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예를 들어, “…는 …의 약수”라는 조건은 두 정수 사이의 이항 관계 formula_1를 정의한다. 이 이항 관계는 기술적으로 formula_2이 formula_3의 약수인 경우의 모든 순서쌍 formula_4들의 집합이다. formula_5은 이 이항 관계의 원소이며, formula_6은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 formula_7나 formula_8 대신
와 같이 적는다.
이항 관계의 개념은 모임 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, 고유 모임일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.
이항 관계는 관계의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 관계라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 대응(對應, correspondence)이라고 일컫는다.
이항 관계는 다음 조건을 만족시키는 집합 formula_11이다.
만약 formula_16라면, formula_14와 formula_15 사이에 관계 formula_11가 성립한다고 해석한다. formula_20는 formula_16를 뜻한다. formula_22는 formula_23를 뜻한다. formula_24는 formula_16이며 formula_26임을 뜻한다.
집합 formula_27와 formula_28 위의 이항 관계는 이항 관계 formula_29를 뜻한다. 집합 formula_27 위의 이항 관계는 formula_27와 formula_27 위의 이항 관계 formula_33를 뜻한다. 모든 이항 관계 formula_11는 어떤 집합 (예를 들어, formula_35) 위의 이항 관계이다.
이항 관계 formula_11와 formula_37의 합성 formula_38는 다음과 같다.
이항 관계의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다.
이에 따라, 범주 formula_42을 다음과 같이 정의할 수 있다.
집합과 이항 관계의 범주 formula_42은 모든 작은 곱과 쌍대곱을 가지며, 둘 모두 분리합집합으로 주어진다. 또한, 동등자를 가지지 않지만, 모든 작은 약한 동등자()를 갖는다.
또한, 이항 관계 formula_11의 거듭제곱
을 정의할 수 있다. 이에 대하여 다음 항등식들이 성립한다.
그 밖에도, 다음 항등식들이 성립한다.
역관계.
이항 관계 formula_11의 역관계 formula_58는 formula_11 속 순서쌍의 두 성분을 뒤바꾼 이항 관계이다.
역관계는 자명하게 대합을 이룬다.
역관계와 합성은 다음과 같이 호환된다.
정의역과 치역.
이항 관계 formula_11가 주어졌을 때,
만약 formula_80라면, formula_81이므로, formula_82이다. 따라서, 이항 관계의 상·원상·정의역·치역은 항상 집합이다.
임의의 이항 관계 formula_11에 대하여, 다음이 성립한다.
코시 열(Cauchy列, )은 해석학에서 점 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 프랑스의 수학자인 오귀스탱 루이 코시에서 이름을 따서 명명되었다. 보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에, 유한한 수의 원소를 제외한 수열의 모든 원소간의 거리가 주어진 거리보다 작다.
각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다.
그러나 지수 의 값이 증가함에 따라 항은 임의로 커지게 된다. 따라서 모든 지수 과 거리 에 대해 을 만족하는 충분히 큰 지수 이 존재한다. 실제로 이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다.
코시 열의 효용성은 완비 거리 공간(모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용 알고리즘에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는 반복법으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다.
실수에서의 활용.
실수의 수열 formula_3이 있다고 하자. 모든 양수인 "ε"에 대해 양의 정수 "N"이 있어서, 모든 자연수 "m", "n" &gt; "N"이 다음 조건을 만족한다면, 이 수열을 코시 열이라고 부른다.
여기서 수직 막대는 절댓값을 나타낸다. 비슷한 방법으로 유리수나 복소수의 코시 열을 정의할 수 있다. 코시는 이러한 조건을 무한대인 "m", "n"의 모든 쌍에 대해 formula_5이 무한소가 되는 것으로 공식화했다.
실수 "r"의 경우에는 "r"의 잘린 소수 확장 수열은 코시 열을 형성한다. 예를 들어 "r" = "π"일 때 이 수열은 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)이다. "m" &lt; "n"을 가정할 때 "m"번째와 "n"번째 항은 최대 101−"m"만큼 달라지며 "m"이 커짐에 따라 고정된 양수 ε보다 작아진다.
코시 수렴 계수.
만약 formula_6가 집합 formula_7의 수열인 경우에는 수열에 대한 "코시 수렴 계수"는 자연수 집합에서 자신에게 formula_8와 같은 함수 formula_9이다.
코시 수렴 계수가 있는 모든 수열은 코시 열이다. 코시 열을 위한 계수의 존재는 자연수의 순서적 특성에서 비롯된다 (formula_10는 코시 열의 정의에서 가능한 가장 작은 formula_11이 되도록 하여 formula_12을 formula_13로 한다). 또한 계수의 존재는 선택 공리의 약한 형태인 의존적 선택 공리로부터 따르며 또한 AC00이라고 불리는 훨씬 더 약한 조건으로부터 온다. "정규 코시 열"은 주어진 코시 수렴 계수(보통 formula_14 또는 formula_15)의 수열이다. 코시 수렴 계수를 갖는 모든 코시 열은 정규 코시 열과 동일하다. 이것은 어떠한 형태의 선택 공리도 사용하지 않고 증명될 수 있다.
코시 수렴 계수는 어떠한 형태의 선택도 사용하지 않으려는 구성주의 수학자들에 의해 사용된다. 코시 수렴 계수를 사용하면 구성주의 해석학에서 정의와 이론을 모두 단순화할 수 있다. 정규 코시 열은 에렛 비숍(Errett Bishop)의 구성적 해석학 기초(Foundations of Constructive Analysis)에서, 더글러스 브리지(Douglas Bridges)의 비구성적 교과서()에서 사용되었다.
거리 공간에서의 활용.
코시 열의 정의는 거리 개념만 포함하므로 이를 거리 공간 "X"로 일반화하는 것이 간단하다. 이를 위해 은 "x""m"과 "x""n" 사이의 거리 "d" ("x""m", "x""n") (여기서 "d"는 거리를 나타냄)로 대체된다.
일반적으로 주어진 거리 공간 의 수열은 이다. 코시 열()은 모든 양의 실수 인 경우 모든 양의 정수 에 대해 거리인 양의 정수 이 있다는 것을 의미한다.
