Universitas Pamulang MATEMATIKA EKONOMI Disusun Oleh Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd. Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd. Kusworo, S.Pd., M.Pd. Jl. Surya Kencana No. 1 Pamulang Gd. A, Ruang 211 Universitas Pamulang Tangerang Selatan - Banten Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi i
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi MATEMATIKA EKONOMI Penulis: Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd. Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd Kusworo, S.Pd., M.Pd. ISBN: 978-602-5867-40-8 Editor: Saiful Anwar, S.Pd., S.E., M.Pd. Penyunting: Ubaid Alfaruq, S.Pd., M.Pd. Desain Sampul: Ubaid Alfaruq, S.Pd., M.Pd. Penerbit: UNPAM PRESS Redaksi: Jl. Surya Kencana No. 1 Pamulang - Tangerang Selatan Telp. 021 7412566 Fax. 021 74709855 Email : unpampress@unpam.ac.id Cetakan pertama, 2 Mei 2019 Hak cipta dilindungi undang-undang Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan cara apapun tanpa ijin penerbit Matematika Ekonomi ii
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi LEMBAR IDENTITAS ARSIP Data Publikasi Unpam Press I Lembaga Pengembangan Pendidikan dan Pembelajaran Universitas Pamulang Gedung A. R.211 Kampus 1 Universitas Pamulang Jalan Surya Kencana No.1, Pamulang Barat, Tangerang Selatan, Banten. Website : I email : unpampress@unpam.ac.id Matematika Ekonomi / Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd., Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd, Kusworo, S.Pd., M.Pd. -1sted. ISBN 978-602-5867-40-8 I.Matematika Ekonomi II. Enggar Prasetyawan III. Dameis Surya Anggara IV. Kusworo M032-02052019-1 Ketua Unpam Press : Sewaka Koordinator Editorial : Aeng Muhidin, Ali Madinsyah Koordinator Bidang Hak Cipta : Susanto Koordinator Produksi : Pranoto Koordinator Publikasi dan Dokumentasi : Ubaid AL Faruq Desain Cover : Ubaid Al Faruq Cetakan pertama, 2 Mei 2019 Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang menggandakan dan memperbanyak sebagian atau seluruh buku ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin penerbit. Matematika Ekonomi iii
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi MATEMATIKA EKONOMI IDENTITAS MATA KULIAH Program Studi : S-1 Pendidikan Ekonomi Mata Kuliah/ Kode : Matematika Ekonomi/ PIE0093 Jumlah SKS : 3 Prasyarat : Deskripsi Mata Kuliah : Kuliah wajib prodi yang bersifat wajib ditempuh mahasiswa Program Studi S1 Pendidikan Ekonomi FKIP UNPAM. Capaian pembelajaran mata kuliah ini yaitu: Mahasiswa mampu memahami dan terampil dalam mengaplikasikan ilmu matematika dalam menyelesaikan masalahmasalah ekonomi melalui pembelajaran berbasis masalah. Cakupan Materi Matematika Ekonomi yaitu: 1) Himpunan, 2) Sistem Bilangan Riil dan Pertidaksamaan, 3) Fungsi Linier dan aplikasi dalam ekonomi seperti fungsi linier pada permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar, fungsi pajak dan subsidi, fungsi konsumsi dan tabungan, 4) Barisan dan Deret dan aplikasi dalam ekonomi seperti : bunga majemuk, 5) Fungsi Kuadrat dan aplikasi dalam ekonomi seperti: fungsi kuadrat permintaan dan penawaran, fungsi penerimaan total, 6) Fungsi Eksponen dan Logaritma serta aplikasi dalam ekonomi seperti : fungsi pertumbuhan, 7) Turunan dan aplikasi dalam ekonomi seperti elastisitas harga. Tugas yang wajib dikerjakan oleh mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah Matematika Ekonomi iv
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi ini yaitu menganalisis dan menyelesaikan masalah-masalah ekonomi melalui matematika. Capaian Pembelajaran : Setelah mengikuti mata kuliah Matematika Ekonomi mahasiswa mampu memahami dan terampil dalam mengaplikasikan ilmu matematika dalam menyelesaikan masalah-masalah ekonomi melalui pembelajaran berbasis masalah : Penyusun : Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd. Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd Kusworo, S.Pd., M.Pd. Mengetahui Ketua Program Studi Ketua Tim Penyusun Saiful Anwar, S.Pd., S.E., M.Pd. NIDN. 0426048503 Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd. NIDN. 0414069002 Matematika Ekonomi v
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PRAKATA Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya. Berkat karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan modul yang berjudul "Matematika Ekonomi". Modul ini disusun sebagai usaha untuk meningkatkan mutu lulusan mahasiswa pendidikan ekonomi dan menjawab kebingungan mahasiswa dalam memahami buku teks lain. Modul ini berisikan materi matematika dan aplikasinya terhadap ekonomi. Adapun struktur pokok modul ini terdiri dari tujuan pembelajaran, uraian materi, dan latihan. Tujuan pembelajaran digunakan untuk mengetahui arah atau tujuan mempelajari materi tertentu. Uraian materi digunakan untuk pemberian informasi/ pengetahuan kepada mahasiswa. Latihan digunakan untuk menguji kemampuan mahasiswa terhadap materi yang telah diperoleh. Penulis sadar bahwa dalam modul ini masih terdapat kekurangan, baik isi maupun tulisan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak sangat penulis harapkan. Semoga hasil penulisan modul ini bermanfaat dan dapat memberikan kontribusi bagi pengembangan ilmu pengetahuan. Tangerang Selatan, 22 Maret 2019 Penulis Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd. NIDN. 0414069002 Matematika Ekonomi vi
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi DAFTAR ISI COVER DALAM ... i LEMBAR IDENTITAS PENERBITAN... ii IDENTITAS MATA KULIAH ... iii PRAKATA ... iv DAFTAR ISI ... v DAFTAR TABEL ... vi DAFTAR GAMBAR ... vii PERTEMUAN 1: HIMPUNAN ... 1 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 1 B. URAIAN MATERI ... 1 C. LATIHAN ... 6 D. DAFTAR PUSTAKA ... 7 PERTEMUAN 2: SISTEM BILANGAN RIIL DAN PERTIDAKSAMAAN ... 8 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 8 B. URAIAN MATERI ... 8 C. LATIHAN ... 20 D. DAFTAR PUSTAKA ... 20 PERTEMUAN 3 : FUNGSI LINIER ... 21 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 21 B. URAIAN MATERI ... 21 C. LATIHAN ... 26 D. DAFTAR PUSTAKA ... 27 PERTEMUAN 4: FUNGSI LINIER PERMINTAAN, PENAWARAN, DAN KESEIMBANGAN PASAR ... 28 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 28 B. URAIAN MATERI ... 28 C. LATIHAN ... 43 D. DAFTAR PUSTAKA ... 43 Matematika Ekonomi vii
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN 5: FUNGSI LINIER PADA PAJAK ... 44 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 44 B. URAIAN MATERI ... 44 C. LATIHAN ... 52 D. DAFTAR PUSTAKA ... 52 PERTEMUAN 6: FUNGSI LINIER PADA SUBSIDI ... 53 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 53 B. URAIAN MATERI ... 53 C. LATIHAN ... 61 D. DAFTAR PUSTAKA ... 61 PERTEMUAN 7: FUNGSI LINIER PADA KONSUMSI TABUNGAN ... 62 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 62 B. URAIAN MATERI ... 62 C. LATIHAN ... 71 D. DAFTAR PUSTAKA ... 71 PERTEMUAN 8 : BARISAN ... 72 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 72 B. URAIAN MATERI ... 72 C. LATIHAN ... 78 D. DAFTAR PUSTAKA ... 79 PERTEMUAN 9 : DERET ... 80 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 80 B. URAIAN MATERI ... 80 C. LATIHAN ... 85 D. DAFTAR PUSTAKA ... 85 PERTEMUAN 10 : BUNGA MAJEMUK ... 87 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 87 B. URAIAN MATERI ... 87 C. LATIHAN ... 89 D. DAFTAR PUSTAKA ... 89 Matematika Ekonomi viii
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN 11 : FUNGSI KUADRAT ... 90 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 90 B. URAIAN MATERI ... 90 C. LATIHAN ... 95 D. DAFTAR PUSTAKA ... 96 PERTEMUAN 12 : FUNGSI KUADRAT PADA PERMINTAAN ... 97 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 97 B. URAIAN MATERI ... 97 C. LATIHAN ... 102 D. DAFTAR PUSTAKA ... 102 PERTEMUAN 13 : FUNGSI KUADRAT PADA PENAWARAN ... 104 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 104 B. URAIAN MATERI ... 104 C. LATIHAN ... 109 D. DAFTAR PUSTAKA ... 109 PERTEMUAN 14 : PENERIMAAN TOTAL ... 110 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 110 B. URAIAN MATERI ... 110 C. LATIHAN ... 115 D. DAFTAR PUSTAKA ... 115 PERTEMUAN 15 : FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA ... 116 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 116 B. URAIAN MATERI ... 116 C. LATIHAN ... 123 D. DAFTAR PUSTAKA ... 123 PERTEMUAN 16 : FUNGSI PERTUMBUHAN ... 124 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 124 B. URAIAN MATERI ... 124 C. LATIHAN ... 129 D. DAFTAR PUSTAKA ... 130 Matematika Ekonomi ix
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN 17: TURUNAN ... 131 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 131 B. URAIAN MATERI ... 131 C. LATIHAN ... 139 D. DAFTAR PUSTAKA ... 139 PERTEMUAN 18 : ELASTISITAS HARGA ... 141 A. TUJUAN PEMBELAJARAN ... 141 B. URAIAN MATERI ... 141 C. LATIHAN ... 149 D. DAFTAR PUSTAKA ... 150 GLOSARIUM ... 151 DAFTAR PUSTAKA ... 152 Matematika Ekonomi x
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi DAFTAR TABEL Tabel 2.1: Contoh Interval Hingga ... 11 Tabel 2.2: Contoh Interval Tak Hingga ... 12 Tabel 10.1: Future Value ... 80 Matematika Ekonomi xi
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1: Himpunan Bilangan Kompleks ... 8 Gambar 3.1: Contoh Kurva Fungsi Linier 1 ... 19 Gambar 3.2: Contoh Kurva Fungsi Linier 2 ... 20 Gambar 4.1: Contoh Kurva Fungsi Linier Permintaan ... 26 Gambar 4.2: Contoh Kurva Fungsi Linier Penawaran ... 32 Gambar 4.3: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar ... 36 Gambar 5.1: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar Sebelum dan Setelah Pajak ... 42 Gambar 6.1: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar Sebelum dan Setelah Subsidi ... 51 Gambar 7.1: Contoh Kurva Fungsi Konsumsi ... 60 Gambar 7.2: Contoh Kurva Fungsi Tabungan ... 64 Gambar 7.3: Contoh Kurva BEP ... 66 Gambar 11.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat 1 ... 84 Gambar 11.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat 2 ... 85 Gambar 12.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Permintaan 1 ... 90 Gambar 12.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Permintaan 2 ... 90 Gambar 13.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Penawaran 1 ... 96 Gambar 13.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Penawaran 2 ... 96 Gambar 14.1 : Contoh Kurva Penerimaan Total ... 102 Gambar 15.1 : Contoh Kurva Fungsi Logaritma 1 ... 111 Gambar 15.2 : Contoh Kurva Fungsi Logaritma 2 ... 112 Gambar 16.1 : Contoh Kurva Gompertz ... 116 Gambar 15.2 : Contoh Kurva Belajar ... 117 Matematika Ekonomi xii
Universitas Pamulang Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi xiii
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 1 HIMPUNAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep himpunan 2. Menjelaskan hubungan antar himpunan 3. Menghitung operasi himpunan B. URAIAN MATERI 1. KONSEP HIMPUNAN a. Pengertian Sebelum dijelaskan tentang pengertian himpunan, akan disajikan contoh- contoh dari himpunan dan contoh- contoh dari bukan himpunan. Berikut ini contoh himpunan dan bukan himpunan : 1) Kumpulan hewan berkaki empat. (himpunan) 2) Kumpulan warna lampu lalu lintas. (himpunan) 3) Kelompok wanita cantik. (bukan himpunan) Kumpulan hewan berkaki dua memiliki anggota himpunan diantaranya kambing, kucing, gajah, dst. Kumpulan warna lampu lalu lintas memiliki anggota himpunan diantaranya merah, kuning, dan hijau. Kedua kumpulan tersebut termasuk himpunan karena dengan jelas dapat ditentukan anggota-anggotanya. Berbeda dengan kumpulan wanita cantik, yang anggota- anggotanya sangat sulit disebutkan, karena "cantik" memiliki definisi yang sangat luas dan berbeda-beda sesuai selera individu masing- masing. Jadi kumpulan wanita cantik bukan termasuk hmpunan. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan Matematika Ekonomi 1
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. b. Notasi dan Anggota Himpunan Suatu himpunan dapat diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C,D, E ..., Z. Benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen () dan benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan (). Adapun cara menulis anggota-anggota himpunan adalah dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}. Contoh : A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 11, jika ditulis dengan notasi himpunan akan menjadi A = {2, 3, 5, 7}. Berdasarkan contoh di atas, angka 2, 3, 5, dan 7 adalah anggota dari himpunan, ditulis 2 ; 3 A; 5 A; 7 A Angka selain 2, 3, 5, dan 7 bukan merupakan anggota himpunan, seperti 11, 17, dst, ditulis 11 A; 17A c. Menyatakan Suatu Himpunan Berikut ini disajikan contoh beberapa cara menyatakan suatu himpunan : 1) P adalah himpunan bilangan prima antara 5 dan 37 2) P = {5 < x < 40, x bilangan prima} 3) P = {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31} Berdasarkan contoh di atas, dapat diketahui cara menyatakan himpunan terbagi menjadi 3, yaitu :. 1) Dengan Kata-Kata Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 5 dan 37 Matematika Ekonomi 2
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2) Dengan notasi pembentuk himpunan. Menyatakan suatu himpunan dengan cara menggunakan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P = {5 < x < 40, x bilangan prima} 3) Dengan mendaftar anggota-anggotanya. yaitu dengan menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31} 2. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN Perhatikan contoh himpunan di bawah ini : A = {3, 5, 7, 11, 13} B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {6, 7, 8, 9, 10, 11} D = {1, 2, 3, 4, 5} Berdasarkan tiga himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa a. Himpunan A dan himpunan B memiliki beberapa anggota yang sama yaitu {3, 5}". b. Himpunan B dan himpunan C tidak memiliki anggota-anggota yang sama. c. Himpunan B dan himpunan D memiliki anggota yang sama Jadi hubungan antar himpunan dibedakan menjadi 2, yaitu hubungan saling lepas, dan hubungan tidak saling lepas. Berikut ini penjelasannya : a. Hubungan Saling Lepas Dua himpunan dapat dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan. Contoh : Diketahui dua himpunan sebagai berikut: B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {6, 7, 8, 9, 10, 11} Matematika Ekonomi 3
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Apakah kedua himpunan tersebut saling lepas? Jawab: Antara himpunan B dan C saling lepas karena di himpunan B tidak ada anggota yang di himpunan C. b. Hubungan Tidak Saling Lepas (berpotongan) Dua himpunan dapat dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada sisa anggota lainnya yang tidak memiliki persekutuan. Contoh : Diketahui dua himpunan sebagai berikut: A = {3, 5, 7, 11, 13} B = {1, 2, 3, 4, 5} Apakah himpunan tersebut tidak saling lepas? Jawab: Pada himpunan A ada anggotanya yang ada di anggota B yaitu 3 sehinga himpunan A dan B tidak saling lepas. c. Hubungan Sama Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama Contoh B = {1, 2, 3, 4, 5} D = {1, 2, 3, 4, 5} Antara himpunan B dan himpunan D anggotanya sama sehingga A = D 3. OPERASI HIMPUNAN Berikut ini dijelaskan mengenai operasi himpunan a. Irisan Dua Himpunan Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut Matematika Ekonomi 4
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi A B = {x | x A dan x B} Contoh : Diketahui dua himpunan sebagai berikut A = {3, 5, 7, 11} B = {0. 1, 2, 3, 4, 5} Tentukan irisan dari kedua himpunan tersebut! Jawab: Karena anggota yang sama di himpunan A dan B yang sama yaitu 3 dan 5, maka himpunan A irisan himpunan B ditulis dengan A B = {3,5} b. Gabungan Dua Himpunan gabungan dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota A, dan B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. A B = {x | x A atau x B} Gabungan atau disebut juga Union. Contoh: Diketahui himpunan sebagai berikut A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {1, 2, 3, 4, 5}, Tentukan gabungan dari kedua himpunan tersebut! Jawab: Gabungan antara himpunan A dan B dengan dengan angnota yang berbeda ditulis semua dan yang sama ditulis hanya sekali, maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} c. Selisih Dua Himpunan Selisih (difference) dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih Matematika Ekonomi 5
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi himpunan A dan B dinotasikan dengan A - B atau A\B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. A - B = {x | x A, x B} B - A = {x | x B, x A} Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {1, 2, 3, 4, 5} Angota himpunan A yang tidak ada di himpunan B yaitu 7 dan 9,maka A - B = {7, 9} d. Komplemen Suatu Himpunan Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota- anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Komplemen suatu himpunan A dinotasikan sebagai berikut : AC = {x | x S dan x A} Contoh : Diketahui himpunan A yaitu A = {2, 4, 6, 8} dan himpunan semesta S = {10, 12, 14, 16, 18, 20} Tentukanlah hasil dari himpunan A dikomplemenkan! Penyelesaian: Dikarenakan pada himpunan Semesta tidak ada anggota himpunan A maka himpunan A komplemen yaitu AC = {10, 12, 14, 16, 18, 20} C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Diketahui himpunan- himpunan berikut ini : S = {bilangan cacah kurang dari 15}; Matematika Ekonomi 6
