สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น () ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุกๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ "ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว" สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้งๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

กำหนดให้ formula_1 เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ formula_2 เราจะกล่าวว่า formula_1 เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ formula_1 มีคุณสมบัติต่อไปนี้อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน formula_2 ว่า เหตุการณ์พื้นฐาน และ สับเซตเช่น formula_15 ของ formula_2 ว่า เหตุการณ์ (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ formula_2 จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น formula_18 ของเหตุการณ์(event) formula_19, formula_20 ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) formula_21 ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ formula_18 นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น formula_23 นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด formula_18 เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) formula_25 ของทุกสับเซต ของ formula_26 โดยที่ formula_27

"หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้"

ถ้า formula_26 เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 
formula_44

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามีเหตุการณ์ formula_45 ใดๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า formula_46 และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด formula_27

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม formula_26 ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ formula_26 ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่นๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม formula_50 
เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

ตัวอย่าง พิจารณา formula_56 หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ formula_57 และ formula_58 ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ
สังเกตว่า เหตุการณ์ formula_60 และ formula_61 นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์ แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลัสก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่างเคร่งครัด คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซก นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นั่นเอง

อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า "ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป" สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน "ในทางปฏิบัติ" ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity) ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก "ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล" ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย