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최성기를 맞이한 태풍은 진로를 서서히 북쪽으로 바꾸기 시작했고 9월 11일 새벽에는 일본 미야코섬을 통과해 동중국해로 들어갔는데 태풍의 중심이 지나간 미야코섬의 기상관청에서는 최저해면기압 912.0 hPa, 최대순간풍속 74.1 m/s가 관측되었고 일본에서는 수십 년 만의 기록이 되었고 이후 동중국해에 들어가서는 북북동 방면으로 전향하여 한반도를 향해 북상하면서 차츰 쇠퇴기에 접어들어 11일 오후에 중심 기압 920 hPa / 최대 풍속 50 m/s의 강도 “매우 강”으로 조금 약해진 뒤 9월 12일 15시에는 중심 기압 935 hPa / 최대 풍속 45 m/s의 세력으로 제주도 남동쪽 해상에 이르렀다.
같은 날 20시 20분경에는 약간 더 쇠약해진 중심 기압 950 hPa / 최대 풍속 40 m/s의 “중형의 강한 태풍”으로서 경상남도 고성군 일대에 상륙한 이후 빠른 속도로 한반도 남동부를 관통하여 상륙 후 약 6시간 만인 9월 13일 2시 30분경에 울진 앞 바다로 빠져나와 동해상으로 진출한 뒤 일본 홋카이도 부근 해상까지 나아가 9월 14일 6시경에는 온대저기압으로 변질되었는데 남부지방과 일본 미야코섬의 큰 피해 그리고 경로, 위력 등에 있어서 1959년의 제14호 태풍 사라와 여러모로 닮아 있는 태풍이다.
특징 및 영향.
2003년 최강의 태풍.
태풍 매미의 최대 세력은 대한민국과 일본 기상청의 해석으로 중심 기압 910 hPa / 최대 풍속 55 m/s (105 kt)이며, 풍속 값을 1분 평균으로 산출하는 JTWC의 해석으로는 중심 기압 885hPa / 최대 풍속 75 m/s (150 kt) 가 된다. 그 위력은 2003년에 발생한 모든 태풍 중에서 으뜸인 것은 물론, 그 해의 모든 허리케인과 사이클론을 통틀어도 가장 강하다.
게다가 북위 30도 이북에까지 진행하였음에도 중심 기압 930 hPa / 최대 풍속 50 m/s (95 kt)의 강도 “매우 강”에 해당하는 세력을 유지, 북상하면서도 좀처럼 그 세력이 약해지지 않았기 때문에 한반도에 상륙한 태풍 중에서 가장 강한, 중심 기압 950 hPa / 최대 풍속 40 m/s (80 kt)의 세력으로 상륙 했다. 상륙 시의 중심 기압 950 hPa 은 이전에 강한 세력으로 상륙했던 2000년 제14호 태풍 사오마이 (상륙 시 중심 기압 959 hPa), 2002년 제15호 태풍 루사 (상륙 시 중심 기압 960 hPa)의 기록을 크게 경신하는 것이다.
태풍이 이렇게 강력한 세력으로 한반도에 상륙한 원인을 꼽자면, 당시 한반도 주변 해역의 해수면 온도가 평년보다 높았던 것과 비교적 빨랐던 태풍의 이동속도를 들 수 있는데, 평년보다 2~3도 높았던 해수면 온도는 태풍이 세력을 유지할 수 있는 조건이 되었으며, 다소 빨랐던 태풍의 이동속도는 태풍이 미처 쇠약해지기 전에 한반도에 도달할 수 있게 하였다. 이에 따라, 태풍의 상륙 지점에 가까웠던 여수, 통영, 마산 등의 지역에서는 기록적으로 낮은 기압이 되어, 그중 통영에서는 최저해면기압 954.0 hPa를 관측했다. 이것은 태풍에 의해 관측된 최저해면기압 부문 역대 2위가 되는 기록이다.
강풍.
매우 강한 바람을 동반했던 것이 이 태풍의 두드러진 특징이다. 상륙 시의 폭풍역 (풍속 25 m/s 이상의 폭풍 범위) 이 남동쪽으로 반경 150 km, 북서쪽으로는 반경 55 km 정도로 북서 방향의 폭풍역이 다소 작았기 때문에 중심에서 북서쪽으로 멀리 떨어져 있던 경기도와 충청도에서는 최대순간풍속 10~20 m/s 내외의 수준에 그쳤지만, 태풍의 폭풍역에 해당했던 제주도와 전라남도, 경상도, 그리고 대마도 등지에서는 기록적인 강풍이 되었다. 그 결과, 해당 지역에 속한 대부분의 관측 지점에서 종전의 풍속 기록이 바뀌었다.
관측된 최대순간풍속은 제주 60.0 m/s, 고산 60.0 m/s, 여수 49.2 m/s, 부산 42.7 m/s 등으로, 제주도와 여수 등의 지역은 태풍의 가항반원에 해당했음에도 불구하고 높은 수치를 기록했으며, 상위 기록의 대부분은 태풍의 중심권에 가까웠던 남부 지방에 집중되었다. 고산에서는 최대 풍속 51.1 m/s 가 함께 관측되어, 기존의 최대순간풍속, 최대 풍속 부문 역대 1위 기록이었던, 2000년 제12호 태풍 프라피룬이 흑산도를 내습하면서 세운 최대순간풍속 58.3 m/s, 최대 풍속 47.4 m/s를 3년 만에 다시 경신했다. 기존의 최대순간풍속 역대 1위를 바꾼 60.0 m/s의 풍속이 제주와 고산 두 지점에서 동시에 관측된 것은 대단히 진기한 기록이기도 하다.
한편, 최대순간풍속은 비공식으로는 공식 기록보다 훨씬 높은 값을 관측한 경우가 있어, 일본 미야코섬 자위대 주둔지에서는 공식 기록 (최대순간풍속 74.1 m/s, 미야코섬 기상관청 관측) 을 훨씬 뛰어넘는 86.6 m/s를 기록했는가 하면, 부산에서도 공식 기록인 42.7 m/s를 넘는 비공식 기록이 잇달아, 구덕산 레이다에서 53.4 m/s, 광안대교에서 56.2 m/s, 신선대 부두에서 52.0 m/s 등을 기록했다.
이와 같이 기록적인 강풍이 일었던 원인은 물론 강력했던 태풍의 세력이 일차적이지만, 부가적인 요인으로서 두 가지를 더 꼽을 수 있다. 먼저 한반도 상륙 시 45 km/h 정도의 상당히 빨랐던 태풍의 이동속도를 들 수 있는데, 이 이동속도가 태풍의 풍속 (상륙 시 최대 풍속 40 m/s) 에 더해져 위험반원에서의 바람의 힘을 그만큼 더 강하게 했다. 반시계 방향으로 회전하는 태풍의 특성상 진행방향의 오른쪽, 다시 말해 위험반원에서는 태풍의 회전과 진행방향이 중첩되어, 태풍의 이동속도가 그대로 풍속에 더해지기 때문이다. 게다가 태풍 상륙 일인 9월 12일 오후의 한반도 주변 기압배치는 남쪽으로부터 북상하는 매우 낮은 중심 기압의 태풍과 북쪽의 고기압이 마주치는 형국이 되어 있어, 이 부근의 기압경도를 급격하게 만듦에 따라 강풍을 유발시키는 또 하나의 조건을 형성했다. 즉, 이 두가지 요소가 함께 작용하여 태풍 그 자체만으로도 충분히 강력했던 바람의 힘을 이중 삼중으로 강화시킨 것이다.
