The proof of Hilbert reciprocity reduces to checking a few special cases, and the non-trivial cases turn out to be equivalent to the main law and the two supplementary laws of quadratic reciprocity for the Legendre symbol.
Η απόδειξη του Hilbert μειώνει αισθητά τον έλεγχο μερικών ειδικών περιπτώσεων, και οι μη-τετριμμένες περιπτώσεις,αποδεικνύεται να είναι ισοδύναμο με το κύριο νόμο και των δύο συμπληρωματικών νόμων της τετραγωνική αμοιβαιότητας για το σύμβολο Legendre.