shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
솔루션 .45는 기타리스트 야니 스테파노비치(Miseration, Divinefire, Essence of Sorrow)가 결성한 스웨덴의 멜로딕 데스 메탈 슈퍼그룹이었다. 최종 라인업은 보컬 크리스티안 엘베스탐(Miseration, ex-스카 스메트리), 기타리스트 스테파노비치와 패트릭 가드버그(Divinefire, Torchbearer, The Few Against Many, Ammotrack), 드러머 롤프 필베(Miseration, Essence of Sorrow, 스트라토바리우스), 베이시스트 헨릭 릴제산드(The Unguided, 사이퍼 시스템, Night Crowned, 나이트레이지, Dead by April)로 구성되었다.
2007년 말 야니 스테파노비치는 솔루션 .45를 결성했으며, 크리스티안 엘베스탐(2008년 스카 스메트리를 탈퇴)이 마지막 멤버 중 한 명으로 합류했다. 야니는 크리스티안이 밴드에 있음에도 불구하고, 스카 스메트리 클론이 아니며 그의 합류 전부터 곡들이 준비되어 있었다고 강조한다. 2008년 가을, 토마스 "플렉" 요한손(Unmoored, Scar Symmetry)이 프로듀싱한 8트랙 데모가 제작되었으며, "Clandestinity Now"라는 데모 트랙이 인터넷을 통해 공개되었다.
Solution .45는 2009년 9월 Panic Room Studios에 들어가 첫 정규 앨범 For Aeons Past를 녹음했으며, 다크 트랭퀼리티 보컬 미카엘 스탄네가 앨범 대부분의 가사를 썼다. 이 앨범은 2009년 12월에 완성 및 마스터링되었고, 유럽에서는 AFM 레코드를 통해, 일본에서는 Marquee/Avalon을 통해 발매되었다. 유럽에서는 2010년 4월 9일, 북미에서는 5월 11일에 발매되었다.
2010년 1월 23일, 밴드는 키보디스트 미코 하르킨과 결별한다고 발표했다. 미코는 여전히 앨범에 키보드 연주로 참여했지만, 영구 밴드 멤버라기보다는 게스트 뮤지션으로 간주된다. 또한, 2010년 5월 29일에는 야니 스테파노비치가 밴드를 원만하게 떠나며, 패트릭 가드버그(Torchbearer, The Few Against Many, Ammotrack 출신)가 그의 후임이 될 것이라고 발표되었다. 밴드는 여전히 미래 앨범을 포함한 향후 작업에 야니를 참여시키고 싶어한다.
2010년 8월 25일까지 Solution .45는 "Gravitational Lensing"의 뮤직비디오를 공개했다. "Lethean Tears"의 비디오는 2011년 7월 30일에 공개되었다.
2011년 8월 11일, 스테파노비치가 밴드로 돌아왔으며, 이제 밴드는 세 명의 기타리스트(스테파노비치, 가드너, 가드버그)를 포함하게 될 것이라고 발표되었다. 그 이후, 그룹의 베이시스트인 앤더스 에드룬드가 상호 합의 하에 그룹을 떠났다고 발표되었다.
2014년 중반 현재, 그룹은 두 번째와 세 번째 스튜디오 앨범을 작업 중이다.
2014년 7월 9일, 밴드는 톰 가드너가 밴드를 떠났다고 발표했다.
2015년 8월 31일, 공식 페이스북 페이지에서 밴드는 새 앨범의 1부가 2015년 11월 20일에 바이닐, CD 및 대부분의 디지털 플랫폼을 통해 전 세계적으로 발매될 것이라고 발표했다. 앨범 제목은 나중에 Nightmares In The Waking State: Part I로 결정되었다. Part I 발매에 이어, Nightmares in the Waking State: Part II는 2016년 8월에 발매되었다.
2023년 1월, 새 앨범이 작업 중이며 2024년 초까지 완성될 것으로 예상된다고 발표되었다. 그러나 밴드는 동기 부족으로 2024년 5월 해체를 발표했다.
최종 라인업
야니 스테파노비치 (1979년 5월 23일 출생)는 주로 스웨덴 데스 메탈을 연주하는 스웨덴의 다중 악기 연주자이다. 그는 13~14세경에 연주를 시작했다.
야니는 예테보리에서 핀란드인 어머니와 세르비아인 아버지 사이에서 태어났다. 그는 1993년에 어머니, 남동생, 여동생과 함께 핀란드 헬싱키로 이사했다. 야니는 2000년까지 핀란드에 살았다. 야니는 2000년에 스웨덴 예테보리로 돌아왔다. 2002년 Sins of omission에 합류한 후 스톡홀름으로 이사했다. 야니는 요리사 교육을 받았다. 야니 스테파노비치는 핀란드 출신의 동료 싱어송라이터인 카티아 스테파노비치와 결혼했다. 그들에게는 딸이 한 명 있다.
금융경제학에서 자산 가격 결정()은 아래에 설명된 두 가지 상호 관련된 가격 원칙에 대한 공식적인 처리 및 개발과 그 결과로 나타나는 모형들을 의미한다. 다양한 상황에 맞춰 많은 모형들이 개발되었지만, 이들은 일반균형 자산 가격 결정 또는 합리적 자산 가격 결정 (후자는 위험 중립 가격 결정에 해당한다)에서 파생된다.
거의 동의어인 투자 이론(Investment theory)은 투자를 선택하는 의사결정 과정을 지원하는 데 사용되는 지식 체계를 포괄하며, 자산 가격 결정 모형은 해당 투자에 대한 자산별 요구수익률을 결정하고 헤지하는 데 적용된다.
일반균형 자산 가격 결정.
일반균형이론 하에서 가격은 수요와 공급에 의해 시장 가격 결정을 통해 결정된다.
여기서 자산 가격은 각 자산의 공급량과 수요량이 해당 가격에서 일치해야 하는 요구 사항을 공동으로 충족한다. 이를 시장 청산이라고 한다. 이러한 모형은 현대 포트폴리오 이론에서 파생되었으며, 자본자산 가격결정 모형(CAPM)이 전형적인 결과이다. 여기서 가격은 거시경제 변수(CAPM의 경우 "전체 시장", CCAPM의 경우 전체 부)를 참조하여 결정되며, 개별 선호도는 그 안에 포함된다.
이러한 모형은 주어진 미래 투자 시점에서 "모든" 증권의 시장 가격의 통계적으로 도출된 확률 분포를 모델링하는 것을 목표로 한다. 따라서 이들은 "고차원"적이다. 수리금융학의 를 참조하라. 일반균형 가격 결정은 다양한 포트폴리오를 평가할 때 사용되며, 여러 자산에 대해 하나의 자산 가격을 생성한다.
여기서 투자 또는 주식 가치를 계산하는 것은 다음을 수반한다.
(i) 해당 사업 또는 프로젝트에 대한 재무 예측;
(ii) 여기서 산출 현금 흐름은 선택된 모형이 반환하는 비율로 할인된다. 이 비율은 다시 이 현금 흐름의 "위험성", 즉 비체계적 위험 또는 분산 불가능한 위험을 반영한다;
(iii) 이 현재가치들은 집계되어 해당 가치를 반환한다.
참조: , 및 할인 현금 흐름을 이용한 가치 평가.
합리적 가격 결정.
합리적 가격 결정 하에서 파생상품 가격은 기초자산 (균형에 의해 결정된) 증권 가격에 대해 차익거래가 없도록 계산된다.
논리의 개요는 을 참조하라.
일반적으로 이 접근 방식은 자산을 그룹화하지 않고 각 자산에 대해 고유한 위험 가격을 생성한다. 따라서 이 모형은 "저차원"적이다.
더 자세한 논의는 수리금융학의 를 참조하라.
옵션 가격과 그 "그릭스", 즉 민감도를 계산하는 것은 다음을 결합한다.
(i) 기초자산 가격 행동 또는 "과정"의 모형 - 즉, 관찰된 가격에 보정된 매개변수를 가진 선택된 자산 가격 결정 모형;
(ii) 기초자산 가격 범위에 대한 옵션 페이오프의 기댓값으로 프리미엄(또는 민감도)을 반환하는 수학적 방법.
참조: .
여기서 고전적인 모형은 블랙-숄즈로, 이는 파생상품을 포함하는 시장의 역학을 설명하며(옵션 가격 결정 공식), 더 일반적으로 마팅게일 가격 결정뿐만 아니라 위에서 나열된 모형들로 이어진다. 블랙-숄즈는 로그 정규 과정을 가정한다. 다른 모형들은 예를 들어, 평균회귀와 같은 특징을 통합하거나, 국소 변동성 또는 확률 변동성을 적용하여 "변동성 표면 인식"을 할 것이다.
합리적 가격 결정은 채권(단일 자산으로 구성됨)과 같은 고정 수입 증권에도 적용되며, 일반적으로 이자율 모델링에도 적용된다. 여기서 수익률 곡선은 개별 상품 가격에 대해 차익거래가 없어야 한다.
참조: , 부트스트랩 (금융), 및 멀티 커브 프레임워크.
위에 나열된 모형이 이 상품의 옵션 및 기타 이자율 파생상품에 어떻게 적용되는지에 대한 논의는 단기 이자율 모형 및 히스-재로우-모튼 프레임워크를 참조하라.
상호 관계.
이러한 원칙들은 자산 가격 결정의 기본 정리를 통해 상호 관련되어 있다.
여기서 "차익거래가 없는 경우, 시장은 가능한 시장 시나리오 집합에 대해 위험 중립 또는 균형 측정이라고 불리는 확률 분포를 부과하며, ... 이 확률 측정은 할인된 기댓값을 통해 시장 가격을 결정한다."
이에 상응하여, 이는 본질적으로 관찰된 균형 가격과 일치하는 (즉, 해결된) 위험 중립 확률 분포를 사용하여 재정적 결정을 내릴 수 있음을 의미한다. 을 참조하라.
관련하여, 두 접근 방식 모두 애로-드브뢰 이론이라고 불리는 것과 일치한다.
여기서 모형은 "상태 가격"의 함수로 도출될 수 있다. 상태 가격은 특정 시간에 특정 상태가 발생하면 하나의 수량 단위를 지불하고 그렇지 않으면 0을 지불하는 계약이다. 취하는 접근 방식은 증권 가격이 상태 가격의 선형 조합으로 반환될 수 있으므로 (우발적 청구권 분석), 반대로 상태 가격이 주어지면 가격 결정 또는 수익률 모형을 역으로 도출할 수 있다는 것을 인식하는 것이다.
예를 들어, CAPM은 위험회피를 전체 시장 수익률과 연결하고 가격에 대해 재진술함으로써 도출될 수 있다. 블랙-숄즈는 수많은 가능한 현물 가격(즉, 상태) 각각에 이항 확률을 부여한 다음 공식의 항들을 재정렬함으로써 도출될 수 있다.
우전(優旃, ? ~ ?)은 중국 진나라의 광대로, 난쟁이였으며 웃긴 말을 잘하였다.
시황제가 궁중에서 잔치를 베풀던 중 비가 쏟아졌다. 단 아래의 병사들은 비를 맞으며 추위에 떨고 있었고, 이를 불쌍히 여긴 우전은 그들에게 말하였다.
조금 있다가 신하들이 시황제의 건강을 기원하며 만세를 불렀고, 이때 우전은 난간에 이르러 병사들을 불렀다.
우전의 말을 들은 시황제는 호위병들을 교대로 근무시켜 쉬게 하였다.
시황제는 황실의 정원을 동쪽으로는 함곡관, 서쪽으로는 옹(雍)·진창(陳倉)까지 넓히려 하였는데, 이를 들은 우전은 이렇게 아뢰었다.
우전의 말을 들은 시황제는 계획을 그만두었다.
시황제의 뒤를 이어 즉위한 이세황제는 성벽을 옻칠로 뒤덮으려고 하였다. 이세황제의 계획을 들은 우전은 이렇게 아뢰었다.
이세황제는 한바탕 웃고는 계획을 그만두었다.
몇 년 뒤 이세황제가 죽으니 우전은 한나라에 귀부하였고, 몇 년 후 죽었다.
자산 가격 결정의 기본 정리(, 또는 차익거래, 재무)는 금융경제학과 수리금융학 모두에서 시장이 차익거래-자유롭고 완전하기 위한 필요충분조건을 제공한다. 차익거래 기회는 초기 투자 없이 손실 가능성도 없이 돈을 버는 방법이다. 비록 차익거래 기회가 현실에서 잠시 존재하지만, 어떤 합리적인 시장 모델도 이러한 유형의 이익을 피해야 한다고 말해왔다. 첫 번째 정리는 시장 모델의 근본적인 속성을 보장한다는 점에서 중요하다. 완전성은 시장 모델의 일반적인 속성이다(예: 블랙-숄즈 모형). 완전시장은 모든 우발채무를 재현할 수 있는 시장이다. 이 속성은 모델에서 일반적이지만, 항상 바람직하거나 현실적이라고 간주되지는 않는다.
이산 시장.
이산(즉, 유한 상태) 시장에서는 다음이 성립한다.
더 일반적인 시장에서.
주식 가격 수익률이 단일 브라운 운동을 따를 때, 유일한 위험 중립 측도가 존재한다. 주식 가격 과정이 더 일반적인 시그마-마팅게일 또는 준마팅게일을 따른다고 가정하면, 차익거래의 개념은 너무 좁고, 무한 차원 설정에서 이러한 기회를 설명하기 위해 소멸하는 위험이 없는 공짜 점심 (NFLVR)과 같은 더 강력한 개념을 사용해야 한다.
연속 시간에서, 자산 가격 결정의 기본 정리의 한 버전은 다음과 같다.
formula_2를 d차원 준마팅게일 시장(주식 집합), formula_3를 무위험 채권, formula_1를 기초 확률 공간이라고 하자. 또한, formula_5를 동등 국소 마팅게일 측도라고 부르는데, formula_6이고 과정 formula_7가 측도 formula_5하에서 국소 마팅게일일 경우이다.
