Pertemuan 11
Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari
Siapaun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.
Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket.
Teori Antrian Ilmu pengetahuan tentang antrian Antrian Orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani Situasi Yang datang pada antrian Proses Pelayanan Supermarket Orang berbelanja Membayar dikasir Pintu tol Mobil Mengumpulkan uang Praktek dokter Pasien Pelayanan dokter Bank Pelanggan Transaksi oleh teller Pelabuhan Kapal Pekerja bongkar muat
Karakteristik Sistem Antrian Terdapat tiga komponen dalam sebuah sistem antrian: 1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memiliki karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dan sebuah distribusi statistik. 2. Disiplin antrian, atau antrian itu sendiri. Karakteristik antrian mencakup apakah jumlah antrian terbatas atau tidak terbatas panjangnya dan materi atau orang-orang yang ada di dalamnya. Fasilitas pelayanan. Karakteristiknya meliputi desain dan distribusi statistik waktu pelayanan. 3.
Karakteristik Kedatangan Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem pelayanan memiliki tiga karakteristik utama: 1. Ukuran populasi kedatangan. 2. Perilaku kedatangan. 3. Pola kedatangan (distribusi statistik).
Karakteristik Kedatangan Ukuran Populasi Kedatangan Tak terbatas Terbatas Perilaku kedatangan Tidak sabar Yang sabar hanya mesin
Karakteristik Kedatangan Pola kedatangan pada sistem Terjadwal Secara acak distribusi Poisson !xexPx
P(x) x ẻ = probabilitas kedatangan x = Jumlah kedatangan persatuan waktu = Tingkat kedatangan rata-rata = 2,7183 (dasar logaritma)
Mengukur Kinerja Antrian Model antrian membantu para manajer membuat keputusan untuk menyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biaya antrian. Dengan menganalisis antrian akan dapat diperoleh banyak ukuran kinerja sebuah sistem antrian, meliputi hal berikut: 1. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam antrian. 2. 3. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam sistem Panjang antrian rata-rata 4. 5. 6. 7. (waktu tunggu ditambah waktu pelayanan). Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem. Probabilitas fasilitas pelayanan akan kosong. Faktor utilisasi sistem. Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem.
Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani? First Come First Served (FCFS)/FIFO Shortest Processing Time (SPT) Priority (jobs are in different priority classes) Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS
Desain Sistem Antrian Dasar Contoh Antrian Kantor praktik dokter gigi keluarga Kedatangan Fasilitas pelayanan Sistem jalur tunggal, satu tahap Dua jendela kendara-lewat (drive-through) di McDonald Kedatangan Antrian Fasilitas pelayanan tahap 1 Fasilitas pelayanan tahap 2 Sistem jalur tunggal,tahapan berganda Keberangkatan setelah pelayanan Keberangkatan setelah pelayanan
Hampir seluruh bank dan kantor pos Beberapa kantor pendaftaran mahasiswa Kedatangan Kedatangan Antrian Sistem jalur berganda, satu tahap Antrian Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 1 Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 2 Sistem jalur berganda,tahapan berganda Fasilitas pelayanan jalur 1 Fasilitas pelayanan jalur 2 Fasilitas pelayanan jalur 3 Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 1 Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 2 Keberangkatan setelah pelayanan Keberangkatan setelah pelayanan
BIAYA SISTEM ANTRIAN Biaya Perkiraan Total Biaya Pelayanan Optimal Jumlah biaya minimal Biaya Pengadaan Layanan Biaya Waktu Tunggu Tingkat pelayanan rendah Tingkat pelayanan optimum Tingkat pelayanan tinggi 5 1
Model Antrian 1. Model Antrian Jalur Tunggal (M/M/1) Meja informasi/CS di Bank 2. Model Antrian Jalur Ganda (M/M/s) Loket tiket penerbangan 3. Model Waktu Pelayanan Konstan (M/D/1) Pencucian mobil otomatis 4. Model Populasi Terbatas Bengkel yang memiliki hanya selusin mesin yang rusak
Model A : M/M/1 Model Antrian Jalur Tunggal dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial 1. 2. 3. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiap kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjang antrian. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, hanya saja jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah menurut waktu. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabililtas poisson dan datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar). 4. Waktu pelayanan bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan yang berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu pelayanan diketahui. 5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi probabilitas 6. eksponensial negatif. Tingkat pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.
