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817년 7월에 루트비히는 아헨의 제국 의회에서, 그는 피핀을 아키텐 왕으로 봉하고, 바이에른을 루트비히에게 주도록 정하고 다시금 로타르 1세를 공동 황제 겸 후계자로 선포했다. 발표한 칙령에서 둘째 아들 피핀은 왕의 칭호와 아키텐, 툴루즈 일대의 통치권을, 셋째 아들 바이에른의 루트비히에게는 바이에른과 카린티아, 보헤미아 및 왕의 칭호와 주권을 부여했다. 당초 그는 아버지의 사후 아들 형제들에게 균등하게 분배되는 프랑크족의 전통 살리카 법 대신 장자 상속제를 도입하려 했다. 그는 일찍 다른 아들들에게는 일부의 영지만을 봉하고 장자인 로타르에게 넘겨주어 장자 상속을 확립하려 했지만, 일부 관료들만 루트비히 경건왕의 뜻을 이해했을 뿐, 다른 아들들은 자기 몫의 봉토를 차지하려 했고, 대다수의 귀족, 궁재들이 아무도 그를 지지하지 않으므로 그의 뜻은 실패하고 만다.
817년 루트비히는 로마 헌법을 발표, 자신에게 로마에 대한 통치권이 있음을 선언하고, 교황에게 충성을 바칠 것을 요구하였다. 그러나 곧 흐지부지되었다.
818년 4월 17일 루트비히 경건왕은 장남 로타르 1세에게 제국의 제위와 함께 롬바르디아를 넘기기로 정하고, 로타르를 롬바르디아 왕으로 임명한 뒤 교황 파스칼리스에게 보내 축성과 황제의 제관을 받게 하였다. 바로 루트비히는 로마 헌법(Constitutio Romana)을 선포, 황제가 로마에 대한 통치권이 있다며 교황에게 충성 서약을 요구한다. 818년 가을 그가 제국을 순시하러 나간 사이, 그 해 10월 3일 황후 히스파니아의 이르멘가르트가 병으로 사망했다. 왕실 측근들은 경건왕 루트비히에게 재혼을 권고하였다. 경건왕 루트비히는 제국의 모든 지역에서 법정으로 간택된 귀족 처녀들을 검사 한 후, 루트비히는 바이에른과 아르톨프의 공작이며 레겐스부르크의 영주인 구엘프 1세의 딸 유디트 바이에른(Judit Babariae)을 낙점, 그와 재혼하였다. 819년 봄에는 노르트라인 베스트팔렌에서 결혼식을 올리고, 바로 아헨에서 유디트의 성대한 황후 책봉식을 주관했다.
신앙 정책.
독실한 신앙인이었던 그는 항상 예배당을 찾았으며, 성직자 및 성직자와 가까운 세속인들을 수상과 대신으로 중용하였다. 부활절과 유월절을 비롯한 각종 기념일은 국가적인 행사로 치루도록 지시하였다. 그의 충실한 조언자이기도 한 아니얀의 베네딕트를 통해 세속화된 사회를 정화, 도덕화할 정책을 편다. 아니얀의 베네딕트는 816년과 817년에는 교회회의를 통해서 루트비히 집권 초반, 교회와 국가의 근본적인 개혁과 도덕적 재무장 정책을 실시하였다.
817년 1월 교황 스테파노 4세가 세상을 떠나자, 새로 즉위한 교황 파스칼 1세는 즉위하자마자 1월 24일 루트비히에게 교황청 대사를 보냈다. 루트비히는 교황청의 대사를 융숭히 대접했고, 교황의 정치 사회문제애 대한 권리를 주장하고 자신의 교황권을 확고히 하였다. 교황 파스칼 1세의 요구를 수용하였다. 그는 교황청에서 사신이 방문할 때마다 직접 나와서 교황청 사절단들을 맞이한 뒤 이를 융숭히 대접했고, 황제는 교황의 충실한 보호자임을 재확인시켰다.
신앙심이 두터웠던 그는 교회·수도원을 보호하고 새로 건립하였으며 성직자를 요직으로 등용하였다. 822년에는 유월절 때 아르덴의 부지에(Vouziers)와 아팅기(Attigny)의 수도원에서 교황 파스칼 1세 앞에서 이탈리아의 베른하르트가 죽은 것과 충실한 조언자인 베네딕트의 병사 등 대해 자신의 부덕함을 탓하는 공개 참회와 속죄 의식을 올리기도 했다. 그러자 귀족들과 제후들은 황제의 행동을 이해할 수 없다거나 황제는 나약한 인물이 아니냐며 조소하였다. 루트비히는 814년 자신이 강제로 수도사로 만든 드로고 3세는 메츠의 주교에, 후고는 생 퀘틴 수도원의 원장에 임명하였다. 자신의 친척들인 삼촌 베른하르트의 친손자들 아달하르트(Adalhard)와 왈라(Wala 또는 Walacho)는 엑샹 라샤펠 수도원에 보낸다. 또한 각 수도원과 성당에 각종 면세 혜택을 주기도 했다.
또한 그는 성직자들과 친인척인 니타르트 등 친척을 중용하였다. 그밖에 유산 상속을 우려하여, 결혼하지 않은 여자 형제들과 친척들을 결혼 협정을 맺기 위해 다른 지역이나 인접국가로 시집보내는 대신에 수녀로 만들어 수녀원에 보냈고, 몇몇 이복형제들과 조카들, 친척들을 모두 수도원에 보내 사제와 수녀로 삼았다.
821년 그의 스승이자 조언자이기도 한 아니아네의 베네딕트가 사망했다. 그해 황후 유디트 바이에른에게서 딸 기셀라와 822년 6월 13일 넷째 아들 대머리 카를 2세가 출생했다. 유디트는 그를 이리저리 꾀어 카를에게 유리한 분할안을 내놓도록 설득하였다. 이에 전처의 자식들은 맹렬히 반대하고 나섰다. 카를의 출생으로 루트비히 경건왕은 829년 영토를 다시 분할했으나, 유산이 줄어든 본처 소생 세 아들의 반발로 830년 세 아들이 반란을 일으켰으나 바로 반란은 진압되고, 경건왕 루트비히는 권좌에 복귀했다. 내란은 14년간 지속되었다.
외교와 대외 정책.
824년 불가리아의 공작 오무르탁이 프랑크 왕국의 종주권을 인정하고 조공을 바쳐왔다. 824년 2월 불가리아의 사신들은 프랑크 왕국과 평화조약을 맺기 위하여 방문하자 루트비히는 뜻밖의 사절단의 저의를 파악하기 위해 바이에른 출신의 막켈름(Machelmum)을 불가리아 사신들과 함께 불가리아 칸 오무르탁에게 보냈다. 824년 12월 오무르탁은 사신을 다시 보냈으며 루트비히는 불가리아 사신을 접견하기에 앞서 불가리아인들과 이웃하여 사는 다키아(Dacia) 지역에 거주하고 있던 아보드리트 족을 비밀리에 불러 불가리아 왕 오무르탁의 저의를 파악하려 하였다. 아보드리트족은 불가리아의 부당한 침략을 프랑크 왕국에 호소하였고, 루트비히 프랑크왕국의 왕은 불가리아 사신을 돌려보냈다.
