Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 方块矩阵

行数与列数相同的矩阵称为方块矩阵，简称方阵。所有                    n              {\displaystyle n}  维的方块矩阵构成一个线性空间，这个空间对矩阵乘法也是封闭的，因此也是一个代数。方阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  称为可逆或非奇异的，如果存在另一个方阵                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  ，使得                              A          B                =                              I                                n                                {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} _{n}}  成立。这时候可以证明也有                              B          A                =                              I                                n                                {\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}  成立，可将矩阵                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  称为                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的逆矩阵。一个矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的逆矩阵如果存在的话，就是唯一的，通常记作                                          A                                −            1                                {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}  。矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的元素                              A                      i            ,            i                                {\displaystyle A_{i,i}}  称为其主对角线上的元素。方块矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的所有主对角线元素之和称为它的迹，写作                              t          r                (                  A                )              {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}  。尽管矩阵的乘法不满足交换律，方阵相乘时交换顺序会导致乘积变化，但它们的迹不会变，即                              t          r                (                  A          B                )        =                  t          r                (                  B          A                )              {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}  。除此以外，矩阵转置的迹等于其自身的迹，                              t          r                (                  A                )        =                  t          r                (                              A                                              T                                      )              {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}  。如果一个方阵只有主对角线上的元素不是0，其它都是0，那么称其为对角矩阵。如果主对角线上方的元素都是0，那么称为下三角矩阵；反之如果主对角线下方的元素都是0，那么称为上三角矩阵。例如                    n        =        3              {\displaystyle n=3}  的时候，这些矩阵分别写作：                                          [                                                                                d                                          11                                                                                        0                                                  0                                                                              0                                                                      d                                          22                                                                                        0                                                                              0                                                  0                                                                      d                                          33                                                                                            ]                                {\displaystyle {\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\\\end{bmatrix}}}  （对角矩阵），                                          [                                                                                l                                          11                                                                                        0                                                  0                                                                                                  l                                          21                                                                                                            l                                          22                                                                                        0                                                                                                  l                                          31                                                                                                            l                                          32                                                                                                            l                                          33                                                                                            ]                                {\displaystyle {\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}}  （下三角矩阵）和                                          [                                                                                u                                          11                                                                                                            u                                          12                                                                                                            u                                          13                                                                                                                    0                                                                      u                                          22                                                                                                            u                                          23                                                                                                                    0                                                  0                                                                      u                                          33                                                                                            ]                                {\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}  （上三角矩阵）。