호우.
대한민국에서는 일반적으로 바람의 이미지가 크게 각인되어 있으나, 강수에 있어서도 꽤 큰 영향을 끼친 태풍이다. 전체적인 강수량은 큰 비를 수반한 대표적인 태풍으로 꼽히는 2002년의 제15호 태풍 루사나 태풍 아그네스 등이 몰고왔던 호우와 같이 극단적으로 많은 것은 아니었으나 남해 410.0 mm, 강릉 307.5 mm, 고흥 291.0 mm 가 기록되는 등, 남해안과 영동 지방을 중심으로 최대 450 mm 에 달하는 매우 많은 비가 내렸다.
무엇보다 태풍이 다소 빠른 속도로 한반도를 가로질러 나감에 따라 비구름대가 한반도에 머무른 시간이 그렇게 긴 편이 아니었음에도 불구하고 이만한 강수량이 기록된 것으로서, 비교적 단시간에 강수가 집중되는 형태를 보였다. 위에 언급된 강수량의 대부분은 태풍이 한반도 가까이에 존재했던 12일 오후 늦게부터 13일 새벽 사이에 기록된 것이다.
또한 지역별로 강수량의 편차가 꽤 크게 나타났는데, 주로 태풍의 중심권이 통과한 제주도, 전남 동부, 경남 서부, 대구 근방 지역에서 총강수량 200 mm 이상의 기록적인 호우가 관측된 반면, 그 외의 지역에서는 상대적으로 적은 비가 기록되었다. 그리하여, 남해의 강수량은 약 400 mm 에 이르렀지만 동쪽으로 불과 100 km 정도 떨어진 부산의 강수량은 60 mm 안팎에 지나지 않아 대조적인 모습을 보였으며, 태풍 진행방향의 서쪽 (가항반원)으로 꽤 떨어진 경기도, 충청도 등지에서는 그보다도 적은 강수를 기록했다.
특히, 대관령과 강릉을 포함한 영동 지방에서는 태풍이 몰고온 온난 다습한 기류와 북동쪽에서 유입된 비교적 한랭한 기류가 태백산맥에서 부딪혀, 복합적으로 작용하여 강한 비구름이 형성되었다. 이것은 2002년의 제15호 태풍 루사로 인한 집중호우 시 지대한 영향을 미쳤던 지형 효과와 유사한 것으로, 영동 지방에 300 mm 가 넘는 비가 쏟아진 원인이다.
기록.
일본에서의 기록.
태풍 매미 강타시 일본 미야코섬에서 관측된 최저해면기압 912.0 hPa 과 최대순간풍속 74.1 m/s는 강력한 태풍의 영향을 자주 받는 일본에서도 수십 년에 한 번씩 기록될 만한 값으로, 최저해면기압은 해당 부문 일본의 역대 4위 기록, 최대순간풍속은 해당 부문 일본의 역대 7위 기록이다.
피해.
태풍 매미는 발생에서 소멸까지 태풍의 전형적인 패턴이라고 할 수 있는 포물선 형태에 가까운 경로를 밟았기 때문에, 진로를 비교적 정확하게 예측할 수 있었고 한반도 상륙의 가능성도 꽤 일찍부터 예상되었다. 기상청은 9월 10일 오후 5시에 보도자료를 통해 태풍의 한반도 남해안 상륙 가능성을 공식적으로 공표하여 이 소식은 주요 언론기관을 통해 널리 알려졌다. 9월 11일 오전 4시에는 태풍이 최대순간풍속 74.1 m/s의 맹렬한 강풍과 함께 일본의 오키나와현 미야코섬을 직격하여 태풍에 대한 방재시스템이 잘 갖추어진 이곳에서조차 심대한 피해가 발생, 태풍의 위력이 실상으로 드러나게 되면서 태풍이 곧 당도할 대한민국 역시 큰 피해가 우려되기 시작했다. 이에 기상청은 9월 11일 오후 2시 30분에 2차 보도자료를 발표해 주의를 촉구했으며, 오후 6시에는 본청을 포함한 전국의 기상관서에서 태풍 비상 근무에 들어갔다. 주요 방송사 및 신문에서는 태풍의 북상 소식을 헤드라인으로, “59년의 태풍 사라에 비견되는 태풍 매미가 북상 중”등으로 연달아 보도함에 따라 긴장감이 고조되었다. 태풍의 영향이 본격화된 9월 12일에는 초특급 태풍의 한반도 내습 소식을 주요 방송사에서 따로 특보를 편성, 실시간으로 전달했다. 그러나 가장 중요한 순간에 정부 당국의 대처는 매우 미흡해 마산 지하 상가 참사 등의 결과로 이어졌으며, 또한 전봇대나 송전 철탑 등의 전기 공급 시설을 확실히 정비하지 못한 지역이 대부분으로, 강풍에 의해 정전이 속출하여 이 일대는 뉴스 특보마저 시청할 수 없었다. 게다가 이 정도 세력의 태풍은 당시 대한민국에 있어서는 너무나도 생소한 것으로서 안전수칙을 제대로 지키지 않은 것에 따른 희생자가 매우 많았고, 재산 피해액은 전년의 태풍 루사에 이어 사상 최대 급에 이르렀다.
피해 상황.
해일 피해.
태풍의 상륙 시각이 남해안의 만조 시각과 겹쳐 가공할 만한 해일이 발생, 마산에서는 지하 노래방에 갇힌 사람들이 그대로 익사하는 등 10명이 넘는 인명 피해를 냈다. 당시 마산의 고조(高潮) 높이는 약 180 cm 로 예측되었으나 태풍에 의한 해일은 최대 439 cm 에 달해 예측치를 훨씬 뛰어넘었다. 해일을 예상하지 못했던 마산 당국은 제대로 된 대피령을 내리지 못했고, 설상가상으로 부두의 원목 수천여 개가 바닷물과 함께 밀려와 지하 건물의 출구를 막으면서 피해를 더욱 키웠다. 부산에서는 해일에 가까운 높은 파도가 해안가를 휩쓸었는데 이에 대한 신속한 대피가 이루어져 인명 피해는 최소화 할 수 있었지만 해운대에 위치한 부산 아쿠아리움이 침수되고 해안가에 자리 잡은 많은 건물들이 폐허로 변해 재산 피해가 매우 컸다. 이밖에, 태풍을 피해 남해안에 정박해 있던 선박들의 피해가 상당하여 수천 척의 선박이 해일에 의해 파손되거나 침몰했으며 도심에서는 해일에 밀려온 크고 작은 선박들이 널려있는 광경을 볼 수 있었다. 피해 지역이 워낙 넓었고, 유입된 물의 양이 많아 복구가 늦어졌기 때문에 함께 밀려왔던 쓰레기 및 폐수의 처리가 늦어져 위생 상태가 나빴던 지역이 많았다.
바람 피해.
