Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵的计算
Subsection: 矩阵分解

矩阵研究的一大方向是将一般的矩阵用一些比较“简单”的矩阵来表示。这种表示方式称为矩阵的变换与分解。矩阵变换与分解的方法有很多，它们的目的都是希望化简后的矩阵保持原矩阵的某些性质，比如行列式、秩或逆矩阵，而形式相对简单，因而能用容易地进行讨论和计算，或者能使得某些算法更易执行。LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵                              L                      {\displaystyle \mathbf {L} }  和一个上三角矩阵                              U                      {\displaystyle \mathbf {U} }  的乘积。分解后的矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  分解成                              A                =                  L          U                      {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LU} }  的形式，那么方程的求解可以分解为求解                              L          y                =                  b                      {\displaystyle \mathbf {Ly} =\mathbf {b} }  和                              U          x                =                  y                      {\displaystyle \mathbf {Ux} =\mathbf {y} }  两步，而后两个方程可以十分简洁地求解（详见三角矩阵中“向前与向后替换”一节）。又例如在求矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的行列式，需要计算大约                    (        n        +        1        )        !              {\displaystyle (n+1)!}  次加法和乘法；而如果先对矩阵做                              L          U                      {\displaystyle \mathbf {LU} }  分解，再求行列式，就只需要大约                              n                      3                                {\displaystyle n^{3}}  次加法和乘法，大大降低了计算次数。这是因为做                              L          U                      {\displaystyle \mathbf {LU} }  分解的复杂度大约是                              n                      3                                {\displaystyle n^{3}}  次，而后注意到                              L                      {\displaystyle \mathbf {L} }  和                              U                      {\displaystyle \mathbf {U} }  是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。 高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为阶梯形矩阵，而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的初等矩阵。奇异值分解则是另一种分解方法，将一个矩阵表示成3个矩阵的乘积：                              A                =                  U          D          V                      {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UDV} }  。其中                              U                      {\displaystyle \mathbf {U} }  和                              V                      {\displaystyle \mathbf {V} }  是酉矩阵，                              D                      {\displaystyle \mathbf {D} }  是对角矩阵。特征分解是将一个矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  写成                                          P            D            P                                −            1                                {\displaystyle \mathbf {PDP} ^{-1}}  的形式，其中                              P                      {\displaystyle \mathbf {P} }  是一个可逆矩阵，                              D                      {\displaystyle \mathbf {D} }  是对角矩阵。如果                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  的特征分解存在，就称它是可对角化的矩阵。不能对角化的矩阵，也有类似的分解方式。任意的矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  都可以写成                                          P            J            P                                −            1                                {\displaystyle \mathbf {PJP} ^{-1}}  的形式，其中的矩阵                              J                      {\displaystyle \mathbf {J} }  是若尔当标准型。若尔当标准型是矩阵的一种，它与对角矩阵类似，只不过主对角线上的元素不是数值，而是若尔当块：主对角线上为同一元素                              λ                      i                                {\displaystyle \lambda _{i}}  ，主对角线右上一行的次对角线上都是1，其它元素都是0的矩阵（见右图）。特征分解可以方便计算矩阵的幂次和多项式，如要计算                                          A                                n                                {\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}  ：                                          A                                n                          =        (                              P            D            P                                −            1                                    )                      n                          =                              P            D            P                                −            1                                                P            D            P                                −            1                          …                              P            D            P                                −            1                          =                              P            D                                n                                                P                                −            1                                {\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=(\mathbf {PDP} ^{-1})^{n}=\mathbf {PDP} ^{-1}\mathbf {PDP} ^{-1}\ldots \mathbf {PDP} ^{-1}=\mathbf {PD} ^{n}\mathbf {P} ^{-1}}  而其中对角矩阵的幂次                                          D                                n                                {\displaystyle \mathbf {D} ^{n}}  要比                                          A                                n                                {\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}  容易计算得多。同理还可计算矩阵指数：                              e                                    A                                            {\displaystyle e^{\mathbf {A} }}  （在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根。为了提高算法的数值稳定性，还有舒尔分解等矩阵分解方法。