jumlah kedatangan rata-rata persatuan jumlah orang yang dilayani persatuan waktu Panjang antrian tak terbatas Jumlah pelanggan tak terbatas waktu
Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani) Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian (yang menunggu untuk dilayani) Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan dilayani) µ - 1 P0 0.µPPnn ) - (µL ) - µ(µ 2qL LWµ1
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi Probabilitas bahwa pelayan menganggur / unit pelayanan kosong )(qW wP 011PUI
Contoh 1 Seorang montir di bengkel dpt memasang sebuah knalpot dengan waktu 20 menit per jam yang mengikuti distribusi exponensial. Pelanggan tiba rata- rata 2 mobil perjam dengan distribusi poisson. Mereka dilayani dengan aturan FIFO dan datang dari populasi yang sangat besar (tak terbatas) 2 mobil tiba per jam 3 mobil dilayani per jam . 122)- (32L 2 mobil rata-rata dlm sistem
. . . . . 1231W 1 jam rata-rata waktu menunggu dlm sistem 34)2 - 3(3 22qL 1,33 mobil rata-rata menunggu dlm antrian 32)23(32qW 40 menit waktu tunggu rata-rata mobil 32P 66,6% montir sibuk 33,03/1321 0.33 probabilitas o mobil dlm sistem
Biaya Yang terlibat Jika waktu tunggu pelanggan adalah $10/jam berapa biaya waktu tunggu perhari (8 jam kerja, 2 mobil tiba perjam)? 32)23(32qW Waktu tunggu rata-rata mobil 2/3 jam = 40 menit Banyaknya mobil = 16 Total waktu menunggu = 16 x 2/3 jam = 10 2/3 jam Biaya waktu menunggu = 10 2/3 jam X $10 = $107/hari
M/M/S
Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem pelayanan multiple. Formula ini dikembangkan berdasarkan asumsi : Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani (FIFO) Kedatangan Poisson Waktu pelayanan eksponensial Populasi yang tidak terbatas Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut λ = tingkat kedatangan μ = tingkat pelayanan c = jumlah pelayan cμ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cμ > λ)
Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut cccnPcncnn!1!11100 cnuntukPnPcnuntukPPnncnnncc 1; 1,0,0! 02!1)/(PcccL
LW
Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut LLq Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani qqLWW1 Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani 0!1PcccPcw Dalam formula di atas jika c=1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebut menjadi formula pelayanan tunggal.
Contoh berikut ini mengilustrasikan analisis sistem antrian pelayanan tunggal dan pelayanan multipel, termasuk penentuan karakteristik operasi untuk tiap-tiap sistem. Kasus Petugas baru untuk pelayanan pinjaman pada Bank BCD mewawancara seluruh nasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuk setiap nasabah yang ingin membuka rekening baru. A. Tentukan karakteristik operasi (P0, L, Lq, W, Wq, dan Pw) untuk sistem ini. B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem atas masalah tersebut sehingga sekarang sistem tersebut menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan dua saluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A
A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal λ = 4 nasabah per jam kedatangan μ = 5 nasabah per jam yang dilayani Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem 0.20 54 - 1 µ - 1 P0 Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian 4)4 - (54) - (µL Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian 2.3)4 - 5(5 ) - µ(µ 422qL
A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian jam 1451µ1W Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani menit 48jam 0.8)45(54)(qW Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu 8.054wP
B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel λ = 4 nasabah per jam kedatangan μ = 5 nasabah per jam yang dilayani c = 2 petugas yang datang Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem 429.0 45.25.254!2154!1154!011 !1!11110100cccnPcncnn Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian 952.0 54429.0245.2!1)5/4(25.4 2!1)/(0PcccL
