shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
제목의 접두사 "는 라틴어 radius(광선)의 결합형에서 유래했으며, 여기서는 전자기파를 나타낸다. 크룩스 방사계는 제목의 접미사 "와 일치하게 전자기파 강도를 정량적으로 측정할 수 있다. 예를 들어, 시각적 수단(예: 간단한 스트로보스코프로 작동하는 회전 슬롯 디스크)을 사용하여 측정 자체를 방해하지 않고 수행할 수 있다.
열역학적 설명.
흡수에 의한 움직임.
복사 에너지원이 크룩스 방사계에 향하면 방사계는 열기관이 된다. 열기관의 작동은 기계적 출력으로 변환되는 온도 차이에 기반한다. 이 경우 날개의 검은색 면은 다른 면보다 더 뜨거워지는데, 이는 광원으로부터 오는 복사 에너지가 은색 또는 흰색 면보다 흡수를 통해 검은색 면을 더 빠르게 가열하기 때문이다. 내부 공기 분자는 날개의 검은색 면에 닿을 때 가열된다. 날개의 더 따뜻한 면은 힘을 받는다는 점이 날개를 앞으로 움직인다.
검은 날개가 공기 분자에 열을 가하면서 내부 온도는 상승하지만, 분자는 주변 온도에 있는 전구의 유리 표면에 닿으면 다시 냉각된다. 유리창을 통한 이러한 열 손실은 내부 전구 온도를 일정하게 유지하여 날개 양쪽에 온도 차이가 발생한다. 날개의 흰색 또는 은색 면은 내부 공기 온도보다 약간 따뜻하지만 검은색 면보다는 차갑다. 일부 열이 검은색 면에서 날개를 통해 전도되기 때문이다. 날개의 양면은 광택 처리되거나 흰색 면이 검은색 면의 온도에 즉시 도달하지 않도록 어느 정도 단열되어야 한다. 날개가 금속으로 만들어진 경우 검은색 또는 흰색 페인트가 단열재 역할을 할 수 있다. 유리는 날개 검은색 면이 도달하는 온도보다 주변 온도에 훨씬 가깝게 유지된다. 외부 공기는 유리로부터 열을 멀리 이동시키는 데 도움이 된다.
전구 내부의 기압은 너무 낮지도 높지도 않은 균형을 이루어야 한다. 전구 내부의 강한 진공은 움직임을 허용하지 않는데, 이는 날개를 추진하고 날개 재료를 통한 열 전도로 날개 양면이 열평형에 도달하기 전에 외부로 열을 전달할 공기 분자가 충분하지 않기 때문이다. 높은 내부 압력은 움직임을 방해하는데, 이는 온도 차이가 더 높은 농도의 공기를 통해 날개를 밀어낼 만큼 충분하지 않기 때문이다. 즉, "와류"가 발생하기에는 공기 저항이 너무 크고, 온도 차이로 인한 미세한 공기 움직임은 전류가 다른 쪽으로 "감싸지기" 전에 더 높은 압력에 의해 감쇠된다.
복사에 의한 움직임.
광원이 없는 상태에서 방사계가 가열되면 정방향(즉, 검은색 면이 뒤로 가는 방향)으로 회전한다. 사람이 유리를 만지지 않고 손을 유리 주위에 놓으면 날개는 천천히 회전하거나 전혀 회전하지 않지만, 유리를 만져 빠르게 가열하면 더 눈에 띄게 회전한다. 직접 가열된 유리는 날개를 회전시킬 만큼 충분한 적외선 복사를 방출하지만, 유리는 접촉하지 않는 열원으로부터 오는 많은 원적외선을 차단한다. 그러나 근적외선과 가시광선은 유리를 더 쉽게 통과한다.
강한 광원이 없는 상태에서 얼음을 유리 위에 놓거나 문을 거의 닫은 채 냉동고에 넣어 유리를 빠르게 냉각하면 역방향(즉, 은색 면이 뒤로 가는 방향)으로 회전한다. 이는 흡수보다는 날개 검은색 면에서 나오는 복사를 보여준다. 바퀴는 검은색 면과 주변 환경 사이의 순 열 교환으로 인해 초기에는 흰색 면보다 검은색 면이 더 빠르게 냉각되기 때문에 역회전한다. 일반적으로 1~2분 후에 평형에 도달하면 역회전은 멈춘다. 이는 하루 종일 정방향 회전을 유지할 수 있는 햇빛과는 대조적이다.
날개에 가해지는 힘에 대한 설명.
오랜 세월 동안 크룩스 방사계가 어떻게 작동하는지 설명하려는 많은 시도가 있었다.
잘못된 이론.
크룩스는 이 힘이 빛의 압력 때문이라고 잘못 제안했다. 이 이론은 원래 이 힘을 예측했던 제임스 클러크 맥스웰이 지지했다. 이 설명은 여전히 장치와 함께 포장된 전단지에서 자주 볼 수 있다. 이 이론을 시험하기 위한 첫 번째 실험은 1876년 아서 슈스터에 의해 이루어졌는데, 그는 크룩스 방사계의 유리 전구에 날개 회전과 반대 방향으로 힘이 작용하는 것을 관찰했다. 이는 날개를 회전시키는 힘이 방사계 내부에서 발생한다는 것을 보여주었다. 빛의 압력이 회전의 원인이라면 전구 내부의 진공이 좋을수록 움직임에 대한 공기 저항이 줄어들고 날개가 더 빠르게 회전해야 한다. 1901년, 더 나은 진공펌프를 사용하여 표트르 레베데프는 사실 방사계는 전구 안에 저압 가스가 있을 때만 작동하며, 강한 진공에서는 날개가 움직이지 않는다는 것을 보여주었다. 마지막으로, 빛의 압력이 동력이라면 방사계는 반대 방향으로 회전할 것이다. 왜냐하면 반사되는 광택 있는 면의 광자는 광자가 흡수되는 검은색 면보다 더 많은 운동량을 전달할 것이기 때문이다. 이는 운동량 보존 법칙에 따른 것으로, 빛나는 면에서 반사되어 나가는 광자의 운동량은 이를 반사한 날개에 작용하는 반작용과 일치해야 한다. 빛이 가하는 실제 압력은 이 날개들을 움직이기에는 너무 작지만, 니콜스 방사계와 같은 장치로 측정할 수 있다. 사실 빛이 없는 상태에서 열을 가하거나 차가운 환경(냉동고 등)에 놓으면 검은색 면이 열복사로 인해 흰색 면보다 차가워지면서 방사계를 반대 방향으로 회전시킬 수 있다.
또 다른 잘못된 이론은 어두운 면의 열이 물질을 탈기시켜 방사계를 돌게 한다는 것이었다. 이는 나중에 슈스터의 실험(1876년)과 레베데프의 실험(1901년) 모두에 의해 효과적으로 반증되었다.
부분적으로 올바른 이론.
