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그리피스의 연구는 1950년대 초까지 공학계에서 크게 무시되었다. 그 이유는 (a) 실제 구조 재료에서는 파괴를 유발하는 데 필요한 에너지 수준이 해당 표면 에너지보다 몇 배 더 높고, (b) 구조 재료에는 항상 균열 선단 주변에 비탄성 변형이 있어 균열 선단에서 무한 응력을 갖는 선형 탄성 매체의 가정이 매우 비현실적이라는 것이다.
그리피스의 이론은 유리와 같은 취성 재료에 대한 실험 데이터와 훌륭하게 일치한다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 비록 formula_21 관계가 여전히 성립하지만, 그리피스의 이론이 예측한 표면 에너지(γ)는 일반적으로 비현실적으로 높다. 제2차 세계 대전 중 미국 해군 연구소 (NRL)에서 G. R. 어윈이 이끄는 연구 그룹은 연성 재료의 파괴에 소성이 중요한 역할을 해야 한다는 것을 깨달았다.
연성 재료(그리고 심지어 취성으로 보이는 재료에서도)에서는 균열 선단에 소성 영역이 발생한다. 인가된 하중이 증가하면 소성 영역의 크기가 증가하여 균열이 성장하고 균열 선단 뒤의 탄성 변형된 재료가 하중을 해제한다. 균열 선단 근처의 소성 하중 및 언로딩 주기는 열로서 에너지의 소산을 초래한다. 따라서 취성 재료에 대해 그리피스가 고안한 에너지 균형 관계에 소산 항을 추가해야 한다. 물리적으로 말하면, 취성 재료에 비해 연성 재료에서는 균열 성장을 위해 추가적인 에너지가 필요하다.
어윈의 전략은 에너지를 두 부분으로 나누는 것이었다.
그러면 총 에너지는 다음과 같다.
여기서 formula_9는 표면 에너지이고 formula_24는 균열 성장 단위 면적당 소성 소산(및 다른 원천으로부터의 소산)이다.
그리피스 에너지 기준의 수정된 버전은 다음과 같이 작성될 수 있다.
유리와 같은 취성 재료의 경우, 표면 에너지 항이 지배적이며 formula_26이다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 소성 소산 항이 지배적이며 formula_27이다. 유리 전이 온도 근처의 고분자의 경우, 2에서 1000 formula_28 사이의 중간 formula_12 값을 갖는다.
응력확대계수.
어윈과 그의 동료들의 또 다른 중요한 업적은 선형 탄성 고체에서 균열 선단 주변의 점근적 응력 및 변위장 측면에서 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산하는 방법을 찾는 것이었다. 모드 I 하중에서 응력장에 대한 이 점근적 표현은 다음 식에 따라 응력확대계수 formula_30와 관련된다.
여기서 formula_32는 코시 응력, formula_33은 균열 선단으로부터의 거리, formula_34는 균열 평면에 대한 각도, formula_35는 균열 형상 및 하중 조건에 따라 달라지는 함수이다. 어윈은 formula_36를 응력확대계수라고 불렀다. formula_35는 무차원량이므로, 응력확대계수는 formula_38 단위로 표현될 수 있다.
응력 강도는 변형 에너지 방출률을 대체했으며, 파괴인성이라는 용어가 표면 약화 에너지를 대체했다. 이 두 용어는 그리피스가 사용한 에너지 용어와 간단하게 관련되어 있다.
여기서 formula_41는 모드 formula_42 응력 강도, formula_43는 파괴 인성, formula_44는 푸아송 비이다.
파괴는 formula_45일 때 발생한다. 평면 변형률 변형의 특수한 경우 formula_43는 formula_47가 되며 재료 특성으로 간주된다. 첨자 formula_42는 균열이 전파되도록 재료에 하중을 가하는 여러 가지 방법 때문에 발생한다. 이는 모드 formula_49 또는 formula_50와는 대조적으로 소위 "모드 formula_42" 하중을 나타낸다.
formula_41에 대한 표현은 응력확대계수 문서에서 논의된 바와 같이 중앙 균열이 있는 무한 판 이외의 형상에 대해서는 달라진다. 따라서 형상을 특성화하기 위해 무차원 보정 계수 formula_53를 도입해야 한다. 이 보정 계수는 종종 기하학적 형상 계수라고도 불리며, 경험적으로 결정된 일련의 값을 통해 주어진 균열 또는 노치의 유형 및 형상을 설명한다. 따라서 우리는 다음을 얻는다.
여기서 formula_53는 유한 너비 formula_56의 판에 두께 관통 균열 길이 formula_57가 포함된 경우 균열 길이와 판 너비의 함수이다.
변형 에너지 방출.
어윈은 균열 주변의 소성 구역 크기가 균열 크기에 비해 작으면 균열 성장에 필요한 에너지가 균열 선단에서의 응력 상태(소성 구역)에 크게 의존하지 않는다는 것을 처음으로 관찰했다. 다시 말해, 순수 탄성 해법을 사용하여 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산할 수 있다.
균열 성장 또는 변형 에너지 방출률에 대한 에너지 방출률은 균열 성장 단위 면적당 탄성 변형 에너지의 변화로 계산될 수 있다. 즉,
여기서 U는 시스템의 탄성 에너지이고 a는 균열 길이이다. 위의 표현을 평가하는 동안 하중 P 또는 변위 u는 일정하다.
어윈은 모드 I 균열(개방 모드)에 대해 변형 에너지 방출률과 응력확대계수가 다음과 같은 관계를 갖는다는 것을 보여주었다.
여기서 E는 영률, ν는 푸아송 비, KI는 모드 I의 응력확대계수이다. 어윈은 또한 선형 탄성체 내 평면 균열의 변형 에너지 방출률이 가장 일반적인 하중 조건에 대해 모드 I, 모드 II(미끄럼 모드), 모드 III(찢김 모드) 응력확대계수 측면에서 표현될 수 있음을 보여주었다.
다음으로 어윈은 취성 파괴 동안 에너지 소산 구역의 크기와 모양이 거의 일정하게 유지된다는 추가 가정을 채택했다. 이 가정은 단위 파괴면을 만드는 데 필요한 에너지가 재료에만 의존하는 상수라는 것을 시사한다. 이 새로운 재료 특성은 파괴인성이라는 이름이 주어졌으며 GIc로 지정되었다. 오늘날에는 평면 변형률 조건에서 발견되는 임계 응력확대계수 KIc가 선형 탄성 파괴역학의 정의 속성으로 받아들여진다.
균열 선단 소성 구역.
이론적으로 반지름이 거의 0인 균열 선단에서의 응력은 무한대로 수렴한다. 이는 실제 응용에서는 불가능한 응력 특이점으로 간주된다. 이러한 이유로 파괴역학 분야의 수치 연구에서는 종종 균열을 둥근 끝의 노치로 표현하는 것이 적절하며, 균열 선단 특이점을 대체하는 형상 의존적 응력집중 영역을 사용한다. 실제로는 실제 재료 내 균열 선단에서의 응력 집중은 유한한 값을 가지지만, 시편에 가해지는 공칭 응력보다 더 큰 것으로 밝혀졌다.
그럼에도 불구하고, 그러한 균열이 자발적으로 전파되는 것을 막는 어떤 종류의 메커니즘이나 재료 특성이 있어야 한다. 가정은 균열 선단에서의 소성 변형이 균열 선단을 효과적으로 무디게 한다는 것이다. 이 변형은 주로 해당 방향으로 가해지는 응력(대부분의 경우 일반 데카르트 좌표계의 y-방향), 균열 길이, 시편의 형상에 따라 달라진다. 이 소성 변형 영역이 균열 선단으로부터 얼마나 확장되었는지 추정하기 위해 어윈은 재료의 항복 강도를 균열을 따라 (x 방향) y-방향의 원거리 응력과 동일시하고 유효 반지름을 구했다. 이 관계로부터 균열이 임계 응력확대계수까지 하중을 받는다고 가정하여, 어윈은 균열 선단에서의 이상적인 소성 변형 영역 반지름에 대한 다음 표현을 개발했다.
이상적인 재료 모델은 이 소성 영역이 균열 선단에 중심을 둔다는 것을 보여주었다. 이 방정식은 균열 선단을 넘어선 소성 변형 영역의 근사 이상 반지름을 제공하며, 이는 많은 구조 과학자들에게 유용하다. 왜냐하면 재료가 응력을 받을 때 어떻게 거동하는지에 대한 좋은 추정치를 제공하기 때문이다. 위 방정식에서 응력확대계수와 재료 인성의 지표인 formula_62 및 항복 응력 formula_63는 재료와 그 특성, 그리고 소성 영역 크기에 대해 많은 것을 보여주기 때문에 중요하다. 예를 들어, formula_43가 높으면 재료가 인성이 높다고 추론할 수 있고, formula_63가 낮으면 재료가 더 연성이라는 것을 알 수 있다. 이 두 매개변수의 비율은 소성 영역의 반지름에 중요하다. 예를 들어, formula_63가 작으면 formula_62 대 formula_63의 제곱 비율이 커져 더 큰 소성 반지름을 초래한다. 이는 재료가 소성 변형할 수 있으므로 인성이 높다는 것을 의미한다. 이 균열 선단을 넘어선 소성 영역 크기 추정치는 균열 존재 시 재료가 어떻게 거동할지를 더 정확하게 분석하는 데 사용될 수 있다.
단일 사건 하중에 대해 위에서 설명한 것과 동일한 과정이 주기 하중에도 적용된다. 주기 하중을 받는 시편에 균열이 존재하면 시편은 균열 선단에서 소성 변형을 일으켜 균열 성장을 지연시킨다. 과부하 또는 이탈이 발생하면 이 모델은 재료가 이전에 경험한 것보다 갑작스러운 응력 증가를 수용하도록 약간 변경된다. 충분히 높은 하중(과부하)에서 균열은 균열을 포함하던 소성 영역 밖으로 성장하여 원래 소성 변형의 주머니를 남긴다. 이제 과부하 응력이 시편을 완전히 파괴할 만큼 충분히 높지 않다고 가정하면, 균열은 새로운 균열 선단 주변에서 추가적인 소성 변형을 겪어 잔류 소성 응력 영역을 확장한다. 이 과정은 새로운 소성 영역이 일반적인 응력 조건에서보다 크기 때문에 재료의 인성을 더욱 높이고 수명을 연장한다. 이를 통해 재료는 더 많은 하중 주기를 겪을 수 있다. 이 아이디어는 과부하 이벤트를 겪는 중앙 균열이 있는 알루미늄의 그래프를 통해 더욱 설명될 수 있다.
그러나 NRL 연구원들에게 문제가 발생했는데, 해군 재료, 예를 들어 선박용 강철은 완벽하게 탄성적이지 않고 균열 선단에서 상당한 소성 변형을 겪기 때문이었다. 어윈의 선형 탄성 파괴역학의 기본 가정 중 하나는 소규모 항복으로, 소성 구역의 크기가 균열 길이에 비해 작다는 조건이다. 그러나 이 가정은 구조용 강철의 특정 유형 파괴에는 상당히 제한적이며, 이러한 강철은 취성 파괴에 취약하여 여러 차례의 치명적인 사고로 이어졌다.
선형-탄성 파괴역학은 구조용 강철에 대한 실용적 사용이 제한적이며 파괴인성 테스트는 비용이 많이 들 수 있다.
탄성-소성 파괴역학.
대부분의 공학 재료는 큰 하중을 포함하는 작동 조건에서 일부 비선형 탄성 및 비탄성 거동을 보인다. 이러한 재료에서는 선형 탄성 파괴역학의 가정이 성립하지 않을 수 있다. 즉,
따라서 탄성-소성 재료의 균열 성장을 위한 보다 일반적인 이론이 필요하며, 이는 다음을 설명할 수 있어야 한다.
CTOD.
역사적으로, 탄성-소성 영역에서 파괴 인성 결정을 위한 첫 번째 매개변수는 균열 선단 개구 변위(CTOD) 또는 "균열 정점에서의 개구"였다. 이 매개변수는 높은 인성으로 인해 선형 탄성 파괴역학 모델로는 특성화할 수 없었던 구조용 강철 연구 중에 웰스(Wells)가 결정했다. 그는 파괴가 발생하기 전에 균열의 벽이 벌어지고, 파괴 후 균열 선단이 소성 변형으로 인해 날카로운 상태에서 둥글게 변했다는 것을 주목했다. 또한, 뛰어난 인성을 가진 강철에서 균열 선단의 둥글어짐이 더욱 두드러졌다.
CTOD에는 여러 가지 대체 정의가 있다. 가장 일반적인 두 가지 정의에서 CTOD는 원래 균열 선단에서의 변위와 90도 교차점이다. 후자의 정의는 라이스(Rice)가 제안했으며, 이러한 유한 요소 모델에서 CTOD를 추론하는 데 일반적으로 사용된다. 균열 선단이 반원으로 무뎌지면 이 두 정의는 동일하다는 점에 유의해야 한다.
대부분의 CTOD 실험실 측정은 3점 굽힘으로 하중이 가해진 가장자리 균열 시편에서 이루어졌다. 초기 실험에서는 균열에 삽입되는 평평한 패들 모양 게이지를 사용했다. 균열이 열리면 패들 게이지가 회전하고 전자 신호가 x-y 플로터로 전송되었다. 그러나 이 방법은 패들 게이지로 균열 선단에 도달하기 어려웠기 때문에 부정확했다. 오늘날에는 균열 입구에서의 변위 V가 측정되며, 시편 절반이 강체이고 힌지 점(균열 선단)을 중심으로 회전한다고 가정하여 CTOD를 추론한다.
R-곡선.
탄성-소성 파괴역학 방향의 초기 시도는 어윈의 균열 확장 저항 곡선, 균열 성장 저항 곡선 또는 R-곡선이었다. 이 곡선은 탄성-소성 재료에서 파괴 저항이 균열 크기 증가에 따라 증가한다는 사실을 인정한다. R-곡선은 균열 크기의 함수로 총 에너지 소산율을 나타내는 그래프이며, 느리고 안정적인 균열 성장 및 불안정한 파괴 과정을 조사하는 데 사용될 수 있다. 그러나 R-곡선은 1970년대 초반까지 응용 분야에서 널리 사용되지 않았다. 주된 이유는 R-곡선이 시편의 형상에 따라 달라지며 균열 구동력을 계산하기 어려울 수 있다는 점으로 보인다.
J-적분.
1960년대 중반, 제임스 R. 라이스 (당시 브라운 대학교 재직)와 G. P. 체레파노프는 균열 선단 변형이 충분하여 부품이 더 이상 선형-탄성 근사를 따르지 않는 경우를 설명하기 위해 독립적으로 새로운 인성 측정법을 개발했다. 균열 선단 앞의 비선형 탄성 (또는 단조 변형 이론 소성) 변형을 가정하는 라이스의 분석은 J-적분으로 지정된다. 이 분석은 균열 선단에서의 소성 변형이 하중을 받는 부품의 가장자리까지 확장되지 않는 상황으로 제한된다. 또한 재료의 가정된 비선형 탄성 거동이 실제 재료의 하중 반응에 대해 형상과 크기 면에서 합리적인 근사치여야 한다. 탄성-소성 파괴 매개변수는 JIc로 지정되며, 아래 방정식을 사용하여 관습적으로 KIc로 변환된다. 또한 J-적분 접근 방식은 선형-탄성 거동에 대한 그리피스 이론으로 환원된다는 점에 유의해야 한다.
J-적분의 수학적 정의는 다음과 같다.
공학자들은 KIc를 사용하여 파괴 인성을 특성화하는 데 익숙해졌기 때문에 JIc를 KIc로 환원하는 관계가 사용되어 왔다.
점착 영역 모델.
균열 선단 주변의 상당한 영역이 소성 변형을 겪었을 때, 균열의 추가 확장 가능성과 균열 성장 및 분기 방향을 결정하는 다른 접근 방식이 사용될 수 있다. 수치 계산에 쉽게 통합되는 간단한 기술은 1960년대 초 바렌블라트와 더그데일(Dugdale)이 독립적으로 제안한 개념에 기반한 점착 영역 모델 방법이다. 더그데일-바렌블라트 모델과 그리피스 이론 간의 관계는 1967년 윌리스에 의해 처음 논의되었다. 취성 파괴의 맥락에서 두 접근 방식의 등가성은 1968년 라이스에 의해 제시되었다.
전이 결함 크기.
재료가 항복 강도 formula_63와 모드 I 파괴 인성 formula_47를 가진다고 가정하자. 파괴역학에 따르면, 재료는 응력 formula_83에서 파괴된다. 소성 이론에 따르면, 재료는 formula_84일 때 항복한다. 이 곡선들은 formula_85일 때 교차한다. 이 formula_3 값은 전이 결함 크기 formula_87라고 불리며, 구조물의 재료 특성에 따라 달라진다. formula_88일 때는 파괴가 소성 항복에 의해 지배되고, formula_89일 때는 파괴역학에 의해 지배된다. 공업용 합금의 formula_90 값은 100 mm이고 세라믹의 경우 0.001 mm이다. 제조 공정이 마이크로미터 단위의 결함을 유발할 수 있다고 가정하면, 세라믹은 파괴로 인해 파괴될 가능성이 더 높은 반면, 공업용 합금은 소성 변형으로 인해 파괴될 것이다.
콘크리트 파괴 분석.
콘크리트 파괴 분석은 콘크리트의 균열 전파 및 관련 파괴 모드를 연구하는 파괴역학의 한 부분이다. 콘크리트는 건설에 널리 사용되므로, 파괴 분석 및 보강 모드는 콘크리트 연구의 중요한 부분이며, 다양한 콘크리트는 부분적으로 파괴 특성으로 특징지어진다. 일반적인 파괴에는 인장 강도 하에서 앵커 주변에 형성되는 원뿔 모양 파괴가 포함된다.
바잔트(Bažant, 1983)는 콘크리트와 같이 균질한 특성이 특정 범위에서 무작위로 변하는 재료에 대한 균열대 모델을 제안했다. 그는 또한 일반 콘크리트에서 크기 효과가 임계 응력확대계수에 강한 영향을 미 미친다는 것을 관찰했으며, 다음 관계를 제안했다.
formula_14 = formula_92 / √(1+{formula_93/formula_94formula_95}),
여기서 formula_14 = 응력확대계수, formula_92 = 인장 강도, formula_93 = 시편 크기, formula_95 = 최대 골재 크기, formula_94 = 경험적 상수.
원자 파괴역학.
원자 파괴역학(AFM)은 파괴 시 원자 규모에서 재료의 거동과 특성을 연구하는 비교적 새로운 분야이다. 이는 파괴역학의 개념을 원자 시뮬레이션과 통합하여 균열이 어떻게 시작되고 전파되며 재료의 미세구조와 상호 작용하는지 이해한다. 분자 동역학 (MD) 시뮬레이션과 같은 기술을 사용하여 AFM은 균열 형성 및 성장의 기본 메커니즘, 원자 결합의 역할, 재료 결함 및 불순물이 파괴 거동에 미치는 영향에 대한 통찰력을 제공할 수 있다.
연속체 역학에서 유한 변형 이론(finite strain theory)은 변형 및 회전이 무한소 변형 이론에 내재된 가정을 무효화할 만큼 충분히 큰 경우를 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전 형상과 변형 후 형상은 상당히 다르므로 둘을 명확하게 구분해야 한다. 이것은 일반적으로 탄성체, 소성 변형 재료 및 기타 유체와 생물학적 연조직의 경우이다.
변형 구배 텐서.
변형 구배 텐서는 기준 형상과 현재 형상 모두와 관련된 양이며, 한 점 주변의 움직임을 국소적으로 표현한다.
두 가지 유형의 변형 구배 텐서가 정의될 수 있다.
재료 변형 구배 텐서 formula_1는 연속체의 운동을 설명하는 매끄럽고 가역적인 매핑 함수 formula_2의 기울기를 나타내는 2차 텐서이다.
특히, 매핑 함수 formula_2의 연속성은 변형 중에 균열이나 빈 공간이 열리거나 닫히지 않는다는 것을 의미한다.
재료 변형 구배 텐서는 위치 벡터 formula_4를 가진 재료 점에서의 국부 변형, 즉 인접 점에서의 변형을 기준 형상에서 현재 또는 변형된 형상으로 그 점으로부터 방출되는 재료 선 요소를 변환(선형 변환)하여 특징짓는다.
formula_2가 매끄러운 역함수를 가진다고 가정하면, formula_7는 역함수 formula_8를 가지며, 이것이 공간 변형 구배 텐서이다.
formula_7가 가역적이라는 것은 formula_10과 동등하며, 이는 재료가 무한히 압축될 수 없다는 개념에 해당한다.
상대 변위 벡터.
변형 전 형상(그림 2)에서 위치 벡터 formula_11를 가진 입자 또는 재료점 formula_12를 고려한다. 물체가 변위된 후, 새로운 형상에서 formula_13로 표시된 입자의 새로운 위치는 벡터 위치 formula_14로 주어진다. 변형 전 및 변형 후 형상의 좌표계는 편의상 겹쳐 놓을 수 있다.
이제 formula_15에 인접한 재료 점 formula_16를 고려하며, 위치 벡터는 formula_17이다. 변형된 형상에서 이 입자는 위치 벡터 formula_18로 주어진 새로운 위치 formula_19를 가진다. 변형 전 및 변형 후 형상에서 입자 formula_12와 formula_21를 연결하는 선분 formula_22와 formula_23가 매우 작다고 가정하면, 이들을 formula_24와 formula_25로 표현할 수 있다. 따라서 그림 2에서 다음과 같다.
여기서 formula_27는 상대 변위 벡터이며, 변형된 형상에서 formula_21의 formula_12에 대한 상대 변위를 나타낸다.
테일러 근사.
무한소 요소 formula_30에 대해 변위장의 연속성을 가정하면, 점 formula_15 주변에서 테일러 급수 전개를 사용하여 고차항을 무시하고 이웃 입자 formula_21의 상대 변위 벡터 성분을 근사할 수 있다.
따라서 이전 방정식 formula_34는 다음과 같이 쓸 수 있다.
변형 구배의 시간 미분.
물체의 시간 의존적 변형을 포함하는 계산은 종종 변형 구배의 시간 미분을 계산해야 한다. 이러한 미분의 기하학적으로 일관된 정의는 미분기하학에 대한 탐구를 필요로 하지만 이 글에서는 이러한 문제를 피한다.
formula_36의 시간 미분은 다음과 같다.
여기서 formula_38는 (재료) 속도이다. 오른쪽 항의 미분은 재료 속도 구배를 나타낸다. 미분의 연쇄 법칙을 적용하여 이를 공간 구배로 변환하는 것이 일반적이다. 즉,
여기서 formula_40는 공간 속도 구배이고, formula_41는 formula_42에서의 공간 (오일러) 속도이다. 공간 속도 구배가 시간에 따라 일정하면, 위 방정식은 정확하게 풀 수 있으며 다음과 같다.
formula_44에서 formula_45이라고 가정한다. 위 지수를 계산하는 여러 방법이 있다.
연속체 역학에서 자주 사용되는 관련 양은 각각 다음과 같이 정의되는 변형률 텐서와 스핀 텐서이다.
변형률 텐서는 선 요소의 늘어나는 속도를 제공하고, 스핀 텐서는 운동의 회전 또는 소용돌이도 속도를 나타낸다.
유한 변형률을 포함하는 분석에서는 변형 구배의 역함수의 재료 시간 미분이 종종 필요하다 (기준 형상을 고정). 이 미분은 다음과 같다.
위 관계는 formula_48의 재료 시간 미분을 취하고 formula_49임을 확인하여 검증할 수 있다.
변형 구배 텐서의 극분해.
변형 구배 formula_36는 모든 가역적인 2차 텐서와 마찬가지로 극분해 정리를 사용하여 두 개의 2차 텐서(Truesdell과 Noll, 1965)의 곱으로 분해될 수 있다. 즉, 직교 텐서와 양정치 대칭 텐서로, 다음과 같다. formula_51 여기서 텐서 formula_52은 고유 직교 텐서이며, 즉 formula_53 및 formula_54이고 회전을 나타낸다. 텐서 formula_55는 우측 신장 텐서이며, formula_38는 좌측 신장 텐서이다. 우측 및 좌측이라는 용어는 각각 회전 텐서 formula_57의 오른쪽에 있고 왼쪽에 있음을 의미한다. formula_55와 formula_38는 모두 양정치이며, 즉 모든 0이 아닌 formula_60에 대해 formula_61 및 formula_62이고, 2차의 대칭 텐서이며, 즉 formula_63 및 formula_64이다.
이 분해는 변형 전 형상에서의 선 요소 formula_24가 변형된 형상에서의 formula_66로 변형되는 것, 즉 formula_67가 먼저 요소에 formula_68를 적용하여 늘리고, 즉 formula_69, 그 다음 회전 formula_70을 적용하여, 즉 formula_71를 얻거나, 또는 이와 동등하게, 먼저 강체 회전 formula_72을 적용하고, 즉 formula_73, 그 다음 늘리기 formula_74를 적용하여, 즉 formula_75를 얻을 수 있음을 의미한다 (그림 3 참조).
formula_72의 직교성으로 인해
이므로 formula_78와 formula_79는 동일한 고유값 또는 주 신장률을 가지지만, 각각 다른 고유 벡터 또는 주 방향 formula_80와 formula_81를 가진다. 주 방향들은 다음과 같이 관련된다.
formula_7가 양의 행렬식을 가진 가역 행렬이므로 고유한 이 극분해는 특이값 분해의 한 결과이다.
표면 및 부피 요소의 변환.
변형된 형상에서 면적에 대해 정의된 양을 기준 형상에서의 면적에 대한 양으로 변환하고, 그 반대로 변환하기 위해 다음과 같이 표현되는 낸슨 관계를 사용한다. formula_84 여기서 formula_85는 변형된 형상에서의 영역 면적이고, formula_86는 기준 형상에서의 동일한 면적이며, formula_87은 현재 형상에서의 면적 요소에 대한 외부 법선이고 formula_88은 기준 형상에서의 외부 법선이다. formula_36는 변형 구배이며, formula_90이다.
부피 요소의 변환에 대한 해당 공식은 다음과 같다. formula_91
기본 변형률 텐서.
변형률 텐서는 IUPAC에 의해 다음과 같이 정의된다.
"변형 구배 텐서가 회전 텐서 다음에 또는 그 이전에 대칭 텐서로 인수분해될 때 생성되는 대칭 텐서".
순수 회전은 변형 가능한 물체에 어떤 변형률도 유발해서는 안 되므로, 연속체 역학에서는 회전과 무관한 변형 측정값을 사용하는 것이 종종 편리하다. 회전 후 역회전이 아무런 변화도 일으키지 않으므로(formula_92) 변형 구배 텐서 formula_36에 그 전치 행렬을 곱함으로써 회전을 제외할 수 있다.
역학에서는 여러 회전 무관 변형 구배 텐서(또는 줄여서 "변형 텐서")가 사용된다. 고체역학에서 가장 많이 사용되는 것들은 우측 및 좌측 코시-그린 변형 텐서이다.
코시 변형률 텐서 (우측 코시-그린 변형 텐서).
1839년, 조지 그린은 우측 코시-그린 변형 텐서 또는 그린 변형 텐서(IUPAC은 이 텐서를 코시 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다)로 알려진 변형 텐서를 도입했으며, 다음과 같이 정의된다.
물리적으로, 코시-그린 텐서는 변형으로 인한 거리의 국부적인 변화의 제곱을 제공한다. 즉, formula_95
formula_96의 불변량은 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 자주 사용된다. 가장 일반적으로 사용되는 불변량은 다음과 같다.
여기서 formula_98는 변형 구배 formula_36의 행렬식이며 formula_100는 우측 (기준) 신장 텐서의 고유 벡터 방향을 따라 초기 정렬된 단위 섬유에 대한 신장률이다 (이들은 일반적으로 좌표계의 세 축과 정렬되지 않는다).
핑거 변형률 텐서.
IUPAC은 우측 코시-그린 변형 텐서(해당 문서에서는 코시 변형률 텐서라고 함)의 역함수, 즉 formula_101를 핑거 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다. 그러나 이 명칭은 응용 역학에서 보편적으로 받아들여지지 않는다.
그린 변형률 텐서 (좌측 코시-그린 변형 텐서).
우측 코시-그린 변형 텐서 공식에서 곱셈 순서를 바꾸면 좌측 코시-그린 변형 텐서가 되며, 다음과 같이 정의된다.
좌측 코시-그린 변형 텐서는 종종 요제프 핑거 (1894)의 이름을 따서 핑거 변형 텐서라고 불린다.
IUPAC은 이 텐서를 그린 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다.
formula_104의 불변량 또한 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 사용된다. 일반적인 불변량은 다음과 같이 정의된다.
여기서 formula_98는 변형 구배의 행렬식이다.
압축성 재료의 경우, 약간 다른 불변량 집합이 사용된다.
피올라 변형률 텐서 (코시 변형 텐서).
앞서 1828년,오귀스탱 루이 코시는 좌측 코시-그린 변형 텐서 formula_108의 역으로 정의되는 변형 텐서를 도입했다. 이 텐서는 또한 IUPAC에 의해 피올라 변형률 텐서로, 유변학 및 유체동역학 문헌에서는 핑거 텐서로 불렸다.
스펙트럼 표현.
세 개의 구별되는 주 신장률 formula_110가 있다면, formula_96와 formula_104의 스펙트럼 분해는 다음과 같다.
다음 사항에 유의하자.
그러므로 스펙트럼 분해의 고유성은 또한 formula_117를 의미한다. 좌측 신장(formula_118)은 공간 신장 텐서라고도 불리며, 우측 신장(formula_119)은 재료 신장 텐서라고 불린다.
formula_36가 formula_80에 작용하는 효과는 벡터를 formula_100만큼 늘리고 새로운 방향 formula_81로 회전시키는 것이다. 즉,
유사하게,
신장 미분.
우측 코시-그린 변형 텐서에 대한 신장의 미분은 많은 고체, 특히 초탄성 재료의 응력-변형률 관계를 유도하는 데 사용된다. 이 미분은 다음과 같다.
그리고 다음 관찰에서 비롯된다.
변형 텐서의 물리적 해석.
formula_138를 변형 전 물체에 정의된 직교 좌표계라고 하고, formula_139를 변형된 물체에 정의된 다른 시스템이라고 하자. 변형 전 물체 내의 곡선 formula_140가 formula_141를 사용하여 매개변수화되었다고 하자. 변형된 물체 내의 그 이미지는 formula_142이다.
곡선의 변형 전 길이는 다음과 같다.
변형 후 길이는 다음과 같다.
우측 코시-그린 변형 텐서는 다음과 같이 정의된다는 점에 유의한다.
이는 길이 변화가 formula_147에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다.
유한 변형률 텐서.
변형률의 개념은 주어진 변위가 강체 변위와 국소적으로 얼마나 다른지를 평가하는 데 사용된다. 큰 변형에 대한 이러한 변형률 중 하나는 라그랑주 유한 변형률 텐서이며, 그린-라그랑주 변형률 텐서 또는 그린-생브낭 변형률 텐서라고도 불리며 다음과 같이 정의된다.
또는 변위 구배 텐서의 함수로
그린-라그랑주 변형률 텐서는 formula_151가 formula_152와 얼마나 다른지를 측정한다.
변형된 형상에 참조된 (즉, 오일러 설명) 오일러 유한 변형률 텐서 또는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 정의된다.
또는 변위 구배의 함수로 다음과 같다.
{\partial \mathbf {x}}d\mathbf{x}=\mathbf F^{-1} \, d\mathbf{x}=\mathbf{H} \,d\mathbf{x} \qquad \text{or} \qquad dX_M=\frac{\partial X_M}{\partial x_n}\, dx_n&lt;/math&gt;
여기서 formula_155는 공간 변형 구배 텐서 formula_156의 성분이다. 따라서 다음과 같다.
여기서 2차 텐서 formula_158는 코시 변형 텐서 formula_159라고 불린다. 그러면 다음과 같다.
여기서 formula_162는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다.
라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서 모두 변위 구배 텐서로 편리하게 표현될 수 있다. 라그랑주 변형률 텐서의 경우, 먼저 변위 벡터 formula_164를 재료 좌표 formula_165에 대해 미분하여 재료 변위 구배 텐서 formula_166를 얻는다.
이 방정식을 라그랑주 유한 변형률 텐서의 표현식에 대입하면 다음과 같다.
마찬가지로, 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.
세스-힐 일반화된 변형률 텐서군.
인도 공과대학교 카라그푸르의 B. R. 세스는 그린과 알만시 변형률 텐서가 보다 일반적인 변형률 측정의 특수한 경우임을 처음으로 보였다. 이 아이디어는 1968년 로드니 힐에 의해 더 확장되었다. 세스-힐 변형률 측정값 (도일-에릭센 텐서라고도 함)은 다음과 같이 표현될 수 있다.
formula_172의 다른 값에 대해 다음을 얻는다.
이러한 텐서의 2차 근사는 다음과 같다.
여기서 formula_178는 무한소 변형률 텐서이다.
formula_179 텐서에 대한 다른 많은 정의가 허용될 수 있으며, 다음 조건들을 모두 만족해야 한다.
한 예는 다음 텐서 집합이다.
이들은 세스-힐 클래스에 속하지 않지만, formula_187에서 어떤 formula_188 값에 대해서도 세스-힐 측정값과 동일한 2차 근사를 가진다.
유한 변형률 텐서의 물리적 해석.
라그랑주 유한 변형률 텐서의 대각선 성분 formula_189은 법선 변형률과 관련된다. 예를 들어,
여기서 formula_191는 formula_192 방향의 법선 변형률 또는 공학적 변형률이다.
라그랑주 유한 변형률 텐서의 비대각선 성분 formula_189은 전단 변형률과 관련된다. 예를 들어,
여기서 formula_195는 원래 formula_196 및 formula_197 방향으로 각각 수직이었던 두 선 요소 사이의 각도 변화이다.
특정 상황, 즉 작은 변위와 작은 변위율에서 라그랑주 유한 변형률 텐서의 성분은 무한소 변형률 텐서의 성분으로 근사될 수 있다.
= \frac{dX}{dx}&lt;/math&gt;
신장률의 제곱은 다음과 같이 정의된다.
다음 사실을 알면,
여기서 formula_201와 formula_202은 단위 벡터이다.
어떤 방향 formula_203에서의 법선 변형률 또는 공학적 변형률 formula_204은 신장률의 함수로 표현될 수 있다.
따라서 재료점 formula_12의 formula_196 방향에서의 법선 변형률은 신장률의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.
formula_209에 대해 풀면 다음과 같다.
원래 수직이었고 각각 주 방향 formula_196 및 formula_197로 향한 두 선 요소 formula_213 및 formula_214 사이의 전단 변형률 또는 각도 변화도 신장률의 함수로 표현될 수 있다. 변형된 선 formula_215과 formula_216 사이의 스칼라곱에서 다음을 얻는다.
formula_217
여기서 formula_218는 변형된 형상에서 선 formula_215과 formula_216 사이의 각도이다. formula_195를 원래 수직이었던 두 선 요소 사이의 전단 변형률 또는 각도 감소로 정의하면 다음과 같다.
formula_223
formula_224
적합성 조건.
연속체 역학에서 적합성 문제는 물체에 허용되는 단일 값 연속 필드를 결정하는 것을 포함한다. 이러한 허용 조건은 변형 후 물체에 비물리적인 간극이나 겹침이 발생하지 않도록 한다. 대부분의 이러한 조건은 단일 연결된 물체에 적용된다. 다중 연결된 물체의 내부 경계에는 추가 조건이 필요하다.
변형 구배의 적합성.
단일 연결된 물체에 대한 적합한 formula_226 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
우측 코시-그린 변형 텐서의 적합성.
단일 연결된 물체에 대한 적합한 formula_147 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
이들이 리만-크리스토펠 곡률 텐서의 혼합 성분임을 보일 수 있다. 따라서 formula_147-적합성을 위한 필요 조건은 변형의 리만-크리스토펠 곡률이 0이어야 한다는 것이다.
좌측 코시-그린 변형 텐서의 적합성.
3차원 좌측 코시-그린 변형 텐서에 대한 일반적인 충분 조건은 아미트 아차랴가 유도했다. 2차원 formula_231 필드에 대한 적합성 조건은 재닛 블루메가 발견했다.
산업 공정공학에서 혼합(mixing)은 이질적인 물리적 시스템을 더욱 균일하게 만들려는 목적으로 조작하는 단위 조작이다. 흔한 예로는 수영장의 물을 펌핑하여 수온을 균일하게 만들거나, 팬케이크 반죽을 휘저어 덩어리를 없애는 것(탈응집)이 있다.
혼합은 하나 이상의 흐름, 구성 요소 또는 상(phase) 사이에서 열 또는 물질, 또는 둘 다의 전달이 이루어지도록 하기 위해 수행된다. 현대 산업 공정은 거의 항상 어떤 형태의 혼합을 포함한다. 일부 종류의 화학 반응기도 믹서이다.
올바른 장비를 사용하면 고체, 액체 또는 기체를 다른 고체, 액체 또는 기체에 혼합할 수 있다. 바이오 연료 발효기는 최적의 수율을 위해 미생물, 기체 및 액체 배지 혼합을 필요로 할 수 있다. 유기 나이트로화 반응은 농축된 (액체) 질산과 황산을 소수성 유기상과 혼합해야 한다. 제약 정제 생산은 고체 분말의 혼합을 필요로 한다.
혼합의 반대는 분리이다. 분리의 고전적인 예는 브라질 너트 효과이다.
혼합의 수학은 고도로 추상적이며, 혼돈 이론의 일부인 에르고딕 이론의 일부이다.
혼합 분류.
혼합 과정에서 사용되는 조작 및 장비의 종류는 혼합되는 재료의 상태(액체, 반고체 또는 고체)와 처리되는 재료의 혼합성에 따라 달라진다. 이 맥락에서 혼합 행위는 휘젓기 또는 반죽하기 과정과 동의어일 수 있다.
액체-액체 혼합.
액체의 혼합은 공정 공학에서 자주 발생한다. 혼합할 액체의 특성은 사용되는 장비를 결정한다. 단일 상 혼합은 액체 혼입을 유발하기 위해 낮은 전단력, 높은 유량의 믹서를 사용하는 경향이 있는 반면, 다상 혼합은 일반적으로 흐름의 레이놀즈 수에 따라 층류, 난류 또는 전이 흐름 체제에서 한 액체의 방울을 생성하기 위해 높은 전단력, 낮은 유량 믹서를 사용해야 한다. 난류 또는 전이 혼합은 터빈 또는 임펠러로 자주 수행된다. 층류 혼합은 나선형 리본 또는 앵커 믹서로 수행된다.
단일 상 혼합.
섞이는 액체 또는 적어도 서로 용해되는 액체의 혼합은 공학 (및 일상 생활)에서 자주 발생한다. 일상적인 예로는 차나 커피에 우유나 크림을 첨가하는 것이 있다. 두 액체 모두 물을 기반으로 하므로 서로 쉽게 용해된다. 첨가되는 액체의 운동량은 두 액체의 점성도가 비교적 낮기 때문에 두 액체를 혼합하기에 충분한 난류를 유발하는 경우가 있다. 필요한 경우 숟가락이나 주걱을 사용하여 혼합 과정을 완료할 수 있다. 벌꿀과 같은 더 점성이 있는 액체에서 혼합하려면 동일한 시간에 동일한 균일성을 달성하기 위해 단위 부피당 더 많은 혼합 일률이 필요하다.
고체-고체 혼합.
건식 혼합기는 여러 건조 성분을 균일하게 될 때까지 혼합하는 데 일반적으로 사용되는 산업용 믹서 유형이다. 종종 제품 배합을 변경하기 위해 건식 혼합에 소량의 액체가 첨가된다. 건식 재료를 사용한 혼합 시간은 종종 짧지만 (15~30분) 각 성분의 다양한 비율과 각 성분의 벌크 밀도 차이에 다소 의존한다. 리본, 패들, 텀블 및 수직 혼합기가 있다. 제약산업, 음식, 화학 물질, 비료, 플라스틱, 안료 및 화장품을 포함한 많은 제품이 이러한 설계로 제조된다. 건식 혼합기는 0.5입방피트 연구실 모델에서 500입방피트 생산 장치까지 다양한 용량을 가지고 있다. 위생 마감, 진공 구조, 특수 밸브 및 커버 개구부와 같은 광범위한 마력-속도 조합 및 옵션 기능이 대부분의 제조업체에서 제공된다.
분말 혼합은 고체 취급 산업에서 가장 오래된 단위 조작 중 하나이다. 수십 년 동안 분말 혼합은 단순히 벌크 재료를 균일화하는 데 사용되어 왔다. 다양한 벌크 고체 특성을 가진 재료를 처리하기 위해 많은 다른 기계가 설계되었다. 이러한 다른 기계에서 얻은 실제 경험을 바탕으로 신뢰할 수 있는 장비를 구축하고 스케일업 및 혼합 거동을 예측하기 위한 엔지니어링 지식이 개발되었다. 오늘날 동일한 혼합 기술이 제품 품질 향상, 입자 코팅, 재료 융합, 습윤, 액체 분산, 응집, 기능성 재료 특성 변경 등 더 많은 응용 분야에 사용되고 있다.
이러한 광범위한 혼합 장비의 응용 분야는 최적의 장비 및 공정 선택을 위해 높은 수준의 지식, 오랜 경험 및 광범위한 테스트 시설을 필요로 한다.
고체-고체 혼합은 더 간단한 형태의 혼합인 배치 믹서에서 수행되거나, 특정 경우에는 더 복잡하지만 분리, 용량 및 검증 측면에서 흥미로운 이점을 제공하는 연속 건식 혼합에서 수행될 수 있다.
