shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
CPU가 하드웨어에서 직접 지원하지 않는 부동소수점 연산을 호출하는 프로그램을 실행할 때, CPU는 일련의 더 간단한 부동소수점 연산을 사용한다. 부동소수점 하드웨어가 전혀 없는 시스템에서는 CPU가 에뮬레이션을 통해 정수 산술 논리 장치에서 실행되는 일련의 더 간단한 고정소수점 연산을 사용한다.
부동소수점 연산을 에뮬레이션하는 데 필요한 일련의 연산을 나열하는 소프트웨어는 종종 부동소수점 라이브러리에 패키징된다.
통합 FPU.
경우에 따라 FPU는 특수화되어 더 간단한 부동소수점 연산(주로 덧셈 및 곱셈)과 나눗셈과 같은 더 복잡한 연산으로 나뉠 수 있다. 어떤 경우에는 간단한 연산만이 하드웨어 또는 마이크로코드로 구현되고, 더 복잡한 연산은 소프트웨어로 구현될 수 있다.
일부 현재 아키텍처에서는 FPU 기능이 단일 명령어, 다중 데이터 (SIMD) 유닛과 결합되어 SIMD 계산을 수행한다. 이의 예로는 최신 인텔 및 AMD 프로세서에서 사용되는 X86-64 아키텍처에서 X87 명령어 세트에 스트리밍 SIMD 확장 명령어 세트를 추가한 것을 들 수 있다.
애드온 FPU.
PDP-11의 여러 모델(예: PDP-11/45, PDP-11/34a, PDP-11/44, 및 PDP-11/70)은 부동소수점 명령어를 지원하기 위해 애드온 부동소수점 장치를 지원했다. PDP-11/60, MicroPDP-11/23 및 여러 VAX 모델은 애드온 FPU 없이 부동소수점 명령어를 실행할 수 있었고(MicroPDP-11/23은 애드온 마이크로코드 옵션이 필요했다), 해당 명령어의 실행 속도를 더욱 높이기 위한 애드온 가속기를 제공했다.
1980년대에는 IBM PC/호환 마이크로컴퓨터에서 FPU가 CPU와 완전히 분리되어 일반적으로 선택적 애드온으로 판매되는 것이 일반적이었다. 이는 수학적 연산이 많은 프로그램의 속도를 높이거나 활성화해야 하는 경우에만 구매되었다.
IBM PC, XT 및 8088 또는 8086 기반의 대부분의 호환 기종에는 선택적 8087 코프로세서용 소켓이 있었다. AT 및 80286 기반 시스템에는 일반적으로 80287용 소켓이 있었고, 80386/80386SX 기반 기종에는 각각 80387 및 80387SX용 소켓이 있었다. 하지만 초기에는 80387이 아직 존재하지 않았기 때문에 80287용 소켓이 있었다. 다른 회사들도 인텔 X86 시리즈용 코프로세서를 제조했다. 여기에는 사이릭스와 와이텍이 포함되었다. 아콘 컴퓨터는 ARM 기반의 아르키메데스 제품군에 단정밀도, 배정밀도 및 확장 정밀도를 제공하기 위해 WE32206을 선택했으며, ARM2 프로세서와 WE32206을 연결하여 추가 ARM 부동소수점 명령어를 지원하기 위해 게이트 어레이를 도입했다. 아콘은 나중에 ARM이 개발한 FPA10 코프로세서를 ARM3 프로세서가 장착된 다양한 기종에 제공했다.
코프로세서는 모토로라 68000 계열의 68881과 68882에서 사용 가능했다. 이들은 모토로라 68020/68030 기반 워크스테이션 (예: 선-3 시리즈)에서 흔히 사용되었다. 또한 애플 매킨토시 및 코모도어 아미가 시리즈의 고급 모델에도 흔히 추가되었지만, IBM PC 호환 시스템과는 달리 저가형 시스템에는 코프로세서 추가용 소켓이 그리 흔하지 않았다.
마이크로컨트롤러 장치(MCU/μC)/단일 보드 컴퓨터 (SBC)용 애드온 FPU 코프로세서 장치도 있는데, 이는 부동소수점 산술 기능을 제공한다. 이러한 애드온 FPU는 호스트 프로세서에 독립적이며, 자체 프로그래밍 요구 사항(연산, 명령어 집합 등)을 가지며, 종종 자체 통합 개발 환경 (IDE)과 함께 제공된다.
회문(回文) 또는 팰린드롬(palindrome)은 거꾸로 읽어도 제대로 읽는 것과 같은 문장이나 낱말, 숫자, 문자열(sequence of characters) 등이다. 보통 낱말 사이에 있는 띄어쓰기나 문장 부호는 무시한다.
회문시.
고려시대 문필가 이규보는 미인원(美人怨)이라는 제목의 회문시(回文詩)를 지었다. 이 시는 끝에서부터 거꾸로 읽어도 뜻이 통한다. 이 밖에도 장유, 박세당, 신흠, 권필 등이 지은 바가 있다.
하노이의 탑(Tower of Hanoi)은 퍼즐의 일종이다. 세 개의 기둥과 이 기둥에 꽂을 수 있는 크기가 다양한 원판들이 있고, 퍼즐을 시작하기 전에는 한 기둥에 원판들이 작은 것이 위에 있도록 순서대로 쌓여 있다.
게임의 목적은 다음 세 가지 조건을 만족시키면서, 한 기둥에 꽂힌 원판들을 그 순서 그대로 다른 기둥으로 옮겨서 다시 쌓는 것이다.
하노이의 탑 문제는 재귀 호출을 이용하여 풀 수 있는 가장 유명한 예제 중의 하나이다. 그렇기 때문에 프로그래밍 수업에서 알고리즘 예제로 많이 사용한다.
한 번의 실수 없이 64개의 원판을 옮기는 데 264 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615번(약 1.84 × 1019)을 움직여야 하고, 1초당 한 번 원판을 움직일 때 584,554,049,253년(1년 = 365.2425일)이 걸린다. 이는 우주의 나이인 138억 년의 42.4배이다.
하노이의 탑은 프랑스의 수학자인 에두아르 뤼카(Édouard Lucas)가 클라우스 교수(professeur N. Claus)라는 필명으로 1883년에 발표하였다. 1년 후 드 파르빌(Henri de Parville)은 Claus가 Lucas의 애너그램임을 밝히면서 다음과 같은 이야기로 하노이의 탑을 소개하였다.
let rec move_tower n a b c = match n with
| 1 -&gt; [(a,c)]
| _ -&gt; (move_tower (n-1) a c b) @ (move_tower 1 a b c) @ (move_tower (n-1) b a c);;
(cond ((&gt; disc 0)
(hanoitowers (- disc 1) src dst aux)
(princ (list "Move" disc "from" src "to" dst))
procedure Hanoi(n: integer; from, dest, by: char);
if (n=1) then
writeln('Move the plate from ', from, ' to ', dest)
Hanoi(n-1, from, by, dest);
Hanoi(1, from, dest, by);
Hanoi(n-1, by, dest, from);
void move(int from, int to)
cout « from « " -&gt; " « to « '\n';
void hanoi(int n, int from, int by, int to)
if(n == 0) return;
hanoi(n - 1, from, to, by);
move(from, to);
hanoi(n - 1, by, from, to);
def hanoi(number_of_disks_to_move, from_, to_, via_):
if number_of_disks_to_move == 1:
print(from_, "-&gt;", to_)
hanoi(number_of_disks_to_move-1, from_, via_, to_)
hanoi(number_of_disks_to_move-1, via_, to_, from_)
Visual Prolog.
class hanoi
hanoi : (unsigned N).
end class hanoi
implement hanoi
pole = string.
hanoi(N) :- move(N, "left", "centre", "right").
class predicates
move : (unsigned N, pole A, pole B, pole C).
move(N-1, A, C, B),
stdio::writef("move a disc from % pole to the % pole\n", A, C),
move(N-1, B, A, C).
end implement hanoi
console::init(),
hanoi::hanoi(4).
func hanoi(_ n: Int, from a: Int, to b: Int, by c: Int) {
if n==1 {
print("Move 1 from \(a) to \(b)")
hanoi(n-1, from: a, to: b, by: c)
print("Move \(n) from\(a) to\(b)")
hanoi(n-1, from: c, to: b, by: a)
하라레()는 짐바브웨의 수도이다. 원래 이름은 솔즈베리()였지만, 1982년 4월 18일에 현재의 이름으로 바뀌었다. 행정상으로, 하라레는 주와 동등한 지위를 가진 독립적인 도시이다. 짐바브웨의 가장 큰 도시이자 행정, 상업, 통신의 중심이다. 하라레는 담배, 옥수수, 목화, 귤속 열매를 위한 무역 중심이다. 제조업은 직물, 강철, 화학을 포함하며 금이 하라레 내에서 채굴된다. 하라레는 1,483m의 고도에 위치하며 기후는 열대 기후에 속한다.
세실 로즈에 의해 창설된 정착자들을 위한 군대 모병제, 파이오니어 칼럼 (pioneer column)이 요새로서 1890년에 도시를 설립했다. 그들은 원래 도시를 당시 영국의 총리를 역임하고 있던 제3대 솔즈베리 후작 로버트 개스코인세실의 이름을 따서 솔즈베리 요새라 이름지었었고 그곳은 그 후 간단히 솔즈베리로서 알려지게 되었다. 1897년에 자치제로 공표되었고 1935년에 도시가 되었다. 솔즈베리는 1953년에서 1963년까지 로디지아 니아살랜드 연방의 수도였다. 그 후, 남로디지아의 수도였다. 이언 스미스 (Ian Smith)의 로디지아 정부는 1965년 11월 11일에 로디지아의 독립을 선언했고 1970년 로디지아 공화국을 공표하였다. 그 후에 그 나라는 짐바브웨 로디지아의 단수명의 국가가 되었다. '하라레'라는 이름은 짐바브웨 로디지아가 짐바브웨 공화국으로서 국제적으로 독립을 인정받았던 1980년 4월 18일까지 이 도시의 공식 명칭이 아니었다. 1982년까지 이름을 솔즈베리로 보유했었다.
도시의 이름은 쇼나인들의 추장 네하라와로부터 이름을 받아들이면서, 짐바브웨인의 두 번째 독립 기념일인, 1982년 4월 18일에 하라레로 바뀌었다. 또한 다른 설에 의하면, 도시의 이름은 ("Koppie"로 발음되는) Kopje로서 오늘날 알려진 그 지역 안에 위치했었던 요새를 소유했었던 추장의 별명, "Haarari" ("그는 잠을 자지 않는다")가 유럽인에 의해 와전된 것에서 그 이름이 비롯되었다고 한다. 독립 전에, "Harare"는 Mbare로서 현재 알려진 흑인 거주 지역의 이름이었다.
하라레는 상쾌하고 기운찬 기후를 가지고 있다. 연례 평균 기온은 17.95 °C이다. 이것은 높은 고도 위치와 시원한 남동 기류가 흐르기 때문이다. 세 주요 계절이 있다 - 11월에서 3월/4월까지 따뜻하고, 습한 계절;(남반구 겨울에 상응하는) 5월에서 8월까지 시원하고, 건조한 계절;9월/10월에 덥고,건조한 계절. 매일 온도 범위는 (가장 추운 달) 7월에 대략 7 °C에서 20 °C, (가장 더운 달) 10월에 대략 13 °C 에서28 °C, (한여름) 1월에 대략 15.5 °C에서 25 °C이다. 기록상 가장 더운 해는 1914년 19.73 °C였으며 가장 추운 해는 1965년 17.13 °C였다. 평균 연례 강수량은 대략 남서쪽 올라가는 곳에 825mm에서 (Borrowdale에서 Glen Lorne 주위) 남동쪽 더 높은 지대에 855mm까지이다. 대부분 해에 돌발성의 소나기가 발생할지라도 매우 적은 비가 대개 5월에서 9월까지 내린다. 1890년 10월에 기록이 시작한지만 전체 3개의 하라레 스테이션이 2004년 초에 보고하는 것을 멈추게 된다.기후는 공개된 삼림지의 천연 식물의 생장을 지탱한다. 지역 지구의 가장 흔한 나무는 늦은 8월에 새로운 나뭇입들을 가지고 빨간 와인색으로 경치를 물들이는 Msasa Brachystegia spiciformis이다.
오컴의 면도날(Occam's Razor 또는 Ockham's Razor)은 흔히 '경제성의 원리' (Principle of economy), 검약의 원리(lex parsimoniae), 또는 단순성의 원리라고도 한다. 14세기 영국의 논리학자이며 프란체스코회 수사였던 오컴의 윌리엄 (William of Ockham)의 이름에서 따왔다.
간단하게 오컴의 면도날을 설명하자면 어떤 현상을 설명할 때 불필요한 가정을 해서는 안 된다는 것이다. 더 쉬운 말로 번역하자면 '같은 현상을 설명하는 두 개의 주장이 있다면, 간단한 쪽을 선택하라(given two equally accurate theories, choose the one that is less complex)'는 뜻이다. 여기서 면도날은 필요하지 않은 가설을 잘라내 버린다는 비유이다. 필연성 없는 개념을 배제하려 한 '사고 절약의 원리'(Principle of Parsimony)라고도 불리는 이 명제는 현대에도 과학 이론을 구성하는 기본적 지침으로 지지받고 있다.
예를 들어 새까맣게 그을린 나무가 있다고 가정하자. 이는 나무가 벼락에 맞았기 때문이거나, 아니면 누군가가 어떤 장치를 이용해 나무가 완전히 잿더미로 변하지 않도록 적절히 그을린 다음 자신이 그을렸다는 흔적을 완전히 없앤 것일 수도 있다. 이 상황을 판단할 다른 증거가 없는 경우 오컴의 면도날을 적용해 본다면, 나무가 그을린 것은 벼락에 맞았기 때문이라고 추론하는 것이 옳다. 왜냐하면 나무가 벼락에 맞아 그을린 것이라 설명하는 것이 더 적은 수의 가정을 사용하기 때문이다.
중세의 철학자들과 신학자들의 복잡하고 광범위한 논쟁속에서, 오컴은 1324년의 어느 날 무의미한 진술들을 토론에서 배제시켜야겠다고 결심한다. 그는 지나친 논리비약이나 불필요한 전제를 진술에서 잘라내는 면도날을 토론에 도입하자고 제안했다. 오컴은 '쓸데없는 다수를 가정해서는 안 된다'고 말한다. 이를 쉽게 바꾸면 '무언가를 다양한 방법으로 설명할 수 있다면 우리는 그중에서 가장 적은 수의 가정을 사용하여 설명해야 한다'고 표현할 수 있다. 짧게 말하면, 설명은 간단할수록 좋다.
오컴의 면도날은 다음과 같이 일종의 계율처럼 말해지기도 한다. '가정은 가능한 적어야 하며, 피할 수만 있다면 절대로 하지 말아야 한다.'
이는 논리학에서의 '추론의 건전성' 개념과도 비슷한 면이 있다. 논리학에서는 추론이 타당한 것으로 밝혀지면 추론의 건전성을 검사하는데, 타당한 추론이라면 결론이 정당화될 수 있는 정도는 그 추론에서 가장 정당하지 못한 전제가 정당화되는 정도를 넘지 못한다.
따라서 논리 형식상으로는 타당한 논증이라고 해도 논증에 가정이 많이 들어갈수록, 그 논증은 건전하지 못한 논증이 될 가능성도 높아진다. 가능한 가정이 적게 포함된 논증일수록 건전할 가능성이 더 높다.
알렉산드리아의 디오판토스(, 200년 또는 214년 ~ 298년 또는 330년)는 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스의 수학자이다. 정수를 계수로 가지는 방정식(디오판토스 방정식)에 대한 연구로 유명하다. 이와 같은 연구 내용을 《산학》(算學, , )이라는 책에 정리했다.
디오판토스가 정확히 언제 태어나고 언제 죽었는지는 명확하지 않지만, 그가 죽었을 때의 나이는 정확히 알 수 있다. 디오판토스는 자신의 묘비에 다음과 같이 새겨 놓았다고 한다.
또한, 84÷6=14 이므로 14년을 소년으로 보냈으며, 84÷12=7, 14+7=21 이므로 21살에 수염이 나고, 33살에 결혼을 했으며, 5년 뒤 인 38살에 아들를 얻었다. 그리고 아들은 디오판토스가 84살일 때 죽었으며, 42년을 살았다.
정수론에 공헌이 컸으며, 대수학에서 미지수를 문자로 쓰기 시작했다. 디오판토스 해석이라는 일종의 부정방정식 해법을 연구하고《산수론》13권에서는 수사 미지수 계산 기호 등을 사용하여 대수식을 만들었다.
1차·2차 방정식 또는 연립 방정식에 대한 문제와 해법이 다루어져 있다. 부정 방정식 중의 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱 수로 나누어라’하는 문제는 후에 페르마에게 큰 영향을 주어 페르마 정리의 기초가 되었다.
유리 마티야세비치(, 1947년 3월 2일 - )는 러시아의 수학자이다. 그는 1972년 박사학위 논문에서 힐베르트의 10번째 문제가 부정됨을 증명(마티야세비치의 정리)하였다.
1972년 스테클로프 수학 연구소 레닌그라드 지부 소속이던 그는 25세의 나이에 힐베르트의 10번째 문제가 해결 불가능하다는 내용의 박사 논문을 방어하였다. 그는 피보나치 수를 사용하여 디오판토스 방정식의 해가 지수적으로 증가할 수 있음을 보였는데, 이미 줄리아 로빈슨, 마틴 데이비스, 힐러리 퍼트넘은 이것이 모든 재귀 열거 집합이 디오판토스 집합임을 증명하는 데 충분함을 보인 바 있다. 재귀 열거 집합은 일반적으로 결정 가능하지 않으므로 이것은 힐베르트의 10번째 문제를 부정으로 해결하며, 오늘날 마티야세비치의 정리 또는 이들의 이름 앞글자를 따서 MRDP 정리로 알려져 있다.
블룸 필터(Bloom filter)는 원소가 집합에 속하는지 여부를 검사하는데 사용되는 확률적 자료 구조이다. 1970년 Burton Howard Bloom에 의해 고안되었다.
블룸 필터에 의해 어떤 원소가 집합에 속한다고 판단된 경우 실제로는 원소가 집합에 속하지 않는 긍정 오류가 발생하는 것이 가능하지만, 반대로 원소가 집합에 속하지 않는 것으로 판단되었는데 실제로는 원소가 집합에 속하는 부정 오류는 절대로 발생하지 않는다는 특성이 있다. 집합에 원소를 추가하는 것은 가능하나, 집합에서 원소를 삭제하는 것은 불가능하다. 집합 내 원소의 숫자가 증가할수록 긍정 오류 발생 확률도 증가한다.
블룸 필터에 원소를 formula_7개 추가했을 때, 특정 비트가 0일 확률은 formula_8이다.
따라서 원소를 검사할 때 formula_2개의 해시값이 모두 1이 될 확률은 formula_10가 되며,
이 값은 대략적으로 formula_11가 된다.
비트 크기가 같은 두 블룸 필터의 합집합이나 교집합을 구하려면, 각 비트의 OR 연산이나 AND 연산을 구하면 된다. 이렇게 계산되는 새로운 블룸 필터는 원래의 합집합이나 교집합을 직접 계산한 것과 동일한 값을 가진다.
카운팅 필터.
카운팅 필터는 1998년 L. Fan 등에 의해 제안되었다.
카운팅 필터에서 원소를 추가하면 해당되는 버켓의 값을 1씩 증가시킨다. 원소 검색시에는 해당 위치가 0이 아닌지를 확인하여 판단하게 되며,
카운터의 크기는 일반적으로 3 또는 4 비트이다. 따라서 카운팅 블룸 필터는 기존의 정적 블룸 필터보다 3~4배 더 많은 메모리 공간을 사용하게 된다.
사용해야 한다.
카운팅 필터의 또 다른 약점은 낮은 확장성이다. 테이블의 크기가 고정되어 있으므로, 필터가 수용할 수 있는 최대 키 개수가 미리 알려져 있어야 한다.
거짓 양성.
거짓 양성(false positive) 또는 1종 오류(type I error)는 통계상 실제로는 음성인데 검사 결과는 양성이라고 나오는 것이다. 예를 들어, 어떤 메일이 스팸 메일인지 검사하는 프로그램이 있다고 하자. 이때 어떤 메일이 실제로는 스팸 메일이 아니지만 프로그램 검사 결과 스팸 메일이라고 판정한다면, 이것이 거짓 양성이다. 위양성(僞陽性), 혹은 거짓 경보(false alarm)라고도 한다.
거짓 음성.
거짓 음성(false negative) 또는 2종 오류(type II error)는 통계상 실제로는 양성인데 검사 결과는 음성이라고 나오는 것이다. 예를 들어, 어떤 메일이 스팸 메일인지 검사하는 프로그램이 있다고 하자. 이때 어떤 메일이 실제로는 스팸 메일임에도 불구하고 프로그램 검사 결과 스팸 메일이 아니라고 판정한다면, 이것이 거짓 음성이다. 이러한 현상은 암 진단이나 보안 진단과 같은 분야에서는 거짓 양성에 비해 오 탐지에 대한 비용이 커서 그것을 잘 고려하여 검사 알고리즘을 개발해야 한다.
알렉산드라 크리스티나(Alexandra Christina, Countess af Frederiksborg, 1964년 6월 30일 ~ )는 덴마크 왕 프레데리크 10세의 동생인 요아킴 왕자의 전 부인이다.
그녀는 홍콩에서 태어났고, 아시아와 유럽의 혼혈 혈통이다. 그녀는 1994년에 요아킴 왕자를 소개받았다. 그들은 1995년에 결혼했고, 두 아들을 낳았고, 그 후 2005년에 이혼했다.
알렉산드라(Alexandra)는 여자 이름이다.
얀 헨드릭 쇤(Jan Hendrik Schön, 1970년 -)은 독일 출신 물리학자이다. 한때 획기적인 연구결과를 연이어 발표하여 물리학의 총아로까지 여겨졌으나, 곧 그가 발표한 다수의 연구논문 데이터가 조작되었다는 것이 밝혀져 물의를 일으켰다. 이 쇤 사건은 과학계에 논문의 공동저자와 과학 잡지의 리뷰어들의 책임이 어디까지인지에 대한 논란을 불러왔다. 《네이처》를 비롯한 권위 있는 과학 잡지의 피어 리뷰 과정에서 쇤의 조작이 밝혀지지 않았다는 것에 대해 비판의 의견이 있었으나 한편에선 피어 리뷰의 역할이 의도된 사기를 밝혀내는 것이 아니라 논문자체의 논리적 오류를 찾는 데에 초점이 맞춰져 있다고 변호하는 의견도 있다.
쇤은 응집물질물리와 나노기술 분야에서 연구를 했다. 1997년 독일 콘스탄츠 대학교에서 박사학위를 받았으며, 2000년 12월 벨 연구소에 들어간다.
2001년에 그는 자신의 이름이 올라간 논문을 8일에 하나 꼴로 발표한다. 같은 해 《네이처》에 분자규모의 트랜지스터를 만들었다는 논문을 발표한다. 이 논문은 얇은 유기 색소 분자 층을 이용하여 전자회로를 구성할 수 있으며, 이 회로에 전류를 가하면 트랜지스터의 특성을 나타낸다고 설명하고 있다. 이 연구는 반도체가 현재의 실리콘 기반에서 앞으로는 유기물 기반으로 교체되리라 예견하는 것이었다. 더 나아가, 실리콘으로는 도저히 불가능한 크기보다 작은 크기에서 유기물 트랜지스터를 만드는 것이 가능하기 때문에 현재 예측되는 한계 이하로 무어의 법칙을 이어갈 수 있다는 것을 말한다. 또한 이것이 가능하다면 전자부품 제조가격도 매우 싸지게 된다.
그의 업적이 출판된 직후 물리학계에서 쇤의 데이터가 수상하다는 소문이 돌았다. 특히 그의 데이터가 너무나 정확하게 맞아 떨어지며 이것은 물리학적으로 모순이라는 것이었다. 버클리 대학의 리디아 손(Lydia Sohn) 교수는 쇤이 발표한 온도가 상이한 조건에서 실시한 두 가지 실험이 정확히 같은 노이즈 데이터를 갖고 있다는 사실을 발견했다. 네이쳐의 편집자가 이 사실을 쇤에게 알렸을 때 쇤은 실수로 같은 그래프를 보냈다고 발뺌했다. 코넬 대학의 폴 맥코인(Paul McEuen) 교수가 또 다른 실험에 대한 논문에서 이 그래프를 다시 찾아냈으며, 결국 쇤의 25개의 논문과 쇤이 공동저자로 올라간 20개에서 수상한 점이 발견되었다.
2002년 5월 벨 연구소는 스탠퍼드 대학의 말콤 비즐리 교수에게 이 사건의 조사를 맡겼다. 조사 위원회는 쇤이 쓴 논문의 공저자에게 질문지를 보냈으며, 주로 공동 작업을 하던 3명의 공저자를 직접 인터뷰했다. 논란이 된 논문의 데이터 수치 분석이 들어있던 논문 초고를 조사했다. 위원회는 원 데이터의 복사 본을 요구했으나 그는 실험실 노트를 보관하고 있지 않았다. 그의 원본 데이터 파일도 그의 컴퓨터에서 지워진 상태였다. 쇤에 따르면 하드 디스크 공간이 모자라 파일들을 지웠다고 한다. 또한 그의 실험 샘플은 모두 복원할 수 없도록 훼손되거나 버려졌다.
2002년 9월 25일 위원회는 보고서를 발표했다. 보고서는 24개 의심사례의 세부사항을 담고 있다. 위원회는 최소한 16개에서 부정이 있었다고 결론 내렸다. 한 가지 데이터는 여러 실험의 결과로 재사용된 것을 발견했다. 또한 그래프 중 몇몇은 실제 데이터를 사용하지 않고 수학함수를 사용하여 그린 것을 밝혀냈다.
보고서에 따르면 모든 조작은 쇤 혼자서 저지른 것이며, 공동저자들은 모두 이 부정행위와 무관한 것으로 보고하고 있다. 그러나 공동저자들이 쇤의 데이터를 책임감 있게 검토했는지에 대해서는 명확하지 않다. 연구에 깊숙이 관여하지 않은 저자들인 경우에는 그들의 책임을 다한 듯 보이지만, 쇤이 일하던 그룹의 책임자인 버트램 배트록에 대해서는 그가 충분히 쇤의 연구결과를 검토하지 않았다는 의문이 제기되기도 했다. 물론 사건이 터진 이후에 그는 적절히 대응하였으나, 연구 책임자로서 이와 같은 획기적인 연구결과에 대해 미리 충분히 검증했어야 했을 것이다. 조사 위원회는 공동저자의 책임에 대해 어떤 명시적인 규율 같은 것이 존재하지 않기 때문에 위원회 자체가 이 문제에 대해서는 해결할 수 없다고 결론지었다. 배트록에게 가해진 공식적인 제제는 없었다.
벨 연구소는 보고서를 받은 당일 쇤을 해고했다. 쇤 사건은 이 연구소에서 발생한 첫 번째 사기사건이었다.
쇤은 다수의 논문에서 데이터가 부정확하다는 걸 인정했다. 그러나 자료가 바뀐 것은 순전한 실수였다고 주장했다. 또한 데이터를 변조한 것은 사실이지만 그것은 자신이 관찰한 결과를 좀 더 믿음직스럽게 만들기 위한 것이었다고 밝혔다. 계속 그는 자신의 실험이 실제로 가능했으며, 그가 제시한 기술을 사용하여 분자규모의 트랜지스터가 가능하다고 주장하고 있다.
요일(曜日)은 한 주의 각 날짜별로 이름을 붙인 것을 말한다. 많은 언어권에서 쓰는 요일 이름은 고대 로마인들이 고대의 7행성인 태양·달·화성·수성·목성·금성·토성에 따라 이름을 붙인 것이다.
많은 언어에서 일주일 중 7일에 부여된 이름은 헬레니즘 천문학의 고전 행성 이름에서 파생되었으며, 이는 차례로 현대 신들의 이름을 따서 명명되었다. 이 시스템은 수메르인이 도입하고 나중에 바빌로니아인이 채택했다. 로마 제국은 고대 후기에 이 체계를 채택했다. 일부 다른 언어에서는 일요일이나 월요일부터 시작하여 해당 지역 문화의 신들의 이름을 따서 날짜가 지정된다. 7일 주간은 히브리력에서 초기 기독교로 채택되었으며 점차적으로 로마의 눈디네(internundinum)를 대체했다. 일요일은 태양신 솔 인빅투스의 날이자 주일로 간주되어 주의 첫날로 남아 있었고, 유대인의 안식일은 일곱째 날로 남아 있었다. 콘스탄틴 황제는 서기 321년에 7일 주간을 공식적인 용도로 채택하여 태양절(dies Solis, 일요일)을 법정 공휴일로 만들었다.
국제 표준 ISO 8601에서는 월요일을 한 주의 첫 번째 날로 취급하지만, 많은 국가에서는 두 번째 날로 간주한다.
그리스·로마.
요일의 이름을 천체에서 따온 것은 베티우스 발렌스의 170년경의 저서 《명문집》(Anthologiarum)에서 처음 발견된다. 1세기에서 3세기 사이 로마 제국이 8일 주기였던 달력을 7일 주기로 고치면서, 각 날짜마다 천체의 이름을 따서 태양·달·아레스·헤르메스·제우스·아프로디테·크로노스로 이름붙였다. 후에 게르만족이 이를 차용하면서 게르만 신화의 신으로 이름을 바꾸었다.
일본에서는 헤이안 시대의 홍법대사(弘法大師)가 《숙요경》(宿曜經)에서 전래를 하였고, 이것에 사용된 개념이 칠요(七曜)이며, 칠요에는 일월(日月)과 오성(五星)이라고 표기되어 있다. 오성은 춘추전국시대 후기 오행설과 결합된 목성, 화성, 토성, 금성, 수성이나, 또는 고대 천문학에서 다섯 행성으로 꼽던 세성(歲星), 형혹(熒惑), 진성(鎭星), 태백(太白), 진성(辰星)을 일컫는 말이다.
조선은 음력(대통력과 시헌력)이 기준이었고, 달과 절기를 중심으로 달력을 구성했으며, 요일의 개념은 존재하지 않았다. 1895년 을미사변을 통해 집권한 김홍집 내각이 주도한 〈제3차 갑오개혁〉(을미개혁)을 통해 1896년 태양력을 도입하였으며, 요일의 명칭도 일본의 것을 그대로 따랐다. 외교문서에 태양력을 쓴 것은 1888년부터 요일의 개념을 사용하였다.
요일.
시작.
한편, 국제표준화기구인 ISO에서 제정한 "국제표준 ISO 8601"(날짜 및 시각의 표기)에서는 월요일을 한 주의 시작으로 규정하여 세계 공통으로 삼았다. 대한민국도 국가기술표준원의 "주간 수 결정법》"에서 “1주의 첫 날은 월요일”로 정의하였고, 일본도 일본 산업 규격(JIS)에서 월요일을 첫째날로 지정했다. 그리고 사전적으로 봤을 때 영국도 월요일을 첫째 날로 정의하였지만, 미국은 월요일을 둘째 날로 정의하고 있다. 유대교, 기독교 국가에서 토요일은 휴식을 취하고 예배를 보는 한 주의 마지막 날이라는 문화적 배경을 안고 있다.
수론에서 디오판토스 방정식()은 정수로 된 해만을 허용하는 부정 다항 방정식이다. 디오판토스 문제는 미지의 변수와 변수의 수 보다 적은 방정식을 제시하고, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수해들을 찾도록 한다. 좀더 기술적인 용어로서 설명하면, 디오판토스 문제는 부정 다항식으로 표현되는 대수 곡선이나 대수 곡면, 또는 보다 일반적인 대수다양체에 대하여 정수로 표현될 수 있는 모든 격자점을 나타내라는 것과 같다..
이러한 방정식을 디오판토스 방정식이라 부르는 것은 헬레니즘 시기인 3세기 무렵 알렉산드리아의 수학자였던 디오판토스가 이런 유형의 부정 다항 방정식을 만들고 연구하여 정리하였기 때문이다. 디오판토스는 자신이 연구한 문제들을 정리하여 《산학》(算學, , )을 저술하였다. 디오판토스는 수학 기호를 대수학에 도입한 최초의 수학자들 가운데 한 명이기도 하다.
개별적인 디오판토스 방정식은 오래전부터 퍼즐이나 문제의 형태로 알려져 왔다. 1637년 피에르 드 페르마는 디오판토스의 저서 《산학》의 여백에 "n이 2보다 더 큰 정수일 때, formula_1를 만족하는 정수 x, y, z 은 존재하지 않는다"라고 적었다. 페르마의 마지막 정리로 불리게 된 이 문제는 1994년이 되어서야 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다. 1657년 페르마는 formula_2의 해를 구하였는데, 사실 이 문제는 그 보다 천년전 인도의 브라흐마굽타에 의해 해결된 바 있다. 18세기 들어 레온하르트 오일러도 동일한 방정식의 해를 구하였다.
디오판토스 방정식의 일반형인 이차 형식은 20세기가 되어서야 정리되었다. 디오판토스 방정식을 연구하는 분야는 오늘날 "디오판토스 해석학"이라고 불린다.
디오판토스 해석학.
전형적인 질문.
수학자들은 이러한 질문들로 짜인 퍼즐이나 방정식을 두고 많은 문제를 풀어왔다. 그중에 어떤 것은 해답을 얻기까지 많은 시간이 걸리기도 하는데, 페르마의 마지막 정리의 경우 해결하는데 300년이 넘는 시간이 걸렸다.
전형적인 예제.
A와 B가 0 ~ 9의 아라비아 숫자라고 할 때, 아버지는 AB세이고 아들은 BA세이다. 아들의 나이에 두배를 하면 아버지의 나이보다 한 살 더 많다. 아버지와 아들의 나이는 몇 세인가? (단, AB는 10A+B를 나타내며 A와 B의 곱을 의미하지 않는다.)
아버지와 아들의 나이를 십진기수법으로 나타내면, 아버지의 나이는 10A + B이고 아들의 나이는 10B + A가 된다. 아들의 나이에 두 배를 하면 아버지의 나이보다 한 살 많으므로,
이고, 간단히 정리하면
A와 B가 모두 0에서 9 사이의 정수이므로 다음의 표를 통하여 A = 7, B = 3 임을 알 수 있다.
세번째 식과 두번째 식에서 formula_16, formula_17 을 생각할 수 있고, 후자를 전자에 대입하여 정리하면 formula_18 을 얻는다. 첫번째 식에서 formula_19 을 얻고, 같은 방법으로 대입하여 formula_20 을 얻는다. 이를 통해서 A=7, B=3의 순서쌍을 얻는다.
아버지 73세, 아들 37세
1900년 다비트 힐베르트는 20세기에 해결하여야 할 23개의 수학 문제를 제시하였다. 힐베르트의 문제들로 불리는 이 문제들 가운데 제10항목은 "임의로 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 판별할 수 있는 알고리즘을 제시하라"는 것이었다. 1970년 마티야세비치 정리에 따라 그러한 알고리즘을 만들 수 없다는 것이 증명되었다.
임의의 디오판토스 방정식이란 차수나 문자에 상관없이 문자와 상수로만 이루어진 정수방정식을 의미한다. 그렇기에 무한한 차수와 정수해라는 특별한 조건 때문에 기존 집합론이나 해석학에서 쓰이는 방법들로는 쉽게 풀리지 않는 난제이다. 특히 알고리즘을 찾는다는 말은 방정식에서의 근의 공식처럼 문자를 다수 쓰기 때문에 이에 따른 부가적인 설명(거듭제곱근,약수 관계) 때문에 정말 어려운 난제이다. 증명과정이 굉장히 복잡하기 때문에 단순하게 말하자면 무한히 커지는 정수들에 대해서 모두 알고리즘이 존재하지 않다는 것을 증명하였다. 문제의 특성상 반례를 특수한 상황에서 보이면 되기에 피보나치 수를 이용하여 증명에 성공하였다.
formula_21와 같은 형식의 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다. 특히 c 가 a 와 b 의 최대공약수일 때 이를 베주 항등식이라고 한다. 베주 항등식의 해는 무한히 많으며, 확장된 유클리드 알고리즘으로 구할 수 있다.
