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간헐성의 발생 매커니즘 또한 사상의 그래프에서 이해할 수 있다. 가 보다 매우 살짝 작은 경우, 의 그래프와 대각선의 사이에서는 매우 작은 간격이 존재한다. 이 간격은 채널 혹은 통로(channel)라고 불리며, 좁은 채널을 궤도가 통과하기 위해 많은 사상의 반복이 일어난다. 이 채널을 통과하는 과정에서는 과 은 매우 가까운 값으로 되고, 실질적으로 거의 3주기 궤도와 같이 변수가 변화한다. 이것이 층계에 상당한다. 궤도는 이윽고 이 좁은 채널을 빠져나오지만, 사상의 광역적인 구조의 결과, 다시 채널로 돌아온다. 채널과 멀어지는 사이는 혼돈적인 흐트러진 움직임을 한다. 이것이 파열에 상당한다.
띠, 창의 끝.
혼돈 영역의 전체로 눈을 옮기면, 혼돈이어도 창이어도 궤도 다이어그램의 세로축의 최댓값과 최솟값(끌개의 상한치와 하한치)은 어느 범위 내로 한정돼있다. 식 ()이 보이듯 로지스틱 사상의 최댓값은 로 주어지고, 이것이 끌개의 상한치로 된다. 끌개의 하한치는 의 점 로 주어진다. 결국, 궤도 다이어그램에서 가 움직이는 최댓값과 최솟값은 매개변수 에 의존해
으로 주어진다. 최종적으로는 로 궤도는 닫힌구간 전체에 미친다.
궤도 다이어그램을 관찰하면 점의 분포에 특징적인 밀도가 보인다. 점이 짙은 부분은 변수가 그 주변의 값을 취하는 빈도가 크다는 것을 의미하고, 점이 옅은 부분은 변수가 그 주변의 값을 취하는 빈도가 작다는 것을 의미한다. 이러한 점의 빈도의 차이는 로지스틱 사상의 그래프의 형태에 기인해 생겨난다. 그래프의 맨 꼭대기 부근이 높은 빈도로 궤도를 끌어들이고, 그곳에서 대응된 곳인 부근도 높은 빈도로 되며, 그곳에서 대응된 곳인 부근도 높은 빈도로 되고… 라는 식으로 빈도의 분포가 생겨난다. 사상에 의해 생겨난 점의 밀도 분포는 불변 측도(invariant measure)나 분포 함수라고 불리는 양으로 특징지어지며, 끌개의 불변 측도는 초기 조건에 관계 없이 재현성이 있다.
궤도 다이어그램 혼돈 영역의 초기 부근, 가 처음 2주기배가 캐스케이드의 집적점 를 조금 넘은 부근을 보면 궤도가 몇 개의 구간으로 나뉘어져 있는 것이 관찰된다. 이와 같이 나뉘어진 작은 영역은 띠(band)라고 불린다. 띠가 복수인 경우, 궤도는 규칙적으로 순번으로 각 띠를 돌며, 게다가 각 띠 내에서 취하는 값은 불규칙적으로 되는 움직임을 보인다. 이러한 혼돈 궤도는 띠 혼돈(band chaos)나 주기적 혼돈(periodic chaos)라고 불리며, 개의 띠에서 생기는 혼돈은 띠 혼돈 등으로 불린다. 2띠 혼돈이면, 대강 의 범위 내에 존재하고 있다.
2띠 혼돈의 좌단 에서 더욱이 값을 작게 하면, 주기배가 분기의 경우와 같이 띠의 수가 2배씩 증가한다. 띠 혼돈이 분열해 띠 혼돈으로 되는 분기점 혹은 띠 혼돈이 융합해 띠 혼돈으로 되는 분기점을 (단 )로 나타낸다고 한다. 그러면 주기배가 분기와 같이 에서 는 어느 값에 집적한다. 이 집적점 에서 띠의 수는 무한으로 되고, 의 값은 의 값과 일치한다.
보다 전에 나타난 주기배가 캐스케이드의 분기점에 대해서도 비슷하게 안정 주기 궤도가 분기해 안정 주기 궤도로 되는 분기점을 (단 )로 나타낸다고 한다. 이때, 부터 까지의 궤도 다이어그램에 주목하면 부터 까지의 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 부터 까지의 궤도 다이어그램의 안에 두 개 존재한다. 비슷하게 부터 까지의 궤도 ㅏ이어그램에 주목하면 부터 까지의 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 부터 까지의 궤도 다이어그램의 안에 네 개 존재한다. 이하도 같게 부터 까지의 궤도 다이어그램에는 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 개 존재하며, 로지스틱 사상의 분기 구조는 무한한 자기유사 층계를 갖추고 있다.
분기 구조의 자기유사 층계는 창의 안에서도 존재한다. 창의 안의 주기배가 캐스케이드는 주기 분기의 캐스케이드와 같은 루트를 탄다. 결국, 창의 안에서 무한 번의 주기배가 분기가 일어나고, 이를 통과하면 움직임은 다시 혼돈으로 된다. 예를 들면 주기 3의 창에서는 에서 안정적인 주기 궤도의 캐스케이드가 끝난다. 를 통과하면 움직임은 3의 배수의 띠 혼돈으로 된다. 가 에서 증가함에 따라 이 띠 혼돈도 2개씩 융합하고, 창이 끝나는 마지막에는 띠의 수는 세 개로 된다. 이러한 창의 안에 있는 띠의 안에서도 무수히 많은 창이 또 더욱이 존재한다. 결국, 창의 안에서는 의 궤도 다이어그램 전체의 축소판이 포함돼있는 형태로 되고, 창의 안에서도 분기의 자기유사 층계 구조가 존재한다.
창이 끝나면 광범위의 혼돈으로 돌아온다. 주기 3의 창이면 에서 마지막 3띠 혼돈이 큰 범위의 1띠 혼돈으로 변해 창이 끝난다. 그러나 이 변화는 비연속적으로, 3띠의 혼돈 끌개는 돌연 크기를 변화시키고, 1띠로 변한다. 이와 같이 끌개의 크기가 비연속적으로 변하는 현상은 고비현상(crisis)라고 불린다. 창이 끝나 일어나는 종류의 고비현상은 특히 내부고비현상(interior crisis)라고도 불린다. 창이 끝나 고비현상이 일어날 때, 안정적인 주기 궤도가 궤도 다이어그램에서는 보이지 않는 불안정 주기점과 접촉한다. 이에 따라 주기 궤도가 빠져나올 수 있는 출구가 생기고, 내부고비현상이 발생한다. 내부고비현상 직후에는 어느 시간대에서는 광역 혼돈으로 움직이나, 또 어느 시간대에서는 본래의 띠 혼돈적 움직임도 일으키고, 창의 시작과 같은 일종의 간헐성이 나타난다.
"a" = 4의 경우.
매개변수가 에 이르면 움직임은 닫힌구간 전역을 돌아다니는 혼돈으로 된다. 이때, 랴푸노프 지수 는 최대로 되고, 가장 혼돈이 강한 상태라고 할 수 있다. 의 로지스틱 사상의 는 정확한 값을 구할 수 있고, 그 값은 다. 혼돈의 엄밀한 수학적 정의는 아직 통일돼있지 않으나, 잘 알려져 있는 혼돈의 정의의 하나에 대해 의 로지스틱 사상은 닫힌구간 위에서 혼돈적임이 증명 가능하다.
점의 밀도는 불변 측도 도 의 경우는 다음과 같은 정확한 함수로 얻을 수 있다.
여기서 는 사상을 반복했을 때의 점 의 모든 점 수에 대해 점 이 미소 구간 에 들어가는 점의 수의 비율이 로 주어진다는 의미를 가진다. 의 로지스틱 사상의 빈도 분포는 닫힌구간 의 양쪽 사이드 부근에서 밀도가 높고, 에서 가장 밀도가 낮은 형태를 하고 있다.
의 경우, 혼돈 궤도와는 달리 모든 주기의 주기 궤도도 존재한다. 자연수 에 대해 의 그래프는 개의 극대와 개의 극소가 존재하는 곡선으로 되고, 게다가 이 모든 극대와 극소는 과 에 접하는 상태로 된다. 따라서 대각선과 그래프의 교점의 수는 개 있고, 의 고정점은 개 존재한다. 이 개의 고정점에는 주기점도 반드시 포함되므로 에서는 임의의 주기 궤도가 존재한다. 이와 같이 의 경우 닫힌구간 위에서는 주기점이 무한히 존재하나, 이들 주기점은 모두 불안정하다. 또, 닫힌구간 이라는 비가산 무한의 집합에 대해 이들 주기점의 수는 가산 무한이고, 거의 모든 초기 조건에서 시작되는 궤도는 주기 궤도로는 되지 않고 비주기 궤도로 된다.
혼돈의 중요성의 하나로 결정론적 성질과 확률론적 성질의 이중성이 있다. 역학계는 결정론적인 과정이지만, 변수가 취하는 범위를 적당히 조망화(coarse graining)하면 확률적인 과정과 구별이 가능하게 된다. 의 로지스틱 사상의 경우면 모든 동전 던지기의 결과를 로지스틱 사상의 궤도로 기술 가능하다. 이를 상술하면 다음과 같다.
의 확률로 앞뒤가 나오는 동전 던지기를 가정하고, 몇 번이고 동전 던지기를 계속한다. 앞면이 나올 때를 , 뒷면이 나올 때를 이라 하면 앞, 뒤, 앞, 앞, 뒤hellip;라는 결과는 과 같이 기호열로 된다. 한편, 로지스틱 사상의 궤도 에 대해서 이하의 것은 으로, 을 넘는 것은 로 변환해 궤도를 과 에서 생기는 기호열로 치환한다. 예를 들어 초기 조건 으로 하면 로 되므로 궤도는 이라는 기호열로 된다. 전자의 동전 던지기에 의한 기호열을 라 하고, 후자의 로지스틱 사상에 의한 기호열을 로 한다. 기호열 에서는 랜덤한 동전 던지기에서 기호를 정한 것으로 모든 패턴의 수열이 생겨날 수 있다. 따라서 로지스틱 사상에 의한 기호열 이 어떤 것이라 해도 의 안에 동일한 것이 존재한다. 그리고 이 역이 성립한다. 즉, 어떠한 의 기호열이어도, 초기 조건을 적절히 고르기만 하면 로지스틱 사상의 궤도 에 의해 실현 가능하다. 즉, 임의의 에 대해 로 되는 이 닫힌구간 안에 그저 한 점 존재한다.
"a" &gt; 4의 경우.
매개변수 가 를 넘으면 로지스틱 사상의 그래프의 꼭짓점 는 을 넘는다. 그래프가 을 돌파한 범위에서 궤도는 닫힌구간 을 바져나오게 된다. 그 결과, 닫힌구간 의 거의 모든 점에서 출발하는 궤도는 어느 시점에서 닫힌구간 을 빠져나오고, 최종적으로 마이너스 무한대로 발산한다.
이 에서 일어나는 분기도 고비현상의 일종으로, 특히 경계 고비현상 혹은 경계 분기점(boundary crisis)이라고 불린다. 이 경우의 경계 고비현상에서는 닫힌구간 에 있던 끌개가 불안정화·붕괴하고, 게다가 바깥쪽에 끌개도 존재하지 않기에 궤도가 무한히 멀리 발산한다.
한편, 의 조건 하에서도 닫힌구간 의 안에 계속 머무르는 궤도가 있다. 알기 쉬운 예시는 닫힌구간 안의 고정점이나 주기점으로, 이들은 닫힌구간 의 안에서 계속 머무른다. 그러나 닫힌구간 의 안에서 계속 머무르는 궤도에는 고정점이나 주기점 이외의 궤도도 존재한다.
을 만족하는 의 구간을 으로 한다. 위와 같이 변수 이 으로 일단 들어가면 마이너스 무한대로 발산한다. 사상을 1회 적용하면 으로 대응하는 도 닫힌구간 의 안에 존재한다. 이 의 구간은 두 개로 나뉘고 이들을 묶어서 로 한다. 비슷하게 사상을 1회 적용하면 으로 대응하는 구간도 네 개 존재하고, 이들을 로 한다. 이하도 같게 회 반복으로 에 이르는 구간 이 개 존재한다. 따라서 다음과 같이 닫힌구간 에서 을 무한 번 제거한 구간 가 의 안에 계속 머무르는 궤도의 모임이다.
닫힌구간 에서 을 제거하는 작업은 상술한 칸토어 집합의 구성 과정과 비슷하고, 실제로 는 칸토어 집합(닫힌 완전 분리로 닫힌구간 의 완전 부분집합)의 형태로 닫힌구간 의 안에 존재한다. 그리고 더욱이 위에 로지스틱 사상 는 혼돈적이다.
"a" &lt; 0의 경우.
로지스틱 사상은 생태학 상의 모델로 연구된 경위도 있고, 매개변수 가 음수일 경우에 대해 논의된 수는 적다. 를 부터 감소시키면 에서는 의 안정적인 고정점에 점근하지만, 을 넘은 때부터 2주기점으로 분기하고, 양수일 때와 같이 주기배가 분기를 거쳐 혼돈에 이른다. 최종적으로는 를 밑돌고 플러스 무한대로 발산하게 된다.
특별한 경우의 엄밀해.
매개변수 가 특정 로지스틱 사상에 대해서는 시각 과 초기 조건 을 양으로 포함하는 엄밀해가 이하와 같이 얻을 수 있다.
이상 세 개의 엄밀해를 고찰하면 어느 해도
라는 형태로 된다. 여기서 는 어떤 적절한 함수, 은 그 역함수를 의미한다. 에서는 , 에서는 , 에서는 이다. 단, 임의의 에 대해서 일반적으로 로지스틱 사상의 엄밀해를 나타내는 것이 가능한 수학적으로 표준적인 함수의 는 존재하지 않는다.
같은 종류의 움직임을 보이는 사상의 모임.
로지스틱 사상에서 나타난 위와 같은 분기의 패턴은 로지스틱 사상에 한정되지 않는다. 어느 조건을 만족한 사상에서 이 분기 패턴이 공통해서 나타난다. 다음의 사인 함수를 사용한 역학계는 그 일례이다.
여기서 정의역은 동시에 으로 한다. 이 사인 함수 ()은 로지스틱 사상 ()와 정성적으로 동일한 움직임을 일으킨다. 즉, 이 사상에서도 로지스틱 사상과 같이 매개변수 의 증가와 함께 주기배가 루트를 거쳐 혼돈으로 되고, 더욱이 혼돈 영역에서는 창이 비슷하게 존재한다.
로지스틱 사상도 사인 함수도 닫힌구간 을 닫힌구간 에 대응하는 1차원 사상으로, 단봉(unimodal)이라고 불리는 다음의 성질을 만족한다.
일반적으로 한 매개변수·한 변수가 있는 1차원 사상이 단봉으로 꼭짓점 부근을 2차의 다항식으로 근사한 곡선이면, 구체적인 사상의 형태에 의존하지 않고, 매개변수 범위 에서 본 무한의 주기배가 캐스케이드의 분기가 일어나고, 더욱이 식 ()에서 정의된 비율 는 파이겐바움 상수 에 일치한다.
