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Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 作品評価・解釈

『太陽の季節』は発表当時、新しい風俗として話題作となり、賛否両論で文壇を賑わせたが、文学的な観点からの本格的な論究はあまり多くはない。この件について、奥野健男は文庫版の解説の中で「既成の文学者たちが、先入観を持ってこの作品を否定的に眺め、まともに取り上げようとしなかったため」と分析している。「新しい風俗」とされたことについても奥野は「このような風俗は昔から避暑地にはざらに転がっていた。ただ世間も作家もそれを知らなかっただけ」としている。山本健吉は、「スポーツ青年の無道徳な生態」を描いた『太陽の季節』について、以下のように評している。村松剛は、三島由紀夫の『沈める滝』のドライ青年の主人公・昇が、その3か月後発表の『太陽の季節』の主人公の先駆的存在となっているとし、三島の文体が石原に影響したことを指摘している。『太陽の季節』が発表された時期、三島由紀夫は随筆の中で、学生や学校を卒業したばかりの人の中にもいる「通人」が、その知識を披露する時に能弁になり、無意識に「不自然な老い」を装う傾向となり、かつて自分自身も「学生文学通的文章」を書いていたため、そういった「若い趣味人」の文章に出会うと恥ずかしい思いがあると語り、「学生にふさはしい趣味は、おそらくスポーツだけであらう。そして学生にふさはしい文章は、その清潔さにおいて、アスリート的文章だけであらう。どんなに華美な衣裳をつけてゐても、下には健康な筋骨が、見え隠れしてゐなくてはならない」と考察しながら、「最近私は、『太陽の季節』といふ学生拳闘選手のことを書いた若い人の小説を読んだ。よしあしは別にして、一等私にとつて残念であつたことは、かうした題材が、本質的にまるで反対の文章、学生文学通の文章で、書かれてゐたことであつた」と評している。また『太陽の季節』発表5年後に三島はこれを本格解説し、あらためて読み返すと、多くのスキャンダルを捲き起した作品にもかかわらず、「純潔な少年小説」、「古典的な恋愛小説」としてしか読めないことに驚いたとし、「『太陽の季節』の性的無恥は、別の羞恥心にとつて代られ、その徹底したフランクネスは別の虚栄心にとつて代られ、その悪行は別の正義感にとつて代られ、一つの価値の破壊は別の価値の肯定に終つてゐる。この作品のさういふ逆説的性格が、ほとんど作者の宿命をまで暗示してゐる点に、『太陽の季節』の優れた特徴がある」と評しながら、極度に「〈愛〉といふ観念」を怖れる竜哉は、「〈愛〉といふ観念」に奉仕するため恋愛をする「ロマンチック文学の恋人たち」とは逆だが、それはオクターヴ（スタンダールの『アルマンス』の主人公）が不能のために「〈愛〉といふ観念」を怖れるのと同様、男女関係の進行過程に、「いやでも〈愛〉が顔を出さなければならぬといふ強迫観念」を読者に与え、それは一般的な恋愛小説の主人公が「〈心ならずも〉愛するにいたるサスペンス」と同じで、『太陽の季節』では、「英子の死」により、「〈愛〉はあからさまにその顔を現はす」と説明し、「ここに小説家の工みがあるけれど、こんな救ひのために、『太陽の季節』は作品として本質的な恐怖をもたらさない」とし、その代りに竜哉の「たえざる恐怖」が深い印象を与えると解説している。また、一定の系列がある「竜哉の恐怖の対象」は、「情熱の必然的な帰結である退屈な人生」と、「情熱が必然的な帰結を辿らなかつたときの、人生と共に永い悔恨」の二つで、「この二つのどちらか一つを、人は選ぶやうに宿命づけられてゐる」と三島は説明し、『太陽の季節』が「夏の短かいさかりのやうな強烈で迅速な印象」を与えたのは、この二つの「恐怖」に対する青年層の共感があり、象徴的意味を看取したためで、竜哉が「〈愛〉の観念の純粋性」を救うためには、「愛の対象」（英子）が死に、竜哉自身は「悔恨」に沈まなければならず、竜哉が「〈愛〉の観念」を全面的に受け入れるなら、「世俗に屈服」し、古い慣習的な象徴であるところの〈丹前をはだけ〉て子供を抱かなければならないという、「観念的な図式」が明確に作品に示されていると解説している。また、作者・石原が意図した、その観念的図式の構成とは無関係に、竜哉が別の顔を見せる細部の美しい挿話について、以下のように評している。さらに三島は、『太陽の季節』はスキャンダラスどころか、「つつましい羞恥にみちた小説」ではないかと提起し、障子紙を破って突き出される男根の場面も、「中年の図々しい男なら、そのまま障子をあけて全身をあらはす筈」だとし、英子の愛に素直になれない竜哉の「羞恥」について以下のように解説している。そして、その「〈愛〉の不可能と〈現実〉との関はり合ひ」という石原の「もつとも大切な主題」は、のちに発展して秀作『亀裂』を生むと三島は解説している。中森明夫は、『太陽の季節』の主人公・竜哉の「心性」は、「〈おたく〉（個に自閉して、他者性を欠いた心性のありようの総体）」の「メンタリティー」と極めて近く、それはいわば、「もてる〈おたく〉、アクティブな〈おたく族〉」と呼べるかもしれないとし、「〈おたく〉の誕生は豊かな社会―すべて（物質的に）満たされている、ゆえに個に引きこもり、他者性を欠いて、決して（精神的に）満たされることのない社会―という存在条件が不可欠」であるゆえに、「『太陽の季節』の主人公の心性と存在環境は、〈おたく〉の誕生に三十年は先行していたとも言える」と考察している。また中森は、オウム真理教による地下鉄サリン事件（「おたく世代のテロ犯罪」とも呼ばれた）の、「すべて満たされている、ゆえに変化のない日常の息苦しさに耐えられず、世界破壊を夢見る若者たちが現れる―という透視図」は、1950年代後半の石原慎太郎の『亀裂』と、三島由紀夫の『鏡子の家』、1960年のフェデリコ・フェリーニ監督の『甘い生活』にすでに先見的に描かれていたと分析している。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 太陽族と映倫

