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루트비히 1세는 고대 그리스 문화에 심취해 있었는데, 신하 중 한 사람이 축제를 고대 올림픽 경기처럼 열 것을 제안했다. 이 제안은 받아들여져서 첫 번째 옥토버페스트는 스포츠 경기에 치우친 축제로 열렸다. 바이에른 왕실은 국민들이 이 축제를 매우 좋아했기 때문에 다음 경마경기를 다시 열기로 한다. 이렇게 해서 옥토버페스트가 시작되었다.
민속축제로의 발전.
1850년에는 축제가 열리는 공원 앞에 20여 미터 크기의 바바리아 상(바이에른을 상징하는 여신상)이 세워졌고, 1853년에는 그 뒤편에 루메스할레(Ruhmeshalle)라는 건물이 완공되어 이후 축제의 상징물이 되었다. 그 다음 몇 해는 콜레라와 전쟁으로 인해 몇 번 축제가 열리지 못했다.
19세기가 끝날 무렵에는 그 규모가 점점 커져 세계에 널리 알려진 민속 축제로 발전하게 되었다. 축제가 열리는 기간이 날씨가 따뜻하고 맑은 9월로 앞당겨지며 길어졌으며, 이 기간의 변경으로 옥토버페스트는 개최 기간의 마지막 주말 정도만 10월에 걸치게 되었다. 1880년부터는 시 당국이 맥주 판매를 허용했으며, 1881년에는 처음으로 구운 소시지(bratwurst)를 파는 "Hendlbraterei"가 문을 열었다. 전기 전등이 400여 개의 텐트를 밝히게 되었으며, 더 많은 방문객들이 음악을 들으며 술을 마실 수 있도록 양조장들은 거대한 맥주홀(Bierhalle)을 만들었다.
20 세기.
1914년부터 1918년까지는 제 1차 세계대전으로 인해 축제가 열리지 못했다. 1919년과 1920년에도 대규모 축제는 열리지 못하고 소규모의 가을 축제만 열렸다. 1923년과 1924년에는 인플레이션으로 인해 다시 한번 축제가 취소되었다. 또한 제 2차 세계대전 동안인 1939년부터 1945년까지도 축제가 전혀 열리지 못했다. 전쟁이 끝난 1945년부터 1948년까지 역시 소규모의 가을 축제만이 열릴 수 있었다. 축제가 처음 생긴 이래 옥토버페스트는 24번 열리지 못했다.
1950년 뮌헨 시장 토마스 빔머가 처음으로 맥주통 꼭지를 따는 행사로 축제를 시작했다. 이것은 현재는 옥토버페스트의 빠질 수 없는 전통이 되었다. 이후 옥토버페스트는 다시 세계 최대의 민속축제로 발전해갔다.
1980년 9월 26일에는 옥토버페스트 최악의 사건이 터졌다. 축제가 열리는 축제장 대문에서 폭탄이 터져 13명이 죽고 200여 명이 부상을 입었다. 그중 68명은 중상이었다.
현재의 옥토버페스트.
옥토버페스트에는 현재 매년 600만 명이 찾고 있으며, 방문자의 수는 매년 늘고 있다. 이들 중에 독일인이 아닌 외국인의 수는 15% 정도에 이르며, 이탈리아, 미국, 일본, 호주인들이 그 중에 다수를 차지한다.
그러나 방문한 사람들의 과음이 점점 문제가 되고 있다. 축제장이 술주정꾼의 난장판으로 만들지 않기 위해서 2024년에는 "조용한 옥토버페스트(Ruhigen Wiesn)"라는 조직이 결성되기도 했다. 또한 각 텐트 운영자들은 17시 이전에 전통 관악음악만 연주하고, 음악의 크기도 85 데시벨 이하가 되도록 강제하고 있다. 밤이 되면 대중음악도 연주할 수 있다. 이는 옥토버페스트가 가족과 노인들도 거부감 없이 방문할 수 있고, 전통적인 분위기도 유지하기 위한 것이다.
적분(, )은 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이다. 리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면, 실수의 척도를 사용하는 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 정적분(定積分, )이라 한다. 구간 [a, b]에 대하여 formula_1 이면 적분은 곡선의 면적과 동일하다. 그러나, 오른쪽 그림과 같이 구간 가운데 일부가 음수인 치역을 갖는다면 적분 값은 서로 상쇄되어 곡선이 이루는 면적과 다를 수 있다.
고대 그리스 시대 시라쿠사의 수학자 아르키메데스는 도형의 면적이나 부피를 구하는데 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용하였다. 아르키메데스는 구적법을 이용하여 원, 구, 포물선의 일부 등에 대한 면적과 부피를 구하는 증명을 제시하였다. 구적법 문제는 이후 오랫동안 별다른 진전을 보이지 못하였다가 르네상스 시기에 이르러 보나벤투라 카발리에리가 무한의 개념을 도입하면서 진전이 있었다. 1622년 카발리에리는 곡선으로 둘러싸인 도형의 면적을 매우 폭이 좁은 직사각형들의 면적을 합한 것으로 이해할 수 있다는 착상을 내놓았다. 이후 블레즈 파스칼은 지금의 적분 기호를 사용한 것은 아니지만 곡선의 면적은 모든 가로 선분의 합인 formula_6의 단위, 즉 n에 대한 비와 같다는 것을 파악하고 있었다.
카발리에리 이후 유럽에서는 도형을 당시의 표현을 빌리자면 불가분량이라고 부르는 아주 작은 양으로 나누어 넓이나 부피를 구하는 방법이 지속적으로 연구되었다. 케플러는 케플러의 행성운동법칙에서 지구의 공전 궤도가 타원을 이루며 같은 시간 동안 지구가 지나가는 황도면의 넓이는 같다고 주장하였다. 그는 타원의 넓이를 계산하기 위해 카빌리에리 이후 알려진 불가분량을 이용하였다. 또한, 케플러는 포도주통의 내측 부피를 구하기 위해 포도주통을 이루는 입체도형을 얇은 막들의 집합으로 파악하여 합산하였다. 이러한 발상은 케플러가 적분의 발견에 매우 근접하였다는 것을 보여준다.
한편, 데카르트가 제시한 좌표 평면과 해석기하학의 출현은 미적분학이 발전하는 중요한 밑거름이 되었다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 각자 독자적으로 미적분학을 수립하였으며 적분은 결국 미분의 역산으로 역도함수를 구하는 것과 같다는 점을 발견하였다. 이를 미적분학의 기본정리라고 한다.
19세기에 이르러 베른하르트 리만은 적분에 대해 수학적으로 엄밀한 정의를 내렸다. 1823년 오귀스탱 루이 코시는 모든 연속함수는 적분 가능함을 증명하였고, 리만은 이를 확장하여 연속 함수 f(x)의 적분은 해당 구간에서 리만 합의 극한과 같다는 점을 증명하였다. 이렇게 정의된 적분을 흔히 리만 적분이라 한다. 리만 적분은 이후 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 보다 간단히 정리되었다.
1902년 앙리 르베그는 연속된 함수의 유계 구간에 대해 내측도와 외측도의 개념을 정립하고 이를 덮개로 파악하여 계측하는 르베그 측도를 이용한 르베그 적분을 발표하였다. 르베그 적분은 n차원의 일반적인 함수에 대해 리만 적분을 확장하여 적용한 것이다. 르베그 적분은 특정 함수에 대해 리만 적분이 존재할 때에는 리만 적분과 일치하지만, 그렇지 않은 경우에도 적분 가능한 함수들을 만들어 낸다.
