shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
저장 링으로의 입자 주입은 스토리지 링의 응용 분야에 따라 여러 가지 방법으로 수행될 수 있다. 가장 간단한 방법은 하나 이상의 펄스형 편향 쌍극자 자석(주입 키커 자석)을 사용하여 들어오는 입자 열을 저장된 빔 경로로 유도하는 것이다. 키커 자석은 저장된 열이 주입 지점으로 돌아오기 전에 꺼지므로 저장된 빔이 생성된다. 이 방법은 때때로 단일 턴 주입이라고 불린다.
다중 턴 주입은 많은 수의 들어오는 입자 열을 축적할 수 있게 하며, 이는 큰 저장 전류가 필요할 때 유용하다. 양성자와 같이 상당한 빔 감쇠가 없는 입자의 경우, 각 주입된 펄스는 저장된 빔의 횡방향 또는 종방향 위상 공간의 특정 지점에 배치되며, 빔 편향 및 저장된 빔의 일관된 진동을 신중하게 배열하여 이전에 주입된 열을 방출하지 않도록 주의한다. 예를 들어 싱크로트론 방사로 인한 전자의 방사 감쇠와 같이 상당한 빔 감쇠가 있는 경우, 주입된 펄스는 위상 공간의 가장자리에 배치된 다음, 추가 펄스를 주입하기 전에 횡방향 위상 공간에서 저장된 빔으로 감쇠되도록 할 수 있다. 싱크로트론 방사로 인한 일반적인 감쇠 시간은 수십 밀리초이며, 이는 초당 여러 펄스를 축적할 수 있게 한다.
입자 추출이 필요한 경우(예를 들어 일련의 가속기에서), 주입과 유사하게 단일 턴 추출을 수행할 수 있다. 공명 추출도 사용될 수 있다.
빔 역학.
입자들은 매우 많은 턴, 잠재적으로 100억 턴 이상 동안 저장되어야 한다. 이러한 장기 안정성은 도전적이며, 장기 안정성을 이해하고 최적화하기 위해 자석 설계와 추적 코드 및 분석 도구를 결합해야 한다.
전자 스토리지 링의 경우, 방사 감쇠는 전자를 수천 턴 정도의 설계 궤도로 되돌리는 비-해밀턴 역학을 제공하여 안정성 문제를 완화한다. 방출된 광자 에너지의 변동으로 인한 확산과 함께 평형 빔 분포에 도달한다. 이러한 주제에 대한 자세한 내용은를 참조할 수 있다.
수학에서 선형 미분 방정식()은 미지의 함수와 그 도함수에 대해 선형인 미분방정식으로, 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
여기서 와 는 선형일 필요가 없는 임의의 미분 가능 함수이고, 는 변수 에 대한 미지의 함수 의 연속적인 도함수이다.
이러한 방정식은 상미분 방정식 (ODE)이다. 선형 미분 방정식은 미지의 함수가 여러 변수에 의존하고 방정식에 나타나는 도함수가 편미분일 경우 선형 편미분 방정식이 될 수도 있다.
해의 유형.
선형 미분 방정식 또는 관련된 동차 방정식이 상수 계수를 갖는 연립 일차 방정식은 '구적법으로 풀이'될 수 있는데, 이는 해가 적분으로 표현될 수 있음을 의미한다. 이는 비상수 계수를 갖는 1차 선형 방정식에도 적용된다. 비상수 계수를 갖는 2차 이상의 방정식은 일반적으로 구적법으로 풀 수 없다. 2차의 경우, 코바치 알고리즘은 적분 형태의 해가 있는지 여부를 결정하고, 있다면 이를 계산할 수 있게 해준다.
다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해는 홀로노믹 함수라고 불린다. 이 함수 클래스는 합, 곱, 미분, 적분에 대해 안정적이며, 지수 함수, 로그, 사인, 코사인, 역삼각 함수, 오차 함수, 베셀 함수, 초기하 함수와 같은 많은 일반적인 함수 및 특수 함수를 포함한다. 정의 미분 방정식과 초기 조건을 통한 표현은 미적분학의 대부분의 연산, 예를 들어 부정적분 계산, 극한, 점근적 전개, 그리고 인증된 오차 한계를 가진 모든 정밀도에서의 수치 평가를 알고리즘적으로 수행할 수 있게 한다.
(선형) 미분 방정식에 나타나는 가장 높은 미분 차수는 방정식의 "차수"이다. 미지의 함수와 그 도함수에 의존하지 않는 항 은 때때로 (대수 방정식에 비유하여) 방정식의 "상수항"이라고 불리며, 이 항이 상수가 아닌 함수인 경우에도 마찬가지이다. 상수항이 영 함수인 경우, 미분 방정식은 미지의 함수와 그 도함수에 대해 동차다항식이므로 "동차"라고 한다. 선형 미분 방정식에서 상수항을 영 함수로 대체하여 얻는 방정식은 ""이다. 미분 방정식은 관련된 동차 방정식에 상수 함수만 계수로 나타나는 경우 "상수 계수"를 갖는다고 한다.
미분 방정식의 ""는 방정식을 만족하는 함수이다.
동차 선형 미분 방정식의 해는 벡터 공간을 형성한다. 일반적인 경우, 이 벡터 공간은 방정식의 차수와 동일한 유한 차원을 갖는다. 선형 미분 방정식의 모든 해는 특정 해에 관련된 동차 방정식의 해를 더하여 찾을 수 있다.
선형 미분 연산자.
차수 의 "기본 미분 연산자"는 임의의 미분 가능 함수를 그 계 도함수로 매핑하거나, 여러 변수의 경우, 차수 의 편미분 중 하나로 매핑한다. 이는 일반적으로 다음으로 표기된다.
단변수 함수의 경우, 그리고
개 변수의 함수의 경우. 기본 미분 연산자는 항등 매핑인 0차 도함수를 포함한다.
선형 미분 연산자 (이 문서에서는 '선형 연산자' 또는 간단히 '연산자'로 약칭)는 미분 가능 함수를 계수로 하는 기본 미분 연산자들의 선형 결합이다. 단변수 함수의 경우, 선형 연산자는 다음과 같은 형태를 갖는다.
여기서 는 미분 가능 함수이고, 음수가 아닌 정수 은 연산자의 "차수"이다 (만약 가 영 함수가 아닌 경우).
이 선형 미분 연산자라고 하자. 함수 에 을 적용하는 것은 보통 또는 변수를 지정해야 할 경우 로 표기된다 (이는 곱셈과 혼동해서는 안 된다). 선형 미분 연산자는 합을 합으로, 스칼라와의 곱을 동일한 스칼라와의 곱으로 매핑하므로 선형 연산자이다.
두 선형 연산자의 합이 선형 연산자이고, 미분 가능 함수에 의한 선형 연산자의 (왼쪽) 곱 또한 선형 연산자이므로, 선형 미분 연산자들은 (고려되는 함수의 성격에 따라) 실수 또는 복소수에 대한 벡터 공간을 형성한다. 이들은 또한 미분 가능 함수의 환에 대한 자유 가군을 형성한다.
연산자 표기법은 미분 방정식을 간결하게 작성할 수 있게 해준다: 만약
가 선형 미분 연산자라면, 방정식
는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
이 표기법에는 몇 가지 변형이 있을 수 있다. 특히, 미분 변수가 와 방정식의 우항에 명시적으로 나타나거나 나타나지 않을 수 있다 (예: 또는 ).
선형 미분 연산자의 "핵"은 선형 매핑으로서의 영공간이며, 즉 (동차) 미분 방정식 의 해들의 벡터 공간이다.
차 상미분 연산자의 경우, 카라테오도리 존재 정리는 매우 완만한 조건 하에서 의 핵이 차원의 벡터 공간이며, 방정식 의 해는 다음 형태를 갖는다는 것을 의미한다.
여기서 은 임의의 수이다. 일반적으로, 카라테오도리 정리의 가설은 구간 에서 함수 가 에서 연속이고, 의 모든 에 대해 인 양의 실수 가 존재할 때 만족된다.
상수 계수를 갖는 동차 방정식.
동차 선형 미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는 경우 "상수 계수"를 갖는다.
여기서 는 (실수 또는 복소수)이다. 다시 말해, 상수 계수를 갖는 선형 연산자로 정의되는 경우 상수 계수를 갖는다.
상수 계수를 갖는 이러한 미분 방정식의 연구는 레온하르트 오일러로 거슬러 올라가는데, 그는 인 방정식 의 유일한 해인 지수 함수 를 도입했다. 따라서 의 계 도함수는 이며, 이는 동차 선형 미분 방정식을 비교적 쉽게 풀 수 있게 해준다.
다음과 같은 동차 선형 미분 방정식이 있다고 하자.
상수 계수(즉, 는 실수 또는 복소수)를 갖는다.
이 방정식의 형태의 해를 찾는 것은 다음을 만족하는 상수 를 찾는 것과 동등하다.
(결코 0이 아님)를 인수분해하면 가 미분 방정식의 "특성 다항식"의 근이어야 함을 알 수 있다.
이는 특성 방정식의 좌변이다.
이러한 근들이 모두 서로 다를 때, 방정식의 계수가 실수라 할지라도 반드시 실수는 아닌 개의 서로 다른 해를 얻는다. 이 해들은 이 해들의 에서의 값들의 반데르몽드 행렬식을 고려함으로써 선형 독립임을 보일 수 있다. 이 해들은 함께 미분 방정식의 해들의 기저를 형성한다(즉, 미분 연산자의 영공간).
특성 다항식이 단순근만 가질 경우, 위에서 제시된 방식은 해 벡터 공간의 완전한 기저를 제공한다. 중근을 가질 경우에는 기저를 형성하기 위해 더 많은 선형 독립 해가 필요하다. 이들은 다음과 같은 형태를 갖는다.
여기서 는 음이 아닌 정수이고, 는 특성 다항식의 중복도 의 근이며, 이다. 이 함수들이 해임을 증명하기 위해, 가 중복도 의 특성 다항식의 근이라면, 특성 다항식은 로 인수분해될 수 있다는 점을 주목할 수 있다. 따라서 방정식의 미분 연산자를 적용하는 것은 먼저 번 적용한 다음, 특성 다항식이 인 연산자를 적용하는 것과 같다. 지수 이동 정리에 의해,
따라서 번 적용하면 0이 된다.
대수학의 기본 정리에 의해 다항식의 근의 중복도의 합은 다항식의 차수와 같으므로, 위 해들의 개수는 미분 방정식의 차수와 같고, 이 해들은 해 공간의 기저를 이룬다.
방정식의 계수가 실수인 일반적인 경우, 실수 값 함수로 구성된 해의 기저를 갖는 것이 일반적으로 더 편리하다. 이러한 기저는 가 특성 다항식의 근이라면, 도 같은 중복도를 갖는 근임을 주목하여 이전 기저에서 얻을 수 있다. 따라서 실 기저는 오일러 공식을 사용하여 formula_16와 formula_17를 formula_18와 formula_19로 대체하여 얻는다.
2차 방정식의 경우.
2차 동차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
그리고 특성 다항식은 다음과 같다.
만약 와 가 실수라면, 판별식 에 따라 해는 세 가지 경우가 있다. 세 경우 모두 일반해는 두 개의 임의 상수 과 에 의존한다.
과 를 만족하는 해 를 찾으려면, 위 일반해의 에서의 값과 그 도함수 값을 각각 과 와 같다고 놓는다. 이는 미지수 과 에 대한 두 개의 선형 방정식으로 구성된 선형 시스템을 초래한다. 이 시스템을 풀면 소위 코시 문제에 대한 해를 얻는다. 이 문제에서는 DEQ의 해와 그 도함수의 에서의 값이 지정된다.
상수 계수를 갖는 비동차 방정식.
상수 계수를 갖는 차 비동차 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 은 실수 또는 복소수이고, 는 의 주어진 함수이며, 는 미지의 함수이다 (간단히 하기 위해, 다음에서는 ""를 생략한다).
이러한 방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있다. 가장 좋은 방법은 방정식을 비동차로 만드는 함수 의 성질에 따라 달라진다. 만약 가 지수 함수와 사인 함수들의 선형 결합이라면, 지수 반응 공식을 사용할 수 있다. 더 일반적으로, 만약 가 , , 그리고 형태의 함수들의 선형 결합이라면 (여기서 은 음이 아닌 정수이고, 는 상수이다), 미정계수법을 사용할 수 있다. 더욱 일반적인 경우, 가 동차 선형 미분 방정식, 일반적으로 홀로노믹 함수를 만족할 때 소멸자 방법이 적용된다.
가장 일반적인 방법은 상수변화법이며, 여기서 설명한다.
관련된 동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.
여기서 은 해 공간의 기저이고 은 임의의 상수이다. 상수변화법은 다음과 같은 아이디어에서 이름을 따왔다. 을 상수로 간주하는 대신, 를 비동차 방정식의 해로 만들기 위해 결정되어야 하는 미지의 함수로 간주할 수 있다. 이를 위해 다음 제약 조건을 추가한다.
이는 (곱 규칙과 수학적 귀납법에 의해) 다음을 의미한다.
에 대해, 그리고
원래 방정식에서 와 그 도함수들을 이 표현식들로 대체하고, 이 원래의 동차 방정식의 해라는 사실을 이용하면 다음과 같이 얻어진다.
이 방정식과 좌변이 인 위 방정식들은 에 대한 개의 선형 방정식을 형성하며, 이 방정식들의 계수는 알려진 함수들(, 및 그 도함수들)이다. 이 시스템은 선형대수학의 어떤 방법으로든 풀 수 있다. 부정적분을 계산하면 을 얻고, 그러면 을 얻는다.
부정적분이 상수의 덧셈에 따라 정의되므로, 비동차 방정식의 일반해는 임의의 해와 관련된 동차 방정식의 일반해의 합임을 다시 확인할 수 있다.
변수 계수를 갖는 1차 방정식.
의 계수로 나누었을 때, 1차 선형 상미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.
만약 방정식이 동차, 즉 이라면, 다음과 같이 재작성하고 적분할 수 있다.
여기서 는 임의의 적분상수이고 formula_35는 의 임의의 부정적분이다. 따라서 동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.
여기서 는 임의의 상수이다.
일반적인 비동차 방정식의 경우, 방정식 양변에 동차 방정식 해의 곱셈 역원 을 곱하는 것이 유용하다. 이는 다음을 제공한다.
이므로 곱 규칙을 이용하여 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
따라서 일반해는 다음과 같다.
여기서 는 적분 상수이고, 는 의 임의의 부정적분이다 (부정적분을 바꾸는 것은 적분 상수를 바꾸는 것과 같다).
방정식 풀기
관련된 동차 방정식 formula_41은 다음을 제공한다.
원래 방정식을 이 해들 중 하나로 나누면 다음과 같다.