부분적인 설명은 날개의 더 따뜻한 면에 부딪히는 가스 분자가 열의 일부를 흡수하여 속도가 증가한 채로 날개에서 튕겨 나간다는 것이다. 분자에 이러한 추가적인 추진력을 부여하는 것은 날개에 미세한 압력이 가해진다는 것을 효과적으로 의미한다. 더 따뜻한 검은색 면과 더 차가운 은색 면 사이의 이러한 효과의 불균형은 날개에 가해지는 순 압력이 검은색 면에 대한 밀어내기와 같다는 것을 의미하며, 그 결과 날개는 검은색 면이 뒤로 가면서 회전한다. 이 아이디어의 문제는 더 빠르게 움직이는 분자가 더 많은 힘을 생성하는 동안, 다른 분자가 날개에 도달하는 것을 더 잘 막는다는 것이므로 날개에 가해지는 순 힘은 동일해야 한다는 것이다. 더 높은 온도는 국부 밀도를 감소시켜 양쪽에 동일한 힘을 가한다. 이 설명이 기각된 지 몇 년 후, 알베르트 아인슈타인은 날개 가장자리의 온도 차이 때문에 두 압력이 정확히 상쇄되지 않는다는 것을 보여주었다. 아인슈타인이 예측한 힘은 날개를 움직이기에 충분했지만, 충분히 빠르지는 않았다.
현재 통용되는 이론.
현재 통용되는 이론은 오스본 레이놀즈가 정립했는데, 그는 열 증발이 움직임의 원인이라고 이론화했다. 레이놀즈는 다공성 판의 한쪽이 다른 쪽보다 뜨거울 경우, 가스 분자와 판 사이의 상호작용으로 인해 가스가 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 흐른다는 것을 발견했다. 일반적인 크룩스 방사계의 날개는 다공성이 아니지만, 가장자리 너머의 공간은 레이놀즈 판의 구멍처럼 작동한다. 가스가 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 이동하면 뜨거운 쪽의 압력이 증가한다. 판이 고정되어 있으면 뜨거운 쪽의 압력은 양쪽 압력의 비가 절대 온도의 비의 제곱근과 같아질 때까지 증가한다. 방사계의 판은 고정되어 있지 않으므로 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로의 압력 차이가 날개를 움직이게 한다. 차가운(흰색) 쪽은 뒤쪽의 더 높은 압력에 의해 밀려 앞으로 이동한다. 분자 관점에서 보면, 날개는 희박한 가스가 뜨거운 쪽과 차가운 쪽 사이의 날개 가장자리와 다르게 충돌하는 접선 방향의 힘 때문에 움직인다.
레이놀즈의 논문은 한동안 출판되지 못했는데, 이는 맥스웰이 심사위원을 맡았고, 그 후 맥스웰이 자신의 논문을 발표했는데, 여기에는 레이놀즈의 미출판 논문에 대한 수학적 비판이 포함되어 있었다. 맥스웰은 그해 사망했고, 왕립학회는 레이놀즈의 미출판 논문에 대한 맥스웰의 반박에 대한 레이놀즈의 비판을 출판하는 것을 거부했는데, 이는 관련 인물 중 한 명이 이미 사망한 상황에서 부적절한 논쟁이 될 것이라고 여겨졌기 때문이다.
올블랙 라이트 밀.
회전하려면 라이트 밀이 각 날개에 다른 색으로 코팅될 필요는 없다. 2009년 텍사스 대학교 오스틴의 연구원들은 네 개의 곡선형 날개를 가진 단색 라이트 밀을 만들었다. 각 날개는 볼록한 표면과 오목한 표면을 형성한다. 라이트 밀은 강력한 빛 흡수제인 금 나노결정으로 균일하게 코팅되어 있다. 노출 시 기하학적 효과로 인해 날개의 볼록한 면이 오목한 면보다 더 많은 광자 에너지를 받고, 그 결과 가스 분자는 오목한 면보다 볼록한 면에서 더 많은 열을 받는다. 거친 진공 상태에서 이러한 비대칭적인 가열 효과는 각 날개에서 오목한 면에서 볼록한 면으로 순 가스 이동을 생성하며, 이는 연구원들의 직접 모의 몬테카를로 모델링으로 보여졌다. 가스 이동은 뉴턴의 제3법칙에 따라 라이트 밀이 오목한 면이 앞으로 움직이면서 회전하게 한다. 이 단색 디자인은 마이크로미터 또는 나노미터 크기의 라이트 밀 제작을 촉진하는데, 이는 매우 좁은 3차원 공간 내에서 서로 다른 광학적 특성을 가진 재료를 패턴화하기 어렵기 때문이다.
수평 날개 라이트 밀.
날개의 뜨거운 면에서 차가운 면으로의 열 크리프는 검은색 절반과 흰색 절반으로 구성된 두 가지 색상의 표면을 가진 수평 날개가 있는 밀에서 입증되었다. 이 디자인을 헤트너 방사계라고 부른다. 이 방사계의 각속도는 열 크리프 힘의 거동보다 용기 내 가스에 의한 항력의 거동에 의해 제한되는 것으로 나타났다. 이 디자인은 면이 온도 구배와 평행하기 때문에 아인슈타인 효과를 경험하지 않는다.
나노스케일 라이트 밀.
2010년 캘리포니아 대학교 버클리의 연구원들은 크룩스 방사계와는 완전히 다른 원리로 작동하는 나노스케일 라이트 밀을 성공적으로 제작했다. 직경이 100나노미터에 불과한 금 라이트 밀이 제작되어 튜닝된 레이저 빛으로 조명되었다. 이 가능성은 1936년 프린스턴 물리학자 리처드 베스에 의해 제안되었다. 토크는 입사광과 금 구조의 표면 플라스몬 파동의 공명 결합에 의해 크게 향상되었다.
방사성 효과는 실제 응용 분야에 자주 사용되지 않았다. 마르셀 베트리세는 2001년에 빛으로 작동하는 두 가지 시계(르 크로놀리트와 콘티)를 만들었다. 이 시계의 추는 유리 돔 밖에 위치한 전구 램프를 가지고 있었고 4개의 운모 날개를 향했다. 1미터 추는 1초를 나타내고, 양쪽에 배치된 두 개의 램프는 번갈아 켜져서 4킬로그램 추를 매번 "밀어낸다". 내부가 진공 상태였기 때문에 정확도는 한 달에 2초 정도였다.
방사계는 현재 전 세계적으로 참신한 장식품으로 흔히 판매되고 있다. 배터리가 필요 없이 빛만 있으면 날개가 회전한다. 사진에 보이는 것과 같은 다양한 형태로 제공되며, 종종 과학관에서 "복사압"을 설명하는 데 사용된다. 하지만 실제로는 이 과학적 원리를 시연하지 않는다.
주예멘 대한민국 대사관()은 예멘 사나에 개설된 대한민국 대사관이다. 현재는 예멘 내전의 여파로 인하여 사우디아라비아 리야드에 위치한 주사우디아라비아 대한민국 대사관 내에 개설된 임시 사무소에서 운영하고 있다.
수학에서 구간별 함수(piecewise function) 또는 구간별 정의 함수, 혼합 함수, 경우별로 정의된 함수는 함수의 정의역이 여러 구간("부분 정의역")으로 분할되어 함수가 다르게 정의될 수 있는 함수를 말한다. 구간별 정의는 결과 함수 자체의 특성이라기보다는 함수를 지정하는 방법인데, 정의역이 적어도 두 개의 점을 포함하는 모든 함수는 구간별 함수로 다시 작성할 수 있기 때문이다. 이 문서의 처음 세 문단은 "구간별"의 이러한 첫 번째 의미만을 다룬다.
구간별 선형, 구간별 매끄러움, 구간별 연속 등과 같은 용어들도 매우 흔하다. 어떤 속성 formula_1에 대해 함수가 구간별 formula_1라는 의미는 대략적으로 함수의 정의역을 속성 formula_1가 성립하는 조각들로 분할할 수 있다는 것이지만, 저자마다 약간 다르게 사용된다. 첫 번째 의미와 달리, 이것은 함수 자체의 속성이지 그것을 지정하는 방법만이 아니다. 때로는 이 용어가 삼각 분할과 관련된 더 전역적인 의미로 사용되기도 한다. 구간별 선형 다양체를 참고하라.
표기법 및 해석.
구간별 함수는 일반적인 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 함수의 본문은 함수의 배열과 관련 부분 정의역으로 구성된다. 부분 함수 또는 부분 정의역 열 뒤에 세미콜론이나 쉼표가 올 수 있다. 오른쪽 열 시작 부분의 formula_4 또는 formula_5는 거의 생략되지 않는다.
부분 정의역들은 함께 전체 정의역을 덮어야 한다. 때로는 이들이 쌍별로 서로소여서 정의역의 분할을 형성해야 한다는 요구사항도 있다. 이것만으로도 함수가 "경우별로 정의"될 수 있지만, 전체 함수가 "구간별"이 되려면 부분 정의역들은 일반적으로 비어 있지 않은 구간(일부는 특이 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간일 수 있음)이어야 하며, 어떤 유계 구간에서도 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 없는 경우가 많다. 이는 유계 정의역을 가진 함수는 유한한 수의 부분 정의역만 가지며, 무한 정의역을 가진 함수는 적절하게 퍼져 있는 한 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 있음을 의미한다.
예를 들어, 절댓값 함수의 구간별 정의를 고려해보자.
0보다 작은 모든 formula_7 값에 대해서는 첫 번째 부분 함수 (formula_8)가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 반전시켜 음수를 양수로 만든다. 0보다 크거나 같은 모든 formula_7 값에 대해서는 두 번째 부분 함수 가 사용되며, 이는 입력 값 자체로 자명하게 평가된다.
다음 표는 특정 formula_7 값에 대한 절댓값 함수를 보여준다.
주어진 입력 값에 대해 구간별 정의 함수를 평가하려면, 올바른 부분 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 부분 정의역을 선택해야 한다.
구간별 정의 함수의 연속성과 미분 가능성.
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 연속이려면 다음 조건이 충족되어야 한다.
예를 들어, 그림에 있는 함수는 부분 정의역들 내에서는 구간별 연속이지만, formula_12에서 점프 불연속을 포함하므로 전체 정의역에서는 연속이 아니다. 채워진 원은 이 위치에서 오른쪽 부분 함수의 값이 사용됨을 나타낸다.
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 미분 가능하려면, 위의 연속성 조건 외에 다음 조건들도 충족되어야 한다.
응용 수학적 분석에서 "구간별 정규" 함수는 많은 인간 시각 시스템 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌는데, 이 모델에서 이미지는 첫 번째 단계에서 가장자리로 분리된 매끄러운 영역(마치 카툰)으로 인식된다.
카툰과 같은 함수는 불연속 곡선이 존재하는 것을 제외하고는 매끄러운 C2 함수이다.
특히, 쉬어렛은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하는 표현 시스템으로 사용되었다.
구간별 정의 함수는 최근접 이웃 보간법과 같은 보간법에도 일반적으로 사용된다.
수학에서 리만-스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)은 베른하르트 리만과 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 명명된 리만 적분의 일반화이다. 이 적분의 정의는 스틸티어스에 의해 1894년에 처음 출판되었다. 이는 르베그 적분의 유익하고 유용한 전신 역할을 하며, 이산 확률과 연속 확률에 적용되는 통계 정리의 동등한 형태를 통합하는 데 귀중한 도구이다.
구간 formula_1에서 실수 변수의 실수 값 함수 formula_2에 대한 또 다른 실함수 formula_3에 대한 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 표기한다.
그 정의는 구간 formula_1의 분할 formula_6의 수열을 사용한다.
적분은 분할의 메시 (가장 긴 부분 구간의 길이)가 formula_8에 접근할 때 다음 근사합의 극한으로 정의된다.
여기서 formula_10는 formula_11-번째 부분 구간 formula_12에 있다. 두 함수 formula_2와 formula_3는 각각 피적분함수와 적분함수라고 불린다. 일반적으로 formula_3는 단조 (또는 적어도 유계 변동)이고 우반연속으로 간주된다 (그러나 마지막은 본질적으로 관례이다). 우리는 특히 formula_3가 연속적일 것을 요구하지 않으며, 이는 점 질량 항을 갖는 적분을 허용한다.
여기서 "극한"은 모든 ε &gt; 0에 대해 δ &gt; 0이 존재하여, 메시(P) &lt; δ인 모든 분할 P와 [xi−1, xi]의 점 ci의 모든 선택에 대해 다음을 만족하는 숫자 A (리만-스틸티어스 적분의 값)로 이해된다.
리만-스틸티어스 적분은 다음과 같은 형태의 부분 적분을 허용한다.
그리고 어느 한쪽 적분의 존재는 다른 쪽 적분의 존재를 의미한다.
다른 한편으로, 고전적인 결과는 f가 α-횔더 연속이고 g가 β-횔더 연속이며 인 경우 적분이 잘 정의됨을 보여준다.
만약 formula_19가 formula_1에서 유계이고, formula_21가 단조적으로 증가하며, formula_22가 리만 적분 가능하면, 리만-스틸티어스 적분은 리만 적분과 다음과 같이 관련된다.
계단 함수
에 대해, formula_25이고 formula_2가 formula_27에서 연속이면,
확률론에의 응용.
만약 g가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X의 누적 분포 함수이고, f가 기댓값 formula_29이 유한한 어떤 함수라면, X의 확률 밀도 함수는 g의 도함수이며 우리는 다음을 갖는다.
그러나 이 공식은 X가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖지 않는 경우에는 작동하지 않는다. 특히, X의 분포가 이산적 (즉, 모든 확률이 점 질량으로 설명됨)인 경우에는 작동하지 않으며, 누적 분포 함수 g가 연속적이더라도 g가 절대 연속이 아닌 경우에는 작동하지 않는다 (이 경우에도 칸토어 함수가 이러한 실패의 예시가 될 수 있다). 그러나 다음 항등식은
g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도 실수 선상의 모든 누적 확률 분포 함수에 대해 성립한다. 특히, 확률 변수 X의 누적 분포 함수 g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도, 모멘트 E(Xn)이 존재한다면, 이는 다음과 같다.
함수해석학에의 응용.
리만-스틸티어스 적분은 F. 리즈의 정리의 원래 공식화에 나타나는데, 이는 구간 [a,b]에서 연속 함수들의 바나흐 공간 C[a,b]의 쌍대 공간을 유계 변동 함수의 함수에 대한 리만-스틸티어스 적분으로 표현한다. 나중에, 그 정리는 측도의 관점에서 재구성되었다.
리만-스틸티어스 적분은 또한 힐베르트 공간에서 (비콤팩트) 자기수반 (또는 더 일반적으로, 정규) 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 공식화에 나타난다. 이 정리에서 적분은 사영의 스펙트럼 패밀리에 대해 고려된다.
적분의 존재.
가장 좋은 간단한 존재 정리는 f가 연속이고 g가 [a, b]에서 유계 변동 함수이면 적분이 존재한다는 것이다.
부분 적분 공식 때문에, f와 g에 대한 조건이 반전되어도 적분은 존재한다. 즉, f가 유계 변동 함수이고 g가 연속인 경우에도 적분은 존재한다.
함수 g는 두 (유계) 단조 함수 간의 차이일 때만 유계 변동 함수이다. 만약 g가 유계 변동 함수가 아니라면, g에 대해 적분할 수 없는 연속 함수들이 존재할 것이다. 일반적으로, f와 g가 불연속점을 공유하는 경우 적분은 잘 정의되지 않지만, 다른 경우도 있다.
x, f(x), g(x)가 모두 직교 축을 따라 있는 3차원 플롯은 리만-스틸티어스 적분의 기하학적 해석으로 이어진다. g(x)-x 평면이 수평이고 f(x) 방향이 위로 향하고 있다면, 고려해야 할 표면은 구부러진 울타리와 같다. 울타리는 g(x)에 의해 그려진 곡선을 따르고, 울타리의 높이는 f(x)에 의해 주어진다. 울타리는 g(x)-x 평면과 f(x)-시트 사이에 경계가 있는 g(x)-시트 (즉, f(x) 축을 따라 확장된 g(x) 곡선)의 섹션이다. 리만-스틸티어스 적분은 이 울타리의 f(x)-g(x) 평면으로의 투영의 면적이다 — 사실상, 그 "그림자"이다.
g(x)의 기울기는 투영의 면적에 가중치를 부여한다. g(x)가 가장 가파른 기울기 g'(x)를 갖는 x 값은 더 큰 투영을 갖는 울타리의 영역에 해당하며, 따라서 적분에서 가장 큰 가중치를 갖는다.
g가 계단 함수일 때
울타리는 너비 1, 높이 f(s)와 같은 직사각형 "문"을 갖는다. 따라서 문과 그 투영은 리만-스틸티어스 적분 값인 f(s)와 같은 면적을 갖는다.
중요한 일반화는 르베그-스틸티어스 측도로, 이는 르베그 적분이 리만 적분을 일반화하는 방식과 유사하게 리만-스틸티어스 적분을 일반화한다. 만약 이상 적분 리만-스틸티어스 적분이 허용된다면, 르베그 적분은 리만-스틸티어스 적분보다 엄격하게 더 일반적이지 않다.
리만-스틸티어스 적분은 피적분함수 ƒ 또는 적분함수 g가 바나흐 공간에 값을 취하는 경우에도 일반화된다. 만약 가 바나흐 공간 X에 값을 취한다면, 이는 강하게 유계 변동이라고 가정하는 것이 자연스러운데, 이는 다음과 같다.
최대값은 구간 [a,b]의 모든 유한 분할
에 대해 취해진다. 이 일반화는 라플라스-스틸티어스 변환을 통해 반군 연구에 중요한 역할을 한다.
이토 적분은 리만-스틸티어스 적분을 단순 함수가 아닌 확률 과정인 피적분함수와 적분함수를 포함하도록 확장한다. 확률미적분학도 참조하라.
일반화된 리만-스틸티어스 적분.
약간의 일반화는 위의 정의에서 Pε를 정제하는 분할 P를 고려하는 것이다. 즉, P가 더 미세한 메시를 가진 분할에서 발생하는 것이 아니라 Pε에 점을 추가하여 발생한다는 의미이다. 구체적으로, g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε &gt; 0에 대해 Pε가 존재하여, Pε를 정제하는 모든 분할 P에 대해,
[xi, xi+1]에서 점 ci의 모든 선택에 대해 A라는 숫자를 의미한다.
이 일반화는 리만-스틸티어스 적분을 [a, b]의 분할의 상향 원순서 집합에 대한 무어-스미스 극한으로 나타낸다.
결과적으로 이 정의를 사용하면, f와 g가 공통 불연속점을 가질 수 있는 경우에도 formula_37 적분을 정의할 수 있다.
다르부 합.
리만-스틸티어스 적분은 다르부 합의 적절한 일반화를 사용하여 효율적으로 처리할 수 있다. [a, b]에서 분할 P와 비감소 함수 g에 대해 g에 대한 f의 상 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.
그리고 하 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.
그러면 g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε &gt; 0에 대해 다음을 만족하는 분할 P가 존재할 때만 존재한다.
또한, f는 다음을 만족할 때 g에 대해 리만-스틸티어스 적분 가능(고전적 의미에서)하다.
예시 및 특수 사례.
미분 가능한 g(x).
formula_42에서 연속적으로 미분 가능한 formula_21가 주어지면 다음 등식이 성립함을 보일 수 있다.
여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이며, formula_2가 리만-스틸티어스 적분으로 적분될 수 있다고 가정한다.
더 일반적으로, g가 그 도함수의 르베그 적분일 경우 리만 적분은 리만-스틸티어스 적분과 같다. 이 경우 g는 절대 연속이라고 한다.
g는 불연속점을 가질 수 있거나, 연속적이고 증가하면서 거의 모든 곳에서 도함수가 0일 수 있다 (예를 들어, g는 칸토어 함수 또는 "악마의 계단"일 수 있다). 이 두 경우 모두 리만-스틸티어스 적분은 g의 도함수를 포함하는 어떤 표현으로도 포착되지 않는다.
표준 리만 적분은 formula_46인 리만-스틸티어스 적분의 특수한 경우이다.
정류기.
신경망 연구에서 사용되는 함수 formula_47를 고려하자. 이는 정류 선형 단위라고 불린다. 그러면 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 평가할 수 있다.
여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이다.
카발리에리 적분.
카발리에리의 원리는 리만-스틸티어스 적분을 사용하여 곡선으로 둘러싸인 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다. 리만 적분의 적분 스트립은 비직사각형 모양의 스트립으로 대체된다. 이 방법은 "카발리에리 영역"을 변환 formula_49로 변환하거나, formula_50를 피적분함수로 사용하는 것이다.
구간 formula_1에서 주어진 함수 formula_19에 대해, "변환 함수" formula_53는 구간 내 어떤 이동에 대해서도 formula_54와 정확히 한 번 교차해야 한다. "카발리에리 영역"은 formula_55, formula_56-축, 그리고 formula_57로 둘러싸인다. 그러면 영역의 면적은 다음과 같다.
여기서 formula_59와 formula_60는 formula_53와 formula_62가 formula_19와 교차하는 formula_56-값이다.
수학에서 수식어 점별(pointwise)은 어떤 함수 formula_1의 각 값 formula_2를 고려하여 특정 속성이 정의됨을 나타내기 위해 사용된다. 점별 개념의 중요한 종류는 점별 연산으로, 이는 정의 영역의 각 지점에 대해 개별적으로 함수 값에 연산을 적용하여 함수에 정의된 연산이다. 중요한 관계론 또한 점별로 정의될 수 있다.
집합 에 대한 이항 연산 는 에서 로 가는 모든 함수 집합 에 대한 연산 로 점별로 확장될 수 있다. 다음과 같다. 두 함수 및 가 주어졌을 때, 함수 는 다음과 같이 정의된다.
