shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
위키백과는 시작과 함께 문서의 신뢰성에 대한 의문이 따라다녔다. 누군가 보다 전문가적인 입장에서 사용자의 편집을 검토하고 제한할 수 있어야 한다는 주장이 늘 있다. 위키백과의 공동창립자인 래리 생어는 결국 이 문제로 인해 위키백과를 떠나 전문가의 검토를 거치는 시티즌디움을 창립하였다. 위키백과 역시 몇 차례의 명백한 오류와 특정 집단의 의도적인 개입으로 완전한 개방 정책을 수정하지 않을 수 없었다. 오랫동안 《USA 투데이》의 편집장을 역임했던 존 시겐설러가 존 F. 케네디의 암살에 연루되었다는 거짓 정보가 위키백과에 올라온 사례는 오랫동안 위키백과 문서의 오류에 대한 사례로 거론되었고, 2016년 1월에는 스위스의 정보 기관 공무원이 수년에 걸쳐 약 5,500건에 달하는 문서를 악의적으로 편집하였다가 아이피가 차단되는 일이 벌어지기도 하였다.
위키백과의 문서 품질은 사용자들의 지속적인 수정과 검토에 의해서 유지되고 향상된다. 2003년 안드레 시포릴리는 위키백과 컨텐츠의 유지는 파괴적 활동보다 창조적 활동량이 훨씬 많기 때문에 가능한 것이라는 분석을 내놓았다. 그러나 교묘한 거짓 정보는 매우 오랜 기간 검토되지 못한 채 남아있는 경우도 있다. 영어 위키백과에서는 2005년 1월 31일 등재된 연쇄 강간범 잭 로비쇼라는 문서가 완전히 허구의 인물을 서술한 것이라는 것을 2015년이 되어서야 발견한 일도 있었다. 이 문서는 2015년 9월 3일 삭제되었다.
커뮤니티.
위키백과의 콘텐츠는 사용자들의 자발적인 참여로 이루어지기 때문에 사용자 간의 소통이 매우 중요하다. 이를 위해 위키백과는 과 같은 커뮤니티 공간을 제공하고 있다. 또한 위키백과의 모든 문서에는 "토론" 탭이 있어서 사용자들 사이에 문서 개선을 위한 토론이 이루어지도록 하고 있다.
위키백과 사용자들은 와 같은 오프라인 모임을 통해 관심사를 공유하기도 한다. 위키백과를 운영하고 있는 위키미디어 재단은 매년 세계적인 컨퍼런스인 위키마니아 행사를 갖고 있다. 2016년 위키마니아는 이탈리아의 에시노라리오에서 열렸다. 위키마니아에서는 위키백과뿐만 아니라 위키미디어 재단이 운영하고 있는 위키미디어 공용, 위키데이터, 위키책, 위키문헌, 위키낱말사전과 같은 여러 자매 프로젝트의 주요 관심사도 함께 논의된다. 위키미디어 재단은 이들 여러 프로젝트의 활성화를 위해 세계 각지의 지부나 사용자 모임을 지원하는 사업도 하고 있다. 대한민국에서는 가 자발적 사용자 모임으로 활동중이다. 한국위키미디어협회는 2016년 1월 15일 위키백과 15주년 기념행사를 가졌다.
위키백과 커뮤니티는 종종 컬트적인 것으로 묘사되지만, 그것이 늘 부정적인 면을 부각하는 것은 아니다. 위키백과 사용자들은 훌륭한 활동에 대해 를 부여하여 서로의 동기 유발을 지원하기도 한다.
위키백과는 사용자의 익명성을 보장한다. 다중이 익명으로 참여한다고 하더라도 커뮤니티가 활력을 띄면 정보의 질은 꾸준히 향상된다. 위키백과의 이러한 작업 방식은 크라우드 소싱이라는 이름으로 다른 분야에서도 시도되고 있다. 그러나 실제로 위키백과에 정보를 추가하는 사람들은 전체 사용자 가운데 극히 소수라는 연구가 있고, 로그인 하지 않은 사용자에 대해서는 위키백과 커뮤니티가 이등시민 취급을 한다는 비판도 있다. 다트머스 대학교 연구진은 이를 검증하기 위한 2007년 연구에서 "로그인 하지 않은 익명의 편집자나 기여 횟수가 적은 편집자의 활동 역시 로그인 사용자와 동등한 신뢰성을 보인다"고 밝혔다. 2009년 《비지니스 인사이더》의 편집인 헨리 블라젯은 위키백과 문서에 대한 표집 조사 결과 대다수의 문서가 "아웃사이더"에 의해 생성된 뒤 "인사이더"에 의해 완성된다고 분석하였다.
위키백과의 내용은 처음에는 GNU 자유 문서 사용 허가서 아래 배포되었으나 2009년 6월, 로 변경되었다. 2023년 6월부터는 로 변경되었다.
관리.
위키백과는 특별한 위계가 없는 사용자들의 집단 활동이라는 점에서 아나키즘의 요소를 갖는 민주주의 체계로 평가되기도 한다. 위키백과 내의 모든 문서는 직접 내용 편집에 참여한 사용자를 포함하여 어느 누구도 소유권을 주장할 수 없다. 위키백과의 이러한 은 커뮤니티가 공동으로 소유하는 가치에 대한 사적 이익 추구를 억제함으로써 공유지의 비극을 방지하고자 만들어졌다.
위키백과의 관리는 의 정신과 이를 구현하기 위한 에 따라 이루어진다. 정책과 지침은 커뮤니티의 에 의해 수립되거나 수정된다. 총의의 개념은 2005년 찰스 메튜의 위키미디어 메일링 리스트에서 설명된 바와 같이 단순한 만장일치가 아닌 현시점에서 커뮤니티가 내릴 수 있는 최선의 타협이다. 위키백과의 커뮤니티는 각각의 언어마다 독립되어 있기 때문에, 언어판마다 총의는 다를 수 있다. 위키백과 초창기 가장 큰 논란은 문서의 중립성 확보였고, 이에 따라 위키백과가 시작된지 한 달 만에 이 정책으로 지정되었다. 한국어 위키백과 역시 2004년 중립적 시각 정책을 도입하였다. 문서와 커뮤니티의 성장에 따라 지침이 필요한 다양한 사안이 발생하였기 때문에 위키백과의 정책과 지침 역시 이에 대응할 수 있도록 다양하게 늘어났다.
위키백과 사용자들 사이의 논쟁 또는 분쟁은 모두 위키백과 커뮤니티 안에서 해결된다. 사용자들 사이의 문제는 서로간의 토론을 통해 해결하는 것이 가장 바람직하지만, 문서의 훼손이나 악의적인 행위 등으로부터 선의의 편집 활동을 보호하기 위한 조치도 필요하다. 문서를 삭제하거나 악의적인 사용자를 차단하는 것과 같은 활동은 커뮤니티 안에서 충분히 신뢰할 수 있다고 평가받아 로 선출 된 사용자가 실행한다. 한편 사용자 사이의 논쟁은 와 같은 기구를 통해 상호 조정을 이루기도 한다.
위키백과는 위키미디어 재단이 운영하는 위키미디어 프로젝트 가운데 하나이다. 위키미디어 프로젝트에는 위키백과 외에도 위키낱말사전, 위키책, 위키미디어 공용, 위키문헌, 위키인용집, 위키데이터 등이 있다. 모든 위키미디어 프로젝트는 자발적으로 참여하는 사용자들의 커뮤니티에 의해 운영되며 위키미디어 재단은 이들 프로젝트의 유지, 소프트웨어와 하드웨어의 관리, 사용자 커뮤니티에 대한 지원과 같은 일들을 담당한다.
위키미디어 재단.
위키미디어 재단은 미국 캘리포니아주 샌프란시스코에 본부를 둔 비영리 기구로 위키백과를 비롯한 위키미디어 프로젝트의 유지를 위한 기금을 조성하고 호스팅하고 있다. 위키백과가 시작된 지 2년 후인 2003년 6월 20일 플로리다주 법인으로 설립되었으며 2007년 본부를 샌프란시코로 이전하였다. 2013년 귀속분 국세청 신고서에 따르면 재단의 기금 수익은 3천9백7십만 달러이고 지출된 경비는 2천9백만 달러이다. 또한 총 자산은 3천7백2십만 달러로 이 가운데 부채는 230만 달러이다.
2014년 5월 위키미디어 재단은 초대 사무국장 슈 가드너가 퇴임하고 2대 사무국장으로 라일라 트레티코프를 지명하였다. 《월스트리트 저널》은 2014년 5월 1일자 보도를 통해 새로운 사무국장의 취임을 소개하면서 트레티코프의 “정보는 공기와 같이 자유를 좋아한다.”는 말을 인용하였다. 2016년 6월 3대 사무국장으로 캐서린 마허가 취임하였다. 마허는 위키미디어 프로젝트의 운영 방향에 대해 커뮤니티 내에서 상호 공감을 형성하는 것이 무엇보다 중요하다는 입장을 밝혔다.
소프트웨어.
위키백과의 운영 프로그램은 미디어위키이다. 오픈 소스로 배포되는 자유 소프트웨어인 미디어위키는 PHP 기반의 위키 소프트웨어로 MySQL 데이터베이스를 이용한다. 위키백과 초기에는 펄로 작성된 유스모드위키를 사용하였으나 2002년 1월에 마그누스 만스커가 개발한 PHP와 MySQL 기반의 위키가 도입되었고, 다시 2002년 7월 리 다니엘 크로커가 개발한 미디어위키를 3세대 소프트웨어로 도입하였다. 미디어위키는 이후로도 여러차례 업데이트되어 위키백과를 비롯한 여러 위키미디어 프로젝트를 운영하는 소프트웨어가 되었다.
하드웨어.
위키백과는 낮 시간을 기준으로 1초에 25,000~60,000페이지 요청을 수신한다. 페이지 요청은 먼저 스퀴드 캐시 서버의 프론트엔드 계층으로 내보낸다. 스퀴드 캐시가 처리할 수 없는 요청은 리눅스 버추얼 서버 소프트웨어를 실행하고 있는 부하 제어 서버로 내보낸다. 즉, 데이터베이스로부터 렌더링한 페이지를 보여 주기 위해 아파치 웹 서버들 가운데 하나로 요청을 내보낸다는 뜻이다. 웹 서버는 요청한 페이지를 전달하여 모든 언어판의 위키백과에 대한 페이지 렌더링을 수행한다. 속도를 더 빠르게 하기 위해 렌더링 된 페이지는 만료될 때까지 분산 메모리 캐시에 캐시 처리되며 이로써 동일한 페이지 접근에는 대부분 페이지 렌더링을 완전히 생략할 수 있다.
현재 사용되고 있는 위키백과의 서버는 주로 우분투로 이루어진 리눅스 서버들의 컴퓨터 클러스터로 운영되고 있다. 2009년을 기준으로 위키미디어 재단은 미국 플로리다주에 300대, 네덜란드 암스테르담에 44대의 서버를 운영하였다. 2013년 1월 22일 위키백과는 중요 데이터를 미국의 데이터 센터 공기업인 에퀴닉스로 이전하였다.
자동 편집.
위키백과에서는 단순 반복적인 활동을 위해 봇이라고 불리는 프로그램이 운영된다. 봇은 자주 혼동되는 오탈자를 바로잡거나 자동으로 생성될 수 있는 반복적인 문구의 삽입과 같은 일을 담당한다. 봇 역시 위키백과 커뮤니티의 사용자들이 작성하여 운영하며 잘못된 사용을 막기 위해 별도의 등록 절차를 거친다.
2005년에 영국의 네이처 지는 브리태니커 백과사전과 위키백과의 42가지 난해한 과학 기사를 비교한 평가 리뷰를 발표하였다. 그 결과는 위키백과의 정확도 수준이 브리태니커 백과사전에 근접한다는 것이었다. 다만 비평가들은 모든 범위의 기사에 대해 무작위로 표본을 추출한 경우 혹은 사회과학이나 논쟁적인 사회 문제에 중점을 둔 유사한 연구의 경우 그렇게 긍정적인 결과가 나오지 못했을 수도 있다고 여겼다. 또 2006년 기사에서 타임 지는 위키백과는 누구나 편집할 수 있는 개방 정책을 갖고 있으며 이로써 위키백과가 세계에서 가장 큰 백과사전으로 만들어질 수 있도록 하고 지미 웨일즈의 비전을 실현한다고 밝혔다.
위키백과는 누구나 참여할 수 있기 때문에 편집자의 시각에 따라 누군가가 악의적인 의도 등으로 잘못된 정보를 입력할 수 있고 이에 따라 잘못된 정보가 퍼져나갈 수 있다는 문제점이 제기되어 왔다. 예를 들어 2005년 영어 위키백과에서는 존 시겐설러라는 미국의 전직 언론인이 존 F. 케네디 대통령의 암살에 관여했다는 잘못된 정보가 올려져 있었다는 점이 밝혀졌으며 한 익명 사용자가 신바드라는 미국의 코미디언이 사망했다는 거짓 정보를 올려 인터넷 전반에 잘못된 소문이 퍼지기도 했다.
또한 위키백과는 미국 내의 보수주의자들로부터 자유주의적이라는 비판을 받아왔다. 이로 인해 컨서버피디아가 2006년에 개설되었다.
미 연구팀에 의하면 영어판 위키백과에 등록된 문서 중 회사 관련 내용의 약 60% 정도가 잘못된 사실을 담고 있다는 연구결과가 나왔다. 연구팀의 교수는 이를 특정 회사들이 이미지를 긍정적으로 만들기 위해 위키백과에 회사에 유리한 내용을 삽입하기 때문인 것으로 추정하고 있다.
광자(光子, photon) 또는 빛알은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 formula_1이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다.
광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수(formula_2)에 빛의 진동수(formula_3)를 곱한 값, 즉 formula_4 이고, 운동량은 formula_5(formula_6는 광속)이다.
아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.
광자에너지.
빨간색의 광자에너지는 formula_10
아보가드로 상수는
이다. 따라서 단위물질량당 광자에너지는
보손()은 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 보손, 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다.
예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다.
자연계의 보손.
기본 보손.
합성 보손.
짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.
스핀.
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 벡터 보손, 스핀 0인 입자는 스칼라 보손으로 불린다.
통계역학.
페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.
"f", "g"가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, "f", "g"의 디리클레 포갬 "f" * "g"는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 "f"(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.
역원의 계산.
주어진 수론적 함수 formula_2에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 formula_3이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
그리고 formula_5일 경우는 다음과 같다.
예를 들어, 모든 formula_7에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.
"f"가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.
주어진 산술함수 formula_2의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 formula_11는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.
예를 들어, 모든 formula_7에 대해 1 인 수론적 함수 formula_14이 있다고 할 때, 관계식 formula_15 때문에 다음이 성립한다
수학에서 동치 관계(同値關係, )는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.
동치 관계.
집합 formula_1 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, formula_1 위의 이항 관계 formula_3이다.
동치류와 몫집합.
집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 원소 formula_4의, formula_14에 대한 동치류(同値類, ) formula_17는 formula_18와 동치인 원소들을 모은 집합이다.
집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, formula_1의 formula_14에 대한 몫집합(-集合, ) formula_24은 모든 동치류들을 모은 집합이다.
모임의 경우.
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.
모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 formula_1 위의 동치 관계는 곱모임 formula_27의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, formula_24을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.
모임 formula_1 위에 동치 관계 formula_3가 주어졌다고 하자. 원소 formula_4에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
즉, formula_33는 formula_18와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 formula_35라고 할 때, formula_33는 집합 formula_37의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임
을 정의할 수 있다.
집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.
즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.
집합의 분할과의 관계.
집합 formula_1가 주어졌을 때, formula_1 위의 동치 관계들과 formula_1의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 몫집합 formula_24은 집합의 분할이다. 즉, formula_1의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 formula_1의 분할 formula_51가 주어졌다고 하자 (즉, formula_51는 formula_1의 부분 집합들의 집합이며, formula_1의 임의의 원소는 정확히 하나의 formula_51의 원소에 속한다). formula_1 위에 다음과 같은 이항 관계 formula_57를 정의하자.
그렇다면 formula_57는 formula_1 위의 동치 관계이다. formula_61과 formula_62는 서로 역함수이다. 즉,
이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.
순서론적 성질.
집합 formula_1가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 formula_66에 대하여, formula_67를 포함하는 최소의 동치 관계 formula_68가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
집합 formula_1 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 formula_77는 완비 격자이다. formula_77의 최소 원소는 (formula_1로 국한된) 등호 formula_80이며, 최대 원소는 전체 관계 formula_81이다. 동치 관계들의 집합 formula_82의 만남 formula_83는 교집합
이다. formula_82의 이음 formula_86은 합집합 formula_87을 포함하는 최소의 동치 관계
동치 관계 격자 formula_77는 항상 대수적 격자()이자 반모듈러 격자()이다. 유한 집합 formula_1의 경우, formula_77는 단순 격자(, 합동 관계가 자명한 격자)이다.
임의의 집합 formula_1 위에서, 등호 formula_80는 동치 관계를 이룬다.
평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.
임의의 함수 formula_94에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계
는 정의역 formula_1 위의 동치 관계이다. 이를테면, formula_1가 어떤 사람들의 집합이며, formula_98가 사람의 생일을 찾는 함수라면, formula_99는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.
반례.
반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계.
임의의 집합 formula_1 위에서, 공관계
는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 formula_102이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.
대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계.
정수의 집합 formula_103 위의 표준적인 순서
를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, formula_105이지만, formula_106이다.
추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계.
정수 집합 formula_103 위의 이항 관계
는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.
《자연철학의 수학적 원리》(自然哲學- 數學的原理, )는 서양의 과학 혁명을 집대성한 책의 하나이다. 줄여서 '프린키피아'()라고 불리기도 한다. 1687년에 나온 아이작 뉴턴의 세 권짜리 저작으로, 라틴어로 쓰여졌다.
이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.
에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다.
1687년에 초판, 1712년 증보 개정판, 그리고 1726년 제3판이 출간되었다.
각 권별 내용.
제 2권.
저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다. 이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다. 이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다.
제 3권.
가장 성과가 많은 부분이다. 태양과 다른 행성들의 질량이 추론되고, 순전히 수량적인 방식을 이용해서 지구의 평평한 모습이 설명되며, 조수의 이론 등이 상세히 제시되고 있다.
슈뢰딩거 방정식(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
해밀토니언 연산자 formula_3는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. formula_4는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 formula_5로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)
해밀토니언 연산자 formula_6는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.
이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.
로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 formula_16를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
위 식들을 각진동수 formula_18와 파수 formula_19 및 formula_20를 이용해 표현하면,
p와 k를 벡터로 표현하면
에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.
그리고 그는
이므로
이며, 마찬가지로
이고, 따라서
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
관련 방정식.
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.
또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
엔트로피(entropy)는 열역학과 통계역학에서 '평형 상태로의 이동 정도' 또는 '유효하게 이용할 수 있는 에너지의 감소 정도'나 '무효 에너지의 증가 정도'를 뜻하고, 정보 이론에서는 정보 엔트로피라는 이름으로 '정보를 내보내는 근원의 불확실도를 나타내는 양' 또는 '정보량의 기대치'를 뜻한다. 이 용어와 개념은 이가 처음 인식된 고전 열역학부터 통계역학의 자연에 대한 미시적 설명, 정보 이론에서의 정보 엔트로피에 이르기까지 다양한 분야에서 사용된다. 화학과 물리학, 생물학적 시스템과 생명과의 관계, 우주론, 경제학, 사회학, 대기과학, 기후 변화 및 통신의 정보 전송을 포함한 정보 시스템에서 광범위하게 응용되고 있다.
엔트로피는 열역학 제2법칙의 핵심으로, 자연 진화에 맡겨진 고립된 시스템의 엔트로피는 시간이 지나도 감소할 수 없다는 법칙이다. 결과적으로 고립된 시스템은 엔트로피가 가장 높은 열역학적 평형을 향해 진화한다. 열역학 제2법칙의 결과는 특정 과정들은 비가역적이란 것이다.
열역학 개념은 1850년에 스코틀랜드의 과학자이자 엔지니어인 윌리엄 랭킨에 의해 "열역학 함수" 및 '열-퍼텐셜'이라는 이름으로 언급되었다. 1865년에, 열역학 분야의 주요 창시자 중 한 명인 독일의 물리학자 루돌프 클라우지우스는 이를 순간 온도에 대한 무한히 작은 양의 열의 몫이라고 정의했다. 그는 처음에는 이를 독일어로 '변환-내용(Verwandlungsinhalt)'이라고 기술했고, 나중에 '변환'을 뜻하는 그리스 단어로부터 '엔트로피'라는 용어를 만들었다.
오스트리아의 물리학자 루트비히 볼츠만은 엔트로피를 시스템의 거시적 조건에 부합하는 시스템의 개별 원자 및 분자의 가능한 미시적 배열 또는 상태의 수를 측정하는 척도로 설명했다. 이를 통해 통계적 무질서와 확률 분포의 개념을 통계역학이라는 새로운 열역학 분야에 도입했으며, 평균적인 구성에 따라 변동하는 미시적 상호작용과 거시적으로 관찰 가능한 거동 사이의 연관성을 현대 국제 단위계의 대표적 보편 상수 중 하나가 된, 비례 상수인 볼츠만 상수와 함께하는 간단한 로그 법칙의 형태로 발견했다. 참고로, 엔트로피의 반대 개념은 네겐트로피(negentropy)다.
