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블라디미르 알렉산드로비치 보예보츠키(, 1966년 6월 4일 ~ 2017년 9월 30일)는 러시아의 수학자이다. 미국 뉴저지주 프린스턴 고등연구소의 수학 교수로 재직했다.
소비에트 연방 모스크바에서 물리학자 아버지와 화학자 어머니 사이에 태어났다. 보예보츠키는 모스크바 대학교에 입학하였으나 학업 태만으로 졸업하지 못하고 퇴학당했다. 그러나 독립 저자로 논문들을 써서 1992년 학위 없이 추천을 받아 미국 하버드 대학교에서 데이비드 카즈단(David Kazhdan) 교수의 지도로 박사학위를 받았다. 그 후, 미국 일리노이주 에반스턴에 위치한 노스웨스턴 대학교에서 근무하다가 프린스턴 고등연구소로 옮겨갔다.
보예보츠키는 대수기하학의 주 연구 대상인 대수다양체의 연구에 대수적 위상수학에서 주로 쓰이는 호모토피 이론을 접목하여, 대수다양체의 formula_1-호모토피 이론을 개발함으로써 모티브와 모티브 코호몰로지에 관한 중요 업적을 남겼고, 이를 응용하여 1995년에 블록-가토 추측의 formula_2인 경우(밀너 추측)를 증명하였다. 이 업적으로 2002년 중화인민공화국 베이징에서 개최된 제24회 세계 수학자 대회에서 프랑스의 수학자 로랑 라포르그와 함께 필즈상을 수상하였다.
가장 유명한 저서로, 노스웨스턴 대학교의 안드레이 수슬린(Andrei Suslin)과 서던 캘리포니아 대학교의 에릭 프리드랜더(Eric M. Friedlander)와 함께 "Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories"라는 책을 썼다.
2009년 1월 프랑스 고등과학연구원에서 열린 알렉산더 그로텐디크 기념 컨퍼런스에서 그는 모티브 코호몰로지를 사용한 일반적인 블록-가토 추측의 증명을 발표하였다.
2009년 단체 집합에서 마르틴뢰프 유형 이론의 일가성 모형을 구성한 것을 비롯하여, 그는 유형 이론과 일가성 기초(Univalent foundations)라 불리는 수학 기초론의 개발에 중요한 기여를 하였다. 그는 일가성의 아이디어를 사용하여 Coq의 라이브러리인 UniMath를 개발하였다.
보예보츠키는 2017년 9월 30일 동맥류로 프린스턴의 자택에서 사망하였다.
알렉산더 그로텐디크( , , 1928년 3월 28일 ~ 2014년 11월 13일)는 독일 태생의 수학자다. 함수해석학과 호몰로지 대수학, 대수기하학에서 뛰어난 업적을 남겼으며, 특히 호몰로지 대수학과 대수기하학에서 매우 추상적인 관점을 도입하였다. 1966년 필즈상을 수상하였으며, 1988년에는 또 다른 필즈상 수상자인 수학자 피에르 들리뉴와 함께 크라포르드상의 수상자로 결정되었으나, 본인이 윤리적인 문제를 들어 수상을 거절하였다.
그로텐디크는 1928년 3월 28일 독일 베를린에서 우크라이나 출신의 유대인 아버지와 함부르크 출신의 독일계 개신교 신자인 어머니 아래에서 태어났다. 그로텐디크의 아버지는 알렉산드르 샤피로(, ), 어머니는 항카 그로텐디크()이었다. 그로텐디크는 아버지 대신 어머니의 성을 사용하였다. 양친은 모두 아주 혁명적인 사회주의자였다.
제2차 세계 대전의 격동기 때문에 그로텐디크는 불운한 어린 시절을 보냈다. 1933년까지 그로텐디크는 양친과 함께 베를린에서 살았으나, 그해 연말 아버지는 파리로 이사를 했으며, 어머니는 그 이듬해에 파리로 이주했다. 그로텐디크는 부모를 따라가지 못하고 함부르크에 남아서 다른 친척들의 집에서 머물며 학교를 다녔다. 그로텐디크의 부모는 한편 그 당시 스페인 내전에서 사회주의자 측의 전투요원으로 전쟁터에 자원해서 싸우고 있었다. 그 후, 1939년, 그로텐디크는 독일의 유대인 학대를 피해 어머니와 함께 프랑스 곳곳의 유대인 피난 캠프를 떠돌아 다니면서 생활했다. 그로텐디크의 아버지는 1942년, 독일의 나치 정권에 의해 아우슈비츠 수용소로 보내졌으며 그 해에 사망하였다.
어린 그로텐디크는 1940년 어머니와 함께 환경이 몹시 열악한 리외크로() 수용소로 보내졌다. 그 후 그는 유대인 강제수용소를 전전하게 되는데, 프랑스 유대인 강제수용소에서의 가혹한 환경 속에서 신체적 공격까지 받으며 극도로 어려운 생활을 했다. 그는 수용소에서 대부분의 생활을 혼자 보냈는데, 그 때의 시간을 수용소 생활이 준 선물로 여겼다. '고독한 시간은 다른 사람과 전혀 소통하지 않고도 생각을 만들고 개념을 이끌어내는 방법을 가르쳐주었다.'
청년기와 교육.
그 후 그로텐디크는 르샹봉쉬르리뇽()으로 피신하고, 현지 학교인 콜레주 세베놀()에 다니면서 바칼로레아에 합격했다. 그가 받은 공교육은 아주 부실했지만 그는 '야망이 컸고 수학에 깊은 열정을 느꼈다.' 알렉산더는 수학 교과서에 나오는 진부하고 반복적인 문제들이 너무도 싫어 스스로 흥미로워 보이는 문제를 만들고 그것을 푸는 데 많은 시간을 쏟았다. 그리고 흥미를 느끼지 못하는 기타 공부는 싹 무시하는 버릇을 키웠다. 특히 콜레주 세베놀의 수학 교과서에 나오는 교과서에 길이, 넓이, 부피의 정의를 제대로 내린 게 없다는 점이 그의 가장 큰 불만이었다. 그는 이러한 '실제 세계에 바탕을 둔 문제들'을 고민하면서 르베그가 수십 년 전에 '르베그 측도와 적분 이론'이란 이름으로 정립한 측도 이론을 순전히 혼자 힘으로 도출해냈다. 그는 후에 이 사실을 몽펠리에 대학교에 입학하고 나서야 알았다.
제2차 세계 대전이 독일의 패배로 막을 내린 후, 젊은 그로텐디크는 프랑스 몽펠리에 대학교에서 수학 공부를 시작하였다. 그는 미적분을 가르친 술라(Soula)교수에게 수학계에서 일어난 발견에 대해 물어보았는데, “수학 분야에 남아있던 마지막 공개 문제들은 르베그라는 사람이 모두 풀었다”는 대답을 들었다. 이것은 사실이 아니었고, 그는 이 말에 전혀 낙담하지 않았다. 대학에서의 수학 공부를 시작한 이후, 그로텐디크의 뛰어난 수학적 능력은 여러 교수들의 눈에 띄었고, 이들의 추천으로 1948년, 그로텐디크는 더 심도있는 수학 공부를 위해 프랑스 파리로 가게 되었다.
연구 경력.
파리에서 그로텐디크는 프랑스의 유망한 수학자 집단과 어울리면서 수학 공부를 계속했다. 그러나 그는 협력 연구에는 잘 맞지 않았는데, 그 이유는 다른 수학자들이 '합의를 통해' 참이라고 간주하는 개념들을 그대로 받아들이기 싫어했고, 그 개념들을 직접 증명하면서 나아가려고 했기 때문이다. 또 그는 야심이 매우 커서 쉬운 길을 가기보다는 어려운 문제를 붙들고 늘어지는 것을 좋아했고 '모든 것을 무척 힘들게 노력해서 얻었다.' 그는 그때의 기분을, 동료 수학자들에게 수학은 아주 손쉬운 것처럼 보인 반면 자신은 '느릿느릿 굴을 파며 산으로 올라가는 것처럼'느꼈다고 회고했다. 그러나 그는 또한 다음과 같이 회고했다.
당시 프랑스에서 가장 뛰어난 수학자들 중 한 사람은 해석학 분야의 로랑 슈바르츠 (필즈상 수상자)였고, 그로텐디크는 슈바르츠의 지도아래 1950년부터 함수해석학을 공부하였다. 그로텐디크는 곧 위상 벡터 공간에 대한 세계적인 전문가가 되었으나, 몇 년 뒤 그로텐디크는 이에 흥미를 잃고 1957년부터 대수기하학과 호몰로지 대수학으로 관심을 돌렸다.
정치적 성향과 IHÉS의 설립.
그로텐디크는 몸소 겪은 끔찍한 제2차 세계 대전중의 어린 시절에 큰 영향을 받아, 극좌파적 정치성향과 평화주의적인 정치 성향을 보였다. 그로텐디크는 이러한 정치 성향으로 인해 베트남 전쟁 중, 일종의 반전 시위로 미군의 공중 폭격이 가해지고 있던 베트남의 하노이 근교의 숲속에서 범주론 세미나를 연 적도 있었다.
1958년에 그로텐디크는 프랑스의 부유한 수학자였던 장 디외도네의 지원으로 프랑스 파리에 고등 수학 연구소인 IHÉS를 설립하였다. 그러나 그로텐디크는 자신이 설립한 이 기관에서 1970년에 갑자기 떠났다. (《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권의 서문에서 프랑스어로 이유를 작성하였다.) 그것은 바로, 순수한 학문 연구기관인 IHÉS에, 프랑스 국방부의 군사용 연구자금이 일부 들어왔기 때문에 이에 항의하는 뜻이었다. 그 이유로 그는 잠시 학계를 떠났다가, 제2차 세계 대전 이후 그가 처음으로 수학 공부를 본격적으로 시작했었던 몽펠리에 대학으로 가서 교편을 잡았다. 그는 몽펠리에에서 1988년까지 몸담았다.
은퇴와 은둔.
그로텐디크는 1988년에 학계를 완전히 떠나면서 그는 프랑스 아리에주주의 작은 농촌 마을 라세르()에서 농사를 지으며 소일하겠다며 모든 것을 버리고 자취를 감추었다. 같은 해에 크라포르드상을 수상하였으나, 그로텐디크는 윤리적인 이유를 들고 이를 거절하였다. 그의 학계에 대한 비판은 그가 1988년, 크라포르드상(Crafoord Prize)의 수상을 거절하는 이유로 쓴 편지 (영문)에서 잘 읽어볼 수 있다.
그로텐디크가 대수기하학을 시작했을 무렵, 이미 대수기하학은 점점 더 추상화되는 현상을 보였다. 층 이론이 오카 기요시와 장 르레에 의해서 만들어진 이후, 장피에르 세르에 의해서 호몰로지 대수학과 층 이론은 대수기하학에도 이미 적용되고 있었다. 그로텐디크가 대수기하학에서 이룬 업적은 그로텐디크 이전의 대수기하학 이론보다 훨씬 더 추상화되었다. 그로텐디크는 호몰로지 대수학에서 유도 함자의 개념을 정의하여 더욱 고차원으로 추상화했다.
그로텐디크는 기존의 대수다양체의 개념을 스킴으로 일반화하였고, 스킴의 언어로 대수기하학을 재서술하였다. 단순히 용어를 바꾸는 것을 넘어, 그로텐디크는 호몰로지 대수학의 기술을 스킴 이론에 철저하게 적용시켜, 스킴 이론의 기법으로 고전적인 대수기하학의 문제들을 새롭게 증명하거나, 혹은 새로운 문제들을 해결하였다.
그로텐디크는 스킴 이론을 대수기하학에 도입함으로써 정수론과 대수기하학을 하나의 관점으로 통합하였다. 오늘날 스킴 이론은 대수기하학을 비롯하여 정수론, 갈루아 이론, 가환대수학, 대수적 위상수학 등을 일관적으로 다룰 수 있게 하였고, 반대로 대수기하학의 발전이 저런 각각의 수학 분야들에 대해서도 기여할 수 있게 되었다. 이러한 통합적인 관점은 D가군과 같은 새로운 분야의 발달에도 기여하였다.
상대적 관점.
상대적 관점으로 얻은 결과 가운데 하나는 1956년 경에 얻어낸 리만-로흐 정리의 일반화이다. 리만-로흐 정리는 프리드리히 히르체브루흐에 의해서 고차원의 대수다양체의 경우로 확장이 되어 있었는데 (히르체브루흐-리만-로흐 정리), 그로텐디크는 이를 더욱 일반화하여 그로텐디크-리만-로흐 정리(Grothendieck-Riemann-Roch theorem)을 얻었다. 이 결과는 1957년, 독일 본에서 있었던 《아르바이츠타궁》()에서 발표되었으며, 차후에 아르망 보렐과 장피에르 세르와 함께 쓴 논문에서 출판되었다. 이는 아티야-싱어 지표 정리의 발견에 중요한 역할을 주었다.
모티브.
그로텐디크는 모티브의 개념을 정의하였고, 이에 대한 여러 가설을 세웠다. 그로텐디크의 가설들은 수학을 관둔 이후 수십 년간 많은 수학자들이 연구 방향을 잡는 이정표 역할을 해 주었다. 블라디미르 보예보츠키는 2002년 모티브에 대한 일부 가설들을 증명하였고, 이 공로로 필즈상을 수상하였다.
에탈 코호몰로지.
앙드레 베유는 대수다양체의 위상수학적인 성질과 정수론적인 성질 사이의 베유 추측을 발표하였고, 이를 새로운 코호몰로지 이론을 통해 증명할 수 있음을 보였다. 그러나 베유 자신은 이러한 코호몰로지 이론을 정의하지 못했다.
그로텐디크는 자리스키 위상을 대체하여, 에탈 코호몰로지를 도입하였고, 이를 사용하여 베유 추측의 상당 부분을 증명하였다. 1970년대 초반에 그로텐디크의 제자인 피에르 들리뉴는 에탈 코호몰로지를 사용하여 베유 가설을 완전히 증명하였고, 이 업적으로 필즈상을 수상하였다.
대수기하학 원론.
《대수기하학 원론》(, 약자 ÉGA)은 그로텐디크와 장 디외도네가 쓴, 스킴과 층을 일관적으로 사용한, 대수기하학의 기초를 체계적으로 다루는 교재이다. 총 13권이 계획되었으나, 오직 1권~4권만이 출판되었다.