그 후 루트비히는 825년 5월 프랑크 왕국과 국경 문제를 논하러 아헨을 방문한 불가리아 사신을 만났다. 루트비히는 싸움을 피하려 했고 협상을 시도한다. 불가리아 왕 오무르탁은 826년과 824년에 보냈던 사신대표를 다시 바이에른으로 보내 양국 사이의 국경을 준수할 것을 요구하였고 이를 어길 시는 전쟁도 불사하겠노라고 하였다. 그러나 판노니아 백작 발데리히(Balderich)와 게롤트(Gerold)는 불가리아 군대의 침략가능성이 없음을 보고하였다. 그러나 827년 불가리아의 칸 오무르탁(Khan Omurtag)은 프랑크 제국의 동남부를 침략하여 판노니아 땅을 점령한다. 프랑크 왕국에 의해 멸망한 아바르 카간국의 유민들은 오무르탁에게 협력하여 제국의 동남부를 위협하는 데 가담한다.
루트비히는 818년 아들 로타르 1세를 롬바르디아의 분국왕으로 임명한 뒤 이탈리아도 통제하려 했다. 그러나 롬바르디아의 귀족들은 샤를마뉴 시대에 이미 프랑크 왕국에 대한 반감을 품고 있었다. 루이는 베네벤토의 공작인 그리모알드 4세(Grimoald IV)나 후임 공작 싸이코(Sico) 등으로부터 충성 맹약을 받았지만 이는 모두 형식적인 것이었다.
828년 셋째 아들 독일인 루트비히는 레겐스부르크에서 바이에른과 아르톨프의 공작이며 레겐스부르크의 영주인 구엘프 1세의 딸 바이에른의 엠므와 결혼했다. 엠므는 루트비히 경건왕의 후처 유디트의 여동생이었다.
830년 셉티마니아의 백작 베른하르트가 분리독립을 기도하고 거병하였으나 루트비히가 보낸 군사들에 의해 진압당했다. 그해 아키텐의 피핀 1세는 정변을 일으켜 바이에른의 유디트를 수도원에 감금하고 대머리 카를은 강제로 성직자로 만들어 수도원에 보낸다. 제국의 일부인 아키텐, 바이에른만을 피핀과 독일인 루트비히에게 넘겨주었으므로 경건왕 루트비히는 아들들에게 더 많은 영토를 주겠다고 회유하여 반란을 진압한다.
아들들의 반란.
831년, 833년 로타르, 피핀, 루트비히 등은 반란을 일으켜 한때 그는 양위했고 유디트는 수도원에 감금되었다. 그러나 교황의 지지로 834년 기적적으로 복위했다. 이 일은 종내 부자 형제간의 분쟁을 야기하고 프랑크의 국력을 쇠하게 했다. 당초 로타르는 두 동생의 지원을 업고 반란을 일으켜 아버지를 폐위했다. 그러나 830년 10월에 열린 네이메헨 의회는 루트비히 1세를 복위시켰으며, 831년 2월 아헨의 제국 의회가 개입해서 상속령을 정해 제2차 분배에서 로타르 1세는 이탈리아만을 배당받았다. 그리고 로타르의 북부 로트링겐, 프로방스 등의 영토를 대머리 카를에게 준다고 명시했다.
831년 피핀은 바이에른의 유디트의 측근인 셉티마니아의 베른하르트를 사주해 반란을 일으켰다. 그러나 곧 화해하였다. 832년 루트비히는 피핀에게서 아키텐 영지를 빼앗아 카를에게 주었다. 이에 피핀은 강력 반발했고 그의 계비인 바이에른의 유디트를 암살할 계획을 세우기도 했다. 로타르, 피핀, 루트비히는 교황 그레고리우스 4세의 지원을 얻어 거병, 반란을 일으켰고 알프스산맥을 넘어 알자스의 지골스하임 부근에서 회의를 열어 다시 아버지인 그를 폐위했다.
로타르는 아버지 경건왕 루트비히를 사로잡는데 성공, 롤페르트로 끌고갔다가 말렘으로, 말렘에서 메츠로, 메츠에서 다시 수아송까지 끌고 갔다가 수아송의 생메다드 수도원에 감금하였다. 동시에 이복동생 대머리 카를은 부모에게서 떼어내 아르덴 근처 프륌 수도원에 보냈다. 그러나 834년 3월 루트비히는 다시 황제 지지파들의 지원으로 제위에 복귀했으며 피핀 및 독일인 루트비히와 평화조약을 맺었다. 834년 말 로타르 1세는 혼자서 다시 반란을 일으켰으나 이번에는 아무도 도와주지 않았으므로 롬바르디아로 패주했다.
835년에는 아들들에 의해 수아송의 한 성에 투옥되었으나 감시병들이 조는 틈을 타서 이들을 베고 탈출하기도 했다. 반란들을 진압함에 따라 837년 아헨 제국 의회, 838년 네이메겐 제국 의회에서 독일인 루트비히의 영토 일부를 떼어 더 많은 영토를 아들 카를에게 넘겨주었다. 일단 로타르, 아키텐의 피핀 1세, 독일인 루트비히 등은 이 조치를 받아들였으나 감정이 좋지 않았다.
834년 다시 세 아들이 반란을 일으켜 폐위되었으나 극적으로 복귀한다. 836년 바이킹이 위흐레흐트와 안트워흐를 침략, 약탈하고 되돌아갔으나 이를 막지 못했다. 837년 봄 루트비히는 대머리 카를을 알레만니아와 부르고뉴의 왕에 봉하였다. 그러나 자신의 영지가 축소된 것에 반발한 루트비히 독일인이 반란을 일으키기도 했다.
837년 바이킹 족이 침투 로리크가 침투하자 직접 이들을 영역 동북방으로 몰아냈다. 이들은 프리슬란트의 프리시아까지 자신들의 영토라고 요구했다. 838년 12월 차남 아키텐의 피핀 1세가 갑자기 죽자 839년 5월 30일 보름스 의회에서 제4차 배분이 이루어져 제국은 로타르와 카를 사이에 양분되었고, 아키텐은 대머리 카를에게로 넘기고, 독일인 루트비히는 바이에른만을 차지했다. 한편 839년 봄 둘째 아들 독일인 루트비히와, 손자이자 피핀의 아들 피핀 2세가 다시 게르만 귀족들을 선동해 반란을 일으켰으나 패퇴하고 바이에른으로 물러갔다. 바이킹은 계속 프리슬란트와 프리시아를 요구했다. 결국, 루트비히는 839년 바이킹 족이 요구한 조약을 체결해주어 프리슬란트의 프리시아를 그들에게 주는 조건으로 이들을 되돌려보낸다.
니타르트 등을 시켜서 왕실의 역사를 편찬하게 하는 한편, 비밀리에 니타르트에게 어린 카를의 후견을 부탁하기도 했다. 838년 아들 피핀이 죽자 아키텐을 다시 카를 2세에게 주었다. 그러자 아키텐의 귀족들은 반발했고, 그도 결정을 취소하고 피핀의 아들 피핀 2세를 아키텐 분국왕으로 봉했다. 이는 후일 카를 2세와 피핀 2세간 아키텐의 권리를 두고 860년대까지 내전을 부르는 원인이 된다.
838년 6월 아들 독일인 루트비히 2 세는 네이메헌에서 소집된 제국 의회에서 아버지 경건왕 루트비히와 다투었다. 838년 9월 경건왕 루트비히는 독일인 루트비히의 몫을 대머리 카를에게 넘긴다고 선언했고, 독일인 루트비히는 반발했다. 839년 독일인 루트비히는 자신의 상속권을 박탈한데 대해, 아버지 경건왕 루트비히를 상대로 반란을 일으켰다. 독일인 루트비히는 군사를 이끌고 이복 동생 대머리 카를의 알레만니아 영지에 침입했다. 아버지 경건왕 루트비히는 신속하게 반응했고, 독일인 루트비히는 판노니아로 퇴각하였다.
혼란과 최후.
839년 봄, 독일인 루트비히는 그가 카를을 아키텐 왕으로 임명하려는 것에 반발하여 루아르에서 군사를 거병하여 피핀 2세를 지원했다. 이에 독일인 루트비히가 피핀 2세와 함께 군사를 일으켰다. 이때 로타르 1세가 경건왕 루트비히의 편에 서서 이들과 싸웠다. 아키텐의 귀족들은 전해에 죽은 피핀 1세의 아들을 지지하였기 때문에 결국 루트비히 경건왕은 대머리 카를에게 아키텐을 주려는 결정을 결국 취소하게 된다.
그해 프리슬란트와 덴마크에 있던 바이킹이 제국 동부를 침략하여 약탈하고 돌아가기도 했다. 그러나 그는 이를 막지 못했고 바이킹은 수시로 동북방 프로이센 지방을 약탈하였다. 839년 말경 아들 독일인 루트비히는, 5월 30일의 보름스 의회의 결정에 반발, 군대를 이끌고 아버지에게 마지막으로 반기를 들었다가 또다시 보름스에서 격퇴당했다. 경건왕 루트비히는 그해 프랑크푸르트에서 평화 선언을 하였다. 840년 초 독일인 루드비히는 알레만니아에서 다시 군사를 일으켜 아버지 경건왕 루트비히를 상대로 반란을 일으켰다가, 경건왕 루트비히가 진압군을 보내자 싸움없이 신속하게 후퇴했다. 그러나 840년 3월 경건왕 루트비히는 다시 셋째 아들 독일인 루트비히를 치려고 특별 군대를 조직했다가, 3월 말 프랑크푸르트에서 군대를 해산시켜 돌려보냈다.
만년의 루트비히는 실의에 빠져 정사를 수상과 궁재들에게 다 넘겼고, 루트비히 본인은 기관지염과 함께 위암, 식도암 등에 걸려 고생했다. 840년 초, 병석에 누운 그는 자신의 죽음이 임박한 것을 예감하여 그해 6월 20일경 그는 라인강변으로 가 요양하였다. 그해 초, 건강이 급속도로 악화된 루트비히는 제국의 상징물을 모두 장남 로타르 1세에게 보냈다. 루트비히 1세는 840년 7월 1일 보름스에서 제국 의회를 소집했으나, 의회가 열리기 전 잉겔하임(잉겔하임암라인)의 라인강변에 있는 페터사우에를 건너던 중 성직자와 주교들이 참석한 가운데 이복형제인 드로고 주교의 품에 안겨 죽음을 맞이했다. 사인은 기관지염, 식도암, 위암 등의 후유증이었다. 곧, 이복동생인 메츠 교회 주교 드로고의 집례하에 자신의 어머니 힐데가르트가 안치된 아우스트라시아 메츠에 있는 장크트아르눌프 교회 내에 안치되었다.
루트비히는 당초 장자 상속제도(長子相續)를 도입하려 했지만 실패했다. 그는 제국의 분열을 막으려고 친인척과 서출들, 딸들 상당수를 귀족이나 이웃나라와 결혼시키는 대신 가톨릭 성직자와 수녀로 만들었다. 조카 베른하르트 1세의 반란을 계기로 가까운 친인척들을 성직자와 수녀로 만드는 일을 계속했다. 그럼에도 그는 제국의 영토분할을 막지 못했고 그가 죽은 후에도 그의 아들들 사이의 상속권 분쟁은 계속되었으며, 로타르 1세는 단독으로 프랑크 왕국을 통치하려다가 독일인 루트비히와 대머리왕 카를 2세가 협력하여 군사를 일으켜 내란이 발생한다. 이를 일명 프랑크 왕국의 시민 전쟁이라 한다. 전쟁은 3년여 간 지속됭었다. 결국 843년 8월 11일에 체결된 베르됭 조약으로 프랑크 왕국은 공중분해되었다. 그의 사후 40년 만인 888년 1월 손자 비만왕 카를 3세의 죽음을 계기로 왕국은 최종 붕괴되었다.
경건왕 루트비히는 독실한 로마 가톨릭 신앙인이었음에도 불구하고, 제국을 혼란으로 몰고간 덕에 사후 성직자들의 반대로 가톨릭 성인으로 축성되지는 못하였다. 대신 성직자와 교회사가들은 그에 대해 최대한 우호적이고 긍정적인 평가를 내리려 노력하였다. 메츠의 장크트아르눌프 교회에 안치된 그의 석관 무덤은 11세기 또는 13세기 경에 재설계되었지만 1793년 프랑스 대혁명 기간 중 혁명군에 의해 성당, 수도원들이 파괴될 때 함께 파괴되고, 유골은 부관참시되어 토막낸 뒤 길바닥에 던져졌다.
아버지 샤를마뉴처럼 루트비히 경건왕 역시 10~14세기 중세 프랑스와 독일, 오스트리아, 이탈리아 등의 여러 무훈시(武勳詩)와 희극 주인공의 한 사람으로 자주 등장하였다. 그 중 〈기욤의 노래 Chanson de Guillaume〉,〈님의 손수레 Charroi de Nîmes〉, 〈루트비히의 대관식 Couronnement de Louis〉등이 유명한 작품들이다. 그를 묘사한 희극이나 시, 문학 작품에서 그는 상냥하고 종교적으로 고결하지만 나약하고 우유부단한 인물 혹은 다소 편협한 인물로 묘사된다.
후에 독일 슈투트가르트와 바크낭의 동북부 무르하르트(Murrhardt)에 있는 무르하르트 성당(Stadtkirche Murrhardt)에 그의 빈 석관 무덤이 만들어졌다.
그에게는 경건왕이라는 별칭이 붙었다. 그가 독실한 로마 가톨릭 신자였기 때문이다.
그가 신앙심이 깊고 교회에 대해 관용적이었으며, 교회 일에 많은 관심을 쏟았고 훌륭한 교육을 받았다는 시각도 있다. 리무쟁의 어느 천문학자는 사서에서 그가 역경에 처했을 때 좌절하거나 흔들리지 않고 불굴의 용기를 보여주었음을 강조하였다. 트리어 주교 테카누스는 그의 성격과 재능, 그리스도교적 자비심, 경건함, 사냥실력 등이 뛰어났다고 평가하였다. 에르몰두스 니겔루스의 시는 그에 대한 찬양 일색이다.
루트비히 1세는 종교적으로는 국민의 존경을 받았으나 통치 능력은 신통치 않았다. 그는 샤를마뉴가 물려준 넓은 땅을 제대로 관리하지도 못했다. 정치적으로 무능력하여 제국의 해체를 불러왔다는 부정적인 시각도 존재한다. 루트비히는 자신이 평화롭게 상속받았던 제국을 내부 혼란에 빠뜨려놓았다. 대외적으로는 외세의 침략이 없었던 탓에 심각한 분쟁에 빠져든 적이 없었고, 다만 데인족과 그밖의 종족들이 끊임없이 제국 침략을 감행했으나 무난히 막아냈다.
