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이외에는 칼 체르니가 회상한 바와 같이, 1801년에 월터 피아노를 두었다. 1802년에는 친구 즈메스칼(Zmeskall)에게 선물할 피아노 포르테를 월터에게 주문제작하기도 했다.
1803년에는 에라르 그랜드 피아노를 받았다. 에라르 피아노는 음의 지속시간이 특별히 긴 것이 특징으로, 베토벤은 이 피아노를 갖게 된 후 얼마 지나지 않아 발트슈타인 소나타의 작곡을 시작한다. 그러나 1810년에는 더 이상 그 피아노를 사용하지 않게 되었고, 1824년에 동생 요한에게 선물로 주었다.
1818년에는 토마스 브로드우드로부터 브로드우드사()의 피아노를 선물로 받았다. 이 선물에 대해 자랑스러워하긴 했지만 음이 살짝 어긋난다는 이유로 불만을 가졌다. 그러나 이는 실제로는 베토벤의 청력에 문제가 생기기 시작했기 때문에 그렇게 느껴졌던 것으로 보는 시각이 존재한다. 베토벤은 피아노의 음량을 키우기 위해 피아노를 개조할 방법을 알아보기도 하였다.1827년 베토벤이 사망할 때까지 슈바르츠슈파니어하우스에 있는 자신의 집에 있었다.
베토벤의 마지막 악기는 4중 그라프 피아노였다. 베토벤은 이 6 ½ 옥타브 피아노를 받고나서 얼마 지나지 않아 사망했는데, 후에 이 피아노는 윔머 가문에 팔렸다가 1889년에 본의 베토벤 하우스에게 인수되었다.
본의 베토벤 기념비는 1845년 8월 탄생 75주년을 기념하여 조각가 언스트 율리우스 하넬의 제작으로 뮌스터광장(Münsterplatz)에 설치, 공개되었다. 이것은 독일에서 만들어진 첫 작곡가 동상이었다. 제막과 함께 열린 음악 축제는 본 베토벤할레의 매우 성급한 건축을 위한 자극제였다(프란츠 리스트의 촉구에 따라 한 달 이내에 설계 및 제작이 이루어졌다). 오스트리아 빈에서는 베토벤 기념비가 1880년 5월 탄생 110주년을 기념하여 조각가 카스파 폰 춤부슈의 제작으로 베토벤광장(Beethovenplatz)에 설치, 공개되었다(흉상은 앞선 1812년 빈 미술사 박물관에 설치, 공개되었다. 이것은 조각가 프란츠 클라인에 의해 제작되었다).
본 중앙에는 그의 출생지인 베토벤하우스라는 박물관이 있다. 같은 도시에서 1845년부터 음악축제인 베토벤페스트가 개최되었다. 이 축제는 처음에는 비정기적 이었으나 2007년부터 매년 조직되었다.
조각가 아놀트 푀르스터가 제작한 베토벤의 7피트 주조 청동상은 1932년 로스앤젤레스 퍼싱 스퀘어 역에 설치, 공개되었다. 로스앤젤레스 필 하모닉 오케스트라의 창시자인 윌리엄 앤드류스 클라크 주니어에게 헌정되다.
빈(, , )은 오스트리아의 수도이다. 영어 명칭인 비엔나()로도 알려져 있다. 도나우강이 도시를 관통하며 인구는 약 190여만 명이고 대도시권 광역 인구는 약 230여만 명이다.
영어식 표기인 비엔나(Vienna)는 같은 철자의 이탈리아어 이름에서 유래했다. 빈이라는 명칭의 유래는 아직도 학계에서 논쟁의 대상이다. 게일어로 하얀 마을을 뜻하는 로마 제국의 정착지 빈도보나에서 유래했다는 설과, 숲속 계곡을 의미하는 "vedunia"가 고대 고지 독일어의 "uuenia"로, 이것이 다시 고지 독일어의 "wien"과 방언 "wean"으로 변형되었다는 가설이 존재한다.
개척과 발전.
오늘날 빈 지역에 사람이 살았던 흔적이 처음 나타난 것은 기원전 500년 즈음으로, 켈트족이 다뉴브강 유역에 정착한 것에서 시작되었다. 기원전 15년 로마인들은 로마 제국을 게르만족으로부터 방어하기 위해 자신들이 빈도보나라고 이름 붙인 개척지를 요새화했다.
빈과 켈트족의 밀접한 관련성은 몇 세기 동안 지속되었다. 아일랜드인 수도승 성 콜먼은 멜크 수도원에 묻혔으며 성 퍼질은 잘츠부르크에서 40년 동안 주교 자리를 맡았다. 그런가 하면 12세기 무렵 아일랜드 베네딕도회는 수도원을 겸하는 거주지를 만들었다. 이러한 연관성은 한때 수많은 아일랜드 수도승들이 활동했던 쇼텐 대사원을 통해 보여지듯이 빈의 일부가 되었다.
976년, 바벤베르크가의 레오폴트 1세는 오스트리아 변경백국의 지도자가 된다. 레오폴트 1세가 다스린 영토는 다뉴브강을 중심으로 바바리아 지방 동쪽 경계와 맞닿아 있었다. 이 지역이 훗날 오스트리아 공국으로 성장한다. 변경백국의 작위 계승자들은 다뉴브강을 따라 영토를 확장했는데, 최종적으로 빈과 그 동쪽 지역에 이르게 된다. 1145년, 하인리히 2세는 가문의 거처를 니더외스터라이히의 클로스터노이부르크에서 빈으로 옮긴다. 이때부터 빈은 바벤베르크가의 주무대가 되었다.
합스부르크가는 1440년부터 빈에 살기 시작했다. 이로 인해 빈은 신성 로마 제국의 실질적인 수도이자 예술, 과학, 음악, 요리의 중심지로 등극한다. 1485년부터 1490년까지 헝가리 왕국의 지배를 받았다.
16세기부터 17세기까지 빈은 기독교 진영과 오스만 제국의 전쟁터였다. 1529년 빈 공방전과 1683년 빈 전투에서 오스만 제국은 두 번의 패배를 기록한다. 1679년 역병이 창궐해 인구 3분의 1이 사망했다.
오스트리아 제국과 근대.
나폴레옹 전쟁이 벌어지던 1804년 빈은 새로 등장한 오스트리아 제국의 수도가 되었다. 이후 1814년부터 2년에 걸쳐 빈 회의를 개최하는 등 유럽과 세계 정치에서 영향력을 넓혀나갔다. 한편 1848년 합스부르크 왕조에 불만을 품은 대규모 반란이 일어났으나 진압 당했다. 1867년 오스트리아-헝가리 협정 이후, 빈은 오스트리아-헝가리의 수도로 남게 된다. 이 시기에 하이든, 모차르트, 베토벤 등 고전 음악의 거장이 다수 등장해 빈악파라는 용어가 생겨났다.
19세기 후반 시 정부는 원래 보루와 글라시였던 곳을 순환도로로 재개발하며 현대적 도시의 기반을 다졌다. 이 도로를 링슈트라세라고 부른다. 1918년 제1차 세계 대전 이후 빈은 독일계 오스트리아 공화국의 수도가 되었으며, 1919년 제1공화국에서도 마찬가지였다.