일반적으로 o와 O는 같은 기호로 표시된다. 단항 연산 o 및 다른 항수의 연산에도 유사한 정의가 사용된다.
동일한 정의역과 공역을 가진 두 함수 formula_1와 formula_4의 점별 덧셈 formula_5는 다음과 같이 정의된다.
점별 곱 또는 점별 곱셈은 다음과 같다.
스칼라와의 점별 곱은 일반적으로 스칼라 항이 먼저 오도록 작성된다. 따라서 formula_6가 스칼라일 때:
점별 연산이 아닌 함수의 연산의 예로는 합성곱이 있다.
점별 연산은 공역에 대한 해당 연산으로부터 결합법칙, 교환법칙 및 분배법칙과 같은 속성을 상속받는다.
formula_7가 어떤 대수 구조일 때, formula_8에서 formula_7의 캐리어 집합으로 가는 모든 함수의 집합은 유사한 방식으로 동일한 유형의 대수 구조로 바뀔 수 있다.
성분별 연산.
성분별 연산은 일반적으로 벡터에 대해 정의되며, 여기서 벡터는 어떤 자연수 formula_10과 어떤 체 formula_11에 대한 집합 formula_12의 원소이다. 임의의 벡터 formula_13의 formula_14번째 성분을 formula_15로 나타내면, 성분별 덧셈은 formula_16이다.
성분별 연산은 행렬에 대해 정의될 수 있다. 행렬 덧셈, 즉 formula_17는 성분별 연산인 반면 행렬 곱셈은 아니다.
튜플은 함수로 간주될 수 있으며, 벡터는 튜플이다. 따라서 임의의 벡터 formula_13는 formula_19인 함수 formula_20에 해당하며, 벡터에 대한 모든 성분별 연산은 해당 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산이다.
점별 관계.
순서론에서는 함수에 대한 점별 부분 순서를 정의하는 것이 일반적이다. A, B가 부분 순서 집합일 때, 함수 A → B의 집합은 인 경우 f ≤ g로 정의하여 순서를 매길 수 있다. 점별 순서는 또한 기본 부분 순서 집합의 일부 속성을 상속받는다. 예를 들어, A와 B가 연속 격자라면 점별 순서가 있는 함수 A → B의 집합도 그렇다. 함수에 대한 점별 순서를 사용하여 다음과 같은 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있다.
무한 점별 관계의 예는 함수의 점별 수렴이다.
의 수렴은 각 에 대해 에서
순서론 예시:
수학에서 제곱 적분 가능 함수(square-integrable function)는 이차 적분 가능 함수 또는 formula_1 함수 또는 제곱 합 가능 함수라고도 불리며, 절댓값의 제곱의 적분이 유한한 실수 또는 복소수 값을 갖는 가측 함수이다. 따라서 실수 직선 formula_2에서의 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 정의된다.
formula_3에 대해 formula_4와 같은 유계 구간에서의 이차 적분 가능성을 언급할 수도 있다.
동등한 정의는 함수 자체의 제곱(절댓값이 아닌)이 르베그 적분 가능하다는 것이다. 이것이 참이 되려면 실수 부분의 양수 및 음수 부분의 적분이 모두 유한해야 하며, 허수 부분도 마찬가지다.
( 르베그 측도에 대한) 제곱 적분 가능 함수의 동치류로 구성된 벡터 공간은 formula_5인 formula_6 공간을 형성한다. formula_6 공간 중에서 제곱 적분 가능 함수 클래스는 내적과 호환된다는 점에서 독특하며, 이를 통해 각도 및 직교성과 같은 개념을 정의할 수 있다. 이 내적과 함께 제곱 적분 가능 함수는 힐베르트 공간을 형성하는데, 모든 formula_6 공간은 각 formula_9-노름에 대해 완비 거리 공간이기 때문이다.
종종 이 용어는 특정 함수를 지칭하기보다는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 지칭하는 데 사용된다.
제곱 적분 가능 함수(여기서 "함수"는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 의미한다)는 다음으로 주어지는 내적을 갖는 내적 공간을 형성한다.
formula_20이므로, 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 말하는 것과 같다.
제곱 적분 가능 함수는 위에 정의된 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비 거리 공간을 형성한다는 것을 보일 수 있다.
완비 거리 공간은 코시 공간이라고도 불리는데, 이러한 거리 공간의 수열은 코시 열일 때만 수렴하기 때문이다.
노름에 의해 유도된 거리 공간에서 완비인 공간은 바나흐 공간이다.
따라서 제곱 적분 가능 함수 공간은 노름에 의해 유도된 거리 공간에서 바나흐 공간이며, 이 노름은 다시 내적에 의해 유도된다.
내적의 추가 속성을 가지고 있으므로, 이 공간은 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비이므로 특히 힐베르트 공간이다.
이 내적 공간은 관례적으로 formula_22로 표시되며 여러 번 formula_23로 축약된다.
formula_23는 제곱 적분 가능 함수의 집합을 나타내지만, 이 표기법으로 거리, 노름 또는 내적의 선택은 지정되지 않는다.
집합은 특정 내적 formula_25와 함께 내적 공간을 지정한다.
제곱 적분 가능 함수 공간은 formula_5인 formula_6 공간이다.
formula_28에서 정의된 함수 formula_29은 formula_30일 때는 formula_1에 속하지만 formula_32일 때는 속하지 않는다.
formula_33에서 정의된 함수 formula_34는 제곱 적분 가능하다.
formula_35에서 정의된 유계 함수는 제곱 적분 가능하다. 이 함수들은 어떤 formula_9 값에 대해서도 formula_6에 속한다.
formula_35에서 정의된 함수 formula_34 (여기서 formula_40에서의 값은 임의적이다). 또한 이 함수는 formula_33의 어떤 formula_9 값에 대해서도 formula_6에 속하지 않는다.
수학에서 시간 척도 미적분학(Time-scale calculus)은 차분 방정식 이론과 미분방정식 이론을 통합하고, 적분 및 미분학과 유한 차분 미적분학을 통합하여 하이브리드 시스템을 연구하기 위한 형식을 제공한다. 이는 이산 및 연속 데이터를 동시에 모델링해야 하는 모든 분야에 응용된다. 이 이론은 새로운 미분 정의를 제공하는데, 실수에 정의된 함수를 미분할 경우 표준 미분과 동일하지만, 정수에 정의된 함수를 사용할 경우 전진 차분 연산자와 동일하다.
시간 척도 미적분학은 1988년 독일 수학자 슈테판 힐거에 의해 소개되었다. 그러나 이와 유사한 아이디어는 이전에 사용되었으며, 적분과 합을 통합하는 리만-스틸티어스 적분의 도입까지 거슬러 올라간다.
동적 방정식.
미분방정식에 관한 많은 결과는 차분방정식에 해당하는 결과로 쉽게 이어지지만, 다른 결과들은 연속적인 결과와는 완전히 다른 것처럼 보인다. 시간 척도 상의 동적 방정식 연구는 이러한 불일치를 밝혀내고, 결과를 두 번 증명하는 것을 피하는 데 도움을 준다. 즉, 한 번은 미분방정식에 대해, 또 한 번은 차분방정식에 대해 증명하는 것을 피한다. 일반적인 아이디어는 미지의 함수의 도메인이 시간 척도(시간 집합이라고도 함)인 동적 방정식에 대해 결과를 증명하는 것이다. 시간 척도는 실수의 임의의 닫힌 부분 집합일 수 있다. 이러한 방식으로 결과는 실수 집합이나 정수 집합뿐만 아니라 칸토어 집합과 같은 더 일반적인 시간 척도에도 적용된다.