그러나 일찍 상속령을 제정한 탓에 네 아들이 829년부터 끊임없는 분란을 일으켰고, 그가 죽은 뒤에도 로타르, 독일인 루트비히, 피핀 2세, 대머리 왕 카를과 그 후손들 사이의 분쟁과 음모는 그가 죽은 후에도 수십 년 간 계속되었다. 이는 카롤링거 왕조의 약화와 바이킹, 마자르, 데인 족, 슬라브 등의 침략과 이탈리아와 독일에서의 각자 귀족들의 난립 등 제국의 해체의 원인이 되었다.
아버지 카롤루스 대제가 후계자를 지목하고 상속령을 제정한 것은 60대의 일이었지만, 루트비히는 즉위 직후 상속령을 정했고 이는 아들들의 반란의 원인이 됐다. 루트비히는 자신이 평화롭게 상속받았던 제국을 내부 혼란에 빠뜨려놓았다.
신성 로마 황제(, , )는 신성 로마 제국의 황제로, 정식 칭호는 로마인의 황제(, )이다. 그가 다스리는 영토는 자신의 원래 직할 영지와 신성 로마 제국의 구성국인 작센, 슈바벤, 바이에른, 프랑켄, 케른텐, 오스트리아, 헝가리 그리고 북부 이탈리아 등이다. 기타 이탈리아 내 제후가 다스리는 영토에서도 일부 종주권을 인정받았다.
황제위는 호엔슈타우펜 왕조까지는 로마 교황이 제관을 수여하였고, 대공위 시대 이후 선제후라고 부르는 황제 선출권을 가진 제후들에 의해 선출되었다. 1530년 한때 프랑스의 프랑수아 1세도 신성 로마 제국 황제 후보자로 입후보하기도 했다.
군론에서 위상군(位相群, )은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.
formula_1가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산
이 연속 함수일 경우 formula_1를 위상군이라 한다. (여기에서 formula_7에는 곱위상을 준다.)
위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 formula_8라고 한다.
국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.
위상군 formula_1에서, 임의의 formula_10에 대하여,
는 모두 위상동형사상이며,
도 위상동형사상이다.
위상군의 임의의 부분군은 (부분 공간 위상에 대하여) 위상군을 이룬다. 위상군 formula_1의 임의의 정규 부분군 formula_15에 대한 몫군 formula_16은 (몫위상을 주면) 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.
위상군 formula_1에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 formula_18는 formula_1의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 formula_20은 완전 분리 공간이다.
위상군 formula_1의 부분군 formula_22에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다. 콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다.
만약 formula_23이며 formula_24라면,
이며, formula_26가 위상동형사상이므로 formula_27는 열린집합이다. 따라서, formula_28는 열린집합이다.
위상군 formula_1의 임의의 부분군 formula_22에 대하여,
이다. 만약 formula_28가 열린 부분군이라면, 모든 formula_33가 열린집합이므로, formula_28는 닫힌집합이다. 만약 formula_28가 유한 지표 닫힌 부분군이라면, 모든 formula_33가 닫힌집합이며, 서로 다른 formula_33들의 수는 유한하므로, formula_28는 열린집합이다.
만약 formula_1가 콤팩트 위상군이며, formula_28가 formula_22가 열린 부분군이라면,
이므로, formula_43는 유한 부분 덮개를 가지며, 이는 스스로일 수밖에 없다. 즉, 지표 formula_44는 유한하다.
모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" formula_46는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.
버코프-가쿠타니 정리()에 따르면, 위상군 formula_1에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.
수론에서, 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 formula_55은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.
모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 formula_56 위에 유니터리 작용소들의 군 formula_57는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.
유리수의 덧셈군 formula_58는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.
루트비히 3세(Ludwig III, Louis III) 또는 소 루트비히(Ludwig the Younger 830년 - 882년 1월 20일) 또는 흘로도비쿠스 3세(Hludowicus III, Hludovicus III) 독일왕 루트비히 2세의 둘째 아들이며 동프랑크의 2대 국왕이다. 876년 아버지의 죽음 이후 작센의 군주였고 튀링겐의 군주, 동프랑크의 국왕 칭호를 물려받았으며, 880년부터는 형 카를만 3세로부터 바이에른을 넘겨받아 바이에른 왕이었으므로 독일 왕으로 본다.
카를만의 사망 전 880년 2월 서프랑크의 루이 3세, 샤를로망 형제와 리베몽에서 조약을 체결하여 로트링겐(로렌)을 차지하였다. 형의 죽음 이후 바이에른 작센 공작 루돌프(하인리히 1세의 조부)의 딸 리우트가르트와 결혼하여 아들 루트비히와 베른하르트를 얻었으나 모두 어려서 사망하였다. 재위기간 내내 바이킹 족의 침략에 시달림당하였다. 그의 재직 중 서프랑크의 카를 2세는 그의 영지를 탐냈고, 안더나흐 전투에서 자신의 병사들을 유령으로 위장시켜 카를 2세의 군대를 퇴각하게 했다. 한편 그는 카를 사후, 서프랑크 측에 로트링겐의 영토를 계속 요구하였고, 880년의 리베몽 조약을 통해 로트링겐의 서부 영토를 동프랑크로 병합하여 로트링겐 전체를 차지하였다. 아들들은 모두 일찍 죽어 그는 후계자를 남기지 못해 결국 그가 죽은 이후 그의 영토인 동프랑크 왕국은 동생 비만왕 카를에게 계승되었다.
루트비히 3세는 830년 혹은 835년 루트비히 독일왕과 바이에른과 아르톨프의 공작 벨프 1세의 딸 바이에른의 엠므의 아들로 베이언에서 태어났다. 형은 카를로만 3세였고 동생은 뚱보왕 카를 3세였다. 바이에른의 유디트는 그의 이모이자 계조모이기도 했다.
청년 루트비히는 북방 슬라브계 민족인 오보트리스 족의 침략으로 858년과 862년 독일인 루트비히가 오보트리스(Abodrites)를 정벌할 때, 군사 훈련을 받고 동부 오보트리스에 대한 군사 작전에 투입되었습니다. 854년 아키텐을 두고 대머리왕 카를과 피핀 간에 전쟁이 벌어지자 피핀을 지지하던 아키텐 귀족들의 요청으로 개입하게 된다. 청년 루트비히는 군사를 이끌고 아키텐에 들어가 피핀을 지원하였다.
대머리왕 카를을 공격하는 한편 바이킹 족이 정착한 서프랑크의 리모 주를 공격하고 루아르 밸리(Loire Valley)를 파괴한 뒤 푸아티에, 앙굴렘, 페리제(Perigueux_), 리모 주, 클레르몽과 부르쥬가 등을 점령하였다. 이어 수도원에 투옥된 피핀을 풀어주었다. 그는 사촌인 마인츠(Mainz)의 대주교 샤를에게 왕관을 전달한 뒤 군사들을 이끌고 다시 동프랑크로 퇴각, 바이에른으로 되돌아왔다.
853년 카를에게 대항한 서프랑크의 귀족들이 루트비히에게 원조를 청하자 아버지 독일인 루트비히의 지시를 받고 아키텐으로 보냈으며, 피핀 2세를 지원하였다. 아키텐의 귀족들은 대머리 카를의 통치를 못마땅하게 여겼다. 854년까지 소 루트비히는 아키텐에 체류하고, 그 이듬해에 되돌아왔다. 독일인 루트비히의 지원과 지시하에 소 루트비히는 피핀 2세를 복직시켰다. 853년 서프랑크의 대머리왕 카를은 청년 루트비히를 회유할 생각으로 그를 아키텐의 피핀 2세를 대신할 아키텐의 군주로 지명하였다. 서프랑크의 대머리 카를 2세는 청년 루트비히 3세의 아버지인 독일인 루트비히 2세에게 사자를 보내, 아키텐의 왕관을 주겠다고 제의하였다. 그러나 아키텐의 귀족들은 청년 루트비히를 환영하지 않았다.
