STATISTIKA DAN PROBABILITAS (CIV -110) Statistika Inferensial : Rentang Keyakinan
P O P U L A S I Estimasi tentang parameter SAMPEL Diperoleh Statistik
Sampling dan Estimasi ALASAN MENGAMBIL SAMPLING 1. Menghubungi keseluruhan populasi memakan waktu. 2. Meneliti seluruh item di dalam populasi seringkali terlalu mahal. Dalam praktik riil, informasi mengenai mean, standar deviasi, atau bentuk populasi tidak bisa diketahui secara pasti. 3. Hasil-hasil sampel umumnya memadai. Sampling Distribution also give us the foundation that allows us to take a sample and use it to estimate a population parameter.
POPULASI Mean, µ, tidak diketahui Sampel PROSES ESTIMASI SAMPEL ACAK 𝒎𝒆𝒂𝒏 = ഥ𝑿 = 𝟓𝟎 Saya 95% yakin bahwa mean antara 40 dan 60
BAGAIMANA MENDUGA SUATU PARAMETER Harga parameter dapat diestimasikan/ diduga dengan dua cara, yakni : Point estimation (Pendugaan Titik) merupakan nilai (suatu titik) yang digunakan untuk menduga suatu titik Interval estimation (Pendugaan Interval). suatu interval yang menyatakan rentang dimana suatu parameter populasi mungkin berada Faktor-faktor yang menentukan luasnya Interval Kepercayaan 1) Besar sampel, n. 2) Keragaman populasi, biasanya σ diperkirakan oleh s. 3) Tingkat kepercayaan yang diinginkan
POINT ESTIMATION
Lower Confidence Limit Point Estimate Upper Confidence Limit Width of confidence interval Rumus umum untuk semua rentang keyakinan : C.I = Point Estimate ± (Critical Value)(Standard Error)
diketahui Confidence Interval (C.I)
Mean
Tidak diketahui Proporsi
Menghitung C.I apabila
ESTIMASI C.I UNTUK µ ( diketahui ) Apabila distribusi x diketahui, seberapa dekat µ tehadap x ? Ingin mengetahui probabilitas nilai sebenarnya µ terletak antara (x-c) dan (x+c) lihat gambar ഥ𝑿 − 𝑪𝟐 ഥ𝑿 − 𝑪𝟏 ഥ𝑿 ഥ𝑿 + 𝑪𝟏 ഥ𝑿 + 𝑪𝟐 50% mengandung µ 90% mengandung µ Jika c tidak terbatas probabilitas µ berada pada interval 100% TIDAK BERGUNA Jika c dibuat lebih sempit dengan nilai c kecil µ menjadi lebih tepat
Langkah kerjanya adalah sbb : 1) Tentukan probabilitas yang diinginkan ( meletakkan µ pada interval) umumnya 95% 2) Hitung berapa luas interval jika kemungkinan 95 % mengandung niai sebenarnya Interval keyakinan (confidence interval) 95 = tingkat keyakinan (confidence level) 𝑷 ഥ𝑿 − 𝒄 ≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒄 = 𝟎. 𝟗𝟓
3) Buatlah variable acak , yaitu Z : 𝑍 = ത𝑋−𝜇 𝜎2 𝑛 = 𝑛 ത𝑋−𝜇 𝜎 Z = distribusi normal mean = 0 dan varian = 1 sehingga persamaan : 𝑃 −𝑐 𝑛 𝜎 ≤ 𝑛 ത𝑋 − 𝜇 𝜎 ≤ 𝑐 𝑛 𝜎 = 0.95 𝑃 −𝑐 𝑛 𝜎 ≤ 𝑍 ≤ 𝑐 𝑛 𝜎 = 0.95 Dari tabel dapat diketahui nilai a = 1.96 Terdapat 95% kemungkinan nilai sebenarnya µ akan berada pada diantara ҧ𝑥 − 1,96 Τ𝜎 𝑛 dan ҧ𝑥 + 1,96 Τ𝜎 𝑛 Confidence interval untuk rata-rata pupulasi bila diketahui ഥ𝑿 ± 𝐳 𝝈 𝒏 ҧ𝑥 = nilai rata-rata sampel 𝑧 = nilai untuk confidence level tertentu 𝜎 = standar deviasi populasin 𝑛 = jumlah sampel yang diamati −𝑐 𝑛 𝜎 = a
Contoh Soal American Management Association ingin memiliki informasi rata-rata pendapatan manajer toko di industri eceran. Sampel acak 256 manajer menyataka ratarata sampelnya $45.420. Standar deviasi populasi ini adalah $2.050 Berapa rata-rata populasinya? Pada kasus ini, kita tidak tahu. Kita hanya tahu ratarata sampel $45.420. Dengan demikian, estimasi terbaik kita dari nilai populasi yang tidak dikeahui adalah angka sampel yang sesuai. Jadi, rata-rata sampel $45.420 merupakan estimasi titik dari ratarata populasi yang tidak diketahui Berapa jangkauan nilai yang tepat untuk rata-rata populasinya? Cara biasanya adalah membulatkan titik ujung menjadi $45.169 dan $45.671, ini disebut batas kepercayaan. Tingkat kepercayaan adalah 95% yaitu $45.169-$45.671. $251 disebut sebagi batas kesalahan Jika dipilih sampel 256 manajer, untuk masing2 sampel dihitung rata-ratanya dan membentuk interval kepercayaan 95%, kita dapat memperkirakan 95% interval kepercayaan ini memuat rata-rata populasi.
ESTIMASI C.I untuk µ ( tidak diketahui ) t - distribution Pada kebanyakan situasi sampling standar deviasi (σ) tidak diketahui. "Manager SDM PT.Anti Tekor ingin memperkirakan rata-rata jumlah jam bekerja pegawai paruh waktu yang bekerja tiap minggu. Ia memilih sampel 30 pegawai, menghubungi setiap pegawai dan bertanya berapa jam mereka bekerja minggu lalu" Standar deviasi(σ) populasi tidak memungkinkan diketahui
Karakteristik Distribusi t 1) Distribusinya, seperti distribusi z, merupakan distribusi kontinu. 2) Distribusinya, seperti distribusi z, berbentuk lonceng dan simetris. 3) Tidak hanya ada satu distribusi t, tetapi serumpun distribusi t. Seluruh distribusi t memiliki rata-rata 0, tetapi standar deviasinya berbeda-beda sesuai ukuran sampel, n. 4) Distribusi t lebih tersebar dan lebih landai di tengah daripada distribusi normal baku. Namun, semakin ukuran sampel bertambah, distribusi t mendekati distribusi normal baku karena kesalahan dalam penggunaan s untuk memperkirakan σ menurun dengan sampel yang lebih banyak.
Komparasi distribusi z dan t jika jumlah sampel (n) kecil Menggunakan distribusi Z Jika standar deviasi populasi diketahui atau jumlah sampel > 30 Menggunakan distribusi t Jika standar deviasi populasi tidak diketahui atau jumlah sampel < 30
Kapan menentukan estimasi dengan distribusi Z atau distribusi t ???? Asumsikan populasi adalah distribusi normal Apakah standar deviasi diketahui ? Ya Tidak Gunakan z distribution Gunakan t distribution
Contoh soal Pabrik ban ingin menyelidiki tebal jejak ban-ban produksinya. Sampel 10 ban yang menempuh 50.000 mil menyatakan rata- rata sampel jejak yang membekas adalah 0,32 inci dengan standar deviasi 0,09 inci. Gunakan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi. Apakah tepat bagi pabrik untuk menyimpulkan bahwa setelah 50.000 mil rata-rata populasi jumlah jejak yang membekas adalah 0,03 inci?
ESTIMASI C.I untuk proporsi () 1. Perwakilan perusahaan menyatakan bahwa 45% penjualan Burger King dilakukan melalui drive-through. 2. Survei rumah-rumah di Chicago menunjukkan bahwa 85% bangunan memiliki ventilasi udara terpusat. 3. Survei terkini mengenai pria yang menikah di antara usia 35 dan 50 tahun menemukan bahwa 63% merasa bahwa kedua pasangan seharusnya mencari nafkah.
Untuk membuat tingkat kepercayaan terhadap proporsi, kita perlu memenuhi asumsi berikut : a. Kondisi binomial telah terpenuhi. Kondisi tersebut antara lain: Data sampel merupakan hasil penghitungan. • Hanya terdapat 2 kemungkinan hasil. • Probabilitas keberhasilan tetap sama dari satu percobaan ke percobaan berikutnya. Percobaan-percobaannya saling beba. Ini berarti hasil pada suatu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya. b. Nilai n π dan n(1-π) seharusnya lebih besar atau sama dengan 5. kondisi ini memungkinkan kita untuk menggunakan teorema limit tengah dan menerapkan distribusi normal baku, yakni, z, untuk mencapai suatu interval kemungkinan.
Sampel proporsi Confidence interval for a Population proportion 𝒑 ± 𝒛 𝒑 = 𝑿 𝒏 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝒏
Contoh soal Serikat perwakilan Bottle Blowers of America (BBA) sedang mempertimbangkan proposal untuk bergabung dengan Serikat Teamsters. Menurut anggaran rumah tangga serikat BBA, sedikitnya ¾ anggota serikat harus menyetujui merger apapun. Sampel acak 2.000 anggota BBA saat ini menunjukkan bahwa 1.600 diantaranya akan menyetujui proposal merger tersebut. Berapa estimasi proporsi dan populasinya? Gunakan interval kepercayaan 95%. Dengan mendasarkan keputusan anda pada informasi sampel ini, dapatkah anda mengambil kesimpulan bahwa terdapat cukup proporsi dari populasi yang mendukung merger? Mengapa?
Menentukan ukuran sampel yang tepat Tiga faktor yang menentukan ukuran suatu sampel, walaupun tidak ada satupun yang berhubungan langsung dengan ukuran suatu populasi 1. Level of confidence yang diharapkan 2. Batas kesalahan (margin error) yang ditoleransi peneliti 3. Variasi dari populasi yang diamati 𝒏 = 𝒛. 𝝈 𝑬 𝟐 n = jumlah sampel z = nilai distribusi normal yang diharapkan pada tingkat keyakinan = standar deviasi E = maksimum error yang diijinkan
Contoh soal
Menentukan ukuran sampel yang tepat dari proporsi 𝒏 = 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝒁 𝑬 𝟐