shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
래리 라우든은 사이비과학이라는 용어는 과학적인 의미가 없으며 우리의 감정을 설명하는 데 주로 사용된다고 제안했다. "우리가 일어서서 이성의 편에 서려면, 우리의 어휘에서 '유사과학'이나 '비과학적'과 같은 용어를 삭제해야 한다. 그것들은 우리에게 감정적인 작용을 할 뿐"이라고 하였다. 마찬가지로 리처드 맥널리(Richard McNally)도 '유사과학'이라는 용어는 선동적인 유행어에 지나지 않는다고 하였다.
유사과학의 종류.
원형과학.
원형과학(proto science)이란 아직 과학으로 인정받지 않고 있으나, 후에 과학으로 발전할 가능성이 있는 것을 의미한다. 반대로 과거에 원형과학에서 과학의 기초가 되었으나 현재에는 원형과학이 더 이상 아닌 것들(연금술, 점성술 등)도 있다. 토마스 쿤의 패러다임의 개념을 적용하면, 원형과학의 내용은 그 가설이 처음 제시될 당시의 패러다임이 요구하는 바를 충족하지 못하지만, 후에 패러다임이 바뀌면서 새로운 패러다임이 요구하는 것을 모두 제시할 수 있기 때문에 과학으로 인정받게 되는 것으로 설명할 수 있다.
이와는 별개로, 의도적인 데이터 왜곡과 정해놓은 결론만을 강요하는 형태의 주장을 "쓰레기 과학(Junk Science)"이라고 하며, 이는 원형과학에 해당할 수 없고 단지 낭설이나 반과학적인 성향을 보여주는 유사과학에 해당한다. 그 대표적인 예시는 바로 기후변화를 부정하는 자들의 주장으로서, 쓰레기 과학이라는 단어는 바로 이 사건 때문에 처음 사용되었다. 쓰레기과학의 어원은 환경과학을 공격하기 위한 일부 기업들에서 만들어낸 단어였지만, 결국은 그 기업들이 하는 행위가 쓰레기과학의 정의에 더 부합했기에 역으로 현재에는 이러한 기후변화를 부정하는 기업들의 유사과학이 쓰레기과학으로 불리게 되었다. 현재 사용되는 정의에 따르면 쓰레기과학에 해당하는 유사과학들은 과학발전에 도움을 주지 못하고 오히려 방해를 하는 경우가 대부분이며, 창조과학이나 지적설계와 같은 것이 쓰레기과학에 속한다. 다만 기후변화 부정만을 쓰레기과학이라고 부르고, 그외의 것들을 사이비과학이라고 부르기도 한다.
반과학.
과학적 발견과 방법론, 그리고 과학이라는 속성 그 자체에 대해 반대하는 주장으로서, 과학에 대한 이해가 부족한 경우 자신들의 주장이 과학이라고 왜곡하는 경우도 존재한다. 창조과학이나 지적설계, 지구온난화 반대, 평평한 지구 등은 반과학의 대표적인 예이다. 위의 다른 것들과 겹치는 분류를 가지는 것이 많은데, 일반적으로 반과학이라 함은 기존의 과학에 대한 공격성을 함의한다는 점에서 분류하며, 과학에 대한 혐오발언으로 해석할 수 있다.
유사의학.
유사과학이 의술과 같은 방식에 이용되는 경우, 이를 유사의학이라고 부른다. 대체 암 치료법 혹은 안티백신운동과 같이 사회적 문제를 일으키는 경우가 많다.
패러다임의 개념을 이용하여 유사과학, 원형과학, 그리고 과학의 발전 과정에 대해 설명하면 다음과 같다. 어떤 가설 A와 B가 존재한다고 가정하자. 어떤 시점 T1에서 A는 T1의 패러다임을 충족하고, B는 T1의 패러다임을 충족하지 못한다. 그렇다면 시점 T1에서 A는 과학이고 B는 유사과학이다. 그리고 시간이 흘러 패러다임이 바뀌고, 어떤 시점 T2에 이르렀을 때 A는 T2의 패러다임을 충족하지 못하고 B는 T2의 패러다임을 충족한다고 하자. 그렇다면 시점 T2에서 A는 유사과학이고 B는 과학이다. 또한 시점 T2에서 바라본 시점 T1에서의 가설 B는 원형과학이라고 할 수 있다. 다만 쓰레기과학에 해당하는 것은 이런 패러다임과 관련없이 항상 유사과학에 해당한다고 이야기할 수 있다.
유사과학의 예.
창조과학과 지적설계.
유사과학의 대표적인 예시로는 창조과학과 지적설계가 있다. 종교적인 경전을 통한 신념인 창조론을 과학이라고 주장하며, 이미 사실로 밝혀진 진화를 부정하면서, 실제 과학논문들을 인용하지만 일부만을 발췌하거나 내용을 왜곡시키는 행동을 주로 하는 창조과학과, 종교적인 색체를 버리고 형이상학을 주장하면서 환원 불가능한 복잡성 등 자연계에는 실제 존재하지 않는 개념들을 끌어와 주장하는 지적설계는 단순히 유사과학의 수준을 넘어 사회적 문제를 일으키고 있다. 창조과학과 지적설계는 단순히 과학적 사실을 부정하기에 유사과학인 것만이 아니라, 주관적인 기준으로 과학적 데이터를 왜곡하며, 어떤 연구활동도 이루어지지 않고 아이들에 대한 서적을 내는 등 프로파간다에 불과한 주장들을 과학이라고 억지하기 때문이다. 이는 창조과학회의 주장들의 낮은 신빙성 항목에 잘 정리되어 있다. 창조과학은 원형과학으로서의 속성도 띄지 않으며, 반지성주의 운동이자 쓰레기과학의 범주에 해당한다.
논란의 대상들.
다음의 것들은 원형과학적 성격을 갖거나, 과학의 정의에 대한 논란과 관련이 있거나, 문화적, 철학적, 사상적, 정치적 논란과 관계가 있다. 이 때문에 유사과학이라는 주제에서 다루어야 하는지에 대한 논란이 존재한다.
물은 답을 알고 있다.
에모토 마사루의 책 《물은 답을 알고 있다》에서 저자는 인간의 생각이 물에 영향을 끼친다고 주장하고, 영하 20도에서 물을 얼릴 때 클래식음악이나 사랑과 감사의 언어를 들려주면 결정이 아름다워지고, 헤비메탈이나 욕설을 들려주면 결정이 추하게 형성된다고 주장했다. 이 주장이 포함하는 '아름답다'와 '추하다'의 주관적 심리현상에 대해 심리학적, 의학적 계량화가 제시되어 있지 않다. 또한 클래식음악이나 헤비메탈, 혹은 사랑과 감사, 욕설과 같은 물리-심리 현상에 대해 객관적으로 받아 들여질 있는 엄밀한 기준이 제시되어 있지 않다. 이와 같은 계량화와 기준들은 현대의 철학, 심리학, 인지과학, 의학, 문화인류학, 예술학, 물리학 등에서 충분한 학제 내부의 자체 연구 혹은 학제간 연구가 이루어지지 않았다. 이로 인해 '물은 답을 알고 있다'라는 유사과학의 사례를 들 때 거론되는 이름이 되었다.
점성술의 스스로에 대한 평가 여부와는 별도로 논란이 존재한다. 점성술은 행성이나 항성과 같은 천체의 위치와 천체 간 상호관계를 통하여 개인의 성격이나 인생, 국가적 사건 등에 대한 정보를 파악할 수 있다고 보는 술법, 믿음 등을 총체적으로 의미한다. 점성술은 천문학에 영향을 주는 원형과학에서 시작했으나,
점성술과 천문학.
앞에서 말한 과학과 유사과학, 원형과학의 분류를 적용하면 점성술은 수천 년 전의 입장에서 과학이지만 현대의 패러다임, 즉 과학적 방법론에 의한 탐구라는 조건을 만족할 수 없기 때문에 현대에는 과학으로 받아들여지지 못하는 개념이 된다. 반면, 점성술에서는 개인이나 국가의 운명을 점치기 위해서 더 많은 별과 행성의 데이터가 필요했고, 이에 따라 천체 관측 기술과 자료가 축적되게 되었다. 이는 근대 천문학의 발전에 큰 영향을 주었고, 이러한 관점에서 과거의 점성술은 원형과학의 일종으로도 볼 수 있다.
연금술.
연금술은 '금의 제작'을 목적으로 하는 중세 문화의 일종이다. 근대 과학 이전 단계의 과학과 철학적인 시도로서, 화학, 금속학, 물리학, 약학, 점성술, 기호학, 신비주의 등을 거대한 힘의 일부로 이해하려는 운동으로 해석할 수 있다. 그러나 연금술은 과학적 방법론에 의거하지 않았으며, 실제로 금을 만들었다는 기록이 가끔 존재하기는 하지만 이 역시 재현할 수 없다는 점에서 현대 과학의 패러다임을 만족하지 않는다. 그러나 연금술의 연구를 위해 발전된 여러 가지 실험 기법과 기구들은 근대 화학의 발달 과정에서 많은 역할을 하게 되었다. 이런 관점에서, 연금술 역시 원형과학의 일종으로 볼 수 있다.
유사과학은 한 시대의 문화 전반에 매우 큰 영향을 미친다. 어느 시대에나 인구의 대부분은 과학적 지식이 충분하지 못한 상태인 경우가 대부분이다. 그렇기 때문에 과학에 무지한 사람들이 만들어가는 문화에서 유사과학이 과학인 것처럼 작용하면서 여러 가지 영향을 줄 수 있다. 유사과학은 또한 종교와 합쳐진 형태로도 문화에 영향을 끼친다. 기독교와 이슬람교를 비롯한 세계의 주요 종교들은 유사과학의 일종인 창조론을 가르치고 있고, 이는 이 종교를 믿는 사람들에게 영향을 주고 있다. 유사과학이 문화적으로 영향력이 커지면, 유사과학이 과학을 이기게 되는 때가 발생하기도 하며, 유사과학과 과학이 혼동되기도 한다. 현대까지도 점성술은 많은 사람들의 지지를 받고 있으며, 많은 사람들에게서 과학보다 점성술에 의지하는 경향을 발견할 수 있으며, 점성술과 천문학을 혼동하는 사람이 있기도 하다.
유사과학 논란은 대중 문화에 영향을 끼친다. 논란의 예시로 앞에서 언급된 물은 답을 알고 있다라는 책은 대중적으로 인기를 끌고 있다. 유튜브에 "Water Crystal"이라고 검색하면, 이 이론과 관련한 많은 검색 결과가 나온다.
역사적 영향.
유사과학은 역사에도 많은 영향을 준다. 대표적인 예로는 중세 유럽을 기독교가 지배함으로써 과학 발전을 저해한 것을 들 수 있다. 고대 그리스의 철학자 아리스토텔레스의 이론은 기독교의 교리를 교황청이 만족할 수 있을 만큼 잘 충족시켰고, 이렇게 정립된 '진리', 즉 기존의 이론에 대응되는 가설들은 출판이 금지되고, 종교 재판에 넘겨지기도 했다. 이러한 사회적 분위기는 과학의 발전을 방해하는 매우 큰 요소로 작용하긴 했다. 또한 과학에 대한 관점이 과학의 발전에 영향을 주기도 한다. 고대 동아시아의 과학기술 발전은 국가 중심적이면서 결과 중심적인 경향을 보였고, 이로 인해 국가적인 지원이 뒷받침되었지만 과학에 대한 신비주의적 입장이 고수되고, 또 국가가 과학 기술의 연구와 사용을 제한함으로써 기초과학의 발전에 도화선을 지피지 못했다는 이론이 지배적이다. 한편, 유사과학과 과학이 충돌하는 경우도 존재한다. 앞에서 언급한 (기독교적) 사회적 관념이 상대적으로 약했던 지역, 즉 교황청의 지배에서 비교적 자유로웠던 독일이나 폴란드, 덴마크 등의 과학자들인 코페르니쿠스와 티코 브라헤, 요하네스 케플러 등을 중심으로 일어난 과학 혁명은 이러한 유사과학적 사회 분위기에 사로잡혀 있던 서부 유럽 사회에 영향을 줄 수 있었다. 이렇게 유사과학과 과학은 독자적으로 사회에 영향을 주기도 하고, 또 서로가 영향을 주고 받으면서 사회를 변화시키기도 한다.
《산울림》은 김창완, 김창훈, 김창익 삼형제로 이루어진 대한민국의 록 밴드로 1977년에 결성되어 이후 사실상 31년 남짓 지속되었다.
기타와 보컬은 첫째 김창완, 베이스는 둘째 창훈, 드럼을 막내인 창익이 맡았다. 대한민국에서 대표적인 록 그룹이며 1970년대말 1980년대초로 이어지는 그룹사운드 시대를 연 선구자이기도 하다. 한국 록 역사에 한 획을 긋고, 1970-80년대 한국을 대표하는 모던록 밴드로서 싸이키델릭록, 아트록 등 여러 록 음악과 심지어 동요까지 소화해냈다.
데뷔 전.
삼형제의 맏형 김창완은 미8군 군속 설계사였던 아버지 고 김재혁씨와 장은성씨 사이에서 1954년 출생했고 동생들은 모두 2살 터울로 창훈은 1956년생, 창익은 1958년생이다. 어릴 적 가정환경은 좋지 못했다. 부모의 금실이 좋지 않아 늘 불안정했고 삼형제에게 아버지는 무섭기만 했다. 김창완은 그 시절을 “달아나고 싶었고 공상에 빠지곤 했고 늘 혼자 있고 싶어 했다. 커서도 별반 다르지 않았다.”고 술회했다.
김창완은 서울대 농대 잠사학과를 다녔고 창훈도 같은 대학 식품공학과를 입학했고 막내 창익은 고려대 공대 기계공학과를 졸업하는 등 삼형제는 학업성이 빼어났다. 삼형제가 음악으로 뭉친 것은 김창완이 대학생이 될 무렵인 1970년대 초반이었고 셋은 이때부터 일렉트릭 기타와 베이스, 드럼을 두드리기 시작했다.
1973–1979: 결성, 초기 활동.
맏형 김창완이 1973년 경 어느 날 500원짜리 어쿠스틱 기타를 집에 사들고 온 후 노래를 작곡하기 시작하면서 시작됐다. 둘째 창훈이 대학에 들어간 기념으로 부모님이 약속한 피아노 대신에 드럼을 요구하여 세 형제가 취미로 밴드 연주를 하게 된다. 곡은 대부분 김창완이 만들었지만 더러 김창훈도 썼다. 나중 거의 1년마다 산울림의 정규 앨범을 발표할 수 있었던 것은 이 무렵 워낙 많은 곡을 만들어놨기 때문이다.
1977년 제1회 MBC 대학가요제에 무이(無異)라는 이름으로 〈문좀 열어줘〉라는 곡으로 예선에 참가하여 1등을 했으나, 맏형인 김창완이 이미 졸업한 상태였기 때문에 본선에는 출전하지 못한다. 그러나, 이 대회에서 1등인 대상을 수상한 샌드 페블즈의 〈나 어떡해〉는 둘째 김창훈이 작사 작곡하여 준 것으로, 산울림의 2집에 다시 리메이크 되어 담겼다. 같은 해 대학을 졸업하면서 그동안 작곡했던 150여 곡이 아까워서 마지막으로 정리하는 기분으로 그들은 앨범 한 장을 내기로 했다. 우여곡절 끝에 레코드 회사에서 녹음을 허락했고, 녹음 당일 취직시험이 있던 김창완은 과감히 녹음을 하기로 결정했다. 그렇게 제작된 《산울림 새노래 모음》(1977)은 이듬해 1978년 겨울을 강타하여 큰 센세이션을 일으켰다.
1집의 충격이 가시기도 전인 78년 5월 2집 '내 마음에 주단을 깔고'를 발표하여 당시로선 드물게 록의 진정성과 대중성을 모두 지닌 앨범이란 평을 받으면서 '내 마음에 주단을 깔고' '노래 불러요' '둘이서' '나 어떡해' 등이 크게 히트하였다. 특히 이 음반은 산울림의 사이키델릭한 음악을 가장 잘 표현한 하나의 작품으로 지금까지도 많은 이들의 사랑을 받으며 70년대 후반 암울했던 가요계에 혜성처럼 등장한 산울림의 걸작으로 평가받는다.
1978년 7월엔 라디오 주제가 '빨간 풍선'이 또다시 공전의 히트를 기록하며 옴니버스 앨범으로 발매되어 확실한 인기그룹으로 정착하였다. 1978년 11월 김창훈의 위악적인 보컬과 거친 퍼즈 기타 톤이 강렬한 '내 마음', 한국 가요 역사상 전무후무한 18분 짜리 싸이키델릭 곡인 '그대는 이미 나'등이 수록된 실험성으로 중무장한 3집을 발표했지만 대중은 그 시도를 외면했다. 1979년에는 이전까지 자신들의 상업적인 모습을 반성하며 동요 1집 '개구장이'를 발표했고 이 역시 크게 히트하여 국민동요로 자리매김했다. 1979년 김창훈, 김창익 두 동생들이 군입대를 하게 되면서 맏형 김창완은 홀로 남게 되어 산울림의 드라마, 영화 음악 모음집인 4집과 형제가 군입대 중 녹음해 5집을 발표하지만 대중의 큰 인기를 얻지는 못했다.
1980–현재: 후기 활동과 해체.
1980년에는 김창완이 홀로 '고장난 우주선'이란 세션들과 6집을 녹음해 발표했다. 1979년 노고지리가 불러 크게 히트한 '찻잔'이 어쿠스틱 버전으로 리메이크 되어 다시 수록되었고 1978년 발표해 크게 히트했던 빨간풍선도 다시 실렸다. 이 앨범에선 한동안 한국에서 가장 긴 노래제목이었던 '창문너머 어렴풋이 옛생각이 나겠지요.'가 크게 히트했다.
1981년 두 동생들이 제대하면서 그들의 역량을 발휘해 7집 '가지마오'를 발표했다. '가지마오', '먼 나라 이야기', '하얀 달', '끊이지 않는 소리' 같은 대표곡은 산울림 중기를 상징하는 노래로 자리매김했고, '독백', '하얀 밤', '청춘' 등의 발라드는 그 후에 산울림이 여러 시도를 하게 되는 초석을 마련한 곡들이다. 가지마오와 청춘, 독백이 크게 히트했고 1981년 KBS 가요대상 중창부문을 수상했다. 1982년에 발매된 8집에 〈내게 사랑은 너무 써〉와 〈회상〉이 크게 히트해 사랑받았지만 김창완은 '속 보이는 짓'이었다며 상업적인 8집을 가장 싫어한다고 했다. 이러한 반성으로부터 시작된 9집은 3집과 더불어 가장 록적인 앨범으로 평가받지만 시장은 그 시도를 철저히 외면했고, 경제적인 이유로 창훈, 창익 두 형제는 가수 활동을 그만두고 직장에 취직했다.
김창완은 독집 '기타가 있는 수필'을 발표하기도 하고 1984년엔 세션들과 산울림 10집 '너의 의미'를 발표해 히트하였다. 새로운 음악적인 형식이 도입된 11집 '슬픈 장난감'은 앞면엔 발라드가 뒷면엔 뉴웨이브, 디스코 사운드에 곡들이 수록되어 좋은 반응을 얻었다. 김창완은 이 시기부터 드라마에 출연하거나 드라마 음악을 만들었고 후배 가수들을 지원해 이치현과 벗님들, 어금니와 송곳니, 동물원, 장기하와 얼굴들 등의 아티스트들을 배출했다. 1991년 오랜만에 12집 'Adajio'를 발표했지만 이전에 산울림의 음악과는 완전히 이별한 포근한 분위기의 곡들로 채워져 라디오에서 거의 들을 수 없는, 참혹한 실패를 경험했다. 이후 빅쇼, 락 인더 코리아, 문막공연 등을 통해 재결합한 형제는 1997년 산울림 13집을 발표해 '기타로 오토바이를 타자'가 좋은 반응을 얻었다. 이후 다시 공백을 가진 산울림은 2006년 30주년을 맞아 공연하는 등 재결합하여 14집을 준비하던 중에 2008년 1월 29일 형제 중 막내인 김창익이 캐나다 밴쿠버에서 지게차 사고로 인해 사망하면서 공식해체하였다. 2008년 11월 25일 산울림의 삼형제 중 맏형인 김창완이 산울림 시절 발매했던 1집 ~ 13집과 산울림 동요 1집 ~ 4집을 모두 엮어서 산울림 전집인 'The Story of Sanullim - Complete Studio Recordings'를 발매하였다.
음악 스타일.
수재 소리를 들었던 김창완은 1968년 중앙고 시절부터 1975년 군대 제대까지 CCR, 아이언 버터플라이 등 외국의 록이나 팝에 심취했었다. 국내 가수 중에는 신중현, 김추자, 펄 시스터즈의 노래를 좋아했다.
한국민족문화대백과에서는 "당대에는 높은 창의성에도 불구하고 연주력이 낮다는 이유로 과소평가되기도 했다. 그렇지만 1990년대 이후 ‘인디’ 계열의 음악인들로부터 절대적인 추종을 받고 있다."고 설명한다.
컴필레이션 음반.
메아리는 음향 신호화 과정 및 음향학에서 사용되는 용어이며, 소리가 청자에게 직접 전달된 뒤 어떠한 물체에 부딪혀 반사되어 청자에게 연속적으로 재전달되는 현상을 뜻한다. 그리스 신화에서 유래한 용어인 에코() 또는 산명(山鳴), 산울림이라고도 한다.
주로 우물 밑바닥이나 사방이 벽으로 둘러싸인 건물 등 폐쇄된 공간에서 발생하며, 음속에 따라 재전달되는 시간이 변화한다. 또한 고래와 박쥐는 초음파를 주변 지역에 발산한 뒤 메아리 현상으로 인해 반사되어 오는 소리를 이용해 주변 상황을 인식한다.
옛 문헌에 등장한 최초의 형태는 로, '(山) + 살-(生) + 이'로 분석된다. 즉, '산에 사는 것'이란 뜻이다.
에코는 다음을 뜻한다:
신기남(辛基南, 1952년 10월 16일 ~ )은 대한민국의 정치인, 소설가이다. 소설가로서의 필명은 신영이다.
고속 푸리에 변환(高速 푸리에 變換, , FFT)은 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, DFT)과 그 역변환을 빠르게 수행하는 효율적인 알고리즘이다. FFT는 디지털 신호 처리에서 편미분 방정식의 근을 구하는 알고리즘에 이르기까지 많은 분야에서 사용한다.
푸리에 해석(Fourier Analysis)은 신호를 원래의 영역(주로 시간 또는 공간)에서 주파수 영역으로 변환하거나 그 반대로 변환하는 과정이다. 이산 데이터에서 사용하는 DFT는 값의 시퀀스를 서로 다른 주파수 성분으로 분해하여 얻는다. 이 작업은 다양한 분야에서 유용하지만, 정의를 기반으로 직접 계산하는 방식은 너무 느려 실용적이지 않다. FFT는 DFT 행렬을 희소 행렬로 인수분해하여 이러한 변환을 빠르게 계산한다. 이를 통해 DFT의 계산 복잡도는 정의를 직접 적용했을 때 formula_1에서 formula_2으로 줄어든다 (여기서 ""은 데이터 크기). 이러한 속도 차이는 데이터 세트가 수천 또는 수백만 개에 이를 경우 특히 크다. 반올림 오류가 있는 경우에도, 많은 FFT 알고리즘은 DFT 정의를 직접 또는 간접적으로 사용하는 것보다 훨씬 더 정확하다. FFT 알고리즘은 복소수 산술부터 군론 및 정수론에 이르기까지 다양한 이론을 기반으로 한 여러 형태가 존재한다.
FFT는 공학, 음악, 과학, 수학 등 다양한 분야에서 널리 활용된다. 기본 개념은 1965년에 대중화되었으나, 일부 알고리즘은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이미 1805년에 도출되었다. 그 뒤에도 제한된 형태의 FFT가 종종 발견되었음이 밝혀졌다. 1994년, 길버트 스트랭(Gilbert Strang)은 FFT를 "우리 시대에서 가장 중요한 수치 알고리즘"이라고 묘사했으며, IEEE 잡지 Computing in Science &amp; Engineering에서 선정한 "20세기 최고의 알고리즘 10선"에 포함되었다.
가장 잘 알려진 FFT 알고리즘은 n의 소인수분해에 의존하지만, 모든 '에 대해 formula_3 복잡도를 갖는 FFT도 존재한다. 많은 FFT 알고리즘은 formula_4이 '차 원시 단위근이라는 사실만을 활용하며, 이는 수론적 변환과 같은 유한체에서의 유사 변환에도 적용할 수 있다. 역 DFT는 지수에서 부호가 반대이고 계수가 추가된 형태로 DFT와 동일하기 때문에, 모든 FFT 알고리즘은 역변환에도 쉽게 적용할 수 있다.
이산 푸리에 변환.
신호 formula_5이 복소수라고 가정할 때, DFT는 다음과 같이 정의한다.
이 식을 정의에 따라 계산하면 formula_7의 연산이 필요하지만, FFT를 이용하면 formula_8의 연산만으로 가능하다. '이 합성수일 경우 그 소인수 분해를 이용하여 연산 횟수를 줄일 수는 있지만, FFT를 사용하면 '이 소수일 경우에도 formula_8번의 연산 횟수를 보장한다.
formula_10 을 회전자(Twiddle factor)라고 부른다. 1의 거듭제곱근(Root of unity), 단위근도 회전자의 다른 호칭이다. 이 회전자를 사용해 식(1)을 다시 쓰면,
회전자는 N에 관한 주기성으로 인해 다음과 같은 성질이 있음을 쉽게 알수있다.
쿨리-튜키 알고리즘.
분할(Decimation).
어떤 길이 "N"인 수열을 다음과 같이 index가 짝수인 것과 홀수인 것들만 각각 모아서 두 개의 수열로 나누는 것이다.
분할 대신 일정 부분을 뽑아낸다는 '솎음'으로 번역한 경우도 있는데 단어 번역으로는 더 정확하지만, FFT에서는 오히려 분할이라는 표현이 이해하는데 더 낫다.
다니엘슨-란초스 보조정리(Danielson-Lanczos Lemma).
1942년 위 두사람은 FFT의 기초가 되는 공식을 발견한다. 즉, 길이 "N"(단 짝수인 경우)의 DFT는 각각 길이가 "N/2"인 두 개의 DFT의 합으로 다시 쓸 수 있다는 것. 하나는 짝수 index 포인트들로 형성되고, 다른 것은 홀수 index 포인트들로 만들어진다.
이 분할(decimation)을 수식으로 표현해 보자.
식(2)의 DFT를 짝수번째 항, 홀수 번째 항끼리 묶으면 즉, 분할하면
길이가 짝수이므로 각 항의 갯수는 같다. 두번째 괄호 항에서 formula_21을 밖으로 빼면
이를 다시 쓰면
그런데,
가 성립하므로,
여기서, formula_28 는 위 수식에서 보였듯이 각각 짝수(Even)항과 홀수(Odd)항으로 구성된 "N/2"-DFT이다.
다음으로 "fk+N/2"를 구해보자. 윗식으로부터
"fk+N/2" 의 실제 범위는 "fk" 와 달리 k에 N/2가 추가되었으므로 formula_32 임에 주의하자. 정리하면,
식(4)의 중요성은 다음 쿨리-튜키 알고리즘에서 설명하겠다. 이 식을 그림(1)로 나타낼 수 있으며, 마치 나비 모양이라고 해서 이런 분할 과정을 나비연산(butterfly operation)이라 부르고, 그 그림을 나비(butterfly)라고 한다.
역비트순(Bit-reversed Order).
만약 ""이 2의 거듭제곱, 즉 "N=2n" 이면 분할(decimation)에 의해 길이가 "N/2" 인 두신호는 길이가 "N/4" 인 두신호로 쪼개어진다. 이런 방식으로 계속 분할을 진행하면 결국 길이가 2인"(N=2)" 신호로 나누어진다. "N=2" 인 DFT는 매우 쉽게 계산된다.
그림(2)와 같이 길이가 8인"(N=8")인 신호를 생각하자. 처음 길이가 8인 신호는 다니엘슨-란초스 보조정리에 의해 분할을 계속하면 stage 3과 같은 순서가 된다.
그런데 위의 표에서 처음 원래의 신호와 최종적으로 나누어진 신호의 순서를 이진수로 나타내면 그림에서와 같이 대응하는 신호의 모든 비트들을 거꾸로 배열한 것과 같다. 이것을 Bit reversal 이라 부른다. 이런 현상은 신호가 "N=2n" 라면 항상 나타나는 현상이다. 계산구조가 in-place"(입력 신호 메모리 장소에 출력 값을 덮어쓰는 것. 다른 표현으로 원래의 샘플 메모리 안에서 FFT를 수행하고 추가적인 버퍼 메모리를 사용하지않는 것)"이어야 한다는 요구조건을 포기한다면 입력자료와 출력 결과 둘 다 순서대로 나열되도록 하는 것이 가능하며, 이를 out-of-place라 한다.
쿨리-튜키 알고리즘(Cooley-Tukey algorithm).
가장 일반적으로 사용되는 FFT 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘이다. 이 방법은 1965년에 J. W. 쿨리와 J. W. 튜키가 발표하여 널리 알려졌다.
식(2)의 경우 "k =0" 에서 "N-1"까지의 각 항의 계산에 "N" 회의 곱셈이 필요하기 때문에, 전체적으로 "N 2" 회의 곱셈이 필요하게 된다. 그러나, 식(4)의 길이 "N/2" 의 DFT는 솔직하게 계산하면 ("N/2) 2=N 2/4" 회의 곱셈으로 실행할 수 있으므로 이 분할(Decimation)에 의해 계산량은 약 절반으로 줄어든다. 또한, 이 분할을 2회, 3회... 반복하면 즉, 재사용(reuse)하면 계산량은 약 "1/4, 1/8..." 로 격감한다. 이것이 쿨리-튜키 FFT (정확하게는 기수 2 쿨리-튜키 FFT)의 기본적인 생각이다.
쿨리-튜키 알고리즘은 보통 크기 "N"을 재귀적으로 2등분하여 길이가 2인 신호가 얻어질 때까지 분할 정복 알고리즘(Divide and conquer algorithm)을 적용하기 때문에 "N" = 2"n"인 경우에 많이 적용된다.
보통의 프로그램 코드는 "log N" 개의 단계(그림(2)나 그림(3)의 stage에 해당)에 대한 재귀 호출을 수행하고, 각 단계에서 "N / 2" 회의 복소수 곱셈과 "N" 회의 복소수 가산을 수행한다. 따라서 복소수 곱셈 횟수는 "(N / 2) * log N" 로 감소하고 부동 소수점 연산의 양은 "N * log N"의 order가 될 수 있다. 이것은 쿨리-튜키 FFT의 일반적인 연산량이다.
일반적으로 "N" = "n"1 "n"2가 성립하는 "n"1과 "n"2는 같을 필요가 없으며, 따라서 "N"이 임의의 합성수일 때에도 적용 가능하다(아래 혼합 기수 FFT 를 참고). 쿨리-튜키 알고리즘은 DFT를 더 작은 크기의 DFT로 나누기 때문에, 뒤에 설명된 다른 FFT 알고리즘과 함께 사용될 수 있다.
푸리에 행렬(Fourier Matrix).
회전자로 이루어진 차수(order) N의 복소 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)
을 푸리에 행렬(Fourier Matrix)이라고 한다.
식(2)를 아래와 같이 푸리에 행렬로 표현할 수 있다. 편의를 위해 지금부터는 회전자의 아래첨자 "N"을 생략하겠다. 예를들면, formula_36이다.
식(3a)가 보여주는 회전자의 주기성으로 인해 formula_38부터 formula_39까지 모두 계산할 필요가 없이
formula_40까지만 계산하면 된다. 다음 기수 2 시분할 FFT의 식(6)에서 확인해 볼 수 있다.
기수 2 알고리즘(Radix-2 FFT Algorithm).
앞에 열거한 내용들을 기초하여 기수 2 FFT 알고리즘을 다루어본다. 이는 다른 알고리즘들을 다루는데 있어 가장 기초가 되는 알고리즘이다. 우선 기수의 뜻을 살펴보자.
기수(radix)의 의미.
- 기수(基數)는 밑 또는 기저(radix, base)로도 부르고, 숫자 표현(진법 체계)의 기준이 되는 수다.
radix 는 라틴어로 뿌리(root)라는 뜻이다.
(예) 10진수의 기수(base)는 10이다.
"10 1, 10 2 , 10 3" 의 밑(base)은 10이다.
- 거듭제곱 "r n"의 기수(radix)는 "r"이다. 여기서, "n"는 지수(exponent)이다.
(예) "N=2 n"는 기수 2(radix-2)이다. "N=4 n"는 기수 4(radix-4)이다.
시분할(DIT) FFT와 주파수분할(DIF) FFT.
FFT를 수행하는 방식에는 두가지 알고리즘이 있다.
1) 입력(일반적으로 시간 domain)을 나누는 방식 - 시분할(DIT, Decimation in Time) FFT
2) 출력(일반적으로 주파수 domain)을 나누는 방식 - 주파수분할(DIF, Decimation in Frequency) FFT
다음은 이들에 대해 설명한다.
1. 기수 2 시분할 FFT(Radix-2 Decimation in Time FFT).
"N" = 4 일 때, 기수 2 시분할 FFT를 유도해 보자.
우선 식(5)로부터 "N" = 4 DFT 행렬식은 다음과 같다.
지수의 짝 홀을 기준으로 위의 식을 다음과 같이 열의 순서를 바꾸는 변형할 수 있다(이는 곧, 앞서 설명한 분할(decimation)을 의미한다).
또한 식(3a)로 부터 formula_43 의 관계를 얻으므로
식(7) 오른쪽 행렬의 formula_47 는 N=2 DFT 행렬 안에 있으므로 식(3c)를 이용하여 formula_48 로 변경해서 고쳐쓰면
식(3b)를 이용하면 formula_50, formula_51, formula_52 이므로 다음과 같은 최종식을 얻는다.
따라서, "N"=4 인 DFT는 위 식(8)와 같이 "N/2" 즉,"N"=2 인 DFT 두 개를 사용해서 계산할 수 있고, 이는 다니엘슨-란초스 보조정리가 적용됨을 행렬을 이용해 보인 것이다. 그 결과로 입력과 출력이 서로 역비트순이 됨도 알 수 있다. 식(8)의 결과는 아래 그림(3)의 신호흐름도(signal flow graph)와 동일하며,나비도표(butterfly diagram)로도 불린다. 두 개의 "N=2" DFT 나비를 볼 수 있다.
식(5a)의 푸리에 행렬 "F4"는 (7)식으로부터 다음과 같이 표현된다.
여기서, "I2: 2x2" 단위행렬, "T2": 회전자로 구성된 "2x2" 대각행렬, "O2: 2x2" Null 행렬 "C4: 4x4" column 치환행렬(permutation matrix)
식(9)에서 분할(decimation)을 수행하는 "C4"가 식(7)에서 볼 수 없는 것은 이미 식(6)에서 시행했기 때문이다. (9)식을 값으로 표현하면 다음과 같다.
(9)식을 일반화하면, "N=2m" 일 때
윗 식의 N/2-DFT 행렬 "Fm" 을 "F2" 가 될 때까지 재귀적으로(recursively) 분할하는 과정을 반복할 수 있다. 행렬 "Fm" 을 한번 더 분할할 수 있다면 다음과 같이 될 것이다.
formula_57formula_58
그럼, (11)식의 "N=2m" 의 푸리에 행렬 "F2m"을 2개의 "N=m" 인 행렬 "Fm"로 나누었을 때 연산 횟수의 변화를 살펴보도록 하자.
"Fm" 행렬 2 개는 "2 m2" 의 연산 횟수을 가지며, 식(11)의 맨 왼쪽 행렬은 "m" 개의 대각성분을 가지므로 연산횟수 "m" 개이다. "C2m" 은 0,1 로 된 상수와 다름없어서 연산 횟수는 제로에 가깝다. 그래서, 다음과 같이 연산 횟수가 줄어든다.
formula_59 → formula_60
formula_61 → formula_62
formula_63 → formula_64
formula_65 → formula_66
결국 "N=4,8...,64" 일 때의 연산횟수의 변화를 살펴보면 다음과 같으며, 맨 아래에 앞서 언급했던 연산횟수 식인 (12)식이 얻어진다.
이 (12)식은 아래 (표.1)에서와 같은 방식으로도 유도될 수도 있다.
2. 기수 2 주파수분할 FFT(Radix-2 Decimation in Frequency FFT).
어떤 길이 "N"인 수열을 다음과 같이 단순히 index 순서를 기준으로 처음 절반과 나중 절반으로 나눈 것을 Partition 이라 한다.
앞서 언급했듯이 주파수분할은 출력신호를 나누는 방식이다. 위의 partition 방식으로 (2)식의 DFT를 나누면 다음과 같다.
윗 식 둘째 항은 DFT가 아니다. 그런데, formula_80 이므로,
이제 formula_82 에 대하여
이라고 하자. 그러면 짝수 formula_84 에 대하여
이고, 홀수 formula_86 에 대하여
여기서 formula_88 를 이용하였다. 이제 위의 두 식은 각각 길이가 N/2인 formula_89과 formula_90의 이산 푸리에 변환(DFT)이 되었다.
위와 같은 방식으로 다음과 같이 나눌 수 있다.
이를 길이가 2인 신호들이 얻어질 때까지 반복한다(분할정복 알고리즘). 기본적인 주파수 분할 나비는 식(13)으로부터 다음과 같이 구성된다.
다음 식(15)은 N=4일때 기수 2 주파수분할(DIF) FFT이다. 식(6)의 시분할(DIT) 방식과 달리 출력 "f" 의 원소들이 분할된 것을 볼 수 있다.
다음은 (15)식을 표현한 신호흐름도이다. 시분할 FFT의 "N=2" DFT 는 (그림 3)과 달리 마지막 stage에 있으며 이는 행렬(15)에서도 확인할 수 있다.
공통인수 FFT(Common-Factor FFT).
이와 대응하는 상반된 개념은 소인수 알고리즘 즉 PFA(Prime-Factor Algorithm)이라 할 수 있다.
1. 기수r FFT (Radix-r FFT).
지금까지 논의에서는 기수 2(radix-2) FFT 만을 다루었다. 즉 신호 수 "N=2 n" 인 경우이다. 그러나 "N" 은 다양한 기수를 가질 수 있다. 즉, 일반적으로 기수 r 일 때, "N=r n"이다. 그림(5)를 보면서 다음의 특징들을 살펴보십시오
1)각 stage에서 볼 때, 사용하는 "N/r"-point DFT(즉 butterfly)는 동일하다.
2) 기수"r" FFT에서 나비(butterfly)는 한 stage(단계, 앞에 쿨리-튜키 알고리즘 문단에서 설명한)에서 "N/r" 개가 된다.
(예) "N=16" 이고 기수 "r=2" 이면 stage 당 나비 수는 16/2=8 개.
3) FFT 나비도표(butterfly diagram)에서 stage의 수 "s"는
이다. 예를 들어
이때 로그의 성질에 의해 formula_98이므로 기수 4의 stage 수 s는 기수 2일 때보다 반으로 감소한다.
4) 기수에 따른 계산 효율
• 대체적으로 기수 4는 대규모 변환에서 기수 2보다 약 20% 더 효율적이다(아래 표 참고).
표의 결과만을 볼 때 radix-4 가 고속이 될 것 같지만, 실제로는 실장 방법에 의존한다. CPU로 실행하는 경우는 연산기가 1개 이므로, 연산 횟수가 적은 radix-4 쪽이 좀 더 고속이 될 것 같다. 그러나, FPGA로 구현하는 경우의 상충관계(trade-off)는 복잡하다. 나비연산을 복수의 연산기를 사용해 파이프라인으로 하면 radix-2와 radix-4 모두 같은 1 클럭이 되어버리므로 radix-4가 4배 고속이 될 것 같아 보이지만, 1개의 메모리에서는 1개씩 밖에 데이터를 읽을 수 없기 때문에 여기가 병목이 되어 radix-4는 4 클럭, radix-2는 2 클럭을 소요함으로 radix-4는 radix-2의 2배 밖에 빨라지지 않는다. 그래서, 보통은 메모리를 분할하여 복수의 데이터를 동시에 읽도록 고안하지만 메모리 읽기를 병렬화하는 것에 맞추어 연산기도 radix-2의 나비 연산을 4병렬화시키면, 연산기 수가 radix-4와 거의 같아져 차이가 없어진다. 그렇게 생각하면 radix-2 쪽이 병렬화 설계가 더 간단한 만큼 유리할지도 모른다.
• 때때로 기수 8이 사용되지만 더 긴 기수 나비는 일반적이지 않다. 효율성 개선이 크지않고, 추가된 복잡성이 상당하기 때문이다(특히 하드웨어 구현의 경우).
2. 혼합 기수 FFT (Mixed-radix FFT).
혼합된 기수 고속 푸리에 변환 알고리즘은 1969년 Richard C. Singleton에 의하여 처음 고안된 알고리즘으로 쿨리-튜키 알고리즘의 변종으로 신호의 길이가 임의의 합성수(composite number)일 때도 대응할 수 있는 보다 일반적인 알고리즘이다. 특징은 다음과 같다.
1) "N≠r n" 일 때도 포함해서 일반적으로 합성수 "N=N1N2" ..."Nm" 일 때 사용한다.
"N=2 n"(즉, 기수 2)인 경우에 "N=2, 4, 8..."이고, "N=4 n" 인 경우 "N=4, 16, 64..." 등의 갯수를 가질 수 있으나,
중간 갯수인 "N=12" , "N=15", "N=24" 등은 단일한 기수로는 담당할 수 없게 된다. 따라서 서로 다른 기수가 혼합된 여러 기수를 사용해 해결하는 것이다.
"N=2 n×q s" ("q=2 m&gt;2, 1(2m+1)=2 1×4 m"
"N=32=2 1×4 2" 즉 기수2 한 단계와 기수4 두 단계를 수행한다.
2) 나비도표에 서로 다른 기수의 나비들이 존재한다.
식(5)에서 DFT는 푸리에 행렬 T와 벡터 x, f 로서 표현됨을 알았다. 즉
T의 행렬요소는 formula_100이다.
신호수가 합성수 N이며, 다음과 같은 m개의 인수로 분해(decomposition)될 때
이고, N X N 행렬 T 는 다음과 같이 행렬곱으로 표현된다.
여기서, P는 치환행렬(permutation matrix), Fi는 n의 계수 ni에 해당하는 변환 단계(transform step) 행렬이다.
행렬 Fi는 각 행과 열에 ni개의 0이 아닌 요소만 있고 차원 ni의 n/ni 개의 square 부분행렬(submatrix)들로 분할될 수 있다. FFT 알고리즘의 기초가 되는 것이 바로 이 분할과 그에 따른 곱셈의 감소이다. 행렬 Fi는 다음과 같이 더 분해될 수 있다.
