Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 Model Mangsa-Pemangsa dengan Memperhatikan Faktor Internal dan Eksternal Mohammad Soleh*1, Riry Sriningsih2, Subiono3 1Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 2Department Mathematika, Universitas Negeri Padang, Padang, Indonesia 3Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia Email: 1 msoleh@uin-suska.ac.id , 3rirysriningsih@fmipa.unp.ac.id Abstrak Model mangsa pemangsa Lotka-Voltera (LV) merupakan model matematika tentang persaingan antar individu dalam rantai makanan. Model tersebut banyak digunakan untuk mempelajari keadaan ekosistem dimana disana terjadi peristiwa mangsa dan memangsa. Dalam perkembangannya model LV telah banyak dikembangkan dengan mempertimbangkan berbagai faktor. Tujuan dari paper ini adalah untuk mengeksplorasi dampak yang terjadi ketika model LV dipengaruhi oleh berbagai faktor seperti: pertumbuhan eksponensial, logistik, adanya migrasi, dan adanya penyakit menular menggunakan simulasi model matematika. Dari simulasi disimpulkan bahwa baik pertumbuhan eksponensial ataupun logistik pada populasi mangsa tidak menyebabkan kepunahan keduanya. Terjadi keseimbangan keduanya secara periodik atau berosilasi disekitar titik keseimbangannya. Atau keterbatasan sumber daya lingkungan tidak menjadikan salah satu atau keduanya punah. Kepunahan terjadi jika populasi mangsa dan pemangsa terganggu dengan adanya pemanenan atau pemusnahan. Sedangkan dampak migrasi yang positif memyebabkan populasi mangsa pemangsa tetap lestari dan migrasi yang negatif menyebabkan keduanya punah. Adanya penyebaran penyakit tak fatal pada mangsa, baik bersifat menulari pemangsa ataupun tidak menulari, dampaknya tidak menjadikan keduanya punah, tetapi mengubah dinamika perkembangan populasinya saja. Kata Kunci: Migrasi, model Lotka-Voltera, pemanenan, pemusnahan, penyebaran penyakit. Abstract The Lotka-Volterra (LV) predator prey model is a mathematical model of competition between individuals in the food chain. The model is widely used to study the state of the ecosystem where there is an event of eating and being eaten. In its development, the LV model has been developed by considering various factors. This paper will explore the various impacts that occur when the LV model from various points of view such: exponential and logistics growth, migration; and the presence of infectious diseases. By first providing the parameter values, then the influence of these factors on the prey-predator population dynamics is investigated using simulations. From the simulations, they were concluded that neither exponential or logistic growth in prey populations caused their extinction. Equilibrium occurs both periodically or oscillates around the equilibrium point. Extinction occurs when prey and predator populations are disturbed by harvesting or extermination. While the positive sign impact of migration causes the predator-prey population to remain sustainable and the negative sign of migration causes both to die. The spread of non-fatal diseases in prey, whether infecting predators or not, the impact does not make them extinct but changes the dynamics of population development. Keywords: Culling, disease spread, harvesting, Lotka-Volterra model, migration. 1. Pendahuluan Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang ilmu matematika terapan yang cukup penting dan bermanfaat. Salah satu aplikasinya yaitu pada masalah ekologi, suatu cabang biologi yang mempelajari tentang ekosistem. Permasalahan yang penting dalam ekologi diantaranya persoalan rantai makanan. Rantai makanan adalah perpindahan energi dari organisme pada suatu tingkat tropik ke tingkat tropik berikutnya dalam peristiwa mangsa dan pemangsa. Secara sederhana rantai makanan merupakan peristiwa pemangsa yang memakan mangsanya [1]. Model matematika mangsa pemangsa awalnya ditemukan oleh Lotka Volterra (LV). Model ini digunakan untuk mengetahui perkembangan dan kepunahan suatu populasi mangsa yang dimakan pemangsa. Populasi mangsa memiliki sumber makanan yang tersedia setiap 245
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 saat tetapi pada populasi pemangsa hanya bisa bertahan hidup dengan memakan mangsa. Dalam populasi diasumsikan hanya terjadi persaingan antara satu jenis mangsa dan satu jenis pemangsa. Dengan menggunakan model tersebut dapat dipelajari dinamika perubahan jumlah baik mangsa atau pemangsa setiap waktunya [1], [2]. Dalam perkembangan selanjutnya model LV telah dikembangkan oleh banyak peneliti. Beberapa penelitian tentang model matematika mangsa-pemangsa atau modifikasinya diantaranya: dalam [3] dibahas model LV dengan mangsa rentan dan terinfeksi. Dari hasil uji kestabilan diperoleh bahwa tingkat kepunahan mangsa dipengaruhi oleh timgkat infeksinya. Kemudian [1] membahas model mangsa-pemangsa dengan sebagian mangsa saki dengan laju penularan penyakit non-liniear. Hasilnya adalah populasi pemangsa naik sebanding dengan kenaikan populasi mangsa sakit. Sedangkan mangsa rentan bergerak menuju konstan. [4] memodifikasi model LV dengan penondimensionalan fungsi respon Michaelis-Menten pada populasi mangsa dan pemangsa pada ekosistem. [2] membahas model LV untuk tiga spesies, yang menyimpulkan bahwa populasi kedua mengalami fluktuasi jumlah yang cukup besar dikarenakan fungsinya sebagai penyalur makanan populasi ketiga. Selanjutnya [5] membahas suatu model populasi mangsa pemangsa dan pemanenan pada pemangsa dengan melibatkan fungsi biaya dan di area bebas. Hasilnya ketiga spesies tidak punah dan dapat tetap lestari meskipun ada usaha pemanenan serta dapat memberikan keuntungan maksimal. Dalam [6] mengembangkan model LV dengan melibatkan adanya migrasi. Disimpulkan bahwa portrait fase pada saat angka imigrasi nol dan angka emigrasi tidak nol akan mirip dengan portrait fase saat angka imigrasi tidak nol dan angka emigrasi nol. jumlah mangsa dan ini dibahas perbandingan perkembangan pemangsatiap waktunya dari model LV pertumbuhan eksponensial dan model LV pertumbuhan logistik, dengan masing-masing model dipengaruhi oleh: efek pemanenan/pemusnahan, efek migrasi, dan efek penyebaran penyakit pada mangsa dan pemangsa. Melalui simulasi model menggunakan Maple 13, hasil yang diharapkan adalah mendapatkan informasi perkembangan jumlah mangsa-pemangsa dengan faktor-faktor tersebut. Pada paper 2. Metode Penelitian Penelitian ini merupakan studi pustaka dengan melakukan simulasi model LV dan melakukan beberapa perubahan asumsi yang terjadi di dalam populasi. Beberapa hal yang akan dikaji adalah: a. Model LV dengan laju pertumbuhan ekponensial b. Model LV dengan laju pertumbuhan logistik c. Model LV dengan pemanenan/pemusnahan d. Model LV dengan faktor migrasi e. Model LV dengan adanya penyakit pada mangsa atau pemangsa. f. Model LV dengan pertumbuhan logistik, adanya pemanenan, migrasi, dan penyebaran penyakit. Langkah-langkah untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat diurutkan sebagai berikut: a. Menentukan model matematika b. Memberikan nilai-nilai berupa angka untuk setiap parameter model c. Melakukan simulasi dengan Maple untuk berbagai kemungkinan nilai parameter yang berbeda-beda d. Menginterpretasikan simulasi yang didapat e. Menarik kesimpulan 3. Hasil dan Analisa 3.1. Pembentukan Model LV 3.1.1. Model LV dengan pertumbuhan eksponensial Model LV adalah model dengan dua spesies yang berinteraksi dengan bersaing untuk persediaan makanan atau sumber alami lainnya. Model dua spesies ini dikenal dengan Model Lotka-Volterra (LV) klasik [7], [8] yang memuat sistem persamaan diferensial: 246
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 dxaxbxydtdycxydydt=−=− (1) ()xt y()t dengan adalah banyaknya populasi pemangsa pada waktu 𝑡, 𝑎 adalah laju pertumbuhan alami (eksponensial) mangsa tanpa adanya pemangsa, 𝑏 adalah pengaruh predasi terhadap mangsa, 𝑐 adalah laju penambahan jumlah pemangsa setelah memakan sejumlah mangsa, dan 𝑑 adalah laju kematian alami pemangsa tanpa adanya mangsa. Model Lotka-Volterra klasik menggambarkan adanya persaingan individu antar dua spesies untuk memperoleh persediaan makanan yang terbatas, dimana persediaan makanan diperoleh dari lingkungan [8]. adalah banyaknya populasi mangsa pada waktu t, 3.1.2. Model LV dengan pertumbuhan logistik Populasi mangsa tidak selamanya meningkat atau populasi pemangsa tidak selamanya menurun, tetapi dapat terjadi jika populasi mangsa naik maka angka pertumbuhan cenderung turun. Bahkan untuk populasi yang cukup besar, bukan mustahil angka pertumbuhannya negatif. Fenomena ini disebabkan area dan fasilitas hidup terbatas atau daya dukung lingkungan atau Kapasitas Batas (Carrying Capasity) terbatas. Misalkan dalam populasi terdapat sebanyak x(t) individu mangsa dan kapasitas batas mangsa, dilambangkan K. Sehingga kapasitas batas yang tersisa adalah K-x(t) individu. Jadi masih ada ()KxtK− bagian lingkungan atau area yang masih bisa ditinggali [4], [8]. Model (1) menjadi: dxKxaxbxydtKdycxydydt−=−=− (2) 3.1.3. Model LV dengan pemanenan/pemusnahan Dalam banyak kasus, seringkali mangsa adalah individu yang sengaja dibiakan untuk diambil manfaatnya, misalkan dagingya. Oleh karena itu, seringkali dilakukan pemanenan secara teratur. Sedangkan pada pemangsa seringkali dilakukan pemusnahan untuk menjaga kelestraian mangsa [4], [8]. Jika menyatakan jumlah pemanenan yang dilakukan setiap satuan waktu tertentu dan G(y) menyatakan banyaknya pemusnahan pada pemangsa setiap satuan waktu tertentu, maka model (1) akan menjadi: ()Hx ()(y)dxaxbxyHxdtdycxydyGdt=−−=−− (3) 3.1.4. Model LV dengan faktor migrasi Untuk banyak kasus dinamika populasi, faktor migrasi tak bisa juga diabaikan terutama pada ekosistem yang terbuka. Sebagian mangsa dapat datang dari tempat lain atau pergi ke 247
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 tempat lain di luar ekosistemnya. Demikian juga dengan pemangsa. Misalkan F(x) menyatakan laju netto perpindahan mangsa persatuan waktu dan J(y) menyatakan laju netto perpindahan pemangsa persatuan waktu, maka model (1) akan mejadi [6]: ()(y)dxaxbxyFxdtdycxydyJdt=−+=−+ (4) Sekilas model (4) sangat mirip dengan model (3), bedanya adalah pada model (3) maka nilai H(x) dan G(y) keduanya nonnegatif, sedangkan di model (4) nilai F(x) dan J(y) bisa nonnegatiff atau negatif. 3.1.5. Model LV dengan sebagian mangsa sakit Misalkan terdapat penyakit yang menyerang mangsa, maka populasi mangsa akan terpartisi menjadi dua yaitu kelompok mangsa yang telah sakit ix dan kelompok mangsa yang masih sehat sx .
Diasumsikan tidak terjadi penularan dari mangsa kepada pemangsa, menyatakan laju transmisi penyakit dari mangsa sakit ke mangsa sehat, dianggap pemangsa hanya memakan mangsa yang sakit karena kondisinya yang mudah tertangkap [1]. (5) Sedangkan jika diasumsikan bahwa penyakit pada mangsa bisa menular kepada pemangsa dan pemangsa yang telah terjangkit penyakit tersebut dianggap tidak sembuh lagi. Misalkan f merupakan laju penularan penyakit dari mangsa ke pemangsa disebabkan pemangsa sehat memakan mangsa yang sakit, maka model (5) dapat dimodifikasi menjadi: (6) 3.1.6. Model LV dengan pertumbuhan logistik, adanya pemanenan, migrasi, dan penyebaran penyakit. Berdasarkan model (1)-(6), dikontruksi model LV yang dengan pertumbuhan ekponensial atau logistik yang melibatkan pemanenan, migrasi, dan penularan penyakit sebagai berikut: Model (5) dapat dimodifikasi menjadi: 248
