Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL DUA MANGSA- SATU PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING DAN PEMANENAN Armin1), Syamsuddin Toaha2), Kasbawati3) 1)2)3)Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan, KM 10, Makassar Abstrak - Pada artikel ini dikaji suatu dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa dengan usaha pemanenan konstan dan persaingan antar mangsa. Dinamika itu dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan differensial autonomus. Fungsi predasi yang diberikan dalam sistem diasumsikan sama untuk kedua mangsa, yaitu fungsi respon Holling tipe I. Pada model tersebut diberikan syarat kewujudan titik keseimbangan non negatif serta kestabilannya dan pengaruh pemanenan pada kestabilan titik keseimbangan yang stabil. Analisis kestabilan dilakukan dengan menggunakan metode linearisasi, nilai eigen, dan uji kestabilan Routh- Hurwitz. Dari analisis diperoleh suatu kondisi di mana wujud suatu titik keseimbangan yang berada pada oktan pertama dan stabil secara asimptot.Hal ini menunjukkan bahwa dengan suatu nilai parameter tertentu dan nilai usaha pemanenan tertentu diperoleh suatu titik keseimbangan yang stabil.Hal ini berarti bahwa ketiga populasi tersebut dapat hidup bersama dan lestari untuk jangka waktu yang panjang meskipun ketiga populasi dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan.Plot trayektori untuk ketiga populasi diberikan untuk melihat dinamika populasi terhadap waktu. Kata Kunci - Model mangsa-pemangsa, Fungsi respon Holling, Pemanenan, Kestabilan. I. PENDAHULUAN Proses kelangsungan hidup suatu populasi di ini alam disebabkan karena adanya interaksi yang terjadi antar populasi. Salah satu interaksi yang terjadi sering terjadi adalah interaksi antara populasi mangsa dan pemangsa yang dikenal dengan dinamika model populasipredator-prey.Dalam model predator-prey interaksi intraspesifik atau interaksi yang terjadi antar individu dalam populasi mangsa atau interaksi yang terjadi antar populasi pemangsa, dan interaksi interspesifik yaitu interaksi yang terjadi dalam populasi mangsa ataupun pada pemangsa.Dampak yang tersebut dapat memberikan keuntungan atau kerugian terhadap suatu populasi.Untuk menjaga kelestarian suatu tangan populasi, diperlukan adanya campur tidak terlepas dari dinamika, hal juga terdapat terjadi dari interaksi manusia, dalam hal ini dinamika suatu populasi dikontrol sehingga diperoleh populasi seimbang yang yang lama.Disamping terjaga, kelestarian diharapkan populasi yang dieksploitasi juga dapat memberikan keuntungan secara ekonomis kepada manusia.Untuk memperoleh keuntungan dari populasi, dilakukan suatu usaha pemanenan pada populasi dengan berbagai metode. Dalam melakukan pemanenan kepada populasi, dinamika populasi bentuk model matematika sehingga kelestarian populasi mangsa, dan pemangsa yang dikaji dapat diamati melalui pendekatan matematika. stabil untuk jangka waktu yang dinyatakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA terkait dengan dinamika populasi mangsa dan pemangsa dilakukan oleh beberapa penulis sebelumnya.Agrawal dan Pathak (2012) melakukan penelitian dinamika populasi mengenaipengaruh pemanenan dan pajak dalam menganalisis kebijakan pemanenan optimal.Daga, dkk.(2014a)melakukan penelitian mengenai model dua mangsa satu pemangsa dan mengkaji lokal dan global serta persistensi kestabilan sistem.Daga, dkk.