Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 正式定义

直觀上就是用兩個數碼去標記一堆數學實體（如數字、函數），實際上是有限序列的一種推廣。                              A                (        i        ,                j        )              {\displaystyle \mathbf {A} (i,\,j)}   被暱稱為矩陣                               A                      {\displaystyle \mathbf {A} }   裡的元素，通常簡記為                                          A                                i            ,            j                                {\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}  、                                          A                                i            j                                {\displaystyle \mathbf {A} _{ij}}  或                                          A                                [            i            ,            j            ]                                {\displaystyle \mathbf {A} _{[i,j]}}  。除此之外也會用小寫字母                                           a                                i            j                                {\displaystyle \mathrm {a} _{ij}}   表示元素，來跟矩陣                               A                      {\displaystyle \mathbf {A} }   本身做區別。但不知                               A                      {\displaystyle \mathbf {A} }   的具體形式卻想強調                                           a                                i            j                                {\displaystyle \mathrm {a} _{ij}}   為                               A                      {\displaystyle \mathbf {A} }   的元素的話，可以                               A                =        [                              a                                i            j                                    ]                      m            ×            n                                {\displaystyle \mathbf {A} =[\mathrm {a} _{ij}]_{m\times n}}   或                               A                =        [                              a                                i            ,                        j                                    ]                      m            ×            n                                {\displaystyle \mathbf {A} =[\mathrm {a} _{i,\,j}]_{m\times n}}   表示。如果表達式                     f        (        i        ,                j        )        =        T        (        i        ,        j        )              {\displaystyle f(i,\,j)=T(i,j)}  （嚴格來說是合式公式，其中                     T              {\displaystyle T}   為一個包含變數                     T        (        i        ,                j        )              {\displaystyle T(i,\,j)}   的項）可以唯一決定一個矩陣                               A                      {\displaystyle \mathbf {A} }   ，那会将它记成                               A                =        [        T        (        i        ,                j        )                  ]                      m            ×            n                                {\displaystyle \mathbf {A} =[T(i,\,j)]_{m\times n}}    。如：                              A                :        {        1        ,                2        ,                …        ,                m        }        ×        {        1        ,                2        ,                …        ,                n        }        →                  N                      {\displaystyle \mathbf {A} :\{1,\,2,\,\ldots ,\,m\}\times \{1,\,2,\,\ldots ,\,n\}\to \mathbb {N} }   且                               A                (        i        ,                j        )        =        i        +        j              {\displaystyle \mathbf {A} (i,\,j)=i+j}  就可以表達為                               A                =        [        i        +        j                  ]                      m            ×            n                                {\displaystyle \mathbf {A} =[i+j]_{m\times n}}   。根據公理化集合论，可以定義一個函數的集合                               S                      m            ×            n                                {\displaystyle S^{m\times n}}   ，它囊括所有定義在                     S              {\displaystyle S}    上的                     m        ×        n              {\displaystyle m\times n}   矩阵，也就是說：                              S                      m            ×            n                          :=                  {                      f                                      |                                    f            :            {            1            ,                        2            ,                        …            ,                        m            }            ×            {            1            ,                        2            ,                        …            ,                        n            }            →            S                    }                      {\displaystyle S^{m\times n}:=\left\{f\,|\,f:\{1,\,2,\,\ldots ,\,m\}\times \{1,\,2,\,\ldots ,\,n\}\to S\right\}}