대략적으로 말해서 수열의 항은 "X"에 극한이 있어야 한다는 것을 암시하는 방식으로 점점 더 가까워지고 있다. 그럼에도 불구하고 그러한 극한은 항상 "X" 내에 존재하는 것은 아니다. 모든 코시 열이 공간에서 수렴하는 공간의 속성을 완비성이라고 하며 아래에 자세히 설명되어 있다.
완비성.
실수는 일반적인 절댓값에 의해 유도된 거리 아래에서 완비이며 실수의 구성 가운데 유리수의 코시 열을 포함한다. 이 구조에서 특정한 꼬리 행동을 가진 유리수의 코시 열의 각 동치류, 즉 서로 임의로 가까워지는 수열의 모임은 실수이다.
유리수 Q는 일반적인 거리에서 완비가 아니다. 무리수 R에 수렴하는 일련의 유리수들이 있는데 이들은 Q에 극한이 없는 코시 열들이다. 실수 "x"가 무리수인 경우에 "n"번째 항이 "x"의 소수점 확장에서 "n"번째 항이 잘린 소수점 자리인 수열("x""n")은 무리수인 극한 "x"를 가진 유리수의 코시열을 제공한다. 무리수는 확실히 R에 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.
R에 보통 거리가 있는 실수의 집합에서 열린 구간 formula_22는 완비 공간이 아니다. 그 안에 수열 formula_23이 있는데 이것은 코시 열(임의적으로 작은 거리 경계 formula_24의 경우 formula_25의 모든 항 formula_26이 formula_27 구간에 적합하다)이다. 그러나 "극한"인 수 formula_28은 공간 formula_7에 속하지 않는다.
수열의 완비성 공리
어떤 수열에 유계가 존재하고 단조증가이거나 단조감소이면 이 수열은 어떤 값t에 수렴한다.
이는 공리이므로 증명을 제시하지 않는다.
그 외의 속성.
볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리는 이들의 마지막 2가지 특성과 밀접하게 관련된 실수의 완비성에 대한 표준 증거를 제시한다. 실수의 코시 열은 유계이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 갖기 때문에 그 자체를 스스로 수렴한다. 실수의 완전성에 대한 이 증거는 암시적으로 최소 상계 성질을 이용한다. 위에서 언급한 유리수의 완성으로서 실수를 구성하는 대안적 접근 방식은 실수의 완전성을 자율적으로 만든다.
코시 열로 작업하고 완비성을 사용할 수 있는 이점을 보여주는 표준 삽화 가운데 하나는 무한히 연속되는 실수의 합계(또는 보다 일반적인 노름 공간 또는 바나흐 공간의 원소)를 고려하여 제공된다. 이러한 급수 formula_30은 부분합 formula_31의 수열이 수렴하는 경우에만 수렴하는 것으로 간주된다. 여기서 formula_32이라는 등식이 성립된다. 양수 "p" &gt; "q"인 경우에는 formula_33이라는 등식을 통해 부분합의 수열이 코시 열인지 아닌지를 판단할 수 있다.
만약 formula_34가 거리 공간 "M"과 "N" 사이의 균등 연속 함수이고 ("x""n")가 "M"의 코시 열이라면, formula_35는 "N"의 코시 열이다. 만약 formula_36와 formula_37가 유리수, 실수 또는 복소수에서 2개의 코시 열이라면, 합계 formula_38와 곱 formula_39 역시 코시 열이다.
위상 벡터 공간.
위상 벡터 공간 formula_7에 대한 코시 열의 개념도 있다. 먼저 0에 대한 국소기저인 formula_7의 formula_42를 선택한다. (formula_43)는 각 구성체가 formula_44일 때에 formula_45이 formula_46의 원소일 때에 코시 열이다. formula_7의 위상 배치가 변환 불변 공간 formula_48와 호환된다면 2가지 정의는 일치한다.
위상군.
코시 열의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "추출" 연산만 있으면 되기 때문에 위상군의 맥락에서 설명될 수 있다. 위상군 formula_49의 수열 formula_50는 formula_49의 항등원의 모든 열린 근방 formula_52에 대해 formula_53이 존재할 때마다 formula_54를 따르는 일부 formula_11이 존재한다면 코시 열이다.
거리 공간의 완비화 구성과 마찬가지로 formula_49에 있는 모든 열린 근방 formula_52에 대해 formula_53이 formula_59을 따르도록 몇 개의 formula_11이 존재한다면 formula_50와 formula_62가 동등하다는 코시 열에 대한 이진 관계를 정의할 수 있다. 이러한 관계는 동치관계이고 이러한 수열은 반사적인 코시 열이다. 이러한 수열은 formula_63이기 때문에 대칭이며 이는 역의 연속성에 의해 항등원의 또다른 열린 근방이기 때문에 대칭이다. formula_64에서 formula_65와 formula_66는 formula_67와 같이 항등원의 개방된 근방이기 때문에 추이적 관계이다. 이러한 쌍들은 군 연산의 연속성에 의해 존재한다.
formula_49군에는 코시 열 개념도 있다: formula_69은 유한 지수 formula_49의 정규 부분군이 감소하는 수열이다. formula_49의 수열 formula_36는 코시 열(w.r.t. formula_73)이라고 표현하는데 formula_11과 같은 formula_75인 경우에 formula_12이 있는 경우에만 해당된다. 기술적으로 이것은 formula_49의 위상 배치를 위한 코시 열과 동일하며 formula_73가 국소기저이다.
이러한 코시 열의 집합 formula_79는 (성분별 결과물인 경우) 군을 형성하며 Null 수열(s.th. formula_80)의 집합 formula_81은 formula_79의 정규 부분군이다. 요인 그룹 formula_83은 formula_73와 관련하여 formula_49의 완성이라고 한다. 그런 다음에 이러한 완비가 수열 formula_86의 역극한과 같은 형이라는 것을 확인할 수 있다.
정수론과 대수기하학에서 익숙한 이러한 구조의 예는 소수 "p"에 대한 p진수 완비 구조이다. 이 경우 "G"는 추가되는 정수이고 "H""r"은 "p""r"의 정수 배수로 구성된 가법 부분군이다. 만약 formula_73가 공종 집합 수열이라면(즉 유한 지수의 모든 정규 부분군은 formula_88을 포함한다) 이 완비는 formula_89의 역극한과 동일하다는 점에서 표준이다. 여기서 formula_73는 유한 지수의 "모든" 정규 부분군에 걸쳐 변화한다.
초실수의 연속.
실제 수열 formula_91은 일반적인 자연수 "n" 이외에 지수 "n"의 초정수 값에 대해 정의된 자연적인 초실수 확장 "H"를 갖고 있다. 무한대인 "H"와 "K"에 대해 값이 표시되는 경우(formula_92)만 코시 열이다. 여기서 "st"는 표준부분함수이다.
코시 범주 완비.
헤닝 크라우제(Henning Krause)는 2018년에 범주의 코시 완비화에 대한 개념을 도입했다. Q(유리수를 대상으로 하며, 작은 유리수에서 큰 유리수로의 사상을 가지는 얇은 범주)의 범주 코시 완비화는 R(마찬가지의 범주)이다.
고타 강령(고타 綱領, )은 독일사회주의노동자당(Sozialistische Arbeiterpartei Deutschlands)의 강령이다. 아우구스트 페르디난트 베벨과 빌헬름 리브크네히트의 지도하에 있던 사회민주노동자당과 빌헬름 하젠클레버 하의 전독일노동자협회가 1875년 5월 22일부터 27일까지 고타에서 열린 당대회에서 통합을 선언하고 고타 강령을 당 강령으로 채택한다.
사회민주노동자당 강령의 핵심은 "자유로운 국가와 사회주의적 사회, 임노동제의 철폐를 통한 구시대적 임금법의 분쇄, 모든 사회에서의 착취의 지양, 모든 사회적 정치적 불평등의 제거"였다. 양당의 통합을 주도한 인물은 리브크네히트와 베벨와 함께 빌헬름 하젠클레버였다.
고타 강령은 당시 런던에서 망명하고 있던 사회주의 이론가 칼 마르크스가 많은 비판을 했다. 마르크스는 고타 강령이 개혁주의적인 전독일노동자협회의 입장에 기울어져 있다고 봤기 때문이다. 리브크네히트는 강령보다 독일에 단일한 노동자 정당을 건설하는 것이 중요하다고 생각했기 때문에 독일 사회주의노동자당에 참여한다. 그는 후에 1876년 창간된 당기관지 '전진'을 통해 마르크스주의의 재수용과 사회주의노동자당의 혁명적 내용을 지지한다.
남북으로 1,000 km, 동서로 2,500 km 가량되며 평균 고도는 4,500 m이다. 세계의 지붕이라고도 불리며 넓이는 250만 km2로 세계에서 가장 높고 가장 큰 고원이다.
인도판과 유라시아판의 충돌로 대략 5,500만 년 전에 형성되었다. 현재도 진행 중이다.
티베트고원은 동아시아에 위치한 넓고 높은 고원이다. 티베트 자치구와 중화인민공화국 칭하이성, 그리고 인도 카슈미르에 걸쳐 있는 티베트고원은 남북 1000 km, 동서 2500 km에 뻗어 있으며, 그 평균 높이는 4500 m가 넘는다. '세계의 지붕'으로 불릴 만큼 세계에서 가장 높고 크며 면적은 약 250만 km2나 된다. 이 고원은 인도판와 유라시아판이 신생대에 충돌하며 생성되었으며 그 과정은 지금도 진행되고 있다.
이 고원은 산맥과 소금 호수가 분포한 고원의 건조, 스텝 지대를 형성하고 있다. 한 해 평균 강수량은 100 mm에서 300 mm로, 강수량의 대부분은 우박을 이룬다. 유목민들은 고원의 남부 및 동부 경계의 한 해 6개월가량 서리가 내리는 목초지에서 유목 생활을 유지하고 있다. 고원의 북부과 북서부에 위치한 외딴 커커시리 지역에 이르기까지 북서부로 갈수록, 고원의 고도가 높아지며, 기온이 떨어지며, 토질이 척박해짐을 알 수 있다. 이 지역 평균 고도는 5,000 m(16,500 ft)가 넘으며, 대기 속 산소량은 해수면 산소량의 60%에 맞먹으며, 한 해 평균 영하 4'C의 기온을 나타내며, 최저 기온은 영하 40'C까지 떨어진다.
커커시리는 이러한 극한의 환경으로 인하여, 전 아시아에서 가장 인구 밀도가 희박하며 전 세계적으로 남극과 북쪽의 그린란드 다음인 세 번째로 인구 밀도가 희박한 지역으로 잘 알려져 있다. 티베트고원의 북서부 지역은 타림 분지와 경계를 이루는 쿤룬산맥에, 북동쪽은 고비 사막과 경계를 이루는 치롄산맥과 맞닿아, 고원의 남부 지역은 히말라야 기슭을 통해 뻗어있는 브라마푸트라강 계곡과 인도의 광활한 갠지스 평야로 둘러싸여 있다. 한편, 고원의 동부과 남동부 지역은 땅륀강, 메콩강을 비롯한 쓰촨 분지 서쪽의 창장 삼림 계곡과 산 상류의 산등성이를 마주하며, 서쪽은 카슈미르 북쪽에 위치한 융단과 같은 카라코람 고개의 능선으로 둘러싸여 있다.
티베트고원은 신생대 초기(약 5500만 년 전)에 인도판과 유라시아판의 충돌로 형성되기 시작하였다. 티베트고원이 형성되면서 상당한 기후 패턴의 변화가 있었으며, 아시아 열대 몬순에 영향을 주었다고 생각된다. 6월에서 10월에 걸친 인도 몬순 시기에 남쪽으로부터 불어오는 습한 열대 공기는 히말라야산맥에 막혀 비그늘을 만드는데, 이 때문에 인도 북부는 매우 습하게 되는 반면, 티베트고원 지역은 매우 건조하게 된다. 바람은 고원을 지나며 남아있던 습기를 모두 잃어버리며, 더욱 건조하게 되어 북쪽으로 이동하며 타클라마칸 사막이나 고비 사막을 만들게 된다.
세계적으로도 긴 강들이 티베트고원에서 발원하는데, 장강, 황하, 인더스강, 사틀루즈강, 브라마푸트라강, 메콩강, 이라와디강, 땅륀강 등이 포함된다. 이들 강들은 전 세계에서 유실되는 토양의 1/4을 침식하여 수송하고 있다.
인류 문화에서 이룩한 가장 큰 진보 중 하나는 유목적 목축의 발달이다. 유목민의 적응은 생존을 위한 것으로, 그 지역에 적합하지 않은 곡식 대신에 목초지에서 가축류를 기르면서 이루어졌다. 유목민들은 지금도 티베트고원과 히말라야산맥 등지에서 살아가고 있다. 그들의 삶은 역사적으로 아시아와 아프리카로 확산되었던 유목이 여전히 남아있는 경우에 해당한다.
1931년 7월 1일 "밴쿠버 국제 수상기 공항(Vancouver International Water Airport)"으로 개항했다. 당시에는 폭격기를 제외하면 대형 수상기 정도만이 대륙간 대양횡단 또는 대륙횡단 비행을 할 수 있었기 때문으로, 당시 기술로는 그정도 비행거리를 가지는 항공기가 여객을 목적으로 광동체화할 경우 그 중량과 착지충격을 감당할 노반을 그렇게 대규모로 짓기가 곤란했던 것이 크다. 거기다 당시 광동체 대륙간 여객기로 주로 쓰던 보잉 314는 내부에 호화 여객선과 견줄만한 시설을 넣었고, 그 바람에 중량은 당시 많이 쓰이던 경쟁기종인 쌍발 DC-3는 물론, 314가 대체했던 팬암의 단 3대뿐이었으나 모조리 추락사고로 파괴 및 영구소실됐던 4발 협동체 수상기 마틴 M-130과 비교해도 압도적으로 무거웠었다. 따라서 4발 광동체 대륙간 여객기는 물 위가 아니면 운용 자체가 아예 불가능했고 그나마 장거리 폭격기를 다뤄야 하는 군사기지가 그래도 전략 목적으로 그정도 중량의 항공기가 쓸수있는 활주로 노반을 지었던 것이 고작이었다. 그래서 수상기 전용공항으로 개항했던 것이다. 그러다 결국 지상공항화를 하면서 제2차 세계대전 중 군용기지로 활용됐고, 1947년 밴쿠버가 공항 관리를 재개하면서 민항기 운항이 시작됐다. 1968년에 현재의 주 터미널이 건립되었고, 1996년에 국제선 터미널이, 2005년에 국내선 터미널이 증축되었다. 2011년 현재 여객 터미널은 국제선과 국내선 터미널과 별도의 사우스터미널 등 3개가 있다. 2010년 현재 승객 및 비행횟수 측면에서 토론토 피어슨 국제공항에 이어 캐나다에서 두 번째로 붐비는 공항이다. 스카이트랙스(Skytrax)가 발표한 북미 공항 최고상을 2007년과 2010년부터 2018년까지 9회 연속 수상하는 등 수상하는 등 북미 최고의 공항으로 불려왔다.
국내선 터미널.
1968년 완공된 터미널. 탑승구는 A1,6, B11,22, C25,52의 3블록으로 나뉘는데, A블록은 주로 웨스트 제트가 C블록은 주로 에어 캐나다가 사용하고 있다. A블록 보딩 브리지는 특수한 구조 도중에서 2가지로 나뉘며 한쪽은 기체 전방의 문, 다른 한쪽은 기체의 주익을 넘어 기체 뒤쪽 문에서 탑승할 수 있다. 항공사나 이용 등급에 불구하고 유료로 이용할 수 있는 라운지(Plaza Premium Lounge)도 마련되고 있다.
1996년에 국내선 터미널을 확장하는 형태로 새롭게 건설완료했다. 미국의 사전 입국 시설(즉 도착 시는 다른 미국 국내선과 같은 장소에 내려옴)이 있어 미국으로 떠나는 여행객은 그 이외의 여객과 동선이 구분되면서 이 구역은 종종 USA터미널(탑승구 E70~96)으로 안내되고 있어. 그것 이외 일반의 국제선의 탑승구는 D50, D78이지만, 일부의 탑승구는 수요에 응하고 국내선과 미국선용으로 이용할 수 있도록 동선을 구절레루게 되고 있다. 항공사나 이용 등급에 불구하고 유료로 이용할 수 있는 라운지(Plaza Premium Lounge)도 마련되고 있다.
남 터미널.
최고의 터미널에서 주로 주 내를 맺은 지역 항공사나 제너럴 애비에이션용이다. 수상기와 헬기는 이 터미널을 이용한다. 메인 터미널 사이는 무료 셔틀 버스가 접속하고 있다. 탑승구는 G1,3이다.
《로마》()는 미국의 HBO, 영국의 BBC, 이탈리아의 RAI가 공동제작한 TV 역사 드라마이다. 기원전 1세기 고대 로마가 공화국에서 제국으로 변모하던 시기를 그린 작품이다.
시즌 1은 미국의 HBO 케이블 텔레비전에서 2005년 8월 28일부터 11월 20일까지 방영되었다. BBC에서는 2005년 11월 2일부터 2006년 1월 4일까지 방영되었다. RAI에서는 2006년 3월 17일부터 4월 28일까지 방영되었다.
시즌 2는 2007년 1월 4일부터 3월 25일까지 미국에서 방영되었다. 국내에서는 SBS 외화시리즈로 2006년 11월 9일 ~ 2007년 2월 15일까지는 시즌 1를 2008년 9월 20일 ~ 2008년 10월 18일까지 시즌 2를 방영하여 전부 방영했다.
《로마의 일인자》는 가시나무새들("The Thorn Birds")로 유명한 [콜린 매컬로]가 쓴 &lt;마스터스 오브 로마 Masters Of Rome&gt; 시리즈(총 7부작)중 제1부에 해당하는 작품이며, &lt;뉴욕 타임스&gt; 베스트셀러이다.
껀저현(Huyện Cần Giờ)은 호찌민 시의 동남쪽에 위치한 해변에서 가까운 현이다. 호찌민 시내 중심에서 약 50km의 거리에 있다. 면적은 704.45km2이다. 행정구역 상으로는 호찌민시에 속해 있다.
껀저 현은 1개의 티쩐(thị trấn)과 6개의 싸(xã)로 나뉘어 있다.
껀저 지역은 2000년 유네스코에 의하여 생물권보전지역으로 지정되어 있다. 동·식물이 그대로 잘 보존되어 있고, 특히 수백 마리의 원숭이가 반야생으로 생활하고 있다.
