shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
실수가 다른 많은 체와 달리 순서체를 구성한다는 사실은 에 방향 구조를 제공한다. 에서 자기 자신으로 가는 모든 전계수 선형 사상은 행렬의 행렬식의 부호에 따라 공간의 방향을 보존하거나 반전시킨다. 좌표를 순열시키면 (또는 다른 말로, 기저의 원소를 순열시키면), 결과 방향은 순열의 패리티에 따라 달라진다.
또는 그 영역의 미분동형사상은 영 야코비 행렬을 피하는 특성 때문에 방향 보존 및 방향 반전으로 분류된다. 이는 미분 형식 이론에 중요한 결과를 가져오며, 그 응용에는 전자기학이 포함된다.
이 구조의 또 다른 발현은 에서의 점대칭이 의 짝수 여부에 따라 다른 속성을 갖는다는 것이다. 짝수 의 경우 방향을 보존하지만, 홀수 의 경우 방향이 반전된다(부정 회전 참조).
아핀 공간으로 이해되는 은 동일한 공간이며, 여기서 벡터 공간으로서의 은 작용을 통해 평행 이동에 의해 작용한다. 반대로, 벡터는 "두 점 사이의 차이"로 이해되어야 하며, 일반적으로 두 점을 연결하는 방향성 선분으로 설명된다. 이 구분은 아핀 -공간에서 원점이 어디로 가야 하는지에 대한 표준 형식 선택이 없다는 것을 의미한다. 왜냐하면 어디로든 평행 이동될 수 있기 때문이다.
과 같은 실수 벡터 공간에서 벡터의 모든 비음 선형 결합을 포함하는 볼록 원뿔을 정의할 수 있다. 아핀 공간에서 대응하는 개념은 볼록 집합으로, 볼록 조합(합이 1인 비음 선형 결합)만 허용한다.
보편대수학의 언어로, 벡터 공간은 유한 벡터 합에 해당하는 계수의 유한 시퀀스로 구성된 유한 차원 벡터 공간 에 대한 대수이고, 아핀 공간은 이 공간(합이 1인 유한 시퀀스)의 보편 아핀 초평면에 대한 대수이며, 원뿔은 보편 직사분면(비음수의 유한 시퀀스)에 대한 대수이고, 볼록 집합은 보편 단체(합이 1인 비음수의 유한 시퀀스)에 대한 대수이다. 이는 "좌표에 대한 (가능한) 제한이 있는 합"의 관점에서 공리들을 기하학화한다.
볼록 해석학의 또 다른 개념은 에서 실수로 가는 볼록 함수로, 점의 볼록 조합에서 함수 값과 해당 점에서 동일한 계수를 가진 값의 합 사이의 부등식을 통해 정의된다.
스칼라곱
는 벡터 공간 에 노름 를 정의한다. 모든 벡터가 유클리드 노름을 갖는다면, 임의의 두 점 쌍에 대해 거리
가 정의되어, 아핀 구조 외에 에 거리 공간 구조를 제공한다.
벡터 공간 구조와 마찬가지로, 스칼라곱과 유클리드 거리는 특별한 설명 없이 에 존재한다고 일반적으로 가정된다. 그러나 실수 -공간과 유클리드 -공간은 엄밀히 말하면 별개의 객체이다. 모든 유클리드 -공간은 위에서 보여진 형태의 스칼라곱과 유클리드 거리를 갖는 좌표계를 가지며, 이를 데카르트 좌표계라고 부른다. 그러나 유클리드 공간에는 많은 데카르트 좌표계가 존재한다.
반대로, 유클리드 거리에 대한 위 공식은 에 대한 표준 유클리드 구조를 정의하지만, 유일한 가능한 구조는 아니다. 사실, 모든 양의 정부호 이차 형식 는 자체적인 "거리" 를 정의하지만, 이는 유클리드 거리와 크게 다르지 않다. 왜냐하면
이러한 거리 함수의 변경은 완비 거리 공간이라는 속성과 같은 일부 속성을 보존한다.
이는 또한 의 모든 전계수 선형 변환 또는 그 아핀 변환이 거리를 고정된 이상으로 확대하지 않고, 고정된 유한 수 배보다 작게 만들지 않는다는 것을 의미한다.
위에서 언급된 거리 함수의 등가성은 가 로 대체될 때에도 유효하며, 여기서 은 차수 1의 임의의 볼록 양의 동차함수, 즉 벡터 노름이다(민코프스키 거리의 유용한 예시 참조). 의 어떤 "자연적인" 거리도 유클리드 거리와 특별히 다르지 않다는 사실 때문에, 은 전문적인 수학 연구에서도 유클리드 -공간과 항상 구별되지 않는다.
대수기하학과 미분기하학에서.
다양체의 정의가 모델 공간이 이어야 한다고 요구하지는 않지만, 이 선택은 미분기하학에서 가장 일반적이며 거의 유일한 선택이다.
다른 한편으로, 휘트니 매장 정리는 모든 실수 미분 가능 -차원 다양체가 에 매장될 수 있다고 말한다.
다른 출현.
에서 고려되는 다른 구조로는 유사 유클리드 공간, 심플렉틱 구조(짝수 ), 접촉 구조(홀수 )가 있다. 이러한 모든 구조는 좌표가 없는 방식으로 정의될 수 있지만, 좌표에서는 표준(및 합리적으로 단순한) 형태를 허용한다.
은 또한 의 실수 벡터 부분 공간이며 복소 공액에 대해 불변이다. 복소화도 참조하라.
Rn에서의 다포체.
공간에는 임의의 에 대해 단순한 표현을 갖는 세 가지 종류의 다포체가 있으며, 이는 실수 -공간의 모든 아핀 좌표계를 시각화하는 데 사용될 수 있다. 초입방체의 꼭짓점은 좌표를 가지며, 여기서 각 는 일반적으로 0 또는 1의 두 값 중 하나를 취한다. 그러나 0과 1 대신 임의의 두 수를 선택할 수 있는데, 예를 들어 −1과 1이 있다. -초입방체는 실수선 위의 개의 동일한 구간(예: 단위 구간 )의 데카르트 곱으로 생각될 수 있다. -차원 부분집합으로서는 개의 부등식 시스템으로 설명될 수 있다.
의 경우:
정축체의 각 꼭짓점은 어떤 에 대해 좌표가 ±1이고 다른 모든 좌표는 0이다(부호를 제외하고는 번째 표준 기저 벡터와 같다). 이는 초입방체의 쌍대 다포체이다. -차원 부분집합으로서는 절댓값 연산을 사용하는 단일 부등식으로 설명될 수 있다.
그러나 이는 개의 선형 부등식 시스템으로도 표현될 수 있다.
좌표를 간단히 나열할 수 있는 세 번째 다포체는 표준 단체 (수학)로, 꼭짓점은 개의 표준 기저 벡터와 원점 이다. -차원 부분집합으로서는 개의 선형 부등식 시스템으로 설명된다.
모든 "≤"를 "&lt;"로 바꾸면 이들 다포체의 내부가 된다.
위상적 성질.
의 위상 구조(표준 위상, 유클리드 위상 또는 보통 위상이라고 불림)는 데카르트 곱에서 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 위에서 논의된 유클리드 거리에 의해 유도되는 자연 위상과도 동일하다. 즉, 유클리드 위상에서 열린집합은 모든 점 주위에 열린 공을 포함할 때만 열린집합이다. 또한, 은 위상 벡터 공간이며, 그 선형 구조와 양립하는 가능한 (비자명한) 위상은 오직 하나뿐이다. 에서 자기 자신으로 가는 많은 열린 선형 사상 중에서 등거리변환이 아닌 것이 많기 때문에, 동일한 위상에 해당하는 많은 유클리드 구조가 에 존재할 수 있다. 실제로는 선형 구조에 크게 의존하지 않는다. 자신 또는 유클리드 열린 공이나 초입방체의 내부와 같은 그 부분에 대한 많은 비선형 미분동형사상(및 다른 위상동형사상)이 존재한다.
은 위상 차원 을 갖는다.
의 위상에 대한 중요하고 피상적이지 않은 결과는 브라우어의 영역 불변성 정리이다. 의 부분집합(부분공간 위상을 가짐)이 의 다른 열린 부분집합과 위상동형이면 그 자체로 열려 있다. 이 정리의 즉각적인 결과는 일 때 이 과 위상동형이 아니라는 것이다. 이는 직관적으로 "명백한" 결과이지만 증명하기는 어렵다.
위상 차원의 차이에도 불구하고, 그리고 순진한 인식과는 달리, 더 낮은 차원의 실수 공간을 으로 연속적으로 그리고 전사적으로 매핑하는 것이 가능하다. 연속적인 (비록 매끄럽지는 않지만) 공간 채움 곡선( 의 이미지)이 가능하다.
n ≤ 1.
의 경우는 새로운 것을 제공하지 않는다. 은 실직선이고, (빈 열 벡터를 포함하는 공간)은 한원소 집합이며, 영 벡터 공간으로 이해된다. 그러나 이러한 경우를 다양한 을 설명하는 이론의 자명한 사례로 포함하는 것이 유용하다.
n = 2.
x와 y가 실수인 (x,y)의 경우는 데카르트 평면 P로 발전했다. P에서 방향이 있는 선분을 나타내는 유클리드 벡터로 추가 구조가 부착되었다. 이 평면은 또한 실수 체 formula_19에 X2 + 1 = 0의 근을 추가하여 체의 확대 formula_20로 발전했다. 근 i는 P에 시계 반대 방향으로 4분 회전으로 작용한다. 이 근은 군 formula_21를 생성한다. (x,y)가 x + y i로 쓰여질 때, 그것은 복소수이다.
작용소가 j로 표현된 formula_22에 의한 또 다른 군의 작용은 평면 (x,y) ↦ (y,x)를 뒤집는 대합을 위해 y=x 선을 사용하는데, 이는 좌표의 교환이다. 이 경우 P의 점들은 x + y j로 쓰여지고 분할복소수라고 불린다. 이 수들은 성분별 덧셈과 jj=+1에 따른 곱셈으로 환을 형성하지만, 체는 아니다.
P에 대한 또 다른 환 구조는 멱영원 e를 사용하여 (x,y)를 x + y e로 쓴다. P에 대한 e의 작용은 평면을 선으로 축소시킨다. 이는 x-좌표로의 사영으로 분해된 다음, 결과를 y-축으로 4분 회전시키는 것으로 볼 수 있다. e (x + y e) = x e (e2 = 0이므로). x + y e는 이원수 (수학)이다. 이원수는 환을 형성하지만, e는 곱셈 역원이 없으므로 군을 생성하지 않아 작용은 군 작용이 아니다.
P에서 (0,0)을 제외하면 [x : y]는 사영 좌표가 되며, 이는 실수 사영선을 나타내는 1차원 공간이다. 원점이 제외되었으므로 x/y와 y/x 중 적어도 하나는 존재한다. 그러면 [x : y] = [x/y : 1] 또는 [x : y] = [1 : y/x]이다. 사영선 P1(R)은 두 개의 좌표 차트, [z : 1] → z 또는 [1 : z] → z로 덮이는 위상 다양체이며, 이는 아틀라스를 형성한다. 두 차트에 모두 덮이는 점의 경우, 전이 함수는 점의 열린 근방에서 곱셈 역함수이며, 이는 다양체에서 필요한 위상동형사상을 제공한다. 실수 사영선의 한 응용은 케일리-클라인 기하학에서 찾을 수 있다.
는 각 가 0 또는 1 중 하나인 16개의 점 이 정팔포체 (그림)의 꼭짓점이라는 사실을 사용하여 상상할 수 있다(위 참조).
의 첫 번째 주요 사용은 시공간 모델이다. 세 개의 공간 좌표와 하나의 시간 좌표이다. 이는 일반적으로 상대성이론과 관련되어 있지만, 갈릴레오 이후로 4차원이 그러한 모델에 사용되었다. 그러나 이론의 선택은 다른 구조로 이어진다. 갈릴레오 상대론에서는 좌표가 특권화되지만, 아인슈타인의 상대론에서는 그렇지 않다. 특수 상대론은 민코프스키 공간에서 설정된다. 일반 상대론은 대부분의 실용적인 목적을 위해 곡선 계량을 가진 로 생각될 수 있는 곡선 공간을 사용한다. 이러한 구조 중 어느 것도 에 (양의 정부호) 거리를 제공하지 않는다.
유클리드 도 수학자들의 관심을 끈다. 예를 들어, 4차원 실수 대수인 사원수와의 관계 때문이다. 자세한 내용은 4차원 유클리드 공간에서의 회전을 참조하라.
미분기하학에서 는 이 비표준 미분 구조를 허용하는 유일한 경우이다. 별난 4차원 유클리드 다양체를 참조하라.
상의 노름.
벡터 공간 에는 많은 노름을 정의할 수 있다. 몇 가지 일반적인 예는 다음과 같다.
정말 놀랍고 유용한 결과는 에 정의된 모든 노름이 동등하다는 것이다. 이는 에 대한 임의의 두 노름 formula_31과 formula_32에 대해 항상 양의 실수 formula_33를 찾을 수 있다는 것을 의미한다.
formula_34 모든 formula_35에 대해.
이는 에 대한 모든 노름 집합에 대한 동치 관계를 정의한다. 이 결과로 의 벡터 시퀀스가 formula_31에 대해 수렴하는지 여부가 formula_32에 대해 수렴하는지 여부와 동일하다는 것을 확인할 수 있다.
다음은 이 결과의 증명이 어떻게 생겼는지에 대한 스케치이다.
동치 관계 때문에 의 모든 노름이 유클리드 노름 formula_38와 동등하다는 것을 보이는 것으로 충분하다. 에 대한 임의의 노름을 formula_31이라고 하자. 증명은 두 단계로 나뉜다.
여기서 formula_46.
왜냐하면 formula_62이고 formula_63이므로 formula_64이다. 이는 formula_65을 의미하므로 formula_66이다. 다른 한편으로 formula_59인데, 왜냐하면 formula_68이기 때문이다. 이는 절대로 참이 될 수 없으므로 가정이 거짓이었고, 그러한 formula_49가 존재한다.
GE 시큐리티()는 제너럴 일렉트릭의 GE 엔터프라이즈 솔루션즈 사업부였다. 2010년 3월 1일 UTC에 인수되어 UTC Fire &amp; Security의 일부가 되었다. GE Security 사업부는 침입 경보 시스템, 통합 보안 시스템, 화재 시스템, 접근 제어, 비디오 감시, 폭발물 및 불법 약물 탐지, 키 제어/락박스, 광섬유 전송, 기계 경비 등을 제공했다. GE 시큐리티는 브레이든턴에 본사를 두었다.
GE 시큐리티는 주로 기업, 조직 및 정부를 대상으로 했지만, GE 시큐리티의 제품은 거주자 및 소규모 사업체 모두에게 제공되었다. GE Security는 다양한 감지 시스템 제품군, 웹 기반 감시 시스템, 휴대용 및 통과형 폭발물/마약 포털과 같은 항공 보안 제품을 포함했다. 제너럴 일렉트릭의 많은 화재 시스템은 2005년 5월 SPX 코퍼레이션으로부터 애드워드 시스템스 테크놀로지를 인수한 데서 비롯되었다.
2009년 11월 12일, GE 시큐리티는 유나이티드 테크놀로지스와 UTC가 GE의 보안 사업을 18억 2천만 달러에 인수하는 최종 계약을 체결했다고 발표했다. 이 거래는 양사 이사회에서 승인되었으며, 2010년 3월 1일에 매각이 완료되었다. 2020년 UTC와 레이시온의 합병 이후, GE Security의 잔여 사업은 캐리어 글로벌의 일부가 되었다.
GE는 소비자들에게 GE 시큐리티 가정 보안 제품과 관련된 사기에 대해 경고했는데, 텔레마케터와 방문 판매원이 GE 시큐리티를 위해 일한다고 거짓말을 하며 가정 보안 시스템을 판매하려고 시도하지만, GE는 2016년 이후 어떠한 가정 보안 장비도 제조, 판매 또는 마케팅하지 않았다.
GE는 1896년 새로 출범한 다우 존스 지수에 상장된 12개 회사 중 하나였으며, 2018년까지 지수에 남아있던 유일한 회사였다. 2018년 6월 26일, GE는 111년간의 회원 자격을 마치고 다우 존스 지수에서 퇴출되었다.
댄 히스(영어: Dan Heath)는 미국의 저술가이자 연설가로, 듀크 대학교 푸쿠아 경영대학원의 사회적기업진흥센터(CASE) 선임연구원이다. 텍사스 대학교 오스틴 플랜 II 명예프로그램 학사와 하버드 경영대학원 MBA를 취득했다. 형제 치프 히스(Chip Heath)와 함께 《메이드 투 스틱》, 《스위치》, 《디사이시브》, 《순간의 힘》을 공저했고, 단독 저서로 《업스트림》(2020)과 《리셋》(2025)을 출간했다. 히스의 저서는 전 세계 35개 언어로 번역되었고 누적 판매 400만 부를 넘겼다.
히스는 교육·조직·정책 현장에서 ‘아이디어가 왜 기억에 남는가’와 ‘변화가 왜 어려운가’라는 문제의식으로 저술과 현장 프로그램을 병행해왔다. 하버드 경영대학원에서 연구원·사례 작성자로 근무한 뒤 1997년 텍사스 오스틴에서 온라인 교재 기업 씽크웰(Thinkwell)을 공동 설립해 디지털 교과서 모델을 실험했다. 이후 듀크 CASE에서 ‘체인지 아카데미(Change Academy)’를 설계·운영하며 사회부문 리더의 실행 역량을 강화하는 교육을 제공하고 있다.
칼럼·미디어.
히스 형제는 2000년대 후반부터 2010년대 초반까지 《패스트 컴퍼니》의 ‘Made to Stick’ 코너에서 정기 칼럼과 북 익스서프트를 실었다. 2018년에는 행동경제학 팟캐스트 〈초이솔로지(Choiceology)〉 시즌 1 진행을 맡았고, 2023년부터는 직업 세계를 탐구하는 인터뷰 팟캐스트 〈What It's Like To Be…〉를 시작했다.
히스는 노스캐롤라이나주 더럼에 거주한다. 저술 외에도 사회부문 조직, 기업, 공공기관과의 강연·워크숍을 통해 변화관리·의사결정·서비스 경험 설계를 주제로 활동한다.
선형대수학에서 좌표 벡터()는 특정 정렬 기저의 관점에서 벡터를 설명하는 정렬된 숫자 목록(튜플)으로 벡터를 나타낸 것이다. 쉬운 예는 기저가 시스템의 축인 3차원 데카르트 좌표계에서 (5, 2, 1)과 같은 위치이다. 좌표는 항상 정렬된 기저에 상대적으로 지정된다. 기저 및 관련 좌표 표현은 벡터 공간과 선형 변환을 열 벡터, 행 벡터, 행렬로 구체적으로 실현하게 하므로 계산에 유용하다.
좌표 벡터의 개념은 아래에서 다루는 무한 차원 벡터 공간에도 사용될 수 있다.
F를 체로 하고 V를 F 위의 차원 n인 벡터 공간이라고 하자.
를 V의 정렬 기저라고 하자. 그러면 모든 formula_2에 대해 formula_3와 같은 기저 벡터의 고유한 선형 결합이 존재한다.
B에 대한 formula_3의 좌표 벡터는 좌표의 수열이다.
이를 B에 대한 formula_3의 표현 또는 formula_3의 B 표현이라고도 한다. formula_9는 formula_3의 좌표라고 불린다. 기저의 순서는 여기에서 중요해지는데, 좌표 벡터에 계수들이 나열되는 순서를 결정하기 때문이다.
유한 차원 벡터 공간의 좌표 벡터는 행렬로 열 벡터 또는 행 벡터로 나타낼 수 있다. 위 표기법에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 formula_13는 행렬 formula_14의 전치 행렬이다.
표준 표현.
모든 벡터를 그 좌표 표현으로 바꾸는, B에 대한 V의 표준 표현이라 불리는 함수 formula_15를 정의함으로써 위 변환을 자동화할 수 있다. formula_16이다. 그러면 formula_15는 V에서 Fn으로의 선형 변환이다. 사실, 이것은 동형 사상이며 그 역함수 formula_18는 단순히 다음과 같다.
대안적으로, 우리는 formula_20를 처음부터 위의 함수로 정의하고, formula_20가 동형 사상임을 깨달은 다음, formula_15를 그 역함수로 정의할 수도 있었다.
formula_23를 차수가 최대 3인 모든 대수적 다항식의 공간(즉, x의 최고 지수가 3일 수 있음)이라고 하자. 이 공간은 선형이며 다음 다항식으로 스팬된다.
다음과 일치한다.
그러면 다항식에 해당하는 좌표 벡터는 다음과 같다.
이 표현에 따르면, D로 표시할 미분 연산자 d/dx는 다음 행렬로 표현된다.
이 방법을 사용하면 가역성, 에르미트성 또는 반에르미트성 또는 둘 다 아님, 스펙트럼 및 고유값 등과 같은 연산자의 속성을 쉽게 탐색할 수 있다.
파울리 행렬은 스핀 고유 상태를 벡터 좌표로 변환할 때 스핀 연산자를 나타낸다.
기저 변환 행렬.
B와 C가 벡터 공간 V의 두 가지 다른 기저라고 하자. 그리고 formula_29를 기저 벡터 b1, b2, …, bn의 C 표현으로 구성된 열을 가진 행렬이라고 하자.
이 행렬을 B에서 C로의 기저 변환 행렬이라고 한다. 이것은 formula_31에 대한 자기 동형 사상으로 간주될 수 있다. B로 표현된 모든 벡터 v는 다음과 같이 C로 표현될 수 있다.
기저 변환에서, 변환 행렬 M의 위첨자와 좌표 벡터 v의 아래첨자가 같고, 마치 상쇄되는 것처럼 보이지만, 이러한 상쇄나 유사한 수학적 연산이 실제로 일어나는 것은 아니라는 점에 유의해야 한다.
