เพนโทมิโน

เพนโทมิโน (Pentomino)

เพนโทมิโน (Pentomino) คือ การจัดวางของสี่เหลี่ยม 5 หน่วยที่เชื่อมต่อกัน มีรูปร่างเป็นไปได้ 12 รูปแบบ แต่ละชิ้นจะมีป้ายด้วยตัวอักษรที่ถูกต้องที่สุดสะท้อนให้เห็นถึงรูปร่างของมัน

รูปหลายเหลี่ยมบนระนาบที่ทำจากสี่เหลี่ยมขนาดเท่ากันที่เชื่อมต่อกันระหว่างขอบต่อขอบ เมื่อการหมุน และการสะท้อน ไม่ถือเป็นรูปร่างที่แตกต่างกันมี pentominoes 12 รูปที่แตกต่างกัน เมื่อการสะท้อนมี pentominoes ที่แตกต่างกัน 18 รูป (แบบด้านเดียว) เมื่อมีการหมุนจะมี pentominoes แตกต่างกันถึง 63 รูป ปริศนาปูกระเบื้อง Pentomino เป็นเกมที่นิยมในคณิตศาสตร์สันทนาการ  เพนโทมิโนทั้ง 12 แบบ สอดคล้องกับเกณฑ์ของคอนเวย์ ดังนั้นเพนโทมิโนจึงสามารถวางต่อกันบนพื้นราบ เพนโทมิโนแต่ละแบบจึงวางต่อกันได้โดยไม่ต้องใช้การสะท้อน

ปัญหา คือ การวางเพนโทมิโนทั้ง 12 ชิ้น กลายเป็นรูปทรงต่างๆ ให้พอดี ส่วนมากมักจะเป็นรูปสีเหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่วางได้พอดีกับสี่เหลี่ยม 60 รูป คือขนาด 3x20, 4x15, 5x12 และ 6x10

ตัวอย่าง

นี่คือวิธีการแก้ปริศนา 6x10 โดยใช้การเข้ารหัสตัวอักษร

[null NFVVVYYYYI]

NFFFVLLYZI

NNFXVLZZZI

PNXXXLZWTI

PPUXULWWTI

PPUUUWWTTT

ต้องมองหาวิธีแก้เดียวกันโดยใช้ตาราง  หมายถึงรูปแบบมาตรฐานซึ่งรูปภาพจะถูกเข้ารหัสในเว็บเบราว์เซอร์

ความเป็นมาของเพนโทมิโน

การเผยแพร่วิธีการแก้ปริศนาเพนโทมิโน ปรากฏใน The Canterbury Puzzles ของ [null Henry Dudeney]    Dudeney แสดงวิธีแก้ปริศนาเพนโทมิโนทั้ง 12 รูปกับรูปสี่เหลี่ยมเทโทรมิโน่ 1 รูป บนกระดานหมากรุกขนาด 8x8 ปริศนานี้ถูกพิจารณาว่าเป็นปริศนาเพนโทมิโนที่เก่าแก่ที่สุด และมันมาพร้อมกับเรื่องราวละครเรื่องหนึ่ง เรื่องมีอยู่ว่า ลูกชายของวิลเลียมผู้พิชิตและดูฟินแห่งฝรั่งเศสเล่นหมากรุกกัน ดูฟินได้โยนกระดานหมากรุกใส่คู่แข่งด้วยความไม่พอใจ บุตรแห่งวิลเลียมจึงได้ตอบโต้โดยการทำลายกระดานหมากรุกบนหัวของดูฟิน กระดานหมากรุกแตกกลายเป็นเพนโทมิโน 12 ชิ้น และเทโทรมิโน 1 ชิ้น แล้วจึงประกอบกลับเป็นเหมือนเดิม

จากปี 1920 ถึง 1950 จำนวนวิธีแก้ปริศนาของ Dudeney มีเช่นเดียวกับรูปแบบเพนโทมิโนอื่นๆ ที่ปรากฏในสิ่งตีพิมพ์ของชาวอังกฤษเรียกว่า Fairy Chess Review ผลลัพธ์น่าสนใจมากมายถูกสรุปในสิ่งตีพิมพ์นี้ในเดือนธันวาคม 1954

นอกจากนี้ ในปีค.ศ. 1954 โซโลมอน W. Golomb เผยแพร่บทความ "Checker Board และ Polyominoes" ในคณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน ที่เขานำคำว่า "polyomino" และกำหนดเป็น "ชุดเชื่อมต่อสี่เหลี่ยมอย่างง่าย"  จากความหมายของคำนี้ จึงกลายมาเป็นคำว่า pentomino ที่แปลว่ารูปทรงของรูปสี่เหลี่ยมที่เชื่อมต่อกัน 5 รูป หนังสือของ Golomb 1965, Polyominoes เป็นการอ้างอิงแบบดั้งเดิมถึง polyominoes

มีความสนใจปัญหาเพนโทมิโนในสิ่งพิมพ์เหล่านี้อย่างมากและ ในปี 1958 มีโปรแกรมคอมพิวเตอร์หาทางแก้ปัญหาสำหรับรูปแบบกระดานหมากรุก 8x8 พบว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน 65 รูปแบบ ไม่นับการแก้ปัญหาที่มาจากการหมุนและการสะท้อน

ตอนนี้เป็นที่รู้จักกันว่ามีวิธีแก้ 2,339 วิธี สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 6x10, รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 5x12 มีวิธีแก้ 1,010 วิธี, รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 4x15 มีวิธีแก้ 368 วิธี และรูปผืนผ้าขนาดผืนผ้าขนาด 3x20 มีวิธีแก้ 2 วิธี

ประวัติ

เพนโทมิโนถูกกำหนดโดยศาสตราจารย์ชาวอเมริกันชื่อ Solomon W. Golomb ในปี 1953 และต่อมาในหนังสือ Polyominoes ปี 1965 : ปริศนา, รูปแบบ, ปัญหา และการบรรจุ พวกเขาได้รับการแนะนำให้รู้จักกับสาธารณชนทั่วไปโดย Martin Gardner ใน คอลัมน์เกมคณิตศาสตร์ของเขาในเดือนตุลาคม 1965 ใน Scientific American Golomb บัญญัติศัพท์คำว่า "pentomino" จาก ภาษากรีกโบราณπέντε / pénte , "5" และ "domino" ซึ่งแปลว่า "-omino" ของ "โดมิโน" ราวกับว่ามันเป็นรูปแบบของคำนำหน้าของกรีก "di- "(สอง) Golomb ชื่อ 12 free pentominoes หลังจากพบว่ามันคล้ายคลึงกับตัวอักษรของอักษรละติน

สมมาตร

-      F, L, N, P และ Y สามารถใช้งานได้ 8 วิธีคือ การหมุน 4 แบบ และการสะท้อน 4 แบบ กลุ่มของพวกมันมีเพียงการแปลงเอกลักษณ์เท่านั้น

-      T และ U สามารถใช้งานได้ 4 วิธีโดยการหมุน พวกมันมีแกนสะท้อนกับเส้นตาราง กลุ่มสมมาตรของพวกมันมี 2 องค์ประกอบ คือ เอกลักษณ์และการสะท้อนในแนวขนานกับด้านข้างของสี่เหลี่ยม

-      V และ W สามารถใช้งานได้ 4 วิธีโดยการหมุน พวกมันมีแกนสมมาตรสะท้อนที่ 45 องศา ถึงเส้นตาราง กลุ่มสมมาตรของพวกมันมี 2 องค์ประกอบ คือ เอกลักษณ์และการสะท้อนแบบทแยงมุม

-      Z สามารถใช้งานได้ 4 วิธี คือการหมุน 2 วิธี และการสะท้อน 2 วิธี มันมีจุดสมมาตรหรือที่รู้จักกันว่า สมมาตรการหมุนลำดับที่ 2 กลุ่มสมมาตรของมันมีสององค์ประกอบคือ เอกลักษณ์และการหมุน 180 องศา

-      I สามารถใช้งานได้ 2 วิธีโดยการหมุน มันมี 2 แกนของการสะท้อนสมมาตร ทั้ง 2 วิธีจะวางแนวเดียวกับเส้นตาราง กลุ่มสมมาตรของมันมี 4 องค์ประกอบ คือ เอกลักษณ์, การสะท้อน 2 แบบ และการหมุน 180 องศา มันเป็นกลุ่มไดฮีดรัล (dihedral group) ลำดับที่ 2 หรือเรียกกันว่า Klein four-group

-      X สามารถใช้งานได้ 1 วิธีเท่านั้น มันมี 4 แกนของการสะท้อนสมมาตร วางแนวเดียวกับเส้นตารางและเส้นทแยงมุม และการหมุนสมมาตรลำดับที่ 4  กลุ่มสมมาตรของมันคือ กลุ่มไดฮีดรัล (dihedral group) ลำดับที่ 4 มี 8 องค์ประกอบ

โปรแกรมประยุกต์คณิตศาสตร์และพื้นที่อื่นๆ

รูปแบบปริศนาเพนโทมิโนเป็นสขาที่น่าสนใจของคณิตศาสตร์นันทนาการ แต่พวกมันไม่มีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์มากนัก จากการวิจัย มีคำถามที่ยังไม่มีคำตอบอีกมากเกี่ยวกับมัน ตัวอย่าง ไม่มีใครรู้ว่า Polyminoes ที่มีรูปแบบ 100 รูปสี่เหลี่ยมเป็นยังไง คณิตศาสตร์มักจะพบสูตรที่ชาญฉลาดในการนับ แต่ไม่มีใครซักคนที่ค้นพบสูตรสำหรับตัวเลข polyminoes บางทีอาจไม่มีเลยก็ได้

ทางเลือกที่ดีที่สุดในการตัดชุดให้เสียผ้าน้อยที่สุดคืออะไร ? นี่คือคำถามที่สำคัญมากในอุตสาหกรรมสิ่งทอและอุตสาหกรรมอื่นๆอีกมากมาย ถ้ามันเป็นรูปแบบรูปทรงเพนโทมิโน ตอนนี้คุณก็จะรู้แล้วว่าจะตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 6x10 โดยไม่เสียผ้าอย่างสูญเปล่าเลย แต่ถ้าไม่เป็นรูปแบบเพนโทมิโน ถ้าคุณตัด 12 ชุดโดยใช้เพียงรูปตัว x คุณจะเสียผ้าอย่างสูญเปล่าแน่นอน และจำนวนชุดที่เราจะได้ล่ะ ? คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้มักจะไม่ง่าย การเล่นและการทดลองเพนโทมิโนสามารถทำให้คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณถึงความซับซ้อนของปัญหาเหล่านี้ คณิตศาสตร์เรียกเพนโทมิโนว่า ปัญหาบรรจุสองมิติ

การใช้เพนโทมิโนในห้องเรียน

ปริศนาเพนโทมิโนเป็นตัวเลือกที่นิยมสำหรับห้องเรียนที่เคลื่อนย้ายถ่ายเทเพื่อความสะดวกในการเรียนรู้วิธีเปลี่ยนรูปร่างหรือจัดรูปเป็นรูปทรงที่กำหนดเอาไว้ล่วงหน้าโดยการหมุน การสะท้อน และการแปล ปริศนาเพนโทมิโนสามารถใช้ได้อย่างง่ายและยังง่ายที่จะทำให้นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 สนุกกับการเรียนรู้แนวคิดการเปลี่ยนรูปทรง