Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. Katalog Dalam Terbitan (KDT) Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika : Buku Guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014. xx, 544 hlm. : ilus. ; 25 cm. Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI ISBN 978-602-282-026-0 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-028-4 (jilid 2) 1. Matematika - Studi dan Pengajaran II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan I. Judul Kontributor Naskah Penelaah Penyelia Penerbitan : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Sudianto Manullang, dan Mangara Simanjorang. : Agung Lukito, Turmudi, dan Dadang Juandi. : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Cetakan Ke-1, 2014 Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt. ii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 510
Matematika Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Buku Guru Matematika Kelas XI untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif. Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan. Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Walaupun demikian, sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan untuk penyempurnaan. Oleh karena itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami mengucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045). Jakarta, Januari 2014 Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Mohammad Nuh iii
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi. Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?. Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas. Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran. Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) program linier, (2) matriks, (3) fungsi komposisi dan fungsi invers, (4) persamaan garis lurus, (5) barisan dan deret tak hingga, (6) trigonometri, (7) statistika, (8) aturan pencacahan, (9) lingkaran, (10) transformasi, (11) turunan, dan (12) integral yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat- sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung. Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah. Jakarta, Pebruari 2013 Tim Penulis iv
Matematika iv Surat untuk Guru ... v Daftar Isi ... x Deskripsi Singkat Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik ... Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ... xv Fase Konstruksi Matematika ... xviii xix ... Contoh Analisis Topik xxi Peta Konsep Matematika SMP Kelas XI ... Bab 1 Program Linear ... 1 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... B. Peta Konsep ... C. Materi Pembelajaran ... 1. Model Matematika ... 2.	Program	Linear	dengan	Metode	Grafik ... Uji Kompetensi 1.1 ... 3. Daerah Bersih dan Garis Selidik ... Uji Kompetensi 1.2 ... D. Penutup ... Bab 2 Matriks ... 1 2 3 3 13 17 21 41 45 47 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... B. Peta Konsep ... C. Materi Pembelajaran ... 1. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya ... 47 48 49 49 a. Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya ... 49 b. Sifat Komutatif Penjumlahan Matriks ... 59 c. Sifat Asosiatif Penjumlahan Matriks ... 65 68 70 72 a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks ... 79 83 86 a. Determinan Matriks... 86 b. Sifat-Sifat Determinan... 88 c. Invers Matriks... 95 2. Pengurangan Dua Matriks ... 3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks ... 4. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya ... Uji Kompetensi 2.1 ... 5. Determinan Dan Invers Matriks ... v
d. Metode Kofaktor... 99 e. Sifat-Sifat Invers Matriks... 102 Uji Kompetensi 2.2 ... 104 ... 108 D. Penutup Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ... 111 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 111 B. Peta konsep ... 112 C. Materi Pembelajaran ... 113 1. Operasi Aljabar Pada Fungsi ... 113 2. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi ... 118 3. Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi ... 128 Uji Kompetensi 3.1 ... 132 4. Fungsi Invers ... 134 5. Menentukan Rumus Fungsi Invers ... 140 Uji Kompetensi 3.2 ... 151 ... 153 D. Penutup Bab 4 Persamaan Garis Lurus ... 157 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 157 B. Peta Konsep ... 158 C. Materi Pembelajaran ... 159 1. Garis dan Gradien ... 159 Uji Kompetensi 4.1 ... 169 2. Hubungan Antar Garis ... 173 a. Garis Garis Sejajar ... 173 b. Garis-Garis Tegak Lurus ... 182 Uji Kompetensi 4.2 ... 186 ... 188 D. Penutup Bab 5 Barisan Dan Deret Tak Hingga ... 191 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 191 B. Peta Konsep ... 192 C. Materi Pembelajaran ... 193 1. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Tak Hingga... 193 2. Barisan Konstan, Naik, dan Turun ... 209 Uji Kompetensi 5.1 ... 214 ... 218 D. Penutup vi Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika Bab 6 Trigonometri ... 219 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 219 B. Peta Konsep ... 220 C. Materi Pembelajaran ... 221 1. Aturan Sinus ... 221 2. Aturan Cosinus ... 227 3. Luas Segitiga ... 232 Uji Kompetensi 6.1 ... 239 ... 242 D. Penutup Bab 7 Statistika ... 243 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 243 B. Peta Konsep ... 244 C. Materi Pembelajaran ... 245 1. Ukuran Pemusatan ... 245 2. Ukuran Letak Data ... 256 3. Ukuran Penyebaran Data ... 265 Uji Kompetensi 7 ... 271 D. Penutup... 275 Bab 8 Aturan Pencacahan ... 279 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 279 B. Peta Konsep ... 281 C. Materi Pembelajaran ... 282 1. Menemukan Konsep Pecahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ... 282 Uji Kompetensi 8.1 ... 317 2. Peluang ... 319 Uji Kompetensi 8.2 ... 327 ... 331 D. Penutup Bab 9 Lingkaran ... 333 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 333 B. Peta konsep ... 334 C. Materi Pembelajaran ... 335 1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran ... 335 2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ... 341 Uji Kompetensi 9.1 ... 347 vii
3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran ... 349 4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran ... 354 5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran ... 361 Uji Kompetensi 9.2 ... 371 ... 374 D. Penutup Bab 10 Transformasi ... 375 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 375 B. Peta Konsep ... 376 C. Materi Pembelajaran ... 377 1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ... 377 2.	Memahami	dan	Menemukan	Konsep	Refleksi	(Pencerminan) ... 385 Uji Kompetensi 10.1 ... 400 3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) ... 402 4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) ... 412 Uji Kompetensi 10.2 ... 420 ... 423 D. Penutup Bab 11 Turunan ... 425 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 425 B. Peta Konsep ... 427 C. Materi Pembelajaran ... 428 1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi ... 428 1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen ... 428 1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi ... 432 1.3 Turunan Fungsi Aljabar ... 436 Uji Kompetensi 11.1 ... 442 2. Aplikasi Turunan ... 444 2.1 Fungsi Naik dan Turun ... 444 2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun ... 445 2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimum dan Minimun ... 454 2.4 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan Percepatan ... 467 3. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan ... 470 Uji Kompetensi 11.2 ... 476 ... 479 D. Penutup viii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika Bab 12 Integral ... 483 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 483 B. Peta Konsep ... 484 C. Materi Pembelajaran ... 485 1. Menemukan Konsep Integral tak Tentu sebagai Kebalikan dari Turunan Fungsi ... 485 Uji Kompetensi 12.1 ... 491 2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu ... 493 Uji Kompetensi 12.2 ... 512 ... 516 D. Penutup Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ... 517 A. Petunjuk pelaksanaan penilaian ... 517 B. Petunjuk pelaksanaan remedial dan pengayaan ... 540 ... 543 Daftar Pustaka ix
A. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU GURU Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1) pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan. Isi buku guru ini, memuat petunjuk pembelajaran di setiap bab yang berdampingan dengan aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya. Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses. B. MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN SCIENTIFIC LEARNING. Model pembelejaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem- Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat x Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan, pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran. Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut. 1. Sintaks Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu: a. Apersepsi Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan, imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan. xi
b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama. Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah. c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill. xii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap- tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain. d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep. Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki. e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari. 2. Sistem Sosial Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa xiii
dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/ berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru. 3. Prinsip Reaksi Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilkamusi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa. Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya. 4. Sistem Pendukung Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilkamusi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori- teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan. xiv Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika 5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol. Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya. Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku- pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan berpikir siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin. xv
PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut 1. Kompetensi dasar (lihat Permendikbud Nomor 69 dan 70 Tahun 2013) dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah. 2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah). 3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa. 4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan. 5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut. 6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain: Produk Proses : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah. Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir kreatif). xvi Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika Keterampilan : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi. Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif, dan senang belajar matematika. Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut: 1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain: a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar. b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika sebagai hasil konstruksi sosial. c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan masalah. d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis, soft skill dan kebergunaan matematika. e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya. 2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain: a. Membentukan kelompok b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan). f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan LKS g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan xvii
h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan masalah dalam pemberian solusi 3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain: a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi f. Menguji pemahaman siswa 4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain: a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh konsep c. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang berkaitan dengan masalah d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan e. Memberikan scaffolding 5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta materi. xviii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matematika xix
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK xx
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 1 PROGRAM LINEAR A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Memiliki motivasi internal, ke mampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 3. Mendeskripsikan konsep sistem per-samaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dan menerapkannya dalam pemecahan masalah program linear. Melalui pembelajaran Program Linear, siswa mem- peroleh pengalaman belajar: •	mengamati secara cermat aturan susunan objek. berpikir mandiri mengajukan ide secara bebas dan terbuka. menemukan hubungan-hubungan di antara objek-objek. melatih berpikir kritis dan kreatif. •	bekerjasama menyelesaikan masalah. 4. Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan masalah program linear terkait masalah nyata dan menganalisis kebenaran langkah langkahnya. 5. Menganalisis bagaimana menilai validitas argumentasi logis yang digunakan dalam matematika yang sudah dipelajari terkait pemecahan masalah program linear. 6. Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear, dan menerapkan berbagai konsep dan aturan penyelesaian system pertidaksamaan linear dan menentukan nilai optimum dengan menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan Kendala/Keterbatasan (Constraint) Optimum	(Maksimum	atau minimum) Daerah	Layak,	Daerah	Jawab,	Daerah	Penyele- saian Garis	Selidik •	Titik	Optimum
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MateriPrasyarat Masalah Otentik Program Linear Masalah Program Linear Fungsi Objektif Daerah Penyelesaian Kendala Program Linear Garis Selidik Solusi Masalah Program Linear Nilai Maksimum Nilai Minimum 22
Matematika Memulai bab ini, guru diharapkan memperke- nalkan aplikasi program linear dalam kehidupan sehari-hari melalui con- yang mu- toh-contoh ngkin ditemui/dialami siswa. Misalnya, oleh bagaimana seorang calon perwira mengikuti program nutrisi untuk menjaga berat badan yang ideal. Ajak siswa untuk bernalar dalam masalah yang se- dang dikaji, terumata me- mikirkan batasan dalam masalah yang sedang di- kaji. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Model Matematika Pada subbab ini, kita akan mengajarkan bagaimana masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan program linear. Guru diperkenankan jika memulai suatu masalah program linear yang dapat dijumpai oleh siswa dalam lingkungan sekitarnya. Selanjutnya, guru membimbing siswa menyelesaikan/merumuskan masalah berikut ini. Masalah-1.1 Sekelompok transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1550 jam-orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam- orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 40.000 sedang dari 1 kuintal jagung Rp 30.000, dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung. tani Beri motivasi kepada siswa tentang kebermak- naan matematika dalam kehidupan. Dengan me- mahami Masalah 1.1, ajak siswa memikirkan dan merumuskan batasan- batasan dan tujuan dari masalah tersebut. 23
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Perumusan Masalah Mari kita mengkaji jika hasil padi dan jagung dinyatakan per kuintal. Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar. Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini! Tabel 1.1: Alokasi setiap sumber yang tersedia Padi (per kuin- tal) 0,02 Jagung (per kuintal) 0,05 Batas sumber Sumber Satuan Tanah 10 hektar Tenaga 10 8 1550 jam-orang Pupuk 5 3 460 kilogram Penda- pa tan 40 30 Ribuan Catatan: 1. Satuan jam-orang (man-hour) adalah banyak orang Guru memberikan pen- jelasan tambahan jika ter- dapat siswa yang belum terbiasa dengan satuan jam-orang. Selain itu juga guru per- lu memberikan penjela- san akan adanya asumsi pada suatu masalah. kali banyak jam bekerja. Kita anggap (asumsi) bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama. 2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah. 3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas. Alternatif Penyelesaian Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak (kuintal) padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok 24
Matematika tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber (luas tanah, tenaga dan pupuk). Misalkan : x banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani y banyak kuintal kelompok tani. jagung yang diproduksi oleh Untuk memperoleh pendapatan dipikirkan keterbatasan-keterbatasan berikut: a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan untuk y kuintal jagung tidak melebihi 10 ini dalam notasi matematika hektar. Pernyataan dinyatakan dengan: terbesar, harus Beri kesempatan kepada siswa untuk memaparkan hasil pemikiran mereka, dan minta siswa lain un- tuk memberi masukan. Motivasi untuk mengajukan ide-ide da- lam merumuskan model matematika seperti yang disajikan pada bagian a), b), c) dan d). Pastikan siswa paham akan penggunaan tanda " pertidaksamaan" dalam setiap rumusan kendala, melalui mengajukan per- tanyaan berikut: Mengapa harus menggu- nakan tanda "≤" bukan tanda "<". 0,02x + 0,05y ≤ 10 atau 2x + 5y ≤ 1000 b. Untuk ketersediaan waktu (jam-orang), tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1550 jam-orang. Berdasarkan ketersedian waktu untuk setiap kuintal padi dan jagung, dirumuskan: 10x + 8y ≤ 1550 siswa c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram. Padahal untuk menghasilkan 1 kuintal padi dan jagung masing-masing membutuhkan 5 kilogram dan 3 kilogram. Pernyataan ini dinyatakan dalam model matematika: 5x + 3y ≤ 460 d. Dengan semua keterbatasan (kendala) (a), (b), dan (c), kelompok tani ingin mengharapkan pendapatan Rp 40.000 per kuintal padi dan Rp 30.000 per kuintal jagung. Oleh karena itu, besar pendapatan kelompok per kuintal adalah 40.000x + 30.000y. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan/sasaran; sebut Z(x, y). Oleh karena itu, fungsi tujuan/sasaran masalah kelompok tani transmigran, dinyatakan sebagai berikut: Z(x, y) = 40.000x + 30.000y atau Z(x, y) = 40x + 30y (dalam ribuan rupiah). 25
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK tani Melihat uraian di atas, masalah kelompok transmigran dapat diubah bentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pemecahan sistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode grafik (dibahas pada subbab berikutnya). Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. Adapun sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sebagai berikut: + ≤ + + + → ≤ 1000 → ≤ 1550 ≤ → 460 x 2 10 x 5 x
, 0 02 10 5 0 05 , ≤ 8 ≤ 3 10 y 5 8 y 3 y aala lahan kend kendala waktu kendala pupuk x + x + x y 1550 460 y y atau + x 0 02 , + x 10 + x 5 ≤ + + + ≤ → 1000 ≤ → 1550 ≤ → 460
2 x 10 x 5 x 0 05 , ≤ y 8 ≤ y 3 y 1550 460 10 5 y 8 y 3 y kend aala lahan kendala waktu kendala pupuk atau (1) Guru menjelaskan kepada siswa, bahwa untuk me- nentukan solusi masalah di atas akan dibahas pada subbab berikut. Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu: ≥ ≥
x 0 kendala nonnegatif (2) y 0 tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah kelompok tani ini, kita memiliki tujuan, disebut fungsi tujuan/sasaran, yaitu: Untuk pendapatan, Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah). (3) Selain dua variabel, masalah program linear dalam kehidupan sehari-hari banyak juga yang memuat tiga variabel atau lebih. Seperti masalah yang ditemui seorang pengrajin perabot rumah tangga berikut ini. 26
Matematika Setelah miminta siswa memahami Masalah 1.2, beri motivasi kepada siswa akan kebermak- naan matematika, bahkan dapat membantu untuk memaksimumkan peng- hasilan seseorang. Berikan apresiasi kepada siswa yang mengajukan ide-ide cemerlang untuk menyelesaikan Masalah 1.2. Masalah-1.2 Pak Toni, seorang pengrajin perabot rumah tangga mendapat pesanan membuat rak buku yang kerangkanya terbuat dari besi siku lubang yang dipotong-potong kemudian dirangkai dengan sekrup. Untuk membuat rak itu, diperlukan potongan besi sepanjang 250 cm sebanyak 8 potong, sepanjang 70 cm sebanyak 12 potong, dan sepanjang 37,5 cm sebanyak 20 potong. Ternyata batangan besi siku lubang yang dijual di toko mempunyai panjang standar 3 m, sehingga Pak Toni harus berpikir, cukup berapa potong besi batangan yang akan dibeli dan bagaimana caranya mengatur pemotongannya supaya panjang total sisa pemotongan menjadi minimal (dengan demikian kerugian Pak Toni minimal). Dapatkah kamu membantu Pak Toni untuk memotong besi batangan tersebut? Alternatif Penyelesaian Pola Pemotongan I Dengan dua pola pemo- tongan yang ada pada buku siswa, guru memo- tivasi siswa untuk men- coba membentuk pola pemotangan besi yang lain hingga mereka dapat menemukan seperti yang disajikan pada alernatif penyelesaian. Panjang Besi Batangan : 3 meter 37,5 cm 12,5 cm = sisa 250 cm Pola Pemotongan II Panjang Besi Batangan : 3 meter 70 cm 70cm 20 cm = sisa 20cm = sisa 70 cm 70cm 70 cm 70cm 70 cm 70cm Gambar 1.1: Pola pemotongan besi Pola Pemotongan III Pola Pemotongan III Panjang Besi Batangan : 3 meter Panjang Besi Batangan : 3 meter 70 cm 15 cm = sisa 70 cm 70cm 15 cm = sisa 37,5 cm 15 = sisa 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 70 cm 70cm 70 cm 37,5cm 37,5cm 70 cm 70cm 70 cm Pola Pemotongan IV Pola Pemotongan IV Panjang Besi Batangan : 3 meter Panjang Besi Batangan : 3 meter 10 cm = sisa 10 cm = sisa 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 70 cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5 cm 37,5 cm 70 cm 70cm 37,5 cm 37,5 cm 70 cm 70cm 70 cm 10 = sisa 27
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pola Pemotongan V Pola Pemotongan V Panjang Besi Batangan : 3 meter Panjang Besi Batangan : 3 meter 5 cm = sisa 37,5 cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 5cm = sisa 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5cm 70 cm 70cm 5 cm = sisa 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 70 cm Pola Pemotongan VI Pola Pemotongan VI Panjang Besi Batangan : 3 meter Panjang Besi Batangan : 3 meter 0cm = sisa 0 cm = sisa 37,5 cm 0 cm = sisa 37,5 cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm 37,5 cm Secara lengkap, semua pola pemotongan besi batangan dengan panjang 3 m pada masalah di atas, dinyatakan dalam tabel berikut ini. Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan pola pemotongan besi bata- ngan dalam Tabel 1.2. Hal ini bertujuan menyepakati rumusan sistem kendala yang dibentuk. Pastikan siswa mampu memaknai setiap angka yang tertera pada Tabel 1.2 melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan, misalnya: berapa banyak potongan besi berukuran 37,5 cm yang diperoleh dari semua pola pemoto- ngan? Tabel 1.2: Pola pemotongan besi batangan Pola pemotongan ke- 300 1 2 3 4 5 6 dipesan 250 1 0 0 0 0 0 8 Panjang Potongan Kawat 70 0 4 3 2 1 0 12 37,5 1 0 2 4 6 8 20 sisa 12,5 20 15 10 5 0 Kolom 1, mengatakan besi sepanjang 300 cm dapat dipotong dengan ukuran 250 cm sebanyak 1 potong dan 1 potong untuk ukuran 37,5 cm serta menghasilkan sisa 12,5 cm. Setiap sisa harus kurang dari 37,5 cm. Kolom 2, mengatakan pola pemotongan yang kedua dengan menghasilkan sisa 20 cm, demikian seterusnya arti angka- angka yang tersaji dalam tabel di atas. Dengan demikian terdapat 6 peubah yang muncul, yaitu x1, x2, x3, x4, x5, dan xi dengan x6 : banyak batang besi yang dipotong menurut kombinasi pola ke-i. Oleh karena itu, kita temukan rumusan berikut ini: x 1 ≥ ≥ ≥ 8 12 20 + 3 x 3 + 4 x 4 + xx 2 4 + 6 x 5 + x 5 + 8 (4) x 4 2 2 x 3 + x 1 x 6 ≥ 0 untuk setiap x1, x2, x3, x4, x5,dan x6 28
Matematika dengan meminimumkan: 12, 5x1 + 20x2 + 15x3 + 10x4 + 5x5 + 0x6 Beri penjelasan kepada siswa bahwa pada sub bab ini, kompetensi yang diba- ngun adalah bagaimana merumuskan model suatu masalah-masalah prog- ram linear belum untuk menyelesaikan. Untuk menyelesaikan matematika model Masalah 1.2 menggu- nakan metode simpleks. Oleh karena itu, motivasi siswa bahwa batasan ma- salah kajian dalam bab ini hanya untuk 2 variabel saja. (5) Persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi yang tergantung pada nilai x1, x2, x3, x4, x5, dan x6; sebut fungsi Z(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = 12, 5x1 + 20x2 + 15x3 + 10x4 + 5x5 + 0x6 atau Z(x1, x2, x3, x4, x5, x6 ) = 12, 5x1 + 20x2 + 15x3 + 10x4 + 5x5 + 5x5 merupakan fungsi sisa pemotongan dari semua pola pemotongan besi. Fungsi Z merupakan tujuan pola pemotongan besi batangan yang dibutuhkan Pak Toni. Sedangkan apa yang dinyatakan pada bagian (4) merupakan kendala atau keterbatasan untuk mencapai tujuan tersebut. Cermati tanda yang digunakan pada bagian (4) di atas, merupakan salah satu karakteristik yang digunakan pada kajian materi program linear. Melalui memahami dan menalar masalah di sam- ping, motivasi siswa bah- wa kebermaknaan materi program linear ini sangat banyak dalam kehidupan sehari-hari, salah di an- trans- taranya masalah portasi yang dihadapi pe- rusahaan kertas. Masalah-1.3 Suatu perusahaan kertas memiliki dua pusat penggilingan yang harus memasok persediaan tiga pusat percetakan kertas koran secara mingguan. Setiap minggu, Penggilingan I dan II, berturut-turut menghasilkan 350 ton dan 550 ton bubur kertas koran. Sebagai bahan baku, Percetakan I, II, dan III berturut- turut memerlukan 275 ton/minggu, 325 ton/minggu, 300 ton/minggu bubur kertas. Ongkos pengiriman (dalam ratus ribu rupiah/ton) adalah sebagai berikut: Tabel 1.3: Rincian biaya pengiriman Percetakan I Percetakan II Percetakan III Penggilingan I 17 22 15 Penggilingan II 18 16 12 Masalah pada perusahaan tersebut adalah menentukan kapasitas bubur kertas koran setiap pengiriman (ton) ke setiap percetakan agar biaya pengiriman minimal. 29
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian Langkah awal kita untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan merumuskan model matematika masalah pengiriman bubur kertas koran perusahaan tersebut. Coba perhatikan gambar berikut ini. Pastikan siswa memaha- mi rute pengiriman ba- han perusahaan tersebut dengan mengajukan per- tanyaan-pertanyaan, mi- salnya. Sebutkan rute dengan biaya terkecil. Rp170.000,00 Percetakan I Penggilingan I Rp180.000,00 Rp220.000,00 Percetakan II Rp160.000,00 Rp150.000,00 Penggilingan II Rp120.000,00 Percetakan III Gambar 1.2: Diagram rute pengiriman serta biaya pengiriman a) Penggilingan I mampu menghasilkan 350 ton/minggu merupakan pasokan ke Percetakan I, II, dan III. Misalkan xij : kapasitas pengiriman (ton) setiap minggu dari Penggilingan (i = 1,2) ke Percetakan (j = 1,2,3). Jadi dapat dituliskan: x11 + x12 + x13 = 350 Ajukan pertanyaan kepa- da siswa untuk memasti- kan pemahaman mereka tentang penggunaan tan- da " = " dalam model matematika masalah pe- rusahaan kertas. b) Penggilingan II mampu menghasilkan 550 ton/minggu, merupakan pasokan ke Percetakan I, II, dan III. Analog dengan bagian a), kondisi b) dapat kita tuliskan sebagai berikut: x11 + x12 + x13 = 550 c) Jumlah bahan bubur kertas koran yang diperlukan Percetakan I sebesar 275 ton/minggu harus dipasok oleh Penggilingan I dan II. Kondisi ini dituliskan: x11 + x12 + x13 = 250 d) Jumlah bahan bubur kertas koran yang diperlukan Percetakan II sebesar 325 ton/minggu harus dipasok oleh Penggilingan I dan II. Kondisi ini dituliskan: x11 + x12 + x13 = 325 30
Matematika e) Jumlah bahan bubur kertas koran yang diperlukan Percetakan III sebesar 300 ton/minggu harus dipasok oleh Penggilingan I dan II. Kondisi ini dituliskan: x11 + x12 + x13 = 300 Demikian selanjutnya, sehingga kita dapat menyimpulkan secara lengkap sebagai berikut: Model matematika pasokan bubur kertas koran dari dua Penggilingan ke Percetakan I, II, dan III. + + x x + = x x 12 13 12 13 + + x x + = x x 22 23 22 23 + = x x = + 275 x x 11 21 11 21 + = x x = + x x 325 12 22 12 22 + = x x = + x x 300 13 23 13 23 = 350 = 550 Model matematika Model matematika suplai b Model matematika suplai b pasokan bubur kertas x + x 11 11 x + x 21 21 350 550 Model matematika Model ma permintaan bubur kertas uubur kertas (6) uubur kertas 275 325 300 (7) ttematika permintaan bubur Model ma ttematika permintaan bubur ij ≥ x = = , 0 i , 1 2 dan j , 1 2 3 , Dengan model pengiriman bubur kertas dari dua pusat penggilingan ketiga pusat percetakan menimbulkan biaya pengiriman. Dengan memperhatikan Gambar 1.2, tentu kamu dapat memahami bahwa, setiap minggu, biaya pengiriman setiap ton bubur kertas dari Penggilingan I ke Percetakan II adalah Rp220.000,00, kondisi ini dituliskan: 220.000x12. Demikian hal yang sama 170.000 x11 memiliki arti bahwa, setiap minggu, biaya pengiriman setiap ton bubur kertas dari Penggilingan I ke Percetakan II adalah Rp 170.000,00. Secara kumulatif total biaya pengiriman perusahaan tersebut, dituliskan sebagai berikut: Z(x11, x12, x13, x21, x22, x23) 17x11 + 22x12 + 15x13 + 18x21 + 16x22 + 12x23 (dalam puluh ribu rupiah). 31
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK tentu pihak perusahaan ingin biaya tersebut minimal. Oleh karena itu, untuk kajian program linear, fungsi Z merupakan fungsi tujuan/sasaran, dituliskan: Meminimumkan: Fungsi Z merupakan fungsi biaya, Z(x11, x12, x13, x21, x22, x23) 17x11 + 22x12 + 15x13 + 18x21 + 16x22 + 12x23 (dalam puluh ribu rupiah). Fungsi biaya total Z memiliki nilai paling minimal jika ditemukan nilai xij yang memenuhi semua kondisi batasan pada model permintaan dan suplai bubur bahan kertas koran. Dari Masalah 1.1, 1.2, dan 1.3, kita belum menyelesaikan masalah secara lengkap. Khususnya untuk menentukan semua nilai variabel yang memenuhi setiap kondisi. Hal ini disebabkan, untuk sebagian masalah diperlukan pengetahuan lebih lanjut agar mampu menyelesaikannya; misalnya pada Masalah 1.1 dan 1.3. Sedangkan untuk Masalah 1.2 akan kita kaji pada subbab berikutnya. Dari kajian Masalah 1.1; 1.2; dan 1.3, ajak siswa mencermati bentuk-ben- tuk model matematika yang sudah dibentuk. Selain itu, dari Masalah 1.1 dan 1.2, khususnya pada rumusan yang terbentuk pada persamaan (1), (2), (3), (4), (5), (6), dan (7), serta fungsi tujuan yang terbentuk dapat kita simpulkan beberapa ciri model matematika dalam program linear, yaitu: 1) Adanya fungsi tujuan/sasaran dari setiap masalah yang dikaji. Misalnya, ▪ Maksimumkan: Z (x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah). ▪ Minimumkan: Z(x11, x12, x13, x21, x22, x23) 12,5x1 + 20x2 + 15x3 + 10x4 + 5x5 ▪ Minimumkan: Z(x11, x12, x13, x21, x22, x23) 17x11 + 22x12 + 15x13 + 18x21 + 16x22 + 22x23 (dalam puluh ribu rupiah). 32
Matematika 2) Kendala atau keterbatasan utama masalah dinyatakan sebagai suatu sistem pertidaksamaan linear atau sistem persamaan linear. 3) Terdapat juga kendala nonnegatif sebagai syarat dasar nilai setiap variabel yang akan ditentukan. Dari tiga ciri di atas, dapat kita simpulkan masalah Program Linear dirumuskan sebagai berikut: Definisi 1.1 Cermati setiap tanda per- tidaksamaan atau per- samaan yang digunakan dalam model matematika sehingga disimpulkan da- lam Definisi 1.1. Masalah program linear adalah menentukan nilai x1, x2, ..., xn yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi sasaran/tujuan, ) = ( + z x x C x C x x 2 2 2 1 n dengan kendala/keterbatasan: + + + ... , ,..., C x n n 1 1 ( ( ) ) + + ... + + ... ≤ = ≥ , , ≤ = ≥ , , a x 11 1 a x 21 1 a x 12 2 a x 22 2 a x 1 n n a x 2 n n b 1 bb 2 + diperbolehkan Guru menyajikan atau me- ngajak siswa untuk mene- mukan masalah-masalah lain, terutama masalah yang berbasis kedaera- han yang terkait dengan masalah program linear dan meminta siswa men- coba merumuskan model matematika untuk setiap masalah. + + ... ( ≥ ) + ≤ = ≥ , , a x m 1 1 a x m 2 2 ≥ , 20 x a x mn n x n b m ≥ ,.., 0 . 0 x 1 Namun, dalam kajian bab ini kita akan mengkaji masalah program linear hanya untuk dua variabel. Untuk tiga variabel atau lebih dibutuhkan pengetahuan lanjutan tentang teknik menyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear. Pembahasan kita selanjutnya, mengkaji grafik setiap kendala yang terbentuk dari masalah program linear. Beri penjelasan kepada siswa bahwa ada bebe- rapa cara untuk menyele- saikan sistem pertidaksa- man linear. Salah satu di- antaranya adalah dengan metode grafik. 2. Program Linear dengan Metode Grafik linear dua variabel dapat diselesaikan melalui grafik sistem kendala dari masalah tersebut. Oleh karena itu, langkah awal dalam menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggambarkan sistem pertidaksamaan yang terbentuk Kajian masalah program 33
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK pada kendala/keterbatasan masalah program linear. Berikut ini diberikan 1 pertidaksamaan dengan kombinasi syarat variabelnya. a) x + y ≥ 5 b) x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0. c) x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≤ 0. d) x + y ≥ 5 dengan x ≤ 0 dan y ≥ 0. e) x + y ≥ 5 dengan x ≤ 0 dan y ≤ 0. Oleh karena itu, moti- vasi siswa untuk mampu menyelesaikan masalah program linear secara tuntas. a). x + y ≥ 5 Ø Dengan pengetahuan tentang cara menggambarkan daerah penyelesaian suatu pertidaksamaan linear pada Kelas X, coba diskusikan bersama temanmu, apa perbedaan kelima pertidaksamaan di atas. 10 y Dengan mencermati grafik pada Gambar 1.3, beri jesempatan kepada siswa untuk mampu meng- gambar grafik dengan bagian pertidaksamaan c), d) dan e), seperti yang disajikan pada gambar di samping. Beri penjelasan kepada siswa, bagaimana meng- gambarkan setiap grafik secara manual dan meng- gunakan softwore. Banyak software yang dapat di- gunakan untuk meng- gambarkan grafik sistem atau pertidaksamaan persamaan linear, seperti Autograph dan Lindow. 5 x 10 10 5 5 5 10 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 b). x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0 34
d). x + y ≥ 5 ; ≤ 0, y ≥ 0 Matematika 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 e). x + y ≥ 5; ≤ 0, y ≥ 0 Gambar 1.3: Grafik a). x + y ≥ 5 dan b). x + y ≥ 5 dengan x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0 Guru dan siswa perlu menyepekati tentang arah arsiran dalam menentu- kan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan. Dalam	buku	ini,	untuk	semua	grafik	persamaan	linear	atau	sistem	pertidaksamaan	linear,	Daerah Bersih	merupakan	daerah	penyelesaian	pertidaksamaan	atau	sistem	pertidaksamaan	yang	dikaji. 35
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pada gambar a), dapat kita pahami bahwa semua titik yang terletak pada daerah yang tidak diarsir (bersih) memenuhi pertidaksamaan x + y ≥ 5 Hal ini berbeda dengan syarat nilai x dan y pada Gambar 2.3 b). Hanya pada saat x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≥ 5. Contoh 1.1 Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini. a) b) − ≤ y + ≥ y ≥ x 0 ≤ ≤ y + ≤ y x + − y x 2 3 ≤ ≤ x 3
2 5 6 5 x x 2 ≥ 6 4 2 4 Guru mengkoordinasikan siswa dalam menyusun langkah-langkah meng- gambarkan grafik sistem pertidaksamaan linear. Ajak siswa berdiskusi da- lam merumuskan lang- kah-langkah tersebut. Selanjutnya, untuk setiap grafik suatu sistem perti- daksamaan linear pasti- kan siswa memahami dan terse- membaca grafik but dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan. Misalnya, tentukan titik potong kedua garis. Ajak siswa memahami hubungan daerah bersih pada grafik dengan sistem yang pertidaksamaan diketahui. Misalnya, bah- wa semua titik pada dae- bersih memenuhi rah Alternatif Penyelesaian Ø	Guru mengkoordinir siswa untuk mendiskusikan langkah-langkah menggambarkan grafik suatu sistem pertidaksamaan linear. 10 y 5 x 10 5 10 5 5 10 Gambar 1.5: Daerah penyelesaian pertidaksamaan 36
Matematika untuk setiap pertidak- samaan linear yang ter- sistem dapat dalam pertidaksamaan linear. Sehingga mampu me- bahwa nyimpulkan mungkin suatu sistem per- tidaksamaan linear tidak memiliki daerah bersih. 10 y 5 x 10 5 10 5 5 10 Gambar 1.6: Suatu sistem pertidaksamaan linear yang tidak daerah penyelesaian Uji Kompetensi 1.1 Beri motivasi kepada siswa untuk mengasah ke- pengetahuan terampilannya melalui mengejakan soal dan ma- salah yang disajikan pada Uji Kompetensi 1.1. Guru harus memahami kondisi siswa dalam penu- gasan soal-soal tersebut, individu tugas apakah atau tugas kelompok. 1. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp 1.500.000,00. Modelkan permasalahan di atas! dan 2. Klinik "Dewi" akan membuka cabang baru di daerah padat penduduk. Untuk itu, pemilik klinik merancang sebuah jadwal jaga perawat yang akan bertugas, seperti berikut ini. 24.00 - 04.00 04.00 - 08.00 08.00 - 12.00 12.00 - 16.00 16.00 - 20.00 20.00 - 24.00 Ketersedian 1 2 3 4 5 6 Banyak Perawat yang dibu- tuhkan 6 8 11 9 18 11 37
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rumuskan masalah penjadwalan perawat tersebut dalam model matematika. 3. Tentukanlah pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian di bawah ini. 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 (a) 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 (b) x 2 4. Gambarkanlah daerah penyelesaian setiap sistem + ≥ y ≥ 24 a ) x pertidaksamaan di bawah ini. 5 ≤ − 5 6 ≤ ≤ 6 y 2 y 1 x + ≥ y ≥ x 2 24 b ) a ) x 5 ≤ − 5 6 ≤ ≤ y 6 y 2 1 x b ) 38
Matematika 5. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c. Untuk menentukan daerah penyelesaian (bersih) pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan. 6. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini. Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan memenuhi setiap daerah yang memenuhi. 6. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini. Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan memenuhi setiap daerah yang memenuhi. 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 (i) 10 y 5 x 10 10 5 5 5 10 (ii) 39
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 7. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Modelkan masalah di atas. 8. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bergaris. Model II memerlukan 2 meter kain polos dan 0.5 meter kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp10.000,00. (UAN 2004 No. 22) Nyatakan masalah di atas dalam model matematika. 9. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tankai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing- masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp200.000,00, dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian. (UN 2006 No. 21) Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. 10. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini. Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp 18.000,00 tiap kilogram dan pisang Rp8.000,00, tiap kilogram. Beliau hanya memiliki 40
Matematika modal Rp2.000.000,00, sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang. Rumuskanlah model matematika masalah di atas. 3. Daerah Bersih dan Garis Selidik Beri penjelasan kepada siswa, pada sub bab ini, kita akan menyelesaikan pertidaksamaan sistem dari masalah linear program linear secara tuntas. siswa sudah Pastikan langkah-lang- menguasi kah menggambarkan grafik suatu pertidaksa- maan linear. Penggunaan istilah daerah bersih merupakan daerah yang memenuhi suatu pertidaksamaan. Pada referensi lain, daerah bersih disebut juga daerah suci. Untuk konsistensi pada buku ini, kita menggunakan istilah daerah bersih, artinya semua titik (x, y) yang memenuhi suatu pertidaksamaan linear atau suatu sistem pertidaksamaan linear. Sekarang, yang menjadi pokok permasalahan pada bagian subbab ini adalah menentukan daerah bersih suatu pertidaksamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear. Mari kita mulai daerah bersih yang terdapat pada Gambar 1.3 b). Untuk setiap nilai x dan y yang memenuhi x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0, disajikan pada tabel berikut ini. Tabel 1.4: Uji Titik dengan Nilai pertidaksamaan dan Arah Daerah Bersih Ajak siswa berdiskusi memahami Tabel 1.4 dan sandingkan dengan grafik yang pertidaksamaan disajikan pada Gambar 1.3 b). (x, y) Nilai x + y ≥ 5 Arah Daerah Bersih Sebelah kanan (atas) garis x + y = 5 (5, 4) Benar (9 > 5) Sebelah kanan (atas) garis x + y = 5 (6, 1) Benar (7 > 5) Sebelah kiri (bawah) garis x + y = 5 (2, 1) Salah (3 > 5) Sebelah kiri (bawah) garis x + y = 5 (0, 0) Salah (0 > 5) Sekarang, kita uji pemahaman kita menggambarkan daerah bersih yang dihasilkan masalah berikut ini. 41
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Melalui Masalah 1.4, pas- tikan siswa sudah memi- liki dan pengetahuan keterampilan dalam me- rumuskan model mate- suatu masalah matika program linear. Masalah-1.4 Suatu pabrik jenis kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 1.5. Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata-rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp500,00 dan Fluon Rp600,00 per kapsul, bagaimana rencana (program) pembelian seorang pasien flu (artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli) supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total. farmasi menghasilkan dua Table 1.5: Kandungan Unsur (dalam grain) Unsur Banyak grain perkapsul Fluin Fluon Aspirin 2 1 Bikorbonat 5 8 Kodein 1 6 Alternatif Penyelesaian Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini. Tabel 1.6: Tabel persiapan Batas Minimum Unsur Fluin Fluon Aspirin 2 1 12 Bikarbonat 5 6 74 Kodein 1 6 24 Harga 500 600 42
Matematika Dengan tabel tersebut, dapat kita misalkan: x : banyak kapsul Fluin yang dibeli. y : banyak kapsul Fluon yang dibeli. Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linear masalah di atas. Mencari x, y yang memenuhi: + ≥ x y 2 ≥ + y x 5 8 ≥ + y x 6 ≥ x ≥ y 12 74 24 (a) 0 0 dan meminimumkan Z = 500x + 600y. (b) software	Autograph	merupakan salah satu software yang digunakan unttuk menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Autograph	juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai grafik fungsi, misalnya fungsi kuadrat, dan fungsi logaritma. Ajukan pertanyaan-per- siswa tanyaan kepada untuk menyelidiki penge- tahuan dan keterampilan mereka dalam menggam- barkan grafik suatu sistem pertidaksaman linear. Misalnya, mengapa bukan daerah II yang merupa- kan irisan daerah bersih pertidaksamaan? Keterampilan siswa da- lam menggambarkan grafik serta memahami- nya, merupakan salah satu kompetensi yang ha- rus dibangun pada sub bab ini. y=Banyak Fluon yang dibeli 15 V 10 III IV 5 x=Banyak Fluin yang dibeli 10 15 5 10 5 II y+ 8 ≥ x 5 ≥6 24 74 5 y+ x y+ ≥ 2 x 12 10 Gambar 1.7: Daerah V adalah irisan daerah bersih sistem pertidaksamaan (a). Daerah no. V merupakan irisan daerah bersih keenam pertidaksamaan, juga disebut daerah layak, atau daerah penyelesaian atau daerah optimum. 43
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dalam buku ini kita sepakati untuk menggunakan istilah daerah penyelesaian. Jika keenam pertidaksamaan di atas, dinyatakan sebagai suatu sistem pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian dapat kita definisikan sebagai berikut: Ajak siswa merumuskan definisi daerah penyele- saian suatu sistem per- tidaksamaan linear. Pastikan siswa benar-be- nar memahami dae- rah penyelesaian suatu masalah program linear melalui menga- pertanyaan-per- jukan misalnya, tanyaan, sistem dari manakah pertidaksamaan linear di bawah ini yang tidak memiliki daerah penyele- saian: − x 3 + x Definisi 1.2 (Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum) Daerah Penyelesaian Masalah Program Linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear. Daerah penyelesaian untuk masalah ini merupakan suatu daerah yang tak terbatas (unbounded). Tentu terdapat juga daerah penyelesaian yang terbatas (bounded). Guru juga tentunya harus mampu menggambarkan dan menjelaskan grafik setiap sistem pertidaksamaan di samping. Grafik setiap sistem tersebut sebagai berikut: a) ≤ ≥ y 2 2 y ≤ y 3 ≤ ≤ x 2 − 3 2 y x + y x 2 3 12 9 a) 5 ≤ 8 ≤ 12 b) ≤ x + 2 − 4 2 ≥ y ≥ y c) 3 x x 12 8 Berikan kesempatan ke- pada siswa untuk menco- ba dan menyajikan hasil kerja siswa di depan ke- las. 44
Matematika b) c) Selanjutnya, akan ditentukan nilai x dan y yang terdapat di daerah penyelesaian yang menjadikan nilai fungsi Z = 500x + 600y minimum. Jadi, kita akan fokus pada nilai fungsi Z di daerah penyelesaian. Perhatikan nilai-nilai fungsi Z pada tabel berikut ini. 45
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Guru mengajak siswa mengasosiasi hubungan titik koordinat dengan daerah bersih yang ter- dapat pada grafik! Tabel 1.7: Tabel nilai Z = 500x + 600y Nilai Z = 500x + 600y (x, y) Z - 500.(0) + 600.(12) = 7200 Z - 500.(2) + 600.(8) = 7200 Z - 500.(4) + 600.(7) = 7200 Z - 500.(5) + 600.(10) = 7200 (0, 12) (2, 8) (4, 7) (5, 10) Guru mengajak siswa untuk mencermati kem- bali Masalah 1.4 hingga ditemukan penyelesaian- nya dengan menggunakan prinsip garis selidik. Gambar 1.8: Nilai fungsi Z = 500x + 600y atau garis selidik Berdasarkan gambar dan nilai fungsi Z = 500x + 600y pada tabel di atas, jelas bahwa makin ke kanan (atas) garis K = 500x + 600y nilai k makin besar, sebaliknya jika garis K = 500x + 600y digeser ke kiri (bawah) maka nilai k makin kecil. Jadi, untuk menentukan nilai variabel x dan y yang meminimumkan fungsi Z = 500x + 600y, dapat diperoleh dengan menggeser (ke kiri atau ke kanan, ke atas atau ke bawah) grafik persamaan garis K = 500x + 600y dengan k bilangan bulat. Perkaya pengetahuan siswa melalui kemam- puan menginterpretasikan setiap penyelesaian suatu masalah program linear. 46
Matematika Dengan nilai fungsi pada tabel di atas, Guru mem- bimbing untuk mengetahui perubahan nilai garis, hingga siswa menyimpulkan mampu cara menentukan nilai fungsi optimum tujuan dengan teliti. Dengan nilai fungsi pada tabel di atas, Guru membimbing siswa untuk mengetahui perubahan nilai garis , siswa mampu hingga menyimpulkan cara me- nentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan teli- ti. Ajak siswa mampu me- nemukan hubungan eksis- tensi nilai fungsi sasaran dengan daerah penyele- saian. Ingatkan siswa, bahwa belum tentu setiap sistem pertidaksamaan linear yang memiliki daerah penyelesaian juga memili- ki nilai fungsi tujuan. Oleh karena itu, nilai dan membuat fungsi Z = 500x + 600y bernilai minimum, yaitu 4800. Benar, bahwa untuk menentukan nilai minimum fungsi sasaran Z = 500x + 600y dapat juga melalui Uji Titik-Titik Sudut daerah penyelesaian. Hal ini dapat dicermati pada tabel berikut. siswa Tabel 1.8: Nilai Z = 500x + 600y Z = 500x + 600y A (0,12) B (2,8) C (6,3) Z = 500.(0) + 600.(12) = 7.200 Z = 500.(2) + 600.(8) = 5.800 Z = 500.(6) + 600.(3) = 4.800 Dari ke tiga titik sudut yang terdapat di daerah penyelesaian sistem, benar bahwa nilai minimum fungsi sasaran Z = 500x + 600y adalah Rp 4.800, yaitu pada titik C (6,3). Namun, jika seandainya fungsi sasaran diubah menjadi, Memaksimumkan: Z = 500x + 600y maka menentukan nilai maksimum fungsi tersebut dengan menggunakan Uji Titik Sudut menghasilkan kesimpulan yang salah, yaitu nilai Z maksimum adalah 7.200; di titik C(6, 3). Hal ini kontradiksi dengan bahwa masih banyak lagi titik-titik lain yang mengakibatkan nilai Z makin lebih dari 7.200. Jadi, supaya uang pembelian total menjadi minimum sebaiknya dibeli 6 kapsul Fluin dan 3 kapsul Fluon dan uang pembeliannya adalah Rp 4800. Untuk memperkaya pengetahuan dan ketrampilan kamu, mari kita selesaikan masalah kelompok tani transmigran yang disajikan pada awal bab ini. Dengan pengalaman siswa menggambarkan grafik suatu sistem perti- daksamaan linear, bim- bing siswa untuk mencoba grafik menggambarkan setiap pertidaksamaan pada Contoh 1.2. Contoh 1.2 Telah diketahui model matematika masalah tersebut, yaitu 47
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK + x 0 02 , + x 10 + x 5 ≤ + y 5 + y 88 + y 3 ≤ → 1000 → ≤ 1550 ≤ → 460
x 2 x 10 x 5 0 05 , ≤ y 8 ≤ y 3 y 1550 460 10 kendala lahan kendala waktu lla pupuk kenda atau ≥ ≥
x y 0 0 (1) Fungi Tujuan Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah). (2) Kita akan menentukan banyak hektar tanah yang seharusnya ditanami pada dan jagung agar pendapatan kelompok tani tersebut maksimum. Ajukan pertanyaan-per- siswa tanyaan kepada untuk memastikan ket- rampilan mereka meng- gambarkan daerah penyelesaian sistem (1). Misalnya apakah ada yang dengan grafik daerah penyele- saian sistem (1)? Apakah syarat positif un- tuk setiap variabel sudah dipenuhi? penyelesaian Daerah sistem tersebut berbentuk segitiga siku-siku yang berada pada kuadran I. Guru mengajak siswa un- tuk mencoba menyelidi- ki arah persegeran nilai Alternatif Penyelesaian Langkah pertama, kita menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi sistem (1). kurang Mari cermati gambar di bawah ini. 600 y 400 200 x 600 200 400 600 400 200 200 400 grafik garis selidik K = 600 Gambar 1.5: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (1). 40x + 30y pada dae- rah penyelesian hingga siswa berhasi menemukan titik yang mengakibatkan garis tersebut bernilai maksimum. Selanjutnya kita akan memilih dua titik yang terdapat di daerah penyelesaian untuk membantu menentukan arah pergeseran garis selidik K = 40x + 30y (dalam ribuan rupiah). 48
Matematika (20,20), sehingga diperoleh persamaan garis 40x + 30y = 1400. Sedangkan untuk titik (50, 100), diperoleh persamaan garis 40x + 30y = 5000. Misal, dipilih titik Garis selidik K = 40x + 30y bernilai maksimum pada saat 1 3 harga padi dan jagung pada saat itu, kelompok tani memilih menaman jagung. Karena dengan menanam palawija tersebut, mereka dapat mengahasilkan jagung sebanyak kuintal dan memiliki pendapatan sebesar Rp 4.600.000. Dari pembahasan Masalah 1.4 dan Masalah 1.1, mari kita tuliskan dan cermati bersama kesimpulan berikut ini, yang kita nyatakan dalam definisi. . Artinya,bahwa dengan
, 0 153 garis melalui titik Berdasarkan pembaha- san Masalah 1.1 sam- pai Masalah 1.4, bersa- ma siswa merumuskan Definisi 1.3. Definisi 1.3 Fungsi sasaran/tujuan atau fungsi objek merupakan suatu fungsi yang memenuhi semua keterbatasan pada suatu masalah program linear. Fungsi sasaran/tujuan merupakan fungsi linear yang terkait dengan setiap nilai variabel dalam semua kendala program linear. rumusan Mari kita cermati kembali fungsi sasaran untuk setiap Masalah 1.1 sampai Masalah 1.4. i Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah). ii Minimumkan: Z(x1, x2, x3, x4, x5, x6) 12,5x1 + 20x2 + 15x3 + 10x4 + 5x3. iii Minimumkan: Z(x11, x12, x13, x21, x22, x23) 17x11 + 22x12 + 15x13 + 18x21 + 16x22 + 12x23. (dalam puluh ribu rupiah). iv Minimumkan: Z(x, y) = 500x + 600y 49
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Fungsi sasaran bagian (i) dan (iv) hanya memuat dua variabel, yaitu variabel x dan y, sedangkan pada bagian (ii) dan (iii) memuat enam variabel. Bahkan, terdapat masalah yang memuat n banyak variabel. Beri penjelasan kepa- da siswa batasan kajian fungsi sasaran meskipun ) = ( Z x x x 2 1 n + + C x ... C x . 2 2 n n + , ,..., C x 1 1 Oleh karena itu, secara umum dapat ditulis bentuk umum fungsi sasaran dari suatu masalah program linear, yaitu: Banyak variabel yang ter- dapat pada fungsi tujuan sama dengan banyak vari- abel yang terdapat pada sistem pertidaksamaan program linear. Berikan penjelasan ke- pada siswa, kajian untuk n > 2, dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Diharapkan guru mem- berikan deskripsi tentang metode simpleks Maksimumkan (Minimumkan) Z(x1, x2, ...,xn) = C1x1 + C2x2 + ... + Cnxn Nilai maksimum (atau minimum) fungsi Z adalah nilai terbesar (atau terkecil) dari fungsi objektif yang merupakan solusi optimum masalah program linear. Namun dalam kesempatan ini, kita mengkaji hanya untuk n = 2, sehingga fungsi sasaran menjadi Z(x1, x2) = C1x1 + C2x2. Definisi 1.4 Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/ tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah program linear. Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan defi- nisi garis selidik. Pastikan siswa mengenali garis selidik dalam suatu masalah program linear. Untuk menentukan persamaan garis selidik K = C1x1 + C2x2 dengan k bilangan real, kita memilih minimal dua titik (x, y) yang terdapat di daerah penyelesaian. Dengan dua titik tersebut, nilai optimum fungsi sasaran dapat ditemukan melalui pergeseran garis selidik di daerah penyelesaian. Namun pada kasus tertentu, garis selidik tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi sasaran. Mari kita cermati masalah berikut ini. 50
Matematika Ajak siswa untuk me- jenis-jenis ngenal bunga disaji- yang kan pada Masalah 1.5. siswa untuk Mintalah merumuskan masalah yang dihadapi pengusaha bunga tersebut. Masalah-1.5 Apakah kamu pernah melihat tanaman hias seperti di bawah ini? Tahukah kamu berapa harga satu tanaman hias tersebut? Gambar 1.6: Tanaman Hias Aglaonema dan Sansevieria Sumber: Setiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan tanaman hias dari agen besar; Aglaonema (A) dan Sansevieria (S) yang berturut-turut memberi laba sebesar Rp5.000.000,00 dan Rp3.500.000,00 per unit yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super. Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap 51
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian, berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan (per semester) jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total? Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan kita dalam membahas masalah ini, misalkan x : banyak tanaman hias A yang dipesan y : banyak tanaman hias S yang dipesan. Pernyataan "Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain", dapat dituliskan sebagai berikut. 1 5 +( x ) ≥ x y atau 4x - y ≥ 0. Untuk memperoleh laba, harus lahan sebagai daya pemilik mempertimbangan keterbatasan tampung untuk tiap-tiap tanaman hias. Misal, L : luas kebun tanaman hias, Lx : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A, Ly : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S. Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapat menampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman hias S. Pernyataan ini, dimodelkan sebagai berikut: 1 10 1 15 = = L x L dan L L y 52
Matematika Tentu luas kebun yang diperlukan untuk x banyak tananam hias A dan y banyak tanaman hias S tidak melebihi luas kebun yang ada. Oleh karena itu, dapat dituliskan; ≤
1 10 1 15 + ≤ 3 2 30 . x L . y L L atau x y laba sebesar Rp5.000.000,00 dari 1 tanaman hias A yang terjual dan Rp3.500.000,00 dari 1 tanaman hias S yang terjual. Oleh karena itu, untuk sebanyak x tanaman hias A yang terjual dan sebanyak y tanaman hias S yang terjual, dapat dituliskan sebagai laba total pemilik kebun; yaitu: Selanjutnya, pemilik kebun mengharapkan Z = 5x + 3.5y (dalam juta rupiah). lengkap, model matematika masalah program linear pemilik kebun tanaman hias dinyatakan sebagai berikut. Menentukan x dan y yang memenuhi kendala: 3 Jadi secara − ≥ y ≤ y 2 ≥ x 0 ≥ y 0 4 x x + 0 30 Dengan fungsi tujuan: Maksimumkan: Z = 5x + 3.5y (dalam juta rupiah). Selanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear (1). Tentunya, diharapkan keterampilan kamu dalam menggambarkan daerah penyelesaian sistem tersebut sudah makin meningkat. Sekaligus juga, kamu harus makin terampil dalam memilih titik dalam daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum fungsi sasaran. 53
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Mari kita cermati gambar berikut ini. Bersama dengan siswa, menginterpre- Guru titik sentasikan makna 20 y
30 11 120 11 P , 10 d a l a m P 2 10 11 konteks masalah yang di- kaji. 8 11 , 10 x Q(10,0) 20 10 20 10 Ingatkan siswa bahwa hasil yang diperoleh dari perhitungan matemati- ka harus memiliki mak- na dalam kehidupan se- hari-hari. 10 20 Gambar 1.7: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (1.1) Namun, pada kenyataannya, ditemukannya 30 11 titik sebagai titik optimum masalah di atas
120 11 P , mengakibatkan hal yang tidak mungkin terjadi untuk 8 11 10 11 menemukan 2 tanaman hias A dan 10 tanaman hias S. Cara yang mungkin diterapkan adalah dengan metode pembulatan. Mari kita cermati hasil pembulatan (ke atas atau ke
8 11 10 11 bawah) titik P 2 , 10 i P1 (2,10) : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. ii P2 (2,11) : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. iii P3 (3,10) : merupakan titik di daerah penyelesaian, tetapi nilai Z pada titik (3, 10) hanya sebesar Rp50.000.000,00, memiliki selisih sebesar Rp1.800.000,00 dengan nilai optimum di titik P. iv P4 (3,11) : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. 54
Matematika Gambar 1.8: Titik (x,y) yang terdapat di daerah penyelesaian OPQ Dalam kertas berpetak, di dalam daerah penyelesaian . Tetapi titik yang kita inginkan, yaitu (x, y) harus untuk x dan y merupakan bilangan bulat. Titik (4,9) merupakan titik yang terdekat dengan titik untuk Motivasi mengajukan ide-ide atau masalah program linear yang pernah dihadapi mereka dalam kehidupan sehari-hari mereka. Jika ada, ajak siswa untuk menyelesaikannya. siswa
8 11 10 11 cermati titik-titik yang dekat dengan titik P 2 , 10 dan x dan y merupakan bilangan bulat P 2 8 11 10 11 , 10 dan mengakibatkan nilai optimum fungsi tujuan bernilai Rp51.500.000,00. telah dibahas di atas, masalah program linear memiliki nilai optimum (maksimum atau minimum) terkait dengan eksistensi daerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang akan kita selidiki, yaitu: Dari beberapa masalah yang 55
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1. tidak memiliki daerah penyelesaian 2. memiliki daerah penyelesaian (fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum) 3. memiliki daerah penyelesaian (fungsi sasaran memiliki nilai maksimum dan minimum). 1. Tidak memiliki daerah penyelesaian y 10 2 : l + px qy ≥ t Pastikan siswa memaha- mi Gambar 1.8, melalui pertanyaan-pertanyaan menantang kepada siswa. Misalnya, selidiki syarat yang dipenuhi sistem: px + qy ≥ t; ax + by ≤ c Agar memeliki daerah penyelesaian. 5 x 5 10 5 10 + ≤ 5 1 : l ax by c 10 Gambar 1.8 Mari kita cermati, grafik berikut ini. Diberikan sistem: ≠ ≤ ≠ ≥ ≠ ≠ + ax by + px qy
c a ; t p ; 0 , 0 , b q 0 0 Untuk setiap a, b, c, p, q dan t∈R Ø Selidiki hubungan antar koefisien variabel (x dan y) serta konstanta c dan t pada sistem tersebut, hingga kamu menemukan syarat bahwa suatu sistem pertidaksamaan linear tidak memiliki daerah penyelesaian. 56
Matematika Guru memberikan ke- sempatan kepada siswa untuk meningkatkan ke- terampilan siswa dalam menentukan sistem per- tidaksamaan linear yang bersesuaian dengan dae- rah penyelesaian pada Gambar 1.9 2. Memiliki daerah penyelesaian (fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum). Grafik berikut ini, mendeskripsikan bahwa walaupun kendala suatu program linear memiliki daerah penyelesaian, ternyata belum tentu memiliki nilai fungsi sasaran. Mari kita cermati. y 10 Dengan menggunakan garis selidik, Guru me- ngajak siswa menentukan nilai fungsi sasaran: Z = mx + ny; m, n ∈	R+. Guru mengajukan per- tanyaan kepada siswa, bilangan untuk m,n real, berapa nilai mak- simum fungsi sasaran? Sedangkan untuk nilai minimum siswa, Guru mengajukan pertanyaan kepada siswa, yang mana ini yang dari berikut nilainya paling kecil: i. 10 m, atau ii. 3m+2n Untuk m, n bilangan 5 x 10 5 5 10 5 Gambar 1.9 3. Memiliki daerah penyelesaian (fungsi sasaran memiliki nilai maksimum dan minimum). Pertidaksamaan: − + + ≥ 12 0 3 y ≤ − y 2 12 0 ≥ x 0 ≤ ≤ y 2 3 x x riel positif. a. Maksimumkan: Z = mx + ny; m, n ∈	R+. b. Minimumkan: Z = mx + ny; m, n ∈	R+. 0 4 merupakan kendala yang bersesuaian dengan grafik daerah penyelesaian pada Gambar 1.10 di bawah ini. 57
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pastikan siswa mene- mukan perbedaan da- erah penyelesaian terba- tas (Gambar 1.10) dan daerah penyelesaian tak (Gambar 1.9) terbatas dengan mengajukan per- tanyaan-pertanyaan, mi- salnya: Apakah daerah penyele- saian tak terbatas memi- liki nilai fungsi sasaran maksimum? Berikan pen- jelesan. y 10 5 x 5 10 5 10 5 10 Gambar 1.10 Misalnya, diberikan fungsi sasaran berikut ini: a) Maksimumkan: Z = 3x + 2y b) Minimumkan: Z = 3x + 2y. Garis k = 3x + 2y merupakan garis selidik digunakan untuk menentukan nilai fungsi sasaran. Pada titik (0, 4) diperoleh garis selidik: 8 = 3x + 2y, dan pada titik (3, 4) diperoleh garis selidik: 17 = 3x + 2y. Akibatnya untuk menentukan nilai minimum fungsi sasaran, garis selidik digeser ke arah kiri dan untuk menentukan nilai maksimum fungsi sasaran garis selidik digeser ke arah ke kanan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi sasaran; Z = 0, dan nilai maksimum fungsi sasaran; Z = 21. Latihan Diketahui sistem pertidaksamaan linear suatu masalah program linear. 58
Matematika ≥ ≤( , ≥ ≤( , x y ) c a ; ) t p ; ≥ 0 ≥ 0
+ ax by + px qy ≠ ≠ ≠ ≠ (1) (2) 0 , 0 , b q 0 0 a, b, c, p, q dan t merupakan bilangan real, dan c < t. Dengan memperhatikan hubungan koefisien variabel (x dan y) pada kendala (1) dan (2), selidiki syarat agar sistem pertidaksamaan linear tersebut: i. ii. memiliki daerah penyelesaian iii. memiliki daerah penyelesaian berupa suatu garis atau Untuk memantapkan pe- ngetahuan dan keterampi- lan siswa, guru meminta siswa untuk mengerjakan Latihan 1. tidak memiliki daerah penyelesaian; segmen garis iv. memiliki daerah penyelesaian hanya satu titik. Alternatif Penyelesaian Misal, kita tanda pertidaksamaan " ≥" yang digunakan pada sistem pertidaksaaman, sehingga diperoleh: ax + by ≥	c px + qy ≥	t x ≥	0; y ≥	0. Dengan demikian kita dapat menggunakan konsep garis lurus yang telah dipelajari pada kelas VIII SMP. i. Misalkan: Jika siswa mengalami ke- sulitan menyelesaikan soal latihan, berikan pe- tunjuk kepada siswa bah- wa teori tentang sistem persamaan dan pertidak- samaan linear yang me- reka pelajari pada Bab 3 Kelas 10 SMA dan konsep garis lurus yang dipela- jari pada kelas VIII SMP dapat digunakan. l1 : ax + by = c dan l2 : px + qy = t . Gradien l1, dan gradien l2, Jika l1 sejajar l2 artinya kedua garis tersebut tidak pernah melalui titik yang sama, atau dituliskan maka m1 = m2. a b a p b = . q p q = atau Berarti, Jadi, untuk sistem pertidaksamaan linear di atas, jika a b penyelesaian. Hal ini juga sudah dideskripsikan pada Gambar 1.8. p q = , maka sistem tersebut tidak memiliki daerah 59
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a p b q ↑≠ ii. Selanjutnya, jika , maka garis l1 : ax + by = c dan l2 : px + qy = t memiliki titik potong. Dengan adanya syarat tambahan x ≥ 0 dan y ≥ 0 mengakibatkan terdapat daerah yang dibatasi oleh titik potong garis l1 dan l2. Kondisi ini disajikan pada gambar berikut ini. iii. Jika dua garis linear berimpit, maka kedua garis tersebut melalui titik yang tak hingga banyaknya. Dengan demikian, mari kita selidiki hubungan koefisien antar garis. Garis l1 : ax + by = c berimpit dengan garis l2 : px + qy a p b q c = . t = = t jika 60
Matematika Uji Kompetensi 1.2 1. Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 mesin untuk perluasan pabriknya. Harga mesin baru Rp15.000.000,00 per unit. Selain itu dapat juga dibeli mesin bekas dengan umur dua tahun, tiga tahun, dan empat tahun yang harganya diukur dari harga baru akan susut Rp3.000.000,00 per tahunnya. Keempat jenis mesin di atas, yaitu baru, umur dua tahun, umur tiga tahun, umur empat tahun mempunyai ukuran yang berbeda-beda, berturut-turut memerlukan tempat 3 meter persegi, 4 meter persegi, 5 meter persegi, dan 6 meter persegi per unitnya. Sedangkan ongkos perawatannya berturut-turut 0, Rp1.000.000,00, Rp2.000.000,00, dan Rp4.000.000,00 per tahunnya Bila tempat yang tersedia untuk semua mesin yang dibeli tersebut hanya 35 meter persegi dan ongkos perawatan total yang disediakan hanya Rp7.000.000,00 per tahun, bentuk model matematika masalah program linear perusahaan tersebut. 2. Alkohol dapat dihasilkan dari 3 macam buah-buahan, A, P dan V yang dapat diolah dengan 2 macam proses, misalnya A1: buah A diolah menurut cara -1, dan A2 : buah A diolah dengan cara-2, dan seterusnya. Berturut- turut A1, A2, P1, P2, V1, V2 dapat menghasilkan alkohol sebanyak 3%; 2,5%; 3,5%; 4%; 5%; dan 4,5% dari buah sebelumnya. Kapasitas mesin adalah 1 ton buah- buahan per hari dan selalu dipenuhi. Pemborong yang memasok buah A hanya mau melayani jika paling sedikit 600 kilogram per hari. Sebaliknya buah P dan V masing-masing hanya dapat diperoleh paling banyak 450 kilogram per hari. Buatlah model matematika masalah di atas! 3. Untuk melayani konferensi selama 3 hari harus disediakan serbet makanan. Untuk hari ke-1, -2, -3 berturut-turut diperlukan 50, 80, 70 helai serbet 61
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK makanan. Harga beli yang baru Rp 1.200 sehelai, ongkos mencucikan kilat (satu malam selesai) Rp 800 per helai, cucian biasa (satu hari satu malam selesai) Rp 200 per helai. Untuk meminimumkan biaya pengadaan serbet, berapa helai serbet yang harus dibeli, berapa helai serbet bekas hari ke-1 harus dicuci kilat (untuk hari ke-2) dan berapa helai serbet bekas hari ke-2 harus dicuci kilat (untuk hari ke-3)? Buatlah model matematika masalah di atas! 4. Sebuah peternakan unggas mempunyai kandang- kandang untuk 600 ekor yang terdiri dari ayam (A), itik (I), dan mentok (M). Kapasitas maksimum kandang selalu dipenuhi. Pemilik menginginkan banyak itik tidak melebihi 400 ekor, demikian pula mentok paling banyak 300 ekor. Ongkos pemeliharaan sampai laku terjual untuk A, I, M berturut-turut 3.500, 2.500, dan 6.000 rupiah per ekor. Harga jual A, I, M, berturut-turut adalah 7.000, 5.500 dan 10.500 rupiah per ekornya. Rumuskan model matematika program beternak yang memaksimumkan keuntungan jika keuntungan adalah selisih harga jual dari ongkos pemeliharaan. (Dalam masalah di atas dianggap tidak ada ongkos pembelian). 5. Perhatikan gambar di bawah ini. 10 J y K 5 C B F A x G 10 10 E 5 5 I H 5 10 62
Matematika Tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi jika setiap label daerah merupakan daerah penyelesaian. 6. Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian penyelesaian berikut ini. a) berbentuk segitiga sama sisi di kuadran pertama b) berbentuk trapesium di kuadran kedua c) berbentuk jajaran genjang di kuadran keempat suatu 7. Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program linear berikut ini. a) x - 4y ≤ 0; x - y2; - 2x + 3y ≤ 6; x ≤ 10 b) x + 4y ≤ 30; -5x + y ≤ 5; 6x - y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x - 5y ≤ 0 c) x + 4y ≤ 30; -5x + y ≤ 5; 6x - y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x - 5y ≤ 0 8. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. (UMPTN Tahun 2000 Rayon A). 9. Seorang agen perusahaan alat elektronik rumah tangga menjual kulkas ke suatu pusat perbelanjaan. Pada bulan Juli, 25 unit kulkas terjual. Untuk tiga bulan berikutnya, setiap agen membeli 65 kulkas per bulan dari pabrik, dan mampu menjual hingga 100 unit per bulan dengan rincian harga sebagai berikut: 63
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Kulkas Harga Beli ($) Harga Jual ($) Agustus 60 90 September 65 110 Oktober 68 105 Agen menyimpan 45 unit kulkas tetapi harus membayar $7/unit/bulan dan akan dijual pada bulan berikutnya. Tentukan nilai optimum pembelian, penjualan dan biaya penyimpanan kulkas tersebut. 10. Perhatikan masalah program linear berikut ini: a) Tentukan nilai minimum dari 3x + 4y dengan kendala: x ≥ 1; y ≥ 2; x + y ≤ 6, dan 2x + 3y ≤ 15 b) Tentukan interval nilai Z(x, y) = y - 2x + 2 dengan kendala: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 5y ≤ 10, dan 4x + 3y ≤ 12 11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f(x,y) 2x - y - 4 bernilai optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai berikut 1 ≤ x ≤ 1; -1 ≤ y ≤ 1. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal). 64
Matematika Projek Guru memberikan tugas proyek kepada siswa se- bagai berikut. Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat. Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melalukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua. Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu istirahat yang peroleh setiap hari (minggu). Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu. Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu dan gurumu dapat memahami dengan jelas. D. PENUTUP Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep dan sifat-sifat program linear. 1. Masalah dalam kehidupan sehari-hari menjadi model suatu program linear. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear. 65
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2. Model matematika merupakan cara 2. Model matematika merupakan cara 3. Dua pertidaksamaan lebih dikatakan membentuk kendala program linear linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala. linear atau 4. Fungsi tujuan/sasaran (fungsi objektif) merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear. 5. Nilai-nilai variabel (x, y)yang memenuhi kendala pada masalah program linear ditentukan melalui konsep perpotongan dua garis, sedemikian sehingga memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear. 6. Suatu fungsi objektif terdefinisi pada suatu daerah penyelesaian atau daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan (kendala) masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan. 7. Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai. 8. Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi sasaran, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian 66
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 2 MATRIKS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. Melalui pembelajaran materi matriks, siswa mem- peroleh peng alaman belajar: •	mengamati	secara	cermat	aturan	susunan	ob-
jek. berpikir	mandiri	mengajukan	ide	secara	bebas	dan terbuka. 2. Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. menemukan	hubungan-hubungan	di	antara objek-objek. melatih	berpikir	kritis	dan	kreatif.	• bekerjasama	menyelesaikan	masalah. 3. Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya. Operasi	pada	matriks •	Determinan	matriks •	Invers	matriks
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Sistem Persamaan Linier Materi Prasyarat Masalah Otentik Matriks Matriks kofaktor Unsur-unsur matriks Operasi penjumlahan pengurangan perkalian elemen kolom elemen baris Matriks adjoint invers matiks determinan sifat-sifat 48
Matematika Banyak permasalahan dalam kehidupan yang penyelesaiannya ter- kait dengan konsep dan aturan-aturan dalam Secara matema-tika. khusus keterkaitan kon- sep dan prinsip-prinsip matriks dengan perma- salahan masalah nyata yang menyatu/ bersumber dari lingku- ngan budaya kita. Konsep diban- dapat matriks gun/ ditemukan di dalam penyelesaian perma- salahan yang kita hadapi. Untuk itu arahkan siswa menyelesaiakan perma- salahan-permasalahan yang diberikan. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya Saat duduk di kelas X, kamu telah mempelajari konsep matriks, jenis dan operasi pada matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita. Pada kesempatan ini, kita akan menganalisis sifat-sifat operasi pada matriks dan menggunakannya dalam pemecahan masalah otentik. Amatilah dengan cermat berbagai informasi dan masalah yang diajukan dan temukan sifat- sifat operasi matriks di dalam langkah pemecahan masalah yang diajukan. fakta dan a. Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya Masalah-2.1 Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan 2 jenis kue, yaitu; bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara perempuan dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk tiap- tiap kue seperti pada tabel berikut: Orientasi Masalah 2.1 kepada siswa. Beri kesem- patan kepada siswa me- nganalisis dan melahir- kan berbagai pertanyaan sekitar masalah. Meminta siswa mengamati data ba- han dan harga pembuatan dua jenis kue yang tertera pada tabel. Ingatkan kem- bali pengetahuan yang su- dah miliki siswa tentang matriks untuk memba- ngun model matriks dari data yang tersedia. Tabel Biaya Toko di Padang (dalam Rp) Bronis Bika Ambon Bahan Kue 1.000.000 1.200.000 Chef 2.000.000 3.000.000 Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp) Bronis Bika Ambon Bahan Kue 1.500.000 1.700.000 Chef 3.000.000 3.500.000 Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue? 49
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian Jika kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya di Medan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut. dan B =
. 1 000 000 1 200 000 . 2 000 000 3 000 000 . . . . . . .
. 1 500 000 1 700 000 . 3 000 000 3 500 000 . . . . . . A = Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh, sebagai berikut. ▪	Total	biaya	bahan	untuk	bronis	=	1.000.000	+	1.500.000 Bantu siswa melakukan perhitungan menentukan total biaya bahan untuk semua jenis kue. =	2.500.000 ▪	Total	biaya	bahan	untuk	bika	ambon	=	1.200.000	+ 1.700.000	=	2.900.000 ▪	Total	biaya	chef	untuk	bronis	=	2.000.000	+	3.000.000 =	5.000.000 ▪	Total	biaya	chef	untuk	bika	ambon	=	3.000.000	+ 3.500.000	=	6.500.000 Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks berikut: Tabel Biaya Toko di Medan (dalam Rp) Bronis Bika Ambon Bahan Kue 2.500.000 2.900.000 Chef 5.000.000 6.500.000 Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks A dan B. A	+	B = + . 1 000 000 1 200 000 . 2 000 000 3 000 000 . . . . . .
. 1 500 000 1 700 000 . 3 000 000 3 500 000 . . . . . . + 1 000 000 1 500 000 . . + . 2 000 000 3 000 000 3 . + 1 200 000 1 700 000 . + 000 000 3 500 000 ..
2 500 000 2 900 000 . . 5 000 000 6 500 000 . . . . . . = 50
Matematika Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan karena kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks. secara Meminta menuliskan kelompok syarat penjumlahan dua matriks berdasarkan pro- ses penjumlahan matriks biaya pada A dan B, ser- ta menuliskan pengertian operasi penjumlahan dua buah matriks. Uji pema- terhadap haman siswa persyaratan dua matriks dapat dijumlahkan siswa Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan	penjumlahan	dua	matriks	dalam	konteks	matematis. Definisi 2.1 Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C=A+B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh cij=aij+bij	(untuk semua i	dan	j). Catatan: Dua	matriks	dapat	dijumlahkan	hanya	jika	memiliki	ordo	yang	sama.	Ordo	matriks	hasil	penjumlahan	dua	matriks	sama	dengan	ordo	matriks	yang	dijumlahkan. Ajukan beberapa contoh berikut, minta siswa me- nerapkan aturan pen- jumlahan dua matriks. Ingatkan kembali penge- tahuan yang sudah dimi- liki sebelumnya tentang pengertian dua matriks yang sama, agar siswa dapat menentukan nilai x dan y. Matriks A dan B di ka- takan sama apabila ordo kedua matriks sama dan setiap entri pada baris dan kolom yang sama dari kedua matriks bernilai sama. Contoh 2.1
x 2 − 4 2 2 8 1 1 = = a). Jika diketahui matriks P dan , Q 1 x 7 5 y 12 4 12 3 2 6 Tentukan nilai x dan y! P Q+ = Jika dimisalkan R = P	+	Q, maka jumlah matriks P dan Q adalah 12 4 12
R 2
+ + 1 1
++ 2 2 +
12 4 12
x 2 4 8 + 5 1 + P Q = x
7 y
6 51
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan	Definisi	4.2	Bab	IV	yang	sudah	dipelajari	di Kelas X SMA, tentang kesamaan dua matriks, diperoleh x	+	2	=	12	atau	x	=	10 x -	7	+	y	=	3	atay	10	-	7	+	y	=	3	atau	y	=	0 Jadi diperoleh nilai x	=	10	dan	y =	0
6 3 1 Beri bantuan pada siswa, bahwa matriks O adalah matriks identitas penjum- lahan ordo 3×3. Sebarang matriks A, jika dijumlah- kan dengan matriks iden- titas, maka hasilnya ada- lah matriks A. b). Diketahui matriks T = . Tunjukkan bahwa T 5 5 0 1 3 7 +	0	=	T dan 0	+	T = T dengan	0	adalah	matriks	nol berordo	3	× 3.
0 0 0 6 3 1 T O+ = + 0 0 0 5 5 0
0 0 0 1 3 7 + 6 0 3 0 1 0 + 5 0 5 0 0 0 + 1 0 3 0 7 0 + + + + + +
6 3 1 = = == T 5 5 0 1 3 7 + 0 6 0 3 0 1 + 0 5 0 55 0 0 + 0 1 0 3 0 7 + +
0 0 0 6 3 1 5 5 0 O T+ = + = = + + 0 0 0 + + 0 0 0 1 3 7
6 3 1 = T 5 5 0 1 3 7 Dalam kajian selanjutnya, jika dikatakan matriks nol, maka kita harus memikirkan matriks nol dengan ordo yang sama dengan matriks yang sedang dikaji. Demikian juga halnya	untuk	matriks	identitas,	I. 52
Matematika Mengajak siswa menga- plikasikan konsep matriks dalam menentukan lin- tasan terpendek dari se- buah penerbangan ditin- jau dari segi harga tiket tersedia. Arahkan yang dalam siswa kelompok untuk me- ngamati data harga tiket penerbangan dan lintasan yang dilalui pesawat dari bandara ke bandara beri- kutnya. Minta siswa mem- bangun model matriks yang menyatakan keter- sediaan penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju kota di Sumatera Utara. Cermatilah skema penerbangan di samping. Masalah-2.2 Cermati skema penerbangan salah satu jenis pesawat dari Bandara Soekarno Hatta Jakarta ke berbagai kota yang ada di Pulau Sumatera yang disajikan sebagai berikut. A belajar 1 ,5 0 ,4 1 1 ,2 0 ,5 0,4 TK PD 0 ,4 1,5 J M 1,1 0,8 0 ,6 PB 0,6 JA 0 ,5 P N 0,7 0 ,7 PP Gambar-2.1: Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota Gambar 2.1 : Lintasan Penerbangan Pesawat Antar Dua Kota a) Sajikan lintasan pesawat dalam bentuk matriks A = (aij), dengan elemen aij menyatakan adanya lintasan penerbangan yang langsung antar dua kota. b) Sajikan biaya penerbangan dalam bentuk matriks B = (bij), dengan bij menyatakan biaya penerbangan antar dua kota. Selanjutnya tentukan biaya penerbangan yang paling rendah dari kota Jakarta (J) ke kota Aceh (A) dengan bobot biaya penerbangan yang tersedia dalam juta rupiah! c) Jika matriks pada bagian a) dikalikan dengan dirinya sendiri, apa yang dapat kamu simpulkan dari unsur-unsur matriks tersebut? Alternatif Penyelesaian Minta siswa mengidenti- fikasi seluruh penerban- gan dari kota jakarta ke kota di Sumatera yang dilengkapi dengan pan- jang lintasan dan harga Bagian a) Kata kunci pada persoalan ini adalah adanya lintasan antar dua kota, secara matematis, fungsi lintasan antar dua kota tersebut, dinyatakan sebagai berikut: 53
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK tiket. Bantu siswa untuk mendefinisikan ada tidak- nya penerbangan dari suatu kota ke kota lain- nya. Selanjutnya meny- usun sebuah matriks ada tidaknya lintasan pener- bangan pesawat antar dua kota. Dari hasil pengamatan lintasan penerbangan pesawat pada skema di atas, diperoleh data sebagai berikut: 0 , , 1 = ≠ untuk untuk i i j j ij = a i) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari	kota	Jakarta	(J)	ke	kota	yang	lain	adalah	7	lintasan, yaitu dari Jakarta ke Tanjung Karang (TK); dari Jakarta ke Palembang (P); dari Jakarta ke Pangkal Pinang (PP); dari Jakarta ke Jambi (JA), dari Jakarta ke Padang (PD), dari Jakarta ke Pekan Baru (PB), dan dari Jakarta ke Medan (M). ii) Banyak lintasan penerbangan pesawat dari Tanjung Karang	ke	kota	lain	adalah	1	lintansan,	yaitu	dari	Tanjung Karang (TJ) ke Jakarta (J). iii) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari	kota	Palembang	(P)	ke	kota	yang	lain	adalah	3	lintasan, yaitu dari Palembang (P) ke Jakarta (J); dari Palembang ke Aceh (A); dan dari Palembang (P) ke Medan (M). iv) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pangkal Pinang (PP) ke kota yang lain adalah	1	lintasan,	yaitu	dari	Pangkal	Pinang	ke	Jakarta. v) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Jambi (JA) ke kota yang lain adalah 2 lintasan, yaitu dari Jambi (JA) ke Jakarta (J); dari Jambi (JA) ke Aceh (A). vi) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari	kota	Padang	(PD)	ke	kota	yang	lain	adalah	3	lintasan, yaitu dari Padang (PD) ke Jakarta (J); dari Padang (PD) ke Medan (M); dari Padang (PD) ke Pekan Baru (PB). vii) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota Pakam Baru (PB) ke kota yang lain adalah 3	lintasan,	yaitu	dari	Pekan	Baru	(PB)	ke	Jakarta 54
Matematika (J); dari Pekan Baru (PB) ke Padang (PD); dan dari Pekan Baru (PB) ke Medan (M). viii) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari	kota	Medan	(P)	ke	kota	yang	lain	adalah	6	lintasan, yaitu dari Medan (M) ke Jakarta (J); dari Medan (M) ke Padang (PD); dari Medan (M) ke Pekan Baru (PB); dari Medan (M) ke Palembang (P); dari Medan (M) ke Aceh (A); dari Medan (M) ke Nias (N). ix) Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari	kota	Aceh	(A)	ke	kota	yang	lain	adalah	3	lintasan, yaitu dari Aceh (A) ke Jakarta (J); dari Aceh (A) ke Medan (M); dari Aceh (A) ke Jambi (JA). Banyak lintasan penerbangan pesawat yang langsung dari kota	Nias	(N)	ke	kota	yang	lain	adalah	1	lintasan,	yaitu	dari	Nias (N) ke Medan (M). Dari data di atas, adanya lintasan penerbangan pesawat antar dua kota, dapat disajikan dalam sebuah matriks A berikut. Perhatikan elemen matriks A di atas, jumlah elemen- elemen baris menyatakan banyaknya lintasan penerbangan dari kota pada baris matriks tersebut. Misalnya pada baris pertama matriks A,	jumlah	elemen	matriks	adalah	7,	artinya	ada	7	lintasan	penerbangan	dari	Jakarta	ke	kota-kota yang lain pada gambar. 55
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Meminta siswa mengama- ti kembali skema lintasan penerbangan di atas dan memikirkan penyajian biaya tiket dalam bentuk matriks, serta memikirkan mana lintasan terpendek dari Jakarta ke Aceh di- tinjau dari segi harga tiket. Bagian b) Dari skema penerbangan di atas, biaya penerbangan antar dua kota yang terhubung langsung, dapat disajikan dalam sebuah matriks B berikut. Perhatikan	Gambar-2.1	dan	Matriks	B	di	atas,	terdapat	8 cara (lintasan) penerbangan dari kota Jakarta (J) menuju kota Banda Aceh (A), yaitu: i) Dari Jakarta menuju kota Medan dan dari Medan menuju Aceh dengan total biaya 2 juta Rupiah. ii) Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total	biaya	2,1	juta	Rupiah. iii) Dari Jakarta menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dari Medan	menuju	Aceh,	dengan	total	biaya	2,4	juta	Rupiah. iv) Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan dan dari Medan menuju Aceh, dengan total	biaya	1,8	juta	Rupiah. v) Dari Jakarta menuju Jambi, dan dari Jambi menuju Aceh, dengan total biaya 2 juta Rupiah. 56
Matematika vi) Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh, dengan total biaya	1,9	juta	Rupiah. vii) Dari Jakarta menuju Padang, dari Padang menuju Pekan Baru, dari Pekan Baru Menuju Medan dan dari	Medan	menuju	Aceh,	dengan	total	biaya	2,4	juta	Rupiah. viii) Dari Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju	Aceh,	dengan	total	biaya	2,1	juta	Rupiah. Dari ke delapan lintasan dari Jakarta menuju Aceh, biaya terendah diperoleh melalui jalur Jakarta menuju Palembang, dari Palembang menuju Medan, dan dari Medan menuju Aceh,	dengan	total	biaya	1,8	juta	Rupiah. Ingat	kembali	materi	operasi	penjumlahan	matriks	yang	kamu sudah pelajari di kelas X, jika kita jumlahkan matriks B dengan dirinya sendiri diperoleh B B+ =
0 , 0 4 0 6 , 0 7 , 0 8 , 1 1 1 , 1 5 , 0 0 0 4 0 6 0 7 0 8 , 0 0 00 0 0 0 0 0 0 , 00 00 00 00 00 0 , 00 7 , 1 5 0 , , 1 1 1 , 0 0 0 0 0 0 7 1 5 , , 0 0 1 2 0 , 0 0 0 0 , , 0 5 0 6 0 0 0 0 1 5 , 00 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 , 1 2 0 0 4 0 4 , , 0 5 0 4 0 , , , , 0 0 4 0 5 0 5 , 0 0 , 0 6 0 0 57
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
, 0 4 0 6 0 7 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 00 00 00 00 00 0 , 0 7 1 5 , 0 , , , 1 1 , 1 5 0 0 0 0 0 , , 0 7 1 5 0 0 0 , 0 1 2 0 0 0 0 0 5 0 6 , , 0 0 0 0 0 , 0 4 , 0 6 , 0 7 , 0 8 1 1 1 , , 1 5 0 0 1 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 , 0 0 4 0 4 , , 0 0 4 0 5 , , , , 0 0 4 0 5 0 5 0 0 , 0 6 0 0 ,
, 0 4 0 6 0 7 0 8 0 0 0 0 0 0 00 0 0 , 00 00 00 00 00 0 0 7 , 1 5 , 0 , , , 1 1 , 1 5 0 , 0 4 0 6 , ,77 0 , 0 8 1 , 1 1 , 1 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 1 5 , , 0 0 , 1 2 0 0 0 0 0 0 5 0 6 , , 0 0 0 0 00 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B B+ = 2 . 0 0 0 1 2 , 0 0 4 0 4 , , 0 5 0 4 , , 0 0 0 4 0 5 , , 0 5 0 0 , , 0 6 0 0 B	+	B = 2B. Berdasarkan penjumlah- an matriks B + B, tun- jukkan pada siswa, bahwa kB = B×B×B×B× ....×B sebanyak k faktor, dengan k ∈N. Makna elemen matriks 2B adalah biaya pulang pergi untuk penerbangan antar dua kota. Misalnya biaya penerbangan dari Jakarta menuju Medan, dan sebaliknya, biaya pulang pergi	adalah	2	×	1,5	juta	=	3	juta.
1 2 3 3 4 5 5 6 7 = Misalkan matriks B
1 22 3 3 4 5 5 6 7 1 2 3 3 4 5 5 6 7 + + + + + + = B B B 8 ... B 1 2 3 3 4 5 5 6 7
1 2 3 3 4 5 5 6 7 58 + + ...
1 2 3 3 4 5 5 6 7 = B 8 . 8
Matematika
1 2 3 3 4 5 5 6 7 = Misalkan matriks B
1 22 3 3 4 5 5 6 7 1 2 3 3 4 5 5 6 7 + + + + + + = B B B 8 B ... 1 2 3 3 4 5 5 6 7
1 2 3 3 4 5 5 6 7 + + ...
1 2 3 3 4 5 5 6 7 = B 8 8 . Mengajak siswa mene- mukan sifat penjumlah- an dua matriks dari ber- bagai contoh dan masalah yang diajukan. Meminta siswa bekerjasama dalam kelompok untuk membuk- tikan sifat-sifat tersebut serta mempresentasikan- nya di depan kelas. Definisi 2.2 Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n × m, n ∈ N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k ∈ N adalah k	B, ditulis B B B , dan matriks k	B berordo n × n. k + + + + = ... B k B b. Sifat Komutatif Penjumlahan Dua Matriks siswa me- Arahkan mecahkan Masalah 2.3 untuk memotivasi siswa menunjukkan dengan kebergunaan mate- matika dalam kehidupan. Meminta siswa memecah- kan Masalah dan mene- mukan sifat penjumlahan matriks yang dapat ditu- liskan secara umum. Masalah-2.3 Perhatikan masalah di bawah ini! Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang dijual antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan kualitas sedang. Pedagang satu memiliki 3 kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg mangga kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki 1 kg mangga dengan kualitas tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua pedagang tersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu menambah 20 kg mangga berkualitas tinggi dan 15 mangga kualitas sedang, sedangkan pedagang kedua menambah 20 kg mangga kualitas tinggi dan 10 kg mangga kualitas sedang. Berapakah persediaan mangga setiap pedagang sekarang? 59
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif penyelesaian Pedagang satu dan pedagang dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang dan pada hari berikutnya kedua pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di bawah ini: Tabel persediaan mangga sebelum penambahan Kualitas Tinggi Kualitas Sedang Pedagang I 3 6 Pedagang II 1 8 Tabel tambahan persediaan mangga Kualitas Tinggi Kualitas Sedang Pedagang I 20 15 Pedagang II 20 10 Jika kita misalkan matriks persediaan buah mangga sebelum penambahan sebagai matriks A dan sesudah penambahan sebagai matriks B. Matriks A dan B disajikan sebagai berikut.
dan B =
3 6 1 8
20 15 20 10 A = Ingat	kembali	materi	operasi	pada	matriks	yang	sudah	dipelajari. Dua matriks dapat dijumlahkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks A dan B memiliki ordo yang sama, yaitu; matriks berordo 2 × 2. Maka jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut. + + + +
= 3 6 1 8 20 15 20 10 3 20 6 15 1 20 8 10 23 21 211 18 A B+ = + + + + + + = B A +
20 15 20 10 3 6 1 8 20 3 15 6 20 1 10 8 23 21 21 18 60
Matematika Berdasarkan	hasil	operasi	di	atas	dapat	disimpulkan	(1)	total	persediaan	mangga	Pedagang	I	adalah	23	kg	mangga	kualitas	tinggi	dan	21	kg	mangga	kualitas	sedang;	(2)	total	persediaan	mangga	Pedangang	II	adalah	21	kg	mangga	kualitas	tinggi	dan	18	kg	mangga	kualitas	sedang;	(3)	ternyata hasil penjumlahan matriks A	+	B = B	+	A. Bantu siswa menerap- kan aturan penjumlahan matriks, melalui penyele- saian Contoh-22 di sam- ping. Latih siswa berpikir cermat untuk melakukan perhitungan penjumlahan dua matriks. Contoh 2.2 −
3 0 1 1 2 4 6 1 5 Misalkan matriks A = − 1 6 − 5 dan matriks − 3 0 1
2 4 − 1 B = − − 3 0 1 − 1 6 − 5
3 0 1 1 2 4 6 1 5 2 4 − 1 + = + A B ) −− + − 1 1 ) ( + 6 6 + − 5 ) ( + 2 2 + 4 4 + − ) 1 ( + − 3( + 0 0 + 1 1
2 4 0 0 12 8 0 0 2 + = A B − 3 0 1 − 1 6 − 5 −
2 4 − 1 3 0 1 1 2 4 6 1 5 B A+ = + + 2 2 + 4 4 − + 1 1 − + 3 3 + 0 0 + 1 1 − + − ) 1 ( 11 + 6 6 − + 5 5
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK − 3 0 1 − 1 6 − 5 −
3 0 1 1 2 4 6 1 5 2 4 − 1 B A+ = + + 2 2 + 4 4 − + 1 1 − + 3 3 + 0 0 + 1 1 − + − ) 1 ( 11 + 6 6 − + 5 5
0 2 4 0 12 8 0 0 2 B A+ = Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa A	+	B = B	+	A. Mari kita buktikan secara umum bahwa operasi penjumlahan pada matriks memenuhi sifat komutatif. Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Elemen-elemen matrik A dan B adalah bilangan real yang disajikan sebagai berikut.
a 13 a 23 a 33 . . . a n . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . a 1 k a 2 a 3 . . . a nk a 11 a 21 a 31 . . . a 1 n a 12 a 22 a 32 . . . a n k k = A dan 2 3
b 13 b 23 b 33 . . . b n . . . . . .. . . . . . . . . , . . . . . . b k 1 b 2 b 3 . . . b nk b 11 b 21 b 31 . . . b 1 n b 22 1 b 22 b 32 . . . b n k k = B 2 3 62
Matematika
a 11 a 21 a 31 . . . a 1 n a 12 a 22 a 32 . . . a n a 13 a 23 a 33 . .. . a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1 k a 2 a 3 . . . a nk k k + = + A B 2 3
b k 1 b 2 b 3 . . . b nk b 11 b 21 b 31 . . . b 1 n b 12 b 22 b 32 . . . b n b 113 b 23 b 33 . . . b n . . . . . . . . . . . . . . , . . . . .. . k k 2 3 + + + + + + + + + + + +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1 k a 2 a 3 b 1 k b 2 b 3 a 11 a 21 a 31 b 11 b 21 b 31 a 12 a 22 a 32 b 12 b 22 b 32 a 13 a 23 a 33 b 13 b 23 b 33 kk k k k = . . . + . . . + . . . + . . . + aa 1 n b 1 n a n b n a n b n a nk b nk . . . 2 2 3 3 Karena nilai aij dan bij untuk setiap i dan j adalah bilangan real, maka nilai aij	+	bij sama dengan nilai bij	+	aij atau aij	+	bij = bij	+	aij. Dengan demikian hasil penjumlahan A	+	B = B	+	A. Latih siswa berpikir ana- litis melalui pembuktian sifat-sifat penjumlahan matriks secara deduktif dan berikan contoh untuk menerapkan sifat-sifat yang telah dipelajari. Sifat 2.1 Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika A +	B = B + A. 63
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 2.3 − 2 x 4
y y 1
5 2x 3 y− Diberikan matriks A = dengan hasil dan B = x
. Tentukan matriks 1 8 16 2 penjumlahan matriks B	+	A = A dan B! Alternatif penyelesaian Berdasarkan	Definisi-2.2	di	atas,	A	+	B = B	+	A, sehingga diperoleh − 2 x 4
y y 1
5 2x 3 y− A	+	B = + x − + + y 3 − + y
x y + 2 x 5 = x 2 4 1 Berdasarkan	Definisi-2.2	di	atas,	A	+	B = B	+	A, sehingga diperoleh + − + y 3 − + y
1 8 16 2
x y + 2 x 5 = x 2 4 1 Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperoleh x - 2y	+	5	=	1;	y	+	3	=	8;	2x	+	4	=	16,	dan	x - y	+	1	=	2.	Dari	keempat persamaan ini diperoleh nilai x, dan y. 2x	+	4	=	16	diperoleh	x	=	6. y	+	3	=	8	maka	y	=	5 − x 2 4
y y 1 − 4 5 1 4
= dan Dengan demikian matriks A = 5 3 12 1
matriks B =
Matematika Meminta siswa untuk me- mecahkan masalah beri- kut dan mencermati sifat yang muncul dari pen- jumlahan elemen-elemen matriks. Bagaimana si- fat penjumlahan matriks dapat dilahirkan dari ha- sil perpaduan penilaian Juri I, II, dan III, sehing- ga hasil penilaian peserta lomba dapat ditetapkan secara berkeadilan. c. Sifat Asosiatif Penjumlahan Matriks Masalah-2.4 Pada suatu acara perlombaan masak pada acara 17 Agustus di SMA yang terdiri dari tiga sekolah, terdapat tiga peserta perwakilan dari masing-masing sekolah. Terdapat tiga orang anggota tim juri menilai dari setiap hasil masakan dari masing-masing sekolah, dengan nilai rentang nilai 6 sampai 10. Tabel nilai tersebut adalah Tabel persediaan mangga sebelum penambahan Juri I Juri II Juri III SMA I SMA II SMA III 8 7 10 8 8 8 9 8 8 Alternatif penyelesaian Misalkan: •	Nilai	dari	juri	I	untuk	masing-masing sekolah:
8 10
SMAI
7 SMAII
SMAIII Nilai	juri	II	untuk	masing
masing sekolah:
8 8 8
SMAI
SMAII SMAII
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Nilai	juri	III	untuk	masing-masing sekolah:
SMAI 9
SMAII SMAII
Alternatif penyelesaian
9 8 8
8 8 8
8 7 10 + + (I	+	II)	+	III =
16 15 18 9
atau 26
8 8 8 8 8
8 10 9 + + 7 I	+	(II+III)	=
17 16 16
8 10 25 = + 7 23 = 26 Dari penyelesaian tersebut dapat diketahui peringkat I	adalah	SMA	III,	Peringkat	kedua	adalah	SMA	I,	dan	peringkat	ketiga	adalah	SMA	II.	Selanjutnya	dapat	disimpulkan	bahwa	matriks	I	+	(II	+	III)	=	(I	+	II)	+	III.	Hal	ini dinamakan sifat asosiatif operasi penjumlahan pada matriks. 66
Matematika Contoh 2.4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3 −3 2 −5 4 0 8 −3 6 −2 4 −4 Misalkan A = , B = , dan ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −1 8 2 0 −5 0 C = ⎛ 8 −3 ⎜ 6 −2 ⎜ 4 −4 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 8 −3 ⎟ 6 −2 ⎟ 4 −4 ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3 −3 2 −5 4 0 A	+	(B	+	C) = + + ⎞ 0 ⎟ −5 ⎟ ⎠ 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 8−3 −1 ⎟ 6−2 8 ⎟ 4−4 ⎠ 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 8 −4 1 6 4 −2 3 −3 2 −5 4 0 = + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 11 −7 1 3 2 4 A	+	(B	+	C) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ 8 −3 3 −3 ⎟ ⎜ 6 −2 2 −5 ⎟ ⎜ 4 −4 ⎠ ⎝ 4 0 ⎞ 8 −3 ⎟ 6 −2 ⎟ 4 −4 ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 8−3 ⎟ 6−2 ⎟ 4−4 ⎠ (A	+	B)	+	C = + + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −1 8 2 0 −5 0 67
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −1 8 2 11 −6 −7 8 0 4 0 −5 0 = + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 11 −7 1 3 2 4 = Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 11 −7 1 3 2 4 A	+	(B	+	C) = (A	+	B)	+	C = Sifat 2.2 Misalkan matriks A,	B dan C berordo n x k. Penjumlahan matriks A,	B dan C memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A +	(B+C) = (A+B) + C. Mengorganisasikan siswa belajar dalam kelompok dan melakukan diskusi interaktif untuk memecah- kan masalah berikut dan meminta siswa menyaji- kan masalah dalam pe- ngurangan buah matriks serta menganali- sis sifat-sifat pengurangan dua matriks. Menanyakan apakah sifat-sifat opera- si penjumlahan matriks masih dalam berlaku operasi pengurangan dua matriks? 2. Pengurangan Dua Matriks Sebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh masalah berikut ini. dua 68
Matematika Masalah-2.5 Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10 % dari harga perolehan sebagai berikut: Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks! Harga Perolehan (Rp) Jenis Aktiva Penyusutan Tahun I (Rp) Harga Baku (Rp) Mesin A Mesin B Mesin C 25.000.000 2.500.000 65.000.000 6.500.000 48.000.000 4.800.000 Alternatif penyelesaian Misalkan: ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 25.000.000 Harga	perolehan	merupakan	matriks	A = 65.000.000 48.000.000 Penyusutan tahun pertama merupakan matriks ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2.500.000 B = 6.500.000 4.800.000 Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 25.000.000 2.500.000 22.500.000 − = A - B = 65.000.000 6.500.000 58.500.000 48.000.000 4.800.000 43.200.000 69
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B	didefinisikan	sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks -B, ditulis: A-B=A+(-B). Matriks -B merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian dengan matriks B. Mengorganisasikan siswa belajar dalam kelompok dan melakukan diskusi interaktif untuk memecah- kan masalah berikut dan meminta siswa menyaji- kan masalah dalam pe- ngurangan buah matriks serta menganali- sis sifat-sifat pengurangan dua matriks. Menanyakan apakah sifat-sifat opera- si penjumlahan matriks dalam berlaku masih operasi pengurangan dua matriks? 3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks. Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A - B = A+	(-B), (-B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan -1	dengan	semua	elemen	matriks	B.	Artinya,	matriks	(-B) dapat kita tulis sebagai : dua -B = k.B, dengan k = -1. Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan A suatu matriks berordo m × n dengan elemen-ele- men aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m × n dengan elemen-elemennya diten- tukan oleh : cij = k.aij (untuk semua i dan j ). 70
Matematika Contoh 2.5
− −
2 4 −
a) Jika T =
4 12
− 4 −
× − ( × − ( × 2 12 × − ( × − ( × 2 5 − 2 2 ) 4 ) 2 4 ) 4 ) 8 Maka 2.H	= = − 2 2 8 10 . 24 10 18
60 15 b) Jika S = , Maka 9 24 − − 3 18 3 12
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 × × × 18 60 15
6 20 5 1 3 × × × 9 24 18 3 6 8 − − 1 S = = 1 4 1 3 × − ( × − ) ( 3 × ) 12 3 16 , Maka 1 4 40 36 P +	3 4 c) Jika P = P 24 60 72
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 4 3 4 3 44 3 4 3 4 3 4 × × × × × × 40 12 40 36 12 36 + = × × × × × × 24 60 72 24 60 72
9 18
12 18
12 24
4 6 10 15 30 45 27 54 40 60 36 72 + = = P = 71
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Mengorganisir siswa da- lam mengamati data per- sediaan barang dalam beberapa toko yang di- miliki sebuah perusahaan multinasional. Meminta siswa menyajikan data dalam bentuk matriks dan memikirkan secara logik bagaimanan menentukan nilai barang yang terse- dia di setiap toko sesuai daftar harga masing- barang. jenis masing Selanjutnya mengarah- kan siswa untuk memba- ngun konsep perkalian matriks yang diturunkan dari langkah-langkah pe- mecahan masalah yang diajukan. 4. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifat- nya Masalah-2.6 P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan tersebut memiliki beberapa toko penjulan di	beberapa	kota	besar	di	Indonesia.	Persediaan	alat- alat olah raga di setiap toko disajikan pada tabel berikut. Tabel 1.1: Alokasi setiap sumber yang tersedia Jenis Alat Musik Sumber Sekso- pon Piano Gitar Terompet Medan 95 68 85 75 Suraba- ya 70 57 120 80 Makasar 85 60 56 90 Yogya 45 90 87 64 Bandung 75 54 90 65 Tabel di bawah ini menyatakan harga satu buah untuk setiap jenis alat musik Jenis Alat Musik Harga (Rp) Piano 15.000.000,- Gitar 1.500.000,- Terompet 5.000.000,- Seksofon 5.000.000,- 72
Matematika Setiap toko di masing-masing kota telah berhasil menjual berbagai jenis alat musik yang disajikan pada tabel berikut. Jenis Alat Musik Kota/ Terjual Piano Gitar Terompet Seksopon Medan 85 56 84 70 Surabaya 55 52 85 65 Makasar 80 48 43 86 Yogya 42 60 67 62 Bandung 72 51 78 60 Amatilah data di atas dan tentukan nilai dari a. Nilai persediaan alat musik seluruhnya! b. Penghasilan kotor perusahaan P.T Melodi Alternatif Penyelesaian Misalkan P adalah matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota dan matriks H adalah matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik serta T adalah matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual di setiap kota. Matriks P, H, dan T dapat ditulis sebagai berikut. Jenis Alat Musik Kota/ Terjual Piano Gitar Terompet Seksopon Medan 85 56 84 70 Surabaya 55 52 85 65 Makasar 80 48 43 86 Yogya 42 60 67 62 Bandung 72 51 78 60 73
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 75
95 68
15000000 1500000
70 57
120 80
85 60
56 90
P =
dan H =
dan 5000000
45 90
87 64
5000000
75 54
90 65
70 65
84 56 52 85
85 55
86 43
48 80
T =
62 67
60 42
78 51
95 68
15000000
70 57
120 80
1500000
×
85 60
56 90
Nilai Barang Keseluruhan =
5000000 45
90 87
64 5000000
75 54
90 65
+ ) 95 15000000 + 70 1500000 + ) 68 1500000 + + + ( ( ) 85 5000000 ( 75 5000000 ( )
) 00 ) 85 15000000 ( ( ) 57 1500000 ( ) 000000 ( 60 15 ( + ( + (( 87 ) 5000000 + 90 5000000 ( ) 120 5000000 + ) 56 5000000 80 5000000 ) ) 90 5000000 ( ( + + = + 45 15000000 ( ) ) 90 1500000 ( ( ) 64 5000000 65 5000000 ) + ++ 75 15000000 ( ) 54 1500000 ( ) ) (
+ 1425000000 102000000 +
425000000 375000000
1050000000 1275000000 00 8550000 80000000 600000000 280000000 400000000 0000 450000 + + + = + 675000000 135000000 + + 435000000 320000000 + + + 11255000000 810 000000 450000000 325000000 2327000000
2135500000 2805000000
7640000000 1981000000
Matematika Berdasarkan hasil perhitungan di atas, diperoleh nilai barang keseluruhan di setiap toko di masing-masing kota adalah 2327000000
Medan
Surabaya 2135500000
Nilai	Inventori	Barang	=
Makasar 2805000000
Yogya 7640000000
Banduung 1981000000
Berdiskusilah dengan temanmu, coba tentukan nilai barang yang terjual di setiap toko di kota. Masalah-2.7 Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut. Sepeda Motor (Unit) Handphone (Unit) Komputer (Unit) Cabang 1 7 8 3 Cabang 2 5 6 2 Cabang 3 4 5 2 Harga Handphone (jutaan) 2 Harga Komputer (jutaan) 5 Harga Sepeda Motor (jutaan) 15 75
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang. Alternatif Penyelesaian Tidaklah sulit menyelesaikan persoalan di atas. Tentunya kamu dapat menjawabnya. Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep matriks.
7 8 3 Kita misalkan matriks C3	× 3 = , yang 5 6 2 4 5 2 merepresentasikan jumlah unit setiap peralatan yang 15 2 5 dibutuhkan di setiap cabang, dan matriks D3×1 = , yang merepresentasikan harga per unit setiap peralatan. Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang, kita peroleh sebagai berikut. Cabang	1	Total	biaya	=	(7	unit	handphone	× 2	juta)	+	(8	unit	komputer × 5	juta)	+	(3	unit	sepeda	motor	× 15	juta). =	Rp99.000.000,00 Cabang 2	Total	biaya	=	(5	unit	handphone	× 2	juta)	+	(6	unit	komputer × 5	juta)	+	(2	unit	sepeda	motor	× 15	juta) =	Rp70.000.000,00 Cabang	3	Total	biaya	=	(4	unit	handphone	× 2	juta)	+	(5	unit	komputer × 5	juta)	+	(2	unit	sepeda	motor	× 15	juta) =	Rp63.000.000,00 Jadi total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks berikut: 76
Matematika
− − − Rp Rp Rp , 99 000 000 , 70 000 000 , 63 000 000 . . . . . . E × 3 1 Matriks C berordo m × p. Elemen-elemen matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-i dari matriks A terhadap elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan cij=ai1. b1j+ai2.b2j+ai3.b3j+.	.	.+ain.bnj Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap elemen baris pada matriks C berkorespondensi satu-satu dengan setiap elemen kolom pada matriks D. Seandainya terdapat satu saja elemen baris ke-1	pada	matriks	C tidak memiliki pasangan dengan elemen kolom ke-1	pada	matriks	D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D. Banyak perkalian akan berhenti jika setiap elemen baris ke-n pada matriks C sudah dikalikan dengan setiap elemen kolom ke-n pada matriks D. Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut. Misalkan matriks Am×n dan matriks Bn×p, matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom B.	Hasil	perkalian	matriks	A berordo m × n terhadap matriks B berordo n × p adalah suatu matriks berordo m × p. Proses menentukan elemen-elemen hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.
b p 1 b 2
a 13 a 23 a 33 a m a 11 a 21 a 31 a m 1 a 12 a 22 a 32 a n 1 a 2 a 3 aamn b 13 b 23 b 33 b n b 11 b 21 b 31 b n b 12 b 22 b 32 b n
p n
, dan =
b 3 B
× m n n
× n p
bbnp a m
3 77
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Am × n terhadap matriks Bn × p, dinotasikan C=A.B, maka ▪	Matriks	C berordo m × p. ▪	Elemen-elemen	matriks	C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-i dari matriks A terhadap elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan cij = ai1.b1j +	ai2.b2j +	ai3.b3j +	...	+	ain.bnj Definisi 2.3 Misalkan A = [aij] adalah matriks yang berordo m × p dan B = [bij] adalah matriks yang berordo q × n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m × n dinotasikan A × B = C = [cij] berordo m × n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: cij = ai1 b1j + ai2 b2j	+ ai3 b3j	+ ...+ aip bpj, dengan i = 1,2,3, ..., m; dan j = 1,2,3,...,n. Catatan:	Matriks	A	dan	B	dapat	dikalikan	apabila	banyak	kolom	matriks	A	sama	dengan	banyak	baris	matriks	B. Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan konsep di atas! Contoh 2.6 Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a) Diketahui matriks A3	×	3 = dan B3	×	3
b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 b 13 b 23 b 33 = matriks hasil perkalian matriks A dan 78
Matematika
b 13 b 23 b 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 22 3 matriks B, A.B = .
+ + + + + . a b 12 23 + 22 b . a 23 2 + . a b 32 + . a b 11 11 . a b 11 21 . a b 11 31 . a b 21 12 . a b 22 a 32 . a b 31 13 . a b 23 a b . 33 a b . 12 11 a b . 21 12 . a b 31 12 a b . 22 12 a b . 22 . a b 32 a b . 32 13 a b . 22 23 3 . a b 33 . a b 11 13 . a b 21 13 . a b 31 13 . a b 13 33 a b . 23 . a b 33 = + + + + + 33 21 b .. 21 31 22 + + + + + 31 22 32 23 33 Sekarang, silahkan tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks? Berikan alasanmu! b) Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 5 perkalian dua matriks di atas, diperoleh:
2 3 4 3 4 . , dengan menggunakan konsep 1 2 0 6
4 10 16
1 2 .
+ . ++ 1 3 + . 3 3 + + + + 1 . 2 1 2 2 . . 4 2 2 4 . 1 4 . 3 4 . 2 0 . 4 0 77 17 4 12
2 3 4 + + = = 3 . 3 2 . 4 1 . . 1 2 0 5 6 . 5 2 . 6 1 . 5 3 . 6 2 . 5 4 . 6 0 27 20 Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a) dan b), silahkan periksa apakah matriks
dapat dikalikan terhadap matriks 2 3 4 3 5 4 6 ? Berikan 1 2 0 Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh lebih memahami untuk sifat-sifat operasi per- kalian matriks. Pastikan bahwa siswa mengetahui bahwa operasi perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif, tetapi me- menuhi sifat assosiatif. penjelasanmu! a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks 12 3 ; B = 1 − 2 1 − 1 5 5 3 − C = Misalkan Matriks A = 1 1 12 12 − 3 × 1 1 5 5 3 − A × B = 12 79
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK − + 25 − + 11 − − − + 25 − 60 12 − 12 11 35 48 dapat perhitungan Berdasarkan disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif sebab A × B ≠ B × A − 15 3 − 36 1 36 A × B = 60 12 35 3 × 1 12 1 − + 36 15 12 A × B = 48 5 3 − 5 B × A = 12 3 B × A = − 36 1 B × A = hasil di atas, Mari kita cek sifat asosiatif! 5 12 12 34 − 1 − 2 × 1 8 − 13 − 3 × 12 1 − 3 × 1 83 5 3 − A × (B × C) = 1 1 5 7 A × (B × C) = 23 1 A × (B × C) = 61 Sekarang perhatikan hasil perkalian matriks − 1 3 × 12 1 12 × 35 12 11 − − 3 2 × − 1 − 1 1 5 5 (A × B ) × C = 1 1 2 (A × B ) × C = − 48 1 83 Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan A × (B × C) = (A × B) × C. 34 − 1 (A × B ) × C = 61 80
Matematika Sifat 2.3 Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan m,	n,	p,	q	∈	N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A × (B × C) = (A ×	B) × C. Perhatikan kembali matriks A, B, dan C di atas. 3 − ; B = 1 − 3 × 1 12 − 3 × 13 1 10 24 12 − 2 1 1 1 1 1 2 0 5 5 3 − Matriks A = dan C = 1 12 − 2 12 12 24 − 5 5 3 − + A × (B	+	C) = 1 1 5 3 = = 23 (A × B)	+	(A × C ) = − 5 3 5 × 12 1 12 11 12 − 35 10 24 − 24 23 −− 3 2 × 1 1 1 1 5 12 − 2 3 − 1 13 + 11 + = − 48 25 = Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa A × (B	+	C) = (A × B)	+	(A × C). Sifat 2.4 Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q ∈N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi pen-jumlahan matriks jika dan hanya jika A × (B + C) = (A × B) + (A × C). 81
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks A berordo p × q. Contoh 2.7 − 0 1 1 0 . Tentukanlah A2013 Diketahui matriks A = Alternatif Penyelesaian Mari cermati langkah-langkah berikut! 1 1 − Jika A2 = -I, maka A4	=	I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A	kelipatan	4,	akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya,	2013	dapat	kita	tuliskan	sebagai	berikut: 2013=4.(503)+1.	Akibatnya, A2013	= A(4.(503)+1)	= (A4 )503	.A1. Matriks A4	= I, dan In = I,n =	1,2,3,...,	akibatnya	berlaku, − 0 − 0 1
1 0 − 1 0 A2 = A.A = = = − == −1 1 . . 1 0 1 0 0 0 1 − 0 1 1 0 . (A4 )503	=	I.	Oleh	karena	itu, A2013	= I.A = A = Dari	hasil	pembahasan	Contoh	2.7,	secara	umum	dapat	kita	nyakan	dalam	definisi	berikut	ini. Arahkan untuk mencermati pertanyaan kritis di samping. A4=I belum tentu berlaku un- tuk sebarang matriks A. Misalkan matriks 1 1 1 1 siswa Definisi 2.7 Misalkan matriks A berordo p × q dan n ∈ N. A n = × × ×... A A A A n faktor − 0 1 A2013 pada contoh di atas, dengan A=
, kebetulan 1 0 A = memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun, jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan An, n bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks A sebanyak n faktor.
8 8 8 8 A4= 82
Matematika Pertanyaan Kritis:	Apakah	A4	=	I	berlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ? Uji Kompetensi 2.1 Berikan soal-soal pada Uji Kompetensi 2.1 se- bagai pekerjaan rumah sesuaikan dengan materi yang telah dipelajari. Hal ini berguna untuk me- ngukur penguasaan siswa terhadap konsep dan prin- sip matematika yang telah dipelajari. 1.	Hasil	penjumlahan	matriks	4 2 9 3 5 p + 3 8 5 2 5 3A = B, Tentukan nilai p dan q!. + p 2 6 + p 6 + = . Tentukan nilai p dan q!. 3 q
6 Bila 3+ p 2 2. Misalkan matriks A = B = 6 q 3.	Diberikan	matriks	A = − 2 − 35 − 26 3 4 3 3.	Diberikan	matriks	A = − 2 − 35 − 26 3 4 3 2 B = − 5 Tunjukkan bahwa A	+	B = B2.	+	C. 6 dan C = 3− − 4 3 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 4.	Tentukanlah	hasil	perkalian	matriks-matriks berikut! 1 2 0 2 5 4 − 1 0 0 1 1 0 2
1 5 2 4 c. 0 1 0 1 3 0 1
1 0 0 1 3 2 − 5.	Apa	yang	dapat	kamu 3 0 1
b. 2 7 1 6 5 7 d. 0 1 0 3 4 5 0 0 1 5 6 3 tentang	operasi	pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C? Paparkan di depan kelas! jelaskan 6.	Berikan	dua	matriks	yang	memenuhi	kesamaan: i. (A	+	B)2 = A2	+	B2 ii. A2 - B2 = (A - B).(A	+	B) 83
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 7.	Seorang	agen	perjalanan	menawarkan	paket	perjalanan	ke	Danau	Toba.	Paket	I	terdiri	atas	3	malam	menginap,	2	tempat	wisata	dan	4	kali	makan.	Paket	II	dengan	4	malam	menginap,	5	tempat	wisata	dan	8	kali	makan.	Paket	III	dengan	3	malam	menginap,	2	tempat	wisata	dan	tidak	1	makan.	Sewa	hotel	Rp	250.000,00	per	malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00,	dan	makan	di	restoran	yang	ditunjuk	Rp	75.000,00.	a) Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. b) Paket mana yang menawarkan biaya termurah? 8. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini. Eksekutif Ekonomi AC Umum 40 42 41 Mahasiswa 33 41 35 Pelajar 30 39 28 Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada tabel berikut. Kategori penumpang Jumlah penumpang Umum 123 Mahasiswa 109 Pelajar 94 84
Matematika Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut? 9.	Tentukanlah	B3	-	4 B2	+	B	-	4 I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo	3	×	3	dan	matriks 1 1 2 9.	Tentukanlah	B3	-	4 B2	+	B	-	4 I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo	3	×	3	dan	matriks 1 1 2 9.	Tentukanlah	B3	-	4 B2	+	B	-	4 I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo	3	×	3	dan	matriks 1 1 2 9.	Tentukanlah	B3	-	4 B2	+	B	-	4 I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo	3	×	3	dan	matriks 1 1 2 9.	Tentukanlah	B3	-	4 B2	+	B	-	4 I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo	3	×	3	dan	matriks 1 1 2 1 2 1
1 2 10.	Jika	matriks	D = 1 2 10.	Jika	matriks	D = 1 2 2 1 , maka tentukanlah matriks 1 1 D3-	4D2 +	D +	4.I,	dengan	matriks	I	merupakan	matriks	identitas	berordo	3	× 3 11.	Tentukanlah	nilai	x dan y yang memenuhi syarat berikut ini!
dan R2 =	I p 2 a) R = 0 q . 3 . 2 1 dan S 2 = p.S + q.I 5 − − b) S = I adalah matriks identitas berordo 2×2. Projek Tugas proyek ini, sebagai tugas kelompok. Setelah tugas ini dikerjakan da- lam waktu tertentu, minta siswa untuk menyajikan laporannya di depan ke- las.Gunakan rubrik pe- nilaian projek yang telah disajikan di bagain akhir buku ini. Rancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. 85
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Guru mengorganisasikan siswa belajar dengan beberapa mengajukan masalah terkait pene- muan konsep dan si- fat-sifat determinan dan invers matriks. Siswa di- arahkan mengamati ma- salah, menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan, memikirkan berbagai konsep dan si- fat-sifat matriks yang terkait untuk pemecahan masalah. 5. Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks. Masalah-2.8 Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan teman-temannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya? Alternatif Penyelesaian Cara I Petunjuk	:	Ingat	kembali	materi	sistem	persamaan	linier	yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks. Misalkan : x = harga satu porsi ayam penyet y = harga es jeruk per gelas Sistem	persamaan	linearnya	:	3x	+	2y	=	70.000 5x	+	3y	=	115.000 Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :
70 000 . . 115 000
3 5 2 3 x y = ... (1) Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel.
x =. y + + = = a x 1 a x 2 b y 1 b y 2 c 1 c 2 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 cc2 → 86
Matematika Solusi persamaan tersebut adalah: . b c . a c 1 2 1 2 . a b . a b 2 1 1 2 − − . b c 2 1 . a b 1 2 − − . a c 2 1 . a b 2 1 Ø	Ingat	kembali	bagaimana	menentukan	himpunan	penyelesain	SPLDV.	Tentunya,	kamu	mampu	menunjukkannya. = dan y , a1b2 ≠	a2b1 ... (2) x = Arahkan siswa mengi- ngat kembali bagaimana himpunan menentukan penyelesain SPLDV dengan cara (2) di atas. Selanjutnya memperke- nalkan nilai determinan suatu matriks. Cara II Dalam konsep matriks, nilai a1.b2 - a2.b1 disebut sebagai
, dinotasikan a 1 a 2 b 1 b 2
a 1 a 2 b 1 b 2 determinan matriks atau
a 1 a 2 b 1 b 2 det (A), dengan matriks = A Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (2), dapat ditulis menjadi: a 1 a c 1 c 2 c 1 c 2 b 1 b 2 2 = dan y ... (3) = x a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 0¹ . dengan Kembali	ke	persamaan	(1),	dengan	menerapkan	persamaan (3),	maka	diperoleh: . 70 000 2 . 115 000 3 − 210 000 230 000 − 9 10 − . . . 20 000 − 1 x = = = = . 20 000 3 5 2 3 3 5 70 000 . . 115 000 − 345 000 350 000 − 9 10 − . . . 5 000 − 1 yy = = = = . 5 000 3 5 2 3 87
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jadi,	harga	satu	porsi	ayam	penyet	adalah	Rp20.000,00	dan	harga	satu	gelas	Jus	adalah	Rp5.000,00. Notasi Determinan
. Determinan dari matriks A a b Misalkan matriks A = c d a c b d dapat dinyatakan det A ( ) = = = − ad bc A Meminta siswa mencer- mati beberapa contoh berikut dan menentukan nilai determinan dari matriks yang diberikan serta menemukan sifat-si- fat determinan matriks b. Sifat-Sifat Determinan. − − 4 − 1 − 3 dan matriks Misalkan matriks A = 3 4 − − 1 2 2 B = 4 3 − − 1 2 ( ) = = = − + = 3 8 det A A 5 − − 3 4 − ( ) = = = − − = − 3 8 det B B 5 − 2 1 jadi A B'	=	25 3 4 − − 2 − 17 Dengan demikian det 17 − − 2 1 − 16 − 4 − 1 3 . Matriks A × B = = 8 9 − − 16 ×( A B ) = = = − + 153 128 = − AB 25 8 9 Sifat 2.5 Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m ∈ N. Jika determinan matriks A dinotasikan A dan determinan matriks B dinotasikan B , maka AB = . A B . 88
Matematika Contoh 2.8 Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.
dan matriks B =
4 5 1 2 Diketahui A = . 2 6 3 4 = Tunjukkan bahwa A B . . A B ! Alternatif Penyelesaian Sebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:
19 28 28 4 5 1 2 = = A B. . . 2 6 3 4 20 Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh 19 28 = = − A B. 28 . 20 28 Sekarang kita akan bandingkan dengan nilai A B. . Dengan
Maka A	=	14,	dan	B =
4 5 1 2 matriks A = Maka 2 6 3 4 .= = −28 =	14.(-2)	=	-28	A B . A B B = -2 nilai A B. Arahkan untuk menyelesaikan soal tan- tangan di samping. Latih siswa berpikir deduktif untuk membuktikan kebe- naran	|A.B.C|=|A|.|B|.|C| siswa Soal Tantangan.... •	Selidiki	apakah	|A.B.C|=|A|.|B|.|C|	untuk	setiap matriks-matriks	A,B,	dan	C	berordo	n×n. Jika	matriks	A	adalah	matriks	persegi,	dan	k	adalah	skalar.	Coba	telusuri,	nilai	determinan	matriks	k.A. 89
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 2.9
a b Sebuah matriks P ordo 2 × 2 dengan P dengan a, b, c, = c d d ∈R. Jika determinan P adalahα , denganα ∈R. tentukan-
a - xc sa b - xd sb dengan lah determinan matriks Q x, y ∈ R. = Alternatif Penyelesaian , dan determinan matriks P adalahα , b = ad - bc = α Elemen matriks Q memiliki hubungan dengan matriks P, yaitu: q21	= hasil kali skalar x terhadap p21	- hasil kali skalar a b = Jika P c d a maka berlaku c d s terhadap p11. q22 = hasil kali skalar x terhadap p22 - hasil kali skalar s terhadap p12. Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks Q menjadi kelipatan matriks P. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Beri penjelasan pada siswa, bahwa jika elemen salah satu baris atau ko- lom sebuah matrik dika- likan dengan x bilangan real, maka determinannya sama dengan x dikalikan nilai determinan matirks sebelumnya. → → a - xc sa b - xd sb baris baris 1 2 Q = Elemen	baris	1	matriks	Q	=	elemen	baris	1	matriks	P. Mereduksi dalam hal ini adalah mengoperasikan elemen baris 2 matriks Q menjadi elemen baris 2 matriks P. Unsur q21 dapat dioperasikan menjadi: (q21 )* = s.q11	+	q21, akibatnya kita peroleh: 90
Matematika → → a xc b xd baris baris 1 2 * Q = . Menurut sifat determinan matriks (silahkan minta penjelasan lebih lanjut dari guru Matematika), maka
a c b d a c b d α jadi Q = xa = Q x . = = α x , . Soal Tantangan.... Misal	matriks	P	adalah	matriks	berordo	3×3,	dengan	|P|=α	dan	matriks	Q	berordo	3×3	dan	mengikuti	pola	seperti	contoh	di	atas. Tentukan	determinan	matriks	Q. Ajukan contoh di sam- ping untuk menunjukkan kepada siswa, bahwa de- terminan sebuah matriks sama dengan determinan transpos dari matriks matriks tersebut. Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat kembali menentukan transpose sebuah matriks yang sudah dan matriks transpose 1 3 4 − − 2 dipelajari, Matriks A = dari matriks At 3 4 2 − 1 − . − 2 − 3 4 ( Determinan adalah det A ) = t t = − + = 3 8 A 5 1 Perhatikan dari hasil perhitungan det(A) dan det(At) diperoleh det(A) = det(At). Sifat 2.5 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A ( � dan det A ) =1 − − A ( ) = 1 A maka 91
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Masalah-2.9 Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut. Kategori Airbus 100 50 Airbus 200 Airbus 300 Kelas Turis 75 40 Kelas Ekonomi 30 45 25 Kelas VIP 32 50 30 Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut. Kategori Jumlah Penumpang Kelas Turis 305 Kelas Ekonomi 185 Kelas VIP 206 Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut? Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan: x :	banyaknya	pesawat	Airbus	100	y :	banyaknya	pesawat	Airbus	200	z :	banyaknya	pesawat	Airbus	300 92
Matematika Sistem persamaan yang terbentuk adalah: 25 30
185 206
305
00 5 30 x
50 x
75 y
40 z
75 40
305
↔ + + + + = = = . y 30 32 x x 45 50 y y 25 z z 30 185 206 45 50 32 z Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular. Cara untuk menentukan det (A), dengan Metode Sarrus. berikut:
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Misalnya matriks A × 3 3 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 3 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 3 a 11 a 11 2 a 31 a 12 a 22 a 32 = = + . a a a . 12 23 − a a a . . 33 12 + − − . a a a . 11 22 33 . 111 a a a . 32 . a a a . 13 . a a a . 31 31 21 32 22 13 23 21 Bantu siswa menentu- kan nilai x, y, dan z pada Masalah dengan 4.9 menggunakan cara de- terminan. Ingatkan siswa penyelesaian tentang sistem persamaan linear tiga peubah yang sudah dipelajari sebelumnya di Kelas X SMA. Untuk	matriks	pada	Masalah	4.9, - - 40 50 - 75 50 75 40 50 75 = 30 45 25 30 45 25 30 45 32 50 30 32 50 32 30 + + 50 + = + − + − − ( 50 45 30 ) ( 50 25 50 ) = - . . . . ) ( 75 25 32 ) 300 30 75 ( . . . . ( 40 30 50 . . ) 32 45 40 ( . . ) 100 . Analog dengan persamaan (2), kita akan menggunakan determinan matriks untuk menyelesaikan persoalan di atas. 93
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 40 75 305 25 45 185 30 40 50 75 206 50 − − 300 100 = = = x 3 25 45 30 30 50 32 50 305 50 30 185 30 332 206 32 50 50 50 30 30 30 32 32 32 75 75 305 45 45 185 50 50 206 75 75 75 45 45 45 50 50 50 305 40 40 185 25 25 206 30 30 40 40 40 25 25 25 30 30 30 − − − − − − 200 300 100 100 100 100 = z = x y = = = = = = = 2 3 1 75 45 305 185 50 30 332 50 50 75 206 40 − − 200 100 = = = z 2 30 32 45 50 25 30 Oleh karena itu: Banyak	pesawat	Airbus	100	yang	disediakan	sebanyak 3	unit Banyak	pesawat	Airbus	200	yang	disediakan	sebanyak 1	unit Banyak	pesawat	Airbus	300	yang	disediakan	sebanyak 2 unit. Analog	dengan	cara	II	untuk	penyelesaian	masalah	Pembelian Tiket PRJ, coba kamu selesaikan masalah pengadaan pesawat ini dengan cara yang sama. Mintalah bimbingan dari gurumu. 94
Matematika c. Invers Matriks atas, kamu dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan cara berikut. Perhatikan sistem persamaan linier yang dinyatakan dalam matriks berikut, x 2 3 3 5 Perhatikan Masalah-2.8 di
. 70 000 . 115 000 = ↔ = −1 X = ↔ . AA X . B . A B . y Karena A adalah matriks tak singular, maka matriks A memiliki invers. Oleh karena itu, langkah berikutnya adalah menentukan matriks X. 3 . − 2 . 115 000 − . 70 000 1 = X 3 2 5 3 5 3
. 20 000
− −
. 20 000
x 1 − 1
. 5 000
. 5 000 y
− . 20 000 x = Diperoleh x	=	20.000	dan	y	=	5.000 − . 5 000 y Ditemukan jawaban yang sama dengan cara I. Tetapi perlu pertimbangan pemilihan cara yang digunakan menyelesaikan persoalannya. • Mengajak siswa untuk menemukan aturan untuk menentukan invers sebuah matriks berordo 2 × 2 dengan meninjau kembali langkah-langkah pemecahan masalah di atas. Membuat kesepakatan terkait batasan persyaratan yang diperlukan untuk menentukan invers sebuah matriks. siswa untuk Mengajak menemukan aturan un- tuk menentukan invers sebuah matriks berordo 2 × 2 dengan meninjau kembali langkah-langkah pemecahan masalah di atas. Membuat kesepaka- tan terkait batasan per- syaratan yang diperlukan untuk menentukan invers sebuah matriks. Misalkan A dan B adalah matriks yang memenuhi persamaan berikut. A. X = B... (4) Persoalan kita: bagaimana menentukan matriks X pada Persamaan	(4)? 95
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks, tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks a . Maka invers matriks b persegi, berordo 2 × 2, A = c d A, dinotasikan A(-1): d − c dengan a.d. ≠ b.c − b 1 − 1 - A = d a.d b.c ( ) d − c Salah satu sifat invers matriks adalah A(-1).A=A.A(-1)=I	Akibatnya persamaan (4) dapat	dimodifikasi	menjadi: A-1. A. X = A-1 B. (semua ruas dikalikan A-1). (A-1.A). X = A-1 B I.X = A-1 B X = A-1 B (karena I. X = X)... (5) Rumusan ini berlaku secara umum, dengan syarat det (A) ≠	0,	namun	ada	beberapa	teknik	yang	harus	diperhatikan.	Untuk selanjutnya akan dikaji pada subbab berikut.
− b disebut adjoint matriks A, dinotasikan adj(A). d Definisi 2.3 Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N. •	Matriks	A	disebut matriks tidak singular, apabila det(A)	≠	0. Matriks	A	disebut matriks singular, apabila	det(A)	=	0. •	A-1	disebut invers matriks	A	jika dan hanya jika	AA-1	=	A-1A	=	I,	dengan	I	adalah matriks identitas perkalian matriks. 96
Matematika Organisasikan siswa un- tuk membangun cara me- nentukan invers matriks berordo 3×3 melalui lang- kah-langkah pemecahan masalah nyata yang diaju- kan. Arahkan siswa beker- jasama dalam kelompok belajar dan mendorong siswa berinteraksi secara multiarah untuk mengaju- kan ide-ide secara bebas terbuka. Masalah-2.10 Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba, yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, dan makan di Singgalang Restaurant. Paket perjalanan yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan dengan biaya Rp2.030.000,00. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan dengan biaya Rp1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata dan 4 kali makan dengan biaya Rp2.500.000,00. Berapakah biaya sewa hotel tiap malam, satu kali transportasi dan satu kali makan? Alternatif Penyelesaian Misalkan x : biaya sewa hotel y : biaya untuk transportasi z : biaya makan Paket 1 Paket 2 Paket 3 Sewa hotel 4 3 5 Transportasi 3 4 5 Makan 5 7 4 Biaya Total 2.030.000 1.790.000 2.500.000 Dalam bentuk matriks adalah seperti berikut : x
2 030 000 . 1 790 000 .
4 3 5 . = 3 4 5 y . 2 5 5 7 4 z . . 000 000 Determinan	untuk	matriks	masalah	2.10	di	atas	: 97
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
4 3 5 4 3 5 4 3 A = 3 4 5 Maka det A = 3 4 5 3 4 5 7 4 5 ( ) − 7 4 5 ) − 7 ( ( × × 3 3 4 ) + ( ) = − ) + ( ( ) = × × 4 4 4 × × 3 5 5 × × 5 3 7 × × 5 4 5 × × 4 5 7 − 32 . . 2 030 000 . . 1 790 000 . . 2 500 000 3 4 4 3 7 5
3 4 7 5 5 4 5 5 4 17 520 000 . − 32 . x = = − = . 547 500
. . 2 030 000 . . 1 790 000 . . 2 500 000 5 3 4 5 4 3 4 7 5 5 5 4 4 3 5 18 960 000 . − 32 . y = = − = . 592 500
4 3 2 030 000 . . 3 4 1 790 000 . . 5 7 4 2 500 000 . . 3 5 3 740 000 . 32 . z = = − = . 116 875 − 3 4 5 5 7 4 Organisasikan siswa men- gamati sebuah matriks A, untuk menentukan matriks kofaktor A yang elemen-elemennya adalah nilai determinan sub ba- gian matriks A atau minor dari matriks A. Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00;	biaya	transportasi	adalah	Rp592.500,00;	dan	biaya	makan	adalah	Rp116.875,00 Cobalah kamu selesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu. 98
Matematika d. Metode Kofaktor Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j. Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij,	didefinisikan	sebagai	determinan	dari	sub	matriks	A berordo (n-1)	× (n-1)	setelah	baris	ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Misalkan matriks A =
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 minor elemen a11 adalah
a 22 a 32 a 23 a 33
sehingga M11
M11, M12, dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris	ke-1	dari	matriks	A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkan a 22 a 32 a 23 a 33 + + + i j i j i j = −( ) 1 = −( ) 1 = −( ) 1 C ij M dan c ij det( M ) ij 11 4 5 + 1 1 ) 1 = − ( = − c 11 19 7 4 3 5 3 4 + 1 2 ) 1 + 1 3 ) 1 = − ( = = − ( = 13 1 c 12 c 13 5 4 5 7 3 5 + 2 1 = − (( = c 21 1 ) 23 7 4 4 5 4 3 + 2 2 + 2 3 = − ( = − = − ( = − c 22 1 ) 9 c 23 1 ) 13 5 4 5 7 3 5 99 + 3 1 = − ( = − c 31 11 ) 5 4 5 4 3 5 5 4 3 3 4 + 3 2 + 3 3 = − ( = − = − ( = 1 ) 5 1 ) 7 c 32 c 33
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 4 5 + 1 1 ) 1 = − ( = − c 11 19 7 4 3 5 3 4 + 1 2 ) 1 + 1 3 ) 1 = − ( = = − ( = c 12 13 c 13 1 5 4 5 7 3 5 + 2 1 = − (( = c 21 1 ) 23 7 4 4 5 4 3 + 2 2 + 2 3 = − ( = − = − ( = − 9 1 ) 13 c 22 1 ) c 23 5 4 5 7 3 5 + 3 1 = − ( = − c 31 ) 11 5 4 5 5 3 4 3 4 3 + 3 2 + 3 3 = − ( = − = − ( = ) 1 ) 1 c 32 5 c 33 7 5 4 Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus : −
a a 13 a 33 a a a 13 a 23 a 12 a 22 22 a 32 23 a 33 21 + − + a 32 a a a 13 a 23 aa 11 a 31 a 13 a 33 a 11 a 21 21 a 31 23 a 33 − + − C(A)= a a a 11 a 11 2 a 11 a 31 13 a 12 a 32 a 12 a 21 a 31 22 a 32 + + − 22 19 13 − 1 − = 23 − 9 − 5 5 7 Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj(A) = (Cij)t, yaitu: c 12 t
− 5 5 − − c 11 c 13 c 19 23 −
Adj(
)A c
c 113
9 21
c c
c 1
13 7
31 32 33 Dari	masalah	2.10	di	atas,	diperoleh	inver	matriks	A. Dengan rumus : 1 det ( adj A ) − = 1 A A 100
Matematika Sehingga:
− 23 32 9 32 13 32 5 32 5 32 − 7 32 119 32 − 13 32 − 1 32
5 5 7 − − 19 13 1 23 − 9 13
1 − 32 1
− = 1
A adj
)A det
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA-1 = A-1A = I, dengan I adalah matriks identitas	3	×	3. Bentuk	matriks	permasalahan	2.10	adalah 5 5 4
. 000 . 2 030 0 1 790 000 . . 2 500 000 . . 4 3 5 3 4 7 x y z
Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi dan biaya makan, kita kalikan matriks A-1 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh
5 23
− 32 32 13 . . 2 030 000 × . . 1 790 000 . 2 500 000
− 1 A B
X 32
32 32
7 13
32 32 32 . 547 500 . 592 500 . 116 875
X =
Hasil	yang	diperoleh	dengan	menerapkan	cara	determinan	dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa	hotel	tiap	malam	adalah	Rp547.500,00;	biaya	transportasi	adalah	Rp592.500,00;	dan	biaya	makan	adalah	Rp116.875,00. 101
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan siswa mene- Arahkan mukan sifat-sifat invers matriks melalui berbagai contoh-contoh dan me- minta siswa untuk mem- buktikan sifat tersebut se- cara umum. Sifat 2.6 Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N. Jika det(A)	≠	0, A− =1 adj (A)dan AA-1 = A-1A = I, I 1 )A det( adalah matriks identitas perkalian matriks e. Sifat-Sifat Invers Matriks 3 2
− − 2 1 Misalkan matriks A = det	(A)	=	2(-2)	-	1(-3)	=	-1 − 3 2
3 2 − 2 2 − 1 det( 1 − 1 − = 1 = = A adj A ) ( − 1 1 A ) − 3 2
2 2 − 2 3 − 1 − det( A 1 − 1 − − 1 1 ( ) = − ( adj A 1 = = A = ) A 1 1 1 ) Perhatikan uraian di atas diperoleh bahwa (A-1)-1 = A. Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks Sifat 2.7 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. ( Jika det A � dan det A ( ) = 1 = 1/ ) =1 A 1 maka A A − − A 102
Matematika Sifat 2.8 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. det(A)	≠	0,	Jika	A-1 adalah invers matriks A, maka (A-1)-1 = A. Perhatikan pertanyaan, apakah (AB)-1	= B-1	× A-1 2 3 dan B= 2 − − 3 0 2 − 1 Misalkan matriks A= − 1 det (A) = 2(-2)	-	1(-3)	=	-1 − 3 2 2 − 1 A det( 1 − 1 − = 1 = A adj ( A ) 1 ) 3 2 − 2 = − 1 det (B)	=	0(-2)	-	3(-1)	=	3 0 1 3 2 − 1 det( 1 3 − = 1 = B B ) adj ( − B )
1 3 2 3
− 3 × 2 6 3 3 0 1 − − 2 2 − × = A B − 1 1 × = A B 0 Dengan demikian dipereloh det(AB) = -3	-	0	=	-3. Selanjutnya, −
1 2 6 − 1 − 3 1 1 det( AB 1 − 3 − = 1 ) = = ( AB Adj AB ( ) 1 3 0 0 )
)AB − =
1 3 0
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK −
0 1 3 1
2 1 3
3 2 − − 2 1 1 0 B A-1 1 = = 2 3 −
Dari perhitungan di atas diperoleh (AB)-1	= B-1A-1. Sifat 2.9 Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n ∈ N. det(A)	≠	0	dan	det(B)	≠	0,	Jika	A-1 dan B-1 adalah invers matriks A, dan B maka (AB)-1 = B-1 A-1. Coba kamu diskusikan dengan temanmu satu kelompok, apakah (AB )-1 = A-1B-1. Jika tidak, beri alasannya!. Ajak siswa untuk mencoba menyelesaiakan berbagai soal-soal yang terdapat pada Uji Kompetensi 2.2 di samping. Soal-soal uji kompetensi ini bertujuan untuk mengetahui apakah siswa memahami tentang konsep determinan dan invers matriks. Soal-soal ini juga dapat diberikan sebagai tugas di rumah. Uji Kompetensi 2.2 1.	Misalkan	A sebarang matriks persegi. Jika pertukaran elemen-elemen sebarang dua baris atau dua kolom dari matriks A, maka buktikan bahwa nilai determinannya berubah tanda. 2. Misalkan A sebarang matriks persegi. Buktikan bahwa jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) matriks A dikalikan dengan sebuah bilangan k∈R, maka determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu. 3.	Jika	B matriks persegi dengan det (B) × 0,	tunjukkan − 1 = t 3.	Jika	B matriks persegi dengan det (B) × 0,	tunjukkan − 1 = t 3.	Jika	B matriks persegi dengan det (B) × 0,	tunjukkan − 1 = t 3.	Jika	B matriks persegi dengan det (B) × 0,	tunjukkan − 1 = t − 1 . 4.	Selidiki	bahwa	det	(Kn)=(det K )n, untuk matriks; 2 − 3 4.	Selidiki	bahwa	det	(Kn)=(det K )n, untuk matriks; 2 − 3 4.	Selidiki	bahwa	det	(Kn)=(det K )n, untuk matriks; 2 − 3 4.	Selidiki	bahwa	det	(Kn)=(det K )n, untuk matriks; 2 − 3 4.	Selidiki	bahwa	det	(Kn)=(det K )n, untuk matriks; 2 − 3 a) A = dengan n = 2
− 2 1 1 2 − 3 4 b) A = dengan n =	6 3 6
Matematika b c 5.	Diketahui d 5.	Diketahui d = -8, tentukanlah: e f g h i d e f a) g h i a b c b 3 a 3 - - - ! e 4 h c 3 b) d f 4 4 i g 6.	Tentukanlah	nilai	z yang memenuhi persamaan berikut! − 1 0 z 3 − z 3 − = − 2 6 − . 3 1 z 1 3 z 5 7.	Selidiki	bahwa	det	(C	+	D)=det C +	det	D ! untuk setiap matrik C dan D merupakan matriks persegi. i. 8. Diberikan matriks M adalah matriks berordo 2 × 2, dengan |M|	≠	0.	Tentukan	hubungan	|M| dengan det (M-1). Coba kamu generalisasikan untuk matriks M berordo n × n! 9.	Tentukanlah	nilai	z yang memenuhi persamaan berikut ini! − 3 − 6 − 5 1 0 2 z 1 3 − 1 − z z 3 1 = z 10.	Jika	semua	elemen	baris	ke-1	suatu	matriks	persegi	adalah nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut! 11.	Diketahui	matriks	R adalah matriks berordo n × n dengan semua elemen kolom ke-1	adalah	nol.	Tentukanlah determinan matriks tersebut. Berikan juga contohnya! 105
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 12.	Periksalah	kebenaran	setiap	pernyataan	berikut	ini.	Berikanlah contoh penyangkal untuk setiap pernyataan yang tidak berlaku! a) det(2A)=2.det(A) b) c) det (I+A)=1+det	(A) |A2 |=|A|2 13.	Misalkan	matriks-matriks P dan Q adalah matriks berordo n × n, dengan PQ	≠	QP. Apakah det(PQ) = det(QP)? Jelaskan! 14.	Masalah	Nutrisi Winarno bermaksud mengikuti ujian saringan masuk perwira. Setelah berkonsultasi dengan seorang perwira dan memperoleh saran mengenai pola makan yang hendak dikonsumsi lebih baik dimasak sendiri. Pengalaman perwira tersebut menyarankan untuk mencampurkan dua sumber zat gizi dalam jumlah yang berbeda untuk menghasilkan tiga jenis biskuit. Jumlah (dalam satuan gram) kalsium, protein, dan karbohidrat dalam setiap sumber gizi ditunjukkan oleh matriks G, dan jumlah (dalam satuan gram) setiap sumber zat gizi yang dikonsumsi dalam setiap biskuit ditunjukkan oleh matriks J. Sumber	I Sumber	II Biskuit a Biskuit b Biskuit c G = 12 16 32 24 8 20 kalsium protein karbohidrat J = 24 25 18 332 25 16 sumber I sumber II a) Tentukanlah jumlah kalsium dalam biskuit B! b)	Hitunglah	G.J dan jelaskan arti setiap elemen matriks tersebut! 15.	Masalah	alokasi	sumber	daya.	Agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Bali. Paket	I	terdiri	4	malam	menginap,	3	tempat	wisata	dan	5	kali	makan.	Paket	II	dengan	3	malam	menginap,	4 106
Matematika tempat	wisata	dan	7	kali	makan.	Paket	III	dengan	5	malam	menginap,	4	tempat	wisata	dan	tidak	ada	makan.	Sewa	hotel	Rp400.000,00	per	malam,	tranprotasi	ke	tiap	tempat	wisata	Rp80.000,00,	dan	makan	di	restoran	yang	ditunjuk	Rp90.000,00.	a. Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan. b. Nyatakan matriks paket yang ditawarkan. c. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah? 16.	Masalah	Persediaan	Toko	Cat. Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persedian tiga jenis cat eksterior yaitu regular, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia dalam empat pilihan warna yaitu, biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat (dalam gallon) selama satu minggu dicatat dalam matriks R, sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini. Biru Hitam Kuning Cokelat 1 6 7 Cokelat 0 4 2 5 3 6 Biru 3 1 5 2 1 3 Hitam 1 0 1 4 8 5 Kuning 2 2 3 Regular Deluxe Commercial = R Regular Deluxe Commercial = R a) Tentukan inventaris toko pada akhir minggu b) Jika toko tersebut menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T. Tentukan inventaris toko yang baru. 107
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 17.	Dengan	menggunakan	matriks	persegi,	tunjukkan bahwa (B-1 )-1	= B dan [Bt -1)=[B-1 ]t! 18.	Tentukanlah	determinan	dari	matriks + + 2 2 ( n ( n ) 1 ) 2 n + M= ( n 2 ) 1 ( n + ) 2 2 ( n + ) 3 2 2 ! 18.	Tentukanlah	determinan	dari	matriks + + 2 2 ( n ( n ) 1 ) 2 n + M= ( n 2 ) 1 ( n + ) 2 2 ( n + ) 3 2 2 ! 18.	Tentukanlah	determinan	dari	matriks + + 2 2 ( n ( n ) 1 ) 2 n + M= ( n 2 ) 1 ( n + ) 2 2 ( n + ) 3 2 2 ! 18.	Tentukanlah	determinan	dari	matriks + + 2 2 ( n ( n ) 1 ) 2 n + M= ( n 2 ) 1 ( n + ) 2 2 ( n + ) 3 2 2 ! 18.	Tentukanlah	determinan	dari	matriks + + 2 2 ( n ( n ) 1 ) 2 n + M= ( n 2 ) 1 ( n + ) 2 2 ( n + ) 3 2 2 ! 2 + + + ( n 2 ) ( n ( n 19.	Diberikan	suatu	sistem	persamaan	linier	dua	variabel + = 3 y − = 0 y x 2 x 20.	Tentukanlah	nilai	x dan y yang memenuhi sistem tersebut dengan menggunakan konsep matriks. Projek Tugas proyek ini, sebagai tugas kelompok. Setelah tugas ini dikerjakan da- lam waktu tertentu, minta siswa untuk menyajikan laporannya di depan ke- las.Gunakan rubrik pe- nilaian projek yang telah disajikan di bagain akhir buku ini. Rancang sebuah permasalahan terkait transportasi yang melibatkan determinan dan invers matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya transportasi. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. D. PENUTUP Setelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai kesimpulan yang dijadikan pengangan dalam mendalami dan membahas materi lebih lanjut, antara lain: Arahkan siswa membuat rangkuman dari materi yang sudah dipelajari. Uji pemahaman siswa terha- dap penguasaan konsep dan sifat-sifat determinan dan invers matriks. 1.	Penjumlahan	sebarang	matriks	dengan	matriks	identi- tas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol. 2. Dalam operasi penjumlahan dua matriks berlaku si- fat komutatif dan assosiatif, misal jika A dan B adalah matriks, maka 108
Matematika = A kA a. A A A + + + + k b. A	+	B = B	+	A c. A	+	I = I	+	A, dengan I adalah matriks identitas penjumlahan matriks d. A	+	(B	+	C) = (A	+	B)	+	C 3.	Hasil	kali	sebuah	matriks	dengan	suatu	skalar	atau	suatu bilangan real k akan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki ele- men-elemen k kali elemen-elemen matriks semula. 4.	Dua	matriks	hanya	dapat	dikalikan	apabila	banyak- nya kolom matriks yang dikali sama dengan banyak- nya baris matriks pengalinya. 5.	Matriks	A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.	Hasil	kali matriks A dan B menghasilkan matriks C yang elemen-elemennya merupakan hasil kali elemen baris matriks A dan elemen kolom matriks B, ditulis Ap × q × Bq × r = Cp × r . 6.	Hasil	perkalian	matriks	A dengan matriks identitas, hasilnya adalah matriks A. 7.	Perkalian	dua	atau	lebih	matriks,	tidak	memenuhi	si- fat komutatif. Tetapi perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif. 8. Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan	nilai	determinannya	tidak	nol	(0). 109
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ... 110
Bab Kompetensi DasarPengalaman Belajar 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. M e n d e s k r i p s i k a n k o n s e p f u n g s i d a n menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi. 2. Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers. 3. Mendeskripsikan dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. 4. Mendeskripsikan konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya. Melalui pembelajaran materi fungsi komposisi dan fungsi invers, siswa memperoleh pengalaman be- lajar: •	Menjelaskan	karakteristik	masalah	autentik	yang penyelesaiannya terkait dengan fungsi komposisi dan fungsi invers. Merancang	model	matematika	dari	permasala- han autentik yang merupakan fungsi komposi- si dan fungsi invers. Menyelesaikan	model	matematika	untuk	mem- peroleh solusi permasalahan yang diberikan. Menginterpretasikan	hasil	penyelesaian	mas- alah yang diberikan. 5. Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah. 6. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah Nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi. 6. M e r a n c a n g d a n m e n g a j u k a n m a s a l a h d u n i a n y a t a y a n g b e r k a i t a n d e n g a n Komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya. Menuliskan	konsep	fungsi	komposisi	dan	fung- si invers berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri. Fungsi •	Fungsi	komposisi •	Fungsi	invers
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Masalah Otentik Fungsi Penjumlahan Pengurangan Operasi Pada Fungsi Perkalian Pembagian Fungsi Komposisi Fungsi Invers Domain Fungsi Komposisi Domain Fungsi Invers Range Fungsi Komposisi Range Fungsi Invers Sifat Komposisi Fungsi Sifat Fungsi Invers 112
Matematika Untuk menemukan konsep operasi pada fungsi, aju- kan pada siswa Masalah 3.1 untuk dipecahkan. Upayakan lebih berusaha me- dahulu mikirkan, bersusah payah mencari ide-ide, berdisku- si dalam kelompok, men- cari pemecahan masalah di dalam kelompok. Guru boleh memberikan ban- tuan pada siswa, tetapi upayakan mereka sendiri yang berusaha menuju tingkat pemahaman dan proses berpikir yang lebih tinggi. Masalah 3.1 diberikan sebagai pengantar agar siswa memahami operasi pada fungsi. Minta siswa untuk menyelesaikan dengan caranya sendi- ri. Jika siswa mengalami kesulitan arahkan siswa untuk memahami tentang fungsi yang telah dipela- jari sebelumnya. C. MATERI PEMBELAJARAN Pada Bab 5 kelas X, kita telah mempelajari konsep relasi dan fungsi. Konsep tersebut merupakan materi prasyarat dalam mempelajari materi pada bab ini. Kita mempelajari dan menemukan konsep fungsi komposisi dan fungsi invers dengan melakukan pengamatan dan pemahaman pada beberapa masalah dan contoh. Pertama sekali, mari kita memahami operasi aljabar pada fungsi. siswa 1. Operasi Aljabar Pada Fungsi Pada subbab ini, kita akan mempelajari operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada fungsi). Perhatikan masalah berikut. Masalah-3.1 Seorang photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua tahap, yaitu; tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada tahap pemotretan (B1) adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: B1(g) = 500g + 2500 dan biaya pada tahap editing (B2) adalah Rp100,- per gambar, mengikuti fungsi: B2(g) = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar yang dihasilkan. a) Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang bagus? b) Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya pada tahap editing untuk 5 gambar. Alternatif Penyelesaian Fungsi biaya pemotretan: B1(g) = 500g + 2.500 Fungsi biaya editing: B2(g) = 100g + 500 113
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a) Untuk menghasilkan gambar yang bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu pemotretan dan editing, sehingga fungsi biaya yang dihasilkan adalah: B1(g) + B2(g) = (500g + 2.500) + (100g + 500) = 600g + 3.000 Total biaya untuk menghasilkan 10 gambar (g = 10) adalah: B1(g) + B2(g) B1(10) + B2(10) = (600 × 10) + 3.000 = 600g + 3.000 = 9.000 Jadi total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp9.000,- b) Selisih biaya tahap pemotretan dengan tahap editing adalah: B1(g) - B2(g) = (500g + 2.500) - (100g + 500) = 400g + 2.000 Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5 gambar (g = 5) adalah: B1(g) - B2(g) B1(5) - B2(5) = 400g + 2.000 = (400 × 5) + 2.000 = 4.000 Jadi selisih biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 5 gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp.4.000,- Arahakan siswa mema- hami proses f(x) + g(x) = (f + g)(x) berdasarkan proses di samping Perhatikan jumlah biaya pada bagian (a) dan selisih biaya pada bagian (b). B1(g) = 500g + 2.500 sehingga B1(5) = 5.000 dan B1(10) = 7.500. B2(g) = 100g + 500 sehingga B2(5) = 1.000 dan B2(10) = 1.500 BJ (g) = B1(g) + B2(g) = 600g + 3.000 sehingga BJ (10) = 9.000 dan B1(10) + B2(10) = 7.500 + 1.500 = 9.000 Demikian juga, BS (g) = B1(g) - B2(g) = 400g + 2.000 sehingga BS (5) = 4.000 dan B1(5) - B2(5) = 5.000 - 1.000 = 4.000. 114
Matematika Guru bersama-sama dengan siswa menemu- kan 4 aturan yang terkait dengan operasi penjum- lahan dua fungsi, selisih dua fungsi, perkalian dua fungsi, dan pembagian dua fungsi seperti yang ditulis pada Definisi 3.1 dengan catatan jika ter- dapat dua buah fungsi maka Definisi 3.1 Jika f suatu fungsi dengan daerah asal D f dan g suatu fungsi dengan daerah asal Dg , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut. a) Jumlah f dan g ditulis f + g	didefinisikan	sebagai	( ) dengan daerah asal g x ( D )( ) g x ∩ D ( ) f x + = + f + = g D g . f f b) Selisih f dan g ditulis f - g	didefinisikan	sebagai	)( ) = ( )− ( ) x f x g . −( f D g − = g x g dengan daerah asal ∩ D D f f c) P e r k a l i a n f d a n g d i t u l i s f × g d i d e f i n i s i k a n sebagai ×( f D )( ) = ( )× ( ) x f x g . D g × = g x g dengan daerah asal ∩ D f f f g d) Pembagian f dan g ditulis ( ) f x ( ) x didefinisikan	sebagai
f g ( ) = x g { = } .0 = ∩ − D g dengan daerah asal D D ( ) x g x f g f Contoh 3.1 Guru memberikan Contoh 3.1 pada siswa yang bertujuan untuk mem- biasakan siswa melaku- kan operasi aljabar pada fungsi. Guru dapat mem- berikan contoh-contoh lain yang sesuai. Diketahui fungsi f (x) = x + 3 dan g (x) = x2 - 9. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya! c) (f × g) (x) (x) a) (f + g) (x)
f g b) (f + g) (x) d) 115
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pandu siswa memahami proses penyelesaian di- samping dengan meman- faatkan Definisi 3.1 Alternatif Penyelesaian Daerah asal fungsi f(x) = x + 3 adalah D daerah asal fungsi g(x) = x2 - 9 adalah D )( ) = ( )+ ( ) g x g x f x )+ −( x 3 x 6 { ∈ x x R { ∈ x x R } dan } f = g = +( f a) ) 2 = +( x 9 2 = + − x Daerah asal fungsi (f + g)(x) adalah: D g = ∩ D D { { )( ) = x f+g f } ∩ } ( ) f x { } = ∈ x x R ∈ x x R = ∈ x x R b) −( f − g( ) x )− −( x 12 g ) 2 = ( 9 x+3 2 = − + + x x Daerah asal fungsi (f - g)(x) adalah: − = D g { { c) (f × g)(x) = f(x) × g(x) ∩ D D g f f } ∩ } { } = ∈ x x R ∈ x x R = ∈ x x R = (x + 3) × (x2 - 9) = x3 + 3x2 - 9x - 27 Daerah asal fungsi (f × g)(x) adalah × = D g { { ∩ D D g f f } ∩ } { } = ∈ x x R ∈ x x R = ∈ x x R 116
Matematika ( ) f x ( ) g x + 3 − 9 x ) 3
f g d) ( ) = x x 2 x = + + × − 3 x ( = x 1 − ( ) 3 ≠ − , x ≠ 33 = x 3 , x 3 = ∩ ≠ D D ( ) D dan g x 0 f g f g { { { { } ∩ } x x R dan x } x x R dan x { } x x R dan x ( ) − 3 x 2 ∈ − ≠ 9 = ∈ x x R 0 +( ) ≠ 33 = ∈ 0 ≠ − ≠ , 3 = ∈ x } 3 3 = ∈ x x R x ≠ − ≠ , 3 , x Latihan Diketahui fungsi x - 2 . Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya! a) (f + g)(x) Berikan Latihan ini kepa- da siswa dan minta siswa untuk menyelesaikannya secara individual. Latihan ini bertujuan untuk me- lihat kompetensi siswa tentang konsep operasi fungsi yang didefinisikan di Definisi 3.1 f(x) = x2 4- dan g(x) = c) (f × g)(x)
f g ( ) x b) (f - g)(x) d) Alternatif Penyelesaian 2 − + − a) (f + g)(x) = x 4 x 2 2 b) (f - g)(x) = - - x ) −( x ) +( ) x −( x x 4 2 Pandu siswa menentu- kan daerah asal masing- masing fungsi ( −( = x ) 2 − c) (f × g)(x) = x 4 2 2 2 +( ) x − 2 x )
( ) x
f g x 4 x + 2 d) = = =
x 2 (Menentukan daerah asal diserahkan pada siswa; lihat Definisi 3.1) 117
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Setelah operasi aljabar dipahami oleh siswa, se- lanjutnya guru membe- rikan Masalah 3.2 pada siswa. Masalah ini ber- kaitan dengan penukaran mata uang, guru membe- rikan penjelasan bahwa penukaran uang dapat elek- berbentuk tronik sehingga nilai uang Rp 3.169,54 dapat diteri- ma oleh siswa. 2. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi Setelah kita memahami operasi aljabar pada fungsi, maka pada subbab ini, kita akan membicarakan fungsi komposisi dari suatu fungsi. Untuk mendapatkan konsep fungsi komposisi, kamu pahami dan pelajarilah beberapa masalah kasus dan contoh-contoh berikut. Masalah-3.2 uang Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia (MYR), yaitu; 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank di Malaysia menawarkan harga tukar ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu; 1 MYR = Rp3.169,54, dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran. Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjutkannya ke Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000 USD. Berapa jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan kemudian menukarnya ke Rupiah Indonesia di Malaysia? IDR akan diterima turis tersebut Alternatif Penyelesaian Masalah ini dapat diselesaikan dua tahap penukaran. Langkah 1: Uang sebesar 2.000 USD akan ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan biaya penukaran sebesar 2 USD, maka jumlah uang yang diterima turis tersebut adalah: (2.000 - 2) × 3,28 MYR = 1.998 × 3,28 MYR = 6.553,44 MYR Langkah 2: Uang sebesar 6.553,44 MYR akan ditukar ke mata uang Rupiah Indonesia, dan perlu di ingat bahwa biaya penukaran sebesar 3 MYR. Uang yang diterima turis tersebut adalah: 118
Matematika (6.553,44 - 3) × 3.169,54 = 6.550,44 × 3.169,54 = 20.761.881,60 IDR Turis tersebut menerima uang rupiah Indonesia sebesar 20.761.881,60 IDR. Perhitungan kedua transaksi di atas dapat kita buat model matematikanya ke dalam dua fungsi sebagai berikut. Misalkan : t = jumlah uang dalam USD x = jumlah uang dalam MYR y = jumlah uang dalam IDR Transaksi penukaran pertama dapat kita tuliskan dengan x = 3,28 (t - 2) x = 3,28 t - 6,56 karena x merupakan sebuah fungsi t, maka dapat ditulis: x (t) = 3,28 t - 6,56... (1) Untuk transaksi penukaran kedua dapat ditulis sebagai berikut. y = 3.169,54 (x - 3) y = 3.169,54 x - 9.508,62 karena y fungsi dari x, maka dapat ditulis y (x) = 3.169,54 x - 9.508,62... (2) Dengan mensubstitusi persamaan 1 ke persamaan 2 kita peroleh: y (x) f (t) = y(x(t)), misal f (t) = y(x(t)), maka = y(x(t)) = 3.169,54 (3,28 t - 6,56) - 9.508,62 = 10.396,09 t - 20792.18 - 9.508,62 = 10.396,09 t - 30.300,80 f (t) 119
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Fungsi f(t) = y(x(t)) ini merupakan fungsi komposisi x dan y dalam t yang dilambangkan dengan (y ◦ x)(t) dan didefinisikan dengan (y ◦ x)(t) = y(x(t)). Maka fungsi komposisi x dan y pada masalah di atas adalah (y ◦ x) (t) = 10.396,09 t - 30.300,80... (3) Dengan menggunakan fungsi komposisi (y ◦ x)(t) seperti pada persamaan 3, maka dapat kita hitung jumlah uang turis tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk t = 2000 USD seperti berikut. (y ◦ x)(t) = 10.396,09 t - 30.300,80 = 10.396,09 × (2.000) - 30.300,80 = 20.792.180 - 30.300,80 = 20.761.881,60 rupiah adalah Jumlah uang Rp20.761.881,60 Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan langkah pertama yang kita lakukan. turis tersebut dalam Agar kamu perhatikanlah masalah berikut. lebih memahami fungsi komposisi, siswa bahwa Arahkah menggunakan dengan konsep fungsi komposi- si banyak masalah yang dapat diselesaikan. Agar lebih memahami siswa fungsi komposisi, beri- kan Masalah 3.3 berikut. Masalah ini melibatkan sebuah pabrik proses mengolah kayu untuk dija- dikan kertas. Diharapkan dengan diselesaikannya masalah ini akan mem- bantu siswa untuk mem- buat konsep tentang fung- si komposisi. Masalah-3.3 kayu Suatu pabrik tahap. Tahap memproduksi kertas melalui dua pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x)	=	0,9x	-	1	dan mesin II mengikuti fungsi g(x)	=	0,02x2	-	2,5x,	dengan	x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 200 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton). kertas berbahan dasar 120
Matematika Minta siswa memberi ko- mentar atau pendapat ten- tang Gambar 3.1 Alternatif Penyelesaian Tahap-tahap produksi pabrik kertas tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut. Kayu (x) Produksi Tahap I Produksi Tahap II Produksi Tahap II g (x) = 2x2 + 5 f (x) = 3x - 1 (g ◦ f )(x) Gambar 3.1. Tahapan Produksi Pabrik Kertas Dari Gambar 3.1. di atas, terlihat jelas bahwa tahap produksi kertas terdiri atas dua tahap. Hasil produksi setiap tahap kita hitung sebagai berikut Hasil produksi tahap I Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah: f(x) = 0,9x - 1 Untuk x = 200, diperoleh: = 0,9x - 1 f (x) = 0,9(200) - 1 = 179 Maka hasil produksi tahap I adalah 179 ton bahan kertas setengah jadi. Hasil produksi tahap II Rumus fungsi pada produksi tahap II adalah: g(x) = 0,02x2 - 2,5x Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga diperoleh: g(x) = 0,02x2 - 2,5x = 0,02(200)2 - 2,5(200) = 640,82 - 447,5 = 193,32 121
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dengan demikian hasil produksi tahap II adalah 193,32 ton bahan jadi kertas. Hasil produksi yang dihasilkan pabrik kertas tersebut jika bahan dasar kayunya sebanyak 200 ton adalah 193,32 ton bahan jadi kertas. Masalah 3.3 di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda sebagai berikut. Diketahui fungsi-fungsi produksi berikut. f(x) g(x) = 0,9x - 1... (1) = 0,02x2 - 2,5x... (2) dengan mensubstitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, kita peroleh fungsi g(f(x)) = 0,02(0,9x - 1)2 - 2,5(0,9x - 1) = 0,02(0,81x2 - 1,8x+1) - 2,5(0,9x - 1) = 0,0162 x2 - 0,036x + 0,02 - 2,25x + 2,5 = 0,0162 x2 - 2,286x + 2,52 Kita peroleh fungsi g(f(x)) = 0,0162 x2 - 2,286x + 2,52... (3) Jika disubstitusikan nilai x = 200 ke persamaan 3, kita peroleh: g (f (x)) = 0,0162 x2 - 2,286x + 2,52 = 0,0162 (200)2 - 2,286(200) + 2,52 = 648 - 457,2 + 2,52 = 193,32 Terlihat bahwa hasil produksi sebesar 193,32 ton. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas. Nilai g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi f dan g dalam x yang dilambangkan dengan g ◦ f. Karena itu nilai g ◦ f di x ditentukan dengan (g ◦ f)(x) = g(f(x)). 122
Matematika Perhatikan Gambar 3.2 berikut. Guru meminta siswa un- tuk mengamati Gambar 3.2 dan memahami arti dari gambar tersebut. Berdasarkan pengamatan siswa, yang dilakukan minta siswa untuk men- jelaskan maksud dari gambar itu dan siswa lain mendengarkan dan bertanya tentang hal-hal yang tidak dimengerti dan tidak benar terkait dengan penjelasan teman- nya. siswa me- ngalami kesulitan guru boleh memberikan ban- tuan berupa pertanyaan- pertanyaan terkait daerah asal dan daerah hasil dari dua fungsi. f g B B A C Dg Rg Rf Df (a) (b) f(x) f g(f(x)) g A B B B C x Jika h Dg○f Rg○f Rf ∩ Dg (c) Gambar 3.2. Fungsi Komposisi Berdasarkan Gambar 3.2 di atas dapat dikemukakan beberapa hal berikut. 1) Df = daerah asal fungsi f; Rf= daerah hasil fungsi f; Dg = daerah asal fungsi g; Rg = daerah hasil fungsi g; Dg ◦ f = daerah asal fungsi komposisi g ◦ f; = daerah hasil fungsi komposisi g ◦ f 2) Fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, ditulis f: A→B. Setiap unsur x ∈ Df dipetakan ke y ∈ Rf dengan fungsi y = f(x). Perhatikan Gambar 3.2(a). 3) Fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C, ditulis g : B → C. Setiap unsur y ∈ Dg dipetakan ke z ∈ Rg dengan fungsi z = g(y). Perhatikan Gambar 3.2(b). 4) Fungsi h memetakan himpunan A ke himpunan C melalui himpunan B, ditulis: h: A→C. Setiap unsur x ∈ Dh dipetakan ke z ∈ h dengan fungsi z = h(x). Perhatikan Gambar 3.2(c). 123
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan beberapa hal di atas kita peroleh definisi berikut. Definisi 3.2 bersama-sama Guru dengan siswa membuat Definisi 3.2 dan diharap- kan guru dapat memasti- kan bahwa semua siswa dapat memahami defini- si itu dengan baik. Jika siswa mengalami kesu- litan minta siswa untuk mengingat kembali ten- tang beberapa konsep dan prinsip Himpunan. ≠ ∅ , maka terdapat Jika f dan g fungsi dan R suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis: g	◦ f) yang ditentukan dengan g∩ Df h(x) = (g	◦ f )(x) = g(f(x)) daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah, { = ∈ dengan Df = daerah asal (domain) fungsi f; Dg = daerah asal (domain) fungsi g; Rf = daerah hasil (range) fungsi f; Rg = daerah hasil (range) fungsi g. } ∈ D x D f x D g ( ) f g f Pertanyaan kritis! Untuk fungsi komposisi f dan g atau g	◦ f. f∩ 1) Apa akibatnya jika R Dg 2) Bagaimana hubungan Dg○f dengan Df? Apakah = 0 ? Mengapa? Í ? Mengapa? D D g f f 3) Bagaimana hubungan dengan Rg? Apakah R ⊆ R g 3) Bagaimana hubungan dengan Rg? Apakah R ⊆ R g ? Mengapa? Untuk lebih memahami konsep fungsi komposisi, perhatikanlah contoh berikut. 124
Matematika Contoh 3.2 Berikan Contoh 3.2 ke- pada siswa untuk melatih siswa memahami tentang konsep fungsi komposi- si. Contoh ini terdiri atas satu fungsi linear dan satu fungsi kuadrat. Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = x2-1. 1) Apakah fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x) terdefinisi? 2) Tentukan fungsi komposisi (g ◦ f )(x) dan (f ◦ g)(x)! Alternatif Penyelesaian f(x) = 2x + 1; g(x) = x2 -1 Df = { x | x ∈ R} = R; Rf = { y | y ∈ R} = R Dg = { x | x ∈ R} = R; Rg = { y | y ∈ R} = R (1) Untuk menentukan apakah fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x) terdefinisi, diketahui berdasarkan: Ø Jika Rf ∈ Dg ≠ Ø maka (g ◦ f)(x) terdefinisi. { y | y ∈ R} Ç { x | x ∈ R} = R Ç R = R ≠ Ø, karena Rf Ç Dg ≠ Ø maka (g ◦ f)(x) terdefinisi. Ø Jika Rg ∈ Df ≠ 0 maka (f ◦ g)(x) terdefinisi. { y | y ∈ R} Ç { x | x ∈ R} = R Ç R = R ≠ Ø, karena Rg Ç Df ≠ Ø maka (f ◦ g)(x) terdefinisi. (2) Untuk menentukan apakah fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x) terdefinisi, sebagai berikut: Ø (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 - 1 = (4x2 + 4x + 1) - 1 = 4x2 + 4x Ø (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 -1) = 2(x2 -1) + 1 = 2x2 - 2 + 1 = 2x2 - 1 125
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK sehingga diperoleh (g ◦ f)(x) = 4x2 + 4x dan (f ◦ g)(x) = 2x2 - 1. Perhatikan kembali Contoh 3.2 di atas! Contoh tersebut diberikan untuk menentukan fungsi komposisi jika fungsi- fungsi yang lain telah diketahui. Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan suatu fungsi yang lain. Berikan Contoh 3.3 ke- pada siswa untuk melatih siswa memamahi tentang konsep fungsi komposi- si. Keduanya merupakan fungsi kuadrat yang di- tampilkan pada contoh ini. Contoh 3.3 Diketahui fungsi komposisi (g ◦ f) (x) = 18x2 + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x2 - 6. Tentukanlah rumus untuk a) fungsi f (x) b) fungsi komposisi (f ◦ g)(x)! Alternatif Penyelesaian Jika diketahui (g ◦ f) (x) = 18x2 + 24x + 2 dan g(x) = 2x2 - 6 a) Menentukan fungsi f(x) = 18x2 + 24x + 2 (g ◦ f) (x) = g(f(x)) ⇔ 2 f(x)2 - 6 = 18x2 + 24x + 2 ⇔ 2 f(x)2 = 18x2 + 24x + 2 + 6 + 24 2 2x 18 x+ 8 ⇔ f(x)2 = ⇔ f(x)2 = 9x2 + 12x + 4 ⇔ f(x) 2x +9 = ± 12 x+ 4 ⇔ f(x) = ±(3x + 2) Jadi ada dua fungsi f yang mungkin, yaitu; f(x) = 3x + 2 dan f(x) = -3x - 2. 126
Matematika b) Menentukan fungsi komposisi (f ◦ g)(x) (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = 18x2 + 24x + 2 (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = -3 g(x) - 2, karena f(x) = -3x - 2 = -3 (2x2 - 6) - 2 = -6x2 + 18 - 2 = -6x2 + 16 Jadi, fungsi komposisi (f ◦ g)(x) = -6x2 + 16 Guru memberikan per- tanyaan-pertanyaan kritis berikut untuk memuncul- kan rasa ingin tahu siswa. Pertanyaan kritis! Untuk fungsi komposisi f dan g atau g ◦ f. 1) Apa akibatnya jika Rf Alternatif Penyelesaian Jika Rf ∩ Dg = Ø maka f dan g tidak dapat dikomposisikan sebab domain fungsi komposisi f dan g adalah himpunan kosong. ∩ Dg = Ø? 2) Bagaimana hubungan Dg ◦ f dengan Df ? Apakah Dg ◦ f ⊆ Df ? Mengapa? Alternatif Penyelesaian Berikan dua fungsi berikut f(x) = x + 3 dan g(x) = x2 minta siswa menyelesaikan g ◦ f untuk soal nomor 2), setelah menyelesaikan f ◦ g tanyakan pada siswa apakah Dg ◦ f ⊆ Df 3) Bagaimana hubungan Rg ◦ f dengan Rg? Apakah Rg ◦ f ⊆ Rg? Mengapa? Alternatif Penyelesaian Berikan dua fungsi berikut f(x) = 2x dan g(x) = tan x, minta siswa untuk menyelesaikan g ◦ f untuk soal nomor 3), setelah menyelesaikan f ◦ g tanyakan pada siswa apakah Rg ◦ f ⊆ Rf 127
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 3. Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi Lakukanlah pengamatan pada beberapa contoh soal berikut untuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi. Dari pengamatan yang kamu lakukan, tariklah sebuah kesimpulan terkait sifat operasi fungsi komposisi. Minta siswa untuk meng- amati Contoh 3.4 yang diberikan. Minta salah seorang siswa untuk men- jelaskan penyelesaian dari contoh yang dibe- rikan. Dengan disele- saikannya contoh ini di- harapkan siswa dapat mengetahui bahwa dalam operasi fungsi komposisi tidak berlaku sifat komu- Contoh 3.4 Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = x-1. a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x) b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)! Alternatif Penyelesaian a) Menentukan rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x) dan (f ◦ g)(x) (g ◦ f)(x) = g(f(x))
tatif, yaitu g ◦ f ≠ f ◦ g. = g(4x + 3) = (4x + 3) -1 = 4x + 2 (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 4(x - 1) + 3 = 4x - 4 + 3 = 4x - 1
Dengan demikian (g ◦ f)(x) = 4x + 2 dan (f ◦ g)(x) = 4x - 1. b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)! Berdasarkan hasil perhitungan butir (a) di atas diperoleh (g ◦ f)(x) = 4x + 2, dan (f ◦ g)(x) = 4x - 1 Andaikan (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x) 4x + 2 = 4x - 1 2 = -1 Ternyata hasil yang diperoleh adalah kontradiksi dari pernyataan. 128
Matematika Jadi, g ◦ f ≠ f ◦ g Berdasarkan Contoh 3.4 di atas, disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu; g ◦ f ≠ f ◦ g. Contoh 3.5 Ajukan Contoh 2.5 kepa- da siswa. Pandu siswa memahami proses penyelesaian di- samping Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 2x - 1 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = 4x+5, dan fungsi h: R→R dengan h(x) = 2x - 3. a) Tentukanlah fungsi komposisi (g◦(f ◦ h))(x) dan ((g ◦ f) ◦ h)(x). b) Tentukanlah fungsi komposisi (f◦(g ◦ h))(x) dan ((f ◦ g) ◦ h)(x). c) Selidiki apakah: i) (g ◦ (f ◦ h))(x) = ((g ◦ f) ◦ h)(x), dan ii) (f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x) Alternatif Penyelesaian a) Rumus fungsi komposisi (g◦(f ◦ h))(x) dan ((g ◦ f) ◦ h)(x) i) Misalkan k(x) = (f ◦ h)(x) = f (h(x)) k(x) = 2h(x) - 1 = 2(2x - 3) - 1 = 4x - 6 - 1 = 4x - 7 (g ◦ (f ◦ h))(x) = (g ◦ k)(x) = g(k(x)) = 4(k(x)) + 5 = 4(4x - 7) + 5 = 16x - 28 +5 = 16x - 23 Jadi fungsi komposisi (g ◦ (f ◦ h))(x) = 16x - 23 129
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK ii) Misalkan l(x) = (g ◦ f)(x) l(x)= g(f(x)) = 4(f(x)) + 5 = 4(2x - 1) + 5 = 8x - 4 + 5 = 8x + 1 ((g ◦ f) ◦ h)(x) = (l ◦ h)(x) = l(h(x)) = 8(h(x)) + 1 = 8(2x - 3) + 1 = 16x - 24 + 1 = 16x - 23 Jadi rumus fungsi komposisi ((g ◦ f) h)(x) = 16x - 23. b) Rumus fungsi komposisi f ◦(g ◦ h) dan (f ◦ g) h i) Misalkan m(x) = (g ◦ h)(x) m(x) = g(h(x)) = 4(h(x)) + 5 = 4(2x - 3) + 5 = 8x - 12 + 5 = 8x - 7 = (f ◦ m)(x) = f(m(x)) = 2(m(x)) - 1 = 2(8x - 7) - 1 = 16x - 14 - 1 = 16x - 15 (f ◦ (g ◦ h)(x) Jadi rumus fungsi komposisi (f ◦ (g ◦ h))(x) = 16x - 15 ii) Misalkan n(x) = (f ◦ g)(x) n(x) = f(g(x)) = 2(4x + 5) - 1 = 8x + 10 - 1 = 8x + 9 = (n ◦ h(x)) = n(h(x)) = 8(h(x)) + 9 = 8(2x - 3) + 9 = 16x - 24 + 9 = 16x - 15 ((f ◦ g)◦h)(x) Jadi rumus fungsi komposisi ((f ◦ g) ◦ h))(x) = 16x - 15 130
Matematika iii) Dari butir (a) dan butir (b), diperoleh nilai i) (g ◦ (f ◦ h))(x) = 16x - 23 dan ((g ◦ f) ◦ h)(x) = 16x - 23 ii) (f ◦ (g ◦ h))(x) = 16x - 15 dan ((f ◦ g) ◦ h)(x) = 16x - 15 Berdasarkan nilai-nilai ini disimpulkan bahwa i) (g ◦ (f ◦ h))(x) = ((g ◦ f) ◦ h)(x) = 16x - 23 ii) (f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x) = 16x - 15 Sifat 3.1 Arahkan siswa agar siswa dapat membuat prinsip bahwa berlaku sifat asosi- atif dalam operasi fungsi komposisi ∩ Dg	≠	Ø; Ø; Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh Rg ∩ Df	≠	Ø; Ø, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu; f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h Minta siswa untuk me- ngamati Contoh 3.6 kemu- dian minta salah seorang ten- siswa menjelaskan tang penyelesaian contoh ini. Jika siswa mengalami kesulitan ingatkan siswa fungsi tentang operasi komposisi yang sudah dipelajari. Contoh ini ber- tujuan untuk menunjuk- kan sebuah prinsip bahwa jika f sebuah fungsi dan I merupakan fungsi identi- tas maka berlaku f ◦ I = I ◦ f = f. jika siswa masih mengala- mi kesulitan berikan be- berpa contoh lain sehing- ga nantinya siswa dapat membuat prinsip tentang sifat tersebut. Contoh 3.6 Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 5x - 7 dan fungsi I: R→R dengan I(x) = x. a) Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I ◦ f. b) Selidikilah apakah f ◦ I = I ◦ f = f. Alternatif Penyelesaian a) Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I ◦ f (f ◦ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 5x - 7 = I(f(x)) = I(f(x)) = 5x - 7 (I ◦ f)(x) a) Berdasarkan hasil-hasil pada butir disimpulkan bahwa: f ◦ I = I ◦ f = f Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6 kita peroleh sifat (a) di atas berikut. 131
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan contoh yang telah diselesaikan pada contoh, minta siswa untuk dapat membuat sebuah kesimpulan bahwa ber- Sifat 3.2 Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. ∩ Df	≠	Ø maka terdapat sebuah fungsi identitas Jika Ri yaitu: I (x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu; f	◦ I = I	◦ f = f laku f ◦ I = I ◦ f = f Agar kamu lebih memahami sifat 3.2, selesaikanlah latihan berikut. Alternatif Penyelesaian x 3 5 Latihan x - 5 2 3 2 Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = dan f ◦ I = fungsi identitas I: R→R dengan I(x) = x. Buktikanlah bawah (f ◦ I) = (I ◦ f) = f . x 3 5 2 I ◦ f = Berikan Uji Kompetensi 3.1 kepada siswa sebagai tugas di rumah. Uji kom- petensi ini bertujuan un- tuk mengukur kemampuan siswa tentang konsep dan prinsip fungsi komposisi Uji Kompetensi 3.1 1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f (x) = 0,7x + 10 dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g (x) = 0,02x2 + 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. a) Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton). b) Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak kertas yang dihasilkan? 132
Matematika − 3 x 9− . Tentukan rumus fungsi berikut bila terdefinisi x 2. Diketahui fungsi f(x) = , x ≠ 0 dan g(x) = x2 dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. a) (f + g)(x) b) (f - g)(x) c) (f × g )(x)
( ) x f g d) 3. Misalkan f fungsi yang memenuhi untuk +
1 x 1 x − = ( ) f f x 2 x setiap x ≠ 0. Tentukanlah nilai f(2). 4. Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = x2 - 4x + 2 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = 3x - 7. a) (g ◦ f )(x) c) (g ◦ f )(5) b) (f ◦ g)(x) d) (f ◦ g)(10) 5. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7. Tentukanlah nilai f(49)! 6. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,5), (2,6), (3,-1), (4,8)} g = {(2,-1), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah a) (g ◦ f )(x) b) (f ◦ g)(x) 133
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 7. Jika f fungsi yang memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x+1) = 2 f(x). Tentukanlah f(2014)! 1 x+ − 1 x ( ) = f x dan x2 ≠ 1, buktikanlah bahwa 8. Jika 1 ( ) f x −( ) = . f x 9. Untuk pasangan fungsi yang diberikan tentukanlah daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi (g ◦ f )(x). a) f (x) = 2x dan g(x) = sin x b) f (x) = -x dan g(x) = ln x 1 x dan g(x) = 2 sin x c) f(x) = 10. Jika f(x) = 22x + 2x+1 - 3 dan g(x) = 2x + 3. Tentukanlah ( ) f x ( ) g x ! nilai 11. Diketahui fungsi f(x) = 2x+2 × 6x-4 dan g(x) = 12x-1 untuk ( ) f x ( ) g x x bilangan asli. Tentukanlah nilai . 12. Diketahui (g ◦ f)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 - 1. Tentukanlah nilai f(x - 2). 4. Fungsi Invers Berikutnya, kita akan mempelajari balikan dari fungsi yang disebut dengan fungsi invers. Dengan demikian, mari kita memahami masalah berikut. Masalah-3.4 Minta siswa untuk mema- hami Masalah 3.4. setelah siswa memahami maksud dan tujuan dari masalah yang berikan, minta siswa untuk menyelesaikan dengan caranya sendiri. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, (dalam ribuan rupiah) x adalah banyak potong kain yang terjual. 134
Matematika a) Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh? Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual? Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas. b) c) Alternatif Penyelesaian Pandu siswa memahami proses penyelesaian di samping Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1000, untuk setiap x potong kain yang terjual. a) Penjualan 50 potong kain, berarti x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah: f(x)= 500x + 1.000 untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000 = 2.500 + 1.000 = 3.600 Jadi keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesar Rp3.600.000,- b) Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp100.000,-, maka banyak potong kain yang harus terjual adalah: = 500x + 1000 f(x) 100.000 = 500x + 1000 500x 500x = 100.000 - 1.000 = 99.000 . 99 000 500 x = = 198 Jadi banyak potong kain yang harus terjual adalah 198 potong. 135
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK c) Jika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas digambarkan seperti berikut. Penyelesaian bagian c) ini bertujuan untuk me- ngantarkan siswa kepada prinsip invers fungsi kom- posisi. f x f(x) x f(x) f -1 B A B A (i) (ii) f 50 ...? 100.000 ...? f-1 A B A B (iii) (iv) Gambar 3.3. Invers Fungsi Berdasarkan Gambar 3.3 di atas, dikemukakan beberapa bersama-sama Guru dengan siswa menyim- pulkan beberapa hal ter- kait dengan penyelesaian bagian c) dari permasala- han yang diberikan. hal sebagai berikut. (a) Gambar 3.3 (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B, ditulis: f: A→B. (b) Gambar 3.3 (ii) menunjukkan bahwa f -1 memetakan B ke A, ditulis: f -1: B→A. f -1 merupakan invers fungsi f. (c) Gambar 3.3 (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50 maka akan dicari nilai f(x). (d) Gambar 3.3 (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar 3.3 (iii) yaitu mencari nilai x jika diketahui nilai f(x) = 100.000. Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi, perhatikan kembali Gambar 3.4 berikut. 136
Matematika f Minta siswa untuk me- 3.4 mahami Gambar tentang fungsi. siswa mengala- Jika mi ingat- kesulitan kan siswa tentang me- nyatakan fungsi ke dalam bentuk pasangan terurut. Invers x y f -1 B A Berdasarkan Gambar 3.4 di samping, diketahui Gambar 3.4 Invers Fungsi beberapa hal sebagai berikut. Pertama, fungsi f memetakan x ∈ A ke y ∈ B. Ingat kembali pelajaran Kelas X tentang menyatakan fungsi ke dalam bentuk pasangan berurutan. Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. f = {(x, y) | x ∈ A dan y ∈ B}. Pasangan berurut (x , y) merupakan unsur dari fungsi f. Kedua, invers fungsi f atau f -1 memetakan y ∈ B ke x ∈ A. Jika invers fungsi f dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis f -1 = {(y , x) | y ∈ B dan x ∈ A}. Pasangan berurut (y, x) merupakan unsur dari invers fungsi f. Berdasarkan uraian-uraian di atas, diberikan definisi invers suatu fungsi sebagai berikut. Definisi 3.3 Berdasarkan kesimpulan yang diperoleh dari pema- haman Gambar 3.4, guru bersama-sama dengan siswa membuat Definisi 3.3 yaitu tentang invers fungsi. Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f = {(x, y) | x ∈ A dan y ∈ B}, maka invers fungsi f	(dilambangkan f -1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f -1 = {(y, x) | y ∈ B dan x ∈ A}. Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi, selesaikanlah Masalah 3.5 berikut. 137
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK memberikan Guru sebagai Masalah penerapan kon- sep invers yang sudah didefinisikan sebelum- nya. Diharapkan dengan diselesaikannya masalah ini konsep invers fung- si dapat dipahami siswa dengan baik Masalah-3.5 3.5 dari Diketahui fungsi f: A	→	B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C	→	D merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E	→	F merupakan fungsi surjektif yang digambarkan seperti Gambar 3.5 di bawah ini. g A B C D ii i E F iii Gambar 3.5. Fungsi f, g, dan h a) Jika invers fungsi f memetakan B ke A, invers fungsi g memetakan D ke C, dan invers fungsi h memetakan F ke E, gambarlah ketiga invers fungsi tersebut! b) Dari ketiga invers fungsi tersebut, tentukanlah mana yang merupakan fungsi. Alternatif Penyelesaian a) Gambar ketiga invers fungsi tersebut ditunjukkan sebagai berikut. g -1 f -1 D B C A (i) i ii 138
Matematika h -1 F E (iii) iii Gambar 3.6.Invers fungsi f, g, dan h b) Berdasarkan Gambar 3.6, disimpulkan sebagai berikut. Penyelesaian butir b) menuntut un- tuk mengingat kembali konsep fungsi. tentang Selanjutnya diharapkan siswa memahami bahwa invers dari suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Gambar 3.6 (i) merupakan fungsi. Mengapa? - Gambar 3.6 (ii) bukan fungsi. Mengapa? - Gambar 3.6 (iii) bukan fungsi. Mengapa? siswa Berdasarkan alternatif penyelesaian pada Masalah 3.5 di atas, dapat disimpulkan bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi tetapi dapat hanya berupa relasi biasa. Invers fungsi g dan h bukan suatu fungsi melainkan hanya relasi biasa. Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers. Invers fungsi f merupakan suatu fungsi invers. Berdasarkan uraian di atas, ditemukan sifat berikut. Sifat 3.3 Berdasarkan penyele- saian Masalah 3.5 minta siswa untuk membuat invers tentang prinsip dari sebuah fungsi bijek- tif pasti merupakan fungsi juga. Suatu fungsi f : A	→	B dikatakan memiliki fungsi invers f -1: B	→	A	jika	dan	hanya	jika	fungsi	f	merupakan	fungsi	bijektif. Perhatikan kembali Sifat 3.3 di atas, pada fungsi bijektif f: A→B, A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f . Secara umum, definisi fungsi invers diberikan sebagai berikut. 139
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan prinsip bahwa invers fungsi bi- jektif selalu bijektif dan dengan bantuan guru, minta siswa untuk dapat membuat Definisi 3.4. Definisi 3.4 Jika fungsi f: Df→Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f	adalah	fungsi	yang	didefinisikan	sebagai	f -1: Rf →Df dengan kata lain f -1 adalah fungsi dari Rf ke Df	. Perhatikan kembali Definisi 3.4 di atas. Fungsi f: Df →Rf adalah fungsi bijektif, jika y∈Rf merupakan peta dari x ∈ Df, maka hubungan antara y dengan f(x) didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1 adalah f, maka untuk setiap fungsi invers dari fungsi x ∈ Rf -1adalah peta dari y ∈ 1fD . Hubungan antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan rumus x = f -1(y). Guru meminta siswa untuk memahami Masalah 3.6. Selanjutnya minta siswa untuk menyelesaikan per- masalahan yang dibe- rikan. Permasalahan ini melibatkan konsep dan prinsip fungsi. invers Dengan diselesaikannya Masalah 3.6 diharapkan secara induktif dapat di- tarik kesimpulan untuk membentuk Sifat 3.4 5. Menentukan Rumus Fungsi Invers Masalah-3.6 Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besar dana yang diperoleh bergantung pada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 50.000x + 20.000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan. a) Tentukanlah invers fungsi pendapatan dari tiket Jika dengan diselesaikan masalah ini tetapi, siswa masih belum memaha- mi dengan baik tentang penyelesaiannya, diha- rapkan guru dapat mem- berikan contoh soal lain yang bertujuan agar Sifat 3.4 nantinya dapat dipa- hami. penonton klub sepak bola tersebut. b) Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar yang Rp55.570.000,-. Berapa menyaksikan pertandingan tersebut? penonton 140
Matematika Alternatif Penyelesaian Diketahui bahwa fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 50.000x + 20.000 a) Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak Pandu siswa untuk me- suatu nentukan fungsi bola invers Untuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dilakukan sebagai berikut. y = f(x) = 50.000x + 20.000 y = 50.000x + 20.000 50.000x = y - 20.000 − 20 000 . . 50 000 Karena x = f -1(y) maka f y = x − . 20 000 . 50 000 y − ( ) 1 y = − 20 000 . 50 000 . − . 20 000 x . 50 000 y − ( ) 1 Karena f y = maka − ( ) x 1 = f -1(x) = f Jadi, fungsi invers dari f(x) = 50.000x + 20.000 adalah − x 20 000 . . 50 000 1 . 50 000 − ( ) x − ( ) 1 1 −( x ) = atau f x = . 20 000 f . b) Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 55.570.000, maka banyak penonton yang menyak- sikan pertandingan tersebut adalah x Minta siswa mensketsa grafik fungsi f(x) dan in- versnya − 20 000 . . 50 000 . = f-1(x) − 55 570 000 20 000 . 50 000 . − 55 570 000 20 000 . 5 . 00 000 . = f-1(5.000.000) . . = = 1111 Jadi, penonton yang menyaksikan pertandingan sebanyak 1111 orang. itu Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 3.6 di atas, diperoleh sifat sebagai berikut. 141
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Guru bersama-sama dengan siswa membuat Sifat 3.4. Sifat 3.4 Misalkan f -1 adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x∈Df dan y∈Rf berlaku	y = f(x) jika dan hanya jika f -1(y)= x. Guru meminta siswa un- tuk memahami Contoh 3.7 dan 3.8, setelah itu minta perwakilan siswa untuk menjelaskan penyelesaian dari contoh itu. Contoh ini bertujuan untuk melatih kemampuan siswa dalam menerapkan konsep dan prinsip invers fungsi. Contoh 3.7 Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 5x + 7. Tentukanlah fungsi inversnya!. Alternatif Penyelesaian Karena y = f(x), maka y = 5x + 7 5x = y - 7 x - 7 5 x = x - 7 5 Karena x = f -1(y), maka f -1(y) = x - 7 5 x - 7 5 Karena f -1(y) = , maka f -1(x) = , 1 5 − ( ) = x −( x ) = 7 1 5 1 −( x ) 7 . Jadi fungsi invers f(x) = 5x + 7 adalah f Contoh 3.8 Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 3x - 1. Tentukanlah fungsi inversnya!. Alternatif Penyelesaian Karena y = f(x), maka y = 3x - 1 y 3 x = − 1 3 x = + 1 y + 3 1 y = x 142
Matematika + 3 − ( ) = x y 1 1 ( ) = y Karena f -1(y) = x, maka f + 1 3 , − ( ) = x x + 3 Jadi fungsi invers f(x) = 3x - 1 adalah f 1 y 1 , maka f 1 ( ) = y Karena f + 1 3 . x 1 Contoh 3.9 a) Tunjukan rumus fungsi komposisi (f ◦ f -1)(x) dan (f -1 ◦ f)(x) b) Kesimpulan apa yang bisa kamu temukan? Alternatif Penyelesaian (1) Berdasarkan Contoh 3.7, diketahui bahwa f(x) = 5x + 7 Berdasarkan penyele- saian Contoh 3.7 dan Contoh 3.8 minta siswa untuk menyelesaikan (f◦f-1)(x) dan (f -1◦f)(x) dan menarik kesimpulan dan penyelesaian yang siswa lakukan. 1 5 dan f -1(x) = (x - 7).) a) Rumus fungsi komposisi (f ◦ f-1)(x) dan (f-1◦ f)(x) ditentukan sebagai berikut. = f( f -1(x)) (f ◦ f -1)(x) = 5(f -1(x)) + 7 1 5 = x - 7 + 7 = x (x - 7)) + 7 = 5( (f -1 ◦ f)(x) = f -1 ( f(x)) x − 7 5 f x( ) − 7 5 x (5 + 7) = = − 7 = 5 143
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 5x 5 = = x b) Berdasarkan hasil pada butir (a) disimpulkan bahwa nilai (f ◦ f -1)(x) = (f -1 ◦ f)(x) = x = I (x) (2) Sebagai latihanmu, silahkan buktikan bahwa (f ◦ f -1)(x) = (f -1 ◦ f)(x) = x = I (x) juga berlaku pada Contoh 3.8. Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.7 dan Contoh 3.8 diperoleh sifat berikut Berdasarkan kesimpu- lan penyelesaian dari masalah di atas minta siswa untuk bersama- sama memahami tentang Sifat 3.5 Sifat 3.5 Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf sedangkan I(x) = x	merupakan fungsi identitas. Fungsi f -1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika (f ◦ f -1)(x) = x = I (x) untuk setiap x	∈	Df, dan (f -1 ◦ f)(x) = x = I (x) untuk setiap x∈	Rf	. Sifat 3.5 di atas dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi merupakan fungsi invers dari fungsi f atau tidak. Agar kamu lebih memahami, perhatikan kembali Contoh 3.10 berikut. Berikan Contoh 3.10 yang bertujuan untuk melatih kemampuan siswa tentang fungsi invers Contoh 3.10 x +1 10 Buktikanlah bahwa f(x) = 10x - 1 dan g(x) = merupakan fungsi yang saling invers. Alternatif Penyelesaian Untuk membuktikan bahwa f(x) dan g(x) saling invers, cukup menunjukkan fungsi komposisi f(g(x)) = g(f(x)) = x. Bukti.
x+1 10
(i)f(g(x))
= f 144
Matematika = 10(g(x)) - 1 x+1 10 = x + 1 - 1 − 1 = 10 = x (ii) g(f(x)) = g(10x - 1) )+ 1 1 x −( 10 10 )+ x −( 1 10 10 = 1 = x 10 10 = = x Karena f(g(x)) = g(f(x)) = x, maka kedua fungsi saling invers. Perhatikan kembali Contoh 3.11 berikut. Contoh 3.11 Berikan Contoh 3.10 un- tuk memantapkan siswa dalam memahami fungsi invers. Selain itu tujuan contoh ini adalah untuk menunjukkan bahwa (f -1 = f ). Jika siswa ma- sih belum memahami penyelesaian dari con- toh yang diberikan guru dapat memberikan contoh lain yang relevan dengan tujuan. Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = x - 1. Tentukanlah (f-1)-1(x)! Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan rumus (f-1)-1(x) maka langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan f -1(x) sebagai berikut. Diketahui bahwa f(x) = x - 1, karena f(x) = y, maka: y = x - 1 atau x = y + 1 Oleh karena x = f -1 (y), maka f -1 (y) = y + 1 sehingga f -1 (x) = x + 1. Langkah kedua adalah menentukan fungsi invers dari f -1 (x), sebagai berikut. Misalkan f -1 (x) = h(x), maka fungsi invers dari h(x) adalah h -1(x), yang ditentukan seperti berikut. 145
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Misalkan h -1 adalah fungsi invers fungsi h. Untuk setiap x ∈ Dh dan y ∈ Rh berlaku y = h(x) jika dan hanya jika x = h -1(y). Karena h(x) = x + 1 dan h(x) = y, kita peroleh hubungan y = x + 1 atau x = y - 1. Karena x = h -1 (y), maka h -1 (y) = y - 1 sehingga h -1 (x) = x - 1. Karena f -1 (x) = h(x) dan h -1 (x) = x - 1, maka (f -1)-1(x) = x - 1. Jadi,(f -1)-1(x) = x - 1. Perhatikan kembali rumus fungsi (f -1)-1(x) yang kita peroleh dengan rumus fungsi f(x) yang diketahui, dari kedua nilai ini kita peroleh bahwa (f -1)-1(x) = f(x) = x - 1 Berdasarkan hasil uraian pada Contoh 3.11 di atas, maka diperoleh sifat fungsi invers sebagai berikut. Sifat 3.6 penyele- Berdasarkan saian dari beberapa con- toh yang diberikan, di- harapkan siswa dapat me- mahami Sifat 3.6 Jika f sebuah fungsi bijektif dan f -1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f -1 adalah fungsi f itu sendiri, disimbolkan dengan (f -1)-1 = f Contoh 3.12 Sebagai penguatan bagi siswa untuk meningkat- kan kompetensinya terkait denngan Sifat 3.6, beri- kan Contoh 3.11 berikut ini, kemudian minta siswa untuk memahami penyele- saian dari contoh soal tersebut dan minta per- wakilan dari siswa men- jelaskan tentang penyele- saian soal yang diberikan. Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x - 2. Tentukanlah a) (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g) (x) f -1 (x) dan g -1 (x) (g ◦ f) -1 (x) dan (f ◦ g)-1 (x) (g -1 ◦ f -1) (x) dan (f -1 ◦ g -1) (x) hubungan antara (g ◦ f) -1 (x) dengan (f -1 ◦ g -1) (x) hubungan antara (f ◦ g)-1 (x) dengan (g -1 ◦ f -1) (x) b) c) d) e) f) 146
Matematika Alternatif Penyelesaian (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g) (x) a) (i) (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = f(x) - 2 = (2x + 5) - 2 = 2x + 3 (ii) (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 5 = 2(x- 2) + 5 = 2x + 1 f -1(x) dan g -1 (x) b) (i) f -1(x) f(x) = 2x + 5 karena f(x) = y maka y = 2x + 5 2x = y - 5 − 7 5 y = x − 2 5 y − ( ) = y 1 Karena f -1 (y) = x maka f − 2 y 5 − ( ) = y 1 sehingga f -1 (x) = f (ii) g -1 (x) g(x) = x - 2 karena g(x) = y maka y = x - 2 sehingga x = y + 2 karena g -1 (y) = x maka g -1 (y) = y + 2 sehingga g -1 (x) = x + 2 147
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK (g ◦ f) -1 (x) dan (f ◦ g) -1 (x) c) (i) (g ◦ f) -1 (x) (g ◦ f)(x) = 2x + 3 Misalkan (g ◦ f) (x) = h(x) sehingga h(x) = 2x + 3 −3 2 y = karena h(x) = y maka y = 2x + 3 sehingga x −3 2 y karena h-1(y) = x maka h-1(y) x x 3 2 = sehingga h -1 (x)
karena (g ◦ f)(x) = h(x) maka (g ◦ f) -1(x) = h -1 (x) sehingga (g ◦ f) -1(x) (ii) (f ◦ g)-1(x) (f ◦ g)(x) = 2x + 1 Misalkan (f ◦ g)(x) = k(x) sehingga k(x) = 2x + 1 −1 2 y = karena k(x) = y maka y = 2x + 1 sehingga x y 1 2 karena k -1 (y) = x maka k -1 (y)
sehingga −x 1 2 k -1(x) = karena (f ◦ g)(x) = k(x) maka (f ◦ g)-1(x) = k -1(x) −x 1 2 sehingga (f ◦ g) -1(x) = (g -1 ◦ f -1)(x) dan (f -1 ◦ g -1)(x) d) (i) (g -1 ◦ f -1)(x) Pada butir (b) telah ditemukan bahwa g -1 (x) = x + 2 dan 148
Matematika x − 5 2 (g -1 ◦ f -1)(x) f -1 (x) = = g -1(f -1(x)) = (f -1 (x)) + 2 x − 2 5 + 2 = x − +5 4 2 = x 1 2
(ii) (f -1 ◦ g -1)(x) (f -1 ◦ g -1)(x) = f -1(g -1(x)) x− ( ) 2 −2 ) 2 1 − g 5 = x + ( 5 = x − 3 2 = e) hubungan antara (g ◦ f) -1(x) dengan (f -1 ◦ g -1)(x) Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (g ◦ f)-1 (x) sama dengan (f -1 ◦ g -1)(x) x 1 2 atau (g ◦ f) -1(x) = (f -1 ◦ g -1)(x)
. f) hubungan antara (f ◦ g)-1(x) dengan (g -1 ◦ f -1)(x) Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi (f ◦ g)-1(x) sama dengan (g -1 ◦ f -1)(x) atau (f ◦ g)-1(x) = (g -1 ◦ f -1)(x). 149
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan Contoh 3.12 di atas dapat kita simpulkan sifat berikut. Diharapkan dengan diselesaikan Contoh 3.11 siswa dapat menarik ke- tentang simpulan yaitu Sifat 3.7 Sifat 3.7 Jika f dan g fungsi bijektif maka berlaku (g	◦ f) -1 = (f -1	◦ g -1) Agar kamu lebih memahami Sifat 3.7, selesaikanlah Berikan Latihan berikut kepada siswa untuk me- ngasah kemampuan siswa dalam memahami Sifat 3.7 latihan berikut. Latihan Fungsi f: R→R dan g: R→R ditentukan oleh rumus f(x) = 5x - 4 dan g(x) = 3x. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (f ◦ g) -1 (x) dan (g ◦ f) -1 (x)! Contoh 3.13 Tentukanlah invers fungsi f(x) berikut. a. f(x) = 2x - 4 b. f(x) = x2 - 4x + 2 2 4 - x x 1 1 c. f(x) = Alternatif Penyelesaian a. Menentukan invers f(x) = 2x - 4 y + 4 2 Misalkan y = 2x - 4 sehingga x = x + 4 2 Dengan demikian, f -1(x) = b. Menentukan invers f(x) = x2 - 4x + 2 Misalkan y = x2 - 4x + 2 sehingga dengan kuadrat sempurna diperoleh: y = x2 - 4x + 4 - 4 + 2 ⇔ y = (x - 2)2 -2 ⇔ y +2 = (x - 2)2 ⇔ x - 2 = ± +y 2 ⇔ x = 2 ± +y 2 sehingga f -1(x) = 2 150
Matematika - 2 4 x x 1 1 c. Menentukan invers f(x) = - 2 4 x x 1 1 Misalkan y = sehingga dengan proses aljabar, - 2 4 x x 1 1 ⇔ y(4x - 1) = 2x - 1 y = ⇔ 4xy - y = 2x - 1 ⇔ 4xy - 2x = y - 1 ⇔ x(4y - 2) = y - 1 1 y - y 2 4 − 1 − 2 ⇔ x = x 4 x sehingga f-1(x) = Uji Kompetensi 3.2 Berikan Uji Kompetensi 3.2 ini sebagai pengukur kemampuan siswa dalam memahami beberapa kon- sep dan prinsip tentang fungsi invers. Soal-soal uji kompetensi ini juga dapat digunakan sebagai tugas untuk dikerjakan siswa di rumah. 1. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 100x + 500, x merupakan banyak potong kain yang terjual. a) Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 100 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh? b) Jika keuntungan sebesar Rp500.000,00 berapa potong kain yang harus terjual? diharapkan yang c) Jika A merupakan himpunan daerah asal (domain) fungsi f(x) dan B merupakan himpunan daerah hasil (range) fungsi f(x), gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas. 151
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2. Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut jika ada. a) f(x) = 2x2 + 5 1 g(x) = 2 x − 6 b) c) h(x) = x + 2 3 3. Diketahui f dan g suatu fungsi dengan rumus fungsi x 4 3 3. Diketahui f dan g suatu fungsi dengan rumus fungsi x 4 3 f(x) = 3x+ 4 dan g(x) = Buktikanlah bahwa f -1(x) = g(x) dan g-1(x) = f(x). 4. Diketahui fungsi f: R→R dengan rumus fungsi f(x) = x2 - 4. Tentukanlah daerah asal fungsi f agar fungsi f memiliki invers dan tentukan pula rumus fungsi inversnya untuk daerah asal yang memenuhi! 5. Untuk mengubah satuan suhu dalam derajat Celcius (0C) ke satuan suhu dalam derajat Fahrenheit (0F) 9 5 5. Untuk mengubah satuan suhu dalam derajat Celcius (0C) ke satuan suhu dalam derajat Fahrenheit (0F) 9 5 C+32. a) Tentukanlah rumus untuk mengubah satuan derajat Fahrenheit (0F) ke satuan suhu dalam derajat Celcius (0C). b) Jika seorang anak memiliki suhu badan 860F, tentukanlah suhu badan anak itu jika diukur menggunakan satuan derajat Celcius! x −1 5 nilai (f ◦ g) -1(x)! − x 2 3 6. Jika f -1(x) = dan g-1(x) = dan, tentukanlah 7. Diketahui fungsi f: R→R dan g: R→R dirumuskan −1 x 7. Diketahui fungsi f: R→R dan g: R→R dirumuskan −1 x , untuk x ≠ 0 dan g(x) = x + 3. dengan f(x) = Tentukanlah (g ◦ f)-1(x)! 152
Matematika 8. Diketahui f(x) = 3x-1. Tentukanlah rumus fungsi f -1(x) dan tentukan juga f -1(81)! 9. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan (f ◦ g) (x + 1) = -2x2 - 4x - 1. Tentukanlah g-1(x) dan g-1(-2)! 10. Fungsi f: R→R dan g: R→R ditentukan oleh rumus f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (f ◦ g) -1 (x) dan (g ◦ f) -1 (x)! +2 1 dan 11. Diketahui f x ( ) = x 1 − 2 = − + . ( f g x )( ) x 4 x 5
x 2 Tentukanlah (f ◦ g) -1 (x) x + 1 12. Diketahui fungsi f x ( ) = ≠ 0 dan f -1 adalah invers , x x fungsi f. Jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, tentukanlah nilai f -1(k). Berikan tugas projek ke- pada siswa dan berikan batasan waktu kepada siswa secara berkelompok untuk menyelesaikannya, setelah itu minta untuk dipresentasikan di depan kelas. Projek Rancanglah sebuah permasalahan kehidupan nyata dan selesaikan dengan menggunakan konsep fungsi komposisi. Buatlah laporannya dan persentasikan di depan kelas. Bagian penutup ini beri- tentang beberapa sikan hal penting terkait opera- si fungsi termasuk kompo- sisi fungsi. Selain itu bab penutup ini juga merang- kum tentang fungsi invers. D. PENUTUP Berdasarkan uraian materi pada Bab 3 ini, beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan sebagai berikut. 1. Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu fungsi dengan daerah asal Dg, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut. 153
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK (1) Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal Df+g = Df ∩ Dg. (2) Selisih f dan g ditulis f - g didefinisikan sebagai (f - g)(x) = f(x) - g(x) dengan daerah asal Df-g = Df ∩ Dg. (3) Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal Df×g = Df ∩ Dg. f g dengan daerah asal D f (4) Pembagian f dan g ditulis didefinisikan sebagai ( ) f x g x ( ) - {x| g(x) = 0}. ( ) = x f g = Df ∩ Dg g 2. Jika f dan g fungsi dan Rf ∩ Dg ≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis: g ◦ f) yang ditentukan dengan h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f(x)) 3. Sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak memenuhi, yaitu; (g ◦ f) ≠ (f ◦ g). 4. Diketahui f , g, dan h suatu fungsi. Jika Rh ∩ Dg ≠ Ø; Ø; Rg○h ∩ Df ≠ Ø; Rg ∩ Df ≠ Ø; Rh ∩ Df○g ≠ Ø;, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu; f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. 5. Diketahui f fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika RI ∩ Df ≠ Ø maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu: I (x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu; f ◦ I = I ◦ f = f. 154
Matematika 6. Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f = {(x , y) | x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f -1) memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f -1 = {(y , x) | y∈B dan x∈A}. 7 Suatu fungsi f : A→B disebut memiliki fungsi invers f -1: B→A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi yang bijektif. 8 Jika fungsi f: Df →Rf adalah fungsi bijektif, maka invers dari fungsi f ada-lah fungsi f -1 yang didefinisikan sebagai f -1: Rf →Df. 9 Jika f fungsi bijektif dan f -1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f -1 adalah fungsi f itu sendiri. 10 Jika f dan g fungsi bijektif maka berlaku (g ◦ f) -1 = (f -1 ◦ g -1). Beberapa hal yang telah kita rangkum di atas adalah modal dasar bagi kamu dalam belajar fungsi secara lebih mendalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan baik karena akan membantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. 155
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ... 156
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 3. Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan menerapkannya dalam menyelesaikanmasalah. 4. Menganalisis kurva-kurva yang melalui beberapa titik untuk menyimpulkan berupa garis lurus,garis-garis sejajar, atau garis-garis tegak lurus. Melalui pembelajaran persamaan garis siswa memperoleh pengalaman belajar: •	• lurus, berlatih	untuk	tangguh	menghadapi	masalah	berlatih	siswa	untuk	berpikir	kritis,	jujur,	dan	disiplin menunjukkan	sikap	bertanggung	jawab	dalam menyelesaikan masalah menunjukkan	sikap	rasa	ingin	tahu	dan	peduli
terhadap lingkungan berlatih	menganalisis	masalah	secara	konsis
ten dan jujur gradien
dua	garis	sejajar
dua	garis	tegak	lurus
titik	potong	garis
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Sistem Persamaan Linear dua Variabel Materi Prasyarat Persamaan Garis Lurus Masalah Otentik Gradien (kemiringan Garis) Hubungan Antar Garis Dua Garis Saling Tegak Lurus Dua Garis Saling Sejajar Aplikasi Persamaan Garis Lurus 158
Matematika kepada Menjelaskan kompetensi-kom- siswa petensi dasar yang ha- rus dimiliki siswa setelah menyelesaikan materi program persamaan garis lurus. Tanyakan kepa- da siswa tentang konsep persamaan garis lurus yang digunakan dalam berbagai bidang dalam kehidupan. Guru mengajak siswa un- tuk mengingat kembali materi tentang garis dan gradien yang telah di pe- lajari di SMP melalui per- samaan berikut. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Garis dan Gradien Memulai subbab ini, kita awali dengan mengingat kembali materi yang sudah pernah kamu pelajari di SMP (Kelas VIII) tentang bagaimana menentukan persamaan garis lurus dan gradien suatu garis. Coba perhatikan bentuk persamaan garis dan gradien garis di bawah ini. a = − . b 1. Garis dengan persamaan ax + by = c gradien m 2. Garis dengan persamaan y = ax + c gradien m = a. 3. Garis dengan persamaan y - y1 = p(x - x1) gradien m = p − − − − y x y x y x y x = 2 1 1 gradien 4. Garis dengan persamaan 1 2 1 − − y x y x = 2 1 . a, b, c, x1, y1 ∈ R m 2 1 Mari kita amati gambar di bawah ini! 10 I1 : 2x + 2y = 4 y Selanjutnya ajak siswa un- tuk mencermati Gambar 4.1. Pastikan siswa memili- ki keterampilan dalam menggambar garis l1, l2, dan l3. Dengan menga- jukan pertanyaan-per- tanyaan, misalnya sebut- kan titik potong garis l1 dengan sumbu x dan sum- bu y. I2 : x + 5y = 10 5 A C x B 10 5 10 5 5 I3 : 3x - 5y = 15 10 menggunakan Dengan ajak konsep siswa memerika gradien masing-masing garis. Gambar 4.1: Tiga perpotongan 3 garis lurus gradien, 159
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dari gambar di atas, tentunya kamu dapat menentukan gradien dan titik titik potong antara garis dan titik potong garis dengan setiap sumbu y dan sumbu x . i. Dari persamaan garis l1 , kamu sudah dapat mengetahui gradien garis tersebut. Tetapi, gradien garis l1 dapat juga ditentukan melalui dua titik pada garis tersebut, misalnya A dan B. Tentunya hasilnya pasti sama. ii. Demikian halnya untuk garis l2 dan l3 . Dengan adanya persamaan garis atau dengan melalui titik potong garis, tentunya bukan sesuatu yang sulit menentukan gradien garis tersebut. Mari kita telaah kondisi berikut ini. Di jalan yang lurus dan datar mungkin kelajuan mobil dapat diusahakan tetap. Gerak pesawat terbang pada ketinggian tertentu akan memiliki kecepatan tetap. Kecepatan tetap dapat disajikan sebagai garis lurus. Kedua contoh tadi adalah contoh dari gerak lurus beraturan (GLB), lintasan benda berupa garis lurus dan arah gerak selalu tetap sehingga perpindahan dapat diganti dengan jarak dan kelajuan tetap dapat diganti dengan kecepatan tetap. Sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan tetap akan menempuh jarak yang sama untuk selang waktu t yang sama. Dari Gambar 4.2, minta siswa untuk membaca grafik dan menarik kesim- pulan dengan mempresen- tasikan di depan kelas. Faktor "k" dengan waktu akan meng- hasilkan jarak. Dalam Gambar 4.2, k = 10. Nilai k tersebut me- rupakan gradien kecepa- tan. pengali besar Gambar	4.2:	Grafik	jarak	terhadap	waktu 160
Matematika Bandingkan grafik pada Gambar 4.2 dengan grafik di Pastikan siswa mema- hami perbedaan grafik pada Gambar 4.2 dan 4.3melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan. Misalnya, coba sebutkan minimal dua titik yang dilalui garis l4 , l5 , l6 . Selanjutnya minta siswa untuk menentukan gradi- en setiap garis tersebut. bawah ini. 10 I5 : x - y = 2 I6 : x = -5 5 10 5 10 5 5 I4 : x + y = 2 10 Gambar 4.3 Kita sebut gradien l4 adalah m4=-1 gradien l5 adalah m5 = 1. Dari Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 dapat kita rangkum gradien tiap-tiap garis: + = dengan m1 1= − ; 1 = − ; 5 3 = ; 5 a) l : 1 2 x 2 y 4 : + x = dengan m2 b) l 5 y 10 2 dengan m3 − = c) l : 3 3 x 5 y 15 : = 10 dengan mv = 10 ; d) v v t 1= − ; : + = dengan m4 x 2 e) l y 4 : − = dengan m5 1= . x d) l 5 y 2 Ajak siswa berpikir untuk menemukan alasan, me- ngapa garis l6 tidak memi- liki gradien. Jika siswa kesulitan me- nemukan alasannya, ber- ikan petunjuk melalui grafik yang menggambar- kan bahwa gradien me- rupakan kemiringan garis. Kesimpulan yang bisa kita tarik dari ke enam garis di atas (kecuali garis l6), setiap garis memiliki kemiringan terhadap sumbu x atau garis yang dimaksud membentuk sudut terhadap sumbu x. Oleh karena itu, garis tidak mempunyai gradien (mengapa?) tentang ini kita akan mengkaji masalah Berikut penampungan air yang terjadi di daerah-daerah yang kesulitan air untuk keperluan sehari-hari. 161
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Motivasi untuk menyadari kebermaknaan matematika dalam ke- hidupan sehari-hari. Berikan waktu kepada siswa untuk memaha- mi Masalah 4.1 hingga siswa mampu menemukan masalah yang dihadapi keluarga Pak Bambang. siswa Masalah-4.1 Keluarga Pak Bambang memiliki sumur dan mesin pompa untuk menyediakan air untuk keperluan minum,	cuci	dan	mandi.	Setelah	melalui	proses	penyaringan, air sumur tersebut dialirkan ke bak mandi	keluarga	tersebut.	Setiap	hari,	keluarga	Pak	Bambang memerlukan 1000 liter air, yang diperoleh dengan dua kali mengisi bak mandi (setiap pengisian 500 liter). Karena keterbatasan daya listrik di rumah Pak Bambang, mesin pompa hanya dapat digunakan pada saat alat-alat listrik lain di rumah tersebut tidak dioperasikan. Jumlah air yang tertampung setiap menit dinyatakan dalam tabel berikut ini. Tabel 4.1: Volume air pada bak mandi setiap menit. Waktu (menit) 0 1 2 3 4 5 6 7 ... Volume (Liter) 2 5 8 11 14 17 20 23 ... a) Dengan tanpa menunggu bak mandi hingga penuh, dapatkah kamu memberi tahu Pak Bambang tentang durasi waktu hingga bak tersebut penuh? b) Jika Pak Bambang ingin mengurangi 50% durasi waktu pengisian bak mandi tersebut, berapakah volume air pe rmenit yang ditambah? Ajukan pertanyaan-per- siswa tanyaan kepada untuk mengetahui ke- terampilan siswa dalam membaca grafik hubu- ngan volume air dengan waktu. Misalnya, minta siswa menyelidiki kebenaran persamaan l: -3t + v = 2. Atau tanyakan siswa kon- sep menentukan persa- maan garis lurus yang telah dipelajari pada ke- las VIII SMP. Alternatif Penyelesaian Hubungan volume air pada bak mandi dengan waktu dapat dideskripsikan pada grafik berikut ini. 30 volume air (laut) (7,23) (6,20) 20 (5,17) (4,14) (3,11) (2,8) 10 (1,5) waktu (menit) (0,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gambar 4.4: Hubungan volume air dengan waktu. 162
Matematika Sebaran koordinat waktu dan volume air berada pada satu garis lurus, dengan persamaan l : -3t + v = 2 (tunjukkan!). Persamaan -3t + v = 2 atau v = 3t + 2 memiliki gradien m = 3. Pastikan siswa memaha- mi makna persamaan l: -3t + v = 2 atau v = 3t + 2 dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan. Misalnya, apa arti angka 3 dan 2 pada persamaan tersebut. a) Ternyata, gradien persamaan garis tersebut merupakan faktor penentu besar tidaknya durasi waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi keluarga Pak Bambang, selain konstanta. Karena volume air pada saat bak mandi penuh adalah 500 liter, akibatnya: 500 = 3t + 2 diperoleh t = 166 menit atau 2,76 jam. Angka 3 pada persamaan tersebut berarti volume bak selalu bertambah 3 liter untuk setiap menit. Sedangkan angka 2 be- rarti, volume awal bak mandi. Jadi durasi waktu yang dibutuhkan Pak Bambang hingga bak mandi tersebut penuh adalah 166 menit. b) Coba kamu kerjakan. Jika kamu kesulitan, tanyakan kepada gurumu! Berikan waktu kepa- da siswa untuk menco- ba menyelesaikan per- tanyaan Berikan b). apresiasi kepada siswa yang mampu menjawab dengan benar atau seperti alternatif penyelesaian di samping. Alternatif Penyelesaian Volumen bak mandi penuh adalah 500 liter, tetapi Pak Bambang ingin waktu yang dibutuhkan hingga bak penuh berkurang 50%. Artinya, volume air per menit harus diperbesar. Misal, k adalah volume air permenit. Akibatnya : 500 = k (83) + 2, diperoleh k = 6. Jadi, untuk mengurangi 50 % waktu mengisi bak hingga penuh, debit air permenit harus ditambah 3 liter. Cermati gambar di bawah ini, terdapat garis horizontal y = b, garis vertikal x = a dan garis l1 dengan persamaan ax + by = c. Tentu kamu sudah tahu mana dari ketiga garis tersebut yang memiliki gradien. 163
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 10 Garis Horinzontal y b�= 5 + = 1 : l ax by c 5 10 10 5 5 x a�= Garis Vertical 10 Gambar 4.5: Garis vertikal, horizontal, dan garis l1: ax + by = c. Koordinasi siswa untuk berdiskusi menyelesaikan masalah di samping. Persamaan garis l1: ax + by = c a,b dan c merupa- kan bilangan real: m Ø Untuk memastikan pemahaman kamu akan eksistensi gradien suatu garis, dengan memperhatikan bentuk persamaan garis l1: ax + by = c a,b dan c merupakan bilangan real, selidiki syarat untuk: • • • • m > 0; m < 0; m = 0 dan garis l tidak memiliki gradien. a b ▪ m > 0 jika a > 0 dan b < 0, atau a < 0 dan b > 0. Rangkum secara rinci untuk setiap syarat yang kamu temukan! Secara geometri, gradien atau kemiringan garis ▪ m < 0 jika a > 0 dan b >0 atau a < 0 dan b < 0. dijelaskan melalui grafik berikut ini. Dari titik A ke B titik, terdapat suatu kenaikan (perubahan tegak) sebesar dan perubahan mendatar sebesar(y2 - y1) . Jadi kemiringan ( x2 - x1) garis itu dinyatakan: ▪ m = 0 jika a = 0 dan b ≠ 0. ▪ Garis l tidak memiliki gradien jika b = 0. perubahan kenaikan perubahan mendatar = m − − y 2 x 2 y 1 x 1 = ≠ , x 2 x 1 164
Matematika y 2y ( xB )2 � 2 , y y � y 1 2 ( )1 1, yxA � 1y D x � x 1 2 � C 2x O 1x x Gambar 4.6 Gambar 4.6 Pada Gambar 4.6, mari kita cermati segitiga siku- siku OBC, dengan siku-siku di titik C. Dengan mengingat kembali konsep perbandingan sudut pada segitiga siku- siku yang telah kamu pelajari pada kelas X, kita akan menentukan nilai tangen sudut a . α Sudut α merupakan besar sudut yang dibentuk garis yang melaui titik A dan B terhadap sumbu x. Ingatkan siswa akan kon- sep hubungan antar sudut pada materi garis dan sudut pada kelas VII SMP. ∠BAD = ∠α. Minta siswa menyajikan hubungan ∠BAD = ∠α di depan kelas. Jika siswa menemukan jawaban seperti alternatef jawaban di samping, be- rikan apresiasi. Demikian jika ada cara lain yang ditemukan siswa. Ø Perhatikan kembali Gambar 4.6, apakah besar ∠BAD = besar ∠α? Berikan Alasannya. Alternatif Penyelesaian: Perhatikan gambar di bawah ini. ∠α dan ∠β merupakan sudut-sudut sepihak dalam, dengan ∠α + ∠β = 180o atau = 180o - ∠α. Sedangkan ∠β dan ∠BAD merupakan dua sudut berpelurus, dituliskan: ∠β + ∠BAD = 180o atau ∠β =180o - ∠BAD. 165
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Akibatnya: ∠BAD = ∠α. Contoh 4.1 Tentukan nilai tangen sudut setiap garis seperti pada gambar di bawah ini. Gambar	4.7:	Sudut-sudut	yang	dibentuk	oleh	garis	l1 dan l2. Keterangan: Sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh garis l1 dengan Sumbu-X dan b merupakan sudut yang dibentuk oleh garis l2 dengan Sumbu-X Sudut α merupakan besar sudut yang dibentuk garis yang melaui titik A dan B terhadap sumbu x. 166
Matematika Alternatif Penyelesaian Pada Gambar 4.7, kita akan menentukan nilai tanα dan tan β . Dengan segitiga siku-siku POR kita akan tentukan tanα , sedangkan dengan segitiga siku-siku QOS kita akan menentukan tan β . Ingat......!!!! o ) sin sin (180 o ) cos cos (180 o ) tan tan (180 a) Cermati segitiga POR. Panjang sisi PO = 6, dan OR = 6. 6 = = 6 OR PO tan a = 1 Nilai tanα tersebut, mari kita bandingkan dengan gradien garis l1: y - x = 6. ; m1 = 1. Hubungan m1 dengan nilai, tanα dituliskan sebagai berikut; m1= tanα . b) Dengan cara yang sama untuk segitiga SQO, diketahui panjang sisi QO dan OS berturut-turut adalah 8 dan 8. OQ OS Gradien garis l2: x + y =8. ; m2 = -1. Hubungan m2 dengan nilai tan 180 − ) = − 8 = = 8 ( ) = − β . Oleh karena itu, tan 180 1 Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan dari pembahasan Contoh 4.1 tentang konsep gradien suatu garis dengan nilai tangen sudut yang terkait garis. Untuk pertanyaan kritis, berikan kesempatan kepa- da siswa untuk mencoba Bentuk menyelesaikan. kelompok belajar yang heterogen untuk mem- bentuk sikap kemampuan bekerja sama antar siswa. Minta siswa untuk mampu menggambarkan setiap persamaan garis. ( β − )β dituliskan β . tan ( 180 = sebagai berikuti: m2 tan Bepikir Kritis Ø Dari pembahasan contoh 4.1 , kesimpulan apa yang dapat ditarik ? Ø Cermati kembali Gambar 4.7, coba tentukan nilai tangen sudut PTQ! Jadi, hubungan gradien dengan besar sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x adalah sebagai berikut: Misal garis l: ax + by = c, dengan a, b, c ∈ R, a dan b tidak keduanya nol. Jika garis l membentuk sudut sebesar α (berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif) terhadap sumbu x, maka tan α = m. 167
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sekarang perhatikan ΔPTQ. ▪ ∠PTQ = θ ▪ PQ = 8 ▪ PT = QT = 7 2 ▪ TR = 7 ▪ PR = RQ = 7 T θ1 θ2 (180o - β) α Q P R Perhatikan ΔTRQ, tan θ1= 1, atau θ1 = 45o. Dengan cara yang sama, diperoleh θ2 = 45o. Karena θ1 + θ2, maka θ = 90o. Jadi tan ∠PTQ = tidak terdefinisi. Untuk menjawab per- tanyaan menantang, beri kepada siswa untuk meng- gali ide-ide untuk me- mecahkan masalah terse- but. Guru hanya diperkenakan memberikan petunjuk-pe- tunjuk untuk menyele- saikan pertanyaan terse- but. Misalnya, arahkan siswa untuk menggambarkan l1, l2, l3, dan l4 dalam koordi- nat kartesius. Ingatkan siswa bagaima- na menentukan besar sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x. Pertanyaan	Menantang: Diberikan persamaan garis: l1: x + y = 3 l2: -x + y = 3 l3: x - y = 3 l4: x + y = -3 Hitunglah besar sudut yang dibentuk setiap garis dengan sumbu-x. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk setiap garis l1, l2, l3, dan l4 dapat ditemukan dengan menentukan gradien setiap garis. 168
Matematika Minta siswa mengi- ngat kembali nilai tangen sudut-sudut istimewa se- perti yang telah dipelajari pada Bab 8 Kelas X SMA. ▪ Gradien l1; m1 = -1. Karena m1 = tan α1 = -1, maka = 135o. ▪ Gradien l2; m2 = 1. Karena m2 = tan α2 = 1, maka = 45o. ▪ Gradien l3; m3 = 1. Karena m3 = tan α3 = 1, maka = 225o. ▪ Gradien l4; m4 = -1. Karena m4 = tan α4 = -1, maka = 315o. untuk Motivasi pengetahuan mengasah dan keterampilan mere- ka tentang gradien garis melalui pemberi tugas soal-soal mengerjakan pada Uji Kompotensi 4.1. Guru harus memeriksa semua hasil pekerjaan siswa sebagai salah satu cara membangun keper- cayaan diri siswa dan mengapresiasi hasil pe- mikiran mereka. siswa Uji Kompetensi 4.1 1. Tentukan gradien setiap garis pada grafik berikut ini. Gambar 4.8 169
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jika ada garis yang tidak memiliki gradien, berikan alasannya! 2. Tentukan nilai p untuk setiap koordinat di bawah ini. a. A (2,p) dan B(2,2p - 3) dengan m = 7. b. A (12 - 3p,4) dan B(8,7p - 3) dengan m = 5. 1 c. A (5 - 6p,3p) dan B(8,7p - 3) dengan m = 2 . 3. Jika P(xp, yp) dan Q(xq, yq), tentukan syarat yang harus dipenuhi agar garis yang melalui titik tersebut memiliki gradien yang positif. 4. Tentukanlah nilai k untuk setiap persamaan garis berikut, untuk a. g1: (3k)x - 6y = 20 dengan gradiennya sama dengan gradien g2: (3k)x - 2y = 16. b. l1: (3k + 2)x + ky = 12 dengan gradiennya sama dengan gradien l2: 7x + (k - 6)y = 16. 5. Cermati grafik berikut ini. (i) 170
Matematika (ii) Gambar 4.9 Tentukan persamaan garis untuk masing-masing garis pada gambar (i) dan (ii). Selanjutnya hitunglah nilai tangen setiap sudut yang diberikan pada gambar. 6. Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 4.10 Tentukan besar sudutα . 7. Diberikan dua persamaan garis: l : 2x + 3y = 6 g: 4x - 5y = 0 Tentukan nilai sinus sudut yang dibentuk oleh garis l dan g . 171
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 8. Gradien suatu garis sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis dengan sumbu X. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 3x + 4y = 12 dan x - 4y = 0 dan memiliki gradien sama dengan nilai tangen sudut pada soal No.6. 9. Diberikan dua persamaan garis: l1 : a1x + b1y = c1; a1 ≠ 0, b1 ≠ 0 dan l2 : a2x + b2y = c2; a2 ≠ 0, b2 ≠ 0. a1, a2, b1, b2, c1, c2 bilangan real. Tentukan syarat yang harus dipenuhi apabila: a. m1 > m2 b. m1 < m2 dimana: m1 : gradien garis l1 dan m2 : gradien garis l2. 10. Perhatikan gambar garis di bawah ini. Gambar 4.11 Tentukanlah persamaan garis paling sedikit dua garis yang: a. Sejajar dengan garis g b. Tegak lurus dengan garis g 172
Matematika Pastikan tetap memiliki motivasi untuk menggali ide-ide dalam menemukan hubungan garis dengan menggu- nakan konsep gradien. siswa 2. Hubungan Antar Garis a. Garis Garis Sejajar Perhatikan kartesius berikut ini. titik-titik yang terdapat pada bidang Ajukan pertanyaan-per- tanyaan kepada siswa untuk membekali pikiran mereka terhadap ma- teri garis-garis sejajar. Misalnya, Apakah ciri- ciri dua garis sejajar? Berikan kesempatan ke- pada siswa untuk menco- ba membentuk pasangan garis lurus yang sejajar yang minimal melalui tiga titik dan melalui 2 titik. Gambar 4.12 Ø Dari gambar di atas, coba tarik garis yang melalui minimal tiga titik. Kemudian tentukan persamaan garis yang kamu peroleh. Minta siswa menentukan persamaan garis lurus yang melalui minimal tiga titik yang sudah ditemu- kan pada Gambar 4.12. Ada dua garis yang melalui minimal tiga titik, yaitu garis l1 dan l2. Garis l1 melalui titik A(-3,6), B(-1,3), dan D(3,-3). Jadi persamaan garis l1 ditentukan melalui: − − 3 ) ( x − − − 3 1 ) ( − 6 y − 3 6 atau 3x + 2y = 3. (1) = Garis l2 melalui titik H(1,6), G(3,3), dan F(5,0). Jadi persamaan garis l2: − − 6 1 y x − − 3 6 3 1 = atau 3x + 2y = 15. 173
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ø Dari gambar di atas, coba tarik garis yang melalui dua titik. Kemudian tentukan persamaan tiap-tiap garis yang kamu peroleh. Pastikan siswa mampu menemukan garis yang melalui 2 titik dengan mampu menyebutkan titik yang dilalui garis terse- but. Selanjutnya minta siswa untuk menemukan persa- maan setiap garis. Misalnya garis yang melalui titik D(3,3) dan F(5,0), yaitu: − 3 x − 5 3 − 3 y − 0 3 = atau 3x + 2y = 15. Pada Gambar 4.12, terdapat 15 garis lain yang melalui 2 titik. Minta siswa menemukan ke 15 garis yang melalui 2 titik dengan lengkap menyajikan titik-titik yang dilalui setiap garis tersebut. Ajak siswa mencerma- ti kembali garis yang ditemukan, yaitu garis yang minimal melalui 3 titik dan garis yang melalui 2 titik. Minta siswa menyelidiki garis yang berpotongan dan garis yang tidak ber- potongan (sejajar). Ø Dari semua garis yang kamu peroleh, adakah kamu temukan garis yang saling berpotongan? Jika ya tentukan titik potongnya. Untuk garis yang melalui minimal tiga titik, ada 1 pasang garis yang tidak saling berpotongan, yaitu: garis l1 dan l2. Sedangkan untuk garis yang melalui 2 titik, terdapat 11 pasang garis yang tidak berpotongan. Misalnya, garis yang melalui titik A(-3,6) dan F(5,0) dan garis yang melalui titik B(-1,3) dan E(7,-3). Ingatkan kembali kepada siswa konsep garis dan sudut pada kelas VII SMP, bahwa untuk garis l1 dan l2 sejajar, jika garis l3 memotong garis l1 maka l3 memotong l2. Untuk menentukan titik potong antar garis, minta siswa memperhatikan Gambar 4.12 atau menggunakan konsep eliminasi, subsitusi. Bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu. Motivasi siswa untuk menyimpulkan mampu syarat suatu titik dilalui oleh suatu garis. Jika titik B(-1,3) dilalui garis l1, maka kesamaan 3x + 2y =3 adalah benar. Dari Gambar 4.12, dapat kita tentukan persamaan garis yang melalui titik A (-3,6) dan D(3,-3). − − 3 ) ( − 3 x − − 3 6 ) ( − − 3 3 + − − 3 2 = y y x 3 3 y+ 2 ⇔ = = Pastikan sudah keterampi- memiliki lan untuk menentukan persamaan garis yaitu siswa ⇔ 3 x 3 Sebut l1 : 3x + 2y 174
