Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: ベクトル場の面積分

向き付けられた曲面S上の点PにおけるSの流さ1の法線（単位法線）をnPとする。なお、 PにおけるSの単位法線は2本あるが、そのうちSの向きとnPが右手系になるものをnPとする。このとき、ベクトル場XのS上での面積分を                              ∫                      S                                    X                d        ⁡                  S                :=                  ∫                      S                                    X                ⋅                  n                d        ⁡        S              {\displaystyle \int _{S}\mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} :=\int _{S}\mathbf {X} \cdot \mathbf {n} \operatorname {d} S}  により定義する。Sが                              x                =                  x                (                  u                      1                          ,                  u                      2                          )              {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{1},u_{2})}  とパラメトライズされている場合、面積分の定義から、                              ∫                      S                                    X                d        ⁡                  S                =        ∫                  X                ⋅                  (                                                                      ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          1                                                                                            ×                                                            ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          2                                                                                                    )                d        ⁡                  u                      1                          d        ⁡                  u                      2                                {\displaystyle \int _{S}\mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} =\int \mathbf {X} \cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{2}}\right)\operatorname {d} u_{1}\operatorname {d} u_{2}}  である。積分内はベクトル3重積であるので、                              X                ⋅                  (                                                                      ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          1                                                                                            ×                                                            ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          2                                                                                                    )                =        det        ⁡                  (                                    X                        ,                                                            ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          1                                                                                            ,                                                            ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          2                                                                                                    )                      {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{2}}\right)=\operatorname {det} \left(\mathbf {X} ,{\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{1}},{\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{2}}\right)}  でもある。