Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung :... Nama NIM/Kls:... T.tangan:... Kuis ke-2 IF2153 Matematika Diskrit (3 SKS) - Induksi Matematika dan Teori Bilangan Bulat Dosen: Bapak Rinaldi Munir, Ibu Harlili Kamis, 5 Oktober 2006 Waktu: 45 menit 1. (Fajrin) Diketahui suatu barisan bilangan nx dengan 11x dan 22x dan 212nnnxxx untuk 3n . Dengan prinsip induksi kuat, buktikan bahwa 21nx untuk setiap bilangan asli n. (25) Jawab : Untuk n=1 dan n=2, pernyataan tersebut jelas benar. Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli 1, 2, ..., hingga k. Akan dibuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk 211kx 1kn . Berdasarkan hipotesis, dan 21kx . Dengan demikian, 1211211kkkxxx dan 2222211kkkxxx , sehingga 211kx benar. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika kuat, 21nx untuk setiap bilangan asli n. 2. (Zakka) Sejumlah n pasang suami-istri akan mengisi tempat duduk sebanyak 2n mulai dari ujung kiri sampai ujung kanan. Akan tetapi, semua suami-istri ini pencemburu, sehingga mereka hanya mau orang yang duduk di sebelah pasangannya (sebelah kiri maupun kanan) adalah kosong (jika berada di ujung), dirinya, atau orang yang berjenis kelamin sama dengan pasangannya (laki-laki dengan laki-laki, perempuan dengan perempuan). Buktikan dengan induksi matematika bahwa akan selalu ada suami-istri yang duduk bersebelahan. (25) Basis: untuk satu pasangan, maka pasti mereka duduk bersebelahan, benar. Rekurens: dimisalkan untuk n pasangan ada pasangan yang bersebelahan, akan dibuktikan untuk n+1 pasang. Bukti: pada n pasang sebut saja S dan I (S = laki-laki, I = perempuan) bersebelahan. Kemudian pasangan ke-n+1 adalah H dan W (H = laki-laki, W = perempuan). Andai keduanya duduk tidak diantara S dan I, maka S dan I tetap bersebelahan. Andai salah satu duduk di antara S dan I, sebut saja H, maka haruslah I juga karena H tidak boleh bersebelahan dengan W (karena mereka beda jenis kelamin dan bukan pasangan), sehingga H dan W duduk bersebelahan. Begitu juga jika W duduk antara S dan I, H harus duduk antara S dan I juga karena W dan S tidak boleh duduk bersebelahan, sehingga H dan W bersebelahan. Menurut PIM, terbukti bahwa akan selalu ada suami-istri yang duduk bersebelahan.
3. (Ilham) Buktikan jika, )(modmba dan )(modmdc , maka berlaku hubungan )(modmbdac . (25) Jawab : a = b + k1m c = d + k2m maka a x c = (b + k1m)(d + k2m) ac ac = bd + bk2m + dk1m + k1k2m2 = bd + Km dengan K = bk2 + dk1 + k1k2m )(modmbdac (terbukti) 4. (Mira) Nyatakan PBB(350, 128) sebagai kombinasi lanjar dari 350 dan 128. (25) Jawab : 350 = 2(128) + 94 128 = 1(94) + 34 94 = 2(34) + 26 34 = 1(26) + 8 26 = 3(8) + 2 8 = 4(2) + 0 Sisa pembagian terakhir sebelum 0 adalah 2, maka PBB(350, 128) = 2 Subtitusi : 2 = 26 - 3(8) = 26 - 3(34 - 1(26)) = 4(26) - 3(34) = 4(94 - 2(34)) - 3(34) = 4(94) - 11(34) = 4(94) - 11(128 - 1(94)) = 15(94) - 11(128) = 15(350 - 2(128)) - 11(128) = 15(350) - 41(128) Jadi, kombinasi lanjar dari 350 dan 128 adalah 2 = 15(350) - 41(128) 5. (Mira - Bonus) Tentukan karakter uji dari no ISBN 957-2309-87 (15) Jawab : Karakter uji = ( 91iiXi ) mod 11 = (1.9 + 2.5 + 3.7 + 4.2 + 5.3 + 6.0 + 7.9 + 8.8 + 9.7) mod 11 = (9 + 10 + 21 + 8 + 15 + 0 + 63 + 64 + 63) mod 11 = 253 mod 11 = 0
Jadi, karakter uji ISBN nya adalah 0