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1964년 8월, 모호한 증거는 통킹만에서 베트남 해안으로부터 떨어진 국제 해역에서 북베트남 어뢰정에 의해 두 척의 미 구축함이 공격당했음을 시사했다. 존슨은 1964년 선거 운동에서 베트남에 대한 논의를 제외하고 싶어 했지만, 공산주의의 공격에 대응해야 한다고 느꼈다. 그는 1964년 8월 7일 의회로부터 통킹만 결의를 얻어냈다. 이 결의는 향후 공격을 격퇴하기 위한 군사력 사용에 대한 의회의 전폭적인 승인을 부여했다. 사실상 존슨은 의회의 공식적인 선전포고 없이 베트남에서 전쟁을 수행할 헌법적 권한을 부여받은 것이다.
1965~1966년.
존슨은 1965년 2월 플레익쿠 공군기지에서 베트콩 게릴라들의 공격으로 미국인 8명이 사망한 후 체계적인 폭격 작전을 결정했다. 8주간의 폭격 작전은 롤링 썬더 작전으로 알려졌다. 미국은 1968년 말까지 북베트남을 계속 폭격했으며, 3년 반 동안 864,000톤의 폭탄을 투하했다. 1965년 3월, 맥조지 번디는 미 지상 작전을 촉구했다. 존슨은 동의했고 또한 임무를 방어에서 공격 작전으로 조용히 변경했다. 1965년 3월 8일, 3,500명의 병력으로 구성된 두 해병대 대대가 다낭 근처 해안에 상륙했으며, 이는 6.25 전쟁 이후 미군 전투 병력이 아시아 본토에 파견된 첫 사례였다.
일주일 후인 2012년에 기밀 해제된 기밀 각서에서 CIA 정보국은 MACV와 ARVN이 지난 1년 동안 베트콩이 3분의 1 이상 증가하여 정규군 약 37,000~60,000명, 비정규군 80,000~120,000명(남베트남 내에서 모집된 21,000~60,000명의 병력 포함)에 달했으며, 남베트남군은 1964년 초의 높은 소모율에도 불구하고 병력이 증가한 후에도 여전히 높은 탈영률을 보였다고 언급했다.
6월, 남베트남 대사 맥스웰 테일러는 북베트남에 대한 폭격 작전이 비효율적이며 남베트남군이 열세에 놓여 붕괴 위기에 처해 있다고 보고했다. 7월 말, 맥나마라와 존슨의 최고 고문들은 미군 병력을 75,000명에서 200,000명 이상으로 늘릴 것을 권고했다. 존슨은 이에 동의했지만, 난감한 선택지들 사이에서 갇혀 있다고 느꼈다. 추가 병력을 보내면 개입주의자라는 비난을 받을 것이고, 그렇지 않으면 탄핵될 위험이 있다고 생각했다. 윌리엄 웨스트모얼랜드 장군의 지휘 아래 미군은 남베트남에서 수색 섬멸 작전에 점점 더 많이 참여했다. 1965년 10월까지 베트남에는 20만 명 이상의 병력이 배치되었다. 이 병력 대부분은 고등학교 졸업 후 징집되었으며, 빈곤층 출신이 불균형적으로 많았다. 대학생은 징집 유예를 받을 수 있었다.
1965년 내내 의회나 행정부 구성원 중 존슨의 전쟁 처리를 공개적으로 비판하는 사람은 거의 없었지만, 조지 볼과 같은 일부는 베트남 내 미국의 존재 확대를 경고했다. 1966년 초, 로버트 F. 케네디 상원의원은 존슨의 폭격 작전을 강하게 비판하며, 미국이 "돌아올 수 없는 길, 모든 인류에게 재앙으로 이어지는 길"을 가고 있을지도 모른다고 말했다. 얼마 지나지 않아 제임스 윌리엄 풀브라이트 상원의원이 의장을 맡은 미국 상원 외교위원회는 행정부의 베트남 정책을 검토하는 TV 청문회를 개최했다. 대통령에 대한 불만과 그의 전쟁 전략에 대한 의구심은 국회의사당에서 계속 커졌다. 1966년 6월, 미국 상원 군사위원회 위원장인 리처드 러셀 주니어 상원의원은 국가적 분위기의 악화를 반영하며 "끝내거나 철수할" 때라고 선언했다. 존슨은 이에 대해 언론에 "우리는 최소한의 비용으로 공산주의 침략에 대한 최대한의 억지력을 제공하려고 노력하고 있다"고 말했다.
1966년 말까지 여러 출처에서 북베트남 병참과 기반 시설에 대한 진전이 보고되기 시작했으며, 존슨은 모든 곳에서 평화 회담을 시작하라는 압력을 받았다. 그러나 하노이와의 간극은 양측 모두 폭격의 일방적인 중단과 병력 철수를 요구하는 넘을 수 없는 요구였다. 웨스트모얼랜드와 맥나마라는 이어서 평화화를 촉진하는 협력 프로그램을 권고했으며, 존슨은 10월에 이 노력을 공식적으로 군사 통제하에 두었다. 존슨은 전쟁 사상자를 정당화하는 것에 대해 점점 더 불안해했으며, 이 명분이 인기가 없었음에도 불구하고 결정적인 승리의 필요성에 대해 이야기했다. 1966년 말까지 공중 작전과 평화화 노력 모두 실패했다는 것이 분명해졌고, 존슨은 맥나마라의 새로운 권고에 동의하여 1967년에 기존에 약속했던 40만 명 외에 7만 명의 병력을 추가했다. CIA의 권고에 따라 존슨은 또한 북베트남에 대한 폭격을 늘렸다. 폭격 확대는 북베트남과의 비밀 회담을 중단시켰지만, 미국 지도자들은 그 회담에서 북베트남의 의도가 진정하다고 생각하지 않았다.
1967년 및 구정 공세.
1967년 중반까지 약 7만 명의 미국인이 전쟁에서 사망하거나 부상당했으며, 이 전쟁은 뉴스 매체 등지에서 흔히 "교착 상태"로 묘사되었다. 1967년 7월 갤럽 여론조사에서는 미국인의 52%가 대통령의 전쟁 처리를 반대했고, 단 34%만이 진전이 있다고 생각했다. 그럼에도 불구하고 존슨은 55,000명의 병력 증강에 동의하여 총 병력을 525,000명으로 늘렸다. 8월, 존슨은 합동 참모 본부의 지지 하에 공중 작전을 확대하기로 결정했으며, 하노이, 하이퐁, 중국과의 완충 지대만 목표 목록에서 제외했다. 같은 달 말, 맥나마라는 상원 소위원회에 확대된 공중 작전이 하노이를 평화 회담으로 이끌지 못할 것이라고 말했다. 합동 참모 본부는 경악했고 대량 사임을 위협했다. 맥나마라는 세 시간 동안 질책을 받기 위해 백악관으로 소환되었다. 그러나 존슨은 맥나마라의 분석을 적어도 부분적으로는 확인하는 CIA 보고서를 받았다. 한편, 남베트남에서는 헌법 정부를 수립하기 위한 선거가 마무리되었고, 이는 평화 회담에 대한 희망을 제공했다.
