shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
다른 틀에서의 설명에 대한 가장 중요한 요구 사항은 일관성이다. 뉴턴 역학은 전하를 구동하고 전류를 발생시키는 힘에 대해 하나의 변환(소위 갈릴레이 불변성)을 예측하는 반면, 맥스웰 방정식으로 표현되는 전자기학은 이러한 힘을 발생시키는 장이 다르게 변환된다고 예측하기 때문에(즉, 로런츠 불변성에 따라), 일관성은 문제가 된다. 마이컬슨-몰리 실험으로 절정에 달한 광행차 관측은 로런츠 불변성의 유효성을 확립했으며, 특수 상대성이론의 발전은 뉴턴 역학과의 결과적인 불일치를 해결했다. 특수 상대성이론은 움직이는 기준계에서의 힘 변환을 로런츠 불변성과 일관되도록 수정했다. 이러한 변환의 세부 사항은 아래에서 논의된다.
일관성 외에도 설명들을 통합하여 틀에 독립적으로 보이게 하는 것이 바람직하다. 틀에 독립적인 설명에 대한 단서는 한 기준계의 자기장이 다른 기준계에서는 전기장이 된다는 관찰이다. 마찬가지로 전기장의 솔레노이드 벡터장 부분(전하에 의해 발생하지 않는 부분)은 다른 틀에서 자기장이 된다. 즉, 솔레노이드 전기장과 자기장은 같은 것의 다른 측면이다. 이는 다른 설명의 역설이 단지 의미론적일 수 있음을 의미한다. B와 E 대신 스칼라 및 벡터 전위 φ와 A를 사용하는 설명은 의미론적 함정을 피한다. 로런츠 불변 사차원 벡터 Aα = (φ / c, A)는 E와 B를 대체하고 틀에 독립적인 설명을 제공한다(비록 E–B–설명보다 덜 직관적이지만). 설명의 또 다른 통합은 나중에 설명될 전자기장 텐서를 물리적 실체로 생각하는 것이다. 이 텐서는 E와 B 필드를 구성 요소로 포함하며 모든 기준계에서 동일한 형태를 갖는다.
전자기장은 직접 관측할 수 없다. 고전 전자기장의 존재는 전하를 띤 입자의 운동에서 추론할 수 있으며, 이들의 궤적은 관측 가능하다. 전자기장은 고전 전하를 띤 입자의 관측된 운동을 실제로 설명한다.
물리학의 강력한 요구사항은 입자 운동을 관측하는 모든 관측자가 입자의 궤적에 동의해야 한다는 것이다. 예를 들어, 한 관측자가 입자가 표적의 중심과 충돌한다고 기록하면, 모든 관측자도 같은 결론에 도달해야 한다. 이 요구사항은 전자기장의 본질과 한 기준계에서 다른 기준계로의 변환 방식에 제약을 가한다. 또한 장이 전하를 띤 입자의 가속도, 그리고 따라서 궤적에 영향을 미치는 방식에도 제약을 가한다.
아마도 가장 간단한 예이자 특수 상대성이론을 소개한 알베르트 아인슈타인의 1905년 논문에서 언급된 것은 자석의 장에서 움직이는 도체의 문제이다. 자석의 기준계에서 도체는 자기력을 경험한다. 자석에 대해 움직이는 도체의 기준계에서 도체는 전기장으로 인한 힘을 경험한다. 자석 기준계의 자기장과 도체 기준계의 전기장은 도체에서 일관된 결과를 생성해야 한다. 아인슈타인이 1905년 당시, 맥스웰 방정식으로 표현된 장 방정식은 적절히 일관성이 있었다. 그러나 입자 궤적의 일관성을 제공하기 위해 뉴턴 운동 법칙이 수정되어야 했다.
갈릴레이 변환을 가정한 장의 변환.
자석 좌표계와 도체 좌표계가 갈릴레이 변환으로 관련되어 있다고 가정하면, 두 좌표계에서 장과 힘을 계산하는 것은 간단하다. 이것은 유도 전류가 두 좌표계에서 실제로 동일하다는 것을 보여줄 것이다. 부수적으로, 이 논증은 한 좌표계의 전기장과 자기장을 다른 좌표계의 장으로 표현하는 일반적인 공식을 산출할 것이다.
실제로 좌표계는 갈릴레이 변환이 아니라 로런츠 변환으로 관련되어 있다. 그럼에도 불구하고, 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도에서는 갈릴레이 변환이 매우 좋은 근사치가 될 것이다.
프라임이 붙지 않은 양은 자석의 정지 좌표계에 해당하며, 프라임이 붙은 양은 도체의 정지 좌표계에 해당한다. v를 자석 좌표계에서 본 도체의 속도라고 하자.
자석 좌표계.
자석의 정지 좌표계에서 자기장은 자석의 구조와 모양에 따라 결정되는 고정된 장 B(r)이다. 전기장은 0이다.
일반적으로 도체 내의 전하 q에 가해지는 전기장과 자기장에 의한 힘은 (SI 단위):
여기서 formula_2는 입자의 전하이고, formula_3는 입자 속도이며 F는 로런츠 힘이다. 그러나 여기서는 전기장이 0이므로 입자에 가해지는 힘은
도체 좌표계.
도체 좌표계에는 시간에 따라 변하는 자기장 B′가 있으며, 이는 자석 좌표계의 자기장 B와 다음과 같이 관련되어 있다.
formula_5 여기서 formula_6
이 좌표계에는 전기장이 존재하며, 그 회전은 맥스웰-패러데이 방정식에 의해 주어진다.
이는 다음을 산출한다.
이것을 설명하자면: 만약 도체가 z-축을 따라 일정한 속도 formula_9로 기울기 formula_10를 가진 B-장 안에서 움직인다면, 도체 좌표계에서는 다음과 같이 된다. formula_11 이 방정식은 다음 식과 일치함을 알 수 있다. formula_12 이 표현에서 formula_13와 formula_14를 구하여 첫 번째 표현에 대입하고 다음을 사용하면 된다. formula_15 아주 작은 기울기 formula_10의 극한에서도 이 관계는 유효하며, 따라서 도체 좌표계에서 자기장이 시간에 따라 변하지 않더라도 로런츠 힘 방정식은 유효하다. 상대론적 속도에서는 보정 계수가 필요하며, 아래와 고전 전자기학과 특수 상대성이론 및 로런츠 변환을 참조하라.
도체 내의 전하 q는 도체 좌표계에서 정지해 있을 것이다. 따라서 로런츠 힘의 자기력 항은 영향을 미치지 않으며, 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.
이것은 두 좌표계에서 힘이 동일하다는 것을 보여주며(예상되는 대로), 따라서 유도 전류와 같은 이 힘의 관측 가능한 결과도 두 좌표계에서 동일할 것이다. 이것은 도체 좌표계에서는 힘이 전기력으로 보이지만 자석 좌표계에서는 자기력으로 보인다는 사실에도 불구하고 그렇다.
장에 대한 갈릴레이 변환 공식.
자석의 좌표계에 전기장도 포함되어 있다면 비슷한 종류의 논증을 할 수 있다. (앙페르-맥스웰 방정식도 작용하며, 도체 좌표계에서 이 움직이는 전기장이 자기장에 어떻게 기여하는지 설명한다.) 결과적으로 일반적으로 다음과 같다.
여기서 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다.
이러한 변환 규칙을 완전한 맥스웰 방정식에 대입하면, 맥스웰 방정식이 한 좌표계에서 참이면 다른 좌표계에서도 거의 참이지만, v/c를 제곱하거나 그 이상으로 올린 양에 비례하는 잘못된 항을 포함한다는 것을 알 수 있다. 따라서 이것들은 정확한 변환 규칙이 아니라 낮은 속도에서의 좋은 근사치이다. 빛의 속력에 가까운 큰 속도에서는 갈릴레이 변환을 로런츠 변환으로 대체해야 하며, 아래에 주어진 표현에 따라 장 변환 방정식도 변경해야 한다.
맥스웰 방정식이 예측하는 장의 변환.
속도 v로 움직이는 좌표계에서, 정지한 자석 좌표계에 E-장이 없을 때 움직이는 좌표계의 E-장은 맥스웰 방정식에 따라 다음과 같이 변환된다.
는 로런츠 인자라고 불리며 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다. 이 결과는 모든 관성 좌표계의 관찰자가 맥스웰 방정식에 대해 동일한 형태에 도달해야 한다는 요구 사항의 결과이다. 특히, 모든 관찰자는 동일한 빛의 속력 c를 봐야 한다. 이 요구 사항은 공간과 시간에 대한 로런츠 변환으로 이어진다. 로런츠 변환을 가정하면, 맥스웰 방정식의 불변성은 이 예에서 장의 위 변환으로 이어진다.
결과적으로 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.
이 표현은 비상대론적 뉴턴 운동 법칙에서 얻은 표현과 formula_22 인자만큼 다르다. 특수 상대성이론은 공간과 시간을 변경하여 힘과 장이 일관성 있게 변환되도록 한다.
맥스웰 방정식과의 일관성을 위한 역학 수정.
로런츠 힘은 장이 다르지만 두 좌표계에서 동일한 형태를 갖는다. 즉:
그림 1을 참조하라. 단순화를 위해 자기장이 z-방향을 가리키고 x-위치에 따라 변하며, 도체가 속도 v로 양의 x-방향으로 이동한다고 가정하자. 결과적으로, 도체가 움직이는 자석 좌표계에서 로런츠 힘은 속도와 B-장에 모두 수직인 음의 y-방향을 가리킨다. 여기서 B-장에 의해서만 발생하는 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.
반면 자석이 움직이는 도체 좌표계에서는 힘 역시 음의 y-방향을 가리키며, 이제는 E-장에 의해서만 발생하며 값은 다음과 같다.
두 힘은 로런츠 인자 γ만큼 다르다. 그러나 이 차이는 다음에서 논의될, 좌표계 간의 시공간 변화로 인해 상대론적 이론에서 예상되는 바이다.
상대론은 맥스웰 방정식의 불변성에서 제시된 시공간의 로런츠 변환을 역학에도 적용한다(뉴턴 운동 법칙의 수정). 이 예에서 로런츠 변환은 x-방향에만 영향을 미친다(두 좌표계의 상대 운동은 x-방향을 따른다). 시간과 공간을 연결하는 관계는 다음과 같다(프라임은 움직이는 도체 좌표계를 나타낸다).
이러한 변환은 힘의 y-성분 변화를 초래한다.
즉, 로런츠 불변성 내에서는 갈릴레이 불변성과는 달리 힘이 모든 기준계에서 동일하지 않다. 그러나 로런츠 힘 법칙에 기반한 이전 분석에 따르면:
이는 완전히 일치한다. 따라서 전하에 가해지는 힘은 두 기준계에서 동일하지 않지만, 상대론에 따라 예상되는 방식으로 변환된다.
알렉산드리아 트로아스(트로아스의 알렉산드리아; ; , "옛 이스탄불") 혹은 드로아(신약성경 개역개정판)는 에게해에 위치한 고대 그리스 도시의 유적지로, 튀르키예 서해안 북쪽 끝 부근에 있으며 역사적으로 트로아스로 알려진 지역에 있다. 현대의 보즈자아다섬인 테네도스섬의 약간 남쪽에 위치한다. 이곳은 차나칼레주 에지네구의 현대적인 마을인 달랸의 남동쪽에 자리 잡고 있다. 이 유적지는 약 에 걸쳐 펼쳐져 있으며, 오늘날 남아있는 몇 안 되는 건축물로는 폐허가 된 목욕탕, 오데온, 극장, 김나시온 단지 그리고 최근 발굴된 경기장이 있다. 옛 성벽의 흔적은 여전히 찾아볼 수 있다.
스트라본에 따르면, 이 지역은 처음에는 시기아(Sigia, Σιγία)라고 불렸다. 기원전 306년경 안티고노스는 시기아에 다섯 개의 다른 마을 사람들을 정착시키며 도시를 확장하여 안티고니아 트로아스(Antigonia Troas)로 재건했다. 이 중에는 한때 영향력 있던 도시인 네안드레이아도 포함되어 있었다. 이 도시는 기원전 301년 리시마코스에 의해 마케도니아의 알렉산드로스 대왕을 기리기 위해 알렉산드리아 트로아스(Alexandria Troas)로 이름이 바뀔 때까지는 그 이름을 얻지 못했다(플리니우스는 단지 이름이 안티고니아에서 알렉산드리아로 바뀌었다고만 언급한다). 이 도시는 4~5세기 포이팅거 지도에 명시된 대로 알렉산드리아 트로아스라고 계속 불렸다. 북서 아시아 미노르의 주요 항구로서, 이 지역은 로마 시대에 크게 번성하여 기원전 188년 일찍이 "자유롭고 자치적인 도시"가 되었으며, 현존하는 유적들은 그 과거의 중요성을 충분히 증명한다. 전성기에는 도시 인구가 약 10만 명에 달했을 수도 있다. 스트라본은 아우구스투스 통치기에 이곳에 로마 식민지가 세워졌으며, 콜로니아 알렉산드리아 아우구스타 트로아스(Colonia Alexandria Augusta Troas)라고 불렸다고 언급한다(이 시기에는 단순히 트로아스라고 불렸다). 아우구스투스, 하드리아누스 그리고 부유한 문법학자 헤로데스 아티쿠스는 이곳을 아름답게 꾸미는 데 크게 기여했다. 오늘날까지 보존된 수로는 헤로데스 아티쿠스의 작품이다. 율리우스 카이사르와 콘스탄티누스는 트로아스를 로마 제국의 수도로 고려했다.
로마 시대에는 아나톨리아와 유럽을 오가는 중요한 항구였다. 사도행전의 기록에 따르면, 타르수스의 바울로는 알렉산드리아 트로아스에서 처음으로 유럽으로 항해했으며 유럽에서 이곳으로 돌아왔다(이곳에서 유디코를 살려낸 사건이 발생했다). 안티오키아의 이그나티오스도 로마에서 순교하기 전에 이 도시에서 잠시 머물렀다.
이후 몇몇 주교들이 알려져 있다: 325년의 마리누스; 344년의 니코니우스; 5세기 초의 실바누스; 451년의 피오니우스; 787년의 레오; 9세기에 이그나티오스 총대주교의 친구이자 미카엘의 반대자였던 페트로. 10세기에는 트로아스가 키지코스의 보좌 주교구로 주어지며 유명한 트로이와 구별된다(하인리히 겔저, Ungedruckte ... Texte der Notitiae episcopatuum, 552; 게오르기우스 키프리우스의 로마 세계 기술, 64); 도시가 언제 파괴되고 교구가 사라졌는지는 알려지지 않았다. 주교직은 1971년 이후 공석인 로마 가톨릭교회의 명목상 주교좌로 트로아스라는 이름으로 남아있다.
트로아스는 또한 세계 총대주교청 산하 동방 정교회의 명목상 주교좌이다. 트로아스의 주교 사바스(젬빌라스)는 2002년부터 2011년까지 고위 성직자로 봉사했으며, 이후 미국 그리스 정교회 관구 대교구의 메트로폴리탄 사바스 (젬빌라스) 피츠버그가 되었다.