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi A = {x | x < 10, x S}; dan B = {x | x 6, x S}. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota- anggotanya. a. AC e. A BC b. BC f. A\B c. (A B) C g. B\A d. (A B) C h. S\A 2. Diketahui himpunan-himpunan berikut. A = {x | x < 8, x bilangan cacah} B = {empat bilangan ganjil yang pertama} C = {x | 5 < x ≤ 37, x bilangan prima} Dengan menyebutkan anggota-anggotanya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut ini. a. A, B, dan C b. A B c. B C d. A (B C) e. A ( B C) f. B ( A C) D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Matematika Ekonomi 7
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 8
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi SISTEM BILANGAN RIIL DAN PERTEMUAN KE 2 PERTIDAKSAMAAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan himpunan bilangan Riil 2. Menjelaskan sifat medan dan sifat urutan bilangan riil 3. Menguraikan interval/ selang pada bilangan riil 4. Menghitung himpunan penyelesaian pertidaksamaan B. URAIAN MATERI 1. HIMPUNAN BILANGAN RIIL Sebelum disajikan himpunan bilangan riil, akan disajikan gambar 2.1 tentang himpunan bilangan kompleks di bawah ini : Gambar 2.1 : Himpunan Bilangan Kompleks Matematika Ekonomi 9
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Bilangan riil adalah bilangan yang nyata. Bilangan riil disimbolkan dengan huruf R. Berdasarkan gambar di atas dapat diketahui bahwa himpunan bilangan riil terdiri dari himpunan bilangan rasional, irrasional, bulat, cacah, dan asli. Berikut ini penjelasan mengenai himpunan bilangan riil di atas : a. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑝 𝑞 , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Ciri dari bilangan rasional adalah bilangan desimal yang berulang/ berpola. Contoh 1: Bilangan 1,333... Bukti : Jika 1,333 ... = A kemudian ruas kanan dan kiri dikalikan dengan 10 karena angka yang berulang sama yaitu haya angka 3 satu 13,33... = 10A Kemudian kirta pecahkan dengan memisahkan ngaka 1,333... sehingga 12 + 1,33... = 10A Karena 1,33... = 1,333... = A 12 + A = 10 A 12 = 10 A - A 12 = 9 A A = 12 9 Terbukti bahwa bilangan 1,333... = 12 9 yang merupakan bilangan rasional Contoh 2: Bilangan 1,636363... Bukti " Jika 1,636363 ... = B kemudian ruas kanan dan kiri dikalikan dengan 100 karena angka yang berulang sama yaitu angka 63 163,6363... = 100A Matematika Ekonomi 10
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Kemudian kirta pecahkan dengan memisahkan ngaka 1,636363... sehingga 162 + 1,6363... = 100B Karena 1,6363... = 1,636363... = B 162 + B = 100B 162 = 100 B - B 162 = 99 B B = 162 9 Terbukti bahwa bilangan 1,636363... = 162 9 yang merupakan bilangan rasional b. Bilangan Irrasional Bilangan dinyatakan dalam bentuk 𝑝 𝑞 irasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan Irrasional dilambangkan dengan huruf I. Ciri dari bilangan irrasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang/ tidak berpola. Contoh 1: Bilangan π (3,14159265... ) bilangan desimal dengan bentuk tidak berpola atau berulang sama sehingga dinamakan bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi a/b Contoh 2: Bilangan e (2,71828) bilangan desimal dengan bentuk tidak berpola atau berulang sama sehingga dinamakan bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi a/b Contoh 3: √2 (1,41451356...) bilangan desimal dengan bentuk tidak berpola atau berulang sama sehingga dinamakan bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi a/b Matematika Ekonomi 11
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi c. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z. Contoh : Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} d. Bilangan Cacah Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif. Bilangan cacah disimbolkan dengan huruf W. Contoh : W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} e. Bilangan Asli (N) Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif. Bilangan asli disimbolkan dengan huruf N. Contoh : N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 2. SIFAT MEDAN, DAN SIFAT URUTAN BILANGAN RIIL a. Sifat Medan 1) Hukum komutatif Jika x dan y R, maka x + y = y + x dan x.y = y.x 2) Hukum Asosiatif Jika x, y, dan z R, maka x + (y + z) = (x + y) + z dan x.(y.z) = (x.y).z 3) Hukum distributif Jika x, y, dan z R, maka x (y + z) = xy + xz 4) Eksistensi Unsur Identitas Jika x dan y R, maka x + 0 = x, dan x. 1 = x Matematika Ekonomi 12
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 5) Eksistensi Negatif/ Invers Penjumlahan Jika x dan y R, maka x + (-x) = 0 6) Eksistensi Resiprokal/ Invers Perkalian Jika x dan y R, maka x. x-1 = 1 b. Sifat Urutan 1) Trikotomi Jika x dan y R, maka ada 3 kemungkinan yaitu x < y, x = y, dan x > y. 2) Ketransitifan Jika x < y, dan y < z, maka x < z. 3) Penambahan Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil, maka x + z < y+ z 4) Perkalian Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil positif, maka x.z < y.z Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil negatif, maka x.z > y.z 3. INTERVAL Interval (selang) adalah himpunan bilangan riil yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Adapun pertidaksamaan adalah pernyataan yang dihubungkan melalui tanda <, >, ≥, atau ≥. Ada dua jenis interval yaitu interval hingga dan interval tak hingga. a. Interval Hingga Interval hingga merupakan himpunan bagian dari suatu bilangan riil yang terbatas di atas dan di bawah. Contoh : Matematika Ekonomi 13
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Tabel 2.1: Contoh Interval Hingga Penulisan Interval (a, b) Penulisan Himpunan {x | a < x < b} Garis Bilangan a b [a, b] {x | a ≤ x ≤ b} a b [a, b) {x | a ≤ x < b} a b (a, b] {x | a < x ≤ b} a b b. Interval Tak Hingga Interval tak hingga merupakan himpunan bagian dari suatu bilangan riil yang tidak terbatas di atas ataupun di bawah atau tidak memuonyai batasan minimum ataupun makskimum. Contoh : Tabel 2.2: Contoh Interval Hingga Penulisan Interval (- ∞, b) Penulisan Himpunan {x | x < b} Garis Bilangan b (- ∞, b] {x | x ≤ b} b (a, ∞) {x | > a} a [a, ∞) {x | x ≥ a} a (- ∞, ∞) R Matematika Ekonomi 14
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 4. PERTIDAKSAMAAN a. Pengertian Pertidaksamaan Sebelum dijelaskan mengenai pertidaksamaan, akan disajikan contoh dari pertidaksamaan berikut ini : 1) 2x + 4 < 5 2) 2 ≤ x2 - x ≤ 6 3) 2x > 6 Berdasarkan contoh di atas, dapat diketahui bahwa pertidaksamaan memiliki tanda <, >, ≤ , atau ≥.. Jadi dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan merupakan pernyataan yang dihubungkan melalui tanda <, >, ≤ , atau ≥. Keterangan pertidaksamaan yaitu: < : kurang dari ≤ : kurang dari atau sama dengan > : lebih dari ≥ : lebih dari atau sama dengan b. Sifat Pertidaksamaan Pertidaksamaan memiliki sifat-sifat dalam operasinya, yaitu : 1) Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama. Jika a < b, maka a + c < b + c, dan a - c < b - c Contoh : a) 2 < 5, jika masing-masing ruas ditambah 5 maka : 2 + 5 < 5 + 5 7 < 10 b) 2 < 5, jika masing-masing ruas dikurang 5 maka : 2 - 5 < 5 - 5 - 3 < 0 Matematika Ekonomi 15
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2) Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama. Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka: a . c < b . c, dan a : b < b : c Contoh a) 2 < 5, jika masing-masing ruas dikali 3 maka : 2 . 3 < 5 . 3 6 < 15 b) 2 < 5, jika masing-masing ruas dibagi 3 maka : 2 : 3 < 5 : 3 < 1 2 3 2 3 3) Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama. Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka: a . c > b . c, dan a : c > b : c Contoh : a) 2 < 5, jika masing-masng ruas dikali - 2 maka : 2. (- 2) < 5. (- 2) - 4 > - 10 b) 2 < 5, jika masing-masng ruas dibagi - 2 maka : 2 : (- 2) < 5 : (- 2) -1 > - 2,5 4) Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif dan dikuadratkan. Jika a < b, a dan b positif, maka: a2 < b2. Contoh : 2 < 5, jika masing-masing ruas dikuadratkan maka : 22 < 52 Matematika Ekonomi 16
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 4 < 25 c. Jenis Pertidaksamaan Terdapat beberapa jenis pertidaksamaan, diantaranya pertidaksamaan linier, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, dan pertidaksamaan tingkat tinggi, dll. Pada uraian ini akan dibahas hanya tentang pertidaksamaan linier, dan pertidaksamaan kuadrat. Berikut ini penjelasannya : 1) Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki variabel berpangkat satu. Cara menghitung himpunan penyelesaiannya adalah dengan mengelompokkan variabel pada ruas kiri dan mengelompokkan konstanta pada ruas kanan. Contoh : + 𝑥+2 8 2𝑥+2 4 < x + 12 Penyelesaian : Semua dikalikan bilangan 8, maka [( 2𝑥+2 4 x 8) + ( 𝑥+2 8 x 8) < (𝑥 + 12) ] dikalikan dengan 9 ((2x + 2) x 2) + (x + 2) < 8x + 96 Didistribusikan maka menjadi 4x + 4 + x + 2 < 8x + 96 Jumlahkan yang bersesuaian dan dipindahkan sesuai yang bersesuaian 4x + x - 8x < 96 - 4 - 2 - 3x < 90 Karena pembagi bernilai negatif yaitu 3 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah yang awalnya < menjadi >, sehingga pertidaksamaannya menjadi x > - 30 Matematika Ekonomi 17
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2) Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yaitu : a) Ruas kanan dibuat nol b) Difaktorkan c) Tentukan nilai variabel misal x d) Buktikan dengan garis bilangan Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x - 3)2 ≥ (3x - 3) (x - 1) - 2 Menyelesaikan setiap fungsi, sehingga 4x2 - 12x + 9 ≥ 3x2 - 6x + 3 - 2 4x2 - 12x + 9 - 3x2 + 6x - 3 + 2 ≥ 0 (ruas kanan dinolkan) x2 - 6x + 8 ≥ 0 Langkah awal dibuatkan menjadi persamaan menjadi 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 Kemudian difaktorkan untuk memperoleh nilai x (x - 4) (x - 2) = 0 x - 4 = 0 atau x - 2 = 0 x = 4 atau x = 2 (ditentukan nilai variabel x) diperlukan pembuktian untuk mengetahui hasil penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Berikut pembuktiannya : Pembuktian a) Jika nilai x = 2, maka x2 - 6x + 8 ≥ 0 22 - 6.2 + 8 ≥ 0 4 - 12 + 8 ≥ 0 0 ≥ 0 (benar diberi tanda +) Matematika Ekonomi 18
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b) Jika nilai x > 2, misal 3 x2 - 6x + 8 ≥ 0 32 - 6.3 + 8 ≥ 0 9 - 18 + 8 ≥ 0 1 ≥ 0 (salah diberi tanda -) c) Jika nilai x < 2, misal 1 x2 - 6x + 8 ≥ 0 12 - 6. 1 + 8 ≥ 0 1 - 6 + 8 ≥ 0 3 ≥ 0 (benar diberi tanda +) d) Jika nilai x = 4 x2 - 6x + 8 ≥ 0 42 - 6. 4 + 8 ≥ 0 16 - 24 + 8 ≥ 0 0 ≥ 0 (benar diberi tanda +) e) Jika nilai x > 4, misal 5 x2 - 6x + 8 ≥ 0 52 - 6. 5 + 8 ≥ 0 25 - 30 + 8 ≥ 0 3 ≥ 0 (benar diberi tanda +) Yang menjadi himpunan penyelesaian yaitu pada daerah yang dengan hasil positif dikarenakan pertidaksamaannya ≥ 0. Sehingga garis bilangannya dapat dilihat sebagai berikut: Gambar Pada Garis Bilangan + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + 2 4 Matematika Ekonomi 19
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Sesuai dengan garis bilangan maka Himpunan Penyelesaian : Hp = {x | x ≥ 4 , atau x ≤ 2} C. LATIHAN Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut : a. (2x - 1)2 ≥ (5x - 3).(x - 1) - 7 b. 𝑥+2 3 + 2𝑥+2 2 < x + 4 D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 20
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 3 FUNGSI LINIER A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. menjelaskan konsep fungsi linier. 2. menggambarkan grafik fungsi linier. 3. menentukan persamaan fungsi linier 4. menjelaskan hubungan dua garis lurus B. URAIAN MATERI 1. HAKIKAT FUNGSI LINIER Sebelum dijelaskan mengenai fungsi linier, akan disajikan contoh fungsi linier berikut ini : a. y = 5x -10 b. y = 4x - 12 Berdasarkan contoh di atas dapat diketahui bahwa fungsi linier memiliki satu variabel bebas x yang pangkatnya satu dan satu variabel terikat yaitu y. Jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi linier adalah fungsi yang hanya memiliki satu variabel bebas yang berpangkat satu pada variabel tersebut. Fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk persamaan umumnya sebagai berikut : y = mx + c Keterangan : y = variabel terikat x = variabel bebas m= Gradien/ kemiringan c = konstanta Matematika Ekonomi 21
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. MENGGAMBAR KURVA FUNGSI LINIER Gambar kurva fungsi linier berbentuk garis lurus yang memotong sumbu x dan sumbu y. Sebelum disajikan langkah menggambar kurvanya, akan disajikan contoh gambar kurva fungsi linier berikut ini : Gambar 3.1: Contoh Kurva Fungsi Linier 1 Berikut ini langkah-langkah menggambar kurva fungsi linier a. Tentukan titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0, sehingga diperoleh koordinat (x,0) b. Tentukan titik potong c. terhadap sumbu y, maka x = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,y) d. Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh Gambarkan kurva dari persamaan y = 2x - 6 Jawab: a. Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 y = 2x - 6 0 = 2x - 6 0 + 6 = 2x Matematika Ekonomi 22
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 6 = 2x x = 3 Jadi koordinatnya (3, 0) b. Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 y = 2x - 6 y = 2. 0 - 6 y = 0 - 6 y = - 6, Jadi koordinatnya (0, -6) c. Tentukan letak titik potong pada bidang cartecius, kemudian hubungkan dengan garis lurus y x 3 6 3. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINIER Misal terdapat gambar kurva sebagai berikut ini : y (x2,y2) x (x1,y1) Gambar 3.2: Contoh Kurva Fungsi Linier 2 Matematika Ekonomi 23
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Sesuai dengan Gambar 3.2 untuk menentukan persamaan fungsinya bisa menggunakan metode : a. Metode Dua Titik 𝒀 − 𝒀𝟏 𝑿 − 𝑿𝟏 = 𝒀𝟐− 𝒀𝟏 𝑿𝟐− 𝑿𝟏 Rumus di atas menunjukkan bahwa cara untuk memperoleh persamaan fungsi linier adalah dengan menggunakan metode dua titik. Caranya adalah dengan mensubtitusikan nilai-nilai X1, X2, Y1, dan Y2 yang telah diketahui pada rumus di atas, sehingga akan menghasilkan persamaan y = mx + c atau mx + by + c = 0 Contoh : Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik (3, -4) dan ( -2, 6) Jawab: x1= 3, y1 = -4, x2 = -2 dan y2 = 6, maka persamaan fungsi linier atau persamaan garis lurusnya adalah dengan mensubstitusikan titik-titik yang diketahui ke persamaan berikut 𝒀 − 𝒀𝟏 𝑿 − 𝑿𝟏 = 𝒀𝟐 − 𝒀𝟏 𝑿𝟐 − 𝑿𝟏 ↔ 𝑌 − (−4) 𝑋 − 3 ↔ 𝑌 +4 𝑋 − 3 ↔ 𝑌 +4 𝑋 − 3 = 6 − (−4) −2− 3 = 6+4 − 5 = 10 − 5 ↔ − 5𝑦 − 20 = 10𝑋 - 30 ↔ -5y = 10x - 10 Koefisien pada y dijadikan sebuah pembagian pada ruas kanan. ↔ y = -2x + 2 Matematika Ekonomi 24
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan (Gradien/m) y - 𝒚𝟏 = m (x - 𝒚𝟏) dengan m = 𝑌2− 𝑌1 𝑋2− 𝑋1 Contoh : Tentukanlah persamaan garis lurus yang bergradien 2 dan melalui titik (- 3,1) Jawab: Diketahui nilai gradien : m = 2 dengan titik yaitu 𝑥1 = 3 𝑦1 = 1 Nilai di atas disubstitusikan ke rumus utama yaitu: y - 𝑦1 = m (x - 𝑥1) maka y = m (x - x1 ) + y1 y = 2 (x - (-3)) + 1 y = 2 (x + 3 ) + 1 y = 2x + 6 + 1 y = 2x + 7 4. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Dua garis lurus yang terletak di satu bidang kemungkinannya dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus, dan berpotongan satu sama lain. a. Garis Berimpit Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis yang satu merupakan kelipatan persamaan garis yang lain. b. Garis Sejajar (m1 = m2) Dua garis akan sejajar bila gradiennya sama. Matematika Ekonomi 25
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi c. Garis Tegak Lurus (m1 . m2 = -1) Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila perkalian kedua gradien sama dengan -1 d. Garis Saling Berpotongan (m1 ≠ m2) Dua garis lurus akan saling berpotongan apabila gradiennya tidak sama. Dua garis yang berpotongan, koordinat titik potongnya harus memenuhi ke dua persamaan garis lurus. Koordinat titik potong ini diperoleh dengan mengerjakan kedua persamaan secara serempak. C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Cari kemiringan garis yang telah ditentukan oleh titik A dan B berikut ini a. A (3,4), B (4,3) b. A (4,5), B (8,13) c. A (-2, -2), B (5,5) 2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat (X,Y) , carilah persamaan garis lurus y =ax +c a. (0,0), (6,3) b. (3,5), (10,2) c. (-6, -4), (10,8) 3. Gambarlah grafik dari persamaan garis lurus berikut ini : a. 2x - 3y + 2=0 b. 4x - 6y = 0 c. 3x + y + 4 = 0 D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Matematika Ekonomi 26
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 27
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi FUNGSI LINIER PADA PERMINTAAN, PERTEMUAN KE 4 PENAWARAN, DAN KESEIMBANGAN PASAR A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep fungsi linier pada permintaan 2. Menggambar kurva fungsi linier pada permintaan 3. Menentukan persamaan fungsi linier pada permintaan 4. Menjelaskan konsep fungsi linier pada penawaran 5. Menggambar kurva fungsi linier pada penawaran 6. Menentukan persamaan fungsi linier pada penawaran 7. Menghitung harga dan jumlah keseimbangan 8. Menggambar kurva titik keseimbangan B. URAIAN MATERI 1. FUNGSI LINIER PADA PERMINTAAN a. Pengertian Fungsi Linier Permintaan Sebelum diuraikan pengertian dari fungsi linier pada permintaan, akan dijelaskan terlebih dahulu pengertian dari fungsi permintaan. Fungsi permintaan adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan semua faktor-faktor yang mempengaruhinya. Fungsi permintaan akan sesuatu barang dapat ditunjukkan oleh persamaan: Qx = f( Px, Py, Pz, M , S) Keterangan : Qx = Jumlah barang X yang diminta Px = harga barang X Py = harga barang Y Matematika Ekonomi 28