《마리 숲 대수기하학 세미나》(, 약자 SGA)는 그로텐디크가 IHÉS에서 1960년~1966년에 개최한 일련의 수학 세미나이다. 이 세미나에서는 그로텐디크의 공동 연구자들이 최신 연구 결과를 발표하였으나, 이들은 통상적인 연구 저널에 출판되지 않았고, 세미나 노트는 처음에는 IHÉS에서 출판되다가 결국 슈프링어 출판사에서 총 12권으로 출판되었다. 제목의 마리 숲()은 IHÉS 근처의 작은 숲의 이름이다.
필즈상() 또는 필즈 메달은 국제 수학 연맹(IMU)이 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수상 당시 40세 미만의 수학자들에게 수여하는 상이다. 2명 이상 4명 이하에게 수여되며 필즈상 수상은 수학자들에게 가장 큰 영예로 여겨진다.
필즈상은 캐나다의 수학자 존 찰스 필즈의 유언에 따라, 그의 유산을 기금으로 만들어진 상이다. 흔히 수학 부문에서 최고 권위에 있는 상이라 여겨져 "수학의 노벨상"이라고 불리기도 하지만, 노벨상 위원회와는 관련이 없다. 1936년에 처음 시상되었고, 제2차 세계 대전으로 인하여 14년간 시상이 중단되었다가 1950년부터 다시 시상이 이어졌다. 한편 또 다른 유명한 수학계의 상으로는 2003년부터 노르웨이 왕실이 수여하는 아벨상이 있다.
수상 조건.
필즈상은 상이 수여되는 해의 1월을 기준으로 40세가 되지 않은 수학자들을 대상으로 4년마다 수여되는데, 이 때문에 뛰어난 업적을 남기고도 필즈상을 수상하지 못한 수학자들도 많다. 대표적으로는 페르마의 마지막 정리를 증명했던 앤드루 와일스가 있다. 이러한 규정은 필즈의 유언에서 비롯된 것인데, 필즈는 그의 유언에서 다음과 같이 밝혔다.
수상자 명단.
1936년
1950년
1954년
1958년
1962년
1966년
1970년
1974년
1978년
1982년
1986년
2014년
2018년
2022년
역대 수상국가.
수상 시 국적 기준. 이중국적은 각 나라에 1개 국기는 현재의 것 (2022년 7월 현재)
존 찰스 필즈(, 1863년 5월 14일~1932년 8월 9일)는 캐나다의 수학자이다.
수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상의 제창자이다. 필즈상은 1932년 스위스 취리히에서 열린 세계 수학자 대회(ICM)에서 제정되어, 1936년 그가 남긴 유산을 기반으로 설립되었다.
1902년 모교인 토론토 대학교 교수로 초대받아, 캐나다로 돌아온 필즈는 수학의 발전을 위해 노력한다. 온타리오 의회에서의 로비가 성공하여, 토론토 대학교에서 매년 75,000 달러의 지원금을 약속받았으며, 여러 연구 지원 기구의 설립에도 영향을 미친다. 필즈는 1919년부터 1925년까지 캐나다 왕립 재단의 재단장을 지냈으며, 그동안 그는 재단이 과학 연구를 이끌어 나가는 중심이 되길 바랐으나, 그의 염원이 완전히 이루어지지는 않았다. 그럼에도 그의 노력은 토론토가 1924년 세계 수학자 대회(ICM)의 개최지가 되는 것으로 이어졌다.
필즈는 수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 탄생시킨 것으로 가장 유명하다. 1936년 처음 수여된 필즈상은 1950년 다시 시작되어, 이후 매 4년마다 수학에 중요한 공헌을 한 40세 이하의 수학자 적게는 2명에서 많게는 4명에게 주어진다.
필즈는 1920년대부터 수학자상을 계획했으나, 악화되는 건강으로 생애동안은 그 상이 주어지는 것을 보지 못한다. 그는 3개월 동안 앓다가 1932년 8월 9일 사망한다. 그는 유언에서 47,000 달러를 필즈상 기금으로 기부한다.
시카고 대학교()는 미국 일리노이 주 시카고에 있는, 석유 재벌 존 D. 로크펠러의 기부금으로써 1890년에 설립된 연구 중심 사립 대학이다.
시카고 대학교는 세계 최고의 대학교 중 하나로 손꼽히며, 특히 경제학은 따라올 곳이 없기로 유명하다. 세계에서 가장 많은 노벨상 수상자를 배출한 대학교 중 하나이며 세계에서 4번째로 노벨상 수상자를 많이 배출한 국가인 프랑스 보다 수상자가 많다. 세계적인 학자를 많이 배출시킨 만큼 시카고 대학교는 많은 대학 순위에서 우수한 성적을 보인다. 2017/2018년 기준으로 미국에서 가장 많이 쓰이는 대학교 랭킹인 《U.S. 뉴스 &amp; 월드 리포트》에서 미국 대학(학부)부문 3위를 차지하고 Times Higher Education World University Ranking, QS World University Ranking, Center for World University Ranking 등 대부분의 세계 대학교 순위에서 10위 안에 든다. 1891년 윌리엄 레이니 하퍼가 초대 총장으로 취임하여 1892년에 운영을 시작했다.
1890년 석유 재벌 존 D. 로커펠러의 기부금으로 개교하였다.
학생들은 대도시 시카고로부터 각종 인턴십이나 일할 수 있는 기회 또는 문화생활의 혜택을 받고 있다. 학부생 16% 정도가 아시아계 학생이다. 지금까지 세계에서 네번째로 많은 총 101명의 노벨상 수상자들이 시카고대학에서 수학하거나 교수로 지냈다. 미국 일리노이 주의 시카고 다운타운에서 남쪽으로 7마일 떨어진 하이드팍에 위치한 이 대학은 교수-학생 비율이 1대 5정도로 미국에서 가장 양호한 교수자원을 가진 학교 중의 하나로 평가되고 있다.
시카고 대학은 실용적인 학문보다는 순수학문에 치중하는 전통적 경향을 띄고 있으며, 따라서 이 대학의 학생들은 처음 2년간 폭넓은 교양과목을 강조하는 리버럴 아츠 프로그램을 택하고 있다. 뿐만 아니라, 시카고의 학구적인 학풍은 여러 대학 안내 책자에서 동부의 스와스모어 대학교와 매사추세츠 공과대학교, 서부의 캘리포니아 공과대학교와 더불어 미국에서 학생 공부시간이 가장 많은 것으로 소개되고 있다. 세계적으로 이름이 잘 알려진 교수들도 학부생을 가르치고 있을 뿐만 아니라 이 대학과 관련된 노벨상 수상자가 지난 100년간 101명이나 된다.
시카고 대학은 많은 분야에서 잘 알려져 있지만 전통적으로 사회과학 분야에서 특히 강세를 보이고 있다. 특히 경제학과 물리학은 시카고가 주력으로 내세우는 학과이다. 경제학은 정부의 개입을 최소화하고 규제완화를 주장하는 신자유주의 경제학을 이끌어 온 시카고 학파의 창시지로 명성이 높다. 또한 물리학과는 시카고 대학 교수로 제직했던 물리학자 엔리코 페르미의 이름을 딴 페르미 국립 가속기 연구소와 아르곤 국립 연구소와의 활발한 연계로 유명하다. 그 외에도 정치학, 철학, 사회학 등은 최상위의 위치를 인정받고 있으며, 천문학, 지리학, 수학 등도 정상급에 올라 있다. 시카고 대학의 학부생 80% 이상은 졸업 후 5년 이내에 전문대학원이나 일반대학원 과정으로 진학한다.
