(Indeed, any chain containing a 1 can be truncated just before that 1; e.g. X→1→Y=X for any (embedded) chains X,Y.) 4→3→2 = 4→(4→(4)→1)→1 (by 4) and then, working from the inner parentheses outwards, = 4→(4→4→1)→1 (remove redundant parentheses (rrp)) = 4→(4→4)→1 (3) = 4→(256)→1 (2) = 4→256→1 (rrp) = 4→256 (3) = 4256 (2) = 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10154 2→2→4 = 2→(2)→3 (by 4) = 2→2→3 (rrp) = 2→2→2 (4, rrp) = 2→2→1 (4, rrp) = 2→2 (3) = 4 (2) (In fact, any chain beginning with two 2s stands for 4.) 2→4→3 = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 4) The four copies of X (which is 2 here) are in bold to distinguish them from the three copies of q (which is also 2) = 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp) = 2→(2→(4)→2)→2 (previous example) = 2→(2→4→2)→2 (rrp) (expression expanded in next equation shown in bold on both lines) = 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4) = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp) = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (3 repeatedly) = 2→(2→(2→(4)))→2 (2) = 2→(2→(16))→2 (2) = 2→65536→2 (2,rrp) = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4) with 65535 sets of parentheses = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...))) (3 repeatedly) = 2→(2→(2→(...2→(4))...))) (2) = 2→(2→(2→(...16...))) (2) = 2 2 … 2 {\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}} (a tower with 216 = 65536 stories) = 655362 (See tetration) 2→3→2→2 = 2→3→(2→3)→1 (by 4) = 2→3→8 (2 and 3) = 2→(2→2→7)→7 (by 4) = 2→4→7 (two initial 2's give 4 ) = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4) = 2→(2→4→6)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (previous example) = much larger than previous number 3→2→2→2 = 3→2→(3→2)→1 (4) = 3→2→9 (2 and 3) = 3→3→8 (4) The simplest cases with four terms (containing no integers less than 2) are: a → b → 2 → 2 {\displaystyle a\to b\to 2\to 2} = a → b → 2 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 2\to (1+1)} = a → b → ( a → b ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 1} = a → b → a b {\displaystyle =a\to b\to a^{b}} = a b {\displaystyle =ab} (also following from the last-mentioned property) a → b → 3 → 2 {\displaystyle a\to b\to 3\to 2} = a → b → 3 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 3\to (1+1)} = a → b → ( a → b → ( a → b ) → 1 ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1} = a → b → ( a → b → a b ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to a^{b})} = a b {\displaystyle =ab} a → b → 4 → 2 {\displaystyle a\to b\to 4\to 2} = a → b → ( a → b → ( a → b → a b ) ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))} = a b {\displaystyle =ab} We can see a pattern here.
예: 어떤 (포함된) 연쇄 화살표 X,Y에 대해서 X→1→Y=X이다.) 4→3→2 = 4→(4→(4)→1)→1 (규칙 4) 그리고, 안의 괄호에서 바깥쪽으로 진행한다, = 4→(4→4→1)→1 (잉여 괄호를 제거(remove redundant parentheses)) = 4→(4→4)→1 (3) = 4→(256)→1 (2) = 4→256→1 (rrp) = 4→256 (3) = 4256 (2) = 정확히 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 ≈ 1.34078079299 × 10154 2→2→4 = 2→(2)→3 (규칙 4) = 2→2→3 (rrp) = 2→2→2 (4, rrp) = 2→2→1 (4, rrp) = 2→2 (3) = 4 (2) (사실, 2 두 개로 시작하는 연쇄 화살표는 4이다.) 2→4→3 = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 4) X(여기에서는 2)의 네 복사본은 q (여기에서는 마찬가지로 2)의 세 복사본과 구분하기 위해서 굵은 글씨로 표시했다 = 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp) = 2→(2→(4)→2)→2 (이전 예시) = 2→(2→4→2)→2 (rrp) (다음 식에서 확장시키는 것을 양 쪽 다 굵은 글씨로 표시했다) = 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4) = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp) = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (3 반복) = 2→(2→(2→(4)))→2 (2) = 2→(2→(16))→2 (2) = 2→65536→2 (2,rrp) = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4) 괄호가 65535쌍 = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...))) (3 반복) = 2→(2→(2→(...2→(4))...))) (2) = 2→(2→(2→(...16...))) (2) = 2 2 … 2 {\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}} (216 = 65536층의 탑) = 655362 (테트레이션을 보라) 2→3→2→2 = 2→3→(2→3)→1 (규칙 4) = 2→3→8 (2와 3) = 2→(2→2→7)→7 (규칙 4) = 2→4→7 (앞의 2 두 개는 4이다 ) = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4) = 2→(2→4→6)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4) = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (특성6) = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (이전 예시) = 이전의 숫자보다 훨씬 큼 3→2→2→2 = 3→2→(3→2)→1 (4) = 3→2→9 (2와 3) = 3→3→8 (4) (2보다 작은 정수가 없는) 네 항을 가지는 가장 간단한 예시: a → b → 2 → 2 {\displaystyle a\to b\to 2\to 2} = a → b → 2 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 2\to (1+1)} = a → b → ( a → b ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 1} = a → b → a b {\displaystyle =a\to b\to a^{b}} = a b {\displaystyle =ab} (마지막으로 언급한 특성을 따른다) a → b → 3 → 2 {\displaystyle a\to b\to 3\to 2} = a → b → 3 → ( 1 + 1 ) {\displaystyle =a\to b\to 3\to (1+1)} = a → b → ( a → b → ( a → b ) → 1 ) → 1 {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1} = a → b → ( a → b → a b ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to a^{b})} = a b {\displaystyle =ab} a → b → 4 → 2 {\displaystyle a\to b\to 4\to 2} = a → b → ( a → b → ( a → b → a b ) ) {\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))} = a b {\displaystyle =ab} 여기서 패턴을 볼 수 있다.