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그래도 베일의 고향인 카디프에서 펼쳐지는 2017 UEFA 챔피언스리그 결승전을 앞두고 부상에서 복귀하면서 선발 출전 가능성도 점쳐졌으나, 이스코가 선발출전하면서 베일은 77분이 되어서야 교체출전했다. 그래도 팀은 4-1 완승을 거두면서 유벤투스 FC를 꺾고 2시즌 연속 챔피언스리그 우승을 거두었다.
2017-18 시즌에서 베일의 골 기록은 리그, 컵 대회, 그리고 챔피언스리그에서 약간 향상되었다. 2017년 UEFA 슈퍼컵과 2017년 수페르코파 데 에스파냐에서 레알 마드리드의 우승에 기여했고, 2018년이 시작도 하기 전에 세 번째 우승컵을 거머쥐는 등 클럽의 2017년 FIFA 클럽 월드컵에서도 우승에 기여했다. 라 리가에서는 26경기 출전해 16골을 넣었지만 레알 마드리드는 우승컵을 되찾지 못해 리그 3위로 마감했다.
2017-18년 UEFA 챔피언스리그에서는 베일은 결승전에 앞서 한차례 골을 넣었다. 이 골은 조별 리그 상대인 독일의 축구 클럽 보루시아 도르트문트와의 경기에서 나왔다. 베일은 2018 UEFA 챔피언스리그 결승전에서 바이시클 킥과 중거리 슈팅 등으로 2골을 터뜨려 레알 마드리드 13번째 챔피언스리그 우승에 기여했다. 결승전에서 최초인 후보 선수로 2골을 넣었고 이 경기에서 맨 오브 더 매치로 선정되었다.
2018–19 시즌.
2019–20 시즌.
토트넘 홋스퍼 복귀.
로스앤젤레스 FC.
2022년 6월 27일, 로스앤젤레스 FC는 베일과 1년 계약을 맺었다고 발표했다. 추가로 1년 연장 옵션이 존재한다. 소속팀의 공식 발표에 앞서, 베일은 자신의 소셜 미디어를 통해 메이저 리그 사커에 합류할 것이라고 발표했다.
2023년 1월 9일, 2022 시즌과 2022년 FIFA 월드컵이 끝난 후, 현역 은퇴를 발표하였다.
2005-06 시즌 말인 2006년 5월 27일, 베일은 트리니다드 토바고와의 친선경기를 앞두고 웨일스 국가대표팀에 처음으로 차출되었다. 오스트리아 그라츠에서 벌어진 이 경기에서, 그는 데이비드 본과 55분에 교체로 들어가 로버트 언쇼의 2-1 결승골을 도왔다. 당시 16세 315일이었던 베일은 르윈 냐탕가가 3개월 전 세운 웨일스 국가대표팀 최연소 출전 기록을 경신했다. 이 기록은 2012년 11월에 해리 윌슨이 또 경신했다.
브라이언 플린은 베일의 기술 능력을 라이언 긱스와 견주면서 미래에 거물로 성장할 수 있는 잠재력을 지녔다고 평했다. 2006년 10월 7일, 베일은 슬로바키아와의 UEFA 유로 2008 예선전 경기에서 프리킥으로 득점해, 웨일스 성인 국가대표팀 최연소 득점자로 기록되었다.
베일은 조모의 출신 배경에 따라 잉글랜드 국가대표팀 일원이 될 수도 있지만, 2007년에 다음과 같이 말하며 거절했다: "웨일스를 대표한다는 것은 영광입니다...저는 제 요원을 제외하고는 잉글랜드의 그 누구와도 개인적인 관계를 맺지 않습니다."
장기간 부상으로 활동하지 못한 후, 핀란드와의 2009년 10월 10일 2010년 FIFA 월드컵 예선전에서 복귀했다. 10월 14일, 그는 리히텐슈타인과의 마지막 FIFA 월드컵 예선전 경기에서 데이비드 본의 선제골을 돕고, 두 번째 골로 이어진 프리킥을 획득했으며, 이를 통해 에런 램지가 성인 대표팀 첫 골을 넣었다.
2010년 12월, 베일은 BBC 컴리 웨일스 올해의 스포츠인으로 선정되었다. 2012년 10월 12일, 베일은 스코틀랜드와의 2014년 FIFA 월드컵 예선전에서 홀로 두 골을 넣어 2-1 승리를 견인했다.
2014년 9월 9일, 베일은 안도라와의 UEFA 유로 2016 예선전에서, 한 골은 머리로, 한 골은 프리킥으로 넣었는데, 웨일스는 그의 두 골에 힘입어 2-1 역전승을 거두었다. 이 경기에서 두 골을 추가해 통산 14골을 득점한 베일은 존 하트슨과 함께 웨일스 국가대표팀 최다 득점 공동 10위에 올랐다. 2015년 3월 28일, 베일은 3-0으로 이긴 이스라엘 원정 경기에서도 두 골을 넣었다. 6월 12일, 자신의 50번째 국가대표팀 경기에서, 그는 벨기에와의 예선 안방 경기에서 결승골을 넣었고, 웨일스는 벨기에를 제치고 예선 B조 선두에 올랐다. 9월 3일, 그는 키프로스와의 원정 경기에서 재즈 리처즈의 크로스를 머리로 연결해 1-0 결승골을 넣어 본선 진출까지 3점만을 남겨두었다. UEFA 유로 2016의 본선 진출 (1958년 FIFA 월드컵 이래 웨일스의 첫 주요 대회 본선 진출) 을 이룩한 후인 2015년 10월 13일, 베일은 안도라와의 카디프 시 경기장에서 열린 안방 경기에서 대회 예선 7호골을 기록했다.
6월 11일, 베일은 슬로바키아와의 UEFA 유로 2016 첫 경기에서 웨일스의 첫 골을 넣어 조국의 2-1 승리를 도왔고, 그 과정에서, 조국의 58년 만의 주요 대회 본선 첫 승을 이끌었다. 그는 테리 메드윈이 헝가리와의 1958년 FIFA 월드컵 경기에서 득점한 이래 처음으로 골을 넣은 웨일스 선수였다. 그는 잉글랜드와의 조별 리그 2차전에서도 프리킥으로 골문을 열었지만, 경기는 웨일스의 1-2 역전패로 끝났다. 이 경기에서 베일은 1992년 독일의 토마스 헤슬러 이래 처음으로 UEFA 유럽 축구 선수권 대회에서 프리킥으로 두 골을 넣은 선수가 되었다. 베일은 3-0으로 이긴 러시아와의 경기에서 자신의 대회 3호골을 넣어 1958년 FIFA 월드컵에서 2골을 넣은 아이버 올처치를 제치고 웨일스의 주요 대회 역사상 최다 득점자로 이름을 올렸으며, 닐 테일러가 2-0으로 앞서는 추가골을 넣을 수 있도록 도왔다. 파르크 데 프랭스에서 벌어진 북아일랜드와의 16강전에서, 베일의 크로스는 개러스 매콜리의 자책골로 유도되어, 웨일스의 1-0 승리가 되었다. 웨일스는 7월 6일, 준결승전에서 나중에 우승을 차지한 포르투갈에게 패해 탈락했다.
2016년 9월 5일, 베일은 몰도바와의 2018년 FIFA 월드컵 예선전에서 2골을 넣어 4-0 승리를 이끌었다. 두 골을 추가한 베일은 24골로, 아이버 올처치와 트레버 포드를 제치고 28골을 기록한 이언 러시에 이어 웨일스 국가대표팀 최다 득점 2위에 올랐다.
웨일스가 플레이오프 끝에 2022년 FIFA 월드컵 본선 진출에 성공하면서, 베일도 비로소 월드컵 데뷔전을 치렀다. 미국과 맞붙은 B조 1차전에서 후반전에 페널티킥을 성공시키며 월드컵 데뷔 골도 신고했다. 그러나 웨일스는 이후 이란과 잉글랜드에 패해 조별예선 최하위로 밀려 탈락하고 말았다.
베일은 2012년 하계 올림픽에 참가할 수 있는 연령 조건을 만족했는데, 그는 웨일스 축구 협회의 반대에도 불구하고 영국 올림픽 축구 대표팀을 대표하여 "올림픽에 출전하고 싶다" 라고 말한 적이 있었다. 2011년 10월 28일, 베일은 영국의 2012년 런던 올림픽 축구 팬 유니폼을 입고 촬영에 임한 첫 선수였다. 이에 대응해 웨일스 축구 협회의 대표 이사 조너선 포드는: "우리의 결정은 번복되지 않았습니다. 우리는 영국 대표팀을 지지하지 않습니다. 개러스는 자신만의 선택을 할 권한이 있습니다. 그러나, 우리는 동참하는 것을 막지는 않겠습니다." 라고 말했다. 베일의 대변인은 "그는 순수 웨일스인이지만, 영국인이기도 합니다." 라고 전달했다.
2012년 6월 말, 베일은 등 부상으로 대회에 참가하지 못하게 되었다. 6월 29일, 그는 훈련에서 달리던 도중 예전의 등 및 엉덩이 부상이 재발해 대회에 참가할 수 없게 되었다고 스튜어트 피어스 영국 감독에게 말했다. 올림픽 종료부터 프리미어리그 개막까지의 짧은 회복 기간 동안, 베일은 문제를 악화시키는 대신 포기하기로 결정했다. 베일은 토트넘의 미국 시즌 전 일주에 절묘하게 맞추어 회복해 7월 24일 로스앤젤레스 갤럭시와의 경기와 일주일 후의 뉴욕 레드불스와의 경기에서 득점을 기록했다. 두 경기 사이에 베일은 리버풀과의 경기에서도 뛰었는데, 찰리 애덤에 걸려 넘어져 부상당했다.
베일의 토트넘 시즌 전 일주 기간은 영국 대표팀의 올림픽 출전 기간과 겹쳤는데, 영국은 세네갈과 비기고 아랍에미리트와 우루과이를 이긴 뒤 결선 토너먼트에 진출해 대한민국에게 승부차기로 패했다. 베일의 영국 대표팀 불참은 그에 대한 제제를 가하게 만들었는데, 그는 토트넘의 남은 시즌 전 기간 경기에 출전하지 못하도록 추진하려 했지만, 영국 대표팀의 공식 항소가 없어서 흐지부지하게 일단락되었다. 안드레 빌라스-보아스 토트넘 감독은 선수를 변호했는데, 베일이 "생각보다 빠르게 회복했을 뿐"이라고 주장했다. 구단의 입장은 영국 올림픽 위원회장 모이니한 경의 지지를 받았다.
토트넘은 베일의 영국 대표팀 불참에 관한 성명서를 발표했는데, 요약해 보면 "개러스는 스튜어트 피어스의 선수단에 합류를 앞두고 몸을 만들어 가는 과정에 부상을 당했었다. MRI 검사 결과는 FA의 의료진에 [2012년] 6월 29일 제출되었다. 그는 부상 상태를 반영하여 회복 시간을 예측할 수 없음에 따라 대표팀에 차출되지 못했다. 이 결정은 가벼히 내려진 결정이 아니고, 의료 보고서를 보고 수락한 영국 대표팀 의료진과의 상의를 통해 결정되었다."으로 쓰여져 있다.
세계에서 가장 빠른 선수들 중 한명으로, 베일은 좌측 수비수, 혹은 측면 수비수로 프로 무대에 첫 발을 디뎠다. 토트넘 홋스퍼 시절 해리 레드냅 감독은 베일의 기동력을 알아보고, 그를 좌측 미드필더로 기용했으며, 이 역할을 수행하며 세계 정상급 선수로 성장했다. 그는 체력적 능력, 속도, 기술, 공중공 경합, 체력, 그리고 민첩성으로 알려져 있으며, 대게 가속을 사용해 수비를 제치는 것으로 알려져 있다. 훌륭한 기술력과 공을 제어하는 능력으로, 베일은 프리킥 전문가이기도 하며, 이는 리옹전에서 감기는 두 번의 프리킥 득점을 한 것으로 증명된다. 그가 더 앞쪽의 측면 공격수로 배치되면서, 그는 정기적으로 페널티 구역 바깥에서 강력하게 차 득점을 올리곤 했다. 빠르고, 강력하며, 근면하고, 역동적인 선수로, 1대1로 상대하기 까다로운 선수이며, 상대 감독은 그를 막기 위해 공을 잡으면 두 명의 선수들이 견제하게 했다.
베일은 가장 위협적인 좌측 미드필더로 성장하면서, 루이스 피구, 주제 모리뉴, 이고르 슈티마츠, 그리고 다니 아우베스 등의 전 / 현직 감독들과 선수들의 찬사를 받게 했다. 베일은 "엄청난 속도, 훌륭한 크로스 능력, 강력한 왼발, 그리고 강인한 체력적 능력"을 소유한 축구 선수로 묘사된다. 마크 로렌슨 전 리버풀 선수이자 BBC 축구 평론가는 "무엇이 가레스 베일을 특별하게 만듭니까? 간단합니다. 그는 제가 본 가장 빠른 선수들 중 한명이기 때문이지만, 그 외의 역할을 하는 장치가 있는데, 자신의 주력을 한 번 더 질주하면서 가속할 수 있는데 있습니다. 그는 엄청난 속도로 그의 기술을 사용해 임무를 수행할 수 있습니다." 라고 평했다.
2011-12 시즌, 해리 레드냅 감독은 베일에게 공격형 미드필더나 두 번째 공격수의 역할을 수행하도록 자유에 맡기기도 했다. 그 다음 시즌, 안드레 빌라스-보아스 신임 감독은 베일에게 이 임무를 더 자주 수행하게 했다.
레알 마드리드 합류 후, 베일은 측면 미드필더를 주로 맡았는데, 이번에는 크리스티아누 호날두가 좌측에 존재하기에 주로 우측에 배치되었다. 그는 좀 더 공격적인 역할을 수행해 공격수나 중앙 공격수로 배치되기도 했다.
2010년 11월 2일, 인테르나치오날레와의 UEFA 챔피언스리그 조별 리그 경기 후, 그의 동료인 라파엘 판 데르 파르트는 "모두가 그 [베일]를 두려워 한다. 마이콩은 세계 최고의 수비수들 중 한명이지만, 그가 완전히 압도해버렸다." 라고 말했다.
같은 경기의 평가를 한 스페인의 "엘 문도"지는 다음과 같이 평했다: 베일은 신장과 800미터 주자 스티브 오예트와 같은 가속력, 럭비의 측면 선수와 브라이언 하바나와 같은 결단력을 지녔다. 그리고, 목적지에 도달하면 브라질 선수들처럼 휘는 크로스를 합니다. 한마디요? 예, 하지만 그게 베일이 어떤지에 관한 것입니다. - 선택의 망설임 없이 그는 한 달을 인상적으로 시작했고, UEFA 챔피언스리그 조별 리그 절반의 막을 내렸습니다. 인테르나치오날레에서의 두 경기에 베일을 상대해본 마이콩과 상의해 보세요. 어제, 그는 마이콩을 완전히 제압해버렸고, 교활한 늙은 여우 같은 루시우도 비행기 꼬리의 기류를 타고 따라간 것처럼 어안이 벙벙햇습니다. 3골 2도움을 - 전 대회 유럽 정상을 상대로 기록했습니다. 그의 활약은 매우 놀라웠습니다.
2011년 12월 27일, 노리치 시티전에서 베일이 두 골을 넣자 레드냅 감독은 다음과 같이 인터뷰에 임했다: 우리는 판다면, 우리가 가져갔을 겁니다, 그렇지 않습니까? 바르셀로나, 맨체스터 시티, 혹은 레알 마드리드만이 그의 이적료를 부담할 수 있는 수준입니다. 그는 훌륭한 선수입니다. 그는 모든 것을 가지고 있고, 그의 모든 과정에 결점이 없습니다. 그는 공을 머리로 넣을 수 있고, 황소처럼 강인하고, 달릴 수 있으며, 공을 끌고가 넣을 수도 있습니다. 가장 중요한 것은, 그는 멋진 녀석입니다.
2012년 인터뷰에서, 맨체스터 시티의 측면 수비수 마이카 리처즈는 베일이 자신이 상대한 가장 어려운 상대였다며 다음과 같이 말했다: "그는 나에게 3센티미터는 더 커 보이게 했습니다. 그는 저를 완전히 박살냈지요. 그는 뛰는 것을 멈추지 않았습니다. 어이가 없네요."
레드냅 감독은 2012년 10월, 베일에 대해 입을 열어 칭찬하며, 그가 크리스티아누 호날두나 리오넬 메시와 동급이라고 평가했다: "그는 놀랍고, 경이로운 재능의 소유자이며 그는 세계의 호날두들과 메시들 중 한 명이며, 그는 더 나아지고 있습니다. 그는 경기에서 임하면 상대하기가 거의 불가능합니다. 그는 진짜로 세계적인 선수입니다. 그를 상대할 자 누구도 없지요. 그는 어느 구단에 합류하든지 간에 전력을 상승시킬 수 있습니다."
베일은 일부 영국 언론들로부터 다이빙을 남발하는 것으로 질타를 받기도 했다. 그러나, 이 주장은 베일 본인, 레드냅 전 토트넘 감독, 그리고 크리스 콜먼 웨일스 국가대표팀 감독이 부인했다. 2012년 12월 29일, 그는 2012-13 시즌 3호 다이빙 경고를 받았다. 이는 그가 2011-12 시즌부터 다이빙으로 받은 카드 수를 합산하면 5개째로, 당시 그를 제외하고 프리미어리그에서 다이빙으로 경고를 받은 선수는 두 번 받은 선수들이었다. 2008년 8월부터 프리미어리그를 떠나기 전까지, 그는 다이빙으로 8차례 경고를 받았었다. 그 외에 다이빙으로 가장 많은 경고를 받은 선수들은 3번의 경고를 받았었다.
"2022년 12월 31일 기준"
베일은 그의 고등학교 연인인 파트너 에마 리스존스와 함께 마드리드에 살고 있다. 그들의 두 딸은 카디프에서 태어났다. 장녀는 2012년 10월 21일에 태어났고 차녀는 2016년 3월 22일에 태어났다. 2016년 7월 17일, 베일은 리스존스와의 약혼을 발표했다. 2018년 3월 9일, 베일은 그와 그의 약혼녀가 세 번째 아이를 기대하고 있다고 발표했다. 2018년 5월 8일, 부부는 장남의 탄생을 발표했다. 그들은 2019년 6월에 결혼했다. 2021년 7월 7일, 차남이 태어났다.
상표 등록.
후원과 부.
베일은 EA 스포츠의 전자오락 "FIFA" 시리즈 영국, 아일랜드, 그리고 중동판 "FIFA 14"의 표지에 세계판 표지 모델인 리오넬 메시와 함께 나왔다. 그가 골을 자축할 때의 '심장 모양' 손동작은 "FIFA 14"에 구현되어 있다.
베일은 이전에, 그리고 현재 다수의 업체들과 후원 계약을 맺었는데, 아디다스, EA 스포츠, 루코제이드, 그리고 BT 스포츠가 현재 그를 후원한다. 그는 레알 마드리드에서 £15M의 연봉을 받으며, 후원 계약으로 £10M을 받는 것으로 추산되었다. 2014년 3월, 베일은 아디다스 F50 초경량 축구화를 착용한 첫 선수였다.
가레스 베일은 레알마드리드에서 가장 많은 주급을 받았다.
통계역학에서 이징 모형(Ising模型, )은 자석의 간단한 격자 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다. 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.
그렇다면, 그래프 formula_1 위의, 자기장 formula_9에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.
여기서 합은 모든 함수
에 대한 것이다.
보통, formula_13 및 formula_9는 상수 함수로 놓는다.
평면 그래프 쌍대성.
평면 그래프 formula_1 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 formula_20 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, formula_1의 고온 이징 모형은 formula_20의 저온 이징 모형에 대응한다.
특히, 평면 정사각형 격자 그래프 formula_23는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.
특별한 경우.
무변 그래프 (고온 극한).
만약 formula_24가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프라고 하자. 그렇다면,
이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지는
만약 formula_30가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사 平均場近似, 라고 한다.)
편의상, formula_13와 formula_33가 상수 함수라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를
으로 적으면,
열역학적 극한은
이다. 이 경우, 변수
만약 formula_45가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. formula_45의 최댓값의 위치는
이다. formula_45의 최댓값 근처의 폭은
에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는
가 치역의 값 formula_9 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건은
이다. 만약 formula_60일 경우, formula_61가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, formula_45의 세 개의 임계점 가운데 formula_45의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 formula_64에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 formula_65에 해당한다.
만약 formula_66가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우
이다. 이는 2×2 대칭 행렬
로 표현될 수 있다. 그렇다면
만약 formula_13와 formula_9가 상수 함수라면, 모든 formula_74들이 같아지며, 이 경우
이 된다. 여기서 formula_76, formula_77는 formula_78의 두 (실수) 고윳값이다.
나무 그래프.
유한 나무 그래프 formula_79가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 formula_80을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 formula_81에 대하여, formula_82까지의 최단 경로의 길이 formula_83를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 formula_84에 대하여, 만약 formula_85라면,
인 formula_88가 유일하게 존재한다.
또한, 임의의
그렇다면,
특히, 만약
인 경우 formula_101이므로 다음과 같다.
베테 그래프.
나무 그래프 formula_79에서 원점 formula_104을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
원점에서 거리 formula_113의 꼭짓점 formula_81의 높이가
이라고 하자.
예를 들어, 베테 그래프의 경우 formula_116이며 formula_117의 꼴이다.
를 생각하자. 즉,
를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.
만약 formula_129, formula_130, formula_131가 상수 함수라면, 이는 formula_132에 대한 이산 시간 동역학계
로 여길 수 있다. formula_134 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.
특히, 만약 formula_135일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 formula_136의 경우에도 풀 수 있다.
연산자 표현.
위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 formula_139은 크기 formula_140의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간
을 정의할 수 있다. 이는 formula_142차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수
에 대하여, 기저 벡터
각 두 꼭짓점 formula_146에 대하여, 연산자
를 정의할 수 있다. 즉, formula_151는 formula_139 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, formula_153는 formula_1 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.
그렇다면, 그래프 formula_1 위에서, formula_13와 formula_9가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.
이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자
2차원 격자 그래프.
1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도 formula_162에서 상전이가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다. 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.
편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 formula_163개의 행이 있다고 하자. (즉, formula_140개의 ○행과 formula_140개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 formula_25이라고 하고, ○행의 꼭짓점을
이들을 전이 행렬(轉移行列, )이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.
여기서 formula_176는 formula_177의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 formula_178의 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다.
물론
즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론
formula_25이 짝수일 때, 행렬 formula_200의 formula_201개의 고윳값들은 다음과 같다. (대칭 행렬이 아니므로, 일부 고윳값들은 복소수이다.)
이다. formula_207는 formula_208의 고윳값에 해당한다.
강자성체.
formula_25개의 자기 쌍극자 formula_210를 포함하는 강자성체에 (상수 함수가 아닐 수 있는) 외부 자기장 formula_211가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 formula_212 또는 반평행한 방향 formula_213 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 formula_214을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 formula_215을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.
여기서 formula_217은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, formula_218은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 formula_81와 formula_220를 나타낸다.
이 경우 볼츠만 분포는
따라서, 이는
반강자성체.
formula_25개의 자기 쌍극자 formula_210를 포함하는 반강자성체가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 formula_226이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 formula_214이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 formula_211라고 하자. 이 경우, 에너지는
가 된다. 즉, 볼츠만 분포는
물론, formula_239일 경우는 이상 기체에 해당한다. formula_145의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다.
이제, 그래프 formula_1 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,
즉, 총 분자 수는
이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 formula_251이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는
이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은
이다. 이는
가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 formula_210는 화학 퍼텐셜이며, formula_257는 꼭짓점 formula_81에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 formula_1가 정규 그래프일 경우, formula_9 역시 상수 함수가 된다.
가 그래프의 크기 formula_261에 대한 매끄러운 함수로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 formula_264라고 할 때, 기체의 압력은
에 해당한다. (여기서 formula_266는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 formula_267의, 그래프 차원 formula_268에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 formula_269이 잘 정의된다면, 자유 에너지 formula_270가
이어야 한다. 즉, 이 경우
이합체 모형.
빌헬름 렌츠(, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징(, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다. 이징은 1925년 박사 학위 논문에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.
베일() 또는 면사포(面紗布)는 여자가 얼굴이나 머리를 가리기 위해 사용하는 천을 의미한다. 이는 종교적 의미를 띠기도 하는데, 대표적으로 로마가톨릭교회에서는 미사보라는 이름으로 머리를 가리며 기독교계 신흥종교 하나님의교회 세계복음선교협회에서도 머리 수건이라는 이름으로 예배 시 여자가 머리를 가린다. 머리를 가리는 근거는 성경이라고 한다.
영어 단어 베일(veil)은 궁극적으로 "돛"을 의미하는 라틴어 vēlum, 인도유럽조어 *wegʰslom, 동사 어근 *wegʰ- "운전하다, 이동하다, 차량을 타다"에서 유래했다.
한 가지 견해는 종교적인 물건으로서 사람, 사물 또는 공간을 기리기 위한 것이라는 것이다. 베일의 실제 사회문화적, 심리적, 사회성적 기능은 광범위하게 연구되지 않았지만 사회적 거리 유지와 사회적 지위 및 문화적 정체성의 전달을 포함할 가능성이 높다.
베일은 또한 부분적으로 숨기거나, 위장하거나, 모호하게 만드는 상징적인 해석을 가지고 있다.
패턴 인식()은 인지과학(Cognitive Science)과 인공지능(Artificial Intelligence) 분야에 속하는 문제 중 하나이다. 인지과학은 심리학, 컴퓨터 과학, 인공지능, 신경생물학과 언어학, 철학을 이용하여 지능과 인식의 문제를 다루는 포괄적인 학제적 과학 분야를 말한다. 인공지능은 인간의 학습능력과 추론능력을 인공적으로 모델링하여 외부 대상을 지각하는 능력, 나아가 자연언어와 같은 구문적 패턴까지 이해하는 능력 등을 컴퓨터 프로그램으로 구현하는 기술을 말한다.
인공지능에 관한 연구는 현재 지능형 시스템(Intelligence System)이라는 인공지능에 기반한 정보 시스템 분야로까지 발전하고 있다. 정보화 시대에 쉽게 얻을 수 있는 수많은 데이터들을 적절히 가공하는 것은 물론 정보의 표현과 처리에도 지능형 시스템이 적용되고 있으며 금융, 제조, 스포츠, 서비스 분야 등의 비정보기술 부문에까지 널리 이용되고 있다.
패턴 인식은 공학적 접근법을 이용하여 인공지능의 실제 구현 문제인 센싱된 대상을 인식하는 문제를 주로 다룬다. 패턴인식을 여러 방식으로 정의할 수 있겠지만 "계산이 가능한 기계적인 장치(컴퓨터)가 어떠한 대상을 인식하는 문제를 다루는 인공지능의 한 분야"라고 정의한다.
킬로급 잠수함은 러시아의 재래식 디젤전기추진식 잠수함으로, 원래의 킬로급은 프로젝트877 팰터스(Turbot)라고 부르며, 개량형 킬로급은 프로젝트636으로 분류한다. 킬로급이라는 명칭은 북대서양조약기구(NATO)에서 붙인 이름이다. 이 급은 비교적 수심이 깊지 않은 천해(淺海)에서 주로 대수상함 또는 대잠수함전을 위해 개발되었다.
킬로급은 신형 라다급 잠수함(Lada class)으로 대체될 것이다. 2005년에 해상 시험운행을 하였다.
킬로급은 매우 조용하여, 636형은 미국 해군은 "블랙홀"로 부르고 있다. 세계에서 가장 조용한 디젤전기식 잠수함의 하나이다.
중국은 킬로급의 개량형이라고도 불리는 유안급 잠수함을 건조하였다. 한국 해군의 최신형 손원일급 잠수함, 독일 해군의 최신형 212형 잠수함이 사용하는 동일한 독일제 MTU 16V 396 디젤엔진을 사용한다.
러시아의 킬로급은 AIP가 없는데, 유안급은 AIP도 탑재한 것으로 알려져 있다. 이전의 쑹급 잠수함도 AIP를 탑재했는데, 쑹급 보다 스텔스 성능을 대폭 강화한 것으로 알려져 있다.
러시아는 킬로급 잠수함 다음 함급인 2010년 현재 최신형인 라다급 잠수함에서 AIP를 최초로 채택하고 있다. 중국의 유안급 잠수함은 이러한 러시아 최신형 라다급 잠수함을 참고하였다고도 알려져 있다.
조선민주주의인민공화국은 1998년 러시아와 킬로급의 도입을 위해 비공식 논의를 하고 있다는 보도가 있었다. 중국에 2척을 판매한 636형이며, 어뢰의 자동장전장치를 갖추고 있고, 가격은 3억달러로 알려졌다. 대한민국에서 어뢰 자동장전장치를 갖춘 잠수함은 손원일급 잠수함이다. 돌핀급 잠수함 참고.
대한민국은 1999년 9월 2일 국방부에서 조성태 국방장관과 이고리 세르게예프 러시아 국방장관의 한러 국방장관 회담에서 러시아는 킬로급 또는 아무르급의 판매를 희망하였다. 그 후로는 러시아 킬로급 636형의 구매협상의 진전이 있었다. 그러나, 대한민국 해군의 강력한 반발이 있었으며, 러시아 현지 방문 조사 등을 자세한 조사 및 평가를 거친 이후, 도입계획은 취소되었다. 돌핀급 잠수함 참고.
636형 킬로급 6척을 구매했던 베트남 해군은 최근 636.3형 6척을 32억 달러에 구매했다. 잠수함 가격만 21억 달러이며, 11억 달러는 무장, 부속품 등의 가격이다.
기계 학습(機械學習) 또는 머신 러닝()은 경험을 통해 자동으로 개선하는 컴퓨터 알고리즘의 연구이다. 방대한 데이터를 분석해 '미래를 예측하는 기술'이자 인공지능의 한 분야로 간주된다. 기계 학습은 복잡한 패턴에 대한 학습을 통해 상황에 대한 예측과 의사 결정을 돕는다. 컴퓨터가 학습할 수 있도록 하는 알고리즘과 기술을 개발하는 분야이다. 가령, 기계 학습을 통해서 수신한 이메일이 스팸인지 아닌지를 구분할 수 있도록 훈련할 수 있다.
기계 학습의 핵심은 표현(representation)과 일반화(generalization)에 있다. 표현이란 데이터의 평가이며, 일반화란 아직 알 수 없는 데이터에 대한 처리이다. 이는 전산 학습 이론 분야이기도 하다. 다양한 기계 학습의 응용이 존재한다. 문자 인식은 이를 이용한 가장 잘 알려진 사례이다.
이론 전산학의 한 갈래이다. 훈련 데이터는 유한한데, 결과는 불확실하다. 이는 학습 이론을 통해 알고리즘의 결과를 장담할 수 없기 때문이다. 또한 다른 용어를 사용함에도 불구하고 통계적 추론과도 많은 유사점이 있다.
접근 방법별 알고리즘.
인공신경망.
인공신경망(artificial neural network, ANN)은 기계학습과 인지과학에서 생물학의 신경망에서 영감을 얻은 통계학적 학습 알고리즘으로 시냅스의 결합으로 네트워크를 형성한 인공 뉴런(노드)이 학습을 통해 시냅스의 결합 세기를 변화시켜, 문제 해결 능력을 가지는 모델 전반을 가리킨다. 인공신경망에는 교사 신호(정답)의 입력에 의해서 문제에 최적화되어 가는 교사 학습과 교사 신호를 필요로 하지 않는 비교사 학습이 있다. 명확한 해답이 있는 경우에는 교사 학습이, 데이터 클러스터링에는 비교사 학습이 이용된다. 다른 기계학습과 같이 신경망은 일반적으로 규칙기반 프로그래밍으로 풀기 어려운 컴퓨터 비전 또는 음성 인식과 같은 다양한 범위의 문제를 푸는데 이용된다.
CP/M은 인텔 8080/85 마이크로프로세서를 기반으로 하는 처음 제작된 운영 체제이다. 디지털 리서치(Digital Research, Inc)사의 개리 킬달(Gary Kildall)이 만들었다.
하드웨어 모델.
운영 체제의 구성 요소.
장보고급 잠수함(張保皐/張寶高級 潛水艦)은 잠수함급으로 분류되는 대한민국 최초의 잠수함으로, 독일의 209급 잠수함을 도입한 것이다. 1987년 최초 3척이 주문되었는데, 1척은 독일 HDW에서 건조되고 2척은 옥포대우조선소에서 건조되었다. 건조용 소요 부품은 독일에서 수송되었다.
Type 1200 형은 독일이 터키해군에 공급한 유형과 매우 유사하다. 대부분 Atlas Electronik 탐지기와 STN 어뢰를 탑재한 것이다. 최대 잠수깊이는 250m이며 수동형 견인 어레이가 부착된다.
3,800 마력의 MTU 12V 396 SE 디젤 기관 4기가 탑재되어 있고, 각 기관 마다 발전기가 장착되 4기의 발전기로 축전지를 충전시키며, 축전지로 움직이는 모터 1대가 저소음 침투시 이용된다. SSM이 탑재되어있고, SUT 어뢰와 K-731를 발사할 수 있는 21인치(533mm) 함수 발사관 8개를 가지고 있다. 어뢰 대신 28개의 K-721 기뢰를 장착할 수 있고, Atlas Electronik CSU 83 음파탐지기를 장착하고 있다.
