The invariance under diffeomorphims (or coordinate change) of the half-integer Sobolev spaces on the circle follows from the fact that an equivalent norm on Hk + ½(T) is given by ‖ f ‖ 2 = ‖ f ‖ ( k ) 2 + ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π | f ( k ) ( s ) − f ( k ) ( t ) | 2 | e i s − e i t | 2 d s d t . {\displaystyle \|f\|_{}^{2}=\|f\|_{(k)}^{2}+\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f^{(k)}(s)-f^{(k)}(t)\right|^{2}}{\left|e^{is}-e^{it}\right|^{2}}}\,ds\,dt.} It is also a consequence of the properties of τ and E (the "trace theorem").
Αφηρημένα,i.e., μια παραμετρική καμπύλη γ: I → M είναι μια ευθεία γραμμή, αν διάνυσμα εφαπτομένης του παραμένει παράλληλο και equipollent με τον εαυτό του όταν μεταφέρεται κατά μήκος της γ.Από τη γραμμική άποψη, μια σύνδεση affine Μ διακρίνει τα geodesics affine με τον ακόλουθο τρόπο: μια ομαλή καμπύλη γ: I → Μ είναι affine γεωδαιτικής αν \ dot \ gamma είναι παράλληλο μεταφέρεται κατά μήκος γ, δηλαδή τ t s γ ˙ ( s ) = γ ˙ ( t ) {\displaystyle \tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)} όπου τts: TγsM → TγtM είναι η παράλληλη μεταφορά χάρτη που ορίζει τη σύνδεση.