전문대학원 중에는 의학대학원(Pritzker School of Medicine, University of Chicago), 법학대학원(University of Chicago Law School), 경영대학원(University of Chicago Booth School of Business) 등이 유명하다. 특히 경영대학원은 세계랭킹 1위를 매년 앞다투는 수준이며 법학대학원 역시 미국의 T6라고 불리는 6대 로스쿨 중 하나이다. 버락 오바마 대통령은 1993년부터 2004년까지 시카고대학교 법학대학원에서 강사로 재직하며 헌법학 강의를 했다.
2020년 졸업예정으로 2016년 가을에 입학하는 학부 신입생(Class of 2020)의 경우 31,411명의 지원자 중 7.9%인 2,482명이 합격했다. 이것은 또 다른 명문대인 매사추세츠 공과대학교의 합격률과 동등하다.또한 미국 대학 입시 시험인 SAT시험에서 학부생의 25%가 만점을 받으며 평균 점수가 미국내에서 가장 높다. (2번째로는 MIT가 2위이다). 입학생의 97%가 자기 고등학교에서 성적으로 상위 10%안에 든다.
2019년 《U.S. 뉴스 &amp; 월드 리포트》 미국 종합대학 학부 순위에서 시카고 대학교의 학부는 예일 대학교, 컬럼비아 대학교, 메사추세츠 공과대학교와 공동 3위로 평가되었다. 전문대학원은 경영대학원이 하버드 경영대학원과 공동 종합MBA 순위 1위, 로스쿨이 4위, 의학대학원이 11위를 기록했다. 또한 경영대학원은 《파이낸셜 타임스》의 2014년 세계 경영대학원 순위에서 세계 9위, 《이코노미스트》의 2013년 세계 경영대학원 순위에서 세계 1위를 기록했다.
세계 대학 순위에서는 시카고 대학을 2014년 《U.S. 뉴스 &amp; 월드 리포트》세계 대학 순위가 9위로, 2014년 중국 세계 대학 학술 순위가 9위로, 2014년 영국 타임즈 고등교육 세계 대학 랭킹이 9위로, 타임즈 고등교육 세계 대학 학계 평판도 순위가 14위로, 2013년 영국 QS 세계 대학 순위가 9위로, 2013년 사우디아라비아 세계대학랭킹센터(Center for World University Rankings)가 발표한 세계 대학 순위가 9위로 평가했다.
시카고대는 수많은 유명 인물들을 배출했다. 정치 분야에는 볼리비아 제74대 대통령 곤살로 산체스 데 로사다, 전 엘살바도르 대통령 알바로 마가냐, 2016년 미국대선에서 '샌더스 열풍'을 일으킨 버니 샌더스 국회의원, 전 캐나다 총리 윌리엄 맥킨지 킹등이 있다. 재계에는 전 세계은행 총재 폴 월포위츠, 마이크로소프트 CEO 사티아 나델라, 전 세계에서 가장 큰 컨설팅 회사인 맥킨지 &amp; 컴퍼니의 창업주 제임스 맥킨지, 전 세계에서 가장 큰 헤지 펀드인 AQR Capital의 공동 창업주인 Cliff Asness 하고 John Liew, 전 세계에서 가장 큰 사모펀드인 Blackstone의 창업주 Peter Peterson, 질레트 회장 제임스 킬츠, 전 IBM 회장 존 오펠, 패러마운트 픽처스 회장 셰리 랜싱, 전 모건 스탠리 회장 필립 J. 퍼셀, 현 하얏트 호텔 회장 톰 프리츠커 등이 있다.
또한 경제학만큼 대중적으로는 알려져있지는 않지만 시카고대의 물리학과도 경제학부랑 같이 29명의 노벨 물리학상 수상자를 배출해 왔다. 실제로 세계 첫 핵반응로를 시카고 대학 캠퍼스에서 전설적인 물리학자인 엔리코 페르미교수가 개발했다.
그 외에도 학계에는 DNA 구조의 발견한 학자이나 노벨 생리학·의학상 수상자인 제임스 D. 왓슨, 퓰리처상 수상 정치학자 세바스찬 드 그래지어, 정치학자 새뮤얼 헌팅턴, 필즈상 수상 수학자 폴 코언과 존 그리그스 톰프슨, 튜링상 수상 수학자 리처드 해밍, 사회학자 윌리엄 푸트 화이트, 심리학자 로렌스 콜버그, 캐나다의 환경운동가 데이비드 스즈키, 과학 저술가 마틴 가드너, 1978년 튜링상 수상 컴퓨터 과학자 로버트 플로이드, 생물학자 린 마굴리스 등이 있다. 천문학 분야에서는 퓰리처상을 수상한 칼 세이건, 천문학자 에드윈 허블 등이 있다.
문학/예술계에는 퓰리처상 수상 소설가 솔 벨로, 휴고상 수상 소설가 커트 보네거트, 비평가 및 소설가 수전 손택, 캐나다의 소설가 스티븐 리콕 등이 있다. 음악가로는 아카데미상을 수상한 필립 글래스, 배우로는 《마이 걸》로 잘 알려진 애나 클럼스키 등이 있다.
아벨상(, )은 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 딴 상으로, 노르웨이 왕실에서 수여하는 상이다. 2003년부터 수상이 시작되었다. 수학자가 일생 동안 쌓아온 업적을 바탕으로 상을 주기 때문에 거의 대부분 수상자들의 나이가 많다.
1902년 아벨 탄생 100주년이 다가오자, 수학자 소푸스 리가 아벨의 이름을 딴 상을 만들 계획을 최초로 제안했다. 하지만, 1899년 그가 사망하면서 추진력을 잃었다. 이후 1902년, 오스카르 2세가 다시 시행하려 했지만, 스웨덴과 노르웨이 연방이 해체되면서 생긴 재정적 악화로 인해 다시 중단되었다. 2000년, 국제 수학 연맹이 지정한 수학의 해에 이 계획이 또다시 부활했고 이번에는 아무런 지장 없이 2003년에 장피에르 세르에게 상을 수여했다.
수학연보(Annals of Mathematics)에 프랑스어로 실린 역사적인 논문 《대수적 연접층》()에서 대수다양체의 개념을 최초로 엄격하게 정의하였으며, 알렉산더 그로텐디크와 더불어서 현대 대수기하학 발전의 기초를 닦은 사람으로 간주된다. 세르의 대수다양체 정의는 그로텐디크의 스킴 이론으로 일반화되며, 이것은 현대 대수기하학과 정수론을 연결하는 중요한 고리가 된다.
등 많은 결과들이 있다.
그로텐디크와 세르가 위의 업적들을 발달시킬 단계에서 주고 받은 서신들의 모음집(Grothendieck-Serre correspondences)이 2004년 프랑스 수학회와 미국 수학회에 의해 공동 출판되었다.
