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껍질 모형 계산은 일반적으로 실험 데이터와 훌륭하게 일치한다. 그러나 이들은 주로 두 가지 주요 요인에 크게 의존한다.
평균장 이론.
독립 입자 모형(IPM).
핵자 간 상호작용은 강한 상호작용의 결과로 핵자를 핵 내부에 결속시키며, 유한한 범위의 특이한 행동을 보인다. 즉, 두 핵자 간의 거리가 너무 멀어지면 사라지고, 중간 범위에서는 인력적이며, 아주 짧은 범위에서는 반발적이다. 이 마지막 특성은 두 페르미온(핵자는 페르미온이다)이 같은 양자 상태에 있을 수 없다는 파울리 배타 원리와 관련이 있다. 이로 인해 핵 내 핵자의 평균 자유 거리가 매우 크게 예측된다.
독립 입자 접근 방식의 주요 아이디어는 핵자가 핵 내의 특정 퍼텐셜 우물(핵에 결속시키는) 내에서 다른 핵자와 독립적으로 움직인다는 것이다. 이는 N체 문제(N개 입자가 상호작용하는)를 N개의 단일체 문제로 대체하는 것과 같다. 이 문제의 본질적인 단순화는 평균장 이론의 초석이다. 이들은 원자물리학에서도 널리 사용되는데, 전자가 중심 핵과 전자 구름 자체로 인한 평균장 내에서 움직인다.
독립 입자 모형과 평균장 이론(여러 변형이 존재함을 알 수 있다)은 유효 상호작용이나 유효 퍼텐셜에서 시작하여 핵의 특성을 설명하는 데 큰 성공을 거두었으며, 따라서 원자핵 이론의 기본 부분이다. 또한 핵자 짝짓기나 핵자의 회전 또는 진동과 같은 집단 운동과 같은 효과를 도입하기 위해 형식론에 해당 에너지 항을 추가하여 모형을 확장하기가 상당히 쉽다는 점에서 충분히 모듈식이라는 점도 주목해야 한다. 이는 많은 표현에서 평균장이 집단 여기 및 핵자 전달과 같은 특성을 재현하는 상관 관계를 도입하는 보다 완전한 설명을 위한 출발점에 불과하다는 것을 의미한다.
핵 퍼텐셜과 유효 상호작용.
평균장 이론에서 발생하는 실제적인 어려움의 대부분은 평균장 자체의 퍼텐셜의 정의(또는 계산)이다. 크게 두 가지 접근 방식으로 나눌 수 있다.
하트리-폭 접근 방식의 경우, 문제는 핵 퍼텐셜을 가장 잘 설명하는 수학적 함수를 찾는 것이 아니라 핵자-핵자 상호작용을 가장 잘 설명하는 함수를 찾는 것이다. 실제로 상호작용이 알려져 있는(쿨롬 상호작용) 원자물리학과 달리 핵 내부의 핵자-핵자 상호작용은 분석적으로 알려져 있지 않다.
이러한 사실에는 두 가지 주요 이유가 있다. 첫째, 강한 상호작용은 핵자를 구성하는 쿼크들 사이에서 본질적으로 작용한다. 진공 상태의 핵자-핵자 상호작용은 쿼크-쿼크 상호작용의 단순한 결과이다. 후자는 높은 에너지에서는 표준 모형의 틀에서 잘 이해되지만, 색가둠과 점근 자유성으로 인해 낮은 에너지에서는 훨씬 더 복잡하다. 따라서 쿼크-쿼크 상호작용으로부터 핵자-핵자 상호작용을 유도할 수 있는 근본적인 이론은 아직 없다. 더욱이 이 문제가 해결된다 하더라도 진공 상태에서 상호작용하는 두 핵자의 이상적인(그리고 개념적으로 더 간단한) 경우와 핵 물질 내에서 상호작용하는 이들 핵자의 경우 사이에는 큰 차이가 남을 것이다. 더 나아가기 위해서는 유효 상호작용 개념을 발명해야 했다. 후자는 기본적으로 여러 임의의 매개변수를 가진 수학적 함수이며, 이들은 실험 데이터와 일치하도록 조정된다.
대부분의 현대 상호작용은 토니 스카임이 도입한 것처럼 두 핵자가 접촉할 때만 작용하는 영거리이다. 도미니크 보테린과 데이비드 M. 브링크의 획기적인 논문에서 밀도 의존적인 스카임 힘이 원자핵의 기본 특성을 재현할 수 있음을 입증했다. 다른 일반적으로 사용되는 상호작용은 유한 범위의 고그니 힘이다.
하트리-폭 유형의 자기 일관적 접근 방식.
하트리-폭 접근 방식의 N체 문제에서 출발점은 N개의 운동 에너지 항과 퍼텐셜 항을 포함하는 해밀토니언이다. 앞에서 언급했듯이 평균장 이론 가설 중 하나는 2체 상호작용만 고려한다는 것이다. 해밀토니언의 퍼텐셜 항은 N개의 페르미온 집합에서 가능한 모든 2체 상호작용을 나타낸다. 이것이 첫 번째 가설이다.
두 번째 단계는 시스템의 파동 함수가 1입자 스핀-궤도함수의 슬레이터 행렬식으로 작성될 수 있다고 가정하는 것이다. 이 진술은 독립 입자 모형의 수학적 번역이다. 이것이 두 번째 가설이다.
이제 이 슬레이터 행렬식의 구성 요소, 즉 핵자의 개별 파동 함수를 결정해야 한다. 이를 위해 시스템의 총 파동 함수(슬레이터 행렬식)가 에너지를 최소화한다고 가정한다. 이것이 세 번째 가설이다.
기술적으로는 (알려진) 2체 해밀토니언의 기댓값을 (알려지지 않은) 슬레이터 행렬식에 대해 계산하고, 그 수학적 변분이 0이 되도록 해야 한다. 이는 개별 파동 함수가 미지수인 방정식 집합, 즉 하트리-폭 방정식으로 이어진다. 이 방정식을 풀면 핵자의 파동 함수와 개별 에너지 준위가 얻어지고, 따라서 핵의 총 에너지와 파동 함수가 얻어진다.
하트리-폭 방법의 간략한 설명은 왜 이 방법이 변분적 접근 방식이라고도 불리는지 설명한다. 계산 시작 시 총 에너지는 "개별 파동 함수의 함수"(이른바 범함수)이며, 이 범함수가 최소값을 갖도록(바라건대 절대 최소값이며 국소 최소값이 아닌) 이 파동 함수를 최적화하기 위해 모든 것이 이루어진다. 더 정확히 말하면, 에너지는 개별 파동 함수의 제곱의 합으로 정의되는 밀도의 범함수임을 언급해야 한다. 하트리-폭 방법은 원자물리학 및 응집물질물리학에서도 밀도 범함수 이론(DFT)으로 사용된다.
하트리-폭 방정식을 푸는 과정은 반복적일 수밖에 없다. 이 방정식은 사실 슈뢰딩거 방정식인데, 여기서 퍼텐셜은 밀도에 따라 달라지며, 이는 정확히 결정되어야 하는 파동 함수에 달려 있다. 실제로 알고리즘은 대략적으로 합리적인 개별 파동 함수(일반적으로 양자 조화 진동자의 고유 함수) 집합으로 시작된다. 이를 통해 밀도를 계산하고, 거기서부터 하트리-폭 퍼텐셜을 계산한다. 이 작업이 끝나면 슈뢰딩거 방정식을 새로 풀고, 계속해서 진행한다. 계산은 두 successive 반복에 대한 파동 함수 또는 에너지 준위 간의 차이가 고정된 값보다 작을 때 – 수렴에 도달한다 – 중단된다. 그러면 평균장 퍼텐셜이 완전히 결정되고, 하트리-폭 방정식은 표준 슈뢰딩거 방정식이 된다. 해당 해밀토니언은 하트리-폭 해밀토니언이라고 불린다.
