Turán also showed that a somewhat weaker assumption, the nonexistence of zeros with real part greater than 1+N−1/2+ε for large N in the finite Dirichlet series above, would also imply the Riemann hypothesis, but Montgomery (1983) showed that for all sufficiently large N these series have zeros with real part greater than 1 + (log log N)/(4 log N).
Ο Τουράν έδειξε επίσης ότι μία κάπως ασθενέστερη υπόθεση, η ανυπαρξία των μηδενικών με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από το 1+N−1/2+ε για μεγάλο "Ν" στην πεπερασμένη σειρά Dirichlet παραπάνω, συνεπάγεται επίσης την υπόθεση Ρίμαν, αλλά ο Montgomery (1983) έδειξε ότι για όλα τα αρκετά μεγάλα  N οι σειρές αυτές έχουν μηδενικά με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1 + (log log N)/(4 log N).