MATERI I STATISTIKA Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, analisis data, dan penarikan kesimpulan dari hasil analisis serta menentukan keputusan. Metode statistik adalah prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian analisis dan penafsiran data.Statistika adalah bagian dari matematika yang secara khusus membicarakan cara-cara pengumpulan, analisis dan penafsiran data. Dengan kata lain, istilah statistika di sini digunakan untuk menunjukan tubuh pengetahuan (body of knowledge) tentang cara- cara penarikan sampel (pengumpulan data), serta analisis dan penafsiran data. (Furqon, 1999:3).Gasperz (1989:20) juga menyatakan bahwa "statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan serta penganalisisannya, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta yang ada". Somantri (2006:17) juga menyatakan hal yang sama bahwa "statistika dapat diartikan sebagai Ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang bagaimana cara kita mengumpulkan,mengolah, menganalisis dan menginterpetasikan data sehingga dapat disajikan lebih baik".Ketiga pengertian statistika tersebut sama halnya dengan pengertian ilmu statistik 1
yaitu "Ilmu Statistikadalah kumpulan dari cara-cara dan aturan- aturan mengenai pengumpulan, pengolahan, penafsiran dan penarikan kesimpulan dari data berupa angka-angka" (Pasaribu, 1975:19). Jadi statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang cara dan aturan pengumpulan, pengolahan, penganalisaan. A. PENGERTIAN DATA Data adalah sekumpulan keterangan ataupun fakta yang dibuat dengan kata-kata, kalimat, simbol, angka, dan lainnya. Data disini didapatkan melalui sebuah proses pencarian dan juga pengamatan yang tepat berdasarkan sumber-sumber tertentu. Adapun pengertian lain dari data yaitu sebagai suatu kumpulan keterangan atau deskripsi dasar yang berasal dari obyek ataupun kejadian. Dimana di dalam kumpulan keterangan tersebut diperoleh dari hasil pengamatan yang selanjutnya diolah menjadi bentuk lain yang lebih kompleks. Baik berupa informasi, database, dan lainnya.Apabila ditinjau secara bahasa, kata data yaitu berasal dari Bahasa Latin, yakni "Datum" yang artinya sesuatu yang diberikan. Dari istilah itu, maka bisa kita jumpai arti data yang adalah hasil dari pengukuran atau pengamatan suatu variabel tertentu dalam 2
bentuk kata-kata, warna, angka, simbol, dan keterangan lain.Perhatikan tabel berikut ini. Daftar Siswa dan Mata Pelajaran yang Disukai No Nama Siswa Mata Pelajaran yang Disukai 1. Ayu IPS 2. Wibi Matematika 3. Riski IPA 4. Nina Matematia 5. Novi Matematika 6. Filza Matematika 7. Ari IPA Dengan mengamati tabel di atas, informasi yang didapat adalah : 1. Mata pelajaran yang sangat disukai anak-anak adalah matematika, 2. Anak-anak menyukai pelajaran Matematika, IPA, dan IPS. Informasi tentang mata pelajaran yang sangat disukai siswa adalah mata pelajaran matematika. Ini merupakan fakta tunggal, 3
yang demikian disebut datum. Sedangkan mata pelajaran IPA, IPS, dan Matematika adalah mata pelajaran yang disukai siswa, yang demikian disebut data. Jadi, dapat disimpulkan : 1. Datum adalah informasi atau fakta tunggal dari objek yang diamati. 2. Data adalah informasi keseluruhan dari data objek yang diamati. 3. Data merupakan kumpulan dari datum. Data dibagi menjadi 2, yaitu: 1. Data Kualitatif adalah data yang hasilnya tidak berupa bilangan, tetapi berupa sifat, dan karakteristik. misalnya : warna, kesukaan, dan status seseorang. 2. Data Kuantitatif adalah data yang hasilnya berupa bilangan. Misalnya : luas kebun, dan tinggi siswa. B. POPULASI DAN SAMPEL 1. Populasi adalah keseluruhan objek yang menjadi target penelitian. 2. Sampel adalah bagian dari populasi yang diolah untuk menyimpulkan keadaan populasi. C. MENGUMPULKAN DATA Mengumpulkan data dapat dilakukan dengan 3 metode, yaitu: 4
a. Metode wawancara b. Metode angket c. Metode observasi D. PENGOLAHAN DATA 1. Ukuran Pemusatan Data Data dengan satu variabel, seperti nilai ujian disebut data univariat. Untuk menggambarkan data-data tersebut akan lebih mudah jika diwakili dengan hanya satu bilangan saja.Bilangan ini disebut sebagai ukuran tendensi sentral, karena merupakan pusat atau tengah data. Ukuran tendensi sentral yang paling umum digunakan adalah mean, median,dan modus. Mean, modus,dan median dikenal sebagai ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral), di mana ketiga nilai (ukuran) statistik tersebut digunakan untuk mewakili sepe- rangkat data, karena kecenderungan dari nilai-nilai tersebut akan memusat pada bagian tengah dari suatu perangkat data. Dengan demikian, mean, modus, dan median dapat memberikan gambaran umum tentang data yang diperoleh. Ketiga nilai (ukuran) statistik di atas dapat memberikan informasi yang berguna sebagai bekal untuk melakukan tahapan kegiatan analisis data berikutnya yang mengarah pada keperluan penafsiran maupun penarikan kesimpulan dalam sebuah penelitian. 5
Sebuah taman hiburan merancang sebuah wahana baru untuk anak-anak berusia lebih dari 3 sampai 8 tahun.Agar wahana dapat dimanfaat secara maksimal, maka dilakukan survei tinggi dan berat badan 1.000 anak-anak dalam kelompok usia tersebut.Survei bertujuan untuk menentukan batasan tinggi dan berat badan anak yang naik wahana yang akan dibuat. Batasan itu perlu ditentukan menggunakan ukuran tendensi sentral yang tepat agar lebih banyak anak bisa menikmati wahana tersebut. Bagaimana cara mengukur tendensi sentral berupa mean, median, dan modus? Bagaimana cara menentukan ukuran tendensi sentral yang tepat untuk suatu masalah/data? Perhatikan uraian berikut! a. Mean (Rata-rata) Mean (rata-rata) merupakan ukuran pemusatan data yang paling dikenal dan paling banyak digunakan. Mean adalah nilai rata-rata dari sekumpulan data yang diperoleh dari pembagian jumlah seluruh nilai dari sekumpulan data dibagi banyaknya data. Contoh soal: Widi mendapat nilai keempat pelajaran UN adalah 90, 86, 84, dan 92. Berapa nilai rata-ratanya? Jawab: 6
Nilai rata-rata (mean)=𝑥 = 𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛 𝑛 = 90+86+84+92 4 = 352 4 = 88 Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa: Jika suatu data 𝑥1, 𝑥2, ... 𝑥𝑛 , maka rata-rata (mean) data tersebut yang disimbolkan 𝑥 (dibaca: "x bar") sehingga dapat dituliskan dengan rumus: 𝑿 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 𝒏 = 𝒏 𝑿𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 , 𝒏 ≠ 𝟎 atau 𝑿 = 𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐬𝐞𝐦𝐮𝐚 𝐧𝐢𝐥𝐚𝐢 (𝐮𝐤𝐮𝐫𝐚𝐧) 𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐧𝐢𝐥𝐚𝐢 (𝐮𝐤𝐮𝐫𝐚𝐧) Keterangan: 𝑋 = rata-rata hitung 𝑥𝑖= nilai sampel ke i n = jumlah sampel Contoh soal: Misalkan diberikan data pengukuran berat badan 10 siswa kelas VIII E SMP Taruna (dalam kg) sebagai berikut. 7
155 147 160 158 156 154 Jawab: Mean dari data di atas adalah 𝑥 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑛 = 155 + 147 + 160 + 158 + 156 + 154 6 = 930 6 = 155 Contoh soal: Di suatu tempat lima orang wisatawan dengan tinggi badan diukur sampai cm terdekat dengan hasil pengukuran masing-masing adalah 165 cm, 160 cm, 169 cm,164 cm,dan 158 cm. Jawab: Pada permasalahan di atas, jika kalian menghitung dengan teliti, maka akan diperoleh tinggi badan rata-rata kelima orang tersebut sebagai berikut. 8
Tinggi badan rata-rata = 165+ 160+ 169+ 164+158 5 = 816 5 = 163,2 cm. Selanjutnya, perhatikan data yang disajikan dalam bentuk tabel (daftar) frekuensi berikut! Nilai 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ... Frekuensi 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 ... Frekuensi × 𝑓1𝑥1 𝑓2𝑥2 𝑓3𝑥3 𝑓4𝑥4 ... Nilai Untuk mempermudah menghitung nilai mean, dilengkapi dengan baris ketiga yang berisikan hasil perkalian frekuensi dan nilai. Selanjutnya, untuk menentukan mean dari data tersebut, dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. 𝑿 = 𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 (𝒇𝒓𝒆𝒌𝒖𝒆𝒏𝒔𝒊 × 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊) 𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒇𝒓𝒆𝒌𝒖𝒆𝒏𝒔𝒊 Contoh soal: 9 𝑥𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑥𝑛 tabel
Tinggi yang dicapai seorang atlet loncat tinggi dalam enam kali loncatan berturut-turut adalah 2,05 m, 2,10 m, 1,95 m, 1,85 m, 2,20 m, dan 2,15 m. Hitunglah rata-rata tinggi loncatan yang dicapai atlet tersebut! Jawab: Banyak loncatan = 6 kali, maka 𝑛 = 6. Tinggi rata-rata loncatan (mean) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 𝑛 = 2,05 + 2,10 + 1,95 + 1,85 + 2,20 + 2,15 6 = 12,30 6 = 2,05 𝑚 b. Median/Nilai Tengah (Me) Jika seperangkat data sudah diurutkanmulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, kemudian dibagi menjadi dua bagian yang sama, maka nilai data yang terletak di tengah disebut median. Dengan demikian, 10
median dapat diartikan sebagai nilai (ukuran) yang menjadi pembatas pada seperangkat data sehingga menjadi dua bagian, di mana separuh dari data tersebut mempunyai nilai yang lebih dari mediannya dan separuhnya lagi mempunyai nilai yang kurang dari mediannya. Median adalah nilai data yang terletak tepat di tengah- tengah jika banyak datum ganjil. Misalnya pada data 3, 5, 7, 8, dan 9, maka median = 7, di mana pada sebelah kiri median (7) terdapat dua nilai, yaitu 3 dan 5, dan sebelah kanan median terdapat dua nilai, yaitu 8 dan 9. 1) Median untuk jumlah data (n) ganjil Me = data urutan ke- 𝑛+1 2 2) Median untuk jumlah data (n) genap Me = 𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 2 𝑛 +𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 2 2 +1 Keterangan: Me = Median n = jumlah data Jika data telah disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka median dari seperangkatdata tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut. 11
1. Menentukan jumlah frekuensinya (banyak datum),misalnya n! 2. Menentukan urutan keberadaan nilai median berdasarkan data yang diketahui, yaitu: a. Jika banyak datum (nilai) ganjil, maka median adalah nilai ke- 𝑛 +1 2 . b. Jika banyak datumgenap, maka median adalah 𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒 − 2 𝑛 +𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒 − 2 +1 2 Contoh soal: 1) Data nilai ulangan matematika dari beberapa siswa adalah: 70, 60, 70, 75, 80, 60, 80. Tentukan nilai median dari data tersebut! Jawab: Data diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar sebagai berikut. 60, 60, 70, 70, 75, 80, 80 Jadi, nilai mediannya adalah 70. 2) Diketahui data sebagai berikut. 65, 80, 65, 85, 80, 80. Tentukan nilai median dari data tersebut! Jawab: 12
Data diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar sebagai berikut. 65, 65, 80, 80, 80, 85 Karena urutan posisi tengah ada pada data antara posisi ke 3 dan ke 4 maka median nya adalah Me = 80+80 2 = 160 2 =80 Jadi, nilai mediannya adalah 80. c. Modus (Mo) Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan istilah "mode",yang berarti cara,gaya, model, atau bentuk terbaru yang berkaitan dengan model pakaian, potongan rambut,model rumah, dan sebagainya.Model pakaian dan potongan rambut merupakan mode yang banyak disukai oleh kalangan remaja, sedangkan model rumah banyak diminati para konsumen tingkat dewasa. Mode merupakan suatu fenomena yang disukai oleh kalangan orang banyak.Oleh karena itu, fenomena yang berkaitan dengan mode tersebut dapat kita jumpai di berbagai tempat dan dapat menjadi kejadian yang sering terjadi. 13
Dari uraian di atas, untuk menyatakan kecenderungan fenomena yang paling banyak/sering terjadi digunakan istilah modus (bentuk jamak dari mode). Misalnya kita mendapat informasi yang menyatakan bahwa kecelakaan lalu lintas di jalan raya umumnya terjadi karena kelalaian pengemudi atau pengemudi yang mabuk. Berdasarkan informasi ini, berarti modus penyebab kecelakaan lalu lintas di jalan raya adalah kelalaian pengemudi atau pengemudi yang mabuk sehingga dapat disimpulkan bahwa modus adalah nilai dari sekumpulan data yang sering muncul. Contoh soal: Mahesayu melempar mata dadu 10 kali diperoleh databerikut. 6, 2, 4, 3, 3, 3, 1, 1, 3, 2. Modus dari data tersebut adalah Jawab: Dari data, modus nya adalah 3, karena mata dadu angka 3 muncul sebanyak 4 kali. d. Kuartil Pada subbab sebelumnya telah dipelajari bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama. Jika data yang telah diurutkan kita bagi 14
menjadi empat bagian yang sama, maka akan terdapat tiga nilai yang disebut Kuartil. Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan ke dalam 4 bagian yang sama besar. Kuartil dinotasikan dengan notasi Q. Kuartil terdiri dari 3 kuartil, yaitu Kuartil pertama atau kuartil bawah dilambangkan dengan Q1, kuartil kedua atau kuartil tengah (median) dilambangkan dengan Q2, dan kuartil ketiga atau kuartil atas dilambangkan dengan Q3· Kuartil-kuartil pada suatu data dapat kita tentukan dengan langkah-langkah berikut. i) Urutkan data menurut garis lurus! ii) Tentukan kuartil tengah Q2, atau mediannya! iii) Tentukan kuartil bawah Q1, yang terletak di tengah- tengah antara nilai terendah dan Q2! iv) Tentukan quartil atas Q3 yang terletak di tengah- tengah antara Q2 dan nilai tertinggi! Contoh soal: 1) Tentukan kuartil-kuartil dari data 2, 3, 6, 8, 7, 5, 8. Jawab: Data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar 2, 3, 5, 6, 7, Jadi, 𝑄1= 3, 𝑄2= 6, 𝑄3= 8 2) Tentukan kuartil-kuartil dari data 2, 3, 5, 9, 8, 7, 8, 6, 9. 15
Jawab: Data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar 2, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 Jadi, 𝑄1 =3+5 2 𝑄2=7 𝑄3=8+9 2 =8 2 =17 2 = 4 =8,5 2. Ukuran Penyebaran Data Pada subbab di muka, telah kita pelajari bahwa ukuran pemusatan mean, modus, dan median merupakan nilai-nilai statistik yang dapat dipakai untuk mendapatkan gambaran mengenai seperangkat data. Namun, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas lagi mengenai kevalidan suatu data, maka perlu diperluas dengan materi tentang penyebaran (pencaran) data. Sebagai contoh, nilai IQ sering kali digunakan untuk menilai seberapa cerdas seseorang. Menurut teori, makin tinggi nilai IQ seseorang, makin cerdas orang tersebut. Menariknya bahwa nilai IQ masyarakat berbentuk kurva lonceng yang artinya kebanyakan orang mempunyai IQ sedang. Pada kenyataannya 50% masyarakat mempunyai nilai 16
IQ an-tara 90-110. Rata-rata IQ adalah 100 dan sebarannya sekitar 15. Hanya sedikit orang yang mempunyai IQ Iebih besar atau lebih kecil dari dua kali sebaran di atas atau di bawah rata-rata. Apa saja jenis sebaran data? Bagaimana mengukur sebaran data? Ukuran penyebaran menggambarkan bagaimana penyebaran data di sekitar pusat data, dalam hal ini adalah mean data. Berikut adalah beberapa ukuran penyebaran data akan kita bahas. a. Jangkauan (Range) Jangkauan data adalah selisih nilai tertinggi dengan nilai terendah dari suatu data. Jangkauan sering juga disebut rentang atau range. Jangkauan dapat dirumuskan sebagai: Jangkauan (range) = nilai tertinggi - nilai terendah Contoh Soal: Tentukan jangkauan data 4, 7, 6, 10, 5, 8, 6, 9, 12, 7, 8! Jawab: Data tertinggi (terbesar) = 12 Data terendah (terkecil) = 4 Jadi, jangkauan atau rentang data tersebut = 12 - 4 = 8 17
b. Jangkauan Interkuartil Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas 𝑄3 dengan kuartil bawah 𝑄1. Jangkauan interkuartil dapat dirumuskan sebagai: Jangkauan Interkuartil = Kuartil atas - Kuartil bawah Contoh Soal: Tentukan jangkauan interkuartil dari 6, 7, 9, 5, 8, 7, 10, 9, dan 7 Jawab: Data kita urutkan, kemudian kita bagi menjadi dua bagian, yaitu: 5 6 7 7 7 8 9 9 10 ↓ 𝑄2 Data di sebelah kiri dan kanan 𝑄2 kita bagi lagi menjadi dua bagian, yaitu: 5 6 7 7 7 8 9 9 10 ↓ ↓ ↓ 𝑄1 Kuartil bawah (Q1) = 6+7 2 𝑄2 = 6,5 𝑄3 18
Kuartil atas (Q2) = 9+9 2 = 9 Jadi, jangkauan interkuartilnya = 9 - 6,5 = 2,5. c. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil atau jangkauan semiinterkuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil. jangkauan semiinterkuartil dinotasikan dengan 𝑄𝑑 maka 𝑸𝒅 = 𝟏 𝟐 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 Keterangan: 𝑄3 = Kuartil atas 𝑄1 = Kuartil bawah Contoh Soal: Tentukan jangkauan interkuartil dari 6, 7, 9, 5, 8, 7, 10, 9, dan 7 Jawab: Data kita urutkan, kemudian kita bagi menjadi dua bagian, yaitu: 5 6 7 7 7 8 9 9 10 ↓ 19 Jika
𝑄2 Data di sebelah kiri dan kanan 𝑄2 kita bagi lagi menjadi dua bagian, yaitu: 5 6 7 7 7 8 9 9 10 ↓ ↓ ↓ 𝑄1 𝑄2 𝑄3 Kuartil bawah (Q1) = 6+7 2 = 6,5 Kuartil atas (Q2) = 9+9 2 = 9 Jadi, simpangan kuartilnya adalah = 1 2 9 - 6,5 = 1,25. 20
MATERI II PELUANG Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. A. SEJARAH PELUANG Konsep peluang telah muncul ribuan tahun yang lalu, namun sebagai cabang matematika baru terlihat jelas pada pertengahan abad ke-17 M. Akan tetapi, pada abad ke-15 telah muncul beberapa karya terkait peluang. Tahun 1494, Luca Pacioli menulis buku pertama tentang peluang. Tahun 1550, Gerolamo Cardano menulis buku Liber de Ludo Aleae (buku tentang permainan peluang). Pada pertengahan abad ke-17, Blaise Pascal berkorespondensi dengan Chevalier de Mere. Dari sinilah, Pascal kemudian mengembangkan teori peluang dan berkorespondensi dengan matematikawan Pierre de Fermat tahun 1654. Mereka berdua inilah yang kemudian dikenal sebagai peletak dasar teori peluang. Buku Jakob Bernoulli yaitu Ars Conjectandi serta buku Abraham de Moivre yaitu The Doctrine of Chances menjadi sumber terpenting dalam materi peluang. 21
Teori peluang dan statistika pada masa selanjutnya saling berhubungan erat dalam topik distribusi data. Nama-nama seperti Fisher, Markov, Neyman banyak memberi kontribusi. Namun kajian secara deduktif aksiomatis terhadap Teori Peluang pertama kali diberikan oleh Kolmogorov tahun 1931. Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano. Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian dan merupakan salah seorang dari bapak probability. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Meremenemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623- 1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu 22
Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. B. PENGERTIAN PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, DAN TITIK SAMPEL 1. Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan. 2. Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Contoh Soal: Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali, tentukan: 1) Ruang sampel 2) Kejadian muncul bilangan ganjil 3) Kejadian muncul bilangan prima Jawab: 1) Hasil yang mungkin adalah muncul angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, jadi ruang sampelnya S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) Kejadian muncul bilangan ganjil K={1, 3, 5} 3) Kejadian muncul bilangan prima K={2, 3, 5} 23
C. MENENTUKAN PELUANG SUATU KEJADIAN SECARA TEORITIK Peluang teoritik adalah perbandingan antara frekuensi kejadian yang diharapkan terhadap frekuensi kejadian yang mungkin (ruang sampel). Biasanya peluang teoritik digunakan saat percobaan yang dilakukan hanya satu kali. Hal ini dapat dirumuskan sebagai: P(A) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) Keterangan: P(A) = Peluang kejadian A n(A) = Banyaknya titik sampel kejadian A n(S) = Banyaknya kejadian yang mungkin Contoh Soal: Pada pelemparan sebuah mata uang logam, tentukan nilai peluang muncul gambar (G) ! Jawab: A = kejadian muncul gambar {G} maka n(A) = 1 S = ruang sampel = {G, A} maka n(S) = 2 Jadi, peluang muncul gambar = P(K) = 𝑛 (𝐴) 𝑛(𝑆) = 1 2 24
D. MENENTUKAN PELUANG SUATU KEJADIAN SECARA EMPIRIKDAN MEMBANDINGKANNYA DENGAN PELUANG SECARA TEORI Peluang empirik atau frekuensi relatif muncul gambar pada percobaan dapat dicari dengan ketentuan: Frekuensi relatif muncul gambar = 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒏𝒈 𝒎𝒖𝒏𝒄𝒖𝒍 𝒈𝒂𝒎𝒃𝒂𝒓 𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒍𝒆𝒎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒏 Percobaan I II III IV Banyaknya lemparan 25 50 75 100 Seringnya muncul 10 30 41 51 gambar (G) Frekuensi nisbi 0,40 0,40 0,40 0,51 muncul gambar (G) Jika kita amati gambar di atas, nilai peluang empirik atau frekuensi relatif muncul gambar nilainya mendekati suatu garis konstan yang nilainya ternyata dengan memperhatikan gambar tampak bahwa: 25
1. Frekuensi nisbi atau relatif muncul gambar nilainya berkisar di sekitar 0,5 atau 1 2 . Hal ini berarti peluang empirik atau frekuensi relatif hasilnya mendekati peluang teoritis. 2. Frekuensi nisbi muncul gambar nilai paling besar 1. 3. Frekuensi nisbi muncul gambar nilai paling kecil 0. E. MENENTUKAN NILAI PELUANG SUATU KEJADIAN Coba perhatikan peluang pada pelemparan uang logam. Kamu mungkin berharap muncul gambar atau angka, maka nilai peluangnya 1 (terbesar) disebut kepastian. Sebaliknya, jika kamu berharap tidak muncul gambar atau angka, maka nilai peluangnya 0 (terkecil) disebut kemustahilan. Dari uraian ini dapat disimpulkan bahwa nilai peluang suatu kejadian A besarnya berkisar dari 10 sampai dengan 1, ditulis 0 < P(A) < 1 Untuk: P(A) = 1.Nilai peluang suatu kejadian A yang pasti terjadi di sebut kepastian; P(A) = 0. Nilai peluang suatu kejadian A yang mustahil terjadi disebut kemustahilan. 26
Jika suatu kejadian adalah A, maka berlaku: P(A) + P (bukan A) = 1 P(A) + P(A`) = 1 Contoh Soal: Jika sebuah dadu dilempar, tentukan nilai peluang muncul mata dadu 3 dan mata dadu bukan 3! Jawab: P(mata dadu 3) = 1 6 P(mata dadu bukan 3) = 5 6 ,sehingga P(mata dadu 3) + P(mata dadu bukan 3) = 1 6 +5 6 = 1 Jadi, peluang muncul mata dadu 3 dan mata dadu bukan 3 adalah 1. 27
RANGKUMAN Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data, meliputi: 1. Ukuran Pemusatan Data a. Mean (nilai rata-rata) b. Median (nilai tengah) c. Modus (nilai yang sering muncul) d. Kuartil 2. Ukuran Penyebaran Data a. Jangkauan (Range) b. Jangkauan Interkuartil c. Simpangan Interkuartil Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi, meliputi: 1. Ruang sampel 2. Titik sampel 3. Peluang suatu kejadian Setiap kejadian atau percobaan yang sedang kamu lakuin mempunyai kemungkinan hasil atau peristiwa yang bakalan terjadi. 28
Hasil dari setiap perlakuan yang kamu lakuin memiliki hasil yang sulit untuk ditentukan.Kumpulan dari beberapa titik sampel yang mungkin terjadi dalam peluang disebut sebagai ruang sampel. Karena ruang sampel biasanya mengandung jumlah atau banyaknya titik sampel, biasanya disimbolkan n(S) dengan n adalah banyak titik sampel dalam ruang sampel. Peluang kejadian majemuk memiliki beberapa bagian seperti dua kejadian sembarang, komplemen kejadian, dua kejadian saling lepas, dua kejadian saling bebas, dan dua kejadian bersyarat. Dalam peluang matematika, kemungkinan yang tidak mungkin terjadi disebut sebagai peluang komplemen.Seberapa besar atau banyaknya kejadian yang muncul dalam peluang biasanya disebut sebagai frekuensi harapan.Peluang kejadian majemuk memiliki beberapa bagian seperti dua kejadian sembarang, komplemen kejadian,, dua kejadian saling lepas, dua kejadian saling bebas, dan dua kejadian bersyarat. 29
SOAL-SOAL PELUANG DAN STATISTIKA A. Peluang suatu kejadian 1. Dilakukan pelemparan dua buah dadu, berapa kejadianmuncul matadadu berjumlah 4? Pembahasan: Diketahui: Ruang sampel = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Ditanya : berapa kejadian muncul mata dadu berjumlah 4? Jawab: Muka dadu berjumlah 4 = {(1,3), (2,2), (3,1)} Banyak kejadian = 4 2. Sebuah dadu dilempar sebanyak 25 kali, ternyata muncul muka dadu bernomor 5 sebanyak 4 kali. Berapa frekuensi relatif munculnya angka 5? Pembahasan : Diketahui : Banyak kejadian yang muncul = 4 Banyak percobaan yang dilakukan = 25 30
Ditanya: berapa frekuensi relative muncul angka 5? Jawab: Frekuensi relative = banyaknya kejadian yang muncul banyak percobaan yang dilakukan = 4 25 3. Yani melambungkan sekeping koin dan memutar sebuah spinner yang memiliki tiga warna (kuning, ungu, dan coklat) secara sekaligus. a. Apa ruang sampel hasil pelambungan koin? b. Apa ruang sampel dari pemutaran spinner? c. Berapakah peluang kejadian muncul angka pada koin dan jarum spinner menunjuk warna coklat? d. Gambarkan diagram yang dapat membantu kita untuk menentukan ruang sampel dari pelambungan koin dan pemutaran spinner tersebut. Pembahasan: a. Ruang sampel dari pelambungan sekeping koin memiliki dua sisi yaitu angka dan gambar. Jadi, ruang sampel = {A,G} b. Ruang sampel dari hasi pemutaran spinner memiliki tiga warna yaitu kuning, ungu,dan coklat. Jadi, ruang sampel = {kuning, ungu, coklat} 31
c. Peluang kemunculan angka pada pelambungan koin adalah P(A) = n(A) n(S) = 1 2 Peluang ditunjukannya warna biru oleh jarum spinner adalah P(A) = n(A) n(S) =1 3 jadi, peluang kedua kejadian tersebut terjadi adalah P(A) = 1 2 1 = 1 6 × 3 a. Kuning A ungu coklat kuning G ungu Coklat 32
4. Nenek membeli telur sebanyak 400 butir. Ternyata 40 butir telur pecah. Jika sebutir telur diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya telur pecah? Pembahasan : Diketahui : Banyaknya kejadian yang dimaksud = 40 Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi = 400 Ditanya : Berapa peluang telur pecah? Jawab : Peluang terambilnya telur pecah banyaknya kejadian yang dimaksud : banyaknya kejadian yang mungkin terjadi : 40 400 : 4 40 : 1 10 5. Tiga0belas0kartu0diberi0nomor 10sampai013.0Kartu-kartu tersebut dikocok kemudian diambil 1 kartu secara acak. Berapa peluang terambilnya kartu bernomor ganjil? Pembahasan : Diketahui : Ruang sampel : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} n(S) : 13 Kartu bernomor ganjil A : {1,3,5,7,9,11,13} 33
n(A) : 7 ditanya jawab : P(A)? : P(A) :𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) : 7 13 6. Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 20 kelereng hijau, 15 kelereng ungu. Jika sebuah kelereng diambil secara acak, berapa peluang terambilnya kelereng berwarna merah? Pembahasan : Diketahui : Banyak kejadian yang dimaksud : 10 kelereng merah, 20 kelereng hijau dan15 kelereng ungu. Banyak kejadian yang mungkin terjadi : 10+20+15 : 45 Ditanya : Peluang terambilnya kelereng merah? Jawab : Peluang terambilnya kelereng merah : banyak kejadian yang dimaksud banyak kejadian yang mungkin terjadi = 10 45 =2 9 7. Dalam sebuah kotak terdapat 8 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Berapa peluang mengambil 4 kelereng merah sekaligus? 34