청년 루트비히는 삼촌 대머리 카를의 제의를 거절하고 오히려 삼촌 대머리 카를에 의해 수감된 아키텐의 피핀 2세와 샤를 형제를 탈출시켰다. 아키텐의 피핀 2세와 샤를의 탈옥을 확정지은 후, 청년 루트비히는 리모 주, 노르만 족이 정착한 루아르 계곡 일대, 그밖에 푸아티에, 앙굴렘, 페리, 리모, 클레르몽과 부르제를 공격하고 돌아갔다.
튀링겐 공작과 반란.
루트비히는 은근히 동프랑크의 귀족들과 긴밀한 유대 관계를 형성하는 한편 그의 아버지의 통제를 거부하고 점점 더 독립적으로 행동하였다. 그는 집안의 허락 없이 단독으로 네우스트리아(Neustria) 백작 아달하르트(Adalhard)의 딸과 약혼하였으나 아버지 독일인 루트비히의 반대로 결혼은 파탄났고, 약혼녀는 일찍 사망하였다. 864년 작센 분국왕과 튀링겐 공작에 임명되어 아버지에게 작센과 튀링겐의 상속권을 약속받았다. 그러나 865년 루트비히는 동생 카를 3세와 함께 아버지 독일인 루트비히에 대한 반란에 합류하였다.
865년 프랑크푸르트와 프랑코니아를 차지했고 작센과 튀링겐에서 자신의 영향력을 증가시켰다. 865년 초 청년 루트비히는 네우스트리아 백작 아달하르트의 딸과 약혼하였으나, 아버지 독일인 루트비히의 반대로 파혼하였다. 청년 루트비히는 몇 명의 첩에게서 아들들을 얻기도 했다. 뒤에 869년 11월 24일 청년 루트비히는 작센의 실력자인 리우돌핑 가문 출신 작센과 이스트팔리아(Eastphalia)의 공작 리우돌프(Liudolf)의 딸 리우트가르트(Liutgard)와, 프랑코니아의 아샤펜부르크(Aschaffenburg)에서 결혼하였다. 리우돌프는 후일 918년 독일의 군주로 즉위하는 하인리히 1세의 할아버지이자 오토 1세의 증조부가 된다. 작센의 유력 귀족가문의 딸이기도 한 그의 왕비 리우트가르트는 강한 의지와 정치적 야망을 가진 여성으로 그녀의 남편의 정치적 야심을 부추겼으며, 자신의 야심을 달성하기 위해 노력했다.
865년 아버지 독일인 루트비히는 세 아들에게 각각 자신이 차지할 땅을 지목하도록 강요했는데, 카를만은 바이에른을, 청년 루트비히는 작센과 프랑켄, 튀링겐을, 뚱보 카를은 알레만니아와 슈바벤, 라이티아(Raetia, 독일 바이에른주의 남부와 오스트리아 포어아를베르크주 전역, 오스트리아와 이탈리아에 거쳐 있는 티롤 지방의 전역 및 이탈리아 롬바르디아주의 북동부)를 지목했다. 그리고 프랑크푸르트 지역은 삼형제가 공유하기로 했다. 몇달 후 청년 루트비히는 아버지 독일인 루트비히에 대항해 반란을 일으켰으나 진압되었다. 865년 10월 서프랑크 왕국의 카를 2세는 쾰른에서 소 루트비히와 독일인 루트비히 부자의 화해를 주선하였다. 870년 로타르 2세의 영지의 일부로 서프랑크 왕국에 넘어갔던 마스트리흐트 일대를 빼앗아 점령하였다. 871년과 873년 청년 루트비히는 반란을 일으켜 부왕과의 사이에 불화가 증가하지만, 그 때마다 그는 기적적으로 부왕과 화해하였다. 872년 루트비히는 자신의 다른 두 형제와 함께 유산으로 정해진 지역의 상속을 재확인받았다.
작센의 국왕.
876년 8월 28일 독일인 루트비히의 사후, 청년 루트비히는 그해 11월의 영토 분할에서 그는 작센과 튀링겐, 동 로트링겐을 상속받았고, 메르센 조약으로 추가된 영토도 추가적으로 상속받았으며, 동프랑크의 전체의 국왕(Rex Francorum) 칭호도 물려받았다. 그밖에 독일인 루트비히가 870년 메르센 조약으로 획득한 동부 로트링겐은 이때 처음으로 넘겨받았다. 또한 청년 루트비히는 자신의 아버지에게 유능한 참모인 마인츠 대주교 리우트베르트(889년 사망)를 물려받았다. 즉위 초반부터 루트비히는 바이킹의 잦은 침입에 적극적으로 맞섰으며 자국 내 귀족들과 좋은 관계를 유지했다. 비록 그가 형식적으로 동프랑크 전체의 국왕 칭호를 물려받았지만 형제들은 각자 동프랑크 왕국 내 개인 영지를 독립적으로 통치하였고, 전쟁에서도 서로 협력하지는 않았다. 그는 주로 라인란트에 머물렀으며 자신의 영지 작센이나 동부 변경으로 가는 것은 가급적이면 피했다.
청년 루트비히는 왕이 되자마자 곧 삼촌 카를 2세의 위협을 받았다. 대머리 카를은 동부 로타링기아를 합병하려 했고, 독일인 루트비히 2세의 사후 876년 가을, 서프랑크의 대머리 카를 2세가 동프랑크로 쳐들어왔다. 동 로트링겐에서 대머리 카를의 군대와 교전하여 물리친 뒤 청년 루트비히와 대머리 카를은 876년 10월 안더나흐에서 맞붙었다. 877년 10월 8일 안더나흐에서 서프랑크 군을 최종적으로 격퇴하였다. 전략과 수적으로 모두 우월했던 동프랑크의 군이었으나 루트비히는 군사들에게 모두 흰 옷을 입혀 망령 군대처럼 보이게 했고, 밤에 이들을 본 서프랑크의 군사들은 귀신으로 보고 놀라서 달아났다. 병사들은 우왕좌왕 도주하거나 실신해서 쓰러졌고 카를 2세는 당황해하며 되돌아갔다. 루트비히의 기지로 훨씬 많은 수의 서프랑크군을 작은 부대 몇 개만 움직여서 물리칠 수 있었다.
대머리 카를은 자신의 형 루트비히가 살아 있을 때에도 황제 직위를 욕심내어 세력을 이탈리아까지 확대했고, 형 독일인 루트비히가 프랑크푸르트에서 죽자 라인강까지 진출하려 했다. 독일인 루트비히의 둘째 아들인 청년 루트비히가 작은 아버지인 카를과 담판하여 프랑켄과 작센에서 군대 소집권을 주기로 하고 전쟁을 종결했다. 카를은 전쟁 노획물과 많은 선물을 받아 서프랑크로 귀환했다.
877년 청년 루트비히는 교회에 일정 부분 재산을 기증했는데, 이는 왕비인 리우트가르트의 명의로 기부되었다. 877년 말 루트비히는 형 카를로만 3세, 동생 카를 3세와 함께 동부 로타링기아를 어떻게 분할하는가를 논의하기 위해 모였다. 그러나 뇌졸중 등으로 병세가 위중했던 카를로만이 로타링기아를 포기하자 로타링기아는 루트비히와 카를이 분할하기로 했으며, 878년 10월 알자스에서 루트비히는 카를과 로타링기아를 분할했다.
877년 10월 삼촌 대머리왕 카를이 죽자, 그를 계승한 사촌 루이 2세와 로타링기아(로렌)에서 만나, 로트링겐의 분할을 유지하는 데 동의했는데 이것은 그들의 아버지인 카를 2세 대머리왕과 루트비히 게르만인이 870년 메르센에서 로렌을 분할한 조약을 재확인하는 것이었다. 바로 리에 주의 푀렌에서 포에렌 조약을 맺어 메르센 조약으로 분할된 로타링기아의 영토를 서로 유지하는 데 동의했다.
그러나 푀렌 조약이 발효되려는 참에 루이 2세가 사망했다. 요슬랭(Joscelin) 대주교가 이끄는 서프랑크의 일부 귀족이 그를 서프랑크 왕으로 추대했고, 바로 초청하였다. 또 아내 리우트가르트의 부추김까지 더해져 루트비히는 서프랑크를 침공했다. 로타링기아를 손에 넣은 루트비히 3세는 베르덩 전투에서 승리하여 메츠와 베르덩, Scheldt을 수중에 넣었지만, 나중에 내부 반란을 수습하고 출정한 새로운 서프랑크의 왕 루이 3세와 샤를로망 형제에게 로타링기아에서 격퇴당했다.
879년 서프랑크의 루트비히가 죽고 그의 아들 루트비히 3세와 카를로만이 서프랑크의 공동 국왕이 되자, 청년 루트비히는 870년의 메르센 조약은 불법이라며 계속 로트링겐의 영유권을 주장하였다. 노르망디와 브르타뉴 해안가로 쳐들어오는 바이킹 해적을 상대하던 서프랑크인 루이 3세는 자신의 동생 샤를로망 3세와 함께 로트링겐의 영유권을 주장하던 위그를 추방했지만 계속 바이킹을 상대해야 했고, 청년 루트비히와의 전쟁을 피하려 했다. 결국 루이3세와 샤를로망 형제는 청년 루트비히와의 리베몽에서 영토 조약을 체결하기로 합의하고, 로트링겐을 사실상 동프랑크에 복속시켰다. 879년 겨울, 형 바이에른의 카를로만이 뇌졸중으로 쓰러지자 그는 형에게서 슈바벤과 바이에른을 물려받았다. 그러나 루트비히는 879년부터 이미 바이에른의 실질적 통치자 노릇을 하고 있던, 형 카를로만 3세의 서자 아르눌프에게 바이에른 공작 자격으로 바이에른을 직접 통치하게 했다.
879년부터 다시 바이킹의 침략이 프랑크 왕국 내 각국에서 계속됐고 일부는 내륙 깊숙히 쳐들어와 공격, 약탈을 감행하였다. 루트비히는 880년 2월 티에몬(현재의 벨기에 샤를루아 일대)에 들어온 바이킹과 교전 티에몬 전투에서 바이킹을 크게 물리쳤지만, 이 전쟁에서 서자 위그가 스켈트강변(river Scheldt)에서 전사했다. 바이킹을 나이메헨 바깥까지 몰아냈지만 처남 브루노의 지휘 하에 출정한 작센인 군사들은 함부르크에서 바이킹에게 크게 패하고 브루노와 많은 작센 귀족, 병사들이 전사했다. 티에몬 전투에서 승리했음에도 불구하고 바이킹의 침략을 막지는 못했다.
880년 2월 청년 루트비히 3세는 서프랑크의 카를로만 2세, 서프랑크의 루이 3세를 도와, 이들과와 연합하여 왈롱의 샤를루아까지 내려온 바이킹을 상대로 교전하였다. 여기서 동프랑크의 청년 루트비히와, 서프랑크의 루도비쿠스 3세, 카를로마누스 2세의 연합군은 바이킹을 격퇴하고 5천 명의 바이킹을 사살하는데 성공한다.(→티에몽 전투(880년 2월)) 그러나 이 과정에서 서자였던 위그를 잃었다.
880년 2월 루트비히 3세는 서프랑크 루이 3세, 샤를로망 형제와 함께 영토 문제를 협상, 리베몽 조약을 체결했다. 청년 루트비히는 자신의 동생 뚱보 카를 3세 등과 함께 참석했다. 이때 청년 루트비히가 점령한 곳을 국경지대로 하기로 결정, 그가 점령한 지역을 서프랑크와 동프랑크간의 국경으로 확정하여 동프랑크는 로타링기아를 흡수했다. 한편 동생 뚱보 카를이 로타링기아에 대한 영유권을 포기함으로써 그는 로타링기아 전역을 차지할 수 있었다. 리베몽 조약으로 결정된 독일-프랑스간 영토, 국경은 14세기까지 유지되었다. 자신의 영지 내에서 청년 루트비히는 아버지와 반대로, 왕실의 이익을 위해 귀족들의 권한을 감소시켰다. 그는 처가인 작센의 리우돌핑 가문을 포함해 왕가의 힘을 왕을 중심으로 강하게 결속시켰다. 형으로부터 물려받은 바이에른에도 2번밖에 방문하지 않았다. 한편 형 카를만이 사망하자, 청년 루트비히는 880년 내내 형 카를만의 서자이자 자신의 조카인 아르눌프를 제거하려 시도했으나 실패했다.
그는 작센 공작 오토의 딸 리우트가르트와 결혼, 아들 루트비히와 베른하르트를 두었으나 모두 어린 나이에 일찍 요절했다. 아들 루트비히는 879년 가을 레겐스부르크 성의 난간에서 떨어져 머리를 크게 다쳐 죽었다. 서자였던 위그는 880년 2월 바이킹 족과 싸우다가 전사하고 말았다. 후계자가 없던 청년 루트비히는 자신의 서자로 당시 중년이었던 작센 백작 위그에게 기대를 걸었으나 위그가 전사한 뒤 루트비히는 실의에 빠졌다. 880년 뇌졸중과 중풍 등으로 고생하던 친형 바이에른의 국왕 카를만이 사망하자, 청년 루트비히는 카를만의 영지 중 바이에른을 물려받았다. 그러나 881년 겨울, 청년 루트비히는 갑자기 열병으로 쓰러져 882년 1월 20일 프랑크푸르트암마인에서 사망했다.
시신은 아버지 독일인 루트비히, 서자 위그가 안치된 로쉬 수도원(abbey of Lorsch)에 함께 안치되었다. 청년 루트비히에게는 남자 후손이 없었으므로, 그의 사후 작센과 로렌, 바이에른의 영지는 모두 친동생 슈바벤과 알레만니아를 다스리던 뚱보 카를 3세에게로 넘어갔다. 부인인 작센의 리우트가르트는 882년경 슈바벤 공작 부르하르트 1세 폰 슈바벤과 재혼했으나 885년 사망하여, 나중에 아샤펜부르크에 안장되었다.
딸 힐데가르트는 바이에른주 킴제(Chiemsee)의 킴제 수도원의 수녀가 되었다. 힐데가르트는 895년 플랑드르의 안네(Annales of Fuldenses)의 밀고로 사촌인 황제 아르눌프에 대한 반역 혐의로 기소된 뒤, 아르눌프에 의해 모든 영예를 박탈당하고 호수 변의 섬에 유폐되었다가 바이에른의 킴제 수도원으로 갔다. 힐데가르트는 아르눌프 사후 899년에 명예를 회복했다. 19세기 무렵 루트비히 3세와 서자 위그가 안치된 석관은 실종되었다.
