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베른하르트 리만은 1859년 베를린 학술원에 가입하면서 관례에 따라 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉라는 제목의 논문을 제출하였다. 이 논문은 당시 증명되지 않았던 소수 정리에 대한 것이었다. 즉, 임의의 양의 정수 N이 아주 클 경우 N까지의 소수의 수가 로그 적분 함수
에 점근한다는 가설을 고찰하였다. 리만은 이 논문에서 오일러의 곱셈 공식에서 출발하여 모든 소수 "p"와 모든 양의 정수 "n"에 대하여 오일러의 곱셈 공식이 복소 변수 "s"에 대해 수렴한다면 formula_19로 표기한다고 제타 함수를 정의하였다.
그러나 리만의 논문의 주요 목적은 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다. 리만은 논문에서 제타 함수에 관한 가설이 카를 프리드리히 가우스, 페터 구스타프 르죈 디리클레 등과 오랫동안 논의한 것으로 그런대로 믿을 만한 것이라 표현하였다.
리만은 1859년에 리만 가설이 참이라는 가정 아래 소수 정리를 증명하였다. 즉, 리만 가설이 참일 경우 소수의 개수는 로그 적분 함수에 점근(漸近)한다는 것을 보였다. 그러나 1866년, 리만이 사망하자 리만의 가정부가 집을 정리하면서 그의 연구자료를 불태워버려 그의 연구를 자세히 알 길이 없어졌다.
논리학적 성질.
리만 가설은 1차 페아노 산술의 어떤 formula_20 명제(예를 들어, 로뱅 부등식)와 동치이다. 특히, 만약 리만 가설이 모형 이론적으로 거짓이라면, (증명 이론적으로) 거짓이다.
제타 함수의 성질.
리만 가설은 임의의 양의 실수 formula_21에 대하여 다음이 성립한다는 것과 이다.
리만 가설은 모든 formula_23에 대하여,
에는 제타 함수의 도함수가 영점을 갖지 않는다는 것(formula_25)과 동치이다.
산술 함수.
리만 가설은 임의의 복소수 formula_23에 대하여, 만약 formula_27라면 다음 등식이 성립한다는 것과 동치이다.
여기서 formula_29은 뫼비우스 함수이다.
메르텐스 함수 formula_30를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 리만 가설은 메르텐스 함수가 임의의 formula_21에 대하여 다음을 만족시킨다는 것과 동치이다.
(formula_34는 점근 표기법이다.) formula_35 레드헤퍼 행렬()의 행렬식은 "M"("n")과 같다. 따라서, 리만 가설은 이 행렬식이 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 가설로 생각할 수 있다.
1984년 기 로뱅()은 약수 함수에 대하여 로뱅 부등식을 발표하였다. 약수 함수는 다음과 같이 정의되며
이 때 5041 이상의 모든 "n"이 로뱅 부등식을 만족시키면 리만 가설은 참이 된다.
페어리 수열.
1924년에 제롬 프라넬()과 에드문트 란다우는 리만 가설이 페어리 수열과 밀접한 관계에 있음을 보였다. 엄밀히 말하면 "F""n"이 순서 "n"에 대해 1/"n"에서 시작하여 1/1 이상이 되는 페어리 수열일 때 모든 ε는 ε &gt; 0이 된다고 하면,
이는 리만 가설에 상응한다. 여기서 "n"에 대한 페어리 수열 안의 "m"번째 항은 formula_40이 된다.
함수해석학.
리만 가설은 특정 형태의 함수들로 구성된 부분 공간이 힐베르트 공간 formula_42의 조밀 집합인 것과 동치이다. 보다 일반적으로, 임의의 formula_43에 대하여, 만약 이 부분 공간이 formula_44에서 조밀 집합이라면, 리만 제타 함수의 모든 영점 formula_3는 다음과 같은 식을 만족시킨다.
또한, 리만 가설은 어떤 적분 방정식이 자명하지 않는 유계해를 갖지 않는다는 사실과 동치이다.
함의.
제타 함수.
만약 리만 가설이 참이라면, 임의의 양의 실수 formula_21에 대하여, formula_48일 때 다음이 성립한다.
소수의 분포.
만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 하랄드 크라메르()가 증명하였다.
또한 크라메르는 여기에 "p"까지의 실제 소수의 개수와 log"p"의 차가 "O"(√"p" log "p")와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.
일반화 및 관련 추측.
리만 가설을 일반화하는 일반화 리만 가설이 존재한다. 이는 임의의 대수적 수체에 적용되며, 수론에서 다양한 명제들을 함의한다. 일반화 리만 가설은 디리클레 L-함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2이라는 가설이다. 디리클레 L-함수의 모든 근의 실수부는 0과 1 사이에 있다. χ가 1인 경우 리만 가설이 된다.
대수적 수체와 대수다양체의 유리 함수체는 여러 유사한 성질을 가지며, 공통적으로 대역체로 분류된다. 이에 따라, 대수다양체에 대한 리만 가설을 정의할 수 있는데, 이를 베유 추측이라고 한다. 에밀 아르틴은 2차 함수체에 대한 리만 가설을 제시하였고, 이는 앙드레 베유가 증명하였다. 이를 바탕으로, 베유는 1949년에 모든 대수다양체에 대한 추측을 제시하였고, 피에르 들리뉴가 증명하였다.
이를 넘어서, 정수환 위의 임의의 유한형 스킴에 대하여 리만 가설을 일반화할 수 있다. 이는 대수적 수체의 경우와 함수체의 경우의 공통적인 일반화이다.
부분적 증명.
점근적으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들 가운데 적어도 2/5가 임계점 위에 있다. 또한, 임의의 양의 실수 formula_21에 대하여,
리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점을 formula_56라고 쓰면,
인 양의 상수 formula_58가 존재한다.
증명 시도.
소수 정리의 증명.
1896년에 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 샤를장 드 라 발레푸생 은 다음과 같은 약한 형태의 리만 가설을 증명하였다. 아다마르와 드 라 발레푸생은 이를 사용하여 소수 정리를 증명하였다.
리만의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉의 주제인 소수 정리가 증명되자 수학자들의 관심은 리만 가설 자체에 집중되었다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 〈수학 문제들〉이라는 주제의 강연을 통해 20세기에 들어 해결해야할 중요한 수학 문제 23개를 제시하였으며, 이는 오늘날 힐베르트의 문제들로 불린다. 리만 가설은 이 가운데 골드바흐의 추측과 함께 8번 문제로 수록되었다.
헬리에 본 코크는 리만 가설이 소수 정리의 가장 정밀한 오류항을 제공한다는 것을 증명하였다. 즉, 소수 정리의 오류항을 더 세밀하게 측정하는 것은 제타 함수의 영점이 모두 임계선에 더 가깝게 존재한다는 것과 같다.
외르겐 페데르센 그람()은 1903년 리만 제타 함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산하여, 모두 임계선 위에 위치함을 확인하였다. 고드프리 해럴드 하디는 1914년 임계선 위에 무한히 많은 수의 영점이 존재한다는 것을 증명하였다.
아틀레 셀베르그는 1942년에 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점 가운데, 임계선 위에 있는 것들의 비율은 (점근적으로) 양수라는 것을 증명하였다. 이후 1974년에 레빈슨(N. Levinson)은 이 비율이 ⅓ 이상이라는 것을 증명하였고, 1989년에 콘리(J. B. Conrey)는 이 비율이 ⅖ 이상이라는 것을 증명하였다.
로월 숀펠드()는 1976년 2657이상의 x에 대하여 주어진 수까지의 실제 소수의 개수를 나타내는 함수 formula_60와 로그 적분 함수 formula_61의 오차에 다음과 같이 정리하였다.
다비트 힐베르트와 포여 죄르지는 리만 제타 함수의 영점들이 어떤 자기 수반 작용소의 고윳값들과 대응한다고 추측하였다. 자기 수반 작용소의 고윳값들은 자동적으로 허수 성분이 0이므로, 이를 통하여 왜 영점들이 모두 임계선 위에 있는지를 설명할 수 있다. 앤드루 오들리즈코()는 1987년에 리만 제타 함수의 영점들의 분포가 일부 무작위 행렬의 고윳값들의 분포와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보였다.
크리스토퍼 데닝거(Christopher Deninger)는 이러한 연산자가 정수환의 스펙트럼 formula_63의 일종의 "코호몰로지" 위에 작용한다고 추측하였다.
일부 학자들은 이러한 작용소가 어떤 양자역학적 계의 해밀토니언일 수 있다고 추측한다. 또한, 일부 학자들은 리만 가설이 통계 역학의 리-양 정리와 관련이 있을 수 있다고 추측한다.
비가환 기하학.
대수적 수체는 1차원 스킴으로, 수체 위의 대수 곡선은 2차원 스킴으로 여길 수 있다. 일반화 리만 가설은 이렇게 1차원적인 추측이다. 2차원, 구체적으로 대수적 수체 위의 타원 곡선의 산술 제타 함수에 대한 어떤 명제가 일반화 리만 가설을 사실상 함의하며, 반대로 일반화 리만 가설은 이 명제를 함의한다.
1948년에 투란 팔은 어떤 특정 디리클레 지표에 대한 추측이 리만 가설을 함의함을 증명하였다. 그러나 이 추측은 거짓인 것으로 판명되었다.
루이 드 브랑주()는 1990년에 특정한 전해석 함수들의 힐베르트 공간의 특정한 성질로부터 리만 가설을 유추할 수 있음을 보였다. 그러나 이 성질은 사실 거짓임이 증명되었다.
2001년 미국 클레이 수학연구소가 7개의 밀레니엄 문제 가운데의 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸었다. 2004년에는 퍼듀 대학교 수학 교수인 루이 드 브랑주()가 인터넷에 23페이지 리만 가설의 증명을 올렸다. 하지만 한달 뒤, 드 브랑주의 증명을 검토하던 클레이 수학 연구소에서 드 브랑주의 논문의 오류를 발견하였다. 그는 2016년 1월까지 리만 가설의 증명을 발표했으나 성공하진 못했다.
영점의 계산.
현재까지 계산된 리만 제타 함수의 영점들의 수는 다음과 같다. 비교적 작은 영점들의 값은 출판된 표에서 찾아볼 수 있다.
이 밖에도, 앤드루 오들리츠코()는 많은 수들의 매우 큰 영점들의 위치를 계산하였다. 그 영점들의 허수부 목록은 오들리즈코의 사이트인
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/
에 들어 있다.
수론에서 약수(約數, ) 또는 인수(因數, , 전 용어: 승자)는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.
두 정수 formula_1, formula_2에 대하여 formula_3를 만족하는 정수 formula_4가 존재한다면, formula_1를 formula_2의 약수라고 하며, 이를 formula_7와 같이 표기한다.
모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 formula_8에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
정수 formula_8의 약수 가운데 1, -1, formula_8, formula_15을 formula_8의 자명 약수()라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수()라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수()라고 한다.
어떤 수의 배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 0이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 formula_19에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).
두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 formula_24의 최대 공약수를 formula_25라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 formula_24가 formula_27을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을 formula_28라고 표기하자. 이는 정수의 집합 formula_29의 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.
약수의 개수는 소인수분해의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 소인수가 곱해진 지수의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 소인수분해는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.
각 정수 formula_8에 양의 약수의 개수 formula_38을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 formula_39을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
임의의 환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 formula_62에서,
언어적 의미.
무한(無限, infinity)은 '수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음'을 가리킨다. 이에 대해 수학에서는 '집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음'으로 표현하기도하며 철학에서는 '시간이나 공간의 내부 부분이 한계가 있음에 대하여 선천적인 시간이나 공간 그 자체를 이르는 말'로 언급되기도 한다.
수학에서의 의미.
수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다. 무한은 기수와 서수를 뜻한다.
실해석학에서의 무한.
주어진 수열 formula_1에 대하여, 아무리 큰 수 formula_2를 고르더라도 formula_3이 모두 formula_2보다 커지는 그러한 formula_5을 찾을 수 있다면, 수열 formula_6은 "무한대로 발산한다"고 하고 기호 formula_7를 써서 나타낸다.
이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 실수체(real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 formula_8를 포함시켜 콤팩트 집합의 성질을 갖도록 한 확장된 실수에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다.
이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.또는 무한(infinity)이라고 한다. formula_10
발산의 무한formula_11
극한의 수렴의 무한
이것은 0.999...에 자세히 나와 있다.
사칙연산.
1÷3의 무한
1÷3=0.33333333333333...
원주율의 무한.
(원주)÷(지름)=3.1415926535897932...등으로 끝없이 이어진다.따라서 3 또는 3.14로 줄여쓴다.
등가원리(equivalence principles)는 일반상대성이론의 기본 원리이다. 자세한 내용은 일반상대성이론 문서
물리학에서 등가원리(equivalence principle)는 '중력 질량과 관성 질량이 같음'을 다는 것과 연관된 몇가지 개념을 소개한다. 그리고 (지구와 같은)거대한 질량에 서 있을 때 국부적으로 느끼는 중력은 실제로비관성계(가속되는)의 관측자가 경험하는 가상의 힘과 같다고 아인슈타인은 주장한다. 중력 질량은 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙에 의해 힘을 작용하는 양이고, 관성 질량은 운동 제2법칙에 의해 정의되는 가속에 대한 저항이다. 이 둘이 선험적으로 같아야 할 이유는 없지만, 이들이 놀랍게도 아주 똑같은 값을 갖는다. 그 이유에 대해서 아인슈타인은 일반 상대성이론에서 이 둘을 완전히 같은 물리적 개념이라는 논리로 설명한다.
서로 다른 물체가 지상에서 똑같은 가속도로 떨어진다는 것을 가장 처음 보인 사람은 갈릴레오 갈릴레이이다. 갈릴레이는 중력에 의한 질량의 가속도 실험으로 물체가 가속되는 양은 질량의 양과는 상관없음을 보였다. 이 발견은 관성 질량과 중력 질량이 같다는 중력 이론을 이끌어냈다.
등가원리는 1907년에 아인슈타인에 의해서 확립되어 소개되었다. 그는 1g(g=9.81m/s²지구 표면에서의 표준적으로 사용되는 중력가속도)의 비율로 지구 중심 방향으로 향하는 물체의 가속도는 1g의 비율로 자유 공간으로 가속되는 로켓에서 관측되는 관성적으로 움직이는 물체의 가속도와 동등하다는 것을 관측하였다. 아인슈타인은 이를 통해
서로 다른 물체가 지상에서 똑같은 가속도로 떨어진다는 것을 가장 처음 보인 사람은 갈릴레오갈릴레이이다. 그는 피사의 사탑 꼭대기에서 같은 크기의 나무공과 쇠공을 떨어뜨려, 두 공이 바닥에 떨어지는 것을 증명하였다고 한다. 물론 갈릴레이가 피사의 사탑 실험에서 중력 질량과 관성 질량이 같은지를 조사한 것은 아니다. 당시에는 아리스토텔레스의 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어진다는 주장을 사람들이 그대로 믿고 있었기 때문에, 갈릴레이는 아리스토텔레스의 주장이 얼토당토하다는 것을 증명하기 위해서 이 실험을 하였고, 그의 뜻대로 성공하였다. 그러나 갈릴레이가 문제를 해결하였다기보다는 더 중요한 문제를 제기하였다고 말하는 편이 더 옳다. 무거운 물체와 가벼운 물체가 동시에 떨어진 것은 물체의 중력 질량과 관성 질량이 같기 때문인데, 왜 그들이 같아야 하는지 알 수 없었던 것이다.
관성 질량과 중력 질량이 과연 어느 정도로 같은 것인가라는 의문은 중요한 문제였기 때문에 사람들은 점점 더 정밀한 실험을 통하여 이를 확인하였다. 1969년 7월에 최초로 달 착륙에 성공한 아폴로 11호 우주인들은 달 표면에서 햄머와 새털을 떨어뜨렸는데 이들이 동시에 떨어지는 것을 확인하려고 노력하였다. 지상에서 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어지는 것을 볼 수가 있는데, 그것은 공기 때문이다. 달 표면에는 공기가 희박하기 때문에 갈릴레이 낙하 실험을 하는데 아주 좋은 환경을 가지고 있었던 것이다. 사람들은 계속하여 훨씬 더 정밀한 갈릴레이 실험을 추구하였다.(관성 질량과 중력 질량이 같은지를 확인하는 실험을 갈릴레이 실험이라 부른다.)
헝가리에서 출생한 외트뵈시 로란드는 1889년에 비틀림 천칭을 이용하였다. 물체의 중력 질량에 작용하는 지구에 의한 중력과 물체의 관성 질량에 작용하는 지구 자전에 의한 원심력에 의한 효과를 비교한 것이었다. 두 물체에 중력의 효과와 원심력의 효과가 다르게 작용한다면, 천칭의 양쪽에 놓은 두 물체를 바꾸어 놓았을 때 천칭의 기울기가 두 물체를 바꾸기 전과 달라질 것이라고 생각하였다. 이 실험을 통하여 외트뵈시는 중력 질량과 관성 질량이 종전에 알려진 6만분의 1의 정확도에서 훨씬 개선된 2천만분의 1의 정확도로 같다는 것을 증명하였다. 외트뵈시는 그 이후에도 실험을 꾸준히 개선하여 1919년 사망하기 전까지 관성 질량과 중력 질량이 20억분의 1의 정확도로 같다는 것을 보였다.
미국에서 출생한 로버트 헨리 디키는 외트뵈시의 실험을 개선하였다. 그는 지구의 자전에 의한 원심력을 이용하는 대신에 지구의 공전 운동에 의한 원심력을 이용하는 방법으로 정확도를 훨씬 더 개선할 수 있었다. 그리하여 로버트 헨리 디키는 1960년대에 중력 질량과 관성 질량이 1000억분의 1의 정확도로 같다는 것을 증명하였다.
이처럼 중력 질량과 관성 질량이 정확히 같다는 사실은 고전물리학 이론으로는 설명될 수가 없었다. 중력 질량은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해서 중력을 결정하는 역할을 하고, 관성 질량은 뉴턴의 운동 법칙에 의해서 물체의 가속도를 결정하는 역할을 하는데, 이 두가지 법칙이 아무런 상관이 없기 때문이다.
아인슈타인이 특수상대성이론에서 일반상대성이론으로 확장하려고 시도했을 때, 그것은 쉬운 문제가 아니었다. 그리고 곧 일반상대성이론을 위하여 관성계를 비관성계로 확장하는데 중력 질량과 관성 질량 사이의 관계가 직접 관련이 있음을 깨달았다. 즉 중력 질량과 관성 질량이 똑같이 측정되는 것은 그들 사이에 보다 더 근본적인 관계가 존재하기 때문이라고 보았다. 이 문제를 해결하기 위하여 아인슈타인은 사고 실험을 수행하였다. 같은 두 우주선 A와 B가 있다. 우주선 A는 지상에서 발사 준비를 하고 있다. 그리고 우주선 B는 광대한 우주 공간에서 일정한 가속도 g로 등가속도 운동을 계속하고 있다. 이러한 두 우주선에서 물체를 떨어뜨리면 두 우주선 모두에서 물체는 똑같은 가속도 g로 낙하하는 것을 관찰하게 된다. 그런데 만일 두 우주선의 창이 모두 가려져 있어서 우주선 내에서는 자신의 우주선이 지상에 정지해 있는지 아니면 우주 공간에서 일정한 가속도 g로 등가속도 운동을 계속하고 있는지 모른다고 가정할 때, 우주선 내에서 실험하는 사람은 물체가 가속도 g로 낙하하는 것을 보고서 우주선이 지구에 정지해 있는 것인지 아니면 우주선이 우주 공간을가속도 g로 등속도 운동을 하고 있는 것인지 구별할 방법이 없다.
이 사고 실험은 단지 물체의 낙하운동에만 적용되는 것이 아니다. 어떤 다른 역학적 실험을 수행하더라도, 두 경우 즉 우주선이 지상에 정지해 있는 경우와 우주 공간에서 가속도 g로 등가속도 운동을 하는 경우, 역학 실험의 결과만 가지고는 실제로 어떤 경우에 해당하는지 구별해 낼 방법이 존재하지 않는다. 지구에 정지해 있는 우주선에서 물체가 가속도 g로 낙하하는 것은 물체에 중력이 작용하기 때문이다. 그리고 중력은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해서 질량과 질량 사이에 작용하는 힘이다. 한편, 가속도 운동을 하는 우주선에서 물체가 가속도 g로 낙하하는 것은, 우주선이라는 비관성계에서 설명하자면 관성력을 받기 때문이라고 말할 수 있다. 그러므로 이 사고 실험의 결과를 가지고, 혹시 중력도 관성력의 일종이 아닐까하고 아인슈타인은 생각하였고, 이를 정리하여 '균일한 중력장 아래서 기술되는 물리법칙은 그 중력장에 해당하는 등가속도 운동을 하는 기준계에서 기술되는 물리법칙과 동일하다'고 1907년에 발표하였다.
아인슈타인이 일반 상대성 이론의 근거의 하나로 삼았다. 가속되는 좌표계에서의 자연법칙은 중력장 안에서의 법칙과 동일하다는 것이 등가원리이다. 예를 들면 엘리베이터가 가속됨에 따라 엘리베이터 안의 물체의 무게는 가벼워지거나 무거워진다. 이때 엘리베이터의 가속에 의한 무게의 변화와 중력의 변화에 의한 무게의 변화를 구분할 수는 없다.
아인슈타인은 등가원리를 이용해 빛 또한 중력의 영향을 받는다는 결론을 제시했다. 만약 위쪽으로 가속되는 로켓 안에서 손전등을 비추면, 그 광선은 바닥으로 휠 것이다. 그 이유는 빛의 속도는 일정하고, 광선이 로켓 내부를 통과하는 시간 동안 로켓이 위쪽으로 가속되기 때문이다. 가속에 의한 효과와 중력에 의한 효과는 같으므로 빛은 중력에 의해서도 휠 것이라고 예측할 수 있다. 그리고 이는 중력렌즈 효과의 관측으로 증명되었다.
지구 표면 근처의 물체는 모두 같은 가속도(중력가속도 g)로 낙하하는데, 뉴턴의 운동법칙과 만유인력의 법칙으로부터 (관성질량)×(가속도) = (중력) = (중력질량)×g이다. 따라서 관성질량과 중력질량은 같다.
헝가리의 외트뵈시 로란드는 1896년 실험을 통하여 관성질량과 중력질량이 비례한다는 사실을 밝혀냈다. 이는 단위를 적당히 선택하면 양자는 똑같은 것으로 생각해도 된다는 것을 의미한다. 결국 중력이 없는 공간에서 관측자가 가속도 g로 운동하는 경우와 중력가속도 g에 해당하는 중력이 있는 경우는 구분할 수 없다
물리학에서 장력(tension, )은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 적분한 양이 된다. 질량이 없는 경우 장력은 모든 끈에 균일하다. 장력은 언제나 끈의 방향과 나란하다. 보통의 일반역학에서 대부분 장력을 계산할 때, 끈의 무게는 무시할만큼 작다고 가정한다.
원자수준에서 원자나 분자는 전자기적 인력을 갖는데, 원자나 전자를 잡아당겨 멀어지게 하면 전자기 퍼텐셜 에너지를 갖게되며, 이는 곧 장력을 만들어낸다. 장력은 줄이나 막대의 늘어난 길이를 복구시키기 위해 서로 붙어있는 물체를 잡아당기게 한다
장력은 줄이나 물체의 끝부분에서 그 줄이나 막대에 연결되어있는 물체에 대해 연결부에서 줄의 방향으로 힘을 가한다. 줄에 연결된 물체의 계에서는 두가지의 기초적 가능성이 존재한다. 가속도가 0이여서 계가 평형상태에 있거나, 가속도가 있지만 계의 알짜힘은 일정한 경우이다.
장력은 음의값이 아닌 벡터값이다. 장력이 없다면 늘어진 상태인 것이다. 실이나 줄을 질량이 없지만 길이는 있는 1차원 물체라고 이상화해보자. 만약 실이 굽지 않을경우 장력은 실의 모든부분에서 일정하며, 실의 양 끝에서 작용하는 힘의 크기는 동일하다. 뉴턴 제3법칙에 따라 이 힘들은 실과 붙어있는 물체에서 실에 가해지는 힘의 크기와 같다. 만약 실이 도르레에 걸려있을 경우, 도르레가 질량과 마찰력이 없는 이상적 상황이라면, 실에 작용하는 장력의 크기는 동일할 것이다. 끈이 진동할 때 진동수는 끈의 장력에 의존한다. 진동수는 뉴턴법칙을 통해 이끌어 낼 수 있다. 줄의 미세한 부분들은 각각 이웃한 부분들과 서로 잡아당기며 힘의 크기는 줄의 위치에 관계없이 동일하다. 위치 formula_1에 따른 장력의 크기는 formula_2이다.
만약 실이 굽어있을 경우 두 이웃한 부분에서 서로 잡아당기는 힘의 크기는 합해서 0이 되지 않을것이다. 따라서 실의 부분에는 알짜힘이 가해지며 가속도가 생기게 된다. 이 알짜힘은 복원력이며, 스튀름-리우빌 이론에 따르면 실의 움직임은 횡파이며, 다음의 방정식으로 해를 구할 수 있다.
formula_4는 단위길이당 힘, formula_5는 실의 가로성분 변위 formula_6에 따른 고유 공명값이다. 여러 풀이들은 현악기의 여러 화음들을 나타낸다.
막대나 트러스같은 3차원 연속체의 끝부분에서 가해지는 힘을 표현할때도 장력을 이용한다. 막대를 늘리거나 할 때 이를 이용한다. 힘 또는 단위 단면적당 힘에 대해 늘어난 정도를 계산할 경우 잘 안될 것이므로, 공학을 목적으로는 장력보다는 변형력 = 축방향력/단면적으로 계산하는 것이 더 나을 것이다. 변형력은 텐서의 3x3행렬이며, 변형력 텐서의 성분 formula_7 은 단위면적당 인장력이다(또는 단위면적당 압축력인데, 막대가 늘어나는 경우가 아닌 압축되는 경우에는 이 성분을 이용해서 음수를 나타낸다).
평형상태의 계.
예를 들어, 계 내에 수직한 방향으로 등속으로 낙하하는 물체에 장력 T의 실이 걸려있다고 생각해보자. 계는 일정한 속도를 가지며, 물체를 위로 잡아당기는 장력의 크기와 아래로 잡아당기는 중력의 크기가 같으므로 평형상태에 있다고 할 수 있다.
알짜힘이 존재하는 계.
가해진 힘이 균형을 이루지 못해 계 내에 알짜힘이 존재할 경우, 힘의 합력은 0이 아니다. 알짜힘과 가속도는 함께 존재한다.
예를 들어, 위의 상황과 같지만 물체가 양(+)의 가속도를 가지며 아래방향으로 속도가 점점 증가한다고 가정해 보자. 이 상황에서 물체에는 알짜힘이 가해지며, 다음과 같다.
다른 예로는 두 물체 A, B가 각각 m1, m2의 질량을 가진다고 가정해 보자. 두 물체는 서로 실로 연결되어 있으며, 실은 늘어나지 않고 마찰력이 없고 굽혀지지 않는다. 물체 A에는 위로 잡아당기는 장력 formula_12 와, 아래로 잡아당기는 무게 (formula_13)의 두 힘이 작용한다. 따라서 A에 작용하는 알짜힘은 formula_14 이므로 formula_15이다.
현대 물리학에서 실.
특수 상대성 이론에서 실같이 생긴 물체(쿼크 사이의 상호작용에 쓰이는 실 모델이나, 끈 이론의 끝 같은)들은 장력을 가진다. 이 끈(실)들은 끈들의 세계면에 의해 분석되고, 에너지는 보통 끈의 길이에 비례한다. 장력은 끈의 늘어난 정도에 무관하다.
수채화(水彩畵, watercolor painting)는 서양화에서 수채 물감을 안료로 쓴 그림이다. 물을 많이 쓰느냐의 여부로 투명 수채화와 불투명 수채화로 나눈다. 과슈와 아크릴 물감도 수채화 물감의 일종이다.
수채화는 종이의 발명 이후 시작되었다. 수채화는 젖은 회벽에 그림을 그리는 프레스코화에서 유래되었다. 프레스코화에 쓰이는 템페라 물감은 물을 타서 쓰는 수채화 물감의 한 종류이다. 유럽에서는 르네상스 화가 라파엘로(1483년 - 1520년)가 테피스트리 그림을 그리기 위해 사전 작업에 수채화를 이용하였다. 15세기 독일에서는 알브레히트 뒤러(1471년-1528년)의 수채화 작품이 유명하다.
뫼비우스의 띠()는 위상수학적인 곡면으로, 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형이다. 안과 밖의 구별이 없는 대표적인 도형으로서 비가향적(non-orientable)이다. 1858년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 서로 독립적으로 발견했다.
모형은 종이 띠를 절반 만큼 비틀어 끝을 붙이는 것으로 간단하게 만들 수 있다. 사실 유클리드 공간에서는 어느 쪽으로 비트느냐에 따라 두 종류의 뫼비우스 띠가 존재한다. 따라서 뫼비우스의 띠는 키랄성(Chirality; 실제상과 거울상이 겹치지 않은 구조의 성질, 즉 회전반사대칭이 없는 구조의 입체적 성질)을 띤다.
뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가진다. 어느 지점에서 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 반대면에 도달할 수 있다. 이 상황에서 계속 나아가면 두 바퀴를 돌아 처음 위치로 돌아오게 된다. 이러한 연속성에 의해 뫼비우스 띠는 단일 경계를 가지게 된다.
띠의 중심을 따라 뫼비우스 띠를 자르면 두 개의 띠로 분리되는 것이 아니라, 단일한 두 번 꼬인 띠가 된다. 이것은 뫼비우스의 띠가 단일한 경계를 가지기 때문인데, 자르기를 하면 두 번째 경계가 생겨나는 것이다.
1번 비튼 띠 (1번 비튼 띠=180°회전시킨 띠)
-2등분시 = 4번 비튼 띠 (1개)
-3등분시 = 4번 비튼 큰 띠(=두번 꼬인 띠) 1개, 1번 비튼 띠(1개)가 연결되어 있다.
2번 비튼 띠
-2등분시 = 2번 비튼 띠 (2개)
-3등분시 = 2번 비튼 띠 (3개)
3번 비튼 띠
-2등분시 = 8번 비튼 띠 (1개)
-3등분시 = 8번 비튼 큰 띠(1개), 3번 꼬인 띠 (1개)
4번 비튼 띠
-2등분시 = 4번 비튼 띠(2개)
-3등분시 = 4번 비튼 띠(3개)
기하학과 위상수학.
formula_1 상에서 뫼비우스의 띠를 매개변수로 표현하는(parametrization) 한 가지 방법을 예시하면 다음과 같다.
이 때, formula_5이다. 이것은 "xy"평면 위에 있는 반지름이 1인 중심원 위에 놓인 너비가 1인 뫼비우스 띠를 만든다. 변수 "u"는 뫼비우스의 띠를 돌고, "v"는 모서리 사이를 움직인다.
위상수학에서 뫼비우스의 띠는 우측 다이어그램과 같이, 정사각형 [0,1] × [0,1]에서 위쪽 모서리와 아래쪽 모서리가 0 ≤ x ≤ 1에서 (x, 0) ~ (1 − x, 1)로 동치 관계(Equivalence relation)를 주어서 정의한다.
뫼비우스의 띠는 경계를 가지는 2차원 콤팩트 다양체(compact manifold with boundary)이다. 또한 비가향적(non-oriantable)인 곡면으로 가장 유명한 예가 된다.
관련 대상.
기하학적 대상으로서 클라인 병과 매우 연관이 깊다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠의 경계를 붙여서 만든다. 물론 보통의 3차원 유클리드 공간에서는 불가능한 작업이다.
다른 기하학적인 대상으로는 실수 사영 평면이 있다. 원판(disk)의 경계를 따라 뫼비우스의 띠의 경계를 붙이면 실수 사영 평면을 얻는다.
그리스어는 네덜란드의 인문학자이자 신약성서 번역자인 에라스무스를 기점으로 고대 그리스어(Ἑλληνικὴ γλῶσσα)와 현대 그리스어로 나눈다. 고대 그리스어는 악센트와 방점을 찍으며, 글자의 음가와 문법, 단어 의미, 사용방법이 현대 그리스어와 다르다.
고대 그리스인들은 스스로를 "헬라스"인()이라 불렀기 때문에 고대 그리스어를 헬라스어 또는 헬라어라고도 하며, 헬라어의 한자 음역인 희랍어(希臘語)로 불리기도 한다. 한국어권에서는 신약성서를 쓴 언어를 '헬라어'라고 하는데 코이네 그리스어의 약칭으로 사용된다. 엄밀하게 말하면 기원전 300년에서 기원후 300년까지 헬레니즘 사회가 구축되어 헬레니즘 권역에서 일반적으로 널리 쓰인 일반적 헬라어였던 코이네 헬라어를 지칭한다.
주요 방언 집단으로는 아티케 그리스어, 이오니아 그리스어, 아이올리스 그리스어, 아르카디아-퀴프로스 그리스어와 도리아 그리스어가 있으며 이들 방언 가운데 대부분은 다시 세부 방언으로 나누어진다. 몇몇 방언들은 고대 그리스 문학에서 볼 수 있듯이 표준화된 문어체를 갖고 있는 반면, 다른 방언들은 오직 비문에서만 확인할 수 있다.
