Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵的推广
Subsection: 矩阵与线性变换

前面已经提到，所有                                          R                                n                          →                              R                                m                                {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}  的线性变换都对应着一个                                          M                          (        m        ,        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )}  中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性空间之间的线性映射                    f        :                  V                →                  W                      {\displaystyle f:\mathbf {V} \rightarrow \mathbf {W} }  也对应着一个矩阵                                          A                                f                          =        (                  a                      i            j                          )              {\displaystyle \mathbf {A} _{f}=(a_{ij})}  。设空间                              V                      {\displaystyle \mathbf {V} }  和                              W                      {\displaystyle \mathbf {W} }  的基底分别是                                          v                                1                          ,        …        ,                              v                                n                                {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}  和                                          w                                1                          ,        …        ,                              w                                m                                {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}}  ，那么对任意                      j        =        1        ,        …        ,        n              {\displaystyle j=1,\ldots ,n}  ，                    f        (                              v                                j                          )        =                  ∑                      i            =            1                                m                                    a                      i            ,            j                                                w                                i                                {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}}  矩阵                                          A                                f                                {\displaystyle \mathbf {A} _{f}}  实际上“记录”了                              V                      {\displaystyle \mathbf {V} }  中每个基底向量经过变换后得到的                              W                      {\displaystyle \mathbf {W} }  中的像在基底                    (                              w                                1                          ,        …        ,                              w                                m                          )              {\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m})}  下的形式。要注意矩阵的内容取决于基底的选择。可以说，矩阵是线性变换f在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述                    f              {\displaystyle f}  的矩阵是不同的，但这些矩阵都是相似矩阵。与矩阵有关的基本概念都可以用线性变换的层面来解释，比如一个矩阵的转置可以用f的对偶变换                              f                      ∗                          :                              W                                ∗                          →                              V                                ∗                                {\displaystyle f^{*}:\mathbf {W} ^{*}\rightarrow \mathbf {V} ^{*}}  来表示。当矩阵的元素是带单位元的环                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  中的元素时，                    m        ×        n              {\displaystyle m\times n}  的                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -矩阵对应的则是                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -自由模                                          R                                m                                {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}  和                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}  之间的                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -线性变换。                    n        =        m              {\displaystyle n=m}  的时候，这些                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -线性变换可以相互复合，因此                    n              {\displaystyle n}  维的                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -矩阵环能够与                              R                      {\displaystyle \mathbf {R} }  -自同态环                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}  同构。