877년 서프랑크의 대머리왕 카를이 그의 영토에 침략했을 때 루트비히는 군사들에게 모두 흰 옷을 입히거나 흰 천을 준비하여 유령 집단처럼 보이게 했고, 밤에는 약간의 불을 밝혀서 유령과 비슷하게 행동하였다. 야밤에 기습공격을 하려고 오던 서프랑크의 군사들은 동프랑크의 군대를 귀신으로 보고 놀라서 달아났다.
텔아비브야파() 통칭 텔아비브(, )는 이스라엘 서부 지중해 연안에 있는 도시이다. 이스라엘의 실질적 수도이며, 국제법적 수도이다. 시내 인구는 405,300명으로 예루살렘 다음으로 많다. 대도시권의 인구는 3,850,000명에 달하며 이스라엘 최대의 대도시권을 형성하고 있다. 이스라엘 인구의 절반 가까이가 텔아비브 도시권에 집중되어 있으며 이스라엘의 경제적인 중심지가 되어 있다. 1880년대 유대인 이주자들이 물가가 비쌌던 야파()를 대체할 곳으로 시작되었지만 점점 텔아비브의 규모는 커졌고 2007년 중동에서 가장 물가가 비싼 도시가 되었다. 텔아비브에서 하얀 색상의 건물이 많기로 알려진 화이트 시티는 2003년 유네스코에서 세계유산으로 지정되었다.
텔아비브는 히브리어로 봄의 언덕을 뜻하며 이 명칭은 나훔 소콜로프가 테오도르 헤르츨이 쓴 《오래 된 새로운 땅》을 히브리어로 번역했을 때 지어준 제목이기도 하다. 이 명칭은 고대 이스라엘의 파괴를 상징하는 동시에 재탄생을 갈망한다는 것을 의미한다고 한다. 소콜로프는 에제키엘 3장 15절에서 이름을 얻었다. ("나는 내 겨레가 사로잡혀 와서 살고 있는 그발 강 가 텔아비브에 이르렀다. 나는 얼빠진 사람이 되어 칠 일간 그들 가운데 앉아 있었다.")
1909년 유대인 가족들이 아랍 원주민들에게서 땅을 샀을 당시 야파를 대처 할곳으로 지어졌다. 이름은 성경의 델아빕에서 따왔다. 제1차 세계 대전당시 터키군에 의해서 유대인들은 야파와 텔아비브에서 쫓겨났지만 영국이 팔레스타인을 통치하기 시작 할 때 다시 돌아왔다. 1920년대 팔레스타인으로 오는 유대인 이주자들이 늘어나면서 아랍인들과의 관계가 소원해지기 시작했다. 결과로 유대인들은 야파를 떠났고 텔아비브의 인구는 서서히 늘어났다.
제1차 중동 전쟁이 시작되기 수 일 전 야파에 있던 아랍군이 텔아비브를 공격했으나 이스라엘이 독립 선언하기 이틀 전 다시 도시를 되찾을 수 있었다. 전쟁당시 요르단이 예루살렘을 점령하여 텔아비브는 이스라엘의 임시수도가 되었다. 전쟁전 야파는 팔레스타인 지역에서 아랍인들이 가장 많은 도시였다. 대략 7만 명 내지 8만 명의 아랍인들이 존재했으나 유대인 민병이었던 이르군과 하가나가 침입해서 오직 4천 명만 야파에 남았다. 전쟁이 끝난 후에도 중동 국가와의 관계로 인하여 대부분의 국가는 수도인 예루살렘 대신 텔아비브에 주 이스라엘 대사관을 두고 있다.
건축상으로 텔아비브는 1930년대부터 1950년대까지 건설된 화이트 시티로 잘 알려져 있다. 하얗고 밝은 색상의 건물들이 많아서 화이트 시티로 불린다. 나치 독일을 탈출한 건축가들이 모던주의의 영향을 받아 건물들을 전부 바우하우스식이나 국제주의식으로 지었다. 2003년 유네스코가 세계 유산으로 지정했다. 1960년대 급속도로 늘어났던 이민자들을 위해 지어진 낡은 건물들이 자취를 감추면서 초고층빌딩의 숫자는 더욱더 늘어나고 있다. 국제적으로 잘 알려진 마천루는 샬롬 타워와 아즈리엘리 센터 등이 있다.
텔아비브는 모래 언덕에 지어져서 농업에 적합하지 않다. 예루살렘은 텔아비브의 동남쪽에 위치해있으며 거리는 대략 60킬로미터 정도 된다. 하이파는 90킬로미터 정도 떨어져있으며 텔아비브의 북쪽에 위치해있다. 전형적인 지중해 기후를 소유한다. 여름은 덥고 봄과 가을은 맑은 편이며 겨울은 시원하고 비가 자주온다. 계절에 상관없이 습기가 높고 비는 주로 10월에서 5월사이 온다. 겨울에는 평균 기온이 10°C에서 15°C사이라서 주로 5°C 아래로 내려가지 않는다. 여름에는 기온이 26°C로 올라간다. 연간 평균 강우량은 530mm이다. 더운 날씨 때문에 1년 중 300일 정도로 맑은 날이 많은 편이다. 봄과 가을은 짧은 편이다.
382,500명이 넘는 인구가 존재하며 91.8%는 유대인이고 4.2%는 아랍인이고 4%는 "기타"로 분류된다. 시의 면적은 50.6 km2이고 인구 밀도는 한 km2당 7,455명이다. 몇몇 예측에 의하면 대략 50,000명의 불법 체류자가 텔아비브에 있다고 한다.
이스라엘의 종교적 중심은 예루살렘이지만 텔아비브에 있는 시나고그의 숫자는 500곳이 넘는다. 이 중 350곳이 활동중이다. 아랍 기독교인들과 야파의 높은 무슬림 인구의 영향으로 교회와 모스크도 찾아볼 수 있다.
텔아비브는 이스라엘의 문화 수도로 여겨진다. 이스라엘은 1인당 박물관이 가장 많은 나라인데 이 중 대부분이 텔아비브에 위치해있다. 고고학 유적을 모은 에레츠 이스라엘 박물관과 텔아비브 미술 박물관이 유명하다. 텔아비브대학 캠퍼스에 있는 디아스포라 박물관도 있다. 이스라엘에서 가장 큰 동성애자 축제가 이곳에서 열린다.
텔아비브 대학과 바일란 대학으로 유명하다. 텔아비브 대학은 이스라엘에서 가장 큰 대학이며 두 대학의 학생 숫자를 합치면 5만 명이 넘는다.
《러키☆스타》()는 요시미즈 카가미()의 4컷 만화 및 그것을 원작으로 한 게임, 애니메이션 작품이다. 카도카와 쇼텐의 월간 게임 잡지 《콤프틱》에 2004년 1월호부터 연재되고 있으며 《콤프 에이스》 외의 잡지에도 게재되고 있다(게재 잡지 참고).
2005년 8월 24일에 드라마CD가 발매되었다. 그리고 2005년 12월 1일에는 닌텐도DS로 《러키☆스타 모에 드릴》이, 2007년 5월 24일에는 동기종 닌텐도DS으로 속편 《진·러키☆스타 모에 드릴 〜여행〜》이 발매되었다. 그리고 2007년 4월부터 9월에 걸쳐 텔레비전 애니메이션이 방송되어 거기에 연동하는 형태로 2007년 1월부터 라디오 프로그램 《러키☆채널》도 방송 개시. 또 《진·러키☆스타》의 예약 특전이었던 연애 어드벤처 《러키☆스라 -Lucky☆Star RAvish Romance-》가 2008년 1월 24일에 플레이스테이션2용 어드벤처 게임 《러키☆스타 ~료오학원 앵등제~》라는 제목으로 발매되었다.