『太陽の季節』の芥川賞受賞を受けて『週刊東京』誌で行なわれた石原慎太郎と大宅壮一の対談で、大宅が「太陽族」との言葉を用いたことから、特に夏の伊豆〜湘南の海辺や上高地で無秩序な行動をとる享楽的な若者（慎太郎刈りにサングラス、アロハシャツの格好をした男性の不良集団）のことを指す言葉として流行語化した。なおアロハシャツとサングラスは以前のアロハ族（アプレ族）より引き継がれている。なお太陽族の女性はスカートやワンピースの下にペチコートを履いた落下傘スタイルとなっており、こちらもアプレ族の延長となっていたとされる。また、本作の映画化に続き制作された、同じく石原慎太郎原作の『処刑の部屋』（1956年6月公開）、『狂った果実』（1956年7月公開）を「太陽族映画」と称して、未成年者の観覧を禁止するなどの自主規制が各地で実施され、社会現象ともなった。この「太陽族映画」規制の問題は、映画業界以外の第三者を加えた、現在の映画倫理委員会（映倫）が作られるきっかけとなった。規制の背景として「太陽族映画」を観て影響を受けたとして、青少年が強姦や暴行、不健全性的行為など様々な事件を起こし社会問題化した ことが挙げられる。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 映画

1956年（昭和31年）の日活作品。ストーリーは原作にほぼ忠実。なお、原作者の弟である石原裕次郎が脇役として出演しており、これがデビュー作であった。裕次郎はもともと原作に登場する文化風俗などを兄に代わってアドバイスする考証スタッフとして関わっていたが、役者の数が足りなくなったため急遽出演することになったという。この映画は、長門裕之と南田洋子が結婚するきっかけともなった。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 映画
Subsection: キャスト

津川竜哉 - 長門裕之武田英子 - 南田洋子津川道久 - 三島耕津川洋一 - 清水将夫津川稲代 - 坪内美詠子江田 - 佐野浅夫バンドマスター - 岡田眞澄伊豆 - 石原裕次郎サッカー選手 - 石原慎太郎深江章喜
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 映画
Subsection: スタッフ

監督 - 古川卓巳製作 - 水の江瀧子音楽 - 佐藤勝
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: アニメ

青春アニメ『太陽の季節』（日本テレビ）1986年（昭和61年）9月19日 金曜日 19:00 - 19:30脚本：永原秀一。総監督：黒川文男。演出：石黒昇。音楽：山本純ノ介。製作：本橋浩一。主題歌：ダ・カーポ「青春は舟」「ため息」（作詞：なかにし礼。作曲：坂田晃一。編曲：島津秀雄）※ 「アニメ文学館」（全15巻）の第4巻（田中英光『オリンポスの果実』と合わせて）としてビデオ（VHS、DVD）発売。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: アニメ
Subsection: キャスト

和泉英子 - 石田えり津川竜哉 - 矢尾一樹津川道久 - 森功至江田 - 堀内賢雄西村 - 西村知道松本 - 小野健一サリー - 横尾まり幸子 - 富沢美智恵由紀 - 堀越真己
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ

2002年7月7日から9月15日まで毎週日曜日21:00 - 21:54に、TBS系列の「東芝日曜劇場（現・日曜劇場）」枠で放送された、同枠初のハイビジョン制作作品。石原の小説から題名と一部の登場人物の名前だけを頂いた物で、内容は全くのオリジナル作品。銀行に融資を打ち切られて自殺に追い込まれた父の仇をとるため、その銀行家の息子からすべてを奪おうとする主人公・竜哉の復讐劇と、交差点で偶然出会った足に障害を持つ少女・英子との切ない恋愛を描く。このドラマを最後に東芝がスポンサーを降り（2009年10月クールの「JIN-仁-」より、複数スポンサーの一社として復帰）、東芝日曜劇場は「日曜劇場」と名称を変更した。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: キャスト

年齢は公式サイトにて
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: キャスト

=津川竜哉〈20〉演 - 滝沢秀明（小学生時：薮宏太）慶徳大学3年生。父は借金を抱えて倒産の末、自殺。以来母親の手で育てられた。竜哉はバイトで家計を助けながら必死で勉強。奨学金を獲得して、都内有数の私立大学・慶徳大学経済学部に進学する。父は気が優しく、真面目で正義感にあふれていたが、人に騙され、悲惨な最期を迎えた。だからこそ、自分は父のようにはなりたくない。人生の勝ち組になってやる。そう心に誓った竜哉は、自分も裕福な息子だと偽り、慎二ら内部生に近づいていく。全てを持っている慎二に嫉妬し、慎二の婚約者であり小宮山グループ令嬢の由紀に近づくが、ある日、英子と出会い、自分を理解してくれる彼女に安心感を覚えるようになる。和泉英子〈20〉演 - 池脇千鶴ピアニスト・和泉響子の娘として生まれてきた英子。幼いころから響子によるピアノのレッスンを受けたが才能のなさゆえに、ピアニストになることを断念。そんな英子の楽しみは、家で子供たちにピアノを教えること。そして、作曲をすることだった。そんなある日、竜哉と出会った英子は彼の本来の姿を見抜き、一途に竜哉を愛するようになる。川野耕平〈20〉演 - 岡田義徳（小学生時：堀沢憲己）慶徳大学1年生で、大学の駅伝部に所属。竜哉の幼なじみ。唯一竜哉の過去を知る男。小学生の時、いじめられっ子だった耕平をかばってくれたのが竜哉で、以来二人は無二の親友となるが、中学の途中で耕平は転校してしまう。走ることが好きで、将来ランナーを目指し、駅伝の強い慶徳大学の体育推薦を目指すが失敗。2浪の末、入学した。大学で再会した竜哉は別人のように冷たく、耕平との過去を否定する。佐原慎二〈20〉演 - 高岡蒼佑慶徳大学3年生。若葉銀行頭取の次男で仲間内でもナンバーワンの家柄。世間知らずの苦労知らずで温室育ちゆえ、人を疑うことを知らず、竜哉のことも全く疑うことなく、本当の友達だと思っている。そして、竜哉が由紀を奪おうとしていることにも気付いていない。小宮山由紀〈20〉演 - 松本莉緒桜女学院文学部3年生。慎二の幼なじみであり婚約者。小宮山不動産の社長令嬢で成金の一人娘。慎二から竜哉を紹介され、どこか陰のある、強引な竜哉にどんどん惹かれてゆく。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: キャスト