‘적분(積分)’이란 번역어를 근대에 처음 쓴 문헌은 의 《Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus》(1835)를 1859년 와 이선란이 번역한 《대미적습급(代微積拾級)》이다. 한편 조지프 니덤은 《》에서 11세기 중국에서 이미 ‘적분’이라는 번역어를 사용했었다고 주장했다.
적분은 곡면으로 이루어진 도형의 넓이나 물체의 부피와 같은 것에서 중력의 중심을 구하는 문제에 이르기까지 폭넓게 사용된다. 예를 들어 곡면으로 이루어진 수영장을 채우기 위해 얼마만큼의 물이 필요한지를 계산할 수 있다.
임의의 함수 formula_3의 정의역 가운데 일부 구간 formula_8에 대한 적분은 구간 내의 치역이 모두 formula_9 이상일 때 해당 구간의 넓이와 같다. 치역의 일부 구간이 음수일 경우 formula_9 이상인 구간과 상계되어 엄밀한 의미에서 적분과 구간의 넓이는 동일한 개념은 아니지만, 적분의 개요를 이해하기 위해 여기서는 넓이를 구하는 방법으로서 적분을 다룬다.
formula_11인 곡선에서 formula_12부터 formula_13사이의 넓이를 구하는 경우를 가정할 때,formula_14 라면. 이것은 다음과 같은 적분식으로 표현할 수 있다.
이제 다음과 같은 방법에 따라 위 식이 나타내는 넓이를 구할 수 있다. 우선 formula_16, formula_17 이므로 구간 formula_18에서 전체의 넓이는 가로와 세로가 각각 1인, 즉 넓이가 1인 정사각형 안에 있다고 할 수 있다. 물론, 여기서 구하고자 하는 곡선의 넓이는 이 전체 구간의 넓이보다 작다. 더욱 정확한 넓이를 계산하기 위해서는 구간을 더 세밀하게 나눌 필요가 있다. 오른쪽 그림의 노란색 사각형과 같이 구간 [0, 1]을 폭이 0.2인 구간으로 나누어 오른쪽 값을 높이로 하는 다섯 개의 사각형을 그릴 수 있다. 이들 사각형의 넓이의 합은
이 된다. 그래프에서 나타난 것과 같이 이 사각형들의 넓이의 합은 실제 넓이보다 여전히 크다.
한편, 오른쪽 그래프의 녹색 사각형은 구간 [0,1]을 12등분하여 왼쪽 값을 높이로 하는 사각형을 그린 것이다. 이 사각형들의 넓이의 합은
이다. 이 경우에는 사각형들의 넓이의 합은 실제 곡선의 넓이보다 작다.
이렇게 작게 나눈 구간의 오른쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 크게 되고 왼쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 작게된다. 그러나, 작게 나눈 구간의 폭을 매우 작게 만들면 둘의 차이는 거의 없게 되고 곡선의 실제 넓이에 근사하게 된다.
이와 같이 적분은 곡선의 넓이를 구하기 위해 밑변의 길이가 0으로 수렴하는 무수히 많은 사각형들의 넓이를 합한 것과 같다. 다항식을 관계식으로 하는 함수의 적분 계산법에 따라 구간 [0,1]에서 formula_22의 적분은 다음과 같이 계산된다.
지금까지의 예제는 리만 적분에 따른 것이다. 리만 적분에서 함수 f(x)의 적분은 다음과 같이 표기한다.
이때 ∫는 S를 변형시킨 것으로 합한다()는 것을 나타내는 적분 기호이고 formula_3는 함수를 formula_27는 formula_28의 구간에 대한 변화량()을 곱한다는 의미를 지닌다.
르베그 적분에서는
표기와 계산.
오늘날 일반적으로 사용되는 적분을 나타내는 표기 formula_31은 라이프니츠가 제안한 것이다. 적분 가능한 함수 f(x)가 있을 때 적분의 표기는 다음과 같다.
미적분학의 기본정리에 따라 적분은 미분의 역연산이다. 즉, 함수 formula_3를 도함수로 하는 원시함수 formula_36가 존재한다. 원시함수를 구하는 과정을 부정적분(不定積分)이라 한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같은 관계가 성립한다.
예를 들어, formula_34 라고 하면 원시함수 formula_36는 다음과 같이 생각하여 구할 수 있다.
의 형태가 됨을 알 수 있다. 따라서, 다항식의 도함수 계산법을 이용하면 formula_44가 되고, formula_45는 임의의 상수가 된다. 즉,
위 식에서 나타나는 임의의 상수 formula_45를 적분상수라고 한다. 원시함수 formula_36에 나타나는 적분 상수는 함수 formula_3로 미분될 때 formula_9이 되어 소멸한다.
일반적인 경우를 살펴보자. 구간 [a, b]에서 적분 가능한 함수 formula_3의 임의의 두 부정적분을 formula_36, formula_56라 하자.
formula_57 라 하자. 구간 formula_58에 속하는 임의의 formula_28에 대하여, 함수 formula_60에 평균값의 정리를 적용하면
를 만족하는 c가 구간 (a, x)에 존재한다. 그런데
이다. 즉 H(x) = H(a)이다. 구간 (a, b]에 속하는 임의의 x를 택하였으므로, 구간 [a, b]에서 이 식이 성립한다. 즉, 구간 [a, b]에서 H(x)는 상수함수이다. 따라서 H(x) = k (k는 상수)라 할 수 있으므로
이다. 즉, 구간 [a, b]에서 두 함수 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 따라서 함수 f(x)의 임의의 부정적분 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 어떤 함수의 부정적분을 적분상수를 이용하여 표기하는 것이 정당함을 알 수 있다.
한편, 함수 f(x)의 구간 [a, b]에 대한 적분은 시작점과 끝점이 있는 유계의 변화량을 뜻하며 이를 정적분(定積分)이라 한다. 구간 [a, b]에 대한 함수 f(x)의 정적분은 다음과 같이 계산될 수 있다. 일반적으로 적분은 정적분을 가리킨다. 또한, 리만 합의 극한으로서 정적분을 정의하는 것을 리만 적분이라고 하며, 별다른 설명이 없을 경우 적분은 흔히 리만 적분을 가리킨다.
위에서 예를 든 formula_68의 구간 [4, 9] 에 대한 적분을 계산하면,
구간 [4, 9]에 대한 함수 f(x)=x의 치역은 모두 양수 이므로 위 결과는 구간 [4, 9]에 대한 f(x)=x의 넓이와 같다. 오른쪽의 그래프와 같이 이는 결국 한변의 길이가 9인 직각이등변삼각형의 넓이에서 한변의 길이가 4인 직각이등변삼각형의 넓이를 뺀 것과 동일하고, 그 결과 역시 같다.
위의 예와 같이 적분은 하나의 수로서 formula_71와는 무관하다. 즉 다음의 등식이 성립한다.
삼각 함수의 적분.
삼각함수 역시 미분적분의 기본정리를 이용하여 원시 함수를 구한후 정적분을 계산한다. 예를 들어 formula_73의 원시 함수는 formula_74가 되므로, 구간 [a,b]의 정적분은
와 같이 계산할 수 있다.
적분의 여러 형식.
적분은 여러 가지 형식으로 구분된다. 적분 계산에 대한 정의 방식이 달라 서로 다른 형식으로 분류되는 것이 대부분이지만, 교육적인 목적때문에 구분한 경우도 있다. 가장 일반적으로 널리 쓰이는 적분은 리만 적분과 르베그 적분이다.
