Title: 群 (The Swarm (Schätzing novel))
Section: 基本性質
Subsection: 單位元的唯一性

若群                               (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   同時有兩個單位元                     e        ∈        G              {\displaystyle e\in G}   和                               e                      ′                          ∈        G              {\displaystyle e^{\prime }\in G}   ，那根據定義裡對單位元的定義，對於任意                      g        ∈        G              {\displaystyle g\in G}   有：                    g        =        e        ∘        g        =        g        ∘        e              {\displaystyle g=e\circ g=g\circ e}                      g        =                  e                      ′                          ∘        g        =        g        ∘                  e                      ′                                {\displaystyle g=e^{\prime }\circ g=g\circ e^{\prime }}  這樣的話，把                     g              {\displaystyle g}   分別代換為                               e                      ′                                {\displaystyle e^{\prime }}   和                     e              {\displaystyle e}   就有                              e                      ′                          =        e        ∘                  e                      ′                          =                  e                      ′                          ∘        e              {\displaystyle e^{\prime }=e\circ e^{\prime }=e^{\prime }\circ e}                      e        =                  e                      ′                          ∘        e        =        e        ∘                  e                      ′                                {\displaystyle e=e^{\prime }\circ e=e\circ e^{\prime }}  所以                              e                      ′                          =        e              {\displaystyle e^{\prime }=e}  所以群的單位元是唯一的，這樣根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加新的三元函數符號                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   與以下的新公理（以下的合式公式                                           B                                {\displaystyle {\mathcal {B}}}   是 「                    ∘              {\displaystyle \circ }   是                     G              {\displaystyle G}   上的一個二元运算，且存在                     ∘              {\displaystyle \circ }   的單位元」的正式邏輯表述）                    [        ¬                              B                          ∧        (                  e                      (            G            ,                        ∘            )                          =        ∅        )        ]        ∨        [                              B                          ∧        (        ∀        g        ∈        G        )        (                  e                      (            G            ,                        ∘            )                          ∘        g        =        g        ∘                  e                      (            G            ,                        ∘            )                          =        g        )        ]              {\displaystyle [\neg {\mathcal {B}}\wedge (e_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {B}}\wedge (\forall g\in G)(e_{(G,\,\circ )}\circ g=g\circ e_{(G,\,\circ )}=g)]}  這條公理直觀上表示，只要「                    ∘              {\displaystyle \circ }   是                     G              {\displaystyle G}   上的一個二元運算，且存在                     ∘              {\displaystyle \circ }   的單位元」，就可以用                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   這個符號簡記 「                              (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   上的那個唯一單位元」，否則取                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   為空集。為了簡便起見，                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   通常記為                               e                      G                                {\displaystyle e_{G}}   甚至是                     e              {\displaystyle e}   。