또, 로지스틱 사상에서 나타난 안정 주기 궤도의 출현 패턴에도 보편성이 있다. 매개변수를 로 하고, 에서 나타나는 단봉형 사상에서는 2개의 고정점과 불안정한 어느 매개변수 구간에서 다양한 주기의 안정 주기 궤도가 계속 출현하고, 그 출현 패턴(어느 주기의 안정 주기 궤도의 출현 횟수와 출현 순서)는 공통임이 알려져 있다. 즉, 이 종류의 사상이면 사상의 구체적인 형태에 따르지 않고 안정 주기 궤도의 계열은 같게 된다. 로지스틱 사상의 경우는 가 그 매개변수 구간이었으나, 사인 함수 ()에서는 이 공통하는 안정 주기 궤도의 계열이 일어나는 매개수 구간이다. 이 보편성이 있는 안정 주기 궤도의 계열은 U계열(U sequence)이라고 불린다.
게다가 로지스틱 사상은 닫힌구간 위에서 슈바르치안이 항상 음수라는 성질을 가진다. 어느 （급의） 사상 의 슈바르치안은
로 정의되는 함수이다. 실제로 로지스틱 사상의 슈바르치안을 계산하면
으로 되고, 및 의 값에 따르지 않고 슈바르치안은 음수로 된다. 닫힌구간 을 닫힌구간 로 대응하는 1차원 사상이 단봉으로 음의 슈바르치안을 가지면 존재하는 안정 주기 궤도는 많아도 1개라는 성질이 알려져 있다.
위상 공액인 사상.
기호 으로 사상의 합성을 나타낸다고 한다. 일반적으로 위상 공간 에 대해 두 개의 사상 와 가 위상동형사상 에 의해
라는 관계를 가질 때, 와 는 위상 공액(phase conjugation)라고 한다. 위상 공액인 와 는 본질적으로 동일한 움직임을 보이고, 의 움직임이 주기적이면 도 주기적이며, 의 움직임이 혼돈적이면 도 혼돈적이다.
특히 위상동형사상 가 선형이면 와 는 선형 공액(linearly conjugation)이라고 한다. 모든 이차 함수는 다른 모든 이차 함수와 선형 공액이다. 따라서
등은 임의의 매개변수 의 로지스틱 사상과 선형 공액이다. 식 ()이나 식 ()의 형태도 로지스틱 사상이라고 불리기도 한다. 특히 식 ()의 형태라면 계산량이 줄기에 장시간을 필요로 하는 수치 계산에 편리하다.
또 의 로지스틱 사상 는 다음의 텐트 사상(tent map) 나 베르누이 시프트 사상(Bernoulli shift map) 과 위상 공액인 관계이다.
로지스틱 사상 가 엄밀히 혼돈적임의 증명이나, 의 엄밀해 ()의 도출에 이들의 위상 공액의 관계를 이용할 수 있다.
혹은 기호역학계(symbolic dynamical systems)의 사고방식을 도입해 위에서 도입했듯 과 의 열에서 생기는 기호열 공간 상에서 정의되는 다음과 같은 시프트 사상 를 생각한다고 한다.
여기서 는 또는 이다. 식 ()에서 도입한 집합 위에서 로지스틱 사상 는 시프트 사상과 위상 공액이므로 이를 이용해 위의 가 혼돈적임을 이끌어낼 수 있다.
생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상.
이산형 개체군 모델.
로지스틱 사상은 영국의 수리생물학자 로버트 메이(Robert McCredie May)의 연구를 발단으로 생물의 개체수의 변화를 생각하는 식으로 세상에 널리 알려졌다. 이러한 생물 개체수로의 로지스틱 사상에서는 변수 은 어느 환경 안에서 서식하는 생물의 개체수(보다 전문적으로는 개체군 사이즈)를 의미한다. 더욱이 개체가 그 환경에서 나오거나 외부의 개체가 환경으로 들어오거나 하지 않는 경우(혹은 이출입이 있어도 실질적인 영향이 없는 경우)를 가정하고, 이러한 상황에서의 개체수의 증감을 생각하는 수리 모델이 수리생물학 상의 로지스티컬 사상이다.
생물의 개체수의 증식을 생각하는 수리 모델에는 차분 방정식을 사용한 이산적인 시간의 모델과 미분방정식을 사용한 연속적인 시간의 모델의 두 종류가 있다. 예를 들면 알을 낳으면 바로 죽는 종류의 곤충으로는 그 곤충의 개체수는 1세대째의 개체수, 2세대째의 개체수…라는 식으로 각 세대마다로 셀 수 있다. 이와 같은 예시는 전자의 이산 시간 모델로 적합하다. 한편, 각 세대가 연속적으로 서로 겹치는 경우는 연속 시간 모델과 친화성이 있다. 로지스틱 사상은 이러한 이산형 혹은 세대 분산형의 개체군 모델에 상당한다.
어느 환경 안의 단일종 생물의 개체수를 으로 나타낸다고 한다. 가장 단순한 개체수의 증식의 방법으로 개체수에 대해 항상 일정한 비율로 계속 증가하는 모델을 생각할 수 있다. 그러한 개체수 증가 모델은 맬서스 성장 모델이라고 불리며, 다음과 같은 형태로 나타난다.
여기서 은 세대째의 개체수를 의미하고, 는 개체수의 증식률로 양의 정수이다. 그러나 모델 ()에서는 개체수가 무진장으로 계속 늘어나며 대부분의 실현상에 대해 비현실적인 모델이라 할 수 있다. 어느 환경이 길러낼 수 있는 개체수에는 한도가 있으므로 개체수 이 증가하면 증식률 는 저하하는 것이 자연스럽다고 여겨진다. 이와 같이 개체수 밀도의 변화에 따라 증식률이 변화하는 것을 밀도의존성이라고 부른다. 밀도의존성을 모델 ()에 반영한 개량 모델로 가장 단순한 것으로 해 다음과 같은 차분 방정식이 생각된다.
여기서 는 그 환경 안에서 가능한 최대증식률을 의미하고, 는 밀도의존성의 영향의 강도를 의미한다. 모델 ()는 증식률이 개체수에 단순히 비례해 낮아지는 것으로 가정한다. 식 ()의 을
으로 변수 변환하면 이하의 로지스틱 사상이 도출된다.
생물의 개체수로 식 () 혹은 식 ()를 다룰 때에는 혹은 이 음수로 되면 개체수로의 의미를 하지 않게 된다. 그렇게 되지 않기 위해 초기 조건 에 대해 이라는 조건이 매개변수 에 대해 라는 조건이 요구된다.
외에는 가정하고 있는 환경이 길러낼 수 있는 최대 개체수 를 가정하고, 이를 사용해
라는 형태로 밀도의존성을 이용한 차분 방정식을 생각하고, 로 변수 변환해 로지스틱 사상을 이끌어내는 것도 있다. 이 경우, 변수 은 최대 개체수 에 대한 개체수 의 비율을 의미한다.
로지스틱 방정식의 이산화.
로지스틱 사상은 연속 시간형의 개체군 모델인 로지스틱 방정식의 이산화로부터도 도출 가능하다. 로지스틱 사상의 이름도 로버트 메이가 로지스틱 방정식의 이산화에서 로지스틱 사상을 도입한 것에서 유래한다. 로지스틱 방정식이란 다음과 같은 생물 개체수의 시간 변화를 나타내는 상미분 방정식이다.
여기서 은 생물 개체수나 개체수 밀도, 는 연속적인 시간, 와 가 매개변수이다. 는 환경용량, 는 생물 번식 능력이라고도 불리고, 보통은 양수를 취한다. 이 식의 좌변 은 시각 의 개체군 사이즈의 변화 속도를 의미한다.