전쟁이 교착 상태에 빠지고 분쟁에 대한 광범위한 반대가 일어나는 상황에서 존슨은 노련한 정부 외교 정책 전문가들로 구성된 그룹, 비공식적으로 "현인들"로 불리는 딘 애치슨, 오마 브래들리 장군, 조지 볼, 맥 번디, 아서 딘, 더글러스 딜런, 아베 포타스, 에버렐 해리먼, 헨리 캐봇 로지, 로버트 머피, 맥스 테일러를 소집했다. 그들은 베트남을 떠나는 것에 만장일치로 반대했으며, 존슨에게 "현 상태를 유지하라"고 촉구했다. 그 후, 11월 17일, 전국에 방영된 연설에서 대통령은 미국 대중에게 "우리는 우리가 잃는 것보다 더 많은 손실을 입히고 있다... 우리는 진전을 이루고 있다"고 확신시켰다. 2주도 채 되지 않아 감정적인 로버트 맥나마라 국방장관은 사임을 발표했다. 비공개적으로 그는 존슨의 전쟁 전략에 대해 정기적으로 의구심을 표명하기 시작했고, 이는 대통령을 화나게 했다. 그는 빌 모이어스, 맥조지 번디, 조지 볼을 포함하여 전쟁 문제로 사임한 존슨의 최고 보좌관 목록에 합류했다.
1968년 1월 30일, 베트콩과 북베트남군은 사이공을 포함한 남베트남의 5대 도시에 대한 구정 공세를 시작했다. 구정 공세는 군사적으로는 실패했지만, 심리적인 승리였으며, 미국 대중의 여론을 전쟁 노력에 대해 결정적으로 반대하게 만들었다. 1968년 2월, CBS 뉴스의 영향력 있는 뉴스 앵커 월터 크롱카이트는 방송에서 이 분쟁이 교착 상태에 빠졌으며 추가적인 싸움은 아무것도 바꾸지 않을 것이라고 말했다. 존슨은 "크롱카이트를 잃으면 중산층 미국을 잃는 것"이라고 반응했다. 실제로 전쟁에 대한 사기 저하는 어디에나 있었다. 당시 존슨의 베트남 처리 지지율은 26%였고, 63%는 반대했다. 대학생들과 다른 사람들은 시위를 하고, 징병 카드를 불태우며, "이봐, 이봐, LBJ, 오늘 몇 명의 아이들을 죽였어?"라고 외쳤다.
구정 공세 이후.
구정 공세는 "현인들"과 새로운 국방장관 클라크 클리포드를 포함한 존슨 행정부 고위 지도자들에게 병력 증강이 전쟁을 끝내는 데 도움이 되지 않을 것이라는 확신을 심어주었다. 존슨은 처음에는 이러한 조언을 따르기를 꺼려했지만, 궁극적으로 부분적인 폭격 중단을 허용하고 평화 회담에 참여할 의사가 있음을 알리기로 동의했다. 1968년 3월 31일, 존슨은 북베트남에 대한 폭격을 중단하겠다고 발표하면서 동시에 재선에 출마하지 않겠다고 발표했다. 그는 또한 진지한 평화 회담이 시작되기 전에 가능한 한 많은 시골 지역을 통제하기 위해 남베트남에서 미군 작전을 확대했다. 5월에 파리에서 회담이 시작되었지만, 어떤 결과도 내지 못했다. 협상의 주요 장애물 중 두 가지는 미국이 베트콩이 남베트남 정부에 참여하는 것을 허용하지 않는 것과 북베트남이 남베트남의 정당성을 인정하지 않는 것이었다. 1968년 10월, 당사자들이 폭격 중단에 대한 합의에 근접했을 때, 공화당 대통령 후보 리처드 닉슨은 남베트남에 개입하여 선거 이후까지 문제 해결을 지연시키기 위해 더 좋은 조건을 약속했다. 존슨은 1968년 선거 이후에도 회담을 계속하려고 했지만, 북베트남은 닉슨이 취임할 때까지 절차 문제를 놓고 다투었다.
존슨은 한때 베트남 전쟁에 대한 자신의 관점을 다음과 같이 요약했다.
존슨의 중동 정책은 이스라엘, 사우디아라비아, 이란의 "세 기둥"에 의존했다. 1960년대 중반, 이스라엘 핵무기 프로그램에 대한 우려는 이스라엘과 이웃 아랍 국가들, 특히 이집트 간의 긴장을 고조시켰다. 동시에 팔레스타인 해방기구는 요르단강 서안 지구와 골란고원의 기지에서 이스라엘에 대한 테러 공격을 시작했다. 존슨 행정부는 분쟁을 중재하려고 시도했지만, 포타스 등을 통해 이스라엘의 군사 작전에 반대하지 않을 것임을 전달했다. 1967년 6월 5일, 이스라엘은 이집트, 시리아, 요르단을 공격하며 6일 전쟁을 시작했다. 이스라엘은 신속하게 가자, 요르단강 서안 지구, 동예루살렘, 골란고원, 시나이반도를 장악했다. 이스라엘군이 시리아의 수도 다마스쿠스에 접근하자, 소련은 이스라엘이 휴전에 동의하지 않으면 전쟁을 위협했다. 존슨은 이스라엘 정부에 휴전을 받아들이도록 압력을 가했고, 전쟁은 6월 11일에 끝났다. 전쟁 후, 미국과 영국은 유엔 결의 242호를 지지했는데, 이 결의는 이스라엘이 전쟁에서 점령한 영토를 영구적인 평화와 교환하여 반환할 것을 요구했다.
1967년 이란 샤는 미국을 방문하여 존슨을 만났다. 존슨은 샤의 "헌신적이고 영감을 주며 진보적인 리더십"을 칭찬했다.
토마스 C. 만 국무차관의 지휘 아래 미국은 라틴아메리카에 경제 원조를 제공하는 케네디의 진보 동맹을 강조했다. 케네디와 마찬가지로 존슨은 소련과 동맹을 맺은 피델 카스트로의 통치하에 있는 쿠바를 고립시키려 했다.
1965년, 도미니카 내전이 도널드 리드 카브랄 대통령 정부와 전 대통령 후안 보스의 지지자들 사이에 발발했다. 아베 포타스의 조언에 따라 존슨은 도미니카 공화국에 2만 명 이상의 해병대원을 파견했다. 그들의 역할은 어느 편도 들지 않고 미국 시민을 대피시키고 질서를 회복하는 것이었다. 미국은 또한 새로운 선거를 위한 합의를 주선하는 데 도움을 주었다. 존슨의 내전 종식을 위한 무력 사용은 라틴 아메리카의 많은 사람들을 소외시켰고, 존슨의 외교 정책이 베트남 전쟁에 점점 더 지배되면서 이 지역의 중요성은 행정부에서 줄어들었다.
영국과 서유럽.
1964년부터 1970년까지 영국 총리를 지낸 해럴드 윌슨은 미국과의 강력한 "특별한 관계"를 믿었으며, 외교가로서 자신의 위신을 강화하기 위해 백악관과의 협상을 강조하고 싶어 했다. 린든 B. 존슨 대통령은 윌슨을 싫어했으며, 어떤 "특별한" 관계도 무시했다. 존슨은 미국의 위신을 유지하기 위한 도움이 필요했고 요청했지만, 윌슨은 베트남 전쟁에 대해 미온적인 구두 지지 만을 표명했다. 윌슨과 존슨은 또한 영국의 경제적 약점과 세계 강대국으로서의 지위 하락에 대해 첨예하게 의견이 달랐다. 역사학자 조나단 콜먼은 이로 인해 20세기에 가장 불만족스러운 "특별한" 관계가 되었다고 결론지었다. 언론은 일반적으로 이 관계를 긴장된 것으로 묘사했다. 그 분위기는 1965년 1월 윈스턴 처칠 국장에 미국 대표단 단장으로 신임 부통령 휴버트 험프리 대신 딘 러스크 국무장관을 보냈을 때 일찌감치 정해졌다. 존슨 자신은 독감으로 입원해 있었고 의사들은 장례식 참석을 만류했다. 이러한 경시로 인해 영국과 미국 양국에서 대통령에 대한 많은 비판이 일었다.
서유럽 경제가 회복되면서 유럽 지도자들은 동맹 관계를 동등한 파트너십으로 재구성하려 했다. 이러한 추세는 존슨의 소련과의 화해 정책과 베트남 전쟁 확전과 함께 NATO 내 균열을 야기했다. 존슨이 NATO 지도자들에게 남베트남에 명목상의 병력이라도 파견해 달라고 요청했지만, 이 지역에 전략적 이해관계가 없는 지도자들은 이를 거부했다. 서독과 특히 프랑스는 독립적인 외교 정책을 추구했으며, 1966년 샤를 드골 프랑스 대통령은 NATO에서 프랑스를 탈퇴시켰다. 프랑스의 탈퇴는 서독과 영국의 국방비 삭감과 함께 NATO를 크게 약화시켰지만, 동맹 관계는 유지되었다. 존슨은 드골을 비난하는 것을 자제했으며, 대륙 내 미군 병력 감축 요구에도 저항했다.
1954년 이래 미국과 파키스탄의 동맹은 인도를 소련에 더 가깝게 만들었다. 존슨은 양국에 대한 보다 공정한 정책이 남아시아의 긴장을 완화하고 양국을 미국에 더 가깝게 만들기를 희망했다. 그는 남아시아를 '동맹국'과 '중립국'으로 나누는 전통적인 미국 방식을 끝내고, 양국에 무기와 돈을 공급하면서도 양국의 첨예한 국경 분쟁에서는 중립을 유지함으로써 인도와 파키스탄 모두와 좋은 관계를 발전시키려 했다. 그의 정책은 파키스탄을 공산주의 중국에, 인도를 소련에 더 가깝게 만들었다. 존슨은 또한 인도 총리 랄 바하두르 샤스트리와 파키스탄 대통령 아야브 칸과 따뜻한 개인적 관계를 맺기 시작했다. 그러나 1965년 3월 칸의 중국 방문 이후, 두 지도자의 워싱턴 방문을 취소하면서 양국에서 반미 감정을 부추겼다.
존슨 재임 기간 선거.
1964년 선거 운동.
분리주의자 주지사 조지 월리스는 여러 1964년 민주당 대통령 경선에 참여하여 여러 주에서 많은 표를 얻은 후 제3정당의 독립 후보로 대통령직을 추구할 것이라고 발표했다. 한편, 공화당은 보수주의자 애리조나주 상원의원 배리 골드워터와 자유주의자 뉴욕주 주지사 넬슨 록펠러 사이에 경쟁적인 일련의 경선을 치렀다. 록펠러는 한때 선두 주자처럼 보였지만, 이혼으로 인해 그의 입후보가 크게 손상되었다. 골드워터는 1964년 6월에 압도적인 유력 후보로 부상했으며, 7월 1964년 공화당 전당대회에서 공식적으로 지명되었다. 골드워터의 지명 이후, 월리스는 남부 보수주의자들의 요청에 따라 경선에서 철수했다.
1964년 민주당 전당대회는 존슨을 다시 후보로 지명하고 취임 1년도 채 되지 않아 이룬 그의 업적을 기념했다. 선거 운동 초기에 로버트 F. 케네디는 존슨의 부통령 러닝메이트로 널리 인기 있는 선택이었지만, 존슨과 케네디는 서로를 좋아하지 않았다. 휴버트 험프리가 결국 존슨의 러닝메이트로 선택되었는데, 존슨 캠페인은 험프리가 중서부와 산업 북동부에서 득표율을 높일 것으로 기대했다. 존슨은 부통령직에 내재된 좌절감을 잘 알고 있었으므로, 험프리의 절대적인 충성심을 보장하기 위해 일련의 인터뷰를 거치게 했고, 결정을 내린 후에는 언론의 추측과 보도를 극대화하기 위해 마지막 순간까지 발표를 미루었다. 민주당 전당대회 막바지에 여론조사에서는 존슨이 재선에 유리한 위치에 있음을 보여주었다.
골드워터는 아마도 뉴딜 이후 가장 보수적인 주요 정당 후보였으며, 존슨과 골드워터 모두 이 선거를 자유주의자와 보수주의자 사이의 선택으로 묘사하려고 했다. 1964년 대통령 선거 운동 초기에 골드워터는 남부 주를 공화당으로 뒤집을 위협을 가하며 강력한 경쟁자처럼 보였다. 그러나 선거 운동이 진행됨에 따라 골드워터는 추진력을 잃었다. 1964년 9월 7일, 존슨의 선거 운동 관리자들은 데이지 광고를 방영하여 골드워터를 위험한 호전적인 인물로 성공적으로 묘사했다. 효과적인 광고 캠페인, 골드워터의 극단주의로 인식된 점, 골드워터 캠페인의 열악한 조직, 그리고 존슨의 인기가 결합되어 민주당은 대규모 선거 승리를 거두었다. 존슨은 61.05%의 득표율로 압도적인 승리를 거두어 1820년 대통령 선거 이후 어떤 대통령 후보도 얻지 못한 가장 큰 득표율을 기록했다. 선거인단에서 존슨은 486대 52로 골드워터를 물리쳤다. 골드워터의 유일한 승리는 그의 고향인 애리조나와 디프사우스의 5개 주에서였다. 동시에 치러진 의회 선거에서 민주당은 하원과 상원 모두에서 다수당 지위를 강화했다. 이 엄청난 선거 승리는 존슨이 제89차 미국 의회에서 자유주의적 입법을 제안하는 데 용기를 주었다.
골드워터의 배경 (그의 아버지는 유대인 공동체에서 태어났지만 떠나서 성공회 신자가 되었다)과는 상관없이 존슨은 유대인 표의 대다수를 얻었다. 그것은 위대한 사회에 강력한 지지를 보낸 자유주의 유권자였다.
1966년 중간 선거.
1964년 존슨 대통령의 압도적인 재선 승리 이후, 민주당 의회는 자유주의 법안을 대거 통과시켰다. 노동조합 지도자들은 1964년 민권법, 1965년 선거권법, 빈곤과의 전쟁, 도시 및 교육 지원, 사회 보장 혜택 증가, 노인을 위한 메디케어 등 뉴딜 시대 이후 가장 광범위한 자유주의 법안에 대한 공로를 주장했다. 1966년 선거는 예상치 못한 재앙이었으며, 많은 자유주의 민주당원들이 패배했다. 앨런 드레이퍼에 따르면 AFL-CIO 정치 활동 위원회(COPE)는 노동 운동의 주요 선거 운동 조직이었다. 이들은 공화당의 주요 공격 지점이 되었던 민권 운동에 대한 백인들의 반발을 무시했다. COPE는 조합원들이 노동조합 지도부에게 가장 중요한 쟁점에 관심이 있다고 잘못 가정했지만, 여론조사는 그렇지 않음을 보여주었다. 조합원들은 훨씬 더 보수적이었다. 젊은 조합원들은 세금과 범죄에 훨씬 더 관심을 가졌으며, 나이든 조합원들은 인종 편견을 극복하지 못했다. 또한 새로운 쟁점인 베트남 전쟁은 자유주의 연합을 "매파"(존슨과 휴버트 험프리 부통령이 이끄는)와 "비둘기파"(유진 매카시 상원의원과 로버트 F. 케네디가 이끄는)로 첨예하게 분열시키고 있었다.
존슨의 거물 사업가, 노동조합, 자유주의 지식인, 백인 소수 민족, 흑인 연합은 1966년 선거 이전부터 붕괴되기 시작했다. 존슨 재임 기간 동안 노동조합은 기업만큼 잘하지 못했다. 미국인들이 사회 개선보다 세금 감면을 선호했기 때문에 사회 복지는 부진했다. 위대한 사회는 도시 폭력(백인 소수 민족에 의해)과 베트남 전쟁(지식인과 학생에 의해)에 대한 반발로 더욱 약화되었다. 공화당은 도시 폭동, 존슨의 베트남 전쟁 수행, 침체된 경제에서 비롯된 법과 질서 문제에 집중하여 선거 운동을 펼쳤으며, 다가오는 인플레이션과 늘어나는 연방 적자에 대해 경고했다.
중간 선거에서 민주당은 하원에서 공화당에게 47석을, 상원에서도 3석을 잃었다. 그러나 민주당은 상하원 모두에서 다수당 지위를 유지했다. 이 손실은 당의 자유주의적 세력에게 가장 큰 타격을 주었으며, 이는 존슨이 의회를 통해 자신의 의제를 추진하는 능력을 감소시켰다. 이 선거는 또한 공화당이 1964년 재앙적인 선거 운동 이후 이미지를 회복하는 데 도움이 되었다.
1968년 선거 및 전환기.
초기 재선 운동과 철수.
존슨은 케네디 대통령 임기 2년 미만을 재임했으므로, 수정 헌법 제22조의 조항에 따라 1968년 대통령 선거에서 두 번째 정식 임기를 위해 헌법적으로 출마할 자격이 있었다. 그러나 1966년부터 언론은 존슨이 기자 회견에서 말하는 것과 베트남 현장에서 일어나는 일 사이에 "신뢰도 격차"를 느끼기 시작했고, 이는 훨씬 덜 호의적인 보도로 이어졌다. 연말까지 미주리주의 민주당 주지사 워런 E. 히언스는 "베트남에 대한 좌절감; 너무 많은 연방 지출과... 과세; 위대한 사회 프로그램에 대한 대중의 큰 지지 부족; 그리고 ... 민권 프로그램에 대한 대중의 환멸"이 대통령의 입지를 약화시켰다고 경고했다. 밝은 부분도 있었다. 1967년 1월, 존슨은 임금이 역사상 최고 수준이며, 실업률은 13년 만에 최저치를 기록했으며, 기업 이익과 농업 소득은 그 어느 때보다 높다고 자랑했다. 왜 자신이 인기가 없는지 설명해 달라는 질문에 존슨은 "나는 지배적인 성격이며, 일을 해낼 때 항상 모든 사람을 만족시키지 못한다"고 답했다.
1968년 선거가 다가오면서 존슨은 민주당에 대한 통제력을 잃기 시작했으며, 당은 네 개의 파벌로 분열되고 있었다. 첫 번째 그룹은 존슨과 험프리, 노동조합, 그리고 지역 당 보스들(시카고 시장 리처드 J. 데일리가 이끄는)로 구성되었다. 두 번째 그룹은 존슨을 "퇴진시키려는" 노력으로 유진 매카시 상원의원 뒤에 결집한 반전 학생들과 지식인들로 구성되었다. 세 번째 그룹은 로버트 F. 케네디 상원의원 뒤에 모인 가톨릭 신자, 히스패닉, 아프리카계 미국인들을 포함했다. 네 번째 그룹은 조지 월리스 주지사와 같은 전통적인 분리주의 백인 남부인들로 구성되었다. 존슨의 인기가 점점 줄어들고 있었음에도 불구하고, 현직 대통령의 재지명을 막는 것은 불가능하다는 것이 일반적인 통념이었다. 존슨은 3월 12일 뉴햄프셔 대통령 경선에서 매카시를 49대 42로 누르고 근소한 승리를 거두었지만, 이 근소한 2위 결과는 경선에서 매카시의 입지를 극적으로 끌어올렸다. 케네디는 3월 16일 출마를 선언했다. 3월 31일 연설 말미에 존슨은 "나는 당신의 대통령으로서 또 다른 임기를 위해 당의 지명을 추구하지 않을 것이며, 받아들이지도 않을 것이다"라는 말로 재선에 출마하지 않겠다고 발표하여 전국을 충격에 빠뜨렸다. 다음 날, 그의 지지율은 36%에서 49%로 상승했다.
역사학자들은 존슨의 깜짝 결정으로 이어진 요인들을 놓고 논쟁을 벌였다. 셰솔은 존슨이 백악관을 떠나고 싶어 했지만 정당화도 원했다. 지표가 부정적으로 변하자 그는 떠나기로 결정했다. 우즈는 존슨이 국가의 치유를 위해 떠나야 한다는 것을 깨달았다고 썼다. 달렉은 존슨이 더 이상 국내 목표가 없었으며, 자신의 성격이 인기를 깎아내렸다는 것을 깨달았다고 말한다. 그의 건강은 좋지 않았고, 그는 케네디 캠페인에 몰두했으며, 그의 아내는 은퇴를 재촉했고 그의 지지 기반은 계속 줄어들었다. 경선에서 물러나는 것은 그가 평화 중재자로 나서게 할 수 있었다. 그러나 베넷은 존슨이 "1968년 동남아시아 정책에 대한 분노로 재선 경쟁에서 강제로 퇴출당했다"고 말한다. 존슨은 또한 전당대회가 결국 자신을 다시 경선에 지명할 것을 바랐을 수도 있다.
휴버트 험프리 부통령은 존슨의 사퇴 후 경선에 뛰어들었고, 1968년 민주당 예비선거는 험프리, 케네디, 매카시 간의 3자 대결이 되었다. 케네디는 매카시의 자유주의 및 반전 기반을 잠식하면서도 빈곤층과 노동 계급의 지지를 얻었다. 그는 일련의 예비선거 승리를 거두었지만, 6월에 시르한 시르한이라는 아랍인 민족주의자에 의해 암살당했다. 존슨의 지지 아래 험프리는 8월 말 시카고에서 열린 격동의 1968년 민주당 전당대회에서 대통령 후보 지명을 받았다. 시카고에서의 반전 시위대에 대한 경찰의 폭력적인 진압은 전당대회를 망쳤다. 전당대회 후 여론조사에서는 험프리가 20%포인트 차이로 총선에서 패배할 것으로 나타났다.
총선 및 전환기.
험프리는 1968년 총선 캠페인에서 두 명의 주요 상대와 맞붙었다. 공화당은 전 부통령 리처드 닉슨을 지명했고, 닉슨은 스피로 애그뉴 주지사를 러닝메이트로 선택했다. 닉슨은 위대한 사회와 대법원을 공격했으며, 베트남에서 평화를 가져올 것이라고 밝혔다. 스트롬 서먼드를 포함한 다른 남부 공화당원들의 지지를 받아 닉슨은 존슨 행정부의 민권 조치에 의해 소외된 남부 백인 유권자들의 지지를 얻는 데 집중하는 남부 전략을 추구했다. 험프리의 또 다른 주요 경쟁자인 조지 월리스는 미국 독립당 후보로 출마하여 쿠 클럭스 클랜과 존 버치 협회와 같은 극우 단체의 지지를 받았다. 월리스의 가장 강력한 지지는 친분리주의 남부인들로부터 나왔지만, 그는 "법과 질서" 캠페인을 통해 북부의 백인 노동 계급 지역에서도 호소력을 얻었다. 제3당 후보로서 월리스는 대통령직을 획득할 수 있다고 믿지 않았지만, 조건부 선거를 미국 하원에서 강제할 만큼 충분한 선거인단을 얻기를 희망했다.
험프리의 여론조사 지지율은 9월 30일 존슨의 전쟁 정책과 결별하고 북베트남 폭격 중단을 요구하는 연설 이후 상승했다. 10월의 이변으로 불린 사건에서 존슨은 1968년 10월 31일 북베트남 정부가 협상에 임할 의지가 있고 파리 평화 회담에 진전이 있다면 11월 1일부터 "북베트남에 대한 모든 공중, 해군, 포병 폭격을 완전히 중단"하라고 명령했다고 전국에 발표했다. 그러나 닉슨은 득표수에서는 험프리에게 근소하게 앞서고 선거인단에서는 다수를 차지하여 선거에서 승리했다. 월리스는 득표율의 13.5%와 46명의 선거인단을 확보했다. 닉슨은 민권에 대한 불만을 활용하여 남부에서 민주당의 지배력을 깨뜨렸다. 그는 또한 미시시피 강 서부 주들에서도 좋은 성과를 거두었는데, 부분적으로는 이들 주에서 연방 정부에 대한 반감이 커졌기 때문이다. 남부와 서부 모두 이후 선거에서 공화당 선거 연합의 중요한 구성 요소가 될 것이다. 닉슨이 1968년 대통령 선거에서 승리했음에도 불구하고 민주당은 의회 양원을 계속 통제했다.
역사학자들은 존슨의 대통령직이 뉴딜 시대 이후 미국의 현대 자유주의의 정점을 기록했다고 주장하며, 존슨은 많은 역사학자들에게 호의적으로 평가된다. 존슨의 대통령직은 메디케어와 메디케이드, 다양한 빈곤 퇴치 조치, 환경 보호, 교육 자금 지원, 기타 연방 프로그램의 설립을 통해 미국을 변화시키며 지속적인 흔적을 남겼다. 존슨 재임 기간 동안 통과된 민권 법안은 인종 평등의 장벽을 제거하는 데 기여한 역할로 거의 보편적으로 칭찬받는다. 미국정치학회 대통령 및 행정 정치 부문이 2018년에 실시한 여론조사에서는 존슨을 역대 10번째로 좋은 대통령으로 평가했다. 2017년 C-SPAN 역사학자 여론조사에서도 존슨을 역대 10번째로 좋은 대통령으로 평가했다. 존슨의 베트남 전쟁 처리는 여전히 광범위하게 인기가 없으며, 재임 기간 동안 그랬던 것처럼 종종 그의 국내 업적을 가리고 있다. 2006년 역사학자 여론조사에서는 존슨의 베트남 전쟁 확전을 현직 대통령이 저지른 실수 중 세 번째로 최악의 실수로 평가했다. 역사학자 켄트 저머니는 "존슨 행정부에 붙어 있는 죽음, 갱신, 기회의 유산은 아이러니하고 혼란스러우며 불확실하다. 아마도 그렇게 남아 있을 것"이라고 썼다. 저머니는 다음과 같이 설명한다:
존슨의 설득력과 의회에 대한 이해는 그가 놀라운 입법 활동을 펼치도록 도왔고, 그에게 입법의 대가라는 명성을 안겨주었다. 존슨은 그의 당이 의회에서 다수당이었고 새로운 연방 프로그램에 대해 수용적인 대중의 도움을 받았다. 그러나 그는 제2차 세계 대전 이후 대부분의 자유주의 법안을 성공적으로 저지해 온 남부 민주당원과 공화당의 강력한 보수 연합이 지배하는 의회에도 직면했다. 존슨이 많은 영구적인 프로그램을 설립했음에도 불구하고, 경제 기회 사무국을 포함한 위대한 사회의 다른 측면들은 나중에 폐지되었다. 베트남 전쟁의 실패로 인식된 사건들은 정부에 대한 환멸을 불러일으켰고, 뉴딜 연합은 베트남 전쟁과 1968년 선거를 둘러싼 긴장으로 인해 크게 무너졌다. 공화당은 존슨 퇴임 후 6번의 대통령 선거 중 5번을 승리했다. 로널드 레이건은 1981년 취임하면서 위대한 사회를 뒤집겠다고 맹세했지만, 그와 다른 공화당원들은 존슨의 프로그램 중 많은 부분을 폐지할 수 없었다.
프레드릭 로게발은 "그가 편협하고 상상력이 부족한 외교 정책 사상가였으며, 국제 문제에 대한 상투적인 문구에 취약하고 미국 해안 너머의 세계에 관심이 없는 사람이었다는 '정통적' 견해를 여전히 지지할 만한 점이 많아 보인다"고 주장한다. 많은 역사학자들은 존슨의 지방주의를 강조한다. "텍사스에 너무 오래 있었다"는 해석 학파는 워런 I. 코헨과 낸시 버른코프 터커의 선집 『존슨, 세계에 맞서다』에서 존슨을 좁은 시야를 가진 정치인으로 보는 역사학자들의 합의를 설명하기 위해 만들어졌다. "롱혼 학파"라고 불리는 소규모 학자 그룹은 베트남을 제외하고 존슨이 외교 정책에서 상당히 좋은 기록을 가지고 있었다고 주장한다. "롱혼 학파"의 많은 학자들은 "외교 정책 지도자로서의 존슨에 대한 평가는 아직 진행 중이다"라고 주장한 로버트 달렉의 제자들이다. 반면 니콜라스 에반 사란타케스는 다음과 같이 주장한다.
수치해석학에서 다항식 보간법(Polynomial interpolation)은 주어진 자료 집합의 점들을 통과하는 가장 낮은 차수의 다항식으로 보간법을 하는 것이다.
서로 다른 개의 자료점 formula_1이 주어졌을 때, 다항 함수 formula_2가 각 formula_3에 대해 formula_4를 만족하면 자료를 보간한다고 말한다.
이러한 다항식은 항상 유일하며, 일반적으로 라그랑주 다항식과 뉴턴 다항식의 두 가지 명시적 공식으로 주어진다.
보간 다항식의 원래 용도는 자연로그 및 삼각 함수와 같은 중요한 초월 함수의 값을 근사하는 것이었다. 몇 개의 정확하게 계산된 자료점으로부터, 해당 보간 다항식은 임의의 근처 점에서 함수를 근사할 것이다. 다항식 보간법은 또한 수치 적분 (심프슨 공식) 및 수치 상미분 방정식 (다중 격자법) 알고리즘의 기초를 이룬다.
컴퓨터 그래픽스에서는 다항식을 사용하여 몇 가지 지정된 점(예: 타이포그래피의 글자 모양)이 주어졌을 때 복잡한 평면 곡선을 근사할 수 있다. 이는 일반적으로 베지에 곡선을 사용하여 수행되는데, 이는 보간 다항식의 간단한 일반화이다(지정된 점뿐만 아니라 지정된 접선도 가짐).
