BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Secara geografis, Indonesia merupakan salah satu negara yang berada di antara pertemuan lempeng-lempeng tektonik seperti Benua Asia, Benua Australia, Samudera Hindia dan Samudera Pasifik. Berada dalam ring of fire (cincin api) yaitu antara lempeng Asia dan Indo-Asia juga Pasifik menciptakan negera Indonesia kaya akan gunung berapi dan juga gempa tektonik. Sebagian besar gunung berapi di Indonesia memiliki letusan yang besar dan eksplosif. Oleh karena itu, pada radius 10 km sampai 20 km dari gunung berapi menjadi kawasan yang sangat berbahaya dan patut dihindari bagi pemukiman penduduk. (Tantri, 2014). Salah satu gunung api yang masih aktif hingga saat ini di Indonesia adalah Gunung Api Anak Krakatau. Gunung Api Anak Karakatau adalah anak Gunung Krakatau yang pernah meletus sangat dahsyat pada tahun 1883. Gunung Api Anak Krakatau yang terletak di Selat Sunda, wilayah Lampung Selatan ini tergabung dalam kompleks Krakatau yang terdiri dari empat pulau, yaitu Rakata, Sertung, Panjang, dan Anak Krakatau. Pulau Sertung, Panjang, dan Anak Krakatau adalah ketiga pulau pertama yang merupakan sisa pembentukan kaldera Gunung Krakatau Purba, sedangkan Rakata adalah gunung api yang tumbuh bersamaan dengan Gunung Api Danan dan Perbuatan sebelum terjadi letusan besar pada tahun 1883 (Unpad, 2020). Letusan Gunung Krakatau tahun 1883 merupakan bencana vulkanik terdahsyat pada abad ke-19 setelah Gunung Tambora Tahun 1815 dan menjadi catatan dalam sejarah vulkanik dunia karena mengeluarkan lebih dari 10 km3 material piroklastika, baik dalam bentuk abu letusan maupun aliran awan panas letusan. Letusan ini menyebabkan jatuhnya korban jiwa lebih dari 36.000 orang meninggal dunia yang disebabkan oleh hempasan gelombang pasang (tsunami) yang terjadi akibat adanya hempasan runtuhan dinding kawah gunung api ini (sector failure) dan aliran awan panas letusan ke dalam laut. Letusan Gunung Krakatau 1883 menarik perhatian para ilmuwan dan berbagai disiplin ilmu saat ini seperti bidang geologi, hidrologi, meteorologi, dan oseanografi yang memberikan kontribusi bagi 1
wahana terkait pemahaman tentang peristiwa-peristiwa bencana (Fiske, 1983) dan wawasan baru ilmu pengetahuan ke depan. Gunung Api Anak Krakatau ini juga pernah meletus pada tahun 2018. Fenomena letusan Gunung Api Anak Krakatau ini mengakibatkan tsunami dikarenakan runtuhnya kaldera yang terbentuk pada tahun 1883 ke laut, sehingga menyebabkan gelombang pasang yang menerjang garis pantai Banten (Anyer) setinggi tiga meter (Unpad, 2020). Pada tahun 2018, Gunung Api Anak Krakatau pernah mengalami erupsi yang menyebabkan terjadinya longsor pada tubuh Gunung Api Anak Karakatau. Melihat adanya kejadian erupsi Gunung Api Anak Krakatau pada tanggal 21 hingga 25 Desember 2018 yang beriringan dengan gelombang tinggi karena bulan purnama menjadi dugaan bahwa aktivitas gunung api yang ada di bumi dipengaruhi oleh posisi bumi, bulan, dan matahari. Sebagai negeri yang kaya akan gunung berapi, Indonesia tentunya memiliki banyak pengalaman bencana dari letusan gunung berapi. Terdapat sekitar 129 gunung berapi yang masih aktif di Indonesia atau sekitar 13 persen dari jumlah seluruh gunung berapi yang ada di dunia. Gunung Api ini berdiri sepanjang 7000 km dari Aceh hingga ke Sulawesi Utara, melewati Bukit Barisan, Kepulauan Jawa, Nusa Tenggara dan Maluku. (Sudradjat, 1989). Sering terjadinya letusan gunung api yang menjadi salah satu bencana alam yang ada di Indonesia sehingga perlu adanya penelitian mengenai peluang pola aktivitas erupsi gunung api. Aktivitas gunung api dapat dilihat berdasarkan durasi erupsi, amplitudo maksimum, tinggi kolom abu, dan rentang waktu antarletusan. Oleh karena itu, pentingnya penelitian ini dilakukan untuk memahami terkait bagaimana peluang pola aktivitas dari letusan Gunung Api Anak Krakatau selanjutnya. Dalam penelitian ini terdapat dugaan bahwa magmatisme Gunung Api berkaitan dengan interaksi gravitasi bumi, bulan, dan matahari. Dimana dengan adanya gravitasi bumi, bulan, dan matahari menyebabkan terjadinya pasang surut air laut. Efek pasang surut air laut ini akan berpengaruh terhadap kulit bumi sehingga berdampak terhadap kejadian gempa atau meletusnya gunung api. Untuk itu peneliti akan menganalisis pengaruh antara posisi bumi, bulan, dan matahari terhadap aktivitas Gunung Api Anak Krakatau. Dalam penelitian ini menggunakan data penanggalan Hijriah untuk 2
menggambarkan posisi bumi terhadap bulan sebagai dugaan apakah aktivitas gunung api di bulan purnama akan meningkat atau tidak. Selain data penanggalan Hijriah, penelitian ini juga menggunakan data penanggalan Masehi untuk menggambarkan posisi bumi terhadap matahari sebagai dugaan apakah gunung api akan lebih aktif di awal tahun, di pertengahan tahun atau di akhir tahun. Pada penelitian ini digunakan beberapa metode seperti metode K-Means Clustring untuk mengelompokkan data aktivitas Gunung Api Anak Krakatau yang kemudian hasil clustering digunakan untuk menentukan state atau ruang keadaan pada proses markov chain. Penentuan state sangat diperlukan karena dalam metode Rantai Markov akan ditentukan klasifikasinya dalam hal ini adalah peluang transisi antar state. Kemudian metode regresi polinomial digunakan untuk menentukan ada atau tidaknya pengaruh dan hubungan antara posisi bumi, bulan, matahari terhadap aktivitas letusan Gunung Api Anak Krakatau dengan melihat pola hubungannya menggunakan model polinomial ordo ke-𝑘. Sehingga dapat dinyatakan signifikan atau tidaknya aktivitas gunung api dari analisis regresi polinomial tersebut. Selanjutnya dilakukan perhitungan Confidence Interval untuk mengetahui rentang nilai maksimum dan minimum prediksi aktivitas Gunung Api Anak Krakatau. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana peluang pola aktivitas Gunung Api Anak Krakatau ditinjau dari data seismograf berdasarkan Markov Chain? 2. Bagaimana pengaruh posisi bumi, bulan, dan matahari terhadap aktivitas Gunung Api Anak Krakatau berdasarkan regresi polinomial dan confidence interval ? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menganalisis peluang pola aktivitas Gunung Api Anak Krakatau ditinjau dari data seismograf berdasarkan Markov Chain. 3
2. Menganalisis pengaruh posisi bumi, bulan, dan matahari terhadap aktvitas Gunung Api Anak Krakatau berdasarkan regresi polinomial dan confidence interval. 1.4 Batasan Masalah Batasan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Studi kasus penelitian atau objek penelitian ini yaitu letusan Gunung Api Anak Krakatau. 2. Data yang digunakan adalah catatan letusan Gunung Api Anak Krakatau dari 29 Januari 2018 hingga 04 Agustus 2022 3. Data yang digunakan adalah data hari ke-t dalam satu tahun Masehi, tanggal dalam bulan Hijriah, durasi erupsi, amplitudo, tinggi kolom abu, dan rentang waktu antar letusan. 4. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah K-Means Clustering, Markov Chain, dan Regresi Polinomial. 5. Regresi polinomial yang digunakan adalah polinomial ordo ke-7. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Dapat mengimplementasikan ilmu matematika dalam permasalahan kehidupan nyata yang berkaitan dengan aktivitas letusan Gunung Api Anak Krakatau. 2. Memperoleh informasi terkait peluang pola aktivitas Gunung Api Anak Krakatau yang dapat dijadikan bahan Pustaka bermanfaaat bagi Program Studi Matematika dan Geologi serta para wisatawan yang ingin berkunjung ke Gunung Api Anak Krakatau. 3. Sebagai bahan referensi atau rujukan dan bahan informasi untuk penelitian selanjutnya. 4
1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan pada penelitian ini memiliki alur sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab I berisi penjelasan mengenai hal-hal yang mendasari penelitian ini beserta identifikasi masalah penelitian yang berisi latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, Batasan masalah, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab II berisi penjelasan mengenai uraian teori yang berkaitan dengan permasalahan dan berbagai metode yang digunakan pada penelitian ini. Teori dan metode yang digunakan sebagai landasan dalam pengerjaan Tugas Akhir ini diperoleh dari berbagai sumber referensi. BAB III METODOLOGI PENELITIAN Pada bab III berisi penjelasan tentang metodologi penelitian yang terdiri dari jenis penelitian, jenis dan sumber data, variabel penelitian, dan metode analisis data yang menjelaskan diagram alir Tugas Akhir ini. BAB IV HASIl DAN PEMBAHASAN Pada bab IV berisi penjelasan mengenai hasil dari penelitian yang sudah dilakukan berupa hasil pengolahan data dan analisis hasil yang diperoleh menggunakan metode statistik yaitu K-Means Clustering, Markov Chain, dan Regresi Polinomial. BAB V PENUTUP Pada bab V berisi penjelasan mengenai kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan dan terdapat saran-saran untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan permasalahan yang sama. 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bencana Letusan Gunung Api Negara Indonesia merupakan negara dengan wilayah yang rawan kejadian fenomena vulkanik yang ditandai dengan adanya 129 gunung api aktif (ESDM,2009). Banyaknya gunung api aktif menimbulkan bencana alam yang sering terjadi di Indonesia, salah satunya yaitu bencana letusan gunung api. Bencana letusan gunung api merupakan bencana alam yang disebabkan oleh erupsi gunung api yaitu keluarnya magma atau gas vulkanik dari dalam bumi ke permukaan bumi (Sagala & Yasaditama, 2012). Dalam bencana letusan gunung api terdapat tingkat status gunung api yang digunakan sebagai dasar peringatan akan bencana letusan gunung api. Berikut ini merupakan 4 tingkatan aktivitas gunung api (Unpad, 2020). 1. Aktif normal ( Level I) Pada tingkatan ini aktivitas gunung api masih dalam keadaan normal, tidak terdapat gejala aktivitas tekanan magma dan tidak terdapat peningkatan aktivitas gunung api berdasarkan hasil pengamatan visual. 2. Waspada (Level II) Pada tingkatan ini mulai terjadi peningkatan aktivitas gunung api berupa kelainan yang dapat diamati secara visual. Peningkatan aktivitas ini berada di atas level normal dengan meningkatnya aktivitas seismik dan kejadian vulkanik, serta terdapat perubahan aktivitas yang disebabkan oleh magma, tektonik, dan hidrotermal. 3. Siaga (Level III) Pada tingkatan ini terjadi peningkatan aktivitas gunung api yang semakin nyata, yang teramati secara visual dan berdasarkan perubahan aktivitas gunung api cenderung diikuti dengan letusan/erupsi. Hal ini menunjukkan bahwa gunung api akan mengalami letusan atau menimbulkan bencana. 6
4. Awas (Level IV) Pada tingkatan ini menunjukkan bahaya karena peningkatan aktivitas gunung api mendekati atau menjelang letusan utama yang diawali oleh letusan abu atau asap yang selanjutnya diikuti letusan besar. 2.2 Gunung Api Anak Krakatau Gunung Api Anak Krakatau terletak di Selat Sunda yang termasuk ke dalam wilayah Lampung Selatan dan merupakan salah satu gunung api aktif dari 129 gunung api Indonesia, yang berderet sepanjang 7000 km mulai ujung utara Sumatera, Jawa, Nusa Tenggara, Maluku sampai ke Sulawesi Utara. Dari sejumlah gunung api tersebut, sekurang-kurangnya meletus salah satu setiap tahun. Gunung Api Anak Krakatau telah meletus sekurang-kurangnya 80 kali atau terjadi setiap tahun berupa erupsi eksplosif atau efusif sejak terbentuk pada tahun 1929 hingga saat ini. Waktu istirahat antara 1-8 tahun, tetapi letusannya dapat terjadi 1-6 kali dalam setahun, bahkan pada tahun 1993 dan 2001 letusan terjadi hampir setiap hari. Gunung Api Anak Krakatau merupakan pulau gunung api yang tersusun dari lapisan antara aliran lava dan endapan piroklastika yang berselang-seling. Lapisan- lapisan tersebut membentuk kerucut yang sampai sekarang mencapai tinggi 315 meter. Kompleks gunung Api Krakatau terdiri dari empat pulau, yaitu Rakata, Sertung, Panjang, dan Anak Krakatau. Pulau Sertung, Panjang, dan Anak Krakatau merupakan sisa pembentukan kaldera Gunung Krakatau purba, sedangkan Pulau Rakata merupakan gunung berapi yang tumbuh bersamaan dengan Gunung Api Danan dan Perbuatan sebelum meletus besar pada tahun 1883. Kompleks Gunung Api Anak Krakatau tidak dihuni oleh penduduk namun menjadi tempat menarik bagi wisatawan dan para ahli gunung api sebagai obyek penelitian dan dijadikan tempat yang dapat dinikmati keindahan alamnya. (Sutawidjaja., 2006). Lokasi Gunung Api Anak Krakatau di selat sunda dapat dilihat pada Gambar 2.1. 7
Gambar 2.1 Peta Lokasi Gunung Api Anak Krakatau (ESDM,2022) Pada letusan tahun 1883, dua wilayah Selat Sunda yaitu Banten dan Lampung menjadi dua daerah yang mengalami efek erupsi paling parah. Banten merupakan daerah yang padat penduduk. Hal ini dikarenakan Banten merupakan kota pelabuhan yang cukup besar dan penting di Asia Tenggara dan sudah terkenal sejak abad ke-17. Banten juga merupakan daerah yang subur secara pertanian, daerah yang paling padat penduduknya adalah bagian utara, di mana sebagian besar tanah dikelola untuk lahan pertanian (Kartodirdjo, 1984). Berikut ini merupakan salah satu gambar letusan Gunung Api Anak Krakatau. Gambar 2.2 Letusan gunung api anak karakatau (Jumono,2022) 8
Pada tahun 1883 untuk wilayah Lampung dihuni oleh 128.939 penduduk asli. Daerah Lampung juga berdekatan dengan Gunung Api Anak Krakatau. Pada saat itu, Lampung menjadi wilayah penting bagi perkebunan, seperti lada, kelapa, kopi, dan kina. Namun hasil perkebunan yang terkenal pada saat itu adalah tanaman lada. Oleh karena itu, banyak pengusaha swasta atau asing yang menanamkan modalnya dalam perkebunan. Karena itulah, Lampung menjadi daerah penting bagi perekonomian Belanda. Selama berabad-abad, penduduk Banten dan Lampung bersahabat denga Gunung Krakatau (Tantri, 2014). Gunung Krakatau berdiri di atas pulau berapi yang dikenal dengan nama Pulau Krakatau atau Rakata dengan luas 33,5 km2 (sebelum meletusnya Gunung Krakatau). Pulau ini terbentang Bersama dengan Pulau Sertung dan Pulau Panjang. Di atas Pulau Krakatau berdiri Gunung Krakatau dengan tinggi 800 meter, Gunung Danan dengan tinggi 405 meter, dan Gunung Perbuatan dengan tinggi 120 meter. Pada saat letusan Krakatau tahun 1883, Pulau Krakatau Bersama badan Gunung Krakatau runtuh yang diikuti pula oleh runtuhnya Gunung Danan dan Gunung Perbuatan ke dasar laut. Runtuhnya badan gunung inilah yang menimbulkan gelombang besar (tsunami) yang sangat dahsyat. Efek tsunami dari letusan menyebabkan Gunung Krakatau menjadi sangat berbahaya dan mematikan. Besarnya material yang dikeluarkan oleh Gunung Krakatau seperti magma yang terbawa oleh ombak tsunami, memberi gambaran tentang bahaya gunung berapi di wilayah laut. Tsunami telah menerjang pantai-pantai di sekitar Selat Sunda, seperti menghantam pantai di daerah Lampung, Banten dan sekitarnya yang mengakibatkan hancurnya banyak segi kehidupan komunitas di sana. Dalam catatan sejarah, gelombang tsunami Krakatau pada permukaan laut meliputi paling sedikit seluas 4000 km2 (Tantri, 2014). 2.2 Posisi Bumi, Bulan, Dan Matahari Revolusi Bumi adalah gerak bumi dalam orbitnya mengelilingi Matahari. Bidang orbit Bumi mengelilingi Matahari disebut ekliptika. Saat mengitari Matahari, poros Bumi selalu miring 23,50 terhadap garis yang tegak lurus ekliptka. Bumi dan Matahari bergerak sepanjang orbit elips, tetapi pada bidang yang berbeda. Gerak 9
revolusi bumi memberikan dampak penting yang dapat dirasakan oleh makhluk hidup, diantaranya seperti pergerakan semu tahunan matahari di sepanjang ekliptika, perubahan lamanya siang dan malam, perubahan musim, terlihatnya rasi bintang yang berbeda dari bulan ke bulan dan perubahan garis lintang (Wijaya, 2010) . Dalam periode revolusi bumi mengelilingi matahari, jarak matahari selalu berubah sepanjang tahun. Sehingga adakalanya bumi berada pada jarak terdekat dan terjauh dengan matahari. Saat bumi berada pada jarak terdekat dengan matahari disebut perihelion denga jarak bumi terhadap matahari sebesar 146,6 juta kilometer. Saat bumi berada pada jarak terjauh dengan matahari disebut aphelion dengan jarak bumi terhadap matahari sebesar 152,65 juta kilometer. Adapun ilustrasi orbit bumi mengelilingi matahari dapat dilihat pada Gambar 2.3. Gambar 2.3 Orbit bumi mengelilingi matahari (Sopwan,2018) Berbeda dengan Bumi, Bulan bergerak mengelilingi Bumi dalam orbit elips selama satu bulan atau yang disebut dengan revolusi bulan. Pada periode revolusi bulan, orbit bulan mengelilingi bumi dihitung dari posisi fase bulan baru sampai kembali lagi ke posisi fase bulan baru yang secara rata-rata ditempuh dalam waktu 29,530682 hari (29 hari 12 jam 44 menit 10 detik). Masa ini disebut periode sinodis. Pergerakan bumi mengelilingi matahari menyebabkan terbentuknya perubahan wujud bulan yang disebut dengan fase bulan. Adapun ilustrasi terbentuknya fase bulan berdasarkan posisi bumi, bulan, dan matahari dapat dilihat pada Gambar 2.4. 10
Gambar 2.4 Terbentuknya fase bulan (Ulfa,2022) Perubahan bentuk bulan yang tampak dari bumi selalu berubah-ubah. Setengah bagian bulan yang menghadap matahari akan terlihat terang sedangkan sisi lain yang membelakanginya akan tampak gelap. Akan tetapi fase-fase bulan tersebut tergantung pada kedudukan relatif bumi, bulan, dan matahari. Terdapat empat fase utama bulan yaitu bulan baru (New Moon), seperempat pertama (first quarter), bulan purnama (full moon), dan sepermpat akhir (last quarter). (Manzil, 2018) seperti bulan sabit, bulan purnama, bulan separuh, dan bulan baru. Fase-fase bulan ini dipengaruhi oleh seberapa luas permukaan bulan yang terlihat dari bumi. Posisi relatif Bulan, Bumi, dan Matahari terkadang menimbulkan fenomena yang unik. Saat Bulan, Bumi, dan Matahari akan berada pada posisi konjungsi dan menunjukkan perilaku yang berbeda dari biasanya atau lebih sering kita sebut sebagai gerhana (Nova Sopwan, 2017). Salah satu fenomena yang terjadi karena adanya fase bulan yaitu pasang surut air laut. Gaya yang menimbulkan pasang surut air laut adalah hasil dari resultan gaya sentrifugal dan gaya gravitasi benda langit (bulan dan matahari). Revolusi bulan mengelilingi bumi menimbulkan gaya sentrifugal yang arahnya menjauhi bulan dan besarnya sama semua titik di permukaan bumi. Sebaliknya gaya gravitasi bulan bergantung pada jarak dari titik- titik di permukaan bumi terhadap bulan. Semakin dekat jaraknya, maka semakin besar gaya gravitasi bulan. Resultan gaya sentrifugal dan gaya gravitasi bulan inilah yang menghasilkan gaya pembangkit pasang surut air laut. Matahari juga melakukan gaya gravitasi pada air laut meskipun massa matahari jauh lebih besar 11
daripada massa bulan, akan tetapi gaya gravitasinya lebih kecil daripada gaya gravitasi bulan karena jarak matahari ke bumi jauh lebih besar daripada jarak bumi ke bulan. (Azis, 2006). 2.3 Metode Elbow Metode Elbow merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan jumlah cluster terbaik yang dilakukan dengan cara melihat persentase hasil perbandingan antara jumlah cluster yang akan membentuk siku pada suatu titik. Metode Elbow ini memberikan ide atau gagasan dengan cara memilih nilai cluster dan kemudian menambah nilai cluster tersebut untuk dijadikan model data dalam penentuan cluster terbaik. Hasil cluster optimal atau cluster terbaik dari metode Elbow akan digunakan untuk pengelompokkan data atau clustering. Selain itu persentase perhitungan yang dihasilkan menjadi pembanding antara jumlah cluster yang ditambah. Hasil persentase yang berbeda dari setiap nilai cluster dapat ditunjukkan dengan menggunakan grafik sebagai sumber informasinya. Cluster terbaik terlihat jika nilai cluster pertama dengan nilai cluster kedua memberikan sudut dalam grafik atau nilainya mengalami penurunan yang paling besar. Untuk mendapatkan perbandingannya adalah dengan menghitung SSE (Sum of Square Error) dari masing-masing nilai cluster. Karena semakin besar jumlah cluster (𝐾) maka nilai SSE akan semakin kecil. Menurut (Irwanto dkk, 2012), rumus persamaan SSE pada K-Means adalah: 𝑛 𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑ ||𝑥𝑖 − 𝑐𝐾|| 2 (2.1) 𝐾=1 𝑥𝑖∈𝑆𝐾 dengan: 𝐾 : jumlah cluster 𝑥𝑖 : nilai atribut dari data ke-𝑖 𝑐𝐾 : titik pusat cluster ke-𝐾 𝑆𝐾 : himpunan cluster 𝐾 2.4 K-Means Clustering K-Means merupakan salah satu metode data clustering non hierarki yang berusaha mempartisi data yang ada ke dalam bentuk satu atau lebih cluster atau kelompok 12
sehingga data yang memiliki karakteristik yang sama dikelompokkan ke dalam satu cluster yang sama dan data yang mempunyai karakteristik berbeda dikelompokkan ke dalam kelompok yang lainnya. Dalam algoritma K-Means, setiap data harus termasuk ke cluster tertentu dan bisa dimungkinkan bagi setiap data yang termasuk cluster tertentu pada suatu tahapan proses, pada tahapan berikutnya berpindah ke cluster lainnya (Metisen & Sari, 2015). Pada penelitian ini menggunakan metode K-Means Clsutering karena metode ini memiliki kelebihan sebagai berikut. 1. Kompleksitas rendah 2. Perhitungannya cepat 3. Dapat digunakan untuk data yang besar 4. Anggota dalam cluster dapat disesuaikan (Widyadhana dkk,2021) Algoritma K-Means merupakan metode non hierarki yang pada awalnya mengambil beberapa komponen populasi untuk dijadikan pusat cluster awal. Pada tahap ini pusat cluster dipilih secara random sampling dari sekumpulan populasi data. Selanjutnya K-Means melakukan uji setiap komponen di dalam populasi data dan menandai komponen tersebut ke salah satu pusat cluster yang telah didefinisikan tergantung dari jarak minimum antar komponen dengan tiap-tiap cluster. Posisi pusat cluster akan dihitung kembali sampai semua komponen data diklasifikasikan ke dalam masing-masing pusat cluster dan akhirnya akan terbentuk posisi pusat cluster yang baru. Algoritma K-Means pada dasarnya melakukan dua proses, yaitu proses pendeteksian lokasi pusat tiap cluster dan proses pencarian anggota dari tiap-tiap cluster (Darmi & Setiawan, 2016). Menurut (Winarta & Kurniawan, 2021), algoritma K-Means memiliki langkah-langkah sebagai berikut. 1. Mentukan 𝐾 sebagai jumlah cluster yang akan dibentuk 2. Mentukan 𝐾 centroid (titik pusat cluster) awal secara random sampling. Untuk menghitung nilai centroid baru pada iterasi berikutnya dapat menggunakan persamaan berikut: 𝑐𝐾 = 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑛 ; 𝑖 = 1,2,3, ... , 𝑛 (2.2) 13
dengan 𝑐𝑘 adalah centroid pada cluster 𝐾, 𝑥𝑖 adalah objek data ke-𝑖 dan 𝑛 adalah banyaknya objek yang menjadi anggota cluster 𝐾. 3. Menghitung jarak setiap data dengan centroid dari masing-masing cluster. Untuk menghitung jarak antara objek data dengan centroid dapat menggunakan persamaan Euclidean Distance. 𝑛 𝐷(𝑥, 𝑐) = ||𝑥𝑖 − 𝑐𝐾|| = √∑(𝑥𝑖 − 𝑐𝐾)2; 𝑖 = 1,2,3 ... . , 𝑛 (2.3) 𝑖=1 dengan 𝐷(𝑥, 𝑐) adalah jarak euclidean; 𝑥𝑖 adalah objek data ke-𝑖; 𝑐𝐾 adalah pusat cluster ke-𝐾; dan 𝑛 adalah banyaknya objek. 4. Alokasikan masing-masing objek ke dalam centroid yang paling dekat. 5. Lakukan iterasi, kemudian tentukan centroid baru dengan menggunakan persamaan (2.2). 6. Ulangi langkah 3 jika centroid tidak sama. 2.5 Proses Stokastik Proses stokastik merupakan suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Setiap nilai yang berubah dari waktu ke waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik. Jika kejadian di masa lalu hanya dapat menyajikan peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian tersebut dinamakan stokastik (Mardhiyah dkk, 2013). Proses stokastik {𝑋𝑡} adalah kumpulan dari variabel acak. Indeks t diartikan sebagai waktu dan 𝑋𝑡 adalah state pada waktu 𝑡. Himpunan 𝑡 disebut sebagai ruang parameter atau himpunan indeks dari proses stokastik . State merupakan posisi atau keadaan yang akan ditentukan klasifikasinya (Langi, 2011). Menurut (Srinadi, 2013). Proses stokastik dapat dibedakan menjadi 2 jenis yaitu: 1. Proses stokastik dengan parameter ("waktu") kontinu jika 𝑇 merupakan suatu interval dengan panjang positif. 2. Proses stokastik dengan parameter ("waktu") diskrit jika 𝑇 merupakan himpunan bagian dari suatu bilangan bulat. 14
2.6 Peluang Peluang merupakan satu alat yang sangat fundamental untuk mengembangkan proses stokastik, baik teori maupun aplikasi model-model stokastik pada berbagai bidang ilmu (Srinadi,2013). Peluang adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu peristiwa secara acak yang menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang sifatnya jangka panjang. Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang akan berlaku atau telah terjadi. Berikut adalah definisi peluang kejadian secara umum. Misalkan 𝑆 adalah suatu ruang sampel dari suatu eksperimen dan 𝐴 adalah suatu kejadiannya, maka peluang kejadian 𝐴, dinotasikan 𝑃(𝐴) sebagai berikut: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) (2.4) dengan 𝑃(𝐴) adalah peluang terjadinya peristiwa 𝐴, 𝑛(𝐴) adalah banyaknya kejadian 𝐴, 𝑛(𝑆) adalah banyaknya anggota ruang sampel. Menurut (Aulia, 2018) kejadian 𝐴 atau 𝑃(𝐴) memiliki sifat sebagai berikut: 1. Nilai peluang kejadian A selalu berada pada selang [0,1] atau 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 2. Nilai peluang suatu peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah nol atau 𝑃(∅) = 0 3. Nilai peluang suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau 𝑃(𝑆) = 1. 2.7 Rantai Markov (Markov Chain) Rantai Markov adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk melakukan pemodelan bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu. Teknis ini dapat digunakan juga untuk menganalisis kejadian-kejadian di waktu mendatang secara matematis (Ihsan dkk, 2019). Teori Rantai Markov dikemukakan oleh seorang ahli Rusia Andrei Andreevich Markov pada tahun 1906 (Sazali dkk, 2019). Dalam analisis Markov yang dihasilkan adalah suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan. Untuk itu analisis ini bukan suatu teknik optimasi 15
melainkan suatu teknik deskriptif. Analisis Markov merupakan suatu teknik khusus dari model probabilistik yang dikenal dengan proses stokastik (Stochastic Process). Konsep dasar dari Rantai Markov adalah state dari sistem atau state transisi. Proses ini bersifat bahwa proses dimasa mendatang hanya tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya. Dengan kata lain, analisis Rantai Markov merupakan rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian saat ini. (Kesuma, 2018) Rantai Markov memiliki sifat khusus bahwa kemungkinan proses akan berubah di masa mendatang bergantung sepenuhnya pada keadaan proses saat ini dan tidak bergantung pada peristiwa masa lalu. Banyak proses yang memenuhi gambaran ini sehingga Rantai Markov menyediakan model probabilitas yang cukup penting (L, 2022). Proses Markov merupakan suatu proses stokastik {𝑋𝑡, 𝑡 = 0,1,2, ... }. Artinya nilai yang mungkin dari 𝑋𝑡 terhingga atau terhitung. Sehingga apabila 𝑋𝑡 = 𝑖 , maka proses berada pada state-𝑖. Jika proses berada pada state-𝑖 maka akan berpindah ke state-𝑗. Peluang perpindahan state dari state-𝑖 ke state-𝑗 disebut peluang 𝑃𝑖𝑗, di mana 𝑃𝑖𝑗 tidak tergantung pada 𝑡 (Ross, 2007) Secara matematis peluang perpindahan dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑃{𝑋𝑡+1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖0,𝑋1 = 𝑖1, ... , 𝑋𝑡−1 = 𝑖𝑡−1, 𝑋𝑡 = 𝑖} = 𝑃{𝑋𝑡+1 = 𝑗|𝑋𝑡 = 𝑖} = 𝑃𝑖𝑗 (2.5) Proses stokastik untuk semua state 𝑖0,𝑖1, ... , 𝑖𝑡−1,𝑖, 𝑗, dan semua 𝑡 ≥ 0, inilah yang dinamakan Rantai Markov Stasioner (Stasioner Markov Chain). Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh bahwa pada suatu Rantai Markov, peluang kejadian yang akan datang (𝑋𝑡+1), hanya tergantung pada kejadian saat ini (𝑋𝑡). Sifat ini yang disebut sebagai sifat Markovian. Sifat markovian menyatakan bahwa peluang dari "keadaan" yang akan datang, dengan syarat "keadaan" masa lampau, dan state saat ini adalah independent terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada keadaan saat ini (Ross, 2007). 16
2.8 Matriks Peluang Transisi Matriks peluang transisi adalah suatu matriks yang memuat informasi yang mengatur perpindahan sistem dari suatu state ke state lainnya (Langi, 2011). Matriks peluang transisi sering disebut matriks stokastik karena peluang transisi 𝑃𝑖𝑗 adalah tetap dan tidak bergantung pada waktu 𝑡 , dimana 𝑃𝑖𝑗 adalah peluang transisi satu langkah yang bergerak dari keadaan 𝑖 ke keadaan 𝑗. Melalui matriks peluang transisi maka dapat ditentukan klasifikasi state pada Rantai Markov. Salah satu karakteristik utama Rantai Markov adalah pada peluang-peluang transisinya. Peluang transisi tersebut menggambarkan peluang perpindahan dari suatu keadaan ke keadaan lainnya. Dengan kata lain, peluang transisi menggambarkan peluang proses berada di satu keadaan bila diketahui keadaan proses pada satu waktu sebelumnya (Ross, 2007). Jika sebuah Rantai Markov sebagai berikut: 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖} = 𝑃𝑖𝑗 , 𝑛 ≥ 0, 𝑖, 𝑗 ≥ 0 (2.6) Maka nilai 𝑃𝑖𝑗 merupakan peluang bahwa ketika berada di dalam state 𝑖, selanjutnya proses akan melakukan transisi ke state 𝑗 (Ross S. , 2010). Misalkan 𝑃𝑚𝑚 menyatakan peluang transisi dari state 𝑚 ke state 𝑚. Maka matriks peluang transisi 𝑷 dengan ukuran (𝑚 + 1) x (𝑚 + 1) dapat ditulis sebagai berikut. 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 0 1 ... 𝑚 𝑷 = 0 1 ⋮ 𝑚 [ 𝑃01 ... 𝑃0𝑚 𝑃00 𝑃11 ... 𝑃1𝑚 𝑃10 ... ... ... ... 𝑃𝑚0 𝑃𝑚1 ... 𝑃𝑚𝑚 ] (2.7) Sistem dalam state 𝑖 adalah waktu 𝑛, jadi sistem akan melakukan proses ke suatu state 𝑗 pada waktu 𝑛 + 1. Hal ini berarti untuk setiap 𝑖 ∑ 𝑚 𝑗=1 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖} = 1 (2. 8) ∑ 𝑚 𝑗=1 𝑃𝑖𝑗 = 1 (2.9) Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa setiap anggota dalam matriks 𝑃 harus positif. Sehingga semua anggota dalam matriks peluang transisi adalah tidak negatif, dan anggota dalam setiap baris harus berjumlah 1 (Winston, 2004). 17
2.9 Peluang Transisi n-Langkah Peluang transisi 𝑛-langkah 𝑃𝑖𝑗 𝑛 melupakan peluang proses pada state 𝑖 akan berada pada state 𝑗 setelah proses mengalami 𝑛 tambahan transisi. (Ross S. , 2010) Jadi 𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝑃{𝑋𝑛+𝑘 = 𝑗|𝑋𝑘 = 𝑖}, 𝑛, 𝑖, 𝑗 ≥ 0 (2.10) 𝑃𝑖𝑗 𝑛 disebut peluang transisi 𝑛-langkah dari state 𝑖 ke state 𝑗. Peluang transisi 𝑛- 𝑛 adalah peluang bersyarat bahwa sistem akan berada pada state 𝑗 setelah langkah 𝑃𝑖𝑗 mengalami proses 𝑛-langkah, proses dimulai pada state 𝑖 pada waktu 𝑡 (Hillier & 𝑛 dengan ukuran (𝑚 + 1) Lieberman, 2001). Matriks peluang transisi 𝑛-langkah 𝑃𝑖𝑗 x (𝑚 + 1) dapat ditulis sebagai berikut. 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 0 1 ... 𝑚 𝑷𝒏 = 0 1 ⋮ 𝑚 [ 𝑛 𝑃00 𝑛 𝑃10 ... 𝑛 𝑃𝑚0 𝑛 𝑛 ... 𝑃0𝑚 𝑃01 𝑛 ... 𝑃1𝑚 𝑛 𝑃11 ... ... ... 𝑛 𝑛 ... 𝑃𝑚𝑚 𝑃𝑚1 ] (2.11) Ketika 𝑛 = 1, diketahui bahwa 𝑃𝑖𝑗 1 = 𝑃𝑖𝑗. Karena 𝑃𝑖𝑗 𝑛 adalah peluang bersyarat, peluang tidak negatif, dan karena proses harus melakukan transisi ke bebarapa state, sehingga: 𝑛 ≥ 0, untuk semua 𝑖 dan 𝑗; 𝑛 = 0,1,2, ... 1. 𝑃𝑖𝑗 (2.12) ∞ 2. ∑ 𝑃𝑖𝑗 𝑗 𝑛 = 1 , untuk semua 𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗; 𝑛 = 0,1,2, ... (2.13) 2.10 Analisis Regresi Salah satu metode statistika yang sering digunakan untuk pengambilan keputusan dalam pembangunan model matematis adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah suatu teknik analisis yang digunakan untuk membuat suatu persamaan dari satu atau lebih variabel bebas atau variabel independent terhadap variabel terikat atau variabel dependen. Menurut (Sekaran, 2003), Variabel independent dan variabel dependen dapat didefinisikan sebagai berikut. 1. Variabel independen atau variabel bebas adalah variabel yang mempengaruhi perubahan pada variabel dependen. Variabel independen sering disebut dengan variabel 𝑋. 18
2. Variabel dependen atau variabel terikat adalah variabel yang dipengaruhi atau yang menjadi akibat karena adanya variabel independen. Variabel dependen sering disebut dengan variabel 𝑌. Analisis regresi merupakan metode analisis yang bertujuan untuk menunjukkan hubungan matematis antara variabel terikat dengan variabel bebas. Tujuan utama dalam penggunaan analisis ini adalah untuk meramalkan nilai dari suatu variabel dalam hubungannya dengan variabel lainnya yang dapat diketahui melalui persamaan regresi (Julyanti S. Malensang., 2012). Jenis analisis regresi terdiri dari analisis regresi linier sederhana, analisis regresi linier berganda, dan analisis regresi polinomial. 2.10.1 Regresi Polinomial Berganda Regresi polinomial adalah model regresi linier dibentuk dengan meningkatkan pengaruh masing-masing variabel bebas (𝑋) terhadap ordo ke-𝑘. Secara umum, model regresi polinomial ditulis dalam bentuk sebagai berikut: 𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏1𝑋1 + 𝑏2𝑋2 + 𝑏3𝑋3 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑋𝑘 (2.14) Persamaan (2.2) diperoleh persamaan 𝑌̂ yang merupakan variabel terikat dengan menjumlahkan nilai konstanta (𝛼) beserta nilai koefisien regresi (𝑏𝑖) variabel bebasnya (𝑋𝑖 ) dengan 𝑖 = 1,2,3, ... . , 𝑘. Pada persamaan ... menunjukkan modifikasi dari bentuk Persamaan (2.1) dengan nilai 𝑋1 = 𝑋1, 𝑋2 = 𝑋2, 𝑋3 = 𝑋3, ... , 𝑋𝑘 = 𝑋𝑘 . Oleh karena itu, persamaan polinomial ordo ke-𝑘 dapat ditulis sebagai berikut: 𝑌̂𝑙 = 𝑎 + 𝑏1𝑋𝑗 1 + 𝑏2𝑋𝑗 2 + 𝑏3𝑋𝑗 3 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑋𝑗 𝑘 (2.15) dengan 𝑌̂l = variabel terikat untuk 𝑙 = 1 (durasi erupsi) 𝑙 = 2 (amplitudo) 𝑙 = 3 (tinggi kolom abu) 𝑙 = 4 (rentang waktu antarletusan) 𝛼 = nilai konstanta; 𝑏𝑖= nilai koefisien regresi; 𝑋𝑗 = variabel bebas; 𝑗 = 1 untuk data tanggal dalam bulan Hijriah; 𝑗 = 2 untuk data hari ke-t dalam satu tahun Masehi. Keadaan-keadaan yang terjadi pada nilai koefisien regresi 𝛽𝑖 atau 𝑏𝑖 adalah sebagai berikut: 19
1. Jika 𝛽𝑖 atau 𝑏𝑖 bernilai 0, maka tidak ada pengaruh variabel bebas (𝑋) terhadap variabel terikat (𝑌), 2. Jika 𝛽𝑖 atau 𝑏𝑖 bernilai negatif, maka terjadi hubungan yang berbalik arah antara variabel bebas (𝑋) terhadap variabel terikat (𝑌). 3. Jika 𝛽𝑖 atau 𝑏𝑖 bernilai positif, maka terjadi hubungan yang searah antara variabel bebas (𝑋) terhadap variabel terikat (𝑌). (Julyanti S. Malensang, 2012) 2.10.2 Estimasi Parameter Model Regresi Pada regresi polinomial, untuk menentukan nilai koefisien pada model regresi perlu dilakukan perhitungan estimasi parameter terlebih dahulu. Untuk melakukan estimasi terhadap parameter model regresi digunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square). Prinsip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan error yang dihasilkan oleh model sehingga diharapkan model regresi menjelaskan data dengan baik. Di dalam error yang dihasilkan dalam model regresi dapat bernilai negatif dan positif, maka maka untuk menghindari penjumlahan yang negatif, dicari jumlah kuadrat nilai eror. (Smith, 1992) Adapun bentuk persamaan umumnya adalah sebagai berikut. 𝑛 ∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 = nα + β1 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 + β2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑘 + ⋯ + βk ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑗,𝑖 = α ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 + β1 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 3 + β2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 + ⋯ + βk ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+1 𝑛 ∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 2 = α ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 𝑛 3 + β1 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 + β2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 4 + ⋯ + βk ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+2 ⋮ 𝑛 ∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑘 𝑘 = α ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 𝑛 + β1 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+1 𝑛 + β2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2𝑘 𝑘+2 + ⋯ + βk ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 (2.16) 20
Persamaan (2.16) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yang dapat ditulis sebagai berikut: [ 𝑛 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 𝑘 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 3 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 3 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 4 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+2 𝑛 𝑘 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑘+1 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋱ 𝑛 2𝑘 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+2 ⋮ ] [ 𝛼 𝛽1 𝛽2 ⋮ 𝛽𝑘] = [ 𝑛 ∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 𝑛 2 ∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 ⋮ 𝑘 ] 𝑛 ∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 𝐴 𝑏 𝐻 (2.17) 𝑏 Persamaan matriks (2.17) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode cramer 𝐴 𝐻 untuk menentukan nilai 𝛼, 𝛽1, dan 𝛽𝑘. Adapun bentuk matriks 𝐴1 yaitu dengan mengganti kolom pertama pada matriks 𝐴 dengan vektor kolom 𝐻 seperti matriks berikut. 𝐴1 = [ 𝑛 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 𝑘 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 3 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+1 𝑛 2 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 3 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 4 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋮ 𝑛 ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+2 𝑛 𝑘 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑘+1 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 ⋱ 𝑛 2𝑘 ⋯ ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑘+2 ⋮ ] (2.18) dengan 𝑗 = 1 untuk tanggal dalam bulan Hijriah dan 𝑗 = 2 untuk hari ke-t dalam satu tahun Masehi Untuk menentukan matriks 𝐴1, 𝐴2, ... 𝐴𝑘 caranya sama dengan matriks 𝐴1, hanya saja untuk perbedaanya terletak pada penempatan vektor kolom 𝐻 sesuai dengan matriks 𝐴 berapa yang diinginkan. Setelah menentukan matriks 𝐴1, 𝐴2, ... 𝐴𝑘 kemudian mencari masing-masing nilai determinannya sehingga dapat menentukan nilai 𝛼, 𝛽1, dan 𝛽2 dengan menggunakan persamaan berikut. 𝛼 = 𝛽1, = 𝛽2 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴1 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐴2 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐴3 𝑑𝑒𝑡 𝐴 21