행렬 M은 가역행렬이며 M−1은 C에서 B로의 기저 변환 행렬이다. 다시 말해,
V가 체 F에 대한 무한 차원 벡터 공간이라고 가정하자. 차원이 κ이면 V에 대한 κ개의 원소로 된 어떤 기저가 존재한다. 순서가 선택되면 기저는 정렬된 기저로 간주될 수 있다. V의 원소는 기저 원소의 유한 선형 결합이며, 이는 앞에서 설명한 것과 똑같이 고유한 좌표 표현을 생성한다. 유일한 변화는 좌표의 인덱스 집합이 유한하지 않다는 것이다. 주어진 벡터 v는 기저 원소의 유한 선형 결합이므로, v의 좌표 벡터의 0이 아닌 항목은 v를 나타내는 선형 결합의 0이 아닌 계수뿐이다. 따라서 v의 좌표 벡터는 유한한 수의 항목을 제외하고는 0이다.
(가능하면) 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 유한 차원 경우와 유사하게 무한 행렬로 모델링될 수 있다. V에서 V로의 변환의 특수한 경우는 전체 선형 환 문서에 설명되어 있다.
조나 버거(영어: Jonah Berger, 1981년경 ~ )는 미국의 마케팅학자이자 저술가이다. 펜실베이니아 대학교 와튼 스쿨 마케팅학 교수로 재직하고 있으며, 사회적 전염과 사회적 영향·구전 확산·언어와 설득을 연구한다. 《"Contagious: Why Things Catch On"》, 《"Invisible Influence"》, 《"The Catalyst"》, 《"Magic Words"》 등의 저서를 통해 연구 성과를 대중에게 소개하였다.
버거는 워싱턴 D.C. 인근에서 태어나 메릴랜드 주 체비 체이스에서 성장하였다. 실버스프링의 몽고메리 블레어 고등학교 매그넷 프로그램을 졸업(1998)하고, 스탠퍼드 대학교에서 인간 판단과 의사결정 전공으로 학사(2002), 스탠퍼드 대학교 경영대학원에서 마케팅 박사(2007)를 취득하였다.
버거의 연구는 "무엇이 사람들로 하여금 정보를 공유하고 행동을 바꾸게 만드는가"라는 질문에 초점을 맞춘다. 2012년 연구에서는 뉴욕 타임스 기사 대규모 자료를 분석하여, 경외·분노·불안과 같은 고각성 정서가 온라인 확산을 유의미하게 높인다는 사실을 제시하였다. 또 다른 연구에서는 부정적 홍보가 인지도가 낮은 제품의 인지도를 높여 오히려 매출을 증대시킬 수 있음을 보였다. 2008년 연구는 일상 환경의 단서가 제품 평가와 선택을 유발한다는 점을 실험으로 입증하였다. 또한 아기 이름 데이터로 문화적 선호의 변화를 분석하여 유사 음운이 인기도 확산을 예측함을 보였다. 2014년에는 구전과 대인 커뮤니케이션을 기능적 관점에서 정리하며, 인상관리·정서조절·정보획득·사회적 유대·설득의 다섯 기능을 제시했다.
주요 저작과 사상.
버거는 대중서에서 연구 통찰을 체계화하였다. 《"Contagious"》에서는 아이디어·제품 확산의 여섯 원리 STEPPS(사회적 화폐, 촉발, 감정, 공공성, 실용적 가치, 이야기)를 제시한다. 《"The Catalyst"》에서는 변화의 장벽을 낮추는 REDUCE(반작용, 보유효과, 거리, 불확실성, 교차증거) 프레임워크를 소개한다. 《"Magic Words"》에서는 언어가 설득과 영향에 미치는 효과를 정리하고 SPEACC(유사성, 질문, 주체·정체성, 구체성, 확신 등) 틀을 보조 자료로 제공한다.
주요 활동 및 대외 협업.
버거는 애플·구글·나이키 등 글로벌 기업 및 비영리기관을 자문하며, 컨퍼런스 기조연설과 기업 내부 교육을 수행한다. 또한 온라인 공개강좌(MOOC)로 ‘Viral Marketing and How to Craft Contagious Content’를 운영한다.
배우자는 마케팅학자 조던 에트킨으로, 듀크 대학교에서 부교수로 재직하였다.
출판 및 저작 관련 정보.
그의 대표작은 다음과 같이 출간되었다: "Contagious"(Simon &amp; Schuster, 2013), "Invisible Influence"(Simon &amp; Schuster, 2016), "The Catalyst"(Simon &amp; Schuster, 2020; 페이퍼백 2022), "Magic Words"(Harper Business, 2023).
버거는 언어와 설득, 구전 확산에 관한 대형 온라인 강좌를 운영하며, 고등학생 대상 와튼 글로벌 유스 프로그램에서도 바이럴 마케팅 강의 콘텐츠를 제공한다.
수학에서 -차원 정수 격자(), 또는 정육면체 격자()는 으로 표기되며, 정수의 -튜플인 격자점을 갖는 유클리드 공간 의 격자이다. 2차원 정수 격자는 정사각형 격자 또는 그리드 격자라고도 불린다. 은 근계 격자의 가장 간단한 예이다. 정수 격자는 홀수 유니모듈러 격자이다.
자기동형군.
정수 격자의 자기동형군 (또는 군의 합동)은 좌표의 모든 순열과 부호 변경으로 구성되며, 2n n!의 위수를 갖는다. 행렬군으로서 이는 모든 n × n 부호 순열 행렬의 집합으로 주어진다. 이 군은 동형적으로 다음과 같은 반직접곱과 같다.
여기서 대칭군 (군론) Sn은 순열에 의해 (Z2)n에 작용한다 (이는 화환곱의 고전적인 예이다).
정사각형 격자의 경우, 이는 정사각형의 군, 또는 위수 8의 정이면체군이다. 3차원 정육면체 격자의 경우, 위수 48의 정육면체의 군, 또는 정팔면체군을 얻는다.
디오판토스 기하학 연구에서 정수 좌표를 갖는 점들의 정사각형 격자를 종종 디오판토스 평면()이라고 한다. 수학적 용어로 디오판토스 평면은 모든 정수의 환 formula_2의 곱집합 formula_3이다. 디오판토스 도형 연구는 디오판토스 평면에서 모든 쌍별 거리가 정수가 되도록 노드를 선택하는 데 초점을 맞춘다.
거친 기하학.
거친 기하학에서 정수 격자는 유클리드 공간과 거칠게 동등하다.
픽 정리.
1899년 게오르크 알렉산더 픽이 처음 설명한 픽 정리는 모든 꼭짓점이 2차원 정수 격자 위에 놓여 있는 단순 다각형의 넓이를 그 내부와 경계에 있는 정수점의 수로 나타내는 공식을 제공한다.
formula_4를 다각형 내부의 정수점 개수라고 하고, formula_5를 그 경계(꼭짓점과 변을 따라 있는 점 모두 포함) 위의 정수점 개수라고 하자. 그러면 이 다각형의 넓이 formula_6는 다음과 같다.
표시된 예는 내부 점이 formula_8개, 경계 점이 formula_9개이므로, 넓이는 formula_10 제곱 단위이다.
터는 지관 손석우의 베스트셀러 풍수지리 서적이다.
코인원(영어: Coinone)은 대한민국의 가상자산(암호화폐) 거래소이다. 코인원은 2014년에 설립되었으며, 2022년 11월 29일부터 카카오뱅크와 실명확인 입출금 계좌 제휴를 맺어 원화(KRW) 입출금 서비스를 제공한다. 2021년에는 빗썸·코빗과 함께 트래블 룰 합작법인 CODE(COnnect Digital Exchanges)를 설립해 국내 기준에 부합하는 전송규칙(Travel Rule) 솔루션을 구축했다. 2025년 8월에는 창업자 차명훈이 대표이사직에서 물러나 이사회 의장으로 이동하고, 이성현이 단독 대표이사로 선임되었다.
지배 구조 및 주주.
코인원의 최대주주는 창업자 차명훈으로, 특수관계 지분을 포함해 과반(약 53.46%)을 보유한다. 2대 주주는 컴투스홀딩스로, 2021년 단계적 투자를 통해 38.43% 지분을 취득했다.
2025년 8월부터 이성현이 단독 대표이사를 맡고 있으며, 차명훈은 이사회 의장을 담당한다.
코인원은 원화(KRW) 기반 현물거래 수수료를 주요 수익원으로 한다. 자체 상장·폐지 기준을 운영하며, 거래유의 지정 후 개선이 없을 경우 거래지원을 종료한다.
규제 환경과 은행 제휴.
대한민국에서는 특정금융정보법에 따라 VASP(가상자산사업자)가 실명확인 입출금 계좌와 ISMS 인증을 갖추어야 한다. 코인원은 2022년 카카오뱅크와 실명계좌 제휴를 체결·개시하였다.
트래블 룰 이행.
코인원은 빗썸·코빗과 공동으로 CODE를 설립해 트래블 룰 솔루션을 공동 개발·운영한다. CODE는 국내 기준에 맞춘 전송정보 공유 체계를 제공하며 외부 연동을 확대하고 있다. 트래블 룰 적용에 따라 코인원은 화이트리스트 기반 출금 제한 등 AML 통제를 시행한다.
코인원은 사이버배상책임보험을 도입했다. 또한 2018년 이후 ISMS 인증을 유지하고 ISO/IEC 27001 사후심사를 통과하는 등 정보보호 경영체계를 운영한다.
카카오뱅크 제휴 오픈과 연계한 신규 가입·연동 프로모션을 진행하는 등 제휴 마케팅을 전개하였다.
칩 히스(영어: Chip Heath, 1963년 7월 19일 ~ )는 미국의 조직행동·경영학 학자이자 저술가로, 스탠퍼드 대학교 경영대학원 조직행동학 석좌교수(Thrive Foundation for Youth Professor of Organizational Behavior, Emeritus)이며, 형제 댄 히스와 함께 《메이드 투 스틱》, 《스위치》, 《디사이시브》, 《순간의 힘》을 공저했다. 그는 1986년 텍사스 A&amp;M 대학교에서 산업공학 학사, 1991년 스탠퍼드 대학교에서 심리학 박사 학위를 받았고, 시카고 대학교 경영대학원과 듀크 대학교 푸쿠아 경영대학원에서 재직한 뒤 스탠퍼드로 부임했다.
텍사스 A&amp;M 대학교에서 산업공학을 전공하며 공학적 문제해결과 의사결정 과학을 접했고, 스탠퍼드 대학교에서 심리학 박사 학위를 받으며 불확실성 하 의사결정, 모호성 회피, 지식의 저주 등 행동과학 주제를 연구했다. 1990년대에는 시카고 대학교 경영대학원과 듀크 대학교 푸쿠아 경영대학원에서 조직행동과 의사결정 과목을 가르쳤고, 이후 스탠퍼드 대학교 경영대학원에서 조직·전략 과목을 강의하며 석좌교수를 지냈다. 저술 활동에서는 형제 댄 히스와 함께 복잡한 통찰을 대중이 이해하기 쉬운 개념과 사례로 번역하는 작업을 지속했다.
저술과 사상.
그와 댄 히스는 대중서에서 ‘SUCCESs’(단순성, 의외성, 구체성, 신뢰성, 감성, 이야기) 원리를 통해 전달력 있는 메시지의 구성요소를 제시했고, 개인·조직 변화에서는 ‘라이더–엘리펀트–길(Path)’ 은유로 이성·감정·환경의 정렬을 강조했다. 의사결정 개선에서는 ‘WRAP’(선택지 확장, 가정 검증, 거리두기, 서약) 프레임을 제안했고, 기억에 남는 경험 설계에서는 ‘정점·종결·의미 있는 연결’을 강조했다. 또한 수(數)를 스토리로 번역해 전달력을 높이는 원리를 정리했다.
기혼이며 두 자녀가 있고, 캘리포니아주 로스가토스에 거주한다.
아그니-프라임 또는 아그니-P (산스크리트어: अग्नि; IAST: Agni; 불)는 인도의 국방연구개발기구(DRDO)가 아그니 계열의 여섯 번째 미사일로 개발 중인 2단 지대지 캐니스터 발사식 로드 모바일 고체연료 준중거리 탄도 미사일이다. 이 미사일은 인도 전략군사령부의 작전 운용을 위해 배치될 예정이며, 복합 모터 케이싱, MaRV (MaRV) 및 향상된 추진제, 항법 및 유도 시스템에 상당한 업그레이드를 특징으로 한다.
2016년, 인도 언론은 DRDO가 아그니-1P(Agni-1P)라는 아그니 1호의 후속 미사일을 개발 중이며, 이 미사일은 아그니 4와 아그니 5의 새로운 기술을 차용하여 정확도와 신뢰성을 높인 2단계 로켓을 특징으로 할 것이라고 보도하기 시작했다. DRDO 하이데라바드 미사일 단지의 한 선임 과학자에 따르면 다음과 같다.
인도는 중국이 DF-21D 및 DF-26B 탄도 미사일을 핵 능력으로 개발하여 미국 해군에 대응하고 앤더슨 공군기지를 위협할 수 있게 되자 A2/AD(지역 거부 무기 개발)에 착수했다. 이러한 균형추로서 아그니-P의 진전은 중국이 2035년까지 태평양과 인도양을 모두 커버하기 위해 5~6개의 항공모함 전투단을 보유하려는 계획에 맞서는 인도의 인도-태평양 전략의 중요한 부분이 되었다.
아그니-P는 2단계 고체 추진제 미사일이다. 모든 단계는 복합 추진제를 사용하며, 여기서 분말 산화제는 금속 연료와 혼합되어 바인더가 제자리에 고정된다. 알루미늄은 연료로 사용되며, 그 비 에너지 밀도는 고성능을 제공할 수 있는 능력을 제공한다. 이는 미사일에 더 나은 페이로드 비율을 제공하므로 더 적은 양의 추진제로 미사일에 장착된 더 큰 페이로드를 들어 올릴 수 있다. 이는 아그니 3의 절반 무게에 해당하는 아그니 계열의 새로운 종류의 미사일이다. 아그니-P의 1단계와 2단계는 모두 아그니 5 프로젝트에서 숙달된 경량화를 위해 부식 방지 복합 재료로 만들어졌다.
사거리 및 기동성.
이 미사일은 1.5톤의 페이로드를 싣고 최대 2000km의 거리를 커버할 수 있다. 분석가들에 따르면, 아그니-P는 사거리가 중국 본토 전체에 도달하기에 불충분하므로 주로 파키스탄 군대에 대응하기 위한 것이다. 미사일의 사거리를 고려할 때, 국제전략문제연구소의 분석가들은 아그니-P가 주로 파키스탄에 대응하며 아그니 1호 및 아그니 2와 같은 구형의 덜 압축적인 단거리 탄도 미사일을 대체할 의도라고 믿는다.