나치 독일에 강제 합병 당하기 전까지 상류층 문화와 모더니즘의 본고장으로 남았다. 브람스, 브루크너, 말러, 리하르트 슈트라우스와 같은 작곡가들을 길러냈다. 이 밖에도 빈 분리파, 정신분석학, 제2빈악파, 모더니즘 건축, 비트겐슈타인을 필두로 한 빈 학파 철학 등 여러 분야에서 서양 문명에 큰 영향을 주었다.
1913년의 빈은 아돌프 히틀러, 레온 트로츠키, 조시프 브로즈 티토, 지그문트 프로이트, 이오시프 스탈린 등이 도시 중심부 몇 킬로미터 반경 안에 동시에 거주하던 곳이었다. 심지어 그 중 일부는 같은 카페에 자주 모습을 보였다. 이 무렵 오스트리아인들은 빈을 사회주의 정치의 중심지로 여기며 붉은 빈이란 별명을 붙였다. 1934년 오스트리아 내전에서, 엥겔베르트 돌푸스 총리는 사회주의 민병대가 점령한 칼 마르크스 호프와 같은 공영 주택을 포격하기 위해 오스트리아 군대를 파견하기도 했다.
안슐루스와 2차 대전.
1938년, 대중의 인기를 누리며 빈에 입성한 나치 독일의 아돌프 히틀러는 헬덴 광장의 발코니에서 연설을 했다. 이때부터 나치는 빈에 살던 유대인들을 괴롭히고, 그들의 집을 약탈하며, 외딴 곳으로 내몰거나 처형했다. 1938년 벌어진 강제 병합에 의해 오스트리아는 나치 독일의 일부가 되었고, 빈은 베를린에게 수도의 지위를 내줘야 했다.
한편 전쟁 동안 빈은 하인리히 마이어가 주축이 된 레지스탕스 운동의 진앙지였다. 이들은 비밀리에 추축국의 주요 장비인 V-1, V-2, 티거 전차, 메서슈미트 도면을 입수해 연합국에 넘기기도 했다. 이들 대부분은 나중에 발각되어 게슈타포에게 처형 당하고 만다.
분할점령.
전후 빈은 1945년 9월까지 소련 점령 지역의 일부였다. 베를린과 마찬가지로 미국, 영국, 프랑스, 소련으로 이뤄진 위원회가 빈을 네 구역으로 나눠서 감독했다. 차이점은 도심 지역인 1구를 각 국가가 한 달씩 교대로 통제하는 국제 지대로 설정했다는 것이다. 이 같은 방법은 "지프에 탄 네 명의 군인" 방식으로 유명한데 사실상 네 국가 모두가 매일 서로를 감시하는 구조였다. 1948년 베를린 영공 차단 사태로 인해, 서양은 소련이 빈에서도 같은 행동을 반복할 수 있을 것이라는 우려를 품게 되었다. 영국 하원의원 앤소니 너팅은 "빈은 베를린과 완전히 같은 상황에 놓여 있다. 정부는 이와 유사한 상황에 대비한 계획이 있나?"라며 문제를 제기했다.
넷으로 나뉜 빈은 그레이엄 그린의 1949년 작품 《제3의 사나이》의 배경이 되었다. 이 영화는 소설로 탈바꿈해 출판되었다. 이러한 냉전 시대의 분위기는 필립 커의 1991년 소설 《독일의 레퀴엠》에서도 묘사된 바 있다.
오스트리아 국가 조약과 그 이후.
1955년 5월 오스트리아 국가 조약이 체결되면서 갈라졌던 빈이 하나가 되었고, 복원 작업을 거친 국립 오페라 극장과 부르크 극장도 운영을 재개했다. 소련은 연합군이 철수한 뒤, 오스트리아가 중립을 선언할 것을 연방 정부로부터 확실히 보장 받기 전까지 오스트리아 국가 조약에 서명하지 않았다. 1955년 10월 말 통과된 이 중립에 관한 법은 현대 오스트리아가 북대서양 조약 기구나 소련 진영 중 어느 쪽에도 속하지 않을 것을 담보하며, 1995년 오스트리아가 EU에 가입을 망설인 이유 중 하나로 여겨진다.
1970년대, 오스트리아 총리 브루노 크라이스키는 국제 기구들을 위한 업무 단지인 빈 국제 센터를 개관했다. 빈은 유엔 (유엔 산업 개발 기구, 유엔 빈 사무국, 마약 범죄 사무소), 유엔 포괄적 핵실험 금지 조약 기구, IAEA, OPEC, OSCE와 같은 단체의 사무국을 유치하며 이전의 외교적 영향력을 되찾았다.
1867년부터 1918년까지 빈은 오헝제국의 수도였다. 이때 산업화와 대규모 이주로 인한 급격한 인구 증가가 발생했다. 1910년 빈의 주민은 2백만 명이 넘었는데, 이는 당시 런던과 파리에 이어 유럽에서 세 번째로 많은 인구였다. 20세기 초 빈은 체코 수도 프라하를 제외하면 전세계에서 체코인이 가장 많이 거주하는 도시이기도 했다. 1차 세계대전이 끝난 뒤, 많은 체코인들과 헝가리인들이 본국으로 돌아가면서 빈의 인구는 감소하게 된다. 또한 2차 세계대전 이후 소련이 유럽 각지에 퍼진 동유럽 이민자, 특히 체코, 슬로바키아, 헝가리 출신 주요 인력을 고향으로 돌려보내 공산주의 진영의 경제 발전을 꾀하면서 인구 감소가 가속화되었다. 이러한 경향은 2000년 인구 조사에서 가파른 성장을 보일 때까지 지속되었다. 2020년 빈의 인구는 1916년 보고된 인구 정점을 한참 밑돈다.
뿐만 아니라 빈은 유대인의 보금자리였다. 1930년대 초, 오스트리아 유대인 중 17만 8,000명에 이르는 많은 인구가 빈에 거주했다. 하지만 나치 독일의 오스트리아 합병 이후 65,000명에 달하는 유대인이 추방 당하거나 강제 수용소로 보내져 죽음을 맞이했다. 총 13만 명의 유대인이 원래 살던 곳을 떠난 것으로 추산된다.
2012년 오스트리아 통계청의 공식 보고서에 따르면, 빈 인구의 38.8퍼센트인 66만명 이상이 이민자 조상을 둔 것으로 나타났으며 유고슬라비아, 튀르키예, 독일, 폴란드, 루마니아, 헝가리 출신이 주를 이뤘다.
2005년부터 2015년까지 빈의 인구는 10.1퍼센트 성장했다. 유엔 인간 주거 계획은 빈을 17개의 유럽 대도시 가운데 2025년까지 가장 빠르게 성장할 수 있는 도시로 지목했다.
2001년 인구조사 결과, 주민의 49.2%가 천주교이었으며, 무신론자가 25.7%, 무슬림가 7.8%, 동방정교도가 6.0%, 개신교 신자는 4.7% (대부분 루터교), 유대교도 0.5%였고, 기타 종교나 답변하지 않은 사람들이 6.3%였다. 그러나 2011년 국제응용시스템분석연구소(IIASA)의 보고서에서 따르면 천주교 41.3%, 무신론자 31.6%, 이슬람교도 11.6%, 동방정교도 8.4%, 개신교 신자 4.2%, 그리고 기타 종교가 2.9%였다.
