สมการนาเวียร์-สโตกส์

สมการนาเวียร์-สโตกส์ เป็นสมการที่ตั้งตามชื่อของผู้คิดค้นสองท่านคือ และ ใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล สมการเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากการประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันบนของไหล ประกอบเข้ากับสมมติฐานว่าความเค้นบนของไหลคือผลรวมของของความหนืดของการกระจายตัว และเทอมของความดัน

ชุดสมการนี้นับได้ว่าเป็นชุดสมการที่มีประโยชน์ต่อวิชากลศาสตร์ของไหลมากที่สุด เนื่องจากว่ามันสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพของของไหลได้กว้างขวางที่สุด มันอาจจะใช้เพื่อการจำลองสภาพอากาศ คลื่นทะเล การไหลของของไหลในท่อ การไหลของอากาศผ่านปีกเครื่องบิน หรือการเคลื่อนที่ของดาวในจักรวาล ชุดสมการนี้ ไม่ว่าจะในรูปเต็ม หรือรูปแบบที่ถูกดัดแปลงให้ง่ายขึ้น ล้วนถูกนำไปใช้ในการออกแบบอากาศยานและยานยนต์ การศึกษาการไหลเวียนของโลหิต การออกแบบโรงไฟฟ้า การวิเคราะห์ผลกระทบของมลพิษ เป็นต้น การนำลุดสมการนี้เมื่อไปใช้ร่วมกับสามารถใช้ในการศึกษาได้อีกด้วย

นอกจากนี้ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์นับว่ามีความน่าสนใจในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อย่างมาก ถึงแม้ว่าชุดสมการจะถูกใช้งานอย่างกว้างขวางก็ตาม แต่ทว่ายังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบในเชิงสามมิตินี้จะตลอดเวลา หรือถึงแม้ว่ามันจะปรากฏขึ้นจริง มันก็จะไม่มีลักษณะของความไม่สิ้นสุด ความเป็นเอกภาพ และความไม่ต่อเนื่อง สิ่งเหล่านี้เรียกว่า จัดให้ปัญหานี้เป็นและตั้งเงินรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐให้แก่ผู้ใดก็ตามที่สามารถแก้ปัญหานี้หรือสามารถแสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาได้.

ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งต่างจากสมการพีชคณิต ไม่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แน่นอนหรือชัดเจน หากแต่ระบุอัตราการเปลี่ยนแปลงแทน ตัวอย่างเช่น ในสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับของไหลในอุดมคติ ซึ่งไม่มีความหนืดและอัดตัวไม่ได้ สามารถระบุความสัมพันธ์ของความเร่งนั้นเป็นอัตราส่วนต่อ (Pressure gradient)

ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่สามารถใช้ระบุตำแหน่งได้แต่สามารถบอกความเร็วได้ ทำให้คำตอบของชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ถูกเรียกว่าสนามความเร็วหรือสนามการไหล ซึ่งเป็นตัวอธิบางถึงความเร็วของของไหล ณ ตำแหน่ง และเวลาที่กำหนด และเมื่อสนามความเร็วถูกระบุแล้ว ตัวแปรอื่น ๆ เช่น อัตราการไหล หรือ อาจจะถูกค้นพบด้วย ชุดสมการนี้ต่างออกไปจากปรากฏการณ์ที่พบได้ในกลศาสตร์ดั้งเดิมซึ่งมีมีคำตอบในรูปของเส้นแนวโน้มของตำแหน่งของอนุภาคหรือการเปลี่ยนแปลงของความต่อเนื่อง การศึกษาความเร็วแทนที่จะสนใจตำแหน่งนั้นเป็นสิ่งที่มีสามัญสำนึกมากกว่าสำหรับวิชากลศาสตร์ของไหล แต่ทว่าสำหรับการสร้างแบบจำลองแล้ว จะใช้คอมพิวเตอร์ในการ

formula_1

สมการนาเวียร์-สโตกส์นั้น เป็นกรณีเฉพาะของ สมการการไหล สมมุติฐานที่ถูกใช้ในที่นี้คือ ของไหลเป็นของไหลแบบนิวตัน () ค่าความหนืดคงที่ และค่าความหน่าแนนคงที่ ในการไหลแบบอุณหภมิไม่คงที่ ค่าความหนืดและความหนาแน่นจะไม่คงที่ เพราะค่าสองค่านี้เป็นค่าที่ขึ้นกับอุณหภูมิ นั่นคือสมการนาเวียร์-สโตกส์จะใช้ไม่ได้ในกรณีนี้ ในกรณีที่ความหนาแน่นมีการเปลี่ยนแปลงมากในระบบ ค่าแรงลอยตัว (buoyant forces) จะต้องนำมาคิดด้วย การประมาณค่าความหนาแน่นนั้น อาจทำได้โดยใช้ Boussinesq approximation

