shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
로런츠 변환의 특수한 표현과 관련하여: 민코프스키(1907–1908)와 조머펠트(1909)는 허수 삼각함수를 사용했고, 프랑크(1909)와 바리차크(1910)는 쌍곡선 함수를 사용했으며, 베이트먼과 커닝햄(1909–1910)은 구면파 변환을 사용했고, 헤르글로츠(1909–10)는 뫼비우스 변환을 사용했으며, 플러머(1910)와 그루너(1921)는 삼각 로런츠 부스트를 사용했고, 이그나톱스키(1910)는 빛의 속도 가설 없이 변환을 유도했으며, 뇌터(1910)와 클라인(1910)뿐만 아니라 콘웨이(1911)와 질버슈타인(1911)은 이중 사원수를 사용했고, 이그나톱스키(1910/11), 헤르글로츠(1911) 등은 임의의 방향에 유효한 벡터 변환을 사용했으며, 보렐(1913–14)은 케일리-에르미트 매개변수를 사용했다.
볼데마어 포크트 (1887년).
볼데마어 포크트 (1887)는 도플러 효과와 비압축성 매체와 관련하여 현대적 표기법으로는 다음과 같은 변환을 개발했다.
만약 그의 방정식의 우변에 γ를 곱하면 현대의 로런츠 변환이 된다. 포크트의 이론에서는 빛의 속력이 불변하지만, 그의 변환은 상대론적 부스트와 시공간의 재조정(rescaling)을 혼합한다. 자유 공간에서의 광학 현상은 척도 불변, 등각 불변, 로런츠 불변이므로 이 조합 역시 불변이다. 예를 들어, 로런츠 변환은 계수 formula_6을 사용하여 확장될 수 있다.
l=1/γ는 포크트 변환을, l=1은 로런츠 변환을 제공한다. 그러나 척도 변환은 모든 자연 법칙의 대칭이 아니라 전자기학의 대칭일 뿐이므로, 이 변환들은 일반적인 상대성 원리를 정립하는 데 사용될 수 없다. 푸앵카레와 아인슈타인은 위의 변환을 대칭적으로 만들고 상대성 원리가 요구하는 그룹을 형성하기 위해서는 l=1로 설정해야 함을 입증했으며, 따라서 로런츠 변환만이 유일하게 가능한 선택이다.
포크트는 1887년 논문을 1908년에 로런츠에게 보냈고, 이는 1909년에 다음과 같이 인정되었다.
또한 헤르만 민코프스키는 1908년에 상대성 원리에서 중요한 역할을 하는 변환이 1887년에 포크트에 의해 처음으로 연구되었다고 말했다. 포크트는 같은 논문에서 자신의 이론이 전자기 이론이 아닌 빛의 탄성 이론에 기반을 두고 있다고 답했다. 그러나 그는 일부 결과가 실제로 동일하다고 결론지었다.
올리버 헤비사이드 (1888년), 조지프 존 톰슨 (1889년), 조지 프레데릭 찰스 설 (1896년).
1888년 올리버 헤비사이드는 맥스웰의 전기역학에 따라 운동하는 전하의 특성을 조사했다. 그는 이 공식으로 표현되는 움직이는 물체의 전기장 내 비등방성 등을 계산했다.
그 결과 조지프 존 톰슨 (1889)은 다음 수학적 변환을 사용하여 움직이는 전하에 대한 계산을 상당히 단순화하는 방법을 발견했다 (로런츠나 라머와 같은 다른 저자들과 마찬가지로, 톰슨 또한 그의 방정식에서 암묵적으로 갈릴레이 군 z-vt를 사용했다).
이에 따라 비균일 전자기파 방정식은 푸아송 방정식으로 변환된다. 결국 조지 프레데릭 찰스 설은 1896년에 헤비사이드의 표현이 전기장의 변형을 초래하며, 이를 축비에 따른 "헤비사이드-타원체"라고 불렀다.
헨드릭 안톤 로런츠 (1892년, 1895년).
빛의 수차와 피조 실험 결과를 맥스웰 방정식과 일치시키기 위해 로런츠는 1892년에 에테르가 완전히 정지해 있고 에테르 내에서 빛의 속력이 모든 방향에서 일정하다는 모델("로런츠 에테르 이론")을 개발했다. 움직이는 물체의 광학을 계산하기 위해 로런츠는 에테르 시스템에서 움직이는 시스템으로 변환하기 위해 다음 양들을 도입했다 (그가 포크트, 헤비사이드, 톰슨의 영향을 받았는지는 알려져 있지 않다).
여기서 x*는 갈릴레이 변환 x-vt이다. 시간 변환의 추가 γ를 제외하면 이것은 완전한 로런츠 변환이다. t가 에테르에 정지한 관찰자에게는 "진정한" 시간인 반면, t′은 움직이는 시스템에 대한 과정을 계산하기 위한 보조 변수일 뿐이다. 로런츠와 후에 라머도 이 변환을 두 단계로 공식화했다는 점도 중요하다. 처음에는 암묵적인 갈릴레이 변환을, 그 다음에는 로런츠 변환을 사용하여 "가상의" 전자기 시스템으로 확장했다. 마이컬슨-몰리 실험의 부정적 결과를 설명하기 위해 그는 1892년에 분자간 힘도 유사하게 영향을 받는다는 추가 가설을 도입하고 (그가 인정했듯이 증명 없이) 자신의 이론에 길이 수축을 도입했다. 동일한 가설은 이전에 조지 프랜시스 피츠제럴드가 1889년에 헤비사이드의 연구를 바탕으로 제기한 바 있다. 로런츠에게 길이 수축은 실제 물리적 효과였지만, 그는 시간 변환을 단지 경험적 작업 가설이자 수학적 규정으로만 간주했다.
1895년에 로런츠는 자신의 이론을 더욱 정교하게 다듬고 "대응 상태 정리"를 도입했다. 이 정리는 (에테르에 상대적으로) 움직이는 관찰자가 자신의 "가상의" 장에서 정지한 관찰자가 자신의 "실제" 장에서 v/c의 1차 항까지 동일한 관측을 한다는 것을 말한다. 로런츠는 에테르와 움직이는 좌표계의 정전기 시스템의 차원이 이 변환에 의해 연결된다는 것을 보였다.
광학 문제를 해결하기 위해 로런츠는 다음 변환을 사용했으며, 여기서 수정된 시간 변수를 그가 "국소 시간"()이라고 불렀다.
이 개념을 통해 로런츠는 도플러 효과, 빛의 수차, 그리고 피조 실험을 설명할 수 있었다.
조지프 라머 (1897년, 1900년).
1897년 라머는 로런츠의 작업을 확장하여 다음 변환을 유도했다.
라머는 분자의 구성이 전기적이라고 가정하면 피츠제럴드-로런츠 수축이 이 변환의 결과이며, 이는 마이컬슨-몰리 실험을 설명한다고 언급했다. 주목할 만한 점은 라머가 이 변환의 결과로 어떤 종류의 시간 팽창이 발생한다는 것을 처음으로 인식했다는 것이다. "개별 전자는 [정지] 시스템에 대해 1/γ 비율로 더 짧은 시간에 해당 궤도 부분을 기술한다"는 그의 언급에서 알 수 있다. 라머는 (v/c)2보다 높은 차수의 항을 무시하고 자신의 전기역학 방정식과 변환을 작성했다. 그의 1897년 논문이 1929년에 재인쇄되었을 때, 라머는 다음 주석을 추가하여 v/c의 모든 차수에 대해 어떻게 유효하게 만들 수 있는지를 설명했다.
