shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 formula_11가 빠지고, 두 번째 단계에는 formula_12과 formula_13가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일 대응시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 formula_16이 된다. 이 길이를 모두 합하면
이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합이다.
칸토어 집합은 가산 무한 개의 두 원소 이산 공간의 곱공간 formula_18과 위상동형이다. 특히, 칸토어 집합의 작은 귀납적 차원은 0이다.
프랙털 성질.
칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원은
수학에서 구간(區間, )은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 갖춘 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라
의 세 가지로 나뉜다.
원순서 집합 formula_1의 두 원소 formula_2에 대하여,
를 &lt;math&gt;a로 표기하자.
원순서 집합 formula_1의 두 원소 formula_2를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 열린구간과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 formula_6를 요구하기도 한다).
원순서 집합 formula_1의 원소 formula_10를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.
마찬가지로, 원순서 집합 formula_1의 원소 formula_14를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.
왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 formula_16 전체이다.
원순서 집합 formula_1에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합
의 두 원소를 두 끝점으로 하는 formula_19의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다.
순서 볼록 집합.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_23가 다음 조건을 만족시키면, 순서 볼록 집합()이라고 한다.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_27이 주어졌다고 하자. formula_28에 포함되는 formula_16의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 formula_28의 순서 볼록 성분()이라고 한다. 초른 보조정리에 따라, formula_28에 포함되는 formula_16의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 formula_28의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 formula_16가 전순서 집합이라면, formula_28의 순서 볼록 성분들은 formula_28를 분할한다. 즉, formula_37인 순서 볼록 집합 formula_23를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.
함의 관계.
모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
실수선 formula_40의 부분 집합 formula_41에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
보다 일반적으로, 선형 연속체 formula_51의 부분 집합 formula_52에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
폐포.
실수 구간의 폐포는 다음과 같다.
볼록 부분 격자.
격자 formula_56의 부분 집합 formula_52에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
단위 구간
은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간
은 모든 양의 실수들의 집합이다.
유리수의 전순서 집합 formula_70의 부분 집합
는 순서 볼록 집합이지만, (formula_72가 무리수이므로) formula_70의 구간이 아니다.
수학에서 부등식(不等式, , )은 두 수 또는 식에 대한 크기를 비교하는 식이다. 부등식은 두 개의 수 및 두 개의 식 사이의 부등호(不等號, )로 구성된다.
예를 들어, formula_1는 formula_2가 formula_3보다 크다는 뜻이다. 반대로, formula_4는 a가 b보다 작다는 뜻이다. formula_5와 formula_6는 부등호에 등호를 합친 것으로, 두 수가 같은 경우를 포함하는 부등호이다. 즉, formula_7는 formula_8를 나타내며 formula_9는 formula_10 또는 formula_11를 나타낸다.
여러 값을 비교할 때에는 formula_12와 같이 여러 부등식을 잇기도 한다. 예시로 formula_12는 formula_4이며 formula_15인 것을 줄여 쓴 것으로 formula_16이기도 하다.
실수 집합 formula_17에서, 두 실수 formula_18에 대한 부등식은 다음과 같다.
절대 부등식과 조건 부등식.
절대 부등식(絶對不等式)은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이다. 조건 부등식(條件不等式)은 특정한 범위의 변수의 값 아래에서만 성립하는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 증명이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 풀이라고 한다.
예를 들어, 실수 부등식
이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식
토머스 해리엇()이 기호 ‘&gt;’ 및 ‘&lt;’를 도입하였다.
마거릿 머널린 미첼(, 1900년 11월 8일 ~ 1949년 8월 16일)은 1936년작 《바람과 함께 사라지다》로 유명한 미국의 작가이다.
그녀는 미국의 남부 조지아주 애틀랜타에서 태어났다. 어린시절을 애틀랜타에서 보내며 남부의 역사와 남북 전쟁 시기의 일화를 들으며 성장하였다.
독서광이었던 그녀는 애틀랜타 워싱턴 신학대학교()를 졸업한 후, 여성 교육에 관심이 많았던 어머니의 뜻에 따라 북부에 있는 명문 여자 대학인 스미스 대학교(Smith College)에 들어가 의학을 공부한다. 그곳에서 '헨리'라는 육군 장교와 연애를 하기도 하지만 헨리는 제1차 세계 대전에 참전했다가 사망하고, 이후 스페인 독감으로 어머니가 세상을 떠나게 되자 1918년에 학교를 중퇴하고 다시 고향 애틀랜타로 돌아왔다. (이 과정은 이후 그녀의 소설에 큰 영향을 준다)
그 후 애틀랜타의 언론사에서 일하기도 했으며 결혼하여 평범하게 살던 중 발목을 다치는 바람에 신문사를 그만두고 남북 전쟁을 바탕으로 한 대작 《바람과 함께 사라지다》를 집필하기 시작했다. 그가 어린 시절부터 듣던 전쟁 시기의 일화와 치밀하게 수집한 자료를 바탕으로 10년 간 집필하여 1936년 출판된 이 장편소설은 폭발적인 인기를 몰며 빠른 시간내에 베스트셀러가 되었으며 이듬해 1937년 퓰리처상 수상의 영예를 안게 되었다. 3년 뒤인 1939년 비비언 리 주연의 영화로 출시되게 되면서 더욱 유명해졌다.
그러나 미첼은 소설가로서 이 한 작품만을 남겼을 뿐이며, 1949년 8월 11일 저녁, 남편 존 마쉬(John Marsh)와 함께 영화 를 보러가는 도중에 애틀란타 13번가의 피치트리 거리(Peachtree Street)를 건너다가 과속으로 달리던 자동차에 치었다. 완전히 의식을 회복하지 못한 채, 5일 후 그래디 병원(Grady Hospital)에서 48세로 사망했다. 애틀랜타의 에 묻혔다.
5월(五月, May)은 그레고리력에서 한 해의 다섯 번째 달이며, 31일까지 있는 7개의 달 중 하나이다. 대한민국에서는 5월이 가정의 달이다. 이 달과 다음 해의 1월은 항상 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝난다.
단, 첫 주 평일은 2일(노동절 당일 이후 포함), 3일, 6일(노동절·어린이날 징검다리 연휴 포함)이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다.
음력 3월과 음력 4월이 이 달에 있으며 5월에는 음력 3월 15~16일, 4월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 이 달에 윤달이 끼는 경우는 윤3월 혹은 윤4월인데 소만 이전은 윤3월, 소만 이후는 윤4월이다.
5월과 스포츠.
음수(陰數)는 -1, -2, - formula_1, -1.414처럼 음의 부호(-)를 붙인 수로 0보다 작은 실수다.
음수를 포함한 연산.
더하기.
빼기.
일반적으로 양수의 빼기는 같은 절대값의 음수의 더하기와 같은 결과를 산출한다. 그러므로
그리고
반면, 음수의 빼기는 같은 절대값의 양수의 더하기와 같은 결과를 산출한다. 그러므로
곱하기.
두 음수의 곱이 양수여야 한다는 관습은 곱셈이 분배 법칙을 따르기 위해서 필요하다. 이러한 경우 다음이 성립한다.
나누기.
따라서
이디 아민 다다 오우메(, 1928년 5월 30일 ~ 2003년 8월 16일)은 우간다의 군인 출신 정치인으로 1971년 군사 쿠데타로 대통령에 취임하였다.
집권 하기 전.
우간다 북서부의 서나일 아루아의 소부족 카크와 출신. 이슬람교도이자 농부인 아버지와 주술을 통해 사람들을 치료하는 루그바라 부족 주술사인 어머니 사이에서 태어났지만 공식 교육은 거의 받지 못한 문맹이었던 이디 아민은 193cm의 거구였으며, 권투 챔피언이었다. 제2차 세계 대전 당시 이디 아민은 버마 전투에 참가하고, 1946년 영국 식민지 군에 입대하고, 1953년부터 1959년까지 케냐에서 대장으로 영국군으로 마우-마우 저항진압에 가담했다. 1961년 아민은 우간다 최초의 유색 장교가 되었다. 1962년 우간다가 독립하고, 1964년 대령이 된 이디 아민은 1966년 밀턴 오보테와 함께 대통령 무테사 2세를 제거하는데 동참한다. 1967년에는 군 통수권자가 되었다가 콩고 반란군 원조 문제에 연루되어 좌천당했다.
쿠테타와 집권.
서구 국가들에게 이 쿠테타는 안도를 주었으며, 영국과 이스라엘은 아민 정권을 바로 인정했다. 그러나 쿠데타 며칠 후, 우간다의 지식인, 장교, 법관들이 사라지기 시작했으며, 오보테를 지지했던 마을들은 폐허가 되었고, 주민들은 살해당했다.
그가 권력에 있던 8년간, 10만에서 50만에 이르는 희생자가 있었을 것으로 인권단체는 추정하고 있다. 아랍권의 국가들과 경제관계를 개선하기 위해, 아민은 이스라엘의 적임을 자처했다. 그는 나치의 유대인 학살을 미화하고, 유대인들을 추방했다.
1972년 아프리카화 캠페인의 일환으로 아시아인들을 내쫓고, 외국인 소유의 기업들을 국영화하였는데, 그로 인해 우간다는 중산층과 상류층을 잃게 되었다. 1971년에 대통령과 군사령관, 1975년에는 육군원수, OAU의 의장으로 선출되었고, 1976년에는 자신을 종신대통령으로 선언했다.
몰락.
1978년 군 내부의 반역음모를 무마하기 위해, 탄자니아 침공을 명령했다. 그러나 수많은 반 아민 단체와 반군들이 탄자니아군과 연합해 1979년 4월 11일 반격으로 수도 캄팔라가 탄자니아군과 망명 우간다인들에게 점령당했다.
아민은 우선 리비아로 도망치고 나중엔 이라크로 향했다가 결국에는 사우디아라비아를 마지막 망명지로 택하였는데 사우디아라비아 정부는 정치에 관여하지 않는다는 조건으로 지다에 그가 살 빌라를 내어주었다. 그곳에서 그는 고혈압과 신경마비로 인한 혼수 상태에 빠져있다가 2003년 8월 16일 생을 마쳤다.
그 외.
흑인우월주의자로 백인들을 굉장히 증오했으며 이 때문에 1975년 7월에 자국에 체류한 영국 백인 사업가들을 아무 이유 없이 체포한 뒤 자신이 타는 가마를 짊어지게 하여 한동안 자신의 가마꾼으로 부려먹었다.
일본 문학(日本文學, )은 일본어로 적힌 문학 작품, 또는 그러한 작품이나 작가를 연구하는 학문을 뜻한다. 일본문학의 정의를 무엇으로 삼을 것인가에 대해서는 여러 가지 주장이 있어서, 언어, 발표된 지역, 문학의 형식 등 여러 가지 요소가 고려된다(최근에는 외국 국적의 작가가 일본어 작품을 쓰는 사례와 같이, 국적이나 거주지가 언어와 일치하지 않는 경우도 있다는 점을 고려하여, 일본어문학이라는 호칭이 사용되는 일도 있다).
시대구분에 의한 분류.
역사학과 같이 정권의 이동에 초점을 맞추는 경우가 언제나 합당하다고는 볼 수 없으나, 이것을 기준으로 삼는 경우가 많다. 또한 상대(上代)・중고(中古)・중세(中世)・근세(近世)・근현대(近現代)와 같은 구분에는 연구자에 따라 다른 의견도 있어서, 중고를 설정하지 않는 경우도 있다. 근대와 현대의 구분에 대해서도 여러 가지 설이 있어서 정해져 있지 않다.
상대문학.
약 나라 시대까지. 상대문학을 전기·후기로 나누어 보면, 전기는 신화·전설·가요가 많이 발생하였으나 문자가 없었던 시대이므로 입으로 전달되는 구송문학(口誦文學)이 발달하여 왔다. 그러다 후기에 들어와 문학 의식이 차츰 높아짐에 따라 여러 가지 장르로 나뉘어 발달하여 원시인의 소박한 모습으로부터 차츰 높은 문예적 성격을 나타내게 됨에 따라 한자 및 한자의 음과 뜻을 빌어 기재 문학으로 옮겨가게 되었다.
중국 대륙에서 한반도를 경유하여 한자가 유입되어, 한문과, 자신들의 말에 한자를 끼워맞춘 만요가나가 사용되었다. 이 무렵 신화·전설·가요를 집대성하여 《고지키》(712년) 《니혼쇼키》(720년)와 같은 역사서가 성립되었는데 특히 와카만을 모아 엮은《만요슈》가 나와 순문학을 수립했다.
중고문학.
약 헤이안 시대에 해당한다. 한시・한문이 계속해서 번영을 누림과 함께, 첫 칙찬와카집인 고킨와카슈가 편찬되고, 와카가 한시와 대등한 위치를 점했다. 당시의 공식문서는 한자로 쓰여져 있었으나, 히라가나로 된 순수한 일본어에 의한 표현이 성행하기 시작하여, 기노 쓰라유키의 《도사 닛키》가 쓰여짐에 이어, 세이 쇼나곤의 수필 《마쿠라노소시》, 무라사키 시키부의 《겐지 모노가타리》 등 고전문학의 대표적인 작품이 나타나 일본 문학의 황금시대를 이룩하였다. 이 시대의 문학의 특징은 주관적이고 우미적 정취(優美的情趣)에 중심을 두었다는 데 있다. 또한 고유의 문자인 가나(假名)가 발달하여 특히 여성 작가에 의해 아름답고 고운 문학작품이 만들어졌다.
중세문학.
약 가마쿠라 시대부터 아즈치모모야마 시대까지. 헤이안 시대 문학의 영향으로 소설·수필 등이 성행하였고 무사계급의 전란을 반영한 《헤이케모노가타리》(平家物語), 《호겐모노가타리》(保元物語) 등의 군담소설과 《호조키》(方戈記) 같은 수필문학이 나왔다. 무사들간의 전란이 오래 계속되었기 때문에 승려와 일부 은둔자들에 의해 씌어진 작품이 많아 불교사상과 염세적 사상이 깃들여 있다.
후지와라노 사다이에 등에 의한 화려한 기교에 특징이 있는 《신고킨와카슈》가 편찬되었다. 또한 현대일본어의 직계 선조라 할 수 있는 와칸콘코분을 사용한 많은 작품이 나타났다. 가모노 조메이의 《호죠키》, 요시다 겐코의 《츠레즈레구사》등이 여기에 해당한다. 작자 미상의 것으로 《헤이케 모노가타리》를 들 수 있다. 또한 사루가쿠의 발달이 눈에 띈다.
근세문학.
약 에도 시대의 문학. 오토기조시의 흐름을 따라 가나조시나 이하라 사이카쿠 등의 우키요조시가 나타났다. 또한 이제까지의 문학이 주로 귀족·승려에 의해 이루어졌으나 이 시대의 문학은 신흥 서민계급이 주체가 되었다. 이들은 낙천적 생활을 즐겼으므로 오락적인 문학이 발달하여 새로운 문학의 장르가 나타났다. 이 때 당시 가부키나 조루리가 흥하여 인기몰이를 했다. 하이카이가 유행하여 마쓰오 바쇼, 고바야시 잇사 등의 인물들이 활약했다.
근현대문학.
메이지 시대 이후. 개국과 함께 서양의 문명이 흘러들어와 문명개화가 일어나자 일본 문학도 큰 영향을 받았다. 서양 근대소설의 이념이 유입되어 쓰보우치 쇼요의 《소설 신수》, 후타바테이 시메이의 《소설 총론》《우키구모》 등에 의한 실질적 근대 일본문학이 출발했다. 흔히 말하는 '문학'이라는 개념은 이때 생겨났다.
메이지 20년 전후부터 근대문학이 싹트기 시작하여 사실주의에 이어 낭만주의가 문단에 등장하였다. 그리고 서구의 자연주의가 들어와 문단의 주류가 되어 시단에 혁신운동이 일어났다. 그러나 자연주의에 반대하는 신이상주의문학이 일어났고, 다이쇼 말기로부터 쇼와 10년까지는 예술지상주의(藝術至上主義)적 문학과 사회주의적 문학이 대립을 하였다.
제2차 세계 대전이 일어나자 전쟁에 협력하는 전쟁문학만이 허용되어 문학은 전쟁 일색으로 변하고 문학정신은 어둠 속에 잠겨 버렸다. 전후의 문학은 전전의 문학을 추구하여 전전(戰前)의 프롤레타리아 문학 운동의 왜곡된 점을 시정하고 자유정신을 회복하고 새 정치와 문학의 관계를 수립하고자 했다. 이 점은 주로 근대문학에 의하여 비평가들이 정치의 우위성으로부터 문학을 탈환하여 문학의 자율성을 인정하고자 했다. 전전 일본의 지식인들이 파시즘과 전쟁에 대한 저항운동을 조직하지 못한 점을 반성하고, 거기에 일본인의 근대적 인간의 자아의 미성숙을 인정하려고 새로운 시대의 인간의 밑바닥에 근대적 자아의 확충을 꾀하게 됨과 동시에 전후 세대의 자기 주장과 관련된 문예비평의 전개와 호응하여 소설 분야에서도 전전의 문학과는 다른 새로운 시대의 문학작품이 등장하였다.
수학에서 거리 공간(距離空間, )은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.
집합 formula_1 위의 거리 함수(距離函數, )는 다음 조건을 만족시키는 함수
여기서 formula_10로 잡으면 formula_11가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 formula_12로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.
거리 공간 formula_13은 거리 함수가 주어진 집합이다.
거리 공간 formula_1에서, 점 formula_15를 중심으로 하는, 반지름이 formula_16인 열린 공 formula_17는 다음과 같다.(저자에 따라서는 formula_18로 적기도 한다.)
점 formula_15를 중심으로 하는, 반지름이 formula_16인 닫힌 공 formula_22는 다음과 같다.
거리 공간 formula_1의 유계 집합 formula_25는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
거리 위상.
거리 공간 formula_13의 거리 위상(距離位相, )은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 formula_29이다.
거리 위상은 거리 함수 formula_33를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 formula_34의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.
완비 거리 공간.
지름.
거리 공간 formula_13의 지름() formula_36는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.
거리 공간 formula_13의 임의의 부분 집합 formula_39에 대하여, formula_40는 거리 공간을 이룬다.
위상수학적 성질.
노름 공간 formula_55에 대하여, 거리 함수를
로 정의한다면, formula_57는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 formula_55에 대하여 거리 함수를
로 정의한다면, formula_60는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리()라고 한다.
임의의 연결 리만 다양체 formula_61에 대하여, 거리 함수를
로 정의한다면, formula_63는 거리 공간이다.
임의의 집합 formula_1 및 양의 실수 formula_65에 대하여,
는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.
임의의 연결 그래프 formula_67에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.
일반위상수학에서 위상 공간(位相空間, )은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.
위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학이라고 한다.
집합 formula_1 위의 위상(位相, )은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.
위상 공간 formula_65은 위상을 갖춘 집합이다.
위상의 비교.
같은 집합 formula_1 위의 두 위상 formula_67, formula_68에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 formula_67이 formula_68보다 더 섬세하다(-纖細-, )고 하며, 반대로 formula_68가 formula_67보다 더 거칠다()고 한다.
격자론적 성질.
주어진 위상 공간 formula_65의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 formula_87(필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호 formula_88(개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다.
주어진 집합 formula_1 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상이다.
주어진 집합 formula_1 위의 위상들의 족 formula_91의 하한(만남)은
이다. 주어진 집합 formula_1 위의 위상들의 족 formula_91의 상한(이음)은 formula_95를 기저로 하는 위상이다.
범주론적 성질.
위상 공간과 연속 함수들은 범주를 이루며, 이 범주를 formula_96이라고 한다. 이 경우, 망각 함자
를 통해, formula_96은 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 수반 함자를 갖는다.
formula_96은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한과 쌍대극한이 존재한다. 특별한 극한 및 쌍대극한은 다음과 같다.
formula_96은 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 구체적으로, 함자 formula_107는 정칙 전사 사상을 보존하지 않으므로, 왼쪽 수반 함자를 가질 수 없다.
유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 "X" = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.
특별한 위상 공간.
위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다.
추가 구조.
위상 공간은 근방의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.
위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, 대수기하학에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합을 범주로 추상화하여, 덮개의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 그로텐디크 위상의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 층들의 범주의 성질을 공리화하면 토포스의 개념을 얻는다.
1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합은 거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고, 1914년에 펠릭스 하우스도르프는 근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다. 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.
P2P(peer-to-peer network) 혹은 동등 계층간 통신망(同等階層間通信網)은 비교적 소수의 서버에 집중하기보다는 망구성에 참여하는 컴퓨터들의 계산 및 대역폭 성능에 의존하여 구성되는 통신망이다. P2P 통신망은 일반적으로 노드를 규모가 큰 애드혹으로 서로 연결하는 경우다. 이런 통신망은 다용도로 활용할 수 있는데, 일반적으로 오디오나 비디오, 데이터 등 디지털 형식 파일을 공유할 수 있다. 또한, 인터넷 전화(VoIP)같은 실시간 데이터 등도 P2P 기술을 통해 서로 전달될 수 있다.
순수 P2P 파일 전송 네트워크는 클라이언트나 서버란 개념 없이, 오로지 동등한 계층 노드들(peer nodes)이 서로 클라이언트와 서버 역할을 동시에 네트워크 위에서 하게 된다. 이 네트워크 구성 모델은 보통 중앙 서버를 통하는 통신 형태의 클라이언트-서버 모델과는 구별된다. FTP 서버야 말로 P2P 파일 전송 형식이 아닌, 대표적 반례로 꼽을 수 있다. 어떤 사용자가 FTP 서버에 어떤 파일을 올리면 다른 사용자들이 내려 받는데, 올리는 쪽과 내려받는 쪽 모두 동시에 접속하지 않아도 된다.
냅스터, 오픈냅, IRC @find) 등과 같은 네트워크와 채널은 클라이언트-서버 구조를 검색 등과 같은 일부 기능에 쓰고, 다른 기능은 P2P 구조를 쓴다. 누텔라나 프리넷 같은 네트워크는 모든 기능에 P2P 구조를 가지는데, 비록 그 네트워크가 다른 같은 계층의 사용자들(peers)의 네트워크 주소를 알려 주는 데 디렉터리(directory) 서버에 크게 의존하긴 하지만, 때때로 진정한 P2P 네트워크으로 인용된다.
최근의 P2P 서비스는 순수 파일 전송 네트워크에서 발달하여 그리드 컴퓨팅 기술로 진화해 웹하드 형태로 서비스되고 있다. 외부적으로 웹하드 형식으로 보이지만 실제로는 각 유저들의 저장장치에 화일이 직접 전송되어 순수 초기 P2P 네트워크와 마찬가지로 유저들의 시스템에 부하를 유발하는 공통점이 있다. 이런 웹하드 형태의 그리드 컴퓨팅 P2P 서비스로는 피디박스, 화일아이, 아이팝 등이 있다.
P2P는 인터넷에 연결되어 있는 여러 가지 형태의 리소스 (저장 공간, 씨피유 파워, 콘텐츠, 그리고 연결된 컴퓨터를 쓰고 있는 사람 그 자체)를 이용하는 일종의 응용 프로그램이다. 그런데 이들은 고정된 ip 주소도 없고, 연결이 되었다 안 되었다 하는 '불안정한' 형태로 존재하는 분산된 리소스이다. 따라서 P2P 노드는 종래의 DNS '바깥에서' 운용될 수밖에 없으며 강력한 중앙의 서버들의 영향력이 미치지 않는다.
P2P 디자이너들은 그런 특징을 활용해서 CPU 싸이클들을 모을 수 있는 방법, 파일을 공유할 수 있는 방법, 채팅하는 방법 등을 찾아내고자 하는 것이다. 문제는 어떤 방향으로 나아가고자 하느냐이다.
냅스터나 ICQ, Popular Power, Freenet 등은 모두 기존에는 전혀 사용되지 않던 리소스를 발굴해서 지렛대로 활용하려 하고 있다는 점에서 유사하다. 이러한 서비스는 다양한 형태로 인터넷에 물려 있는 수천, 수만가지의 장치들을 잘 조합하고 연결하려고 하는 것이다.
혹자는 P2P 디자이너들이 해결하는 이러한 '연결 문제'(connectivity problem)가 단지 하나의 해프닝적인 것 아니냐는 식으로 얘기하곤 한다. 하지만, '컴퓨터끼리 연결하는 방법을 개선하겠다'는 모토가 그 유명한 IP 주소나 DNS, 또는 그전의 TCP, 심지어는 인터넷 그 자체를 태어나게 했다는 사실. 인터넷은 결국 위에서 말한 기술이 탄생한 순간 순간이 모여서 이뤄진 것이다.