여기서 Ri는 회전자의 대각행렬이고 Ti는 ni 개의 동일한 square 부분행렬로 분할될 수 있으며 각 행렬은 차원 ni의 복소 푸리에 변환이다.
신호의 길이가 합성수 "N=N1N2" 이라고 하자. 두 수의 곱으로 표현되므로 m=2 인 경우에 해당한다. 이 신호의 DFT는 식(2)로부터
신호 "x" 를 "N1 x N2" 이차원 배열로 재배치하는 것을 생각해 볼 수 있다.
"N1 =3, N2 =8" 인 신호를 고려하자.
으로 간주한다. formula_106 를 각각 위 (17)식 h의 행 번호, 열 번호, formula_107 를 각각 아래 (18)식 H의 행 번호, 열 번호이라 할 때,
formula_108 이라 하자. 그러면, 위의 이차원 배열을
와 같이 쓸 수 있다. 배열 "h" 에 대응하는 DFT는
을 생각할 수 있다. 위의 DFT를 이차원 배열로 나타내면
두 이차원 배열을 구성한 순서가 (17)식은 행우선순서(row-major order), 출력에 해당하는 (18)식은 열우선순서()로 다름을 알 수 있고 이를 전치(transpose)되었다고 한다.
이러한 모든 전치의 최종 결과는 입력(DIF) 또는 출력(DIT) 인덱스의 비트 반전에 해당한다. 그 이유는 잠시 뒤 명확해 질 것이다.
그 전에 위에 언급한 formula_106의 범위로부터 (16)식과 같이 formula_113의 범위가 formula_114 이 되는 지 확인해 보자.
&lt;증명&gt;
formula_115 이라할 때
formula_113의 최소값은 formula_117 일 때 formula_118이며,
formula_113의 최대값은 formula_120 일 때 이므로
formula_121이다.
따라서 formula_114이다. &lt;증명 끝&gt;
이제 원래의 DFT (16)식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
윗 식 세 개의 회전자 곱에서 처음 두 회전자들 때문에 이차원 DFT를 연상하게 한다. 마지막 회전자는 이들 전체 이차원 DFT에 대한 일종의 회전자이다. 이 사실은 조금 전에 두 이차원 배열을 구성한 순서를 다르게 한 즉, 전치(transpose)를 만든 이유이다.
윗 식을 다시 쓰면
괄호 안은 배열의 신호수 formula_127 개의 각 열(column)에 대한 DFT이며, 이를 formula_128 라 하자. 그러면,
이는 먼저 회전자를 곱한 후에 계산한 신호수 formula_130 개의 행들에 대한 DFT 식이다. 이것과 이차원 DFT와의 유일한 차이점은 회전자에 의한 추가적인 곱셈이 있다는 것이다.
만약 합성수였던 원래 신호의 길이 "N=N1N2"에서 "N1" 이나 "N2"가 다시 합성수라면, 분해(decomposition)의 기본 아이디어를 재귀적으로 적용한다. 이는 앞에서와 같이 formula_131으로의 일반화를 요구한다.
예) formula_132 → formula_133 으로 변경된다면
지금까지의 과정을 단계별로 정리하면 다음과 같다.
"1. N2 크기의 N1 DFT를 수행한다."
"2. 회전자를 곱한다."
"3. N1 크기의 N2 DFT를 수행한다."
일반적으로 "N1" 또는 "N2"는 기수이다. "N1"이 기수이면 DIT(Decimation in Time) 알고리즘이라고 하고, "N2"가 기수이면 DIF(Sande-Tukey 알고리즘이라고도 함)라고 한다.
과정의 역변환을 만드는 것은 그리 어렵지않다. 각 행의 IDFT(역이산 푸리에 변환)을 구한 다음, 결과 배열에 회전자의 공액(conjugate)을 곱한다. 마지막으로 각 열의 IDFT를 구한다.
예) 위 (16)식에서 본 길이 N=24인 신호의 이산 푸리에 변환을 생각해 보자.
&lt;math&gt;f_p = \sum_{k=0}^{23} f(k)e^
카이베르파크툰크와주(, , )는 파키스탄의 네 개의 주 중 가장 작은 주로, 아프가니스탄의 파슈툰족 등 다양한 민족의 기원이 된 지역이다. 2010년 4월 이전까지는 북서변경주(北西邊境州, , )라고 불렀다.
역사적으로도 아프가니스탄에 속했던 영역이지만 영국의 인도 대륙 점령과정에서 파키스탄 지역에 편입되어 오늘에 이르고 있다. 주요 언어는 파슈토어이며 주도는 페샤와르이다.
샬리마르 정원()은 무굴 제국의 황제 샤 자한이 파키스탄 라호르에 지은 정원이다. 1641년에 짓기 시작하여 다음해에 완성하였다.
1981년 샬리마르 정원은 인근의 라호르성과 함께 유네스코에서 지정한 세계문화유산에 등록되어 관리되고 있다.
3층의 테라스.
살리마르 정원은 북쪽에서 남쪽으로 한번에 4-5 m씩 낮아지는 계단 구조의 테라스로 이루어져 있다. 각각의 테라스는 우르두어로 다음과 같은 이름을 가지고 있다.
410개의 분수.
살리마르 정원은 410개의 분수를 가지고 있는데, 이들 분수에서 뿜어내는 물 때문에 정원 주변은 바깥보다 훨씬 시원하다. 이들 분수들이 어떠한 원리로 작동하는지는 오늘날 과학자들도 제대로 알지 못할 정도로 무굴 제국 과학자들의 기술은 뛰어나다.
피렌체(, , )는 이탈리아 중부 토스카나주의 주도이다. 피렌체현의 현청 소재지이며, 인구는 38만명이고 근교의 인구까지 합치면 총 약 150만명이다. 토스카나 주에서 가장 인구가 많은 도시이기도 하다. 피렌체는 아르노 강변에 위치해 있으며 역사상 중세, 르네상스 시대에는 건축과 예술로 유명한 곳이었다. 중세 유럽의 무역과 금융의 중심지였으며 종종 이탈리아 르네상스의 본고장으로 불리기도 한다. 오랜 세월 동안 메디치 가문이 다스렸고, 1865년에서 1870년까지는 이탈리아 왕국의 수도였다. 매년 수백만이 넘는 관광객들을 끌어모으고 있으며, 1982년에는 유네스코 세계 유산으로 선정되었다.
피렌체는 로마의 도시로 기원을 하였으며, 번영한 무역업과 중세시대 코무네 금융업의 중심지로서 오랜 세월을 보낸 후, 이탈리아 르네상스의 탄생지가 되었다. 브리태니커 백과사전에 따르면, 피렌체는 14세기에서 16세기 사이 유럽과 전세계의 도시들 중에서 정치적, 경제적, 문화적으로 가장 핵심 도시 중 하나라고 말한다.
14세기 이 곳에서 통하던 언어는 이탈리아어이다. 이탈리아 문학 황금기의 대부분의 모든 작가들과 시인들은 다른 지역의 방언들을 제치고 피렌체 방언을 문학 언어로서 채택을 결정적으로 이끌어냄으로써 현재 이탈리아어의 체계는 피렌체와 관련이 있다.
