STRATEGI PEMECAHAN MASALAH DALAM MATEMATIKA Karsoni Berta Dinata1 1Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Kotabumi email: Abstract The main purpose of studying mathematics is to find ways to solve problems or mathematics problems. What is meant by problems or mathematics problems is a thing that final result, or how to solve it is not known. In solving mathematical problems there are several strategies that can be used that are: direct proof, indirect proof, verification with contradiction, proof with examples of denying, reverse working strategy, pattern discovery, and the use of bird house principles. Keywords: Proofing, contradiction, pattern discovery, and bird house principles A. PENDAHULUAN Dalam pembelajaran matematika, Masalah (Problem) merupakan pemecahan masalah merupakan salah satu bagian dari kehidupan manusia baik kompetensi atau kemampuan yang harus bersumber dari dalam diri maupun dipelajari dan dikuasai. De Lange dalam lingkungan sekitar. Hampir setiap hari Shadiq (2014:8) menyatakan ada delapan manusia berhadapan dengan suatu masalah kompetensi yang harus dikuasai selama yang perlu dicari jalan keluarnya. Adanya proses pembelajaran matematika yaitu: 1) pemasalahan tersebut secara tidak berpikir dan bernalar matematis, 2) ber- langsung menjadikan pemecahan masalah argumentasi matematis, 3) berkomunikasi sebagai aktivitas dasar manusia untuk matematis, 4) pemodelan matematika, 5) dapat bertahan hidup. Oleh karena itu, pemecahan masalah, 6) representasi, 7) setiap orang diharapkan mampu berperan symbol, dan 8) alat dan teknologi. sebagai pemecah masalah yang handal Pembelajaran matematika yang untuk dapat mempertahankan hidupnya. hanya berorientasi pada penyampaian Seseorang pemecah masalah terampil materi secara langsung hanya meningkat- tidak dapat terlepas dari kemampuan kan kemampuan mengingat saja, tetapi berpikir sistematis, logis, dan kritis serta akan kurang meningkatkan kemampuan kegigihan dalam memecahkan masalah bernalar. Oleh karena itu pembelajaran yang dihadapinya. Kemampuan serta ke- matematika hendaknya lebih menekankan gigihan tersebut tidak serta merta dimiliki pada peningkatan kemampuan berpikir seseorang, melainkan dapat dipelajari dan matematis. Salah satu cara yang dapat dilatih salah satunya melalui matematika. dilakukan adalah dengan menghadapkan 1Tenaga Pengajar pada Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Kotabumi
Strategi Pemecahan Masalah dalam Matematika (Karsoni Berta Dinata) pada soal atau masalah yang cukup kebenaranya. Masalah ini mengutama- menantang dan menarik, kemudian kan hipotesis atau konklusi dari suatu berdiskusi untuk menyelesaikan masalah teorema yang kebenarannya harus tersebut bersama-sama. dibuktikan. Dalam menyelesaikan masalah 2. Pemecahan Masalah Matematika matematika ada beberapa strategi yang dapat digunakan. Dalam artikel ini hanya Pemecahan masalah merupakan akan dipaparkan secara singkat beberapa bagian dari kurikulum matematika yang strategi yang biasa digunakan untuk sangat penting. Hal ini dikarenakan siswa menyelesaikan permasalahan matematika akan memeroleh pengalaman dalam meng- beserta contoh dan penyelesaianya. gunakan pengetahuan serta keterampilan yang dimiliki untuk menyelesaikan soal B. PEMBAHASAN yang tidak rutin. Sependapat dengan 1. Masalah Matematika pernyataan tersebut, Lencher dalam Berbicara masalah matematika, Wardhani, dkk (2010:15) mendefinisikan Lencher dalam Wardhani (2010:7) pemecahan masalah sebagai proses me- mendeskripsikan sebagai soal matematika