각 종교 단체가 시 정부에 직접 신고한 회원 정보를 토대로 작성된 2018년 빈 통계 연감에 따르면 약 610,269명 (인구의 32.3%)이 천주교이며, 195,000명 (10.3%)이 이슬람교, 70,298명 (3.7%)이 동방정교, 57,502명 (3.0%)이 기타 개신교, 9,504명 (0.5%)이 다른 종교였다. 빈 인구통계 연구소에서 실시한 2018년 연구에서는 천주교 34%, 무신론자가 30%, 이슬람교도가 15%, 동방정교도가 10%, 개신교 신자는 4%, 기타 종교가 6%였다.
2014년 봄 기준으로 빈의 학생 인구 가운데 30%는 무슬림이다.
빈은 천주교 대주교구의 본부가 있으며, 오스트리아 비잔틴 전례 천주교 집행부도 이 구역에 속한다. 현재 대주교는 크리스토프 쇤본 추기경이다. 중심가의 많은 천주교 교회에서는 고전 음악이나 오르간 연주와 함께 열리는 미사를 비롯한 많은 공연이 열린다. 성스테판 대성당(Stephansdom), 카를 교회(Karlskirche), 페터 교회(Peterskirche)와 보티프 교회(Votivkirche) 등 역사적인 건물 중 다수가 천주교 교회이다. 다뉴브강 둔치에는 일본산 묘법사의 승려들이 지은 불교평화탑이 있다.
오스트리아 북동부에 위치한 빈은 알프스 동쪽 끝자락인 빈 분지 위에 지어졌다. 오늘날 빈 도심에 해당하는 가장 오래된 정착지는 도나우강의 남쪽 둔치를 따라 형성되었으며 나중에 강 반대편으로 확장되었다. 해발고도는 최저 151미터에서 최고 542미터다. 면적은 414.65 제곱킬로미터에 달해 오스트리아에서 가장 넓은 도시다.
쾨펜의 기후 구분에 따르면 빈의 기후는 서안 해양성 기후로, 선선한 여름과 비교적 따뜻한 겨울이 특징이다. 강수량은 7월과 8월에 집중되어 있으며 각각 66.6mm와 66.5mm 수준의 비가 내린다. 6월부터 9월까지의 평균 최고 기온은 약 21°C에서 27°C(70°F에서 81°F) 사이이며, 최고 기온 기록은 38°C(100°F)를 넘어가고, 9월의 최저 기온은 5.6°C(42°F)이다. 겨울 평균 기온은 0°C를 조금 넘는다. 봄은 일교차가 심하고 가을은 서늘하며, 11월에는 눈이 내릴 가능성이 높다. 강수량은 일반적으로 연간 약 550mm(21.7인치)로, 지역별로 상당한 차이가 있다. 서쪽 비엔나 숲 지역은 연간 700mm에서 800mm(28인치에서 31인치)로 가장 습기가 많은 지역이며, 동쪽의 평평한 평야는 연간 500mm에서 550mm(20인치에서 22인치)로 가장 건조한 지역이다. 겨울에는 눈이 자주 오지는 않지만, 오스트리아의 서부 및 남부 지역과 비교하면 많은 편이다.
빈은 23개 구(Bezirke)로 이뤄져 있다. 빈 행정 구역 사무소는 다른 오스트리아 주의 사무소와 비슷한 역할을 맡고 있으며, 경찰을 제외한 공무원들은 빈 시장 아래서 일한다. 경찰은 연방 정부가 관리한다.
각 구의 주민들은 오스트리아 국적 혹은 EU 영주권을 가졌다면 구 의회(Bezirksvertretung) 의원을 선출할 권한이 있다. 공공시설을 위한 운영 예산은 시청에서 분배하지만 우선 순위를 정해 예산을 사용하는 일은 각 구의 독립적인 권한이다. 하지만 구에서 이뤄진 모든 결정은 시 의회(Gemeinderat) 혹은 담당 시 의원이 뒤바꿀 수 있다.
오늘날 인네레슈타트의 대부분을 차지하는 도시 중심부는 들판으로 둘러싸인 요새였다. 1850년 포어슈테테(Vorstädte)라고 불린 34곳의 인접한 마을이 황제의 명령으로 빈에 흡수된다. 현재 빈의 2구~9구 지역이다. 1857년 자연스럽게 성벽이 철거되면서 도심이 확장될 수 있는 공간이 만들어졌다. 새로 생긴 공간에 링슈트라세라고 이름 붙인 넓은 거리가 조성되었다. 20세기 초 여러 건축물, 기념비, 공원이 링슈트라세를 따라 지어졌다. 라트하우스, 부르크 극장, 빈 대학교, 의회의사당, 자연사박물관과 미술관, 국립 오페라 극장 등이 들어선 것이다. 또한 호프부르크의 새로운 측동, 제국 황궁, 1913년 완공된 제국 국방부 건물도 있었다. 도시 중앙의 슈테판 광장에는 대체로 고딕 양식을 따른 슈테판 대성당이 있다. 황실은 공사비를 마련하기 위해 도시 재건 기금을 설립하고 상당량의 부지를 개인 투자자들에게 매각했다.
1850년부터 1890년까지, 리닌발(Linienwall)이라는 또 다른 성벽이 남서쪽의 도시 경계로 간주되었다. 이곳을 통과하려면 통행료인 리닌겔트(Liniengeld)를 내야 했다. 1873년 경, 성벽 바깥을 둘러싼 순환도로인 귀르텔(Gürtel)이 건설되었다. 1890년, 포어오르테라 불린 33곳의 교외 지역을 빈과 통합시킨다는 결정이 내려졌다. 1892년 1월 1일부터 빈의 일부가 된 이 지역은 지금의 11~19구다. 리닌발은 1894년 초 철거되었다. 20구인 브리기테나우는 1900년 2구에서 분리된 지역이다.
1850년부터 1904년까지 빈의 확장은 도나우강의 오른쪽 기슭에서만 일어났다. 1904년 강 왼편의 플로리드스도르프, 카그란, 슈타드라우, 히르쉬슈테텐, 아스페른을 통합한 21구가 생겨났고, 이어서 1910년 슈트레베르스도르프가 통합되었다. 1938년 10월 15일, 나치 오스트리아 정부는 26개 구와 96개 마을을 합쳐 대빈(Great Vienna)을 만들었다. 이때 통합된 마을 가운데 80곳은 1954년 니더외스터라이히주로 되돌려졌다. 이렇게 형성된 23개 구로 이루어진 도시가 지금의 빈이다.
음악, 연극과 오페라.
볼프강 아마데우스 모차르트. 요제프 하이든, 루트비히 판 베토벤, 프란츠 슈베르트, 요하네스 브람스, 구스타프 말러, 아르놀트 쇤베르크 등이 빈에서 활동했다.
빈의 예술과 문화는 연극, 오페라, 고전 음악과 순수 미술 분야를 아우르는 긴 역사를 가지고 있다. 부르크 극장은 함께 운영되는 아카데미 극장과 더불어 독일어권 최고의 공연장 중 하나로 여겨진다. 폴크스 극장과 요제프슈타트 극장도 명성을 누리고 있다. 작은 극장도 많이 존재하며, 이들 대부분은 현대적이고 실험적인 연극이나 카바레와 같은 덜 대중적인 공연 예술을 위한 장소다.