프랑스의 수학자 라자르 카르노는, 1803년 논문 "평형과 운동의 기본 원리(Fundamental Principles of Equilibrium and Movement)" 에서, 모든 기계에서 움직이는 부품의 가속과 충격은 "활동의 순간" 의 손실을 나타내며, 모든 자연 과정에는 유용한 에너지가 소멸되는 내재적 경향이 존재한다고 제안했다. 1824년에, 라자르의 아들인 사디 카르노는 이 연구를 바탕으로 모든 열-기관에서 "칼로릭(caloric)"(현재 열로 알려진 것)이 온도 차이를 통해 떨어질 때마다 뜨거운 몸에서 차가운 몸으로 떨어지는 작용에서 일 또는 원동력이 생성될 수 있다고 가정한 "불의 원동력에 대한 고찰(Reflections on the Motive Power of Fire)"을 발표했다. 그는 물레방아에서 물이 떨어지는 것을 비유로 들었다. 이는 열역학 제2법칙에 대한 초기 통찰이었다. 카르노는 열에 대한 자신의 견해를 부분적으로는 18세기 초의
"뉴턴적 가설"에 기초하여 열과 빛이 모두, 다른 물질에 이끌리거나 밀어내는, 불멸의 물질 형태라는 것을, 부분적으로는 1789년에 대포 구멍이 가공될 때처럼 마찰로 열이 생성된다는 것을 보여준 럼포드 백작의 현대적 견해에 기초하여 설명했다. 카르노는 증기와 같은 작동 물질의 몸체가 완전한 기관 사이클이 끝날 때 원래 상태로 돌아간다면 "작동하는 몸체의 상태에는 아무런 변화가 일어나지 않는다"고 추론했다.
1843년에, 제임스 줄의 열-마찰 실험에서 추론된 열역학 제1법칙은 모든 과정에서 에너지의 개념과 그 보존을 표현하지만, 마찰과 소산의 효과를 별도로 정량화하기에는 부적합히다.
1850 년대와 1860 년대에 독일 물리학자 루돌프 클라우지우스 작용 물체에 변화가 발생하지 않는다는 가정에 반대하고 작업이 수행 될 때, 예로서 마찰에 의해 생성된 열과 같은, 사용 가능한 열의 내재적 손실의 본질에 의문을 제기함으로써 그 변화에 수학적 해석을 부여했다. 그는 자신의 관찰을, 화학종들의 상태의 변화 중에 열역학 시스템 또는 작용 물체의 "변환-내용"(독일어로 Verwandlungsinhalt)에서 결과하는 에너지의 소산적 사용으로서 설명했다. 이는 아이작 뉴턴의 이론에 근거하여 열이 질량을 가진 파괴 불가능한 입자라는 이전의 견해와 대조적이었다. 클라우지우스는 증기 기관에서 증기가 입구에서 배기구로 이동하면서 사용할 수 없는 에너지가 증가한다는 사실을 발견했다. 1865년에 클라우지우스는 '에너지'의 접두사 엔-과 기존 사전에서 "회전" 또는 "변화"로 번역되고 또한 그가 흔히 영어로 "변형"으로 번역되는 단어인 독일어로 "Verwandlung"으로 만들었던, 그리스어 τροπή[트로페]로부터 이 속성을 "엔트로피"로 명명했다. 그 단어는 1868년에 영어로 채택되었다.
이후 루트비히 볼츠만, 조사이어 윌러드 기브스 및 제임스 클러크 맥스웰과 같은 과학자들이 엔트로피에 통계적 기초를 부여했다. 1877년에, 볼츠만은 이상 기체 입자들의 앙상블의 엔트로피를 측정하는 확률론적 방법을 시각화하여, 엔트로피를 기체가 차지할 수 있는 미시 상태의 수의 자연 로그에 비례하는 것으로 정의했다. 이 정의의 비례 상수는 볼츠만 상수라고 불리우며 현대 국제 단위계(SI)를 정의하는 보편 상수 중 하나가 되었다. 이후로는, 통계역학에서 핵심적인 문제는 주어진 양의 에너지 "E"가 "N"개의 동일한 시스템에서 어떻게 분포하는지를 결정하는 것이었다. 그리스의 수학자 콘스탄티노스 카라테오도리는, 궤적과 적분가능성의 측면에서, 엔트로피를 비가역성의 수학적 정의와 연결시켰다.
1865년 클라우지우스는 '변환'을 뜻하는 그리스어의 이름을 따서 “시스템의 구성에 따라 달라지는 양의 미분”이라는 개념을 엔트로피라고 명명했다. 그는 “변환 내용”(Verwandlungsinhalt)을 동의어로 사용하면서 "열적 및 운동적 내용"(Wärme- und Werkinhalt)을 "U"의 이름으로 사용했지만, 두 개념이 "물리적 중요성이 거의 유사"하다고 생각하여 "에너지"라는 단어와 거의 유사한 "엔트로피"라는 용어를 선호했다. 이 용어는 ἔργον('에르곤', '일')의 어근을 τροπή('트로피', '변형')의 어근으로 대체하여 형성되었다.
좀 더 자세히 설명하자면, 클라우지우스는 "엔트로피"라는 이름을 선택한 이유를 다음과 같이 설명했다:
저는 모든 살아있는 언어에서 같은 의미를 가질 수 있도록 중요한 과학적 양에 대한 이름을 고대 언어로 사용하는 것을 선호한다. 따라서 저는 그리스어 “변형”을 따서 "S"를 물체의 "엔트로피"라고 부를 것을 제안한다. 나는 의도적으로 엔트로피라는 단어를 에너지와 유사하게 만들었는데, 왜냐하면 이 두 수량은 물리적 의미가 매우 유사해서, 나에게는 종파들의 비유가 도움이 될 것 같기 때문이다.
리언 쿠퍼는 이런 식으로 덧붙였다 "그는 모든 사람에게 같은 것: 무(nothing)를 의미하는 단어를 만들어내는 데 성공했다".
정의와 기술.
엔트로피의 개념은 고전 열역학의 거시적 관점과 통계역학의 중심이 되는 미시적 기술이라는 두 가지 주요 접근 방식으로 기술된다. 고전적 접근 방식은 부피 질량, 체적, 압력, 온도와 같이 거시적으로 측정 가능한 물리적 특성으로 엔트로피를 정의한다. 엔트로피의 통계적 정의는 처음에는 기체를 구성하는 뉴턴 입자와 같이 고전적으로 모델링된 시스템의 미시적 구성 요소의 운동의 통계로서 정의하고, 또한 나중에는 양자역학적으로(광자, 포논, 스핀 등) 엔트로피를 정의한다. 이 두 가지 접근 방식은 물리적 과정에 보편적으로 적용될 수 있는 것으로 밝혀진 열역학 제2법칙에 표현된 것과 같이 현상에 대한 일관되고 통합된 관점을 형성한다.
상태변수와 상태의 함수.
많은 은 열역학적 평형 상태를 정의하는 물리적 변수에 의해 정의되며, 이는 본질적으로 상태변수(state variable)이다. 상태 변수는 평형 상태에만 의존하며, 해당 상태로의 경로 진화에는 의존하지 않는다. 상태 변수는 하나의 상태 변수가 다른 상태 변수의 수학적 함수라는 의미에서 상태함수라고도 하는 상태의 함수가 될 수 있다. 종종, 시스템의 일부 속성이 결정되면 시스템의 상태와 다른 속성의 값을 결정하기에 충분하다. 예를 들어, 주어진 양의 기체의 온도와 압력은 이상기체 법칙을 통해 기체의 상태와 부피를 결정한다. 특정 균일한 온도와 압력에서 단일 상의 순수한 물질로 구성된 시스템은 특정 상태가 결정되며, 따라서 특정 부피를 갖는다. 엔트로피가 상태의 함수라는 사실은 엔트로피를 유용하게 만든다. 카르노 사이클에서 작동 유체는 사이클이 시작될 때와 동일한 상태로 돌아가므로, 따라서 이 가역적인 사이클에서 엔트로피와 같은 상태함수의 변화 또는 선적분은 영이다.
가역적 과정.
시스템의 엔트로피 변화 "formula_1"는 시스템의 온도 "formula_2"로 나눈 가역적인 과정동안 주위로부터 시스템에 전달된, 이 열전달 동안, 열 "formula_3"의 작은 부분으로 잘 정의될 수 있다:
가역적인 과정은 준정적(quasistatic)(즉, 열역학적 평형에서 무한히 극소량만 벗어나면서 어떤 소멸도 없이 발생)이며, 총 엔트로피를 보존할 수 있다. 예를 들어 카르노 사이클에서 뜨거운 저장소에서 차가운 저장소로의 열 흐름은 차가운 저장소의 엔트로피 증가를 나타내지만, 가역적이고 완벽하게 저장된 작업 출력은 열 엔진을 역으로 작동하여 초기 상태로 되돌리는 데 사용할 수 있는 엔트로피 감소를 나타내므로 만일 전체 과정이 가역적이라면 총 엔트로피 변화는 항상 영이 될 수 있다.
반대로 비가역적 과정은 시스템과 주변 환경의 총 엔트로피를 증가시킨다. 열 평형에서 벗어날 만큼 빠르게 발생하는 모든 과정은 되돌릴 수 없다; 총 엔트로피는 증가하고 과정 중에 수행될 수 있는 최대 일의 퍼텐셜을 잃게 된다.
카르노 사이클.
엔트로피의 개념은 가역적 열 기관으로서 카르노 열 기관이 수행하는 열역학 사이클인 카르노 사이클에 대한 루돌프 클라우지우스의 연구에서 비롯되었다. 카르노 사이클에서, 열 formula_5는 등온 팽창 단계에서 뜨거운 저장소에서 일정한 온도 formula_6에서 작동 가스로 전달되고 또한 열 formula_7는 등온 압축 단계에서 작동 가스에서 일정한 온도 formula_8에서 차가운 저장소로 전달된다. 카르노의 정리에 따르면, 두 개의 열 저장소가 있는 열 기관이 일 formula_9를 생산할 수 있다는 것은 저장소 간에 온도 차이가 있다는 것과 동일하다. 원래, 카르노는 그가 칼로릭 이론(caloric theory)이 유효하다고 가정하면서, 열 formula_5과 formula_7 사이를 구분하지 않았고 따라서 그 시스템의 총 열은 보전되었다. 그러나 실제로는 열 formula_5의 크기는 열 formula_7의 크기보다 크다. 클라우지우스와 켈빈의 노력으로, 가역적 열 기관에 의해서 한 일 formula_9은 카르노 효율 (즉, 동일한 쌍의 열 저장소를 가진 모든 가역적 열 엔진들의 효율)과 등온 팽창 중에 엔진의 작동체에 의해 흡수된 열 formula_5의 곱인 것으로 밝혀졌다:
켈빈은 카르노 효율을 도출하기 위해 등온 팽창 중에 흡수된 열에 대한 일 출력의 비율을 카르노 함수라는 미지의 함수가 포함된 클라우지우스-클라페롱 방정식을 사용하여 평가해야 했다. 줄은 켈빈에게 보낸 편지에서 카르노 함수가 영점 온도에서 측정한 온도일 수 있다는 가능성을 제시했다. 이것은 켈빈이 그의 절대 온도 눈금을 확립할 수 있도록 하였다.
한 사이클 동안 기관에 의해서 생성된 일 formula_17
은 한 사이클 동안 기관에 의해서 흡수된 순 열 formula_18과 같다. 따라서, 열역학적 과정을 통해 전달된 열 formula_19에 대한 부호 규칙(흡수에는 formula_20 그리고 소산에는 formula_21)과 더불어 우리는 다음을 얻는다:
이 등식은 카르노 사이클 전체에 걸쳐 유지되므로, 클라우지우스는 사이클의 각 단계에서, 순열 그 자체가 아니라, 일과 순열 간의 차이가 보존될 것이라는 힌트를 얻었다. 그것은 변화 formula_23인 상태 함수 formula_24가 존재한다는 것을 의미한다. 그것은 내부 에너지라고 불리며 또한 열역학 제1법칙의 중심 개념을 형성한다.
마지막으로, 카르노 사이클에서 일 결과물의 두 가지 표현들의 비교는 우리에게 다음을 부여한다:
내부 에너지의 도출과 유사하게, 이 등식은 전 사이클에서 걸쳐서 보존되는 변화 formula_26인 상태 함수 formula_27의 존재를 의미한다.클라우지우스는 이 상태 함수를 "엔트로피"라고 불렀다.
추가로, 열 전달 방향의 반전은 등온 단계에서 전달되는 열의 부호 반전을 의미하므로 카르노 사이클 동안 두 열 저장소의 엔트로피 총 변화량도 역시 영이다:
여기서는 우리는 열 저장소의 엔트로피 변화를 formula_29 에 의해서 나타낸는데, 여기서 formula_30 는 뜨거운 저장소 formula_31 또는 차가운 것 formula_32이다.
만일 카르노 사이클보다 덜 효과적인 열 기관을 고려하면(즉, 이 기관에 의한 일 formula_33는 카르노 정리에 의해 예측된 최대치보다 작다), 이 엔진의 일 출력은 다음과 같이 카르노 효율에 의해서 제한된다:
순 열로서의 일 formula_33를 위의 부등식에 대입하면 다음이 된다:
또는 엔트로피 변화 formula_37의 관점에서는:
위에 표시된 카르노 사이클과 엔트로피는 모든 고전적인 열역학적 열 기관 연구에 유용하다는 것이 입증되었다. 오토, 디젤 또는 브레이턴 사이클과 같은 다른 사이클도 같은 관점에서 분석할 수 있다. 특별히, 카르노보다 더 큰 효율을 낸다고 주장되는 열을 일로 변환하는(즉: 열 기관) 모든 기계나 사이클 과정은 열역학 제2법칙을 위반하므로 실행 가능하지 않다.
입자 집합체와 같이 충분히 이산적인 시스템을 더 자세히 분석하려면 통계역학을 사용해야 한다. 추가로, 예로서 광전지와 같은 드브로이파의 한계 근처에서 작동하는 장치에 대한 설명은 양자통계역학와 일치해야 한다.
고전 열역학.
엔트로피의 열역학적 정의는 1850년대 초 루돌프 클라우지우스에 의해 개발되었으며, 기본적으로 열역학적 평형 상태에 있는 고립계의 엔트로피를 그 부분들과 함께 측정하는 방법을 설명한다. 클라우지우스는 카르노 사이클을 특성화하는 데 유용한 것으로 밝혀진 크기 성질 열역학적 변수로서 엔트로피라는 용어를 만들었다. 카르노 사이클의 등온 단계(등온 팽창과 등온 압축)에서의 열 전달은 시스템의 온도(그 절대 온도로 알려짐)에 비례하는 것으로 밝혀졌다. 이 관계는 증분 열전달량을 온도로 나눈 것과 같은 엔트로피의 증분으로 표현되었다. 엔트로피는 열역학적 사이클에 따라 달라지지만 결국 모든 사이클이 끝나면 같은 값으로 돌아오는 것으로 밝혀졌다. 따라서 엔트로피는 상태, 특히 시스템의 열역학적 상태 함수라는 것이 밝혀졌다.
클라우지우스는 가역적인 과정을 기반으로 정의를 내렸지만, 엔트로피를 변화시키는 비가역적인 과정도 존재한다. 열역학 제2법칙에 따라 고립계의 엔트로피는 비가역적 프로세스의 경우 항상 증가한다. 고립계와 패쇄 시스템의 차이점은 고립계로 그리고 그로부터 에너지가 흐르지 "않을" 수 있지만, 폐쇄 시스템으로 또한 그로부터 에너지가 흐를수 있다는 것이다. 그럼에도 불구하고 폐쇄 시스템과 고립계 모두, 그리고 개방 시스템에서도, 비가역적인 열역학 과정이 발생할 수 있다.
클라우지우스 등식(Clausius equality)에 따르면, 가역적 사이클 열역학적 과정의 경우에는:
이것은 선적분 formula_40 는 경로-독립적이다. 따라서 우리는 "엔트로피"라 불리는 상태함수 formula_27 를 정할 수 있다:
그러므로, 열역학적 엔트로피는 에너지의 크기를 온도로 나눈 값이며, 국제 단위계(SI)로는 켈빈당 줄(J/K) 단위를 갖는다.
시스템의 두 상태 사이의 엔트로피 차이를 구하려면 초기 상태와 최종 상태 사이의 가역 경로에 대해 적분을 평가해야 한다. 엔트로피는 상태 함수이므로 가역 경로에 대한 시스템의 엔트로피 변화는 동일한 두 상태 사이의 가역 경로와 동일하다. 하지만, 주변으로 또는 주변으로 또는 그로부터 전달되는 열은 엔트로피 변화와 마찬가지로 다르다.
우리는 엔트로피의 변화는 위의 공식을 적분해야만 계산할 수 있다. 엔트로피의 절대값을 구하기 위해 열역학 제3법칙을 고려한다. 절대 영도에서 완벽한 결정들은 엔트로피 formula_43 을 갖는다.
거시적 관점에서, 고전 열역학에서 엔트로피는 열역학 시스템의 상태 함수로 해석된다: 즉 시스템의 현재 상태에만 의존하는 특성으로 해석도며, 그 상태가 어떻게 달성되었는지에 대해서는 무관하다. 어떤 과정에서든, 시스템이 온도 formula_2 에서 에너지의 formula_45 를 주변으로 방출하는 경우, 그 엔트로피는 formula_46 만큼 떨어지고 또한 최소 에너지의 formula_47 는 주변으로 열로 방출되어야 한다. 그렇지 않으면 이 과정은 앞으로 나아갈 수 없다. 고전 열역학에서 시스템의 엔트로피이 정의된다는 것은 그것이 열역학적 평형 상태에 있다는 것과 동일하다 (하지만 화학 평형은 필요하지는 않다: 예를 들어, 표준 조건에서 수소 2몰과 산소 1몰의 혼합물의 엔트로피는 잘 정의되어 있다).
이 통계적 정의는 1870년대에 루트비히 볼츠만이 시스템의 미시적 구성 요소의 통계적 거동을 분석하여 개발했다. 볼츠만은 이 엔트로피의 정의가 열역학적 엔트로피와 볼츠만 상수라고 알려진 일정한 계수 내에서 동일하다는 것을 보여주었다. 요컨대, 열역학적 엔트로피 정의는 엔트로피에 대한 실험적 검증을 제공하는 반면, 통계적 엔트로피 정의는 그 개념을 확장하여 엔트로피의 본질에 대한 설명과 더 깊은 이해를 제공한다.
통계역학에서의 엔트로피 해석은 온도, 압력, 부피와 같은 관찰 가능한 거시적 특성을 고려한 후, 시스템에 대해 남아있는, 기브스의 문구로는, 불확실성, 무질서 또는 "혼동성(mixedupness)" 의 측정이다. 주어진 거시적 변수 집합에 대해, 엔트로피는 시스템의 확률이 여러 가능한 미시상태(microstate)에 걸쳐 분산되어 있는 정도를 측정한다. 명백하게 관찰 가능한 평균 수량을 특징짓는 거시 상태와 달리, 미시상태는 모든 분자의 위치와 운동량을 포함하여 시스템에 대한 모든 분자 상세를 열거한다. 이러한 상태가 시스템에 상당한 확률로 더 많이 존재할수록, 엔트로피는 커진다. 통계역학에서, 엔트로피는 시스템을 배열할 수 있는 방법의 수의 측정으로, 종종 "무질서"(엔트로피가 높을수록, 무질서도도 높아진다)의 측정으로 간주된다. 이 정의는 엔트로피가 시스템의 관찰 가능한 거시적 상태(거시상태)를 유발할 수 있는 시스템의 개별 원자 및 분자의 가능한 미시적 구성들(미시상태(microstates))의 수의 자연 로그에 비례한다고 기술한다. 비례 상수는 볼츠만 상수이다.
볼츠만 상수, 그리고 따라서 엔트로피는, 에너지의 크기를 온도로 나눈 값으로, 국제 단위계에서는 켈빈당 줄(J⋅K-1)(기본 단위로는 kg⋅m2⋅s-2⋅K-1)을 단위로 한다. 물질의 엔트로피는 일반적으로 단위 질량당 엔트로피(SI 단위: J⋅K-1⋅kg-1) 또는 단위 물질의 양당 엔트로피(SI 단위: J⋅K-1⋅mol-1) 중 하나의 세기 성질로 표시된다.
구체적으로 엔트로피는 여러 상태를 가진 시스템에 대한 로그 측정으로, 각 상태가 점유될 확률 formula_48 (일반적으로 볼츠만 분포에 의해 주어지는)을 갖는다:
여기서 formula_50는 볼츠만 상수이며, 시스템의 모든 가능한 미시상태에 대해 합이 수행된다.
상태가 연속적인 방식으로 정의되는 경우, 그 합은 가능한 모든 상태에 대한 적분으로 대체되거나, 동등하게 우리는 미시상태가 점유되는 확률의 로그의 기대값을 고려할 수 있다:
이 정의는 기준 상태가 상대 위상에 대한 정보가 없는 방식으로 선택된다고 가정한다. 일반적인 경우의 표현은 다음과 같다:
여기서 formula_53 는 밀도 행렬, formula_54은 대각합류 작용소이고, 또한 formula_55은 행렬 로그(matrix logarithm)이다. 만일 그 시스템이 열 평형 상태이면 기저 상태가 해밀턴의 고유 상태(eigenstates)로 선택되는 한 밀도 행렬 형식주의는 필요하지 않다. formula_27 에 대한 다른 모든 공식이 이로부터 도출될 수 있지만, 그 반대의 경우는 아니기 때문에, 대부분의 실용적인 목적을 위해서 그것은 엔트로피의 기본 정의로서 취해질 수 있다.
"통계역학의 기본 가정(the fundamental postulate in statistical mechanics)"이라고 불리는 것에서, 동일한 에너지를 가진 시스템 미시상태들 사이에서 (즉, 축퇴 미시상태) 각 미시상태는 동일한 확률로 채워진다고 가정되어 formula_57, 여기서 formula_58는 시스템의 에너지와 같은 미시상태의 개수이다. 일반적으로 이 가정은 열역학적 평형 상태의 고립된 시스템에 대해 정당화된다. 그러면 고립계의 경우 이전 공식은 다음과 같이 축소된다:
열역학에서 이러한 시스템은 작은 바른틀 앙상블이라고 하는 고정된 부피, 분자 수 및 내부 에너지인 시스템이다.
엔트로피에 대한 가장 일반적인 해석은 시스템에 대한 불확실성의 정도의 측정으로서이다. 시스템의 평형 상태는 보존된 변수를 제외한 초기 조건에 대한 모든 정보를 반영하지 않기 때문에 엔트로피를 최대화한다. 이러한 불확실성은 일상적인 주관적 불확실성이 아니라 실험 방법과 해석적 모형에 내재된 불확실성이다.