또한 고대 그리스어는 역사적인 변천을 보이는데, 호메로스 그리스어는 고졸기 그리스어의 문어체이며 이오니아와 아이올리스 방언에서 주로 기원하였고 호메로스의 서사시, 일리아스와 오디세이아 뿐만 아니라 후의 다른 작가들이 쓴 시에서도 사용되었다. 호메로스 그리스어는 고전 아티카 방언이나 다른 고전시 방언과는 문법과 발음에 있어서 큰 차이를 보인다.
그리스어파 언어들의 발전 과정과 초기 형태, 기원은 잘 파악되지 않고 있는데, 그 당시에 쓰인 흔적들이 부족하기 때문이다. 그리스어파 방언 집단이 아마도 과거에 널리 쓰였을 원시인구어와 고전 시대의 초창기 그리스어 구어(口語)를 기점으로 존재했다는 몇몇 가설들이 있다.
고대 그리스어 음소 일람.
은 연구개음(velar) 앞에서 사용되는 의 이음(allophone)으로, 비음(nasal) 앞에서는 의 변이음(allophone)으로 발생한다. 은 아마도 단어 첫 글자(로 표기)에서는 무성음이었을 것이다. 는 유성자음 앞에서는 로 동화되었다.
는 아마도 기원전 4세기쯤에 로 상승했다.
진공(眞空, )은 직관적으로 아무것도 존재하지 않는 상태를 의미한다. 또한 진공은 0이 수학에서 무를 나타내듯이, 형이상학적 개념인 무(無)가 물리적인 현실 세계 속에서 드러난 모습으로 보기도 한다.
역사 속의 진공.
그리스 철학자들은 원자설을 바탕으로 빈 공간과 진공의 존재성에 대해 많은 토론을 했다. 특히 플라톤은 진공이라는 개념을 상당히 추상적인 개념으로 보고 많은 사람들에게 알렸지만, 진공의 추상적인 개념은 실질적이지 못하다는 이유 때문에 한계를 맞게된다. 이것은 의미나 느낌으로 이해할 수가 없었고, 물리적 부피이외에는 그에 대해 더 이상의 설명을 할 수 없었다. 아리스토텔레스는 밀도가 높은 주의의 물질의 연속체들이 신속하게 초기의 희박함을 채울 것이기 때문에 자연적으로 진공이 생길 수 없다고 믿었다. 그의 저서 "Physics" 중 4번째 책을 보면 아리스토텔레스는 진공에 대해 여러 가지를 주장을 했다는 것을 알 수 있다. 그는 저항이 없는 매질을 통과하는 움직임은 움직임이 중간에 멈춰야 할 이유가 없기 때문에 끊임없이 계속되어야 한다고 말했다. 루크레티우스는 기원전 1세기에 진공의 존재성에 대해 논했고, 헤론은 1세기에 직접 진공을 만들려고 노력했지만 실패했다.
10세기.
중세의 중앙아시아에서, 이슬람 물리학자 알 파라비(Al-Farab)(Alpharabius, 872-950)는 진공에 관한 작은 실험을 했다. 그는 물 위에서 뜬 플런저를 관찰했는데 결론적으로, 공기의 부피는 가능한 공간을 모두 채울 수 있게 확장할 수 있다고 주장했다. 그래서 그는 완벽한 진공에 대한 개념은 모순이라고 주장했다. 그러나 Nader El-Bizri과 물리학자 이븐 알 하이탐 (Alhazen, 965-1039), 그리고 신학자 Mu'tazili는 아리스토텔레스와 알파라비의 주장에 대해 반대했고, 그들은 진공의 존재를 주장했다. 기하학을 사용해서, Ibn al-Haytham은 수학적으로 공간은 본체를 포함한 안쪽면 사이에 있는 3차원 빈 공간이라는 것을 증명했다. Ahmad Dallal에 의해, Abū Rayhān al-Bīrūnī 또한 “ 진공의 가능성을 배제하는 증거는 찾을 수 없다”(there is no observable evidence that rules out the possibility of vacuum)라고 말했다." 흡입 펌프는 나중에 15세기 유럽에서 만들어졌다.
13세기 14세기.
베이컨, 블라시우스, 월터 벌리 등의 유럽의 13, 14세기 학자들은 진공과 관련된 이슈들에 상당한 관심을 가졌다. 예를 들어, 스토아 학파를 보면, 14세기의 학자들은 아리스토텔레스 진공은 연속적이어서 생길 수가 없다는 관점을 벗어났다는 것을 알 수 있다. 이러한 진공에 대한 생각들은 후에 17세기에 진공에 대한 자연적 관심과 이론적 관심들을 분리시키는데 도움을 주었다.
17세기.
최초로 실험실에서 진공상태를 유지할 수 있게 해 주는 장비는 토리첼리의 수은 기압계였다. 중세에는 두 판 사이를 빨리 떨어뜨리면, 순간적으로 진공이 만들어진다고 생각했다. 이에 대한 토론이 많았는데, 두 판 사이가 진공이 된다고 주장하는 사람이 있는 반면, 공기가 충분히 빠르게 빈 공간을 채워서 진공이 안 생긴다고 주장하는 사람도 있었다.
르네 데카르트는 블레즈 파스칼에게 기압계를 산 위에 가져가보라고 조언을 해준 적이 있다. 하지만 데카르트는 토리첼리의 수은 기둥 실험에서 수은 위의 빈 공간이 진공이라는 생각을 받아들이지 않았다. 그가 가지고 있던 생각의 주는 공간 사이엔 진공 상태가 되려고 하는 것을 방해하는 다른 미세한 성분들이 존재한다는 것이었다. 실제로 파스칼을 대신하여 파스칼의 처남이 기압계를 들고 산을 올라가보았고, 점점 올라갈 수록 대기가 엷어져서 점점 진공이 되간다고 결론을 내렸다. 이에 반해, 데카르트는 그 미세한 성분들이 대기 너머에까지 우주 전체에 골고루 존재하기 때문에 이 세상에 어디에서도 진공은 찾을 수 없다고 주장했다. 데카르트는 자신의 주장으로 보편 유체라는 미세한 입자들이 우주 전체에 퍼져있고 우주 속에서 행성들이 보편 유체의 소용돌이에 의해서 다른 곳으로 운반 즉 움직인다는 소용돌이이론을 제시한다. 지구를 포함한 여러 행성들이 움직일 수 있는 것은 지구를 중심으로 감싸고 있는 유체들의 소용돌이라고 설명하였다. 데카르트는 이러한 이론을 제시할 정도로 진공의 개념을 혐오했다고 볼 수 있다.
1654년, 오토 폰 게리케는 첫 진공펌프를 발명했다. 그리고 그는 마그데부르크 반구에 대한 실험을 했다.