DNS를 우회하는 P2P.
1996년 나온 ICQ는 항상 인터넷에 연결되어 있는 서버와는 다른, 접속하다 끊을 수도 있는 개인용 컴퓨터들끼리 서로 접속할 수 있는 길을 처음으로 터 주었다. 모든 것이 점차 휴대화되어 가는 추세를 맞아, ICQ는 DNS를 우회해서 저만의 독자적인 프로토콜 주소 디렉터리(protocol-specific address directory)를 창조해 냈던 것이다. 이를 통해 IP 주소는 실시간으로 업데이트 될 수 있었다. Groove, Napster, Netmeeting 등이 ICQ를 따라 이런 방법을 사용한다. (물론 모든 P2P 시스템이 이 트릭을 쓰는 것은 아니다. 그누텔라 (Gnutella) 나 Freenet의 경우, DNS를 우회하는 것은 이전 방식과 똑같지만 숫자로 표시되는 IP 주소를 활용한다는 점에서 다르다. Popular Power와 SETI@Home은 각 노드가 고정된 주소에 접속할 수 있는 스케줄을 제공해서, 접속 당시의 IP 주소를 전달하는 방식을 택하고 있다)
Whois에 따르면 IP 주소가 처음 뿌리를 내린 1984년 이후 16년 동안 2천3백만 개의 도메인 이름이 만들어졌다. 하지만 냅스터는 혼자서 16개월 만에 2천 3백만 개의 비 DNS 주소를 만들어냈다. 그리고 만약 사용자가 모든 비 DNS 인스턴트 메시징 주소에 가입한다고 하면 동적인 IP 주소에 접근할 수 있는 P2P 주소의 개수는 모두 2억 개를 넘어선다. 평균 DNS 호스트가 10개의 second.first.com 같은 형태의 2차 주소를 갖고 있다고 가정해 보아도, 현재의 P2P 주소의 모든 개수는 불과 4년 뒤엔 DNS 주소의 모든 개수와 같아지게 될 것이며, 오늘날의 DNS 세계보다 훨씬 더 광대한 세계로 성장해 가게 된다는 셈이 된다.
무선 PDA 같은 새로운 종류의 인터넷 접속 장치나 TiVo, Replay 같은 디지털 비디오 레코더가 보급됨에 따라 이들 역시 인터넷의 중요한 일부가 될 것이 확실하다. 하지만 현재로는 피씨 그 자체야말로 개척되지 않은 리소스의 절대 다수를 갖고 있다. 피씨는 인터넷의 다크호스이다. 그리고 그 피씨가 갖고 있는 '덜' 사용된 리소스는 P2P 혁명을 더욱 가속화할 것이다.
P2P 시스템의 이전 세대는 메타컴퓨팅(metacomputing)이라 불리거나 미들웨어(middleware)로 분류됨. Legion, Globus, Condor, ByteTornado
집합론에서 선택 공리(選擇公理, , 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다.
집합족 formula_1 위의 선택 함수(選擇函數, )는 다음 성질을 만족시키는 함수 formula_2이다.
만약 formula_5라면, formula_1는 물론 선택 함수를 가질 수 없다. 선택 공리 formula_7에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족은 선택 함수를 갖는다.
약화된 형태.
임의의 기수 formula_8에 대하여, formula_9는 "크기가 formula_8 이하인, 공집합을 포함하지 않는 집합족은 선택 함수를 갖는다"는 명제이다. 특히, formula_11일 때 formula_12를 가산 선택 공리(可算選擇公理, )라고 한다.
임의의 집합 formula_13 및 이항 관계 formula_14가 주어졌고, 또한 이들이 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 의존적 선택 공리(依存的選擇公理, ) formula_19에 따르면 다음 성질을 만족시키는 열
이 존재한다.
대역적 선택 공리.
집합론의 언어 formula_24에 1항 연산 formula_25를 추가하자. 그렇다면, 이 언어 formula_26에서, 대역적 선택 공리(大域的選擇公理, )는 다음과 같은 문장이다.
이 경우, formula_25를 선택 연산()이라고 한다.
집합족 formula_29가 주어졌으며, 각 formula_30 위에 정렬 순서 formula_31가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선택 함수
체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 임의의 자연수 formula_36에 대하여 formula_37을 증명할 수 있다.
증명 (formula_40):
집합족 formula_41이 주어졌다고 하자. 집합
위에 다음과 같은 이항 관계 formula_43를 정의한다.
그렇다면, formula_45에 의하여 열
가 존재한다. 따라서 formula_48를 사용하여
를 고른 뒤
이라고 정의하면, formula_51이다. 따라서 formula_52는 가산 무한 집합족 formula_41의 선택 함수이다.
증명 (formula_54):
집합 formula_55 위의 이항 관계 formula_43가 주어졌다고 하고, 또한
가 성립한다고 하자. 그렇다면, 선택 공리에 의하여 집합족
의 선택 함수
가 존재한다. 임의의 원소 formula_61를 고르고
증명 이론적 성질.
만약 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음을 보일 수 있다.
모형 이론적 성질.
즉, 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형 formula_66이 주어졌을 때, formula_66 속의 구성 가능 전체 formula_68은 ZFC의 모형을 이룬다.
집합족 formula_70가 다음 두 조건을 만족시키면, 유한 지표 집합족(有限指標集合族, )이라고 한다.
체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 선택 공리는 수많은 동치 명제들을 가지며, 다음과 같다. 즉,
인 명제 formula_79의 예는 다음을 들 수 있다.
그러나 선택 공리를 의존적 선택 공리(또는 가산 선택 공리)로 약화시킨다면, 이들 가운데 상당수는 증명 불가능하다. 예를 들어, 의존적 선택 공리는 르베그 가측 집합이 아닌 실수 집합의 존재를 증명할 수 없다.