=津川路子〈48〉演 - 宮崎美子竜哉の母。夫とは恋愛結婚し、幸せな結婚生活を送っていた。しかし、夫が借金を残したまま自殺。相続放棄した路子は、息子・竜哉を連れて夫と暮らした町を後にして故郷に戻った。以来、女手ひとつで竜哉を育て上げる。津川伊織演 - 吹越満竜哉の父。故人。小さなプレス工場を細々と経営していた。家族思いで気が優しく、正義感あふれた理想の父親だった。しかし、工場の経営に失敗、資金繰りが悪化してしまう。竜哉が小学4年生の時、二人を残して自殺を遂げる。平野民代〈38〉演 - 高橋ひとみ和泉家に使える住み込みの家政婦。響子に憧れ、少しでもそばにいたくて和泉家の家政婦を志望した。ゆえに主人の響子には絶対服従である一方、その娘の英子に対しては非常に厳格。和泉響子〈46〉演 - 松坂慶子英子の母。かつては注目されたピアニストだったが、最近では世間の辛らつな批評と自分の能力の限界に苦しんでいる。ストイックな響子が立った一度だけ激しい恋に落ちた。だが、男は響子の元から去っていった。妊娠していた響子はたった一人で子供を産み育てることを決意する。英子の右足が事故で不自由になってしまったことに責任を感じ、必要以上に過保護になる。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: キャスト

=本城直人〈20〉演 - 忍成修吾慶徳大学3年生。プレイボーイ、かつマメ男。携帯電話のメモリーの9割は女友達の電話番号。官僚の息子で、小学校から、慎二・吉彦・笙子たちとはずっと一緒の学校で学んできた。慎二とは特に仲がよく、唯一リスペクトしている。しかし、竜哉の登場以降、今まで自分が占めていたポジションに竜哉を置くようになり、嫉妬とも羨みともいえる感情を抱くようになる。小田切吉彦〈20〉演 - 新井浩文慶徳大学3年生。大学付属小学校からエスカレーター式に上がってきた内部生。小田切総合病院・院長の長男で一度は医学部を目指したが、理系科目が苦手で挫折。今も追試を受けてはギリギリパスの繰り返し。慎二や直人は女にモテるのに何故か吉彦だけがモテない。白川笙子〈20〉演 - 石橋けい慶徳大学3年生。大学付属小学校からエスカレーター式に上がってきた内部生。ホテル王の一人娘で、プライドが高く独特の特権意識を持っている。慎二たちとは、男女の関係を超えた仲間意識を持っている。大森隆夫〈19〉演 - 森本亮治慶徳大学一年生。駅伝部に所属し、日々練習に励んでいる。浅野哲也〈19〉演 - 平田竜也慶徳大学一年生。駅伝部に所属し、日々練習に励んでいる。内田太一〈19〉演 - 小野健太郎慶徳大学一年生。駅伝部に所属し、日々練習に励んでいる。上島利久〈27〉演 - 大倉孝二慶徳大学駅伝部の熱血コーチ。一年生の強化訓練担当。慶徳大学のOBで、箱根駅伝に出場した経験を持つ。夢は「慶徳大学黄金期の復活」。幽霊部員である竜哉の才能を見抜く。
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: キャスト

