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산화 인듐(Indium(III) oxide, In2O3)은 화합물로 인듐의 양향성 산화물로, 큐빅 결정을 형성한다.
삼탄역(Samtan station, 三灘驛)은 대한민국 충청북도 충주시 산척면에 있는 충북선의 역이다. 무궁화호가 하행 5회, 상행 4회씩 정차하고 있다. 삼탄이라는 이름은 강이 만들어낸 광천소여울, 소나무여울, 따개비여울의 세 여울에서 유래되었고, 역 인근에 영화 《박하사탕》 촬영지가 있다.
공전역(Gongjeon station, 公田驛)은 충청북도 제천시 봉양읍에 있는 충북선의 역이다.
나고야 돔(, )은 일본 아이치현 나고야시 히가시구에 있는 야구장이며, 프로 야구 센트럴 리그 팀인 주니치 드래건스의 홈구장이다. 4만여 명의 관중을 수용할 수 있는 대규모 돔 구장이며, 1997년 3월 12일에 개장하였다. 제약사인 코와와 2021년 1월부터 2025년 12월까지 4년 간 명명권 계약으로 나고야 돔에서 ‘반테린 돔 나고야’()로 명칭이 변경됐다.
강목체(綱目體)는 한자 문화권에서 역사책을 쓸 때 사용되는 체제이다. 편년체(編年體)의 일종으로 연대순으로 역사를 기록하는 형식은 같으나 기록 방식에는 약간 차이가 있다. 사실에 대하여 먼저 ‘강(개요)을 요약하여 쓰고 다음에 ‘목'(자세한 경위)를 쓰는 형식으로 서술한다. 주희(朱熹)의 《자치통감강목(資治通鑑綱目)》이 효시(최초)이다.
강목체 사서는 역사를 기록할 때 '강'(綱)과 '목'(目)으로 구분하여 기록한다. 강은 기사의 큰 줄거리를 기록한 것으로 보통 큰 글씨로 기록한다. 목은 강의 하위 항목으로, 강의 내용을 구체적으로 서술한 것이다. 보통 작은 글씨로 기록하거나, 강보다 1~2칸 들여쓰기로 기록한다.
강목체 사서는 보통 성리학적 명분론에 따른 정통의 구별(統系)과 포폄(褒貶)을 밝히는 것을 중요하게 여겼다. 그래서 책 머리에 반드시 범례(凡例)를 두어 정통의 구별 및 포폄에 대한 원칙을 세웠다.
볼스터 앵커()는 철도차량의 대차를 구성하는 부재 중 하나다. 볼스터 대차에 쓰이고 있는 것으로, 상하동(上下動)을 흡수하는 볼스터 스프링에 설치되어 대차의 견인력 및 제동력을 전달하며, 차체에 선회 강성을 부여하는 기능을 한다.
기본적인 구성.
대차에 요구되는 성능.
철도차량의 대차는 윤축을 지탱하여 차량의 중량을 지지하는 것과 동시에, 주행시에 생기는 진동과 충격을 흡수·완화하는 기능을 한다. 또한 철도차량이 곡선선로에 진입할 경우, 대차 자체가 회전하여 원활한 주행을 할 수 있도록 해야 한다.
이러한 기능을 수행하기 위해, 대차에는 윤축을 지지하는 축스프링과 차체를 지지하는 볼스터 스프링이 설치되어 있다. 이 중 축스프링은 윤축의 상하동을 흡수할 뿐이지만, 볼스터 스프링은 상하동의 흡수와 함께 대차의 회전을 허용할 필요가 있다(그림 1-1 참조).
볼스터의 구조.
(b)단면도
볼스터는 볼스터 스프링의 상단이나 하단 혹은 그 양쪽 모두에 설치되어 사이드 베어링이라 불리는 부재와 접하고 있으며, 대차의 회전을 허용하는 기능을 가진다. 즉 볼스터 대차는, 요구되는 두 개의 기능을 이하와 같이 분리한 구조로 되어 있다.
그림 1-2는 볼스터 대차의 회전을 나타낸 것이다. 이 대차는 다이렉트 마운트 방식으로 불리는 것으로, 차체에 설치된 볼스터 스프링은 볼스터 위에 있으므로 그 자체는 회전하지 않는다. 한편, 볼스터는 대차 프레임의 크로스 빔과 센터 피봇·센터 플레이트·사이드 베어링으로 연결되어 있다. 사이드 베어링이나 센터 플레이트는 볼스터를 통해 전해진 상하 방향의 힘을 받는 것이지만, 평면적으로는 미끄러지는 구조로 되고 있어 볼스터와 대차 프레임은 센터 피봇을 중심으로 회전한다.
이와 같이 볼스터 대차는 볼스터 스프링을 상하동의 흡수에만 이용하고 대차의 회전은 볼스터를 이용하는 구조로 되고 있다. 이 방식외, 볼스터 대차에는 볼스터를 볼스터 스프링 위에 설치하여 회전을 허용하는 인다이렉트 마운트 방식이나, 사이드 프레임에 스윙암으로 하향 스윙 볼스터라고 불리는 볼스터를 매달고 그 위에 볼스터 스프링을 둔 뒤 센터 플레이트와 사이드 베어링을 지지하는 상향 스윙 볼스터를 설치하는 스윙행거 방식 등이 있다. 모두 센터 플레이트·사이드 베어링과 볼스터 사이에서 대차가 회전하며, 볼스터 스프링 자체는 회전하지 않는 구조이다.
앞서 서술한 대로, 볼스터 대차에서 볼스터 스프링은 상하동에만 저항하며, 회전 등 횡방향의 변형은 허용하지 않는 구조로 되어 있다. 또 대차는 스스로가 차량으로부터 벗어나지 않도록 전후방향의 구속을 실시하며, 대차에서 발생한 견인력을 차체에 전달해야 한다. 그렇지만 볼스터 스프링은 일반적으로 횡방향의 강성이 낮기 때문에 대차와 차체간에 생기는 전후방향의 힘을 전달하는 것은 무리다.
이 때 필요한 것이 볼스터 앵커다. 볼스터 앵커는 볼스터 스프링의 상단·하단을 전후방향으로 구속하여 견인력이나 제동력을 전달한다. 일반적으로 막대 모양이며, 전후방향의 힘을 전달하기 때문에 대차의 양 측면에 수평방향으로 배치된다. 볼스터 스프링의 양단을 묶는 구조로 되어 있으므로, 보통 상하 방향으로 브래킷을 설치한 다음 수평 방향을 묶는 구조로 되어 있다. 또, 상하로 신축하는 볼스터 스프링을 방해하지 않도록, 볼스터 스프링의 양단은 핀 결합 혹은 고무를 개입시킨 결합 방법으로 하여 상하 방향의 변형을 허용하고 있다.
그림1-3은 다이렉트 마운트 방식에서의 볼스터 앵커의 기능을 나타낸 것이다. 이 방식의 경우, 볼스터 스프링은 차체 바로 아래에 배치되기 때문에, 볼스터 앵커는 차체와 볼스터를 묶듯이 배치된다. 그림처럼 차체에 브래킷을 설치하여, 브래킷과 볼스터를 볼스터 앵커에 의해 연결하는 것을 통해 차체와 볼스터의 전후방향의 힘을 전달하는 구조이다. 앞서 언급한 대로, 볼스터 앵커의 양단은 핀 구조로 되어 있어 상하 방향의 신축하도록 되어 있다. 볼스터 앵커에 의해 볼스터까지 전달된 전후방향의 힘은 센터 피봇에 의해 대차로 전달된다. 상하방향을 포함한 힘의 전달 경로를 표 1에 정리한다.
볼스터 앵커의 특징.
