seungwon929/Th-miracl huggingface dataset:
ทางหลวง

ทางหลวง คือ ถนนหรือเส้นทางซึ่งจัดไว้เพื่อประโยชน์ในการจราจรสาธารณะทางบก ไม่ว่าในระดับพื้นดิน ใต้หรือเหนือพื้นดิน หรือใต้หรือเหนืออสังหาริมทรัพย์อย่างอื่นนอกจากทางรถไฟ ระบบทางหลวงของสหรัฐอเมริกาที่เรียกว่า อินเตอร์สเตต เป็นระบบทางหลวงที่มียาวรวมทั้งหมดมากที่สุดในโลกโดยมีความยาวทั้งสิ้น 75,376 กม.(2004) ทางหลวงบางเส้นจะเชื่อมต่อระหว่างประเทศเช่น ยูโรเปียนรูท และถนนบางเส้นจะเชื่อมระหว่างเมืองหลวงของรัฐทั้งหมดในประเทศ เช่นใน ออสเตรเลียไฮเวย์ 1 ซึ่งเชื่อมตัวเมืองหลวงของรัฐทั้งหมดรอบประเทศออสเตรเลีย ถนนหลวงที่ยาวที่สุดในโลกคือ ทรานซ์-แคนาดาไฮเวย์ ซึ่งเริ่มจากเมือง วิกตอเรีย ในรัฐบริติชโคลัมเบีย ของฝั่งมหาสมุทรแปซิฟิก ผ่าน 10 รัฐจนถึงเมืองเซนต์จอห์นในรัฐนิวฟันด์แลนด์และแลบราดอร์ทางฝั่งมหาสมุทรแอตแลนติก

การออกแบบทางหลวงจะมีการออกแบบที่แตกต่างกันขึ้นไปขึ้นอยู่กับลักษณะถนน ความกว้างถนน และสภาพการสัญจร ทางหลวงสามารถมีได้ทั้งในลักษณะถนนสองเลน ถนนมีหรือไม่มีไหล่ทาง และผิวถนนของถนนเส้นเดียวกันที่ตำแหน่งต่างกัน จะมีลักษณะไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับหน่วยงานที่เป็นผู้ควบคุมถนนเส้นนั้น

ทางหลวงในประเทศไทยได้รับการควบคุมโดยกรมทางหลวง โดยมีทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 4 หรือถนนเพชรเกษม เป็นถนนที่ยาวที่สุดในประเทศไทย เริ่มจากกรุงเทพมหานครถึงด่านพรมแดนจังโหลน อำเภอสะเดา จังหวัดสงขลา ระยะทางรวมทั้งสิ้น 1,274 กิโลเมตร

เริ่มแรกมนุษย์ใช้ทางเท้า (traces) เดินไปมาหากัน ต่อมาเมื่อรู้จักใช้สัตว์เป็นพาหนะ จึงเปลี่ยนโดยใช้สัตว์ในการขับล้อเลื่อน เริ่มใช้ทางเกวียน ทางสร้างด้วยหินครั้งแรกเมื่อก่อนคริสต์ศักราช 3500 พบใน เมโสโปเตเมีย ซึ่งสร้างด้วยหิน สมัยโรมันรุ่งเรืองชาวโรมันได้สร้างติดต่อระหว่างอาณาจักรต่างๆ ต่อมาเมื่อศตวรรษที่ 18 Tresaquet ชาวฝรั่งเศสได้เริ่มสร้างถนนให้ดีขึ้น โดยใช้หินมาถมเป็นชั้น ๆทำให้ถนนรับน้ำหนักและมีความทนทานมากขึ้น หลังจากนั้น John Macadam ชาวอังกฤษได้นำหินมาเรียงกันเป็นผิวทาง และให้รถม้าวิ่งบดทับให้แน่น ทางลักษณะนี้จึงให้ชื่อว่า Macadam ซึ่งใช้มาจนถึงปัจจุบันนี้ ในสหรัฐอเมริกาการก่อสร้างทางเริ่มจากการปรับปรุงทางเก่าและเก็บค่าผ่านทาง (Turn Pike) ซึ่งอาจจะลงทุนโดยรัฐบาลหรือเอกชน ทางสายแรกสร้างระหว่างฟิลาเดเฟีย และเวอร์จิเนีย ต่อมาการสร้างทางหลวงถูกพัฒนามาเรื่อยๆ เช่น การนำแอสฟัลท์มาใช้ประกอบกับหินหรือมวลรวม ใช้ในลักษณะของ Mixed Inplace and Asphaltic Concrete หรือ ผิวทางคอนกรีตเสริมเหล็กปัจจุบัน และ Prestress Concrete ถูกนำมาใช้กับทางหลวง
จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 5, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เศษของจำนวนเต็มเป็นเศษย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, ...) ศูนย์ (0) และตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (−1, −2, −3, ...)

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา (หรือ formula_1 ตัวหนาบนกระดานดำ, U+2124) มาจากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen แปลว่าจำนวน

จำนวนเต็ม (พร้อมด้วยการดำเนินการการบวก) ก่อร่างเป็นกรุปเล็กที่สุดอันประกอบด้วยโมนอยด์เชิงการบวกของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มก่อให้เกิดเซตอนันต์นับได้เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตทำให้เข้าใจได้โดยสามัญว่า จำนวนเต็มซึ่งฝังตัวอยู่ในฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจากจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่ได้นิยามไว้กว้างกว่า

Z เป็นเซตปิดสำหรับการดำเนินการการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ ผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็ม แต่ Z ยังเป็นเซตปิด เมื่อรวมจำนวนธรรมชาติลบและ 0 ด้วย แต่ Z ไม่เป็นเซตปิดสำหรับการหาร เนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มไม่เปิดเซตปิดภายใต้การยกกำลัง ซึ่งต่างจากจำนวนธรรมชาติ (เพราะเมื่อยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นลบจะได้เศษส่วน)

ตารางด้านล่างแสดงสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม "a", "b" และ "c" ใด ๆ
ตามศัพท์ของพีชคณิตนามธรรม คุณสมบัติห้าข้อแรกข้างบนสามารถบอกได้ว่าเซต Z กับการบวกเป็น อบิเลียนกรุป

Z เป็น เซตเรียงลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

จำนวนเต็มหนึ่งๆ จะเป็นจำนวนบวก ถ้ามันมากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ ถ้ามันน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

การเรียงลำดับจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต ดังนี้

จำนวนเต็มมักเป็นชนิดข้อมูลพื้นฐานในภาษาโปรแกรม แต่จำนวนเต็มในภาษาโปรแกรมมีความจุจำกัด และมักมีจำนวนบิตที่ตายตัว ทำให้สามารถเก็บค่าได้แค่บางส่วนจากจำนวนเต็มทั้งหมดทางคณิตศาสตร์ แต่ในอีกด้านหนึ่ง แบบจำลองทางทฤษฎีทางคำนวณ เช่น เครื่องจักรทัวริง สมมุติให้เครื่องคำนวณมีความจุไม่มีที่สิ้นสุด
(a+)-b
ตลาดหลักทรัพย์ เอ็ม เอ ไอ

ตลาดหลักทรัพย์ เอ็ม เอ ไอ (mai) จัดตั้งภายใต้พระราชบัญญัติหลักทรัพย์และตลาดหลักทรัพย์ เปิดดำเนินการอย่างเป็นทางการเมื่อวันที่ 21 มิถุนายน 2542 เพื่อเป็นแหล่งระดมทุนที่เปิดโอกาสให้ธุรกิจขนาดกลางและขนาดย่อม ที่มีศักยภาพการเติบโตสูง ให้สามารถเข้าถึงแหล่งเงินทุน ทำให้ธุรกิจเติบโตอย่างยั่งยืน ด้วยความโปร่งใส มีการกำกับดูแลกิจการที่ดี มีความรับผิดชอบต่อสังคมและสิ่งแวดล้อม เสริมสร้างเครือข่ายธุรกิจและเพิ่มความพร้อมในการแข่งขัน

วิสัยทัศน์

โอกาสใหม่ของธุรกิจ ในการเติบโตระยะยาวอย่างมีคุณภาพ

พันธกิจ

เปิดโอกาสให้ผู้ประกอบการและธุรกิจขนาดกลางและขนาดย่อม

ผู้จัดการตลาดหลักทรัพย์ เอ็ม เอ ไอ คนปัจจุบันคือ นายประพันธ์ เจริญประวัติ

หลักเกณฑ์และคุณสมบัติของบริษัทที่ต้องการยื่นคำขอนำหุ้นสามัญเข้าจดทะเบียน
อาคารตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย
สูตรคูณ

ในคณิตศาสตร์ สูตรคูณ เป็นสูตรคณิตศาสตร์ซึ่งใช้เพื่อแสดงวิธีคูณเลขตามระบบพีชคณิต

สูตรคูณเป็นตารางกริดที่หัวแถวและคอลัมน์เป็นเลขที่จะนำมาคูณ และตัวเลขในแต่ละช่องคือผลคูณดังกล่าว

