พลศาสตร์ของไหล

พลศาสตร์ของไหล() เป็นสาขาวิชาการย่อยของกลศาสตร์ของไหล ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล ซึ่งหมายรวมถึงของเหลวและแก๊ส โดยพลศาสตร์ของไหลยังแบ่งแยกย่อยออกเป็นหลายสาขาวิชา เช่น อากาศพลศาสตร์ ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของอากาศ และพลศาสตร์ของเหลวที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลว เราใช้พลศาสตร์ของไหลในหลายวิธี เช่นในการคำนวณแรงและโมเมนต์บนอากาศยาน ในการหาอัตราการไหลของมวลของปิโตรเลียมผ่านท่อ คาดคะเนแบบรูปของสภาพอากาศ ทำความเข้าใจเนบิวลาและสสารระหว่างดาว ตลอดจนงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์

ของไหลในอุดมคติ คือ ของไหลที่มีความสมบูรณ์แบบที่ทำให้วิเคราะห์ง่าย แต่เป็นของไหลที่หายากในความเป็นจริงจึงเป็นของไหลในอุดมคติโดยการประมาณเท่านั้น ของไหลในอุดมคติมีคุณสมบัติต่อไปนี้คือ

การเคลื่อนที่ของของไหลด้วยวิธีการเขียนเวกเตอร์ความเร็วของของไหลที่แต่ละจุด มีความยาวของเวกเตอร์แทนอัตราเร็วของการไหลและทิศทางของเวกเตอร์แทนทิศทางการไหล หรืออีกวิธีหนึ่งคือการเขียนที่เราเรียกว่า สายกระแส ซึ่งคือเส้นสัมผัสกับทิศทางของความเร็ว ระยะช่องไฟระหว่างแต่ละเส้นในสายกระแสเป็นตัวระบุความมากน้อยของอัตราของการไหล ถ้าช่องไฟแคบแสดงว่าอัตราเร็วของการไหลมีค่าสุง และช่องไฟระหว่างเส้นห่างกันมากแสดงว่ามีอัตราการไหลต่ำ สำหรับการไหลแบบสม่ำเสมอ เส้นในสายกระแสจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมการต่อเนื่องนี้เป็นผลสืบเนื่องของอนุรักษ์มวล สำหรับการไหลที่มีค่าความหนาแน่นคงที่ และไม่เปลี่ยนแปลงไปตามค่าความดัน

การใช้หลักการของการอนุรักษ์มวลวิเคราะห์การไหลของของไหลในท่อทำให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วและพื้นที่หน้าตัด และเราได้ความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสมการต่อเนื่อง ในหัวข้อต่อไปเราจะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์การไหลของของไหล เพื่อที่จะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานคือ

ตามรูปข้างบนแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหลที่อยู่ระหว่าพื้นที่หน้าตัดในระนาบ x และ y มีสองแรงคือ แรงF จากของไหลที่อยุ่ทางด้านซ้ายมือ และ แรง F จากของไหลที่อยุ่ทางด้านขวามือ

เมื่อ ρ เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A ทางด้านซ้ายมือ และ

เมื่อ ρ เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A จากทางด้านขวามือ 
ภายในช่วงเวลา∆t

แรง Fดันของไหลที่พื้นที่ Aให้ปลายล่างของไหลเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้เป็นระยะสูงสุด ∆L ดังนั้น งานหรือพลังงานที่ถ่ายโอนให้ของไหลในช่วงที่พิจารณาเท่ากับ

แต่เนื่องจาก F มีทิศทางตรงกันข้ามกับ∆L งาน Wจึงมีเครื่องหมายลบ หมายความว่าของไหลในช่วงที่เราพิจารณามีการสูญเสียพลังงาน

ดังนั้นของไหลในช่วงที่เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงาน W มีค่าเท่ากับ