(2014b) melakukan penelitian tentang model mangsa pemangsa dengan fungsi respon serta menganalisis kestabilan titik keseimbangan secara lokal.Gakkhar dan Naji (2002) mengkaji dinamika dua populasi satu populasi pemangsa dan mangsa dan menganalisis kemungkinan terjadinya kondisi kacau (chaos) dari sistem.Hntsa dan Magesha (2016) mengkaji model dinamika satu mangsa dengan dua pemangsa yang berkompetisi dan menganalisis kestabilan titik keseimbangan.Kar dan Chauduri (2002) melakukan penelitian mengenai kestabilam dua mangsa satu pemangsa dengan I dan pemanenan pada mangsa.Kar dan Batabyal (2010) mengkaji dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa dan menganalisis kestabilan global.Rao dan Rasappan (2015) melakukan penelitian mengenai dinamika populasi mangsa yang rentan kena penyakit, mangsa yang terinfeksi dengan Penelitian yang tipe Holling III fungsi respon Holling tipe 104
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga populasi pemangsa yang mengkaji kestabilan lokal dan global dari sistem.Srilatha danRavindra (2014) melakukan penelitian mengenai analisis kestabilan model tiga populasi yang bersifat mutualisme dan mengkaji pengaruh pemanenan dan kebijakan pemanenan optimal. Toaha, dkk. (2014) mengkaji dinamika populasi mangsa dan pemangsa dengan pemanenan dan dianalisis kemungkinan diperoleh keuntungan maksimal. dkk.(2016) melakukan penelitian mengenai kestabilan model mangsa pemangsa dengan fungsi respon Holling tipe II dan pemanenan. Penelitian sebelumnya yang menjadi acuan dalam penelitian tersebut adalah model dua mangsa-satu pemangsa dengan fungsi respon Holling I dan pemanenan pada mangsa yang pernah dikaji oleh Kar dan Chaudri (2002) dengan persamaan Yeni, C. Tahap Simulasi Model terhadap model dilakukan untuk melihat titik keseimbangan, kestabilan, dan kurva solusi dari model. Simulasi IV. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Model Beberapa asumsi yang digunakan dalam model dua mangsa-satu pemangsa dengan fungsi respon Holling tipe I dan usaha pemanenan konstan adalah: 1. Laju pertumbuhan mangsamengikuti pertumbuhan logistik. 2. Fungsi respon yang digunakan pada model respon fungsi diasumsikan menggunakan Holling tipe I.
= ( 1 −
− − ) −
= ( 1 − − − ) − = ( + − ). Simbol , , berturut-turut menyatakan ukuran populasi mangsa pertama pada waktu t, ukuran populasi mangsa kedua pada waktu t dan ukuran populasi pemangsa pada waktu t. Dalam model tersebut fungsi respon yang digunakan adalah fungsi respon Holling tipe I dan pemanenan yang diberikan pada populasi mangsa pertama dan mangsa kedua. III. METODE PENELITIAN A. Tahap Studi Literatur Untuk mengidentifikasi masalah, maka dilakukan studi literatur tentang model dinamika populasi, titik keseimbangan model, kestabilan titik keseimbangan secara lokal dan pemanenan optimal. B. Tahap Analisis Model Analisis model dilakukan dengan menentukan syarat kewujudan titik keseimbangan model yang bernilai non negatif dan kestabilannya dengan metode linearisasi dan metode nilai eigen dari matriks Jacobian yang diperoleh dari model atupun dengan metode uji kestabilan Routh- Hurwitz. Titik keseimbangan interior yang stabil pemanenan dihubungkan optimal.Dari fungsi keuntungan yang terbentuk ditentukan titik kritis dari usaha pemanenan yang memberikan keuntungan maksimum.Nilai-nilai usaha pemanenan selanjutnya digunakan untuk titik keseimbangan untuk model menentukan dengan dianalisis pemanenan.Selanjutnya kewujudan dan kestabilan titik keseimbangan interior untuk model dengan pemanenan. dengan persoalan 3. Terdapat interaksi interspesifik antar mangsa pertama dan mangsa kedua. 4. Usaha pemanenan diasumsikan sama untuk mangsa pertama dan mangsa kedua. 5. Pemanenan dilakukan pada ketiga populasi 6. TABEL 1. DEFINISI PARAMETER Param eter
