1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

ผลบวกของทุกจำนวนธรรมชาติ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ เป็นอนุกรมลู่ออก ผลบวกย่อยที่ "n" ของอนุกรมเป็นจำนวนสามเหลี่ยม

ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต โดย "n" เป็นอนันต์ เนื่องจากลำดับของผลบวกย่อยไม่ลู่เข้าลิมิตจำกัดค่าหนึ่ง อนุกรมดังกล่าวจึงลู่ออก และไม่มีผลบวกในความหมายทั่วไป

แม้ว่าอนุกรมนี้ไม่มีค่าที่มีความหมายใด ๆ เมื่อแรกเห็น แต่อนุกรมนี้สามารถเปลี่ยนรูปให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ ซึ่งบางผลลัพธ์นั้นมีการใช้ในสาขาอื่น เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีสตริง มีการใช้วิธีการรวมยอดจำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดค่าตัวเลขให้แม้แต่กับอนุกรมลู่ออก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตา (zeta function regularization) และการรวมยอดรามานุจันกำหนดให้อนุกรมมีค่า −1/12 ซึ่งแสดงโดยสูตรอันขึ้นชื่อ

ในเอกสารเฉพาะเรื่องว่าด้วยทฤษฎีแสงจันทร์ (moonshine theory) เทอร์รี แกนนอนเรียกสมการนี้ว่า "หนึ่งในสูตรที่สะดุดตาที่สุดของวิทยาศาสตร์"

ผลบวกบางส่วนของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ คือ 1, 3, 6, 10, 15 ฯลฯ ผลบวกที่ "n" หาได้จากสูตรง่าย ๆ

พีทาโกรัสและศิษย์ (Pythagorean) อาจทราบสมการดังกล่าวตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล จำนวนในรูปนี้เรียก จำนวนสามเหลี่ยม เพราะสามารถจัดจำนวนเหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมได้

ลำดับอจำนวนสามเหลี่ยมอนันต์ลู่ออกเป็น +∞ ฉะนั้นโดยบทนิยาม อนุกรมอนันต์ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ จึงลู่ออกเป็น +∞ เช่นกัน การลู่ออกเป็นผลอย่างง่ายของอนุกรมรูปแบบนี้ พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ ฉะนั้นอนุกรมจึงลู่ออกโดยการทดสอบพจน์

ในบรรดาอนุกรมลู่ออกคลาสสิก 1 + 2 + 3 + 4 + · · · นั้นจัดรูปให้เป็นค่าจำกัดได้ค่อนข้างยาก มีการใช้วิธีการรวมยอดจำนวนมากเพื่อให้ค่าจำนวนแก่อนุกรมลู่ออก ซึ่งบางวิธีทรงพลัง (powerful) กว่าวิธีอื่น ตัวอย่างเช่น การรวมยอดเซซาโรซึ่งใช้หาผลบวกของอนุกรมแกรนดี (อนุกรมลู่ออก 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯) เป็น 1/2 การรวมยอดอะเบลเป็นวิธีทรงพลังกว่าซึ่งไม่เพียงหาผลบวกของอนุกรมแกรนดีเป็น 1/2 เท่านั้น แต่ยังหาผลบวกของอนุกรมที่ซับซ้อนกว่า 1 − 2 + 3 − 4 + · · · เป็น 1/4 ด้วย

1 + 2 + 3 + 4 + · · · แตกต่างจากสองอนุกรมข้างต้น คือ ไม่สามารถรวมได้ด้วยการรวมยอดเซซาโรหรืออะเบล วิธีเหล่านั้นใช้ได้กับอนุกรมลู่ออกที่แกว่งกวัด แต่ไม่สามารถให้คำตอบจำกัดแก่อนุกรมที่ลู่ออกสู่ +∞ ได้ บทนิยามที่มูลฐานกว่าของผลบวกอนุกรมลู่ออกส่วนใหญ่เสถียรและเป็นเชิงเส้น และวิธีการใดที่ทั้งเสถียรและเป็นเชิงเส้นไม่สามารถหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +... เป็นค่าจำกัดได้ จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการขั้นสูงกว่านั้น เช่น การทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตาหรือการรวมยอดรามานุจัน นอกจากนี้การสนับสนุนค่า −1/12 โดยใช้วิทยาการศึกษาสำนึกอย่างหยาบ ๆ ซึ่งสัมพันธ์กับวิธีเหล่านี้ยังเป็นไปได้ด้วย

ศรีนิวาสะ รามานุจันนำเสนอการแปลง "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12" สองแบบในบทที่ 8 ของสมุดบันทึกเล่มแรกของเขา การแปลงแบบง่ายและเคร่งครัดน้อยกว่ามีสองขั้นตอน ดังนี้

วิจารณญาณสำคัญอย่างแรก คือ อนุกรมจำนวนบวก 1 + 2 + 3 + 4 + · · · คล้ายกับอนุกรมสลับ 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ซึ่งอนุกรมที่สองนี้ก็เป็นอนุกรมลู่ออกเช่นกัน แต่สามารถเปลี่ยนรูปได้ง่ายกว่า มีวิธีคลาสสิกหลายวิธีที่กำหนดค่าให้กับอนุกรมนี้ ซึ่งได้มีการสำรวจตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18

ในการแปลงอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + · · · เป็น 1 − 2 + 3 − 4 + · · · สามารถลบ 4 จากพจน์ที่สอง 8 จากพจน์ที่สี่ 12 จากพจน์ที่หกไปเรื่อย ๆ จำนวนรวมที่จะถูกนำมาลบเป็น 4 + 8 + 12 + 16 + · · · ซึ่งเป็น 4 เท่าของอนุกรมดั้งเดิม ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถแสดงด้วยพีชคณิตเล็กน้อย ไม่ว่า "ผลบวก" ของอนุกรมนี้จะเป็นอะไร เรียกมันว่า "c" = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ แล้วคูณสมการนี้ด้วย 4 และลบสมการที่สองออกจากสมการแรก จะได้

วิจารณญาณสำคัญอย่างที่สอง คือ อนุกรมสลับ 1 − 2 + 3 − 4 + · · · เป็นการกระจายอนุกรมกำลังรูปนัยของฟังก์ชัน 1/(1 + "x") โดย 1 เข้าแทนที่ "x" ดังนั้น รามานุจันเขียนว่า 
หารด้วย −3 ทั้งสองข้าง จะได้ว่า "c" = −1/12

กล่าวโดยทั่วไป เป็นการอันตรายที่จะจัดรูปอนุกรมอนันต์ราวกับเป็นผลบวกจำกัด และอันตรายเป็นพิเศษสำหรับอนุกรมลู่ออก หากแทรกศูนย์เข้าไปในตำแหน่งคงค่าของอนุกรมลู่ออกหนึ่ง ก็เป็นไปได้ที่จะได้ผลออกมาไม่ต้องกันกับตัวเอง (not self-consistent) ไม่ต้องกล่าวถึงความต้องกับวิธีอื่นเลย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้น 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + · · · ไม่เพียงแต่ให้เหตุผลโดยกฎเอกลักษณ์การบวกอย่างเดียว สำหรับตัวอย่างแบบสุดโต่ง การเพิ่มศูนย์ตัวเดียวเข้าไปหน้าอนุกรมนี้อาจนำไปสู่ผลที่ไม่ต้องกันได้ทีเดียว

ทางหนึ่งที่จะแก้ไขสถานการณ์นี้ และเพื่อบังคับตำแหน่งที่อาจแทรกศูนย์เข้าไป คือ การติดตามแต่ละพจน์ในอนุกรมโดยการติดตัวไม่อิสระ (dependence) ในบางฟังก์ชัน ในอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + · · · แต่ละพจน์ "n" เป็นเพียงจำนวน หากพจน์ "n" ถูกกำหนดใหม่เป็นฟังก์ชัน "n" โดยที่ s เป็นตัวแปรเชิงซ้อน ก็จะสามารถประกันได้ว่ามีเฉพาะพจน์ประเภทเดียวกันเท่านั้นที่จะถูกเพิ่ม อนุกรมอันเป็นผลนี้อาจเปลี่ยนรูปในทำนองที่เคร่งครัดกว่า และตัวแปร "s" สามารถตั้งเป็น −1 ได้ทีหลัง การนำยุทธศาสตร์นี้ไปปฏิบัติเรียก การทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตา