shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
여기서 [Z], [R], [L] 및 [D]는 각각 n-메시 네트워크의 임피던스, 저항, 유도계수 및 일래스턴스의 nxn 행렬이고, s는 복소수 주파수 연산자 formula_3이다. 여기서 [R], [L] 및 [D]는 각각 기계 시스템의 운동 에너지, 위치 에너지 및 소산 열 에너지에 해당하는 에너지를 가지고 있으며, 역학에서 이미 알려진 결과가 여기에 적용될 수 있다. 카우어는 라그랑주 승수법으로 구동점 임피던스를 결정했다.
여기서 a11은 1포트가 연결될 요소 A11의 여수이다. 안정성 이론으로부터 카우어는 이상적인 변압기가 제외되지 않는 한 Zp(s)가 실현 가능하기 위해 [R], [L] 및 [D]가 모두 양의 정부호 행렬이어야 한다는 것을 발견했다. 실현 가능성은 그렇지 않으면 토폴로지의 실제적인 한계에 의해서만 제한된다. 이 작업은 오토 브루네(1931) 덕분이기도 하다. 그는 카우어가 독일로 돌아가기 전에 미국에서 카우어와 함께 일했다. 카우어(1929) 덕분에 알려진 1포트 유리 임피던스의 실현 가능성에 대한 조건은 우반평면(σ&gt;0)에서 해석적이며, 우반평면에서 양의 실수부를 갖고, 실수축에서 실수를 가져야 한다는 것이다. 이것은 이러한 함수의 푸아송 적분 표현에서 비롯된다. 브루네는 이 종류의 함수에 대해 양의 실수라는 용어를 만들었고, 이것이 필요충분조건임을 입증했으며(카우어는 필요성만 증명했다), 이 연구를 LC 멀티포트로 확장했다. 시드니 달링턴의 정리에 따르면, 모든 양의 실수 함수 Z(s)는 양의 저항 R로 종단된 무손실 2포트로 실현될 수 있다. 지정된 응답을 실현하기 위해 네트워크 내에 저항은 필요하지 않다.
등가성에 대해, 카우어는 실수 아핀 변환의 그룹이 다음과 같이 Zp(s)에서 불변이라는 것을 발견했다.
즉, 변환된 모든 네트워크는 원본의 등가물이다.
근사법.
네트워크 합성에서의 근사 문제는 임의로 설정된 한계 내에서 특정 주파수 함수에 근접하는 실현 가능한 네트워크를 생성하는 함수를 찾는 것이다. 이상적인 주파수 함수는 합리적인 네트워크로는 일반적으로 달성할 수 없으므로 근사 문제는 중요한 문제이다. 예를 들어, 이상적인 함수는 종종 통과 대역에서 달성 불가능한 무손실 전송, 정지 대역에서 무한 감쇠, 그리고 둘 사이의 수직 전환으로 간주된다. 그러나 이상적인 함수는 차수가 높을수록 이상에 점점 더 가까워지는 유리 함수로 근사화할 수 있다. 이 문제를 처음 해결한 사람은 그의 버터워스 다항식을 사용한 스티븐 버터워스 (1930)이었다. 독립적으로 카우어 (1931)는 처음에는 이미지 필터에 적용되었지만, 지금은 잘 알려진 이 필터의 사다리 구현에는 적용되지 않은 체비쇼프 다항식을 사용했다.
버터워스 필터.
버터워스 필터는 스티븐 버터워스(1930) 덕분에 중요한 필터 클래스이다. 이는 현재 카우어의 타원 필터의 특수한 경우로 인정받고 있다. 버터워스는 카우어의 연구와 독립적으로 이 필터를 발견했으며, 그의 버전에서는 각 섹션을 다음 섹션과 진공관 증폭기로 분리했다. 이는 필터 섹션이 서로 상호 작용할 수 없었고 각 섹션이 버터워스 다항식의 한 항을 나타내므로 부품 값 계산이 용이했다. 이것은 버터워스가 이미지 매개변수 이론에서 처음으로 벗어나고 활성 필터를 처음으로 설계한 공로를 인정받게 했다. 버터워스 필터는 나중에 증폭기 없이 사다리 토폴로지로 구현될 수 있음이 입증되었다. 아마도 이것을 처음으로 수행한 사람은 윌리엄 베넷(1932)일 것이다. 그는 현대적인 부품 값과 동일한 공식을 제시하는 특허를 받았다. 그러나 베넷은 이 단계에서는 여전히 인공 전송선으로 설계를 논의하고 있으며, 따라서 현재 네트워크 합성 설계로 간주되는 것을 생산했음에도 불구하고 이미지 매개변수 접근 방식을 채택하고 있다. 그는 또한 버터워스의 작업이나 그들 간의 연결을 알지 못하는 것으로 보인다.
삽입 손실 방법.
필터를 설계하는 삽입 손실 방법은 본질적으로 필터가 종단 간에 삽입될 때 신호의 감쇠로서 원하는 주파수 함수를 지정하는 것이다. 이는 이상적인 변압기를 통해 종단이 서로 연결되었을 때 받을 수 있었던 수준에 상대적이다. 이 이론의 버전은 시드니 달링턴, 빌헬름 카우어 및 기타 여러 연구자들이 다소 독립적으로 작업하여 개발되었으며, 종종 네트워크 합성의 동의어로 간주된다. 버터워스의 필터 구현은 이러한 용어로는 삽입 손실 필터이지만, 버터워스가 사용한 활성 증폭기가 각 단계가 개별적으로 저항 부하에 대해 작동하도록 보장했기 때문에 수학적으로는 비교적 사소한 것이다. 버터워스의 필터는 완전히 수동 부품으로 구현될 때 비사소한 예시가 된다. 삽입 손실 방법에 영향을 미친 이전의 필터는 노턴의 듀얼 밴드 필터였다. 여기서 두 필터의 입력은 병렬로 연결되고, 결합된 입력이 일정한 저항을 제시하도록 설계되었다. 노턴의 설계 방법과 카우어의 정규 LC 네트워크 및 달링턴의 정리(필터 본체에는 LC 구성 요소만 필요하다는 정리)는 삽입 손실 방법으로 이어졌다. 그러나 사다리 토폴로지는 카우어의 정규 형식보다 더 실용적인 것으로 입증되었다.
달링턴의 삽입 손실 방법은 노턴이 사용한 절차의 일반화이다. 노턴의 필터에서는 각 필터가 공통 끝에서 종료되지 않은 별도의 필터와 등가임을 보여줄 수 있다. 달링턴의 방법은 양쪽 끝에서 종료된 2포트 LC 네트워크의 더 간단하고 일반적인 경우에 적용된다. 이 절차는 다음 단계로 구성된다.
달링턴은 또한 이상적이지 않은 부품을 사용하더라도 모두 동일한 Q를 가진 필터의 응답을 예측한 헨드릭 보드가 발견한 변환을 추가로 사용했다. 달링턴은 이 변환을 역으로 사용하여 이상적이지 않은 부품으로 지정된 삽입 손실을 가진 필터를 생성했다. 이러한 필터는 이상적인 삽입 손실 응답과 모든 주파수에서 평탄한 감쇠를 가진다.
타원 필터.