c r s Definisi Ukuran populasi mangsa pertama Ukuran populasi mangsa kedua Ukuran populasi pemangsa Daya dukung lingkungan mangsa pertama Daya dukung lingkungan mangsa kedua Koefisien interaksi kompetisi interspesifik mangsa pertama dan kedua Koefisien interaksi kompetisi interspesifik mangsa pertama dan keduaJacobian Efisiensi pencarian mangsa pertama Efisiensi pencarian mangsa kedua Tingkat efisiensi pemangsaan akibat memangsa mangsa pertama Tingkatefisiensi pemangsaan akibat memangsa mangsa kedua Laju ketertangkapan mangsa pertama Laju ketertangkapan mangsa kedua Laju ketertangkapan pemangsa Usaha pemanenan pada mangsa pertama dan mangsa kedua Usaha pemanenan pada pemangsa Laju kematian pemangsa Laju pertumbuhan intrinsik mangsa pertama Laju pertumbuhan intrinsik mangsa kedua Model dua mangsa-satu pemangsa dengan fungsi respon Holling tipe I tanpa pemanenan diberikan pada sistem berikut
− − = 1 − − − (1)
= 1 −
= − − . Model dua mangsa-satu pemangsa dengan fungsi respon Holling tipe I dan pemanenan diberikan pada sistem berikut
= 1 −
− − − 105 laju
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga
= 1 −
− − − (2) = + − − . Definisi parameter pada Eq.1 dan Eq.2 diberikan pada pada Tabel 1. B. Analisis Titik Keseimbangan Untuk penyederhanaan, pada Eq. 2 dimisalkan β = , μ = , δ = , δ = , danδ = . 1. Analisis Titik Keseimbangan Model Tanpa Pemanenan Pada Eq.1, terdapat tujuh titik keseimbangan yang mungkin, yaitu:(0,0,0), (, 0,0) ∗, ∗, (0, , 0), ( () ,dan( ∗ = () ( + μ) − (μ + ) (β + μ) − β − μ (β + ) − ( + β) (β + μ) − β − μ ∗), ∗, ∗), ∗), (0, ∗ , ∗,
, 0,
- ∗ = , - () , ∗ = ∗ = , , dengan ∗ = ∗ = , ,
∗ =
∗ =
∗ = β + βδ + + δ + μ + μδ β + μ − β − μ μ + + δ + β + μδ + βδ β + μ − β − μ Titik keseimbangan (0,0,0), (, 0,0), titik keseimbangan relevan dengan kondisi biologi − dan (0, , 0)merupakan yang sehingga tidak dianalisis. tidak Titik wujud jika + δ > + δ, jika + δ > + δ.Titik wujud μ > + δ + δμ. Titik wujud jika β > + δ + δβ. Titik wujud jika memenuhiμδ + + δ + μ < + δ + μδ + μ,β + δ + + βδ < + δ + βδ + β, danβ + βδ + + δ + μ + μδ < μ + + δ + β + μδ + βδ. C. Analisis Kestabilan Untuk penyederhanaan, pada Eq. 2 dimisalkanβ = 11, µ=22, δ1=11, δ2= 21, dan δ=. ∗ = () () () () − . Titik keseimbangan (0,0,0),(, 0,0), dan (0, , 0)tidak relevan dengan kondisi biologi sehingga jika > dan > . Titik wujud jika μ > . Titik wujud jika β > . Titikwujud jika ( + μ) < μ + , (β + ) < + β, dan + + < s + + . tidak dianalisis. Titik wujud 1. Analisis kestabilan model tanpa pemanenan Dari model Eq.1 diperoleh matriks Jacobian − − ,
() =
dengan = − 2 = −, = − , = −, = − − − , = − , = β, 2
= μ, dan = β + μ - . 2. Analisis titik keseimbangan model dengan pemanenan Pada Eq.2, terdapat tujuh titik keseimbangan yang mungkin, yaitu: (0,0,0),(, 0,0), (0, , 0), ∗ , 0),(0, ( ( ∗ = , ∗ , ∗ , 0, +1δ2 -1−δ1 −K21 ∗ ), ∗ , , ∗ , ∗ , ∗ ) ,dengan ∗ = (+2δ1−2−δ2) ∗ ),dan ( −12 (δ1) ()() , () ()()
∗ =
∗ =
∗ =
∗ =
∗ =
−
∗ =
− , dan ∗, ∗, 0) stabil Teorema 1.Titik keseimbangan( asimptotik lokal jikamemenuhi kondisi ∗ + ( + 2 β ∗ + 2 ∗ + , ∗( + 2 2 + ) + Bukti: Matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik keseimbangan( dinyatakan sebagai
∗ < ,(2 ∗ + μ ∗ > ) ). + ) dan + 4
∗ +
∗ >
∗(2
∗, ∗, 0)dapat 0 () = , 0 ∗ − ∗, = − ∗, dan ∗, = − ∗, ∗, = − dengan = − 2 = − ∗ − 2 = Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik
∗, = − ∗ − .
∗ + μ () = det [() − λI] = 0, yaitu ( − )[ − ( + ) + − 12 21 =0, atau ( − )[ + + ] = 0, dengan 106 .
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga = −( + ) = 2 + ∗ + ∗ − − ∗ ∗ + 2
∗ + = − = + 4 ∗ −
∗ + 2 ∗ − ∗ − 2 ∗ .
∗- 2 2
Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, titik ∗, 0) stabil asimptotik ∗, keseimbangan ( lokal jika < 0 , > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 1.
( − )[ − ( + ) + − 13 31 =0, atau ( − )[ + + ] = 0,dengan = −( + ) = 2
∗ + ∗ + − −
∗dan β
∗ + 2
∗ +
= − = β
∗. ∗ − − 2
titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, ∗) stabil asimptotik lokal ∗, 0, keseimbangan ( jika < 0, > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 3. ∗, ∗)stabil Teorema 2.Titik keseimbangan(0, asimptotik lokal jika memenuhi kondisi ∗, 2 < dan
∗ + > + μ ∗. ∗, ∗ + ∗ > + 2 ) + ∗ +
∗(μ + 2
∗)stabil Teorema 4.Titik keseimbangan( asimptotik lokal jika memenuhi kondisi < 0, < 0, < 0, dan − < 0, di mana = −( + + ) , = ( + + − ∗, ∗, Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik keseimbangan(0, dinyatakan sebagai ∗, ∗)dapat 0 0 ∗ − () = , ∗, = − = − dengan = − = − 2 ∗ − = β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik
∗, ∗ − ∗, dan = μ ∗, = μ
∗, ∗, () = det[() − λI] = 0,yaitu ( − )[ − ( + ) + − 23 32 =0 , atau ( − )[ + + ] = 0, dengan = −( + ) = 2
∗ + − − ∗ +
∗, μ ∗ . = μ titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, ∗) stabil asimptotik lokal ∗, keseimbangan (0, jika < 0, > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 2.
∗ + 2 ∗ + ∗ − − 2
∗, 0, ∗)stabil Teorema 3.Titik keseimbangan( asimptotik lokal jika memenuhi kondisi s <
∗ β + 2 ∗, ∗ + ∗ + ∗ > + + ∗ + > + β
∗, dan2
∗ .
Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik keseimbangan( sebagai ∗, 0, ∗)dapat dinyatakan
12 21 −32 23 −31 13 , dan = + + − − − . Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik ∗, keseimbangan( dinyatakan sebagai ∗, ∗)dapat ∗ − ∗, ∗ − dengan = − 2 ∗, ∗, = − ∗, = − = − ∗, ∗ − = − 2 = ∗, dan ∗, = μ − = β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik () = det[() − λI] = 0yaitu − ( + + ) + ( + 22 33 +11 33 −12 21 −32 23 −31 13 +13 22 31 +11 23 32 +12 21 33 −12 22 33 −12 23 31 −13 21 32 =0, atau + + + = 0,dengan = −( + + ) , = ( + + − () = ,
∗ − ∗, = β ∗ + μ ∗ − . 12 21 −32 23 −31 13 , = + + − − − . titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, ∗) stabil asimptotik ∗, ∗, keseimbangan ( lokal jika < 0, < 0 , < 0, dan − < 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 4. () = 0 0 , ∗ − ∗, = −
∗, = − ∗, dengan = − 2 ∗, ∗ − = − ∗ - . ∗, dan = β = β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik
∗, = μ 2. Analisis kestabilan model dengan pemanenan Dari model Eq.2. diperoleh matriksJacobian () = , () = det[() − λI] = 0,yaitu 107
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga
dengan = r - 2 = −, = − , = −, − − − δ, = s - 2 = − , = β, = μ, dan = β + μ − − δ. Teorema 5.Titik keseimbangan( lokal jika memenuhi syarat ∗( ∗ < + δ, β δ + δ > + , dan + 4 δ + δ + 2 − − − δ,
∗ ,
∗ , 0)stabil asimptotik
∗( + ) + ∗ + ∗ ∗) + ∗(2 ∗ 2 ∗ + μ + ) +
∗(2
δ +
∗) + δδ > + + δ + δ. δ + 2 ∗ 2
+ +
Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik keseimbangan( dinyatakan sebagai ∗, ∗, 0)dapat 0 0 ∗ − δ, ∗ − ∗, = − () =
dengan = − 2 ∗, = − − ∗ − 2 ∗ + μ β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik = ∗, = − ∗, dan = ∗ − δ, = − ∗ − − δ . () = det[() − λI] = 0, yaitu ( − )[ − ( + ) + − 12 21 =0, atau ( − )[ + + ] = 0, di mana ∗( = −( + ) = δ + δ − − ,dan
∗( + ) +
+ ) +
= − ∗ 2 ∗ ∗ + ∗ 2 = − + − δ − + δ + 2 + ∗(2 δ + 4 ∗)
∗(2 + δ + δ ∗) − δ + δδ + 2 titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, ∗ , keseimbangan( asimptotik lokal jika < 0, > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 5. ∗ , 0)stabil ∗ ) ∗ , Teorema 6.Titik keseimbangan(0, stabil asimptotik lokal jika memenuhi syarat ∗ + δ,2 r < dan δ > + μ ∗( + δ) + δ( + δ) > + ∗ 2
∗ + ∗ μ + 2 ∗ + δ + + + + 2 ∗ + ∗,
∗ + μδ + δ.
Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik ∗ , keseimbangan(0, dinyatakan sebagai ∗ )dapat 0 0 ∗ − δ, () = , ∗ − ∗ − ∗, = μ = ∗ − δ, = dengan = − ∗, = − 2 − ∗, = β − = μ Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik ∗, dan ∗ − − δ . () = det[() − λI] = 0,yaitu ( − )[ − ( + ) + − 23 32 =0, atau ( − )[ + + ] = 0, dengan = −( + ) = 2 + δ − − μ
∗ + δ +
∗ +
∗,
∗ + 2 ∗ + = − = μ ∗ + − 2
∗ + δ + δδ − ∗ + δ ∗ − δ − μδ 2 ∗ . titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, keseimbangan (0, asimptotik lokal jika < 0, > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 6. ∗ , ∗ )stabil ∗ ) ∗ , 0, Teorema 7.Titik keseimbangan( stabil asimptotik lokal jika memenuhi syarat ∗ + s < 2 ∗( β + 2 δ + > + β δ) + ∗( + δ) + δ( + δ) > + δ + ∗(2
∗ + + 2 ∗ + δ + ∗ + δ, ∗,
∗ + βδ).
Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik ∗ , 0, keseimbangan( sebagai ∗ )dapat dinyatakan 0 0 ∗ − δ, ∗ − ∗, = − () = ,
= ∗ − ∗, dan = dengan = − 2 ∗, − ∗ − δ, = β ∗ − − δ . β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik
= − ∗, = μ () = det[() − λI] = 0,yaitu ( − )[ − ( + ) + − 13 31 =0,atau ( − )[ + + ] = 0,di mana = −( + ) = 2 ∗dan δ + − − β
∗ +
∗ + δ +
∗ + 2 ∗ + δ + ∗ − βδ ∗. = − = β ∗ + δ ∗ +
δ
δδ − − δ − 2
∗ +
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga titik Menurut uji kestabilan Routh-Hurwitz, ∗ , 0, keseimbangan( asimptotik lokal jika < 0, > 0, dan > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 7. ∗ )stabil 8.Titik Teorema ∗ , keseimbangan( asimptotik lokal jika memenuhi syaratγ > 0, γ > 0, γ > 0, dan γ γ − γ > 0dimanaγ , γ , γ adalah koefisen dari persamaan karakteristik yang terbentuk dari matriks Jacobian yang bersesuaian ∗ ), yaitu () = + ∗ , dengan titik ( γ + γ + γ . ∗ , ∗ )stabil ∗ , Bukti: Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik ∗ , keseimbangan( dinyatakan sebagai ∗ , ∗ )dapat ∗ + − − . ∗ + ∗ − = Untuk memperoleh diperlukan keuntungan maksimal, dan diselesaikan secara simultan untuk mendapat titik kritis∗( titik kritis∗( ∗ = syarat = 0, = 0 ∗). ∗)dimana ∗, ∗, 2 + 2 − 2 − 2ℎ − − − + 2 + 2 + + 2 + − 4 − 4 Diperoleh
∗ ( + ℎ − − ) + ( + ℎ − − ) + + ℎ + 2 + 2 − − ( + 2 + 2 + + 2 + − 4 − 4) ( ) ( − ) β + μ − β − μ (μ − μ) β + μ − β − μ = dengan = = = ∗ − dengan = − 2 ∗, = − = − ∗ − = − 2 ∗, = μ − β Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik () =det(() − ) = 0, yaitu − ( + + ) + ( + 22 33 +11 33 −12 21 −32 23 −31 13 +13 22 31 +11 23 32 +12 21 33 −12 22 33 −12 23 31 −13 21 32 =0,atau + γ + γ + γ = 0,dengan γ = −( + + ) , γ = ( + + − − () = , ∗ − δ, ∗ − ∗, ∗, = − ∗ − δ, = ∗, dan = ∗ − ∗, = β ∗ − − δ . ∗ + μ 32 23 −31 13 , dan = = = = ℎ = () , () , () , () () , , = = () , , () = = () () . , dan Dengan nilai titik kritis usaha pemanenan tersebut, titik keseimbangan dan selanjutnya diperoleh dianalisis kestabilannya. γ = + + − − − . Routh-Hurwitz, kriteria persamaan karakteristikmempunyai nilai eigen dengan bagian real negatifjikaγ > 0, γ > 0 ,γ > 0, dan γ γ − γ > 0. Syarat tersebut memenuhi Teorema 8. Dengan demikian titik keseimbanganstabil asimptotik lokal. Berdasarkan E. Simulasi Numerik 1. Simulasi untukModel tanpa Pemanenan Untuk melakukan simulasi diberikan nilai parameter = 3000, = 3000, = 0.03, = 0.03, = 0.008, = 0.009, = 2.09, = 2.07, = 0.09,= 0.00065, dan= 0.0006. Dengan demikian diperoleh titik keseimbangan interior = (252.10084, 109.24369, 61.44537). D. Usaha Pemanenan pada Populasi Matriks Jacobianyang bersesuaian dengan titik Dengan asumsi bahwa populasi sebagai stok memberikan manfaat, maka populasi dieksploitasi. Dalam usaha ekploitasi tersebut diperlukan biaya dan hasil eksploitasi memberikan penerimaan dan keuntungan secara ekonomi. Titik keseimbangan interior yang stabil dihubungkan dengan persoalan keuntungan maksimum. adalah () −0.17563 −0.16386 −7.56302 −0.06554 −0.07537 −3.27731 −1. 10 0.01659 0.01474 . Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik yang dibentuk dari () + 0.251008 + 0.16840 + 0.00181, Fungsi biaya total diberikan sebagai = + + dan fungsi penerimaan total diberikan sebagai ∗ . = Dengan demikian diperoleh fungsi keuntungan = − ∗ + ∗ + dan diperoleh −0.12004 + 0.38906,−0.12004 − 0.38906,dan−0.01093.Dengan itu keseimbangan stabil asimptotik lokal. nilai eigen titik 109