림팩 훈련.
1번함 이름이 장보고함이기에, 장보고급 잠수함이라고 불린다. 한국군이 보유한 HDW사의 209-1200형인 장보고급은 동급 209급과 달리 장보고급으로 분류되는 경우가 많은데 초기 도입비용이 1억불에서 2억불 이상으로 올라가면서 각종 소음대책과 장비의 추가가 이루어지면서 소음 레벨에서는 209 시리즈중 최고급으로 설정되었기 때문이다. 일본의 최신 잠수함인 오야시오급 잠수함도 1 km 이내로 접근한 장보고급을 겨우 발견할 정도였으며 이때 역시 한국 잠수함이 급기동으로 존재를 알리는 바람에 오야시오에서 탐색이 가능했다고 한다.
손원일급 잠수함도 8문의 533mm 어뢰발사관을 사용하는데, 한국은 손원일함에는 천룡 순항 미사일을 탑재할 것이라는 보도가 있었다. 그러나 장보고함에 천룡을 탑재한다는 보도는 없었다.
어뢰는 AEG사의 SUT Mod2 어뢰와 LG정밀의 K-731 백상어 어뢰를 사용한다. SUT 어뢰는 유선유도 방식이며, 백상어는 파이어 앤 포겟 방식이다.
어뢰 8발은 어뢰관에 장착되며, 6발은 탄약고에 보관된다. 탄약고에 16발을 저장할 수 있는 손원일함 보다 작다.
장보고급 잠수함에는 30명이 탑승하며, 장교 6~7명과 부사관으로 구성된다. 함장의 계급은 중령이다.
림팩 2004.
장보고함은 림팩 2004에 처음으로 참가했다. 황군 잠수함으로 참석, 청군 함대를 전멸시켰다. 미국 태평양 함대의 잠수함 사령관 설리반 소장은 “장보고함이 청군세력을 전멸(decimation)시킨 능력과 기술은 매우 인상적이었다”는 내용의 전문을 보내왔다.
황군에는 의 장보고함, 의 나루시오함. 의 램킨함, 의 심슨함의 4척의 재래식 잠수함과 의 LA급 핵추진 잠수함 1척, 그리고 미국의 수상함 4척이 편성되었다. 청군에는 스테니스 항모를 포함한 나머지 모든 수상함(총 15척)과 미국의 LA급 핵추진 잠수함 2척이 편성되었다. 청군에 속한 수상함은 모두 15척인데, 장보고함이 40번 이상 가상어뢰를 명중시켰다. 청군 소속의 4척의 구축함도 모두 격침했다. 그러나, 청군 소속의 LA급 핵추진 잠수함 2척에는 가상어뢰를 명중시키지 못했다.
적함을 침몰시킬 수 있는 10km 이내로 접근하는 데 33차례나 성공했다.
2004년, 스웨덴 정부는 미국에 고틀란드급 잠수함의 1번함인 고틀란드함을 리스하였다. 스웨덴기를 달았으며, 스웨덴군이 지휘하고 조작했다. 1년간 대잠전 훈련에 리스되었다. 2004년 10월 이러한 요청을 받았으며, 2005년 3월 21일 양국 해군은 양해각서에 서명하였다.
하와이 단독 잠항.
장보고함은 1997년 50여일간 지속된 하와이 파견훈련때, 한국 해군 최초로 진해 기지에서 하와이까지 10,000마일, 18,000km를 단독 잠항하는 데 성공했다. 이러한 장거리를 단독 잠항은 잠수함 운용 40년 역사를 갖고 있는 일본에서조차 시도된 적이 없는 기록이다.
1만시간 잠항 성공.
1991년 독일 HDW 조선소에서 건조된 장보고함은 1992년 10월 우리 해군에 인도돼 1993년 취역한 이후 지금까지 무사고로 1만시간(417일)을 잠항하는 데 성공했다. 물속에서 1만시간동안 이동한 거리는 지구를 2바퀴나 도는 거리에 해당하는 80,219km에 달한다.
인도네시아 수출.
대우조선해양은 배수량 1,400톤인 장보고급 잠수함 3척의 인도네시아 입찰에서 단독 우선협상자로 확정되었다. 1조 2,000억원(11억달러) 규모로, 계약이 체결되어 한국 방산수출 단일계약 사상 가장 많은 금액이다.
AIP.
그러나 AIP 연료전지 디젤 잠수함이 최근 국제시장에서의 최첨단이며, 한국도 209급 잠수함을 개량하여 연료전지를 장착하는가가 논의된 적이 있으며, 대우조선해양은 AIP 잠수함인 손원일급 잠수함 4번함을 현재 건조중이다. 대우조선해양은 지식경제부가 추진중인 한국산 1메가와트급 선박용 연료전지 개발에도 참여중이다.
장보고급은 독일의 비AIP 디젤 잠수함 중 최신형 모델이다. 반면에 프랑스의 비AIP 디젤 잠수함 최신형은 스코르펜급 잠수함이다. 프랑스는 스코르펜급을 개량하여 프랑스제 AIP 시스템인 MESMA를 추가했다. 각 시스템의 가격은 6,000만달러(600억원)이다. MESMA를 추가하기 위해서 길이 8.3 m, 배수량 305 톤의 새로운 공간을 필요로 했으며, 그 결과 21일 이상의 잠수능력을 갖추었다.
독일도 AIP 209급 잠수함을 수출중이다. 기존 209급 잠수함을 AIP로 업그레이드하는 사업도 하고 있다. 최초의 AIP 업그레이드는 그리스의 포세이돈급 잠수함(Type 209/1200) 3척에 대한 넵튠2 업그레이드 프로그램이다. 이 업그레이드는 조종실 뒷부분을 절반 잘라내어 6 m를 추가하여, 120 kW 지멘스 AIP 시스템을 장착하는 것이다. 그리스가 214급 잠수함을 구매하기로 하여, 업그레이드가 중도에 취소되었으나, 최초의 Okeanos (S118) 잠수함은 업그레이드가 완료되었다.
하푼 미사일.
2015년 11월 18일 미국 국무부는 1억 1,000만달러(약 1280억원)에 UGM-84L 하푼 블록 II 18발을 한국에 수출허가했다. 잠수함에서 함정이나 지상의 목표물을 공격할 수 있고, 사거리도 기존에 배치된 것보다 2배 늘어난 248km다. UGM-84L 하푼 블록 II는 장보고급 잠수함에도 탑재가 가능하다.
이스라엘은 미국의 잠수함용 하푼 미사일 100여발을 수입해, 독자 개발한 핵탄두를 장착해 돌핀급 잠수함에 탑재했다. 한국은 핵탄두가 없지만, 이스라엘의 사례를 참고하면, 장보고급 잠수함에서 10발의 하푼 핵미사일 공격이 가능하다.
