Title: 萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler)
Section: 贡献
Subsection: 分析学

18世纪微积分学取得了巨大进步，欧拉的家族朋友伯努利家族在该领域的早期进展中贡献良多。得益于他们的影响，研究微积分成为了欧拉工作的主要重点。尽管欧拉的一些证明不符合现代数学的严谨标准，但这些证明仍为数学带来了巨大的进步。欧拉因频繁使用幂级数（将函数表示为无限多项之和）和推进其应用和发展而在分析领域闻名。例如：                              e                      x                          =                  ∑                      n            =            0                                ∞                                                              x                              n                                                    n              !                                      =                  lim                      n            →            ∞                                    (                                                    1                                  0                  !                                                      +                                          x                                  1                  !                                                      +                                                            x                                      2                                                                    2                  !                                                      +            ⋯            +                                                            x                                      n                                                                    n                  !                                                              )                      {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}  欧拉对幂级数的运用使他能够在1735年解决著名的巴塞尔问题，由于这个问题于1644年提出，还难倒了众多数学家，他也因此名声大噪。起初他给出了错误的证明，后来在1741年给出了严密的证明。巴塞尔问题即求全体正整数平方的倒数之和：                              ∑                      n            =            1                                ∞                                                1                          n                              2                                                    =                  lim                      n            →            ∞                                    (                                                    1                                  1                                      2                                                                        +                                          1                                  2                                      2                                                                        +                                          1                                  3                                      2                                                                        +            ⋯            +                                          1                                  n                                      2                                                                                )                =                                            π                              2                                      6                                {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}  欧拉在1735年引入了常数：                    γ        =                  lim                      n            →            ∞                                    (                      1            +                                          1                2                                      +                                          1                3                                      +                                          1                4                                      .            .            .            +                                          1                n                                      −            ln            ⁡            (            n            )                    )                ≈        0.5772              {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}...+{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772}  现在称之为欧拉常数或歐拉-馬斯刻若尼常數，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。他还研究了该常数与调和级数、伽马函数以及黎曼zeta函数的值之间的关系。欧拉定义了复数的指数函数，并发现了它与三角函数的关系，这一关系式称为欧拉公式：对于任意实数                    x              {\displaystyle x}  （视为弧度），                    e              {\displaystyle e}  为自然对数的底数，                    i              {\displaystyle i}  为虚数单位，满足                              e                      i            x                          =        cos        ⁡        (        x        )        +        i        sin        ⁡        (        x        )                      {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}  美国理论物理学家理查德·费曼称这一公式为“最卓越的数学公式”。上述公式当                    x              {\displaystyle x}  等于                    π              {\displaystyle \pi }  时得到一个特例，称为欧拉恒等式，该等式将自然常数、圆周率、虚数单位、乘法单位元（指1）和加法单位元（指0）联系在了一个等式中：                              e                      i            π                          +        1        =        0                      {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}  或                              e                      i            π                          =        −        1                      {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}  欧拉建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和透過质心轴和垂直于两者的截面的转动惯量。他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学裡的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。 他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。在数论里他引入了欧拉函数。自然数                    n              {\displaystyle n}  的欧拉函数                    ϕ        (        n        )              {\displaystyle \phi (n)}  被定义为小于                    n              {\displaystyle n}  并且与                    n              {\displaystyle n}  互质的自然数的个数。例如，                    ϕ        (        8        )        =        4              {\displaystyle \phi (8)=4}  ，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也是以欧拉函数为基础。在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数 欧拉还发现了公式的 V - E + F = 2 的数量与顶点(Vertex, V)，边(Edge, E)和面(Face, F)的凸多面体，因此，对一个平面图形。此公式中的常数是现在被称为欧拉示性数的图形（或其他数学对象），是有关属的对象。研究和推广这一公式，特别是通过柯西和欧莱雅Huillier，是在原点的拓扑结构。欧拉在1736年解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis），对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试（Tentamen novae theoriae musicae）》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部“为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的”著作。在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在固定规模报酬的情形下，总收入和产出将完全耗尽。在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单连通多面体的边、顶点和面之间存在的关系：                    F        −        E        +        V        =        2                      {\displaystyle F-E+V=2\,}  其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形                    M              {\displaystyle M}  ，则：                    F        −        E        +        V        =        χ        (        M        )                      {\displaystyle F-E+V=\chi (M)\,}  其中χ为此流形的欧拉示性数，在流形的连续变形下是不变量。单连通流形（例如球面或平面）的欧拉特征值是2。对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：                    F        −        E        +        V        −        C        =        1              {\displaystyle F-E+V-C=1}  ，其中                    C              {\displaystyle C}  为图中连通分支数。 數獨是歐拉發明的拉丁方的概念，在當時並不流行，直到20世紀由日本上班族鍛治真起帶起流行。