스펙트럼은 항생물질에게 감수성이 있는 세균의 범위(균주)와 그 작용 강도(효과)를 표시하는 것이다. 항균 스펙트럼, 항균역(抗菌域)이라고도 하고 영어로는 spectrum으로 표기한다.
선위(禪位) 또는 양위(讓位)는 군주(군왕)가 아직 살아 있으면서 다른 사람에게 군주의 지위를 물려주는 일을 가리킨다. 보통 같은 왕조에서 아버지가 아들에게 왕위를 물려주고 자신은 상왕(上王) 또는 상황(上皇)으로 물러나 있는 것을 말한다. 중국의 역사에서는 아들을 제쳐두고 혈통이 다른 인물에게 왕위를 물려주는 것을 선양(禪讓)이라고 하여 유교적 이상향의 하나로 여긴다. 이처럼 선양도 선위의 일종이다.
수학, 특히 순서론에서 극대 원소(極大元素, )와 극소 원소(極小元素, )는 부분 순서 집합에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 최대 원소, 최소 원소보다 약한 개념이다. 줄여서 극대원, 극소원이라고도 한다.
극대·극소 원소는 각각 존재하지 않을 수도, 유일하게 존재할 수도, 둘 이상 존재할 수도 있다. 극대 원소가 존재할 충분조건은 초른 보조정리에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 사슬이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 정렬 정리, 선택 공리와 동치인 명제이다.
부분 순서 집합 formula_1의 극대 원소 formula_2는 다음의 서로 동치인 두가지 정의가 있다.
부분 순서 집합 formula_1의 극소 원소는 반대 순서 집합 formula_9의 극대 원소이다. 즉, 다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 formula_10이다.
존재성과 유일성.
존재성.
유일성.
모든 최대 원소는 극대 원소이며, 모든 최소 원소는 극소 원소이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
최대 원소와 최소 원소가 각각 많아야 하나뿐인 반면, 부분 순서 집합의 극대 원소와 극소 원소는 여러 개일 수 있다. 다만, 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.
극대 원소와 최대 원소가 동일시 되는 경우는 전순서뿐만이 아니다. 임의의 집합 formula_24에 대해, 그의 멱집합과 포함 관계로 이루어진 부분 순서 집합 formula_30은 극대와 최대, 극소와 최소 원소가 각각 유일하며 같으나, 이는 일반적으로 전순서가 아니다(formula_24의 원소가 없거나 하나 뿐일 때에만 전순서이다).
순서론에서 부분 순서 집합(部分順序集合, ) 또는 반순서(半順序)는 먼저와 나중, 크고 작음, 멀고 가까움, 좋고 나쁨, 선호 등의 순서적 개념을 추상화한 이항 관계를 갖춘 집합이다. 사람들 사이의 조상-후손 관계를 예로 들 수 있다. 부분 순서 집합은 비교 불가능한 두 원소를 가질 수 있다. 예를 들어, 어떤 두 사람은 둘 다 상대방의 조상이 아닐 수 있다. 또한, 부분 순서는 추이적 관계이어야 하며 (조상의 조상은 조상), 반대칭적이어야 한다 (동시에 조상이자 후손일 수 없음). 부분 순서는 반사적인 것(formula_1, formula_2에서의 formula_3)과 비반사적인 것(formula_4, formula_5에서의 formula_6)으로 나뉜다. 두 종류의 부분 순서는 일대일 대응하며, 어느 한 종류의 부분 순서가 주어지면 남은 하나도 자동으로 따라온다.
유한 부분 순서 집합은 하세 도형을 통해 시각적으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 가계도는 어떤 가문의 조상-후손 부분 순서를 그린 하세 도형이다. 하세 도형에서, 집합의 원소들은 원으로 나타내며, 원소 사이의 순서 관계는 두 원을 잇는 선분으로 나타낸다. 원이나 선분은 서로 겹치지 않아야 하며, 작은 원소는 큰 원소보다 낮은 곳에 있어야 한다. 유한 개의 원소를 갖는 경우, 이는 항상 만족 가능하다.
부분 순서 집합의 개념은 원순서 집합보다 강하고, 전순서 집합보다 약하다. 전순서 집합는 임의의 두 원소가 비교 가능한 부분 순서 집합이다. 원순서 집합의 개념은 부분 순서 집합의 개념에서, 서로 다른 두 원소가 똑같은 순위를 가지는 경우를 허용하여 얻는다. 범주론적으로, 부분 순서 집합의 개념은 서로 다른 대상이 동형이 아닌 작은 얇은 범주의 개념과 동치이다. 위상수학적으로, 부분 순서 집합은 알렉산드로프 콜모고로프 공간의 개념과 동치이다. 즉, 이들 개념은 같은 이론의 서로 다른 측면들이다.
순서론적 정의.
부분 순서 집합의 개념은 통상적으로 반사 관계를 사용하여 정의된다. 집합 formula_7 위의 (반사/비절대/비순) 부분 순서((反射/非絶對/非純)部分順序, )는 다음 세 조건을 만족시키는 이항 관계 formula_8이다.
부분 순서 집합 formula_17은 부분 순서를 갖춘 집합이다. 여기에서 반대칭 조건을 생략하면, 원순서의 개념을 얻는다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, 전순서 집합이라고 한다.
다음 정의는 비반사 관계를 사용하며, 반사 관계를 통한 사용한 정의와 동치이다. 집합 formula_7 위의 비반사/절대/순 부분 순서(絶對/純部分順序, )는 다음 두 조건을 만족시키는 이항 관계 formula_22이다.
두 조건으로부터 추가로 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.
부분 순서 집합 formula_31은 비반사 부분 순서를 갖춘 집합이다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, 전순서 집합이라고 한다.
반사 관계를 통한 정의와 비반사 관계를 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 반사 부분 순서 formula_8가 주어졌을 때, 이항 관계
는 비반사 부분 순서를 이룬다. 반대로, 비반사 부분 순서 formula_22가 주어졌을 때, 이항 관계
는 반사 부분 순서이다. 또한, 두 방향의 대응 관계는 서로의 역이며, 따라서 주어진 집합 위 반사 부분 순서와 비반사 부분 순서 사이의 일대일 대응을 이룬다.
부분 순서 집합 formula_17에서, formula_41는 formula_20를 뜻하는 표기이다. formula_43는 formula_35를 뜻한다.