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Pz = harga barang z M = pendapatan konsumen S = selera konsumen Pada uraian di atas, fungsi permintaan tidak dapat disajikan dengan diagram dua dimensi karena memiliki banyak variabel. Sedangkan diagram dua dimensi hanya dapat digunakan untuk menggambar kurva fungsi yang mengandung dua variabel saja. Agar fungsi permintaan dapat digambar grafiknya maka faktor-faktor selain jumlah yang diminta dan harga barang tersebut dianggap tidak berubah selama dilakukan analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap ini disebut ceteris paribus. Dengan anggapan ceteris paribus tersebut, sekarang bentuk fungsi menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari dua variabel, yaitu variabel harga dan variabel jumlah yang diminta. Faktor-faktor yang dianggap tetap pengaruhnya dapat dilihat dari besarnya konstanta pada persamaan permintaan. Bentuk persamaan fungsi linier pada permintaan disajikan sebagai berikut : 𝑸𝒅𝒙= a - 𝒃𝑷𝒙 Atau 𝑷𝒅𝒙= a - 𝒃𝑸𝒙 Keterangan : 𝑄𝑑𝑥 = Jumlah produk x yang diminta 𝑃𝑑𝑥 = Harga produk x yang diminta 𝑏 = gradien/ kemiringan atau koefisien dari variabel b. Menggambar Kurva Fungsi Linier pada Permintaan Fungsi linier pada permintaan merupakan penerapan konsep fungsi linier dalam matematika, maka dari itu cara menggambar kurva Matematika Ekonomi 29
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi fungsinya pun sama dengan cara menggambar kurva fungsi linier. Kalau pada fungsi linier matematika dikenal sumbu x sebagai garis horizontal dan sumbu y sebagai garis vertikal, sedangkan pada fungsi linier permintaan dikenal sumbu Q sebagai garis horizontal dan sumbu P sebagai garis vertikal Gambar kurva fungsi linier pada permintaan berbentuk garis lurus yang memotong sumbu Q, sumbu P, dan memiliki curam negatif/ bergradien negatif yaitu apabila harga yang diminta rendah maka jumlah yang diminta akan tinggi, begitupula sebaliknya. Kurva fungsi linier permintaan hanya terletak pada kuadran I bidang cartecius. Sebelum disajikan langkah menggambar kurvanya, akan disajikan contoh gambar kurva fungsi linier pada permintaan berikut ini : P (0,P) Q (Q,0) Gambar 4.1: Contoh Kurva Fungsi Linier Permintaan Berikut ini langkah-langkah menggambar kurva fungsi linier 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) Matematika Ekonomi 30
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh Gambarkan kurva dari persamaan Pd = 50 - 2Q Jawab: 1) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Pd = 50 - 2Q 0 = 50 - 2Q 2Q = 50 Q = 25 Jadi koordinatnya (25, 0) 2) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Pd = 50 - 2Q Pd = 50 - 2. 0 Pd = 50 - 0 P = 50 Jadi koordinatnya (0, 50) 3) Tentukan letak titik potong pada bidang cartecius, kemudian hubungkan dengan garis lurus P 50 Q 25 Matematika Ekonomi 31
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi c. Menentukan Persamaan Fungsi Linier pada Permintaan 1) Metode Dua Titik 𝑷 − 𝑷𝟏 𝑸 − 𝑸𝟏 = 𝑷𝟐− 𝑷𝟏 𝑸𝟐− 𝑸𝟏 Rumus di atas menunjukkan bahwa cara untuk memperoleh persamaan fungsi linier pada permintaan adalah dengan menggunakan metode dua titik. Caranya yaitu dengan mensubtitusikan nilai-nilai Q1, Q2, P1, dan P2 yang telah diketahui pada rumus di atas, sehingga akan menghasilkan persamaan 𝑸𝒅𝒙= a - 𝒎𝑷𝒙 atau 𝑷𝒅𝒙= a - 𝒎𝑸𝒙 Contoh : Suatu produk jika harganya Rp. 100, akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75, akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya Penyelesaian Diketahui : P1 = 100, P2 = 75, Q1 = 10, Q2 = 20 Ditanya : fungsi permintaan ? dan gambar grafik ? Dijawab : Fungsi Permintaan Dengan mensubstitusikan nilai di atas ke dalam perumusan berikut 𝑷 − 𝑷𝟏 𝑸 − 𝑸𝟏 = 𝑷𝟐− 𝑷𝟏 𝑸𝟐− 𝑸𝟏 Sehingga menjadi Matematika Ekonomi 32
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 𝑃 − 100 𝑄 − 10 = 75− 100 20− 10 𝑃 − 100 𝑄 − 10 = − 25 10 (P - 100) 10 = (Q - 10). (-25) Kedua ruas didistribusikan sehingga menjadi 10P - 1000 = -25Q + 250 Diasosiasikan nilai yang besesuaian 10P = -25Q + 250 + 1000 10P = - 25Q + 1250 P = -2,5Q + 125 Persamaan inilah yang dinamakan dengan persamaan permintaan yang dimaksud. 2) Metode Satu Titik Jika hanya diketahui satu titik dan gradien maka persamaan umumnya yaitu P - 𝑷𝟏 = m (Q - 𝑸𝟏) dengan perumusan untuk menentukan nilai gradien yaitu: m = 𝑃2− 𝑃1 𝑄2− 𝑄 Matematika Ekonomi 33
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. FUNGSI LINIER PADA PENAWARAN a. Pengertian Sebelum diuraikan pengertian dari fungsi linier pada penawaran, akan dijelaskan terlebih dahulu pengertian dari fungsi penawaran. Fungsi penawaran adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga barang dengan jumlah barang yang ditawarkan produsen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhi dalam periode tertentu. Fungsi penawaran akan sesuatu produk dapat ditunjukkan oleh persamaan: 𝑸𝒔𝒙, 𝒕= f (𝑷𝒙,𝒕, 𝑻𝒕, 𝑷𝑭,𝒕, 𝑷𝑹, 𝒕, 𝑷𝒆 𝒙, 𝒕+𝟏) Keterangan : 𝑃𝑥,𝑡 = jumlah produk x yang ditawarkan oleh produsen dalam periode tertentu 𝑇𝑡 = teknologi yang tersedia 𝑃𝐹,𝑡 = harga faktor-faktor produksi 𝑃𝑅, 𝑡 = harga produk lain yang berhubungan 𝑃𝑒 𝑥, 𝑡+1 = harapan produsen terhadap harga produk 𝑄𝑠𝑥, 𝑡 = Jumlah produk X yang ditawarkan Pada uraian di atas, fungsi penawaran tidak dapat disajikan dengan diagram dua dimensi karena memiliki banyak variabel. Sedangkan diagram dua dimensi hanya dapat digunakan untuk menggambar kurva fungsi yang mengandung dua variabel saja. Agar fungsi penawaran dapat digambar kurvanya maka faktor-faktor selain jumlah produk dan harga barang yang ditawarkan tersebut dianggap tidak berubah selama dilakukan analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap ini disebut ceteris paribus. Dengan anggapan ceteris paribus tersebut, sekarang bentuk fungsi menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari dua variabel, yaitu variabel harga dan variabel jumlah produk yang ditawarkan. Faktor-faktor Matematika Ekonomi 34
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi yang dianggap tetap pengaruhnya dapat dilihat dari besarnya konstanta pada persamaan penawaran. Bentuk persamaan fungsi linier pada penawaran disajikan sebagai berikut: 𝑸𝒅𝒙= - a + 𝒃𝑷𝒙 Atau 𝑷𝒅𝒙= - a + 𝒃𝑸𝒙 Keterangan : 𝑄𝑑𝑥 = Jumlah produk x yang ditawarkan 𝑃𝑑𝑥 = Harga produk x yang ditawarkan b = Gradien/ Kemiringan b. Menggambar Kurva Fungsi Linier pada Penawaran Fungsi linier pada penawaran merupakan penerapan konsep fungsi linier dalam matematika, maka dari itu cara menggambar kurva fungsinya pun sama dengan cara menggambar kurva fungsi linier dalam matematia. Kalau pada fungsi linier matematika dikenal sumbu x sebagai garis horizontal dan sumbu y sebagai garis vertikal, sedangkan pada fungsi linier permintaan dikenal sumbu Q sebagai garis horizontal dan sumbu P sebagai garis vertikal Gambar kurva fungsi linier pada penawaran berbentuk garis lurus yang memotong sumbu Q, sumbu P, dan memiliki curam positif yaitu apabila jumlah yang ditawarkan tinggi maka harga yang ditawarkan juga tinggi, begitupula sebaliknya. Kurva fungsi linier penawaran hanya terletak pada kuadran I bidang cartecius. Sebelum disajikan langkah menggambar kurvanya, akan disajikan contoh gambar kurva fungsi linier pada penawaran berikut ini : Matematika Ekonomi 35
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi P (0,P) Q (Q,0) Gambar 4.2: Contoh Kurva Fungsi Linier Penawaran Berikut ini langkah-langkah menggambar kurva fungsi linier 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh Gambarkan kurva dari persamaan Qs = - 20 + 2P Jawab 1) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qs = - 20 + 2P Qs = - 20 + 2. 0 Qs = - 20 Jadi koordinatnya (-20, 0) 2) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qs = - 20 + 2P 0 = - 20 + 2P 20 = 2P P = 10 Matematika Ekonomi 36
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Jadi koordinatnya (0, 10) 3) Gambar kurvanya P 10 Q 20 c. Menentukan Persamaan Fungsi Linier pada Penawaran a. Metode Dua Titik 𝑷 − 𝑷𝟏 𝑸 − 𝑸𝟏 = 𝑷𝟐− 𝑷𝟏 𝑸𝟐− 𝑸𝟏 Rumus di atas menunjukkan bahwa cara untuk memperoleh persamaan fungsi linier pada penawaran adalah dengan menggunakan metode dua titik. Caranya yaitu dengan mensubtitusikan nilai-nilai Q1, Q2, P1, dan P2 yang telah diketahui pada rumus di atas, sehingga akan menghasilkan persamaan 𝑸𝒅𝒙= - a + 𝒃𝑷𝒙 atau 𝑷𝒅𝒙= - a + 𝒃𝑸𝒙 Contoh : Jika harga suatu produk adalah Rp.500, maka jumlah produk yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp.700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tentukan persamaan fungsi penawarannya ! Penyelesaian Diketahui : P1 = 500, P2 = 700, Q1 = 60, Q2 = 100 Matematika Ekonomi 37
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Ditanya : fungsi penawaran ? Dijawab : Dengan mensubstitusikan nila yang diketahui ke dalam perumusan berikut 𝑷 − 𝑷𝟏 𝑸 − 𝑸𝟏 = 𝑷𝟐− 𝑷𝟏 𝑸𝟐− 𝑸𝟏 Sehingga dapat kita selesaikan menjadi : 𝑃 − 500 𝑄 − 60 = 700 − 500 100 − 60 𝑃 − 500 𝑄 − 60 = 200 40 𝑃 − 500 𝑄 − 60 = 5 (P - 500) = (Q - 60) 5 P - 500 = 5Q - 300 P = 5Q - 300 + 500 P = 5Q + 200 Persamaan ini yang merupakan fungsi penawaran yang dicari. b. Metode Satu Titik Jika hanya diketahui satu titik dan gradien atau kemiringan maka dapat ditentukan suatu persamaan dengan menggunkan persamaan sebagai berikut. P - 𝑷𝟏 = m (Q - 𝑸𝟏) Keterangan : m : gradien Matematika Ekonomi 38
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. LINIER PADA KESEIMBANGAN PASAR a. Pengertian Keseimbangan Pasar Keseimbangan pasar adalah suatu titik apabila jumlah produk yang ditawarkan sama dengan jumlah produk yang diminta dan harga yang ditawarkan sama dengan harga yang diminta. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut : Qd = Qs atau Pd = Ps b. Cara Menentukan Harga dan Jumlah Keseimbangan Pasar Harga keseimbangan disimbolkan oleh huruf Pe dan jumlah keseimbangan disimbolkan oleh huruf Qe. Cara menentukan harga atau jumlah keseimbangan pasar dengan memasukkan antara persamaan fungsi permintaan dan persamaan fungsi penawaran terhadap rumus matematis Qd = Qs atau Pd = Ps Contoh Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 24 - 5P dan fungsi penawaran ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑠 = 2P - 4. Berapakah harga dan jumlah keseimbangannya ? Jawab Qd = Qs 24 - 5P = 2P - 4 24 + 4 = 2P + 5P 28 = 7P P = 4 Jadi harga keseimbangannya (Pe) adalah 4 Matematika Ekonomi 39
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Subtitusikan nilai P, ke persamaan Qs Qs = 2P - 4 Qs = 2. 4 - 4 Qs = 8 - 4 Q = 4 Jadi jumlah keseimbangannya (Qe) adalah 4 c. Cara Kurva Keseimbangan Pasar Keseimbangan ditunjukkan oleh koordinat titik potong antara kurva fungsi penawaran dan kurva fungsi permintaan. Koordinat titik potong tersebut disebut titik keseimbangan pasar (Equilibrium) dan disimbolkan oleh huruf "E". Sebelum dijelaskan mengenai cara menggambar kurva keseimbangan pasar akan disajikan gambar kurvanya secara umum berikut ini : Gambar 4.3: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar Berdasarkan gambar kurva di atas, terdapat 2 kurva yaitu kurva permintaan (Qd = a - bP), dan kurva penawaran, maka dari itu langkah menggambar kurvanya sebagai berikut a. Gambar Kurva Permintaan (Qd = a - bP) Berikut langkahnya : Matematika Ekonomi 40
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi a) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) b) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) c) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. b. Gambar Kurva Penawaran Sebelum Pajak (Qs = - a + bP) Berikut langkahnya : a) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) b) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) c) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 24 - 5P dan fungsi penawaran ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑠 = 2P - 4. Buatlah gambar kurva keseimbangan pasar ! Jawab 1) Gambar Kurva Permintaan (𝑄𝑑 = 24 - 5P) a) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 𝑄𝑑 = 24 - 5P 𝑄𝑑 = 24 - 5. 0 𝑄𝑑 = 24 - 0 Qd = 24 Titik koordinatnya (24, 0) b) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, 𝑄𝑑 = 24 - 5P 0 = 24 - 5P 5P = 24 Matematika Ekonomi 41
Universitas Pamulang P = 4,8 Jadi koordinatnya (0, 4,8) 2) Gambar Kurva Penawaran (𝑄𝑠 = 2P - 4) a) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 𝑄𝑠 = 2P - 4 𝑄𝑠 = 2. 0 - 4 𝑄𝑠 = - 4 Titik koordinatnya (-4, 0) b) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, 𝑄𝑠 = 2P - 4 0 = 2P - 4 4 = 2P P = 2 Titik koordinatnya (0, 2) 3) Gambar Kurvanya Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 42
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑𝑥 = 30 - 3P a. Berapakah jumlah produk yang diminta bila harganya adalah Rp. 5 dan Rp. 9 ? b. Berapakah harganya bila jumlah produk yang diminta adalah 25 unit dan 100 unit ? c. Gambarkan kurva fungsinya ! 2. Suatu produk jika harganya Rp. 160, akan terjual 12 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 100, akan terjual 25 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkan kurvanya ! 3. Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑠𝑥 = 2P - 1. a. Berapakah jumlah produk yang ditawarkan bila harganya adalah 2 dan 10? b. Berapakah harga yang ditawarkan bila jumlah produk yang ditawarkan adalah 25 dan 100? c. Gambarkan kurva fungsinya ! 4. Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 10 - 3P dan fungsi penawaran ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑠 = 2P - 1. a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangannya ? b. Buatlah gambar kurva keseimbangan pasarnya ! D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 43
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI LINIER PADA PAJAK KE 5 A. TUJUAN PERKULIAHAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan pengertian pajak 2. Menentukan perubahan persamaan fungsi penawaran setelah pajak 3. Menghitung penerimaan pemerintah dari pajak 4. Menghitung beban pajak yang ditanggung konsumen 5. Menghitung beban pajak yang ditanggung produsen 6. Menggambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak B. URAIAN MATERI 1. PAJAK (TAX/ t) a. Konsep Pajak Pajak merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap produsen. Pajak perunit diberi lambang dengan huruf "t". Apabila pemerintah menarik pajak sebesar "t" perunit, maka perusahaan akan mengalihkan beban pajak tersebut pada konsumen dengan cara menaikkan harga perunit produk yang dijual. Hal ini akan mempengaruhi fungsi penawaran produk di pasar. Pengaruh pajak akan menggeser kurva fungsi penawaran sedangkan kurva fungsi permintaannya tetap. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi : Pst = - a + b + t atau Qst = - a + b (P - t) Matematika Ekonomi 44
Universitas Pamulang Keterangan : Pst = harga penawaran setelah pajak Qst = jumlah produk yang ditawarkan setelah pajak t = pajak 2. PENERIMAAN PAJAK PEMERINTAH T = t x Qet Keterangan T = pajak yang diterima pemerintah t = besar pajak per unit Qet = jumlah produk keseimbangan pasar setelah pajak 3. BEBAN PAJAK KONSUMEN Tk = (Pet-Pe) x Qet Keterangan Tk = pajak konsumen Pet = harga keseimbangan setelah pajak Pe = harga keseimbangan sebelum pajak Qet = jumlah keseimbangan setelah pajak 4. BEBAN PAJAK PRODUSEN Tp = T -Tk Keterangan Tp = pajak produsen Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 45
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Tk = pajak konsumen T = pajak yang diterima pemerintah 5. KURVA KESEIMBANGAN PASAR SEBELUM DAN SETELAH PAJAK Sebelum dijelaskan mengenai cara menggambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak, akan disajikan gambar kurvanya secara umum berikut ini : Gambar 5.1: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar Sebelum dan Setelah Pajak Berdasarkan gambar kurva di atas, terdapat 3 kurva yaitu kurva permintaan (Qd = a - bP), kurva penawaran sebelum pajak (Qs = - a + bP), dan kurva penawaran setelah pajak (Qst = - a + b(P-t)), maka dari itu langkah dalam menggambar kurvanya yaitu : a. Gambar Kurva Permintaan (Qd = a - bP) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) Matematika Ekonomi 46
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. b. Gambar Kurva Penawaran Sebelum Pajak (Qs = - a + bP) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. c. Gambar Kurva Penawaran Setelah Pajak (Qst = - a + b(P-t)) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh 1 Bila fungsi permintaan untuk suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 21 - 2P dan penawarannya 𝑄𝑠 = 3P - 4. Bila pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp.2,- a. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada pajak ? b. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan setelah ada pajak ? c. Berapakah penerimaan pajak pemerintah, beban pajak konsumen dan beban pajak produsen? d. Gambarkan kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak ! Matematika Ekonomi 47
