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모노()는 C# 컴파일러와 공통 언어 런타임을 포함하여, Ecma 표준을 준수하는 닷넷 프레임워크의 오픈 소스 버전이다. 원래는 노벨이 개발 회사인 시미안(Ximian)을 인수하면서 노벨이 계속 개발하게 되었는데 마이크로소프트에서 개발을 양도받아 자회사인 자마린(Xamarin)에서 개발하고 있다. 모노의 각종 크로스 플랫폼에서 닷넷 프레임워크 기반 응용 프로그램을 실행을 하는 동시에 리눅스 개발자에게 더 나은 개발 도구를 제공하기 위한 목적으로 개발되었다. 모노는 대부분 리눅스 배포판을 비롯하여, BSD, macOS, 윈도우, 솔라리스, 안드로이드 등을 비롯하여, 플레이스테이션3, 엑스박스 360 같은 콘솔 게임기 같은 많은 운영 체제에서 실행할 수 있는 장점이 있다.
모노는 개발 초기에는 닷넷 프레임워크을 개발한 마이크로소프트에 맞서기 위해서 개발했는데 문제는 모노를 개발하면서 닷넷 프레임워크를 구현 시키기 위해서는 일부 닷넷의 특허를 사용해야 한다는 문제점이 있다. 당시 마이크로소프트는 폐쇄적인 사유 소프트웨어 정책을 펼치기로 유명해서 초창기에 개발된 모노는 특허 침해에 대한 많은 소송전을 맞서야 했다. 그러나 최근에 마이크로소프트가 폐쇄적인 정책을 버리고 오픈 소스 정책을 추진하기 시작하면서, 닷넷을 오픈 소스화 시켰고, 모노의 개발을 양도를 받으면서 자마린에서 활용할 수 있도록 개발하고 있다.
모노의 구성 요소.
실수의 이론에서, 실수의 완비성(實數-完備性, )은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. 실수의 연속성(實數-連續性, )이라고도 불리는데, 함수의 연속성과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리이며, 이를 완비성 공리(完備性公理, )라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리이며, 이는 서로 다른 실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다.
실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 상한 공리 또는 최소 상계 공리(最小上界公理, )는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수 부분 집합이 상계를 가지면 반드시 상한을 가진다. 이와 달리, 유리수는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.
상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히, 아르키메데스 성질을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에 아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다.
실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.
실수 부분 집합 formula_1의 한 상계는 다음을 만족시키는 실수 formula_2이다.
실수 부분 집합 formula_1의 상한은 다음 두 조건을 만족시키는 실수 formula_2이다.
상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합 formula_1이 하계를 갖는다고 하자. 그렇다면,
는 formula_8의 하한이다.
단조 수렴 정리.
축소 구간 정리.
닫힌구간의 열
를 만족한다고 하자. 축소 구간 정리에 따르면,
이게 되는 formula_23이 존재한다.
실수 부분 집합 formula_1에 대하여, formula_25를 만족시키는 실수 부분 집합족 formula_26을 formula_8의 덮개라고 한다.
하이네-보렐 정리에 따르면, 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.
극한점 성질.
실수 부분 집합 formula_1의 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 formula_29이다.
극한점 성질에 따르면, 실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.
코시 성질.
실수 코시 수열은 임의의 formula_30에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_35이 존재하는 실수 수열 formula_15이다.
코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.
상한 공리 가정 아래, formula_15이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한 formula_41가 존재한다. 즉,
이며, 임의의 formula_30에 대하여, formula_44은 상계가 아니다. 즉,
이게 되는 formula_35이 존재한다. 따라서, formula_15은 formula_41로 수렴한다.
단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열 formula_49이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면, formula_15과 formula_51은
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤 formula_23로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,
이며, 따라서 formula_55이다.
이제 formula_56라고 하자. 그러면 formula_57이게 되는 formula_58이 존재하므로, formula_59이다.
(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의 formula_58에 대하여 formula_61이게 되는 formula_62이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,
이게 되는 formula_23이 존재한다. 또한, 임의의 formula_58에 대하여 formula_67이다. 그러나, formula_68이므로, formula_69, 즉, formula_70, 즉, formula_71인 formula_58이 존재하며, 이는 모순이 된다.
축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간 formula_73의 어떤 열린 구간 덮개 formula_74가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간 formula_75와 formula_76 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 formula_77이 존재한다. 마찬가지로, formula_77을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 formula_79가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌구간의 열 formula_80을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,
이게 되는 formula_21이 존재하며, 사실
이다. 따라서, formula_85이게 되는 formula_86가 존재한다.
formula_87가 열린 구간이므로, formula_88는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 formula_87의 양끝점과 formula_88와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 formula_91이라고 하자. 그렇다면, formula_92이므로,
이게 되는 formula_58이 존재한다. 이는 formula_95가 formula_96의 덮개라는 의미이며, 이는 formula_96이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.
하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합 formula_98이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의 formula_29에 대하여,
이게 되는
이 존재한다. 그렇다면,
는 formula_103의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개
을 갖는다. 이에 따라,
이며, 이는 formula_8가 무한 집합인 데 모순이다.
첫번째 명제 아래, formula_107이 유계 수열이라고 하자.
만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, formula_107은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 formula_110를 갖는다. 즉, 임의의 formula_91에 대하여,
은 무한 집합이다. 따라서,
로 정의된 formula_115은 formula_107의 수렴 부분 수열이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, formula_15이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열 formula_118를 갖는다. 따라서, 임의의 formula_30에 대하여, 임의의 formula_120에 대하여 formula_121이게 되는 formula_122이 존재한다. 또한, 임의의 formula_38에 대하여 formula_124이게 되는 formula_125가 존재한다. 따라서, 임의의 formula_126에 대하여,
이게 된다. 즉, formula_128이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의 formula_58에 대하여 formula_61인 formula_62이 존재한다고 하자. 그렇다면, formula_132은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열 formula_133이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의 formula_134에 대하여 formula_135이며, 따라서 임의의 formula_58에 대하여 formula_137이다. 그러나, 극한의 정의에 따라 formula_138, 즉, formula_139인 formula_134이 존재하며, 이는 모순이다.
코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열 formula_49이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,
이다. 즉, formula_15, formula_51 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를 formula_88라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라
이며, 따라서 formula_147이다.
이제 formula_148이라고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_30에 대하여, formula_150이게 되는 formula_58이 존재하므로,
이다. 따라서, formula_153이다.
축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래, formula_154이 상계 formula_155를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌구간의 열 formula_156이
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서, formula_159인 formula_21이 존재한다. 또한, 임의의 formula_58에 대하여, formula_162은 formula_8의 원소, formula_164은 formula_8의 상계이다.
임의의 formula_3 및 formula_30에 대하여,
인 formula_58이 존재하며,
인 formula_58이 존재하므로, formula_88는 formula_8의 상한이다.
유리수 순서체 formula_174는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 유리수 상계 formula_175를 갖는 유리수 부분 집합
는 실수 부분 집합으로서는 상한 formula_177을 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열
formula_180 위의 형식적 로랑 급수들의 집합 formula_181 위에 통상적인 연산 및 다음과 같은 크기를 주면 이는 순서체가 된다.
이 경우 모든 코시 수열이 수렴한다. 왜냐 하면, formula_183이 코시 수열이라면 임의의 formula_184에 대해 formula_185이 되게 하는 formula_186이 존재하므로 각 항의 계수는 결국 상수 수열이 되기 때문이다.
수학에서 유계 집합(有界集合, )은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서나 거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.
유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, )이라고 한다.
원순서 집합의 유계 집합.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_2에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 formula_3가 존재한다면, formula_4가 위로 유계()라고 하며, formula_5를 formula_4의 상계()라고 한다.
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 formula_3가 존재한다면, formula_4가 아래로 유계()라고 하며, formula_5를 formula_4의 하계()라고 한다.
거리 공간의 유계 집합.
거리 공간 formula_15의 부분 집합 formula_2에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 formula_3가 존재한다면, formula_4가 유계 집합이라고 한다.
만약 formula_20 전체가 유계라면, formula_20은 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.
위상 벡터 공간의 유계 집합.
formula_22가 실수체 또는 복소수체라고 하자. formula_23-위상 벡터 공간 formula_24의 부분 집합 formula_25에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_4를 (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다.
이때
서로 다른 정의의 호환.
일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.
노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.
실수의 집합 formula_40의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.
formula_23-위상 벡터 공간 formula_24에서,
유계 함수와 유계 작용소.
formula_23-위상 벡터 공간 formula_24, formula_51 사이의 모든 연속 선형 변환 formula_52는 유계 작용소(즉, 유계 집합의 상은 유계 집합)이다. 만약 formula_24가 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소 formula_52는 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환은 유계 함수일 수 없다.)
국소 유계 공간.
formula_23-위상 벡터 공간 formula_24에서, 영벡터 formula_57가 유계 근방을 갖는다면, formula_24가 국소 유계 공간()이라고 한다.
모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.
formula_59가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라
가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다.
formula_23-국소 볼록 공간 formula_24에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 "R"에 있는 위상 가군 "M"의 부분집합 "A"는 "0M"의 모든 근방 "N"에 대해서 "w A ⊂ N"가 성립하도록 하는 0"R"의 근방 "w"이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.
양재 나들목(Yangjae IC)은 서울특별시 서초구 양재동과 원지동에 걸쳐 설치된 경부고속도로의 49번 교차로로, 경부고속도로의 종점이자 경부간선도로의 기점이다. 2002년 12월 5일 경부고속도로 노선 단축으로 이 나들목이 경부고속도로의 종점이 되었으며, 나들목 중간에서 한국도로공사의 관할 구간과 서울특별시의 관할 구간이 분할된다.
본래 이 나들목은 1968년 12월 21일 경부고속도로의 서울 ~ 수원 구간이 개통될 당시에는 설치되지 않았던 나들목이다. 1971년 9월 3일 광주대단지(현 성남시) 주민들의 교통 문제를 해결하기 위해 경부고속도로에 진입로와 진출로를 만들었다. 그러다 강남, 서초 지역이 개발되면서 한남대교까지 이동하는 불편을 덜기 위해 1987년 7월 22일에 이 나들목을 신설하기로 발표했다. 나들목 공사는 같은 해 8월에 착공되었으며 1988년 6월 양재대로가 개통되기 전에 완공되었다.
경부고속도로와 경부간선도로는 국도 제47호선 위로 지나가며, 램프의 구조는 모든 방향으로의 통행이 가능한 클로버잎형을 띄고 있다. 일부 램프는 국도 제47호선 방향 끝쪽에 신호등이 설치되어 있기도 하다.
구조물 중 일부는 염곡천 (여의천) 위로 지나간다. 양재대로 구리암사대교 방향에서 경부고속도로 부산 방향 진입 시 서울만남의광장휴게소로 바로 진입할 수 있다.
보르지긴 주치(, Зүчи, , 카자흐어:Joşı, Жошы, , 1182년? ~ 1227년 2월) 또는 슈치는 몽골 제국 초기의 군주이자 군인이며, 칭기즈 칸의 화레즘, 동유럽 원정에 출정했다. 그는 칭기즈 칸 장남으로 알려졌으나, 어머니 보르테 카툰이 메르키트 부족에게 납치되었다가 칭기즈 칸의 아버지 예수게이와 친했던 케레이트족 옹 칸에게 구출되어 돌아오는 길에 주치가 태어났다. 어머니 보르테 카툰이 메르키트 부족에 납치된 일로 평생 출생 의혹에 시달렸다. 특히 차가타이는 그를 형제로 인정하지 않고 수시로 분쟁을 일으켰다. 이는 후대에도 갈등의 원인으로 이어졌다.
그는 1207년 몽골군 우익 군대를 이끌고 숲속 부족, 키르기스스탄, 바이칼 호수 서쪽의 2만 호를 정복했다. 이후 오이라트족 정벌과 시베리아 남서부를 공략하였다. 1218년 키르키스를 재정벌한 뒤, 1219년부터 칭기즈 칸의 중앙아시아 원정과 서방 원정에 참여하여 우익군단을 이끌었으며, 차가타이 등과 우르겐치를 공략했다. 그밖에 킵차크 초원에 침입하여 러시아계 공국, 대공국들을 몽골에 복속시켰다. 칭기즈 칸은 주치에게 이르티시강 서쪽과 투르가이와 우랄스크, 시르다리야강 하류 일대를 분봉했으나, 실질적인 통치권을 행사하지는 않았다.
주치는 1182년에 칭기즈칸과 보르테의 아들로 카라코룸에서 태어났다. 일설에는 1180년 출생 설, 1184년 출생 설도 있다. 아버지 칭기즈 칸에 의해 투르가이와 우랄스크를 분봉받았다. 1179년 혹은 1181년에 메르키트족에게 납치된 보르테가 토그릴 옹 칸, 자무카 등에 의해 구출되었는데, 납치 후 9개월을 전후하여 그가 태어났다 한다. 출생이 의심스웠던지라 중세 몽골어로 “손님”, “여행객”이라는 뜻의 “주치”라는 이름을 얻게 되었다. 주치는 중세 몽골어로 “손님”, “여행객”이라는 뜻과, 그 외에도 “초대받지 않은 사람”,“총혜(聰慧, 총명하고 지혜롭다)”라는 뜻도 있다.칭기즈 칸은 이를 문제 삼지 않았고, 큰 아들이 가장 멀리에 있는 땅을 물려받는 몽골의 풍습에 따라 아버지와 가장 먼 곳에 거주하였다. 이에 따라 그의 나라는 유럽과 가장 근접하게 되었다.
칭기즈 칸의 아버지 카묵 몽골의 예수게이는 메르키트족 칠레두와 결혼하여 돌아가던 호엘룬을 납치하여 결혼, 칭기즈 칸을 낳았다. 이 일로 앙심을 품게 된 메르키트족 토크토아 베키는 훗날 보르테를 납치하여, 칠레두의 동생 칠게르와 결혼시켰다.
그는 그의 어머니 보르테가 메르키트족에게 납치되었을 때 강간에 의하여 가지게 되었다고 의심된다. 라시드 알딘에 의하면 보르테가 주치를 임신했을 때 납치된 것이라 한다. 원사에는 이러한 언급이 나타나지 않는다.
몽골비사에 의하면 원래 칭기즈칸의 어머니 호엘룬 은 메르키트 연맹부 사람과 결혼했지만, 몽골 키야트부의 예수게이에 의해 약탈되어 그의 아내가 되어, 테무진(후의 칭기스칸)을 낳았다. 나중에 예수게이의 아들 테무진이 결혼 한 것을 알게 된 메르키트 연맹은 호엘룬 약탈의 복수로 테무진을 습격하여 보르테를 약탈하고 호엘룬의 전 남편의 동생에게 보르테를 보냈다. 한편, 도망친 테무진은 케레이트 부족장 옹 칸과 자무카의 도움을 받아 메르키트 연맹을 쳐서 보르테를 되찾는다. 옹 칸이 메르키트에게 보르테를 내놓을 것을 요구하여 송환받았다고도 한다. 그러나 그 때 보르테는 임신, 출산이 임박하여 곧 주치가 태어났다. 보르테는 납치된 후 9개월만에 풀려난 상태였다. 따라서 주치는 메르키트 연맹부의 아들이 아닐까 의심받았다. 나중에 주치의 바로 아래 동생 차가타이는 아버지의 면전에서 주치를 메르키트 연맹의 아들, 사생아라고 욕했지만, 징기스칸은 어디 까지나 주치를 장남으로 다뤘다 한다.
몽골, 튀르크, 타타르족 부족들 사이에서는 그가 메르키트의 자식일 것이라는 소문이 확산되었고, 차가타이는 이를 언급하여 공론화시켰다. 칭기즈 칸은 공식 석상에서 주치의 혈통 언급을 금지하였으나, 차가타이는 수시로 주치의 혈동을 문제삼아 공격했다. 주치는 강인하고, 용감하며, 회복력이 있는 사람이고, 다소 탄력적인 성격이었다. 다소 예리하다는 평도 있었다. 그러나 그가 메르키트족의 아들인지 모른다는 소문은 그를 평생 괴롭혔다. 20세기 러시아의 역사학자 겸 고고학자 레프 사무엘로비치 클라인은 주치가 칭기즈 칸의 친아들이 아니라는 설을 주장했다.
투르크, 시베리아 원정.
1206년 이전에 주치는 아버지 칭기즈 칸을 따라 나이만족과의 전투에 참여했다. 라시드 알딘에 의하면 한번은 주치는 자신의 아버지에게 포로로 잡혀 있던 적군의 아들을 살려달라고 간청했는데, 그는 활쏘기에 능하다고 소문이 나 있었다. 주치는 그런 훌륭한 궁수가 몽골군의 자산이 될 수 있다고 주장했다. 그러나 징기스칸은 이 주장을 무시하고 포로를 처형했다 한다. 메르키트족 토크토아 베키의 아들 중 한 명인 쿠투칸 메르겐은 킵차크로 도망쳤고, 주치의 군사가 그를 추격했다. 쿠투칸 메르겐의 양궁 솜씨와 명중력에 감탄한 주치는 아버지 칭기즈 칸에게 그의 목숨을 구해달라고 요청했지만 징기스칸은 이를 거부했고 쿠투칸 메르겐은 처형되었다.
1207년 주치는 알타이 강변 주변과 동부 투르키스탄을 공략, 점령하였다. 1207년 주치는 예니세이 강변에 살던 키르기스, 이만 족을 포함한 바이칼호수 서쪽 시베리아의 삼림 부족을 정벌에 참여하였다. 이때 일부 부족들은 전쟁 없이 주치의 군대에 항복했는데, 텔렌구트족, 오로스드족 등이다. 1207년부터 1217년에 주치는 몽골 북서부의 오이라트족을 토벌하는데 참여하였다. 1211년에는 잠시 금나라 산시성 지방을 공략, 성 주변 일대를 휩쓸고 산시 성을 함락시켰다. 1213년 다시 금나라를 공격했다.
1213년 몽골은 금나라에 동남 500명과 처녀 500명을 공물로 요구했고, 금 선종은 이를 거절했다. 1213년 7월부터 1214년 10월 주치, 차가타이, 오고타이는 몽골에서 남하, 태행산(太行山)의 동서 양쪽에서 3갈래로 나누어서 금나라를 공격했다.
금나라 공격 당시 서부 부대는 주치, 차가타이, 오고타이가, 동부 군대는 칭기즈 칸의 형제 카사르가 이끌었다. 주치와 그의 형제들은 남쪽으로 진군하여 황하 강 북쪽 기슭에 도착했다. 군대를 나누어 주치의 군대는 항하 유역의 부유한 지역을 공략, 파괴하도록 분할했다. 주치의 군대는 화칭 근처에서 서쪽으로 말머리를 돌려 펜허 강 계곡을 통해 북쪽으로 향했다. 산시 성의 중심지 핑양, 펜저우, 타이위안을 점령했다. 타이위안에서 주치와 그의 형제들은 타이저우를 거쳐 다퉁으로 갔다. 주치는 한동안 웅구트 땅에 전리품을 남겨두고 베이징 근처에서 칭기즈 칸의 본대에 합류했다.
차가타이는 그를 형제로 인정하지 않고, 공식, 비공식적으로 수시로 그를 공격하여 분쟁을 일으켰다. 칭기즈 칸은 불분율에 붙이도록 했으나, 차가타이는 수시로 주치의 출신성분을 의심하며 공격, 분쟁하였다. 1219년부터 차가타이는 주치의 후계자 지명을 공식적으로 반대했다. 차가타이는 그를 면전에서 메르키트족의 사생아라 공격했고, 주치는 차가타이에게 너는 나보다 나은 것은 나보다 괴팍함만 더하다고 받아쳤다. 둘은 멱살잡이까지 갔고, 1221년 호라즘 전쟁 중에도 서로 분쟁하였다. 주치와 차가타이의 분쟁이 계속되자, 칭기즈 칸은 오고타이와 툴루이 중에서 후계자를 고민했다. 칭기즈 칸은 오고타이를 후계자로 낙점했고, 주치와 차가타이는 모두 이의를 제기하지 않았다.
1210년과 1218년에 주치는 키르기즈에 대항하는 두 차례의 원정을 칭기즈 칸을 대신해 이끌었다. 1218년 투메드부의 반란을 진압하였다.
키르키스 원정.
1217년 몽골 제국의 서쪽 영역 밖에서 바이칼호 일대에 살던 투메드부에서 몽골의 종주권을 거부했다. 칭기즈 칸은 속지인 키르키즈인에게 투메드부를 진압하라고 명령했지만 키르키스 인들은 명령 따르기를 거부하고 반란을 일으켰다.
1218년 주치는 칭기즈 칸의 지시로 단독으로 병력을 이끌고 키르키즈를 원정했다. 1218년 주치는 셀렌가 강 상단의 지류에 도착, 예니세이 강과 우스 강으로 진군했다. 예니세이 강에 있던 키르키스 족을 중앙에서 공격했다. 주치의 몽골 군은 키르키스 족의 반란을 쉽게 진압, 오비 강까지 갔다가 되돌아왔다. 또한 키르키스 서쪽에 살던 텔렌구트 족을 제압하였다.
호라즘 원정.
1219년 칭기즈 칸이 15~20만 군대를 이끌고 서방 원정을 출정하자 참여했다. 주치는 호라즘 원정에 참여, 시르다리야강 하류 유역 일대를 차지하였고, 그해 오타르를 점령했다. 그는 호라즘 샤의 6만 군사를 상대하여 승전하였다. 1220년 4월까지 주치는 시그나크, 잔드, 야나칸트 등을 정복하였다.
1220년 4월부터 차가타이, 오고타이 등과 우르겐치 성을 공략하여 함락시켰다. 그러나 이때에도 차가타이와 분쟁을 일으켰다. 트란스옥시아나에서 아무다리야강을 따라 내려가 호라즘 샤의 큰 도시 우르겐치를 공격했지만, 그는 함께 공격을 담당했던 바로 아래 동생 차가타이와 불화가 계속되었다. 칭기즈 칸은 오고타이를 지휘자로 삼아 주치, 차가타이를 지휘하게 했다. 1220년 가을부터 주치는 본부 군대를, 오고타이와 차가타이는 우익군 3천호를 이끌고 우르겐치 성을 공략하였다. 이때 그는 우르겐치 성 공략과 작전에 적극적으로 개입했다.
주치의 공성은 기존의 몽골군이 일반적으로 갔다 성내 난입에 이은 약탈과 방화, 파괴였으나 이를 싫어하는 탓인지 주치는 상대가 항복 할 때까지 기다리고 협상을 요구, 협상에 응한다면 수 많은 진군 속도를 풀어 버렸다고 한다. 따라서 종래대로의 성내 난입과 방화를 추구하던 차가타이와도 전략 전술을 놓고도 불화를 일으켜, 우르겐치 공성전에서도 대립하였다. 우르겐치 성곽 포위전쟁 당시 주치는 차가타이와 작전 진행을 놓고 갈등했다고 한다. 주치는 우르겐치를 정복, 자신의 미래 영지로 보고 최대한 성곽, 가옥 파괴를 줄이려 했지만, 차가타이는 그러한 고려 없이 전투를 진행하려 했다 한다. 실제로 우르겐치 전투에서 주치는 공성전과 동시에 우르겐치 성쪽에 비밀리에 사자를 보내 항복을 권고, 협상을 벌였다.
차가타이는 주치를 형으로 인정하지 않았고, 수시로 대립했다. 칭기즈 칸이 후계자를 놓고 고심하자 주치와 차가타이는 서로 상대가 대칸에 적합한 인물이 아니라고 했다. 칭기즈 칸은 오고타이와 툴루이 중에서 후계자를 고민했다.
1221년에 칭기즈 칸이 아들들에게 영토를 분봉할 때 주치는 투르가이, 우랄스크 그리고 이르티시강 서쪽의 땅을 분봉받았다. 라시드 알딘의 집사에 의하면 1221년 알타이산맥과 이르티시강 일대와 킵차크 초원에 주치를 통치자로 하는 울루스가 형성되었고, 그 수도는 이르티시 내에 생겨났다 한다. 1222년에 소집된 쿠릴타이에서 차가타이는 주치의 정당성 문제를 제기했다. 그 회의에서 징기스 칸은 주치가 그의 합법적인 맏아들임을 분명히 했다.
1223년 킵차크 초원으로 진격, 러시아 공국 군사와 교전하여 할하강변에서 크게 격파하였다. 그해 칭기즈 칸이 아들들을 불러 사냥을 계획했으나 주치는 이에 불참하였다. 시중에는 우르겐치 공성전 이후 칭기즈 칸에게 불만을 품었다는 소문이 확산되었다. 일각에서는 주치가 병이 없고, 사냥을 할 수 있다고 거짓 비난을 했다. 징기스칸은 그가 소식을 듣고 주치가 반란을 일으키고 있다고 의심, 분노하였다.
1223년 그는 쿨란바시 평야에서 아버지가 조직한 쿠룰라이에 참여했다. 칭기즈 칸은 이 쿠룰라타이에서 보르테에서 태어난 네 아들에게 영토를 배분할 예정이었다. 그러나 영토 분배는 뒤로 미루어졌다.
1223년 가을, 칭기즈 칸은 화레즘 전역을 마친 후 몽골로 귀환하였다. 이때 차가타이, 오고타이, 툴루이를 대동하고, 주치는 현지에 남겨졌다. 주치는 칭기즈 칸에 의해 아랄해의 북쪽에서 카스피해의 북쪽에 펼쳐진 초원 지대의 정벌을 지시받고, 칭기즈칸이 몽골 고원에 귀환 한 후에도 카자흐스탄 초원에 남아 북서쪽 공략을 맡게 되었다. 1224년 볼가강을 건너라는 칭기즈칸의 지시를 받았으나 이를 거절했다. 전설에 의하면 그는 칭기즈 칸은 사람과 땅에 대한 믿음을 잃었다며 불만을 토로했다 하며 이는 그대로 칭기즈칸에게 전달되었다.
칭기즈 칸이 살아있을 때에는 주치의 혈통에 대한 문제가 수면 위로 떠오르지 않았다. 하지만 칭기즈 칸이 죽은 뒤, 혈통 문제가 불거져 나와 바투와 다른 칭기즈 칸의 손자들 간의 알력다툼으로 나타난다. 오고타이는 주치의 혈통 문제를 거론하며 바투를 모욕한 자신의 아들들을 책망하였다. 1241년에는 유럽 출정군을 이끌던 바투 칸을 차가타이의 후손 부리가 공격하고, 오고타이의 아들 귀유크 칸도 가담하여 분쟁을 일으켰다. 오고타이 칸은 아들 귀유크 칸을 책망했지만 바로 오고타이가 과도한 음주로 사망하여 유럽 정벌은 취소되었다. 사촌들에게 모욕을 당한 바투는 킵차크 한국을 건설하고 이후 몽골 본국과의 직접적인 관계는 감소하다가 끊어버린다.
1226년 병이 들어 아버지 칭기즈 칸의 명을 받고도 직접 움직이지 못했다. 주치는 병석에 있었고, 칭기즈 칸은 주치에게 러시아 정벌을 지시하였다. 또는 소환령을 내렸다는 설도 있다. 칭기즈 칸은 사람을 보내 빨리 그에게 연락할 것을 요청했으나 주치는 주저하였다. 칭기즈 칸이 보낸 다른 정탐꾼들은 조치가 건강하고 사냥을 자주 간다고 보고했다. 주치가 움직이지 않자, 칭기즈 칸은 주치를 의심하여 군사를 보내 토벌을 계획하였으나, 주치의 병사로 취소하였다.
동시대의 페르시아인 알 가즈자니에 의하면 주치는 칭기즈 칸의 암살을 시도했다는 기록을 남겼다. 또한 호라즘 계통의 인물들과 교류 또는 동맹을 맺었다는 기록도 남겼다. 주치는 1227년 2월에 병으로 사망하였으나, 정확한 사망 원인은 알 수 없다. 일설에는 1225년에 사망했다는 설이 있다. 일설에 의하면 주치는 사냥 도중에 절름발이 자객 혹은 쿨란 카툰에게 암살당했다고 한다. 쿨란이 사냥 중이던 주치를 낙마시킨 뒤 칼로 살해했다는 것이다. 쿨란 카툰에 의한 독살설도 제기된다. 일설에는 적의 편에 설까 두려워 아버지 칭기즈 칸이 몰래 그를 죽였다는 설이 있다. 다른 설에는 주치는 피마자 용액에 중독되었다는 설도 있다.
주치 사후 칭기즈 칸의 승인으로 그의 둘째 아들 바투가 후계자로 지명되었다. 주치는 카자흐스탄 제즈카잔에서 북동쪽으로 50km 떨어진 카자흐스탄 카라간다 지역의 울르타흐 산(Ұлытау таулары)의 영묘에 묻혔다. 켄기르 강의 왼쪽 연안의 북동쪽, 강변 왼쪽 제방에 위치해 있다. 큰 영묘는 그의 묘소이고, 그의 묘소 건물 입구 우측에는 그의 아내로 추정되는, 적은 규모의 묘소가 있다. 그가 낙마해서 사망했다는 전설은 제즈카즈잔 인근 지역에 절름발이 전설로 전해졌고, 후일 절름발이 엉덩이라는 만화의 소재가 됐다 한다.
주치의 장남 오르다 칸은 백장 한국을 건국하고, 그의 몫으로 분배된 투르가이와 우랄스크는 그의 차남인 바투가 아버지의 속령에 대한 통치권을 행사하였다. 그밖에 주치에게 분봉된 영지는 주치의 자손들 사이에 몇개의 소 울루스로 운영되었으나, 소 울루스들은 몽골 본국과는 다른 다소 자치국 성격으로 운영되었다.
킵차크 한국과 청장한국, 백장한국이 붕괴된 뒤에도, 그의 2남 샤이반의 5대손 블라드의 장남 아랍샤의 후손이 히바 한국을, 차남 이브라힘 올란의 손자 아불 하이르 칸은 우즈벡 칸국을, 아불 하이르 칸의 손자이자 샤이반의 10대손 무함마드 샤이바니는 부하라 칸국을 세웠다. 그의 13남 토크 테무르의 자손들은 크림 칸국, 카잔 칸국, 카자흐 칸국을 세웠다.
그의 묘소는 잊혀졌다가 16세기 사라프 네이 미 샤리(Sharaf-name-yi shahi)의 기록에 나타나며 1582년 부하라 칸국의 칸 압둘라 칸 2세(Abdullah Khan II)의 원정 대목에 나타난다. 1946년 카자흐스탄 카라간다주 카라간다의 시내 2km 지점에 위치한 영묘에서 주치의 유골이 소련의 고고학자에 의해 발굴되었다. 무덤에서 발견된 유골은 오른손이 없고, 파손된 두개골 일부였다.
주치에게는 40명의 아들이 있었으나, 후손을 남긴 아들은 14명이었다. 그 중에서도 16세기 이후에도 후손이 살아남은 것은 백장 한국을 다스리던 오르다, 바투 사후 조카들을 대신해 주치 울루스의 가독을 계승한 베르케, 샤이반 왕조의 원조가 되었으며 주치 울루스의 서북쪽 소 영토를 다스린 시반, 주치의 13째 아들로 아스트라한 칸국, 울루그 무하마드, 카잔 칸국, 크리미아 칸국, 하지 길레이 가문()의 선조가 된 토가 테무르 등이다.
자말 알딘 가즈자니에 의하면 그는 칭기즈 칸 암살을 시도했다 한다. 가즈자니는 주치는 우르겐치 공성전 이후부터 아버지 칭기즈 칸에 대한 불만을 품었고, 호라즘 술탄 알라 웃딘 무함마드와 공모하여 칭기즈 칸이 사냥나갔을 때 암살할 계획을 세웠다가 차가타이가 이를 알고 칭기즈 칸에게 보고하였다는 기록을 남겼다. 가즈자니에 의하면 칭기즈 칸은 "주치가 여기 오는 것을 피하고 호라즘에 머무른다면, 조용히 그를 찔러 말도 없이 죽여라!"라는 명령을 내렸다고 한다. 공식적 균열은 없었지만 징기스 칸과 주치의 관계는 그의 생애 후반 냉각되었다 한다. 일부 연구자들에 따르면 그 이유는 이민족 대한 주치의 부드러운 태도 때문이라는 추측도 있다.
주치 영묘.
주치의 무덤은 다른 칭기즈 칸 일족과 몽골 제국, 원나라의 대칸들과 같이 기련곡(부르칼 칼둔)에 있는 것으로 여겨졌다. 그러나 1946년 카자흐스탄 카라칸다 시내 외곽의 영묘에서 주치의 유골이 소련의 고고학자에 의해 발굴된다.
