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그런 가운데, 연합국은 신속히 오스만 제국을 분리하여 각자 갈라진 영토를 주장하였다. 시리아 주둔 영국군은 카흐라만마라시, 우르파, 비레지크를 점령하였으며, 포함에 탑승한 프랑스군은 흑해의 종굴다크와 카라데니즈에렐리의 항구에 군대를 보내어 튀르키예의 석탄 광산 지역을 장악하였다. 파리 강화 회의에서 그리스와 이탈리아의 대표단이 서로 서부 아나톨리아의 영토를 놓고 다투면서, 그리스는 이즈미르(스미르나)에 그리스 해군 기함을 상륙시켰으며 이에 이탈리아 대표단은 회담장을 박차고 나가버렸다. 4월 30일, 이탈리아는 그리스가 서부 아나톨리아를 점령하려는 계획에 대항하여 이즈미르에 군함 한 척을 파견하여 그리스에 무력 시위를 벌였다. 또 상당한 규모의 이탈리아군이 안탈야를 점령하였다. 이탈리아 대표단이 빠진 파리 회의에서 영국은 프랑스와 미국을 그리스의 주장에 찬성하도록 끌어들일 수 있었으며, 결국 파리 회의에서 그리스군이 튀르키예의 영토에 상륙하는 것을 승인하게 된다.
1919년 5월 15일, 그리스군이 이즈미르에 상륙하면서 그리스의 서부 아나톨리아 점령이 시작되었다. 이 도시의 튀르키예인 주민들은 이 날은 하산 타흐신이 그리스군 선두의 기수에게 "첫 번째 총알"을 쏘고, 알바이 페티 베이 대령이 "지토 베니젤로스"(Zito Venizelos)를 외치길 거부하며 반란을 일으키고, 도시 본 막사의 비무장 튀르키예 병사들과 3,400명의 시민들이 죽거나 다친 날로 기억된다. 그리스군은 이즈미르 바깥으로 진출하여 카라부룬 반도의 도시들과 이즈미르 인근 북쪽 메네멘과 남동쪽 토발르와 비옥한 멘데레스 강 유역의 전략 요충지인 쇠케(이즈미르에서 남쪽으로 100km 떨어져 있다)를 점령하였다.
초기 조직 (1919년 5월 ~ 1920년 3월).
제1차 세계 대전에서 오스만 제국이 패배한 직후부터 연합군의 요구에 대한 저항이 일어났다. 여러 오스만 제국 관리들은 연합국의 정책에 반발하여 비밀리에 파수회()를 조직하였다. 이들 파수회의 목표는 수동적이거나 직접적인 저항을 통해 연합국의 요구를 방해하는 것이었다. 여러 오스만 관리들은 점령군 당국이 아나톨리아 전역에 확산되는 독립 운동의 세부 사항을 알지 못하게 숨기는 일에 가담하였다. 당초 연합군이 확보한 군수품도 이스탄불에서 밀반출되어 중부 아나톨리아로 유입되었으며, 오스만 관리들은 오스만 영토가 분할되는 것을 막기 위해 저항하였다. 당시 알리 푸아트 제베소이 장군은 자신의 군대를 시리아에서 앙카라로 진군시켰으며, 저항 조직을 결성하기 시작했는데 이들 가운데는 체르케즈 에템이 이끄는 캅카즈 이민자들도 있었다.
아나톨리아 남쪽 근해는 사실상 영국 전함이 장악하다시피 하였고 그리스와 이탈리아가 이곳에서 서로 다투고 있었기 때문에, 튀르키예 민족 운동의 사령부는 황량한 중부 아나톨리아 지방으로 이동하였다. 민족주의자들의 저항에 직면한 술탄과 튀르크 정부는 무스타파 케말 등 주요 파샤들을 회유하고자, 당시 세브르 조약 규정에 따라 연합군이 통제하지 않는 "오스만 직속 종주권"하에 있는 남은 영토의 요직에 이들을 앉혔다. 술탄의 이러한 조치는 아직도 논란거리이지만, 혹자는 민족 운동을 지원하려는 국제적인 움직임 때문이라고도 하고, 또는 술탄이 이스탄불을 자신이 통제하길 원하였는데 이것이 술탄에게 이스탄불을 맡길 수 있던 점령군의 목표와 일치하였기 때문이라고도 주장한다. 이들 주요 장교들을 수도 바깥으로 내보내도록 술탄이 결정한 가장 중요한 이유는 술탄이 수도 내에 이들 군인들의 영향력을 최소화하려고 했기 때문이었다. 술탄은 조직화된 군대 없이는 연합군을 무찌를 수 없다고 말하였는데, 1919년 5월에 민족 운동 진영에는 두 군대가 있었다. 하나는 앙카라에 있는 알리 푸아트 제베소이의 군대였고, 다른 하나는 카짐 카라베키르가 지휘하는 에르주룸의 군대였다.
능란한 작전과 친구 및 동조자들의 도움 덕분에 무스타파 케말은 사실상 아나톨리아 내 모든 오스만 군대의 감찰관이 되어 오스만 잔여 군대의 해산 과정을 감독하는 일을 맡았다. 1919년 5월 16일 저녁, 그와 그가 사려깊게 선택한 참모들은 낡은 증기선 SS 반디르마 호를 타고 이스탄불을 떠나 삼순으로 갔다. 5월 19일, 무스타파 케말은 삼순에 당도하였으며, 민티카 궁전 호텔을 사령부로 삼았다. 그는 삼순 주민들이 그리스와 이탈리아의 상륙에 주의하게끔 하였으며, (신중한 가운데) 대중 집회를 열었고, 양호한 전보망 덕분에 아나톨리아의 군 부대와 신속하게 연락하여 여러 민족주의자 집단의 연대를 결성하기 시작하였다. 그는 외국 대사관과 전쟁부에 전보를 보내어 영국이 이 지역에 있는 그리스 부대의 지원을 확대한 데 항의하였다. 일 주일 뒤 삼순에서 무스타파 케말과 그의 참모부는 내륙으로 85km 떨어진 하브자로 이동하였다.
