BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Time Series Time series atau deret waktu merupakan pengamatan satu atau beberapa variabel yang diambil secara beruntun terhadap interval waktu yang tetap (Wei, 2006). Pada tahun 1976 George Box dan Gwilyn Jenkins memperkenalkan analisis time series untuk pertama kalinya. Analisis time series adalah salah satu prosedur statistika yang digunakan pada peramalan kejadian di masa depan. Analisis time series menggunakan data yang terpaut oleh waktu, sehingga korelasi antara kejadian saat ini dengan periode waktu sebelumnya akan terjadi. Selain berhubungan antara waktu time seris juga terdapat kemungkinan adanya hubungan antara dimensi lain seperti wilayah ataupun dimensi lain yang saling berkaitan. 2.2 Multivariat Time Series Multivariat time series merupakan salah satu analisis time series yang melibatkan banyak variabel di dalam modelnya. Data time series terkadang memiliki keterkaitan antara satu variabel dengan variabel lainnya, seperti pada data jumlah penumpang kereta api yang memuat wilayah sebagai variabel multivariat . Sehingga, dibutuhkan analisis yang lebih dari satu data time series yaitu dengan menggunakan multivariat time series. Proses dalam multivariat time 9
10 series sama dengan prose dalam univariat time series yaitu dengan memperhatiakan stasioneritas data (Hapsari, 2017). 2.3 Variasi Kalender Model variasi kalender merupakan model time series yang digunakan untuk meramalkan data berdasarkan pola musiman dengan periode bervariasi. Di sebagian besar negara-negara Islam, data time series bulanan di bidang ekonomi dan bisnis dapat diketahui dengan dua jenis efek kalender, yaitu efek hari kerja atau efek hari perdagangan di setiap bulan, yang biasa disebut sebagai efek perdagangan hari dan efek hari libur seperti tahun baru cina, natal, dan idul fitri dimana penentuan hari raya tersebut berbeda dengan kelender Masehi. Indonesia merupakan salah satu negara yang merasakan variasi kalender terutama saat memasuki tahun baru dan hari raya. Saat tahun baru dan hari raya kebanyakan masyarakat Indonesia yang bekerja atau bertempat tinggal di luar kota kelahiraan melakukan tradisi pulang kampung (Mudik) sehingga kebutuhan transportasi akan meningkat dari biasanya, sehingga pemerintah atau perusahaan transportasi perlu melakukan evaluasi dan persiapan untuk kenyamanan penumpang. 2.4 Forcasting (Peramalan) Forcasting adalah suatu ilmu yang digunakan untuk meramalkan atau memprediksi krjadian di waktu mendatang. Peramalan dapat dilakukan dengan cara institusi subjektif atau dengan model matematis (Heizer & Render, 2011).
11 Peramalan biasa digunakan dalam hal perencanaan penjualan ataupun perencanaan pembangunan sbagai tambahan informasi. 2.5 Autoregressive Integreted Moving Average (ARIMA) ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) atau disebut dengan metode deret berkala Box-Jenkins. Nilai data pada waktu mendatang bersifat linier dari data historis dan random error. ARIMA dibagi dalam tiga klasifikasi yaitu: 2.5.1 Model Autoregressive (AR) Autoregressive merupakan peramalan regresi yang veriabel time lag (selang waktu) dan nilai-nilai sebelumnya saling.model AR dapat dikatakan mengikuti proses AR apabila lag-lag pada plot ACF menurun secara eksponensial dan lag yang signifikan tidak sama dengan nol pada plot PACF kemudian digunakan indikasi parameter p. Bentuk umum model autoregressive dengan orde ke-p atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut: 𝑍𝑡 = 𝜇 + ∅1𝑍𝑡−1 + ∅2𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 ...(2.1) Dimana: 𝜇 = nilai konstan 𝑍𝑡 = nilai pengamatan pada waktu t ∅p = koefisien orde p et = nilai galat pada saat ke-t
12 2.5.2 Model Moving Average (MA) Moving Average biasa disebut rata-rata bergerak adalah deret berkala pada waktu t yang dipengaruhi dengan galat saat ini dan galat yang terbobot pada historis waktu sebelumnya. Suatu deret berkala dikatakan mengikuti proses apabila lag-lag pada plot ACF tidak sama dengan nol dan lag yang signifikan menurun secara eksponensial pada plot PACF kemudian digunakan indikasi parameter q. Bentuk umum model moving average orde ke-q atau ARIMA (0,0,q) dapat ditulis sebagai berikut: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞 ...(2.2) Dimana: 𝜃𝑞 = nilai koefisien orde q 𝑒𝑡 = nilai galat pada saat t 2.5.3 Model Autoregresive Moving Average (ARMA) Model peramalan deret berkala jenis ini dapat berbentuk autogregresive (AR), rata-rata bergerak (MA) atau kombinasi antara keduanya (ARMA). Bentuk umum model ARMA (p,q) dapat ditulis sebagai berikut: ∅𝑝 (𝐵)Zt = 𝜇 + 𝜃𝑞 (𝐵)et ...(2.3) Dimana: ∅𝑝 (𝐵) = (1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵 2 − ⋯ − ∅ ) 𝜃𝑞 (𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵 2 − ⋯ − )
13 2.5.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Model ARIMA adalah model ARMA (p,q) yang nonstasioner. Model ini membutuhkan suatu proses pembedaan agar data stasioner. Model ARMA dilakukan pembedaan dengan ordo ke-d yaitu 𝑍𝑡 𝑑 = (1 − 𝐵) 𝑑𝑍𝑡 sehingga 𝑍1 , 𝑍2 , ... menjadi deret berkala yang stasioner, maka model ARMA (p,q) menjadi model ARIMA (p,d,q). Bentuk model umum ARIMA (p,d,q) sebagai berikut: ∅𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜃𝑞 (𝐵)𝑒𝑡 ...(2.4) Dimana: ∅𝑝 (𝐵) = (1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵 2 − ⋯ − ∅ ) 𝜃𝑞 (𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵 2 − ⋯ − ) (1 − 𝐵) 𝑑𝑍𝑡 = pembeda dengan ordo ke-d 𝑒𝑡 = nilai galat pada saat t Metode ARIMA Box-Jenkins memiliki 3 langkah analisis yakni identifikasi model, estimasi parameter dan diagnostic checking. 2.6 ARIMAX (Autoregresive Integreted Moving Average with Exogenous Variables) Model ARIMAX adalah model ARIMA yang diberi tambahan variabel dammy atau disebut variabel exogenous, variabel dummy yang biasa digunakan adalah model ARIMAX dengan variasi kalender. Pemodelan runtun waktu dengan penambahan beberapa variabel yang dianggap memiliki pengaruh secara
14 signifikan terhadap data digunakan untuk memperkuat akurasi dari peramalan yang dilakukan. Menurut Cyer dan Chan (2008) dalam Lee et al. (2010) bahwa model ARIMAX merupakan model ARIMA dengan tambahan variabel. Model ARIMAX dengan efek variasi kalender dituliskan sebagai berikut : 𝑍𝑡 = β1X1,t + β2X2,t+ ⋯ + βpXp,t+ ∅ ...(2.5) Dengan: Z𝑡 : kombinasi linier dari gabungan pengamatan dan sisaan pada waktu-waktu sebelumnya X1,t, X2,t, ... , Xn,t : variabel dummy hari-hari khusus 𝛽1, 𝛽2, ... , 𝛽𝑛 : parameter variabel dummy hari-hari khusus 𝜙𝑝 : parameter regresi diri ordo ke-p 𝜃𝑞 : parameter rataan bergerak ordo ke-q 𝜙𝑝 (𝐵) : (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵 2 − ⋯ − ) 𝜃𝑞 (𝐵) : (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵 2 − ⋯ − ) Pemodelan diatas terdiri dari variabel respon time series dan variabel dummy yang di bentuk dari variasi kalender. Menurut Lee & Suhartono , langkah penyelesaaian analisis pada model ARIMAX adalah sebagai berikut : 1. Menentukan variabel dummy berdasarkan pada variasi kalender 2. Melakukan pemodelan regresi seperti berikut Yt =β0+β 1V1, +β 2V2,t +...+β pVp,t+wt 3. Memodelkan residual dari hasil model regresi dengan model ARIMA 4. Melakukan pemodelan ARIMAX 5. Mengecek signifikansi parameter