จากตาราง ค่าของ 3 × 6 หาได้จากช่องที่ 3 กับ 6 ตัดกัน ได้คำตอบเป็น 18

โดยปกติแล้ว ใช้สูตรคูณเป็นคอลัมน์เพื่อให้จดจำง่ายตามรูปแบบดังนี้

ตัวอย่างสำหรับสูตรคูณแม่ 6

ในรูปทั่วไป
อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ

อันเดรย์ นิโคลาเยวิช คอลโมโกรอฟ (รัสเซีย: Андре́й Никола́евич Колмого́ров; อังกฤษ: Andrey Nikolaevich Kolmogorov), เกิดเมื่อวันที่ 25 เมษายน ค.ศ. 1903 เสียชีวิต 20 ตุลาคม ค.ศ. 1987, เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ยักษ์ใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยมีผลงานโดดเด่นมากในงาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและทอพอโลยี. อันที่จริงแล้ว คอลโมโกรอฟมีผลงานในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ เช่น ตรรกศาสตร์, อนุกรมฟูรีเย, ความปั่นป่วน (turbulence), กลศาสตร์คลาสสิก นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในผู้คิดค้น ความซับซ้อนแบบคอลโมโกรอฟ ร่วมกับ เกรโกรี ไชตัง และ เรย์ โซโลโมนอฟ ในช่วงช่วงปี ค.ศ. 1960 ถึง ค.ศ. 1970.

คอลโมโกรอฟเสมือนเป็นบิดาของ ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์) เนื่องจากได้ปูรากฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นใหม่ทั้งหมด ด้วยสัจพจน์ที่เรียบง่ายเพียงไม่กี่ข้อ. โดยงานวิจัยด้านทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน (คนละประเภทกับงานวิจัยด้านทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์) มีรากฐานทั้งหมดอยู่บนสัจพจน์คอลโมโกรอฟนี้

เดวิด ซาลส์เบิร์ก กล่าวยกย่องคอลโมโกรอฟว่าเป็น "โมซาร์ทแห่งคณิตศาสตร์" ในหนังสือ "The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century"

ในปี ค.ศ. 1920 คอลโมโกรอฟได้เข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยแห่งมอสโกว์ และได้ศึกษาในหลายสาขาวิชา โดยนอกจากคณิตศาสตร์และวิทยาศาตร์แล้ว คอลโมโกรอฟยังได้เข้าเรียนวิชาผสมโลหะและประวัติศาสตร์ด้วย. ในเวลานั้นคอลโมโกรอฟได้รับอิทธิพลทางด้านคณิตศาสตร์จากนักคณิตศาสตร์ชื่อดังของรัสเซียหลายท่าน ไม่ว่าจะเป็น พี.เอส. อเล็กซานดรอฟ, ลูซิน, เอโกรอฟ, ซัสลิน และ สเตปานอฟ. โดย พี.เอส. อเล็กซานดรอฟ ซึ่งมีชื่อเสียงโด่งดังมากในสมัยนั้นเพิ่งจะกลับมาทำวิจัยที่มหาวิทยาลัยมอสโกว์อีกครั้ง ในช่วงที่คอลโมโกรอฟเข้ามาเรียนปริญญาบัณฑิตพอดี. อย่างไรก็ตามคอลโมโกรอฟรู้สึกประทับใจในวิชาอนุกรมตรีโกณมิติที่สเตปานอฟสอนมากที่สุด.

มีข้อสังเกตที่น่าสนใจว่า แม้ขณะที่คอลโมโกรอฟยังเรียนอยู่ในระดับปริญญาตรี เขาก็ได้เริ่มทำงานวิจัยที่มีผลกระทบในวงกว้างแล้ว. ในฤดูหนาวของปี ค.ศ. 1922 คอลโมโกรอฟได้ทำบทความวิชาการเกี่ยวกับตัวดำเนินการทางเซตจนเสร็จสิ้น งานชิ้นนี้ได้ขยายแนวความคิดเดิมของซัสลินให้ใช้ได้อย่างกว้างขวางมากขึ้น. และในเดือนมิถุนายนปีเดียวกัน คอลโมโกรอฟสามารถสร้างฟังก์ชันที่มีลักษณะแปลกประหลาด คือ ฟังก์ชันที่หาผลรวมได้แต่ลู่ออกแทบทุกจุด (a summable function which diverged almost everywhere) ซึ่งไม่เคยมีนักคณิตศาสตร์ท่านใดคาดคิดมาก่อนว่าจะมีฟังก์ชันประเภทนี้อยู่จริง งานนี้ส่งผลให้ชื่อของคอลโมโกรอฟเริ่มกระจายไปทั่วโลก. และในช่วงเวลาเดียวกันนี้คอลโกโกรอฟก็ยังสนใจงานคณิตวิเคราะห์ ไม่ว่าจะเป็นอนุพันธ์ ปริพันธ์ หรือทฤษฎีการวัด. คอลโมโกรอฟทำวิจัยในหลาย ๆ เรื่องทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันออกไป โดยแต่ละผลงานของเขาสามารถเห็นความเป็นต้นฉบับในรูปแบบของเขา เห็นเทคนิกวิธีการแก้ไขปัญหาที่หลากหลาย และเห็นความคิดที่ลึกซึ้งของคอลโมโกรอฟในการเจาะปัญหาแต่ละแบบ.
ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์

ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์ หรือ ภาษาศาสตร์เชิงคำนวณ () เป็นสหวิทยาการที่ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองเชิงตรรกะของภาษาธรรมชาติ จากมุมมองในเชิงคำนวณ แบบจำลองนี้ ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ในสาขาในสาขาหนึ่งของภาษาศาสตร์

เดิมทีเดียว นักภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักจะเป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งเชี่ยวชาญในด้านการประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์เพื่อประมวลผลภาษาธรรมชาติ (natural language) แต่งานวิจัยในช่วงหลัง ได้แสดงให้เห็นว่า ภาษานั้นซับซ้อนเกินกว่าที่คาดคิดไว้ ดังนั้นกลุ่มศึกษาภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์จึงกลายสภาพเป็นกลุ่มสหวิทยาการไป โดยจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่เป็นนักภาษาศาสตร์​ (นั่นคือ ฝึกฝนมาทางด้านภาษาศาสตร์โดยเฉพาะ) ส่วนคนอื่น ๆ อาจจะเชี่ยวชาญในสาขา วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ปัญญาประดิษฐ์ จิตวิทยาปริชาน () ตรรกวิทยา และอื่น ๆ

ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์นั้นนับเป็นแขนงวิชาแรกเริ่มของปัญญาประดิษฐ์แขนงหนึ่ง ซึ่งเริ่มต้นในสหรัฐอเมริกาในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1950 (พ.ศ. 2493 ถึง พ.ศ. 2503) เพื่อที่จะแปลเอกสารภาษาต่างประเทศไปเป็นภาษาอังกฤษโดยอัตโนมัติ โดยเฉพาะการแปลวารสารวิทยาศาสตร์ของสหภาพโซเวียต ในสมัยนั้นคอมพิวเตอร์ได้พิสูจน์ความสามารถแล้วว่า สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนได้เร็วกว่าและแม่นยำกว่ามนุษย์มาก แต่ถึงกระนั้น เทคนิคต่าง ๆ ก็ยังไม่ได้รับการพัฒนาให้มีประสิทธิภาพมากพอที่จะประมวลผลภาษาได้

เมื่อการแปลภาษาอัตโนมัติ (machine translation) ที่ให้ผลลัพธ์แม่นยำได้ล้มเหลว จึงได้มีการกลับมามองปัญหาของการประมวลผลภาษาใหม่ พบว่าปัญหานั้นซับซ้อนเกินกว่าที่ได้คาดคิดไว้ในตอนแรก ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์จึงได้ถือกำเนิดขึ้นเป็นศาสตร์ใหม่ ที่อุทิศให้กับการพัฒนาขั้นตอนวิธี และซอฟต์แวร์ประมวลผลข้อมูลทางภาษาอย่างชาญฉลาด เมื่อปัญญาประดิษฐ์ได้ถือกำเนิดขึ้นในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1960 (พ.ศ. 2503 ถึง พ.ศ.​ 2513) ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์จึงได้กลายมาเป็นแขนงหนึ่งของปัญญาประดิษฐ์ โดยเน้นการจัดการกับความเข้าใจในระดับมนุษย์ (human-level comprehension) และการสร้างภาษาธรรมชาติ (production of natural languages)

ในการแปลภาษาหนึ่งไปเป็นอีกภาษาหนึ่งนั้น ได้มีการศึกษาวิจัยแล้วว่า คนจะต้องเข้าใจวากยสัมพันธ์ (syntax - หน้าที่และความสัมพันธ์ของคำคำหนึ่งกับคำอื่น ๆ ในข้อความ) ของภาษาทั้งสอง และอย่างน้อยก็ต้องในระดับหน่วยคำ (morphology) และทั้งประโยค ในการเข้าใจวากยสัมพันธ์ คนจะต้องเข้าใจอรรถศาสตร์ (semantics - ความหมาย) ของคำศัพท์ และรวมถึงความเข้าใจในวัจนปฏิบัติศาสตร์ (pragmatics - การสื่อความหมายที่เกิดจาก/หรือแปรไปตาม การใช้งาน) ว่าภาษานั้นใช้อย่างไร เช่น เพื่อบอกเล่า (declarative) หรือเพื่อการประชดประชัน (ironic) ดังนั้นการที่จะแปลความระหว่างภาษาได้นั้น จะต้องใช้องก์ความรู้ทั้งหลายที่มุ่งเน้นความเข้าใจเกี่ยวกับ การประมวลผลและการสังเคราะห์ประโยคของภาษาธรรมชาติแต่ละภาษาโดยใช้คอมพิวเตอร์นั่นเอง

ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นหลายแขนงหลัก ตามสื่อกลางของภาษาที่ประมวลผล ไม่ว่าจะเป็นทางการพูดหรือการเขียน และตามวิธีการใช้ภาษา ทั้งการวิเคราะห์และสังเคราะห์ในการวิจัยด้านภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ จะมีแนวทางดังต่อไปนี้

สมาคมภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ​ (Association for Computational Linguistics หรือ ACL) ได้นิยามภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์ไว้ว่า "เป็นการศึกษาภาษาตามแนวทางวิทยาศาสตร์จากมุมมองเชิงคำนวณ นักภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์จะสนใจที่การสร้างแบบจำลองเชิงคำนวณ () ของปรากฏการณ์ทางภาษาศาสตร์ทั้งหลาย"
จำนวนธรรมชาติ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนธรรมชาติ อาจหมายถึง จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ (1, 2, 3, 4, ...) หรือ จำนวนเต็มไม่เป็นลบ (0, 1, 2, 3, 4, ...) ความหมายแรกมีการใช้ในทฤษฎีจำนวน ส่วนแบบหลังได้ใช้งานใน ตรรกศาสตร์,เซตและวิทยาการคอมพิวเตอร์
ถุ
จำนวนธรรมชาติมีการใช้งานหลักอยู่สองประการ กล่าวคือเราสามารถใช้จำนวนธรรมชาติในการนับ เช่น มีส้มอยู่ 3 ผลบนโต๊ะ หรือเราอาจใช้สำหรับการจัดอันดับ เช่น เมืองนี้เป็นเมืองที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับที่ 3 ในประเทศ เป็นต้น

คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติที่เกี่ยวกับการหารลงตัว เช่นการกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นเนื้อหาในทฤษฎีจำนวน ปัญหาที่เกี่ยวกับการนับ เช่น ทฤษฎีแรมซี นั้นถูกศึกษาในคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติ มีแหล่งกำเนิดอยู่ที่การนับ, เริ่มด้วยเลขหนึ่ง
จำนวนธรรมชาติในนามธรรมได้เกิดขึ้นครั้งแรกจากการใช้ตัวเลข เพื่อแสดงให้ค่าจำนวน จนพัฒนาขึ้นมาในการบันทึกจำนวนที่มากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิลอนสร้างระบบหลักจำนวนขึ้นมาซึ่งจำเป็นมากในระบบเลขหนึ่งถึงสิบ, ชาวอียิปต์ได้สร้างระบบจำนวนอย่างแตกต่างในภาษาเฮียโรกริฟต์ สำหรับหนึ่งถึงสิบและเลขยกกำลังตั้งแต่หลักสิบถึงหลักล้าน ตั้งแต่ที่ถ้ำหินของคาร์หนัก(เคหกรรมของชาวอียิปต์)ก่อนคริสต์ศักราช 1500 ปี จนถึงลูฟฟ์ที่ปารีส แสดงจำนวน 276 โดย 2 แทนที่หลักร้อย, 7 แทนที่หลักสิบ, 6 แทนที่หลักหน่วย และดังเช่นการเขียนจำนวน 4,622 ด้วย

นิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใดๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่

สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ 
สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:

หมายเหตุ formula_1 ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป formula_1 หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามรูปแบบเชิงตรรก อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่า และยืนยันโดย ชื่อ formula_1 ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก formula_14 ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก formula_15 ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย formula_14 ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ formula_1 ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ formula_14 สัญลักษณ์ formula_19 ถือเป็น formula_15 ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรก"คือ" formula_14

การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้าง กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:
โอเอฟดีเอ็ม

โอเอฟดีเอ็ม () หรือที่บางครั้งเรียกว่า ดีเอ็มที (DMT - discrete multitone modulation) เป็นเทคนิคการส่งสัญญาณที่มีพื้นฐานแนวคิดจากเทคนิค เอฟดีเอ็ม frequency-division multiplexing (FDM)