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Penyelesaian : a. jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada pajak syarat keseimbangan pasar : Qd = Qs atau Pd = Ps Qd = Qs 21 - 2P = 3P - 4 21 + 4 = 2P + 3P 25 = 5P P = 5 Subtitusikan nilai P ke fungsi penawaran Qs = 3P - 4 Qs = 3P - 4 Qs = 3. (5) - 4 Qs = 15 - 4 Q = 11 Jadi jumlah keseimbangannya (Qe) adalah 11, dan harga keseimbangannya (Pe) adalah 5 b. jumlah dan harga keseimbangan setelah ada pajak setelah pajak maka fungsi permintaan tetap yaitu Qd = 21 - 2P sedangkan fungsi penawaran berubah menjadi : Qs = 3P - 4 Qst = 3(P-2) - 4 Qst = 3P - 6 - 4 Qst = 3P - 10 syarat keseimbangan pasar , Qd = Qs atau Pd = Ps Qd = Qst 21 - 2P = 3P - 10 21 + 10 = 2P + 3P 31 = 5P P = 6,2 Subtitusikan nilai P ke fungsi penawaran Qst = 3P - 10 Qst = 3P - 10 Qst = 3. (6,2) - 10 Matematika Ekonomi 48
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Qst = 18,6 - 10 Qst = 8, 6 Jadi harga keseimbangannya setelah pajak (Pet) adalah 6,2 , dan jumlah keseimbangannya (Qet) adalah 8,6 c. penerimaan pajak pemerintah, beban pajak konsumen dan beban pajak produsen Penerimaan Pajak Pemerintah T = t x Qet T = 2 x 8,6 T = 17,2 Pajak Konsumen Tk = (Pet-Pe) x Qet Tk = (6,2 - 5) x 8,6 Tk = 1,2 x 8,6 Tk = 10,32 Pajak Produsen Tp = T -Tk Tp = 17,2 - 10,32 Tp = 6,88 d. Gambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak Sebelum menggambar kurvanya, perlu diketahui bahwa terdapat tiga kurva yaitu kurva permintaan, penawaran, dan penawaran setelah pajak. Maka dari itu cara menggambar kurvanya harus mencari titik potong terhadap sumbu Q dan sumbu P pada setiap kurva. Berikut ini langkahnya : 1) Kurva Permintaan (Qd = 21 - 2P) a) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qd = 21 - 2P Qd = 21 - 2. 0 Qd = 21 Matematika Ekonomi 49
Universitas Pamulang Jadi koordinatnya (21, 0) b) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qd = 21 - 2P 0 = 21 - 2P 2P = 21 P = 10 1 2 Jadi koordinatnya (0, 10 1 2 ) 2) Kurva Penawaran (Qs = 3P - 4) c) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qs = 3P - 4 Qs = 3. 0 - 4 Qs = 0 - 4 Qs = - 4 Jadi koordinatnya (- 4, 0) d) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qs = 3P - 4 0 = 3P - 4 4 = 3P P = 1,3 Jadi koordinatnya (0, 1 1 3 ) 3) Kurva Penawaran setelah Pajak (Qst = 3P - 10) a) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qst = 3P - 10 Qst = 3. 0 - 10 Qst = 0 - 10 Qst = - 10 Jadi koordinatnya (-10, 0) Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 50
Universitas Pamulang b) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qst = 3P - 10 0 = 3P - 10 10 = 3P P = 3, 3 Jadi koordinatnya (0, 3 1 3 ) 4) Gambar Kurvanya Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 51
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! Terdapat persamaan fungsi permintaan P = 20 - Q, dan fungsi penawaran P = 5 + 2Q, beban pajak produk perunit sebesar Rp. 2. Tentukan : a. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada pajak ? b. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan setelah ada pajak ? c. Berapakah penerimaan pajak pemerintah, beban pajak konsumen dan beban pajak produsen? d. Gambarkan kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak ! D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 52
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 6 FUNGSI LINIER PADA SUBSIDI A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan pengertian subsidi 2. Menentukan perubahan persamaan fungsi penawaran setelah subsidi 3. Menghitung beban subsidi yang ditanggung pemerintah 4. Menghitung subsidi yang diterima konsumen 5. Menghitung subsidi yang diterima produsen 6. Menggambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi B. URAIAN MATERI 1. SUBSIDI (S) Subsidi merupakan bantuan keuangan yang diberikan oleh pemerintah terhadap produsen. Subsdi perunit diberi lambang dengan huruf "s". Apabila pemerintah memberikan subsidi sebesar "s" perunit, maka beban perusahaan akan berkurang sehingga harga penawaran suatu produk akan diturunkan. Hal ini akan mempengaruhi fungsi penawaran produk di pasar. Pengaruh subsidi akan menggeser kurva fungsi penawaran sedangkan kurva fungsi permintaannya tetap. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi: Pst = - a + b - s atau Qst = - a + b (P + s) Keterangan : Pst = harga penawaran setelah pajak, s = subsidi per unit Matematika Ekonomi 53
Universitas Pamulang Qst = jumlah produk yang ditawarkan setelah pajak 2. BEBAN SUBSIDI PEMERINTAH S = s x Qes Keterangan S = beban subsidi pemerintah s = besar subsidi per unit Qes = jumlah produk keseimbangan pasar setelah subsidi 3. SUBSIDI YANG DITERIMA KONSUMEN Sk = (Pe-Pes) x Qes Keterangan Sk = subsidi konsumen Pes = harga keseimbangan setelah subsidi Pe = harga keseimbangan sebelum subsidi Qes = jumlah keseimbangan setelah subsidi 4. SUBSIDI YANG DITERIMA PRODUSEN Sp = S - Sk Keterangan Sp = subsidi yang diterima produsen Sk = subsidi yang diterima konsumen S = beban subsidi pemerintah Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 54
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 5. KURVA KESEIMBANGAN PASAR SEBELUM DAN SETELAH SUBSIDI Sebelum dijelaskan mengenai cara menggambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi, akan disajikan gambar kurvanya secara umum berikut ini : Gambar 6.1: Contoh Kurva Fungsi Keseimbangan Pasar Sebelum dan Setelah Subsidi Berdasarkan gambar kurva di atas, terdapat 3 kurva yaitu kurva permintaan (Qd = a - bP), kurva penawaran sebelum subsidi (Qs = - a + bP), dan kurva penawaran setelah subsidi (Qss = - a + b(P+s)), maka dari itu langkah dalam menggambar kurvanya yaitu : a. Gambar Kurva Permintaan (Qd = a - bP) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Matematika Ekonomi 55
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Gambar Kurva Penawaran Sebelum Subsidi (Qs = - a + bP) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. c. Gambar Kurva Penawaran Setelah Subsidi (Qst = - a + b(P+s)) Berikut langkahnya : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0, sehingga diperoleh koordinat (Q,0) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0, sehingga diperoleh koordinat (0,P) 3) Tentukan letak dua titik potong tsb ke dalam bidang cartecius kemudian hubungkan menjadi garis lurus. Contoh Bila fungsi permintaan untuk suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 10 - P dan penawarannya 𝑄𝑠 = 2P - 6. Bila pemerintah mengenakan subsidi sebesar Rp. 2,- a. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada subsidi ? b. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan setelah ada subsidi ? c. Berapakah beban subsidi pemerintah, subsidi yang diterima konsumen dan subsidi yang diterima produsen? d. Gambarkan kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi ! Penyelesaian : a. jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada pajak syarat keseimbangan pasar : Qd = Qs atau Pd = Ps Qd = Qs Matematika Ekonomi 56
Universitas Pamulang 10 - P = 2P - 6 10 + 6 = 2P + P 16 = 3P P = 5 1 3 Subtitusikan nilai P ke fungsi penawaran Qs = 2P - 6 Qs = 2P - 6 Qs = 2. (5 1 3 ) - 6 Qs = 10,6 - 6 Q = 4,6 Jadi jumlah keseimbangannya (Qe) adalah 10, dan harga keseimbangannya (Pe) adalah 4,6 b. jumlah dan harga keseimbangan setelah ada pajak setelah pajak maka fungsi permintaan tetap yaitu Qd = 10 - P sedangkan fungsi penawaran berubah menjadi : Qs = 2P - 6 Qss = 2(P+2) - 6 Qss = 2P + 4 - 6 Qss = 2P - 2 syarat keseimbangan pasar , Qd = Qs atau Pd = Ps Qd = Qss 10 - P = 2P - 2 10 + 2 = 2P + P 12 = 3P P = 4 Subtitusikan nilai P ke fungsi penawaran Qss = 2P - 2 Qss = 2P - 2 Qss = 2. (4) - 2 Qss = 8 - 2 Qss = 6 Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 57
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Jadi harga keseimbangannya setelah pajak (Pes) adalah 4, dan jumlah keseimbangannya (Qes) adalah 6 c. penerimaan pajak pemerintah, beban pajak konsumen dan beban pajak produsen Beban Subsidi Pemerintah S = t x Qes S = 2 x 6 S = 12 Subsidi yang diterima Konsumen Sk = (Pe-Pes) x Qes Sk = (5 1 3 Sk = 1 1 3 4) x 6 x 6 Sk = 8 Subsidi yang diterima Produsen Sp = S -Sk Sp = 12 - 8 Sp = 4 d. Gambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak Sebelum menggambar kurvanya, perlu diketahui bahwa terdapat tiga kurva yaitu kurva permintaan, penawaran, dan penawaran setelah subsidi. Maka dari itu cara menggambar kurvanya harus mencari titik potong terhadap sumbu Q dan sumbu P pada setiap kurva. Berikut ini langkahnya : 1) Kurva Permintaan (Qd = 10 - P) a) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qd = 10 - P Qd = 10 - 2. 0 Qd = 10 Jadi koordinatnya (10, 0) Matematika Ekonomi 58
Universitas Pamulang b) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qd = 10 - P 0 = 10 - P P = 10 Jadi koordinatnya (0, 10) 2) Kurva Penawaran (Qs = 2P - 6) a) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qs = 2P - 6 Qs = 2. 0 - 6 Qs = 0 - 6 Qs = - 6 Jadi koordinatnya (- 6, 0) b) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qs = 2P - 6 0 = 2P - 6 6 = 2P P = 3 Jadi koordinatnya (0, 3) 3) Kurva Penawaran setelah Subsidi (Qss = 2P - 2) a) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Qst = 2P - 2 Qst = 2. 0 - 2 Qst = 0 - 2 Qst = - 2 Jadi koordinatnya (-2, 0) b) Titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Qst = 2P - 2 0 = 2P - 2 Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 59
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2 = 2P P = 1 Jadi koordinatnya (0, 1) 4) Gambar Kurvanya C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! Terdapat persamaan fungsi permintaan P = 20 - Q, dan fungsi penawaran P = 5 + 2Q, beban subsidi produk perunit sebesar Rp. 2. Tentukan : 1. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan sebelum ada subsidi ? Matematika Ekonomi 60
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. Berapakah besarnya jumlah dan harga keseimbangan setelah ada subsidi ? 3. Berapakah beban subsidi pemerintah, subsidi yang diterima konsumen dan subsidi yang diterima produsen? 4. Gambarkan kurva keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi ! D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 61
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI LINIER PADA KONSUMSI DAN KE 7 TABUNGAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan hakikat fungsi konsumsi 2. Menentukan persamaan fungsi konsumsi 3. Menggambar kurva fungsi konsumsi 4. Menjelaskan hakikat fungsi tabungan 5. Menentukan persamaan fungsi tabungan 6. Menggambar kurva fungsi tabungan 7. Menjelaskan pengertian BEP 8. Melukiskan kurva BEP B. URAIAN MATERI 1. FUNGSI KONSUMSI a. Hakikat Fungsi Konsumsi Fungsi konsumsi adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara konsumsi (C) dengan pendapatan (Y). Pada umumnya, fungsi konsumsi diasumsikan mempunyai persamaan linear sebagai berikut : C = a + bcY Keterangan : C = pengeluaran untuk konsumsi Y = pendapatan a = besarnya pengeluaran konsumsi saat pendapatan nol bc = MPC, besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan. Matematika Ekonomi 62
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Untuk mengetahui besarnya a, dapat dihitung dengan menggunakan rumus: a = (APC - MPC) Y APC adalah perbandingan antara besarnya konsumsi pada suatu tingkat konsumsi (C) dengan besarnya tingkat pendapatan nasional itu sendiri (Y). APC = 𝑪 𝒀 MPC (Marginal Propencity to Consume) adalah angka perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi dengan besarnya pendapatan nasional, sehingga dapat dirumuskan: b = MPC = ∆𝑪 ∆𝒀 b. Mencari persamaan fungsi konsumsi 1) Untuk memperoleh persamaan konsumsi dapat pula digunakan rumus persamaan garis yang melalui 2 titik : 𝑪 - 𝑪𝟏 𝒀 - 𝒀𝟏 = 𝑪𝟐− 𝑪𝟏 𝒀𝟐− 𝒀𝟏 2) Atau dengan mengidentifikasi nilai a dan b, sehingga akan diperoleh bentuk persamaan : C = a + bcY c. Menggambar Kurva Fungsi Konsumsi Sebelum melukis grafik konsumsi akan disajikan gambar 7.1 tentang kurva fungsi konsumsi sebagai berikut : Matematika Ekonomi 63
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Gambar 7.1: Contoh Kurva Fungsi Konsumsi Berdasarkan gambar grafik fungsi konsumsi di atas, maka dalam melukis grafik tsb langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1) Tentukan titik potong terhadap sumbu C, maka Y = 0 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu Y, maka C = 0 3) Tentukan letak titik koordinat tsb pada bidang cartecius dan hubungkan dengan cara menggaris. Contoh 1 : Pada tingkat pendapatan Rp. 500.000, besarnya konsumsi Rp. 400.000, sedangkan pada tingkat pendapatan Rp. 1.000.000 besarnya konsumsi Rp. 600.000. Berdasarkan data tsb, tentukanlah fungsi konsumsinya, dan gambarkan grafik fungsinya Penyelesaian : Diketahui : Y1 = 500.000, C1 = 400.000 Y2 = 1.000.000, C2 = 600.000 Ditanya : a. fungsi konsumsinya b. gambarkan kurva fungsinya ? Dijawab : Matematika Ekonomi 64
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi a. Persamaan fungsi konsumsi C - C1 Y - Y1 = C2− C1 Y2− Y1 = 600.000− 400.000 1.000.000− 500.000 C - 400.000 Y - 500.000 C - 400.000 Y - 500.000 = 200.000 500.000 C - 400.000 Y - 500.000 = 2 5 (C - 400.000) 5 = (Y - 500.000). 2 5C − 2.000.000 = 2Y -1.000.000 5C = 2Y + 1.000.000 C = 0,4Y + 200.000 b. Gambar kurva 1) Tentukan titik potong dengan sumbu C, maka Y = 0 C = 0,4Y + 200.000 C = 0,4.(0) + 200.000 C = 200.000 Koordinat (0, 200.000) 2) Tentukan titik potong dengan sumbu Y, maka C = 0 C = 0,4Y + 200.000 0 = 0,4Y + 200.000 0,4Y = 200.000 Y = - 500.000 Koordinat (-500.000, 0) 3) Tentukan letak titik koordinat tsb pada bidang cartecius dan hubungkan dengan cara menggaris. Matematika Ekonomi 65
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. FUNGSI TABUNGAN a. Fungsi tabungan Fungsi tabungan yaitu fungsi yang menunjukkan hubungan antara tabungan (S) dengan pendapatan (Y). Dengan menggunakan rumus fungsi konsumsi, dapat ditentukan sebagai berikut : Y = C + S S = Y - C Karena C = a + bcY, sehingga S = Y - (a + bcY) S = Y - a - bcY S = -a + (1 - bc) Y Jadi, fungsi tabungan dapat juga dirumuskan sebagai berikut : S = -a + (1 - bc) Y S = - a + bs Y Dengan 1-b = b = MPS = ∆𝑆 ∆𝑌 Matematika Ekonomi 66
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Berdasarkan rumusan diatas dapat disimpulkan bentuk fungsi tabungan adalah : S = - a + (1-bc)Y Atau S = - a + bsY Keterangan : S = tabungan Y = pendapatan a = besarnya pengeluaran konsumsi bc = MPC bs = MPS b. Mencari persamaan fungsi tabungan 1) Untuk memperoleh persamaan konsumsi dapat pula digunakan rumus persamaan garis yang melalui 2 titik : 𝐒 − 𝐒𝟏 𝐘 − 𝐘𝟏 = 𝐒𝟐− 𝐒𝟏 𝐘𝟐− 𝐘𝟏 2) Atau dengan mengidentifikasi nilai a dan b, sehingga akan diperoleh bentuk persamaan : S = -a + bsY c. Melukis grafik fungsi tabungan Sebelum melukis grafik tabungan akan disajikan gambar 7.2 tentang kurva fungsi tabungan sebagai berikut : Matematika Ekonomi 67
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Gambar 7.2: Contoh Kurva Fungsi Tabungan Berdasarkan gambar grafik fungsi tabungan di atas, maka dalam melukis grafik tsb langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1) Tentukan titik potong dengan sumbu Y, maka S = 0 2) Tentukan titik potong dengan sumbu S, maka Y = 0 3) Tentukan letak titik koordinat tsb pada bidang cartecius dan hubungkan dengan cara menggaris. Contoh 2 : Suatu masyarakat tidak bisa menabung bila pendapatannya hanya Rp. 20.000.000,- dan meskipun pendapatannya nol, mereka masih harus melakukan konsumsi sebesar Rp 10.000.000,-. Bagaimanakah bentuk fungsi tabungannya dan gambar grafik fungsinya ? Penyelesaian : Diketahui : S = 0, jika Y = 20.000.000, maka C = 20 juta a = 10.000.000, jika Y = 0 Ditanya : 1) fungsi tabungannya (S) 2) gambar kurva fungsinya Matematika Ekonomi 68
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Dijawab : 1) Fungsi Tabungan C = a + bcY 20 juta = 10 juta+ 20 juta b 10 juta = 20 juta b b = 0,5 S = -a + (1-b)Y S = -10 juta + 0,5 Y 2) Grafik fungsi a) Tentukan titik potong dengan sumbu Y, maka S = 0 S = -10 juta + 0,5 Y 0 = -10 juta + 0,5 Y 10 juta = 0,5 Y Y = 20 juta Koordinat A (20 juta, 0) b) Tentukan titik potong dengan sumbu S, maka Y = 0 S = -10 juta + 0,5 Y S = -10 juta + 0,5 (0) S = - 10 juta Koordinat B (0, -10 juta) c) Tentukan letak titik koordinat tsb pada bidang cartecius dan hubungkan dengan cara menggaris. Matematika Ekonomi 69
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. BEP (Break Even Point)/ Titik Impas Tingkat pendapatan BEP adalah tingkat pendapatan di mana besarnya pendapatan sama dengan besarnya pengeluaran untuk konsumsi, atau dapat dikatakan Y = C atau Y - C = 0, sehingga S = 0 Berikut ini gambar grafik BEP : Gambar 7.3: Contoh Kurva BEP Matematika Ekonomi 70
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Pada tingkat pendapatan sebesar Rp25.000,- konsumsi yang dilakukan adalah Rp 20.000,- dan bila pendapatannya sebesar Rp35.000,- besarnya konsumsi adalah Rp. 25.000,-. a. Tunjukkan fungsi konsumsinya. b. Gambarkan grafik fungsi konsumsinya 2. Suatu masyarakat tidak bisa menabung bila pendapatannya hanya Rp 25 juta dan meskipun pendapatannya nol, mereka masih harus melakukan konsumsi sebesar Rp 15 juta. a. Bagaimanakah bentuk fungsi tabungannya b. Gambarkan grafik fungsi tabungannya 3. Suatu fungsi konsumsi yang ditunjukkan oleh persamaan C = a + bY, diketahui bahwa b = 0,75 dan titik impasnya 80 miliar. a) Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya b) besarnya tabungan bila konsumsi mencapai 95 miliar D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 71