카자흐스탄 제즈카잔에서 시내를 벗어나 북동쪽으로 50km 떨어진 카자흐스탄 카라칸다 지역의 울르타흐 산에 주치의 영묘가 발견되어 정비되었다. 묘역 울타리로 우측방향에는 주치의 영묘 보다 다소 작은 그의 아내의 영묘가 있다. 주치의 영묘에서 켄기르 강(Kengir River)이 내려다 보이며 켄기르 강 주변에는 넓은 평야갸 있다.
주치의 영묘에서는 오른손이 없고, 두개골의 일부분이 잘린 유골이 발견되었다. 일각에서는 이를 칭기즈 칸이 사람을 보내 그를 암살한 설과 일치한다고 보기도 한다,
주치의 아내는 많았지만 이름이 알려진 것은 케레이트족 토그릴 옹 칸의 동생 자하 캄보의 딸 닉투미시 푸진, 옹기라트부족의 사르카르두 카툰, 베르케, 바르카차르와 부리의 어머니 울탄 카툰, 침파이의 어머니인 보르구트 부족 쿠툴룩 카툰, 케레이트족 출신으로 탕구트의 어머니 쿠이키 카툰, 바투의 어머니인 옹기라트 부족 출신으로 보르테 카툰의 조차 알티 노얀의 딸 우키 푸진, 샤이반의 어머니 네세르, 신쿰의 어머니 파리스 등이 있다. 또한 주치의 첩은 무수히 많았다 한다.
바투(ᠪᠠᠲᠣ, Бат 또는 Баты́й, Бату́, 1205년 8월 18일 혹은 8월 7일 ~ 1255년)는 몽골 제국 킵차크 칸국의 칸(재위:1227년~1255년)으로 칭기즈 칸의 손자이며 주치 칸의 차남이다. 주치 칸의 아들들 중에 훌륭한 칸이라는 별명의 그는 아버지 속령에 대한 통치권을 계승하였다. 한자 식으로는 발도(抜都), 파독(巴禿), 팔도한(八都罕) 등으로 표기된다. 별칭은 사인 칸(撒因汗 Сайн хаан)으로, 몽골어로 자비롭고 선한 칸, 현명한 칸이라는 뜻이다. 1236년~1241년의 몽골군 제2차 유럽 원정을 최종 지휘했다. 페르시아어로는 바토(باتو)이다.
그는 자신이 몽골 제국의 대칸이 되지는 않았으나, 대칸을 선출하는 쿠릴타이에 영향을 미쳤다. 1221년부터 1223년 할아버지 칭기즈 칸의 서방 원정에 참여했다. 1235년부터 그는 킵차크 한국의 서부, 서남부 영토를 다스렸다. 그는 1236년~1241년 몽골의 2차 유럽 원정군의 최고사령관으로 진두지휘하면서, 헝가리 전지역과 폴란드 일부 지역을 직접 공략하였다. 2차 유럽 원정대에서 귀위크, 차가타이 한국의 부리 등에게 모욕당한 일로 귀위크 칸에게 앙심을 품고, 그의 대칸 즉위를 반대했다. 그뒤 툴루이의 처 소르칵타니 베키 및 그 자녀들과 연락, 몽케 칸의 즉위를 지지했다.
귀위크 칸의 즉위를 여러번 반대, 방해하였으며, 귀위크 칸의 즉위 이후 몽골 본국과의 연락을 줄이고 사실상의 독립국가화 시켰다. 1251년 몽케 칸을 추대한 공로로 몽케로부터 자치권을 승인받았다.
바투는 1205년에 태어났는데, 생일은 정확하지 않아 8월 18일 출생설과 8월 7일 출생설이 있다. 1207년생 설, 1208년생 설도 있다. 일설에는 1209년생 설이 있는데, 이 설을 채택하면 귀위크나 몽케보다 먼저 태어났다는 기록과는 다소 맞지 않게 된다. 아버지는 칭기즈 칸의 아들 주치이고, 어머니는 우기 우진 혹은 우카 우진으로 옹기라트부 출신 알티 노얀의 딸로, 알티는 데이 세첸의 아들이자 보르테 카툰의 친정오라비였다. 그의 어머니의 외가 쪽으로는 나이만족이었다는 설이 있는데, 이 설에 의하면 그의 어머니는 나이만족 출신 소르칵타니 베키와 이종사촌간이라 한다. 이름 바투는 몽골어로 박쥐를 뜻한다. 그밖에도 몽골어로 강하고, 튼튼한, 신뢰할 수 있다는 의미도 있다. 라시드 웃딘의 저서 집사를 비롯, 페르시아어계 사서에는 바토(باتو)로 등장한다. 별칭은 사인 칸(撒因汗 Сайн хаан)으로, 몽골어로 자비롭고 선한 칸이라는 뜻이다. 몽골인과 투르크인들은 그를 사인 칸이라 불렀다.
바투의 아버지 주치는 할머니 보르테가 임신 중, 메르키트부족에게 납치되었다가 풀려난 뒤에 태어났다. 아버지 주치는 평생 메르키트의 사생아라는 의심을 받았고, 자신의 동생 차가타이로부터 공개석상에서 메르키트의 사생아로 지목되어 논란을 일으켰다.
바투의 어린 시절과 초기 삶에 대해서는 알려진 것이 없다. 바투는 아버지 주치를 홀대한 삼촌 차가타이와 그의 후손들에게 앙심을 품었고, 오랫동안 보복의 기회를 찾았다. 오고타이 칸에게는 원한을 품지 않았으나, 1236년~1241년 2차 서방 원정길에서 오고타이 칸의 서장자 귀위크가 바투를 늙은 여자 같다고 비웃었던 일로 오고타이 일가에게도 앙심을 품게 되었다. 귀위크가 1240년 키예프 점령 승전 축하 때, 건배사, 먼저 축배를 드는 것에 자신이 대칸의 아들이라며 이의를 제기한 일, 차가타이 가문의 부리가 자신을 비웃을 때 부리의 편을 든 일 역시 귀위크 등에게 악감정을 품는 원인이 됐다. 이로서 차가타이 가문, 오고타이 가문과 두루 척을 지게 되었다.
그는 이복형 오르다와 사이가 좋았는데, 오르다는 자신의 킵차크 한국 총괄 칸의 지위를 바투에게 양보하였다. 오르다는 바투를 주군으로 추대하고 그의 지도를 받기도 했다 한다.
주치 울루스 계승.
1225년 혹은 1226년 초, 아버지 주치가 할아버지 칭기즈 칸보다 앞서 갑자기 죽은 뒤 혹은 암살당한 뒤, 그는 칭기즈 칸으로부터 아버지 주치 몫으로 분배된 울루스를 분배받았다. 이때 바투는 병약했던 이복 형 오르다 대신 그가 주치 가문의 당주가 되었다. 오르다의 생모 역시 옹기라트부 출신이었지만, 바투의 어머니는 옹기라트부 중에서도 데이세첸의 가문인 옹기라트씨 출신이었다.
바투의 영토는 이르티쉬의 서쪽인 세미팔라틴스크, 악몰린스크, 투르가이 또는 약튜빈스크, 우랄스크, 아다지, 호레즘 본토(히바)를 포함하였고, 또한 킵차크 인들의 땅부터 볼가 강 서쪽의 정복지인 제베와 수베에테이의 원정으로 얻은 땅을 포함하였다. 또한 그는 마자르인(헝가리인), 킵차크인, 폴란드인 병력으로 구성된 군사를 편성, 유지하였다.
1227년 8월 18일 칭기즈 칸이 서하 원정 중 사망하자, 바투는 형 오르다, 동생 베르케, 타시테무르, 샤이반, 탕구트 등과 함께 칭기즈 칸의 장례식에 참석했다. 1227년의 쿠릴타이에서 몽골 왕족, 부족장들은 툴루이를 지지했으나 그는 입장표명을 하지 않고 관전하였다. 다시 개최된 쿠릴타이에서 차가타이, 테무게 옷치킨 등이 우구데이를 지지할 때도 그는 별다른 입장표명 없이 관전하였다. 1229년 쿠릴타이에 참여하여 오고타이 칸을 선출하였다. 칭기스 칸이 죽은 뒤, 혈통 문제가 불거져 바투와 칭기스 칸의 다른 손자들 간의 알력다툼이 다시 나타났다. 2차 서방 원정에서 우구데이 칸은 주치의 혈통 문제를 거론하며 바투를 모욕한 자신의 아들들을 책망했지만, 사촌들에게 모욕을 당한 바투는 1237년 이후² 킵차크 칸국을 건설하고 몽골 본국과의 직접적인 관계는 서서히 끊어갔다.
1236년 2월 오고타이 칸은 그를 2차 유럽 원정군의 총사령관에 임명하고, 자신의 아들 구유크 칸, 카단 오굴, 칭기즈 칸의 사준 사구의 한 사람인 수부타이, 칭기즈 칸의 넷째 아들 툴루이의 장남인 몽케 등을 부사령으로 출정, 파견보냈다. 또한 바투의 휘하에는 칭기즈칸의 서자 코르겐 등이 배정됐다.
2차 유럽 원정 지휘.
바투는 몽골 전승에는 '훌륭한 임금'이라 하나, 루스인들에게는 무자비한 정복자로 알려져 있다. 바투는 1237년에 루스의 도시 쿠르스크, 벨고로드, 랴잔 등을 포함한 12개의 도시를 단 5일만에 무너뜨렸고, 1238년에는 루스 노브고로드 주의 크레스테츠키 군을 침략했다. 1241년 4월 11일 셔요강 인근에서 일어난 모히 전투에서 헝가리의 벨러 4세를 무찔렀다.
1236년 오고타이 칸의 명으로 서방 원정군을 편성, 그해 가을 원정군에 오고타이의 아들 귀유크, 툴루이가문의 몽케와 차가타이 가문의 부리 등과 함께 루스 원정에서 참전했다. 1237년 겨울에는 리아잔 공략전에 참여했고, 1239 년에는 귀위크는 몽케와 함께 알라니족과의 전투에서 승리를 거두었다.
1240년 봄 바투는 카르파티아산맥 앞에서 원정군을 5개로 나누어 폴란드 방면과 왈라키아 방면, 카르파티아 방면에서 트란실바니아를 경유하는 군사를 나누어서 파견, 헝가리 근처에서 집결하여 헝가리 왕국으로 침공했다. 1240년 루스 원정에 나섰고, 1240년 겨울 겨울에는 키예프 공성전에도 참여했으며, 1241년 4월 11일 모히 전투에 참가했다.
오르다가 이끄는 소부대는 폴란드 왕국 피스트 왕조를 침공해, 그해 3월 크라쿠프를 점령했고, 바이다르가 이끄는 전위군은 1241년 4월에는 레그니차 전투, 발슈타트 전투에서 폴란드군을 꺾고 실레지안 공 하인리히 2세를 전사시켰다. 바이다르는 슐레지안 공 하인리히 2세의 목을 베어 창대에 매달았고, 전사한 폴란드인의 귀를 잘라 2개의 포대자루에 담아 공개했다. 유럽인들은 이를 듣고 공포에 떨게 되었다. 바이다르의 군대 일부는 실레지아, 모라비아 지방을 공략하여 황폐화시켰다. 카단 오굴, 부리가 이끄는 군대는 각각 카르파티아산 사이에 거주하고 있던 서 작센인들을 부수고, 부체크의 군은 산맥의 왈라키아 인으로 추정되는 집단을 격파했다.
1241년 3월 바투가 이끄는 몽골 서방원정군 본군은 트란실바니아에서 헝가리로 들어가, 베라 4세에게 사자를 보내 항복을 권고했다. 그러나 확답을 듣지 못한 바투는 곧 모라비아로 진격, 바이다르, 카다안, 수부타이의 군대와 합류하여 페슈트 시를 함락시켰다. 티서강(티사강) 유역의 모히 평원에서 헝가리 왕 베라 4세와 대치, 바투는 수부타이, 샤이반이 이끄는 전위 부대를 야밤에 보내, 베라 4세의 숙영지를 급습해 찢었다. 베라 4세는 소수의 장병들과 겨우 탈출하여 오스트리아 경유로 아드리아해로 패주했다. 바투는 카다안 오굴을 보내 베라 4세를 추격하게 했지만 붙잡지 못했다. 이렇게 몽골군은 헝가리 전지역과 폴란드 일부 지역을 점령, 파괴하였다.
1240년부터 바투의 군대에 의해 키예프는 파괴되고 황폐화됐다. 키예프는 당시 러시아의 중요한 도시였으나 바투의 군대에 의해 도시, 성벽이 파괴되고 킵차크 칸국 성립 이후 러시아인은 점차 키예프에서 모스크바로 생활 근거지를 옮겨갔다.
귀위크와의 대립.
계속되는 1241년은 카다안 등에 의한 트란실바니아 전역의 정복이나, 쿠만인, 마자르인 등의 헝가리 왕국의 잔존 세력의 소토 등이 행해졌다. 여름부터 가을에 걸쳐서 바투의 본대는 다뉴브 강 하반에 막영한 후, 겨울에는 동결된 다뉴브 강을 건너 에스테르고무시를 포위 공격했다.
