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이후 한국 전쟁의 참전을 결정하여 막대한 전비 때문에 신국가 건설이 잠시 지체되지만, 1953년부터 소련의 차관과 기술의 원조를 받아 소련을 본뜬 제1차 5개년 계획을 실시했다. 특히 농업 생산에서 커다란 진전을 보였고, 공업 발전을 위한 기초산업을 건설하였다. 결과에 고무된 마오는 제2차 5개년 계획을 발표하였고, 농업을 집단화하기 시작했다. 일종의 집단 농장이라고 할 수 있는 인민공사가 마을마다 구성되어 농민들은 여기에 수용되었다. 또한 공산 체제가 어느 정도 안정된 1956년에는 공산주의 사상과 언론의 자유를 보장하는 "백화제방·백가쟁명(百花齊放百家爭鳴)" 방침을 내놓았지만, 이후 사태가 자신의 권위를 위협하는 데에 이르자 돌연 방침을 180도 전환하여 1957년에는 당내 사상의 자유도 탄압하는 반우파운동을 전개하여 반체제 인사의 숙청에 나섰다.
마오는 제2차 5개년 계획을 시작하면서 수년안에 중국을 농업 국가에서 공업 국가로 탈바꿈시키고, 공업 국가의 지표라고 할 수 있는 철 생산량을 늘려 영국을 따라잡겠다는 대약진 운동을 개시하였다. 그러나 기술의 미비와 농업의 경시, 게다가 기후 이상으로 인한 나쁜 작황으로 말미암아 대기근이 일어나 수많은 사람이 아사하였다.
《리더스 다이제스트》에 따르면 1958년에 마오는 참새가 벼를 먹는모습을 보고 분노하였다. 참새를 가리키며 사람이 먹는 곡식을 새가 먹고있다니! “저 새는 해로운 새다.”라고 말했는데, 이 말 때문에 중국에는 참새잡이 광풍이 불어 1959년에는 제사해 운동으로 인해 중국 참새의 씨가 말랐다. 곤충을 먹이로 하는 참새가 없어지면서 각종 해충이 창궐하여 대흉년의 발생으로 4천만 명이 굶어죽었다. 1959년에 열린 루산 회의에서 국방부장을 맡고 있던 펑더화이가 대약진 운동을 전개한 마오를 비판하지만, 도리어 펑더화이 자신이 해임당하고 말았다. 대약진 운동의 실패로 아사자와 처형당한 수는 약 2천 500만 명을 헤아렸다. 1959년 대약진 운동에 대한 비난 여론이 확대될 조짐을 보이자 마오쩌둥은 국가주석직을 사임하였다. 그러나 마오의 뒤를 이어 국가주석에 취임한 류사오치는 대약진 운동을 강하게 비판하였고, 덩샤오핑과 함께 경제개혁을 주도하게 되었다.
마오는 배후에서 영향력을 행사하려 하였으나 류사오치는 친정 의사를 내비쳤고, 암암리에 영향력을 행사하려는 그와 수시로 갈등했다. 한편 스탈린의 뒤를 이어 집권한 니키타 흐루쇼프가 서방과의 관계를 개선하자, 마오는 이를 규탄하여 중소간의 관계에 균열이 일어나게 되었다. 그뿐만 아니라 1962년에는 티베트를 둘러싸고 인도공화국과 국경분쟁을 벌이기도 했다. 그리하여 미국뿐만 아니라 서방에서 안보적 위협이 증가하자 중국의 독자적 핵무기 개발을 실시하여 1964년 핵실험에 성공하였으며 조선민주주의인민공화국대표단에게 요동은 조선의 영토라고 인식했다. 마오쩌둥은 1965년 3월 베트남과 인도네시아 당대표 및 조선민주주의인민공화국의 최용건이 참석한 가운데 "아시아 지역 혁명에 대해 논의"에서 대한민국에서 무장 게릴라 봉기를 일으키라고 강요했다. 이에 대해서, 조선민주주의인민공화국의 김일성은 "남조선에는 해안이 많고, 산이 벌거벗었으며, 교통이 비교적 발달해 있는 데다 미군까지 주둔하고 있다"는 이유를 들어 반대하는 대신 "시간을 들여서 대중 속에 '비공연(非公然) 조직'을 만들어 대중 운동을 전개해야 한다. 이러한 투쟁이 아니고서는 소모일 뿐, 승리는 어렵다"는 의견이었다.
문화 대혁명.
류사오치와 덩샤오핑은 각각 국가주석과 당서기를 맡아 파멸적 결과를 초래한 대약진 운동의 뒷수습을 하면서 점점 마오를 제치고 실권자로 떠오르게 되었다. 이런 상황하에서 마오는 점점 이름뿐이고 상징적인 위치로 몰려갔다. 그러자 마오는 류사오치의 실각을 위한 공작을 계속 하는 한편, 1966년 문화 대혁명을 일으켜 다시한번 실권을 장악하려 시도하였다.
전국에서 마오를 맹목적으로 따르는 홍위병들이 일어났고, 이들은 "공산주의의 적"을 제거한다는 구실로 사회 원로와 종교인 등에게 무자비한 폭행과 조리돌림을 행했다. 이러한 혼란하에서 마오의 의도대로 류샤오치와 덩샤오핑은 실각하여 다시한번 마오는 권력의 전면에 나섰다. 대량의 학살과 인민재판, 숙청으로 지적 물적 자원을 손실했고, 만력제를 비롯한 명나라, 청나라의 황제 및 고관들의 능과 묘소는 파헤쳐졌다. 저우언라이나 류사오치 등은 혁명에 부정적이었으나 입장 표명이나 언급을 회피했다. 문화 대혁명 기간 중 약 2천~3천만 명 이상의 학살로 인한 인명피해를 초래했다. 문화 대혁명으로 반체제 인사와 야당 인사, 반마오쩌둥 인사를 제거한 그는 자신의 권력을 한층 강화하였고, 특히 류샤오치에 맞서 마오를 지지한 국방부장 린뱌오는 일약 마오의 후계자로 떠올랐다.
린뱌오의 쿠데타 음모.
린뱌오 등의 도움을 얻어 마오는 류샤오치의 실각음모를 꾸몄고, 1969년 류샤오치를 실각시키는데 성공한다. 이후 국가주석직은 일시적으로 공석이 되었고, 부주석 둥비우와 쑹칭링을 주석대행에 앉힌 뒤 사실상의 주석직 복귀와 다를 바 없는 실권을 행사한다. 그리고 류샤오치 제거에 공을 세운 린뱌오를 후계자로 승인한다.
린뱌오가 후계자 자리를 굳히는 듯했으나, 승계시기를 둘러싸고 린뱌오와 마오의 사이에 균열이 생겼고, 린뱌오는 빨리 정권을 넘겨주지 않는 마오에 불만을 품게 되었다. 린뱌오는 마오를 제거하고 정권을 잡기 위해 쿠데타 음모를 꾸몄고, (1971년) 마오는 남중국을 시찰하면서 돌연 린뱌오를 비난했다. 그러나 린의 음모는 실패로 끝났고, 린뱌오는 아들과 함께 소련으로 망명하던 중 비행기가 추락하여 사망하였다. 린뱌오의 쿠데타에 관한 상세한 정보는 현재에도 정치적으로 민감한 주제이기 때문에 상세히 밝혀지지 않고 있다.
4인방의 득세.
린뱌오가 사망한 이후, 노쇠한 마오를 대신하여 정치 실권은 혁명원로들을 제치고 장칭 등 사인방과 캉성이 장악하였고, 린뱌오와 공자를 비난하자는 "비림비공"(批林批孔) 운동을 전개하여 자신들의 권력을 공고히 하려고 하였다. 1970년 헌법 수정 초안을 채택하여 1인 체제를 확립하고 사실상의 중국의 최고지도자로 군림하였다. 그러나 마오는 이러한 와중에서 파킨슨병 또는 운동 뉴런 장애로 짐작되는 중병을 앓고 있었기 때문에 거의 활동을 못했고, 공식 업무는 후처 장칭이 사실상 업무를 대행하다시피 했다.
1971년부터 72년에는 저우언라이 정무원 총리를 중심으로 하여 문화대혁명의 가치관과 1966년 이전의 정치·경제 질서 사이에 일종의 절충이 시도되어 사회갈등의 조정을 노력했다. 미국의 헨리 키신저가 1971년 8월 비밀리에 베이징을 방문해서 저우언라이 총리와 회담을 가졌고, 그 결과 1972년 2월 21일 베이징을 방문한 리처드 닉슨 대통령과 마오쩌둥 간의 미․중 정상회담이 이뤄졌다. 냉전 기류의 해소에는 일부 기여하였으나 그 이상의 성과는 없었다. 1976년 1월 저우언라이의 사망 이전에 벌써 문화대혁명 가치관과 이전의 질서 간 절충, 조정 노력은 균열이 보였고, 저우언라이가 사망하면서 사회갈등 조정노력은 실패하였다. 마오는 전문기술의 중요성을 인정하였다. 그럼에도 불구하고 그것은 광란적인 당원과 야심가들의 정치적 수사(修辭)에 묻혀버리고 말았고, 외국에서 온 것은 모두 반혁명적인 것으로 간주되었다.
1차 천안문 시위와 사망.
1972년부터 병으로 고생하였다. 암살과 테러를 의심했던 그는 고층 건물에 오르는 것과 비행기 탑승을 주저하거나 꺼렸다고 한다. 와병 중이던 1976년 4월 4일 제1차 천안문 사태가 발생했다. 이는 대규모의 민중봉기였다. 4월 5일 분노한 시위대는 반란을 일으켜 건물과 관공서, 자동차 등에 방화를 하는 등 일대 소요가 야기되었다. 교통은 마비되었고, 플래카드에는 마오쩌둥의 부인 장칭을 비롯한 4인방과 측근인 야오원위안 등을 비판하는 구호와 시가 많이 게재되어 있었고, 뒤에는 마오쩌둥의 퇴진을 요구하는 내용까지 올라왔다. 이 사건은 공안당국과 군에 의해 반혁명사건으로 철저히 탄압되었으며, 마오쩌둥은 이를 덩샤오핑 당시 중국공산당 부주석 겸 국무원 부총리를 제거할 기회로 삼고 덩샤오핑에게 책임을 물어, 4월 7일 그의 모든 직무를 박탈함으로써 실각시켰다.
그러나 소요사태는 쉽게 수그러들지 않았고 마오쩌둥의 퇴진을 외치며 시위가 격화되며 사태가 확산되어 가던 중 그는 진압을 시도했으나 군은 움직여주지 않았고 그는 완전히 고립된 채 생을 마감하게 된다. 1976년 9월 9일 그는 베이징에서 죽었다. 사망 당시 그의 나이는 82세였다. 그의 유해는 자신의 시체를 매장하라는 유언과는 상당히 다르게, 화장하라는 자신의 희망에도 불구하고, 블라디미르 레닌과 마찬가지로 시신이 보존되어 베이징의 "마오주석기념관"에 안치되었다.
1981년 덩샤오핑이 정권을 잡은 후, 마오쩌둥의 문화 대혁명은 내란이었다고 공식 입장을 밝히고, 문화 대혁명 당시 학살과 소요사태의 책임을 마오쩌둥에게 있다고 규정했다. 그러나 마오쩌둥에게 숙청당할 위기에까지 몰렸던 덩샤오핑은 그에 대한 직접적인 비판은 자제하거나, 공은 공 과는 과 라고 선을 그었다. 중화인민공화국 건국 50주년인 1999년 10월 1일에 발행되기 시작한 중국 런민비 제5판 100위안, 50위안, 20위안, 10위안, 5위안, 1위안의 지폐 앞면의 인물에 모두 마오쩌둥이 나온다.
신민주주의론.
1940년 마오쩌둥은 당시 사회 성격에 근거하여 혁명의 임무를 밝혔다. “중국 사회는 이미 하나의 식민지이자 반식민지, 반봉건사회이며, 중국 혁명의 주요한 적은 제국주의와 봉건세력이다.” 마오쩌둥은 이 시기의 혁명의 대상은 자본주의와 사유재산이 아니라 제국주의와 봉건주의이며, 중국 혁명의 성격은 무산계급 사회주의가 아니라 자본계급 민주주의라고 보았다. 다만 일반적인 자산계급 민주주의 혁명이 아니라 신식의 특수한 혁명이다. “이런 혁명은 바로 중국과 모든 식민지, 반식민지 국가에서 발전하고 있는데, 우리는 이런 혁명을 신민주주의 혁명이라고 일컫는다”고 말한다.
마오쩌둥은 중국이 자본주의 구민주주의와 소련의 사회주의와 다른, 식민지, 반식민지 국가의 특정한 역사 시기에서 채택된 국가 형식으로 신민주주의 공화국의 과도기를 거쳐야 한다고 보았다. 중국의 사회 현실이 반(半)식민지, 반(半)봉건 사회였기 때문에 혁명의 임무는 마땅히 반(反)제국, 반(反)봉건이어야 한다. 혁명의 임무는 곧 혁명의 성격을 결정하기 때문에 중국 혁명은 신민주주의 혁명이어야 하는 것이다.
신민주주의 경제는 '자본을 제한하고 토지권을 고루 분배하는' 것을 기본 원칙으로 삼으며, 신민주주의 문화는 “무산계급이 영도하는 인민대중의 반제국, 반봉건 문화”를 가리킨다. 이 문화는 중화민족의 신문화이며 민족적, 과학적, 대중적 특징을 갖는다.
중국 사회 현실, 즉 객관적 실재에 근거한 혁명을 주장한 마오쩌둥은 중국공산당의 혁명노선을 도시에서 농촌으로 넓혀가는 것이 아니라 농촌에서 농민 혁명으로 시작해 도시로 확장하는 방식을 주장했다. 이는 당시 중국이 서구나 소련과 같은 도시 노동자들의 투쟁으로 혁명이 불가능하다고 판단했기 때문이다. 이러한 마오쩌둥의 혁명노선은 성공적이었고, 마르크스주의가 중국 혁명의 실천과 서로 결합하면서 자연스럽게 중국적 마르크스주의가 형성되었고, 그것이 곧 '마오주의'로 정립되었다.
마오쩌둥은 공산주의 혁명의 주체 세력을 농민으로 삼아 공산주의 전파 활동에 중점을 두었다. 산업노동자를 혁명의 원동력으로 본 레닌의 입장을 중국의 현실에 맞게 수정한 것이다. 실례로 그는 엉덩이가 없으면 사람이 서거나 앉을 수 없다고 할 정도로, 중국 공산당과 농민의 관계는 뗄 수 없다고 보았다.
