Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵的推广
Subsection: 一般域和环上的矩阵

矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，还可以是任何能够使得矩阵的运算律成立的元素。首先，矩阵的元素可以是任意一个域（即能够进行“加减乘除”运算的集合）中元素。例如编码理论中会出现系数为有限域中元素的矩阵，以及有理数系数的矩阵。如果矩阵的系数所在域                              K                      {\displaystyle \mathbf {K} }  不是代数闭域，那么在求矩阵的特征值时，由于特征值是相应的特征多项式的根，可能不在系数域                              K                      {\displaystyle \mathbf {K} }  中，而是在系数域的某个扩域L中。反过来，如果考虑扩域                              L                      /                    K                      {\displaystyle \mathbf {L/K} }  ，以及                              L                      {\displaystyle \mathbf {L} }  中的一个元素                    α              {\displaystyle \alpha }  ，以及                              L                      {\displaystyle \mathbf {L} }  中线性变换                              m                      α                          :                x        ↦        α        x              {\displaystyle m_{\alpha }:\,x\mapsto \alpha x}  ，那么由于                              m                      α                                {\displaystyle m_{\alpha }}  也是一个                              K                      {\displaystyle \mathbf {K} }  -线性变换，它可以表示成一个                    n        ×        n              {\displaystyle n\times n}  的                              K                      {\displaystyle \mathbf {K} }  系数矩阵                              X                      α                                {\displaystyle X_{\alpha }}  ，其中的                    n              {\displaystyle n}  是扩域                              L                      /                    K                      {\displaystyle \mathbf {L/K} }  的阶数。                    α              {\displaystyle \alpha }  是这个矩阵的特征值，这个矩阵的特征多项式                              p                                    X                              α                                                          {\displaystyle p_{X_{\alpha }}}  是                    α              {\displaystyle \alpha }  在                              K                      {\displaystyle \mathbf {K} }  中的最小多项式                              min                                    K                                      ⁡        (        α        )              {\displaystyle \operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )}  的幂次：                              p                                    X                              α                                                    =                              (                                          min                                                      K                                                              ⁡              (              α              )                        )                                r                                        {\displaystyle p_{X_{\alpha }}=\left(\operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )\right)^{r}\,}  。其中的                    r              {\displaystyle r}  是扩域                              L                      /                    K                      {\displaystyle \mathbf {L/K} }                       (        α        )              {\displaystyle (\alpha )}  的阶数。更一般的情况是矩阵的元素属于某个环                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  。环是比域更广泛的概念，只要求其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  ，                                          M                          (        m        ,        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}  中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以                                          M                          (        m        ,        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}  关于矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为矩阵环。                    n              {\displaystyle n}  维方阵的环                                          M                          (        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbf {R} )}  與左                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -模                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}  的自同態環同構。若                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  是交换环，則                                          M                          (        m        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )}  是一个帶單位元的                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -代數，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定義行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）。