설명은 formula_3-자 시스템의 formula_3-분리 가능성에 대한 완전한 특징화를 제공한다.
범위 기준.
"범위 기준"도 이분할 경우에서 다자 경우로 즉시 일반화될 수 있다. 후자의 경우 formula_5의 범위는 벡터 formula_56에 의해 스팬되어야 하며, 부분 집합 formula_57에 대해 부분 전치된 formula_58의 범위는 이 벡터들의 곱으로 스팬되어야 한다. 여기서 인덱스 formula_59을 가진 벡터들은 복소 공액이다. 상태 formula_5가 분리 가능하다면, 그러한 모든 부분 전치는 비음수 스펙트럼을 가진 행렬로 이어져야 한다. 즉, 모든 행렬 formula_58은 그 자체로 상태여야 한다.
재정렬 기준.
이분할 경우의 "재정렬 기준"은 다자 설정에서 순열 기준으로 일반화된다. 상태 formula_62가 분리 가능하다면, 곱셈 기반에서 행렬 인덱스의 순열 formula_63를 통해 원래 상태에서 얻은 행렬 formula_64는 formula_65을 만족한다.
수축 기준.
마지막으로, 수축 기준은 이분할 경우에서 다자 경우로 즉시 일반화된다.
다자 얽힘 측정.
얽힘의 상대 엔트로피, 얽힘의 강건성 및 얽힘 압축과 같은 이분할 상태에 대한 많은 공리적 얽힘 측정은 다자 설정으로 일반화될 수 있다.
예를 들어, 얽힘의 상대 엔트로피는 이분할 분리 가능 상태 집합 대신 적절한 집합을 취함으로써 다자 경우로 일반화될 수 있다. 완전히 분리 가능한 상태의 집합을 취할 수 있지만, 이 선택으로는 진정한 다자 얽힘과 formula_66와 같은 여러 이분할 얽힘을 구별하지 못할 것이다. 진정한 다자 얽힘을 분석하려면 formula_27-입자 얽힘을 초과하지 않는 상태 집합을 고려해야 한다.
얽힘 압축의 경우, 다자 버전은 단순히 이분할 시스템의 상호정보를 다자 시스템에 대한 일반화로 대체함으로써 얻을 수 있다. 즉,
formula_68이다.
그러나 다자 설정에서는 상태의 얽힘을 설명하는 데 훨씬 더 많은 매개변수가 필요하며, 따라서 특히 순수 다자 상태에 대해 많은 새로운 얽힘 측정이 구성되었다.
순수 상태를 위한 다자 얽힘 측정.
다자 설정에는 이분할 얽힘 측정의 합의 함수에 불과한 얽힘 측정이 있다. 예를 들어, 하나의 큐비트와 다른 모든 큐비트 사이의 합치도의 합으로 주어지는 전역 얽힘이 있다. 이러한 다자 얽힘 측정의 경우 LOCC 하에서의 단조성은 이분할 측정에서 단순히 상속된다. 그러나 다음과 같이 특히 다자 상태를 위해 구성된 얽힘 측정값도 있다.
엉킴.
이분할 측정의 직접적인 일반화도 아니고 쉬운 조합도 아닌 첫 번째 다자 얽힘 측정은 Coffman 등이 도입했으며 엉킴(tangle)이라고 불린다.
여기서 우변의 formula_70-엉킴은 합치도의 제곱이다.
엉킴 측정은 순열 불변이다. 그것은 어떤 절단에서도 분리 가능한 모든 상태에서 사라진다. 예를 들어, GHZ-상태에서는 0이 아니며, W-상태와 같이 3-얽힌(즉, 어떤 절단에 대해서도 곱이 아닌) 상태의 경우 0으로 간주될 수 있다. 또한, 초행렬식을 통해 다중 큐비트 시스템에 대한 엉킴의 좋은 일반화를 얻을 가능성이 있을 수 있다.
슈미트 측정.
이는 다자 상태를 위해 특별히 구성된 최초의 얽힘 측정 중 하나이다.
formula_71의 최솟값, 여기서 formula_72은 곱셈 기반에서 상태 확장의 항 수이다.
이 측정은 상태가 완전히 곱셈일 때에만 0이다. 따라서 진정한 다자 얽힘과 이분할 얽힘을 구별할 수 없지만, 많은 상황에서 유용할 수 있다.
정규형 기반 측정.