타원 필터는 삽입 손실 방법으로 생성된 필터이며, 이상적인 필터 응답에 대한 근사치로 타원 유리 함수를 사용하여 전달 함수에 표현한다. 결과는 체비셰프 근사라고 불린다. 이것은 카우어가 이미지 필터에 사용한 체비셰프 근사 기법과 동일하지만, 달링턴 삽입 손실 설계 방법을 따르며 약간 다른 타원 함수를 사용한다. 카우어는 제2차 세계 대전 전에 달링턴 및 벨 연구소와 약간의 접촉이 있었다(한동안 그는 미국에서 일했다). 그러나 전쟁 중에는 독립적으로 작업했으며, 경우에 따라 동일한 발견을 하기도 했다. 카우어는 체비셰프 근사를 벨 연구소에 공개했지만 증명을 남기지는 않았다. 세르게이 알렉산더 셸쿠노프가 이를 증명하고 모든 동일 리플 문제로 일반화했다. 타원 필터는 여러 다른 중요한 클래스를 특수한 경우로 포함하는 일반적인 필터 클래스이다. 즉, 카우어 필터(통과 대역과 정지 대역 모두에서 동일한 리플), 체비셰프 필터(통과 대역에서만 리플), 역 체비셰프 필터(정지 대역에서만 리플), 버터워스 필터(어느 대역에서도 리플 없음)이다.
일반적으로 전송 영점과 무한 손실이 모두 복소수 주파수 평면의 실수 축에 있는 삽입 손실 필터(최소 부품 수를 위해 일반적으로 그렇다)의 경우 삽입 손실 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 F는 주파수의 짝수(결과적으로 반대칭 필터) 또는 홀수(결과적으로 대칭 필터) 함수이다. F의 영점은 영 손실에 해당하고 F의 극점은 전송 영점에 해당한다. J는 통과 대역 리플 높이와 정지 대역 손실을 설정하며, 이 두 설계 요구 사항은 서로 교환될 수 있다. F와 J의 영점과 극점은 임의로 설정할 수 있다. F의 특성이 필터 클래스를 결정한다.
카우어의 동일 리플 타원 필터와 같이 통과 대역과 정지 대역에서 동시에 체비셰프 응답이 가능하다.
달링턴은 뉴욕 시립 도서관에서 1829년 라틴어로 출판된 카를 자코비의 타원 함수 원본 논문을 발견했다고 회상한다. 이 논문에서 달링턴은 카우어의 이미지 매개변수와 달링턴의 삽입 손실 필터 모두에 대한 체비셰프 근사에 필요한 정확한 타원 함수 변환 접이식 표를 발견하고 놀랐다.
달링턴은 결합된 동조 회로의 토폴로지를 삽입 손실 방법과는 별도의 근사 기법으로 간주하지만, 명목상 평탄한 통과 대역과 높은 감쇠 정지 대역을 생성한다. 이러한 회로의 가장 일반적인 토폴로지는 직렬 커패시터, 드물게 인덕터, 또는 2단 필터의 경우 상호 인덕턴스로 결합된 션트 반공진기이다. 이들은 설계 요구 사항이 너무 엄격하지 않은 경우, 즉 적당한 대역폭, 롤오프 및 통과 대역 리플에 가장 유용하다.
기타 주요 개발 및 응용.
기계 필터.
에드워드 로리 노턴, 1930년경, 축음기 녹음기 및 재생기에 사용하기 위한 기계 필터를 설계했다. 노턴은 전기 도메인에서 필터를 설계한 다음 기계 양과 전기 양의 대응 관계를 사용하여 기계 부품으로 필터를 구현했다. 질량은 유도계수에, 뻣뻣함은 일래스턴스에, 감쇠는 저항에 해당한다. 필터는 최대 평탄 주파수 응답을 갖도록 설계되었다.
현대적인 설계에서는 특히 협대역 필터링 응용 분야에 수정 필터를 사용하는 것이 일반적이다. 신호는 결정 내부에 있는 동안 기계적 음향 파동으로 존재하며, 결정 단자에서 트랜스듀서를 통해 전기적 및 기계적 도메인 사이에서 변환된다.
분포정수회로 필터.
분포정수회로 필터는 파장의 상당한 부분 이상 길이의 전송선로로 구성된다. 최초의 비전기 필터는 모두 이 유형이었다. 예를 들어 윌리엄 허셜(1738~1822)은 다른 주파수는 통과시키지 않지만 일부 주파수는 감쇠시키는 길이가 다른 두 개의 튜브를 가진 장치를 제작했다. 조제프루이 라그랑주(1736~1813)는 주기적으로 무게가 실린 줄의 파동을 연구했다. 이 장치는 라그랑주나 나중에 찰스 고드프리와 같은 연구자들에 의해 필터로 연구되거나 사용된 적이 없다. 그러나 캠벨은 고드프리의 결과를 유추하여 자신의 가입자선에 필요한 가입자 코일 수를 계산했으며, 이 장치는 그의 전기 필터 개발로 이어졌다. 라그랑주, 고드프리, 캠벨은 모두 계산에서 장치의 분포적 특성을 무시하는 단순화된 가정을 했다. 결과적으로 그들의 모델은 모든 분포정수회로 필터의 특징인 다중 통과 대역을 보여주지 않았다. 분포정수회로 원리에 의해 진정으로 설계된 최초의 전기 필터는 1927년에 시작된 워런 P. 메이슨 덕분이다.
횡단 필터.
횡단 필터는 일반적으로 수동 구현과 관련이 없지만, 1935년 위너와 위크윙 리의 특허에서 올패스 필터 섹션 캐스케이드로 구성된 필터를 설명하는 개념을 찾을 수 있다. 다양한 섹션의 출력은 필요한 주파수 함수를 생성하는 데 필요한 비율로 합산된다. 이는 특정 주파수가 다른 섹션에서 역위상 또는 역위상에 가깝게 되어 추가될 때 상쇄되는 원리로 작동한다. 이것이 필터에 의해 거부되는 주파수이며, 매우 가파른 차단 특성을 가진 필터를 생성할 수 있다. 이 접근 방식은 즉각적인 응용을 찾지 못했으며, 수동 필터에서는 흔하지 않다. 그러나 이 원리는 텔레비전, 레이더 및 고속 데이터 전송과 같은 광대역 이산 시간 필터 응용을 위한 활성 지연선 구현으로 많은 응용 분야를 찾고 있다.
정합 필터.
정합 필터의 목적은 펄스 형태를 희생하면서 신호 대 잡음비 (S/N)를 최대화하는 것이다. 펄스 형태는 다른 많은 응용 분야와 달리 레이더에서는 중요하지 않지만, S/N은 성능의 주요 제약 사항이다. 이 필터는 제2차 세계 대전 중(1943년 설명) 드와이트 노스에 의해 도입되었으며, 종종 그의 이름을 따서 "노스 필터"라고 불린다.
제어 시스템용 필터.
제어 시스템은 피드백 루프에 스무딩 필터가 필요하며, 기계 시스템이 정해진 목표에 도달하는 속도를 최대화하고 동시에 오버슈트 및 잡음으로 인한 움직임을 최소화하는 기준이 필요하다. 여기서 핵심적인 문제는 잡음 배경에서 가우스 신호를 추출하는 것이다. 이 주제에 대한 초기 논문은 제2차 세계 대전 중 노버트 위너가 대공 사격 통제 아날로그 컴퓨터에 대한 특정 응용과 함께 출판했다. 루디 칼만(칼만 필터)은 나중에 이를 상태 공간 평활화 및 예측 관점에서 재구성했으며, 이는 선형 이차 가우스 제어 문제로 알려져 있다. 칼만은 상태 공간 솔루션에 대한 관심을 시작했지만, 달링턴에 따르면 이 접근 방식은 헤비사이드와 그 이전의 작업에서도 찾을 수 있다.
현대적 관행.
저주파에서 LC 필터는 다루기 어렵다. 부품, 특히 인덕터는 비싸고 부피가 크고 무거우며 이상적이지 않다. 실제적인 1 H 인덕터는 높은 투자율 코어에 많은 턴이 필요하며, 그 재료는 높은 손실과 안정성 문제(예: 큰 온도 계수)를 가질 것이다. 주전원 필터와 같은 응용 분야에서는 이러한 어려움을 감수해야 한다. 저수준, 저주파 응용 분야에서는 RC 필터가 가능하지만, 복소 극점 또는 영점을 가진 필터를 구현할 수는 없다. 응용 분야에 전력을 사용할 수 있다면 증폭기를 사용하여 복소 극점 및 영점을 가질 수 있는 RC 활성 필터를 만들 수 있다. 1950년대에는 살렌-키 활성 RC 필터가 진공관 증폭기로 만들어졌으며, 이러한 필터는 부피가 큰 인덕터를 부피가 크고 뜨거운 진공관으로 대체했다. 트랜지스터는 더 전력 효율적인 활성 필터 설계를 제공했다. 나중에 저렴한 연산 증폭기는 다른 활성 RC 필터 설계 토폴로지를 가능하게 했다. 활성 필터 설계는 저주파에서 일반적이었지만, 증폭기가 이상적이지 않은 고주파에서는 비실용적이었다. LC(및 전송선로) 필터는 여전히 무선 주파수에서 사용되었다.
점차적으로 저주파 활성 RC 필터는 연속 시간 도메인 대신 이산 시간 도메인에서 작동하는 스위치드 커패시터 필터로 대체되었다. 이러한 모든 필터 기술은 고성능 필터링을 위해 정밀 부품을 요구하며, 이는 종종 필터 튜닝을 요구한다. 조정 가능한 부품은 비싸고 튜닝 작업에 상당한 노동력이 소요될 수 있다. 7차 타원 필터의 극점과 영점을 튜닝하는 것은 간단한 작업이 아니다. 집적 회로는 디지털 연산을 저렴하게 만들었으므로 이제 저주파 필터링은 디지털 신호 처리기로 수행된다. 이러한 디지털 필터는 초정밀(및 안정적인) 값을 구현하는 데 문제가 없으므로 튜닝이나 조정이 필요 없다. 디지털 필터는 또한 개별 필터 섹션을 서로 차폐하고 불필요한 결합 경로에 대해 걱정할 필요가 없다. 단점은 디지털 신호 처리가 동등한 LC 필터보다 훨씬 많은 전력을 소비할 수 있다는 것이다. 저렴한 디지털 기술은 필터의 아날로그 구현을 대부분 대체했다. 그러나 주파수의 정교한 기능이 필요하지 않은 커플링과 같은 간단한 응용 분야에서는 여전히 가끔 자리를 차지하고 있다. 수동 필터는 마이크로파 주파수에서 여전히 선호되는 기술이다.
구텐베르크(Guttenberg)는 독일 바이에른주 쿨름바흐 지구에 있는 게마인데이다. 이 마을은 중세 시대부터 이 지역과 연관되어 왔으며 여전히 이 지역 대부분의 토지를 소유하고 있는 구텐베르크 가문과 밀접하게 관련되어 있다.
이 자치체의 랜드마크는 구텐베르크 가문의 거처인 이다.
이 자치체의 문장은 구텐베르크 가문의 문장에서 유래되었다.
구텐베르크는 다음 이웃 지역으로 구성되어 있다:
콜피츠 발진기(Colpitts oscillator)는 1918년 캐나다계 미국인 엔지니어 에드윈 H. 콜피츠가 진공관을 사용하여 발명한 것으로 특정 주파수에서 진동을 생성하기 위해 유도자 (L)와 축전기 (C)의 조합을 사용하는 LC 발진기, 즉 전자 발진기 설계 중 하나이다. 콜피츠 발진기의 특징은 능동 소자에 대한 피드백이 유도자에 걸쳐 직렬로 연결된 두 개의 축전기로 구성된 전압 분배기에서 얻어진다는 것이다.
콜피츠 회로는 다른 LC 발진기와 마찬가지로 병렬 LC 회로(동조 회로)를 포함하는 피드백 루프로 출력단이 입력단에 연결된 증폭 소자(양극성 접합 트랜지스터, 전계 효과 트랜지스터, 연산 증폭기, 또는 진공관 등)로 구성되어 있으며, 이는 대역 통과 필터로서 작용하여 발진 주파수를 설정한다. 증폭기는 서로 다른 입력 및 출력 임피던스를 가지며, LC 회로를 과도하게 감쇠시키지 않으면서 여기에 연결되어야 한다.
콜피츠 발진기는 두 개의 축전기를 사용하여 LC 회로 안팎으로 에너지를 결합하기 위한 전압 분할을 제공한다. (이는 피드백 신호가 직렬로 연결된 두 개의 코일(또는 탭 코일)로 구성된 "유도성" 전압 분할기에서 얻어지는 하틀리 발진기의 전기적 쌍대회로로 간주될 수 있다.) 그림 1은 공통 베이스 콜피츠 회로를 보여준다. 유도자 L과 C1 및 C2의 직렬 조합은 발진기의 주파수를 결정하는 공진 탱크 회로를 형성한다. C2 양단의 전압은 트랜지스터의 베이스-이미터 접합부에 인가되어 발진을 생성하기 위한 피드백으로 작용한다. 그림 2는 공통 컬렉터 버전을 보여준다. 여기서는 C1 양단의 전압이 피드백을 제공한다. 발진 주파수는 LC 회로의 공진 주파수와 거의 같으며, 이는 유도자와 병렬로 연결된 두 축전기의 직렬 조합이다.
실제 발진 주파수는 접합 용량 및 트랜지스터의 저항성 부하로 인해 약간 낮아진다.
다른 발진기와 마찬가지로 능동 소자의 증폭은 안정적인 동작을 얻기 위해 공진기 손실과 전압 분할 감쇠보다 약간 더 커야 한다. 따라서 가변 주파수 발진기(VFO)로 사용되는 콜피츠 발진기는 두 축전기 중 하나만을 동조하는 것과 달리 가변 유도자를 사용하여 동조할 때 가장 잘 작동한다. 가변 축전기를 통한 동조가 필요한 경우, 유도자에 병렬로 연결된 세 번째 축전기(클랩 발진기와 같이 직렬로 연결할 수도 있다)를 사용하여 수행해야 한다.
그림 3은 부품 값이 포함된 예시를 보여준다. 전계 효과 트랜지스터 대신 원하는 주파수에서 이득을 생성할 수 있는 양극성 접합 트랜지스터 또는 진공관과 같은 다른 능동 부품을 사용할 수 있다.
공통 게이트 증폭기는 낮은 입력 임피던스와 높은 출력 임피던스를 갖는다. 따라서 증폭기 입력단인 소스는 LC 회로 L1, C1, C2, C3의 낮은 임피던스 탭에 연결되고, 증폭기 출력단인 드레인은 LC 회로의 높은 임피던스 상단에 연결된다. 저항 R1은 발진 없이 드레인 전류 0.5mA에서 동작점을 설정한다. 출력은 낮은 임피던스 탭에 있으며 일부 부하를 구동할 수 있다. 그럼에도 불구하고 이 회로는 낮은 고조파 디스토션을 갖는다. J1의 드레인과 접지 사이에 추가 가변 축전기를 통해 회로의 주파수를 변경할 수 있다. 부하 저항 RL은 시뮬레이션의 일부이며 회로의 일부가 아니다.
발진기 분석의 한 가지 방법은 반응성 부품을 무시하고 입력 포트의 입력 임피던스를 결정하는 것이다. 임피던스가 부정적인 저항 항을 생성하면 발진이 가능하다. 이 방법은 발진 조건과 발진 주파수를 결정하는 데 사용된다.
오른쪽에 이상적인 모델이 나와 있다. 이 구성은 위의 섹션에 있는 공통 컬렉터 회로를 모델링한다. 초기 분석을 위해 기생 요소와 장치의 비선형성은 무시한다. 이러한 항은 나중에 보다 엄격한 분석에 포함될 수 있다. 이러한 근사치에도 불구하고 실험 결과와 허용 가능한 비교가 가능하다.
인덕터를 무시하면 베이스의 입력 임피던스는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 formula_3은 입력 전압이고 formula_4은 입력 전류이다. 전압 formula_5는 다음과 같다.
여기서 formula_7는 formula_8의 임피던스이다. formula_8로 흐르는 전류는 formula_10이며, 이는 두 전류의 합이다.
여기서 formula_12는 트랜지스터에서 공급되는 전류이다. formula_12는 다음과 같이 주어진 종속 전류원이다.
여기서 formula_15은 트랜지스터의 트랜스컨덕턴스이다. 입력 전류 formula_4은 다음과 같다.
여기서 formula_18은 formula_19의 임피던스이다. formula_5에 대해 풀고 위 식에 대입하면 다음과 같다.
입력 임피던스는 formula_22 항이 있는 직렬 연결된 두 개의 축전기로 나타나며, 이는 두 임피던스의 곱에 비례한다.
만약 formula_18과 formula_7가 복소수이고 부호가 같다면, formula_22은 부정적인 저항이 될 것이다. formula_18과 formula_7에 대한 임피던스를 대입하면 formula_22은 다음과 같다.
인덕터가 입력에 연결되면, 부정적인 저항의 크기가 인덕터 및 기타 표류 요소의 저항보다 크면 회로가 발진한다. 발진 주파수는 이전 섹션에서 주어진 것과 같다.
위의 예시 발진기에서 에미터 전류는 약 1 mA이다. 트랜스컨덕턴스는 약 40 mS이다. 다른 모든 값이 주어지면 입력 저항은 대략 다음과 같다.
이 값은 회로의 모든 양의 저항을 극복하기에 충분해야 한다. 육안으로 검사했을 때, 발진은 더 큰 트랜스컨덕턴스 값과 더 작은 축전기 값에 대해 더 가능성이 높다. 공통 베이스 발진기에 대한 더 복잡한 분석은 발진을 달성하기 위해 저주파 증폭기 전압 이득이 최소 4여야 함을 보여준다. 저주파 이득은 다음과 같다.
두 개의 축전기를 인덕터로 대체하고 자기 결합을 무시하면 회로는 하틀리 발진기가 된다. 이 경우 입력 임피던스는 두 개의 인덕터와 다음과 같은 부정적인 저항의 합이다.
하틀리 회로에서는 더 큰 트랜스컨덕턴스 값과 더 큰 인덕턴스 값에 대해 발진이 더 가능성이 높다.
위의 분석은 피어스 발진기의 동작도 설명한다. 두 개의 축전기와 하나의 인덕터가 있는 피어스 발진기는 콜피츠 발진기와 동일하다. 동등성은 두 축전기의 접합부를 접지점으로 선택함으로써 보여줄 수 있다. 두 개의 인덕터와 하나의 축전기를 사용하는 표준 피어스 발진기의 전기적 쌍대회로는 하틀리 발진기와 동일하다.
콜피츠 발진기는 일반적으로 무선 주파수 범위에서 사인파형을 생성하는 전자 회로이다. 공진 탱크 회로를 형성하기 위해 인덕터와 두 개의 축전기를 병렬로 사용하여 발진 주파수를 결정한다. 탱크 회로의 출력 신호는 증폭기의 입력으로 피드백되어 증폭되어 탱크 회로로 다시 공급된다. 피드백 신호는 지속적인 발진에 필요한 위상 편이를 제공한다.
콜피츠 발진기의 작동 원리는 다음과 같이 설명할 수 있다.
콜피츠 발진기는 RF 통신 시스템, 신호 발생기 및 전자 테스트 장비와 같은 다양한 응용 분야에서 널리 사용된다. 탱크 회로에서 탭 축전기 대신 탭 인덕터를 사용하는 하틀리 발진기보다 더 나은 주파수 안정성을 갖는다. 그러나 콜피츠 발진기는 하틀리 발진기보다 더 높은 공급 전압과 더 큰 커플링 축전기를 요구할 수 있다.
발진 진폭.
발진 진폭은 일반적으로 예측하기 어렵지만, 기술 함수 방법을 사용하여 종종 정확하게 추정할 수 있다.
그림 1의 공통 베이스 발진기에 대해 이 접근 방식을 단순화된 모델에 적용하면 다음으로 주어진 출력(컬렉터) 전압 진폭을 예측한다.
여기서 formula_60는 바이어스 전류이고, formula_61은 컬렉터의 부하 저항이다.
이것은 트랜지스터가 포화되지 않고, 컬렉터 전류가 좁은 펄스로 흐르며, 출력 전압이 사인파형(낮은 왜곡)이라고 가정한다.
이 근사 결과는 MOSFET 및 진공관과 같은 다른 능동 소자를 사용하는 발진기에도 적용된다.
펠(Pähl)은 독일 바이에른주 바일하임-숑가우 지구에 위치한 지방 자치 단체이다. 뮌헨 남서쪽의 아머시 호수에 위치해 있다.
반도체 전자공학에서 데너드 스케일링(Dennard scaling) 또는 MOSFET 스케일링이라고도 알려져 있으며, 이는 스케일링 법칙으로, 트랜지스터가 작아짐에 따라 전력 밀도가 일정하게 유지되어 전력 사용량이 면적에 비례하게 된다는 것을 대략적으로 설명한다. 이 때 전압과 전류는 모두 길이(아래로)에 따라 스케일링된다. 원래 MOSFET에 대해 공식화된 이 법칙은 1974년 로버트 H. 데나드가 공동 저술한 논문을 기반으로 하며, 그의 이름을 따서 명명되었다.
긴 MOS 트랜지스터(즉, 한쪽이 다른 두 변보다 훨씬 긴 트랜지스터)의 경우, MOS 내에서 전기장이 일정하게 유지될 때 데너드 스케일링은 다음을 제공한다.
여기서 매개변수는 의 인자로 스케일링된다.
기호 설명:
고정 전압 스케일링에서 공급 전압 formula_15는 스케일링되는 대신(약 5V에서) 와 같이 일정하게 유지된다. 이로 인해 스케일링 지수가 달라진다. 클록 주파수는 formula_21 대신 formula_22에서 더 빠르게 증가하지만, 전력 밀도가 로 급격히 증가하는 대가를 치른다.
고정 전압 스케일링은 칩을 냉각하기 너무 어려워진 2005년경 "전력 장벽"에서 끝난 일반적인 스케일링 방식이었다. 또한 일정 공급 전압에서는 필드가 와 같이 증가하고, 오프 전류는 필드에 따라 지수적으로 증가하여 90nm 노드 이후 높은 정적 전력 소비를 초래했다.
데나드의 MOSFET 스케일링 모델은 각 기술 세대마다 다음을 의미한다.
무어의 법칙 및 컴퓨팅 성능과의 관계.
무어의 법칙은 마이크로칩의 트랜지스터 수가 약 2년마다 두 배가 된다고 말한다. 데나드 스케일링과 결합하면 전성비는 더욱 빠르게 성장하여 약 18개월(1.5년)마다 두 배가 된다. 이러한 추세는 때때로 쿠미의 법칙이라고도 불린다. 원래 쿠미는 두 배가 되는 속도가 1.57년이라고 제안했지만, 최근 추정치는 이것이 둔화되고 있음을 시사한다.
2006년경 데나드 스케일링의 붕괴.
CMOS 회로의 동적(스위칭) 전력 소비는 주파수에 비례한다. 역사적으로 데나드 스케일링이 제공한 트랜지스터 전력 감소는 제조업체가 전체 회로 전력 소비를 크게 늘리지 않고도 한 세대에서 다음 세대로 클럭 주파수를 크게 높일 수 있도록 했다.
특히 누설 전류와 임계 전압은 크기에 따라 스케일링되지 않으므로 전력 밀도는 스케일링과 함께 증가한다. 이로 인해 결국 너무 높은 전력 밀도가 발생했다. 이것이 "전력 장벽"이며, 이로 인해 인텔은 2004년에 테자스 및 제이호크 프로젝트를 취소했다.
2005년에서 2007년경부터 데나드 스케일링이 붕괴된 것으로 보인다. 2016년 현재 통합 회로의 트랜지스터 수는 여전히 증가하고 있지만, 그 결과로 인한 성능 향상은 상당한 주파수 증가로 인한 속도 향상보다 더 점진적이다. 붕괴의 주요 원인으로 지적되는 것은 작은 크기에서는 전류 누설이 더 큰 문제를 야기하고 칩을 가열시켜 열폭주의 위협을 만들며, 따라서 에너지 비용을 더욱 증가시킨다는 것이다. 2005년 이후 클럭 주파수는 4GHz에서 정체되었고, CPU당 전력 소비는 TDP 100W에 정체되었다.
데나드 스케일링의 붕괴와 그 결과로 인한 클럭 주파수 증가 불능은 대부분의 CPU 제조업체가 성능 향상의 대안으로 멀티코어 프로세서에 집중하게 만들었다. 코어 수 증가는 많은 (전부는 아니지만 – 암달의 법칙 참조) 워크로드에 도움이 되지만, 여러 코어를 갖는 것에서 발생하는 활성 스위칭 요소의 증가는 여전히 전체 전력 소비를 증가시키고 따라서 CPU 전력 손실 문제를 악화시킨다. 최종 결과는 통합 회로의 일부만이 전력 제약 조건을 위반하지 않고 주어진 시점에 실제로 활성화될 수 있다는 것이다. 나머지 (비활성) 영역은 다크 실리콘이라고 불린다.
타원 필터, 엘립틱 필터(Elliptic filter, 빌헬름 카우어의 이름을 딴 카우어 필터, 또는 예고르 졸로타레프의 이름을 딴 졸로타레프 필터)는 통과 대역과 차단 대역 모두에서 동일한 리플 (등리플) 특성을 갖는 신호 처리 필터이다. 각 대역의 리플 양은 독립적으로 조정 가능하며, 주어진 리플 값(리플이 균등화되었든 아니든)에 대해 동일 차수의 다른 어떤 필터도 이득의 통과 대역과 차단 대역 사이에서 더 빠른 천이를 가질 수 없다. 또는 통과 대역과 차단 대역 리플을 독립적으로 조정하는 기능을 포기하고 대신 부품 변동에 대해 최대 감도가 낮은 필터를 설계할 수 있다.
차단 대역의 리플이 0에 가까워지면 필터는 타입 I 체비쇼프 필터가 된다. 통과 대역의 리플이 0에 가까워지면 필터는 타입 II 체비쇼프 필터가 되고, 마침내 두 리플 값이 모두 0에 가까워지면 필터는 버터워스 필터가 된다.
각주파수 ω의 함수로서 저역 통과 타원 필터의 이득은 다음과 같다.
여기서 Rn은 n차 타원 유리 함수 (때로는 체비쇼프 유리 함수라고도 함)이며,
리플 인자의 값은 통과 대역 리플을 지정하고, 리플 인자와 선택성 인자의 조합은 차단 대역 리플을 지정한다.
극점 및 영점.
타원 필터 이득의 영점은 타원 유리 함수에 대한 문서에 파생된 타원 유리 함수의 극점과 일치한다.
타원 필터 이득의 극점은 타입 I 체비쇼프 필터 이득 극점의 파생과 매우 유사한 방식으로 파생될 수 있다. 간단히 하기 위해 차단 주파수가 1이라고 가정하자. 타원 필터 이득의 극점 formula_20는 이득 분모의 영점이 된다. 복소 주파수 formula_21를 사용하면 이는 다음을 의미한다.
-js=formula_23를 정의하고 여기서 cd()는 야코비 타원 코사인 함수이며 타원 유리 함수의 정의를 사용한다.
여기서 formula_25이고 formula_26이다. w에 대해 풀면
여기서 역 cd() 함수의 여러 값은 정수 인덱스 m을 사용하여 명시적으로 표시된다.
타원 이득 함수의 극점은 다음과 같다.
체비쇼프 다항식의 경우와 마찬가지로 에 명시적으로 복소수 형태로 표현할 수 있다.
여기서 formula_33는 formula_34 및 formula_4의 함수이고 formula_36은 타원 유리 함수의 영점이다. formula_33는 모든 n에 대해 야코비 타원 함수로 표현하거나 일부 차수, 특히 1차, 2차, 3차에 대해 대수적으로 표현할 수 있다. 1차와 2차에 대해 다음과 같다.
formula_41에 대한 대수적 표현은 다소 복잡하다 ( 참조).
타원 유리 함수의 중첩 속성을 사용하여 formula_33의 고차 표현을 구성할 수 있다.
여기서 formula_44이다.
최소한의 필수 요소 수를 사용하여 타원 필터를 설계하려면 타원 적분을 사용하여 타원 필터의 최소 차수를 다음과 같이 계산할 수 있다. 방정식은 표준 저역 통과 타원 필터만 설명한다. 짝수 차수 수정은 방정식이 설명하지 않는 오류를 유발한다.
다음 표현식을 사용하여 타원 적분 계산을 제거할 수 있다.
formula_47 및 formula_48는 통과 대역 리플 주파수와 최대 리플 감쇠(dB 단위)
formula_49 및 formula_50는 차단 대역 주파수와 최소 차단 대역 감쇠(dB 단위)
formula_51은 최소 극점 수, 필터 차수이다.
ceil[]은 다음 정수로 올림 함수이다.
최소 Q-인자 타원 필터.
를 참조하라.
타원 필터는 일반적으로 통과 대역 리플, 차단 대역 리플 및 차단의 가파름에 대한 특정 값을 요구함으로써 지정된다. 이것은 일반적으로 사용해야 하는 필터 차수의 최소값을 지정한다. 또 다른 설계 고려 사항은 필터를 만드는 데 사용되는 전자 부품 값에 대한 이득 함수의 감도이다. 이 감도는 필터 전달 함수의 극점의 품질 인자(Q-인자)에 반비례한다. 극점의 Q-인자는 다음과 같이 정의된다.