Pembahasan : Diketahui : kelereng merah : 8 Kelereng biru : 4 Ditanya : Berapa peluang mengambil 4 kelereng merah sekaligus? Jawab : Cara agar terambilnya 4 kelereng merah : nK= 8C4 8! 4! 8−4 ! = 8×7×6×5×4! 4×3×2×1×4! C(8,4) = = 6720 96 = 70 Banyak cara agar terambil 4 kelereng merah dari seluruh kelereng 12 buah. n(S) = C(12,4) C 12,4 = n! k! n−k ! = 12! 4! 12−4 ! = 12×11×10×9×8! 4×3×2×1×8! 35
= 95040 192 = 495 Peluang terambil 4 kelereng merah sekaligus P(K) = n K n S = 70 495 =14 99 8. Dalam sebuah toples terdapat 8 kelereng ungu dan 3 kelereng hijau. Akan di ambil 5 kelereng sekaligus. Berapa peluang terambilnya 3 kelereng ungu dan 2 kelereng hijau? Pembahasan : Diketahui : kelereng ungu : 8 Kelereng hijau: 3 Ditanya : Berapa peluang terambilnya 3 kelereng ungu dan 2 kelereng hijau? Jawab : Cara agar terambilnya 3 kelereng ungu dari 8 kelereng:𝐶 8,3 36
𝐶 8,3 : 8! 3!.5! :1680 30 : 56 Terambilnya 2 kelereng hijau dari 3 kelereng = 𝐶 3,2 𝐶 3,2 : 3! 2!.1! : 6 2 : 3 Cara agar terambilnya 3 kelereng ungu dan 2 kelereng putih n(K) :C 8,3 . C 3,2 :56 . 3 : 168 Cara agar terambilnya 5 kelereng dari seluruh kelereng (11 kelereng) = n(S) = C 11,5 C 11,5 : n! k n−k ! 11! 5! 11−5 ! :11×10×9×8×7×6 5×4×32×1×6 : :332640 720 : 462 Peluang terambilnya 3 kelereng ungu dan 2 kelereng hijau P(K) :168 462 : 84 231 37
9. Dari sekelompok anak, 30 gemar bahasa Inggris, 20 gemar bahasa Arab dan 10 anak gemar keduanya. dipanggil, a. Anak yang hanya gemar bahasa Inggris b. Anak yang gemar keduanya Pembahasan : Diketahui : Jumlah anak yang gemar bahasa Inggris: n(BI) : 30 - 10 :20 Jumlah anak yang gemar bahasa Arab : n(BA) : 20 - 10 : 10 Jumlah anak0di0kelompok0itu : n(S) : (30 -10) + (20 -10) + 10 : 30 38
Ditanya : a. Berapa jumlah anak yang gemar bahasa Inggris? b. Berapa jumlah anak yang gemar keduanya? Jawab: a. ah n(BI) P(BI) : 20 :20 30 :2 3 b. Jumlah anak yang menggemari keduanya adalah 10 orang P(keduanya) :10 30 = 1 3 10. 0kartu tersebut0terdiri dari 24 kartu yang telah diberi nomor 1 sampai 24. Ketika Wisnu0mengambil sebuah0kartu, tentukan peluang terambilnya: a. Kartu bernomor0bilangan0kuadrat b. Kartu bernomor0bilangan0kubik c. Kartu bernomor0kurang dari 15 dan0genap d. Kartu0bernomor0dari 8 dan0ganjil 39
Pembahasan : Diketahui : n(S) : 24 Ditanya : a. Kartu bernomor bilangan0kuadrat? b. Kartu bernomor bilangan0kubik? c. Kartu bernomor0kurang dari 15 dan0genap? d. Kartu0bernomor0dari 8 dan0ganjil? Jawab: a. Bilangan0berpangkat adalah0bilangan hasil pangkat dua A : {1,4,9,16} : 4 P(A) :n A n S : 4 24 :1 6 b. Bilangan0kubik adalah bilangan hasil0pangkat tiga B : {1,8} sehingga n(B) : 2, Peluang0terambilnya kartu0bernomor0bilangan kuadrat0adalah 40
P(B) :n B n S : 2 24 : 1 12 c. Kartu0yang dipilih0bernomor kurang0dari 130dan genap C 0: {2,4,6,8,10,12} Sehingga0n(C) :6 P(C) :𝑛 𝐶 𝑛 𝑆 : 6 24 :1 4 d. Kartu0yang dipilih0bernomor lebih0dari 8 dan ganjil D : {9,11,13,15,17,19,21,23} n(D) : 8 Peluang terambilnya kartu bernomor lebih dari 8 dan ganjil P(D) :n D n S : 8 24 :1 3 41
11. Peluang ibu Alis mengendarai motor adalah 1 4 ibu Alis mengendarai mobil adalah 1 8 11. Peluang ibu Alis mengendarai motor adalah 1 4 ibu Alis mengendarai mobil adalah 1 8 . Berapa peluang ibu Alis tidak mengendarai motor maupu mobil? Pembahasan : Diketahui : Misal : Q : motor R P(Q) P(R) Ditanya : mobil :1 4 :1 8 : P(Qc ∪ Rc)...? . Jawab : Peluang ibu Alis tidak mengendarai motor maupun mobil yang sama pada komplemen dari peluang ibu Alis mengendarai motor maupun mobil yaitu : P(Qc ∪ Rc) : 1 - P(A∪B) + 1 : 1 - (1 8 4 .) : 1 - 3 8 . :5 8 12. Dua0buah dadu0dilempar sekali. Hitunglah0peluang muncul jumlah0mata dadu0lebih dari 8. 42
Pembahasan : Diketahui : Dadu berjumlah 8, berarti boleh 9,10,11,12. MisalkanK adalah0kejadian munculnya0jumlah mata dadu09,0sehingga K :{(3,6), (6,3),0(4,5), (5,4)} n(K) :04 L adalah kejadian0munculnya jumlah mata dadu 10 L : {(4,6), (6,4), (5,5)} n(L) :03 M adalah0kejadian munculnya0jumlah mata dadu 11 M : {(5,6),0(6,5)} n(M) : 2 N adalah kejadian0munculnya jumlah0mata dadu 12 N : {(6,6)} n(N) :01 banyaknya0anggota ruang0sampel untuk02 dadu0yang masing-masingnya0memiliki06 sisi adalah0n(S)0= 6×6 = 36. Jadi peluangnya adalah P K ∪ L ∪ M ∪ N : n K +n L +n M +n N n S :4+3+2+1 36 = 5 18 :10 36 43
13. SMPN 01 Gedung Surian mempunyai 6 kelas yang jumlah siswa pada setiap kelas adalah 15 pria dan 15 wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, berapa peluang 2 orang pria yang menjadi pengurus OSIS? Pembahasan : Diketahui : Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan banyak keseluruhan susunan pengurus yang munkin dari setiap kelas ada dua kemungkinan (P atau W) adalah: n(S) : PI, PII, PIII, PIV, PV, PVI : 2.2.2.2.2.2 : 64 Ditanya: Berapa peluang 2 orang pria ysng menjadi pengurus OSIS? Jawab : Banyak kemungkinan pengurus dua orang pria , berarti pengurus terdiri dari 2 pria dan 4 wanita. n(E) 6 :C2 6! 2! 6−2 ! :6×5×4! 2×1×4! : : 15 44
n(E) : n€ n S :15 64 14. Peluang hidup seekor harimau, burung cendrawasih, dan ular disebuah kebun0binatang untuk0jangka waktu020 tahun ke0depan berturut-turut0adalah 25%, 20%, dan 15%. Peluang0bahwa hanya harimau saja yang0hidup sedangkan0burung cendrawasih dan ular keduanya0mati untuk jangka0waktu tersebut adalah? Pembahasan : Diketahui : Dalam 20 tahun ke depanPeluang harimau hidup P(H) = 25%, mati P(H') =75% Peluang burung hidup P(B) = 20%, mati P(B') = 80% Peluang ular hidup P(U) = 15%, mati P(U') = 85% Ditanya : Berapa peluang bahwa hanya harimau saja yang hidup? Jawab : P(E) : P(H) . P(B') . P(U') : 25% . 80% . 85% : 0,25 . 0,80 .0,85 : 0,17 .100 : 17% 45
15. Suatu0kelas terdiri0atas 400siswa, 25 siswa diantaranyagemar fisika dan 25 gemar0biologi. Jika dipilih0secara acak0seorang siswa. Berapakah peluang yang0terpilih adalah0siswa yang gemar0fisika dan biologi? Pembahasan : Diketahui : n(S) : 40 n(fis) : 25 n(bio) : 25 n(fis∩bio) : n(fis) + n(bio) - n(S) : 25 + 25 - 4o : 50 - 40 : 10 P(fis∩bio) :n fis∩bio n S :10 40 :1 4 16. Dari0sekelompok anak, 30 anak0gemar membaca, 25 anak0gemar menulis, dan 20 anak gemar0kedua-duanya. Jika0setiap anak mempunyai0peluang yang sama0untuk0dipanggil, maka tentuka0peluang diantaranya: 46
a. Anak yang gemar0kedua-duanya; b. Anak yang hanya0gemar membaca; Pembahasan : Diketahui : Jumlah0anak yang hanya0gemar0membaca n(M)0 : 30 - 20 :010 jumlah anak yang hanya gemar menulis n(M)0 : 25 - 20 :05 jumlah0seluruh anak dikelompok itu0adalah n(S) : (30-20) + (25-20) + 20 : 35 ditanya : a. Berapa anak yang0gemar0kedua-duanya? b. Berapa anak0yang hanya gemar0membaca? Jawab: a. Jumlah0anak yang menggemari keduanya adalah020 orang. Peluang dipanggilnya mereka adalah: n(M) n(S) :20 35 :4 7 b. Peluang0dipanggilnya anak0yang hanya0gemar membaca adalah: n M n S :10 35 :2 7 47
B. Peluang komplemen suatu kejadian 1. Peluang Zilla untuk0menjadi juara0kelas adalah 0,75. Berapakah peluang0Zilla tidak menjadi0juara kelas? Pembahasan : Diketahui : Misal : P(A) : peluang Zilla menjadi juara kelas P(A′) : peluang Zilla tidak menjadi juara kelas P(A) : 0,75 Ditanya : P(A′)...? Jawab : P(A′) : 1 - P(A) P(A′) : 1 - 0,75 : 0,25 2. Peluang turun salju dalam bulan juni adalah 0,3. Frekuensi harapan tidak turun salju dalam juni adalah... hari Pembahasan : Diketahui : P(turun salju) : 0,3 Hari dalam bulan juni : 30 hari Ditanya :...Fh? 48
Jawab : P' : 1 − P(A) :1−0,3 : 0,7 Fh P' : P' × n : 0,7× 30 = 21 3. Dedi, Indra dan Ahmad pergi ke kantin sekolah dan akan memesan jus. Kantin menyediakan 8 rasa jus berbeda. Jika masing-masing dari mereka menyukai setiap rasa jus. Berapakah peluang mereka memilih rasa jus yang berbeda? Pembahasan : Diketahui : Misalkan0(z,z,z) menyatakan0bahwa Dedi, Indra dan Ahmad sama-sama0memilih jus rasa z. Ada 10 kemungkinan memereka bertiga0memilih rasa jus yang0sama,yaitu (1,1,1), (2,2,2), ...,0dan diteruskan0sampai (8,8,8) Ditanya : Berapa peluang mereka memilih rasa jus berbeda? 49
Jawab : Banyak kemungkinan memilih rasa jus ini : 8×8×8 : 512 Dengan menggunakan konsep komplemen diperoleh P(Zc) :512−8 512 : 504 512 : 63 64 Jadi peluang mereka memilih rasa jus yang berbeda ialah 63 64 4. Keluarga pak Joko merencanakan mempunyai 40orang anak. Tentukan peluang keluarga pak joko mempunyai: a. 4 anak perempuan b. Paling sedikit 2 anak laki-laki c. Paling banyak02 anak0perempuan Pembahasan : Diketahui : n(A) : 4 orang anak Banyak titik sampel :24 =16 50
Ditanya : a. berapa peluang mempunyai 4 anak perempuan? b. berapa peluang paling0sedikit 3 anak0laki-laki? c. berapa peluang paling0banyak 3 anak perempuan? Jawab : Dalam0kasus dan0perempuan diasumsika ideal,0yaitu sama-sama 1 2 ini,0peluang kelahiran0anak a. n(4P) : {PPP} P(4P) :1 :n 4P n S : 1 6 b. ada 2 kemungkinan: 1. 3 laki-laki : {LLLP, LLPL, LPLL, PLLL} : 4 16 2. Ke 4 nya laki-laki : (LLLL) : 1 16 Jadi,0peluang paling0sedikit 3 anak laki-laki0adalah 4 16 + 1 16 : 5 16 51 laki-laki .
a. Paling0banyak 3 anak0perempuan tidak boleh04 Peluang0kelahiran 4 anak perempuan sama peluang kelahiran 4 anak laki-laki0yaitu 1 16 . Jadi,0peluang anak0perempuan0adalah 1- 1 16 kelahiran0paling = 15 16 banyak 5. Satu dadu dilempar 4 kali. Berapa peluang mata dadu 5 muncul sedikitnya sekali? Pembahasan : Diketahui : (S) : 6 Hasil yang diharapkan muncul mata dadu 5 n(E) : 1 Peluang 5 terjadi P(5) : n€ n S :1 6 Peluang 5 tidak terjadi: P(5') : 1 - P(5) :1 - 1 6 : 5 6 52 3
Peluang mata dadu 5 tidak pernah muncul sama sekali adalah P(E'): :5 6 6 : 625 1296 P(E') × 5 × 5 6 × 5 6 Peluang muncul mata dadu 5 sedikitnya sekali berarti boleh satu kali dua kali atau tiga kali, yang tidak boleh adalahtidak pernah muncul, sehingga: P(E) + P(E') : 1 P(E) : 1 - P(E') :1- 625 1296 : 671 1296 6. Tiga mata uang logam dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang tidak satupun muncul angka? Pembahasan : Diketahui : sampel tiga mata uang logam sebagai berikut: 53
Mata uang A G AAA AAG AA AGA AGG AG GAA GAG GA GGA GGG GG Berdasarkan ruang sampel di atas kita ketahui: n(k) : 7(karena ada 7 angka yang muncul n(s) : 8 ditanya : Berapakah peluang tidak satupun muncul angka? Penyelesaian: P(𝑘𝑐) =1 - P(k) = 1 - 𝑛(𝑘) 𝑛(𝑠) = 1- 7 8 -7 8 = 8 8 =1 8 54
C. Frekuensi harapan suatu kejadian 1. Tiga0mata uang0di lempar sekaligus0sebanyak 120 kali. Hitunglah frekuensi0harapan muncul0dua0sisi gambar. Pembahasan : Diketahui : A A G A A G G A A G G A G G 55
Ruang sampel = {(A,A,A), (A,A,G), (A,G,A), (A,G,G), (G,A,A),(G,G,A), (GAG) (G,G,G)} = 8 Ditanya: berapa frekuensi harapan muncul sisi gambar? Jawab: Misal: A0=0{(A,G,G),0(G,G,A), (G,A,G)} P(A) =03 8 Fh0= P(A) × n Fh = 3 8 × 120 =45 2. Dari 7 kartu diberi huruf S, U, M, A, R, N, I diambil sebuah kartu secara acak. Jika pengambilan dilakukan sebanyak 70 kali dengan pengembalian. Hitunglah frekuensi harapan terambil huruf vocal. Pembahasan: Diketahui: n(k)= 3(U, A, I) k = 7 ditanya: frekuensi harapan? Penyelesaian: F(h) = 𝑛(𝑘) 𝑛(𝑠) . N Fh = 3 7 . 70 = 30 56
3. Satu buah uang logam yang dilemparkan ke udara sebanyak 27 kali. Tentukanlah frekuensi harapan munculnya pada sisi angka. Pembahasan: Diketahui: misalkan, k ialah himpunan kejadian munculnya0sisi angka0sehingga P(k)0= 1 2 Banyaknya0pelemparan (n) yaitu 280kali Ditanya: frekuensi0harapan? Penyelesaian: Fh = P(k) × n = 1 2 × 28 = 14 4. Sebuah0dadu di0lempar 72 kali. Berapa0frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan prima.? Pembahasan: Diketahui: Misal: A = Mata dadu bilangan prima Ruang sampel = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A)0= 3 6 Ditanya: Fh0muncul mata dadu bilangan prima? 57
Jawab: Fh = P(A) × n Fh = 3 6 × 72 = 36 5. Dari0seperangkat kartu0bridge dilakukan pengembalian secara0acak sebanyak0299 kali. Setiap0pengambilan, kartu0dikembalikan. Berapa0frekuensi harapan0yang diambil adalah0kartu K? Pembahasan:0 Diketahui: jumlah0kartu bridge = 520lembar Kartu0K (king) = 40lembar (spade,0heart, diamond,0club) Ditanya: frekuensi harapan yang diambil adalah kartu K? Jawab: P(K) = n(K) n(S) = 4 52 = 1 13 Fh(K) = P(K) × n = 1 13 × 299 = 23 Ini0artinya0dari 299 kali0pengambilan, diharapkan kita mendapatkan 23 kali kartu K. 58
6. Sepuluh dari 15 roket yang dinyatakan0sukses. Jika dalam0bulan ini0akan dilakukan 75 kali0peluncuran roket,0berapa roket0yang diharapkan0sukses meluncur? Pembahasan:0 Diketahui: 10 dari 15 roket sukses n = 75 kali peluncuran roket ditanya: frekuensi harapan roket sukses meluncur? Jawab: P (sukses meluncur) = 10 15 Fh roket sukses = P(sukses meluncur) × n = 10 15 × 75 = 50 7. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola kuning, 5 bola biru dan 3 bola ungu. Diambil dua bola sekaligus jika pengambilan dilakukan 440 kali dengan pengembalian, hitunglah frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya ungu? Pembahasan: Diketahui: peluang sebuah kejadian dirumuskan P(A) = n(A) n(S) dimana n(A) adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan, n(S) adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi. 59
Bola kuning = 4 Bola biru = 5 Bola ungu = 3 Dan diambil dua bola sekaligus Ditanya: berapa frekuensi harapan terambil bola kedua duanya ungu? Jawab: untuk kejadian ini n(S) adalah akan dipilih 2 dari 12 n(S) = C2 12 12! 12−2 !.2! = 12×11×10! 10!.2×1 = = 132 2 = 66 3 n(A)= C2 3! 3−2 !2! = =3×2×1 1×2×1 = 6 2 = 3 P(A) = n A n S = 3 66 = 1 22 Fh = n ×P(A) 60
= 440 × 1 22 = 440 22 =20 8. Dari0seperangkat kartu0bridge dilakukan0pengambilan secara0acak sebanyak 390 kali,0setiap kali pengambilan kartu0dikembalikan.0Berapa frekuensi0harapan0yang diambil0kartu0k? Pembahasan: Diketahui: Jumlah0kartu bridge0adalah 520lembar → n(S) = 52 Kartu0k terdiri0dari 4 lembar0yaitu k spade, k0heart, k diamond dan k club. Ditanya: Berapakah frekuensi harapan yang diambil kartu k? Jawab: P(A) = n(A) n(S) = 4 52 = 1 13 Peluang terambilnya selembar kartu k dari 52 kartu adalah 1 13 Fh = P(A) × n = 1 13 × 390 = 30 61
9. Ketika dua buah dadu dilemparkan secara berbarengan sebanyak 120 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 11 atau 9? Pembahasan: Diketahui: n(11) = 2 n(9) = 4 n(s) = 36 N = 120 Ditanya: berapa frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 11 atau 9? Penyelesaian: P(11∪9) = 𝑛(11) 𝑛(𝑠) + 𝑛(9) 𝑛(𝑠) = 2 36 = 6 36 + 4 36 Fh = 6 36 × 120 = 20 D. Peluang dua kejadian saling lepas 1. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Hitunglah peluang munculnya jumlah mata dadu 7 atau 8. Pembahasan: 62
Diketahui: 1 2 3 4 5 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 1 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 2 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 3 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 4 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 5 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 6 P(A) : 7 P(B) : 8 Ditanya : P(A∪B)...? Jawab : n(S) = 36 Missal : n(A) : peluang muncul mata dadu 7 n(B) : peluang muncul mata dadu 8 n(A) :{(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)} : 6 n(B) :{(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)} = 5 63 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
Jadi P(A) = n(A) n(S) = 6 36 P(B) = n B n S = 5 36 P(A∪B) = P(A) + P(B) P(7∪8) = P(7) + P(8) = 6 36 + 5 36 = 11 36 2. Berikut merupakan0data sebaran0anggota serikat0buruh dari 50kota besar0di0Indonesia. Nama kota frekuensi 214 Jakarta 260 Bandung 320 Surabaya 265 Palembang 115 Medan 64
Jika0hendak dipilih 10orang secara0acak untuk menjadi0ketua sarikat buruh.0Tentukan0peluang terpilihnya0ketua serikat buruh dari0kota Surabaya atau palembang. Pembahasan: Diketahui: jakarta = 214 Bandung = 260 Surabaya = 320 Palembang = 265 Medan = 115 n = 1174 ditanya: berapa peluang0terpilihnya ketua0serikat buruh dari0kota surabaya atau0palembang? Jawab: misalkan0A0adalah adalah kejadian0terpilihnya ketua serikat buruh dari surabaya dan B kejadian terpilihnyaketua serikat buruh dari palembang. Kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga disebut kejadian saling lepas. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) fA fB + = n = 320 1174 n 265 + 1174 = 585 1174 65
Jadi0peluang kota0Surabaya atau0Palembang 0adalah 585 1174 terpilihnya0ketua serikat0buruh dari 3. Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu putih dilambungkan secara bersamaan sebanyak satu kali. Berakah peluang muncul mata dadu yang berjumlah 3 atau 4. Pembahasan: Diketahui: Mata 1 2 3 4 5 6 dadu 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 10 4 6 7 8 9 10 11 5 7 8 9 10 11 12 6 Berdasarkan tabel di atas diketahui: n(3) =2 (jumlah mata dadu 3 hanya 2 n(4) = 3 ( jumlah mata dadu 4 ada 3 66
n(s) = 36 ditanya: berapa peluang muncul mata dadu 3 atau 4? Penyelesaian: karena tidak ada sampel persekutuan, maka kejadian saling lepas. P(3∪ 4) = P(3) + P (4) = 𝑛 3 𝑛 𝑠 + 𝑛 4 𝑛 𝑠 + 3 36 = 2 36 = 5 36 4. Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian, dikocok dan diambil secara acak. Tentukan peluang dari: a. Kartu yang terambil kartu nomor biangan genap atau 8. b. Kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau 17. Pembahasan: Diketahui: nomor genap = 10 yaitu (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) Nomor 8 =1 Nomor ganjil = 10 yaitu( 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19) Nomor 17 = 1 n(s) = 20 67
Ditanya: berapa peluang yang terambil kartu nomor biangan genap atau 8? Berapa peluang yang terambil nomor bilangan ganjil atau 17.? Penyelesaian: a. Peluang0terambil kartu0nomor bilangan genap0adalah P(genap)0= 10 20 b. Peluang0terambil kartu0nomor 8 adalah 1 20 c. P(genap atau nomor 8) = P (genap + P (8) = (10 20 = 11 20 + 1 20 ) d. Peluan terambil0kartu0nomor 17 adalah P(17) =0 1 20 Jadi,0peluang terambil0kartu nomor0bilangan ganjil0atau 170adalah P(ganjil0atau 17) = P(ganjil)0+0P (17) = (10 20 = 11 20 0+ 1 20 ) 5. Suatu0kelas terdiri dari 300siswa, 20 siswa0gemar volley, 10 siswa0gemar basket dan 5 siswa gemar volley dan basket. Berapa peluang0seorang siswa tidak gemar volly maupun basket? 68
Pembahasan: Diketahui: n(s) = 30 n(V) = 20 n(B) = 10 n( V ∩ B) = 5 Ditanya: Berapa peluang seorang siswa tidak gemar volly maupun basket? Penyelesaian: n( V ∪ B) = n(V) + n(B) - n( V ∩ B) = 20 + 10 - 5 =25 E. Peluang dua kejadian saling bebas 1. Ila melemparkan0dua buah0dadu secara0bersamaan. Hitunglah peluang0muncul muka0dadu bertitik0ganjil pada dadu0pertama dan muka0dadu bertitik genap pada dadu0kedua. Pembahasan: Diketahui: A = muka dadu bertitik ganjil = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 69
P(A) = 3 6 B = muka dadu bertitik genap = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(B) = 3 6 Ditanya: P (A∩ B)? Jawab: P (A∩ B) = P(A) × P(B) = 3 6 = 9 36 = 1 4 × 3 6 2. Jika peluang nabila dapat menyelesaikan suatu soal adalah 0,5 dan peluang lulu dapat menyelesaikan0soal yang0sama adalah 0,6. Berapakah peluang mereka0berdua dapat menyelesaikan0soal tersebut? Pembahasan: Diketahui: P(A)0=00,5 P(B)0=00,6 Ditanya: berapa peluang0mereka berdua dapat menyelesaikan tugas? 70
Jawab: P(A∩ B) = P(A) × P(B) = 0,5 0,6 = 0,30 Jadi, peluang Nabila dan Lulu dapat menyelesaikan soal adalah 0,30. 3. Sebuah0dadu dilempar0150 kali.0Dari hasil pelemparan tersebut muncul mata dadu bernomor 2 sebanyak 15 kali dan mata dadu bernomor 6 sebanyak 18 kali. Berapa peluang muncul mata dadu bernomor 2 dan 6? Pembahasan: Diketahui: M = mata dadu bernomor 2 P(M) = 15 150 N = mata dadu bernomor 6 P(N) = 18 150 Ditanya: berapa peluang muncul mata dadu bernomor 2 dan 6? Jawab: P (M∩N) = P(M) × P(N) = 15 150 18 × 150 71
= 270 22500 = 27 2250 = 3 250 4. Duabuah dadu dilemparkan bersama-sama. Jika A 5 pada0dad u pertama0dan B adalah kejadian munculnya angka 5 pada dadu kedua, apakah kejadian0A dan B0merupakan kejadian0saling bebas (independen)?0Jelaskan. Pembahasan: Dua0kejadian dikatakan0saling bebas0apabila0kejadian yang0satu tidak memengaruhi0kemungkinan terjadinya kejadian0yang lain.Saat0kita melempar dua0buah dadu, muncul atau0tidaknya angka05 pada dadu0pertama tidak0memengaruhi0kemungkinan kemunculan0angka 5 pada0dadu kedua. Dalam0hal ini,0peluang kemunculan0angka 5 saat dua dadusetara dengan hasil kali peluang kemunculan0angka 5 pada0masing- masing0dadu, yaitu0P(A∩ B) =0P(A) × P(B). Dapat0disimpulkan bahwa0A dan B0merupakan kejadian0saling bebas0(independen). 72
5. Dalam0sebuah keranjang0A yang berisi012 buah rambutan,03 buah diantaranya0busuk.0Sedangkan dalaam keranjang0B yang0berisi 14 buah kelengkeng, 4 diantaranya busuk. Ery menghendaki 6 buah0rambutan dan 6 buah0kelengkeng yang0bagus. Berapakah peluangnya. Pembahasan: Diketahui: 12 buah rambutan di keranjang0A, 3 busuk artinya09 bagus14 buah0kelengkeng di keranjang B, 4 buah0busuk artinya 10 bagus Misal A =0kejadian terpilih 6 rambutan bagus dari0keranjang A Misal B = kejadian0terpilih 6 kelengkeng dari keranjang0B Ditanya: berapakah peluang0Ery menghendaki 6 buah rambutan dan 6 buah kelengkeng yang bagua? Jawab: menentukan0peluang dari0kejadian A Pengambilan 6 buah rambutan dari 12 rambutan yang ada di keranjang A menghasilkan cara (titik sampel) sejumlah C6 12. 73
Sementara itu pengambilan 6 buah rambutan dari 9 rambutan bagus yang ada di keranjang A menghasilkan 9. C6 Sehinnga peluang terpilih 6 rambutan bagus dari 9. keranjang0P(A) = C6 12 C6 Menentukan0peluang dari0kejadian B Pengambilan06 buah0kelengkeng dari 14 kelengkeng yang0ada di keranjang0B, menghasilkan0banyak cara0sejumlah C6 14. Sementara0itu pengambilan06 buah kelengkeng bagus0dari 10 kelengkeng yang0ada di keranjang B menghasilkan0caraC6 10 Sehingga0peluang terpilih06 kelengkeng0bagus dari 10 . keranjang0B yaitu P(B) = C6 14 . C6 Sehingga0peluang terpilih 6 rambutan bagus dari0keranjang0A0dan 6 kelengkeng bagus0dari keranjang0B P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 9. C6 12 × C6 10 . C6 14 . C6 = 9! 9−6 !6! 12 ! 12 −6 !6! × 10 ! 10 −6 !6! 14 ! 14 −6 !6! = 9! 3!6! 12 ! 6!6! × 10 ! 4!6! 14 ! 8!6! 74
9! 6!6! × = 3!6! 12! = 10!.9!.8!.6! 14!.12!4!.3! × 10! 4!6! × 8!6! 14! = 10!.9!.8!.7!.6.5.4!6,5.4.3! = 8×7×6×5×6×5×4 14×13×12×11×12×11×10 = 201600 31711680 360 = 56628 = 40 6292 6. Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan.peluang munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 4 adalah Pembahasan: Diketahui: misalA = kejadian muncul mata dadu 3 Misal B = kejadian muncul mata dadu 4 n(KA) =1 ( mata dadu 2 Cuma 1) n(KB) = 1 (mata dadu 4 ada 1) n(SA) = n(SB) = 6 (mata dadu ada 6) ditanya: berapa peluang munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 4? 75
Jawab: P(A∩ B) = P(A) . P(B) n(KA) = n(SA) . 1 6 =1 6 = 1 36 . n(KB) n(SB) 7. Dua0buah dadu0dilempar bersama-sama,0jika F merupakan kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama dan G adalah kejadian munculnya angka 3 pada dadu kedua. Apakah kejadian F dan G merupakan kejadian saling bebas (independen)? Pembahasan: Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila kejadian yang satu tidak memengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain, saat kita melempar dua buah dadu, muncul atau tidaknya angka 3 pada dadu pertama tidak memengaruhi kemungkinan kemunculan angka 3 pada dadu kedua. Dalam hal ini, peluang kemunculan angka 3 pada kedua dadu sama dengan hasil kali peluang kemunculan angka 3 pada masing-masing dadu, yaitu P(A∩B)0= P(A)0× P(B). dapat disimpulkan0bahwa A dan0B merupakan0kejadian saling0bebas (independen). 76
F. Peluang bersyarat (peluang dua kejadian tidak saling bebas ) 1. Sebuah dadu di lempar sekali. Tentukan0peluang munculnya0mata dadu0genap dengan0syarat munculnya0kejadian mata0dadu ganjil lebih0dahulu. Pembahasan: Diketahui:0 S =0{1,2,3,4,5,6} n(S)0=6 misal: M = kejadian0munculnya0angka ganjil M = {1,3,5} n(M) =3 P(M) = n M n S =3 6 =1 2 N = kejadian0mucul mata0dadu genap N = { 2,4,6} n(N) =3 P(N) = n(N) n(S) 0 =3 6 =1 2 0 0 77
Peluang0munculnya mata0dadu genap dengan0syarat munculnya0kejadian mata dadu0ganjil lebih dahulu. P(M∩ N) = 1 2 1 = 1 4 + 2 P(N|M) = P M∩N P M = 1 4 1 2 = 1 2 2. Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar sama dengan 0,80. Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis,peluang pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,90. Peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien menuntutnya sama dengan Pembahasan: Diketahui: misalkan A = kejadian dokter benar mendiagnosis penyakit Misalkan B = kejadian pasien menuntut ke pengadilan Misalkan C = kejadian dokter salah diagnosis penyakit, maka P(A) = 0,80 P(B|C) = 0,90 78
Ditanya : berapa peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien menuntutnya? Jawab : P(A) + P(C) = 1 0,80 + P(C) = 1 P(C) = 1- 0,80 =0,20 Maka kita bisa menghitung peluang dokter salah diagnosis dan pasien menuntut P(B∩C) dengan rumus P(B|C) = P(B∩C) P(C) 0,90 = P(B∩C) 0,20 P(B∩C) = 0,90 × 0,20 = 0,18 3. Sebuah perusahaan berencana memilih karyawannyauntuk mengikuti pelatihan. Ada 6 calon pria : 3 dari bagian personalia dan 3 dari bagian EDP, dan 4 calon wanita, 2 dari bagian personalia dan 2 dari bagian EDP. Hitunglah peluang yang dipilih mengikuti pelatihan adalah pria dengan syarat dari bagian EDP. Pembahasan: Diketahui: 79
misalkan A = kejadian terpilih mengikuti pelatihan daribagian EDP. Pada bagian EDP terdapat 3 pria dan 2 wanita (total 5 orang) sehingga peluang terpilih dari EDP sebagai berikut. P(A) = n(A) n(S) = 5 10 = 1 2 n(S) = jumlah semua karyawan B = kejadian pria terpilih mengikuti pelatihan samadengan dengan 3 pria P(A∩B) = n A n S = 3 10 Jadi, P(B|A) = P(A∩B) n(S) = 3 10 1 2 = 6 10 =3 5 =0,6 80
4. Departemen0kepolisian suatu0kota melaporkan0bahwa tahun02018 terjadi07 kasus, 20190terjadi 80kasus dan 2020 terjadi09 kasus0kejahatan. Jika0pihak kepolisian0akan memilih0dua kasus0secara0acak, tentukan0peluang terpilihnya0kasus pada02018. Pembahasan: Diketahui: tahun 2018 = 7 kasus Tahun 2019 = 8 kasus Tahun 2020 = 9 kasus Ditanya: tentukan peluang0terpilihnya kasus0pada tahun 2018? Jawab: pemilihan0kasus pertama0akan0berpengaruh pada kasus ke dua karena banyaknya kasus pada pemilihan kedua akan berkurang ini berarti, pemilihan kasus kejahatan pertama ditahun 2018 dan pemilihan kasus kedua tahun 2018 merupakan kejadian tidaksaling bebas. P(2018 ∩ 2018) = P(2018) . P(2018|2018) = 7 24 = 42 552 = 21 276 . 6 23 81
5. SMA Lampung Barat memberikan kuesioner tentang setuju tidaknya para siswa untuk melakukan study tour ke Bali, kuesioner tersebut tersebut dibagikan pada seratus siswa kelas XII .berikut jawabannya. Ya Tidak Jumlah 25 15 40 Laki-laki 12 48 60 Perempuan 37 63 100 Jumlah Jika0pihak sekolah ingin0mengambil0jawaban satu orang secara0acak, tentukan0peluang0terpilihnya jawaban ya dari siswa0laki-laki. Pembahasan: Diketahui:misal A = laki-laki B = perempuan ya laki-laki = 25 ya perempuan = 12 tidak laki-laki = 15 tidak perempuan = 48 n(A) = 40 n(B) =60 n(ya) = 37 n(tidak) = 63 82
n(S) = 100 Ditanya : tentukan0peluang terpilihnya0jawaban ya0dari siswa0laki-laki? Jawab: kejadian0tersebut bersyarat.0Artinya, siswa harus0memberikan jawaban0ya atau0tidak barulah0pihak sekolah0akan mengambil jawabannya. P(A) = n(A) n(S) = 40 100 P(ya dan laki-laki) = 25 100 P(ya|laki-laki) = P(ya dan laki −laki ) P laki −laki = 25 100 40 100 25 = 40 = 5 8 G. Statistika 1. Rata-rata dari tiga buah bilangan adalah 8 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 14 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan terebut adalah 10, maka tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah! 83
a. Jangkauannya adalah 22 b. Variansinya adalah 124 c. Jumlahnya adalah 48 d. Simpangan rata-ratanya adalah 8 JAWAB : Misalkan 3 bilangan tersebut adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐 dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 sehingga 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 → 3𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 = 𝑎 + 8 𝑥 = 𝑐 − 14 10 = 𝑏 → median + 2𝑥 + 10 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 6 2𝑥 + 10 = 3𝑥 − 6 𝑥 = 16, Maka 𝑎 = 𝑥 − 8 → 𝑎 = 8 dan 𝑐 = 𝑥 + 14 → 𝑐 = 30 a. Jangkauannya adalah 22 J = 𝑐 − 𝑎 = 30 − 8 = 22 (Benar) b. Variansinya adalah 124 Variansi = 𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏 − 𝑥 2 + 𝑐 − 𝑥 2 3 = (8 − 16)2 + (10 − 16)2 + (30 − 16)2 3 ≠ 124 (Salah) 84
c. Jumlahnya adalah 48 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 48 (Benar) d. Simpangan rata-ratanya adalah 8 𝑎 − 𝑥 + 𝑏 − 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 3 𝑆𝑅 = = 8 − 16 + 10 − 16 + 30 − 16 3 ≠ 8 (Salah) 2. Tinggi rata-rata 10 pelajar 162 cm. Jika digabung dengan 5 pelajar lagi maka tinggi rata-rata 15 pelajar adalah 160 cm. Tentukan tinggi rata-rata 5 pelajar tersebut! JAWAB: Diketahui: tinggi rata-rata 10 siswa = 162 cm tinggi rata-rata dengan tambahan 5 murid = 160 cm Jumlah tinggi 10 siswa = 10 x 162 = 1.620 cm jumlah tinggi rata-rata 15 siswa = 15 x 160 = 2.400 jadi rata-rata tinggi 5 siswa = 2.400−1620 5 = 156 cm 3. Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter, dan jaksa adalah 40 tahun. Jika umur rata- rata para dokter adalah 35 tahun dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tentukan perbandingan banyaknya dokter dan banyaknya jaksa! tahun, maka JAWAB: Dokter = 40 −35 = 5 Jaksa = 50 −40 = 10 perbandingan dibalik 85
jadi , Dokter : Jaksa = 10 : 5 = 2 : 1 4. Sekumpulan data mempunyai rata-rata 15 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dari data dikurangi A kemudian hasilnya dibagi dengan B ternyata menghasilkan data baru dengan rata-rata 7 dan jangkauan 3, maka hitunglah nilai A dan B! JAWAB: Rata-rata = 15 jangkauan = 6 15 − 𝑎 𝑏 = 7 15 − 𝑎 = 7𝑏 𝑎 = 15 − 7𝑏 𝑥𝑛 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑥1 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑥𝑛 − 𝑥1 = 6 Maka, 𝑥𝑛 − 𝑎 𝑏 − 𝑥1 − 𝑎 𝑏 = 3 𝑥𝑛 − 15 − 7𝑏 − 𝑥1 + 15 − 7𝑏 𝑏 = 3 𝑥𝑛 − 𝑥1 + 0 + 0 𝑏 = 3 6 𝑏 = 3 86
𝑏 = 6 3 𝑏 = 2 𝑎 = 15 − 7𝑏 = 15 − 7. 2 = 15 − 14 = 1 maka nilai a = 1 dan nilai b = 2 5. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-ata nilai matematika untuksiswa prianya adalah 65 sedang untuk siswa wanita rata-ratanya 54, maka tentukan perbandingan jumlah siswa pria dan wanita pada kelas itu! JAWAB: 𝑥 = 𝑝𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑦 = 𝑝𝑢𝑡𝑟𝑖 58(𝑥 + 𝑦) = 65(𝑥) + 54(𝑦) 58𝑥 + 58𝑦 = 65𝑥 + 54𝑦 58𝑦 − 54𝑦 = 65𝑥 − 58𝑥 4𝑦 = 7𝑥 4 𝑥 𝑦 7 Jadi perbandingan putra dan putri adalah 4 : 7 = 6. Dua kelompok anak masing-masing terdiri dari 4 anak, mempunyai rata-rata berat badan 30 kg dan 33 kg. Kalau seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, 87
maka ternyata rata-rata berat badan menjadi sama. Tentukan selisih berat badan kedua anak yang ditukar! JAWAB: Misal: 𝑥 = anak dari kelompok 1 yang dipindah ke kelompok 2 𝑦 = anak dari kelompok 2 yang dipindah ke kelompok 1 Rata-rata 1 = rata-rata 2 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 4 𝑎𝑛𝑎𝑘 𝐾𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘 1 − 𝑥 + 𝑦 4 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 4 𝑎𝑛𝑎𝑘 𝐾𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘 2 − 𝑦 + 𝑥 4 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 4 𝑎𝑛𝑎𝑘 𝐾𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘 1 − 𝑥+ = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 4 𝑎𝑛𝑎𝑘 𝐾𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘 2 − 𝑦 + 𝑥 4(30) − 𝑥 + 𝑦 = 4(33) − 𝑦 + 𝑥 120 − 𝑥 + 𝑦 = 132 − 𝑦 + 𝑥 −𝑥 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 = 132 − 120 −2𝑥 + 2𝑦 = 12 2 𝑦 − 𝑥 = 12 𝑦 − 𝑥 = 6 Jadi selisih berat badan kedua anak adalah 6 kg. (D) 7. Diketahui data terurut 6 bilangan: a, b, c, d, e, f, mempunyai rata-rata 7 1 3 dan jangkauan 4. Jika e = a + 5, c = b +1, b = d - 2 dan d = f - 2, maka tenrukan median dari data tersebut! 88
JAWAB: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 44 𝑓 − 𝑎 = 6 ↔ 𝑎 = 𝑓 − 6 𝑒 = 𝑎 + 5 ↔ 𝑒 = 𝑓 − 1 𝑐 = 𝑏 + 1 ↔ 𝑐 = 𝑓 − 3 𝑏 = 𝑑 − 2 ↔ 𝑏 = 𝑓 − 4 𝑑 = 𝑓 − 2 sehingga 𝑓 − 6 + 𝑓 − 4 + 𝑓 − 3 + 𝑓 − 2 + (𝑓 − 1) + 𝑓 = 44 𝑓 = 10 sehingga data tersebut menjadi 4, 6, 7, 8, 9, 10 Median = 7+8 2 = 7,5 8. Diketahui rata-rata dari data: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ... , 𝑥10adalah n, maka tentukanlah rata rata dari data: 1 3 𝑥1 + 3, 1 3 𝑥2 + 5, 1 3 𝑥3 + 9, 1 3 𝑥4 + 15, ... , 1 3 𝑥10 + 93! JAWAB: 10 𝑥𝑖 𝑖=1 = 10𝑛 89
maka, 𝑋 = 1 3 𝑥1 + 3 + 1 3 𝑥2 + 5 + 1 𝑥3 + 9 + ⋯ + 3 10 1 3 𝑥10 + 93 = 1 3 10 𝑥𝑖 𝑖=1 + 360 10 = 1 3 10𝑛 + 360 10 = 1 3 𝑛 + 36 9. Diketahui data 6 bilangan terurut: x, 3, 5, 6, 7, y dengan nilai rata-rata 6 dan simpangan rata-rata 5 3 . Hitunglah nilai dari 3x - y! JAWAB: 6 = 𝑥 + 3 + 5 + 6 + 7 + 𝑦 6 → 𝑥 + 𝑦 = 15 → 𝑦 = 15 − 𝑥 𝑥 − 6 + 3 − 6 + 5 − 6 + 6 − 6 + 7 − 6 + | 15 − 𝑥 − 6| 6 = 5 3 𝑥 − 6 + 5 + |9 − 𝑥| 6 = 10 6 𝑥 − 6 + 9 − 𝑥 = 5 Maka 𝑥 = 5 dan 𝑦 = 10 3𝑥 − 𝑦 = 5 90
10. Diketahui n bilangan asli yang pertama. Jika satu bilangan dihapus, maka bilangan yang tersisa mempunyai rata-rata sebesar 15 14 29 . Tentukan kuartil ketiga dari data sisa bilangan tersebut! JAWAB : Rata-rata (𝑛 − 1) bilangan = 15 14 29 𝑆(𝑛−1) 𝑛 − 1 𝑆𝑛 = 𝑆30 = 449 29 → 𝑛 = 30 = 30 2 1 + 30 = 465 Bilangan yang dihapus = 𝑆30 − 𝑆29 = 465 − 449 = 16 𝑋14 , 𝑋15 , 𝑋16 ... 𝑋22, 𝑋23 , ... 𝑋29 14, 15, 17, ..., 23, 24, ..., 29 𝑄3 terletak di antara data ke 23 dan 24 maka 𝑄3 = 23 + 24 2 = 23,5 91
11. Diberikan data 5 bilangan terurut : 3, a, 5, 7, b mempunyai rata-rata 6 dan simpangan baku 2 2. Tentukan jangkauan dari data tersebut! JAWAB : 6 = 3 + 𝑎 + 5 + 7 + 𝑏 5 → 𝑎 + 𝑏 = 15 → 𝑎 = 15 − 𝑏 2 2 = (3 − 6)2 + ((15 − 𝑏) − 6)2 + (5 − 6)2 + (7 − 6)2 + (𝑏 − 6)2 5 40 = 2𝑏2 − 30𝑏 + 128 2 𝑏 − 11 (𝑏 − 4) = 0 maka 𝑏 = 11 atau 𝑏 = 4 𝑏 = 11, 𝑎 = 4 jika 𝑏 = 4, 𝑎 = 11 (TM) Jangkauan : 11 − 3 = 8 92
UJI KOMPETENSI 1. Di dalam suatu ujian, masing-masing siswa diberikan skor 5, 10, atau 15. Banyaknya siswa untuk masing-masing skor ditunjukkan pada tabel berikut. Skor 5 8 10 12 15 x Banyaknya Siswa Jika median skornya adalah 10 maka nilai terbesar yang mungkin untuk x adalah ... A. 8 B. 9 C. 19 D. 20 E. 21 2. Mita adalah karyawan pada perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data kenaikan produksi selama 5 periode. Setelah dicari, Mita menemukan empat data kenaikan, yaitu 4%, 9%, 7%, dan 5%. Satu data lagi, yaitu data ke-5, bila Mita hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data tersebut adalah sama maka kenaikan produksi yang mungkin pada periode kelima adalah berkisar antara .... A. 0% sampai 10% B. 5% sampai 15% C. 10% sampai 15% D. 10% sampai 20% E. 10% sampai 20% 93
3. Rata-rata sembilan bilangan adalah 8. Salah satu di antara kesembilan bilangan tersebut dibuang. Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 7. Jika x adalah bilangan yang dibuang dan y = 16 maka .... A. x< y B. x> y C. x= y D. x≤ y E. Hubungan antara xdan y tidak dapat ditentukan 4. Diagram di atas menunjukkan banyak siswa yang memilih salah satu dari lima pilihan jawaban. Jika pilihan terbanyak merupakan jawaban benar, maka persentase siswa yang terkecoh dalam mengerjakan soal adalah ...%. A. 40 B. 44 C. 56 D. 60 E. 54 94
5. Seratus siswa di sekolah X mengikuti tes seleksi beasiswa dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas I yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas II, dan skor rata-rata siswa kelas II 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas I. Skor rata-rata siswa kelas II adalah ... A. 83,33 B. 125 C. 60 D. 40 E. 30 6. Dua buah bilangan positif dipilih secara acak. Berapakah peluang hasil kalinya bilangan genap A. 12 B. 14 C. 34 D. 1 E. 0 7. Dari 100 siswa yang diwisuda, 42 belajar Matematika, 68 belajar Psikologi, 54 belajar Sejarah, 22 belajar Matematika dan Sejarah, 25 belajar Matematika dan Psikologi, 7 belajar Sejarah dan tidak belajar Matematika maupun Psikologi, 10 belajar ketiga mata pelajaran, dan 8 tidak belajar satupun dari ketiga pelajaran. Bila seorang siswa dipilih secara acak, peluang dia belajar Sejarah dan Psikologi tapi tidak Matematika adalah 95
A. 527 B. 12 C. 49 D. 120 E. 14 8. Peluang muncul mata dadu 5 sebanyak 3 kali pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak 5 kali adalah A. 1253888 B. 753888 C. 751944 D. 1003888 E. 9. Fahmi akan melangsungkan tendangan ke gawang yang dijaga tim lawan, peluangnya membuat gol dalam sekali tendangan yaitu . Jika Fahmi melakukan 3 kali tendangan finalti, maka peluangnya untuk membuat tendangan pertama dan kedua gol, sedangkan tendangan ketiga gagal adalah A. 35 9. Fahmi akan melangsungkan tendangan ke gawang yang dijaga tim lawan, peluangnya membuat gol dalam sekali tendangan yaitu . Jika Fahmi melakukan 3 kali tendangan finalti, maka peluangnya untuk membuat tendangan pertama dan kedua gol, sedangkan tendangan ketiga gagal adalah A. 35 18125 B. 36125 C. 72125 D. 27125 E. 54125 96
10. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola kuning, 3 bola hijau. Diambil 2 bola secara berurutan dengan mengembalikan bola pertama yang sudah terambil pada kotak. Peluang terambil bola yang berwarna sama pada pengambilan pertama dan kedua adalah A. B. 4144 25144 C. 2572 D. 5172 E. 51144 11. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning dan 6 bola biru. Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, maka peluang terambil kedua bola berwarna sama adalah A. B. 215 515 C. 815 D. 315 E. 715 12. Dari data di bawah, nilai rata-rata ujian Matematika adalah 7, nilai 2x adalah 8 9 Nilai Frekuensi 7 X 11 9 8 5 6 7 97
A. 16 B. 20 C. 24 D. 18 E. 22 13. Rata-rata 10 bilangan adalah 10,1. Rata-rata 5 bilangan pertama 6. Sedangkan rata-rata 4 bilangan kedua adalah 12,5. Maka bilangan yang ke-10 adalah A. 17 B. 21 C. 25 D. 20 E. 23 14. Ani telah mengikuti tes matematika sebanyak n kali. Pada tes berikutnya ia memperolah nilai 83 sehingga nilai rata- rata Ani adalah 80. Tetapi, jika nilai tes tersebut adalah 67, maka rata-ratanya adalah 76. Nilai n adalah A. 2 B. 4 C. 6 D. 3 E. 5 SNMPTN 2012 Kode 221 15. Nilai rata-rata tes matematika dari sekelompok siswa dan siswi di suatu kelas berturut-turut 5 dan 8. Jika nilai rata- rata kelas tersebut 7,5 maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah A. 1 : 5 B. 2 : 3 C. 4 : 5 D. 2 : 5. E. 3 : 4. 98
DAFTAR PUSTAKA Amelia D.,Budi M. dan Masduki.(2012). "pemetaan soal-soal ujian nasional matematika SMA/MA". Makalah Disajikan Di Seminar Nasional Pendidikan Matematika, Pada 9 Mei 2012, Surakarta. Budiyono.( 2000). Buku Matematika Untuk SMA Kelas XII, Widya Duta,Surakarta. Depdiknas (2006), Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan, Depdiknas, Jakarta. Dewi Nuharini, Tri Wahyuni. 2008. Matematika konsep dan aplikasi untuk kelas VIII SMP/MTS.Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Ruseffendi, H.E.T (1998), Statistika Dasar untuk Penelitian Pendidikan, IKIP Bandung Press, Bandung Troutman A.P. dan Lichtenberg, B.K. (1991), Mathematics A Goood Beginning, Strategies for Teaching Children, Brooks/Cole Publisishing Company, New York
GLOSARIUM Percobaan : Proses yang menghasilkan data mentah. Ruang sampel : Seluruh kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu percobaan Titik Sampel : Tiap hasil dalam ruang sampel. Irisan dua kejadian A dan B : Suatu kejadian yang unsurnya termasuk dalam kejadian A dan kejadian B. Gabungan dua kejadian A dan B : Kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A, B, atau keduanya. Komplemen suatu kejadian A terhadap S : Kejadian di luar A tetapi masih di dalam S. Permutasi : Suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan sekali pengambilan r (r ≤ n): Semua susunan yang mungkin terjadi yang terdiri dari r unsur yang berbeda yang diambil dari n unsur itu, tanpa memperhatikan urutannya.