15 2.7 VARIMA (Vector Autorgresive Integreted Moving Average) Data time series atau runtunn waktu sering kali terdiri dari beberapa variabel atau biasa di sebut data time series multivariate. Variabel multivariate pada data time series misalnya berupa lokasi yang berbeda, atau jenis produk yang berbeda yang dapat dihitung dan terbatas. Menurut (Wei, 2006) model VARIMA dituliskan sebagai berikut : Фp (B)D(B) 𝑍̇ = Θq (B) at ...(2.6) Dimana Фp (B) = Ф0- Ф1B - Ф2B2 -...- ФPBp Dan Θp (B) = Θ 0 -Θ 1B - Θ 2B2 ...- ΘPBq BZt = Zt-1 Dengan : 𝑍̇ adalah vector pengamatan dengan Zt = [ Z1,t, Z2,t,..., Zn,t,] Фp (B) dan Θq(B) berturut-turut adalah suatu matriks autoregressive dan moving average polinomial orde p dan q dengan ukuran matrik nonsingular yaitu mxm. Untuk kasus nonsingular, matriks varians kovarians dari t a adalah definit positif. Jika q = 0 maka proses menjadi vektor AR (p). ΦP(B)Zt at ...(2.7) jika p = 0 maka proses menjadi vektor MA (q) ΦP(B)Zt Θq(B) at-q ...(2.8)
16 2.7.1 Uji Stasioneritas Terhadap Mean dan Varian Suatu data dikatakan stasioner pada data time series jika nilai mean dan varian konstan atau tidak mengalami perubahan yang sistematik. Markidakis et al (1992) menyatakan bentuk visual dari suatu plot data time series seringkali cukup untuk menyakinkan bahwa data tersebut adalah stasioner atau tidak stasioner. Akan tetapi, secara formal untuk mengidentifikasi kestasioneran data dilakukan dengan uji Augmented Dickey Fuller (ADF) atau dengan melihat skema matriks korelasi silang MACF dan MPACF. Jika plot MACF dan MPACF turun secara sambat maka data belum stasioner terhadap mean sehingga perlu dilakukan differencing atau pembedaan. Sebaliknya, data belum stasioner terhadap varian jika nilai batas atas dan batas bawah pada lamda kurang dari nol, sehingga perlu dilakukan transformasi Box Cox agar data stasioner. 2.7.1.1 Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) Pada pengujian data runtun waktu sayarat penting yang harus terpenuhi adalah stasioneritas data. Data stasioner adalah data yang menunjukkan mean, varians dan autovarians (pada variasi lag) tetap sama pada waktu kapan saja data itu dibentuk atau dipakai, artinya dengan data yang stasioner model time series dapat dikatakan lebih stabil. Untuk menguji apakah data bersifat stasioner atau tidak, umumnya digunakan uji akar unit. Terdapat banyak uji akar unit, tetapi yang paling umum dan banyak dipakai adalah Augmented Dickey Fuller Test (ADF). Konsep pengujian Augmented Dickey Fuller Test adalah jika suatu data
17 time series tidak stasioner pada orde nol, I(0), maka stasioneritas data tersebut bisa dicari melalui order berikutnya sehingga diperoleh tingkat stasioneritas pada order ke-n (first difference) atau I(1), atau second difference atau I(2), dan seterusnya (Purnomo, 2010: 39). Persamaan uji Augmented Dickey Fuller (ADF) adalah sebagai berikut : 1211 mtititiYttYY ...(2.9) Dimana: Yt : first difference dari Y 1 : nilai konstan atau intercept 2 : koefisien regresi untuk trend
: koefisien regresi untuk lag Y
: koefisien regresi untuk difference lag Y ε : error m : lag t : waktu Dengan hipotesis : H0 : 0 (Terdapat akar unit, variable Y tidak stasioner) H1 : 0 Tidak terdapat akar unit, variable Y stasioner) Statistik Uji: 0 ˆ ˆtse
...(2.10)