무스타파 케말은 회고록에서 자신이 전국적인 지지가 필요했다고 썼다. 그는 중요한 감찰감직을 맡은데다 갈리폴리 전투에서 전쟁 영웅으로 명성을 얻은 터라 신뢰를 얻을 수 있었다. 그러나 이것만으로는 모두의 지지를 끌어낼 수 없었다. 군대는 무장 해제 상태이고 공식적으로 점령 상태인 가운데, 그는 민족 운동을 확대하기 위하여 여러 사람과 만났다. 1919년 6월 21일, 그는 라우프 오르바이, 알리 푸아트 제베소이, 레페트 벨레와 만나서, 아마스야 회장을 발표하였다.(1919년 6월 22일)
민족 운동 (1919년 6월).
6월 23일, 해군 장관 칼토페 제독은 무스타파 케말의 아나톨리아에서 벌이고 있는 신중한 활동이 중요함을 깨닫고 외무부에 케말에 대한 보고서를 보내었다. 그러나 동방과의 조지 키즌은 그의 평가를 무시하였다. 삼순에 있던 영국 육군의 허스트 대위 칼토페 제독에게 다시 한 번 경고하였으나, 허스트의 부대는 구르카 여단으로 대체되었다. 영국군 부대의 이동으로 이 지역 주민들은 경각심을 가지게 되었으며, 무스타파 케말이 옳다고 확신하게 되었다. 트라브존에서 "국민권리수호협회"()가 설립되었으며, 삼순에도 비슷한 단체가 들어서 흑해 지역이 안전하지 않다고 발표하였다. 점령지였던 이즈미르에서도 비슷한 활동이 전개되었다. 영국군이 알렉산드렛타에 상륙할 때 칼토페 제독은 이 행위가 자신이 직접 서명했던 정전 협정에 위배된다는 이유로 사임하였으며, 1919년 8월 5일에 다른 직위로 전근되었다.
오스만 제국의 전쟁부 장관 다마트 페리트 파샤는 레페트 벨레와 무스타파 케말에게 흑해 지역 무슬림 주민들간의 긴장을 완화하도록 조치하라고 명령하였다. 페리트 파샤는 영국이 이들에게 어떠한 적대 행위도 하지 않을 것이라고 약속하였다. 무스타파 케말은 자신의 가까운 친구들에게 "페리트 파샤는 이 지역 현실을 전혀 모르고 있다. 그는 제국의 이익을 포기할 것이다"라고 말하였다.
7월 2일, 케말은 술탄에게서 전보를 받았다. 술탄은 그에게 아나톨리아에서 활동을 중단하고 수도로 돌아오도록 요구하였다. 무스타파 케말은 에르진칸에 있었으며, 술탄의 소환 계획 이면에는 외국의 음모가 도사리고 있으리라 우려하여 이스탄불로 가길 원치 않았다. 그는 두 달간 직위에서 부재하는 것이 최선이라고 생각하였다.
시와스 의회에서 대표자 위원회가 조직되었다. (1919년 9월 4일 ~ 9월 11일).
제10회 세계 육상 선수권 대회는 국제 육상 경기 연맹(IAAF)) 주관으로 2005년 8월 6일부터 14일까지 핀란드 헬싱키에 위치한 헬싱키 올림픽 스타디움에서 열린 국제 육상 대회이다. 1983년 제1회 대회 이후 22년 만에 헬싱키에서 개최됐다. 이 대회에서 장애인 육상 네 종목이 처음 시범 종목으로 도입됐으며, 여자 3000m 장애물 경주 종목이 추가되었다. 이로써 남녀 세부 종목이 거의(남자 24개, 여자 23개) 균형을 이루게 됐으며, 남자 세부 종목에 해당하는 여자 종목이 없는 종목은 50 km 경보, 110m 허들(여자는 100m 허들로 축소), 10종경기(여자는 7종경기로 축소) 세 개로 줄었다. 많은 경기가 폭우 속에서 열렸다.
2002년, 4월 14일 IAAF는 헬싱키가 경쟁도시 독일 베를린, 벨기에 브뤼셀, 헝가리 부다페스트, 러시아 모스크바, 이탈리아 로마를 제치고 2005년 대회 개최지로 선정되었다고 발표했다. 원래 헬싱키는 다른 도시들에 비해 개최지 경합에서 열세에 놓일 것으로 예상됐으나 이를 뒤엎고 최종 개최도시가 됐다. 한편, 유력한 후보였던 런던은 중앙 정부가 새 경기장 건설이 경제적이지 못하다고 판단하고 그 대안으로 셰필드에서 개최하는 것을 제안했다. 그러나 IAAF는 이를 받아들이지 않았고 영국은 중간에 포기했다. 영국의 개최 신청 철회는 선진국의 주요 스포츠 대회 유치 과정에서 유례를 찾아볼 수 없는 일이었다.
IAAF는 대회 사상 가장 규모가 큰 규모의 약물 검사를 시행했다. 연맹은 선수 705명을 대상으로 총 884회의 검사를 했다.