이 주석과 일치하게, 라머는 1900년에 출판된 그의 저서 "에테르와 물질"에서 1897년 표현 t′=t-vx/c2 대신 t″=t′-εvx′/c2라는 수정된 국소 시간을 사용했는데, 이는 v/c2를 εv/c2로 대체한 것으로, t″는 이제 로런츠가 1892년에 제시한 것과 동일하며, 이를 x′, y′, z′, t′ 좌표에 대한 갈릴레이 변환과 결합했다.
라머는 마이컬슨-몰리 실험이 (v/c)2 인자에 의존하는 운동의 효과를 감지하기에 충분히 정확하다는 것을 알고 있었기 때문에 "2차 항까지 정확한" (그의 표현대로) 변환을 찾았다. 따라서 그는 최종 변환 (x′=x-vt와 t″는 위와 같음)을 다음과 같이 작성했다.
이로써 그는 완전한 로런츠 변환에 도달했다. 라머는 맥스웰 방정식이 이 2단계 변환에 대해 "v/c의 2차 항까지" 불변임을 보였는데, 로런츠(1904)와 푸앵카레(1905)는 이 변환에 대해 v/c의 모든 차수에서 실제로 불변임을 나중에 보였다.
라머는 1904년에 발표된 두 편의 논문에서 로런츠에게 공로를 돌렸으며, 로런츠의 좌표와 장 구성에 대한 1차 변환에 대해 "로런츠 변환"이라는 용어를 사용했다.
헨드릭 안톤 로런츠 (1899년, 1904년).
로런츠 또한 1899년에 그의 대응 상태 정리를 확장했다. 먼저 그는 1892년의 것과 동등한 변환을 작성했다 (다시, x*는 x-vt로 대체되어야 한다).
그 다음 그는 결정할 방법이 없다고 말한 인자 ε을 도입하고, 다음과 같이 자신의 변환을 수정했다 (여기서 위 t′ 값은 삽입되어야 한다).
이것은 x″과 t″에 대해 풀면 ε=1일 때 완전한 로런츠 변환과 동등하다. 라머처럼 로런츠도 1899년에 진동하는 전자의 주파수와 관련하여 "S에서의 진동 시간이 S0에서의 진동 시간보다 kε배 더 길다"는 일종의 시간 팽창 효과를 발견했다 (여기서 S0는 에테르 프레임이다).
1904년에 그는 l=1/ε로 설정하여 방정식을 다음과 같은 형태로 다시 썼다 (다시, x*는 x-vt로 대체되어야 한다).
v=0일 때 l=1이라고 가정하면, 그는 l=1이 모든 속도에서 성립해야 함을 증명했고, 따라서 길이 수축은 운동 방향에서만 발생할 수 있다. 이렇게 계수 l을 1로 설정함으로써 로런츠의 변환은 이제 라머의 변환과 동일한 형태를 띠게 되었고 완성되었다. 맥스웰 방정식의 공변성을 2차 항까지 보여주는 데 그친 라머와 달리, 로런츠는 그 공변성을 v/c의 모든 차수로 확장하려고 노력했다. 그는 또한 전자기적 질량의 속도 의존성에 대한 정확한 공식을 유도했으며, 변환 공식이 전기적 힘뿐만 아니라 모든 자연의 힘에 적용되어야 한다고 결론지었다. 그러나 그는 전하 밀도와 속도에 대한 변환 방정식의 완전한 공변성을 달성하지 못했다. 1904년 논문이 1913년에 재인쇄되었을 때, 로런츠는 다음과 같은 주석을 추가했다.
로런츠의 1904년 변환은 알프레드 부헤러에 의해 1904년 7월에 인용되고 사용되었다.
또는 빌헬름 빈에 의해 1904년 7월에 인용되었다.
또는 에밀 콘에 의해 1904년 11월에 (빛의 속도를 1로 설정하고) 인용되었다.
또는 리처드 간스에 의해 1905년 2월에 인용되었다.
앙리 푸앵카레 (1900년, 1905년).
로런츠나 라머는 국소 시간의 기원에 대해 명확한 물리적 해석을 제공하지 않았다. 그러나 앙리 푸앵카레는 1900년에 로런츠의 "놀라운 발명품"인 국소 시간의 기원에 대해 언급했다. 그는 움직이는 기준계에서 시계들이 신호 교환을 통해 동기화될 때 발생하며, 이 신호들이 양방향으로 동일한 속도 formula_25로 이동한다고 가정하여 오늘날 동시성의 상대성이라고 불리는 현상으로 이어진다고 언급했다. 다만 푸앵카레의 계산에는 길이 수축이나 시간 팽창이 포함되지 않았다. 지구 (x*, t* 좌표계)에서 시계들을 동기화하기 위해 한 시계 (원점)에서 다른 시계 (x*)로 빛 신호를 보냈다가 다시 보낸다. 지구는 어떤 정지 시스템 (x, t)에서 x 방향 (= x* 방향)으로 속도 v로 움직인다고 가정한다 (즉, 로런츠와 라머에게는 광 에테르 시스템). 바깥으로 나가는 비행 시간은 다음과 같다.
그리고 되돌아오는 비행 시간은 다음과 같다.
신호가 돌아왔을 때 시계에 경과된 시간은 δta+δtb이고, 빛 신호가 멀리 있는 시계에 도달한 순간에 t*=(δta+δtb)/2의 시간이 할당된다. 정지 좌표계에서는 그 순간에 t=δta 시간이 할당된다. 약간의 대수를 통해 반사 순간에 할당된 서로 다른 시간 좌표 사이의 관계를 얻을 수 있다. 따라서
이는 로런츠(1892)와 동일하다. formula_29이라는 가정하에 γ2 인자를 제거하면 푸앵카레는 t*=t-vx*/c2라는 결과를 얻었는데, 이는 로런츠가 1895년에 사용한 형태이다.
국소 시간에 대한 유사한 물리적 해석은 나중에 에밀 콘 (1904)과 막스 아브라함 (1905)에 의해 제시되었다.
1905년 6월 5일 (6월 9일 출판), 푸앵카레는 라머와 로런츠의 것과 대수적으로 동등한 변환 방정식을 공식화하고 현대적인 형태를 부여했다.
분명히 푸앵카레는 라머의 공헌을 알지 못했던 것 같다. 왜냐하면 그는 로런츠만을 언급했고, 따라서 "로런츠 변환"이라는 이름을 처음으로 사용했다. 푸앵카레는 빛의 속도를 1로 설정하고, l=1로 설정함으로써 변환의 군 특성을 지적했으며, 상대성 원리를 완전히 만족시키기 위해 로런츠의 전자기학 방정식 유도를 일부 세부 사항에서 수정/교정했다. 즉, 이들을 완전히 로런츠 공변적으로 만들었다.
1905년 7월 (1906년 1월 출판) 푸앵카레는 최소 작용 원리의 결과로서 변환과 전자기 방정식이 어떻게 되는지를 상세히 보여주었다. 그는 자신이 로런츠 군이라고 부른 변환의 군 특성을 더 자세히 설명했고, x2+y2+z2-t2의 조합이 불변임을 보였다. 그는 formula_31를 네 번째 허수 좌표로 도입함으로써 로런츠 변환이 4차원 공간에서 원점을 중심으로 한 단순한 회전임을 알아차렸고, 사차원 벡터의 초기 형태를 사용했다. 그는 또한 이미 1905년 5월 로런츠에게 보낸 미출판 편지에서 유도했던 속도 덧셈 공식을 공식화했다.
알베르트 아인슈타인 (1905년): 특수 상대성이론.
