shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
에 대한 편도함수를 취하는 미분 연산자 의 합성으로 표현하면 다음과 같다.
이 관계로부터 로 생성되는 환의 상수 계수 미분 연산자가 가환이라는 결론이 나온다. 그러나 이것은 충분히 미분 가능한 함수의 정의역에 대한 연산자로서만 사실이다. 단항식에 적용되는 대칭성을 확인하는 것은 쉽다. 따라서 에서 다항식을 정의역으로 취할 수 있다. 실제로 매끄러운 함수는 또 다른 유효한 정의역이다.
특정 조건에서 혼합 편도함수의 등식에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다. 실패한 제안된 증명 목록은 1740년에 발표된 오일러의 증명으로 시작되었지만, 이미 1721년에 베르누이는 형식적인 정당화 없이 이 결과를 암묵적으로 가정했다. 클레로 또한 1740년에 제안된 증명을 발표했으며, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다. 그 이후 70년 동안 여러 불완전한 증명이 제안되었다. 라그랑주의 증명(1797)은 코시에 의해 개선되었지만(1823), 편도함수 formula_6와 formula_7의 존재와 연속성을 가정했다. P. 블랑셰(1841), 뒤아멜(1856), 스튀름(1857), 슐뢰밀히(1862), 베르트랑(1864)도 다른 시도를 했다. 마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증명을 체계적으로 분석하여 혼합 도함수가 같지 않은 특정 반례를 제시할 수 있었다.
그로부터 6년 후, 슈바르츠는 최초의 엄밀한 증명을 성공적으로 제시했다. 디니는 나중에 슈바르츠의 조건보다 더 일반적인 조건을 찾아 기여했다. 결국 1883년 조르당에 의해 대부분의 교과서에서 여전히 발견되는 깨끗하고 더 일반적인 버전이 발견되었다. 이전 증명의 작은 변형은 로랑(1885), 페아노(1889 및 1893), J. 에드워즈(1892), P. 하그(1893), J. K. 휘트모어(1898), 비반티(1899), 피어폰트(1905)에 의해 발표되었다. 1907-1909년에 E. W. 홉슨과 W. H. 영이 슈바르츠와 디니의 조건보다 더 약한 조건으로 증명을 찾아 추가적인 진전이 있었다. 1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 기반으로 하는 다른 증명을 제시했다.
슈바르츠 정리.
수학적 해석에서 슈바르츠 정리 (또는 혼합 편도함수의 등식에 대한 클레로 정리)는 알렉시 클로드 클레로와 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었으며, 집합 formula_8에서 정의된 함수 formula_9에 대해 formula_10이 formula_11의 근방이 formula_12에 포함되고 formula_13가 formula_11의 그 근방에서 연속 이계 편미분을 가지면, formula_15의 모든 와 에 대해 다음이 성립한다.
이 함수의 편도함수는 해당 지점에서 교환된다.
이계 편도함수가 점 formula_11에서만 미분 가능해야 하는 이 정리의 버전이 존재한다.
이 정리(일반적으로 formula_18, formula_19, formula_20인 경우)를 증명하는 한 가지 쉬운 방법은 formula_13의 기울기에 그린 정리를 적용하는 것이다.
평면의 열린 부분집합에 대한 함수의 초등 증명은 다음과 같다(간단한 환원을 통해 슈바르츠 정리의 일반적인 경우는 쉽게 평면의 경우로 환원된다). 점 formula_22를 포함하는 열린 직사각형 formula_12에서 미분 가능 함수 formula_24가 있다고 하자. 그리고 formula_25가 formula_12 위에서 연속인 formula_27와 formula_28를 가진다고 가정하자.
이 함수들은 formula_30에 대해 정의된다. 여기서 formula_31이고 formula_32는 formula_12에 포함된다.
평균값 정리에 의해, 고정된 와 가 0이 아닐 때, formula_34는 열린 구간 formula_35에서 다음을 만족한다.
formula_37이므로, 아래 첫 번째 등식은 formula_38로 나눌 수 있다.
마지막 등식에서 formula_40를 0으로 보내면 formula_28와 formula_42에 대한 연속성 가정에 따라 다음이 성립한다.
이 설명은 버킬, 아포스톨, 루딘 등 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.
위의 유도는 기초적이지만, 이 접근 방식은 더 개념적인 관점에서 볼 수도 있어 결과가 더욱 분명해진다. 실제로 차분 연산자 formula_44는 교환 가능하고 formula_45는 formula_46가 0으로 갈 때 formula_47로 수렴하며, 2차 연산자에 대해서도 유사한 설명이 있다. 여기서 평면의 벡터 formula_48와 방향 벡터 formula_49 또는 formula_50인 formula_51에 대해 차분 연산자는 다음과 같이 정의된다.
열린 구간 formula_53에서 formula_54인 formula_55 함수 formula_13에 대한 미적분학의 기본 정리에 의해
이것은 평균값 정리의 일반화된 버전이다. 실수 값 함수의 극대 또는 극소에 대한 초등 논의는 formula_13가 formula_60에서 연속이고 formula_22에서 미분 가능하면 formula_22에 다음을 만족하는 점 formula_63가 존재한다는 것을 의미한다.
유한 차원 유클리드 공간 formula_65를 갖는 벡터 값 함수에서는 위 등식의 아날로그가 존재하지 않으며, 실제로 실패한다. 그러나 formula_66이므로 위 부등식은 유용한 대체물이다. 또한 formula_65의 이중 공간을 이중 노름과 짝지으면 다음 부등식이 나온다.
이러한 평균값 정리의 버전은 루딘, 회르만데르 등에서 논의된다.
평면의 열린집합에서 formula_69 함수 formula_13에 대해 formula_71 및 formula_72를 정의한다. 또한 formula_73에 대해 다음을 설정한다.
그러면 열린집합의 formula_75에 대해 일반화된 평균값 정리를 두 번 적용할 수 있다.
따라서 formula_77는 formula_46가 0으로 갈 때 formula_79로 수렴한다. 같은 논증은 formula_80가 formula_81로 수렴한다는 것을 보여준다. 따라서 차분 연산자는 교환하므로, 주장된 대로 편미분 연산자 formula_82과 formula_83도 교환한다.
비고. 고전적인 평균값 정리의 두 가지 응용에 의해,
formula_85에 있는 일부 formula_86와 formula_87에 대해. 따라서 첫 번째 초등 증명은 차분 연산자를 사용하여 재해석될 수 있다. 반대로, 두 번째 증명에서 일반화된 평균값 정리 대신 고전적인 평균값 정리를 사용할 수 있다.
반복 적분을 이용한 클레로 정리 증명.
콤팩트 직사각형 에서 연속 함수 의 반복 리만 적분 속성은 쉽게 확립된다. 의 균등 연속성은 함수 formula_88와 formula_89가 연속임을 즉시 의미한다. 다음이 성립한다.