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 () () (7) 3.2. Simulasi Model Matematika Pada tahap ini akan dilakukan simulasi untuk mengetahui bagaimana dinamika jumlah populasi mangsa-pemangsa setiap waktunya. Simulasi dilakukan untuk semua persamaan (1)-(7). Nilai parameter yang diberikan adalah nilai asumsi. Parameter a b Tabel 1. Parameter model Keterangan Laju pertumbuhan mangsa tanpa gangguan pemangsa Laju predasi mangsa oleh pemangsa Nilai 1.00 0.01 Sumber asumsi asumsi c d K H(x) G(y) F(x) J(y)
Laju pertumbuhan pemangsa oleh karena predasi Laju kematian pemangsa Carrying capacity lingkungan Laju pemanenan/pemusnahan pada mangsa Laju pemanenan/pemusnahan pada pemangsa Laju netto migrasi pada mangsa Laju netto migrasi pada pemangsa Laju transmisi penyakit dari mangsa sakit ke mangsa sehat 0.005 0.5 500 konstan konstan konstan konstan 0.00208 asumsi asumsi asumsi asumsi asumsi asumsi asumsi [8] f Laju transmisi penyakit dari mangsa ke pemangsa 0.00208 [8] Tabel 2. Nilai awal (0)x (0)sx (0)ix y(0) Sumber 200 150 50 20 Asumsi Mangsa Pemangsa Gambar 1. Model LV Pertumbuhan mangsa eksponensial Dari Gambar 1 diperlihatkan bahwa dinamika perubahan jumlah mangsa dan pemangsa pada model LV dengan pertumbuhan mangsa secara eksponensial akan berosilasi di sekitar titik kesetimbangan. Pergerakan jumlah mangsa yang naik akan diikuti oleh jumlah pemangsa yang naik juga dan tidak terjadi kepunahan salah satu populasi. 249
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 Gambar 2. Model LV Pertumbuhan mangsa logistik Gambar 2 menunjukkan bahwa dampak dari pertumbuhan mangsa secara logistik pada simulasi ini adalah terjadinya pergeseran osilasii jumlah keduanya. Karena pertumbuhan mangsa tergantung dari kapasitas pendukung lingkungan sementara pemangsa tumbuh secara eksponensial dari banyaknya predasi mangsa, maka memungkinkan jumlah pemangsa melebihi jumlah mangsa. Dari sini tampak bahwa keterbatasan lingkungan tidak menyebabkan mangsa dan pemangsa mengalami kepunahan. Gambar 3 Model LV dengan pemanenan atau pemusnahan Terlihat dari Gambar 3 bahwa dampak adanya pemanenan pada mangsa dan pemusnahan pada pemangsa menyebabkan perubahan dinamika populasi yang cukup signifikan. Dibandingkan keadaan sebelumnya di Gambar 1 dan 2, dimana mangsa dan pemangsa bersaing secara alami yang menyebabkan keadaan mangsa dan pemangsa tetap lestari, pengaruh pemanenan atau pemusnahan sebagian dari keduanya bisa menyebabkan kepunahan mangsa pemangsa tersebut. Gambar 4a. Model LV dengan migrasi positif Gambar 4b. Model LV dengan migras inegatif 250
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 Gambar 4 adalah simulasi untuk model LV dengan adanya pengaruh migrasi. Terlihat bahwa pada simulasi model LV ini (Gambar 4b) mirip dengan hasil simulasi model LV dalam Gambar 3, yaitu bahwa dengan adanya migrasi negatif akan sama pengaruhnya dengan adanya pemanenan atau pemusnahan. Gambar 4 juga menginformasikan bahwa jika migrasi tersebut positif (Gambar 4a), maka populasi keduanya akan lestar Mangsa rentan Mangsa sakit Pemangsa Gambar 5. Model LV pertumbuhan mangsa eksponensial dengan sebagian mangsa sakit dan tidak menulari pemangsa Gambar 5 menginformasikan bahwa adanya penyakit yang menular pada mangsa tetapi tidak menulari pemangsa, yang dalam keadaan ini dianggap pemangsa hanya memakan mangsa yang sakit karena kondisinya yang mudah tertangkap, menyebabkan mamgsa pemangsa tumbuh secara eksponensial tak mulus. Dinamika populasi keduanya secara osilasi tidak lagi terjadi. Gambar 6. Model LV pertumbuhan mangsa ekponensial dengan sebagian mangsa sakit dan menulari pemangsa Tampak dari Gambar 6 bahwa adanya pemangsa yang ikut tertular oleh penyakit yang diderita oleh mangsa. Pemangsa yang tertular penyakit dianggap akan mati dikarenakan tidak sanggup menangkap mangsa. Pengaruh penularan penyakit dari mangsa ke pemangsa menyebabkan mangsa sehat berkembang secara cepat. Gambar 7. Model LV pertumbuhan mangsa logistik dengan sebagian mangsa sakit dan menulari pemangsa 251
