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분수가 나타낸 수는 소수, 백분율, 과학적 기수법과 같은 다른 방법으로도 나타낼 수 있다. 예를 들어, 분수 은 육진 소수 0.43, 십진 소수 0.75, 또는 백분율 75% 또는 과학적 기수법 7.5 × 10-1로 나타낼 수도 있다. 분수는 분자가 분모에서 차지하는 비율을 나타낼 뿐 아니라, 분자와 분모의 비나 분자를 분모로 나눈 몫을 나타내기도 한다. 예를 들어, 은 3과 4의 비 3 : 4(3 대 4)나, 3을 4로 나눈 몫 3 ÷ 4(3 나누기 4)를 나타낼 수 있다. 분수는 분자의 절댓값이 분모의 절댓값보다 작은 진분수와 그렇지 않은 가분수로 분류될 수 있으며, 분자가 1인 단위 분수, 분모가 2의 거듭제곱인 이진 분수와 같은 분수의 특별한 유형도 사용된다. 가분수는 정수 부분을 따로 분리하여 대분수 꼴로도 나타낼 수 있다. 또한, 모든 분수는 연분수 및 이집트 분수 꼴로 나타낼 수 있다. 분수를 다루는 데에는 약분, 통분의 기법이 사용되며, 분수는 다른 수와 마찬가지로 사칙 연산 등의 연산이 가능하다. 분자와 분모가 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다. 와 같이 분수로 나타낼 수 없는 수 또한 존재한다. 유리수가 수의 성질에 따른 분류라면, 분수는 단지 수에 대한 표기법이다.
분자와 분모가 정수가 아닌 분수 역시 생각할 수 있다. 이 경우, 분수가 나타내는 수는 더 이상 유리수가 아니다. 예를 들어, 분자와 분모를 다항식으로 두면 분수는 유리 함수가 되며, 분자와 분모를 대수적 정수로 두면 분수는 대수적 유리수가 된다. 추상대수학에서 이들은 정역의 분수체로 일반화된다.
이 분수는 , 로 볼 수 있다.
분자가 정수 formula_1, 분모가 0이 아닌 정수 formula_2인 분수는 formula_3 또는 formula_4로 표기하며, 'formula_2분의 formula_1'로 읽는다. 이는 비 formula_7 또는 몫 formula_8으로 해석될 수 있다.
분수의 예에는 , - = = , , = = 등이 있다.
특히, 분자가 formula_9인 경우, formula_10은 단순히 0이다. 또한, 분모가 formula_11인 경우, formula_12는 단순히 정수이다. 즉, 정수는 분수의 특수한 경우라고 생각할 수 있다. 분모가 0인 경우는 정의되지 않는다. 이는 0으로 나누기를 정의할 수 없기 때문이다.
분자가 1인 분수 formula_13를 단위 분수라고 한다. 예를 들어, 는 단위 분수다. 분모가 2의 거듭제곱인 분수 formula_14를 이진 분수라고 한다. 예를 들어, 는 이진 분수다.
진분수와 가분수.
분자와 분모가 양의 정수일 때, 만약 분자가 분모보다 작다면 진분수(眞分數, , )라고 한다. 예를 들어, , , 은 진분수다. 만약 분자가 분모보다 크거나 같다면 가분수(假分數, ) 또는 거꿀분수(-分數)라고 한다. 예를 들어, , , 은 가분수다.
보다 일반적으로, 분자와 분모가 정수일 때, 진분수는 절댓값이 1보다 작은 분수다. 즉, -1 이상, 1 이하의 분수다. 반대로 가분수는 절댓값이 1보다 크거나 같은 분수다. 즉, -1 이하이거나 1 이상인 분수다. 예를 들어, -는 진분수, -는 가분수다.
대분수.
대분수(帶分數, , ) 또는 혼분수(混分數)는 정수와 진분수의 합을 나타내는 분수다. 정수 부분과 분수 부분 사이의 덧셈 기호 '+'는 생략된다. 예를 들어, 정수 부분이 3, 분수 부분이 인 대분수는 3 + 대신 과 같이 표기한다. 또한, 음의 대분수 -은 을 뜻한다.
대분수의 표기법 formula_15는 곱셈 기호가 생략된 곱셈과 혼동될 수 있다. 이러한 혼동을 막기 위해 대분수를 formula_16와 같이 표기하고, formula_1와 formula_18의 곱을 formula_19와 같이 표기할 수 있다.
가분수를 대분수로 바꿔 나타내려면, 나머지 있는 나눗셈을 사용하여, 가분수의 분자를 분모로 나눈 몫과 나머지를 위한 뒤, 몫을 정수 부분, 나머지를 분자, 원래의 분모를 새로운 분모로 취하면 된다. 예를 들어, 가분수 은 분자 11을 분모 4로 나눈 몫이 2, 나머지가 3이므로, 이 가분수는 대분수 과 같다.
번분수.
번분수(繁分數, ) 또는 겹분수(-分數) 또는 복분수(複分數)는 분자와 분모가 분수 또는 대분수인 분수다. 이는 두 분수를 포함하는 수식의 나눗셈과 같다. 예를 들어, 다음은 모두 번분수다.
번분수를 보통의 분수 꼴로 바꿔 나타내려면, 분수의 나눗셈을 사용하면 된다. 예를 들어, 위의 번분수들의 경우 다음과 같다.
번분수의 분수 막대의 우선 순위가 불분명하다면, 이는 무의미한 수식이 된다. 예를 들어, 5/10/20/40은 다음 두 의미 가운데 하나로 해석될 수 있으므로 무의미하다.
번분수()는 '의 ' 또는 '의 의 '와 같은 분수를 일컫기도 한다. 이는 분수의 곱셈을 통해 다음과 같이 일반적인 분수로 나타낼 수 있다.
분자와 분모가 정수인 분수를 단분수(單分數, ) 또는 홑분수(-分數)라고 불러 번분수와 구별하기도 한다. 하지만 번분수가 분수의 나눗셈 또는 곱셈과 다를 바 없으므로 이러한 구별은 부적절하다고 여겨진다.
유한 연분수.
연분수는 양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 번갈아 가며 반복하여 얻는 분수다. 예를 들어, 다음과 같은 수식은 유한 연분수다.
유한 연분수는 번분수의 일종이므로, 분수로 전환할 수 있다. 예를 들어, 위 유한 연분수의 분수 꼴을 계산하면 다음과 같다.
모든 분수는 유한 연분수 꼴로 나타낼 수 있으며, 그 방법은 유일하다. 유한 연분수를 분수 꼴로 바꾸는 과정을 반대로 진행하면 된다. 그 예는 다음과 같다.
이집트 분수.
이집트 분수는 유한 개의 서로 다른 양의 분모를 갖는 단위 분수의 합을 나타내는 수식이다. 예를 들어 + 는 이집트 분수다. 모든 분수는 이집트 분수로 나타낼 수 있지만, 그 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 의 이집트 분수 표현의 예는 다음과 같다.
이집트인은 을 제외한 분수들을 이러한 꼴로 나타내어 사용하였지만, 이집트인이 연분수 표현을 구하는 데 사용한 방법은 알려지지 않았다. 오늘날에는 이집트 분수 표현을 구하는 다양한 알고리즘이 존재한다.
분수는 정수가 그러한 것처럼 서로 더하거나 빼거나, 곱하거나 나눌 수 있다. 또한, 분수의 산술은 교환 법칙과 결합 법칙과 분배 법칙을 만족시킨다.
등식과 약분과 통분.
분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수를 곱하면, 분수의 값이 변하지 않는다. 예를 들어, 분수 는 동시에 2를 곱하여 얻는 와 같으며, 동시에 3을 곱하여 얻는 과도 같다. 직관적인 관점에서, 전체를 2등분하여 1조각을 취하는 것과 4등분하여 2조각을 취하는 것과 6등분하여 3조각을 취하는 것은 당연히 같다. 또한, 분수의 곱셈을 생각하면, 분자와 분모에 동시에 formula_31을 곱하는 것은 그 분수에 formula_32을 곱하는 것과 같으므로, 원래의 분수를 결과로 한다.
반대로, 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수로 나눠도 분수의 값은 변하지 않는다. 이에 따라, 분자와 분모가 동시에 같은 0이 아닌 정수의 배수라면, 동시에 그 정수로 나눠 분자와 분모를 더 작게 만들 수 있다. 이를 약분(約分, )이라고 한다. 두 분수가 같을 필요충분조건은 하나를 약분하여 다른 하나를 얻을 수 있는 것이다. 예를 들어, 은 분자와 분모를 동시에 2로 나눠 로 약분할 수 있으며, 다시 6으로 나눠 로 약분할 수 있다.
분자와 분모가 서로소인 분수, 즉 분자와 분모의 양의 공약수가 1뿐인 분수를 기약분수라고 한다. 예를 들어, 는 3과 9가 공약수 3을 가지므로 기약 분수가 아니며, 으로 약분될 수 있다. 그러나 의 경우 3과 8의 양의 공약수가 1뿐이므로 기약 분수이며, 이는 더 작은 분자와 분모를 갖는 분수로 약분될 수 없다. 특히 모든 단위 분수는 기약 분수이다. 분수를 기약 분수 꼴로 약분하려면, 분자와 분모를 동시에 이 둘의 최대 공약수로 나누면 된다. 예를 들어, 의 경우 36과 60의 최대 공약수가 12이므로, 12를 나눠 약분한 결과 는 기약 분수이다. 최대 공약수를 구하는 방법에는 단제법과 소인수 분해와 유클리드 호제법이 있다.
분모가 다른 두 분수를 분모가 같은 두 분수로 만드는 것을 통분(通分)이라고 한다. 이 원래의 분자와 분모의 곱을 새로운 공통의 분모로 취할 수 있으며, 원래의 분자와 분모의 최소 공배수를 취할 수도 있다. 예를 들어, 분수 와 의 경우, 의 분자와 분모에 동시에 12를 곱해 을 얻고, 의 분자와 분모에 동시에 8을 곱해 을 만들면 96 = 8 × 12을 공통 분모로 하는 통분이 완성된다. 또한, 8과 12의 최소 공배수 24를 공통 분모로 하여 통분하면 와 를 얻는다. 최소 공배수를 구하는 방법에는 단제법과 소인수 분해가 있으며, 두 수의 곱을 최대 공약수로 나눈 몫과 같기도 하다. 통분은 분수의 크기 비교 및 덧셈과 뺄셈에서 응용된다.
분모가 거듭제곱근을 포함할 경우 분자와 분모에 적당한 상수를 곱하여 이를 제거할 수 있다. 이러한 기법을 분모의 유리화라고 한다. 예를 들어, 분수 formula_36의 분모를 유리화하면 formula_37를 얻으며, 분수 formula_38의 분모를 유리화하면 formula_39를 얻는다.
부등식.
두 분수의 분모가 같을 경우, 만약 양수라면, 분자가 더 큰 쪽이 분수가 더 크다. 예를 들어, 다음과 같다.
만약 음수라면, 분자와 분모에 동시에 -1을 곱하면 분모가 양수가 되므로, 위의 방법에 따라 크기를 비교할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
두 분수의 분모가 다를 경우, 통분하여 분모를 같게 만든 뒤 크기를 비교하면 된다. 예를 들어, 다음과 같다.
두 분수의 분모가 같을 경우, 분모가 변하지 않은 채 분자만 서로 더하면 된다. 예를 들어, 다음과 같다.
두 분수의 분모가 다를 경우, 통분하여 분모가 같도록 만든 뒤 더하면 된다. 예를 들어, 두 분모의 곱을 공통 분모로 취하는 경우 다음과 같다.
뺄셈.
덧셈과 마찬가지로, 분수의 뺄셈은 분모가 같으면 분자끼리만 빼며, 분모가 다를 경우 우선 통분한다. 예를 들어, 다음과 같다.
두 분수의 곱셈에서는 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다. 예를 들어, 다음과 같다.
이는 다음과 같이 해석된다. 우선 단위 분수 와 을 생각하자. 의 90배는 1이므로, 의 15배의 6배 역시 1이다. 즉, 의 15배는 6배 해서 1이 되는 수 과 같으며, 은 15배 해서 이 되는 수 × 과 같다. 이제 곱 × 을 생각하자. = 이므로, × = 이다. 마지막으로, × 는 × 의 5배, 즉 의 5배, 즉 이다. 이를 약분하면 를 얻는다.
분수의 곱셈에서는 약분을 미리 할 수도 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
세 분수의 곱셈 역시 생각할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
나눗셈.
분수의 나눗셈은 분수의 곱셈의 역연산이다. 분수 formula_3를 분수 formula_57로 나눈 몫은, formula_57만큼의 양을 새로운 전체 1로 생각하였을 때, formula_3만큼의 양이 이 새로운 전체의 몇분의 몇인지를 구하는 것과 같다. 정수의 나눗셈과 마찬가지로, 분수의 나눗셈에서 나누는 수 formula_57는 0이 아니어야 한다. 즉, 그 분자 formula_61는 0이 아니어야 한다.
두 분수 와 의 나눗셈은 나누는수 의 분자와 분모를 뒤바꿔 역수 를 취한 뒤, 다시 서로 곱한다. 즉, 다음과 같다.
이는 다음과 같이 해석된다. 분수의 나눗셈의 몫을 구하는 과정은 방정식 "x" = 의 해를 구하는 과정과 같다. 이 방정식의 좌변과 우변에 각각 를 곱하면 × "x" = × 가 되며, 좌변의 두 분수의 곱셈의 결과는 1이므로 "x" = × 이다.
두 분수의 나눗셈을 기호로 표현하면 다음과 같다. 분모 formula_63는 0이 아니며 추가로 나누는수의 분자 formula_61가 0이 아님에 주의하자.
소수와 분수.
분수와 소수는 실수의 두 가지 표기법이며, 이 두 표기법은 서로 대치 가능하다. 분수를 소수로 바꾸는 방법은 분자를 분모로 나누는 세로식 나눗셈을 통한다. 만약 언젠가 '나머지'가 0이 된다면, 소수 자리의 수는 유한하다. 즉, 유한 소수를 얻는다. 예를 들어, 분수 의 소수 표기는 유한 소수 0.25이다. 만약 언제나 '나머지'가 0이 아니라면, 무한 소수를 얻으며, '나머지'는 0부터 9까지의 10개의 숫자 사이에서 취하므로, 열 번 이상 나머지를 구하면 서로 같은 나머지의 쌍이 적어도 하나 나오므로, 소수는 순환 마디를 가진다. 즉, 순환소수를 얻는다. 예를 들어, 의 소수 표기는 순환 소수 0.333...이며, 순환 마디는 3이다.
유한 소수를 분수로 나타내려면, 1 뒤에 소수 자리의 수만큼 0을 붙여 분모를 만든 뒤, 소수 부분을 (소수점을 제외한 채) 통째로 분자로 옮겨 적으면 된다. 예를 들어, 0.25 = = 이다.
순순환소수(소수 첫째 자리부터 순환 마디가 시작되는 순환 소수)를 분수로 나타내려면, 9를 순환 마디의 자리의 수만큼 적어 분모를 만든 뒤, 순환 마디를 분자로 취하면 된다. 예를 들어, 0.333... = = 이며, 0.626262... = 이다. 이에 대한 엄밀하지 않은 증명은 다음과 같다.
