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노무현은 자택 옆에 있던 정토원이라는 사찰에서 사시 공부를 하였다. 이후에는 김해시 장유면 대청리 장유암에 머무르면서 사시를 준비했으며, 틈틈이 불교 경전을 탐독했다. 9년간 사시 공부를 하여 1975년 3월 30세에 제17회 사법시험에 합격하였다. 평소 불심이 깊은 것으로 알려진 아내 권양숙은 2002년 10월 1일 당시 대선을 앞두고 합천 해인사에 머물고 있는 조계종 종정인 법전 스님으로부터 보살계와 '대덕화'(大德花)라는 법명을 받았는데, '대덕화'는 대한민국 제5·6·7·8·9대 대통령 박정희의 아내 육영수가 받은 법명과 같은 것이었다. 이러한 법명 수계는 불교계의 민심이 실린 것으로 볼 수 있으며, 불교계의 기대를 받고 있음을 보여주는 것이다. 이후 노무현은 재임 기간 동안 해인사를 무려 세 차례나 방문해 현직 대통령으로서는 최다 방문을 하였다. 2003년 12월 22일에 노무현은 아내와 함께 경남 합천 해인사를 불시 방문해 조계종 종정 법전스님, 총무원장 법장스님과 환담한 뒤 오찬을 함께 했다. 사패산 터널 문제에 대한 공약을 지키게 못하게 되었다면서 양해를 구했다.
또한 노무현은 2005년 8월 30일에 T-50 골든이글 양산 1호기 출고식에 참석했다. 그리고 대한민국 최고 목조 불상인 쌍둥이 비로자나불이 발견되었다는 소식에 해인사에 들러 비행기 사고 없이 잘 날아다니고 잘 팔아 달라고 부처님께 기도를 했다. 취임 이래 2번째로 해인사를 방문했고 해인사 대비로전 건립에 30여억 원의 국고 지원을 즉석에서 약속했다. 2007년 11월 24일 해인사 대비로전(大毘盧殿) 낙성 대법회에 참석하면서 축사를 하였는데 3번째로 해인사를 방문했다.
2009년 5월 23일에 과거 사시 공부를 했던 정토원의 법당에 모셔진 부모와 장인의 위패에 예를 표한 뒤 그 옆의 부엉이 바위에서 투신자살하였다.봉하마을 뒤편 봉화산에 자리 잡은 정토원은 그가 투신한 부엉이 바위에서 약 200M 거리에 위치한 사찰이다.2009년 5월 24일 해인사의 승려 300여 명이 분향소를 찾아 노무현의 죽음을 애도했다.
별명.
노짱은 노무현의 애칭이다. 노무현 짱의 줄임말로, 한국어 '짱'이 아닌 을 붙인 것으로 오해하는 경우도 있다. 다만 사용하는 의미는 (친하게 부르는 접미사)와 같아서 큰 문제는 되지 않는다.
2000년대 초, 노사모의 회원들은 노무현을 노무현 짱이라는 말을 줄인 '노짱'으로 친근하게 불렀다. 또한 노무현 자신도 자신을 노짱이라고 언급한 적이 있다.
또한 언론에서도 사용된다.
기타 사항.
발명품.
노무현은 청와대 온라인 행정업무 처리 표준화 시스템인 'e지원'을 개발하게 하였다. e지원 시스템으로 청와대에서 종이 서류를 없애고 대신, 대통령의 모든 지시가 'e지원' 을 통해 이뤄지고 있다고 설명했다. 또한 e지원으로 인해 행정관이나 비서관의 업무 기안이 온라인에서 이뤄지고 대통령을 비롯해 간부들은 실시간으로 추진 중인 업무에 대해 댓글로 지시, 보완하고 결재까지 해서 간소화되었다. 노무현은 임기 후 e지원의 복사본을 제작해 봉하 마을에 설치하였는데, 국가정보 보안과 관련하여 문제가 제기되었고, 복사본을 제작하여 사유하는 것에 대하여 법적 근거가 없다는 법제처의 해석이 나오기도 했다. 차후 국가기록원에 반납 처리되었다.
사법 시험 준비생 시절 그는 '개량 독서대'를 고안해 특허받기도 했다. 아울러 민주당 최고위원 시절인 지난 1994년에는 정치인을 위한 인명록 통합 관리 프로그램인 '한라 1.0'을 개발했고, 이는 버전 업을 거쳐 몇 년 후 '노하우(KnowHow) 2000'으로 업그레이드하기도 했다. 또한 의자 등받이를 높게 해 윗부분을 옷걸이 모양으로 해 웃옷을 걸어놓은 '옷걸이 의자'도 발명했지만 큰 빛을 보지 못했다. 퇴임 후에는 인터넷 토론 사이트 《민주주의 2.0》을 개설했다.
사람사는세상 노무현재단.
2009년 9월 23일, 참여정부 시절 인사들로 구성된 재단준비위원회는 사람사는세상 노무현재단을 출범시켰다. '사람사는세상' 은 노무현의 정치 슬로건 중 하나였으며, 1989년 통일민주당 소속으로 국회의원에 당선됐을 때부터 사용했다. '사람사는세상' 의 어원은 노무현이 생전 즐겨부르던 민중가요 《어머니》의 가사 첫 줄인 '사람사는세상이 돌아와~'이다. 2000년 총선에서 낙선한 뒤 노무현은 개인 인터넷 홈페이지를 개설했고, 홈페이지의 이름 역시 '사람사는세상' 이었다. 이 홈페이지는 2003년 2월 노무현이 대통령으로 취임한 이후 일시 폐쇄되었다가, 노무현이 임기를 마치고 봉하마을로 낙향한 뒤 다시 개설하여 서거 직전까지 사용하였다. 노무현의 서거 이후 노무현재단이 출범한 뒤에는 노무현재단의 홈페이지로 개편되었다.
사람사는세상 노무현재단은 전직 대통령에 대한 예우 관련 법률에 의거, 전직 대통령 기념사업 및 민주당계 정치세력의 싱크탱크 역할을 한다. 초대 이사장은 한명숙이 맡았으며, 이 후 문재인, 이병완, 유시민 등이 이사장직을 거쳐갔다. 2022년 9월 정세균이 이사장으로 취임하였다. 본사는 서울특별시 종로구 창덕궁길 73에 있으며, 노무현시민센터 건물 내에 위치해있다.
한편 '재단법인 봉하'는 부인 권양숙이 이사장을 맡아 출범시켰다. 재단법인 봉하는 봉하마을 내 대통령 묘역 및 시설 관리 등을 주된 업무로 두고 있으며, 재단의 성격상 노무현재단과 분리되어 운영된다.
노래와 음악.
노무현은 생전 노래를 즐겨불렀고, 대중문화에 큰 관심을 가진 정치인으로 평가받았다. 그가 생전 자주 즐겨부르던 노래는 양희은의 《상록수》, 해바라기의 《사랑으로》, 민중가요 《어머니》, 《바위처럼》, 《작은 연인들》, 문성재의 《부산갈매기》 등이었다. 2002년 대통령 선거 당시 노무현은 대선 광고에서 직접 기타를 치며 《상록수》를 불렀고, 《사랑으로》는 연주자의 피아노 연주에 맞춰 불렀다. 또한 부산에서 열린 유세에서는 《부산갈매기》를 직접 부르며 지지를 호소하기도 하였다.
또한 2002년 11월 9일 서울극장에서 열린 '문화예술인의 밤'에 참석하여 직접 문화융성정책을 발표하고 《상록수》를 부르기도 했다.
정의.
함수 formula_1가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, )라고 한다.
성질.
연산에 대한 닫힘.
항등식.
곱셈적 함수 formula_1에 대하여, 만약 formula_13의 소인수 분해가
여기서 formula_23는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수 formula_24의 정의역 formula_25이 formula_26를 만족한다면,
이다.
디리클레 합성곱.
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 formula_18의 디리클레 합성곱
와 디리클레 역원
은 곱셈적 함수이다.
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
즉,
폰 망골트 함수
는 formula_46이 어떤 소수 formula_48의 양의 정수 제곱일 경우 formula_75를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
실수 formula_1차 다항식 formula_4에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_5을 formula_1차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 formula_17가 formula_18의 formula_1차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 formula_17, 우변의 실수부는, formula_18와 formula_22의 다항식이다.
직교성.
즉, 다음이 성립한다.
대칭.
근.
formula_1차 체비쇼프 다항식 formula_5은 닫힌구간 formula_14 속에서 formula_1개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
분지점.
로 여길 때, formula_33의 경우 다음이 성립한다.