존 그리그스 톰프슨(, 1932년 10월 13일 ~ )은 유한군 이론에서 탁월한 업적을 나타낸 수학자이다.
1955년 예일 대학교에서 학사 학위를 마치고, 1959년 손더스 매클레인을 지도 교수로 하여 시카고 대학교에서 박사학위를 받았다. 케임브리지 대학교, 코넬 대학교 등에서 교편을 잡다가 플로리다 대학교에 재직중이다.
톰프슨의 가장 뛰어난 업적은 1963년 월터 파이트(Walter Feit)와 같이 증명한 정리 파이트-톰프슨 정리(Feit-Thompson theorem)이다. 이 정리는 '홀수개의 원소를 가지는 임의의 유한군은 가해군이다'라는 놀라운 결과를 증명한 것이며, 태평양 수학 저널(Pacific Journal of Mathematics)에 출판되었다. 이 정리는 임의의 모든 유한단순군들을 모두 분류해 내는 거대한 성과의 초석이 되었다. 이는 20세기 수학의 최대 성과 중의 하나이다. 이 공로로 톰슨은 1970년 필즈상을 수상하였다. 2008년에는 아벨상을 수상하였다.
유한군(有限群, )은 수학적 연구 대상의 일종으로, 군(群)이면서 유한개의 원소를 가지는 것을 말한다. 대수학의 한 분야이다.
유한군의 연구는 까다롭기로 정평이 나 있다. 1960년대에 월터 파이트와 존 G. 톰프슨이 증명한 파이트-톰프슨 정리를 바탕으로 모든 유한단순군들을 분류할 수 있었지만, 여전히 많은 문제들이 풀리지 않고 남아있다.
코넬 대학교(Cornell University)는 미국 뉴욕주 이타카에 위치한 아이비 리그 사립 대학(부분 공립)이다.
현재까지 61명의 노벨상 수상자들이 코넬 대학교를 교수 또는 학생으로 거쳐가며 세계 대학 중 9번째로 많은 수상자를 배출했다. 학부생은 약 13,000명이고, 대학원생은 6000여 명이다.
코넬 대학교는 1865년에 에즈라 코넬(Ezra Cornell)과 앤드루 딕슨 화이트(Andrew Dickson White)에 의해 인종이나 종교에 상관 없이 입학을 받는 무교파 대학으로 설립되었다. 다른 아이비리그 대학과 달리 1872년부터 여학생을 받아들여 미국에서 가장 오래된 남녀공학으로 기록된 대학이다. '실무와 이론을 겸비한 인재를 배출한다'는 것을 모토로 삼는다. 7개 학부 단과대학과 7개 대학원으로 구성되어 있다. 이 중 농경대학, 인류생태학부, 노사관계학부과 수의대학원은 뉴욕주립대학교(SUNY) 시스템의 일부인 공립단과대학이다. 재학생중 동양계 학생은 약 16%이며, 유학생 신분 학생이 9%를 차지한다.
코넬대학교는 이타카 캠퍼스 뿐만 아니라 뉴욕시에 2개, 카타르 교육 도시 지역에 1개를 포함하여 3개의 위성 캠퍼스를 관리한다.
1863년 에즈라 코넬(Ezra Cornell)과 앤드루 딕슨 화이트(Andrew Dickson White)가 뉴욕주 상원에 선출되었다. 둘다 랜드 그랜트 문제에 관심을 가지고 있었다. 1865년 1월 에즈라 코넬 의원은 이웃 도시인 시라큐스 출신의 앤드루 딕슨 화이트 의원과 친밀하게 교류하면서, 마음속에 그가 평소에 꿈꾸던 대학설립의 원대한 꿈이 구체화되었다. 한달이 지나서 앤드루 딕슨 화이트 의원이 국회에 연방정부로부터 지원받은 뉴욕주 내에 있는 토지를 매각해 코넬대학교 설립에 유용하자는 주법안을 상정하였고, 이 법안은 국회의 의결을 거쳐 당시의 뉴욕주 지사의 최종서명을 받게 되었다. 코넬 대학교는 뉴욕주 법안에 의해 1865년 4월 27일 설립되었다. 앤드루 딕슨 화이트 의원은 첫 번째 코넬대 총장이 되었다.
한편 자신이 창시한 웨스턴 유니언을 통하여 막대한 재산을 벌어들인 에즈라 코넬(Ezra Cornell)은 그의 평생의 꿈을 실현하는 대학 설립을 위하여 당시에 자신의 재산 500,000 달러를 기부했을 뿐만 아니라, 그가 소유하던 광대한 농장 또한 대학에 기부함으로써 그의 농장위에 오늘의 코넬대학교가 탄생하게 되었다. 그리고 그는 자신의 남은 생애를 바쳐 교사 건축, 택지조성, 장비, 서적등을 구입하는 조달업무를 총괄하는 일을 수행하기도 했다.
설립 초기부터 재능있는 모든 사람들이 관심 있는 모든 학문을 연구할 수 있도록 한다는 모토 하에 기본 학문 이외에 공학, 건축학, 호텔경영학, 수의학, 노사관계학, 농학 등 다른 전통 학교들이 큰 관심을 두지 않았던 실용 학문들에도 지원을 아끼지 않은 결과, 이 분야에서 세계 최고 수준으로 손꼽히는 역량을 갖추게 되었다. 뿐만 아니라 보수적인 아이비리그 대학들 가운데 최초로 여학생의 입학을 허용한 학교이기도 하다.
코넬 대학교의 메인 캠퍼스는 뉴욕주 이타카 시의 이스트 힐(East Hill)에 위치해 있으며, 이타카 시와 카유가 호를 내려다 보고 있다. 260 여개의 교내 건물들은 중앙 캠퍼스(Central Campus), 동쪽 캠퍼스(East Campus), 북쪽 캠퍼스(North Campus)에 흩어져 있으며 신입생을 제외한 2, 3, 4학년들의 기숙사가 서쪽 캠퍼스(West Campus)에 위치해 있다. 대학가로는 컬리지 타운(Collegetown)이 있고 중앙 캠퍼스의 남쪽에 있다.
교내 대부분의 주요 건물들이 위치한 중앙 캠퍼스(Central Campus)에는 실험실, 행정 건물, 단과 대학 건물, 도서관, 운동 시설, 대강당 등이 위치해 있다. 서쪽에는 루브르 피라미드를 디자인한 I. M. 페이가 직접 설계한 허버트 F. 존슨 미술 박물관(Herbert F. Johnson Museum of Art)이 있다. 북쪽에는 천체물리학과 천문학의 대가이자 《코스모스》의 저자 칼 세이건이 평생 동안 석좌교수 겸 소장으로 근무하던 코넬 행성연구소와 퓨어테스 천문대(Fuertes Observatory)가 있다. 여담으로 칼 세이건의 묘는 코넬 대학교 캠퍼스 옆 레이크뷰 공동묘지(Lake View Cemetery)에 위치하고 있다.
동쪽 캠퍼스(East Campus)에는 각종 식물원과 수목원, 식품영양학과 건물인 Stocking Hall, 교내에서 직접 생산한 유제품과 아이스크림 등을 판매하는 Cornell Dairy Bar, 수의학대학원(College of Veterinary Medicine) 등이 있다. 코넬 소유의 2,800 에이커 부지 내에 위치한 식물원에는 멋진 조경으로 꾸며진 다양한 종류의 꽃, 나무, 그리고 연못을 볼 수 있다.