혼순환소수(순순환 소수가 아닌 순환 소수)를 분수로 나타내려면, 먼저 1 뒤에 정수와 순환 마디가 나오기 이전까지의 소수 자리의 수만큼 0을 붙인 수를 곱하여, 정수와 순순환 소수의 합으로 만든 뒤, 이를 분수로 나타낸다. 마지막으로 곱하였던 수를 다시 나눠 얻은 결과를 분수로 나타내면 된다. 예를 들어, 다음과 같다.
대수적 수.
분자와 분모를 대수적 정수로 취하면, 분수는 대수적 수가 된다. 예를 들어, formula_68와 formula_69는 대수적 정수이므로, formula_70은 대수적 수이다.
유리 함수.
분자와 분모를 다항식으로 취하면, 분수는 유리 함수가 된다. 예를 들어, formula_71은 유리 함수이다.
분수체.
분수의 개념을 정역까지 일반화하면 분수체의 개념을 얻는다. 어떤 정역의 분수체의 원소는 정역의 두 원소의 형식적인 몫이며, 이들에게 보통의 분수와 유사한 사칙 연산을 주어 체를 이루게 할 수 있다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체, 대수적 정수환의 분수체는 대수적 수체, 다항식환의 분수체는 유리 함수체이다.
메카() 또는 마카(Makkah Al Mukarrammah)는 과거에 히자즈로 알려졌던 사우디아라비아의 도시로 메카주의 주도이다. 사우디아라비아에서 인구가 3번째로 많은 도시이며, 홍해 연안의 항구 도시 지다에서 70 km 정도 내륙인 북위 21도 29분, 동경 39도 45분에 위치해 있으며 해발 277미터이고, 2012년 기준 인구는 약 2백만명이다.
메디나와 더불어 이슬람 역사에서 빼놓을 수 없는 도시다. 여행을 감당할 수 있는 모든 무슬림은 일생에 한 번 이상 메카 순례를 떠나는 것이 의무이다. 메카의 순례 행사는 이슬람력 마지막 달인 두알히자(, 순례의 달)에 시작되며, 이 순례 행사에 참여하는 것을 하즈, 참례자를 하지라고 한다. 이슬람의 다섯 기둥에 하즈가 들어있기 때문에 메카는 늘 순례자로 붐빌 수밖에 없는 곳이다. 이 때문에 메카라는 말은 단순히 도시의 지명을 넘어서, 어떤 집단의 아주 중요한 장소를 가리키는 대명사가 되었다. 1980년대 사우디아라비아 정부는 공식 표기를 "메카"에서 "마카"로 변경했는데, 이는 중요한 장소를 가리키는 비유적 표현인 "메카"와 이슬람 성지를 구별해 사용해 달라는 취지다.
메카는 무함마드의 출생지이다. 무함마드는 메카에서 3.2 km 정도 떨어진 히라 동굴에서 쿠란에 대한 첫 계시를 받았다고 한다. 이슬람 세계에서 메카는 가장 성스러운 도시이다.
메카의 옛 이름은 바카였다. 바카의 어원은 정확하지는 않으나 카바와 관련이 있다고 여겨진다. 이슬람 세계의 확장과 함께 메카는 “모든 도시들의 어머니”로 불리게 되었다.
메카는 사우디아라비아 메카주의 주도로, 시정은 중앙정부에 의해 임명되는 시장과 14명의 지방의회 의원들에 의해 운영된다. 시장은 시의회의 수장을 겸한다. 현재 시장은 2007년 임명된 사우드 왕가의 왕자 칼리드 이븐 파이살 알 사우드이다.
이슬람 전승에서는 이스마엘의 정착이 메카의 시초라고 한다. 기원전 60년에서 기원전 30년 무렵의 역사를 기록한 고대 그리스의 역사가 디오도로스 시켈로스는 당시에 이미 카바를 신성한 곳으로 여기고 숭배하는 풍습이 있었다고 기록하고 있다. 고대 사마리아인들은 메카가 이스마엘의 장남 느바욧에 의해 세워졌다고 여겼다.
5세기 무렵 메카는 여러 다신교 문화에서 중요한 장소였고 특히 쿠라이시 부족은 후발을 숭배하는 장소로 카바를 이용하였다. 후발 숭배는 7세기까지 지속되었다.
5세기까지 쿠라부시 부족의 무대였던 메카는 점차 중요한 무역로가 되었고, 특히 6세기 무렵 향신료 무역이 성장하자 무역로를 지배하려는 여러 세력의 각축장이 되었다. 비잔티움 제국은 홍해 무역로가 해적들로 인해 더 이상 안전하지 않게 되자 육상 무역로를 확보하려 하였고, 사산 제국 역시 페르시아만을 통해 들어온 물자를 이송할 육로를 확보하고자 하였다. 로마-페르시아 전쟁 중에도 메카는 페트라, 팔미라와 함께 중요한 무역 거점이었다.
570년 메카에서 무함마드가 태어났다. 이슬람 전승에 따르면 무함마드는 610년 메카 인근의 자발 알노우르(, 빛의 산)에 있는 히라 동굴에서 대천사 가브리엘로부터 첫 계시를 받았다고 한다. 이후, 무함마드는 다신교도들에 맞서 이슬람을 전파하다 박해를 받았고 622년 메디나로 옮겼다. 이후로도 무슬림과 다신교 사이의 분쟁이 계속되었고, 결국 이슬람이 몇 차례의 전투에서 승리한 뒤 메카는 이슬람을 받아들이게 되었다.
마지막 정통 칼리파였던 알리 이븐 아비 탈리브가 사망한 뒤 이슬람 세계는 순니파와 시아파로 분열되었다. 이후 메카 지역은 우마이야 왕조(661년 ~ 750년), 아바스 왕조(750년 ~ 1258년), 아이유브 왕조(1171년 ~ 1341년), 맘루크 왕조(1250년 - 1517년), 오스만 제국(1299년 - 1922년) 등의 지배를 받았다. 제1차 세계 대전 중에 아라비아 반도의 여러 부족들이 영국과 함께 오스만 제국을 아라비아 반도에서 축출하였고, 이후 한 동안 영국의 보호령이 되었다.
1924년 메카 전투에서 사우드 왕가가 주변 다른 부족들을 물리치고 메카를 점령하여 사우디아라비아의 영토로 병합하였다. 사우디아라비아는 여러 차례에 걸쳐 메카에서 개발 사업을 벌였고, 카바 사원을 크게 개축하였다. 1985년 무렵엔 메카의 건물 가운데 95%가 새로 지은 것이었다.
순례.
무슬림들에게 메카 순례는 이슬람의 다섯 기둥 가운데 하나로 의무이다. ‘하즈'라 불리는 이 순례는 이슬람력 ‘둘 히자’월에 이루어지며, 매년 300만 명 정도가 참가한다. 연중의 다른 달에 이루어지는 순례는 ‘움라’라고 불린다. 비무슬림은 원칙적으로 메카와 메디나에 들어가는 것이 금지되어 있기 때문에 비무슬림으로서 메카 내의 의식을 본 사람은 극히 적다.
메카의 중심은 카바로, 아브라함과 이스마엘이 주춧돌을 놓았다고 하는 정육방면체 건물이다. 카바는 금이 새겨진 검은 천으로 덮여 있다. 순례자는 카바를 7번 도는 사이를 행한다. 이후 잠잠 우물에서 물을 마시며, 잠잠의 물을 떠가지 않는 무슬림은 드물다.
무슬림들에게 메카의 중요성은 아주 대단해서, 지구상 어디에 있든지 모든 무슬림은 북위 21도 25분 24초, 동위 39도 49분 34초에 위치한 메카의 카바 방향으로 하루에 다섯 번 예배를 드린다. 이 기도의 방향은 키블라로 불린다.
메카는 홍해 연안에서 약 80 km 들어간 내륙에 위치해 있으며 고도는 해발 227 m이다. 메카는 산으로 둘러쌓인 분지로 주변에 알타네엠 계곡, 바카 계곡, 아브카르 계곡과 같은 계곡들이 있다.
메카는 사막 기후에 속한다. 사우디아라비아의 다른 도시들과 달리 겨울에도 기온이 높으며, 비는 겨울에 조금 내릴 뿐이다.
부싯돌(), 수석(燧石)은 단단한 규질의 미정질 퇴적암으로 석영의 하나다. 부시로 쳐서 불을 일으키는 데 쓴다.
표면에서는 지방광택을 관찰할 수 있다. 플린트는 어두운 회색, 파란색, 검은색, 갈색 등을 나타내며, 보통 석회암이나 백운암 안에서 노듈모양이나 괴상으로 나타난다. 플린트는 처트와 마찬가지로 물에 녹아있는 이산화규소 성분이 침전되거나, 해면의 스피큘조직이나 규질 플랑크톤(다이아툼)의 사체가 암석화되어 생긴다.
플린트는 석기시대부터 석기를 만드는 데에 일반적으로 사용되어 선사시대에는 칼·창·화살촉 등을 만들었다. 플린트는 힘을 받아 깨어질 때 얇고 날카로운 조각으로 깨지기 때문이다. 금속과 부딪히면 불꽃이 생긴다는 사실을 발견한 뒤에는 금속기 시대가 된 이후에도 18세기까지 플린트는 불을 얻는 데 필수적인 자원으로 사용되어왔다. 또한 13세기부터는 특히 영국에서 돌벽을 쌓는 데도 광범위하게 이용되어 오고 있다.
유럽에서는 도구를 만드는 데 가장 좋은 품질의 플린트가 벨기에, 영국 해협의 해안, 파리 분지, 발틱해 뤼겐섬의 센노니안 퇴적물, 폴란드 크라쿠프 지방의 쥐라기 퇴적층에서 생산되었다.
이슬람의 다섯 기둥(Five Pillars of Islam, )은 수니파의 가장 기본적인 다섯 의례(실천; دين, dīn)를 가리키는 말이다. 반드시 지켜야 할 의무이며, 이슬람 삶의 근본이다. 이슬람은 믿음(إيمان, īmān)과 실천 (دين, dīn)으로 이루어진다. 이것들은 유명한 가브리엘의 하디트로 요약된다. 페티시가 있다.
수니에서 다섯 기둥(Arkan-al-Islam)은 샤리아(이슬람법)에 근거하며 무슬림들에게 있어 가장 중요한 의무이다. 시아에는 '종교의 뿌리'(Usul-ad-Deen)로 알려진 다섯 가지 믿음과 '종교의 가지(Furoo-ad-Deen)'로 알려진 열 가지 의례가 있는데, 이 열 가지는 수니의 "이슬람의 기둥"과 유사한 것이다.
레오폴트 크로네커(, , 1823년 12월 7일 ~ 1891년 12월 29일)는 독일의 수학자이며 논리학자이다.
1823년 12월 7일 당시 프로이센에 속했던 레그니차의 부유한 유대인 가정에서 태어났다. 아버지 이지도어 크로네커()와 어머니 요하나 프라우스니처()는 아이들의 교육을 장려하였고, 개인 교사를 고용하였다. 레오폴트 크로네커의 동생 후고 크로네커(, 1839 ~ 1914)는 이후 유명한 생리학자가 되었다. 이후 크로네커는 레그니차 김나지움에 입학하였다. 당시 레그니차 김나지움 교사였던 에른스트 쿠머는 크로네커의 재능을 알아보고, 수학을 공부할 것을 권유하였다.
1841년에 베를린 훔볼트 대학교에 입학하였으나 처음에는 천문학과 철학을 공부하였다. 1843년 여름에는 본 대학교에서 천문학을 공부하였으나, 1843년~1844년까지 스승 쿠머를 따라서 브로츠와프 대학교에서 천문학을 공부하였다. 다시 베를린으로 돌아와 페터 구스타프 르죈 디리클레 아래에서 수학을 공부하였고 수체의 대수적 정수환의 가역원에 대한 박사 학위 논문을 집필하여 1845년에 박사 학위를 수여받았다.
농경 및 학계로의 복귀.
박사 학위를 취득한 뒤 크로네커는 학계를 떠나 외삼촌이 경영하는 큰 농지를 관리하였다. 외삼촌은 원래 은행가였는데, 은행업으로 번 돈을 농지에 투자하였다. 이후 몇 년 동안 크로네커는 농업에 집중하였고, 수학 연구를 하지 않았다. 1848년에는 외사촌 파니 프라우스니처()와 결혼하였다. 농업으로 크로네커는 부를 축척하였고 취미로 수학을 연구할 수 있을 만큼 여유가 생겼다. 1853년에 갈루아 이론에 대한 논문으로 다시 수학계에 되돌아왔다.
페터 구스타프 르죈 디리클레 및 카를 바이어슈트라스와의 인맥을 통해 크로네커는 베를린 상류층과 교류하였고, 1861년에는 베를린 아카데미의 회원으로 선출되었다. 이에 따라 크로네커는 베를린 훔볼트 대학교에서 강연을 하였으나, 교수직은 갖지 않았다. 1866년에 베른하르트 리만이 사망하자, 괴팅겐 대학교 수학 교수로 초빙받았으나 거절하였다. 1883년에 에른스트 쿠머가 베를린 훔볼트 대학교에서 은퇴하자 쿠머를 이어 교수가 되었다.
크로네커는 위의 유명한 수학 격언을 남겼을 정도로 정수론을 통한 수의 산술화에 절대적인 믿음을 갖고 있었다. 이러한 철학적 신념 때문에 크로네커는 다른 많은 수학자들과 대립하였고, 이 때문에 크로네커는 한때 절친한 친구였던 카를 바이어슈트라스와 멀어졌다. 바이어슈트라스는 한때 이 때문에 다른 대학교로 옮길 뻔한 적도 있었다. 또한, 게오르크 칸토어의 기수와 순서수의 이론은 크로네커의 철학에 정면으로 대립되었으므로, 크로네커와 칸토어는 격렬히 수학적으로 대립하였다.
1891년에 아내 파니가 사망하였고, 크로네커는 유대교에서 크리스트교로 개종하였다. 같은 해 12월 29일에 사망하였다.
크로네커는 여러 학회의 회원으로 선출된 이력이 있다.
율리우스 빌헬름 리하르트 데데킨트(, , 1831년 10월 6일 ~ 1916년 2월 12일)는 독일 태생의 수학자이다. 해석학과 대수적 수론의 기초를 놓은 중요한 수학자의 한 사람이다.
카를 테오도어 빌헬름 바이어슈트라스(, ;, 1815년 10월 31일 ~ 1897년 2월 19일)는 독일의 수학자이다. 엡실론-델타 논법, 고른 수렴의 개념을 고안했으며 미적분학의 기초를 견고히 하고, 일변수 복소함수, 로그함수의 멱급수에 대한 이론을 정비하였고 극한의 개념을 엄밀하게 정의하는등의 업적을 남겼다.
해석학의 수론화로 알려진 방법으로 직관에만 기대지 않고 엄밀한 해석적 표현을 하려고 했다. 또한 급수가 수렴하는지 알아내는 방법을 개발했으며, 주기함수·실변수함수·타원함수·변분법이론 등의 발전에 이바지했다.
파더본의 김나지움(고등학교)을 졸업하고 본 대학교에서 공무원이 되기 위해 1834년부터 1838년까지 법학과 회계학을 공부하지만 졸업장을 따지 못한 채 대학을 나와 뮌스터에서 아버지가 주선해 준 교사 자격 과정을 거쳐 김나지움의 선생으로 일한다. 뮌스터에서 바이어슈트라스는 크리스토프 구데르만에게 타원 함수에 대한 수업을 듣고 큰 흥미를 가졌다. 이후 연구가 수학계에 알려지자 베를린 대학교의 교수 자리로 초청을 받았다.
1850년 이후 병으로 고생했지만 그때 발표한 논문은 그에게 엄청난 부와 명예를 가져다 주었다. 1857년에는 베를린 대학교의 수학 학장이 된다. 그는 사망하기 전 3년 동안 움직일 수 없었으며 베를린에서 폐렴으로 죽었다.
오타루시()는 일본 홋카이도 서부 시리베시 종합진흥국 관내에 있는 시이다.
이시카리만()과 접하여 예전부터 항만 도시로 발전했으며 역사적인 건축물들이 많고 일본 유수의 관광 도시로도 인기가 높다. 삿포로시에서 JR 쾌속열차로 30분 거리에 위치한다. 시내의 운하가 유명한데 도시 발전 초기에는 활발히 이용됐으나 현재는 관광 명소로 자리잡았다. 오르골당이 유명하며, 그 앞에 증기시계가 있다. 만화 《미스터 초밥왕》의 무대로도 쓰였다.
시리베시 종합진흥국 북쪽 동해 연안에 위치한 항구 도시이다. 시내 남쪽은 산지로 고도는 높지 않지만 군데군데 해안까지 험하게 뻗어 있다. 시가지가 경사면까지 펼쳐져 있어 '비탈의 도시'로 불린다. 연안을 하코다테 본선이 달린다.
오타루라는 지명은 아이누어의 오타오르나이(모래사장 가운데의 하천)에서 유래한다. 그러나 이것은 현재의 오타루시 중심부를 가리킨 것이 아니고, 현재의 오타루시와 삿포로시의 경계를 흐르는 호시오키강 하류, 오타루우치강을 지칭한 것이다. 마쓰마에번에 의해 강 하구에 오타르나이 장소가 열렸지만, 겨울에 계절풍을 그대로 받는 지형이었기 때문에 불편한 점이 많아 바람을 피할 수 있고 배의 정박에 적당한 서쪽 쿠타르우시로 이전했다. 그러나 오타르나이 장소라는 호칭은 계속 사용되었고 쿠타르우시로 불리던 현재의 오타루시 중심부가 오타르나이(오타루)로 지명을 바꾸게 되었다.
산업별 종사자는 제3차 산업이 가장 많고, 제2차 산업, 제1차 산업 순이다. 종사자 수가 가장 많은 산업은 도소매업이며, 숙박업, 음식 서비스업도 사업장이 늘어나고 있다. 또 의료, 복지 및 제조업 비중도 늘어나고 있다. 관광업 역시 주요 산업으로 옛 도시의 모습을 보여주는 근대 건축물이 시내 곳곳에 있다.
오타루항은 무역항으로 개항 이래 100년 이상의 역사가 있는 항구로, 방파제와 대형 부두 외에 곡물 냉동 화물 전용 시설과 페리, 해상 컨테이너 시설을 정비해왔다.
국립
2018년 9월경의 인구는 117,042명이며, 이 중 14세 이하가 8.65%, 65세 이상이 39.59%로 일본에서도 고령화, 저출산이 심각한 지역 중 하나로 꼽힌다. 1920년대 석탄을 중심으로 한 산업이 한창이었을 때에는 삿포로군(현 삿포로시)의 인구와 거의 맞먹는 정도였으나, 석탄 산업의 사양화 및 삿포로시의 발전으로 인구 유출이 가속화되어 일본에서 지정한 "과소사회(예년에 비해서도 인구가 극도로 줄고 재정 상태가 매우 양호하지 않은 쇠락 지역)"로 지정되어 있다. 최근 일본 국외에서 찾아오는 관광객의 증가에 따라 오타루를 찾는 관광 수요가 증가하여 상권이 붕괴될 정도는 아니지만, 여전히 "지속 가능한 도시"로서 오타루시의 미래는 불투명하다.
삿포로시의 근교 여행지로 유명하다. 삿포로역에서 JR 열차를 타면 30~45분 정도 소요된다. 홋카이도의 주요 여행지 중 하나이지만, 도시 전체를 둘러보는 데 많은 시간이 소요되지 않아 반나절 코스로 다니는 경우가 많다.
오타루 운하.
오타루 시가지를 가로질러 근해까지 1,140m의 길이로 이어지는 운하이다. 과거 오타루항에서 취급하는 화물 양이 많아지자 선박이 근해에서 창고 근처까지 직접 갈 수 있게 하기 위해 건설한 수로이다. 2차 대전 이후 운하로 들어오는 화물 양이 줄면서 운하는 쇠퇴하였지만 1980년대에 운하 재생 운동이 일어났고, 오늘날에는 대표적인 도시 재생 사례로 꼽힌다.
운하를 따라 들어선 창고들을 개조하여 음식점, 상점 등이 조성되어 있고, 산책로를 따라 63개의 가스등이 설치되어 있다. 2월 초순에 열리는 「오타루 눈빛의 길(小樽雪あかりの路)」이 대표적인 축제이다.
오타루 오르골당.
전세계의 오르골을 모아 전시하고 판매하는 오르골당이다. 2층의 벽돌 건물로 되어 있고 역사는 100년이 넘는다. 오르골을 전문적으로 판매하는 상점 중 가장 큰 규모이고, 판매하는 오르골은 약 3만 점이다.
오르골 앤틱 뮤지엄.
오타루 오르골당 본당 맞은 편에 위치해 있다. 역사적으로 의미 있는 앤틱 오르골과 기계식 인형을 전시하고 있다. 또한 100년이 넘은 파이프 오르간 연주를 직접 들을 수도 있다.
오타루 종합 박물관.
홋카이도의 역사와 자연, 철도를 비롯한 교통, 과학 등에 관한 전시를 하는 박물관이다. 현존하는 일본 최고의 기관 창고에서 철도 기념물인 철도 차량 보존관을 비롯해 홋카이도 내에 존재하는 철도 기념물 12개 중 8개가 이곳에 있다.
메르헨 교차로(メルヘン交差点).
교차로 앞에 광장이 위치해 있는데 오타루를 방문한 관광객으로 항상 붐빈다. 교차로 부근은 오타루 관광의 중심적인 존재이며 서양풍 건축물들이 산재해 있고 각종 공예품점과 기념품 상점, 음식점이 많이 있다. 오타루 오르골당도 이곳에 있다.
야간 조명.
오타루의 랜드마크이며, 기념 사진 촬영 장소와 휴식 장소로 사랑받고 있다. 이 일대의 분위기는 관광객들이 유럽 분위기를 느낄 수 있도록 조성되었다.
증기 시계.
밴쿠버 개스타운의 랜드마크로 알려진 증기 시계를 만든 제작자가 만든 시계이다. 1993년에 오타루 오르골당에 설치되었다. 15분 간격으로 흰 연기와 함께 기적 소리로 시간을 알려준다. 오타루 관광 사진에는 반드시 게재되는 오타루 경관의 상징이기도 하다.
덴구야마(天狗山).
