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장조는 장2도 또는 온음을 사이에 둔 두개의 동일한 테트라코드로 보인다. 즉, 온음, 온음, 반음, 온음, 온음, 온음, 반음 순으로 진행된다. 각 테트라코드는 두 개의 온음과 뒤이어 오는 반음으로 구성된다. 서양의 음계는 오선지 상에 줄이나 공백을 남기지 않으며, 임시표가 붙은 음을 반복하지 않는다.
오도권(The circle of fifths).
오도권은 요한 다비트 하이니헨이 1728년에 최초로 그의 책 "Der General-bass"에서 도입했으며, 키(key)들 사이의 상대적인 음정의 거리를 설명하기 위한 수단으로 쓰여왔다.
원 안의 수는 어떠한 조표의 내림표, 올림표의 개수를 나타낸다. 내림표나 올림표가 없는 다장조 (C major)에서 시작하여, 내림표계 조성은 반시계방향으로, 올림표계 조성은 시계방향으로 진행된다. 이 원의 배치에서 이명동조 관계를 볼 수 있다. 각각 6개의 내림표, 올림표가 붙을 경우, 장조로는 내림사장조와 올림바장조가 서로 이명동조 관계가 된다.
다른 표기법과 사용.
영문 표기 시, 장음계 조성의 이름을 축약어로 표현 시 해당 으뜸음 이름의 로마자를 대문자로 표기하여 으뜸음 이름만 표기하기도 한다. 가령 다장조의 영문 표기 시 'C major'는 줄여서 'C'라고 쓰기도 한다. 예를 들어, 단음계 조성의 이름을 축약어로 표현 시 해당 으뜸음 이름의 로마자를 소문자로 표기하여 으뜸음 이름만 표기하기도 하듯이 말이다. 이 경우, 가령 가단조의 영문 표기시 'A minor'를 줄여서 'a'라고 쓰는 것을 예로 들 수 있다.
단음계(短音階, minor scale) 또는 에올리안(Aeolian)은 음계의 하나로 자연 음계에서 제 2~3음과 5~6음이 반음인 온음계이다. 다음은 가단조의 자연단음계를 나타낸 것이다.
&lt;score sound="1"&gt; {
\omit Score.TimeSignature \relative c" {
\time 7/4 a^"가단조 자연단음계" b c d e f g a g f e d c b a2
크게 자연 단음계(natural minor scale), 화성 단음계(harmonic minor scale), 가락 단음계(melodic minor scale)로 나뉜다.
이 단음계를 사용하는 조성을 '단조 (minor key)'라고 한다.
자연 단음계는 제2음과 제3음 사이, 제5음과 제6음 사이에 반음을 가지며 그 밖에는 온음으로 되는 7음의 음계를 말한다. 그리고 장음계와 마찬가지로 음계의 Ⅰ을 으뜸음, Ⅳ를 버금딸림음, Ⅴ를 딸림음이라고 한다. Ⅶ은 임시표에 의해서 반음 높아진다. (으뜸음과 단2도의 관계에 있을 때만 이끎음이라고 한다.)
화성 단음계는 자연 단음계의 Ⅶ을 임시표로 반음 높여서 이끎음으로 한 것이다. 주로 화성에서 쓰이므로 이렇게 부른다. 화성 단음계의 Ⅵ과 Ⅶ(이끎음)은 증2도, Ⅶ과 Ⅰ(이끎음과 으뜸음)은 단2도로 되고, 다른 음계 각 음의 음정관계는 자연단음계와 같다.
가락 단음계는 자연 단음계의 제6음과 제7음을 올라갈 때에는 반음씩 올리고, 내려갈 때에는 자연단음계의 형태를 갖는 것이다. 이것은 화성단음계에서 제6음과 제7음의 사이가 증2도이므로 가락으로서는 자연스럽지 않기 때문에 제6음도 반음을 높이고, 또 올라갈 때에는 마침(終止)의 느낌을 얻기 위해서 제7음과 제8음 사이를 반음으로 할 필요가 있어 생겼다. 아래로 내려갈 때에는 그렇게 할 필요가 없으므로 자연단음계를 그대로 쓴다.
\time 7/4 a^"가단조 화성단음계" b c d e f gis a gis f e d c b a2
\time 7/4 a^"가단조 가락단음계" b c d e fis gis a g? f? e d c b a2
오도권.
오도권(The circle of fifths)은 요한 다비트 하이니헨이 1728년에 최초로 그의 책 "Der General-bass"에서 도입했으며, 조성들 사이의 상대적인 음정의 거리를 설명하기 위한 수단으로 사용되어 왔다.
조표.
조표란 음계에 해당하는 모든 음표 앞에 (임시표 형태의) 내림표나 올림표를 써서 복잡해질 수 있는 상황에 사용되며, 내림표와 올림표의 쓰임에 따라 각각의 단음계가 구성된다. 조표가 바뀌거나 다른 변화표의 효력을 받지 않는 한 임시표와는 달리 마디와 옥타브에 관계없이 항상 적용된다.
올림표 관련 조표.
조표에는 기본적으로 처럼 올림표 7개까지 구성될 수 있다. 이와 관련한 단조의 으뜸음은 마지막에 붙은 올림표의 음보다 바로 온음 아래이다. 예를 들어, 나단조의 조표에는 F과 C이 있으며 C의 온음 아래에 B가 으뜸음이 된다.
올림표가 3개 이상인 경우 바로 마지막에서 세 번째 올림표의 음이 바로 단조의 으뜸음이 된다. 예를 들어 3개의 올림표로 구성된 조표에서는 F이 으뜸음이 되고, 이는 올림바단조가 되며 4개의 올림표로 구성된 조표에서는 C이 으뜸음이 되어 올림다단조가 된다. 마지막 올림표가 붙은 음에서 온음 아래의 음이 마지막에서 3번째 올림표의 음이다.
내림표 관련 조표.
조표에는 기본적으로 처럼 내림표 7개까지로 구성될 수 있다. 이와 관련한 단조의 으뜸음은 마지막에 붙은 내림표의 음보다 장3도 위이다. 예를 들어, 사단조 (G단조)의 조표에는 B과 E이 있으며 E의 장3도 위에 G가 으뜸음이 된다.
이명동조.
위의 조표의 조성 중에서 조성의 이름은 서로 다르나 동일한 음을 내어 서로 음이 겹치는 조성이 있다. 이러한 두 조성의 관계를 이명동조 관계라고 한다. 예를 들어 조표에 전체적으로 총 5개의 내림표가 있는 단조는 총 7개의 올림표가 있는 단조와 서로 음이 겹치며 이명동조가 된다.
그리고 총 6개의 내림표가 있는 단조는 총 6개의 올림표가 있는 단조와, 총 7개의 내림표가 있는 조성은 총 5개의 올림표가 있는 단조와 서로 이명동조가 된다.
즉, 다음과 같다.
영문 표기 시, 단음계 조성의 이름을 축약어로 표현 시 해당 으뜸음 이름의 로마자를 소문자로 표기하여 으뜸음 이름만 표기하기도 한다. 가령 가단조의 영문 표기 시 'A minor'는 줄여서 'a'라고 쓰기도 한다. 예를 들어, 장음계 조성의 이름을 축약어로 표현 시 해당 으뜸음 이름의 로마자를 대문자로 표기하여 으뜸음 이름만 표기하기도 하듯이 말이다. 이 경우, 가령 다장조의 영문 표기시 'C major'를 줄여서 'C'라고 쓰는 것을 쓰는 것을 예로 들 수 있다.
영어 단어 "chord"는 중세 영어 단어 "cord"에서 유래되었으며, 원래 "agreement" (일치, 동의)를 의미했고, 후에 "어울리는 소리"(harmonious sound)를 의미하게 된, "accord"를 줄인 표현이다.
코드들로 이루어진 하나의 시퀀스는 코드의 진행, 또는 화성의 진행이라고 한다. 이러한 진행은 서양 음악에서 자주 쓰인다.
하나의 코드의 진행은 음높이, 근음, 또는 토닉 코드에 기초한 조성(tonality)을 만드는 것을 목표로 한다. 화성에 대한 연구는 코드와 코드의 진행, 그리고 이를 지배하는 연결 법칙을 다룬다.
코드는 다양한 방법으로 표현될 수 있다. 가장 일반적인 표기법은 다음과 같다:
화음의 종류.
화음은 음을 겹치는 방법에 따라 자유롭게 만들 수 있으나, 유럽의 음악사상(音樂史上) 조직적으로 써온 것은 음을 3도로 겹친 '3도화음'이다. 이것은 보통 3개의 음을 3도로 겹친 것을 기초로 하여 기능화성법에서 쓰는 화음의 바탕이 되었다. 그리고 이와 같은 3개의 다른 음으로 된 3도화음을 '3화음'이라고 하며, 그 위에 다시 3도음을 더한 4개의 음으로 이루어지는 화음을 '4화음' 또는 '7화음'이라 한다.
3화음은 3도를 겹치는 방법에 따라 4종의 화음이 된다. 즉, 밑에서부터 장3도－단3도와 겹친 '장3화음', 마찬가지로 단3도－장3도와 겹친 '단3화음', 장3도－장3도를 겹친 '증3화음', 단3도－단3도를 겹친 '감3화음'이다.
3도화음 외에 같은 음정을 겹치는 화음으로 '4도화음'이 있다. 이것은 4도음정을 겹친 것으로, 20세기 초 무렵에 드뷔시나 쇤베르크에 의하여 기능화성의 틀에서 벗어나 새로운 화음의 색채감을 얻기 위해 때때로 시도되었다.
이 밖에 4도화음의 변종(變種)으로 스크랴빈의 신비화음이 있다. 스크랴빈은 교향곡 제5번 &lt;프로메테우스(Prometheus) - 불의 시(詩)&gt;(작품 60, 1910)의 화음 전부를 이 신비화음만으로 하려고 시도했다. 하지만 이것은 본래 악곡 구성의 한 요소인 화음이 악곡 전체에까지 부연(敷衍)된 한 예이다.
3화음.
3화음은 세 음으로 구성되는 테르티안 코드(tertian chord)이다. 네 개의 기본적인 3화음을 아래에 나타내었다.
주요 3화음·버금 3화음.
기능화성의 기초가 되는 화음은 장음계, 단음계 위에서 만들어지는 3도의 퇴적(堆積)으로 된 3화음이며, 이 3화음은 편의상 각각 음도(音度)가 붙어 있다. 이것은 각각 Ⅰ도, Ⅱ도, Ⅲ도, …와 같이 불린다.
주요 3화음(主要三和音)이란 이 중에서 Ⅰ도, Ⅳ도, Ⅴ도를 의미하며, 버금 3화음(부삼화음:副三和音)이란 그 밖의 화음 Ⅱ, Ⅲ, Ⅵ, Ⅶ도이다(이하 도를 생략하고 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, …으로 한다).
특히 주요 3화음에 대해선 Ⅰ을 으뜸화음, Ⅳ를 버금딸림화음, Ⅴ를 딸림화음이라고 한다. 으뜸화음은 중심이 되는 화음으로서, 한 조(調) 속에서 정지감·안정감을 가장 강하게 갖고 있다. 딸림화음은 으뜸화음으로 가려고 하는 강한 지향성을 갖는 화음이다. 음계 중에서 으뜸음으로 가려 하는 힘을 가장 강하게 갖는 것은 이끎음(導音)이며, 또 자연배음렬(自然倍音列)에선 으뜸음과 완전5도, 4도의 음정이 매우 근친관계가 깊다. 딸림화음은 이 양쪽을 겸비하고 있으므로 가장 강하게 으뜸화음으로 가려고 하는 힘을 가지고 있다. 버금딸림화음은 이 가운데서 완전5도, 4도의 관계를 가지고 있을 뿐 딸림화음에 비하여 으뜸화음을 지향하는 힘은 약하나 으뜸화음과 딸림화음의 기능을 보조하는 작용을 가진다. 따라서 이 3개의 화음은 기능화성에서 가장 기본적인 화음이며, 그 기능은 T(으뜸화음), D(딸림화음), S(버금딸림화음)로 표시되는 것이 통례로 되어 있다. 버금3화음은 이 주요 3화음의 대리로서의 기능을 가진다. 즉 T를 Ⅵ, S를 Ⅱ, D를 Ⅶ이 대리하고, Ⅲ은 장조일 때는 놓인 위치에 따라 T 또는 D를 대리로 하고, 단조일 때는 전적으로 D를 대리한다.
7화음.
7화음(七和音)이란 3화음에 다시 밑음(根音)에서 7도음정이 되는 1음을 더하여 4화음으로 한 화음의 총칭이다. 장3화음과 단3화음이 어울림화음인 데 대하여, 이 밖의 화음은 모두 안어울림화음이다(화음 항목 참조). 따라서 7화음은 모두 안어울림화음인데, 이 화음은 울림이 생경(生硬)하고 불안정하기 때문에 울림을 안정된 화음(어울림화음)으로 진행시킴으로써 비로소 충족감을 얻게 된다. 이와 같이 불안정한 울림은 어떠한 종류의 긴장감을 자아내며, 안정된 울림으로 진행함으로써 이 긴장감이 풀리므로 안어울림을 어울림으로 진행시키는 것을 안어울림음의 해결(긴장의 이완)이라 한다. 7화음의 해결은 보통 제7음을 2도 낮추어 한다. 이 가운데서 가장 중요한 화음은 딸림화음에 제7음을 더한 화음으로 '딸림7화음'이라 불린다.
딸림7화음.
딸림화음(속화음:屬和音)은 으뜸화음으로 진행하려는 긴장력을 가장 강하게 가지고 있는 화음이다. 딸림7화음(속칠화음,屬七和音: Ⅴ7)은 이러한 딸림화음의 성질에 다시 제7음을 더하여 강화한 것이라고 할 수 있다. .
감7화음.
감7화음(減七和音:Ⅶ07)은 밑음과 제7음이 감7도가 되므로 이렇게 부른다. 이 화음은 엔하모닉하여 바꾸어 읽기가 매우 쉬워서 여러 가지 조의 Ⅶ07로 해석이 되므로, 많은 작곡가에 의해서 조성을 애매하게 한다든가 조바꿈(전조:轉調)한다든가 할 때 많이 쓰이고 있다. 감7화음은 이와 같은 성질로, 특히 낭만파의 작품 속에서 크게 활용되었다.
버금7화음.
도미난테의 기능을 갖는 화음 이외의 7음을 총칭하여 버금7화음(부칠화음:副七和音)이라 부른다. 버금7화음 가운데 가장 많이 쓰이는 화음은 Ⅱm7 및 ⅣM7의 화음으로서, 특히 Ⅱm7은 Ⅱ와 같은 정도로 쓰이고 있다. 제7음은 2도 낮추어 해결하는 것이 보통이지만, 장조의 ⅣM7의 제7음은 때때로 반음 올려서 해결하는 수가 있다. 그 밖의 화음은 안어울림의 정도가 높아 잘 쓰이지 않는다.
변화화음.