더욱이, 가 양수이면 반복 적분도 양수임이 즉시 분명하다. 위의 등식은 측도론을 포함하지 않는 푸비니 정리의 간단한 경우이다. 는 직사각형을 더 작은 직사각형으로 세분하는 것에 해당하는 리만 근사 합을 사용하여 이를 직접적으로 증명한다.
클레로 정리를 증명하기 위해, 열린집합 에서 미분 가능 함수 가 주어지고, 혼합 이계 편도함수 와 가 존재하고 연속이라고 가정하자. 미적분학의 기본 정리를 두 번 사용하면,
따라서 두 반복 적분은 같다. 다른 한편으로, 가 연속이므로, 두 번째 반복 적분은 먼저 에 대해 적분한 다음 에 대해 적분하여 수행할 수 있다. 그러나 이 경우 에서 의 반복 적분은 사라져야 한다. 그러나 연속 함수 의 반복 적분이 모든 직사각형에 대해 사라지면 는 항등적으로 0이어야 한다. 그렇지 않으면 또는 가 어떤 점에서 엄격하게 양수이고 따라서 연속성에 의해 직사각형 위에서도 양수여야 하는데, 이는 불가능하다. 따라서 는 항등적으로 0이어야 하므로, 어디에서나 가 성립한다.
이계 미분 가능성의 충분 조건.
두 번째 편도함수의 연속성(이것은 후자에 의해 암시된다)보다 대칭성을 보장하기에 충분한 약한 조건은 모든 편도함수 자체가 미분 가능하다는 것이다. 치환된 혼합 편도함수의 존재가 주장되는 정리의 또 다른 강화는 1890년 마테시스에 대한 짧은 노트에서 페아노가 제공했다.
분포 이론 공식화.
분포론 (일반화된 함수)은 대칭성과 관련된 해석적 문제를 해결한다. 적분 가능 함수의 도함수는 항상 분포로 정의될 수 있으며, 혼합 편도함수의 대칭성은 항상 분포의 등식으로 성립한다. 분포의 미분을 정의하기 위해 형식적인 부분 적분을 사용하면 대칭성 문제는 시험 함수로 돌아간다. 시험 함수는 매끄럽고 이 대칭성을 확실히 만족한다. 더 자세히 말하면 (여기서 f는 시험 함수에 대한 연산자로 작성된 분포이고 φ는 시험 함수),
함수의 푸리에 변환을 정의하는 또 다른 접근 방식은 이러한 변환에서 편미분이 훨씬 더 분명하게 교환하는 곱셈 연산자가 된다는 점에 주목하는 것이다.
연속성 요구 사항.
클레로 정리가 만족되지 않으면(이계 편도함수가 연속이 아님) 함수가 미분 가능한 편도함수를 갖지 못하여 대칭성이 깨질 수 있다.
비대칭의 예는 (페아노에 의한) 다음 함수이다.
이것은 극좌표 형식 formula_106로 시각화될 수 있다. 이 함수는 모든 곳에서 연속이지만, 에서의 도함수는 대수적으로 계산할 수 없다. 오히려 차분 몫의 극한을 보면 formula_107임을 알 수 있다. 따라서 그래프 formula_108는 에서 수평 접평면을 가지며, 편도함수 formula_109는 존재하고 모든 곳에서 연속이다. 그러나 이계 편도함수는 에서 연속이 아니며 대칭성이 실패한다. 사실, x축을 따라 y-도함수는 formula_110이므로 다음과 같다.
반대로 y축을 따라 x-도함수는 formula_112이므로 formula_113이다. 즉, 혼합 편도함수가 존재함에도 불구하고 에서 formula_114이고, 다른 모든 점에서는 대칭성이 성립한다.
위의 함수를 극좌표로 나타내면 다음과 같다.
이는 원점을 포함하는 임의로 작은 루프를 한 번 돌 때 함수가 네 번 진동함을 보여준다. 따라서 직관적으로, (0, 0)에서의 함수의 국소적 행동은 이차 형식으로 설명될 수 없으며, 따라서 헤세 행렬은 대칭적이지 않다.
일반적으로 극한 연산의 교환은 반드시 교환할 필요는 없다. 근처의 두 변수와 다음 식에 대한 두 가지 극한 과정이 주어졌을 때
이는 h → 0을 먼저 하고 k → 0을 먼저 하는 것에 해당한다. 1차 항을 보면 어떤 것을 먼저 적용하는지가 중요할 수 있다. 이는 이계 도함수가 비대칭적인 병적인 예시의 구성으로 이어진다. 이런 종류의 예시는 함수의 점별 값이 중요한 실해석학 이론에 속한다. 분포로 볼 때 이계 편도함수의 값은 르베그 측도가 0인 한 임의의 점 집합에서 변경될 수 있다. 예시에서 헤세 행렬은 을 제외한 모든 곳에서 대칭이므로, 슈바르츠 분포로 본 헤세 행렬이 대칭이라는 사실과 모순되지 않는다.
리 이론에서.
1차 미분 연산자 Di를 유클리드 공간의 무한소 연산자로 간주한다. 즉, Di는 xi축에 평행한 평행 이동의 1-매개변수군을 생성한다. 이 군들은 서로 교환하므로 무한소 생성자도 교환한다. 리 괄호
는 이 속성을 반영한다. 다시 말해, 한 좌표에 대한 다른 좌표의 리 미분은 0이다.
미분 형식에 대한 적용.
클레로-슈바르츠 정리는 모든 formula_117 (또는 적어도 두 번 미분 가능한) 미분 형식 formula_118에 대해 두 번째 외미분이 소멸한다는 것을 증명하는 데 필요한 핵심 사실이다: formula_119. 이는 모든 미분 가능한 완전 미분 형식 (즉, 어떤 형식 formula_120에 대해 formula_121인 형식 formula_122)이 닫힌 형식임을 의미한다 (즉, formula_123), 왜냐하면 formula_124이기 때문이다.
18세기 중반, 미분 형식 이론은 평면에서의 1차 형식, 즉 formula_125의 가장 간단한 경우에서 처음 연구되었다. 여기서 formula_126와 formula_127는 평면에서의 함수이다. 1차 형식과 함수의 미분에 대한 연구는 클레로의 1739년과 1740년 논문에서 시작되었다. 그 단계에서 그의 연구는 상미분 방정식을 해결하는 방법으로 해석되었다. 클레로는 형식적으로 열린 직사각형에서 1차 형식 formula_128가 닫힌 형식, 즉 formula_129이라는 것을 보였다. 이는 formula_120가 디스크에서 어떤 함수 formula_13에 대해 formula_25의 형태를 가질 때만 성립한다. formula_13에 대한 해는 코시의 적분 공식으로 쓸 수 있다.
