กลศาสตร์แบบลากรองจ์

กลศาสตร์แบบลากรองจ์ () เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม ()เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอในปี 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี โฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาเพนดูลัมที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์แบบลากรองจ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึงสมการความหนาแน่นลากรองจ์ (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากรองจ์มีอยู่ 3 วิธี 
1) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากกฎข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s second law)
2) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากหลักการดาล็องแบร์ (D’Alembert Principle)
3) พิสูจน์จากหลักการของฮามิลตัน (Hamilton’s Principle)
สมการลากรองจ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้
สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler-Lagrange Equation) ดังนี้

จะเห็นสมการลากรองจ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎอนุรักษ์พลังงานและเป็นสเกลาร์ แตกต่างจากสมการของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงและเป็นปริมาณเวกเตอร์

ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ อาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากสมการการเคลื่อนที่ของลากรองจ์ สมการการเคลื่อนที่ของฮามิลตัน อนุกรมเทย์เลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยใช้เมตริกซ์เทนเซอร์ในการแก้ปัญหา เพื่อที่จะเข้าใจทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ เราจำเป็นต้องรู้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์กับการสมดุล ว่าด้วยเงื่อนไขของการเสถียรของระบบ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่จะเข้าในทฤษฎีนี้ ซึ่งสามารถประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบเสถียร เมื่อระบบสมดุลเราจะได้ว่า
สมการที่ (1) แสดงพลังงานศักย์ V มี extremun value ในระบบที่สมดุล สรุปได้ว่าภาวะสมดุลเสถียรเกิดขึ้น เมื่อระบบมีจุดสมดุลที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด สำหรับกรณี formula_2 จะมีจุดสมดุล
formula_3 และ formula_4 ซึ่งจะมีจุดสมดุลดังนี้

1.สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวก หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุกสมดุลเสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย (Small Disturbance) ระบบเกิดการเคลื่อนแบบถูกกัก (Bounced Motion) รอบจุดสมดุลเมื่อ formula_5 โดยที่จุดสมดุลมี formula_6 น้อยที่สุด

2.สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลไม่เสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย ระบบจะเกิดการเคลื่อนที่แบบไม่โดนกัก (Unbounced Motion) และไม่สามารถเคลื่อนที่กลับมาที่จุดสมดุลได้อีกเมื่อ formula_7 โดยที่จุดสมดุลได้ formula_6 มากที่สุด

ถ้า formula_9 เราจะต้องพิจารณาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นไป
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ สามารถนำไปอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่ติดมวลมากกว่าหนึ่ง หรือวัตถุติดสปริง หรือวัตถุที่มีการสั่นเป็นแอมปลิจูดน้อยๆ

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation) ในการแก้ไขปัญหาบางปัญหาที่มีความซับซ้อนจนเราไม่สามารถหาผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้ จึงมีวิธีการที่จะประมาณลักษณะการเคลื่อนที่โดยพิจารณนาลักษณะการเคลื่อนที่รอบๆ จุดสมดุล(Equilibrium position) การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ เรียกว่า การสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation)

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อยพบตัวอย่างการใช้งานทางด้านกายภาพอย่างแพร่หลายในความรู้เรื่องเสียง(Acoustics) การแผ่รังสีของโมเลกุล(Molecular spectra)
และวงจรคู่ควบ(Coupled electrical circuit)
กฏของนิวตัน
เพื่อความเรียบง่าย กฎของนิวตันสามารถอธิบายสำหรับอนุภาคหนึ่ง ๆ โดยที่ไม่มีการสูญเสียมวลมากนัก (สำหรับระบบของอนุภาค N สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคแต่ละตัวในระบบ) 
สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคของมวล m คือกฎข้อที่สองของ Newton ในปี ค.ศ. 1687 ซึ่งเป็นการใช้สัญกรณ์เวกเตอร์สมัยใหม่ ณ ขณะนั้น
เมื่อ a คือความเร่ง และ F คือแรงลัพธ์ ที่กระทำกับระบบ ซึ่งอยู่ในระบบ 3 มิติ แล้วระบบนี้จะรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากมีสมการเวคเตอร์ทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบ การแก้ปัญหาคือ ตำแหน่งของเวคเตอร์ r ของอนุภาคในเวลา t การแก้ปัญหาที่มี R เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นของ r และ v เมื่อ t = 0
กฎของนิวตันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำมาพิจารณาใช้ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่พิกัดคาร์ทีเซียนก็ไม่สะดวกเสมอไป และสำหรับระบบพิกัดอื่น ๆ การใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันจะกลายเป็นเรื่องซับซ้อน ในชุดของ พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates) ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) กฎในดรรชนีเทนเซอร์ (tensor) คือฟอร์มแบบลากรองจ์
ในกรณีที่ Fa เป็นส่วนประกอบความไม่แปรผัน ของแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค, Γabc เป็นสัญลักษณ์ Christoffel ของชนิดที่สอง,