에 대해, 특정 해는 다음과 같다.
선형 미분 방정식계.
선형 미분 방정식계는 여러 미지의 함수를 포함하는 여러 선형 미분 방정식으로 구성된다. 일반적으로 미지의 함수 개수가 방정식 개수와 같은 시스템으로 연구가 제한된다.
임의의 선형 상미분 방정식과 그러한 방정식계는 가장 높은 차수 도함수를 제외한 모든 변수에 대해 변수를 추가함으로써 1차 선형 미분 방정식계로 변환될 수 있다. 즉, 방정식에 가 나타나면, 이들을 새로운 미지의 함수 로 대체할 수 있으며, 이들은 와 에 대해 } 방정식을 만족해야 한다.
개의 미지 함수와 개의 미분 방정식을 갖는 1차 선형 시스템은 일반적으로 미지 함수의 도함수에 대해 풀 수 있다. 그렇지 않은 경우 이는 미분대수방정식이며, 이는 다른 이론이다. 따라서 여기서 고려하는 시스템은 다음 형태를 갖는다.
여기서 과 는 의 함수이다. 행렬 표기법으로 이 시스템은 ( ""를 생략하고) 다음과 같이 쓸 수 있다.
풀이 방법은 단일 1차 선형 미분 방정식의 그것과 유사하지만, 행렬 곱셈의 비가환성으로 인한 복잡성이 추가된다.
다음과 같다고 하자.
는 위 행렬 방정식과 관련된 동차 방정식이다.
그 해는 차원 의 벡터 공간을 형성하며, 따라서 행렬식이 영 함수가 아닌 함수들의 정방 행렬 의 열이다. 만약 이거나, 가 상수 행렬이거나, 더 일반적으로 가 그 부정적분 와 교환 가능하다면, 는 의 지수와 같게 선택할 수 있다. 사실, 이러한 경우에 다음과 같다.
일반적인 경우에는 동차 방정식에 대한 닫힌 형식의 해가 없으므로 수치해석 방법이나 마그누스 전개와 같은 근사 방법을 사용해야 한다.
행렬 를 알고 있을 때, 비동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.
여기서 열 행렬 formula_55는 임의의 적분상수이다.
초기 조건이 다음과 같이 주어지면
이 초기 조건을 만족하는 해는 다음과 같다.
변수 계수를 갖는 고차 방정식.
변수 계수를 갖는 1차 선형 상미분 방정식은 구적법으로 풀 수 있는데, 이는 해가 적분으로 표현될 수 있음을 의미한다. 2차 이상에서는 그렇지 않다. 이는 피카르-베시오 이론의 주요 결과이며, 이 이론은 에밀 피카르와 어니스트 베시오가 시작했고, 최근의 발전은 미분 갈루아 이론이라고 불린다.
구적법으로 풀 수 없는 것은 아벨-루피니 정리와 비교될 수 있는데, 이 정리는 5차 이상의 대수 방정식은 일반적으로 근호로 풀 수 없다고 명시한다. 이 유비는 증명 방법에도 확장되며 미분 갈루아 이론이라는 명칭의 동기가 된다.
대수적 경우와 유사하게, 이 이론은 어떤 방정식이 구적법으로 풀 수 있는지 결정하고, 가능하다면 이를 풀 수 있게 해준다. 그러나 두 이론 모두에서 필요한 계산은 가장 강력한 컴퓨터로도 극히 어렵다.
그럼에도 불구하고, 유리 계수를 갖는 2차의 경우는 코바치 알고리즘에 의해 완전히 해결되었다.
코시-오일러 방정식.
코시-오일러 방정식은 변수 계수를 갖는 임의의 차수 방정식의 예시로, 명시적으로 풀 수 있다. 이 방정식들은 다음과 같은 형태이다.
여기서 는 상수 계수이다.
홀로노믹 함수.
홀로노믹 함수는 D-유한 함수라고도 불리며, 다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해인 함수이다.
수학에서 일반적으로 고려되는 대부분의 함수는 홀로노믹 함수이거나 홀로노믹 함수의 몫이다. 사실, 홀로노믹 함수에는 다항식, 대수함수, 로그, 지수 함수, 사인, 코사인, 쌍곡선 사인, 쌍곡선 코사인, 역삼각 함수 및 역쌍곡선 함수, 그리고 베셀 함수 및 초기하 함수와 같은 많은 특수 함수가 포함된다.
홀로노믹 함수는 여러 폐쇄성을 가지며, 특히 홀로노믹 함수의 합, 곱, 미분 및 적분은 홀로노믹이다. 더욱이, 이러한 폐쇄성은 유효하다는 의미에서 입력 홀로노믹 함수의 미분 방정식을 알면 이러한 연산 결과의 미분 방정식을 계산하는 알고리즘이 존재한다.
홀로노믹 함수 개념의 유용성은 Zeilberger의 정리에서 비롯된다.
홀로노믹 수열은 다항식 계수를 갖는 점화식에 의해 생성될 수 있는 수열이다. 홀로노믹 함수의 한 점에서의 테일러 급수의 계수는 홀로노믹 수열을 형성한다. 반대로, 멱급수의 계수 수열이 홀로노믹이면, 그 급수는 홀로노믹 함수를 정의한다 (수렴반경이 0이더라도). 두 변환 모두에 대한 효율적인 알고리즘이 존재하며, 즉 미분 방정식에서 점화식을 계산하고 그 반대도 가능하다.
따라서 (컴퓨터에서) 홀로노믹 함수를 정의 미분 방정식과 초기 조건으로 나타내면, 미적분학의 대부분의 연산, 예를 들어 미분, 부정 및 정적분, 테일러 급수의 빠른 계산(계수에 대한 점화식 덕분), 오차의 인증된 경계를 갖는 고정밀도 평가, 극한, 특이점 위치 파악, 무한대 및 특이점 근처에서의 점근적 행동, 항등식 증명 등을 이러한 함수에 대해 자동적으로 수행할 수 있다.
수학에서 내적 공간에 정의된 함수는 인수에 임의의 회전을 적용해도 값이 변하지 않으면 회전 불변성()을 가진다고 한다.
예를 들어, 함수
는 원점을 중심으로 한 평면의 회전에 대해 불변이다. 왜냐하면 어떤 각 θ를 통해 회전된 좌표계에 대해
항들의 소거 후 함수는 정확히 동일한 형태를 취하기 때문이다.
좌표의 회전은 회전변환행렬을 사용하여 행렬 형태로 표현할 수 있다.
또는 기호적으로 = Rx. 기호적으로, 두 실수 변수의 실수값 함수의 회전 불변성은 다음과 같다.
다시 말해, 회전된 좌표의 함수는 초기 좌표와 정확히 동일한 형태를 취하며, 유일한 차이점은 회전된 좌표가 초기 좌표를 대체한다는 것이다. 세 개 이상의 실수 변수를 가진 실수값 함수의 경우, 이 표현은 적절한 회전 행렬을 사용하여 쉽게 확장된다.
이 개념은 하나 이상의 변수를 가진 벡터 함수 f에도 확장된다.
위의 모든 경우에서 인자(여기서는 명확성을 위해 "좌표"라고 함)가 회전되는 것이지, 함수 자체가 회전되는 것은 아니다.
실직선 formula_8의 부분집합 X에서 자기 자신으로 요소를 매핑하는 함수
의 경우, 회전 불변성은 함수가 X의 요소들의 회전과 교환된다는 것을 의미할 수도 있다. 이는 그러한 함수에 작용하는 연산자에도 적용된다. 예를 들어 2차원 라플라스 연산자는 다음과 같다.
이 연산자는 함수 f에 작용하여 다른 함수 ∇2f를 얻는다. 이 연산자는 회전에 대해 불변이다.
g가 g(p) = f(R(p)) 함수이고 R이 임의의 회전이라면, (∇2g)(p) = (∇2f )(R(p))이다. 즉, 함수를 회전하는 것은 단순히 그 라플라시안을 회전하는 것이다.
물리학에서 시스템이 공간에서 어떻게 놓여 있든 상관없이 동일하게 동작한다면, 그 라그랑주 함수는 회전 불변이다. 뇌터 정리에 따르면, 물리 시스템의 작용(라그랑주 함수의 시간에 대한 적분)이 회전에 대해 불변이라면 각운동량이 보존된다.
양자역학에 대한 응용.
양자역학에서 회전 불변성은 회전 후에도 새로운 시스템이 여전히 슈뢰딩거 방정식을 따른다는 속성이다. 즉,
모든 회전 R에 대해 성립한다. 회전은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 에너지 연산자와 교환한다. 따라서 회전 불변성을 위해서는 [R, H] = 0이 성립해야 한다.
각도 dθ만큼의 미소 회전(이 예에서는 xy-평면에서; 다른 어떤 평면에서도 유사하게 할 수 있음)에 대해 (미소) 회전 연산자는 다음과 같다.
다시 말해 각운동량이 보존된다.
자발적 매개 변수 하향 변환(, SPDC, 매개 변수 형광(parametric fluorescence) 또는 매개 변수 산란(parametric scattering)으로도 알려져 있음)은 에너지 보존 및 운동량 보존 법칙에 따라 고에너지 광자(즉, 펌프 광자) 하나를 저에너지 광자 쌍(즉, 신호 및 아이들러 광자)으로 변환하는 비선형 순간 광학 과정이다. 이는 양자광학에서 얽힌 광자 쌍 및 단일 광자를 생성하는 중요한 과정이다.
광자 빔으로부터 광자 쌍을 생성하는 데 비선형 결정이 사용된다. 에너지와 운동량 보존에 따라, 이 쌍은 원래 광자의 에너지와 운동량과 동일한 결합 에너지와 운동량을 가져야 한다. 분산으로 인해 굴절률이 주파수에 따라 변하기 때문에, 동시에 에너지 및 운동량 보존을 달성할 수 있도록 특정 주파수 삼중체만 위상 정합된다. 위상 정합은 가장 일반적으로 굴절률이 편광에 따라 변하는 복굴절 비선형 재료를 사용하여 달성된다. 그 결과, SPDC의 다른 유형은 입력 광자(펌프)와 두 출력 광자(신호 및 아이들러)의 편광에 따라 분류된다.
SPDC의 변환 효율은 일반적으로 매우 낮으며, 도파관에서 주기적으로 폴링된 리튬 나이오베이트 (PPLN)의 경우 최고 효율은 4x10−6 입사 광자 정도이다. 그러나 쌍의 절반이 언제든지 감지되면 그 파트너가 존재한다는 것을 알 수 있다. Type I 하향 변환기 출력의 축퇴 부분은 짝수 광자 수 항만을 포함하는 압착된 진공이다. Type II 하향 변환기의 비축퇴 출력은 이중 모드 압착 진공이다.
일반적으로 사용되는 SPDC 장치 설계에서 "펌프" 빔이라고 불리는 강한 레이저 빔이 BBO (바륨 붕산염 또는 리튬 나이오베이트) 결정에 조사된다. 대부분의 광자는 결정을 그대로 통과한다. 그러나 가끔 일부 광자는 Type II 편광 상관 관계를 가진 자발적 하향 변환을 겪으며, 그 결과로 생성된 상관 광자 쌍은 축이 펌프 빔에 대해 대칭적으로 배열된 두 개의 원뿔 측면을 따라 제한된 궤적을 갖는다. 운동량 보존 때문에 두 광자는 항상 펌프 빔에 대해 원뿔 측면에 대칭적으로 위치한다. 특히, 소수의 광자 쌍의 궤적은 두 원뿔 표면이 교차하는 두 선에 동시에 놓일 것이다. 이는 이 두 선에서 나오는 광자 쌍의 편광 얽힘을 초래한다. 광자 쌍은 좌측 광자, 우측 광자의 편광에 해당하는 얽히지 않은 상태 formula_1와 formula_2의 동일한 가중치 양자 중첩 상태에 있다.
다른 결정은 KDP (인산이수소칼륨)이며, 이는 두 광자가 동일한 편광을 갖는 Type I 하향 변환에 주로 사용된다.
효과적인 매개변수 하향 변환 비선형 결정의 몇 가지 특징은 다음과 같다:
SPDC는 1967년 S. E. 해리스, M. K. 오슈만, 그리고 R. L. 바이어에 의해, 뿐만 아니라 D. 마그데와 H. 마르에 의해 시연되었다. 1980년대 후반 두 독립적인 연구팀인 캐롤 앨리와 시얀화, 그리고 루파만자리 고쉬와 레오나르트 만델에 의해 처음으로 결맞음 관련 실험에 적용되었다. 비간섭성(판 시테르트-제르니케 정리)과 이광자 방출 사이의 파동-입자 이중성이 발견되었다.
SPDC는 (매우 근사적으로) 단일 광자를 포함하는 광학장을 생성할 수 있게 한다. 2005년 현재, 이는 실험자가 단일 광자 (또한 폭 상태로 알려져 있음)를 생성하는 주요 메커니즘이다. 단일 광자와 광자 쌍은 종종 양자 정보 실험 및 양자 암호와 벨 테스트 실험과 같은 응용 분야에서 사용된다.
SPDC는 높은 공간 상관도를 가진 얽힌 광자 쌍을 생성하는 데 널리 사용된다. 이러한 쌍은 두 개의 광 검출기에서 정보를 결합하는 고스트 이미징에 사용된다. 이 중 하나는 물체를 보지 않는 기존의 다중 픽셀 검출기이고, 다른 하나는 물체를 보는 단일 픽셀(버킷) 검출기이다.
최근에 관찰된 전기적으로 구동되는 반도체에서의 두 광자 방출 효과는 얽힌 광자 쌍의 더 효율적인 소스의 기반으로 제안되었다. SPDC로 생성된 광자 쌍 외에도, 반도체에서 방출된 쌍의 광자들은 일반적으로 동일하지 않고 다른 에너지를 갖는다. 최근까지 양자 불확정성의 제약 내에서 방출된 광자 쌍은 동일한 위치에서 생성되는 것으로 가정되었다. 그러나 SPDC에서 상관 광자 쌍을 생성하는 새로운 비국소화 메커니즘은 쌍을 구성하는 개별 광자가 공간적으로 분리된 지점에서 방출될 수 있음을 강조했다.
물리학에서, 특히 상대론적 양자역학(RQM)과 입자물리학에서의 응용에서, 상대론적 파동 방정식()은 높은 에너지와 빛의 속력에 필적하는 속도에서 입자의 행동을 예측한다.
양자장론(QFT)의 맥락에서 상대론적 파동 방정식은 양자장의 역학을 결정한다. 이 방정식의 해들은 보편적으로 또는 (그리스어 프시)로 표시되며, RQM의 맥락에서는 '파동 함수'로, QFT의 맥락에서는 '장'으로 지칭된다. 이에 간단히 '파동 방정식' 또는 '장 방정식'으로 불리는데, 이는 이들이 파동 방정식의 수학적 형태를 가지고 있거나 라그랑지언과 장론적 오일러-라그랑주 방정식에서 생성되기 때문이다.
