Title: 一般相対性理論 (General Relativity (book))
Section: 一般相対性理論の内容
Subsection: 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件

一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元のリーマン多様体として扱われる。可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。一般共変性の仮定リーマン多様体を導入することで、一般共変性の仮定は、というように、リーマン多様体上で定義されるテンソル概念の性質として定式化できるようになる。局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定リーマン幾何学によれば、リーマン多様体上の無限に近い2点間の距離 ds は                    d                  s                      2                          =                  g                      i            j                          d                  x                      i                          d                  x                      j                                {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}  の平方で与えられる。この ds を4次元空間の無限に近い点に属する線素 (line element) の大きさと呼ぶが、これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、ミンコフスキーが指摘した4次元空間における不変量                    d                  s                      2                          =                  c                      2                          d                  t                      2                          −        d                  x                      2                          −        d                  y                      2                          −        d                  z                      2                                {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}  と一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル gij は、                              g                      t            t                          =        1        ,                           g                      x            x                          =                  g                      y            y                          =                  g                      z            z                          =        −        1              {\displaystyle g_{tt}=1,~g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=-1}  行列形式で描けば、                                          (                                                            1                                                  0                                                  0                                                  0                                                                              0                                                  −                  1                                                  0                                                  0                                                                              0                                                  0                                                  −                  1                                                  0                                                                              0                                                  0                                                  0                                                  −                  1                                                      )                                {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}  となることが要請される。これはより一般的な表現として、有限で常に負の値をもつ基本計量テンソルの行列式 g = det(gij) に対する次の条件                                          −            g                          =        1              {\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}  という形で条件として求められる。