18 Jika t lebih besar dari nilai kritis ADF maka gagal tolak hipotesis nol, yang berarti terdapat akar unit (data tidak stasioner). Dan jika t lebih kecil dari nilai kritis ADF maka tolak hipotesis nol, tidak terdapat akar unit (data stasioner). 2.7.1.2 Matrix Autocorrelation Function (MACF) Suatu vektor deret waktu sebanyak n pengamatan Z1, Z2,..., Zn matriks korelasi sampel dinyatakan sebeagai berikut : ̂(k) = ̂ij(k)] (2.11) dimana ̂ij(k) adalah korelasi silang sampel dari komponen deretke-i dan ke-j yaitu : ̂ij(k) = ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ (2.12) dimana 𝑍̅ dan 𝑍̅ adalah rata-rata sampel dari komponen deret yang bersesuaian. Fungsi matriks korelasi sangat diperlukan untuk mengidentifikasi batas orde MA, bila matriks korelasi bernilai nol setelah lag ke-q maka model yang bersesuaian yaitu MA(q). Apabila dimensi dan vektornya semakin besar maka bentuk matriks dan grafik akan semakin kompleks sehingga menyulitkan dalam pengidentifikasian. Untuk memudahkan maka digunakan simbol yang dinotasikan dengan (+), (-), dan (.) pada matriks korelasi (i,j). Simbol (+) diartikan sebagai ̂ij(k) lebih besar dari 2 kali standar eror dan menunjukkan memiliki hubungan korelasi positif. Simbol (-) diartikan sebagai ̂ij(k) kurang dari -2 kali standar eror dan
19 menunjukan memiliki hubungan korelasi negatif. Sedangkan simbol (.) diartikan sebagai ̂ij(k) ± 2 kali standar eror dan menunjukkan tidak adanya korelasi (Wei, 2006). 2.7.1.3 Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF) Fungsi matriks parsial korelasi sampel sangat diperlukan dalam mengidentifikasi model AR. Koreasi antara Z(t) dan Z(t+K) dapat diketahui setelah ketergantungan linier pada variabel Z(t+1), Z(t+2), ... , Z(t+k+1) dihilangkan. Sebagaimana dirumuskan: ϕkk = ̂ ̂ √ ̂ √ ̂ (2.13) dimana 𝑍̂ 𝑡 dan 𝑍̂ 𝑡 adalah rata-rata kesalahan kuadrat minimum pada estimasi regresi linoer dari Z(t) dan Z(t+k) yang berdasarkan pada Z(t+1), Z(t+2), ... , Z(t+k-1). Korelasi spasial antara Z(t) dan Z(t+k) sama dengan koefisien regresi terakhir Z(t) dan Z(t+k) pada lag ke-k (Wei, 2006). 2.7.2 Identifikasi Model Identifikasi model VARIMA mirip dengan identifikasi pada model time series univariat dengan melihat nilai Akaike's Information Criterion (AIC). Nilai AIC digunakan untuk memilih model terbaik dengan kriteria nilai AIC yang paling minimum, yang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut AIC = -2log(L)+2k ...(2.14)
20 Dengan k adalah julmah parameter pada model, dan L adalah parameter yang diestimasi menggunakan nilai Maximum Likelihood Estimation (MLE) (Mossad, 2015). 2.7.3 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) Fungsi MLE untuk model VARIMA adalah lnL(Φ∑ 𝑛 𝑛 ∑ ∑ ∑ ...(2.15) dengan at = (Zt - Φ1Zt-1 - .... - ΦpZt-p+Φpat-1+...+Φqat-p) setelah parameter-parameter taksiran di peroleh maka parameter tersebut kemudian diuji dengan uji signifikansi parsial dan uji signifikansi simultan meggunakan t-test dan F-test. 2.7.4 Diagnostic Checking Pada pengujian diagnosting checking ini mrnggunakan uji L-jung Box yang bertujuan untuk menguji signifikansi residual secara keseluruhan. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut : H0 : Vector residual memenuhi asumsi white noise H1 : Vector residual tidak memenuhi asumsi white noise H0 ditolak jika p-value < α
21 Setelah dilakukan uji L-jung Box maka kemudian dilakukan uji asumsi normalitas residual menggunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut : H0 : S(x) = F(x) (error mengikuti distribusi normal) H1 : S(x) ≠ F(x) (error tidak mengikuti distribusi normal) H0 ditolak jika p-value < α 2.8 VARIMAX (Vector Autoregresive Integreted Moving Average With Exogenous Variabel) Model VARIMAX (p,q,r) merupakan model yang terbentuk dari model VARIMA yang memiliki kasus khusus yaitu jika asumsi white noise tidak terpenuhi atau adanya outlier. Model VARIMAX (p,q,r) dituliskan sebagai berikut : 𝛁 Y (𝒕) = 𝒄 + ∑ (𝒕 − 𝒊) + ∑ 𝛁d(𝒕 − 𝒋)𝒚t-j − ∑ (𝒕 − 𝒌) + 𝒆(𝒕) ...(2.16) Dimana : 𝛁 : operator pembedaan pada orde-d c : vektor dari intercept model VARIMAX : matriks dari parameter eksogen dengan lag-i (i=1,2,...,r) : matriks dari parameter autoregressive dengan lag-j (j=1,2,...,p) : matrik dari parameter rataan bergerak dengan lag-k (k=1,2,...,q)
22 2.8.1 Asumsi pada model VARIMAX Pada model VARIMAX terdapat bebeerapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu: a. Stasioneritas Stasionerita adalah keadaan dimana fluktuasi data berada pada ssekitar nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians. Apabila data tidak stasioner dalam rataan maka dilakukan proses differencing, dan apabila tidak stasione dalam varin maka dilakukan proses Box-Cox sehingga didapt varians yang konstan. b. Residual white noise White noise memiliki deret yang terdiri dari peubah acak yang berurutan dan tidak saling berkorelasi (𝑍𝑡) = 0 untuk setiap waktu, (𝑍𝑡) = 𝜎2 untuk setiap waktu dan 𝛾ℎ = (𝑍𝑡+ℎ, 𝑍𝑡) = 0untuk ℎ ≠ 0. c. Multinormal Residual Pada model VARIMAX diharapkan memiliki residual yang berdistribusi normal, untuk itu dilakukan pengecekan multinomial residual dengan uji Chi- Square atau dengan melihat plot multinomial residual. Apabila plot membentu garis lurus maka residual berdistribusi normal. 2.9 Kereta Api
23 Terdapat beberapa jenis transportasi di dunia ini, mulai dari transportasi udara, darat hingga laut. Jenis transportasi yang mudah dan sering digunakan ialah transportasi darat seperti, bus,kendaraan bermotor, dan kereta api. Dari berbagai jenis transportasi darat tersebut, kereta api merupakan jenis transportasi yang mempunyai lintasan khusus yang bernama rel, sehingga kereta api merupakan transportasi yang sering digunakan karena nyaman dan terhindar dari kemacetan. Kereta api biasa digunakan oleh masyarakat untuk menunjang mobilitas perekonomian, seperti pada bidang perdagangan. Selain lebih nyaman dan cepat, cara membeli tiket kereta api saat ini juga lebih mudah. Untuk mendapat tiket kereta api saat ini kita tidak perlu repot-repot lagi mengantri di loket, tiket kereta api dapat dibeli malalui online pada situs web misalnya KAI Acsess, ataupun pada minimarket-minimarket terdekat. Karena mudahnya acsess tiket kereta api sehingga masyarakat saat ini lebih memilih transportasi tersebut. Sehingga jumlah penumpang kereta api semakin meningkat setiap tahunnya. Di Indonesia perusahaan kereta api telah di kuasai oleh pemerintah yaitu PT. KAI. PPID PT Kereta Api Indonesia (Persero) atau PT KAI terbentuk pada tahun 2010 yang diatur melalui Surat Keputusan (SK) Direksi PT Kereta Api Indonesia (Persero) Nomor: KEP. U/OT.003/VI/3/KA-2010 tentang Perubahan dan Tambahan (P&T) atas Keputusan Direksi Nomor: KEP/U/OT.003/VI/1/KA- 2009 tanggal 5 Juni 2009 tentang Organisasi dan Tata laksana Sekretariat Perusahaan di Lingkungan Kantor Pusat PT Kereta Api Indonesia (Persero). Unit organisasi di bidang Keterbukaan Informasi Publik di lingkungan PT KAI ini ditangani oleh Manager Public Information Care yang secara struktur berada di
24 bawah Vice President Public Relations yang berada di bawah garis komando Executive Vice President Corporate Secretary (EVP Sekretaris Perusahaan). Manager Public Information Care atau PPID Pusat PT KAI ini mempunyai tugas pokok dan tanggung jawab atas pengelolaan informasi publik yang mencakup penyimpanan, pendokumentasian, penyediaan dan/atau pelayanan informasi terhadap pengguna informasi publik. Sedangkan PPID di daerah melekat pada Manager Humas daerah sesuai wilayah kewenangannya , ada 13 Manager Humas daerah (9 Daop dan 4 Divre) di seluruh PT KAI. Seluruh aturan perusahaan yang mengatur tentang pembentukan PPID di PT KAI ini mengacu pada Undang- undang No.14 tahun 2008 tentang Keterbukaan Informasi Publik.