Vol. 10, No. 2, 132-137, Januari 2014 Model Perubahan Sub Populasi (Menikah Dan Tidak Menikah) Dalam Populasi Manusia Syamsuddin Toaha† Abstrak Pada tulisan ini dibahas suatu model perubahan populasi manusia. Populasi manusia dibagi dalam tiga sub populasi yaitu; populasi pria yang tidak menikah, populasi wanita yang tidak menikah dan populasi yang menikah. Perubahan masing-masing sub populasi dipengaruhi oleh jumlah sub populasi lainnya. Beberapa asumsi dibuat untuk keperluan pemodelan. Model perubahan sub populasi itu dikonstruksi dan dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Syarat kewujudan suatu titik keseimbangan positif diberikan. Kestabilan titik keseimbangan positif dari model dianalisis dengan melinearkan model di sekitar titik keseimbangan dan dengan memeriksa nilai eigen dari persamaan karakteristik. Analisis kestabilan menunjukkan bahwa mungkin wujud suatu titik keseimbangan positif yang bermakna bahwa masing-masing jumlah sub populasi akan menuju ke suatu nilai positif tertentu. Keywords: Model deterministik, populasi manusia, kestabilan, uji kestabilan Hurwitz, nilai eigen. 1. Pendahuluan Banyak problem yang telah dikenali ternyata melibatkan perubahan kuantitas secara kontinu seperti kecepatan, percepatan dan peluruhan. Tetapi banyak juga fenomena yang berubah secara gradual (tidak kontinu terhadap waktu) seperti perubahan jumlah populasi manusia, perubahan jumlah pohon dalam suatu hutan, jumlah populasi binatang dalam suatu habitat tertentu dan sebagainya. Walaupun perubahan suatu kuantitas berubah secara diskrit, tetapi jika jumlahnya cukup besar, itu dapat dipandang sebagai suatu perubahan yang kontinu. Dalam bidang matematika biologi misalnya, perubahan populasi manusia dapat dipandang sebagai sesuatu yang kontinu terhadap waktu. Model populasi Malthus dan model Logistik yang merupakan model kontinu, telah digunakan untuk memodel pertumbuhan populasi manusia. Model Logistik yang dikaji oleh P.F Verhults pada akhir tahun 1830-an (Haberman, 1998) digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk Amerika Serikat (Lipkin dan Smith, 2006). Dalam Drayer (1993) telah dibahas suatu model pertumbuhan populasi dimana populasi tersebut dikelompokkan dalam 3 sub populasi yaitu populasi pria yang tidak kawin, populasi wanita yang tidak kawin dan populasi manusia yang kawin. Dalam model itu laju pertumbuhan masing-masing sub populasi hanya proporsional dengan jumlah populasi dalam sub populasi tersebut dan sub populasi lainnya. Model itu tidak mempertimbangkan pengaruh interaksi antara sub populasi maupun pengaruh interaksi dalam sub populasi itu pada pertumbuhan masing-masing sub populasi. Dalam tulisan ini perubahan ketiga sub populasi akan di kaji lebih jauh dengan mempertimbangkan pengaruh interaksi antara sub populasi tersebut terhadap masing-masing perubahan sub populasi. Pertama-tama akan dipertimbangkan suatu model yang cukup kompleks dan selanjutnya karena kompleksitas model tersebut dibuat beberapa asumsi dan penyederhanaan sehingga diperoleh suatu model baru. Dari model kedua itu, diberikan suatu † Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar 132
133 Syamsuddin Toaha syarat kewujudan titik keseimbangan yang positif dan untuk analisis kestabilannya digunakan uji kestabilan Hurwitz dan nilai eigen. 2. Model Perubahan Sub Populasi Dalam Suatu Populasi Dalam paper ini akan dibahas laju pertumbuhan jumlah populasi manusia dalam masing-masing sub populasi manusia dengan mempertimbangkan pengaruh interaksi masing- masing sub populasi pada laju pertumbuhan masing-masing sub populasi. Misalkan populasi manusia dibagi dalam tiga sub populasi, yaitu (i) populasi pria yang tidak kawin (ii) populasi wanita yang tidak kawin, dan (iii) populasi manusia yang kawin. Untuk keperluan pemodelan perubahan masing-masing sub populasi, beberapa asumsi diberikan. 1. Perkawinan adalah monogami. 2. Bagi yang pernah kawin tapi menjadi single karena cerai atau karena kematian pasangannya, dikategorikan sebagai individu yang tidak kawin. 3. Kelahiran hanya terjadi dari populasi orang yang kawin. Populasi yang kawin melahirkan anak-anak yang tidak/belum kawin dan sebaliknya, orang yang tidak kawin berkeinginan untuk kawin. Dengan demikian perubahan jumlah masing-masing dalam tiga sub populasi tersebut saling berhubungan. Untuk mengkonstruksi model perubahan masing-masing sub populasi, didefinisikan beberapa variabel )(tp )(tw )(tk = jumlah pria yang tidak kawin dalam populasi pada saat waktu t, = jumlah wanita yang tidak kawin dalam populasi pada saat waktu t, dan = jumlah individu yang kawin dalam populasi pada saat waktu t. Laju perubahan pada populasi )(tp bergantung pada: (i) laju kematian 1a pada populasi pria yang tidak kawin, (ii) laju kelahiran 1c pada pria (tentunya tidak kawin) yang 1d pada wanita yang kawin berasal dari kelompok pasangan yang kawin, (iii) laju kematian (menghasilkan pria yang jadi duda), (iv) interaksi antara sesama pria yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (v) interaksi antara pria dan wanita yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (vi) interaksi antara pria yang tidak kawin dengan kelompok orang yang kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan. Dengan itu diperoleh laju perubahan untuk populasi pria pada waktu t sebagai berikut )()()()()()()()()(3221111tktpbtwtpbtpbtkdctpadttdp Laju perubahan pada populasi )(tw bergantung pada: (i) laju kematian 2a pada populasi wanita yang tidak kawin, (ii) laju kelahiran 2c pada wanita (tentunya tidak kawin) 2d pada pria yang yang berasal dari kelompok pasangan yang kawin, (iii) laju kematian kawin (menghasilkan wanita yang jadi janda), (iv) interaksi antara sesama wanita yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada wanita yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (v) interaksi antara wanita dan pria yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada wanita yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (vi) interaksi antara wanita yang tidak kawin dengan kelompok orang yang kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada wanita yang tidak
134 Syamsuddin Toaha kawin untuk melangsungkan perkawinan. Dengan itu diperoleh laju perubahan untuk populasi wanita pada waktu t berikut )()()()()()()()()(3221222tktwetptwetwetkdctwadttdw Laju perubahan pada populasi )(tk bergantung pada: (i) laju 3a pada populasi pria 4a yang tidak kawin untuk kawin, (ii) laju pada populasi wanita yang kawin untuk kawin, (iii) interaksi antara pria dan wanita yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria dan wanita yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (iv) interaksi antara pria/wanita yang tidak kawin dengan kelompok orang yang kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria/wanita yang tidak kawin untuk pada kelompok pria yang kawin melangsungkan perkawinan (v) laju kematian 3d 4d pada kelompok wanita yang (menghasilkan janda, tidak kawin), dan (vi) laju kematian kawin (menghasilkan duda, tidak kawin). Dengan itu diperoleh laju perubahan untuk populasi individu yang kawin pada waktu t )()()()()()()()()()()(4332143tkddtktwftktpftwtpftwatpadttdk Dari uraian di atas, selanjutnya diperoleh suatu model perubahan sub populasi manusia dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu (1) Matriks Jacobian untuk model (1) adalah 0,0,0,,000kwp Dari model (1) diperoleh titik keseimbangan , sementara syarat kewujudan suatu titik keseimbangan positif tidak mudah untuk ditentukan secara eksplisit karena sangat kompleks. Walaupun demikian, untuk model di atas kewujudan dan kestabilan titik keseimbangan positif akan diberikan dalam suatu simulasi. Contoh 1. Diberikan nilai parameter untuk model (1) dengan nilai 0011.01a , 0012.02a , 00011.03a , 00012.04a , 12.01c , 11.02c , 0013.01d , 0011.02d , 0051.03d , 0042.04d , 0011.01b , 0013.01e , 0012.02b , 0013.02e , 00011.03b , 00015.03e , 00012.01f , 00011.02f dan 00013.03f . Dengan nilai parameter ini, diperoleh tiga titik keseimbangan tidak negatif dan kestabilannya seperti diberikan pada Tabel 1.
