shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
경제적 이점이 입증되었다. 나선구더기 박멸이 북미와 중앙아메리카 가축 산업에 미치는 직접적인 이점은 연간 15억 달러 이상으로 추정되며, 이는 반세기 동안의 투자액 약 10억 달러와 비교된다. 멕시코는 연간 약 2천 5백만 달러를 투자하여 30억 달러 이상의 과일 및 채소 수출 시장을 보호한다. 칠레의 과일 수출 시장은 메드플라이가 박멸되면서 5억 달러까지 확대된 것으로 추정된다. 광역 기반으로 대규모 사육 과정을 통해 SIT가 구현될 경우, 환경적 이점 외에도 기존 방제법과 비용 경쟁력이 있다.
식물 관련 기술.
SIT와 유사한 기술이 최근 방사선 조사된 꽃가루를 사용하여 잡초에 적용되었으며, 그 결과 발아하지 않는 변형된 씨앗이 생성되었다.
정규 격자()는 유클리드 공간을 합동인 평행육면체(벽돌 등)들로 테셀레이션한 것이다. 이와 반대되는 개념은 비정형 격자이다.
이러한 종류의 격자는 모눈종이에 나타나며, 유한요소해석, 유한체적법, 유한차분법 등에서 매개변수 공간의 이산화에 일반적으로 사용된다. 필드 변수의 미분은 유한 차분으로 편리하게 표현될 수 있으므로, 구조화된 격자는 주로 유한차분법에 나타난다. 비정형 격자는 구조화된 격자보다 더 많은 유연성을 제공하므로 유한요소법 및 유한체적법에서 매우 유용하다.
격자의 각 셀은 2차원에서는 인덱스 (i, j)로, 3차원에서는 (i, j, k)로 주소 지정할 수 있으며, 각 꼭짓점은 2D에서 formula_1, 3D에서 formula_2의 좌표를 가지며, dx, dy, dz는 격자 간격을 나타내는 실수이다.
관련 격자.
직교 격자는 요소가 단위정사각형 또는 단위정육면체이고 꼭짓점이 정수 격자의 점인 특별한 경우이다.
직선 격자는 일반적으로 서로 합동이 아닌 직사각형 또는 직육면체(직육면체 평행육면체라고도 함)로 된 테셀레이션이다. 셀은 위에서와 같이 정수로 인덱싱될 수 있지만, 인덱스에서 꼭짓점 좌표로의 매핑은 정규 격자보다 덜 균일하다. 정규 격자가 아닌 직선 격자의 예는 로그 눈금 모눈종이에 나타난다.
기울어진 격자는 평행사변형 또는 평행육면체의 테셀레이션이다. (단위 길이가 모두 같으면 마름모 또는 능면체의 테셀레이션이다.)
곡선 격자 또는 구조화된 격자는 정규 격자와 동일한 조합 구조를 가진 격자로, 셀이 직사각형이나 직육면체가 아닌 사각형 또는 [일반] 입방체이다.
조지아 민족군단 또는 조지아 군단(; )은 돈바스 전쟁과 러시아-우크라이나 전쟁에서 우크라이나 편에 서서 싸우는 주로 민족 조지아인 자원봉사자들이 결성한 군사 부대이다. 이 부대는 2014년에 조직되었고, 2016년에는 우크라이나군 산하의 제25기계화보병대대에 편입되었다. 2024년 6월 15일, 이 부대는 러시아 정부에 의해 테러 조직으로 분류되었다.
이 부대는 베테랑 조지아 장교인 마무카 마물라슈빌리가 지휘했다.
조지아 군단은 우크라이나 주둔 외국인 전투원 전문가인 카츠페르 레카웨크에 의해 특히 미국인 모집에 능숙하다고 평가되었다. 2022년 우크라이나 영토방위 국제군단이 결성되기 전에는 대부분의 친우크라이나 외국인 전투원들이 조지아 군단에서 복무했다.
2023년 6월 현재, 33개국 출신의 자원봉사자들이 이 부대에 합류했다.
조지아 군단은 압하지야-조지아 분쟁, 제1차 체첸 전쟁 및 러시아-조지아 전쟁의 참전 용사인 마무카 마물라슈빌리가 설립했다. 그는 나중에 "군단을 만들려는 생각은 러시아 침략에 맞서 함께 봉사하기 위해 여러 국적의 사람들을 모으는 것이었고, 우리는 그것을 해냈다"고 언급했다. 조지아 자원봉사자들은 자주 러시아에 맞서는 우크라이나와 조지아의 공통된 대의를 언급했으며, 우크라이나에서 러시아 침략에 맞서 싸우는 것이 조지아의 이익에도 부합하는 애국적인 행위라고 주장했다.
조지아 군단은 돈바스 전쟁이 시작된 2014년경에 결성되었으며, 처음에는 6명의 조지아인만 있었고 그해 말까지 약 20명으로 늘어났다. 2014년 12월 중순에 이 그룹은 당시 조지아 유럽 통합 장관이었던 기오르기 바라미제의 방문을 받았다. 2015년 1월, 이 부대는 조지아 육군 참전 용사인 타마즈 수히아슈빌리라는 첫 사상자를 냈다. 당시 우크라이나에 기반을 둔 전 조지아 대통령 미헤일 사카슈빌리와 그의 통일국민운동 당의 동료들은 우크라이나 측에 조지아인 개인의 참여를 어느 정도 장려했다.
2월 5일, 키이우 총대주교청 우크라이나 정교회의 수장인 필라렛 총대주교는 29명의 조지아 전투원에게 "우크라이나에 대한 사랑과 희생"에 대한 메달을 수여하며 조지아인들의 봉사에 감사를 표했다.
2월 11일 민스크 협정 II 이후, 부대의 미래는 잠시 불확실했다. 10월에 우크라이나 의회는 외국인 및 무국적자가 계약직으로 우크라이나 육군에 고용될 수 있도록 허용하는 법안을 통과시켰고, 이 법안은 11월 5일에 법으로 서명되었다.
우크라이나군 통합.
2016년 2월, 조지아 군단은 공식적으로 우크라이나군 제25기계화보병대대 "키이우 루스"에 통합되었다.
이 부대는 제54기계화여단의 전반적인 지휘 아래 우크라이나 동부에서 싸웠다. 2017년 12월, 군단은 2017년 12월 16일 스비틀로다르스크 근처에서 수행된 값비싼 작전 이후 여단 지휘부의 "무능함"을 이유로 여단에서 철수했다. 제54기계화여단은 그들의 부대 내에 "조지아 군단"이 존재한 적이 없다고 부인했다.
2018년 1월, 군단 사령관 마물라슈빌리는 부대가 우크라이나 대의에 전념하고 있으며 다른 여단으로 이동했다고 말하며, 이 결정이 미헤일 사카슈빌리와 우크라이나 대통령 페트로 포로셴코 간의 정치적 갈등과는 무관하다고 덧붙였다.
2022년 2월, 러시아의 우크라이나 침공 직전에 조지아 군단은 새로 모집된 우크라이나 민간인 훈련에 참여했다. 이 부대는 침공 첫날부터 전투에 참가했으며, 호스토멜 공항 전투와 호스토멜 전투에서 싸웠다.
2022년 3월 초, 조지아 군단은 300명 이상의 새로운 모집병들이 입대를 시도했다고 보고되었다. 군단의 정책에 따라 경험이 풍부한 전투원이나 참전 용사만 입대할 수 있다. 이러한 요건을 충족하지 못한 사람들은 거부되었다. 극단주의적 견해를 가진 사람들도 부대에 환영받지 못한다. 이후 군단은 동부 우크라이나 공세를 막는 데 도움을 주기 위해 재배치되었다.
2024년 2월 현재, 러시아의 우크라이나 침공으로 조지아 군단 소속 자원봉사자 44명이 사망한 것으로 보고되었다. 여기에는 다음이 포함된다.
2022년 3월 30일, 부차에서 몇 킬로미터 떨어진 드미트리우카 지역에서 발생한 러시아 공수부대 BMD-2 장갑차 매복 사건 이후의 영상이 공개되었다. 같은 사건의 다른 영상은 포로로 잡혀 부상당한 러시아 군인 중 한 명이 미상의 우크라이나군에 의해 총살당하는 장면을 보여준다.
드미트로 쿨레바 우크라이나 외무장관은 이 영상이 "확실히 조사될 것"이라고 말했다. 마무카 마물라슈빌리는 영상 속 조지아인이 군단 소속이 아니라고 부인했다.
반체제 러시아 사업가 미하일 호도르콥스키의 유튜브 채널에 게시된 인터뷰에서 조지아 군단 사령관 마무카 마물라슈빌리는 러시아 포로 처우에 대해 "때때로 우리는 그들의 손과 발을 묶는다. 조지아 군단에 관해 말하자면, 우리는 절대 러시아 포로를 잡지 않을 것"이라고 말했다. 마물라슈빌리는 러시아 군인에게 불가침 명령을 내린 정당화가 부차 학살에 대한 대응이라고 말했다.
조지아와 슬로바키아에서 쿠데타 음모 혐의.
2023년 9월 18일, 조지아 국가안보국 (SSG)은 조지아 군단과 마물라슈빌리가 우크라이나 정보기관과 공모하여 집권당 조지아의 꿈-민주 조지아에 대항하는 쿠데타를 계획하여 체포된 미헤일 사카슈빌리 전 대통령을 복권시키려 했다고 비난했다. 마물라슈빌리는 쿠데타 주장이 근거 없다고 반박하며 조지아의 꿈 당이 "크렘린궁으로부터 지시를 받고 있다"고 비난했다.
2025년 1월 31일, 로베르트 피초 슬로바키아 총리는 슬로바키아 정보국과 함께 조지아 군단이 국내에서 쿠데타를 목표로 하는 반정부 시위를 조직했다고 비난했다. 기자회견에서 피초는 시위 조직 단체 미어 우크라이네(우크라이나에 평화를) 활동가 루시아 슈타셀로바와 야당 지도자 미할 시메치카의 아버지인 온라인 뉴스 논평가 마틴 M. 시메치카와 마물라슈빌리의 사진을 보여주었다. 슬로바키아는 나중에 마무카 마물라슈빌리 사령관과 러시아의 자유 군단의 다른 10명의 단원들의 슬로바키아 입국을 금지했다.
외국인 전투원.
조지아 군단은 약 500명의 조지아인과 비슷한 수의 다양한 다른 국적의 사람들로 구성되어 있다.
다음 국가들의 국적자들이 조지아 군단의 구성원이라고 보고되었다.
군단은 적진 후방에서 사보타주, 매복, 정찰 활동을 수행하며 여러 주요 전투에 참여했다. 또한 우크라이나 민간인, 경찰관, 군인 및 외국인 자원봉사자를 훈련시키고 지시한다.
모눈종이(, coordinate paper, grid paper, squared paper)는 가는 선으로 정규 격자를 이루도록 인쇄된 종이이다. 낱장으로 사용하거나 공책 또는 그래프 책에 묶인 형태로 구할 수 있다.
모눈종이는 일반적으로 수학 및 공학 교육 환경, 연습장 및 연구노트에서 발견된다. 그리고 수학 기호, 함수나 실험 데이터, 또는 곡선을 그리는 데 사용된다.
메트로폴리탄 미술관이 소유한 약 1596년경 작성된 책은 각 페이지에 목판 인쇄로 인쇄된 격자가 있다. 소유자는 이 격자를 사용하여 흑백 및 컬러로 일종의 픽셀아트를 만들었다.
일반적으로 영국 출신의 닥터 벅스턴(Dr. Buxton)이 최초로 모눈종이(coordinate paper)를 상업적으로 출판했다고 본다. 그는 1794년에 직사각형 좌표 격자가 인쇄된 종이에 특허를 받았다. 한 세기 후, 시카고 대학교의 저명한 수학자 E. H. 무어(E. H. Moore)는 고등학생과 대학생들이 '눈금선'이 있는 종이나 연습장을 사용할 것을 권장했다. H. S. 홀(H. S. Hall)과 S. R. 나이트(S. R. Knight)의 1906년판 《초급 대수학》(Algebra for Beginners)에는 "눈금 용지는 좋은 품질이어야 하며 인치 및 10분의 1인치 단위로 정확하게 선이 그어져 있어야 한다. 경험상으로 '밀리미터' 용지처럼 더 작은 단위는 초보자의 손에는 사실상 가치가 없다"는 단호한 언급이 포함되어 있다.
영문 표기에 대해서, '그래프 용지(graph paper)'라는 용어는 미국에서 빠르게 퍼지지 않았다. H. S. 홀과 F. H. 스티븐스(F. H. Stevens)의 1919년작 《학교 산수》(A School Arithmetic)에는 '격자 용지(squared paper)'를 사용한 그래프에 대한 장이 있었다. W. A. 윌슨(W. A. Wilson)과 J. A. 트레이시(J. A. Tracey)의 1937년작 《해석 기하학》(Analytic Geometry)에서는 '좌표 용지(coordinate paper)'라는 문구를 사용했다. '격자 용지(squared paper)'라는 용어는 영국에서 더 오래 사용되었는데, 예를 들어 W. M. 베이커(W. M. Baker)와 A. A. 본(A. A. Bourne)이 런던에서 출판한 2023년판 《공립 학교 산수》(Public School Arithmetic)에서 사용되었다.
일반적으로 격자를 표시하는 그래프는 사각형을 데카르트 좌표계에 측정값을 표시하는 데 사용할 수 있기 때문에 데카르트 그래프라고도 불린다.
삼원도() 또는 삼원 그래프(ternary graph), 삼각형 그래프(triangle plot), 단순 그래프(simplex plot) 또는 깁스 삼각형(Gibbs triangle)은 세 변수가 상수로 합산되는 중심좌표계 그래프이다. 이 그래프는 세 변수의 비율을 정삼각형 내의 위치로 시각적으로 나타낸다. 물리화학, 암석학, 광물학, 금속공학 및 기타 물리 과학에서 세 가지 종으로 구성된 시스템의 조성을 보여주는 데 사용된다. 삼원도는 3차원 경우의 조성 데이터를 분석하는 도구이다.
집단유전학에서는 유전자형 빈도의 삼각형 그래프를 드 피네티 다이어그램이라고 한다. 게임 이론과 볼록 최적화에서는 종종 단순 그래프라고 불린다.
삼원도에서 세 변수 , , 의 값은 어떤 상수 로 합산되어야 한다. 일반적으로 이 상수는 1.0 또는 100%로 표시된다. 그래프로 그려지는 모든 물질에 대해 이므로, 어떤 한 변수는 다른 변수들과 독립적이지 않으며, 그래프에서 샘플의 점을 찾기 위해서는 두 변수만 알아도 된다. 예를 들어, 는 와 같아야 한다. 세 가지 숫자 값은 독립적으로 변할 수 없으므로(즉, 자유도가 두 개뿐이므로), 세 변수의 모든 조합을 단 두 차원으로 그래프화할 수 있다.
화학 조성을 묘사하기 위해 삼원도를 사용하는 장점은 세 변수를 2차원 그래프에 편리하게 나타낼 수 있다는 것이다. 삼원도는 또한 다른 상이 존재하는 조성 영역을 그래프에 윤곽을 그려 상평형 그림을 만드는 데 사용될 수도 있다.
삼원도상의 한 점의 값은 (상수까지) 해당 삼선형 좌표 또는 중심좌표계와 일치한다.
삼원도 값 읽기.
도표 상의 점의 값을 결정하는 데 사용될 수 있는 세 가지 등가 방법이 있다:
평행선(격자선)을 따라 이동하면 두 값의 합이 보존되고, 수직선을 따라 이동하면 두 값이 같은 양만큼 증가(또는 감소)하며, 각각 세 번째 값의 감소(증가)의 절반이 된다. 모서리를 통과하는 선을 따라 이동하면 다른 두 값의 비율이 보존된다.
데카르트 좌표에서 도출.
그림 (1)은 축이 각각 , , 인 3차원 데카르트 공간에서 점 의 경사 투영을 보여준다.
(양의 상수)인 경우, 는 , , 를 포함하는 평면으로 제한된다. 만약 , , 가 각각 음수가 될 수 없다면, 는 (2)에서처럼 , , 에 의해 경계 지어진 삼각형으로 제한된다.
(3)에서는 축이 회전되어 등축 보기를 제공한다. 삼각형은 정면에서 볼 때 정삼각형으로 나타난다.
(4)에서는 에서 선 , , 까지의 거리를 각각 , , 로 나타낸다.
벡터 형식으로 된 임의의 선 (는 단위 벡터)과 점 에 대해, 에서 까지의 수직 거리는
이 경우, 점 는 다음과 같다.
선 는 다음과 같다.
수직 거리 공식을 사용하면,
선 및 에 대한 유사한 계산은 다음을 제공한다.
이는 해당 선으로부터의 점의 거리가 원래 값 , , 에 선형적으로 비례함을 보여준다.
삼원도 그리기.
데카르트 좌표는 삼각형에 점을 그리는 데 유용하다. 가 에 위치하고 가 에 위치하는 정삼각형 삼원도를 고려해 보자. 그러면 는 formula_6이고, 삼중 는 다음과 같다.
이 예는 가상의 세 가지 토양 샘플에 대해 어떻게 작동하는지 보여준다.
마무카 "우샹기" 마물라슈빌리(; ; 1978년 4월 22일 출생)는 현재 우크라이나에서 조지아 민족군단을 지휘하는 조지아인 군 지휘관이다.
마무카 마물라슈빌리는 1978년 4월 22일, 당시 소련의 그루지야 소비에트 사회주의 공화국의 수도인 트빌리시에서 태어났다. 그의 아버지인 주랍 마물라슈빌리는 1992–1993년 압하지야 전쟁 당시 군 사령관이었다. 그의 누이인 노나 마물라슈빌리는 정치인이자 조지아 의회 의원이다. 그는 전 조지아 대통령인 미헤일 사카슈빌리의 통일국민운동 당원이다.
마물라슈빌리는 14세에 조지아 군 장교였던 아버지와 함께 1992년 압하지야 전쟁 (1992–1993)에서 조지아를 위해 싸웠다. 마물라슈빌리는 나중에 "저의 첫 전쟁은 1990년대 압하지야에서 일어났습니다"라고 회상했다. 전쟁 중 그는 압하지야 무장군에 붙잡혀 3개월 동안 억류되었다가 풀려났다.
마물라슈빌리는 제1차 체첸 전쟁 (1994–1996)에서 러시아 연방군에 맞서 외국인 의용군으로 싸웠다.
조지아로의 귀환.
제1차 체첸 전쟁 후, 마물라슈빌리는 교육을 마치기 위해 파리로 여행했다. 그는 조지아로 돌아와 조지아 대통령 미헤일 사카슈빌리의 선임 군사 고문으로 일했다.
마물라슈빌리는 2008년 러시아‒조지아 전쟁에서 조지아를 위해 싸웠다.
마물라슈빌리는 2013년 유로마이단을 지원하기 위해 우크라이나로 이주했다.
조지아 군단.
2014년, 마물라슈빌리는 우크라이나 조지아 군단의 창립 멤버 중 한 명이었고 현재 2022년 러시아 침공에 맞서 이를 이끌고 있다. 그는 호스토멜 공항 전투에 참전했다.
마물라슈빌리는 우크라이나 상공에 비행금지구역이 설치되어야 한다고 지지하며, 이는 러시아의 공습을 막기 위해 필요하다고 말한다.
그의 지휘 하에 러시아의 우크라이나 침공에서 포로의 대우와 관련하여 전쟁 범죄 혐의가 제기되었고, 이는 마무카에 의해 확인되는 듯했으나 나중에 사령관이 부인했다. 반체제 러시아 사업가 미하일 호도르콥스키의 유튜브 채널에 실린 인터뷰에서 그는 러시아 포로 대우에 대해 다음과 같이 말했다: "때때로 우리는 그들의 손발을 묶습니다. 저는 조지아 군단을 대변하여 말합니다. 우리는 결코 러시아 포로를 잡지 않을 것입니다." 마물라슈빌리는 러시아 군인에 대한 자비 없는 전투를 부차 학살에 대한 대응으로 정당화했다.
2024년 6월 13일, 마물라슈빌리는 세 번째로 독살당했다고 보고했다.
러시아에서의 형사 고발.
2023년 9월 현재, 러시아에서는 마물라슈빌리에 대해 용병 모집, 민족 증오 선동 등 8건의 형사 사건이 시작되었다. 마물라슈빌리는 러시아가 자신에게 현상금을 걸었다고 주장했다.
조지아에서의 쿠데타 모의 혐의.
2023년 9월 18일, 조지아 국가안보국 (SSG)은 사카슈빌리와 그의 추종자들이 대규모 반정부 시위를 조직하여 조지아 정부에 대한 쿠데타를 계획했다고 우크라이나 정부 및 우크라이나 내 조지아 의용군과 공모했다고 비난했다. 마물라슈빌리는 이러한 전개가 크렘린궁에 의해 조작된 것으로 보이며, "근거 없는" 비난은 조지아의 집권당이 크렘린궁의 지원을 받고 있음을 보여준다고 답변했다. 키이우는 사카슈빌리가 조지아 당국의 보호 아래 안전하지 않다고 주장하며 그를 중립국의 병원으로 이송할 것을 요구했다.
슬로바키아에서의 쿠데타 모의 혐의.
2025년 1월 31일, 슬로바키아의 총리 로베르트 피초는 슬로바키아 정보원과 함께 조지아 군단이 국내에서 쿠데타를 목표로 하는 반정부 시위를 조직했다고 비난했다. 기자 회견에서 피초는 마물라슈빌리가 시위 조직 단체 '미에르 우크라이네'(우크라이나에 평화를)의 활동가 루치아 슈타셀로바 및 온라인 뉴스 논평가 마르틴 M. 시메츠카(야당 지도자 미할 시메츠카의 아버지)와 함께 찍은 사진들을 공개했다. 이러한 비난으로 인해 마물라슈빌리와 다른 9명은 슬로바키아 영토 입국이 금지되었다.
프라듀므나 쿠마르 마하나디아(1949년 출생)는 1977년 중고 자전거를 타고 인도 뉴델리에서 스웨덴 보로스로 여행하여 스웨덴인 아내 샬럿 폰 셰드빈과 재회한 것으로 유명한 인도 출신의 스웨덴 예술가이다.
마하나디아는 1949년 앙굴구 아트말리크 하위 지역 칸다파다 마을의 오리야족 직조공 가문에서 태어났다. 그의 아버지는 아트말리크의 우체국장이었으며 (주중에는 그곳에서 살고 주말에는 자전거로 집에 통근했다) 가족은 나중에 아트말리크로 이사했다.
그의 아버지는 파노 카스트의 일원이었기 때문에, 어렸을 때 그는 달리트였고 어머니는 콘드 부족의 일원이었기 때문에 종종 상위 카스트 인도인들로부터 차별을 받았다. 콘드족은 인도의 카스트 제도에 포함되지 않았으므로 카스트가 없는 것으로 간주되었다.
마하나디아는 아트말리크의 마헨드라 고등학교에 다녔고 나중에 비슈바 바라티 대학교에 입학하여 미술을 공부했다. 미술 학교에 입학했음에도 불구하고 학비를 낼 수 없게 되어 집으로 돌아와야 했다. 그는 나중에 칼리코테의 정부 예술 공예 대학에 입학했고 1971년에 델리 예술대학교로 옮겼다.
초상화와 폰 셰드빈과의 만남.
델리 예술 대학에서 공부하는 동안 그는 인디라 간디의 초상화를 그림으로써 초상화 분야에서 명성을 얻었다. 그는 코넛 플레이스의 분수대 아래에 앉아 초상화를 그릴 수 있도록 당국으로부터 허가를 받았다. 그곳에서 그는 1975년 12월 17일에 샬럿 폰 셰드빈을 만났다. 그녀는 런던에서 유학 중이었고, 마하나디아를 방문하여 초상화를 그리기 위해 밴을 타고 22일 동안 인도로 운전해 왔다. 그 초상화는 그들이 서로 사랑에 빠져 결혼하게 되면서 그들의 삶을 바꾸어 놓았다. 폰 셰드빈은 스웨덴으로 돌아가야 했고 마하나디아에게 자신과 함께 갈 것을 요청했지만, 그는 언젠가 혼자 갈 것이라고 결정했다.
그녀가 떠난 후, 둘은 편지로 계속 연락했다.
마하나디아는 불행히도 비행기 표를 살 돈이 충분하지 않았다. 그는 모든 것을 팔기로 결정하고 자전거를 사서 1977년 1월 22일 자전거 여행을 시작했다. 그는 매일 약 를 자전거로 이동하며 도중에 만난 사람들의 초상화를 그려 돈, 음식, 잠자리를 제공받으며 생계를 유지했다. 그의 여행은 아프가니스탄, 이란을 거쳐 마침내 터키를 통과하여 5월 28일 유럽에 도착했고, 그 후 기차로 예테보리로 향했다.
그는 긴 자전거 여행 중에 "왜 사람들이 유럽까지 자전거로 가는 것이 대단한 일이라고 생각하는지" 이해할 수 없다는 감정을 표현했다.
"나는 해야 할 일을 했다. 돈은 없었지만 그녀를 만나야 했다. 사랑을 위해 자전거를 탔지만 자전거 타는 것을 좋아한 적은 없다. 간단하다."
마하나디아와 셰드빈 사이에는 현재 성인이 된 두 자녀 시다르트와 에멜리가 있다.
마하나디아는 스웨덴에서 예술가로서 잘 알려져 있으며 스웨덴 정부의 예술 및 문화 고문으로 일한다. 그의 그림은 세계 주요 도시에서 전시되었고 유니세프 연하장에 실렸다. 2012년 1월 4일, 그는 부바네스와르, 오디샤주의 우트칼 문화 대학교 (UUC)에서 명예 박사 학위를 수여받았다. 그는 또한 오디샤주 정부에 의해 스웨덴 주재 오디야 문화 대사로 지정되었다.
2010년, 인도 영화 제작자 산제이 릴라 반살리는 마하나디아와 폰 셰드빈의 사랑 이야기를 영화로 만들 계획이었다.
기하학에서 무게중심 좌표계()는 점의 위치를 단순체(평면의 점에 대한 삼각형, 3차원 공간의 점에 대한 사면체 등)를 기준으로 지정하는 좌표계이다. 점의 무게중심 좌표()는 단순체의 꼭짓점에 놓인 질량으로 해석될 수 있으며, 이 질량의 질량 중심 (또는 무게중심)이 해당 점이 된다. 이 질량은 0이거나 음수일 수 있다. 점이 단순체 내부에 있을 때에만 모두 양수이다.
모든 점은 무게중심 좌표를 가지며, 그 합은 결코 0이 아니다. 두 튜플의 무게중심 좌표는 비례할 때에만 동일한 점을 지정한다. 즉, 한 튜플의 요소를 동일한 0이 아닌 숫자로 곱하여 다른 튜플을 얻을 수 있을 때이다. 따라서 무게중심 좌표는 0이 아닌 상수로 곱한 것까지 정의되거나, 합이 1이 되도록 정규화된다.
무게중심 좌표는 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입했다. 이는 특수한 동차좌표이다. 무게중심 좌표는 데카르트 좌표와 밀접하게 관련되어 있으며, 더 일반적으로는 아핀 좌표와 관련이 있다. ().
무게중심 좌표는 체바 정리, 루스의 정리, 메넬라오스 정리와 같이 삼각형의 각도에 의존하지 않는 속성을 연구하는 삼각형 기하학에서 특히 유용하다. 컴퓨터 지원 설계에서는 특정 종류의 베지에 곡면을 정의하는 데 유용하다.
유클리드 공간, 평면 또는 아핀 공간 formula_1에 있는 개의 점 formula_2이 아핀 독립이라고 하자. 이는 모든 점을 포함하는 차원의 부분 아핀 공간이 없음을 의미한다. 또는 동등하게, 점들이 단순체를 정의한다는 의미이다. 임의의 점 formula_3에 대해, 모두 0은 아닌 스칼라 formula_4가 존재하여
임의의 점 에 대해 성립한다. (일반적으로 formula_6 표기법은 점 를 점 로 매핑하는 평행 이동 벡터 또는 자유 벡터를 나타낸다.)
이 방정식을 만족하는 튜플 formula_7의 요소들을 formula_2에 대한 의 무게중심 좌표라고 한다. 튜플 표기법에 콜론을 사용한 것은 무게중심 좌표가 일종의 동차좌표임을 의미하며, 즉 모든 좌표에 동일한 0이 아닌 상수를 곱해도 점은 변하지 않는다. 또한, 보조 점 , 즉 원점이 변경되어도 무게중심 좌표는 변하지 않는다.
점의 무게중심 좌표는 스케일링에 따라 유일하다. 즉, 두 튜플 formula_7과 formula_10은 모든 에 대해 formula_11를 만족하는 0이 아닌 스칼라 formula_12가 있을 때에만 같은 점의 무게중심 좌표이다.
어떤 맥락에서는 점의 무게중심 좌표를 고유하게 제약하는 것이 유용하다. 이는 일반적으로 다음 조건을 부과하여 달성된다.
