shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
function insertAfter(Node node, Node newNode)
"insertBefore"를 하려면 단순히 "insertAfter(node.prev, newNode)"를 사용할 수 있다.
비어 있을 수 있는 리스트에 요소를 삽입하려면 특별한 함수가 필요하다:
function insertEnd(List list, Node node)
node.prev := node
node.next := node
insertAfter(list.lastNode, node)
list.lastNode := node
시작에 삽입하려면 단순히 "insertAfter(list.lastNode, node)"를 사용한다.
마지막으로, 노드 제거는 리스트가 비어 있는 경우를 처리해야 한다:
function remove(List list, Node node);
if node.next == node
list.lastNode := null
if node == list.lastNode
list.lastNode := node.prev;
destroy node
노드 삭제.
이중 연결 리스트와 마찬가지로 "removeAfter"와 "removeBefore"는 "remove(list, node.prev)"와 "remove(list, node.next)"로 구현할 수 있다.
고급 개념.
비대칭 이중 연결 리스트.
비대칭 이중 연결 리스트는 단일 연결 리스트와 일반 이중 연결 리스트의 중간에 있다. 단일 연결 리스트의 일부 기능(단방향 탐색)과 이중 연결 리스트의 다른 기능(수정 용이성)을 공유한다.
이것은 각 노드의 이전 링크가 이전 노드를 가리키는 것이 아니라 그 자체에 대한 링크를 가리키는 리스트이다. 이것은 노드들 사이에서 큰 차이를 만들지 않지만 (이전 노드 내의 오프셋을 가리킬 뿐임), 리스트의 헤드를 변경한다: 첫 번째 노드가 firstNode 링크를 쉽게 수정할 수 있게 한다.
노드가 리스트에 있는 한, 이전 링크는 결코 null이 아니다.
다른 노드 앞에 노드를 삽입하려면, 이전 링크를 사용하여 이전 노드를 가리키던 링크를 변경한다. 그런 다음 새 노드의 다음 링크가 이전 노드를 가리키도록 설정하고, 해당 노드의 이전 링크를 그에 따라 변경한다.
function insertBefore(Node node, Node newNode)
error "노드가 리스트에 없습니다"
atAddress(newNode.prev) := newNode
node.prev = addressOf(newNode.next)
if newNode.next != null
newNode.next.prev = addressOf(newNode.next)
newNode.prev := addressOf(node.next)
노드를 제거하려면, 노드가 리스트의 첫 번째 노드였는지 여부에 관계없이 이전이 가리키는 링크를 단순히 수정한다.
function remove(Node node)
atAddress(node.prev) := node.next
if node.next != null
node.next.prev = node.prev
컴퓨터 과학에서 연결 자료 구조(Linked data structure)는 함께 연결되고 참조(링크 또는 포인터)에 의해 구성된 데이터 레코드(노드) 집합으로 구성된 자료 구조이다. 데이터 간의 링크는 커넥터라고도 부를 수 있다.
연결 자료 구조에서 링크는 일반적으로 특수 자료형으로 취급되며, 오직 역참조되거나 동등성을 비교할 수 있다. 따라서 연결 자료 구조는 배열 및 포인터에 대한 산술 연산을 수행해야 하는 다른 자료 구조와 대조된다. 이 구분은 노드가 실제로 단일 배열의 요소로 구현되고 참조가 실제로 배열 인덱스일 때도 유효하다. 해당 인덱스에 대해 산술 연산이 수행되지 않는 한, 자료 구조는 본질적으로 연결된 자료 구조이다.
연결은 두 가지 방법으로 수행할 수 있다. 동적 할당을 사용하고 배열 인덱스 연결을 사용한다.
연결 자료 구조에는 연결 리스트, 탐색 트리, 표현 트리 및 기타 널리 사용되는 많은 자료 구조가 포함된다. 또한 위상 정렬 및 집합 합집합-찾기와 같은 많은 효율적인 알고리즘의 핵심 구성 요소이다.
일반적인 연결 자료 구조 유형.
연결 리스트.
연결 리스트는 메모리의 물리적 배치에 의해 정렬되지 않고, 구조 자체의 데이터 일부로 저장된 논리적 링크에 의해 정렬된 구조의 모음이다. 인접한 메모리 위치에 저장될 필요는 없다. 모든 구조에는 데이터 필드와 주소 필드가 있다. 주소 필드에는 해당 계승자의 주소가 포함된다.
연결 리스트는 단일, 이중 또는 다중으로 연결될 수 있으며 선형 또는 원형일 수 있다.
다음은 연결 리스트의 자바 구현에서 정수를 저장하는 데 사용되는 노드 클래스의 예시이다.
public class IntNode {
public int value;
public IntNode link;
C 예시.
다음은 C에서 연결 리스트 구현에 사용되는 구조의 예시이다.
다음은 Typedef를 사용한 예시이다.
typedef struct node node;
node *next;
참고: 동일한 구조를 가리키는 멤버를 포함하는 이러한 구조를 자기 참조 구조라고 한다.
C++ 예시.
다음은 C++에서 연결 리스트 구현에 사용되는 노드 클래스 구조의 예시이다.
탐색 트리.
탐색 트리는 노드에 일부 순서 집합에서 데이터 값을 저장할 수 있는 트리 자료 구조이며, 트리의 중위 순회를 수행하면 저장된 값의 오름차순으로 노드를 방문한다.
연결 리스트 대 배열.
배열과 비교하여 연결 자료 구조는 데이터를 구성하고 공간을 할당하는 데 더 많은 유연성을 제공한다. 배열에서는 배열의 크기를 처음에 정확하게 지정해야 하므로 잠재적인 메모리 낭비 또는 나중에 어떤 식으로든 기능을 방해할 임의의 제한이 될 수 있다. 연결 자료 구조는 동적으로 구축되며 프로그램이 요구하는 것보다 커질 필요가 없다. 또한 생성 시 할당해야 할 공간에 대해 추측할 필요가 없다. 이는 메모리 낭비를 방지하는 핵심 기능이다.
배열에서 배열 요소는 메모리의 연속적인(연결되고 순차적인) 부분에 있어야 한다. 그러나 연결 자료 구조에서 각 노드에 대한 참조는 다음 노드를 찾는 데 필요한 정보를 사용자에게 제공한다. 연결 자료 구조의 노드는 배열과 달리 논리적 연결에 영향을 주지 않으면서 물리적 메모리 내의 다른 위치로 개별적으로 이동할 수도 있다. 적절한 주의를 기울이면 특정 프로세스 또는 스레드가 다른 프로세스 또는 스레드가 다른 부분을 작업하는 동안에도 자료 구조의 한 부분에서 노드를 추가하거나 삭제할 수 있다.
반면에 연결 자료 구조의 특정 노드에 접근하려면 각 노드에 저장된 참조 체인을 따라가야 한다. 구조에 n개의 노드가 있고 각 노드에 최대 b개의 링크가 포함되어 있다면, logb n단계 미만으로 접근할 수 없는 노드가 있어 이러한 노드에 접근하는 프로세스가 느려진다. 이는 특히 많은 수의 노드를 포함하는 구조의 경우 상당한 속도 저하를 나타낼 수 있다. 많은 구조에서 일부 노드는 최악의 경우 n-1단계까지 필요할 수 있다. 대조적으로, 많은 배열 자료 구조는 항목 수와 무관하게 상수 개의 연산으로 모든 요소에 접근할 수 있다.