로지스틱 방정식 ()은 로지스틱 사상 ()와 비슷해보이나, 해의 움직임은 로지스틱 사상과는 크게 다르다. 초기 조건 이 양수인 한, 로지스틱 방정식의 개체수 은 항상 단조롭게 로 수렴할 뿐이다.
이 로지스틱 방정식에 1계 상미분 방정식의 수치 해석적 방법의 하나인 오일러 방법에 의한 차분화 근사를 실행하는 것에 따라 로지스틱 사상을 도출 가능하다. 오일러 방법의 차분화 근사란 적당한 시간 간격 를 도입하고, 증식률 을 이하와 같이 근사하는 것이다.
이 근사의 결과, 다음의 로지스틱 사상을 이끌어낼 수 있다.
단, 이 식의 과 는 전의 매개변수, 변수, 시간 간격으로 다음과 같은 관계를 가진다.
가 충분히 작다면 식 ()은 전의 식 ()의 유효한 근사로 작동하고, 에서는 전의 식의 해와 일치한다. 한편, 가 크면 전의 식의 해에서 벗어난다. 또, 식 ()의 관계에서 를 크게 하는 것은 매개변수 를 크게 하는 것에 상당한다. 따라서, 를 크게 할 수록, 전의 방정식과의 오차를 단순히 크게하는 것 뿐만 아니라 해에 혼돈적 움직임을 만들어내는 것으로 된다.
위와 같이, 생물의 개체군 동태론 상에서는 로지스틱 사상은 이산형 증식 과정의 모델의 하나이다. 단, 생물의 개체수의 모델로의 로지스틱 사상은 물리학의 법칙 등과는 달리, 직접적인 실험 결과나 보편적으로 성립하는 원리에서 이끌어내진 것은 아니다. 도출 과정의 사고방식에 어느 정도의 합리성은 있으나, 기본적으로는 머릿속에서 생각된 '모델'에 그친다. 로지스틱 사상을 저명하게 한 메이 또한, 논하고 있는 모델이 개체수의 증감을 정확히 표현하고 있다고 주장하고 있는 것은 아니다. 생물 개체군 역학계의 연구 상에서도 역사적으로 다용돼온 것은 미분 방정식에 의한 연속 시간 모델이고, 이들 연속 시간 모델의 적용에 따라 생물 개체군 역학계의 이해를 깊이 해왔다. 밀도의존성을 고려한 이산 시간 개체군 모델로도 개체수가 음수로 되지 않는 리커 모델(Ricker model) 쪽이 더욱 현실적이라 할 수 있다.
일반적으로 말할 수 있는 것으로, 수리 모델은 개체군 역학계에 관한 중요한 정성적 정보를 제공해주는 것도 있지만, 실험적인 뒷받침이 없다면 수리 모델에서 나오는 결과를 너무 진지하게 받아들이면 안 된다. 수리 모델의 결론이 생물학적 연구 결과로부터 벗어나는 경우가 있어도, 더욱이 수리 모델에 의한 연구가 의미가 있는 것은 유용한 대조로 될 수 있기 때문이다. 모델의 구성 과정이나 설정 혹은 모델이 전제로 한 생물학적 식견이나 가설을 재점검하는 것에 따라 생물학적 논점을 제시할 수 있는 가능성이 있다. 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상은 너무 단순해 현실적이지는 않으나, 로지스틱 사상이 보이는 결과는 환경으로부터의 불규칙적인 영향 등에 무관계하게 개체군 그 자체에 내재하는 역학계에 의해 개체수의 다양한 변동이 일어날 수 있는 가능성을 암시한다.
결합 사상계.
1 변수의 로지스틱 사상은 계로의 자유도 혹은 차원은 이다. 한편 실제 자연계에서는 시간적으로 흐트러질 뿐만 아니라 다수의 공간 자유도를 가지고 공간적으로도 흐트러지는 다자유도의 혼돈이 많다고 추정된다. 혹은 혼돈적 운동을 행하는 진동자의 동기화 현상도 연구 대상이다. 이러한 것을 조사하기 위해 차분 방정식(사상)을 여러 번 결합시킨 결합 사상(coupled map)의 수법이 있다. 결합 사상 모델 연구의 제재로 로지스틱 사상이 종종 채용된다. 그 이유로는 로지스틱 사상 자체는 이미 혼돈의 전형적 모델로 잘 알려져 있고, 그 조사의 축적이 있음을 들 수 있다.
결함 사상 모델에서의 구체적인 결합의 방법으로는 다양한 수법이 존재한다. 전부 개의 사상이 결합하고, 번째의 사상의 시각 의 상태가 로 나타낸다고 한다. 대국적 결합 사상(globally coupled map)이라고 불리는 수법에서는 를 다음과 같이 정식화한다.
결합 진동자의 연구의 흐름에서는 다음과 같이 변수의 차분에서 진동자 두 개 와 를 결합시킨 가장 간단한 다음의 모델 등을 들 수 있다.
이들의 식 안의 가 결합 사상 모델에 집어넣는 구체적인 사상이고, 로지스틱 사상이 사용되는 경우는 여기에서 적용된다.
식 () 및 () 안의 이나 는 결합 계수(coupling coefficient) 등으로 불리는 사상끼리의 결합의 세기를 의미하는 매개변수이다. 한편, 로지스틱 사상을 결합 사상 모델에 집어넣는 경우, 로지스틱 사상의 매개변수 는 모델의 비선형성의 세기를 의미한다. 의 값과 또는 의 값을 변화시키는 것으로 로지스틱 사상의 결합 사상계에서는 다양한 현상이 나타난다. 예를 들면 모델 ()에서는 를 어떤 값 이상으로 크게 하면 와 는 동기화하면서 혼돈 진동을 일으킨다. 미만에서도 항상 제각기 다른 혼돈 진동이 일어날 뿐만이 아니다. 가 있는 범위일 때는 임에도 불구하고 와 는 2주기 진동을 일으킨다. 에서는 동기화 상태와 비동기화 상태가 교대로 계속 일어나는 움직임도 보인다.
대자유도의 대국적 결합 사상 ()에 로지스틱 사상을 적용한 연구에서는 혼돈적 순회 혹은 혼돈적 편력(chaotic itinerancy)이라고 불리는 현상도 발견됐다. 이는 몇 개의 군집(cluster)으로 모여 진동하는 질서적인 상태에서 흐트러진 상태로 되고, 다시 다른 군집 상태로 되고, 또다시 흐트러진 상태로 되고…라는 움직임을 반복하는 현상으로, 위상 공간 상에서 끌개의 잔해(the remains of an attractor)라고 불리는 영역을 궤도가 돌아다니는 것에서 일어난다고 추정된다.
유사난수 생성기.
컴퓨터 시뮬레이션이나 정보 보안 분야에서는 계산기로 유사난수를 작성하는 것이 중요한 기술의 하나로, 유사난수를 만드는 수법의 하나로 혼돈의 활용이 생각된다. 혼돈으로부터의 유사난수 생성기로 충분한 성질을 가진 것은 아직 실현되지 않았으나, 여태 몇 가지의 수법이 제안돼왔다. 로지스틱 사상에 대해서도 여태 혼돈에 기반한 유사난수 생성기의 가능성이 여러 연구자들에 의해 연구돼왔다.
