Title: シュリニヴァーサ・ラマヌジャン (Srinivasa Ramanujan)
Section: 業績
Subsection: 円周率の公式

ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数と呼ばれる考えを元に、次の円周率の公式を発見した。                                          1            π                          =                                            2                                                2                                                                    99                              2                                                              ∑                      n            =            0                                ∞                                                              (              4              n              )              !              (              1103              +              26390              n              )                                      (                              4                                  n                                                            99                                  n                                            n              !                              )                                  4                                                                          {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(4^{n}99^{n}n!)^{4}}}}                                            4            π                          =                  ∑                      n            =            0                                ∞                                                              (              −              1                              )                                  n                                            (              4              n              )              !              (              1123              +              21460              n              )                                                      882                                  2                  n                  +                  1                                            (                              4                                  n                                            n              !                              )                                  4                                                                          {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}}  これらの公式は、収束が非常に早いものとして知られている。1985年に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただしラマヌジャンは証明を書き残していなかったので、ゴスパーの計算が正しく円周率を与えるかは保証されなかったが、得られた結果はそれまでに計算されていた円周率の値と整合したので、式の正しさのある意味で実験的な「証明」を与えたことになる。これらの式はその後に数学的に正当な方法で証明された。また、次のような円周率に関する近似式も発見している。                    π        ≈                                            2143              22                                      4                                      =        3.1415926525        ⋯              {\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\cdots }                      π        ≈                                            63                              (                                  17                  +                  15                                                            5                                                                      )                                                    25                              (                                  7                  +                  15                                                            5                                                                      )                                                    =        3.1415926538        ⋯              {\displaystyle \pi \approx {\frac {63\left(17+15{\sqrt {5}}\right)}{25\left(7+15{\sqrt {5}}\right)}}=3.1415926538\cdots }                                            1                          2              π                                                2                                                                    ≈                              1103                          99                              2                                                            ⟺                π        ≈        3.1415927        ⋯              {\displaystyle {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\approx {\frac {1103}{99^{2}}}\iff \pi \approx 3.1415927\cdots }