주요 등장인물 4명은 만화 연재 개시시 고등학교 1학년생이었으며 당초는 실제의 연도로 진행됨에 따라서 실제 시간에 맞춰 진급(현재는 3학년생) 하였다. 하지만 편집부의 방침에 의해서 고등학교 3학년 2학기 이후 시간의 흐름이 멈췄다. 덧붙여 애니메이션에서는 13화까지는 2학년생, 14화에서부터는 3학년생이다. 상당히 오랫동안 코나타 일행이 고등학교 3학년이었으나, 6권에 졸업, 7권에 유타카 일행이 2학년으로 진급했다.
서적 정보.
게재 잡지.
일본에서는 카도카와 코믹스로 간행되고 있다. 누계 발행 부수는 2008년 3월 시점에서 300만 부를 돌파했다.
투고 · 정보 코너.
《러키☆스타》의 연재 개시 4개월 후인 콤프틱 2004년 4월호에 별도 문자 투고 코너 〈러키☆스타 골목〉으로서 개시한 것이 첫 시작이었다. 같은 해 7월호에 〈스페셜 인포메이션〉이 게재되어 같은 해 12월호부터 고정연재화, 그리고 2005년 5월호부터 《러키☆채널》 로서 본격 개시, 코너의 캡틴(진행역)으로서 코가미 아키라가 등장한다. 또한 이 무렵부터 피규어나 드라마CD, 게임 등 관련 상품의 릴리스에 대한 관련 정보도 《러키☆채널》이 담당하게 되었다.
《러키☆스타》의 연재 3년차인 2006년 1월호에 코너를 리뉴얼해 《러키☆파라다이스》가 개시, 지금까지의 아키라가 캡틴 자리에서 내몰리는 대신에 새롭게 사쿠라바 히카루를 캡틴으로서 등장시켰다. 이 시기에 코너의 페이지 증가나 다수의 기획이 실시되었다. 그 후 재게임화 · 애니메이션화에 수반해2006년 11월호에 《초 러키☆채널》으로 재차 리뉴얼, 아키라 · 히카루의 더블 캡틴제로 이행했다. 이후 2009년 8월호부터 히카루는 본편으로 자리를 완전히 옮기면서 코너를 졸업하였고, 다음 호에서는 혼자 남은 아키라의 새 어시스턴트로 '냥타로 군'이 새로 등장하였다. 2007년부터는 콤프 에이스에서도 《초 러키☆채널 분교》로서 코너를 전개하고 있다.
옛 코너명인 《러키☆채널》은 라디오 프로그램 및 이 프로그램을 바탕으로 한 애니메이션판의 미니 코너에 이름이 인계되어 같은 프로그램 · 코너와 《초 러키☆채널》 등 콤프틱 · 콤프 에이스 지면, 공식홈페이지의 연동 기획도 행해지고 있다. 또 《러키☆파라다이스》는 애니메이션판의 제작 위원회의 명칭으로서 이용되고 있다.
2007년 4월부터 9월까지 치바테레비 등의 독립 UHF국을 중심으로 한 16개 방송국에서 방송되었다. 전 24화. 대한민국에서도 정식 방영되었다. 자세한 것은 본문을 참고.
드라마CD.
2005년 8월 24일에 프론티어 워크에서 발매되었다. 애니메이션판과는 성우가 다르다.
러키☆스타 드라마CD.
2008년 8월 27일 란티스에서 발매. 당초에는 2008년 2월 6일 예정이었다. 전술의 드라마CD와는 달리 애니메이션판의 캐스트가 출연하고 각본은 애니메이션판의 시리즈 구성, 각본을 담당한 마치다 토우코가 담당했다.
애니메이션 본편 방송전인 2007년 1월부터 아키라 역의 콘노 히로미와 미노루 역의 시라이시 미노루가 퍼스낼러티가 되었다 아니라지가 라디오 칸사이에서 방송, 또 한 주 느리게 란티스 웹 라디오로 전달되었다.
〈러키☆채널〉 방송시에는 애니메이션 내의 동명 미니 코너나 공식 Web사이트, 콤프틱 등 관련 각 지와의 상호 연동 기획을 실시하였다. 또 〈러키☆채널〉의 21회부터 히이라기 카가미 역의 카토 에미리와 츠카사 역의 후쿠하라 카오리가 미니 코너를 담당, 이 2사람은 다음 프로그램인 〈료오학원 방과후의 책상〉에서도 퍼스널리티로서 출연한 것 외, 〈신 러키☆채널〉에서는 미사오 역의 미즈하라 카오루가 출연했다. 또 공개 녹음이나 각종 이벤트도 개최하였는데, 그 모습은 라디오로 방송된 것 외, 관련 각 지의 부록CD나 애니메이션 DVD의 특전 영상으로 수록되었다. 덧붙여 각 프로그램의 자세한 것은 각각의 항목을 참조.
이러한 '순례'의 영향을 받아 와시미야마치 상공회()는 마을 독자적인 오리지널 상품을 제작, 동회 청년부가 운영하는 오오토리챠야 와시노미야()나 마을 안의 여러 상점에서 발매하고 원작자나 출연 성우의 와시노미야 신사에의 공식 참배 이벤트를 개최했다. 그 외에도 연말 세일로 《러키☆스타》의 캐릭터를 다룬 스크래치 카드를 이용하는 등, 여러 가지 지역 진흥책에 임하고 있다. 와시미야마치도 이러한 경위로부터 히이라기 일가를 동내의 가공의 주소에 주민 등록, 2008년 4월 7일에 특별 주민표의 교부를 가졌다.
또한 코나타가 살고 있는 마을로 여겨지는 삿테 시의 상공회에서도 《러키☆스타》를 바탕으로 한 지역 진흥책으로서 연말 세일에서 《러키☆스타》와 연동된 기획을 실시, 오리지널 상품의 제작 · 발매를 한 것 외에, 관련 이벤트의 개최를 검토하는 등, 여러 가지 기획을 실시하고 있다. 또 와시미야마치 상공회와도 제휴해, 양 상공회 사이에 판권 데이터의 공유나 향후의 이벤트 개최 · 상품 판매로의 공동 사업의 전개 등에 임하고 있다. 이 외, 메인의 무대가 된 카스카베 시 역시 독자적인 상품개발을 하고 있다.
2009년 6월 29일 사이타마 현은 '애니메이션 투어리즘 검토위원회'를 만들었는데, 여기에서 현을 무대로 하는 《러키☆스타》를 이용하여 지역 관광산업 부흥을 이끌어내자는 방안을 논의했다. 세부 안건 중에는 '현 학교 교복을 애니메이션 내 학교 세일러복으로 하자'라는 것도 있어서 일본 네티즌들의 엇갈린 평가를 받았다.
공식 사이트의 패러디.
전람회(展覽會, )는 김동률과 서동욱을 멤버로 한 대한민국의 팝 음악 그룹으로 1993년 MBC 대학가요제에서 재즈풍의 곡 〈꿈속에서〉로 대상을 받으며 데뷔하였다. 전람회에서 김동률은 피아노를 맡았으며 서동욱은 베이스를 맡았다.