shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
리콴유와 툰쿠 압둘 라만은 국가를 공동 운영하는데 있어서 어려움을 겪었으며, 특히 인종 문제에 있어서 상이한 시각을 드려냈다. 리콴유는 다민족 평등주의와 세속주의를 주장하며, 모든 말레이인이 평등해야 한다고 주장하였으나, 툰쿠 압둘 라만은 오늘날 부미푸트라 정책으로 잘 알려진 일종의 말레이 민족 우선주의을 주장하며, 말레이인이 원주민로서 특권을 가져야 한다고 입장을 밝혔다. 이는 일종의 중국계 싱가포르인과 말레이시아인 간 갈등이라는 논란적인 주제였으며, 싱가포르 내 인종 간 폭동이 발생하면서 갈등과 상황의 심화를 발생시켰다. 특히 국내 정치적 측면에서는, 말레이시아 의회 내 인민행동당과 통일말레이국민조직 간 갈등도 존재하였다. 인종적인 문제와 별개로, 싱가포르와 말레이시아는 경제와 산업 정책에서도 다른 입장을 보였으며, 싱가포르의 자유 무역 및 개방경제 노선은 말레이시아의 보호무역 및 농업 중심 경제 노선과 일치되기에는 어려운 것이었다.
1965년 싱가포르의 분리 독립.
이렇게 정치 및 경제 체제에서 방향성 차이와, 인종 간 갈등이 격화되는 가운데, 말레이시아 내각은 1965년 8월 7일에 싱가포르를 말레이시아로부터 분리를 논의하고, 8월 9일 싱가포르의 분리독립을 승인하였다.
두 나라는 지리적으로 인접하고 문화적으로 공유하는 점이 많지만, 분리 이후 다른 노선을 걸었다. 싱가포르는 비동맹 운동에 가담하였으나, 말레이시아는 이슬람교를 바탕으로 한 외교 노선을 운영하였다. 말레이시아-싱가포르 국경이 확정되고, 한동안 인적 왕래와 이주 등 교류가 제한되었던 적도 있었다. 그러나 1980년대부터 양국 관계는 1960년대보다 누그러졌으며, 리콴유와 말레이시아 총리 마하티르 빈 모하맛의 정상회담을 통해서 양국 간 협력이 논의되었다. 두 국가의 관계는 경쟁하면서도, 서로 의존하는 모습을 보여줬다. 1990년대에 들어 두 국가 간 상호 무역량이 증대되고, 국방 협력을 시작하는 등 관계 개선을 지속적으로 이뤄냈다. 2000년대에는 싱가포르는 말레이시아의 최대 투자국 중 하나 되었으며, 양국 간 경제 의존도가 심화되었다.
ASEAN의 창립국.
동남아시아 조약 기구를 제외하고, 동남아시아 지역에서는 지역주의 차원에서 별다른 다자주의를 바탕으로 한 지역협력이 가시적으로 드려나지 않았다. 그러나 1967년, 정치·경제 협력 강화, 공산주의 확산 방지, 지역 평화와 안정 유지 등을 목표로 동남아시아 국가 연합이 창립되었으며, 말레이시아와 싱가포르는 창립국으로서 다시 만나게 되었다.
지리적으로 인접한 두 국가의 특성 때문에, 해상 및 영토에 관련된 분쟁이 일부 존재한다. 대표적으로 페드라브랑카섬 분쟁으로 섬에 대한 영유권을 두고 두 나라는 관계 개선에 대한 어려움을 겪었다.
조호르-싱가포르 코즈웨이와 말레이시아-싱가포르 세컨드 링크 등 육로로 연결되어 있다. 두 국가 간 고속철도 건설이 논의되고 있다.
말레이시아 쿠알라룸푸르 국제공항과 싱가포르 창이 공항 간 직항이 여러 개 개설되어있다.
무르그 무살람(, , )은 인도 무굴식 닭고기 요리이다. 닭고기 전체를 생강-마늘 페이스트에 재워 삶은 달걀을 채워넣고 사프란, 계피, 정향나무, 양귀비씨, 카다멈, 고추 등의 향신료로 양념한 요리이다. 마른 상태로 굽거나 소스에 넣어 조리하며, 아몬드와 바르크로 장식한다.
무르그 무살람은 페르시아어로 문자 그대로 '통닭'을 의미한다. 이 요리는 현재 인도의 우타르프라데시주에 해당하는 아와드의 무굴 왕실 가족들 사이에서 인기가 많았다. 또한 '잘 익은'이라는 의미도 있다.
이븐 바투타는 무르그 무살람을 무함마드 빈 투글루크가 가장 좋아하는 요리라고 묘사했다. 이 요리는 델리 술탄국에서도 제공되었다.
자기상관()은 이산 시간의 경우 계열 상관()이라고도 불리며, 신호와 그 신호가 지연된 사본 사이의 상관을 측정한다. 본질적으로, 이는 서로 다른 시점에서의 확률 변수 관측값 간의 유사성을 정량화한다. 자기상관 분석은 잡음에 의해 가려진 신호 내에서 반복되는 패턴이나 숨겨진 주기성을 식별하기 위한 수학적 도구이다. 자기상관은 신호 처리, 시간 영역 및 시계열 분석에서 시간 경과에 따른 데이터의 동작을 이해하는 데 널리 사용된다.
연구 분야마다 자기상관을 다르게 정의하며, 이러한 정의가 모두 동등하지는 않다. 일부 분야에서는 이 용어가 자기공분산과 상호 교환적으로 사용된다.
다양한 시계열 모델은 단위근 과정, 추세 정상 과정, 자기회귀 과정, 이동평균 과정과 같은 자기상관을 포함한다.
확률 과정의 자기상관.
통계학에서 실수를 갖거나 복소수를 갖는 확률 과정의 자기상관은 서로 다른 시간에서의 과정 값 간의 피어슨 상관이며, 두 시간 또는 시간 지연의 함수로 나타난다. formula_1를 확률 과정이라고 하고, formula_2를 임의의 시점이라고 하자(formula_2는 이산 시간 과정의 경우 정수일 수 있고, 연속 시간 과정의 경우 실수일 수 있다). 그러면 formula_4는 시간 formula_2에서의 특정 실행에 의해 생성된 값(또는 관측값)이다. 과정이 각 formula_2에 대해 시간 formula_2에서 평균 formula_8와 분산 formula_9을 가진다고 가정하자. 그러면 시간 formula_10과 formula_11 사이의 자기상관 함수의 정의는 다음과 같다.
여기서 formula_12는 기댓값 연산자이고 위 막대는 켤레 복소수를 나타낸다. 기댓값이 잘 정의된 것이 아닐 수도 있다는 점에 유의한다.
곱셈 전에 평균을 빼면 시간 formula_10과 formula_11 사이의 자기공분산 함수가 산출된다.
이 표현식은 모든 시계열 또는 과정에 대해 잘 정의되지 않을 수 있는데, 이는 평균이 존재하지 않거나, 분산이 0(상수 과정의 경우)이거나 무한대(특정 유형의 멱법칙과 같이 잘 동작하는 모멘트가 없는 분포를 가진 과정의 경우)일 수 있기 때문이다.