어떤 조의 화음이 그 조의 바탕이 되는 음계의 고유(固有)한 음이 아닌 음을 가지고 있을 때, 이 화음을 그 조의 변화화음(變化和音)이라 한다. 예를 들면 다장조의 화성에 '라－올림바－가'의 화음이 있으면 이것은 사장조에서는 Ⅴ이나, 다장조의 음계에는 올림바의 음이 없으므로 이 화음은 다장조에서는 변화화음으로 된다. 변화화음의 가장 일반적인 것은 장조에 같은 으뜸단조의 Ⅳ나 Ⅱ를 쓰는 경우이다. 이것은 보통 화성장조(Molldur)의 화음이라 하며, 이와 같은 Ⅳ, Ⅱ를 준고유화음(準固有和音)이라고 하는 경우도 있다. 변화화음의 본질은 화음 내의 음의 반음계적 변화(임시표를 붙여 그 음을 반음 높게, 또는 낮게 하는 일)에 의해서 다음 화음과 보다 효과적으로 직결하는 데 있다. 이끎음(導音)이 으뜸음에 가장 강한 긴장력(緊張力)을 가지고 진행하는 것은 그 반음계적 진행에 유래하듯이 다른 음도 반음계적 변화를 가하면 다음 음에 이끎음과 같은 성질을 가지고 진행한다. 예를 들면 바음에서 사음으로 진행하는 경우, 바음을 올림바음으로 하면 사음으로 한층 더 진행하기 쉽게 된다. 변화화음은 이 원리를 응용한 것이라 하겠다. 따라서 보표예 14의 Ⅳ, Ⅱ7의 내림가음은 Ⅴ7의 사음으로 하행하는 이끎음과 같은 작용으로 진행한다.
변화화음의 대표적인 것에는 이 밖에 '#나폴리의 6화음', '#부속화음(副屬和音)', '#증6화음' 등이 있다. 이 변화화음은 한 조 안에서 그 조에 속하지 않는 다른 조의 음도 자유롭게 구사할 수 있게 하였기 때문에 참으로 다채로운 울림을 내는 결과가 되었다.
위의 변화화음은 특별히 이름이 붙는 대표적인 것이나, 본래 이 화음은 화음 중의 한 음을 반음계적으로 변화시킴으로써 자유롭게 만들 수 있으므로 실제의 용법은 극히 많다. 또 변화화음인지 화음밖의음의 반음계적 변화인지의 판단이 어려울 때도 있다. 이와 같은 변화화음을 많이 쓰면 원래 그 조의 고유음(固有音) 아닌 음을 쓰기 때문에 조성감(調性感)이 약해지는 경향을 띤다. 후기 낭만파로부터 20세기 초에 걸쳐 조성이 붕괴해간 과정은 이 끊임없는 변화화음의 사용과 빈번한 조바꿈으로 촉진되었다. 거기서는 화성의 기능성보다도 음향의 색채성이 더 중요시되었다.
나폴리 6화음.
나폴리 6화음(chord of the neapolitan sixth)은 본래 단조의 Ⅱ의 밑음을 반음 낮춘 것이나, S기능의 화음으로서 장조에도 쓰인다. 나폴리 6화음이라는 명칭은 이 화음이 A. 스카를라티 등의 나폴리 악파에게 특히 많이 쓰였기 때문이며, 보통 6화음의 형태로 쓰인 데서 연유한다.
부속화음.
일반적으로 부속화음(副屬和音)이라 하는 화음은 어떤 조의 으뜸화음 외의 화음 Ⅱ, Ⅳ, Ⅴ 등을 으뜸화음으로 하는 조의 딸림화음이다. 예를 들면 다장조의 Ⅴ(사－나－라)를 으뜸화음으로 하는 조는 사장조이므로 다장조의 Ⅴ의 부속화음은 사장조의 Ⅴ(라－올림바－가)의 화음과 같은 형태가 된다. 이 화음은 각 화음 사이에 자유롭게 삽입할 수 있으나, 이 경우 전체적으로는 다장조임에도 불구하고 Ⅵ은 가단조로, Ⅳ는 바장조로 일시적으로 조바꿈한 것같이 울린다. 이것은 딸림7화음의 으뜸화음을 명시하는 힘과 마찬가지로 부속화음이 놓인 화음이 으뜸화음적인 의미를 가져오기 때문이다. 이러한 부속화음 중에 Ⅴ로 진행하는 것만은 특히 도펠도미난테(Doppeldominante)라 한다.
증6화음.
화음의 자리바꿈꼴.
화음은 그 실제 사용에서 항상 밑음이 최저(最低音)일 수는 없으며, 밑음 이외의 제3음, 제5음, 제7음 등이 최저음이 되기도 한다. 이와 같이 밑음 이외의 음이 최저음으로 되어 있는 화음을 자리바꿈(轉回)된 화음이라 하며, 어느 음이 최저음으로 되었는가로 그 형태, 즉 자리바꿈꼴(轉回形)이 정해진다. 밑음이 최저음으로 되어 있는 화음을 기본형이라고 한다. #3화음의 자리바꿈꼴은 제3음이 최저음으로 돼 있는 것을 '#6화음'이라 하고, 제5음이 최저음으로 돼 있는 것을 '4·6화음'이라 한다. 이와 같은 자리바꿈꼴의 명칭은 그 최저음이 되는 음과 밑음과의 음정에서 유래하였다. #7화음(4화음)의 자리바꿈꼴은 제3자가 최저음으로 되어 있는 것을 '5·6화음', 제5음이 최저음으로 되어 있는 것을 '3·4화음'이라 한다. 7의 화음에서는 다시 제7음이 최저음이 되는 경우가 있고, 이것을 '2화음'이라 한다. 화음은 이와 같이 자리바꿈하여도 기능은 변하지 않는다. 따라서 자리바꿈꼴에도 마침꼴의 규칙이 적용된다. 그러나 화음은 자리바꿈으로 그 색채감이 변화하기 때문에 음악작품 속에서는 자리바꿈꼴이 다양하게 쓰인다.
화음 밖의 음 (비화성음).
실제의 음악작품 속에서는 멜로디가 화성진행에서 쓰는 화음의 음만으로 구성되는 예는 적다. 화음에 포함되지 않는 음을 총칭하여 화음 밖의 음(非和聲音)이라 한다.
화음 밖의 음은 그 용법에 따라 6종으로 분류되지만 대표적인 것 4종만 들겠다. 이것들은 가락을 원활하게 하는 데 없어서는 안 되는 방법이다.
경과음 (Passing tone).
경과음(經過音)이란 2개의 화성음 사이를 순차적으로 진행하면서 지나는 화음 밖의 음이다.
보조음 (Neighbouring tone).
보조음(補助音)은 2개의 화성음 간에 2도음으로 인접하는 화음 밖의 음을 말한다. 이것은 1개의 경우와 복수개(複數個)의 경우가 있다.
이탈음 (Esape tone).
이탈음(離脫音)은 화성음에서 2도 이탈하여 반대 방향으로 도약한 뒤 화성음으로 해결되는 것이다. 이탈한 뒤 반대 방향으로 2도 진행을 하면 보조음이 되기 때문에 반드시 3도이상 도약하여야 한다. 또한, 반대 방향으로 바뀌는 화성음에 2도 도입되는 방법이 있다. 원리는 같으나 2도를 이루는 음이 뒤쪽으로 바뀌는 것인데 이를 캄비아타 (Cambiata)라고 부른다.
지속음 (Pedal point,Organ point).
지속음(持續音·保續音)은 멜로디 진행상 화음 밖의 음은 아니지만 화음 밖의 음의 일종이다. 이것은 화음 상호간의 화음 밖의 음이라고 할 수 있는 것으로 베이스에 으뜸음 또는 딸림음이 그 위의 화성진행과는 독립하여 길게 연장되는 것이다. 이때 베이스에 연장되어 높이는 음을 지속음(持續音)이라고 하며, 이 음의 처음과 끝에는 이 음을 밑음으로 한 화음, 즉 으뜸화음 또는 딸림화음이 놓인다. 이 수법은 주로 곡의 마침부에 쓰인다. 베이스는 화음의 기능을 지속하는 힘이 가장 강하므로, 베이스에 밑음을 지속하여 기능적 안정을 도모하며 그 위에서 다채로운 화성진행을 함으로써 같은 기능의 색채적 변화를 다하고 곡의 끝을 장식한다.
