Title: ベクトル解析 (Vector Analysis)
Section: 3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析
Subsection: スカラー場の面積分

=3次元ユークリッド空間内の曲面Sが                              x                =                  x                (                  u                      1                          ,                  u                      2                          )              {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{1},u_{2})}  とパラメトライズされていたとする。このとき、スカラー場FのS上での面積分を                    ∫        F        (                  x                (                  u                      1                          ,                  u                      2                          )        )                  ‖                                                                      ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          1                                                                                            ×                                                            ∂                                      x                                                                    ∂                                      u                                          2                                                                                                    ‖                d        ⁡                  u                      1                          d        ⁡                  u                      2                                {\displaystyle \int F(\mathbf {x} (u_{1},u_{2}))\left\|{\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial u_{2}}\right\|\operatorname {d} u_{1}\operatorname {d} u_{2}}  により定義する。Sのパラメーターを                    (                  u                      1                          ,                  u                      2                          )        =        (                  u                      1                          (                  w                      1                          ,                  w                      2                          )        ,                  u                      2                          (                  w                      1                          ,                  w                      2                          )        )              {\displaystyle (u_{1},u_{2})=(u_{1}(w_{1},w_{2}),u_{2}(w_{1},w_{2}))}  と変数変換しても、この変数変換がSの向き付けを変えないなら、すなわちヤコビアン                                                        ∂              (                              u                                  1                                            ,                              u                                  2                                            )                                      ∂              (                              w                                  1                                            ,                              w                                  2                                            )                                      >        0              {\displaystyle {\partial (u_{1},u_{2}) \over \partial (w_{1},w_{2})}>0}  が恒等的に成り立つなら、面積分の値は替わらないことを容易に示せる。そこでFのS上での面積分を                              ∫                      S                          F        d        ⁡        S              {\displaystyle \int _{S}F\operatorname {d} S}  とSのパラメトライズの方法によらない形で表記する。1の面積分                              ∫                      S                          d        ⁡        S              {\displaystyle \int _{S}\operatorname {d} S}  はSの面積に等しい事が知られており、従って                     d        ⁡        S              {\displaystyle \operatorname {d} S}  は面積の微小量を表していると考えられる。この                    d        ⁡        S              {\displaystyle \operatorname {d} S}  の事を面素という。Sが閉曲面のときはそのことを強調して、面積分の事を                              ∮                      S                          d        ⁡        S              {\displaystyle \oint _{S}\operatorname {d} S}  とも表記する。