เนื่องจากความหนาแน่นไม่ได้เปลี่ยนไปเนื่องจากความดัน ดังนั้น

เมื่อ ∆V เป็นปริมาตรของของไหลระหว่างระนาบ X และ Y’
ดังนั้น

ถ้า ∆m เป็นมวลของปริมาตร ∆V
ดังนั้น พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของของไหลในท่อคือ ∆k

และ พลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป

ในเมื่อ hและ h เป็นความสุงสุดของจุดศูนย์กลางของพื้นที่ AและA วัดจากระดับพื้นตามแนวราบพลังงานที่ถ่ายโอนนี้มีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวม (พลังงานจลน์+พลังงานศักย์)
เราสามารถจัดรูปได้ใหม่เป็น

สมการมีชื่อเรียกว่า สมการเบอร์นูลลี เพื่อเป็นเกียรติแก่ Daniel Bernoulli นักวิทยาสตร์ชาวสวิสผู้ก่อตั้งสมการนี้เป็นคนแรกซึ่งช่วยให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ และหลักการบินของเครื่องบินแบบต่างๆตลอดไปจนถึงการบินของนก

เครื่องบินทั่วๆไปรวมทั่งเครื่องบินเฮลิคอร์ปเตอร์ตลอดไปจนถึงนก อาศัยแรงดันบรรยากาศที่ได้มาจตาหลักการของสมการเบอร์นูลลี หรือตามหลักการของปรากฏการณ์เบอร์นูลลี นอกจากเครื่องบินและนก เรือต่างๆ เช่น เรือไฮโดรฟอยล์ เรือฮเวอร์คราฟท์ หรือแม้แต่เรือใบหาปลายังได้อาศัยยังได้อาศัยปรากฏการณ์เบอร์นูลลีที่เป็นการทำกิริยาระหว่างเรือกับน้ำ อีกทั้งวัตถุโปรเจกไตล์ เช่น ลูกกอล์ฟลูกฟุตบอลที่สามารถเลี้ยวโค้ง หรือ ไซ้โค้ง ได้อย่างน่าประหลาด สามรถอธิบายตามสมการเบอร์นูลลีได้ว่า การที่ปีกของเครื่องบินถูกออกแบบให้พื้นที่ผิวด้านบนเป็นผิวโค้งออก ทำให้กระแสอากาศเหนือปีกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ในรูปแสดงสายกระแสด้านบนอยู่ชิดกันมากกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ตามหลักของสมการเบอร์นุลลีความดันใต้ปีกมีค่ามากว่าทำให้เกิดแรงยกที่ปีกและเครื่องบินทั้งลำลอยตัวอยู่ในอากาศได้ทั้งนี้สอดคล้องกับหลักการณ์ และทฤษฏีกฎข้อสามของนิวตัน กล่าวคือ จากการทำกิริยาระหว่างปีกเครื่องบินกับอากาศ กระแสอากาศผลักปีนขึ้นด้านบนยกเครื่องบินให้ลอยอยู่ในอากาศได้
= กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic) =

เมื่อ

เมื่อ 
4. ค่าน้ำหนักจำเพาะ

เมื่อ 
5. ค่าความถ่วงจำเพาะ

เมื่อ

6.ความดันและกฎของพาสคาล

หน่วยของความดันในระบบเอสไอ คือ N/m แต่อาจจะมีหน่วยอื่นๆได้

6.2 ความดันของเหลวขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว
พิจารณาของเหลวที่มีความหนาแน่น ρ อยู่นิ่งในภาชนะปิด โดย สังเกตส่วนของเหลวรูปทรงกระบอกที่มีพื้นผิวด้านบนและล่างมีค่า A หนา dy อยู่ลึกจากผิวของเหลว y = h ดังรูปที่ 9.5 ที่ผิวของของเหลวมีความดันบรรยากาศ Pa ถ้าให้ความดันที่พื้นที่ผิวด้านบนของส่วนของเหลวนี้เป็น P กดลง PA ความดันที่พื้นที่ผิวด้านล่างของส่วนของเหลวนี้เป็น P+dP จะเกิดแรงดันขึ้น ( P+dP)A ส่วนแรงดันลัพธ์ด้านข้างมีค่าเป็นศูนย์เพราะมีขนาดเท่ากับทิศทางตรงข้าม และน้ำหนักของส่วนของเหลวนี้มีค่า