범주론적으로, 원순서 집합의 개념은 작은 얇은 범주의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 원순서 집합 formula_17은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.
이 경우, 부분 순서 집합은 다음 조건을 추가로 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
위상수학에서, 원순서 집합의 개념은 알렉산드로프 공간의 개념과 동치이다. 이 경우, 원순서 집합 formula_17에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 부분 순서 집합의 개념은 콜모고로프 공간인 알렉산드로프 공간의 개념과 동치이다. 사실, 서로 수반 함자를 이루는 두 함자 formula_56를 적절히 제한하면, 부분 순서 집합의 범주 formula_57와 콜모고로프 공간의 범주 formula_58 사이의 한 쌍의 수반 함자
를 얻는다. 또한, formula_58 대신 콜모고로프 알렉산드로프 공간의 범주를 사용하면, 두 범주 사이의 동형을 얻는다.
순서 보존 함수.
두 부분 순서 집합 formula_17, formula_62 사이의 함수 formula_63가 다음 조건을 만족시키면, 순서 보존 함수()라고 한다.
또한, formula_67가 다음 조건을 만족시키면, 순서 반사 함수()라고 한다.
예를 들어, 자연수 집합(약수 관계에 의한 부분 순서)에서 그 멱집합(포함 관계에 의한 부분 순서)으로 가는 함수 formula_71가 임의의 자연수를 소인수들의 집합으로 대응시킨다면, 이는 순서 보존 사상이다. 임의의 자연수는 그의 약수의 소인수를 소인수로 가지기에 그러하다. 하지만 이는 단사가 아니며 (formula_72) 순서 반사도 아니다(formula_73, 하지만 formula_74). 자연수를 소수 거듭제곱 형식의 약수들의 집합으로 대응시키는 함수 formula_75는 순서 보존, 순서 반사이며 따라서 순서 매입이다, 전단사가 아니므로 (formula_76의 역상이 존재하지 않는다) 순서 동형은 아니다. 그러나 공역을 formula_77으로 제한하면 순서 동형이 된다. 집합과 멱집합 사이의 순서 동형은 더 넓은 의미의 부분 순서인 분배 격자로 일반화할 수 있다(버코프의 표현 정리 참조).
극값.
부분 순서 집합 formula_78에는 최대 · 최소, 극대 · 극소, 상계 · 하계의 개념이 존재한다.
예를 들어 양의 정수 집합과 약수 관계로 이루어진 부분 순서 집합 formula_110를 생각하면, 1은 그의 최소 원소이다. 최대 원소와 극대 원소는 존재치 않는다. 여기에 0을 추가하면 0이 최대 원소가 된다. 1보다 큰 정수만을 생각하면, 최소 원소가 존재하지 않게 되고, 모든 소수가 극소 원소가 된다. 이러한 집합에서, 부분 집합 formula_111은 상계 60을 가지며 하계는 존재하지 않는다. 2의 거듭제곱들의 집합은 2를 하계로 가지며 상계가 존재하지 않는다.
반대 순서 집합.
부분 순서 집합 formula_17이 주어졌을 때, formula_7 위에 다음과 같은 부분 순서 formula_114를 정의할 수 있다.
이 경우, formula_116를 formula_17의 반대 순서 집합이라고 한다.
부분 순서 formula_3 · 절대 부분 순서 formula_6 · 반대 부분 순서 formula_114 · 반대 부분 순서의 절대 부분 순서 formula_121 가운데 임의의 하나가 결정되면, 나머지 셋 역시 결정된다.
선형합.
부분 순서 집합의 전순서 집합 formula_122이 주어졌을 때, 분리 합집합 formula_123 위에 다음과 같은 부분 순서 formula_3를 정의할 수 있다.
부분 순서 집합의 족 formula_126이 주어졌을 때, 곱집합 formula_127 위에 다음과 같은 부분 순서 formula_3를 정의할 수 있다.
이 경우, formula_130를 formula_126의 직접곱()이라고 한다.
부분 순서 집합의 정렬 집합 formula_122이 주어졌을 때, 곱집합 formula_127 위에 다음과 같은 이항 관계 formula_3를 정의할 수 있다.
부분 순서의 수.
크기 formula_137의 집합 위의 부분 순서의 수는 다음과 같다. (formula_138)
크기 formula_137의 집합 위의 부분 순서의 동형류의 수는 다음과 같다. (formula_138)
모든 전순서는 부분 순서이다. 예를 들어, 자연수 집합 formula_141이나 정수 집합 formula_142, 유리수 집합 formula_143, 실수 집합 formula_144 위의 표준적인 순서는 전순서이므로 부분 순서이다.
집합 formula_145의 멱집합 formula_146 위의 포함 관계 formula_147는 부분 순서이며, 만약 formula_145가 두 개 이상의 원소를 갖는다면 이는 전순서가 아니다. 또한, 이를 formula_146의 부분 집합에 국한시켜도 역시 부분 순서를 이룬다. 예를 들어,
부분수열에 의한 관계는 특정한 집합 (예를 들어 어떤 수열의 부분수열들의 집합, 집합 formula_7의 원소를 항으로 하는 수열들의 집합) 위의 부분 순서이다. 이는 일반적으로 전순서가 아니다. 이와 비슷하게 문자열들의 집합에서 부속문자열에 의한 관계는 부분 순서이다.
양의 정수의 집합 formula_151 위의 약수 관계 formula_152(formula_153는 formula_154가 formula_155의 약수라는 의미)는 부분 순서이며, 이는 전순서가 아니다.
부분 순서 집합 formula_145의 수열 공간 formula_157에 정의된 성분별 순서는 부분 순서이다.
부분 순서 formula_8에 대하여, 전순서 formula_160를 formula_3의 선형 확장이라고 한다. 예를 들어, 부분 순서 집합의 직접곱의 한 가지 선형 확장은 사전식 순서이다. 선택 공리 아래, 임의의 부분 순서는 선형 확장을 갖는다. 컴퓨터 과학에서, 위상 정렬은 부분 순서의 선형 확장을 구하는 알고리즘이다.
formula_4은 항등원을 가질 필요가 없다. 항등원을 갖는 반군을 모노이드라고 한다. 즉, 반군과 모노이드의 관계는 유사환과 환의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.
반군 준동형.
두 반군 formula_2, formula_6 사이의 반군 준동형(半群準同型, )은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_7이다.
