Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: abstract

數學上，一個                    m        ×        n              {\displaystyle m\times n}  的矩陣（英語：matrix）是一个有                    m              {\displaystyle m}  行（row）                    n              {\displaystyle n}  列（column）元素的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字或符号甚至是函数。                                          [                                                                                a                                          11                                                                                                            a                                          12                                                                                                            a                                          13                                                                                        …                                                                      a                                          1                      j                                                                                        …                                                                      a                                          1                      n                                                                                                                                        a                                          21                                                                                                            a                                          22                                                                                                            a                                          23                                                                                        …                                                                      a                                          2                      j                                                                                        …                                                                      a                                          2                      n                                                                                                                                        a                                          31                                                                                                            a                                          32                                                                                                            a                                          33                                                                                        …                                                                      a                                          3                      j                                                                                        …                                                                      a                                          3                      n                                                                                                                    ⋮                                                  ⋮                                                  ⋮                                                  ⋱                                                  ⋮                                                  ⋱                                                  ⋮                                                                                                  a                                          i                      1                                                                                                            a                                          i                      2                                                                                                            a                                          i                      3                                                                                        …                                                                      a                                          i                      j                                                                                        …                                                                      a                                          i                      n                                                                                                                    ⋮                                                  ⋮                                                  ⋮                                                  ⋱                                                  ⋮                                                  ⋱                                                  ⋮                                                                                                  a                                          m                      1                                                                                                            a                                          m                      2                                                                                                            a                                          m                      3                                                                                        …                                                                      a                                          m                      j                                                                                        …                                                                      a                                          m                      n                                                                                            ]                                {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2j}&\dots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3j}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\dots &a_{ij}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}  大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如                    f        (        x        )        =        4        x              {\displaystyle f(x)=4x}  之类的線性函數的推广。设定基底后，某个向量                              v                      {\displaystyle \mathrm {v} }  可以表示为                    m        ×        1              {\displaystyle m\times 1}  的矩阵，而线性变换                    f              {\displaystyle f}  可以表示为列数为                    m              {\displaystyle m}  的矩阵                    A              {\displaystyle A}  ，使得经过变换后得到的向量                    f        (                  v                )              {\displaystyle f(\mathrm {v} )}  可以表示成                    A                  v                      {\displaystyle A\mathrm {v} }  的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵在力学、电路学、光学和量子物理等領域中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考矩陣理論。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。