1905년 6월 30일 (1905년 9월 출판) 아인슈타인은 오늘날 특수 상대성이론이라고 불리는 이론을 발표하고, 상대성 원리와 빛의 속도 불변성 원리에만 기반하여 변환의 새로운 유도를 제시했다. 로런츠가 "국소 시간"을 마이컬슨-몰리 실험을 설명하기 위한 수학적 규정 장치로 간주했던 반면, 아인슈타인은 로런츠 변환에 의해 주어진 좌표가 실제로 상대적으로 움직이는 기준 좌표계의 관성 좌표임을 보였다. v/c의 1차 항까지는 푸앵카레도 1900년에 같은 방식으로 수행했지만, 아인슈타인은 이 방법으로 완전한 변환을 유도했다. 에테르 내의 실제 시간과 움직이는 관찰자에 대한 겉보기 시간을 여전히 구별했던 로런츠와 푸앵카레와 달리, 아인슈타인은 이 변환이 움직이는 좌표계의 운동학에 적용된다는 것을 보였다.
이 변환의 표기법은 1905년 푸앵카레의 것과 동일하지만, 아인슈타인은 빛의 속도를 1로 설정하지 않았다.
아인슈타인은 또한 속도 덧셈 공식을 정의했다.
그리고 광행차 공식:
헤르만 민코프스키 (1907~1908년): 시공간.
로런츠, 아인슈타인, 막스 플랑크의 상대성 원리 연구는 푸앵카레의 4차원 접근 방식과 함께 헤르만 민코프스키에 의해 1907년과 1908년에 쌍곡면 모델과 더욱 정교하게 결합되었다. 민코프스키는 특히 전기역학을 4차원 방식으로 재구성했다 (민코프스키 시공간). 예를 들어, 그는 x, y, z, it를 x1, x2, x3, x4 형태로 썼다. ψ를 z축 주위의 회전 각도로 정의하여, 로런츠 변환은 (c=1일 때) 다음 형태를 취한다.
민코프스키는 허수 iψ를 사용했지만, 한 번은 속도 방정식에서 쌍곡 탄젠트를 직접 사용했다.
민코프스키의 표현은 ψ=atanh(q)로도 쓸 수 있으며, 나중에 신속도라고 불렸다. 그는 또한 로런츠 변환을 행렬 형태로 작성했다.
로런츠 변환의 그래픽 표현으로 그는 민코프스키 다이어그램을 도입했는데, 이는 상대성 이론에 대한 교과서 및 연구 논문에서 표준 도구가 되었다.
아르놀트 조머펠트 (1909년): 구면 삼각법.
민코프스키와 같은 허수 신속도를 사용하여 아르놀트 조머펠트 (1909)는 삼각함수와 구면 코사인 법칙을 사용하여 로런츠 부스트와 상대론적 속도 덧셈을 공식화했다.
필리프 프랑크 (1909년): 쌍곡선 함수.
필리프 프랑크 (1909)는 ψ를 신속도로 사용하여 로런츠 변환을 유도하면서 쌍곡선 함수를 사용했다.
해리 베이트먼과 에버네저 커닝햄 (1909년~1910년): 구면파 변환.
소푸스 리 (1871)의 허수 반지름 좌표와 4차원 등각 변환 사이의 관계에 대한 연구와 연관하여, 베이트먼과 커닝햄 (1909–1910)은 u=ict를 허수 4차 좌표로 설정함으로써 시공간 등각 변환을 생성할 수 있음을 지적했다. 이차 형식 formula_42뿐만 아니라 맥스웰 방정식도 λ의 선택에 관계없이 이러한 변환에 대해 공변적이다. 이러한 등각 또는 리 구면 변환의 변형을 베이트먼은 구면파 변환이라고 불렀다. 그러나 이러한 공변성은 전기역학 같은 특정 영역에 한정되며, 관성 좌표계의 자연 법칙 전체는 로런츠 군에 대해 공변적이다. 특히, λ=1로 설정하면 로런츠 군 는 15개 매개변수 시공간 등각 군 의 10개 매개변수 부분군으로 볼 수 있다.
베이트먼 (1910–12)은 라게르 반전과 로런츠 변환 사이의 항등식도 언급했다. 일반적으로 라게르 군과 로런츠 군 사이의 동형성은 엘리 카르탕 (1912, 1915–55), 앙리 푸앵카레 (1912–21) 등등에 의해 지적되었다.
구스타프 헤르글로츠 (1909/10년): 뫼비우스 변환.
펠릭스 클라인 (1889–1897)과 프리케 &amp; 클라인 (1897)의 케일리 절대, 쌍곡 운동 및 그 변환에 대한 연구를 따라, 구스타프 헤르글로츠 (1909–10)는 1개 매개변수 로런츠 변환을 록소드로믹, 쌍곡, 포물선, 타원형으로 분류했다. 일반적인 경우(왼쪽)와 로런츠 변환 또는 압착 사상과 동등한 쌍곡선 경우는 다음과 같다.
블라디미르 바리차크 (1910년): 쌍곡선 함수.
조머펠트 (1909)에 이어, 블라디미르 바리차크는 1910년부터 여러 논문에서 쌍곡선 함수를 사용했으며, 바이어슈트라스 좌표를 사용하여 쌍곡기하학에 기반한 특수 상대성이론 방정식을 표현했다. 예를 들어, l=ct와 v/c=tanh(u) (u는 신속도)로 설정하여 로런츠 변환을 다음과 같이 작성했다.
그리고 구더만 함수 및 평행각과의 신속도 관계를 보였다.
그는 또한 속도 덧셈을 쌍곡 코사인 법칙과 연관시켰다.
이후 E. T. 휘태커 (1910) 또는 앨프레드 롭 (1911, 신속도라는 용어를 만들었다)과 같은 다른 저자들도 유사한 표현을 사용했으며, 이는 현대 교과서에서도 여전히 사용되고 있다.
헨리 크로지어 키팅 플러머 (1910년): 삼각 로런츠 부스트.
헨리 크로지어 키팅 플러머 (1910)는 삼각함수를 사용하여 로런츠 부스트를 정의했다.
블라디미르 이그나톱스키 (1910년).
이전 로런츠 변환의 유도와 공식화가 처음부터 광학, 전기역학 또는 빛의 속도 불변성에 의존했던 반면, 블라디미르 이그나톱스키 (1910)는 상대성 원리(및 관련 군론 원리)만을 사용하여 두 관성 좌표계 사이의 다음 변환을 유도할 수 있음을 보였다.
변수 n은 실험을 통해 또는 전기역학과 같은 알려진 물리 법칙으로부터 값을 결정해야 하는 시공간 상수이다. 이를 위해 이그나톱스키는 위에서 언급한 헤비사이드 타원체를 사용했는데, 이는 운동 방향으로 x/γ만큼 정전기장의 수축을 나타낸다. 이는 n=1/c2일 때만 이그나톱스키의 변환과 일치하며, p=γ와 로런츠 변환이 도출된다. n=0일 때는 길이 변화가 발생하지 않고 갈릴레이 변환이 따른다. 이그나톱스키의 방법은 필리프 프랑크와 헤르만 로테 (1911, 1912)에 의해 더욱 발전되고 개선되었으며, 이후 여러 저자들이 유사한 방법을 개발했다.
프리츠 뇌터 (1910년), 펠릭스 클라인 (1910년): 사원수.
펠릭스 클라인 (1908)은 케일리 (1854)의 4D 사원수 곱셈을 "Drehstreckungen"(인자를 제외하고 이차 형식을 불변으로 남기는 회전의 관점에서 직교 치환)으로 설명했으며, 민코프스키가 제공한 현대 상대성 원리가 본질적으로 이러한 Drehstreckungen의 결과적인 적용일 뿐이라고 지적했지만, 자세한 내용은 제공하지 않았다.
