Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩陣                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的列數(column)和另一个矩阵                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  的行數(row)相等时才能定义。如                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  是                    m        ×        n              {\displaystyle m\times n}  矩陣和                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  是                    n        ×        p              {\displaystyle n\times p}  矩陣，它們的乘積                              A          B                      {\displaystyle \mathbf {AB} }  是一個                    m        ×        p              {\displaystyle m\times p}  矩陣，它的一个元素                    [                  A          B                          ]                      i            ,            j                          =                  A                      i            ,            1                                    B                      1            ,            j                          +                  A                      i            ,            2                                    B                      2            ,            j                          +        ⋯        +                  A                      i            ,            n                                    B                      n            ,            j                          =                  ∑                      r            =            1                                n                                    A                      i            ,            r                                    B                      r            ,            j                                {\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}}  其中                    1        ≤        i        ≤        m        ,                 1        ≤        j        ≤                  p          ′                      {\displaystyle 1\leq i\leq m,\ 1\leq j\leq p'}  '。 例如                                          [                                                            1                                                  0                                                  2                                                                              −                  1                                                  3                                                  1                                                      ]                          ×                              [                                                            3                                                  1                                                                              2                                                  1                                                                              1                                                  0                                                      ]                          =                              [                                                            (                  1                  ×                  3                  +                  0                  ×                  2                  +                  2                  ×                  1                  )                                                  (                  1                  ×                  1                  +                  0                  ×                  1                  +                  2                  ×                  0                  )                                                                              (                  −                  1                  ×                  3                  +                  3                  ×                  2                  +                  1                  ×                  1                  )                                                  (                  −                  1                  ×                  1                  +                  3                  ×                  1                  +                  1                  ×                  0                  )                                                      ]                          =                              [                                                            5                                                  1                                                                              4                                                  2                                                      ]                                {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}  矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：结合律：                    (                  A          B                )                  C                =                  A                (                  B          C                )              {\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} )}  左分配律：                    (                  A                +                  B                )                  C                =                  A          C                +                  B          C                      {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} }  右分配律：                              C                (                  A                +                  B                )        =                  C          A                +                  C          B                      {\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathbf {CA} +\mathbf {CB} }  矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。                    c        (                  A          B                )        =        (        c                  A                )                  B                =                  A                (        c                  B                )              {\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} =\mathbf {A} (c\mathbf {B} )}                      (                  A          B                          )                                    T                                      =                              B                                              T                                                            A                                              T                                            {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}  矩阵乘法不满足交换律。一般来说，矩陣                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  及                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  的乘积                              A          B                      {\displaystyle \mathbf {AB} }  存在，但                              B          A                      {\displaystyle \mathbf {BA} }  不一定存在，即使存在，大多数时候                              A          B                ≠                  B          A                      {\displaystyle \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} }  。比如下面的例子：这一特性使得矩阵代数与常见的一些数域（有理数、实数、复数）以及环（多项式环、整数环）都不同。给定一个                    n              {\displaystyle n}  维的方块矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  ，与                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  交换的所有方块矩阵构成一个环，称为                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的交换子环。这些矩阵也构成                                          M                          (        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )}  的一个子空间，称为                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的可交换空间。与                                          M                          (        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )}  中所有矩阵交换的矩阵只有形如                    λ                              I                                n                          ,                λ        ∈                  R                      {\displaystyle \lambda \mathbf {I} _{n},\,\lambda \in \mathbb {R} }  的矩阵（称为数乘矩阵）。其中的                                          I                                n                                {\displaystyle \mathbf {I} _{n}}  是单位矩阵，也就是主对角线上的元素为1，其它元素为0的矩阵。任意矩阵                              M                      {\displaystyle \mathbf {M} }  乘以单位矩阵都得到自身：                              M                                      I                                n                          =                  M                =                              I                                n                                    M                      {\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {I} _{n}=\mathbf {M} =\mathbf {I} _{n}\mathbf {M} }  。除了最常见的矩阵乘法定义以外，也有一些较不常见的矩阵乘法，比如阿达马乘积和克罗内克乘积。