예를 들어,
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 formula_39를 가지며, 그 값은 formula_40 및 formula_41이다. 마찬가지로,
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 formula_43 및 분지 지표 3의 분지점 formula_44를 가지며, 그 값은 각각 formula_45 및 formula_46이다.
파이의 날()은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.
3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 부르기도 한다.
기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, )은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.
삼각형 formula_1의 세 각 formula_2가 마주하는 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_5은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.
코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.
레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》()에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다. 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》()에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.
증명.
그림과 같이, formula_7를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 formula_1의 높이선 formula_12를 긋자. 그렇다면, formula_13는 formula_14를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.
또한, formula_16이므로, 다음이 성립한다.
이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라
이므로, 코사인 법칙
이 formula_7가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다. formula_7가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.
삼각법을 통한 증명.
그렇다면, 벡터 formula_33의 길이는 각각 formula_3이며, 벡터 formula_35와 formula_36 사이의 각도는 formula_7이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.
구면 코사인 법칙.
단위 구면 위의 구면 삼각형 formula_1의 세 각 formula_2가 마주하는 세 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_43은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, )이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, )이라고 한다.
즉, formula_48는 각각 formula_7에서 formula_50를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면, formula_48 사이의 각도는 formula_7이다. 또한, formula_53는 각각 평면 formula_54의 정규 직교 기저를 이루므로, formula_55를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
단위 구면의 중심을 formula_59라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, formula_33의 길이는 모두 1이며, formula_62 사이의 각도는 formula_63이며, formula_64 사이의 각도는 formula_65이며, formula_66 사이의 각도는 formula_67이다. 따라서, 벡터곱 formula_68, formula_69, formula_70의 길이는 각각 formula_71, formula_72, formula_73이다. 또한, formula_68와 formula_69 사이의 각도는 formula_76이며, formula_77와 formula_70 사이의 각도는 formula_79이며, formula_80와 formula_81 사이의 각도는 formula_7이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
구면 삼각형 formula_1의 극삼각형을 formula_86라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
쌍곡 코사인 법칙.
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 formula_1의 세 각 formula_2이 마주하는 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_95는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, )이라고 한다.
복소 평면 formula_101 위의 열린 단위 원판 formula_102 위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 formula_103의 세 각의 크기를 formula_2, 세 변의 길이를 formula_3라고 하자. formula_106 위에 적절한 등거리 변환을 가하여 formula_107을 각각 원점 0, 양의 실수 formula_108, 허수부 formula_109가 0보다 큰 복소수 formula_110로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 formula_111의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 formula_103와 같으므로, 새로운 삼각형 formula_111에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
여기서 formula_117은 자연 로그이며, formula_118은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
여기서 formula_122는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
이에 따라 각 formula_2의 사인 값은 다음과 같다.
마지막 등호에는 항등식 formula_135이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 formula_136일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.
이 경우, formula_138일 때 쌍곡 거리 formula_139는 유클리드 거리의 2배 formula_140로 수렴하며, 쌍곡각 formula_141은 유클리드 각 formula_142로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.
다음에 주의하여, 양변에 formula_147을 곱한 뒤 극한 formula_138을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.
제2 쌍곡 코사인 법칙
이는 formula_156이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.
기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
삼각형 formula_1의 각 formula_2을 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.
여기서 formula_5은 삼각형 formula_1의 외접원의 반지름이다.
삼각형 formula_1의 변 formula_8 위의 높이를 formula_9라고 하자. 삼각법에 따라 formula_10이므로, 삼각형 formula_1의 넓이 formula_12는 다음과 같다.
양변에 formula_15를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
외접원을 통한 증명.
삼각형 formula_1의 외접원을 그리자. formula_18를 지나는 지름을 formula_19라고 하자. 따라서 formula_20는 직각 삼각형이며, 빗변은 formula_21이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
만약 formula_23가 예각일 경우, formula_23와 formula_25는 같은 호의 원주각이므로 formula_26이다. 따라서 다음이 성립한다.
만약 formula_23가 직각일 경우, formula_29와 formula_25는 같은 점이므로, formula_31이며 formula_32이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 formula_23가 둔각일 경우, formula_23와 formula_25는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, formula_36이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 formula_37에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
결과가 formula_3에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
구면 사인 법칙.
단위 구면 위의 구면 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
구면 사인 법칙의 증명.
순수 기하 증명.
구의 중심을 formula_44라고 하자. formula_45에서 아무 점 formula_46를 취하자. formula_46를 지나는 평면 formula_48의 수선을 formula_49라고 하자. formula_25를 지나는 직선 formula_51의 수선을 각각 formula_52라고 하자. 삼수선 정리에 따라 formula_53는 각각 formula_51와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
두 식에서 formula_57를 소거하면 다음을 얻는다.
벡터를 통한 증명.
구의 중심과 세 꼭짓점 formula_2를 잇는 벡터를 각각 formula_60라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
쌍곡 사인 법칙.
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
여기서 formula_73는 쌍곡 사인이다.
쌍곡 사인 법칙의 증명.
선형대수학에서 벡터 공간(vector空間, , ) 또는 선형 공간(線型空間, )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(, )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_2은 formula_1에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.
실수체 formula_30에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, )이라고 하며, 복소수체 formula_31에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, )이라고 한다.
부분 공간과 기저.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_34가 다음 조건을 만족시키면, formula_35가 formula_4의 부분 벡터 공간(部分vector空間, )이라고 한다.
벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_45에 대하여, formula_45의 생성() formula_47는 formula_45를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 formula_45에서, formula_50인 원소 formula_51가 존재하지 않는다면, formula_45가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다.
선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 formula_4의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(次元, ) formula_54이라고 한다.
선형 변환.
두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.
분류.
선택 공리를 가정하자. 체 formula_1에 대한 벡터 공간 formula_4에 대하여 다음이 성립한다.
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 formula_58는 formula_1의 formula_60개의 직합이며, formula_61인 경우 이는 곱집합과 다르다.
연산.
몫공간.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4와 그 임의의 부분 공간 formula_35가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_4 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
직접곱.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직접곱
은 집합으로서 formula_76들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 formula_1-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
직합.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직합은 다음과 같다.
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
가 존재하며, 따라서 각 formula_76는 formula_86의 부분 공간을 이룬다.
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 formula_87가 formula_76의 기저라면,
는 formula_86의 기저를 이룬다. 따라서,
이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.
텐서곱.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.
임의의 두 벡터 공간 formula_4, formula_35에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서 formula_102은 기수의 곱셈이다.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_1는 다음 성질들을 만족시킨다.
집합론적 성질.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 집합의 크기는 다음과 같다.
관련 개념.
벡터 공간은 임의의 환 위의 가군의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군이라고 한다.
펜로즈 삼각형( 또는 )은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.
이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.
정수론에서 수론적 함수(數論的函數, )는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.
물리 상수(物理常數, )는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.
물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.
물리 상수 일람.
대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, )는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.
상수가 아닌 실수 계수 다항식을 복소수체 위에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.
이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다.
다항식 formula_1의 근은 formula_2인 formula_3를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식
은 근 formula_5을 갖는다.
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 "Cours d'Analyse"(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.
복소해석학적 증명.
리우빌 정리를 이용한 증명.
복소 다항식
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 formula_7에 대해 formula_8 라고 가정하자. 그러면 formula_9는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여
를 얻고, formula_11라 하면, 양수 formula_12에 대해 formula_13이면
이다. 그러나 formula_15는 제곱근에 대하여 닫혀 있으므로, 2차 확대를 갖지 않으며, 이는 모순이다. 따라서, formula_16는 자명군이며, formula_17이다.
따름정리.
"모든 formula_18차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 formula_18개의 근을 갖는다."
이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
에 대해 복소수 formula_21이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)
와 같이 쓸 수 있다.
1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 수학적 귀납법을 쓰기 위해 "n"차 이하의 다항식이 "n"개의 근을 가진다고 가정하고, "n+1"차 다항식 formula_23가 주어졌다 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 formula_24인 복소수 formula_25이 존재하므로
인 "n"차 다항식 formula_27이 존재한다. 귀납적 가정에 의해 formula_27는 "n"개의 근을 가지므로 formula_23는 "n+1"개의 근을 가진다. formula_30
실계수 다항식의 표현.
실계수 formula_18차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 formula_32개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 formula_32개의 근을 갖지 않을 수도 있다.
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 formula_34이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 formula_35가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 formula_36도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
와 같이 (formula_38는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.
만일formula_39가 실계수 다항식
의 복소수 근이면 즉, formula_41이면 formula_42이다.