오타루 시내를 한 눈에 내려다 볼 수 있는 전망대가 설치되어 있다. 영화 러브레터 (영화)의 촬영지로 유명하다. 산 정상에 있는 전망대로 가려면 덴구야마 로프웨이를 이용하면 된다. 봄에는 벚꽃을 감상할 수 있고, 겨울에는 스키장으로 이용된다.
홋카이도 여객철도의 하코다테 본선이 시내를 가로지른다. 주요 역은 오타루역이며, 홋카이도 여객철도의 하코다테 본선을 주행하는 주요 열차들의 시종착점이다. 그 외의 역으로는 미나미오타루역, 오타루칫코역, 아사리역, 제니바코역이 있다. 구간쾌속 이시카리 라이너는 오타루~제니바코 구간 전 열차 정차역이며, 신치토세 공항까지 운행하는 쾌속 에어포트는 30분 간격으로 오타루, 미나미오타루, 오타루칫코역에 정차한다.
오타루역 서부로는 시오야역, 란시마역이 요이치정 방면으로 있으나 대부분 오타루역까지만 정차하며 배차 간격도 최소 1시간에 한 번 뿐이며 삿포로역까지 직통운행하는 열차도 아침 시간대에만 운행하는 구간이라서 이용하는 데는 불편하다. 2031년 춘분기에는 홋카이도 신칸센이 삿포로역까지 연장될 예정으로 오타루역을 제외한 나머지 서부 간선 구간들이 병행재래선 경영분리정책에 의해 제3섹터로 이관된다.
홋카이도 신칸센이 2031년경 삿포로까지 연장되면 신오타루역(가칭)이 개업할 예정이다. 해당 역은 오타루역, 미나미오타루역과는 다른 별개의 신칸센 역으로 개업할 예정이다. 해당 역은 오타루역과 직선거리로 3.67km 떨어진 곳에 지어질 예정이다.
동일본 고속도로(NEXCO 동일본)가 운영하는 고속도로인 삿손 자동차도가 삿포로시와 연결되어 있다. 기점은 오타루 분기점이며, 오타루시 관광지까지 직진하면 바로 나온다. 그 외의 나들목으로는 아사리 IC, 제니바코 IC가 있다. 장기 계획으로는 요이치정, 굿찬정까지 이어 하코다테시까지 잇는 새로운 간선자동차도가 계획되고 있다.
주요 국도로는 국도 5호선이 있으며 하코다테시와 삿포로시를 연결한다. 그 외의 국도로는 국도 337호선, 등이 있다.
홋카이도 주오 버스에서 운영하는 오타루 버스 터미널이 오타루역 바로 옆에 있다. 터미널에서는 삿포로시까지 가는 고속버스 및 오타루 수족관, 텐구야마 로프웨이 등의 관광지로 가는 버스, 오타루 상과대학까지 가는 통학버스 등을 운행하고 있다.
오타루시에서 가장 가까운 국제공항은 신치토세 공항이며, 쾌속 에어포트를 이용하여 바로 접근이 가능하다. 이외에도 삿포로시에 있는 삿포로 비행장 또한 이용이 가능하다.
홋카이도의 주요 거점 항만인 오타루항이 있으나 도마코마이항, 신이시카리항 등과의 경쟁에서 밀려 최근에는 중요한 위치를 차지하고 있지는 않다. 하지만 여전히 오타루시와 삿포로시의 주요한 바다 관문 중 하나이다. 페리를 통해 니가타시와 마이즈루시(교토 인근의 동해 연안 항구도시)까지 연결되는 노선도 있다.
요한 페터 구스타프 르죈 디리클레(, 또는 , 1805년 12월 31일 뒤렌 ~ 1859년 12월 30일 괴팅겐)는 독일의 수학자이다. 베를린 훔볼트 대학교와 괴팅겐 대학교에서 가르쳤으며, 주로 해석학과 수론 분야의 연구를 했다.
디리클레의 조부모는 벨기에의 리슐레트() 출신이었다. 그의 성이 프랑스어식인 이유이다. 는 리슐레트 출신 소년이란 뜻이다.
12살에 본의 한 김나지움(고등학교)에 들어가고, 2년 후에는 쾰른의 예수회 김나지움으로 전학하여 옴의 법칙을 발견한 게오르크 옴의 수업을 들었다. 1822년 파리에서 수학공부를 시작하고, 여기서 당대의 주요 수학자인 장바티스트 비오, 장바티스트 조제프 푸리에, 루이방자맹 프랑쾨르(), 장 아셰트(), 피에르시몽 라플라스, 라크루아, 아드리앵마리 르장드르, 시메옹 드니 푸아송 등을 만났다.
1825년 르장드르와 함께 페르마의 마지막 정리 중 한 경우인 n = 5 인 경우에 대해 증명을 해서 처음 주목을 받게 되었다. 후에 그는 n = 14 인 경우에 대해서도 증명하였다.
1827년 독일 본 대학에서 명예 교수자격을 얻게 된 후, 알렉산더 폰 훔볼트의 추천으로 브로츠와프 대학교에서 강사일을 맡았다. 1828년 훔볼트는 그를 베를린으로 불러들인다. 여기서 그는 처음엔 일반 군사학교에서, 나중에 건축 아카데미에서 교편을 잡았다. 1827년에는 강사가 되고, 1831년에는 조교수, 1839년에는 베를린 훔볼트 대학교의 수학 정교수가 되었다. 1831년 작곡가 펠릭스 멘델스존의 여동생인 레베카 멘델스존과 결혼했다. 1855년 카를 프리드리히 가우스의 후임으로 괴팅겐 대학교에서 고등수학 교수를 맡았다. 그는 이 자리를 1859년 죽을 때까지 갖고 있었다.
디리클레는 편미분 방정식과 주기 급수, 정적분, 수론 분야를 연구했다. 그는 당시만 해도 서로 무관한 분야였던 수론과 응용수학을 이어주었다.
디리클레의 주요 관심사는 수론이었다. 디리클레는 등차수열에서 반드시 등장하는 소수의 성질에 대한 디리클레 등차수열 정리를 증명하였고, 또한 수론의 주요 분야인 해석적 수론을 창시하였다. 또한, 페르마의 마지막 정리를 "n"=5, 14인 경우에 증명하였다.
오귀스탱 루이 코시(, 1789년 8월 21일 ~ 1857년 5월 23일)는 프랑스의 수학자이다. 조제프루이 라그랑주, 피에르시몽 라플라스(P. S. Laplace) 등으로 대표되는 18세기의 수학을 19세기적 단계에 올려놓은 프랑스의 대수학자로도 평가된다.
프랑스 혁명의 해에 파리에서 태어나 에콜 폴리테크니크(高等理工科學校)에서 공부하고 후에 모교의 교수가 되었다. 당시의 프랑스는 혁명과 반혁명이 교차하는 정치적인 격동기로, 엄격한 가톨릭 신자이고 왕당파였던 코시는 정치적으로 지조를 지키고자 하여 많은 고난을 겪었다.
코시의 수학상 업적은 극히 많은데, 가장 큰 공로는 해석학을 엄밀한 기초 위에 올려 놓은 것이다. 무한소라는 애매한 개념상에 있던 미적분을 극한(極限), 연속, 급수의 합 등의 개념을 확립함으로써 합리화시킨 공적이 크다. 또, 실변수의 함수에 정적분의 문제에서 복수변수의 함수의 연구에 손을 대어 복소함수론의 기초정리를 확립했다. 그리고, 그 때까지 계산으로 푸는 것만이 시도(試圖)되던 미분방정식에 대해 해(解)의 존재를 증명했다. 한마디로 말하면 코시는 해석학을 계산에서 논리의 단계로 올려놓았다고 할 수 있다. 이 외에 다음과 같은 업적을 남겼다.
다이쇼(大正)는 다음을 가리킨다.