로지스틱 사상의 유사난수 생성에는 매개변수 가 잘 이용되고 있다. 역사적으로도 후술과 같이 전자 계산기의 탄생으로부터 곧 1947년에 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만도 의 로지스틱 사상을 사용한 유사난수 생성기의 가능성을 지적했다. 그러나 로지스틱 사상 의 점의 분포는 식 ()에서 나타나는 분포로 돼있고, 나오는 수치가 과 가까이로 치우친다. 이로 인해 치우치지 않는 균일난수를 얻기 위해서는 어떠한 처리를 필요로 한다. 그 방법으로는
등이 있다. 또, 로지스틱 사상에서 얻은 수열의 과 은 강한 상관 관계를 지니고 있고, 유사난수의 수열로는 문제가 있다. 이를 해소하는 방법 중 하나는 사상 1회 적용마다의 수열 를 만드는 것이 아닌 적당한 회 반복마다 수열 를 만들 필요가 있다. 예를 들면 가장 좋은 방법에 대해서는 또는 이고, 두 번째로 좋은 방법은 으로 양호한 유사난수를 얻을 수 있다고 여겨진다.
컴퓨터를 사용해 디지털로 혼돈을 계산하는 일반적 문제로 컴퓨터에서는 유한 계산 정밀도로 계산하기 때문에 혼돈 본래의 진정으로 비주기적인 수열을 원리적으로 얻을 수 없고, 대신 유한 주기열이 출력된다는 문제점이 있다. 원리적으로 비주기열을 얻을 수 없는 경우여도 유사난수 생성을 위해서는 가능한 한 긴 주기의 수열이 바람직하다. 그러나 단정밀도 부동소수점 수(single-precision floating-point) 계산에서 로지스틱 사상 가 실제로 출력하는 수열의 주기성을 조사한 결과에 따르면 할당된 비트수에서 가능한 최대 주기에 비해 실제로 출력되는 수열의 주기는 매우 작게 되는 것이 보고됐고, 이 관점에서 메르센 트위스터와 같은 기존의 유사난수 생성기에 비해 로지스틱 사상에 의한 유사난수 생성은 뒤떨어진다고 지적됐다. 또, 로지스틱 사상 에서는 계산 도중에 수치가 고정점 으로 떨어지고, 그대로 일정하게 유지될 위험도 있다. 한편, 로지스틱 사상에서는 열린구간 의 안에서 항상 값을 취하므로 부동소수점 뿐만 아니라 고정소수점에서도 문제 없이 계산 가능하고, 고정소수점 계산의 이점을 누릴 수 있다. 고정소수점이면 같은 비트수로 비교해 부동소수점보다 긴 주기의 수열로 되는 것이나 의도하지 않은 으로의 수렴이 없어진다는 것이 지적되고 있다.
이는 복소 해석함수로 정의된 역학계도 흥미를 가질 수 있는 대상으로, 그 예시가 다음의 이차 함수에서 정의되는 역학계이다.
단, 여기서의 매개변수 와 변수 는 복소수이다. 이 사상은 로지스틱 사상 ()와 기본적으로는 같은 것이라 할 수 있다. 위에서도 서술했듯, 사상 ()은 선형 함수에 의해 로지스틱 사상 ()와 위상 공액인 관계이다.
매개변수 를 고정하고, 초기 조건 을 바꾸면서 사상 ()의 반복의 이후를 계산할 때, 에서도 이 무한대로 발산하지 않는 의 집합을 충만한 쥘리아 집합(filled Julia set)이라고 한다. 더욱이 충만한 쥘리아 집합의 경계를 쥘리아 집합이라고 한다. 또, 초기 조건을 으로 고정하고, 매개변수 를 바꾸면서 사상 ()의 반복을 계산했을 때, 가 무한대로 발산하지 않는 의 집합을 망델브로 집합이라고 한다. 사상 ()의 쥘리아 집합이나 망델브로 집합으로부터 프랙탈 도형이 생성된다.
특히 망델브로 집합에서는 도형의 각 원반은 어떠한 주기의 점근적 안정인 주기 궤도의 영역에 상당한다. 로지스틱 사상의 궤도 다이어그램과 망델브로 집합의 도형을 나란히 하면 로지스틱 사상 궤도 다이어그램의 점근적 안정인 고정점, 주기배가 분기, 주기 3의 창 등이 망델브로 집합 도형과 실수축 위에서 대응하고 있음을 알 수 있다.
시간 지연을 가진 경우.
로지스틱 사상을 생물의 각 세대의 개체수를 나타내는 모델로 해석하면 다음 세대의 개체수가 현재 세대의 개체수 뿐만 아니라 그 하나 이전 세대의 개체수도 현재 세대에 영향을 주는 경우도 생각된다. 그러한 예시가
라는 차분 방정식으로, 하나 이전 세대의 개체수 이 마이너스의 밀도의존성으로 식에 들어가있다. 으로 두면 식 ()는 다음과 같은 2 변수 차분 방정식으로 치환할 수 있다.
이 역학계는 준주기 끌개(quasi-periodic attractor)의 분기의 연구 등에서 이용되고, 지연 로지스틱 사상(delayed logistic map)이라고 불린다. 지연 로지스틱 사상에서는 에서 네이마르크-색커 분기(Neimark-Sacker bifurcation)(Neimark는 Ju. I. Neimark이고, Sacker는 R. Sacker이다)가 일어나고, 점근적 안정적인 고정점이 불안정하게 되며, 그 불안정한 고정점의 주변에 점근적 안정적인 불변 곡선이 생긴다.
혼돈 명명 이전.
사상의 반복이 동역학계와 관련한 의미를 가지기 이전의 시대에는 수학자 가스통 쥘리아와 피에르 파투(Pierre Fatou)가 복소함수의 반복에 대해서 연구했다. 쥘리아와 파투의 연구는 해석 함수를 중심으로 한 광범위한 것이었는데 특히 식 ()에서도 보인 이하의 복소 이차 함수의 움직임이 1920년대에 그들에 의해 연구됐다.
쥘리아와 파투도 쥘리아 집합의 안에 혼돈적 움직임을 이해하고 있었으나, 당시는 컴퓨터 그래픽 등도 없었기에 그들을 잇는 인물이 나타나지 않고, 연구는 그치게 되었다. 이후 1970년대 후반까지 복소 역학계(complex dynamics) 연구는 계속해서 시들했고, 복소평면 위의 사상의 역학계적 움직임이 주목되는 것은 브누아 망델브로 등의 등장을 기다리게 된다.
1947년, 수학자 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만은 “On combination of stochastic and deterministic processes”（확률론적 과정과 결정론적 과정의 결합에 관해）라는 짧은 보고서에서
라는 이차 함수의 반복 합성으로 유사난수를 생성할 수 있다는 것을 지적했다. 이 식은 현재의 시점으로는 의 로지스틱 사상에 상당한다. 당시 '혼돈'이라는 말도 아직 사용돼지 않았으나, 울람과 폰 노이만은 비선형 함수에 의한 복잡한 수열의 생성에 이미 주목했던 것이라고 할 수 있다. 또, 울람과 폰 노이만의 보고서에서는 사상 ()와 텐트 사상이 위상 공액의 관계에 있는 것이나, 이 사상의 수열의 불변 측도가 식 () 에서 주어지는 것도 밝혔다.
이후 임의의 매개변수 를 갖춘 형식의 이차 사상에 대해서도 상세한 조사가 몇 가지 있었다. 1958년부터 1963년에 걸쳐 핀란드의 수학자 페카 뮈르버그(Pekka Myrberg)는 를 매개변수로 하는
라는 형식의 이차 사상의 분기 현상을 조사했다. 이 일련의 연구는 역학계로서 본질적인 것으로, 뮈르버그는 이 사상의 주기배가 분기 캐스케이드를 조사해 집적점 의 존재도 보였다. 외에는 1964년 소련의 올렉산드르 샤르코우스키(Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky), 1969년 프랑스의 이고르 구모브스키(Igor Gumowski)와 크리스찬 미라(Christian Mira), 1973년의 니콜라스 메트로폴리스(Nicholas Constantine Metropolis) 등의 작업이 로지스틱 사상과 같은 단순한 1 변수 차분 방정식의 이상한 움직임을 밝혀냈다.
로버트 메이의 연구.
이후 1970년 초반에 수리생물학자 로버트 메이(Robert McCredie May)가 생태학의 문제에 몰두하는 과정에서 식 ()의 모델을 알게 된다. 메이는 로지스틱 방정식의 이산 시간화부터 식 () 즉 로지스틱 사상을 도입했다. 로지스틱 사상의 움직임을 수리적으로 해석했고, 메이는 1973년과 1974년에 그 성과를 발표했다. 로지스틱 사상의 수치 실험이 행해졌고, 매개변수 에 의한 움직임의 변화가 조사됐다. 1976년에는 ”Simple mathematical models with very complicated dynamics”(극히 복잡한 움직임을 지니는 단순한 수리 모델)이라는 논문을 "네이처"에서 발표했다.
1976년의 논문은 고찰 논문으로, 로지스틱 사상을 제재로 하면서 단순한 비선형 함수에서도 주기배가 분기 캐스케이드나 혼돈과 같은 복잡한 움직임이 일어나는 것에 대해 강조했고, 주의를 재촉하는 내용이었다. 특히 이 논문은 메이의 수리생물학자로의 지위, 연구 결과의 명쾌함, 그리고 무엇보다 단순한 포물선의 식이 복잡한 움직임을 만들어낸다는 충격적인 내용으로 큰 반향을 일으켜 과학계에 받아들여졌다. 이러한 메이의 연구를 거쳐 로지스틱 사상은 많은 연구자를 혼돈 연구로 이끌었고, 혼돈 연구의 흐름을 새로이 재시작시켰다고 평가될 정도로 저명한 수리 모델로 되었다.
메이의 연구 이후.
메이는 리톈옌(Tien-Yien Li)과 J. A. 요크(J. A. Yorke)가 논문 ”Period three implies chaos”(3주기는 혼돈을 의미한다)에서 사용한 '혼돈'이라는 표현을 적극적으로 사용했고, 이 논문도 주목됐다. 이론도 있으나, 이 리와 요크의 논문은 '혼돈'이라는 말을 수학 용어로 처음 사용했다고 추정되며, 해당 논문에 의해 결정론적인 무질서적 움직임을 가리키는 용어 '혼돈'이 생겨났다고 여겨진다. 리와 요크는 1973년에 해당 논문을 일단 완성시켰으나, "더 아메리칸 매스매티컬 먼슬리"(The American Mathematical Monthly)에 투고한 결과 연구 색이 너무 강하므로 알기 쉽게 대폭 다시 쓰라는 통보를 받고 게재가 기각됐다. 이후 논문은 수정되지 않고 내버려져 있었다. 그러나 이듬해 1974년에 리와 요크가 있던 메릴랜드 대학교에 메이가 특별 초대 강의로 찾아와 로지스틱 사상의 이야기를 했다. 당시 메이는 로지스틱 사상의 혼돈 영역에서 무엇이 일어나는지 아직 이해를 하지 못했으나, 리와 요크 또한 로지스틱 사상의 주기배가 캐스케이드에 대해서 알지 못했다. 메이의 이야기에 흥분한 리와 요크는 강의 후 메이를 붙잡아 둘이서 얻어낸 결과의 이야기를 했다. 바로 리와 요크는 기각된 논문을 다시 썼고, 재제출된 논문은 1975년에 출판됐다.
또 1975년 즈음, 수리생물학자 미첼 파이겐바움은 로지스틱 사상의 주기배가 캐스케이드에 주목했고, 분기값이 등비수열적으로 수렴하는 척도 법칙을 알게 됐고, 오늘날 파이겐바움 상수라고 불리는 상수의 존재를 수치 실험에서 발견했다. 메이도 조지 오스터(George Frederick Oster)와 함께 그 척도 법칙을 알게 됐으나, 깊이 들어가지는 못했다. 파이겐바움은 식 ()에서 보인 사인 함수에서도 같은 상수가 나타나는 것을 발견했고, 이 척도 법칙에는 로지스틱 사상만으로 그치지 않는 보편성이 있다는 것을 알게 됐다. 1980년에는 이 결과에 대한 엄밀한 증명이 P. 콜렛(Pierre Collet), J-P. 에크맨(Jean-Pierre Eckmann), 오스카 랜포드(Oscar Lanford) 등에 의해 나오게 됐다. 파이겐바움과 거의 동시기 혹은 그 뒤, 물리학자들에 의해 실제 현상에 같은 주기배가 캐스케이드와 파이겐바움 상수가 발견됐고, 어디까지나 수학적 현상으로 간주됐던 혼돈은 물리학 방면에서도 큰 충격을 주었다.
단 혼돈 유행 이전의 연구 성과가 경시됐고, 그들의 연구 성과의 대부분이 로지스틱 사상 등을 이용한 재발견자의 공적 취급을 받는 풍조에 대한 비판도 있다. 메이 자신도 선행 연구가 있었다는 것을 존중한 뒤 자신의 공적은 '이차 사상의 기괴한 수학적 거동을 독립적으로 최초로 발견'이라고 한 것이 아닌 자신은 '마지막으로 과학의 그 광범위한 의미를 강조한 연구자들' 중 한 명이라고 자리매김했다. 수학자 로버트 L. 드바니(Robert L. Devaney)는 저서에서 로지스틱 사상의 해설에 들어가기 전에 다음과 같이 말했다.
컴퓨터 시뮬레이션(computer simulation)은 컴퓨터의 계산 능력을 이용한 시뮬레이션이다. 실세계 또는 물리 시스템의 산출 또는 행위를 예측하기 위해 설계된, 컴퓨터에서 수행되는 수학적 모델링의 과정이다. 일기예보 등에 쓰인다.
송 공공(宋共公, ? ~ 기원전 576년)은 중국 춘추 시대의 인물로, 제25대 송공이다. 성은 자(子), 휘는 하(瑕)이다.
공공 13년(기원전 576년), 공공은 죽었다. 태자 비(肥)는 그해에 사마 당산에게 살해당해, 공공의 작은아들 성(후의 송 평공)이 뒤를 이었다.
자연환경국민신탁(自然環境國民信託, )은 보전가치가 있는 자연환경자산을 국민, 기업, 단체 등으로부터 기부·증여를 받거나 위탁받은 재산을 활용, 자산을 취득하고 이를 영구히 보전·관리하기 위하여 설립된 단체이다. 경기도 안양시 동안구 흥안대로 514 (인덕원프라자702호)에 위치하고 있다.
복합소재기술연구소(複合素材技術硏究所)는 복합재료 관련 원천기술을 개발·보급하기 위하여 설립된 대한민국 미래창조과학부 산하 기초기술연구회 한국과학기술연구원 분원이다. 전북특별자치도 완주군 봉동읍 추동로 92에 위치하고 있다.
제4회 한국야구대제전은 2013년 12월 5일부터 12월 12일까지 포항야구장에서 열렸고, 대한야구협회와 스포츠동아가 공동 주최한 대회이다. 광주동성고등학교가 우승하였으며, 최우수선수로는 윤도경이 OB 최우수선수로는 두산 베어스의 이원석이 선정되었다.
미스틱(, 1995년 1월 8일 ~ )은 대한민국의 리그 오브 레전드 프로게이머로 포지션은 AD 캐리이다. 아이디는 Mystic이다.
