ปัญหาทางเดินม้าหมากรุก

ปัญหาทางเดินม้าหมากรุก () เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเดินม้าในกระดานหมากรุก โดยม้าจะต้องเดินผ่านช่องทุกช่องบนกระดานหมากรุกเพียงช่องละหนึ่งครั้งเท่านั้นและเป็นไปตามกฎกติกาของเกมหมากรุก ถ้าการเดินม้ามีจุดเริ่มต้นเป็นช่องเดียวกับจุดสิ้นสุดจะเรียกการเดินม้านั้นว่า ”การเดินม้าแบบปิด” แต่ถ้าหากเป็นคนละช่องกันจะเรียกการเดินม้านั้นว่า “การเดินม้าแบบเปิด” ซึ่งในปัจจุบันยังไม่ทราบจำนวนวิธีในการเดินม้าแบบเปิดที่แน่ชัด ขนาดของตารางหมากรุกที่ใช้ในปัญหานี้มีหลายขนาด โดยขนาดที่ใช้โดยทั่วไปจะเป็นขนาด 8 x 8 ช่อง

ปัญหาทางเดินหมากรุกเป็นตัวอย่างหนึ่งของ ปัญหาทางเดินแบบแฮมิลตันในเรื่องทฤษฎีกราฟ และปัญหาในการหาการเดินม้าหมากรุกแบบปิดนับเป็นตัวอย่างที่คล้ายคลึงกับปัญหาวัฏจักรแบบแฮมิลตัน โดยจะมีความแตกต่างจากปัญหาทางเดินแบบแฮมิลตัน คือ ปัญหาการเดินม้าหมากรุกแบบปิดนั้นมีฟังก์ชันของเวลาการทำงานเป็นเชิงเส้น หรือ สามารถบรรยายความสัมพันธ์ของฟังก์ชันในแง่ของอัตราการเติบโตได้ด้วยสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ O(n)

ปัญหาทางเดินม้าหมากรุกได้ถูกค้นพบในศตวรรษที่ 9 โดยกวีชาวอินเดียชื่อว่า รุถถะ เขาได้เขียนบทกวีเกี่ยวกับศิลปะ แบบแผนในการเล่นม้าหมากรุกแบบครึ่งกระดานในภาษาสันสกฤต ซึ่งแตกต่างจากกวีอื่นๆที่เขียนไว้

ในตารางหมากรุกขนาด 8 × 8 ช่อง มีจำนวนวิธีการเดินม้าหมากรุกแบบปิด ระบุทิศทาง แน่นอน จำนวน 26,534,728,821,064 วิธี และมีจำนวนวิธีการเดินม้าหมากรุกแบบปิด ไม่ระบุทิศทาง จำนวน 13,267,364,410,532 วิธี ซึ่งมีจำนวนเป็นครึ่งหนึ่งของแบบระบุทิศทาง
และในตารางหมากรุกขนาด 6x6 มี วิธีการเดินม้าหมากรุกแบบปิดซึ่งไม่ระบุทิศทางจำนวน 9,862 วิธี การเดินม้าหมากรุแบบปิดมีกรณีที่เล็กที่สุดคือ กรณี 1 × 1 (เป็นทฤษฎีบทแทรกของทฤษฎีนี้)

สำหรับทุกตารางหมากรุกขนาด m × n โดยที่ m น้อยกว่า n แล้วเราจะสามารถหาวิธีการเดินม้าหมากรุกแบบปิดได้ ยกเว้นตารางหมากรุกดังกล่าวจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้อย่างน้อย 1 เงื่อนไข

เงื่อนไขที่1

เงื่อนไขที่ 2

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่สามารถเดินม้าแบบปิดในตาราง 4xn ได้ สำหรับ ทุกๆค่าของ n

เงื่อนไขที่ 3

เงื่อนไขอื่นๆ

ในการหาวิธีการเดินม้าหมากรุกนั้นนอกจากขั้นตอนวิธีแบบลุยทุกรูปแบบ (ซึ่งจะใช้เวลาในการทำงานนานมาก ไม่เหมาะสมอย่างยิ่งหากจะนำมาใช้กับตารางขนาดใหญ่) ยังมีขั้นตอนวิธีอื่นๆอีก ดังนี้

เริ่มจากการแบ่งส่วนของตารางหมากรุกเป็นส่วนย่อยๆ พิจารณาหาวิธีในแต่ละส่วนย่อย แล้วจึงนำแต่ละส่วนย่อยมาประกอบกัน ซึ่งวิธีการนี้สามารถบรรยายความสัมพันธ์ของฟังก์ชันในแง่ของอัตราการเติบโตได้ด้วยสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ O(n)

กฎของวานดอล์ฟเป็นวิธีการแบบฮิวริสติกสำหรับการหาวิธีการเดินม้าหมากรุก กล่าวโดยสรุปคือในการเดินม้าแต่ละครั้งนั้นจะต้องเป็นไปตามกฎ กล่าวคือ 
กำหนดให้ ในทุกช่องที่สามารถเดินไปจากช่องปัจจุบัน(ซึ่งไม่นับรวมถึงช่องที่เคยเดินผ่านไปแล้ว) จะมีค่าเท่ากับจำนวนช่องที่ช่องดังกล่าวสามารถเดินต่อไปได้ตามกฎของการเดินม้าหมากรุก(ซึ่งไม่นับรวมถึงช่องที่เคยเดินผ่านไปแล้ว)
การเลือกช่องต่อไปสำหรับการเดินม้าจะพิจารณาเลือกช่องที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งหากมีหลายช่องที่มีค่าน้อยที่สุดเท่ากันก็อาจมีทางเลือกได้หลายทาง
นอกจากกลวิธีดังกล่าวในการแก้ปัญหานี้ยังมีกลวิธีอื่นๆอีกหลายหลายวิธี เช่น กลวิธีของโพ และกลวิธีของสไควเออร์และคูล
โดยทั่วไปกฎของวานส์ดอล์ฟ จะนำไปประยุกต์ใช้กับเรื่องกราฟได้ ในเรื่องของทฤษฎีกราฟ การเดินม้าหมากรุกแต่ละครั้ง จะเดินไปยังปมที่อยู่ติดกันด้วยดีกรีที่น้อยที่สุด
ถึงแม้ว่าปัญหาทางเดินของแฮมิลตันจะจัดอยู่ในเรื่องของกลุ่มปัญหาเอ็นพีแบบยาก โดยปกติแล้วในการใช้วิธีการแบบฮิวริสติกในหลายๆกราฟสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยอัตราการเติบโตแบบเชิงเส้น แต่สำหรับปัญหาทางเดินม้าหมากรุกนี้จัดเปนกรณีพิเศษ

กฎของวานดอล์ฟสามารถใช้ได้กับจุดเริ่มต้นที่ช่องใดก็ได้ของตารางหมากรุก จำนวนครั้งที่เดินได้ก็คือจำนวนตัวเลขที่บรรจุในแต่ละช่อง ซึ่งตามกฎแล้ว จะต้องเดินไปยังช่องที่มีตัวเลขน้อยที่สุดนั่นเอง จากนั้นก็เลือกเดินตามกฎต่อไปจนกว่าจะเดินได้ครบทุกช่อง
ข้อตกลง :

ขั้นตอนวิธี :