ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด) เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่า ฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ สามารถใช้ได้กับทุกๆตัวในโดเมน หรือก็คือ ฟังก์ชันของประพจน์นั้นมีความสัมพันธ์กับสมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้นๆ ซึ่งเงื่อนไขที่ใช้ ต้องเป็นจริงกับสมาชิกทุกตัว (เนื่องจากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด)

การจะใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดนี้ จะใช้สัญลักษณ์การดำเนินการ A แบบกลับหัว (∀) เมื่อใช้กับค่าใดค่าหนึ่ง จะเรียกว่า มี...ทั้งหมด (ฟอร์ออล...) ("∀x", "∀(x)"หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดดๆ) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมดนี้ ต่างจากตัวบ่งปริมาณบางตัว (มี...บางตัว) ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้คือ U+2200 ∀ (HTML codice_1 · codice_2 ·)
ให้

formula_1และ formula_2และ formula_3ฯลฯ

ประโยคนี้ เป็นแบบการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์ เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี "ฯลฯ" ไม่สามารถเขียนแบบตรรกศาสตร์มาตรฐานได้ จากประโยคดังกล่าวข้างต้น อาจนิยามได้อีกทีว่า :

formula_4

ประโยคข้างต้น ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเข้ามาช่วย

จากรูปประโยคข้างต้น จะมีความแม่นยำกว่าอันที่หนึ่ง ในขณะที่ "ฯลฯ" มักจะรวมจำนวนธรรมชาติด้วย และไม่ได้บอกอะไรเพิ่ม ซึ่งจะมีความแม่นยำน้อย โดยตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดตัวนี้ จะเจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ

เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว เงื่อนไข "formula_5" จะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ หรือในทางตรงกันข้าม ก็คือ

formula_6

จะเป็นเท็จ ถ้า n ถูกแทนที่ด้วย 1 เงื่อนไขก็จะกลายเป็น formula_7 ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติ"ส่วนใหญ่"เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งมาทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากเงื่อนไขข้างต้น ใช้กับจำนวนประกอบ จะกลายเป็นจริงทันที ซึ่งไม่ว่า n ใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ (ของจำนวนประกอบ) จะใช้ได้ทุกตัว อนึ่ง เอกภพสัมพัทธ์จะเป็นตัวจำกัดจำนวนสมาชิกที่จะใช้กับเงื่อนไขนั้นๆ จึงต้องใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาช่วย :

formula_8

สมมูลกับ

formula_9

ในตรรกศาสตร์แบบ First-Order Logic สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ formula_10 (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

เช่น formula_11 คือ formula_12 และ formula_13 เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

formula_14

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นเท็จ):

formula_15

เทียบได้กับ formula_16 (n เป็นจำนวนประกอบ) แล้ว

formula_17

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นจริง)

เนื่องจาก "n เป็นจำนวนประกอบ" ก็ครอบคลุมถึงว่า n ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติไปแล้ว เราสามารถลดรูปได้ :

formula_18

formula_19

หรืออาจใช้รูปแบบอื่นๆในการแทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เช่น:

formula_20

เว้นเสียแต่ว่าจะกำหนดให้ใช้เฉพาะ A กลับด้านเท่านั้น

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ formula_21 อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นประพจน์ "x แต่งงานแล้ว" แล้วเอกภพสัมพัทธ์คือประโยคเปิดว่า x เป็นหนึ่งในมนุษย์ทุกคน ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ให้ x เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

จะได้ :

formula_22

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้ เป็นเท็จอย่างแน่นอน ซึ่งเพื่อให้ประโยคนี้เป็นจริง ไม่ขัดต่อเงื่อนไข จะเพิ่มเข้าไปอีกว่า :

ให้ x ไม่เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

formula_23

ประโยคดังกล่าว ไม่เป็นจริงต่อสมาชิก"ทุกตัว"ของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวซึ่งขัดกับประพจน์ที่ทำให้เป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ formula_24 จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนหรือยังไม่ได้แต่งงาน"

formula_25

ซึ่งโดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เขียนได้ในรูป :

formula_26

ซึ่งตัวตรงข้ามของประพจน์ "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน")

formula_27

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

formula_28

formula_29

formula_30

formula_31

formula_32

formula_33

formula_34

formula_35

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

formula_36

formula_37

formula_38

formula_39

formula_40

formula_41

formula_42

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

"ตัวบ่งจำเพาะแบบทั้งหมด"กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

formula_43

เมื่อ c เป็นสมาชิกเจาะจงในเอกภพสัมพัทธ์

"ตัวบ่งทั่วไปแบบทั้งหมด"กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ หาก c แทนตัวเจาะจง จะเขียนได้ในรูป :

formula_44

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกเจาะจงโดยสิ้นเชิง หรือ หากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า :

หาก c ไม่ใช่ตัวเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะเป็นเพียงตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวของฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ

โดยปกติแล้ว รูปแบบ formula_45 นั้นจะเป็นจริงเสมอ หากไม่ขึ้นกับตัว P(x) : "ดูที่ค่าความจริงว่าง"

การปิดแบบทั้งหมด ของตัว φ เป็นรูปแบบที่ไม่มีตัวแปรอิสระจากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใดๆ ใน φ ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

formula_46

คือ

formula_47

ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านขวาของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต คล้ายกัน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นจุดเชื่อมด้านซ้าย

ให้ formula_48 เป็นเซตใดๆ formula_49 แทนพาวเวอร์เซต

สำหรับฟังก์ชัน formula_50 ใดๆ ในระหว่างเซต formula_48 และ formula_52 จะมีภาพผกผันฟังก์เตอร์ formula_53 ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ใช้ซับเซตของโคโดเมนของ x คืนให้ซับเซตของโคโดเมนของตัวเอง จุดเชื่อมด้านซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (formula_54) ส่วนจุดเชื่อมด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว (formula_55)

ซึ่ง formula_56 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_58 ซึ่งถูกแจกแจงโดย

formula_59

เมื่อ formula_60 อยู่ในอิมเมจของ formula_61 ซึ่งอยู่ภายใต้ formula_62 ในทำนองเดียงกัน หากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด formula_63 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_65 ซึ่งถูกแจกแจงโดย

formula_66

เมื่อ formula_60 เป็นพรีอิมเมจภายใต้ formula_62 ซึ่งอยู่ใน formula_48

ในรูปอีกตัวหนึ่งที่คล้ายกับตัวบ่งปริมาณที่ใช้ในตรรกศาสตร์การจัดลำดับ (First-Order Logic) ซึ่งเป็นตัวที่มีอยู่โดยการนำฟังก์ชัน f มาเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ formula_70 ดังนั้น formula_71 เป็นเซตสมาชิกสองซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จ ซับเซต S เป็นซับเซตซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าของบูล formula_72 และ

formula_73

formula_74

จะเป็นจริง หาก formula_61 ไม่ใช่เซตว่าง และ

formula_76

จะเป็นเท็จ หาก formula_61 ไม่ใช่ formula_48

ตัวบ่งปริมาณยังถูกใช้ในเรื่อง Presheaf