계류음 (Suspention).
계류음(掛留音)은 앞의 화음 중에서 한 음이 연장되어 다음의 화음 밖의 음으로 되는 것을 말한다. 이때 앞의 화음이 가지고 있는 음으로서 연장되어 다음 화음의 화음밖의음이 되는 음을 걸림음의 예비(豫備)라고 한다.
선행음 (Anticipation).
선행음(先行音)은 다음 화음의 구성음이 현재 화음보다 먼저 등장하여 불협화음을 일으킨 뒤, 나머지 성부가 뒤따라 바뀌면서 협화음으로 해결되는 음을 말한다.
전타음 ).
전타음(前打音, 倚音)은 예비음 없이 등장하는 계류음과 유사한 형태로, 강박에서 불협화음을 만들고, 2도 순차적으로 상행 또는 하행하여 본음으로 해결되는 음을 말한다..
머키스턴의 존 네이피어(, , 1550년 2월 1일 ~ 1617년 4월 4일)는 스코틀랜드의 수학자, 물리학자, 천문학자이다. 제8대 머키스턴 지주를 역임했다.
존 네이피어는 로그의 발견자로 가장 잘 알려져 있다. 또한 "네이피어의 막대"(Napier's bone)라는 도구를 발명했고 산술과 수학에서 소수점의 사용을 일반화했다. 네이피어가 태어난 에든버러의 머키스턴탑은 현재 에든버러 네이피어 대학교의 시설의 일부이다. 에든버러 서쪽에 위치한 세인트 커스버트 교회에 그를 위한 기념비가 있다.
존 네이피어는 1550년 2월 1일에 스코틀랜드 에든버러에 위치한 머키스턴탑에서 태어났다. 존 네이피어의 아버지는 머키스턴성의 영주였던 아치볼드 네이피어이고 어머니는 정치인이자 판사인 프랜시스 보트웰의 딸이자 오크니 제도 로마 가톨릭교회 주교가 된 애덤 보트웰의 여동생인 재닛 보트웰이다. 존 네이피어는 아치볼드 네이피어가 16세였을 때에 태어났다.
존 네이피어의 생애 초반 교육에 대한 기록은 없지만 많은 사람들은 그가 어린 시절에 개인적으로 교육을 받았다고 믿고 있다. 네이피어는 13세에 세인트앤드루스에 위치한 세인트앤드루스 대학교 산하 세인트 살바토르 칼리지에 입학했다. 그가 대학에 입학할 무렵에 종교 개혁이 로마 가톨릭교회와 개신교 신자들 사이에 갈등을 야기시켰기 때문에 대학이 제공하는 교육의 질은 형편없었다. 존 네이피어가 세인트앤드루스에서 그의 교육을 마쳤다고 보여주는 기록은 없다.
존 네이피어는 1560년 12월 5일에 자신의 아버지에게 보낸 편지에서 삼촌인 애덤 보트웰이 "존이 집에서 좋은 것을 배울 수 없기 때문에 프랑스나 플랑드르에 있는 학교에 보내주기를 기도한다."라고 언급한 이후에 스코틀랜드를 떠나 유럽 대륙에서 교육을 계속했다고 여겨진다. 네이피어가 유럽에서 어느 대학교에 다녔는지는 알려져 있지 않지만 1571년에 스코틀랜드로 돌아왔을 때에는 당시 유럽의 대학교에서 일반적으로 가르치지 않았던 그리스어에 능통했다고 한다. 이 시기에 그가 파리나 제네바의 일류 대학교에 입학했다는 기록도 없다.
존 네이피어는 21세였던 1571년에 스코틀랜드로 돌아왔고 1574년에는 가트니스에 위치한 성을 구입했다. 1608년에 아치볼드 네이피어가 사망하자 존 네이피어와 그의 가족은 에든버러의 머키스턴성으로 이사하여 여생을 보내게 된다. 그는 에든버러 시내에 위치한 로열마일에서 가까운 보츠윅에 건립된 부동산도 소유하고 있었다.
1596년 6월 7일에는 이 섬을 방어하기 위해 수익성이 높고 필요한 비밀 발명품을 설계했다. 그는 멀리 떨어진 선박에 사용하기 위한 2종류의 불타는 거울, 특별한 종류의 포탄 사격, 그리고 머스킷총을 사용하지 않는 금속 전차를 묘사한다.
네이피어는 1617년 4월 4일에 에든버러에 위치한 자택에서 통풍으로 인하여 향년 67세를 일기로 사망했다. 그의 유해는 에든버러에 위치한 세인트 자일스 대성당 묘역에 안장되었다. 그러나 에든버러에 스코틀랜드 의회의사당이 건립됨에 따라 세인트 자일스 대성당 묘역이 폐쇄되었고 그의 유해 또한 에든버러 서쪽에 위치한 세인트 커스버트 교회 북쪽에 위치한 지하 금고로 이장되었다. 세인트 커스버트 대성당에는 네이피어 벽 기념비도 있다.
당시의 많은 수학자들은 계산 문제에 대해 예리하게 인식하고 있었고 계산 부담을 줄이는 데 전념했다. 네이피어는 이러한 계산 문제를 지원하는 장치로 유명하다. 그는 계산을 용이하게 하는 기계적 수단을 제공하는 독창적인 숫자 막대이자 기묘한 수학적 인공물인 "네이피어의 막대"를 발명했다. 또한 네이피어는 계산 감소 문제를 해결하기 위해 새로운 수학, 특히 프로스타파에레시스(Prosthaphaeresis, 16세기 말부터 17세기 초반 사이에 삼각법 공식을 활용하여 대략적인 곱셈과 나눗셈에 사용된 알고리즘), 십진법, 기호 지수 산술의 발전 가능성을 인식했다. 그는 힘든 계산을 하는 실무자들 대부분이 일반적으로 삼각법의 맥락에서 계산을 한다는 것을 인정했다. 따라서 네이피어의 이론은 로그 관계를 개발하는 것뿐만 아니라 그것을 삼각 관계로 설정하여 훨씬 더 관련성이 있을 것이다.
수학의 발전.
네이피어의 저서인 《로그의 놀라운 규범 설명》(Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614년)은 57쪽에 달하는 설명 자료와 90쪽에 달하는 삼각함수의 자연로그를 나열한 표를 포함했다. 이 책은 또한 구면 삼각형의 정리들에 대한 뛰어난 설명을 담고 있는데 보통 네이피어의 원형 부분의 규칙으로 알려져 있다.
네이피어의 로그와 그 설명에 대한 현대 영어 번역본은 웹에서 찾을 수 있으며 네이피어의 막대와 프롬프투어리(Promptuary, 또다른 초기 계산 장치)에 대한 의견도 볼 수 있다.
그의 로그 발명은 곧 그레셤 칼리지에서 시작되었고 잉글랜드의 수학자인 헨리 브릭스는 1615년에 네이피어를 만났다. 그들이 논의한 문제 중에는 현재 자연로그의 밑("e")으로 알려진 수학 상수(더 정확하게는 10의 큰 거듭제곱을 정수로 함)의 존재가 실제적인 어려움이었던 네이피어 로그의 재설정이 있었다. 네이피어와 브릭스는 실제로 이 상수 "e"를 발견하지 못했는데 이 발견은 수십 년 후에 야코프 베르누이에 의해 이루어졌다.