공식적인 형식화가 없었음에도 불구하고 19세기 말까지 선택 공리는 암묵적으로 수학자들 사이에서 사용되어 왔다. 예를 들어, 집합 formula_55가 공집합이 아닌 집합만을 포함한다고 했을 때, 수학자들은 종종 “모든 formula_55에 포함된 (집합) formula_95에 대해, formula_96를 formula_95의 원소라고 하자” 라고 기술하곤 했다. 일반적으로 (함수) formula_98 가 선택 공리 없이 존재할 수 있음을 증명하기란 불가능했고, 그로 인해 체르멜로 이전까지는 이를 심각한 문제로 여기지 않았다.
한편, 모든 함수가 선택 공리를 필요로 하지는 않는다. 유한 집합 formula_55의 경우, 선택 공리는 다른 집합론의 공리들로부터 도출될 수 있다. 각각에 적어도 하나의 물건이 담긴 (유한한) 여러 개의 상자들을 상상 해 보자. 이때 우리는 각 상자에서 정확히 하나의 물건을 선택할 수 있다. 예를 들자면 이런 식이다. 첫 번째 상자에서 물건 한 개를 선택하고, 두 번째 상자로 옮겨 여기서도 물건 한 개를 선택한다. 그 후 세 번째 상자에서도 물건을 하나 선택하고, 이런 방식을 유한한 횟수로 반복해서, 마지막 상자에서 물건을 하나 선택하는 것으로 이 과정을 마칠 수 있다. 이 때, 각 상자에서 하나 씩의 물건을 선택함으로써 보여지는 상자-물건의 관계를 선택 함수에 해당한다고 할 수 있다. 그러나 이런 방법은 공집합이 아닌 집합의 모든 가산 집합족에 대해서도 선택 함수가 존재한다는, 가산 선택 공리를 증명하는 데에는 사용될 수 없다. 같은 방법이 공집합이 아닌 집합들의 무한열에 적용될 경우, 각각의 유한한 단계에서는 함수가 정의되나 전체 집합족에 대한 함수가 정의되는 단계가 존재하지 않게 된다. 결과적으로 체르멜로-프렝켈 집합론의 체계 아래서 선택 공리 없이는 어떤 “극한” 선택 함수도 구성할 수 없게 되는 것이다.
게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 증명이 필요 없을 정도로 자명한 "사고 법칙"()이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다. 1904년에 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러()는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다. 그러나 몇 주 뒤 펠릭스 하우스도르프가 이 "반증"의 오류를 지적하였다.
1923년에 다비트 힐베르트는 일종의 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시하였다. 힐베르트는 이 기호를 formula_100이라고 표기하였다. 예를 들어, 술어 formula_101에 대하여 formula_102는 (만약 formula_103라면) formula_104를 만족시키는 집합이다. 이와 유사하게, 니콜라 부르바키는 1954년에 집합론 교재에서 선택 연산 formula_25를 사용하였다.
1924년에 알프레트 타르스키는 타르스키 정리(선택 공리가 모든 무한 집합 formula_55에 대하여 formula_107인 것과 동치)를 프랑스의 한 유명 저널에 출판하려 하였는데, 이때 원고를 심사한 모리스 르네 프레셰는 "자명하게 참인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였고, 반면 같은 원고를 심사한 앙리 르베그는 "자명하게 거짓인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였다고 한다. 타르스키는 결국 논문을 타 저널에 출판하였다.
1938년에 쿠르트 괴델은 내부 모형 이론을 사용하여, 선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다. 구체적으로, 구성 가능 전체 formula_108은 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, 이 모형에서는 선택 공리가 성립한다. 폴 코언은 강제법을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.
현재까지도, 많은 수학자들은 선택 공리에 대하여 회의적인 입장을 보인다. 미국의 수학자 제리 로이드 보나(, 1945~)는 1977년에 이에 대하여 다음과 같이 농담하였다.
불교(佛敎, , )는 기원전 6세기경 인도의 고타마 싯다르타에 의해 창시된 종교이다. 불교는 그가 펼친 가르침이자 또한 진리를 깨달아 부처(붓다깨우친 사람)가 될 것을 가르치는 종교이다. 구체적으로는 고통에서 벗어나는 것 또는 고통이 없는 상태에 이르는 것이 가르침의 목적인데 이는 노자가 구체적으로 표현될 수 있는 건 도가 아니라고 한 가르침과 다르다. 상좌부 불교와 대승불교로 나눌 수 있다.
오늘날까지 2,500년의 세월이 흐르는 동안 불교는 다양하고 복잡한 종교적 전통을 지니게 되었다. 그러나, 불교는 일반적으로 개조(開祖)로서의 부처, 가르침으로서의 법, 그리고 이를 따르는 공동체인 승의 삼보로 이루어져 있다고 설명할 수 있다.
불교의 가르침을 반야 또는 보리와 혼동하는 주장이 있다. 해탈 또는 열반은 위 설명과 같이 벗어나는 것을 뜻하고 반야 등은 지혜를 뜻하므로 이들은 다르다. 깨달음에 도달하는 것은 열반에 도달하는 것과 동일하다. 불교경전인 《열반경》에는 이러한 견해가 뚜렷이 나타나 있다.
한국의 불교는 삼국시대에 칭따오을 통해 전래되었다. 중국의 불교는 후한 때에 전래되어 이후 불교의 경전이 개인 혹은 국가적 사업으로 한문번역되었다. 아함경 뿐만 아니라 반야, 대승경전이 다량 동시대에 번역되어 유통되었다. 한역된 경전을 기본으로 한 불교는 중국, 한국, 일본 등 동아시아불교(북방불교)의 근본이라 할 수 없다.
한국의 불교도들은 전통적으로 한역된 경전, 즉 대장경을 수지독송해 왔다. 근래에 남방에 전래된 초기의 불교경전의 한글번역도 활발하게 진행되고 있다. 이미 영국에서는 약 한 세기 전부터 괄목할 만한 수준의 니카야 번역 작업이 이뤄지고 있다.
불교의 역사.
역사적 관점의 기원.
역사적으로 불교는 기원전 6세기경 샤카족의 왕자로 태어난 고타마 싯다르타(Siddhārtha Gautama)에 의해 창시되었으며 현 네팔과 인도 북동부 지방에 있던 마가다(Magadha) 왕국을 중심으로 성립되었다. 싯다르타의 출생지는 룸비니(Lumbini)였고, 그의 성장지는 가비라 성(迦毘羅城, Kapilavastu)이었으나 그의 종교 활동인 수도(修道), 정각(正覺), 포교
는 마가다를 중심으로 전개되었기 때문에 그의 출생지나 성장지보다는 마가다 왕국이 불교 발생의 중심지로 생각된다. 싯다르타는 갠지스강 주변의 나라였던 슈라바스티(Srāvastī) 왕국의 기원정사와 마가다 왕국의 죽림정사 같은 곳에서 많은 제자를 이끌었다. 석가모니 생전의 주요 제자로는 사리불, 목건련, 가섭, 아난등 십대제자가 알려져 있다. 싯다르타의 인생과 관련된 주요한 장소는 팔대성지라고 부른
불교의 전파.
인도 마우리아 왕조(기원전 4세기 - 2세기)의 3대 왕이었던 아소카는 정복 전쟁을 일으켜 승리하였으나 전쟁의 참상에 큰 충격을 받고 불교로 귀의하였다. 이에 의해 인도 전역에 불교가 전파되었으며 인도 이외의 지역으로 불교가 전해지는 계기가 되었다.
인도에서 발생한 불교는 간다라를 거쳐 티베트페르시아아프가니스탄타클라마칸 지역으로 전파 되었다. 이들 지역은 중국에서 서역이라 불리던 곳으로 대월씨(大月氏)안식(安息)강거(康居) 등의 이 지역 승려들에 의해 불경과 불상이 전래되고 경전이 한역되었다.
중국에 전해진 불교는 중국 고유의 도교 사상과 많은 융합이 일어났다. 한국과 일본에 전래된 불교는 중국의 한역 불경이 근간을 이루었으나 산스크리트어로 된 불경 역시 지속적으로 전파되었다.
티베트에 전래된 불교는 독자적인 발전을 거쳐 라마교라 불리게 되었으며 몽골에 전파되었고 원나라 시기에 널리 알려지게 되었다. 원나라 멸망 후 중국과 한국 등에서는 쇠퇴하였으나 이후 청나라 시기에 황궁의 종교가 되기도 하였다.
북방 경로를 거쳐 전파된 불교는 북방불교 또는 대승불교 [마하야나(Mahāyāna)]라 불리기도 한다.
한편, 동남아시아 지역에도 불교가 전파되었으며 스리랑카태국캄보디아미얀마베트남 지역의 절대다수 사람들이 불교를 믿는다. 동남아시아 지역에는 부처님 당대의 구어인 빠알리어 경전을 갖춘 상좌부 불교가 있는데, 상좌란 곧 장로라는 뜻이다. 또는, 남방불교라고 부르기도 하며, 원래 명칭 그대로 테라와다 또는 테라바다(Theravada) 불교라고도 부른다. 상좌부 불교 지역에서는 상좌부 불교를 '테라바다'로, 대승불교를 마하야나(Mahāyāna)라고 부른다.
불교의 사상.
불교는 교조인 고타마 싯타르타의 가르침을 따르는 종교이며, 깨달음을 얻어 궁극적으로 붓다가 되는 것을 목표로 한다. 인도에서 불교는 원시 불교, 부파 불교, 대승 불교, 밀교의 순으로 전개되었는데 불교의 사상도 이러한 전개와 밀접한 관련을 가지고 있다.
싯다르타는 당시 인도에서 광범위하게 논의되고 있던 형이상학적 문제가 열반에 도움이 되지 않는다고 생각하여 답하지 않았다. 싯다르타는 법(다르마)을 인정하였으나, 그 안에서의 총합적인 나(아트만)의 존재는 인정하지 않았으며, (무아) 오히려 영원한 나에게 집착하기 때문에 번뇌가 따른다고 하였다. (일체개고) 싯다르타는 수행에 의해 진리를 체득하고 망집을 단절한다면 일체의 속박으로부터 벗어나 열반(니르바나)의 경지에 이를 수 있다고 주장하였다. 불교에는 여러 개의 천국이 있으며, 모두 자신이 지은 업의 결과이다. 좋은 업을 쌓은 사람들은 다시 태어날 수 있다.
효도나 인연처럼 사적인 것을 중시하며 속세나 공적인 것에 관심을 덜 갖는다. 업설에서는 백성들이 천하고 고통스럽게 사는 것은 귀족들의 탓이 아닌 자업자득에 사필귀정이라 주장하기도 해서 귀족들에게 유교보다 환영받기도 했다. 또한 귀족들은 불교를 이용하여 왕즉불 사상과 함께 세계정복에 대한 의지와 정당성을 주장한 불탑 따위를 건설하기도 했다.
국가별 불교의 특징.
대한민국.
대한민국에는 총림이라고 하며, 해인사 해인총림, 송광사 조계총림, 수덕사 덕숭총림, 통도사 영축총림, 백양사 고불총림의 5대 총림이 있다.
인도에는 현재 8,000명 정도의 승려들이 있다고 알려져 있다. 그러나, 공식적인 승려 교육 기관은 없다고 한다. 제14대 달라이 라마가 티베트 망명 정부를 인도 북부 다람살라에 세워서, 티베트 승려가 많아짐에 따라 인도인들에게도 불교가 전파되고 있다고 한다. 보통, 인도에서 평등을 추구하는 불교를 믿으면, 불가촉천민으로 인식한다고 한다.
미국에는 지식인들과 유명인사들 사이에 참선수행과 불교가 널리 확산되고 있다. 미국에서 불교를 널리 전한 인물로는 일본인 스즈키 다이세츠, 한국인 숭산 행원 선사 등이 손꼽힌다.
유럽.
쇼펜하우어에는 등 불교를 이해하고 수용한 철학자, 사상가들이 있었다. 티베트 망명 정부의 정치 지도자이자 세계적 불교 지도자인 제14대 달라이 라마의 영향으로 티베트 불교가 널리 알려져 있다.
평화를 위해 헌신해 온 베트남 출신의 불교지도자 틱낫한(釋一行, Thich Nhat Hanh) 스님이 이끄는 수행공동체인 Plum Village가 프랑스 보르도에 소재하고 있으며, 유럽과 미국, 베트남 등지의 스님들과 재가불자들이 주로 모여 있다. 대도시에는 한국 사찰이 운영하는 포교당이 있는데 교민 중심의 포교 활동을 하고 있다.
러시아.
