The Russian mathematician Nikolai Ivanovich Lobachevsky and his rival, the Hungarian mathematician János Bolyai, independently defined and studied hyperbolic geometry, where uniqueness of parallels no longer holds.
रूसी गणितज्ञ निकोलाइ इवानोविच लोबाचेवस्की (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) और उसके प्रतिद्वंद्वी, हंगरी गणितज्ञ जनोस बोलयाई (Janos Bolyai) ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति (hyperbolic geometry) को परिभाषित किया और उसका अध्ययन किया, अब सामानांतर की अद्वितीयता नहीं रही।