그리고 이득 함수에 대한 극점의 영향을 측정한다. 타원 필터의 경우, 주어진 차수에 대해 전달 함수의 모든 극점의 Q-인자를 동시에 최소화하는 리플 인자와 선택성 인자 사이의 관계가 존재한다.
이것은 부품 변동에 대한 감도가 최대화된 필터를 생성하지만, 통과 대역 및 차단 대역 리플을 독립적으로 지정하는 능력은 상실된다. 이러한 필터의 경우 차수가 증가함에 따라 두 대역 모두의 리플은 감소하고 차단율은 증가한다. 최소 Q 타원 필터를 사용하여 필터 대역의 특정 최소 리플과 특정 차단율을 달성하기로 결정한 경우 필요한 차수는 일반적으로 최소 Q 제한이 없는 경우 필요한 차수보다 클 것이다. 이득의 절대값 이미지는 이전 섹션의 이미지와 매우 유사하게 보일 것이지만, 극점은 타원이 아닌 원형으로 배열된다. 극점은 고르게 분포되지 않고 ω 축에 영점이 있을 것이며, 극점이 고르게 분포된 원형으로 배열되고 영점이 없는 버터워스 필터와는 다르다.
다음은 동일한 개수의 계수를 사용하여 얻은 다른 일반적인 필터 유형과 함께 타원 필터를 보여주는 이미지이다.
이미지에서 명확하게 볼 수 있듯이 타원 필터는 다른 모든 필터보다 더 가파르지만, 전체 대역폭에서 리플을 보인다.
체비쇼프 전송 영점으로부터의 구성.
타원 필터 차단 대역은 본질적으로 전송 영점을 갖는 체비쇼프 필터이며, 여기서 전송 영점은 등리플 차단 대역을 생성하는 방식으로 배열된다. 이를 감안할 때, 분자에 체비쇼프 반사 영점을 포함하고 분모에 전송 영점이 없는 체비쇼프 필터 특성 방정식 formula_54를, 타원 반사 영점을 분자에 포함하고 타원 전송 영점을 분모에 포함하는 타원 필터 formula_54로 변환하는 것이 가능하다. 이는 체비쇼프 반사 영점의 스케일링된 역으로부터 반복적으로 전송 영점을 생성하고, 전송 영점으로부터 등리플 체비쇼프 통과 대역을 다시 설정하고, 반복이 formula_54에 더 이상의 유의미한 변화를 생성하지 않을 때까지 반복함으로써 수행된다. 사용된 스케일링 인자 formula_57는 차단 대역과 통과 대역 차단 주파수의 비율이며 "선택성 인자"의 역으로도 알려져 있다. 타원 설계는 일반적으로 차단 대역 감쇠 요구 사항으로부터 지정되므로, formula_57는 위의 최소 차수 n을 설정하는 방정식으로부터 파생될 수 있다.
formula_59 비율인 formula_57는 위의 최소 차수 n 문제를 n에서 formula_57를 찾기 위해 역으로 작업하여 파생될 수 있다.
formula_57 및 감쇠 요구 사항으로부터 계산된 특성 다항식 formula_54는 고전적 변환 formula_65을 사용하여 전달 함수 다항식 formula_66로 변환될 수 있으며, 여기서 formula_67이고 formula_68는 통과 대역 리플이다.
0부터 1 rad/sec까지 1 dB 통과 대역 리플과 최소 1.25 rad/sec부터 formula_69까지 40 dB 차단 대역 리플을 갖는 타원 필터를 설계하라.
ceil() 함수를 적용하기 전에 n의 값을 계산하면 n은 4.83721900으로 계산되고 ceil() 함수를 적용하여 다음 정수인 5로 올림된다. 이는 지정된 설계 요구 사항을 충족하기 위해 5극 타원 필터가 필요하다는 것을 의미한다. 정확히 40 dB 감쇠의 차단 대역을 설계하는 데 필요한 formula_57 값을 계산하면 formula_57는 1.2186824로 계산된다.
다항식 스케일된 역함수는 각 근 s를 formula_72로 변환함으로써 수행될 수 있으며, 이는 다음과 같이 다항식을 반전하고 formula_57로 스케일링함으로써 쉽게 수행될 수 있다.
타원 설계 단계는 다음과 같다.
단계를 설명하기 위해 아래 K(s) 방정식은 표준 체비쇼프 K(s)로 시작한 다음 프로세스를 반복한다. 처음 세 번의 반복에서 눈에 띄는 차이가 보인다. 18번의 반복에 도달할 때까지 K(s)의 차이는 무시할 수 있게 된다. K(s) 계수의 변화가 설계 정확도 요구 사항을 충족할 만큼 충분히 작아지면 반복을 중단할 수 있다. 아래 K(s) 반복은 모두 formula_76로 정규화되었지만, 필요에 따라 마지막 반복까지 이 단계를 연기할 수 있다.
formula_66 전달 함수를 찾으려면 다음을 수행한다.
왼쪽 절반 평면에서 formula_66를 얻으려면 근 찾기 알고리즘을 사용하여 분자와 분모를 인수분해하여 근을 얻는다. 분모의 오른쪽 절반 평면에 있는 모든 근, 분자의 반복되는 근의 절반을 버리고 나머지 근으로 formula_66를 다시 구성한다. 일반적으로 formula_82에서 formula_83를 1로 정규화한다.
예제 formula_66가 올바른지 확인하기 위해 formula_86를 따라 formula_66의 플롯이 1 dB 통과 대역 리플, 1 rad/sec 차단 주파수, 1.21868 rad/sec에서 시작하는 40 dB 차단 대역 감쇠와 함께 아래에 표시된다.
짝수 차수 타원 필터는 수동 요소(일반적으로 인덕터, 커패시터 및 전송선)로 구현되고 각 측면에 동일한 값이 있는 종료 장치를 사용하는 경우 결합 코일을 사용하지 않고는 기존의 타원 전달 함수로 구현할 수 없다. 이는 산란 행렬 S12 값이 formula_88에서의 S12 값을 초과하고 formula_89에서 유한한 S12 값이 존재하는 결과를 가져오는 짝수 차수 체비쇼프 반사 영점 및 전송 영점을 수용할 수 없는 물리적 한계 때문이다. 통과 대역 S12를 수용하기 위해 종료 장치 중 하나를 증가시키거나 감소시켜 필터를 설계하는 것이 불가능한 경우, 타원 전달 함수는 통과 대역 및 차단 대역의 등리플 응답을 유지하면서 가장 낮은 짝수 차수 반사 영점을 formula_88으로, 가장 높은 짝수 차수 전송 영점을 formula_69으로 이동하도록 수정해야 한다.
필요한 수정에는 타원 전달 함수의 각 극점과 영점을 매핑하는 방식이 포함되며, 이는 가장 낮은 주파수 반사 영점을 0으로, 가장 높은 주파수 전송 영점을 formula_69으로 매핑하고, 등리플 통과 대역 및 차단 대역을 유지하기 위해 나머지 극점과 영점을 필요한 대로 매핑한다. 가장 낮은 주파수 반사 영점은 formula_54 분자를 인수분해하여 찾을 수 있고, 가장 높은 주파수 전송 영점은 formula_54 분모를 인수분해하여 찾을 수 있다.
반사 영점을 변환하기 위해 다음 방정식이 formula_54의 모든 극점과 영점에 적용된다. 이론적으로 변환 연산은 formula_54 또는 formula_66 중 하나에서 수행될 수 있지만, 반사 영점은 formula_54에서 추출되어야 하므로 일반적으로 formula_54에서 변환 연산을 수행하는 것이 더 효율적이다.
formula_101는 원래 타원 함수 영점 또는 극점
formula_102는 수정된 짝수 차수 전달 함수에 대한 매핑된 영점 또는 극점
formula_103는 통과 대역에서 가장 낮은 주파수 반사 영점
formula_102의 허수 성분 부호는 원래 formula_101의 부호에 의해 결정된다.
전송 영점을 변환하기 위해 다음 방정식이 formula_54의 모든 극점과 영점에 적용된다. 이론적으로 변환 연산은 formula_54 또는 formula_66 중 하나에서 수행될 수 있지만, 반사 영점이 formula_54에서 추출되어야 하는 경우 formula_54에서 변환 연산을 수행하는 것이 더 효율적일 수 있다.
formula_114는 통과 대역에서 가장 높은 주파수 전송 영점
formula_102의 허수 성분 부호는 원래 formula_101의 부호에 의해 결정된다. formula_66에서 작업하는 경우 formula_102의 실수 성분 부호는 왼쪽 절반 평면 요구 사항을 충족하기 위해 음수여야 한다.
모든 응용 프로그램은 통과 및 정지 변환이 모두 필요하다는 점에 유의하는 것이 중요하다. 예를 들어, 수동 네트워크 딥렉서는 짝수 차수 정지 대역 변환만 필요하며 변환되지 않은 짝수 차수 통과 대역으로 더 효율적으로 작동한다.
formula_66가 완료되면 formula_88에서 S12의 산란 행렬 값이 1이고 formula_89에서 0인 등리플 전달 함수가 생성되어 수동적으로 동일하게 종료된 네트워크로 구현될 수 있다.
아래 그림은 가장 낮은 주파수 반사 영점을 유한 주파수에서 0으로, 가장 높은 주파수 전송 영점을 formula_69로 재배치하여 통과 대역 및 차단 대역 주파수 응답의 등리플을 유지하면서 짝수 차수 동일 종료 수동 네트워크를 지원하도록 수정된 8차 타원 필터를 보여준다.
위의 타원 구성 단락의 formula_57 및 차수 계산은 수정되지 않은 타원 필터 전용이다. 짝수 차수 수정은 통과 대역 또는 차단 대역 감쇠에 영향을 미치지 않지만, 차수 및 formula_57 계산에서 약간의 오류가 예상된다. 따라서 통과 대역 및 차단 대역 감쇠를 보존하려면 모든 formula_54 반복이 완료된 후 짝수 차수 수정을 적용하는 것이 중요하다. 짝수 차수 수정된 타원 함수가 formula_57 요구 사항에서 생성된 경우 실제 formula_57는 설계 formula_57보다 약간 클 것이다. 마찬가지로 차수 n 계산은 실제 필요한 차수보다 작은 값을 초래할 수 있다.
아워글라스 구현.
아워글라스 필터는 3.01 dB 정규화된 차단 감쇠 주파수 1 rad/sec에 대해 반사 영점이 전송 영점의 역수인 특별한 경우의 필터이며, 이로 인해 필터의 모든 극점이 단위 원상에 존재한다. 타원 아워글라스 구현은 통과 대역이 더 평탄하다는 점에서 역 체비쇼프 필터보다 장점이 있으며, 군지연이 차단 주파수에서 덜 날카로운 피크를 갖는다는 점에서 기존 타원 필터보다 장점이 있다.
아워글라스 필터를 합성하는 가장 간단한 방법은 지정된 설계 차단 대역 감쇠 As와 손실이 없는 사단자 회로망 요구 사항인 산란 파라미터 formula_129을 충족하는 계산된 통과 대역 감쇠로 타원 필터를 설계하는 것이다. 잘 알려진 dB 크기에서 산술 변환 formula_130과 함께 대수 조작은 다음 통과 대역 감쇠 계산 요구 사항을 제공한다.
위에 정의된 Ap는 아직 알려지지 않은 3.01 dB 차단 주파수에 대해 역 반사 및 전송 영점을 생성한다. 1 rad/sec의 통과 대역 주파수로 타원 필터를 설계하려면 3.01 dB 감쇠 주파수를 결정해야 하며 그 주파수를 사용하여 타원 설계 다항식을 역으로 스케일링해야 한다. 결과는 정규화된 주파수 1 rad/sec에서 3.01 dB 감쇠를 갖는 다항식이 될 것이다. 뉴턴 방법 또는 근 찾기 알고리즘으로 방정식을 직접 해결하여 3.01 dB 감쇠 주파수를 결정할 수 있다.
뉴턴 방법을 사용한 주파수 스케일링.
formula_66가 3.01 dB 주파수를 찾는 아워글라스 전달 함수이고 formula_133가 찾는 3 dB 주파수인 경우, formula_133를 찾는 데 아래 단계를 사용할 수 있다.
1)부터 4)까지의 단계가 완료되면 뉴턴 방법을 포함하는 표현식을 다음과 같이 작성할 수 있다.
복소수 산술이 필요 없이 formula_146에 실수 값을 사용한다. 반복 초기에는 formula_146가 음수로 가는 것을 방지하기 위해 formula_146의 이동을 제한하여 신뢰도를 높여야 한다. 수렴이 완료되면 formula_146를 원래 formula_66 전달 함수 분모를 스케일링하는 데 사용할 수 있는 formula_133로 사용할 수 있다. 수정된 formula_66의 감쇠는 1 rad/sec에서 거의 정확하게 원하는 값이 된다. 제대로 수행되면 소수 및 매우 큰 차수의 필터 모두에 대해 넓은 범위의 원하는 감쇠 값에 대한 감쇠를 설정하는 데 몇 번의 반복만 필요하다.
근 찾기를 사용한 주파수 스케일링.
formula_163는 어떤 위상 정보도 포함하지 않으므로 전달 함수를 직접 인수분해해도 사용할 수 있는 결과가 나오지 않는다. 그러나 전달 함수는 formula_137를 곱하여 수정될 수 있으며, 이는 formula_165의 모든 홀수 차수를 제거하고, 결과적으로 formula_165가 모든 주파수에서 실수가 되도록 하고, 그 다음 원하는 주의 제곱을 야기하는 주파수를 찾는다.
전달 함수 스케일링.
formula_133가 결정되면 아워글라스 전달 함수 다항식을 다음과 같이 스케일링할 수 있다.
짝수 차수 아워글라스 필터는 다른 타원 필터와 동일하게 동일하게 종료된 수동 네트워크에 대한 제한 사항이 있다. 타원 필터 문제를 해결하는 동일한 짝수 차수 수정은 아워글라스 필터 문제도 해결한다.
집중 상수 모델 또는 집중 요소 모델(lumped-element model, lumped-parameter model 또는 lumped-component model)은 물리 시스템이나 회로의 단순화된 표현으로, 모든 구성 요소가 한 점에 집중되어 있고 이들의 행동을 이상화된 수학적 모델로 설명할 수 있다고 가정한다. 집중 상수 모델은 시스템 또는 회로 행동 설명을 토폴로지로 단순화한다. 이는 전기 회로 시스템(일렉트로닉스 포함), 기계적 다물체 시스템, 열전달, 음향학 등에 유용하다. 이는 행동이 공간적으로 분포되어 있어 개별적인 개체로 국소화될 수 없는 분포 매개변수 시스템 또는 모델과는 대조적이다.
이 단순화는 시스템의 상태 공간을 유한한 차원으로 줄이고, 물리 시스템의 연속적인(무한 차원) 시간 및 공간 모델의 편미분 방정식(PDE)을 유한한 수의 매개변수를 가진 상미분 방정식(ODE)으로 변환한다.