ใน FDM สัญญาณหลาย ๆ สัญญาณ จะถูกส่งออกไปพร้อมกัน แต่ใช้ความถี่ไม่เท่ากัน ตัวอย่างของ FDM ก็คือการกระจายสัญญานวิทยุและโทรทัศน์ ซึ่งโดยปกติแล้ว แต่ละสถานีก็จะแพร่สัญญานในความถี่หรือช่องสัญญาณที่ได้รับกำหนดไว้ โดย OFDM ก็ได้พัฒนาแนวคิดของ FDM ต่อไปอีก: ใน OFDM นั้น ผู้ส่งสัญญาณแต่ละราย จะส่งสัญญาณออกไปในช่องความถี่ที่เป็นอิสระต่อกันหลาย ๆ ช่อง
การประมวลภาษาธรรมชาติ

การประมวลภาษาธรรมชาติ () เป็นสาขาย่อยของปัญญาประดิษฐ์และภาษาศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาในการประมวลผลและใช้งานภาษาธรรมชาติ รวมทั้งการทำความเข้าใจภาษาธรรมชาติ ทั้งนี้เพื่อให้คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจภาษามนุษย์ได้
จำนวนตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน "a"/"b" เมื่อ "a" และ "b" เป็นจำนวนเต็ม และ "b" ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น formula_1 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ "a" และ "b" นั้น "a" และ "b" จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

นอกจากนี้ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยังสามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมไม่รู้จบหรือทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น formula_2 เป็นทศนิยมรู้จบ, formula_3 และ formula_4 เป็นทศนิยมซ้ำ เป็นต้น

จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง การจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือ Blackboard Bold formula_5 โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะสามารถทำได้โดยหลักต่อไปนี้

จำนวนตรรกยะสองจำนวน formula_9 และ formula_10 จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ formula_11

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรงข้ามสามารถทำได้ดังนี้
จำนวนอดิศัย

ในทางคณิตศาสตร์นั้น จำนวนอดิศัย () คือ จำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่ใช่ราก (คำตอบ) ของสมการพหุนาม

โดย "n" ≥ 1 และสัมประสิทธิ์ formula_2 เป็นจำนวนเต็ม (หรือจำนวนตรรกยะ ซึ่งให้ความหมายเดียวกัน เนื่องจากเราสามารถคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวคูณร่วมน้อย เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว

ตามหลักทฤษฎีเซต เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดนั้น "สามารถนับได้" (สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตของจำนวนนับและจำนวนเชิงพีชคณิตได้) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมด "ไม่สามารถนับได้" (ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากเซตของจำนวนนับไปยังจำนวนจริงได้) ดังนั้นเซตของจำนวนอดิศัยทั้งหมดนั้นจึง "ไม่สามารถนับได้"

ในมุมมองดังกล่าว เราสามารถกล่าวได้ว่า "จำนวนอดิศัยทั้งหมดมีมากกว่าจำนวนเชิงพีชคณิต" อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนั้นมีจำนวนอดิศัยเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้นที่เรารู้จัก (ในทำนองเดียวกันกับปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ในทฤษฎีการคำนวณได้) โดยทั่วไป การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่ง ๆ เป็นจำนวนอดิศัยนั้น "ยากอย่างยิ่ง" อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของจำนวนปกติอาจจะช่วยในการระบุจำนวนอดิศัยจากจำนวนอื่นๆ ได้

จำนวนอดิศัยตัวแรกถูกค้นพบโดย Joseph Liouville ในปี ค.ศ. 1844 จึงมีชื่อเรียกว่าค่าคงที่ Liouville

จำนวนอดิศัยอื่น ๆ ที่เรารู้จักมีดังต่อไปนี้:

การค้นพบจำนวนอดิศัย สามารถนำไปใช้พิสูจน์ความ "เป็นไปไม่ได้" ในการแก้ปัญหาของคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลายข้อที่เกี่ยวกับ การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เช่น การสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสจากวงกลม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก π เป็นจำนวนอดิศัย. ในขณะที่การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถสร้างได้แต่รูปที่มีความยาวในขอบเขตของจำนวนเชิงพีชคณิตเท่านั้น
มอสโก

มอสโก (; , "มะสฺกฺวา") เป็นเมืองหลวงของประเทศรัสเซีย เป็นศูนย์กลางทางเศรษฐกิจ การเงิน การศึกษา และ การเดินทางของประเทศ โดยตั้งอยู่ใกล้แม่น้ำมัสกวา ซึ่งในตัวเมืองมีประชากรอยู่อาศัยกว่า 1 ใน 10 ของประเทศ ทำให้เป็นเมืองที่มีประชากรหนาแน่นที่สุดในยุโรป และเมื่อสมัยครั้งที่สหภาพโซเวียตยังไม่ล่มสลาย กรุงมอสโกก็ยังเป็นเมืองหลวงของสหภาพโซเวียตอีกด้วย

ในปี พ.ศ. 2550 มอสโกได้รับการจัดอันดับเมืองที่มีค่าครองชีพสูงที่สุดในโลก ตามมาด้วย ลอนดอน และ โซล

ค.ศ. 1237 เมืองมอสโกก็ถูกสร้างขึ้นมาใหม่โดยเป็นเมืองของรัฐอิสระโดยเจ้าชาย ยูรี ดาลการุสกี การอยู่ริมฝั่งแม่น้ำวอลกาช่วยให้มอสโกขยายตัวอย่างรวดเร็ว 
ค.ศ. 1380 ชาวมอสโกได้เป็นแกนนำในการปลดปล่อยรัสเซียจากมองโกล ค.ศ. 1480 พระเจ้าซาร์อีวานที่ 3 
ได้ปลดปล่อยรัสเซียจากการปกครองของเผ่า ตาตาร์ และย้ายเมืองหลวงของประเทศมายังมอสโก

ค.ศ. 1712 พระเจ้าซาร์ปีเตอร์มหาราชได้ย้ายเมืองหลวงไปยังเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก มอสโกได้เผชิญกับการปิดล้อมโดยกองทัพของนโปเลียน โบนาปาร์ต ในปี ค.ศ. 1812 แต่นโปเลียนต้องถอยทัพกลับไปเนื่องจากทนความหนาวเย็นไม่ได้

หลังจากการปฏิวัติรัสเซีย ใน ค.ศ. 1917 เลนินได้ย้ายเมืองหลวงกลับมายังมอสโกเมื่อวันที่ 10 มีนาคม ค.ศ. 1918 ซึ่งยังคงเป็นเมืองหลวงมาจนถึงปัจจุบัน

มอสโกเผชิญการปิดล้อมอีกครั้งจากนาซีเยอรมันระหว่างสงครามโลกครั้งที่สองในปี ค.ศ. 1941 และยังเป็นสถานที่จัดกีฬาโอลิมปิก ในปี ค.ศ. 1980
ลิมิตของฟังก์ชัน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานของ คณิตวิเคราะห์ (ภาคทฤษฎีของแคลคูลัส)

ถ้าเราพูดว่า ฟังก์ชัน "f" มีลิมิต "L" ที่จุด "p" หมายความว่า ผลลัพธ์ของ "f" จะเข้าใกล้ "L" ที่จุดใกล้จุด "p"
สำหรับนิยามอย่างเป็นทางการนั้น มีการกำหนดขึ้นครั้งแรก ช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีรายละเอียดอยู่ข้างล่าง

ดูที่ ข่ายลำดับ (topology) สำหรับนัยทั่วไปของแนวคิดของลิมิต

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

กำหนดให้ "f" : ("M",d) -> ("N",d) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ "p" ∈"M" และ "L" ∈"N", เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ "f" ที่ "p" คือ "L"" และเขียนว่า:formula_1ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ "สำหรับทุกๆ" "x" ∈"M" "และ" d("x", "p") < δ "แล้ว", d("f"("x"), "L") < ε

เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี formula_2. เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี formula_3

ให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน
formula_4 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, |"f"("x")-"L"| < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นเซตของจำนวนจริง และ "d(x,y) = |x-y|".

หรือเราจะเขียน
formula_5 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") > "R";

หรือจะเขียนว่า
formula_6 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") < "R".

ถ้าในนิยาม เราใช้ "x"-"p" แทน |"x"-"p"| เราก็จะได้ "ลิมิตขวา" เขียนแทนโดย :formula_7 และถ้าใช้ "p"-"x" แทน ก็จะได้ "ลิมิตซ้าย" เขียนแทนโดย :formula_8

ให้ "f"("x") เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น formula_2 จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

สมมติให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
ได้ ก็ต่อเมื่อ

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นระนาบเชิงซ้อน

เราจะเขียน
ได้ ก็ต่อเมื่อประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน "f" ที่ "p" คือ "L"" เหมือนกับประโยค
ในกรณีที่ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ "f" ที่ "p" คือ "L""

ฟังก์ชัน "f" ต่อเนื่อง ที่ "p" ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ "f"("x") เมื่อ "x" เข้าใกล้ "p" และค่านั้นเท่ากับ "f"("p")
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน "f" แปลงลำดับใดๆ ใน "M" ซึ่งสู่เข้าหา "p" ไปเป็นลำดับ "N" ซึ่งลู่เข้าหา "f"("p")

]
วิทยาศาสตร์

วิทยาศาสตร์ หมายถึง ความรู้เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติทั้งที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต รวมทั้งกระบวนการประมวลความรู้เชิงประจักษ์ ที่เรียกว่ากระบวนการทางวิทยาศาสตร์ และกลุ่มขององค์ความรู้ที่ได้จากกระบวนการดังกล่าว

การศึกษาในด้านวิทยาศาสตร์ยังถูกแบ่งย่อยออกเป็น วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และ วิทยาศาสตร์ประยุกต์ คำว่า science ในภาษาอังกฤษ ซึ่งแปลว่า วิทยาศาสตร์นั้น มาจากภาษาลาติน คำว่า scientia ซึ่งหมายความว่า ความรู้

ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ฟรานซิส เบคอนได้พยายามคิดค้นวิธีมาตรฐานในการอุปนัย เพื่อนำมาใช้สร้างทฤษฎีหรือกฎต่าง ๆ ทางวิทยาศาสตร์จากข้อมูลที่ทดลองหรือสังเกตได้จากธรรมชาติ
เป็นผู้ถอนรื้อและปรับปรุงแนวความคิดเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์สมัยเก่า ที่ยึดกับแนวความคิดของอริสโตเติลทิ้งไป.
ณ ขณะนั้น กาลิเลโอได้กำหนดลักษณะสำคัญของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ไว้ดังนี้

ในเวลาต่อมา ไอแซก นิวตันได้ต่อเติมรากฐานและระบบระเบียบของแนวคิดเหล่านี้ และเป็นต้นแบบสำหรับสาขาด้านอื่น ๆ ของวิทยาศาสตร์

ก่อนหน้านั้น, ในปี ค.ศ. 1619 เรอเน เดส์การตส์ ได้เริ่มเขียนความเรียงเรื่อง "Rules for the Direction of the Mind" (ซึ่งเขียนไม่เสร็จ). โดยความเรียงชิ้นนี้ถือเป็นความเรียงชิ้นแรกที่เสนอกระบวนการคิดเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์สมัยใหม่และปรัชญาสมัยใหม่. อย่างไรก็ตามเนื่องจากเดส์การตส์ได้ทราบเรื่องที่กาลิเลโอ ผู้มีความคิดคล้ายกับตนถูกเรียกสอบสวนโดย
โป๊ปแห่งกรุงโรม ทำให้เดส์การตส์ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นนี้ออกมาในเวลานั้น

การพยายามจะทำให้ระเบียบวิธีทางวิทยาศาสตร์เป็นระบบนั้น ต้องพบกับปัญหาของการอุปนัย ที่ชี้ให้เห็นว่าการคิดแบบอุปนัย (ซึ่งเริ่มต้นโดยฟรานซิส เบคอน) นั้น ไม่ถูกต้องตามหลักตรรกศาสตร์. เดวิด ฮูมได้อธิบายปัญหาดังกล่าวออกมาอย่างละเอียด คาร์ล พอพเพอร์ในความคิดลักษณะเดียวกับคนอื่น ๆ ได้พยายามอธิบายว่าสมมติฐานที่จะใช้ได้นั้นจะต้องทำให้เป็นเท็จได้ (falsifiable) นั่นคือจะต้องอยู่ในฐานะที่ถูกปฏิเสธได้ ความยุ่งยากนี้ทำให้เกิดการปฏิเสธความเชื่อพื้นฐานที่ว่ามีระเบียบวิธี 'หนึ่งเดียว' ที่ใช้ได้กับวิทยาศาสตร์ทุกแขนง และจะทำให้สามารถแยกแยะวิทยาศาสตร์ ออกจากสาขาอื่นที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ได้

ปัญหาเกี่ยวกระบวนการปฏิบัติของวิทยาศาสตร์มีความสำคัญเกินขอบเขตของวงการวิทยาศาสตร์ หรือวงการวิชาการ ในระบบยุติธรรมและในการถกเถียงปัญหาเกี่ยวกับนโยบายสาธารณะ การศึกษาที่ใช้วิธีการนอกเหนือจาก "แนวปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่ยอมรับ" จะถูกปฏิเสธ และถูกจัดว่าเป็น "วิทยาศาสตร์เทียม"

ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของวิทยาศาสตร์ในประวัติศาสตร์มนุษย์ ได้สร้างประเด็นคำถามทางปรัชญาไว้มากมาย. โดยนักปรัชญาวิทยาศาสตร์ได้ตั้งคำถามทางปรัชญาที่สำคัญดังนี้

ประเด็นเหล่านี้ยังเป็นที่ถกเถียงในหมู่นักปรัชญาวิทยาศาสตร์อย่างมากในปัจจุบัน และไม่มีความเห็นใดที่ได้รับการยอมรับทั่วไปอีกเลยทีเดียว