또는 동등하게 모든 formula_14를 모든 formula_14의 합으로 나누는 방식으로. 이러한 특정 무게중심 좌표는 정규화된 또는 절대 무게중심 좌표라고 불린다. 때로는 이 용어가 약간 다른 개념을 가리키기는 하지만, 아핀 좌표라고도 불린다.
때로는 정규화된 무게중심 좌표를 무게중심 좌표라고 부르기도 한다. 이 경우 위에서 정의된 좌표는 동차 무게중심 좌표라고 불린다.
위의 표기법을 사용하면, 의 동차 무게중심 좌표는 해당 인덱스 의 좌표를 제외하고 모두 0이다. 실수에서 작업할 때 (위의 정의는 임의의 체에 대한 아핀 공간에도 사용된다), 모든 정규화된 무게중심 좌표가 음이 아닌 점들은 formula_16의 볼록 폐포를 형성하며, 이는 이 점들을 꼭짓점으로 하는 단순체이다.
위의 표기법에서,
을 만족하는 튜플 formula_18은 어떤 점도 정의하지 않지만, 벡터
는 원점 와 독립적이다. 이 벡터의 방향은 모든 formula_14에 동일한 스칼라를 곱해도 변하지 않으므로, 동차 튜플 formula_7은 직선의 방향, 즉 무한원점을 정의한다. 자세한 내용은 아래를 참조하라.
데카르트 좌표 또는 아핀 좌표와의 관계.
무게중심 좌표는 데카르트 좌표와 그리고 더 일반적으로는 아핀 좌표와 밀접하게 관련되어 있다. 차원의 공간에서, 이 좌표계들은 원점 에 대해 정의되며, 원점의 좌표는 0이고, 개의 점 formula_22에 대해 정의되며, 이 점들의 좌표는 해당 인덱스 의 좌표가 1인 것을 제외하고는 모두 0이다.
점은 그러한 좌표계에 대해
의 좌표를 갖는다는 것은, 점 formula_24에 대한 점의 정규화된 무게중심 좌표가
무게중심 좌표계의 주요 장점은 개의 정의 점에 대해 대칭적이라는 것이다. 따라서 이 좌표계는 개의 점에 대해 대칭적인 속성을 연구하는 데 자주 유용하다. 반면에, 거리와 각도는 일반적인 무게중심 좌표계에서는 표현하기 어렵고, 이들이 관련될 때는 일반적으로 데카르트 좌표계를 사용하는 것이 더 간단하다.
사영 좌표와의 관계.
동차 무게중심 좌표는 일부 사영 좌표와도 밀접하게 관련되어 있다. 그러나 이 관계는 아핀 좌표의 경우보다 더 미묘하며, 명확히 이해하려면 아핀 공간의 사영 완비에 대한 좌표 없는 정의와 사영 프레임의 정의가 필요하다.
차원의 아핀 공간의 사영 완비는 초평면의 여집합으로 아핀 공간을 포함하는 같은 차원의 사영 공간이다. 사영 완비는 동형 사상까지 유일하다. 이 초평면은 무한원 평면이라고 불리며, 그 점들은 아핀 공간의 무한원점이다.
차원의 사영 공간이 주어졌을 때, 사영 프레임은 같은 초평면에 포함되지 않는 개의 점으로 구성된 순서 집합이다. 사영 프레임은 사영 좌표계를 정의하며, 프레임의 번째 점의 좌표는 모두 같고, 그 외에는 번째 점의 모든 좌표는 0이며, 번째 좌표만 0이 아니다.
아핀 좌표계에서 사영 완비를 구성할 때, 일반적으로 좌표축의 무한원 평면과의 교점, 아핀 공간의 원점, 그리고 모든 아핀 좌표가 1인 점으로 구성된 사영 프레임을 기준으로 정의한다. 이는 무한원점의 마지막 좌표가 0이고, 아핀 공간의 점의 사영 좌표는 번째 좌표로 1을 추가하여 아핀 좌표를 완성함으로써 얻어진다는 것을 의미한다.
아핀 공간에 무게중심 좌표계를 정의하는 개의 점이 있을 때, 이는 선택하기 편리한 사영 완비의 또 다른 사영 프레임이다. 이 프레임은 이 점들과 이 점들의 무게중심으로 구성되며, 무게중심은 모든 무게중심 좌표가 같은 점이다. 이 경우, 아핀 공간의 한 점의 동차 무게중심 좌표는 이 점의 사영 좌표와 같다. 점이 무한원점에 있을 필요충분조건은 그 좌표의 합이 0이라는 것이다. 이 점은 #정의의 끝 부분에서 정의된 벡터의 방향에 있다.
삼각형에 대한 무게중심 좌표.
삼각형의 맥락에서, 무게중심 좌표는 면적 좌표라고도 알려져 있다. P의 삼각형 ABC에 대한 좌표는 PBC, PCA, PAB의 (부호 있는) 면적과 기준 삼각형 ABC의 면적 비율과 같기 때문이다. 면적 좌표와 삼선형 좌표는 기하학에서 비슷한 목적으로 사용된다.
무게중심 좌표 또는 면적 좌표는 삼각형 하위 도메인을 포함하는 공학 응용 분야에서 매우 유용하다. 이들은 분석 적분을 더 쉽게 계산할 수 있게 해주며, 가우스 구적법 표는 종종 면적 좌표로 표시된다.
x,y 평면 formula_26에 꼭짓점 formula_27, formula_28, formula_29를 가진 삼각형 formula_30를 생각해보자. formula_26의 점들은 벡터로 간주될 수 있으므로, 이들을 더하거나 빼고 스칼라를 곱하는 것이 가능하다.
각 삼각형 formula_30는 부호 있는 면적 또는 sarea를 가지며, 이는 면적에 양수 또는 음수 부호를 붙인 것이다.
formula_34에서 formula_35로, formula_35에서 formula_37로, 다시 formula_34로 돌아오는 경로가 삼각형을 시계 반대 방향으로 돌면 부호는 양수이다. 시계 방향으로 돌면 부호는 음수이다.
평면의 한 점을 formula_39라고 하고, 삼각형 formula_30에 대한 정규화된 무게중심 좌표를 formula_41라고 하면,
정규화된 무게중심 좌표 formula_41는 부호 있는 삼각형 면적의 비율을 나타내기 때문에 면적 좌표라고도 불린다.
이러한 비율 공식은 삼각형이 평행사변형의 절반이며, 평행사변형의 면적은 행렬식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다는 사실에 기반하여 증명할 수 있다.
formula_47는 평행사변형이다. 왜냐하면 변위 벡터 formula_48와 formula_49 쌍으로 표현되는 반대편 변들이 평행하고 합동이기 때문이다.
삼각형 formula_30는 평행사변형 formula_51의 절반이므로, 부호 있는 면적의 두 배는 평행사변형의 부호 있는 면적과 같으며, 이는 변위 벡터 formula_52와 formula_53를 열로 하는 formula_54 행렬식 formula_55으로 주어진다.
행렬식을 확장하여 교대 및 다중 선형 속성을 사용하면,
formula_59,
이러한 부호 있는 면적의 비율을 얻기 위해, 두 번째 공식에서 formula_39를 무게중심 좌표로 표현하면 다음과 같다.
