Team Dosen Riset Operasional Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1
Pertamakali dipublikasikan pada tahun 1909 oleh Agner Kraup Erlang yang mengamati masalah kepadatan penggunaan telepon di Copenhagen Telephone. Ciri dari antrian : Kelambatan pelayanan pada saat-saat tertentu karena tingkat permintaan pelayanan yang melampaui dalam sebuah sistem. Antrian ialah suatu garis tunggu dari pelanggan yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Antrian tidak perlu hadir secara fisik di depan struktur fisik fasilitas pelayanan. Anggota antrian dapat tersebar di beberapa tempat, sambil menunggu pelayan datang di tempat mereka masing-masing. 2
Antrian timbul disebabkan karena kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, pengurangan keuntungan. akan menimbulkan Sebaliknya sering timbul antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan/nasabah. 3
Klasifikasi antrian menurut Hillier & Lieberman : 1. Sistem pelayanan komersial ; merupakan aplikasi yang luas dari model-model antrian, seperti restoran, sangat kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dll. 2. Sistem pelayanan bisnis-industri; mencakup lini produksi, sistem material-handling, sistem pergudangan, dan sistem- sistem informasi komputer. 3. Sistem pelayanan transportasi 4. Sistem pelayanan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor & jawatan- jawatan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM & STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dll. sosial; merupakan 4
Sistem Antrian/Garis Tunggu Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan Bank Nasabah (orang) Pencucian mobil Mobil Bongkar muat barang Kapal dan truk Sistem komputer Program komputer Bantuan pengobatan darurat Orang Perpustakaan Member Registrasi mahasiswa Mahasiswa Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Fasilitas Pelayanan Landasan pacu Kasis/teller Tempat pencucian mobil Fasilitas bongkar muat CPU, printer, dll Ambulance Pegawai perpustakaan Pusat registrasi Pengadilan
Sumber Masukan Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian Sistem antrian 1 2 Antrian n Mekanisme pelayanan Pelanggan yang sudah dilayani
1. Sumber Masukan Disebut (Calling juga sebagai Populasi Sumber Population) atau "kedatangan" atau sering dinamakan proses input. Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan (misal : orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dll). Karakteristiknya : ukuran, yaitu jumlah pelanggan yang mungkin membutuhkan pelayanan dari waktu ke waktu (jumlah pelanggan potensial). Umumnya merupakan variabel acak dan pola statistik untuk pembangkitnya adalah distribusi Poisson. Asumsi yang setara adalah "waktu antara dua kedatangan yang berurutan", adalah terdistribusi Eksponensial. 7
2. Antrian Antrian merupakan sebelum dilayani. tempat pelanggan "menunggu" Karakteristik : diizinkan berada di dalamnya. Timbulnya sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. jumlah maksimum pelanggan yang
antrian terutama tergantung dari 3. Pelayanan Pelayanan disebut juga sebagai mekanisme pelayanan Dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan (satu atau lebih
fasilitas pelayanan). Tiap-tiap fasilitas pelayanan, kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) 8
Tingkatkan kedatangan merupakan distribusi kedatangan pelanggan dan interval waktu tetap dalam suatu kurun waktu. 06.00 07.00 08.00 09.00 10.00 Misal pola permintaan pelanggan telepon yang meminta sambungan dalam kurun waktu yang tidak terputus time) dapat dibagi ke dalam beberapa (continuous of interval waktu yang sama (fixed interval) 9
Permintaan pelanggan terdistribusi secara acak pada masing-masing interval waktu tetap dalam kurun waktu yang tidak terputus proses poisson Misal ada 10 pelanggan yang datang dalam kurun waktu 06.00 - 10.00 dan jumlah pelanggan yang datang pada setiap interval berbeda. Asumsi : Kedatangan pelanggan bersifat acak Kedatangan pelanggan antar interval waktu saling tidak mempengaruhi 10
Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Ada 5 bentuk disiplin antrian yang biasa digunakan : 1. First-Come First-Served (FCFS) atau First-In First-Out (FIFO) ; artinya lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar). 2. Last-Come First-Served (LCFS) atau Last-In First-Out (LIFO); artinya yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. 3. Service In Random Order (SIRO); artinya panggilan layanan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba. 4. Priority Service (PS) ; artinya prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dulu tiba dalam garis tunggu. 11
1. Single Channel Single Phase/Single Server Single Phase 2. Multi Channel Single Phase/ Multi Server Single Phase 3. Single Channel Multi Phase/Single Server Multi Phase 4. Multi Channel Single Phase/Multi Server Single Phase 12
Kedatangan konsumen Fasilitas Pelayanan s Konsumen antri menunggu pelayanan 1 Pelayan SISTEM ANTRIAN Konsumen Keluar 13
Kedatangan konsumen Fasilitas Pelayanan s s Konsumen antri menunggu pelayanan s 3 Pelayanan SISTEM ANTRIAN Konsumen keluar 14
Subsistem Antrian 1 SISTEM ANTRIAN Subsistem Antrian 2 15
SISTEM ANTRIAN 16
n Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah pelanggan dalam sistem = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan Ls = jumlah rata-rata pelanggan dlm sistem Lq = jumlah pelanggan yang menunggu dalam antrian
Ws = waktu rata-rata dalam sistem Wq = waktu rata-rata selama menunggu dalam antrian 1/µ = waktu rata-rata pelayanan 1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan = jumlah fasilitas pelayanan S