김진해(, 1941년 11월 2일 ~ 2005년 6월 26일)는 대한민국의 연극 배우이자 탤런트이다. 한양대학교 연극영화학과를 나왔으며 1963년 KBS 공채 탤런트 4기로 데뷔했다. 《TV 손자병법》, 《태조 왕건》 등의 드라마에 출연했다. 2005년에 당뇨 합병증으로 인하여 별세하였으며, 서울중앙방송(現 한국방송공사) 4기 공채 탤런트 출신 중 최초로 사망한 인물이다.
펜티엄 프로(Pentium Pro)는 인텔이 개발 및 제조한 6세대 X86 마이크로프로세서로, 1995년 11월 1일 공개되었다. 이 프로세서는 P6 마이크로아키텍처 (때로는 i686으로도 불림)를 구현했으며, 이를 적용한 최초의 x86 인텔 CPU였다.
펜티엄 프로는 원래 모든 응용 분야에서 기존 펜티엄을 대체하도록 의도되었다. 나중에 서버 및 하이엔드 데스크톱 프로세서로 더 좁은 역할로 축소되었다. 펜티엄 프로는 슈퍼컴퓨터에도 사용되었는데, 가장 주목할 만한 것은 1996년 최초로 1 테라플롭스를 넘어섰고 1997년부터 2000년까지 TOP500 목록에서 1위를 차지했던 ASCI Red였다. ASCI Red는 각 컴퓨팅 노드에 두 개의 펜티엄 프로 CPU를 사용했다.
펜티엄과 펜티엄 MMX가 각각 310만 개와 450만 개의 트랜지스터를 가졌던 반면, 펜티엄 프로는 550만 개의 트랜지스터를 포함했다. 이 프로세서는 듀얼 및 쿼드 프로세서 구성을 모두 지원했으며, 비교적 큰 직사각형 소켓 8이라는 단일 폼 팩터로만 출시되었다. 펜티엄 프로는 1998년에 펜티엄 II 제온으로 대체되었다.
펜티엄 프로의 수석 설계자는 슈퍼스칼라에 전문화되었고 인텔 iAPX 432의 수석 엔지니어로도 일했던 프레드 폴락이었다.
펜티엄 프로는 펜티엄의 P5 마이크로아키텍처와는 다른 새로운 마이크로아키텍처를 통합했다. 이 프로세서는 명령 풀을 사용하는 디커플드 14단계 슈퍼파이프라인 아키텍처를 가지고 있다.
펜티엄 프로(P6)는 넥스젠 Nx586 및 사이릭스 6x86과 같은 다른 현대적인 X86 디자인을 반영하는 많은 급진적인 아키텍처적 차이를 구현했다. 펜티엄 프로 파이프라인은 IA-32 명령어를 버퍼링된 마이크로 오퍼레이션 시퀀스로 동적으로 변환하기 위한 추가 디코딩 단계를 가졌다. 이 시퀀스는 여러 실행 장치에 동시에 발행될 수 있는 병렬화 가능한 작업을 감지하기 위해 분석, 재정렬 및 이름 변경될 수 있었다. 따라서 펜티엄 프로는 레지스터 이름 변경을 통한 투기적 실행을 포함하는 비순차적 명령어 처리를 특징으로 했다. 또한 더 넓은 36비트 주소 버스를 가졌으며, 물리 주소 확장(PAE)에 의해 사용 가능하여 최대 64 GB (의 메모리에 접근할 수 있었다.
펜티엄 프로는 8KB 명령어 캐시를 가지고 있으며, 여기서 매 사이클마다 최대 16바이트가 페치되어 명령어 디코더로 전송된다. 세 개의 명령어 디코더가 있다. 디코더들의 능력은 같지 않다: 오직 하나만이 모든 x86 명령어를 디코딩할 수 있으며, 나머지 두 개는 간단한 x86 명령어만 디코딩할 수 있다. 이는 펜티엄 프로가 여러 명령어를 동시에 디코딩하는 능력을 제한하여 슈퍼스칼라 실행을 제한한다. x86 명령어는 118비트 마이크로 오퍼레이션(마이크로 오퍼레이션)으로 디코딩된다. 마이크로 오퍼레이션은 축소 명령어 집합 컴퓨터(RISC)와 유사하다; 즉, 연산, 두 개의 소스 및 대상을 인코딩한다. 일반 디코더는 사이클당 최대 4개의 마이크로 오퍼레이션을 생성할 수 있으며, 간단한 디코더는 사이클당 각각 1개의 마이크로 오퍼레이션을 생성할 수 있다. 따라서 메모리에서 작동하는 x86 명령어(예: 이 레지스터를 메모리의 이 위치에 추가)는 일반 디코더에 의해서만 처리될 수 있는데, 이 연산에는 최소 3개의 마이크로 오퍼레이션이 필요하기 때문이다. 마찬가지로 간단한 디코더는 1개의 마이크로 오퍼레이션으로 번역될 수 있는 명령어로 제한된다. 4개 이상의 마이크로 오퍼레이션이 필요한 명령어는 시퀀서의 도움을 받아 번역되며, 시퀀서는 여러 클럭 사이클에 걸쳐 필요한 마이크로 오퍼레이션을 생성한다. 펜티엄 프로는 바이오스 및 운영체제(OS) 제어 하에 업그레이드 가능한 마이크로코드를 지원한 x86 계열의 첫 프로세서였다.
마이크로 오퍼레이션은 리-오더 버퍼 (ROB)를 빠져나와 예약 스테이션 (RS)에 진입하여 실행 장치로 디스패치되기를 기다린다. 각 클럭 사이클에 최대 5개의 마이크로 오퍼레이션이 5개의 실행 장치로 디스패치될 수 있다. 펜티엄 프로는 총 6개의 실행 장치를 가지고 있다: 두 개의 정수 장치, 하나의 부동소수점 장치(FPU), 로드 장치, 스토어 주소 장치, 스토어 데이터 장치. 정수 장치 중 하나는 FPU와 동일한 포트를 공유하므로, 펜티엄 프로는 다른 세 개의 실행 장치에 대한 마이크로 오퍼레이션 외에 사이클당 하나의 정수 마이크로 오퍼레이션과 하나의 부동소수점 마이크로 오퍼레이션 또는 두 개의 정수 마이크로 오퍼레이션만 디스패치할 수 있다. 두 정수 장치 중 포트 0에서 FPU와 경로를 공유하는 장치만이 배럴 시프터, 곱셈기, 나눗셈기, LEA 명령어 지원 등 모든 기능을 갖추고 있다. 포트 1에 연결된 두 번째 정수 장치는 이러한 기능을 가지고 있지 않으며 덧셈, 뺄셈, 분기 대상 주소 계산과 같은 간단한 연산으로 제한된다.
FPU는 부동소수점 연산을 실행한다. 덧셈과 곱셈은 파이프라인 처리되며 각각 3사이클과 5사이클의 지연 시간을 갖는다. 나눗셈과 제곱근은 파이프라인 처리되지 않으며 FPU의 포트를 공유하는 별도의 장치에서 실행된다. 나눗셈과 제곱근은 각각 18-36사이클과 29-69사이클의 지연 시간을 갖는다. 가장 작은 숫자는 단정밀도(32비트) 부동소수점 숫자에 해당하고 가장 큰 숫자는 확장 정밀도(80비트) 숫자에 해당한다. 나눗셈과 제곱근은 덧셈 및 곱셈과 동시에 작동할 수 있으며, 결과가 ROB에 저장되어야 할 때만 실행이 중단된다.