이것은 상태 분류의 맥락에서 얻어진 흥미로운 다자 얽힘 측정 종류이다. 즉, 상태의 임의의 동차 함수를 고려한다. 만약 SLOCC(확률적 LOCC) 연산 하에서 결정자가 1과 같을 때 불변이라면, 그것은 강한 의미에서 얽힘 단조 함수이다. 즉, 강한 단조성 조건을 만족한다.
초행렬식 기반 측정.
미야케(Miyake)는 초행렬식이 얽힘 단조 함수이며, formula_73의 곱과 같은 상태는 얽힘이 0이라는 의미에서 진정한 다자 얽힘을 설명함을 증명했다. 특히 합치도와 엉킴은 초행렬식의 특수한 경우이다. 실제로 두 개의 큐비트에 대한 합치도는 단순히 행렬식의 절댓값이며, 이는 1차 초행렬식이다. 반면 엉킴은 2차 초행렬식, 즉 세 개의 인덱스를 가진 텐서의 함수이다.
기하학적 얽힘.
formula_74의 기하학적 얽힘 측정은 다음 값의 최솟값이다.
모든 분리 가능한 상태 formula_76에 대해.
이 접근 방식은 구별 가능한 입자 또는 스핀 시스템에 적용된다. 동일하거나 구별 불가능한 페르미온 또는 보손의 경우, 전체 힐베르트 공간은 각 개별 입자의 텐서곱이 아니다. 따라서 간단한 수정이 필요하다. 예를 들어, 동일한 페르미온의 경우, 전체 파동 함수 formula_74가 완전히 반대칭이므로 formula_78도 그러해야 한다. 즉, formula_74를 근사화하기 위해 취해진 formula_78는 슬레이터 행렬식 파동 함수여야 한다.
국지적 얽힘.
이 얽힘 측정은 도움의 얽힘의 일반화이며 스핀 사슬의 맥락에서 구성되었다. 즉, 두 스핀을 선택하고 그들 사이에 가능한 가장 큰 이분할 얽힘(두 이분할 상태에 대해 선택된 얽힘 측정에 따라 측정됨)을 얻는 것을 목표로 하는 LOCC 연산을 수행한다.
물리학의 양자 정보 이론 분야에서 그린버거-혼-차일링거 상태(, GHZ state)는 최소 세 개의 하위 시스템([[입자] 상태, [[큐비트]], 또는 [[큐디트]])을 포함하는 [[양자 얽힘|얽힌]] [[양자 상태]]이다. 이 상태를 처음 기술한 세 저자의 이름을 따서 명명된 GHZ 상태는 모든 고전적인 국소적 [[숨은 변수 이론]]의 예측과 직접적으로 모순되는 실험 결과를 예측한다. 이 상태는 [[양자 컴퓨팅]]에 응용된다.
4-입자 버전은 1989년 [[대니얼 그린버거]], [[마이클 혼 (물리학자)|마이클 혼]] 및 [[안톤 차일링거]]에 의해 처음 연구되었다. 다음 해 [[애브너 시모니]]가 합류하여 [[데이비드 머민]]의 제안을 바탕으로 3-입자 버전을 발표했다. 이러한 상태에 대한 실험 측정은 국소성과 인과율에 대한 직관적인 개념과 모순된다. 많은 수의 큐비트에 대한 GHZ 상태는 다른 큐비트 중첩 상태에 비해 계측 성능을 향상시키는 것으로 이론화되었다.
GHZ 상태는 3개의 [[큐비트]]에 대한 [[양자 얽힘|얽힌]] [[양자 상태]]이며 다음과 같이 쓸 수 있다:
이는 얽히지 않은 [[혼합 상태 (물리학)|혼합 상태]]이다. 이는 특정 이입자(큐비트) 상관 관계를 가지지만, 이들은 [[공변성|고전적인 본질]]을 지닌다. 반면에 우리가 하위 시스템 중 하나를 0과 1 상태를 구별하는 방식으로 측정한다면, 우리는 얽히지 않은 순수 상태인 formula_2 또는 formula_3 중 하나를 남길 것이다. 이것은 하위 시스템 중 하나를 측정하더라도 이분할 얽힘을 남기는 [[W 상태]]와는 다르다.
formula_4개 당사자들의 순수 상태 formula_5는, 당사자들을 비어 있지 않고 서로소인 두 부분 집합 formula_6와 formula_7로 나눌 수 있고 formula_8이며 formula_9를 만족하는 경우에 이분할 가능하다고 불린다. 즉, formula_5는 분할 formula_11에 대한 [[곱 상태]]이다. GHZ 상태는 이분할 불가능하며, 3-큐비트 상태 중 [[LOCC|국소 양자 연산]]으로는 서로 변환될 수 없는 (심지어 확률적으로도) 두 이분할 불가능한 클래스 중 하나를 대표하며, 다른 하나는 [[W 상태]], formula_12이다.