네이피어는 브릭스에게 수정된 표의 계산을 위임했다. 거듭제곱한 숫자의 역수인 로그를 통해 이용할 수 있는 과학적 기수법은 손으로 하는 계산을 훨씬 더 빠르게 하는 것이었다. 그 길은 천문학, 동역학, 그리고 물리학의 다른 분야들에서 후대의 과학적 진보에 열려 있었다.
네이피어는 수학 분야에서 더 많은 기여를 했다. 그는 시몬 스테빈의 십진법을 개선하여 마침표(.)를 분수 부분의 구분 기호로 도입했다.  레오나르도 피보나치가 사용한 격자 곱셈은 번호가 매겨진 막대 세트를 사용하는 곱셈 도구인 네이피어의 막대를 도입함으로써 더 편리해졌다.
네이피어는 주로 혼자인 상태에서 일했을 수도 있지만 그의 친구인 존 크레이그와 서신을 주고받은 덴마크의 천문학자인 튀코 브라헤와 연락이 있었다. 잉글랜드의 골동품 수집가인 앤서니 우드의 이야기에 따르면 네이피어는 크레이그로부터 브라헤를 추종했던 덴마크의 천문학자인 크리스티안 쇠렌센 롱고몬타누스가 비슷한 방향으로 일하고 있다는 암시를 받았다고 하는데 아마도 제대로 입증되지 않았을 것으로 보인다. 크레이그는 나중에 사인 함수의 곱셈 공식을 덧셈으로 줄이기 위해 삼각 함수 항등식을 사용한 독일의 수학자인 파울 비티히의 방법에 대해 언급했다.
네이피어는 세인트앤드루스에 위치한 세인트 살바토르 칼리지에 다니던 시절부터 요한의 묵시록에 관심이 있었다. 그는 크리스토퍼 굿맨의 설교에 영향을 받아 강하게 반교황적인 독서를 발전시켰는데 그의 저서 가운데 일부에서는 교황이 적그리스도라고 말하기까지 했다.
네이피어는 《요한의 묵시록의 명백한 발견》(A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593년)을 자신의 가장 중요한 작품으로 여겼다. 이 출판물은 네이피어의 다른 출판물들과는 달리 가장 많은 청중들에게 다가가기 위해 영어로 쓰여진 것이 특징이다. 네이피어는 이 책에 대해 "이 섬의 단순한 것들이 지시될 수 있다."고 밝혔다. 명백한 발견은 묵시록의 수학적 분석을 사용하여 묵시록의 날짜를 예측했다. 네이피어는 묵시록의 구조가 예언이 점진적으로 성취될 것임을 암시한다고 믿으며 계시록에 묘사된 사건들과 유사하다고 믿는 사건들을 연대순으로 확인했다. 네이피어는 이 책에서 일곱 나팔의 날짜를 1541년으로 잡고 1688년이나 1700년에 세계의 종말이 일어날 것이라고 예측했다. 네이피어는 사람들이 종말의 진짜 날짜를 알 수 있다고 믿지 않았지만 성서가 종말에 대한 많은 단서를 담고 있기 때문에 하나님은 종말이 언제 오는지 교회가 알기를 원했다고 주장했다.
네이피어는 1594년 1월 29일에 스코틀랜드의 제임스 6세(잉글랜드의 제임스 1세) 국왕에게 명백한 발견를 헌정하면서 왕에게 "하나님의 교회의 적들에 대해 정의가 행해지도록 하라."고 촉구했고 국왕에게 "국가의 보편적인 거대성을 개혁하고 먼저 자신의 집, 가족, 법원에서 시작하라."고 조언했다. 이 책에는 네이피어가 영어로 쓴 시가 9쪽에 걸쳐 수록되어 있다. 이 책은 영국 국내외에서 큰 성공을 거두었다. 1600년에는 미히얼 판닐이 네덜란드어 번역본을 출판했고 1607년에 2번째 판본이 출판되었다. 1602년 조르주 톰송이 쓴 프랑스어 판본이 네이피어에 의해 수정되어 프랑스 라로셸에서 여러 판본(1603년, 1605년, 1607년)을 거쳐 출판되었다. 1611년에 저자에 의해 수정되고 수정된 영어 원본의 새로운 판본이 요구되었고 몇몇 영향을 받은 형제들에 의해 옮겨진 어떠한 의심의 해결과 함께 추가됨으로써 확장되었다. 이 판본은 에든버러와 런던에서 동시에 출판되었다. 저자는 여전히 라틴어판을 출판할 생각이었지만 출판되지 않았다고 말했다. 레오 데 드롬나의 독일어 번역본은 1611년에 게라에서, 볼프강 마이어의 번역본은 1615년에 프랑크푸르트암마인에서 출판되었다. 네이피어의 추종자 중에는 프랑스의 개혁파 목회자인 마티외 코티에르도 있었다.
오컬트에 대한 관심.
네이피어는 수학적, 종교적 관심 뿐만 아니라 종종 마술사로 인식되었는데 그가 연금술과 강령술에 손을 댄 것으로 여겨졌기 때문이다. 네이피어는 생전에 여행을 다닐 때에 검은 거미가 담긴 작은 상자를 실었고 검은 수탉을 자신의 사역마로 여겼다.
네이피어의 이웃들 가운데 일부는 네이피어가 자신의 서재에서 보낸 모든 시간이 검은 예술을 배우는 데 사용되고 있다고 믿으면서 그를 마법사이자 악마와 동맹 관계에 있다고 비난했다. 이러한 소문들은 네이피어가 도둑을 잡기 위해 자신의 검은 수탉을 사용했을 때에 일어났다. 네이피어는 하인들에게 어두운 방으로 들어가 수탉을 쓰다듬으며 자신의 재산을 훔친 사람이 새라면 울 것이라고 주장했다. 하인들도 모르는 사이에 네이피어는 수탉에게 그을음을 덮어 주었다. 하인들이 방에서 나오자 네이피어는 겁에 질려 닭을 만질 수 없었던 사람을 찾기 위해 그들의 손을 살폈다.
네이피어가 한 또다른 행동은 현지인들에게는 신비로운 것으로 보였을지도 모르지만 네이피어가 비둘기들이 그의 곡식을 먹고 있었기 때문에 그의 사유지에서 비둘기들을 제거했을 때였다. 네이피어는 들판 곳곳에 알코올이 섞인 곡식을 뿌리고 비둘기들이 너무 취해서 날아가지 못하게 되자 비둘기들을 잡아들였다.
네이피어와 레스탈리그의 로버트 로건이 맺은 보물찾기 계약은 여전히 존재한다. 네이피어는 패스트성에 숨겨진 보물을 찾기 위해 "모든 기술과 기계를 동원하여 최선을 다해 찾고 동일한 것을 알아내거나 그러한 보물이 그곳에 없었다는 것을 확인해야 한다."고 명시했다. 그러나 이 계약은 네이피어에 의해 이행되지 않았다. 1971년과 1986년 사이에 에든버러 고고학 현장 협회가 그 성을 발굴했을 때 금은 발견되지 않았다.
네이피어의 초기 추종자들 중에는 악기 제작자인 에드먼드 건터와 존 스피델이 있었다. 로그의 개발은 십진법 산술의 일반적인 채택에서 가장 큰 단일 요인으로 인정된다. 토머스 어커하트의 《트리소테트라》(Trissotetras, 1645년)는 삼각법에서 네이피어의 업적을 기반으로 한다.
헨리 브릭스는 네이피어 로그의 초기 채택자였다. 그는 나중에 새로운 로그 표를 십진법으로 계산했고 소수점 14자리까지 정확하게 계산했다.
