shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
9월까지 혁명재판소가 결성되었는데, 압델 바그다디, 안와르 사다트, 하산 이브라힘 세 명의 장교들만이 판사로 구성되었다. 타흐리르 광장에서 열린 연설에서 살라 살렘은 이집트의 식민주의가 병사나 무기로 통치한 것이 아니라 "배신자"로 통치했다고 묘사했다. 살렘은 RCC가 "제국주의와 그 이익에 봉사한 이집트 배신자들과의 투쟁"에 전념하고 있다고 설명했다. 배신자들은 특히 대학을 통해 경제를 불안정하게 만들고 군대에 대한 증오를 유발하려는 소문을 퍼뜨리고 있었다. 그는 누구의 이름을 직접 거론하지 않았지만, 왕의 손에 키스하는 당 지도자의 조롱적인 모방은 알-나하스를 명백히 연상시켰다. 살렘의 연설은 학생 시위대와 노동자 파업이 반혁명 음모의 일부라는 RCC의 사고방식을 가장 잘 보여준다.
연설 일주일 만에 정부는 11명의 정치인을 체포했고, 나하스와 그의 아내를 가택 연금에 처했다. 전 총리이자 사아디스트 제도당 지도자 이브라힘 압델 하디 파샤의 부패와 하산 알-반나 살해 혐의에 대한 재판은 일주일 만에 끝났고, 법원은 그에게 사형을 선고했지만 3일 후 종신형으로 감형되었다. 대부분의 피고인들은 10~15년형을 받거나 재산을 박탈당하거나 벌금을 부과받았다. 가장 가혹한 형은 수에즈 반란에서 영국 협력자들에게 내려졌다. 재판을 받은 13명 중 11명이 유죄 판결을 받았고, 4명이 교수형에 처해졌으며, 1명은 종신형을 받았고 나머지는 10~15년형을 선고받았다.
푸아드 세라게딘의 재판은 단지 혐의—5,000 이집트 파운드 뇌물, 1948년 전쟁 중 무기 밀매, 국왕의 해외 자금 이전 허용, 1945년 교통부 장관 시절 도로 포장으로 인한 불법 이득, 면화 산업 독점 공모—에 대한 것 이상이었다. 사실상 와프드당 전체가 재판에 회부된 것이었다. 검찰은 주로 세라게딘의 와프드당 내 권력 상승과 1950년 정부에서의 개인적인 실패에 초점을 맞췄다. 세라게딘의 경쟁자들, 즉 이집트 자유주의 정부의 주요 인물들이 개인적인 불만을 털어놓기 위해 증인석에 섰다. 증인으로는 전 총리들(아흐메드 나기브 엘-힐랄리, 후세인 시리 파샤, 알리 마헤르 파샤), 무함마드 후세인 헤이칼, 마크람 에베이드가 포함되었다. 자신의 변호에서 세라게딘은 자신을 자랑스러운 민족주의자로 내세우며, 1951년 이스마일리아 경찰에게 무기 투항을 거부하라고 명령했던 사실을 인용했다. 결국 그는 15년형을 선고받았지만, 1956년에 석방되었다.
정당들이 금지되자 RCC는 해방 집회를 결성했는데, 이는 기존의 모든 정치 운동을 흡수할 운동이었다. 집회와 연설에서는 효과적이었지만, 형제단, 와프드당, DMNL과 같은 제도적 권력을 가지고 있지는 않았다. 이집트 정치권의 다른 권력 중개자들이 참여하지 않았기 때문에 집회는 장교들을 위한 도구로 남아 있었다.
노골적인 세속주의를 표방하는 새 헌법에 반대하여 무슬림 형제단이 있었다. 게다가, 평의회가 내린 명령과는 달리, 해방 집회 회원들은 압수된 비무슬림 재산의 대부분을 자신들의 폐쇄적인 네트워크 내에서 축적하고 분배했다. 정치적, 경제적 전리품에서 소외되고 국왕 치하에 존재했던 것과 같은 자유장교단 내에서의 세속주의와 근대주의의 지속을 목격한 무슬림 형제단은 자신들의 거리 조직원들을 동원했다. 1953년 6월부터 다음 해까지 이집트는 정권과 무슬림 형제단이 대중적 지지를 놓고 싸우면서 거리 폭동, 충돌, 방화, 시민 소요로 몸살을 앓았다.
반좌파 탄압.
RCC와 DMNL 간의 관계는 쿠데타 이전에 수립되었다. DMNL 지도자 아흐마드 함루시는 7월 22일 나세르를 만났고, 그에게 알렉산드리아에서 충성스러운 군대를 동원하도록 명령했다. DMNL은 군사 조직 내에서 칼레드 모히에딘을 포함한 약 60~70명의 장교들로 구성된 군사 부문과 연결되어 있었다. DMNL 군사 부문의 지도자 아흐마드 함루시는 자유장교단 회원은 아니었지만, 쿠데타에 대한 사전 지식을 부여받았고, 나중에 이를 DMNL의 나머지 구성원들과 공유했다.
장교들과 노동운동 간의 첫 충돌은 쿠데타 한 달 만에 시작되었다. 카프르엘다우와르 시에서는 현지 노동자들이 임금 인상, 유급 휴가, 독립적인 선출된 노동조합, 그리고 경영진 두 명의 해고를 요구하며 파업에 돌입했다. 만 명의 도시 노동자들이 파업에 참여하여 무함마드 나기브를 찬양하는 구호를 외쳤다. 노동자들은 회사 경찰의 집을 불태우고, 회사 사무실과 의료 시설의 직원 파일을 파괴하며, 생산성 테스트에 사용되는 장비를 부쉈다. 경찰이 출동하여 공장을 포위했고, 노동자들과 경찰 간의 충돌로 많은 부상자가 발생했으며 몇 명이 사망했다. 나기브는 파업 지도자 중 한 명인 무스타파 알-카미스를 만나, 동료 노동자들의 이름을 알려주면 형량을 줄여주겠다고 제안했다. 그는 거부했고, 1952년 9월 7일 공범인 아흐마드 알-바크리와 함께 공장 부지에서 교수형에 처해졌다. 그의 마지막 말은 "나는 부당하게 대우받았다, 재심을 원한다"였다. RCC는 파업이 외부 세력의 영향을 받았다고 확신했지만, DMNL이 폭동을 지시했다는 증거는 없다.
이집트 공산당(ECP)은 쿠데타 일주일 만에 군부에 반대했다. ECP는 국왕을 재판에 회부하지 않고, 군주제를 즉시 폐지하지 않으며, 정치적 권리를 즉시 회복하지 못하자 군부를 '거대한 기만'으로 명명했다. 당의 공동 창립자인 이스마일 사브리 압둘라는 이렇게 말했다.
좌파 정당 중 가장 큰 규모였던 DMNL은 1953년 초 정당 금지 조치 이후 RCC에 단호히 반대했다. 대학 캠퍼스에서 시위하는 사람들은 "어떻게 행동해야 하는지" 배울 때까지 군사 아카데미에 구금되었다. 이미 1952년 말, 대학 학생회 선거에서 공산-와프드 연합은 당시 RCC의 지지를 받던 무슬림 형제단을 물리쳤다. 반공산주의 체포의 물결은 1953년에서 1954년 내내 계속되었다. 1953년 7월 27일 ECP 회원들의 재판에서 와프드당의 보조 비서였던 마흐무드 간남은 변호를 맡아, 자유장교단도 쿠데타 이전에 전단지를 배포했는데 왜 피고인들이 전단지 배포 혐의로 기소되어야 하는지에 대해 나세르, 나기브 및 다른 RCC 회원들을 소환하여 심문할 것을 요구했다. 장교들은 이 도전을 받아들이지 않았다. 법원은 나중에 이집트의 대무프티로부터 증언을 들었는데, 그는 공산주의를 반종교적이고 '전복적'이라고 비난했다. DMNL은 와프드당의 잔존 세력과 통일 전선을 형성하려 했지만, 이는 진지하게 실현되지 않았다. 학생 시위는 1954년 여름까지 계속되었다.
1954년.
1월에 무슬림 형제단은 불법 단체가 되었다. 2011년 혁명까지 불법 정치 조직으로 남아 있었다. 이 조치는 1954년 1월 12일 형제단과 해방 집회 학생 시위대 간의 충돌 이후에 나왔다. 3월에는 RCC 내부에서 충돌이 있었는데, 이는 결국 나기브를 축출하려는 시도로 상징되었다. 이 움직임은 군대 내부와 RCC 일부 구성원, 특히 칼레드 모히에딘으로부터 반대에 직면했는데, 그들은 헌정 정부로의 복귀를 선호했다. 10월 26일, 형제단에 의한 것으로 의심되는 암살 시도가 알렉산드리아 집회 도중 나세르를 겨냥했다. 이는 정권이 형제단에 맞서 행동하게 만들었고, 12월 9일 형제단 지도자들을 처형하게 되었다. 나세르는 이후 권력을 공고히 했고, 먼저 RCC 의장이 되었으며, 최종적으로는 총리가 되었는데, 나기브의 헌법적 지위는 11월 14일까지 모호하게 남아 있다가 해임되어 가택 연금에 처해졌다.
한편, RCC는 영국과 프랑스에 대한 반대, 특히 수에즈 운하와 관련하여 단결을 유지할 수 있었다. RCC의 계속된 요구에도 불구하고, 유엔에서의 논쟁, 그리고 미국과 소련의 압력에도 불구하고 영국은 운하 통제권을 새 정권에 넘겨주기를 거부했다. RCC는 수에즈 운하 지역과 다미에타에서 영국과 프랑스에 대한 공격을 점점 더 많이 자금 지원하고 조율하기 시작했다. 마침내 10월 19일, 나세르는 영국군이 이집트에서 20개월에 걸쳐 완전히 철수하는 조약에 서명했다. 2년 후인 1956년 6월 18일, 나세르는 운하 지역에 이집트 국기를 게양하며 영국군의 완전 철수를 발표했다.
나세르 대통령은 1월 16일 대중 집회에서 새로운 헌법을 발표하여, 대통령이 장관을 임명하고 해임할 권한을 가진 대통령제를 수립했다. 3월 3일에는 여성에게 이집트 역사상 처음으로 투표권을 부여하는 선거법이 통과되었다. 나세르는 6월 23일 이집트 공화국의 두 번째 대통령으로 선출되었다. 1957년, 나세르는 국민 연합 (이집트)(알-이티하드 알-카우미)의 결성을 발표하여, 1952년 이후 첫 의회인 국민 의회 총선이 7월에 열릴 수 있도록 길을 열었다.
혁명 기념일은 매년 7월 23일 혁명 기념일 (이집트)로 기념되며, 이집트의 공휴일이다.
이호영(1980년 6월 23일 ~ )은 대한민국의 배우이다.
KC 앤드 더 선샤인 밴드()는 미국의 디스코 밴드이다.
《베터 콜 사울》()은 2015년부터 2022년까지 방영된 드라마이다. 빈스 길리건과 피터 굴드가 제작했으며, 《브레이킹 배드》에 등장하는 변호사 사울 굿맨을 주역으로 한 스핀오프 작품이다. 이야기는 사울이 《브레이킹 배드》에 등장하기 6년 전인 2002년부터 시작한다. 2015년 2월 8일부터 AMC에서 방영되었다.
마이클 매키언(, , 1947년 10월 17일 ~ )은 미국의 배우, 희극인, 영화 각본가, 감독, 가수, 작곡가, 음악가이다.
BLT 샌드위치()는 샌드위치의 일종으로, 빵에 베이컨 (bacon), 양상추 (lettuce), 토마토 (tomato)가 들어가기 때문에, 각각의 머리 글자를 따왔다.
광양항국제여객터미널(光陽港國際旅客 - , )은 전라남도 광양시에 있는 여객선 터미널이다. 2011년에 광양시와 일본 시모노세키시, 기타큐슈시의 모지항을 연결하는 여객선의 운항과 함께 개항하였다가 운휴중이다.
요괴 미니시리즈.
요괴 미니시리즈란, 본편 에피소드와 달리 요괴가 주인공으로 등장하는 연작 에피소드를 의미한다. 최소 2부작, 최대 8부작까지 방영하는 것으로 보이며, 지금까지 방영된 요괴 미니시리즈는 다음과 같다.
2014년 12월 20일에 일본에서 영화 《》의 제목으로 개봉하였다. 그리고 대한민국에서는 2015년 4월 12일 투니버스 공식 카카오스토리에서 서울 여의도 벚꽃 축제 현장에 티저 포스터가 공개되어 2015년 7월 22일에 CJ ENM의 계열로 수입배급해서 한국판으로 개봉되었다.
2015년 12월 19일에 일본에서 요괴워치 2기 극장판 《》의 제목으로 개봉하였다. 그리고 대한민국에서도 현장에 티저 포스터가 공개되어 2016년 7월 20일에 CJ ENM의 계열로 수입배급해서 한국판으로 개봉되었다.
그리고 대한민국에서도 2017년 9월 27일에 CJ ENM의 계열로 수입배급해서 개봉하였다.
레이프 개릿(, 1961년 11월 8일 ~ ), 또는 그의 본명 레이프 퍼 너빅()은 미국의 가수, 영화배우, 드라마 배우이다. 1970년도에 세계에서 가장 유명한 청소년 아이돌로 꼽혔다. 그러나 나중에는 패배한 소송과 심한 마약문제로 인하여 오명이 났다.
레이프는 어린 시절에 굉장한 유명을 얻으면서 나중에 급하락했다는 점에 대해 매우 오명이 있다. 1961년 11월 8일, 미국의 캘리포니아주에 있는 할리우드에서 태어났다. 1966년, 다섯살이 되었을 즈음 연기를 배우기 시작했으며, 1969년에는 "Bob &amp; Carol &amp; Ted &amp; Alice"라는 드라마에 처음으로 데뷔했다. 1973년에 "The Walking Tall"이라는 영화에도 출연을 했다. 다른 방송에서도 같이 촬영요구를 하면서 인기는 높아져 갔다. 1974년에 "Macon County Line"이랑 "Walking Tall 2" 같은 텔레비전 시리즈에 더욱 진출하며, 연기자로서 굉장한 인기를 얻었다. 1977년에는 음악시장에도 관심을 가지며 진출을 했다. "Beach Boys", "Surfin' U.S.A"랑 "I Was Made for Dancing" 같은 곡으로 또 다시 대성공을 일으켜, 특히 여성 청소녀들의 인기를 얻었다. 여자들을 집중하는 잡지들에 많이 나타났으며, 이때쯤이 제일 성공적이였다고 한다. 1978에는 "Can't Explain"이라는 곡도 제작하며 락엔롤에서 상당한 영향도 줬다고 한다.
연기자랑 가수되는 외에는 별로 좋게 성장하는 편이 아니었다. 14살에 마약을 이용하기 시작했다고 하며, 17살때쯤에는 파티랑 노는것에 집중하여 인생이 하락하고 있었다. 어느 날, 그의 친구랑 같이 운전하면서 교통사고를 일으켰다. 이로서 그의 제일 친한 친구인 롤런드 윙클러(Roland Winkler)는 신체마비로 인하여 장애인으로 되버리면서 매우 상황이 나빠졌다.
야마케라톱스("Yamaceratops")는 백악기 후기에 살았던 공룡의 한 속으로 몽골의 고비사막에 살았던 원시적인 각룡류이다. 원래 야마케라톱스가 발견된 암석은 백악기 전기의 지층으로 생각되었으나 2009년에 재평가되었다.
모식종인 야마케라톱스 도른고비엔시스("Yamaceratops dorngobiensis")는 2006년 9월 P.J. 마코비키와 M.A. 노렐이 기재했다. 저자들은 야마케라톱스가 계통발생학적으로 신각룡류 안에서 리아오케라톱스와 아르카이오케라톱스의 중간 쯤에 위치하는 공룡이라고 보았다. 야마케라톱스의 프릴을 조사해본 저자들은 프릴이 과시에 사용된 것이 아니라고 확신했으며 이 화석이 "각룡류의 프릴이 더 복잡한 진화의 역사를 가지고 있음을 암시한다"고 보았다.
속명은 티베트 불교의 신인 야마에서 온 것이며 종명은 고비 동부를 가리키는 것이다. 완모식표본인 IGM 100/1315는 두개골 일부로 구성되어 있다. 2002년와 2003년에 추가로 화석들이 발견되어 야마케라톱스 속으로 분류되었다.
동해 삼화사 철조노사나불좌상(東海 三和寺 鐵造盧舍那佛坐像)는 대한민국 강원특별자치도 동해시 삼화사 대웅전에 있는 통일신라 시대의 철불이다. 1998년 12월 18일 대한민국의 보물 제1292호로 지정되었다.
머리에는 작은 소라 모양의 머리칼을 붙여 놓은 듯하며, 얼굴에는 비교적 살이 올라 통일신라시대의 풍이 엿보인다. 가늘고 길게 뜬 눈, 오똑한 코, 두툼한 입술은 전체적으로 단정한 모습이다. 양 어깨를 감싸고 있는 옷은 주름이 도식적이며, 복부까지 속이 드러나 허리띠와 드리워진 매듭이 보인다. 손은 오른손을 들어 손바닥을 밖을 향하게 하고, 왼손은 아래로 내려 손바닥을 밖으로 향하도록 복원하였다.
복원과정 중 오른쪽 등판면에서 약 10행 161자로 된 글을 발견하였다. 내용에 노사나불이란 명칭이 2번 나와 이 불상의 이름을 알 수 있으며, 시주자의 부모를 위해 880년대에 활약한 결언 스님을 중심으로 화엄경에 따라 불상을 조성했다는 기록을 통해 통일신라 말에서 고려 초에 만든 것으로 추정할 수 있다.
동해 삼화사 소장 갑사본 천지명양수륙재의찬요(東海 三和寺 所藏『甲寺本 天地冥陽水陸齋儀纂要』)는 대한민국 강원특별자치도 동해시 삼화동 삼화사에 있는' 조선시대의 수륙재의 제반 의식에 필요한 절차의 요점만을 뽑아 간결하게 정리하여 設行者의 편의를 도모하고자 편찬한 의식집이다. 2011년 6월 17일 강원특별자치도의 문화재자료 제150호로 지정되었다.