금융에서 바시첵 모형()은 이자율의 변화를 설명하는 수학적 모델이다. 이 모형은 이자율 움직임이 단 하나의 시장위험 요인에 의해 좌우된다고 설명하는 단일 요인 단기 이자율 모형의 한 유형이다. 이 모형은 이자율 파생상품의 가치 평가에 사용될 수 있으며, 신용 시장에도 적용되었다. 1977년 올드리히 바시첵이 소개했으며, 확률적 투자 모형으로도 볼 수 있다.
이 모형은 순간 이자율이 다음의 확률미분방정식을 따른다고 명시한다.
여기서 Wt는 임의의 시장 위험 요인을 모델링하는 위험 중립 프레임워크 하의 위너 확률 과정으로, 시스템으로의 무작위성의 지속적인 유입을 모델링한다. 표준 편차 매개변수 formula_2는 이자율의 변동성을 결정하며, 순간 무작위성 유입의 진폭을 특성화한다. 일반적인 매개변수 formula_3 및 formula_2는 초기 조건 formula_5와 함께 동역학을 완전히 특성화하며, formula_6가 음수가 아니라고 가정할 때 다음과 같이 빠르게 특성화할 수 있다.
다음 파생된 양도 흥미롭다.
formula_6와 formula_2는 서로 반대되는 경향이 있다. formula_2를 증가시키면 시스템으로 유입되는 무작위성의 양이 증가하지만, 동시에 formula_6를 증가시키면 시스템이 formula_6에 의해 결정되는 분산의 회랑과 함께 장기 평균 formula_7 주변에서 통계적으로 안정화되는 속도가 증가한다. 이는 장기 분산을 볼 때 분명해진다.
이는 formula_2와 함께 증가하지만 formula_6와 함께 감소한다.
이 모형은 오른슈타인-울렌벡 확률 과정이다.
바시첵 모형은 평균 회귀, 즉 이자율을 다른 금융 가격과 구별하는 본질적인 특성을 포착한 최초의 모형이다. 따라서 예를 들어 보통주 가격과는 달리 이자율은 무한정 상승할 수 없다. 이는 이자율이 매우 높은 수준에서는 경제 활동을 방해하여 이자율 하락을 유도하기 때문이다. 마찬가지로 이자율은 일반적으로 0 미만으로 크게 떨어지지 않는다. 결과적으로 이자율은 제한된 범위 내에서 움직이며 장기적인 가치로 회귀하는 경향을 보인다.
드리프트 요인 formula_25는 시간 t에서의 이자율의 예상 순간 변화를 나타낸다. 매개변수 b는 이자율이 회귀하는 장기 평형 값을 나타낸다. 실제로, 충격이 없을 경우 (formula_26), rt = b일 때 이자율은 일정하게 유지된다. 조정 속도를 제어하는 매개변수 a는 장기 값 주변의 안정성을 보장하기 위해 양수여야 한다. 예를 들어, rt가 b 미만일 때, 드리프트 항 formula_25는 양수 a에 대해 양수가 되어 이자율이 위쪽으로 (평형 쪽으로) 이동하는 경향을 생성한다.
주요 단점은 바시첵 모형 하에서 이론적으로 이자율이 음수가 될 수 있다는 점인데, 이는 위기 이전 가정에서는 바람직하지 않은 특징이다. 이러한 단점은 콕스-잉거솔-로스 모형, 지수 바시첵 모형, 블랙-더만-토이 모형 및 블랙-카라신스키 모형 등 많은 다른 모형에서 수정되었다. 바시첵 모형은 헐-화이트 모형에서 더 확장되었다. 바시첵 모형은 또한 콕스-잉거솔-로스 모형과 함께 아핀 기간 구조 모형의 표준적인 예시이기도 하다. 최근 연구에서는 두 모형 모두 데이터 분할 및 예측에 사용되었다.
점근 평균 및 분산.
확률미분방정식을 풀면 다음을 얻는다.
오른슈타인-울렌베크 확률 과정에 적용된 것과 유사한 기법을 사용하여 상태 변수가 평균과 함께 정규 분포를 따른다는 것을 얻는다.
및 분산
결과적으로, 다음을 얻는다.
채권 가격 결정.
무차익거래 가정 하에서 할인채는 바시첵 모형에서 가격이 결정될 수 있다. 만기일 formula_33를 가진 할인채의 시간 formula_34 가치는 이자율에 대해 지수적으로 아핀이다.
수학에서 오른슈타인-울렌벡 과정()은 수리금융학 및 물리 과학에 응용되는 확률 과정이다. 물리학에서의 원래 응용은 마찰력의 영향을 받는 무거운 브라운 입자의 속도 모델이었다. 레오나르드 오른슈타인과 조지 유진 울렌벡의 이름을 따서 명명되었다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 정상 가우스 마르코프 과정으로, 이는 가우시안 과정, 마르코프 확률 과정, 그리고 시간적으로 균일하다는 것을 의미한다. 실제로 이 세 가지 조건을 만족하는 유일한 비자명 과정이다. 공간 및 시간 변수의 선형 변환을 허용할 때까지는 말이다. 시간이 지남에 따라 과정은 평균 함수로 향하는 경향이 있다. 이러한 과정을 평균 회귀(mean-reverting)라고 부른다.
이 과정은 연속 시간의 무작위 행보, 또는 위너 확률 과정의 수정으로 간주될 수 있으며, 과정의 속성이 변경되어 보행이 중심 위치로 돌아가는 경향이 있고, 중심에서 멀어질수록 더 큰 인력이 작용한다. 오른슈타인-울렌벡 과정은 이산 시간 AR(1) 과정의 연속 시간 아날로그로도 간주될 수 있다.
오른슈타인-울렌벡 과정 formula_1는 다음 확률미분방정식으로 정의된다.
여기서 formula_3 및 formula_4는 매개변수이고 formula_5는 위너 확률 과정을 나타낸다.
때때로 추가 항이 추가된다:
여기서 formula_7는 (장기) 평균이라고 불리는 상수이다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 때때로 다음과 같은 형태의 랑주뱅 방정식으로도 작성된다.
여기서 백색 잡음으로도 알려진 formula_9는 위너 과정의 가정된 미분 formula_10를 나타낸다. 그러나 위너 과정은 어디에서도 미분 가능하지 않으므로 formula_11는 존재하지 않는다. 따라서 랑주뱅 방정식은 분포적 의미로 해석될 때만 의미가 있다. 물리학 및 공학 분야에서는 잡음 항이 위너 과정의 미분 가능한 (예: 푸리에) 보간법의 미분이라고 암묵적으로 가정하여 오른슈타인-울렌벡 과정 및 유사한 확률미분방정식에 대한 일반적인 표현이다.
포커르-플랑크 방정식 표현.
오른슈타인-울렌벡 과정은 시간 formula_12에서 상태 formula_13에서 과정을 찾을 확률을 지정하는 확률 밀도 함수 formula_14의 관점에서도 설명될 수 있다. 이 함수는 포커르-플랑크 방정식을 만족한다.
여기서 formula_16이다. 이것은 다양한 기술로 해결할 수 있는 선형 포물선형 편미분 방정식이다. 그린 함수라고도 하는 전이 확률 formula_17는 평균 formula_18 및 분산 formula_19을 가진 가우시안이다.
