แฟกทอเรียล

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล () ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ "n" คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" เขียนแทนด้วย "n"! (อ่านว่า "n" แฟกทอเรียล) ตัวอย่างเช่น

สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขา

ต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน "n" สิ่งสามารถทำได้ "n"! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ "n"! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้
หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย
ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขาแฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "n"! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ "n" > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ

ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้
ก็ต่อเมื่อ "p" เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ "p" ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ "n"! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น
ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ "p" ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n"; จำนวนพหุคูณของ "p" ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n" สามารถพิจารณาได้จากสูตร formula_16 อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ "p" เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน formula_17 ตัวของ "p" ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก "p" สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" สำหรับ "i" หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ "p" > "n"

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ "n"! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e

เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ "n"! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้

กราฟของฟังก์ชัน "f"("n") = log "n"! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ "n" ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log "n"! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์
ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้

เนื่องจากการคำนวณ log "n"! มีประสิทธิภาพเป็น Θ("n" log "n") สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log "n"! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง

การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ "n" จะได้ formula_23 และสำหรับ "n" ≥ 6 จะได้ formula_24 เป็นต้น

เมื่อ "n" เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า "n"! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)
ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ "n" สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า

การประมาณค่า log "n"! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้

นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ("z") ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ "z" เป็นจำนวนบวก ดังนี้
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้
สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ

ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ "ฟังก์ชันพาย" (Pi function) เขียนแทนด้วย Π("z") นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง "z" ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้
หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า
ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้

ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนที่นิยาม
โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น

เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า

เมื่อ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร
ตัวอย่าง

และอีกสูตรหนึ่ง
ตัวอย่าง

ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ("n" + 1) = "n"Γ("n"), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π("n") = "n"Π("n" − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function)

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว
อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

ปริมาตรของทรงกลม "n" มิติที่มีรัศมี "R" หน่วย คำนวณได้จากสูตร

มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

"n"!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ "n" ซึ่งนิยามโดย

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ "n" = 0, 1, 2... ได้แก่

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ "n" = -1, -3, -5, -7... คือ

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