Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 应用
Subsection: 数学分析

在多元函数微积分学中，对二阶偏导数存在的函数                    f        :                              R                                n                          →                  R                      {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} }  ，可以定义其海森矩阵：                    H        (        f        )        (        x        )        =                  [                                                                                          ∂                                          2                                                        f                                                  ∂                                      x                                          i                                                                          ∂                                      x                                          j                                                                                            (            x            )                    ]                      {\displaystyle H(f)(x)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)\right]}  。 严格来说，仅当函数在某一点上的二阶偏导数存在，才能定义这一点上的海森矩阵。海森矩阵给出了函数在这一点的变化率方面的信息。当给定的点                              x                =        (                  x                      1                          ,        …        ,                  x                      n                          )              {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}  是函数平稳点（即函数                    f              {\displaystyle f}  在这一点上的一阶偏导数                                                        ∂              f                                      ∂                              x                                  i                                                                          {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}  都是0）时，就需要利用海森矩阵来查看函数在这一点周围的增长特性。多元函数在点                              x                      {\displaystyle \mathbf {x} }  的泰勒展开是：                    f        (        x        +        h        )        =        f        (        x        )        +        ∇        f        (        x        )        ⋅        h        +                              1            2                                    h                      T                          H        (        f        )        (        x        )        h        +        ∘                  (                      ‖            x                          ‖                              3                                              )                      {\displaystyle f(x+h)=f(x)+\nabla f(x)\cdot h+{\frac {1}{2}}h^{T}H(f)(x)h+\circ \left(\|x\|^{3}\right)}  如果函数在点x的一阶偏导数都是0，那么                    ∇        f        =        0              {\displaystyle \nabla f=0}  ，所以函数在x附近的变化率取决于海森矩阵                    H        (        f        )        (        x        )              {\displaystyle H(f)(x)}  的性质。如果                    H        (        f        )        (        x        )              {\displaystyle H(f)(x)}  是正定矩阵，那么函数在点x取得局部最小值，如果是负定矩阵，则函数在x取得局部最大值。在这类情况下，关于函数f的条件最优化问题可以转变为关于海森矩阵的二次规划问题。矩阵在多元函数微积分中的另一个应用是雅可比矩阵。函数                    f        :                              R                                n                          →                              R                                m                                {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}  在某一点x上的一阶偏导数存在时，可以定义它在这点上的雅可比矩阵：                              J                      f                          (        x        )        =                              [                                                                                ∂                                          f                                              i                                                                                                  ∂                                          x                                              j                                                                                                        (              x              )                        ]                                1            ≤            i            ≤            m            ,            1            ≤            j            ≤            n                                {\displaystyle J_{f}(x)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}}  。如果                    n        >        m              {\displaystyle n>m}  ，而                              J                      f                          (        x        )              {\displaystyle J_{f}(x)}  又是满秩矩阵（秩等于                    m              {\displaystyle m}  ）的话，根据反函数定理，可以找到函数                    f              {\displaystyle f}  在x附近的一个局部的反函数。偏微分方程理论中，二阶拟线性偏微分方程可以根据最高次偏导项系数构成的矩阵的正定性分类。假设有一个二阶拟线性偏微分方程：                    (                  E                )                                  ∑                      1            ⩽            i            ,            j            ⩽            n                                    a                      i            j                                                                              ∂                                  2                                            f                                      ∂                              x                                  i                                                          ∂                              x                                  j                                                                    +                  ∑                      i            =            1                                n                                    b                      i                                                              ∂              f                                      ∂                              x                                  i                                                                    +        c        f        =        g                      {\displaystyle (\mathbf {E} )\qquad \qquad \sum _{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+cf=g\qquad }     并假设                              a                      i            j                          =                  a                      j            i                                {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}  记矩阵                              A                =                              [                          a                              i                j                                      ]                                1            ⩽            i            ,            j            ⩽            n                                {\displaystyle \mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}}  。如果矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  是正定或负定矩阵，那么就称方程                    (                  E                )              {\displaystyle (\mathbf {E} )}  为椭圆形偏微分方程；如果                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  不可逆，就称                    (                  E                )              {\displaystyle (\mathbf {E} )}  为抛物形偏微分方程，如果                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  可逆而且恰有                    n        −        1              {\displaystyle n-1}  个特征值同号，就称                    (                  E                )              {\displaystyle (\mathbf {E} )}  为双曲型偏微分方程。其它情况下也称                    (                  E                )              {\displaystyle (\mathbf {E} )}  为超双曲形偏微分方程。不同类型的方程解的形式也不一样。用数值方法解偏微分方程时更需要用到矩阵。一个重要的方法是有限元方法，在求解各种物理中遇到的偏微分方程时广泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“简单”函数的线性组合来“逼近”偏微分方程的精确解。这些“简单”函数通常是指将求解区域分割成一定数量的“小块”后，仅在某一“小块”上非零的分段线性函数。选定了网格和“简单”函数后，可以求解关于刚度矩阵的方程得到近似解。有限元理论中证明了在满足一定的条件下，近似解将随着网格趋于精细而弱收敛到精确解。