그의 공산주의 이론과 군사이론은 각국의 혁명가들에게 커다란 영향을 주었다. 그리하여 20세기 후반에 호치민, 폴포트, 그리고 체 게바라와 같은 동남아나 중남미의 혁명가들은 그의 전략에 따라 농민을 혁명의 원동력으로 하는 농촌혁명과 게릴라전을 통해 궁극적으로 공산주의 혁명을 달성하려고 하였다.
마오쩌둥 이념의 주도하에, 개발도상국들에 공산주의 혁명을 지속적으로 수출하고자 계속 시도하였다. 마오는 해외에도 미얀마, 말레이시아, 태국, 필리핀 등지에 공산주의 노선을 지지하도록 하고 무기, 경제, 기술, 식량 지원 등을 하기도 하였으며 문화대혁명 때만 해도 《모주석어록》을 대량으로 해외로 영어나 스페인어 등으로까지 번역, 수출시켜 마오식 투쟁노선에 기반한 공산주의를 퍼트렸다.
마오쩌둥은 논란의 여지가 있는 인물로 남아 있으며 중국과 해외에서 그의 유산에 대해 거의 동의하지 않는다. 그는 20세기에 가장 중요하고 영향력 있는 인물 중 한 명으로 간주된다. 그는 또한 정치적 지성, 이론가, 군사 전략가, 시인 및 선구자로 알려져 있다. 그는 중국에서 제국주의를 몰아내고 중국을 통일하고 지난 수십 년간의 내전을 종식시킨 공로로 인정받고 찬사를 받았다.
그의 정책은 그의 27년 통치 기간 동안 중국에서 다른 20세기 지도자보다 많은 수천만 명의 사망자를 냈다. 그의 정권하에서 사망한 사람들의 수는 4천만에서 많게는 8천만에 이르는 것으로 추정되며, 기아, 박해, 감옥 노동 및 대량 처형을 통해 수행되었다. 이러한 결점에도 불구하고 그의 통치 기간 동안 기대수명, 교육 및 건강 관리가 향상되었고 그는 중국을 빠르게 산업화했다. 그러나 일부에서는 대약진운동과 프롤레타리아 문화대혁명과 같은 그의 정책이 산업화와 현대화를 방해한다고 주장했다. 그의 정책은 이후 중국이 경제 초강대국으로 부상하는 토대를 마련했으며, 그의 정책은 경제 발전을 지연시키고 중국 경제는 마오쩌둥의 정책이 널리 폐기된 후에야 급속한 성장을 이루었다는 주장도 있다. 그의 통치 아래 중국의 인구는 약 5억 5천만 명에서 9억 명 이상으로 증가했지만 정부는 가족 계획 정책을 엄격하게 시행하지 않아 덩샤오핑과 같은 후계자들이 인구 과잉에 대처하기 위해 엄격한 한 자녀 정책을 취하도록 이끌었다. 마오쩌둥의 혁명적 전술은 저항세력에 의해 계속 사용되고 있으며 그의 정치 이념은 전 세계의 많은 공산주의 조직에서 계속해서 수용되고 있다.
중국 본토에서 마오쩌둥은 많은 공산당 당원과 지지자들로부터 존경을 받고 있으며 많은 일반 대중에게 " 현대 중국의 건국의 아버지 "로 존경받고 있으며 "중국 인민에게 존엄과 자긍심을 심어준다"는 공로를 인정받고 있다. 그는 1949년 35세에서 1975년 63세로 늘렸고, 또한 대대적인 농지 개혁, 여성 지위 향상, 대중 문해력 향상, 긍정적으로 "인정을 초월한 중국 사회 변화"에 대해 높게 평가받는다. 마오쩌둥은 문맹 퇴치(1949년에는 인구의 20%만이 글을 읽을 수 있었음), 30년 후에는 65.5%가 글을 읽을 수 있게 했고, 기대 수명을 두 배로 늘리고, 인구를 거의 두 배로 늘리고, 중국의 산업과 기반 시설을 개발하여 세계 강국으로서의 지위를 확보했다.
마오쩌둥에게는 중국 비판자도 있다. 그에 대한 반대는 중국 본토에서 검열이나 전문적인 반향을 일으킬 수 있으며 인터넷과 같은 사적인 환경에서 종종 행해진다. 서양권에서의 그는 대약진운동의 죽음과 문화대혁명의 박해로 유명하다. 중국 시민들은 마오쩌둥의 실책을 알고 있지만 그럼에도 불구하고 많은 사람들은 마오쩌둥을 국가 영웅으로 여긴다. 그는 일본의 점령과 아편전쟁으로 거슬러 올라가는 서구 제국주의의 착취로부터 나라를 성공적으로 해방시킨 인물로 여겨진다. 2019년 연구에 따르면 마오쩌둥 시대에 대해 물었을 때 상당한 수의 중국 인구가 삶의 의미가 명확하고 사람들이 서로를 신뢰하고 도우며 불평등이 최소화된 순수함과 단순함의 세계를 묘사했다. 연구에 따르면 노인들은 과거에 대한 향수를 어느 정도 느끼고 부정적인 경험을 인정하면서도 마오쩌둥을 지지하는 것으로 나타났다.
마오쩌둥이 집권한 중국 공산당은 실제로 마오쩌둥의 이념의 상당 부분을 경제적 기초로 거부했지만, 마오쩌둥 통치 하에 수립된 많은 권력을 자체적으로 보유하고 있다. 따라서 중국 본토 내에서 중국 공산당과 마오쩌둥의 유산에 대한 진정한 지지의 정도를 측정하는 것은 어렵다. 한편, 중국 정부는 공식적으로 마오쩌둥을 국가 영웅으로 계속 간주하고 있다. 2008년 12월 25일 중국은 마오쩌둥 탄생 115주년을 맞아 그의 고향인 후난성에서 방문객들에게 마오쩌둥 광장을 개방했다.
마오쩌둥 사상은 제3세계의 많은 공산주의자들에게 영향을 미쳤다. 중국 자체는 마오주의에서 급격히 벗어났다. 1970년대 후반, 그리고 이후 중국 지도자들이 권력을 잡으면서, 마오의 지위에 대한 인식이 줄어들었다. 이는 마오쩌둥의 100번째 생일을 기념하는 수많은 행사와 세미나를 개최했던 이전 해에 비해 마오쩌둥에 대한 국가 인지도의 하락을 수반했다. 그럼에도 불구하고, 중국 정부는 공식적으로 마오쩌둥의 전략을 거부한 적이 없다. 마오쩌둥의 군사적인 글들은 폭동을 일으키려는 사람들과 폭동을 진압하려는 사람들, 특히 마오쩌둥은 대중적으로 천재로 여겨지는 게릴라전의 방식으로 큰 영향력을 계속 가지고 있다.
마오쩌둥의 시와 글은 중국인과 비중국인 모두에게 자주 인용된다. 버락 오바마 대통령의 취임 연설의 공식 중국어 번역본은 마오쩌둥의 시 중 한 구절을 사용했다. 1990년대 중반, 마오쩌둥의 사진이 중화인민공화국의 모든 새로운 인민폐 화폐에 등장하기 시작했다. 이것은 마오쩌둥의 얼굴이 오래된 화폐로 나타나는 일반적인 인물들과 대조적으로 널리 인식되고 있기 때문에 공식적으로 위조 방지 조치로 제정되었다.