=小宮山亮三〈60〉演 - 浜田晃小宮山不動産社長。由紀の父。由紀のことを溺愛している。町の小さな店舗から、一代で財を成した日本有数の総合デベロッパーに育て上げた平民上がりの叩き上げ。全て自ら決めてしまう成金のワンマン社長。そのワンマン体質と単純な性格が社内にはびこり、それが最近の業績悪化につながっている。折原要〈41〉演 - 遠藤憲一亮三が経営する小宮山不動産の事業部長。「湾岸再開発プロジェクト」の陣頭指揮に当たっている。社長に能力を買われ、快調にキャリアを伸ばしてきた。実力で全てつかみ、今の地位を獲得してきた。そんなある日、昔の自分と同じ目をした青年・竜哉と出会う。橘医師〈35〉演 - 深江卓次英子の担当医で十年以上英子を診ている。村山奈美演 - 岩下貴子桜井あゆな〈12〉演 - 柳英里紗英子が教えるピアノ教室の生徒。響子と民代のことは苦手。沢木マネージャー〈30〉演 - 乃木涼介響子のマネージャー。ピアニストとしての響子の人気の低下に焦りを感じている。柴田聖美〈20〉演 - 石田理恵桜女学院大学3年生で由紀の友だち。安藤はるか〈20〉演 - 松本まりか桜女学院大学3年生で由紀の友だち。藤枝演 - 森下哲夫樋口透演 - 池田努佐原恒夫演 - 浅沼晋平佐原良江演 - 木村翠美佐子演 - 大島蓉子
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: スタッフ

脚本 - 渡邉睦月、岡本貴也音楽 - 長谷部徹演出 - 土井裕泰、吉田健、梶原紀尚、加藤新主題歌 - 滝沢秀明「キ・セ・キ」スタントコーディネート - 釼持誠松坂慶子 衣装デザイン - 渡辺雪三郎
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: テレビドラマ
Subsection: 受賞歴

第34回ザテレビジョンドラマアカデミー賞主演男優賞（滝沢秀明）助演女優賞（池脇千鶴）タイトルバック賞（髙田弘隆）
Title: 太陽の季節 (Season of the Sun)
Section: 後の影響

1981年にはサザンオールスターズがこの作品に由来する名前のアルバム『ステレオ太陽族』をリリースし、1987年には荻野目洋子が『湾岸太陽族』をリリースした。また2012年（平成24年）11月13日に設立された『太陽の党』は石原慎太郎前東京都知事がたちあがれ日本を改組する形で旗揚げした政党で、この作品にちなんで命名された。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: abstract

ベクトル解析（ベクトルかいせき、英語：vector calculus）は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析が特によく用いられるが、ベクトル解析は一般のn次元多様体上で展開できる。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: ベクトル場とスカラー場

=3次元ユークリッド空間                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  上のベクトル場Xとは、                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  上の各点Pに対し、Pを始点とする3次元ベクトルX(P)を対応させる写像のことである。本項では特に断りのない限り、この写像がPに関して滑らかな場合を考える。すなわち、                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  の座標を使って                              X                (        P        )        =        (                  X                      1                          (                  x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                          )        ,                  X                      2                          (                  x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                          )        ,                  X                      3                          (                  x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                          )        )              {\displaystyle \mathbf {X} (P)=(X_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),X_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),X_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}))}  と表したとき、各Xi(x1,x2,x3)が任意回微分可能である場合を考える。なお、ベクトル場の記法としてX(P)の代わりに                                          X                                P                                {\displaystyle \mathbf {X} _{P}}  のように Pを下付きに書くことも多い。しかしこの下付きの記法だと、成分表記したときに煩雑になるので、本項ではX(P)とXPの両方の記法を混用する。同様に3次元ユークリッド空間                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  上のスカラー場Fとは、                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  上の各点Pに対し、実数F(P)を対応させる写像のことである。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: ベクトル場とスカラー場

=ベクトル場の例としては、電場、磁場、重力場などがある。また流体上の各点にその点での粒子の速度ベクトルを対応させることで速度場を定義する事もできる。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: スカラー場の線積分

