Title: 三角形 (The Triangle (film))
Section: 面積
Subsection: 已知三邊長

海倫公式，其表示形式為：                    A        =                              s                          (                              s                −                a                            )                                      (                              s                −                b                            )                                      (                              s                −                c                            )                                            {\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}  ，其中                     s              {\displaystyle s}   等於三角形的半周長，即：                    s        =                                            a              +              b              +              c                        2                                {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}  秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：                    A        =                                                            1                4                                                                    [                                                      c                                          2                                                                            a                                          2                                                        −                                                            (                                                                                                                                  c                                                              2                                                                                      +                                                          a                                                              2                                                                                      −                                                          b                                                              2                                                                                                              2                                                                    )                                                              2                                                                      ]                                                          {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}  也有用幂和来表示的公式：                                                                        A                                                            =                                                      1                    4                                                                                        (                                          a                                              2                                                              +                                          b                                              2                                                              +                                          c                                              2                                                                                    )                                              2                                                              −                    2                    (                                          a                                              4                                                              +                                          b                                              4                                                              +                                          c                                              4                                                              )                                                                                                                                    =                                                      1                    4                                                                                        2                    (                                          a                                              2                                                                                    b                                              2                                                              +                                          b                                              2                                                                                    c                                              2                                                              +                                          a                                              2                                                                                    c                                              2                                                              )                    −                    (                                          a                                              4                                                              +                                          b                                              4                                                              +                                          c                                              4                                                              )                                                                                            {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}  亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：                    16        ⋅                  A                      2                          =        −                              |                                                            0                                                                      a                                          2                                                                                                            b                                          2                                                                                        1                                                                                                  a                                          2                                                                                        0                                                                      c                                          2                                                                                        1                                                                                                  b                                          2                                                                                                            c                                          2                                                                                        0                                                  1                                                                              1                                                  1                                                  1                                                  0                                                      |                                {\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}  基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設                     a        ≥        b        ≥        c              {\displaystyle a\geq b\geq c}   ，三角形面積為：                    A        =                              1            4                                                [            a            +            (            b            +            c            )            ]            [            c            −            (            a            −            b            )            ]            [            c            +            (            a            −            b            )            ]            [            a            +            (            b            −            c            )            ]                                {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}  。