슈뢰딩거 묘사에서 파동 함수 또는 장은 슈뢰딩거 방정식의 해이다.
이는 양자역학의 공리 중 하나이다. 모든 상대론적 파동 방정식은 물리계를 기술하는 해밀토니언 연산자 Ĥ의 다양한 형태를 지정함으로써 구성될 수 있다. 다른 방법으로는, 파인만의 경로 적분 공식화는 해밀토니언 연산자 대신 라그랑지언을 사용한다.
더 일반적으로 말하면, 상대론적 파동 방정식의 현대 형식주의는 로런츠 군 이론이며, 여기에서 입자의 스핀은 로런츠 군의 표현과 상응한다.
1920년대 초: 고전역학과 양자역학.
분자, 원자, 그리고 원자핵 시스템 및 더 작은 시스템에 적용된 고전역학의 실패는 새로운 역학, 즉 양자역학의 필요성을 야기했다. 수학적 공식화는 드 브로이, 보어, 슈뢰딩거, 파울리, 하이젠베르크 등 여러 학자들에 의해 1920년대 중반에 이루어졌으며, 당시에는 고전역학과 유사했다. 슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크 묘사는 큰 양자수(더 높은 에너지 준위)의 극한에서 그리고 환산 플랑크 상수(작용의 양자) 이 0으로 갈 때 고전적인 운동 방정식과 유사하다. 이것이 바로 대응원리이다. 이 시점에서 특수 상대성이론은 양자역학과 완전히 결합되지 않았기 때문에, 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 원래 제안된 공식화는 입자가 빛의 속력 근처로 이동하거나 각 유형의 입자 수가 변하는 상황(이것은 실제 입자 상호작용에서 발생한다. 즉, 다양한 형태의 입자 붕괴, 쌍소멸, 물질 생성, 쌍생성 등)에서 사용될 수 없었다.
1920년대 후반: 스핀-0 및 스핀-1/2 입자의 상대론적 양자역학.
상대론적 효과를 설명할 수 있는 양자역학 시스템에 대한 설명은 1920년대 후반부터 1940년대 중반까지 많은 이론 물리학자들에 의해 탐구되었다. 상대론적 양자역학, 즉 특수 상대성이론과 양자역학이 함께 적용되는 첫 번째 기반은 흔히 클라인-고든 방정식이라고 불리는 것을 발견한 모든 이들에 의해 발견되었다.
이 방정식은 에너지 연산자와 운동량 연산자를 상대론적 에너지-운동량 관계에 삽입하여 얻어진다.
()의 해는 스칼라장이다. 클라인-고든 방정식은 ()의 이차 방정식적 특성으로 인해 음의 에너지와 확률을 예측하여 바람직하지 않다. 이는 상대론적 이론에서는 피할 수 없는 결과이다. 이 방정식은 처음에 슈뢰딩거가 제안했지만 이러한 이유로 폐기했으며, 몇 달 후에 그의 비상대론적 극한(현재 슈뢰딩거 방정식이라고 불리는 것)이 여전히 중요하다는 것을 깨달았다. 그럼에도 불구하고 ()는 스핀-0 보손에 적용 가능하다.
슈뢰딩거가 발견한 비상대론적 방정식이나 상대론적 방정식 모두 수소 스펙트럼 계열의 미세 구조를 예측할 수 없었다. 이 신비한 근본 속성은 스핀이었다. 처음으로 2차원 스핀 행렬(파울리 행렬로 더 잘 알려져 있음)은 파울리가 파울리 방정식에 도입했다. 이 방정식은 자기장에 있는 입자에 대한 추가 항을 포함하는 비상대론적 해밀토니언을 가진 슈뢰딩거 방정식이었지만, 이는 현상론적이었다. 바일은 파울리 행렬을 사용하여 질량이 없는 스핀-1/2 페르미온에 대한 상대론적 방정식인 바일 방정식을 발견했다. 이 문제는 1920년대 후반 디랙이 방정식 ()를 전자에 적용하는 것을 발전시키면서 해결되었다. 그는 다양한 조작을 통해 방정식을 다음과 같은 형태로 인수분해했다.
그리고 이 인수 중 하나가 에너지 및 운동량 연산자를 삽입한 디랙 방정식이다(아래 참조). 이것은 상대론적 파동 방정식에 새로운 4차원 스핀 행렬 와 를 처음으로 도입했으며, 수소의 미세 구조를 설명했다. ()의 해는 다중 성분 스피너장이며, 각 성분은 ()을 만족한다. 스피너 해의 놀라운 결과는 성분의 절반이 입자를 기술하고 나머지 절반이 반입자를 기술한다는 것이다. 이 경우 전자와 양전자이다. 디랙 방정식은 이제 모든 질량 있는 스핀-1/2 페르미온에 적용되는 것으로 알려져 있다. 비상대론적 극한에서는 파울리 방정식이 복구되며, 질량이 없는 경우에는 바일 방정식이 결과로 나타난다.
양자론의 이정표임에도 불구하고, 디랙 방정식은 스핀-1/2 페르미온에만 해당하며, 여전히 음의 에너지 해를 예측하여 당시 논란을 야기했다(특히 모든 물리학자가 음의 에너지 상태의 "디랙의 바다"에 편안함을 느끼지 못했다).
1930년대-1960년대: 고스핀 입자의 상대론적 양자역학.
명확한 문제는 디랙 방정식을 모든 스핀을 가진 입자, 즉 페르미온과 보손 모두에게 일반화하고, 같은 방정식에서 이들의 반입자도 포함하며(디랙이 그의 방정식에 도입하고 판데르바르던이 1929년에 스피너 미적분학에서 최근에 발전시킨 스피너 형식론 덕분에 가능했다), 이상적으로는 양의 에너지 해를 포함하는 것이었다.
이는 마요라나가 1932년에 디랙과는 다른 접근 방식으로 도입하고 해결했다. 마요라나는 ()의 한 "근"을 고려했다.
여기서 는 무한히 많은 성분을 가진 스피너장이며, 부호의 불확정성을 제거하기 위해 유한한 수의 텐서나 스피너로 환원될 수 없다. 행렬 와 는 무한 차원 행렬이며, 무한소 로런츠 변환과 관련이 있다. 그는 의 각 성분이 방정식 ()를 만족해야 한다고 요구하지 않았다. 대신 그는 로런츠 불변 작용을 사용하여 최소 작용 원리와 로런츠 군 이론의 적용을 통해 방정식을 재구성했다.
마요라나는 다양한 차원(5, 6, 16)의 파동 방정식을 포함하여 출판되지 않은 다른 중요한 공헌을 했다. 이들은 나중에 (더 복잡한 방식으로) 드 브로이(1934)와 더핀, 케머, 페티오(1938–1939년경)에 의해 예상되었다(더핀-케머-페티오 대수 참조). 디랙-피어츠-파울리 형식론은 마요라나의 것보다 더 정교했다. 스피너는 20세기 초에 새로운 수학적 도구였지만, 마요라나의 1932년 논문은 완전히 이해하기 어려웠다. 파울리와 위그너가 그것을 이해하는 데 1940년경까지 시간이 걸렸다.
디랙은 1936년에, 피어츠와 파울리는 1939년에 모든 지수에서 대칭인 비가환 스피너 와 를 사용하여 정수 에 대해 스핀 인 질량 입자에 대한 방정식을 만들었다(판데르바르던 표기법에서 점이 찍힌 지수의 의미는 참조).
