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유사한 논증(하지만 아벨 쉴로브 기저를 멱영 쉴로브 기저로 대체)은 CN 정리의 증명에서 작동한다. 그러나 홀수 차수 정리의 증명에서 부분군의 지표로부터 G의 지표를 구성하는 논증은 훨씬 더 섬세하며, 최대 부분군이 더 복잡한 구조를 가지고 덜 명확하게 임베딩되어 있기 때문에 지표 유도 대신 지표 환 사이의 데이드 등거리 사상을 사용한다. 예외 지표 이론은 데이드 등거리 사상을 확장하기 위해 일관된 지표 집합 이론으로 대체된다. 대략적으로 말하면, 이 이론은 관련 군들이 특정 정확한 구조를 가지지 않는 한 데이드 등거리 사상이 확장될 수 있다고 말한다.
3단계. 최종 모순.
2단계에 따르면, CA 군 G의 지표표에 대한 완전하고 정확한 설명이 있다. 이를 바탕으로 G가 홀수 차수를 가진다는 사실을 이용하여 |G|를 추정하고 G가 단순군이라는 가정과 모순을 도출하기에 충분한 정보가 얻어진다. 이 논증의 부분은 CN-군 경우와 유사하게 작동한다.
그러나 파이트-톰프슨 정리의 증명에서는 이 단계가 (늘 그렇듯이) 훨씬 더 복잡하다. 지표 이론은 1단계 후에 남은 가능한 구성 중 일부만을 제거한다. 먼저 유형 I의 최대 부분군이 모두 프로베니우스 군임을 보여준다. 만약 모든 최대 부분군이 유형 I이라면 CN 경우와 유사한 논증은 군 G가 홀수 차수 최소 단순군일 수 없음을 보여주므로, 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스가 정확히 두 개 존재한다. 증명의 나머지 대부분은 이제 이러한 두 유형의 최대 부분군 S와 T 그리고 그들 사이의 관계에 초점을 맞춘다. 더 많은 지표 이론적 논증은 그들이 유형 IV 또는 V일 수 없음을 보여준다. 두 부분군은 정확한 구조를 가지는데, 부분군 S는 pq×q×(pq–1)/(p–1) 차수를 가지며, 차수 pq의 유한체의 기본 집합의 모든 자기동형사상 x→axσ+b로 구성되는데, 여기서 a는 노름 1을 가지고 σ는 유한체의 자기동형사상이며, p와 q는 서로 다른 소수이다. 최대 부분군 T는 p와 q가 역전된 유사한 구조를 가진다. 부분군 S와 T는 밀접하게 연결되어 있다. p&gt;q라고 가정하면, S의 차수 (pq–1)/(p–1)인 순환 부분군이 T의 차수 (qp–1)/(q–1)인 순환 부분군의 부분군과 켤레임을 보여줄 수 있다. (특히, 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자를 나누므로, 만약 파이트-톰프슨 추측이 참이라면, 이러한 일이 일어날 수 없다고 주장할 것이며, 이는 이 시점에서 증명을 마무리하는 데 사용될 수 있다. 그러나 이 추측은 아직 증명되지 않았다.)
군 G에 지표 이론을 적용한 결론은 G가 다음과 같은 구조를 가진다는 것이다. p&gt;q인 소수가 존재하며 (pq–1)/(p–1)은 p–1과 서로소이고, G는 반직접곱 PU로 주어지는 부분군을 가지는데, P는 차수 pq의 유한체의 덧셈군이고 U는 노름 1을 가진 원소들이다. 더욱이 G는 p와 서로소인 차수를 가진 아벨 부분군 Q를 포함하며, P0가 Q를 정규화하고 (P0)y가 U를 정규화하는 원소 y를 포함한다. 여기서 P0는 차수 p의 유한체의 덧셈군이다. (p=2일 경우, 유사한 구성이 SL2(2q) 군에서 발생하며, PU는 상삼각 행렬의 보렐 부분군이고 Q는 formula_1에 의해 생성된 차수 3의 부분군이다.) 이 마지막 경우를 제거하기 위해 톰프슨은 생성원과 관계를 사용하여 매우 복잡한 조작을 사용했으며, 이는 나중에 에 의해 단순화되었다. 증명은 차수 pq의 유한체에서 a와 2-a 모두 노름 1을 가지는 원소 a의 집합을 검토한다. 먼저 이 집합이 1 외에 적어도 하나의 원소를 가진다는 것을 확인한다. 그런 다음 군 G에서 생성원과 관계를 사용하는 다소 어려운 논증은 이 집합이 역수를 취하는 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다. 만약 a가 집합에 있고 1이 아니면, 다항식 N((1–a)x+1)–1은 q차수이고 Fp의 원소 x에 의해 주어진 적어도 p개의 서로 다른 근을 가지는데, 이는 x→1/(2–x)가 이 집합을 자신에게 매핑한다는 사실을 사용하여, p≤q이므로 p&gt;q라는 가정과 모순된다.
홀수성의 사용.
군 G의 차수가 홀수라는 사실은 증명의 여러 곳에서 다음과 같이 사용된다.
브렌다 버크먼(Brenda Berkman)은 미국의 소방관·변호사·판화가로, 연방 차별금지법에 근거한 "Berkman v. City of New York" 소송의 대표 원고로서 뉴욕 소방청의 여성 채용을 현실화시킨 인물이다. 2001년 세계 무역 센터 테러 당시 현장 지휘관으로 활동하였고, 퇴임 후에는 9·11의 기억과 재건을 주제로 한 판화 연작을 발표하였다.
버크먼은 노스캐롤라이나주 애슈빌에서 태어나 생후 3개월 무렵 미네소타주 미니애폴리스로 이주하여 성장하였다. 어린 시절 리틀리그 야구 참가를 성별을 이유로 거부당한 경험을 했고, 이는 직업 세계의 성차별 문제에 대한 인식을 키우는 계기가 되었다. 세인트올라프 칼리지에서 학사, 인디애나 대학교에서 역사학 석사, 뉴욕 대학교 로스쿨에서 법학박사, 시립 뉴욕 대학교 존 제이 칼리지에서 화재방호관리 석사를 취득하였다.
법정 투쟁과 입문.
1977~1978년 FDNY가 여성에게 시험 응시를 허용하자 버크먼은 필기시험에 합격했으나 당시의 체력시험은 직무와 무관한 요소가 포함되어 여성 응시자 전원이 탈락하였다. 버크먼은 1979년 뉴욕시를 상대로 집단소송을 제기했고, 1982년 연방법원은 FDNY의 체력시험이 연방법 제7편(Title VII)에 위반된다며 무효로 판단하였다. 항소심은 1983년 원심의 구제명령 상당 부분을 유지하였다. 그 결과 직무관련성에 맞춘 새 시험이 도입되었고 버크먼을 포함한 40여 명이 1982년 소방학교에 입교하였다.
훈련·평가·해임과 복직.
입사 1년이 채 되지 않은 1983년, 버크먼과 자이다 곤살레스는 수습기간 종료와 함께 해임되었다. 두 사람은 부당해고 구제를 신청했고, 같은 해 말 연방법원은 복직을 명하고 조직의 여성 통합 준비 부족과 현장 내 성희롱의 실태를 지적하였다. 1983년 9월 "뉴욕 타임스"는 버크먼과 동료의 수습 종료 해임 사실을 전하며 조직 내부의 충돌을 상세히 다루었다.
FDNY 경력과 리더십.
버크먼은 맨해튼·브루클린 관할에서 25년간 근무하며 대위까지 승진하였다(2006년 퇴임). 1982년 여성 소방관 단체 United Women Firefighters(UWF)를 창립하여 초대 회장을 지냈고, 이후에도 선발·장비·교육 개선을 위한 정책 제안을 지속하였다. 1996~1997년에는 화이트 하우스 펠로로 선발되어 이 프로그램 역사상 최초의 현직 전문 소방관 펠로가 되었다.
9·11 대응과 기억 활동.
2001년 9월 11일 버크먼은 첫 항공기 충돌 직후 현장에 투입되었고, 수색·구조 단계가 종료되는 2002년 5월까지 그라운드 제로 업무에 참여하였다. 9·11 이후 그는 여성 대응자의 기여를 가시화하는 강연·기록 활동을 이어갔고, 관련 패널 토론과 안내 해설 활동에도 참여하였다.
퇴임 후 버크먼은 판화에 전념하여 'Thirty-Six Views of One World Trade Center'(2015~2017) 연작을 제작하였다. 이 연작은 재건 현장과 도시 기억의 층위를 36점의 석판화로 구성하였으며, 9·11 메모리얼 &amp; 뮤지엄과 모교, 개인 소장처에 소장되었다. 2016년 뉴욕 공공노조 DC37 본부에서 개인전이 열렸고, 2021년에는 세인트올라프 칼리지에서 20주년 기념 전시가 개최되었다. 연작의 마지막(36번째) 작품은 그라운드 제로를 비추는 추모광을 색채로 표현하였다.
조직 활동과 제도 개선.
버크먼은 여성 인물의 공적 기념을 확대하는 비영리 단체 Monumental Women(영어: Monumental Women)의 이사·부회장으로 활동하였다. 2020년 센트럴파크의 'Women's Rights Pioneers Monument' 제막 준비를 맡아 현장 기획을 담당했다.
정책적 관점과 발언.
버크먼은 여성의 채용·유지·승진을 위해 채용시험의 직무적합성, 장비의 체형 적합성, 현장 훈련의 안전 기준을 강조하였다. 또한 9·11의 이야기 속에서 '소방관'(firefighter)이라는 성중립 용어 사용과 여성 대응자의 기록 보존을 일관되게 주장하였다.
천 메달(Chern Medal)은 수학 분야에서 최고 수준의 탁월한 평생 공로를 인정하는 국제적인 상이다. 이 상은 4년마다 개최되는 세계 수학자 대회 (ICM)에서 수여된다.
고(故) 중국인 수학자 천싱선을 기리기 위해 명명된 이 상은 국제 수학 연맹 (IMU)과 천 메달 재단 (CMF)의 공동 노력으로, IMU의 다른 세 가지 상(즉, 필즈상, 어배커스 메달, 가우스상)과 동일한 방식으로, 4년마다 개최되는 세계 수학자 대회 (ICM)의 개막식에서 수여된다. 첫 번째 시상식은 인도 하이데라바드에서 열린 2010년 ICM이었다.
각 수상자는 천의 초상이 새겨진 메달, 현금 상금 250,000 미국 달러, 그리고 수학 연구, 교육 또는 홍보를 지원하기 위해 하나 이상의 단체에 250,000달러의 자선 기부를 지시할 기회를 받는다.
사이먼 체스터먼(Simon Chesterman)은 오스트레일리아 출신의 국제법 학자이자 작가로, 국립 싱가포르 대학교 부총장(교육혁신) 겸 NUS 칼리지 학장이다. 2012년부터 2022년까지 NUS 법학대학원을 이끌었고, AI 싱가포르에서 인공지능 거버넌스 선임이사로 활동한다. 데이터 보호, 정보기관 통제, 인공지능 규제에 관한 저서와 논문을 집필했으며, "Asian Journal of International Law"의 편집장을 맡고 있다.
멜버른에서 학사(예술)와 학사(법학)를 취득한 뒤 로즈 장학생으로 옥스퍼드 대학교 매들린 칼리지에서 국제법 박사(DPhil)를 받았고, 베이징 제2외국어대학에서 중국어 디플로마를 취득하였다. 초기 연구는 유엔과 무력 사용의 법적 정당화, 전후 통치와 국가건설 문제로 이어졌다.
연구 방법과 이론적 지향.
체스터먼은 규범의 역사적 맥락과 제도 설계를 결합해 통시적·비교법적 분석을 수행하며, 국제기구와 국가, 민간 행위자의 권한 배분과 책임 귀속을 중점적으로 다룬다.
인도적 개입과 무력사용.
박사학위 논문을 바탕으로 한 "Just War or Just Peace?"에서 그는 코소보 사태 등에서의 유엔 체계 밖 개입이 초래하는 법질서의 위험을 분석하였다. 이 입장은 '이상적 인도적 개입' 가능성에 회의적이라는 학술적 논쟁을 불러일으켰다.
유엔 통치와 국가건설.
유엔 과도통치와 국가건설을 비교한 저서 "You, The People"는 과도기 '선의의 권위주의'와 민주적 정당성 사이의 긴장을 추적하였다. 책은 브라이언 어커트의 서평 등에서 필력과 분석의 응집성을 평가받았다.
정보기관·사이버·감시.
정보기관의 외주화 한계를 지적하며, '본질적 정부 기능'과 민간 계약의 경계를 분석하였다. 뉴욕타임스 기고에서 그는 블랙워터 등 민간 보안업체에 대한 공적 통제의 필요성을 주장하였다. 관련 단행본으로는 로위연구소의 보고서가 있다.
데이터 보호와 디지털 주권.
싱가포르 "개인정보보호법"(PDPA) 시행기에 편집한 책 "Data Protection Law in Singapore"를 통해 제도 형성과 국제 비교를 제시하였다. 그는 2013년부터 개인정보보호위원회(PDPC) 데이터보호자문위원회에서 무보수로 자문하였다.
인공지능 법·정책·거버넌스.
저서 "We, the Robots?"에서 그는 법체계의 한계와 규제 설계, 그리고 '스스로를 규제하는 AI' 가능성을 논의하였다. 동시기에 발표한 논문에서는 '전자적 법인격' 부여 논의를 비판적으로 검토하였다. 그는 AI 싱가포르에서 거버넌스 프로그램을 총괄한다.
싱가포르 법학교육 혁신.
학장 재임 중 아시아 법체계 교육을 확대하고 1학기 전면 성적제외(grade-free first semester)를 도입하였다. 2021년에는 다양한 고교 배경의 학생을 겨냥해 '각 학교 상위 5% 수험생'의 법학 적성시험·면접 기회를 확대하고 커리큘럼의 기술 요소를 강화하였다. 2019년 싱가포르 국가훈장 '공로행정훈장(PPA(P))'을 받았다.
연구센터 설립과 자원 동원.