하위헌스는 파동 이론으로 많이 알려져 있지만, 그는 진공 연구에 있어서도 많은 진전을 일궈내었다. 그는 최초로 현실적인 보급가능한 진공펌프를 개발하는데 성공한다.
로버트 보일은 이 디자인을 발전시켜 연구했다. 그 뒤 1850년까지 부분 진공에 대한 연구가 진전이 없다가 그 이후 도플러가 도플러 펌프를 발명하고, 하인리히 게이슬러가 수은 펌프를 1855년에 발명했다. 이는 10 Pa에 해당하는 부분 진공을 가졌다. 그 후에 그전까지는 대기상에서 진행되었던 전기실험들을 진공 상태에서 행할 수 있게 되었고, 이는 이후에 오는 과학 혁명에 큰 기여를 했다.
마이컬슨과 몰리는 지구의 공전방향으로 줄지어 세운 거울과 그 것과는 직각을 이루며 세워진 거울들 사이로 광선이 지나가게 하였고,거울 사이를 튕겨져 나온 빛들을 다시 간섭현상을 일으키게 하여 과연 간섭무늬가 생기는지를 관찰하였다. 사실 그전까지 우주 공간을 에테르가 채우고 있다고 생각하였기 때문에, 또한 지구에 대한 빛의 상대속도가 있기 때문에 간섭이 일어나는 것이 정상적인 현상이 된다. 하지만 결과적으로 간섭현상이 일어나지 않았고, 우주 공간이 에테르로 채워져 있다는 과거의 가설에 의문을 품게 된다.
조지 피츠제럴드는 지구 전체가 운동방향으로 약간씩 수축된다면 마이컬슨-몰리의 실험을 해석할 수 있다고 생각하였다. 이것을 수식적으로 헨드릭 로런츠가 로런츠 변환식을 통해서 정리하였다. 이러한 수축 효과를 로런츠-피츠제럴드 수축이라고 하고 이들은 우주 공간의 에테르의 존재 가능성을 부정하였다.
1930년, 폴 디랙은 우주공간에는 무한히 많이 존재하는 전자들이 무한히 많은 음의 에너지의 상태들 중에서 일부 상태들에만 채워져 있는 것이 아닌 각각 상태들마다 한개씩 또한 하나도 남김없이 채우고 있다고 생각했다. 바닷물이 바다를 채우고 있듯이 전자들이 온 우주의 음의 에너지 상태에 채워져 있기에 이것을 ‘디랙의 바다’라고 부른다. 이 이론은 디랙 방정식에 대한 추측들 즉,
을 잘 따르게 된다.
모든 음의 에너지의 상태를 전자들이 가득 메우고 있게되면 우주의 에너지는 음의 무한대가 되어버리기 때문에 최저 상태가 될 수 있게 된다. 이러한 상태를 디랙은 진공이라고 생각했다. 더나아가 디랙은 우리가 지금까지 알고 있던 전자를 우주 공간에 무수히 많은 음의 에너지 상태를 전자를 다 메우고도 남는 전자들이라고 설명했으며, 이런 전자들이 여러개가 존재하면 그 때 원자와 분자들을 전자가 구성하게 되는 것이라고 설명하였다. 고로 완벽한 진공이란 음의 에너지의 상태에 전자가 하나씩 들어가 있고 남는 전자가 없는 아주 이상적인 것으로 설명하였다.
진공의 의미.
서양철학의 진공.
아리스토텔레스는 매질이 없으면 물체의 속도가 무한해져서 모순이 발생할 것이기 때문에 진공이 존재할 수 없다고 주장했다. 르네 데카르트 역시 진공이 존재할 수 없다고 주장했다. 보일과 홉스는 진공의 존재성에 대한 논쟁을 한참동안 벌인 적이 있다.
이론물리학의 진공.
이론물리학에서 진공은 에너지가 0인 상태를 뜻한다. 에너지가 0이 아니지만 진공과 비슷한 성질을 가진 상태를 가짜 진공(false vacuum)이라 부른다.
물리학의 양자 마당 이론에서의 진공은 매질이다. 하이젠베르크의 불확정성 원리에 의해 아주 짧은 시간 동안 에너지의 요동이 있어 입자가 쌍생성되고 쌍소멸한다. 이때 지나가는 빛은 영향을 받는다.
실험과학의 진공.
고전적인 전자기파의 관점에서, 진공은 전자기파의 효과가 일어나는 표준이 되는 매질이라고 생각한다. 몇몇의 과학자들은 이 표준을 고전 진공이라고도 한다.
-전자기파가 SI 단위계에서 빛의 속력 299,792,458 m/s로 움직인다.
-파동의 중첩원리가 성립한다. 예를 들자면, 두 전하에 의해 생긴 전기 포텐셜은 각각의 전하에 의해 생긴 전기 포텐셜의 정확한 합으로 나타난다. 다시 말해, 어떠한 지점에서의 전기 포텐셜은 각각 전하에 의해 생긴 그 점에서의 전기포텐셜의 벡터 합으로 생각할 수 있는 것이다.
참고로 유전율과 투자율이란 전자기파가 지나는 매질의 특성으로 전자기장이 매질에게 영향을 미칠 때 매질의 반응을 나타내는 척도이다. 일반적으로 전기장이 어떤 매질을 통과할 때 전기장에 의해 매질을 이루는 분자들에 분극현상이 일어나게 되어 매질 내에서 전기장의 세기는 외부에서 준 전기장의 세기보다 작다. 이 때 분극 현상에 의한 전기장과 외부에서 걸어준 전기장의 크기를 이용해서 나오는 전기장의 벡터를 D(r,t)라고 하면 아래와 같이 된다.
즉 다음과 같이 된다.
"Z"0 ≈ 376.73 Ω
진공의 측정.
음극선 실험과 진공.
음극선관을 처음으로 연구하기 시작한 사람은 패러데이이다. 19세기말에 높은 전압을 유리관의 각 끝에 있는 금속판에 걸게 되면 유리관 안에 방전현상이 일어나고 번쩍거리는 현상을 발견하였다. 이 사실은 당시에 엄청난 과학적 관심을 불러일으켰었다. 양극판 사이에 흐르는 방전효과라고 과학자들은 보고 그 현상을 '음극선'이라고 명명하였다. 이러한 음극선은 유리관안에 공기가 많이 들어있으면 방해를 받아 잘 흐르지 못했다. 그리하여 과학자들이 유리관 안의 공기를 진공펌프를 이용하여 빼내었고 그것이 음극선관의 시초이다. 진공기술이 좋지 않았던 초기의 음극선관은 성능이 좋지 않았다. 독일의 유리 기구 제작자이며 엔지니어였던 가이슬러가 비로소 진공 기술을 높인 음극선관을 만들어 음극선관을 만들었고 이를 가이슬러관이라고 부르게 되었다. 가이슬러관이 발명되어서 비로소 음극선의 흐름이 제대로 관찰될 수 있었다. 이후에 영국의 크룩스가 가이슬러관의 진공도보다 더 높은 진공도를 갖는 음극선관을 개발하였는데 이를 크룩스관이라고 부른다.
과학자들은 이후에 이러한 음극선관을 이용하여 음극선이 과연 전하의 흐름인가에 대한 해답을 제시할 수 있는 여러 가지 실험을 하였다. 먼저 헤르츠가 1880년대 실험을 해보았고 음극선이 전하의 흐름이 아니라고 결론지었다. 그 이유는 음극선에 전기장을 걸어주었을 때 음극선이 편향되지 않았었기 때문이었다. 하지만 이 결론 역시 음극선관의 진공도가 좋지 않았기 때문이었다. 그 이후에 톰슨은 입자의 빔이 맞다는 사실을 실험으로 보여주게 된다.
앞서 말했듯이 톰슨과 헤르츠의 실험의 차이는 바로 진공 기술의 차이였다. 사실 음극선 유리관 안에 기체가 많을수록 전기장에 효과가 줄어들었고 공기의 방해 때문에 전하의 편향효과를 관찰할 수 없었다. 하지만 톰슨은 관속에 남아있는 기체를 가능한 많이 제거하고자 장치의 열을 오랜시간동안 가하고 진공펌프를 오랫동안 가동시키는등 헤르츠가 하지 않은 방법으로 더 나은 진공을 만들어내었다. 실제로 톰슨은 헤르츠의 실험이 잘못되었음을 자신실험기구에서 헤르츠의 실험을 재연했을 때 편향효과가 일어나지 않음으로써 확인하였다.
진공의 질.
진공의 질은 그 계 안에 남아 있는 물질들의 양에 의해 결정된다. 그래서 높은 질의 진공계 안에는 아주 적은 양의 물질들만이 남아 있다. 진공은 주로 그 진공의 절대 압력으로 측정되지만 진공을 확실하게 특정 짓기 위해서는 온도나 화학적 구성 같은 다른 요소들도 측정되어야 한다. 가장 중요한 요소들 중 하나는 남아 있는 기체 분자들이 서로 부딪히기 전에 평균적으로 이동한 거리, 즉 평균 자유 경로(mean free path(MFP))이다. 기체의 밀도가 낮아질수록 평균 자유 경로의 값은 증가하며 평균 자유 경로의 값이 방, 펌프, 우주선 또는 진공이 있는 그 공간보다 길면 유체역학의 연속체 가정(continuum assumptions of fluid mechanics)이 성립하지 않는다. 이 진공의 상태를 고진공이라고 부르며, 이 공간을 흐르는 유체에 대한 연구를 기체 입자 역학(paticle gas dynamics)이라 한다.대기압에서의 공기의 평균 자유 경로는 70nm로 매우 짧으나 상온, 100mPa에서의 공기의 평균 자유 경로는 100mm 정도로 길다. 크룩스 방사계는 그 것들의 날개들의 길이가 평균 자유 경로보다 작을 때에 작동한다.
진공의 질은 진공을 만드는 기술이나 진공을 측정하는 기술에 의해 더 세분화된다. 이 범위는 전 세계적으로 정해진 것은 아니지만 보통의 분포는 다음을 따른다.
진공계.
진공은 압력의 단위로 측정되며, 보통 지구의 대기압에 대해 상대적으로 측정된다. 그러나 상대적으로 측정될 수 있는 진공의 양은 각 지역의 조건에 따라 다르다. 지구의 대기압보다 압력이 훨씬 높은 목성의 표면에서는 더 높은 진공 상대 측정이 가능할 것이다. 대기가 거의 없는 달의 표면에서는 그 지역의 환경에 대해 상대적으로 측정할 수 있는 진공을 만드는 것이 아주 힘들 것이다. 비슷하게, 지구의 깊은 바다에서는 보통보다 훨씬 높은 진공 측정이 가능하다.
정역학 진공계는 다른 압력에 노출되어 있는 액체의 기둥으로 구성되어 있다. 그 기둥은 각각의 끝 부분의 압력 차에 의해 그 무게가 평형을 이룰 때까지 높이가 유동적으로 움직인다. 가장 간단한 예는 한 쪽이 닫혀 있는 자 모양 튜브인데 그 한 쪽 부분은 우리가 관심 있는 대상과 이어져 있다. 어떤 유체든지 사용될 수 있으나, 높은 밀도와 낮은 증기압을 가진 수은이 선호된다. 간단한 정역학 진공계는 1 torr부터 대기압 이상까지의 압력을 측정할 수 있다. 정역학 진공계의 변형 중 중요한 맥라우드 진공계는 부피를 이미 알고 있는 진공을 격리하고 액체 기둥의 높이 변화를 늘릴 수 있게 압축한다. 맥라우드 진공계는 10−6 torr (0.1 mPa)만큼 높은 진공을 측정할 수 있으며, 이것은 현재 기술로 직접적으로 측정할 수 있는 가장 낮은 압력이다. 다른 진공계들은 더 낮은 압력도 측정할 수 있지만, 다른 압력에 의해 조절되는 성질들에 의해 간접적으로 측정할 수 있을 뿐이다. 이런 간접적인 측정은 직접적인 측정을 통해 영점조절이 돼야 하며 보통 맥라우드 진공계가 거기에 사용된다.
기계진공계(Mechanical gauge) 또는 탄성압력계는 부르동 관, 격판, 또는 보통 금속으로 만들어져 있는 우리가 측정하려는 곳의 압력에 의해 모습이 바뀌는 캡슐 등에 의존한다. 이 아이디어의 변형으로 만들어진 것이 격판이 각각의 축전기를 구성하는 정전 압력계(capacitance manometer)이다. 압력의 변화는 격판에 굴곡을 형성하고 이것은 축전기를 변화시킨다. 이 진공계들은 10+3 torr부터 10−4 torr까지와 그 보다 더 높은 값들을 측정할 수 있다.
열전도 진공계는 압력의 감소에 따라 기체가 열을 더 잘 전달한다는 사실에 기반한다. 이런 종류의 측정기에서는 와이어 필라멘트가 그에 흐르는 전류에 의해 가열된다. 열전대 또는 저항측온기(RTD)는 그 필라멘트의 온도를 측정하는데 사용될 수 있다. 이 온도는 필라멘트가 근처의 기체들에 열을 빼앗기는 속도에 관계되어 있기에, 결국 열전도도에 관련이 있다. 일반적인 변종(variant)은 피라니 진공계로 하나의 플라티늄 필라멘트를 가열된 원소, RTD 이 두 가지로 사용한다. 이 측정기들은 10 torr to 10−3 torr까지의 압력 하에 정확하나, 이 측정기들은 측정되는 기체의 구성성분에 의해 영향을 받는다.