상대론적 평균장 접근 방식.
1970년대 존 더크 발레카의 양자 하드론 동역학 연구에서 처음 시작된 핵의 상대론적 모형은 1980년대 후반 P. 링과 동료들에 의해 더욱 정교해졌다. 이 접근 방식의 출발점은 양자장론이다. 이 맥락에서 핵자 상호작용은 가상 입자인 중간자의 교환을 통해 발생한다. 첫 번째 단계는 이러한 상호작용 항을 포함하는 라그랑지언을 구성하는 것이다. 두 번째로, 최소 작용 원리를 적용하여 운동 방정식을 얻는다. 실제 입자(여기서는 핵자)는 디랙 방정식을 따르고, 가상 입자(여기서는 중간자)는 클라인-고든 방정식을 따른다.
강한 상호작용의 비섭동적 특성과 또한 핵자 그룹 간의 이 상호작용의 정확한 퍼텐셜 형태가 비교적 잘 알려져 있지 않다는 점을 고려할 때, 원자핵의 경우에 이러한 접근 방식을 사용하는 것은 급진적인 근사값을 필요로 한다. 주요 단순화는 방정식에서 모든 장 항(수학적 의미에서 연산자)을 기댓값(함수)으로 대체하는 것이다. 이러한 방식으로 연립 미분-적분 방정식을 얻는데, 이는 분석적으로 해결할 수 없다면 수치적으로 해결할 수 있다.
상호작용하는 보손 모형.
상호작용하는 보손 모형(IBM)은 핵자들이 쌍으로 표현되는 핵물리학 모형으로, 각 쌍은 0, 2 또는 4의 정수 스핀을 가진 보손 입자로 작용한다. 이는 더 큰 핵에 대한 계산을 가능하게 한다.
이 모형에는 여러 가지 분기가 있는데, 그 중 하나(IBM-1)에서는 모든 유형의 핵자를 쌍으로 묶을 수 있고, 다른 것들(예를 들어 IBM-2)에서는 양성자와 중성자를 쌍으로 따로 고려한다.
핵물리학에서의 자발적 대칭 깨짐.
모든 물리학의 초점 중 하나는 대칭이다. 핵자-핵자 상호작용 및 실제로 사용되는 모든 유효 상호작용은 특정 대칭성을 갖는다. 이들은 평행 이동(방향이 변경되지 않도록 기준 프레임을 변경하는 것), 회전(어떤 축을 중심으로 기준 프레임을 회전시키는 것) 또는 반전성(축의 방향을 변경하는 것)에 대해 불변하다. 즉, 상호작용은 이러한 연산 중 어느 것에 의해서도 변하지 않는다. 그러나 하트리-폭 접근 방식에서는 이러한 대칭성에 대해 불변하지 않은 해가 나타날 수 있다. 이때 자발 대칭 깨짐이라고 부른다.
정성적으로 이러한 자발적 대칭 깨짐은 다음과 같이 설명할 수 있다. 평균장 이론에서 핵은 독립 입자 집합으로 설명된다. 평균장에 들어가지 않는 핵자들 간의 대부분의 추가 상관 관계는 무시된다. 그러나 이는 평균장 해밀토니언의 대칭이 깨짐으로써 나타날 수 있는데, 이는 단지 근사치일 뿐이다. 하트리-폭 과정의 반복을 시작하는 데 사용되는 밀도가 특정 대칭을 깨뜨리면, 최종 하트리-폭 해밀토니언은 총 에너지 관점에서 이러한 대칭이 깨진 상태를 유지하는 것이 유리하다면 이러한 대칭을 깨뜨릴 수 있다.
또한 대칭 해로 수렴할 수도 있다. 어떠한 경우든 최종 해가 대칭성을 깨뜨리면, 예를 들어 회전 대칭을 깨뜨려 핵이 구형이 아니라 타원형으로 나타나면, 이 변형된 핵에서 회전에 의해 유도된 모든 구성은 하트리-폭 문제에 대한 마찬가지로 좋은 해가 된다. 이때 핵의 바닥 상태는 퇴화된다.
핵자 짝짓기에서도 유사한 현상이 발생하는데, 이는 바리온 수 보존을 위반한다(아래 참조).
평균장 이론의 확장.
핵자 짝짓기 현상.
평균장 이론에 가장 일반적으로 확장되는 것은 핵자 짝짓기이다. 짝수 개의 핵자를 가진 핵은 홀수 개의 핵자를 가진 핵보다 체계적으로 더 강하게 결합된다. 이는 각 핵자가 다른 핵자와 결합하여 쌍을 형성하며, 결과적으로 시스템이 공통 평균장에 노출된 독립 입자로 설명될 수 없음을 의미한다. 핵이 짝수 개의 양성자와 중성자를 가질 때, 각각의 핵자는 짝을 찾는다. 이러한 시스템을 들뜨게 하려면 최소한 한 쌍을 깨뜨릴 만큼의 에너지를 사용해야 한다. 반대로 홀수 개의 양성자 또는 중성자를 가진 경우, 짝을 이루지 못한 핵자가 존재하며, 들뜨게 하는 데 더 적은 에너지가 필요하다.
이 현상은 고체 물리학의 1종 초전도 현상과 매우 유사하다. 핵자 짝짓기에 대한 첫 번째 이론적 설명은 1950년대 후반 오게 닐스 보어, 벤 모텔손, 그리고 데이비드 파인즈에 의해 제안되었다(보어와 모텔손의 1975년 노벨 물리학상 수상에 기여했다). 이는 금속 초전도 현상을 설명하는 바딘, 쿠퍼, 슈리퍼의 BCS 이론과 유사했다. 이론적으로 BCS 이론에 의해 설명되는 짝짓기 현상은 평균장 이론과 결합된다. 핵자들은 평균장 퍼텐셜과 짝짓기 상호작용 모두의 영향을 받는다.
하트리-폭-보고류보프(HFB) 방법은 짝짓기 및 평균장 상호작용을 일관되게 동등하게 고려할 수 있는 보다 정교한 접근 방식이다. HFB는 이제 핵 시스템의 평균장 처리에서 사실상의 표준이다.
대칭 복원.
평균장 방법의 특징은 명시적인 대칭 깨짐을 통해 핵 속성을 계산하는 것이다. 자기 일관적인 방법(예: 하트리-폭)으로 평균장을 계산하는 것은 회전 대칭을 깨뜨리고, 짝짓기 속성을 계산하는 것은 입자 수를 깨뜨린다.
좋은 양자수에 투영하여 대칭을 복원하는 여러 기술이 개발되었다.
입자 진동 결합.
평균장 방법(궁극적으로 대칭 복원을 고려하는)은 독립 입자 시스템을 가정하더라도 시스템의 바닥 상태에 대한 좋은 근사치이다. 고차 보정은 입자들이 상관 관계를 통해 서로 상호작용한다는 사실을 고려한다. 이러한 상관 관계는 독립 입자 자유도의 결합, 양성자 및 중성자의 짝수 시스템의 저에너지 집단 여기를 고려하여 도입할 수 있다.
이러한 방식으로, 들뜬 상태는 랜덤 위상 근사 (RPA)를 통해 재현될 수 있으며, 궁극적으로 바닥 상태에 대한 보정(예: 핵장 이론을 통해)을 일관되게 계산할 수 있다.
톰슨 산란()은 고전 전자기학에 의해 설명되는, 자유 하전 입자에 의한 전자기파의 탄성 산란이다. 이것은 콤프턴 산란의 저에너지 한계이다. 즉, 산란 결과 입자의 운동 에너지와 광자의 주파수는 변하지 않는다. 이 한계는 광자 에너지가 입자의 질량 에너지보다 훨씬 작을 때 유효하다. 즉, 또는 이와 동등하게 빛의 파장이 입자의 콤프턴 파장보다 훨씬 클 때 유효하다(예: 전자의 경우, 경엑스선보다 긴 파장).
톰슨 산란은 자유 입자로부터 전자기파가 산란되는 고전적 한계를 설명한다. 입사하는 평면파는 하전 입자를 가속시키고, 이 입자는 결과적으로 동일한 주파수의 복사선을 방출한다. 이 순 효과는 입사 복사선을 산란시키는 것이다.
톰슨 산란은 플라스마 물리학에서 중요한 현상이며, 조지프 존 톰슨에 의해 처음 설명되었다. 입자의 운동이 상대론적이 아닐 때(즉, 속도가 빛의 속도보다 훨씬 작을 때), 입자 가속의 주된 원인은 입사파의 전기장 성분 때문이다. 첫 번째 근사에서는 자기장의 영향을 무시할 수 있다. 입자는 진동하는 전기장의 방향으로 움직이며, 이는 전자기 쌍극자 복사를 발생시킨다. 움직이는 입자는 가속 방향에 수직인 방향으로 가장 강하게 복사하며, 그 복사선은 운동 방향을 따라 편광된다. 따라서 관찰자의 위치에 따라 작은 부피 요소에서 산란된 빛은 다소 편광되어 보일 수 있다.
이 다이어그램에서는 모든 것이 다이어그램 평면에서 일어난다. 입사파와 나가는 파의 전기장은 수직 성분으로 나눌 수 있다. 평면에 수직인 성분은 "접선" 성분이며 영향을 받지 않는다. 평면에 놓인 성분은 "방사" 성분이라고 한다. 입사파와 나가는 파의 방향도 평면 내에 있으며, 평소와 같이 전기 성분에 수직이다. (이 용어들을 자연스럽게 보이게 하기는 어렵지만, 이것은 표준 용어이다.)
나가는 파의 진폭은 입사파와 산란된 나가는 파 사이의 각도인 의 코사인에 비례한다는 것을 보일 수 있다. 진폭의 제곱인 강도는 cos2(formula_1) 인자에 의해 감소된다. 접선 성분(다이어그램 평면에 수직인)은 이런 방식으로 영향을 받지 않는다는 것을 알 수 있다.
산란은 방출 계수 ε로 가장 잘 설명된다. 여기서 ε dt dV dΩ dλ는 부피 요소 formula_2가 시간 dt 동안 파장 λ와 λ + dλ 사이의 입체각 dΩ로 산란하는 에너지이다. 관찰자의 관점에서 볼 때, 방사형으로 편광된 빛에 해당하는 εr과 접선으로 편광된 빛에 해당하는 εt의 두 가지 방출 계수가 있다. 비편광 입사광의 경우, 이들은 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_4은 산란 지점에서의 하전 입자 밀도이고, formula_5는 입사 플럭스(즉, 에너지/시간/면적/파장)이며, formula_1는 입사 광자와 산란 광자 사이의 각도(위 그림 참조)이고, formula_7는 아래에 정의된 하전 입자에 대한 톰슨 단면적이다. 부피 요소 formula_2가 시간 dt 동안 파장 λ와 λ + dλ 사이에서 방출하는 총 에너지는 모든 방향(입체각)에 대해 방출 계수의 합을 적분하여 찾는다.
방출 계수의 합과 관련된 톰슨 미분 단면적은 다음과 같이 주어진다.
여기서 q는 입자당 전하, m은 입자의 질량, formula_11는 자유 공간의 유전율이다. (CGS 단위계로 표현하려면 4πε0 계수를 삭제한다.) 입체각에 대해 적분하면 톰슨 단면적을 얻는다.
중요한 특징은 단면적이 빛의 주파수와 무관하다는 것이다. 단면적은 질량 m과 전하 q를 가진 점입자의 고전전자반지름의 제곱에 단순한 수치 계수에 비례한다.
또는 이것은 콤프턴 파장인 와 미세 구조 상수로 표현될 수 있다.
전자(electron)의 경우, 톰슨 단면적은 수치적으로 다음과 같이 주어진다.
우주 마이크로파 배경은 톰슨 산란에 기인하는 작은 선형 편광 성분을 포함한다. 이 편광 성분은 소위 E-모드를 매핑하며, 2002년 DASI에 의해 처음으로 감지되었다.
태양의 K-코로나(K-corona)는 태양 코로나 전자로부터 태양 복사선이 톰슨 산란된 결과이다. ESA와 NASA의 SOHO 임무와 NASA의 STEREO 임무는 세 개의 별도 위성에서 이 K-코로나를 측정하여 태양 주변의 전자 밀도의 3차원 이미지를 생성한다.
토카막, 관성 봉입 핵융합 표적의 코로나 및 기타 실험적 핵융합 발전 장치에서, 플라스마의 전자 온도와 밀도는 고강도 레이저 빔의 톰슨 산란 효과를 감지하여 높은 정확도로 측정할 수 있다. 스텔라레이터 Wendelstein 7-X의 업그레이드된 톰슨 산란 시스템은 를 사용하여 여러 펄스를 빠르게 연속적으로 방출한다. 각 버스트(burst) 내의 간격은 2ms에서 33.3ms까지 다양하며, 최대 12회 연속 측정을 허용한다. 플라스마 이벤트와의 동기화는 과도 플라스마 이벤트의 실시간 분석을 용이하게 하는 새로 추가된 트리거 시스템에 의해 가능하다.
광자 에너지가 전자 정지 질량보다 훨씬 작은 수냐에프-젤도비치 효과에서, 역콤프턴 산란은 전자의 정지 프레임에서 톰슨 산란으로 근사될 수 있다.
엑스선결정학 모델은 톰슨 산란을 기반으로 한다.
입자물리학에서 심층 비탄성 산란()은 전자, 뮤온, 중성미자를 사용하여 하드론(특히 양성자와 중성자 같은 중입자) 내부를 탐색하는 데 사용되는 과정의 이름이다. 이 방법은 1960년대와 1970년대에 처음 시도되었으며, 당시에는 많은 이들이 순전히 수학적인 현상으로 간주했던 쿼크의 실재에 대한 첫 번째 설득력 있는 증거를 제공했다. 이는 러더퍼드 산란을 훨씬 더 높은 에너지의 산란 입자와 그에 따라 훨씬 더 미세한 원자핵 구성 요소의 해상도로 확장한 것이다.
헨리 웨이 켄들, 제롬 아이작 프리드먼 그리고 리처드 E. 테일러는 "양성자 및 구속된 중성자에 대한 전자의 심층 비탄성 산란에 대한 선구적인 연구로, 입자 물리학의 쿼크 모델 개발에 본질적으로 중요했다"는 공로로 1990년 노벨상을 공동 수상했다.
용어의 각 부분을 설명하자면, "산란"은 렙톤(전자, 뮤온 등)이 하드론에서 벗어나는 것을 의미한다. 굴절 각도를 측정하면 과정의 본질에 대한 정보를 얻을 수 있다. "비탄성"은 목표물이 일부 운동 에너지를 흡수한다는 것을 의미한다. 사실, 사용된 렙톤의 매우 높은 에너지에서는 목표물이 "산산조각" 나면서 많은 새로운 입자를 방출한다. 이 입자들은 하드론이며, 극도로 단순화하자면, 이 과정은 목표물의 구성 쿼크가 목표 하드론에서 "튕겨져 나가는" 것으로 해석되며, 쿼크 갇힘으로 인해 쿼크는 실제로 관찰되지 않고 대신 강입자화에 의해 관찰 가능한 입자를 생성한다. "심층"은 렙톤의 높은 에너지를 나타내며, 이는 매우 짧은 파장을 제공하여 목표 하드론의 크기에 비해 작은 거리를 탐색할 수 있는 능력을 부여하므로 하드론 "깊숙이" 탐색할 수 있다. 또한, 섭동 근사에서 이는 렙톤에서 방출되어 목표 하드론에 흡수되어 구성 쿼크 중 하나에 에너지를 전달하는 고에너지 가상 광자이다. 이는 옆 그림과 같다.
포브와 로지나는 핵자의 쿼크 하부 구조가 알려지지 않았을 때 "핵자에 대한 심층 비탄성 산란"이라는 용어가 만들어졌다고 지적했다. 그들은 "준탄성 렙톤-쿼크 산란"이라는 용어를 선호한다.
물리학의 표준 모형, 특히 1960년대 머리 겔만의 연구는 이전에 입자물리학에서 분리되어 있던 많은 개념들을 비교적 간단한 하나의 체계로 통합하는 데 성공했다. 본질적으로 세 가지 유형의 입자가 있었다.
렙톤은 1897년 조지프 존 톰슨이 전류가 전자의 흐름임을 보여주면서부터 감지되었다. 일부 보손은 일상적으로 감지되고 있었지만, 약전자기력의 W+, W−, Z0 입자는 1980년대 초에만 명확하게 확인되었고, 글루온은 거의 같은 시기에 함부르크의 DESY에서 확실히 밝혀졌다. 그러나 쿼크는 여전히 파악하기 어려웠다.
러더퍼드의 20세기 초 획기적인 실험에 기반하여 쿼크를 감지하기 위한 아이디어들이 구상되었다. 러더퍼드는 알파 입자를 금 원자에 발사하여 원자 중심에 작고, 무거우며, 전하를 띤 핵이 있음을 증명했다. 대부분은 거의 또는 전혀 편향되지 않고 통과했지만, 일부는 큰 각도로 편향되거나 완전히 되돌아왔다. 이는 원자가 내부 구조와 많은 빈 공간을 가지고 있음을 시사했다.
중입자 내부를 탐색하기 위해서는 작고, 관통력이 있으며, 쉽게 생성되는 입자를 사용해야 했다. 전자는 풍부하고 전기 전하로 인해 고에너지로 쉽게 가속될 수 있으므로 이 역할에 이상적이었다. 1968년 스탠퍼드 선형 가속기 센터(SLAC)에서 전자들이 원자핵의 양성자와 중성자에 발사되었다. 나중에 뮤온과 중성미자로 추가 실험이 수행되었지만, 동일한 원리가 적용된다.
충돌은 일부 운동 에너지를 흡수하므로 비탄성이다. 이는 운동 에너지 손실이 없는 탄성인 러더퍼드 산란과는 대조적이다. 전자는 핵에서 튀어나오고, 그 궤적과 속도를 감지할 수 있다. 결과 분석을 통해 하드론이 실제로 내부 구조를 가지고 있다는 결론에 도달했다. 이 실험은 쿼크의 물리적 실재를 확인했을 뿐만 아니라 표준 모형이 입자 물리학자들이 추구해야 할 올바른 연구 방향임을 다시 한번 증명했기 때문에 중요했다.
R-행렬()이라는 용어는 연구 분야에 따라 여러 가지 의미를 지닌다. 원래의 사용법은 핵반응을 수학적으로 설명하는 것이다. 특히 핵반응의 일반적인 문제는 산란 또는 충돌 행렬 요소의 값(원칙적으로 측정에서 얻을 수 있음)을 핵 구조의 (느린) 역학과 연관시키는 것이다. R-행렬 형식주의는 핵과 외부 세계의 상호작용 효과를 설명한다. 핵의 내부는 지정되지 않고, 즉 "블랙 박스"로 간주된다. 이론의 원래 공식화는 핵 과학자 위그너, 아이젠버드, 브라이트, 블랫, 바이스코프 및 기타 학자들로부터 나왔다. 관련 이론으로는 U-행렬, S-행렬, M-행렬 또는 T-행렬이 있다.
기타 의미 및 사용.
R-행렬이라는 용어는 양-백스터 방정식과 관련하여 사용되며, 이는 1964년 J. B. 맥과이어와 1967년 C. N. 양의 저작에서 통계역학 분야에 처음 도입되었고, 1966년 A. A. 유시스의 저작에서 대칭군의 군환 formula_1에 도입되었다. 고전적인 R-행렬은 고전 양-백스터 방정식의 정의에서 발생한다.
준삼각 홉프 대수에서 R-행렬은 양-백스터 방정식의 해이다.
광학 과학에서 회절 격자의 수치 모델링은 R-행렬 전파 알고리즘을 사용하여 수행될 수 있다.
양자역학의 R-행렬 방법.
양자역학의 계산 방법 중 산란을 연구하는 R-행렬이라는 방법이 있다. 원래의 R-행렬 이론을 기반으로, 원자에 의한 전자, 양전자 및 광자 산란을 위한 방법이 개발되었다. 이 접근법은 나중에 분자에 의한 전자, 양전자 및 광자 산란에 적용되었다.
R-행렬 방법은 UKRmol 및 UKRmol+ 코드 스위트에서 사용된다. 사용자 친화적인 소프트웨어 Quantemol Electron Collisions (Quantemol-EC) 및 그 전신인 Quantemol-N은 UKRmol/UKRmol+를 기반으로 하며 전자 구성 계산을 위해 MOLPRO 패키지를 사용한다.
일반적으로 산란 이론 특히 양자역학에서 보른 근사()는 산란체의 각 지점에서 전체 장 대신 입사장을 구동장으로 취하는 것이다. 보른 근사는 양자 이론 개발 초기인 1926년에 이 근사를 제안한 막스 보른의 이름을 따서 명명되었다.
이것은 확장된 물체에 의한 산란에 적용되는 섭동 이론 방법이다. 산란된 장이 산란체에 대한 입사장에 비해 작을 경우 정확하다.
예를 들어, 가벼운 스티로폼 기둥에 의한 전파의 산란은 플라스틱의 각 부분이 기둥이 없을 때 해당 지점에 존재했을 동일한 전기장에 의해 분극된다고 가정하고, 그 분극 분포에 대한 방사선 적분으로 산란을 계산하여 근사화할 수 있다.
근사 산란 진폭.
포텐셜 로부터의 산란에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식에 기반한 물리 모델에서 시작하여 산란 진폭, 는 완전한 산란 파동 함수 formula_1를 알아야 한다.
보른 근사에서 초기 및 최종 파동 함수는 평면파로 근사화된다.
이것은 수학적으로 산란 포텐셜의 푸리에 변환에 해당하며 formula_4에서 formula_5로 변환된다.