2013년 6월부터 CTU에서 활동했다. 2013년 10월, 팀에서 퇴단했다.
2013년 10월, 진에어 그린윙스 스텔스에 입단했다. 2013-2014 윈터 시즌에서는 좋지 못한 모습을 보여주었다.
2014년 2월, 형제팀인 진에어 그린윙스 펠컨스에 입단했다. 2014년 5월, 팀에서 퇴단했다.
2015시즌을 앞두고 팀 WE에 입단했다. 2015시즌에서는 성장한 모습을 보여주면서 팀의 주전 원딜러로 활동했다. 서머 시즌에서는 팀이 승강전으로 향하게 되었지만 잔류에 성공했다.
2016시즌에서는 더 발전된 모습을 보여주었다. 2016 스프링 시즌에서는 팀의 3위에 기여했다. 또한 서머 시즌에서는 4위에 기여했다.
2017 스프링 시즌에서는 정상급의 활약을 보여주면서 팀의 우승을 이끌었다. 스프링 우승으로 참가하게 된 2017 MSI에서는 좋은 모습을 보여주면서 팀의 4강에 기여했다. 리프트 라이벌즈 2017에서는 LPL의 우승에 기여했다. 2019 서머 시즌 팀은 스프링 시즌보다 좋지 못한 모습을 보여주었지만 미스틱은 팀의 에이스로 활약하면서 팀의 포스트시즌 진출에 기여했다. 롤드컵 선발전에서는 팀의 롤드컵 진출에 기여했다. 롤드컵 2017에서는 팀의 에이스로 활약하면서 팀의 롤드컵 4강 진출에 기여했다.
2018 스프링 시즌에서는 폼이 떨어진 모습을 보여주었다. 서머 시즌에서는 초반 좋지 못한 폼을 보여주었으나 이후 폼을 끌어올렸다.
2019 스프링 시즌에서는 팀의 에이스로 활약하면서 팀의 포스트시즌 진출에 기여했다. 시즌 종료 후 퍼스트팀에 선출되었다. 서머 시즌에서도 팀을 멱살잡고 끌어올리며 팀의 포스트시즌 진출에 기여했다. 시즌 종료 후 서드팀에 선출되었다.
2020시즌을 앞두고 아프리카 프릭스에 입단했다. 스프링 시즌에서는 개인사등의 문제가 겹치면서 부진한 모습을 보여주었다. 서머 시즌에서는 좋은 모습을 보여주면서 팀의 포스트시즌 진출에 기여했다.
2021시즌을 앞두고 징동 게이밍에 입단했다. 스프링 시즌에서는 비자 문제로 출전하지 못했다. 서머 시즌에서도 출전하지 못했다. 2021시즌 종료 이후 팀에서 퇴단했다.
사단법인 한국상하수도협회(韓國上下水道協會, )는 수도에 관한 조사 연구, 기술 개발, 그 밖에 수도의 건전한 발전을 꾀하기 위하여 수도법에 근거하여 설립된 특수법인으로 환경부 장관의 관리/감독을 받는다. 서울특별시 영등포구 대림로 244 (대림동)에 위치하고 있다.
cD은하()는 D형 거대타원은하의 하위 유형으로, 거대한 별 헤일로를 가지는 은하의 한 형태분류이다. 이들은 몇몇 부유 은하단의 중심 근처에서 발견된다. 초거대 타원 은하("supergiant elliptical") 나 중심 지배 은하("central dominant") 로 알려져 있기 도 하다.
cD은하.
cD형은 D형과 같이 현재도 쓰이는 여키스 은하 분류의 두 분류 중 하나이다. "cD"에서 "c"는 은하가 매우 크다는 사실, 즉 초거대("supergiant")를 의미하고, "D"는 은하가 확산되어 보인다는 사실을 의미한다. "cD"의 역성어로 자주 중심지배은하("central Dominant")를 의미하는데 쓰인다. cD은하는 흔히 가장 거대한 은하로 간주되고 있기도 하다.
cD은하는 렌즈상은하(S0)나 타원은하(E#)와 유사해 보이지만, 일부는 반지름이 백만 광년을 넘는 외포층을 가지고 있는 만큼 몇배나 크다. 이들은 낮은표면밝기의 거대한 외포층을 가지는 타원처럼 보인다. 현재 cD은하는 은하병합의 결과로 여겨지고 있다. 일부 cD은하는 다중 은하핵을 가지고 있다. cD은하는 은하단의 가장 밝은 은하단 은하(BCG)로 자주 발견된다. 많은 화석 은하군 은하는 cD BCG 은하와 유사하다. 이는 일부에게 화석 은하군의 형성 결과가 cD은하이고, 이후 새로운 은하단이 화석 은하군 근처에 응집한다는 가설화로 이어진다. 그러나, cD은하 그 자체는 화석 은하군과는 달리 낱은하로 발견되지 않는다. cD은하의 약 20%는 BCG이다.
cD은하는 은하단의 중심으로 나선을 그리며 떨어지는 은하와의 병합을 통해 성장하는 것으로 여겨지고 있다. 이는 1965년 허버트 J. 루드에 의해 최초로 발표된 이론이다. 이 "포식"("cannibalistic") 성장 방식의 결과로 압도적인 직경과 반지름의 cD은하가 된다. 은하단에서 두번째로 가장 밝은 은하는 보통 cD은하에게 "먹히고" 있는 결과이기 때문에 덜 밝다. "먹힌" 은하의 잔해는 때때로 가스와 먼지로 구성된 확산 헤일로로 보인다. 이 헤일로의 크기는 최대 직경 300만 광년이다. cD은하는 은하단의 12.5 비리얼 반지름 내의 총 중입자 질량에 근거해서 은하단의 질량의 1~7%를 차지하는 것으로 추정된다.
동역학적 마찰.
동역학적 마찰은 은하단의 중심에서의 cD은하의 형성에 관한 중요한 규칙의 역할을 하는 것으로 여겨지고 있다. 이 과정은 은하단에서 큰 은하의 운동으로 인해 발생하는 뒤쪽의 흔적(배가 지나가듯이)이 작은 은하와 암흑물질을 끌어당기면서 시작된다. 이로 인한 고밀도 영역은 큰 은하의 뒤를 따라가면서 은하의 속도를 느리게 만드는 일정한 중력을 가하게 된다. 운동에너지를 상실하게 되면서, 큰 은하는 서서히 은하단의 중심방향으로 나선을 그리며 떨어진다. 그렇게 되고나면, 큰 은하의 별, 가스, 먼지, 암흑물질과 큰 은하를 뒤따르는 은하들은 앞서 움직이는 은하와 함께 동일한 운명을 맞이하게 된다. 거대 또는 초거대확산 또는 타원은하는 이 응집의 결과일 것이다. 병합되거나 병합 중인 은하의 중심은 cD 은하의 다중 은하핵으로서, 긴 시간동안 쉽게 알 수 있는 흔적이 남는다.
cD은하단.
cD은하는 은하단을 정의하는데 이용되기도 한다. 중심에 cD은하를 포함하는 은하단을 cD은하단이라 일컫는다.
장준혁(2004년 7월 15일 ~ )은 대한민국의 배우이다.
조슈아 밀턴 블라히(Joshua Milton Blahyi, 1971년 9월 30일 출생)는 라이베리아의 목사이자 전직 군벌이다. 엉덩이를 깐 장군(General Butt Naked)이라는 별칭으로도 잘 알려져 있다. 라이베리아의 군벌 루즈벨트 존슨과 함께 제1차 라이베리아 내전에서 싸운 경험이 있다.
