shopkeeper/korean_wiki_content_only_120125 huggingface dataset:
한편, 소마 씨는 다테 씨가 세키가하라에서 이와데야마 (다테 씨는 1601년에 본거지를 센다이로 이전)에 돌아갈 때 자동 령의 통행을 허용하기 때문에, 다테 씨가 토쿠가와 막부를 설득하여 소마 씨는 기존의 영토인 하마도리 북부로 복귀했다. 이렇게, 하마도리 북부는 덴쇼 시대부터 계속해서, 소마 씨가 다스리는 나카무라 번()의 영토가 되었다. 나카무라 번은 도자기를 특산품으로 장려하고, 성시 나카무라에서는 소마 말 도기가 고야 (나미에)에서는 오호리 도기가 특산물이 되었다.
1868년 보신 전쟁에서는 이와키타이라 번과 나카무라 번은 오우에쓰 열번 동맹에 가담 했지만 메이지 정부군에 패했다. 이와키타이라 성은 나카무라 소마 씨과 센다이 다테 씨에 지켜봐 져서면서 불타, 쿠마가와()는 나카무라 번과 메이지 정부군이 적대하는 전쟁터가 되어, 나카무라 성은 메이지 정부군에 점령되고 해체되었다. 또한 보신 전쟁에 패배하면서 의 성시 이와키타이라는 약어의 하나인 "타이라"(平)로 개명되었다.
그러나 1876년 8월 21일에는 이와사키 현은 폐지되고 후쿠시마현 1876년 이전 (나카도리)와 와카마쓰 현 (아이즈 지역)와 합병되고 그 이후 현재까지 후쿠시마현에 합병되어 있다. 타이라와 나카무라가 같은 해안 지역이며 교류의 깊은 미토 (이바라키현)와 센다이 (미야기현)과 동일 현이 아닌, 메이지 정부의 원수이며 두 산맥을 넘어야 하는 아이즈와 동일 현에 끼워 넣어, 아부쿠마 산지 너머에 있는 후쿠시마시(나카도리)에 현청이 설치되었다. 이 경위에서 "후쿠시마"현 성립은 보신 전쟁의 연장 선상이며, 메이지 정부가 타이라와 나카무라를 희롱하기 위해 만들어진 현을 "후쿠시마" 현으로 간주할 수 있다. 이 보신 전쟁의 연장선은 2011년에 "후쿠시마" 핵 사고까지 꼬리를 끌게 된다.
에너지 원 지대.
이와사키 현이 소멸하면 하마도리는 "도쿄에 대한 에너지 원"으로 개발되었다. 메이지 시대에는 메이지 정부의 식산흥업 정책에 따라 조반 탄전 (보신 전쟁 당시 미토번과 이와키타이라 번)과 산림 철도 (보신 전쟁 당시 나카무라 번)이 개발되고, 석탄과 재목을 도쿄로 운송 도쿄에 운반 루트로 조반선이 건설되었다. 조반 탄전은 20세기 전반을 상징하는 역사 유산의 하나이지만, 그 범위는 스케가와에서 요노모리까지, 즉 7세기 중엽의 타가 국에 해당하는 지역에 걸쳐 퍼져 있었다. 또한 1921년에는 하라노마치에 아시아 최대의 라디오 타워 (무선 탑)이 건설되고 1923년 9월 1일 관동 대지진을 전 세계에 알려 주목 받았다.
냉전 시대의 한창에 해당되는 고도 경제 성장기가되면 하마도리의 석탄 산업은 쇠퇴하고, 하마도리는 석탄 산업 지역에서 발전소 지역으로 전환되었다. 오쿠마 (보신 전쟁 당시의 "쿠마가와")에 건설되고 2011년 폭발 사고를 일으킨 후쿠시마 제1 원자력 발전소는, 고도 경제 성장기의 1967년 착공한 발전소이다. 고도 경제 성장기로 '발전소 지역'으로 전환되는 과정에서 만들어진 지역 진흥책이 '훌라 걸스' 다.
그리고 냉전 후의 하마도리에서는 소도시와 촌락에서 발전소에 의한 보조금과 온난한 기후를 이용한 지역 진흥책이 실시되었다. 이시기의 지역 진흥책은 히로노의 'J 빌리지' 와 나미에의 'DASH 마을' 이 대표적이다.
2011년 3월 11일 미야기 현 오나가와 근해, 이바라키 현 카시마 근해에서 일어난 도호쿠 대지진에 의해 하마도리 일대는 치명적인 피해를 받았다. 특히 거대 지진에 의해 유발된 후쿠시마 제1 원자력 발전소의 폭발 사고 (2011년 3월 12일)는 전 세계에 충격을 주었다. 후쿠시마 핵 사고로 인해 후쿠시마 제1 원자력 발전소에서 반경 20km 내는 일본 정부에 의해 현재도 출입이 금지되어 있다.
후쿠시마현청이 나카도리의 후쿠시마시에 위치하고 있기 때문에, 현 정부는 나카도리를 우대하고 현청에서 멀리 떨어진 하마도리는 교통 및 인프라 측면에서 냉대해 왔다. 따라서 조반 자동차도 (도쿄 ~ 미토 ~ 타이라 ~ 나카무라 ~ 센다이)의 전 노선 개통보다 반에쓰 자동차도 (타이라 ~ 코리야마 ~ 아이즈와카마쓰 ~ 니이가타)의 전 노선 개통 (1997년 10월 1일) 쪽이 우선시되었다. 이러한 나카도리 우대 행정은 하마도리의 빈곤과, 2011년 3월 11일 후쿠시마 원자력 사고의 "먼 원인" 이 되었다.
원자력 사고 이전 단계 (2004년 4월 14일 ~ 2011년 3월 11일)에서 조반선과 조반 자동차도는 타이라 이남 밖에 복선화되어 있지 않고, 조반 자동차도는 토미오카 이남 밖에 개통되지 않았다. 조반 자동차도의 전 노선 개통은 2015년 3월 1일이며, 반에쓰 자동차도의 전 노선 개통보다 17년 반이나 뒤져 있다. 또한 원자력 사고 이후로는 히로노와 하라노마치 사이가 출입 금지 구역으로 지정되어, 히로노와 하라노마치의 사이로는 조반 자동차도를 통과할 수밖에 없다.
모든 발전소가 20세기 후반의 고도 경제 성장기 이후에 건설된 시설이다. 2011년에 폭발한 후쿠시마 제1 원자력 발전소는 타이라 (이와키 씨의 본거지)와 나카무라 (소마 씨의 본거지)에서 등거리에 위치하고 있다.
동시베리아주()는 러시아 소비에트 사회주의 연방공화국에 위치한 주였으며, 1936년 12월 5일부터 1937년 9월 26일까지 존재했다. 이 주는 동시베리아 변경주에서 갈라졌다. 1937년 9월 26일에 주는 이르쿠츠크주와 치타주로 나뉘었다.
신봉조(辛鳳祚, 辛島 純 , 1900년 ~ 1992년 12월 27일)는 일제강점기부터 활동한 대한민국의 교육인이다. 호는 화암(和巖)이다.
본관은 영월이며 강원도 정선군에서 출생했다. 배재고등보통학교와 연희전문학교 문과를 졸업하고 일본에 유학하여 도호쿠 제국대학 법문학부를 졸업했다.
연희전문 졸업 후 모교인 배재고보 교사로 잠시 근무했을 때부터 여성 교육에 관심을 보여, 이후 평생을 여성 중등교육에 바쳤다. 도호쿠제대를 졸업하고 다시 배재고보 교사로 재직하던 중, 1938년에 이화고등여학교 교장이 되었다.