센터포아시안리걸스터디스(CALS), 에드먼드 W. 바커 법·비즈니스센터, 뱅킹·금융법센터, 해사법센터, 법이론센터, 기술·로봇·AI와 법 센터를 설립·확대하였다. 2017년에는 전 법무장관의 이름을 딴 'EW 바커 법·비즈니스센터' 명명(기부 약 2,100만 싱가포르달러)이 이루어졌다.
공공위원회 및 국제기구 참여.
2013년부터 싱가포르 개인정보보호위원회 자문위원을 맡았고, 2016년 유엔 대학(UNU) 평의회 위원으로 임명되었다. 2013년 '글로벌 로스쿨 학장 포럼'을 주관해 법학교육 성과 기준의 공통 언어로서 싱가포르 선언을 채택하였다.
국제 교육성취도 평가 협회(International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA)는 국가 연구 기관 및 정부 연구 기관으로 구성된 독립적인 국제 협력체이다. 교육 성취도 및 기타 교육 측면에 대한 대규모 비교 연구를 수행한다.
1958년 창립 이래 IEA는 30개 이상의 국제 성취도 연구를 수행했다. IEA 연구는 수학, 과학, 읽기, 시민 교육 및 시민권 교육, 컴퓨터 및 정보 활용 능력, 교사 교육 등과 관련된 주제에 중점을 둔다.
IEA는 수학·과학 성취도 추이변화 국제비교 연구 (TIMSS), 국제 읽기 문해력 연구 (PIRLS), 국제 시민권 교육 연구 (ICCS), 국제 컴퓨터 및 정보 문해력 연구 (ICILS)를 담당한다.
IEA는 1967년에 법적 실체가 되었지만, 그 기원은 1958년 한 그룹의 학자, 교육 심리학자, 사회학자, 심리 측정학자들이 독일 함부르크의 유네스코 교육 연구소에 모여 학교 및 학생 평가 문제를 논의하면서 시작되었다. 그들은 효과적인 평가가 교육 투입과 결과(지식, 태도, 참여 등) 모두를 검토해야 한다고 믿었다. 설립자들은 연구가 광범위한 시스템에서 증거를 얻을 수 있다면, 다양한 학교 시스템 내에서 중요한 관계를 밝히기에 충분한 변동성이 있을 것이라고 가정했다. 그들은 다양한 교육 시스템의 상대적 장점에 대한 데이터 없는 주장을 강력히 거부하며, 교육 결과에 의미 있고 일관된 영향을 미 미치는 요인을 식별하는 것을 목표로 한다고 말한다.
IEA 암스테르담 IEA 본부는 네덜란드 암스테르담에 위치한다.
IEA 함부르크 IEA의 데이터 처리 및 연구 부서는 독일 함부르크에 위치한다.
정상혁(Jung Sang-hyuk)은 신한은행의 대표이사 행장으로, 1990년 입행 이후 전략·인사·소비자보호·자금시장 등 핵심 보직을 거쳐 2023년 2월 행장에 올랐다. 2024년 말에는 그룹의 대규모 인사에서 관례를 깨고 2년 연임이 추천·확정되어 2026년 말까지 임기를 부여받았다. 고객의 불편을 실시간으로 개선하는 전사 프로젝트를 주도하고, AI·디지털 기반의 영업·보안 체계를 확장하였다. 2025년 국가고객만족도(NCSI) 은행 부문 9년 연속 1위를 이끌었다.
정상혁은 1964년 11월 26일에 태어났다. 대구 덕원고등학교와 서울대학교 국제경제학과를 졸업하였다.
현장 중심 초년기.
1990년 신한은행에 입행하여 영업점 일선에서 실무를 익혔다. 압구정·분당·둔촌동·삼성동·역삼역금융센터 등 주요 점포를 거치며 현장 경험을 축적하였다.
전략·인사 및 소비자보호.
고객만족센터장·소비자보호센터장을 맡아 VOC 기반의 업무개선 체계를 운영하였고, 비서실장·경영기획그룹 상무를 거쳐 경영기획·자금시장그룹 부행장을 지냈다.
취임 배경과 권한.
2023년 2월, 전임 한용구의 사임 이후 차기 은행장 후보로 추천되어 행장에 취임하였다. 2024년 말에는 자회사 9곳 CEO 교체라는 쇄신 기조 속에서도 2년 연임이 추천·확정되었고, 임기 관행을 1년에서 2년으로 확장하였다.
경영 기조: ‘질적 성장’과 내부통제.
행장 취임 이후 건전성·수익성 균형을 강조하며 질적 성장(Value-up) 기조를 제시하였다. 그룹 차원의 책무구조도 제출 등 내부통제를 강화하였다.
고객 경험 혁신.
전 영업점에서 고객 불편을 즉시 개선하는 ‘고객 편의성 혁신 프로젝트’를 전개하고, 고객 불만·개선과제를 수집·추적하는 조직(tribe) 운영을 병행하였다. 이러한 활동은 NCSI 은행 부문 9년 연속 1위 성과와 연결되었다.
디지털·AI 전환과 금융보안.
AI 은행원·AI 브랜치 등 디지털 채널을 고도화하고, 이상거래 탐지·보이스피싱 대응 등 보안 체계를 강화하였다. 2025년 하반기 경영전략회의에서 "새로운 기술로 사업의 실효성을 높이자"고 밝히며 생성형 AI 내재화 계획을 공유하였다(“enhance effectiveness with strategic roadmap”).
글로벌 사업과 현지화.
해외법인 수익성을 높이며 현지 합작·지분투자를 확대하였다. 그는 글로벌 성장의 기반으로 고객과의 ‘견고한 신뢰’를 강조하였다("firm trust").
재무 성과와 리딩뱅크 경쟁.
2024년 이후 순이익 1위를 회복하며 리딩뱅크 경쟁에서 우위를 지켰고, 2025년 상반기에도 순이익 선두를 유지하였다. 다만 경쟁 은행과의 격차가 분기 기준 1,817억 원으로 좁혀지는 등 경합 구도도 존재한다.
지배구조·임기 제도 변화.
2024년 말 자회사 최고경영자 인사에서 9개 계열사 CEO가 교체되는 가운데, 그는 2년 연임을 부여받아 중장기 전략의 연속성을 확보하였다.
사회공헌·상생.
지방정부와의 상생 협약, 소상공인 지원 플랫폼과의 협력 등 사회적 가치 창출 활동을 병행하였다. 창립 43주년 기념식에서 "지속 가능한 일류은행"을 지향하는 메시지를 밝혔다.
2022년 이전에는 롤프 네반린나 상(Rolf Nevanlinna Prize)으로 알려졌던 IMU 아바쿠스 메달(IMU Abacus Medal
)은 국제 수학 연맹(IMU)이 주최하는 세계 수학자 대회에서 4년마다 정보 과학의 수학적 측면에 대한 뛰어난 공헌을 한 사람에게 수여된다. 여기에는 다음이 포함된다.
이 상은 1981년 국제 수학 연맹 집행위원회에 의해 제정되었으며 핀란드 수학자 롤프 네반린나의 이름을 따서 명명되었다. 금메달과 상금으로 구성된다. 이 상은 젊은 이론 컴퓨터 과학자를 대상으로 하며, 시상식이 열리는 해 1월 1일 기준으로 만 40세 미만인 사람만 자격이 있다. 필즈상을 포함한 다른 IMU 상과 함께 수여된다.