클라인과 조머펠트의 "팽이 이론" (1910) 부록에서 프리츠 뇌터는 formula_49을 사용하여 이중 사원수를 통한 쌍곡 회전을 공식화하는 방법을 보여주었으며, ω2=-c2로 설정하여 이를 빛의 속도와도 연결했다. 그는 이것이 로런츠 변환 군의 합리적인 표현을 위한 주요 요소라고 결론지었다.
뇌터는 아서 케일리 (1854)의 사원수 관련 표준 작품 외에 슈투디 (1899)의 클라인 백과사전 항목과 엘리 카르탕 (1908)의 프랑스어 버전을 언급했다. 카르탕 버전에는 슈투디의 이원수, 클리퍼드의 이중 사원수 (쌍곡기하학을 위한 formula_49 선택 포함), 클리퍼드 대수에 대한 설명과 스테파노스 (1883), 부흐하임 (1884–85), 발렌 (1901–02) 등의 참고 자료가 포함되어 있다.
뇌터를 인용하여 클라인 자신은 1910년 8월에 로런츠 변환 군을 형성하는 다음 사원수 치환을 발표했다.
또는 1911년 3월에
아서 W. 콘웨이 (1911년), 루드비히 질버슈타인 (1911년): 사원수.
아서 W. 콘웨이는 1911년 2월에 속도 λ에 대한 다양한 전자기량의 사원수 로런츠 변환을 명시적으로 공식화했다.
또한 루드비히 질버슈타인은 1911년 11월과 1914년에 속도 v에 대한 로런츠 변환을 공식화했다.
질버슈타인은 케일리 (1854, 1855)와 슈투디의 백과사전 항목 (1908년 카르탕의 확장된 프랑스어 버전), 그리고 클라인과 조머펠트 책의 부록을 인용한다.
블라디미르 이그나톱스키 (1910/11년), 구스타프 헤르글로츠 (1911년) 등: 벡터 변환.
블라디미르 이그나톱스키 (1910, 1911년 출판)는 임의의 속도와 좌표를 허용하도록 로런츠 변환을 재구성하는 방법을 보였다.
구스타프 헤르글로츠 (1911) 또한 임의의 속도 v=(vx, vy, vz) 및 좌표 r=(x, y, z)를 허용하도록 변환을 공식화하는 방법을 보였다.
이것은 루드비히 질버슈타인 (1911년 왼쪽, 1914년 오른쪽)에 의해 벡터 표기법을 사용하여 단순화되었다.
동등한 공식은 볼프강 파울리 (1921)에 의해서도 주어졌으며, 에르빈 마델룽 (1922)은 행렬 형태를 제공했다.
이 공식들은 크리스티안 묄러 (1952)에 의해 "회전 없는 일반 로런츠 변환"이라고 불렸으며, 그는 추가적으로 카르테시안 축이 다른 방향을 가진 훨씬 더 일반적인 로런츠 변환을 3차원 회전 연산자 formula_60를 사용하여 제시했다. 이 경우 v′=(v′x, v′y, v′z)는 -v=(-vx, -vy, -vz)와 같지 않지만, 대신 formula_61 관계가 성립하며 결과는 다음과 같다.
에밀 보렐 (1913~14년): 케일리–에르미트 매개변수.
에밀 보렐 (1913)은 3차원 유클리드 운동을 오일러-로드리게스 매개변수로, 4차원 유클리드 운동을 케일리(1846) 매개변수로 시연하는 것으로 시작했다. 그런 다음 쌍곡 운동과 로런츠 변환을 표현하는 부정 이차 형식과의 연결을 시연했다. 3차원에서는 다음과 같다.
4차원에서는 다음과 같다.
폴 그루너 (1921년): 삼각 로런츠 부스트.
민코프스키 공간의 그래픽 표현을 단순화하기 위해 폴 그루너 (1921)는 (요제프 자우터의 도움을 받아) 오늘날 뢰델 다이어그램이라고 불리는 것을 다음 관계를 사용하여 개발했다.
다른 논문에서 그루너는 대체 관계를 사용했다.
기계 필터()는 일반적으로 무선 주파수에서 전자 필터 대신 사용되는 신호 처리 필터이다. 그 목적은 일반 전자 필터와 동일하다. 즉, 특정 범위의 신호 주파수는 통과시키고 다른 주파수는 차단하는 것이다. 필터는 전기 신호의 아날로그인 기계적 진동에 작용한다. 필터의 입력과 출력에서 트랜스듀서는 전기 신호를 기계적 진동으로 변환한 다음 다시 전기 신호로 변환한다.
기계 필터의 구성 요소는 모두 전기 회로에서 발견되는 다양한 요소와 직접적으로 유사하다. 기계적 요소는 해당 전기적 요소와 동일한 수학적 함수를 따른다. 이를 통해 전기 회로망 분석 및 필터 설계 방법을 기계 필터에 적용할 수 있다. 전기 이론은 유용한 필터 주파수 응답을 생성하는 많은 수학적 형태 라이브러리를 개발했으며, 기계 필터 설계자는 이를 직접 활용할 수 있다. 전기적 대응물과 동일한 응답을 가진 필터를 생성하려면 기계적 구성 요소를 적절한 값으로 설정하기만 하면 된다.
강철 합금과 철–니켈 합금은 기계 필터 구성 요소에 일반적으로 사용되는 재료이며, 니켈은 때때로 입력 및 출력 커플링에 사용된다. 이러한 재료로 만들어진 필터의 공진기는 최종 조립 전에 공진 주파수를 정밀하게 조정하기 위해 기계 가공해야 한다.
이 문서에서 기계 필터의 의미는 전기기계적 역할로 사용되는 필터를 의미하지만, 기계적 설계를 사용하여 기계적 진동이나 음파(본질적으로 기계적이기도 함)를 직접 필터링할 수 있다. 예를 들어, 스피커 캐비닛 설계에서 오디오 주파수 응답의 필터링은 기계적 구성 요소로 달성할 수 있다. 전기 응용 분야에서는 전기적 대응물에 해당하는 기계적 구성 요소 외에도 기계적 영역과 전기적 영역 간을 변환하는 트랜스듀서가 필요하다. 이 문서에서는 다양한 형태와 토폴로지의 기계 필터 구성 요소의 대표적인 선택을 제시한다.
기계 필터 이론은 1920년대에 축음기의 기계적 부품을 개선하는 데 처음 적용되었다. 1950년대에는 기계 필터가 무선 송신기 및 고급 수신기에 사용되는 독립형 구성 요소로 제조되었다. 기계 공진기가 달성할 수 있는 높은 "품질 계수", Q는 전적으로 전기적인 LC 회로보다 훨씬 높아서 뛰어난 선택도를 가진 기계 필터를 만들 수 있었다. 무선 수신기에서 중요한 좋은 선택도는 이러한 필터를 매우 매력적으로 만들었다. 현대 연구자들은 전자 집적 회로에 해당하는 기계 장치인 마이크로전자기계 필터에 대해 연구하고 있다.
수동 선형 전기 회로망의 요소는 각각 유도계수, 엘라스턴스(역 전기 용량) 및 전기저항의 속성을 갖는 유도자, 축전기 및 저항기로 구성된다. 이러한 속성의 기계적 대응물은 각각 질량, 뻣뻣함 및 감쇠이다. 대부분의 전자 필터 설계에서는 필터 본체에 유도자 및 축전기 요소만 사용된다(필터는 입력 및 출력에 저항기로 종단될 수 있지만). 저항은 이상적인 구성 요소로 구성된 이론적 필터에는 존재하지 않으며, 실제 설계에서는 원치 않는 기생 요소로만 발생한다. 마찬가지로, 기계 필터는 이상적으로 질량 및 뻣뻣함 속성을 가진 구성 요소로만 구성되지만, 실제로는 일부 감쇠도 존재한다.
이러한 유형의 분석에서 전압과 전류의 기계적 대응물은 각각 힘(F)과 속도(v)이며 신호 파형을 나타낸다. 이를 통해 상상의 각진동수 jω로 기계 임피던스를 정의할 수 있으며, 이는 전기적 유사성을 완전히 따른다.
표에 제시된 체계는 임피던스 유추로 알려져 있다. 이 유추를 사용하여 생성된 회로도는 전기 회로에 의해 보이는 기계 시스템의 전기 임피던스와 일치하여 전기 공학적 관점에서 직관적이다. 이동도 유추도 있다.
이동도 유추에서는 힘이 전류에 해당하고 속도가 전압에 해당한다. 이것은 동일하게 유효한 결과를 가지지만 위에서 나열된 전기적 대응물의 역수를 사용해야 한다. 따라서 여기서 는 전도율이다(리액턴스가 없는 경우 전기저항의 역수). 이 체계에 의해 생성된 등가 회로는 유사하지만, 직렬 요소가 병렬로, 축전기가 유도자로 변환되는 쌍대 임피던스 형태이다. 이동도 유추를 사용하는 회로도는 회로의 기계적 배열과 더 밀접하게 일치하여 기계 공학적 관점에서 더 직관적이다. 이러한 유추는 전자기계 시스템에 대한 응용 외에도 음향 분석을 돕는 데 널리 사용된다.
모든 기계 부품은 필연적으로 질량과 뻣뻣함을 모두 갖는다. 이는 전기적 용어로 LC 회로, 즉 유도자와 축전기로 구성된 회로로 변환되므로 기계 부품은 공진기이며 종종 그렇게 사용된다. 원치 않는 속성을 최소화(그러나 완전히 제거할 수는 없음)하여 기계적 구현에서 유도자와 축전기를 개별 집중 상수 요소로 나타내는 것은 여전히 가능하다. 축전기는 얇고 긴 막대로 만들 수 있는데, 즉 질량은 최소화되고 순응도는 최대화된다. 반면에 유도자는 조각의 순응도에 비해 질량을 최대화하는 짧고 넓은 조각으로 만들 수 있다.
기계 부품은 기계적 진동을 위한 전송선로 역할을 한다. 파장이 부품에 비해 짧으면 위에서 설명한 집중 상수 모델이 더 이상 적절하지 않으며 분포 정수 모델을 대신 사용해야 한다. 기계적 분포 요소는 전기적 분포 요소와 완전히 유사하며 기계 필터 설계자는 전기적 분포 상수 필터 설계 방법을 사용할 수 있다.
고조파 전신.
기계 필터 설계는 전기 필터 이론에서 발견된 내용을 역학에 적용하여 개발되었다. 그러나 음향 필터링의 매우 초기 사례(1870년대)는 "고조파 전신"이었는데, 이는 전기 공진이 잘 이해되지 않았지만 기계 공진(특히 음향 공진)은 엔지니어들에게 매우 익숙했기 때문에 발생했다. 이러한 상황은 오래 지속되지 않았다. 전기 공진은 그 이전부터 과학에 알려져 있었고, 엔지니어들이 곧 전적으로 전기적인 필터 설계를 만들기 시작했다. 그러나 당시 고조파 전신은 어느 정도 중요했다. 이 아이디어는 오늘날 주파수 분할 다중화라고 불리는 방식으로 여러 전신 신호를 하나의 전신 선에 결합하여 선 설치 비용을 엄청나게 절감하는 것이었다. 각 통신사의 전건은 진동하는 전자기 갈대를 활성화하여 이 진동을 전기 신호로 변환했다. 수신 통신사에서의 필터링은 정확히 동일한 주파수로 튜닝된 유사한 갈대에 의해 달성되었으며, 이는 동일한 튜닝을 가진 통신사의 전송에서만 진동하고 소리를 생성했다.
고조파 전신의 버전은 일라이셔 그레이, 알렉산더 그레이엄 벨, 등에 의해 개발되었다. 전기 영역으로의 사운드 트랜스듀서로서의 능력은 전화기 발명에 영감을 주었다.
기계적 등가 회로.
전기 회로망 분석의 기초가 확립되기 시작하자 복소 임피던스 및 필터 설계 이론의 개념이 유추에 의해 역학으로 이전되는 데는 오랜 시간이 걸리지 않았다. 복소 임피던스를 도입하는 데에도 기여한 아서 E. 케널리와 아서 고든 웹스터는 1920년에 임피던스 개념을 기계 시스템으로 확장한 최초의 인물이었다. 기계적 어드미턴스 및 관련 이동성 유추는 훨씬 나중에 나왔고 1932년에 파이어스톤에 의해 이루어졌다.
단순히 기계적 유추를 개발하는 것만으로는 충분하지 않았다. 이것은 전적으로 기계적 영역에 있는 문제에 적용될 수 있었지만, 전기적 응용을 위한 기계 필터의 경우 트랜스듀서도 유추에 포함시켜야 한다. 앙리 푸앵카레 (1907)는 전기 변수(전압 및 전류)와 기계 변수(힘 및 속도)를 연결하는 한 쌍의 선형대수학 방정식으로 트랜스듀서를 처음으로 설명했다. 이 방정식은 전기 이론의 z-파라미터와 매우 유사한 방식으로 행렬 관계로 표현할 수 있다.
여기서 와 는 트랜스듀서의 전기적 측면에서의 전압과 전류를 각각 나타낸다.
웨겔(Wegel)은 1921년에 이러한 방정식을 전기 임피던스뿐만 아니라 기계 임피던스로 표현한 최초의 인물이었다. 요소 formula_2는 개방 회로 기계 임피던스, 즉 전기적 측면에 전류가 흐르지 않을 때 트랜스듀서의 기계적 측면이 나타내는 임피던스이다. 반대로 요소 formula_3는 고정된 전기 임피던스, 즉 기계적 측면이 고정되어 움직이지 않을 때(속도가 0) 전기적 측면에 나타나는 임피던스이다. 나머지 두 요소인 formula_4와 formula_5는 각각 트랜스듀서의 정방향 및 역방향 전달 함수를 설명한다. 이러한 아이디어가 확립되자 엔지니어들은 전기 이론을 기계적 영역으로 확장하고 전자기계 시스템을 통합된 전체로 분석할 수 있었다.
음향 재생.
이러한 새로운 이론적 도구의 초기 응용 분야는 축음기 음향 재생이었다. 초기 축음기 설계에서 반복되는 문제점은 픽업 및 음향 전송 메커니즘의 기계적 공진으로 인해 주파수 응답에 과도하게 큰 피크와 계곡이 발생하여 음질이 저하되는 것이었다. 1923년 웨스턴 일렉트릭 회사의 해리슨은 기계적 설계가 전적으로 전기 회로로 표현되는 축음기 특허를 출원했다. 축음기의 혼은 전송선로로 표현되며, 회로의 나머지 부분에 대한 저항성 부하이며, 픽업 바늘부터 혼까지의 모든 기계적 및 음향 부품은 임피던스 유추에 따라 집중 소자로 변환된다. 도달된 회로는 병렬 축전기로 결합된 직렬 공진 회로의 사다리 토폴로지이다. 이는 대역통과 필터 회로로 볼 수 있다. 해리슨은 이 필터의 구성 요소 값을 원하는 오디오 통과대역(이 경우 100 Hz ~ 6 kHz)에 해당하는 특정 통과대역과 평탄한 응답을 갖도록 설계했다. 이러한 전기 요소 값을 다시 기계적 양으로 변환하면 질량 및 뻣뻣함 측면에서 기계적 구성 요소에 대한 사양을 제공하며, 이는 다시 제조를 위한 물리적 치수로 변환될 수 있다. 결과적으로 축음기는 통과대역에서 평탄한 주파수 응답을 가지며 이전에 경험했던 공진이 없다. 그 직후 해리슨은 동일한 방법론을 사용하여 전화 송수신 트랜스듀서에 대한 또 다른 특허를 출원했다.
해리슨은 당시 가장 진보된 필터 이론인 조지 애슐리 캠벨의 이미지 필터 이론을 사용했다. 이 이론에서 필터 설계는 본질적으로 임피던스 매칭 문제로 간주된다. 1929년 벨 연구소의 에드워드 로리 노턴은 이 문제에 더 발전된 필터 이론을 적용했다. 노턴은 동일한 일반적인 접근 방식을 따랐지만 나중에 시드니 달링턴에게 자신이 설계한 필터가 "최대 평탄"하다고 설명했다. 노턴의 기계적 설계는 전자 최대 평탄 필터를 처음으로 설명한 것으로 일반적으로 알려진 스티븐 버터워스의 논문보다 앞선다. 노턴이 자신의 필터에 대해 제시한 방정식은 단일 종단 버터워스 필터, 즉 임피던스가 없는 이상적인 전압원에 의해 구동되는 필터에 해당하며, 텍스트에 일반적으로 주어지는 형태는 양쪽 끝에 저항이 있는 이중 종단 필터용이므로 설계를 제대로 인식하기 어렵다. 노턴의 필터 설계의 또 다른 특이한 특징은 다이어프램의 뻣뻣함을 나타내는 직렬 축전기에서 비롯된다. 이것은 노턴의 표현에서 유일한 직렬 축전기이며, 이것이 없으면 필터는 저역 통과 프로토타입으로 분석될 수 있다. 노턴은 등가 회로에 변압기를 도입하는 대가로 축전기를 필터 본체에서 입력으로 이동시킨다(노턴의 그림 4). 노턴은 이를 달성하기 위해 "L 뒤집기" 임피던스 변환을 사용했다.
이 시기의 주제에 대한 결정적인 설명은 Maxfield와 Harrison의 1926년 논문이다. 그들은 기계적 대역 통과 필터가 사운드 재생 시스템에 어떻게 적용될 수 있는지 설명할 뿐만 아니라 동일한 원리를 녹음 시스템에도 적용하고 훨씬 개선된 디스크 커팅 헤드를 설명한다.
중간 주파수(IF) 응용 분야를 위한 현대 기계 필터는 1946년 제니스 일렉트로닉스의 로버트 애들러가 455 kHz 필터를 제작하면서 처음 연구되었다. 이 아이디어는 콜린스 라디오 회사에 의해 채택되었고, 콜린스 라디오 회사는 1950년대부터 기계 필터의 첫 대량 생산을 시작했다. 이 필터는 원래 고품질 필터를 사용하는 것이 상업적으로 유리한 전화 주파수 분할 다중화 응용 분야를 위해 설계되었다. 전환 대역의 정밀도와 가파른 정도는 가드 밴드의 폭을 줄여주며, 이는 동일한 케이블에 더 많은 전화 채널을 압축할 수 있게 한다. 이와 동일한 특징은 무선 송신기에서도 비슷한 이유로 유용하다. 기계 필터는 곧 콜린스가 제조한 고급 무선 장비(군용, 해양, 아마추어 무선 등)의 VHF/UHF 무선 IF 단계에서도 인기를 얻었다. 무선 응용 분야에서 선호된 이유는 동등한 LC 필터보다 훨씬 높은 인자를 달성할 수 있었기 때문이다. 높은 는 수신기에서 인접한 무선 채널을 구별하는 데 중요한 높은 선택도를 가진 필터를 설계할 수 있게 한다. 또한 LC 필터와 모놀리식 수정 필터보다 안정성 면에서 이점이 있었다. 무선 응용 분야에서 가장 인기 있는 설계는 무선 IF가 일반적으로 100~500 kHz 대역에 있기 때문에 비틀림 공진기였다.
기계 필터에는 자왜 및 압전 트랜스듀서가 모두 사용된다. 압전 재료는 필터의 공진기 중 하나로도 사용될 수 있어 구성 요소 수를 줄이고 공간을 절약할 수 있으므로 최근 설계에서 압전 트랜스듀서가 선호된다. 또한 자왜형 트랜스듀서가 외부 자기장에 취약한 문제를 피할 수 있다.
자왜.
자왜 재료는 자기장이 가해지면 모양이 변하는 재료이다. 반대로, 변형되면 자기장을 생성한다. 자왜 트랜스듀서는 자왜 재료 주위에 도체 코일이 필요하다. 코일은 트랜스듀서에 자기장을 유도하여 움직이게 하거나, 필터 출력에서 트랜스듀서의 움직임으로부터 유도 전류를 포착한다. 또한 자왜 재료를 작동 범위로 바이어스하기 위해 작은 자석이 필요하다. 신호에 d.c. 전류를 중첩하여 바이어싱을 전자적으로 처리할 수 있다면 자석을 없앨 수 있지만, 이 접근 방식은 필터 설계의 일반성을 떨어뜨릴 것이다.
트랜스듀서에 사용되는 일반적인 자왜 재료는 페라이트 또는 압축된 분말 철이다. 기계 필터 설계에서는 종종 강철 또는 니켈-철 와이어로 공진기를 연결하지만, 일부 설계, 특히 구형 설계에서는 입력 및 출력 로드에 니켈 와이어를 사용할 수 있다. 이는 니켈이 약간 자왜성이 있기 때문에 트랜스듀서 코일을 니켈 연결 와이어에 직접 감을 수 있기 때문이다. 그러나 자왜성이 강하지 않아 전기 회로와의 연결이 약하다. 이 방식은 또한 와전류라는 단점을 가지고 있는데, 이 문제는 니켈 대신 페라이트를 사용하면 피할 수 있다.
트랜스듀서의 코일은 필터의 전기적 측면에 약간의 유도계수를 추가한다. 코일에 병렬로 축전기를 추가하여 추가 공진기가 형성되도록 하는 것이 일반적인 관행이며, 이는 필터 설계에 통합될 수 있다. 이것이 추가 기계 공진기만큼 성능을 향상시키지는 않겠지만, 약간의 이점이 있으며 코일은 어쨌든 거기에 있어야 한다.
압전.
압전 재료는 전기장이 가해지면 모양이 변하는 재료이다. 반대로, 변형되면 전기장을 생성한다. 압전 트랜스듀서는 본질적으로 압전 재료에 전극을 도금하는 것만으로 만들어진다. 티탄산 바륨과 같이 트랜스듀서에 사용된 초기 압전 재료는 온도 안정성이 좋지 않았다. 이로 인해 트랜스듀서는 공진기 중 하나로 기능할 수 없었으며, 별도의 구성 요소여야 했다. 이 문제는 공진기로 사용하기에 충분히 안정적인 티탄산 지르콘산 납(PZT로 약칭)이 도입되면서 해결되었다. 또 다른 일반적인 압전 재료는 석영으로, 기계 필터에도 사용되었다. 그러나 PZT와 같은 세라믹 재료는 더 큰 전기기계적 결합 계수 때문에 선호된다.
한 종류의 압전 트랜스듀서는 초기 소나 연구에서 폴 랑주뱅이 사용한 트랜스듀서의 이름을 따서 명명된 랑주뱅형이다. 이것은 종 방향 진동 모드에 적합하다. 움직임이 기계적으로 종 방향 움직임으로 변환될 수 있다면 다른 진동 모드를 가진 공진기에도 사용될 수 있다. 트랜스듀서는 압전 재료 층이 커플링 로드 또는 공진기 내부에 가로로 끼워져 있다.