이는 시간 formula_21에서 초기 상태 formula_22가 주어졌을 때 시간 formula_12에서 상태 formula_13가 발생할 확률을 제공한다. 동등하게, formula_17는 초기 조건 formula_26을 가진 포커르-플랑크 방정식의 해이다.
formula_27의 특정 값에 조건화된 평균은 다음과 같다.
그리고 공분산은 다음과 같다.
정상(비조건화) 과정의 경우, formula_1의 평균은 formula_7이고, formula_32와 formula_1의 공분산은 formula_34이다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 경계된 분산을 가지고 정상 확률 분포를 허용하는 가우시안 과정의 예시이며, 위너 확률 과정과는 대조적이다. 둘 사이의 차이점은 "드리프트" 항에 있다. 위너 과정의 경우 드리프트 항은 상수인 반면, 오른슈타인-울렌벡 과정의 경우 과정의 현재 값에 따라 달라진다. 과정의 현재 값이 (장기) 평균보다 작으면 드리프트는 양수이고, 과정의 현재 값이 (장기) 평균보다 크면 드리프트는 음수이다. 즉, 평균은 과정의 평형 수준 역할을 한다. 이것이 이 과정에 "평균 회귀"라는 정보적인 이름을 부여한다.
표본 경로의 속성.
시간적으로 균일한 오른슈타인-울렌벡 과정은 스케일링된 시간 변환된 위너 확률 과정으로 표현될 수 있다.
여기서 formula_5는 표준 위너 과정이다. 이는 대략 의 정리 1.2이다. 동등하게, 변수 formula_37의 변화로 이것은 다음과 같다.
이 매핑을 사용하여 formula_5의 알려진 속성을 formula_1에 대한 해당 진술로 번역할 수 있다. 예를 들어, formula_5에 대한 로그 반복 법칙은 다음과 같다.
형식 해.
formula_1에 대한 확률미분방정식은 매개변수변환법으로 형식적으로 해결될 수 있다.
라고 쓰면 다음을 얻는다.
formula_46부터 formula_12까지 적분하면 다음을 얻는다.
여기서 다음을 알 수 있다.
이 표현으로부터 첫 번째 모멘트 (즉, 평균)는 다음과 같이 나타난다.
formula_27가 상수라고 가정한다. 또한 이토의 등량을 사용하여 공분산 함수를 계산할 수 있다.
결정론적 적분량의 이토 적분은 정규 분포를 따르므로 다음이 성립한다.
콜모고로프 방정식.
과정의 무한소 생성기는 다음과 같다.formula_54만약 formula_55라고 하면, 고유방정식은 다음으로 단순화된다.
formula_56이는 에르미트 다항식의 정의 방정식이다. 그 해는 formula_57이고, formula_58이므로, 입자가 경계의 한 지점에 도달하는 평균 첫 통과 시간은 formula_59의 순서임을 의미한다.
수치 시뮬레이션.
폭 formula_12의 시간 간격으로 이산적으로 샘플링된 데이터를 사용함으로써 오른슈타인-울렌벡 과정의 매개변수에 대한 최대가능도 추정량은 참값에 점근적으로 정규분포한다. 더 정확히 말하면,formula_61
표준편차 formula_62와 상관 시간 formula_63를 가진 OU 과정을 수치적으로 시뮬레이션하는 한 가지 방법은 다음과 같은 유한 차분 공식을 적용하는 것이다.
여기서 formula_65는 평균이 0이고 분산이 1인 정규 분포 랜덤 수이며, 각 시간 단계 formula_66마다 독립적으로 샘플링된다.
스케일링 극한 해석.
오른슈타인-울렌벡 과정은 브라운 운동이 무작위 행보의 스케일링 극한인 것과 같은 방식으로 이산 과정의 스케일링 극한으로 해석될 수 있다. formula_67개의 흑백 공이 들어있는 항아리를 생각해보자. 각 단계에서 공이 무작위로 선택되고 반대 색깔의 공으로 교체된다. formula_68 단계 후 항아리에 있는 검은 공의 수를 formula_69라고 하자. 그러면 formula_70는 formula_67이 무한대로 갈 때 오른슈타인-울렌벡 과정으로 법적으로 수렴한다. 이는 마크 카츠에 의해 얻어졌다.
이를 경험적으로 다음과 같이 얻을 수 있다.
formula_72라고 하고, formula_73 극한에서 확률미분방정식을 얻을 것이다. 먼저 다음을 유도한다.
이를 통해 formula_75의 평균과 분산을 계산할 수 있으며, 이는 각각 formula_76와 formula_77인 것으로 밝혀졌다. 따라서 formula_73 극한에서 formula_79를 가지며, 해는 (가정 formula_80 분포는 표준 정규) formula_81이다.
물리학에서: 잡음이 있는 이완.
오른슈타인-울렌벡 과정은 잡음이 있는 이완 과정의 원형이다. 대표적인 예는 훅의 법칙에 따르는 용수철(조화 진동자)로, 용수철 상수 formula_68와 마찰 계수 formula_83로 과감쇠되어 있다. 온도 formula_84의 열적 요동이 있을 때, 용수철의 길이 formula_85는 용수철의 자연 길이 formula_27를 중심으로 요동한다. 그 확률론적 동역학은 다음을 가진 오른슈타인-울렌벡 과정으로 설명된다.
여기서 formula_88는 유효 확산 상수 formula_89에 대한 스토크스-아인슈타인 방정식에서 파생된다. 이 모델은 광학 트랩에서 브라운 입자의 운동을 특성화하는 데 사용되었다.
평형 상태에서 용수철은 에너지 등분배법칙에 따라 평균 에너지 formula_90를 저장한다.
수리금융학에서.
오른슈타인-울렌벡 과정은 이자율의 바시첵 모형에 사용된다. 오른슈타인-울렌벡 과정은 이자율, 통화 환율 및 상품 가격을 확률적으로 모델링하는 데 사용되는 여러 접근 방식 중 하나이다. 매개변수 formula_7는 기본 요소에 의해 지지되는 균형 또는 평균값을 나타내고, formula_88는 충격으로 인한 주변의 변동성 정도를 나타내며, formula_93는 이러한 충격이 소산되고 변수가 평균으로 회귀하는 비율을 나타낸다. 이 과정의 한 가지 응용은 페어 트레이딩으로 알려진 거래 전략이다.
오른슈타인-울렌벡 과정의 추가 구현은 로그 정규 분포 동역학에서 주식 수익률을 모델링하기 위해 마르첼로 미넨나에 의해 파생되었다. 이 모델링은 시장 교란 현상을 예측하기 위한 신뢰 구간의 결정을 목표로 한다.
진화 생물학에서.
오른슈타인-울렌벡 과정은 시간이 지남에 따라 유기체 표현형의 변화를 모델링하는 데 브라운 운동 모델보다 개선된 것으로 제안되었다. 브라운 운동 모델은 표현형이 제한 없이 움직일 수 있음을 의미하지만, 대부분의 표현형의 경우 자연 선택은 어느 방향으로든 너무 멀리 이동하는 데 비용을 부과한다. 250개의 화석 표현형 시계열에 대한 메타 분석은 오른슈타인-울렌벡 모델이 조사된 시계열 중 115개(46%)에 가장 적합하며, 정체가 일반적인 진화 패턴임을 지지했다. 그러나 사용에는 특정 과제가 있다. 모델 선택 메커니즘은 충분한 지원 없이 OU 과정을 선호하도록 편향되는 경우가 많으며, 의심하지 않는 데이터 과학자에게는 오해하기 쉽다.