P=ความดันสัมบูรณ์ ( absolute pressure ) ที่ความลึก h (N/m )
นั้นคือ ที่ระดับความลึกเดียวกันในของเหลวชนิดเดียวกัน จะมีความดันเท่ากัน กำหนดให้ความดันเนื่องจากน้ำหนักของของเหลว เรียกว่าความดันเกจ (Gauge pressure:P) เป็นความดันเนื่องจากของเหลว ขึ้นกับความลึกและความหนาแน่นของของเหลว มีค่าเป็น
เมื่อมีความดันเนื่องจากของเหลว จะทำให้เกิดแรงดันทุกทิศทุกทางและตั้งฉากกับผนังภาชนะหรือผิววัตถุที่สัมผัสกับของเหลวเสมอ และระดับที่ระดับความลึกเท่ากันในของเหลวชนิดเดียวกันที่อยู่นิ่งและอุณหภูมิคงที่ จะมีความดันเท่ากันเสมอ และของเหลวในภาชนะเดียวกันที่ระดับเดียวกันย่อมมีความดันในของเหลวมีค่าเท่ากัน

6.3 หลักการและเครื่องมือวัดความดัน
เมื่อ h คือความสูงของปรอทในหลอด และเนื่องจากเราสามารถคำนวณความดันบรรยากาศได้จากความสูงของปรอทในบารอมิเตอร์ ดังนั้นในบางครั้งจึงมีการใช้หน่วยของความดันเป็น
มิลิเมตรปรอท หรือบางครั้งเรียกว่า ทอร์ (torr) ความดันบรรยากาศที่ระดับน้ำทะเลจะมีค่าประมาณ 1×10 N/m หรือ 760 มิลลิเมตรปรอท หรือ 760 ทอร์
เครื่องมือวัดความดันอีกชนิดหนึ่งเรียกว่า มานอมิเตอร์ (Manometer) ซึ่งเป็นหลอดรูปตัว U ที่มีของเหลวบรรจุอยู่ (โดยมากจะเป็นปรอท) ปลายด้านหนึ่งต่อเข้ากับภาชนะซึ่งมีความดัน P
ส่วนปลายอีกข้างหนึ่งเปิดให้อากาศเข้า ซึ่งมีความดันเป็น 
ความสูง h จะมีค่าเป็นสัดส่วนกับ ซึ่งค่า นี้เราเรียกว่า ความดันเกจ (Gauge Pressure ) ส่วนค่า Pซึ่งเป็นค่าความดันเกจ บวกกับความดันบรรยากาศ เราเรียกว่า ความดันสัมบูรณ์ ( absolute pressure )

“ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความดันเกิดขึ้นที่ส่วนหนึ่งส่วนใดของไหล ความดันที่เปลี่ยนแปลงนั้นจะถ่ายทอดไปยังของไหลโดยรอบทั่วๆ ทุกส่วนของของไหลด้วยค่าที่เท่ากันตลอด” จากหลักการนี้ทำให้เราทราบว่า เมื่อเราเพิ่มความดันที่จุดไหนของภาชนะปิดก็ตาม ของเหลวทุกจุดภายในภาชนะปิดนี้ก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นตามไปด้วย ดังแสดงตัวอย่างในรูปที่ 9.6 ถ้าเราออกแรง F กระทำต่อพื้นที่ A ทำให้เกิดความดัน P ทุกๆจุดในภาชนะปิดก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นอีก P ถ้าเช่นกัน และถ้า P เป็นความดันที่เกิดขึ้นกับพื้นที่ A ซึ่งอยู่ในระดับความสูงเดียวกันกับ A

จากหลักของปาสคาลทำให้เรารู้ว่า ถ้า A มีขนาดเล็กกว่า A เมื่อเราออกแรก F จะทำให้เกิดแรงดัน F ที่มีขนาดมากกว่า F เราใช้หลักการนี้สร้างเครื่องกลผ่อนแรงที่เรียกว่า ไฮโดรลิค (Hydraulic ) ดังแสดงในรูปที่ 9.9 ความดันภายนอกที่กระทำต่อของไหลซึ่งกักตัวอยู่ในภาชนะจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นที่จุดทุกจุดในของไหลด้วยจำนวนเท่ากับความดันที่ใช้นั้น ข้อสรุปนี้อาศัยพื้นฐานบนข้อเท็จจริงที่ว่า ของเหลวอัดตัวไม่ลงดังนั้นแรงใดๆจะถ่ายทอดโดยตรงไปยังผิวภาชนะทุกส่วนกฎข้างต้นนี้รวบรวมขึ้นในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดย พาสคาลซึ่งการค้นพบนี้ทำให้พาสคาลร่ำรวยขึ้น เนื่องจากพาสคาลท้าพนันกับชาวพื้นเมืองฝรั่งเศส ว่าเขาสามารถระเบิดถังเหล้าองุ่นที่แข็งแรงที่สุดด้วยการเทเหล้าองุ่นลงไปเพียงถ้วยเดียว ไม่มีใครเชื่อว่าเขาจะทำได้ ดั้งนั้นการต่อรองจึงสูงมาก ปรากฏว่าเขาสามารถทำถึงเหล้าองุ่นให้แตกได้จริงด้วยการเทเหล้าองุ่นเติมเข้าไปในหลอดเล็กและยาวที่สอดไว้กับถังเหล้าในแนวดิ่ง เพราะว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้นี้ทราบดีว่า ความสูง h ของเหล้าในหลอดจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นจนถึงแตกได้ ประโยชน์สมัยใหม่ของหลักของพาสคาล คือ เบรกไฮดรอลิกและเครื่องอัดไฮดรอลิก เป็นต้น รูปที่ 9.10 แสดงเครื่องอัดไฮดรอลิกซึ่งประกอบด้วยกระบอกสูบ 2 อัน ( พื้นที่ภาคตัดขวาง A และ A ) บรรจุของเหลวไว้ ออกแรง F น้อยๆจะได้แรก F ออกมาขนาดมาก

นี่คือหลักพื้นฐานของการทำงานของแม่แรงไฮดรอลิกที่ใช้รถยนต์ตามสถานีบริการน้ำมัน ซึ่งในที่นี้ความดัน

สมบัติอย่างหนึ่งของของไหล คือ เมื่อวัตถุจมในของไหล น้ำหนักของวัตถุจะลดลง และบางครั้งวัตถุสามรถลอยบนของไหลได้ นั้นแสดงว่ามีแรงที่ของไหลกระทำต่อวัตถุในทิศทางที่ตรงข้ามกับทิศของน้ำหนักของวัตถุซี่งปรากฏการณ์ดังกล่าวจะสังเกตเห็นได้ชัดในกรณีที่ของไหลกลายเป็นของเหลว และอาร์คิมิดิส (Archimedes) เป็นผู้พบสมบัตินี้ของของไหล และแถลงออกมาเป็น หลักของอาร์คิมิดิส ซึ่งกล่าวว่า “เมื่อวัตถุจมหรือหลอยอยู่ในของเหลว จะถูกแรงเนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุ มีทิศทางตรงข้ามกับน้ำหนัก ขนาดเท่ากับน้ำหนักของเหลวที่มีปริมาตรเท่าส่วนที่วัตถุจมในของเหลว หรือเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ” เรียกแรงนี้ว่า แรงลอยตัว (Buoyant force: F) ซึ่งแรงนี้เป็นแรงที่เกิดจากแรงดันลัพธ์เนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุที่อยู่ในของเหลว
พิจารณาวัตถุทรงกระบอกที่มีพื้นที่หน้าตัด A สูง h จมอยู่ในของเหลวที่มีความหนา p พื้นที่หน้าตัดด้านบนและด้านล่างอยู่ลึกจากผิวของเหลวเป็นระยะ h และ h ตามลำดับ (จากรูปตัวอย่าง) แรงดันที่ผนังด้านข้าง F และ F มีขนาดเท่ากันตามทิศทางตรงข้าม 
แรงดันกดลงบนที่ผิวด้านบน
แรงดันพิ้นที่ผิวด้านล่าง 
ซึ่งมีค่ามากกว่าแรงดันด้านบน (F) ทั้งนี้เนื่องมาจากความดันที่มีค่ามากกว่า จะได้ว่า แรงลัพธ์มีค่าเป็น

