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오피스파(Ophites: fl. c. AD 100년)는 구약성경의 창세기에 나오는 뱀(, serpent)을 지식의 전수자로 숭배하였기 때문에 붙여진 이름이었다.
카인파.
카인파 또는 카인주의(Cainites, Cainians)는 이름이 의미하는 바대로 카인을 숭배하였는데 또한 이들은 에서(Esau)와 코라(Korah)와 소돔과 고모라인들(Sodomites)을 숭배하였다. 이 영지주의자들의 성격과 특징에 대해서는 알려진 바가 거의 없다. 하지만 이들은 죄악에 빠지는 것이 구원의 열쇠라고 믿었던 것으로 추측되고 있다. 이렇게 믿은 이유는 육체는 악한 것이므로 육체를 비도덕적 행위들로 더럽혀야 한다는 관점을 가졌기 때문인 것으로 보인다 (자유분방주의를 참조하시오). 카인파라는 이름은 한 종교적인 운동을 지칭하는 이름으로 사용된 것이지 카인의 후손들을 의미하는 용도로 사용된 것이 아니다. 카인이라는 인물에 대한 유일한 원천자료인 성경에 따르면, 카인의 후손들은 노아의 홍수 때에 모두 멸망하였으며 노아의 가족만이 살아남았는데 이들은 셋(Seth)의 후손이었다.
카르포크라테스파.
카르포크라테스파 또는 카르포크라테스주의(Carpocratians: fl. AD 2세기)는 자유분방주의 분파로 《히브리 복음서(Gospel according to the Hebrews)》만을 따랐다.
보르보로스파.
바오로파.
바오로파(Paulicans, 바울파) 또는 바오로주의는 양자론(養子論, Adoptionism)을 주장한 분파들 중의 하나로, 또한, 중세 시대의 문헌에 따르면 영지주의 기독교인이며 반(半)마니교적 기독교인이라고 비난 받았다. 바오로파는 AD 650년-872년 동안 아르메니아와 동로마 제국(AD 330년-1453년)의 동부 테마들에서 번성하였다. 중세 비잔틴 문헌들에 따르면, 바오로파라는 이름은 AD 260년-268년 동안 안티오키아 총대주교였던 사모사타의 바오로에서 유래하였다.
카타르파.
카타르파 또는 알비파는 서기 11세기에 시작되어 12세기-13세기에 융성하였던 기독교 분파로 영지주의를 모방한 전형적인 분파로 여겨지고 있다. 카타르파가 고대 영지주의로부터 직접적인 영향을 받아 형성된 것인가 하는 것은 현재 논쟁의 대상이다. 영지주의 우주론의 기본 컨셉트들이 카타르파에서 발견되고는 있지만, 고대 영지주의와는 달리 이들은 그노시스, 즉 지식을 구원을 초래케 하는 힘으로 여기지 않았다는 것이 명백하다.
카발라.
영지주의의 사상은 유대교 신비주의인 카발라에서 유대교적으로 변용된 모습으로 나타났다. 카발리스트들(Kabbalists)은 영지주의의 여러 핵심 사상들을 수용하여 이 새로운 관점 하에 초기 유대교 문헌들을 재해석하였다. 카발리스트들은 프랑스 남동부의 지중해에 면한 지역인 프로방스에서 기원하였는데, 당시에 프로방스는 영지주의파인 카타르파(Cathars: b. 11세기, fl. 12세기-13세기)의 중심지이기도 하였다. 때문에 영지주의파인 카타르파가 유대인들에게 영지주의 사상을 전파하여 믿게 하였고 그 결과 카발라가 나타나게 되었다고 믿어지고 있다. 또한, 카발라의 출현에 영향을 준 다른 하나의 사상은 이슬람교의 이스마일파인 것으로 여겨지고 있다. 그러나, 이러한 견해들과는 달리, 카발라의 추종자들은 카발라의 기원이 에덴 동산 시절 때에 있다고 보고 있다.
그러나 카발라는 이교도의 가르침인 영지주의의 용어를 사용하지 않았다. 대신에 카발라는 영지주의과 같거나 유사한 개념들을 토라의 언어로 표현하고 사용하였다. 그럼에도 불구하고, 영지주의의 다양한 종교들로부터 많은 수의 추종자들을 끌어들여서 이들 종교들의 나스티시즘 버전을 창조하고 있던 동안 많은 유대인들도 또한 영지주의자들의 믿음과 놀랍도록 유사한 신비주의적인 유대교 버전을 발전시켰다.
여러 주제들이 카발라와 영지주의 둘 다에서 공통되어 다루어지고 있으며 그 입장도 서로 일치한다. 예를 들면, 물질계 너머에 복수의 고급계들이 있다는 교의, 아케타입(archetypes, 원형)들에 대한 교의, 그리고 고급계들과 아케타입들을 아는 것을 중요시하는 점 등이 이에 속한다. 하지만, 카발라는 물질 세상과 히브리 성경이 하위신 또는 악한 신의 창조물이라는 영지주의파만의 두드러진 믿음은 수용하지 않았다. 카발라를 영지주의의 한 형태라고 보기보다는, 카발라와 영지주의 둘 다 신플라톤주의적/신피타고라스주의적 동양 신비주의 전통들에 속한 것으로 보는 것이 더 정확할 것이다. 그리고 이 신비주의 전통들에는 이슬람교 신비주의인 수피즘도 속한다. 게르숌 숄렘(Gershom Scholem: 1897년-1982년)은 영지주의를 "형이상학적 반유대주의(anti-Semitism)의 가장 커다란 사례"라고도 말하였다.
주요 용어 및 개념.
다음에 나오는 용어 설명들은 현재 존재하는 다양한 해석들 중의 몇몇을 요약한 것에 지나지 않는다는 것에 유의할 필요가 있다. 예를 들어, 예수 그리스도, 소피아, 데미우르고스와 같은 잘 알려진 존재들은 여러 영지주의 체계들에서 모두 다루어지고 있는 공통된 주제들 또는 대상들이다. 하지만 이들의 역할이나 성격은 영지주의 체계들에 따라 다소 차이가 있다.
아이온.
많은 영지주의 체계들에서 아이온(æon)들은 지고한 신의 다양한 발출물들이다. 그리고 이 지고한 신은 다른 이름으로는 하나인 존재(One), 모나드(Monad), 아이온 탈레오스(, Aeon teleos ), 프로아르케(, Proarche ), 에 아르케(, E Arche ), 빛의 에노이아(Ennoia of the Light )등으로 불린다. 이 최초의 존재는 또한 하나의 아이온이기도 하다. 이 최초의 존재로부터 일련의 다른 발출물들이 생겨난다. 몇몇 영지주의 문헌들에 따르면, 이 일련의 발출물들 중 제일 첫째 발출물은 양성일체(兩性一體)인 바르벨로(Barbelo)이다. 그리고 바르벨로로부터 하위 아이온들의 쌍들이 발출된다. 이 아이온들의 쌍들은 시저지들(syzygies)이라 불리는 남성-여성의 쌍으로 흔히 발출된다. 이들 시저지들의 숫자는 문헌들에 따라 서로 다르다. 몇몇 문헌들은 이 시저지들의 총 개수가 15쌍, 즉 30인 것으로 말하고 있다. 아이온들 전체는 플레로마, 즉 "빛의 세계(region of light)"를 구성한다. 그리고 플레로마의 가장 하급의 지역들이 어둠(darkness), 즉 물질 세계에 가장 가까이 있는 세계이다.