고체-고체 혼합 공정의 한 예는 주조 용범 모래를 뮬링하는 것으로, 모래, 벤토나이트 점토, 미세 석탄 먼지 및 물을 가소성, 성형 가능하며 재사용 가능한 덩어리로 혼합하여 자동차, 기계 제작, 건설 또는 기타 산업용 금속 부품인 주물을 얻기 위해 용융 금속을 성형하고 붓는 데 사용된다.
혼합 메커니즘.
분말에서는 혼합 공정에서 두 가지 다른 차원을 결정할 수 있다: 대류 혼합과 집중 혼합. 대류 혼합의 경우 믹서 내의 재료는 한 위치에서 다른 위치로 운반된다. 이 유형의 혼합은 믹서 내부에서 덜 정렬된 상태를 유도하며, 혼합해야 하는 구성 요소는 다른 구성 요소 위에 분포된다. 시간이 지남에 따라 혼합물은 더욱 무작위적으로 정렬된다. 특정 혼합 시간 후에 궁극적인 무작위 상태에 도달한다. 일반적으로 이 유형의 혼합은 자유 유동성 및 거친 재료에 적용된다.
거시적 혼합 중 가능한 위협은 구성 요소의 분리인데, 이는 다른 입자의 크기, 모양 또는 밀도의 차이가 분리를 유발할 수 있기 때문이다.
응집성 재료의 경우, 예를 들어 미세 입자 및 습한 재료의 경우, 대류 혼합으로는 무작위로 정렬된 혼합물을 얻기에 더 이상 충분하지 않다. 상대적으로 강한 입자간 힘은 덩어리를 형성하며, 이는 대류 믹서의 약한 운송력으로는 분해되지 않는다. 덩어리 크기를 줄이려면 추가적인 힘이 필요하다. 즉, 더 많은 에너지를 사용하는 집중적인 혼합이 필요하다. 이러한 추가적인 힘은 충격력 또는 전단력일 수 있다.
액체-고체 혼합.
액체-고체 혼합은 일반적으로 거친 자유 유동성 고체를 현탁시키거나 미세 응집된 고체의 덩어리를 부수기 위해 수행된다. 전자의 예로는 과립 설탕을 물에 혼합하는 것이 있고, 후자의 예로는 밀가루 또는 분유를 물에 혼합하는 것이 있다. 첫 번째 경우, 입자는 유체의 벌크 운동에 의해 현탁될 수 있고 (서로 분리될 수 있다). 두 번째 경우, 믹서 자체 (또는 그 근처의 높은 전단 영역)가 덩어리를 불안정하게 만들어 분해되도록 해야 한다.
산업에서 고체-액체 혼합 공정의 한 예는 콘크리트 혼합으로, 시멘트, 모래, 작은 돌 또는 자갈 및 물을 건설 산업에서 사용되는 균질한 자경화 덩어리로 혼합하는 것이다.
고체 현탁.
고체를 액체에 현탁시키는 것은 고체와 액체 사이의 물질 전달 속도를 향상시키기 위해 수행된다. 예로는 고체 반응물을 용매에 용해시키거나 액체에 촉매 입자를 현탁시켜 입자로의 반응물 및 생성물 흐름을 개선하는 것이 포함된다. 관련 와류 확산은 유체 벌크 내에서 물질 전달 속도를 증가시키고, 입자로부터 멀리 떨어진 물질의 대류는 물질 전달에 대한 대부분의 저항이 발생하는 경계층의 크기를 감소시킨다. 축류 임펠러는 고체 현탁에 선호되는데, 이는 고체 현탁이 전단력보다는 운동량을 필요로 하기 때문이지만, 방사류 임펠러는 배플이 있는 탱크에서 사용할 수 있으며, 이는 회전 운동의 일부를 수직 운동으로 변환한다. 고체가 액체보다 밀도가 높아 (따라서 탱크 바닥에 침전될 때) 임펠러는 유체를 아래로 밀어내도록 회전한다. 고체가 액체보다 밀도가 낮아 (따라서 위에 뜰 때) 임펠러는 유체를 위로 밀어내도록 회전한다 (그러나 이것은 비교적 드물다). 고체 현탁에 선호되는 장비는 큰 체적 유량을 생성하지만 반드시 높은 전단력을 생성하는 것은 아니다. 수중익과 같은 높은 유량 수의 터빈 임펠러가 일반적으로 사용된다. 동일한 샤프트에 장착된 여러 터빈은 동력 소모를 줄일 수 있다.
고액 현탁액의 균일도는 혼합 탱크 내 고체 부피 분율 필드의 상대 표준 편차 (RSD)로 설명될 수 있다. 완벽한 현탁액은 RSD가 0%이겠지만, 실제로는 RSD가 20% 이하이면 현탁액이 균일하다고 간주하기에 충분할 수 있다. 하지만 이는 경우에 따라 달라진다. RSD는 실험 측정 또는 계산을 통해 얻을 수 있다.
측정은 전체 규모에서 수행할 수 있지만 일반적으로 비실용적이므로 소규모에서 측정을 수행하고 "스케일업" 기준을 사용하여 소규모에서 전체 규모로 RSD를 외삽하는 것이 일반적이다.
계산은 전산 유체 역학 소프트웨어를 사용하거나 이론적 개발, 실험 측정 및 전산 유체 역학 데이터를 기반으로 구축된 상관 분석을 사용하여 수행할 수 있다.
전산 유체 역학 계산은 매우 정확하며 거의 모든 탱크 및 교반기 설계를 수용할 수 있지만, 전문 지식과 긴 계산 시간이 필요하다. 상관 분석은 사용하기 쉽지만 정확도가 떨어지고 모든 가능한 설계를 다루지는 못한다. 가장 인기 있는 상관 분석은 Zwietering(1958)이 발표한 '정지 속도' 상관 분석이다. 이는 사용하기 쉬운 상관 분석이지만 균질 현탁액을 위한 것은 아니다. 이는 바닥에 입자가 1~2초 이상 남아 있지 않은 '나쁜' 품질 현탁액(부분 현탁액)에 대한 교반 속도의 대략적인 추정치만 제공한다. 또 다른 동등한 상관 분석은 Mersmann(1998)의 상관 분석이다. '좋은' 품질 현탁액의 경우, Barresi(1987), Magelli(1991), Cekinski(2010) 또는 Macqueron(2017)의 출판물에서 유용한 상관 분석의 몇 가지 예를 찾을 수 있다. 기계 학습은 또한 "고전적인" 상관 분석보다 훨씬 더 정확한 모델을 구축하는 데 사용될 수 있다.
고체 탈응집.
이산화 타이타늄 안료와 같은 매우 미세한 분말 및 분무 건조된 물질은 운송 및 보관 중에 응집되거나 덩어리를 형성할 수 있다. 녹말 물질 또는 용매에 노출될 때 젤을 형성하는 물질은 외부가 젖고 내부는 건조한 덩어리를 형성할 수 있다. 이러한 유형의 물질은 고체 현탁에 선호되는 혼합기 유형으로는 액체에 쉽게 혼합되지 않는데, 이는 응집된 입자를 분해하려면 강한 전단력을 가해야 하기 때문이다. 어떤 면에서 고체 탈응집은 서로 섞이지 않는 액체를 혼합하는 것과 유사하지만, 합체가 일반적으로 문제가 되지 않는다는 점이 다르다. 이러한 유형의 혼합의 일상적인 예는 액체 우유와 고체 아이스크림으로 밀크셰이크를 만드는 것이다.
액체-기체 혼합.
액체와 기체는 일반적으로 물질 이동이 발생하도록 혼합된다. 예를 들어, 공기 스트리핑의 경우, 기체는 액체에서 휘발성 물질을 제거하는 데 사용된다. 일반적으로 이 목적을 위해 충전탑이 사용되며, 충전물은 무동력 혼합기 역할을 하고 공기 펌프는 추진력을 제공한다. 탱크와 임펠러가 사용될 때, 목표는 일반적으로 기포가 가능한 한 오랫동안 액체와 접촉하도록 하는 것이다. 이는 기체가 순수 산소와 같이 비싸거나 액체로 느리게 확산될 때 특히 중요하다. 탱크에서의 혼합은 액체상에서 (상대적으로) 느린 화학 반응이 일어나고 있어서 기포 근처의 얇은 층에서의 농도 차이가 벌크와 유사할 때도 유용하다. 이는 물질 전달을 위한 추진력을 감소시킨다. 액체상에서 (상대적으로) 빠른 화학 반응이 있다면, 때로는 기포를 분산시키지만 재순환시키지 않아 플러그 흐름 상태를 유지하고 물질을 더 효율적으로 전달하도록 하는 것이 유리하다.
러쉬턴 터빈은 전통적으로 기체를 액체에 분산시키는 데 사용되었지만, 스미스 터빈 및 바커 터빈과 같은 새로운 옵션이 더욱 보편화되고 있다. 문제 중 하나는 기체 흐름이 증가함에 따라 더 많은 기체가 임펠러 블레이드 뒤의 저압 영역에 축적되어 혼합기의 동력 소모(따라서 효율성)를 감소시킨다는 것이다. GDX 임펠러와 같은 새로운 설계는 이 문제를 거의 제거했다.
기체-고체 혼합.
기체-고체 혼합은 분말 또는 작은 입자 고체를 한 장소에서 다른 장소로 운반하거나 기체 반응물을 고체 촉매 입자와 혼합하기 위해 수행될 수 있다. 어느 경우든 기체의 난류 와류는 고체 입자를 현탁시키기에 충분한 힘을 제공해야 하며, 그렇지 않으면 고체 입자는 중력의 힘으로 가라앉는다. 입자의 크기와 모양은 중요한 고려 사항인데, 다른 입자는 다른 항력 계수를 가지며, 다른 재료로 만들어진 입자는 다른 밀도를 가지기 때문이다.
공정 산업에서 기체와 고체를 분리하는 데 사용되는 일반적인 단위 조작은 사이클론으로, 이는 기체 속도를 늦추고 입자가 침전되도록 한다.
다상 혼합.
다상 혼합은 고체, 액체 및 기체가 한 단계에서 결합될 때 발생한다. 이는 액체 및 기체 반응물이 고체 촉매와 결합되어야 하는 촉매 화학 공정(예: 수소화)의 일부로 발생하거나, 고체 미생물과 그들이 필요로 하는 기체가 액체 배지에 잘 분포되어야 하는 발효에서 발생할 수 있다. 사용되는 혼합기의 유형은 상의 특성에 따라 달라진다. 어떤 경우에는 기체 자체의 움직임이 액체를 통해 위로 이동하면서 거품 기둥과 함께 액체를 동반시키면서 혼합 동력을 제공한다. 이는 기둥 내부의 액체를 위로 끌어올리고 기둥 외부의 액체를 아래로 떨어뜨린다. 액체의 점성도가 너무 높아 이를 허용하지 않거나 (또는 고체 입자가 너무 무거워) 고체 입자를 현탁 상태로 유지하기 위해 임펠러가 필요할 수 있다.
기본 명칭.
액체 혼합의 경우 명칭은 상당히 표준화되어 있다.
믹서의 출력을 결정하는 데 사용되는 많은 방정식은 경험적으로 유도되거나 경험적으로 유도된 상수를 포함한다. 믹서가 난류 영역에서 작동하므로 많은 방정식은 대부분의 공학적 목적에 허용되는 것으로 간주되는 근사치이다.
믹싱 임펠러가 유체에서 회전하면, 흐름과 전단력이 결합되어 생성된다. 임펠러에 의해 생성된 흐름은 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있다:
임펠러의 유량 수는 North American Mixing Forum이 후원하는 Handbook of Industrial Mixing에 게시되었다.
임펠러를 회전시키는 데 필요한 동력은 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있다:
formula_2 (난류 영역)
formula_3 (층류 영역)
formula_4는 임펠러 형상의 함수인 (무차원) 동력 수이고, formula_5는 유체의 밀도이며, formula_6은 회전 속도로 일반적으로 초당 회전수이다. formula_7는 임펠러의 지름이고, formula_8는 층류 동력 상수이며, formula_9는 유체의 점성도이다. 믹서 동력은 회전 속도와 임펠러 지름에 강하게 의존하며, 존재하는 유동 영역에 따라 유체의 밀도 또는 점성도에 선형적으로 의존한다. 전이 영역에서는 임펠러 근처의 유동이 난류이므로 난류 동력 방정식을 사용한다.
최종 농도의 5% 이내로 유체를 혼합하는 데 필요한 시간 formula_10는 다음 상관관계를 사용하여 계산할 수 있다:
formula_11 (난류 영역)
formula_12 (전이 영역)
formula_13 (층류 영역)
전이/난류 경계는 formula_14에서 발생한다.
층류/전이 경계는 formula_15에서 발생한다.
실험실 혼합.
실험실 규모에서는 교반기 또는 간단한 손 흔들기로 혼합이 이루어진다. 때로는 실험실 용기에서의 혼합이 산업적으로 가능한 것보다 더 철저하고 빠르게 발생한다. 교반 막대는 혼합되는 유체에서 강체 회전을 유도하는 방사류 혼합기이다. 용기가 작고 혼합이 빠르게 (짧은 혼합 시간) 발생하므로 작은 규모에서는 허용된다. 다양한 교반 막대 구성이 존재하지만, 작은 크기와 (일반적으로) 낮은 유체 점성도 때문에 거의 모든 혼합 작업에 하나의 구성을 사용할 수 있다. 원통형 교반 막대는 요오드적정에서 볼 수 있듯이 고체 현탁, 탈응집 (분말로부터 미생물 배지 준비에 유용), 및 액체-액체 혼합에 사용될 수 있다. 실험실 혼합의 또 다른 특징은 믹서가 용기 중앙 근처에 매달려 있지 않고 용기 바닥에 놓여 있다는 것이다. 또한 실험실 혼합에 사용되는 용기는 일반적으로 산업용 혼합에 사용되는 용기보다 훨씬 다양하다. 예를 들어, 더 원통형인 비커 외에도 삼각 플라스크 또는 플로렌스 플라스크가 사용될 수 있다.
미세유체학에서의 혼합.