จากรูป 
 ในธรรมชาติเราเคยเห็นแมลงยืนหรือเดินบนผิวน้ำได้ บางครั้งเราสามารถทำให้เข็มเย็บผ้า หรือใบมีดโกนที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ ลอยอยู่บนน้ำได้เช่นกัน และถ้าสังเกตหยดของเหลวเล็กๆที่มักมีลักษณะเป็นทรงกลมหรือหยดน้ำค้างบนใบไม้ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม แม้แต่ฟองสบู่ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม การที่เป็นเช่นนี้เป็นเพราะว่าผิวของของเหลวจะมีแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลวด้วยกัน พยายามยึดผิวของของเหลวให้ตึง (ให้มีพื้นที่น้อยที่สุด) เรียกว่า “แรงตึงผิวของของเหลว”

แรงตึงผิวเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลชนิดเดียวกันเรียกว่า แรงเชื่อมติด (Cohesive force, โมเลกุลของเหลวกับของเหลว) แต่ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลต่างชนิดกันเรียกว่า แรงยึดติด (adhesion > cohesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวน้ำจะเว้าลงไป ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางน้อยกว่า 90 เมื่อแรงยึดติดมากกว่าแรงเกาะติด เช่น ผิวของปรอท (cohesion > adhesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวปรอทจะโค้งนูนขึ้น ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางมากกว่า 90 แรงตึงผิวของของเหลวจะมีทิศขนานกับผิวของของเหลวและตั้งฉากกับเส้นขอบที่ของของเหลวสัมผัส ดังแสดงในรูป

ความตึงผิว เป็นสมบัติของของของเหลวที่พยายามยึดผิวหน้าของเหลวให้มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างแรงตึงผิว ความยาวเส้นขอบของรอยฉีกที่ผิวซึ่งสัมผัสกับอากาศ (1) ดังรูปตัวอย่าง

โดยมี γ เป็นความตึงผิว F คือแรงดึงผิว 1 คือ ความยาวเส้นขอบ
จากรูปภาพตัวอย่าง เมื่อใช้แรง F ดึงขอบลวดซึ่งยาว 1 ซึ่งเลื่อนได้ ทำให้ผิวของเหลวที่เป็นแผ่นฟิล์มฉีกขาด เนื่องจากผิวที่สัมผัสอากาศมีสองหน้า ดังนั้น รอยฉีกยาวรวม 21 ดังนั้นจะได้ความตึงผิวเป็น
ความตึงผิวจะขึ้นอยู่กับชนิดและอุณหภูมิของของเหลว ดังภาพ สำหรับความตึงผิวของของเหลวชนิดหนึ่งจะมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อมีสารอื่นเจือปน เช่น น้ำเกลือ น้ำฟองสบู่ จะมีค่าความตึงผิวน้อยกว่าน้ำ
การซึมตามรูเล็ก (Capillarity) เป็นปรากฏการณ์เนื่องจากความตึงผิวของของเหลว เมื่อจุ่มหลอดเล็กหรือท่อเล็ก (Capillarity) ลงในของเหลวทำให้ของเหลวในหลอดมีระดับสูงกว่าหรือต่ำกว่าผิวของเหลว ดังรูปตัวอย่าง ทั้งนี้เป็นผลเนื่องมาจากแรงตึงผิวของของเหลว ปรากฏการณ์นี้ที่เกิดในธรรมชาติได้แก่ การลำเลียงน้ำของราก, น้ำใต้ดิน การซับน้ำของกระดาษชำระ
จากรูปภาพ แรงตึงผิว Fγ ทำมุม θ กับผนังชนะจะได้องค์ประกอบของแรง Fγ ในแนวดิ่ง Fγ cosθ ซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของของเหลวในหลอดเหนือผิวของเหลวเพราะของเหลวอยู่ในสภาพสมดุล

Fγ = formula_50/Cosθ = (ρπR hg)/Cosθ

พิจารณาฟองสบู่มีรัศมี R ความตึงผิว γ ความดันอากาศภายในฟองสบุ่ P และความดันภายนอกคือ ความดันอากาศ Pa ดังรูป

เมื่อผ่าฟองสบู่ แรงตึงผิวมีทิศขนานกับผิวฟองสบู่มีผิวสัมผัสกับอากาศ 2 ผิว คือ ผิวนอกและผิวใน ความยาวของผิวสัมผัสเป็นรูปวงกลม จะได้
แต่แรงดัน 
เมื่อฟองสบู่อยู่ในสภาพสมดุลแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม จะได้
สำหรับหยดของเหลว ผิวที่ขาดจะมีผิวนอนเพียงผิวเดียว

จากกฎข้อที่หนึ่ง สำหรับระบบปิดที่มีสาร n โมล
โดยที่ U , S และ V คือ ค่าพลังงานภายใน เอนโทรปี และปริมาตรซึ่งเป็น intensive property (มีหน่วยต่อโมล)
จะเห็นได้ว่าสมการนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ และสมบัติเหล่านี้มีค่าขึ้นอยู่กับสภาวะเพียงเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของกระบวนการ ดั้งนั้น ถึงแม้ว่าสมการนี้จะพัฒนามาจากกระบวนการที่ผันกลับได้ แต่เราสามารถใช้สมการนี้กับกระบวนการใดๆก็ได้ตราบเท่าที่ระบบเป็นระบบปิดซึ่งมีมวลสารคงที่ 
พลังงานกิบส์ (Gibbs energy)
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นจะได้
หากแทน d(nU)ด้วยค่าสมการที่ 1 จะได้
ในทำนองเดียวกันถ้ากำจัด d(nU) ออกจากสมการที่ 2 (ภายหลังจากที่คูณด้วย n แล้วทำการดิฟเฟอเรทชิเอท)โดยใช้สมการที่ 1 จะได้
และในลักษณะเช่นเดียวกันนี้ หากทำการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 3 ที่คูณด้วย n ตลอดทั้งสมการ แล้วกำจัดพจน์ d(nU) ออกโดยใช้ค่าจากสมการที่ 4 ข้างต้น จะได้
การดิฟเฟอเรนชิเอทฟังก์ชัน F=F(x,y) ดังนี้
ดังนั้นหากเราเทียบรูปสมการที่ 7-10 กับสมการที่ 11 จะสามารถเขียนความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันกับสมการที่ 12 สำหรับสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ต่างๆได้ดังนี้

ค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเป็นสมบัติของอุณหพลศาสตร์ที่ไม่อาจวัดได้โดยตรงจากการทดลองแต่สามารถหาได้จากข้องมูลที่วัดได้อื่นๆเช่น อุณหภูมิและความดัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทราบรูปแบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างเอนทัลปี เอนโทรปี กับอุณหภูมิและความดัน ซึงความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถพัฒนาขั้นมาได้หากทราบว่าค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิและความดันอย่างไร หรือพัฒนามาจากข้อมูล

เมื่อเรากำหนดให้ Hกับ S เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน (สำหรับระบบที่เป็นสารบริสุทธิ์ในวัฏภาคเดียว ซึ่งมีค่า degree of freedom เท่ากับ 2 นั้น เราสามารถคำนวณสมบัติต่างๆ ของระบบได้จากตัวแปร 2 ตัว ซึ่งในที่นี้จะเลือกใช้อุณหภูมิและความดัน) ดังนี้

สมการข้างต้นนี้คือสมการแสดงความสัมพันธ์ของเอลทัลปีและเอนโทรปีในรูปของอุณหภูมิและความดันความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ทางอุณหพลศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ทั้งนี้การประยุกต์ใช้สำหรับกระบวนการไหลอย่างต่อเนื่องและคงตัวจะได้อธิบายได้อย่างละเอียดในบทต่อไป

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการ 
และจากสมการที่ 19 สามารถเขียนสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปสมการความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในกับความดัน ดังนี้

ค่าสัมประสิทธิ์ของ dT และ dP ในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 นั้น หาได้จากค่า C และจากข้อมูล PVT ซึ่งในกรณีของแก๊สอุดมคติความสัมพันธ์ของ PVT เป็นดังนี้

จากสมการที่ 18-20 เมื่อเปลี่ยนพจน์

และเมื่อแทนพจน์(∂V⁄∂T) ในสมการที่ 20 กับสมการที่ 21 ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity จะได้

พลังงานภายในและเอนโทรปีอาจเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตรได้ เมื่อทราบค่า

สำหรับพจน์

ความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานดังแสดงด้วยสมการที่ 7-10 นั้นใช้ได้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ ซึ่งจากสมการเหล่านี้จะเห็นว่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ เช่น U,H,A และ G มีความสัมพันธ์กับตัวแปร 2 ตัวแปรที่วัดค่าได้ เช่น กรณีของสมการที่ 10 ต่อไปนี้

เช่นเดียวกันกับสมบัติอื่นๆ เช่น

แม้ว่าจะสามารถหาสมบัติต่างๆ ได้จากข้อมูลเกี่ยวกับพลังงานกิบส์ แต่การหาค่า G หรือ G/RT อาจไม่สามารถทำได้โดยง่ายจากการทดลอง ดังนั้นในการหาสมบัติต่างๆ อาจทำได้โดยการนิยามสมบัติขึ้นมาอีกชนิดหนึ่ง ได้แก่พลังงานกิบส์รีซิดวล (Residual Gibb Energy) ซึ่งมีนิยามดังนี้
ดังนั้น จะได้
ซึ่งสมการข้างต้นนี้ก็คือ สมการความสัมพันธ์พื้นฐานของสมบัติรีซิดวลของของไหลที่มีองค์ประกอบคงที่ และจากสมการนี้ จะได้ว่า
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 45 เทียบกับอุณหภูมิแล้วแทนค่าลงไปในสมการที่ 44 จะได้
จากสมการนิยามของพลังงานกิบส์

และเมื่อนำค่าจากสมการที่ 6.45 และ 6.46 มาแทนลงในสมการนี้จะได้

นั้นหาได้จากการอินทิเกรตสมการที่ 23 และ 24 
โดยอินทิเกรตจากสภาวะแก๊สอุดมคติที่สภาวะอ้างอิง (reference condition,T0 และ P0) ไปถึงสภาวะแก๊สอุดมคติที่ T และ P ใดๆ และเมื่อแทนค่าลงไปในสมการข้างต้นจะได้

หรือ

สมการ Corresponding-States หลายสมการสามารถใช้ในการหาค่าความดันไอสำหรับของเหลวไม่มีขั้วและของเหลวประเภท non-associating โดยสมการที่ง่ายที่สุดได้แก่สมการ Lee/Kesler ซึ่งเป็นสมการในประเภท Pitzer ที่มีรูปสมการดังนี้
โดยที่