이 상은 1981년 상이 제정되기 1년 전에 사망한 핀란드 수학자 롤프 네반린나를 기리기 위해 원래 명명되었다. 메달 앞면에는 네반린나의 옆모습, "Rolf Nevanlinna Prize"라는 문구, 그리고 매우 작은 글자로 "RH 83"이 새겨져 있었다. RH는 메달 디자이너인 라이모 헤이노를, 83은 첫 주조 연도를 나타낸다. 뒷면에는 상의 후원 기관인 헬싱키 대학교와 관련된 두 인물이 새겨져 있다. 가장자리에는 수상자의 이름이 새겨져 있다.
세계 국립 수학 대회 연맹 회장인 알렉산더 소이퍼는 네반린나가 히틀러 지지자였고 제2차 세계 대전 중 무장친위대 핀란드 의용대대의 대표 역할을 했다는 이유로 네반린나를 기리는 이 상에 대해 불평했다. 소이퍼는 2015년 저서에서 네반린나의 전시 활동을 논하고, 상의 이름을 변경해 달라는 개인적 요청과 그의 조직의 요청을 IMU 집행위원회에 전달했다. 2018년 7월, 제18차 IMU 총회는 상에서 롤프 네반린나의 이름을 삭제하기로 결정했다. 이후 이 상은 IMU 아바쿠스 메달로 명명될 것이라고 발표되었다.
미분학에서 로그 미분법(logarithmic differentiation) 또는 로그를 취하는 미분법(differentiation by taking logarithms)은 함수 의 로그 미분을 사용하여 함수를 미분하는 데 사용되는 방법이다.
이 기법은 함수 자체보다는 함수의 로그를 미분하는 것이 더 쉬운 경우에 자주 사용된다. 이는 대개 관심 함수가 여러 부분의 곱으로 구성되어 로그 변환을 통해 개별 부분의 합으로 바뀌는 경우에 발생한다(이것은 미분하기 훨씬 쉽다). 변수 또는 함수의 거듭제곱으로 나타나는 함수에도 유용하게 적용될 수 있다. 로그 미분법은 연쇄 법칙과 로그의 속성(특히 자연로그, 또는 e를 밑으로 하는 로그)에 의존하여 곱을 합으로, 나눗셈을 뺄셈으로 변환한다. 이 원리는 거의 모든 미분 가능 함수의 미분에 부분적으로라도 구현될 수 있으며, 이 함수들이 0이 아니라는 조건이 따른다.
이 방법은 로그의 속성이 복잡한 함수를 빠르게 단순화하여 미분할 수 있는 경로를 제공하기 때문에 사용된다. 이 속성들은 양변에 자연로그를 취한 후 예비 미분 전에 조작될 수 있다. 가장 일반적으로 사용되는 로그 법칙은 다음과 같다.
파아 디 브루노 공식을 사용하면 n차 로그 도함수는 다음과 같다.
이를 사용하면 처음 네 가지 도함수는 다음과 같다.
두 함수의 곱에 자연로그를 적용하여
곱을 합으로 변환한다.
연쇄 법칙과 합 규칙을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
그리고 재배열하면 다음과 같다.
이는 미분의 곱 규칙이다.
두 함수의 몫에 자연로그를 적용하여
나눗셈을 뺄셈으로 변환한다.
이는 미분의 몫 규칙이다.
함수 지수.
다음 형태의 함수에 대해
자연로그는 지수 연산을 곱으로 변환한다.
연쇄 법칙과 곱 규칙을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
동일한 결과는 f를 exp로 다시 쓰고 연쇄 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.
대문자 파이 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타내자.
이는 함수 지수를 가진 함수의 유한 곱이다.
자연로그를 적용하면 ( 대문자 시그마 표기법으로) 다음과 같다.
미분 후에는 다음과 같다.
원래 함수의 도함수를 얻기 위해 재배열하면 다음과 같다.
수학, 특히 미적분학과 복소해석학에서 함수 의 로그 미분(Logarithmic derivative)은 다음 공식으로 정의된다.
여기서 는 의 미분이다. 직관적으로 이것은 의 무한소 상대 변화이다. 즉, 의 무한소 절대 변화인 를 의 현재 값으로 조정한 것이다.
가 실변수 의 함수 이고, 실수, 엄격하게 양수 값을 취할 때, 이것은 또는 의 자연로그의 미분과 같다. 이것은 연쇄 법칙에서 직접 따른다.
실수 로그의 많은 속성은 함수가 양의 실수를 값으로 취하지 않을 때에도 로그 미분에도 적용된다. 예를 들어, 곱의 로그는 인수의 로그의 합이므로 다음을 얻는다.
따라서 양의 실수 값을 갖는 함수에 대해 곱의 로그 미분은 인수의 로그 미분의 합이다. 그러나 곱의 미분에 대한 일반화된 라이프니츠 법칙을 사용하여 다음을 얻을 수도 있다.
따라서, 어떤 함수에 대해서든 곱의 로그 미분은 인수의 로그 미분(정의될 때)의 합이라는 것이 참이다.
이에 대한 따름정리는 함수의 역수의 로그 미분이 함수의 로그 미분의 부정(negation)이라는 것이다.
양의 실수의 역수의 로그가 그 숫자의 로그의 부정인 것과 같다.
더 일반적으로, 몫의 로그 미분은 피제수와 제수의 로그 미분의 차이이다.
몫의 로그가 피제수와 제수의 로그의 차이인 것과 같다.
다른 방향으로 일반화하면, 거듭제곱(상수 실수 지수 포함)의 로그 미분은 지수와 밑의 로그 미분의 곱이다.
거듭제곱의 로그가 지수와 밑의 로그의 곱인 것과 같다.
마지막으로, 의 지수 함수의 로그 미분은 의 미분일 뿐이다.
함수의 지수 함수의 로그가 원래 함수인 것과 같다.
요약하면, 미분과 로그 모두 곱 규칙, 역수 규칙, 몫 규칙 및 멱 규칙을 갖는다(로그 항등식 목록 비교). 각 규칙 쌍은 로그 미분을 통해 관련된다.
로그 미분을 이용한 일반 미분 계산.
로그 미분은 곱 규칙을 필요로 하는 미분 계산을 간소화하면서 동일한 결과를 생성할 수 있다. 절차는 다음과 같다. 이고 를 계산하고자 한다고 가정하자. 로 직접 계산하는 대신, 로그 미분을 계산한다. 즉, 다음을 계산한다.
를 곱하면 가 계산된다.
이 기술은 가 많은 인수의 곱일 때 가장 유용하다. 이 기술은 각 인수의 로그 미분을 계산하고, 합하고, 를 곱하여 를 계산하는 것을 가능하게 한다.
예를 들어, 다음의 로그 미분을 계산할 수 있다.
적분인자.
로그 미분 개념은 1계 미분 방정식에 대한 적분인자 방법과 밀접하게 연결되어 있다. 연산자 용어로, formula_13라고 쓰고, M을 주어진 함수 G(x)에 의한 곱셈 연산자라고 하자. 그러면 곱 규칙에 따라 formula_14은 formula_15로 쓸 수 있으며, 여기서 formula_16는 이제 로그 미분 formula_17에 의한 곱셈 연산자를 나타낸다.
실제로 우리는 다음과 같은 연산자를 받는다.
그리고 주어진 f에 대해 함수 h에 대한 다음 방정식을 풀고자 한다.
이것은 다음을 푸는 것으로 귀결된다.
이것은 F의 모든 부정적분을 갖는 다음 해를 갖는다.
주어진 공식은 더 넓게 적용될 수 있다. 예를 들어, f(z)가 유리형 함수인 경우, f가 영점이나 극점을 갖지 않는 모든 복소수 z 값에서 의미가 있다. 또한, 영점이나 극점에서 로그 미분은 특정 경우에서 쉽게 분석되는 방식으로 동작한다.
n은 정수이고 이다. 로그 미분은
그리고 f가 유리형일 때 f의 로그 미분의 특이점은 모두 단순극이며, n차 영점에서 유수 n, n차 극점에서 유수 −n을 갖는다는 일반적인 결론을 내릴 수 있다. 편각 원리를 참조하라. 이 정보는 종종 경로적분법에서 활용된다.
네반린나 이론 분야에서 중요한 보조정리는 로그 미분의 근접 함수가 원래 함수의 네반린나 특성함수에 비해 작다는 것이다. 예를 들어 formula_23이다.
로그 미분 사용 뒤에는 GL1, 즉 실수 또는 다른 체의 곱셈군에 대한 두 가지 기본 사실이 있다. 미분 연산자
는 팽창(상수 a에 대해 X를 aX로 대체)에 대해 불변이다. 그리고 미분 형식 formula_25 또한 불변이다. GL1로 가는 함수 F의 경우, 공식
formula_26는 따라서 불변 형식의 당김이다.
김봉중(Bong‑Joong Kim)은 대한민국의 역사학자이자 저술가로, 전남대학교 사학과 명예교수이다. 미국 샌디에이고 시립대학에서 미국사를 가르치며 1996년에 종신교수직을 받은 뒤 귀국해 미국사·서양사 교육과 대중 강연, 저술 활동을 병행하였다. 《위험한 미국사》(2025), 《미국을 안다는 착각》(2024), 《30개 도시로 읽는 미국사》(2022) 등 저작을 통해 미국 정치·외교·문화의 장기 구조와 분열, 회복력을 주제로 대중에게 미국사를 해설한다.
전남대학교 사학과를 졸업하고 미국 웨스턴일리노이대학교에서 석사, 톨레도대학교에서 박사 학위를 받았다. 미국 체류 중 샌디에이고 시립대학 사학과 교수로 채용되어 1996년 종신교수직을 획득하였다. 이후 모교로 돌아와 전남대학교 사학과 교수로 재직했고 정년 이후 명예교수로 추대되었다.
연구 주제와 문제의식.
김봉중의 연구·저술은 미국사의 분열과 통합의 반복, 정치·외교·문화가 얽힌 구조적 요인, 그리고 시민적 신뢰 회복의 조건에 집중한다. 그는 미국 역사를 남북전쟁과 민권법 이후의 극우 포퓰리즘이라는 장기 흐름에서 설명하며, 장기 위기 속에서도 제도와 시민이 보여 온 회복력을 강조한다.
그는 대통령 리더십과 지역 정서, 다인종 사회의 갈등 관리, 시민적 신뢰를 미국사의 핵심 축으로 본다. 또한 에이브러햄 링컨의 게티즈버그 연설을 '분열을 넘어서는 가치 중심의 통합' 사례로 해석하며, 적대적 어휘를 배제한 연설 전략을 현대 정치의 통합 원리로 제시한다.
미국 정치·외교 해석.
그는 냉전·탈냉전기 외교와 국내 정치의 상호작용을 중시하며, 민권법 이후 남부 백인 보수층의 정치적 재편을 오늘날 포퓰리즘의 토대로 설명한다. 저서 《카우보이들의 외교사》(2006)는 '대통령 외교'의 연속성과 변화를 통해 미국 외교사의 장기 패턴을 서술한다. 도서 유통 채널과 언론은 《위험한 미국사》가 노예제·인종차별·이민 갈등을 엮어 미국사의 모순과 상처를 읽는 시도를 했다고 서술하였다("divisions and contradictions in U.S. history").
남북전쟁과 통합론.
인터뷰에서 그는 남북전쟁 직후 링컨의 단어 선택을 통합의 가치로 해석하며, "통합은 그 나라가 지향하는 가치에 기반을 두고 분열을 넘어서는 일"이라고 밝혔다.
대중 강연과 미디어 활동.
김봉중은 방송·강연·출판을 통해 일반 독자에게 미국사를 전달하였다. 저서와 연계된 강연에서 대통령 리더십과 미국사의 구조를 주제로 대중과 소통하였다. 2024년에는 교양서 《미국을 안다는 착각》을 통해 정치·경제·문화·국방을 가로지르는 30개의 주제를 제시하였다.
국제 활동과 협력.
미국 샌디에이고 시립대학에서 미국사 강의를 진행했고, 1995–1996년 동 교내 '올해의 교수상'을 수상하였다. 이후 한국에서 영문·국문 강연과 대중 강좌를 병행하며 미국 문제를 해석하는 교육 프로그램에 참여했다.
그의 저술과 발언은 미국사의 '분열-회복' 사이클을 대중 담론으로 확장시켜, 선거와 외교 이슈를 장기 역사구조 속에서 읽도록 돕는다.
미분학에는 미분법에 대한 단일한 표준 표기법이 없다. 대신 라이프니츠, 뉴턴, 라그랑주, 아르보가스트를 비롯한 여러 수학자들에 의해 함수 또는 종속변수의 미분에 대한 여러 표기법이 제안되었다. 각 표기법의 유용성은 사용되는 맥락에 따라 달라지며, 특정 맥락에서 둘 이상의 표기법을 사용하는 것이 유리할 때도 있다. 다변수 미적분학의 편미분, 텐서 미적분학 또는 벡터 미적분학과 같은 더 전문적인 설정에서는 첨자 표기법 또는 ∇ 연산자와 같은 다른 표기법이 일반적이다. 미분(및 그 반대 연산인 역미분 또는 부정적분)에 대한 가장 일반적인 표기법은 아래에 나열되어 있다.
고트프리트 라이프니츠가 사용한 원래 표기법은 수학 전반에 걸쳐 사용된다. 이 표기법은 방정식 가 y와 x 사이의 함수적 관계로 간주될 때 특히 일반적이다. 라이프니츠의 표기법은 미분을 다음과 같이 작성하여 이 관계를 명시한다.
또한, 에서의 의 미분은 다음과 같이 작성된다.
고계 미분은 다음과 같이 작성된다.
이는 다음과 같이 기호의 형식적 조작에서 비롯된 암시적인 표기법 장치이다.
점 에서 의 미분 값은 라이프니츠의 표기법을 사용하여 두 가지 방식으로 표현될 수 있다.
라이프니츠의 표기법은 미분할 변수(분모에 있는 변수)를 지정할 수 있게 한다. 이것은 특히 편미분을 고려할 때 유용하다. 또한 연쇄 법칙을 기억하고 인식하기 쉽게 만든다.