반면 formula_135인 경우, 닫힌 속성 formula_136은 항등식 formula_137이다. (현대 언어로는 이것이 푸앵카레 보조정리의 한 버전이다.)
수학에서 갈루아 이론의 기본 정리(Fundamental theorem of Galois theory)는 특정 유형의 체의 확대의 구조를 군과 관련하여 설명하는 결과이다. 이 정리는 에바리스트 갈루아가 갈루아 이론을 개발하면서 증명했다.
가장 기본적인 형태로, 이 정리는 유한 확대이며 갈루아 확대인 체의 확대 formula_1가 주어졌을 때, 중간 필드와 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응이 존재한다고 주장한다. (중간 필드는 formula_2를 만족하는 체 formula_3이며, formula_1의 부분 확대라고도 불린다.)
대응의 명시적 설명.
유한 확대의 경우, 대응은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다.
기본 정리는 formula_1가 갈루아 확대일 때 (그리고 그 경우에만) 이 대응이 일대일 대응이라고 말한다.
예를 들어, 가장 상위 필드 formula_9는 formula_14의 자명군에 대응하고, 기본 필드 formula_18는 전체 군 formula_5에 대응한다.
formula_14 표기는 갈루아 확대에만 사용된다. 만약 formula_1가 갈루아라면, formula_22이다. 만약 formula_1가 갈루아가 아니라면, "대응"은 formula_24에서 formula_25로의 단사 함수 (하지만 전사 함수는 아님)만 제공하며, 역방향으로는 전사 함수 (하지만 단사 함수는 아님)를 제공한다. 특히, formula_1가 갈루아가 아니라면, formula_18는 formula_28의 어떤 부분군의 고정체도 아니다.
대응의 속성.
이 대응은 다음과 같은 유용한 속성을 가지고 있다.
을 고려하자. 는 기본 필드 formula_44에 와 을 첨가하여 구성되었으므로, 의 각 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다:
갈루아 군 formula_46는 를 고정하는 의 자기 동형 사상들로 구성된다. 이러한 자기 동형 사상들은 모든 기약 다항식의 근을 순열하므로, 를 또는 로 보내고, 을 또는 로 보내야 한다. 가 와 를 교환한다고 가정하면,
이고, 가 와 을 교환하면,
이들은 의 덧셈과 곱셈을 존중하는 자기 동형 사상임이 분명하다. 각 원소를 고정하는 항등 자기 동형 사상 도 있으며, 와 의 합성으로 두 근호의 부호를 모두 바꾸는 자기 동형 사상이 있다:
갈루아 군의 위수는 체의 확대 차수와 같으므로, formula_50이므로 더 이상의 자기 동형 사상은 있을 수 없다:
이것은 클라인 4원군과 동형이다. 이 군의 5개 부분군은 기본 필드 formula_44와 확대 사이의 중간 필드에 대응한다.
다음은 갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 간단한 경우이다.
formula_53 상의 기약 다항식 formula_58의 분해체 K를 고려하자. 즉, formula_59이며, 여기서 θ는 2의 세제곱근이고, ω는 1의 세제곱근 (그러나 1 자체는 아님)이다. K를 복소수 안에서 고려하면, formula_60는 2의 실수 세제곱근이고, formula_61로 취할 수 있다. ω의 최소 다항식은 formula_62이므로, 확대 formula_63의 차수는 다음과 같다:
이전 예시와 같이 formula_53-기저 formula_66를 가진다. 따라서 갈루아 군 formula_67는 6개의 원소를 가지며, formula_58의 세 근의 모든 순열에 의해 결정된다:
그러한 순열은 3! = 6개만 존재하므로, G는 세 객체의 모든 순열의 대칭군 (군론)과 동형이어야 한다. 이 군은 다음으로 정의되는 두 자기 동형 사상 f와 g에 의해 생성될 수 있다:
그리고 formula_72이며, 관계 formula_73을 따른다. formula_74의 순열로서의 효과는 (순환 표기법으로): formula_75이다. 또한, g는 복소수 켤레 매핑으로 간주될 수 있다.
G의 부분군과 해당하는 부분 필드는 다음과 같다:
λ에 대한 유리 함수 체를 formula_89라고 하고, 다음 자기 동형 군을 고려하자:
여기서 자기 동형 사상 formula_91를 그 값 formula_92로 나타내며, formula_93이다. 이 군은 formula_94와 동형이다 (여섯 개의 비조화비 참조).
formula_18를 formula_96의 고정체라고 하자. 그러면 formula_97이다.
formula_6가 formula_96의 부분군이면, 다항식
의 계수들이 formula_6의 고정체를 생성한다. 갈루아 대응은 formula_1의 모든 부분 필드가 이런 식으로 구성될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, formula_103일 때 고정체는 formula_104이고, formula_105일 때 고정체는 formula_106이다. formula_96의 고정체는 기본 필드 formula_108이며, 여기서 는 모듈러 람다 함수로 표현된 -불변량이다:formula_109유사한 예시는 정다면체의 대칭군 각각에 대해 구성될 수 있는데, 이들은 사영 직선 formula_110과 따라서 formula_111에 대한 충실한 작용을 가지기 때문이다.
여기서 우리는 갈루아 확대가 아닌 유한 확대 formula_1의 예를 제공하며, 이를 통해 formula_1가 갈루아 확대가 아닐 때 갈루아 이론(의 기본 정리)이 더 이상 작동하지 않음을 보여준다.
formula_114이고 formula_115라고 하자. 그러면 formula_1는 유한 확대이지만, formula_18에 대한 분해체는 아니다 ( formula_118의 최소 다항식이 formula_9에 포함되지 않는 두 개의 복소근을 가지기 때문이다). 임의의 formula_120는 formula_121에 의해 완전히 결정되며, formula_122이므로, formula_123는 자명군이다. 특히, formula_124이다. 이는 formula_1가 갈루아 확대가 아님을 보여준다.
이제, formula_96는 자신만을 유일한 부분군으로 가진다. formula_115를 포함하는 유일한 중간 필드는 formula_114이다. 따라서 갈루아 대응은 실패한다.
이 정리는 E/F의 중간 필드를 군론의 관점에서 분류한다. 이 중간 필드와 부분군 사이의 변환은 일반 오차 방정식이 근으로 풀 수 없음을 보여주는 핵심이다 (아벨-루피니 정리 참조). 먼저 근호 확대 (F의 어떤 원소의 n제곱근인 α를 포함하는 F(α) 형태의 확대)의 갈루아 군을 결정한 다음, 기본 정리를 사용하여 가해 확대가 가해군에 대응함을 보여준다.
쿠머 이론 및 유체론과 같은 이론들은 기본 정리에 기반을 두고 있다.
무한 경우.
무한 대수적 확대가 주어졌을 때, 그것이 정규적이고 분해 가능하면 여전히 갈루아 확대라고 정의할 수 있다. 무한 경우에 직면하는 문제는, 일반적으로 부분군이 너무 많기 때문에 기본 정리의 전단사가 성립하지 않는다는 것이다. 보다 정확하게 말하면, 모든 부분군을 취하면 일반적으로 동일한 중간 필드를 고정하는 두 개의 다른 부분군을 찾을 수 있다. 따라서 우리는 갈루아 군에 위상을 도입하여 이를 수정한다.
formula_1를 갈루아 확대 (무한할 수도 있음)라고 하고, formula_130를 확대의 갈루아 군이라고 하자. formula_131를 모든 유한 중간 갈루아 확대의 갈루아 군 집합이라고 하자. 모든 formula_132에 대해 formula_133를 formula_134로 정의할 수 있음에 유의하라. 그런 다음 formula_96에 크룰 위상을 정의하는데, 이는 모든 formula_132에 대해 매핑 formula_133가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상이다. 여기서 각 formula_138에는 이산 위상을 부여한다.. 다르게 말하면 formula_139는 위상군의 사영 극한이다 (여기서 각 formula_138에는 다시 이산 위상을 부여한다). 이것은 formula_96를 사유한군으로 만든다 (사실 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 예를 들어 참조). formula_1가 유한일 때 크룰 위상은 이산 위상이라는 점에 유의하라.
이제 갈루아 군에 위상을 정의했으므로 무한 갈루아 확대에 대한 기본 정리를 다시 기술할 수 있다.
formula_143를 formula_1의 모든 중간 필드 확대 집합이라고 하고, formula_145를 크룰 위상이 부여된 formula_130의 모든 닫힌 부분군 집합이라고 하자. 그러면 다음 매핑에 의해 formula_143와 formula_145 사이에 전단사 함수가 존재한다:
formula_150로 정의되고 다음 매핑에 의해
formula_152로 정의된다. 확인해야 할 중요한 점은 formula_153가 잘 정의된 매핑이라는 것이다. 즉, formula_154이 모든 중간 필드 formula_155에 대해 formula_96의 닫힌 부분군이라는 것이다. 이는 Ribes–Zalesskii, 정리 2.11.3에서 증명되었다.
수학의 측도론에서, 모든 양의 정수 에 대해 햄 샌드위치 정리(ham sandwich theorem)는 -차원 유클리드 공간에 있는 개의 가측 "객체"가 주어졌을 때, 하나의 -차원 초평면으로 각각의 객체를 절반(해당 측도, 예를 들어 부피에 따라)으로 나눌 수 있다고 말한다. 이 객체들이 겹쳐 있어도 이것은 가능하다.
이 정리는 후고 스테인하우스에 의해 제안되었고 스테판 바나흐에 의해 증명되었으며 (명시적으로 3차원인 경우에, -차원인 경우는 언급하지 않았다), 수년 후 아서 H. 스톤과 존 투키의 이름을 따서 스톤-투키 정리라고도 불렸다.
햄 샌드위치 정리는 일 때 세 개의 이등분될 객체가 햄 샌드위치의 재료일 경우에서 이름이 유래했다. 이 세 가지 재료가 빵 두 조각과 햄 한 조각인지 , 빵과 치즈와 햄인지 , 아니면 빵과 버터와 햄인지 에 대해서는 출처마다 다르다. 2차원에서 이 정리는 두 개의 객체가 선에 의해 이등분되는 평평한 성질을 나타내기 위해 팬케이크 정리로 알려져 있다 .
에 따르면, 햄 샌드위치 정리에 대한 가장 초기의 알려진 논문은, 특히 평면으로 세 개의 입체를 이등분하는 의 경우에 대해, 1938년 폴란드 수학 저널의 한 노트이다 . 바이어와 자르데키의 논문은 이 노트의 번역을 포함하고 있으며, 문제의 제기를 후고 스테인하우스에게, 문제 해결을 스테판 바나흐에게 돌리는데, 이는 보르수크-울람 정리로의 환원을 통해 이루어졌다. 이 노트는 문제를 두 가지 방식으로 제기한다: 첫째, 공식적으로 "임의로 위치한 세 개의 입체를 적절한 평면을 사용하여 항상 이등분할 수 있는가?" 그리고 둘째, 비공식적으로 "고기 자르는 기계 아래에 햄 조각을 놓아 고기, 뼈, 지방이 절반으로 잘리도록 할 수 있는가?" 이 노트는 이어서 정리의 증명을 제시한다.
더 현대적인 참고 자료는 인데, 이는 "스톤-투키 정리"라는 이름의 근거가 된다. 이 논문은 측도를 포함하는 더 일반적인 설정에서 정리의 -차원 버전을 증명한다. 이 논문은 심사위원의 정보를 바탕으로 의 경우를 스타니스와프 울람에게 귀속시키지만, 는 위에서 언급된 노트를 고려할 때 이것이 부정확하다고 주장한다. 비록 "울람이 보르수크-울람 정리를 제안하는 데 근본적인 기여를 했지만" 말이다.
2차원 변형: 회전하는 칼을 이용한 증명.
정리의 2차원 변형 (팬케이크 정리라고도 알려짐)은 케이크 공평하게 자르기 문헌에 나타나는 논증(예: Robertson–Webb rotating-knife procedure)으로 증명될 수 있다.
각도 formula_1에 대해, 각도 formula_2를 가진 직선("칼")은 팬케이크 #1을 이등분할 수 있다. 이를 확인하려면, 각도 formula_2를 가진 직선을 formula_4에서 formula_5까지 그 법선을 따라 이동시킨다. 직선으로 덮인 팬케이크 #1의 비율은 0에서 1로 연속적으로 변하므로, 중간값 정리에 의해 어느 지점에서는 1/2이 되어야 한다. 우리 선의 전체 번역 범위가 1/2의 비율을 산출할 수 있으며; 이 경우, 그러한 모든 번역 중 가운데 것을 선택하는 것이 표준적인 선택이다.
칼이 0도 각도에 있을 때, 팬케이크 #2도 자르지만 조각들은 아마도 같지 않을 것이다 (운 좋게 조각들이 같으면, 끝난 것이다). 칼의 '양의' 쪽을 팬케이크 #2의 비율이 더 큰 쪽으로 정의한다. 이제 칼을 돌리고 위에서 설명한 대로 이동시킨다. 각도가 formula_2일 때, formula_7를 칼의 양의 쪽에 있는 팬케이크 #2의 비율로 정의한다. 처음에는 formula_8이다. 각도의 작은 변화가 칼의 위치에 작은 변화를 가져오므로, 함수 formula_9는 연속이다.
칼이 180도 각도에 있을 때, 칼은 거꾸로 되어 있으므로 formula_10이다. 중간값 정리에 의해, formula_11인 각도가 반드시 존재해야 한다. 그 각도로 자르면 두 팬케이크가 동시에 이등분된다.
n차원 변형: 보르수크-울람 정리를 이용한 증명.
햄 샌드위치 정리는 보르수크-울람 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다. 이 증명은 1938년 스타인하우스 등이 스테판 바나흐에게 귀속시킨 의 경우에 대해 설명한 증명을 따른다. 동변량 위상수학 분야에서 이 증명은 구성 공간/테스트 맵 패러다임에 속할 것이다.
동시에 이등분하려는 formula_12의 개의 콤팩트 (또는 더 일반적으로 유계 및 르베그 가측) 부분집합을 이라고 하자. formula_13는 formula_12의 단위 -초구라고 하자. 구 의 각 점 에 대해, 법선 벡터 를 갖는 아핀 초평면의 선형 연속체 formula_15를 정의할 수 있다: formula_16 (formula_17). 각 formula_17에 대해, 공간 formula_19를 formula_20의 "양의 측면"이라고 부르며, 이는 벡터 가 가리키는 측면이다. 중간값 정리에 의해, 그러한 초평면의 모든 계열은 유계 집합 을 이등분하는 적어도 하나의 초평면을 포함한다. 한 극단적인 이동에서는 의 부피가 양의 측면에 전혀 없고, 다른 극단적인 이동에서는 의 모든 부피가 양의 측면에 있으므로, 그 사이에는 formula_17의 가능한 값들의 닫힌 구간 이 존재해야 하며, 이 구간에 대해 formula_20는 의 부피를 이등분한다. 만약 의 부피가 0이라면, 모든 formula_23에 대해 formula_24을 선택한다. 그렇지 않으면, 구간 은 콤팩트하고, 각 formula_23에 대해 formula_26를 그 중점으로 정규적으로 선택할 수 있다. 따라서 우리는 구 의 각 점 에 대해 초평면 formula_27가 을 이등분하도록 하는 연속 함수 formula_28를 얻는다. 또한, 모든 formula_23에 대해 formula_30이고 따라서 formula_31임을 주목한다.
이제 함수 formula_32을 다음과 같이 정의한다:
이 함수 는 연속이다 (지배 수렴 정리로 증명될 수 있다). 보르수크-울람 정리에 의해, 구 에는 formula_34인 대척점 formula_35와 formula_36가 존재한다. 대척점은 초평면 formula_27와 formula_38에 해당하며, 이들은 양의 측면이 반대라는 점을 제외하고는 같다. 따라서, formula_34는 formula_40에 대해 의 부피가 formula_27의 양의 측면과 음의 측면에서 동일하다는 것을 의미한다. 그러므로 formula_27는 의 부피를 동시에 이등분하는 원하는 햄 샌드위치 절단이다.
측도론적 버전.
측도론에서, 는 햄 샌드위치 정리의 두 가지 더 일반적인 형태를 증명했다. 두 버전 모두 공통 집합 의 개의 부분집합 을 이등분하는 것에 관한 것이며, 여기서 는 카라테오도리 외측도를 가지며 각 는 유한한 외측도를 가진다.
그들의 첫 번째 일반적인 공식화는 다음과 같다: 임의의 연속 실함수 formula_43에 대해, -초구 의 점 와 실수 s0가 존재하여 표면 가 를 와 로 동일한 측도를 가지도록 나누고 동시에 의 외측도를 이등분한다. 증명은 다시 보르수크-울람 정리로의 환원이다. 이 정리는 을 설정함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.
그들의 두 번째 공식화는 다음과 같다: 에 대한 개의 가측 함수 가 양의 측도를 갖는 모든 부분집합에 대해 선형 독립이라면, 선형 결합 이 존재하여 표면 이 를 와 으로 나누면서 동시에 의 외측도를 이등분한다. 이 정리는 과 에 대해 를 의 -번째 좌표로 설정함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.
이산 기하 및 계산 기하 버전.
이산기하학에서 햄 샌드위치 정리는 일반적으로 나누어지는 각 집합이 점들의 유한 집합인 특수한 경우를 의미한다. 여기서 관련 측도는 셈측도이며, 이는 단순히 초평면의 양쪽에 있는 점의 수를 센다. 2차원에서 이 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다:
점이 선 위에 놓이는 예외적인 경우가 있다. 이 상황에서는 각 점을 선의 한쪽, 다른 쪽 또는 어느 쪽에도 없는 것으로 간주한다 (점마다 다를 수 있음). 즉, "이등분"은 실제로 각 측면에 전체 점 수의 절반 미만이 포함된다는 의미이다. 이 예외적인 경우는 정리의 성립을 위해 실제로 필요하며, 물론 빨간색 점이나 파란색 점의 수가 홀수일 때뿐만 아니라, 점의 수가 짝수일 때도 특정 구성에서 필요하다. 예를 들어 모든 점이 같은 선 위에 있고 두 색깔이 서로 분리되어 있을 때 (즉, 선을 따라 색깔이 교차하지 않을 때) 그렇다. 각 측면의 점의 수가 서로 일치할 수 없는 상황은 이전 구성에서 선 밖에 추가 점을 추가함으로써 발생한다.
계산기하학에서 이 햄 샌드위치 정리는 계산 문제인 햄 샌드위치 문제로 이어진다. 2차원에서 이 문제는 다음과 같다: 평면에서 각각 "빨간색" 또는 "파란색"으로 색칠된 개의 유한한 점 집합이 주어졌을 때, 이들을 위한 햄 샌드위치 절단을 찾는 것이다. 먼저, 는 특별한 분리된 경우에 대한 알고리즘을 설명했다. 여기서 모든 빨간색 점은 어떤 선의 한쪽에 있고 모든 파란색 점은 다른 쪽에 있는데, 이러한 상황에서는 유일한 햄 샌드위치 절단이 존재하며, 메기도는 이를 선형 시간 내에 찾을 수 있었다. 나중에, 는 일반적인 2차원 경우에 대한 알고리즘을 제시했다. 그들의 알고리즘의 실행 시간은 이며, 여기서 기호 는 점근 표기법의 사용을 나타낸다. 마지막으로, 는 최적의 시간 알고리즘을 발견했다. 이 알고리즘은 에 의해 더 높은 차원으로 확장되었으며, 여기서 실행 시간은 formula_44이다. -차원 공간에서 일반 위치에 있는 개의 점 집합이 주어졌을 때, 이 알고리즘은 각 집합의 점들이 반공간 모두에 같은 수를 갖는 -차원 초평면, 즉 주어진 점들에 대한 햄 샌드위치 절단을 계산한다. 만약 가 입력의 일부라면, 다항 시간 알고리즘이 존재할 것으로 예상되지 않는다. 왜냐하면 점들이 모멘트 곡선 위에 있다면, 문제는 목걸이 분할 문제와 동등해지며, 이는 PPA-완전이다.