카라시드 투르크멘족은 14세기에 트로아스 지역에 정착했다. 그들의 베이국은 1336년 오스만 제국에 정복되었다. 알렉산드리아 트로아스 유적은 튀르크인들 사이에서 "옛 도시"를 뜻하는 에스키 스탐불(Eski Stambul)로 알려지게 되었다. 이 유적지의 돌들은 건축 재료로 많이 약탈당했다(예를 들어 메흐메트 4세는 자신의 예니 발리데 모스크를 장식하기 위해 기둥들을 가져갔다). 18세기 중반에는 이 유적지가 "산적들이 숨어 지내는 장소"로 이용되었다.
1911년까지 이 유적지는 발로니아참나무로 뒤덮여 심하게 약탈당했지만, 옛 성벽의 윤곽은 여전히 추적할 수 있었고 여러 곳에서는 상당히 잘 보존되어 있었다.
성벽은 둘레가 약 10킬로미터였고, 일정한 간격으로 탑으로 요새화되어 있었다.
이 지역 내에서 고대 목욕탕과 김나시온 단지의 유적을 찾을 수 있다. 이 건물은 현지에서 발 사라예(Bal Saray, 꿀 궁전)로 알려져 있으며, 원래 135년에 헤로데스 아티쿠스가 기증했다. 트라야누스는 여전히 흔적을 찾을 수 있는 수로를 건설했다.
항구에는 두 개의 큰 분지가 있었는데, 현재는 모래로 거의 막혀 있다.
이곳은 21세기 초 독일 고고학자들이 발굴 및 조사를 진행하는 대상이다.
그들의 발굴을 통해 기원전 100년경으로 추정되는 큰 경기장의 유적이 발견되었다.
특수 상대성이론은 고전 전자기학의 현대 이론에서 중요한 역할을 한다. 이 이론은 전기장과 자기장을 포함한 전자기 물체가 하나의 관성계에서 다른 관성계로 로런츠 변환될 때 어떻게 변화하는지에 대한 공식을 제공한다. 이는 전기와 자기 사이의 관계를 명확히 하며, 관성계에 따라 관찰이 전기적 법칙을 따르는지 자기적 법칙을 따르는지 결정된다는 것을 보여준다. 또한 전자기학 법칙에 대한 간결하고 편리한 표기법, 즉 "명시적으로 공변하는" 텐서 형태를 제시한다.
1865년에 완전한 형태로 처음 제시된 맥스웰 방정식은 특수 상대성이론과 호환되는 것으로 밝혀졌다. 더욱이, 두 명의 다른 관찰자가 다른 물리적 현상으로 인해 동일한 효과를 관찰하는 명백한 우연의 일치는 특수 상대성이론에 의해 전혀 우연이 아님이 밝혀졌다. 실제로 아인슈타인의 1905년 특수 상대성이론에 대한 첫 논문인 "움직이는 물체의 전기역학에 관하여"의 절반은 맥스웰 방정식을 변환하는 방법을 설명한다.
관성계 간 장의 변환.
E 및 B 장.
이 방정식은 두 관성계를 고려한다. 프라임된 프레임은 프라임되지 않은 프레임에 대해 속도 v로 움직인다. 프라임된 프레임에서 정의된 장은 프라임으로 표시되며, 프라임되지 않은 프레임에서 정의된 장은 프라임이 없다. 속도 v에 평행한 장 성분은 E∥ 및 B∥로 표시되는 반면, v에 수직한 장 성분은 E⟂ 및 B⟂로 표시된다. 상대 속도 v로 움직이는 이 두 프레임에서 E장과 B장은 다음과 같이 관련된다.
는 로런츠 인자라고 불리며 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다. 로런츠 인자 (γ)는 두 계 모두에서 동일하다. 역변환은 대체만 제외하면 동일하다.
동등한 대체 표현은 다음과 같다.
여기서 formula_4는 속도 단위 벡터이다. 이전 표기법을 사용하면 formula_5와 formula_6가 된다.
성분별로, x축을 따라 상대 운동하는 경우 는 다음과 같다.
한 프레임에서 장 중 하나가 0이라고 해서 다른 모든 프레임에서 0이라는 의미는 아니다. 예를 들어, 프라임되지 않은 전기장을 프라임된 전기장으로 변환할 때 0으로 만들 수 있다. 이 경우, 자기장의 방향에 따라 프라임된 시스템에서는 전기장이 없는 경우에도 전기장을 볼 수 있다.
이는 두 프레임에서 완전히 다른 일련의 사건이 보이는 것이 아니라, 동일한 사건의 연속이 두 가지 다른 방식으로 설명된다는 것을 의미한다 (아래 참조).
전하 q를 가진 입자가 S 프레임에 대해 속도 u로 움직이면, S 프레임에서의 로런츠 힘은 다음과 같다.
S 프레임에서의 로런츠 힘은 다음과 같다.
특정 경우 에 대한 로런츠 힘의 변환 유도는 여기에 나와 있다. 더 일반적인 유도는 여기에서 볼 수 있다.
이러한 형태의 변환은 전자기장 텐서(아래 정의)를 도입하여 더욱 간결하게 만들 수 있는데, 이는 공변 텐서이다.
D 및 H 장.
전기 변위 D 및 자기장 세기 H의 경우, 구성 관계 및 c2에 대한 결과를 사용하여:
E 및 B와 유사하게, D 및 H는 전자기 변위 텐서를 형성한다.
φ 및 A 장.
EM 장의 대안적이고 더 간단한 변환은 전자기 퍼텐셜 – 전위 φ 및 자기 퍼텐셜 A –를 사용한다.
여기서 A∥는 프레임 v 사이의 상대 속도 방향에 평행한 A의 성분이고, A⟂는 수직 성분이다. 이들은 다른 로런츠 변환(시간-위치 및 에너지-운동량과 같은)의 특징적인 형태와 명확하게 유사하며, 위의 E 및 B의 변환은 약간 더 복잡하다. 성분들은 다음과 같이 함께 모을 수 있다.
ρ 및 J 장.
전하 밀도 ρ와 전류 밀도 J도 유사하게,
성분들을 함께 모으면:
비상대론적 근사.
속도 v ≪ c의 경우, 상대론적 인자 γ ≈ 1이며, 이는 다음을 산출한다.
따라서 맥스웰 방정식에서 공간 좌표와 시간 좌표를 구별할 필요가 없다.
전기와 자기 사이의 관계.
전기 법칙에서 자기 유도.
선택된 기준 프레임은 전자기 현상이 전기적 효과인지 자기적 효과인지 또는 둘의 조합으로 간주되는지를 결정한다. 저자들은 특수 상대성이론과 전하 불변성을 고려할 때 정전기학에서 자기를 유도한다. 파인만의 물리학 강의 (2권, 13-6장)는 이 방법을 사용하여 전류가 흐르는 전선 옆에서 평행 운동하는 전하에 대한 자기력을 유도한다. 하스켈과 란다우도 참조.
전하가 전류가 흐르는 전선에 수직으로 움직이는 경우, 자기력을 유도하는 데 정전기학을 사용할 수 없다. 이 경우, 전선 내 전하의 움직임으로 인한 전기장의 상대론적 압축을 고려하여 유도할 수 있다.
다른 프레임에서 장의 혼합.
위의 변환 규칙은 한 프레임의 전기장이 다른 프레임의 자기장에 기여하고, 그 반대도 마찬가지임을 보여준다. 이는 전기장과 자기장이 전자기장이라고 불리는 단일 개체의 두 가지 상호 관련된 측면이라고 설명되는 경우가 많다. 실제로 전체 전자기장은 아래와 같이 전자기장 텐서라고 불리는 단일 2차 텐서로 표현될 수 있다.
움직이는 자석과 도체 문제.
서로 다른 기준 프레임에서 전기 및 자기 현상이 혼합되는 유명한 예는 아인슈타인이 1905년 특수 상대성이론 논문에서 언급한 "움직이는 자석과 도체 문제"이다.
도체가 정지된 자석의 장을 통해 일정한 속도로 움직이면, 도체 내 전자에 대한 자기력으로 인해 와전류가 생성된다. 반면에 도체의 정지 프레임에서는 자석이 움직이고 도체는 정지한다. 고전 전자기 이론은 정확히 동일한 미세 와전류가 생성될 것이라고 예측하지만, 이들은 전기력으로 인해 발생할 것이다.
진공에서의 공변 형식화.
고전 전자기학의 법칙과 수학적 대상은 명시적으로 공변하는 형태로 작성될 수 있다. 여기서는 진공 (또는 유전율과 같은 물질의 거시적 설명이 아닌 미시적 맥스웰 방정식에 대해서만)에서 SI 단위를 사용한다.
이 절에서는 아인슈타인 표기법과 아인슈타인 합 규약을 사용한다. 텐서 지수 표기법의 요약은 리치 미적분학을 참조하고, 위첨자 및 아래첨자 지수의 정의와 그 사이를 전환하는 방법은 raising and lowering indices를 참조한다. 민코프스키 계량 텐서 η는 여기에서 계량 부호수 를 갖는다.
장 텐서 및 4-전류.
위의 상대론적 변환은 전기장과 자기장이 6개의 성분을 가진 수학적 객체, 즉 반대칭 2차 텐서, 또는 쌍벡터로 서로 결합되어 있음을 시사한다. 이것은 보통 Fμν로 쓰이는 전자기장 텐서라고 불린다. 행렬 형식으로:
여기서 c는 빛의 속력이다. 자연단위계에서는 이다.
전기장과 자기장을 반대칭 텐서로 병합하는 또 다른 방법은 및 로 대체하여 그 Hodge dual Gμν를 얻는 것이다.
특수 상대성이론의 맥락에서, 이들 모두는 다음의 로런츠 변환에 따라 변환된다.
여기서 Λα′ν는 한 기준계에서 다른 기준계로의 변경을 위한 로런츠 변환 텐서이다. 동일한 텐서가 합계에 두 번 사용된다.
전하와 전류 밀도, 즉 장의 원천들도 사차원 벡터로 결합된다.
이는 사차원 전류라고 불린다.
텐서 형식의 맥스웰 방정식.
이러한 텐서를 사용하면 맥스웰 방정식은 다음과 같이 간소화된다.
\frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^\alpha} &amp;= 0
\end{align}&lt;/math&gt;
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4
여기서 편미분은 다양한 방식으로 쓸 수 있으며, 4-기울기를 참조한다. 위에 나열된 첫 번째 방정식은 가우스 법칙(의 경우)과 앙페르-맥스웰 법칙(의 경우) 모두에 해당한다. 두 번째 방정식은 나머지 두 방정식인 가우스 자기 법칙(의 경우)과 패러데이 법칙(의 경우)에 해당한다.
이러한 텐서 방정식은 명시적으로 공변하는 방정식으로, 지수 위치에 따라 공변임을 알 수 있다. 이 짧은 형식의 맥스웰 방정식은 일부 물리학자들이 공유하는 아이디어, 즉 물리학 법칙이 텐서를 사용하여 작성될 때 더 간단한 형태를 취한다는 것을 보여준다.
Fαβ의 지수를 낮춰 Fαβ를 얻으면:
두 번째 방정식은 Fαβ를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 εδαβγ는 반변 레비치비타 기호이다. 이 방정식에서 지수의 순환 치환에 주목한다: 각 항에서 다음 항으로 이다.
또 다른 공변 전자기 객체는 포인팅 벡터, 맥스웰 변형력 텐서, 전자기 에너지 밀도를 포함하는 공변 2차 텐서인 전자기 스트레스-에너지 텐서이다.
4-퍼텐셜.
EM 장 텐서는 다음과 같이 쓸 수도 있다.
는 사차원 퍼텐셜이고
는 사차원 위치이다.
로렌츠 게이지에서 4-퍼텐셜을 사용하면, 단일 방정식(아르놀트 조머펠트가 베른하르트 리만의 방정식에서 일반화하여 리만-조머펠트 방정식 또는 맥스웰 방정식의 공변 형태로 알려져 있음)에서 대안적인 명시적으로 공변하는 공식을 찾을 수 있다.
여기서 formula_26는 달랑베르 연산자 또는 4차 라플라시안이다.
물리학에서 오일러-하이젠베르크 라그랑지언()은 진공에서의 전자기장의 비선형 역학을 기술하며, 결과적으로 비선형 전기역학의 한 예시이다. 이는 베르너 하이젠베르크와 한스 하인리히 오일러에 의해 1936년에 처음으로 얻어졌다. 진공을 매질로 취급함으로써, 이는 양자 전기역학(QED) 빛 상호작용 과정의 비율을 예측한다.
이것은 한 루프까지의 진공 편극을 고려하며, 역전자 질량에 비해 천천히 변하는 전자기장에 유효하다.
여기서 은 전자 질량이고, 는 전자 전하이다. formula_2 이고, formula_3 이다.
약한 장 한계에서, 이는 다음과 같이 된다.
이는 QED에서의 광자-광자 산란을 기술한다. 로버트 카플러스와 모리스 노이만은 전체 진폭을 계산했는데, 이는 매우 작다.
감마선의 델브뤼크 산란은 1953년 로버트 윌슨에 의해 관측되었다. 강한 자기장에서의 광자 분할은 2002년에 측정되었다.
빛-빛 산란은 LHC에서 충돌하는 하드론의 강한 전자기장을 사용하여 연구될 수 있으며, 2019년 ATLAS 공동 연구단에 의해 관측이 보고되었다.
PVLAS는 자기장을 통과하는 레이저 빔의 진공 편극을 조사하여 액시온 암흑 물질의 효과를 감지하려고 한다. 아직 신호는 발견되지 않았으며 계속 탐색 중이다. CERN의 OSQAR 또한 진공 복굴절을 연구하고 있다.
2016년 이탈리아, 폴란드, 영국의 천문학자 팀은 중성자별(펄사 RX J1856.5-3754)에서 방출되는 빛의 관측을 보고했다. 이 별은 매우 강한 자기장(1013 G)으로 둘러싸여 있으며, 오일러-하이젠베르크 라그랑지언으로 기술되는 진공 편극으로 인해 복굴절이 예상된다. 약 16%의 편광도가 측정되었으며, 이는 "QED에 의해 예측된 진공 복굴절의 존재를 뒷받침하기에 충분히 크다"고 주장되었다. 판 등의 연구자들은 별 모델의 낮은 정확도와 중성자 자기화 축의 방향 때문에 결과가 불확실하다고 지적했다.
2021년 7월, 상대론적 중이온 충돌기의 STAR 실험에서 진공 복굴절의 첫 관측이 보고되었으며, 브라이트-휠러 과정도 연구되었지만 증거만 보고되었다.
2022년 5월, IXPE의 첫 연구에서 4U 0142+61에서의 진공 복굴절 가능성이 시사되었다.
양자 전기역학에서 윌링 퍼텐셜()은 고전적인 쿨롱 퍼텐셜 외에 전기적 진공 편극을 담당하는 추가 항을 포함하는 두 전하 사이의 상호작용 퍼텐셜을 나타낸다. 이 퍼텐셜은 1935년 에드윈 알브레히트 윌링에 의해 발견되었다.
윌링 보정은 점입자의 전자기장이 거리에 따라 즉각적으로 작용하는 것이 아니라 교환 입자, 즉 광자를 통해 발생하는 상호 작용임을 고려한다. 양자장론에서 에너지와 시간 사이의 불확정성 원리로 인해 단일 광자는 일시적으로 가상 입자-반입자 쌍을 형성하여 점 전하에 영향을 미칠 수 있다. 이러한 효과를 진공 편극이라고 하는데, 이는 진공을 분극성 매질처럼 보이게 하기 때문이다. 현재까지 가장 지배적인 기여는 가장 가벼운 전하 기본 입자인 전자에서 비롯된다. 윌링의 보정은 일상적인 실무에서는 무시할 수 있지만, 수소형 원자의 스펙트럼 선을 고정밀도로 계산할 수 있게 해준다.
윌링 퍼텐셜은 (단위 formula_1 및 formula_2로) 다음과 같이 주어진다.
여기서 이 퍼텐셜이 고전적인 쿨롱 퍼텐셜의 정밀화임을 알 수 있다. 여기서 formula_4는 전자 질량이고 formula_5는 장거리에서 측정된 기본 전하이다.
만약 formula_6이면, 이 퍼텐셜은 다음으로 단순화된다.
반면에 formula_8이면 다음과 같다.
여기서 formula_10는 오일러-마스케로니 상수 (0.57721...)이다.
최근에 formula_11 표현식의 위 적분이 formula_12와 그 연속 적분을 사용하여 닫힌 형태로 평가될 수 있음이 입증되었다.
원자 스펙트럼에 미치는 영향.
윌링 퍼텐셜이 핵에 가까운 짧은 거리에서만 상당한 기여를 하기 때문에 주로 s 오비탈의 에너지에 영향을 미친다. 양자 역학적 섭동 이론을 사용하여 원자 스펙트럼에서 이러한 영향을 계산할 수 있다. 수소 원자의 축퇴된 에너지 준위 formula_13에 대한 양자 전기역학적 보정은 다음으로 주어진다.
formula_15의 선행 차수까지이다. 여기서 formula_16는 전자볼트를 나타낸다.
s 오비탈의 파동 함수는 원점에서 사라지지 않으므로 윌링 퍼텐셜에 의해 제공되는 보정은 formula_17 차수(여기서 formula_18는 미세 구조 상수이다)이며, 방위 양자수가 높을수록 오비탈에 덜 중요해진다. 스펙트럼에서 이 에너지 분할은 디랙 방정식에 의해 제공되는 미세 구조 보정보다 약 10배 작으며, 이 분할은 램 이동(윌링 퍼텐셜 및 양자 전기역학의 추가 고차 보정 포함)으로 알려져 있다.
윌링 효과는 뮤온 수소에서도 중요하며, 에너지 변화의 대부분은 진공 편극으로 인한 것이다. 뮤온의 질량과 함께 스케일되는 미세 구조에 의한 분할과 같은 다른 변수와 달리, 즉 formula_19 계수로, 가벼운 전자 질량은 윌링 퍼텐셜에 대한 결정적인 크기 척도 역할을 계속한다. 에너지 보정은 formula_20의 차수이다.
수소형 원자(또는 수소성 원자(hydrogenic atom))는 단일 원자가 전자를 가진 모든 원자 또는 이온이다. 이 원자들은 수소와 등전자성이다. 수소형 원자의 예로는 수소 자체, Rb 및 Cs과 같은 모든 알칼리 금속, Ca+ 및 Sr+과 같은 단일 이온화된 알칼리 토금속, 그리고 He+, Li2+, Be3+과 같은 다른 이온 및 위의 어떤 동위 원소도 포함되지만 이에 국한되지 않는다. 수소형 원자는 원자핵과 핵심부 전자로 구성된 양전하를 띤 핵과 단일 원자가 전자를 포함한다. 헬륨은 우주에서 흔하기 때문에 단일 이온화된 헬륨의 분광학은 예를 들어 DO 백색왜성의 EUV 천문학에서 중요하다.
수소 원자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식과 상대론적 디랙 방정식은 두 입자 물리계의 단순성 때문에 분석적으로 풀 수 있다. 단일 전자 파동 함수 해는 수소형 원자 궤도함수라고 불린다. 수소형 원자는 해당 궤도함수가 수소 원자 궤도함수와 유사성을 갖기 때문에 중요하다.
뮤오늄(반뮤온 주위를 도는 전자), 포지트로늄(전자와 양전자), 특정 별난 원자(다른 입자로 형성됨) 또는 리드버그 원자(하나의 전자가 너무 높은 에너지 상태에 있어 나머지 원자를 효과적으로 점전하로 보는 경우)와 같은 다른 계도 "수소형 원자"라고 불릴 수 있다.
슈뢰딩거 해.
비상대론적인 슈뢰딩거 방정식의 해에서, 수소형 원자 궤도함수는 단일 전자 각운동량 연산자 L과 그 z 성분 Lz의 고유함수이다. 수소형 원자 궤도함수는 주양자수 n, 방위 양자수 l, 자기양자수 m의 값에 의해 고유하게 식별된다. 에너지 고유값은 l 또는 m에 의존하지 않고 오직 n에만 의존한다. 여기에 스핀 양자수 ms = ±의 이중 값이 추가되어 쌓음 원리의 기반을 마련한다. 이 원리는 다중 전자 원자의 전자 배열에서 네 가지 양자수의 허용 값을 제한한다. 수소형 원자에서는 고정된 n과 l, m과 s가 특정 값 사이에서 변하는 모든 퇴화 궤도함수(아래 참조)가 원자 껍질을 형성한다.
전자 간의 쿨롱 상호작용으로 인한 계산상의 어려움 때문에, 둘 이상의 전자를 가진 원자 또는 이온의 슈뢰딩거 방정식은 분석적으로 풀리지 않았다. 양자 역학 계산에서 (근사적인) 파동 함수 또는 기타 특성을 얻기 위해서는 수치적 방법을 적용해야 한다. 해밀토니언의 구형 대칭성 때문에, 원자의 총 각운동량 J는 보존량이다. 많은 수치적 절차는 단일 전자 연산자 L 및 Lz의 고유함수인 원자 궤도함수의 곱으로부터 시작한다. 이 원자 궤도함수의 반경 부분은 때로는 수치 테이블이거나 때로는 슬레이터 궤도함수이다. 각운동량 결합에 의해 J2 (그리고 아마도 S2)의 다전자 고유함수가 구성된다.
양자화학 계산에서 수소형 원자 궤도함수는 완전하지 않기 때문에 확장 기저로 사용될 수 없다. 완전한 집합을 얻기 위해서는 (즉, 단일 전자 힐베르트 공간의 모든 것을 포함하기 위해서는) 비제곱 적분 가능한 연속체 (E &gt; 0) 상태를 포함해야 한다.
가장 간단한 모델에서, 수소형 원자/이온의 원자 궤도함수는 구형 대칭 퍼텐셜에서의 슈뢰딩거 방정식에 대한 해이다. 이 경우, 퍼텐셜 항은 쿨롱 법칙에 의해 주어진 퍼텐셜이다:
파동 함수를 함수의 곱으로 작성하면:
(구면 좌표에서), 여기서 formula_3은 구면 조화 함수이며, 다음 슈뢰딩거 방정식을 얻는다:
여기서 formula_5는 대략 전자의 질량이며 (더 정확하게는 전자와 핵으로 구성된 시스템의 환산 질량이다), formula_6는 환산 플랑크 상수이다.
l의 다른 값은 다른 각운동량을 가진 해를 제공하며, 여기서 l (음이 아닌 정수)은 궤도 각운동량의 양자수이다. 자기양자수 m (formula_7을 만족)은 z축 상의 궤도 각운동량의 (양자화된) 투영이다. 이 방정식의 해를 도출하는 단계는 여기를 참조하라.
비상대론적 파동 함수 및 에너지.
l과 m 외에, R에 가해진 경계 조건으로부터 세 번째 정수 n &gt; 0이 나타난다. 위 방정식을 푸는 함수 R과 Y는 이러한 정수값에 의존하며, 이 정수들을 양자수라고 부른다. 파동 함수에 의존하는 양자수 값을 아래첨자로 쓰는 것이 일반적이다. 정규화된 파동 함수의 최종 표현은 다음과 같다:
각 파동 함수로 인한 반전성은 formula_21이다.
양자수 formula_22, formula_23 및 formula_24은 정수이며 다음 값을 가질 수 있다:
이러한 양자수들의 군 이론적 해석은 이 문서를 참조하라. 특히, 이 문서는 formula_28과 formula_29이 성립하는 군 이론적 이유를 제시한다.
각 원자 궤도함수는 각운동량 L과 관련되어 있다. 이것은 벡터 연산자이며, 그 제곱 L2 ≡ Lx2 + Ly2 + Lz2의 고유값은 다음과 같이 주어진다:
이 벡터를 임의의 방향으로 투영하는 것은 양자화된다. 임의의 방향을 z라고 하면, 양자화는 다음과 같이 주어진다:
여기서 m은 위에서 설명한 대로 제한된다. L2과 Lz가 교환하고 공통 고유 상태를 가지는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리와 일치한다. Lx와 Ly는 Lz와 교환하지 않으므로, 세 성분 모두의 고유 상태인 상태를 동시에 찾는 것은 불가능하다. 따라서 x와 y 성분의 값은 명확하지 않지만, 유한한 폭을 가진 확률 함수에 의해 주어진다. x와 y 성분이 잘 결정되지 않는다는 사실은 각운동량 벡터의 방향도 잘 결정되지 않는다는 것을 의미하지만, z축을 따른 성분은 명확하다.
이러한 관계는 전자의 총 각운동량을 제공하지 않는다. 이를 위해서는 전자 스핀이 포함되어야 한다.
이러한 각운동량의 양자화는 1913년에 닐스 보어가 파동 함수에 대한 지식 없이 제안한 것(보어 모형 참조)과 밀접하게 유사하다.
스핀-궤도 상호작용 포함.
실제 원자에서 움직이는 전자의 스핀은 핵의 전기장과 상대론적 효과를 통해 상호작용할 수 있는데 이 현상을 스핀-궤도 상호작용이라고 한다. 이 결합을 고려하면, 스핀과 궤도 각운동량은 더 이상 보존되지 않으며, 이는 전자가 세차 운동하는 것으로 설명될 수 있다. 따라서 양자수 l, m, 그리고 스핀의 투영 ms는 스핀을 포함한 총 각운동량 j와 mj, 그리고 반전성의 양자수로 대체되어야 한다.
결합을 포함하는 해는 디랙 방정식에 대한 다음 섹션을 참조하라.
디랙 방정식의 해.
1928년 영국에서 폴 디랙은 특수 상대성이론과 완벽하게 호환되는 방정식을 발견했다. 이 방정식은 같은 해에 독일의 발터 고르돈이 수소형 원자에 대해 (점전하 주변의 단순 쿨롱 퍼텐셜을 가정하여) 풀었다. 슈뢰딩거 방정식에서와 같이 단일 (혹은 복소수) 함수 대신, 4개의 복소수 함수로 구성된 비스피너를 찾아야 한다. 첫 번째와 두 번째 함수(또는 스피너의 구성 요소)는 (일반적인 기저에서) 스핀 "위" 및 스핀 "아래" 상태에 해당하며, 세 번째와 네 번째 구성 요소도 마찬가지이다.
"스핀 위" 및 "스핀 아래"라는 용어는 선택된 방향, 일반적으로 z 방향에 대한 상대적인 것이다. 전자는 스핀 위와 스핀 아래의 중첩 상태일 수 있으며, 이는 스핀 축이 다른 방향을 가리키는 것에 해당한다. 스핀 상태는 위치에 따라 달라질 수 있다.
핵 근처의 전자는 반드시 세 번째 및 네 번째 구성 요소에 대해 0이 아닌 진폭을 갖는다. 핵에서 멀리 떨어져서는 이들이 작을 수 있지만, 핵 근처에서는 커진다.
해밀토니언의 고유함수는 명확한 에너지를 갖는 함수(따라서 위상 변화를 제외하고는 진화하지 않음)를 의미하며, 이 에너지들은 (슈뢰딩거 방정식에서처럼) 양자수 n뿐만 아니라 n과 총 각운동량 양자수 j에 의해 특징지어진다. 양자수 j는 세 각운동량 제곱의 합이 j(j+1) (ħ2배)이 되도록 결정한다. 이 각운동량은 궤도 각운동량(ψ의 각도 의존성과 관련됨)과 스핀 각운동량(스핀 상태와 관련됨)을 모두 포함한다. 동일한 주양자수 n을 갖는 상태의 에너지 분할이 j의 차이로 인해 발생하는 현상을 미세 구조라고 한다. 총 각운동량 양자수 j는 1/2부터 n−1/2까지의 범위를 갖는다.
주어진 상태에 대한 궤도함수는 두 개의 반경 함수와 두 개의 각도 함수를 사용하여 작성할 수 있다. 반경 함수는 주양자수 n과 정수 k에 모두 의존하며, k는 다음과 같이 정의된다:
여기서 ℓ은 0부터 n−1까지의 범위를 갖는 방위 양자수이다. 각도 함수는 k와 −j부터 j까지 1단계씩 변하는 양자수 m에 의존한다. 상태는 ℓ이 0, 1, 2, 3 등과 같은 상태를 나타내는 문자 S, P, D, F 등으로 표시되며(방위 양자수 참조), 아래첨자로 j를 나타낸다. 예를 들어, n=4에 대한 상태는 다음 표에 주어져 있다 (이들은 n이 앞에 붙고, 예를 들어 4S1/2):
이들은 추가적으로 아래첨자로 m을 붙여 표시할 수 있다. 주양자수 n을 가진 2n2개의 상태가 있으며, 가장 높은 j(j=n−1/2)를 제외한 허용된 j값에 대해서는 4j+2개가 있고, 가장 높은 j에는 2j+1개만 있다. 주어진 n과 j 값을 가진 궤도함수들은 디랙 방정식에 따라 동일한 에너지를 가지므로, 해당 에너지를 가진 함수의 공간에 대한 기저를 형성한다.
n과 |k| (j+1/2와 같음)의 함수로서의 에너지는 다음과 같다:
(에너지는 물론 사용된 기준점에 따라 달라진다.) 만약 가 137보다 클 수 있다면(알려진 어떤 원소보다 높다면), S1/2 및 P1/2 궤도함수에 대해 제곱근 안에 음수 값이 나오며, 이는 이들이 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거 해는 두 번째 식의 내부 괄호를 1로 대체하는 것에 해당한다. 슈뢰딩거 해로부터 계산된 가장 낮은 두 수소 상태 간의 에너지 차이의 정확도는 약 9 Ppm (약 10 eV 중 90 μeV 너무 낮음)인 반면, 동일한 에너지 차이에 대한 디랙 방정식의 정확도는 약 3 ppm (너무 높음)이다. 슈뢰딩거 해는 항상 디랙 방정식보다 약간 더 높은 에너지에 상태를 놓는다. 디랙 방정식은 일부 수소 준위를 상당히 정확하게 제공하지만(예를 들어 4P1/2 상태는 약 eV 너무 높은 에너지로 주어짐), 다른 일부는 덜 정확하다(예를 들어 2S1/2 준위는 약 eV 너무 낮음). 슈뢰딩거 해 대신 디랙 방정식을 사용하여 에너지에 대한 수정은 α2 차수이며, 이러한 이유로 α는 미세 구조 상수라고 불린다.
파동 함수의 일반 해.
일반적인 경우, 양자수 n, k, m에 대한 디랙 방정식의 해는 다음과 같다:
여기서 Ω는 오른쪽에 보이는 두 구면 조화 함수 열이다. formula_35는 구면 조화 함수를 의미한다:
여기서 formula_37는 연관 르장드르 다항식이다. (Ω의 정의는 formula_38와 같이 존재하지 않는 구면 조화 함수를 포함할 수 있지만, 그 계수는 0이 될 것이다.)
다음은 이러한 각 함수들의 일부 동작이다. 표현을 단순화하기 위해 정규화 인자는 생략되었다.
이로부터 S1/2 궤도함수(k = −1)에서 Ψ의 위 두 성분은 슈뢰딩거 S 궤도함수처럼 궤도 각운동량이 0이지만, 아래 두 성분은 슈뢰딩거 P 궤도함수와 같은 궤도함수임을 알 수 있다. P1/2 해(k = 1)에서는 상황이 역전된다. 두 경우 모두, 각 성분의 스핀은 z축 주위의 궤도 각운동량을 보상하여 z축 주위의 총 각운동량에 대한 올바른 값을 제공한다.
두 Ω 스피너는 다음 관계를 따른다:
함수 formula_44와 formula_45를 쓰기 위해 스케일된 반지름 ρ를 정의하자:
여기서 E는 위에 주어진 에너지(formula_48)이다. 또한 γ를 다음과 같이 정의한다:
formula_50는 차수 formula_51 및 formula_52의 두 일반화 라게르 다항식을 기반으로 한다:
여기서 A는 감마 함수를 포함하는 정규화 상수이다:
f는 g에 비해 작다 (아주 작은 r을 제외하고는). 이는 k가 양수일 때 첫 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 크며, k가 음수일 때 두 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 작기 때문이다. 지배적인 항은 해당 슈뢰딩거 해와 상당히 유사하다는 점에 유의하라 – 라게르 다항식의 위쪽 지수는 약간 작고 (2ℓ+1 대신 2γ+1 또는 2γ−1, 가장 가까운 정수), ρ의 거듭제곱도 마찬가지이다 (ℓ 대신 γ 또는 γ−1, 가장 가까운 정수). 지수 붕괴는 슈뢰딩거 해보다 약간 빠르다.
정규화 인자는 절대값의 제곱의 전 공간 적분 값을 1로 만든다.
k = −n인 특수 경우.
k = −n (주어진 n에 대해 가능한 가장 높은 j에 해당, 예: 1S1/2, 2P3/2, 3D5/2...)일 때, formula_44 및 formula_45은 다음과 같다:
여기서 A는 다음과 같이 축소된다:
인자 Zα 때문에 f(r)이 g(r)에 비해 작다는 점에 유의하라. 또한 이 경우 에너지는 다음과 같이 주어진다:
그리고 반경 붕괴 상수 C는 다음과 같다:
1S 궤도함수.
여기에 1S1/2 궤도함수(스핀 업, 정규화되지 않음)가 있다:
γ는 1보다 약간 작으므로, 위 함수는 r의 지수적으로 감소하는 함수와 유사하지만, 아주 작은 r에서는 이론적으로 무한대로 간다. 하지만 formula_64의 값은 formula_65보다 작은 r 값에서만 10을 초과하며, 이는 가 매우 크지 않는 한 매우 작은 숫자(양성자 반지름보다 훨씬 작음)이다.
1S1/2 궤도함수(스핀 다운, 정규화되지 않음)는 다음과 같다:
이들을 혼합하여 스핀이 다른 방향으로 향하는 궤도함수를 얻을 수 있다:
이는 스핀과 각운동량 축이 x 방향을 가리키는 것에 해당한다. "다운" 스핀에 i를 곱하여 "업" 스핀에 더하면 y 방향으로 향하는 궤도함수가 된다.
2P1/2 및 2S1/2 궤도함수.
다른 예로, 2P1/2 궤도함수(스핀 업)는 다음에 비례한다:
ρ가 α에 비해 작을 때(또는 r이 formula_70에 비해 작을 때) "S"형 궤도함수가 지배적이라는 점(비스피너의 세 번째 성분)에 유의하라.
2S1/2 스핀 업 궤도함수의 경우 다음과 같다:
이제 첫 번째 성분은 S-유형이며 ρ = 2 근처의 반경에서 0이 되는 지점이 있는 반면, 아래 두 성분은 P-유형이다.
음의 에너지 해.
핵으로부터 무한히 분리된 전자의 에너지보다 낮은 에너지를 갖는 속박 상태 외에도, 핵과 상호작용하는 구속되지 않은 전자에 해당하는 더 높은 에너지에서 디랙 방정식의 해가 존재한다. 이 해들은 정규화될 수 없지만, 이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하는 해를 찾을 수 있다 (이는 formula_72일 때, 위에서 언급된 속박 상태의 값을 제외하고는 불가능하다). formula_73인 유사한 해들도 존재한다. 이 음의 에너지 해들은 핵이 전자를 끌어당기는 대신 밀어내는 경우에 대해 반대 에너지를 갖는 양의 에너지 해와 유사하지만, 위 두 성분의 해가 아래 두 성분의 해와 자리를 바꾼다는 점이 다르다.
디랙 방정식의 음의 에너지 해는 핵에 의해 가해지는 쿨롱력이 없는 경우에도 존재한다. 디랙은 이러한 상태의 거의 전부가 이미 채워져 있다고 가정할 수 있다고 가설을 세웠다. 이 음의 에너지 상태 중 하나가 채워져 있지 않다면, 이는 양전하를 띤 핵에 의해 반발되는 전자가 있는 것처럼 나타난다. 이는 디랙이 양전하를 띤 전자의 존재를 가설화하도록 촉발시켰고, 그의 예측은 양전자의 발견으로 확인되었다.
고르돈의 디랙 방정식 해를 넘어서.
점 같은 비자성 핵에 의해 생성되는 단순 쿨롱 퍼텐셜을 가진 디랙 방정식은 최종적인 답이 아니었으며, 그 예측은 앞서 언급했듯이 실험 결과와 차이가 있다. 더 정확한 결과에는 램 이동(양자 전기역학에서 발생하는 복사 보정) 및 초미세 구조가 포함된다.
등전자성()은 두 개 이상의 분자가 동일한 화학 구조(원자 간의 위치 및 연결성)와 동일한 전자 배열을 가지지만, 구조 내 특정 위치에 있는 원소만 다른 경우에 관찰되는 현상이다. 예를 들어, , , 는 등전자성이지만, 과 CH3N=NCH3는 등전자성이 아니다.