미사일은 밀폐형 탠덤 트윈 캐니스터 발사기에 보관되며 도로 및 철도를 통해 운반된다. 이 과정은 탄두를 미사일과 결합하여 보관할 수 있게 하여 준비 및 발사에 필요한 시간을 크게 단축시킨다. 이 미사일은 콜드 런치 메커니즘을 사용하며 일제사격 모드로 발사될 수 있다. 캐니스터 미사일의 콜드 런치가 이루어지고 고체 추진제를 사용할 경우, 인도에게는 어떤 지형에서든 더 짧은 시간 내에 핵 공격을 수행할 수 있는 이점을 제공할 것이다.
이 미사일의 시험 발사에는 캐니스터 방식의 12x12 차축 타트라 트럭이 사용된 것으로 보이나, 이는 시험 목적으로만 사용될 수 있다. 미사일의 소형화는 번거로운 아그니 1호 이동식 발사대(MEL) 및 철도 탑재 아그니 2 발사대보다 작고 더 이동성이 뛰어난 미래의 발사대 가능성을 시사한다. 이러한 이동성 증가는 인도에 더 많은 배치 옵션을 제공할 수 있으며, 캐니스터화는 외부 요소로부터 장기간 추가적인 보호를 제공한다. 발사 플랫폼은 8x8 타트라 BEML 이동식 발사대에서 캐니스터화될 것으로 예상된다.
유도 및 탄두.
아그니-P는 아그니 4와 아그니 5에 이전에 통합된 기술을 사용하는, 첨단 링 레이저 자이로스코프 기반 관성항법장치(INS)와 최신 마이크로 관성항법장치(MINS)를 기반으로 하는 이중 중복 항법 및 유도 시스템을 활용한다. 이 미사일은 선택적으로 GPS와 IRNSS 위성 항법 시스템에 의해 보강된다.
아그니-P는 기동형 재돌입체(MaRV)와 결합될 수 있다. 탄두는 4개의 델타 핀을 장착하고 있으며, 종말 기동성을 활용하여 미사일 방어 시스템의 요격을 더 어렵게 만들 수 있다고 보고되었다. MIRV 및 MaRV 탄두 기술은 2013년에 아그니 6을 위한 개발이 이미 진행 중이었다. DRDO는 일부 인도 국방 소식통에 따르면 아그니-P 미사일 플랫폼의 대함 변형을 개발할 계획이라고 한다.
이 미사일은 사전 도입 시험을 완료한 후 인도 전략군사령부(SFC)에서 운용될 예정이다. 2023년 6월 SFC가 실시한 첫 사전 도입 야간 발사는 미사일의 세 차례 성공적인 개발 시험 이후 이루어졌으며, 시스템의 정확성과 신뢰성을 입증했다. DRDO와 전략군사령부의 고위 관계자들은 성공적인 비행 시험을 목격했으며, 이는 이 시스템의 인도군 도입의 길을 열었다.
2021년 6월, 인도는 핵 능력 버전의 아그니-P를 성공적으로 시험 발사했으며, 국방장관은 소셜 미디어 플랫폼 X에 다음과 같은 게시물을 올렸다. "아그니 계열 미사일의 진보된 변형인 아그니 P의 첫 성공적인 비행 시험을 DRDO에 축하드립니다. 이 임무를 수행한 팀의 노력에 찬사를 보냅니다.복합 재료, 추진 시스템, 혁신적인 유도 및 제어 메커니즘, 최첨단 항법 시스템을 포함한 많은 첨단 기술이 도입되었습니다.아그니 P 미사일은 인도의 신뢰할 수 있는 억지력을 더욱 강화할 것입니다.”&lt;br&gt; - 인도 국방장관, 슈리 라즈나트 싱
인도 국방 전문가들은 이를 인도양 지역(IOR)에서 중국 항공모함 전투단에 대한 미래 해상 거부 능력을 강화하기 위한 첨단 대함탄도미사일(ASBM) 개발을 위한 진행 중인 작업의 일부로 보고 있다.
BM-04.
DRDO는 인도군을 위해 여러 미사일을 개발했다. 여기에는 K 미사일 계열, 프리트비 계열, 아그니 계열, 프라레이, 프라하르 및 샤우리아가 포함된다. 전술적 전장 지원을 위한 제한된 150-500km 범위의 재래식 탄두를 탑재하는 프라레이와 프라하르 미사일을 제외하고, 대부분의 장거리 미사일은 핵탄두를 탑재하고 있다. 따라서 인도양, 벵골만, 아라비아해의 해상 기반 위협과 신장 위구르 자치구, 티베트, 윈난성의 실질통제선(LAC) 너머의 육상 기반 위협에 대응하기 위해 1500km 이상의 재래식 무장 미사일 개발이 필요하다고 판단되었다. 이 요구 사항을 해결하기 위해 2022년 9월까지 DRDO는 실질통제선 너머의 목표를 공격하고 벵골만과 아라비아해에서 인도 함대를 커버하기 위한 항공모함 대항 변형을 포함하는 1500km 사거리의 육상 기반 미사일의 설계 작업을 완료했다.
2023년 11월 5일, 한 보고서에 따르면 인도군은 제안된 통합 로켓군을 위해 1,500km 사거리급 재래식 탄도 미사일 도입을 고려하고 있다고 한다. 이 미사일의 설계는 인도 전략군사령부의 기존 탄도 미사일에서 파생될 수 있다. 2024년 4월 보고서에 따르면, 이 미사일은 개발 중이었다.
DRDO는 하이데라바드에서 열린 Vigyan Vaibhav 2025 방위 전시회에서 BM-04 극초음속 탄도 미사일의 실물 크기 모형을 공개했다. 이 미사일 설계는 아그니 프라임 미사일과 매우 흡사했으며, 길이는 10.2m, 직경은 1.2m, 무게는 11500kg이었다. 이 미사일은 2단계 고체 추진 방식이며, 사거리는 400-1500km이다. 이 미사일은 IRNSS 또는 GPS의 유도를 받는다. 미사일의 재돌입체는 부스트 글라이드 비행체로 설계되었으며, 예상 종말 속도는 마하 5 이상이다. 이 재돌입체는 중앙에 고정 날개가 있고 후방에 제어 핀이 있으며, 500kg 이상의 재래식 탄두를 장착할 예정이다. BM-04는 "적의 반접근/지역거부(A2/AD) 능력을 무력화하고, 인도 국방군이 고도로 경쟁적인 전장에서 작전상의 제약을 받지 않도록 하는" 임무를 맡게 될 것이다.
수학의 기하학 분야에서, 랭크 n () 또는 사영 지표 의 극 공간()은 일반적으로 점들의 집합이라고 불리는 P와 부분 공간이라고 불리는 P의 특정 부분 집합들로 구성되며, 다음 공리들을 만족한다.
점과 선 사이의 관계만을 사용하여 약간 더 큰 부류의 객체를 정의하고 연구하는 것이 가능하다. 극 공간은 부분 선형 공간 (P,L)이며, 각 점 p ∈ P와 각 선 l ∈ L에 대해, p와 같은 선 위에 있는 l의 점들의 집합은 단일점 집합이거나 전체 l이다.
유한 극 공간(P가 유한 집합인 경우)은 조합론적 객체로도 연구된다.
일반화 사각형.
랭크 2의 극 공간은 일반화 사각형이다. 이 경우, 후자의 정의에서, 점 p와 같은 선 위에 있는 선 formula_1의 점들의 집합은 p ∈ formula_1인 경우에만 전체 formula_1이다. 선이 2개 이상의 점을 가지고, 점이 2개 이상의 선 위에 있으며, p가 formula_1 위에 있지 않지만 formula_1의 모든 점과 같은 선 위에 있는 선 formula_1과 점 p가 존재한다는 가정 하에 전자의 정의를 후자로부터 도출할 수 있다.
유한 고전 극 공간.
formula_7를 유한장 formula_8에 대한 formula_9차원 사영 공간이라 하고, formula_10를 기저 벡터 공간에 대한 반사적 반선형 형식 또는 이차 형식이라 하자. 이 형식과 관련된 유한 고전 극 공간의 요소들은 formula_10에 대한 formula_7의 완전히 등방성 부분 공간(formula_10가 반선형 형식인 경우) 또는 완전히 특이 부분 공간(formula_10가 이차 형식인 경우)의 요소들이다. 형식의 비트 지표는 극 공간에 포함된 부분 공간의 가장 큰 벡터 공간 차원과 같으며, 이를 극 공간의 랭크라고 부른다. 이 유한 고전 극 공간은 다음 표로 요약할 수 있으며, 여기서 formula_9은 기저 사영 공간의 차원이고 formula_16은 극 공간의 랭크이다. formula_17의 점의 수는 formula_18로 표기되며 formula_19과 같다. formula_16이 formula_21와 같을 때, 일반화 사각형을 얻는다.
자크 티츠는 랭크가 3 이상인 유한 극 공간은 항상 위에 제시된 세 가지 유형의 고전 극 공간 중 하나와 동형임을 증명했다. 이로써 유한 일반화 사각형의 분류 문제만 남게 된다.
태풍 갈매기(KALMAEGI)는 2025년에 북서태평양에서 발생한 제25호 태풍이다. 태풍 갈매기(KALMAEGI)는 북한(조선민주주의인민공화국)에서 제출한 이름으로 갈매기를 의미한다. 발생 이후 서진하면서 필리핀을 관통하였다. 필리핀 관통 이후에는 남중국해의 높은 열용량으로 인해 급발달하였고, 11월 7일 15시에 베트남 다낭 남동쪽 약 410km 부근 해상(남중국해)에서 중심기압 935hPa, 최대풍속 49m/s의 매우 강한 태풍으로 최성기를 맞이하였다. 사실상 최성기 세력으로 베트남 꾸이년에 상륙한 뒤 육상 마찰로 급약화되어서, 11월 7일 9시에 베트남 다낭 서남서쪽 약 350km 부근 육상에서 중심기압 1004hPa의 열대저압부로 약화되었다.
제명 가능성.
필리핀과 베트남에 큰 피해를 입히면서 태풍 갈매기의 제명 가능성이 높아진 상태이다.
수학 및 양자역학의 기초에서 복소수 힐베르트 공간 formula_1의 사영 힐베르트 공간() 또는 광선 공간 formula_2은 0이 아닌 벡터 formula_3의 동치류 formula_4의 집합이며, formula_1 상의 동치 관계 formula_6에 의해 정의된다.
이는 복소 힐베르트 공간에 적용된 일반적인 사영화 구성이다. 양자역학에서 동치류 formula_4는 광선() 또는 사영 광선()이라고도 불린다. 각 사영 광선은 0이 아닌 복소수의 복사본이며, 위상적으로는 한 점이 제거된 2차원 평면이다.
사영 힐베르트 공간의 물리적 중요성은 양자역학에서 파동 함수 formula_11와 formula_12가 formula_13에 대해 동일한 물리적 상태를 나타낸다는 것이다. 보른 규칙에 따르면 시스템이 물리적이고 측정 가능하다면 해당 파동 함수는 단위 노름, 즉 formula_14을 가져야 하며, 이 경우 정규화된 파동 함수라고 부른다. 단위 노름 제약은 광선 내에서 formula_11를 완전히 결정하지 않는데, 이는 formula_11가 절댓값이 1인 임의의 formula_9 (즉 원군 formula_18 작용)에 곱해져도 정규화를 유지하기 때문이다. 이러한 formula_9는 formula_20가 전체 위상이라고 불리는 formula_21로 쓸 수 있다.
이러한 formula_9로 인해 달라지는 광선은 동일한 상태에 해당한다(관측 가능량의 C* 대수와 formula_1에 대한 표현이 주어졌을 때의 양자 상태 (대수적 정의) 참조). 어떤 측정으로도 광선의 위상을 복원할 수 없으며, 이는 관측 불가능하다. formula_18은 제1종 게이지 군이라고 한다.
formula_1가 관측 가능량 대수의 기약표현이라면 광선은 순수 상태를 유도한다. 광선의 볼록 선형 결합은 자연스럽게 밀도 행렬을 생성하며, 이는 (기약표현의 경우에도) 혼합 상태에 해당한다.
formula_1가 유한 차원, 즉 formula_27인 경우, 힐베르트 공간은 유한 차원 내적 공간으로 축소되고 사영 광선 집합은 복소 사영 공간으로 간주될 수 있다. 이는 유니터리 군 formula_28의 동차 공간이다. 즉,
이는 힐베르트 공간의 노름에서 파생된 푸비니-슈투디 계량이라는 켈러 계량을 갖는다.
따라서 예를 들어 2차원 복소 힐베르트 공간(하나의 큐비트를 설명하는 공간)의 사영화는 복소 사영 직선 formula_30이다. 이는 블로흐 구면 또는 동등하게 리만 구로 알려져 있다. 이 경우 사영화 구성에 대한 자세한 내용은 호프 올뭉치를 참조하라.
사영 힐베르트 공간의 곱집합은 사영 공간이 아니다. 세그레 사상은 두 사영 공간의 곱집합을 두 힐베르트 공간의 텐서곱과 관련된 사영 공간으로의 매장이다. 이는 formula_31로 주어진다. 양자 이론에서 이는 구성 요소의 상태로부터 복합 시스템의 상태를 만드는 방법을 설명한다. 이는 단지 매장일 뿐 전사가 아니다. 텐서곱 공간의 대부분은 그 치역에 포함되지 않으며 얽힌 상태를 나타낸다.
기하학에서 볼록 곡선()은 각 점을 지나는 지지선을 갖는 평면 곡선이다. 이 곡선들에 대한 다른 많은 동등한 정의들이 아르키메데스까지 거슬러 올라간다. 볼록 곡선의 예로는 볼록 다각형, 볼록 집합의 경계 (위상수학), 볼록 함수의 함수의 그래프 등이 있다. 볼록 곡선의 중요한 하위 분류로는 닫힌 볼록 곡선(유계 볼록 집합의 경계), 볼록인 매끄러운 곡선, 그리고 각 지지선이 곡선의 고유한 점을 통과하는 추가적인 특성을 가진 엄격하게 볼록한 곡선이 있다.
유계 볼록 곡선은 잘 정의된 길이를 가지며, 이는 다각형으로 근사하거나 선에 대한 투영의 평균 길이로부터 얻을 수 있다. 단일 곡선에 속할 수 있는 격자점의 최대 개수는 곡선의 길이에 의해 제어된다. 볼록 곡선이 고유한 지지선을 갖는 점들은 곡선 내에서 조밀하며, 이 선들이 원점에서 떨어진 거리는 연속적인 지지 함수를 정의한다. 매끄러운 단순 닫힌 곡선은 곡률이 일관된 부호를 가질 때만 볼록이며, 이는 전곡률이 절대 전곡률과 같을 때만 발생한다.
아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥에 관하여》에서 볼록 호를 두 끝점을 지나는 선의 한쪽에 놓여 있고 모든 현이 곡선의 같은 쪽에 접하는 평면 곡선으로 정의했다. 이는 볼록성 개념의 최초의 공식적인 정의였을지 모르지만, 볼록 다각형과 볼록 다면체는 아르키메데스 이전부터 오랫동안 알려져 있었다. 다음 두 천년 동안 볼록성에 대한 연구는 거의 없었다. 깊이 있는 연구는 19세기에 오귀스탱 루이 코시와 다른 이들이 미적분학을 보다 엄밀한 기초 위에 놓기 위해 대수적 방법 대신 수학적 분석을 사용하기 시작했을 때야 다시 시작되었다.
아래에 자세히 설명된 바와 같이, 볼록 곡선에 대한 다른 많은 동등한 정의가 가능하다. 볼록 곡선은 지지선, 경계를 형성하는 집합, 선과의 교차점을 통해 정의되기도 한다. 닫힌 볼록 곡선과 닫히지 않은 곡선을 구별하기 위해, 닫힌 볼록 곡선은 때때로 볼록 루프라고 불렸고, 닫히지 않은 볼록 곡선은 볼록 호라고 불리기도 했다.
평면 곡선은 구간에서 평면으로의 연속 함수의 상이다. 직관적으로, 움직이는 점에 의해 그려질 수 있는 점들의 집합이다. 더 구체적으로, 매끄러운 곡선은 일반적으로 구간에서 평면으로의 함수가 적어도 연속 미분 가능해야 하며, 일부 맥락에서는 더 높은 미분을 요구하도록 정의된다. 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 함수는 종종 정칙이라고 가정되는데, 이는 그 도함수가 0에서 벗어나 있음을 의미한다. 직관적으로, 움직이는 점은 결코 멈추거나 방향을 바꾸지 않는다. 매끄러운 곡선의 각 내부 점은 접선을 갖는다. 또한, 두 번째 도함수가 모든 곳에 존재하면, 이들 각 점은 잘 정의된 곡률을 갖는다.
평면 곡선은 구간의 두 끝점이 평면의 같은 점에 매핑될 때 닫힌 곡선이고, 다른 두 점이 일치하지 않을 때 단순 곡선이다. 덜 일반적으로, 단순 평면 곡선은 위상적으로 선과 동등하며, 끝점이 없고 어떤 제한점도 형성하지 않으며, 평면을 두 개의 무한 영역으로 나눌 때 열린 곡선이라고 할 수 있다. 그러나 이 용어는 다른 출처에서 두 개의 다른 끝점을 가진 곡선을 열린 곡선으로 지칭하기 때문에 모호하다. 여기서는 열린 곡선을 위상적 선의 의미로 사용한다.
지지선.
지지선은 곡선의 적어도 한 점을 포함하는 선으로, 곡선이 그 선에 의해 경계 지어진 두 반평면 중 하나에 포함된다. 평면 곡선은 각 점을 지나는 지지선을 가질 때 볼록이라고 불린다. 예를 들어, 볼록 함수의 그래프는 각 점을 지나는 그래프 아래의 지지선을 갖는다. 더 나아가, 함수가 도함수를 갖는 점에서는 접선인 정확히 하나의 지지선이 존재한다.
지지선과 접선은 동일한 것이 아니지만, 볼록 곡선의 경우 모든 접선은 지지선이다. 곡선에서 접선이 존재하는 점에서는 접선인 하나의 지지선만 존재할 수 있다. 따라서, 매끄러운 곡선은 각 접선의 한쪽에 놓여 있을 때 볼록이다. 이것은 매끄러운 곡선에 대해, 또는 더 일반적으로 조각마다 매끄러운 곡선에 대해 볼록성의 동등한 정의로 사용될 수 있다.
볼록 집합의 경계.
볼록 곡선은 평면에 있는 볼록 집합의 경계의 연결된 부분집합으로도 정의될 수 있다. 모든 볼록 집합이 연결된 경계를 갖는 것은 아니지만, 그럴 때 전체 경계는 볼록 곡선의 예이다. 평면의 유계 볼록 집합이 선분이 아닐 때, 그 경계는 단순 닫힌 볼록 곡선을 형성한다. 조르당 곡선 정리에 의해 단순 닫힌 곡선은 평면을 내부와 외부 영역으로 나누고, 닫힌 볼록 곡선의 또 다른 동등한 정의는 그것의 내부와 합집합이 볼록 집합인 단순 닫힌 곡선이다. 열린 볼록 곡선과 무한 볼록 곡선의 예로는 볼록 함수의 그래프가 있다. 다시 말하지만, 이들은 같은 함수의 상위그래프인 볼록 집합의 경계이다.
이 정의는 지지선으로부터의 볼록 곡선 정의와 동등하다. 각 점을 지나는 지지선을 가진 곡선으로 정의된 모든 볼록 곡선은 자체 볼록 폐포 경계의 부분집합이다. 볼록 집합의 경계의 모든 연결된 부분집합은 각 점을 지나는 지지선을 갖는다.
선과의 교차점.
볼록 곡선의 경우, 평면의 모든 선은 곡선과 네 가지 방식 중 하나로 교차한다: 교차점이 공집합이거나, 한 점이거나, 두 점이거나, 또는 구간일 수 있다. 닫힌 곡선이 한 점 또는 구간에서 교차하는 경우, 그 선은 지지선이다. 이것은 볼록 곡선의 대안적인 정의로 사용될 수 있다: 볼록 곡선은 선과의 모든 교차점이 이러한 네 가지 유형 중 하나인 조르당 곡선 (연결된 단순 곡선)이다. 이 정의는 볼록 곡선을 평면에서 실사영평면과 같은 특정 다른 선형 공간으로 일반화하는 데 사용될 수 있다. 이러한 공간에서는 평면과 마찬가지로 이러한 제한된 선 교차점만을 갖는 모든 곡선은 각 점에 대한 지지선을 갖는다.
엄격하게 볼록한 곡선도 많은 동등한 정의를 갖는다. 이들은 어떠한 선분도 포함하지 않는 볼록 곡선이다. 이들은 곡선과 선의 모든 교차점이 최대 두 개의 점으로 구성된 곡선이다. 이들은 엄격하게 볼록한 집합의 경계의 연결된 부분집합으로 형성될 수 있는 곡선이다. 여기서 집합은 경계의 모든 점이 집합의 극점, 즉 어떤 선형 함수의 유일한 최대화자인 경우 엄격하게 볼록하다. 엄격하게 볼록한 집합의 경계로서, 이들은 볼록 위치에 놓여 있는 곡선, 즉 어떤 점도 다른 부분집합 점들의 볼록 조합이 될 수 없음을 의미한다.
닫힌 엄격하게 볼록한 곡선은 엄격하게 볼록한 함수의 그래프와 (적절한 좌표 변환 하에서) 국소적으로 동등한 단순 닫힌 곡선으로 정의될 수 있다. 이는 곡선의 각 점에 대해 점들의 근방과 그 근방 내에서 곡선이 엄격하게 볼록한 함수의 그래프와 일치하는 직교좌표계가 존재함을 의미한다.
매끄러운 닫힌 볼록 곡선 중 타원이나 모스의 달걀(Moss's egg)처럼 대칭축을 갖는 곡선은 때때로 타원형 곡선이라고 불리기도 한다. 그러나 같은 단어는 각 점이 나머지 집합과 분리된 고유한 선을 갖는 집합을 묘사하는 데도 사용되었으며, 특히 유한 사영기하학의 알모양곡선의 맥락에서 그렇다. 유클리드 기하학에서는 이들이 매끄러운 엄격하게 볼록한 닫힌 곡선이며, 대칭 요구사항은 없다.