เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ () คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า "แถว" เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า "หลัก" และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า "สมาชิก" ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี formula_2 แถว และ formula_3 หลัก เรียกว่า "เมทริกซ์ formula_4" เราเรียกจำนวน formula_2 และ formula_3 ว่า "มิติ" หรือ "ขนาด" ของเมทริกซ์

เราใช้สัญญลักษณ์ formula_7 เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ formula_8 ซึ่งมี formula_2 แถว และ formula_3 หลัก โดยที่ formula_11 (หรือ formula_12) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว formula_13 และ หลัก formula_14 ของเมทริกซ์

ให้ formula_7 และ formula_17 เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม "ผลรวม" หรือ "ผลบวก" formula_18 ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด formula_19 ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก formula_20 แล้ว
formula_21
ยกตัวอย่างเช่น

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

กำหนดเมทริกซ์ formula_7 และจำนวน formula_24 เราสามารถนิยาม "ผลคูณสเกลาร์" formula_25 ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด formula_19 ที่คำนวณโดยการนำ formula_24 ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ formula_8 กล่าวคือ หาก formula_29 แล้ว formula_30 ยกตัวอย่างเช่น

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด formula_19 ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ formula_33 ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

ถ้า formula_7 และ formula_35 เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ formula_8 เท่ากับจำนวนแถวของ formula_37 แล้ว เราสามารถนิยาม "ผลคูณ" formula_38 ว่าเป็นเมทริกซ์ formula_39 โดยที่
กล่าวคือสมาชิกในแถว formula_13 หลัก formula_14 ของผลคูณ formula_38 คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก formula_13 ของ formula_8 และสมาชิกของคอลัมน์ formula_37 ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง formula_3 ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ formula_48 เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว formula_13 ของ formula_8 และให้ formula_51 เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก formula_14 ของ formula_37 แล้ว เราจะได้ว่า formula_54 เมื่อ formula_55 คือผลคูณจุดของ formula_56 และ formula_57 เช่น

และ

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ formula_8 ขนาด formula_19 และ formula_37 ขนาด formula_68 ใดๆ

เรากล่าวว่าเมทริกซ์ formula_8 "แอนติคอมมิวต์" (anticommute) กับเมทริกซ์ formula_37 ถ้า formula_99 เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด "m" × "n" คือ A ขนาด "n" × "m" ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ A, หรือ A, หรือ A' ) ซึ่ง A[ "i", "j" ] = A[ "j", "i" ] ยกตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด "n" × "n" ยกเว้น "n" = 1