전기 회로 시스템.
집중 물질 규율.
집중 물질 규율은 전기공학에서 부과되는 일련의 가설로, 회로 분석에 사용되는 집중 회로 추상화의 기초를 제공한다. 스스로 부과하는 제약 조건은 다음과 같다.
처음 두 가설은 맥스웰 방정식에 적용될 때 키르히호프의 전기회로 법칙을 유도하며, 회로가 정상 상태에 있을 때만 적용 가능하다. 세 번째 가설은 회로 분석에 사용되는 집중 상수 모델의 기초이다. 덜 엄격한 가설은 분포 매개변수 모델을 유도하며, 여전히 완전한 맥스웰 방정식의 직접적인 적용을 요구하지 않는다.
집중 상수 모델.
전자 회로의 집중 상수 모델은 회로의 속성, 저항, 용량, 유도, 이득이 이상적인 구성 요소에 집중되어 있다고 단순화한다. 저항기, 축전기, 유도자 등은 완벽하게 전도되는 전선망으로 연결되어 있다.
집중 상수 모델은 formula_3일 때 유효하며, 여기서 formula_4는 회로의 특성 길이를 나타내고, formula_5는 회로 작동 파장을 나타낸다. 그렇지 않으면 회로 길이가 파장과 같을 때, 맥스웰 방정식에 의해 동적 동작이 설명되는 분포 매개변수 모델 (전송선 포함)과 같은 더 일반적인 모델을 고려해야 한다. 집중 상수 모델의 유효성을 보는 또 다른 방법은 이 모델이 회로를 따라 신호가 전파하는 데 걸리는 유한한 시간을 무시한다는 점에 주목하는 것이다. 이 전파 시간이 응용에 중요하지 않을 때마다 집중 상수 모델을 사용할 수 있다. 이는 전파 시간이 관련된 신호의 주기보다 훨씬 작을 때 해당된다. 그러나 전파 시간이 증가함에 따라 신호의 가정한 위상과 실제 위상 사이에 오류가 증가하고, 이는 신호의 가정한 진폭에도 오류를 초래한다. 집중 상수 모델을 더 이상 사용할 수 없는 정확한 시점은 주어진 응용에서 신호를 얼마나 정확하게 알아야 하는지에 어느 정도 의존한다.
실제 구성 요소는 비이상적인 특성을 나타내며, 이는 실제로는 분산 요소이지만 종종 일차 근사에 의해 집중 요소로 표현된다. 예를 들어, 축전기의 누설을 설명하기 위해, 우리는 누설이 실제로는 유전체 전체에 분포되어 있음에도 불구하고 큰 집중 저항기가 병렬로 연결된 비이상적인 축전기로 모델링할 수 있다. 마찬가지로 권선 저항기는 길이 전체에 분포된 상당한 유도와 저항을 가지고 있지만, 우리는 이를 이상적인 저항기와 직렬로 연결된 집중 유도자로 모델링할 수 있다.
열 시스템.
집중 용량 모델(lumped-capacitance model), 일명 집중 시스템 분석,은 열 시스템을 여러 개의 개별 "덩어리"로 축소하고, 각 덩어리 내부의 온도 차이가 무시할 수 있다고 가정한다. 이 근사는 그렇지 않으면 복잡한 미분 열 방정식을 단순화하는 데 유용하다. 이것은 전기 용량의 수학적 아날로그로 개발되었지만, 전기 저항의 열 아날로그도 포함한다.
집중 용량 모델은 과도 전도에서 흔한 근사이며, 물체 내부의 열 전도가 물체 경계를 넘는 열 전달보다 훨씬 빠를 때마다 사용될 수 있다. 이 근사 방법은 과도 전도 시스템의 한 측면(물체 내부의 공간적 온도 변화)을 수학적으로 더 다루기 쉬운 형태(즉, 물체 내부 온도가 공간적으로 완전히 균일하다고 가정하지만, 이 공간적으로 균일한 온도 값은 시간에 따라 변한다)로 적절히 축소한다. 물체 또는 시스템 일부 내부의 상승하는 균일 온도는 정적인 열 상태에 도달할 때까지 열을 흡수하는 용량성 저장소처럼 취급될 수 있다(이후에는 온도가 그 안에서 변하지 않는다).
물리적 단순화로 인해 수학적으로 간단한 행동을 보이는 집중 용량 시스템의 초기에 발견된 예는 뉴턴의 냉각 법칙을 따르는 시스템이다. 이 법칙은 뜨거운(또는 차가운) 물체의 온도가 환경의 온도로 간단한 지수 함수적으로 진행된다는 것이다. 물체는 그 안에서의 열 전도율이 그 안팎으로의 열 흐름보다 훨씬 클 때만 이 법칙을 엄격히 따른다. 이런 경우 어떤 특정 시간에 단일 "물체 온도"를 말하는 것이 타당하며(물체 내부에 공간적 온도 변화가 없으므로), 또한 물체 내부의 균일한 온도는 총 열 에너지 초과 또는 부족이 표면 온도에 비례하여 변하게 하여, 뉴턴의 냉각 법칙에서 요구하는 온도 감소율이 물체와 환경 간의 차이에 비례한다는 요구 사항을 설정한다. 이는 다시 간단한 지수적 가열 또는 냉각 행동으로 이어진다(아래 세부 사항).
덩어리 수를 결정하기 위해 시스템의 무차원 매개변수인 비오트 수(Bi)가 사용된다. Bi는 물체 내부의 전도 열 저항과 다른 온도 균일 욕조와의 물체 경계를 넘는 대류 열 전달 저항의 비로 정의된다. 물체로 전달되는 열에 대한 열 저항이 물체 내부에 완전히 확산되는 열에 대한 저항보다 클 때, 비오트 수는 1보다 작다. 이 경우, 특히 비오트 수가 훨씬 작을 때, 물체 내부의 공간적으로 균일한 온도 근사를 사용할 수 있으며, 이는 물체로 전달된 열이 그렇게 하는 데 대한 저항이 낮기 때문에 균일하게 분포될 시간이 있다고 가정할 수 있기 때문이다.
고체 물체에 대한 비오트 수가 0.1 미만이면 전체 재료는 거의 같은 온도이며, 지배적인 온도 차이는 표면에 있다. 이것은 "열적으로 얇다"고 간주될 수 있다. 비오트 수는 일반적으로 유용하게 정확한 근사 및 열 전달 분석에 0.1 미만이어야 한다. 집중 시스템 근사에 대한 수학적 해는 뉴턴의 냉각 법칙을 제공한다.
0.1보다 큰 비오트 수("열적으로 두꺼운" 물질)는 이 가정을 할 수 없으며, 재료 본체 내부의 시간 변화 및 비공간적으로 균일한 온도장을 설명하기 위해 "과도 열 전도"에 대한 더 복잡한 열 전달 방정식이 필요함을 나타낸다.
단일 용량 접근 방식은 각 덩어리에 대해 Bi &lt; 0.1인 많은 저항 및 용량 요소에 포함될 수 있다. 비오트 수는 시스템의 특성 길이를 기반으로 계산되므로 시스템은 종종 비오트 수가 허용 가능한 정도로 작도록 충분한 수의 섹션 또는 덩어리로 분해될 수 있다.
열 시스템의 일부 특성 길이는 다음과 같다.
임의의 모양의 경우, 특성 길이를 부피 / 표면적으로 고려하는 것이 유용할 수 있다.
순수 저항 열 회로.