, 소련의 이오시프 스탈린 서기장은 김일성을 조선민주주의인민공화국의 수반으로 낙점한다. 6.25 전쟁 기간 중 그는 김일성의 견제세력으로 박헌영과도 연결을 시도했는데, 박헌영을 김일성의 대안으로도 고려했다. 1953년부터 1955년 8월 종파 사건으로 조선민주주의인민공화국의 남조선로동당원들이 대규모 감금, 체포, 처형당했을 때 그는 조선민주주의인민공화국 외무성을 통해 압력을 넣어 박헌영의 구명운동을 펴기도 했다. 그러나 이는 김일성의 박헌영 처형 의지를 촉진시키는 결과를 초래했다.
전쟁 중 국군과 유엔군의 총공세가 시작되자 김일성은 조선인민군의 손실을 최소화하려고 중공군과의 상의도 없이 멋대로 인민군을 후퇴시켜 결국 중공군은 유엔군의 기습으로 막대한 인명피해와 보급 손실을 받았다.
앨범()은 영어 단어로서 기본적으로 "모음집"이라는 의미를 지녔다. 이것이 실제 적용되는 단어는 다음이 있다.
수학과 컴퓨터 과학에서 바닥 함수()는 각 실수 이하의 최대 정수를 구하는 함수이다. 천장 함수(天障函數, )는 각 실수 이상의 최소 정수를 구하는 함수이다. 바닥 함수는 내림 함수 · 버림 함수 · 최대 정수 함수(最大整數函數, )라고도 하며, 천장 함수는 올림 함수 · 최소 정수 함수(最小整數函數, )라고도 한다.
바닥 함수.
바닥 함수 formula_1는 다음과 같다.
즉, 실수 formula_3의 바닥 함수 값은 formula_3와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다.
천장 함수.
마찬가지로, 천장 함수 formula_12는 다음과 같다.
즉, 실수 formula_3의 천장 함수 값은 formula_3와 같거나 그보다 큰 정수 가운데 가장 작은 하나이다. 예를 들어, 다음과 같다.
분수 부분 함수.
분수 부분 함수(分數部分函數, ) formula_22는 다음과 같다.
바닥 함수와 천장 함수를 통해 실수 부등식과 동치인 정수 부등식을 얻을 수 있다. 즉, 임의의 formula_37 및 formula_38에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.
마찬가지로, formula_41 및 formula_3에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.
바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수의 합성은 다음과 같다. 특히, 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수는 모두 멱등 함수이다.
임의의 formula_37 및 formula_38에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 특히, 분수 부분 함수는 양의 최소 주기가 1인 주기 함수이다.
임의의 formula_76 (formula_77) 및 formula_38에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
임의의 formula_82 및 formula_83에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
합 공식.
임의의 formula_82 및 formula_38에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이를 에르미트 항등식이라고 한다.
특히, formula_90 (formula_91)인 경우 다음과 같다.
특히, formula_93인 경우 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.
임의의 formula_95 및 formula_38에 대하여, 다음이 성립한다.
즉, 이러한 합 공식은 formula_98의 순서와 무관하다. 특히, formula_99인 경우 합이 다음과 같이 주어진다.
특히, formula_98이 서로소인 경우 (즉, formula_102인 경우) 다음과 같다.
바닥 함수와 천장 함수는 주기 함수가 아니므로, 이들의 푸리에 급수는 균등 수렴하지 않는다. 바닥 함수와 천장 함수는 조각마다 일차 함수이며, 분수 부분 함수는 조각마다 상수 함수이다. 이 셋의 불연속점 집합은 모두 정수 집합이다.
정수 부분·분수 부분.
실수 formula_3의 정수 부분은 formula_9이며, 분수 부분은 formula_28이다. 분수 부분은 소수 부분이라 하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같다.
컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 분수 부분을 조금 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 변형된 정수 부분 함수와 분수 부분 함수가 쓰인다.
내림·올림.
실수 formula_3를 정수로 내림한 값은 formula_9이며, 정수로 올림한 값은 formula_20이다. 컴퓨터 과학에서는 변형된 내림·올림이 쓰이기도 한다. 즉, 실수 formula_3를 정수로 내림(올림)한 값을 formula_116로 정의한다.
반올림.
실수 formula_3를 정수로 반올림한 값은 formula_118이다. 예를 들어, 다음과 같다.
컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 formula_121이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은 formula_122이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 formula_123이다. 또한, 최근 정수 함수(最近整數函數, )라고 불리는 다음과 같은 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다.
나머지 있는 나눗셈.
두 정수 formula_76 (formula_126)의 나머지 있는 나눗셈의 결과를 바닥 함수를 통해 나타낼 수 있다. 즉, 몫은
이며, 나머지는
자릿수.
formula_129진법에서 정수 formula_41의 자릿수는
계승의 소인수 분해.
양의 정수 formula_41 및 소수 formula_133에 대하여, formula_134인 최대 formula_135는
이다. 이를 르장드르 공식이라고 한다.
1808년에 카를 프리드리히 가우스는 이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 formula_10를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다. 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》("A Programming Language")라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 formula_138와 formula_139로 나타낼 때까지 표준 형태였다. 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다.
수학에서, 가우스 함수(-函數, )는 다음과 같은 형태의 함수이다.formula_1여기서 , , 는 실수인 상수이고 는 0이 아니다. 이 함수는 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +/-의 극한을 향하면서는 급격히 감소하는 특성을 가진다. 매개변수 는 곡선의 꼭대기 높이가 되며, 는 꼭대기의 중심의 위치가 된다. 는 표준 편차로서 "종"의 너비를 결정한다.
가우스 함수는 기댓값이 이고 분산이 인 정규 분포의 확률 밀도 함수를 나타낼 때 주로 사용된다. 이 경우 가우스 함수는formula_2와 같은 형태가 된다.
가우스 함수는 통계학에서의 정규 분포나 신호 처리, 이미지 처리, 열 방정식의 해 등 여러 경우에 사용된다.
이차 함수와 지수 함수를 합성한 함수
는 가우스 함수이다. 여기서 formula_4, formula_5, formula_6이다. 따라서 가우스 함수는 로그를 취했을 때 아래로 볼록인 이차함수가 되는 함수이다.
매개변수 는 함수의 반치전폭(FWHM)을 결정하며 formula_7이다. 반치전폭 가 주어졌을 때 가우스 함수는
로 나타낼 수 있다. 함수의 최댓값의 1/10이 되는 두 독립변수들의 차이인 FWTM은 다음과 같다. formula_9
한편 가우스 함수는 에서 두 변곡점을 가진다. 또 가우스 함수는 해석 함수이며, 일 때 극한은 0으로 수렴한다.
가우스 함수는 초등함수이지만 그 부정적분은 초등함수로 나타내는 것이 불가능하며, 가우스 함수의 적분을 오차 함수라고 한다. 실직선 전체에서 가우스 함수의 이상 적분의 값은 아래와 같이 계산된다.
일반적인 경우에 대해서는 아래와 같다.
formula_12일 때 가우스 함수의 이상 적분 값은 1이 된다. 이 경우 가우스 함수는 기댓값이 이고 분산이 인 정규 분포의 확률 밀도 함수가 되며, 식은 아래와 같다.
위의 그래프에는 각 , 에 대해 정규화된 가우스 함수가 나타나 있다.
두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 합성곱도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.
반투어군(, 반투조어: *bantʊ̀)은 사하라 이남 아프리카 일대에 걸쳐 반투족에 속하는 사람들에 의해 사용되는 거대한 언어군이다. 아프리카의 중부부터 남부까지의 대부분 지역에 분포하며, 가장 화자 수가 많은 언어는 스와힐리어이다. 언어와 방언 사이의 미묘한 구분에 따라 다르나 대체로 500개가 넘는 수의 언어가 속하는 것으로 집계되며 전체 화자 수는 3억 이상이다. 현대에는 크게 니제르콩고어족에 속한다는 사실이 밝혀져 있다.