따라서 formula_13와 formula_14는 세 개 이상의 입자에 대한 매우 다른 종류의 얽힘을 나타낸다.
W 상태는 어떤 의미에서는 GHZ 상태보다 "덜 얽혀" 있지만, 그 얽힘은 단일 입자 측정에 대해 어떤 의미에서는 더 견고하다. N-큐비트 W 상태의 경우, 단일 입자 측정 후에도 얽힌 (N-1)-큐비트 상태가 남는다. 이와 대조적으로 GHZ 상태에 대한 특정 측정은 이를 혼합 또는 순수 상태로 붕괴시킨다.
GHZ 상태에 대한 실험은 놀라운 비고전적 상관 관계(1989)를 보여준다. 이 상태로 준비된 입자들은 유명한 [[EPR 역설]]에서 소개된 "실재의 요소" 개념과의 내부적 불일치를 보여주는 [[벨 부등식]]의 한 버전을 이끌어낸다. GHZ 상관 관계의 첫 번째 실험실 관측은 [[안톤 차일링거]] 그룹(1998)에 의해 이루어졌으며, 그는 이 연구로 2022년 노벨 물리학상을 공동 수상했다. 더 정확한 관측들이 많이 이어졌다. 이러한 상관 관계는 일부 [[양자 정보]] 작업에 활용될 수 있다. 여기에는 다자간 [[양자 암호]](1998) 및 [[통신 복잡성]] 작업(1997, 2004)이 포함된다.
쌍별 얽힘.
세 번째 입자에 대한 GHZ 상태 측정이 두 상태를 구별하면 얽히지 않은 쌍이 되지만, 직교 방향으로 측정하면 최대 얽힘 [[벨 상태]]가 남을 수 있다. 이는 아래에서 설명된다.
3-큐비트 GHZ 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 세 번째 입자는 X 기저에서 중첩으로 쓰여진다 (Z 기저와 달리) formula_16 및 formula_17로.
세 번째 입자에 대한 X 기저를 따른 GHZ 상태의 측정은 formula_18가 측정되면 formula_19를 산출하고, formula_20가 측정되면 formula_21를 산출한다. 후자의 경우, 측정 결과에 따라 위상을 Z [[양자 게이트]]를 적용하여 회전시켜 formula_22를 얻을 수 있으며, 전자의 경우에는 추가적인 변환이 적용되지 않는다. 두 경우 모두, 연산의 결과는 최대 얽힘 벨 상태이다.
이 예시는 GHZ 상태의 어떤 측정이 이루어지는지에 따라 처음 보이는 것보다 더 미묘하다는 것을 보여준다: 직교 방향을 따른 측정 후 측정 결과에 의존하는 양자 변환은 [[최대 얽힘 상태]]를 남길 수 있다.
GHZ 상태는 [[양자 암호]](퀀텀 시크릿 쉐어링) 또는 [[양자 비잔틴 합의]]와 같은 양자 통신 및 암호화의 여러 프로토콜에 사용된다.
[[분류:양자 정보 이론]]
[[분류:양자 상태]]
수학에서 매개변수 방정식()은 점의 좌표와 같은 여러 양을 매개변수라고 하는 하나 또는 여러 변수의 함수로 표현한다.
하나의 매개변수가 있는 경우, 매개변수 방정식은 움직이는 점의 궤적을 표현하는 데 흔히 사용되며, 이 경우 매개변수는 종종 시간이지만 필수는 아니며, 점은 매개변수 곡선()이라고 하는 곡선을 그린다. 두 개의 매개변수가 있는 경우, 점은 매개변수 곡면()이라고 하는 곡면을 그린다. 모든 경우에 이 방정식들은 총체적으로 매개변수 표현()이라 불리며, 또는 매개변수 시스템()이라 불린다. 또는 객체의 매개변수화(, 또는 parametrization, parametrisation이라고도 표기)라 불린다.
라는 방정식은 단위원의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 는 매개변수이다. 즉, 는 이 두 방정식이 그 점을 생성하는 값이 있을 때 단위원 위에 있다. 때로는 개별 스칼라 출력 변수에 대한 매개변수 방정식을 벡터의 단일 매개변수 방정식으로 결합하기도 한다.
매개변수 표현은 일반적으로 유일하지 않으므로 (아래 "2차원 예제" 섹션 참조) 동일한 양을 여러 다른 매개변수화로 표현할 수 있다.
곡선과 곡면 외에도 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 다양체와 대수적 다양체를 기술할 수 있으며, 이때 매개변수의 수는 다양체 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 수는 다양체 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같다 (곡선의 경우 차원은 1이고 하나의 매개변수가 사용되며, 곡면의 경우 차원은 2이고 두 개의 매개변수가 사용되는 식이다).
매개변수 방정식은 운동학에서 흔히 사용되며, 여기서 물체의 궤적은 시간을 매개변수로 하는 방정식으로 표현된다. 이러한 응용 때문에 단일 매개변수는 종종 로 표기되지만, 매개변수는 다른 물리량(예: 기하학적 변수)을 나타내거나 편의상 임의로 선택될 수도 있다. 매개변수화는 유일하지 않다. 하나 이상의 매개변수 방정식 집합이 동일한 곡선을 지정할 수 있다.
음함수화.
매개변수 방정식 집합을 단일 음함수 방정식으로 변환하는 것은 동시 방정식 formula_3에서 변수 를 제거하는 것을 포함한다. 이 과정을 라고 한다. 이 방정식 중 하나를 에 대해 풀 수 있다면, 얻은 표현을 다른 방정식에 대입하여 와 만 포함하는 방정식을 얻을 수 있다. formula_4를 풀어 formula_5를 얻고 이를 formula_6에 사용하면 명시적 방정식 formula_7를 얻는 반면, 더 복잡한 경우에는 formula_8 형태의 음함수 방정식을 얻게 된다.
매개변수화가 유리 함수로 주어질 경우
여기서 , , 은 서로소인 다항식 집합일 때, 종결식 계산을 통해 음함수화할 수 있다. 보다 정확히 말하면, 음함수 방정식은 에 대한 formula_10와 formula_11의 종결식이다.
더 높은 차원(두 개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개변수)에서 유리 매개변수 방정식의 음함수화는 그뢰브너 기저 계산으로 수행할 수 있다. 를 참조하라.
반지름이 인 원의 예를 들면, 매개변수 방정식
는 피타고라스 삼각 항등식을 통해 와 로 음함수화될 수 있다.
을 얻고, 따라서
는 원점을 중심으로 하는 원의 표준 방정식이다.
매개변수 평면 곡선.
포물선에 대한 가장 간단한 방정식인
는 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
명시적 방정식.
더 일반적으로, 명시적 방정식으로 주어진 모든 곡선
은 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
더 정교한 예는 다음과 같다. 일반 (데카르트) 방정식
으로 기술되는 단위를 고려해보자.
이 방정식은 다음과 같이 매개변수화될 수 있다.
데카르트 방정식으로는 한 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하기가 더 쉽다. 매개변수 버전으로는 그래프 상의 점을 얻기가 더 쉽다.
어떤 맥락에서는, 존재한다면 유리 함수(즉 두 다항식의 분수)만을 포함하는 매개변수 방정식이 선호된다. 원의 경우, 이러한 는 다음과 같다.
이 한 쌍의 매개변수 방정식으로, 점 은 의 실수 값으로 표현되지 않고, 가 무한대로 갈 때의 와 의 극한으로 표현된다.
반축이 와 이고 표준 위치(원점 중심, 장축이 -축을 따라 있음)에 있는 타원은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
일반 위치에 있는 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다.
매개변수 가 에서 까지 변할 때. 여기서 는 타원의 중심이고, 는 -축과 타원의 장축 사이의 각도이다.
두 매개변수화는 반각 공식을 사용하고 formula_26로 설정함으로써 유리적으로 만들 수 있다.
리사주 곡선.
리사주 곡선은 타원과 유사하지만, 와 사인파는 위상이 다르다. 표준 위치에서 리사주 곡선은 다음으로 주어진다.
여기서 와 는 도형의 엽수(loves)를 나타내는 상수이다.
동서로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
또는 유리적으로
남북으로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
이 모든 공식에서 는 쌍곡선의 중심 좌표이고, 는 반장축의 길이이며, 는 반단축의 길이이다. 이 공식의 유리 형식에서 점 과 는 각각 의 실수 값으로 표현되지 않고, 가 무한대로 갈 때의 와 의 극한이다.
하이퍼사이클로이드.
하이퍼사이클로이드는 반지름이 인 원이 반지름이 인 고정된 원의 내부를 따라 구를 때, 내부 원의 중심으로부터 거리 에 있는 점이 그리는 곡선이다.
하이퍼사이클로이드에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.
몇 가지 예:
매개변수 공간 곡선.