135 Syamsuddin Toaha Tabel 1. Titik Keseimbangan Model (1) dan Kestabilannya No. Titik Keseimbangan Nilai Eigen Kestabilan 1 )0,0,0( 00100.0,00102.0,01102.0 Titik pelana 2 06265.0,52823.1,54933.1 00068.0,00411.0,01520.0 Stabil Asimptot 3 0384.10,0860.19,9972.22 00148.0,04859.0,09698.0 Titik pelana Dari Contoh 1 didapati ada tiga titik keseimbangan yang tidak negatif, namun untuk nilai parameter yang lain, mungkin hanya didapati dua titik keseimbangan yang tidak negatif. Titik keseimbangan yang pertama tidak stabil dengan dua nilai eigen yang bernilai negatif dan satu nilai eigen yang bernilai positif. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal sub populasi cukup dekat dengan nol, maka dua sub populasi akan menuju ke nilai nol sementara satu sub populasi lainnya akan bertambah secara eksponensial. Titik keseimbangan yang ketiga dengan dua nilai eigen bernilai negatif dan satu bernilai positif, juga tidak stabil. Dengan bertambahnya waktu, dua sub populasi jumlahnya menuju ke titik keseimbangan tersebut, sementara satu sub populasi yang lain jumlahnya malah menjauhi titik keseimbangan tersebut. Titik keseimbangan yang kedua adalah stabil asimptotik dan merupakan suatu node. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal masing-masing sub populasi cukup dekat dengan populasi keseimbangan, maka jumlah masing-masing sub populasi selanjutnya menuju ke populasi keseimbangan. Dengan demikian, dengan nilai parameter yang diberikan seperti di atas dan jumlah masing-masing sub populasi dekat dengan nilai populasi keseimbangan, maka ketiga sub populasi tersebut akan tetap wujud, dan tidak akan ada sub populasi yang akan punah ataupun berkembang tanpa batas. Pada keadaan ini jumlah populasi dan perbandingannya cenderung tetap 3. Penyederhanaan Model Model perubahan sub populasi seperti yang diberikan pada model (1) sangat kompleks sehingga titik keseimbangan model tidak mudah untuk diperoleh secara umum. Dengan itu, kita menyederhanakan model dengan mengabaikan beberapa faktor yang , membangun model tersebut. Dengan mengasumsikan bahwa 01b 03b , , 01e 03e , 01f , 02f , 03f , 111dcr , 222dcr , dan 433ddr , model (1) dapat ditulis sebagai (2) Matriks Jacobian untuk model (2) adalah 343222212212raarpeawerpbwbaJ
136 Syamsuddin Toaha Dari model (2) diperoleh titik keseimbangan 0,0,0,,000kwp dan
BCADCABAkwp,,,,111 , dengan 213241231araraaaraA , 132223311raebraraeB , 242232412rabarbareC dan 124223aeaabaD . Titik keseimbangan 111,,kwp berada pada oktan pertama jika 0A , 0B dan 0C . 111,,kwp karena titik keseimbangan ini lebih menarik untuk di analisis ketimbang titik keseimbangan Dalam analisis ini, kita fokus pada analisis titik keseimbangan 000,,kwp . Pada titik keseimbangan 111,,kwp diperoleh matriks Jacobian 3432122121121213raarpeawerpbwbaJ (3) 111,,kwp akan digunakan uji kestabilan Hurwitz (Jeffries, 1989; Willems, 1970). Persamaan karakteristik untuk matriks Jacobian (3) adalah Untuk analisis kestabilan titik keseimbangan 01223)(pppf dengan 42312123122132121312131a-rraawbrwbaarapearper-ap dan 31221212+rp+e+aw+bap Dengan menggunakan uji kestabilan Hurwitz, yaitu jika 00p , 01p , 02p dan 0012ppp maka titik keseimbangan 111,,kwp stabil asimptotik. Contoh 2. Diberikan nilai parameter untuk model (2) dengan nilai 051.01a , 052.02a , 00015.03a , 00014.04a , 11.01r , 12.02r , 00012.03r , 00013.02b , dan 00014.02e . Dengan nilai parameter ini diperoleh dua titik keseimbangan yang tidak negatif yaitu 0,0,0,,000kwp dan 111,,kwp ,14607.1783,83085.1574( 87564.4048 ). Nilai eigen yang berhubungan dengan titik keseimbangan pertama adalah . Untuk titik keseimbangan yang kedua diperoleh dan 0.000520 0.051226- 0.052414- , , 660.000001390p 1.55540530802p 390.02598369 1p , , 500.01443008012ppp . Dengan menggunakan uji kestabilan Hurwitz disimpulkan bahwa asimptotik. Lebih lanjut lagi diperoleh nilai eigen titik keseimbangan adalah stabil . 0.503839- 0.051512- 0.000054- , ,
137 Syamsuddin Toaha Dengan demikian titik keseimbangan yang kedua stabil asimptotik dan merupakan suatu node. Dari contoh 2 didapati bahwa titik keseimbangan yang pertama tidak stabil dengan dua nilai eigen yang bernilai negatif dan satu nilai eigen yang bernilai positif. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal sub populasi cukup dekat dengan nol, maka dua sub populasi akan menuju ke nilai nol sementara satu sub populasi lainnya akan bertambah secara eksponensial. Sementara titik keseimbangan yang kedua stabil asimptotik dan merupakan suatu node. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal masing-masing sub populasi cukup dekat dengan populasi keseimbangan, maka jumlah masing-masing sub populasi selanjutnya akan menuju ke populasi keseimbangan. Dengan demikian, dengan nilai parameter yang diberikan seperti di atas dan jumlah masing-masing sub populasi dekat dengan nilai populasi keseimbangan, maka ketiga sub populasi tersebut akan tetap wujud dan tidak akan ada sub populasi yang punah ataupun berkembang tanpa batas. Pada keadaan ini jumlah populasi akan menuju ke suatu nilai konstan 7406.852564 dengan perbandingan antara populasi pria yang tidak kawin, populasi wanita yang tidak kawin dan populasi yang kawin cenderung tetap, yaitu 1574.83085 : 1783.14607 : 4048.87564. 4. Kesimpulan Dengan mempertimbangkan pengaruh interaksi antara masing-masing sub populasi pada model pertumbuhan masing-masing sub populasi, diperoleh suatu model yang sangat mendekati fenomena sebenarnya. Namun model yang terhasil sangat kompleks sehingga kewujudan titik keseimbangan tidak mungkin lagi didapati secara eksplisit. Meskipun demikian, dengan membuat suatu simulasi, yaitu dengan mencoba nilai-nilai parameter, diperoleh suatu titik keseimbangan yang positif dan stabil. Dengan simulasi ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu model populasi manusia mengikuti model (1), maka mungkin wujud suatu populasi keseimbangan yang positif dan stabil. Pada model yang kedua, yaitu penyederhanaan dari model (1), didapati dua titik keseimbangan yang mungkin tidak negatif, yaitu titik keseimbangan 0,0,0,,000kwp 111,,kwp dan titik keseimbangan . Titik keseimbangan yang kedua ini mungkin berada pada oktan pertama, bergantung pada nilai-nilai parameter model. Selanjutnya dengan menggunakan uji kestabilan Hurwitz didapati bahwa titik keseimbangan ini mungkin stabil. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pada model (2) mungkin didapati suatu titik keseimbangan yang positif dan stabil yang bermakna bahwa ketiga-tiga sub populasi manusia tersebut dapat wujud untuk selamanya dengan jumlah populasi manusia menuju ke nilai dengan perbandingan populasi pria yang tidak kawin, populasi wanita konstan 111kwp yang tidak kawin dan populasi yang kawin adalah 111::kwp . Daftar Pustaka [1] Drayer, T.P., 1993, "Modelling with Ordinary Differential Equations". CRC Press, Inc., Boca Rotan. [2] Haberman, R., 1998, "Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow". SIAM, Philadelphia. [3] Jeffries, C., 1989, "Mathematical Model in Ecology". Birkhauser, Boston. [4] Lipkin, L., dan Smith, D., growth model", "Logistic 2006, [19 April 2006] [5] Willems, J.L., 1970, "Stability Theory of Dynamical System". Thomas Nelson & Sons, London.