Title: 矩阵 (The Matrix (club))
Section: 矩阵乘法
Subsection: 线性方程组

矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：                                          {                                                                                a                                          1                      ,                      1                                                                            x                                          1                                                        +                                      a                                          1                      ,                      2                                                                            x                                          2                                                        +                  ⋯                  +                                      a                                          1                      ,                      n                                                                            x                                          n                                                        =                                      b                                          1                                                                                                                                        a                                          2                      ,                      1                                                                            x                                          1                                                        +                                      a                                          2                      ,                      2                                                                            x                                          2                                                        +                  ⋯                  +                                      a                                          2                      ,                      n                                                                            x                                          n                                                        =                                      b                                          2                                                                                                                    ⋮                                                                        ⋮                                                                                                  a                                          m                      ,                      1                                                                            x                                          1                                                        +                                      a                                          m                      ,                      2                                                                            x                                          2                                                        +                  ⋯                  +                                      a                                          m                      ,                      n                                                                            x                                          n                                                        =                                      b                                          m                                                                                                                            {\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \quad \quad \quad \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}  其中的                              a                      1            ,            1                          ,                          a                      1            ,            2                                {\displaystyle a_{1,1},\,a_{1,2}}  以及                              b                      1                          ,                          b                      2                                {\displaystyle b_{1},\,b_{2}}  等等是已知的常数，而                              x                      1                          ,                          x                      2                                {\displaystyle x_{1},\,x_{2}}  等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：                               A                          x                =                  b                      {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }  其中，                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  是由方程组里未知量的系数排成的                    m        ×        n              {\displaystyle m\times n}  矩陣，                              x                      {\displaystyle \mathbf {x} }  是含有                    n              {\displaystyle n}  个元素的行向量，                              b                      {\displaystyle \mathbf {b} }  是含有                    m              {\displaystyle m}  个元素的行向量。                              A                =                              [                                                                                a                                          1                      ,                      1                                                                                                            a                                          1                      ,                      2                                                                                        ⋯                                                                      a                                          1                      ,                      n                                                                                                                                        a                                          2                      ,                      1                                                                                                            a                                          2                      ,                      2                                                                                        ⋯                                                                      a                                          2                      ,                      n                                                                                                                    ⋮                                                  ⋮                                                  ⋱                                                  ⋮                                                                                                  a                                          m                      ,                      1                                                                                                            a                                          m                      ,                      2                                                                                        ⋯                                                                      a                                          m                      ,                      n                                                                                            ]                          ,                          x                =                              [                                                                                x                                          1                                                                                                                                        x                                          2                                                                                                                    ⋮                                                                                                  x                                          n                                                                                            ]                          ,                          b                =                              [                                                                                b                                          1                                                                                                                                        b                                          2                                                                                                                    ⋮                                                                                                  b                                          m                                                                                            ]                                {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}  这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵                              A                      {\displaystyle \mathbf {A} }  和向量                              b                      {\displaystyle \mathbf {b} }  的情况下，求未知向量                              x                      {\displaystyle \mathbf {x} }  。