자명한 경우는 항상 무시한다. 예를 들어 페르마의 마지막 정리에서 formula_22는 n=0일 때 항상 성립하지만 이 경우는 무시하고 푼다.
흉노는 기원전 4세기부터 5세기까지 북아시아 스텝지역에 존재한 유목제국이다. 중국 측 기록에 따르면, 이들은 유라시아 스텝 동부에 기원전 3세기부터 기원후 1세기까지 살고 있었다. 기원전 209년 이후 묵돌 선우는 흉노 부족을 통합하고 흉노 제국을 세웠다.
유라시아 스텝을 이전에 지배했던 월지를 몰아내고, 흉노는 동아시아의 스텝 지역에서 주요 세력으로 성장했고, 몽골고원을 중심으로 삼았다. 흉노의 활동 영역은 시베리아, 내몽골, 신장, 간쑤성 등도 포함되었다. 흉노 지역의 동남부와 국경을 접한 중국의 왕조들과 흉노의 관계는 복잡했다. 흉노와 중국의 왕조는 평화롭게 지내기도 하고, 전쟁을 벌이기도 했고, 서로 복종시키기도 했다. 흉노는 한나라와의 오랜 전쟁에서 결국 패배하였고, 흉노는 결국 북흉노와 남흉노로 분리되었으며, 한나라는 흉노족을 강제로 한나라와의 국경지역에 정착시켰다. 오호 십육국 시대에 오호 중 하나였던 흉노는 장성 이남으로 내려와 전조나 하와 같은 여러 왕조를 세웠다.
스키타이족, 또는 사르마티아인을 통해 흉노족의 정체성을 찾으려는 시도는 한때 논란이 되었지만, 고고유전학에서는 스키타이족 및 사르마티아인과 흉노, 나아가 훈족과 상호작용이 있었음을 확인했다. 흉노의 민족적 핵심층에 대한 정체성은 여러 가설의 주제가 되었는데 이는 중국 측 기록에 주로 칭호나 인명(人名) 등 몇몇 단어들만이 적혀 있기 때문이다. 흉노라는 명칭은 훈족, 또는 후나족과 동계어일 수도 있지만, 이것 역시 논란이 많다. 이란어군, 몽골어족, 튀르크어족, 우랄어족, 예니세이어족, 또는 다언어 등 학자들은 흉노족과 다른 언어들과의 연관성을 제안했지만, 이러한 제안들도 모두 논란이 있다.
흉노가 최초로 등장하는 기록은 기원전 4세기 말 중국의 전국시대의 기록이다. 기원전 318년, 흉노는 한(韓), 조(趙), 위(魏), 연(燕), 제(齊)의 다섯 나라와 함께 진(秦)을 공격했지만, 결과는 6국의 참패로 끝났다. 이후 조의 효성왕(孝成王, 재위: 기원전 265년 - 기원전 245년)의 시대에 장군(將軍) 이목(李牧)이 대(代)의 안문(雁門)에서 흉노를 막아 싸워서 흉노 선우(單于)의 군을 격파하였다. (선우는 흉노를 이끄는 황제의 호칭으로, 하늘의 아들이라는 뜻을 가지고 있다. 효성왕과 싸운 선우의 이름은 알려져 있지 않다.)
중국을 통일한 진시황제는 기원전 215년, 장군 몽염(蒙恬)을 보내 융적(戎狄) 즉 흉노를 토벌하여 하남의 땅(오르도스)을 점령하고 흉노를 축출한 뒤, 감숙(甘肅)에서 요동(遼東)까지 장성을 쌓아 북방 기마민족들의 침공을 막았다. 당시 흉노의 두만(頭曼, )은 여러 차례 중국을 공격하다 화평을 맺었는데, 두만은 기원전 210년에 사망하기 직전에 황하(黄河)를 넘어서 화평의 걸림돌이 되는 자신의 태자인 묵돌(冒頓)을 인질로서 서쪽의 월지국(月氏國)에 보냈다. 보낸 직후 월지를 공격하여 아들을 죽이려 했고, 가까스로 월지를 빠져나온 묵돌은 귀국해 자신을 따르는 자들을 모아 자신을 죽이려는 아버지 두만 선우를 시해하고, 스스로 선우가 되었다.
묵돌 선우의 등장.
묵돌이 선우가 된 기원전 209년에는 진시황이 사망한 직후였으며 이로 인해 진나라가 큰 혼란에 빠져 중국은 초한전쟁이라는 내전을 치르고 있었다. 진나라의 쇠퇴를 기회로 삼아 묵돌은 군사를 강화시켜 동쪽의 만주 서부지역에 위치해 있던 동호(東胡)의 부족장을 죽이면서 동호를 멸망시키고, 나아가 서쪽의 천산산맥과 감숙 지방에 자리잡은 월지국(月氏國)을 중앙 아시아 지역으로 몰아냈으며 남쪽으로 누란(樓蘭), 백양하남왕을 병합해 북방 최대의 유목민족국가를 수립하였다.
묵돌이 북쪽으로 혼유(渾庾), 굴야(屈射), 정령(丁零) 등의 여러 부족을 복속시켜 몽골 초원 부족들의 추장이 된다. 한편 그 시기 중국에서는 전한(前漢)의 유방(劉邦)에 의해 내란이 수습되었다. 기원전 200년에 흉노는 마읍성(馬邑城)을 쳐서 그곳을 지키고 있던 한왕 신(韓王信)의 항복을 받아내고 태원(太原)으로 진격, 진양(晋陽)으로 나아갔다. 그곳에 흉노를 정벌하기 위해 유방이 친히 이끌고 온 한군이 도착했으나, 큰 눈과 추위로 더 나아가지도 못하고 많은 병사가 추위로 곤욕을 치렀다. 묵돌은 한군을 북쪽으로 유인하고자 거짓으로 물러났고, 백등산(白登山)에서 7일간 포위된 유방은 진평(陳平)의 헌책에 따라 묵돌의 알지(閼氏, 역대 선우의 어머니)를 움직여 공격이 잠시 느슨해진 사이에 가까스로 달아났다. 이후, 전한은 흉노와 굴욕적인 화친을 맺었다. 화친의 결과 전한과 흉노는 형제 관계를 맺었으며, 유방은 "흉노와 전쟁하지 말라"는 유언을 남겼다.
이 합의는 기원전 198년 가을, 중국 종실의 공주가 흉노에 도착함으로써 발효되었다. 특기할 사항은 양 조정(朝廷)에 왕위 변동이 있을 때마다 새로운 혼인으로 동맹을 갱신했다는 점이다. 또 중국이 흉노에 내는 조공 액수도 한과 흉노 사이의 역학 관계에 따라 수시로 바뀌었는데, 대체로 한의 조공액은 매년 늘어났다. 기원전 192년부터 135년까지 적어도 아홉 차례에 걸쳐 한이 흉노에 대한 조공액을 인상했다는 기록을 근거로 이 시기 전한이 흉노의 속국과 같은 존재였다고 해석하기도 한다. 이 시기의 영토는 동쪽으로 동호와 예맥(濊貊), 북쪽으로 예니세이 강 상류, 서쪽으로 동 투르케스탄, 남쪽으로 중국의 오르도스 지방과 칭하이성(靑海省)의 북부에 이르렀다.
실크로드 장악.
기원전 177년, 흉노의 우현왕(右賢王)이 하남 땅을 침략해 상군(上郡)을 약탈했다. 한의 문제(文帝, 재위: 기원전 180년 ~ 기원전 157년)는 승상 관영(灌嬰)에게 우현왕을 치게 했는데, 백등산 전투 이후 한이 흉노에 대해 처음으로 손을 쓴 사례였지만, 이 무렵 서방 공략에 주력하던 묵돌 선우는 곧장 흉노측의 책임을 인정했다. 묵돌 선우는 한과의 조약을 깬 우현왕을 시켜 돈황(敦煌) 부근에 있던 월지국을 축출하게 하는 동시에, 누란(楼蘭), 오손(烏孫), 호갈(呼揭) 및 서역 26국을 흉노의 지배하에 두었다.
흉노의 분열.
기원전 141년에 즉위한 전한 무제(武帝)는 흉노와 맺은 조약을 파기하고 흉노와 전면적인 전쟁을 시작하였다. 무제는 기원전 129년부터 위청(衛靑), 곽거병(霍去病) 등을 파견, 흉노를 공격하고 황하 서쪽 지역에 처음으로 진출해 '하서사군'(장액·주천·돈황·무위)을 설치했으며, 나아가 서역(西域 : 간쑤성 및 신장 자치구 일대)을 정벌하였다. 한군이 서역을 정벌하고 비단길을 통제하게 되자 흉노는 경제적으로 약화되었다. 한과 흉노의 전쟁으로 전한은 막대한 손실을 입었으며, 흉노의 피해는 더 커서 흉노의 세력은 크게 위축되었다.
기원전 60년경 흉노에서는 선우 자리를 놓고 수십개의 부족으로 분열되어 내전이 일어났으며 호한야 선우(呼韓邪 單于)는 기원전 51년 한나라의 지원을 얻었다. 한나라의 지원을 받은 호한야에 의해 흉노는 재통일되었으며 전한과 화친을 맺었고, 이는 전한이 멸망할 때까지 지속되었다. 이때 질지(郅支) 선우는 서흉노를 이끌었는데, 후에 동흉노에 패하여 다시 흡수되었지만, 일부 집단은 서쪽으로 이동하였다. 이 시기 흉노의 내분과 약화의 원인으로는 당시 몽골 고원이 한랭화되었던 것을 지목하기도 한다.
왕망(王莽)이 신(新)을 건국한 직후 흉노와 중국의 관계는 크게 악화되어 이 시기에 흉노가 신나라를 침공하기도 했다. 그러나 후한이 건국된 시점에서는 흉노는 수십개 부족으로 다시 분열된 상태였으며 그 수도 많지 않았는데 이중 남흉노는 후한에 복속되어 오르도스 및 산시성(山西省) 일대에 거주했으며, 북흉노는 몽골 고원에 남았다. 89년에 후한과 남흉노의 연합군은 북흉노를 공격하여 멸망시켰으며 북흉노의 일파는 서방으로 피신하였다. 이때 서방으로 향한 북흉노를 훈족으로 보기도 한다. 북흉노의 멸망 직후 몽골 고원에는 선비(鮮卑)·오환(烏桓) 등의 다른 유목 부족들이 성립되었다.
남흉노는 중국의 번병(番兵) 역할을 하며 오르도스 및 산서 일대에서 북방을 방어하였다. 후한은 남흉노의 군대를 용병으로 활용하였고 선비, 오환, 강(羌) 등을 토벌하기도 하였다. 중국의 명령을 충실하게 이행하는 선우에 대해서 흉노의 여러 유력자들은 많은 불만을 가졌으며 이로 인해 선우와 흉노의 유력자들 간에는 끊임없는 알력이 존재하였다. 또한 후한 말기에 오면 남흉노에게도 간섭하여 선우의 직위는 크게 실추되고 위태로워졌다. 삼국 시대에는 조조(曹操)에 의해 흉노의 선우는 유명무실하게 되고 흉노는 5부로 재편되어 중국의 실질적인 통제를 받게 되었다.
후한 말기 ~ 5호 16국 시대와 소멸.
후한 말기에 오면서 남흉노는 모두 남하하여 대다수가 한족과 동화되었다. 후한의 유표는 고대 흉노 모계 조상 가운데 한나라 공주 유(劉)씨가 있었기 때문에 유(劉)씨로 창성하였다. 그의 후손이자 서진(西晉) 말기 흉노의 좌부수(左部帥)였던 유연(劉淵)은 중국이 혼란스러운 틈을 타 산서 일대에서 한(漢)을 건국하였다. 이는 흉노가 과거 한나라와 형제의 맹약을 맺은 것을 근거로 한 것으로, 유연은 형인 한나라를 대신하여 한나라를 계승한다고 천명하였다. 흉노의 한나라는 서진을 멸망시키고 화북 지역을 초토화하여 지배권을 얻었다. 이후 흉노의 일파인 갈족(羯族)의 석륵(石勒)이 후조(後趙)를 건국하자 국호를 조(趙 : 후조와의 구분을 위해 보통 前趙라고 부른다.)로 고치고 화북을 양분하여 서로 물고 물리는 전쟁으로 대립하였다. 329년에 후조에 의해 전조는 멸망하였으며, 후조 역시 351년에 멸망하였다.
407년에는 흉노 철불부(鐵弗部)의 혁련발발(赫連勃勃)이 산시성(陝西省) 일대에서 하(夏)를 건국하여 선우를 자칭하였으나 431년에 멸망하였다. 이로써 흉노는 영원히 역사속으로 사라진다.
흉노의 군주는 선우라고 불렀다. 흉노의 선우는 흉노의 중앙집권화를 이룩한 묵돌 선우 이래 부자세습제를 통해 자리를 이어갔다. 선우의 아래에는 좌도기왕과 우도기왕의 작위가 있었다. 흉노의 신앙 체계는 천신사상이 강하게 나타나는데, 통치자 선우(單于)는 천신(天神)의 아들로서 하늘의 뜻을 이 땅에서 이루는 제사장으로 표현되고 있다. 흉노는 군주를 선우(單于)라고 불렀고, 수하 제후를 왕으로 지칭하였다. 흉노열전의 곤야왕 (昆邪王), 절란왕, 휴도왕 등은 군주가 아니고 한나라 접경 지역에서 활동하는 제후(작위)를 가리켰다.
흉노의 주요 지배 집단은 연제씨(攣鞮), 호연씨(呼衍), 수복씨(須卜), 난씨(蘭), 구림씨(丘林) 등 5개 부족이 있었다. 국가를 구성하는 5부족 족장은 1년에 세 번, 선우의 본거지에 모여 무속적(巫俗的)인 제사를 거행하고 국사를 의론하였다. 흉노의 지배 계층은 험윤에서 이어져 온 몽골계이며, 흉노는 다민족 국가로서 중앙아시아의 투르크계와 아리아계가 흉노에 포함되었다. 한나라 시대 연제 씨족이 왕통을 이어 갔고 황후는 다른 4개의 부족에서 나왔다. 남흉노 "류" (劉)씨는 연제 부족에서 나왔으며, 구림은 북위 무렵에 남하하여 "림"(林)으로 성을 가졌다. 셀렝가강에서 기원한 "설연타"의 일파인 사토족이 후당을 건국했을 때 흉노족이 "리"(李)를 성으로 취했다.
4세기 이후, 오르도스와 중앙아시아 등지의 유목 왕조들의 군주들은 선우라는 명칭은 거의 쓰지 않았고, 한이나 가한이라는 명칭을 사용하였다. 또한 선우를 보좌하는 좌현왕, 우현왕이라는 직책도 있었다. 흉노 선우의 시각은 중원 왕들과 반대로 남방을 정면으로 삼았기 때문에, 좌현왕은 동부, 우현왕은 서부를 관장했다. 당시 중국 왕조인 한나라 식으로 하면, 선우는 황제, 좌우현왕은 황제가 봉해주는 왕에 해당한다. 또한 좌우현왕과 유사한 두 왕(좌곡려왕, 우곡려왕)이 더 있어 선우와 함께 유목민족 특유의 5부 체제를 이끌었다. 또한 흉노가 강성하여 서역 지방을 다스렸을 때 서역 지방 제후를 일축왕에 봉했다. 골도후라는 직책도 있는데, 정확히 무엇을 칭하는 것인지는 정확히 밝혀지지 않았다. 골도후에도 좌, 우의 개념이 있어 각각 선우의 보좌직이라는 설이 있다. 좌우현왕 밑에는 각각 지방관 등으로 여겨지는 각종 직위들이 있었으며, 여기서 흉노의 지역 체제가 군사 체제와 일치했다는 사실을 알 수 있다.
흉노어 및 흉노인들이 사용한 문자에 대해서는 아직 정확히 밝혀지지 않았다. 그러나, 노인울라 16호 고분을 비롯한 흉노 유적지에서 발굴된 출토품에 흉노 문자로 추정되는 기호들이 새겨져 있다.
흉노는 유목민족으로써, 경제의 유지를 위해 농경을 영위하는 정주민에게 필요한 물자를 획득해야 했다. 이를 위해 흉노는 때로는 중국을 침략·약탈하고 때로는 조공이나 세폐를 통해 평화적으로 물자를 확보하였다. 흉노의 침입을 막기 위해 중국은 국력을 기울여 장성을 쌓고 막대한 세폐를 바치기도 하였다. 중국측 역사 교과서에 의하면, 일방적으로 피해를 당하던 중국이 전한 무제 때 대대적으로 흉노를 토벌하여 세력을 약화시켰으며 흉노 부족의 일부가 한나라에 화친을 청하며 신하라고 자칭했었다고 한다. 전한의 원제는 궁녀 왕소군을 공주로 만들어 흉노에게 시집보냄으로써 비교적 장기간 국경이 안정되었다고 한다. 이는 결혼 동맹을 통해서 양국과 우호관계를 담보하기 위한 행위였다.
전한 무제가 흉노와 전쟁을 시작한 이후 경제적인 중심지였던 서역을 상실한 흉노는 세력이 약화되었으며 이후 흉노에서 내분이 일어나자 더욱 약화되어 일부는 자신이 다스리던 선비족에게 역으로 공격 당하고, 일부는 중국에 복속되어 번병이 되기도 하였다.
훈족과의 관계.
서흉노 또는 북흉노가 훈족의 원류라는 주장이 있으나 명확한 관계는 밝혀지지 않았다. 흉노는 스스로를 ‘훈’이라 칭했다. ’흉노‘라는 이름 과거 중국 왕조가 ’훈’이라는 이름을 갖고있던 이들을 멸시하기 위한 이름이다. 흉노가 공격을 받아 멸망 하기전, 흉노 중 일부가 중앙아시아로(혹은 우크라이나로) 도주 했다는 기록이 있는데, 이때 그곳에 있던 부족들과 어올렸고, 그 후손이 훈족이라는 ‘추측’이 있다.
한민족과의 관계.
신라의 일부 금석문에는 흉노 출신의 김일제가 신라 김씨 왕실의 조상이라 기록되어 있다. 이를 근거로 재야사학자 및 소수의 역사학자들은 신라 왕실이 흉노의 후예라고 주장하기도 한다. 그러나 이러한 내용은 고대 신라인들이 왕가의 혈통을 미화하기 위해 중국 역사 속의 위인을 시조로 꾸며낸 것으로 해석하는 것이 역사학계의 일반적인 견해이다.
선형대수학과 컴퓨터 과학에서 해밍 부호(해밍符號, )는 이진 선형 부호의 일종이다. 거리가 3이므로, 1개 이하의 오류를 교정할 수 있으며, 2개 이하의 오류의 존재를 발견할 수 있다.
해밍 부호는 임의의 (소수 거듭제곱) 진법에 대하여 정의되는, 거리 3의 선형 부호이다. 이 가운데 이진 해밍 부호는 정의하기가 특별히 간단하다.
이진 해밍 부호.
그렇다면, 다음과 같은, formula_2 계수의 formula_3 행렬 formula_4를 정의할 수 있다.
즉, formula_4의 formula_7번째 열의 성분들은 formula_7의 이진법 표기의 성분들이다. 예를 들어, formula_9일 때 formula_4는 다음과 같은 3×7 행렬이다.
를 formula_14-이진 해밍 부호 또는 formula_15-해밍 부호라고 한다.
그렇다면, 유한체 formula_18 위의 formula_14차원 벡터 공간 formula_20 및 formula_21차원 사영 공간
을 구성할 수 있다. 다시 말해, 사영화 몫 함수
을 구성할 수 있다. 이 행렬을 패리티 확인 행렬로 갖는 선형 부호
를 formula_30진 formula_14-해밍 부호라고 한다.
확장 해밍 부호.
해밍 부호에 모든 성분에 대응되는 (즉 일반적인) 패리티 성분을 하나 더 추가할 수 있으며, 이는 formula_32-선형 부호이다. 이를 확장 해밍 부호(擴張Hamming符號, )라고 한다.
해밍 부호의 거리는 3이다. 즉, 일반적으로, 소수 거듭제곱 formula_30 및 양의 정수 formula_14가 주어졌을 때, formula_30진 formula_14-해밍 부호는 formula_37-선형 부호이다. 특히, 거리가 3이므로, 해밍 부호는 각 부호어마다
가짓수.
소수 거듭제곱 formula_30에 대하여, formula_30진 해밍 부호를 구성하려면 동치류의 대표원을 임의로 골라야 한다. 각 동치류의 크기는 formula_40이므로, (행의 순열을 무시하면) formula_30진 formula_14-해밍 부호의 가능한 패리티 확인 행렬의 수는
이다. 물론, 서로 다른 패리티 확인 행렬이 같은 선형 부호를 정의할 수 있다.
formula_44일 경우, 각 동치류가 한원소 집합이므로 해밍 부호는 유일하며, 대표원을 임의로 고를 필요가 없다. 그러나 예를 들어 formula_45일 경우, formula_46개의 서로 다른 3진 formula_14-해밍 부호가 존재한다.
최적성.
formula_15-해밍 부호는 같은 길이 및 거리의 선형 부호 가운데, 가장 효율적이다. 즉, 임의의 formula_49-선형 부호에 대하여,
이진 2-해밍 부호.
formula_51 이진 해밍 부호는 삼중 반복 부호(三重反復符號, )와 같다. 즉, 이는 다음과 같다.
이진 3-해밍 부호.
가장 흔히 사용되는 해밍 부호는 formula_9 이진 해밍 부호이다. 이 경우, formula_9 이진 해밍 부호의 생성 행렬과 표준형 패리티 확인 행렬은 각각 다음과 같다.
삼진 2-해밍 부호.