การยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป "a" ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ "ฐาน" "a" และ "เลขชี้กำลัง" (หรือ "กำลัง") "n" การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ "a" คูณกันเป็นจำนวน "n" ตัว เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน "a" อ่านว่า "a ยกกำลัง n" หรือเพียงแค่ "a กำลัง n" ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น "a" จะเรียกว่า square และ "a" เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น

เลขยกกำลัง "a" อาจนิยามให้ "n" เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า "a" ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง "a" กับ "n" ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน "a" เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน "a" สามารถนิยามเลขชี้กำลัง "n" ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

นิพจน์ "a" = "a"·"a" เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ "a" หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ "a" ตารางหน่วย

นิพจน์ "a" = "a"·"a"·"a" เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ "a" หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ "a" ลูกบาศก์หน่วย

เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น "กำลัง" ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด "a" = "a"·"a" โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น "a" = "a"

เนื่องจาก "a" หมายถึงผลคูณของ "a" เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ "a"

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง "a" = "a"/"a" เมื่อสมมติให้ "n" = 1 จะได้ "a" = 1

หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ "n", "m", และ "n"−"m" เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ "a" ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์
ในกรณีที่ "n" และ "m" มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น
เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ "a" = 1 นำไปสู่กฎสองประการ

สำหรับ "n" และ "m" ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง "n" จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ ("m"-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก "n" ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร "m" ตัว จากชุดตัวอักษร "n" ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ
จึงสามารถนิยามว่า
เมื่อ "a" เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม

นิยามของ "a" สำหรับค่า "a" ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ "a""a" = "a" เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ "m" กับ "n" (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ "m" กับ "n" เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ "m" = "−n" จะทำให้
เมื่อ "a" ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม "a" = 1/"a" ดังที่ได้กล่าวแล้ว

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น

เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ
เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา
และ
เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น และ แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น แต่

และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น และ แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8 หรือเท่ากับ แต่ "2 ยกกำลัง 3" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2 หรือ ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 10 = 1,000 และ 10 = 0.0001 เป็นต้น

การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (ความเร็วแสงในสุญญากาศ) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458 m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998 m/s

คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค "กิโล" หมายถึง 10 = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร

กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด "n" บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2 ค่า

กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก "n" ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2 ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)

กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2 = หมายถึงครึ่ง (half), 2 = คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น

ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 2 เขียนในเลขฐานสองว่า 1000 เป็นต้น

กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1 = 1

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0 = 0; "n" > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0 = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

ถ้า "n" เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1) = 1

ถ้า "n" เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1) = −1

จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน "i" ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน

ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด
อาจเรียกได้ว่า "a" ยกกำลัง "n" จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า "n" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ "a" มีค่ามากกว่า 1

สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0

และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ

แต่หากฐาน "a" มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ
ดูเพิ่มในกำลังของ "e"

การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ

เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้
ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า "a" เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ "n" ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

รากที่ "n" ของจำนวน "a" คือจำนวน "x" ที่ซึ่ง "x" = "a"

ถ้า "a" เป็นจำนวนจริงบวกและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ "x" = "a" ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ "n" มุขสำคัญของ "a" (principal "n"-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ formula_15 เมื่อ formula_16 คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น "a" เช่น 4 = 2, 8 = 2

เมื่อพูดถึงรากที่ "n" ของจำนวนจริงบวก "a" มักจะหมายถึงรากที่ "n" มุขสำคัญของ "a" ดังที่ได้กล่าวแล้ว

กำลังของจำนวนจริงบวก "a" ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก

e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้
มี "x" เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ "x" ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ "x" และ "y" สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น

การพิสูจน์อย่างสั้นว่า "e" ยกกำลังจำนวนเต็มบวก "k" เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" แสดงได้ดังนี้
แสดงให้เห็นว่า "e" สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ "x" และ "y" เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก

เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง "x" ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้
ลิมิตดังกล่าวซึ่ง "r" ที่มีค่าเข้าใกล้ "x" ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ "r"

ยกตัวอย่าง ถ้า
ดังนั้น

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ

ลอการิทึมธรรมชาติ ln ("x") เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ซึ่งนิยามไว้สำหรับ "b" > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข
ถ้า "b" ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า
สำหรับจำนวนจริง "x" แต่ละจำนวน

สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง "b" และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย

กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ "x" = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 4 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น

ถ้า "n" เป็นจำนวนคู่ จากสมการ "x" = "a" ถ้า "a" เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ "n" ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า "a" เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

ถ้า "n" เป็นจำนวนคี่ จากสมการ "x" = "a" จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า "a" เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า "a" เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ

สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า "m" เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ "a" เป็นลบ ถ้า "m" กับ "n" เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ "a" เป็นบวกและ "n" เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27)  = −3, (−27)  = 9, 4 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง "x" ที่ทำให้ "x" = −1 ดังนั้นนิยามของ "a" ในกรณีที่ "a" เป็นลบและ "n" เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ "i" เข้ามาเกี่ยวข้อง

ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม "a" ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ "a" ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" และทำนองเดียวกัน "e" ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" ดังนั้น ln ("a") ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ "a" ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ "a" สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ "a")

วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า "a" ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน "f" ("r") = "a" เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ "a" > 0 แต่ในกรณี "a" < 0 ฟังก์ชัน "f" ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง "r" ที่กำหนดไว้แต่ละค่า

ตัวอย่าง สมมติให้ "a" = −1 รากที่ "n" ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก "n" ทุกจำนวน; แต่ถ้า "n" เป็นจำนวนคู่บวก (−1) = −1 เมื่อ "m" เป็นจำนวนคี่, (−1) = 1 เมื่อ "m" เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ "q" ที่ทำให้ (−1) = 1 เป็นเซตหนาแน่น (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ "q" ที่ทำให้ (−1) = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1) ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ "q" ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า

เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ "n" ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27 =  (−27)  =  ( (−27) )  = 9 = 27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

การทำความเข้าใจ "e" สำหรับจำนวนจริง "x" ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ "e" ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับจำนวน "n" ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ "x"/"n" เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ "k" ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน "n" ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ "x" เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ ดังนั้นในท้ายที่สุด เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

คำตอบของสมการ "e" = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e = "a" ดังนั้นคำตอบของสมการ "e" = "a" หาได้โดยการบวก "b" เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π"i"

นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น "e" = −1; "e" = "e" (cos "y" + "i" sin "y")

จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น

โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า
การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้

การยกกำลัง "z" = "e" สามารถคำนวณได้จาก "e" · "e"; ตัวประกอบส่วนจริง "e" คือค่าสัมบูรณ์ของ "z" และตัวประกอบส่วนจินตภาพ "e" ระบุทิศทางของ "z"

กำหนดให้ "a" เป็นจำนวนจริงบวก และ "z" เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง "a" นิยามโดย "e" เมื่อ "x" = ln ("a") เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ "e" = "a" ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า "i" คือหน่วยจินตภาพและ "n" คือจำนวนเต็มแล้ว "i" จะมีค่าเท่ากับ 1, "i", −1 หรือ −"i" ขึ้นอยู่กับค่า "n" ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ "n" หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าใด) ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ "i" จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทนลำดับที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง

กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง "e" ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อกำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือฟังก์ชันหลายค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้

กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น "w" = "z" ต้องเป็นคำตอบของสมการ "w" = "z" แต่เมื่อ "w" เป็นคำตอบแล้ว −"w" ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1) = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย

กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนผิวรีมันน์ (Riemann surface) รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนวส่วนตัดกิ่ง (branch cut) การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้

กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง

การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน

กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "a" และ "b" ซึ่ง "a" ≠ 0 สัญกรณ์ "a" เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log "a"

เพื่อหาค่าของ "a" ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ "a" ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log "a" (คือค่ามุขสำคัญของ log "a" โดยปริยายหากมิได้กำหนดเงื่อนไขอื่นเพิ่ม) หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log "z" ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนดังนี้
เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีที่ "a" เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log "a" (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) ได้ถูกเลือก

ถ้า "b" เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ "a" จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log "a" เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ถ้า "b" เป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ "n" > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log "a" เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน "n" จำนวนสำหรับ "a" ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน "z" ที่เป็นคำตอบของสมการ "z" = "a"

ถ้า "b" เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log "a" เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ "a" ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน

การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน "a" เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้ควอเทอร์เนียน (quaternion) ได้ด้วย

จำนวนเชิงซ้อน "a" ที่ทำให้ "a" = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก "n" เรียกว่า "รากที่ n ของ 1" ("n"th root of unity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "รากของ 1" (root of unity) รากเหล่านี้มี "n" คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป "n" เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1

ถ้า "z" = 1 แต่ "z" ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ "k" ตามเงื่อนไข 0 < "k" < "n" แล้ว "z" จะเรียกว่า "รากปฐมฐานที่ n" (primitive "n"th root of unity) ตัวอย่างเช่น −1 เป็นรากปฐมฐานที่สองเพียงตัวเดียว, รากปฐมฐานที่สี่มีสองตัวได้แก่ "i" และ −"i" (ไม่นับรากปฐมฐานที่สอง) เป็นต้น

จำนวน "e" คือรากปฐมฐานที่ "n" ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ "n" "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ "n" ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 )

ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก
สำหรับ 2 ≤ "k" ≤ "n"

แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ "a" โดยเฉพาะในกรณีที่ "z" = 1/"n" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ "n" ของ "a" ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ "x" = "a"

ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม "a" ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า "a" เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ "n" ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1

เซตของรากที่ "n" ของจำนวนเชิงซ้อน "a" หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ "a" ด้วยรากที่ "n" ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2"i" และ −2"i" เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, "i" และ −"i"

การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้
เมื่อ "r" คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ "z" (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน "u" + "iv" แทนได้ด้วยจุด ("u", "v") บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น ("r", θ) ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า "r" คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม "r" = "u" + "v" และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2 ("v", "u") (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน arctan ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง

เพื่อที่จะคำนวณกำลังเชิงซ้อน "a" ขั้นแรกเขียน "a" ในรูปแบบเชิงขั้ว
ดังนั้น
และจะได้
ถ้า "b" ถูกแบ่งออกเป็น "c" + "di" ดังนั้นสูตรสำหรับ "a" จึงเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เป็น

สูตรสุดท้ายนี้ช่วยคำนวณการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนได้โดยง่าย จากการแบ่งฐานกับเลขชี้กำลังออกเป็นรูปแบบเชิงขั้วกับรูปแบบคาร์ทีเซียนตามลำดับ สูตรดังกล่าวแสดงผลลัพธ์ทั้งรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียน (ผ่านทางเอกลักษณ์ของออยเลอร์)

ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้ค่ามุขสำคัญคือส่วนตัดกิ่งที่ทำให้ θ อยู่ในช่วงค่า (−π, π] กำหนดโจทย์ "i"  ขั้นแรกเขียน "i" ในรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียนดังนี้
จากการแปลงด้านบน จะได้ว่า "r" = 1, θ = π/2, "c" = 0 และ "d" = 1 ดังนั้น

เช่นเดียวกันสำหรับโจทย์ (−2) หารูปแบบเชิงขั้วของ −2 ได้เป็น
แล้วใช้สูตรด้านบนคำนวณจนได้คำตอบ

ค่าของการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับกิ่งที่เลือก ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกรูปแบบเชิงขั้วของ "i" = 1"e" เพื่อคำนวณ "i"  คำตอบจะกลายเป็น "e" แต่ค่ามุขสำคัญของ "i"  คือ "e" ดังตัวอย่างที่แสดงไว้แล้ว เซตของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับ "i"  สามารถหาได้จากเงื่อนไข

เมื่อ "k" เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้ของ "i"  จึงมีจำนวนไม่จำกัดสำหรับค่า "k" แต่ละค่า คำตอบทั้งหมดมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่า "i"  มีค่าเป็นจำนวนจริงและมีเป็นอนันต์

เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง

ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 0 ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 0 หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)

ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น

ในทางตรงข้าม เมื่อ 0 เกิดจากลิมิตในรูปแบบ formula_61 ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)

ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น

การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 0 = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 0 พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม 
ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 0 = 1 กล่าวคือ การอ้างว่า formula_63 เมื่อใดก็ตามที่ formula_64 เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง ("e") ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 0 ไม่ควรนิยาม

มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้

ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 0 เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative) มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้ codice_1 ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 0 เป็น 1 เช่นกัน

หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ "a"

หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 0 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร "x" ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง

เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน "f" ("x", "y")  = "x" ที่นิยามบนโดเมน "D" = { ("x", "y")  ∈ R : "x" > 0} ดังนั้น "D" อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ (นั่นคือเซตของคู่อันดับ ("x", "y") ทั้งหมด ซึ่ง "x", "y" อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย  = [−∞,  +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน "f" มีลิมิต

โดยข้อเท็จจริง "f" จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ "D" ยกเว้น (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) และ (1, −∞) ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง "x" ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤ "x" ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเว้น 0, (+∞) , 1 และ 1 ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด

ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้

กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ "x" สำหรับค่า "x" ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม "x" เมื่อ "x" Θ (log "n") โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ "น้อยที่สุด" ของ "a" (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย

การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น "f" ("x") จึงอาจหมายถึง "f" ("f" ("f" ("x") ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "f" ("x") ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ "f"; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน "f" ("x")

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin"x" เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin "x") โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin"x" หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin "x" เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin "x") = (sin "x") ก็คือ csc "x" เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log"x" หมายถึง (log "x") ไม่ใช่ log log "x"

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม

กำหนดให้ "X" เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว "x" ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ "x" จำนวน "n" ตัว สำหรับสมาชิก "x" ใด ๆ ของ "X" และจำนวนธรรมชาติ "n" ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า

จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย "e") ดังนั้น "x" จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า "x" ใด ๆ

ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ "x" สามารถแสดงได้ด้วย "x" และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง

ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย

ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ

เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ "x" หมายถึง หรือ "x" หมายถึง ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม

สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ "g" = "h""gh" เมื่อ "g" และ "h" เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก

ถ้า "n" เป็นจำนวนธรรมชาติและ "A" เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ "A" มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ "n" สิ่งอันดับของสมาชิกของ "A" สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ "A" หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0,  1,  2,  ...,  "n"−1} ไปยัง "A"; "n" สิ่งอันดับ ("a",  "a",  "a",  ...,  a) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก "i" ไปยัง "a"

กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต "A" เซตหนึ่ง สัญกรณ์ "A" ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง "A" บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ "A" เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า
เมื่อ "V" แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า "V" = "V" สำหรับแต่ละค่า "i" แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น "V" หรือเขียนเพียงแค่ "V" โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ "n" เพื่อให้ได้ "V" แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น "n" สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา "V" มาเป็นฟีลด์ R สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด R

ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น "n" สิ่งอันดับ ("n"-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น "S" จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "N" ไปยัง "S" ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |"S"| = |"S"| เมื่อ |"X"| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ "X"; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2| = 2 เมื่อ 2 ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P ("X") คือเซตกำลังของ "X"; เซตย่อย "Y" แต่ละเซตของ "X" สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน "X" ที่ให้ค่า 1 สำหรับ "x" ∈ "Y" และค่า 0 สำหรับ "x" ∉ "Y"

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็นอ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 0 จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน

กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2

การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์ (transfinite induction)

เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ

สัญกรณ์ตัวยก "x" สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบนเครื่องพิมพ์ดีดหรือคอมพิวเตอร์เทอร์มินัล ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิสัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ XOR ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึงการอ้างถึงทางอ้อม (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึงการต่อสายอักขระ (concatenation)

คำว่า "กำลัง" (power) ถูกใช้โดยยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า "มัล" (mal) สำหรับยกกำลังสองและ "กับ" (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ใช้ m และ k เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15

นีโกลา ชูว์เก (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (Henricus Grammateus) และมีคาเอล ชตีเฟิล (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน แซมวล จีก (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า "ดัชนี" (index) ในปี ค.ศ. 1696 ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) ใช้คำว่า "สแควร์" (square), "คิวบ์" (cube), "เซนซิเซนซิก" (zenzizenzic), "เซอร์ฟอไลด์" (surfolide), "เซนซิคิวบ์" (zenzicube), "เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์" (second surfolide) และ "เซนซิเซนซิเซนซิก" (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า "ไบควอเดรต" (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย

นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่นไอแซก นิวตัน) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง "ax" + "bxx" + "cx" + "d" เป็นต้น

คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ "อินโวลูชัน" (involution) แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ อาวัตนาการ (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง