Title: ジョン・ウォリス (John Wallis)
Section: 数学
Subsection: 積分法

ウォリスの最も重要な著作 Arithmetica Infinitorum は1656年に出版された。この論文はデカルトとカヴァリエーリの解析的手法を体系化して拡張したものである。円錐曲線についての節の後、べき乗の標準的記法を自然数から有理数に次のように拡張している。                              x                      0                          =        1        ,                           x                      −            1                          =                              1            x                          ,                           x                      −            2                          =                              1                          x                              2                                                    ,                   etc.                      {\displaystyle x^{0}=1,\ x^{-1}={\frac {1}{x}},\ x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}},{\text{ etc.}}}                                x                      1                          /                        2                          =                   square root of                 x        ,                           x                      2                          /                        3                          =                   cube root of                           x                      2                          ,                   etc.                      {\displaystyle x^{1/2}={\text{ square root of }}x,\ x^{2/3}={\text{ cube root of }}x^{2},{\text{ etc.}}}                                x                      1                          /                        n                          =        n                  th root of                 x        .              {\displaystyle x^{1/n}=n{\text{th root of }}x.}                                x                      p                          /                        q                          =        q                  th root of                           x                      p                          .              {\displaystyle x^{p/q}=q{\text{th root of }}x^{p}.}  この記法の様々な代数的応用を示した後、積分法に主題を移し、y = xm という曲線と x 軸と x = h という垂線に囲まれた部分の面積が、底辺と高さが同じ平行四辺形の面積に対してこの領域の面積が常に 1/m + 1 という比率であることを証明している。彼は明らかに、y = axm という曲線についても同じことが成り立つと見なしていた（a は任意の定数、m は任意の正または負の数）。しかし、彼が論じたのは m = 2 の場合と m = −1 の場合だけで、後者についての彼の解釈は間違っている。そしてウォリスは次の形式の任意の曲線に同様の結果が得られる可能性があるとした。                    y        =                  ∑                      m                          a                  x                      m                          .              {\displaystyle y=\sum _{m}ax^{m}.}  したがって、曲線のy座標が x の様々なべき乗に展開できれば、それも同様に扱えると考えた。つまり例えば、ある曲線の式が y = x0 + x1 + x2 + … と表される場合、その面積は x + x2/2 + x3/3 + … になるとした。次に y = (x − x2)0, y = (x − x2)1, y = (x − x2)2 といった曲線の数値積分にこれを適用し、x = 0 から x = 1 までの部分を計算し、それぞれ 1, 1/6, 1/30, 1/140 などと求めている。次に y = x1/m という曲線を検討し、この曲線と x = 0 と x = 1 で囲まれた部分の面積が同じ底辺と高さの三角形の面積と m : m + 1 の比率だという定理を導いた。これは次の計算と等価である。                              ∫                      0                                1                                    x                      1                          /                        m                                  d        x        .              {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{1/m}\,dx.}  彼は m = 2 の場合について放物線を使って詳述している。続いて y = xp/q という形の曲線を論じているが、証明はしていない。ウォリスは上述の曲線の方程式を一般化するに当たって、かなりの巧妙さを見せている。しかし彼は二項定理を知らず、                    y        =                              1            −                          x                              2                                                          {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}   という式を x のべき乗の多項式に展開できなかったため、円の求積ができなかった。そこで彼は内挿の原理を使った。円の式                     y        =                              1            −                          x                              2                                                          {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}   と座標軸で囲まれる部分の面積は、                    y        =        (        1        −                  x                      2                                    )                      0                                {\displaystyle y=(1-x^{2})^{0}}   と                     y        =        (        1        −                  x                      2                                    )                      1                                {\displaystyle y=(1-x^{2})^{1}}   という曲線の幾何平均であるため、部分円の面積                               ∫                      0                                1                                                1            −                          x                              2                                                            d        x        =        π                  /                4              {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi /4}   は、次の2つの値の幾何平均で近似できると考えた。                              ∫                      0                                1                          (        1        −                  x                      2                                    )                      0                                  d        x                   and                           ∫                      0                                1                          (        1        −                  x                      2                                    )                      1                                  d        x        .              {\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{2})^{0}\,dx{\text{ and }}\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{1}\,dx.}  これらの値はそれぞれ 1 と 2/3 であり、その幾何平均は π を                     4                                                            2                3                                                    =        3.26        ⋯              {\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}=3.26\cdots }   とした場合と等価である。しかし、ウォリスは 1, 1/6, 1/30, 1/140, … という級数が実際に得られているのだから、1 と 1/6 の間で内挿される項はこの級数の法則に従うはずだと考えた。この精巧な手法をここで詳述することはできないが、内挿した項の値は次のような式と等価となる。                                          π            2                          =                              2            1                          ⋅                              2            3                          ⋅                              4            3                          ⋅                              4            5                          ⋅                              6            5                          ⋅                              6            7                          ⋯        .              {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots .}  これがウォリス積として知られている。この著作では連分数についても論じている。数年後の1659年、ウォリスはブレーズ・パスカルの提案したサイクロイドについての問題の解を含む論文を発表している。その中で Arithmetica Infinitorum で展開した理論を代数曲線の求長法に使う方法を説明している。そこで x3 = ay2 という曲線の長さを求めてみせている。この解法は1657年に弟子のウィリアム・ニールが発見した。それまで楕円や双曲線の長さを求める試みは全て失敗していたため、曲線の長さは求めることができないとされ、特にデカルトはそのように主張していた。円以外の曲線では対数螺旋の長さをエヴァンジェリスタ・トリチェリが既に求めていたが、ニールとウォリスが代数曲線にまでそれを拡張したのは画期的だった。サイクロイドの長さは1658年にクリストファー・レンが求めている。