ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ () หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ "n" เขียนแทนด้วย "g" คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ "n"+1 กับ "n" ดังนี้

ดังนั้นเราจะได้ "g" = 1, "g" = "g" = 2, และ "g" = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้

สำหรับจำนวนเฉพาะ "P" ใดๆ เราสามารถเขียน "P"# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ "P" ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า "P" และกำหนดให้ "Q" เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก "P" ดังนั้น ลำดับนี้

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน "Q"−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ "Q"−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ "P" ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม "n" ซึ่ง "g" > "P" (เลือก "n" ที่ทำให้ "p" มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า "P"# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ "n" อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า "n"# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ "ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด" ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี "n" ที่ทำให้ "g" = 2 อยู่ไม่จำกัด

กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain

เราจะกล่าวว่า "g" เป็น "ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด" (maximal prime gap) ถ้าหาก "g" < "g" สำหรับทุกค่าของ "m" < "n" เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 "ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด" ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ "g") / ln("p") เรียกว่าเป็นอัตรา "merit" ของ "g" ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98

ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง "g" < "p"

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ "p" กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln "p" ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน "N" ที่ทำให้ "g" < ε"p" สำหรับทุกค่าของ "n" > "N"

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้
เมื่อ "x" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า
สำหรับจำนวน "n" ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ "g" / "p" จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ "n" มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก
จะมีค่าคงตัว "c" ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้
สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4"c")/(2 + 4"c") เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ "c" > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง "n" และ ("n" + 1) เสมอ ถ้า "n" มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า "c" เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง "n" กับ ("n" + 1) ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้

ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ "g"("p")
ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า
และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า