대체로 이러한 연결 자료 구조의 구현은 동적 자료 구조를 통해 이루어진다. 이는 특정 공간을 다시 사용할 수 있는 기회를 제공한다. 이러한 자료 구조를 사용하면 메모리를 더 효율적으로 활용할 수 있다. 메모리는 필요에 따라 할당되며 더 이상 필요하지 않을 때 할당이 해제된다.
연결 자료 구조는 또한 상당한 메모리 할당 오버헤드를 발생시킬 수 있으며(노드가 개별적으로 할당되는 경우) 메모리 페이징 및 프로세서 캐싱 알고리즘을 방해할 수 있다(일반적으로 참조 국부성이 좋지 않기 때문). 어떤 경우에는 연결 자료 구조가 경쟁하는 배열 구조보다 더 많은 메모리(링크 필드용)를 사용할 수도 있다. 이는 연결 자료 구조가 연속적이지 않기 때문이다. 데이터 인스턴스는 배열과 달리 메모리 전체에서 찾을 수 있다.
배열에서는 n번째 요소에 즉시 접근할 수 있지만, 연결 자료 구조에서는 여러 포인터를 따라가야 하므로 요소 접근 시간은 요소가 구조 내 어디에 있는지에 따라 달라진다.
포인터 머신과 같이 연결된 구조의 제약 조건을 강제하는 일부 이론적인 계산 모델에서는 랜덤 접근 기계 모델에서보다 많은 단계를 요구하는 많은 문제가 있다.
컴퓨팅에서 4배정밀도 또는 쿼드러플 프리시전(quadruple precision)은 16바이트(128비트)를 차지하는 이진 부동소수점 기반 컴퓨터 숫자 형식으로, 53비트 배정밀도의 두 배 이상의 정밀도를 가진다.
이 128비트 4배정밀도는 배정밀도 이상의 결과가 필요한 응용 프로그램뿐만 아니라 중간 계산 및 스크래치 변수에서 오버플로 및 반올림 오차를 최소화하여 배정밀도 결과를 보다 안정적이고 정확하게 계산할 수 있도록 하는 주요 기능도 수행한다. 원래 IEEE 754 부동소수점 표준의 주요 설계자였던 윌리엄 카한은 다음과 같이 언급했다. "현재 10바이트 확장 형식은 추가 정밀도 산술의 가치와 이를 빠르게 구현하는 비용 사이에서 적절한 절충안이다. 곧 두 바이트의 정밀도가 더 허용될 것이며, 궁극적으로는 16바이트 형식... IEEE 부동소수점 산술 표준 754가 제정될 때 이미 더 넓은 정밀도로의 점진적인 진화가 예상되었다."
IEEE 754-2008에서 128비트 2진 형식은 공식적으로 binary128이라고 불린다.
IEEE 754 4배정밀도 이진 부동소수점 형식: binary128.
IEEE 754 표준은 binary128을 다음과 같이 지정한다.
부호 비트는 숫자의 부호를 결정한다(숫자가 0인 경우에도 부호가 있는 경우 포함). "1"은 음수를 나타낸다.
이것은 33에서 36개의 유효 십진수 정밀도를 제공한다. 최대 33개의 유효 십진수를 가진 십진수 문자열이 IEEE 754 4배정밀도 형식으로 변환되어 정규화된 숫자를 생성하고, 동일한 수의 자릿수를 가진 십진수 문자열로 다시 변환되면 최종 결과는 원래 문자열과 일치해야 한다. IEEE 754 4배정밀도 숫자가 최소 36개의 유효 십진수를 가진 십진수 문자열로 변환된 후 다시 4배정밀도 표현으로 변환되면 최종 결과는 원래 숫자와 일치해야 한다.
이 형식은 지수가 모두 0으로 저장되지 않는 한(이는 비정규 값 및 0을 인코딩하는 데 사용됨) 값이 1인 암시적 선행 비트로 작성된다. 따라서 유효숫자의 112비트만 메모리 형식에 나타나지만, 일반 값의 총 정밀도는 113비트(대략 34십진수 자릿수: )이다. 비정규 값은 가장 작은 비영(non-zero) 값의 경우 1비트까지 정밀도가 점진적으로 저하된다. 비트 배치는 다음과 같다.
4배정밀도 이진 부동소수점 지수는 오프셋 이진 표현을 사용하여 인코딩되며, 0 오프셋은 16383이다. 이것은 IEEE 754 표준에서 지수 바이어스로도 알려져 있다.
따라서 오프셋 이진 표현에 의해 정의된 대로 실제 지수를 얻기 위해서는 저장된 지수에서 16383의 오프셋을 빼야 한다.
저장된 지수 000016 및 7FFF16은 특별하게 해석된다.
최소 엄격 양수 (비정규) 값은 2−16494 ≈ 10−4965이며, 정밀도는 단 1비트이다. 최소 양수 정규 값은 2−16382 ≈ 이며, 113비트의 정밀도를 가진다. 즉, ±2−16494와 같다. 최대 표현 가능한 값은 ≈ 이다.
4배정밀도 예시.
이 예시들은 부동소수점 값의 비트 표현으로, 십육진법으로 주어진다. 여기에는 부호, (바이어스된) 지수, 유효숫자가 포함된다.
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000116 = 2−16382 × 2−112 = 2−16494
≈ 6.4751751194380251109244389582276465525 × 10−4966
(가장 작은 양수 비정규 값)
0000 ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff16 = 2−16382 × (1 − 2−112)
≈ 3.3621031431120935062626778173217519551 × 10−4932
(가장 큰 비정규 값)
0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = 2−16382
≈ 3.3621031431120935062626778173217526026 × 10−4932
(가장 작은 양수 정규 값)
7ffe ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff16 = 216383 × (2 − 2−112)
≈ 1.1897314953572317650857593266280070162 × 104932
(가장 큰 정규 값)
3ffe ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff16 = 1 − 2−113
≈ 0.9999999999999999999999999999999999037
(1보다 작은 가장 큰 값)
3fff 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = 1 (일)
3fff 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000116 = 1 + 2−112
≈ 1.0000000000000000000000000000000001926
(1보다 큰 가장 작은 값)
4000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = 2
c000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = −2
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = 0
8000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = −0
7fff 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = 무한대
ffff 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000016 = −무한대
4000 921f b544 42d1 8469 898c c517 01b816 ≈ 3.1415926535897932384626433832795027975
(π에 가장 가까운 근사치)
3ffd 5555 5555 5555 5555 5555 5555 555516 ≈ 0.3333333333333333333333333333333333173
(1/3에 가장 가까운 근사치)
기본적으로 1/3은 유효숫자의 비트 수가 홀수이기 때문에 배정밀도처럼 내림한다. 따라서 반올림 지점 너머의 비트는 codice_1이며, 이는 ULP의 1/2 미만이다.
더블-더블 산술.
배정밀도 값 쌍을 사용하여 거의 4배정밀도를 구현하는 일반적인 소프트웨어 기술을 때때로 더블-더블 산술이라고 한다. 53비트 유효숫자를 가진 IEEE 배정밀도 값 쌍을 사용하면, 더블-더블 산술은 최소 (실제로는 지수 범위가 제한되어 일부 가장 큰 값을 제외하고 107비트)의 유효숫자를 가진 숫자에 대한 연산을 제공하며, IEEE binary128 4배정밀도의 113비트 유효숫자보다 정밀도가 약간 낮다. 더블-더블의 범위는 지수가 여전히 11비트이므로 배정밀도 형식과 본질적으로 동일하게 유지되며, IEEE 4배정밀도의 15비트 지수보다 훨씬 낮다(더블-더블의 범위는 , binary128의 범위는 ).
특히, 더블-더블 기술에서 더블-더블/4배정밀도 값 q는 두 배정밀도 값 x와 y의 합 으로 암시적으로 표현되며, 각 값은 q의 유효숫자 절반을 제공한다. 즉, q 대신 쌍 이 저장되고, q 값에 대한 연산들 은 x와 y 값에 대한 동등한(그러나 더 복잡한) 연산으로 변환된다. 따라서 이 기술의 산술은 일련의 배정밀도 연산으로 축소되며, 배정밀도 산술이 일반적으로 하드웨어에 구현되어 있기 때문에 더블-더블 산술은 일반적으로 더 일반적인 임의 정밀도 산술 기술보다 훨씬 빠르다.
더블-더블 산술은 다음과 같은 특별한 특성을 가진다.
더블-더블 산술 외에도, 더 높은 정밀도 부동소수점 라이브러리 없이 더 높은 정밀도가 필요한 경우 트리플-더블 또는 쿼드-더블 산술을 생성하는 것도 가능하다. 이들은 각각 세 개(또는 네 개)의 배정밀도 값의 합으로 표현된다. 이들은 각각 최소 159/161비트 및 212/215비트의 연산을 표현할 수 있다.
유사한 기술을 사용하여 더블-쿼드 산술을 생성할 수 있으며, 이는 두 개의 4배정밀도 값의 합으로 표현된다. 이들은 최소 226(또는 227)비트의 연산을 표현할 수 있다.
4배정밀도는 종종 다양한 기술(위의 더블-더블 기술과 같은, 비록 그 기술은 IEEE 4배정밀도를 구현하지 않지만)에 의해 소프트웨어로 구현된다. 4배정밀도에 대한 직접적인 하드웨어 지원은 덜 일반적이기 때문이다(아래 "하드웨어 지원" 참조). 일반적인 임의 정밀도 산술 라이브러리를 사용하여 4배정밀도(또는 그 이상)를 얻을 수 있지만, 특수화된 4배정밀도 구현은 더 높은 성능을 달성할 수 있다.
컴퓨터 언어 지원.
별도의 질문은 4배정밀도 형식이 컴퓨터 프로그래밍 언어에 직접 통합되는 정도이다.
4배정밀도는 포트란에서 codice_2 (포트란 2008의 codice_3 모듈을 사용해야 하며, 상수 codice_4은 대부분의 프로세서에서 16과 같다) 또는 codice_5로, 또는 비표준 방식으로 codice_6으로 지정된다. (4배정밀도 codice_6은 예를 들어 인텔 포트란 컴파일러 및 GNU 포트란 컴파일러에 의해 X86, X86-64 및 아이테니엄 아키텍처에서 지원된다.)
C 프로그래밍 언어의 경우, ISO/IEC TS 18661-3 (C용 부동소수점 확장, 상호 교환 및 확장형)은 codice_8을 IEEE 754 4배정밀도 형식(binary128)을 구현하는 유형으로 지정한다. 또는 일부 시스템과 컴파일러에서 C/C++의 codice_9 유형으로 4배정밀도를 지정할 수 있지만, 이는 언어에 의해 요구되는 사항은 아니며(codice_9은 codice_11만큼 정밀해야 한다고만 요구함), 일반적이지도 않다.
x86 및 x86-64에서 가장 일반적인 C/C++ 컴파일러는 codice_9을 80비트 확장 정밀도 (예: GNU C 컴파일러 gcc 및 인텔 C++ 컴파일러의 codice_13 스위치) 또는 단순히 배정밀도와 동의어(예: 마이크로소프트 비주얼 C++)로 구현하며, 4배정밀도로는 구현하지 않는다. ARM 64비트 아키텍처 (AArch64)의 절차 호출 표준은 codice_9이 IEEE 754 4배정밀도 형식에 해당한다고 명시한다. 몇몇 다른 아키텍처에서는 일부 C/C++ 컴파일러가 codice_9을 4배정밀도로 구현한다. 예를 들어 파워PC의 gcc(더블-더블) 및 SPARC, 또는 SPARC의 썬 스튜디오 컴파일러가 그렇다. codice_9이 4배정밀도가 아니더라도, 일부 C/C++ 컴파일러는 확장으로 비표준 4배정밀도 유형을 제공한다. 예를 들어 gcc는 x86, x86-64 및 아이테니엄 CPU용으로 codice_17이라는 4배정밀도 유형을 제공하며, 파워PC에서는 -mfloat128-hardware 또는 -mfloat128 옵션을 사용하여 IEEE 128비트 부동소수점을 제공한다. 또한 x86 및 x86-64용 인텔 C/C++ 컴파일러의 일부 버전은 codice_18라는 비표준 4배정밀도 유형을 제공한다.
Zig는 codice_19 유형으로 이를 지원한다.
구글의 개발 중인 언어 Carbon은 codice_19이라는 유형으로 이를 지원한다.
2024년 현재 러스트는 IEEE 4배정밀도 128비트 부동소수점을 위한 새로운 codice_19 유형을 추가하는 작업을 진행 중이다.
IEEE 4배정밀도는 1998년 IBM 시스템/390 G5에 추가되었고, 이후 z/아키텍처 프로세서에서 하드웨어로 지원된다. IBM POWER9 CPU (Power ISA 3.0)는 네이티브 128비트 하드웨어 지원을 제공한다.
IEEE 128비트 부동소수점의 네이티브 지원은 PA-RISC 1.0, 및 SPARC V8 및 V9 아키텍처(예: 16개의 4배정밀도 레지스터 %q0, %q4 등이 있음)에 정의되어 있지만, 2004년 현재 어떤 SPARC CPU도 하드웨어에서 4배정밀도 연산을 구현하지 않는다.
비-IEEE 확장 정밀도(128비트 저장 공간, 1비트 부호, 7비트 지수, 112비트 분수, 8비트 미사용)는 IBM 시스템/370 시리즈(1970년대–1980년대)에 추가되었으며, 1960년대 일부 System/360 모델(System/360-85, -195 및 기타 특수 요청 또는 OS 소프트웨어로 시뮬레이션)에서 사용 가능했다.
지멘스 7.700 및 7.500 시리즈 메인프레임 및 그 후속 제품은 IBM System/360 및 System/370과 동일한 부동소수점 형식 및 명령어를 지원한다.
VAX 프로세서는 비-IEEE 4배정밀도 부동소수점을 "H 부동소수점" 형식으로 구현했다. 이는 1비트 부호, 15비트 지수, 112비트 분수 부분을 가졌지만, 메모리 레이아웃은 IEEE 4배정밀도와 상당히 달랐고 지수 바이어스도 달랐다. 가장 초기의 VAX 프로세서 중 일부만이 H 부동소수점 명령어를 하드웨어로 구현했고, 다른 모든 프로세서는 소프트웨어로 H 부동소수점을 에뮬레이션했다.
NEC 벡터 엔진 아키텍처는 128비트 이진 IEEE 754 4배정밀도 숫자의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 비교를 지원한다. 인접한 두 64비트 레지스터가 사용된다. 벡터 레지스터에서는 4배정밀도 산술이 지원되지 않는다.
RISC-V 아키텍처는 128비트 이진 IEEE 754-2008 부동소수점 산술을 위한 "Q"(쿼드 정밀도) 확장을 지정한다. "L" 확장(아직 인증되지 않음)은 64비트 및 128비트 십진 부동소수점을 지정한다.
4배정밀도(128비트) 하드웨어 구현은 단일 명령, 다중 데이터 명령(예: 스트리밍 SIMD 확장 또는 AltiVec)을 구현하는 "128비트 FPU"와 혼동해서는 안 된다. 이는 4개의 32비트 단정밀도 또는 2개의 64비트 배정밀도 값으로 구성된 128비트 벡터를 동시에 연산하는 것을 의미한다.
손가락 이진법 또는 핑거 바이너리(finger binary)는 한 손 또는 양손의 손가락을 사용하여 이진수를 세고 표시하는 시스템이다. 각 손가락은 하나의 이진 숫자 또는 비트를 나타낸다. 이를 통해 한 손으로 0부터 31까지, 양손으로는 1023까지 셀 수 있다. 즉, 각각 25−1 또는 210−1까지 가능하다.
최신 컴퓨터는 일반적으로 값을 8-비트 바이트의 정수 형태로 저장하므로, 양손 손가락은 함께 1¼바이트의 저장 공간에 해당한다. 이는 열 손가락으로 10까지 세는 경우의 절반 미만에 비하면 대조적이다.
이진수 체계에서 각 숫자 자리는 두 가지 가능한 상태(0 또는 1)를 가지며, 각 연속적인 숫자는 증가하는 2의 거듭제곱을 나타낸다.
참고: 다음은 손가락에 값 1, 2, 4, 8, 16 등을 할당하는 여러 가능한 방식 중 하나이며, 반드시 최선은 아니다. (아래 그림 참조): 가장 오른쪽 숫자는 2의 0제곱을 나타낸다(즉, "1의 자리"이다). 그 왼쪽의 숫자는 2의 1제곱("2의 자리")을 나타내고, 그 왼쪽의 다음 숫자는 2의 2제곱("4의 자리")을 나타내는 식이다. (십진법은 본질적으로 동일하며, 10의 거듭제곱("1의 자리", "10의 자리", "100의 자리" 등)을 사용한다.)
신체적 손가락을 사용하여 숫자를 나타낼 수 있는데, 손가락을 올리면 이진 숫자의 "1" 상태를 나타내고 손가락을 내리면 "0" 상태를 나타낸다. 각 연속적인 손가락은 2의 더 높은 거듭제곱을 나타낸다.
수를 세는 사람을 향해 손바닥을 펼쳤을 때, 오른손만 사용하는 경우의 값은 다음과 같다:
왼손만 사용하는 경우:
양손을 사용하는 경우:
그리고, 번갈아 가며, 수를 세는 사람의 반대 방향으로 손바닥을 펼쳤을 때:
각각의 올린 손가락 값들을 모두 더하여 총 숫자를 구한다. 한 손 버전에서는 모든 손가락을 올리면 31 (16 + 8 + 4 + 2 + 1)이 되고, 모든 손가락을 내리면 (주먹) 0이 된다. 양손 시스템에서는 모든 손가락을 올리면 1,023 (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1)이 되고, 두 주먹 (손가락을 올리지 않음)은 0을 나타낸다.
각 손이 0에서 31 사이의 독립적인 숫자를 나타내게 할 수도 있다. 이는 월과 일, X-Y 좌표, 또는 탁구나 야구와 같은 스포츠 점수 등 다양한 유형의 짝을 이루는 숫자를 나타내는 데 사용될 수 있다. 시간을 시와 분으로 나타내는 것은 10개의 손가락을 사용하여 가능하며, 시는 4개의 손가락(0-23)을 사용하고 분은 6개의 손가락(0-59)을 사용한다.
오른손과 함께 사용하는 경우.
음수 및 비정수.
분수와 음수가 이진수로 표현될 수 있는 것처럼, 손가락 이진수로도 표현될 수 있다.
음수를 나타내는 것은 매우 간단하며, 가장 왼쪽 손가락을 부호 비트로 사용한다: 올리면 부호와 크기 시스템에서 음수를 의미한다. 양손을 사용하여 부터 +511까지 나타낼 수 있다. 이 시스템에서는 양의 0과 음의 0이 모두 표현될 수 있다.
손바닥을 위로/아래로 향하게 하거나 손가락을 위로/아래로 향하게 하는 것이 양수/음수를 나타내는 규칙이 정해진다면, 양수와 음수 모두에서 210 −1을 유지할 수 있다(양의 0과 음의 0이 여전히 표현되는 상황에서 부터 +1023까지).
2진 분수.
각 손가락이 2의 분수 거듭제곱(formula_1)을 나타내도록 하여 분수를 이진 형식으로 내장하여 저장할 수 있다. (이를 2진 분수라고 한다.)
총계는 일반적인 (분수가 아닌) 손가락 이진법과 동일한 방식으로 모든 값을 더한 다음, 사용 중인 가장 큰 분수 거듭제곱(한 손 분수 이진법의 경우 32, 양손의 경우 1024)으로 나누고 필요에 따라 분수를 간단히 하여 계산한다.
예를 들어, 왼손 엄지와 검지 손가락을 올리고 오른손은 손가락을 올리지 않으면 (512 + 256)/1024 = 768/1024 = 3/4가 된다. 한 손만 사용하는 경우(왼손 또는 오른손)에도 (16 + 8)/32 = 24/32 = 3/4가 된다.
간단화 과정은 비트 시프트 연산을 수행함으로써 크게 단순화될 수 있다. 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락의 오른쪽에 있는 모든 숫자(즉, 모든 후행 0)는 버려지고, 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락은 1의 자리로 취급된다. 숫자들은 이제 시프트된 값을 사용하여 함께 더해져 분자를 결정하고, 가장 오른쪽에 있는 손가락의 원래 값이 분모를 결정하는 데 사용된다.
예를 들어, 왼손의 엄지와 검지만이 올린 숫자인 경우, 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락(검지)은 "1"이 된다. 그 바로 왼쪽에 있는 엄지는 이제 2의 자리이다. 이 둘을 합하면 3이 된다. 검지의 원래 값(1/4)이 분모를 결정한다. 결과는 3/4이다.
결합된 정수와 분수 값(즉, 유리수)은 두 손가락 사이에 소수점을 설정함으로써 표현될 수 있다(예를 들어, 왼쪽 새끼손가락과 오른쪽 새끼손가락 사이). 소수점 왼쪽에 있는 모든 숫자는 정수이고, 오른쪽에 있는 숫자는 분수이다.
십진 분수와 상용 분수.
위에서 설명한 2진 분수는 십진수를 기반으로 하는 사회에서는 사용이 제한적이다. 1/3과 같은 간단한 비이진 분수는 341/1024(0.3330078125)로 근사될 수 있지만, 2진 분수와 십진 (0.333) 또는 상용 (1/3) 형식 간의 변환은 복잡하다.
대신, 십진 또는 상용 분수는 손가락 이진법으로 본래적으로 표현될 수 있다. 십진 분수는 일반적인 정수 이진법을 사용하여 결과를 10, 100, 1000 또는 다른 10의 거듭제곱으로 나눔으로써 표현될 수 있다. 0에서 102.3, 10.23, 1.023 등 사이의 숫자는 0.1, 0.01, 0.001 등의 증분으로 이런 방식으로 표현될 수 있다.
상용 분수는 한 손으로 분자를, 다른 손으로 분모를 나타냄으로써 표현될 수 있다. 이 방식으로는 1/31에서 31/1까지 (그리고 0도 포함) 다양한 범위의 유리수를 나타낼 수 있다.
손가락 삼진법.
이론적으로는 손가락의 다른 위치를 사용하여 두 가지 이상의 상태(0과 1)를 나타내는 것이 가능하다. 예를 들어, 삼진법 (기수 3)은 완전히 올린 손가락이 2를, 완전히 내린 손가락이 0을, 그리고 "구부린" (절반 내린) 손가락이 1을 나타내도록 하여 사용할 수 있다. 이렇게 하면 한 손으로 242 (35−1)까지, 양손으로는 59,048 (310−1)까지 셀 수 있다. 그러나 실제로는 많은 사람들이 두 가지 이상의 뚜렷한 위치에서 모든 손가락을 독립적으로 (특히 가운뎃손가락과 약손가락을) 잡기 어렵다고 느낄 것이다.
천안중앙시장은 충청남도 천안시에 위치한 전통시장이다. 교통의 변화가 일어나던 20세기에도 물류의 중심 수단으로 부상한 철도가 부설되면서 지리적인 이점은 유지되었다. 1905년 경부선, 1922년 장항선 등 철도가 지나면서 천안 시내에는 상점가가 형성되었고, 여러 곳에 시장이 개설되었다. 아우내장터라고 불리는 병천시장에서는 유관순 열사의 만세운동이 일어나기도 했다. 일제강점기인 1930년대 후반 천안 지역에는 모두 5개의 시장이 개설되어 있었다.
천안중앙시장은 1905년 경부선, 1922년 장항선 등 철도가 지나면서 천안 시내에는 상점가가 형성되었고, 여러 곳에 시장이 개설되었다. 아우내장터라고 불리는 병천시장에서는 유관순 열사의 만세운동이 일어나기도 했다. 일제강점기인 1930년대 후반 천안 지역에는 모두 5개의 시장이 개설되어 있었다. 1950년대 천안 시내의 중심지인 사직로와 천안역 주변에 노점 형태의 시장이 형성되었다.
1950년 ~ 1970년.
천안 시내는 한국전쟁 때 크게 파괴되었다. 전쟁을 복구하는 과정에서 천안의 중심인 사직로를 중심으로 시가지 도로변에 노점이 형성되었다. 1951년에 60여 개의 장옥이 형성되었고 차츰 늘어나서 노점과 장옥을 합쳐서 250여 개에 이를 정도로 성황을 이루었다. 전쟁이 끝나고 사회가 안정기에 접어들고 경제가 발전하자 인구가 증가하고 거래가 활발해지면서 노점이 난립해 있던 사직로에 시장의 모습이 형성되기 시작했다. 1960년대에 사직로의 시장은 장날이 되면 천안의 주민들뿐만 아니라 100리 이내에 있는 많은 사람들이 장을 찾아서 교통이 마비될 정도로 혼잡스러웠다.
1970년 ~ 2025년.
1970년대에 들어서 경부고속도로가 개통되고, 다른 도로들이 신설 또는 정비되면서 천안은 오히려 서울이나 대전의 상권에 잠식되기 시작했다. 그 때문에 1960년대보다 상권이 줄어들었다. 그 대신에 사직로에 형성되었던 노점과 장옥을 중심으로 한 정기시장이 중앙시장과 천일시장, 자유시장, 영성청과도매시장 등 4개의 상설시장으로 대체되면서 천안에 거주하는 주민들을 위한 생활밀착형 시장으로 변화했다. 2011년에는 남산중앙시장 일대가 천안시에 의해 전통 상업 보존 구역으로 지정되었다. 이에 따라 이 지역 내에 대형마트나 기업형 슈퍼마켓 등의 난립을 막아 남산중앙시장의 상권이 보호되고 있다.
사문서부정행사죄(私文書不正行使罪)는 타인의 권리·의무 또는 사실증명에 관한 문서(사문서)나 도화를 부정하게 행사함으로써 성립하는 대한민국의 범죄이다.
부정행사의 의미.
부정행사란 사용할 권한이 없는 사람이 문서 명의자인 것처럼 행세하여 사용하는 것, 또는 권한이 있더라도 문서의 본래 목적이 아닌 다른 용도로 사용하는 것을 뜻한다.
수학에서 은 항이 연속적인 2의 거듭제곱인 무한급수이다. 등비급수로서 첫 항은 1이고 공비는 2이다. 실수의 급수로서 무한대로 발산하므로, 일반적인 의미에서는 합이 없다. 그러나 이를 조작하여 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 도출할 수 있다. 예를 들어, 많은 합산 방법이 발산급수에도 수치 값을 할당하는 데 사용된다. 특히 이 급수의 라마누잔 합은 -1이며, 이는 2-진수 거리를 사용한 급수의 극한이다.
합산.
formula_1의 첫 formula_2개 항의 부분합은 다음과 같다.
이 부분합들의 수열 formula_4이 무한대로 발산하므로, 급수도 마찬가지로 발산한다. 따라서 세자로 합과 아벨 합을 포함한 모든 완전 정규 합산 방법은 합을 무한대로 산출한다. 반면에, formula_1을 유한 값인 -1로 합산하는 최소한 하나의 일반적으로 유용한 방법이 있다. 관련 멱급수
는 0 주변의 수렴 반지름이 오직 formula_7이므로 formula_8에서 수렴하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 이렇게 정의된 함수 formula_9는 점 formula_10이 제거된 복소평면으로의 유일한 해석적 연속을 가지며, 동일한 규칙 formula_11으로 주어진다. formula_12이므로, 원래 급수 formula_1는 (E) 합산으로 -1이 된다고 말하며, -1은 급수의 (E) 합이다. (이 표기는 레온하르트 오일러의 발산급수에 대한 접근 방식을 참조하여 G. H. 하디가 사용했다.)
거의 동일한 접근 방식(오일러 자신이 사용한 방식)은 모든 계수가 1인 멱급수를 고려하는 것이다. 즉,
에 formula_15를 대입하는 것이다. 이 두 급수는 formula_16라는 치환으로 관련되어 있다.
(E) 합산이 formula_1에 유한 값을 할당한다는 사실은 일반적인 방법이 완전히 정규적이지 않음을 보여준다. 반면에, 합산 방법으로서 안정성과 선형성을 포함하여 몇 가지 다른 바람직한 특성을 가지고 있다. 이 두 가지 후자의 공리는 실제로 합을 -1로 강제하는데, 다음 조작을 유효하게 만들기 때문이다.
유용한 의미에서, formula_19는 방정식 formula_20의 근이다. (예를 들어, formula_21는 리만 구에서 뫼비우스 변환 formula_22의 두 고정점 중 하나이다.) 어떤 합산 방법이 formula_23에 대해 일반적인 숫자(즉, formula_21가 아닌)를 반환하는 것으로 알려져 있다면, 쉽게 결정된다. 이 경우 formula_23를 방정식의 양변에서 빼면 formula_26가 되므로 formula_27이다.
위의 조작은 충분히 강력한 합산 절차의 맥락 밖에서 -1을 생성하도록 요청될 수 있다. 가장 잘 알려져 있고 직관적인 합 개념(기본적인 수렴 개념 포함)에 대해, 양항 급수가 음의 값을 가질 수 있다는 것은 부조리하다. 유사한 현상이 발산 등비급수 formula_28(그란디 급수)에서도 발생하는데, 여기서 정수의 급수가 정수가 아닌 합 formula_7을 가지는 것처럼 보인다. 이러한 예는 formula_30과 같은 순환 소수, 특히 formula_31와 같은 급수에 유사한 주장을 적용할 때 발생할 수 있는 잠재적 위험을 보여준다. 이러한 주장은 이러한 수렴급수에 대해 궁극적으로 정당화되며, formula_32 및 formula_33임을 의미하지만, 그 배경이 되는 증명은 끝없는 합의 해석에 대한 신중한 사고를 요구한다.
이 급수를 실수와는 다른 수 체계, 즉 2-진수에서 수렴하는 것으로 볼 수도 있다. 2-진수의 급수로서 이 급수는 위에서 해석적 연속으로 유도된 것과 동일한 합인 -1로 수렴한다.
항이 양의 정수인 무한급수 는 발산 급수이다. 이 급수의 n번째 부분합은 삼각수이다.
이는 n이 무한으로 갈수록 무한히 증가한다. 부분합의 수열이 유한한 극한으로 수렴하지 않으므로, 급수는 합을 갖지 않는다.
이 급수는 처음 보기에 아무런 의미 있는 값도 가지지 않는 것처럼 보이지만, 조작을 통해 여러 가지 수학적 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 많은 합 방법이 수학에서 발산 급수에도 수치적 값을 할당하는 데 사용된다. 특히, 제타 함수 조절과 라마누잔 합의 방법은 이 급수에 의 값을 할당하며, 이는 유명한 공식으로 표현된다.
여기서 좌변은 언급된 합 방법 중 하나를 사용하여 얻은 값으로 해석되어야 하며, 일반적인 의미의 무한급수의 합으로 해석되어서는 안 된다. 이 방법들은 복소해석학, 양자장론, 끈 이론과 같은 다른 분야에도 적용된다.
문샤인 이론에 대한 단행본에서 앨버타 대학교의 수학자 테리 개넌은 이 방정식을 "과학에서 가장 놀라운 공식 중 하나"라고 부른다.
급수 의 부분합은 등이다. n번째 부분합은 간단한 공식으로 주어진다.
이 방정식은 기원전 6세기 초 피타고라스 학파에게도 알려져 있었다. 이 형태의 숫자들은 정삼각형으로 배열될 수 있기 때문에 삼각수라고 불린다.
무한 삼각수 수열은 +∞로 발산하므로, 정의에 따라 무한급수 도 +∞로 발산한다. 이 발산은 급수 형태의 간단한 결과이다. 즉, 항들이 0으로 수렴하지 않으므로 항 판정법에 의해 급수는 발산한다.
합 가능성.
고전적인 발산 급수 중에서 는 유한한 값으로 조작하기 비교적 어렵다. 많은 합 방법이 발산 급수에 수치적 값을 할당하는 데 사용되며, 일부는 다른 것보다 더 강력하다. 예를 들어, 체사로 합은 그란디 급수, 즉 완만하게 발산하는 급수 를 로 합하는 잘 알려진 방법이다. 아벨 합은 그란디 급수를 로 합할 뿐만 아니라, 더 까다로운 급수 를 로 합하는 더 강력한 방법이다.
위의 급수와 달리 는 체사로 합 가능하지도, 아벨 합 가능하지도 않다. 이러한 방법들은 진동하는 발산 급수에는 작용하지만, +∞로 발산하는 급수에는 유한한 답을 내놓을 수 없다. 발산 급수의 합에 대한 더 기본적인 정의 대부분은 안정적이고 선형적이며, 안정적이면서 선형적인 어떤 방법도 를 유한한 값으로 합할 수 없다 . 제타 함수 조절 또는 라마누잔 합과 같은 더 고급 방법이 필요하다. 또한 이러한 방법들과 관련된 몇 가지 대략적인 휴리스틱스를 사용하여 의 값을 주장할 수도 있다.
휴리스틱스.
스리니바사 라마누잔은 첫 번째 공책의 8장에서 ""에 대한 두 가지 유도를 제시했다. 더 간단하고 덜 엄격한 유도는 다음과 같이 두 단계로 진행된다.
첫 번째 핵심 통찰은 양수 급수 가 교대급수 와 매우 유사하다는 것이다. 후자의 급수 역시 발산하지만, 다루기가 훨씬 쉽다. 18세기 이래로 탐구되어 온 이 급수에 값을 할당하는 여러 고전적인 방법들이 있다.
급수 를 로 변환하기 위해, 두 번째 항에서 4를 빼고, 네 번째 항에서 8을 빼고, 여섯 번째 항에서 12를 빼는 식으로 진행한다. 빼야 할 총량은 이며, 이는 원래 급수의 4배이다. 이러한 관계는 대수학을 사용하여 표현할 수 있다. 이 급수의 "합"이 무엇이든 간에, 이를 라고 하자. 그런 다음 이 방정식에 4를 곱하고 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺀다.
두 번째 핵심 통찰은 교대급수 가 x를 1로 설정했을 때 함수 의 형식적 멱급수 전개 (0 지점의 x에 대해)라는 것이다. 이는 로 표현된다. 따라서 라마누잔은 다음과 같이 썼다.
양변을 −3으로 나누면 c = 를 얻는다.
일반적으로 무한급수를 유한합처럼 조작하는 것은 옳지 않다. 예를 들어, 발산 급수에 임의의 위치에 0을 삽입하면 다른 방법들과 일관되지 않을 뿐만 아니라 자체적으로 일관되지 않는 결과를 얻을 수 있다. 특히, 단계는 덧셈 항등원 법칙만으로는 정당화되지 않는다. 극단적인 예로, 급수 맨 앞에 0을 하나 추가하면 다른 결과를 얻을 수 있다.
이러한 상황을 해결하고 0이 삽입될 수 있는 위치를 제한하는 한 가지 방법은 어떤 함수에 대한 의존성을 부여하여 급수의 각 항을 추적하는 것이다. 급수 에서 각 항 n은 단지 숫자이다. 항 n을 복소 변수 s에 의존하는 함수 n−s로 승격시키면, 같은 항끼리만 더해지도록 할 수 있다. 그 결과로 얻는 급수는 더 엄격한 방식으로 조작될 수 있으며, 변수 s는 나중에 −1로 설정될 수 있다. 이 전략의 구현을 제타 함수 조절이라고 한다.
제타 함수 조절.
제타 함수 조절에서 급수 formula_6는 급수 formula_7로 대체된다. 후자의 급수는 디리클레 급수의 예이다. 의 실수 부분이 1보다 클 때, 디리클레 급수는 수렴하고 그 합은 리만 제타 함수 이다. 반면에, 의 실수 부분이 1보다 작거나 같을 때 디리클레 급수는 발산하므로, 특히 로 설정하여 얻는 급수 는 수렴하지 않는다. 리만 제타 함수를 도입하는 이점은 해석적 연속을 통해 의 다른 값에 대해서도 정의될 수 있다는 것이다. 그러면 의 제타-정규화된 합을 로 정의할 수 있다.
이 시점부터 임을 증명하는 몇 가지 방법이 있다. 오일러의 추론 방식에 따른 한 가지 방법은 리만 제타 함수와 디리클레 에타 함수 사이의 관계를 사용한다. 에타 함수는 교대 디리클레 급수로 정의되므로, 이 방법은 앞선 휴리스틱스와 유사하다. 두 디리클레 급수가 모두 수렴하는 경우, 다음과 같은 항등식을 갖는다.
항등식 formula_9는 두 함수가 해석적 연속으로 확장되어 위의 급수가 발산하는 의 값들을 포함할 때에도 계속 유효하다. 을 대입하면 를 얻는다. 이제 을 계산하는 것은 더 쉬운 작업인데, 에타 함수는 정의하는 급수의 아벨 합과 같기 때문이다. 이는 일방 극한이다.
양변을 −3으로 나누면 를 얻는다.
절단 조절.
절단 함수를 사용한 조절 방법은 급수를 "평활화"하여 를 얻을 수 있다. 평활화는 복소해석학에 의존하는 제타 함수 조절과 오일러-매클로린 공식으로 가는 지름길을 사용하는 라마누잔 합 사이의 개념적 다리이다. 대신 이 방법은 실해석학의 방법을 사용하여 급수의 보존적인 변환에 직접 작용한다.
아이디어는 잘 정의되지 않은 이산 급수 formula_11를 평활화된 버전으로 대체하는 것이다.
여기서 f는 적절한 속성을 가진 절단 함수이다. 절단 함수는 로 정규화되어야 한다. 이는 미분 방정식에서 사용되는 정규화와는 다르다. 절단 함수는 급수의 불규칙성을 평활화할 만큼 충분히 유계된 미분 계수를 가져야 하며, 급수가 증가하는 것보다 빠르게 0으로 감소해야 한다. 편의상, 가 매끄럽고, 유계이며, 콤팩트하게 지지된다고 요구할 수 있다. 그러면 이 평활화된 합이 에 점근한다는 것을 증명할 수 있으며, 여기서 는 에 의존하는 상수이다. 점근 전개의 상수항은 에 의존하지 않는다. 즉, 해석적 연속에 의해 주어지는 값과 반드시 동일하다. .
라마누잔 합.
의 라마누잔 합 또한 이다. 라마누잔은 1913년 2월 27일 고드프리 해럴드 하디에게 보낸 두 번째 편지에서 다음과 같이 썼다.
라마누잔 합은 급수의 부분합에 대한 오일러-매클로린 공식에서 상수항을 분리하는 방법이다. 함수 에 대해 급수 formula_13의 고전적인 라마누잔 합은 다음과 같이 정의된다.
여기서 는 의 (2k − 1)번째 미분 계수이고 는 (2k)번째 베르누이 수이다. 즉, , 등이다. 로 설정하면 의 첫 번째 미분 계수는 1이고 다른 모든 항은 사라지므로
불일치를 피하기 위해 라마누잔 합의 현대 이론은 가 오일러-매클로린 공식의 나머지 항들이 0으로 수렴할 만큼 의 고차 도함수가 충분히 빨리 감소한다는 의미에서 "정칙적"이어야 한다고 요구한다. 라마누잔은 이 속성을 암묵적으로 가정했다. 정칙성 요구 사항은 와 같이 이격된 급수에 라마누잔 합을 사용하는 것을 방지하는데, 이는 정칙 함수가 그러한 값을 가질 수 없기 때문이다. 대신 그러한 급수는 제타 함수 조절에 의해 해석되어야 한다. 이러한 이유로 하디는 알려진 급수의 라마누잔 합을 관련 급수의 합을 찾는 데 적용할 때 "매우 주의"할 것을 권고한다.
안정 선형 합 방법의 실패.
선형적이고 안정적인 합 방법은 급수 를 어떤 유한한 값으로도 합할 수 없다. (안정적이라는 것은 급수 맨 앞에 항을 추가하면 합이 추가된 항의 값만큼 증가한다는 의미이다.) 이는 다음과 같이 알 수 있다. 만약
이라면 양변에 0을 더하면 안정성에 의해
이 된다. 선형성에 의해, 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에서 뺄 수 있다 (두 번째 줄의 각 구성 요소를 첫 번째 줄의 해당 열에서 빼는 방식). 그러면
양변에 다시 0을 더하면
이 되고, 마지막 두 급수를 빼면
이 되어 안정성에 모순된다.
따라서 급수 에 유한한 값을 부여하는 모든 방법은 안정적이지 않거나 선형적이지 않다.
보손 끈 이론에서는 끈의 가능한 에너지 준위, 특히 최저 에너지 준위를 계산하려고 시도한다. 비공식적으로 말하면, 끈의 각 고조파는 각 횡 방향에 대해 하나씩, 총 개의 독립적인 양자 조화 진동자들의 모음으로 볼 수 있으며, 여기서 는 시공간의 차원이다. 만약 기본 진동 주파수가 라면, n번째 고조파에 기여하는 진동자의 에너지는 이다. 따라서 발산 급수를 사용하면 모든 고조파의 합은 가 된다. 궁극적으로 이 사실과 고다르-손 정리가 결합되어 보손 끈 이론이 26차원 이외의 차원에서는 일관적이지 않게 되는 이유가 된다.
의 조절은 1차원 스칼라장에 대한 을 계산하는 데에도 관련이 있다. 지수 절단 함수는 급수를 평활화하기에 충분하며, 이는 임의로 높은 에너지 모드가 전도성 판에 의해 차단되지 않는다는 사실을 나타낸다. 문제의 공간 대칭성은 전개의 이차 항을 상쇄하는 역할을 한다. 남은 것은 상수항 −1/12뿐이며, 이 결과의 음수 부호는 카시미르 힘이 인력이라는 사실을 반영한다.
유사한 계산이 3차원에서도 수행되며, 리만 제타 함수 대신 에프슈타인 제타 함수를 사용한다.
레온하르트 오일러가 이 급수를 로 합했는지는 불분명하다. 모리스 클라인에 따르면, 오일러의 발산 급수에 대한 초기 연구는 함수 전개에 의존했으며, 이를 통해 라고 결론지었다. 레이먼드 아이유브에 따르면, 발산하는 제타 급수가 아벨-합 가능하지 않다는 사실 때문에 오일러는 에타 함수만큼 제타 함수를 자유롭게 사용할 수 없었으며, 이 급수에 "의미를 부여할 수 없었다"고 한다. 다른 저자들은 오일러에게 이 합의 공로를 돌리며, 오일러가 제타 함수와 에타 함수 사이의 관계를 음의 정수로 확장했을 것이라고 제안한다. 주요 문헌에서 급수 는 오일러의 1760년 저작 에서 발산하는 등비급수 와 함께 언급된다. 오일러는 이 유형의 급수가 유한하고 음수인 합을 가진다고 암시하며, 등비급수에 대해 이것이 무엇을 의미하는지 설명하지만, 에 대해서는 다시 논하지 않는다. 같은 저작에서 오일러는 의 합이 무한하다고 썼다.
데이비드 리빗의 2007년 소설 디 인디언 클러크에는 하디와 존 이든저 리틀우드가 이 급수의 의미를 논하는 장면이 포함되어 있다. 그들은 라마누잔이 을 재발견했다고 결론짓고, 그의 두 번째 편지에 있는 "정신병원"이라는 구절을 라마누잔이 그들과 장난치는 신호로 받아들인다.
사이먼 맥버니의 2007년 연극 어 디서피어링 넘버는 도입부에서 이 급수에 초점을 맞춘다. 주인공 루스는 강의실로 걸어 들어가 발산 급수의 개념을 소개한 다음, "정말 스릴 넘치는 것을 보여주겠다"고 선언하며 를 제시한다. 루스가 제타 함수의 함수 방정식 유도에 착수하는 동안, 다른 배우가 관객에게 자신들이 배우임을 인정하며 "하지만 수학은 진짜입니다. 무섭지만, 진짜입니다"라고 말한다.
2014년 1월, 넘버파일은 이 급수에 대한 유튜브 영상을 제작했으며, 첫 한 달 동안 150만 조회수를 기록했다. 8분짜리 영상은 노팅엄 대학교의 물리학자 토니 파딜라가 해설한다. 파딜라는 와 로 시작하여 후자를 라마누잔의 주장과 유사한 항별 뺄셈을 사용하여 와 연결한다. 넘버파일은 또한 노팅엄 물리학자 에드먼드 코플랜드가 출연하여 가 아벨 합으로, 가 로 어떻게 되는지 더 자세히 설명하는 21분짜리 버전의 영상을 공개했다. 첫 번째 영상의 엄밀성 부족에 대한 불만을 접수한 후, 파딜라는 자신의 웹페이지에 영상의 조작을 해당 디리클레 급수의 해석적 연속 사이의 항등식과 관련시키는 설명을 작성했다.
뉴욕 타임스의 넘버파일 영상 보도에서 수학자 에드워드 프렌켈은 다음과 같이 논평했다. "이 계산은 수학에서 가장 잘 지켜진 비밀 중 하나입니다. 외부 사람들은 아무도 이것을 모릅니다."
스미스소니언 매거진의 이 주제에 대한 보도는 넘버파일 영상이 오해의 소지가 있다고 설명하며, 합을 로 해석하는 것이 해석적 연속 기술에서 "같다"는 것이 "관련되어 있다"는 의미를 가지는 특수한 의미의 등호에 의존한다고 지적한다. 넘버파일 영상은 2018년 독일 수학자 부르카르트 폴스터의 Mathologer 유튜브 채널에서도 비슷한 이유로 비판받았으며, 그의 영상은 2023년까지 270만 조회수를 기록했다.
수학에서 는 , , 또는 단순히 로도 쓰이며, 발산 급수이다. 그럼에도 불구하고, 특히 물리학에서는 이 값이 인 것으로 간주되기도 한다. 이 값은 제타 함수 조절을 포함하여 발산 급수에서 값을 얻는 특정 수학적 방법을 통해 정당화될 수 있다.
발산 급수로서.
는 부분합의 수열이 실수에서 극한으로 수렴하지 않는다는 의미의 발산 급수이다.
수열 1은 공비 1을 갖는 등비급수로 생각할 수 있다. 공비가 −1인 그란디 급수와 공비가 2인 급수 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯를 포함한 다른 발산 등비급수의 경우, 밑이 1이고 공비가 인 등비급수의 합에 대한 일반 해를 사용하여 를 얻을 수 있지만, 이 합산 방법은 에는 적용되지 않으며, 0으로 나누기를 발생시킨다.
그란디 급수와 함께, 이것은 유리수 공비를 가지며 실수 및 모든 P진수 시스템에서 발산하는 두 가지 등비급수 중 하나이다.
확장된 실수의 맥락에서
부분합의 수열이 단조적으로 무한히 증가하기 때문이다.
이론물리학 응용에서 의 합이 나타날 때, 이는 때때로 제타 함수 조절에 의해 리만 제타 함수의 에서의 값으로 해석될 수 있다.
위에 제시된 두 공식은 0에서는 유효하지 않지만, 해석적 연속은 다음과 같다.
이를 사용하여 (임을 감안할 때) 다음을 얻는다.
여기서 의 에서의 멱급수 확장은 가 그곳에서 유수 1의 단순 극점을 가지기 때문에 성립한다. 이러한 의미에서 이다.
에밀리오 엘리살데는 이 급수의 제타 함수 조절이 물리학에서 중요함을 시사하며, 이 급수에 대한 다른 사람들의 의견을 다음과 같이 제시한다.
수학에서 무한급수 는 다음과 같이도 표기된다.
이것은 1703년 이 급수에 대한 기억에 남을 만한 연구를 한 이탈리아의 수학자, 철학자, 사제 귀도 그란디의 이름을 따서 때때로 그란디 급수(Grandi's series)라고 불린다. 이 급수는 발산 급수이며, 이는 급수의 부분합 수열이 수렴하지 않는다는 것을 의미한다.
그러나 이 급수는 발산하지만, 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 도출하도록 조작될 수 있다. 예를 들어, 많은 합 방법이 수학에서 발산 급수에도 수치 값을 할당하는 데 사용된다. 예를 들어, 이 급수의 체사로 합과 라마누잔 합은 모두 이다.
비엄격한 방법.
의 합을 찾는 한 가지 명확한 방법은 이 급수를 망원급수처럼 취급하여 그 자리에서 뺄셈을 수행하는 것이다.