전기공학에서 데시벨을 대체하는 단위인 네퍼(neper)는 스코틀랜드 에든버러에 위치한 에든버러 네이피어 대학교와 마찬가지로 네이피어의 이름을 따서 명명되었다. 달의 충돌구인 네퍼는 그의 이름을 따서 지어졌다.
프랑스어와 포르투갈어에서 자연로그를 뜻하는 단어(, )는 그의 이름을 따서 명명되었다. 이탈리아어에서 자연로그의 밑 "e"를 뜻하는 단어()는 그의 이름을 따서 명명되었다.
존 네이피어는 1572년에 제4대 키어와 캐더 백작 제임스 스털링의 딸인 엘리자베스 스털링과 결혼했다. 그들에게는 2명의 아이가 있었다. 엘리자베스 네이피어는 1579년에 사망했고 네이피어는 애그니스 치점과 결혼하여 10명의 자녀를 더 낳았다. 존 네이피어의 이복형은 로리스톤 경 알렉산더 네이피어이다.
존 네이피어의 장인인 크롬릭스의 제임스 치점은 1592년에 스코틀랜드에서 일어난 스페인의 공백 음모 이후에 열린 장로회 총회에서 파문당한 많은 사람들 가운데 한 명이었다. 네이피어는 음모자들을 파문한 총회에 참석하여 음모자들에 대한 처벌을 시행할 것을 스코틀랜드의 제임스 6세(잉글랜드의 제임스 1세) 국왕에게 청원했지만 국왕은 각료들이 잔인하게 행동하고 있다고 믿었고 보다 많은 유화 정책을 추구하는 것에 찬성했기 때문에 무시되었다.
조제프루이 라그랑주(, , 1736년 1월 25일 ~ 1813년 4월 10일) 은 토리노에서 태어나 프랑스와 프로이센에서 활동한 수학자이자 천문학자이다. 그는 해석학, 정수론, 고전역학과 천체역학 전반에 걸쳐 중대한 기여를 했다. 특히 물리학분야에서 기존의 고전역학을 일반화된 새로운 수학적 방식으로 표현한 해석역학은 이론 물리학의 새로운 지평을 열었다. 레온하르트 오일러와 장 르 롱 달랑베르의 추천으로 1766년 베를린에 있는 프로이센 과학 학사원의 수학 부장이 되어 20년 이상 머무르면서 많은 작업을 했으며 프랑스 과학 아카데미로부터 여러 상을 받았다. 라그랑주의 《해석역학》("", 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1888–89) 논문은 베를린에서 쓰여 1788년 출판되었으며 아이작 뉴턴 이래로 고전역학을 가장 포괄적으로 다루었고 19세기 수리물리학의 발전의 기반을 마련했다.
라그랑주의 증조부는 프랑스인이었지만 그의 부모는 이탈리아인이었다. 1787년, 그가 51세였을 때, 베를린에서 프랑스로 이사해 프랑스 아카데미의 회원이 되었다. 그는 생을 마감할 때까지 프랑스에 머물렀다. 그래서 라그랑주는 프랑스 과학자이자 이탈리아 과학자로 여겨진다. 라그랑주는 프랑스혁명에서 살아남아 에콜 폴리테크니크에서 1794년 개교와 동시에 해석학의 첫 번째 교수가 되었다. 라그랑주는 1799년 상원위원으로 선출되었고 나폴레옹은 1803년에 그에게 레지옹 도뇌르 훈장을 수여하고 1808년 그를 제국의 백작으로 임명했다. 그는 팡테옹에 묻혔으며 그의 이름은 에펠탑에 새겨진 72개의 이름 중 하나로 남아있다.
라그랑주는 범함수의 극값에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 유도함으로써 변분법의 창시자 중 한 사람이 되었다. 그는 또한 방법을 확장시켜 가능한 제한조건들을 고려함으로써 라그랑주 승수법에 도달했다. 라그랑주는 매개변수변환법으로 알려진 미분방정식의 해법을 발명했으며 이것은 미분법을 확률론에 적용시켜 방정식의 해에 관하여 중요한 기여를 했다. 그는 모든 자연수는 네 제곱수의 합이라는 것을 증명했다. 그의 논문 《해석함수론》()은 에바리스트 갈루아에 앞서 군론의 기초를 놓았다. 미적분학에서, 라그랑주는 보간법과 테일러 급수에 대한 새로운 접근을 개발했다.
라그랑주의 삶은 크게 세 부분으로 나눌 수 있다. 첫 번째는 그가 그의 고향 토리노에서 보낸 기간이다(1736~1766). 두 번째는 그가 베를린 아카데미에서 많은 업적을 남기던 때이다(1766~1787). 세 번째는 그가 파리에서 죽기 전까지 보낸 시간이다(1787~1813). 처음 두 기간이 그가 활발히 연구하고 수많은 과학적 업적을 남기던 때이다. 1754년 변분법의 발견을 시작으로하여 1756년에 변분법을 역학에 응용했고, 1764년과 1766년에 파리 과학 아카데미가 주최한 대회에 자극을 받아 천체역학의 업적을 남겼다. 베를린에 있던 시기는 그가 미적분학뿐만 아니라 역학의 발전에도 많은 공헌을 하던 때이다.
토리노.
라그랑주는 프랑스인과 이탈리아인의 혈통을 물려받아(증조 할아버지는 토리노로 이주한 프랑스 육군 장교였다) 토리노에서 주세페 로도비코 라그란치아()의 이름으로 태어났다. 그의 아버지는 사르데냐 왕국의 군자금을 맡고 있었는데, 좋은 사회적 지위와 부를 누렸다. 라그랑주의 어머니, 테레사 그로스(Teresa Gros)는 토리노 주변의 작은 마을 캄비아노에 있던 외과의사의 외동딸이었다. 라그랑주는 11명의 어린 형제자녀 중 첫째였다. 라그랑주의 가족은 매우 정직하게 살았다. 그러나 라그랑주가 어릴 때 그의 아버지는 투기로 대부분의 재산을 잃었으며 어린 라그랑주는 그의 지위에 대한 스스로의 능력에 의존해야만 했다(후에 라그랑주는 그 때의 가난이 아니였다면 자신은 수학을 직업으로 삼지 않았을 것이라고 회고하였다). 라그랑주는 1766년 베를린으로 떠나기 전까지 그의 가족들과 함께 살았다. 그는 로마 가톨릭교회의 신자가 되는 방향으로 자랐으나, 후에 불가지론자가 되었다. 처음에 라그랑주의 아버지는 그가 법을 공부하기를 바랐다. 하지만 17세때 우연히 발견한 에드먼드 핼리의 논문을 읽고 수학에 흥미를 가지게 되기 전까지는 그가 다니던 토리노 대학교에서 수학에 대해 아무 관심도 보이지 않았다. 그는 아무한테도 도움 받지 못하는 상황에서 혼자서 수학공부를 하였으며, 그 해의 끊임없는 노력을 통해 결국 완성된 수학자가 되었고, 포병학교의 교사가 될 수 있었다. 또 그가 토리노 대학교에서 베카리아 아래에서 물리학을, 필리포 안토니오 레벨리()로부터 기하학을 배우기 시작하자 즉시 자신의 재능을 알게 되었다. 기하학에 끌려 수학을 공부하던 라그랑주는 17세에 해석학으로 방향을 바꿨으며 그 후 그 분야를 빠르게 발전시킨다. 1754년 라그랑주는 자신의 짧은 에세이를 기하학자 줄리오 데 파냐노()에게 편지로 보냈다. 그 에세이는 그가 뉴턴의 이항정리와 두 함수의 곱에 대한 연속적인 미분 사이에서 발견한 유사성을 기반으로 발전시킨 미적분학에 대한 내용을 담고 있다. 그는 또한 그의 발견들이 이탈리아어로 번역되기 전에 레온하르트 오일러에게 라틴어로 서신을 교환하기도 했다. 하지만 1754년 8월 라그랑주는 고트프리트 라이프니츠와 요한 베르누이의 과학적 발견의 동일성을 보았으며 그는 사실 "발견"이 그들의 재산이었다는 것을 깨달았다. 그는 자신이 다른 사람의 발견을 배낀 것처럼 보이는 것에 대해 두려움에 떨었다. 하지만 이러한 불행도 그를 낙담시키지는 못했다. 그는 1754년 10월 31일 등시곡선문제에 대해 연구한 내용을 파냐노에게 보냈다. 그 첫 에세이는 현재 사라졌지만 후에 같은 주제에 대해 쓰여진 두 개의 회고록이 남아있다. 1755년 12월 말, 파냐노에게 보내는 편지에서 그는 1744년 로잔와 제네바에서 출판된 오일러의 논문 〈최대화 또는 최소화 곡선을 찾는 법〉()에 대해서 썼다. 라그랑주는 이 분야의 결과에 대해서 굉장히 흥미를 갖고 있었으며 결국 변분법으로 발전시키게 된다(‘변분법’이라는 용어는 오일러가 1766년 만들었다). 1755년 8월 12일 오일러에게 어떤 문제에 대해서 순수하게 해석학적으로 접근한 것에 대해 라틴어로 쓰여진 요약을 보냈다. 이것은 그가 19세 밖에 되지 않았을 때 발견한 것이지만 그의 수학적 업적 중에서 가장 우수한 것으로 간주된다 (라그랑주 스스로도 그렇게 생각했다).