'사람들'을 의미하는 단어 '반투(bantu)'를 공유하는 데서 유래했다. 엄밀하게 말해 반투어군은 일부 반투제어군(Bantoid)의 언어들을 포함하는 '광의의 반투어군'와는 대조되는 '협의의 반투어군'이다.
반투어군의 조어인 반투조어(Proto-Bantu)는 니제르콩고어족 계통의 언어로서 대략 카메룬 지역에 있었던 것으로 추정된다. 현대의 주류설에 의하면, 약 2~3000년 전부터 동남부로의 대량 이주가 시작되어 토착 언어는 대부분 사라지고 현재와 같이 사하라 이남의 넓은 지역에서 반투어 계통의 언어가 쓰이게 되었는데 이 역사적 과정을 반투족 팽창(Bantu expansion)이라고 한다. 반투 팽창에는 농업의 확산이 동반되었고, 북방의 쿠시어파 또는 나일사하라어족 관련 민족의 영향으로 유목이 받아들여지기도 했다. 현재 동·남아프리카 일부 지역에서 사용되는 코이산 제어를 비롯한 여러 작은 언어들은 반투 팽창 이전에 존재하던 토착언어가 살아남은 경우로 추정된다.
반투어군에 속하는 언어들은 상당히 많고 다양하다. 따라서 일반적으로 알파벳과 숫자를 조합하여 지리적으로 구분하는 거스리의 반투어군 분류를 이용한다.
반투어군의 언어가 주로 사용되는 지역은 나이지리아 남부부터 시작해 중앙아프리카 공화국, 콩고민주공화국, 우간다, 케냐, 소말리아 남부까지 이른다. 반투어군에 속하는 언어들을 사용하는 국가들은 가봉. 나미비아. 나이지리아, 남아프리카 공화국, 레소토, 르완다, 마다가스카르, 마요트. 말라위, 모잠비크, 보츠와나. 부룬디, 소말리아, 수단, 스와질랜드, 앙골라, 우간다, 잠비아, 적도기니, 중앙아프리카 공화국, 짐바브웨, 카메룬, 케냐, 코모로, 콩고공화국, 콩고민주공화국, 탄자니아다.
언어 구조.
반투어군 언어들의 가장 큰 문법적 특징은 다양한 접사를 사용한다는 점이다. 각 명사는 하나의 명사 부류(유럽어의 성 개념, 한국어와 중국어 등의 분류사와 유사)에 속하며, 부류의 수는 언어마다 다르다. 부류는 명사에 붙은 접두사로 표시되며, 명사의 수식어와 절의 동사에 붙는 일치 표지로도 드러난다. 각 부류의 복수는 별도의 부류로 취급되므로, 복수형은 부류 접사를 바꿔서 표시한다. 동사에는 여러 접두사가 붙으며, 서부 언어들에서는 아예 별도의 단어로 취급되기도 한다.
반투어군 언어에서 단어는 주로 CV(자음-모음) 형식의 개음절로 이루어지는데, 언어에 따라 개음절만 허용되기도 한다. 스와힐리어를 비롯한 일부 예외를 제외하면 반투어군 언어들은 대부분 성조 언어이고, 언어에 따라 2~4개의 평탄성조가 있다.
대부분의 반투어군은 5개(, , , , ) 또는 7개(, , , , , , )의 모음으로 이루어져있다.
명사 부류.
모스 굳기계()는 독일 광물학자인 프리드리히 모스가 1812년에 제안한 굳기의 상대적인 기준이다. 광물의 긁힘 저항성을 1에서 10까지의 정성적 서열 척도로 나타내는 방식이다. 단단한 물질이 더 부드러운 물질을 긁을 수 있다는 원리를 바탕으로 광물의 경도를 비교한다.
이 척도는 독일의 지질학자이자 광물학자인 프리드리히 모스가 1812년에 제안하였으며, 그의 저서 《광물의 자연사적 분류 및 인식에 대한 기초적 방법 시도(Versuch einer Elementar-Methode zur naturhistorischen Bestimmung und Erkennung der Fossilien)》에서 처음 소개되었다. 모스 경도 척도는 재료과학에서 경도를 정의하는 여러 방법 중 하나이며, 다른 방법들에 비해 정량적인 특성이 낮다.
경도를 비교하는 방법은 고대부터 사용되어 왔다. 기원전 300년경 테오프라스토스가 저서 《돌에 관하여》에서 이를 언급하였으며, 기원후 77년경 플리니우스가 《자연사(Naturalis Historia)》에서 이를 계승하였다. 모스 경도 척도는 야외에서 광물을 식별하는 데 유용하지만, 정성적 지표이기 때문에 산업 환경에서 재료가 얼마나 잘 견디는지를 정확하게 예측하는 척도로는 적절하지 않다.
모스는 주위에서 쉽게 얻을 수 있는 열 가지 광물들을 서로 긁어서 어느 쪽이 흠집이 나는지 관찰하여 굳기를 상대적인 10가지 순서로 나누었다. 이를 모스 굳기계()라 하며, 이 지표를 통해 특정 암석물질의 굳기가 대략 어느 정도 되는지 측정할 수 있다. 예를 들어 굳기 5의 인회석(燐灰石, apatite)과 서로 긁어서 흠집이 생긴 어떤 물질 A를 굳기 4의 형석(螢石, fluorite)과 긁었다고 하자. 이때 형석에 흠집이 났다면 물질 A의 굳기는 4와 5의 중간이라고 말할 수 있을 것이다. 한편, 가장 단단하다고 잘 알려져 있었던 자연 광물인 금강석(金剛石, diamond)은 가장 강한 굳기인 10도이다.
모스 굳기는 어떤 특정한 광물로 다른 광물을 긁었을 때 긁히는가 긁히지 않는가로 결정되며, 1부터 10까지의 숫자로 표시된다. 굳기의 기준이 되는 열 개의 광물은 다이아몬드(굳기 10)를 빼고 모두 쉽게 구할 수 있는 광물로 정한 것이다. 예를 들어 어떤 광물이 인회석(굳기 5)으로는 긁히지만 형석(굳기 4)으로는 긁히지 않는다면 이 광물의 굳기는 4.5라고 할 수 있다.
상대적인 굳기.
모스 굳기계는 단순히 상대적인 측정값이다. 모스 굳기계에서 경도 9도인 강옥(鋼玉, corundum)은 경도 8도의 황옥(黃玉, topaz)에 비해 두 배 정도 단단하지만 경도 10도인 금강석은 강옥보다 거의 4배 가까이 단단하다. 즉, 모스 굳기계에서 각 도수 사이에 절대적인 관계가 있어서 4도가 3도보다 정확히 몇 배 단단하다거나 하는 것은 아니라는 말이다. 아래의 표에는 상대적인 굳기의 순서, 각 광물의 사진과 함께 광물용 경도계(硬度計)로 측정한 절대적인 굳기값이 함께 나타나 있다.
이 모스 굳기계의 지표로 연필심, 즉 흑연은 약 1도의 굳기를 나타낸다. 그리고 손톱은 2.5도 정도, 동전은 약 3~3.5, 쇠못은 4.5, 유리는 5.5, 칼날은 5.5~6.5, 쇠줄은 6.5 정도의 굳기이다. 이처럼 모스 굳기계를 통해서 다른 물질들의 굳기 순서도 간단히 어림잡을 수 있다.
중간 굳기의 대용품.
경도(經度, )는 지구 또는 다른 행성이나 항성 등의 천체에서 동-서를 나타내기 위한 지리 좌표계이다. 기호로는 일반적으로 λ가 사용된다.
자전하는 천체에서 자전축이 지나는 지표면을 각각 북극과 남극으로 정의할 수 있다. 이 두 극점을 잇는 최단거리 선분이 자오선이다. 좌표계의 구성을 위해서는 기준이 필요하기 때문에 표면의 어느 한 지점을 지나는 곳을 본초 자오선으로 정한다. 이를 기준으로 동쪽으로 0 - 180°까지가 동경이고, 서쪽으로 0 - 180°는 서경이 된다.
지구의 경우 본초 자오선을 어디로 할 것인지는 역사적으로 많은 경쟁이 있었지만, 오늘날 세계가 공통으로 사용하는 것은 영국의 그리니치 천문대를 지나는 그리니치 자오선이다. 동경과 서경은 각각 180°에서 서로 만난다. 날짜변경선은 여기를 중심으로 그어져 있다. 한편 달과 같은 지구 밖 천체의 지리 좌표계 구성은 임의의 한 지점을 선택할 수 밖에 없다. 달의 경우 지구에서 관찰할 때 정중앙에 있는 지점을 본초 자오선으로 선택하여 월면좌표계를 만들었다.
경도가 정해지면 표준시를 정할 수 있다. 지구는 24시간에 한 번 자전하기 때문에 본초 자오선에 태양이 남중하여 정오가 될 때, 동경 15°는 이 보다 한 시간 빠른 오후 1시이고 서경 15°는 이 보다 한시간 늦은 오전 11시가 된다. 이를 이용한 그리니치 평균시는 오랫 동안 국제 표준 시각이었다. 거꾸로 정밀한 시계를 이용하면 관측 지점의 경도를 구할 수 있다. 해상시계는 마땅한 지형지물이 없는 먼 바다에서 경도를 구하기 위해 고안된 것이다. GPS가 없던 시절 모든 원양 항해 선박은 자신의 위치를 해상시계를 통해 확인하였으며, 오늘날에도 GPS 장치 고장과 같은 사태에 대비한 예비품으로 구비하고 있다. 선박에 장착된 기게식 또는 전자식 해상시계는 오차가 발생할 수 밖에 없기 때문에 주기적으로 교정이 필요하다. 오늘날에는 전파 신호를 통해 자동으로 교정된다.
지구의 자전이 미세하게나마 불규칙적이라는 사실이 알려진 오늘날, 지구의 자전을 기준으로 하던 기존의 시간 단위는 폐기되었고 바닥상태에서 세슘원자가 발생시키는 전자기복사 주파수를 기준으로 재정의하였다. 이에 따라 국제 표준 시각도 그리니치 평균시가 아닌 협정세계시를 사용한다. GPS는 협정세계시를 측정하는 원자시계를 이용하여 경도를 계산한다.
한편 위도는 적도면과 관측하는 위치의 자오선과 만나는 지표면의 법선 사이의 각도로 정의된다. 이에 따라 동일한 경도를 갖는 지점은 남북으로 늘어서게 되는 반면, 동일한 위도를 갖는 지점은 동서로 늘어서게 된다. 지구 위의 한 지점을 나타내기 위해서는 위도와 경도 그리고 높이의 세 좌표가 필요하지만, 실제 사용에서는 위도와 경도 만으로도 한 지점의 위치를 정확히 표시할 수 있다.
고대 그리스의 학자들은 지구가 둥글다는 사실을 알고 있었다. 지역에 따라 하지의 그림자 각도가 다르다는 사실을 이용하여 지구의 둘레를 측정하기도 하였던 기원전 2세기의 히파르코스는 오늘날과 같은 360°의 경선을 고안하였다. 그가 고안한 경도의 본초 자오선은 알렉산드리아를 통과하는 것이었다. 히파르코스는 월식이 시작하는 시각이 지역마다 다르단 것을 확인하고 본초 자오선이 지나는 세계시와 관측지점의 지방시를 구분하기도 하였다.
기원후 2세기의 프톨레마이오스는 구형인 지구를 평면에 옮기는 지도의 제작에서 필연적으로 발생하는 왜곡을 줄이기 위해 위선을 곡선으로 표현한 지도를 제작하였다. 프톨레마이오스의 세계 지도는 모든 경도를 양수로 표현하기 위해 당시 지중해 인근에서 알려진 가장 서쪽에 해당하는 카나리아 제도를 통과하는 자오선을 본초 자오선으로 삼았다. 이렇게 만들어진 프톨레마이오스의 지도는 지중해를 비교적 정확히 묘사하고 있지만 실제에 비해 약 70% 정도 과대 평가되어 있다.
서로마 제국의 붕괴 이후 유럽에서는 지리학에 대한 관심이 크게 줄었다. 그 사이 이슬람 세계와 인도의 천문학자들은 고대의 지식을 계승하고 새로운 발전을 계속하였다. 예를 들어, 바타니는 안티오키아와 락까에서 동시에 관측된 월식을 이용하여 두 도시 사이의 경도 차이를 1° 미만의 오차로 결정하였다. 당시 기술로는 가장 정확한 관측 결과였다. 바타니는 성반을 이용하여 별을 관측하고 관측지점의 시각을 결정하기도 하였다. 별의 위치에 따른 시간 관측은 항해에서 자신의 위치를 확인하는 방법으로 활용되었다. 이슬람의 천문학은 원나라와 명나라를 거쳐 한국에도 전해졌고 조선 세종은 이를 활용하여 독자적인 천문서인 《칠정산내편》을 제작하였다.
십진기수법이나 아라비아 숫자와 같은 것들이 이슬람 세계에서 유럽으로 수입된 것과 같이 지리학 역시 마그레브 지역을 통해 서유럽으로 수입되었다. 12세기 무렵 알자르칼리는 당시 이슬람의 알안달루스였던 오늘날 스페인의 톨레도에서 천문표를 작성하였고, 이는 이후 여러 유럽 도시의 천문표 작성의 기초가 되었다. 1178년 9월 12일 일어난 월식의 시간 차이를 이용하여 톨레도, 마르세유, 헤리퍼드 사이의 경도 차이가 계산되었다.
크리스토퍼 콜럼버스는 대서양 횡단 두 번째 항해 중이던 1494년 9월 14일 오늘날 도미니카 공화국의 사오나섬에서 월식을 이용하여 경도를 계산하여 서경 13°로 추정하였고, 네 번째 항해 중인 1504년 2월 29일 자메이카에서 월식을 관측하고 서경 38°로 추정하였으나 둘 다 실제와는 매우 큰 차이가 있다. 콜럼버스는 대서양의 크기를 실제보다 작게 생각하였고 평생동안 자신이 상륙한 지점이 인도의 서쪽 어딘가일 것이라 생각하였다. 이 때문에 카리브해 지역의 섬들은 아직도 종종 서인도 제도라고 불린다. 랜들스는 1985년 대항해시대가 한창이던 1514년에서 1627년 사이 아메리카와 아시아를 항해하며 포르투갈과 스페인이 수행한 경도 측정 값을 분석하고 이들이 정확하게는 2°정도의 오차를 보였지만 부정확한 것은 25°까지도 차이를 보인다고 분석하였다.