또 다른 종류의 압전 트랜스듀서는 압전 재료가 종 방향으로, 보통 공진기 자체 내부에 끼워져 있다. 이 종류는 비틀림 진동 모드에 적합하며 비틀림 트랜스듀서라고 불린다.
박막 제조 방법을 사용하여 소형화된 압전 공진기는 박막 벌크 음향 공진기(FBAR)라고 불린다.
공진기.
기계 공진기로는 매우 높은 를 달성할 수 있다. 기계 공진기는 일반적으로 10,000 정도의 를 가지며, 특정 니켈-철 합금을 사용하는 비틀림 공진기에서는 25,000을 달성할 수 있다. 이는 유도 코일의 저항에 의해 가 제한되는 LC 회로로는 달성하기 어려운 매우 높은 수치이다.
1940년대와 1950년대의 초기 설계는 강철을 공진기 재료로 사용하기 시작했다. 이것은 주로 가격보다는 기계 필터의 주요 매력인 를 최대화하기 위해 니켈-철 합금으로 바뀌었다. 기계 필터 공진기에 사용된 일부 금속과 그 는 표에 나와 있다.
압전 결정은 기계 필터 설계에서도 때때로 사용된다. 이는 입력 및 출력용 트랜스듀서 역할도 하는 공진기에 특히 해당한다.
기계 필터가 LC 전기 필터에 비해 가지는 한 가지 장점은 매우 안정적으로 만들 수 있다는 것이다. 공진 주파수는 작동 온도 범위()에서 지정된 값에서 1.5 Ppb만 변동하고, 시간 경과에 따른 평균 드리프트는 하루에 4 ppb만큼 낮을 수 있을 정도로 안정적으로 만들 수 있다. 이러한 온도에 대한 안정성 또한 니켈-철을 공진기 재료로 사용하는 이유이다. 공진 주파수(및 주파수 함수의 다른 특징)의 온도 변화는 재료의 뻣뻣함 측정치인 영률의 변화와 직접적으로 관련된다. 따라서 영률의 온도 계수가 작은 재료를 찾는다. 일반적으로 영률은 음의 온도 계수를 가지지만(온도가 증가하면 재료가 덜 뻣뻣해짐) 합금에 특정 다른 원소를 소량 추가하면 온도에 따라 음수에서 0을 거쳐 양수로 부호가 변하는 온도 계수를 가진 재료를 생성할 수 있다. 이러한 재료는 특정 온도 주변에서 공진 주파수에 대한 0의 온도 계수를 가질 것이다. 합금의 열처리를 통해 0 온도 계수 지점을 원하는 위치로 조정할 수 있다.
공진 모드.
기계 부품은 일반적으로 여러 가지 다른 진동 모드로 진동할 수 있지만, 설계는 특정 진동 모드를 기반으로 하며 설계자는 공진을 이 모드로 제한하려고 노력할 것이다. 직선적인 종방향 모드뿐만 아니라 굽힘 모드, 비틀림 모드, 반경 방향 모드 및 드럼 헤드 모드도 사용된다.
모드는 진동의 반파장 수에 따라 번호가 매겨진다. 일부 모드는 두 가지 이상의 방향으로 진동(예: 두 가지 방향으로 진동하는 드럼 헤드 모드)하며, 결과적으로 모드 번호는 두 개 이상의 숫자로 구성된다. 진동이 상위 모드 중 하나일 때 공진기에는 움직임이 없는 여러 개의 노드가 존재한다. 일부 유형의 공진기의 경우 이는 구조적 지지를 위한 기계적 부착물을 만들 편리한 장소를 제공할 수 있다. 노드에 부착된 와이어는 공진기의 진동이나 전체 필터 응답에 영향을 미치지 않는다. 그림 5에는 노드에 부착된 와이어로 가능한 일부 앵커 포인트가 표시되어 있다.
기계 필터를 구성하는 데 사용될 수 있는 공진기와 트랜스듀서의 조합은 매우 다양하다. 그중 일부는 다이어그램에 나와 있다. 그림 6은 디스크 굽힘 공진기와 자왜 트랜스듀서를 사용하는 필터를 보여준다. 트랜스듀서는 첫 번째 공진기의 중심을 구동하여 진동하게 한다. 구동 신호가 공진에 있거나 가까울 때 디스크 가장자리는 중심과 역상으로 움직이며, 신호는 연결 막대를 통해 다음 공진기로 전달된다. 구동 신호가 공진에 가깝지 않을 때 가장자리에는 거의 움직임이 없으며, 필터는 신호를 거부(통과시키지 않음)한다. 그림 7은 연결 막대로 체인으로 연결된 종방향 공진기를 포함하는 유사한 아이디어를 보여준다. 이 다이어그램에서 필터는 압전 트랜스듀서에 의해 구동된다. 자왜 트랜스듀서를 사용해도 마찬가지로 작동할 수 있다. 그림 8은 비틀림 공진기를 사용하는 필터를 보여준다. 이 다이어그램에서 입력은 비틀림 압전 트랜스듀서를 가지고 있고 출력은 자왜 트랜스듀서를 가지고 있다. 실제 설계에서는 입력과 출력이 일반적으로 동일한 유형의 트랜스듀서를 가지므로 이는 매우 드물 것이다. 자왜 트랜스듀서는 여기에서 종방향 진동이 비틀림 진동으로 또는 그 반대로 어떻게 변환될 수 있는지 보여주기 위해서만 표시되어 있다. 그림 9는 드럼 헤드 모드 공진기를 사용하는 필터를 보여준다. 디스크의 가장자리는 필터 케이싱에 고정되어 있으므로(다이어그램에 표시되지 않음) 디스크의 진동은 드럼 멤브레인과 동일한 모드이다. 콜린스는 이 유형의 필터를 디스크 와이어 필터라고 부른다.
다양한 유형의 공진기는 모두 다른 주파수 대역에 특히 적합하다. 전반적으로, 모든 종류의 집중 소자를 가진 기계 필터는 약 5에서 700 kHz까지의 주파수를 커버할 수 있지만, 몇 킬로헤르츠(kHz)만큼 낮은 기계 필터는 드물다. 이 범위의 하단, 100 kHz 미만은 막대 굽힘 공진기로 가장 잘 커버된다. 상단은 비틀림 공진기로 더 잘 커버된다. 드럼 헤드 디스크 공진기는 중간에 위치하며, 약 100에서 300 kHz 범위를 커버한다.
모든 기계 필터의 주파수 응답 동작은 위에서 설명한 임피던스 유추를 사용하여 등가 전기 회로로 표현할 수 있다. 이의 예가 그림 8b에 나와 있으며, 이는 그림 8a의 기계 필터의 등가 회로이다. 자왜 트랜스듀서의 유도계수와 같은 전기적 측면의 요소는 생략되었지만, 완전한 설계에서는 고려될 것이다. 회로도상의 직렬 공진 회로는 비틀림 공진기를 나타내고, 병렬 축전기는 커플링 와이어를 나타낸다. 전기 등가 회로의 구성 요소 값은 기계 구성 요소의 치수를 수정함으로써 어느 정도 마음대로 조정할 수 있다. 이러한 방식으로 전기 분석 및 필터 설계의 모든 이론적 도구를 기계 설계에 적용할 수 있다. 전기 이론에서 실현 가능한 모든 필터는 원칙적으로 기계 필터로도 실현될 수 있다. 특히, 버터워스 필터와 체비쇼프 필터의 이상적인 필터 응답에 대한 인기 있는 유한 요소 근사화는 모두 쉽게 실현될 수 있다. 전기적 대응물과 마찬가지로 더 많은 요소가 사용될수록 근사화는 이상에 더 가까워지지만, 실제적인 이유로 공진기의 수는 일반적으로 8개를 초과하지 않는다.