สมการนาเวียร์-สโตกค์นี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยที่ในเกือบทุกสถานการณ์จริง ในบางกรณี เช่นการไหลมิติเดียวและ (การไหลแบบช้า ๆ) สมการอาจจะถูกแปลงให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรงได้ ความไม่เป็นเส้นตรงทำให้ปัญหาส่วนมากยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหา

ความไม่เป็นเส้นตรงนั้นขึ้นกับความเร่งซึ่งเป็นความเร่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วในแต่ละจุด ดังนั้น การไหลแบบพาไม่ว่าจะเป็นการไหลแบบราบเรียบหรือแบบปั่นป่วน ล้วนแต่เกี่ยวข้องกับสมการไม่เป็นเส้นตรงทั้งสิ้น ตัวอย่างการไหลแบบพาที่เป็นนั้นคือการไหลของของไหลหนืด เช่น น้ำมัน ผ่านหัวฉีดแบบคอนเวอร์เจนท์ การไหลในรูปแบบนี้ ๆ ไม่ว่าจะสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ ก็จะได้รับการศึกษาและทำความเข้าใจอย่างรอบคอบระมัดระวัง

ความปั่นป่วนคือช่วงเวลาที่พฤติกรรมอันยุ่งเหยิงของของไหลปรากฏขึ้น ตามความเชื่อโดยทั่วไป การไหลแบบปั่นป่วนนี้เกิดขึ้นมาจากของของไหลทั้งหมด ดังนั้นของไหลที่มีความเฉื่อยต่ำ มีแนวโน้มที่จะไหลแบบราบเรียบ (คือค่าที่บ่งถึงปริมาณผลกระทบของความเฉื่อยในของไหล) แต่ทั้งนี้ทั้งนัน เชื่อกันว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่ได้อธิบายถึงคุณสมบัติความปั่นป่วน

คำตอบเชิงตัวเลขของสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนนี้ค่อนข้างซับซ้อน และเนื่องจากมีการมีช่วงสเกลที่แตกต่างกันมากอย่างเห็นได้ชัดผสมปนเปอยู่ในสมการสำหรับการไหลแบบปั่นป่วน ซึ่งเป็นผลให้คำตอบที่เสถียรสำหรับปัญหาชนิดนี้นั้น เป็นไม่ไม่ได้ในการคำนวณอย่างชัดเจน (อ่านเพิ่มที่ ความพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ด้วยการใช้วิธีเดียวกับการคำนวณการไหลแบบราบเรียบนั้น จะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ที่เวลาไม่เสถียร ซึ่งส่งผลให้ไม่สามารถสรุปผลได้ เพื่อการจัดการกับปัญหานี้ การใช้สมการ เวลาเฉลี่ย เช่น (RANS) การเสริมด้วยแบบจำลองการไหลปั่นป่วน (เช่น แบบจำลอง k-ε) คือวิธีที่ใช้ในทางปฏิบัติของ CFD เพื่อการจำลองการไหลแบบปั่นป่วน วิธีอื่นที่ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือ (LES) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เวลาและหน่วยความจำมากกว่า RANS แต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่ากว่าเนื่องจากขนาดสเกลของการไหลแบบปั่นป่วนชัดเจนกว่า

การใช้สมการนาเวียร์-สโตกส์ ร่วมกับสมการที่นำมาเสริม (เช่น กฎการอนุรักษ์มวล) และการกำหนดสภาวะขอบเขตที่ดี แบบจำลองที่ได้ดูเหมือนว่าจะเป็นแบจำลองการเคลื่อนไหวของของไหลที่แม่นยำ แม้แต่การไหลแบบปั่นป่วน (ด้วยการอ้างอิงค่าเฉลี่ย) ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามที่ปรากฏในความเป็นจริง

สมการนาเวียร์-สโตกส์สมมติว่าของไหลที่สนใจอยู่ในไม่เคลื่อนไหวในเชิง ณ สเกลขนาดเล็กมาก ๆ หรือสภาวะสุดขั้ว ของไหลจริงนั้นเกิดจากการรวมตัวของโมเลกุลที่ไม่มีความต่อเนื่อง จะส่งผลที่แตกต่างไปจากแบบจำลองที่สร้างมาด้วยสมมติฐานว่าของไหลมีความต่อเนื่อง ทั้งนี้ทั้งนั้น ขึ้นอยู่กับตัวเลขคุดเซ็นของปัญหา ซึ่ง หรือ อาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า

ข้อจำกัดอีกประการของสมการนาเวียร์-สโตกส์คือธรรมชาติอันซับซ้อนยากแก่การทำความเข้าใจของสมการ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเวลามีปรากฏในกลุ่มของไหลทั่ว ๆ ไป แต่ในการใช้งานสมการนาเวียร์-สโตกส์นี้ การทำให้ความเป็นสากลนี้ลดลงไป ทำให้ได้สูตรที่ซับซ้อน ดังนั้น สมการนาเวียร์-สโตกส์มักจะใช้สำหรับของไหลจำพวกนิวโตเนียน