Title: 9 (9 (Polina Gagarina album))
Section: 性質

9 は最小の奇数の合成数であり、正の約数は 1, 3, 9 である。約数の和は13。約数の和が奇数になる5番目の数である。1つ前は8、次は16。約数の和が素数になる3番目の数である。1つ前は4、次は16。素数を除いて σ(n) − n が平方数になる2番目の数である。1つ前は1、次は12。ただしσは約数関数。(オンライン整数列大辞典の数列 A048699)全ての自然数は高々 9 個の立方数の和で表すことができる（ウェアリングの問題）。9 = 323番目の平方数である。1つ前は4、次は16。n = 2 のときの 3n の値とみたとき1つ前は3、次は27。n = 3 のときの nn−1 の値とみたとき1つ前は2、次は64。(オンライン整数列大辞典の数列 A000169)n = 2 のときの 3n! の値とみたとき1つ前は3、次は729。(オンライン整数列大辞典の数列 A100731)9 = 321n = 3 のときの階冪の値とみたとき1つ前は2、次は262144。(オンライン整数列大辞典の数列 A049384)素数 p = 3 のときの p2 の値とみたとき1つ前は4、次は25。(オンライン整数列大辞典の数列 A001248)平方数がハーシャッド数になる3番目の数である。1つ前は4、次は36。3i × 5j × 7i ( i, j, k ≧ 0) で表せる5番目の数である。1つ前は7、次は15。(オンライン整数列大辞典の数列 A108347)9 の倍数は、その各位の数字の和も9の倍数である（数字和、数字根、九去法。3の倍数の法則も同様）例: 9 × 324 = 2916 → 2 + 9 + 1 + 6 = 18 → 1 + 8 = 9 。各位の数字を入れ替えても各桁の数の和は変わらないので、9 の倍数を入れ替えてできた数もまた 9 の倍数である。例えば 2,9,1,6 の数字の順番を変えた 6291 や 1926 も 9 の倍数となる。10 - 1 = 9 なので、9 × 2 = 18 だが、 92 = 81 で前後の数が入れ替わる。2番目のカプレカ数である。92 = 81 、8 + 1 = 9 。1つ前は 1、次は 45。ある数を平方して各位の数をすべて加えて元の数と等しくなるのは 1 と 9 だけである。2番目の完全トーシェント数である。1つ前は3、次は15。なお、全ての3の累乗数は完全トーシェント数でもある。1/9 = 0.111… (下線部は循環節で長さは1)逆数が循環小数になる数で、循環節が1になる3番目の数である。1つ前は6、次は12。(オンライン整数列大辞典の数列 A070021)3−n の循環節の長さは 3n−2 (n ≧ 2)になる。n＞2（nは自然数）のとき、すべてのn進法において 1/n-1 の答えは必ず 0.111… になる。3番目の半素数である。1つ前は6、次は10。半素数がハーシャッド数になる3番目の数である。1つ前は6、次は10。(8 , 9) は2番目のルース＝アーロン・ペアである。1つ前は(5 , 6)、次は(15 , 16)。9 = 13 + 239はこのような形で表せる唯一の平方数である。立方数（この場合 23 = 8）より 1 大きい唯一の平方数 (32) である。Xm − Yn = 1 （X, Y は自然数。m, n は2以上の整数）の解も (X, m, Y, n) = (3, 2, 2, 3)、つまり 32 − 23 = 1 だけであると予想されていたが、2002年に証明された。⇒カタラン予想/9 = 03 + 13 + 233連続整数の立方和で表せる数である。1つ前は0ただし負の数を除くと最小、次は36。素因数がフェルマー素数のみでも、そのうち1つでも重複している数はコンパスと定規による作図ができない。そのため、正九角形もコンパスと定規の作図ができない。それは、角度の三等分線を作図できないことにある。9 = 1! + 2! + 3!連続階乗の和とみたとき1つ前は3、次は33。3連続階乗の和とみたとき最小の数である。ただし 0!=1 を考えたときは 4 が最小、次は32。(オンライン整数列大辞典の数列 A054119)九九では1の段で1 × 9（いんくがく）、3の段で3 × 3（さざんがく）、9の段で 9 × 1（くいちがく） と3通りの表し方がある。九九で3通りの表し方がある数は他に4, 16, 36の3つのみ。またこれらはすべて平方数である。9! = 362880各位の和が9になるハーシャッド数は100までに10個、1000までに55個、10000までに220個ある。10000までの数で各位の和が9になるハーシャッド数は2番目に多い数である（一番多いのは各位の和が18で335個）。したがって、各位の和が9になる数は全てハーシャッド数である。9番目のハーシャッド数である。1つ前は8、次は10。9を基とする最小のハーシャッド数である。次は18。各位の和が9になる最小の数である。次は18。各位の和が n になる最小の数である。1つ前の8は8、次の10は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A051885)1桁の自然数は、全てハーシャッド数かつズッカーマン数。各位の平方和が81になる最小の数である。次は90。(オンライン整数列大辞典の数列 A003132)各位の平方和が n になる最小の数である。1つ前の80は48、次の82は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A055016)各位の立方和が729になる最小の数である。次は90。(オンライン整数列大辞典の数列 A055012)各位の立方和が n になる最小の数である。1つ前の728は68、次の730は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A165370)各位の積が9になる最小の数である。次は19。(オンライン整数列大辞典の数列 A034056)約数の和で表せない最小の合成数である。9 = 2 × 22 + 1 より2番目のカレン数である。1つ前は3、次は25。9 = 1 × 23 + 1 より3番目のプロス数である。1つ前は5、次は13。9 = 23 + 1 この形の1つ前は5、次は17。(オンライン整数列大辞典の数列 A000051)2番目の完全数28の異なる素因数の和が9である。1つ前は5、次は33。(オンライン整数列大辞典の数列 A239546)9 = 12 + 22 + 223つの平方数の和1通りで表せる3番目の数である。1つ前は6、次は11。(オンライン整数列大辞典の数列 A025321)9 = 52 − 42 = (5 + 4) × (5 − 4)n = 5 のときの (n + 4)(n − 4) の値とみたとき1つ前は0、次は20。(オンライン整数列大辞典の数列 A028566)4番目の幸運数である。1つ前は7、次は13。以下のような無限多重根号の式で表せる。                    9        =                              72            +                                          72                +                                                      72                    +                                                                  72                        +                        ⋯                                                                                                                                      {\displaystyle 9={\sqrt {72+{\sqrt {72+{\sqrt {72+{\sqrt {72+\cdots }}}}}}}}}   ,                     9        =                              90            −                                          90                −                                                      90                    −                                                                  90                        −                        ⋯                                                                                                                                      {\displaystyle 9={\sqrt {90-{\sqrt {90-{\sqrt {90-{\sqrt {90-\cdots }}}}}}}}}