변분법.
라그랑주는 변분법의 창시자 중 하나이다. 1754년부터 그는 등시곡선 문제를 연구하였고 함수의 극값을 찾는 것과 비슷한 방식으로 함수를 최대화하거나 최소화하는 방법을 발견했다. 라그랑주는 1754년과 1756년 사이에 레온하르트 오일러에게 그의 결과들을 설명하는 여러 편지들을 썼다. 그는 그의 “δ-알고리즘”의 윤곽을 밝혔고, 이것은 변분법의 오일러-라그랑주 방정식으로 이어졌으며 오일러의 초기 해석학을 상당히 간소화하였다. 라그랑주는 그의 생각들을 고전역학의 문제들에 적용시켜 오일러와 피에르루이 모페르튀의 결과들을 일반화하였다.
오일러는 라그랑주의 결과들에 깊이 감명받았다. "라그랑주는 특유의 공손함으로 그가 이전에 쓴 같은 분야를 다루는 논문을 보류하고 있다. 젊은 이탈리아인은 그의 작업을 끝낼 시간을 가지고 반박의 여지가 없는 새로운 미적분학의 발명을 주장하려는 모양이다.”라고 오일러가 말했다고 전해진다. 하지만 이 기사도적인 관점은 논쟁의 대상이 되었다. 라그랑주는 1762년과 1773년에 토리노 사회에서의 두 번의 회고에서 그의 방법을 출판했다.
1758년, 라그랑주는 제자들의 도움으로, 결국 토리노 과학 아카데미라는 법인조직이 된 단체를 설립한다. 그의 대부분의 초기 저작들은 《토리노에서의 기타 연구》()로 알려진 5권의 결과물에서 찾아볼 수 있다. 이들 중 많은 부분이 정성들인 논문이었다. 첫 번째 책은 소리의 전달 이론에 대한 논문을 포함하고 있다. 이것에서 그는 뉴턴의 실수를 지적하고 있으며, 운동에 대한 일반적인 미분방정식을 얻었고, 그것을 직선 운동에 대해 적분했다.
이 책은 또한 가로로 진동하는 끈 문제의 완벽한 해답을 포함하고 있다. 이 논문에서 그는 브룩 테일러(Brook Taylor), 장 르 롱 달랑베르, 그리고 레온하르트 오일러가 기존에 제시한 해답에 일반성이 결여되어 있다는 점을 지적하고, 임의의 시간 "t"에서 곡선의 형태가 방정식 formula_1으로 주어진다고 결론에 도달했다. 그 논문은 메아리, 맥놀이, 그리고 소리의 혼합에 대한 대가다운 논의를 포함하고 있다. 이 책의 다른 논문들은 점화수열, 확률, 그리고 변분법에 대해 다룬다.
두 번째 책은 첫 번째 책의 변분법에 대한 몇몇 논문의 결과들과 표기법을 구체화하는 긴 논문을 포함하고 있다. 그는 최소작용의 원리를 추론해내고 동역학의 다양한 문제의 해답을 제시함으로써 그 유용성을 설명했다.
몇몇 논문들은 적분에 대한 것이다. 위에서 언급된 페르마의 문제: 완전제곱수가 아닌 정수 "n"이 주어질 때 x2 n + 1 이 완전제곱수인 "x"를 찾는 것; 그리고 상호 인력이 작용하는 세 물체의 운동에 대한 일반적인 미분방정식에 관한 논문들도 포함되어 있다.
다음으로 그가 한 일은 1764년에 달의 칭동에 대한 것이었고, 또 그는 가상일을 이용해 왜 항상 달의 한쪽 면만이 지구를 바라보는지 설명했다. 그의 해답은 그가 결국 공식적으로 1780년에 보이게 되는 일반화된 운동방정식의 근원을 포함하고 있다는 점에서 특히 흥미롭다.
베를린 아카데미.
1756년에 이미 피에르루이 모페르튀의 도움을 받아서 레온하르트 오일러는 라그랑주를 베를린 아카데미로 데려오려고 하였다. 후에 달랑베르는 프로이센의 프리드리히 2세에게 라그랑주를 추천했으며, 라그랑주에게 편지를 써서 베를린의 명성이 있는 자리를 위해 라그랑주가 토리노를 떠나오기를 요청했다. 라그랑주는 두 제안을 모두 거절했으며, 1765년에 다음과 같이 답했다.
1766년 오일러는 베를린을 떠나 상트페테르부르크로 가자 프리드리히는 라그랑주에게 “유럽에서 가장 위대한 왕”이 “유럽에서 가장 위대한 수학자”를 그의 왕궁으로 모시기를 바란다는 편지를 썼다. 라그랑주는 마침내 설득당하여 다음 20년을 프로이센에서 보냈다. 프로이센은 그가 베를린과 토리노에서 출판한 수많은 일련의 논문들을 쓴 곳일 뿐만 아니라 그의 기념비적인 작품인 라그랑주 역학을 만든 곳이다. 베를린에서의 그의 삶은 불운한 실수에서부터 시작했다. 동료들 대부분이 결혼한 것을 알게 되고 그들의 부인들로부터 결혼하는 것이 행복하기 위한 유일한 방법이라는 것을 확신하고 나서 그는 결혼했다. 그러나 곧 그의 부인이 죽어 결혼 생활은 행복하지 않았다.
프리드리히 2세는 자주 라그랑주와 완벽히 규칙적인 삶의 장점에 대해 토론하곤 하였고, 라그랑주는 프리드리히에게 총애를 받았다. 여기서 얻은 교훈을 집해서 실천하기도 했는데, 그 후부터 라그랑주는 그의 마음과 몸을 기계로 보아 연구했으며 실험을 통해서 그가 죽지 않고 해낼 수 있는 정확한 양의 일을 계산해냈다. 매일저녁 그는 다음날 할 정확한 일들을 정했으며, 일이 끝나면 그의 증명법이나 관심사에 대해 어떤 점을 개선할 수 있는지에 대해 간단한 분석을 하였다. 그는 언제나 그의 논문을 작성하기 전에 그 주제들에 대해 깊이 생각했으며 글을 쓸 때에는 하나도 고치지 않고 바로 써내려갔다.