태평양 전쟁 기간에는 국민정신총동원조선연맹 참사를 맡고 임전대책협의회와 조선임전보국단에도 참여하는 등 일본 제국의 전쟁 수행에 협력한 행적이 있다. 특히 황도사상 보급과 선전을 목표로 한 단체인 황도학회의 회장을 맡았으며, 친일 좌담회에 참석해 발언하거나 글을 발표하기도 했다.
태평양 전쟁 종전 후에도 그대로 이화여자고등학교 교장으로 재임하였고, 이화학당 재학생이었다가 3·1 운동에 참여한 혐의로 체포되어 옥사한 유관순의 행적을 밝혀내는 등 유관순 기념 사업에 앞장섰다. 1949년에 반민족행위처벌법에 따라 반민특위에 체포 된 일이 있으나 처벌받지 않았다.1953년에는 예술 교육에 뜻을 두고 한국 전쟁으로 피난 중이던 부산에서 임원식과 함께 이화예술고등학교를 설립하여 두 학교의 교장을 겸임했다.
1961년에 퇴임한 후에도 학교법인 이화학원 이사장과 명예이사장, 서울예술학원 명예이사장, 상명학원 이사장을 맡았으며, 학교법인 한양학원, 영훈학원, 연세대학교, 재헌학원, 새빛학원, 인덕학원, 배재학원에 관계하며 사학 육성에 힘썼다. 이러한 공로를 인정받아 서울특별시문화상, 국민훈장 모란장과 5·16민족상 교육부문 본상을 받는 등 많은 상을 수상했다.
정동제일교회의 장로로 독실한 기독교 신자였던 신봉조는 신학자 박대선이 "한 평생을 오직 이화만을 위해 사셨다"고 회고 할 만큼 여성 교육에 헌신하여 여러 제자들로부터 존경을 받았다. 대한민국 여성 주필 제1호인 장명수가 자신의 일생에 가장 큰 영향을 끼친 인물로 은사인 신봉조를 꼽기도 했다.
2008년 민족문제연구소에서 친일인명사전에 수록하기 위해 정리한 친일인명사전 수록예정자 명단 중 교육/학술 부문에 들어 있다. 2009년 친일반민족행위진상규명위원회가 발표한 친일반민족행위 705인 명단에 포함되었다.
김상중(1965년 9월 1일~)은 대한민국의 배우 겸 방송인이며 본관은 광산이다.
대표적인 유행어는, "그런데 말입니다"
I Believe는 다음을 가리키는 말이다.
투우(鬪牛)란 소를 상대하여 싸우는 스페인, 포르투갈, 프랑스의 남부 일부 도시, 라틴 아메리카의 전통적인 투기, 오락이다. 여러 가설들이 있으나, 정확한 기원은 알려져 있지 않다. 경기를 하면 둘 중의 하나는 일어난다. 경기를 하는 사람이 죽거나, 동물인 소가 죽는다. 보통은 동물인 소가 죽는다. 하지만 어떨 때는 사고로 사람이 죽기도 한다. 경기를 보는 사람들은 이것을 보며 스트레스를 풀기도 하였다.
프랑스 남부 지역과 스페인 북동부 지역인 카탈루냐는 동물 학대를 이유로 투우를 금지시켰다. 하지만 그것을 금지시키는 것 자체가 헌법을 어긴걸로 드러나서 지금은 투우 경기를 하고 있다.스페인과 포르투갈에서도 동물 학대를 이유로 투우를 반대하는 사람들도 많이 생겨났지만, 오랜 전통 문화를 지키고자 하는 사람들의 의지와 싸워야 한다.
이영하(李瑩河, 1950년 1월 17일 ~ )는 대한민국의 배우이다.
1950년 충남 대전시에서 출생하였으며, 지난날 한때 대전에서 잠시 유아기를 보낸 적이 있는 그는 1969년 극단 광장 단원으로서 연극 배우 활동을 하였다. 이후 1977년 영화 《문》으로 본격적으로 연예계에 데뷔하여 영화 배우가 되었으며, 같은 해 1977년 KBS 특채 탤런트로 발탁이 되어 텔레비전 배우가 되었다. 영화 《빙점 81》, 《우리는 지금 제네바로 간다》, 《우담바라》 등에서 주연을 맡았다. KBS 2TV 드라마 《며느리 전성시대》에 출연했다.
성추행 관련 의혹.
남부순환로(南部循環路)는 서울특별시 강서구 공항동 김포공항입구 교차로에서 강남구 수서동 수서 나들목을 잇는 서울특별시의 주요 간선도로이다. 이 간선도로는 도로안내 노선번호로 92번이 부여되어 있고, 기점인 김포국제공항 입구사거리에서 개화동로과 연결되며 종점인 수서 나들목에서 양재대로와 연결된다. 이 도로의 총 길이는 36.3km이며, 왕복 6~10차선으로 구성되어 있다.
남부순환로의 금천구 독산동 ~ 강서구 신월동 구간은 1977년 8월 16일부터 1993년 7월 3일까지 통행료를 징수했다. 본래 통행료는 1997년 12월 31일까지 징수할 계획이었다. 다음은 통행료 부과 당시 요금표이다.
거대충돌 가설 또는 빅 스플래시는 달의 생성을 설명해 주는 과학적 가설들 중 현재 가장 널리 받아들여지고 있는 것으로, 젊은 지구와 화성 정도 질량의 '테이아' 또는 '오르페우스', '헤파에스투스'라고 불리는 물체가 충돌하여 달이 생겨났다는 것이다. 테이아는 그리스 신화에 등장하는, 달의 여신 셀레네를 낳은 거신족 티탄의 이름이다. 이 가설은 1974년 위성에 관한 학술 회의에서 최초로 제기되었으며 이후 1975년 윌리엄 케니스 하트먼과 도널드 R. 데이비스가 이카루스에 이를 게재하였다.
한 가지 가설로, 테이아는 지구와 같은 궤도를 공유하면서, 지구에서 60도 전후 위치의 라그랑주 점에서 생겨났다는 것이 있다. 원시 행성 테이아가 화성 정도 질량까지 자라나면서 더 이상 라그랑주 점에 안정적으로 존재할 수 없게 되었다. 그 결과 지구와 테이아의 각거리는 요동치면서 변하기 시작하였고, 테이아는 지구에 점차 접근하다가 끝내 충돌하게 되었다. 이 충돌 사건은 약 45억 3천 3백만 년 전에 일어난 것으로 보인다. 테이아는 지구에 비스듬한 각도로 부딪혔고, 테이아 본체는 산산조각났으며, 테이아의 맨틀 대부분 및 지구 맨틀 상당량은 우주 공간으로 분출되었다. 테이아의 중심핵은 지구 중심핵으로 가라앉았다. 컴퓨터 시뮬레이션에 의하면 우주 공간으로 분출되어 지구 주위에 고리를 형성한 물질들은 테이아 질량의 2퍼센트 수준이었으며, 이 중 절반 정도가 100년의 기간에 걸쳐 뭉쳐 현재의 달을 형성했다고 한다. 충돌 이전 지구의 자전 및 황도경사각이 어느 정도였는지를 고려하지 않을 경우, 충돌의 여파로 지구의 자전 주기는 5시간으로 빨라졌으며 지구의 적도는 달의 궤도와 거의 일치할 정도로 기울기가 바뀌었다.
천문학자들은 아폴로 달착륙 임무 중 수집한, 지구의 그것과 거의 비슷한 산소 동위 원소를 보여주는 월석을 거대충돌의 간접적 증거로 보고 있다. 달 지각의 조성물 중 회장암 및 크리프와 같은 광물이 풍부하다는 사실을 통해 달의 상당량이 한때 녹았으며, 충돌로 인한 거대한 에너지는 마그마 바다를 만들기에 충분했을 것이다. 여러 증거를 통해 달에 철의 핵이 존재한다면 그 크기는 작을 것임을 추측할 수 있다. 특히 평균 밀도, 관성 모멘트, 자전의 특성, 자기장 발생 반응을 통해 달의 중심핵 크기가 전체 지름의 25퍼센트에 불과함을 알 수 있다.(다른 지구형 암석 천체들의 경우 핵의 크기는 전체 지름의 50퍼센트에 이른다) 이론상의 충돌 조건에 의하면 지구 맨틀 및 테이아의 물질로부터 달이 생겨났고 테이아의 핵이 지구 중심핵으로 가라앉았음을 설명할 수 있으며, 지구-달 행성계의 각운동량 제약조건도 만족하게 된다.
플레이아데스 성단에 있는 젊은 별 HD 23514 주변 0.25 ~ 2 천문단위에 걸쳐 있는 따뜻한 먼지 원반은 원시 지구에 테이아가 부딪혔을 때의 결과를 예상한 값과 비슷하게 보인다. 이 먼지 원반은 행성급 천체들이 서로 부딪혀서 생겨난 결과물로 추정된다. 이는 다른 별 BD +20도307(HIP 8920, SAO 75016) 주위에서 발견된 따뜻한 원반과도 비슷하다.
풀리지 않은 쟁점들.
그럼에도 불구하고, 거대충돌 가설에는 아직까지 풀리지 않은 쟁점들이 존재한다. 아래 목록은 구체적인 논쟁거리들이다.
본문 내용 출처
과학적 참고 문헌
권인하(權仁夏, 1959년 8월 13일 ~ )는 대한민국의 가수이다.
권인하는 1959년 충청북도 청주에서 출생하였고 서울 배재고등학교 1979년 졸업과 경희대학교 환경보호학과를 졸업하였다.
경희대학교 1학년 재학시절이던 1979년에 중앙동아리 탈무드라는 언더그라운드 라이브 클럽에서 가수 첫 데뷔하여 밴드 활동을 하였으며, 1984년 12월 가수 이광조의 ‘사랑을 잃어버린 나’라는 곡을 작사 및 작곡하여 작곡가로 첫 데뷔하였다.
1986년 록 밴드 "우리"의 보컬리스트로 활동하면서 가수 활동을 시작하였고 1987년 솔로 가수로 데뷔하였다.
1989년 영화 《비 오는 날의 수채화》의 OST 음반에 참여하였고 1992년에는 이광조의 히트곡이자 자신의 작품인 `사랑을 잃어버린 나`라는 곡을 자신의 컴필레이션 앨범에 다시 불러 리메이크 수록하였다.
1989년 아내와 결혼하였다. 1992년 9월 처음 만난 후배인 이상우과 함께 만났다. 2000년 수요예술무대, 콘서트 초대, 가요 빅뱅, 사랑의 리퀘스트, 성인가요 베스트 30, 2001년 열린음악회, 이소라의 프로포즈, 김도향의 굿나잇 쇼에 출연하여 자신의 음악성을 TV를 통해 알렸다.
그리고 그 외에도 배우로서는 1992년 MBC TV 드라마 《창밖에는 태양이 빛났다》에 이미연과 주연으로 출연한 바 있다.
현재 소속은 신촌 인터내셔널 사장이며 소속사는 WE Music이다. 2011년에는 이치현, 강인원, 민해경과 함께 프로젝트 보컬 음악 그룹 컬러스(the Colors)를 결성하기도 하였다.
세이부 돔(, )은 일본 사이타마현 도코로자와시에 있는 돔 경기장이다. 1978년에 착공하여 1979년 4월에 세이부 라이온스 구장()이라는 이름으로 개장되었는데 통칭으로 세이부 구장()이라는 표기도 많이 사용되었다. 1998년 기존 야외 구장에 100억 엔을 들여 지붕을 씌우는 공사를 시작, 1999년 3월에 현재의 모습을 갖췄다.
현재 프로 야구 퍼시픽 리그 팀인 사이타마 세이부 라이온즈가 홈 구장으로 사용하고 있다.
2015년 3월 1일부터 프린스 호텔이 명명권을 획득함에 따라 세이부 프린스 돔()으로 명칭이 바뀌었다가 2017년 1월 16일 메트라이프 생명보험이 같은 해 3월부터 2022년 2월까지 5년간 명명권을 취득하기로 합의했다고 발표하면서 메트라이프 돔()으로 명칭이 바뀌었다. 2022년부터 일본의 패션기업의 명명권 계약을 통해 ‘베루나 돔’()으로 변경된다.
“트라이노마(Trinoma)“는 필리핀 마닐라에 위치한 대형 쇼핑몰의 이름입니다. “TriNoma”는 “Triangle North of Manila”의 줄임말로, 퀘손시티에 있는 주요 상업지구 중 하나에 위치해 있습니다.
2007년에 문을 열었으며 아얄라 사(Ayala Corporation)가 소유하고 있다. 트라이노마 위치는 에피파니오 드 로스 산토스 애비뉴(Epifanio de los Santos Avenue)가에 있으며, 노스 애비뉴(North Avenue) MRT 역 근처에 있다. 경쟁 업체로는 트라이노마 정면에 위치한 메트로 마닐라 지역에서 가장 큰 쇼핑몰 중의 하나인 에스엠 시티 노스 EDSA(SM City North EDSA)가 있다.
2008년 4월 17일, 트라이노마의 모기업인 아얄라 랜드 사의 대변인 알폰소 레이즈(Alfonso Reyes)는 건설 현장의 임시 발판 붕괴로 건물 페인트공 후안 드 마리아노(Juan de Mariano)와 롬멜 파뉴엘라스(Rommel Pañuelas)가 사망하고 라파엘 탈라(Rafael Tala), 레오닐 오르티즈(Leonil Ortiz), 로멜 리카메라(Romel Ricamera)가 큰 부상을 당했다고 발표했다.
소유처는 종교 법인 메이지 신궁이고, 통칭 "진구 구장"으로 부른다.
도쿄 6대학 야구 연맹의 리그전이 개최되는 구장으로서 1926년에 개장했다. 대학 야구의 주요 구장으로서 오랜 기간 동안 사용되었고, 6대학 야구와 도토대학 야구 1부리그 및 승강 결정전 중심으로 지금까지 사용되고 있다.
그 밖에도 고교야구의 동 도쿄대회, 서 도쿄대회와 전일본 대학선수권 대회, 메이지신궁 야구대회, 사회인야구 등 많은 아마추어 대회가 개최되고 있다. 일본 내에서는 한신 고시엔 구장과 함께 "야구의 성지"로 불리는 구장이다.
아마추어 전용구장이어서 초기에는 프로야구 개최 목적의 사용이 금지되었지만, 규제가 완화되어 1964년부터 도쿄 야쿠르트 스왈로스가 홈 구장으로 사용하고 있다. 대학야구 경기에 우선 사용권이 있어서, 일본 프로 야구 경기는 대부분 야간 경기로 열린다. 스왈로스 외에는 닛폰햄 파이터스가 1962~1963년부터 본거지, 1964~1980년까지 준분거지로 사용했다.