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 8 BARISAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan definisi barisan 2. Menjelaskan konsep barisan aritmatika 3. Menjelaskan konsep barisan geometri 4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan aritmatika dan barisan geometri B. URAIAN MATERI 1. PENGERTIAN BARISAN Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan a1, a2, a3, ...,an. Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un ( n merupakan bilangan asli). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U1. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu : a. Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya. b. Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya. 2. BARISAN ARITMATIKA (BEDA) a. Mencari Beda Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,... dan 2, 4, 6, 8,....; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu: 3-1 = 5-3 = 7-5 =...= 2 4-2 = 6-4 = 8-6 =...= 2 Matematika Ekonomi 72
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Secara umum U1, U2, U3, U4, ...,un adalah barisan aritmatika apabila U2 U1 = U3 - U2 = U4 - U3 = ... = Un - Un-1 = konstanta. Konstanta ini disebut beda dan ditanyakan dengan b. pada setiap barisan aritmatika berlaku sebagai berikut : Un - Un-1 = b Keterangan : Un = suku ke n b = beda b. Mencari rumus untuk suku ke- n Jika suatu pertama barisan atritmatika U1 dinamakan a dan bedanya b maka diperoleh: U1 = a = a + ( 1 - 1) U2 - U1 = b ↔ U2 = U1 + b = a + b = a +(2-1)b U3 - U2 = b ↔ U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a +(3-1) b U4 - U3 = b ↔ U4 = U3 + b = a + b + b + b = a + 3b = a +(4-1)b dan seterusnya. Berdasarkan suku ke-n barisan aritmatika dengan melihat pola di atas adalah: Un = a + (n - 1) Keterangan : Un = besar suku ke-n a = suku pertama , b = beda c. Sifat Barisan Aritmatika 2Ut = Ut-p + Ut+p atau Ut = 𝑼𝒕−𝒑 + 𝑼𝒕+𝒑 𝟐 Dengan t > P, t dan P adalah bilangan asli, Contoh penerapan sifat barisan aritmatika : Matematika Ekonomi 73
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Misal t = 2, dan P = 1 U2 = 𝑈2−1 + 𝑈2+1 2 U2 = 𝑈1 + 𝑈3 2 d. Permasalahan yang Berkaitan Dengan Barisan Aritmatika Contoh 1 : Carilah tiga suku berikutnya dari barisan aritmatika 1, 4, 7, 10,.... Diketahui : U1 = a =1 U2 = 4 Ditanya : U5, U6, U7 = ? Jawab : b =U2 -U1 = 4 - 1 = 3 U5 = a + ( n-1) b = 1 + 4.3 = 1 + 12 = 13 U6 = a + ( n-1) b = 1 + 5.3 = 1 + 15 = 16 U7 = a + ( n-1) b = 1 + 6.3 = 1 + 18 = 19 Tiga suku berikutnya adalah 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 Contoh 2 : Suatu barisan aritmatika diketahui suku kelima adalah 21 dan suku kesepuluh adalah 41, tentukan besarnya suku ke-50 Jawab: Diketahui : U5 = 21 U10 = 41 Ditanya : U50 = ? Jawab : Karena yang diketahui yaitu dua suku maka kita gunakan metode eliminasi dan substitusi. Untuk membentuk kedua fungsi menggunakan perumusan awal suku ke -n yaitu Suku yang ke-10 dan suku yang ke -5 Un = a + ( n-1) b Suku yang ke-10 yaitu U10 = a + ( 10-1) b Matematika Ekonomi 74
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 41 = a + 9b ....... persamaan (1) Suku yang ke-5 yaitu Un = a + ( n-1) b U5 = a + ( 5-1) b 21 = a + 4b ..... persamaan (2) Eliminasi persamaan 1 dan 2 41 = a + 9b 21 = a + 4b - 20 = 5b B = 20/5 b = 4 subtitusi nilai b pada persamaan (1) maka : 41 = a + 9b 41 = a + 9 (4) 41 = a + 36 a = 41 - 36 a = 5 Untuk menentukan suku yang ke-50 maka gunakan perumusan berikut Un = a + ( n-1) b U50 = a + ( 50 -1) . 4 = 5 + 49 . 4 = 5 + 196 U50 = 201 Jadi, besarnya suku ke-50 adalah 201 Matematika Ekonomi 75
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Contoh 3 Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyak permen yang diterima oleh anak terkecil? Penyelesaian: Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak tertua adalah a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b a + b = 11 .... persamaan 1) a + 3b = 19 ....persamaan 2) Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh : a + 3b = 19 a + b = 11 - 2b= 8 b = 4 Sehingga a + b = 11 a + 4 = 11 a =7 a + 4b = 7 + 4(4) = 23 Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23 buah. 3. BARISAN GEOMETRI (RASIO) a. Mencari rasio Bila kita perhatikan pada barisan 1, 2, 4, 8, 16,..., setiap perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap harganya, yaitu: , 4 2 2 , 8 4 , 16 8 , .... = 2 1 Secara umum U1, U2, U3,...., Un adalah barisan geometri bila : 𝑈2 𝑈1 , 𝑈3 𝑈2 , 𝑈4 𝑈3 , 𝑈5 𝑈4 , .... = 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 = konstanta, Matematika Ekonomi 76
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Konstanta ini disebut rasio (perbandingan) dan dinyatakan dengan r. pada setiap barisan geometri berlaku: 𝑼𝒏 𝑼𝒏−𝟏 = r Keterangan : Un = suku ke-n r = rasio b. Mencari rumus suku ke n Jika suku pertama barisan geometri dinamakan a dan rasionya atau perbandingannya r maka diperoleh: U1 = a = ar 1-1 𝑈2 𝑈1 = r ↔ U2 = U1. r = ar 2-1 𝑈3 𝑈2 = r ↔ U3 = U2. r = ar.r = ar 3-1 𝑈4 𝑈3 = r ↔ U4 = U2. r = arr.r = ar 4-1, dan seterusnya Besarnya suku ke-nbarisan geometri dengan melihat pola di atas adalah sebagai berikut : Un = ar n-1 Keterangan : Un = suku ke-n a = suku pertama r = rasio c. Sifat Barisan Geometri 2 = 𝑈𝑡−𝑝 + 𝑈𝑡+𝑝 𝑈𝑡 Dengan t > P, t dan P adalah bilangan asli, Contoh penerapan sifat itu adalah 2 = 𝑈3−2 + 𝑈3+2 2 = 𝑈1 + 𝑈5 𝑈3 𝑈3 Matematika Ekonomi 77
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi d. Permasalahan yang Berkaitan Dengan Barisan Aritmatika Contoh 1 : Tentukan rumus umum suku ke-n barisan 16, 8, 4, 2,......,dan tentukan suku ke-20. Diketahui : U1 = a = 16 U2 = 8 Ditanya : U20 = ? Jawab : 𝑈𝑛 = 𝑟 = 𝑈𝑛−1 Un = arn-1 𝑈2 𝑈1 = 8 16 = 1 2 1 U20 = 16( 2 20−1 ) 1 U20 = 16( 2 19 ) U20 = 24. 2-1.19 U20 = 2(4-19) U20 = 2-15 U20 = 1 215 C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Carilah Suku yang diminta dalam setiap barisan geometri di bawah ini! a. 2,6,18,...,U5 b. 1 4 , 1 2 , 1, 2,..., U10 c. 225, 75, 25,...,U6 d. 100, -110, 121,...,U15 2. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu adalah 147 dan hasil kalinya adalah 21952. Tentukan barisan geometri tersebut! 3. Tentukan 8 suku pertama dari suatu barisan aritmetika yang suku ke-2 adalah 42 dan suku ke-6 adalah 72. Matematika Ekonomi 78
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 79
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 9 DERET A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan pengertian deret 2. Menghitung deret aritmatika 3. Menghitung deret geometri 4. Menuliskan notasi sigma deret geometri B. URAIAN MATERI 1. PENGERTIAN DERET Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah maka jumlah tersebut dinamakan deret. Jadi, deret merupakan penjumlahan semua suku suatu baris. Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai berikut : Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un-1 + Un Deret dapat dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni. Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung, deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur, dan deret harmoni merupakanjumlah suku-suku banjar harmoni. Deret hitung sering disebut juga deret aritmatika, dan deret ukur sering disebut deret geometri. Contoh: a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + ... + n b. Deret ukur c. Deret harmoni : 5 + 10 + 20 + .. + 5(2 n-1) + ... + 1 : 1 + 1 𝑛 2 + 1 3 Pada bab ini akan dibahas tentang deret hitung (deret aritmatika) dan deret ukur (deret geometri) Matematika Ekonomi 80
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. DERET HITUNG/ ARITMATIKA Apabila a adalah suku pertama suatu baris (U1) dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan maka sesuai dengan pengertian deret hitung, diperoleh : Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b) Sn = a+(n-1)b + a+(n-2)b + a+(n-3)b + ... + (a+b) + a + 2Sn = 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + ... + 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b 2Sn = n x [2a+(n-1)b] Sn = 𝑛 2 Sn = 𝑛 2 x [2a+(n-1)b] x [a+a+(n-1)b], karena a+(n-1)b = Un Maka diperoleh rumus : Sn = 𝟏 n (a+Un) 𝟐 Keterangan : Sn : jumlah suku n pertama N : suku ke n , dimana n = 1, 2, 3, ... a : suku pertama atau U1 b : beda antara suku yang berurutan dengan perumusan 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 Un : suku ke-n Contoh : Diketahui dere hitung yaitu 7 + 11 + 15 + ... Tentukan: a. Suku ke-10 b. Jumlah 10 suku pertama c. Jumlah 20 suku pertama Matematika Ekonomi 81
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Jawab : Diketahui : Suku pertama yaitu a = 7 beda suku b = 11 - 7 = 15 - 11 = 4 a. Suku ke-10 yaitu 𝑈10 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈10 = 7 + (10 − 1)4 𝑈10 = 7 + (9 ∗ 4) 𝑈10 = 7 + 36 𝑈10 = 43 Jadi suku ke-10 yaitu 43 b. Jumlah suku 10 pertama yaitu 𝑆10 = 10 2 (7 + 43) Menggunakan perumusan ini karena sudah diketahui suku yang terakhir yang dihitung atau suku yang ke-10. 𝑆10 = 5(50) 𝑆10 = 250 Jadi jumlah suku 10 pertam yaitu 250 c. Jumlah 20 suku pertama yaitu 𝑆20 = 20 2 ((2𝑥7) + (20 − 1)𝑥4) Menggunkan perumusan yang ini dikarenakan belum dietahui suku terakhir yang dihitung. 𝑆20 = 10(14 + (19𝑥4)) 𝑆20 = 10(14 + 76) 𝑆20 = 10𝑥90 𝑆20 = 100 Matematika Ekonomi 82
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. DERET UKUR/ GEOMETRI Apabila a adalah suku pertama suatu baris (U1) dan r adalah rasio antara dua suku yang berurutan maka sesuai dengan pengertian deret ukur, diperoleh: Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un Sn = a + ar + ar2 + ... + ar n-1 Sn.r = + ar + ar2 + ... + ar n-1 + ar n
Sn - (Sn.r) = a + 0 + 0 + ... + 0 - ar n Sn - (Sn.r) = a - ar n Sn (1-r) = a (1- r n) Sehingga perumusan untuk menentukan jumlah suku n pertama yaitu Sn = a 𝟏−𝒓𝒏 𝟏−𝒓 Dengan syarat untuk r < 1 Sedangakan untuk nilai r > 1 menggunakan perumusan : Sn = a 𝒓𝒏−𝟏 𝒓−𝟏 Dietahui : a : suku pertama r : rasio antara suku yang berurutan dengan perumusan 𝑟 = 𝑈2 𝑈1 = 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 Sn : jumlah suku pertama pada deret geometri Contoh: Diketahui deret hitung/ geometri yaitu 2 + 4 + 8 + 16 + ... Tentukan a. suku yang ke-10 b. jumlah 10 suku pertama Matematika Ekonomi 83
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi jawab: diketahui suku pertama yaitu: a = 2 dengan rasio 𝑟 = 4 2 = 8 4 = 2 Sehingga a. suku ke-10 𝑈10 = 𝑎. 𝑟𝑛−1 𝑈10 = 2𝑥210−1 𝑈10 = 2𝑥29 𝑈10 = 210 𝑈10 = 1024 c. jumlah 10 suku pertama karena nilai r > 1 maka mengunkan perumusan : Sn = a 𝒓𝒏−𝟏 𝒓−𝟏 𝑆10 = 𝑆10 = 2(210 − 1) 2 − 1 2(1024 − 1) 1 𝑆10 = 2(1023) 𝑆10 = 2046 Jadi jumlah 10 suku pertama 2046 4. NOTASI SIGMA Untuk menyingkat cara penulisan dapat dipakai tanda ∑ dan dibaca "sigma" sehingga deret dapat ditulis menjadi : 𝑛 ∑ 𝑎 𝑖 𝑖=1 , untuk deret terhingga ∑ 𝑎 𝑖 𝑖=1 , untuk deret tak terhingga Contoh : Nyatakanlah penjumlahan berikut 2+4+6+8+10 ke dalam notasi sigma! Matematika Ekonomi 84
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Penyelesaian : Deret tersebut merupakan Deret aritmatika, maka langkah-langkah menentukan ke dalam notasi sigma adalah : a. Tentukan pola deret. Suku ke - U1 U2 U3 Un Hasil 2 4 6 .... Pola 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x n b. Masukkan pola tersebut ke dalam bentuk sigma, c. Karena deret tersebut termasuk deret terhingga, maka diperoleh notasi sigma sebagai berikut: 5 ∑ 2𝑛 𝑛=1 C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Nyatakanlah penjumlahan berikut ini ke dalam notasi sigma! a. 1+3+5+7+9 b. 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 2. Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut ini! a. 1+3+5+7+... sampai suku ke-60 b. 8+ 11 + 14 + 17 +... sampai suku ke-20 3. Hitunglah jumlah 60 suku yang pertama dari deret geometri 2+4+8+16+.... 4. Diketahui deret geometri 3 + 32 +33 +... + 3n. Jika jumlah deret tersebut 1.092, berapakah n? D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Matematika Ekonomi 85
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 86
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 10 BUNGA MAJEMUK A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan pengertian bunga majemuk 2. Menemukan rumus bunga majemuk 3. Menyelesaikan masalah tentang bunga majemuk B. URAIAN MATERI Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk. Bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga Misalkan, seseorang membungakan uangnya sebanyak p dengan bunga sebesar i per tahun. Setelah tahun ke 1, tahun ke 2, dan tahun ke 3, akan diperoleh sesuai tabel 10.1 di bawah ini: Tabel 10.1: Future Value Tahun Ke Present Value (PV) interest Rate (i) Bunga PV x i Future Value (FV) 1 2 3 PV PV (1 + i) PV (1+i) 2 I I I PV.i PV (1 + i) x i [PV (1+i) 2] i PV + PV.i = PV (1 + i) PV (1 + i) + [PV (1 + i)] i PV (1 + i) + [(PV + PVi)] i PV + PVi + PVi + PVi2 PVi2 + 2PVi + PV V (i2 + 2i + 1) PV (1+i) 2 PV (1+i) 2 + [PV (1+i) 2] i Matematika Ekonomi 87
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi N ... PVi2 + 2PVi + PV + [PVi2 + 2PVi + PV] i PVi2 + 2PVi + PV + PVi3 + 2PVi2 + PVi PVi3 + 3PVi2 + 3PVi + PV PV (i3 + 3i2 + 3i + 1) PV (1+i) 3 PV (1+i) n Berdasarkan tabel di atas maka diperoleh rumus bunga majemuk sebagai berikut : FVn = PV (1+i) n Keterangan : FV = Future Value (nilai masa depan investasi di akhir tahun pertama i = interest Rate (tingkat suku bunga (atau diskonto) tahunan) PV = Present Value (nilai sekarang atau jumlah investasi mula-mula dari awal tahun pertama) Contoh : Misalkan ada uang sebanyak Rp 1.000,- dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun? Penyelesaian : Diketahui : PV = Rp 1.000 i = 5 % n = 6 Ditanya : FV6 Dijawab FVn = PV (1+i) n FV6 = 1000 (1+0,05) 6 FV6 = 1000 (1,05)6 FV6 = 1000(1,34010) FV6 = 1340,10 Matematika Ekonomi 88
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! Jika Anda menabung Rp 2.500.000 dengan bunga majemuk 8% selama tiga tahun, kemudian memindahkan tabungan tersebut ke tabungan dengan bunga majemuk tahunan 10%. Berapakah jumlah yang akan Anda terima setelah tahun ke 6. Hitunglah dengan menggunakan rumus FV. D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 89
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 11 FUNGSI KUADRAT A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep fungsi non linier 2. Menjelaskan konsep fungsi kuadrat 3. Menyajikan macam - macam kurva parabola 4. Menggambar kurva parabola B. URAIAN MATERI 1. FUNGSI NON LINIER Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier. Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : Fungsi Kuadrat, Fungsi Kubik, Fungsi Eksponensial, dan Fungsi Logaritma. Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat. 2. FUNGSI KUADRAT Sebelum dijelaskan mengenai fungsi kuadrat, akan disajikan contoh fungsi kuadrat berikut ini : a. y = 𝑥2 + 6x + 9 b. x = 𝑦2 + 5x + 6 Berdasarkan contoh di atas dapat diketahui bahwa fungsi Kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Gambar kurva fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran, Elips, Matematika Ekonomi 90
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Parabola, Hiperbola. Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA. Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat yaitu : y = 𝒂𝒙𝟐 + bx + c atau x = 𝒂𝒚𝟐 + by + c dimana a atau b 0 3. KURVA FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa gambar kurva fungsi kuadrat bisa berupa : Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola, akan tetapi pada bab ini hanya dijelaskan mengenai gambar kurva fungsi kuadrat yang berbentuk parabola. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Berikut ini bentuk parabola berdasarkan sumbu simetris dan titik puncak a. Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c ( ↑ atau ↓ ) Gambar 11.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat 1 Matematika Ekonomi 91
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Jika persamaan fungsinya x = 𝑎𝑦2 + by + c ( → atau ← ) Gambar 11.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat 2 4. LANGKAH MELUKIS KURVA FUNGSI KUADRAT Berikut ini langah-langkah dalam melukis kurva fungsi kuadrat : a. Tentukan arah parabola ( ↑, ↓ , → atau ← ) 1) Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c , dan a > 0, maka kurva terbuka ke atas (↑) 2) Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c , dan a < 0, maka kurva terbuka ke bawah (↓) 3) Jika persamaan fungsinya x = 𝑎𝑦2 + by + c , dan a > 0, maka kurva terbuka ke kanan (→) Matematika Ekonomi 92
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 4) Jika persamaan fungsinya x = 𝑎𝑦2 + by + c , dan a < 0, maka kurva terbuka ke kiri (←) b. Tentukan titik potong terhadap sumbu y dan x 1) Jika titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 Contoh : Terdapat persamaan y = x2 + 6x + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu y Jawab : titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 y = x2 + 6x + 8 y = 02 + 6. 0 + 8 y = 0 + 0 + 8 y = 8, maka koordinatnya (0, 8) 2) Jika titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 Contoh : Terdapat persamaan y = x2 + 6x + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu x Jawab : titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 y = x2 + 6x + 8 0 = x2 + 6x + 8 (x + 4) (x + 2) x + 4 = 0 , atau x + 2 = 0 x = - 4, atau x = -2 koordinat x1 (- 4, 0), dan x1 (-2, 0) Jika persamaan tidak memiliki faktor-faktor rasional maka bisa digunakkan rumus : 𝑋1,2 = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 Matematika Ekonomi 93
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi c. Tentukan titik puncaknya 1) Jika kurva terbuka ke atas atau ke bawah, maka digunakan rumus titik puncak (x, y) = {−𝑏 2𝑎 , −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 } 2) Jika kurva terbuka ke kanan atau ke kiri maka digunakan rumus titik puncak (x, y) = {−(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 , −𝑏 2𝑎 } d. Tentukan titik-titik koordinat yang telah diketahui, kemudian gambar dengan cara menghubungkan antar titik-titik koordinat tsb. Contoh : Terdapat persamaan y = 𝑥2 - 8x + 12, gambarkan kurva parabolanya ! Penyelesaian : a. Tentukan arah parabola Persamaan y = 𝑥2 - 8x + 12, dan nilai a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas b. Tentukan titik potong terhadap sumbu y dan x 1) Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 y = 𝑥2 - 8x + 12 y = 02 - 8.0 + 12 y = 0 - 0 + 12 y = 12, maka koordinatnya (0, 12) 2) Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 y = 𝑥2 - 8x + 12 0 = 𝑥2 - 8x + 12 (x - 6) (x - 2) x - 6 = 0 atau x - 2 = 0 x1 = 6 atau x2 = 2 jadi koordinat, x1 = (6, 0) atau x2 = (2, 0) Matematika Ekonomi 94
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi c. Tentukan titik puncaknya Kurva terbuka ke atas maka rumus titik puncak adalah (x, y) = −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 {−𝑏 2𝑎 (x, y) = {−(−8) 2(1) , } , −((−8)2−4(1)(12) 4(1) } (x, y) = {8 2 , −16 4 } (x, y) = {4, −4} d. Gambar Kurva Parabola C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Terdapat persamaan kuadrat, y = x2 + 6x + 9, gambarkan kurva parabolanya ! 2. Terdapat persamaan kuadrat, y = -3x 2 - 10x + 8, gambarkan kurva parabolanya ! 3. Terdapat persamaan kuadrat, x = y2 - 3y - 10, gambarkan kurva parabolanya ! Matematika Ekonomi 95
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 96
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI KUADRAT PADA KE 12 PERMINTAAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep fungsi kuadrat pada permintaan 2. Menyajikan gambar kurva fungsi kuadrat pada permintaan 3. Menggambarkan gambar kurva fungsi kuadrat pada permintaan B. URAIAN MATERI 1. FUNGSI KUADRAT PADA PERMINTAAN Salah satu penerapan dari fungsi kuadrat dalam ekonomi adalah pada fungsi permintaan. Ciri khas dari fungsi kuadrat pada permintaan adalah memiliki nilai a < 0, sehingga akan memilik kurva parabola yang terbuka ke bawah ataupun ke kiri. Dan perlu diketahui bahwa kurva yang digunakan pada ekonomi adalah yang terletak pada kuadran I. Adapun bentuk persamaan fungsi kuadrat pada permintaan disajikan sebagai berikut : P = −𝒂𝑸𝟐 + bQ + c atau Q = −𝒂𝑷𝟐 + bP + c Keterangan : P = harga produk, Q = jumlah produk yang diminta c = konstanta a dan b = koefisien Matematika Ekonomi 97
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. KURVA FUNGSI KUADRAT PADA PERMINTAAN Berdasarkan bentuk persamaan fungsi kuadrat pada permintaan, dapat diketahui mempunyai nilai a < 0, maka bentuk kurvanya adalah parabola yang terbuka ke bawah atau ke kiri dan perlu diketahui bahwa kurva yang digunakan pada ekonomi adalah yang terletak pada kuadran I. Berikut ini disajikan kurva fungsi kuadrat pada permintaan : a. Jika persamaannya P = −𝑎𝑄2 + bQ + c, maka parabola terbuka ke bawah Berikut ini gambar kurvanya : Gambar 12.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Permintaan 1 b. Jika Q = f(P), atau Q = −𝑎𝑃2 + bP + c, maka parabola terbuka ke kiri Berikut ini gambar kurvanya : Gambar 12.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Permintaan 2 Matematika Ekonomi 98
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. MELUKIS KURVA FUNGSI KUADRAT PADA PERMINTAAN Berikut ini langah-langkah dalam melukis kurva fungsi kuadrat pada permintaan : a. Tentukan arah parabola (↓ atau ← ) 1) Jika persamaan fungsinya P = −𝑎𝑄2 + bQ + c, maka kurva terbuka ke bawah (↓) 2) Jika persamaan fungsinya Q = −𝑎𝑃2 + bP + c, maka kurva terbuka ke kiri (←) b. Tentukan titik potong terhadap sumbu P dan Q 1) Jika titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Contoh : Terdapat persamaan P = -Q2 + 2Q + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu P Jawab : titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 P = -Q2 + 2Q + 8 P = 02 + 6. 0 + 8 P = 0 + 0 + 8 P = 8 maka koordinatnya (0, 8) 2) Jika titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Contoh : Terdapat persamaan P = -Q2 + 2Q + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu Q Jawab : titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 P = -Q2 + 2Q + 8 0 = -Q2 + 2Q + 8 (Q + 2) (-Q + 4) Q + 2 = 0 , atau Matematika Ekonomi 99
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Q + 4 = 0 Q = - 2 atau Q = 4 koordinat Q1 (- 2, 0), dan Q2 (4, 0) Jika persamaan tidak memiliki faktor-faktor rasional maka bisa digunakkan rumus : 𝑄1,2 = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 Atau 𝑃1,2 = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 c. Tentukan titik puncaknya 1) Jika kurva terbuka ke bawah, maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 , −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 } 2) Jika kurva terbuka ke kiri maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 , −𝑏 2𝑎 } d. Tentukan titik-titik koordinat yang telah diketahui, kemudian gambar dengan cara menghubungkan antar titik-titik koordinat tsb. Contoh 1: Jika fungsi permintaan P = 9 - 𝑄2, gambarkan kurva permintaannya ! Penyelesaian : a. Tentukan arah parabola bentuk persamaan fungsi P = 9 - 𝑄2, maka parabola terbuka ke bawah b. Tentukan jumlah titik potong terhadap sumbu Q dan P 1) Titik potong pada sumbu Q, maka P = 0 P = 9 - 𝑄2 0 = 9 - 𝑄2 Matematika Ekonomi 100
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi (Q + 3) (-Q + 3) Q + 3 = 0 atau - Q + 3 = 0 Q1 = -3 atau Q2 = 3 Koordinat Q1 = (-3, 0) atau Q2 = (3, 0) 2) Titik potong pada sumbu P, maka Q = 0 P = 9 - 𝑄2 P = 9 - 02 P = 9 Koordinat P (0, 9) c. Tentukan titik puncaknya Jika kurva terbuka ke bawah, maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 , , −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 } } (Q, P) = { −0 2(−1) , −(02−4(−1)(9)) 4(−1) } (Q, P) = {−0 −2 , −(02−(−36)) 4(−1) } (Q, P) = {0 , −(36) −4 } (Q, P) = {0 , 9} Matematika Ekonomi 101
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi d. Gambar parabolanya C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Jika fungsi permintaan Q = 64-8P- 2𝑃2, gambarkan fungsi permintaannya 2. Jika fungsi permintaan 𝑃𝑑 = 25 - 𝑄2, gambarkan kurva permintaannya ! 3. Jika fungsi permintaan 𝑄𝑑 = 64 - 𝑃2, gambarkan kurva permintaannya ! D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Matematika Ekonomi 102
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 103
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI KUADRAT PADA PENAWARAN KE 13 A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menyajikan bentuk umum fungsi kuadrat pada penawaran 2. Menyajikan bentuk kurva fungsi kuadrat pada penawaran 3. Melukis bentuk kurva fungsi kuadrat pada penawaran B. URAIAN MATERI 1. BENTUK FUNGSI KUADRAT PADA PENAWARAN Salah satu penerapan dari fungsi kuadrat dalam ekonomi adalah pada fungsi penawaran. Ciri khas dari fungsi kuadrat pada penawaran adalah memiliki nilai a > 0, sehingga akan memilik kurva parabola yang terbuka ke atas ataupun ke kanan. Dan perlu diketahui bahwa kurva yang digunakan pada ekonomi adalah yang terletak pada kuadran I. Adapun bentuk persamaan fungsi kuadrat pada penawaran disajikan sebagai berikut : P = 𝒂𝑸𝟐 + bQ + c Atau Q = 𝒂𝑷𝟐 + bP + c Keterangan : P = harga produk, Q = jumlah produk yang diminta c = konstanta a dan b = koefisien Matematika Ekonomi 104
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. KURVA FUNGSI KUADRAT PADA PENAWARAN Berdasarkan bentuk persamaan fungsi kuadrat pada penawaran, dapat diketahui mempunyai nilai a > 0, maka bentuk kurvanya adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke kanan dan perlu diketahui bahwa kurva yang digunakan pada ekonomi adalah yang terletak pada kuadran I. Berikut ini disajikan kurva fungsi kuadrat pada penawaran : a. Jika persamaannya P = 𝑎𝑄2 + bQ + c, maka parabola terbuka ke atas Berikut ini gambar kurvanya : Gambar 13.1 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Penawaran 1 b. Jika Q = f(P), atau Q = 𝑎𝑃2 + bP + c, maka parabola terbuka ke kanan Berikut ini gambar kurvanya : Gambar 13.2 : Contoh Kurva Fungsi Kuadrat Penawaran 2 Matematika Ekonomi 105
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. MELUKIS KURVA FUNGSI KUADRAT PADA PENAWARAN Berikut ini langah-langkah dalam melukis kurva fungsi kuadrat pada penawaran : a. Tentukan arah parabola (↑ atau → ) 1) Jika persamaan fungsinya P = 𝑎𝑄2 + bQ + c, maka kurva terbuka ke atas (↑) 2) Jika persamaan fungsinya Q = 𝑎𝑃2 + bP + c, maka kurva terbuka ke kanan (→) b. Tentukan titik potong terhadap sumbu P dan Q 1) Jika titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 Contoh : Terdapat persamaan P = Q2 + 6Q + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu P Jawab : titik potong terhadap sumbu P, maka Q = 0 P = Q2 + 6Q + 8 P = 02 + 6. 0 + 8 P = 0 + 0 + 8 P = 8, maka koordinatnya (0, 8) 2) Jika titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 Contoh : Terdapat persamaan P = Q2 + 6Q + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu Q Jawab : titik potong terhadap sumbu Q, maka P = 0 P = Q2 + 6Q + 8 0 = Q2 + 6Q + 8 (Q + 2) (Q + 4) Q + 2 = 0 , atau Q + 4 = 0 Matematika Ekonomi 106
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Q = - 2, atau Q = - 4 koordinat Q1 (- 2, 0), dan Q2 (- 4, 0) Jika persamaan tidak memiliki faktor-faktor rasional maka bisa digunakkan rumus : 𝑄1,2 = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 , 2𝑎 atau 𝑃1,2 = −𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 c. Tentukan titik puncaknya 1) Jika kurva terbuka ke atas, maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 , −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 } 2) Jika kurva terbuka ke kanan maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 , −𝑏 2𝑎 } d. Tentukan titik-titik koordinat yang telah diketahui, kemudian gambar dengan cara menghubungkan antar titik-titik koordinat tsb. Contoh 1: Jika fungsi penawaran P = 5 + 6Q + 𝑄2, gambarkan kurva penawarannya ! Penyelesaian : a. Tentukan arah parabola bentuk persamaan fungsi P = 5 + 6Q + 𝑄2, maka parabola terbuka ke atas b. Tentukan jumlah titik potong terhadap sumbu Q dan P 1) Titik potong pada sumbu Q, maka P = 0 P = 5 + 6Q + 𝑄2 0 = 5 + 6Q + 𝑄2 (Q + 1) (Q + 5) Q + 1 = 0 atau Q + 5 = 0 Q1 = -1 atau Q2 = -5 Matematika Ekonomi 107
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Koordinat Q1 = (-1, 0) atau Q2 = (-5, 0) 2) Titik potong pada sumbu P, maka Q = 0 P = 5 + 6Q + 𝑄2 P = 5 + 6. 0 + 02 P = 5 + 0 + 0 P = 5 Koordinat P (0, 5) c. Tentukan titik puncaknya Jika kurva terbuka ke atas, maka digunakan rumus titik puncak (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 (Q, P) = {−𝑏 2𝑎 , , −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 −(𝑏2−4𝑎𝑐) 4𝑎 } } (Q, P) = { −6 2(1) , −(62−4(1)(5)) 4(1) } (Q, P) = {−6 2 , −(36−20) 4(1) } (Q, P) = {−3 , −(16) 4 } (Q, P) = {−3 , − 4} d. Gambar parabolanya P 5 Q 5 1 4 Matematika Ekonomi 108
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Jika fungsi penawaran Q = 𝑃2+12P+32, gambarkan fungsi penawarannya 2. Jika fungsi penawaran 𝑃𝑠 = 𝑄2 + 9Q +18, gambarkan kurva penawarannya ! 3. Jika fungsi penawaran 𝑄𝑠 = 2𝑃2- 9P + 9, gambarkan kurva penawarannya ! D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 109
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN KE 14 PENERIMAAN TOTAL A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep penerimaan total 2. Menghitung penerimaan total maksimum 3. Menggambar kurva penerimaan total B. URAIAN MATERI 1. KONSEP PENERIMAAN TOTAL Penerimaan total adalah semua jenis penerimaan yang diperoleh melalui hasil kali antara harga dengan jumlah produk yang terjual. Secara matematis dapat disajikan sebagai berikut : TR = P. Q Keterangan : TR = Penerimaan total Q = Jumlah produk yang dijual P = Harga produk per unit 2. CARA MENGGAMBAR KURVA PENERIMAAN TOTAL Sebelum dijelaskan mengenai gambar kurva penerimaan total, akan disajikan bentuk kurva secara umum pada gambar 14.1 berikut ini : Matematika Ekonomi 110
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Gambar 14.1 : Contoh Kurva Penerimaan Total Berdasarkan gambar kurva di atas, dapat diketahui bahwa kurva berbentuk parabola, maka dari itu langkah untuk membuat kurvanya adalah : a. Tentukan titik potong terhadap sumbu Q dan sumbu P/TR 1) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P/TR = 0 2) Titik potong terhadap sumbu P/TR, maka Q = 0 b. Tentukan titik puncak − 𝒃 { 𝟐𝒂 , − 𝑫 𝟒𝒂 } Dengan D = b2 - 4ac, D : diskriminan c. Tentukan letak titik-titik tersebut pada bidang cartecius, kemudian gambar. Matematika Ekonomi 111
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. MENGHITUNG PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUM Penerimaan total maksimum merupakan titik puncak dari kurva penerimaan total, maka dari itu untuk mencari penerimaan total maksimum digunakan rumus titik puncak yaitu : − 𝒃 { 𝟐𝒂 , − 𝑫 𝟒𝒂 } Dengan nilai D = b2 - 4ac Contoh : Terdapat fungsi permintaan P = 8 - 2Q, tentukan : a. Penerimaan total maksimum b. Gambar kurva permintaan dan penerimaan total dalam satu bidang cartecius Jawab a. Penerimaan total maksimum TR = P. Q TR = (10 - 2Q). Q TR = 8Q - 2Q2 TR maksimum, digunakan rumus titik puncak : TR maksimum = {− 𝒃 𝟐𝒂 , − 𝑫 𝟒𝒂 } TR maksimum = {− 𝒃 𝟐𝒂 , − (𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄) 𝟒𝒂 } TR maksimum = { − 𝟖 𝟐 (−𝟐) , − (𝟖𝟐−𝟒(−𝟐)𝟎) 𝟒 (−𝟐) } TR maksimum = {− 𝟖 − 𝟒 , − (𝟔𝟒 −𝟎) −𝟖 } TR maksimum = {𝟐, 𝟖} b. kurva permintaan dan penerimaan total dalam satu bidang cartecius 1) Kurva permintaan (P = 8 - 2Q) a) Titik potong pada sumbu P, maka Q = 0 P = 8 - 2Q Matematika Ekonomi 112
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi P = 8 - 2. 0 P = 8 Jadi koordinatnya (0,8) b) Titik potong pada sumbu Q, maka P = 0 P = 8 - 2Q 0 = 8 - 2Q 2Q = 8 Q = 4 Jadi koordinatnya (4,0) 2) Kurva penerimaan total (TR = 8Q - 2Q2) a) Tentukan titik potong terhadap sumbu Q dan sumbu P/TR (1) Titik potong terhadap sumbu Q, maka P/TR = 0 TR = 8Q - 2Q2 0 = 8Q - 2Q2 (-2Q + 8)(Q + 0) 2Q + 8 = 0 atau Q + 0 = 0 2Q = - 8 atau Q = 0 Q1 = 4 atau Q2 = 0 Koordinatnya (4, 0) atau (0,0) (2) Titik potong terhadap sumbu P/TR, maka Q = 0 TR = 8Q - 2Q2 TR = 8. 0 - 2.02 TR = 0 Koordinatnya (0, 0) (3) Tentukan titik puncak { − 𝒃 𝟐𝒂 , − (𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄) 𝟒𝒂 } Matematika Ekonomi 113
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi { − 𝟖 𝟐(−𝟐) , − (𝟖𝟐 − 𝟒(−𝟐)𝟎) 𝟒(−𝟐) } − 𝟖 { − 𝟒 , − (𝟔𝟒 − 𝟎) − 𝟖 } {𝟐, 𝟖} (4) Tentukan letak titik-titik tersebut pada bidang cartecius, kemudian gambar. C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! Terdapat fungsi permintaan 𝑄𝑑 = 10 - 3P, tentukan : 1. Penerimaan total maksimum 2. Gambar kurva permintaan dan penerimaan total dalam satu bidang cartecius Matematika Ekonomi 114
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 115
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA KE 15 A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep fungsi eksponen 2. Menyebutkan jenis-jenis fungsi eksponen 3. Menggambarkan kurva fungsi eksponen 4. Menjelaskan pengertian fungsi logaritma 5. Menyebutkan jenis-jenis fungsi logaritma 6. Menjelaskan aturan-aturan logaritma 7. Menyajikan kurva fungsi logaritma 8. Menggambarkan kurva fungsi logaritma B. URAIAN MATERI 1. FUNGSI EKSPONEN a. Pengertian Fungsi Eksponen Sebelum dijelaskan mengenai fungsi eksponen, akan disajikan contoh fungsi eksponen berikut ini : 1) y = 10x 2) y = 3𝑥2 + 5𝑥−4 3) y = 𝑒𝑥2 + 5𝑥−4 Berdasarkan contoh di atas, dapat diketahui bahwa konstantanya (10, 3, dan e) dipangkatkan oleh variabel bebasnya (x, dan x2 + 5x - 4). Jadi dapat kita simpulkan bahwa fungsi eksponen merupakan fungsi yang konstantanya dipangkatkan dengan variabel-variabel bebasnya. Fungsi eksponen merupakan fungsi non aljabar, adapun invers dari fungsi eksponen adalah fungsi logaritma. Matematika Ekonomi 116
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Adapun bentuk persamaan fungsi eksponen ditunjukkan sebagai berikut : Y = f (x) = b x Atau Y = f (x) = e x Keterangan : Y = Variabel Terikat X = Variabel Bebas b/ e = basis b. Jenis-Jenis Fungsi Eksponen Berdasarkan contoh fungsi eksponen pada uraian materi di atas, dapat diketahui terdapat dua jenis fungsi eksponen, yaitu fungsi eksponen berbasis asli (e) dengan nilai e = 2,71828... , dan fungsi eksponen berbasis konstanta (b), dengan nilai 0 < b < 1. Berikut dijelaskan jenis fungsi eksponen tersebut: 1) Fungsi Eksponen Berbasis Asli (e) Fungsi eksponen berbasis asli merupakan fungsi eksponen yang basisnya merupakan bilangan irrasional yaitu e = 2,71828 ... Contoh : y = 𝑒𝑥2 + 5𝑥−4 y = 𝑒𝑥 2) Fungsi Eksponen Berbasis Konstanta (b) Fungsi eksponen berbasis konstanta merupakan fungsi eksponen yang basisnya merupakan bilangan b, dengan nilai 0 < b < 1. Contoh : y = 10 x y = 0,2 x Jika nilai b > 1, memiliki sifat sebagai berikut : Matematika Ekonomi 117
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi a) Nilai fungsi Y akan mendekati sumbu x tanpa berpotongan, ketika nilai x mendekati nilai negatif tak hingga b) Nilai fungsi Y akan menaik secara kontinu, ketika nilai x juga naik. Jika nilai 0 < b < 1, memiliki sifat sebagai berikut : a) Nilai fungsi Y akan mendekati sumbu x tanpa berpotongan, ketika nilai x mendekati positif tak hingga. b) Nilai fungsi Y akan menurun secara kontinu, ketika nilai x turun. c. Cara Melukis Kurva Fungsi Eksponen Berikut ini disajikan cara melukis kurva fungsi eksponen : 1) Tentukan hubungan antara nilai X dan Y. 2) Tentukan titik-titik koordinatnya pada bidang cartecius. 3) Hubungkan antar titik-titik koordinat tsb. Contoh : Y = f (x) = 3 x , lukislah kurva fungsi eksponen tersebut ! Jawab : X ∞ 2 1 0 1 2 ∞ Y ..... 1/9 1/3 1 3 9 ..... (X,Y) ..... (-2, 1/9) (-1, 1/3) (0, 1) (1, 3) (2, 9) ..... Gambar Kurvanya Matematika Ekonomi 118
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2. FUNGSI LOGARITMA a. Pengertian dan Jenis Fungsi Logaritma Sebelum dijelaskan mengenai fungsi logaritma, akan disajikan contoh fungsi logaritma berikut ini : y = a log x y = e log x = ln x berdasarkan contoh di atas dapat diketahui bahwa variabel bebasnya adalah log x, adapun a/e adalah basis/ bilangan pokok, jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi logaritma merupakan fungsi yang variabel bebasnya dalam bentuk log dan memiliki basis/ bilangan pokok tertentu berupa bilangan a/ e. Jika basisnya merupakan bilangan a maka variabel bebasnya ditulis dengan log, sedangkan jika basisnya adalah bilangan e (eksponen) maka variabel bebasnya ditulis ln (len). Berikut ini disajikan bentuk umum persamaan fungsi logaritma : y = a log x atau y = e log x = ln x Keterangan : y = variabel terikat log x/ ln x= varabel bebas a/ e = basis / bilangan pokok Terdapat 2 jenis logaritma yaitu 1) logaritma biasa yang memiliki basis/ bilangan pokok a dan dilambangkan log, dan 2) logaritma alam yang memiliki basis/ bilangan pokok e dan dilambangkan ln. Contoh : y = ln 5x (logaritma alam) y = 5 log (𝑥2 + 5𝑥 − 4) (logaritma biasa) Matematika Ekonomi 119
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Aturan Logaritma Untuk setiap bilangan riil positif x dan y, setiap bilangan riil r dan bilangan riil positif a (a > 1 dan b ≠ 1), maka berlaku: 1. alog x.y = alog x + alog y 2. alog x/y = alog x - alog y 3. alog xr = r alog x 4. alog x = alog b . blog x 5. alog b . blog a = 1 atau ( alog b) = 1 𝑏 log 𝑎 6. alog a = 1 7. alog 1 = 0 Contoh : 1. 3log (9. 27) = 3log 9 + 3log 27 = 32 + 33 = 2 + 3 = 5 2. 2log (16/8) = 2log 16 - 2log 8 = 24 - 23 = 4 - 3 = 1 3. 10log 100 = 10 log 102 = 2. 10 log 10 = 2. 101 = 2. 1 = 2 Matematika Ekonomi 120
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 4. 2log 16 = 2log 4 . 4log 16 = 22. 42 = 2. 2 = 4 5. 7log 7 = 1 c. Gambar Kurva Fungsi Logaritma Gambar kurva fungsi logaritma bergantung terhadap nilai basisnya (a). Berikut ini disajikan gambar kurva tersebut : 1) Jika y = a log x, dengan basis a > 0, maka kurvanya naik y x Gambar 16.1 : Contoh Kurva Fungsi Logaritma 1 2) Jika y = a log x, dengan basis 0 < a < 1, maka kurvanya turun y x Gambar 16.2 : Contoh Kurva Fungsi Logaritma 2 Matematika Ekonomi 121
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi d. Cara Menggambar Kurva Fungsi Logaritma Berikut ini disajikan cara melukis kurva fungsi logaritma : 1) Tentukan hubungan antara nilai X dan Y (pilih X agar nilai Y mudah ditentukan) 2) Tentukan titik-titik koordinatnya pada bidang cartecius. 3) Hubungkan antar titik-titik koordinat tsb. Contoh : Gambarlah kurva fungsi logaritma berikut y = f (x) = ½ log x Jawab X ∞ ¼ 1/2 1 2 4 ∞ Y ..... 2 1 0 1 2 ..... (X,Y) ..... (1/4, 2) (1/2, 1) (1,0) (2, - (4, - ..... 1) 2) Gambar Kurva 2 1 1/4 1/2 1 2 3 4 1 2 Matematika Ekonomi 122
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Jelaskan pengertian fungsi eksponen menggunakan bahasa saudara sendiri ! 2. Jelaskan jenis-jenis fungsi eksponen ! Berikan contoh fungsinya masing- masing ! 3. Gambarkan kurva pada fungsi eksponen berikut : a. f (x) = 4 x b. f (x) = 2 x - 1 c. f (x) = 1 4 x+2 d. f (x) = 2 -x - 1 D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 123
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN FUNGSI PERTUMBUHAN KE 16 A. TUJUAN PERKULIAHAN Setelah mempelajari modul pada bab ini, diharapkan mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan persamaan kurva gompertz 2. Menggambarkan kurva gompertz 3. Menghitung pertumbuhan manusia berdasarkan kurva gompertz 4. Menjelaskan persamaan kurva belajar 5. Menggambarkan kurva belajar 6. Menghitung perilaku produksi dan perilaku biaya B. URAIAN MATERI 1. KURVA GOMPERTZ Kurva gompertz merupakan kurva yang menggambarkan aspek pertumbuhan manusia. Kurva ini dalam ekonomi bisa menggambarkan pertumbuhan tenaga kerja pada suatu perusahaan. Secara umum kurva gompertz dinyatakan dalam persamaan berikut ini : N = c a Rt Keterangan : N = Jumlah penduduk pada tahun t R = Tingkat pertumbuhan (0 < R < 1) a = Proporsi pertumbuhan awal c = Tingkat pertumbuhan dewasa t = Jumlah tahun Adapun bentuk kurva gompertz disajikan pada gambar 16.1 berikut ini : Matematika Ekonomi 124
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Gambar 16.1: Contoh Kurva Gompertz Kurva yang berwarna merah (atas), merupakan kurva gompertz yang memiliki nilai a > 0, dan kurva berwarna biru (bawah) merupakan kurva gompertz yang memilik nilai a < 1 2. KURVA BELAJAR Kurva belajar digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu. Secara umum kurva belajar dinyatakan dalam persamaan berikut ini : y = m - se -kx Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau nilai y tertinggi. Matematika Ekonomi 125
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Adapun bentuk kurva belajar disajikan pada gambar 16.2 berikut ini : Gambar 16.2: Contoh Kurva Belajar Kurva belajar dapat diterapkan dalam ekonomi yaitu untuk menggambarkan perilaku produksi dan perilaku biaya. Berikut ini penjelasannya. a. Perilaku Produksi Perilaku produksi dapat dinyatakan dalam persamaan berikut ini: P = Pm - Ps.e -r t Keterangan : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi. Contoh : Percetakan "Sinta" mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari Matematika Ekonomi 126
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 10 % setiap bulannya. Tentukan, 1) Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut 2) Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya 3) Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi 10 bulan 4) Analisislah Penyelesaian Diketahui : Pm = 10.000, Ps = 40 % (10.000) = 4.000 t = 1 tahun (12 bulan) r = 0,05 Jawab : 1) Persamaan Prilaku Produksi Cetakan P = Pm - Ps. e - r. t P = 10.000 - 4.000 . e - 0,1. t 2) Jumlah perdana cetakan / produksi. 60 % x 10.000 = 6.000 cetakan 3) Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 10 bulan P = 10.000 - 4.000 . e - 0,1. t P = 10.000 - 4.000 . e - 0,1. 10 P = 10.000 - 4.000 . 2,718 - 1 P = 10.000 - 4.000 . 1 2,7181 P = 10.000 - 4.000. 1 2,718 P = 10.000 - 1.471 P = 8.529 cetakan. Matematika Ekonomi 127
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 4) Analisis Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 10 bulan adalah sebanyak 8.529 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 10 bulan sebesar 2.529 cetakan. b. Perilaku Biaya Perilaku biaya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut ini: C = Cm - Cs.e -r q Keterangan : C = Biaya total persatuan waktu. Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). q = kuantitas r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu Contoh : Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan pada persamaan C = 100 - 50 e - 0,02 q, C menyatakan biaya produksi dan q menyatakan kuantitas produksi. 1) Berapa besar biaya tetapnya ? 2) Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya ? Penyelesaian 1) Biaya tetap maka q = 0, maka C = ... ? C = 100 - 50. e- 0,02(0) C = 100 - 50 . eo C = 100 - 50. 1 C = 50 Matematika Ekonomi 128
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Jadi, biaya tetapnya (maksudnya jika tidak berproduksi atau jika q = 0) = 50 juta rupiah. 2) Bila q = 100, maka biaya total (C) adalah, C = 100 - 50 . e- 0,02(100) C = 100 - 50. e -2 C = 100 - 50 1 𝑒2 C = 100 - 50 1 7,387 C = 100 - 6,7682 C = 93,2318 juta rupiah Jadi, proposi biaya tetap terhadap biaya total (untuk berproduksi 100 unit) adalah 93 juta C. LATIHAN 1. Percetakan "Sinta" mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga 20.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 50 % dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 10 % setiap bulannya. Tentukan, a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi 100 bulan d. Analisislah 2. Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan pada persamaan C = 100 - 7 e - 0,02 t, C menyatakan biaya produksi dan q menyatakan kuantitas produksi. a. Berapa besar biaya tetapnya ? b. Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya ? Matematika Ekonomi 129
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 130
Universitas Pamulang PERTEMUAN KE 17 TURUNAN FUNGSI A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan pengertian turunan fungsi 2. Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi 3. Menyebutkan jenis-jenis turunan fungsi 4. Menghitung turunan fungsi B. URAIAN MATERI 1. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi f ′, yang nilainya di c adalah f ′ (x) = lim ℎ→0 ( 𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥) ℎ ) Asalkan limit in ada Contoh : Jika f (x) = 2x2 + 6x + 4, maka turunan f (x) adalah . . . Jawab f ′ (x) = lim ℎ→0 ( 𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥) ℎ ) = lim ℎ→0 ( [2(𝑥+ℎ)2+6 (𝑥+ℎ)+4]−[2𝑥2+6𝑥+4] ℎ ) = lim ℎ→0 ( [2(𝑥2+ 2𝑥ℎ+ ℎ2)+ 6𝑥+6ℎ+4]−[2𝑥2+6𝑥+4] ℎ ) = lim ℎ→0 ( [2𝑥2+4𝑥ℎ+ 2ℎ2+ 6𝑥+6ℎ+4]−[2𝑥2+6𝑥+4] ℎ ) = lim ℎ→0 ( 2𝑥2+4𝑥ℎ+ 2ℎ2+ 6𝑥+6ℎ+4 −2𝑥2− 6𝑥− 4 ℎ ) = lim ℎ→0 ( 4𝑥ℎ+ 2ℎ2+6ℎ ℎ ) Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 131
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi = lim ℎ→0 ( ℎ(4𝑥+ 2ℎ+6 ℎ ) = lim ℎ→0 (4𝑥 + 2ℎ + 6) = lim ℎ→0 (4𝑥 + 2.0 + 6) = 4x + 6 2. SIFAT TURUNAN FUNGSI a. Jika f(x) = k, untuk setiap k konstan maka f '(x) = 0. Bukti : f ′ (x) = lim ℎ→0 ( 𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥) ℎ ) = lim ℎ→0 ( 𝑘−𝑘 ℎ ) = lim ℎ→0 0 ( ℎ ) = 0 b. Jika f(x) = x , untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f '(x) = 1. Bukti : f ′ (x) = lim ℎ→0 ( 𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥) ℎ ) = lim ℎ→0 ( (𝑥+ℎ)−𝑥 ℎ ) = lim ℎ→0 ℎ ( ℎ ) = 1 c. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f '(x) = nxn-1 Contoh : Jika f(x) = 𝑥6 , maka f ′ (x) = 6 x5 d. Jika y = ku, maka y′ = k (u′) Contoh : Matematika Ekonomi 132
Universitas Pamulang Jika f(x) = 4x6, maka f ′ (x) = 4. 6 x5 = 24 x5 e. Jika y = u + v, maka y′ = u′ + v′ Contoh : Jika f(x) = 4x6 + 4x, maka f ′(x) = 24x5 + 4 f. Jika y = u - v, maka y′ = u′ - v′ Contoh : Jika f(x) = 4x6 - 4x, maka f ′ (x) = 24x5 - 4 g. Jika y = uv, maka y′ = u′ v + u v′ Contoh : Jika f(x) = (4x6 - 4x)(4x + 7), maka f ′ (x) = (24x5 - 4)( 4x + 7) + (4x6 - 4x)(4) h. Jika y = 𝑢 𝑣 , maka y′ = u′v− u 𝑣′ 𝑣2 Contoh : Jika f(x) = 4𝑥6 - 4𝑥 4𝑥 + 7 , maka f ′(x) = (24𝑥5 - 4)( 4𝑥 + 7) − (4𝑥6 - 4𝑥)(4) (4𝑥 + 7)2 i. Jika f(x) = x-n, maka f ′(x) = k (u′) Contoh : Jika f(x) = x-6, maka f′(x) = 1. -6x-7 = -6x-7 Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 133
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 3. JENIS TURUNAN a. Turunan Fungsi Komposisi Fungsi komposisi merupakan gabungan dua fungsi atau lebih, jadi fungsi turunan komposisi merupakan gabungan dua fungsi yang telah terdiferensial. Menentukan turunan fungsi komposisi bisa digunakam aturan rantai berikut ini : Jika y = f(u) dan u = g(x), jika kedua fungsi tersebut terdiferensialkan ke x , Maka, 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒖 . 𝒅𝒖 ) atau 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = [𝒇′(𝒖). 𝒈′(𝒙)] = ( 𝒅𝒙 Contoh : Tentukan turunan y = (3x4 + 7x - 8)9 Jawab Misalkan u = 3x4 + 7x - 8, maka 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 12x3 + 7 y = u9, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 sehingga 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 9 u8 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 9 u8 . (12x3 + 7) = 9 (3x4 + 7x - 8)8 (12x3 + 7) b. Turunan Fungsi Invers Fungsi invers adalah fungsi kebalikan, jadi turunan fungsi invers merupakan turunan dari fungsi-fungsi kebalikannya tsb. Berikut ini disajikan cara menentukan turunan fungsi invers. Jika y = f(x), maka turunan fungsi inversnya adalah 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒅𝒚 ⁄ 𝒅𝒙 Contoh : Jika diketahaui fungsi y = 4x + 8, tentukan turunan fungsi inversnya ! Jawab: Matematika Ekonomi 134
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4, Maka 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ = 1 4 c. Turunan Fungsi Eksponen Fungsi eksponen merupakan fungsi perpangkatan, disimbolkan dengan huruf e. Fungsi eksponen memilik dua basis eksponen yaitu 1) basis eksponen dengan b > 0, dan 2) basis eksponen asli (e). Bilangan e = 2,71828 ... Berikut disajikan cara menentukan turunan fungsi eksponen. 1) Eksponen berbasis asli (e) Untuk menentukan turunan pertama pada ekponen berbasis asli atau nilai e dapat menggunkan kaidah sebagai berikut: Jika y = f(x) = ex, maka y′ = f ′ (x) = ex Jadi turunan fungsi eksponen yang berbasis ex adalah fungsi itu sendiri. Jika y = e f(x), maka y′ = [e f(x)] [f ′ (x)] Contoh : Jika diketahui fungsi y = 𝑒𝑥2 + 5𝑥−4 tentukan turunan fungsinya Jawab Dengan menggunakan kaidah Jika y = e f(x), maka y′ = [e f(x)] [f ′ (x)] Maka fungsi di atas dapat dicari turunan pertamanya yaitu Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 4 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 5 sehingga Matematika Ekonomi 135
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi y′ = [𝑒𝑥2 + 5𝑥−4] [2x+5] y′ = [2x+5]𝑒 𝑥2 + 5𝑥−4 2) Eksponen berbasis konstanta (b) Untuk menenntukan turunan pertama pada fungsi eksponen dengan berbasis konstanta (b) dapat menggunakan kaidah berikut ini. Jika y = f(x) = bx, maka y′ = f ′ (x) = [bx] [ln b] Jika y = b f(x), maka y′ = [b f(x)] [ln b] [ f ′ (x)] Contoh 1 : Diketahui fungsi y = 10x, tentukan turunannya Jawab Dengan menggunakan kaidah Jika y = f(x) = bx, maka y′ = f ′ (x) = [bx] [ln b] Maka fungsi di atas dapat diselesaikan yaitu y′ = [10x] [ln 10] = [10x] 2.302585 Contoh 2 : Diketahui persamaan yaitu y = 3𝑥2 + 5𝑥−4, tentukan turunannya Jawab Dengan menggunakan kaidah Jika y = b f(x), maka y′ = [b f(x)] [ln b] [ f ′ (x)] Maka persamaan di atas dapat diselesaiaknan yaitu y′ = [3𝑥2 + 5𝑥−4] [ln 3] [2x+5] y′ = [2x+5]3𝑥2 + 5𝑥−4 ln 3 Matematika Ekonomi 136
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi d. Turunan Fungsi Logaritma Terdapat 2 jenis logaritma yaitu 1) logaritma biasa yang memiliki bilangan pokok 10 dan dilambangkan log, dan 2) logaritma alam yang memiliki bilangan pokok e dan dilambangkan ln. Contoh : y = ln 5x (logaritma alam) y = 5 log (𝑥2 + 5𝑥 − 4) (logaritma biasa) Berikut disajikan cara menentukan turunan pada kedua logaritma tsb. 1) Logaritma Alam Logaritma alam atau dengan nama lain logaritma navier atau logaritma natural dengan turunan pertamnya menggunakan kaidah sebagai berikut Jika y = f(x) = ln x, maka y′ = f ′ (x) = 𝟏 𝒙 Jika y = ln f(x), maka y′ = 𝟏 𝒇(𝒙) f ′ (x) Contoh : y = ln (𝑥2 + 5𝑥 − 4), tentukan turunan pertamanya (y′) Jawab Jika y = ln f(x), maka y′ = 1 𝑓(𝑥) f ′ (x) y′ = 1 𝑥2 + 5𝑥−4 . (2x + 5) y′ = 2x + 5 𝑥2 + 5𝑥−4 e. Logaritma Biasa Perumusan untuk menentukan turunan pertama pada logaritma biasa adalah sebagai berikut: Jika y = a log x, maka y′ = 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 f ′ (x). 𝟏 𝐥𝐧 𝒂 Jika y = a log f(x), maka y′ = 𝟏 𝒇(𝒙) Matematika Ekonomi 137
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Contoh : y = 5 log (𝑥2 + 5𝑥 − 4), tentukan turunan pertama dari persamaan tersebut (y′) Jawab : Langkah awal kita cari turunan pertam untuk fungsi f(x) yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 4 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 + 5 − 0 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 5 Sesuai dengan kaidah turunannya menggunakan kaidah berikut yaitu Jika diketahui y = a log f(x), maka turumnan pertamanya yaitu y′ = 𝟏 𝒇(𝒙) f ′ (x). 𝟏 𝐥𝐧 𝒂 sehingga y′ = 1 𝑥2 + 5𝑥−4 . 2x + 5. 1 ln 5 y′ = 2𝑥 + 5 𝑥2 + 5𝑥−4 . 1 ln 5 f. Turunan Tingkat Tinggi Turunan tingkat tinggi merupakan konsep turunan kedua, ketiga, keempat dan seterusnya. Jika y = f(x), maka : y′ = f ′ (x) (turunan pertama) y′′ = f ′′ (x) (turunan kedua) y′′′ = f ′′′ (x) (turunan ketiga), dan seterusnya. Contoh : Diketahui fungsi Matematika Ekonomi 138