배경 구동 과정이 위너 과정 대신 레비 확률 과정인 레비 구동 오른슈타인-울렌벡 과정을 정의할 수 있다.
여기서 위너 과정 formula_5의 미분은 레비 과정 formula_96의 미분으로 대체되었다.
또한 금융에서는 formula_97 값이 클수록 변동성이 증가하는 확률 과정이 사용된다. 특히, 변동성 항이 formula_98로 대체된 CKLS 과정(Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders)은 formula_99일 때와 기존 OU 과정에 해당하는 formula_100일 때 닫힌 형식으로 풀 수 있다. 또 다른 특수한 경우는 formula_101이며, 이는 Cox–Ingersoll–Ross 모델(CIR-모델)에 해당한다.
N차원 벡터 formula_102로 표시되는 다차원 오른슈타인-울렌벡 과정은 다음으로부터 정의될 수 있다.
여기서 formula_104는 N차원 위너 과정이고, formula_105와 formula_106는 상수 N×N" 행렬이다. 해는 다음과 같다.
그리고 평균은 다음과 같다.
이러한 표현은 행렬 지수 함수를 사용한다.
이 과정은 또한 확률 밀도 함수 formula_109의 관점에서도 설명될 수 있으며, 이는 포커르-플랑크 방정식을 만족한다.
여기서 성분 formula_111를 가진 행렬 formula_112는 formula_113로 정의된다. 1차원 경우와 마찬가지로 이 과정은 가우시안 확률 변수의 선형 변환이므로 그 자체로 가우시안이어야 한다. 이 때문에 전이 확률 formula_114는 명시적으로 작성될 수 있는 가우시안이다. formula_105의 고유값의 실수 부분이 0보다 크면 다음과 같이 주어진 정상 해 formula_116도 존재한다.
여기서 행렬 formula_118는 랴푸노프 방정식 formula_119로부터 결정된다.
〈KING〉은 일본의 보컬로이드 프로듀서(보카로P)인 Kanaria가 작사, 작곡한 노래이다. 2020년 8월 1일에 먼저 발매되었으며, 2020년 8월 2일에 유튜브와 니코니코 동화를 통해 공개되었다. 보컬 음성은 보컬로이드인 메구포이드 구미의 보컬을 사용하였다. 일러스트는 노우가 맡았다. 또한, 빌보드 재팬 톱 유저 생성 송즈에서 33주 동안 1위 유지로 2021년 상반기와 연간에서 1위를 차지하였고, 2023년 연간에서는 니코니코 보컬로이드 송즈 톱 20에서 14위를 차지, 그리고 빌보드 재팬 여러 부문에서 100위권에 들기도 하였다.
2020년 8월 1일에 스트리밍 서비스로 발매되었으며, 뮤직 비디오는 2020년 8월 2일에 공개되었다.
니코니코 동화에 업로드된 뮤직 비디오는 2020년 8월 9일, 일주일 만에 10만 재생수를 기록하여 VOCALOID 전당입성에 달성하여 Kanaria는 10만 기념 일러스트를 SNS에 게시하였다. 이로부터 약 2개월 후인 2020년 10월 10일에는 100만 재생수를 기록하여 VOCALOID 전설입성에 달성하였다.
유튜브에 업로드된 뮤직 비디오는 2020년 8월 21일, 19일 만에 조회수 100만 회를 돌파하였으며, 약 4개월 후인 2020년 12월 30일에는 조회수 1,000만 회를 돌파하였고, 2022년 1월 29일에는 조회수 5,000만 회를 돌파하였다.
물리학과 수학에서 클레인–크라머르스 방정식() 또는 때로는 크라머르스–찬드라세카르 방정식()은 브라운 운동 입자의 위상 공간 에서 확률 밀도 함수 를 설명하는 편미분 방정식이다. 이것은 포커르-플랑크 방정식의 특수한 경우이다.
하나의 공간 차원에서 는 스칼라 , , 의 세 독립 변수의 함수이다. 이 경우 클레인-크라머르스 방정식은 다음과 같다.
여기서 는 외부 포텐셜, 은 입자 질량, 는 마찰(항력) 계수, 는 온도, 는 볼츠만 상수이다. 공간 차원에서의 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_3 및 formula_4는 및 에 대한 경사 연산자이며, formula_5는 에 대한 라플라시안이다.
분수 클레인-크라머르스 방정식()은 분수계 미적분학을 통해 이상 확산을 통합하는 일반화이다.
물리적 근거.
클레인-크라머르스 방정식의 물리적 모델은 과소 감쇠 브라운 입자이다. 과대 감쇠 브라운 운동인 표준 브라운 운동과 달리, 과소 감쇠 브라운 운동은 마찰을 유한하게 취하며, 이 경우 운동량은 독립적인 자유도가 된다.
수학적으로, 입자의 상태는 위치 과 운동량 로 기술되며, 이는 랑주뱅 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다.
여기서 formula_7는 온도 의 배경 매질에서 의 열적 요동을 모델링하는 -차원 가우스 백색 잡음이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙과 유사하지만, 잡음 항 formula_7 때문에 결정론적이 아닌 추계학적("무작위")이다.
동역학은 또한 확률 밀도 함수 로 설명될 수 있으며, 이는 시간 에 입자가 위치 에 있고 운동량 를 가질 확률을 나타낸다. 랑주뱅 방정식에서 나오는 추계학적 궤적들을 평균함으로써, 가 클레인-크라머르스 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있다.
자유 공간에서의 해.
-차원 자유 공간 문제는 힘을 0으로 설정하고, 무한대에서 0으로 감소하는 formula_9에서의 해, 즉 일 때 인 해를 고려한다.
점원 초기 조건인 1D 자유 공간 문제, 의 경우, 와 에 대한 이변량 가우스 분포인 해는 수브라마니안 찬드라세카르가 1943년에 풀었다 (그는 또한 퍼텐셜이 존재하는 문제들을 풀기 위한 일반적인 방법론을 고안했다):
이 특수 해는 그린 함수 로도 알려져 있으며, 일반 해, 즉 일반적인 초기 조건 에 대한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다:
유사하게, 점원 초기 조건인 3D 자유 공간 문제 는 다음과 같은 해를 갖는다.
여기서 formula_14, formula_15이며, formula_16와 formula_17는 1D 해와 같이 정의된다.
점근적 행동.
특정 조건에서 자유 공간 클레인-크라머르스 방정식의 해는 확산 과정처럼 점근적으로 행동한다. 예를 들어,
이면 밀도 formula_19는 다음을 만족한다.
여기서 formula_21는 확산 방정식의 자유 공간 그린 함수이다.
경계 근처에서의 해.
클레인-크라머르스 방정식의 1D, 시간에 무관한, 힘이 없는 () 버전은 반무한 또는 유계 영역에서 변수분리법으로 풀 수 있다. 해는 일반적으로 공간적으로 빠르게 변하고 경계 자체에서는 비해석적인 경계층을 형성한다.
잘 설정된 문제는 영역의 절반에만 경계 데이터를 규정한다: 왼쪽 경계에서는 양의 절반 (), 오른쪽 경계에서는 음의 절반 ()이다. 에서 정의된 반무한 문제의 경우 경계 조건은 다음과 같이 주어질 수 있다.
일부 함수 에 대해.
점원 경계 조건의 경우, 해는 무한 합과 곱으로 정확한 표현을 갖는다. 여기서 결과는 클레인-크라머르스 방정식의 무차원 버전에 대해 기술된다.
이 표현에서 길이와 시간은 formula_24 및 formula_25 단위로 측정되며, formula_26 및 formula_27는 모두 무차원이다. 에서의 경계 조건이 이고, 여기서 이면, 해는 다음과 같다.
이 결과는 위너-호프 방법으로 얻을 수 있다. 그러나 이 표현의 실제 사용은 계열의 느린 수렴, 특히 값이 0에 가까울 때 제한적이다.
에티하드 철도(, Etihad Rail)는 아랍에미리트의 국가 철도망을 개발·운영하는 국영 철도회사로, 국가 화물 및 여객 철도망을 개발·건설·운영하고 있다. 2025년 현재 화물 서비스는 운행 중에 있으나, 여객 서비스는 아직 시작되지 않은 상태이다. 현재 역을 포함한 여객 운송 시설이 건설되고 있으며, 2026년 본격적으로 운행을 시작할 예정이다.
2004년 걸프협력회의(GCC) 6개국은 역내 지역을 가로지르는 철도망에 대한 타당성 조사를 의뢰하였다. 이후 2009년 『연방법 제2호』가 통과, 그해 6월 에티하드 철도가 공식 설립되었다.
총 연장 264km의 에티하드 철도 1단계 구간은 내륙 가스전인 리와와 샤를 거쳐 항구 도시인 루와이스까지 이어지며, 2016년 1월에 개통되었다. 총 연장 605km의 에티하드 철도 2단계 구간은 사우디아라비아 국경에 있는 구웨이파트와 아랍에미리트 동부 해안에 있는 푸자이라를 잇는 구간으로, 2020년 착공하여 2023년 2월 28일에 개통되었다.
계획된 에티하드 철도 노선 개통이 전부 완료되면 노선망 총 연장은 약 1,200km가 될 예정으로, 7개 토후국이 모두 연결되며, 아랍에미리트와 사우디아라비아가 철도 노선으로 연결된다. 차량으로는, 디젤 기관차를 사용하나, 향후 전기 기관차로 전환될 가능성이 있다. 노선은 표준궤로, 또 주로 복선으로 설계되며 유럽 신호 시스템(ETCS 레벨2)을 사용한다.
물리학에서 랑주뱅 방정식(, 폴 랑주뱅의 이름을 따서 명명됨)은 결정론적 힘과 요동하는("무작위") 힘의 조합을 받을 때 시스템이 어떻게 진화하는지 설명하는 확률미분방정식이다. 랑주뱅 방정식의 종속 변수는 일반적으로 시스템의 다른 (미시적) 변수에 비해 느리게 변하는 집단적 (거시적) 변수이다. 빠른 (미시적) 변수는 랑주뱅 방정식의 확률적 특성을 담당한다. 한 가지 응용 분야는 유체 내 작은 입자의 요동 운동을 모델링하는 브라운 운동이다.
원형으로서의 브라운 운동.
랑주뱅 방정식의 원본은 유체 분자와의 충돌로 인해 유체 내 입자가 겉보기에는 무작위로 움직이는 현상인 브라운 운동을 설명한다.
여기서 formula_2는 입자의 속도, formula_3는 감쇠 계수, formula_4은 질량이다. 입자에 작용하는 힘은 입자 속도에 비례하는 점성력(스토크스의 법칙)과 유체 분자와의 충돌 효과를 나타내는 노이즈 항 formula_5의 합으로 나타낼 수 있다. 힘 formula_5은 상관 함수가 있는 가우스 확률 분포를 따른다.
여기서 formula_8는 볼츠만 상수, formula_9는 온도이며 formula_10는 벡터 formula_5의 i번째 성분이다. 시간 상관의 formula_12-함수 형태는 시간 formula_13에서의 힘이 다른 시간에서의 힘과 상관 관계가 없음을 의미한다. 이는 근사치이다. 실제 무작위 힘은 분자의 충돌 시간에 해당하는 0이 아닌 상관 시간을 갖는다. 그러나 랑주뱅 방정식은 훨씬 긴 시간 규모에서 "거시적" 입자의 움직임을 설명하는 데 사용되며, 이 한계에서 formula_12-상관 및 랑주뱅 방정식은 사실상 정확하다.
랑주뱅 방정식의 또 다른 공통적인 특징은 무작위 힘의 상관 함수에 감쇠 계수 formula_3가 나타나는 것인데, 이는 평형 시스템에서 아인슈타인 관계의 표현이다.
수학적 측면.
엄밀히 formula_12-상관된 요동하는 힘 formula_5는 일반적인 수학적 의미에서 함수가 아니며, 이 한계에서는 미분 formula_18조차 정의되지 않는다. 이 문제는 랑주뱅 방정식이 적분 형태로 쓰여질 때 사라진다.
그러므로, 미분 형태는 시간 적분형의 약자에 불과하다. 이러한 유형의 방정식에 대한 일반적인 수학 용어는 "확률미분방정식"이다.
또 다른 수학적 모호성은 곱셈 노이즈를 포함하는 랑주뱅 방정식에서 발생한다. 이는 종속 변수의 비상수 함수로 곱해지는 노이즈 항, 예를 들어 formula_20를 나타낸다. 곱셈 노이즈가 시스템에 내재되어 있다면, 그 정의는 모호하다. 왜냐하면 스트라토노비치- 또는 이토 스킴에 따라 해석하는 것이 모두 유효하기 때문이다(이토 적분 참조). 그럼에도 불구하고, 물리적 관측량은 해석과 무관하다. 단, 후자가 방정식을 조작할 때 일관되게 적용된다는 전제하에 그렇다. 이는 해석 스킴에 따라 미적분의 기호 규칙이 다르기 때문에 필요하다. 노이즈가 시스템 외부적이라면, 적절한 해석은 스트라토노비치 해석이다.
일반적인 랑주뱅 방정식.
고전 역학에서 일반적인 랑주뱅 방정식에 대한 형식적인 유도가 있다. 이 일반적인 방정식은 임계 현상 이론 및 다른 비평형 통계역학 분야에서 중심적인 역할을 한다. 위에 언급된 브라운 운동 방정식은 특수한 경우이다.
유도에서 필수적인 단계는 자유도를 느린 범주와 빠른 범주로 나누는 것이다. 예를 들어, 액체에서 국부 열역학적 평형은 몇 번의 충돌 시간 내에 도달하지만, 질량 및 에너지와 같은 보존량의 밀도가 평형에 도달하는 데는 훨씬 더 오랜 시간이 걸린다. 따라서 보존량의 밀도, 특히 그 긴 파장 성분은 느린 변수 후보이다. 이러한 분할은 츠방칙 사영 연산자로 형식적으로 표현될 수 있다. 그럼에도 불구하고, 이 유도는 엄밀한 증명이 부족하고 대신 물리 시스템의 그럴듯한 근사치로만 정당화되는 가정에 의존하기 때문에 수리물리학적 관점에서는 완전히 엄밀하지는 않다.
formula_21를 느린 변수라 하자. 일반 랑주뱅 방정식은 다음과 같다.
요동하는 힘 formula_10는 상관 함수를 가진 가우스 확률 분포를 따른다.
이것은 감쇠 계수 formula_3에 대한 온사거 역관계 formula_26를 의미한다. formula_27에 대한 formula_3의 의존성 formula_29는 대부분의 경우 무시할 수 있다. 기호 formula_30는 시스템의 해밀턴을 나타내며, 여기서 formula_31는 변수 formula_27의 평형 확률 분포이다. 마지막으로, formula_33는 느린 변수 formula_34와 formula_35의 푸아송 괄호를 느린 변수 공간으로 투영한 것이다.
브라운 운동의 경우 formula_36, formula_37 또는 formula_38이고 formula_39이다. formula_40에 대한 운동 방정식 formula_41은 정확하다. 즉, 요동하는 힘 formula_42와 감쇠 계수 formula_43가 없다.
전기 저항의 열 잡음.
위에서 논의한 전형적인 브라운 입자와 저항기에서 열적 요동에 의해 생성되는 전기 전압인 존슨 잡음 사이에는 밀접한 유사성이 있다. 오른쪽 다이어그램은 저항 R과 용량 C로 구성된 전기 회로를 보여준다. 느린 변수는 저항기 양단 전압 U이다. 해밀턴은 formula_44로 읽히고, 랑주뱅 방정식은 다음과 같다.
이 방정식을 사용하여 상관 함수를 결정할 수 있다.
여기서 용량 가 무시할 수 있을 만큼 작아지면 백색 잡음(존슨 잡음)이 된다.
임계 동역학.
2차 질서 매개변수 formula_47의 동역학은 임계점 근처에서 느려지고 랑주뱅 방정식으로 설명될 수 있다. 가장 간단한 경우는 비보존 스칼라 질서 매개변수를 갖는 "모델 A" 보편성 부류로, 예를 들어 축방향 강자성체에서 실현된다.
다른 보편성 클래스(명칭은 "모델 A"..., "모델 J"이다)는 확산하는 질서 매개변수, 여러 성분을 가진 질서 매개변수, 다른 임계 변수 및 푸아송 괄호로부터의 기여를 포함한다.
유체 속의 조화 진동자.
유체 속의 입자는 퍼텐셜 에너지 함수, 감쇠력, 그리고 변동-소산 정리에 의해 주어지는 열적 요동을 포함하는 랑주뱅 방정식으로 설명된다. 퍼텐셜이 이차이면 등에너지 곡선은 그림과 같이 타원이다. 만약 소산이 있지만 열 잡음이 없다면, 입자는 환경에 에너지를 지속적으로 잃고, 시간 의존적인 위상 그림(속도 대 위치)은 0 속도에 대한 안쪽 나선을 따른다. 대조적으로, 열적 요동은 입자에 지속적으로 에너지를 추가하여 정확히 0 속도에 도달하는 것을 방지한다. 오히려 확률적 진동자의 초기 앙상블은 속도와 위치가 맥스웰-볼츠만 분포에 따라 분포되는 정상 상태에 접근한다. 아래 그림(그림 2)에서 조화 퍼텐셜(formula_50)에서의 오랜 시간 속도 분포(파란색)와 위치 분포(주황색)가 볼츠만 확률(속도-녹색, 위치-빨간색)과 함께 그려져 있다. 특히, 나중 시간 행동은 열 평형을 나타낸다.
자유 브라운 입자의 궤적.
다음과 같이 운동 방정식이 기술되는 질량 formula_4인 자유 입자를 고려하자.
여기서 formula_53는 입자 속도, formula_54는 입자 이동도, formula_55는 입자 충돌의 특성 시간 규모 formula_56 이상에서 시간 평균이 사라지는 빠르게 요동하는 힘, 즉 formula_57이다. 운동 방정식의 일반 해는 다음과 같다.
여기서 formula_59는 노이즈 항의 상관 시간이다. 또한 입자 속도 formula_2의 자기상관 함수는 다음과 같이 주어진다는 것을 보일 수 있다.
여기서 우리는 formula_62와 formula_63 변수가 시간 간격 formula_64에 대해 비상관화되는 특성을 사용했다. 또한, formula_65의 값은 에너지 등분배법칙을 따르도록 formula_66과 같도록 설정된다. 만약 시스템이 이미 formula_67으로 열 평형 상태에 있다면, formula_68은 모든 formula_13에 대해 성립하며, 이는 시스템이 항상 평형 상태를 유지함을 의미한다.
브라운 입자의 속도 formula_70는 적분하여 그 궤적 formula_71를 얻을 수 있다. 만약 입자가 초기에는 원점에 확률 1로 위치해 있다면, 결과는 다음과 같다.
따라서, 평균 변위 formula_73는 시스템이 이완될 때 formula_74에 점근적으로 접근한다. 평균 제곱 변위는 비슷하게 결정될 수 있다.
이 표현은 formula_76를 의미하는데, 이는 이완 시간 formula_77보다 훨씬 짧은 시간 척도에서 브라운 입자의 운동이 (대략적으로) 시간 역전 불변이라는 것을 나타낸다. 반면에 formula_78는 비가역적, 소산적 과정을 나타낸다.
볼츠만 통계 복구.
외부 포텐셜이 보존적이고 노이즈 항이 열 평형 상태의 저장소에서 파생된 경우, 랑주뱅 방정식의 장시간 해는 열 평형 상태의 입자에 대한 확률 분포 함수인 볼츠만 분포로 귀결되어야 한다. 과다 감쇠 동역학의 특수한 경우, 입자의 관성은 감쇠력에 비해 무시할 수 있으며, 궤적 formula_79는 과다 감쇠 랑주뱅 방정식으로 설명된다.
여기서 formula_3는 감쇠 상수이다. formula_82 항은 백색 잡음으로, formula_83(형식적으로는 위너 확률 과정)로 특징지어진다. 이 방정식을 푸는 한 가지 방법은 테스트 함수 formula_84를 도입하고 그 평균을 계산하는 것이다. formula_85의 평균은 유한한 formula_79에 대해 시간에 독립적이어야 하므로 다음과 같은 결과가 나온다.
이토 드리프트-확산 과정 formula_88에 대한 이토의 보조정리는 두 번 미분 가능한 함수 의 미분이 다음과 같이 주어진다고 말한다.
formula_90 계산에 이를 적용하면 다음과 같다.
이 평균은 확률 밀도 함수 formula_92를 사용하여 쓸 수 있다.
여기서 두 번째 항은 부분 적분되었다(따라서 음수 부호). 이것은 임의의 함수 formula_84에 대해 참이므로, 다음이 성립한다.
따라서 볼츠만 분포가 복구된다.
등가 기법.
일부 상황에서는 특정 잡음 실현에 대한 해가 아닌 랑주뱅 방정식의 잡음 평균 행동에 주로 관심이 있다. 이 섹션에서는 랑주뱅 방정식에 내재된 확률 미적분과 다르지만 동등한 평균 행동을 얻는 기법을 설명한다.
포커르-플랑크 방정식.
포커르-플랑크 방정식은 확률 변수 formula_27의 시간에 따른 확률 밀도 formula_98에 대한 결정론적 방정식이다. 이 문서에 설명된 일반 랑주뱅 방정식에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
평형 분포 formula_100는 정상 상태 해이다.
클라인-크라머르스 방정식.
과감쇠 브라운 입자에 대한 포커르-플랑크 방정식은 클라인-크라머르스 방정식이라고 불린다. 랑주뱅 방정식이 다음과 같이 쓰여진다면
여기서 formula_102는 운동량이다. 그러면 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_104와 formula_105는 각각 과 에 대한 경사 연산자이고, formula_106는 에 대한 라플라시안이다.
formula_107차원 자유 공간에서 formula_108의 formula_109에 해당하며, 이 방정식은 푸리에 변환을 사용하여 풀 수 있다. 입자가 formula_110에 위치 formula_111와 운동량 formula_112로 초기화되었다면, 즉 초기 조건 formula_113에 해당한다면, 해는 다음과 같다.
세 공간 차원에서는 평균 제곱 변위가 다음과 같다.
경로 적분.
랑주뱅 방정식에 해당하는 경로 적분은 해당하는 포커르-플랑크 방정식에서 얻거나, 요동하는 힘 formula_117의 가우스 확률 분포 formula_118를 느린 변수의 확률 분포로 변환하여 얻을 수 있다. 도식적으로는 formula_119이다.
랑주뱅 방정식이 자연적인(인과적인) 방식으로 이산화될 때 함수 판별식 및 관련 수학적 미묘함은 사라진다. 즉, formula_120는 formula_121에 의존하지만 formula_122에는 의존하지 않는다. 보조 응답 변수 formula_123를 도입하는 것이 편리하다는 것이 밝혀졌다. 일반적인 랑주뱅 방정식에 해당하는 경로 적분은 다음과 같다.
여기서 formula_125은 정규화 계수이고
경로 적분 공식화는 양자장론과 같은 도구, 즉 섭동 및 재규격화군 방법의 사용을 허용한다. 이 공식화는 일반적으로 개발자의 이름을 따서 마틴-시지아-로즈 형식주의 또는 얀센-드 도미니시스 형식주의라고 불린다. 이 표현에 대한 수학적 형식주의는 위너 공간에서 개발될 수 있다.
중성자 수송(, 중성자학으로도 알려짐)은 중성자의 운동과 물질과의 상호작용을 연구하는 학문이다. 핵 과학자와 핵공학자는 종종 중성자가 장치 내에서 어디에 있는지, 어느 방향으로 이동하는지, 얼마나 빠르게 움직이는지를 알아야 한다. 이는 일반적으로 원자로 노심과 실험 또는 산업용 중성자 입자 빔의 거동을 결정하는 데 사용된다. 중성자 수송은 복사전달의 일종이다.
중성자 수송은 1800년대 기체 운동론을 연구하는 데 사용되었던 볼츠만 운송 방정식에 뿌리를 두고 있다. 1940년대 연쇄 반응 원자로가 발명되기 전까지는 대규모 개발이 이루어지지 않았다. 중성자 분포에 대한 면밀한 조사가 이루어지면서 간단한 기하학적 구조에서 우아한 근사치와 해석적 해법이 발견되었다. 그러나 컴퓨팅 성능이 증가함에 따라 중성자 수송에 대한 수치적 접근 방식이 보편화되었다. 오늘날 대규모 병렬 컴퓨터를 사용하여 중성자 수송은 전 세계 학계 및 연구 기관에서 여전히 매우 활발하게 개발되고 있다. 시간과 공간의 3차원에 따라 달라지고 에너지 변수가 여러 자릿수(meV의 일부에서 여러 MeV까지)에 걸쳐 있기 때문에 여전히 계산적으로 어려운 문제로 남아 있다. 현대적인 해법은 이산좌표법 또는 몬테카를로 방법을 사용하거나 둘의 하이브리드를 사용한다.
중성자 수송 방정식.
중성자 수송 방정식은 중성자를 보존하는 균형 방정식이다. 각 항은 중성자의 이득 또는 손실을 나타내며, 균형은 본질적으로 중성자 이득이 중성자 손실과 같다고 주장했다. 다음은 그 공식이다.
수송 방정식은 위상 공간(시간 t, 에너지 E, 위치 formula_4 이동 방향 formula_5)의 주어진 부분에 적용될 수 있다. 첫 번째 항은 시스템 내 중성자의 시간 변화율을 나타낸다. 두 번째 항은 관심 공간 부피로 또는 부피 밖으로 중성자의 이동을 나타낸다. 세 번째 항은 해당 위상 공간에서 충돌하는 모든 중성자를 설명한다. 우변의 첫 번째 항은 핵분열로 인한 이 위상 공간에서의 중성자 생산이며, 우변의 두 번째 항은 지발 중성자 전구체(즉, 중성자 붕괴를 겪는 불안정한 핵)로 인한 이 위상 공간에서의 중성자 생산이다. 우변의 세 번째 항은 내부 산란이며, 이는 다른 곳에서의 산란 상호작용의 결과로 이 위상 공간 영역으로 들어가는 중성자이다. 우변의 네 번째 항은 일반적인 소스이다. 이 방정식은 일반적으로 formula_6를 찾기 위해 해결되는데, 이는 차폐 및 선량 측정 연구에서 주요 관심사인 반응 속도를 계산할 수 있기 때문이다.
중성자 수송 계산 유형.
해결되는 문제 유형에 따라 여러 가지 기본 중성자 수송 문제가 존재한다.
고정 소스.
고정 소스 계산은 매질에 알려진 중성자 소스를 부과하고 문제 전반에 걸쳐 결과 중성자 분포를 결정하는 것을 포함한다. 이 유형의 문제는 차폐 계산에 특히 유용하며, 설계자는 최소한의 차폐 재료를 사용하여 차폐 외부의 중성자 선량을 최소화하려고 한다. 예를 들어, 사용후 핵연료 용기는 운반하는 트럭 운전자를 안전하게 보호하기 위해 필요한 콘크리트 및 강철의 양을 결정하기 위한 차폐 계산이 필요하다.
임계.
핵분열은 핵이 (일반적으로 두 개의) 더 작은 원자로 분리되는 과정이다. 핵분열이 발생하면 시스템의 점근적 거동을 아는 것이 종종 관심사이다. 원자로가 자체적으로 지속되고 시간에 독립적인 연쇄 반응을 일으키면 "임계"라고 불린다. 시스템이 평형 상태가 아니면 점근적 중성자 분포 또는 기본 모드가 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 증가하거나 감소한다.
임계 계산은 임계 원자로와 같이 정상 상태 증식 매질(증식 매질은 핵분열을 겪을 수 있음)을 분석하는 데 사용된다. 손실 항(흡수, 외부 산란, 누설)과 소스 항(내부 산란 및 핵분열)은 중성자속에 비례하며, 소스가 중성자속과 독립적인 고정 소스 문제와 대조된다. 이러한 계산에서 시간 불변의 가정은 중성자 생성이 중성자 손실과 정확히 같아야 함을 요구한다.