매개변수 방정식은 더 높은 차원의 공간에서 곡선을 설명하는 데 편리하다. 예를 들어:
는 반지름이 이고 한 바퀴 돌 때마다 단위씩 올라가는 3차원 곡선인 나선을 나타낸다. 이 방정식들은 평면에서 원에 대한 방정식과 동일하다.
위와 같은 표현은 흔히 다음과 같이 쓰인다.
여기서 은 3차원 벡터이다.
매개변수 곡면.
큰 반지름 과 작은 반지름 을 가진 원환면은 매개변수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
여기서 두 매개변수 와 는 모두 에서 까지 변한다.
가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍을 통과하는 짧은 원을 따라 움직인다. 가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍 주위를 도는 긴 원을 따라 움직인다.
직선.
점 formula_36를 지나고 벡터 formula_37에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.
운동학에서 물체의 공간 경로(trajectory)는 일반적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수(보통 시간)에 명시적으로 의존한다. 이런 방식으로 사용될 때, 물체의 좌표에 대한 매개변수 방정식 집합은 총체적으로 위치에 대한 벡터 함수를 구성한다. 이러한 매개변수 곡선은 항별로 적분되고 미분될 수 있다. 따라서 입자의 위치가 매개변수적으로 다음과 같이 기술된다면
그러면 그것의 속도는 다음과 같이 찾을 수 있다.
그리고 그것의 가속도는 다음과 같다.
컴퓨터 지원 설계.
매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용은 컴퓨터 지원 설계 (CAD) 분야에 있다. 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려해 보자. 이들은 모두 평면 곡선을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.
각 표현은 CAD 응용 분야에 따라 장점과 단점이 있다.
명시적 표현은 매우 복잡하거나 심지어 존재하지 않을 수도 있다. 또한, 기하 변환, 특히 회전에서 잘 동작하지 않는다. 반면에, 매개변수 방정식과 음함수 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유도될 수 있으므로, 간단한 명시적 표현이 존재할 경우 다른 두 표현의 장점을 모두 갖는다.
음함수 표현은 곡선 위의 점을 생성하기 어렵게 만들고, 심지어 실제 점이 있는지 결정하는 것도 어렵게 만들 수 있다. 반면에, 주어진 점이 곡선 위에 있는지 또는 닫힌 곡선 내부에 있는지 외부에 있는지 결정하는 데에는 잘 적합하다.
이러한 결정은 매개변수 표현으로는 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선 위의 점을 생성하고 이를 그리는 데 가장 적합하다.
정수 기하학.
정수 삼각형의 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결할 수 있다. 그러한 고전적인 해결책은 에우클레이데스의 직각삼각형 매개변수화로서, 변의 길이 와 빗변 가 서로소 정수이다. 와 가 둘 다 짝수는 아니므로(그렇지 않으면 와 는 서로소가 아닐 것이므로), 이들을 교환하여 가 짝수가 되도록 할 수 있으며, 그 매개변수화는 다음과 같다.
여기서 매개변수 과 은 모두 홀수가 아닌 양의 서로소 정수이다.
와 를 임의의 양의 정수로 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 매개변수화를 얻을 수 있다.
과소결정 연립방정식.
개의 미지수가 있는 연립 일차 방정식의 개 방정식 시스템은 두 개 이상의 해를 가질 때 과소결정된다. 이는 시스템의 행렬과 그것의 첨가 행렬이 동일한 계수 을 가지고 일 때 발생한다. 이 경우, 개의 미지수를 매개변수로 선택하고 모든 미지수를 선택된 미지수들의 선형 결합으로 표현하는 매개변수 방정식으로 모든 해를 나타낼 수 있다. 즉, 미지수가 formula_43이라면, 해를 표현하기 위해 이들을 재정렬할 수 있다.
이러한 매개변수 방정식을 시스템 해의 이라고 한다.
해의 매개변수 형식을 계산하는 표준 방법은 가우스 소거법을 사용하여 첨가 행렬의 기약 행 사다리꼴을 계산하는 것이다. 그러면 매개변수로 사용할 수 있는 미지수는 어떤 주요 항목(즉, 행 또는 행렬에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 항목)도 포함하지 않는 열에 해당하는 것이며, 매개변수 형식은 쉽게 유도될 수 있다.
파올로 스탄차니(, 1936년 7월 20일~2017년 1월 18일)는 이탈리아의 기계공학자이자 자동차 디자이너이다.
