Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: スカラー場の線積分

=Fをスカラー場とし、 ユークリッド空間上の曲線Cが                              x                (        u        )        =        (                  x                      1                          (        u        )        ,                  x                      2                          (        u        )        ,                  x                      3                          (        u        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))}  、u∈[a,b]とパラメーター表示されているとする。積分                    I        =                  ∫                      a                                b                          F        (                  x                (        u        )        )                  ‖                                                                      d                  ⁡                                      x                                                                    d                  ⁡                  u                                                      (            u            )                    ‖                d        ⁡        u              {\displaystyle I=\int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} u}(u)\right\|\operatorname {d} u}  を曲線Cに沿ったスカラー場Fの線積分という。線積分の定義はCとその向き付けには依存するが、同じ向き付けを与える限りパラメーターの取り方に依存しない。実際曲線Cを別のパラメーターwに                               x                (        w        )        =        (                  x                      1                          (        u        (        w        )        )        ,                  x                      2                          (        u        (        w        )        ,                  x                      3                          (        u        (        w        )        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (w)=(x_{1}(u(w)),x_{2}(u(w),x_{3}(u(w)))}  、w∈[c,d]と変数変換して同様の積分                    J        =                  ∫                      c                                d                          F        (                  x                (        w        (        u        )        )        )                  ‖                                                    d                ⁡                                  x                                (                u                (                w                )                )                                            d                ⁡                w                                              ‖                d        ⁡        w              {\displaystyle J=\int _{c}^{d}F(\mathbf {x} (w(u)))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} (u(w)) \over \operatorname {d} w}\right\|\operatorname {d} w}  を考えると、この変数変換が曲線の向きを変えないとき、すなわち                                                        d              ⁡              u                                      d              ⁡              w                                      >        0              {\displaystyle {\operatorname {d} u \over \operatorname {d} w}>0}  が恒等的に言えるときには                                                                        J                                            =                                                      ∫                                          c                                                              d                                                        F                  (                                      x                                    (                  u                  (                  w                  )                  )                  )                                      ‖                                                                                            d                          ⁡                                                      x                                                                                                    d                          ⁡                          w                                                                                      |                                    d                  ⁡                  w                                                                                                  =                                                      ∫                                          a                                                              b                                                        F                  (                                      x                                    (                  u                  (                  w                  )                  )                  )                                      |                                                                                            d                          ⁡                                                      x                                                                                                    d                          ⁡                          u                                                                                      ‖                                                                                                      d                        ⁡                        u                                                                    d                        ⁡                        w                                                                              d                  ⁡                  w                                                                                                  =                                                      ∫                                          a                                                              b                                                        F                  (                                      x                                    (                  u                  )                  )                                      ‖                                                                                            d                          ⁡                                                      x                                                                                                    d                          ⁡                          u                                                                                      ‖                                    d                  ⁡                  u                                                                                                  =                I                                                          {\displaystyle {\begin{array}{ll}J&=\displaystyle \int _{c}^{d}F(\mathbf {x} (u(w)))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} w}\right|\operatorname {d} w\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u(w)))\left|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} u}\right\|{\operatorname {d} u \over \operatorname {d} w}\operatorname {d} w\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u\\&=I\end{array}}}  が成立する。そこで線素dsを                    d        ⁡        s        :=        ‖        d        ⁡                  x                ‖        =                              d            ⁡                          x                              1                                                                                                2                                      +            d            ⁡                          x                              2                                                                                                2                                      +            d            ⁡                          x                              3                                                                                                2                                                          {\displaystyle \operatorname {d} s:=\|\operatorname {d} \mathbf {x} \|={\sqrt {\operatorname {d} x_{1}{}^{2}+\operatorname {d} x_{2}{}^{2}+\operatorname {d} x_{3}{}^{2}}}}  と定義し、スカラー場の線積分を                              ∫                      C                          F        d        ⁡        s              {\displaystyle \int _{C}F\operatorname {d} s}  と表記する。Cの始点と終点が一致するとき（すなわちCが閉曲線のとき）はそのことを強調して                              ∮                      C                          F        d        ⁡        s              {\displaystyle \oint _{C}F\operatorname {d} s}  とも表記する。