수학에서 순환소수인 0.999…는 소수점 뒤로 9가 무한히 반복되는 소수로, 실수 1의 또 다른 십진법 소수 표현이다. 즉 "0.999…"와 "1"은 같은 수이다. 이러한 증명은 실수론의 전개, 배경이 있는 가정, 역사적 맥락, 대상이 되는 청자(듣는 사람) 등에 맞는 수준에 따른 것으로서 여러 단계의 수학적 엄밀함을 적절하게 고려한 다양한 정식화가 있다.
0.999...는 줄임표 앞의 9의 개수를 다소 늘리거나 줄여서 처럼 쓰기도 한다. 또는 순환마디를 명확하게 하기 위해 formula_1 또는 formula_2와 같이 표기하기도 한다. 일반적으로 임의의 0이 아닌 유한소수(말미에 무한개의 0을 붙여서 무한소수로 봄)는 소수 부분이 있는 자리부터 9가 연속해서 반복되는 소수 표시(예를 들어 , )를 가진다. 보통은 유한소수 표시를 선호하는 것으로서 그것이 하나의 뜻만 가진 표시라는 오해로 이어지기 쉽다. 이와 같은 현상은 임의의 다른 밑에 관한 위치 기수법이나 같은 실수의 표기법에서도 발생한다.
0.999…와 1의 등가성은 실수의 체계(해석학에서 가장 일반적으로 이용되는 체계)에 0이 아닌 무한소가 존재하지 않는 것과 깊이 관련되어 있다. 한편 초실수의 체계와 같이 0이 아닌 무한소를 포함한 다른 수 체계도 있다. 그런 체계의 대부분은 표준 해석에 따른 등식에서 0.999…의 값은 1과 같아지지만 일부 체계에서는 기호 "0.999…"에 다른 해석을 주면서 1보다 무한소만 작도록 만들 수 있다.
등식 0.999… = 1은 수학자들에게 오랫동안 받아들여져 일반적인 수학 교육의 일부였음에도 불구하고 이를 충분히 직관에 반하는 것으로 간주하고 의심하거나 거부 반응을 보이는 일부 학생들이 있다. 이와 같은 회의론은 이러한 등식을 그들에게 납득시키는 것이 얼마나 어려운가가 수학 교육의 여러 연구 주제가 되는 것에 정당성을 부여하는 정도로 당연하게 존재한다.
대수적인 증명.
라는 실수를 명확히 파악하려면 소수점 이하의 자리가 모두 임을 이용해야 한다. 위치 기수법으로 표시된 유한소수의 "자리별 사칙연산"을 무한소수에 대해서도 적용할 수 있다고 간주하면 을 초등적으로 이끌어 낼 수 있다.
분수를 통한 증명.
을 소수로 표시하면 소수점 이하의 자리가 모두 이라는 것을 이용한다. 은 이 되는데 장제법을 취하면 순환소수 이 된다. 여기서 은 무한히 계속된다. 이러한 소수점 이하에 있는 각각의 자리는 배나 되는데 모두 에서 유한소수일 때와 마찬가지로 각각의 자리에 대한 곱셈을 한꺼번에 할 수 있다고 가정한다면 무한소수 의 배인 와 같은 값이 나온다. 또한 이 나오는데 이 된다. 이와는 별도로 = 이라는 등식의 양 쪽에 9를 곱해서 증명하기도 한다.
십진법에 따라 표시된 유한소수에 을 곱하면 숫자는 변하지 않고 소수점이 오른쪽으로 이동한다. 이것이 무한소수에 대해서도 성립된다고 간주하면 가 되는데 이는 원래의 수에 비해 정도 큰 편이다. 자리마다 뺄셈을 취급할 수 있는 것이 무한소수에 대해서도 성립된다고 간주하면 이 된다. 그런데 소수점 이하로 무수히 이어지는 은 수를 변화시키지 않기 때문에 이 차이는 바로 와 같다. 문제의 소수인 를 라고 가정하면 이 되는데 이러한 방정식을 풀면 이라는 값을 얻을 수 있고 증명이 완료된다. 즉 다음과 같은 등식이 나온다.
위에서 언급한 2개의 증명에서 이용한 무수한 자릿수 조작(즉 곱셈이나 뺄셈)을 일제히 실시하는(즉 ... 부분에 행한다) 것은 엄밀성이 결여된 것이기 때문에 그러한 정당성이 명확하지 않다. 이 과정은 유한소수에 관해서 실수의 계산 법칙에만 의존하고 있다. 이러한 조작이 무한소수에도 적용될 수 있음을 증명하기 위해서는 해석적인 증명 문단에서 언급하는 실제 해석 기법을 필요로 한다.
해석적인 증명.
라는 소수점 이하의 자리에 무수한 를 더한다는 정의 자체가 해석적이다. 이것을 과 같다는 것을 엄밀하게 증명하기 위해서는 실해석학에 따른 방법을 필요로 한다. 라는 무한소수를 정확히 파악하기 위해서는 소수 부분의 자리가 무수히 나열되어 있는 것을 명확하게 다시 정의하는 것이 필요하다.
차이에 주목한 증명.
가 과 같다는 것을 증명하기 위해서는 그것들의 차이가 임을 증명하면 된다. 그만큼 무수히 나열된 에 대한 정의는 희미하지만 초등적이고 해석적으로 이끌 수 있다.
이것을 증명하기 위해서는 실제 해석에서의 실수의 완비성(아르키메데스 성질)이 필요하다.
형태가 된다. 소수 부분은 정수 부분과 달리 유한한 자릿수로 제한되지 않는다. 이는 기수 에 따른 위치 기수법이기 때문이다. 예를 들어 의 단위가 의 10배이면 의 단위는 의 배가 된다.
급수의 계산.
소수 전개의 일반적인 정의는 아마도 급수(무한한 수열의 총합)로 정의하는 것이다. 즉
을 적용할 수 있다.
라고 쉽게 문제를 해결할 수 있다. 이 증명은 1770년경에 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 집필한 《대수학 원론》(실제로는 이라고 증명했음)에서 나타난다.
등비급수의 공식 자체는 오일러 이전의 성과이지만 18세기까지는 그 도출이 모두 항별 연산의 증명 없이 이루어졌다. 1811년이 되어서야 보니캐슬(Bonnycastle)의 교과서 《대수학 소개》(An Introduction to Algebra)에서 등비급수에 관한 논의가 시작되었는데 이는 에 관한 항별 조작을 정당화하고 있다.
19세기에는 지금까지의 너무 자유로운 무한한 합의 계산에 대한 반동으로서 "급수는 그 부분합의 극한으로서 정의된다."라는, 현재의 수학에서도 이용되고 있는 정의가 만들어졌다. 현대의 증명에 근거한 미적분학이나 해석학의 입문서에서는 이와 관련된 정리를 증명하고 있으며 이러한 등비급수를 명확하게 계산하고 있다.
수열 에서 번호 을 끝없이 나아가게 하면 거리 가 에 접근할 때 수열 의 극한은 라고 정의한다. 등식 자신은 다음과 같이 극한을 나타내면서 증명한다.
마지막 등호 (formula_11)는 실수의 완비성 가운데 하나인 아르키메데스 성질을 사용하여 증명된다. 이러한 극한을 바탕으로 의 설명은 종종 알기 쉽지만 부정확한 용어로 구성되어 있음을 입증한다. 예를 들어 1846년에 출간된 교과서 《대학교 산술》(The University Arithmetic)에서는 "로 무한히 이어지는 수는 이다. 왜냐하면 를 축적할 때마다 그 값은 1에 가까워지기 때문이다."라고 설명하고 있으며 1895년에 출간된 《학교 산수》(Arithmetic for Schools)에서는 "를 충분히 이용하면 와 간의 거리는 놀랄 만큼 작은 값이다."라고 설명하고 있다. 직관에 의존하지 않고 뚜렷한 이해를 얻기 위해서 오귀스탱 루이 코시나 베르나르트 볼차노의 미적분을 엄밀한 이론으로 재구축하는 흐름이 나타났다. 1860년대에 카를 바이어슈트라스에 의해 엡실론-델타 논법이 고안되어 무한한 개념을 부등식의 임의성에 치환함으로써 항별 조작 가능성 등에 대해서도 설명이 뒤따르게 된다.