반집중 설계.
메가헤르츠(MHz) 정도의 주파수는 기계 필터의 일반적인 범위를 벗어난다. 구성 요소가 매우 작아지거나, 또는 구성 요소가 신호 파장에 비해 커진다. 위에서 설명한 집중 상수 모델이 무너지기 시작하고 구성 요소는 분포 요소로 간주되어야 한다. 집중 상수에서 분포 요소 모델링으로의 전환이 일어나는 주파수는 전기적 대응물보다 기계 필터에서 훨씬 낮다. 이는 기계적 진동이 구성 요소가 구성된 재료의 음속으로 이동하기 때문이다. 고체 구성 요소의 경우 이는 공기 중 음속()의 여러 배(니켈-철의 경우 15배)이지만, 전자기파 속도(진공에서 약 )보다는 훨씬 느리다. 결과적으로, 동일한 주파수에서 기계적 파장은 전기적 파장보다 훨씬 짧다. 이러한 효과를 활용하여 구성 요소를 분포 요소로 의도적으로 설계할 수 있으며, 전기 분포 상수 필터에 사용되는 구성 요소 및 방법을 적용할 수 있다. 스터브 및 임피던스 변환기의 등가물은 모두 달성 가능하다. 집중 요소와 분포 요소의 혼합을 사용하는 설계는 반집중(semi-lumped)이라고 한다.
그러한 설계의 예는 그림 10a에 나와 있다. 공진기는 그림 6에 표시된 것과 유사한 디스크 굽힘 공진기이지만, 이들은 가장자리에서 에너지를 공급받아 중심에 노드를 가진 기본 굽힘 모드로 진동하는 반면, 그림 6 설계는 중심에서 에너지를 공급받아 공진 시 두 번째 굽힘 모드로 진동한다. 공진기는 커플링 와이어에 대해 직각으로 피벗을 통해 필터 하우징에 기계적으로 부착된다. 피벗은 공진기의 자유로운 회전을 보장하고 손실을 최소화하기 위한 것이다. 공진기는 집중 요소로 취급되지만, 커플링 와이어는 정확히 반파장 길이로 만들어져 전기 등가 회로에서 개방 회로 스터브와 동일하다. 협대역 필터의 경우 이러한 종류의 스터브는 그림 10b에 표시된 병렬 션트 튜닝 회로의 근사 등가 회로를 가진다. 결과적으로, 이 설계에서는 연결 와이어가 회로에 추가 공진기를 추가하는 데 사용되고 있으며, 집중 공진기와 짧은 커플링만 있는 것보다 더 나은 응답을 가질 것이다. 훨씬 더 높은 주파수의 경우 아래에서 설명하는 마이크로전자기계 방법을 사용할 수 있다.
브리징 와이어.
브리징 와이어는 인접하지 않은 공진기를 서로 연결하는 막대이다. 이 막대는 감쇠 극점을 저지대역에 생성하는 데 사용될 수 있다. 이는 저지대역 제거를 증가시키는 이점을 제공한다. 극점이 통과대역 가장자리 근처에 배치될 때, 이는 또한 롤오프를 증가시키고 전환 대역을 좁히는 이점을 제공한다. 그림 11은 필터 주파수 응답에 대한 이러한 효과 중 일부의 전형적인 영향을 보여준다. 단일 공진기를 가로지르는 브리징(그림 11b)은 고주파 저지대역에 감쇠 극점을 생성할 수 있다. 두 개의 공진기를 가로지르는 브리징(그림 11c)은 고주파 및 저주파 저지대역 모두에 감쇠 극점을 생성할 수 있다. 여러 브릿지를 사용하면(그림 11d) 여러 개의 감쇠 극점이 발생한다. 이러한 방식으로 저지대역의 감쇠를 넓은 주파수 범위에서 깊게 할 수 있다.
인접하지 않은 공진기 간의 결합 방법은 기계 필터에만 국한되지 않는다. 다른 필터 형식에도 적용될 수 있으며, 이 클래스의 일반적인 용어는 교차 결합 필터이다. 예를 들어, 공동 공진기 사이에 채널을 만들거나, 이산 구성 요소 필터에 상호 유도를 사용하거나, 활성 아날로그 필터 또는 디지털 필터에 피드백 경로를 사용할 수 있다. 이 방법은 기계 필터 분야에서 처음 발견된 것도 아니다. 가장 초기의 설명은 마이크로파 공동 공진기를 사용하는 필터에 대한 1948년 특허에 나와 있다. 그러나 기계 필터 설계자들은 이러한 종류의 실용적인 필터를 개발한 최초의 사람들(1960년대)이었고, 이 방법은 기계 필터의 특별한 특징이 되었다.
마이크로전자기계 필터.
기계 필터링에 새롭게 등장하는 기술은 미세전자기계 시스템(MEMS)이다. MEMS는 구성 요소 크기가 마이크로미터(μm) 단위로 측정되는 매우 작은 마이크로머신이지만, 나노머신만큼 작지는 않다. 이 필터는 기존 기계 필터로 달성할 수 있는 것보다 훨씬 높은 주파수에서 작동하도록 설계될 수 있다. 이 시스템은 주로 규소(Si), 질화 규소(Si3N4) 또는 중합체로 제작된다. 무선주파수 필터링(및 MEMS 응용 분야 전반)에 일반적으로 사용되는 구성 요소는 외팔보 공진기이다. 외팔보는 반도체 산업에서 사용되는 방법과 거의 동일한 방법으로 제조되는 간단한 기계적 구성 요소이다. 마스킹, 포토리소그래피 및 식각을 거쳐 외팔보를 기판에서 분리하기 위한 최종 언더커팅 식각이 이루어진다. 이 기술은 외팔보를 단일 기판에 대량으로 생산할 수 있다는 점에서 큰 가능성을 가지고 있다. 현재 단일 실리콘 칩에 많은 수의 트랜지스터가 포함되어 있는 것과 매우 유사하다.
그림 12에 표시된 공진기는 길이가 약 120 μm이다. 외팔보 바랙터를 공진기 요소로 사용하여 30 GHz의 작동 주파수를 가진 실험적인 완전 필터가 제작되었다. 이 필터의 크기는 약 4×3.5 mm이다. 외팔보 공진기는 일반적으로 200 MHz 미만의 주파수에서 적용되지만, 마이크로 가공된 공동과 같은 다른 구조는 마이크로파 대역에서 사용될 수 있다. 이 기술을 통해 매우 높은 공진기를 만들 수 있다. 8 MHz에서 80,000을 초과하는 를 가진 굽힘 모드 공진기가 보고되었다.
기계 필터가 사용되는 정밀 응용 분야에서는 공진기가 지정된 공진 주파수에 정확하게 조정되어야 한다. 이를 트리밍이라고 하며, 일반적으로 기계 가공 공정이 필요하다. 대부분의 필터 설계에서는 공진기를 완전한 필터로 조립한 후에는 이러한 작업을 수행하기 어렵기 때문에 공진기는 조립 전에 트리밍된다. 트리밍은 최소 두 단계(조정 및 미세 조정)로 수행되며, 각 단계는 공진 주파수를 지정된 값에 더 가깝게 만든다. 대부분의 트리밍 방법은 공진기에서 재료를 제거하여 공진 주파수를 높이는 것을 포함한다. 따라서 거친 트리밍 단계의 목표 주파수는 최종 주파수보다 낮게 설정되어야 한다. 그렇지 않으면 공정의 허용 오차로 인해 다음 미세 트리밍 단계에서 조정할 수 없는 더 높은 주파수가 발생할 수 있다.