중세 시대를 시작으로, 피렌체의 자본(황금으로 된 플로린)은 영국에서 브뤼허, 리옹, 헝가리에 이르는 유럽 전역의 경제 발전에 자금을 댔다. 피렌체 은행가들은 백년 전쟁 동안에 잉글랜드 왕에게 자본을 대기도 하였고, 마찬가지로 아비뇽 수도 건설과 로마로 귀환 후, 로마의 재건과 사업등 교황청에게도 마찬가지였다.
피렌체는 이탈리아 귀족 역사상 가장 중요한 귀족 가문인 메디치 가문의 고향이기도 하다. 로렌초 데 메디치는 15세기 후반 이탈리아의 정치적 문화적 마스터 마인드로 뽑힌다. 메디치 가문은 두 명의 교황을 배출해내기도 했는데, 이들은 16세기 초의 교황 레오 10세와 교황 클레멘스 7세이다. 카테리나 데 메디치는 프랑스 국왕 앙리 2세와 혼인하였으며, 1559년에 그가 사망한 후, 프랑스의 섭정으로서 군림했다. 메디치 가문은 1569년 코시모 1세 데 메디치를 시작으로 토스카나 대공으로 군림했으며, 1737년 잔 가스토네 데 메디치의 사망으로 막을 내렸다.
로마 기원기.
에트루리아인들은 기원전 200년 피에솔레(라틴어로는 파이술라이[Faesulae] )의 정착지로서 소규모의 정착지를 세웠으나, 로마의 평민파들이 지원을 한 보복으로 루키우스 코르넬리우스 술라가 기원전 80년에 파괴시켰다. 오늘날의 피렌체는 기원전 59년에 율리우스 카이사르가 그의 베테랑 병사들을 위한 정착지로서 건설하였고 본래는 "플루엔티아"(Fluentia)라는 이름이 붙었으나, 이곳이 두 강 사이에 지어져 나중에 플로렌티아(Florentia, 흐름)라 바뀌게 되었다. 이곳은 현재의 레푸블리카 광장이 교차되는 카르도, 데쿠마누스로 된 주요 거리에 있는 군영 형식으로 지어졌다. 로마와 북방 사이에 있는 주요 길인 카시아 가도에 위치해있었고, 아르노의 비옥한 계곡에 있어, 이 정착지는 빠르게 중요한 상업 중심지가 되어갔다.
몇 세기가 지나, 플루렌티아는 동고트인들의 지배라는 격동의 시기를 겪었고, 이 기간에 동고트인들과 비잔티움 사이에 전쟁 문제를 자주 맞이했으며, 이는 대략 1,000명의 인구 감소를 야기했다. 평화는 6세기 랑고바르드족 통치 시에 비로소 돌아왔다. 피렌체는 774년 샤를마뉴에게 정복되었고 루카를 수도로 하는 토스카나 공국의 일부가 되었다. 인구는 다시 성장하고 상업이 번영하기 시작했다.
1000년대 이후.
우고(Ugo) 변경백은 서기 1000년에 피렌체를 루카를 대신한 그의 거주지로 택하였다. 피렌체 미술의 황금기가 이 무렵에 시작되었다. 1013년에 산 미니아토 교회(Basilica di San Miniato al Monte) 건설이 시작되었다. 산 조반니 세례당의 외부는 1059년과 1128년 사이 로마네스크 양식으로 재건축되었다. 이 기간은 또한 피렌체의 옛 강력한 경쟁 상대인 피사가 쇠퇴한 시기(제노바에게 패배하고 1406년에 피렌체의 지배하에 놓임)이기도 하며, 자노 델라 벨라(Giano della Bella)가 이끈 반귀족주의 운동에 따른 전문 상업계가 선도한 힘의 성장이 이뤄져, 그 결과로 오르디나멘티 디 주스티치아가 세워졌다.
메디치 가문의 부흥.
1348년 흑사병 이전 인구는 94,000명으로 추측되며, 그 중 25,000명이 피렌체의 양털 산업에 종사했다고 전해진다. 1345년에 피렌체는 양털 노동자들(이탈리아어로 치옴피[ciomi])에 의한 문제를 직면하게 되는데, 1378년에는 치옴피의 난에서 과두 정치를 상대로 잠깐의 폭동이 발생하기도 했다. 그들을 진압시킨 후, 피렌체는 메디치 가문의 격렬한 경쟁 상대인 알비치 가문의 영향하(1382–1434)에 놓였다.
15세기에 피렌체는 부와 경제적 성공을 거뒀다고 여겨진 유럽의 도시 중 가장 거대하였다. 거주민들의 삶이 모두가 목가적인 것이 아니듯이, 그들 사이에 큰 부의 차이가 있었다. 코시모 데 메디치는 이전의 피렌체에서 도시의 중요한 통제권을 가져온 메디치 가문의 첫 번째 인물이다. 도시가 형식상으로는 민주주의 체제를 지녔지만, 그의 권력은 젠타 누오바(gente nuova, 새로운 사람들)라는 새로운 이주민들과의 동맹이 구축해논 거대한 후원망에서 나왔다. 메디치 가문원은 교황에게 그들의 통치력에 기여를 한 은행가이기도 했다. 코시모는 그의 아들 피에로에게 자리를 물려주었으나, 곧 코시모의 손자인 로렌초에게 1469년에 넘어갔다. 로렌초는 미켈란젤로, 레오나르도 다 빈치, 보티첼리등에게 작품을 의뢰하는 위대한 예술 후원가였다. 로렌초는 음악가로서도 재주가 많았고 알렉산더르 아흐리콜라, 요한네스 기셀린, 하인리히 이자크 같은 작곡가와 가수들을 피렌체로 불러들였다. 동시대(그 이후) 피렌체인들은, 그를 "로렌초 일 마니피코"(Lorenzo il Magnifico, 위대한 로렌초)로 기억하고 있다.
1492년에 로렌로 데 메디치가 사망한 후, 그의 자리는 아들인 피에로 2세가 이어받았다. 프랑스 국왕 샤를 8세가 이탈리아 북부를 침략했을 때, 피에로 2세는 그의 군대와 함께 저항하기로 택했다. 피사의 성문 앞에 있는 프랑스군의 규모를 깨닫자, 프랑스 국왕의 굴욕적인 요구를 받아들일 수 밖에 없었다. 이는 피렌체 폭동을 일어나게 하였고 그들은 피에로 2세를 1494년에 몰아내버렸으며, 메디치 가문의 첫 통치는 공화정 정부의 복원과 함께 막을 내렸다.
이시기에 도미니코회 수사 지롤라모 사보나롤라가 1490년 산 마르코 수도원의 가 되었다. 그는 그가 본 부도덕성이 널리 퍼지고 물질적 부유에 대한 집착을 꾸짖는 회개 설교로 유명해졌다. 그는 메디치 가문의 추방을 그들의 타락에 대한 신의 징벌이라 비난하였다. 그는 정치적 개혁을 통해 더욱 민주적인 통치를 이끌 기회를 잡았다. 하지만 사보나롤라가 공개적으로 교황 알렉산데르 6세의 부패를 고발하자, 그는 연설이 금지되었다. 그가 이 금지 사항을 어기자, 그는 파문되었다. 그의 극도의 가르침에 지친 피렌체인들은 그에게 등을 돌려 체포하였다. 그는 이단으로 유죄를 판결받아, 1498년 5월 23일 화형당하였다.