ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์

ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ () หรือ วิธีซิมเพล็กซ์ () จะอาศัยหลักการของเมทริกซ์เข้าช่วยในการหาผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งจะทำให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในแต่ละขั้นตอนอย่างมีเหตุผล และเปลี่ยนแปลงไปในทางที่จะนำมาซึ่งผลลัพธ์ที่โมเดลทางคณิตศาสตร์ต้องการ
การแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น หรือ กำหนดการเชิงเส้น (Linear programming) สำหรับโมเดลคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรไม่มาก เราก็สามารถหาคำตอบได้ไม่ยากนัก แต่หากตัวแปรมีมากขึ้น ก็จำเป็นต้องหาวิธีการอื่นเข้ามาช่วยในการหาคำตอบของโมเดล ซึ่งวิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีการหนึ่งที่ให้ผลดี และเข้าใจได้ง่าย

ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เป็นวีธีการของ จอร์จ แดนท์ซิก (George Dantzig) ที่ได้รับความนิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น ซึ่งชื่อของขั้นตอนวิธีนี้ มาจากแนวคิดของ ซิมเพล็กซ์ นั่นเอง

วิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากในการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น (Linear programming) ซึ่งเป็นกระบวนการทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยการกระทำซ้ำ ๆ กันเพื่อให้ได้คำตอบที่ดีที่สุด ยกตัวอย่างเช่น

" ค่าที่มากที่สุดของ" formula_1

" ภายใต้เงื่อนไข"

ปัญหาในลักษณะเช่นนี้จะสามารถใช้วิธีซิมเพล็กซ์ในการหาคำตอบได้ โดยจำเป็นจะต้องเปลี่ยนปัญหาที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน (Standard Form) โดยจะต้องแปลงอสมการของปัญหาให้เป็นสมการ ซึ่งจะมีการเพิ่มตัวแปรเข้าไปในแต่ละอสมการเรียกว่าตัวแปรแบบ Slack หรือ Surplus ดังนั้น เราจะเขียนตัวอย่างข้างต้นได้ใหม่เป็น

" ค่าที่มากที่สุดของ" formula_1

" ภายใต้เงื่อนไข"

การจะแปลงกำหนดการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สามารถทำได้โดยการแปลง อสมการที่มีเครื่องหมาย formula_5 ให้อยู่ในรูปของสมการ ซึ่งเราจะเพิ่มตัวแปรเข้าไปในสมการที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และย้ายตัวแปรทั้งหมดไว้ด้านขวา ส่วนตัวเลขที่เหลือไว้ด้านซ้าย ซึ่งรูปมาตรฐานจะอยู่ในรูป

" ค่าที่มากที่สุดของ" formula_6

" ภายใต้เงื่อนไข"

จากรูปแบบโมเดลคณิตศาสตร์ของโปรแกรมเชิงเส้น

" ค่าที่มากที่สุดของ" formula_8

" ภายใต้เงื่อนไข"

เขียนสมการเพื่อเพิ่มเติมตัวแปรช่วย ได้ดังนี้

ในอสมการที่มี formula_11 โดยทางซ้ายเป็นการดำเนินการของตัวแปร และทางขวาเป็นค่าตัวเลขตัวหนึ่ง เราสามารถเพิ่มตัวแปรแบบ Slack เข้าไปทางซ้ายได้เพื่อเป็นตัวแทนเพิ่มค่าให้เท่ากับค่าทางขวา เช่น

" จากข้อจำกัด" formula_12 " สามารถเขียนเป็น" formula_13 เมื่อ formula_14
ในอสมการที่มี formula_15 โดยทางซ้ายเป็นการดำเนินการของตัวแปร และทางขวาเป็นค่าตัวเลขตัวหนึ่ง เราสามารถเพิ่มตัวแปรแบบ Surplus เข้าไปทางซ้ายได้เพื่อเป็นตัวแทนลดค่าให้เท่ากับค่าทางขวา เช่น

" จากข้อจำกัด" formula_16 " สามารถเขียนเป็น" formula_17 เมื่อ formula_14

วิธีการต่อไปนี้จะเป็นการดำเนินการตามขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เพื่อหาผลเฉลยที่มีค่ามากที่สุด แต่หากต้องการหาผลเฉลยที่มีค่าน้อยสุดสามารถทำได้โดย ค่าน้อยสุดของ formula_19 ค่ามากสุดของ formula_20
1. จัดรูป กำหนดการเชิงเส้น ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

2. สร้างตารางซิมเพล็กซ์ดังนี้

3. เลือกตัวแปรขาเข้า (entering variable) คือการเลือกตัวแปรที่ไม่เป็นตัวแปรมูลฐาน (non-basic variable) ให้เป็นตัวแปรมูลฐาน (basic variable) โดยดูจากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการเป้าหมาย (แถว Z) ที่ติดลบมากที่สุด แต่ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรทุกตัวเป็นบวกหรือศูนย์แล้ว แสดงว่าถึงจุดที่เหมาะสม (optimal solution) ไม่ต้องทำต่อไปอีก

4. เลือกตัวแปรขาออก (leaving variable) ด้วยการหาอัตราส่วนของค่าผลลัพธ์กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเข้าที่เลือกไว้ในขั้นที่ 3 (ไม่ต้องคำนึงถึงสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบหรือศูนย์) เลือกอัตราส่วนต่ำสุดของตัวแปรมูลฐาน อยู่ที่ตัวใดแสดงว่าตัวนั้นจะเป็นตัวแปรออก

5. เปลี่ยนตัวแปรมูลฐาน ด้วยการแลกที่กันระหว่างตัวแปรขาเข้าและตัวแปรขาออก ด้วยการคำนวณโดยใช้การดำเนินการตามแถว (row operation)

6. ให้กลับไปทำขั้นที่ 3 - 5 ต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งถึงจุดที่เหมาะสมแล้ว

"ค่ามากที่สุด" formula_21

"จากข้อจำกัด"

สามารถเขียนเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้

"ค่ามากที่สุด" formula_23

"จากข้อจำกัด"

นำรูปแบบมาตรฐานที่ได้ไปสร้างตารางซิมเพล็กซ์ ได้ดังนี้

พิจารณาแถวแรก formula_25 ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าน้อยสุด คือ formula_26 จึงเลือก formula_27 เป็นตัวแปรขาเข้า จากนั้นพิจารณาอัตราส่วนของค่า formula_28 กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรขาเข้า จะได้ว่า แถวที่ formula_29 มีอัตราส่วนเป็น formula_30 และแถวที่ formula_31 มีอัตราส่วนเป็น formula_32 ดังนั้นจึงเลือก formula_31 เป็นตัวแปรขาออก

เปลี่ยนให้ formula_27 เป็นตัวแปรมูลฐาน โดยแลกที่กับ formula_31 ด้วยวิธีการดำเนินการตามแถว จะได้ตารางซิมเพล็กซ์ ดังนี้

พิจารณาแถวแรก formula_25 ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าน้อยสุด คือ formula_38 จึงเลือก formula_39 เป็นตัวแปรขาเข้า จากนั้นพิจารณาอัตราส่วนของค่า formula_28 กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรขาเข้า จะได้ว่า แถวที่ formula_29 มีอัตราส่วนเป็น formula_42 และแถวที่ formula_27 มีอัตราส่วนเป็น formula_44 ดังนั้นจึงเลือก formula_29 เป็นตัวแปรขาออก

เปลี่ยนให้ formula_39 เป็นตัวแปรมูลฐาน โดยแลกที่กับ formula_29 ด้วยวิธีการดำเนินการตามแถว จะได้ตารางซิมเพล็กซ์ ดังนี้

เมื่อพิจารณาตารางซิมเพล็กซ์ก็จะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ในสมการเป้าหมาย (พิจารณาแถว Z) มีค่าไม่ติดลบทั้งหมด ดังนั้นเราก็ได้ผลเฉลยที่เหมาะสมที่สุดแล้วดังนี้

formula_49"ค่ามากที่สุดของ" formula_50

ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติ และได้รับการพัฒนามากกว่าวิธีที่คิดค้นขึ้นมาก่อนหน้า อย่างไรก็ตามในปี พ.ศ. 2515 Klee และ Minty ได้เสนอตัวอย่างที่ที่แสดงให้เห็นว่าในกรณีเลวร้ายที่สุด ประสิทธิภาพการทำงานของขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์จะใช้เวลาเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ตั้งแต่นั้นมาการกระทำหรือการดำเนินการด้วยขั้นตอนวิธีนี้ก็ถูกแสดงว่าเป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพที่แย่

การวิเคราะห์เชิงปริมาณและการสังเกตว่าขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติแม้ว่าจะมีใช้เวลาเป็นเอกซ์โพแนนเชียลในกรณีที่เลวร้ายที่สุดก็ตาม และได้นำไปสู่​​การพัฒนาที่จะวัดประสิทธิภาพในรูปแบบอื่น ซึ่งจริงๆ แล้ว ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์จะใช้เวลาเป็นโพลิโนเมียลในกรณีเฉลี่ยทั่วไป ภายใต้การแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งความแม่นยำของประสิทธิภาพในเชิงเฉลี่ยนี้จะขึ้นอยู่กับการเลือกการแจกแจงความน่าเป็นของโมเดลทางคณิตศาสตร์ และการนำเสนออื่นๆ ได้แสดงให้เห็นว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์นั้นมีผลน้อยมากต่อประสิทธิภาพโดยรวม