리만 적분.
리만 적분은 주어진 구간에서 리만 합의 극한으로 적분을 정의한다. 폐구간 [a,b]는 다음과 같이 보다 작은 구간으로 분할 될 수 있다.
구간 [a,b]를 n 개의 하위 구간으로 분할하는 경우, 하위 구간들은 ["x""i"−1, "x""i"]와 같이 "i"에 의해 표기될 수 있다. 분할된 각각의 하위 구간의 표시는, "t""i" ∈ ["x""i"−1, "x""i"]와 같이 지정할 수 있다. 함수 f(x)의 특정 구간 [a, b]를 n 개의 하위 구간으로 분할 할 때 리만 합은 다음과 같이 정의된다.
왼쪽의 그래프와 같이 각각의 하위 구간들은 사각형을 구성하게 된다. 이때 곡선과 만나는 어느 지점을 사각형의 높이로 삼을 것인지에 따라 사각형의 크기가 달라지게 된다. 예를 들어 하위 구간의 시작점을 기준으로 한다면 그래프에서는 왼쪽을 기준으로 한 사각형을 그릴 수 있다. 이 경우를 왼쪽 리만 합이라고 한다. 같은 방법으로 하위 구간의 끝점을 기준으로 하는 오른쪽 리만 합, 가운데 지점을 기준으로 하는 가운데 리만 합, 하위 구간에서 곡선의 가장 높은 곳을 기준으로 하는 최댓값 리만 합 등을 만들 수 있다. 왼쪽의 그림에서 가운데에 있는 그래프는 오른쪽 리만 합이든 다른 종류의 리만 합이든 종류에 관계없이 극한을 취할 경우 같은 값으로 수렴함을 보여주고 있다.
구간 [a,b]에 대하여 "k"를 간격으로 하여 "n" 개로 분할된 하위 구간의 변량을 Δ"k" = "x""k"−"x""k"−1 라 하면, 전체 구간 [a,b]는 분할 된 각각의 하위 구간들의 합으로 생각할 수 있다. 위에서 설명한 〈적분의 개요〉에서 보았듯이 적분은 하위 구간의 변량 Δ"k" 가 0으로 수렴하는 경우를 구하는 것이다. 즉, 리만 적분은 구간 [a.b]에서 리만 합의 극한을 구하는 것과 같다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
르베그 적분은 리만 적분에 비해 보다 광범위하게 적용할 수 있는 적분이다. 예를 들어 리만 적분은 강철 빔의 질량을 쉽게 계산할 수 있지만 강철 구의 경우에는 해결하기가 쉽지 않다. 반면, 르베그 적분은 형태에 제약없이 사용할 수 있다. 르베그 적분은 하중의 계산 등에 흔히 쓰인다.
르베그 적분의 정의는 측도 μ를 정의하는 것에서부터 시작한다. 간단한 경우를 보면, 르베그 측도 μ("A")는 구간 "A" = ["a","b"]를 폭으로 삼는다. 이것은 "b" − "a" 가 되며, 이 경우 르베그 적분과 리만 적분은 같은 값을 갖는다. 보다 복잡한 경우, 르베그 적분은 불연속 구간에서의 적분과 분할된 구간들이 서로 다른 형상을 갖는 경우 등을 포함한다.
이를 테면 르베그 적분은 리만 적분의 확장이라고 볼 수 있다. 리만 적분이 “함수 f의 구간 [a,b] 에 대하여 분할된 하위 구간의 합”을 살피는 것부터 접근하는데 비해, 르베그 적분은 “함수 f의 범위에 대해 유효한 분할”을 살피는 것에서부터 적분의 정의에 접근한다.
이 때, 단순 함수 "s"에 의한 측도 "A""i" 에 포함되는 값 "a""i"가 존재한다. 한편, 측정 가능한 "E"를 다음과 같이 정의한다.
결국, "f"의 르베그 적분은
일때
로 정의된다.
기타 적분.
리만 적분과 르베그 적분을 확장한 리만-스틸티어스 적분, 르베그-스틸티어스 적분 등 여러 가지 확장이 존재한다. 적멸적분이라는 방법 역시 있다.
룽산 문화(, 기원 전 2300년경-기원 전 1800년경)는 중국 북부(화북)의 황하 중류에서 하류에 걸쳐 퍼져 있는 신석기 시대 후기의 문화를 말한다. 흑도가 발달하여 흑도 문화라고도 한다.
룽산 문화는 중원 룽산문화(허난 룽산문화와 샨시 룽산문화) 및 산둥 룽산문화로 나뉘어 있다. 산둥 룽산문화는 황하 하류를 중심으로 존재한 다원커우 문화에 이어 나타나며, 허난 룽산문화는 황하 중류에 존재한 양사오 문화에 이어 등장하고 있다. 룽산 문화는 황하 유역의 다른 문화가 발전했던 지역에까지 널리 퍼졌을 뿐만 아니라, 장강 유역 등, 이후 동이족의 문화가 발달한 양즈강 주위와 산맥을 따라 중국북동 지역을 중심으로 영향을 미쳤다.
룽산 문화는 산둥성 동부의 장추 시 룽산진에 있는 청즈아이(城子崖)에서 1928년에 유적이 출토되어 1930년 이후 본격적으로 발굴되었다. 룽산 문화의 특징은 고온으로 구운 회도, 흑도를 중심으로 한 높은 도기 기술에 있으며, 그릇이 얇고 균일하여 녹로가 사용되고 있었음을 추측할 수 있다. 특히 란각도(卵殻陶)로 불리는 것은 그릇을 알의 껍질처럼 얇게(0.5 – 1 mm) 만든 흑도의 도기로, 한층 더 연마해 검은 윤기를 내고 세밀한 문양을 조각한 것이다. 이것은 황하 유역뿐만 아니라 장강 유역이나 중국의 남부 해안 부근에서도 발견되고 있어 룽산 문화의 확산을 알려주고 있다. 한편으로 장강 중류 지역의 취자링 문화도 회도, 흑도를 특징으로 하는 문화로 허난성 부근에까지 영향을 끼치고 있어 룽산 문화가 장강 부근의 문화의 영향을 받았을 가능성도 있다.
도기뿐 아니라 돌칼(石包丁) 등 석기나 골기 등의 무기나 도구, 비취 등의 구슬도 출토되었다. 룽산 문화 후기에는 청동기도 출현하였고, 은대, 주대(또눈 은나라 이전의 하나라)의 청동기 시대로 가는 과도기였다고 생각할 수 있다.
룽산 문화의 사회에서 나타난 가장 큰 변화는 도시의 출현이다. 초기의 주거 형태는 수혈식 주거였지만, 곧 기둥이나 벽을 세운 가옥이 출현했다. 또 흙을 다져 만든 성벽이나 굴이 출토되고 있어, 특히 샨시성 샹펀현 타오스 향(陶寺郷)의 남쪽에서 발견된 샨시 룽산문화의 유적, 타오시 유적(陶寺遺跡, 기원 전 2500년 - 기원 전 1900년)은 룽산 문화의 도시 유적 중에서도 가장 큰 것이다.
농업이나 수공업의 발달도 특징이다. 샨시성의 웨이허 주변에서는 농업과 목축업이 양사오 문화의 시기에 비해 크게 발전하였다. 쌀의 재배도 시작되었고, 누에를 기르는 양잠업의 존재와 소규모의 견직물 생산도 확인되고 있다.
동물의 견갑골을 사용한 점술이나 무술(巫術)의 흔적도 엿볼 수 있어 종교도 있었던 것으로 보인다. 농업 등의 발달로 인한 잉여 생산이 생기고, 사유재산이 출현하여 사회의 계층화가 진행되었고, 부권제 사회나 계급 사회가 탄생했다. 흑색 토기에서는 회전대를 사용하고 광택을 낸 것을 알 수 있으므로 제작기술도 발전하였다는 것을 알 수 있다
중국의 신석기 시대의 인구는 룽산 문화에서 절정을 이루었지만, 룽산 문화의 말기에는 인구가 격감했다. 동시에 분묘의 부장품에서 고품질의 란각도, 흑도 등도 볼 수 없게 되었다.
룽산 문화의 전기는 기원전 2300년에서 기원전 1800년경으로, 기원 전 2600년경에서 기원 전 2000년경이 후기에 속한다. 또 룽산 문화는 황하 유역의 지형에 맞추어, 중원의 허난 룽산 문화, 웨이허 연안의 샨시 룽산 문화, 황하 최하류의 산둥 룽산 문화 등 지역 마다 여러 가지로 분화되고 있어, 특히 후기가 되면 분화가 명확해 진다. 웨이허 연안은 그 뒤로 실크로드로 불리는 서역 교역로의 기점으로서 중국 역사의 중심지 중 하나가 되었다.
수학에서 리만 합()은 적분의 값을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 또한 새로운 적분 연산을 정의하기 위해 사용되기도 한다. 리만 합이라는 수학 용어는 베른하르트 리만의 이름을 본따서 붙여졌다.
실수의 부분집합 "D"에서 정의되는 함수 "f": "D" → R를 생각하자. 그리고 "I"=["a", "b"]인 닫힌구간이 "D" 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {"x"0, "x"1, "x"2, ... "x""n"}은 "a" = "x"0 &lt; "x"1 &lt; "x"2 ... &lt; "x""n" = "b"이고 "I"안에 들어있는 다음의 분할()을 생성한다. :
여기서 "x""i"-1 ≤ "y""i" ≤ "x""i"이며, 구간 내에서 "y""i"의 선택은 임의적이다. 모든 "i"에 대하여 "y""i" = "x""i"라면 "S"는 오른쪽 리만 합으로, "y""i" = "x""i"-1라면 왼쪽 리만 합, "y""i" = ("x""i"+"x"i-1)/2라면 가운데 리만 합으로 각각 불린다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 "사다리꼴 합"()이라고 불리는 것과 같다.
여기서, "v""i"는 ["x""i"-1, "x""i"]에서 "f"의 최소 상한이다. 그러면 "S"는 위쪽 리만 합으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, "v""i"가 ["x""i"-1, "x""i"]에서 "f"의 최대 하한이라면 "S"는 아래쪽 리만 합이다.
주어진 분할("x""i"-1과 "x""i" 사이에서 임의로 선택한 "y""i")을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 "리만 적분 가능"으로 정의된다. 이 사실은 수치 적분에 사용된다.
방법들.
위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, ["a", "b"]는 "n"개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 "Q"=("b"-"a")/"n"이다. 따라서 각 분할의 점들은
1.왼쪽 리만 합.
왼쪽 리만 합을 계산하기 위해 분할한 각 구간의 왼쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 밑변 "Q"와 높이 "f"("a"+"iQ")를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 "i"=0, 1, ..., "n"−1 동안 반복하여 더하면 결과 면적은
2.오른쪽 리만 합.
여기서는 각 구간의 오른쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 "Q"와 높이 "f"("a"+"iQ")를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 "i"=1, 2, "n"−1 동안 반복하여 더하면 다음 결과를 얻는다. :
3.가운데 리만 합.
이 경우에는 각 부분 구간의 중간점에서 "f"의 값을 구한다. 따라서 첫 번째 구간은 "f"("a" + "Q"/2)의 값을, 두 번째 구간은 "f"("a" + 3"Q"/2)를 가진다. 이를 반복하여 마지막 구간에 다다르면 "f"("b"-"Q"/2)이 된다. 이것을 모두 합하면,
이 식의 오차는
가 된다. 여기서 formula_7는 이 구간에서 formula_8의 절댓값의 최댓값이다.
4.사다리꼴 규칙.
여기서는, 각 구간의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 평균값을 이용하여 구한다. 위의 방법들과 마찬가지로, 각 사다리꼴의 넓이인 formula_9 (평행한 두 변은 "b"1, "b"2, 높이가 "h")을 더하면,
혼조시(, )는 일본 사이타마현 북서부에 있는 시이다.
에도 시대에 현재의 군마현, 나가노현, 기후현을 경유하여 에도(현 도쿄)와 교토를 잇는 나카센도(中山道)의 가장 큰 역참 마을로 발전했다. 현재도 도쿄와 니가타현, 나가노현을 잇는 고속도로의 나들목이 있고, 2004년에는 신칸센 역도 신설되었다. 신칸센 역 주변에는 와세다 대학 캠퍼스도 있다.
2006년 1월 10일에 인접한 고다마군() 고다마정()과 통합하여 새로운 혼조시가 생겨났다.
차이콥스키는 그곳에서 그의 제자이자 바이올린 연주자인 요지프 코테크(Yosif Kotek)와 바이올린과 피아노를 위한 작품을 함께 연주했었고, 그것이 이 협주곡을 작곡하게 된 기폭제가 되었다. 차이콥스키는 바이올린 연주자가 아니었기 때문에 바이올린 독주 부분 작곡은 요지프의 도움을 받았다. 작곡은 매우 빨리 이루어져 한 달 안에 곡이 완성되었다.(2악장은 나중에 다시 쓰여졌고 원래의 2악장은 “Souvenir d'un lieu cher”의 바이올린과 피아노를 위한 세 곡 중의 하나로 남아있다.)
코테크는 이 곡을 초연하기 위한 충분한 명성이 없었으므로 차이콥스키는 레오폴트 아우어(Leopold Auer)에게 첫 연주를 부탁하며 그에게 헌정하려 했다. 하지만 아우어는 이 곡은 연주가 불가능하다며 제안을 받아들이지 않았고(그러나 이후에 연주했다.) 차이콥스키는 다른 연주자를 찾아야만 했다. 마침내 이 곡은 아돌프 브로드스키(Adolph Brodsky)에 의해 1881년 12월 4일에 처음으로 연주되었다.(그리고 차이콥스키는 그에게 헌정했다.) 곡에 대한 평가는 엇갈렸고, 당시에는 지금과 같은 호평은 받지 못했었다.
차이콥스키는 바이올린 협주곡을 단 한 곡만 작곡했지만, 피아노 협주곡은 세 작품을 작곡했다. 그 중에서 특히 피아노 협주곡 1번이 유명하다.
C형 소행성은 탄소질 소행성이다. 알려진 소행성 수의 75%를 차지할 정도로 많으며, 2.7AU 바깥 쪽에서는 그보다 더 흔하다. C형 소행성의 비율은 이보다 더 높을 수 있는데, 이들 소행성의 반사도가 매우 낮은 편이라 충분히 발견되지 않았을 수 있기 때문이다.