광의의 정상 확률 과정에 대한 정의.
formula_1가 광의의 정상 과정이라면 평균 formula_16와 분산 formula_17은 시간에 독립이며, 또한 자기공분산 함수는 formula_10과 formula_11 사이의 시차에만 의존한다. 즉, 자기공분산은 값 쌍 사이의 시간 거리에만 의존하며 시간상의 위치에는 의존하지 않는다. 이는 자기공분산과 자기상관이 시간 지연의 함수로 표현될 수 있고, 이것이 지연 formula_20의 짝함수가 될 것임을 의미한다. 이것은 자기상관 함수에 대한 더 익숙한 형태를 제공한다.
그리고 자기공분산 함수:
특히, 다음을 유의한다.
일부 분야(예: 통계학 및 시계열 분석)에서는 자기공분산 함수를 정규화하여 시간에 의존하는 피어슨 상관 계수를 얻는 것이 일반적이다. 그러나 다른 분야(예: 공학)에서는 일반적으로 정규화를 생략하고 "자기상관" 및 "자기공분산"이라는 용어를 상호 교환적으로 사용한다.
확률 과정의 자기상관 계수 정의는 다음과 같다.
함수 formula_23가 잘 정의되면 그 값은 formula_24 범위에 있어야 하며, 1은 완벽한 상관을 나타내고 -1은 완벽한 역상관을 나타낸다.
광의의 정상(WSS) 과정의 경우, 정의는 다음과 같다.
정규화는 자기상관을 상관으로 해석하는 것이 통계적 의존성 강도에 대한 척도 불변 측정을 제공한다는 점과 정규화가 추정된 자기상관의 통계적 특성에 영향을 미친다는 점에서 중요하다.
대칭성 속성.
자기상관 함수 formula_26가 짝함수라는 사실은 다음과 같이 표현할 수 있다.
각각 WSS 과정의 경우:
0에서의 최대값.
WSS 과정의 경우:
formula_30는 항상 실수라는 점에 유의한다.
코시-슈바르츠 부등식, 확률 과정에 대한 부등식:
백색 잡음의 자기상관.
연속 시간 백색 잡음 신호의 자기상관은 formula_32에서 강한 피크(주로 디랙 델타 함수로 표현됨)를 가지며, 다른 모든 formula_33에 대해서는 정확히 formula_34이 된다.
위너-힌친 정리.
위너-힌친 정리는 자기상관 함수 formula_26와 전력 스펙트럼 밀도 formula_36를 푸리에 변환을 통해 연결한다.
실수 값 함수에 대해 대칭 자기상관 함수는 실수 대칭 변환을 가지므로, 위너-힌친 정리는 실수 코사인만으로 재표현될 수 있다.
확률 벡터의 자기상관.
(잠재적으로 시간에 의존하는) 확률 벡터 formula_39의 (잠재적으로 시간에 의존하는) 자기상관 행렬(두 번째 모멘트라고도 함)은 확률 벡터 formula_40의 모든 요소 쌍의 자기상관을 요소로 포함하는 formula_41 행렬이다. 자기상관 행렬은 다양한 디지털 신호 처리 알고리즘에 사용된다.
기댓값과 분산이 존재하는 확률 요소를 포함하는 확률 벡터 formula_39에 대해 자기상관 행렬은 다음과 같이 정의된다.
\triangleq\ \operatorname{E} \left[ \mathbf{X} \mathbf{X}^{\rm T} \right] &lt;/math&gt;
여기서 formula_43는 formula_41 크기의 전치 행렬을 나타낸다.
구성 요소별로 작성:
formula_46가 복소 확률 벡터인 경우, 자기상관 행렬은 대신 다음과 같이 정의된다.
여기서 formula_48는 에르미트 전치를 나타낸다.
예를 들어, formula_49가 확률 벡터이면 formula_50는 formula_51-번째 원소가 formula_52인 formula_53 행렬이다.
결정론적 신호의 자기상관.
신호 처리에서 위 정의는 종종 정규화 없이, 즉 평균을 빼거나 분산으로 나누지 않고 사용된다. 자기상관 함수가 평균과 분산으로 정규화되면 때로는 자기상관 계수 또는 자기공분산 함수라고 불린다.
연속 시간 신호의 자기상관.
신호 formula_58가 주어졌을 때, 연속 자기상관 formula_59는 대부분 formula_58 자체와의 연속 교차상관 적분으로, 지연 formula_33로 정의된다.
여기서 formula_62는 formula_58의 켤레 복소수를 나타낸다. 적분 내의 매개변수 formula_2는 더미 변수이며 적분을 계산하는 데만 필요하다는 점에 유의한다. 특정 의미는 없다.
이산 시간 신호의 자기상관.
이산 시간 신호 formula_65에 대한 지연 formula_66에서의 이산 자기상관 formula_67은 다음과 같다.
위 정의는 제곱 적분 가능하거나 제곱 합산 가능, 즉 유한 에너지를 가진 신호에 적용된다. "영원히 지속되는" 신호는 대신 확률 과정으로 취급되며, 이 경우 기댓값을 기반으로 다른 정의가 필요하다. 광의의 정상 확률 과정의 경우, 자기상관은 다음과 같이 정의된다.
정상 과정이 아닌 과정의 경우, 이들은 formula_2 또는 formula_70의 함수가 된다.
또한 에르고딕 과정의 경우, 기댓값은 시간 평균의 극한으로 대체될 수 있다. 에르고딕 과정의 자기상관은 때때로 다음과 같이 정의되거나 동일시된다.
이러한 정의는 함수가 정상 에르고딕 과정의 출력이 아니더라도 주기 함수에 대해 합리적이고 잘 정의된 단일 매개변수 결과를 제공한다는 장점이 있다.
또는, 영원히 지속되는 신호는 유한 시간 적분을 사용하는 단시간 자기상관 함수 분석으로 처리할 수 있다. (관련 과정은 단시간 푸리에 변환을 참조한다.)
주기 신호에 대한 정의.
formula_72가 주기 formula_73를 가진 연속 주기 함수인 경우, formula_74에서 formula_75까지의 적분은 길이 formula_73인 임의의 구간 formula_77에 대한 적분으로 대체된다.
이는 다음와 동등하다.
다음에서는 1차원 자기상관의 속성만 설명할 것인데, 대부분의 속성은 1차원 경우에서 다차원 경우로 쉽게 전이되기 때문이다. 이러한 속성은 광의의 정상 과정에 적용된다.
다차원 자기상관.
다차원 자기상관도 유사하게 정의된다. 예를 들어, 3차원 공간에서 제곱 합산 가능한 이산 신호의 자기상관은 다음과 같다.
자기상관 함수를 계산하기 전에 신호에서 평균값을 빼면, 그 결과 함수는 일반적으로 자기공분산 함수라고 불린다.
효율적인 계산.
이산 시퀀스로 표현된 데이터의 경우, 자기상관을 높은 계산 효율성으로 계산해야 하는 경우가 많다. 신호 처리 정의 formula_95에 기반한 무차별 대입법은 신호 크기가 작을 때 사용할 수 있다. 예를 들어, 실수 신호 시퀀스 formula_96 (즉, formula_97, 그리고 다른 모든 값에 대해 formula_98)의 자기상관을 손으로 계산하려면, 주어진 정의가 "일반적인" 곱셈과 동일하지만, 오른쪽 시프트가 있으며, 각 세로 덧셈이 특정 지연 값에 대한 자기상관을 제공한다는 것을 먼저 인식해야 한다.
따라서 필요한 자기상관 시퀀스는 formula_100이며, 여기서 formula_101 formula_102 그리고 formula_103 다른 지연 값에 대한 자기상관은 0이다. 이 계산에서 우리는 일반적인 곱셈에서처럼 덧셈 중 올림 연산을 수행하지 않는다. 자기상관의 내재된 대칭성을 활용하여 필요한 연산 수를 절반으로 줄일 수 있다는 점에 유의한다. 만약 신호가 주기적이라면, 즉 formula_104이라면, 우리는 이전 자기상관 시퀀스의 왼쪽과 오른쪽 꼬리가 겹쳐져 formula_105를 생성하는 원형 자기상관( 원형 합성곱과 유사)을 얻게 되는데, 이는 신호 시퀀스 formula_106와 동일한 주기를 갖는다. 이 절차는 이산 신호의 Z변환의 합성곱 속성을 적용한 것으로 볼 수 있다.
무차별 대입 알고리즘은 차수 이지만, 차수로 자기상관을 계산할 수 있는 여러 효율적인 알고리즘이 존재한다. 예를 들어, 위너-힌친 정리는 두 번의 고속 푸리에 변환 (FFT)을 사용하여 원본 데이터 에서 자기상관을 계산할 수 있게 한다.
여기서 IFFT는 역 고속 푸리에 변환을 나타낸다. 별표는 켤레 복소수를 나타낸다.
또는, 다중 상관은 낮은 값에 대해 무차별 대입 계산을 수행한 다음, 로그 밀도로 데이터를 점진적으로 묶어 더 높은 값을 계산함으로써 동일한 효율성을 얻지만, 메모리 요구 사항은 더 낮아진다.
평균과 분산이 알려진 이산 과정에서 formula_70개의 관측치 formula_109를 관찰했을 때, 자기상관 계수의 추정치는 다음과 같이 얻을 수 있다.
모든 양의 정수 formula_111에 대해. 실제 평균 formula_16와 분산 formula_17이 알려져 있을 때, 이 추정치는 불편 추정량이다. 과정의 실제 평균과 분산이 알려져 있지 않은 경우 몇 가지 가능성이 있다.
마지막 유형의 추정치들의 장점은 formula_120의 함수로서 추정된 자기상관 세트가 정확히 그 자기상관을 갖는 이론적 과정을 정의할 수 있다는 의미에서 유효한 자기상관 함수를 형성한다는 것이다. 다른 추정치들은 formula_121의 선형 조합의 분산을 계산하는 데 사용될 경우, 계산된 분산이 음수가 될 수 있다는 문제점을 가질 수 있다.
회귀 분석.
시계열 데이터를 사용하는 회귀 분석에서는 관심 변수의 자기상관이 일반적으로 자기회귀모형 (AR), 이동평균 모델 (MA), 이들의 조합인 자기회귀-이동평균 모델 (ARMA), 또는 후자의 확장인 자기회귀 누적 이동평균 모델 (ARIMA)로 모델링된다. 여러 상호 관련 데이터 계열의 경우 벡터자기회귀모형 (VAR) 또는 그 확장이 사용된다.
정규방정식 (OLS)에서 모델 사양의 적절성은 부분적으로 회귀 잔차의 자기상관이 있는지 여부를 확인하여 점검할 수 있다. 관찰되지 않는 오차의 문제적 자기상관은 일반적으로 관찰 가능한 잔차에서 자기상관을 생성하므로 감지할 수 있다. (오차는 계량경제학에서 "오차 항"으로도 알려져 있다.) 오차의 자기상관은 오차 항이 상관 없다는 정규방정식 가정을 위반하며, 이는 가우스-마르코프 정리가 적용되지 않고 OLS 추정량이 더 이상 최량 선형 불편 추정량(BLUE)이 아님을 의미한다. OLS 계수 추정량을 편향시키지는 않지만, 낮은 지연에서 오차의 자기상관이 양수일 때 표준 오차는 과소평가되는 경향이 있다 (그리고 t-점수는 과대평가된다).
1차 자기상관 존재에 대한 전통적인 검정은 더빈-왓슨 통계량이거나, 설명 변수에 지연된 종속 변수가 포함된 경우 더빈의 h 통계량이다. 그러나 더빈-왓슨은 값과 그 지연 사이의 피어슨 상관으로 선형적으로 매핑될 수 있다. 더 높은 차수의 자기상관을 다루고, 회귀 변수에 종속 변수의 지연이 포함되는지 여부에 관계없이 적용 가능한 더 유연한 검정은 브뢰슈-갓프리 검정이다. 이 검정은 보조 회귀를 포함하는데, 여기서 관심 모델을 추정하여 얻은 잔차를 (a) 원래 회귀 변수와 (b) 잔차의 k개 지연(여기서 'k'는 검정의 차수)에 대해 회귀한다. 이 보조 회귀에서 검정통계량의 가장 간단한 버전은 TR2인데, 여기서 T는 표본 크기이고 R2는 결정계수이다. 자기상관이 없다는 귀무 가설 하에서, 이 통계량은 k 자유도를 가진 카이제곱 분포 formula_122로 점근적으로 분포한다.
0이 아닌 자기상관에 대한 대응책에는 일반화 최소제곱과 뉴웨이-웨스트 HAC 추정량 (이분산성 및 자기상관 일관성)이 포함된다.
이동평균 모델 (MA)의 추정에서 자기상관 함수는 포함될 지연 오차 항의 적절한 수를 결정하는 데 사용된다. 이는 q차 MA 과정의 경우 formula_123에 대해 formula_124이고, formula_125에 대해 formula_126이라는 사실에 기반한다.
자기상관이 자료에서 반복되는 패턴을 찾는 능력은 다음과 같은 많은 응용 분야를 낳는다.
계열 의존성.
계열 의존성은 자기상관 개념과 밀접하게 관련되어 있지만, 별개의 개념을 나타낸다 ( 상관 분석과 의존성 참조). 특히, 계열 의존성이 있지만 (선형) 상관이 없을 수도 있다. 그러나 일부 분야에서는 두 용어가 동의어로 사용된다.
확률 변수의 시계열은 계열에서 어떤 시간 formula_2의 값이 다른 시간 formula_128의 값에 통계적으로 의존하는 경우 계열 의존성을 갖는다. 계열은 어떤 쌍 사이에도 의존성이 없는 경우 계열 독립적이다.
시계열 formula_1가 정상이면, 쌍 formula_130 사이의 통계적 의존성은 동일한 지연 formula_131에서 모든 값 쌍 사이에 통계적 의존성이 있음을 의미한다.
스킵 그래프()는 스킵 리스트를 기반으로 하는 일종의 분산 자료 구조이다. 이것은 2003년 제임스 아스프네스(James Aspnes)와 가우리 샤(Gauri Shah)가 발명했다. 거의 동일한 자료 구조인 스킵넷(SkipNet)은 2003년에 니콜라스 하비(Nicholas Harvey), 마이클 존스(Michael Jones), 스테판 사로이우(Stefan Saroiu), 마빈 타임머(Marvin Theimer), 알렉 울먼(Alec Wolman)이 독자적으로 발명했다.
