ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

สัมพัทธภาพทั่วไปหรือทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป () เป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงแบบเรขาคณิตซึ่งอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์จัดพิมพ์ใน ค.ศ. 1916 และเป็นการพรรณนาความโน้มถ่วงปัจจุบันในวิชาฟิสิกส์สมัยใหม่ สัมพัทธภาพทั่วไปวางนัยทั่วไปสัมพัทธภาพพิเศษและกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน โดยให้การพรรณนารวมความโน้มถ่วงเป็นคุณสมบัติเรขาคณิตของปริภูมิและเวลา หรือปริภูมิ-เวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความโค้งของปริภูมิ-เวลาสัมพันธ์โดยตรงกับพลังงานและโมเมนตัมของสสารและรังสีที่มีอยู่ทั้งหมด ความสัมพันธ์นี้เจาะจงโดยสมการฟีลด์ไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปบางอย่างแตกต่างมากจากการทำนายของฟิสิกส์แบบฉบับ โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับการผ่านของเวลา เรขาคณิตของปริภูมิ การเคลื่อนที่ของเทห์ (body) ในการตกอิสระ และการแพร่กระจายของแสง ตัวอย่างความต่างเหล่านี้มีการเปลี่ยนขนาดของเวลาเชิงโน้มถ่วง เลนส์ความโน้มถ่วง การเคลื่อนไปทางแดงเชิงโน้มถ่วงของแสง และการเปลี่ยนขนาดของเวลาเชิงโน้มถ่วง การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปจนปัจจุบัน แม้สัมพัทธภาพทั่วไปมิใช่เพียงทฤษฎีความโน้มถ่วงสัมพัทธนิมเท่านั้น แต่เป็นทฤษฎีง่ายที่สุดซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลเชิงทดลองด้วย ทว่า ยังเหลือคำถามซึ่งไม่มีคำตอบและเป็นหลักมูลที่สุดว่า สัมพัทธภาพทั่วไปได้รับการยืนยันในทุกการสังเกตและการทดลภาพจะสามารถเข้ากับกฎฟิสิกส์ควอนตัมเพื่อสร้างทฤษฎีความโน้มถ่วงควอนตัมที่สมบูรณ์และต้องกันในตัวเองได้อย่างไร

ทฤษฎีของไอน์สไตน์มีการส่อความทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์สำคัญ ตัวอย่างเช่น มันส่อความการมีหลุมดำ บริเวณของปริภูมิซึ่งปริภูมิและเวลาซึ่งบิดเบี้ยวจนไม่มีสิ่งใด กระทั่งแสง สามารถออกมาได้ โดยเป็นจุดจบของดาวฤกษ์ขนาดยักษ์ มีหลักฐานมากพอว่า รังสีเข้มซึ่งแผ่จากวัตถุทางดาราศาสตร์บางชนิดเนื่องจากหลุมดำ เช่น ไมโครควาซาร์ (microquasar) และนิวเคลียสดาราจักรกัมมันต์ ซึ่งเกิดจากการมีหลุมดำดาวฤกษ์และหลุมดำชนิดใหญ่ยักษ์กว่ามากตามลำดับ การโค้งของแสงโดยความโน้มถ่วงสามารถนำไปสู่ปรากฏการณ์เลนส์ความโน้มถ่วง ซึ่งสามารถเห็นภาพหลายภาพของวัตถุดาราศาสตร์ที่ระยะทางเท่ากันหลายภาพบนฟ้า สัมพัทธภาพทั่วไปยังทำนายการมีคลื่นความโน้มถ่วง ซึ่งมีการสังเกตโดยอ้อมนับแต่นั้น การวัดโดยตรงเป็นเป้าหมายของโครงการอย่าง LIGO และสายอากาศอวกาศอินเตอร์เฟอโรเมทรีเลเซอร์ (Laser Interferometer Space Antenna) ของนาซา/อีเอสเอ และแถวลำดับตั้งจังหวะพัลซาร์ (pulsar timing array) จำนวนมาก นอกจากนี้ สัมพัทธภาพทั่วไปยังเป็นพื้นฐานของแบบจำลองจักรวาลวิทยาเอกภาพขยายต่อเนื่องปัจจุบัน

หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงฉบับสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว แต่คำถามที่มาของความโน้มถ่วงยังอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งแล้ว โดยลากต่อบนอุปมากับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของอนุภาคทดสอบคลาวด์ (cloud) เล็กซึ่งทีแรกเป็นขณะพัก แล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดการลู่ออก เช่นเดียวกัน สูตรนี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งแทน ซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิคเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ การลู่ออกแปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ เป็นศูนย์ เซตสมการง่ายที่สุดจึงเป็นสิ่งที่เรียก สมการสนามของไอน์สไตน์:

ข้างซ้ายมือเป็นเทนเซอร์ไอน์สไตน์ การจัดหมู่เทนเซอร์ริตชีแบบปลอดการลู่ออกเฉพาะ formula_1 กับเทนเซอร์เมตริก โดยที่ formula_2 สมมาตร โดยเฉพาะ

เป็นสเกลาร์ความโค้ง เทนเซอร์ริตชีเองสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์ (Riemann curvature tensor) ทั่วไปกว่า โดยที่

ข้างขวามือ "formula_5" เป็นเทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม เทนเซอร์ทั้งหมดเขียนด้วยสัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (abstract index notation) การจับคู่การทำนายของทฤษฎีดังกล่าวกับผลการสังเกตสำหรับวงโคจรดาวเคราะห์ (หรือเทียบเท่าการประกันขีดจำกัดความโน้มถ่วงอ่อน ความเร็วต่ำเป็นกลศาสตร์แบบนิวตัน) ค่าคงตัวความได้สัดส่วน (proportionality constant) สามารถคงเป็น κ = 8π"G"/"c" โดยที่ "G" เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง และ "c" เป็นความเร็วแสง เมื่อไม่มีมวล เพื่อให้เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัมหมดไป ผลคือ สมการไอน์สไตน์สุญญากาศ (vacuum Einstein equation)

เหล่านี้เป็นทางเลือกของสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งสร้างบนข้อตั้งเดียวกัน ซึ่งมีกฎและ/หรือค่าคงตัวเพิ่มเติม นำไปสู่สมการฟีลด์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น Brans–Dicke theory, teleparallelism และ Einstein–Cartan theory

สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงเมตริก ณ ใจกลางของมันเป็นสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตของแมนิโฟลด์สี่มิติ แบบรีมันน์เทียม (pseudo-Riemannian) ซึ่งเป็นตัวแทนของปริภูมิ-เวลาและพลังงาน-โมเมนตัมซึ่งอยู่ในปริภูมิ-เวลานั้น ปรากฏการณ์ซึ่งในกลศาสตร์แบบฉบับให้เหตุผลว่าเป็นกิริยา (action) ของแรงโน้มถ่วง (เช่น การตกอิสระ การเคลื่อนที่แบบโคจร และแนววิถีอวกาศยาน) สอดคล้องกับการเคลื่อนที่เฉื่อยภายในเรขาคณิตโค้งของปริภูมิ-เวลาในสัมพัทธภาพทั่วไป ไม่มีแรงโน้มถ่วงเบนวัตถุจากวิถีธรรมชาติเป็นเส้นตรงของมัน แต่ความโน้มถ่วงสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของปริภูมิและเวลา ซึ่งเปลี่ยนวิถีเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งวัตถุจะดำเนินโดยธรรมชาติเป็นลำดับ ส่วนความโค้งนั้นเกิดจากพลังงาน–โมเมนตัมของสสารอีกทอดหนึ่ง ถอดความจากนักสัมพัทธนิยม จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีเลอร์ (John Archibald Wheeler) ปริภูมิ-เวลาบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร

ขณะที่สัมพัทธภาพทั่วไปแทนศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ของกลศาสตร์แบบฉบับด้วยเทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสอง (rank-two) สมมาตร แต่เทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสองสมมาตรลดเหลือศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ในบางกรณี สำหรับสนามความโน้มถ่วงอ่อนและความเร็วต่ำสัมพัทธ์กับความเร็วแสง การทำนายของทฤษฎีนี้บรรจบกับการทำนายของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

เพราะสัมพัทธภาพทั่วไปสร้างโดยใช้เทนเซอร์ จึงแสดงความแปรปรวนร่วมเกี่ยวทั่วไป โดยกฎของมัน และกฎอื่นที่คิดภายในกรอบสัมพัทธนิยมทั่วไป ยึดรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีนี้ไม่มีโครงสร้างพื้นหลังเรขาคณิตไม่แปรเปลี่ยนใด ๆ คือ ไม่ขึ้นกับพื้นหลัง ฉะนั้นมันสอดคล้องกับหลักการทั่วไปสัมพัทธนิยมที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ กฎฟิสิกส์เป็นเหมือนกับสำหรับผู้สังเกตทุกคน เฉพาะที่ดังแสดงในหลักการสมมูล ปริภูมิ-เวลาเป็นแบบมินคอฟสกี และกฎฟิสิกส์แสดงความยืนยงลอเรนตซ์เฉพาะที่ (local Lorentz invariance)