Title: 羅季翁·庫兹明 (Rodion Kuzmin)
Section: 成果

1928 年，庫茲明解决了由高斯（见高斯-库兹明分布）提出的以下问题：如果x是在 (0, 1) 均勻選取的隨機數，而                    x        =                              1                                          k                                  1                                            +                                                1                                                            k                                              2                                                              +                    ⋯                                                                                            {\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}  是它的连分数展开式，找到一个界限                              Δ                      n                          (        s        )        =                  P                          {                                    x                              n                                      ≤            s                    }                −                  log                      2                          ⁡        (        1        +        s        )        ,              {\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s),}  使得                              x                      n                          =                              1                                          k                                  n                  +                  1                                            +                                                1                                                            k                                              n                        +                        2                                                              +                    ⋯                                                                                      .              {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}.}  高斯認為 n 趋向到无穷則 Δn 趋于零，但他无法给出一个明确的绑定。庫茲明則證明了                              |                          Δ                      n                          (        s        )                  |                ≤        C                  e                      −            α                                          n                                                             ,              {\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq Ce^{-\alpha {\sqrt {n}}}~,}  其中 C, α > 0 是数值常数。 1929 年，保羅·皮埃爾·萊維將其边界改进为C 0.7n。1930 年，庫茲明证明了形式 ab 的数是超越数，其中a是代数， b 是實二次无理数。特别是，这个结果也意味着格爾豐德-施奈德常數                              2                                    2                                      =        2.6651441426902251886502972498731        …              {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441426902251886502972498731\ldots }  是超越的。请参阅格尔丰德-施奈德定理以了解後續的发展。他还因 庫茲明-Landau 不等式而闻名：如果                    f              {\displaystyle f}  是連線可微，導數                               f          ′                      {\displaystyle f'}  是單高的， 且满足                     ‖                  f          ′                (        x        )        ‖        ≥        λ        >        0              {\displaystyle \Vert f'(x)\Vert \geq \lambda >0}   （這裡的                     ‖        ⋅        ‖              {\displaystyle \Vert \cdot \Vert }   表示有限区间上的最近整数函数 )                     I              {\displaystyle I}   ， 則                              ∑                      n            ∈            I                                    e                      2            π            i            f            (            n            )                          ≪                  λ                      −            1                          .              {\displaystyle \sum _{n\in I}e^{2\pi if(n)}\ll \lambda ^{-1}.}