จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน formula_1 ซึ่งทำให้สมการ formula_2 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน formula_3 ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป formula_4 โดยที่ formula_5 และ formula_6 เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก formula_5 และ formula_6 ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ formula_3 ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_10 จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน formula_10 ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ formula_12 ทั้งหมดโดยที่ formula_13 และ formula_14 เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ formula_15 (การบวก) และ formula_16 (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ formula_12 และ formula_18 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ formula_22 และ formula_33 กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ formula_35 ว่าเป็นจำนวนจริง formula_13 (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ formula_1 แทน formula_33 จำนวนเชิงซ้อน formula_12 จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า formula_40 ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า formula_41 นั่นคือ formula_1 เป็นคำตอบของสมการ formula_43 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม formula_44 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม formula_45 กับไอดีล formula_46 เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

ถ้า formula_48 เราเรียก formula_13 ว่า "ส่วนจริง" ของ formula_3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_51 และเราเรียก formula_14 ว่า "ส่วนจินตภาพ" ของ formula_3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_54 เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

ถ้า formula_55 เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ formula_3 คือ formula_57 เราเขียนแทนสังยุคของ formula_3 ด้วย formula_59 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
เมื่อ formula_3, formula_65, formula_66 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

"ขนาด"ของจำนวนเชิงซ้อน formula_67 เขียนแทนด้วย formula_68 คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ formula_69 เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้เมื่อ formula_3, formula_65, และ formula_66 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง formula_13 ด้วยจำนวนเชิงซ้อน formula_81 ทำให้เราได้ว่าถ้า formula_82

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่า"ระนาบเชิงซ้อน" (complex plane) หรือ"ผังของอาร์กานด์" ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน formula_48 คือ formula_12 ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ formula_86 เมื่อ formula_87 และ formula_88 เป็นมุมที่เวกเตอร์ formula_12 ทำกับแกน formula_5 ในหน่วยเรเดียน เราเรียก formula_88 ว่า "อาร์กิวเมนต์"ของ formula_3 และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_93 สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ formula_94 จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า
และ
เมื่อ formula_98 ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย formula_99 จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ formula_100 ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ formula_33 ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

formula_10 ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น formula_10 เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน formula_104 เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน formula_105 (formula_104-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
เมื่อ formula_13 และ formula_14 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน formula_110 เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน formula_111 นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า formula_112 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน formula_10 และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ formula_114 ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

formula_10 (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ formula_116) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้
ด้วยเหตุนี้ formula_10 จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ formula_10 บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง