By integrating both sides, any function satisfying the differential equation must also satisfy the integral equation y ( t ) − y ( t 0 ) = ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s . {\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.} A simple proof of existence of the solution is obtained by successive approximations.
Ολοκληρόνωντας και τις δύο πλευρές, κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση, πρέπει επίσης να ικανοποιεί και την ολοκληρωτική εξίσωση y ( t ) − y ( t 0 ) = ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s . {\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.} Μια απλή απόδειξη της ύπαρξης της λύσης προκύπτει από διαδοχικές προσεγγίσεις.