파올로 스탄차니는 1936년 7월 20일 볼로냐에서 태어났다. 그의 아버지는 렌치 운송회사에서 근무했으며, 어린 시절 스탄차니는 가능할 때마다 아버지를 따라다니며 트럭과 내연기관에 익숙해졌다. 기계에 대한 관심과 재능으로 그는 볼로냐 대학교에서 기계공학을 전공했고, ‘유압 프리앰프의 연구(Study of Hydraulic preamplifiers)’라는 논문으로 1962년 여름 학위를 받았다.
졸업 후 스탄차니는 1963년 9월 30일, 페루치오 람보르기니 자동차(Automobili Ferruccio Lamborghini S.p.A.)에 곧바로 채용되어, 약 한 달 먼저 입사한 당시 기술 책임자이자 엔지니어 잠파올로 달라라의 보조로 일하게 되었다. 그는 1975년까지 람보르기니에서 근무한 뒤 자신의 컨설팅 회사를 설립했고, 이후 부활한 캄포갈리아노의 부가티 오토모빌리를 비롯해 여러 제조사와 협력했다.
그는 첫 람보르기니 양산차의 ‘창시자’ 중 한 명으로 평가되며, 특히 미우라 개발에 중요한 기술적 역할을 맡았다. 또한 에스파다, 우라코, 쿤타치, 부가티 EB 110의 ‘아버지’로 불린다.
어린 시절과 디자인.
그가 16세에 처음 고안하고 발명한 것은 우유가 끓어 넘치는 것을 방지하는 우유 가열 장치에 대한 특허였다. 그는 이 특허를 판매한 수익으로 라베르다 75 소형 오토바이를 구입했는데, 당시 운전면허 취득 연령에 도달하지 못했기 때문에 어머니 명의로 등록했다.
그는 또한 운전자의 조향 방향에 따라 헤드라이트가 회전하는 시스템을 고안하여 피아트(FIAT)에 제안했으나, 피아트 측은 관심을 보이지 않았다. 같은 아이디어는 이후 시트로엥(Citroën)에 의해 구현되었다.
람보르기니에서의 경력.
스탄차니는 1963년부터 1975년까지 람보르기니에서 근무했으며, 여러 차종이 출시되어 판매된 회사의 생산성과 성공이 높은 시기였다. 그러나 1973년 오일쇼크는 대배기량·고성능(높은 연료 소모) 차량에 큰 타격을 주었다. 스탄차니가 처음 맡은 주요 업무는 람보르기니 최초의 로드카인 350 GT의 엔진을 재설계하여, 일상적인 주행에 적합하고 제조 비용을 줄이는 것이었다. 전 페라리 엔진 디자이너 조토 비차리니는 높은 리프트 캠샤프트, 단조 가공된 커넥팅 로드 등 레이싱 부품을 사용해 페루치오 람보르기니가 요구한 목표를 달성했지만, 스탄차니의 임무는 부품 단가를 낮추는 것이었다. 그는 단조 커넥팅 로드를 주조품으로 바꾸고, 저회전에서 토크를 발휘하도록 캠샤프트 프로파일을 수정했으며, 합리적인 가격과 주행성을 만족하는 카뷰레터를 조달했다.
1967년까지 스탄차니는 주로 치수·구조 계산, ‘레파르토 에스페리엔체(Reparto Esperienze)’ 테스트 부서(엔진 시험실, 도로 시험, 형식승인)와 차체 제작사(투어링, 베르토네, 마라치, 자가토, 실라트)와의 협업을 담당했다. 이 시기는 350 GT, 400 GT, 이슬레로(Islero), 그리고 무엇보다 미우라의 시대였다. 스탄차니는 미우라의 창시자 중 한 명이다. 개발 당시 미우라는 도로용 차량으로는 혁신적인 여러 특징을 갖추었는데, 대표적으로 횡배치 V12 엔진과 일체형 변속기를 꼽을 수 있다. 이는 달라라, 스탄차니, 그리고 엔진을 맡은 비짜리니의 성공적인 협업의 결실이었다. 람보르기니의 혁신적인 분위기 속에서 스탄차니는 “오늘 다른 사람들이 내일 할 일을 하자(Do today what others will do tomorrow)”라는 목표를 세웠다.
1967년부터 스탄차니는 총지배인 자리에 올랐고, 1968년부터는 기술 이사도 겸임했다. 원래 경력상 이 자리는 달라라에게 돌아가야 했지만, 페루치오 람보르기니는 스탄차니의 헌신을 더 높이 평가했거나, 달라라가 레이싱에 더 관심이 많다고 판단했을 가능성이 있다. 달라라는 곧 회사를 떠났지만, 이후로도 스탄차니와 좋은 관계를 유지했다.