⋮ 𝛽𝑘 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑘+1 𝑑𝑒𝑡 𝐴 (2.19) Berdasarkan Persamaan (2.18) terihat bahwa terdapat matriks 𝐴, vektor kolom 𝑏, dan vektor kolom 𝐻. Pada matriks 𝐴 banyaknya data disimbolkan dengan (𝑛) dan berisi jumlah dari variabel bebas ke-1 (𝑋1) hingga variabel ke-𝑘 (𝑋𝑘), selain itu juga berisi jumlah dari hasil perkalian antara variabel bebas satu sama lain. Pada vector kolom 𝑏 berisi konstanta (𝛼) dan koefisien regresi (𝛽𝑖) yang akan dicari nilai hasilnya. Pada vektor kolom H baris pertama berisi jumlah dari data variabel terikat 𝑛 (∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 ), baris kedua berisi jumlah dari hasil perkalian antara variabel terikat 𝑛 𝑖=1 dengan variabel bebas ke-1 (∑ 𝑋𝑗,𝑖 ) dan selanjutnya hingga jumlah dari hasil perkalian variabel terikat dengan variabel bebas ke-𝑘 (∑ 𝑌𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑗,𝑖 𝑘 ) (Setiawan, 2017). 2.11 Pola Hubungan Variabel Regresi Menentukan pola hubungan variabel regresi perlu dilakukan karena data penelitian yang digunakan tidak selalu berbentuk linier sehingga diketahui pola hubungan yang tepat untuk menganalisis data variabel bebas dan variabel terikatnya. Pada penelitian ini melihat pola hubungan model regresi polinomial ordo ke-𝑘 dilakukan dengan melihat nilai koefisien determinasi (𝑅2) tertinggi dari model-model persamaan tersebut (Dani dkk,2020). Adapun rumus perhitungan bentuk umum yang dapat digunakan sebagai berikut. 𝑅2 = (𝛽1. ∑ 𝑥1𝑦) + (𝛽2. ∑ 𝑥2𝑦) + ⋯ + (𝛽𝑘. ∑ 𝑥𝑘𝑦) ∑ 𝑦2 (2.20) dengan nilai: 𝑛 2 ∑𝑦2 = ∑ 𝑌𝑙,𝑖 − 𝑛 (∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛 )2 𝑖=1 𝑛 ∑𝑥1𝑦 = ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑌𝑙,𝑖 − 𝑛 (∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 )(∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 ) 𝑖=1 𝑛 2 ∑𝑥2𝑦 = ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑌𝑙,𝑖 − 𝑛 2 (∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 )(∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 ) 𝑖=1 22
𝑛 3 ∑𝑥3𝑦 = ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑌𝑙,𝑖 − 𝑛 3 (∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 )(∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 ) 𝑖=1 ⋮ 𝑛 𝑘 ∑𝑥𝑘𝑦 = ∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑌𝑙,𝑖 − 𝑛 𝑘 (∑ 𝑋𝑗,𝑖 𝑖=1 𝑛 )(∑ 𝑌𝑙,𝑖 𝑖=1 𝑛 ) (2.21) 𝑖=1 2.12Uji Koefisien Regresi Pada penelitian ini dilakukan analisis regresi polinomial untuk melihat ada atau tidaknya pengaruh antara variabel bebas (𝑋) yaitu posisi bumi, bulan, dan matahari terhadap variabel terikat (𝑌) yaitu durasi erupsi, amplitudo, tinggi kolom abu, dan rentang waktu antarletusan menggunakan uji koefisien regresi. Pada uji koefisien regresi terdiri dari uji simultan (Uji F) dan uji parsial (Uji t). 2.12.1 Uji Simultan (Uji F) Uji F merupakan uji yang digunakan untuk mengetahui apakah variabel-variabel bebas (𝑋) secara signifikan bersama-sama berpengaruh terhadap variabel tak bebas (𝑌). Menurut (Yuliara, 2016), tahapan dilakukan dalam uji-f sebagai berikut. 1. Menentukan Hipotesis 𝐻0: Tidak ada pengaruh secara simultan antara variabel bebas (𝑋) terhadap variabel terikat (𝑌) 𝐻1: Terdapat pengaruh secara simultan antara variabel bebas (𝑋) terhadap variabel terikat (𝑌) 2. Menentukan taraf/tingkat signifikansi (𝛼) Nilai taraf signifikansi yang sering digunakan adalah 𝛼 = 5% 3. Menentukan 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 Dalam mendapatkan nilai 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 digunakan rumus perhitungan menggunakan tabel ANOVA yang dapat dilihat pada Tabel 2.1. 23
Tabel 2.1 Perhitungan Uji F Model Sum of Square df (derajat Mean 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (jumlah kuadrat) kebebasan) Square Regression/Model ∑(𝑌̂ − 𝑌̅)2 𝐾 − 1 𝑆𝑆𝑅 𝑑𝑓 𝑆𝑆𝑅 𝑀𝑆𝑅 𝑀𝑆𝐸 Residual/Error ∑(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2 𝑛 − 𝐾 𝑆𝑆𝐸 𝑑𝑓 𝑆𝑆𝐸 Total 𝑆𝑆𝑅 + 𝑆𝑆𝐸 dengan: 𝑌̂ 𝑌̅ 𝑌̂𝑖 𝑑𝑓 : Nilai selisih persamaan regresi : Nilai rata-rata variabel terikat : Nilai selisih data pengamatan ke-𝑖 : Nilai derajat kebebasan 𝐾 : Jumlah nilai variabel bebas dan variabel terikat 𝑛 : Banyaknya data 𝑆𝑆𝐸 : Nilai Sum of Square Error 𝑆𝑆𝑅 : Nilai Sum of Square Regression 𝑀𝑆𝑅 : Nilai Mean Square Regression 𝑀𝑆𝐸 : Nilai Mean Square Error 4. Menentukan 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (Menggunakan tabel uji-F) Tabel Uji-F menggunakan 𝛼 = 5% dengan derajat kebebasan pembilang 𝑑𝑓 = 𝑘 − 1; dan untuk penyebut 𝑑𝑓 = 𝑛 − 𝑘. Dengan 𝑛 = jumlah data, 𝑘 = jumlah variabel bebas dan terikat. 5. Kriteria dalam pengujian nilai 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 dan 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 Apabila nilai 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙, maka hipotesis 𝐻1 ditolak dan 𝐻0 diterima. Apabila nilai 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙, maka hipotesis 𝐻1 diterima dan 𝐻0 ditolak. 24
2.12.2 Uji Parsial (Uji t) Uji parsial (Uji t) dalam proses regresi polinomial digunakan untuk menunjukkan seberapa jauh pengaruh satu variabel bebas atau independent secara parsial dalam menerangkan variabel terikat atau dependen. Sebelum mengetahui hasil uji t atau 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 maka diperlukan nilai 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙. Sehingga untuk mengetahui 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 perlu dilakukan perhitungan derajat kebebasan menggunakan persamaan (2.22). 𝑑𝑓 = 𝑛 − 𝑘 − 1 (2.22) dengan 𝑑𝑓 adalah derajat kebebasan, 𝑛 adalah jumlah data, 𝑘 adalah jumlah variabel bebas dan variabel terikat. (Ghazali, 2018) Setelah diperoleh nilai 𝑑𝑓, selanjutnya dapat mencari nilai 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dengan persamaan (2.23). 𝑡 (( 𝛼 2 );𝑑𝑓) (2.23) Hipotesis yang digunakan dalam uji t adalah sebagai berikut. 𝐻0 : Tidak ada pengaruh secara parsial antara variabel bebas dengan variabel terikat. 𝐻1 : Ada pengaruh secara parsial antara variabel bebas dengan variabel terikat Untuk melihat apakah terdapat pengaruh atau tidaknya pengaruh variabel bebas secara parsial terhadap variabel terikat maka dilakukan perhitungan nilai 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔. Berikut ini merupakan tahapan perhitungan nilai 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 untuk dua variabel bebas. Estimasi Parameter 𝜇 (𝜎𝜇2) = ∑(𝑌̂𝑖−𝑌̅)2 𝑛−𝐾 (2.24) ̂ ) = 𝜎𝜇2 Ragam (𝛽1 ̂ ) = 𝜎𝜇2 Ragam (𝛽2 Ragam (𝛼̂) = 𝜎𝜇2 [ 2 ∑𝑥2 2−(∑𝑥1∑𝑥2)2 2 ∑𝑥1 2−(∑𝑥1∑𝑥2)2 2+𝑋̅2 2∑𝑥1 2∑𝑥2 𝑋̅1 ∑𝑥1 2∑𝑥2 ∑𝑥1 2∑𝑥2 ∑𝑥1 2−2𝑋̅1𝑋̅2∑𝑥1∑𝑥2 1 + 2−(∑𝑥1∑𝑥2)2 2∑𝑥2 𝑛 ] (2. 25) (2.26) (2. 27) ̂) = √𝑅𝑎𝑔𝑎𝑚(𝛽1 ̂) Standar Error (𝑆𝛽1 (2.28) ̂) = √𝑅𝑎𝑔𝑎𝑚(𝛽2 ̂) Standar Error (𝑆𝛽2 (2.29) Standar error (𝑆𝛼̂) = √𝑅𝑎𝑔𝑎𝑚(𝛼̂) (2.30) 25
𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (𝛽1)̂ = 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (𝛽2)̂ = 𝛽1̂ 𝑆𝛽1̂ 𝛽2̂ 𝑆𝛽2̂ (2.31) (2.32) 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (𝛼)̂ = 𝛼̂ 𝑆𝛼̂ (2.33) Setelah mendapatkan nilai 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 dapat dianalisis bahwa jika nilai 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 ditolak yang artinya variabel bebas (𝑋) secara parsial berpengaruh terhadap variabel terikat (𝑌) sedangkan jika nilai 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 gagal ditolak yang artinya variabel bebas (𝑋) secara parsial tidak berpengaruh terhadap variabel terikat (𝑌) (Azizah, 2013). 2.12.3 Uji Koefisien Determinasi Koefisien determinasi adalah ukuran untuk mengetahui kesesuaian atau ketepatan antara dugaan atau garis regresi data sampel dengan kata lain koefisien determinasi adalah kemampuan variabel 𝑋 (variabel independent) mempengaruhi variabel 𝑌 (variabel terikat). Semakin besar koefisien determinasi menunjukkan semakin baik kemampuan 𝑋 menerangkan 𝑌 (Suharyadi & Purwanto, 2004). Koefisien determinasi merupakan salah satu nilai statistik yang digunakan untuk mengetahui pengaruh antara variabel bebas (𝑋) dengan variabel terikat (𝑌). Nilai koefisien determinasi menunjukkan presentase variasi nilai variabel bebas yang dapat dijelaskan oleh persamaan regresi yang dihasilkan (Rica dkk, 2016). 2.12.4 Koefisien Korelasi Ganda Koefisien korelasi ganda digunakan untuk mengetahui seberapa besar korelasi secara simultan antara variabel-variabel bebas 𝑋1, 𝑋2, ... 𝑋𝑛 dengan variabel terikat 𝑌. Besarnya koefisien korelasi ganda dapat dihitung menggunakan rumus berikut. 𝑅 = √ (𝛽1.∑ 𝑥1𝑦)+(𝛽2.∑ 𝑥2𝑦)+⋯+(𝛽3.∑ 𝑥𝑘𝑦) ∑ 𝑦2 (2.34) Rentang nilai koefisien korelasi yaitu 0 ≤ 𝑅 ≤ 1. Artinya apabila nilai 𝑅 mendekati nilai 1, maka dapat dikatakan bahwa semakin kuatnya hubungan/korelasi yang terjadi. Sebaliknya, apabila nilai 𝑅 mendekati 0, maka semakin lemahnya hubungan /korelasi yang terjadi (Yuliara, 2016). Menurut (Azizah, 2013) dalam mengetahui besar hubungan nilai korelasi dapat dilihat tabel berikut: 26
Tabel 2.2. Tingkat Hubungan Koefisien Korelasi Koefisien Korelasi Tingkat Hubungan 0,000 ... .0,199 Sangat Lemah 0,200 ... .0,399 Lemah 0,400 ... .0,599 Sedang 0,600 ... .0,799 Kuat 0,800 ... .1,000 Sangat Kuat 2.13 Confidence Interval Estimasi selang kepercayaan atau confidence Interval adalah salah satu bagian dari inferensi statistik yang sangat penting karena dengan estimasi selang kepercayaan tersebut dapat diketahui apakah nilai suatu parameter signifikan atau tidak terutama parameter dalam suatu model regresi (Hidayati dkk, 2020). Confidence interval (𝐶𝐼) adalah luas area di bawah kurva normal yang ditentukan dengan presentase misalnya 90%, 95%, dan 99%. Confidence interval memiliki nilai maksimum dan nilai minimum. Menurut (Howell, 1982), persamaan dalam menentukan nilai minimum dan maksimum confidence interval adalah sebagai berikut. 𝐶𝐼(𝑌) = 𝑌 ± (𝑡𝛼 2 √ 1 𝑛 + (𝑋𝑖−𝑋̅)2 (𝑛−1)𝑠𝑥 2) (2.35) dengan 𝐶𝐼(𝑌) : Confidence Interval 𝑌 : Nilai prediksi berdasarkan model regresi 𝑋𝑖 𝑋̅ : Data variabel bebas ke-𝑖 : Nilai rata-rata data variabel bebas n : Banyaknya data 𝑡𝛼 2 : Nilai 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dengan derajat kebebasan 𝑛 − 1 𝑠𝑥 : Standar deviasi data 𝑋 27
2.15 Studi Pendahulu Berikut ini adalah beberapa penelitian terdahulu yang berkaitan dengan topik Tugas Akhir ini. 1. Penelitian yang dilakukan oleh Hisyam Ihsan, Wahidah Sanusi, dan Hasriani (2019) yang berjudul "Peramalan Pola Curah Hujan di Kota Makassar Menggunakan Model Rantai Markov". Tujuan penelitian ini adalah menentukan orde Rantai Markov yang digunakan dalam memprediksi curah hujan, membentuk model Rantai Markov masing-masing stasiun dalam meramalkan curah hujan, dan mengetahui hasil prediksi curah hujan masing- masing stasiun menggunakan Rantai Markov. 2. Penelitian yang dilakukan oleh Hidayatun Ni'mah dan Vita Kusumasari (2021) yang berjudul "Peramalan Bencana Alam Di Kota Malang Menggunakan Algoritma Markov Chains". Tujuan penelitian ini adalah untuk memprediksi atau meramalkan kejadian bencana alam yang ada di Kota Malang dan memperkirakan perubahan-perubahan di waktu yang akan datang dengan menggunakan kejadian bencana alam pada tahun-tahun sebelumnya. 3. Penelitian yang dilakukan oleh Afdelia Novianti1, Nanda Lailatul Humairoh, Rahmi Novika Harahap, Sheilta Alphenia, Achmad Fauzan yang berjudul "Analisis Peluang Naiknya Kasus COVID-19 Provinsi di Pulau Jawa dengann Pendekatan Rantai Markov". Tujuan penelitian ini adalah untuk melihat perkembangan peluang jumlah kasus COVID-19 periode ke depan. 4. Penelitian yang dilakukan oleh Julyanti S. Malensang, Hanny Komalig, dan Djoni Hatidja yang berjudul "Pengembangan Model Regresi Polinomial Berganda Pada Kasus Data Pemasaran". Tujuan penelitian ini adalah mengaplikasikan model regresi polinomial berganda pada kasus data pemasaraan dan menentukan derajat polinomial dari variabel bebas dalam struktur data tersebut. 5. Penelitian yang dilakukan oleh Dwima Rindy Atika dan RB.Fajriya Hakim yang berjudul "Perbandingan Fase Bulan dan Jarak Bulan ke Bumi Pada Kejadian Erupsi Gunung Berapi di Indonesia dengan Menggunakan Uji Kruskal Wallis". Tujuan penelitian ini adalah melihat keterkaitan antara aktivitas bulan terhadap kejadian erupsi gunung berapi di Indonesia. Aktivitas 28
bulan tersebut antara lain seperti fase bulan terhadap kejadian erupsi per tahun, fase bulan terhadap kekuatan erupsi (VEI), jarak bulan ke bumi terhadap kejadian erupsi per tahun, dan jarak bulan ke bumi terhadap kekuatan erupsi (VEI). 29