Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵乘法
Subsection: 线性变换

矩陣是线性变换的便利表達法。矩陣乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现，因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的联系：以                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  表示所有長度為                    n              {\displaystyle n}  的行向量的集合。每个                    m        ×        n              {\displaystyle m\times n}  的矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  都代表了一个从                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  射到                                          R                                m                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}  的线性变换。反过来，对每個线性变换                    f        :                              R                                n                          →                              R                                m                                {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}  ，都存在唯一m×n矩陣                                          A                                f                                {\displaystyle \mathbf {A} _{f}}  使得对所有                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  中的元素                    x              {\displaystyle x}  ，                    f        (        x        )        =                  A                      f                          x              {\displaystyle f(x)=A_{f}x}  。这个矩阵                                          A                                f                                {\displaystyle \mathbf {A} _{f}}  第                    i              {\displaystyle i}  行第                    j              {\displaystyle j}  列上的元素是正则基向量                                          e                                j                          =        (        0        ,        ⋯        ,        0        ,        1        ,        0        ,        ⋯        0                  )                      T                                {\displaystyle \mathbf {e} _{j}=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots 0)^{T}}  （第j个元素是1，其余元素是0的向量）在                    f              {\displaystyle f}  映射后的向量                    f        (                              e                                j                          )              {\displaystyle f(\mathbf {e} _{j})}  的第                    i              {\displaystyle i}  个元素。也就是说，从                                          R                                n                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  射到                                          R                                m                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}  的线性变换构成的向量空间                                          L                                    (                                                    R                                            n                                      ,                                          R                                            m                                              )                      {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}\right)}  上存在一个到                                          M                          (        m        ,        n        ,                  R                )              {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )}  的一一映射：                    f        ↦                  A                      f                                {\displaystyle f\mapsto A_{f}}  以下是一些典型的2维实平面上的线性变换对平面向量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示。设有                    k        ×        m              {\displaystyle k\times m}  的矩陣                              B                      {\displaystyle \mathbf {B} }  代表线性變換                    g        :                              R                                m                          →                              R                                k                                {\displaystyle g:\mathbf {R} ^{m}\rightarrow \mathbf {R} ^{k}}  ，則矩陣積                              B          A                      {\displaystyle \mathbf {BA} }  代表了綫性變換的复合                    g        ∘        f              {\displaystyle g\circ f}  ，因为                    (        g        ∘        f        )        (        x        )        =        g        (        f        (        x        )        )        =        g        (                  A          x                )        =                  B                (                  A          x                )        =        (                  B          A                )                  x                      {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} }  矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行／列向量的最大个数，同时也是矩阵对应的线性变换的像空间的维度。秩－零化度定理说明矩阵的列数量等于矩阵的秩与零空间维度之和。