=線積分の特殊なケースとして                              ∫                      C                          d        ⁡        s              {\displaystyle \int _{C}\operatorname {d} s}  を考えると、曲線Cの長さ（弧長）に一致する事が知られている。厳密な証明は弧長の項目にゆずるが、直観的には以下の理由による。Cを                              x                (        u        )        =        (                  x                      1                          (        u        )        ,                  x                      2                          (        u        )        ,                  x                      3                          (        u        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))}  、u∈[a,b] と向きをはじめとする保つようにパラメトライズし、[a,b]を長さΔuの微小区間に分けると、Cの長さはおよそ                              ∑                      i                          ‖                  x                (        (        i        +        1        )        Δ        u        )        −                  x                (        i        Δ        u        )        ‖              {\displaystyle \sum _{i}\|\mathbf {x} ((i+1)\Delta u)-\mathbf {x} (i\Delta u)\|}                                 ∑                      i                          ‖        Δ                  x                          /                Δ        u        ‖        Δ        u              {\displaystyle \sum _{i}\|\Delta \mathbf {x} /\Delta u\|\Delta u}  なので、Δuを0に近づけると、線積分                    ∫                  ‖                                                    d                ⁡                                  x                                                            d                ⁡                u                                              ‖                d        ⁡        u              {\displaystyle \int \left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u}  に一致する。従って上述の線積分で弧長を求める事ができる。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: スカラー場の線積分

=曲線Cを、x(s)=(Cの始点からs離れた位置)とパラメトライズできる。このようなsをCの弧長パラメーターという。Cを弧長パラメーターで                              x                (        s        )        =        (                  x                      1                          (        s        )        ,                  x                      2                          (        s        )        ,                  x                      3                          (        s        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))}  と表したとき、定義より                    s        =                  ∫                      0                                s                                    ‖                                                    d                ⁡                                  x                                                            d                ⁡                s                                              ‖                d        ⁡        s              {\displaystyle s=\int _{0}^{s}\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s}  なので、両辺を微分すると、                    1        =                  ‖                                                    d                ⁡                                  x                                                            d                ⁡                s                                              ‖                      {\displaystyle 1=\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}\right\|}  が恒等的に成り立つ。従って線積分とは、                              ∫                      C                          F        (        x        (        s        )        )        d        ⁡        s        =                  ∫                      0                                1                          F        (        x        (        s        )        )                  ‖                                                    d                ⁡                                  x                                                            d                ⁡                s                                              ‖                d        ⁡        s        =                  ∫                      0                                1                          F        (        x        (        s        )        )        d        ⁡        s              {\displaystyle \int _{C}F(x(s))\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\operatorname {d} s}  より、弧長でパラメトライズされた場合のF(x(s))の積分である。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: ベクトル場の線積分

=Xをベクトル場とし、 ユークリッド空間上の曲線Cが                              x                (        u        )        =        (                  x                      1                          (        u        )        ,                  x                      2                          (        u        )        ,                  x                      3                          (        u        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))}  、u∈[a,b]とパラメーター表示されているとし、積分                              ∫                      a                                b                                    X                (                  x                (        u        )        )        ⋅                                            d              ⁡                              x                                                    d              ⁡              u                                      (        u        )        d        ⁡        u              {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {X} (\mathbf {x} (u))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} u}(u)\operatorname {d} u}  を考える。ここで「・」は内積である。スカラー場に対する線積分と同様の議論で、上述の積分はベクトル場Xと曲線Cのみに依存し、Cのパラメトライズの方法によらない。そこで上述の積分を                              ∫                      C                                    X                ⋅        d        ⁡                  x                      {\displaystyle \int _{C}\mathbf {X} \cdot \operatorname {d} \mathbf {x} }  と表記し、ベクトル場Xの曲線Cに沿った線積分という。ここで                    d        ⁡                  x                =        (        d        ⁡                  x                      1                          ,        d        ⁡                  x                      2                          ,        d        ⁡                  x                      3                          )              {\displaystyle \operatorname {d} \mathbf {x} =(\operatorname {d} x_{1},\operatorname {d} x_{2},\operatorname {d} x_{3})}  である。成分で書けば、線積分は                              ∫                      C                                    X                      1                          d        ⁡                  x                      1                          +                  X                      2                          d        ⁡                  x                      2                          +                  X                      3                          d        ⁡                  x                      3                                {\displaystyle \int _{C}X_{1}\operatorname {d} x_{1}+X_{2}\operatorname {d} x_{2}+X_{3}\operatorname {d} x_{3}}  とも表示できる。Cの始点と終点が一致するとき（すなわちCが閉曲線のとき）はそのことを強調して                              ∮                      C                                    X                ⋅        d        ⁡                  x                      {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {X} \cdot \operatorname {d} \mathbf {x} }  とも表記する。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: ベクトル場の線積分

=Cを弧長パラメーターで                              x                (        s        )        =        (                  x                      1                          (        s        )        ,                  x                      2                          (        s        )        ,                  x                      3                          (        s        )        )              {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))}  と表すと、 Cに沿った線積分は、                    ∫                  X                (                  x                (        s        )        )        ⋅                                            d              ⁡                              x                                                    d              ⁡              s                                      (        s        )        d        ⁡        s              {\displaystyle \int \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}(s)\operatorname {d} s}  と表記できる。すでに示したように                              |                                                    d                ⁡                                  x                                                            d                ⁡                s                                              |                =        1              {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}\right|=1}  が恒等的に成り立つので、内積                              X                (                  x                (        s        )        )        ⋅                                            d              ⁡                              x                                                    d              ⁡              s                                      (        s        )              {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x}  \over \operatorname {d} s}(s)}  は                               X                (                  x                (        s        )        )              {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))}  をCのx(s)での接線方向の射映である。すなわち線積分は、ベクトル場Xの、 Cの接線方向成分を積分したものである。
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: 勾配、回転、発散

=勾配、回転、発散と線積分、面積分は以下の関係を満たす。ここでF、Xはそれぞれ3次元ユークリッド空間上のスカラー場とベクトル場、C、S、Vは3次元ユークリッド空間内の有界な曲線、曲面、および3次元領域で、「∂」は境界を表し、P、QはそれぞれCの始点と終点を表す。                              ∫                      C                          grad        ⁡        F        d        ⁡        s        =        F        (        Q        )        −        F        (        P        )              {\displaystyle \int _{C}\operatorname {grad} F\operatorname {d} s=F(Q)-F(P)}                                ∫                      S                          rot        ⁡                  X                d        ⁡                  S                =                  ∮                      ∂            S                                    X                d        ⁡        s              {\displaystyle \int _{S}\operatorname {rot} \mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {X} \operatorname {d} s}  （（ケルビン・）ストークスの定理）                              ∫                      V                          div        ⁡                  X                d        ⁡        V        =                  ∮                      ∂            V                                    X                d        ⁡                  S                      {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \mathbf {X} \operatorname {d} V=\oint _{\partial V}\mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} }  （ガウスの発散定理）
Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: 勾配、回転、発散

=発散divの幾何学的意味を見るため、ベクトル場の1パラメーター変換という概念を導入する。Xを3次元ユークリッド空間                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  上のベクトル場とし、xを                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  の点とする。Φu(x)を以下のように定義する：                              Φ                      u                          (                  x                )              {\displaystyle \Phi _{u}(\mathbf {x} )}  をベクトル場Xに沿ってuだけ進んだ点、すなわち                                                                                                      ∂                                      ∂                    u                                                                              Φ                                  u                                            (                              x                            )                        |                                u            =                          u              ′                                      =                              X                                              Φ                                                u                  ′                                                      (                          x                        )                                {\displaystyle \left.{\partial  \over \partial u}\Phi _{u}(\mathbf {x} )\right|_{u=u'}=\mathbf {X} _{\Phi _{u'}(\mathbf {x} )}}  が全てのu' ∈[0,u]に対して成り立つ点とする。このようなΦu(x)は全ての(x,u)に対して定義できるとは限らないが、xの近傍Uとε>0を十分小さく選べば、任意のx' ∈Uと任意のu' ∈[0,ε]に対してこのようなΦu(x' )を定義できることが知られている。このような写像Φuをベクトル場Xの1パラメーター変換という。