복소켤레.
응용.
대수학의 기본정리에 의해 formula_32 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 formula_32개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.
\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!&lt;/math&gt;
확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, ) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, )는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.
정규분포는 2개의 매개 변수 평균 formula_2와 표준편차 formula_10에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 formula_11로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 formula_12을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 formula_13이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.
라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 formula_16로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 formula_2다.
표준 정규 분포.
z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.
불확실성.
formula_19에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 formula_20값을 불확실성(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 formula_21를 90% 불확실성, formula_22는 95% 불확실성, formula_23은 99% 불확실성이다. 특히, formula_24를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.
공각기동대(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.
수론에서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius反轉公式, )은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.
양의 정수의 집합 formula_1을 정의역으로 하고, 가환환 formula_2를 공역으로 하는 임의의 두 함수
이를 뫼비우스 반전 공식이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 formula_6의 양의 약수 formula_7에 대한 합이다. 가환환 formula_2의 대표적인 예는 복소수체 formula_9이다. 첫째 등식은 formula_10을 모든 formula_11에 대한 formula_12들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 formula_13을 formula_14들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 뫼비우스 함수 formula_15이며, 이는 정수 formula_16을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 formula_17에 대하여
이며, 소수 formula_19 및 양의 정수 formula_6에 대하여
이다.)
두 공식에서 formula_6에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 formula_6에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 formula_6에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 formula_6에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 formula_6에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.
두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 formula_27가 곱셈적 함수라면, 그 상 formula_28 역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 formula_28가 곱셈적이라면, 그 원상 formula_27 역시 곱셈적이다.
가환환 formula_2가 주어졌을 때, 두 함수 formula_3의 디리클레 합성곱
을 정의할 수 있으며, 함수 formula_34의 집합 formula_35은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 가환환을 이룬다.
디리클레 합성곱을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 formula_37로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 formula_39는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 formula_40의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다.
가환환 formula_41에서, 1과 formula_39는 서로 곱셈 역원이다.
는 formula_45의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 formula_36라면
이며, 만약 formula_38라면
두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과 formula_39 모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 곱셈적 함수 여부가 동치임은 이로부터 자명하다.
연속 정의역.
조합론에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 formula_51를 정의역으로 하고 아벨 군 formula_52을 공역으로 하는 임의의 두 함수 formula_53에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
여기서 우변의 합은 formula_56보다 작거나 같은 모든 양의 정수 formula_6에 대한 합이다.
근접 대수.
수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합
을 이룬다. formula_58의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.
함수 formula_61에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합
의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 formula_9를 공역으로 한다.)
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.
수학에서 푸리에 급수(Fourier級數, )는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.
함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.
19세기 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 formula_1가 formula_2의 주기를 가진다고 하자. 즉,
라고 하자. 또한, formula_4가 모든 유한 구간()에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 formula_5에 대하여,
가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 formula_4의 푸리에 계수() formula_8을 다음과 같이 정의한다.
그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 formula_10에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 formula_11의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.
만약 formula_4가 연속미분가능 (formula_14) 함수라면 (즉, formula_4의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) formula_4의 푸리에 급수는 모든 formula_11에서 formula_18로 수렴한다.
가수(歌手, )는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 가창하는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.
수학에서 감마 함수(Γ函數, )는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.
양의 정수 n에 대하여 formula_1이 성립한다.
오일러 적분.
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.
오일러 적분은 상반평면 formula_3 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.
가우스 극한.
여기서 formula_6는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.
만약 감마함수를 자연수 formula_7에 대해
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 formula_10가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
특이점.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 formula_12에서 단순극을 가진다. 단순극 formula_13에서 유수의 값은 formula_14이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 formula_15는 전해석 함수이다.
함수 방정식.
미분과 적분.
특별한 값.
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 "n"에 대하여,
초구의 부피.
반지름이 formula_30인 formula_7차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.
감마분포.
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 formula_33는 다음과 같다.
큐-감마 함수.
큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
아쿠타가와 류노스케(, 1892년 3월 1일~1927년 7월 24일)는 일본의 소설가이다. 호는 징강당주인(澄江堂主人)이며 하이쿠 작가로서의 호는 가키(我鬼)이다. 일본의 《곤자쿠 이야기집》·《우지슈이 이야기》와 같은 전통적인 고전들에서 제재를 취해 「참마죽」, 「덤불 속」, 「지옥변」 등과 같은 단편 소설들을 주로 저술했고 「거미줄(원제: 蜘蛛の糸)」, 「두자춘(杜子春)」 등 어린이를 위한 작품들, 예수를 학대한 유대인이 예수가 세상에 다시 올 때까지 방황한다는 내용의 「방황하는 유대인」을 저술했다.
