โครงสร้างข้อมูลเซตไม่มีส่วนร่วม

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ โครงสร้างข้อมูลเซตไม่มีส่วนร่วม () เป็นโครงสร้างข้อมูลที่ใช้เก็บข้อมูลที่แบ่งเป็นหลาย ๆ เซต โดยที่แต่ละเซตไม่มีส่วนร่วมกันเลย (disjoint, nonoverlapping) โดยมีขั้นตอนวิธียูเนียนและค้นหา () เป็นขั้นตอนวิธีที่ดำเนินการบนโครงสร้างข้อมูลนี้ มีจุดประสงค์คือ 1. ต้องการทดสอบว่าสมาชิกสองตัวที่กำหนดให้อยู่ในเซตเดียวกันหรือไม่ 2. ต้องการรวมเซตสองเซตเข้าด้วยกันเป็นเซตใหญ่เพียงเซตเดียว

เพื่อที่ดำเนินการตามจุดประสงค์ จึงมีฟังก์ชันในการดำเนินการ 2 อย่างคือ

เนื่องจากโครงสร้างข้อมูลเซตไม่มีส่วนร่วมส่วนใหญ่จะดำเนินการด้วยขั้นตอน วิธียูเนียนและค้นหา จึงทำให้มีการเรียกโครงสร้างข้อมูลนี้ว่า "โครงสร้างข้อมูลยูเนียนและค้นหา" นอกจากนี้ อาจนิยามการดำเนินการ "สร้างเซต" ("MakeSet") ซึ่งจะสร้างเซตตั้งต้นขึ้น โดยเซตตั้งต้นจะมีสมาชิกเพียงแค่ตัวเดียวเท่านั้น (เซตโทน) เมื่อใช้ 3 การดำเนินการนี้ร่วมกันจะสามารถแก้ไขปัญหาการแบ่งบางอย่างได้ (ดูที่หัวข้อการนำไปใช้งาน)

ตามที่ได้เกริ่นมาแล้วว่าจุดประสงค์ของการดำเนินการ "ค้นหา" อันที่จริงแล้วคือการทดสอบว่าสมาชิกสองตัวที่จะทดสอบนั้นอยู่ในเซตเดียวกันหรือไม่ ชื่อเซตจึงไม่สำคัญ เพื่อให้ประมวลผลข้อมูลได้ง่ายจึงมีการใช้ชื่อของสมาชิกตัวหนึ่งในเซตนั้นมาเป็นชื่อเล่นของเซต กล่าวคือให้สมาชิกตัวนั้นมาเป็นตัวแทนของทั้งเซตไปเลย

วิธีการสร้างโครงสร้างข้อมูลเซตไม่มีส่วนร่วมแบบง่ายที่สุดก็คือสำหรับแต่ละเซตให้สร้างรายการโยงขึ้นมา และให้สมาชิกตัวด้านหน้าสุดของรายการโยงเป็นตัวแทนของเซตนั้น

การ"สร้างเซต" ก็คือการสร้างรายการโยงความยาว 1 ขึ้นเป็นจำนวนที่ต้องการ การ"ยูเนียน" ก็จะเป็นการนำรายการโยงสองรายการมาต่อกันในเวลาคงที่ ข้อเสียของการอิมพลีเมนต์แบบนี้คือในการ"ค้นหา"แต่ละครั้งจะต้องใช้เวลา Ω("n") จากการไล่จากสมาชิกตัวปัจจุบันไปยังสมาชิกตัวหน้าสุดเพื่อหาชื่อเซต

วิธีที่จะทำให้การดำเนินการ"ค้นหา"ไม่ต้องเสียเวลาไล่ในรายการโยงถึง Ω("n") ก็คือสำหรับทุก ๆ สมาชิกในรายการโยง ให้มีตัวชี้โยงมายังสมาชิกตัวแรกสุดของรายการโยง ซึ่งจะทำให้การดำเนินการ"ค้นหา" ใช้เวลาเพียงแค่ O(1) เท่านั้น แต่ข้อเสียของวิธีนี้ก็คือในการ"ยูเนียน" จะต้องมาไล่ปรับปรุงตัวชี้ของสมาชิกทั้งหลายใหม่ให้ถูกต้องด้วย ทำให้การ"ยูเนียน" เสียเวลา Ω("n") แทน

สำหรับวิธีที่ใช้ตัวชี้มาช่วยนั้น หากมีการเก็บความยาวของรายการโยงไว้ในทุกขณะด้วย จะสามารถเพิ่มความเร็วในการดำเนินการได้โดยใช้ฮิวริสติก "weighted-union heuristic" ซึ่งมีหลักการว่าแทนที่การ"ยูเนียน"จะนำรายการโยงทั้ง 2 มาต่อกันตรง ๆ ให้ตรวจสอบก่อนว่ารายการโยงใดสั้นกว่า แล้วจึงนำรายการโยงที่สั้นไปต่อหลังจากรายการโยงที่ยาว ซึ่งหากทำตามขั้นตอนดังกล่าวจะทำให้การดำเนินการ"สร้างเซต" "ค้นหา" และ"ยูเนียน" รวม "m" ครั้ง บนโครงสร้างข้อมูลเซตไม่มีส่วนร่วมที่มีสมาชิกทั้งหมด "n" ตัว ใช้เวลา O("m" + "n" log "n") ทั้งนี้หากไม่มีโครงสร้างข้อมูลที่ดีกว่ารายการโยงก็จะไม่สามารถทำให้เวลาในการดำเนินการเร็วกว่านี้ได้

สาเหตุที่การใช้ "weighted-union heuristic" ทำให้เวลาการดำเนินการทั้งหลายใช้เวลา O("m" + "n" log "n") มาจากเหตุผลที่ว่าการรวมรายการโยงขนาดสั้น ๆ เข้ากับรายการโยงขนาดยาว ๆ จะเสียเวลาเปลี่ยนตัวชี้ของรายการโยงขนาดสั้นเท่านั้น ดังนั้นกรณีเลวร้ายที่สุดก็จะเกิดจากการที่นำรายการโยงขนาดพอ ๆ กันมาต่อกันเสมอ ซึ่งจะทำให้การต่อแต่ละครั้งเสียเวลา O("n") แต่การที่นำมาต่อกันเช่นนี้ก็ทำให้เซตถูกยูเนียนเข้าด้วยกันอย่างรวดเร็ว ซึ่งโครงสร้างเซตไม่มีส่วนร่วมขนาด "n" จะมีการ "ยูเนียน" อย่างเลวร้ายได้มากสุดเพียง log "n" ครั้งเท่านั้น จึงทำให้เฉพาะการ"ยูเนียน"ในกรณีเลวร้ายที่สุดเสียเวลา O("n" log "n")

ในการดำเนินการ"ค้นหา" ก็สามารถใช้ตัวชี้เพื่อไปยังสมาชิกตัวด้านหน้าสุดของรายการโยงได้ภายในเวลา O("1") ตามที่กล่าวมาแล้ว

แนวคิดในการนำเซตที่มีขนาดเล็กกว่าไปต่อเซตที่มีขนาดใหญ่กว่ายังปรากฏให้เห็นในโครงสร้างข้อมูลอื่น ๆ เช่นฮีปทวิภาค หรือฮีปฟีโบนัชชีอีกด้วย

ป่าไม้เซตไม่มีส่วนร่วมเป็นโครงสร้างข้อมูลซึ่งจะใช้โครงสร้างข้อมูลต้นไม้ในการแทนแต่ละเซต และโครงสร้างข้อมูลต้นไม้นี้ก็จะจัดเก็บโดยใช้รูปแบบ Spaghetti stack กล่าวคือแต่ละจุดยอดจะโยงไปยังพ่อของตัวมัน ป่าไม้เซตไม่มีส่วนร่วมได้มีการคิดค้นโดย 
Bernard A. Galler และ Michael J. Fischer ใน พ.ศ. 2507 โดยที่การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของโครงสร้างข้อมูลนี้อย่างละเอียดตามมาหลังจากนั้นหลายปี