1990년대 블라히는 난폭하고 희한한 방식을 사용해 유명세를 떨쳤다. 원래 부족 주술사였던 블라히는 전쟁이 끝난 이후 기독교로 개종해 목사가 됐다.
블라히는 라이베리아의 사르포족(Sarpo tribe)의 일원으로 출생했다. 블라히는 자신이 11세 때 부족 주술사가 되어 자신의 첫 번째 인간 제물 의식(인신공희)에 참여했다고 밝혔다. 3일간 계속된 의식의 과정 속에서 블라히는 악마가 등장하는 영상을 보게 됐다. 영상 속의 악마는 그에게 위대한 전사가 될 것이며, 블라히의 힘을 증가시키려면 인신공희와 식인을 계속해야 한다고 말했다.
크란인(Krahn) 지도자들은 나중에 블라히를 고위 주술사로 임명했다. 이 덕분에 블라히는 라이베리아 대통령인 사무엘 도(Samuel Doe)의 영적인 조언자가 될 수 있었다.
블라히는 크란.
"나는 크란인 최대신의 고위 주술사였다. 그리고 나와 같은 부족 출신이었던 사무엘 도 역시 자동적으로 나의 권한 아래로 들어왔다. 또한 나는 니안비아웨(Nyanbe-a-weh)를 서아프리카 흑마녀 해안사단(black witch coastal line division)의 최고신 셋중 하나로 위치시켰다"(블라히 본인의 진술)
블라히에 따르면 니안비아웨는 그의 수호신이다. 또한 니안비아웨는 블라히에게 의식에 쓸 제물(ritual sacrice)을 요구했다. 결국 블라히는 니안비아웨가 어릴적 자신이 본 영상에 등장하는 악마라고 믿게 됐다.
블라히의 설명에 따르면 크란인인 출생 시의 계급에 의해 지도자를 뽑지 않는다. 그들은 신체적 역량을 기준으로 지도자를 뽑는다. 1년에 한번 열리는 싸움 행사를 통해 지도자가 결정된다. 블라히의 설명에 따르면 싸움 행사에서 최후의 승자는 자신의 힘과 용기를 보이기 위해 상대를 죽이거나 불구로 만들 수 있다. 이 마지막 승자가 부족의 지도자가 되는 것이다.
블라히는 자신의 병사들이 신발만 신은 채 벌거벗게 했다. 그는 알몸 상태가 총알로부터 자신을 막아줄 것으로 생각했다. 훗날 블라히는 전투에 들어가기 전에 정기적으로 인간 제물을 바쳐왔다며 "대체로 어린 아이가 제물이 됐다. 그의 신선한 피가 악마를 만족시켜줄 테니까"라고 말했다.
다음은 시애틀 포스트인텔리젠서와의 인터뷰에서 그가 말한 내용이다. "때때로 나는 아이들이 노는 물 속에 들어가곤 한다. 물 속으로 뛰어들어 한 아이를 붙잡고, 그를 품속에 끌고 나와 목을 꺾는다. 가끔은 사고를 일으킬 때도 있다. 아이들을 그냥 죽일 때도 있었다" 2008년 1월 블라히는 자신의 인신공희 사실을 고백하며 "죄 없는 아이를 죽이고 심장을 뽑아낸 후 잘라내 나눠 먹은 적도 있다"고 말했다.
블라히의 설명에 따르면 그의 병사들은 전투 직전 술과 마약을 복용하고, 동네의 청소년을 죽인 후 그 피를 마셨다. 그 후 신발만 신고 나체가 된 채로 전투에 뛰어들었다. 색색의 가발을 쓰고 민간인으로부터 약탈한 가상의 지갑(imaginary purse)도 지참했다.
블라히의 군대는 보이는 대로 사람들을 죽이고, 머리를 잘라 축구공으로 쓰기도 했다. 죽인 사람만 수백 명이 넘어 셀 수 없을 정도였다. 그는 자신의 나체 군대가 술 취한 채로 겁없이 움직였지만 전략적으로 움직였다고 말했다.
블라히가 전쟁에서 활약할 동안 그는 스스로를 투명하게 만드는 마법의 힘이 있다고 소문이 파다했다. 또한 '특별한 힘'을 사용해 단독으로 마을을 점령하고 자신의 부대로 하여금 청소를 하게 했다는 이야기도 있었다. 주로 10대 초반으로 구성된 블라히의 병사들은 나체 또는 여성 옷을 입고 전투에 참가했다. 2006년 6월 출간된 블라히의 자서전에는 그가 신발만 신은 채 총을 들고 있는 사진이 실렸다.
1차 라이베리아 내전 기간동안 그가 이끌었던 부대는 '엉덩이를 깐 여단'(Butt Naked Brigade)으로 불렸다. 루스벨트 존슨의 자금지원을 받은 블라히의 여단은 '민주주의를 위한 연합 라이베리아 해방운동'(ULIMO, 사무엘 도를 지지함) 민병대와 한 편에 섰다. 이들은 찰스 테일러와 프린스 존슨의 민병대에 맞섰다. 프린스 존슨은 사무엘 도를 처형한 인물이었다. 결국 찰스 테일러가 라이베리아를 지배했다.
블라히의 학살극은 1996년에 끝이 났다. 라이베리아 내전도 막바지에 달한 시점이었다. 그는 비숍 쿤 쿤(Bishop Kun Kun)이 목사로 있는 교회에서 개종했다. 교회 사람들은 블라히를 구원하기 위해서는 54일간 단식을 해야 한다는 신의 음성이 들려왔다고 주장한다. 단식을 마친 이들은 신으로부터 영적인 힘을 받아 블라히의 집회장에 잠입할 수 있었고 그에게 설교를 했다. 설교가 끝난 뒤 블라히는 번쩍이는 빛처럼 나타난 예수 그리스도의 현신(theophany)이 자신을 아들로 칭하는 것을 들었다고 한다. 또한 예수의 현신은 블라히에게 죄를 뉘우치지 않으면 죽을 것이라 말했다고 한다.
1997년 블라히는 가나 부두부람(Buduburam)에 갔다. 여기서 그는 자신의 죄를 고해하고 구원을 받았다고 말한다. 목사가 된 지금 블라히는 설교를 나갈 때 자신이 죽였던 자들의 친척들과 마주치곤 한다. 그 때마다 그는 자신을 지배했던 악마의 힘 때문에 나쁜 기분을 느끼곤 한다고 말한다. 현재 블라히는 전쟁 범죄에 대한 재판을 받을 의사가 있음을 밝히고 있다.
목사가 된 블라히는 조시 목사와 결혼해 4명의 자녀를 뒀다. 한동안 그는 가족과 떨어져 가나에 숨어 있었다. 자신에게 피해를 본 사람들과 그 친적들의 보복이 두려웠기 때문이다. 2008년 라이베리아로 돌아온 블라히는 진실화해위원회에 참석해 1980년부터 1996년 동안 자신과 병사들이 2만 명 이상의 죽음에 책임이 있다고 밝혔다. 위원회는 이 숫자를 인정했다.
진실화해위원회에서 자신의 전쟁범죄를 증언한 블라히는 이후 스스로를 '조슈아'로 칭하며 목사로 활동하고 있다. 슈피겔에 따르면 2013년 10월 현재 블라히는 쿤 쿤 목사가 있는 몬로비아의 한 교회에서 성서를 강독하며, 예전 자신의 소년병으로 활동했던 사람들을 위한 전도단을 만들었다.
또한 블라히는 위원회가 끝난 뒤 전쟁범죄의 희생자가 된 사람들을 찾아 용서를 구하는 활동을 하고 있다. 2013년 현재 그는 77명의 피해자들을 만나 용서를 구했다. 그들 중 19명이 블라히를 용서했다.