( A / B / C );( D / E/ F ) Dimana : A = distribusi waktu antar kedatangan (arrival distribution) B = distribusi waktu pelayanan C = jumlah salruran pelayanan/fasilitas pelayanan dalam sistem (s = 1, 2, 3, ... , ) D = disiplin antrian E = ukuran populasi atau sumber F = jumlah konsumen maksimum yang diperkenankan dalam sistem (dalam pelayanan ditambah garis tunggu) 19
Keterangan : 1. Untuk A dan B, dapat digunakan kode-kode berikut : M = Distribusi Poisson atau distribusi eksponensial (Markovian) D = Distribusi Degenerasi (waktu konstan) Ek = Distribusi Erlang G = Distribusi umum 2. Untuk C, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan. 3. Untuk D, gunakan kode-kode pengganti FIFO, LIFO, atau SIRO. 4. Untuk E dan F, digunakan kode : N = Jumlah terbatas = Tak berhingga 20
Contoh : model (M/M/1);(FIFO//) artinya : kedatangan Model menyatakan pelayanan didistribusikan didistribusikan secara eksponensial, jumlah pelayan adalah satu, disiplin antrian adalah First-In First-Out, tidak berhingga jumlah langganan yang boleh masuk dalam sistem antrian, dan ukuran populasi masukkan adalah tak berhingga. waktu poisson, waktu antar secara model (M/G/1) artinya : kedatangan waktu Model menyatakan didistribusikan secara eksponensial, waktu pelayanan tidak ada batasan, dan jumlah pelayan adalah 1. antar 21
Karakteristik : 1. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan Disebut juga tingkat kegunaan fasilitas (P), adalah hasil bagi antara laju kedatangan dan laju pelayanan. Makin besar harga P maka makin panjang antrian dan sebaliknya. P 22
2. Probabilitas Kepastian n Pelanggan dalam Sistem Jika P adalah peluang bahwa sistem antrian sibuk, maka 1-P adalah sebaliknya (artinya peluang bahwa sistem antrian tidak mempunyai pelanggan) 0,0,100nPPPnPPnn maka : 11nnnPPP
3. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Sistem Misal Ls merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem yang mencakup pelanggan yang menunggu dan yang sedang dilayani. PPLS1 4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian Misal Lq merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian. PPLq1)(22 24
5. Waktu Rata-Rata dalam Sistem Misal WS merupakan waktu rata-rata bahwa seorang pelanggan akan menghabiskan waktunya dalam sistem. 1SW 6. Waktu Rata-Rata dalam Antrian Misal Wq merupakan waktu rata-rata yang diperlukan seorang pelanggan untuk menerima pelayanan.
qW 25
PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 kendaraan per jam, dengan waktu pelayanan setiap kendaraan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. distribusi poisson yaitu Fasilitas Pelayanan Kedatangan mobil, 15 per jam Mobil antri menunggu pelayanan s 1 pompa bensin melayani 20 mobil per jam Mobil Keluar SPBU CIARD
Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah : 1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p) 2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian 4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) 5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian
λ = 20 dan µ = 25 1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau P 80,02520μλ P Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya (1 - P) yang sering idle time akan digunakan operator untuk disebut istirahat, dll .
2 3 atau,4202520λ-μλ LS 480,0180,0p-1p LS Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem 20,3125400)2025(25)20(λ)-μ(μλ Lq22 yang Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20 kendaraan 3 kendaraan
4 5 menit 12atau jam 20,025120251λ-μ1 WS Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit menit 9,6atau jam 16,012520)2025(2520λ)-μ(μλ Wq Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit
Merupakan model antrian fasilitas pelayanan (server) ganda. Diasumsikan rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada tingkat pelayanan keseluruhan (agregat) atau penjumlahan segenap rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat & kondisi lain sama dengan Model Server Tunggal Karakteristik : 1. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan sP 31
2. Probabilitas Kepastian n Pelanggan dalam Sistem 1001!!1snsnssnP snjikaPsssnjikaPnPOsnnOnn,!0,! 32
3. Jumlah Rata
Rata Pelanggan dalam Sistem
20201!1!PsPPsssPLSSs
μλ LqλWLs
4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian 20201!1!PsPPsssPLqSS
5. Waktu Rata-Rata dalam Sistem μ1 WqWs 6. Waktu Rata-Rata dalam Antrian λLq Wq 34
Calon penumpang kereta api datang pada 3 loket dengan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 75 calon pelanggan per jam. Jika waktu pelayanan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 2 menit. Carilah operating characteristics setelah sistem diasumsikan steady state ! s Calon Penumpang KA (rata-rata 75 calon penumpang per jam) Calon penumpang KA menunggu ddalam antrian untuk membeli tiket s s 3 saluran pelayanan Penjualan tiket (rata-rata waktu pelayanan 2 menit) Calon penumpang pergi setelah membeli tiket Model Penjualan Tiket KA
Diketahui λ = 75 calon pelanggan per jam µ = 30 calon pelanggan per jam s = 3 loket 1. Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem 0449,0625,156625,61303751!33075!23075!13075!0307513210OP
2. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam antrian
menunggupenumpangcalonLq45,330.3751!330.37530750449,023 3. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam sistem sistemdalampenumpangcalon63075 5,3Ls
4. Waktu menunggu setiap calon penumpang selama dalam antrian 5. Waktu setiap calon penumpang berada dalam sistem menitjam8,4301 jam 0467,0Ws 5. Waktu setiap calon penumpang berada dalam sistem menitjam8,4301 jam 0467,0Ws