nerapkan pengetahuan matemtika yang yang strategi penyelesaiaanya tidak telah dipeoleh sebelumnya ke dalam langsung terlihat, sehingga dalam pe- situasi yang baru. nyelesaiannya memerlukan pengetahuan, Pembicaraan mengenai pemecahan keterampilan, dan pemahaman yang telah masalah matematika tidak dapat terlepas dipelajari sebelumnya. dari tokoh utamanya, yakni George Polya. Lebih lanjut Polya dalam Saraswati, Menurut Polya dalam Budhi (2003:2) ada dkk (2013:2) mengemukakan dua macam 4 langkah yang perlu dilakukan dalam masalah matematika yaitu: menyelesaikan masalah matematika. a) Masalah untuk menemukan (problem a. Memahami soal yang ada to find). Masalah ini diartikan sebagai Dalam memahami soal ada baiknya masalah yang harus dipecahkan dimunculkan pertanyaan diantaranya dengan mencoba untuk mengkontruksi sebagai berikut: semua jenis objek atau informasi yang 1) Apakah kita mengetahui arti semua dapat digunakan. kata yang digunakan? Kalau tidak, b) Masalah untuk membuktikan (problem carilah di kamus dan lainnya. to prove). Masalah ini diartikan se- 2) Apakah kita mengetahui yang dicari bagai masalah yang harus ditunjukkan atau ditanya? 55
Jurnal Eksponen Volume 7 Nomor 2, September 2017 3) Apakah kita mampu menyajikan soal dengan menggunakan kata-kata sendiri? 4) Apakah soal dapat disajikan dengan cara lain? 5) Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan? 6) Apakah informasi cukup untuk dapat menyelesaikan soal? 7) Apakah informasi berlebihan? 8) Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari soal? b. Menyusun Strategi Ada beberapa kiat yang dapat di- lakukan dalam menyusun strategi yaitu: 1) Kita akan membahas berbagai strategi yang ada, tetapi jangan ragu- ragu untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan soal yang kita hadapi. 2) Pada umumnya, strategi yang berhasil diketemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah langkah kecil untuk mencapai tujuan yang kita inginkan. c. Melakukan Strategi yang dipilih Langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Disini hanya diperlukan kesabaran dan kehati-hatian dalam menjalankan. d. Melihat kembali pekerjaan yang telh dilakukan. 56 3. Karakteristik yang Baik dalam Melakukan Pemecahan Masalah Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang pemecahan masalah telah di- lakukan beberapa puluh tahun yang lalu. Menurut Dodson dan Holander dalam Budhi (2003:3) karakteristik yang harus ditumbuhkan dalam pemecahan masalah matematika, yaitu sebagai berikut: a. kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika; b. kemampuan untuk mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi; c. kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar; d. kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan; e. kemampuan untuk menaksir dan menganalisa; f. Kemampuan untuk memvisualisasi dan menginterpretasi kuantitas atau ruang; g. Kemampuan penalaran induktif; h. Kemampuan mengganti metode yang diketahui; i. Mempunyai kepercayaan diriyang cukup dan merasa senag terhadap materinya. 4. Strategi Pemecahan Masalah Matematika Strategi pemecahan masalah mate- matika merupakan cara berpikir yang dapat digunakan ketika hendak me-
Strategi Pemecahan Masalah dalam Matematika (Karsoni Berta Dinata) nyelesaikan suatu masalah. Pemecahan 𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 + 4𝑘 + 1 = suatu masalah matematika dapat ditempuh 2(2𝑘2 + 2) + 1 dengan berbagai macam metode maupun Hasil ini dapat diinterpretasikan strategi, akan tetapi yang menjadi per- bahwa 𝑛2 merupakan jumlah bilangan soalan adalah bagaimana menentukan genap ditambah 1, sehingga 𝑛2 merupakan strategi yang terbaik dan terefisien. Hal ini bilangan ganjil. terkait dengan masalah yang dihadapi terlihat lebih sederhana sehingga mudah b. Pembuktian Tak Langsung Kontrapositif atau untuk dipecahkan. Dalam logika implikasi, pernyataan Berikut akan dipaparkan beberapa 𝑝 → 𝑞 ekuivalen dengan pernyataan ~𝑞 → strategi pemecahan masalah matematika ~𝑝. Oleh karena itu dengan membuktikan beserta contoh masalah dan penyelesaian. secara langsung bahwa ~𝑞 bernilai benar, a. Metode Pembuktian Langsung maka ~𝑝 juga benar. Sehingga telah Dalam membuktikan pernyataan 𝑝 → dibuktikan ~𝑞 → ~𝑝 dan sekaligus 𝑝 → 𝑞 𝑞 menggunakan metode pembuktian bernilai benar. langsung dilakukan dengan cara sebagai Contoh: berikut: Asumsikan bahwa p bernilai Buktikan jika 𝑛2 bilangan genap, maka benar, kemudian dengan menggunakan n bilangan genap! pernyataan jika-maka yang lain, dapat Penyelesaian: diperlihatkan bahwa q juga benar. Oleh Untuk membuktikan kebenaran per- karena itu pernyataan 𝑝 → 𝑞 bernilai nyataan tersebut dapat menggunakan benar. Secara abstrak, penjelasan tersebut metode pembuktian tak langsung, artinya dikenal sebagai silogisme: perlu pengubahan pernyataan dalam 𝑝 → 𝑟 𝑟 → 𝑞 ∴ 𝑝 → 𝑞 bentuk ekuivalennya yaitu: Jika n ganjil (tidak genap) maka 𝑛2 ganjil. Pernyataan ini sudah dibuktikan Contoh: sebelumnya. Sehingga terbukti benar Buktikan jika n bilangan bulat ganjil, bahwa jika 𝑛2 bilangan genap, maka n maka 𝑛2 juga bilangan bulat ganjil ! bilangan genap. Penyelesaian: Karena 𝑛 bilangan bulat ganjil dapat c. Metode Pembuktian dengan Kontradiksi dituliskan 𝑛 = 2𝑘 + 1, dengan k bilangan Untuk membuktikan pernyataan 𝑝 → 𝑞 bulat. Sehingga ber nilai benar dengan kontradiksi adalalah 57
Jurnal Eksponen Volume 7 Nomor 2, September 2017 dengan cara anggap p benar. Kemudian kita anggap 𝑝 → 𝑞salah, sehingga q harus bernilai salah atau ~𝑞 benar. Misalkan kita menemukan pernyataan r sehingga di- peroleh pernyataan 1) yaitu 𝑝˄(~𝑞) → 𝑟˄(~𝑟) bernilai benar. Perhatikan bahwa 𝑟˄(~𝑟) akan selalu salah, sehingga agar pernyataan 1) bernilai benar maka per- nyataan 𝑝˄(~𝑞) harus bernilai salah atau ~(𝑝˄(~𝑞)) yang ekuivalen dengan 𝑝 → 𝑞 bernilai benar. Contoh. Buktikan ϕ ⊂ A Penyelesaian: Misalkan 𝜙 ⊂ 𝐴, pernyata- an ini dapat diartikan bahwa ada anggota himpunan himpunan kosong yang tidak menjadi anggota himpunan A. suatu ke- adaan yang tidak mungkin terjadi karena ϕ tidak mempunyai anggota. Dengan keadaan yang kontradiksi ini, dapat disimpulkan bahwa pemisalan tadi yaitu 𝜙 ⊂ 𝐴 bernilai salah. Yang benar adalah ϕ ⊂ A. d. Metode Pembuktian dengan Contoh Penyangkal Metode ini digunakan dengan memilih salah satu contoh sehingga suatu pernyata- an menjadi salah. Contoh: Buktikan untuk setiap bilangan asli 𝑛 𝜖 𝑁, 𝑛2 + 𝑛 + 1 merupa- kan bilangan prima! Jawab: Pada soal ini, kita cukup membuktikan bahwa pernyataan itu salah. Sehingga 58 cukup diperlihatkan bahwa ada bilangan asli sehingga 𝑛2 + 𝑛 + 1 bukan bilangan prima. Dengan mengambil n= 4 diperoleh hasil 21 yang merupakan bukan bilangan prima. e. Strategi Bekerja Mundur Permasalahan yang menggunakan strategi ini terjadi jika hasil akhir diketahui dalam soal dan diminta untuk menyatakan kejadian asli. Contoh: Rata-rata 11 nilai ulangan harian matematika Jery adalah 80. Gurunya mengumumkan bahwa siswa harus meng- eliminasi salah satu nilai mereka lalu menghitung rata-ratanya. Jery meng- eliminasi nilai 30 yang dia dapatkan pada ulangan yang pertama. Berapakah rata-rata nilai ulangan Jery yang baru? (Posamentier & Krulik, 1998) Jawab: Rata-rata 11 nilai ulangan Jery adalah 80, jadi jumlah nilai ulanganya adalah: 11 x 80 = 880 880 - 30 = 850 850 : 10 = 85 Jadi, rata-rata nilai Jery yang baru adalah 85. f. Strategi Penemuan Pola Penemuan pola adalah salah satu strategi dalam problem solving dimana kita dapat mengamati informasi yang
Strategi Pemecahan Masalah dalam Matematika (Karsoni Berta Dinata) diberikan seperti gambar, angka, huruf, dll. Contoh: Seorang tukang listrik harus Dengan mengamati pola kita dapat mengambil sekering listrik yang terdiri memecahkan masalah yang diberikan dari skering 15 A dan 20 A tanpa dapat dengan menentukan apa yang terjadi pada memilih. Dalam satu kali ambil, ia elemen selanjutnya. menginginkan ada dua sekering yang Contoh. Tentukan digit terakhir 819? mempunyai ukuran yang sama besar. (Posamentier & Krulik, 1998) Tentukan jumlah minimal sekering yang Jawab: harus ia ambil? Banyak orang akan menyelesaikan Jawab masalah tersebut dengan menggunakan Jika ia hanya mengambil 1 sekering jelas kalkulator, tetapi kalkulator tidak dapat hanya satu dapat diperoleh, yaitu sekering memberikan hasil karena terbatasnya 15 A atau 20 A. Jika ia mengambil 2 ruang tampil digit. Sehingga perlu metode sekering maka kemungkinannya; lain dengan menggunakan pola per- 1. Dua buah sekering 15 A dan tidak pangkatan yaitu ada yang berukuran 20 A. 81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768 86 = 262144 87 = 2097152 88 = 16777216 2. Satu buah sekering 15 A dan satu buah sekering 20 A. 3. Tidak ada sekering 15 A dan dua buah sekering 20 A. Oleh karena itu agar diperoleh dua buah sekering yang berukuran sama, Perhatikan pola yang terjadi, digit tukang listrik tersebut harus mengambil 3 terakhir berulang melingkar empat kali. buah sekering secara acak. Sesuai dengan Pangkat yang dicari adalah pangkat 19, prinsip rumah burung, jika ada 3 burung jika dibagi 4 maka akan ber-sisa 3 (dalam hal ini banyak sekering dalam sehingga digit terakhir dari 819 adalah 2. sekali pengambilan) dan 2 rumah burung g. Menggunakan Prinsip Rumah Burung (dalam hal ini jenis sekering), maka terdapat sekering yang sama. Prinsip rumah burung dinyatakan sebagai berikut: Jika diketahui tersedia C. PENUTUP rumah burung sebanyak n dan ada n+1 Dalam memecahkan permasalahan burung, maka salah satu dari rumah matematika ada banyak srategi yang dapat burung tersebut terdiri dari lebih dari satu digunakan diantaranya adalah, 1) pem- burung. buktian langsung, 2) pembuktian tak 59
Jurnal Eksponen Volume 7 Nomor 2, September 2017 langsung, 3) pembuktian dengan kontra- penggunaan strategi tersebut, pemecah diksi, 4) pembuktian dengan contoh pe- masalah harus cerdas dalam memahami nyangkal, 5) strategi bekerja mundur, 6) masalah matematika dan memilih strategi penemuan pola, dan 7) penggunaan prinsip yang tepat. rumah burung. Tentu saja dalam DAFTAR PUSTAKA Budhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: Rizki Grafis Shadiq, Fadjar. 2014. Pembelajaran Matematika: Cara Meningkatkan Kemampuan Berpikir Siswa. Yogyakarta: Graha Ilmu. Saraswati, Sari, dkk. 2014. Matematika: Strategi Pemecahan Masalah. Yogyakarta: Graha Ilmu Wardhani, dkk. 2010. Pembelajaran Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika di SMP. Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Posementier & Krulik. 1998. Problem-Solving Strategi For Efficient and Elegant Solutions; A Resource For the Mathematics Teacher. Thousand Oaks: Corwin Press, inc 60