이 시기에 에스파다, 하라마(Jarama), 미우라 S, 미우라 SV, 우라코, 쿤타치와 같은 전설적인 모델이 양산되었다. 또한 스탄차니는 람보르기니에 재직 중이던 1972년 뮌헨 올림픽을 기념하기 위해 제작된 BMW 터보 컨셉카 개발을 이끌었는데, 스타일링은 폴 브락(Paul Bracq)이 맡았으며, 차체는 우라코의 섀시를 기반으로 하고, 엔진은 BMW 2002tii에서 파생된 2.0리터 4기통 엔진이었다.
페루치오 람보르기니가 회사 지분 51%를 스위스인 조르주-앙리 로세티(Georges-Henri Rossetti)에게, 나머지 49%를 르네 레이머(René Leimer)에게 매각한 후, 스탄차니는 새 경영진으로부터 의사결정과 재정 지원을 얻기 어려워져 1975년 2월 회사를 떠났다. 회사는 1978년에 파산했다.
슈퍼카를 넘어선 활동.
스탄차니는 부유층 개인에게 고성능 차량을 설계·판매하는 것이 사회에 얼마나 이익이 되는지에 대해 개인적인 고민을 하게 되었고, 그다지 사회적으로 유익하지 않다고 생각하기 시작했다. 이에 그는 이탈리아 국영 석유 기업인 ENI 그룹(Ente Nazionale Idrocarburi) 산하의 한 회사에서 일하기로 했다. 이 회사는 물댐을 건설했으며, 예를 들어 포를리와 피렌체 사이에 위치한 리드라콜리(Ridracoli) 댐 프로젝트가 있었다. 1979년부터 1986년까지 그는 르노(Renault), 알파 로메오(Alfa Romeo), 스즈키(Suzuki) 등 일부 자동차 제조사와 계약 설계를 진행했고, 볼로냐에 공학 및 경영 컨설팅 회사를 설립했다. 이 회사는 시간이 지나면서 성장해 PRO 그룹이 되었고, 기업 경영 소프트웨어와 기술 프로젝트 관리 솔루션을 제공하는 글로벌 IT 파트너로 활동하게 되었다.
부가티의 부활.
스탄차니는 1975년 이후에도 페루치오 람보르기니와 친분을 유지했으며, 움브리아(Umbria)에 있는 그의 영지 ‘라 피오리타(La Fiorita)’를 종종 방문했다. 람보르기니는 또 다른 스포츠카를 만들고 싶다는 꿈을 이야기하기 시작했지만, 스탄차니는 차체 제작과 엔진 개발에 드는 높은 비용을 이유로 현실적인 반대 의견을 자주 내놓았다. 그러나 누초 베르토네(Nuccio Bertone)가 초기 논의에 참여하면서 프로젝트 가능성이 보다 구체화되었다. 람보르기니와 베르토네는 서로에 대한 신뢰가 매우 두터웠기 때문이다. 다만, 이 아이디어를 실행하려면 재정적 지원을 해줄 투자자를 찾을 필요가 있었다.
전 람보르기니 기술 이사 프랑코 바라르디니(Franco Baraldini, 1989년부터 INECO 딜러십 운영)는 페루치오 람보르기니와 로마노 아르티올리(Romano Artioli)를 연결해주었다. 로마노 아르티올리는 1978년 형인 잔카를로 아르티올리(Giancarlo Artioli)가 설립한 오토엑스포(Autoexpo) 회사를 통해 이탈리아와 유럽에 차량을 수입·등록해왔으며, 페라리, 스즈키 등 여러 차종 판매에서 성공을 거두고 있었다. 그는 어린 시절부터 꿈꾸던 부가티 브랜드의 부활에 필요한 자금을 갖추고 있었지만, 람보르기니는 곧 흥미를 잃고 프로젝트에서 손을 뗐다. 대신 스탄차니에게 계속 진행하라고 조언했다.
스탄차니는 초기 프로젝트 명칭으로 FL12(‘Ferruccio Lamborghini 12 Cylinders’의 약자)를 유지했으며, 차량의 기계적 레이아웃은 치제타-모로더 V16T의 엔진과 여러 설계를 담당했던 테크노스틸레(Tecnostile)에서 작업이 시작되었다. 테크노스틸레 창립자 아킬레 베비니(Achille Bevini)와 올리비에로 페드라치(Oliviero Pedrazzi)는 람보르기니에서 첫 로드카용 비짜리니 엔진 도면 작업을 했던 제도사로서 스탄차니와 잘 아는 사이였다. 약 15명의 테크노스틸레 팀은 V12 엔진, 알루미늄 허니콤 섀시, 서스펜션과 차량에 필요한 대부분의 부품 설계를 담당했다.