그렇지만 베를린에서 지내는 동안 라그랑주의 건강은 여러모로 좋지 않았으며 그의 부인 비토리아의 건강은 훨씬 좋지 않았다. 수년간의 병치레 후 1783년 비토리아가 죽자 라그랑주는 의기소침해졌다. 1786년에는 프리드리히 2세가 죽고, 라그랑주에게 베를린의 날씨는 견디기 힘들었다.
1786년에 프리드리히 2세가 사망하자 스페인과 나폴리 등 여러나라로부터 초청을 받았지만 루이 16세의 요청을 흔쾌히 받아들여 파리로 이동하였다. 그는 프랑스에서 그의 방문을 대비하여 루부르에 만들어놓은 특별한 저택과 여러 구별되는 특전들을 전부다 받았으며, 또한 프랑스 과학 학술원의 회원이 되었는데 이곳은 나중에 프랑스 학사원이 된다. 그의 파리생활의 초반에는 그는 우울함에 사로잡혔으며, 심지어는 25년 넘게 작업한 《해석역학》의 복사본을 책상위에 열지 않은 상태로 그대로 놓았었다. 그의 프랑스 혁명에 대한 호기심은 그가 무기력증으로부터 나오게 되는 계기가 되었으며, 이 호기심은 점점 혁명이 발달해 가면서 위기감으로 변하게 되었다.
1792년에는 인생에 대한 헤아릴 수 없는 슬픔과 소심함에 빠져있다가 24살의 아델라이드(Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier)를 향한 열정으로 옮겨 갔는데 그녀는 그의 친구이며 천문학자인 모니에의 딸이었다. 그녀는 라그랑주와 결혼을 고집했고 헌신적인 부인이 되었으며 라그랑주와 사이가 좋았다.
1793년 9월에 공포정치가 시작되었다. 1793년 10월의 포고령에서 모든 외국인들은 프랑스를 떠나야 했지만 그 당시 많은 다른 학자들과 함께 이미 학술원에서 쫓겨난 앙투안 라부아지에가 개입하여 라그랑주는 특별 면제되었다. 1794년 5월 4일, 라부아지에를 비롯한 27명의 세무사가 체포되어, 재판에서 사형을 선고를 받고 그날 오후 길로틴에서 처형되었다. 라그랑주는 라부아지에의 죽음에 대해 이렇게 말했다.
라그랑주는 프랑스에서 탈출할 준비를 하고 있었지만 위험에 처하지는 않았다. (나중에 나폴레옹 정부와 같은) 다른 혁명 정부들은 그에게 명예와 특별대우를 해주었다. 이러한 행운이나 안전은 그가 여러 해 전에 표명했던 그의 삶의 태도 때문일 것이다: "일반적으로 모든 현자의 제일 원리중 하나는 그것이 아무리 비합리적일지라도 그가 살고 있는 나라의 법을 엄격하게 따르는 것이라고 나는 믿는다." 그가 가진 관점에 대한 놀라운 증언은 1796년 이탈리아 주재 프랑스 공관이 라그랑주 아버지에게 아들의 업적에 대해 다음과 같이 프랑스 공화국을 대신해 축하할 때 나타났다. "그의 천재성은 모든 인류를 명예롭게 하였고, 이런 사람을 낳은 피에몬트의 특별한 영광이다." 나폴레옹이 권력을 얻었을 때 프랑스의 과학 연구를 열렬히 장려했고, 그에 대한 자유주의적인 후원자였다는 사실은 주목할 만하다. 1799년 상원의원으로 임명된 그는 1802년 그의 조국인 피에몬테를 프랑스 땅으로 합병하는 Sénatus-consulte에 서명하는 첫 번째 사람이 되었다. 따라서 라그랑주는 프랑스 국적을 얻게 되었다. 프랑스인들은 그가 프랑스의 수학자라고 하지만 이탈리아인들은 그가 이탈리아인이라고 계속 주장한다.
1790년대에 라그랑주는 새로운 표준 측정 단위를 만드는 과정에 상당히 관여했다. 탈출을 준비할 때 무게 및 측량 개혁 위원회("la Commission des Poids et Mesures)"의 위원장직을 제의받았다. 1794년 라부아지에가 죽은 뒤로는 미터와 킬로그램을 표준 단위로 최종 선택하고 마침내 십집법 세분화가 1799년의 위원회에 의해 받아들여진 것은 라그랑주의 영향력에 힘입은 바가 컸다. 라그랑주는 또한 1795년에 경도국의 창립 멤버 중 한 명이었다.
1795년에 라그랑주는 새로이 세워진 에콜 노르말 쉬페리외르에 수학과 학과장으로써 4개월이라는 짧은 기간 동안 임명되었다. 그가 그곳에서 한 강의는 매우 기본적이었고 특별한 점이 없었지만 이것들을 책으로 묶어 출판되었는데 이는 교수들이 "서로 책을 읽거나 기억을 되세기지 않기로 국민대표들에게 서약해야" 했기 때문었고, 교수들이 무죄임을 조사관들이 알 수 있도록 그들의 대화를 간단히 요약하라는 명령을 받았다.
에콜 폴리테크니크.
라그랑주는 에콜 폴리테크니크의 교수로써 1794년에 임명되었다. 그의 강의에 참석하는 행운을 누렸던 수학자들에 의하면 그의 강의는 형태나 내용 면에서 모두 완벽하였다. 매우 하찮은 요소들로부터 시작하여 그는 그의 청취자들이 모르는 문제의 범위까지 그들의 사고의 경계를 넓혔다. 그는 학생들에게 항상 대칭적인 기호로 표현된 일반적인 방법의 장점을 강조하였다.
그렇지만 라그랑주는 교사로서 성공적이지는 못하였다. 1795년에 그의 수업을 들은 조제프 푸리에는 다음과 같이 썼다.
1810년, 라그랑주는 《해석역학》의 완전한 개정을 시작했다. 하지만 그는 1813년 파리의 뤼 드 포부르 생토노레(rue du Faubourg Saint-Honoré) 128번지에서 죽기 전까지 2/3밖에 완성할 수 없었다. 그가 죽기 이틀 전에 나폴레옹은 그에게 화합의 제국 훈장 대십자장을 수여하였다. 파리의 판테온에 묻혔으며, 그의 묘비에 프랑스어로 다음과 같이 새겨져 있다:
베를린에서의 업적.
라그랑주는 그가 베를린에서 보낸 20년간 과학 분야에서 굉장히 활발하게 활동했다. 그는 《해석역학》의 집필 뿐만 아니라 100에서 200편 사이의 논문들을 토리노 아카데미, 베를린 아카데미, 그리고 프랑스 아카데미에 기고했다. 이들 중 몇몇은 정식 논문들이며 모두 굉장히 훌륭한 것들이었다. 그가 아팠던 짧은 기간 외에는 그는 평균적으로 한 달에 한 개의 저술을 했다. 이 중 가장 중요한 것들을 뽑자면 다음과 같은 논문들이 있다.
첫째로 1766-1773년의 《토리노에서의 기타 연구》의 4권과 5권에서 그의 가장 중요한 논문은 1771년에 있었다. 그것에서 라그랑주는 어떻게 수많은 천체관측결과들이 가장 그럴듯한 결과를 주도록 연결되어야 하는지에 관하여 논하였다. 그 후 1784-1785년 투린 학회 회보의 첫 두 판들에서 많은 논문을 기고했다. 첫째로 그는 움직이는 유체에 의해 생기는 압력에 대한 논문을 기고했고, 둘째로 무한급수에 의한 적분과 그것이 들어맞는 종류의 문제들에 대한 글을 썼다.