독일 지멘스 등은 장보고급 잠수함을 창정비 할 때, 연료전지를 탑재할 수 있다고 홍보한다. 그러나 한국 해군이 장보고급에 연료전지를 탑재할 계획이 있다는 보도는 없었다.
식수.
장보고급 잠수함의 경우 출항전 충분한 물을 적재하지만 1주일정도 밖에 버티지 못하며 이후에는 조수기를 이용해 바닷물의 염분을 빼 마시게 된다. 하루 최대 생산량은 2,000L정도 밖에 되지 않는 양이다. 이 물의 양으로 승조원들이 모두 사용해야 하기 때문에 기관장의 샤워횟수와 시간단축은 물론 수염기르기 대회까지 개최하기도 한다.
후진(後秦, 384년 ~ 417년)은 오호십육국시대 강족 요장이 건국한 나라이다. 국호는 진(秦)이지만 같은 이름의 나라(315년 ~ 394년)와 구별하여 이 나라는 후진(後秦)이라 부른다. 건국자의 성을 따서 요진(姚秦)이라는 명칭도 있다.
강족은 중국의 서북방에 살던 이민족으로 후한 때부터 중국으로 이주하여 옹주 일대에 거주하였다. 오호 십육국 시대에 들어와 요익중·요양·요장 등이 차례로 수령이 되어 전조·후조·동진·전진 등의 용병으로 중국 각지를 전전하였다. 383년에 전진의 부견이 비수대전에서 패배하자 화북 각지에서 반란이 일어났다. 이 반란을 진압하기 위해 출정하였던 요장은 반란군에 패배하였는데, 부견의 처벌을 두려워하여 위수 북방의 말목장으로 도주하여 384년에 대장군·대선우·만년진왕(萬年秦王)을 자칭하였다. 일반적으로 이때부터 후진이 건국된 것으로 본다.
요장은 관중의 북부 일대를 장악하고 전진의 부견과 전쟁을 벌였다. 385년에 서연에 의해 장안이 함락되자 요장은 장안을 탈출한 부견을 체포하여 살해하였다. 386년에 서연이 장안을 버리고 이동하자 요장은 장안을 점령하였으며 이를 근거지로 하여 황제에 즉위하였다. 이때 진주에서 부등이 전진의 잔존 세력들을 통합하였으며 이후 부등과 요장은 관중의 패권을 놓고 오랫동안 전쟁을 벌였다.
393년 말, 요장이 병사하자 태자였던 요흥이 뒤를 이었다. 요흥은 요장의 죽음을 틈타 쳐들어온 부등을 격파하고 그를 살해하여 오랜 전쟁을 종식시켰다. 이후 숙부인 요서(姚緖)와 요석덕(姚碩德)의 보좌를 받아 관중을 평정하고 세력을 확대하였다. 399년에는 동진을 공격하여 낙양을 점령하고 한수와 회수 이북의 지역들을 장악하였으며 400년에는 서진을 멸망시켰다. 401년에는 후량을 공격하여 복속시키고 남량·북량·서량을 속국으로 삼았다. 그러나 그 직후 북위와 분쟁이 일어나 402년에는 시벽(柴壁, 지금의 산서성 임분시 양분현 서남쪽 분하 동쪽 기슭의 시장(柴庄)에 있었다)에서 크게 패배하였고 양주의 패권을 잃었다. 이후 북위와 중립적인 관계를 회복한 후진은 403년에 다시 양주를 공격하여 후량을 멸망시키고 남량·북량·서량을 다시 속국으로 삼았다. 405년에는 후구지를 복속시켰으며 407년에는 남연을 속국으로 삼았다.
그러나 405년 말 동진의 실권을 장악한 유유가 한수 유역의 12개 군을 반환하도록 요청하자 요흥은 유유와의 대결을 피하기 위해 이것을 승낙하였다. 이듬해에는 남량의 확장에 밀려 양주를 상실하였으며 407년에는 혁련발발의 하나라가 자립하여 후진은 오랜 전쟁에 돌입하였다. 후진은 하나라와의 오랜 전쟁으로 국력이 쇠퇴하였으며 이로 인해 409년에는 서진이 독립하였으며 동진과도 지속적으로 대립하여 많은 국력을 소모하였다.
414년 이후에는 후계자 분쟁으로 혼란에 빠져 후진의 국력은 더욱 약화되었다. 마침내 416년에는 반란이 일어났으며 요흥은 이 반란을 진압한 직후 사망하였다. 요홍이 뒤를 이어 즉위하였으나 국내의 혼란은 계속되었으며, 이를 틈타 동진의 유유가 북벌군을 일으켜 쳐들어왔다. 요홍은 북벌군의 침입을 효과적으로 막았으나 내분으로 인해 실패하였으며, 417년에는 장안이 함락되어 멸망하였다.
후진의 문물.
현존하는 후진의 문물은 초당사(草堂寺), 기공사장별(記功賜將莂;386년）、여헌묘표(呂憲墓表;402년）、여지묘표(呂他墓表;402년）、부씨여정정조상(苻氏女靜貞造像;407년）등이 있고, 이 시기 기년문서(紀年文書)로 투르판 문서 1점이 존재한다. 천수의 맥적산 석굴에는 후진시대의 것으로 보이는 석불이 남아있다. 또한 현존하지 않는 문물로써 건초자웅도(建初雌雄刀;386년）가 알려져 있다.
일선동조론() 또는 일한동조론()은 야마토 민족과 조선민족이 같은 뿌리에서 나왔다는 이론이다. '동조동근론(同祖同根論)'이라고도 한다. 일본이 형, 한국(조선)이 동생이라는 일본의 우위적 사상으로, 일본 제국이 조선에서 벌인 식민지 침탈과 동화정책, 황국신민화, 민족말살정책을 정당화하는 이론적 바탕이 되었다. 한국인의 민족정신을 근원적으로 말살하려는 이론이다.
일본 열도 주민이 한반도에서 도래한 사람들의 후예라는 주장은 에도 시대부터 있어 왔다. 에도 시대의 유학자이자 정치인인 아라이 하쿠세키(新井白石)는 '우리 나라(일본) 선조는 마한에서 왔다'고 하면서 '구마소(熊襲)와 고구려는 동족일 수 있다'고 주장했다. 또 히라타 아쓰타네(平田篤胤)등의 국학자는 신국주의(神国主義)를 배경으로 《고지키(古事記)》와 《니혼쇼키(日本書紀)》를 연구하면서 '일본과 조선은 예부터 밀접한 관계였으며 일본이 지배적 위치에 있었다'고 주장하였다. 에도시대 말기가 되면 존왕양이(尊王攘夷)에 닿는 정한론(征韓論)이 대두하고 일선동조론도 여기에 끼워 맞춰지게 되었다.