เป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค และ gbc เป็นส่วนประกอบที่แปรปรวนของเมตริกซ์เทนเซอร์ของระบบพิกัดแบบโค้ง 
ดัชนีทั้งหมด a, b, c แต่ละค่าจะมีค่า 1, 2, 3 ซึ่งพิกัดเส้นโค้งไม่เหมือนกันกับพิกัดทั่วไป

มันอาจจะดูเหมือนเป็นเรื่องที่เกิดขึ้นมากเกินไปที่จะโยนกฎหมายของนิวตันในรูปแบบนี้ แต่ก็มีข้อได้เปรียบ
ส่วนประกอบของการเร่งในแง่ของสัญลักษณ์ Christoffel สามารถหลีกเลี่ยงได้ โดยการประเมินอนุพันธ์ของพลังงานจลน์แทน
ถ้าไม่มีแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค คือ F = 0 จะไม่เกิดการเร่ง แต่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ในทางคณิตศาสตร์การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์คือ geodesics นั่นคือเส้นโค้งของความยาวสุดขีดระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ (ซึ่งอาจจะน้อยที่สุด ดังนั้นคือเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ก็ไม่จำเป็น) ในพื้นที่จริงที่ว่างเปล่า แบบ 3D geodesics จะเป็นเส้นตรงเท่านั้น 
ดังนั้นสำหรับอนุภาคอิสระ กฎข้อที่สองของนิวตันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสมการเชิง geodesic และระบุอนุภาคอิสระตาม geodesics ซึ่งเป็นวิถีขีดสุดที่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ ถ้าอนุภาคตกอยู่ภายใต้แรงที่ F ≠ 0 อนุภาคจะมีความเร่งขึ้นเนื่องจากแรงที่กระทำต่อมัน และจะออกไปจาก geodesics ที่จะปฏิบัติตามถ้าเป็นอิสระ ด้วยความเหมาะสมของปริมาณที่กำหนดไว้ในที่ราบแบบแบนด์เวิร์ค 3 มิติ จนถึงกาลอวกาศโค้ง 4 มิติ รูปแบบข้างต้นของกฎนิวตันจะนำมาสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ซึ่งในกรณีนี้อนุภาคอิสระจะตาม geodesics ในส่วนโค้ง space-time ซึ่งไม่มี "เส้นตรง" กรณีสามัญ

อย่างไรก็ตามเรายังจำเป็นต้องทราบผลรวมของแรง F ที่กระทำกับอนุภาค ซึ่งจะต้องใช้แรงที่ไม่มีข้อจำกัด บวกกับแรงที่มีข้อจำกัด C,

แรงข้อจำกัด อาจมีความซับซ้อน เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับเวลา นอกจากนี้ถ้ามีข้อจำกัด ขอบเขตพิกัดไม่ได้เป็นอิสระ แต่เกี่ยวขึ้นกับสมการข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งข้อ 
แรงข้อจำกัด สามารถถูกกำจัดออกจากสมการของการเคลื่อนที่ จึงทำให้ แรงที่ไม่มีข้อจำกัดจะคงอยู่ หรือรวมอยู่ในสมการ ข้อจำกัดของสมการการเคลื่อนที่