표제는 ‘中禮文’, 내지 첫 면에 ‘天地冥陽水陸齋儀纂要’로 되어있다. 체제는 덕주사본과 같으나 41장-4행~46장-2행까지 缺刷되어 있다.
권말에 ‘萬曆三十五年丁未三月忠淸道公州地鷄龍山甲寺開’ 간기가 판각되어 있어 1607년 공주 계룡사에서 간행한 것임을 알 수 있다.
권말의 시주면 맨 끝에 ‘前五德寺持任 天珪華’가 기재되어 있어, 이 책의 간행은 오덕사 주지를 지낸 천규화가 주관하였음을 알 수 있다. 그리고 ‘刻手秩 車彦水’라는 기록으로 보아 차언수에 의해 판각된 것으로 보인다.
이 책은 수륙재의 제반 의식에 필요한 절차의 요점만을 뽑아 간결하게 정리하여 設行者의 편의를 도모하고자 편찬한 의식집으로, ‘中禮文’으로 약칭되기도 한다. 삼화사에서 국행수륙대재 설행 시 참고 서적으로 활용하였다.
수륙재는 불교에서 물과 육지에서 헤매는 외로운 영혼과 餓鬼를 달래며 위로하기 위하여 불법을 강설하고 음식을 베푸는 종교의식이다. 한국의 수륙재는 고려 광종 21년(970) 수륙도량을 설했다는 기록이 전하고 충혜왕 때는 ｢천지명양수륙재의｣등의 우리식 수륙재의문이 편찬되어 있다.
동해 삼화사 소장 갑사본 천지명양수륙재의찬요는 1607년 공주 계룡산 갑사에서 간행한 목판본으로 간기가 명확하고, 덕주사본과 비교하여 약간의 흠결은 있지만 오랜 동안 삼화사에서 설행한 국행수륙재의의 참고 서적으로 이용하는 등 수륙재의와 연관성이 있고, 덕주사본과 비교 연구할 가치가 있다.
동해 삼화사 소장 덕주사본 천지명양수륙재의찬요(東海 三和寺 所藏 『德周寺本 天地冥陽水陸齋儀纂要』)는 대한민국 강원특별자치도 동해시 삼화동 삼화사에 있는, 수륙재의 제반 의식에 필요한 절차의 요점만을 뽑아 간결하게 정리하여 設行者의 편의를 도모하고자 편찬한 의식집이다. 2011년 6월 17일 강원특별자치도의 유형문화재 제156호로 지정되었다.
表題는 ‘中禮文’, 내지 첫 면에 ‘天地冥陽水陸齋儀纂要’로 되어있다. 7행 17자 65장으로 구성되어 있고, 서울대규장각본과 체제가 동일하다. 권말에 ‘萬曆七年己卯仲夏忠淸道忠州月岳山德周寺開板’이란 간기가 판각되어 있어 1579년 월악산 덕주사에서 간행한 것임을 알 수 있다.
이 책은 수륙재의 제반 의식에 필요한 절차의 요점만을 뽑아 간결하게 정리하여 設行者의 편의를 도모하고자 편찬한 의식집으로, ‘中禮文’으로 약칭되기도 한다. 삼화사에서 국행수륙대재 설행 시 참고서적으로 활용하였다.
수륙재는 불교에서 물과 육지에서 헤매는 외로운 영혼과 餓鬼를 달래며 위로하기 위하여 불법을 강설하고 음식을 베푸는 종교의식이다. 수륙재에 대한 일반적 견해는 중국 梁武帝가 神僧에게 감명을 받고 부처님 십대제자 중 한 사람인 아란의 종교체험에 의한 佛說面燃餓鬼神衆經 등을 바탕으로 수륙재의 儀文을 만들어 天監 4년(505)부터 중국에서 시행된 것으로 알려져 있다. 한국의 수륙재는 고려 광종 21년(970) 수륙도량을 설했다는 기록이 전하고 충혜왕 때는 ｢천지명양수륙재의｣등의 우리식 수륙재의문이 편찬되어 있다.
풀넙치과(Citharidae)는 가자미목에 속하는 조기어류과의 하나이다. 풀넙치 등을 포함하고 있다. 3개 속은 인도-태평양에서 제한적으로 서식하는 반면에, 풀넙치속("Citharus")은 지중해부터 동대서양(북서아프리카 방면)에 이르는 지역에 분포한다. 모두 7종으로 이루어져 있다. 몸길이는 14-36cm 정도이다.
범주론에서 작은 범주(-範疇, )는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.
범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.
그로텐디크 전체 formula_1가 주어졌다고 하자. formula_1-작은 범주 formula_3는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.
formula_1-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 formula_11라고 표기하자.
국소적으로 작은 범주.
임의의 범주 formula_3가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_1-국소적으로 작은 범주(formula_1-局所的으로 작은範疇, )라고 한다.
formula_11는 formula_1-완비 범주이자 formula_1-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 formula_1-작은 범주 formula_21 및 함자
에 대하여, formula_23는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 특히,
formula_11는 formula_1-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 formula_33은 (두 formula_1-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 formula_35이다. 다시 말해, 두 formula_1-작은 범주 사이의 함자 범주는 formula_1-작은 범주이다.
formula_1-국소적으로 작은 범주 formula_3가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면 formula_3는 원순서 집합이다.
임의의 두 대상 formula_44이 주어졌다고 하자. 이제,
임을 보이면 족하다.
사상 집합
이므로, 칸토어의 정리에 따라서 formula_50이다.
formula_58가 formula_1-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.
그렇다면, 망각 함자
가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 formula_65를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.
임의의 formula_1-작은 아벨 범주 formula_68에 대하여, 그 유도 범주 formula_69를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 formula_69는 formula_1-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.
칸토어 역설에 따라, formula_11는 formula_11의 대상이 아니다. 다만, formula_1를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 formula_75이 주어졌을 때, formula_11는 formula_77의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자
가 주어진다.
참서대과(Cynoglossidae)는 가자미목에 속하는 조기어류과의 하나이다. 3개 속에 140종 이상을 포함하고 있다. 열대와 아열대 수역에서 발견되며, 주로 얕은 수역과 삼각강에서 서식하며, 일부 종은 깊은 해저에서 발견된다. 세네갈서대, 박대, 개서대, 두줄개서대, 물서대, 용서대, 참서대, 까지서대, 큰서대, 보섭서대, 흑대기 등을 포함하고 있다.
좌대가자미과(Poecilopsettidae)는 가자미목에 속하는 조기어류과의 하나이다. 좌대가자미("Poecilopsetta plinthus") 등을 포함하고 있다.
순수 호지 구조.
무게가 formula_1인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, ) formula_2는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
무게 formula_1의 순수 호지 구조 formula_2의 호지 수(Hodge數, ) formula_14는 다음과 같다.
순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 formula_16 위의, 복소수 곱셈군 formula_17의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, formula_18는 formula_19의 작용이 formula_20의 꼴인 성분이다.
무게 formula_23의 두 개의 순수 호지 구조 formula_3, formula_25이 주어졌을 때, 직합 formula_26 역시 무게 formula_23의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_3와 무게 formula_30의 순수 호지 구조 formula_25이 주어졌을 때, 텐서곱 formula_32은 무게 formula_33의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_3 위의 극성화(極性化, ) formula_36는 다음 조건들을 만족시키는, formula_3 위의 정수 이차 형식이다.
혼합 호지 구조.
혼합 호지 구조(混合Hodge構造, ) formula_41는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
혼합 호지 구조 formula_41의 호지 수(Hodge數, ) formula_52는 다음과 같다.
두 혼합 호지 구조 formula_54, formula_55 사이의 사상(寫像, ) formula_21은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.
혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주()를 이룬다.
다양체의 호지 구조.
이는 무게 formula_1의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합
은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는
이며, 호지 여과는
(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 formula_59의 formula_23차 특이 코호몰로지 formula_70 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 formula_70 위에 존재하는 무게는 formula_72이다.
또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.
혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 formula_77는 순수 호지 구조이지만, formula_78 및 formula_79는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.
특이 대수다양체.
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.
호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, )은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.
호지 가군(Hodge加群, )은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코()가 도입하였다.
무게 0 또는 1의 호지 구조.
아벨 군 formula_3 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 formula_83가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간formula_86 위의 복소구조
와 같다. 이 경우,
는 formula_93의 복소수체로의 선형 확대이다.
보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 formula_3 위에, 짝수 무게 formula_95의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.
테이트 호지 구조() formula_97는 formula_98 위에 정의되는, 무게 formula_99의 순수 호지 구조이다. 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 formula_100의 호지 구조는 formula_101으로 쓴다.
테이트 뒤틂.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_2 및 정수 formula_104가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂() formula_105는 다음과 같은, 무게 formula_106의 순수 호지 구조이다.
구멍을 뚫은 타원 곡선.
복소수 타원 곡선 formula_109에 서로 다른 닫힌 점 formula_110가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다. 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
횡단 교차.
대수다양체 formula_59가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 formula_123과 formula_124의 합집합이며, formula_123과 formula_124는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다. 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.
이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 formula_128와 formula_129는 무게 formula_130의 순수 호지 구조를 가지지만, formula_131는 일반적으로 무게 formula_130 및 formula_133을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.
롬보솔레아과(Rhombosoleidae)는 가자미목에 속하는 조기어류과의 하나이다. 남극가자미("Mancopsetta maculata") 등을 포함하고 있다. 가자미과에 속하는 롬보솔레아과(Rhombosoleinae)로 분류하기도 한다.
아래 속은 별도의 남극가자미과 (Achiropsettidae)로 분류하기도 한다.
1961년 서울특별시에서 태어나 그곳에서 자랐다. 1980년 서울대학교 자연대학 식물학과에 입학하여 1984년까지 학사과정을 밟았다. 1981년 서울대 식물학과에서 처음으로 사진 현상하는 법을 배웠다. 서울대 식물학과 학사과정을 마친후 바로 1984년부터 서울대학교 인문대학 미학과에서 1986년까지 석사 과정을 밟았다. 1985년 기계에 의해 만들어지는 이미지라는 점 때문에 사진에 특별한 관심을 갖게되었다. 이 때문인지 이영준이 기획한 전시는 대부분 사진에 관련된 전시이거나 사진이 빠지지 않는다. 뉴욕 주립 대학교 빙엄턴에서 미술사 박사학위를 받았다. 2012년 매년 12월호를 통해 GQ KOREA가 뽑는 MEN OF THE YEAR에 김기덕 감독, 가수 싸이 등과 함께 선정된 바 있다.
이영준은 이미지비평가, 사진비평가, 기계비평가등으로 소개되지만 기계비평가란 이름으로 가장 많이 소개되고 활동하는 비평가이다. 주로 현대미술, 예술사진같은 미술비평을 하지만 딱히 예술일반으로 규정되지 않는 평범한 사물 따위의 이미지를 비평하거나 배, 비행기 등의 기계를 비평하는 등 일반적인 예술비평가와는 구분되는 다양한 비평활동을 하고있다. 원래는 미술사와 사진 비평을 공부하고 1988년부터 사진비평 글을 쓰기 시작했지만 2005년 인천항에서 당시로서는 꽤 큰 배들을 보고 기계비평이라는 것을 하기로 결심했다고 한다. 미술이나 음악뿐 아니라 기계도 비평의 대상으로 삼을 수 있다는 게 이영준의 입장이다.
신월가자미과(Samaridae)는 가자미목에 속하는 조기어류과의 하나이다. 신월가자미("Samariscus japonicus"), 중설가자미("Plagiopsetta glossa") 등을 포함하고 있다. 이전에는 가자미과에 속하는 신월가자미아과로 분류했다. 3개 속에 약 30종으로 이루어져 있다.
강화초등학교는 대한민국 인천광역시 강화군에 있는 공립 초등학교이다.
그라스만 다양체 는 -차원 선형 공간 formula_1의 모든 -차원 부분 선형 공간들의 집합이 이루는 다양체다. 예를 들어, 는 formula_1의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합이다. 즉 formula_1로부터 얻은 사영공간과 같다.
formula_1가 실수 또는 복소수 선형 공간인 경우 그라스마니안은 매끄러운 콤팩트 다양체이다. 일반적으로는 formula_5 차원 매끄러운 대수 다형체의 구조를 가지고 있다.