무게중심 좌표는 formula_62로 정규화되어 있으므로 formula_63이다. 이를 이전 줄에 대입하면
유사한 계산으로 다른 두 공식도 증명된다.
formula_67.
formula_39의 삼선형 좌표 formula_69는 각각 BC, AC, AB 선에 대한 formula_39로부터의 부호 있는 거리이다. formula_71의 부호는 formula_39와 formula_34가 BC의 같은 쪽에 있으면 양수이고, 그렇지 않으면 음수이다. formula_74와 formula_75의 부호는 유사하게 할당된다.
formula_76, formula_77, formula_78.
여기서 sarea는 위에서와 같이 부호 있는 면적을 나타낸다. 삼각형 ABC가 양의 방향으로 향하면 세 부호 모두 양수이고, 그렇지 않으면 음수이다. 삼선형 좌표와 무게중심 좌표 사이의 관계는 이 공식들을 무게중심 좌표를 면적 비율로 표현하는 위 공식에 대입하여 얻어진다.
무게중심 좌표와 다른 좌표계 사이를 오가면 일부 문제를 훨씬 쉽게 해결할 수 있다.
무게중심 좌표와 데카르트 좌표 간의 변환.
변 접근법.
삼각형 평면의 점 formula_80이 주어지면, 데카르트 좌표 formula_81로부터 무게중심 좌표 formula_82, formula_83, formula_84를 얻거나 그 반대로도 얻을 수 있다.
점 formula_80의 데카르트 좌표를 삼각형 꼭짓점 formula_86, formula_87, formula_88 (여기서 formula_89)의 데카르트 성분으로, 그리고 formula_80의 무게중심 좌표로 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉, 어떤 점의 데카르트 좌표는 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표를 가중 평균한 것으로, 가중치는 점의 무게중심 좌표이며 그 합은 1이다.
데카르트 좌표에서 무게중심 좌표로의 역변환을 찾기 위해, 먼저 formula_92를 위 식에 대입하면 다음과 같다.
재배열하면 다음과 같다.
이 선형 변환은 다음과 같이 더 간결하게 쓸 수 있다.
여기서 formula_12는 처음 두 무게중심 좌표의 벡터이고, formula_80은 유클리드 벡터의 데카르트 좌표이고, formula_98는 다음과 같이 주어진 행렬이다.
이제 행렬 formula_98는 가역이다. 왜냐하면 formula_101과 formula_102은 선형 독립이기 때문이다 (그렇지 않다면 formula_86, formula_87, formula_88은 공선점이 되어 삼각형을 형성하지 않을 것이다). 따라서 위 방정식을 다음과 같이 재배열할 수 있다.
따라서 무게중심 좌표를 찾는 것은 formula_98의 2×2 역행렬을 찾는 쉬운 문제로 귀결되었다.
명시적으로, 점 formula_80의 무게중심 좌표를 그 데카르트 좌표 (x, y)와 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표로 표현하는 공식은 다음과 같다.
formula_109마지막 줄의 식을 이해할 때, formula_110라는 항등식에 유의하라.
꼭짓점 접근법.
데카르트 좌표를 무게중심 좌표로 변환하는 또 다른 방법은 이 관계를 행렬 형식으로 쓰는 것이다. formula_111여기서 formula_112이고 formula_113 즉formula_114고유한 정규화된 해를 얻기 위해서는 formula_115 조건을 추가해야 한다. 따라서 무게중심 좌표는 선형 시스템의 해이다.formula_116이는 다음과 같다.formula_117여기서 formula_118는 삼각형의 부호 있는 면적의 두 배이다. 무게중심 좌표의 면적 해석은 이 선형 시스템에 크라메르 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.
무게중심 좌표와 삼선형 좌표 간의 변환.
삼선형 좌표 x : y : z를 가진 점은 삼각형의 변 길이인 a, b, c에 대해 ax : by : cz의 무게중심 좌표를 갖는다. 반대로, 무게중심 formula_119를 가진 점은 formula_120의 삼선형 좌표를 갖는다.
무게중심 좌표의 방정식.
세 변 a, b, c는 각각 다음과 같은 방정식을 갖는다.
삼각형의 오일러 직선 방정식은 다음과 같다.
이전에 주어진 무게중심 좌표와 삼선형 좌표 간의 변환을 사용하여, 삼선형 좌표#공식에 주어진 다양한 다른 방정식들을 무게중심 좌표로 다시 쓸 수 있다.
점 사이의 거리.
두 정규화된 점 formula_123와 formula_124의 변위 벡터는 다음과 같다.
와 사이의 거리 또는 변위 벡터 formula_126의 길이는 다음과 같다.
여기서 a, b, c는 삼각형의 변 길이이다. 마지막 두 표현의 동등성은 formula_128에서 비롯되는데, 이는 다음과 같이 성립하기 때문이다.
점의 무게중심 좌표는 세 삼각형 꼭짓점까지의 거리 di를 기반으로 다음 방정식을 풀어 계산할 수 있다.
삼각형에 대한 위치 결정.
무게중심 좌표는 주로 삼각형 내부의 점을 다루는 데 사용되지만, 삼각형 외부의 점을 설명하는 데도 사용할 수 있다. 점이 삼각형 내부에 있지 않더라도 위 공식을 사용하여 무게중심 좌표를 계산할 수 있다. 그러나 점이 삼각형 외부에 있으므로, 적어도 하나의 좌표는 formula_131이라는 원래 가정을 위반하게 된다. 사실, 데카르트 좌표로 주어진 모든 점에 대해 이 사실을 사용하여 점이 삼각형에 대해 어디에 있는지 결정할 수 있다.
점이 삼각형 내부에 있으면 모든 무게중심 좌표는 열린 구간 formula_132에 속한다. 점이 삼각형의 변 위에 있지만 꼭짓점에 있지 않으면 면적 좌표 formula_133 중 하나(반대쪽 꼭짓점과 관련된 것)는 0이고, 다른 두 개는 열린 구간 formula_132에 속한다. 점이 꼭짓점에 있으면 해당 꼭짓점과 관련된 좌표는 1이고 다른 좌표는 0이다. 마지막으로 점이 삼각형 외부에 있으면 적어도 하나의 좌표가 음수이다.
요약하자면,
formula_137은 formula_138이고 formula_139일 때 삼각형의 변 또는 모서리에 있다.
특히, 점이 선의 멀리 있는 쪽에 있으면 삼각형 내의 해당 점의 무게중심 좌표 중 선 위에 있지 않은 좌표는 음수 값을 가질 것이다.
삼각형 비정형 격자 보간.
formula_141이 알려진 양이지만, formula_142으로 정의된 삼각형 내부의 값은 알 수 없을 때, 선형 보간법을 사용하여 근사할 수 있다. 무게중심 좌표는 이 보간을 계산하는 편리한 방법을 제공한다. formula_80이 무게중심 좌표 formula_82, formula_83, formula_84를 갖는 삼각형 내부의 점이라면,
일반적으로, 비정형 격자 또는 폴리곤 메시가 주어졌을 때, 함수 값이 메쉬의 모든 꼭짓점에서 알려져 있는 한, 이 종류의 기술을 사용하여 의 모든 점에서의 값을 근사할 수 있다. 이 경우, 우리는 공간의 다른 부분에 해당하는 많은 삼각형을 가지고 있다. 점 formula_80에서 함수 를 보간하려면, 먼저 formula_80을 포함하는 삼각형을 찾아야 한다. 이를 위해, formula_80은 각 삼각형의 무게중심 좌표로 변환된다. 좌표가 formula_151을 만족하는 삼각형이 발견되면, 점은 해당 삼각형 또는 그 경계에 놓인다 (이전 섹션에서 설명됨). 그런 다음 formula_152의 값은 위에서 설명한 대로 보간될 수 있다.
이러한 방법은 유한요소법(FEM)과 같은 많은 응용 분야를 가지고 있다.
삼각형 또는 사면체에 대한 적분.
삼각형 영역에 대한 함수의 적분은 데카르트 좌표계에서 계산하기 번거로울 수 있다. 일반적으로 삼각형을 두 부분으로 나누어야 하며, 이는 큰 복잡성을 초래한다. 대신, 임의의 두 무게중심 좌표, 예를 들어 formula_153로 변수 변환을 하는 것이 더 쉬운 경우가 많다. 이 변수 변환 하에서,
여기서 는 삼각형의 면적이다. 이 결과는 무게중심 좌표계의 직사각형이 데카르트 좌표계의 사변형에 해당하고, 해당 좌표계에서 해당 도형의 면적 비율이 formula_155로 주어진다는 사실에서 비롯된다. 유사하게, 사면체에 대한 적분의 경우, 적분을 두세 개의 별개의 부분으로 나누는 대신, 다음과 같은 변수 변환 하에서 3D 사면체 좌표로 전환할 수 있다.
formula_156여기서 는 사면체의 부피이다.
특별한 점들의 예시.
삼각형 formula_30에 대해 정의된 동차 무게중심 좌표계에서, formula_30의 특별한 점들에 대한 다음 진술들이 성립한다.
세 꼭짓점 , , 의 좌표는 다음과 같다.
무게중심의 좌표는 formula_160이다.
, , 가 각각 변 길이 formula_161, formula_162, formula_163이고, formula_164, formula_165, formula_166가 각각 각 측정 formula_167, formula_168, formula_169이며, 가 formula_30의 반둘레라면, formula_30의 특수점에 대한 다음 진술이 추가로 성립한다.
외심의 좌표는 다음과 같다.
수심의 좌표는 다음과 같다.
내심의 좌표는 formula_174이다.
방심의 좌표는 다음과 같다.
구점원 중심의 좌표는 다음과 같다.
게르곤 점의 좌표는 formula_177이다.
나겔 점의 좌표는 formula_178이다.
대칭중심의 좌표는 formula_179이다.
사면체에 대한 무게중심 좌표.
무게중심 좌표는 3차원으로 쉽게 확장될 수 있다. 3D 단순체는 4개의 삼각형 면과 4개의 꼭짓점을 가진 다면체인 사면체이다. 다시 말해, 네 개의 무게중심 좌표는 첫 번째 꼭짓점 formula_86이 무게중심 좌표 formula_181에 매핑되고, formula_182 등으로 정의된다.
이것은 다시 선형 변환이며, 삼각형에 대한 위의 절차를 확장하여 사면체에 대한 점 formula_80의 무게중심 좌표를 찾을 수 있다.
여기서 formula_98는 이제 3x3 행렬이다.
그리고 formula_187에 해당하는 데카르트 좌표는 다음과 같다.formula_188다시 한번, 무게중심 좌표를 찾는 문제는 3x3 행렬의 역행렬을 구하는 문제로 귀결되었다.
3D 무게중심 좌표는 점이 사면체 부피 내부에 있는지 여부를 결정하고, 2D 절차와 유사한 방식으로 사면체 메시 내에서 함수를 보간하는 데 사용될 수 있다. 사면체 메시는 무게중심 좌표를 사용하면 3D 보간을 크게 단순화할 수 있으므로 유한요소해석에서 자주 사용된다.
일반화된 무게중심 좌표.
점 formula_189의 무게중심 좌표 formula_190는 단순체 대신 유한 개의 k점 formula_191에 대해 정의되며 이를 일반화된 무게중심 좌표라고 한다. 이 경우에도 방정식
가 성립해야 한다. 일반적으로 formula_193인 정규화된 좌표를 사용한다. 단순체의 경우와 마찬가지로, 음수가 아닌 정규화된 일반화된 좌표(formula_194)를 가진 점들은 의 볼록 폐포를 형성한다. 완전한 단순체보다 많은 점이 있는 경우(formula_195) 점의 일반화된 무게중심 좌표는 유일하지 않은데, 이는 정의 선형 시스템(여기서 n=2)formula_196가 과소결정이기 때문이다. 가장 간단한 예는 평면의 사각형이다. 고유한 무게중심 좌표를 정의하기 위해 다양한 종류의 추가적인 제약 조건이 사용될 수 있다.
추상화.
더 추상적으로, 일반화된 무게중심 좌표는 차원에 상관없이 n개의 꼭짓점을 가진 볼록 다포체를 n개의 꼭짓점을 가진 표준 formula_197-단순체의 이미지로 표현한다. 이 맵은 전사적이다. formula_198 이 맵은 다포체가 단순체일 때에만 일대일이며, 이 경우 이 맵은 동형 사상이다. 이는 P가 단순체가 아닐 때 점이 고유한 일반화된 무게중심 좌표를 갖지 않는 것에 해당한다.
일반화된 무게중심 좌표의 쌍대는 슬랙 변수인데, 이는 점이 선형 제약 조건을 얼마나 만족하는지 측정하고, f-직교 공간으로의 매장 formula_199을 제공한다. 여기서 f는 면의 수(꼭짓점의 쌍대)이다. 이 맵은 일대일(슬랙 변수는 고유하게 결정됨)이지만 전사적이지는 않다(모든 조합이 실현될 수는 없다).
표준 formula_197-단순체와 f-정축을 다포체에 매핑하거나 다포체가 매핑되는 표준 객체로 사용하는 것은 벡터 공간의 표준 객체로 표준 벡터 공간 formula_201을 사용하는 것과 대조된다. 또한, 아핀 공간의 표준 객체로 표준 아핀 초평면 formula_202을 사용한다. 각 경우에 선형 기저 또는 아핀 기저를 선택하면 동형 사상을 제공하여 모든 벡터 공간과 아핀 공간을 이러한 표준 공간으로 생각할 수 있도록 한다. 이는 전사 또는 일대일 맵(모든 다포체가 단순체는 아님)을 통해서가 아니다. 또한, n-정축은 원뿔에 매핑되는 표준 객체이다.
일반화된 무게중심 좌표는 컴퓨터 그래픽스 특히 기하학적 모델링에서 응용된다. 종종 3차원 모델은 해당 다면체에 대한 일반화된 무게중심 좌표가 기하학적 의미를 갖도록 다면체로 근사될 수 있다. 이런 방식으로 이러한 의미 있는 좌표를 사용하여 모델 처리를 단순화할 수 있다. 무게중심 좌표는 지구물리학에서도 사용된다.
리틀이털리(Little Italy)는 때때로 유니버시티 빌리지와 하나의 지역으로 합쳐지기도 하며, 시카고의 니어 웨스트 사이드에 위치한다. 현재 리틀이털리의 경계는 서쪽으로 애슐랜드 애비뉴, 동쪽으로 90/94번 주간고속도로, 북쪽으로 아이젠하워 고속도로, 남쪽으로 루스벨트 가이다. 이곳은 일리노이 대학교 시카고 캠퍼스 동쪽인 일리노이 의료 지구와 일리노이 대학교 시카고 캠퍼스 서쪽 사이에 위치한다. 이 공동체는 한때 주로 이탈리아 이민자들로 이루어졌지만, 이민, 도시 재개발, 젠트리피케이션, 그리고 일리노이 대학교 시카고(UIC)의 상주 학생 및 교수 인구 증가의 결과로 현재는 다양한 민족 및 사회경제적 배경을 가진 사람들로 구성되어 있다. 이곳의 이탈리아계 미국인 유산은 한때 테일러 스트리트에 늘어서 있던 이탈리아계 미국인 레스토랑에서 주로 찾아볼 수 있다. 이 지역에는 국립 이탈리아계 미국인 스포츠 명예의 전당과 유서 깊은 로마 가톨릭교회인 아워 레이디 오브 폼페이, 노트르담 드 시카고, 홀리 패밀리 교회가 있다.
이 지역의 최근 역사는 1950년대 고속도로 건설, 1960년대 UIC 개발, 1990년대와 2000년대 공영 주택 철거, 2000년대 맥스웰 스트리트 재개발로 시작된 도시 재개발의 물결을 겪었다. 이러한 변화와 함께 이 지역의 주택 가격도 상승했다.
시카고 도시권 내에 번성하는 여러 이탈리아계 미국인 공동체가 있지만, 시카고 이탈리아계 미국인 이민자들의 기항지였던 테일러 스트리트는 시카고 "리틀 이털리"라는 칭호를 물려받았다. 테일러 스트리트의 리틀 이털리는 더 큰 공동체 지역인 시카고의 니어 웨스트 사이드의 일부이다. 20세기 초 유럽인의 대규모 이주 시기에 니어 웨스트 사이드를 구성했던 이민 공동체 중 지배적이었던 것은 이탈리아인, 그리스인, 유대인이었다. 다른 민족 그룹들은 1900년대 초부터 이 지역을 떠났고, 이탈리아계 미국인 거주지 만이 활기찬 공동체로 남았다.
"리틀 이털리"로 알려진 지역에는 항상 다른 민족들이 존재했다. 그럼에도 불구하고 이 지역은 19세기와 20세기 내내 이탈리아인과 이탈리아 문화의 강한 영향으로 인해 이름이 붙여졌다. 1950년대와 60년대에 절정에 달했던 이탈리아 인구는 1963년 이 지역에 일리노이 대학교를 건설하기로 결정된 직후 감소하기 시작했다. 그러나 이전에 유명했던 테일러 스트리트 회랑에는 여전히 여러 이탈리아 레스토랑과 사업체가 남아 있다.
이탈리아인들은 1850년대부터 소수로 시카고에 도착하기 시작했다. 1880년에는 도시에 1,357명의 이탈리아인이 있었다. 1920년대에 이르러 이탈리아 요리는 미국에서 가장 인기 있는 민족 요리 중 하나가 되어 많은 성공적인 빵집과 레스토랑을 탄생시켰으며, 그 중 일부는 여러 세대에 걸쳐 번성했고 오늘날에도 시카고 외식 장면에 계속 영향을 미치고 있다. 1927년까지 이탈리아인들은 500개의 식료품점, 257개의 레스토랑, 240개의 제과점, 그리고 이탈리아 동네에 집중된 수많은 다른 식품 관련 사업체를 소유했다.
이탈리아인의 이민은 19세기 후반부터 20세기 초반까지 가속화되었다. 시카고의 외국 태생 이탈리아인 인구는 1900년에 16,008명이었고 1930년에 73,960명으로 절정에 달했다. 가장 큰 정착 지역은 테일러 스트리트 지역이었지만, 도시와 교외 전역에 20개의 다른 중요한 이탈리아인 거주지가 있었다. 이곳은 젠나 범죄 가족의 본거지였다.
헐 하우스 인근 지역.
제인 애덤스는 이 공동체를 "헐 하우스 인근 지역"이라고 불렀다. 헐 하우스에 대해 쓰여진 첫 신문 기사 중 하나는 "헐 하우스 인근 지역" 주민들에게 보내진 초대장을 언급한다. 이 초대장은 "Mio Carissimo Amico"라는 인사말로 시작하며, "Le Signorine, 제인 애덤스와 엘렌 스터"라고 서명되어 있다. 베들레헴-하워드 인근 센터 기록은 1890년대 초에도 "헐 하우스 인근 지역"의 핵심부가 압도적으로 이탈리아인들이었음을 추가로 입증한다. 1890년대 초에 인구 통계가 그러했다면, 20세기 초 이후 시작된 다른 민족 그룹의 이탈은 시카고강 동쪽 끝에서 "리틀 이털리"로 알려지게 된 서쪽 끝까지, 그리고 남쪽의 루스벨트 로드에서 북쪽의 해리슨 스트리트 삼각주까지 — 헐 하우스 인근 지역의 핵심부 — 사실상 전체 공동체가 1930년대부터 1950년대까지 온통 이탈리아인들로 가득했다는 것을 시사한다.
리틀 이털리는 한때 훨씬 더 넓은 지역을 포괄했지만, 대학 건설로 인해 이 지역은 황폐해졌다. 이 지역의 많은 주민들은 이 아이디어에 반대했다. 시카고의 전설적인 테일러 스트리트 활동가이자 오랜 헐 하우스 동료였던 플로렌스 스칼라는 헐 하우스 이사회가 번성하고 활기차며 단결된 이웃을 배신했다고 비난했다. 스칼라는 이들이 데일리가 이웃을 파괴하도록 부추겼다고 비난했다. 1963년, 헐 하우스 이사회는 건물 합의금으로 875,000달러의 제안을 수락했다. 제시 빈포드와 스칼라는 이 사건을 대법원에 가져갔다. 법원은 대학 편을 들었고, 합의는 1963년 3월 28일에 종결되었다.
일부는 데일리가 이탈리아 이웃과 그들의 권력 기반을 분열시키기 위해 UIC를 그곳으로 옮겨 이 지역이 정치적으로 불만이 많았기 때문에 리틀 이털리를 대학 부지로 선택했다고 추측했다. 그러나 이 지역은 압도적으로 데일리에 찬성 투표를 했다. 제2차 세계 대전 이후, 몇 가지 개발이 공동체의 응집력을 방해했다. 아이젠하워 고속도로와 일리노이 대학교 시카고 의료 지구 건설로 인해 많은 사람들이 이주해야 했다. 리처드 J. 데일리 시장이 1960년대에 UIC의 서클 캠퍼스를 설립하면서 공동체는 더욱 분산되었다. 규모의 UIC 캠퍼스 건설 중에 리틀 이털리에서 200개의 사업체와 800채의 주택이 불도저로 파괴되었고, 5,000명의 주민들이 이주해야 했다.
공영 주택 재개발.
유니버시티 빌리지는 이전에 여러 시카고 주택청(CHA) 공영 주택 개발의 본거지였다. 이들은 약어 ABLA로 묶였다. 이 개발들은 제인 애덤스 주택(시카고 최초의 공영 주택 개발), 그레이스 애벗 주택, 로버트 브룩스 주택, 로버트 브룩스 확장, 그리고 루미스 코트였다. 대부분의 ABLA는 CHA의 변혁 계획의 일환으로 CHA에 의해 철거되었으며, 이는 혼합 소득 주택으로서의 철거 및 재개발 프로그램이다.
ABLA는 2000년대 초에 단계적으로 철거되었다. 현재 루스벨트 스퀘어라는 이름으로 타운하우스와 콘도미니엄으로 재개발되고 있다. 개발사인 The Related Companies는 루스벨트/레이신 세금 증분 재정 지구로부터 970만 달러를 받았다.
최근 젠트리피케이션.