이 정의는 때때로 원자가 등전자성(valence isoelectronicity)이라고 불린다. 정의는 때때로 덜 엄격할 수 있으며, 때로는 총 전자 수와 그에 따른 전체 전자 배열의 동일성을 요구하기도 한다. 더 일반적으로 정의는 더 광범위하며, 비교 대상인 화학종에서 원자 수가 다를 수도 있다.
이 개념의 중요성은 쌍 또는 일련의 중요한 관련 화학종을 식별하는 데 있다. 등전자성 화학종은 그 속성에서 유용한 일관성과 예측 가능성을 보일 것으로 예상되므로, 이미 특성이 파악된 화합물과 등전자성인 화합물을 식별하는 것은 가능한 속성 및 반응에 대한 단서를 제공한다. 등전자성 화학종의 원자 전기 음성도와 같은 속성 차이는 반응성에 영향을 미칠 수 있다.
양자역학에서 수소형 원자는 과 같이 전자가 하나만 있는 이온이다. 이러한 이온은 수소와 등전자성으로 설명될 수 있다.
질소 원자()와 산소 이온()은 각각 다섯 개의 원자가 전자를 가지므로 등전자성이다. 더 정확하게는 [He] 2s2 2p3의 전자 배열을 가진다.
마찬가지로, 칼륨 양이온(), 칼슘 양이온(), 스칸듐 양이온()과 염화물 음이온(), 황화물 음이온(), 인화물 음이온()은 모두 아르곤 원자()와 등전자성이다.
, , , 는 각각 두 개의 원자가 삼중 결합으로 연결되어 있고, 전하로 인해 유사한 전자 배열을 가지므로 등전자성이다. (는 전자 배열이 와 동일하므로 는 전자적으로 와 동일하다).
분자 궤도 함수 다이어그램은 이원자 분자의 등전자성을 가장 잘 보여주며, 등전자성 화학종에서 원자 궤도 혼합이 동일한 궤도 조합을 유도하고 따라서 결합도 동일하게 유도하는 방식을 보여준다.
더 복잡한 분자는 다원자 분자일 수도 있다. 예를 들어, 아미노산인 세린, 시스테인, 셀레노시스테인은 모두 서로 등전자성이다. 이들은 곁사슬의 한 위치에 존재하는 특정 칼코겐에 따라 다르다.
(아세톤)과 (아조메테인)는 등전자성이 아니다. 이들은 같은 수의 전자를 가지고 있지만 구조가 같지 않다.
아조메테인()은 화학식 CH3-N=N-CH3을 갖는 유기 화합물이다. 시스-트랜스 이성질체를 나타낸다. 1,2-다이메틸하이드라진 이염화물과 아세트산 나트륨 용액에서 염화 구리(II)의 반응으로 생성될 수 있다. 이 반응은 염화 구리(I)의 아조메테인 착물을 생성하며, 이는 열분해에 의해 자유 아조메테인을 생성할 수 있다. 이것은 실험실에서 메틸 라디칼의 공급원이다.
스토리지 링()은 원형 입자 가속기의 한 종류로, 연속적이거나 맥동하는 입자 빔이 일반적으로 수 시간 동안 계속 순환될 수 있도록 한다. 특정 기본 입자의 저장은 저장될 입자의 질량, 운동량, 그리고 일반적으로 전하에 따라 달라진다. 스토리지 링은 주로 전자, 양전자, 또는 양성자를 저장한다.
스토리지 링은 주로 싱크로트론 방사를 방출하는 전자를 저장하는 데 사용된다. 전자 스토리지 링 기반 시설은 50개가 넘으며 화학 및 생물학 분야의 다양한 연구에 활용된다. 스토리지 링은 또한 소콜로프-테르노프 효과를 통해 편광된 고에너지 전자 빔을 생성하는 데 사용될 수 있다. 스토리지 링의 가장 잘 알려진 응용 분야는 입자 가속기 및 입자 충돌기에서 두 개의 역회전하는 저장 입자 빔이 특정 위치에서 충돌하도록 하는 것이다. 결과적으로 발생하는 아원자 상호 작용은 주변 입자 검출기에서 연구된다. 이러한 시설의 예로는 LHC, LEP, PEP-II, KEKB, RHIC, 테바트론, HERA 등이 있다.
스토리지 링은 싱크로트론의 한 종류이다. 일반적인 싱크로트론은 고주파 가속 공동의 도움으로 입자를 낮은 에너지 상태에서 높은 에너지 상태로 가속하는 데 사용되는 반면, 스토리지 링은 입자를 일정한 에너지로 저장하며 고주파 공동은 싱크로트론 방사 및 기타 과정으로 손실된 에너지를 보충하는 데만 사용된다.
제라드 K. 오닐은 1956년에 저장 링을 충돌기의 구성 요소로 사용할 것을 제안했다. 이 맥락에서 스토리지 링의 주요 이점은 주입 가속기보다 훨씬 낮은 플럭스를 달성하는 주입 가속기에서 높은 빔 플럭스를 축적할 수 있다는 점이다.
입자 빔 저장을 위한 중요 고려 사항.
입자들이 거의 원형 경로로 움직이도록 힘을 가해야 한다. 이는 쌍극자 정전기장 또는 쌍극자 자기장을 사용하여 달성할 수 있지만 대부분의 스토리지 링이 상대론적 전하 입자를 저장하므로 쌍극자 자석에 의해 생성되는 자기장을 사용하는 것이 가장 실용적이다. 그러나 매우 낮은 에너지 입자를 저장하기 위해 정전기 가속기가 만들어졌으며, 사극자장으로 (비전하) 중성자를 저장할 수 있지만, 이는 비교적 드물다.
쌍극자 자석만으로는 약한 초점이라고 불리는 것만을 제공하며 이러한 종류의 자기 요소만으로 구성된 스토리지 링은 입자들이 상대적으로 큰 빔 크기를 갖게 한다. 쌍극자 자석을 적절한 사극자 자석 및 육극자 자석 배열과 겹쳐 놓으면 훨씬 작은 빔 크기를 제공할 수 있는 적합한 강한 초점 시스템을 만들 수 있다. FODO 및 채스먼-그린 격자 구조는 강한 초점 시스템의 간단한 예이지만, 다른 많은 시스템들이 있다.
쌍극자 및 사극자 자석은 서로 다른 입자 에너지를 다른 양으로 편향시키는데, 이 속성을 물리 광학과의 유추를 통해 색도라고 부른다. 따라서 실제 저장된 입자 빔에 내재된 에너지 확산은 횡방향 및 종방향 초점의 확산을 초래하며, 다양한 입자 빔 불안정성에 기여한다. 육극자 자석(및 고차 자석)은 이러한 현상을 보정하는 데 사용되지만, 이는 다시 비선형 운동을 야기하며, 이는 저장 링 설계자들이 직면하는 주요 문제 중 하나이다.
입자 묶음은 수백만 킬로미터(수 시간 동안 빛의 속도에 가깝게 움직임을 고려할 때)를 이동하므로 빔 파이프 내에 남아 있는 가스는 수많은 충돌을 야기할 것이다. 이는 묶음의 크기를 증가시키고 에너지 확산을 증가시키는 효과를 가져온다. 따라서 더 나은 진공은 더 나은 빔 역학을 제공한다. 또한, 잔류 가스 또는 묶음 내 다른 입자(투셰크 효과)로부터의 단일 대각 산란 사건은 입자를 가속기 진공 용기 벽에 손실될 만큼 충분히 멀리 튕겨낼 수 있다. 이러한 점진적인 입자 손실을 빔 수명이라고 하며, 이는 스토리지 링에 주기적으로 새로운 입자들을 주입해야 함을 의미한다.
입자 주입 및 타이밍.