수치해석학에서 다항식 보간법은 카라추바 곱셈 및 톰-쿡 알고리즘과 같은 이차 미만의 곱셈 및 제곱을 수행하는 데 필수적이다. 여기서 곱 다항식의 점을 통한 보간은 필요한 특정 곱을 산출한다. 예를 들어, a = f(x) = a0x0 + a1x1 + ··· 및 b = g(x) = b0x0 + b1x1 + ···가 주어지면, 곱 ab는 W(x) = f(x)g(x)의 특정 값이다. W(x)의 점은 작은 x 값에서 쉽게 찾을 수 있으며, 이러한 점을 기반으로 한 보간은 W(x)의 항과 특정 곱 ab를 산출한다. 카라추바 곱셈에서 공식화된 바와 같이, 이 기술은 겸손한 크기의 입력에 대해서도, 특히 병렬 하드웨어에서 이차 곱셈보다 상당히 빠르다.
컴퓨터 과학에서 다항식 보간법은 또한 다자간 보안 컴퓨팅 및 비밀 공유 알고리즘으로 이어진다.
보간 정리.
서로 다른 formula_5가 없는 formula_6개의 이변량 자료점 formula_7에 대해, 이 점들을 보간하는 차수가 최대 formula_8인 유일한 다항식 formula_9가 존재한다. 즉, formula_10이다.
등가적으로, 보간 노드 formula_5의 고정된 선택에 대해, 다항식 보간은 실수 값의 (n+1)튜플 formula_12과 차수가 최대 n인 실수 다항식의 벡터 공간 formula_13 사이의 선형 전단사 함수 formula_14을 정의한다.
이것은 일종의 유일해성 정리이다. 이 정리는 실수 formula_16 대신 임의의 무한 체 (예: 유리수 또는 복소수)에 대해서도 유효하다.
라그랑주 기저 함수 formula_17를 다음과 같이 고려한다:
formula_19는 차수 formula_8의 다항식이고, 각 formula_21에 대해 formula_22이며, formula_23임을 알 수 있다. 따라서 선형 결합:
는 formula_25를 가지므로, formula_9는 차수 formula_8의 보간 다항식이다.
유일성을 증명하기 위해, 차수가 최대 formula_8인 또 다른 보간 다항식 formula_29가 존재하여 모든 formula_30에 대해 formula_31라고 가정한다. 그러면 formula_32는 formula_6개의 서로 다른 영점( formula_34들)을 갖는 차수가 최대 formula_8인 다항식이다. 그러나 차수가 최대 formula_8인 영이 아닌 다항식은 최대 formula_8개의 영점을 가질 수 없으므로, formula_32는 영 다항식이어야 한다. 즉, formula_39이다.
보간 다항식을 다음과 같은 형태로 작성한다:
이를 보간 방정식 formula_40에 대입하면, 계수 formula_41에 대한 연립 일차 방정식을 얻는다. 이를 행렬-벡터 형식으로 나타내면 다음과 같은 행렬 곱셈이 된다:
보간 다항식 formula_9는 위 행렬 방정식 formula_44의 해 formula_45에 해당한다. 왼쪽의 행렬 X는 방데르몽드 행렬이며, 그 행렬식은 formula_46로 알려져 있다. 노드 formula_5가 모두 다르므로 행렬식은 0이 아니다. 이는 행렬이 가역이며 방정식이 유일한 해 formula_48를 가진다는 것을 보장한다. 즉, formula_9는 존재하며 유일하다.
formula_50가 차수가 최대 formula_8인 다항식이라면, formula_6개의 서로 다른 점에서 formula_50를 보간하는 다항식은 formula_50 자체이다.
보간 다항식 구성.
라그랑주 보간법.
라그랑주 다항식을 이용하여 즉시 다항식을 다음과 같이 작성할 수 있다:
formula_55행렬 인수의 경우, 이 공식은 실베스터 공식이라고 불리며, 행렬 값 라그랑주 다항식은 프로베니우스 공변량이다.
뉴턴 보간법.
노드 formula_56 (formula_57)에서 formula_58를 보간하는 차수가 formula_8 이하인 다항식을 formula_60이라 하자. 노드 formula_56 (formula_62)에서 formula_58를 보간하는 차수가 formula_6 이하인 다항식을 formula_65이라 하자. 그러면 formula_65은 다음과 같이 주어진다:
여기서 formula_68는 뉴턴 기저라고도 하며, formula_69이다.
이것은 formula_57인 경우에 대해 보일 수 있다:
그리고 formula_72일 때:
차수가 formula_6 미만인 보간 다항식의 유일성에 따라, formula_75가 요구되는 다항식 보간이다. 따라서 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다:
다항식 계수.
formula_77를 찾기 위해, 위 방정식에서 formula_78를 행렬 형태로 배열하여 형성된 하삼각 행렬을 풀어야 한다:
계수는 다음과 같이 유도된다:
는 나눗셈 차분에 대한 표기법이다. 따라서 뉴턴 다항식은 n개 점의 다항식 보간 공식을 제공하는 데 사용된다.
뉴턴 전진 공식.
formula_82가 등간격으로 연속적으로 배열되어 있을 때, 뉴턴 다항식은 단순화된 형태로 표현될 수 있다.
만약 formula_82가 연속적으로 배열되어 있고, formula_84 (i = 0, 1, ..., k)와 같이 등간격이며, 어떤 변수 x가 formula_85로 표현된다면, 차이 formula_86는 formula_87로 작성될 수 있다. 따라서 뉴턴 다항식은 다음과 같이 된다.
나눗셈 차분과 전진 차분 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.
formula_90라고 할 때, 이전 절에서 x의 표현이 대신 formula_91로 간주되었다면, 뉴턴 전진 보간 공식은 다음과 같이 표현된다.
이는 formula_5 이후의 모든 점의 보간이다. 다음과 같이 전개된다.
뉴턴 후진 공식.
노드가 formula_95으로 재정렬되면 뉴턴 다항식은 다음과 같다.
만약 formula_97가 formula_98 (i = 0, 1, ..., k)와 같이 등간격으로 떨어져 있고, formula_99라면,
나눗셈 차분과 후진 차분 사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.
formula_90라고 할 때, 이전 절에서 x의 표현이 대신 formula_91로 간주되었다면, 뉴턴 후진 보간 공식은 다음과 같이 표현된다.
이는 formula_5 이전의 모든 점의 보간이다. 다음과 같이 전개된다.
다이아몬드 도표.
다이아몬드 도표는 주어진 자료 집합에 대해 구성할 수 있는 여러 가지 보간 공식을 설명하는 데 사용되는 도표이다. 왼쪽 가장자리에서 시작하여 도표를 가로질러 오른쪽으로 이동하는 선은 다음 규칙을 따르면 보간 공식을 나타내는 데 사용될 수 있다.
인수는 다음 공식을 사용하여 표현된다:
등가성 증명.
경로가 formula_108에서 formula_109로 이동할 때, (a) formula_110를 통해, (b) formula_111를 통해, 또는 (c) formula_112를 통해 세 가지 중간 단계를 거쳐 연결될 수 있다. 이 세 가지 두 단계 경로의 등가성을 증명하면 모든 (n단계) 경로가 시작과 끝이 같으면서 같은 공식을 나타내도록 변형될 수 있음을 증명할 것이다.
경로 (a):
경로 (b):
경로 (c):
경로 a와 b의 기여를 뺀다:
따라서 경로 (a)와 경로 (b)의 기여는 동일하다. 경로 (c)는 경로 (a)와 (b)의 평균이므로, 역시 다항식에 동일한 함수를 기여한다. 따라서 시작점과 끝점이 같은 경로의 등가성이 입증되었다. 가장 왼쪽 모서리의 다른 값으로 경로를 이동할 수 있는지 확인하기 위해, 두 단계 경로만으로 충분하다: (a) formula_117를 통해 formula_118에서 formula_119로 또는 (b) formula_118와 formula_119 사이의 인수를 통해 formula_117를 통해 formula_119로 또는 (c) formula_119에서 시작한다.
경로 (a)
경로 (b)
경로 (c)
formula_128이므로, 위 식에 대입하면 모든 항이 formula_119로 줄어들고 따라서 등가임이 보인다. 따라서 이 경로들은 가장 왼쪽 모서리에서 시작하여 공통점으로 끝날 수 있도록 변형될 수 있다.
뉴턴 공식.
formula_130에서 formula_131로 음의 기울기 횡단선을 취하면 모든 formula_132개의 연속적으로 배열된 점들의 보간 공식을 얻게 되며, 이는 뉴턴의 전진 보간 공식과 동등하다.
반면, formula_134에서 formula_135로 양의 기울기 횡단선을 취하면 모든 formula_132개의 연속적으로 배열된 점들의 보간 공식을 얻게 되며, 이는 뉴턴의 후진 보간 공식과 동등하다.
여기서 formula_138는 뉴턴 보간법에서 도입된 해당 숫자이다.
가우스 공식.
formula_130에서 음의 기울기로 오른쪽으로 지그재그 선을 취하면 가우스 전진 공식을 얻는다.
반면, formula_130에서 양의 기울기로 시작하면 가우스 후진 공식을 얻는다.
스털링 공식.
formula_130에서 오른쪽으로 수평 경로를 취하면 스털링 공식을 얻는다.
스털링 공식은 가우스 전진 공식과 가우스 후진 공식의 평균이다.
베셀 공식.
formula_130와 formula_146 사이의 인수에서 시작하여 오른쪽으로 수평 경로를 취하면 베셀 공식을 얻는다.
방데르몽드 알고리즘.
위 두 번째 증명에 나오는 방데르몽드 행렬은 조건수가 클 수 있으며, 이로 인해 가우스 소거법을 사용하여 연립 방정식을 풀 경우 계수 를 계산하는 데 큰 오차가 발생할 수 있다.
따라서 여러 저자들이 가우스 소거법에 필요한 O(n3) 연산 대신 O(n2) 연산으로 수치적으로 안정적인 해를 계산하기 위해 방데르몽드 행렬의 구조를 활용하는 알고리즘을 제안했다. 이 방법들은 먼저 다항식의 뉴턴 보간을 구성한 다음 이를 단항식 형식으로 변환하는 방식에 의존한다.
비방데르몽드 알고리즘.
차수 의 다항식 벡터 공간 P(n)에서 보간 다항식 p(x)를 찾기 위해, P(n)에 대한 일반적인 단항식 기저를 사용하고 가우스 소거법으로 방데르몽드 행렬을 역행렬화하여 계산 비용이 O(n3) 연산이 된다. 이 알고리즘을 개선하려면, P(n)에 대한 더 편리한 기저를 사용하면 계수 계산을 단순화할 수 있으며, 그 후에는 이를 다시 단항식 기저로 변환해야 한다.
한 가지 방법은 보간 다항식을 뉴턴 형식(즉, 뉴턴 기저 사용)으로 작성하고, 네빌 알고리즘과 같이 나눗셈 차분 방법을 사용하여 계수를 구성하는 것이다. 비용은 O(n2) 연산이다. 게다가, 자료 집합에 추가 점이 추가되는 경우 O(n)의 추가 작업만 필요하며, 다른 방법의 경우 전체 계산을 다시 수행해야 한다.
또 다른 방법은 p(x)의 계수를 계산하는 것이 아니라 원래 자료 집합에 없는 점 x = a에서의 단일 값 p(a)만 계산하는 것이 목적일 때 선호된다. 라그랑주 형식은 O(n2)의 복잡도로 p(a) 값을 계산한다.
베른슈타인의 바이어슈트라스 근사 정리의 구성적 증명에서 베른슈타인 형식이 사용되었으며, 베지에 곡선 형태로 컴퓨터 그래픽스에서 큰 중요성을 얻었다.
값의 선형 결합으로서의 보간.
서로 다른 위치 formula_5를 가진 (위치, 값) 자료점 집합 formula_149이 주어졌을 때, 보간 다항식 formula_150는 formula_5에 따라 formula_152의 다항식인 계수를 사용하여 값 formula_153의 선형 결합으로 간주될 수 있다. 예를 들어, 라그랑주 형식의 보간 다항식은 선형 결합이다.
각 계수 formula_155는 주어진 위치 formula_5에 대한 해당 라그랑주 기저 다항식으로 주어진다.
계수는 값 formula_153가 아니라 위치 formula_5에만 의존하므로, 동일한 위치에서 두 번째 자료점 집합 formula_160에 대한 보간 다항식을 찾기 위해 동일한 계수를 사용할 수 있다.
더 나아가, 계수 formula_155는 위치 사이의 상대적 간격 formula_163에만 의존한다. 따라서, 점들이 새로운 변수 formula_164 (아핀 변환 of formula_152, formula_166에 의해 역변환됨)로 주어지는 세 번째 자료 집합이 주어졌을 때:
이전 계수 다항식의 변환된 버전을 사용할 수 있다:formula_168 그리고 보간 다항식을 다음과 같이 작성할 수 있다:formula_169자료점 formula_170는 종종 등간격 위치를 가지며, 이는 아핀 변환에 의해 formula_171로 정규화될 수 있다. 예를 들어, 자료점
formula_172.
라그랑주 형식의 보간 다항식은 선형 결합이다.
예를 들어, formula_174 이고 formula_175이다.
등간격 점의 경우 유한 차분법으로도 처리할 수 있다. 값의 수열 formula_176의 첫 번째 차분은 formula_177로 정의되는 수열 formula_178이다. 이 연산을 반복하면 n차 차분 연산 formula_179가 되며, 이는 다음과 같이 명시적으로 정의된다.
여기서 계수는 부호가 있는 파스칼 삼각형, 즉 이항 변환 계수 삼각형을 형성한다.
차수 d의 다항식 formula_150는 양의 정수점에서 값의 수열 formula_182를 정의하며, 이 수열의 formula_183 차분은 항상 0이다:
formula_184.
따라서 등간격 점에서 formula_185 값이 주어지고 formula_186이면 다음이 성립한다:
예를 들어, 이차 다항식 formula_150의 등간격 4개 자료점 formula_189은 formula_190를 만족하며, formula_191에 대해 풀면 위에서 라그랑주 방법을 사용하여 얻은 것과 동일한 보간 방정식을 얻는다.
보간 오차: 라그랑주 나머지 공식.
주어진 함수 f를 노드 x0..., xn에서 차수 의 다항식 formula_60으로 보간할 때 다음과 같은 오차를 얻는다.
여기서 formula_194는 자료점
의 (n+1)차 나눗셈 차분이다.