미분에 대한 라이프니츠의 표기법은 또는 (수학적 미분소)와 같은 기호에 그 자체로 의미를 부여할 것을 요구하지 않으며, 일부 저자는 이러한 기호에 의미를 부여하려고 시도하지 않는다. 라이프니츠는 이러한 기호들을 무한소로 취급했다. 이후 저자들은 비표준 해석학의 무한소 또는 외미분과 같은 다른 의미를 부여했다. 일반적으로 는 정의되지 않은 상태로 두거나 formula_7와 동일시하며, 반면 는 다음 방정식을 통해 의 의미가 부여된다.
이는 예를 들어 다음과 같이 작성될 수도 있다.
(아래 참조). 이러한 방정식은 일부 텍스트에서 미분을 "미분 계수"(즉, 의 계수)라고 부르는 용어를 낳았다.
일부 저자와 저널은 미분 기호 를 이탤릭체 대신 로만체로 설정한다. ISO/IEC 80000 과학 스타일 가이드는 이 스타일을 권장한다.
미분에 대한 가장 일반적인 현대 표기법 중 하나는 조제프루이 라그랑주의 이름을 따서 명명되었지만, 실제로는 오일러가 발명하고 라그랑주가 대중화했다. 라그랑주의 표기법에서는 프라임 기호가 미분을 나타내므로 때때로 프라임 표기법이라고 불린다. f가 함수인 경우, x에서 평가된 미분은 다음과 같이 작성된다.
이것은 1749년에 처음 인쇄물로 등장했다.
고계 미분은 추가 프라임 기호를 사용하여 표시되며, 예를 들어 formula_11는 이계도함수를 나타내고 formula_12는 삼계도함수를 나타낸다. 반복되는 프라임 기호의 사용은 결국 다루기 어려워지며, 일부 저자는 일반적으로 소문자 로마 숫자를 사용하여 계속한다, 예를 들어
는 4차, 5차, 6차 및 고차 미분을 나타낸다. 다른 저자는 괄호 안에 아라비아 숫자를 사용한다.
이 표기법은 n이 변수인 n계 미분을 설명하는 것도 가능하게 한다. 이것은 다음과 같이 작성된다.
라그랑주의 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음과 같다.
함수 formula_16에 대해 두 개의 독립 변수가 있을 때, 다음 표기법이 가끔 사용되었다.
역미분을 위한 라그랑주의 표기법.
역미분을 취할 때, 라그랑주는 라이프니츠의 표기법을 따랐다.
그러나 적분은 미분의 역연산이므로, 고계 미분에 대한 라그랑주의 표기법은 적분에도 확장된다. f의 반복 적분은 다음과 같이 작성될 수 있다.
D-표기법.
이 표기법은 때때로 이라고 불리지만, 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트에 의해 도입되었다. 그리고 레온하르트 오일러는 그것을 사용하지 않은 것으로 보인다.
이 표기법은 (D 연산자) 또는 (뉴턴-라이프니츠 연산자)로 표기되는 미분 연산자를 사용한다. 함수 에 적용될 때, 다음과 같이 정의된다.
고계 미분은 D의 "거듭제곱"(여기서 위 첨자는 D의 반복된 합성을 나타낸다)으로 표기된다.
D-표기법은 미분이 이루어지는 변수를 암묵적으로 남겨둔다. 그러나 이 변수는 첨자로 이름을 붙여 명시할 수도 있다. 만약 f가 변수 x의 함수라면, 다음과 같이 작성된다.
f가 여러 변수의 함수일 때, "" 대신 "∂", 즉 양식화된 필기체 소문자 d를 사용하는 것이 일반적이다. 위에서와 같이, 아래 첨자는 취해지고 있는 미분을 나타낸다. 예를 들어, 함수 formula_16의 이계 편미분은 다음과 같다.
D-표기법은 미분방정식 연구와 미분 대수에서 유용하다.
역미분을 위한 D-표기법.
D-표기법은 라그랑주의 표기법과 같은 방식으로 역미분에 사용될 수 있다. 다음과 같다.
아이작 뉴턴의 미분 표기법(또한 점 표기법, 유율, 또는 때로는 대략적으로 미분에 대한 파리 얼룩 표기법이라고도 불린다)은 종속 변수 위에 점을 찍는다. 즉, y가 t의 함수일 때, t에 대한 y의 미분은 다음과 같다.
고계 미분은 여러 개의 점을 사용하여 나타내며, 예를 들어
뉴턴은 이 아이디어를 상당히 확장했다.
뉴턴 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음과 같다.
뉴턴의 표기법은 일반적으로 독립 변수가 시간을 나타낼 때 사용된다. 위치 가 t의 함수인 경우, formula_37는 속도를 나타내고 formula_41는 가속도를 나타낸다. 이 표기법은 물리학 및 수리물리학에서 인기가 있다. 또한 미분방정식과 같이 물리학과 관련된 수학 분야에서도 나타난다.
종속 변수 y = f(x)의 미분을 취할 때, 대안적인 표기법이 존재한다.
뉴턴은 굽은 X(ⵋ)에 옆점을 사용하여 다음 편미분 연산자를 개발했다. 화이트사이드가 제시한 정의는 아래와 같다.
뉴턴의 적분 표기법.
뉴턴은 그의 Quadratura curvarum (1704)와 후기 저작에서 적분을 위한 여러 가지 표기법을 개발했다. 그는 종속 변수 위에 작은 수직 막대 또는 프라임(), 접두 사각형(), 또는 항을 사각형으로 묶는 것()을 사용하여 유량 또는 시간 적분(변위적분)을 나타냈다.
다중 적분을 나타내기 위해 뉴턴은 두 개의 작은 수직 막대 또는 프라임() 또는 이전 기호  의 조합을 사용하여 두 번째 시간 적분(변위적분)을 나타냈다.
고차 시간 적분은 다음과 같다.
이 수학 표기법은 인쇄상의 어려움[출처 필요]과 라이프니츠-뉴턴 미적분 논쟁으로 인해 널리 퍼지지 못했다.
다변수 미적분학이나 텐서 미적분학과 같이 특정 유형의 미분이 필요할 때 다른 표기법이 일반적이다.
단일 독립 변수 x의 함수 f에 대해, 우리는 독립 변수의 아래 첨자를 사용하여 미분을 표현할 수 있다.
이러한 유형의 표기법은 여러 변수의 함수의 편미분을 취할 때 특히 유용하다.
편미분은 일반적으로 미분 연산자 d를 "∂" 기호로 대체하여 상미분과 구별한다. 예를 들어, 우리는 의 x에 대한 편미분을 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있지만, y 또는 z에 대해서는 아니다.
이 구별이 중요한 이유는 formula_49와 같은 비편미분은 맥락에 따라 모든 변수가 동시에 변할 수 있을 때 formula_50의 formula_51에 대한 변화율로 해석될 수 있는 반면, formula_52와 같은 편미분은 오직 하나의 변수만 변해야 함을 명시하기 때문이다.
다른 표기법은 수학, 물리학, 공학의 다양한 하위 분야에서 찾을 수 있다. 예를 들어 열역학의 맥스웰 관계식을 참조하라. 기호 formula_53는 엔트로피(아래 첨자) S를 일정하게 유지하면서 부피 V에 대한 온도 T의 미분이며, formula_54는 압력 P를 일정하게 유지하면서 부피에 대한 온도의 미분이다. 이것은 변수의 수가 자유도수를 초과하여 어떤 다른 변수를 고정해야 하는 상황에서 필요하다.
하나의 변수에 대한 고차 편미분은 다음과 같이 표현된다.
등등. 혼합 편미분은 다음과 같이 표현될 수 있다.
마지막 경우에 변수는 두 표기법 사이에서 역순으로 작성되며, 다음과 같이 설명된다.
이전 표기법이 번거롭거나 충분히 표현적이지 않을 때 다중지표 표기법이 사용된다. formula_58상의 함수를 고려할 때, 다중지표를 formula_59개의 비음 정수들의 정렬된 목록으로 정의한다: formula_60. 그런 다음 formula_61에 대해 다음 표기법을 정의한다.
이러한 방식으로 다른 방법으로는 작성하기 번거로운 일부 결과(예: 라이프니츠 규칙)를 간결하게 표현할 수 있다. 일부 예시는 다중지표에 대한 문서에서 찾을 수 있다.
벡터 미적분학의 표기법.
벡터 미적분학은 미분 및 적분의 벡터장 또는 스칼라장에 관한 것이다. 3차원 유클리드 공간의 경우에 특화된 여러 표기법이 일반적이다.
가 주어진 데카르트 좌표계이고, A가 구성 요소가 formula_63인 벡터장이며, formula_64가 스칼라장이라고 가정하자.
윌리엄 로언 해밀턴이 도입한 미분 연산자는 ∇로 작성되고 델 또는 나블라라고 불리며, 상징적으로 벡터의 형태로 정의된다.
여기서 용어 상징적으로는 연산자 ∇이 일반 벡터로도 취급될 것임을 반영한다.
미분의 많은 기호 연산은 데카르트 좌표계에서 기울기 연산자에 의해 직관적인 방식으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 단일 변수 곱 규칙은 기울기 연산자를 적용하여 스칼라장의 곱셈에 직접적인 유사성을 가진다.
단일 변수 미적분학의 다른 많은 규칙들은 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 벡터 미적분학 유사성을 가진다.
더 이국적인 유형의 공간을 위해 추가 표기법이 개발되었다. 민코프스키 공간에서의 계산을 위해, 달랑베르시안, 파동 연산자 또는 상자 연산자라고도 불리는 달랑베르 연산자는 formula_79 또는 라플라시안 기호와 충돌하지 않을 때는 formula_80로 표현된다.
미적분학에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따서 명명된 적분 기호 아래 미분하는 라이프니츠 적분 규칙(Leibniz integral rule)은 다음 형식의 적분에 대해 다음과 같이 명시한다.
여기서 formula_2이고 적분되는 함수는 formula_3에 의존하며, 이 적분의 미분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 편미분 formula_5는 적분 내에서 formula_6의 formula_3에 대한 변화만 미분할 때 고려된다는 것을 나타낸다.
함수 formula_8와 formula_9가 formula_3에 의존하지 않는 값인 상수 formula_11와 formula_12인 특별한 경우, 이는 다음으로 단순화된다.
만약 formula_14가 상수이고 formula_15인 경우(예를 들어, 코시 반복 적분 공식의 증명에서 흔히 볼 수 있는 상황), 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.
이 중요한 결과는 특정 조건 하에 적분과 편미분 연산자를 교환하는 데 사용될 수 있으며, 특히 적분 변환의 미분에서 유용하다. 그 예로는 확률론의 모멘트 생성 함수가 있는데, 이는 라플라스 변환의 변형으로, 미분하여 확률 변수의 모멘트를 생성할 수 있다. 라이프니츠 적분 규칙이 적용되는지는 본질적으로 극한의 교환에 대한 질문이다.
일반적인 형태: 적분 기호 아래의 미분.
우변은 라그랑주 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.
이 정리의 더 강력한 버전은 편미분이 거의 어디서나 존재해야 하며 연속일 필요는 없다고 요구한다. 이 공식은 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태이며 미적분학의 기본 정리를 사용하여 유도할 수 있다. (첫 번째) 미적분학의 기본 정리는 위 공식의 특정 경우이며, 여기서 formula_18는 상수이고, formula_19이며, formula_20는 formula_3에 의존하지 않는다.
상한과 하한이 모두 상수로 간주되면 공식은 연산자 방정식의 형태를 취한다.
여기서 formula_23는 formula_3에 대한 편미분이고 formula_25는 고정된 구간에 대한 formula_26에 대한 적분 연산자이다. 즉, 이계 도함수의 대칭성과 관련이 있지만, 미분뿐만 아니라 적분도 포함한다. 이 경우도 라이프니츠 적분 규칙으로 알려져 있다.
극한 연산의 교환에 관한 다음 세 가지 기본 정리는 본질적으로 동등하다.
삼차원, 시간 의존적 경우.
삼차원 공간에서 움직이는 이차원 표면에 대한 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.
라이프니츠 적분 규칙은 다차원 적분으로 확장될 수 있다. 2차원 및 3차원에서는 이 규칙이 유체동역학 분야에서 레이놀즈 수송정리로 더 잘 알려져 있다.
여기서 formula_29는 스칼라 함수이고, 및 는 각각 R3의 시간 변화하는 연결된 영역과 그 경계를 나타낸다. formula_30는 경계의 오일러 속도(참고: 라그랑주 및 오일러 좌표)이며, 는 면적분 요소의 단위 법선 성분이다.
라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 진술은 미분 기하학, 특히 미분 형식, 외미분, 쐐기곱 및 내부곱의 개념을 필요로 한다. 이러한 도구를 사용하면 n차원에서 라이프니츠 적분 규칙은 다음과 같다.
여기서 는 시간 변화하는 적분 영역이고, ω는 p-형식이며, formula_32는 속도 벡터장이고, formula_33는 formula_34와의 내부곱을 나타내며, dxω는 공간 변수에 대해서만 ω의 외미분이고 formula_35는 ω의 시간 미분이다.
위 공식은 리 미분이 미분 형식의 적분과 잘 상호 작용한다는 사실로부터 직접 도출될 수 있다.
시공간 매니폴드 formula_37에 대해, formula_38의 시공간 외미분은 formula_39이고 표면 formula_40는 시공간 속도장 formula_41를 가진다.
formula_38가 공간 성분만 가지므로, 리 미분은 카르탕의 마법 공식을 사용하여 다음과 같이 단순화될 수 있다.
이것을 formula_40에 대해 적분하고 두 번째 항에 일반화된 스토크스 정리를 적용하면 원하는 세 항으로 줄어든다.
측도론적 진술.
formula_45를 formula_46의 열린 부분집합이라 하고, formula_47를 측도 공간이라 하자. formula_48가 다음 조건을 만족한다고 가정하자.
그러면 모든 formula_50에 대해,
증명은 지배 수렴 정리와 평균값 정리에 의존한다 (자세한 내용은 아래 참조).
기본 형태의 증명.