앞에서는 볼스터 앵커의 기본적인 역할을 '볼스터 대차에서 견인력(전후방향의 힘)을 전달하는 것'이라 설명했다. 그렇지만 볼스터 대차에서의 견인력 전달이 반드시 볼스터 앵커에 의해 이루어질 필요는 없으며, 보다 간편한 방법을 통해서도 가능하다. 여기에서는, 볼스터 대차에서의 견인력 전달 방식의 변천과 동시에 볼스터 앵커의 특징에 대해 설명한다.
그림2-1은 스윙행거 방식으로 불리는 대차 형식이며, 볼스터 대차에서는 예부터 널리 이용되어 온 방식이다. 상향 스윙 볼스터와 하향 스윙 볼스터라 불리는 2개의 볼스터를 가지며, 볼스터 스프링은 이 2개의 볼스터 사이에 설치된다. 또, 하향 스윙 볼스터는 대차 프레임에 매달려 좌우로 흔들리는 구조로 되어 있다. 이 구조는 대차에 작용하는 좌우 방향의 힘을 완화하는 기능을 가진다.
그런데 그림2-1의 대차는 스윙행거 방식 중에서도 더 역사가 오래된 방식이며, 센터 피봇만으로 차량의 중량을 지지하는 1점 지지 방식이다. 사이드 베어링은 원칙으로서 하중을 받지 않고, 차체가 기울었을 때에만에만 중량을 부담하는 전도 방지 장치였다. 또, 견인력의 전달에 대해서도 ‘스윙 볼스터 가이드’라는 방법에 따른다. 스윙 행거 방식에서는 상부 스윙 볼스터와 대차 프레임 사이에 견인력의 전달이 필요하지만, 구식 대차의 경우 상부 스윙 볼스터와 대차 프레임 사이에 '스윙 볼스터 슈'를 설치하여 서로 진동하는 부재(상부 스윙 볼스터와 대차 프레임)를 접촉시켜 견인력을 전달하는 이 방식이 주류였다.
스윙 볼스터 가이드는 스윙 볼스터 슈 1매로 견인력을 전달하므로 구조가 간단하고 비용이 저렴하다. 다만 대차의 흔들림에 의해 끊임없이 접동을 일으키고 있으므로 마모가 발생, 주행에 따라 대차 프레임과 상부 스윙 볼스터 사이에 틈이 생겨 견인력 전달시 진동을 일으키는 것이 결점이다. 스윙행거 방식 대차는 부품 수가 많고 각각의 부품에 대한 구속이 적어 자유도가 높기 때문에 복잡한 흔들림이 나타난다(그림2-2). 이 흔들림에 의해 스윙 볼스터 가이드가 심한 마모를 일으켜 전후방향으로 덜컹거리는 현상을 발생시키고, 이로 인해 흔들림이 더 늘어나는 악순환이 일어나기 쉽다.
개선할 수 있는 효과.
이러한 문제는 열차의 고속화에 따라 보다 현저해진다. 스윙 볼스터 가이드에 의한 전후방향의 덜컹거림은, 상부 스윙 볼스터에 전후방향의 자유도를 주어 사행동의 원인이 된다. 사행동은 열차가 직선을 고속으로 주행하는 경우에 발생하는 현상으로, 윤축이나 대차·차체가 연직축 방향의 자려(自勵)진동을 일으켜 대차나 차체를 좌우로 격렬하게 진동시킨다. 이것은 승차감을 해칠 뿐만 아니라 탈선 등의 중대사고의 원인이 되며, 고속화에 걸림돌이 되는 현상이다.
사행동의 원인은, 주행 속도, 차륜의 형상, 윤축의 지지 방법, 축거, 또 차량의 강성·감쇠 성능·질량등이 관계된 복합 문제다. 이 중에서도 대차의 구조는 사행동에 주는 영향이 커, 여러 가지 대책이 고안되어 왔다. 사행동에 대한 대책 중 하나는, 적절한 강성의 확보다. 1점 지지에 의한 차체 지지 기구와 스윙 볼스터 가이드에 의한 견인력 전달 방식은 스윙 볼스터의 중앙 부분만이 구속되어 있으므로 필요이상으로 수평면에서의 회전을 일으키기 쉽고, 사행동에 대해 필요한 강성이 부족한 구조였다.
거기서, 센터 플레이트·센터 피봇이라는 스윙 볼스터의 중앙부만의 고정이 아니라, 스윙 볼스터 양단을 전후방향으로 지지하는 것이 필요하게 되어 사이드 베어링을 통한 하중 지지와 볼스터 앵커가 사용되게 되었다. 사이드 베어링에 의해 적극적으로 상하 방향 하중의 일부를 볼스터의 양단으로 받아 그 마찰력으로 전후방향을 지지하고, 볼스터 앵커는 견인력의 전달을 볼스터의 양단으로 하는 것을 통해 전후방향을 구속하는 것이다. 모두 주된 목적은 하중의 전달이지만, 부차적으로 사행동을 억제하는 효과가 있다.
볼스터 앵커의 종류.
여기까지 설명으로 소개한 볼스터 대차는 ‘다이렉트 마운트 방식’이라 불리는 것으로, 볼스터 스프링을 차체 바로 아래에 배치하여, 대차의 회전을 볼스터 스프링과 대차 프레임 사이에서 행하는 방식이다. 이 방식은 역사적으로 비교적 새로운 것이며, 볼스터를 이용한 대차는 이 밖에도 다수의 형식이 있다. 어떤 경우에도 볼스터 앵커는 볼스터 스프링의 상하단을 전후방향으로 구속하는 구조로 되어 있지만, 그 설치 위치에는 형식에 따라 차이가 있다.
또, 앞서 말했던 대로 견인력의 전달은 스윙 볼스터 가이드에 의한 경우도 있으므로, 볼스터 앵커는 볼스터 대차에 반드시 설치되는 것은 아니다. 스윙행거 방식 중에는 볼스터 앵커가 없는 것도 비교적 많이 볼 수 있으며, 인다이렉트 마운트 방식 중에서도 스윙 볼스터 가이드로 견인력을 전달하는 형식도 드물지만 존재한다.
스윙행거 방식.
스윙행거 방식의 경우 2개의 볼스터(스윙 볼스터)를 가지고 있지만, 볼스터 앵커는 상부 스윙 볼스터와 대차 프레임 사이에만 장착된다. 볼스터 앵커 스윙행거 방식 대차에서는, 하중은 아래와 같이 전달된다.
그림3-1은 인다이렉트 마운트 방식으로 불리는 볼스터 대차의 형식이다. 이 형식에서는, 차체와 볼스터 스프링 사이에 볼스터를 설치하여 대차의 회전을 행하고 있다. 대차 전체가 회전하기 때문에, 볼스터 앵커는 볼스터와 대차 프레임 사이에 설치되어 있어 이 방식 대차의 경우 차체에서 발생한 힘은 아래와 같이 전달된다.
아래는 인다이렉트 마운트 방식 대차의 볼스터 앵커의 예이다. 일반적으로 공기 용수철이 이용되지만, 코일 스프링의 횡강성을 이용한 코일 스프링식도 있다. 다이렉트 마운트 방식과 같이 일반적으로 볼스터 앵커 받이가 설치되지만, TR223G형과 같이 대차 프레임의 형상을 이용하여 볼스터 앵커를 직결한 대차도 있다.
가상 센터피봇 방식.
볼스터 대차에서는, 센터 피봇과 센터 플레이트의 작용에 의해 대차를 회전시킨다. 그러나, 대차 좌우에 배치되는 볼스터 앵커를 직각 크랭크 핀으로 연결하면, 회전 중심이 되는 곳에 센터 플레이트나 센터 피봇을 설치하지 않고도 대차를 회전시킬 수 있다. 이러한 센터 플레이트를 이용하지 않는 대차 구조를 가상 센터피봇 방식이라고 부른다.
그림 3-2는 직각 크랭크핀과 볼스터 앵커에 의한 가상 센터피봇 방식 대차의 회전구조이다. 볼스터 앵커(견인력 전달 봉)의 한쪽 끝은 차체에 고정되고, 다른 한 쪽은 대차 프레임에 설치된 크랭크 핀과 결합되어 있다. 좌우 크랭크핀은 로드에 의해 연결되어 있어, 상호 크랭크핀의 작용에 의해 대차는 센터 플레이트를 중심으로 회전하는 듯이 움직일 수 있다.
이 형식의 대차에서는, 볼스터 스프링의 배치는 다이렉트 마운트 방식에 가까운 구조가 되지만, 실제로는 회전을 허용하는 볼스터가 없는 일종의 볼스터리스 구조이므로, 볼스터 스프링은 대차의 선회에 의한 변형에 견딜 수 있는 구조로 되어 있다. 또, 볼스터가 존재하지 않기 때문에, 견인력 전달 봉을 볼스터 앵커라고 부르지 않고, 단순히 인장봉(引張棒) 또는 압봉(押棒)이라고 부르는 경우가 있다.
이 형식의 힘 전달을 아래에 나타낸다. 볼스터나 센터 플레이트가 없기 때문에, 전달 구조는 비교적 단순하다.
전자는 주로 내연기관 동차에서 1대차 2축 구동을 실시하는 경우에 채용된다. 내연기관 동차에서는 엔진이나 토크 컨버터를 차체에 장비하고, 대차에는 추진축으로 구동력을 전달한다. 이 때, 1축만을 구동하는 경우는 문제가 되지 않지만, 1대차 2축 구동 방식의 경우, 윤축간에도 추진축 혹은 평 기어에 의한 동력전달장치가 필요해지며, 그것들이 볼스터와 간섭하여 대차의 부재 배치가 곤란해지는 경우가 있다. 이러한 경우 센터 플레이트나 볼스터가 없는 가상 센터피봇 방식이 유리하다.
또 하나는, 특히 열차 견인시 등에 축중 보상을 필요로 하는 차량용의 대차다. 윤축에 작용하는 축중은 차량의 점착력에 영향을 주므로, 적절한 축중은 공전을 방지하기 위해 필요하다. 그러나 축중은 주행 노선의 구배나 차량의 인장력의 영향에 의해, 다른 윤축으로 이동하는 성질이 있다. 특히 급구배에서 큰 인장력을 필요로 하는 기관차에서는, 축중의 이동에 의한 영향이 크다. 이 경우, 가상 센터피봇 방식을 채용하여 볼스터 앵커나 인장봉을 낮은 위치에 배치하는 것을 통해 축중의 이동을 방지할 수 있다.
사진3-4에 가상 센터피봇 방식에 의한 구배선구용 기관차의 대차의 예를 나타낸다. 이것은 잭 맨 방식으로 불리는 것으로, 볼스터 앵커에 해당하는 인장봉이 차체(사진 우측)와 볼스터 스프링 아래를 낮은 위치에서 연결하고 있다. 볼스터 스프링 아래에는 크랭크 핀이 설치되어 있어 대차를 회전시키는 구조로 되어 있는 동시에, 인장봉은 낮은 위치에서 저널박스를 경유하고 있어 대차에 작용하는 힘점을 내려 축중을 보상하는 구조로 되고 있다.
트러니언.
이 장치는 단순하면서도 승차감 개선에 큰 효과를 발휘했다. 그러나 개발원인 J.G.브릴사가 이 장치를 포함한 대차 설계에 관한 각종 독자 개발 장치를 모두 특허 신청했기 때문에 세계 각국에서 제조된 동사제 대차의 모방품에서는 이 기술은 채용되지 못하였고, 따라서 널리 보급되지는 못했다.
요댐퍼와 볼스터 앵커.
볼스터 앵커
요댐퍼
볼스터가 없는 볼스터리스 대차에는, 요댐퍼라 불리는 장치가 설치되는 경우가 있다. 요댐퍼는 댐퍼를 개입시켜 차량과 대차를 연결하는 것으로, 볼스터 앵커와 닮은 형태로 되어 있다. 그러나 그 역할은 사행동이라 불리는 대차의 이상(異常) 진동을 억제하는 것으로, 견인력의 전달이 목적인 볼스터 앵커와는 기능이나 구조가 모두 다른 것이다.
오른쪽의 그림은 곡선 통과시 볼스터 앵커와 요댐퍼의 움직임을 비교한 것이다. 볼스터 앵커는 견인력을 대차로부터 차체에 전하기 때문에 곡선 통과시에도 앵커 자체는 늘어나거나 줄어들지 않고, 볼스터의 전후방향을 묶어주고 있다. 대차의 회전은 볼스터와 베어링의 움직임을 통해 허용하지만, 볼스터 등 대차에는 중심 핀에 의해 견인력이 전해지는 구조다.
이에 비해 요댐퍼는 대차의 회전에 따라 댐퍼 부분이 신축하여 회전을 방해하지 않는 구조로 되어 있으며 견인력을 전달하지는 않는다. 다만 요댐퍼는 그림에 나온 것과 같은 곡선통과시의 완만한 대차 회전에는 저항하지 않지만, 사행동과 같은 비교적 움직임이 빠른 대차의 회전진동에 대해서는 댐퍼가 감쇠 작용을 발휘하여 사행동을 억제하는 구조로 되어 있다.
양자통계역학()은 양자역학적인 시스템의 앙상블을 다루는 학문을 일컫는다. 고전통계역학에서는 계의 상태가 위상 공간의 한 점으로 나타내어 졌다면, 양자통계역학에서는 힐베르트 공간에서의 벡터인 formula_1로 나타내어진다. 또한 고전통계역학에서의 위상 공간 밀도(위상 공간 상에서의 미시상태의 밀도)는 양자통계역학에서 밀도 연산자 formula_2, 또는 밀도 행렬 formula_3에 대응된다. 밀도 연산자는 음이 아니고 자기수반하며 양자역학적 시스템을 기술하는 힐베르트 공간 "H"에서 대각합이 1이다.
양자역학에서 관측가능량(observable) formula_4의 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 formula_15는 formula_16의 대각합이다. 기저벡터를 formula_9로 잡았을 때 formula_18는 밀도 행렬의 formula_19번째 성분에 해당되며, 밀도 연산자와는 아래와 같은 관계를 가진다.
도 만족한다.
formula_2의 시간에 대한 편미분이 0이고 formula_24가 헤밀토니언일 때
작은 바른틀 앙상블.
에너지 기저 공간에서의 작은 바른틀 앙상블(microcanonical ensemble)은 다음과 같이 기술된다.
바른틀 앙상블.
여기서 formula_30는 formula_31이고, formula_32는 볼츠만 상수, formula_33는 절대온도이다. 분모는 바른틀 분배함수 formula_34이므로 아래와 같이 열역학 변수들을 유도할 수 있다.
큰 바른틀 앙상블.
여기에서 formula_41는 화학 퍼텐셜, formula_42은 입자 개수 연산자이다. 분모는 큰 바른틀 분배함수 formula_43이다. 엔트로피 formula_44와 큰 퍼텐셜 formula_45는 다음과 같이 구할 수 있다.
마두라이(, )는 인도의 타밀나두 주 바이가이 강 제방에 위치한 도시이다. 마두라(Madura)로도 알려져 있다. 마두라이시는 인구가 2001년 조사에서 922,913명이었으며 마두라이구의 행정중심이다.
마두라이는 옛 타밀 왕국인 판디아의 수도로 그 역사는 2500년 전까지 거슬러 올라간다. 그리고 도시는 서기 500년 경부터 중요한 상업 중심이 되었다.
