Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: 勾配、回転、発散

=1パラメーター変換をもちいると、発散divを幾何学的に意味づける事ができる。Φu(x' )を成分で y1(x' ), y2(x' ), y3(x' ), と書くことにすると、体積要素はヤコビアンを用いて                    d        ⁡                  y                      1                          d        ⁡                  y                      2                          d        ⁡                  y                      3                          =                  |                                                    d                ⁡                                  Φ                                      u                                                                              d                ⁡                                  x                                                              |                d        ⁡                  x                      1                          d        ⁡                  x                      2                          d        ⁡                  x                      3                                {\displaystyle \operatorname {d} y_{1}\operatorname {d} y_{2}\operatorname {d} y_{3}=\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|\operatorname {d} x_{1}\operatorname {d} x_{2}\operatorname {d} x_{3}}  という関係式を満たす。すなわち、 Φuは点xにおいて微小体積を体積比                              |                                                    d                ⁡                                  Φ                                      u                                                                              d                ⁡                                  x                                                              |                      {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|}  で変換する写像である。ヤコビの公式より、                                          ∂                          ∂              u                                                |                                                    d                ⁡                                  Φ                                      u                                                                              d                ⁡                                  x                                                              |                =        tr        ⁡                  (                                                                                                                d                      ⁡                                              Φ                                                  u                                                                                                            d                      ⁡                                              x                                                                              ~                                                                                    ∂                                  ∂                  u                                                                                                      d                  ⁡                                      Φ                                          u                                                                                        d                  ⁡                                      x                                                                                )                      {\displaystyle {\partial  \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|=\operatorname {tr} \left({\widetilde {\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }}{\partial  \over \partial u}{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)}  ここで、                                                        A              ~                                            {\displaystyle {\tilde {A}}}  はAの余因子行列である。Φ0は恒等写像なので、Iを単位行列とすると、1パラメーター変換の定義より、                                          ∂                          ∂              u                                                            |                                                            d                  ⁡                                      Φ                                          u                                                                                        d                  ⁡                                      x                                                                        |                                u            =            0                          =        tr        ⁡                  (                                                                      I                  ~                                                                                                      d                  ⁡                                      X                                                                    d                  ⁡                                      x                                                                                )                =        div        ⁡                  X                      {\displaystyle {\partial  \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|_{u=0}=\operatorname {tr} \left({\tilde {I}}{\operatorname {d} \mathbf {X}  \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)=\operatorname {div} \mathbf {X} }  すなわち、div Xは 微小体積の1パラメーター変換による変化率を表している。