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi y = 𝑥2 + 5𝑥 − 4 tentukan turunan kedua (y′′) Jawab : 1) Tentukan turunan pertamanya y = 𝑥2 + 5𝑥 − 4 𝑦′ = 2𝑥2−1 + 5 − 0 y′ = 2x + 5 2) Tentukan turunan kedua y′ = 2x + 5 𝑦′′ = 2 + 0 y′′ = 2 Jadi y′′ = 2 C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Carilah turunan pertama dari fungsi berikut ini a. f(x) = 7x3 + 4x + 3 b. y = 3 log (𝑥2 + 5𝑥 − 6) c. y = (3x2 + 9x - 12)12 2. Carilah turunan kedua dari fungsi berikut ini a. f(x) = 7x3 + 4x + 3 b. y = 3 log (𝑥2 + 5𝑥 − 6) c. y = (3x2 + 9x - 12)12 D. DAFTAR PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Matematika Ekonomi 139
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Matematika Ekonomi 140
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi PERTEMUAN ELASTISITAS PERMINTAAN DAN KE 18 PENAWARAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu : 1. Menjelaskan konsep elastisitas permintaan 2. Menjelaskan jenis - jenis elastisitas permintaan 3. Menghitung elastisitas permintaan 4. Menjelaskan konsep elastisitas penawaran 5. Menjelaskan jenis - jenis elastisitas penawaran 6. Menghitung elastisitas penawaran B. URAIAN MATERI 1. ELASTISITAS PERMINTAAN a. Konsep Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan adalah perubahan persentase jumlah produk yang diminta karena perubahan persentase harga produk yang diminta. Elastisitas harga permintaan dilambangkan dengan Ehd. Berikut ini rumus Elastisitas harga permintaan : 1) Jika fungsi permintaan Qd = f(P), maka elastisitas harga permintaannya : Ehd = ∆𝑸 ∆𝑷 . 𝑷 𝑸 atau Ehd = 𝒅𝑸 𝒅𝑷 . 𝑷 𝑸 Matematika Ekonomi 141
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi 2) Jika fungsi permintaan Pd = f(Q), maka elastisitas harga permintaannya : Ehd = ∆𝑷 ∆𝑸 . 𝑸 𝑷 atau Ehd = 𝒅𝑷 𝒅𝑸 . 𝑸 𝑷 b. Jenis-Jenis Elastisitas Permintaan Nilai absolut elastisitas harga yaitu 0 ≤ Ehd ≤ ∞. Dari nilsi absolut tsb dapat dikategorikan macam elastisitas permintaan sebagai berikut : 1) Jika | Ehd | < 1, maka permintaan inelastis terhadap harga 2) Jika | Ehd | = 1, maka permintaan unitary terhadap harga 3) Jika | Ehd | > 1, maka permintaan elastis terhadap harga 4) Jika | Ehd | = 0, maka permintaan inelastis sempurna terhadap harga 5) Jika | Ehd | = ∞, maka permintaan elastis sempurna terhadap harga c. Cara menentukan Elastisitas Permintaan 1) Jika diketahui fungsi permintaan Berikut ini langkahnya : a) Tentukan turunan fungsinya b) Tentukan nilai absolut elastisitas permintaan c) Kategorikan jenis elastisitasnya Contoh 1 : Jika fungsi permintaan Q = 120 - 4P, berapakah nilai elastisitas dan jenis elastisitas permintaan jika harga P = 20 Jawab a) Tentukan turunan fungsi Q = 120 - 4P terhadap P yaitu 𝑑𝑄 𝑑𝑃 = - 4 b) Tentukan nilai absolut Sebelumnya cari nilai Q : jika P = 20, maka Q = 40 |Ehd| = | 𝑑𝑄 𝑑𝑃 . 𝑃 𝑄 | Matematika Ekonomi 142
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi = | - 4 . 20 40 | = | - 2 | = 2 c) Kategorikan jenis elastisitasnya Karena | Ehd | > 1, maka permintaan elastis terhadap harga Contoh 2 : Jika fungsi permintaan Q = 9 𝑃4 , tentukan elastisitas permintaannya Jawab a) Tentukan turunan fungsinya Q = 9 𝑃4 = 9P-4 𝑑𝑄 𝑑𝑃 = - 36P-5 b) Tentukan nilai absolut elastisitas permintaan |Ehd| = | 𝑑𝑄 𝑑𝑃 |Ehd| = | - 36P-5 . 𝑃 . 𝑃 𝑄 | 9𝑃−4 | = | − 36𝑃−4 9𝑃−4 | = | - 4 | = 4 c) Kategorikan jenis elastisitasnya Karena | Ehd | > 1, maka permintaan elastis terhadap harga 2) Jika diketahui gambar kurvanya Berikut ini langkahnya : a) Tentukan ∆𝑄 dan ∆𝑃 b) Tentukan nilai absolut elastisitas permintaan c) Kategorikan jenis elastisitasnya Matematika Ekonomi 143
Universitas Pamulang Contoh : Tentukan nilai elastisitas dan jenis elastisitasnya Jawab a) Tentukan ∆𝑄 dan ∆𝑃 Misal : Q1 = 10, P1 = 30 Q2 = 30, P2 = 20 Maka : ∆ Q = Q2 - Q1 = 30 - 10 = 20 ∆ P = P2 - P1 = 20 - 30 = - 10 b) Tentukan nilai absolut elastisitas permintaan | Ehd | = | ∆𝑄 ∆𝑃 = | 20 − 10 . 𝑃 𝑄 . 30 10 | | Matematika Ekonomi Pendidikan Ekonomi 144
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi = | −2 . 3 | = | −6 | = 6 c) Kategorikan jenis elastisitasnya Karena | Ehd | > 1, maka permintaan elastis terhadap harga 2. ELASTISITAS PENAWARAN a. Konsep Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran adalah perubahan persentase jumlah produk yang ditawarkan karena perubahan persentase harga produk yang ditawarkan. Elastisitas harga penawaran dilambangkan dengan Ehs. Berikut ini rumus Elastisitas harga permintaan : 1) Jika fungsi permintaan Qd = f(P), maka elastisitas harga permintaannya : Ehs = ∆𝑸 ∆𝑷 . 𝑷 𝑸 Atau Ehs = 𝒅𝑸 𝒅𝑷 . 𝑷 𝑸 2) Jika fungsi permintaan Pd = f(Q), maka elastisitas harga permintaannya : Ehs = ∆𝑷 ∆𝑸 . 𝑸 𝑷 atau Ehs = 𝒅𝑷 𝒅𝑸 . 𝑸 𝑷 Matematika Ekonomi 145
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Jenis-Jenis Elastisitas Permintaan Nilai absolut elastisitas harga yaitu 0 ≤ Ehs ≤ ∞. Dari nilsi absolut tsb dapat dikategorikan macam elastisitas permintaan sebagai berikut : 1) Jika | Ehs | < 1, maka penawaran inelastis terhadap harga 2) Jika | Ehs | = 1, maka penawaran unitary terhadap harga 3) Jika | Ehs | > 1, maka penawaran elastis terhadap harga 4) Jika | Ehs | = 0, maka penawaran inelastis sempurna terhadap harga 5) Jika | Ehs | = ∞, maka penawaran elastis sempurna terhadap harga c. Cara menentukan Elastisitas Harga 1) Jika diketahui fungsi penawarannya Berikut ini langkahnya : a) Tentukan turunan fungsinya b) Tentukan nilai absolut elastisitas penawaran c) Kategorikan jenis elastisitasnya Contoh 1 : Jika fungsi penawaran Qs = - 20 + 2P, tentukan elastisitas penawarannya jika harga P = 20 Jawab a) Tentukan turunan fungsinya Qs = - 20 + 2P 𝑑𝑄 𝑑𝑃 = 2 b) Tentukan nilai absolut elastisitas penawaran Sebelumnya dicari nilai Q, jika harga P = 20 maka Qs = - 20 + 2P Qs = - 20 + 2. 20 Qs = - 20 + 40 Q = 20 Matematika Ekonomi 146
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Tentukan nilai absolut elastisitas penawaran |Ehs| = | 𝑑𝑄 𝑑𝑃 . 𝑃 𝑄 |Ehs| = | 2 . 20 20 | | |Ehs| = | 2 . 1 | |Ehs| = | 2 | c) Kategorikan jenis elastisitasnya Karena | Ehs | > 1, maka penawaran elastis terhadap harga 2) Jika diketahui gambar kurvanya Berikut ini langkahnya : a) Tentukan ∆𝑄 dan ∆𝑃 b) Tentukan nilai absolut elastisitas penawaran c) Kategorikan jenis elastisitasnya Contoh : Tentukan nilai elastisitas dan jenis elastisitasnya Jawab a) Tentukan ∆𝑄 dan ∆𝑃 Matematika Ekonomi 147
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Misal : Q1 = 10, P1 = 20 Q2 = 30, P2 = 40 Maka : ∆ Q = Q2 - Q1 = 30 - 10 = 20 ∆ P = P2 - P1 = 40 - 20 = 20 b) Tentukan nilai absolut elastisitas permintaan | Ehs | = | ∆𝑄 . 𝑃 ∆𝑃 𝑄 . 20 = | 20 10 20 | | = | 1 . 2 | = | 2 | = 2 c) Kategorikan jenis elastisitasnya Karena | Ehs | > 1, maka penawaran elastis terhadap harga C. LATIHAN Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat ! 1. Tentukan nilai elastisitas dan jenis elastisitasnya dari persamaan berikut ini a. Pd = 50 - 2Q b. Ps = 5Q + 200 c. Qd = 30 - 3P 2. Tentukan nilai elastisitas dan jenis elastisitasnya dari gambar kurva berikut ini a. Gambar kurva pertama Matematika Ekonomi 148
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi b. Gambar kurva kedua D. DAFTAR PUSTAKA Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Matematika Ekonomi 149
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 150
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi GLOSARIUM Himpunan : sekumpulan objek yang mempunyai definisi yang jelas Irisan : menentukan snggota yang sama dari kedu himpunan atau lebih Union : gabungan anggota himpunan dari dua himpunan atau lebih Komplemen : angota semesta tapi bukan anggota yang dikomplemenkan Selisih : anggota yang berada pada himpunan awal dan tidak ada dihimpunan yang kedua Bilangan rasional : bilangan real yang dapat dibentuk menjadi a/b Bilangan Irrasional : bilangan real yang tidak dapat dibentuk menjadi a/b Bilangan prima : bilangan yang mempunyai dua faktor Interval : himpuinan bilangan real yang mememnuhi pertidkasamaan tertentu. Fungsi linier : fungsi yang mempunyai variabel dengan pangkat derajat satu. Gradien : kemirinan suatu garis linier Fungsi Permintaan : persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan semua faktor-faktor yang mempengaruhinya Fungsi Penawaran : fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga barang dengan jumlah barang yang ditawarkan produsen dengan variabel- variabel lain yang mempengaruhi dalam periode tertentu. Pajak : pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap produsen. Subsidi : bantuan keuangan yang diberikan oleh pemerintah terhadap produsen. Deret Aritmatika : deret hitung dengan adanya pembeda setiap suku yang berurutan Deret Geometri : deret ukur dengan adanya rasio setiap suku yang berurutan Bunga majemuk : perhitungan bunga berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga Titik puncak : titik yang menjadi titik maksimum atau minimum dengan menggunakan perumusan tertentu Kurva gompertz : merupakan kurva yang menggambarkan aspek pertumbuhan manusia. Fungsi invers : fungsi kebalikan, jadi turunan fungsi invers merupakan turunan dari fungsi-fungsi kebalikannya tersebut Matematika Ekonomi 151
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi Fungsi komposisi : gabungan dua fungsi atau lebih, jadi fungsi turunan komposisi merupakan gabungan dua fungsi yang telah terdiferensial Matematika Ekonomi 152
Universitas Pamulang Pendidikan Ekonomi DAFTRA PUSTAKA Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga Jakarta: Erlangga Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Matematika Ekonomi 153
Program Studi Prasyarat Deskripsi Mata Kuliah Penyusun RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) : Pendidikan Ekonomi : ... : Mata kuliah ini merupakan bagian dari Mata Kuliah wajib prodi yang bersifat wajib ditempuh mahasiswa Program Studi S1 Pendidikan Ekonomi FKIP UNPAM. Capaian pembelajaran ini yaitu: Mahasiswa mampu mata kuliah memahami dan terampil dalam mengaplikasikan ilmu matematika dalam menyelesaikan masalah- masalah ekonomi melalui pembelajaran berbasis masalah. Cakupan Materi Matematika Ekonomi yaitu: 1) Himpunan, 2) Sistem Bilangan Riil dan Pertidaksamaan, 3) Fungsi Linier dan aplikasi linier pada dalam ekonomi permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar, fungsi pajak dan subsidi, fungsi konsumsi dan tabungan, 4) Barisan dan Deret dan aplikasi dalam ekonomi seperti : bunga majemuk, 5) Fungsi Kuadrat dan aplikasi dalam ekonomi seperti: fungsi kuadrat permintaan dan penawaran, fungsi penerimaan total, 6) Fungsi Eksponen dan Logaritma serta aplikasi dalam ekonomi seperti : fungsi pertumbuhan, 7) Turunan dan aplikasi dalam ekonomi seperti elastisitas harga. Tugas yang wajib dikerjakan oleh mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah ini yaitu menganalisis dan menyelesaikan masalah-masalah ekonomi melalui matematika. seperti fungsi Mata Kuliah/Kode SKS Capaian Pembelajaran : 1. Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd 2. Enggar Prasetyawan, S.Pd., M.Pd 3. Ubaid Al-Faruq, S.Pd., M.Pd : Matematika Ekonomi/ PIE03315 : 3 SKS : Setelah mengikuti mata kuliah Matematika Ekonomi mahasiswa mampu memahami dan terampil dalam mengaplikasikan ilmu matematika dalam menyelesaikan ekonomi melalui masalah-masalah pembelajaran berbasis masalah.
PERTEMUAN KE- (1) 1 2 3 4 5 KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN (2) Mampu menjelaskan konsep himpunan, menjelaskan hubungan antar himpunan, dan menghitung operasi himpunan Mampu menjelaskan himpunan bilangan Riil, menjelaskan sifat medan dan sifat urutan bilangan riil, menguraikan interval/ selang pada serta menghitung himpunan penyelesaian pertidaksamaan konsep Mampu menjelaskan fungsi linier, menggambarkan grafik fungsi linier, menentukan persamaan linier, dan fungsi menjelaskan hubungan dua garis lurus konsep Mampu menjelaskan fungsi linier pada permintaan, menggambar kurva fungsi linier pada permintaan, menentukan linier pada fungsi persamaan permintaan, menjelaskan konsep fungsi linier pada penawaran, menggambar kurva fungsi linier penawaran, menentukan pada persamaan linier pada fungsi penawaran, menghitung harga dan dan jumlah menggambar titik keseimbangan Mampu menjelaskan pengertian perubahan pajak, menentukan bilangan riil, keseimbangan, kurva BAHAN KAJIAN (MATERI AJAR) (3) Himpunan Sistem Bilangan Riil dan Pertidaksamaan Fungsi Linier Fungsi Linier pada Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar Fungsi Linier Pada Pajak METODE PEMBELAJARAN (4) Demonstrasi Demonstrasi Simulasi dan Demonstrasi Simulasi dan Demonstrasi Simulasi dan Demonstrasi Simulasi dan PENGALAMAN BELAJAR MAHASISWA (5) Tugas 1 Tugas 2 Tugas 3 Tugas 4 Tugas 5 KRITERIA PENILAIAN (6) Kelengkapan Jawaban Kelengkapan Jawaban Kelengkapan Jawaban Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan BOBOT NILAI (7) 4 % 4 % 4 % 5 % 6 %
6 7 8 penawaran persamaan setelah menghitung penerimaan pemerintah dari pajak, menghitung beban pajak yang ditanggung konsumen, menghitung beban pajak yang serta ditanggung menggambar kurva keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak Mampu menjelaskan pengertian subsidi, menentukan perubahan persamaan penawaran fungsi setelah subsidi, menghitung beban subsidi ditanggung pemerintah, menghitung subsidi yang konsumen, menghitung subsidi yang diterima serta menggambar produsen, kurva pasar sebelum dan sesudah subsidi hakikat Mampu menjelaskan konsumsi, menentukan fungsi konsumsi, persamaan menggambar fungsi konsumsi, menjelaskan hakikat tabungan, menentukan fungsi tabungan, persamaan menggambar fungsi tabungan, menjelaskan pengertian BEP, dan melukiskan kurva BEP definisi Mampu menjelaskan barisan, menjelaskan konsep barisan aritmatika, menjelaskan konsep barisan geometri, serta yang menyelesaikan masalah barisan berkaitan aritmatika dan barisan geometri fungsi pajak, produsen, yang diterima keseimbangan fungsi kurva fungsi kurva dengan Fungsi Linier Pada Subsidi Fungsi Linier pada Konsumsi dan Tabungan Barisan Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi dan dan dan Tugas 6 Tugas 7 Tugas 8 Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan 5 % 6 % 7 %
9 10 11 12 13 14 15 Mampu menjelaskan pengertian deret, deret menghitung deret aritmatika, menghitung geometri, dan menuliskan notasi sigma deret geometri Mampu menjelaskan pengertian bunga majemuk, menemukan rumus bunga majemuk, dan tentang menyelesaikan masalah bunga majemuk konsep Mampu menjelaskan linier, menjelaskan fungsi non dan kuadrat, konsep menyajikan macam - macam kurva parabola, dan menggambar kurva parabola Mampu menjelaskan konsep fungsi kuadrat pada permintaan, menyajikan gambar kurva fungsi kuadrat pada permintaan, dan menggambarkan fungsi kurva kuadrat pada permintaan Mampu menyajikan bentuk umum fungsi kuadrat pada penawaran, menyajikan bentuk kurva fungsi kuadrat pada penawaran, dan melukis kurva fungsi kuadrat pada penawaran konsep Mampu menjelaskan penerimaan total, menghitung penerimaan total maksimum, dan menggambar kurva penerimaan total Mampu menyebutkan jenis-jenis fungsi eksponen, menggambarkan fungsi Deret Bunga Majemuk Fungsi Kuadrat Fungsi Kuadrat pada Permintaan Fungsi Kuadrat pada Penawaran Penerimaan Total Fungsi Eksponen dan Logaritma Demonstrasi Simulasi UTS Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi dan dan dan dan dan dan dan Tugas 9 Tugas 10 Tugas 11 Tugas 12 Tugas 13 Tugas 14 Tugas 15 Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan 6 % 7 % 5 % 6 % 7 % 6 % 6 %
16 17 18 eksponen, kurva menyebutkan fungsi logaritma, menjelaskan aturan- dan aturan menggambarkan fungsi logaritma Mampu menggambarkan kurva gompertz, menghitung pertumbuhan manusia berdasarkan kurva gompertz, menggambarkan kurva belajar, dan menghitung perilaku produksi dan perilaku biaya Mampu menjelaskan pengertian turunan fungsi, menjelaskan sifat- sifat turunan fungsi, menyebutkan jenis-jenis turunan fungsi, dan menghitung turunan fungsi konsep Mampu menjelaskan permintaan, elastisitas menjelaskan jenis elastisitas permintaan, menghitung permintaan, elastisitas menjelaskan konsep elastisitas penawaran, menjelaskan jenis - jenis elastisitas penawaran, dan menghitung elastisitas penawaran fungsi jenis-jenis logaritma, kurva jenis - Fungsi Pertumbuhan Turunan Fungsi Elastisitas Permintaan dan Penawaran Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi Demonstrasi Simulasi dan dan dan Tugas 16 Tugas 17 Tugas 18 UAS Referensi/Sumber : 1. Bartle, G.R. 2000. Introduction to Riil Analysis. 3th . New. York : John Wiley and Sons. 2. Djohan, Warsoma, dan Wono Setya Budhi. 2007. Dikdat Kalkulus 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung 3. Heri, Robertus. 2009. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro 4. Hidayat, Wahyu. 2012. Matematika Ekonomi. Jakarta : Universitas Terbuka 5. Kalangi, Bintang, Josep. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat 6. Prayudi. 2006. Kalkulus: Fungsi Satu Variabel. Jogjakarta: Graha Ilmu Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan Ketepatan Penghitungan 6 % 7 % 7 %
7. Purcell, E.J, dan Dale Varberg. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga 8. Sunyoto, Danang. 2009. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi Terapan. Jakarta : Total Media Ketua Program Studi Pendidikan Ekonomi Dr.H. Amin K Elfachmi, S.Pd,. S.E,.M.M. NIDN. 0410107409 Tangerang Selatan, 14 Juni 2017 Ketua Team Teaching Mata Kuliah Matematika Ekonomi Dameis Surya Anggara, S.Pd., M.Pd NIDN. 0414059101