전설에서 마두라이의 원래 도시는 고대 레무리아 대륙의 쓰나미로 파괴되었다. 새로운 도시는 마지막 타밀 상감의 고향이었다.
이옥(李鈺, 1641~1698)이 지은 〈류광억전〉은 류광억의 이야기를 적고 있다.
현대 파워텍 엔진()은 2000년 현대자동차에서 개발한 대형자동차용 디젤 엔진이다. 2008년부터는 터보방식을 WGT에서 VGT로 바꾸고 유로4기준을 적용하였으며, 2015년부터 배기가스 규제가 유로 6으로 강화됨에 따라 요소수 탱크가 추가된 뉴파워텍 엔진이 시판 중에 있다. 2002년까지는 에어로 익스프레스 HSX ,에어로 퀸, 그랜버드 블루스카이, 그랜버드 선샤인에 파워텍 옵션을 적용하였으나 그 이후로는 필수로 바뀌었다. 2016년 파워텍엔진에서 L-엔진으로 변경되었다.
역학에서 비리얼 정리()는 일반적 역학계에서 평균 운동 에너지와 평균 위치 에너지가 서로 비례한다는 정리이다. 이를 사용하여, 해석적으로 풀 수 없는 계의 경우에도 평균 총 운동 에너지를 쉽게 계산할 수 있다.
만약 계가 열적 평형에 있다면, 통계역학적으로 평균 운동 에너지를 계의 온도와 관련지을 수 있다. 그러나 비리얼 정리는 온도의 정의에 구애받지 않으며, 열역학적 평형 상태에 있지 않은 계에 대해서도 적용할 수 있다.
심플렉틱 다양체 formula_1 위에 국소 좌표 formula_2를 잡자.
가 된다. 여기서 formula_7는 계의 해밀토니언이며,
는 각각 일반화 속도와 일반화 힘이다. 따라서, 만약 어떤 선형 평균 연산 formula_10에 대하여
이라면,
이다. 이를 비리얼 정리라고 한다.
비상대론적 입자.
formula_14개의 점입자들이 각각 위치 formula_15에, 질량 formula_16를 가지고, 이 계의 해밀토니언이
이라고 하자. 이 경우, 비리얼 formula_4은 다음과 같다.
여기서 Fi
는 formula_24번째 입자에 작용하는 힘이다.
만약 위치 에너지가
의 꼴이라면,
이다. 따라서, 이 경우 비리얼 정리는 다음과 같다.
다시 말해, 계의 평균 운동 에너지 formula_28는 위치 에너지 formula_29와 비례한다.
특히, 만유인력과 쿨롱 법칙의 경우 formula_30이며,
상대론적 입자의 경우
이다. 이 경우
이다. 만약 formula_36일 경우 이는 2에 더 가까워지고, formula_37일 경우 이는 1에 더 가까워진다.
비리얼이 상수일 조건.
비리얼 정리는 formula_11인 경우에 성립한다. 다양한 물리계에서 이 조건이 실제로 성립하는데, 그 이유는 다음과 같다.
formula_39가 긴 시간 formula_40 동안의 평균이라고 하자. 안정적인 계의 경우, 계의 상태가 어떤 콤팩트 집합 formula_41 속에서 존재하게 된다. 그렇다면 비리얼 formula_4는 formula_43 위의 연속함수이므로, 상한과 하한을 갖는다.
따라서, 이를 매우 오랜 시간 formula_45동안 평균을 취한다면, formula_46는 0으로 수렴한다.
시간에 대한 평균 대신, formula_10이 어떤 앙상블에 대한 평균이라고 할 수도 있다. 이 경우, formula_11이라는 조건은 앙상블이 열역학적 평형에 있을 때 총족된다.
비리얼 정리는 비록 고전역학에서 유도되었지만 양자역학에서도 성립한다. 이 경우 평균 연산은 에너지 고유상태에서의 기댓값이며, 에너지 고유상태에서는 formula_11이다.
이다. 여기서 formula_53는 포인팅 벡터(전자기장의 운동량 밀도)이다. 그렇다면 비리얼 정리는 다음과 같다.
항성과 행성계.
질량이 formula_56인 입자들로 구성된 구형 항성을 생각하자. 이 경우, 항성의 질량 formula_57 · 반지름 formula_58 · 입자 평균 속도 formula_59 사이에는 비리얼 정리로부터 유도되는 다음과 같은 상관관계가 존재한다.
여기서 formula_4는 중력 상수, formula_63는 볼츠만 상수, formula_64는 양성자 질량이다. 상수 인자 (3/5 나 1/2 등)들은 계에 따라서 다를 수 있다.
계의 질량이 계의 중심에 집중되어 있다면, 반지름에 대한 질량 함수 formula_65는 상수 함수가 된다. 예를 들어, 태양계의 경우 대부분의 질량이 태양에 집중되어 있다. 이 경우,
은하와 은하단.
비리얼 정리는 은하와 은하단에 응용할 수 있다. 은하를 구성하는 항성의 속도는 도플러 효과를 통해 직접적으로 관측할 수 있다. 은하단의 중심에서 formula_67만큼 떨어져 있는 항성의 평균 속력이 formula_68라고 하자. 이 함수를 은하의 회전곡선이라고 하며, 이는 반지름 formula_67의 구면 속에 포함된 총 질량formula_70와 비리얼 관계를 갖는다. 즉, 은하의 회전곡선을 관찰하여 은하의 질량 분포를 유추할 수 있다.
실제 은하의 관측 결과에 따르면, formula_71는 전자기파로 관측할 수 있는 질량 분포에 비하여 더 천천히 감소한다. 이는 전자기파로 관찰할 수 없는 막대한 질량이 은하의 바깥쪽까지 존재하고 있다는 것을 의미한다. 이러한 질량을 구성하는 미지의 물질을 암흑 물질이라고 한다.
플라스모이드의 수명.
플라스모이드는 자기장과 플라스마의 유한한 배열이다. 전자기장을 포함하는 계의 비리얼 공식에서, 좌변의 면적분은 아무런 바깥 힘이 없는 경우 0이다. 우변의 항들은 모두 양수이므로, 계의 비리얼은 항상 증가하게 된다. 즉, 바깥 힘이 작용하지 않는 플라스모이드는 항상 팽창하여 희석된다.
플라스모이드의 평균 수명 formula_45는 다음과 같이 근사할 수 있다. 플라스모이드의 총 질량이 formula_57이며, 크기가 formula_58라고 하자. 그렇다면 관성 모멘트는 대략
이며, 비리얼 공식의 좌변은 formula_76이 된다. 우변의 항들의 합은 대략 formula_77이다 (formula_78는 자기·플라스마 압력). 따라서
은 이온 음파(또는 만약 자기 압력이 플라스마 압력보다 높을 때는 알프벤 파)의 속력이다. 따라서 플라스모이드의 평균 수명은 음파가 플라스모이드 전체를 오가는 시간과 대략 일치한다.
비리얼 정리는 실수(real number)에 대한 라그랑주 항등식
비리얼 정리의 초기 형태는 조제프루이 라그랑주가 1772년 출판한 "Essay on the Problem of Three Bodies"에 등장한다. 이를 카를 야코비가 일반화시켜 고전적 비리얼 정리와 거의 같게 만들었다. 나중에 제임스 클러크 맥스웰, 레일리 경, 앙리 푸앵카레, 수브라마니안 찬드라세카르, 엔리코 페르미, 폴 레도, 유진 파커등에 의해 일반화되고 널리 알려졌다.
1870년에 루돌프 클라우지우스가 강의를 하면서 "비리얼"이라는 용어 및 비리얼 정리를 도입하였다. 은 (힘, 에너지)에서 유래한다.
푸라나( purāṇa)는 고대 인도의 힌두교자이나교불교의 종교적인 문헌들의 중요한 한 장르를 가리킨다. 흔히 "푸라나"라고 하면 이 중에서 특히 힌두교 경전의 한 장르를 뜻하는 경우가 많다. "푸라나"의 문자 그대의 뜻은 "고대 또는 옛날에 속한다"이다. 푸라나는 일반인들을 위해 종교적 가르침을 쉽게 만든 것이며 주로 이야기 형식을 통해 전해지므로 푸라나는 종교적인 설화집이라 할 수 있다.
각 푸라나는 대체로 특정한 신을 집중적으로 다루는데 그 신에 대해 풍부한 종교적철학적 관념이 부여되어 있으며 따라서 힌두교의 특정 신에 대해 보다 자세히 이해할 수 있는 문헌이 된다. 보통 푸라나는 한 사람이 다른 사람에게 무언가를 이야기 해주는 "이야기 형식"으로 되어 있다. 푸라나에 나오는 이야기들은, 신은, 진실로, 인간적인 관념과 생각으로는 믿기도 어려울 뿐만 아니라 이해할 수도 없는 불가해한 존재이므로 신에게 자신을 헌신("박티")하는 것이 중요하다고 힌두교인들에게 가르친다.
푸라나는 토착어 또는 방언으로 된 번역본들이 있으며, 주로 힌두교의 브라만 학자들이 이 번역본들을 이용하여 이야기를 하는 형식으로 힌두교 신자들에게 전해진다. 주로 카타(: 힌두교의 종교적인 이야기의 시간 또는 행사)를 열어서 전해진다. 순회 여행을 하는 브라만의 경우 한 신전에 몇 주를 머무르면서 특정 푸라나의 일부를 이야기 형식으로 전하는데, 대체로 박티, 즉, 신에 대한 헌신의 관점에서 이야기가 이루어진다.
힌두교의 푸라나.
힌두교 전통에 따르면, 《마하바라타》의 저자인 브야사()가 푸라나들의 편찬자인 것으로 되어 있다. 그러나, 이 전통적인 견해와는 달리, 푸라나들이 가장 최초로 글로 쓰여진 때는 굽타 제국(3~5세기) 시대인 것으로 측정된다. 그리고 다른 문헌에서 나타나는 언급들을 비롯한 연대 측정 수단들에 의할 때 다수의 푸라나들이 이 시대와 그 이후의 시대들에 속한 것으로 여겨지고 있다. 그리고 푸라나는 인도 전역에서 작성된 것으로 보인다.
그러나 푸나라가 문헌의 형태로 나타난 시기가 곧 푸나라가 기원된 시기를 말하는 것은 아니다. 푸라나들은 글로 쓰여지기 오래전부터 구전의 형태로 전수되어 왔다. 또한 이러한 구전 전수와 더불어 푸라나 문헌들은 점차적으로 수정되어 16세기와 현재로 전해져 내려 왔다.
푸라나 문헌.
《다운타운 열혈 이야기》()는 일본의 개발사 테크노스 저팬이 제작한 진행형 격투 게임이다. 패밀리 컴퓨터 기종으로 1989년 4월 25일 일본서 처음 출시됐다. 《쿠니오군》 시리즈에서 《열혈경파 쿠니오군》 다음으로 두번째 진행형 격투 게임이다.
줄거리는 주인공 일방 중 한 명인 리키의 여자친구 마미가 인근 불량학생들에게 납치당하자 쿠니오와 리키가 힘을 합쳐 구하러 간다는 내용이다. 이 게임의 획기적인 특징은 비선형 구조의 오픈 월드 맵을 도입한 것이다. 단순히 스테이지를 따라서 진행하는 것이 아닌, 열혈 고등학교 주변 시내를 돌아다니며 불량학생들을 쓰러뜨리고 여러 보스들을 상대해야한다. 또한 일반적인 액션 롤플레잉 게임처럼 적들에게서 얻은 돈을 소비해 기술을 배우고 능력치를 강화할 수 있다.
처음 출시할 때에는 패밀리 컴퓨터판만 발매됐으나, 이후 타 개발사가 제작한 이식판이 각종 플랫폼으로 등장했다. 1990년에는 샤프 X68000로, 1993년에는 PC 엔진 CD로 이식됐는데 둘 다 일본에서만 발매됐다. 2004년에는 게임플레이 및 내용을 다량 추가한 확장판 《다운타운 열혈 이야기 EX》()가 게임보이 어드밴스로 발매됐다. 그 외에 패밀리 컴퓨터판은 버추얼 콘솔로 디지털 재발매됐으며, 2018년에 발매한 합본 《》에도 수록됐다.
2016년에 닌텐도 3DS로 리메이크 《다운타운 열혈 이야기 SP》가 발매됐다. 2017년에는 서양 현지화판에 기반한 후속작 《》가 발매됐다.
적 보스 캐릭터.
이븐 아라비(, Abū ʿAbd Allāh Muḥammad ibn ʿAlī ibn Muḥammad ibn ʿArabī al-Ḥātimī aṭ-Ṭāʾī, 1165년 7월 26일 ~ 1240년 11월 16일)은 이슬람의 신비주의 사상가이다. '종교의 재생자', '최대의 스승'이라고도 불린다.
이븐 아라비는 1165년 에스파냐에서 태어났다. 일찍이 여러 곳을 여행하며 신비주의자들과 교류하였다. 1202년 메카를 순례하러 떠난 후 고향으로 가지 않고 이집트, 헤자즈, 이라크, 터키를 전전하다가 1240년 다마스커스에서 사망하였다.
이븐 아라비는 가잘리에 의해서 부정된 신플라톤주의를 신비주의에 도입하였는데, 이로 인하여 정통파들에게 이단시되어 사후에까지 많은 논쟁의 원인이 되었다. 그의 사상은 후대의 신비주의 교단과 페르시아 제국의 시인들에게 많은 영향을 주었고, 시아파 신학에 도입되어 사파비 왕조하의 이란에서는 신학교에서 그의 사상을 가르치기도 하였다.
저서가 800편이 넘는 것으로 알려져 있다. 그는 신비적 체험을 바탕으로 많은 글을 썼는데, 대표적인 것으로는 《메카 계시》와 《예지의 보석》이다. 《메카 계시》는 신비주의의 백과사전으로 일컬어지고, 천사로부터 계시받은 내용을 저술한 것이다. 《예지의 보석》은 예언자 무함마드로부터의 계시를 저술한 것이고, 이후 100편이 넘는 주석서가 쓰였다.
《젤다의 전설 신들의 트라이포스》는 닌텐도가 개발하고 판매한 비디오 게임이다. 《젤다의 전설》 시리즈의 세 번째 게임으로 슈퍼 패미컴으로 제작됐다. 영어판 제목은 《젤다의 전설: 과거로의 링크》 이다.
링크는 7명의 현자의 딸을 구하고 가논을 쓰려뜨려야 한다. 신들의 트라이포스에서는 젤다의 전설 2의 사이드뷰 횡스크롤 형식 대신 젤다의 전설처럼 탑뷰 방식을 채용하였으며, 본작에서 처음으로 훅샷이 등장한다. 이때 엄청난 (그때 당시에는)기술이 선보여 지는데 바로 얼굴이 함께 회전하는 회전베기였다. 즉 젤다의 전설 신들의 트라이포스가 회전베기의 시초인 셈이다.
천동설(天動說) 또는 지구중심설(地球中心說, 영어: Geocentrism)은 지구가 우주의 중심이며 모든 천체가 지구 주위를 돈다는 학설이다. 지동설에 의해서 이 견해는 폐기되었다. 대부분의 지구중심 모형에서 태양·달·별·행성은 모두 지구를 공전한다. 이 이론은 고대 그리스의 아리스토텔레스와 로마 이집트의 프톨레마이오스 시대를 비롯하여 이슬람 황금기에 이르기까지 많은 유럽 고대 문명에서 우주를 설명하는 지배적 관점이었다.
이 이론을 뒷받침한 관찰은 두 가지이다. 첫째, 지구 어디에서나 태양이 하루에 한 번 지구를 도는 것처럼 보이며, 달과 행성들도 고유한 운동을 하면서도 대략 하루에 한 번씩 지구를 도는 듯이 보인다. 별들 역시 지구의 지리적 극을 관통하는 축을 중심으로 하루에 한 번 회전하는 천구에 고정되어 있는 듯하다. 둘째, 지상의 관찰자에게 지구는 단단하고 안정적이며 정지해 있는 것처럼 느껴진다.
고대 그리스·로마·중세의 철학자들은 대개 천동설을 구형 지구와 결합하여 설명하였는데 이는 고대 신화에 암시된 평평한 지구 관념과 대조된다. 고대 그리스에서는 에우독소스는 지구가 우주의 중심에 있고 모든 천체가 지구 주위를 공전한다고 주장했지만, 에크판토스는 지구가 우주의 중심이지만 자전하고 있다고 주장했으며, 필롤라오스는 지구도 태양도 우주의 중심은 아니지만 자전과 공전을 하고 있다고 주장했다. 그러나 그리스의 천문학자이자 수학자인 사모스의 아리스타르코스(기원전 310 ~ 230)는 당시 알려진 모든 행성을 태양 주위에 올바른 순서로 배치한 태양중심 모형을 제안하였다.
이들의 학설을 체계화한 사람이 프톨레마이오스다. 히파르코스의 논제에 개량을 더한 것이라고 여겨지지만 확증은 없다. 지구가 우주의 중심에 있다는 설을 주창한 학자는 이전부터 있었고, 행성의 위치계산을 비교적 정확하게 한 사람도 그 이전에 있었지만, 결국 모든 것을 체계화한 것은 프톨레마이오스로, 지금도 이 형태의 천동설을 프톨레마이오스의 천동설이라고 부른다.
프톨레마이오스의 천동설에서는 우주의 중심에 지구가 있고, 태양을 비롯한 모든 천체는 약 하루에 걸쳐 지구 주위를 공전한다. 그러나 태양이나 행성의 공전속도는 각기 다르고, 그러한 이유로 시기에 따라 보이는 행성이 다르다. 천구는 딱딱한 구체이며, 이것이 지구와 태양, 행성을 포함한 모든 천체를 감싸고 있다. 항성은 천구에 붙어있거나 천구에 뚫린 미세한 구멍으로 천구 밖의 빛이 새어나와 보이는 것으로 여겨졌다. 행성과 항성은 신의 보이지 않는 힘에 의해 움직인다. 모든 변화는 지구와 달 사이에서만 일어나고, 더 멀리 있는 천체는 정기적인 운동을 반복할 뿐, 영원히 변화는 일어나지 않는다고 여겨졌다.
고대 그리스인들은 행성의 운동이 원형이라고 믿었고, 서양에서 이 견해가 도전받은 것은 17세기에 요하네스 케플러가 행성 궤도가 태양 중심의 타원 궤도임을 제시하면서였다(케플러의 제1법칙). 1687년 아이작 뉴턴은 자신의 만유인력 법칙으로부터 타원 궤도가 도출될 수 있음을 증명하였다.
서기 2세기에 완성된 프톨레마이오스의 지구중심 모형은 1,500년 넘게 점성술 및 천문 관측용 차트를 작성하는 데 근거로 활용되었다. 천동설은 근세 초까지도 우위를 점하였으나, 16세기 후반 이후 코페르니쿠스·갈릴레이·케플러가 확립한 지동설에 점차 자리를 내주었다. 그 전환에는 상당한 저항이 따랐는데, 오랫동안 지구중심 가설이 더 정확한 계산 결과를 내놓았으며, 또한 알려지지 않은 새로운 이론이 오래도록 합의되어 온 지구중심설을 대체할 수 없다고 여긴 이들도 있었기 때문이다.
기원전 6세기에 아낙시만드로스는 지구를 기둥 단면(원기둥)처럼 생긴 형태로 보고 우주의 중심에 떠 있다고 하는 우주론을 제시하였다. 태양·달·행성은 지구를 둘러싼 보이지 않는 바퀴에 뚫린 구멍이며, 그 구멍을 통해 인간은 숨겨진 불을 볼 수 있다고 하였다. 대략 같은 시기 피타고라스는 월식 관측에 따라 지구가 구형이라고 생각하였으나 중심에 있지는 않고 보이지 않는 불 주위를 돈다고 주장하였다. 훗날 이 두 관념이 결합되어 기원전 4세기 이후 대부분의 교양 있는 그리스인들은 지구가 우주의 중심에 놓인 구체라고 여겼다.
기원전 4세기에 플라톤과 그의 제자 아리스토텔레스는 천동설에 기초한 저술을 남겼다. 플라톤은 지구가 우주의 중심에서 정지한 구체라고 보았다. 별과 행성은 구나 원형 궤도에 실려 지구를 돌았으며, 중심에서 바깥으로 달·태양·금성·수성·화성·목성·토성·항성의 순서로 배열되어 항성은 천구에 위치하였다. 『국가』의 “에르의 신화”에서 플라톤은 우주를 세 운명이 돌리는 ‘필연의 방추’로 묘사하였다.
플라톤과 함께 연구한 크니도스의 에우독소스는 “천상의 모든 현상은 일정한 원운동으로 설명할 수 있다”는 플라톤의 가르침을 토대로 행성 운동을 보다 수학적으로 해석하였다. 기원전 4세기에 고대 그리스의 에우독소스는 우주의 모습이 지구를 중심으로 여러층으로 겹친 천구가 감싸고 있는 것이라고 생각했다. 이때 가장 바깥쪽의 천구는 항성이 아로새겨진 항성구로, 하늘의 북극을 축으로 하여 약 하루에 걸쳐 동쪽에서 서쪽으로 회전하여 일주운동이 일어나는 것이라고 설명했다. 태양이 포함된 천구는 항성구에 대해 반대방향으로, 1년에 걸쳐 서쪽에서 동쪽으로 회전하여 연주운동이 일어난다. 태양의 회전축은 항성구의 회전축에 대해 기울어져있기 때문에, 1년동안 남중고도가 변하고 계절이 바뀌는 것이 설명된다.
항성구와 태양 사이에 행성이 운행하는 천구를 뒀다. 지구에서 볼 때 행성은 별자리 사이를 천천히 움직이는 것처럼 보인다. 이것은 항성구에 대한 행성구의 상대운동으로 설명되었지만, 행성은 천구에서 속도를 바꾸거나 역행하는 한 시기동안 반대로 움직일 수 있다. 역행을 설명하기 위해 행성 하나의 운행에 회전방향과 속도가 다른 여러개의 천구가 고안되었다. 이 천구는 확실히 지구를 공통중심으로 하는 구형이기 때문에, 지구에서 각 행성까지의 거리는 변하지 않는다.
기원전 3세기 무렵의 아폴로니우스와 기원전 2세기의 히파르코스는 행성이 단순히 원운동을 하는 것이 아니라, 원 위에 있는 작은 원 위를 움직인다고 생각했다. 이 작은 원을 주전원, 큰 원을 대원(Deferent)이라고 부른다. 두 가지 이상의 원운동이 합해져 행성의 진행방향이나 속도가 변화하는 것으로 보이며, 이것은 행성의 접근에 의한 밝기 변화, 순행과 역행의 속도차이를 대략적으로 설명할 수 있다.
모든 행성이 동일한 평면에 있는 태양을 중심으로 하는 원궤도를 등속운동하고 있는 경우, 지구에서 본 행성의 운동은 원궤도와 하나의 주전원만으로 기술할 수 있을 것이다. 그러나 현실의 행성 운동은 그렇게 되어있지 않기 때문에, 행성의 운동을 천동설에서 정확하게 기술하기 위해서는 보다 복잡한 체계가 필요해진다. 따라서 히파르코스 이후 프톨레마이오스를 시작으로 다양한 천동설 모델이 제창되었고, 결국에는 지동설의 코페르니쿠스, 케플러를 거쳐, 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙에 따른 우주 모델에 이르게 된다.
아리스토텔레스는 이를 더욱 정교화하였다. 완성된 아리스토텔레스 체계에서 구형 지구는 우주의 중심에 있고, 다른 천체들은 지구를 둘러싸고 동심으로 배치된 47~55개의 투명한 수정 회전구에 부착되어 있다. 행성마다 여러 개의 구가 필요해 개수가 많았으며, 각 구는 서로 다른 일정한 속도로 회전하여 천체의 주기를 형성하였다. 수정구는 ‘에테르’라 불리는 불변의 물질로 이루어져 있었다. 아리스토텔레스는 달이 가장 안쪽 구에 있어 지구 영역과 접촉하므로 흑점과 위상 변화가 생긴다고 설명하였다. 그는 또한 흙·물·불·공기와 천상의 에테르가 지니는 자연적 경향을 제시하였다. 흙은 가장 무거워 중심으로 향하는 힘이 가장 크고, 물은 그 위를 덮는 층을 이룬다. 공기와 불은 중심에서 멀어지려 하며, 불이 공기보다 가볍다. 불의 층 밖에는 천체가 박혀 있는 단단한 에테르 구가 있고, 이들 역시 온전히 에테르로 구성되어 있다.
천동설이 지지를 받은 까닭은 몇 가지 중요한 관측에 근거하였다. 우선 지구가 움직인다면 연주시차로 인해 항성의 위치가 변해야 하는데 일 년 동안 별자리 모양이 변하지 않는다. 이는 별이 태양·행성보다 훨씬 멀리 있어 움직임이 감지되지 않거나, 지구가 전혀 움직이지 않는다는 두 설명으로 이어진다. 실제로는 별의 위치가 훨씬 멀었기에 연주시차는 19세기에 들어서야 검출되었고, 그리스인들은 당시 더 단순한 후자를 택하였다. 또 다른 근거는 금성의 밝기가 거의 일정해 보인다는 점이었다. 이는 금성이 지구에서 대체로 같은 거리에 있다는 뜻으로 해석되어 천동설과 잘 맞았다. 실제로는 금성의 위상으로 인한 광도 감소가 거리 변화로 인한 겉보기 크기 증가로 상쇄되기 때문이다. 지동설을 반대한 이들은 지상 물체가 자연스럽게 가능한 한 지구 중심 가까이 정지하려 한다고 지적했고, 외부 힘이나 열·습기에 의한 변화가 없으면 움직이지 않는다고 주장하였다.
많은 현상을 설명할 때 대기적 요인이 선호된 까닭은 완전 동심 구를 전제로 한 에우독소스·아리스토텔레스 모형이 거리 변화로 인한 행성 밝기 변화를 설명하도록 고안된 것이 아니었기 때문이다. 결국 당시의 수학적 방법으로는 그 이상적인 체계에서 충분히 정확한 모형을 만들 수 없어 완전 동심 구 개념은 폐기되었다. 그러나 유사한 설명을 제공하면서도 이후의 이심원·주전원 모형은 관측을 수용할 만큼 충분히 유연하였다.
프톨레마이오스 모형.
아리스토텔레스 시대까지 이미 그리스 천동설의 기본 원리는 확립되어 있었으나, 그의 체계에 담긴 구체적 세부는 표준으로 자리 잡지 못하였다. 서기 2세기에 헬레니즘 천문학자 클라우디오스 프톨레마이오스가 완성한 프톨레마이오스 체계가 마침내 천동설을 표준화하였다. 그의 대표적 저술 『알마게스트』는 고대 그리스·헬레니즘·바빌로니아 천문학자들이 수세기에 걸쳐 축적한 연구의 절정이었다. 이로부터 천 년이 넘는 동안 유럽과 이슬람권의 천문학자들은 이를 올바른 우주 모형으로 받아들였다. 이러한 영향력 탓에 사람들은 종종 프톨레마이오스 체계가 곧 천동 모형 자체와 동일하다고 오해한다.
프톨레마이오스는 언제나 별의 절반이 지평선 위, 나머지 절반이 지평선 아래에 놓인다는 단순한 관측(회전하는 천구에 배열된 별들)과 별들이 우주 중심에서 그리 멀지 않은 거리에 모여 있다는 가정을 근거로, 지구가 우주의 중심에 자리한 구체라고 주장하였다. 만일 지구가 중심에서 크게 벗어나 있었다면, 관측 가능한 별과 보이지 않는 별의 비율이 같을 수 없었을 것이라고 보았다.
프톨레마이오스 체계.
프톨레마이오스 체계는 각 행성이 두 개의 구에 의해 움직인다고 설명한다. 하나는 ‘대원’(deferent)라 불리는 큰 구이고 다른 하나는 그 안에 삽입된 작은 구인 ‘주전원’(epicycle)이다. 대원은 원으로서 도해에서 X로 표시된 그 중심점인 ‘이심’(eccentric)은 지구와 떨어져 있다. 중심을 이렇게 옮긴 까닭은 북반구의 가을이 봄보다 약 닷새 짧은 계절 길이 차이를 설명하려 했기 때문이다. 주전원은 대원 내부에 자리한 작은 궤도로, 행성은 주전원을 따라 돌면서 동시에 주전원이 대원의 경로를 따라 움직인다. 이 두 운동이 합쳐져 행성은 궤도상의 위치에 따라 지구에 가까워졌다 멀어졌다 하며, 그 결과 행성이 서행·정지·역행하다가 다시 순행으로 돌아가는 현상이 나타난다고 해석한다.
대원‑주전원 모형은 이미 고대 그리스 천문학에서 수세기 동안 쓰여 왔고, 대원의 중심이 지구에서 약간 치우친 ‘이심’ 개념은 그보다도 오래되었다. 그림에서도 대원의 중심은 지구가 아니라 X로 표시된 지점이며, 그리스어 ἐκ(밖)과 κέντρον(중심)에서 유래해 ‘eccentric’이라 부른다. 하지만 프톨레마이오스 시대의 체계는 관측과 완전히 일치하지 못해, 특히 화성의 역행 고리 크기가 예측보다 작거나 클 때가 있어 최대 30도까지 위치 오차가 발생하였다. 이를 완화하려고 프톨레마이오스는 ‘동시심’(equant)를 도입하였다. 동시심은 행성 궤도 중심 부근의 한 지점으로, 그곳에 서서 보면 주전원 중심이 항상 균일한 속도로 움직여 보이고 다른 곳에서는 그렇지 않다. 그는 이 방식으로 운동이 여전히 균일한 원운동이라고 주장하였으나, 이는 플라톤이 이상으로 삼은 완전 원운동에서 벗어나는 것이었다. 그럼에도 이 체계는 서구에서 널리 수용되었으며, 행성마다 주전원이 대원을 돌고 또 행성마다 서로 다른 동시심이 필요하여 현대 기준으로는 복잡해 보이나, 역행의 시작과 끝을 포함한 여러 천체 운동을 최대 10도 오차 안에서 예측하여 동시심이 없는 모델보다 훨씬 정확하였다.
프톨레마이오스 체계는 지구에서 행성까지의 평균 거리에 상당하는 이심원의 지름을 어떻게 잡는다고 해도, 보는 방향이 같으면 주전원을 만들 수 있다. 우선 각 행성의 주전원이 겹치는 것을 피하기 위해 지구에서 달, 수성, 금성, 태양, 화성, 목성, 토성의 순서로 둔다. 그 바깥을 항성구가 둘러싼다.
프톨레마이오스 체계는 당시로서는 매우 뛰어난 것으로, 주전원이 포함된 이 모형은 사실 이심률이 작은 타원 궤도를 매우 잘 근사한다. 이심률이 5% 미만이면 타원의 모양은 눈에 잘 드러나지 않지만, 태양이 자리하는 초점이 중심에서 한쪽으로 치우친 거리는 행성들이 지닌 낮은 이심률에서도 뚜렷이 나타난다.
페르시아와 아랍 천문학에서의 발전.
6세기에 인도의 아리아바타는 태양 중심의 지동설에 근거한 것으로 추측되는 몇 가지 계산을 남겼다. 인도에는 고대 그리스의 천문학이 들어와있었으며, 그 영향이 있었던 것이라 여겨진다. 그의 저작은 8세기에 아랍어로, 13세기에는 라틴어로 번역되었다.
라틴어 《알마게스트》를 아랍어로 옮긴 번역 운동 이후, 무슬림들은 프톨레마이오스의 천동설 모형을 받아들여 세련되게 다듬었고 이를 이슬람 교리와 부합한다고 보았다. 이슬람 천문학자들은 대체로 프톨레마이오스 체계를 인정했으나, 10세기경부터 프톨레마이오스를 의심하는 내용을 다룬 저술이 '의심'이라는 의미의 아랍어인 '슈슉'()이라는 표현과 함께 꾸준히 등장하였다. 여러 학자가 지구의 불동성과 우주 중심성에 의문을 품었으며, 아부 사이드 알시즈지(1020년경 사망)처럼 지구의 자전을 주장한 이들도 있었다. 비루니에 따르면 알시즈지는 “우리가 보는 운동은 하늘이 아니라 지구의 움직임 때문이다”라는 동시대의 믿음에 근거하여 ‘알주라키’라는 아스트롤라베를 제작하였다. 13세기의 기록 역시 “기하학자(무한디신)에 따르면 지구는 끊임없이 원운동하며, 하늘의 움직임처럼 보이는 것은 실제로 별이 아니라 지구의 운동 때문이다”라고 하여 이러한 신념의 확산을 보여준다.
11세기 초 이븐 알하이삼은 《프톨레마이오스에 대한 의문》(1028년경)에서 프톨레마이오스 모형을 신랄하게 비판하였다. 일부는 이를 천동설 자체에 대한 공격으로 해석하지만, 대다수 학자는 그가 모형의 세부를 문제 삼았을 뿐 천동설을 부정하지는 않았다고 본다.
12세기에 알자르칼리는 수성의 궤도가 타원이라는 가설을 제시하며 고대 그리스의 등속 원운동 관념에서 벗어났고, 알페트라기우스는 동시심·주전원·이심을 배제한 행성 모형을 제안했으나 수학적 정확도는 떨어졌다. 그의 대안적 체계는 13세기 동안 유럽 전역에 퍼졌다.
파크르 앗딘 알라지는 『마탈리브』에서 우주 중심으로서의 지구라는 아리스토텔레스·이븐 시나의 견해를 거부하고, “이 세계 저편에 이 세계보다 크고 무겁고 유사한 구조를 지닌 세계가 천천(千千) 개나 있다”라고 주장하였다. 그는 “만유의 주이신 알라께 모든 찬양이 있다”라는 꾸란 구절을 인용하며 ‘만유(세계들)’라는 표현을 강조하였다.
‘마라게 혁명’은 마라게 학파가 프톨레마이오스 천문학에 도전한 움직임을 가리킨다. 이 학파는 마라게 천문대에서 시작해 우마이야 모스크와 사마르칸트 천문대의 학자들로 이어졌다. 안달루시아의 선구자들처럼 그들은 동시심 문제를 해결하고 천동설을 유지하면서도 프톨레마이오스 모형을 대체할 구성을 시도하였다. 그 결과 동시심과 이심을 제거하고 수치적으로 더 정확하며 관측과도 잘 맞는 대안을 제시하였다. 주요 인물로는 모아이야두딘 우르디(1266년 사망), 나시르 알딘 알투시(1201–1274), 쿠트브 앗딘 시라지(1236–1311), 이븐 앗샤티르(1304–1375), 알리 쿠시지(1474년경), 알비르잔디(1525년 사망), 샴스 앗딘 알카프리(1550년 사망)가 있다.
그러나 마라게 학파는 태양을 중심으로 한 지동설로의 패러다임 전환에는 이르지 못하였다. 마라게 학파가 코페르니쿠스에게 영향을 미쳤다는 가설은 문헌 증거가 없어 추정에 머무르며, 코페르니쿠스가 투시 커플을 독자적으로 고안했을 가능성도 열려 있다.
십자군 원정과 이베리아 반도에서의 레콘키스타, 지중해 무역 등은 유럽과 이슬람 세계의 접촉이 활발하게 했다. 11~13세기에 걸쳐 이슬람 과학의 성과는 시칠리아 왕국의 수도 팔레르모, 카스티야 왕국의 수도 톨레도 등에서 활발히 연구되고 번역이 이루어져 12세기 르네상스로 이어졌다. 아리스토텔레스 등이 저술한 고대 그리스 문헌도 아랍어 번역을 중역한 형태로 유럽에 소개되었다. 지금까지의 로마 가톨릭교회의 신학은 아우구스티누스 등 라틴 교부에 의한 신플라톤주의를 기반으로 한 것이었다. 1210년 파리의 성직자 회의가 아리스토텔레스를 가르치는 것을 금지하는 등 새로 유입된 지식을 도입하는데 저항은 있었지만, 13세기 후반에 활약한 알베르투스 마그누스와 토마스 아퀴나스 등에 의해 결국 아리스토텔레스의 철학은 스콜라 철학의 주류가 되었다.
프톨레마이오스 체계도 받아들여져, 13세기에 카스티야 왕국의 알폰소 10세에 의해 편찬된 『알폰소 천문표』는 나중에 보정을 받으면서도 17세기까지 유럽에서 사용되었다. 15세기 독일에서 프톨레마이오스 등에 대한 연구를 했던 레기오몬타누스의 업적은 그의 사후 1496년에 『 알마게스트 강요』로 간행되었고 코페르니쿠스의 연구에 큰 영향을 주었다. 이 무렵에는 『알마게스트』도 아랍어를 중역한 것이 아닌, 그리스어 원전을 접할 수 있었다.
16세기 유럽에서 니콜라우스 코페르니쿠스가 지동설을 주창했다. 코페르니쿠스의 지동설은 태양을 중심으로 지구를 포함한 행성이 공전한다는 점에서 획기적이며, 동시심을 배제하고 모든 천체의 운행을 크고작은 등속원운동으로 기술했다. 그러나 코페르니쿠스의 지동설도 원운동을 전제로 한다는 점에서 기존의 천동설과 동일했다. 실제로는 타원운동을 하는 행성의 운동을 원운동으로 설명하기 위해 주전원이 필요했기 때문에 계산에 드는 수고는 프톨레마이오스의 천동설과 그다지 다르지 않았고, 예측 정확도도 크게 오르지는 않았다. 지구의 위치가 이동한다면 그에 따라 별의 위치가 변한 것처럼 보이는 연주시차가 발생해야하는데, 당시의 관측 정밀도로는 그것을 관측할 수 없었던 것도 코페르니쿠스의 이론이 받아들여지지 않은 이유였다. 코페르니쿠스의 지동설을 계승하여 에라스무스 라인홀드가 『프로이센 항성목록』을 작성했지만, 주전원의 수를 프톨레마이오스의 천동설에서보다 늘려버려 계산을 복잡하게했다.