Matematika Ø Selidiki apakah garis l1 melalui titik B(-1,3) dan titik dengan meminta siswa untuk menyelidiki kebe- naran persamaan garis l2. C(1,0)! + = , bandingkan 3 dengan persamaan garis yang kamu peroleh. Persamaan garis l2 : 3x + 2y = 15 melalui titik E(7,-3) dan titik H(1,6) (selidiki!). Selain itu, garis l2 juga melalui titik G(4,3) dan titik F(5,0). Ø Melalui grafik garis l1 dan l2, kemudian tentukan gradien kedua garis, dan analisis gradien kedua garis tersebut Selanjutnya, dari hasil kerja menentukan persamaan garis yang melalui dua titik, kita peroleh persamaan-persamaan berikut ini: i. Dengan persamaan garis l : 1 3 x 2 y Ajak siswa untuk menen- tukan gradien garis l1: 3x + 2y = 3 dan garis l2: 3x + 2y = 15. Untuk l1; m1 = sedangkan untuk l2; m2 = . siswa mampu Minta menyimpulkan hubungan gradien garis l1 dan l2. Jadi ditemukan dua garis yang tidak saling berpo- tongan memiliki gradien yang sama. l3 : 2y - 3x = 9 merupakan persamaan garis yang melalui titik B(-1,3) dan H(1,6). ii. l4 : 3x - 2y = 3 merupakan persamaan garis yang melalui titik C(1,0) dan G(3,3). iii. l5 : 3x - 2y = 15 merupakan persamaan garis yang melalui titik D(3,-3) dan F(5,0). iv. l6 : x - 2y = 9 merupakan persamaan garis yang melalui titik A(-3,6) dan G(3,3). v. l7 : x - 2y = 5 merupakan persamaan garis yang melalui titik B(-1,3) dan F(5,0). vi. l8 : x - 2y = 1 merupakan persamaan garis yang melalui titik C(1,0) dan E(7,-3). Berikan kesempatan ke- pada siswa untuk berla- tih menggambar garis l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7, dan l8. Kemudian ajak siswa untuk memahami grafik garis l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7, dan l8. memastikan Untuk siswa akan paham grafik di samping ajukan pertanyaan-pertanyaan. Pada kesempatan ini, kita tidak mengkaji garis-garis horizontal dan garis-garis vertikal Ø Dari persamaan garis l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7, dan l8, selidiki pasangan garis yang saling sejajar. Tunjukkan grafik dan hubungan gradien setiap pasangan garis. 175
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Misalnya: ▪ Sebutkan garis-garis yang kemiringannya sama dengan garis l3. ▪ Sebutkan garis-garis berpotongan dengan garis l3. Dari aktivitas ini, diha- rapkan siswa memiliki pengetahuan dan kete- rampilan tentang garis- garis sejajar. untuk Arahkan mampu membuat kesim- pulan tentang sifat-sifat atau ciri-ciri garis-garis sejajar. Berikan penjelasan kepa- da siswa akan keterpa- duan materi-materi dalam belajar matematika. Salah satu diantaranya, hubu- ngan antar himpunan penyelesaian sistem per- samaan linear dua varia- bel dengan gradien garis. Misalkan: l1: ax + by = c, dengan siswa Ø Pada Kelas X, kita telah mengkaji tentang sistem persamaan linear dua variabel. Coba kamu ingat kembali, apa syarat yang harus dipenuhi sistem; + ax by + =
c = rx sy t Agar memiliki himpunan penyelesaian dan tidak memiliki himpunan penyelesaian. Jika memiliki himpunan penyelesaian, apakah tunggal atau banyak? + ax by + =
c Sistem persamaan = rx sy t a b r ¹ . s ▪ memiliki himpunan penyelesaian tunggal jika ▪ memiliki himpunan penyelesaian tak hingga banyaknya l2: rx + sy = t, dengan a b r s c t . = = . jika tidak memiliki himpunan penyelesaian, jika a b c = ≠ . t r s Ajak siswa mengetahui eksistensi penyelesaian sistem persamaan linear perbandingan melalui koefisiennya. Hal ini, ana- log untuk menyelidiki dua garis yang saling sejajar. ▪ 176
Matematika Contoh 4.2 1 4 − = 5 15 3 y x = − + 6 10 x − = y x + = 3 y 2 x ) a 15 ) b y 14 5 − = y 2 y+ = 3 x 3 x 22 ) c Latihan Mandiri Tentu kamu masih ingat bagaimana memeriksa sistem yang memiliki solusi (tunggal atau banyak), dan yang tidak memiliki solusi. Perhatikan sistem a)! Dimisalkan: l1a : 2x - y = 1 ; l1b : x - 3y = 4. Pada garis l1a, perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m1a = 2) tidak sama dengan perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m1b = - ) pada garis l1b. Kondisi ini juga merupakan tanda bahwa sistem persamaan a) memiliki penyelesaian. Untuk sistem persamaan b), 1 3 l2a: 3x - 5y = 15 l2b: -6x +10y = 15 Pada garis l2a, perbandingan nilai koefisien variabel x dan 3 5 y (m2a = ) sama dengan perbandingan nilai koefisien 6 10 3 5 = ) pada garis l2b. Hal ini variabel x dan y (m2a = memiliki arti bahwa, garis l2a dan l2b tidak pernah melalui satu titik yang sama. Oleh karena itu, sistem b) tidak memiliki penyelesaian. 177
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Selanjutnya, sistem persamaan c), l3a: 3x - 2y =14 l3b: 2x + 3y =5 Dari garis sejajar, guru untuk meminta menyilidiki syarat dua garis saling tegak lurus. Kemudian merumuskan- nya pada Sifat4.4. siswa 3 Perbandingan nilai koefisien variabel x dan y (m3a = 2 ) pada garis l3a berbanding terbalik dengan perbandingan 2 3 nilai koefisien variabel x dan y (m3b = - ) pada garis l3b, serta hasil kalinya sama dengan -1. Dengan kondisi ini, secara sistem persamaan, sistem c) memiliki penyelesaian tunggal. Secara grafik, kondisi sistem a), b), dan c) disketsakan sebagai berikut. Melalui pembahasan pastikan 4.2, Contoh siswa memiliki keterampi- lan untuk membedakan garis yang berpotongan dan garis yang berpoto- ngan tegak lurus, seperti bagian a) dan c). 178
Matematika Gambar	4.13:	Grafik	sistem	persamaan	linear Guru menugasi siswa un- tuk mengerjakan Latihan 4.1 untuk memantapkan pengetahuan dan kete- rampilan siswa. y 2l )2 ( xA � y � 2 ( xC 2, y y 1 )1 2, y )1 ( 1, yxB � 1l x � x 2 1 ( )' ' ' , y xA 2 2 y � )' ( ' ' xC 2 Gambar 4.13 � ' 2 ' y 1 ( ' ' , yxB 1 1 )' � ' x � 2 ' x 1 x , y 1 Secara umum, kondisi dua garis sejajar dideskripsikan sebagai berikut. ( ) dan B x y ' ,2 ( , ) , ) dan ( ' ' 2 ' Misal, garis l1 melalui titik A x y 1 ' ' ,1 Ajak siswa berpikir se- cara sistematis dalam menyimpulkan syarat dua garis yang saling sejajar. dengan gradien m1. Garis l2 melalui titik A x y1 ( B x y2 1 ) dengan gradien m2 . , 2 Mari kita cermati segitiga ABC dan A B C' tersebut merupakan dua segitiga yang sebangun. ' ' . Kedua segitiga 179
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Oleh karena itu berlaku: ' y 2 ' x 2 ' y 1 ' x 1 − − − − y 2 x 2 y 1 x 1 atau m1 = m2 = Selain itu, jarak titik A ke titik A' sama dengan jarak titik B ke titik B' . Kondisi ini semakin memperkaya bukti bahwa garis l1 sejajar dengan garis l2 . Dengan demikian, sifat dua garis sejajar dinyatakan dalam sifat berikut. Pastikan siswa mengeta- hui makna setiap syarat yang terdapat pada Sifat 4.1, melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan. Misalnya, bagaimana jika syarat a berubah menjadi a = 0. Sifat 4.1 Misalkan garis g1 : ax + by = c ; a	≠	0	dan	b	≠	0	dengan gradien m1 g2 : rx + sy = t ; r	≠	0	dan	s	≠	0	dengan	gradien m2 :a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya jika gradien kedua garis sama. Secara	matematis	dinotasikan: g 1 2= ↔ m m1 / / g . 2 Dari Sifat 4.1, mari kita cermati hubungan di antara koefisien-koefisien a, b, c, r, s, dan t. a b r s = atau a r a r b = . s c = t Karena m1 = m2, dapat kita tulis bahwa a r b s = , tetapi tidak berlaku bahwa Ingat, walaupun b s c t c t b s = = (mengapa?). atau Perlakuan-perlakuan ini dapat kita simpulkan dalam sifat berikut ini. 180
Matematika Sifat 4.2 Ajukan pertanyaan-per- tanyaan untuk memas- tikan siswa memahami semua syarat yang ada pada Sifat 4.2. Misalnya, jika a, r = 0, apakah kedua garis dinyatakan dua garis saling berimpi? Misalkan garis g1 : ax + by = c ; a	≠	0	dan	c	≠	0	dengan gradien m1 g2 : rx + sy = t ; r	≠	0	dan	t	≠	0	dengan	gradien m2 a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Jika a r b s c t = = maka garis g1 berimpit dengan garis g2. Untuk lebih memantapkan pemahaman kita akan hubungan dua garis yang sejajar, mari kita cermati contoh berikut ini. Contoh 4.3 Motivasi untuk tangguh memiliki sikap dalam memahami dan me- mecahkan masalah dan soal-soal terkait hubu- ngan dua garis. Ajak siswa untuk mema- hami Contoh 4.3, dan ber- ikan kesempatan kepada siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan atau ide-ide cemerlang terhadap konsep dan pe- nerapan garis-garis seja- jar dalam kehidupan se- hari-hari. siswa a) Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis-garis dengan persamaan 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16 serta sejajar dengan garis 2x + y = 4. b) Carilah nilai k sedemikian sehingga garis kx - 3y = 10 sejajar dengan garis 2x + 3y = 6. Alternatif Penyelesaian a) Terlebih dahulu kita menentukan titik potong garis 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16. Dengan cara eliminasi ataupun subsitusi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut (2, 3). Misal, garis g merupakan garis yang melalui titik (2, 3), serta sejajar dengan garis 2x + y = 4 maka gradien garis , sebut mg = -2 Jadi persamaan garis g, diperoleh: y - 3 = -2 (x - 3) atau 2x + y = 3. 181
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK b) Karena garis, kx - 3y = 10 sebut g1, sejajar dengan garis 2x + 3y = 6, sebut g2 maka mg1 = mg2. Akitanya k 3 bahwa garis -2x - 3y = 10 sejajar dengan 2x + 3y = 6. 2 3 = − , atau k = -2. Dengan demikian dapat kita tulis Berikan penjelasan kepa- da siswa perbedaan dua garis berpotongan dengan dua garis berpotongan se- cara tegak lurus melalui grafik ilustrasi- ilustrasi. b. Garis-Garis Tegak Lurus Perhatikan grafik berikut ini. Sekarang mari kita amati segitiga ABC. Kita akan selidiki apakah segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku atau tidak. Tentu, sudut yang diduga merupakan sudut siku-siku adalah sudut ACB. Dengan menggunakan alat pengukur sudut (busur) atau penggaris berbentuk segitiga siku-siku, sudut ACB merupakan sudut-sudut siku-siku atau Ajak siswa untuk berpikir kritis untuk mengahasil- kan ide-ide dalam mem- buktikan dua garis berpo- tongan tegak lurus. Gambar 4.14: Garis l1 dan l2	berpotongan	secara	tegak	lurus. Oleh karena itu, dapat kita tarik kesimpulan bahwa garis l1 memotong secara tegak lurus garis l2. 182
Matematika Selanjutnya, akan kita selidiki hubungan gradien garis l1 ( m1 ) dan gradien garis l2 ( m2 ). l1 : y = x, dengan m1 = 1; l2 : y = -x, dengan m2 = 1. Ternyata, m1.m2 = -1. Masalah-4.1 agar Motivasi meningkatkan ketelitian mereka dalam mencerma- ti Masalah 4.1. Berikan kesempatan ke- pada siswa yang memiliki ide lain untuk menunjukan l1 berpotongan tegak lurus dengan l2. siswa Perhatikan gambar berikut ini! l2: x + y =8 C α β D B A l1: y - x =2 Gambar 4.15: Garis l1 dan l2 , dengan gradien berbeda tanda berpotongan	secara	tegak	lurus. Selidiki bahwa hubungan gradien garis l1 dengan l2! 183
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2 mempunyai gradien tan β = m2. Selidiki bahwa hubungan gradien garis l1 dengan l2! Alternatif Penyelesaian Diketahui garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2 mempunyai gradien tan β = m2. Cermati segitiga siku-siku ABC! Karena ∠ A = α dan ∠ C = 900 maka ∠ B = 1800 β. Oleh karena itu β = (900 + α)(tunjukkan!). kebebasan Diberikan kepada guru, jika guru memiliki ide-ide kreatif dalam menunjukkan bah- wa garis l1 dan l2 berpo- tongan secara tegak lurus. Diketahu tan β = m2. Akibatnya: tan = (900 + α) = m2 Ingat 1 tan
m 2 1 tan
tan(900 + α) =
1 m 1
m 2 diperoleh: m1.m2 = -1 Dengan demikian, syarat dua garis yang saling tegak lurus dinyatakan dalam sifat berikut ini. Libatkan siswa dalam syarat- menyimpulkan syarat dua garis berpo- tongan secara tegak lurus. Uji pemahaman siswa akan Sifat 4.3, dengan mengajukan pertanya- an-pertanyaan. Misalnya, apakah garis x = 2 berpo- tongan tegak lurus denga garis y = 3? Minta siswa memberikan alasannya. Sifat 4.4 Misalkan garis g1 : bx - ay = t ; a	≠	0	dan	b	≠	0	dengan b a = gradien m 1 g2 : ax - by = c ;a	≠	0	dan	b	≠	0	dengan a b a, b, c, merupakan bilangan real. 2 = − gradien m Garis g1 berpotongan tegak lurus dengan garis g2, dinotasikan g 1 2⊥ . g 184
Matematika Melalui Contoh 4.4, arah- kan siswa mampu mene- mukan ciri-ciri dua garis yang berpotongan tegak lurus. Berikan kebebasan ke- pada siswa jika memiliki ide-ide lain untuk me- mecahkan soal tersebut. Contoh 4.4 Mari kita cermati grafik di bawah ini! Selidiki hubungan antar garis yang berlaku. Gambar 4.16 Alternatif Penyelesaian Langkah awal, dengan memperhatikan pasangan titik koordinat yang dilalui tiap-tiap garis, kita dapat menentukan persamaan dan gardien setiap garis. 5 3 5 6 , dengan ml = − + = l : 5 x 3 y 15 , dengan mg = − = g : 6 y 5 x 30 5 3 = , dengan mk = . − k : 5 x 3 y 0 Latihan 4.1 Sebagai latihan secara mandiri, • selidiki apakah garis l dan garis k berpotongan secara Berikan penugasan dalam kelompok heterogen untuk Latihan menyelesaikan 4.1. Minta siswa menya- jikan hasil kerja mereka di depan kelas. tegak lurus? selidiki juga hubungan garis l dan garis g! Diskusikan hasil kerjamu dengan temanmu. 185
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ujilah pengetahuan dan keterampilan siswa ten- tang persamaan garis se- cara menyeluruh melalui penugasan mandiri menyelesaiakan soal-soal pada Uji Kompetensi 4.2. Pastikan Guru memeriksa setiap hasil kerja dan pe- mikiran siswa yang telah mereka tuangkan dalam penyelesaian soal-soal yang mereka kumpulkan. Uji Kompetensi 4.2 1. Selidikilah hubungan setiap pasangan garis dengan persamaan di bawah ini. a. g1 : -2x + 5y = 7 dan g2 : 3x - 4y = 12. b. l1 : ax + by = c dan l2 : px + qy = s, dengan a < b dan p > q, a, b, p, q ∈ R. 2. Penelitian terbaru menunjukkan bahwa suhu rata-rata permukaan Bumi meningkat secara teratur. Beberapa peneliti memodelkan suhu permukaan Bumi sebagai berikut: T = 0.02t + 8.50, T menyatakan suhu dalam 0C dan t menyatakan tahun sejak 1900. garis a. Tentukan interpretasikan bilangan tersebut. kemiringan tersebut, dan b. Dengan menggunakan tersebut, prediksilah rata-rata perubahan suhu pada tahun 2200 persamaan 3. Seorang manager harus menyediakan modal sebesar Rp22.000.000,00 untuk memproduksi 100 kursi kantor dan Rp48.000.000,00 untuk memproduksi 300 kursi yang sama. a. Nyatakanlah biaya tersebut sebagai persamaan kursi yang diproduksi, dengan mengasumsikan hubungan antara biaya dan banyak kursi adalah linear. perusahaan perabot Kemudian gambarkan. b. Tentukan gradiennya, dan jelaskan arti bilangan itu. c. Dari sketsa, jelaskan makna grafik tersebut. 4. Perhatikan persamaan garis di bawah ini! g1 : ax + by = c dan g2 : px + qy = t, a, b, p, q ∈ R. Tunjukkan hubungan antara koefisien a, b dengan p, q agar 186
Matematika 5. Tentukanlah k untuk setiap persamaan garis berikut. a. g1 : (2 - k)x - y = 8 dan g2 : (4 + k)x + 3y = 12 agar g 1 b. l1 : (3k + 5)x - 2y = 10 dan l2 : (-k - 3)x - 7y = 14 agar g 1 2⊥ . g / / g . 2 6. Tentukan persamaan garis l1 yang melalui titik (-7, 3) dan tegak lurus dengan garis l2 : 3x - 5y = 12. Kemudian gambarkan grafiknya. 7. Diberikan dua garis dengan persamaan yang diperoleh dari matriks berikut: p 5 − 3 q
x . 4 y 4 Tentukan perbandingan p dan q jika kedua garis saling tegak lurus. 8. Diketahui titik A(xa , ya), B(xb , yb), C dan AB adalah titik tengah. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus AB dan melalui titik C 9. Diketahui P(3,3), Q(4,-1) dan R(-8,-4). Tentukan besar sudut perpotongan garis PQ dan QR. 10. Diberikan garis l : (x - 2y) + a(x + y) = 5 dan garis g : (5y - 3x) -3a(x + y) = 12. Tentukan nilai a agar: a. l b. l g/ / g⊥ 187
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Motivasi untuk mampu menerapkan apa yang telah mereka pela- jari dalam menyelesaikan masalah kehidupan se- hari-hari. Minta siswa menyusun hasil pemikiran dan kerja mereka sebagai laporan soal projek. siswa Projek Cari masalah dalam kehidupan sehari (minimal dua masalah nyata) yang menerapkan hubungan dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang berpotongan secara tegak. Deskripsikan kebermaknaan garis tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Susunlah hasil temuanmu dalam bentuk laporan hasil kinerja suatu proyek. Kamu diberikan waktu satu minggu untuk menuntaskannya secara baik dan teliti. Sebagai rangkuman pada bab ini, ajak siswa mem- baca dan memahami be- berapa hal penting yang perlu diketahui siswa ter- kait konsep persamaan garis lurus. D. PENUTUP Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait sifat-sifat persamaan garis lurus adalah sebagai berikut. 1. Persamaan linear, biasanya dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b, c merupakan bilangan riil. Model matematika permasalahan sehari-hari, khususnya dalam masalah ekonomi sering menjadi masalah yang terkait persamaan garis lurus. 2. Konsep dan sifat-sifat persamaan garis ini didasari oleh konsep persamaan linear dua variabel. Setiap garis, ax + by = c, memiliki kemiringan atau disebut gradien yang dinotasikan dengan m, kecuali garis vertikal. Gradien tersebut sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x positif. 3. Garis l : ax + by = c dikatakan sejajar dengan garis g : px + qy = t jika dan hanya jika kedua garis tidak pernah berpotongan atau memiliki gradien yang sama. 188
Matematika Dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis berpotongan dan hasil kali gradiennya sama dengan -1. Penguasaan kamu tentang persamaan garis lurus sangat penting bermanfaat untuk bahasan persamaan garis singgung pada lingkarang dan persamaan singgung pada kurva. Untuk penerapan persamaan garis lurus lebih banyak digunakan pada kajian persamaan garis singgung lingkaran dan persamaan garis singgung kurva. Sifat-sifat garis lurus akan dibahas secara mendalam dan dimanfaatkan dalam penyelesaian masalah matematika dan masalah otentik. 189
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ... 190
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 5 BARISAN DAN DERET TAK HINGGA A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Mendeskripsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. 3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. Melalui pembelajaran materi barisan dan deret arit- metika dan geometri atau barisan lainnya, siswa memperoleh pengalaman belajar: • Menemukan konsep dan pola barisan dan deret melalui pemecahan masalah otentik. • Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur. Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) da- lam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan pola barisan dan deret tak hingga dalam memecahkan masalah otentik Pola	Bilangan •	Beda •	Rasio •	Barisan	Tak	Hingga •	Barisan	Konstan,	Naik, dan	Turun Deret	Tak	Hingga •	Jumlah	suku	tak	hingga
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Materi Prasyarat Fungsi Masalah Otentik Barisan Bilangan Konstan Suku awal Barisan Tak Hingga Unsur Nilai Suku Beda Naik Deret Tak Hingga Turun Suku ke-n Jumlah Suku Ke-n 192
Matematika Arahkan untuk membangun konsep bari- san dan deret tak hingga melalui mengamati ma- salah nyata yang diaju- kan, memunculkan ber- bagai pertanyaan terha- dap kondisi masalah yang disajikan dalam grafik, menemukan pola dari se- buah susunan bilangan yang diperoleh data pen- gamatan posisi tangga, lipatan kertas dan lentu- ran bola. Arahkan siswa mengingat kembali ber- bagai konsep dan aturan barisan dan deret arit- matika (geometri) yang sudah dipelajari siswa di kelas X. Barisan bilangan adalah suatu fungsi yang domainnya bilangan asli dan rangenya suatu him- punan bagian dari him- punan bilangan real. siswa C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Tak Hingga. Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret tak hingga berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Masalah-5.1 Dua potong kawat besi disandarkan pada sebuah dinding rumah tempat bunga menjalar. Di antara kedua kawat dibuat potongan-potongan kawat E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya seperti terlihat pada gambar berikut. C E5 E6 E3 E4 E1 E2 A 1 m Q B x D O(0,0) Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah Kemiringan posisi kawat sebelah kiri adalah r dengan 0 < r < 1, r ∈ R dan kemiringan kawat sebelah kanan adalah 1. Jarak kedua kawat di tanah adalah 1 meter dan jarak BE1 = QE2 adalah r meter. a. Tentukan panjang potongan kawat E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r. 193
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK b. Temukan susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak dari titik A ke titik B, jarak titik B ke Q dan seterusnya sampai ke titik D! c. Tentukan fungsi yang menyatakan susunan bilangan dalam r! d. Tentukan jarak titik dari A ke D! Minta siswa menggam- barkan kawat besi yang dinding bersandar dalam sumbu koordinat kartesius dan menentukan ukuran-ukuran jarak dari titik A ke B, dari B ke Q, dan seterusnya menggu- nakan nilai r yang diketa- hui dalam masalah. Minta memanfaatkan siswa aturan matematika da- lam trigonometri (seperti Dalil Phytagoras) dan geometri terkait sudut dan panjang sisi. Alternatif Penyelesaian Mari kita gambarkan posisi kawat besi dalam sumbu di koordinat. C E5 E6 E3 E4 E1 E2 A 1 m Q B x D O(0,0) Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah Minta siswa mengama- ti dan menganalisis Gambar-5.2 di samping. Upayakan siswa mene- mukan panjang potongan kawat besi di antara ruas garis AC dan BC tempat bunga menjalar, misalnya E1E2 = BQ = r dengan menggunakan panjang BE1 = r dan gradien garis AC dan BC yang diketa- hui pada masalah. Koordinat titik A(0,0) dan B(1,0) adalah dua titik yang berada pada sumbu x. Karena ruas garis AC (kawat sebelah kiri) memiliki gradien r dengan 0 < r < 1 dan ruas garis BC (kawat sebelah kanan) memiliki gradien 1, maka kedua ruas garis bertemu pada satu titik, yaitu titik C. Misalkan titik E1 pada ruas garis AC. Karena ruas garis AC bergradien r dan panjang AB adalah 1 maka panjang BE1 adalah r. Titik E2 berada pada ruas garis BC, karena gradien BC adalah 1, maka panjang E1E2 adalah r dan panjang E1E2 = BQ = r. Karena	gradien	garis	AC adalah r dan panjang E1E2 = r, maka panjang E2E3 = r2. 194
Matematika Karena	gradien	garis	BC adalah 1, maka panjang E3E4 = r2 dan QR = r2. Dengan cara yang sama, diperoleh panjang E5 E6 = r3 dan jika kita tambahkan potongan kawat di antara garis AC dan BC di atas E5E6 menuju titik C, maka diperoleh panjang potongan kawat berikutnya r3, r4, r5, .... Mengapa? Guru menanyakan kepa- da siswa panjang poto- ngan kawat di antara garis AC dan BC yaitu E1E2, E3E4, E5E6 dan se- terusnya menuju titik C adalah r3, r4, r5, .... Secara logika matematika, bahwa potongan kawat diantara garis AC dan BC di atas E5E6, selalu dapat ditam- bahkan terus menerus menuju titik C dan pan- jangnya dapat ditentukan dengan memanfaatkan gradien garis AC dan gra- dien garis BC, yaitu r dan 1. Misalnya menentukan panjang E4E5 = r (E3E4) = r(r2) = r3 dan panjang E5E6 = 1 (E4E5) = 1(r3) = r3. Selanjutnya meminta siswa menjawab per- tanyaan dari (a) sampai (d). a. Panjang E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r adalah r, r2 r3, r4, r5, ... b. Susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak titik A ke titik B, titik B ke Q, titik Q ke R dan seterusnya sampai ke titik D, yaitu: 1, r, r2, r3, ..., dengan 0 < r < 1. c. Fungsi yang menyatakan susunan bilangan pada bagian (b) adalah u(n) = r n - 1, n ∈ N. d. Panjang AD adalah hasil penjumlahan 1, r, r2, r3, ... Ø Organisasikan siswa belajar dalam kelompok untuk mendiskusikan, menentukan panjang AD dengan memanfaatkan susunan bilangan dalam r yang diperoleh dari analisis gambar dan minta siswa mempresentasikan hasil kerja terkait penentuan panjang AD sebagai jumlah suku-suku barisan tak hingga. ∞ ∑ 1 r n − AD = 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... = dengan 0 < r < 1 = 1 n Perhatikan Gambar-5.2 di atas, dengan menggunakan aturan dalam trigoniometri, diperoleh jarak BD = CD = r + r2 + r3 + r4 + ... Misalkan s = 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... Karena panjang ruas garis BD = r + r2 + r3 + r4 + ... = s - 1, maka CD = s - 1 195
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK − r s 1 s 1 AD AB CD BE 1 = = Perhatikan atau . − ⇔ rs = s - 1 1 r ⇔ (1- r)s = 1 s 1 s = 1 1− r ⇔ s = 1 1− r Berdasarkan uraian di atas panjang AD = s = , dengan 0 < r < 1. Panjang segmen garis AD ini dapat diartikan jumlah takhingga suku-suku barisan 1, r, r2, r3, r4, r5, ... Fasilitasi siswa dalam kelompok belajar dengan selembar aju- kan Masalah 5.2 untuk dikerjakan dan minta siswa bekerjasama dalam kelompok untuk menen- tukan banyak potongan kertas dan mencatat ha- sil percobaan pada tabel yang tersedia. Masalah-5.2 kertas, Siti menggunting kertas menjadi dua bagian yang sama besar. Potongan kertas berikutnya digunting lagi menjadi dua bagian yang sama besar, seperti gambar berikut. Potongan pertama Potongan kedua Potongan ketiga Potongan keempat Potongan seterusnya Susunlah bilangan-bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, apabila potongan kertas berikutnya digunting dua bagian yang sama. Alternatif Penyelesaian Siti menggunting kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar 196
Matematika 1 kertas 2 potong kertas Dua potongan kertas di atas, digunting menjadi dua bagian yang sama besar untuk setiap potongan kertas sehingga diperoleh potongan kertas berikut. 2 potong kertas 4 potong kertas Misalnya n menyatakan guntingan ke-n Untuk n = 1, diperoleh banyak potongan kertas adalah 2 Untuk n = 2, diperoleh banyak potongan kertas adalah 4 Untuk n = 3, diperoleh banyak potongan kertas adalah 8 Untuk n = 4, diperoleh banyak potongan kertas adalah 16 Meminta siswa menemu- kan susunan bilangan dan pola susunan bilangan dengan memanfaatkan data pada tabel di atas, yaitu banyak potongan kertas untuk sekian kali potongan yang dilakukan. Jika guntingan kertas dilanjutkan maka akan diperoleh suatu susunan bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, yaitu: 2, 4, 8, 16, 32, ... Susunan bilangan tersebut membentuk sebuah barisan tak hingga, dengan nilai suku- suku barisan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi u(n) = 2n dengan n ∈ N. Lengkapilah tabel berikut untuk melihat jumlah parsial dari susunan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, .... Tabel 5.2: Jumlah parsial suku-suku barisan u(n) = 2n Jumlah Potongan Kertas 2 Deret Jumlah suku-suku s1 s2 u1 u1	+	u2 6 197
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK s3 s4 ... u1	+	u2	+	u3 u1	+	u2	+	u3	+	u4 ... ... sn u1	+	u2	+	u3	+	u4	...	+	un ... ... u1	+	u2	+	u3	+	u4	...	+	un	+	... ... sn ... ... ... Amati data pada tabel yang kamu temukan. Dapatkah kamu menentukan suku dengan n = 20? Berapa jumlah 2, 4, 8, 16, 32, .... , jika n → ∞ ? siswa Organisasikan melakukan percobaan secara kelompok untuk menjatuhkan sebuah bola pimpong dari ketinggian tertentu dan mengamati lintasan bola, mencatat ketinggian bola saat len- turan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Meminta siswa memban- gun fungsi sebagai aturan susunan bilangan yang menyatakan lintasan yang dilalui bola akibat lentur- an bola. Masalah-5.3 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 9 meter ke lantai yang disajikan pada gambar berikut Gambar-5.3: Pantulan Bola Bola memantul kembali secara terus menerus setinggi 2 3 a. Tentukanlah susunan bilangan yang menyatakan dari ketinggian sebelumnya. ketinggian pantulan bola tersebut! b. Tentukan panjang lintasan yang dilalui bola setelah memantul ke lantai! 198
Matematika Alternatif Penyelesaian a. Ditemukan susunan bilangan dari hasil pantulan bola. Dari masalah diketahui bahwa ketinggian pantulan 2 3 dari ketinggian pantulan sebelumnya. bola adalah Dengan demikian ketinggian yang dicapai bola untuk tiap-tiap pantulan ditentukan sebagai berikut. Ketinggian bola awal = 9 m 2 3 Pantulan kedua = 2 3 2 3 × = Pantulan pertama = 9 6 × = 6 4 8 3 × = 4 Pantulan ketiga = dan seterusnya ... Tabel 5.1 Tinggi Pantulan Bola 1 2 3 4 ... Pantulan ke 6 4 8/3 16/9 ... Tinggi pantulan (m) u1 u2 u3 u4 ... Suku ke ... Meminta siswa mengin- terpretasikan lintasan bola dalam gambar dan berbagai mengajukan pertanyaan untuk menguji pemahaman siswa. Coba teruskan mengisi kamu tabel pada pantulan beri- kutnya. Apakah mungkin terjadi ketinggian pan- tulan bola sama dengan nol? Pantulan bola diperlihatkan seperti gambar di bawah ini tinggi 0 1 2 3 4 lantai 5 Gambar-5.4: Posisi Pantulan Bola 199
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Cermati gambar di samping! • Apakah bola suatu saat akan berhenti? • Bagaimana tinggi pantulan bola untuk n menuju tak ( hingga n → ∞ ) Guru memberikan arahan terkait pertanyaan apakah bola suatu saat berhenti? Dalam alam pemikiran logika, bola tidak akan berhenti memantul, se- bab setiap bola memantul memiliki ketinggian, yaitu 2 dari ketinggian pan- 3 tulan sebelumnya. Jika pantulan bola diamati terus-menerus, ditemukan ketinggian untuk pantu- lan ke n → ∞, ketinggian pantulan bola menuju nol tetapi tidak pernah ketinggian pantulan ada- lah nol. Secara pengli- hatan alamiah kita bola pada akhirnya berhenti di atas lantai. Berdasarkan perhitungan dan gambar di atas diperoleh susunan bilangan menyatakan ketinggian pantulan bola, 16 9 32 18 8 3 , , , ... yaitu: 6, 4, 9m 4m 6m ... 𝟖𝟖 𝟑𝟑 𝒎𝒎 2 3 2 3 2 3 2 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan. Nilai r dinyatakan: u 3 u u u u 2 u 1 u 4 u 3 n = = = = ... = r . Jadi − 1 2 n u1 = 9. 2 3 =	6 → u1 = a 2 3 u2 = u1. 2 3 = 6. =	4	→ u2 = u1.r = ar 2 3 8 3 u3 = u2. 2 3 u3 = u2.r = ar.r = ar2 = 4. = → 16 9 8 3 2 3 u4 = u3. 2 3 → u4 = u3.r = ar2.r = ar3 = . = 2 3 Susunan bilangan 6, 4, 8 3 2 3 16 9 32 27 → u5 = u4.r = ar3.r = ar4 u5 = u4. = . = , 16 9 , 32 27 , 64 81 , 128 243 200
Matematika 2 3 )n , ,... dapat dinyatakan dalam sebuah fungsi u(n) = 9( dengan n ∈ N. Susunan bilangan di atas dapat diekspresikan sebagai barisan tak hingga. ar2 ..... arn-1 ..... ar a 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 2 3 ... n 𝒖𝒖 b. Ditentukan panjang lintasan yang dilalui bola untuk 10 𝒖𝒖 𝒖𝒖 𝒖𝒖 𝒖𝒖 kali pantulan. Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S. ( 2 1 u ) = + + + +...+ s u u 3 u u 10 2 4 ( 2 1 u s= 2 10 ) − = + + + +...+ ⇔ s ⇔ s u u 3 u u 10 u 1 2 4 Tabel 5.2: Jumlah Parsial Lintasan Bola Jumlah suku-suku u1 Deret Nilai s1 6 − 9 4 3 12 3 5 ( ) 3 + = = 6 6 6 ( ) s2 u1 + u2 − 27 8 9 12 3 24 9 19 9 + + = = 6 6 ( ) 6 ( ) s3 u1 + u2 + u3 − 81 16 125 12 3 24 9 48 27 65 27 u1 + u2 + u3 + u4 + + + = = 6 6 ( ) 6 ( ) s4 ... ... ... n 3 n − 2 − 3 1 n u1 + u2 + u3 + u4 + ... + un = sn 6 ( ) sn 201
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan tabel di atas deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah, s1, s2, s3, ..., sn, ... yaitu n 3 2 3 2 3 3 3 1 3 1 2 n − 2 3 − 2 − n 1 3 − 0 3 − 1 3 2 2 6 ( ), 6 ( ), 6 ( ), ... , 6 ( ) Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah 10 3 10 2 − 9 3 s=2s10 atau s = ( 6 ) Perhatikan kembali susunan bilangan yang diperoleh dari Perhatikan kembali susu- nan bilangan yang diper- oleh dari Masalah-5.1, dan Masalah-5.2, Masalah-5.3, yaitu Me- ngarahkan siswa menu- liskan pengertian bari- san dan deret tak hingga dengan mencermati susunan bilangan yang diperoleh dari 3 (tiga) buah masalah yang telah dipecahkan. Masalah-5.1, Masalah-5.2, dan Masalah-5.3, yaitu: 1, r, r2, r3, r4, r5, ... yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = rn-1 dengan n ∈ N 2,	4,	8,	16,	32,	...	yang	dinyatakan	dalam	fungsi	u(n) = 2n-1 dengan n ∈ N. 128 243 , 32 27 , 64 81 2 3 6, 4, 8 3 , 16 9 , ,... yang dinyatakan )n dengan n ∈ N. dalam fungsi u(n) = 9( Berdasarkan beberapa model barisan bilangan di atas, dapat dipastikan bahwa barisan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli (N) dan rangenya adalah suatu himpunan (Rf) bagian dari S, ditulis f : N → S, Rf ⊆ S. Definisi 5.1 Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu n( u ⊆ . Ditulis u himpunan R ) ⊆, n N S . 202
Matematika Definisi 5.2 Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ ...+ un adalah jumlah parsial suku- suku barisan tak berhingga. • Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga. Ditulis (sn),	n	∈ N atau s1, s2,s3, ...,	sn, ... Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku n =∞ Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku n =∞ ∑ = + + + barisan tak hingga. Ditulis u u 1 u u 3 n 2 = 1 n Contoh 5.1 Perhatikan barisan angka berikut: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... Amatilah barisan angka Tentukanlah angka pada urutan ke 44 × 53! tersebut terlebih dahulu! Alternatif Penyelesaian Pertama, kita perlihatkan urutan setiap angka pada barisan, pada	grafik	berikut: s 5
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... n Gambar-5.5: Barisan Sebagai Fungsi Gambar-5.5: Barisan Sebagai Fungsi 203
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jika kamu amati dengan teliti, kelompok angka 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 pada urutan ke-1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok angka terjadi pada setiap kelipatan 10 angka pertama. Jadi, angka pada urutan ke-1 sama dengan angka pada urutan ke-11, urutan ke-21, urutan ke- 31 dan seterusnya. Kedua, angka pada urutan ke- 44 × 53 adalah angka pada urutan 256 × 125 = 32.000 atau 32000 = 3200 × 10 sehingga perulangan kelompok angka tersebut mengalami perulangan sebanyak 3200 kali. Dengan demikian, angka pada urutan ke-32000 adalah angka pada urutan ke-10 yaitu 4. Mengajukan bebera- pa contoh untuk melatih siswa menerapkan kon- sep dan sifat-sifat bari- san tak hingga. Meminta siswa mengamati pola dari susunan angka dan bilangan dengan mema- sangkan satu-satu suku- suku dengan barisan bilangan asli untuk mem- bentuk fungsi dan dapat menentukan suku ke-n dari sususunan angka dan bilangan. Contoh 5.2 Sebuah susunan angka dituliskan sebagai berikut: 246810121416182022242628303234363840...dengan memandang setiap angka adalah suku barisan bilangan sehingga suku ke-10 = 4, suku ke-11 = 1, suku ke-12 = 6 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-1457? Alternatif Penyelesaian Mari kita amati kembali barisan tersebut, dengan memandang setiap angka adalah suku-suku barisan, maka susunan barisan menjadi: 4 2 ↓ ↓ 4 ↓ 6 ↓ 8 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 1 ↓ 2 ↓ 1 ↓ 1 ↓ 6 ↓ 1 ↓ 8 ↓ 2 ↓ 0 ↓ 2 ↓ 2 ↓ ... ↓ ? ↓ u 1 u u 3 u u 5 u u u 8 uu 9 u 10 u 11 u 12 u 13 u 14 u 15 u 16 u 17 u 18 ... u 2 4 6 7 2013 un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ... Kita akan menentukan angka pada suku ke-1457, dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut: 204