유럽에서 근대역사학이 도입된 뒤 시작된 근대 역사학에서도 이러한 주장이 이어져 호시노 히사시(星野恒)가 일선동조론을 주장하였다. 호시노는 1890년의 논문(「本邦ノ人種言語ニ付鄙考ヲ述テ世ノ真心愛国者イ質ス」)에서 실증주의의 입장에서 《고지키》와 《니혼쇼키》를 연구하여 천황가의 선조가 한반도로부터 '일본을 발견(本州ヲ発見)'하여 도래하여 온 신라의 왕이라고 주장하였다. 이들 '황조'는 먼저 현재의 시마네(島根) 지방에 정착하여 킨키(近畿) 지방으로 세력을 확장하고 진무 동정(神武東征)을 거쳐 일본열도 선주민을 정복하여, 태양신으로 추대되었던 아마테라스를 중심으로 나라를 세웠다는 것이다. 또한, 스사노오는 신라 왕으로 일본열도 정복 뒤에도 한반도와 왕래하였다고 주장하였다.나중에 스사노요와 아마테라스는 사이가 나빠지고 반도쪽이 熊襲를 지원해 반란을 일으켜서 반도와 열도는 분리되었다. 일본 신공황후에 의한 반도 침공과 구마소의 진압에 의해 한때는 한국과 일본이 통합되었지만, 신라가 반란을 일으켜 당과 연합해 백촌강의 전투에서 백제와 왜를 깨뜨려 덴지천황 때에 완전히 반도를 잃어버렸다. 호시노 히사시는 이걸 「憤慨歎惜」라고 한탄하며 토요토미 히데요시의 조선 정벌을 당연한 대가라고 주장했다. 그래서 천황가는 한반도의 지배자이고 한반도와 일본열도는 본래 한 나라이며, 조선인과 일본인은 언어적으로나 인종적으로나 비슷하므로 한반도를 다시 천황가의 영토로 편입하는 것이 마땅하다고 주장하였다. 그 밖에 기타 사다키치(喜田貞吉)등은 '조선인은 어서 일본국민으로 동화하여 똑같이 천황폐하의 충성된 신민이 되어야만 한다.'고 주장하였다.
언어학분야에서도 일선동조론을 뒷받침하기 위한 연구가 이루어졌다. 근대 초기 조선어 연구자 가운데 하나인 가나자와 쇼사부로(金沢庄三郎)는 저서「日韓兩言語同系論(일한양언어동계론)」에서 '한국의 언어는 우리 대일본제국의 언어와 동일계통에 속하는 것으로 우리 국어의 한 분파에 지나지 않으며 류구방언과 우리 국어(일본어)와의 관계와 흡사하다'고 주장하였다. 이 학설이 세계적으로 널리 알려져 가나자와가 나중에 지은《일선동조론(日鮮同祖論)》이란 제목이 '일선동조론'이라는 말의 어원이 될 만큼 그 파급력이 컸다.
과학적 연구 결과.
유전학적 연구결과와 언어학적 연구 결과는 한국과 일본 사이에 공통조상이 있고, 야요이인은 한반도에서 도래하였다는 것을 보여주나, 야마토 민족과 한민족(조선민족)이 같은 민족이었다가 분화되었다는 일선동조론의 주장과는 차이가 있다. 또한 한국어족과 일본어족 사이의 계통적 관계는 없다는 것이 정설이다. 원래 같은 황인종으로서 유전적으로 가까운 민족이긴 했으나 한국어족과 일본어족은 전혀 다른 언어를 사용했는데, 일본어족을 사용하던 야요이인이 한국어족의 팽창에 의해 일부가 일본으로 건너가 일본 열도를 정복하고, 나머지는 한국어족에 동화되면서 현재의 언어가 된 것(반도일본어설)으로 보인다. 또한 열도를 정복한 정권이 한반도의 남부를 지배했다는 임나일본부설은 역사학적으로 완전히 부정되고 있다.
새턴 스카이(Saturn Sky)는 미국 제너럴 모터스의 브랜드인 새턴에서 제작한 후륜구동 방식의 로드스터로 2006년 1분기에 발표되었다. 새턴 스카이는 폰티액 솔스티스와 카파 플랫폼(Kappa platform)을 공유하고 있다. 제너럴 모터스는 2005년 북미 국제 오토쇼에서 스카이의 컨셉 모델을 선보였고, 이어 2006년 오토쇼에서 양산모델을 발표했다. 미국 델라웨어주 월밍톤에 위치한 GM의 델라웨어 공장에서 생산하고 있으며, 이 공장에서는 폰티액 솔스티스와 오펠 GT도 함께 생산되고 있다. 새턴 스카이는 18인치(457밀리미터) 휠과 2.4리터 에코텍 LE5 직렬 4기통 엔진을 장착하고 있다. 2.4리터 엔진은 177마력(132킬로와트)을 낼 수 있고, 트윈 스크롤 터보차저 직분사 시스템(SIDI)이 장착된 2.0리터 엔진은 264마력을 낼 수 있다. 수동 및 자동변속기 모델이 있으며, 두 모델 모두 5단 기어로 되어 있다.
GM대우는 새턴 스카이 레드라인을 GM대우 G2X라는 이름으로 2006년 대한민국에 처음 소개하여, 2.0리터 264마력 트윈 스크롤 터보 5단 자동변속기 모델을 2007년 9월부터 판매했으나 1년 뒤 수입을 중지했다. 오펠 GT의 최신 모델도 새턴 스카이와 상표만 다른 같은 모델이다. GM에서 새턴과 폰티악 브랜드를 폐기하기로 하여 이 모델도 더 이상 생산할 수 없게 되었고, 2009년에 후속 없이 단종되었다. 동시에 이 차종을 생산한 델라웨어주 윌밍턴 공장 역시 폐쇄됐다.
레드라인 모델.
새턴 스카이 레드라인 모델은 2006년 4월 11일 뉴욕 오토쇼에서 처음 소개되었다. 레드라인 모델은 솔스티스 GXP에도 사용된 194킬로와트(260마력) 터보차저 방식의 지엠 에코텍엔진을 채택했다. 변속기는 아이신제 5단 수동 변속기가 기본이고, 자동 변속기는 선택 사양이었다.
레드라인은 표준 토크센싱(torque-sensing) 차동 제한 장치(LSD)와 표준 스태빌리트랙(StabiliTrak), 그리고 향상된 스포츠 현가장치가 장착되어 있었다. 외장도 개선되었는데, 2개의 배기구와 18인치 휠, 그리고 전면부의 디자인이 바뀌었다. 내장 역시 가죽으로 씌어진 스티어링 휠과 오디오 제어판, 자수로 장식된 좌석과 바닥 매트, 스테인레스 페달, 디지털 부스트 계기판 등등이 레드라인 모델을 위해 새로 장착되었다.
GM대우 G2X(GM Daewoo G2X)는 GM대우에서 판매한 로드스터 형태의 스포츠카이다. GM대우는 새턴 스카이를 대한민국으로 수입하여 G2X라는 차명으로 출시되었다.