모든 모노이드는 반군이므로, 두 모노이드 사이의 반군 준동형을 생각할 수 있다. 두 모노이드 사이의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다 (즉, 항등원을 항등원으로 대응시키지 않을 수 있다).
부분 반군.
반군 formula_2의 부분 집합 formula_11가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_6를 formula_2의 부분 반군(部分半群, )라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군 formula_17을 formula_2의 왼쪽 아이디얼()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군 formula_17을 formula_2의 오른쪽 아이디얼()이라고 한다.
왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 아이디얼()이라고 한다. 모노이드의 아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다 (즉, 1을 포함하지 않을 수 있다). 이는 환의 환론적 아이디얼이 부분환을 이룰 필요가 없는 것과 마찬가지다.
반군 formula_2의 부분 반군의 몫반군을 formula_2의 인자()라고 한다.
특별한 원소.
영원.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_27가 존재한다면, 이를 formula_2의 왼쪽 영원()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_31가 존재한다면, 이를 formula_2의 오른쪽 영원()이라고 한다.
왼쪽 영원이자 오른쪽 영원인 원소를 영원()이라고 한다. 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 영원은 만약 존재한다면 유일하다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_35가 존재한다면, 이를 formula_2의 왼쪽 항등원()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_39가 존재한다면, 이를 formula_2의 오른쪽 항등원()이라고 한다.
왼쪽 항등원이자 오른쪽 항등원인 원소를 항등원()이라고 한다. 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 항등원은 만약 존재한다면 유일하다. 이렇게 양쪽 항등원을 갖는 반군을 모노이드라고 한다.
멱등원.
반군 formula_2 속에서 formula_43를 만족시키는 원소 formula_44를 멱등원()이라고 한다. 왼쪽 영원 · 오른쪽 역원 · 왼쪽 항등원 · 오른쪽 항등원은 모두 항상 멱등원이다.
유한 반군은 항상 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 보다 일반적으로, 모든 원소의 차수가 유한한 반군은 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 이는 하나의 원소로 생성되는 모든 유한 반군은 멱등원을 갖기 때문이다.
정칙원.
반군 formula_2 속의 원소 formula_44에 대하여, 만약 formula_47가 되는 원소 formula_48가 존재한다면, formula_49를 정칙원()이라고 하고, formula_50를 formula_49의 유사역원()이라고 한다. 유사역원은 일반적으로 유일하지 않다.
반대 반군.
반군 formula_1가 주어졌을 때, 집합 formula_2 위에 다음과 같은 다른 이항 연산 formula_54을 줄 수 있다.
그렇다면 formula_57는 반군을 이룬다. 이를 formula_1의 반대 반군(反對半群, )이라고 하고, formula_59으로 쓴다.
몫반군.
반군 formula_2 위의 합동 관계 formula_61는
를 만족시키는 formula_2 위의 동치 관계이다. 반군 위의 합동 관계가 주어졌을 때 몫반군(-半群, ) formula_64을 정의할 수 있다. 군이나 유사환의 경우와 달리, 반군의 경우 합동 관계는 일반적으로 정규 부분군이나 유사환 아이디얼과 같은 부분 집합으로 나타내어지지 않는다.
몫반군의 특별한 경우로, 반군 formula_2의 아이디얼 formula_17가 주어졌을 때, 동치 관계
는 합동 관계를 이루며, 따라서 몫반군 formula_68를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 몫반군을 리스 몫반군()이라고 한다. 만약 formula_69가 공집합이 아니라면, formula_68는 항상 영원 formula_71를 가진다. 만약 formula_72이라면 formula_73이며, 반대로 formula_74라면 formula_75은 자명군이다.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 직접곱을 정의할 수 있다. 이는 반군과 반군 준동형의 범주에서의 범주론적 곱이다. 구체적으로, 반군들의 집합 formula_76의 직접곱 formula_77은 집합으로서 곱집합과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
각 formula_79의 성질은 formula_80에게 다음과 같이 유전된다.
두 반군 formula_87, formula_88 및 formula_88의 formula_87 위의 작용 formula_91이 주어졌을 때, 반직접곱 formula_92를 정의할 수 있다.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 자유곱을 정의할 수 있으며, 이는 반군의 범주의 쌍대곱이다. 반군의 자유곱은 모노이드의 자유곱과 다르다. 즉, 각 성분들의 항등원이 모노이드 자유곱에서는 한 원소로 합쳐지지만, 반군 자유곱에서는 그렇지 않다.
영원의 추가.
반군 formula_2가 주어졌을 때, formula_94에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 formula_94는 반군을 이루며, 새로 추가한 원소 formula_97은 그 속의 영원을 이룬다. 만약 formula_2가 모노이드라면 formula_94 역시 모노이드이다.
반군 formula_2가 주어졌을 때, 그 멱집합 formula_101 위에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 formula_101는 반군을 이룬다. formula_101는 항상 영원을 가지며, 이는 공집합이다. 또한, formula_105 역시 반군을 이룬다.
만약 formula_2가 모노이드라면 formula_101 역시 모노이드이다.
화환곱.
군론의 화환곱()을 반군에 대하여 일반화할 수 있다. 즉, 두 반군 formula_2, formula_6와 formula_6가 왼쪽에서 작용하는 집합 formula_111가 주어졌을 때, 화환곱 formula_112는 집합 formula_113 위에 주어진 반군이다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
군론의 케일리 정리와 마찬가지로, 반군에 대하여 케일리 정리가 성립한다. 즉, 임의의 반군 formula_2에 대하여, 어떤 집합 formula_111 위의 완전 변환 모노이드 formula_117로 가는 단사 반군 준동형
이 존재한다. 또한, 만약 formula_2가 유한 반군이라면 formula_111 역시 유한 집합으로 잡을 수 있다.
반군 formula_2의 부분 반군 가운데 부분군인 것들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
구체적으로, formula_2의 극대 부분군 formula_125에 대하여, formula_126는 formula_2의 멱등원을 이룬다. 반대로, 임의의 멱등원 formula_128에 대하여, formula_129에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합
은 formula_129를 항등원으로 하는 극대 부분군이다.
유한 반군.
유한 반군에 대하여, 크론-로즈 정리()라는 구조 정리가 존재한다. 이에 따르면, 모든 유한 반군 formula_2는 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군이다. 즉, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
가환 반군의 구조 이론.
임의의 가환 반군 formula_2에서 가환 멱등 반군 formula_149으로 가는 반군 준동형 formula_150이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
임의의 가환 반군 formula_2에 대하여, formula_64이 가환 멱등 반군이 되는 가장 섬세한 합동 관계 formula_61가 존재하며, formula_2는 formula_64에 대한 등급 반군을 이룬다. 또한, 각 formula_164에 대하여, 동차 성분 formula_165는 모두 아르키메데스 반군을 이룬다.
따라서, 가환 반군의 분류는 가환 멱등 반군의 분류와 아르키메데스 반군의 분류로 귀결된다. 가환 멱등 반군은 공집합이 아닌 유한 부분 집합이 항상 최소 원소를 갖는 부분 순서 집합과 동치이다. 이 경우 부분 순서는 formula_166와 같다.
모든 모노이드는 반군이다. 따라서 모든 군은 반군이다. 모든 유사환 formula_167에 대하여, formula_168은 반군을 이룬다. (formula_169는 아벨 군이므로 역시 반군이다.) 모든 격자 formula_170에 대하여, formula_171와 formula_172 역시 각각 가환 멱등 반군을 이룬다. (만약 formula_149이 최대 원소 또는 최소 원소를 갖지 않는다면, 둘 가운데 하나는 모노이드를 이루지 않는다.)
임의의 음이 아닌 정수 formula_174에 대하여, formula_175는 덧셈에 대하여 가환 반군을 이룬다. formula_176이라면 이는 모노이드가 아니다.
공반군.
공집합 formula_177 위에 유일한 이항 관계를 준다면, 이는 자명하게 반군을 이룬다. 이를 공반군(空半群, )이라고 하며, 이는 모노이드가 아니다.
영반군.
집합 formula_2에 원소 formula_97을 추가한 분리합집합 formula_94 위에 다음과 같은 이항 연산을 상수 함수로 정의하자.
그렇다면 formula_94은 반군을 이룬다. 이를 영반군(零半群, )이라고 한다. 만약 formula_2가 공집합이 아니라면 이는 모노이드를 이루지 않는다. (만약 formula_2가 공집합이라면 이는 자명군을 이룬다.)
자유 반군.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 집합 formula_2 위의 자유 반군(自由半群, )은 formula_2 위의 클레이니 스타 (자유 모노이드) formula_187에서, 길이가 0인 문자열 formula_188 (항등원)을 제거한 반군 formula_189이다.
마찬가지로 자유 가환 반군(自由可換半群, )을 정의할 수 있다. 집합 formula_2 위의 자유 가환 모노이드는 formula_2의 원소들로 구성된 유한 중복집합들의 모노이드이며, formula_2 위의 자유 가환 반군은 이 가운데 공집합을 제거한 것이다.
왼쪽·오른쪽 영원 반군.
그렇다면 formula_197과 formula_198는 각각 반군을 이룬다. formula_197를 왼쪽 영원 반군(), formula_197를 오른쪽 영원 반군()이라고 한다.
왼쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 왼쪽 영원이자 오른쪽 항등원이다. 오른쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 오른쪽 영원이자 왼쪽 항등원이다.
작은 크기의 반군.
크기가 0인 반군은 공반군 밖에 없고, 크기가 1인 반군은 자명군 밖에 없다. 크기가 2인 반군은 총 5개가 있다.
크기가 3인 반군은 총 24개가 있다. 이 가운데 모노이드가 아닌 것은 17개이며, 다음과 같다. 아래 목록에서 표시는 반군의 표시이며, 영원의 경우 항상 0으로 표기하며 이에 대한 관계 (formula_236 등)는 생략하였다.
1904년에 장아르망 드 세기에(, 1862~1935)가 최초로 반군()이라는 용어를 사용하였으나, 드 세기에는 이를 오늘날과 달리 "소거 반군"의 뜻으로 사용하였다. 1908년에 해럴트 힐턴(, 훗날 해럴드 심프슨()으로 개명, 1876~1974)은 최초로 영어 문헌에서 "반군"()이라는 용어를 사용하였으며, 힐턴은 반군을 오늘날과 같이 정의하였다.
반군에 대한 최초의 (자명하지 않은) 정리들은 하인리히 브란트(, 1886~1954)의 1926년 논문과 안톤 카시미로비치 수시케비치(, 1889~1961)의 1928년 논문이다. 앨프리드 호블리첼 클리퍼드(, 1908~1992)는 수시케비치의 구조 정리들을 일반화하였다.
데이비드 리스(, 1918~2013)는 1947년에 역원 반군()의 개념을 도입하였고, 예브게니 세르게예비치 랴핀(, 1914~2005)와 고든 프레스턴(, 1925~2015)은 그 이론을 발전시켰다. 이 밖에도, 제임스 알렉산더 그린(, 1926~2014), 존 매킨토시 하위(, 1936~2011) 등이 반군 이론에 공헌하였다. 특히, 그린은 1951년에 그린 관계를 도입하였다.
사무엘 에일렌베르크(1913~1998)와 마르셀폴 쉬첸베르제(, 1920~1996)는 반군 이론을 자동기계 이론에 응용하여 발전시켰다. 특히, 쉬첸베르제는 1957년에 쉬첸베르제 군을 도입하였다.
제베대오 또는 세베대의 아들 야고보(, , , , ? - 44년)는 예수 그리스도의 열두 사도들 가운데 한 사람이며, 사도 요한의 형제이다. 야고보라는 이름의 유래는 ‘발꿈치를 잡다’라는 뜻이다. 또 다른 사도인 알패오의 아들 야고보와 동명이인이라 혼동을 피하기 위해 흔히 ‘대(大)야고보’라고 부른다. 사도 가운데 가장 먼저 순교하였고, 기독교의 성인으로 기린다. 로마 가톨릭에서 축일은 7월 25일이며, 동방 정교회에서 축일은 4월 30일이다. 회화에서는 종종 말을 타고, 한 손에는 순례자의 종, 다른 손에는 칼을 들고 무어인을 무찌르는 모습으로 그린다. 상징물은 책·칼·외투·조가비·모자·지팡이·자루·호리병이며, 수의사·약사·기수·식료품 상인·순례자·에스파냐·과테말라·니카라과의 수호 성인이다.