อนุพันธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า "การหาปฏิยานุพันธ์" (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

"การหาอนุพันธ์" เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ของตัวแปร คืออัตราที่ค่า ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เรียกว่า "อนุพันธ์"ของ เทียบกับ ถ้า และ เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน ลงจุดเทียบกับ อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ ซึ่งหมายถึงกราฟของ จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ สำหรับจำนวนจริง และ และความชัน ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ ดังสมการ
เมื่อสัญลักษณ์ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
เพราะฉะนั้น จะได้
ทำให้ได้

ซึ่ง เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น ใด ๆ

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของ เมื่อ เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ แสดงได้เป็น และอนุพันธ์ของ เทียบกับ เขียนได้ดังนี้
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ "y" เทียบกับ "x"" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วนสัญกรณ์ของลากรางจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เทียบกับ แสดงได้เป็น (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f" ที่ "x" ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ "f" ที่ "x" เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ ("x", "f" ("x")) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ "h" เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ "h" จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน "x" ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด ("x","f (x) ") และ ("x+h","f (x+h) ") คือ
ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ "f" ที่ "x" คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

ฟังก์ชันกำลังสอง หาอนุพันธ์ได้ที่ และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ เมื่อ เข้าใกล้ศูนย์:

นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ เมื่อ และไม่นิยามเมื่อ เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า เมื่อ มีค่าน้อยลงมาก ๆ

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ คือ

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ คือ :

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า "จุดเปลี่ยนเว้า" ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในปี ค.ศ. 1675 สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ "n" ของ (เทียบกับ "x") ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ "y" ที่จุด ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:

ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง "สัญกรณ์ไพรม์" หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f"("x") เขียนได้ในรูป "f"′("x") หรือ "f"′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ "f" สำหรับอนุพันธ์อันดับ "n" ของ "f" สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า แล้ว
หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ "y" เทียบกับ "t" ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ "D" ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน "f" เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง "Df" ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป "D""f" และอนุพันธ์อันดับ "n" เขียนได้ในรูป "D""f"

ถ้า เป็นตัวแปรตาม แล้ว "x" จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ "D" เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น "x" ดังข้างล่าง
แต่ตัวห้อย "x" มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเมื่อ "r" เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า formula_26 แล้ว

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า "x" ที่เป็นบวก ไม่ใช่ เมื่อ กฎนี้จะให้ค่า "f"′("x") เป็นศูนย์สำหรับ ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้อนุพันธ์ของ

คือ

ในพจน์ที่สองของ คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ "x", "x", sin("x"), ln("x") และ รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย