ระบบพิกัด

พิกัด หมายถึง ค่าของตัวเลขที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ระดับความสูงจากน้ำทะเลก็เป็นพิกัดอย่างหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของจุดเหนือระดับพื้นผิวโลก ส่วนระบบพิกัดคือวิธีการอย่างเป็นระบบที่มีการให้ค่าคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับแทนตำแหน่งของแต่ละจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ซึ่งคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดจะหมายถึงตำแหน่งเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่าง สามสิ่งอันดับที่ประกอบด้วย ละติจูด ลองจิจูด และอัลติจูด (ระดับความสูง) เป็นระบบพิกัดที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดเหนือพื้นผิวโลก

พิกัดอาจนิยามได้ในบริบททั่วไป เช่น ถ้าหากเราไม่สนใจความสูง ดังนั้นละติจูดและลองจิจูดจึงสามารถเป็นระบบพิกัดเหนือพื้นผิวโลกก็ได้ โดยสมมติให้โลกมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม พิกัดเช่นนี้เป็นสิ่งสำคัญในดาราศาสตร์ ซึ่งใช้สำหรับอธิบายตำแหน่งของเทหวัตถุบนท้องฟ้าโดยไม่สนใจระยะทาง (ดูเพิ่มที่ระบบพิกัดทรงกลมฟ้า) อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะมุ่งประเด็นไปที่ระบบพิกัดบนระนาบและปริภูมิสามมิติเท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจในขอบเขตของคณิตศาสตร์มูลฐาน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ จุด P ใดๆ ในระนาบ "xy" สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของคู่อันดับ ("x", "y") โดยที่

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ จุด P ใดๆ ในปริภูมิ "xyz" สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับ ("x", "y", "z") โดยที่

ระบบพิกัดเชิงขั้วหรือเชิงมุม เป็นระบบพิกัดที่ตำแหน่งของจุดจุดหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยการวัดระยะทางจากลักษณะสำคัญที่กำหนดไว้บางประการในปริภูมิ และมีการกางออกของมุมหนึ่งมุมหรือมากกว่า ซึ่งทั้งหมดเป็นระบบที่ปกติทั่วไปของพิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)

คำว่า "พิกัดเชิงขั้ว" มักจะเป็นการอ้างถึง พิกัดวงกลมในสองมิติ สำหรับพิกัดเชิงขั้วอย่างอื่นที่ใช้กันตามปกติก็ยังมีพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ซึ่งทั้งคู่อยู่ในสามมิติ

ระบบพิกัดวงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสองมิติ นิยามโดยจุดกำเนิด O และรังสี L (ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง) ที่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่ง L อาจเรียกได้ว่าเป็น "แกนเชิงขั้ว" ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเลือกจุด (0, 0) มาเป็นจุดกำเนิด O และรังสี L จะอยู่บนแกน "x" ที่เป็นบวก (ครึ่งส่วนทางขวาของแกน "x")

ในระบบพิกัดวงกลม จุด P ใดๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยคู่อันดับ ("r", "θ") โดยที่

การแปลงพิกัดจากระบบพิกัดวงกลมอันหนึ่งไปเป็นอีกอันหนึ่งสามารถกระทำได้ รวมทั้ง
นอกจากนั้น เรายังสามารถแปลงระบบพิกัดวงกลมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน แล้วแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นให้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนอีกอันหนึ่ง จากนั้นจึงแปลงกลับมาเป็นพิกัดวงกลม ซึ่งการกระทำเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับ
หรือเราสามารถกำหนดให้พิกัด "θ" มีค่าอยู่ในช่วงอื่นที่ต้องการก็ได้ยกตัวอย่างเช่น −180° < "θ" ≤ 180° เป็นต้น

พิกัดวงกลมช่วยให้เราสะดวกขึ้นในสถานการณ์ที่ว่าเรารู้เพียงแค่ระยะทาง หรือรู้เพียงแค่ทิศทางไปยังจุดที่พิจารณา

จำนวนเชิงซ้อน "z" ใดๆ สามารถนำเสนอได้เป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยพิกัดวงกลม ("r", "φ") โดยให้ "r" คือค่าสัมบูรณ์ของ "z" และ "φ" คืออาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของ "z" ซึ่งช่วยให้การคูณหรือการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนทำได้ง่ายขึ้น

ระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใดๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ ("r", "θ", "h") ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า
หมายเหตุ: เราอาจเห็นว่าในบางตำราใช้ "z" แทน "h" ซึ่งไม่มีแบบใดถูกหรือผิด ขึ้นอยู่กับความหมายที่นิยาม

พิกัดทรงกระบอกอาจทำให้เกิดความซ้ำซ้อน ซึ่งเมื่อ "r" = 0 จะทำให้ "θ" ไม่มีความหมาย คือเป็นค่าอะไรก็ได้

พิกัดทรงกระบอกมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบที่สมมาตรกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่เป็นแกน ตัวอย่างเช่น ทรงกระบอกที่ยาวเป็นอนันต์ มีสมการในพิกัดคาร์ทีเซียน "x" + "y" = "c" สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในพิกัดทรงกระบอกได้ "r" = "c" เป็นต้น

ระบบพิกัดทรงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใดๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ ("ρ", "φ", "θ") หรือ ("ρ", "θ", "φ") ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า
และเนื่องจากพิกัดทรงกลมเขียนได้สองแบบ จึงต้องมีการประกาศรูปแบบก่อนใช้งานเพื่อมิให้เกิดความสับสน

แนวคิดของพิกัดทรงกลมสามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้นบนพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์ (hyperspherical coordinates)

เนื่องจากมีระบบพิกัดหลายระบบที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าระบบเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งคือ การแปลงระหว่างระบบพิกัด ซึ่งจะมีสูตรสำหรับอธิบายระบบพิกัดหนึ่งในพจน์ของระบบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น หากพิกัดคาร์ทีเซียน ("x", "y") และพิกัดเชิงขั้ว ("r", "θ") มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันและมีแกนเชิงขั้วอยู่บนแกน "x" ที่เป็นบวก ดังนั้นการแปลงพิกัดจากเชิงขั้วไปเป็นคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้จาก "x" = "r" cos "θ" และ "y" = "r" sin "θ" เป็นต้น