ปัญหามอนตี ฮอลล์

ปัญหามอนตี ฮอลล์ หรือ เกมประตูดวง () นี้ตั้งชื่อตามชื่อผู้ดำเนินรายการ "มอนตี ฮอลล์" (Monty Hall) ในรายการเกมโชว์ในสหรัฐอเมริกา ชื่อ "Let's Make a Deal" ส่วนชื่อภาษาไทย มาจากปัญหาเดียวกันในรายการในประเทศไทย ชื่อ ประตูดวง เกมปัญหานี้เป็นปัญหาทางความน่าจะเป็น โดยในเกม จะมีประตู 3 สามประตูให้ผู้เล่นเลือก โดย มีหนึ่งประตูที่มีรางวัลอยู่หลังประตู (ซึ่งในรายการ "Let's Make a Deal" คือ รถยนต์) ส่วนอีกสองประตูที่เหลืออยู่นั้นจะไม่มีรางวัล (ในรายการ "Let's Make a Deal" นั้นจะมีแพะ) ผู้เล่นนั้นจะเลือกหนึ่งประตูและได้สิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูนั้นเป็นรางวัล แต่ก่อนที่จะเปิดประตูที่ผู้เล่นเลือกไว้เพื่อดูว่ามีอะไรอยู่ด้านหลัง ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูหนึ่งประตูที่มีแพะอยู่จากสองประตูที่เหลือ หลังจากนั้นผู้ดำเนินรายการจะให้โอกาสผู้เล่น เลือกเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้แล้ว กับประตูที่เหลืออยู่

ปัญหา : ผู้เล่นควรจะเลือกเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้แล้วกับอีกประตูหนึ่งที่เหลืออยู่หรือไม่ การเปลี่ยนประตูจะเพิ่มโอกาสถูกรางวัลมากขึ้นหรือไม่?

คำตอบ : ผู้เล่นควรจะเลือกเปลี่ยนประตู เนื่องจากจะเพิ่มโอกาสถูกรางวัลมากขึ้นเป็น 2/3 ดังรายละเอียดด้านล่าง

ปัญหานี้มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า มอนตี ฮอลล์ พาราดอกซ์ (Monty Hall paradox) เนื่องจากคำตอบของปัญหานั้นค่อนข้างจะสวนกับสามัญสำนึก ถึงแม้ว่าปัญหานี้จะไม่ได้เป็น พาราดอกซ์ จริง ๆ ก็ตาม

รายละเอียดของปํญหา

คำถาม คือ โอกาสที่ผู้เล่นจะเลือกรถยนต์จะเพิ่มขึ้นหรือไม่ จะผู้เล่นเลือกที่จะสลับประตู บานที่เลือกไว้กับบานที่เหลืออยู่?

คำตอบของปัญหานี้คือ ผู้เล่นควรจะ สลับประตู โอกาสที่ผู้เล่นจะเลือกได้รถนั้นจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า หากผู้เล่นเลือกสลับประตูที่เลือกไว้เดิมกับประตูที่เหลืออยู่

กำหนดให้สิ่งที่อยู่หลังประตู คือ รถยนต์ แพะหมายเลข 1 และ แพะหมายเลข 2 รูปแบบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้มี 3 แบบ แต่ละแบบมีความน่าจะเป็น 1/3 เท่า ๆ กัน คือ

จะเห็นว่า สองกรณีแรกนั้น ผู้เล่นได้รถยนต์ด้วยการสลับ และ กรณีที่สามเพียงกรณีเดียวเท่านั้นที่ ได้รถยนต์ด้วยการไม่สลับ ดังนั้นโอกาสในการถูกรางวัลด้วยการสลับประตูนั้นจะเป็น 2/3 และ ไม่สลับประตูจะเป็น 1/3

หรือ อาจอธิบายได้อีกทางหนึ่งก็คือ สมมุติไว้ก่อนว่าคุณจะสลับประตู ดังนั้นวิธีที่คุณจะได้รถยนต์ก็คือ ต้องเลือกประตูที่ไม่มีรถยนต์อยู่ ซึ่งใน 2 ประตูที่ไม่เลือกจะมี 1 ประตูที่มีแพะ และ 1 ประตูที่มีรถยนต์ ประตูที่มีแพะนั้นจะถูกเลือกเปิดโดยผู้ดำเนินรายการ และ เมื่อสลับประตูคุณจะได้รถยนต์ จะเห็นได้ว่าโอกาสที่คุณจะต้องเลือกให้ได้ประตูที่ไม่มีรถยนต์อยู่ในตอนแรกสุดนั้นเป็น 2/3 ซึ่งก็คือโอกาสในการถูกรางวัลรถยนต์ หากสลับประตู

สมมุติว่า:

กรณีที่ 1:
คุณเลือกประตู 1. ผู้ดำเนินรายการเปิดประตู 3 ให้ดูว่าเป็นแพะ
ก) คุณอยู่กับประตู 1 = คุณชนะ
ข) คุณสลับไปประตู 2 = คุณแพ้

กรณีที่ 2:
คุณเลือกประตู 2. ผู้ดำเนินรายการเปิดประตู 3 ให้ดูว่าเป็นแพะ
ก) คุณอยู่กับประตู 2 = คุณแพ้
ข) คุณสลับไปประตู 1 = คุณชนะ

กรณีที่ 3:
คุณเลือกประตู 3. ผู้ดำเนินรายการเปิดประตู 2 ให้ดูว่าเป็นแพะ
ก) คุณอยู่กับประตู 3 = คุณแพ้
ข) คุณสลับไปประตู 1 = คุณชนะ

จะเห็นได้ว่าถ้าคุณสลับประตู คุณจะมีโอกาสชนะ 2/3 ครั้ง หรือ 66.66% แต่ถ้าคุณอยู่กับประตูเดิม คุณจะมีโอกาสชนะ 1/3 ครั้ง หรือ 33.33%
ให้

การวิเคราะห์ความน่าจะเป็นตามทฤษฎีของเบย์ สมมุติในตอนแรกผู้เล่นเลือกประตูหมายเลข 3 ความน่าจะเป็นที่รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 2 คือ formula_3 มีค่าเท่ากับ 1/3 จากนั้นความน่าจะเป็นที่ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูหมายเลข 1 formula_4 มีค่าเท่ากับ 1/2 คือเลือกจากประตูหมายเลข 1 หรือ 2 แต่จากข้อมูลที่ผู้ดำเนินรายการมีอยู่ ผู้ดำเนินรายการจะไม่เปิดประตูที่มีรถยนต์อยู่ด้านหลัง ดังนั้น ในกรณีที่รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 2 ผู้ดำเนินจะถูกบังคับให้เปิดประตูหมายเลข 1 ซึ่งก็คือ formula_5 และ formula_6 และ ความน่าจะเป็นที่รถยนต์จะอยู่หลังประตูหมายเลข 2 ถ้าหากผู้ดำเนินรายการเลือกเปิดประตูหมายเลข 1 คือ