Title: 確率論 (A Treatise on Probability)
Section: 基礎概念の数学的定義
Subsection: 確率空間の例

=コインを投げて裏と表が出る確率がそれぞれ 1/2 であることを、確率空間として表すと例えば次のようになる。                    Ω        :=        {        0        ,        1        }              {\displaystyle \Omega :=\{0,1\}}  ,                                          F                          :=                  2                      Ω                          =        {        ∅        ,        {        0        }        ,        {        1        }        ,        {        0        ,        1        }        }              {\displaystyle {\mathcal {F}}:=2^{\Omega }=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}  ,                    P        (        {        0        }        )        =        P        (        {        1        }        )        =                              1            2                                {\displaystyle P(\{0\})=P(\{1\})={\frac {1}{2}}}  とする。0 を裏、1 を表と考えると確率空間                     (        Ω        ,                              F                          ,        P        )              {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}   はコイントスのモデルとなっている。ここでもう一つ違う表現を考える。                                                        Ω              ~                                      :=        [        0        ,        1        ]        ,              {\displaystyle {\tilde {\Omega }}:=[0,1],}                                                                          F                            ~                                            {\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}}  ：ボレル集合族、                                                        P              ~                                            {\displaystyle {\tilde {P}}}  ：ルベーグ測度とする。さらに確率変数                     X        :                                            Ω              ~                                      →        {        0        ,        1        }              {\displaystyle X:{\tilde {\Omega }}\rightarrow \{0,1\}}   を                    X        (        ω        )        =                              {                                                            0                                                                      if                                     ω                  ∈                  [                  0                  ,                  1                                      /                                    2                  ]                                                                              1                                                                      if                                     ω                  ∈                  (                  1                                      /                                    2                  ,                  1                  ]                                                                                      {\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}0&{\text{if }}\omega \in [0,1/2]\\1&{\text{if }}\omega \in (1/2,1]\end{cases}}}  と定義する。すると                                                                         P                ~                                                          X                          =        P              {\displaystyle {\tilde {P}}_{X}=P}   であり、X は確率空間                     (                                            Ω              ~                                      ,                                                            F                            ~                                      ,                                            P              ~                                      )              {\displaystyle ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {P}})}   上に定義されたコイントスを表す確率変数であると言える。ここで、さらに確率変数                     Y        :                                            Ω              ~                                      →        {        0        ,        1        }              {\displaystyle Y:{\tilde {\Omega }}\rightarrow \{0,1\}}   を                    Y        (        ω        )        =                              {                                                            0                                                                      if                                     ω                  ∈                  [                  0                  ,                  1                                      /                                    4                  ]                  ∪                  (                  1                                      /                                    2                  ,                  3                                      /                                    4                  ]                                                                              1                                                                      if                                     ω                  ∈                  (                  1                                      /                                    4                  ,                  1                                      /                                    2                  ]                  ∪                  (                  3                                      /                                    4                  ,                  1                  ]                                                                                      {\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}0&{\text{if }}\omega \in [0,1/4]\cup (1/2,3/4]\\1&{\text{if }}\omega \in (1/4,1/2]\cup (3/4,1]\end{cases}}}  と定義してみる。再び                                                                         P                ~                                                          Y                          =        P              {\displaystyle {\tilde {P}}_{Y}=P}   であるので、これもコイントスを表す確率変数である。実は、確率空間                     (                                            Ω              ~                                      ,                                                            F                            ~                                      ,                                            P              ~                                      )              {\displaystyle ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {P}})}   上に同時に定義されたこの確率変数 X と Y は二つの独立なコイントスを表している。例えば、二枚とも裏が出る確率は                                                         P              ~                                      (        X        =        0        ,        Y        =        0        )        =                                            P              ~                                      (        [        0        ,        1                  /                4        ]        )        =        1                  /                4              {\displaystyle {\tilde {P}}(X=0,Y=0)={\tilde {P}}([0,1/4])=1/4}   という具合になる。もう少し厳密に書くと、確率変数                     Z        :                                            Ω              ~                                      →        {        0        ,        1                  }                      2                                {\displaystyle Z\colon {\tilde {\Omega }}\rightarrow \{0,1\}^{2}}   を                    Z        (        ω        )        :=        (        X        (        ω        )        ,        Y        (        ω        )        )              {\displaystyle Z(\omega ):=(X(\omega ),Y(\omega ))}  と定義すると、Z が二枚の独立なコイントスを表しているということである。