또한 다수의 오페라 극장이 자리 잡고 있는데, 테아터 안 데어 빈, 빈 국립 오페라 극장, 폴크스 오퍼 등이 대표적이다. 후자는 전형적인 빈 오페레타를 내걸곤 한다. 빈 필하모니 관현악단의 보금자리인 빈 음악협회는 매년 개최하는 신년 연주회로 유명하고, 빈 콘체르트하우스는 빈 교향악단의 공연을 선보인다. 대부분의 공연장이 관광객을 대상으로 한 연주회를 열며, 모차르트, 요한 슈트라우스 1세와 2세의 음악이 인기 있는 주제다.
비너리트는 빈에서 유래한 독창적인 가곡이다. 지금까지 약 70,000곡에 달하는 비너리트가 발표되었다.
유로비전 송 콘테스트 2014의 우승자는 오스트리아의 콘치타 부르스트였는데, 우승한 나라가 이듬해 대회를 개최하는 전통에 따라 2015년 대회는 빈에서 열렸다. 이때 오스트리아는 무득점을 기록한 첫 개최국이라는 불명예를 안았다.
빈에는 다양한 건축 양식이 존재한다. 잘 알려진 예시는 로마네스크 양식으로 지어진 성 루퍼트 교회와 바로크 양식으로 지어진 카를 성당이다. 빈의 건축 양식은 고전주의부터 모더니즘까지 다양한데, 비교적 최근 등장한 아르 누보가 도시에 많은 영향을 끼쳤다. 빈 분리파 전시관, 카를플라츠 슈타트판 역사, 오토 바그너가 설계한 슈타인호프 교회는 아르 누보 건축을 정의하는 작품으로 손꼽힌다. 슬로베니아 출신으로 오토 바그너의 학생이었던 요제 플레치니크도 빈에 커다란 흔적을 남겼다.
1990년대 도시 외곽이라고 할 수 있는 다뉴브강 북쪽의 도나우슈타트와 도시 남부 비너베르크에서 대규모 개발 프로젝트가 시작되었다. 220미터 높이의 DC 타워 1은 다뉴브 강 인근에 건설되었고 2013년 완공되었다. 아직까지 빈에서 가장 높은 건물이다. 빈은 다른 대도시와 견주어 건물 대다수가 비교적 낮은 높이로 건설되었는데 2006년 초 조사에 따르면 40미터 이상의 건물은 100채에 불과했다. 녹지를 확보하고 세계 문화 유산 구역을 보전하려는 노력의 일환으로 강력한 규제가 이뤄지고 있다. 따라서 도시 중심부에 고층 건물이 거의 없다.
빈 모더니즘.
아르 누보 운동, 이른바 유겐트 스틸과 경쟁한 모더니즘은 화려한 장식을 거부하고 직선과 기능을 강조했다. 빈 모더니즘을 이끈 인물로는 "장식은 죄악"이라 선언한 아돌프 로스가 있다. 한편, 로스는 전통을 철저히 배격하는 독일 공작연맹에 반대했다. 로스하우스, 아메리칸 바, 슈타이너 주택 등이 빈에 남아있는 로스의 대표작이다.
훈데르트바서.
프리덴스라이히 훈데르트바서가 설계한 훈데르트바서하우스는 빈의 상징과도 같은 모더니즘 건축의 말끔한 인상과 정반대의 모습을 띈다. 환경주의자였던 훈데르트바서는 앞서 활동한 오스트리아 건축가들과 달리 자연을 참조한 곡선을 선호했다. 이곳의 계약서는 특이하게도 세입자가 자신의 창문을 장식할 수 있다는 점을 명시하고 있다. 오늘날 빈에서 가장 인기있는 관광지 중 하나다. 비슷한 곳으로 조각가 프리츠 보트루바가 지은 보트루바 성당이 있다.
많은 축구 구단이 빈을 연고지로 삼고 있다. 가장 잘 알려진 지역 구단은 FK 아우스트리아 빈과 SK 라피트 빈이며, 가장 오래된 구단은 1894년 창단된 퍼스트 비엔나 FC이다. 아우스트리아와 라피트 간의 라이벌 의식은 매우 치열해서 두 팀이 맞붙는 비너 더비(Wiener Derby)가 열리는 날이면 여러 건의 기물 파손과 폭력 행위가 보고되곤 한다.
빈은 여러 국제적인 스포츠 행사를 개최해왔다. 비엔나 도심 마라톤이 대표적이다. 해마다 5월이 되면 10,000명이 넘는 참가자가 모여든다. 또한 오스트리아에서 개최된 2005년 아이스하키 월드컵의 결승전 경기는 빈에서 열렸다. 빈에 위치한 에른스트 하펠 슈타디온은 1964년, 1987년, 1990년, 1995년 네 번의 UEFA 챔피언스리그 결승 경기가 열린 곳이다. 스페인이 독일을 상대로 승리한 UEFA 유로 2008 결승전 경기도 이곳에서 열렸다. 비너 슈타트할레는 1974년부터 테니스 대회인 비엔나 오픈을 개최하고 있다.
1996년, 쇤브룬궁과 정원 군이 유네스코 세계 문화 유산에 등재되었다. 2001년에 시내 중심부가 추가로 등재되며 빈 역사 지구로 명명되었다. 빈 역사 지구는 몇 가지 역사적인 건물, 성 슈테판 성당 및 문화 기관을 포함한다.
스파이 도시.
국제 기구가 여럿 모인 빈의 특성상 스파이가 많이 활동하는 도시로 알려져 있다. 빈은 냉전 시절에 양측 정보원들이 활발하게 활동하면서 공식적으로 협상을 맺는 장소이기도 했으며 냉전이 끝난 지금도 그 지위는 여전하다. 특히 2001년 9·11 테러 이후 정치 상황이 매우 불안정한 이라크 등의 중동 국가를 대신해 스파이들의 중요한 활동무대로 기능해 왔다. 2014년 보도에 따르면 빈에서 활동 중인 스파이의 수는 7천 명에 달하며, 교육 및 의료 수준이 높아 부양할 가족이 있는 스파이들이 특히 빈을 선호한다. 스파이 활동 전문가인 에밀 보비는 빈의 외교관 중 절반이 자국 정보요원들과 밀접한 관계를 맺고 있으며 모든 대사관은 요원들로 가득 차 있다고 저술한 바 있다.
빈은 국제사회의 경제 제제를 받고 있는 조선민주주의인민공화국의 밀수 통로다. 100명 가량의 조선민주주의인민공화국 국적자가 오스트리아에 거주하는 것으로 추산되며 빈에서 활동하는 국가보위성 관계자는 10명 내외로 파악되고 있다.
국제 기구.
유엔 빈 사무국 뿐만 아니라, 유엔 산업 개발 기구, 국제 원자력 기구(IAEA), 유엔 난민 기구 (UNHCR), 유엔 국제 무역법 위원회 (UNCITRAL), 유럽 안보 협력 기구 (OSCE), 석유 수출국 기구(OPEC)가 빈에 본부를 두었다.
협약 도시.
빈은 자매 도시를 갖고 있지 않다. 하지만 다음 도시와 협력 관계를 유지하고 있다.
빈 출신의 배우.
헤디 라마르, 크리스토프 발츠, 존 배너, 크리스티아네 회르비거, 에릭 폴먼, 보리스 코조, 젠타 베르거 등이 빈에서 태어나거나 자랐다.
다뉴브강(, ) 또는 도나우강(, )은 독일 남부에서 발원하여 루마니아 동쪽 해안을 통해 흑해로 흘러가는, 길이 2,860 km의 유럽에서 두 번째로 긴 강이다. 다뉴브강은 독일 남부의 브레게강과 브리가흐강이 합류하면서 시작되어 동쪽으로 흘러 오스트리아와 헝가리의 대평원을 지나 헝가리의 수도 부다페스트에 이른다. 여기서 강은 남쪽으로 방향을 바꾸어 흐르면서 카르파티아산맥과 발칸산맥 사이를 통과하는데 이곳은 철문(鐵門, Iron Gates)이라고 불리는 유럽에서 가장 깊은 협곡이다.
하류에 이르면 저지대인 루마니아 남부의 왈라키아 평원을 지나게 되고 도브루자 구릉지대를 만나면서 북쪽으로 방향을 바꾸어 흐르다가 다시 동쪽으로 흘러 비로소 흑해로 유입된다. 강 하구에서는 세 개의 주요 분류로 나뉘면서 삼각주를 형성하는데 그 면적은 약 5,000 km2이다.
독일의 라인 마인 도나우 운하가 1992년 건설된 이후 다뉴브강은 북해의 로테르담으로부터 흑해의 술리나까지 전 유럽을 가로지르는 3500km 수로의 일부가 되었다. 다뉴브강으로 운송된 화물량은 1987년에 1950년 수준의 13.3배인 9천 180만 톤으로 집계되었다.
오스트리아의 작곡가 요한 슈트라우스 2세의 유명한 왈츠로 '아름답고 푸른 도나우("An der schönen, blauen Donau")'가 있다.
명칭과 어원.
다뉴브강은 인도유럽조어 "다누" (*dānu)에서 유래한, 원시 유럽 강의 이름이다. 동일한 어근에서 만들어진 다른 강에는 두나이강, 치비나/다우가바강, 돈강, 도네츠강, 드네프르강, 드네스트르강, 지스나강, 타나강/데아트누강, 투오니강이 있다. 베다어에서, "다누"는 "흐르는, 떨어지다"를 뜻하며, 아베스타어에서는 같은 단어가 "강"을 의미한다. 리그베다에서 다누는 “강의 수로를 막는 용”인 브리트라의 어머니로 한번 등장하기도 했다. 핀란드어로 다뉴브강을 뜻하는 토나바는 스웨덴어, 독일어 명칭인 도나우강에서 전래한 것으로 보인다. 사미어 명칭인 데아트누는 “거대한 강”을 뜻한다. 아베스타어의 경우처럼, 스키타이어의 다누가 “강”에 대한 총칭어일 가능성이 있다. 다나프리스(Danapris)와 다나스티우스(Danastius)에서 전래한 드네프르강과 드네스트르강은 각각 스키타이어 다누 아파라 (*dānu apara, "먼 강")과 다누 나즈디야 (*dānu nazdya, "가까운 강")에서 지속된 것으로 가정한다.
1.먹는 비엔나 소시지
망델브로 집합(Mandelbrot set, )은 복소평면에서 정의된 2차원 집합으로, 함수 formula_1가 formula_2에서 시작하여 반복될 때 무한대로 발산하지 않는 복소수 formula_3를 만족하는 집합이다. 즉, 수열 formula_4, formula_5 등이 절댓값이 유계로 유지되는 formula_3의 집합이다.
이 집합은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 처음 정의되고 그려졌다. 이후 1980년 브누아 망델브로는 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 작업하면서 이 집합의 고품질 시각화를 만들었다.
망델브로 집합의 이미지는 확대할수록 점진적으로 더 미세한 재귀적 세부 사항을 드러내는 무한히 복잡한 경계를 보여준다. 수학적으로 망델브로 집합의 경계는 프랙탈 곡선이다. 이러한 재귀적 세부 사항의 "모양"은 확대하는 집합 경계의 영역에 따라 달라진다. 망델브로 집합 이미지는 복소수를 샘플링하고 각 샘플 지점 formula_3에 대해 수열 formula_8이 무한대로 가는지 테스트하여 생성할 수 있다. formula_3의 실수 부분과 허수 부분을 복소평면의 화소 좌표로 취급하여, 수열 formula_10이 임의로 선택된 임계값(임계값은 최소 2여야 하는데, −2는 집합 내에서 가장 큰 크기를 가진 복소수이기 때문이다. 하지만 그 외에는 임계값이 임의적이다.)을 얼마나 빨리 넘어서는지에 따라 픽셀에 색을 입힐 수 있다. 만약 formula_3를 상수로 유지하고 formula_12의 초기값을 변경하면, 해당 지점 formula_3에 대한 쥘리아 집합을 얻을 수 있다.
망델브로 집합은 정의가 상대적으로 간단함에도 불구하고 시각화 및 확대 시 복잡한 프랙탈 구조를 보여준다는 점에서 수학계 외부에서도 잘 알려져 있으며, 수학적 미의 예시로 흔히 인용된다.
망델브로 집합은 20세기 초 프랑스의 수학자 피에르 파투와 가스통 쥘리아가 처음 연구한 분야인 복소역학에서 기원한다. 이 프랙탈은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 그 일환으로 처음 정의되고 그려졌다. 1980년 3월 1일 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 브누아 망델브로가 처음으로 이 집합을 시각화했다.
망델브로는 1980년에 출판된 논문에서 이차 다항식의 매개변수 공간을 연구했다. 망델브로 집합에 대한 수학적 연구는 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드(1985)의 연구로 본격적으로 시작되었다. 둘은 이 집합의 많은 기본 속성을 확립하고 프랙탈 기하학에 대한 망델브로의 영향력 있는 업적을 기려 이 집합에 망델브로의 이름을 붙였다.
수학자 하인츠-오토 파이젠과 피터 리히터(Peter Richter)는 사진, 책(1986), 그리고 독일 독일 문화원의 국제 순회 전시회(1985)를 통해 이 집합을 홍보하여 잘 알려지게 되었다.
1985년 8월 사이언티픽 아메리칸의 표지 기사는 망델브로 집합을 계산하는 알고리즘을 소개했다. 표지는 브레멘 대학교의 파이젠, 리히터 및 디트마르 자우페가 만들었다. 망델브로 집합은 1980년대 중반 개인용 컴퓨터가 고해상도로 집합을 그릴 수 있을 만큼 강력해지면서 컴퓨터 그래픽 데모로 유명해졌다.
두아디와 허버드의 연구는 복소역학과 추상 수학에 대한 관심이 증가하던 시기에 이루어졌으며, 망델브로 집합의 위상수학적 및 기하학적 연구는 복소역학 분야에서 중요한 주제로 남아있다.
공식적인 정의.