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga Dengan menggunakan nilai awal (0) = 200, (0) = 100, (0) = 50, maka diperoleh kurva solusi dari Eq. 2 adalah sebagai berikut. Sehingga diperoleh titik kritis∗ = 0.14558 dan ∗ = 0.89444 dengan keuntungan maksimal = 13494.37307. Plot fungsi keuntungan diberikan pada Gambar 4. permukaan Gambar 1. Plot trayektori populasi mangsa pertama tanpa pemanenan Gambar 4. Plot permukaan fungsi keuntungan Gambar 2. Plot trayektori populasi mangsa kedua tanpa pemanenan Dengan usaha pemanenan yang diberikan terhadap ketiga populasi sebesar∗ = 0.14558 dan ∗ = 0.89444diperoleh titik keseimbangan interior = (202.6697, 1809.5526, 22.8416). Matriks Jacobianuntuk adalah () −0.14119 −0.13173 −6.08009 −1.08573 −1.24859 −54.28658 −1. 10 0.00617 0.00548 . Persamaan karakteristik yang dari ()adalah () = + 1.38978 + 0.40139 + 0.00897, nilai dengan dan−0.36969 . eigen −0.02437,−0.99571, Gambar 3. Plot trayektori populasi pemangsa tanpa pemanenan Dengan menggunakan nilai awal(0) = 200, (0) = 1700, dan(0) = 50 maka diperoleh kurva solusi dari Eq. 2. adalah sebagai berikut. Dari Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 diketahui bahwa dengan nilai awal populasi awal yang diberikan, maka populasi mangsa pertama, pemangsa kedua, dan pemangsa akan konvergen ke titik keseimbangannya. Hal ini berarti bahwa ketiga populasi akan tetap lestari. 2. Simulasi Model dengan Pemanenan Gambar 5. Plot trayektori populasi mangsa pertama Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi untuk model Eq.2. adalah= 3000,= 3000, = 0.03, = 0.03, = 0.008, = 0.009, = 2.09, = 2.07,= 0.09,= 0.00065,=0.0006, = 100, = 100, = 900, = 50, = 50, = 100, = 0.6, = 0.1, dan = 0.5. keseimbangan Dengan ( itu ∗ , ∗ , ∗ = −3781.5121 + 560.2243 diperoleh ∗ ), dengan titik Gambar 6. Plot trayektori populasi mangsa kedua + 252.101, ∗ = −109.24 + 3361.3441 + 1353.873, ∗ = −5.0141 − 42.3433 + 61.445 . Fungsi keuntungan diberikan oleh = ∗ + ∗ + ∗ − − − , = −1.932773110 10 + (44895.89169 + 16118.487401−19054.6218532 +27550.42017. Gambar 7. Plot trayektori populasi pemangsa 110
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya, 21 Oktober 2017 Surabaya, Universitas Airlangga V. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Model dinamika populasi pada dua mangsa- satu pemangsa dengan fungsi respon Holling I danusaha pemanenan konstan pada ketiga populasi memiliki tujuh titik keseimbangan yang stabil apabila memenuhi syarat-syarat tertentu. Untuk model tanpa pemanenan, dengan syarat tertentu titik keseimbangan interior stabil asimptotik lokal. Hal ini bermakna bahwa ketiga populasi dapat hidup bersama secara berkelanjutan. Daga, N., Singh, B., Jain, S., dan Ujjainkar, G.,2014a, "Analysis of a Prey-Predator System with Modified Function", Transmission American Journal of Engineering Research (AJER) e-ISSN: 2320-0847 p-ISSN : 2320- 0936 Vol. 3, Issue-9, p. 194-202. Daga, N., Singh, B., Jain, S., dan Ujjainkar, G., 2014b, "Prey Predator Model with Persistence of Stability", International Journal of Latest Research in Science and Technology,Vol. 3, Issue 4,p.171-175. Untuk model dengan usaha pemanenan konstan, populasi mangsa pertama dan kedua dieksploitasi dengan usaha pemanenan yang sama dan populasi pemangsa juga dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan, tetapi usaha pemanenan yang digunakan berbeda dengan usaha pemanenan yang dikenakan pada populasi pemangsa. Titik keseimbangan dengan persoalan keuntungan maksimal. interior dihubungkan Gakhar, S. dan Naji, R.K., 2002,"Existence of Chaos in Two Prey-One-Predator System", Chaos, Solitons and Fractals 17, p. 639-649. Hntsa, K.H.dan Magesha, Z.T., 2016, "Mathematical Modelling of Three Species Food Web with Lotka Volterra Interaction and Intraspecific Competition", Mathematical Theory and Modeling ISSN: 2225-0522 Vol.6, No.11, p. 2224-5804. Dari hasil analisis untuk model dengan pemanenan diperoleh suatu nilai kritis usaha pemanenan yang membuat titik keseimbangan interior juga memberikan keuntungan maksimum yang berkelanjutan. Hal ini bermakna bahwa ketiga populasi mangsa dan pemangsa dapat dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan yang memberikan keuntungan maksimal dan ketiga populasi tidak akan punah. tetap stabil dan Kar, T.K.dan Batabyal, A., 2010, "Persistence and Stability of a Two Prey One Predator System", of Engineering, Science and Technology, Vol. 2, No. 2, p. 174-190. International Journal Kar, T.K.dan Chaudhuri, K.S., 2002, "Harvesting in a TwoPrey OnePredator a Bioeconomic Model, ANZ1AMJ,p. 443- 456. Fishery", B. Saran Dalam mengkaji dinamika populasi mangsa pemangsa dengan pemanenan, beberapa jenis fungsi pemanenan dapat dipertimbangkan dalam model. Misalnya fungsi pemanenan dengan laju bergantung atau pemanenan kuota konstan. Demikian fungsi respon predasi dapat dipertimbangkan fungsi respon Holling tipe II, Holling Tipe III, maupun Holling tipe IV. pada waktu pemanenan UCAPAN TERIMA KASIH terimakasih kepada Direktorat Riset dan Pengabdian Masyarakat, Direktorat dan Pengembangan, Kemenristekdikti atas bantuan hibah Kompetisi Penelitian Tim Pascasarjana melalui LP2M UNHAS dengan nomor kontrak: 2569/UN4.21/LK.23/2017. Penulis mengucapkan Jenderal Penguatan Riset DAFTAR PUSTAKA Rao, V.L.G.M.danRasappan, S., 2015, "Dynamic and Complexities of a Two Prey-One Predator Involving Competition with System Control", Back Nonlinear Feed International Journal of Fharm Tech Research, ISSN:0974-4304 Vol.8, No.9, p. 180-197. Srilatha, R. dan Ravindra, B.R., 2014, "Stability Analysis of Three Species Model in Series Mutualism with Bionomic and Optimal Harvesting of Two Terminal Species", International Journal of Scientific and Research Mathematical Innovative (IJSIMR) Vol. 2, Issue 12, p. 1043-1052. Toaha, S., Kusuma, J., Khaeruddin dan Bahri, M., 2014, "Stability Analysis and Optimal Harvesting Policy of Prey-Predator Model with Stage Structure J. Applied Mathematical Sciences, Vol. 8, No. 159, p. 7923-7934. for Predator". Argawal, M. dan Pathak, R., 2012, "Persistence and Optimal Harvesting of Prey-Predator Model with HollingType III Functional Response", International of Engineering, Science and Technology, Vol. 4, No. 3, p. 78-96. Journal Yeni, A., Gunawan, G.,dan Sukarsih, I., 2016, "Simulasi Kestabilan Model Predator-Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan", Prosiding Matematika, ISSN: 2460-6464, p. 31 - 36. 111