북쪽 캠퍼스(North Campus)에는 신입생과 대학원생들을 위한 기숙사, 프로그램 하우스, 그리고 29개의 남녀 동아리 기숙사가 있다. 서쪽 캠퍼스(West Campus)에는 상급생들과 25개의 남녀 동아리 기숙사가 있다. 컬리지 타운(Collegetown)에는 슈워츠 퍼포밍 아츠(Schwartz Performing Arts)센터가 있고, 상급생들이 사는 2개의 기숙사 건물과 교외 캠퍼스 아파트, 상가, 레스토랑, 바 등이 위치해 있다.
코넬 대학교의 일부분은 뉴욕 맨하탄에 자리잡고 있으며 이 곳에 의학대학원과 의과학대학원이 있다. 웨일 의학대학원(Weill Cornell Medicine)은 1927년부터 뉴욕 장로회 병원(New York-Presbyterian Hospital)과 협력 관계에 있다. 뉴욕 시에는 의학대학원생 뿐 아니라 코넬 대학의 건축예술대학, 농업생명과학대학, 공과대학, 인간생태대학, 노사관계대학 학생들이 와서 공공 기관, 예술 기관, 기업, 또는 연구소에서 일을 하거나 수업을 듣고, 경험을 쌓기도 한다. 또한 뉴욕의 루즈벨트 아일랜드에는 2017년 문을 연 코넬 대학교의 최첨단 캠퍼스인 코넬 테크(Cornell Tech)가 위치하고 있다.
뉴욕에 위치한 의학대학원 외에 또 다른 의과대학은 중동 지역 카타르의 수도 도하에 위치해 있다. 2004년에 개교했으며 미국 최초로 미국 영토 밖에 위치한 의과대학이 되었다. 국제적으로 영향력을 넓히기 위한 코넬 대학의 프로그램으로 카타르의 정부와 협력 관계에 있다.
7개의 학부로는
6개의 대학원으로는
이 있다. 이 중 문리대학 (College of Arts and Sciences) 와 공과대학 (College of Engineering)은 학부와 대학원 과정을 같이 제공한다.
가장 극악의 합격률을 가진 분야대학은 경영대학내의 Dyson School of Applied Economics &amp; Management이다. 이 소수정예 프로그램은 약 4천 명의 지원자 가운데 100명 정도의 인원만 선출하기 때문에 2020년 기준 2.9%라는 극악의, 코넬 내 최고의 입학 경쟁률을 보유하고 있다. 이 학과는 전미 기준 3위 수준의 학부 Business School이다.
전문대학원의 경우 2014년 《U.S. 뉴스 &amp; 월드 리포트》가 경영대학원을 전미 16위, 법학대학원을 전미 13위, 의학대학원을 전미 15위, 수의학대학원 1위, 공학대학원을 전미 13위에 랭크했다. 또한 경영대학원은 《Forbes》의 2015년 세계 경영대학원 순위에서 세계 9위, 《Bloomberg》의 2015년 세계 경영대학원 순위에서 세계 13위를 기록했다. 1년제 MBA 순위에서는 전미 2위를 기록했다. 건축대학의 학부과정은 매년 발간하는 《디자인인텔리전스》의 미국 건축대학 순위에서 지속적으로 전미 1위를 기록하고 있으며 (2000–2002, 2005–2007, 2009–2013, 2015-2016), 건축대학원은 2016년 건축대학 순위에서 2위에 등재되었다.
코넬 대학교는 미국에서 권수로 순위를 매겼을 때 11번째로 큰 대학 도서관 시설을 갖추고 있다. 미국에서 가장 먼저 학부생들에게 도서관의 도서를 대여한 대학으로 알려진다. 프린스턴 리뷰지에서는 2006년도의 11번째로 가장 좋은 대학 도서관을 갖춘 대학으로 코넬 대학을 뽑았고, 2009년에는 6위를 기록했다. 과학 혹은 역사 기록을 온라인으로 보관하는 데 도서관이 큰 역할을 하고 있다.
코넬 대학교는 비영리 단체이다. 대부분의 자금을 등록금, 연구 교부금, 자산 운용, 졸업자 기부금에서 충당한다.
법정 대학(statutory college).
세 곳의 학부(농업생명과학대학, 인간생태대학, 노사관계대학)와 뉴욕 주립 코넬 수의학대학원은 "법정 대학"(statutory college) 혹은 "계약 대학"(contract college)라고 불리는데, 이들은 교육, 연구, 서비스를 위해 뉴욕 주의 자금 지원을 상당 부분 계속 받고 있다. 2007-08학년도에는 이들 단과 대학들은 뉴욕주립대학교(SUNY) 자산 운용 명목으로 1억 6770만 달러의 자금을 지원받을 예정이다. 뉴욕주 주민이라면 이들 법정 대학에 등록할 때 등록금의 할인을 받는다.
18명의 노벨상 수상자, 29명의 로즈 장학생, 34명의 마셜 장학생, 14명의 억만장자들을 포함하는 코넬 동문들은 사회 많은 분야에서 활동하고 있다. 정계에는 중화민국의 첫 여성 총통인 차이잉원과 전 총통 리덩후이, 쿠바의 전 대통령 마리오 가르시아 메노칼, 이란의 전 총리 잠시드 아무제가르, 중화민국의 개혁가이자 전 UN 대사 후스가 코넬을 졸업했다. 법조계에는 미국 연방 대법원의 루스 베이더 긴즈버그 (정치학) 대법관, 미국 최초의 여성 법무장관 자넷 르노 (화학) 등이 있으며, 재계에는 전 세계은행 총재 바버 코너블 (법학) 과 폴 월포위츠 (수학), 크래프트푸즈 회장 아이린 로젠펠드 (심리학), 버거킹 설립자 제임스 맥라모어, 전 시티그룹 CEO 샌포드 웨일 (정치학), 전 골드만삭스 회장 스티븐 프리드먼, 전 인도 타타 그룹 회장 라탄 타타 (공대) 등이 있다.
농대 식물학과 출신으로 여성 최초로 노벨 생리학·의학상을 단독으로 수상한 바버라 매클린톡, 스탠포드 대학 초대 총장 데이비드 스타 조던(식물학), 프레온을 발명한 화학자 토머스 미즐리(공대), 식물유전학으로 노벨생리의학상을 받고 시카고 대학 총장을 지낸 조지 W. 비들, 유명 과학 교육자 빌 나이(공대)도 코넬 출신이다. 예술계에는 크리스토퍼 리브가 슈퍼맨으로, 프랭크 모간(예술학)이 《오즈의 마법사》, 지미 스미츠가 《스타 워즈》 시리즈에서 활동했다. 그 외에도 배우 빌 마(영문학), 방송인 키스 올버먼(커뮤니케이션학) 등이 있다. 작가 중에는 노벨 문학상과 퓰리처상을 수상한 토니 모리슨(영문학), 《대지》를 쓴 노벨 문학작가 펄 S. 벅, 《샬롯의 거미줄》을 쓴 동화작가 엘윈 브룩스 화이트, 《중력의 무지개》를 쓴 토머스 핀천 등이 있다. 스포츠계에는 2002년 피파 월드컵 미국 축구 대표팀 감독 브루스 어리나가 코넬 출신이다. 건축계에선 베를린 홀로코스트 메모리얼을 설계한 피터 아이젠만과 프리츠커 상을 수상한 리처드 마이어와 렘 콜하스가 있다. 코넬과 관련해 유명한 단어인 ‘코넬 마피아’는 코넬 대학교 호텔경영대학 동문들이 미국 호텔 업계를 주름잡고 있다는 데서 생겨난 말로, 현재 전 세계 관광 업계 요직에 8천여 명의 코넬 출신이 포진해 있다.
