สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร "x" และ "y" คือ
โดยที่ "m" คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ "b" แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน "y" สำหรับสมการที่มีพจน์ "x", "y", "xy" ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น

ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ "x" และ "y" คือตัวแปร

เมื่อ "A" กับ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ "A" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "x" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"A" และเมื่อ "B" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "y" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"B" ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −"A"/"B"

เช่น

เมื่อ "A" และ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง "A", "B", "C" จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก

เช่น 1. 2x - 3 = y

2. 2x - 3y = 14

3. -2x + 2y = 10

4. 6x + 4y = 14

5. 3x + 2y = 8

เมื่อ "m" แทนความชันของเส้นตรง และ "b" คือระยะตัดแกน "y" ซึ่งเป็นพิกัด "y" ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน "y" ถ้าหากให้ค่า "x" = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ "y" = "b"

เมื่อ "m" คือความชันของเส้นตรงและ ("x", "y") คือจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน "x" และแกน "y" โดยมีจุด ("x", "y") เป็นจุดยืน

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้

แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก "x" = "x" สมการนี้จะไม่มีความหมาย

เมื่อ "E" และ "F" ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" และระยะตัดแกน "y" เท่ากับ "F" รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ "A" = 1/"E", "B" = 1/"F" และ "C" = 1

เมื่อ "p" ≠ "h" กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด ("h", "k") และจุด ("p", "q") โดยมีความชันเท่ากับ "m" = ("q" − "k") / ("p" − "h") รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ "m"

รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ "t" ที่มีความชัน "m" = "V"/"T" โดยมีระยะตัดแกน "x" อยู่ที่ ("VU"−"WT") / "V" และระยะตัดแกน "y" อยู่ที่ ("WT"−"VU") / "T"

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ "T" = "p"−"h", "U" = "h", "V" = "q"−"k", และ "W" = "k" จะได้

ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ "t" จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด ("h", "k") ไปยัง 1 ที่จุด ("p", "q") ค่าของ "t" ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ "t" จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

เมื่อ "φ" คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ "p" คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย formula_14 และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า "รูปแบบมาตรฐานเฮสส์" ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 0 และ "B" = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน "m" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน "y" เท่ากับ "F" ถ้า "F" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "x" แต่ถ้า "F" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "x" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 1 และ "B" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า "E" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "y" แต่ถ้า "E" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "y" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ "xy") ดังตัวอย่าง formula_19 นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ "x" และ "y" จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น "สมการที่ขัดแย้งกัน" หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ "x" และ "y" จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ formula_20

สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร "n" ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
ซึ่ง formula_22 เป็นสัมประสิทธิ์ formula_23 คือตัวแปร และ "b" คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ formula_24 ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น formula_25 ได้ตามต้องการ

สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน "n"–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด "n" มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น