Putting z = n + 1 n {\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}} in the above series, it follows that: ln ⁡ ( n + 1 ) = ln ⁡ ( n ) + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ( 1 2 n + 1 ) 2 k + 1 . {\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.} If the logarithm of a large integer n is known, then this series yields a fast converging series for log(n+1), with a rate of convergence of 1 2 n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2n+1}}} .
Από την παραπάνω σειρά, προκύπτει ότι: ln ⁡ ( n + 1 ) = ln ⁡ ( n ) + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ( 1 2 n + 1 ) 2 k + 1 . {\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.} Αν ο λογάριθμος ενός μεγάλου ακεραίου n είναι γνωστός, τότε αυτή η σειρά μπορεί να αποδώσει μία ταχέως συγκλίνουσα σειρά για το log(n+1).