한국의 동문 중에는 송상현 국제형사재판소 전 소장, 정갑영 연세대학교 전 총장, 백성기 포항공과대학교 전 총장, 이호진 태광그룹 회장, 차석용 LG생활건강 부회장, 서경배 아모레퍼시픽 대표이사, 이주호 전 교육과학기술부 장관, 양윤세 전 동력자원부 장관, 김현 대한변호사협회 회장, 김재훈 법무법인 광장 대표변호사, 박병대 대법관, 성제환 원광디지털대학교 전 총장, 이종훈 새누리당 의원, 유경준 미래통합당 의원, 전우영 전남대학교 경제학부 교수, 신형식 전북대 화학공학교수등이 있다.
코넬 테크(Cornell Tech) 조성계획.
탄생 배경.
2010년 12월 마이클 블룸버그(Michael Bloomberg) 뉴욕 시장은 뉴욕시의 금융이나 법률 등 서비스 산업에 비교하여 상대적으로 낙후된 최첨단 기술산업과 앙트러프러너십(entrepreneurship) 발전을 위해 대학 시내 캠퍼스 유치대회를 열었다. 전 세계 27개의 대학이 참가한 이 유치대회에 코넬 대학교는 스탠퍼드 대학교와 함께 최후까지 경합을 벌였고, 결과적으로 2011년 12월 19일 뉴욕시 캠퍼스의 유치대학으로 최종 선정되었다. 이 유치의 성공으로 인해 코넬 대학교는 최첨단 캠퍼스인 코넬 테크(Cornell Tech)를 뉴욕시내 루즈벨트 아일랜드에 개발하고, 2017년에 1차 완공, 2037년에 최종 완공을 목표로 4000명 이상의 학생과 교직원을 보유한 테크 캠퍼스를 조성하게 된다. 코넬 위주의 조성 계획이지만 이스라엘의 테크니온 공과대학 역시 콘소시엄으로 참여하게 된다.
이를 위하여 코넬 호텔경영대학 동문인 척 피니(Chuck Feeney)가 3억 5000만 달러에 달하는 기금을 출연하였고, 뉴욕시 역시 10에이커(12만 2000평)의 토지와 1억 달러의 지원금을 제공하기로 합의하였다. 최종적인 캠퍼스 조성 비용은 20억 달러를 넘어설 것으로 전망된다. 거대 기업들의 참여도 이어져 구글의 경우 캠퍼스 완공까지 22,000 평방 피트에 달하는 뉴욕 맨하탄 본사 시설을 강의실 등으로 무료 임대하기로 결정하였다. 또한 마이클 블룸버그 뉴욕 시장, 퀄컴 회장 어윈 M. 제이컵스, 그리고 구글 회장 에릭 슈미트가 캠퍼스 운영위원회를 결성하였다. 언론에서는 이들을 코넬의 "매우 중요한 백만장자 백인 남성" 어벤저스(the super-important ultra-rich white guy Avengers of Cornell)라고 칭하는데, 이는 IT 업계가 코넬 테크에 거는 기대와 해당 캠퍼스의 위상을 보여주는 예이다.
코넬 테크에는 코넬의 기존 교수들만이 아니라 구글, 퀄컴, 애플 등 IT 기업 뉴욕사무소와 벤처캐피탈 소속 현업종사자들이 멘토로 참여하는 산학협력 방식의 교육이 채택될 예정이다. 이는 향후 코넬 테크 졸업생들의 성장을 담보할 수 있는 최고의 방식으로 평가받고 있다. 해당 캠퍼스에는 컴퓨터공학, 헬스케어과학 이외에 노사관계학, 경영학, 법률학 등을 망라한 학제적 연구시스템이 도입될 것으로 보이며 이에 따라 여러 단과대학과 대학원이 융합한 형태로 운영될 것으로 예상된다.
코넬 테크가 지향하는 3대 산업은 미디어, 헬스케어 및 환경 산업으로 모두 차세대 성장동력산업에 해당한다. 현재는 공학석사(Master of Engineering) 과정만 개설되어 있지만, 테크 캠퍼스의 설립 자체가 다양한 분야의 학제적 연구를 목표로 한 것이므로 궁극적으로는 공학뿐만 아니라 여러 학문과의 연계방안이 유력하다. 또한 코넬 경영대학원(SC Johnson College of Business)과 함께 테크 관련 MBA 과정을 개설하게 되며, 이외에 노사관계대학이나 법학대학원과의 공동학위 등도 지향하고 있는 것으로 알려져 있다. 따라서 코넬 테크는 공학만이 아니라 코넬 대학교 전분야에 걸쳐 긍정적인 영향을 줄 것으로 예상된다.
위와 같은 코넬 대학교의 뉴욕 시내 테크 캠퍼스는 매우 야심찬 계획으로 대학 역량의 1/3 이상을 이타카에서 뉴욕 시로 이전하는 것이라는 평가를 받고 있다. 코넬 대학교가 아이비리그의 명성과 함께 세계의 경제수도라는 뉴욕시에 위치한 코넬 테크의 입지로 인한 유리함까지 누리게 될 경우 상당한 도약의 전기를 마련할 수 있을 것으로 기대되고 있다.
군론에서, 부분군(部分群, )은 스스로 군을 이루는, 주어진 군의 부분 집합이다. 즉, 군의 부분 집합이 부분군이 되려면, 항등원을 원소로 하며, 임의의 원소들의 곱을 원소로 하며, 임의의 원소의 역원을 원소로 하여야 한다. 부분군은 보편대수학에서의 부분 대수 구조의 특수한 경우이다. 모든 부분군은 부분 모노이드이지만, 군의 부분 모노이드는 부분군이 아닐 수 있다.
부분군은 군의 대수 구조 다양체에서의 부분 대수 구조이다. 구체적으로, 군 formula_1의 부분군은 다음 세 조건을 만족시키는 부분 집합 formula_2이다.
항등원을 유일한 원소로 하는 부분 집합 formula_13는 formula_1의 부분군을 이룬다. 이를 formula_1의 자명 부분군(自明~, )이라고 한다. 군 전체 formula_16는 formula_1의 부분군이다. formula_1가 아닌 formula_1의 부분군을 formula_1의 진부분군(眞~, )이라고 한다.