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 Gambar 7 menunjukkan bahwa adanya pengaruh pertumbuhan logistik dan adanya penyakit yang menular dari mangsa ke pemangsa menyebabkan dinamika populasi mangsa sehat, mangsa sakit, dan pemangsa berada pada titik keseimbangannya. Disini dalam waktu singkat, jumlah mangsa sehat turun seara drastis, menjadi mangsa yang sakit. Gambar 8. Model LV pertumbuhan mangsa ekponensial dengan sebagian mangsa sakit dan menulari pemangsa, pemanenan, dan migras Ganbar 8 memberikan informasi bahwa dampak pemanenan, pemusnahan, dan migrasi sangat menentukan kelestarian mangsa dan pemangsa. Jika pemanenan, pemusnahan, dan migrasi bernilai positif maka populasi mangsa dan pemangsa akan terus ada, dan akan terjadi sebaliknya. Pada Gambar 8, kontribusi pemanenan, pemusnahan, dan migrasi masih positif, tampak bahwa populasi mangsa dan pemanngsa terjadi secara eksponensial tak mulus. Gambar 9. Model LV pertumbuhan mangsa logistik dengan sebagian mangsa sakit dan menulari pemangsa, pemanenan, dan migrasi Dari Gambar 9 diperlihatkan bahwa adanya pertumbuhan logistik pada mangsa, disertai penyebaran penyakit, pemanenan, pemusnahan, dam migrasi menyebabkan populasi mangsa sehat turun secara drastis menjadi mangsa sakit. Pada Gambar 9 digunakan nilai migrasi positif. 4 Kesimpulan Berdasarkan simulasi untuk berbagi keadaan pada model LV, didapatkan beberapa kesimpulan sebagai berikut: a. Baik pertumbuhan eksponensial ataupun logistik pada populasi mangsa tidak menyebabkan kepunahan keduanya. Terjadi keseimbangan keduanya secara periodik atau berosilasi di sekitar tidak menyebabkan salah satu atau keduanya punah. titik keseimbangannya. Bahwa keterbatasan sumber daya lingkungan b. Kepunahan terjadi jika populasi mangsa dan pemangsa terganggu dengan adanya pemanenan atau pemusnahan. Sedangkan dampak migrasi yang positif menyebabkan populasi mangsa pemangsa tetap lestrari tetapi migrasi yang negatif menyebabkan keduamya pumah c. Adanya penyebaran penyakit tak fatal pada mangsa, baik bersifat menulari pemangsa ataupun tidak menulari, dampaknya tidak menjadikan keduanya punah, tetapi mengubah dinamika perkembangan populasinya saja. 252
Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 15 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Pekanbaru, 24 Oktober 2023 ISSN (Printed) : 2579-7271 ISSN (Online ) : 2579-5406 Referensi [1] M. Soleh, S. Kholipah, U. (Islam, N. Sultan, and S. Kasim, "Model mangsa pemangsa dengan sebagian mangsa sakit," vol. 10, no. 2, 2013. R. P. Ritania Monica, Leli Deswita, "Kestabilan populasi model Lotka-Voltera tiga spesies denga titik kesetimbngan," JOM FMIPA, vol. 1, no. 2, pp. 133-141, 2014. Iis Herisman, "Kestabilan Model Mangsa Pemangsa dengan mangsa rentan dan terinfeksi," vol. 8, no. 2, pp. 23-32, 2011. S. Maron, "Pembentukan model mangsa pemangsa dengan pemanenan pada pemangsa," Delta, vol. 1, no. 2, pp. 181-187, 2013. S. Agus, S. Toaha, and K. Kasbawati, "Analisis model populasi mangsa pemangsa dengan area reservasi dan pemanenan pemangsa," J. Mat. Stat. dan Komputasi, vol. 15, no. 1, p. 1, 2018, doi: 10.20956/jmsk.v15i1.4418. B. R. Chynttia Dwi Yan, "Analis kestabilan model Lotka-Voltera yang dipengaruhi oleh faktor imigrasi," J. Mat. UNAND, vol. 7, no. 4, p. 76, 2019, doi: 10.25077/jmu.7.4.76-80.2018. S. Kim, C. Hoffmann, and V. Ramachandran, "Analyzing the parameters of prey-predator models for simulation games," Lect. Notes Comput. Sci. (including Subser. Lect. Notes Artif. Intell. Lect. Notes Bioinformatics), vol. 6243 LNCS, pp. 216-223, 2010, doi: 10.1007/978-3-642-15399-0_20. B. Barnes and G. R. Fulford, Mathematical modelling with case studies: Using mapleTM and MATLAB®, third edition. 2014. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 253