더 나아가, 닫힌 구간 formula_196에서 번 연속 미분 가능하며, formula_6개의 서로 다른 점 formula_198에서 f를 보간하는 차수가 최대 인 다항식 formula_199에 대해 라그랑주 나머지 형태의 오차가 존재한다. 각 formula_200에 대해 다음을 만족하는 formula_201가 존재한다.
formula_202
이 오차 한계는 곱 formula_203을 최소화하도록 보간점 를 선택할 것을 제안하며, 이는 체비쇼프 노드로 달성된다.
라그랑주 나머지 증명.
오차 항을 formula_204로 설정하고, 보조 함수를 다음과 같이 정의한다:
formula_205
그러나 formula_199는 차수가 최대 인 다항식이므로 formula_208이고, 다음과 같다:
formula_209
이제 는 formula_210와 formula_211의 근이므로 formula_212이며, 이는 가 적어도 개의 근을 가짐을 의미한다. 롤의 정리에 따라, formula_213는 적어도 개의 근을 가지며, 반복적으로 formula_214는 구간 에 적어도 하나의 근 를 가진다. 따라서:
formula_215
formula_216
이것은 테일러 정리의 라그랑주 나머지 항 뒤에 있는 추론과 유사하다. 사실, 테일러 나머지는 모든 보간 노드 가 동일한 경우 보간 오차의 특별한 경우이다. formula_217 (모든 i에 대해)일 때 오차가 0이 된다는 점에 유의해야 한다. 따라서 최대 오차는 두 연속 노드 사이의 구간 내 어느 한 점에서 발생한다.
등간격 구간.
등간격 보간 노드 formula_218 (formula_219) 및 formula_220인 경우, 보간 오차 공식의 곱 항은 다음과 같이 제한될 수 있다.
formula_221
따라서 오차 한계는 다음과 같이 주어질 수 있다.
그러나 이것은 formula_223가 formula_224에 의해 지배된다는 것을 가정한다. 즉, formula_225이다. 여러 경우에 이것은 사실이 아니며 오차는 실제로 일 때 증가한다(룽게 현상 참조). 이 문제는 수렴 특성 섹션에서 다룬다.
르베그 상수.
보간 노드 x0, ..., xn과 모든 보간 노드를 포함하는 구간 [a, b]를 고정한다. 보간 과정은 함수 f를 다항식 p로 매핑한다. 이것은 [a, b]의 모든 연속 함수 공간 C([a, b])에서 자기 자신으로의 매핑 X를 정의한다. 매핑 X는 선형이며 차수 n 이하의 다항식 부분 공간 formula_226에 대한 사영작용소이다.
르베그 상수 L은 X의 작용소 노름으로 정의된다. 다음이 성립한다(르베그 보조정리의 특별한 경우):
다시 말해, 보간 다항식은 가능한 최상의 근사치보다 최대 (L + 1)배 더 나쁘다. 이는 L을 작게 만드는 보간 노드 집합을 찾는 것이 좋다는 것을 시사한다. 특히, 체비쇼프 노드의 경우 다음이 성립한다.
등간격 노드의 경우 n에 대한 성장이 기하급수적이기 때문에 체비쇼프 노드가 다항식 보간에 매우 좋은 선택이라는 결론을 다시 내린다. 그러나 이 노드들은 최적이 아니다.
수렴 특성.
어떤 종류의 함수와 어떤 보간 노드에 대해 보간 다항식의 수열이 일 때 보간되는 함수로 수렴하는지 묻는 것은 자연스러운 일이다. 수렴은 점별, 균등 또는 특정 적분 노름 등 다양한 방식으로 이해될 수 있다.
등간격 노드의 경우 상황이 다소 좋지 않은데, 무한히 미분 가능한 함수에 대해서도 균등 수렴이 보장되지 않는다. 카를 룽게의 고전적인 예시는 구간 에서 함수 f(x) = 1 / (1 + x2)이다. 보간 오차 는 일 때 무한히 증가한다. 또 다른 예시는 구간 에서 함수 f(x) = |x|인데, 이 경우 보간 다항식은 x = ±1, 0 세 점을 제외하고는 점별로도 수렴하지 않는다.
더 나은 수렴 특성은 다른 보간 노드를 선택하여 얻을 수 있다고 생각할 수 있다. 다음 결과는 다소 고무적인 답변을 제공하는 것처럼 보인다.
그러나 이 방법의 단점은 새로운 함수 f(x)마다 보간 노드를 새로 계산해야 한다는 것이고, 이 알고리즘은 수치적으로 구현하기 어렵다는 것이다. 보간 다항식의 수열이 임의의 연속 함수 f(x)로 수렴하는 단일 노드표가 존재할까? 안타깝게도 답은 부정적이다.
이 증명은 본질적으로 위에 정의된 르베그 상수의 하한 추정치를 사용하며, 르베그 상수는 Xn의 작용소 노름이다(여기서 Xn은 Πn에 대한 사영 연산자이다). 이제 우리는 다음과 같은 노드 표를 찾는다.
바나흐-슈타인하우스 정리에 따르면, 이는 Xn의 노름이 균등하게 유계일 때만 가능하며, 이는 다음을 알고 있으므로 사실일 수 없다.
예를 들어, 등간격 점이 보간 노드로 선택되면 룽게 현상의 함수는 그러한 보간의 발산을 보여준다. 이 함수는 에서 연속일 뿐만 아니라 무한히 미분 가능함에 유의해야 한다. 그러나 더 나은 체비쇼프 노드의 경우, 다음 결과 때문에 그러한 예시를 찾기가 훨씬 더 어렵다.
룽게 현상은 의 값이 높을 때 보간 다항식이 자료점 사이에서 심하게 진동할 수 있음을 보여준다. 이 문제는 일반적으로 스플라인 보간을 사용하여 해결된다. 여기서 보간 함수는 다항식이 아니라 스플라인 곡선: 더 낮은 차수의 여러 다항식의 연결이다.
주기함수를 조화 함수로 보간하는 것은 푸리에 변환을 통해 이루어진다. 이것은 조화 기저 함수를 사용한 다항식 보간의 한 형태로 볼 수 있으며, 삼각 보간 및 삼각 다항식을 참조하라.
에르미트 보간법 문제는 노드에서 다항식 p의 값뿐만 아니라 주어진 차수까지의 모든 도함수도 주어지는 경우이다. 이것은 동시 다항식 합동 시스템과 동일하며, 다항식에 대한 중국인의 나머지 정리를 통해 해결될 수 있다. 버크호프 보간법은 0부터 k까지의 모든 차수가 아닌 일부 차수의 도함수만 지정되는 더 일반적인 경우이다.
미분 및 적분 방정식의 해를 위한 콜로케이션 방법은 다항식 보간을 기반으로 한다.
유리 함수 모델링 기술은 다항 함수들의 비를 고려하는 일반화이다.
마지막으로, 고차원 다변수 보간법이 있다.
기하학에서 법선(normal)은 주어진 개체에 수직인 개체이다(예: 직선, 반직선, 유클리드 벡터). 예를 들어, 주어진 점에서의 평면 곡선의 법선은 그 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직인 무한 직선이다.
법선 벡터는 특정 지점에서 주어진 개체에 수직인 벡터이다.
길이가 1인 단위 벡터를 단위 법선 벡터 또는 법선 방향이라고 한다. 곡률 벡터는 길이가 개체의 곡률인 법선 벡터이다.
법선 벡터에 을 곱하면 반대 벡터가 되며, 이는 측면(예: 내부 또는 외부)을 나타내는 데 사용될 수 있다.