이 소행성들은 탄소질 콘드라이트 운석과 매우 유사한 분광형을 갖는데, 그 화학조성은 수소나 헬륨 같은 휘발성 원소가 없는 것을 제외하면 태양이나 원시 태양 성운과 거의 동일하다. 함수광물이 존재한다.
C형 소행성은 반사율이 매우 낮아서 0.03에서 0.10 정도의 값을 갖는다. 다수의 S형 소행성이 쌍안경으로 보이는 반면, 가장 큰 C형 소행성을 관찰하는 데조차 작은 망원경이 필요하다. 가장 밝아질 수 있는 가능성이 있는 C형 소행성은 324 밤베르가이다. 하지만, 궤도가 심한 타원이기 때문에 매우 짧은 시간 동안만 밝게 빛난다.
0.4 μm에서 0.5 μm 사이의 파장의 자외선을 강하게 흡수하나, 그보다 긴 파장대에서는 별다른 특징을 보이지 않는다. 3 μm부근에 물분자에 의한 흡수가 나타나기 때문에, C형 소행성에는 함수광물이 존재한다고 보인다.
《동물농장》()은 영국의 작가 조지 오웰이 1945년에 출판한 풍자 소설이다. 전체적인 내용으로는 존스 농장에 살던 동물들이 가혹한 생활에 못 이겨 주인을 쫓아내고 직접 농장을 운영하지만, 결국은 혁명을 주도했던 권력층의 독재로 농장이 부패해 버리는 이야기이다.
작품 설명.
《동물농장》에는 소련의 전체주의에 대한 비판과 풍자가 들어있다. 그래서 반공주의 소설로 오해받기도 하지만, 실제로는 그렇지 않은 작품으로 재평가받기도 한다. 하지만, 소설 속에서 벌어지는 많은 일들은 실제로 이오시프 스탈린이 집권하던 소련에서 생긴 사건에 기반한다. 조지 오웰은 한동안 영국 독립노동당의 당원이기도 했던 좌파였지만 스탈린에 대해서 비판적이었고 스페인 내전에 참가한 이후로는 소련 중심의 공산주의에 대해 의심을 품게 되었다. 오웰이 우크라이나어판 서문에 쓴 '지난 10년 동안 나는 사회주의 운동의 재건을 위해서는 소비에트 신화를 파괴하는 일이 근본적으로 필요하다고 확신하게 되었다.'라는 문장에서 그의 집필의도를 알 수 있다. 그는 소련의 성립부터 소련이 가진 결함을 간파하였고 결국 소련의 붕괴에 의해 그의 시선이 옳았음이 증명되었다.
조지 오웰은 이 작품에서 스탈린은 독재자 돼지 나폴레옹(Napoleon)에, 스탈린의 비밀 경찰은 개, 그의 반대자 트로츠키를 경쟁자 돼지인 스노볼(Snowball)에 비유했다. 옛 소련 공산당의 당원은 돼지, 종교는 까마귀에, 카를 마르크스와 블라디미르 레닌을 메이저 영감으로 비꼬았다. 또한, 쫓겨난 황제 니콜라이 2세는 농장주 존스(Jones)로, 스탈린을 따르는 어리석은 민중은 양에 비유했다. 그러나 굳이 '동물 농장'의 상징을 러시아 혁명과 소련으로만 한정할 필요는 없다. 나폴레옹을 아돌프 히틀러, 스노볼을 에른스트 룀, 스퀼러를 요제프 괴벨스로 보아도 전혀 어색하지 않다. 어느 시대, 어느 정치에서도 그러한 인물들은 존재할 것이고, 그것은 근원적인 비극이면서 동시에 '동물 농장'이 가지는 현재적 의미이다.
오웰은 제2차 세계 대전 직후 영국의 친소적 분위기 때문에 이 소설의 출간에 어려움을 겪었다고 서문에 쓴 바 있다(이 서문은 후에 발견된 것으로 원 작품집에는 없다). 오웰의 책들을 출간해주던 골란츠 출판사는 소련에 대해 무조건적으로 추종하였으므로 당연히 거절하였고 조나단 케이프사는 영국 관리의 전화를 받고 출판을 철회했다. 페이버 앤드 페이버 출판사와 미국 출판사 한 곳 역시 명료하지 않은 이유로 거절하여 결국 섹커 앤드 와버그 출판사에 의해 간신히 출간되었다.
동물 농장은 오웰의 작품 중 유일하게 유머가 가득한 작품으로 봐도 좋은데 이것은 그의 부인 아일린 오쇼네시의 영향이라고 한다. 오웰은 그녀와 이런저런 의견을 교환하면서 동물 농장을 썼고 그 결과로 드물게 대중친화적인 작품이 나올 수 있었다. 오쇼네시 사후에 지어낸 1984는 동물 농장에 비해 훨씬 어두운 분위기로 가득 차 있다.
대한민국에는 미군정의 의뢰로 1948년 김길준(金吉俊)에 의해 처음으로 번역되어 소개되었다. 이후 무수히 많은 번역본이 등장했으며 그중 김욱동의 번역본이 오웰의 문체까지 연구하여 번역에 반영했다.
장원 농장 (메이너 농장)에서 평소에 소홀한 대우를 받고 있던 가축들이 반란을 일으키라는 수퇘지 메이저 영감의 호소에 힘입어 반란을 일으킨다. 농장주 존스와 관리인들을 내쫓고 동물들 스스로가 농장을 경영한다. 농장의 이름도 &lt;동물 농장&gt;으로 바꾼다. 비교적 지능이 발달한 돼지인 나폴레옹, 스노볼, 그리고 스퀼러의 지도와 계획 아래 모든 동물들은 평등한 동물 공화국 건설을 위해서 열심히 일하고 돼지들의 주도하에 일요회의도 열고 문맹 퇴치의 학습시간도 갖게 되어 말과 오리새끼에 이르기까지 주인 의식을 갖고 농장의 운영에 참여하게 되어 그야말로 평등의 이념에 입각한 이상적 사회를 만드는 것을 목표로 하였다. 이에 7계명을 만들게 된다.
그런데 풍차 건설을 계기로 동물들 사이의 권력 투쟁이 노출된다. 이상주의자 스노볼은 나폴레옹에 의해 축출된다. 나폴레옹은 간교한 스퀼러를 대변자로 내세워 동물들을 설득도 하고 조작도 하며 개 9마리를 앞장 세워 공포 분위기를 조성함으로써 완전한 독재 체제를 세운다. 농장 운영의 방침도 바뀌어 중의를 모으던 일요회의도 폐지되고 모든 일은 나폴레옹과 그의 측근들이 임의로 결정하게 된다. 나폴레옹은 원래 스노볼의 계획이었던 풍차의 건설을 빙자해서 동물들의 자유를 허물어뜨리고 존스가 다시 쳐들어온다는 위험, 스노볼에 대한 반동 낙인, 동물들의 내적 불만을 외적인 공포 분위기로 제압한다. 돼지들은 불평하거나 항의하는 동물을 첩자로 몰아 숙청하기도 하고 옛날처럼 작업량을 늘이고 식량 배급을 줄이기로 한다.
반면에 나폴레옹을 둘러싼 지배계급은 존스 시대의 인간보다 더 사치스러운 생활 속에서 호의호식한다. 그들은 존스 부부가 살던 집으로 이사해서 술을 마시고 침대에서 자며 옷을 걸쳐입고 자신들의 자녀들을 위한 교실을 짓고 심지어는 자신들의 적인 인간들과 상거래를 트고 돈을 만지기 시작한다. &lt;동물 농장&gt;은 인간 사회의 악폐라고 주정하던 그 상태로 돌아가고 만다. 결국 이상적인 사회를 꿈꾸던 혁명은 완전히 실패하고 정책마다 위협과 명분만이 동원될 뿐이었다. 7계명도 수정되고 우직할 정도로 성실하게 일만 하던 복서는 인간의 도살장에 팔렸고 마침내 그들은 두 다리로 서서 채찍을 들고 동물들을 감시한다. "네 다리는 좋고 두 다리는 나쁘다"던 구호는 "네 다리는 좋고 두 다리는 더욱 좋다"는 구호로 둔갑을 했고, '모든 동물들은 평등하다'는 구호는 '어떤 동물들은 더욱 평등하다'로 바뀐 것이다.
외양간 전투.
동물 농장 주위에는 핀치필드 농장과 폭스우드 농장이 있었는데, 존스는 두 농장에게 힘을 빌려 동물 농장을 침입했다. 스노볼은 율리우스 카이사르에 대한 책을 읽고 작전이 떠올랐는데, 제1차 공격은 35마리의 비둘기가 인간들 머리 위에 똥을 싸 정신을 잃을 때 제2차 공격을 시작했는데, 울타리에서 숨어있던 거위떼가 몰려와 인간들의 종아리를 물어뜯었다. 또 인간들이 도망치려다 말과 암소, 돼지들이 몰려와서 마당 입구를 막아 버렸다. 어쩔 수 없이 인간들은 총을 쏴 스노볼의 등 쪽에 살짝 스쳐 가서 스노볼이 등에 부상을 입었고, 스노볼 옆에 있던 양이 죽고 말았다. 하지만 인간은 크게 져 도망갔다. 특히 복서는 아주 열심히 싸웠고 스노볼은 전투를 이길 수 있는 작전을 세웠으니 1등 동물 훈장을 수여했고, 죽은 양에게는 2등 동물 훈장을 추서했다.
풍차 전투.
풍차 전투는 조지 오웰의 동물 농장에 나오는 동물들과 인간들의 2차에 걸친 전투 중 두번째로, 풍차의 전투는 제2차 세계 대전 당시에 있었던 독소 전쟁을 의미한다. 여기서 나오는 핀치필드 농장은 나치 독일, 농장주인 프레드릭은 아돌프 히틀러를 상징한다.
나폴레옹은 동물농장에 있는 목재를 팔기 위해서 윔퍼 씨를 통해 프레드릭과 필킹턴(영국, 미국을 상징)과 협상하고 있었다. 프레드릭이 동물농장의 목재에 더 관심을 보였지만, 제 가격을 지불하려 하지 않았고 동물농장의 동물들 사이에서는 프레드릭이 동물농장을 습격해 풍차를 파괴하려 한다는 소문이 돌기도 했다. 책의 묘사에 따르면, "동물들은 필킹턴을 인간이란 이유로 신용하지는 않았지만 그들이 두려워하고 미워하는 프레드릭보다는 좋아했다. 여름이 다 가고 풍차가 거의 완성 단계에 이르자, 반역자들의 공격이 임박했다는 소문이 더욱 무성하게 나돌기 시작했다. 향간의 소문에 따르면 프레드릭은 총으로 무장한 20명의 남자들을 거느리고 올 계획이며 치안판사들이나 경찰을 이미 매수해 놓았기 때문에, 만일 그가 동물농장의 토지문서를 손 안에 넣기만 하면 치안판사나 경찰도 문제삼지 않을 것이라는 소문이었다." 등이 있다. 한편 가을이 되자 풍차(풍차 건설은 소련의 5개년 경제 개발 계획을 상징하며, 특히 풍차는 계획의 상징이었던 드네프르 댐을 상징함)건설이 완료되었다. 이 풍차의 이름은 나폴레옹 풍차라고 명명되었고, 한편 이틀 뒤 나폴레옹은 프레드릭에게 목재를 팔았다고 하였다. 표면적으로는 필킹턴과 우호관계를 맺는 듯 보이게 하면서도 실제로는 프레드릭과 비밀리에 협정을 맺었던 것이다(독소불가침조약을 의미). 이 일로 폭스우드 농장과 그 농장주인 필킹턴과의 관계는 단절되었고 나폴레옹은 모욕적인 메시지를 필킹턴에게 전달했으며 비둘기에게 핀치필드 농장에 가지 말라는 지시를 내렸다. 표어 역시 프레드릭 타도에서 필킹턴 타도로 바꾸었으며 프레드릭이 공격할 것이라는 소문은 거짓이라고 했다. 하지만 프레드릭이 준 5파운드짜리 지폐는 위조지폐였고(윔퍼 씨가 그 사실을 알렸다) 나폴레옹은 프레드릭에게 '끓는 물에 집어넣는' 사형 선고를 내렸다. 한편 농장으로 통하는 요소마다 보초가 세워졌고 비둘기 네마리가 필킹턴과 다시 우호관계를 맺고 싶다는 나폴레옹의 메시지를 가지고 폭스우드 농장으로 파견되었다.
위조지폐 사건이 일어난 다음에 습격이 있었다. 동물들이 아침식사를 하고 있을 때 파수꾼들이 아서 프레드릭과 그의 일꾼들이 다섯개의 빗장이 걸린 문을 통과해 들어오고 있다고 알렸다. 동물들은 나가서 싸웠지만 적은 프레드릭을 비롯한 15명의 남자였고 그중 절반 가량이 총을 가지고 있었는데 작중의 묘사에 따르면 50야드 정도 되는 거리에서부터 발포했다고 했다. 나폴레옹과 복서가 독려했음에도 불구하고 계속 패배했고 금방 풍차를 포함한 목장의 거의 전체(건물을 제외한)가 점령되었다. 나폴레옹은 폭스우드 농장의 도움을 기대하였지만 필킹턴은 '깨소금 맛이다'라는 메시지를 보냈고 한편 프레드릭은 폭탄으로 풍차를 날려버렸다(나폴레옹이 새로 지은 풍차는 벽이 두꺼워 괜찮을 것이라고 했지만 당나귀 벤자민은 인간들이 풍차 밑에 구멍을 뚫는 것을 보고 폭파시켜버리라는 것을 알았다). 하지만 동물들은 용기를 되찾았고 결국에는 인간들을 쫓아냈다.
동물들의 피해는 암소 한 마리, 양 세 마리, 거위 두 마리가 죽었고 나폴레옹을 비롯한 거의 모두가 부상을 입었다. 인간들 또한 피해를 입었는데 한 명은 복서의 발굽에 얻어맞아 머리가 깨지고 한 명은 암소 뿔에 배를 받혔으며 다른 한 명은 제시와 블루벨에게 바지가 찢겼다. 물론, 가장 심한 피해는 폭약으로 인한 풍차의 파괴였다. 바람 때문에 무너진 옛 풍차와는 달리, 돌이 수백야드 밖으로 날아가 다시 그 돌을 이용할 수도 없게 되었기 때문이다. 한편, 나폴레옹은 이 전투의 승리를 기념하기 위해 일곱발의 예포를 쏘았고 풍차 훈장을 제정하여 스스로에게 수여하였으며 동물에게는 사과 하나, 새에게는 2온스의 옥수수, 개에게는 세 개의 비스킷을 승리에 대한 선물로 지급했다.
7계명.
칠계명(七誡命)은 동물 농장에서 동물들이 지켜야 하는 규칙이다.