마이크로프로세서가 출시된 후, 부동소수점 장치에서 버그가 발견되었는데, 일반적으로 "펜티엄 프로 및 펜티엄 II FPU 버그"라고 불리며 인텔에서는 "플래그 오차(flag erratum)"라고 불렸다. 이 버그는 부동소수점 숫자가 더 작은 정수 형식에 맞지 않을 때 부동소수점-정수 변환 중에 특정 상황에서 발생하여 FPU가 문서화된 동작에서 벗어나게 한다. 이 버그는 사소한 것으로 간주되며, 거의 영향을 미치는 소프트웨어 프로그램이 없을 정도로 특별한 상황에서 발생한다.
펜티엄 프로 P6 마이크로아키텍처는 인텔에서 10년 이상 여러 형태로 사용되었다. 파이프라인은 초기 150MHz부터 "튜얼라틴" 펜티엄 III의 1.4GHz까지 확장되었다. 이 디자인의 다양한 특징은 그 이후에도 파생 코어인 바니아스에서 펜티엄 M과 인텔 코어 (요나)로 이어졌고, 이 자체가 2006년부터 코어 마이크로아키텍처 (코어 2 프로세서)로 발전했다.
펜티엄 프로 (P6)는 인텔 제품군에 새로운 '조건부 이동' 명령어를 도입했다; `CMOVcc` 및 `FCMOVcc` ('조건부 이동') 명령어는 레지스터 또는 메모리에서 소스 값을 가져와 플래그 레지스터의 조건 `cc`에 따라 선택적으로 그 값을 대상 레지스터에 쓴다. 이 조건은 조건부 점프 (`Jcc`) 명령어에서 사용되는 것과 동일하다. 예를 들어, `CMOVNE`는 플래그 레지스터가 NE (같지 않음) 조건과 일치할 때, 즉 제로 플래그가 설정되지 않았을 때 지정된 값을 레지스터로 이동시킨다. 만약 제로 플래그가 설정되어 있다면, 조건은 거짓이 되고 대상 레지스터는 그 값을 유지한다. 이는 비용이 많이 드는 조건부 분기 없이 간단한 if-then-else 연산 (C 언어의 `? :` 연산에서 흔히 사용되는 것과 같은)을 허용한다. `FCMOVcc` 변형은 부동소수점 레지스터에 대해 동일한 기능을 제공한다. 안타깝게도 `CMOV`는 즉시 값 (인라인 상수) 소스 값이나 메모리 대상을 지원하지 않는다.
두 번째 개발은 `UD2` 불법 명령어의 문서화였다. 이 연산 코드는 예약되어 있으며 P6 및 모든 이후 프로세서에서 불법 명령어 예외를 발생시키도록 보장된다. 이는 개발자가 소프트웨어에서 버그가 감지되었을 때 미래 지향적인 방식으로 현재 프로그램을 쉽게 충돌시킬 수 있도록 한다.
당시에는 고급 기술이었음에도 불구하고, 펜티엄 프로의 비순차적 레지스터 이름 변경 아키텍처는 16비트 코드 및 혼합 코드(16비트와 8비트 (8/16), 또는 16비트와 32비트 (16/32)) 실행에 어려움을 겪었는데, 이는 부분 레지스터 사용으로 인해 파이프라인 플러싱이 자주 발생했기 때문이다. 부분 레지스터의 특정 사용은 당시에는 일반적인 성능 최적화 방법이었는데, P6 이전 인텔 프로세서에서는 성능 저하가 없었기 때문이다. 또한 펜티엄 프로 출시 당시 주류 운영 체제는 16비트 도스와 혼합 16/32비트 윈도우 3.1x 및 윈도우 95였다(후자는 최소 80386 CPU가 필요했지만, 성능상의 이유로 여전히 16비트 윈도우 USER 동적 연결 라이브러리, user.exe와 같은 많은 코드가 16비트였다). 이와 함께 펜티엄 프로 시스템의 높은 비용은 당시 PC 구매자들 사이에서 판매 부진으로 이어졌다. 펜티엄 프로의 P6 마이크로아키텍처를 완전히 활용하려면 윈도우 NT, 리눅스, 유닉스, 또는 OS/2와 같은 완전한 32비트 운영 체제가 필요했다. 레거시 코드의 성능 문제는 나중에 인텔이 펜티엄 II로 부분적으로 완화했다.
RISC 마이크로프로세서와 비교했을 때, 펜티엄 프로는 출시 당시 SPECint95 벤치마크를 실행할 때 정수 성능에서 가장 빠른 RISC 마이크로프로세서를 약간 능가했지만, 부동소수점 성능은 일부 RISC 마이크로프로세서의 절반 수준으로 현저히 낮았다. 펜티엄 프로의 정수 성능 우위는 빠르게 사라졌으며, 1996년 1월 MIPS 테크놀로지스 R10000에 의해 추월당하고, 이어서 디지털 이큅먼트 코퍼레이션의 알파 21164의 EV56 변형에 의해 추월당했다.
평론가들은 P6 플랫폼의 약점으로 비디오 메모리에 대한 매우 느린 쓰기 속도를 빠르게 지적했으며, VIDSPEED와 같은 벤치마크에서 동일한 클럭 속도의 펜티엄 시스템의 10% 수준으로 성능이 낮았다. 이를 우회하는 방법으로는 퀘이크와 같은 게임에서 VESA 드로잉을 비디오 메모리 대신 시스템 메모리로 설정하는 것이 있었고, 나중에는 CPU의 쓰기 결합 기능을 활성화하여 특정 게임에서 성능을 두 배로 높일 수 있는 FASTVID와 같은 유틸리티가 등장했다. 1997년부터 윈도우 비디오 드라이버에 의해 메모리 타입 범위 레지스터(MTRR)가 자동으로 설정되었고, 그 이후로 개선된 캐시/메모리 서브시스템과 FPU 성능 덕분에 1990년대 중후반의 새로운 3D 게임에서 펜티엄을 클럭 대 클럭으로 압도했으며, 특히 윈도우 NT 4.0을 사용할 때 더욱 두드러졌다. 그러나 MMX 구현 부족으로 해당 명령어를 활용하는 멀티미디어 애플리케이션에서는 성능이 저하되었다.
캐싱.
아마도 펜티엄 프로의 가장 눈에 띄는 추가 기능은 온패키지 L2 캐시였는데, 도입 당시 256KB에서 1997년에는 1MB까지 범위가 늘어났다. 당시 제조 기술로는 대규모 L2 캐시를 프로세서 코어에 통합하는 것이 불가능했다. 대신 인텔은 L2 다이를 패키지 안에 별도로 배치하여 CPU 코어와 동일한 클럭 속도로 작동할 수 있도록 했다. 또한, 대부분의 마더보드 기반 캐시 방식이 CPU와 메인 시스템 버스를 공유했던 것과 달리, 펜티엄 프로의 캐시는 자체 백사이드 버스(인텔은 이중 독립 버스라고 불렀다)를 가지고 있었다. 이로 인해 CPU는 메인 메모리와 캐시를 동시에 읽을 수 있어 전통적인 병목 현상을 크게 줄였다. 캐시는 또한 "논블로킹"이었는데, 이는 프로세서가 한 번에 여러 캐시 요청(최대 4개)을 발행할 수 있어 캐시 미스 페널티를 줄였다는 의미이다; 이는 메모리 수준 병렬성(MLP)의 한 예시이다. 이러한 특징들이 결합되어 이전 프로세서의 마더보드 기반 캐시보다 훨씬 빠른 L2 캐시를 만들어냈다. 이 캐시만으로도 CPU는 이전 X86 CPU에 비해 입출력 성능에서 우위를 점했다. 다중 프로세서 구성에서 펜티엄 프로의 통합 캐시는 각 CPU가 중앙 캐시를 공유하는 아키텍처에 비해 성능을 급증시켰다.