Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 方块矩阵
Subsection: 特征值与特征向量

                    n        ×        n              {\displaystyle n\times n}  的方块矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的一个特征值和对应特征向量是满足                              A          v                =        λ                  v                      {\displaystyle \mathbf {Av} =\lambda \mathbf {v} }  的标量                    λ              {\displaystyle \lambda }  以及非零向量                              v                      {\displaystyle \mathbf {v} }  。特征值和特征向量的概念对研究线性变换很有帮助。一个线性变换可以通过它对应的矩阵在向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质。假设在给定的基底下，一个线性变换对应着某个矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  ，如果一个向量                              x                      {\displaystyle \mathbf {x} }  可以写成矩阵的几个特征向量的线性组合：                              x                =                  c                      1                                                x                                              λ                              1                                                    +                  c                      2                                                x                                              λ                              2                                                    +        ⋯        +                  c                      k                                                x                                              λ                              k                                                          {\displaystyle \mathbf {x} =c_{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}}  其中的                                          x                                              λ                              i                                                          {\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda _{i}}}  表示此向量对应的特征值是                              λ                      i                                {\displaystyle \lambda _{i}}  ，那么向量                              x                      {\displaystyle \mathbf {x} }  经过线性变换后会变成：                              A          x                =                  c                      1                                    λ                      1                                                x                                              λ                              1                                                    +                  c                      2                                    λ                      2                                                x                                              λ                              2                                                    +        ⋯        +                  c                      k                                    λ                      k                                                x                                              λ                              k                                                          {\displaystyle \mathbf {Ax} =c_{1}\lambda _{1}\mathbf {x} _{\lambda _{1}}+c_{2}\lambda _{2}\mathbf {x} _{\lambda _{2}}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}\mathbf {x} _{\lambda _{k}}}  可以清楚地知道变换后向量的结构。另一个等价的特征值定义是：标量                    λ              {\displaystyle \lambda }  为特征值，如果矩阵                              A                −        λ                              I                                n                                {\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} _{n}}  是不可逆矩阵。根据不可逆矩阵的性质，这个定义也可以用行列式方程描述：                    λ              {\displaystyle \lambda }  为特征值，如果                    det        (        λ                              I                                n                          −                  A                )        =        0.                       {\displaystyle \det(\lambda \mathbf {I} _{n}-\mathbf {A} )=0.\ }  这个定义中的行列式可以展开成一个关于                    λ              {\displaystyle \lambda }  的n阶多项式，叫做矩阵A的特征多项式，记为                              p                                    A                                            {\displaystyle p_{\mathbf {A} }}  。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  特征值。哈密尔顿－凯莱定理说明，如果用矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  本身代替多项式中的不定元                    λ              {\displaystyle \lambda }  ，那么多项式的值是零矩阵：