시간 척도 상의 미적분학의 세 가지 가장 인기 있는 예는 미분학, 차분 미적분학, 양자 미적분학이다. 시간 척도 상의 동적 방정식은 개체군 동역학과 같은 응용 분야에 대한 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 계절 동안 지속적으로 진화하고, 겨울에는 알이 부화하거나 휴면하는 동안 사라지고, 새 계절에 부화하여 겹치지 않는 개체군을 형성하는 곤충 개체군을 모델링할 수 있다.
시간 척도(또는 측정 사슬)는 실직선 formula_1의 닫힌 부분 집합이다. 일반적인 시간 척도에 대한 일반적인 표기는 formula_2이다.
가장 흔하게 접하는 시간 척도의 두 가지 예는 실수 formula_1와 이산 시간 척도 formula_4이다.
시간 척도 내의 단일 점은 다음과 같이 정의된다.
시간 척도에 대한 연산.
전방 점프 및 후방 점프 연산자는 주어진 점 formula_6의 오른쪽 및 왼쪽에 있는 시간 척도에서 가장 가까운 점을 나타낸다. 형식적으로:
입상도 formula_9는 한 점에서 오른쪽으로 가장 가까운 점까지의 거리이며 다음과 같이 주어진다.
오른쪽 조밀한 formula_6의 경우 formula_12이고 formula_13이다.
왼쪽 조밀한 formula_6의 경우 formula_15
점의 분류.
임의의 formula_16에 대해 formula_6는 다음이다.
오른쪽 그림에 설명된 대로:
시간 척도의 연속성은 조밀성과 동등하게 재정의된다. 시간 척도는 점 formula_6에서 오른쪽 조밀하면 점 formula_6에서 오른쪽 연속이라고 말한다. 유사하게, 시간 척도는 점 formula_6에서 왼쪽 조밀하면 점 formula_6에서 왼쪽 연속이라고 말한다.
함수를 다음과 같이 정의한다.
(여기서 R은 어떤 바나흐 공간이 될 수 있지만, 단순화를 위해 실직선으로 설정된다).
정의: 델타 미분(힐거 미분이라고도 함) formula_31는 다음 경우에만 존재한다.
모든 formula_32에 대해 formula_6의 근방 formula_34가 존재하여 다음을 만족한다.
formula_34 내의 모든 formula_37에 대해.
formula_38로 가정하자. 그러면 formula_39, formula_40, formula_41는 표준 미적분학에서 사용되는 미분이다. 만약 formula_42(정수)이면, formula_43, formula_44, formula_45는 차분 방정식에서 사용되는 전진 차분 연산자이다.
델타 적분은 델타 미분에 대한 원함수로 정의된다. 만약 formula_46가 연속 미분 formula_47를 갖는다면 다음과 같이 설정한다.
라플라스 변환 및 Z변환.
시간 척도 상의 함수에 대한 라플라스 변환을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 시간 척도에 대해 동일한 변환표를 사용한다. 이 변환은 시간 척도 상의 동적 방정식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 만약 시간 척도가 음이 아닌 정수이면 이 변환은 수정된 Z변환과 동일하다.
편미분 방정식과 편차분 방정식은 시간 척도 상의 편동적 방정식으로 통합된다.
다중 적분.
시간 척도 상의 다중 적분은 Bohner(2005)에서 다루어진다.
시간 척도 상의 확률 동적 방정식.
확률미분방정식과 확률차분 방정식은 시간 척도 상의 확률 동적 방정식으로 일반화될 수 있다.
시간 척도 상의 측도론.
모든 시간 척도에는 다음을 통해 정의된 자연적인 측도가 관련되어 있다.
여기서 formula_51는 르베그 측도를 나타내고 formula_52는 formula_1에 정의된 후진 시프트 연산자이다. 델타 적분은 이 측도에 대한 일반적인 르베그-스틸티어스 적분으로 판명된다.
그리고 델타 미분은 이 측도에 대한 라돈-니코딤 미분으로 판명된다.
시간 척도 상의 분포.
디랙 델타 함수와 크로네커 델타는 시간 척도 상에서 힐거 델타로 통합된다.
시간 척도 상의 분수계 미적분학.
시간 척도 상의 분수계 미적분학은 Bastos, Mozyrska, Torres에 의해 다루어진다.
데이비드 사울 마셜(David Saul Marshall, 1908년 3월 12일~1995년 12월 12일)은 싱가포르의 정치인, 법조가, 외교관으로 1955년 4월부터 1956년 6월까지 싱가포르 수석대신을 맡았다. 그는 싱가포르의 자치와 영국으로부터 싱가포르가 독립해야 한다고 주장했지만 영국 정부의 반대로 무산되자 재임 1년 만에 수석대신을 사임했다. 그러나 그는 싱가포르의 주권을 회복하기 위해 다양한 노력을 기울였고, 1959년 영국으로부터 싱가포르가 완전한 자치를 얻을 때까지 영국 정부와 꾸준히 협상했다.
데이비드 마셜은 싱가포르 특권층에서 자랐지만 그는 좌익 민족주의자로서 활동하며 왕령 식민지였던 싱가포르에 자치권이 필요하다고 생각했다. 그는 이 생각을 실현하기 위해 노동전선과 싱가포르 노동당을 창립했다. 1963년 싱가포르가 공식적으로 영국으로부터 독립한 이후 그는 파벌 정치로부터 결별하고 무소속 의원으로 정치를 이어갔다. 그가 주장했던 싱가포르의 독립은 1965년 싱가포르 독립 합의를 통해 싱가포르가 말레이시아로부터 독립하면서 결실을 맺게 되었다.
1978년 마셜은 싱가포르의 외교관이 되어 프랑스, 스위스, 포르투갈, 스페인 등 다양한 국가에서 대사를 지냈다. 이 기간 동안 그는 그의 정치적 라이벌이었던 리콴유가 싱가포르 총리로 장기집권하고 있음에도 불구하고 싱가포르의 국익을 보호하는데 최선을 다했다. 그러나 마셜은 그가 동의하지 않는 국내 정책에 대해서는 꾸준히 비판을 이어나갔다. 마셜은 1993년 정계에서 은퇴했고, 1995년 12월 사망했다.
배경 및 가계.
마셜은 1908년 3월 12일 싱가포르 셀레기 로드에서 데이비드 사울 마샬(David Saul Mashal)이라는 이름으로 태어났다. 바그다드 유대인 부모인 사울 나심 마샬과 플로라 에제키엘 마샬의 일곱 자녀 중 둘째였다. 그의 아버지 사울은 유대인 마나세 메이어가 싱가포르를 여행한 것에 영감을 받아 1900년 바그다드에서 싱가포르로 왔다. 그는 처음 싱가포르로 이주할 때 아내 플로라를 바그다드에 남겨두고 체인지 앨리에 사업을 차렸다. 사울은 주로 중동과 인도에서 물건을 팔았다. 사울은 메소포타미아 출신의 스페인계 세파르딤 유대인이었다.
