Title: 群 (The Swarm (Schätzing novel))
Section: 基本性質
Subsection: 逆元的唯一性

在增添以上的新函數符號                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   和新公理的情況下，就可以證明逆元素的唯一性。若群                               (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   的某元素                     g        ∈        G              {\displaystyle g\in G}   有兩個逆元                     γ        ∈        G              {\displaystyle \gamma \in G}   和                                                          γ              ¯                                      ∈        G              {\displaystyle {\bar {\gamma }}\in G}   ，那根據定義和                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   的新公理有                              e                      G                          =        g        ∘        γ        =        γ        ∘        g              {\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma =\gamma \circ g}                                e                      G                          =        g        ∘                  γ                      ′                          =                  γ                      ′                          ∘        g              {\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma ^{\prime }=\gamma ^{\prime }\circ g}  那這樣的話，依據定義裡的结合律和                               e                      (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}   的新公理有                                                                                                                                    γ                      ¯                                                                                                                  =                                                                            γ                      ¯                                                                      ∘                                  e                                      G                                                                                                                                    =                                                                            γ                      ¯                                                                      ∘                (                g                ∘                γ                )                                                                                                  =                (                                                                            γ                      ¯                                                                      ∘                g                )                ∘                γ                                                                                                  =                                  e                                      G                                                  ∘                γ                                                                                                  =                γ                                                          {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\gamma }}&={\bar {\gamma }}\circ e_{G}\\&={\bar {\gamma }}\circ (g\circ \gamma )\\&=({\bar {\gamma }}\circ g)\circ \gamma \\&=e_{G}\circ \gamma \\&=\gamma \end{aligned}}}  所以任意                     g        ∈        G              {\displaystyle g\in G}   只有一個逆元。這樣根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加一個三元函數符號                                                         g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}   與以下的新公理（以下的合式公式                                           D                                {\displaystyle {\mathcal {D}}}   是 「                               (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   為一群，且                     g        ∈        G              {\displaystyle g\in G}   」的正式邏輯表述）                    [        ¬                              D                          ∧        (                                            g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                          =        ∅        )        ]        ∨        [                              D                          ∧        (                                            g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                          ∘        g        =                                            g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                          ∘        g        =                  e                      G                          )        ]              {\displaystyle [\neg {\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g={g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g=e_{G})]}  這條公理直觀上表示，只要「                               (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   為一群，且                     g        ∈        G              {\displaystyle g\in G}   」，就可以用                                                         g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}   簡記 「                    g              {\displaystyle g}   在                               (                      G            ,                        ∘                    )                      {\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}   上對應的那個唯一逆元素」，否則取                                                         g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}   為空集。簡便起見，                                                         g                              −                1                                                          (            G            ,                        ∘            )                                {\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}   通常記為                               g                      −            1                                {\displaystyle g^{-1}}  。