จำนวนเฉพาะ

ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ : prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ

ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย

ดูบทความ รายชื่อจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนเฉพาะ 500 จำนวนแรก สำหรับเลข 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะตามนิยาม

เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมักเขียนแทนด้วย formula_1 เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นคำว่า จำนวนเฉพาะคี่ จะถูกใช้เพื่อหมายถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ใช่ 2 lol

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ และเขียนได้แบบเดียวเท่านั้น จำนวนเฉพาะเป็นเหมือน "บล็อกก่อสร้าง"ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น

ไม่ว่าเราจะแยกตัวประกอบของ 23244 แบบใดโดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบแล้ว มันก็จะไม่ต่างไปจากนี้

มีจำนวนเฉพาะอยู่มากเป็นอนันต์ บทพิสูจน์ที่เก่าแก่ที่สุดสำหรับประโยคนี้ คิดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ยุคลิด ในหนังสือ "Elements" (Book IX, Proposition 20) ยุคลิดกล่าวในหนังสือของเขาว่า "มีจำนวนเฉพาะ มากกว่าจำนวนเฉพาะ[จำนวนจำกัด]ที่กำหนดให้" บทพิสูจน์ของเขาสามารถสรุปย่อๆได้ว่า:

ตะแกรงเอราทอสเทนีส และ ตะแกรงของ Atkin เป็นวิธีที่ใช้สร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามจำนวนที่กำหนดอย่างรวดเร็ว

ในทางปฏิบัติ เราต้องการตรวจสอบว่าเลขที่กำหนดให้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ มากกว่าจะสร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นมา ซึ่งวิธีที่ทดสอบ จะให้คำตอบด้วยความน่าจะเป็น เราสามารถตรวจสอบเลขที่มีขนาดใหญ่ (มี 1 พันหลักขึ้นไป) ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะด้วยความน่าจะเป็น (probabilistic primality tests) ซึ่งวิธีนี้ จะต้องทำการสุ่มตัวเลขขึ้นมาตัวหนึ่ง เรียกว่า "พยาน" (witness) และใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับพยาน และจำนวนเฉพาะ "N" ทำการทดสอบ หลังจากที่ทดสอบไปหลายรอบ เราจะตอบได้ว่า "N" เป็น"จำนวนประกอบอย่างแน่นอน" หรือ "N" "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" วิธีทดสอบไม่สามารถให้คำตอบได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอนหรือไม่ การทดสอบบางครั้ง เมื่อใส่จำนวนประกอบลงไป ก็ให้คำตอบว่า"อาจเป็นจำนวนเฉพาะ"เสมอ ไม่ว่าจะเลือกพยานตัวใดก็ตาม จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprimes) สำหรับการทดสอบจำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก (ใหญ่กว่า 10) นำไปใช้ประโยชน์ในขั้นตอนวิธี[[วิทยาการเข้ารหัสลับ|เข้ารหัสลับแบบกุญแจสาธารณะ]] นอกจากนี้ยังใช้ใน[[ตารางแฮช]] (hash tables) และ[[เครื่องสุ่มเลขเทียม]]

ให้ "p" คือจำนวนเฉพาะตัวที่ "n" (นั่นคือ "p" = 2, "p" = 3, ...) "ช่องว่าง" "g" ระหว่างจำนวนเฉพาะ "p" กับ "p" คือผลต่างของจำนวนเฉพาะสองจำนวนดังกล่าว นั่นคือ

เราจะได้ "g" = 3 − 2 = 1, "g" = 5 − 3 = 2, "g" = 7 − 5 = 2, และ "g" = 11 − 7 = 4 ลำดับ "g" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ เป็นลำดับที่มีการศึกษากันอย่างมาก

สำหรับจำนวนนับ "N" ใดๆ ที่มากกว่า 1

เป็นลำดับของจำนวนประกอบที่ติดกัน "N" − 1 ตัว ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวน "N" ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม "n" ซึ่ง "g" > "N" (เลือก "n" ที่ทำให้ "p" มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า "N"! + 2)

ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะใดๆ มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะ ดังนั้น "g"/"p" จึงมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ "n" เข้าใกล้อนันต์ [[ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด]]กล่าวว่า มี "n" ที่ทำให้ "g" = 2 อยู่ไม่จำกัด

จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบ 26 ธันวาคม พ.ศ. 2560 ถูกเรียกด้วยชื่อรหัสว่า M77232917 ได้จากการนำเลข 2 ไปยกกำลัง 77,232,917 แล้วลบออกด้วย 1 อีกครั้ง ซึ่งมีตัวเลขเรียงต่อกันยาวถึง 23,249,425 หลัก
จำนวนเฉพาะ M77232917 ล้มแชมป์เก่าที่มีการค้นพบเมื่อช่วงต้นปี 2016 ไปด้วยตัวเลขที่ยาวกว่าเกือบ 1 ล้านหลัก โดยโครงการความร่วมมือเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะแมร์เซนน์ทางอินเทอร์เน็ต (GIMPS) ซึ่งใช้พลังการประมวลผลจากคอมพิวเตอร์ของอาสาสมัครทั่วโลก เป็นผู้ค้นพบและตรวจพิสูจน์ตัวเลขนี้เมื่อวันที่ 26 ธ.ค. ปีที่ผ่านมา
คอมพิวเตอร์ของนายโจนาธาน เพซ วิศวกรไฟฟ้าจากรัฐเทนเนสซีของสหรัฐฯ ซึ่งเป็นหนึ่งในอาสาสมัครของโครงการที่ช่วยค้นหามา 14 ปี เป็นเครื่องที่ค้นพบจำนวนเฉพาะดังกล่าวหลังใช้เวลาคำนวณไม่หยุด 6 วัน ทำให้เขาได้รับเงินรางวัลจากทางโครงการเป็นมูลค่า 3,000 ดอลลาร์สหรัฐฯ (ราว 96,500 บาท)
[[หมวดหมู่:จำนวนเฉพาะ| ]]
[[หมวดหมู่:จำนวนเต็ม]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน]]