러시아에는 연방을 구성하는 공화국 중 칼미키야 공화국과 투바 공화국이 불교를 국교로 정하고 있다. 그 밖에 부랴트 공화국도 불교를 믿는다.
불교 문화.
건축.
한국 사찰 건축
주요 사찰.
한국에는 하며, 총림이라고 하며, 해인사 해인총림, 송광사 조계총림, 수덕사 덕숭총림, 통도사 영축총림, 백양사 고불총림의 5대 총림이 있다.
주요 경전.
안토니오 살리에리(, 1750년 8월 18일~1825년 5월 7일)는 고전주의 시대의 이탈리아 출신 음악가이자 교육자이다. 베네치아 공화국 베로나 남부의 레냐고에서 태어나 합스부르크 왕가의 궁정음악가를 지냈다.
18세기 오페라 발전사에서 중요한 위치를 차지하는 인물로, 플로리안 레오폴트 가스만과 크리스토프 빌리발트 글루크를 사사하였으며 3개 국어로 오페라를 창작하며 국제적으로 활동하는 작곡가였다. 당대 오페라 창작에 활용되는 어휘 및 표현을 발달시켰으며 동시대 작곡가에게 지대한 영향을 미쳤다.
살리에리는 1774년부터 1792년까지 합스부르크 왕가에서 이탈리아 오페라를 전담하며 빈의 이탈리아 오페라 분야를 장악했다. 또한 살리에리의 오페라 작품은 파리, 로마, 베네치아 등 유럽 전역의 오페라 하우스에 올라갔다. 1788년부터 1824년께지 오스트리아 왕가의 궁정악장 자리에 있으며 왕궁 예배당과 부속 학교를 운영하기 위한 음악을 감독했다. 1804년 은퇴 후 살리에리의 오페라가 점차 무대에 오르지 않게 되었음에도 살리에리는 여전히 중요한 음악가이자 당대 음악가들의 스승으로서 광범위한 영향을 미쳤다. 프란츠 리스트, 프란츠 슈베르트, 루트비히 판 베토벤, 안톤 이버, 요한 네포무크 힘멜, 프란츠 크사버 볼프강 모차르트 등 유명한 음악가들을 제자로 두었다.
살리에리의 작품은 1800년부터 점차 무대에서 사라지며 역사에서 잊혀졌다가, 피터 섀퍼의 연극 아마데우스와 동명의 영화를 계기로 20세기 말에 재조명되었다.
1791년 모차르트가 요절한 후 살리에리가 모차르트를 경쟁자로 여겨 독살했다는 소문이 일었는데, 모차르트가 사망할 당시 보였던 증상은 중독 증상과 거리가 멀었다. 현재는 이 소문이 거짓이었음이 밝혀졌다. 모차르트와 살리에리는 서로를 존중하는 동료 음악가였으나, 이 소문이 겉잡을 수 없이 퍼지면서 살리에리는 말년에 신경쇠약에 시달렸다.
유년기.
1750년 8월 18일 레냐고에서 아버지 안토니오 살리에리와 안나 마리아의 일곱째 자식으로 태어났다. 고향에서부터 음악공부를 시작하였으며, 주세페 타르티니의 제자였던 자신의 형인 프란체스코 살리에리에게서 처음으로 음악을 배웠다. 이후 조반니 바티스타 마르티니의 제자이자 레냐고 대성당의 오르간 연주자인 주세페 시모니 밑에서 수학했다.
어린 시절 살리에리는 단 음식에 집착하고 독서와 음악에 열정적이었다. 두 번 무단 외출을 한 적이 있었는데, 축제 기간에 형이 이웃 교회에서 바이올린 협주곡을 연주하는 걸 보려 뛰쳐나간 것이었다. 동네 교회의 사제에게 예의를 제대로 갖추지 않아 아버지에게 매를 맞은 적이 있었는데, 이 때 살리에리는 사제의 교회 오르간 연주가 마음에 들지 않아서 그랬다고 말대꾸를 했다고 한다.
1763년과 1764년 사이 양친을 여읜 살리에리는 파두아에 있던 형제에게 거두어졌고, 1765년 혹은 1766년에 베네치아 명문가 귀족인 조반니 모체니고의 피후견인이 되었다. 살리에리의 부친이 그와 친분이 있었거나 사업상 안면이 있었다는 추측이 있으나 이유는 확실하지 않다. 살리에리는 베네치아에 살면서 오페라 작곡가이자 오르간 연주가인 조반니 바티스타 페세티의 제자로 음악 공부를 이어가다가, 페세티가 급사하자 오페라 가수인 체르디난도 파치니의 제자가 되었다. 파치니 밑에서 공부를 이어가던 살리에리는 플로리안 레오폴트 가스만을 만나게 되었고, 가스만은 살리에리의 재능에 감명을 받아 그를 빈으로 데려가 음악교육을 받도록 했다.
1766년 6월 15일 살리에리를 빈으로 데려온 가스만은 교회에서 성별((聖別)의식을 거쳐 살리에리의 스승이 되었다. 교회에서 성별의식을 겪은 기억은 살리에리의 평생에 영향을 끼쳤다. 살리에리는 요한 푹스의 고전대위법을 바탕으로 하는 화성학과 대위법 이론과 성악 작곡법, 통주 저음 기법을 배웠으며, 돈 피에르토 토마시로부터 이탈리아 시문학을 배우고 독일어와 유럽 문학을 배웠다. 한편 살리에리는 라틴어로 된 고전대위법으로 음악을 공부하면서 라틴어를 익히기도 했다. 살리에리는 가스만이 결혼한 후에도 그의 집에 머물며 공부하다가 1774년 가스만이 죽고 살리에리 본인이 결혼을 하게 되어 나갈 때까지 함께 살았다. 이 시기의 살리에리의 작품 대부분은 전해지지 않고 있으며, 잃어버리거나 살리에리가 말년에 직접 없애버린 것으로 보인다. 현재 남은 초기 살리에리 작품들은 송가가 없는 다장조 미사곡, 1767년 8월 2일에 지은 개전 의식에 쓰였을 것으로 추측되는 아카펠라 곡 등 교회용 음악이다. 1769년 살리에리는 《베스타의 무녀(La Vestal Virgin)》라는 오페라 작품을 지었으나 이 또한 소실되었다.