ในป่าไม้เซตไม่มีส่วนร่วมจะกำหนดให้ตัวแทนของแต่ละเซตคือจุดยอดที่เป็นรากของต้นไม้ ดังนั้นการดำเนินการ"ค้นหา" ก็คือการกระโดดสูงขึ้นไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะเจอราก ส่วนการ"ยูเนียน"ก็คือการดำเนินการ"ค้นหา"กับต้นไม้ทั้งสองต้นเพื่อหารากของต้นไม้ทั้งสอง และนำรากของต้นไม้หนึ่งไปต่อกับรากของต้นไม้อีกต้น อาจเขียนเป็นรหัสเทียมออกมาได้ดังนี้

อย่างไรก็ตาม ประสิทธิภาพของป่าไม้เซตไม่มีส่วนร่วมข้างต้นแย่กว่าการใช้รายการโยงเซตไม่มีส่วนร่วมแบบอย่างง่ายเสียอีก เพราะต้นไม้ที่เกิดขึ้นอาจจะไม่สมดุลเป็นอย่างมาก ในกรณีเลวร้ายมากที่สุดอาจถึงขั้นกลายเป็นเส้นตรงเลย ซึ่งจะทำให้การดำเนินการทั้ง"ค้นหา"และ"ยูเนียน" แต่ละครั้งใช้เวลา O("n") อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีนี้สามารถเพิ่มประสิทธิภาพได้ 3 วิธี

วิธีแรก เรียกว่า "union by height" ใช้แนวคิดว่าให้นำต้นไม้ที่มีความสูงต่ำกว่าไปต่อต้นไม้ที่มีความสูงมากกว่าเสมอเหมือนแนวคิดของ "weighted-union heuristic" ด้วยวิธีนี้จะทำให้ต้นไม้มีความสูงเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่อนำต้นไม้ที่มีความสูงเท่ากันพอดีมายูเนียนกัน และความสูงจะเพิ่มเพียงแค่ 1 ด้วย ดังนั้นเนื่องจากสามารถมีการ"ยูเนียน"ได้เพียง log "n" ครั้ง ความสูงของต้นไม้จึงเป็น log "n" ด้วย ส่งผลให้การดำเนินการทั้ง"ค้นหา" และ"ยูเนียน" ในแต่ละครั้งใช้เวลา O(log "n") สามารถเขียนเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

วิธีที่สองเรียกว่า "การอัดวิถี" โดยเป็นการที่พยายามทำให้โครงสร้างต้นไม้แบนราบเมื่อมีการดำเนินการ"ค้นหา" แนวคิดมาจากการที่การดำเนินการ"ค้นหา"แต่ละครั้งต้องวิ่งไล่ในวิถีผ่านจุดยอดต่าง ๆ จนถึงจุดยอดรากอยู่แล้ว ดังนั้นเมื่อทราบแล้วว่าจุดยอดรากคืออะไร ก็จะเปลี่ยนให้แต่ละจุดยอดบนวิถีดังกล่าวมีพ่อเป็นจุดยอดรากโดยตรงเลย ซึ่งเป็นการเพิ่มความเร็วในการดำเนินการ"ค้นหา"ในครั้งถัด ๆ มา อย่างเห็นได้ชัด การเปลี่ยนความสัมพันธ์เช่นนี้ไม่ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ ทั้งสิ้นเนื่องจากในการเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ได้ทำให้จุดยอดรากเปลี่ยนไป ทำให้ตัวแทนเซตยังเหมือนเดิม และจุดยอดในต้นไม้ดังกล่าวก็ยังคงอยู่ในต้นไม้ต้นเดิมหลังเปลี่ยนแปลงโครงสร้างแล้ว ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างจึงทำให้เซตที่แทนออกมามีลักษณะเหมือนก่อนการเปลี่ยนแปลงทุกประการ ตัวอย่างรหัสเทียมของฟังก์ชัน find ที่ใช้ในการดำเนินการค้นหาคือ