가장 흔히 쌍을 이루는 아이온들 중에는 예수(Jesus)와 소피아(Sophia )의 쌍이 있다. 《발렌티누스파의 주해서(A Valentinian Exposition)》에서 소피아는 예수를 그녀 자신의 '배우자'라고 말하고 있다. 소피아는 자신의 배우자 없이 어떤 존재를 발출한 결과 데미우르고스(Demiurgos, )를 낳게 되었다. 데미우르고스는 또한 얄다바오트(Yaldabaoth) 또는 이와 비슷한 다른 이름들로 몇몇 나스틱 문헌들에서 불리고 있다. 데미우르고스가 발출된 후, 소피아는 데미우르고스를 플레로마 밖으로 숨긴다. 그 후 데미우르고스는 플레로마 밖에서 혼자 있으면서 혼자 생각하면서 있다가, 물질 세상과 자신의 동료 지배자들을 창조한다. 이 동료 일꾼들을 아르콘들(archons)이라 한다. 데미어지는 인간을 창조하였는데, 인간을 창조할 때 소피아로부터 훔쳐 온 플레로마의 요소를 인체 속에 가두어 놓았다. 이에, 지고한 신은 두 명의 구세주 아이온들인 그리스도와 성령을 발출하였다. 이 때 그리스도는 예수의 형상으로 화신하였는데 그 목적은 사람들에게 그노시스를 성취하는 방법을 가르쳐서 그 결과 플레로마로 되돌아 올 수 있게 하려는 것이었다.
아르콘.
고대 후반기(AD 2-8세기)에 영지주의의 몇몇 분파들이 데미우르고스의 여러 부하들을 언급하기 위해 아르콘(Archon)이라는 낱말을 사용하였다. 이러한 문맥에서는 아르콘들은 구약성경의 천사들이나 악마들의 역할을 하는 것으로 볼 수 있다.
오리겐(AD c.220)의 《셀수스에 대한 반박(Contra Celsum)》에 따르면, 오피스파라고 불리는 분파는 일곱 아르콘들이 존재한다고 말하였다. 오피스파에 따르면, 이들 일곱 아르콘들은 이알다바오트(Ialdabaoth) 또는 이아다바오트(Iadabaoth)라는 아르콘으로부터 시작되는데, 이알다바오트는 다음의 여섯 아르콘들을 창조하였다: 이아오(Iao), 사바오트(Sabaoth), 아도나이오스(Adonaios), 엘라이오스(Elaios), 아스타파노스(Astaphanos), 호라이오스(Horaios). 이알다바오트의 머리는 사자의 모습이었는데 이것은 미트라교에서의 크로노스와 유사하며, 또한 베다 종교에서 비슈누의 여러 화신들 중 하나인 나라심하와 유사하다.
아브라삭스.
이집트의 나스틱파였던 바실리데스파는 365명의 영적 존재들의 수장으로 아브라삭스(Abrasax) 또는 아브락사스(Abraxas)라고 불린 존재에 대해 언급하였다. (이레나이우스, 《이단적 교의들에 대한 반박》, I.24). 여기에서 이레나이우스는 '아르콘(Archon)'이라는 낱말을 사용했는데 그 의미가 불명확하다. 하지만 이 문맥에서는 단순히 '지배자(ruler)'를 의미한 것일 수 있다. 바실리데스파의 아브라삭스의 역할과 기능이 무엇이었는지는 명확하지 않다.
아브라삭스 또는 아브락사스라는 낱말이 어떤 고대의 보석들에 새겨져 있는데, 이런 이유로 이 보석들을 '아브라삭스 보석들(Abraxas stones)'이라 한다. 아브라삭스 보석들은 영지주의자들에 의해 호신부나 부적으로 사용되었을 것으로 여겨진다. 대중 문화에서, 아브라삭스는 때때로 선과 악, 즉, 최고신과 데미우르고스를 한 존재 속에 모두 지니고 있는 신의 이름으로 여겨지고 있다. 그리하여 아브라삭스는 유일신교의 유일한 신을 나타내지만 예를 들면 기독교의 하느님과는 달리 무한히 그리고 제한 없이 선하지는 아니한 신이다 (헤르만 헤세의 소설 《데미안》과 칼 융의 저서 《죽은 자들에게 주어진 7 강의들》을 참조하시오). 아브라삭스에 대한 견해는 아주 다양하고 풍부하다. 최근 수 세기 동안에 아브라삭스는 한 이집트 신이자 악마라고 주장되었다. 때로는 사탄 혹은 루시퍼의 이중적인 성격과 연결짓는 경우도 있었다. 마법사의 주문인 아브라카다브라(abracadabra)가 아브라삭스와 관련이 있다고 하는 견해가 있다. 하지만 이와는 다른 견해도 있다.
《콥트어 이집트 복음서》와 같은 나그함마디 문서에서 나온 고대 영지주의 문헌들에서는 아브라삭스를 소피아와 함께, 그리고 플레로마의 다른 아이온들과 함께 엘레레트(Eleleth)라는 루미너리(luminary, 발광체)의 빛 속에 거주하고 있는 것으로 말하고 있다. 여러 문헌들에서 엘레레트는 발출되어 나온 여러 루미너리들—영적인 빛들(Spiritual Lights)—중에서 가장 마지막의 것이다. 그리고, 한 아이온이자 엘레레트와 관련이 있는 소피아는 어둠을 만나서 일련에 사건들에 휘말려서는 결과적으로 데미우르고스와 아르콘들이 물질 세상을 지배하게 된다. 그러자 이들의 지배로부터 인간을 구원하기 위한 노력이 뒤따르게 된다. 이와 같이, 아브라삭스, 소피아 그리고 다른 존재들을 포함한 엘레레트의 아이온들의 역할은 플레로마의 최외각 경계 영역인 엘레레트와 관련되어 있다. 이들은 결핍의 세계, 즉 물질 세상의 무지를 만나서 상호 작용하여서는 물질 세계 속에 있는 무지의 오류를 바로잡는 역할을 한다.
아브라삭스 또는 아브라크사스와 동일하거나 또는 비슷한 낱말들이 그리스 매직 파피루스들에서도 나타난다. 바실리데스의 교의, 《콥트어 이집트 복음서》를 비롯한 고대 영지주의파의 문헌들, 더 광범위한 영역의 그리스-로마 매직 전통들, 현대의 매직 및 밀교 저작들에서, 아브라삭스에 대한 견해는 어떤 것들은 서로 간에 유사하기도 하고 어떤 것들은 서로 간에 다르기도 하다.
스위스의 심리학자인 칼 융(1875-1961)은 1916년에 《죽은 자들에게 주어진 7 강의들》이라는 짧은 영지주의적인 글을 썼다. 여기에서 칼 융은 모든 대립물이 한 존재 속으로 결합된 신이 아브라삭스이며, 아브라삭스는 기독교의 신과 사탄의 컨셉트보다 더 고차적인 개념의 신이라고 하였다.
데미우르고스.
데미어지(Demiurge)라는 낱말은 데미우르고스(, dēmiourgos, )가 라틴어화된 낱말에서 유래하였다. 데미우르고스는 물질 우주와 인간의 성품의 물질적 측면을 창조한 존재라고 언급되고 있다. '데미우르고스(dēmiourgos)'라는 낱말은 다른 많은 종교적·철학적 체계들에서도 나타나는데, 특히 플라톤 철학에서 그러하다. 데미어지의 도덕적 성격에 대한 견해는 영지주의라는 넓은 범주에 속한 각 그룹마다 그 견해가 서로 달랐다. 데미우르고스의 도덕적 성격에 대한 각 그룹의 견해는 물질 세상, 즉 물질성을 어떻게 보는가와 대체로 상응한다. 예들 들어, 물질 세상을 본질적인 악으로 보는가 또는 물질 세상을 단지 선의 결핍으로 보는가에 따라 데미우르고스에 대한 견해도 다르다. 후자의 견해의 경우 데미우르고스는 물질 세상을 구성하는 수동적인 구성 원소인 물질(matter)이 허용하는 한도 내에서 선하다고 보았다.
플라톤과 같이, 영지주의는 데미우르고스가 그 창조자인 감관적 물질 세상과 초자연적인 불가해한 실재를 구분한다. 그러나, 플라톤과는 달리, 여러 나스티시즘 체계들은 데미우르고스가 최고신에 적대적인 존재라는 견해를 가졌다. 이 견해에 따르면, 데미우르고스가 행한 물질 세상의 창조는 신적인 모델에 대해 무자각한 상태에서 이루어진 것이었으며 본질적으로 신적인 모델을 잘못 모방한 것이었다. 또는, 데미우르고스가 행한 물질 세상의 창조는 물질 세상 속에 신적인 측면들을 가두어두려는 악한 의도에서 이루어진 것이었다. 그러므로 이러한 체계들에서는 데미우르고스는 '악의 문제(problem of evil)'에 대한 해결책으로 기능하고 있다. 《요한의 비밀 가르침》 (Apocryphon of John)에서 데미어지는 "얄타바오트(Yaltabaoth)"라는 이름을 가지는데, 다음과 같이 자신을 최고신이라 주장한다:
유대교-기독교 전승에서 "사마엘()" 또는 "새미아엘()"은 죽음의 악천사를 가리키는 말이며, 동일한 이름을 가진 기독교의 악마에 해당하는 말이다. 문자 그대로의 뜻은 "눈먼 신" 또는 "눈먼 자들의 신"이다. 데미우르고스는 다른 이름으로 "사클라스()", "새클라()"라고 하며 "어리석은 자"를 의미한다.
이러한 사건들을 기술하고 있는 영지주의 신화들에는 신적인 요소들이 인간의 형상 속으로 실락하였다는 것을 묘사하는 난해한 표현들로 가득 차 있다. 이 설명들에 따르면 이 실락 과정은 데미우르고스의 작용에 의해 일어난다. 데미우르고스는 자신의 어머니인 소피아로부터 힘의 일부를 훔쳐서는 물질 세상과 인간의 물질적 형상을 창조하는 일을 시작하는데, 이들을 창조할 때 데미우르고스는 상위의 플레로마를 무의식적으로 모방하여 창조하였다. 이 결과 소피아의 파워가 인간의 물질적 형상들 속에 갇히게 되었다. 그리고 인간의 물질적 형상들은 물질 우주 속에 갇힌 바가 되었다. 이러한 이유로 영지주의 운동의 전형적인 목표는 물질 우주와 물질적 형상 속에 갇힌 이 스파크(spark, 불꽃)를 일깨우는 것이었다. 즉, 이 스파크가 일깨워짐으로써 이 스파크는 데미우르고스, 즉 물질 세상과 물질적 감관의 지배를 받는 것이 아니라 자신의 태초의 근원인 지고한 비물질적 실재의 지배를 받게 되고 이를 통해 이 실재 또는 이 실재의 상태로 되돌아가는 것이 영지주의 운동의 전형적인 목표였다.
몇몇 영지주의 철학자들은 데미우르고스를 구약성경의 신인 야훼(Yahweh, 여호와)와 동일시하였다. 그리고 이들은 데미우르고스, 즉 구약성경의 신은 신약성경의 신과는 반대된다는 견해를 가졌다. 또한 다른 몇몇 영지주의 철학자들은 데미우르고스를 사탄(Satan)과 동일한 존재로 보았다. 중세의 카타리파(Catharism: b. 11세기, fl. 12세기-13세기)는 사탄이 악한 세상의 창조자라는 컨셉트를 가졌는데, 이것은 직접적으로건 혹은 간접적으로건 고대의 영지주의으로부터 이어받은 컨셉트임이 명백하다.
그노시스.
낱말은 현대에 만들어진 낱말이다. 하지만 이 낱말은 아무런 근거 없이 만들어진 낱말이 아니다. 이 낱말은 고대의 언어적 표현을 토대로 만들어졌다. 이 낱말은 의미하는 그리스어 낱말인 유래하였다. 그노시스는 아주 특별한 형태의 지식을 의미하며, 이러한 의미는 원래의 그리스어 낱말의 정확한 의미와 그 낱말이 플라톤 철학에서 사용된 용법에 근거하여 도출되었다.
고대 그리스에서는 여러 가지 형태의 앎(knowing)을 구분하는 단어들이 있었다. 이들 중 일부는 현대의 언어로는 서술적인 지식과 경험적인 지식이라고 할 수 있다. 서술적인 지식은 다른 사람들이 한 진술이나 자신의 추론을 통해 간접적으로 획득된 지식을 의미한다. 예를 들면, "나는 조지 부시'에 대해' 알고 있다" 또는 "나는 베를린이 독일'에 있다'는 것을 알고 있다"라고 할 때의 지식이다. 그리고 경험적인 지식은 직접적인 참여 또는 직접적인 앎에 의해 의해 획득된 지식을 의미하다. 예를 들면, "나는 조지 부시를 개인적으로 알고 있다" 또는 "나는 베를린을 알고 있고 있는데, 직접 방문해 보았기 때문이다"라고 할 때의 지식이다.
그노시스는 두 번째 종류의 경험적 지식을 의미한다. 그러므로, 종교적인 문맥에서, 말할 때는 일반적 의미의 서술적 지식을 가지는 것을 의미하는 것이 아니라 신성(divine)에 직접 참여함으로부터 온 신비적 또는 내부 밀교적인 경험을 가지는 것으로 이해되어야 한다. 실제로, 거의 모든 영지주의 체계들에서 구원에 도달하게 하는 직접적인 수단 또는 원인은 이러한 경험적 지식으로서의 . 이와 관련하여, 영지주의의 일파인 오피스파(Ophites)에서는 그노시스에 대하여 다음과 같은 금언을 가지고 있었다:
이러한 앎은 통상적으로 과정 또는 과정과 동일한 것으로 여겨지고 있다. 그리고 이러한 앎은 플로티노스(Plotinus: AD c.204-270)에 의해 권장되었던 지식에 비견된다. 그러나 낱말은 고대의 여러 철학적 전통들에서 이미 사용되고 있었던 말로서 이에 따른 선행하는 용법들이 있었다. 고대의 종교 그룹들의 한 집합에 대하여 붙여진 영지주의자 또는 영지주의라는 호칭에 대해 그 안에 담겨진 의미를 사유할 때는 이러한 선행하는 용법들이 함의하고 있는 미묘한 의미들도 고려되어야 한다.
모나드.
많은 영지주의 체계들에서 (그리고 이단 연구들에서), 신은 모나드, 하나인 존재, 절대 존재, 아이온 탈레오스(, Aeon teleos, 완전한 아이온), 프로아르케(, Proarche, 태초 이전의 존재), 그리고 에 아르케(, E Arche, 태초의 존재)라고 알려져 있다. 신은 플레로마, 즉 빛의 세계의 시원이다. 신의 다양한 발출물들은 아이온들이라고 불린다.
히폴리토스(c.170-c.236)에 따르면, 이러한 견해는 피타고라스 학파로부터 영감을 받은 것이었다. 피타고라스 학파는 존재하게 된 최초의 것을 모나드라고 불렀다. 그리고 피타고라스 학파는 모나드가 뒤아드(dyad)를 낳았고, 뒤아드가 수들(numbers)을 낳았으며, 수들은 점(point)을 낳았고, 점은 선(lines)을 낳았다는 등의 진술을 하였다. 이러한 개념은 또한 플라톤(BC 428/427-348/347), 아리스토텔레스(BC 384-322)와 신플라톤주의를 확립하였던 플로티노스(AD c.204-270)의 저작들에서 더 명확해졌다. 이 가르침은 또한 신타고라스주의자이자 신플라톤주의의 선구자였던 누메니오스(Numenius: fl. AD 2세기 후반)를 통하여 신피타고라스 학파의 가르침이 되었다.
영지주의의 모나드는 플레로마를 발출한 만물의 영적 근원이다. 그리고 모나드는 물질을 지배하는 데미우르고스(얄다바오트)와 대비될 수 있다.
《요한의 비밀 가르침》에 포함된 가장 잘 알려진 세트파(Sethian)의 우주발생론에서는 미지의 신(unknown God)에 대해 설명하고 있다. 미지의 신에 대한 교의는 정통파 기독교의 부정 신학(否定神學, apophatic theology)과 유사하다. 하지만 이 교의는 유일한 신이 존재하며 이 유일한 신이 하늘과 땅의 창조자라는 기독교 정통파의 교리에서 가르치는 가르침과는 아주 많이 다르다. 성경의 문헌들과 관련하여 창조신(creator god)의 성격을 설명함에 있어, 정통파 기독교의 신학자들은 종종 신을 일련의 명확한 긍정적인 진술들을 통해 정의하려고 시도한다. 이러한 긍정적인 진술들은 보편적이거나 우주적이며 또한 최고도로 신적인 표현들을 사용하여 이루어진다. 예를 들어, 신은 전지하며(omniscient), 전능하며(omnipotent) 그리고 참으로 사랑으로 가득 차 있다(benevolent). 이와는 대조적으로, 극히 숨겨져 있는 초월한 신이라는 세트파의 컨셉트는 부정 신학을 통해 정의된다. 세트파에 따르면, 신은 부동의(immovable, 변천하지 않는) 존재이며, 불가시의(invisible) 존재이며, 무형의(intangible) 존재이며, 말로 표현할 수 없는(ineffable) 존재이다. 일반적으로 신은 양성일체(兩性一體)의 존재인 것으로 여겨지는데, 양성일체는 '만물을 포함한다 것'을 나타내는 상징이다. 《요한의 비밀 가르침》에서, 신은 선을 부여한다는 점에서 선한 존재이다. 부정 신학의 부정적인 진술들이 가리키는 존재 상태 이후에, 신이 활동 속으로 나타나는 과정들은 이러한 선한 존재로서의 신의 창조물 또는 발출물들을 묘사하는데 사용되고 있다.
부정(否定)을 통해 신을 설명하고 묘사하는 접근법은 영지주의, 힌두교의 베단타 철학, 플라톤 철학, 아리스토텔레스 철학 등에서 광범위하게 발견된다. 그리고 또한 유대교에서도 발견되는데, 특히, 유대교 신비주의인 카발라에서 그러하다.
플레로마.
플레로마(, Pleroma)라는 낱말은 일반적으로 신의 능력들의 총합을 지칭한다. 플레로마는 '충만' 또는 '충만한 상태'(fullness)를 의미한다. 플레로마는 기독교 신학의 문맥 속에서도 사용되며 영지주의에서도 일반적으로 사용된다. 신약성경에서는 골로새서 2:9에서 사용되고 있다:
영지주의는 물질 세상이 악한 아르콘들에 지배 당하고 있다는 견해를 가졌다. 그리고 이들 중의 하나가 데미우르고스인데, 데미우르고스는 인간의 영혼을 물질 세상 속에 묶어두고 있는 구약성경의 신이라고 보았다.
천상의 플레로마는 신의 생명의 중심부를 이루는 "위에 있는" 빛의 세계이다. 이 빛의 세계는 아이온들(aeons: 영원한 존재들)과 같은 영적인 존재들이 거주하고 있다. 어떤 문헌들에 따르면 아르콘들도 거주한다. 예수는 플레로마로부터 보냄 받은 중재자 이언들 중 한 명인 것으로 해석된다. 나스틱파들은 중재자 아이온인 예수의 도움으로 인류는 인간이 본래 신과 일체였다는 상실된 지식을 회복할 수 있게 되었다고 보았다. 때문에, 플레로마라는 용어는 영지주의자의 우주론에서 핵심적인 요소이다.
또한, 플레로마라는 낱말은 신약성경의 골로새서에서 사용된 후 일반 그리스어 표현들에서도 사용되고 있으며 그리스 정교회에서도 일반적인 의미로 사용되고 있다. 프린스턴 대학교의 일레인 페이걸스(Elaine Pagels)와 같이 '사도 바울이 실제로는 영지주의자였다'는 관점을 주장하는 사람들은 골로새서에 나오는 플레로마에 대한 언급을 영지주의적인 의미로 해석해야 한다고 보고 있다.
소피아.
영지주의 전통에서 소피아(, Sophia, 지혜, wisdom)는 신의 가장 마지막의 최하위 발출물을 지칭한다.
모든 영지주의 신화는 아니지만, 거의 대다수의 영지주의 신화에서 소피아는 데미우르고스를 낳는다. 그리고 데미우르고스는 다시 물질 세상을 창조한다. 물질 세상을 긍정적으로 그리는 경우도 있고 반대로 부정적으로 그리는 경우도 있는데, 물질 세상을 어떻게 보는가 하는 것은 소피아의 행위를 어떻게 묘사하는가에 달려 있다. 소피아는 이따금 히브리어의 아카모트(Achamoth)와 동일한 존재인 것으로 언급된다 (이것은 발렌티누스파의 영지주의 신화의 프톨레마이오스 버전의 특징이다). 소피아를 중심적으로 다루는 유대교 영지주의(Jewish Gnosticism)이 AD 90년까지 활동하였다.
시리아와 이집트 지역의 영지주의의 거의 모든 영지주의 체계들이 우주는 근원적인 불가해한 신으로부터 시작하였다고 가르쳤다. 이들은 이 신을 부모(Parent)로 여겼다. 모노이무스(Monoimus: AD c.150-c.210, 아랍 영지주의자)는 이 신을 모나드(Monad)라 불렀다. 그리고 이 신을 최초의 아이온(First Aeon)이라 여기는 다른 전통들도 있었다. 이 최초의 단일한 태초의 존재, 즉, 하나인 존재는 하위의 아이온들의 쌍들을 순차적으로 발출하였다. 이들 발출된 아이온들의 쌍들 중에서 최하위의 쌍이 소피아(Sophia)와 그리스도(Christ)였다. 아이온들의 전체는 플레로마, 즉, '신의 충만(fullness of God)'을 구성한다. 그러므로 아이온들은 신과 떨어진 별개의 존재가 아니라 신의 성품의 어떤 특질들을 상징적으로 나타내는 것이라고 보아야 한다.
영지주의의 최초 기원이 어디에 있는가 하는 것은 아직까지 불분명하며 논쟁 중인 사항이다. 그러나 플라톤이나 신피타고라스 학파의 사상들이 영지주의의 발생에 영향을 끼쳤을 것이라는 것은 모든 학자들이 대체로 동의하고 있는 바이다. 그리고 이러한 점은 세트파와 발렌티누스파의 경우에서도 마찬가지인 것으로 보인다. 나아가 세트파의 문헌들을 기원후 최초 몇 세기 동안의 세트파의 발전 연대순으로 서로 비교해 보면 후대의 문헌들의 경우 플라톤주의와 지속적으로 상호 작용하고 있었다는 것을 발견할 수 있다. 《아담 계시록》과 같은 초기 문헌들에는 이 문헌들이 기독교 이전에 성립된 것임을 보여주는 지표들이 있다. 그리고 이 문헌들은 아담과 이브의 셋째 아들인 셋에 역점을 두고 있다. 이들 초기 세트파는 노쯔림(Notzrim)이나 오피스파, 혹은 필론이 미누트(Minuth)라고 불렀던 분파와 동일한 분파이거나 또는 관계가 있는 분파일 가능성이 있다. 《조스트리아노스》와 《알로게네스》와 같은 후대의 세트파 문헌들은 초기 세트파 문헌들의 내용을 끌어다 사용하고 있다. 그러나 이 후대의 문헌들에는 "당대의 플라톤주의, 즉 중기 플라톤주의의 후기 철학으로부터 유래한 개념들로서, 기독교적 흔적이 전혀 없는 다수의 철학적 개념들"이 사용되고 있다. 실제로 나그함마디 문서의 문헌들 중 하나인 《알로게네스》에서 발견된 "삼중의 파워를 가진 자"라는 교의는 피에르 하도트(Pierre Hadot)에 따르면, "포르피리오스의 저작이라고 하지만, 실제로는 작자 미상인 《파르메니데스 주해서 (단편 XIV)》에서 발견되는 교의와 동일하며, ...(중략)... 그리고 이 교의는 플로티노스의 저서 《엔네아데스》의 6.7, 17, 13-26에서도 발견된다."
영지주의자들은 많은 개념들과 용어들을 플라톤주의로부터 빌려왔다. 영지주의자들은 그리스 철학의 용어들과 일반 코이네 그리스어를 아주 잘 알고 있었으며 자신들의 문헌들 전반에 그리스 철학의 개념들을 사용하였다. 예를 들어, 실재·존재를 의미하는 휘포스타시스(hypostasis), 에센스·본질·존재를 의미하는 우시아(ousia), 창조신·조물주를 의미하는 데미우르고스(Demiurgos) 등의 컨셉트들을 사용하였다. 그리스 철학에 대한 영지주의자들의 이러한 예리한 이해를 잘 보여주는 문헌으로는 지배자들의 실재성을 의미하는 《아르콘들의 휘포스타시스》(Hypostasis of the Archons)와 세 가지 모습으로 존재하는 최초의 생각을 의미하는 《트리모르픽 프로테노이아》(Trimorphic Protennoia) 등이 있다.
그러나, 플로티노스, 포르피리오스, 아멜리오스(Amelius)와 같은 3세기의 신플라톤주의자들은 모두 세트파를 공격하였다. 세트파는 기독교 이전에 성립된 한 전통으로부터 시작하여 성장함에 따라 기독교와 플라톤주의의 요소들을 도입하여 혼합주의를 행한 것으로 여겨진다. 그러나 기독교와 플라톤주의는 세트파를 거부하고 등을 돌렸다. 존 디 터너(John D Turner) 교수는 이 양쪽의 공격으로 인해 세트파는 오디우스파(Audians), 보르보로스파(Borborites), 아르콘파(Archontics) 및 아마도 피비오나이트파(Phibionites), 스트라티오티시파(Stratiotici), 세쿤드파(Secundians) 등과 같은 여러 소 그룹들로 나누어졌다고 믿고 있다. 나스티시즘에 대한 학자들의 연구는 나그함마디 문서의 발견과 번역으로 인해 크게 진척되었다. 나그함마디 문서는 플로티노스와 포르피리오스가 나스틱파에 대해 남긴 당혹스러운 비판들 중 몇 가지를 이해할 수 있게 하는 실마리를 준다. 더 중요한 점은 나그함마디 문서는 서로 다른 유형의 초기 나스틱파들을 구분함에 있어 도움을 준다는 것이다. "세트파"와 "발렌티누스파" 가 후대의 고대 철학과 "조정 또는 화해, 나아가 제휴 또는 연합하려는 노력"을 시도했으며, 이러한 시도는 플로티노스를 포함한 몇몇 신플라톤주의자들에 의해 거부되었다는 것은 현재로서는 명확한 사실이었던 것으로 보인다.
비기독교 신비가였던 플로티노스는 자신의 반대자들을 플라톤주의의 이단자들이며 엘리트주의 신성 모독자들이라고 여겼다. 플로티노스는 자신의 반대자들이 '악의 문제'(problem of evil)에 대한 해결책으로 악신론에 빠졌다고 보았다. 그리고 이러한 견해는 전통적인 헬레니즘 철학 또는 신비주의도 아니며 진정한 헬레니즘 철학 또는 신비주의도 아니라고 보았다. 즉 자신의 반대자들이 주장하는 진리들은 모두 플라톤으로부터 빌려와서 만들어진 것인데, 이러한 빌려온 진리들을 플로티노스 자신이 표명하였던 하나인 존재 즉 모나드인 무한한 힘은 지식과 비지식을 통해서 다가할 수 있는 존재가 아니라는 개념와 혼합시켜 만들어진 것이 영지주의자들의 교의라고 주장하였다. 플로티노스가 자신의 반대자로 지칭한 영지주의자가 실제로 어떤 영지주의지였는지는 학자들 간에 견해가 다르긴 하지만, 세트파였음이 거의 확실시 된다.
자신이 알고 있던 영지주의파를 반대함에 있어 플로티노스의 주된 논점은 이들이 데미우르고스 즉 뒤아드(dyad)의 선함과 물질 세상의 선함을 거부했다는 점이었다. 플로티노스는 이들이 《티마이오스》에서 서술된 것과 같은 플라톤의 우주적 존재론을 끌어내려서는 천하고 타락된 것으로 만들고 있다고 공격하였다. 플로티노스는 나스틱파들이 데미우르고스 즉 물질 세상을 창조한 조물주를 중상 모략하고 있으며 나아가 물질 세상이 악하며 감옥이라고 생각한다고 비판하였다. 영지주의자들의 이러한 견해와는 달리, 데미우르고스는 누스(nous) 즉 모나드의 첫 번째 발출물인 뒤아드(dyad)이며, 만물을 질서 있게 하는 원리 즉 마음(mind)이며, 또한 이성(reason)이라고 플로티노스는 말하였다. 또한 플로티노스는 데미어지가 소피아라고 불리는 여신으로 묘사된 지혜의 자식이라는 영지주의자의 데미우르고스의 소피아 기원설에 대해서도 반대하였다. 플로티노스에 따르면, 소피아 즉 지혜는 그리스 신화의 아테나 여신이나 기독교의 성령처럼 모나드의 여성적인 속성들 중 하나를 의인화하여 표현한 것일 뿐이었다. 또한 플로티노스의 영지주의파에 대한 비판은 다소 과도하게 격해져 논점을 벗어난 경우가 한 번 있었는데, 만약 영지주의자들이 이 세상이 감옥이라고 믿는다면 자살함으로써 언제든지 이 세상으로부터 자유로워질 수 있을 것이라는 말을 한 것이 그 경우였다.
불교와 영지주의.
히폴리토스와 에피파니우스 등의 3~4세기의 기독교 저술가들은 스키티아누스(Scythianus)라는 인물에 대해 언급하고 있다. 이 저술가들에 따르면, 스키티아누스는 기원후 50년 경에 인도를 방문하여 인도로부터 "두 원리들의 교의"를 가지고 왔다. 예루살렘의 키릴로스(Cyril of Jerusalem)에 따르면, 스키티아누스의 제자였던 테레빈투스(Terebinthus)는 자신을 "붓다(Buddha)"라고 하였다. 테레빈투스는 팔레스타인과 유대로 갔다. 그 후 최종적으로 바빌론에 정착하였는데, 여기서 테레빈투스는 자신의 가르침을 마니에게 전하였고, 그 결과 마니는 마니교의 창시자가 되었다:
3세기에, 시리아의 저술가이자 기독교 영지주의 신학자였던 바르 다이산(Bar Daisan: 154-222)은 인도로부터 온 성자(聖者)들의 종교 사절단과 나눈 교류에 대해 기술하였다. 바르 다이산에 따르면, 이들은 시리아를 통해 로마 황제 엘라가발루스 또는 세베루스 왕조의 한 로마 황제에게로 가는 중이었다. 바르 다이산의 서술은 포르피리오스에 의해서도 언급되었고(《De abstin.》, iv, 17) 또한 스토바이우스(Stobaeus)에 의해서도 언급되었다(《Eccles.》, iii, 56, 141).
마침내, 기원후 3세기부터 12세기까지, 기독교·유대교·불교의 요소들을 결합한 마니교와 같은 영지주의 종교들이 구세계 전역으로, 그리고 서쪽으로는 골과 그레이트브리튼섬으로, 동쪽으로는 중국으로 널리 전파되었다. 당시에, 어거스틴과 같은 몇몇 주요 신학자들은 마니교 신자들이었다가 정통파 기독교로 개종하였다.
아마도 이러한 교류들 중 많은 것들이 기록되지 않았을 것으로 보인다. 그리고 이러한 교류들은 불교가 초기 기독교에 일정 정도 영향을 끼쳤다는 것을 시사한다:
기독교와 영지주의.
"영지주의/영지주의자(Gnostic/Gnosticism)" 정통파 기독교와 영지주의 사이에는 다음과 같은 차이점들이 있다:
1966년에 이탈리아 메시나에서 영지주의 체계들에 대한 회의가 열렸다. 이 회의의 여러 목적 가운데는 최근에 발견된 나그함마디 문서를 번역하는 프로그램을 마련하는 것과 '영지주의(Gnosticism)'의 정확한 정의에 대해 합의를 보는 것이 포함되어 있었다. 이들 중에서 후자는 '그노시스적(gnostic)'이라는 용어를 이 용어의 기원이 함의하는 용법으로 사용하는 것이 아니라, 당대의 철학과 종교 운동을 해석하는 분류 개념으로서 사용하는, 18세기 이래로 유행하고 있던 경향성에 대해 답하는 것이었다. 예들 들어, 1835년에 신약 성경 학자인 페르디난드 크리스천 바우어(Ferdinand Christian Baur)는 헤겔의 종교 철학에서 절정을 이루는 영지주의 발전 모델을 구성하였다. 문학평론가 하롤드 블룸(Harold Bloom)은 현대 미국의 종교에서 영지주의 요소들을 찾으려고 시도하였다. 에릭 보에겔린(Eric Voegelin)은 영지주의의 해석을 제공하는 렌즈로 사용하여 전체주의적인 충동들을 해석하였다.
이 제안이 뜻하는 바는 '영지주의(Gnosticism)'은 3세기에 유행하였던 그노시스적 운동을 가리키는 역사적인 의미의 용어로만 사용하며, 반면 '그노시스(gnosis)'는 '특권적인 엘리트를 위한' 어떤 지식 체계를 가리키는 일반 용어로 사용한다는 의미이다. 그러나 용어들의 의미를 명확히 하려는 이러한 노력은 사실 더 많은 개념상의 혼란을 야기하였는데, 그 이유는 역사적인 용어인 '영지주의'은 완전히 현대에서 만들어진 말인 반면 새로운 일반 용어인 '그노시스'는 오히려 역사적인 용어'였기' 때문이다. 즉, 고대 신학자들이 "그노시스"라고 불렀던 것이 이 회의로 인해 "영지주의"이라고 불리게 된 것이다. 역사적인 의미로는 전혀 사용된 적이 없다고 할 수 있는 개념이 메시나 회의에서 만들어진 것이다. 고대에서, 모두가 지식이 삶에서 핵심적으로 중요한 것이라는 것에 동의하였다. 하지만, 무엇이 지식을 구성하는지에 대해서는 의견이 일치하는 사람들이 거의 없었다. 즉, 메시나 회의의 결론 문서에서 전제로 삼은 통일적인 개념은 존재하지 않았던 것이다.
이러한 결함들은 영지주의의 정확한 정의에 대한 문제들이 여전히 계속 존재한다는 것을 의미한다. 그렇기는 하나, 지금의 관습으로는, 메시나 회의에서 제안한 대로 '영지주의'이라는 낱말은 역사적인 의미로 사용하고 '그노시스'라는 낱말은 일반 명사로 사용하는 것이 보편적으로 통용되고 있다. 앞에서 제기된 이슈들 외에도, 3세기의 종교들에 대한 분류 개념으로 '영지주의'이라는 용어를 사용하는 것이 적절한가에 대한 의문이 또한 제기되었다. 이와 관련하여 주목할만한 저서는 마이클 앨런 윌리엄스(Michael Allen Williams)의 《영지주의를 다시 생각한다: 모호한 분류를 제거하자는 주장》(Rethinking Gnosticism: An Argument for the Dismantling of a Dubious Category)이다. 이 책에서 마이클 앨런 윌리엄스는 분류 개념으로서의 영지주의를 규정하는 가설들을 조사하여 이 가설들이 나스틱파 문헌들의 실제 내용과 일치하는 지를 면밀히 비교하였다. 그리고 이 작업에서 그는 새로 발견된 나그함마디 문서의 문헌들을 가장 중요한 근거 자료로 사용하였다.