แนะนำว่าค่า ω นั้น สามารถหาโดยอาศัยสมการข้างต้นที่สภาวะจุดเดือดปกติ
โดยแทนค่า T ด้วยอุณหภูมิขิงจุดเดือดที่ความดัน 1 บรรยากาศ หรือนั่นคือ ω สำหรับสารใดๆ จะคำนวญได้จาก

ดังที่ได้บรรยายมาข้างต้น จะเห็นว่าในการประมาณค่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์นั้นจำเป็นต้องทราบข้อมูลอันได้แก่ ค่าความร้อนและข้อมูล PVT ของสารในระบบ สำหรับข้อมูล PVT นั้นในบางครั้งอาจมีข้อมูลที่ไม่ครบหรือไม่สมบูรณ์ จึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาความสัมพันธ์รูปทั่วไปเพื่อเป็นทางเลือกในการคำนวณหาสมบัติจากข้อมูลที่จำกัดนี้ ความสัมพันธ์ในรูปทั่วไปนี้จะเริ่มจากการจัดรูปสมการที่n 46 และสมการที่ 48 โดยการแทนค่าด้วยสมการต่อไปนี้
จะได้

และ
และ
และ
และ

ค่า

โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันของ 
จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนและไม่สามารถแสดงค่าเหล่านี้ด้วยสมการง่ายๆได้ อย่างไรก็ตาม ที่สภาวะความดันต่ำๆ เราอาจใช้สมการไวเรียลสำหรับคำนวณค่า Z เพื่อที่จะหาค่าสมบัติรีชิดวลต่อไปได้
จากสมการนี้ จะได้
เมื่อแทนค่าจากสมการที่ 86 ไปในสมการที่ 82 และสมการที่ 83 จะได้
และ
เนื่องจากค่า B^0และB^1เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเท่านั้น การอินทิเกรตสมการข้างต้น ณ อุณหภูมิคงที่จะได้
และ
เนื่องจากBและBเป็นฟังก์ชันของอุรหภูมิเท่านั้น จึงสามารถหาค่าดิฟเฟอเรนเชียล
ในสมการข้างต้นนี้ได้ คังนั้นโดยสรุปแล้ว สมการอีก 4 สมการที่จะต้องใช้ในการหาค่าสมบัติรีชิดวลจากสมการที่ 87 และสมการที่ 88 คือ
จากสมการที่ 3.73 
จากสมการที่ 3.74

ดังนั้น ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีของกระบวนการนี้ คือ

และในทำนองเดียวกัน ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีจะมีค่าเท่ากับ 
ทั้งนี้ เราสามารถเขียนสมกรทั้งสองนี้ในอีกรูปหนึ่งได้ดังนี้

และ

สำหรับขั้นตอนที่สอง (l→2 )เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในสภาวะแก๊สอุดมคติ (T,P )ไปยัง(T, P ) โดยสำหรับกระบวนการนี้
และ

แม้ว่าจะไม่มีพื้นฐานทางทฤษฎีใดๆ ที่ใช้สำหรับสมการทั่วไปของของผสม แต่เราอาจประมาณได้จากการคำนวณโดยใช้พารามิเตอร์ชนิด pseudocritical ซึ่งได้จากกฎเชิงเส้นของการผสม (linear mixing rule) ตามนิยามต่อไปนี้
ค่าที่ได้จะเป็น ω, อุณหภูมิ pseudocritical T และความดัน pseudocritical P สำหรับของผสม ซึ่งจะใช้ แทนค่า TและPในการคำนวณหาพารามิเตอร์ในรูปสภาวะลดดังนี้

เราจะใช้ค่าเหล่านี้แทน TและPในการอ่านค่าต่างๆ จากตารางในภาคผนวก E เพื่อคำนวณหา Z โดยใช้สมการที่ 3.67 จากนั้นจึงคำนวณค่า 
จากสมการที่ 85 และคำนวณค่า formula_294จากสมการที่ 86