Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: 勾配、回転、発散

=簡単な計算により、任意のスカラー場Fと任意のベクトル場Xに対し                    rot        ⁡        (        grad        ⁡        F        )        =        0              {\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {grad} F)=0}                      div        ⁡        (        rot        ⁡                  X                )        =        0              {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {X} )=0}  が恒等的に成立する事が簡単な計算により確認できる。また3次元ユークリッド空間上では次が成立する（ポアンカレの補題）：                    rot        ⁡                  X                      {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {X} }  が恒等的に0                             ⟺                grad        ⁡        ϕ        =                  X                      {\displaystyle \iff \operatorname {grad} \phi =\mathbf {X} }  となるφが存在する                    div        ⁡                  X                      {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} }  が恒等的に0                             ⟺                rot        ⁡                  A                =                  X                      {\displaystyle \iff \operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {X} }  となるAが存在するこのようなφ、Aが存在するとき、φ、AをそれぞれXのスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルという。なお、ポアンカレの補題が成り立つのはユークリッド空間では1次以上のコホモロジー（ド・ラームコホモロジー）が消えている事と関係しており、一般の多様体では必ずしもこの補題は成り立たない。スカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルとも、存在する場合には一意ではない。しかし、φ1、φ2を同一のベクトル場Xのスカラー・ポテンシャルとするとき、                              ϕ                      2                          (                  x                )        =                  ϕ                      1                          (                  x                )        +                  const.                      {\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {x} )=\phi _{1}(\mathbf {x} )+{\text{const.}}}  である事が容易に示せる。またA1、A2を同一のベクトル場Xのスカラー・ポテンシャルとするとき、                                          A                                2                          =                              A                                1                          +        grad        ⁡        F              {\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}+\operatorname {grad} F}  を満たす Fが必ず存在する。実際、ベクトル・ポテンシャルの定義より、                    rot        ⁡        (                              A                                2                          −                              A                                1                          )        =        rot        ⁡                              A                                2                          −        rot        ⁡                              A                                1                          =                  X                −                  X                =        0              {\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1})=\operatorname {rot} \mathbf {A} _{2}-\operatorname {rot} \mathbf {A} _{1}=\mathbf {X} -\mathbf {X} =0}  なので、ポアンカレの補題より                                          A                                2                          −                              A                                1                          =        grad        ⁡        F              {\displaystyle \mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1}=\operatorname {grad} F}  となるFが存在する。