스킵 그래프는 분산 시스템에서 균형 잡힌 트리의 모든 기능을 수행한다. 스킵 그래프는 주로 P2P 네트워크 검색에 사용된다. 키 정렬을 통해 쿼리 기능을 제공하므로 해시 테이블 기능에만 의존하는 검색 도구보다 개선되었다. 스킵 리스트 및 다른 트리 자료 구조와 달리 매우 탄력적이며 많은 노드 실패를 허용할 수 있다. 또한 노드 실패로 인해 방해받는 스킵 그래프를 구성하고, 삽입하고, 검색하고, 복구하는 것은 간단한 알고리즘으로 수행할 수 있다.
스킵 그래프는 스킵 리스트를 기반으로 하는 분산 자료 구조로, 균형 잡힌 탐색 트리를 닮도록 설계되었다. 스킵 그래프는 네트워크 전반에 걸쳐 다른 위치에 저장된 리소스를 리소스의 이름(또는 키)을 기반으로 찾아내는 데 사용되는 분산 해시 테이블을 구현하는 여러 방법 중 하나이다.
스킵 그래프는 Chord 및 Tapestry와 같은 다른 분산 해시 테이블 방식에 비해 여러 이점을 제공한다. 예상 로그 시간 내에 추가 및 삭제가 가능하며, 인덱싱 정보 저장에 리소스당 로그 공간이 필요하고, 세트에 있는 노드 수를 알 필요가 없으며, 복잡한 범위 쿼리를 지원한다. Chord 및 Tapestry와의 주요 차이점은 리소스의 검색 키를 해싱하지 않아 관련 리소스가 스킵 그래프에서 서로 가까이 있을 수 있다는 점이다. 이 속성 덕분에 주어진 범위 내의 값을 검색하는 것이 가능하다. 스킵 그래프의 또 다른 장점은 무작위 및 적대적 실패 모델 모두에서 노드 실패에 대한 탄력성이다.
스킵 리스트와 마찬가지로, 노드는 여러 레벨에 걸쳐 증가하는 순서로 배열된다. 레벨 i의 각 노드는 확률 p(조정 가능한 매개변수)로 레벨 i+1에 포함된다.
레벨 0은 세트의 모든 노드를 포함하는 하나의 이중 연결 리스트로 구성된다. 리스트는 상위 레벨로 갈수록 점점 희소해져, 결국 하나의 노드만으로 구성된 리스트가 된다. 스킵 그래프가 스킵 리스트와 다른 점은 각 레벨 i≥1에 여러 개의 리스트가 포함된다는 것이다. 리스트에 키 x가 포함되는지 여부는 멤버십 벡터 에 의해 정의된다. 멤버십 벡터는 고정된 알파벳에 대한 무한 임의 단어로 정의되며, 스킵 그래프의 각 리스트는 동일한 알파벳의 유한 단어 w로 식별된다. 이 단어가 의 접두사이면 노드 x는 해당 리스트의 멤버이다.
스킵 그래프는 검색, 삽입 및 삭제의 기본 작업을 지원한다. 스킵 그래프는 더 복잡한 범위 검색 작업도 지원한다.
스킵 그래프의 검색 알고리즘은 스킵 리스트의 검색 알고리즘과 거의 동일하지만, 분산 시스템에서 실행되도록 수정되었다. 검색은 최상위 레벨에서 시작하여 구조를 통과한다. 각 레벨에서 검색은 다음 노드가 더 큰 키를 포함할 때까지 리스트를 통과한다. 더 큰 키가 발견되면 검색은 다음 레벨로 내려가 키를 찾거나 키가 노드 집합에 포함되어 있지 않다고 판단될 때까지 계속된다. 키가 노드 집합에 포함되어 있지 않으면 검색 키보다 작은 가장 큰 값이 반환된다.
리스트의 각 노드에는 다음 필드가 있다.
search(searchOp, startNode, searchKey, level)
if (v.key = searchKey) then
send(foundOp, v) to startNode
if (v.key &lt; searchKey) then
while level ≥ 0
if (v.neighbor[R][level].key ≤ searchKey) then
send(searchOp, startNode, searchKey, level) to v.neighbor[R][level]
level = level - 1
if ((v.neighbor[L][level]).key ≥ searchKey) then
send(searchOp, startNode, searchKey, level) to v.neighbor[L][level]
if (level &lt; 0) then
send(notFoundOp, v) to startNode
윌리엄 퍼그(William Pugh)의 분석에 따르면, 평균적으로 스킵 리스트는 고정된 값에 대해 formula_1 레벨을 포함하며, 이는 스킵 그래프에도 확장된다. 각 레벨당 평균 formula_2 노드만 검색된다고 가정하면, 전송되는 총 메시지 수는 formula_3이며, 검색 예상 시간은 formula_3이다. 따라서 고정된 값에 대해, 검색 작업은 메시지를 사용하여 시간이 걸릴 것으로 예상된다.
삽입은 두 단계로 이루어지며, 새로운 노드 가 소개 노드 를 알고 있어야 한다. 소개 노드는 현재 스킵 그래프에 있는 다른 어떤 노드라도 될 수 있다. 첫 번째 단계에서 새로운 노드 는 소개 노드 를 사용하여 자신의 키를 검색한다. 이 검색은 실패하고 보다 작은 가장 큰 키를 가진 노드 를 반환할 것으로 예상된다. 두 번째 단계에서 는 최상위 레벨의 리스트에서 유일한 요소가 될 때까지 각 레벨에 자신을 삽입한다. 각 레벨에서의 삽입은 표준 이중 연결 리스트 연산을 사용하여 수행된다. 왼쪽 이웃의 다음 포인터는 새 노드를 가리키도록 변경되고, 오른쪽 이웃의 이전 포인터는 새 노드를 가리키도록 변경된다.
insert into level L from
Scan through level to find such which has membership vector matching membership vector of for first +1 characters
if no exists
= + 1
검색과 유사하게, 삽입 작업은 예상 O(log n) 메시지와 O(log n) 시간을 소비한다. 고정된 p 값으로, 1단계의 검색 작업은 O(log n) 시간과 메시지를 소비할 것으로 예상된다. 2단계에서 각 레벨 L ≥ 0에서, 는 평균적으로 1/p의 다른 노드와 통신하여 '를 찾는데, 이는 O(1/p) 시간과 메시지를 필요로 하며, 2단계의 각 단계마다 O(1) 시간과 메시지로 이어진다.
노드는 각 레벨에서 병렬로 O(1) 시간과 O(log n) 메시지로 삭제될 수 있다. 노드가 그래프를 떠나기를 원할 때, 즉시 이웃에게 메시지를 보내 다음 및 이전 포인터를 재배열해야 한다.
for L = 1 to max level, in parallel
delete u from each level.
delete u from level 0
스킵 그래프는 평균 O(log n) 레벨을 포함한다. 각 레벨에서 u는 이중 연결 리스트에서 삭제 작업을 완료하기 위해 2개의 메시지를 보내야 한다. 각 레벨의 작업은 병렬로 수행될 수 있으므로, 삭제 작업은 O(1) 시간과 예상 O(log n) 메시지를 사용하여 완료될 수 있다.
결함 허용.
스킵 그래프에서 결함 허용은 다른 노드의 실패로 인해 스킵 그래프에서 연결이 끊어질 수 있는 노드의 수를 의미한다. 무작위 실패와 적대적 실패의 두 가지 실패 모델이 조사되었다. 무작위 실패 모델에서는 어떤 노드든지 다른 노드와 독립적으로 어떤 확률로든 실패할 수 있다. 적대적 모델은 노드 실패가 각 단계에서 최악의 실패를 달성하도록 계획되며, 전체 스킵 그래프 구조가 알려져 있고 노드 단절을 최대화하도록 실패가 선택된다고 가정한다. 스킵 그래프의 단점은 복구 메커니즘이 없다는 것이다. 현재 스킵 그래프를 제거하고 복구하는 유일한 방법은 살아남은 노드로 새로운 스킵 그래프를 구축하는 것이다.
무작위 실패.
스킵 그래프는 무작위 오류에 매우 강하다. 이웃 노드의 상태 정보를 유지하고, 실패한 이웃을 피하기 위해 중복 링크를 사용함으로써 많은 노드 오류에도 불구하고 정상적인 작업을 계속할 수 있다. 실패한 노드의 수가 formula_5 미만인 동안 스킵 그래프는 정상적으로 계속 작동할 수 있다. 제임스 아스프네스가 수행한 시뮬레이션에 따르면, 131072개의 노드를 가진 스킵 그래프는 살아남은 노드들이 고립되기 전까지 최대 60%의 노드 오류를 견딜 수 있었다. 다른 분산 데이터 구조들이 더 높은 수준의 탄력성을 달성할 수도 있지만, 그들은 훨씬 더 복잡한 경향이 있다.
적대적 실패.
적대적 실패는 최악의 실패 패턴을 찾기 어렵기 때문에 대규모 네트워크에서 시뮬레이션하기 어렵다. 이론적 분석에 따르면, 탄력성은 그래프의 정점 확장 비율에 따라 달라지며, 이는 다음과 같이 정의된다. 그래프 G에서 노드 집합 A에 대해, 확장 요소는 A에 속하지 않지만 A의 노드에 인접한 노드의 수를 A의 노드 수로 나눈 값이다. 스킵 그래프가 formula_6의 충분히 큰 확장 비율을 가진다면, f개의 실패가 특별히 목표로 설정되더라도 최대 개의 노드만 분리될 수 있다.
통계학에서 확률 변수의 수열은 모든 확률 변수가 동일한 유한 분산을 가질 때 등분산성(homoscedasticity, )을 띠며, 이는 분산의 동질성(homogeneity of variance)으로도 알려져 있다. 상보적인 개념은 이분산성(heteroscedasticity)이라고 불리며, 이는 분산의 이질성(heterogeneity of variance)으로도 알려져 있다. "Skedasticity"는 "분산시키다"를 의미하는 고대 그리스어 "skedánnymi"에서 유래한다.
변수가 실제로는 이분산성을 띠는데도 등분산성을 띤다고 가정하면 편향되지 않은 그러나 비효율적인 점 추정과 표준 오차의 편향된 추정으로 이어지며, 피어슨 계수로 측정된 적합도를 과대평가할 수 있다.
이분산성의 존재는 회귀 분석 및 분산 분석에서 주요 관심사인데, 이는 모델링 오차가 모두 동일한 분산을 가진다고 가정하는 통계적 유의성 검정을 무효화하기 때문이다. 정규방정식 (OLS) 추정량은 이분산성이 존재하더라도 편향되지 않지만, 비효율적이며 등분산성 가정에 기반한 추론은 오해를 불러일으킨다. 그런 경우, 과거에는 일반화 최소 제곱법 (GLS)이 자주 사용되었다. 오늘날 계량경제학에서 표준 관행은 GLS를 사용하는 대신 이분산성-일치 표준 오차를 포함하는 것인데, 이는 실제 분산 함수를 알 수 없는 경우 GLS가 작은 표본에서 강한 편향을 보일 수 있기 때문이다.
이분산성은 오차의 두 번째 모멘트의 기댓값에 관련되므로, 그 존재는 두 번째 차수의 오류 지정으로 언급된다.
계량경제학자 로버트 엥글은 이분산성이 존재하는 회귀 분석에 대한 연구로 2003년 노벨 경제학상을 수상했으며, 이는 ARCH 모형 (ARCH) 모델링 기법의 정식화로 이어졌다.
선형 회귀 방정식 formula_1를 고려하자. 여기서 종속 확률 변수 formula_2는 평균이 0인 무작위 교란항 formula_3에 계수 formula_4를 곱한 결정론적 변수 formula_5와 같다. 교란항의 분산 formula_3가 상수 formula_7이면 교란항은 등분산성을 띠며, 그렇지 않으면 이분산성을 띤다. 특히, formula_3의 분산이 formula_9 또는 formula_5의 값에 따라 달라지면 교란항은 이분산성을 띤다. 이분산성을 띠는 한 가지 방법은 formula_11 (분산 함수의 예)인 경우이며, 따라서 분산은 formula_12 값에 비례한다.
더 일반적으로, formula_9에 걸친 교란항 formula_3의 공분산 행렬의 비정상 대각선이 있다면, 교란항은 이분산성을 띤다. 아래 행렬들은 시간에 걸쳐 세 가지 관측치만 있을 때의 공분산이다. 행렬 A의 교란항은 등분산성을 띠며, 이는 OLS가 최적 선형 불편 추정량인 간단한 경우이다. 행렬 B와 C의 교란항은 이분산성을 띤다. 행렬 B에서 분산은 시간이 지남에 따라 꾸준히 증가하며, 행렬 C에서 분산은 formula_12 값에 따라 달라진다. 행렬 D의 교란항은 등분산성을 띠는데, 이는 대각선 분산이 상수이며, 비대각선 공분산이 0이 아니더라도 다른 이유, 즉 계열 상관 때문에 정규방정식은 비효율적이다.
이분산성은 관측치의 크기 사이에 큰 차이가 있을 때 자주 발생한다.
이분산성의 고전적인 예는 소득과 식사 비용 간의 관계이다. 부유한 사람은 때로는 값싼 음식을 먹고 때로는 비싼 음식을 먹을 수 있다. 가난한 사람은 거의 항상 값싼 음식을 먹을 것이다. 따라서 소득이 높은 사람들은 식비 지출에서 더 큰 변동성을 보인다.
로켓 발사 시, 관찰자는 로켓이 이동한 거리를 초당 한 번 측정한다. 처음 몇 초 동안 측정값은 센티미터 단위로 정확할 수 있다. 5분 후, 측정값의 정확도는 증가된 거리, 대기 왜곡 및 다양한 다른 요인으로 인해 100m까지만 좋을 수 있다. 따라서 거리 측정값은 이분산성을 보일 수 있다.
고전적인 선형 회귀 모형의 가정 중 하나는 이분산성이 없다는 것이다. 이 가정을 위반하면 가우스-마르코프 정리가 적용되지 않으므로, OLS 추정량이 최적 선형 불편 추정량(BLUE)이 아니며 그 분산이 다른 모든 불편 추정량 중에서 가장 낮지 않다는 의미가 된다.
이분산성은 정규방정식 계수 추정값을 편향되게 만들지는 않지만, 계수의 분산 (따라서 표준 오차)에 대한 정규방정식 추정값을 편향되게 만들 수 있으며, 이는 실제 모집단 분산보다 높거나 낮을 수 있다. 따라서 이분산성 데이터를 사용한 회귀 분석은 예측 변수와 결과 간의 관계에 대한 불편 추정값을 여전히 제공하지만, 데이터 분석에서 얻은 표준 오차 및 추론은 의심스럽다. 편향된 표준 오차는 편향된 추론으로 이어지므로 가설 검정 결과가 잘못될 수 있다. 예를 들어, 이분산성 데이터 집합에서 OLS를 수행하여 편향된 표준 오차 추정값을 얻으면, 연구자는 주어진 유의성 수준에서 귀무 가설을 기각하지 못할 수 있으며, 실제로는 그 귀무 가설이 실제 모집단(즉, 2종 오류를 범함)을 특징짓지 않는 경우이다.
특정 가정 하에서, OLS 추정량은 적절히 정규화되고 중심화될 때 정규 점근 분포를 가진다 (데이터가 정규 분포에서 오지 않는 경우에도). 이 결과는 가설 검정을 수행할 때 정규 분포 또는 카이제곱 분포 (검정통계량이 계산되는 방식에 따라 다름)를 사용하는 것을 정당화하는 데 사용된다. 이는 이분산성 하에서도 유효하다. 더 정확하게는, 이분산성이 존재하는 OLS 추정량은 적절히 정규화되고 중심화될 때 점근적으로 정규 분포를 따르며, 등분산성 경우와는 다른 분산-공분산 행렬을 가진다. 1980년에 화이트는 OLS 추정량의 점근 분포의 분산-공분산 행렬에 대한 일치 추정량을 제안했다. 이는 OLS 추정량과 화이트의 분산-공분산 추정량을 사용하여 이분산성 하에서 가설 검정을 사용하는 것을 유효화한다.
이분산성은 분산 분석 문제에서 발생하는 주요 실제 문제이기도 하다.
F 검정은 일부 상황에서 여전히 사용될 수 있다.
그러나 계량경제학을 전공하는 학생들은 이분산성에 과민 반응해서는 안 된다는 말이 있다. 한 저자는 "오차 분산의 불균등은 문제가 심각할 때에만 수정할 가치가 있다"라고 썼다. 또한, 또 다른 경고는 "이분산성은 결코 다른 좋은 모형을 버릴 이유가 되지 않는다"라는 형태로 주어졌다. 오차항의 조건부 두 번째 모멘트를 지정하지 않고도 추론을 가능하게 하는 이분산성-일치 표준 오차의 등장으로, 조건부 등분산성 검정은 과거만큼 중요하지 않다.
그러나 모든 비선형 모형(예: 로짓 및 프로빗 모형)의 경우 이분산성은 더 심각한 결과를 초래한다. 모수의 최대 가능도 추정값(MLE)은 일반적으로 편향될 뿐만 아니라 비일관적이다(가능도 함수가 이분산성의 정확한 형태를 올바르게 고려하도록 수정되거나 분포가 선형 지수족의 구성원이고 조건부 기댓값 함수가 올바르게 지정된 경우가 아니면). 하지만 이항 선택 모형(로짓 또는 프로빗)의 맥락에서 이분산성은 오지정된 MLE(즉, 이분산성을 무시한 모형)의 점근 평균에 대한 긍정적인 스케일링 효과만을 초래한다. 결과적으로 오지정된 MLE를 기반으로 한 예측은 여전히 정확할 것이다. 또한 오지정된 프로빗 및 로짓 MLE는 점근적으로 정규 분포를 따르므로 일반적인 유의성 검정(적절한 분산-공분산 행렬 포함)을 수행할 수 있다. 그러나 일반적인 가설 검정과 관련하여 그린이 지적했듯이 "그렇지 않으면 일관성이 없는 추정량에 대해 단순히 강건한 공분산 행렬을 계산하는 것만으로는 구제되지 않는다. 결과적으로 이 설정에서 강건한 공분산 행렬의 가치는 불분명하다."
이분산성에 대한 몇 가지 일반적인 수정 방법이 있다. 다음과 같다.
검정.
잔차는 브로이시-페이건 검정을 사용하여 등분산성 여부를 검정할 수 있다. 이 검정은 독립 변수에 대한 제곱 잔차의 보조 회귀를 수행한다. 이 보조 회귀에서 설명된 제곱합이 유지되고, 2로 나눈 다음, 독립 변수의 수와 동일한 자유도를 가진 카이제곱 분포에 대한 검정 통계량이 된다. 이 카이제곱 검정의 귀무 가설은 등분산성이고, 대립 가설은 이분산성을 나타낸다. 브로이시-페이건 검정은 정규성 이탈 또는 작은 표본 크기에 민감하기 때문에, 코엔커-바셋 또는 '일반화된 브로이시-페이건' 검정이 대신 흔히 사용된다. 보조 회귀에서 R-제곱 값이 유지되고, 표본 크기로 곱한 다음, 카이제곱 분포에 대한 검정 통계량이 된다 (동일한 자유도 사용). 코엔커-바셋 검정에는 필요하지 않지만, 브로이시-페이건 검정에서는 제곱 잔차를 잔차 제곱합을 표본 크기로 나눈 값으로도 나누어야 한다. 그룹별 이분산성 검정은 골드펠드-콴트 검정으로 수행할 수 있다.
이분산성-일치 표준 오차의 표준 사용과 사전 검정 문제로 인해, 오늘날 계량경제학자들은 조건부 이분산성 검정을 거의 사용하지 않는다.
검정 목록.
그룹 간 이분산성 검정은 형식적으로 회귀 모델 내 검정의 특수한 경우로 간주될 수 있지만, 일부 검정은 이 경우에 특정한 구조를 가지고 있다.
등분산성 분포.
두 개 이상의 정규 분포, formula_21는 공분산 행렬에서 동일한 대각선을 공유하고 formula_22 비대각선 항목이 0이면 등분산성 및 자기상관이 없다. 등분산성 분포는 통계적 패턴 인식 및 기계 학습 알고리즘을 도출하는 데 특히 유용하다. 등분산성을 가정하는 알고리즘의 인기 있는 예로는 피셔의 선형 판별 분석이 있다.
등분산성 개념은 구형 분포에도 적용될 수 있다.
다변량 데이터.
등분산성 및 이분산성 연구는 스칼라 관측치의 분산 대신 벡터 관측치의 공분산을 다루는 다변량 사례로 일반화되었다. 이 중 한 가지 버전은 공분산 행렬을 다변량 산포 측정값으로 사용하는 것이다. 여러 저자들이 회귀 및 그룹화된 데이터 상황 모두에서 이 맥락의 검정들을 고려했다. 그룹화된 데이터 간의 이분산성에 대한 바틀렛 검정은 단변량 사례에서 가장 흔히 사용되었지만, 다변량 사례로도 확장되었다. 그러나 다루기 쉬운 해법은 두 그룹에 대해서만 존재한다. 두 개 이상의 그룹에 대한 근사치는 존재하며, 둘 다 박스의 M 검정이라고 불린다.
대부분의 통계 교과서에는 등분산성 및 이분산성에 대한 내용이 포함되어 있다. 몇 가지 예는 다음과 같다.
홍범석(1986년생)은 대한민국의 전 특수전사령부 군인, 전 소방공무원, 피트니스 콘텐츠 크리에이터이자 하이록스 선수이다. 2018년 충주 세계소방관경기대회 최강소방관(TFA)에서 우승했고, 2020년 경기도 소방기술경연대회에서 ‘몸짱소방관’ 1위를 차지했다. 예능·리얼리티 프로그램으로는 SBS 《더 솔져스》(2021~2022), KBS2 《생존게임 코드 레드》(2023), tvN STORY·ENA 《씨름의 제왕》(2022), 넷플릭스 《피지컬: 100》 시즌 1·2(2023~2024), 채널A·ENA 《강철부대3》(2023) 등에 출연했으며, 《피지컬: 100》 시즌 2에서는 준우승했다. 특히 2023년 《강철부대3》에서는 707팀 일원으로 결승까지 진출하여 준우승을 기록했다. 이후 하이록스(HYROX) 대회에 꾸준히 참가하며 혼성 릴레이 아시아 챔피언 등 성적을 내고, 2024년 홍콩 오픈 아시안 챔피언십 등 역내 대회에도 출전했다. 군 전역 후에는 경기도 용인소방서 구조대원으로 근무하다가 2022년에 퇴직했으며, 현재는 기능성·하이록스 특화 체육시설 ‘NED GYM’를 운영한다.
광주광역시에서 태어나 군 복무와 소방 경력을 거쳐 예능·스포츠 분야로 활동을 확장했다. 배우자는 정다영이며, 두 아들이 있다.
2022년 소방 공직을 떠난 뒤, 기능성·하이브리드 트레이닝 콘셉트의 ‘NED GYM(No Easy Day)’을 설립·운영하였다. 2025년에는 서울 청담점 오픈이 보도되었다. 운동 대중화와 기록 추구를 병행하며, 유튜브 채널을 통해 훈련법·하이록스 전략·안전 인식을 전파하고 있다.
군·소방 경력을 거쳐 2022년 퇴직 후 가족과 용인에 거주한다. 배우자는 정다영이며, 두 아들과 함께 생활한다.
그랜저 인과성 검정(Granger causality test)은 1969년에 처음 제안된 한 시계열이 다른 시계열을 예측하는 데 유용한지 여부를 결정하기 위한 통계적 가설 검정이다. 일반적으로 회귀 분석은 "단순한" 상관 분석을 반영하지만, 클라이브 그레인저는 다른 시계열의 이전 값을 사용하여 시계열의 미래 값을 예측하는 능력을 측정함으로써 경제학에서의 인과관계를 검정할 수 있다고 주장했다. "진정한 인과관계" 문제는 깊이 철학적이며, 한 사건이 다른 사건에 선행하는 것이 인과관계의 증명으로 사용될 수 있다는 이 뒤에 따라서 이 때문에 오류 때문에 계량경제학자들은 그랜저 검정이 "예측적 인과관계"만을 발견한다고 주장한다. "인과관계"라는 용어 자체를 사용하는 것은 오해의 소지가 있는데, 그랜저 인과관계는 "선행"으로 더 잘 설명되거나, 그랜저 자신이 1977년에 나중에 주장했듯이 "시간적으로 관련되어 있다"고 설명된다. X가 Y를 유발하는지 여부를 검정하기보다는 그랜저 인과성 검정은 X가 Y를 예측하는지 여부를 검정한다.
시계열 X가 Y의 그랜저 원인이라고 말하는 것은, 일반적으로 X의 지연 값 (Y의 지연 값도 포함)에 대한 일련의 T-검정 및 F-테스트를 통해, 이 X 값들이 Y의 미래 값에 대해 통계적으로 유의미한 정보를 제공한다는 것을 보여줄 수 있을 때이다.
그랜저는 또한 경제학 이외의 분야에서 "그랜저 인과성" 검정을 사용한 일부 연구가 "우스꽝스러운" 결론에 도달했다고 강조했다. 그는 노벨 강연에서 "물론 많은 우스꽝스러운 논문들이 나왔다"고 말했다. 그러나 계산상의 단순성 때문에 시계열 인과성 분석에서 여전히 인기 있는 방법으로 남아 있다. 그랜저 인과성의 원래 정의는 교락하는 잠재적 효과를 설명하지 못하며, 즉각적이고 비선형적인 인과 관계를 포착하지 못한다. 이러한 문제를 해결하기 위한 여러 확장이 제안되었다.
시간이 지남에 따라 진화하는 변수 X가 다른 진화 변수 Y를 그랜저 원인한다고 말하는 것은, Y 자체의 과거 값과 X의 과거 값을 기반으로 한 Y 값의 예측이 Y 자체의 과거 값만을 기반으로 한 Y 예측보다 더 나을 때이다.
그랜저는 두 가지 원리에 기반하여 인과 관계를 정의했다:
인과관계에 대한 이 두 가지 가정을 바탕으로 그랜저는 formula_1가 formula_2에 미치는 인과 효과를 식별하기 위해 다음 가설을 검정할 것을 제안했다.
여기서 formula_4는 확률을 나타내고, formula_5는 임의의 비어 있지 않은 집합이며, formula_6와 formula_7는 각각 시간 formula_8 기준으로 전체 우주에서 이용 가능한 정보와 formula_1가 제외된 수정된 우주에서 이용 가능한 정보를 나타낸다. 위 가설이 받아들여지면, formula_1가 formula_2의 그랜저 원인이라고 말한다.
정상 과정인 시계열의 경우, 두 개 이상의 변수 수준 값을 사용하여 검정이 수행된다. 변수가 비정상 과정인 경우, 첫 번째 (또는 더 높은) 차분을 사용하여 검정을 수행한다. 포함할 시차의 수는 일반적으로 아카이케 정보 기준 또는 베이시안 정보 기준과 같은 정보 기준을 사용하여 선택한다. 변수 중 하나의 특정 지연 값은 (1) t-검정에 따라 유의미하고, (2) 해당 값과 변수의 다른 지연 값들이 F-검정 (귀무가설은 x의 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 모델에 설명력을 공동으로 추가하는 경우 회귀에 유지된다. 그런 다음 그랜저 인과성이 없다는 귀무 가설은 설명 변수의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.
실제로는 두 변수 중 어느 것도 다른 변수의 그랜저 원인이 아니거나, 두 변수 각각이 다른 변수의 그랜저 원인인 것으로 밝혀질 수 있다.
y와 x가 정상 시계열이라고 하자. x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설을 검정하기 위해, 먼저 y의 단변량 자기회귀모형에 포함할 y의 적절한 지연 값을 찾는다.
다음으로, 자기회귀에 x의 지연 값을 포함하여 확장한다.
이 회귀에서 t-통계량에 따라 개별적으로 유의미한 x의 모든 지연 값은, F-검정 (귀무 가설은 x 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 회귀에 설명력을 공동으로 추가하는 경우에만 유지된다. 위 확장 회귀의 표기법에서 p는 x의 지연 값이 유의미한 가장 짧은 지연 길이이고, q는 가장 긴 지연 길이이다.
x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설은 x의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.
다변량 그랜저 인과성 분석은 일반적으로 벡터자기회귀모형 (VAR)을 시계열에 맞춰 수행된다. 특히, formula_14에 대해 formula_15가 formula_16차원 다변량 시계열이라고 하자. 그랜저 인과성은 formula_17 시간 지연을 갖는 VAR 모델을 다음과 같이 맞춰 수행된다.
여기서 formula_19는 백색 가우시안 랜덤 벡터이고, formula_20는 각 formula_21에 대한 행렬이다. 시계열 formula_22는 formula_23에 대해 formula_24의 요소 중 적어도 하나가 0보다 유의미하게 크면 (절대값으로) 다른 시계열 formula_25의 그랜저 원인이라고 한다.
비모수 검정.
위의 선형 방법은 평균에서의 그랜저 인과성을 검정하는 데 적합하다. 그러나 이들은 분산과 같은 고차 모멘트에서의 그랜저 인과성을 감지할 수 없다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 이 문제를 해결하기 위해 고안되었다. 이러한 검정에서의 그랜저 인과성 정의는 일반적이며 선형 자기회귀 모형과 같은 모델링 가정을 포함하지 않는다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 고차 모멘트 및 비선형성을 포함하는 더 나은 모수 모델을 구축하기 위한 진단 도구로 사용될 수 있다.
이름에서 알 수 있듯이, 그랜저 인과성은 반드시 진정한 인과성은 아니다. 만약 X와 Y 둘 다 다른 지연을 가진 공통의 세 번째 과정에 의해 움직인다면, 그랜저 인과성의 대립 가설을 기각하지 못할 수도 있다. 그러나 변수 중 하나를 조작해도 다른 변수는 변하지 않을 것이다. 사실, 그랜저 인과성 검정은 변수 쌍을 다루도록 설계되었으며, 실제 관계가 세 개 이상의 변수를 포함할 때 오해의 소지가 있는 결과를 초래할 수 있다. 하지만, 인과성에 대한 확률적 관점을 고려할 때, 특히 라이헨바흐의 확률적 인과성에 대한 "차단(screening off)" 개념을 고려할 때, 그랜저 인과성은 그러한 의미에서 진정한 인과성으로 간주될 수 있다고 주장되어 왔다.
오해의 소지가 있는 검정 결과의 다른 가능한 원인은 다음과 같다: (1) 충분히 자주 또는 너무 자주 샘플링하지 않는 경우, (2) 비선형 인과 관계, (3) 시계열 비정상성 및 비선형성, (4) 합리적 기대의 존재. 더 많은 변수를 포함하는 유사한 검정은 벡터자기회귀모형을 사용하여 적용될 수 있다.
그랜저 인과성 검정의 유효성은 학술 문헌에서 의문을 제기받아왔는데, "어떤 가능한 인과성 정의의 가장 기본적인 요구 사항조차 그랜저 인과성 검정에 의해 충족되지 않는다... 인과성 정의는 과거로부터 미래를 예측하는 것을 언급해야 한다... 우리는 그랜저가 미래로부터 과거를 '예측'하는 것도 허용한다는 것을 발견한다"고 주장하는 논문에서였다.
오차항이 정규 분포를 따른다는 가정에서 벗어나는 것에 민감하지 않은 그랜저 인과성 방법이 개발되었다. 이 방법은 많은 금융 변수가 비정규 분포를 따르기 때문에 금융 경제학에서 특히 유용하다. 최근에는 양의 변화와 음의 변화의 인과적 영향을 분리하기 위해 문헌에서 비대칭 인과성 검정이 제안되었다. 그랜저 (비)인과성 검정의 패널 데이터에 대한 확장도 가능하다. GARCH (일반화 자기회귀 조건부 이분산성) 유형의 정수 값 시계열 모델을 기반으로 한 수정된 그랜저 인과성 검정은 여러 분야에서 사용 가능하다.
시변 그랜저 인과성.
그랜저 인과성을 동적이고 시변적인 특성을 포함하도록 확장하면 시계열 데이터에서 인과 관계가 시간에 따라 어떻게 진화하는지에 대한 더 미묘한 이해를 가능하게 한다. 이 방법론은 전통적인 그랜저 인과성 검정의 한계를 극복하고 다른 기간에 걸쳐 인과 관계의 변화를 이해하기 위해 Forward Expanding (FE), Rolling (RO), Recursive Evolving (RE) 창과 같은 재귀적 기술을 사용한다. 이 방법론의 핵심 측면은 Stata의 'tvgc' 명령어이다. 이더리움의 거래 수수료 및 경제 하위 시스템과 관련된 데이터와 같은 실증적 적용은 시간 경과에 따른 경제 관계의 동적 특성을 강조한다.
신경 기능에 대한 오랜 믿음은 뇌의 다른 영역이 특정 작업에 특화되어 있다는 것이었다. 즉, 특정 영역에 국소적인 구조적 연결성이 그 부분의 기능을 어떻게든 지시한다는 것이다. 여러 해 동안 수행된 연구를 모아, 뇌의 정보 흐름을 설명하기 위한 다른 네트워크 중심적 접근 방식으로 전환이 있어 왔다. 기능 설명은 뇌의 다른 수준과 다른 위치에 존재하는 네트워크 개념을 포함하기 시작했다. 이러한 네트워크의 동작은 시간이 지남에 따라 진화하는 비결정론적 과정으로 설명될 수 있다. 즉, 동일한 입력 자극이 주어졌을 때 네트워크에서 동일한 출력을 얻을 수 없을 수도 있다는 것이다. 이러한 네트워크의 역학은 확률에 의해 지배되므로, 뇌의 다른 영역 간의 이러한 종류의 역학을 포착할 수 있도록 확률 과정으로 취급한다.
과거에는 뉴런과 주변 앙상블의 발화 활동으로부터 정보 흐름의 어떤 척도를 얻는 다양한 방법이 탐구되었지만, 이들은 도출할 수 있는 결론의 종류에 한계가 있으며 정보의 방향 흐름, 그 효과 크기, 그리고 시간이 지남에 따라 어떻게 변할 수 있는지에 대한 통찰력을 거의 제공하지 못한다. 최근 그랜저 인과성은 이러한 문제 중 일부를 해결하기 위해 적용되었다. 간단히 말해, 뉴런의 미래를 가장 잘 예측하는 방법을 전체 앙상블을 사용하거나 특정 대상 뉴런을 제외한 전체 앙상블을 사용하여 조사한다. 대상 뉴런을 제외함으로써 예측이 더 나빠진다면, 현재 뉴런과 "g-인과" 관계를 가진다고 말한다.
점 과정 모델에 대한 확장.
이전의 그랜저 인과성 방법은 연속 값 데이터에만 작동할 수 있었기 때문에 신경 스파이크 트레인 기록 분석에는 데이터의 확률적 속성을 궁극적으로 변경하고, 그로부터 도출할 수 있는 결론의 유효성을 간접적으로 변경하는 변환이 필요했다. 그러나 2011년에는 신경 스파이크 트레인을 포함한 모든 양상에 직접 작동할 수 있는 새로운 범용 그랜저 인과성 프레임워크가 제안되었다.