구간 축소법과 상한.
실수 는 닫힌 구간 (즉 이상 이하)에 속하며 이 구간 에서 한 자리마다 개 구간 으로 분할(끝점에서만 겹침)한다. 실수 는 적어도 1개에 속하며 그 구간의 하한, 예를 들어 가 구간 에 속할 때에는 ""을 기록한다. 다음에 속한 구간 를 소수 한 자리마다 로 분할하고 가 속한 구간의 하한을 기록하는 조작을 반복하면 에서 정해지는 구간의 감소 줄이 만들어진다. 이 수열은
라고 표현한다.
이러한 기록 방법에 따라 실수 은 처음에 에 속하거나 아니면 에 속하는가에 따라 와 )의 2가지 표시를 얻을 수 있게 된다. 각각의 소수 기록 표시가 나타내는 실수가 동일한 것을 증명하려면 직접적으로는 극한을 사용하여 이루어지지만 순서의 논의를 계속 다른 구성 방법도 있다.
직접적인 방법으로는 구간 축소법이 꼽힌다. 이 원리에 따르면 닫힌 구간의 감소열이 주어지고 그 폭이 으로 수렴할 때, 그러한 구간의 교집합은 단지 하나의 실수로 이루어진 1점 집합인 것이 실수의 완비성으로 증명된다. 따라서 는 의 모두에 속하는 유일한 실수라고 정의한다. 따라서 는 의 모든 것에 속하는 유일한 실수가 된다. 반면 실수 은 이들 모든 구간에 속하기 때문에 이 된다.
구간 축소법은 실수의 완비성 중에서 보다 직관적이라고 생각되는 상한의 존재에 근거하고 있다. 이 사실을 직접 사용하면 을 근사값의 집합 의 상한으로서 정의할 수 있다. 증가열 상한의 존재 정리는 실수의 연속성으로서 구간 축소법과 같은 값임을 나타낼 수 있으므로 다시 을 얻게 된다. 톰 어포스톨은 다음과 같은 결론을 내렸다.
실수의 구성.
공리적 집합론을 이용하여 실수의 집합을 유리수의 집합을 통해 조립된 어떠한 종류의 구조로서 명시적으로 정의하는 방법은 여러 가지가 존재한다. 먼저 자연수란 물건을 셀 때 사용하는 번호를 말하며 부터 시작하여 과 씩 더하면서 얻을 수 있다. 자연수를 확장해서 정수 전체를 얻으려면 각 자연수의 반수를 첨가하면 된다. 또한 그러한 몫을 첨가하면 유리수 전체를 얻을 수 있다. 이들 수 체계에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이라는 사칙연산과 관련되어 있으며 또한 임의의 2가지 수를 비교한 대소 관계(어느 쪽이 큰지, 작은지, 동일한지)라는 순서도 갖추고 있다.
유리수에서 실수로의 확장은(자연수에서 정수나 유리수로의 확장과 비교해서) 큰 비약이다. 이러한 확장 방법은 적어도 2가지 수법이 잘 알려져 있는데 둘 다 1872년에 발표된 유리수의 절단(데데킨트 절단)에 의한 것과 코시 열에 의한 것이다. 이러한 실수 구성법에 따라 을 증명하고 있는 실제 해석 교과서는 볼 수 없다. 현대 수학에서는 해석학적으로 실수를 구성하고 그것이 수의 공리를 충족시키는 지에 주의를 기울인다. 공리에 의한 해석적 기법에 의해 을 증명하게 되기 때문이다. 그러나 실수의 구성을 보다 적절하게 논리적으로 실시함으로써 의 증명은 더 직접적으로 이루어진다(self-contained)라고 주장하는 사람도 있다.
데데킨트 절단의 접근 방법에서 임의의 실수 는 "보다 작은 유리수 전체로 이루어진 무한 집합"으로 정의한다. 이러한 사고 방식에서 실수 은 "보다 작은 모든 유리수의 집합"이 된다.
정수에서의 데데킨트 절단은 소수 전개를 통해 얻을 수 있다. 소수 표시를 적당한 자리까지 잘라서 얻을 수 있는 유리수를 사용하고 그보다 작은 유리수 전체의 합집합을 만들면 되는 것이다. 이러한 방법으로 실수 라는 것이 무엇일까를 생각한다면 (즉 어떤 자연수 에 대하여 을 충족시키는 모든 유리수 이 만드는 집합)로서 정의한다고 하는 것이 된다. 보다 작은 모든 유리수는 보다 작기 때문에 이것은 실수 의 바탕에 포함된다. 한편 실수 의 바탕이 되는 임의의 유리수
()를 생각하면
이 되기 때문에, 는 의 바탕이 된다. 따라서 와 은 모두 똑같은 유리수를 바탕으로 하기 때문에 이들은 집합으로서 같다. 즉 이라는 등식이 성립하는 것이다.
데데킨트 절단에 따른 실수의 정의는 1872년에 리하르트 데데킨트가 처음 발표했다. 위에서 언급한 실수를 각각의 소수 전개로 귀착시키는 방법은 프레드 리치먼(Fred Richman)이 수학 잡지 《매서매틱스 매거진》(Mathematics Magazine)에 게재한 〈Is 0.999…= 1?〉이라는 해설 논문에 의한 설명이다. 이 논문은 해당 대학의 수학 교사와 학생들을 위해 집필했다. 리치먼은 임의적이고 조밀한 유리수의 부분 집합에서의 절단을 생각해도 같은 결과를 가져오는 것을 지적하고 있다. 리치먼은 그 중에서도 분모가 의 거듭제곱인 분수 전체를 이루는 조밀한 부분 집합을 이용해서 의 증명을 보다 직접적으로 전달했다. 또한 이 되는 는 절단을 갖고 있으나 이 되는 는 절단을 갖지 않는 것도 지적하면서 "이는 와 이 달라지는 것을 배제하는 것이다. 실수의 전통적인 정의 안에서 등식 은 처음부터 포함되어 있다."는 결론을 내렸다. 리치먼은 이 절차를 수정함으로써 이라는 다른 구조를 이끌어냈다.
코시 열에 따른 구성.
실수를 구성하는 또 다른 방법은 실수의 절단에 비하면 간접적으로나마 역시 유리수의 순서를 이용하는 것이다. 먼저, 2개의 유리수 와 에 대해, 거리 를 절댓값 로 정의한다(의 절댓값 란 와 의 작지 않은 편으로 정의하는데 음수가 아니다). 즉 실수 전체를 이러한 거리 에 관한 유리수의 코시 열 전체를 다음과 같이 정의하는 동치류로 나눈 것으로서 정의하는 것이다(실수의 완비성도 참고할 것). 여기서 유리수열(즉 자연수에서 유리수로의 함수) 이 코시 열인 경우에는
2개의 코시 열 과 는 동치임을 정의하기 위하여 을 으로 수렴한다. 소수 에 대하여 각 자리 이후를 차례로 버림으로써 얻을 수 있는 수열은 유리수의 코시 열을 정하므로 바로 이 코시열이 이러한 소수의 전개가 나타내고 있는 실수의 참값으로 정해지게 된다.
이 같은 값이 된다. 즉
이 극한은 단순하고 수열의 극한에 대한 정의로 나타난다. 이는 이라는 공식을 나타낸다.
코시 열에 의한 실수의 정의는 모두 1872년에 에두아르트 하이네와 게오르크 칸토어에 의해 최초로 독립적으로 발표되었다. 의 증명을 포함한 소수 전개에 의한 접근 방식은 1970년에 그리피스(Griffiths)와 힐턴(Hilton)이 집필한 교과서 《고전 수학에 관한 종합 교과서: 현대적 해석》(A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation)을 따르고 있다. 이 교과서는 잘 알려진 개념에 대해 현대의 관점에서 재검토하는 것을 중점적으로 다루고 있다.
실수는 표준적인 수 체계이지만 사람들은 ""라는 무수 자리의 표기가 있는 실수를 나타낼 것이라고 자연스럽게 생각한다. 윌리엄 티머시 가워스는 자신의 저서인 《수학: 매우 짧은 소개》(Mathematics: A Very Short Introduction)에서 등식 을 결론 짓는 것 역시 "관습"이라고 설명하고 있다. 즉
표준적인 수 체계인 실수체에 대해 일반적인 경우와 다른 방법으로 수를 구성하고 라는 표기가 의미를 가지는, 실수와는 다른 수 체계를 정의할 수 있다. 본 항 첫머리 부근의 문단에서 언급한 증명 등을 그러한 체계에서의 기술로서 다시 해석해야 한다. 또한 그 체계에서의(위에서 언급한 증명이 올바르다고 하는 근거를 잃거나 잘못이라고 나타내거나 해서) 와 이 동일한 대상을 나타내지 않을 가능성이 발견되기도 한다. 그럼에도 불구하고 많은 수 체계는 (실수의 체계를 대체하는 독립된 대상으로서가 아니라) 실수의 체계가 확장되는 것이며 고로 거기서는 도 계속 성립한다.
그러나 그 체계에서조차 (""라고 표시되는 수가 의미를 가지는 경우에는) 가 어떻게 행동하는가뿐만이 아니라 관련된 현상의 행동에 대해서 생각하기 위해 이를 대체하는 수 체계를 고찰하는 것은 의미 있다고 할 수 있다. 즉 어떤 현상이 실수 체계에서와는 다른 행동을 한다면 그 체계에 포함된 전제 조건은 실수 체계의 그것의 적어도 하나를 망가뜨린 것이 되어야 한다(다음과 같이 제시하는 체계가 실수에서의 어떠한 현상이나 조건을 부정하는가 하는 관점에 서서 설명할 수 있다).
무한소를 포함한 체계.
의 몇 가지 증명은 일반적인 실수가 아르키메데스 전순서군이라는 것, 즉 "이 아닌 무한소는 존재하지 않는다."라는 전제에 의존하고 있다. 특히 차이가 는 임의의 바른 유리수보다도 작을 것이므로 그것은 (이) 무한소여야 하지만 실수 체계에서는 이 아닌 무한소는 없기 때문에 차이는 , 즉 2개의 값은 동일한 것으로 결론이 난다. 그래도 실수의 비아르키메데스적인 대체가 될 수 있는 여러 가지 체계를 포함한 수학적으로 일관된 순서 대수계가 존재한다.
초실수.
비표준 해석학에 의해 무한소(및 그 역수)의 완전한 계열을 포함한 수체계가 제공되는 A. H. 라이트스톤(A. H. Lightstone)은 구간 에 속하는 초실수(hyper­real number)에 대한 소수 전개를 생각했다. 라이트스톤은 확장 실수에 초자연수로 첨자된 숫자열
이 대응하는 것을 지적했다. 여기서 세미콜론의 왼쪽은 유한(표준) 자연수 자리를 나타내고 세미콜론의 오른쪽은 무한대(비표준) 자연수 자리를 나타낸다. 여기서 세미콜론 직전이나 직후 자리와 같은 것은 존재하지 않는다는 점에 주의해야 한다. 라이트스톤은 에 대해 직접 취급한 것이 아니라 이행 원리의 귀결로서 실수 가 으로 나타난다는 점을 지적했다. 고로 이다. 여기에서 말하는 의미에서의 소수 전개가 반드시 수를 나타낸다고는 할 수 없다는 것에 주의해야 한다. 특히 "0.333...; 000..."나 "0.999…; 000..."는 아무런 수와도 대응하지 않는다. 이 사실은 넘침 원리를 사용해 설명할 수 있다. 소수 전개의 각 자릿수는 맵핑 formula_19으로 간주한다. 유한한 자릿수가 모두 이라고 가정한다. 즉
이다. 여기에 넘침 원리를 적용하면 어떠한 무한대 초자연수 formula_21이 있고
이 성립된다. 즉 formula_23는 "0.333…;…333000…"이나 "0.333…;…333001854…"처럼 어느 무한대 자릿수까지 3이 연속하는 초실수여야 한다. 이 사실은 다음과 같이 기술할 수도 있다. 초실수체는 순서체이기 때문에 순서위상을 생각할 수 있지만 (초)실수의 가산열 formula_24는 수렴하지 않기 때문에 표준 자리만 딱 인 것과 같은 초실수는 그러한 유한 소수 표시의 위상적 극한이라고 간주한다고 해도 여전히 존재하지 않는다.
수 의 표준적인 정의는 가 되는 수열의 극한이지만 그것과 다른 정의로서 테런스 타오가 초극한(ultralimit)이라고 명명한 수열 의 초거듭제곱 구성에 관한 동치류 는 보다 무한소만 작다. 보다 일반적으로 층수 의 무한대 초자연수의 위치에 마지막 9가 오는 초실수 는 보다 엄밀한 부등식 을 만족한다. 이에 따라 "무한개의 9의 뒤에 0이 계속된다."는 것의 다른 해석을
라고 이해할 수 있다. 이렇게 해석한 ""는 에 무한히 가깝다. 이언 스튜어트는 이 해석을 "는 보다 "아주 조금 작다."라는 직관을 엄밀하게 정당화하는 "완전히 합리적인" 방법으로 특징지었다. 역시 학생들이 가진 이라는 생각을 실수에 대한 잘못된 직관으로 보는 가정에 의문을 제기하며 오히려 그것을 '비표준적'인 직관으로 해석하는 편이 해석학의 습득에 있어서 가치가 있는 것이 아닐까하고 생각했다. 조제 베나데트(Jose Benardete)는 자신의 저서인 《무한대: 형이상학에서의 에세이》(Infinity : An essay in metaphysics)에서 지나치게 제한된 수 체계로 이야기를 한정하면 수학 이전의 자연적인 직관의 일부는 표현할 수 없다고 주장했다.
전항과 특별히 관련하여 조합론적 게임 이론에서 같은 실수 대체 체계로서 "무한 2색 해큰부시 게임"(infinite Blue-Red Hackenbush)을 생각할 수 있다. 엘윈 벌캠프(Elwyn Berlekamp)는 1974년에 데이터 압축 아이디어에 자극을 받아서 해큰부시 문자열과 실수의 이진법 전개 관계에 대해 언급했다. 예를 들어 "해큰부시 문자열"(Hackenbush string) LRRLRL…의 값은 이 된다. 그러나 문자열 LRLLL… (에 대응한다)의 값은 1에 비해 극히 약간 작다. 이들의 2가지 수(LRLLL…과 )의 차이는 초현실수 (는 최소 무한 순서수)이다. 이와 관련된 게임은 LRRRR... 즉 이다.
뺄셈의 재고.
다른 방법은 뺄셈은 아무 때나 할 수 있는 게 아니라 "는 존재하지 않는다."고 판단해서 버리는 것이다. 덧셈을 갖고 있지만 뺄셈이 갖고 있지 않은 수학적 구조에는 교환법칙 반군, 교환법칙 모노이드, 반환 등이 포함된다. 리치먼은 이 되도록 디자인된 그러한 구조 두 가지를 생각해냈다.
먼저 리치먼은 음수가 아닌 "십진수"를 문자 그대로 소수 전개가 되도록 정의하는 한편 사전식 순서라는 덧셈을 정의했다. 여기서는 임에 주의한다. 왜냐하면 단순히 한 자리에서 이 되기 때문이다. 그러나 어떤 "무한소수" 에 대해서도 이 된다. 이에 "십진수"에 대한 특징적인 사항으로 하나는 덧셈이 반드시 타결이 되지 않는다는 점이고 다른 하나는 에 대응하는 "십진수"가 존재하지 않는다는 점이다. 곱셈을 정의하면 "십진수"는 올바른 값에 대한 모든 순서 교환 반환을 이룬다.
리치먼은 곱셈을 정의할 때에 "절단 "D""(cut "D")라고 부르는 다른 구조를 정의했는데 이는 소수의 절단 집합이다. 일반적인 이 정의는 실수를 이끌지만 리치먼은 에 대하여 절단 과 "일반적인 절단" 양쪽을 허용했다. 그 결과 실수들은 소수와 불안정한 상태로 공존(living uneasily together with)하게 된다. 따라서 다시 을 얻게 된다. "절단 "D""에는 올바른 무한소는 존재하지 않으나 "일종의 음수 무한소" 가 존재한다. 에는 소수 전개가 존재하지 않는다. 리치먼은 로 결론을 내렸으나 방정식 ""에 대한 해를 결정하지 않았다.
"진수.
는 무엇이 될 것인가를 물으면 종종 "을 떠올리게 되는 경우가 있다. 여기에 의미를 가질 수 있는지 없는지를 떠나 의 "마지막 "에 을 더함으로써 차례대로 올라가고 모든 가 으로 바뀌어서 1번째로 이 남겠다는 의도는 직관적으로는 명백하다. 이 생각은 (다른 이유가 있지만) 에는 "최후의 9"가 없기 때문에 부당하지만 "최후의 "를 갖는 무한 문자열을 가지는 체계라고 하는 것은 존재한다.
진수는 정수론이 연구 대상으로 하는 수체계이다. 실수와 똑같이 진수는 코시 열을 경유해서 유리수의 완비화로 만들 수 있다. 단 이 구성에는 은 보다도 에 가깝고 에는 더욱 가깝다는(실수 구성 때와는) 다른 거리를 이용한다. 진수는 가 소수일 때 체를 이루어 가 소수가 아닐 때(은 이런 경우이다)에도 환을 이룬다. 따라서 진수에 덧셈이나 곱셈과 같은 계산을 실행할 수 있으며 무한소는 존재하지 않는다.
진수에는 소수 전개와 비슷함을 생각할 수 있는데 자리가 왼쪽으로 갈 수록 실수의 소수 전개와는 반대로 오른쪽으로는 유한한 자리만 진행한다. 진 전개의 경우에는 를 생각한다. 한 자리에 을 더할 수 있는데 만 남겨두고 반올림이 계속된다. 그 결과 등식이 성립되고 이 된다. 또 하나의 도출 방법은 등비급수를 이용한다. ""의 의미를 가진 등비급수는 실수에서는 수렴하지 않으나 진수로는 수렴하여 잘 알려진 공식을 다시 사용할 수 있고
이라는 등식이 성립된다(앞의 등비급수와 비교하라). 3번째 도출 방법은 중학교 1학년생에 의해 고안되었다. 이 학생은 교사가 을 극한으로 정의한 논의에 의문을 가졌으나, 위에서 언급한 을 곱하는 증명을 반대 방향으로 이용해 보려고 했다. 따라서 은 이므로 이 되고 다시 이 된다.
실수의 '이중십진' 표기.
실수의 '이중십진' 표기에서는 소수점의 양쪽 모두에서 무한한 숫자열을 허용한다. (단 왼쪽의 숫자열은 결국 순환해야 한다.) p진수에서 참이지만 실수의 십진법 표기에서 참이 아닌 등식 와 p진수에서 거짓이지만 실수의 십진법 표기에서 참인 등식 은 이중십진 표기에서는 모두 참이다. 2개의 등식 양쪽을 더해서 을 얻을 수 있다.
등식 의 증명은 즉시 두 가지 방법으로 일반화된다. 첫째로, 바로 이 특별한 경우에서와 마찬가지로 0이 아닌 모든 유한소수(즉 뒤에 이 끝없이 반복된다)는 가 뒤에서 계속 이어지는 다른 표현을 갖고 있다. 예를 들어 는 와 같다.
둘째로, 에 상당하는 결과를 다른 기수에도 적용할 수 있다. 예를 들어 이진법에서는 이며 삼진법에서는 이다. 일반적으로 기수를 로 할 때 소수점 이하는 이 반복되어 늘어선다. 실해석학 교과서에서는 의 예를 건너뛰고 이러한 일반화 가운데 한 쪽 또는 양 쪽을 처음부터 소개하는 경향이 있다.
의 다른 표현은 비정수를 기수로 하는 경우에도 나타난다. 예를 들어 황금비를 기수라고 한다면 2개의 표준적 표시는 과 이지만 그 밖에도 과 같이 인접한 ""을 포함한 무수한 표현이 있다. 일반적으로 과 사이에 있는 거의 모든 에 대해 "비가산 무한"인 "의 진 표현"이 존재한다. 한편 (보다 큰 자연수를 포함한) 또 다른 "비가산 무한"인 가 의 진 표현(자명한 을 제외함)은 단 하나 밖에 없다. 이 결과는 1990년경에 에르되시 팔(Erdős Pál), 호르바트 미클로시(Horváth Miklos), 요 이슈트반(Joó István)이 최초로 언급했다. 1998년에는 코모르니크 빌모시(Komornik Vilmos)와 파올라 로레티(Paola Loreti)가 이러한 최소 기수로 를 결정했다. 이 기수에서는 인데 이 수는 순환이 되지 않는 투에-모스 수열을 부여한다.
더욱이 변칙적인 규칙에 근거한 기수법(the most general positional numeral systems)에서도 에 상당하는 결과를 얻을 수 있다. 이들 또한 다양한 표현을 갖고 있기 때문에 어떤 의미에서는 다루기가 더욱 어렵다. 예를 들어
마르코 페트코브셰크(Marko Petkovšek)는 이와 같은 하나의 수를 복수의 방법으로 나타낼 수 있다고 하는 것은 위치 기수법을 이용하는 것의 필연적인 결과라고 말하면서 모든 실수를 취급하는 임의의 위치 기수법에서 복수의 표현을 갖는 실수의 집합이 항상 조밀함을 증명했다. 그는 이러한 증명을 "일반 위상 공간에 관한 교육적인 초급 연습 문제"라고 불렀다. 이는 위치 기수법에 따른 값의 집합을 스톤 공간으로 판단하고 이러한 실수 표현이 연속 함수에 의해 주어진다는 것을 증명하고 있기 때문이다.
의 다른 표현으로서의 에 대한 하나의 응용을 초등 정수론에서 볼 수 있다. H. 굿윈(H. Goodwin)은 1802년에 어떤 종류의 소수를 분모로 하는 분수에서는 순환 소수로 표시했을 때 9가 나타남을 발표했다. 예를 들면
라고 적혀 있다.
E. 미디(E. Midy)는 1836년에 이러한 분수에 관한 일반적인 결과를 증명했는데 현재는 미디의 정리라고 부르고 있다. 이 논문은 모호한 편이고 그의 증명이 직접 를 포함하는 지의 여부는 알 수 없다. 그러나 W. G. 리빗(W. G. Leavitt)이 제시한 적어도 하나 정도의 현대적인 증명에서는 포함되고 있다. 만약 형식의 소수가 양의 정수임을 증명하면 그것은 나 다름이 없는데 이는 이 정리에서 들이 출현하는 원인이 된다. 이러한 방향에 대한 연구는 최대공약수, 모듈러 산술, 페르마 소수, 군의 원래 위수, 이차 상호 법칙 등의 개념에 동기를 부여하고 있다.
소수점 이하의 번째 자릿수는 이러한 구성에서의 단계의 점 위치에 반영한다. 예를 들어 점 는 일반적인 또는 으로 표현한다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 오른쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결손 부분의 왼쪽에 위치하기 때문이다. 또한 점 는 또는 로 표현한다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 왼쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결속 부분의 오른쪽에 위치하기 때문이다.
의 반복은 칸토어의 또 다른 일에서도 나타난다. 특히 칸토어가 1891년에 대각선 논법을 적용한 단위 구간 의 비가산성에 대한 적절한 증명을 부여한 것을 고려해야 한다. 이 증명에서는 특정한 두 실수가 소수 표현에서 다르다는 점을 언급할 필요가 있다. 따라서 와 와 같은 조합은 피해야 한다. 간단한 방법은 모든 수를 무한소수로 나타내지만 이에 대한 방법은 가 마지막에 연속되는 것을 배제한다. 칸토어의 독자적인 논의에 가깝다고 할 수 있는 증명의 변형에서는 실제로 2진 표현을 사용하고 있으며 3진 표현을 2진 표현으로 바꿈으로서 칸토어 집합의 가산성을 동일하게 증명할 수 있다.
수학을 처음 배우는 사람은 종종 와 이 같음을 이해하지 못한다. 극한의 개념이나 무한소의 성질이 직관과 크게 다른 것이 그 이유로 여겨진다. 공통 요인에는 다음과 같은 것이 있다.
이러한 생각은 일반적인 실수를 취급하는 문맥에서는 틀린 것이다. 그러나 일반적인 경우와 다른 장면에서 적용하기 위해 발견되었거나 를 이해하는데 유익한 반례로서의 보다 정교한 수의 체계 구조에서는 이러한 생각들의 대부분이 부분적으로 옳다고 나타난다.
이들 요인 가운데 상당수는 데이비드 톨(David Tall) 교수가 발견했다. 그는 자신이 맞닥뜨린 대학생들에 대한 오해 몇 가지를 학생들에게 심어주는 원인이 된 지도법과 인식의 특징을 연구했다. 수많은 학생들이 왜 처음에는 이 등식을 받아들이지 않는지 알아보기 위해 학생들을 면접하다가 다음과 같은 사실을 발견했다.
초등적 증명 중에서 의 양변을 배로 늘리는 방법은 인 것을 용인할 수 없는 학생에게 받아들이도록 만들기 위한 가장 유효한 수단인 것처럼 보인다. 그러나 제1등식을 믿는 것과 제2등식을 믿지 않는 것의 모순에 직면하면 이번에는 제1등식을 의심하기도 한다. 이보다 간결하고 효과적인 설명 방법도 좀처럼 없다. 엄밀한 정의를 충분히 적용할 능력이 있는 학생이 를 포함해 더 나아간 수학의 결과에 놀라더라도 더 직관적인 상상에 의존할 수 있다. 예를 들어서 어떤 해석학을 배우는 학생은 임을 상한한 부분 순서 집합 정의를 통해 증명할 수 있으나 그 후에도 옛 필산의 이해를 바탕으로 이라고 주장했다. 또 다른 학생은 인 것을 증명할 수는 있지만 분수를 통한 증명에 직면해서 '논리'가 수학 계산을 정복하고 있다고 주장한다.
조지프 메이저(Joseph Mazur)는 재능이 풍부한 또 다른 미적분학 학생을 소개한다. 그 학생은 "제가 수업에서 말한 것에는 거의 모두 이의를 제기하지만 제가 사용하고 있는 계산기에는 결코 이의를 제기하지 않습니다. 게다가 23개의 제곱근을 계산하는 것도 포함해서 수학을 하는 데에 필요한 것은 9자리(정도)로 믿게 되었습니다. 그 학생은 이라는 극한의 논의에 여전히 불쾌한 느낌이었지만 그것은 "무한 추측을 하는 무한 개념의 성장 과정"(wildly imagined infinite growing process)이다."라고 불린다.
에드 듀빈스키(Ed Dubinsky)에 의한 수학 학습 이론(APOS theory)의 한 부분으로서 듀빈스키와 공동 연구자(2005년)는 를 "에서 무한히 작은 거리만 떨어져 있는 수를 나타내는 유한하고 불확정한 문자열"이라고 생각하는 학생은 "무한소수 구성 과정의 완전한 개념이 아직 형성되지 않았다."고 말했다. 예를 들어 의 구성 과정의 완전한 개념을 습득한 학생이라도 아직 그 과정을 (이미 가지고 있는 ""의 개념과 같은) 하나의 '대상'으로서 다시 파악하지 못하고 라는 하나의 과정과 이라는 수의 존재를 모순되는 것으로 볼 지도 모른다. 또한 듀빈스키는 "하나의 대상으로 간주한다."는 이러한 정신적 능력이 자체를 수로 간주하거나 자연수 집합 그 자체를 하나의 대상으로 취급한다는 점과 관련되어 있다고 본다.
미디어에서의 논의.
인터넷의 등장에 따라 에 관한 논쟁은 교육 현장 뿐만 아니라 뉴스그룹이나 전자 게시판 등 평소에는 수학과 관련이 없던 공간에서도 화제가 되기도 한다. 뉴스그룹 sci.math에서 에 관한 논의는 '유행 스포츠'이며 FAQ에서 응답된 문제 가운데 하나이기도 하다. 해당 FAQ는 를 이용하는 방법, 10배로 높이는 방법, 극한을 이용하는 방법을 간결하게 취급하고 있고 이와 마찬가지로 코시 열도 언급하고 있다.
미국의 신문 《시카고 리더》(Chicago Reader)의 칼럼 코너인 〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope) 2003년판에서는 잘못된 개념을 언급하면서 이나 극한을 통한 에 대해 다음과 같이 논의하고 있다.
〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope)는 "다른 게시판... 대부분 비디오 게임"에서 독립된 전용 게시판들을 통해 논쟁을 일으켰다. 이와 마찬가지로 문제는 미국의 비디오 게임 개발사인 블리자드 엔터테인먼트의 배틀넷(Battle.net) 포럼에서 초반 7년 동안에 걸쳐 매우 일반적인 화제가 되기도 했다. 마이크 모하임(Mike Morhaime) 블리자드 엔터테인먼트 사장은 2004년 4월 1일에 만우절을 맞아 열린 기자 회견 도중에 이라고 발표했다. 블리자드 엔터테인먼트는 나중에 공개된 보도자료에서 극한에 기반한 것과 을 곱한 것 2가지 증명을 제공했다.