마이클 앨런 윌리엄스는 영지주의라는 분류의 개념적인 토대를 구성하고 있는 가설들은 기독교의 이단 연구자들이 제기했던 주장들의 유산들이라고 주장하였다. 특히, 그는 영지주의가 이원론(二元論)이었다는 가설과, 영지주의자들이 육체와 물질을 악으로 보고 증오하였다는 가설과, 영지주의자들이 물질 세상 또는 물질 우주에 대해 적대감을 가졌다는 반우주주의(反宇宙注意, anticosmism) 가설이 영지주의자들의 1차 문헌을 토대로 한 적절한 "검증(檢證)" 없이 주장되는 경우가 너무 흔하다고 말하였다. 그는 초기 기독교 교회의 이단 연구자들이 영지주의자들에 대해 취했던 적대적인 노력들로 인해 형성된 개념들이, 이제는 이러한 개념들이 바른 것인지를 검증할 수 있는 수단들이 있음에도 불구하고, 여전히 현대 학자들에 의해 여과 없이 수용되어 영지주의파들을 일괄적으로 분류하는 "분류 개념들"로서 사용되고 있다고 말하였다. 마이클 앨런 윌리엄스는 이러한 개념들을 영지주의파들의 1차 자료들을 통해 검증해 보면 '영지주의'이라는 분류가 모호하다는 것이 드러난다고 주장하였다. 그리고 그는 나스틱 종교 운동들을 제대로 더 정확히 나타내는 새로운 용어로 '영지주의'이라는 용어를 대체할 필요가 있다고 결론을 내렸다. 마이클 앨런 윌리엄스의 이러한 견해들은 학자들의 토론과 논쟁을 촉발하였다. 그렇기는 하나, '영지주의'이라는 용어의 대체 용어로 그가 제안한 '성경적 데미우르고스 전통(Biblical demiurgical tradition)'이라는 용어는, 결과적으로, 현재 널리 사용되고 있지 않다.
현대의 영지주의.
블레이크, 쇼펜하우어, 파이크(A. Pike), 블라바츠키를 비롯한 많은 19세기 사상가들이 영지주의 사상을 해박하게 연구하였고 그 영향을 받았다. 그리고 멜빌과 예이츠 같은 인물들은 간접적인 영향을 받았다. 두아넬(J. Doinel)은 1890년에 프랑스에서 나스틱 교회를 "재설립하였다". 그가 설립한 교회는 그의 여러 직접적인 계승자들을 통해 그 모습이 바뀌었다. 이들 중 가장 두드러진 인물들로는 타우 시네시우스(Tau Synésius)로서의 파브르 데 에사드(Fabre des Essarts)와 타우 장 II(Tau Jean II)으로서의 조아니 브리코드(Joanny Bricaud)가 있다. 이 영지주의 교회는 비록 소규모이지만 지금도 활동하고 있다.
영지주의를 깊이 연구하고 크게 영향을 받은 20세기 초기의 사상가들로는 융(영지주의를 지지함), 에릭 푀겔린(Eric Voegelin: 영지주의를 반대함), 보르헤스(자신의 여러 단편 소설에 영지주의를 포함시켰다), 알리스터 크롤리가 있다. 헤르만 헤세 등은 이들 보다는 완화된 영향을 받았다. 르네 귀농(Rene Guenon)은 1909년에 라 그노세(La Gnose)라는 영지주의 관련 저널 발행을 시작하였다. 에클레시아 그노스티카 카톨리카(Ecclesia Gnostica Catholica )와 오르도 템플리 오리엔티스(Ordo Templi Orientis )와 같은 영지주의 텔레마 단체들은 자신들의 기원은 알리스터 크롤리의 사상에 있다고 말하고 있다.
1945년 이래의 나그함마디 문서의 발견과 번역은 제2차 세계 대전 이후의 영지주의에 심대한 영향을 끼쳤다. 이 시기 중에 영지주의로부터 큰 영향을 받은 인물들로는 한스 요나스(Hans Jonas), 필립 킨드레드 딕(Philip K. Dick), 블룸이 있으며, 보다 작은 영향을 받은 인물들로는 카뮈와 긴즈버그가 있다. 또한, 자신들을 영지주의파라고 생각하는 많은 교회 조직들이 제2차 세계 대전 이후에 설립 또는 재설립되었는데, 노부스 스피리투스 협회(Society of Novus Spiritus), 에클레시아 그노스티카(Ecclesia Gnostica), 토마스 교회(Thomasine Church), 사도 요한 교회(Apostolic Johannite Church), 알렉산드리아 나스틱 교회(Alexandrian Gnostic Church), 북아메리카 나스틱 주교 대학(North American College of Gnostic Bishops) 등이 이들에 속한다. 실리아 그린(Celia Green)은 자신의 철학과 관련하여 기독교 영지주의에 대한 글을 저술하였다.
외국어 2차 자료.
기독교 교부들 자료.
미적분학의 기본 정리(微積分學의基本定理, )는 미분과 적분을 서로 연관시키는 정리이다. 미적분학의 기본 정리와 그 증명은 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는 더욱 일반적인 경우를 증명하였다. 이후 아이작 베로우의 제자인 아이작 뉴턴이 미적분학의 기본 정리를 완성시켰고, 이 정리의 제안과 증명으로부터 적분과 미분이 통합된 미적분학이 창시되었다. 독일의 라이프니츠 역시 뉴턴과는 독자적으로 미적분학의 기본 정리의 최종형태를 발견했고, dx와 dy와 같은 무한소를 나타내는 기호를 도입함으로써 미적분학의 발전에 크게 기여하였다.
미적분학의 기본 정리는 두 결과로 구성되며, 이 둘 가운데 하나를 뜻하기도 한다. 미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 정리이다. 이 정리는 관련이 없어 보이는 두 수학이 아주 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다. 미적분학의 제2 기본 정리는 정적분을 부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있음을 의미한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.
기하학적 직관.
연속 함수 formula_1는 formula_2-데카르트 좌표계를 추가한 평면 위의 곡선으로 나타낼 수 있다. 만약 항상 formula_3이라면, 곡선과 t축, y축, 직선 formula_4로 둘러싸인 영역의 넓이 formula_5는 리만 적분
으로 주어진다. 작은 실수 formula_7에 대하여, formula_8은 직선 formula_4와 직선 formula_10 사이의 영역의 넓이이며, 직사각형의 넓이
로 근사할 수 있다. 따라서, formula_12가 충분히 작을 때
이다. 이 근사는 절댓값이 작은 formula_14에 대해서도 성립한다. 좌변은 곡선과 직선 formula_4, formula_10의 교점을 잇는 직선의 기울기이며, formula_17의 formula_18에서의 미분 formula_19은 이 기울기의 극한
으로 주어진다. 따라서,
물론 직관적인 관찰에는 직사각형 넓이와 실제 넓이의 오차에 대한 고려가 빠져 있다. 사실, formula_22가 연속 함수이므로, formula_12가 작을 때 formula_24에서 formula_25가 변화하는 폭도 작다. formula_25의 formula_24에서의 최솟값을 formula_28, 최댓값을 formula_29이라고 했을 때, 실제 넓이와 근사 넓이 모두 같은 범위
에 속한다. 따라서, 기울기와 그 근삿값 formula_32 사이의 오차는 formula_33 이하이다.
formula_12가 충분히 작을 때, formula_22가 변화하는 폭 formula_33 역시 아주 작으므로, 오차를 원하는 만큼 줄일 수 있다.
속도와 변위.
어떤 물체가 직선 위에서 시간 formula_38 동안 속도 formula_39로 운동했을 때 일어난 변위 formula_40를 구하는 문제를 생각해 보자. 우선, 속도 함수가 충분히 좋은 성질을 가진다고 가정하였을 때 (예: 연속 함수), 시간 formula_38 동안의 변위는 리만 적분
과 같다. 또한, formula_43와 formula_44 사이의 변위는 두 시각의 변위의 차
와 같다. 따라서, 다음이 성립한다.
즉, 상수를 더하는 차이를 무시하면, 변위는 속도의 적분과 같다. 다른 한편, 속도는 정의에 따라 변위의 미분이다.
제1 기본 정리.
리만 적분 가능 함수 formula_48가 주어졌다고 하자. 함수 formula_49를 다음과 같이 정의하자.
미적분학의 제1 기본 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
함수 formula_22는 리만 적분 가능하므로, 유계 함수이다. 즉,
이다. 따라서, 임의의 formula_58에 대하여,
이다. 즉, formula_51는 립시츠 연속 함수이다.
이제, formula_22가 연속 함수라고 가정하고, 임의의 formula_62 및 formula_63이 주어졌다고 하자. formula_22의 연속성에 따라,
인 formula_66가 존재한다. 임의의 formula_67에 대하여,
이다. 따라서, formula_51는 formula_18에서 미분 가능하며, formula_71이다.
제2 기본 정리.
리만 적분 가능 함수 formula_48가 주어졌고, formula_55인 미분 가능 함수 formula_49가 존재한다고 하자 (즉, formula_51는 formula_22의 부정적분이다). 미적분학의 제2 기본 정리에 따르면, 다음 등식이 성립한다.
폐구간 formula_78의 임의의 분할
을 생각하자. 평균값 정리에 따라, 각 formula_81에 대하여
인 formula_83가 존재한다. 위 등식을 모든 formula_84에 대하여 합하면
을 얻는다. 우변은 formula_22의 formula_87에 대한 리만 합이므로, 분할 formula_87에 대한 극한을 취하면 리만 적분
르베그 적분.
르베그 적분은 리만 적분을 효과적으로 일반화한다. 구체적으로, 모든 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분을 가지며, 이는 리만 적분과 일치한다. 미적분학의 기본 정리의 르베그 적분 형태가 존재하며, 다음과 같다. 르베그 적분을 갖는 가측 함수 formula_48에 대하여, 함수
는 절대 연속 함수이며, 거의 모든 formula_62에 대하여 formula_71를 만족시킨다. 또한, 임의의 미분 가능 함수 formula_49에 대하여, 만약 도함수 formula_55가 르베그 적분을 갖는다면,
스토크스 정리.
미적분학의 기본 정리는 폐구간 및 0-형식에 대한 스토크스 정리와 같다.
달마산(達摩山)은 전라남도 해남군에 있는 높이 489m의 산이다. 북쪽에는 두륜산이 있다.
서쪽 골짜기에는 미황사(美黃寺)가 자리잡고 있다. 이 사찰의 대웅전은 보물 947호로 지정되어 있다.
니더작센주()는 독일 북서부에 위치한 주이다. 인구는 약 8백만 정도이며 면적은 약 4만 8천km²로, 바이에른주에 이어 독일에서 2번째로 넓은 주이다. 주도이자 최대도시는 하노버이다. 주 서부는 네덜란드와 국경을 맞대고 있다.
주 대부분이 평야 지대로 구성돼 있다. 주 남쪽으로 노르트라인베스트팔렌주와 튀링겐주, 헤센주가, 주 동쪽으로는 브란덴부르크주가, 그리고 주 북쪽으로는 슐레스비히홀슈타인주와 메클렌부르크포어포메른주, 그리고 함부르크가 있다. 주 서쪽으로는 네덜란드와 국경을 맞대고 있다. 북서쪽 지역에는 북해가 자리잡고 있다. 주 안에는 브레멘주가 자리잡고 있다. 주도이자 최대도시는 하노버이다.
37개 군, 10개 군급시를 관할한다.
역사적으로 영국과 오랫동안 밀접한 관련을 맺었다. 제2차 세계 대전 후 연합군은 브라운슈바이크주, 하노버주를 합쳐 1946년 11월 1일 니더작센주를 신설했다.
밀이 많이 나며 가축 생산이 활발하다. 철광과 유전이 있다.
현 주총리는 독일 사회민주당 출신의 슈테판 바일로, 2013년부터 지금까지 재직하고 있다. 전직 총리인 게르하르트 슈뢰더가 1990년부터 1998년까지 주총리를 지냈다.
지역 공영방송인 북부독일방송은 니더작센주 이외에도 슐레스비히홀슈타인주와 함부르크 내에 텔레비전·라디오 방송을 송출하고 있다. 북부독일방송은 ARD 가맹체에 속해 있다.
북쪽으로는 캐나다의 브리티시컬럼비아주, 앨버타주, 서스캐처원주와 국경을 접하고 있다. 동쪽으로는 노스다코타주, 남동쪽으로 사우스다코타주, 남쪽으로 와이오밍주, 남서쪽과 서쪽으로 아이다호주와 접한다. 산악 표준시에 있기 때문에 몬태나 주에서는 대통령 선거 때 동부 표준시로 오후 10시 (한국시간 익일 정오)에 개표를 시작한다.
주민들의 정치적 성향은 공화당에 가까운 적색주이다. 1992년때는 빌 클린턴이 우세하였으나 1996년에는 밥 돌, 2000년과 2004년에는 조지 W. 부시, 2008년에는 존 매케인, 2012년에는 밋 롬니가, 2016년, 2020년, 2024년에는 도널드 트럼프가 몬태나 주를 확보하였다.
참고로, 몬타나(Montana)란 명칭은 산(mountain) 또는 산악지역(mountainous country)을 뜻하는 스페인어에서 유래하였다.
백인 정착자들이 도착하기 전에 오늘날 몬태나 지역에 인디언 종족들의 2개의 단체가 살았다. 아라파호 족, 아시니보인 족, 블랙피트 족, 샤이엔 족, 크로우 족들이 평원 지역에 살았다. 서부에 있는 산맥은 배노크 족, 플랫헤드 족, 칼리스펠 족, 쿠테나이 족과 쇼쇼니 족들의 고향이었다. 수족과 네즈페스 족 같은 다른 가까운 종족들은 몬태나 지방에서 사냥을 하였다.
프랑스의 사냥꾼들이 1740년대에 이미 몬태나 지역을 방문했을 것이다. 미국인 탐험가 메리웨더 루이스와 윌리엄 클라크는 1805년 몬태나를 가로질러 태평양 해안으로 자신들의 원정을 이끌었다. 1806년에 돌아온 그들은 오고 가면서 몬태나의 여러 지역을 탐험하였다. 1807년 이후에 모피 교역인들이 이 지역에서 주로 활동하였다. 1841년 예수회 선교사들이 현재 근처에 첫 영구적 정착지인 세인트 메리스 선교지를 설립하였다. 1847년 미국의 모피 회사는 미주리 강에 을 지었다. 거기에는 몬태나 주에서 가장 오래되고 지속적으로 인구가 몰려든 타운이 형성되었다.