망델브로 집합은 복소평면에서 이차 사상
의 임계점 formula_15의 반복에 따른 궤도가 유계로 유지되는 formula_3 값의 비가산 집합이다. 따라서 복소수 formula_3는 formula_18에서 시작하여 이를 반복할 때 formula_19의 절댓값이 모든 formula_20에 대해 유계로 유지되면 망델브로 집합의 원소이다.
예를 들어, formula_21일 때 수열은 0, 1, 2, 5, 26, ... 이고 이는 무한으로 발산하므로 1은 망델브로 집합의 원소가 아니다. 반면, formula_22일 때 수열은 0, −1, 0, −1, 0, ... 이고 이는 유계이므로 −1은 집합에 속한다.
망델브로 집합은 이차 다항식 formula_23 계열의 연결성 국소로도 정의될 수 있으며, 이는 해당 다항식의 쥘리아 집합이 연결 집합을 형성하는 매개변수 formula_3 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로 망델브로 집합의 경계는 이 이차 계열의 분기 국소로 정의될 수 있으며, 이는 다항식의 동적 거동(반복적으로 반복될 때)이 formula_3의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 매개변수의 부분 집합이다.
기본 속성.
망델브로 집합은 닫혀 있고 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판에 포함되어 있으므로 콤팩트 집합이다. 점 formula_3는 모든 formula_27에 대해 formula_28인 경우에만 망델브로 집합에 속한다. 다시 말해, formula_3가 망델브로 집합 formula_30에 속하려면 formula_19의 절댓값이 2 이하로 유지되어야 하며, 만약 그 절댓값이 2를 초과하면 수열은 무한대로 발산한다. formula_32이므로 formula_33가 성립하며, 이는 formula_3가 항상 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판 안에 있음을 의미한다.
formula_30과 실수축의 교집합은 구간 formula_36이다. 이 구간을 따라 있는 매개변수는 실 로지스틱 계열의 매개변수와 일대일 대응을 이룰 수 있다.
대응은 다음으로 주어진다.
이는 로지스틱 계열의 전체 매개변수 공간과 망델브로 집합의 매개변수 공간 사이에 대응을 제공한다.
두아디와 허버드는 망델브로 집합이 연결되어 있음을 보였다. 둘은 망델브로 집합의 여집합과 닫힌 단위 원판의 여집합 사이에 명시적인 등각 사상을 구성했다. 망델브로는 원래 망델브로 집합이 단절되어 있다고 추측했다. 이 추측은 formula_30의 다른 부분을 연결하는 가는 실을 감지할 수 없는 프로그램으로 생성된 컴퓨터 그림을 기반으로 했다. 추가 실험을 통해 그는 자신의 추측을 수정하여 formula_30이 연결되어야 한다고 결정했다. 2001년 제레미 칸이 연결성에 대한 위상수학적 증명을 발견했다.
망델브로 집합의 연결성에 대한 두아디와 허버드의 증명에서 비롯된 망델브로 집합의 여집합의 균일화에 대한 동적 공식은 망델브로 집합의 외부 반직선을 만든다. 이 반직선은 망델브로 집합을 조합론적 용어로 연구하는 데 사용될 수 있으며 요코즈 파라퍼즐의 중추를 형성한다.
망델브로 집합의 경계는 이차 다항식 계열의 분기 국소이다. 다시 말해, 망델브로 집합의 경계는 이차 사상 formula_41의 기동이 formula_3에 대한 민감한 의존성을 보이는, 즉 formula_3의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 모든 매개변수 formula_3의 집합이다. 이는 일반적인 유형의 다항식 렘니스케이트로 알려진 일련의 평면 대수 곡선, 즉 망델브로 곡선의 극한 집합으로 구성될 수 있다. 망델브로 곡선은 formula_45로 설정한 다음, 복소평면의 점 집합 formula_46를 실수 데카르트 평면에서 x와 y에 대한 formula_47차 곡선으로 해석하여 정의된다. 각 곡선 formula_20은 formula_49에 의한 반지름 2의 초기 원의 사상이다. 이러한 대수 곡선은 아래에서 언급된 "탈출 시간 알고리즘"을 사용하여 계산된 망델브로 집합 이미지에 나타난다.
기타 속성.
주요 심장형과 주기 다발.
망델브로 집합에서 가장 큰 심장형(하트 모양의 영역)은 주기 1 대륙이다. 이는 사상 formula_50가 끌림 고정점을 갖는 매개변수 formula_3의 영역이다. 이 영역은 열린 단위 원판의 formula_52에 대해 formula_53 형태의 모든 매개변수로 구성된다.
주요 심장형의 왼쪽에 formula_54 지점에서 붙어 있는 원형 다발, 즉 주기-2 다발이 보인다. 이 다발은 formula_55가 끌림 주기 2 사이클을 갖는 formula_3로 구성된다. 이는 -1을 중심으로 하는 반지름 1/4의 채워진 원이다.
보다 일반적으로, 모든 양의 정수 formula_57에 대해 주요 심장형에 접하는 formula_58개의 원형 다발(여기서 formula_59는 오일러 피 함수를 나타냄)이 있는데, 이를 주기-q 다발이라고 한다. 이 여러 다발은 formula_55가 주기 formula_61의 끌림 주기를 갖는 매개변수 formula_3로 구성된다. 더 구체적으로, 각 원시 formula_61차 단위근 formula_64(여기서 formula_65)에 대해 formula_66 다발이라는 주기-q 다발이 하나씩 존재한다. 이 다발은 매개변수 formula_67에서 주요 심장형에 접하며, 조합 회전수 formula_66를 갖는 formula_61-주기를 가진 매개변수를 포함한다. 더 정확히 말하면, 끌림 주기를 포함하는 formula_61개의 주기적 파투 성분은 모두 공통점(일반적으로 formula_71-고정점이라고 불림)에서 접한다. 이 성분을 각각 반시계 방향으로 formula_72이라고 하면, formula_55는 성분 formula_74를 성분 formula_75으로 사상한다.
formula_76에서 발생하는 행동 변화를 분기라고 한다. 즉, 끌림 고정점이 반발 주기-q 사이클과 "충돌"한다. 분기 매개변수를 지나 formula_77-다발로 들어가면, 끌림 고정점은 반발 고정점(formula_71-고정점)으로 변하고 주기-q 사이클은 끌림 사이클이 된다.
쌍곡선 성분.
망델브로 집합의 내부 성분으로 사상 formula_55가 끌림 주기 사이클을 갖는 다발을 쌍곡선 성분이라고 한다.
이것들이 formula_30의 유일한 내부 영역이며 formula_30에서 조밀하다는 추측이 있다. 쌍곡선 조밀성(density of hyperbolicity)으로 알려진 이 문제는 복소역학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이다. 망델브로 집합의 가설적인 비쌍곡선 성분은 종종 "괴상한" 또는 유령 성분이라고 불린다. 실수 이차 다항식의 경우, 이 질문은 1990년대 류비히(Lyubich)와 그라치크(Graczyk), 스비아텍(Świątek)이 각각 독립적으로 증명했다. (실수 축과 교차하는 쌍곡선 성분은 파이겐바움 다이어그램의 주기적 창에 정확히 해당한다. 따라서 이 결과는 다이어그램의 모든 매개변수 근처에 이러한 창이 존재한다는 것을 나타낸다.)
모든 쌍곡선 성분이 망델브로 집합의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있는 것은 아니다. 그러한 성분은 작은 망델브로 복사본(아래 참조)의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있다.
각 쌍곡선 성분에는 중심이 있는데, 이는 formula_82의 내부 파투 영역이 초끌림 주기(즉, 끌림이 무한대)를 갖는 점 formula_3이다. 이는 주기가 임계점 0을 포함하며, 몇 번의 반복 후에 0으로 다시 반복된다는 것을 의미한다. 따라서 어떤 n에 대해 formula_84이다. 이 다항식을 formula_85(z 대신 c에 의존하도록 함)라고 하면, formula_86이고 formula_85의 차수는 formula_88이다. 따라서 쌍곡선 성분의 중심은 방정식 formula_89을 차례로 풀어서 구성할 수 있다. 각 단계에서 생성되는 새로운 중심의 수는 Sloane의 OEIS A000740로 주어진다.
국소적 연결성.
망델브로 집합은 국소적으로 연결되어 있다는 추측이 있다. 이 추측은 MLC(Mandelbrot locally connected의 약자)로 알려져 있다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드의 연구에 따르면, 이 추측은 망델브로 집합의 간단한 추상적 "꼬집힌 원판" 모델을 제시할 것이다. 특히, 이는 위에서 언급한 중요한 쌍곡선 추측을 함축한다.
장크리스토프 요코즈의 연구는 모든 유한하게 재규격화 가능한 매개변수에서 망델브로 집합의 국소 연결성을 확립했다. 즉, 대략적으로 말하면 유한한 수의 작은 망델브로 복사본에만 포함된 매개변수이다. 그 이후로 formula_30의 다른 많은 지점에서 국소 연결성이 증명되었지만, 전체 추측은 여전히 미해결 상태이다.
자기유사성.
망델브로 집합은 미슈레비치 점 근처에서 확대 시 자기유사성을 보인다. 또한 일반화된 파이겐바움 점 (예: -1.401155 또는 -0.1528 + 1.0397i) 주변에서 극한 집합으로 수렴하는 의미에서 자기유사성을 보인다고 추측된다. 망델브로 집합은 일반적으로 유사자기유사성을 보이는데, 이는 작고 약간 다른 형태의 집합이 임의의 작은 스케일에서 발견될 수 있기 때문이다. 이러한 망델브로 집합의 복사본은 모두 약간씩 다르며, 대부분 집합의 본체에 연결되는 얇은 실 때문에 완전히 같진 못하고 차이점이 전부 조금씩 있다.
추가 계산 결과.
망델브로 집합 경계의 하우스도르프 차원은 시시쿠라 미쓰히로의 결과에 따라 2와 같다. 이것이 위상 차원 1보다 정수 하나만큼 크다는 사실은 망델브로 집합 경계의 극단적인 프랙탈 성질을 반영한다. 대략적으로 말하면, 시시쿠라의 결과는 망델브로 집합 경계가 너무 "구불구불"해서 국소적으로 2차원 평면 영역만큼 효율적으로 공간을 채운다는 것을 의미한다. 하우스도르프 차원 2인 곡선은 (위상적으로) 1차원이지만 종종 0이 아닌 넓이(더 형식적으로는 0이 아닌 평면 르베그 측도)를 가질 수 있다. 이것이 망델브로 집합 경계의 경우에도 해당되는지는 미해결 문제이다.
더 높은 차원의 초복소수 공간에서 일반화된 망델브로 집합(즉, 반복 변수 formula_12의 거듭제곱 formula_71가 무한대로 가는 경우)이 단위 (formula_71−1)-구로 수렴한다는 것이 입증되었다.
블럼–슈브–스메일 머신의 실수 계산 모델에서는 망델브로 집합은 계산 불가능하지만, 그 여집합은 계산적으로 열거 가능하다. 많은 간단한 객체(예: 지수 함수의 그래프)도 BSS 모델에서 계산 불가능하다. 현재 망델브로 집합이 "컴퓨터로 집합을 그리는" 직관적인 개념에 더 가깝게 대응하는 계산 가능한 해석학을 기반으로 한 실수 계산 모델에서 계산 가능한지는 알려져 있지 않다. 허틀링(Hertling)은 쌍곡선 추측이 참이라면 망델브로 집합이 이 모델에서 계산 가능함을 보였다.
쥘리아 집합과의 관계.
망델브로 집합의 정의에 따라 주어진 지점에서의 망델브로 집합의 기하학과 해당 쥘리아 집합의 구조 사이에는 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, formula_3 값이 망델브로 집합에 속하는 것은 해당 쥘리아 집합이 연결되어 있는 경우에만 해당한다. 따라서 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도로 볼 수 있다.
이 원리는 망델브로 집합에 대한 거의 모든 심오한 결과에서 활용된다. 예를 들어, 시시쿠라는 망델브로 집합 경계의 조밀한 매개변수 집합에 대해 쥘리아 집합이 하우스도르프 차원 2를 가진다는 것을 증명한 다음, 이 정보를 매개변수 평면으로 전달한다. 마찬가지로, 요코즈는 해당 매개변수에서 망델브로 집합에 대해 확립하기 전에 먼저 쥘리아 집합의 국소 연결성을 증명했다.
서로소인 정수 formula_77에 대해, 모든 유리수 formula_77에 대해 주기 q의 쌍곡선 성분은 내부 각도 formula_97에 해당하는 심장형 가장자리 지점에서 주 심장형으로부터 분기된다. 이 분기점에서 주 심장형에 연결된 망델브로 집합의 부분을 formula_98/formula_61-돌기라고 한다. 컴퓨터 실험에 따르면 돌기의 지름은 formula_100처럼 0으로 수렴한다. 현재 알려진 최상의 추정치는 요코즈 부등식으로, 크기가 formula_101처럼 0으로 수렴한다고 말한다.
주기-q 돌기에는 상단에 formula_102개의 "안테나"가 있다. 주어진 다발의 주기는 이 안테나의 수를 세어 결정된다. 회전수의 분자 formula_98는 돌기에서 반시계 방향으로 각 안테나에 1부터 formula_102까지 번호를 매기고 어떤 안테나가 가장 짧은지 찾아서 결정된다.
망델브로 집합의 원주율.
망델브로 집합에는 숫자 formula_105의 발생으로 이어지는 흥미로운 실험이 있다. formula_106인 매개변수 formula_107에 대해, formula_3가 망델브로 집합에 속하지 않음을 확인하는 것은 수열이 임의의 반지름 formula_109의 formula_110 주변 원판을 벗어날 때까지 formula_14 수열을 formula_2에서 시작하여 반복하는 것을 의미한다. 이는 실수 부분이 formula_113인 수직선이 실수선을 벗어난 지점에서 망델브로 집합과 교차하는지 여부에 대한 (여전히 미해결된) 질문에서 이어진다. 필요한 반복 횟수에 formula_114를 곱하면 원주율로 수렴한다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어, formula_114 = 0.0000001이고 formula_116일 때, 반복 횟수는 31415928이고 곱은 3.1415928이다. 이 실험은 1990년대 초 (혹은 그 이전에도) 데이비드 볼(David Boll)을 비롯한 많은 사람들이 독립적으로 수행해 확인했다.
유사한 관찰은 매개변수 formula_117 및 formula_118에서도 이루어졌다(후자의 경우 필요한 수정이 있음). 2001년 아론 클레바노프(Aaron Klebanoff)는 formula_118에서 이 현상에 대한 (개념적이지 않은) 증명을 발표했다.
2023년, 폴 지웨르트(Paul Siewert)는 학사 논문에서 formula_118 값에 대해서도 개념적인 증명을 개발하여, 원주율이 발생하는 이유(기하학적으로 단위 원 둘레의 절반)를 설명했다.
2025년, 세 명의 고등학생인 티스 브록뮐러(Thies Brockmöller), 오스카 셰르츠(Oscar Scherz), 네딤 스르칼로비치(Nedim Srkalovic)는 이 이론과 개념 증명을 망델브로 집합의 모든 무한한 분기점으로 확장했다.
망델브로 집합의 피보나치 수열.
망델브로 집합은 수많은 다발이 직접 붙어 있는 기본 심장형 모양을 특징으로 한다. 이러한 다발의 배열을 이해하려면 망델브로 집합의 경계를 자세히 조사해야 한다. 기하학적 관점에서 특정 부분을 확대하면, 경계 내의 위치와 해당 다발에서 추출된 매개변수에 대한 해당 동적인 성질에 대한 정확하고 추론 가능한 정보가 나타난다.
망델브로 집합 내의 주 심장형에 달린 다발 중 하나에서 추출된 매개변수 formula_3에 대한 이차 다항식 formula_50의 반복은 지정된 주기 formula_61와 회전수 formula_124를 갖는 끌개 주기를 특징으로 하는 사상을 생성한다. 이 맥락에서, formula_3의 끌개 주기는 중심 고정점을 중심으로 회전 운동을 보이며, 각 반복에서 평균 formula_124번 회전한다.
망델브로 집합 내의 다발은 끌개 주기와 구조의 기하학적 특징 모두로 구별된다. 각 다발은 접합점에서 뻗어 나와 특정 수의 살을 보여주는 안테나를 가지며, 이는 그 주기를 나타낸다. 예를 들어, formula_127 다발은 회전수 formula_127를 갖는 끌개 주기로 식별된다. 그 독특한 안테나형 구조는 접합점에서 5개의 살이 뻗어 나온다. 이 살들 중에서 주된 살은 formula_127 다발에 직접 붙어 있고, '가장 작은' 비주류 살은 주된 살에서 반시계 방향으로 약 formula_127 회전하는 위치에 있어 formula_127-다발로 명확하게 식별된다. 이 때문에 '가장 작은' 살이 무엇인지 어떻게 구별하는가 하는 의문이 제기된다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드가 개발한 외부 반직선 이론에서는 망델브로 집합의 위성 쌍곡선 성분의 근 지점에 정확히 두 개의 외부 반직선이 닿는다. 이 각 반직선은 각도 이중 사상 formula_132 formula_133 아래에서 이중화되는 외각을 가진다. 이 정리에 따르면, 두 반직선이 같은 지점에 떨어질 때 그 사이에 다른 반직선이 교차할 수 없다. 따라서 이 영역의 '크기'는 두 각도 사이의 호 길이를 가지고 알 수 있다.
주 심장형의 근 지점이 formula_118의 첨점이라면, 주 심장형은 formula_135-다발이다. 다른 다발의 근은 단순히 이 다발이 주 심장형에 부착된 지점이다. 이는 formula_135 다발과 formula_137 다발의 근 사이에 있는 가장 큰 다발은 무엇인가라는 질문을 제기한다. 이는 분명히 formula_138-다발이다. 그리고 formula_138은 이전 두 분수에서 페리 합을 통해 얻어진다. 즉, 분자끼리 더하고 분모끼리 더하는 방식이다.
formula_140 formula_141 formula_142formula_143formula_144
마찬가지로, formula_138 다발과 formula_137 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 formula_127-다발이며, 역시 페리 합으로 주어진다.
formula_144 formula_141 formula_142formula_143formula_152
formula_127 다발과 formula_137 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 formula_155-다발이며, formula_127 다발과 formula_138 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 formula_158-다발이다. 망델브로 집합 내의 다발 배열은 formula_110과 formula_160 사이의 모든 유리수를 포함하는 페리 나무라는 구조를 따르는 놀라운 패턴을 따른다. 이 순서는 주 심장형의 경계를 따라 각 다발을 단위 구간의 유리수와 정확히 일치시킨다.
상단에 있는 formula_138 다발에서 시작하여 formula_137 원으로 진행하면, 수열은 체계적으로 전개된다. formula_137와 formula_138 사이에 있는 가장 큰 다발은 formula_127이고, formula_138와 formula_127 사이에는 formula_158 등이 있다. 흥미롭게도 망델브로 집합에서 순차적인 스케일의 원형 다발 주기의 분모는 이전 두 항을 더하여 만들어지는 피보나치 수열을 따른다 – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
피보나치 수열은 망델브로 집합의 독특한 지점에서 나선형 팔의 개수로 나타나며, 상단과 하단 모두에 반영된다. 이 독특한 위치는 상세한 프랙탈 시각화를 위해 가장 많은 반복 횟수를 요구하며, 확대할수록 복잡한 세부 사항이 반복된다.
확대 영상 모음.
망델브로 집합의 경계는 이미지를 더 가까이 보거나 확대할수록 더욱 복잡한 세부 사항을 보여준다. 다음은 선택된 c 값으로 확대하는 여러 이미지의 예시이다. 표시된 영역은 "-0.75 + 0.1i" 지점을 중심으로 하는 망델브로 집합 영역인 "해마 계곡"으로 알려져 있다.
첫 번째 이미지에 대한 마지막 이미지의 배율은 약 1010배이다. 일반적인 컴퓨터 모니터와 비교하자면 이는 지름 4백만 킬로미터의 망델브로 집합 부분을 나타낸다.
해마 "몸통"은 각각 12개의 "살"로 이루어진 두 그룹과 주 심장형에 연결된 1개의 "살"로 구성된 25개의 "살"로 이루어져 있다. 이 두 집단은 망델브로 집합의 "윗손"의 두 "손가락"에 대한 어떤 변형에 기인할 수 있다. 따라서 "살"의 수는 한 "해마"에서 다음 "해마"로 2씩 증가한다. "허브"는 미슈레비치 점이다. "몸통 윗부분"과 "꼬리" 사이에는 왜곡된 망델브로 집합의 복사본이 있는데, 이를 "위성"이라고 한다.
세 번째 마지막 단계의 섬은 해당 쥘리아 집합 formula_169의 경우처럼 무한히 많은 부분으로 구성된 것처럼 보인다. 이들은 미세한 구조로 연결되어 전체가 단일 연결 집합을 이룬다. 이 미세한 구조는 중앙의 위성에서 서로 만나는데, 이 확대율에서는 너무 작아서 인식할 수 없다. 해당 formula_169에 대한 formula_3 값은 이미지 중심이 아니라, 망델브로 집합의 본체에 대해 6단계에서 보여진 위성에 대한 이 이미지 중심과 같은 위치를 가진다.
내부 구조.