17세기 초 등장한 망원경은 천문학뿐만 아니라 위치의 측정과 지도 제작에도 유용하게 사용되었다. 1657년 크리스티안 하위헌스가 진자시계 특허를 낸 이후 기계식 시계 장치는 점차 정확성을 높였다. 망원경과 시계는 둘 다 천문학과 지도 제작에 커다란 역할을 하였다.
원양 항해가 일상화 되면서 경도 측정 문제는 항해 안전에 매우 중요한 문제가 되었다. 예를 들어 클로디슬리 셔블이 지휘하던 잉글랜드 해군은 지브롤터 해협에서 프랑스 해군과 맞서 승리하고 런던으로 귀환하던 1707년 10월 22일 안개가 자욱한 렌드스엔드를 통과하다 경도를 잘못 계산하는 바람에 암초에 좌초하여 2천 명 이상이 목숨을 잃었다.
스페인과 잉글랜드는 항해 중 정확한 경도 측정을 할 수 있는 방법을 찾는 이에게 막대한 현상금을 걸었다. 많은 천문학자, 공학자, 수학자 등이 갖가지 방법을 동원하여 이 문제를 해결하고자 하였으나 너무나 큰 오차가 나거나 장치가 거대하여 실용성이 없었다. 이 문제는 존 해리슨이 정밀한 기계식 해상시계를 발명할 때까지 해결되지 않았다.
본초 자오선.
정확한 시계가 있다면 경도를 계산할 수 있다는 것에 착안 한 사람 가운데 갈릴레오 갈릴레이가 있다 그는 목성의 갈릴레오 위성이 주기적으로 운동한다는 사실에 착안하여 시계로 삼을 수 있음을 제안하였다. 갈릴레오의 이러한 아이디어를 실제 지도 제작에 이용한 사람은 조반니 도메니코 카시니로 파리 천문대의 소장으로 있으면서 목성을 이용한 경도 계산으로 프랑스의 지도를 제작하였다. 그가 사용한 본초 자오선은 파리 자오선이었다. 경도와 달리 위도의 경우 태양의 남중 고도를 통해 쉽게 결정할 수 있으며, 지리 좌표계에서 경도와 위도를 측정하면 관측지점의 위치를 특정할 수 있게 된다. 이렇게 정해진 두 위치의 거리를 알면 나머지 부분은 삼각측량법을 사용하여 지도를 제작할 수 있다.
따라서 지도의 제작에서 본초 자오선을 어디로 정할 것인지는 매우 중요한 문제이고, 유럽 여러 나라에서 자존심을 걸고 경쟁하였다. 19세기까지도 프랑스는 파리 자오선을 포기하지 않았다. 오늘날 기준인 영국의 그리니치 자오선이 본초 자오선으로 인정된 것은 1884년의 일이다.
해상시계.
1714년 잉글랜드 의회는 경도법을 제정하고 경도 측정 문제 해결에 막대한 상금을 걸었다. 경도법 제정을 위한 청문회에 증인으로 참석한 아이작 뉴턴은 당시 75세의 고령이었으나 그 때까지 제시된 모든 방법이 실용성 없음을 입증하였다. 잉글랜드 의회는 0.5°이내의 오차로 경도를 측정할 경우 2만 파운드, 1° 이내일 경우 1만 파운드의 상금을 걸었다. 오늘날 가치로 환산하면 몇백만 파운드에 해당하는 막대한 금액이다. 많은 사람들이 갖가지 방법을 동원하였으나 실패한 가운데 별다른 학문적 배경이 없던 시계공 존 헤리슨은 합금을 사용하여 습도와 온도를 보정하는 방법으로 매우 정밀한 기계식 시계를 제작하였다. 그의 네번째 모델인 H4는 1761년 11월 18일 런던을 출발하여 자메이카까지 왕복하여 1762년 3월 27일 귀환하는 147일 간의 항해에서 1분 54.5초의 오차를 보여 잉글랜드 의회가 제시한 가장 높은 수준의 경도 측정을 만족하였다. H4의 오차는 자메이카에 도달한 시점을 기준으로 약 0.25°이다.
존 헤리슨의 성공 이후 기계식 해상시계는 표준적인 경도 측정 기구로 사용되었고 각국이 저마다 보다 정밀하면서도 저렴한 시계 제작을 위해 애썼다. 기계식 정밀 시계는 20세기에 들어서면 손목시계의 형태로 대량생산되어 보급된다. 그러나 기계식 시계는 모두 어느 정도의 오차를 보일 수 밖에 없었기 때문에 오랜 기간 항해하는 선박의 해상시계를 보정하는 문제가 대두되었다. 처음에는 선박이 항구에 정박하면 그곳의 표준시와 비교하여 교정하였으나 2차 세계 대전 무렵이 되면 라디오 시보를 이용하여 교정할 수 있게 되었다.
경도의 측정은 기본적으로 본초 자오선의 세계 표준시와 관측 지점의 지방시를 비교하는 것이다. 세부적으로는 다양한 오차 보정 방법이 존재하지만 지자기를 이용하는 자기 편차 방법 외에는 기본적으로 모두 같다. 과거에는 태양이 남쪽 하늘에 남중하는 것을 지방시 측정의 기준으로 삼았다. 항해하는 배가 태양의 남중을 관측하여 지방시가 정오 임을 확인하였을 때 해상시계의 시간이 오전 11시 이면 이 배의 위치는 동경 15°가 된다. 야간이라면 달의 남중을 이용할 수 있지만, 이 경우 달 궤도의 편차를 계산하여야 한다.
경도는 동경과 서경 각각 0 - 180°의 값을 갖는다. 그러나 남극과 북극은 경도를 측정할 수 없는 특이점이다. 모든 자오선이 모이는 곳이기 때문이다.
경도의 값은 동시에 본초 자오선을 기준으로 한 지방시를 나타내는 시간의 기준이 되지만, 역사적, 정치적, 사회적 문제로 실제 시간 기준선은 경도와 일치하지 않는다. 예를 들어 대한민국이 사용하는 UTC+9은 동경 135°를 기준으로 하지만 이 선은 한반도를 지나지 않고 도쿄를 지난다.
경도 1°의 길이.
자오선의 간격은 적도로 갈수록 넓어지고 극지방으로 갈수록 좁아진다. 위도 를 지나는 위도면 a 에서 경도 1°의 길이는 다음의 수식으로 구할 수 있다.
특정 위도에서 경도 1°의 길이는 아래의 표와 같다.
위도(緯度, )는 지구상에서 적도를 기준으로 북쪽 또는 남쪽으로 얼마나 떨어져 있는지 나타내는 위치이며, 흔히 그리스 문자 φ로 쓴다. 위도의 단위는 도(°)이며, 위도 0°는 적도이다. 북극점을 나타내는 90° N(북위 90도)부터 남극점을 나타내는 90° S(남위 90도)까지의 범위 안에 있다. 위도에는 지리 위도, 천문 위도, 지심 위도 등이 있다.
지리 위도는 지구 상의 어느 지점에서 지표면에 대해 수직선을 세웠을 때 이 수직선이 적도면과 이루는 각도이다. 지구는 회전 타원체이므로 지표면에 대한 수직선이 반드시 지구 중심을 지난다고 할 수 없다.
천문 위도는 지구 자전축과 지구 상의 한지점에서의 중력 방향(연직선)이 만나는 각도의 여각을 나타낸다. 흔히 적도면과 연직선 방향(지오이드 법선)이 만드는 각도라고 정의한다. 천문 위도와 측지위도는 연직선 편차때문에 값이 약간 다르다.
대한민국 국토.
대한민국의 위도는 33°(마라도)~ 43°(온성군), 경도는 124°11(마안도) ~131°52(독도)에 걸쳐 있다.
물범과(; ) 또는 바다표범과는 기각상과에 속하는 과로, 물범, 바다표범, 물곰(문화어) 등으로 통칭한다. ‘물범’은 특히 점박이물범을 가리키기도 한다.
전 세계적으로 2-5만 마리가 살고 있으며 털은 흰바탕에 작은 무늬가 많으며 배는 짙은 색깔을 띤다. 몸길이는 150-200cm이고, 몸무게는 120-150kg이다. 수명은 9~12년이며, 돌출된 귀가 없는 것이 특징이다. 암수가 비슷하나 수컷이 조금 크다. 극지방과 온대의 바다에 걸쳐 분포한다. 몸은 유선형이고 머리는 둥글다. 앞발은 앞쪽을, 뒷발은 뒤쪽을 향하고 있는데, 마치 사람이 손발을 늘어뜨린 모양으로, 육상에서는 걷지 못하고 배를 땅에 대고 기어다닌다. 네 개의 발은 털로 덮여 있고 발톱이 잘 발달되어 있다. 앞발은 첫째 발가락이 제일 길고 다섯째 발가락으로 갈수록 짧아진다. 뒷발은 첫째와 다섯째 발가락이 길고 가운데의 세 발가락은 짧다. 헤엄을 칠 때는 좌우의 발바닥을 서로 합쳐서 마치 물고기의 꼬리지느러미와 같은 운동을 하여 움직인다. 이빨은 날카로워서 먹이를 잘라 먹는 데 적합하다. 바다뱀 종류를 주식으로 먹으며, 불가사리, 고둥 등 해양 연체동물도 잘 먹는다.
바다에 떠다니는 빙산이나 극지방의 얼음판 위, 해안가의 바위지대에 무리를 지어 살며, 종에 따라서 몸집과 무게에 큰 차가 난다. 바다뱀을 즐겨 먹으며 종류에 따라 식성에 약간의 차이가 있다. 번식기에는 수컷끼리 암컷을 차지하려고 싸운다. 임신기간은 대략 15-17개월인데, 교미를 한 후 바로 착상이 일어나지 않으므로 실제의 임신기간은 이보다 짧다. 태어난 지 4-5년이면 성숙한다. 2-4월 무렵에 몸 색깔이 하얀 새끼를 한 마리를 낳아 어른 암수와 새끼 한 마리가 가족 무리를 이룬다. 어미가 젖을 먹여 새끼를 키우는데 젖꼭지의 수는 2-4개이다. 북극해에 분포하며, 한류가 흐르는 방향에 따라 분포하는 그룹, 열대지방에 분포하는 그룹, 대서양에만 분포하는 그룹 등 세 그룹으로 나뉜다. 전 세계에 약 19종이 알려져 있다.
대한민국 근해에 있는 바다표범은 오염과 먹이가 되는 물고기의 남획으로 생존을 위협받고 있다. 대한민국에서는 주로 백령도 근해에서 번식하는데 1996년 약 70마리로 이루어진 무리가 관찰되었다. 대개 100여 마리가 무리를 이루고 살며 대한민국에서는 천연기념물 제331호로 지정하여 보호하고 있다.
일본 에어 커뮤터(, )는 일본의 항공회사로 일본항공이 이 지분의 60%를, 가고시마현의 지방자치단체들이 지분의 40%를 소유하고 있으며 일본 서부 특히 규슈, 시코쿠, 류큐 제도를 중심으로 항공 서비스를 운용하고 있다.
법률 드라마는 법률, 범죄사건 혹은 재판과정등 법률과 관련된 내용을 소재로 한 창작물을 말한다. 최근 들어 TV 드라마, 영화등으로 많이 제작되고 있으며 미국에서 많이 제작되고 있다. 대륙법을 따르는 한국과 달리 영미법을 따르는 미국에선 법정에서 피고와 원고간의 공방이 재판과정에 매우 중요하므로 이 과정이 드라마의 단골소재로 쓰이고 있다.
대표적인 법률 영화로는 어 퓨 굿 맨, 드라마로는 러브 스토리 인 하버드, 보스턴 리걸 등이 있다. 법률 드라마를 소개하는 책으로는 로스쿨의 영화들이 있다.
첫 번째는 서로 다른 계통 간의 교배로 태어난 동물이나 식물을 뜻한다. 같은 속에 속하는 다른 종 사이의 잡종을 종간잡종이라 하고, 같은 종 내의 다른 아종 사이의 잡종을 종내잡종이라고 한다. 서로 다른 속 사이의 잡종이나 드물긴 하지만 서로 다른 과 사이의 잡종도 발견된다. 두 번째는 동일 종 내에서 서로 다른 품종이나 재배종 사이의 교잡종을 말한다. 생김새가 상당히 다른 동물들 끼리도 교배가 되는 것은 공통조상에서 진화하였음을 보여주는 진화의 생생한 증거로 간주된다.
종은 유전적 및 형태학적 차이, 번식력의 차이, 짝짓기 행동 및 단서, 정자 세포 또는 발달 중인 배아의 생리학적 거부를 포함하는 혼성화에 대한 강력한 장벽에 의해 생식적으로 격리된다. 일부는 수정 전에 행동하고 다른 일부는 수정 후에 행동한다. 개화 시기, 꽃가루 매개체, 꽃가루관 성장 억제, 체세포 불임, 세포질 생성 웅성 불임 및 염색체 구조의 차이 등 식물에도 유사한 장벽이 존재한다. 그러나 일부 동물종과 많은 식물종은 잡종 종분화의 결과이며, 염색체 수가 두 배로 늘어난 밀과 같은 중요한 작물을 포함한다.
환경에 대한 인간의 영향으로 인해 지역 종 간의 이종 교배가 증가했으며, 전 세계적으로 도입된 종의 확산으로 인해 교배도 증가했다. 이러한 유전적 혼합은 많은 종의 멸종을 위협할 수 있으며, 작물의 단일 재배로 인한 유전적 침식은 미래 번식을 위한 많은 종의 유전자 풀을 손상시킬 수 있다. 종종 의도적인 인간 매개 잡종화의 한 형태는 야생종과 가축종의 교배이다. 이는 전통적인 원예와 현대 농업 모두에서 흔히 발생한다. 상업적으로 유용한 많은 과일, 꽃, 정원 허브 및 나무가 교배를 통해 생산되었다. 그러한 꽃 중 하나인 큰달맞이꽃(Oenothera lamarckiana)은 돌연변이와 배수성에 대한 초기 유전학 연구의 중심이었다. 또한 가축 및 애완동물 거래에서 더 자주 발생한다. 일부 잘 알려진 야생×국내 잡종으로는 비팔로와 울프독이 있다. 인간이 가축화된 동식물을 선택적으로 육종함으로써 독특한 품종이 개발되었다.
선사 시대에도 잡종(혼혈)이 존재했다. 예를 들어, 네안데르탈인과 해부학적 현생인류는 최근 40,000년 전에 상호교배된 것으로 생각된다.
신화적 잡종은 미노타우로스, 동물, 인간, 켄타우로스와 스핑크스와 같은 신화 속 짐승의 혼합, 그리고 타락한 천사의 사악한 아들과 매력적인 여성으로 묘사되는 성경 외경의 네피림과 같은 다양한 형태로 인간 문화에 나타난다.