Title: 概念記法 (Begriffsschrift)
Section: 祖先関係

「系列の一般理論の若干のトピックス」という題名の第3章の主要な成果は,今日,祖先関係と呼ばれるものに関連している。フレーゲは,xに手続きfを適用した結果がyであることを,                    ⊢        f        (        x        ,        y        )              {\displaystyle \vdash f(x,y)}  と表す（この記事では,現代記法で,xfy と書く）。また,フレーゲは,「xが性質Fを持ち,かつ,xに手続きfを適用した結果もつねに性質Fを持つ」とき,「性質Fはf系列において遺伝的である」（この記事では,Her(F)と書く）と言う。                    ∀        x        (        F        x        →        ∀        y        (        x        f        y        →        F        y        )        )        ≡        H        e        r        (        F        )              {\displaystyle \forall x(Fx\to \forall y(xfy\to Fy))\equiv Her(F)}  である。また,この記事では,「f系列でのxのすべての子ども（xに手続きfを適用した結果のすべて）が性質Fを持つ」ことをIn(x,F)と書く。すなわち,                    ∀        a        (        x        f        a        →        F        a        )        ≡        I        n        (        x        ,        F        )              {\displaystyle \forall a(xfa\to Fa)\equiv In(x,F)}  である。フレーゲは命題76で,xに手続きfを適用した結果のすべてが持つあらゆる遺伝的性質を,yが持つとき,「xはyの祖先である」あるいは「yはxの子孫である」（xf*yと書く）と定義した。76:                     ⊩        ∀        F        [        H        e        r        (        F        )        →        (        I        n        (        x        ,        F        )        →        F        y        )        ]        ≡        x                  f                      ∗                          y              {\displaystyle \Vdash \forall F[Her(F)\to (In(x,F)\to Fy)]\equiv xf^{*}y}  .                    ⊢        F        x        →        [        H        e        r        (        F        )        →        x                  f                      ∗                          y        ∨        y        =        x        →        F        y        )        ]              {\displaystyle \vdash Fx\to [Her(F)\to xf^{*}y\vee y=x\to Fy)]}  .が得られるが,これは数学的帰納法の原理を与えるものである。命題98は,祖先関係が推移的であることを示す。98:                     ⊢        x                  f                      ∗                          y        →        (        y                  f                      ∗                          z        →        x                  f                      ∗                          z        )              {\displaystyle \vdash xf^{*}y\to (yf^{*}z\to xf^{*}z)}  .命題99は,「zは,xで始まるf系列に属する」（この記事では,xf*=z と書く）とは,「zは,xであるか,または,xの子孫である」ことと定義している。99:                    ⊩        x                  f                      ∗                          z        ∨        z        =        x        ≡        x                  f                      ∗                          =        z              {\displaystyle \Vdash xf^{*}z\vee z=x\equiv xf^{*}=z}  命題115は,「fは関数的な（多対一の,一意的な）手続きである」（この記事ではFN(f)と書く）とは,yがxへの手続きfの適用結果であり,手続きfをxへ適用した結果がすべてyと同じであること,と定義している。115:                     ⊩        ∀        y        ∀        x        [        x        f        y        →        ∀        z        (        x        f        z        →        y        =        z        )        ]        ≡        F        N        (        f        )              {\displaystyle \Vdash \forall y\forall x[xfy\to \forall z(xfz\to y=z)]\equiv FN(f)}  .最後の命題133は,手続きfが関数的で,mとyがf系列でxの子孫であるとき,yはmの祖先であるか,またはmで始まるf系列に属することを示す。133:                     ⊢        F        N        (        f        )        →        [        x                  f                      ∗                          m        →        (        x                  f                      ∗                          y        →        y                  f                      ∗                          m        ∨        m                  f                      ∗                          =        y        )              {\displaystyle \vdash FN(f)\to [xf^{*}m\to (xf^{*}y\to yf^{*}m\vee mf^{*}=y)}  .フレーゲは,祖先関係の成果を含む『概念記法』の成果を,後の仕事『算術の基礎』に適用した。