칠계명은 칼 마르크스가 주창한 공산당선언을 상징한다고한다.
소설에서, 스노우볼은 동물농장의 7계명조차 이해할 수 없는 일부 동물들(소설에서는 양, 암탉, 오리라고 밝혀졌다.)을 위해 ‘네 다리는 좋고, 두 다리는 나쁘다!’(Four legs good, two legs bad.) 라는 슬로건을 만들었다.
여기서 ‘7계명조차 이해할 수 없는 일부 동물들’은 공산주의 사상을 이해하지 못하는 계급, 문맹자 등을 상징하고, ‘네 다리는 좋고, 두 다리는 나쁘다!’(Four legs good, two legs bad.) 라는 슬로건은 그들을 대상으로 하는 ‘프로퍼갠더(Propaganda)’를 상징한다.
소설에서는 양들이 쉴 때면 이 슬로건을 외는 장면이 등장한다.
인구는 1만2,000명(2003)이다.
이름은 체프차 강과 뱌트카 강이 이곳을 함께 통과해서 흐른다는데서 유래되었다. 키로프에서 남쪽으로 22km지점에 위치해 있다.
위나강(, , )는 폴란드와 러시아(칼리닌그라드주)를 흘러 가는 강으로, 폴란드 북동부에서 발원을 한 뒤 칼리닌그라드주로 흘러 간다. 프레골랴강으로 합류한다. 유역길이는 264 km(190 km는 폴란드쪽, 74 km는 러시아쪽)이고, 면적은 7,126 km2(5,719 km2가 폴란드쪽)이다.
액포(液胞, )는 일부 진핵세포가 가지고 있는 막으로 둘러싸인 거대한 세포소기관이다. 액포의 기능은 매우 다양해서, 영양분을 감싼다거나, 세포 주변의 부적당한 파편을 감싼다거나, 세포에 독이 될 수도 있는 물질을 격리한다거나, 팽압이라고 불리는 세포 내의 유체 균형을 맞춘다거나, 세포로부터 부적절한 물질을 배출한다거나, 심지어 세포의 상대 크기를 맞추어 주기도 한다. 액포는 특히 대부분의 식물 세포에서 관측할 수 있다. 동물 세포에는 액포가 작거나 없다.
액포는 일반적으로 세포수액이라는 액체로 채워져 있다. 세포수액의 구성은 매우 달라서 심지어 같은 세포 내의 액포라고 할지라도 다른 구성을 지니지만, 일반적으로 물로 구성되어 있다. 액포는 다양한 기관에서 다양한 역할을 하며, 이러한 역할 중에는, 영양소의 포획, 팽압의 유지, 내부 수소 이온 농도의 유지, 작은 분자의 저장 및 세포를 빠르게 늘어날 수 있도록 하기도 한다. 이러한 역할을 수행하는 액포의 예는 아래와 같다.
원생생물에서의 액포.
수축포는 팽압을 낮추면서 세포가 터지는 것을 막기 위해서 잉여 수분을 세포 밖으로 뽑아 내는 데 사용된다. 수축포는 짚신벌레와 같은 일부 담수 원생생물에서 발견된다.
대부분의 성숙한 식물 세포는 중심 액포를 지니고 있으며, 이는 세포 내부의 80% 이상을 차지하고 있다. 중심 액포는 액포막으로 불리는 막에 둘러싸여 있다.
중심 액포는 많은 양의 수분, 효소, 칼슘과 같은 무기 이온 및 세포액으로부터 방출 될 독성 부산물과 같은 다른 물질을 지니고 있다. 또한 양성자를 받아들임으로써, 세포 내부의 수소 이온 농도를 안정시키며, 분해 효소에게 필요한 수준의 보다 산성 환경을 만들어준다. 비록 하나의 거대한 액포를 가지는 것이 대부분이지만, 부위나 성장 과정에 따라 액포의 크기 및 수는 변할 수도 있다. 예로, 형성층 세포는 겨울에 다수의 작은 액포를 가지지만, 여름에는 하나의 커다란 액포를 가진다. 저장소의 기능을 제외한 중심 액포의 가장 큰 역할은 세포벽에 대해 수분을 이용하여 팽압을 유지하는 것이다. 만약 수분 손실등을 통해 팽압 유지를 실패한다면, 세포는 원형질 분리가 된다. 이러한 이유로 해서 식물 세포에서는 중심 액포가 유별나게 큰 것이다.
액포막에 있는 단백질은 능동수송을 이용해 액포 내외의 수분의 흐름을 조절하 칼륨 이온 역시 조절한다. 삼투현상 때문에, 용질이 있는 곳이라면, 수분 역시 따라가게 된다. 이 력은 세포의 연장에도 도움을 준다. 즉 옥신에 의해 세포벽의 일부가 무너지면, 세포 내부로부터의 압력에 의해 그 부분의 벽이 팽창하게 된다. 또 다른 기능은 세포의 세포질을 세포막쪽으로 밀쳐내면서, 엽록체를 보다 빛에 가깝게 유지시키는 것이다.
발아 효모 세포에서 액포는 다른 경우의 액포와 마찬가지로 아미노산 저장고이며 해독 장소이다. 최근, 발아 효모 세포에서의 액포의 역할이 연구되었으며 새로운 기능이 발견되었다. 세포가 굶주리는 상황에서 액포에서 단백질이 파괴되는데, 이러한 과정을 자식(自食) 작용이라고 한다. 우선 세포질, 미토콘드리아 및 작은 세포소기관은 autophagosome으로 불리는 막에 의해 싸인다. 다음에 액포와 융합하게 되며, 마침내 세포질 및 세포 소기관은 소화된다.
발아효모의 액포에서 때로는 검은 입자가 보인다. 이는 dancing body로 불리며 액포 내부를 활발히 움직이는데, 10분 내지 수시간만에 사라진다. 이전 연구에서 dancing body는 다인산으로 구성되었을 것으로 추측되었짐만, 검증되진 않았었다. 하지만, 폴리인산나트륨이 결정화한 것임이 알려졌으며 기능 역시 발아 효모에서 인산의 저장 및 공급이라는 것이 밝혀졌다.
돈강(, )은 러시아의 강 중 하나이다. 모스크바의 남동쪽의 툴라근처로부터 발원하고, 약 1,950 km를 흐르다 아조프해에 이른다.
남동쪽의 보로네시로 향하고 그 후에 남서쪽의 아조프해로 향한다. 주요 도시는 로스토프나도누이다. 주요한 지류는 도네츠강이고 최동단은 볼가강과 접근하고 볼고돈스코이 운하(전체 길이 105 km)에 의해서 연결되어 있다.
세포수액(-樹液)은 많은 식물 세포의 대형 중심 액포에서 관찰할 수 있는 묽은 유체이다. 세포액이라고도 하지만, 일반적으로 세포질을 채우는 세포액과는 달리 액포 내에 존재하며, 기능면에서도 차이를 보인다. 세포수액은 물, 아미노산, 포도당, 염을 지닌다. 세포수액은 영양물질의 저장, 나무 재질이 아닌 식물의 기계적인 지지 기반 등의 많은 역할을 담당하며, 또한 삼투 과정을 도와준다.
근원섬유(筋原纖維, )는 근육 잔섬유 또는 근육원섬유라고도 불리며, 근육세포의 기본적인 원기둥 형태의 세포소기관이다. 뼈대근육은 길고 관 형태의 근육섬유로 구성되며, 이 근육섬유는 많은 근원섬유 사슬을 포함한다. 각 근원섬유는 지름이 1~2 마이크로미터이다. 이들은 배아 발달 중 근육생성이라는 과정을 통해 생성된다.
근원섬유는 액틴, 미오신, 티틴을 포함한 긴 단백질과 이들을 함께 묶어주는 다른 단백질로 구성된다. 이 단백질들은 굵은 필라멘트, 가는 필라멘트, 탄성 필라멘트 형태의 근필라멘트로 조직되며, 근육원섬유마디라고 불리는 수축 단위 또는 구역으로 근원섬유의 길이를 따라 반복된다. 근육은 수축 시 굵은 미오신 필라멘트와 가는 액틴 근필라멘트를 서로 미끄러뜨려 수축한다.
각 근원섬유의 지름은 1~2 마이크로미터(μm)이다. 근원섬유의 근필라멘트는 굵은 필라멘트, 가는 필라멘트, 탄성 필라멘트의 세 가지 종류로 구성된다.
액틴과 미오신으로 구성된 단백질 복합체는 때때로 액토미오신이라고도 불린다.
줄무늬가 있는 뼈대근육과 심장 근육 조직에서 액틴과 미오신 필라멘트는 각각 길이가 몇 마이크로미터 정도로 특정하고 일정하며, 길쭉한 근육세포의 길이(인간 뼈대근육세포의 경우 몇 밀리미터)보다 훨씬 짧다. 필라멘트는 근원섬유의 길이를 따라 반복되는 하위 단위로 조직된다. 이 하위 단위는 길이가 약 3 μm인 근육원섬유마디라고 불린다. 근육세포는 세포의 긴 축을 따라 서로 평행하게 배열된 근원섬유로 거의 가득 차 있다. 한 근원섬유의 근육원섬유마디 하위 단위는 그 옆 근원섬유의 근육원섬유마디 하위 단위와 거의 완벽하게 정렬되어 있다. 이러한 정렬은 세포에 줄무늬 또는 횡문 모양을 부여한다. 특정 각도에서 노출된 근육세포, 예를 들어 고기 절단면에서는 이러한 근원섬유와 근육원섬유마디의 주기적인 정렬로 인해 구조색 또는 훈색을 보일 수 있다.
근육원섬유마디의 다양한 하위 영역 이름은 광학 현미경으로 관찰했을 때 상대적으로 밝거나 어두운 모양에 따라 결정된다. 각 근육원섬유마디는 Z판 또는 Z선(독일어 "zwischen", '사이'에서 유래)이라고 불리는 두 개의 매우 어두운 색 띠로 구분된다. 이 Z판은 빛의 통과를 쉽게 허용하지 않는 밀집된 단백질 원반이다. T세관이 이 영역에 존재한다. Z판 사이의 영역은 양쪽 끝에 있는 두 개의 밝은 색 띠인 I밴드 또는 등방성 띠와 중간에 있는 더 어두운 회색 띠인 A밴드 또는 이등방성 띠로 더 나뉜다.
I밴드는 근육원섬유마디의 이 영역이 주로 가는 액틴 필라멘트를 포함하기 때문에 더 밝게 보인다. 액틴 필라멘트의 작은 지름은 빛이 그 사이를 통과할 수 있게 한다. 반면에 A밴드는 대부분 지름이 더 큰 미오신 필라멘트를 포함하므로 더 어둡게 보인다. A는 이등방성을, I는 등방성을 나타내며, 이는 편광 현미경으로 관찰했을 때 살아있는 근육의 광학적 특성을 참조한 것이다.
I밴드와 인접한 A밴드 부분은 액틴과 미오신 필라멘트 모두를 포함한다(위에서 설명한 대로 서로 맞물려 있다). 또한 A밴드 내에는 상대적으로 밝은 중앙 영역인 H영역(독일어 "helle", '밝은'에서 유래)이 있는데, 이 부분은 근육이 이완된 상태에서 액틴/미오신 중첩이 없다. 마지막으로, H영역은 M선(독일어 "mittel", '중앙'에서 유래)이라고 불리는 어두운 중앙선에 의해 이등분된다.
12일 된 병아리 배아의 다리 근육을 전자 현미경으로 연구한 결과 근원섬유 발달 메커니즘이 제시되었다. 발달 중인 근육세포에는 지름이 160–170 Å인 굵은 (미오신) 필라멘트와 지름이 60–70 Å인 가는 (액틴) 필라멘트가 포함되어 있다. 어린 근원섬유는 가는 필라멘트와 굵은 필라멘트의 비율이 7:1이다. 근형질막 아래 위치한 근육세포의 긴 축을 따라 자유로운 근필라멘트가 육각형으로 밀집된 배열로 정렬되고 응집된다. 이러한 응집은 Z밴드 또는 M밴드 물질의 존재와 상관없이 발생한다. 액틴과 미오신 단량체의 3차 구조가 세포의 이온 강도와 ATP 농도에 따라 필라멘트로 응집될 모든 "정보"를 포함하고 있기 때문에 응집은 자발적으로 일어난다.
미오신 머리는 액틴 근필라멘트와 가교를 형성하며; 여기서 액틴을 따라 '노 젓는' 동작을 수행한다. 근육섬유가 이완된 상태(수축 전)일 때, 미오신 머리에는 ADP와 인산염이 결합되어 있다.
신경 임펄스가 도착하면, Ca2+ 이온이 트로포닌의 모양을 변화시키고; 이로 인해 트로포닌 + 트로포미오신 복합체가 움직여 미오신 결합 부위가 열린다.
이제 미오신 머리는 액틴 근필라멘트에 결합한다. 미오신 근필라멘트 머리에 저장된 에너지가 머리를 움직여 액틴을 미끄러뜨리게 되고; 그 결과 ADP가 방출된다.
ATP가 나타나면(칼슘 이온의 존재가 미오신 ATPase를 활성화시키므로), 미오신 머리는 액틴에서 분리되어 ATP를 붙잡는다. ATP는 ADP와 인산염으로 분해된다. 에너지가 방출되어 미오신 머리에 저장되어 나중에 움직임에 사용된다. 이제 미오신 머리는 원래의 이완된 위치로 돌아온다. 칼슘이 존재하면 이 과정은 반복된다.
근육이 수축할 때, 액틴은 미오신을 따라 근육원섬유마디의 중심 쪽으로 당겨지며, 이후 액틴과 미오신 필라멘트가 완전히 겹쳐지게 된다. 이때 이러한 겹쳐짐으로 말미암아 액틴과 미오신이 겹치지 않은 영역인 H영역은 계속해서 줄어들며, 근육 역시 짧아지게 된다. 그리고 근육이 완전 수축했을 때는 H영역이 더 이상 보이지 않는다. 액틴과 미오신 필라멘트 자체가 길이를 변화시키지 않고, 대신 서로 미끄러져 지나간다는 점에 유의해야 한다. 이를 근육 수축의 "근 활주설"이라고 한다.
첨단체(尖端體, )는 많은 동물 정자에서, 정자 머리 부분의 전방 반을 뒤덮는 세포 소기관이다. 첨단체는 골지장치로부터 유래한 모자 형태의 구조이다. 첨단체는 정자가 고환에서의 성숙되는 동안에 형성된다. 진성 태반동물에서, 첨단체는 히알루로니데이스(hyaluronidase)나 아크로신 등을 포함한 소화 효소를 포함하고 있다.
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