1987년 스탄차니는 A22 고속도로 서쪽, A1 고속도로에서 북쪽으로 약 2.5km 떨어진 사다리꼴 모양의 부지를 찾아냈다. 이곳은 모데나 북서쪽 10km에 있는 캄포갈리아노 지역으로, 신차 생산 공장을 점진적으로 건설하기에 충분한 공간을 제공했다.
부가티와 차량 개발을 위한 초기 합의에서 스탄차니는 부가티 오토모빌리 S.p.A.의 유일한 대표(Amministratore Unico)로 임명되었고, 회사 지분 35%를 보유하게 되었다. 그는 1990년 7월까지 부가티의 경영 및 기술 이사직을 맡았으나, 로마노 아르티올리가 회사 자본금을 늘리면서 그의 지분이 희석되었고 결국 회사를 떠났다. 이후 언론이나 자료에서 스탄차니의 이름은 전혀 언급되지 않았으며, 2000년대 웹 기사들이 프로젝트의 기원을 다시 조명하면서야 그의 역할이 알려졌다. 부가티 오토모빌리는 1995년에 파산했다.
부가티 이후: 포뮬러 1.
1991년 스탄차니는 주세페 루키니의 요청으로 BMS 스쿠데리아 이탈리아 팀을 이끌기 위해 F1에 합류했다. 루키니는 이탈리아 철강업에 종사하는 가문 출신으로, 1970년대 오셀라(Osella) 레이싱카를 운전한 경력이 있었다. 브릭시아 모터 스포츠(Brixia Motor Sport)는 F1에 1988년 진입하기 전까지 투어링카 경주에 참여했던 팀이었다. 이곳에서 스탄차니는 잠파올로 달라라와 다시 만나게 되었는데, 달라라의 회사는 브레시아에 기반을 둔 팀에 복합소재 섀시를 공급했다.
이 시기 스탄차니는 엔진 공급업체(처음에는 저드, 이후 페라리)가 엔진을 임대·판매만 하고 내부 접근 권한을 주지 않아 성능에 관한 데이터가 거의 공개되지 않는 점에서 어려움을 겪었다. 이는 람보르기니 시절 파워트레인을 완전히 이해하던 경험과는 대조적이었다. 달라라와의 좋은 관계 덕분에 섀시와 서스펜션 역학은 잘 파악했지만, 1993년 로라(Lola) 섀시로 교체되면서(무상 제공 혜택 때문에) 다운포스가 줄어들었고, 이는 드라이버와 스탄차니, 루키니 모두에게 불만을 안겼다.
스탄차니는 페라리 엔진이 비교적 보수적인 세팅으로 공급된다고 판단하고, 혼다 엔진 사용을 위해 협상을 시작했다. 협상은 진행 중이었으나 혼다는 대신 팀 로터스의 로터스 107에 엔진을 공급하기로 했다. BMS 레이싱팀이 스폰서십이 줄어들 조짐이 보이자, 스탄차니는 루키니와 잔카를로 미나르디에게 협력하여 스쿠데리아 이탈리아와 미나르디 팀을 합병하라고 권했다. 합병 후 잔카를로 미나르디가 회장이 되었고, 파올로 스탄차니는 부회장이 되었으며, 새 조직은 ATR 그룹(복합소재 제조사)의 섀시와 포드 코스워스 HB 엔진을 장착한 F194를 출전시켰다. 당시 기술 이사는 알도 코스타였다.
1994년 산마리노 그랑프리에서 아이르통 세나가 사고를 당한 직후 스탄차니는 경기를 중단해야 한다고 주장했으나, FIA와 FOTA는 경기를 계속 진행했다. 그는 딸과 함께 세나의 상태를 확인하기 위해 포르투갈 드라이버 페드로 라미와 함께 볼로냐의 오스페달레 마조레 병원을 방문했다.
포뮬러 1 이후.
BMS 스쿠데리아 이탈리아와 미나르디의 합병 이후에도 스탄차니는 잔카를로 미나르디의 인간적인 면과 기술력을 매우 존경했지만, 그리드에 남기 위해 필요한 막대한 자금에 점점 회의를 느꼈다. 이는 작은 팀들에게 매우 힘든 현실이었다. 결국 그는 1995년에 팀을 떠났고, 몇몇 파트너들과 함께 재생에너지 발전에 전념하는 회사를 설립했다. 이 회사는 오늘날까지 운영되고 있다.(https://www.energyintelligence.it/).