Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 应用
Subsection: 概率论与统计

概率论中常用到随机矩阵，即行向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之间，并且加起来等于1的向量）的矩阵。随机矩阵可用来定义有限概率空间中的马尔可夫链。设随机变量                              X                      n                                {\displaystyle X_{n}}  是某个马尔可夫链在                    t        =        n              {\displaystyle t=n}  时刻的状态，所有可能的状态                    S        =                  {                                    s                              1                                      ,                          s                              2                                      ,            ⋯            ,                          s                              m                                              }                      {\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{m}\right\}}  称为状态空间，那么随机矩阵                              M                      n                                n            +            1                                {\displaystyle M_{n}^{n+1}}  则记录了假设已知                              X                      n                                {\displaystyle X_{n}}  的可能情况下                              X                      n            +            1                                {\displaystyle X_{n+1}}  做各种取值的可能性。                              M                      n                                n            +            1                                {\displaystyle M_{n}^{n+1}}  的第                    i              {\displaystyle i}  行第                    j              {\displaystyle j}  列上的元素表示当                              X                      n                          =                  s                      j                                {\displaystyle X_{n}=s_{j}}  的时候，                              X                      n            +            1                          =                  s                      i                                {\displaystyle X_{n+1}=s_{i}}  的可能性。                              M                      n                                n            +            1                                {\displaystyle M_{n}^{n+1}}  的第                    j              {\displaystyle j}  行记录了从                              X                      n                          =                  s                      j                                {\displaystyle X_{n}=s_{j}}  转移到                              X                      n            +            1                                {\displaystyle X_{n+1}}  各种状态的可能性。所以                              M                      n                                n            +            1                                {\displaystyle M_{n}^{n+1}}  叫做                    t        =        n              {\displaystyle t=n}  时刻的转移矩阵。如果马尔可夫链的转移矩阵不随时刻变化，则称为齐次马尔可夫链。这时马尔可夫链的吸引态可以通过计算转移矩阵的特征向量得到。统计学中也会用到各种不同的矩阵。描述统计学中常常需要用矩阵的形式来描述数据样本，显得更为紧凑。几个随机变量的协方差矩阵表示它们之间的协方差关系，在某种程度上表示了它们相互间的关联程度（但不绝对）。统计学中用到矩阵的另一个地方是线性回归中的最小二乘法分析。当观测到随机样本                    (                  Y                      i                          ,                  X                      i            1                          ,        …        ,                  X                      i            p                          )        ,                i        =        1        ,        …        ,        n              {\displaystyle (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}  时，线性回归法的目标是希望找到以下的线性关系：                              Y                      i                          =                  β                      0                          +                  β                      1                                    X                      i            1                          +                  β                      2                                    X                      i            2                          +        …        +                  β                      p                                    X                      i            p                          +                  ε                      i                          ,                i        =        1        ,        …        ,        n              {\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\varepsilon _{i},\qquad i=1,\ldots ,n}  即将变量                              Y                      {\displaystyle \mathbf {Y} }  表示成                              X                      {\displaystyle \mathbf {X} }  的分量的线性组合与一个已知的随机误差的和。这个表示可以写成矩阵的形式，并利用矩阵的奇异值分解来分析。另一种随机矩阵（random matrix）是指每个元素都是随机变量的矩阵，这些随机变量可以都遵循同一个分布，或各自遵循不同的分布。一个常见的例子是全部元素都是相互独立的标准正态分布随机变量的随机矩阵。这种随机矩阵在数论和物理中也有应用。