서로 다른 두 개의 볼록 다각형의 면적을 이등분하는 선형 시간 알고리즘은
에 의해 설명된다.
대수곡면으로의 일반화.
원래의 정리는 최대 개의 모음에 대해 작동하는데, 여기서 은 차원의 수이다. 더 많은 수의 모음을 더 높은 차원으로 가지 않고 이등분하려면, 초평면 대신 차 대수곡면을 사용할 수 있다. 즉, 차 다항 함수로 정의된 ()차원 곡면을 사용하는 것이다.
차원 공간에 formula_45개의 측도가 주어졌을 때, 이들 모두를 이등분하는 차 대수곡면이 존재한다. ().
이 일반화는 차원 평면을 formula_45차원 평면으로 매핑한 다음, 원래의 정리를 적용하여 증명된다. 예를 들어, 이고 일 때, 2차원 평면은 다음을 통해 5차원 평면으로 매핑된다:
성 마태오를 부르심(The Calling of Saint Matthew, )은 이탈리아의 바로크 거장 카라바조의 유화 작품으로, 예수 그리스도가 세금 징수원 마태오에게 자신을 따르라고 부르는 순간을 묘사한다. 1599–1600년에 로마의 프랑스 교단인 산 루이지 데이 프란체시 성당의 콘타렐리 예배당을 위해 완성되었으며, 현재도 그곳에 남아 있다. 이 작품은 카라바조의 다른 두 마태오 그림인 성 마태오의 순교 (이 작품과 거의 같은 시기에 그려짐)와 성 마태오의 영감 (1602년)과 함께 걸려 있다.
10여 년 전, 마티외 코앵트렐 추기경은 자신의 이름을 딴 성 마태오와 관련된 주제로 예배당을 장식하기 위해 유언으로 자금과 구체적인 지시를 남겼다. 예배당의 돔은 카라바조의 옛 고용주이자 당시 로마에서 가장 인기 있는 화가 중 한 명이었던 후기 매너리즘 화가인 주세페 체사리의 프레스코화로 장식되었다. 그러나 체사리가 왕실 및 교황의 후원으로 바빠지자, 카라바조의 후원자이자 성 베드로의 파브리카(Fabbrica, 바티칸 교회 재산을 담당 사무실)의 장관이었던 프란체스코 마리아 델 몬테 추기경이 개입하여, 카라바조에게 그의 첫 주요 교회 의뢰이자 많은 인물이 등장하는 첫 그림을 의뢰받게 해 주었다.
카라바조의 성 마태오를 부르심은 성 마태오의 순교의 맞은편에 걸려 있다. 순교가 아마도 먼저 시작되었겠지만, 기록에 따르면 부르심이 가장 먼저 완성되었다. 이 두 측면 그림에 대한 의뢰는 1599년 7월에 이루어졌으며, 최종 지불은 1600년 7월에 이루어졌다. 두 그림 사이의 제단에는 성 마태오의 영감 (1602년)이 있다.
이 그림은 마태오의 복음서 (마태복음 9:9)의 이야기를 묘사한다: "예수께서 세관에 앉아 있는 마태오라는 사람을 보시고 말씀하셨다, '나를 따르라', 그러자 마태오는 일어나 그를 따랐다." 카라바조는 세금 징수원 마태오가 다른 남자 네 명과 함께 테이블에 앉아 있는 모습을 묘사한다. 예수 그리스도와 베드로 성인이 방에 들어섰고, 예수님은 마태오를 가리키고 있다. 오른쪽에서 들어오는 한 줄기 빛이 테이블에 앉은 남자들의 얼굴을 비춘다. 이것은 많은 바로크 예술가들, 특히 카라바조가 관심을 가졌던 영적 각성과 회심의 순간을 묘사한다.
마태오의 정체.
그림 속 어떤 남자가 성 마태오인지에 대한 논쟁이 있다. 테이블에 앉아 수염 난 남자의 놀란 몸짓은 두 가지로 해석될 수 있기 때문이다.
대부분의 글에서는 성 마태오가 수염 난 남자라고 가정하며, 그는 그리스도의 부름에 "나 말입니까?"라고 묻는 듯이 자신을 가리키는 것으로 본다. 이 이론은 이 시리즈의 다른 두 작품인 "성 마태오의 영감"과 "성 마태오의 순교"를 고려하면 올바른 듯 하다. 성 마태오의 모델인 수염 난 남자는 세 작품 모두에 등장하며, "영감"과 "순교" 모두에서 성 마태오의 역할을 맡고 있기 때문이다.
최근의 해석에서는 수염 난 남자가 사실은 테이블 끝에 고개를 숙이고 있는 젊은 남자를 가리키고 있다고 주장한다. 이 해석에서 수염 난 남자는 그리스도의 부름에 "저 사람 말입니까?"라고 묻고 있으며, 그림은 젊은 마태오가 그리스도를 보려고 고개를 들기 직전의 순간을 묘사하고 있다고 말한다. 다른 작가들은 이 그림이 의도적으로 모호하게 만들었다고 설명한다.
그리스도의 정체.
일부 학자들은 예수님이 신약성경에 언급된 마지막 아담 또는 두 번째 아담으로 묘사되었다고 추측한다. 이는 그리스도의 손이 마태오를 향해 뻗어 있는 모습에서 드러난다. 이는 미켈란젤로(카라바조의 이름도 미켈란젤로이다)의 "아담의 창조"에 나오는 아담의 손과 거의 거울상이다. 신약성경에서 예수님과 아담을 명시적으로 비교하는 것은 두 번 나타난다. 로마서 5:12–21에서 바울은 "한 사람의 불순종으로 말미암아 많은 사람이 죄인이 된 것 같이, 한 사람의 순종으로 말미암아 많은 사람이 의인이 될 것" (로마서 5:19, NIV)이라고 주장한다. 또한 고린도전서 15:22에서 바울은 "아담 안에서 모든 사람이 죽는 것 같이, 그리스도 안에서 모든 사람이 살리심을 받을 것"이라고 주장하며, 45절에서는 예수님을 "마지막/궁극적인/최후의 아담"이라고 부른다.
"많은 매너리즘 그림과 달리 명확히 내용이 읽히는 것은... 이 작품의 엄청난 인기를 설명했다." 바로크 시대에 제작된 이 그림은 사실주의와 테네브리즘, 즉 명암의 뚜렷한 대비와 같은 특징을 보여주는 이 양식의 상징적인 예이다.
교황 프란치스코는 젊은 시절 산 루이지 성당에 자주 가서 이 그림을 묵상했다고 말했다. 그리스도의 뻗은 팔과 마태오의 반응을 모두 언급하며 프란치스코는 "이것이 바로 나다, 주님의 시선이 머문 죄인."이라고 말했다.
같은 주제의 다른 그림.
마태오의 부르심을 묘사한 다른 근세 작품들이 많이 있다. 카라바조의 작품 이전에도 두 점이 있지만, 카라바조가 이들을 접했을 가능성은 낮다.
수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 딴 마슈케의 정리(Maschke's theorem)는 유한군의 표현을 기약표현으로 분해하는 것에 관한 군 표현 이론의 정리이다. 마슈케의 정리는 유한군 G의 표현을 실제로 계산하지 않고도 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다. 이 정리가 적용될 때, 모든 표현은 기약 부분(구성 요소)의 직합이므로, 모든 표현을 분류하는 작업을 기약표현을 분류하는 더 관리하기 쉬운 작업으로 줄인다. 더욱이, 조르당-횔더 정리에 따르면, 기약 부분 표현의 직합으로의 분해는 유일하지 않을 수 있지만, 기약 부분들은 잘 정의된 중복도를 가진다. 특히, 표수 0인 체 위의 유한군 표현은 지표에 의해 동형 사상까지 결정된다.
마슈케의 정리는 일반적인 (유한 차원) 표현이 직합 연산을 사용하여 기약 부분 표현으로부터 구성되는 시점이 언제인가 하는 질문에 답한다. 이 질문(및 그 답)은 군 표현 이론에 대한 다른 관점에 따라 다르게 공식화된다.
군론적.
마슈케의 정리는 일반적으로 다음 결과의 따름정리로 공식화된다:
그러면 따름정리는 다음과 같다:
군 formula_1의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 formula_1-불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래 formula_3 위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 formula_4의 직교 여공간으로 formula_5를 구성함으로써 증명되었다.
모듈론적.
유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 formula_1의 표현은 군환 formula_7 위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, formula_8와 formula_9 (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:
이 결과의 중요성은 잘 발달된 반단순환 이론, 특히 웨더번-아르틴 정리에 의해 주어진 분류에서 비롯된다. formula_10가 복소수 체인 경우, 이는 대수 formula_7가 각 기약 표현에 대해 여러 개의 복소수 행렬 대수 사본의 곱임을 보여준다. 만약 체 formula_10가 표수 0이지만 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 예를 들어 formula_10가 실수 또는 유리수 체인 경우, 다소 더 복잡한 명제가 성립한다: 군환 formula_7는 formula_10 위의 나눗셈환 위에서 정의된 행렬 대수의 곱이다. 합산되는 항들은 formula_10 위에서 정의된 formula_1의 기약 표현에 해당한다.
범주론적.
반단순 범주의 언어로 재구성된 마슈케의 정리는 다음과 같이 서술된다.
W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. formula_18를 사영 함수, 즉 모든 formula_19에 대해 formula_20라 하자.
formula_21로 정의하자. 여기서 formula_22는 W와 V에 대한 G의 표현인 formula_23의 약어이다. 그러면 formula_24는 표현 formula_25 아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 formula_26에 대해,
따라서 formula_28이면 formula_29가 된다. 따라서 formula_24에 대한 formula_25의 제한도 표현이다.
formula_32의 정의에 의해, 모든 formula_33에 대해 formula_34이므로 formula_35이고, 모든 formula_36에 대해 formula_37이다. 따라서 formula_38이고 formula_39이다. 그러므로 formula_40이다.
V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자.
그러면 φ는 다시 사영이다: 분명히 K-선형이고, K[G]를 V로 매핑하며, V에 대한 항등을 유도한다 (따라서 K[G]를 V 위로 매핑한다). 게다가 다음이 성립한다.
따라서 φ는 사실 K[G]-선형이다. 분할 완전열에 의해 formula_43이다. 이것은 모든 부분 모듈이 직합 인자임을 증명하며, 즉 K[G]가 반단순임을 증명한다.
역 명제.
위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.
증명. formula_44에 대해 formula_45로 정의한다. formula_46이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 formula_47임을 증명할 것이다. V가 주어지고, formula_48가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 formula_49이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, formula_50라 하자. 그러면 formula_51이므로 formula_52이고
이므로 formula_54는 I와 V 모두의 비영 원소이다. 이것은 모든 V에 대해 V가 I의 직접 보완이 아님을 증명하므로, K[G]는 반단순이 아니다.
비예시.
이 정리는 G가 무한군이거나 체 K의 표수가 #G를 나누는 경우에는 적용될 수 없다. 예를 들어,
정보 이론에서 섀넌-하틀리 정리(Shannon–Hartley theorem)는 특정 대역폭의 통신 채널을 통해 잡음이 있는 상태에서 정보를 전송할 수 있는 최대 속도를 알려준다. 이것은 가우스 잡음에 노출된 연속 시간 아날로그 신호 통신 채널의 전형적인 경우에 대한 잡음 채널 부호화 정리의 응용이다. 이 정리는 그러한 통신 링크에 대한 섀넌의 채널 용량을 확립한다. 이는 신호 전력이 제한되고 가우스 잡음 프로세스가 알려진 전력 또는 전력 스펙트럼 밀도로 특성화된다고 가정할 때, 주어진 대역폭과 잡음 간섭이 있는 상태에서 시간 단위당 전송될 수 있는 최대 정보의 오류 없는 양에 대한 한계이다. 이 법칙은 클로드 엘우드 섀넌과 랄프 하틀리의 이름을 따서 명명되었다.
정리의 진술.
섀넌-하틀리 정리는 채널 용량 formula_1를 명시하는데, 이는 평균 수신 신호 전력 formula_2를 사용하여 가산 백색 가우스 잡음(AWGN) 전력
1920년대 후반, 해리 나이퀴스트와 랄프 하틀리는 특히 전신을 통신 시스템으로 하는 맥락에서 정보 전송과 관련된 몇 가지 기본적인 아이디어를 개발했다. 당시 이 개념들은 개별적으로는 강력한 돌파구였지만, 포괄적인 이론의 일부는 아니었다. 1940년대에 클로드 섀넌은 나이퀴스트와 하틀리의 아이디어를 부분적으로 기반으로 하여 채널 용량 개념을 개발했고, 이어서 정보 및 그 전송에 대한 완전한 이론을 정립했다.
나이퀴스트율.
1927년, 나이퀴스트는 전신 채널을 통해 단위 시간당 전달될 수 있는 독립 펄스의 수가 채널의 단측 대역폭의 두 배로 제한된다는 것을 결정했다. 기호 표기법으로,
여기서 formula_11는 펄스 주파수(초당 펄스 수)이고 formula_6는 단측 대역폭(헤르츠)이다. formula_13는 나중에 나이퀴스트율이라고 불리게 되었고, 초당 formula_13 펄스의 제한된 펄스율로 전송하는 것을 나이퀴스트율로 신호한다고 했다. 나이퀴스트는 그의 논문 "전신 전송 이론의 특정 주제"의 일부로 1928년에 그의 결과를 발표했다.
하틀리 법칙.
1928년 동안, 하틀리는 정보와 그 회선 속도(데이터 신호 속도 R 비트/초라고도 함)를 정량화하는 방법을 공식화했다. 이 방법은 나중에 하틀리 법칙으로 알려졌으며, 섀넌의 더 정교한 채널 용량 개념의 중요한 전조가 되었다.
하틀리는 통신 채널을 통해 안정적으로 전송되고 수신될 수 있는 구별 가능한 펄스 레벨의 최대 수가 신호 진폭의 동적 범위와 수신기가 진폭 레벨을 구별할 수 있는 정밀도에 의해 제한된다고 주장했다. 특히, 전송된 신호의 진폭이 [−A ... +A] 볼트 범위로 제한되고 수신기의 정밀도가 ±ΔV 볼트인 경우, 고유한 펄스 M의 최대 수는 다음과 같이 주어진다.
초당 비트/펄스 단위의 정보가 전송될 수 있는 고유 메시지 M의 밑이 2인 로그라고 가정하여, 하틀리는 회선 속도 R의 측정값을 다음과 같이 구성했다.
여기서 formula_11는 펄스율이며, 초당 기호 수 또는 보 단위의 기호율이라고도 한다.
하틀리는 위에서 언급한 정량화를 나이퀴스트의 관찰, 즉 단측 대역폭 formula_6 헤르츠 채널을 통해 전달될 수 있는 독립 펄스의 수가 초당 formula_13 펄스라는 관찰과 결합하여 달성 가능한 회선 속도에 대한 그의 정량적 측정값을 도출했다.
하틀리 법칙은 때때로 아날로그 대역폭 formula_6 (헤르츠)와 오늘날 디지털 대역폭 formula_21 (비트/초) 간의 비례 관계만으로 인용된다.
다른 경우에는 초당 formula_21 비트의 달성 가능한 회선 속도로서 다음과 같은 더 정량적인 형태로 인용된다.
하틀리는 M의 수가 채널의 잡음 통계에 어떻게 의존해야 하는지, 또는 개별 기호 펄스가 M 레벨로 안정적으로 구별될 수 없을 때에도 통신을 어떻게 신뢰할 수 있게 만들 수 있는지 정확히 알아내지 못했다. 가우스 잡음 통계를 사용하면 시스템 설계자는 낮은 오류율을 달성하기 위해 매우 보수적인 M 값을 선택해야 했다.
오류 없는 용량이라는 개념은 정보의 로그 측정에 대한 하틀리의 관찰과 대역폭 제한의 효과에 대한 나이퀴스트의 관찰을 기반으로 한 클로드 섀넌을 기다렸다.
하틀리의 속도 결과는 초당 formula_13 기호의 오류 없는 M-진 채널 용량으로 볼 수 있다. 일부 저자들은 이를 용량이라고 부른다. 그러나 이러한 오류 없는 채널은 이상화된 것이며, 시끄러운 채널을 거의 오류 없게 만들기에 충분히 작은 M을 선택한다면, 그 결과는 나중에 나온 하틀리-섀넌 결과인 대역폭 formula_6의 시끄러운 채널의 섀넌 용량보다 필연적으로 작다.
잡음 채널 부호화 정리와 용량.
제2차 세계 대전 중 클로드 섀넌의 정보 이론 개발은 잡음이 많은 채널을 통해 얼마나 많은 정보를 안정적으로 전달할 수 있는지 이해하는 데 다음 큰 발전을 가져왔다. 하틀리의 기초 위에, 섀넌의 잡음 채널 부호화 정리 (1948)는 잡음 간섭 및 데이터 손상 수준에 대한 오류 정정 부호 방법의 최대 가능한 효율성을 설명한다. 정리의 증명은 무작위로 구성된 오류 정정 코드가 본질적으로 가능한 최상의 코드만큼 좋다는 것을 보여준다. 이 정리는 그러한 무작위 코드의 통계를 통해 증명된다.
섀넌의 정리는 채널의 통계적 설명으로부터 채널 용량을 계산하는 방법을 보여주고, 용량 formula_1를 가진 잡음이 있는 채널과 회선 속도 formula_21로 전송되는 정보가 주어진 경우, 만약
수신기에서 오류 확률을 임의로 작게 만들 수 있는 코딩 기술이 존재한다는 것을 확립한다. 이는 이론적으로 초당 거의 formula_1 비트의 한계까지 거의 오류 없이 정보를 전송할 수 있음을 의미한다.
그 역도 중요하다. 만약
수신기에서 오류 확률은 속도가 증가함에 따라 무한히 증가하므로 채널 용량을 넘어 유용한 정보를 전송할 수 없다. 이 정리는 속도와 용량이 동일한 드문 상황을 다루지 않는다.
섀넌-하틀리 정리는 가우스 잡음에 노출된 유한 대역폭 연속 시간 채널의 채널 용량이 무엇인지 확립한다. 이는 하틀리의 결과를 섀넌의 채널 용량 정리와 연결하여, 신호 대 잡음비 측면에서 하틀리의 회선 속도 공식에서 M을 지정하는 것과 동일한 형태이지만, 신뢰성 있게 구별 가능한 펄스 레벨을 통해서가 아니라 오류 정정 코딩을 통해 신뢰성을 달성한다.
만약 잡음이 없는 아날로그 채널과 같은 것이 존재한다면, 단위 시간당 무한한 양의 오류 없는 데이터를 전송할 수 있을 것이다 (무한 대역폭 아날로그 채널은 무한 신호 전력이 없으면 무한한 양의 오류 없는 데이터를 전송할 수 없다는 점에 유의하라). 그러나 실제 채널은 유한 대역폭과 0이 아닌 잡음에 의해 부과되는 제한을 받는다.
대역폭과 잡음은 아날로그 채널을 통해 정보를 전송할 수 있는 속도에 영향을 미친다. 대역폭 제한만으로는 최대 정보율에 상한을 두지 않는데, 이는 신호가 각 기호 펄스에서 무한히 많은 다른 전압 레벨을 취할 수 있고, 각 약간 다른 레벨에 다른 의미 또는 비트 시퀀스가 할당될 수 있기 때문이다. 그러나 잡음과 대역폭 제한을 모두 고려하면, 정교한 다단계 인코딩 기술이 사용되더라도 제한된 전력의 신호로 전송할 수 있는 정보의 양에는 한계가 있다.