그러나, 이 원정의 과정에서 귀위크와 바투의 사이가 벌어졌다. 귀위크는 바투 형제들의 실책을 보고 그들의 지휘 능력, 특히 바투의 역량을 불신했다. 이를 알게 된 우구데이는 귀위크와 몽케에게 있던 우익군의 지위를 카단과 부첵에게 맡기고 돌아오라고 명령했다. 바투는 이들을 위해 티서강과 도나우강 강변에서 이별연을 열었는데, 이 자리에서 귀위크는 전쟁에서의 바투의 소극적 태도를 비난했다.
1240년 키예프를 점령한 직후 승전 축하연에서 총사령관 바투가 건배를 제의하고 술을 마시자, 귀위크는 자신이 칸의 아들이라며 자신이 먼저 건배 제의를 해야 한다, 혹은 자신이 먼저 잔을 들어야 한다고 이의를 제기했다. 이는 곧 언쟁으로 이어졌고, 이는 우구데이 카안에게 보고되었다. 우구데이는 그가 카안의 아들이라는 지위를 이용해서 자신의 주군, 형을 능멸했다며 분개했다. 우구데이 카안이 바투를 지지하자 귀위크는 이에 불만을 품고, 전쟁 도중 자신의 병력을 슬그머니 뒤로 빼거나 지원을 주저하였다. 이는 그대로 우구데이 카안에게 보고되었다.
한번은 차가타이 가문의 부리가 바투를 공격했고, 귀위크는 이를 관망했다. 한번은 술좌석에서 귀위크가 바투를 비웃다가 시비가 붙기 직전까지 갔다. 원조비사와 집사(集史)에 따르면, 원정 중 차가타이 가문의 부리가 주치계열 왕자들과 말다툼을 벌인다. 이때 귀위크도 부리에 동조했다 한다. 원조비사에 의하면 전투 중의 상황을 보고받은 오고타이 칸은 분노했고, 귀위크를 해임, 본국에 소환을 명령했다. 집사(集史)에 의하면 귀위크가 귀환하면서 몽케도 같이 몽골로 돌아갔다 한다.
원정 취소.
귀위크는 바투 형제들의 실책을 보고 그들의 지휘 능력, 특히 바투의 역량을 불신했다. 귀위크는 바투에게, 바투는 화살통을 들고 다니는 늙은 여자일 뿐이라고 조롱했다. 몽골 장수들이 모인데서 공개 모욕을 당한 바투는 격분했고, 이는 몽골 본국에 알려졌다. 이를 알게 된 우구데이는 귀위크와 몽케에게 있던 우익군의 지위를 카단과 부첵에게 맡기고 돌아오라고 명령했다. 바투는 이들을 위해 티서강(티사강)과 도나우강 강변에서 이별연을 열었는데, 이 자리에서 귀위크는 전쟁에서의 바투의 소극적 태도를 비난했다. 몽골비사에 의하면 우구데이는 다시 서신을 보내 '...(이하 중략)... 너는 너의 주인(바투를 말한다.)이 러시아인과 킵차크를 정복하는 동안 그는 러시아인이나 킵차크인을 한 명도 제대로 붙잡지 못했고 염소 발굽도 얻지 못하지 않았느냐'며 속히 돌아오라고 책망하였다. 귀위크는 1240년 가을에 회군을 시작했다.
한번은 원정 도중 차가타이 가문의 부리가 바투를 공격했고, 귀위크는 이를 관망했다. 한번은 술좌석에서 귀위크가 바투를 비웃다가 시비가 붙기 직전까지 갔다. 원조비사와 집사(集史)에 따르면, 원정 중 차가타이 가문의 부리가 주치계열 왕자들과 말다툼을 벌인다. 이때 귀위크도 부리에 동조했다 한다. 원조비사에 의하면 전투 중의 상황을 보고받은 오고타이 칸은 분노했고, 귀위크를 해임, 본국에 소환을 명령했다.
귀위크, 몽케 등이 회군하는 동안 바투는 수부타이와 유럽의 지도를 획득, 이탈리아, 체코, 남부 독일을 정벌할 계획들을 세운다. 그러나 전령에게서 우구데이 카안의 사망 소식을 접하고 원정은 전격 취소됐다.
집권 희망과 포기.
1241년 12월 21일 우구데이가 알콜중독으로 갑자기 사망하자 얼마 지나지 않아 바투의 본진에게도 그 사망 소식이 도착했다. 1242년 3월 몽골의 사자가 서방에 도착, 우구데이의 사망 소식을 공식 확인했다. 바투는 우구데이의 갑작스러운 사망에 따른 원정군 전군의 귀환을 명령, 2차 원정은 무산되었다.
1242년 3월에 바투은 우구데이 칸의 사망에 따른 원정군 전군의 귀환 명령을 받기 직전, 에스테르곰을 함락시키고 카다안을 시켜 벨라 4세를 추격했다.
1242년 늦봄 혹은 1242년 여름, 바투는 다른 몽골군 및 자신이 이끄는 마자르인, 폴란드인, 킵차크인, 투르크인 등의 군사를 데리고 카라코룸에 있는 그레이트 쿠랄에 찾아왔다. 이때 바투는 대칸 이 될 기회를 얻었고, 대칸이 되기를 희망했다. 곧 그는 후계자 선택에 참여할 계획을 세웠다. 바투는 군대 그러나 몽골 본국에 그의 지지자가 없었고, 몽골 제국 섭정을 맡고 있는 퇴레게네 카툰의 책략으로 자신이 대칸 자리를 차지할 수 없다는 것이 분명해지자, 다시 서쪽으로 돌아왔다. 이후 정복한 중앙아시아와 우랄산맥을 정복할 계획을 세웠다. 그는 돌아올 때 수부타이는 데리고 가지 않았다. 귀위크가 최종 대칸으로 선택되자 그는 분노했다.
대칸 킹메이커.
그는 칭기즈 칸 가문의 장로로서 제국의 대칸을 둘러싼 권력 분쟁에서 중요한 역할을 감당하여, 몽골의 킹메이커, '대칸 옹립자'로도 알려져 있다. 1241년에 우구데이 칸이 죽자 대칸의 자리를 두고 우구데이의 아들인 귀위크와 바투 사이에 분쟁이 발생했다. 바투는 툴루이의 왕비 소르칵타니와 손 잡고 우구데이계 와의 분쟁이 다시 발생했다. 1246년 바투는 키예프 야로슬라프 2세 프세볼로도비치를 쿠릴타이에 보냈는데, 퇴레게네 카툰 혹은 귀위크 칸의 지지자들에 의해 독살되어 귀국 길에 죽었다. 바투는 귀위크 칸 재위기간 중 쿠릴타이 소집을 계속 거절, 불참했다.