A_{\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n}^{\dot{\alpha}\dot{\beta}_1\dot{\beta}_2\cdots\dot{\beta}_n} = mcB_{\gamma\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n}^{\dot{\beta}_1\dot{\beta}_2\cdots\dot{\beta}_n},
B_{\gamma\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n}^{\dot{\beta}_1\dot{\beta}_2\cdots\dot{\beta}_n} = mcA_{\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n}^{\dot{\alpha}\dot{\beta}_1\dot{\beta}_2\cdots\dot{\beta}_n},
여기서 는 공변 스피너 연산자로서의 운동량이다. 일 때, 이 방정식은 결합된 디랙 방정식으로 축소되며, 와 는 함께 원래의 디랙 스피너로 변환된다. 또는 를 제거하면 와 각각이 ()을 만족함을 보여준다. 바르그만-위그너 연산자를 사용한 디랙-파울리-피어츠 방정식의 직접 유도는 이사예프와 포도이니친에 의해 제시되었다.
1941년에 라리타와 슈윙거는 스핀-3/2 입자에 초점을 맞추어 라리타-슈윙거 방정식을 유도했으며, 이를 생성하기 위한 라그랑지언을 포함했고, 나중에 정수 에 대한 스핀 에 유사한 방정식을 일반화했다. 1945년에 파울리는 마요라나의 1932년 논문을 바바에게 제안했고, 바바는 마요라나가 1932년에 도입했던 일반적인 아이디어로 돌아갔다. 바바와 루반스키는 ()와 ()의 질량 항을 파동 함수가 따라야 하는 일련의 조건에 따라 임의의 상수로 대체함으로써 완전히 일반적인 방정식 세트를 제안했다.
마침내 1948년(같은 해에 파인만의 경로 적분 공식화가 만들어졌다), 바르그만과 위그너는 모든 스핀을 가질 수 있는 질량 입자에 대한 일반 방정식을 완전히 대칭적인 유한 성분 스피너와 로렌츠 군 이론을 사용하여(마요라나가 했던 것처럼) 공식화했다. 이것이 바르그만-위그너 방정식이다. 1960년대 초반, 바르그만-위그너 방정식의 재정식화가 H. 요스와 스티븐 와인버그에 의해 이루어졌는데, 이것이 요스-와인버그 방정식이다. 이 시기의 다양한 이론가들은 고스핀 입자를 위한 상대론적 해밀토니언에 대한 추가 연구를 진행했다.
1960년대-현재.
스핀 입자의 상대론적 기술은 양자론에서 어려운 문제였다. 이 문제는 부분적으로만 해결되었기 때문에 여전히 현재 연구 분야이다. 방정식에 상호작용을 포함하는 것은 문제가 많고, (디랙 방정식에서조차) 역설적인 예측이 여전히 존재한다.
선형 방정식.
다음 방정식들은 중첩 원리를 만족하는 해를 가지며, 즉 파동 함수는 가법적이다.
여기서는 텐서 지수 표기법과 파인만의 슬래시 기법의 표준 규약이 사용되며, 색인이 있는 양의 공간 성분에는 1, 2, 3의 값을, 시간 성분에는 0의 값을 취하는 그리스어 색인이 포함된다. 파동 함수는 로, 는 사차원 기울기 연산자의 성분이다.
행렬 방정식에서, 파울리 행렬은 로 표시되며, 여기서 이고, 는 단위 행렬이다.
다른 행렬은 일반적인 표현을 갖는다. 표현
은 2성분 스피너장에 작용하는 행렬 연산자이다.
디랙 행렬은 으로 표시되며, 여기서 다시 이고, 여러 표현 중에서 선택할 수 있다. 행렬 은 반드시 단위 행렬일 필요는 없다. 표현
은 4성분 스피너장에 작용하는 행렬 연산자이다.
""와 같은 항은 해당 차원의 단위 행렬에 스칼라 곱을 하며, 일반적인 크기는 또는 이며, 단순화를 위해 관례적으로 쓰지 않는다.
선형 게이지장.
더핀-케머-페티오 방정식은 스핀-0 및 스핀-1 입자에 대한 대체 방정식이다.
상대론적 파동 방정식의 구성.
4-벡터와 에너지-운동량 관계 사용.
표준 특수 상대성이론(SR) 4-벡터에서 시작:
각 4-벡터는 로런츠 스칼라로 다른 4-벡터와 관련되어 있다.
마지막 방정식은 근본적인 양자 관계이다.
로런츠 스칼라장 formula_15에 적용하면, 양자 상대론적 파동 방정식의 가장 기본적인 것인 클라인-고든 방정식을 얻는다.
슈뢰딩거 방정식은 클라인-고든 방정식의 저속도 극한 경우()이다.
이 관계가 로런츠 스칼라장 formula_15 대신 사차원 벡터장 formula_20에 적용되면, 프로카 방정식(로렌츠 게이지에서)을 얻는다.
정지 질량 항이 0(광속 입자)으로 설정되면, 이는 자유 맥스웰 방정식(로렌츠 게이지에서)을 제공한다.
로런츠 군의 표현.
민코프스키 공간에서 적절한 정시 로렌츠 변환 아래에서, 스핀 와 스핀 z-성분 을 갖는 모든 한 입자 양자 상태 는 로렌츠 군의 어떤 표현 에 따라 국소적으로 변환된다.
여기서 는 어떤 유한 차원 표현, 즉 행렬이다. 여기서 는 허용된 값을 포함하는 열 벡터로 간주된다. 양자수 와 뿐만 아니라 다른 양자수를 나타내는 연속적이거나 이산적인 다른 레이블은 억제된다. 의 한 값은 표현에 따라 여러 번 나타날 수 있다. 에 대해 여러 가능한 값을 갖는 표현은 아래에서 고려된다.
비가환 표현은 반정수 또는 정수 쌍 로 레이블이 지정된다. 이들로부터 다른 모든 표현은 텐서곱과 직합과 같은 다양한 표준 방법을 사용하여 구성될 수 있다. 특히, 시공간 자체는 사차원 벡터 표현 을 구성하므로 이다. 이를 맥락에 맞게 설명하자면, 디랙 스피너는 표현 아래에서 변환된다. 일반적으로 표현 공간은 공간 회전의 부분군, SO(3) 아래에서 스핀 j의 객체처럼 비가환적으로 변환되는 부분 공간을 가지며, 각 허용된 값은 다음과 같다.
정확히 한 번 발생한다. 일반적으로 비가환 표현의 텐서 곱은 환원 가능하다. 즉, 비가환 표현의 직합으로 분해된다.
표현 및 는 각각 스핀 의 입자를 나타낼 수 있다. 이러한 표현의 상태 또는 양자장은 클라인-고든 방정식 외에는 장 방정식을 만족하지 않을 것이다.
비선형 방정식.
중첩 원리를 만족하지 않는 해를 갖는 방정식들이 있다.
전기 쌍극자 전이()는 원자 안의 전자와 전자기장 간 상호작용의 주요 효과이다.
다음 참조에 따라, 양자 해밀토니언 formula_1를 가진 원자 내 전자가 평면 전자기파와 상호작용하는 것을 고려하자.
이 전자기장 내 전자의 해밀토니언을 다음과 같이 쓰자.
시간 의존 섭동 이론을 사용하여 이 시스템을 다루면, 전자가 한 상태에서 다른 상태로 가장 많이 전이하는 것은 다음과 같이 정의된 formula_4의 합산항 때문임을 알 수 있다.
여기서 formula_6와 formula_7는 순수 전자의 전하와 질량이다. 전기 쌍극자 전이()는 해밀토니언 formula_8를 가진 시스템의 에너지 준위 간 전이이다.
특정 전자 상태들 사이에서는 하나 이상의 선택규칙, 특히 각운동량 선택규칙 때문에 전기 쌍극자 전이율이 0이 될 수 있다. 이 경우, 해당 전이는 전기 쌍극자 금지 전이라 불리며, 그러한 준위 간 전이는 고차 전이로 근사해야 한다.
formula_4의 다음 차수 합산항은 다음과 같이 정의된다.
그리고 이는 자기 쌍극자 전이를 설명한다.
전이율에 대한 더 작은 기여는 더 높은 전기 및 자기 다중극 전이에 의해 주어진다.
반고전적 접근법.
원자에 대한 빛(주로 전기장)의 효과를 모델링하고 이해하는 한 가지 방법은 세 가지 에너지 준위로 구성된 더 간단한 모델을 살펴보는 것이다. 이 모델에서 우리는 원자를 각운동량 0의 상태(formula_11)에서 각운동량 1의 상태(formula_12)로의 전이로 단순화했다. 예를 들어, 수소에서 1s(바닥 상태)와 2p(formula_13) 상태 간의 전이가 될 수 있다.
이 단순화된 원자에 대한 전기장의 효과를 이해하기 위해 우리는 전기장을 formula_14에서 formula_15 전이 축과 평행하게 선형 편광된 것으로 선택할 것이다. 이 축을 formula_16 축이라고 부른다. 이 가정은 일반성을 잃지 않는다. 사실 다른 축을 선택하더라도 전기장에 평행한 이전 상태의 선형 조합인 다른 상태를 찾을 수 있으므로 선형 편광된 전기장이 전이 축에 평행하다는 가정으로 돌아갈 수 있다.
이를 염두에 두고 formula_14에서 formula_15로의 전이로만 제한할 수 있다. 우리는 formula_19로 쓸 수 있는 전기장을 사용할 것이다. 여기서 formula_16는 전이 축이고, formula_21는 원자로 들어오는 빛의 각진동수이며(원자에 비추는 레이저라고 생각하라), formula_22는 위치에 따라 달라질 수 있는 빛의 위상이며, formula_23는 레이저 빛의 진폭이다.
이제, 우리가 풀고자 하는 주요 질문은 이런 종류의 빛 아래에서 원자가 느끼는 평균 힘은 무엇인가? 우리는 formula_24에 관심이 있는데, 이는 원자가 느끼는 평균 힘을 나타낸다. 여기서 괄호는 원자의 모든 내부 상태에 대한 평균(양자역학적 방식)을 나타내고, 막대는 고전적 방식의 시간 평균을 나타낸다. formula_25는 원자의 전기 쌍극자로 인한 전위를 나타낸다.
이 전위는 formula_26로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 formula_27는 쌍극자 전이 연산자이다.
두 상태 모델을 사용하는 이유는 쌍극자 전이 연산자를 formula_28로 명시적으로 쓸 수 있게 해주기 때문이며, 따라서 우리는
이제, 반고전적 접근법은 쌍극자 모멘트를 원자의 분극률에 전기장을 곱한 것으로 쓰는 것을 의미한다.
그리고 마찬가지로 formula_32이고, 따라서 formula_33이며, 그러므로 formula_34이다.
수학을 더 진행하고 비례 상수 formula_35에 대한 더 명시적인 표현을 찾기 전에 논의해야 할 중요한 측면이 있다. 그것은 빛에 의해 유도된 전위에서 원자가 느끼는 전위가 시간 평균된 전기장의 제곱을 따른다는 것을 발견했다는 것이다. 이는 냉각 원자 물리학에서 많은 실험 물리학에 중요한데, 물리학자들이 빛의 강도가 시간 평균된 전기장의 제곱에 비례한다는 사실(즉, formula_36)을 사용하여 원자에 적용되는 레이저 빛의 알려진 강도를 통해 원자에 적용되는 전위를 이해하기 때문이다.
이제, 분극률 formula_35의 표현을 얻는 방법을 살펴보자.
이를 위해 밀도 행렬 형식론과 광학 블로흐 방정식을 사용할 것이다.
여기서 주요 아이디어는 비대각 밀도 행렬 요소가 formula_38와 formula_39로 쓸 수 있다는 것이다. 그리고
여기서 광학 블로흐 방정식이 유용하게 사용될 것이다. 이들은 밀도 행렬의 동역학을 이해하는 방정식을 제공한다.
실제로, 우리는 다음을 가진다.
그리고 원자의 자발 방출을 설명하는 또 다른 항이 있다.
여기서 formula_43는 우리의 반고전적 해밀토니언이다. 이는 formula_44로 쓰인다. 그리고 formula_45이다. formula_46는 전이의 선폭을 나타내며, 따라서 formula_47를 주어진 전이의 반감기로 볼 수 있다.
라비 진동수 formula_48를 도입하자.
그러면 formula_50와 formula_51에 대한 광학 블로흐 방정식을 쓸 수 있다.
이 부분을 위해 formula_52의 진화 방정식을 취하고 행렬 요소를 취한다. 우리는 다음을 얻는다.
formula_51에 대한 방정식은 그 켤레 복소수를 취함으로써 얻을 수 있다.
그런 다음 4가지 행렬 요소 모두에 대해 과정을 반복할 수 있지만, 우리의 연구에서는 작은 장 근사를 적용하여 전기장이 4가지 방정식을 분리할 수 있을 만큼 충분히 작다고 가정한다. 이 근사는 라비 진동수를 사용하여 수학적으로 다음과 같이 쓰인다.
그러면 formula_57을 무시하고 formula_58로 설정할 수 있다. 사실, 이 아이디어는 원자가 아무 빛도 보지 않는다면, formula_23에 대한 첫 번째 근사에서 원자는 바닥 상태에 있고 들뜬 상태에 있지 않을 것이므로 formula_57, formula_58로 설정해야 한다는 것이다.
그러면 진화 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
이것은 코사인 항을 포함하는 비동차 1차 미분 방정식이다. 이는 오일러 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있다.
다음과 같은 해를 얻는다.
또한, 만약 이탈 formula_64가 formula_65보다 훨씬 크다고 말한다면, 물론 formula_66의 합도 formula_67보다 훨씬 크고 이전 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
그리고 우리의 평균 쌍극자 모멘트로 돌아가서:
그러면 formula_72가 분명하고, 분극률은 formula_73가 된다.
마지막으로, 전기 쌍극자 상호작용으로 인해 원자가 느끼는 전위를 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 논의할 핵심 사항은 앞서 말했듯이 레이저의 빛의 강도 formula_36가 원자가 해당 영역에서 "느끼는" 비례적인 국소 전위를 생성한다는 것이다. 또한, 이제 우리는 그러한 전위의 부호를 알 수 있다. 우리는 그것이 이탈의 부호를 따르는 formula_76의 부호를 따른다는 것을 알 수 있다. 이는 우리가 적색 이탈 레이저(formula_77)를 가질 때 전위가 인력적이고, 청색 이탈 레이저(formula_78)를 가질 때 척력적이라는 것을 의미한다.
전자기파가 원자나 분자에 속박된 전자와 상호 작용하는 것은 시간 의존적인 섭동 이론으로 설명할 수 있다. 자기 쌍극자 전이()는 전자의 자기 쌍극자 모멘트와 전자기파의 자기 부분 사이의 결합이 지배적인 영향을 미치는 것을 설명한다. 이들은 관찰되는 주파수에 따라 두 그룹으로 나눌 수 있다. 광학 자기 쌍극자 전이는 서로 다른 두 전자 준위의 하위 준위 사이에서 적외선, 광학 또는 자외선 주파수에서 발생할 수 있는 반면, 자기 공명 전이는 단일 전자 준위 내의 각운동량 하위 준위 사이에서 마이크로파 또는 라디오 주파수에서 발생할 수 있다. 후자는 원자나 분자의 전자 각운동량과 관련된 경우 전자 상자성 공명(EPR) 전이, 핵 각운동량과 관련된 경우 핵 자기 공명(NMR) 전이라고 불린다.
원자에 속박된 베어 전자가 시간 의존적인 전자기장과 상호 작용하는 해밀턴은 파울리 방정식에 의해 주어진다(이론적 설명은를 따른다).
여기서 formula_2와 formula_3은 베어 전자의 전하와 질량, formula_4는 스핀 연산자, formula_5는 파동의 벡터 퍼텐셜, formula_6는 운동량 연산자이다.
해밀턴은 시간 독립적인 부분과 시간 의존적인 부분으로 나눌 수 있다.
은 원자 해밀턴이고, 전자기파와의 상호 작용(시간 의존적)은 다음과 같다.
마지막 항은 A에 대해 이차식이므로 작은 장에서는 무시할 수 있다.
시간 의존적인 부분은 전기 전이 쌍극자(첫 번째 항에서), 자기 전이 쌍극자(두 번째 항에서), 그리고 전기 사중극자와 같은 고차항에 속하는 항으로 테일러 전개될 수 있다. 자기 전이 쌍극자에 속하는 항은 다음과 같다.
선택규칙.
허용된 자기 쌍극자 전이에 대한 선택규칙은 다음과 같다.
1. formula_11 (J: 총 각운동량 양자수)
2. formula_12 (formula_13: 지정된 축을 따른 총 각운동량의 투영)
3. 패리티 변화 없음
《표백》(漂白)은 2025년 방송되었던 중국의 웹 드라마이다.
파키스탄에서 종종 왕사제상(King-Priest)라고 불리는 사제왕상(Priest-King)은 1925~26년에 지금의 파키스탄 신드주에 위치한 폐허가 된 청동기 시대 도시 모헨조다로 발굴 중에 발견된 동석으로 조각된 작은 남성 조각상이다. 이 조각상은 기원전 2000~1900년경 모헨조다로 후기 시대의 것으로 추정되며, 인더스 문명("IVC")의 "가장 유명한 석조 조각상"이다. 현재 NMP 50-852번으로 파키스탄 국립박물관에 소장되어 있다. "조각가는 사실적인 세부 묘사와 양식화된 형태를 결합하여 실제보다 훨씬 커 보이는 강력한 이미지를 만들어냈다"는 점에서 널리 칭송받으며, 아마도 파슈파티 인장을 제외하고는 "인더스 문명을 더 잘 상징하는 것은 없다."
사제왕상은 단정하게 수염을 기른 남성이 머리에 필렛을 두르고 있는데, 이는 한때 정교했을 헤어스타일이나 머리 장식의 잔여물일 수 있으며, 그의 머리카락은 뒤로 빗어 넘겨져 있다. 그는 완장을 차고 있으며, 드릴로 뚫은 트레포일 무늬, 단일 원, 이중 원 모티프가 있는 망토를 입고 있는데, 여기에는 붉은색 흔적이 남아 있다. 그의 눈은 원래 상감 세공되었을 수도 있다. 이 조각상은 하단이 부러져 불완전하며, 아마도 미완성작일 수도 있다. 원래는 더 컸으며, 아마도 앉아 있거나 무릎을 꿇고 있는 전신상이었을 것으로 추정된다. 현재는 높이이다.
현재 일반적으로 사제왕이라는 이름이 사용되지만, 이는 "근거 없는" 추측이다. 유물 발견 당시 발굴을 이끌던 고고학자 어니스트 J. H. 맥케이는 이것이 "사제"를 나타낼 수 있다고 생각했다. 존 마셜 경은 당시 분할 이전 인도 고고학 조사국("ASI") 국장이었으며, 이를 "왕사제"로 보았지만, "사제왕"이라는 용어를 처음 사용한 사람은 그의 후임자인 모티머 휠러 경인 것으로 보인다. 이 조각상과 다른 몇몇 인더스 문명의 남성 조각상에 대한 대안적인 명칭은 "씨족 지도자나 조상 인물의 기념상"이라는 것이다.
원본은 안전하게 보관되어 있고, 복제품이 파키스탄 국립박물관에 전시되어 있다. 박물관장 부카리 씨는 2015년에 "이것은 국가의 상징이다. 우리는 위험을 감수할 수 없다"고 설명했다. 박물관에서 사용하는 우르두어 명칭(영어 "King-Priest"와 함께)은 정확한 번역이 아니라, 우르두어-페르시아어-아랍어에서 주권자나 주교(의례 행사에서 국가 의자에 앉을 권리가 있는)를 의미하는 잘 알려진 표현인 "حاکم اعلی"(하킴 아알라)이다.
이 조각상은 부드러운 동석 광물로 조각되었으며, (겉보기에는 미완성이지만) 1000°C 이상의 온도에서 구워 단단하게 만들었다. 발굴 당시에도 이미 존재했던 얼굴 오른쪽 아래로 길게 이어진 균열은 이 과정이나 나중에 받은 충격으로 인해 발생했을 수 있다. 조각상의 하단은 고르지 않게 부러져 있으며, 패턴이 있는 가운이 앞쪽보다 뒤쪽으로 더 길게 이어져 있다. 코 끝 부분도 손상되었지만, 다른 많은 부분은 양호한 상태이다. 이 조각상은 더 완전한 다른 인더스 문명 남성 조각상과 비교되었는데, 이들은 앉은 자세를 보여주며, 경우에 따라 한쪽 무릎은 올리고 다른 다리는 몸 아래로 집어넣은 자세를 취하고 있다. 사제왕도 원래 이러한 형태였을 수 있다. 조너선 마크 케노이어를 포함한 일부 고고학자들은 이 조각상과 다른 조각상들이 그 대상이 위신을 잃으면서 의도적으로 "부서지고 훼손되었다"고 믿는다.
눈은 크지만 좁고, 반쯤 감은 것처럼 보인다. 원래는 동공을 나타내는 조개껍데기나 돌 조각이 박혀 있었을 것이다. 귀는 이 유적지에서 발견된 다른 석재 머리 조각들처럼 매우 단순한 형태이다. 머리 상단 뒤쪽은 평평한데, 아마도 현재 없어진 무언가를 부착하기 위한 것이었을 것이며, 이것이 조각된 "쪽진 머리"였는지, 아니면 다른 재료로 만들어져 때때로만 착용했을 더 정교한 머리 장식이었는지에 대한 다양한 이론이 있다. 귀 아래 두 개의 구멍은 이것을 부착하기 위한 것이거나, 아니면 목걸이를 위한 것이었을 수도 있다. 맥케이는 평평해진 것이 머리가 손상되었기 때문이라고 제안했지만, 이후의 많은 저술가들은 이에 동의하지 않는다. 또 다른 가능성은 경사진 상단이 있는 벽감에 맞도록 설계되었을 수도 있다는 것이다.