유년 시절.
1892년(메이지 25년) 3월 1일 도쿄에서 우유 판매업자였던 아버지 니하라 도시조()와 어머니 후쿠() 사이에서 니하라 류노스케()라는 이름으로 태어났다(아쿠타가와라는 성은 원래 그의 어머니쪽 성씨였다). 이때 태어난 시간이 진년(辰年) 진월(辰月) 진일(辰日) 진시(辰時)였기 때문에 '용(龍)' 자를 이름에 넣어 류노스케(龍之介)라 짓게 되었다고 전하나 실제 그가 태어난 1892년 3월 1일은 간지로는 임진년·임인월·임진일에 해당하며 출생 시각에 대해서는 자료가 없기 때문에 확실한 것이 없다. 이름도 호적상으로는 '龍之介'이지만 그가 양자로 들어갔던 아쿠타가와 집안이나 졸업한 학교의 명단 등의 문서에는 '龍之助'로 되어 있다(아쿠타가와 자신은 '龍之助' 표기를 싫어했다).
가족.
원래 류노스케의 위로는 하쓰(はつ)와 히사(ひさ)라는 두 명의 누나가 있었는데, 큰누나였던 하쓰는 류노스케가 태어나기 1년 전에 여섯 살의 나이로 요절했고, 어머니는 그 충격으로 정신장애를 겪어서 류노스케를 양육할 수 없었다. 생후 7개월 된 류노스케는 도쿄시 혼죠구 고이즈미쵸에 있던 외가 아쿠타가와 집안에 맡겨졌고, 백모 후키(フキ)가 양육을 맡았다. 11살 때인 1902년에 어머니가 끝내 사망하자 이듬해에 그는 외삼촌으로 도쿄시의 토목과장을 지내기도 했던 아쿠타가와 미치아키(芥川道章)의 양자가 되어 아쿠타가와 성을 쓰게 된다. 아쿠타가와 집안은 에도 시대에는 사족(士族)으로서 대대로 도쿠가와(德川) 집안을 섬겨 다도와 관련된 업무를 담당하던 스키야호즈(數寄屋坊主) 집안이었고, 예술·연예를 애호하던 에도의 문인적 취미가 집안에 남아 있었다.
학교.
도쿄부립 제3중학교를 졸업할 때는 성적우수자라는 상장을 받기도 했고, 덕분에 제1고등학교는 시험 없이 입학할 수 있었다(1910년부터 일본에서는 중학교 때의 성적 우수자에게는 고등학교 입학시 시험 없이도 입학을 허가하는 제도가 시행되고 있었다). 제1고등학교 제1부 을류(乙類)에 입학한 류노스케의 동기 가운데는 기쿠치 간도 있었다. 2학년으로 오르면서 기숙사로 들어갔는데, 기숙사 생활에 제대로 적응하지는 못했지만 그곳에서 한 방을 쓰던 이가와 쿄(井川恭)와는 평생의 친구가 된다.
문학활동.
동인지.
고등학교를 졸업하고 1913년 동경제국대학 영문과에 입학하였다(이 당시 도쿄제국대학의 영문학과는 1학년 가운데 합격자가 불과 몇 사람밖에 나오지 않는 어려운 곳으로 유명했다). 대학 재학 중이던 1914년(다이쇼 3년) 2월에 고등학교 동창이던 기쿠치 간·구메 마사오(久米正雄) 등과 함께 동인지 『신사조(新思潮)』(제3차)을 간행하여, 우선 '야나가와 다카노스케(柳川隆之助)'라는 필명으로 아나톨 프랑스의 「바르타자알」, 이에이트의 「봄의 심장」의 일역을 기고한 뒤, 10월에 『신사조』가 폐간될 때까지 그의 초기작 「노년」을 동잡지에 발표하는데, 이것이 그의 작가 활동의 시작이었다.
라쇼몽 발표.
1915년 10월, 『데이코쿠 분가쿠』(帝國文學)에 그의 대표작 「라쇼몬」(羅生門)을 본명으로 발표했고, 급우였던 스즈키 미에키치(鈴木三重吉)의 소개로 나쓰메 소세키 문하에 들어간다. 1916년에는 제4차 『신사조』(멤버는 제3차와 거의 같다)을 발간하는데, 그 창간호에 실었던 「코(원제: 鼻)」는 "문단에 유례없는 작가가 될 것"이라는 나쓰메 소세키의 격찬을 받아 문단 진출의 기회를 얻었다. 이 해에 대학을 20인 중 2등의 성적으로 졸업했는데, 이때 그의 졸업 논문은 「윌리엄 모리스 연구」였다. 12월에 해군기관학교 영어 교관을 맡아왔던 아사노 가사부로(浅野和三郎)가 황도대본(皇道大本)이라는 신종교에 입신하기 위해 사직하면서 구로야나기 가이슈(畔柳芥舟)나 이치카와 산키(市河三喜)등의 영문학자의 추천으로(나쓰메 소세키의 조언이 있었다고도 한다) 아쿠타가와는 아사노의 후임으로서 해군기관학교의 촉탁 교관(담당은 영어)으로서 근무하였다. 그 틈틈이 창작에 힘써 이듬해 5월에는 첫 단편집 『라쇼몽』을 간행했다. 그 후로도 단편 작품을 하나씩 발표해, 11월에는 이미 두 번째 단편집 『담배와 악마(원제: 煙草と悪魔)』를 발간하고 있다.
마이니치 신문 입사.
1916년의 가을, 『미타문학』(三田文学)의 동인으로서 친하게 지내던 고지마 마사지로(小島政二郎)의 알선으로 게이오기주쿠 대학 문학부 취직 제의를 받고 이력서도 제출했지만 실현되지는 않았다. 1917년 3월에, 해군 기관 학교의 교직을 물러나 오사카 마이니치 신문사에 입사(신문에 기고하는 것이 그의 주된 일로 출근 의무는 없다)해 본격적인 창작 활동에 전념한다(덧붙여서 스승의 소세키도 10년 전인 1907년에 똑같이 아사히 신문사에 입사했다). 1916년부터 1917년까지 아쿠타가와는 가마쿠라의 유이가하마(由比ガ浜)에서 하숙생활을 했으며, 1918년부터 1919년까지 오오 정(大町)에 거주했다.
결혼.
1919년 3월 12일에 친구 야마모토 기요시(山本喜誉司)의 조카(누나의 딸)이었던 쓰카모토 후미와 결혼하였고, 이듬해 3월 30일에 장남 히로시가 태어났다. 1921년 2월에 요코스카카이(横須賀海) 해군 대학교를 퇴직하고, 기쿠치 간과 함께 오사카 마이니치의 객외(客外) 사원이 되어, 본래 거주하던 가마쿠라에서 도쿄부 기타토시마 군 다키노가와초로 돌아온다. 동년 5월에는 기쿠치와 함께 나가사키를 여행했고, 친구인 화가 곤도 고이치로(近藤浩一路)로부터 극작가 나가미 도쿠타로(永見徳太郎)를 소개받기도 했다.
질병.
또한 이 해에 해외 특파원으로서 중화민국을 방문하였고, 베이징을 방문했을 때는 후스를 만나 그와 검열의 문제에 대해서 토론하기도 했다. 7월에 귀국한 그는 「상해유기(上海遊記)」 등의 기행문을 지었다. 1922년(다이쇼 11년) 11월 8일에는 차남 다카시(多加志)가 태어났다. 그런데 중화민국을 방문한 1921년 이후로 아쿠타가와는 신경쇠약, 장카타르 등의 병을 얻는 등 점차 심신이 쇠약해지기 시작해, 1923년(다이쇼 12년)에는 유가와라마치(湯河原町)로 온천 치료를 떠나기도 했다. 작품수도 줄어들기 시작하여 이른바 '호키모노(保吉もの)' 등의 사소설적 경향의 작품이 나타나게 되는데, 이러한 흐름은 만년작 「톱니바퀴(원제: 歯車)」, 「갓파(河童)」 등으로 이어지게 된다(이 해에 일본을 강타했던 관동 대지진 당시, 조선인 학살의 주동 세력인 자경단의 단원으로 활약했다는 이야기도 있다).
문화학원 문학부 강사.