구대칭 포텐셜의 경우 각도 적분이 수행될 수 있으며 산란 진폭은 입력 및 출력 방향 사이의 극각 formula_7에만 의존한다.
여기서 formula_9이고 formula_10이다.
리프먼-슈윙거 방정식의 경우.
운동량 p와 외향(+) 또는 내향(−) 경계 조건을 갖는 산란 상태 formula_11에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_13는 자유 입자 그린 함수이고, formula_14은 양의 무한소 양이며, formula_15는 상호작용 포텐셜이다. formula_16는 때때로 입사장이라고 불리는 해당 자유 산란 해이다. 우변의 인자 formula_11는 때때로 구동장이라고 불린다.
보른 근사는 다음과 같이 설정한다.
보른 근사 내에서 위 방정식은 다음과 같이 표현된다.
우변이 더 이상 알 수 없는 상태 formula_11에 의존하지 않으므로 해결하기가 훨씬 쉽다.
얻어진 해는 보른 급수로 알려진 섭동 급수의 시작점이다.
산란 진폭.
좌표 공간에서 질량 formula_21을 가진 입자에 대한 바깥으로 나가는 자유 그린 함수를 사용하면 다음과 같다.
위의 리프먼-슈윙거 방정식에 대한 보른 근사로부터 산란 진폭의 보른 근사를 추출할 수 있다.
여기서 formula_7는 입사 파동 벡터 formula_25와 산란 파동 벡터 formula_26 사이의 각도이고, formula_27는 전달된 운동량이다. 보른 산란 진폭은 포텐셜의 푸리에 변환에 비례한다.
중심 대칭 포텐셜 formula_28에서 산란 진폭은 다음과 같다.
여기서 formula_30이다. 중심 대칭 장에 대한 보른 근사에서 산란 진폭 및 그에 따른 단면적 formula_31는 운동량 formula_32와 산란 진폭 formula_7에만 formula_34의 조합을 통해서만 의존한다.
보른 근사는 여러 다른 물리적 맥락에서 사용된다.
중성자 산란에서 1차 보른 근사는 중성자 가이드 내에서의 내부 전반사 또는 입사각이 작은 소각 산란과 같은 중성자 광학 현상을 제외하고는 거의 항상 적절하다. 1차 보른 근사를 사용하여 산란 포텐셜 formula_35에 대한 산란 진폭이 산란 포텐셜의 푸리에 변환과 동일하다는 것이 밝혀졌다. 이 개념을 사용하여 단층 그래핀에서 푸리에 광학의 전자적 아날로그가 이론적으로 연구되었다. 보른 근사는 또한 이층 그래핀의 전도도를 계산하고 선형탄성 매질에서 장파 길이 파동의 전파를 근사화하는 데 사용되었다.
동일한 아이디어가 지구를 통한 지진파의 움직임을 연구하는 데도 적용되었다.
왜곡파 보른 근사.
보른 근사는 입사파 formula_16가 평면파일 때 가장 간단하다. 즉, 산란체는 자유 공간 또는 균일 매질에 대한 섭동으로 취급된다.
왜곡파 보른 근사(DWBA)에서 입사파는 문제 formula_37의 일부 formula_38에 대한 해 formula_39이며, 이 부분은 분석적 또는 수치적 방법으로 처리된다. 관심 있는 상호작용 formula_15는 다른 방법으로 해결할 수 있는 시스템 formula_38에 대한 섭동 formula_42로 취급된다. 핵 반응의 경우 수치 광학 모델 파동이 사용된다. 전하를 띤 입자에 의한 전하를 띤 입자의 산란의 경우 쿨롱 산란에 대한 분석 해가 사용된다. 이것은 비보른 예비 방정식을 제공한다.
그리고 보른 근사는 다음과 같다.
다른 응용 분야로는 제동 복사 및 광전 효과가 있다. 전하를 띤 입자에 의한 직접 핵 반응의 경우 이 절차는 두 번 사용된다. 보른 근사를 사용하지 않는 유사한 방법도 있다. 응집 물질 연구에서는 DWBA가 입사각이 작은 소각 산란을 분석하는 데 사용된다.
로마교 또는 로마니즘(Romanism)은 로마 가톨릭교에 대한 비판적 명칭으로, 구미권의 반가톨릭주의적 맥락에서 주로 사용된 용어이다.
보른 급수()는 양자 산란 이론에서 상호작용 퍼텐셜 formula_1의 거듭제곱으로 다양한 산란량을 전개한 것이다(더 정확히는 formula_2의 거듭제곱인데, 여기서 formula_3는 자유 입자 그린 연산자이다). 이는 보른 급수의 1차 항인 보른 근사와 밀접한 관련이 있다. 이 급수는 formula_4로 치환하여 결합 상수를 도입하는 멱급수로 형식적으로 이해할 수 있다. 보른 급수의 수렴 속도와 수렴 반경은 연산자 formula_5의 고유값과 관련이 있다. 일반적으로 보른 급수의 처음 몇 항은 "약한" 상호작용 formula_1와 큰 충돌 에너지에 대해 전개된 양에 대한 좋은 근사치이다.
산란 상태에 대한 보른 급수.
산란 상태에 대한 보른 급수는 다음과 같다.
이는 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하여 유도할 수 있다.
자유 입자에 대한 그린 연산자 formula_3는 지연 formula_10, 전진 formula_11 또는 정상파 산란 상태 formula_12에 대해 지연/전진 또는 정상파 연산자일 수 있다.
첫 번째 반복은 리프먼-슈윙거 방정식의 우변에 전체 산란 해 formula_13를 자유 입자 파동 함수 formula_14로 대체하여 얻으며, 이는 첫 번째 보른 근사를 제공한다. 두 번째 반복은 우변에 첫 번째 보른 근사를 대입하며, 그 결과는 두 번째 보른 근사라고 불린다. 일반적으로 n번째 보른 근사는 급수의 n개 항을 고려한다. 두 번째 보른 근사는 첫 번째 보른 근사가 사라질 때 가끔 사용되지만, 더 높은 항은 거의 사용되지 않는다. 보른 급수는 연산자 formula_5와 같은 공비를 가진 등비급수로 형식적으로 합산될 수 있으며, 리프먼-슈윙거 방정식의 형식적인 해를 제공한다.
T-행렬에 대한 보른 급수.
보른 급수는 T-행렬과 같이 산란 진폭과 밀접한 관련이 있는 다른 산란량에 대해서도 쓸 수 있다.
T-행렬에 대한 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하면 다음을 얻는다.
T-행렬의 경우 formula_3는 지연 그린 연산자 formula_19만을 나타낸다. 정상파 그린 연산자는 대신 K-행렬을 제공할 것이다.
전체 그린 연산자에 대한 보른 급수.
그린 연산자에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 분해자 항등식이라고 불린다.
이를 반복하여 풀면 전체 그린 연산자 formula_21에 대한 보른 급수가 나온다.
산란 이론의 일부인 수리물리학에서 프리먼 다이슨이 공식화한 다이슨 급수()는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자의 섭동 전개이다. 각 항은 파인만 도형의 합으로 나타낼 수 있다.
이 급수는 점근적으로 발산하지만, 양자 전기역학(QED)에서는 2차에서 실험 자료와의 차이가 10−10 정도이다. 이 근접한 일치는 QED의 결합 상수(또는 미세 구조 상수)가 1보다 훨씬 작기 때문에 유지된다.
다이슨 연산자.
상호작용 묘사에서 해밀토니언 는 자유 부분 과 상호작용 부분 으로 와 같이 나눌 수 있다.
상호작용 묘사에서의 퍼텐셜은 다음과 같다.
여기서 formula_2는 시간에 독립적이고 formula_3는 슈뢰딩거 묘사의 시간 의존적인 상호작용 부분이다.
아래 첨자를 피하기 위해, 다음부터 formula_4는 formula_5를 나타낸다.
상호작용 묘사에서 진화 연산자 는 다음 방정식으로 정의된다.
이것은 때때로 다이슨 연산자라고 불린다.
진화 연산자는 시간 매개변수에 대해 유니터리 군을 형성한다. 그것은 다음의 군 속성을 가진다.
이것들로부터 전파자의 시간 진화 방정식을 유도할 수 있다.
상호작용 묘사에서 해밀토니언은 상호작용 퍼텐셜 formula_12와 같으므로 방정식은 상호작용 묘사에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
주의: 이 시간 진화 방정식은 도모나가-슈윙거 방정식과 혼동해서는 안 된다.
형식적인 해는 다음과 같다.
이것은 궁극적으로 볼테라 적분의 한 유형이다.
다이슨 급수의 유도.
위 볼테라 방정식의 반복 해는 다음 노이만 급수로 이어진다.
여기서 formula_16이며, 따라서 장은 시간 정렬되어 있다. formula_17 연산자(시간 정렬 연산자)를 도입하고 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다.
적분 한계는 단순화될 수 있다. 일반적으로 대칭 함수 formula_19가 주어졌을 때 다음 적분들을 정의할 수 있다.
두 번째 적분의 적분 영역은 formula_16으로 정의되는 formula_23개의 부분 영역으로 나눌 수 있다. formula_24의 대칭성 때문에 각 부분 영역에서의 적분은 동일하며 정의에 따라 formula_25과 같다. 따라서 다음이 성립한다.
이것을 이전 항등식에 적용하면 다음을 얻는다.
모든 항을 합하면 다이슨 급수가 얻어진다. 이것은 위의 노이만 급수의 단순화된 버전으로 시간 순서 곱을 포함하며, 경로 정렬 지수이다.
이 결과는 다이슨 공식이라고도 불린다. 이 공식으로부터 군 법칙들을 유도할 수 있다.
상태 벡터에 대한 적용.
시간 formula_29에서의 상태 벡터는 formula_30일 때 시간 formula_31에서의 상태 벡터로 다음과 같이 표현할 수 있다.
슈뢰딩거 묘사에서 formula_33에서의 초기 상태와 formula_34에서의 최종 상태의 내적은 formula_35일 때 다음과 같다.
하이젠베르크 묘사에서 이를 작성하고, 입사 및 출사 상태를 무한대로 취함으로써 S-행렬을 얻을 수 있다.
시간 정렬이 스칼라 곱에서 뒤집혔다는 점에 유의한다.
노이만 급수()는 수학 급수로, 연산자 formula_1의 k번 반복 적용을 합한 것이다. 이는 생성자 형태를 가진다.
여기서 formula_3는 formula_4의 k번 반복 적용이며, formula_5는 항등 연산자 formula_6이고 formula_7에 대해 formula_8이다. 이것은 실수 또는 복소수의 등비급수를 연산자의 등비급수로 일반화한 특수한 경우이다. 급수의 일반화된 초기항은 항등 연산자 formula_9이고, 급수의 일반화된 공비는 연산자 formula_1이다.
이 급수는 카를 노이만이라는 수학자의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 1877년에 퍼텐셜 이론의 맥락에서 이 급수를 사용했다. 노이만 급수는 함수해석학에서 사용된다. 이는 유계 연산자의 스펙트럼을 연구하는 레졸벤트 형식과 밀접하게 연결되어 있으며, 함수에 왼쪽에서 적용될 경우 프레드홀름 적분 방정식을 형식적으로 푸는 리우빌-노이만 급수를 형성한다.
formula_1가 노름 공간 formula_12의 유계 선형 연산자라고 가정하자. 노이만 급수가 작용소 노름에서 수렴하면, formula_13는 가역이며 그 역행렬은 다음과 같다.
여기서 formula_15는 formula_12의 항등 연산자이다. 이유를 알아보기 위해 부분합을 고려하자.
연산자에 대한 이 결과는 formula_19에서의 등비급수와 유사하다.
수렴이 보장되는 한 가지 경우는 formula_12가 바나흐 공간이고 연산자 노름에서 formula_21인 경우이며, 또 다른 호환 가능한 경우는 formula_22가 수렴하는 경우이다. 그러나 이 급수가 수렴하는 더 약한 조건을 제공하는 결과도 있다.
formula_23가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
노이만 급수 formula_25가 formula_26이 무한대로 갈 때 formula_27로 수렴하려면, formula_28의 행렬 노름이 1보다 작아야 한다. 이 노름은 다음과 같다.
이는 노이만 급수가 수렴함을 확인시켜준다.
근사 행렬 역산.
절단된 노이만 급수는 근사 행렬 역산에 사용될 수 있다. 가역 행렬 formula_30의 역행렬을 근사하기 위해 다음을 고려하자.
formula_32에 대해. 그러면, formula_33에 대한 적절한 노름 조건이 만족되면 formula_34라는 노이만 급수 항등식을 사용하여 formula_35를 얻는다. 이러한 항들은 노름 조건이 주어졌을 때 formula_36가 증가함에 따라 작아지므로, 급수를 유한한 formula_26에서 절단하면 역행렬에 대한 실용적인 근사치를 얻을 수 있다.
가역 연산자의 집합은 열려있다.
두 바나흐 공간 formula_39와 formula_40 사이의 가역 연산자 집합이 연산자 노름에 의해 유도된 위상에서 열려있다는 것은 하나의 따름정리이다. 실제로 formula_41가 가역 연산자이고 formula_42가 또 다른 연산자라고 하자.
만약 formula_43이면, formula_1 또한 가역이다.
formula_45이므로, 노이만 급수 formula_46는 수렴한다. 그러므로 다음을 얻는다.
노름을 취하면 다음을 얻는다.
formula_49의 노름은 다음으로 경계될 수 있다.
노이만 급수는 대규모 다중 사용자 multiple-input multiple-output (MIMO) 무선 시스템에서 선형 데이터 검출에 사용되어 왔다. 절단된 노이만 급수를 사용하면 명시적인 행렬 역산을 계산할 필요가 없어 선형 데이터 검출의 복잡성을 세제곱에서 제곱으로 줄일 수 있다.
또 다른 응용은 전송 함수에 대한 닫힌 형식 표현을 도출하기 위해 노이만 급수를 활용하는 전파 그래프 이론이다.
수학에서 프레드홀름 적분 방정식()은 프레드홀름 이론, 즉 프레드홀름 핵과 프레드홀름 작용소 연구의 기반이 되는 해를 제공하는 적분 방정식이다. 이 적분 방정식은 에리크 이바르 프레드홀름이 연구했다. 이러한 방정식을 풀기 위한 유용한 방법인 아도미안 분해법은 조지 아도미안에 의해 개발되었다.
1종 방정식.
프레드홀름 방정식은 핵 함수(아래 정의됨)를 포함하는 항이 적분 한계를 상수로 갖는 적분 방정식이다. 이와 밀접하게 관련된 형태는 변수 적분 한계를 갖는 볼테라 적분 방정식이다.
1종 비동차 방정식 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 작성된다.
여기서 연속적인 핵 함수 formula_1와 함수 formula_2가 주어졌을 때, 함수 formula_3를 찾는 것이 문제이다.
이러한 유형의 방정식에서 중요한 경우는 핵이 인수 차이만의 함수, 즉 formula_4이고 적분 한계가 ±∞일 때이며, 이 경우 방정식의 우변은 함수 formula_1와 formula_3의 합성곱으로 다시 작성될 수 있으므로 형식적으로 해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_8와 formula_9는 각각 직접 및 역 푸리에 변환이다. 이 경우는 일반적으로 프레드홀름 적분 방정식의 범주에 포함되지 않는다. 프레드홀름 적분 방정식은 일반적으로 적분 작용소가 콤팩트 작용소를 정의할 때 사용되는 이름이다 (비콤팩트 군에서의 합성곱 작용소는 비콤팩트이다. 왜냐하면 일반적으로 formula_1와의 합성곱 작용소의 스펙트럼은 formula_11의 범위를 포함하며, 이는 일반적으로 셀 수 없는 집합인 반면, 콤팩트 작용소는 이산적인 셀 수 있는 스펙트럼을 갖기 때문이다).
2종 방정식.
2종 비동차 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 주어진다.
핵 formula_12와 함수 formula_13가 주어졌을 때, 일반적으로 함수 formula_14를 찾는 것이 문제이다.
이를 해결하는 표준적인 접근 방식은 반복을 사용하여 레졸벤트 형식을 이용하는 것이며, 계열로 작성된 해는 리우빌-노이만 급수로 알려져 있다.
일반 이론.
프레드홀름 방정식의 기본이 되는 일반 이론은 프레드홀름 이론으로 알려져 있다. 주요 결과 중 하나는 핵 가 콤팩트 작용소를 생성한다는 것이다. 콤팩트성은 동등 연속 함수족을, 더 구체적으로는 아르첼라-아스콜리 정리를 사용하여 보일 수 있다. 작용소로서, 0으로 수렴하는 고유값의 이산 스펙트럼으로 이해될 수 있는 스펙트럼 이론을 갖는다.
프레드홀름 방정식은 신호 처리 이론, 예를 들어 데이비드 슬레피언에 의해 대중화된 유명한 스펙트럼 집중 문제에서 자연스럽게 발생한다. 관련된 작용소는 선형 필터와 동일하다. 또한 선형 정방향 모델링 및 역문제에서도 흔히 발생한다. 물리학에서는 이러한 적분 방정식의 해를 통해 실험 스펙트럼을 다양한 기본 분포와 관련시킬 수 있다. 예를 들어, 고분자 용융물 내 고분자의 질량 분포, 또는 시스템 내 이완 시간 분포 등이 있다. 또한 프레드홀름 적분 방정식은 유한 크기의 탄성 경계면 근처의 유체 역학적 상호작용과 관련된 유체역학 문제에서도 발생한다.
프레드홀름 방정식의 특정 응용 분야는 컴퓨터 그래픽에서 사진처럼 사실적인 이미지를 생성하는 것인데, 여기서 프레드홀름 방정식은 가상 광원에서 이미지 평면으로의 빛 전달을 모델링하는 데 사용된다. 이 맥락에서 프레드홀름 방정식은 종종 렌더링 방정식이라고 불린다.
수학에서 볼테라 적분 방정식()은 특수한 종류의 적분 방정식이다. 이들은 제1종과 제2종으로 나뉜다.
제1종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_2는 주어진 함수이고 formula_3는 결정되어야 한다. 제2종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.
연산자 이론과 프레드홀름 이론에서 해당 연산자들은 볼테라 연산자라고 불린다. 이러한 방정식을 푸는 유용한 방법인 아도미안 분해 방법는 조지 아도미안에 의해 개발되었다.
선형 볼테라 적분 방정식은 다음의 경우에 합성곱 방정식이다.
적분 안의 함수 formula_6는 핵이라고 불린다. 이러한 방정식은 라플라스 변환 기법을 사용하여 분석하고 풀 수 있다.
formula_7인 formula_8 형태의 약하게 특이한 핵의 경우, 제1종 볼테라 적분 방정식은 편리하게 고전적인 아벨 적분 방정식으로 변환될 수 있다.
볼테라 적분 방정식은 비토 볼테라에 의해 소개되었고, 그 후 트라이안 랄레스쿠가 에밀 피카르의 지도 아래 쓴 1908년 논문 "Sur les équations de Volterra"에서 연구되었다. 1911년 랄레스쿠는 적분 방정식에 대한 최초의 책을 썼다.
볼테라 적분 방정식은 인구통계학에서 로트카의 적분 방정식으로, 점탄성 재료의 연구에서, 보험계리학에서 갱신 방정식을 통해, 그리고 유체역학에서 유한 크기 경계 근처의 유동 거동을 설명하는 데 적용된다.
제1종 볼테라 방정식을 제2종으로 변환.
제1종 선형 볼테라 방정식은 formula_9이라고 가정하면 항상 제2종 선형 볼테라 방정식으로 환원될 수 있다. 제1종 볼테라 방정식을 미분하면 다음과 같다.
formula_11로 나누면 다음과 같다.
formula_13 및 formula_14를 정의하면 제1종 방정식이 제2종 선형 볼테라 방정식으로의 변환이 완료된다.
사다리꼴 공식을 이용한 수치 해법.
제2종 선형 볼테라 방정식의 수치 해를 계산하는 표준적인 방법은 사다리꼴 공식인데, 이는 등간격 부분 구간 formula_15에 대해 다음과 같이 주어진다.
부분 구간의 간격이 같다고 가정하면, 볼테라 방정식의 적분 부분은 다음과 같이 근사할 수 있다.
formula_18, formula_19, 그리고 formula_20로 정의하면, 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻는다.
이는 행렬 방정식:
와 동일하다. 잘 동작하는 핵에 대해 사다리꼴 공식은 잘 작동하는 경향이 있다.
응용: 파산 이론.
볼테라 적분 방정식이 나타나는 한 분야는 보험계리학의 지급불능 위험에 대한 연구인 파산 이론이다. 목표는 초기 잉여금 formula_23와 파산 시간 formula_24인 파산 확률 formula_25를 정량화하는 것이다. 파산 이론의 고전적 모델에서 순현금 포지션 formula_26는 초기 잉여금, formula_27율로 얻은 보험료 수입, 그리고 나가는 청구액 formula_28의 함수이다.
여기서 formula_30는 강도 formula_31를 가진 청구 수에 대한 푸아송 과정이다. 이러한 상황에서 파산 확률은 다음과 같은 볼테라 적분 방정식으로 표현될 수 있다.
여기서 formula_33는 청구 분포의 생존 함수이다.
확률 볼테라 방정식.
과정 formula_34가 확률 볼테라 방정식의 해라고 말할 수 있다.
만약 다음과 같으면:
여기서 formula_34가 일반적인 조건을 가진 확률 공간의 여과에 적합하다고 가정한다. 이 프레임워크를 사용하는 한 모델은 예를 들어 러프 베르곰 모델이다.
수학의 함수해석학 및 연산자 이론 분야에서 비토 볼테라의 이름을 딴 볼테라 연산자()는 구간 [0,1]에서 복소수 값을 갖는 제곱 적분 가능 함수의 공간 L2[0,1]에 대한 유계 선형 연산자이다. 연속 함수의 부분 공간 C[0,1]에서 부정적분을 나타낸다. 볼테라 적분 방정식에 해당하는 연산자이다.
볼테라 연산자 V는 함수 f ∈ L2[0,1] 및 값 t ∈ [0,1]에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.
마찬가지로, formula_7는 커널 formula_8를 갖는다. 이들은 formula_9를 통해 유니터리 동치이므로 둘 다 동일한 스펙트럼을 갖는다.
여기서 formula_13이다.
Wplace는 브라질의 개발자 무릴로 마츠바라가 개발해 2025년 7월 21일에 출시된 협동 픽셀 아트 웹사이트로, 사용자는 세계 지도에 있는 픽셀의 색깔을 변경하여 캔버스를 편집할 수 있다. 해당 아이디어는 레딧에서 주최된 협업 프로젝트인 r/place를 차용했다.
사용자는 캔버스에서 4조 개의 사각형 픽셀 중 어떤 것이든 변경하여 세계 지도를 실시간으로 편집할 수 있다. 사용자는 처음엔 62개의 픽셀을 배치할 수 있으며, 더 많이 그릴수록 최대 픽셀 용량이 확장된다. 소모된 픽셀은 30초마다 1개씩 회복된다. 가장 많은 픽셀을 배치한 국가와 지역을 보여주는 순위 표도 존재한다. 8월 7일 기준으로 1위 국가는 5억 개 이상의 픽셀을 배치한 브라질이다 이러한 규칙으로 인해 사용자 간의 빈번한 분쟁이 발생한다. 사용자들은 자신의 그림을 완성하려고 노력하고 때로는 기존 그림이나 근처 그림을 파괴하기도 한다.
사용자는 레벨을 올리고 픽셀을 배치할 때마다 '물방울(droplets)'을 얻는다. 물방울은 픽셀 용량을 늘리거나, 현재 픽셀을 추가로 얻거나, 프로필 사진을 변경하거나, 선택한 국가의 깃발을 프로필에 추가하는 데 사용할 수 있다. 이는 작품을 만드는 데 도움이 되는데, 사용자가 구매한 깃발과 일치하는 국가에 픽셀을 배치하면 픽셀의 10%를 돌려 받는다.
Wplace는 4일 만에 100만 명 이상의 사용자를 모았다. 틱톡, 레딧, 트위터와 같은 플랫폼이나 특히 독일과 브라질과 같은 국가의 주민들 사이에서 인기를 얻었다. 동시 사용자 수가 매우 많기 때문에 순위표를 볼 수 없거나 새로운 사용자의 등록이 불가능한 등의 많은 기술적 문제가 발생했다. 하지만 기존 사용자들은 여전히 캔버스를 편집할 수 있었다.
사용자들은 유명한 비디오 게임, 일본의 애니메이션, 만화, 밈 및 사이버 문화의 요소를 활발하게 그린다. 《원신》, 《할로 나이트》, 《》, 《별의 커비》, 《마리오》, 《오버워치》, 《페르소나》, 《소닉 더 헤지혹》, 《스타듀 밸리》, 《동방 프로젝트》, 《언더테일》, 《델타룬》, 《포켓몬스터》와 같은 비디오 게임 프랜차이즈의 요소들이 자주 등장한다. 가장 많이 등장하는 프랜차이즈 중 하나는 델타룬으로, 일부 자료에서는 델타룬에 관한 많은 작품의 수 때문에 델타룬이 사이트를 장악했다고 언급했다.
미디어 활동주의.
비디오 게임 관련 활동.
Wplace는 팬들이 기업의 사무실 위치에 예술 작품을 만드는 것과 같이 기업과 소통하려는 시도로도 활용되었다. 《드래곤 에이지》 시리즈의 팬들은 Wplace를 통해 개발사인 바이오웨어가 게임의 리마스터 버전을 만들지 못하게 한 것에 대해 항의했다.
트랜스젠더를 지지하는 예술 작품이 특히 영국 내 주요 지역에서 그려졌다. 사용자들은 J. K. 롤링의 트랜스젠더 커뮤니티에 대한 이전 발언 때문에 그녀의 집 근처에 트랜스젠더 깃발을 그리기도 했다. 지도에 트랜스젠더 깃발이 많이 등장하자 인터넷 커뮤니티에서는 이들의 확산에 대한 밈을 만들기 시작했다.
Wplace 출시 이후 가자 지구 및 그 주변 캔버스에는 이스라엘-하마스 전쟁에 대한 항의의 표시로 팔레스타인의 국기, 평화주의 슬로건, 여러 하트 모양의 예술 작품 등 수많은 작품이 그려졌다. 북아메리카에서는 사용자들이 플로리다주의 앨리게이터 앨커트래즈에 반대하고 멕시코 할리스코주에 위치한 할리스코 절멸수용소 현장에 추모 예술 작품을 그렸다. 남아메리카에서는 콜롬비아와 페루의 다양한 사용자들이 산타 로사섬의 논란에 대한 각자의 국가의 주장을 지지하는 행동주의를 실천했다.
《A Matter of Time》은 아이슬란드의 싱어송라이터 레이베이의 세 번째 정규 앨범이다. 2025년 8월 22일 빈골프 레코딩스와 AWAL을 통해 발매되었으며, 발매에 앞서 4개의 싱글이 발매되었다. 〈Silver Lining〉은 2025년 4월 3일에, 음반 발표일인 2025년 5월 15일에는 〈Tough Luck〉이, 2025년 6월 25일에는 〈Lover Girl〉이, 2025년 8월 7일에는 〈Snow White〉가 발매되었다.
이 음반은 초기 재즈 보존에 중점을 두던 것에서 벗어나, 더욱 취약하고 감정적으로 표현적인 면을 탐구하는 변화를 나타낸다. 레이베이는 오랜 프로듀서 스펜서 스튜어트와 아론 데스너와 협력하여 감정적 깊이와 더 넓은 음악적 영향을 균형 잡힌 사운드를 개발했다. 주제적으로 이 음반은 우정의 이별, 사랑에 대한 불안, 개인적인 성찰과 같은 주제를 다룬다. 레이베이는 이 프로젝트를 자신에게 내재된 더 복잡하고 불완전한 측면을 탐구할 기회라고 설명했다.
레이베이는 정규 2집 《Bewitched》 (2023)와 그 확장판인 《Bewitched: The Goddess Edition》을 2024년에 발매했다. 두 음반 모두 비평가들과 상업적으로 호평을 받았으며, 재즈, 클래식, 팝 감각을 독특하게 혼합한 레이베이의 스타일을 더욱 확고히 했다. 음반 발매 이후, 다음 프로젝트에 대한 기대가 커졌다. 2025년 5월 15일, 레이베이는 정규 3집 《A Matter of Time》을 2025년 8월 22일에 발매할 예정이라고 발표했다. 같은 해 초, 레이베이는 2025년 로스앤젤레스에서 열린 《타임》의 '올해의 여성 갈라'에서 공연자로 선정되었다. 이 행사는 평등과 정의를 옹호하는 전 세계 여성들을 기리는 행사였다. 두 번의 올림픽에 출전하여 금메달을 딴 조던 차일스의 소개로 레이베이는 회복력, 희망, 용기라는 주제를 기념하는 공연으로 저녁을 마무리했다. 또한 레이베이는 연례 골드 하우스 갈라에서 수상했다. 기성 스타들과 떠오르는 스타들과 함께 무대에 선 레이베이는 빌보드 골드 뮤직 상을 수상하고 레이베이의 싱글 〈Silver Lining〉의 어쿠스틱 세트를 연주했다. 행사에 대해 레이베이는 《Bewitched》로 그래미상을 수상한 후 동료들로부터 독특한 지지와 축하를 받았다고 밝혔다.