태풍에 동반된 최대순간풍속 50 m/s 가 넘는 강풍으로 광범위한 지역에서 전신주와 철탑이 쓰러져 전국적으로 145만여 가구가 정전되는 초유의 사태가 발생했다. 특히, 거제도 지역에서는 송전 철탑이 강풍에 파괴되어 약 4일 동안이나 전기가 공급되지 않아 주민들이 큰 불편을 겪었다. 고층 건물에서는 유리창이 바람에 의해 파손되는일이 잇달았고 도심에서는 날린 간판과 뽑힌 가로수, 깨진 유리창 등이 뒤엉켜 굴러다녀, 일부 거리는 마치 폭격을 당한 전쟁터와 같은 모습이 되었다. 날려지던 물체의 일부는 주차된 차량을 덮쳐 곳곳에서 파손된 차량이 수천 대에 달했으며 부산항에서는 800톤이 넘는 컨테이너 크레인 11대가 강풍에 의해 무너지거나 궤도를 이탈 하는 한편, 해운대에서는 7000톤이 넘는 해상관광호텔이 높은 파도와 강풍으로 전복되어 피해액은 헤아리기 힘든 수준이었다. 여기에, 옥상에서 물건을 줍던 사람이 바람에 떠밀려 추락하여 숨지거나 폭풍속에서 배를 살피러 나온 노인이 파도에 휩쓸리는 등, 바람에 대한 경계심 부족이 인명 피해를 가져오는 사례도 있었다. 이러한 바람 피해는, 태풍의 위험반원에 해당했던 부산·경상남도 지역에서 대부분을 차지했다.
호우 피해.
태풍이 통과하던 9월 12일에서 13일 사이에 쏟아진 폭우로 강원도 영동 지방과 경상남도 일부 지역에서는 400 mm 에 가까운 강수를 관측, 더욱이 이 강수량의 대부분이 태풍이 한반도 내륙에 위치했던 6시간 동안에 집중되어, 짧은 시간 동안의 강렬한 호우로 산간 지역에서는 산사태가 발생해 주택가를 덮쳐 많은 인명 피해가 나왔다. 호우에 따른 산사태의 위험성이 제대로 경고되지 않은 것과 대피 명령이 없었던 것이 주된 원인으로, 지난 2002년의 제15호 태풍 루사의 교훈이 제대로 지켜지지 않은 것이다. 또한 단시간에 쏟아진 많은 양의 비는 곳곳의 하천을 범람시켜, 농경지가 침수되고 주택가에는 물이 들어차 많은 이재민이 발생했다. 강원도 영동 지방에서는 지난 2002년 태풍 루사 때의 복구가 채 끝나기도 전에 태풍 매미에 의한 폭우가 쏟아져 심대한 피해가 되었다.
미야코섬.
태풍 매미는 거의 최성기의 세력을 유지한 채 일본 오키나와현 미야코섬의 상공을 통과하여, 미야코섬에 1968년의 제16호 태풍 이래 35년 만의 대 재해를 낳았다. 강력한 폭풍으로 약 1300여 동의 주택이 파손되거나 침수된 것과 함께 160여 억엔의 재산 피해가 발생했으며, 1명이 사망하고 90여 명이 부상했다. 미야코섬은 태풍에 대한 수준 높은 방재시스템이 있어 웬만한 태풍에는 별다른 피해가 없는 곳인 만큼 태풍 매미에 의한 이 같은 피해는 대단한 것이라고 할 수 있다.
퇴출.
이 태풍이 대한민국에 입힌 피해가 너무나도 극심했기 때문에, 2005년 베트남 하노이에서 열린 제38차 태풍위원회 총회에서는 이 태풍의 이름이었던 “매미(MAEMI)”를 퇴출시키고 “무지개(MUJIGAE)”로 변경하기로 결정했다. 그러나 공교롭게도 2015년에 사용한 무지개라는 이름도 필리핀과 중국에 끼친 심대한 피해로 퇴출되었고 대신 "수리개(SURIGAE)"가 쓰이게 되었다.
속보 해석으로 태풍 매미는 북위 30도를 넘은 시점에서 중심 기압 945 hPa까지 약화된 것으로 발표되었으나, 일본 기상청의 사후 해석에 의해, 북위 30.5도에서의 세력이 “중심 기압 945 hPa / 최대 풍속 40 m/s”에서 “중심 기압 930 hPa / 최대 풍속 50 m/s”로 상향 수정 되었다. 또한, 사후 해석을 참고하면 태풍의 상륙 지점은 당초 대한민국 기상청이 발표했던 경상남도 사천시 부근보다는 경상남도 고성군에 가까운 것이 된다.
게오르크 프리드리히 베른하르트 리만(, 1826년 9월 17일~1866년 7월 20일)은 독일의 수학자이다. 해석학, 미분기하학에 혁신적인 업적을 남겼으며, 리만 기하학은 일반 상대성 이론의 기술에 사용되고 있다. 그의 이름은 리만 적분, 코시-리만 방정식, 리만 제타 함수, 리만 다양체 등의 수학 용어에 남아 있다. 그는 리만 가설을 최초로 고안한 수학자로도 유명하다.
초년.
현재 독일의 다넨베르크(Dannenberg) 근처인 하노버 왕국의 한 마을에서 태어났다. 부친 프리드리히 베른하르트 리만은 루터 교회의 가난한 목사였고, 리만은 6명의 자녀들 중 둘째였다. 어머니를 일찍 여의었다고 한다. 부끄러움을 잘 타고, 자주 신경쇠약에 시달렸다. 어릴 적부터 보기 드문 수학적 재능을 나타냈지만, 대중 앞에서 말하기에는 너무 수줍음을 잘 타는 편이었다.
1840년 할머니와 살면서 중학교(lyceum, middle school)를 다니기 위해서 하노버(Hanover)에 갔다. 1842년 할머니가 세상을 떠나자, 요하네움 뤼넨부르그(Johanneum Lüneburg)에 있는 고등학교에 진학하였다. 고등학교 시절, 성경을 열심히 공부하면서도 그의 관심은 자주 수학으로 돌아가곤 했다. 심지어 창세기의 정확성을 수학적으로 증명할 생각까지 했다. 담당 교사는 자신이 가르치는 제자의 천재성을 간파했고, 그가 복잡하기 짝이 없는 수학 문제를 풀어내는 것을 보고 감탄하였다. 당연히 그 제자는 교사의 수학(授學) 능력 범위를 벗어나곤 했다. 1846년 리만이 19세였을 때, 목사가 되어서 가계(家計)에 보탬이 되기 위해서, 철학과 신학을 공부하기 시작했다. 1847년 아버지로부터 신학 공부를 그만두고 수학을 공부해도 좋다는 허락을 받고, 자코비(Jacobi), 디리클레(Dirichlet), 슈타이너(Steiner) 등이 가르치는 독일 베를린으로 가서, 2년동안 머물렀다가 1849년 독일 괴팅겐(Göttingen)으로 돌아왔다.
짧은 일생을 통해서 발표한 논문의 수는 비교적 적지만, 수학의 각 분야에서 획기적인 업적을 남겼다. 복소함수론(複素函數論)에서 복소 로그나 제곱근 같은 1대1이 아닌 함수의 역을 고려하는 경우에 어울리는 리만 면을 정의하였고, 복소기하학의 초창기에 해당한다고 평가된다. 리만 사상 정리를 통해 복소 평면 상에서 하는 해석학에서 근본적인 정의역의 종류에 대한 위상 수학적인 고찰을 하였고 이를 앙리 푸앵카레가 균일화 정리로 일반화하였다.
1854년 교수 자격 취득 논문에서 그는 리만 적분을 정의하고, 삼각 급수의 수렴(收斂)에 관한 조건을 제시했는데, 이 적분의 정의인 함수가 적분된다는 것은 무엇을 뜻하는지를 나타낸 것이었다. 이후 1900년대에 접어들면서 H.르베그에 의해서 르베그 적분이라는 더욱 포괄적인 정의가 도입되었다. 1854년 취임 강연에서 그는, 기하학의 기초를 논하면서 리만 공간의 개념을 도입해서 리만 공간의 곡률(曲率)을 정의하였다. 이는 리만 기하학으로 부른다.
리만은 40세 생일의 두 달 전인 1866년 7월 20일 사망했다.
피크()는 기타를 치는 데 쓰는 삼각형의 작은 플라스틱 조각이다. 의 일종이다. 피크를 사용해 기타를 연주할 경우 손가락으로 연주할 때보다 강하고 명료한 소리를 낼 수 있다. 피크의 종류에는 물방울, 변형삼각형, 엄지손가락 착용형 등이 있다.
기타()는 현(Strings)을 튕겨 소리를 내는 발현악기로, 프랑스 지방에서 유래하였다. 머리(Head), 목(Neck), 몸체(Body)로 구성되어 있으며, 목 부분에는 20여 개의 프렛(Fret)이 박혀 있다. 기타는 주로 6개의 현을 갖고 있다. 특이한 경우에는 머리가 없는 기타()나, 프렛이 없는 기타()도 있다. 클래식 음악뿐만 아니라 재즈, 록, 팝 음악 등 다양한 장르에 사용된다. 또한 기타를 연주하는 사람을 기타리스트()라고 부른다.
기타는 기타 몸체의 울림구멍(Sound Hole)을 통해 소리를 증폭하고, 프렛을 통해 음정을 제어한다. 현의 양 쪽에는 몸체체의 브릿지(Bridge) 위에 위치한 하현주(Saddle)와 목 부분의 상현주(Nut)가 있다. 그리고 현의 장력을 조절하여 음정을 맞추는 페그(Peg)가 머리에 고정되어 있다. 6개의 현은 연주를 위해 기타를 안았을 때 위쪽이 가장 굵고 아래쪽으로 갈수록 가늘어진다. 또한 현이 가늘어질수록 음역이 점점 높아진다. 목 부분에는 손가락을 짚는 지판(Finger Board)이 있는데, 지판 위의 프렛에 현을 닿게 하여 음의 높낮이를 조절한다.
기타의 종류로는, 몸체의 울림을 통해 소리를 증폭하는 통기타(Acoustic Guitar)와 마그네틱 픽업(Pickup)과 앰프(Amplifier)를 통해 소리를 증폭하는 전기 기타(Electric Guitar), 크게 2가지로 나뉜다.
기타는 기턴(gittern)에서 유래되었다. 기턴은 류트와 비슷한 작은 악기로 13세기 후반에 무어인의 지배 하에 있던 스페인을 거쳐 유럽에 도입되었다. 4줄의 거트 현이 있는 기턴은 음유시인뿐 아니라 귀족 사이에서도 인기 있었다. 이 악기는 15세기 동안 길게 만들어졌고 현은 3줄의 복현이 각각 D, G, B로 조현되었으며 단현은 E로 조현되었다. 각 복현의 제2현은 한 옥타브 낮다.
비우엘라.
스페인에서 기타는 비우엘라(vihuela)로 변형되었다. 비우엘라는 평평한 악기로써 옆면은 구부러져 있고, 복현 5줄과 단현 1줄로 되어 있다. 이 악기는 스페인 외의 지역에서는 거의 볼 수 없지만, 영국의 헨리 8세는 스페인 비우엘라를 4개나 가지고 있었다고 전해진다. 이것은 아라곤왕 페르디난드의 딸 케서린과의 결혼을 통해 도입된 것으로 보인다. 비우엘라는 궁정용 악기인데 반해, 복현 4줄의 기타는 대중적인 음악에 사용된 악기로 16세기 후반에 유럽 도처에 알려졌다. 16세기 중엽에는 특별히 기타를 위한 곡이 작곡되었고, 후안 카를로스 아마트는 1586년에 최초의 교본 《기타라에스파뇨라》를 출판하였다. 100년도 안 되어 기타는 스페인에서 인기 있는 악기가 되었고 비우엘라는 서서히 생겨났다
15세기 초반에는 4줄의 복현 르네상스
기타가 출연했다. 이 기타는 깃대 플렉트럼으로 연주했으며, 현은 목둘레에 묶인 거트 프렛과 움직이는 줄받침을 거쳐 전면의 줄 고정 장치로 이어진다. 오늘날 우리가 알고 있는 기타보다 작으며, 작은 크기의 기턴과 비우엘라의 큰 몸통을 결합한 모양으로 되어 있다. 17세기 후반에는 4줄에 다섯 번째 복현이 더해졌다. 복현이 단현으로 되면서 연주 기술이 단순화되었고, 18세기에는 옆면이 안으로 굽고 뒤판은 평평한 나무 공명기가 있는, 6현의 근대 기타가 나타나기 시작했다. 초기의 근대 기타는 오늘날의 기타보다 폭이 좁고 길었다. 유명한 제작자로는 스페인 카디스의 호세 파게스, 파리의 르네 프랑수아즈 라코테, 런던의 루이스 퍼너모 등을 들 수 있다
군대 기타.
17세기 기타는 몸통의 폭이 넓어졌고 안쪽의 버팀대가 부채 모양으로 바뀌었으며, 금속 프랫을 목에 끼워 고정시켰고, 줄받침은 높게 제작되었다. 이같은 혁신은 스페인 기타 제작자 안토니오 토레스 후라도에 의한 것이었다. 현을 65cm 길이로 표준화시킨 사람 또한 토레스였다. 20세기에는 나무못으로 만든 줄감개를 금속 나사로 바꾸고, 지판을 울림 구멍까지 아래로 늘리는 등 더 많은 구조의 변화가 이루어졌다. 오늘날 기타를 가장 폭넓게 활용하고 있는 것은 대중음악 밴드이다. 1930년대에 픽업을 사용하여 현의 음을 증폭시키는 전기 기타가 개발되었고 1940년대에는 단단한 몸체의 기타가 레스 폴에 의해 발명되었다. 록 음악가들에게 도움이 되는 카포 타스토(이동 줄베개)가 개발되어 조옮김이 쉽게 되었다. 카포 타스토를 프렛판 위에 끼우면 모든 현을 동시에 누를 수 있다. 현대 전기 기타는 굵은 금속 현으로 되어 있으며 플렉트럼으로 연주한다.
현.
현은 6개가 주류이지만 그 밖에 7현, 10현, 12현 기타 등도 존재한다. 또, 베이스 기타는 4개의 현을 갖춘 것이 보통이지만, 5, 6현을 갖춘 것도 널리 사용된다. 현은 금속, 나일론 등이 쓰인다.
나일론 현.
클래식 기타에서 고음의 1~3현에 부드러운 나일론 현을 이용한다. 저음의 4~6현에는 가는 나일론 심에 금속을 휘감은 현을 이용한다. 과거에는 양의 창자를 말려 만든 거트 현을 이용하였으나 안드레스 세고비아 이후로 현대에는 내구성이 높은 나일론 등의 화학 합성 섬유로 만든 현이 주로 쓰인다.
강철 현.
이 가운데 저음의 현은 가는 금속의 심에 금속을 휘감은 현을 사용한다. 보통 통기타가 3~6현, 전기 기타는 4~6현을 감는다. 현의 종류나 두께에 따라 기타의 음색이 달라지며, 이에 따라 저마다 기타의 느낌이 다르다.
현의 튜닝.
현의 튜닝도 여러 가지가 쓰인다. 보통 저음의 현(6현)부터 E-A-D-G-B-E라는 표준 튜닝이 일반적이다. 이는 수많은 코드나 음계 등을 연주할 때 알맞은 튜닝으로 정착하고 있다.
연주법.
보통 오른손잡이는 반대쪽 왼손으로 넥 부분을 잡고 현을 누르며 오른손으로 현을 탄현한다. 그러나 반드시 이러한 자세를 갖출 필요는 없다. 왼손잡이인 사람은 가격, 상품 수 등이 크게 불리하기 때문에 왼손잡이용 기타를 준비할 수 없다는 것이 단점이지만, 오른손잡이에 맞춰진 기타에 기존의 반대 자세를 사용함으로써 자연스럽게 적응할 수는 있지만, 전기 컨트롤러의 위치가 다를 수 있다.
현을 누르는 손은 넥 부분의 아래쪽을 빠져나가듯이 하여 엄지를 목 뒤쪽에 잡고, 집게손가락부터 새끼손가락까지 4개의 현을 손가락으로 누르는 것이 클래식 스타일, 곧 기본 자세이다. 또 엄지를 넥 위쪽 핑거보드에 가깝게 목 부분을 잡는 스타일도 주로 록 음악에서 이용된다. 시각이나 신체에 장애가 있는 사람은 목의 아래쪽부터 손가락을 위치해 현을 누르지 않고, 위쪽부터 손가락을 감싸듯이 하여 현을 눌러 연주하는 연주인도 있다.
클래식 기타의 경우 왼발을 발판에 실어 다리의 위치를 높여서 몸체 측면의 움푹한 곳을 왼발의 넓적다리에 실어 기타를 몸 전체로 감싸 안는 자세로 연주한다. 그 밖의 통기타나 전기 기타의 경우는 발판은 쓰지 않고 기타 측면의 움푹한 곳을 오른쪽 다리의 넓적다리에 실어 연주하는 경우가 많다.
재즈 기타리스트는 앉아서 연주하는 경우가 많았다. 이는 한 때 빅 밴드 시대의 무대 형태의 흔적이라고 여겨진다. 록 음악인은 앉아서 연주하는 일은 많지 않았다.
전자우편() 혹은 이메일()은 컴퓨터 통신망(주로 인터넷)을 통해 편지를 주고 받을 수 있는 시스템과 해당 편지를 일컫는다. 마이크로소프트에서는 전자 메일(electronic mail)이라는 용어를 사용한다.
대한민국 최초의 무료 이메일인 한메일이나 구글의 지메일처럼 해당 서비스에 가입함으로써 인터넷이 연결되면 어디서나 쓸 수 있는 웹 메일, 자신의 컴퓨터에 선택적으로 내려 받을 수 있는 POP3, 간단하게 메일을 보내는 SMTP 방식 등이 주로 쓰인다. PC통신 시절에는 유료로 아이디를 만들어서 전자 우편을 사용하곤 했다.
전자 우편은 인터넷의 발단으로 거슬로 올라가며, 사실 인터넷이 만들어지는 데에 없어서는 안 되는 도구였다. 여러 명의 사용자들이 원격 전화 접속 터미널에서 IBM 7094에 기록할 수 있게 하였고 디스크에서 온라인으로 파일을 저장할 수 있었다. 이러한 새로운 기능은 사용자들에게 새로운 방법으로 정보를 주고 받는 데 힘을 북돋어 주었다. 전자 우편은 1965년에 시분할 본체 컴퓨터의 여러 명의 사용자들을 위한 방법으로 시작했다. 이렇다 할 만한 역사를 갖춘 것은 아니지만, 그러한 시설을 갖춘 첫 시스템들 사이에 SDC의 Q32와 MIT의 CTSS가 있었던 것은 사실이다.
아파넷(ARPANET) 컴퓨터 네트워크는 전자 우편의 개발에 큰 공헌을 했다. 1969년에 실험적인 교환 시스템 전자 우편은 만들어지자마자 바로 전송된다는 보고가 있다. 1971년에 레이 톰린슨(Ray Tomlinson)은 컴퓨터와 사용자의 이름을 구분하기 위해 @ 사인을 사용하기 시작했다. 아파넷은 전자 우편의 대중성을 점진적으로 늘려 나갔으며 아파넷의 킬러 애플리케이션이 되었다.
현대적 형태의 전자 우편은 1979년, 당시 14살의 인도계 미국인인 시바 아야두라이()에 의해 구상되었다고 알려져 있는 경우가 있으나 이것은 사실이 아니다. 이메일은 이미 1970년대 중반에 활발히 사용되고 있었으며, 아파넷의 개발에 참여했던 과학자들은 이러한 주장을 지속적으로 부정하고 있다.
전자우편 주소 구성.
전자우편 주소는 '아이디@메일서버이름'의 형식이다. 전자우편 주소의 아이디로 한글 등 영문 외 문자를 지원하는 경우도 있으나, 대부분의 서비스들은 영문, 숫자, 일부 기호만을 사용할 수 있게 하고 있다. 메일서버이름(domain)은 대소문자를 구분하지 않고 아이디(local-part)는 대소문자를 구분한다. 하지만 대부분의 메일 서비스들은 아이디도 대소문자를 구분하지 않는다.
무료 전자우편 서비스.
수학에서 행렬(行列, )은 수 또는 다항식 또는 함수 등을 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 예를 들어,
는 실수 1, 9, −13, 20, 5, −16을 성분으로 가지면서, 2개의 가로 행(行)과 3개의 세로 열(列)을 가진다. 이러한 행렬을 "실수 formula_2 행렬"이라고 부른다.
행렬의 실수 또는 복소수 등을 성분으로 할 수 있다. 보다 일반적으로, 행렬의 성분은 임의의 체나 환의 원소일 수 있으며, 대표적인 예에는 실수체, 복소수체, 다항식환, 정수환, 함수환이 있다. 실수 또는 복소수 행렬 위에는 덧셈, 스칼라배, 곱셈 등 연산이 주어진다. 실수나 복소수와 달리, 실수 또는 복소수 행렬에서는 곱셈의 교환 법칙이나 소거 법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 보다 일반적으로, 환 위의 행렬 위에는 덧셈 및 곱셈 연산이 주어지며, 가환환의 원소를 성분으로 하는 행렬 위에는 (왼쪽·오른쪽의 구분이 없는) 스칼라배 연산이 주어진다.
선형 변환의 행렬 표현은 행렬의 중요한 응용이다. 기저가 주어졌을 때, 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 유일한 행렬로 나타낼 수 있다. 더 일반적으로, 기저가 주어졌을 때, 유한 차원 자유 가군 사이의 선형 변환 역시 유일한 행렬로 나타낼 수 있다. 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 다루는 경우, 선형 변환의 "무한 행렬" 표현은 불가능하거나 유용하지 않으므로, 보통 대신 함수해석학적 기법을 사용한다. 선형 변환과 그 행렬 표현 사이의 대응에서, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 합성에 대응한다. 예를 들어, 적절한 좌표계가 주어졌을 때, 3차원 유클리드 공간의 회전을 나타내는 행렬은 다음과 같은 꼴이다.
행렬식은 행렬에 스칼라를 대응시키는 연산이다. 실수 또는 복소수 정사각 행렬(행과 열의 수가 같은 행렬)에 대하여 정의되며, 더 일반적으로 가환환 위의 정사각 행렬에 대하여 정의된다. 체 위의 정사각 행렬이 가역 행렬일 한 가지 필요충분조건은 행렬식이 0이 아닌 것이다. 더 일반적으로, 가환환 위의 정사각 행렬이 가역 행렬일 한 가지 필요충분조건은 행렬식이 환의 가역원인 것이다.
행렬은 수학과 과학 및 공학의 수많은 분야에서 다양하게 응용된다. 행렬은 선형대수학에서 선형 변환 또는 이차 형식 등을 표현하거나 연립 일차 방정식 등을 풀 때 자주 사용된다. 물리학의 전기 회로 이론, 고전역학, 광학, 전자기학, 양자역학, 양자 전기역학 등 분야에서 사용되고 천체물리학과 양자물리학에서는 무한 행렬을 사용하기도 한다. 컴퓨터 그래픽스에서 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해 사용한다. 확률론의 마르코프 행렬은 마르코프 연쇄의 추이 확률들을 기술한다. 다변수 미적분학의 헤세 행렬의 성질은 충분히 매끄러운 함수의 임계점의 성질을 반영한다. 수치해석학에서, 행렬 계산은 행렬 분해를 통해 단순화할 수 있으며, 성긴 행렬, 띠행렬 등 널리 사용되는 특수한 구조의 행렬들의 경우 특화된 고속 알고리즘들도 존재한다.
행렬을 일반화하는 몇 가지 방향은 다음과 같다. 행렬의 성분을 환의 원소에서 반환 또는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 모노이드 범주의 대상으로 일반화할 수 있다. 행렬의 행 지표와 열 지표의 집합을 (처음 몇 자연수로 구성된) 유한 집합에서 무한할 수 있는 집합으로 일반화할 수 있다. 행렬의 일반화는 행렬의 많은 좋은 성질을 잃는다. 예를 들어, 가환 반환 위의 행렬의 행렬식은 일반적으로 정의되지 않는다. 모노이드 범주 위의 행렬의 “곱셈”은 결합 법칙의 약한 형태만을 만족시킨다.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬은 각 행 formula_6 및 열 formula_7의 순서쌍 formula_8에 환의 원소 formula_9를 대응시키는 함수 formula_10이다.
행렬 formula_11는 모든 성분을 직사각형으로 배열한 다음 소괄호 또는 대괄호를 추가하여
와 같이 표기한다.
각 formula_14를 formula_11의 formula_16번째 행 formula_17번째 열의 성분(成分, ) 또는 원소(元素, ) 또는 계수(係數, )라고 한다. 행렬 formula_11의 각 성분은 행과 열의 번째수를 첨수로 사용하여 formula_14, formula_20, formula_21, formula_22, formula_23, formula_24 등과 같이 나타낸다. 행과 열의 번째수가 같은 성분 formula_25 (formula_26)을 formula_11의 대각 성분(對角成分, ) 또는 대각 원소(對角元素, ) 또는 대각 요소(對角要素) 또는 주대각선 성분이라고 한다.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬의 집합은 formula_30 또는 formula_31로 표기한다.
행렬 formula_11의 크기()는 행과 열의 수의 순서쌍 formula_33 또는 formula_5을 뜻한다. 일부 특수한 크기의 행렬들은 특별한 이름으로 불린다.
특히, 행렬 formula_11의 formula_16번째 행벡터와 formula_17번째 열벡터는 각각
행렬들에 대하여 덧셈, 스칼라배, 곱셈, 전치 행렬 등의 연산을 정의할 수 있으며, 정사각 행렬은 역행렬, 대각합, 행렬식 등 연산이 추가로 정의된다. 덧셈은 같은 크기의 두 행렬에 대해서만 정의되며, 곱셈은 오직 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같은 경우에만 정의된다. 역행렬은 가역 정사각 행렬에 대하여 정의되며, 행렬식은 가환환 위의 정사각 행렬에 대하여 정의된다.
덧셈과 스칼라배.
환 formula_4 위의 두 formula_5의 행렬 formula_57의 합 formula_58은 두 행렬을 성분별로 합한 formula_5 행렬이다. 즉, 각 행과 열 formula_16, formula_17에 대하여,
환 formula_4 위의 formula_5의 행렬 formula_66 및 환의 원소 formula_67에 대하여, 왼쪽·오른쪽 스칼라배 formula_68는 각각 행렬의 각 성분의 왼쪽·오른쪽에 스칼라를 곱한 formula_5 행렬이다.
만약 formula_4가 가환환일 경우, 이 두 연산은 일치하며, 이를 스칼라배라고 부른다.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬의 집합 formula_30은 위 덧셈과 왼쪽·오른쪽 스칼라배에 따라 formula_77-쌍가군을 이룬다. 만약 formula_4가 가환환일 경우, 이는 (덧셈과 스칼라배에 따른) formula_4-가군이 되며, 특히 만약 formula_4가 체일 경우 formula_4-벡터 공간이다. 이 쌍가군의 덧셈 항등원은 영행렬(즉, 모든 성분이 0인 행렬)
이며, 각 행렬 formula_66의 덧셈 역원은 성분별 덧셈 역원
특히, 두 행렬 formula_57의 차를 다음과 같이 정의할 수 있다.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬의 formula_77-쌍가군 formula_57는 왼쪽 가군으로서 formula_92차원 왼쪽 자유 가군을 이루며, 오른쪽 가군으로서 formula_92차원 오른쪽 자유 가군을 이룬다. formula_4가 가환환일 경우 formula_92차원 자유 formula_4-가군이다. 그 한 기저는 다음과 같다.
곱셈.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬 formula_66와 formula_104 행렬 formula_105의 곱 formula_106는 formula_107 행렬이며, 그 formula_16번째 행 formula_17번째 열 성분은 formula_11의 formula_16번째 행벡터와 formula_112의 formula_17번째 열벡터의 ‘스칼라곱’이다 (둘 모두 formula_114차원 벡터이므로 ‘스칼라곱’이 정의된다).
행벡터와 열벡터
행렬 곱셈은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 환 formula_4 위의 임의의 formula_5 행렬 formula_66 및 formula_104 행렬 formula_105 및 formula_125 행렬 formula_126에 대하여,
가 성립한다.
행렬 곱셈은 함수
로서 formula_77-쌍선형 함수를 이룬다.
특히, 환 formula_4 위의 정사각 행렬들의 formula_77-쌍가군 formula_39는 그 위의 행렬 곱셈에 따라 formula_4-결합 대수를 이룬다. 특히 환을 이루며, 행렬환(行列環, )이라고 한다. 행렬환의 곱셈 항등원은 단위 행렬(즉, 모든 대각 성분이 1, 그 밖의 성분이 0인 행렬)
행렬환은 일반적으로 가환환이 아니다. 즉, 행렬 곱셈의 교환 법칙은 (체의 경우에도) 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 2×2 행렬의 경우
이지만
물론 가환하는 두 행렬도 존재한다. 예를 들어, 가환환 위의 스칼라 행렬은 (같은 크기의) 모든 행렬과 가환한다. 또한, 가환환 formula_4 및 정사각 행렬 formula_138에 대하여,
는 가환환이다.
행렬환은 일반적으로 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖는다. 즉, 0이 아닌 두 행렬의 곱은 0일 수 있으며, 소거 법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 행렬에서
역행렬.
행렬환 formula_39의 가역원은 가역 행렬이라고 하며, 그 곱셈 역원은 역행렬이라고 한다. 일반적으로 행렬환은 (체 위에서도) 0이 아닌 비가역 행렬을 갖는다. 예를 들어, 실수 2×2 정사각 행렬
은 가역 행렬이 아니다.
만약 formula_4가 가환환일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 환의 가역원인 것과 동치이며, 특히 체의 경우 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다. 또한, 가역 행렬 formula_144의 역행렬은 행렬식과 수반 행렬을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
전치 행렬.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬 formula_66의 전치 행렬 formula_149는 행과 열을 교환한 formula_150 행렬이다. 즉, 각 formula_151 및 formula_152에 대하여,
전치 행렬은 함수
로서 formula_77-쌍가군 동형을 이루며, 그 역함수 또한 (정의역과 공역이 뒤바뀐) 전치 행렬이다.
또한, 임의의 formula_5 행렬 formula_66 및 formula_104 행렬 formula_105에 대하여,
특히, 환 formula_4 위의 정사각 행렬의 formula_4-결합 대수 formula_39 위에서, 전치 행렬은 formula_39와 그 반대환 formula_166 사이의 대합 formula_4-결합 대수 동형이며, 만약 formula_4가 가환환일 경우 formula_39는 전치 행렬에 따라 formula_4-대합 대수를 이룬다.
대각합.
환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬 formula_138의 대각합은 모든 대각 성분들의 합이다.
대각합
는 formula_77-선형 변환을 이룬다. 또한, 임의의 formula_138에 대하여, 그 대각합은 그 전치 행렬의 대각합과 같다.
만약 formula_4가 가환환일 경우, 임의의 두 행렬 formula_180에 대하여, 두 행렬의 곱의 대각합은 곱하는 순서와 무관하게 같다.
행렬식.
가환환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬 formula_138의 행렬식은 다음과 같다.
여기서 formula_186은 대칭군이며, formula_187는 순열의 부호이다. 행렬 formula_11의 행렬식은 formula_189, formula_190, formula_191 등으로 표기한다. 특히, 2×2 행렬 formula_192의 행렬식은 다음과 같다.
행렬식은 formula_114개의 행벡터(또는 열벡터)의 함수
로서, 단위 행렬의 상이 1인 유일한 formula_4-교대 다중 선형 형식이다. 또한, 행렬식은 두 환의 곱셈 모노이드 사이의 준동형이며, 전치 행렬에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 formula_180에 대하여,
부분 행렬과 소행렬식.
환 formula_4 위의 formula_5 행렬 formula_66의, 행과 열의 집합
특히,
반환 위의 행렬.
임의의 반환의 원소를 성분으로 하는 행렬을 생각할 수 있다.
반환 위의 행렬과 그 덧셈 및 곱셈의 정의는 환 위의 행렬과 유사하다. 반환 formula_4 위의 formula_5 정사각 행렬들의 집합 formula_30은 행렬의 덧셈에 따라 가환 모노이드을 이룬다. 반환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬들의 집합 formula_39은 행렬의 덧셈과 곱셈에 따라 다시 반환을 이룬다.
가환 반환 위의 행렬의 행렬식은 일반적으로 정의되지 않는다. 이는 반환의 원소가 덧셈 역원을 가질 필요가 없기 때문이다. 대신, 양의 행렬식()과 음의 행렬식()을 정의할 수 있으며, 이들의 순서쌍은 행렬식과 유사한 역할을 한다. 가환 반환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬 formula_226의 양·음의 행렬식은 다음과 같다.
여기서 formula_229은 대칭군, formula_230는 교대군이다. 만약 formula_4가 가환환일 때, formula_232이다.
다음과 같은 항등식들이 성립하며, 이는 라플라스 전개를 일반화한다.
가환 반환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬 formula_241에 대하여, 다음 두 성질이 성립하며, 이는 행렬식이 행렬의 곱셈을 보존하는 성질을 일반화한다.
다음 항등식들이 성립하며, 이는 행렬과 그 전치 행렬의 행렬식이 같은 성질을 일반화한다.
가환 반환 formula_4 위의 formula_38 정사각 행렬 formula_241에 대하여, 만약 formula_251이라면, formula_252이다. 또한, 만약 formula_253이 가역원이라면,
이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
무한 행렬.
그렇다면, formula_4 위의 formula_259 행렬은 함수 행 지표 formula_260와 열 지표 formula_261의 순서쌍에 환의 원소 formula_262를 대응시키는 함수
를 뜻한다. 통상적인 행렬과 달리, 무한한 수의 행과 열을 가지는 것을 허용한다. 유한 행렬과 달리, 무한 행렬은 좋은 성질을 보이지 않으며, 따라서 응용이 제한적이다.
모노이드 범주 위의 행렬.
만약 어떤 범주가 환의 곱셈처럼 작동하는 “이항 연산”을 갖췄으며, 쌍대곱을 가지며, 쌍대곱이 환의 덧셈처럼 작동한다면 (즉, 분배 법칙이 성립한다면), 이 범주를 대상으로 하는 행렬과 그 곱셈을 정의할 수 있다. 다만, 이 곱셈은 보통 통상적인 의미보다 더 약한 의미에서의 결합 법칙만을 만족시킨다. 또한, 이는 행렬의 이차 범주()로 불리는 더 큰 구조의 일부이다. 다음과 같은 추가 설명에 대한 이해는 범주론에 대한 지식을 요한다.
그렇다면, 다음과 같은 이차 범주 formula_276가 존재한다.
일반적으로, formula_267-행렬의 이차 범주 formula_276는 엄밀한 2-범주를 이루지 않는다. 예를 들어, 1-사상의 합성은 일반적으로 엄밀한 결합 법칙을 만족시키지 않으며, 오직 약한 결합 법칙(즉, 일관적인 동형 사상들 아래 결합 법칙)만을 만족시킨다.
1848년 수학에 처음으로 실베스터가 사용한 행렬(matrix)이라는 단어의 어원은 해부학에서 자궁(子宮,모체母體)을 뜻한다. 행렬식에 대해서 행렬의 의미를 표현한 것으로 전해진다.
요리()는 음식을 가공하는 행위 자체를 의미한다. 요리는 독특한 재료, 기법 및 요리를 특징으로 하며 일반적으로 특정 문화나 지리적 지역과 관련된 요리 스타일이다. 지역 음식 준비 기술, 풍습, 재료가 결합되어 지역 고유의 요리가 탄생한다. 크게 나누어 지역별로, 시대별로 그 종류를 구분할 수 있다.
요리는 여러 조리과정을 거쳐 음식을 만드는 것이나 그 음식을 말하며 주로 가열한 것을 말한다. 조리(調理)는 요리를 만드는 일이나 그 방법, 과정 등을 말한다.
나라별 요리.
문명이 출현하면서 사회집단 또는 부족에 따라서 전통적인 요리법이 정착되기 시작했다. 기후, 토양, 동물 분포와 같은 지역적인 요인에 따라서 서로 다른 전통이 만들어졌다. 사람들이 얼마나 청결한 것을 좋아하는가와 자신들의 사회구조를 지키기 위해서 어떤 종교적 금기를 지키는가에 따라서 요리법이 달라지기도 했다. 전통 음식은 국가, 지역별로 다음과 같이 나뉜다:
요리의 기원.
요리를 통해 소화하기가 쉬워지고 더 많은 에너지를 얻을 수 있으며 독성이 중화된다.
중국 요리(中國料理, , )는 동아시아의 요리 문화로서, 좁게는 대만과 중국의 요리를 의미하나 넓게 본다면 전세계적으로 화교들의 영향을 받은 현지 음식까지 포함하여 총칭하는 용어이다. 중식(中食, ), 중화 요리(), 혹은 청요리(淸料理)라고도 부른다. 세계 3대 요리 가운데 한 자리를 차지하고 있다. 그 종류가 매우 다양하여, 중국 속담에는 "중국인들이 평생 못 이루는 것 중에 하나는 전국의 모든 음식들을 다 맛보는 것"이라고 말할 정도이다.
오늘날의 중국 요리는 세계에서 가장 성공한 요리 가운데 하나이다. 중국 요리는 어떠한 환경과 재료를 가지고도 요리를 만들어낼 수 있을 정도로 조리법이 무궁무진하며, 값싸고 양이 많아 배를 든든하게 채울 수 있는 저렴한 서민 음식부터 화려하고 웅장한 최고급 궁중 요리까지 모두 포함할 정도로 그 스펙트럼이 넓다. 화교들이 일찍부터 외국으로 진출한 덕분에 각 나라의 입맛에 맞게 적극적인 현지화를 하여, 전세계적으로 중국의 음식이 널리 퍼져 있다. 세계로 퍼져나간 중국 요리를 찾아보면 일부는 원본을 알기 힘들 정도로 적극적으로 현지화를 거듭한 경우가 대부분이며, 이런 면에서는 서양권 요리에서 현지 문화에 가장 적극적으로 적응하는 이탈리아 요리와도 꽤나 공통점이 있는 편이다.
반대로 중국 요리가 외국 요리 문화의 영향을 받기도 했다. 대만은 청나라 말기 일본의 지배로 인해 일본 요리의 영향을 많이 받아들였고, 국부천대 이후 중국 각지의 요리가 많이 유입되고, 미국 요리의 영향, 국외 소재 화교들의 요리들이 유입되었다. 최근에는 한국의 영향을 받아 한국 요리도 인기를 얻고 있다. 그리고 문화대혁명을 경험하지 않았기 때문에 중국 전역의 향토 요리나 고급 요리 등이 많이 남아있다.
일찍부터 서유럽과의 교류가 많았던 남중국, 특히나 아예 영국의 식민지였던 홍콩과 포르투갈의 식민지였던 마카오는 근대 시기 중국의 전란으로부터 자유로웠으며 국공내전 이후에는 대만처럼 중국 전역의 요리가 유입된데다 영국 요리, 포르투갈 요리와 융합되면서 중국 요리와는 어딘가 비슷하면서도 자세히 보면 또 다른, 그 지역만의 독자적인 요리 문화를 발전시켰다.
중국 본토는 마오쩌둥 시대에는 국유화 정책에 따라 시골 밥집에서부터 최고급 레스토랑까지 모든 식당들의 소유권이 국가로 넘어가면서 정부에게 식당을 임차받아 운영하는 방식으로 변경되었고, 1950년대 후반부터 1970년대까지는 외식도 배급표를 지참해서 현금과 같이 내는 방식이었다. 또한 문화대혁명의 혼란이 극심하던 1966년부터 1968년까지는 홍위병들의 행패로 고급 레스토랑들이 문을 닫는 소동이 벌어지기도 했다. 덩샤오핑의 개혁 개방과 함께 청년 실업 문제 해소를 이유로 1980년에 민영 식당 개업이 허용되었고, 기존의 식당들도 사유화가 진행되었으며, 중국의 경제성장으로 자영업이 활성화되면서 외식 산업이 급속히 발전했다. 기존 고급 요리나 서민 요리에 대한 재발견이나 새로운 요리의 유행이 꾸준히 이루어지고 있고, 또한 각 지방의 토속 요리들도 상품화가 이루어지고 있으며, 한국 요리·태국 요리·미국 요리·이탈리아 요리·일본 요리·인도 요리 등 다른 나라의 요리들도 많이 유입되고 있다.
식재료와 조미료, 조리법의 다양성.
중국의 국토는 러시아를 제외한 유럽 전체에 필적할 정도로 광활하고, 각 지방의 기후·산물·풍토 등에 각기 다른 특색이 있다. 따라서 경제, 지리, 사회, 문화 등 다양한 요소가 복합적으로 작용하여 지역별로 다양한 음식 문화가 형성되었다. 또한 역대 중화 왕조에서 한족에게 동화·지배당한 수많은 민족들, 혹은 한족을 지배했던 이민족들의 영향도 받아 계속 발전을 거듭하였다. 채소는 식용 가능한 식물 거의 전체를 사용하며, 육류 역시 돼지, 소, 양, 염소 외에 조류(닭, 집오리, 오리, 거위) 등으로 다양하다. 어패류는 바다와 인접한 광둥, 푸젠, 산둥 등을 제외하고는 담수산 식재료를 주로 사용하는 편이다.
중국의 내륙 지방은 바다와 멀리 떨어져 있기 때문에 날생선 음식이 적고 가열 조리가 발달하였다. 특수 재료로는 건조 시킨 것이 많고, 종류도 풍부해서 이것을 불리는 기술이 뛰어나며, 특히 조리법이 매우 발달하였다. 기름과 녹말을 쓰는 경우가 많은데 그 사용 방법이 교묘하다. 기름과 함께 파, 생강, 마늘을 사용하여 이 재료들의 특유한 향과 자주 성분으로 다른 재료의 좋지 않은 냄새를 제거 시키고 동시에 기름의 느끼함을 완화 시켜 준다. 또한 녹말을 사용하여 식품이 가진 맛을 보존 시키며, 부드러운 향기를 주어 맛의 조화를 이루고 음식의 온도를 유지하거나 점도를 조절하기도 한다. 조리 기구는 한 개의 냄비가 여러 가지 용도로 쓰여 편리하고 합리적이다. 음식은 하나의 그릇에 담아 돌려가며 덜어 먹는 형식이므로 서빙이 비교적 간단하다.
중국 요리 거의 대부분은 적당한 크기로 손질 되어 바로 집어 먹을 수 있게 되어있다. 전통적으로 중국 문화는 식탁에서 칼과 포크를 이용하는 것을 야만스럽게 본다. 이는 이런 도구들이 무기로 여겨질 수도 있기 때문이다. 아울러, 손님이 직접 음식을 자르는 것도 무례한 것으로 여긴다.
생선 요리는 보통 완전히 요리 되어 나오며 젓가락으로 살코기 덩어리를 집어 먹는다. 다른 종류의 요리는 보통 발라내서 먹는데 이와 대조된다. 가능한 신선하게 대접해야 한다는 것도 있지만, 더 중요한 것은 물고기는 문화적으로 완전함을 상징하므로 머리와 꼬리 부분이 있어야 한다고 여긴다. 수많은 식당에서 두 개의 숟가락을 이용하여 고기를 나눠 식탁에 올려 놓는 것이 일상화 되어 있다. 닭고기 또한 중국 요리에 있어 자주 사용되는 재료이다. 닭의 살코기를 여러 갈래로 찢어 놓아 벼슬까지 대접하기도 하는데, 이 또한 완전함을 상징한다.
기름.