선수 두 명이 검사를 통과하지 못했다. 인도의 원반던지기 선수인 Neelam Jaswant Singh가 stimulant pemoline에, 우크라이나의 해머던지기 선수인 Vladyslav Piskunov 스테로이드 drostanolone에 양성 반응을 보인 것이다. (e/)
대회에서는 옐레나 이신바예바가 여자 장대높이뛰기(5.01m)에서, Osleidys Menéndez가 여자 창던지기(71.70m)에서 각각 세계 신기록을 세우었다. Christina Obergföll은 70.03m로 유럽 신기록을 세웠다.
가장 나이가 많은 선수는 이스라엘의 마라톤 선수인 Haile Satayin이었다. 50살인 그는 자신의 개인 최고 기록인 2시간 17분 26초로 자신의 개인 최고 기록을 수립하며 21위로 결승점을 통과했다. 한편 가장 나이가 어린 선수는 나우루의 Pink Mystique Jones였다. 14살인 그는 여자 100m 종목에 참가해 13.16으로 예선 6위로 탈락했다.
게임 제작 당시, 원안과 감독을 쓰르라미 울 적에와 괭이갈매기 울 적에로 유명한 용기사07이 맡았으며, 캐릭터 디자인은 로젠메이든, 캐릭캐릭 체인지로 유명한 PEACH-PIT가 담당하였다. 2010년 1월부터 3월까지 원작 게임을 바탕으로 한 애니메이션이 방영되기도 하였다.
산간에 있는 뉴 타운인 '죠가 마을'()은 하천에 의해 구 시가와 신 시가로 나뉘어 있다. 이 골목에 온 전학생인 쿠즈미 히로시는 새로운 환경에 당황하면서도, 언제나 즐거운 나날을 보내고 있었다. 그런 가운데, 학급 반장인 쿠시나다 네무루가 충고한다. '구 시가에는 가까이 하지 말라'고.
2009년 8월 24일에 공식 사이트를 통해 애니메이션의 제작을 발표하였으며, 2010년 1월부터 도쿄 방송(TBS)을 비롯 한 여러 지역방송국에서 방송을 시작 할 예정이다. 애니메이션 제작은 AIC가 담당한다.
TV 애니메이션의 방영 개시를 앞두고 JTTB 죠가 마을 관광협회 방송()이라는 타이틀로 2009년 12월 18일부터 인터넷 라디오 전문 채널인 애니메이트 TV를 통해 매주 금요일마다 갱신되고 있다. 진행은 쿠즈미 히로시 역의 코바야시 유우와 마나 카오리 역의 고토 유코가 담당하고 있다.
배치표의 첫 열 최상단에는 기준점수 만점 혹은 배치표 상의 모든 대학 및 학과에 합격 가능할 것이라 생각되는 최고점을 기재하며, 그 점수에서 일정 점수를 차감하여 여러 개의 행을 배열한다. 첫 열에 기재된 각각의 점수대에서 지원 가능한 대학 혹은 학과를 우측 열에 배열하며, 때때로 내신 평균 등급, 전국석차, 전국석차백분율 등 추가 정보가 기재된다.
배치표의 제작.
입시 기관 배치표는 각 학원이 수집한 대학교 및 학과들의 정보, 작년도 수험생들의 입시결과나 올해 수험생들의 모의고사 성적 등을 토대로 커트라인을 예상한다. 일반적으로 정시모집 배치표의 경우, 계열별(인문,자연) 및 정시 군별(가,나,다)로 나누어 총 6장으로 제작하는 것이 보편적이며, 각 배치표 내에서 대학교들은 수능 반영영역에 따라 분류되어 있다. 최근에는 대학별로 점수 사정 방식이 서로 지나치게 달라, 각 대학별로 배치표가 제작되어 나오기도 한다. 배치표에는 대부분 이 수치들은 참고자료로만 사용하라는 주의사항이 명시되어 있다.
점수공개카페는 대부분 해당 대학의 재학생들이 개설하는데, 보통 수험생들이 자신의 점수를 카페에 공개해야만 배치표를 제공하기 때문에 '점수공개카페'라고 불린다. 수험생들은 실제로 그 대학을 지망하는 수험생 사이에서의 자신의 위치를 확인하고 싶어하기 때문에 추정치를 확인하기 위해 점수를 제공하며, 카페 운영진은 수험생들이 제공한 점수를 토대로 입시 커트라인을 추정해 점수를 제공한 수험생들에게 제공한다.
또한 특성화나 위상을 고려하지 않은 입시결과에만 의한 대학서열화를 부추긴다는 비판도 받고 있다. 서울특별시교육청 교사들이 작성한 배치표의 경우 비공개로 배포되긴 하나 대학서열화를 부추긴다는 비판을 같이 받고 있다.
추축국의 그리스 공격.
제2차 세계 대전 초기 1940년 10월 28일 이탈리아가 그리스를 침공하자 곧바로 영국군은 그리스 본토에서 멀리 떨어진 크레타섬에 진주했다. 처음엔 격퇴당했던 이탈리아군이 독일군의 연합과 지원을 받아 그리스를 공략하자 연합군 5만 7000명은 그리스 본토에서 철수했다.
영국 해군은 이들 대부분을 수송해 일부를 당시 1만 4000명에 불과하던 크레타섬 수비대로 파견했고 1941년 5월에는 1만 명에 달하는 그리스 민병대 11개가 조직되어 총 방위군은 3만 명으로 늘어났다. 그러나 탄약이나 무기 등의 장비 면에서는 크게 부족한 실정이었다.
게다가 그리스 본토에서 오는 독일 공군의 공습으로 크레타섬의 영국 공군은 이집트로 철수해버렸고 크레타섬의 제공권은 독일군에게 넘어간 상태였다. 이에 1941년 4월 30일 뉴질랜드 출신의 베르나드 프레이버그가 영국, 그리스, 오스트레일리아, 뉴질랜드 연합군의 총사령관으로 임명되었다.
독일군의 공격 계획.
당시 독일군에게 있어서 크레타섬은 전략적으로 중요했는데 동지중해의 영국 함대의 중요 항구일 뿐만 아니라 크레타섬의 주둔중인 연합군의 항공기가 추축국 군대의 석유 공급지인 루마니아의 유전 지대를 폭격할 수 있는 항공 범위에 있어서 상당한 위협이 되었다. 게다가 소련과의 전쟁을 앞두고 후방인 동지중해의 안전을 확보할 필요도 있었다.
크레타섬 주변의 제해권은 영국 해군이 쥐고 있었지만 제공권은 추축국이 잡고 있어 크레타섬의 점령은 해상 상륙작전보다는 공수부대를 이용한 투하·점령작전이 독일 공군의 주도로 세워졌다. 이전 북유럽과 프랑스 침공시 소규모 공수작전을 실시했었지만 크레타섬의 작전은 낙하산과 글라이더를 주력으로 하는 공수부대를 대규모로 투입하는 첫 번째 작전이었다.
이에 총사령관으로는 제4항공함대의 알렉산더 뢰어 상급대장이 임명되어 공수작전으로 잔존 영국 전투기와 지상군 섬멸이라는 과제가 주어졌다. 독일군은 공수부대로 크레타섬의 말레메, 이라클리온, 레팀논의 각 비행장을 점령한 후 점령비행장에 수송기를 보내고 그 지원에 의해 해로를 통한 수송선으로 상륙하는 계획을 세웠다.
클루트 슈트던트 대장이 지휘하는 독일 제11공수군단에는 제7낙하산 사단, 제22공수보병사단으로 이루어진 강하저격병이 약 2만 1000명이 있었다. 작전은 크레타섬의 서부, 중부, 동부 세 곳에 공수부대를 두 번에 나누어 낙하시킨 후 비행장의 제압과 점령을 목표로 했다.
그 후 증원부대로서 제5장갑사단에서 분파된 2개 대대와 공수부대에 보낼 보급과 중화기를 해로로 크레타섬으로 수송하기로 했다. 이 계획은 4월 25일에 독일의 대총통 아돌프 히틀러로부터 승인되어 총통지령 제 28호로 발령되었다.
낙하산 부대의 상륙.
1941년 5월 20일 오전 8시, 독일군 낙하산 부대가 비행장 제압을 위해 말레메와 차니아 인근에 상륙했다. 제2부대는 레팀논과 이라클리온에 상륙했다.
독일 공군은 낙하산 부대의 상륙에 앞서 3시간 동안 걸친 격렬한 폭격 끝에 대부분의 대공 병기를 파괴한 반면 독일군의 낙하산 부대는 큰 타격을 입었다. 말레메에서는 적군의 격렬한 총성 속에 상륙했고 모든 중화기를 회수할 수도 없어서 피해가 컸으며, 하니아(옛 이름 칸디아)에서는 심한 바위 밑에서 낙하한 탓에 많은 사상자가 나왔다.
오후 4시경 제3부대가 다시 레팀논과 이라클리온에 상륙했다. 다른 비행장을 제압하는 것이 목적이었지만 그들 또한 방위군의 격렬한 저항을 막기 위해 상륙한 것이었다. 5월 20일 저녁 독일군은 중요한 공항을 한눈에 내려다 볼 수 있는 요충지인 107고지에서 영국군을 서서히 압도했으며, 슈트덴트 대장은 말레메 비행장 점령이 우선임을 명령했다.
해로 침공.
독일군은 5월 19일에 해로 침공을 개시했다. 이탈리아 해군으로부터 구축함 2척과 소함정 약 20척을 지원받아 해군 부대를 2개로 나누어 크레타섬으로 향하게 했다. 한편 독일 해군 부대의 침공을 저지하기 위해 알렉산드리아에 사령부를 두고 있던 영국 지중해 함대도 크레타섬 근해에 전함 워스파이트와 밸리언트를 근간으로 한 함대를 출격시켰으며, 주력함대 사령이었던 롤링스 소장은 BCDE 부대 4개에 함대를 나누어 이를 크레타섬의 북부에서 북서부 해역까지 진출시켰다.
22일 아침 킹 소장이 이끄는 경순양함 나이아드, 퍼스, 방공 순양함 캘커타, 칼라일, 구축함 칸다하르, 킹스턴, 누비안을 중심으로 한 영국 해군 C부대는 두 척의 군함을 침몰시켰고 밀로스섬 남쪽에서 수뢰정 사지타리오에 둘러싸여 있던 선단을 발견했다. 하지만 킹 소장은 대공용 탄약의 부족 등을 이유로 공격을 포기하는 대신 서쪽으로 후퇴하기로 결정했다. 독일군은 선단의 손해가 밝혀지자 해로 침공을 잠시 중단하기로 결정했다.
지중해 함대의 후퇴.
5월 22일 독일군은 제5산악사단을 말레메 비행장 서쪽과 해안에 공수하는 것을 강행했으며, 오후 4시경에 말레메 비행장을 제압하는 데에 성공했다. 그 후로도 독일군은 안전 확보를 버리지 않던 때부터 말레메 비행장에서 증원 부대와 물자를 공수했기 때문에 손상된 수송기가 속출했다. 그러나 증원을 받은 제5산악사단에 주력한 독일군은 연합군을 압도하기 시작하면서 말레메를 제압할 수가 있었으며, 육군 지원에서 해방된 독일 공군 또한 영국 해군의 공격에 집중할 수 있었다.
영국 해군은 독일군의 해로 침공을 저지할 수 있었지만, 롤링스 소장의 함대는 크레타섬 경계를 중지하기로 결정했다. 전함 워스파이트는 귀환 도중 거센 공습으로 큰 손해를 받았으며, 경순양함 글루세스터와 피지, 구축함 그레이하운드도 잃었다. 낙하산 강하를 개시할 때부터 비행장 점령까지 순양함 2척, 구축함 4척이 격침되었으며, 5월 24일 알렉산드리아로 귀항했다.
5월 23일 독일 공군이 크레타섬에 남아 있던 영국 해군의 소함정을 공격하면서 영국 해군은 독일의 상륙 선단을 해상에서 저지할 방법이 없어졌다. 같은 날 밤에는 구축함 5척이 크레타섬의 국왕을 구출하기 위해 크레타섬 근해로 진출했는데, 2척은 크레타섬 국왕의 구출을 위해 출항했으며, 나머지 3척은 크레타섬 북쪽을 거쳐 말레메 비행장에 함포 사격을 실시했다. 그 날 밤 구축함은 퇴피를 시작했지만, 나머지 3척은 독일 공군의 폭격기 Ju-87의 공격을 받았고 이로 인해 케리와 카슈미르가 격침되었다.
5월 26일에는 카르파소스 섬 공격을 위해 출격한 항공 모함 포미더블이 독일 공군의 공습을 받아 파괴되면서 크레타섬에 지원군을 보내는 일도 곤란해졌다. 5월 22일에는 3월 26일에 손상을 받은 적이 있던 순양함 요크마저 파손되었다. 독일군은 5월 27일 카스텔리 만에 선단이 도착하자 상륙을 개시했다. 절망적인 정세임을 판단한 영국군 사령부는 크레타섬에서 철수하기로 결정했다.
연합군의 철군.
연합군은 5월 28일 크레타섬 서부 이라클리온에서 철군했으며, 5월 29일에는 크레타섬 남부의 항구도시 스파키아에서 탈출을 시도했지만, 독일 공군의 폭격으로 커다란 손해를 입었다. 레팀노가 5월 30일 밤에 함락하면서 독일군은 동부 미라벨라 만에 상륙한 이탈리아군과의 연합 전선이 가능하게 되었다.
연합군은 위험한 상황 속에서 28일부터 31일 밤까지 영국 해군의 지원으로 약 9,000명이 크레타에서 철수했다. 그러나 결국 연합군은 크레타 전투에서 3,990명이 전사하고 1,925명이 부상했으며 스파키아에 남은 5,000명의 병사를 포함한 17,090명이 독일군에 포로로 잡혔다. 철군을 지원한 영국 해군도 독일 공군의 공습을 받고 9척의 군함이 침몰하고 18척의 군함이 손실을 입는 큰 피해를 입었다. 한편 철군할 수 없었던 연합군 부대는 1941년까지 약 500명이 저항을 계속해 크레타 민간인들인과 섞여서 독일군과 전투를 벌였다. 침공 10일 후 독일군은 크레타섬 전역을 점령했으며, 6월 1일에 크레타 정부가 항복했다.
독일 공군의 폭격기 Ju-87과 Ju-88은 영국 해군의 군함 9척(세 척의 순양함과 여섯 척의 구축함)을 침몰시키고 18척의 군함에 손실을 입혔다. 그러나 독일군의 손해도 컸는데, 낙하산병의 경우 4명 중 1명 꼴인 4,041명이 전사 및 실종되었고 2,640명이 부상했으며, 500기가 투입된 수송기 Ju-52의 경우 수송기 절반이 파괴되었다.
이 전투를 통해 양측의 결과와 영향은 큰 차이를 보였다. 연합군은 독일군의 대규모 낙하산 작전이 크게 성공하자 공수 부대를 육성했는데, 이는 후에 시칠리아 침공, 노르망디 상륙 작전, 마켓가든 작전, 룰 강하 작전 등에서 많이 활용되었다.
한편 히틀러는 독일군의 많은 희생에 충격을 받아 다시는 대규모 낙하산 작전을 실시하지 않았다. 이후 독일의 낙하산 부대는 사실상 엘리트 지상 부대로 다루어지게 되었다. 또한 독일 공군은 이 작전에서 비행 학교의 훈련용 부대 Ju-52(교관이 조종사를 맡았다)까지 투입하는 바람에 다수의 조종사를 잃었으며, 조종사 육성에 장애가 발생하기 시작했다(중요한 교관과 훈련기 낭비는 스탈린그라드 전투에서도 나타났다).
영국 지중해 함대는 상륙 선단 저지와 철군 과정에서 경순양함 2척, 구식 순양함 1척, 구축함 6척이 격침되었다. 알렉산드리아에서 큰 손상을 받은 군함도 많았으며, 큰 손상 없이 지중해 함대에서 남은 군함은 전함 퀸 엘리자베스, 경순양함 피비, 코벤트리 세 척 뿐이었다. 연합군은 크레타섬을 점령한 독일군이 크레타섬을 발판으로 이집트를 침공하는 것을 경계했지만, 크레타섬의 장악으로 불안 요인을 없앤 히틀러는 6월 22일에 소련 침공을 단행하게 된다.
양자장론에서 정준 양자화()란 주어진 고전 이론을 양자화하는 여러 방법 중 하나이다. 역사적으로, 이는 가장 먼저 발견된 양자화 방식이다. 여기서 "정준"이란 해밀턴역학의 심플렉틱 구조를 일컫는데, 이 구조는 이론을 양자화하여도 보존된다.
베르너 하이젠베르크는 교환자를 최초로 도입하였고, 에르빈 슈뢰딩거는 파동 함수를 도입하였다. 양자역학을 표현하는 이 둘 사이의 관계는 폴 디랙이 발견하였다. 디랙은 이 방법을 사용하여 전자기장의 양자화를 시도하였다. 유진 위그너와 파스쿠알 요르단은 이 방법을 써서 전자 마당을 양자화하였다. "정준 양자화" (canonical quantization)이라는 용어도 요르단이 고안하였다.
해밀턴 역학에서는 물리적 계를 좌표와 그에 해당하는 운동량으로 기술한다. 좌표와 그 운동량은 계의 심플렉틱 구조를 이룬다. 이 구조는 푸아송 괄호로서 나타내어진다. 양자역학에서는 푸아송 괄호를 교환자로 대체하게 된다. 예를 들어, 좌표와 그 운동량의 푸아송 괄호는 곧 0이 아닌 교환자가 되어, 불확정성 원리를 의미한다. 즉, 고전 이론에서 푸아송 괄호를 교환자로 대체하여 고전 이론을 양자화할 수 있다. 이 때 고전 이론에서 가환적인 변수들이 양자화한 이론에서는 가환하지 않을 수 있다. 따라서 같은 고전 이론에는 여러 개의 서로 다른 양자 이론이 대응할 수 있다.
고전 마당의 양자화.
같은 방식으로 고전 마당을 양자화할 수 있다. 고전 마당 이론에서는 양자 마당은 가환적인 스칼라, 벡터, 혹은 텐서 값을 가진다. 로렌츠 변환을 깨뜨리고 어떤 특정한 시간 축을 선택하면, 라그랑지안을 이용하여 마당에 해당하는 운동량 마당을 얻는다.
양자 마당 이론에서는 고전적 마당을 양자화한다. 이 때, 마당과 그 운동량 사이에 정준 교환 관계 (canonical commutation relation)를 적용한다. 이를 이용하여 생성 및 소멸 연산자 사이의 교환 관계를 얻고, 이를 이용하여 포크 공간을 얻는다.
아프리카 국가 올림픽 위원회 연합(, 영어 약칭 ANOCA, , 프랑스어 약칭 ACNOA)는 아프리카 대륙의 54개국 국가 올림픽 위원회가 모인 국제 올림픽 기구로 본부는 나이지리아 아부자에 있다. 이 기구가 올아프리카 게임을 주최한다.
오이케이바조마에역(&lt;br&gt;)&lt;br&gt;()은 일본 도쿄도 시나가와구에 있는 철도역이다.
원대동(院垈洞)은 대한민국 대구광역시 서구의 행정동으로, 법정동 원대동1가, 원대동2가, 원대동3가를 관할한다. 과거 북부정류장의 소재지이기도 하다.
북구 생활권과 가까워서, 서구 소재임에도 이 지역의 국번은 모두 북구와 공용한다.
삼국시대 신라가 삼국통일의 위업을 완수하기 위해 화랑도들의 심신을 단련할 수 있는 전국명소를 두루다니면서 수련을 하게 되었는데 이들의 숙식소로 만든 곳을 院 또는 魯院이라 하였다 한다.이와 같은 역사속에서 옛날 이곳에 大魯院이 있었던 터(垈)라하여 院垈라 하고 이것이 동명으로 된 것이라고 한다.
도요하루역()은 일본 사이타마현 가스카베시에 있는 철도역이다.
유럽 올림픽 위원회(, 약칭 EOC)는 유럽 대륙의 50개국 국가 올림픽 위원회가 모인 국제 올림픽 기구로 이탈리아 로마에 본부를 두고 있다. 유럽 유스 올림픽 페스티벌, 유럽 소국 경기 대회, 유러피언 게임을 주최한다.
오와다역은 다음 뜻으로 쓰인다.
오와다역()은 일본 사이타마현 사이타마시 미누마구에 있는 철도역이다.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변 formula_5, formula_6, formula_7의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_1의 수심 formula_9라고 한다.
꼭짓점 formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_12, formula_13라고 하고, 두 수선 formula_14, formula_15의 교점을 formula_9라고 하자. 그렇다면
이므로 formula_12, formula_13는 선분 formula_20를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 formula_5를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 formula_2, formula_12, formula_9, formula_13는 한 원 위의 점이며, 점 formula_3, formula_4, formula_12, formula_13 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
이며, formula_20는 formula_5의 수선이다.
정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 formula_1의 외심을 formula_35, 무게 중심을 formula_36, 변 formula_5의 중점을 formula_38라고 하자. 그렇다면 formula_39이다. 유향 선분 formula_40의 연장선 위에서 formula_41인 점 formula_9를 잡자. 그렇다면 formula_36는 선분 formula_44 위의 점이며 formula_45, formula_46이므로, 삼각형 formula_47와 formula_48는 닮음이다. 특히 formula_49이므로 formula_20와 formula_51는 평행하며, formula_51는 formula_5의 수선이므로 formula_20 역시 변 formula_5의 수선이다. 마찬가지로 formula_56, formula_57는 각각 변 formula_6, formula_7의 수선이다.
꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 변 formula_7, formula_6를 지름으로 하는 두 원은 두 점 formula_2, formula_63에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 formula_70이다. 마찬가지로, 변 formula_7와 formula_5를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 formula_14이며, 변 formula_6, formula_5를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 formula_15이다. 따라서 세 직선 formula_70, formula_14, formula_15는 세 원의 근심에서 만난다.
꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면
이므로 체바 정리에 따라 직선 formula_70, formula_14, formula_15는 한 점에서 만난다.
예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 수선 formula_70, formula_14, formula_15의 연장선과 외접원의 교점을 formula_101, formula_102, formula_103이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
원주각의 성질에 따라
이므로 formula_108이다. formula_109는 formula_110의 수선이므로 formula_63는 선분 formula_110의 중점이다.
삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다. 삼각형 formula_1의 수심을 formula_9, 외심을 formula_35라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
점 formula_2를 지나는 외접원의 지름을 formula_120이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
삼각형 formula_1의 세 변의 길이를 formula_124, formula_125, formula_126, 반둘레를 formula_127, 외접원의 반지름을 formula_128, 내접원의 반지름을 formula_129라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 formula_35, 내심 formula_131, 수심 formula_9를 잇는 삼각형 formula_133의 넓이는 다음과 같다.
삼각형 formula_1의 수심을 formula_9라고 하고, 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 외접원의 반지름을 formula_128라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
삼각형 formula_1의 수심을 formula_9라고 하고, 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
수선 formula_70의 연장선과 외접원의 교점을 formula_101이라고 하자. 그렇다면 점 formula_63를 지나는 외접원의 두 현 formula_162, formula_5에 대한 방멱 정리에 따라
점 formula_2, formula_3, formula_63, formula_12는 한 원 위의 점이므로, 점 formula_9를 지나는 두 현 formula_70와 formula_14에 대한 방멱 정리에 따라
마지막 등식에 따라, 삼각형 formula_1의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 formula_9를 지난다. 삼각형 formula_1의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 formula_9이다. 삼각형 formula_1 및 직선 formula_5, formula_6, formula_7 위의 점 formula_181, formula_182, formula_183가 주어졌다고 하자. 만약 formula_181, formula_182, formula_183가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 formula_1, formula_188, formula_189, formula_190의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 formula_191, formula_192, formula_193를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.
오일러 직선과 구점원.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9, 무게 중심 formula_36, 외심 formula_35는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.
만약 삼각형 formula_1가 정삼각형이라면, formula_200이다. 만약 삼각형 formula_1가 정삼각형이 아니라면, 수심 formula_9, 무게 중심 formula_36, 외심 formula_35를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 formula_1의 오일러 직선이라고 한다.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발 formula_63, formula_12, formula_13, 변 formula_5, formula_6, formula_7의 중점 formula_38, formula_217, formula_218, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 formula_70, formula_14, formula_15의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 구점원이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다.
삼각형 formula_1의 구점원의 중심 formula_223은 수심과 외심을 잇는 선분 formula_224의 중점이다. 특히 삼각형 formula_1가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 formula_223은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.
삼각형 formula_1 및 외접원 위의 점 formula_228가 주어졌다고 하자. 점 formula_228와 수심 formula_9를 잇는 선분 formula_231의 중점은 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_228의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다. 특히 점 formula_228를 각 변 formula_5, formula_6, formula_7에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 formula_9를 지난다.
꼭짓점 formula_2를 지나는 외접원의 지름을 formula_120이라고 하자. 편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이며 formula_228가 호 formula_243 위의 점이라고 가정하자. 점 formula_228를 지나는 변 formula_5, formula_6, formula_7의 수선의 발을 formula_181, formula_182, formula_183라고 하고, 점 formula_228를 변 formula_5, formula_6, formula_7에 대하여 반사시킨 상을 formula_255, formula_256, formula_257이라고 하자.
우선 선분 formula_231의 중점이 formula_228의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. formula_260과 formula_261가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 formula_56의 연장선과 formula_6 및 외접원의 교점을 formula_12, formula_102이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 formula_105이다. 선분 formula_267과 formula_6의 교점을 formula_269라고 하자. 그렇다면 점 formula_228, formula_269, formula_102을 직선 formula_6에 대하여 반사시킨 상은 각각 formula_9, formula_269, formula_256이므로, formula_269는 선분 formula_260 위의 점이다. formula_279과 formula_280은 평행하며, formula_4, formula_182, formula_181, formula_228는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 formula_260과 formula_261는 평행한다.
이제 선분 formula_231의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 formula_9를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 formula_20, formula_56, formula_57의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 formula_231의 중점은 외접원 위의 점 formula_228에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다.
삼각형의 키페르트 포물선()의 준선은 오일러 직선이다. 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.
수심 삼각형.
직각 삼각형이 아닌 삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발 formula_63, formula_12, formula_13를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_1의 수심 삼각형(垂心三角形, ) formula_306라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.
예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며, 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다. 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에서 대변에 내린 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 수심을 formula_9라고 하자. 그렇다면 사각형 formula_315, formula_316, formula_317는 모두 내접 사각형이므로
이다. 따라서, formula_70는 삼각형 formula_306의 formula_63에서의 내각 이등분선이며, formula_5는 삼각형 formula_306의 formula_63에서의 외각 이등분선이다.
파냐노 문제.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 만약 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 formula_306이다. 이를 파냐노 문제()라고 한다. 만약 삼각형 formula_1가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 formula_2라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 formula_336이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).
편의상 formula_337와 formula_338가 예각이라고 하자. formula_181가 변 formula_5 위의 고정된 점이라고 하고, formula_255, formula_342이 각각 점 formula_228를 변 formula_7, formula_6에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면
이며, 변 formula_7, formula_6 위의 점 formula_182, formula_183에 대하여, 삼각형 formula_351의 둘레는
만약 formula_353라면, formula_354이므로 선분 formula_355은 변 formula_7, formula_6와 교점 formula_358, formula_359를 갖는다. 고정된 점 formula_181에 대하여, 이 두 점 formula_358, formula_359는 삼각형 formula_351의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는
이다. 따라서 최소 둘레 formula_365를 가장 작게 만드는 점 formula_181는 선분 formula_191의 길이를 가장 작게 만드는 점 formula_63이다.
만약 formula_369라면, formula_370이므로 선분 formula_355은 변 formula_7, formula_6와 교점을 갖지 않는다. 변 formula_7, formula_6 위의 점 formula_182, formula_183에 대하여, 유향 선분 formula_378의 연장선과 선분 formula_379의 교점을 formula_380이라고 하자. 그렇다면
이다. 따라서 고정된 점 formula_181에 대하여, 둘레 formula_383를 가장 작게 만드는 두 점 formula_182, formula_183는 formula_2, formula_2이다. 이 경우 최소 둘레는
이며, 이를 가장 작게 만드는 점 formula_181는 점 formula_63이다.
예각 삼각형 formula_1와 내접 삼각형 formula_351가 주어졌다고 하자 (formula_181, formula_182, formula_183는 변 formula_5, formula_6, formula_7 위의 점이다). 이를 차례로 직선 formula_6, formula_400, formula_401, formula_402, formula_403에 대하여 반사시켜 삼각형 formula_404와 내접 삼각형 formula_405, 삼각형 formula_406와 내접 삼각형 formula_407, 삼각형 formula_408와 내접 삼각형 formula_409, 삼각형 formula_410와 내접 삼각형 formula_411, 삼각형 formula_412와 내접 삼각형 formula_413를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 formula_414는 선분 formula_7를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 formula_416는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 formula_351의 선택과 무관하다. 꺾인 선 formula_418는 내접 삼각형 formula_351의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 formula_351가 수심 삼각형 formula_306라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 formula_1의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 formula_306이다.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에서 대변에 내린 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 직선 formula_431와 formula_5의 교점을 formula_181, 직선 formula_434와 formula_6의 교점을 formula_182, 직선 formula_437와 formula_7의 교점을 formula_183라고 하자. 그렇다면 formula_181, formula_182, formula_183는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 formula_1의 수심축()이라고 한다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 formula_5, formula_6, formula_7는 수심 삼각형 formula_306의 외각 이등분선이다. 따라서
이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 formula_181, formula_182, formula_183는 공선점이다.
수심계.
평면 위의 세 점 formula_2, formula_3, formula_4가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 formula_1가 직각 삼각형이라면, 수심 formula_9는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 formula_1가 직각 삼각형이 아니라면, formula_2, formula_3, formula_4와 수심 formula_9는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, formula_2, formula_3, formula_4 역시 각각 삼각형 formula_466, formula_467, formula_468의 수심이다. 이 경우 네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9가 수심계(垂心系, )를 이룬다고 한다. 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다.
점 formula_9가 삼각형 formula_1의 수심인 것은 직선 formula_20, formula_56, formula_57는 각각 직선 formula_5, formula_6, formula_7의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 formula_9 대신 남은 세 점 formula_2, formula_3, formula_4 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.
수심계 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9 속 네 삼각형 formula_1, formula_468, formula_467, formula_466의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다.
네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 formula_20와 formula_5, formula_56와 formula_6, formula_57와 formula_7의 교점을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_306는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.
드로츠파르니 직선.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9에서 직교하는 두 직선이 직선 formula_517와 점 formula_518, formula_519에서, 직선 formula_6와 점 formula_521, formula_522에서, 직선 formula_7와 점 formula_524, formula_525에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 formula_526, formula_527, formula_528의 중점 formula_181, formula_182, formula_183는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 formula_1의 드로츠파르니 직선()이라고 한다.
테일러 원.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 발 formula_63, formula_12, formula_13을 지나는 변 formula_7와 formula_6, formula_5와 formula_7, formula_6와 formula_5의 수선의 발을 각각 formula_228와 formula_269, formula_128와 formula_552, formula_553와 formula_554라고 하자. 그렇다면 6개의 점 formula_228와 formula_269, formula_128, formula_552, formula_553, formula_554는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 formula_1의 테일러 원()이라고 한다. 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 formula_1의 내접 비단순 육각형 formula_564가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 formula_565와 formula_566가 각각 formula_5의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다.
우선 formula_565와 formula_5가 반평행함을 증명하자. 사각형 formula_570가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라
이므로 formula_565는 반평행선이다.
이제 formula_566가 formula_5와 평행함을 증명하자. formula_575와 formula_576가 반평행선이므로
이다. 따라서 formula_578임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 formula_579를 보이면 된다. 삼각법에 따라
이다. 여기서 formula_583은 삼각형 formula_1의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 formula_585, formula_586, formula_587인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 formula_588이므로, 코사인 법칙에 따라
이다. 이제 삼각형 formula_590에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.