만약 formula_4가 formula_1의 부분군이라면, 흔히
라고 쓴다. 만약 formula_4가 formula_1의 부분군이며, formula_26라면, 흔히
부분군 formula_23은 formula_1의 연산을 물려받아 스스로 군을 이룬다. formula_1의 이항 연산을 formula_31라고 하였을 때, 이를 formula_4 위로 제한한 이항 연산
을 정의할 수 있다. (일반적인 부분 집합의 경우, 공역을 formula_4로 제한하지 못할 수 있다.) 또한, formula_4와 이 이항 연산은 군의 공리를 만족시킨다. formula_4 위의 결합 법칙은 formula_1 위의 결합 법칙의 특수한 경우이다. formula_1의 항등원은 formula_4에 속하며, 이는 formula_4의 항등원을 이룬다. 임의의 formula_41에 대하여, formula_42의 formula_1에서의 역원은 formula_4에 속하며, 이는 formula_42의 formula_4에서의 역원이다.
필요충분조건.
군 formula_1 및 부분 집합 formula_2에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
유한군의 (공집합이 아닌) 부분 집합의 경우, 연산에 대하여 닫혀 있는 것으로 부분군이 되기에 충분하다. 구체적으로, 군 formula_1 및 유한 부분 집합 formula_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
첫째 조건은 자명하게 둘째 조건을 함의한다. 이제, 둘째 조건을 가정하고, formula_4가 formula_1의 부분군임을 보이자. 임의의 formula_41의 역원이 formula_4에 속함을 보이면 충분하다. 만약 formula_68이라면, formula_69이다. 이제, formula_70이라고 하자. 가정에 따라,
는 formula_4의 부분 집합이다. formula_4가 유한 집합이므로, formula_71 역시 유한 집합이다. 즉, formula_75인 양의 정수 formula_76가 존재한다. 편의상 formula_77라고 하자. 양변에 formula_78를 곱하면 formula_79을 얻는다. 즉, formula_80이다. formula_70이므로, formula_82이며, formula_83은 양의 정수이다. 즉, formula_80은 formula_42의 양의 정수 번 거듭제곱이다. 가정에 따라, formula_54이다.
합집합과 교집합.
주어진 군의 임의의 수의 부분군들의 교집합은 부분군이다. 특히, 군 formula_1 및 부분 집합 formula_88에 대하여, formula_89를 포함하는 formula_1의 모든 부분군들의 교집합은 formula_1의 부분군을 이룬다. 이는 formula_89를 포함하는 formula_1의 최소의 부분군이다. 구체적으로, 이 부분군은 다음과 같다.
이다. formula_89가 한원소 집합인 경우, formula_97는 순환군이다. formula_89가 유한 집합인 경우, formula_97는 유한 생성 군이다. formula_89가 부분군일 필요충분조건은 formula_101이다.
주어진 군의 부분군들의 합집합은 부분군이 아닐 수 있다. 예를 들어, 두 부분군 formula_102에 대하여, formula_103일 필요충분조건은 formula_104이거나 formula_105인 것이다. formula_106와 formula_107는 formula_108의 부분군이지만, formula_109이다. x측과 y축은 formula_110의 부분군이지만, 그 합집합을 포함하는 최소의 부분군은 formula_111이다. 그러나, 부분군들의 족이 포함 관계에 의하여 상향 집합을 이룬다면, 그 합집합은 부분군이다. 특히, 군 formula_1의 부분군들의 열 formula_113에 대하여, 만약
라면, formula_115는 formula_1의 부분군이다.
부분군 격자.
임의의 주어진 군 formula_1의 부분군들은 포함 관계 아래 대수적 완비 격자 formula_118를 이룬다. 부분군 격자에서, 부분군의 집합 formula_119의 하한은 교집합 formula_120이며, 상한은 부분군들의 합집합을 포함하는 최소의 부분군
이다. 최소 원소는 자명 부분군 formula_122이며, 최대 원소는 formula_123이다. 콤팩트 원소는 유한 생성 부분군들이다.
잉여류와 라그랑주 정리.
부분군 formula_23가 주어졌을 때, formula_1 위에 다음과 같은 두 개의 동치 관계를 정의할 수 있다.
두 동치 관계에 대한 formula_128의 동치류는 각각 왼쪽·오른쪽 잉여류
이다. (formula_131에 대하여 formula_132이므로, formula_4 역시 왼쪽 잉여류이자 오른쪽 잉여류이다.) 따라서, 임의의 군은 서로 다른 왼쪽 잉여류들로 분할되며, 또한 서로 다른 오른쪽 잉여류들로 분할된다. 모든 왼쪽·오른쪽 잉여류의 크기는 일치하며, 이는 부분군의 크기 formula_134와 같다. 왼쪽 잉여류들과 오른쪽 잉여류들 사이에는 다음과 같은 일대일 대응이 존재한다.
따라서, 왼쪽·오른쪽 잉여류의 수는 일치하며, 이를 formula_4의 formula_1에서의 지표라고 한다. formula_1를 왼쪽 또는 오른쪽 잉여류로 분할하여 세면 formula_1의 크기가 formula_4의 크기와 지표의 곱임을 알 수 있다. 특히, formula_1가 유한군인 경우 formula_134는 formula_143의 약수이다. 이를 라그랑주 정리라고 한다.
정규 부분군과 몫군.
만약 formula_1가 아벨 군이라면, 교환 법칙에 의하여 왼쪽·오른쪽 잉여류를 구분할 필요가 사라진다. 보다 일반적으로, formula_4가 formula_1의 정규 부분군인 경우, 항상 formula_147이며, 모든 잉여류의 집합
위에 이항 연산
을 정의할 수 있다. (일반적인 부분군의 경우, formula_150, formula_151이더라도 formula_152일 수 있으므로 위 정의는 유효하지 않다.) 또한, 이 이항 연산은 군의 공리들을 만족시킨다. 이렇게 정의한 군 formula_153를 formula_1의 formula_4에 대한 몫군이라고 한다.
유한군의 부분군의 지표가 군의 크기의 최소 소인수라면, 이 부분군은 정규 부분군이다. 특히, 지표 2의 부분군은 항상 정규 부분군이다.
순환군의 부분군은 항상 순환군이다. 유한 formula_162차 순환군
의 부분군은 formula_162의 양의 약수와 일대일 대응한다. 구체적으로, formula_165에 대하여,
는 크기 formula_167의 유일한 부분군이며, 이는 formula_167차 순환군이다.
무한 순환군
의 부분군은 음이 아닌 정수와 일대일 대응한다. 구체적으로, formula_170에 대하여,
은 지표 formula_162(formula_173인 경우 formula_174)의 유일한 부분군이며, 무한 순환군이다. 특히, 무한군은 스스로와 동형인 진부분군을 가질 수 있다.
순환군은 아벨 군이므로, 모든 부분군이 정규 부분군이며, 몫군 역시 순환군이다.
정이면체군.
정이면체군의 부분군은 순환군이거나 정이면체군이다. formula_162차 정이면체군
의 부분군들은
의 원소들과 일대일 대응한다. 구체적으로, formula_165에 대하여,
는 formula_167차 순환 부분군이다. 마찬가지로, formula_165 및 formula_182에 대하여,
는 부분군이며, formula_167차 정이면체군과 동형이다. 또한, 이 목록은 겹치지 않는다.
formula_162이 홀수인 경우, formula_186의 부분군들의 켤레류의 목록은 다음과 같다.
formula_162이 짝수인 경우, 다음과 같다.
특히, formula_186의 정규 부분군의 목록은 다음과 같다. formula_162이 홀수인 경우,
formula_162이 짝수인 경우,
또한, 정이면체군의 임의의 몫군은 정이면체군이다.
대칭군.