먼저 적분 상한과 하한이 상수 a와 b인 경우를 증명한다.
푸비니 정리를 사용하여 적분 순서를 변경한다. formula_61이고 formula_3와 formula_63 모두 내에 있는 모든 및 에 대해 다음이 성립한다.
formula_65는 닫힌 직사각형 formula_66에서 연속이므로 거기서 균등 연속이기도 하다. 따라서 formula_67 또는 formula_68에 의한 적분은 다른 변수에 대해 연속이며 또한 그것에 의해 적분 가능하다(이는 균등 연속 함수에 대해 극한을 적분 기호를 통과시킬 수 있기 때문이며, 아래에서 자세히 설명한다).
여기서 다음을 정의했다.
F는 미분 formula_71를 가지므로, 가 0에 접근하는 극한을 취할 수 있다. 좌변의 이 극한은 다음과 같다.
우변에 대해 다음을 얻는다.
따라서 원하는 결과를 증명한다.
유계 수렴 정리를 사용한 또 다른 증명.
주어진 적분들이 르베그 적분인 경우, 유계 수렴 정리(이 적분들에 대해 유효하지만 리만 적분에는 유효하지 않음)를 사용하여 극한을 적분 기호를 통해 전달할 수 있음을 보일 수 있다.
이 증명은 formula_75가 르베그 적분 가능함을 보여줄 뿐, 리만 적분 가능함을 보여주지는 않는다는 점에서 약하다. 이전 (더 강력한) 증명에서는 formula_76가 리만 적분 가능하면 formula_75도 리만 적분 가능하고 (따라서 분명히 르베그 적분 가능하기도 하다).
다음을 놓자.
미분의 정의에 의해,
방정식 ()을 방정식 ()에 대입한다. 두 적분의 차는 차이의 적분과 같고, 1/h는 상수이므로,
이제 극한이 적분 기호를 통해 전달될 수 있음을 보인다.
우리는 유계 수렴 정리(지배 수렴 정리의 따름 정리)에 의해 적분 기호 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 주장한다. 각 δ &gt; 0에 대해 차분 몫을 고려한다.
t를 고정하면 평균값 정리에 의해 구간 [x, x + δ]에 z가 존재하여 다음이 성립한다.
formula_81의 연속성과 영역의 콤팩트성은 formula_81가 유계임을 의미한다. 따라서 평균값 정리의 위 적용은 formula_83에 대한 균일한( formula_26와 무관한) 경계를 제공한다. 편미분이 존재한다는 가정에 의해 차분 몫은 편미분 formula_53로 점별 수렴한다.
위 논증은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 수열 formula_86가 균일하게 유계이고 formula_53로 점별 수렴함을 보여준다. 유계 수렴 정리는 유한 측도 집합의 함수 수열이 균일하게 유계이고 점별 수렴하면 적분 아래에서 극한의 통과가 유효하다고 명시한다. 특히, 극한과 적분은 모든 수열 {δn} → 0에 대해 교환될 수 있다. 따라서 δ → 0일 때의 극한은 적분 기호를 통해 전달될 수 있다.
만약 우리가 적분 가능한 함수 formula_58가 존재하여 formula_57를 만족한다는 것만 알고 있다면, formula_90이고 지배 수렴 정리에 의해 극한을 적분 내부로 옮길 수 있다.
변수 한계 형식.
하나의 실수 변수의 연속 실수 값 함수 g와 하나의 실수 변수의 미분 가능한 실수 값 함수 formula_91 및 formula_92에 대해,
이것은 연쇄 법칙과 미적분학의 제1 기본 정리로부터 따른다. 다음을 정의하자.
그러면 formula_97는 함수의 합성으로 쓸 수 있다. formula_98. 연쇄 법칙은 다음을 의미한다.
미적분학의 제1 기본 정리에 의해 formula_100이다. 따라서 이 결과를 위에 대입하면 원하는 방정식을 얻는다.
참고: 이 형태는 미분할 표현식이 다음과 같을 때 특히 유용할 수 있다.
formula_103는 적분 한계에 의존하지 않으므로 적분 기호 밖으로 옮길 수 있으며, 곱 규칙과 함께 위 형태를 사용할 수 있다. 즉,
변수 한계를 포함하는 일반적인 형태.
다음을 설정하자.
여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb만큼 증가하는 α의 함수이다. 그러면,
평균값 정리의 한 형태인 formula_107 (formula_108)를 위 Δφ 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용하면 다음이 된다.
Δα로 나누고 Δα → 0으로 보내자. ξ1 → a이고 ξ2 → b임을 주목하자. 적분 기호를 통해 극한을 통과시킬 수 있다.
이는 다시 유계 수렴 정리에 의한 것이다. 이는 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태를 산출한다.
연쇄 법칙을 사용한 변수 한계를 가진 일반적인 형태의 대체 증명.
변수 한계를 가진 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태는 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태, 다변수 연쇄 법칙, 그리고 미적분학의 제1 기본 정리의 결과로 도출될 수 있다. formula_112가 formula_113-formula_114 평면의 직사각형, 즉 formula_115와 formula_116에서 정의된다고 가정하자. 또한 formula_112와 편미분 formula_118가 이 직사각형에서 모두 연속 함수라고 가정하자. formula_119는 formula_120에서 정의되고 formula_121 값을 가지는 미분 가능한 실수 값 함수라고 가정하자 (즉, 모든 formula_122에 대해 formula_123). 이제 다음을 설정하자.
그러면 정적분의 성질에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
함수 formula_127가 모두 미분 가능하므로 (증명 끝의 주석 참조), 다변수 연쇄 법칙에 의해 formula_128는 미분 가능하며, 그 미분은 다음 공식으로 주어진다.
formula_129이제 모든 formula_115와 모든 formula_131에 대해 formula_132임을 주목하자. 왜냐하면 formula_133의 formula_113에 대한 편미분을 취할 때, 표현식 formula_135에서 formula_136를 고정하기 때문이다. 따라서 적분 한계가 상수인 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태가 적용된다. 다음으로, 미적분학의 제1 기본 정리에 의해 formula_137이다. 왜냐하면 formula_133의 formula_136에 대한 편미분을 취할 때, 첫 번째 변수 formula_113는 고정되므로, 기본 정리가 실제로 적용될 수 있기 때문이다.
이러한 결과를 위 formula_141 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.
원하는 대로이다.
위 증명에는 주목할 만한 기술적 사항이 있다. formula_128에 연쇄 법칙을 적용하려면 formula_133가 이미 미분 가능해야 한다. 이것이 formula_112에 대한 가정을 사용하는 부분이다. 위에서 언급했듯이, formula_133의 편미분은 공식 formula_132와 formula_137로 주어진다. formula_149가 연속이므로, 그 적분도 연속 함수이고, formula_112도 연속이므로, 이 두 결과는 formula_133의 두 편미분이 모두 연속임을 보여준다. 편미분의 연속성은 함수의 미분 가능성을 의미하므로, formula_133는 실제로 미분 가능한다.
삼차원, 시간 의존적 형태.
시간 t에서 그림 1의 표면 Σ는 중심점 formula_153 주위에 배열된 점들의 집합을 포함한다. 함수 formula_154는 다음과 같이 쓸 수 있다.