B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian 152.054952.0LLq Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian jam 238.04952.0LW Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani jam 038.04152.0qqLW Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu 229.0429.045.25.2!21!15420PcccPcw
Po L Wo Lq Wq Pq Po L Wo Lq Wq Pq Satu Petugas Dua Petugas 0,20 0,429 4 0,952 1 0,238 = 14,28 menit 3.2 0,152 0,8 = 48 menit 0,038 = 2.28 menit 0,8 0,229 = probabilitas tidak ada pelanggan dlm sistem = jumlah nasabah rata-rata dlm sistem antrian = waktu yg dihabiskan pelanggan dlm antrian = Jumlah nasabah dlm baris antrian = Waktu yg dihabiskan utk menunggu dilayani = Probabiltas petugas sibuk dan nasabah menunggu
Soal Latihan 1 Terdapat satu mesin fotocopy pada sekolah bisnis. Mahasiswa datang dengan tingkat 40 perjam (distribusi poisson). Proses fotocopy rata-rata 40 detik atau 90 perjam (distribusi exponensial). Hitung : 1. Persentase waktu mesin digunakan 2. Panjang antrian rata-rata 3. 4. Waktu yang dihabiskan untuk menunggu dalam Jumlah mahasiswa dalam sistem rata-rata antrian rata-rata 5. Waktu yang dihabiskan dalam sistem rata-rata
Soal Latihan 2 Sebuah distributor batu bata punya satu pekerja yang memuat batu bata kedalam truk. Rata-rata 24 truk datang tiap hari kerja (8 jam). Dengan pola kedatangan distribusi poisson, pekerja memuat batu bata keatas 4 truk tiap jam, waktu pelayanan distribusi exponential. Pengusaha ingin menambah satu petugas lagi untuk dapat memuat batu bata keatas 8 truk perjam. 1. Buat analisa karakteristik sistem jalur tunggal dan ganda 2. Upah sopir truk $10 perjam, upah petugas pemuat bata $6 perjam. Berapa penghematan jika punya 2 petugas pemuat batu bata
3. Model Waktu Pelayanan Konstan Beberapa pelayanan memiliki waktu pelayanan yang tetap, misalnya : Pencucian mobil otomatis Wahana di taman hiburan Dikenal sebagai M/D/1
Asumsi Pelayanan Konstan Laju kedatangan (distribusi Poisson) Waktu pelayanan konstan Server tunggal First-come-first-served (FCFS)/FIFO Panjang antrian tak terbatas Jumlah pelanggan tak terbatas
Faktor Utilitas Waktu tunggu rata- rata dalam antrian Panjang Antrian Rata- rata Jumlah pelanggan dalam sistem rata-rata
)(2qW
)(22qL
qsLL
4. Model Antrian Populasi Terbatas Terjadi ketika sebuah populasi pelanggan potensial yang terbatas bagi sebuah fasilitas pelayanan, contoh : Perbaikan mesin pabrik yang memiliki 5 mesin Armada yg terdiri dari 10 pesawat terbang Rumah sakit yang punya 100 tempat tidur Berbeda dengan 3 model antrian sebelumnya, jika pada kondisi ekstrim, misalnya 5 mesin rusak, maka pelanggan akan sama dengan 0
Faktor pelayanan Jumlah antrian rata-rata Waktu tunggu rata-rata Jumlah pelayanan rata-rata Jumlah dalam pelayanan Rata-rata Jumlah Populasi W = X = 𝑇 𝑇+𝑈 L = 𝑁 (1 − 𝐹) 𝐿(𝑇+𝑈) 𝑁−𝐿 = 𝑇(1−𝐹) 𝑋𝐹 𝐽 = 𝑁𝐹(1 − 𝑋) 𝐻 = 𝐹𝑁𝑋 𝑁 = 𝐽 + 𝐿 + 𝐻
Tabel Antrian dengan N=5 D = probabilitas sebuah unit harus menunggu dalam antrian F = faktor efisiensi H = rata-rata jumlh unit yg sedang dilayani J = rata-rata jmlh unit tidak berada dlm antrian L = rata-rata jmlh unit yg menunggu untuk dilayani M = jumlah jalur pelayanan N = jumlah pelanggan potensial T = waktu pelayanan rata-rata U = waktu rata-rata antara unit yg membutuhkan pelayanan W = waktu rata-rata sebuah unit menunggu dalam antrian X = faktor pelayanan
Contoh Soal 3 Sebuah perusahaan penghancur sampah kaleng mampu menerima sampah yang dikirim menggunakan truk. Waktu tunggu truk saat ini adalah 15 menit sebelum dapat dikosongkan. Biaya pengemudi selama menunggu adalah $60 perjam. Jika beli mesin penghnacur baru dapat memuat 12 truk perjam. Truk datang dengan distribusi poisson rata- rata 8 kedatangan perjam. Jika beli alat baru depresiasi adalah $3 untuk setiap truk yang datang. Hitung kemungkinan membeli mesin baru.
Contoh Soal 4 Sebuah kantor dg 5 mesin laser perlu perbaikan setelah 20 jam kerja. Kerusakan mesin mengikuti distribusi poisson. Seorang teknisi dpt memperbaiki mesin selama rata-rata 2 jam mengikuti distribusi exponensial. Biaya kerusakan mesin $120 perjam. Teknisi dibayar $25 perjam. Apakah kantor tsb perlu teknisi kedua?
Jawab soal 3 : Biaya menunggu sekarang : ¼ jam X $60 perjam = $15/perjalanan Sistem baru (mesin baru dibeli) : 8 truk/jam 12 truk/jam pelayanan )(2qW Waktu tunggu dalam antrian = = 8 2(12)(12−8) = 1 12 jam Biaya Menunggu dengan mesin baru = 1 12 jam X $ 60 = $ 5 /perjalanan Penghematan dengan mesin baru = $10 - $3 = $7
T = 2 jam X = = = 0.091 U = 20 jam 𝑇 𝑇+𝑈 2 2+20 X = Untuk M=1 M=2 D = 0.350 D = 0.044 F=0.960 F=0.998 Jmlh mesin pencetak yg bekerja rata-rata = J-NF (1-X) J -(5)(0.990) (1-).091) M = 1 J-(5)(0.998)(1-).)91) M = 2 = 4,36 = 4,54 Jml Teknisi kejadian rusak 0,64 1 0.46 2 Rata-rata biaya mesin rusak rata-rata $76,80 $55,20 Penghematan biaya teknisi perjam $25 $50 Jawaban soal 4 Biaya Total $101,80 $105,20 $ 3,40 perjam
Soal Latihan 2 Sebuah distributor batu bata punya satu pekerja yang memuat batu bata kedalam truk. Rata-rata 24 truk datang tiap hari kerja (8 jam). Dengan pola kedatangan distribusi poisson, pekerja memuat batu bata keatas 4 truk tiap jam, waktu pelayanan distribusi exponential. Pengusaha ingin menambah satu petugas lagi untuk dapat memuat batu bata keatas 8 truk perjam. 1. Buat analisa karakteristik sistem jalur tunggal dan ganda 2. Upah sopir truk $10 perjam, upah petugas pemuat bata $6 perjam. Berapa penghematan jika punya 2 petugas pemuat batu bata
Soal Latihan 3 Pengusaha mempertimbangkan membuka lokasi pemuatan kedua. Setiap pekerja akan mampu memuat 4 truk perjam. Truk akan berdatangan 3 truk perjam. Apakah pertimbangan baru ini lebih baik dari pertimbangan pengusaha sebelumnya? (Penghematan yang diperoleh adalah $ 20,4/perjam
Soal Latihan 4 RS Jantung Haranda punya 5 tempat tidur yg selalu terisi pasien setelah operasi. Ada 2 perawat dalam 3 shift kerja selama 8 jam. Setiap 2 jam seorang pasien perlu perawatan (distribusi poisson). Perawat menghabiskan waktu selam 30 menit melayani pasien. Karena sangat pentingnya pertolongan perawat, hitung : 1. Berapa rata-rata pasien yg didatangi perawat 2. Berapa waktu yg dibutuhkan pasien menunggu perawat