แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน

แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน () เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบปี

กรัสมัน เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของยุสทุส กึนเทอร์ กรัสมัน () ยุสทุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเต็ททีน () และแฮร์มันก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันมักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท ()

กรัสมันเป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในปรัสเซีย () เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเต็ททีนเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเต็ททีนเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสมันเริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเต็ททีน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยมศึกษา

กรัสมันค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยมศึกษา แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเต็ททีน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเต็ททีน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของปรัสเซียหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอ็นสท์ คุมเมอร์ () ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสมันมีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ทำให้กรัสมันหมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสมัน

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848–1849 แฮร์มันและโรแบร์ท กรัสมัน ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเต็ททีนเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

กรัสมันมีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มัน แอ็นสท์ กรัสมัน () ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีเซิน

กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา A1 และ A2 (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่" () [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง "Ausdehnungslehre," ซึ่งแปลว่า "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ" เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้
ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน A1 ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย ( หรือ "kombinatorisches Produkt") สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน "ee" = 0 ด้วยกฎ "ee" = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ "i" = "j" = "k" = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)
A1 เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส () พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า () และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า "แบบโครงสร้างการวิเคราะห์" ("analysis situs") การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน () เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย () และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ A1 ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น () ที่เรียกว่า A2 มีอาการก็ไม่ดีกว่า A1 แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ A2 ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20

นักคณิตศาสตร์คนแรก ๆ ที่ชื่นชมความคิดของกรัสมันตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มัน ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน () เมื่อปี ค.ศ. 1867

เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิคทอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ () ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสมันเพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิคส์ ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสมัน ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสมัน คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเงิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสมันได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของเอ.เอ็น. ไวต์เฮด (A. N. Whitehead) "เรื่องพีชคณิตครอบจักรวาล" ("Universal Algebra") เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซฺทีเรียร์อัลจีบรา) ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสมันทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดู "ถนนสู่ความจริง" ("The Road to Reality") โดยรอเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌ็อง โกลด บาเร เดอ แซ็ง-เวอน็อง (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสมัน เขาจึงโต้เถียงกับกรัสมันว่าใครคิดได้ก่อน กรัสมันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็ง-เวอน็องอ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสมันหันไปทางภาษาศาสตร์เชิงประวัติ (historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงได้รับการตีพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของตระกูลภาษาอินโด-ยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสมัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทัล (American Oriental Society) เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบิงเงิน ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.