กรุป (คณิตศาสตร์)

กรุป () ในพีชคณิตนามธรรม คือ เซตกับการดำเนินการทวิภาค เช่น การคูณหรือการบวก ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มเป็นกรุปภายใต้การดำเนินการการบวก สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปเรียกว่า ทฤษฎีกรุป

ต้นกำเนิดของทฤษฎีกรุปนั้นย้อนกลับไปสู่ผลงานของเอวาริสต์ กาลัว (พ.ศ. 2373) เกี่ยวกับปัญหาที่ว่าเมื่อใดสมการเชิงพีชคณิตจึงจะสามารถหาคำตอบได้จากราก ก่อนผลงานของเขาการศึกษากรุปเป็นไปอย่างเป็นรูปธรรม ในรูปแบบการเรียงสับเปลี่ยน หลักเกณฑ์บางข้อของอาบีเลียนกรุป อยู่ในทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง

หลายสิ่งที่ศึกษากันในคณิตศาสตร์เป็นกรุป รวมไปถึงระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ภายใต้การบวก เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ภายใต้การคูณ และฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้ ภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน ทฤษฎีกรุปรองรับคุณสมบัติของระบบเหล่านี้และระบบอื่นๆอีกมากมายในรูปแบบทั่วไป ผลลัพธ์ยังสามารถประยุกต์ได้หลากหลาย ทฤษฎีกรุปยังเต็มไปด้วยทฤษฎีบทในตัวมันเองอีกมากเช่นกัน

ภายใต้กรุปยังมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตอีกมาก เช่นฟิลด์ และปริภูมิเวกเตอร์ กรุปยังเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรในรูปแบบต่างๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใดๆก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ด้วยเหตุผลเหล่านี้ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาที่สำคัญในคณิตศาสตร์ยุดใหม่ และยังเป็นหนึ่งในบทประยุกต์ของ ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ อีกด้วย (ตัวอย่างเช่น ฟิสิกส์อนุภาค)

กรุป ("G", * ) คือ เซตไม่ว่าง "G" กับ การดำเนินการทวิภาค * : "G" × "G" → "G", ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ข้างล่าง. ""a" * "b"" ใช้แสดงผลลัพธ์ของการใช้ตัวดำเนินการ * กับคู่อันดับ ("a", "b") ของสมาชิกของ "G". สัจพจน์ของกรุปมีดังนี้:

อันดับของกรุป G นิยมเขียนเขียนแทนด้วย |G| หรือ o(G) หมายถึงจำนวนสมาชิกในเซต G ถ้าอันดับเป็นจำนวนไม่จำกัด กรุปนั้นเป็น"กรุปอนันต์" เขียนว่า |"G"| = ∞

อันดับของสมาชิก a ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ "a = e" โดยที่ "a" คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่นๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้า n ไม่ปรากฏ จะเรียกได้ว่า a มีอันดับเป็นอนันต์

ควร G

กรุป G เรียกได้ว่าเป็น อาบีเลียนกรุป (หรือกรุปสลับที่) ถ้าการดำเนินการเป็นแบบสลับที่ได้ คือสำหรับทุกๆ a,b ใน G , a * b = b * a
คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ นีลส์ อะเบล (Niels Abel)

กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ
กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น

กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด

formula_1

กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิกเป็น a

formula_2

ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของ
กรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป

ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที
กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่างๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ

การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง

เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น ("H", +) แสดงว่าเซต H เป็น
กรุปภายใต้การบวก

สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาขิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อืนๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้นๆ :

กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (Z,+) เป็นกรุป

พิสูจน์ :

กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ "a" + "b" = "b" + "a"