그의 사업은 성공했고, 그는 곧 아내를 싱가포르로 데려왔다. 그녀는 이란 이스파한 출신의 사디크 가문 출신이었다. 1920년에 마셜의 원래 성인 마샬(Mashal)은 가족 주치의의 조언에 따라 마셜(Marshall)로 영어화되었다. 사울의 형제 가족도 이미 마셜(Marshall)로 성을 바꾼 것이 또 다른 이유였다. 사울 나심 마샬은 영어, 튀르키예어, 아랍어를 구사했다. 말년에 사울과 플로라는 헤어졌고, 사울은 1953년 오스트레일리아 시드니에서 사망했으며, 플로라는 1948년 이스라엘에서 사망했다.
어린 시절, 양육 및 교육.
마셜은 아버지의 재산 문제로 어린 시절을 자주 이사를 다녔다. 그는 셀레기 로드에서 윌키 로드로, 그 다음에는 카통, 마린 퍼레이드, 시 애비뉴, 채플 로드로 이사했다고 한다. 제1차 세계 대전 중인 1914년, 마셜은 어머니와 형 조지, 그리고 중국인 아마 아 시 카와 함께 바그다드에 있는 외가를 방문했다. 그들이 도착하자 튀르키예인들은 그들이 영국 여권을 소지하고 있음을 발견하고 가택 연금을 시켰다. 마셜은 6세에 억류되었지만 바그다드에서 히브리어와 아랍어를 배울 수 있는 유치원 수업에 참석할 수 있었다. 그와 그의 가족은 바그다드 전투 후 1917년 3월에 싱가포르로 돌아왔다.
그의 부모는 "극정통파 유대인"이었고, 마셜은 엄격한 유대교 양육을 받아 시나고그에 자주 가고 안식일을 지켰다. 그는 마가인 아보트 시나고그에서 히브리어로 구약성경을 배웠고 13세에 바르 미츠바를 했다. 어린 시절부터 부모님 밑에서 유대교를 따랐던 마셜은 나중에 욤키푸르 때문에 수업을 빼먹어 세인트 조셉 기관에서 퇴학당하는 사건을 겪었다. 이로 인해 그는 부모님의 신념에 의문을 제기하고 반항하기 시작했다. 바그다드에서 싱가포르로 돌아온 후, 마셜은 빅토리아 스트리트에 있는 성모영아수녀원 유치원에 다녔다.
유치원 시절을 보낸 후, 그는 1918년에 세인트 조셉 기관에서 공부했고 불과 1년 후에 퇴학당했다. 그의 어머니는 세인트앤드류 중학교 교장을 설득하여 그를 입학시켰고, 그는 스탠다드 7학년에 도달할 때까지 그곳에 다녔다. 그 후 마셜은 1923년에 세인트앤드류에 과학시설이 없었기 때문에 래플스 기관으로 전학했다. 그는 십대 시절 말라리아와 결핵을 포함한 여러 질병으로 고생했는데, 14세에 자카르타에서 말라리아 치료를 받았고 16세에 스위스에서 결핵 치료를 받았다. 그의 초기 목표는 의학 학위를 위한 퀸스 스콜라십을 받는 것이었고, 이를 위해 1925년에 6개월 동안 하루 14시간을 공부했다. 그러나 시험 전날, 마셜은 쓰러져 시험을 치르지 못했다. 그는 그 후 "폐 질환"에서 회복하기 위해 스위스로 보내졌고, 그곳에서 9개월 동안 프랑스어 수업을 들으며 시간을 보냈다.
싱가포르로 돌아온 후, 마셜은 1926년에 주식 중개 회사에서 일하기 시작했지만 결핵에 걸려 다시 스위스로 가야했고, 그곳에서 그는 독일어와 프랑스어를 공부했다. 그는 8개월 후에 회복되어 벨기에 르네로 가서 섬유 제조를 공부했다. 이 무렵, 마셜은 영국인에 대한 반식민지 정서가 더 강해졌다. 1927년 유럽에서 싱가포르로 돌아온 그는 YMCA에서 "이 오물통의 책임은 누구인가?"라는 제목의 연설을 했는데, 이는 한 영국 의원이 싱가포르를 "악성적이고 부도덕한 오물통"이라고 묘사한 더 스트레이츠 타임스 보도에 대한 응답이었다. 이로 인해 마셜은 교육부로부터 공개 연설 금지 조치를 받았다.
마셜은 대공황 기간인 1930년에 다시 해외를 여행하고 돌아왔다. 그는 섬유 대표직을 성공적으로 유지하지 못하고 N. V. 스트레이츠 자바 트레이딩 컴퍼니에 입사하여 회사의 부서를 청산했다. 대공황으로 인한 급여 삭감 후, 마셜은 N. V. 스트레이츠를 떠나 스턴버그 앤 컴퍼니의 영업 사원으로 일했다. 스턴버그에서 그는 승객 부서의 보조원으로 SGD150을 벌었고, 추가 수입을 위해 YMCA에서 프랑스어 수업을 진행했다. 마셜은 해외 교육을 받기 위해 돈을 모으고 있었다. 충분한 돈을 모은 후, 마셜은 런던에서 법률을 공부하기로 결정하고 1934년 9월에 런던 대학교에 입학했다. 그는 원래 의학을 공부하고 싶었지만 비용이 많이 들고 6년 과정이었다. 법학 학위를 받고 동시에 변호사가 되기 위해 마셜은 미들 템플에 등록하고 런던 대학교 외부에서 법학학사를 취득하기로 결정했다.
그는 도착 18개월 후 우수한 성적으로 변호사 시험에 합격했다. 그 후 마셜은 즉시 싱가포르로 돌아와 법률 업무를 수행하고 싶었지만, 미들 템플에 입회하기 전에 18개월 동안의 만찬에 참여해야 했다. 그는 미들 템플의 재무 담당관을 만나 18개월 면제를 요청했는데, 궁극적으로 6개월만 면제받았다. 미들 템플에서 1년을 보낸 후, 마셜은 1937년 2월에 싱가포르로 돌아와 공식적으로 변호사 및 사무 변호사로 등록했다. 그는 런던에서 웨이터로 일했었다.
1937년 2월 싱가포르로 돌아온 그는 이듬해 2월 변호사 자격이 부여되었다.. 마셜은 그 후 법률 회사 로딕 &amp; 데이비슨에 월급 싱가포르 500 달러를 받고 합류했다. 그러나 그는 곧 로딕 &amp; 데이비슨의 입법부 서기가 자신보다 400 달러 더 많은 돈을 받는다는 사실을 알게 되었고, 현지인이라는 이유로 편견에 직면하여 수석 서기보다 적은 돈을 받았다. 마셜은 이후 중국인 사회의 저명한 인사인 송옹시앙이 공동 설립한 법률 회사인 에이트켄 &amp; 옹시앙에 지원했다. 아버지의 도움으로 마셜은 결국 특별 계약을 통해 에이트켄 &amp; 옹 시앙에 합류할 수 있었다. 그는 급여를 받지 않고 자신의 책상 공간, 사무용품, 비서 서비스를 직접 지불해야 했다. 그럼에도 불구하고 그는 첫 달에 700 싱가포르 달러를 벌었다. 1938년부터 1939년까지 그는 에이트켄 &amp; 옹 시앙을 위해 몇 건의 경미한 사건에 참여했다. 그는 지역 사회에 자신을 더 알리기 위해 75 싱가포르 달러의 저렴한 비용으로 형사 사건을 맡기 시작했고, 유명해지자 사건당 최대 300 싱가포르 달러를 청구했다.
1938년 10월, 일본이 곧 동남아시아를 공격할 수 있다고 결론 내린 마셜은 더 큰 해협 식민지 자원군)의 지부인 영국 싱가포르 자원군단 (SVC)에 입대하기로 결정했다. 자원군단은 여러 중대를 보유하고 있었고, 마셜은 대부분 유라시아인으로 구성된 "D" 중대에 배정되었다. 그는 유대인임에도 불구하고 유라시아인들과 함께 묶인 것에 화가 났고, 지휘관에게 불평했다. 마셜은 그 후 체코인, 유고슬라브인, 폴란드인을 포함하는 유럽 중대인 "B" 중대로 옮겨졌지만, 군단 내에서 문제를 계속 겪었다. "B" 중대에서 마셜은 동료 유럽인 동료들에 비해 낮은 급여를 받고 있다는 것을 알게 되었다. 그는 "유럽인" 급여인 1.04 싱가포르 달러 대신 "아시아인" 급여인 하루 0.5 싱가포르 달러를 벌고 있었다. 이 차별에 대해 사령관에게 불평한 후, 그는 막사에 감금되었지만 하루에 0.55 싱가포르 달러를 더 받게 되었다.
군단에서 훈련하는 동안 마셜은 군단의 일정이 자신의 법조 경력에 심하게 방해가 되어 에이트켄 &amp; 옹시앙에서 계속 일할 수 없다는 것을 알게 되었다. 그는 두 달 동안 훈련을 받기 위해 텔록 파쿠로 떠난 적도 있었다. 그는 일정을 더 조율하기 쉬운 알렌 &amp; 글레드힐에 조수로 지원했고, 당시 비유럽인으로서는 가장 높은 월급 750 싱가포르 달러를 받고 고용되었다. 그는 비치 로드에서 "B" 중대와 함께 매주 훈련을 받았다. 전쟁이 싱가포르에 영향을 미칠 가능성이 커지자, 1941년까지 마셜은 전쟁을 피하기 위해 가족을 오스트레일리아의 퍼스로 보냈고, 그의 어머니만이 싱가포르에 남아 있었다.
싱가포르 전투와 포로 생활.
1941년 12월, 마셜은 싱가포르 폭격 이후 동원되었다. 게이랑 세라이 캠프에서 첫 폭탄이 터지는 것을 봤을 때, 그와 많은 사람들은 사이렌이 울리는 것이 훈련의 일부라고 생각했는데, 거리에 불빛이 여전히 켜져 있었기 때문이다. 폭격 당시 싱가포르 주민들은 여전히 영국을 지지했지만, 프린스 오브 웨일스 호와 리펄스 호가 침몰했다는 소식을 듣고 지지율은 줄어들었다. "B" 중대에서 마셜의 역할은 전령이었다. 싱가포르 전투가 벌어진 1942년 2월 15일, 그는 영국이 항복한다는 소식을 받고 외곽 지역에 전달했다. 2월 15일 오후 8시 30분에 공식적으로 항복이 있은 이후, 자원군 소속이었던 마셜은 남부 주둔지에 있었다.
2월 17일, 그는 포로로서 피어스 로드에서 창이 교도소로 행군했다. 그들은 반란을 막기 위해 8명씩 그룹을 지어 이동했지만, 가는 길에 장비를 짊어져야 했다. 창이로 향하던 중 마셜은 기력이 다해 더 이상 나아갈 수 없었다. 그의 지휘관은 그의 장비를 가지고 그를 남겨둔 채 지프를 타고 창이로 갔다. 마셜은 결국 오스트레일리아 차량을 타고 교도소에 도착했다. 창이에서 포로들은 식량, 물, 주거지, 담요 부족으로 자주 고통받았다. 몇 달 만에 마셜의 몸무게는 78 kg에서 54kg로 감소했다. 그의 음식은 주로 목화바구미가 섞인 밥이었다.
창이에서 15개월을 보낸 후, 마셜은 세랑군 로드 경마장의 캠프로 이송되었는데, 이곳은 약 3천 명의 포로만 있었다. 그는 일본군의 군마를 위해 풀을 깎는 노동을 하며 시간을 보냈다. 1942년 8월, 일본은 포로들을 "적절한 편의 시설"이 있는 일본과 대만의 수용소로 나누어 이송했으며, 다른 포로들은 죽음의 철도 건설을 위해 버마와 시암으로 이송되었다. 1943년 5월, 마셜은 일본으로 징집되었다. 사이공과 대만에서 정차하며 배로 혼슈에 도착하는 데 3주가 걸렸는데, 혼슈에 도착했을 때 마셜이 탄 배가 사망자가 없는 첫 번째 배였다. 마셜은 그 후 기차를 타고 홋카이도 하코다테시의 산업 수용소로 보내졌다. 이 수용소의 근무 조건은 열악했고, 그들은 나중에 야쿠모정, 무로란시를 거쳐 니시 아시베츠로 옮겨졌다.
니시 아시베츠에서 마셜은 탄광에서 일해야 했다. 그러나 마셜은 그때 너무 약해져 채굴할 수 없었기 때문에 탄광에서 일하지 않고 비행장을 위한 땅을 개간하고 트럭을 사용하여 만주에서 운반된 철을 옮겼다. 1944년이 되자 일본은 전쟁에서 패하기 시작했고, 마셜은 대령 사무실에서 일본 신문을 읽은 중국인 포로를 통해 이 사실을 알게 되었다. 이후 1945년 일본의 패망 이후 적십자 소포와 미군 비행기에서 식량과 보급품을 받기 시작했다. 얼마 지나지 않아 마셜은 오키나와로, 그리고 마닐라로 비행하여 동료 포로들과 함께 브리핑을 받았다. 그들은 전쟁 중의 상황에 대해 진술해야 했고, 인터뷰에서 그는 가족을 방문하기 위해 퍼스로 송환을 요청했다. 미국 관리들은 동의했고, 마셜은 기차를 타고 퍼스로 가기 전에 시드니로 이동했다. 그는 잠시 가족과 함께 지내다가 1946년 2월 싱가포르로 돌아왔다.
마셜은 나중에 포로 생활 경험을 회고하며 다음과 같이 말했다.
마셜은 1946년 2월 싱가포르로 돌아왔다. 그는 전쟁 중에 자신의 원래 집이 파괴되고 약탈당했음을 알게 되었다. 영국 군정부 기간 동안 여러 사회적 문제가 발생했음에도 불구하고, 그는 앨런 &amp; 글레드힐에 다시 합류할 수 있었다.그의 친구 제럴드 드 크루즈는 그를 말라야 민주연합(MDU)에 가입하도록 권유했다. 말라야 민주연합은 내부 자치와 공공 개혁을 목표로 하는 정당이었다. 드 크루즈는 마셜이 지체 없이 가입할 것이라고 생각했지만, 마셜은 전쟁 후 자신을 재정비할 시간이 필요하다는 이유로 가입을 거절했다.