ผลคูณคาร์ทีเซียน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต "A" และ "B" ผลคูณคาร์ทีเซียน เป็นเซตของทุกคู่อันดับ ที่ และ

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือจัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ "เซตของแถว" กับ "เซตของหลัก" ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต "n" เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล "n" มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต "X" และ "Y" ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ "X" และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ "Y" (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต "Y" และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต "X" ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ formula_4 ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ formula_5 โดย formula_6 เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

ให้ formula_7 formula_8 และ formula_9 เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน formula_10 ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ formula_11 เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข 
เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ให้ formula_7 formula_8 formula_9 และ formula_36 เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต formula_49 และ formula_50 ทั้งเซต formula_7 และเซต formula_8 ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย formula_53 เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

สมาชิกแต่ละตัวของ formula_7 จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ formula_8 แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์
จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2
ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ
และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

ภาวะเชิงการนับของ formula_53 เป็นอนันต์ถ้าเซต formula_7 หรือเซต formula_8 เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง

จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต "X" คือผลคูณคาร์ทีเซียน 
ตัวอย่างคือระนาบ เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด ที่ "x" และ "y" เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)