자명하지 않은 그라스마니안에 대한 최초의 작업은 formula_6에 해당하는 사영 3-공간에서 사영 직선 집합을 연구하고 현재 플뤼커 좌표라고 하는 것으로 매개변수화한 율리우스 플뤼커에 의한 것이다. 헤르만 그라스만은 나중에 일반적으로 개념을 도입했다.
그라스마니안에 대한 표기법은 저자마다 다르다. 표기법에는 formula_7, formula_8, formula_9 또는 formula_10 포함되어 formula_11 차원 선형 공간 formula_1의 formula_13 차원 부분 공간의 그라스마니안을 나타낸다.
어떤 선형 공간의 부분 공간들의 모임에 위상 구조를 부여함으로써 부분 공간의 연속적인 선택 또는 부분 공간의 열린 또는 닫힌 모임에 대해 이야기할 수 있다. 미분 다양체의 구조를 제공함으로써 부분 공간의 매끄러운 선택에 대해 이야기할 수 있다.
자연적인 예는 유클리드 공간에 매장된 매끄러운 다양체의 접다발에서 나온다. formula_14에 매장된 formula_13 차원 다양체 formula_16있다고 가정한다. formula_16의 각 점 formula_18에서 formula_16에 대한 접공간은 formula_14의 접공간의 부분 공간(formula_14)으로 간주될 수 있다. formula_18에 접공간을 할당하는 사상은 formula_16에서 formula_10로 가는 사상을 정의한다. (이를 위해 각 formula_25에서 접공간을 변환하여 formula_18가 아닌 원점을 통과하도록 해야 하며 따라서 formula_13 차원 벡터 부분 공간을 정의한다. 이 아이디어는 3차원 공간의 곡면에 대한 가우스 사상과 아주 비슷하다.)
이 아이디어는 약간의 노력으로 다양체 formula_16 위의 모든 선형 다발로 확장될 수 있으므로 모든 선형 다발은 formula_16 에서 적절하게 일반화된 그라스마니안로 연속 사상을 생성한다. 이를 보여주기 위해서는 다양한 매장 정리가 입증되어야 한다. 그런 다음 선형 다발의 속성이 연속 사상으로 표시되는 해당 사상의 속성과 관련되어 있음을 확인한다. 특히 우리는 그라스마니안에 호모토피 사상을 유도하는 선형 다발이 동형임을 발견했다. 여기에서 호모토피의 정의는 연속성, 따라서 위상의 개념에 의존한다.
formula_30의 경우 그라스마니안 formula_31는 formula_11 차원 공간에서 원점을 통과하는 선들의 공간이므로 formula_33 차원의 사영 공간과 동일하다.
formula_34인 경우 그라스마니안은 원점을 포함하는 모든 2차원 평면의 공간이다. 유클리드 3-공간에서 원점을 포함하는 평면은 해당 평면에 수직인 원점을 통과하는 유일한 선(및 그 반대)으로 완전히 특성화된다. 따라서 공간 formula_35, formula_36, 사영 평면 는 모두 같다.
사영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스마니안은 formula_37이다.
formula_1를 체 위의 formula_11 차원 선형 공간이라고 하자. 그라스마니안 formula_8는 formula_1의 모든 formula_13 차원 선형 부분 공간들의 집합이다. 그라스마니안은 또한 formula_10 또는 formula_9로 표시된다.
미분가능 다양체.
그라스마니안 formula_7에 미분 다양체의 구조를 부여하기 위해 formula_1에 대한 기저를 선택하자. 이것은 열 벡터 formula_47과 같이 표시되는 표준 기저를 통해 formula_48으로 식별하는 것과 동일하다. 그런 다음 formula_7의 원소로 볼 수 있는 임의의 formula_13 차원 부분 공간 formula_51에 대해 formula_13 선형 독립 열 벡터들 formula_53로 구성된 기저를 선택할 수 있다. 원소 formula_54의 동차 좌표는 formula_55, formula_56가 열벡터인 최대 랭크를 가진 formula_57 행렬 formula_58의 성분들로 이뤄져 있다. 기저의 선택은 임의적이므로 두 개의 최대 랭크 행렬 formula_58과 formula_60는 성분이 의 원소인 formula_61 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군의 어떤 원소 formula_62에 대해 formula_63가 성립하는 경우에, 그리고 그때에만 동일한 원소 formula_54를 나타낸다.
이제 좌표 아틀라스를 정의한다. 임의의 formula_57 행렬 formula_58 에 대해 기본 열 연산을 적용하여 축약된 열 사다리꼴 행렬을 얻을 수 있다. formula_58의 처음 formula_13 행이 선형 독립인 경우 결과는 다음 행렬이다.formula_69formula_70 행렬 formula_71은 formula_72를 결정한다. 일반적으로 첫 번째 formula_73행은 독립적일 필요는 없지만 랭크가 formula_73인 formula_58의 경우, formula_58의 formula_77 번째 행으로 구성된 부분행렬 formula_78은 비특이인 정렬된 정수 집합formula_79이 존재한다. 열 연산을 적용하여 이 부분행렬을 항등원으로 축약 할 수 있으며 나머지 성분은 유일하게 formula_72에 해당한다. 따라서 다음 문단과 같은 정의가 있다:
순서가 지정된 각 정수 집합 에 대해, formula_81를 formula_82 부분 행렬 formula_78이 특이행렬이 아닌 formula_84 행렬 formula_58들의 집합이라 하자. 여기서 formula_78의 번째 행은 formula_58의 번째 행이다. formula_81 위의 좌표 함수는 formula_58를 행이 행렬 formula_90의 행인 formula_70 직사각형 행렬로 보내는 사상 formula_92으로 정의된다. 보완 formula_93 . 원소 formula_54 나타내는 동차 좌표 행렬 formula_58의 선택은 좌표 행렬의 값에 영향을 주지 않는다. formula_96 좌표 이웃에서 formula_72 나타내는 formula_81. 또한, 좌표 행렬 formula_92 임의의 값을 취할 수 있으며 다음에서 미분 동형 사상을 정의한다. formula_81 값 formula_70 행렬의 공간에.
두 좌표 이웃들의 교집합formula_102에서 좌표 행렬 값은 추이 관계formula_103에 의해 관련된다. 여기서 formula_78, formula_105는 둘 다 가역이다. 따라서 추이 함수는 다항식의 몫이라도 미분 가능하다. 따라서 formula_106는 formula_7의 아틀라스를 미분 가능 또는 심지어 대수적 다형체로 제공한다.
직교 사영 집합.
실수 다양체로서 실수 또는 복소수 그라스마니안을 정의하는 다른 방법은 전체 랭크의 명시적 방정식으로 정의되는 명시적 직교 사영 집합로 간주하는 것이다( 문제 5-C). 이를 위해 formula_1의 스칼라 체가 실수인지 복소수인지에 따라 양의 정부호 실수 또는 에르미트 내적 formula_109을 선택한다. formula_13 차원 부분공간 formula_111는 이제 랭크 formula_13인 유일한 직교 사영 formula_113을 결정한다. 반대로 모든 랭크 formula_13 사영 formula_115는 해당 상 formula_116로 부분 공간을 정의한다. 사영의 경우 랭크는 대각합와 같으므로 그라스마니안을 명시적인 사영 집합으로 정의할 수 있다.formula_117특히 formula_118 또는 formula_119로 놓으면 이것은 각각의 행렬 공간 formula_120, formula_121에 그라스마니안을 매장하기 위한 완전히 명시적인 방정식을 제공한다. 이것은 그라스마니안을 구의 닫힌 부분 집합으로 정의하므로 formula_122 이것은 그라스마니안이 콤팩트 하우스도르프임을 확인하는 한 가지 방법이다. 이 구성은 또한 그라스마니안을 거리 공간으로 만든다. formula_1의 부분 공간 formula_58에 대해 를 formula_58 에 대한 formula_1의 사영이라고 하자. 그러면,formula_127여기서 formula_128는 연산자 노름을 나타내며 formula_129에 대한 거리이다. 사용된 정확한 내적은 중요하지 않다. 왜냐하면 다른 내적은 formula_1에 대해 동등한 노름을 제공하고 따라서 동등한 거리을 제공하기 때문이다.
동차 공간.
그라스마니안에 기하학적 구조를 부여하는 가장 빠른 방법은 동차 공간으로 표현하는 것이다. 먼저 일반 선형 군 formula_131이 formula_132 차원 부분 공간 formula_1에 추이적으로 작용한다. 따라서 만약 formula_134가 formula_132 차원 선형 공간 formula_1의 부분공간이고 formula_137가 이 작용에서 안정자 집합이면,
가 성립한다. 기본 체가 formula_139 또는 formula_140이고 formula_131가 리 군으로 여겨지면 이 구성은 그라스마니안을 매끄러운 다양체로 만든다. 더 일반적으로, 기저 체 formula_13 위에서, 군 formula_131는 대수적 군이며, 이 구성은 그라스마니안이 비특이 대수적 다형체임을 보여준다. 플뤼커 매장의 존재로 인해 그라스마니안이 대수적 다형체로서 완비이다. 특히, formula_144는 formula_131의 포물선 부분군이다.
formula_139 또는 formula_140 위에 이 구성을 만들기 위해 다른 군을 사용하는 것도 가능하다. 이 일을 끝내려면 formula_139-선형공간 formula_1 에 내적 formula_150를 고정한다. 직교 군 formula_151는 formula_13 차원 부분 공간 집합 formula_8에 추이적으로 작용한다. formula_13 -공간 formula_58의 안정자는 formula_156이다. 이것은 동차 공간
으로서의 설명을 제공한다. 만약 formula_158,formula_159로 둔다면 동형 사상
을 얻는다. 위에서도 마찬가지로 에르미트 내적 formula_161을 선택한다. 그리고 유니터리 군 formula_162가 추이적으로 작용하고 비슷하게
를 찾는다. 또는 formula_164, formula_165에 대해
특히, 이는 그라스마니안이 콤팩트이고 (실수 또는 복소수) 그라스마니안의 (실수 또는 복소수) 차원이 formula_167임을 다시 보여준다.
실수 아핀 대수 다형체.
formula_168를 formula_14의 formula_132 차원 부분 공간의 그라스마니안이라 하자. formula_171을 실수 formula_172 행렬의 공간이라 하자. 다음 세 가지 조건이 충족되는 경우에만 formula_173로 정의되는 행렬들의 집합 formula_174을 고려하자.
formula_173를 formula_175의 열공간으로 보내는 일대일 대응으로, formula_181과 formula_168은 위상 동형이다.
그렇다면 임의의 formula_183 위의 스킴 formula_188에 대하여, formula_189-가군층
을 정의할 수 있다. 그 몫가군층들 가운데, 계수 formula_132인 국소 자유 가군층인 것들의 집합을
라고 하자. 이는 함자
를 정의한다. 이 함자는 표현 가능 함자이며, 그 표현은 분리 formula_183-스킴 formula_195으로 잡을 수 있다. 이를 그라스만 스킴이라고 한다.
formula_197이며 formula_198인 경우, 그라스만 스킴 formula_199은 사영 공간 formula_200과 같다.
고전적 경우.
고전적인 경우는 어떤 체 formula_201에 대하여 formula_202이며 formula_185가 formula_201 위의 선형 공간 formula_1에 의하여 주어질 때이다. 즉,
인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴 formula_207의 formula_201-점들은 formula_1 속의 formula_132차원 부분 선형 공간들과 일대일 대응한다. 특히,
보편 족.
그라스만 스킴은 함자를 나타내므로 보편 대상 formula_217과 함께 제공된다. formula_217는formula_219의 대상이다. 따라서 formula_220의 몫 가군 formula_217는 formula_222 위의 랭크 formula_132 국소 자유 가군이다. 몫 준동형 사상은 사영 다발 formula_224에서 닫힌 매몰을 유도한다:formula_225formula_183-스킴의 모든 사상:formula_227에 대해, 이 닫힌 몰입은 닫힌 몰입을 유도한다.formula_228반대로, 그러한 닫힌 몰입은 formula_229에서 랭크 formula_132의 국소적 자유 가군으로 가는 formula_231-가군의 전사 동형에서 비롯된다. 따라서, formula_232의 원소들은formula_233에서 정확히 랭크 formula_132의 사영 부분 다발이다. 이 식별에서 formula_235는 체 formula_13의 스펙트럼이고 formula_185는 선형 공간 formula_1에 의해 주어지며, 유리점의 집합 formula_239는 formula_240의 formula_241 차원 formula_242사영 선형 부분공간에 해당하고formula_243안의 formula_244의 상은 집합formula_245이다.
스킴 이론적 성질.
임의의 스킴 formula_183 위의 준연접층 formula_185 및 자연수 formula_248에 대하여, 그라스만 스킴 formula_195의 구조 사상
는 분리 사상이다. 만약 formula_185가 추가로 유한 생성 가군층이라면, 이는 사영 사상이다.
임의의 스킴 사상 formula_252에 대하여, 스킴의 표준적 동형 사상
이 존재한다. 특히, 임의의 점 formula_254에 대하여, 표준적 스킴 사상
를 통하여 동형 사상
이 존재한다. 여기서 formula_257는 formula_258에서 formula_183의 국소 가환환 formula_260의 (스스로의 유일한 극대 아이디얼에 대한) 잉여류체이다. 이 동형에서 우변은 (무한 차원일 수 있는) formula_257-선형 공간의 그라스만 다양체이므로, 일반적 그라스만 스킴은 고전적 그라스만 다양체들의 족(族)으로 여길 수 있다.
여기서 formula_268는 쌍대 공간이다.
플뤼커 매장.
체 formula_201가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 formula_270은 한원소 공간이며, 그 위의 가군층은 formula_201 위의 선형 공간이다. 또한, 모든 가군층이 준연접층이 된다. (그 가운데 연접층인 것은 유한 차원 선형 공간이다.)
따라서, formula_201 위의 (유한 또는 무한 차원) 선형 공간 formula_273 및 자연수 formula_248가 주어졌을 때, 그라스만 다양체
이는 formula_1 위의 외대수
위의 사영 공간
의 닫힌 부분 스킴이며, 이를 정의하는 매장을 플뤼커 매장()이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
여기서 우변은 formula_281의 동차 좌표이다.
플뤼커 매장은 다음과 같은 플뤼커 방정식을 만족시킨다. formula_1의 임의의 두 formula_132차원 부분 선형 공간
및 임의의 음이 아닌 정수 formula_286에 대하여,
이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.
일반적 플뤼커 매장.
임의의 스킴 formula_183 위의 준연접층 formula_185 및 자연수 formula_248 및 스킴 사상 formula_291가 주어졌다고 하자. 또한, formula_292 위의 가군층 formula_293의 몫
에서 formula_295가 formula_132계수 국소 자유 가군층이라고 하자. 그렇다면, 연접층의 함자성에 의하여, 외대수 연접층의 사상
그라스만 스킴의 정의에 따라, formula_295는 집합 formula_299의 원소에 대응한다. 또한, formula_300는 계수 1의 국소 자유 가군층이므로, 어떤 스킴 사상
즉, 위 구성은 함수
를 정의한다. 이는 자연 변환
을 정의한다. 이를 formula_305의 플뤼커 사상이라고 한다.
만약 formula_183가 formula_307 또는 formula_308이며 formula_185가 계수 formula_11의 연접층(유한 차원 선형 공간)이라면, 그라스만 다양체 formula_311 및 formula_312은 (유한 차원) 매끄러운 다양체를 이루며, 따라서 그 대수적 위상수학을 연구할 수 있다.
formula_312의 (정수 계수) 특이 코호몰로지
를 생각하자. 오직 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 이는 가환환을 이룬다.
formula_312 위에는 formula_132차원 복소수 벡터 다발인 보편 다발 formula_273가 존재한다. 그 (총) 천 특성류를
라고 하자. 마찬가지로, formula_319에 임의의 내적 공간 구조를 부여하면, 각 올의 직교 여공간으로 구성되는 formula_320차원 복소수 벡터 다발 formula_321가 존재하며, 그 (총) 천 특성류를
정의에 따라, formula_323는 formula_11차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여
로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는 formula_325인 것이다.
슈베르트 세포.
그라스마니안들에 대한 자세한 연구는 "슈베르트 세포"라는 부분 집합으로의 분해를 사용하며, 이는 열거 기하학에 처음 적용되었다. formula_328에 대한 슈베르트 세포는 보조 기로 정의된다: formula_329인 부분 공간들 formula_330를 고른다. 그런 다음 formula_331에 대해 최소 formula_332 차원인 formula_333와 교차하는 formula_58로 구성된 formula_328의 해당 부분 집합을 고려한다. 슈베르트 세포의 조작은 슈베르트 미적분학이다.
다음은 기법의 예이다. formula_14의 formula_132 차원 부분공간의 그라스마니안의 오일러 특성을 결정하는 문제를 고려하자. 차원 부분공간 formula_338을 고정하고 formula_339을 포함하는 formula_14의 formula_132 차원 부분공간과 그렇지 않은 부분공간으로formula_328을 분할하는 것을 고려하자. 전자는 formula_343이고 후자는 formula_344위의 formula_132 차원 선형 다발이다. 이것은 재귀 공식formula_346을 제공한다. 이 점화식을 풀면 formula_11이 짝수이고 formula_132이 홀수인 경우에만 formula_349이라는 공식을 얻는다. 그렇지 않으면:formula_350
복소 그라스마니안의 코호몰로지 환.
복소 그라스마니안 formula_328의 모든 점은 formula_11 공간에서 formula_132 평면을 정의한다. 그라스마니안 평면 위에 이러한 평면을 올화하면 사영 공간의 동어반복 다발을 일반화하는 선형 다발 formula_273에 도달한다. 마찬가지로 이러한 평면의 formula_320차원 직교 여공간은 직교 선형 다발 formula_321를 산출한다. 그라스마니안들의 적분 코호몰로지는 formula_273의 천 특성류에 의해 환으로 생성된다. 특히, 사영 공간의 경우와 같이 모든 적분 코호몰로지가 짝수 차수이다.