Matematika Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (2 sampai 8): 2, 4, 6, 8 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 4 = 4 suku. Membantu siswa menen- tukan banyak suku pada barisan bilangan satuan, puluhan, ratusan, dan se- terusnya. Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 98) 10, 12, 14, 16, 18 terdapat 2 × 5 suku = 10 suku 20, 22, 24, 26, 28 terdapat 2 × 5 suku = 10 suku ... 90, 92, 94, 96, 98 terdapat 2 × 5 suku = 10 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 10 = 90 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 2 sampai 98 adalah 4 + 90 = 94 suku. Langkah 3. Menentukan banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 998) 100, 102, 104, 106, 108, ..., 198 terdapat 3 × 50 suku = 150 suku 200, 202, 204, 206, 208, ..., 298 terdapat 3 × 50 suku = 150 suku 300, 302, 304, 306, 308, ..., 398 terdapat 3 × 50 suku = 150 suku ... 900, 902, 904, 906, 908, ..., 998 terdapat 3 × 50 suku = 150 suku Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dari mulai 100 sampai 998 adalah 9 × 150 = 1350 suku Jadi terdapat sebanyak 4 + 90 + 1350 = 1444 suku pada barisan bilangan 2 sampai dengan 998 sehingga suku ke- 1444 adalah 8. Suku berikutnya (suku ke-1457) adalah barisan bilangan dengan bilangan ribuan sebagai berikut. 9 ↓ 9 ↓ 8 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 2 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 4 ↓ 1 ↓ .... u 1442 u 1443 u 1444 u 1445 u 1446 uu 1447 u 1448 u 1449 u 1450 u 1451 u 1452 u 1453 u 1454 u 1455 u 1456 u 1457 Bilangan pada suku ke-1457 adalah 1. 205
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Meminta siswa berdisku- si dalam kelompok untuk membuktikan berbagai sifat barisan dan deret tak hingga serta menggu- nakan sifat tersebut dalam memecahkan masalah yang diajukan. Sifat 5.1 Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a dan rasio = r dengan r	∈	R dan r < 1 maka jumlah tak hingga suku-suku barisan a −1 = tersebut adalah s . r Bukti: Misalkan un = ar n-1 dengan -1 < r < 1, n ∈ N Ingat kembali deret geometri yang telah kamu pelajari sebelumnya, telah diperoleh bahwa Guru mengajukan bebe- rapa pertanyaan berikut untuk didiskusikan siswa dalam kelompok belajar. • Coba pikirkan bagai- mana suku- jumlah suku barisan geometri jika r ∈ R, r > 1 dan r < -1. sn = a + ar + ar2 + ... + ar n - 1... Pers-1 Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan Persamaan 2 berikut. rsn = ar + ar2 + ar3 + ... + ar n ... Pers-2 Sekarang, dari selisih persamaan 1) dengan 2), diperoleh sn - rsn = (a + ar + ar2 + ... + ar n - 1) - (ar + ar2 + ar3 + ... + ar n) sn (1 - r) = a - arn − a ar s n −1 r Bagaimana jika r = 1 atau r = -1, coba beri contoh barisannya. n = Guru memberikan ar- ahan kedua terhadap jika masalah r ∈ R, r > 1, maka suku- suku barisan un = arn-1, n ∈ N, akan semakin besar untuk n menuju ∞. Jadi jumlah suku barisannya tidak dapat ditentukan. Demikian juga jika r < -1, maka suku-suku barisan un = arn-1, n ∈ N, bernilai positif dan negatif. Saat r berpangkat genap maka suku barisan benilai posi- tif, dan saat r berpangkat Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah tersebut. n − − 1 ( 1 a r r ) = < s n , dengan r 1 . Kita ingin menentukan jumlah tak berhingga suku-suku barisan geometri, ini, yaitu, Sn bila n →	∞.	Karena r ∈ R dan -1 < r < 1 dan n	→	∞,	maka	) n n − ( 1 − 1 a r r n a = lim ( →∞ − 1 n r − = − lim →∞ n s lim →∞ n = ) n r 1 r 1 n lim . r − →∞ r n a − r − a − − = − lim →∞ n lim →∞ n 1 a − r 1 ∞ ∑ ar r 1 r 1 1 r 1 − a − = − = ( ) 0 1 r 1 r a − − 1 n = = ( terbukti ) r 1 = 1 n 206
Matematika ganjil maka suku bari- sannya bernilai negatif. Dengan demikian jumlah suku barisannya tidak dapat ditentukan. Contoh 5.3 + Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 5 5 5 dan rasionya adalah 1 5 5 . Tentukan suku pertama deret tersebut! Selanjutnya bantu siswa memahami konsep dan sifat-sifat deret geometri tak hingga melalui be- berapa contoh. Menguji pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan, misalnya mengapa untuk menentukan tak hingga suku barisan digu- nakan rumus a r1− Alternatif Penyelesaian 1 5 . sehingga 5 < 1, maka jumlah tak hingga suku barisan Karena r = a 1 5 adalah a r1− + = 5 5 5 . − 1 5 jumlah ⇔ a = (5 + 5 5 )(1 - 5 ) ⇔ a = 5 5 + 5 5 -5 ⇔ a = 4 Dengan demikian suku pertama barisan tersebut adalah a = 4 5 . Contoh 5.4 n Diberikan barisan bilangan 2, 4 3 dengan n ∈ N • Tentukan suku ke-9! • Tentukan jumlah tak hingga barisan tersebut! 8 9 16 27 2 n− 3 1 , , , ..., ,... Alternatif Penyelesaian Diketahui 2, 4 3 n 8 9 16 27 2 n− 3 1 dengan n ∈ N , , , ..., ,... n 2 n− , n ∈ N 3 1 (un) = 9 2 9 1− = 3 512 6561 Suku ke-9 adalah u9 = 207
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK − 1 n n
Berati u1= a = 2 dan r = 2 3 2 n 3 = 2 , n ∈ N 2 3 un = − 1 < 1 Jumlah tak hingga suku-suku barisan 2, n 4 3 8 9 16 2 n− 3 1 27 ∞ ∑2 = n 3 dengan n ∈ N adalah , , , ..., ,... − 1 n n ∞
2 3 2 2 1 3 ∑ = = = = 2 s 6 − 1 2 3 − = 1 = 1 n n 1 2 3 < 1) (karena r = Jadi s = 6 Contoh 5.5 Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-suku genap adalah 2. Tentukan suku pertama deret itu! Alternatif Penyelesaian Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, a r1− dan diperoleh nilai a = 6(1 - r). maka 6 = Deret geometri tak hingga suku-suku genap adalah ar + ar3 + 2 n u n u ar ar 2 + 1 = = r + ar5 + ar7 + ..., maka rasionya adalah . n n Karena r < 1 atau -1 < r < 1, maka r 2 1< atau -1 < r2 < 1 dan jumlah tak hingga suku-suku genapnya adalah 208
Matematika ar 2− r1 ⇔ ar = 2(1 - r2) 2 = ⇔ 6(1 - r)r = 2(1 - r2) ⇔ 6(1 - r)r = 2(1 - r)(1 + r) ⇔ 6r = 2(1 + r) 1 2 ⇔ r = 1 2 r = disubtitusikan ke persamaan a = 6(1- r). Sehingga diperoleh a = 3. Jadi suku pertama deret geometri tak hingga tersebut adalah a = 3. 2. Barisan Konstan, Naik, dan Turun Amatilah suku-suku beberapa barisan berikut 1 a. un = 2 , 1 , 1 2 2 Arahkan untuk membangun konsep bari- san konstan, naik dan turun melalui mengama- ti berbagai contoh yang diajukan, memunculkan berbagai pertanyaan ter- hadap kondisi suku-suku barisan, menemukan pola dari sebuah susunan bilangan yang diberikan. siswa , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , 1 2 b. un = -1, ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , , 1 2 , 1 2 , ... 1, -1, -1, -1, -1, -1, ... c. un = k, ∀ ∈n N dan untuk suatu k ∈ R. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, k, k, k, k, ... Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa suku barisan pada poin (a), (b), dan (c), nilainya tetap atau sama untuk setiap suku sampai n → ∞ . Jika suatu barisan dengan suku-sukunya sama atau tetap untuk setiap n, n → ∞ , barisan itu disebut barisan konstan. 209
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Definisi 5.3 Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan konstan jika dan hanya jika suku sebelumnya selalu sama dengan suku berikutnya. Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔ un = un+1, ∀ ∈n N . Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut a. un = rn-1, ∀ ∈n N dengan 0 < r < 1. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1, r, r2, r3, ... 1 2 b. un = , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 5 1 2 ditulis, 1 2 1 3 1 4 , ,... , , )n , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat c. un = ( 1 4 1 8 1 16 , , , ,... Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin kecil suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki suku-sukunya makin kecil untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan turun. Definisi 5.4 Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan turun jika dan hanya jika suku berikutnya kurang dari suku sebelumnya. Ditulis (un) disebut barisan turun ⇔ un = un+1, ∀ ∈n N . 210
Matematika Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut. a. un = (3)n , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 3, 9, 27, 81, ... 1 1n + , 1 3 , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat b. un = ditulis, 1 2 1 4 1 5 ,... , , c. un = n + 1, ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin besar nilai suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki nilai suku-sukunya makin besar untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan naik. Definisi 5.5 Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan naik jika dan hanya jika suku berikutnya lebih dari suku sebelumnya. Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔ un = u n+1, ∀ ∈n N . Arahkan siswa memahami barisan terbatas. Meminta siswa menguji kebenaran bahwa nilai mutlak dari suku-suku kurang dari atau sama dengan 1. Perhatikan beberapa barisan berikut a. Barisan: 1, 1, 1, 1, 1, ... dengan un = 1, ∀ ∈n N . Barisan ini disebut barisan konstan dengan nilainya tidak lebih dari 1 (satu). b. Barisan -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., dengan un = (-1)n , ∀ ∈n N . Nilai mutlak suku-suku barisan tersebut tidak lebih dari 1 (satu). 1 1 4 2 1 3 1 5 1 n c. Barisan: 1, , ,...dengan un= , ∀ ∈n N . Barisan , , ini disebut barisan turun dan suku-sukunya tidak lebih dari 1 (satu). 211
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1 3 ) 1n dengan un = −( 1 n 1 5 1 7 1 2 1 4 1 6 1 8 d. Barisan: ..., -1, − ,... − − , , , ..., , , , , ∀ ∈n N Nilai mutlak suku-suku barisan ini tidak lebih dari 1 (satu) sampai n menuju tak hingga. Barisan pada (a) sampai (d) merupakan barisan yang terbatas. Definisi 5.6 Meminta siswa mencer- mati beberapa contoh berikut, untuk memban- gun pemahaman siswa terhadap konsep barisan naik (turun) dan terba- tas. Selanjutnya meminta siswa bekerjasama dalam kelompok belajar untuk menentukan beberapa barisan dari suku-suku barisan yang diberikan. Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un) dikatakan barisan terbatas jika dan hanya ada bilangan real M > 0 yang membawahi selur uh nilai mutlak suku barisan tersebut. Ditulis (un) dikatakan barisan terbatas ⇔ ∃ ∈ sehingga un = u Mn ″ ( ) M R M 0 > , ∀ ∈n N . Barisan pada a sampai d merupakan barisan yang terbatas. Berdasarkan	Definisi	5.6	di	atas	dapat	diturunkan	beberapa	sifat berikut Sifat 5.2 Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a, a ≠ 0 dan rasio = r dengan r	∈	R dan r < -1 atau maka barisan tersebut tidak terbatas. Contoh 5.6 Diberikan barisan un = 2n, n ∈ N. Selidiki apakah barisan tersebut terbatas. 212
Matematika Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (n), n ∈ N adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Amatilah suku-suku barisan tersebut! Semakin besar urutan suku barisan tersebut, semakin besar sukunya dan naik menuju tak hingga. + 12 n n 2 u n u + 1 = = > 2 1 Rasio barisan adalah r = n Barisan un = (2n), n ∈ N adalah barisan tak terbatas sebab berapapun kita pilih M ∈ R, M > 0, maka ada suku barisan un yang lebih dari M. Dengan demikian ada n ∈ N, sehingga un > M. Mengapa? (Petunjuk bagi guru: Guru mengarahkan siswa dengan sebuah permainan, guru memilih M dan siswa menentukan n ∈ N, sehingga │2n│>M dan mengisinya tabel berikut. Petunjuk bagi guru, ter- kait beberapa pertanyaan yang diajukan. Pilih n ∈ N 3 │2n│>M 23 > 5 Pilih M 5 1) Untuk M = 1 membawa- hi semua suku barisan un = (-1)n, n ∈ N, sebab menurut Definisi-5.6 tentang barisan terba- tas, (un) dikatakan bari- san terbatas ↔ (Ǝ M ∈ R)m>0 sehingga │Un│≤ M, A n ∈ N. Ternyata │-1n│, A n ∈ N. ... ... ... ... ... ... Contoh 5.7 Diberikan barisan un = (-1)n, n ∈ N. Bentuklah beberapa barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan tersebut dan tentukan rumus fungsi dari barisan yang telah dibentuk. 2) Kita tidak dapat mem- bentuk barisan baru yang lain dari un = (-1) n, n ∈ N selain kelom- pok barisan pada (a) dan (b) di atas. Jadi hanya ada dua kelom- pok barisan yang dapat dibentuk dari suku- suku barisan un = (-1)n, n │Un│ N. 213 Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (-1)n, n ∈ N adalah -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, ... Kita dapat membentuk barisan tak hingga dari suku-suku barisan tersebut, dengan cara mengambil suku-suku ganjil dan suku-suku genap untuk membentuk dua kelompok barisan yang baru, yaitu:
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a. Barisan -1, -1, -1, -1, -1, -1, ... dengan rumus fungsinya 3) Pada Contoh-5.6, diberikan barisan un = 2n, n ∈ N. Barisannya adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 .... Kita dapat membentuk minimal 3 kelompok barisan yang baru dari suku- suku barisan tersebut. Misalnya, u(n) = -1, ∀ n ∈ N. b. Barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... dengan rumus fungsinya u(n) = 1, ∀ n ∈ N. Kedua barisan yang baru dibentuk adalah barisan konstan, sebab sukunya sama untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya kedua barisan tersebut adalah barisan terbatas, sebab ada bilangan real M = 2 yang membawahi semua n nilai suku-suku barisan tersebut atau − . 1 Apakah nilai M = 1 membawahi semua nilai suku barisan un = (-1)n, n ∈ N? Dapatkah kamu membentuk barisan yang lain dari suku-suku barisan un = (-1)n, n ∈ N selain dari barisan bagian (a) dan (b)? Buatlah minimal 3 (tiga) barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan pada Contoh 5.6 di atas dan tentukan rumus fungsi barisan tersebut. a) Barisan 4, 16, 64, ... dengan rumus fungsin- ya adalah un = 22n, n ∈ N. < ∀ ∈ , 2 n N b) Barisan 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... dengan ru- mus fungsinya adalah un = 2n+1, n ∈ N. Barisan 8, 16, 32, 64, 128, ... dengan rumus fungsi- nya adalah un = 2n+2, n ∈ N. Uji Kompetensi 5.1 Ajukan berbagai soal pada Uji Kompetensi 5.1 tugas, untuk dijadikan agar siswa memiliki ke- mandirian belajar dan mengetahui sejauhmana daya serap siswa terha- dap materi yang sudah dipelajari. Gunakan ru- brik penilaian dan petun- juk pelaksanaan remedial yang telah tersedia pada bagian akhir buku guru ini. 1. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23 n ) ( = − 1 1 n 2 n + ∈ n N a. u n
1 1 n = + ∈ n N b. u , n n + +
n n 2 1 = ∈ n N c. u , n − n + 1 n
n =
∈ n N
d. u 214
Matematika 2. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23. 1 1 3 2 ( = − 2. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23. 1 1 3 2 ( = − 1 1 4 5 )1 , , , , ,... n ∈ n N 1 2 b. u n 1 3 1 4 1 5 − , 5 3 3 , 25 1 , c.10 2 , , , , ,... n ! n 2 = ∈ n N d. u , n 3. Tunjukkanlah bahwa barisan di bawah ini adalah barisan naik atau turun atau konstan. ∈ , n 1 , 1 n = ( ) n= ∈2 , n N n + 2 n + 1 n n = a. u n N ∈ n N b. u n c. u n ∈ n N = , d. u n 4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku ketiga ditambah 2, maka terbentuk barisan geometri dengan rasi (r) = 2. Tentukan suku-suku barisan tersebut! 5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu 292 dan hasil kali bilangan itu 32.768. Tentukan barisan geometri tersebut! 6. Pola PQQRRRSSSSPQQRRRSSSSPQQRRRSSSS... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 26 34 ? 7. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan ganjil 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ... Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2015 ? (suku ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 9) 215
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 8. Tentukan jumlah setiap deret berikut! n 8. Tentukan jumlah setiap deret berikut! n ∞
1 ∑ 51 = ∞ a. n 1 ( ) 1 2 ∑ b. ( ) 1 − + 2 n n = 1 n ∞ 1 ∑ −( 2 n n c. ) 1 = n n ∞
1 3 ∑ − 3 = n 0 8. Tentukanlah jumlah semua bilangan asli di antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 5! 10. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketingggian 2 3 dari tinggi sebelum pemantulan. Tentukan panjang lintasan bola! 11. Beni berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai bulan 1 Agustus 2013, ia menerima uang saku sebesar Rp15.000.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp2.500.000,00. Berapa besar uang saku yang akan diterima Beni pada awal tahun 2018? 12. Banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 2012, sebanyak 16 juta orang. Setiap 15 tahun penduduk kota Medan bertambah menjadi dua kali lipat dari jumlah semula. Berapakah banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 1945? 13. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang 81 cm, maka panjang tali semula adalah .... 216
Matematika 14. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... 15. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 2, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor ganjil (kecuali suku pertama) dan genap adalah 1. Tentukan deret tersebut! 16. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 1,5% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 1,5% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 30 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 100 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 100 tahun apabila pertumbuhannya 2%? 17. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7 7 7 + dan 1 49 17. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7 7 7 + dan 1 49 7 . Tentukan suku pertama deret 18. Jumlah suku-suku ganjil dari suatu deret tak hingga adalah 18. Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut 24. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut! 19. Jumlah 2 1 5 2 − p p 19. Jumlah 2 1 5 2 − p p deret 8 25 geometri 1 3 tak hingga 3 + −... adalah p . Tentukan nilai p! Projek Ajukan tugas projek di sampinng untuk dikerja- kan siswa secara kelom- pok. Gunakan rubrik pe- nilaian projek yang telah tersedia pada bagian akh- ir buku ini. Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret tak hingga dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata disekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret tak hingga di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. 217
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Arahkan siswa membuat rangkuman dari apa yang sudah dipelajari. Beri kesempatan bagi siswa menanyakan hal-hal yang belum dipahami dan uji pemahaman siswa terha- dap hasil rangkuman yang mereka konstruk sendiri. D. PENUTUP Kita telah menemukan konsep barisan dan deret tak hingga dari pemecahan masalah nyata beserta sifat- sifatnya. Beberapa hal penting sebagai simpulan dari hasil pembahasan materi barisan dan deret tak hingga disajikan sebagai berikut : 1. Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan Ru ⊆ S. Ditulis (un), n ∈ N. 2. Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ ...+ un adalah jumlah parsial suku- suku barisan tak berhingga. •	Deret	tak	hingga	adalah	barisan	jumlah	parsial	n suku barisan tak hingga. Ditulis (sn), n ∈ N atau s1, s2, s3, ..., sn, ... •	Jumlah	deret	tak	hingga	adalah	jumlah	suku-suku	barisan tak hingga. n =∞ ∑ = + + + u u 1 u u 3 ... Ditulis n 2 = 1 n 3. Barisan bilangan dikatakan barisan naik, jika dan hanya jika u n< u +1, ∀ ∈ n N 3. Barisan bilangan dikatakan barisan naik, jika dan hanya jika u n< u +1, ∀ ∈ n N . 4. Barisan bilangan dikatakan barisan turun, jika dan n N 5. Sebuah barisan bilangan yang suku-sukunya naik atau turun tak terbatas, barisan ini disebut barisan divergen. 6. Sebuah barisan bilangan yang semua sukunya sama ∀ ∈ +1, . n disebut barisan konstan. n> u hanya jika u 218
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 6 TRIGONOMETRI A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ber- tanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. 2. Mendeskripsikan dan menganalisis aturan sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam menentukan luas daerah segitiga. Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar: •	Menemukan	konsep	perbandingan	trigonome- tri melalui pemecahan masalah otentik. Berkolaborasi	memecahkan	masalah	aktual dengan pola interaksi sosial kultur. 3. Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait luas segitiga dan menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikannya Berpikir	tingkat	tinggi	(berpikir	kritis	dan	kreatif)	dalam menyelidiki dan mengaplikasikan kon- sep trigonometri dalam memecahkan masalah otentik Aturan	sinus •	Aturan	kosinus •	Luas	segitiga
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Materi prasyarat Segitiga Masalah Otentik Trigonometri Aturan sinus Aturan kosinus Luas daerah segitiga 220
Matematika Untuk menemukan aturan sinus dan kosinus pada se- gitiga sembarang, ajukan pada siswa masalah-ma- salah yang diberikan se- cara berkelanjutan untuk dipecahkan. Upayakan siswa lebih dahulu be- rusaha memikirkan, ber- payah mencari susah ide-ide, berdiskusi da- lam kelompok, mencari pemecahan masalah di dalam kelompok. Guru boleh memberikan anak tangga pada siswa, tetapi upayakan mereka sendiri yang memanjatnya menu- ju tingkat pemahaman dan proses berpikir yang lebih tinggi. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Aturan Sinus Pada pelajaran trigonometri di kelas X, kamu telah belajar konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku. Pada bahasan ini kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga. Permasalahan pada segitiga adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sisi segitiga diketahui, apakah kamu dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Atau kamu dapat menentukan besar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kamu dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya? Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus diketahui agar kamu mampu menyelesaikan masalah segitiga tersebut? Agar kamu dapat memahaminya, pelajarilah masalah-masalah berikut. Masalah-6.1 Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 6.1 di bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l dan sudut yang dibentuk jalan	k dan jalan adalah 75 ◦ . Tentukanlah jarak kota A dengan kota m adalah 30 B! Minta siswa untuk me- mahami Masalah 6.1. ini ada- Permasalahan lah permasalahan terkait segitiga yang bertujuan untuk membentuk konsep tentang aturan sinus. Jika siswa masih belum me- mahami tentang penyele- saian masalah ini beri- kan contoh untuk melatih siswa memahami prinsip tentang aturan sinus.
Jalan l A B C Jalan m Jalan k Gambar 6.1. Jalan k, l, dan m. 221
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pandu siswa memahami proses penurunan prinsip atau aturan sinus ber- dasarkan pemanfaatan gambar disamping Alternatif Penyelesaian ke-1 (dengan memanfaatkan garis tinggi pada segitiga) Untuk memudahkah perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis BC, seperti Gambar 6.2 berikut. Jalan l A B C Jalan m D Jalan k Gambar 6.2. Segitiga ABC dengan garis tinggi AD Penyelesaian masalah ini melibatkan konsep yang sudah dipelajari sebelum- nya yaitu konsep tentang perbandingan nilai sinus pada pelajaran trigono- metri. Ingat kembali konsep sinus pada segitiga siku-siku. Perhatikan ∆ABD! AD AB Dalam ∆ABD, diperoleh bahwa: sin B = sin B... (1) atau AD = AB. AD AC Dalam ∆ADC, diperoleh bahwa: sin C = atau AD = AC. sin C... (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa: AB. sin B = AC. sin C... (3) Diketahui bahwa ∠ C = 750; ∠ B = 300; dan jarak AC = 5. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (3) maka diperoleh 222
Matematika AB. sin B AB × sin 300 = 5 × sin 750 (gunakan tabel sinus atau = AC. sin C kalkulator, sinus 750 = 0, 965) ' , 5 0 965 1 2 AB = = 10 × 0,965 = 9, 65 Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 65 km. Perhatikan Gambar 6.3 berikut. A b c Q C B P a Gambar	6.3	Segitiga	ABC Dari Gambar 6.3 di samping, diketahui bahwa ∆ ABC dengan panjang sisi-sisinya adalah a, b, dan c. Garis AP merupakan garis tinggi, dimana BC ⊥ AP dan garis CQ merupakan garis tinggi, dimana CQ ⊥ AB. AP c atau AP = c sin B... (1) Dari ∆ABP diperoleh, sin B = AP b atau AP = b sin C... (2) Dari ∆ACP diperoleh, sin C = Dari Pers. (1) dan (2) diperoleh, c sin B = b sin C 1 sin sinB ) (kalikan kedua ruas dengan C sin B sin sin B c sin C sin sin B b = C C c sin b sin = ... (3) Maka diperoleh, C B 223
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK CQ b Dari ∆ACQ diperoleh, sin A = atau CQ = b sin A....(4) CQ a atau CQ = a sin B....(5) Dari ∆BCQ diperoleh, sin B = Dari Persamaan (4) dan (5) diperoleh, b sin A = a sin B 1 sin sinB (kalikan kedua ruas dengan ) C A sin sin sin A b sin b sin B sin sin A a = B a sin B = Maka diperoleh, ... (6) B A Berdasarkan persamaan (3) dan (6), maka diperoleh a sin b sin c sin = = A B C Contoh berikut ditujukan untuk memberikan alter- natif pengetahuan bagi siswa untuk menemukan aturan sinus pada segi- tiga, dengan memahami dan mempelajari informa- si konsep pada Gambar 6.4 Alternatif Penyelesaian ke-2 Perhatikan kembali Gambar 6.4 berikut. Gambar	6.4.	∆ABC pada lingkaran O ∆ABC lancip dan AD dan BE merupakan diameter lingkaran O dengan jari-jari r. Panjang garis AB = c; AC = b; BC = a; AD = BE = 2r. 224
Matematika ∠ ABC = ∠ ADC = β; ∠ ACB = ∠ AEB = ø dan ∠ ACD adalah sudut siku-siku = 900. Dari ∆ACD diperoleh sin β = AC AD b sin β b 2 r sehingga 2r ... (1) = = Dari ∆BAE diperoleh AB BE c r2 c sinθ sinθ = = = sehingga 2r ... (2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) di peroleh b sin c sin = β θ Agar siswa lebih mema- hami aturan sinus pada segitiga, guru memberi- kan latihan berikut. Guru meminta siswa mengerjakan latihan se- cara berkelompok, kemu- dian mempresentasikan- nya di depan kelas. Berdasarkan penyelesa- ian masalah dan contoh yang diberikan ajak siswa untuk menyimpulkan ten- tang aturan sinus. Latihan Dengan menggunakan ∠BAC = α, buktikanlah bahwa 2r a sinα . = Dari uraian di atas, maka disimpulkan aturan sinus pada segitiga seperti berikut. Aturan Sinus Untuk dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku sembarang segitiga ABC, a sin b sin c sin . = = A B C Latihan 6.1. Untuk segitiga tumpul PQR di samping, buktikanlah bahwa Berikan Latihan 6.1 beri- kut kepada siswa sebagai pemantapan atas prinsip aturan sinus. Diharapkan siswa dapat menyele- saikannya dengan baik, minta salah seorang siswa mempresentasikan hasil- nya di depan kelas. p sin q sin r sin = = berlaku. P Q R 225
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikut ini disajikan alter- natif penyelesaiannya Alternatif Penyelesaian Berdasarkan gambar di atas diperoleh QX = ... (1) r QX = ... (2) P sin P sin R berdasarkan (1) dan (2) diperoleh QX = r sin P dan QX = p sin R karena QX = QX maka r sin p = sin (terbukti) r sin P = p sin R sehingga R P Untuk melihat pemaha- man siswa akan konsep aturan sinus, ajukan soal pada Contoh 6.1 berikut. Minta siswa menyele- saikan terlebih dahulu. Contoh 6.1 Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8, BC = 8 2 , AC = b, sudut BAC = 45o, sudut ACB = yo dan sudut ABC = xo. Dengan memanfaatkan tabel sinus pada sudut xo maka tentukan panjang b. Gambar	6.5	Segitiga	ABC 226
Matematika Pandu siswa memahami proses penyelesaian pada contoh soal di samping. Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh: BC sin A 8 2 AB = ⇔ o sin sin y 45 8 = y sin o o 8 2 ⇔ = 1 2 2 8 sin y o 8 sin y 1 = 2 ⇔ = 16 o oo o o ⇔ sin = 30 y y atau Dengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu ∠A + ∠B + ∠C = 180o sehingga 45o + 30o + xo = 180o atau xo = 105o. Dengan menggunakan aturan sinus kembali maka diperoleh: AC x AB = ⇔ o sin sin y b 105 b o 105 8 = 30 sin 8 = 1 2 o o o sin ⇔ sin b ⇔ 105 sin = ⇔ . 16 sin bb = 16 o o Dengan memanfaatkan tabel sinus atau kalkulator maka 105 diperoleh: b = 16.sin 105o = 16 × 0,9659 = 15,4548. Jadi, panjang sisi AC adalah 15,4548 satuan panjang. Berikan ilustrasi berikut, ilustrasi ini bertujuan untuk memberikan moti- vasi kepada siswa bahwa ternyata sangat penting mempelajari prinsip ten- tang aturan cosinus 2. Aturan Cosinus Perhatikan Gambar 6.6 di bawah! Pada segitiga (i), diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga (ii), diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga tersebut? 227
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK s s s s sd s (ii) (i) Gambar	6.6.	Segitiga	jika	diketahui	(s,	s,	s)	dan	(s,	sd,	s) Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6.2 berikut. Minta siswa untuk mema- hami Masalah 6.2 yaitu menngenai jarak kedua kapal yang berangkat dari titik yang sama dan arah berbeda. Masalah-6.2 Dua kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut . Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 60 30 km/jam, dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.
Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan bahwa pergerakan kapal membentuk segitiga seperti gambar di bawah. Penyelesaian masalah ini melibatkan pengetahuan tentang segitiga siku-siku. Arahkan siswa membuat segitiga siku-siku pada gambar. A 60○ b c C a B Gambar 6.7 Segitiga ABC dengan sudut A = 60o Dari gambar di atas, dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut. - Titik A merupakan titik keberangkatan kedua kapal Dengan diselesaikannya permasalahan ini, dihara- pkan prinsip tentang atur- an cosinus dapat dipaha- tersebut. 228
Matematika mi oleh siswa. Jika siswa masih kurang memahami mengenai permasalahan ini, guru sebaiknya men- cari masalah lain yang tujuannya adalah mem- bantu siswa dapat meng- konstruk prinsip tentang atruan cosinus Besar sudut A merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang berbeda yaitu sebesar 600. AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga AB = 60 km. AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam perjalanan dengan kecepatan 25 km/jam, sehingga AC = 50 km. BC merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama 2 jam karena itu, pertanyaan yang harus dijawab adalah berapakah BC. Agar kita dapat menentukan jarak BC, maka kita perlukan gambar berikut. Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC, dimana CP ⊥ AB. Misalkan panjang AP adalah x maka panjang BP adalah (c - x). C b a x A c-x c-x P P c B Gambar 6.8 Segitiga ABC dengan garis tinggi CP Perhatikan ∆ACP! Dari ∆ACP berlaku: AC2 = AP2 + CP2 atau CP2 = AC2 - AP2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, maka CP2 =b2 - x2... (1) Dari ∆BPC berlaku: BC2 = BP2 + CP2 atau CP2 = BC2 - BP2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, CP2 = a2 - (c - x)2 = a2 - c2 + 2cx - x2... (2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: = a2 - c2 + 2cx - x2 Pandu siswa memanfaat- kan Gambar 6.8 untuk mendapatkan berbagai data untuk menemukan prinsip atau aturan con- sinus b2 - x2 229
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK b2 b2 = a2 - c2 + 2cx - x2 + x2 = a2 - c2 + 2cx atau a2 = b2 + c2 - 2cx... (3) Berdasarkan ∆APC, diperoleh x b , maka x = b cos A... (4) cos A = dengan mensubstitusi persamaan. (4) ke dalam persamaan (3), maka diperoleh: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A... (5) Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan (5) maka diperoleh a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 502 + 602 - (2×50×60×cos 600) = 2500 + 3600 - (600× 1 = 4100 - 300 = 3800 2 ) Maka jarak antara kedua kapal tanker tersebut setelah perjalanan selama 2 jam adalah 3800 km. Berdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6.2 di atas, ditemukan aturan kosinus pada sebarang segitiga sebagai berikut. Berdasarkan penyelesaian Masalah 6.2 yaitu menge- nai jarak kapal dengan memanfaatkan bentuk se- gitiga, diharapkan akan terbentuk prinsip menge- nai aturan cosinus. Aturan Cosinus Untuk sembarang segitiga ABC,	dengan panjang sisi- sisi a,	b,	c	dan	∠ A,	∠ B, ∠ C,	berlaku a2	=	b2	+	c2	-	2bc	cos	A b2	=	a2	+	c2	-	2ac	cos	B c2	=	a2	+	b2	-	2ab	cos	C 230
Matematika Ajukan soal pada Contoh 6.2 kepada siswa. Minta siswa mengerjakan ter- lebih dahulu. Ingatkan siswa konsep persamaan kuadrat. Contoh 6.2 Perhatikan gambar berikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut. Gambar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60o Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: RQ2 = PR2 + PQ2 - 2.PR.PQ.cos 60o x +2 )2 = (x + 1)2 + (x - 1)2 - 2.(x + 1).(x - 1).cos 60o (2 4(x + 2) = (x + 1)2 + (x - 1)2 - (x + 1).(x - 1) 4x + 8 = x2 + 2x + 1 + x2 - 2x + 1 - x2 + 1 x2 - 4x - 5 = 0 (ingat konsep persamaan kuadrat) (x - 5)(x + 1) = 0 sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 sehingga panjang sisi- sisi segitiga tersebut adalah 4, 6 dan 2 7 . 231
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 3. Luas Segitiga Minta siswa untuk me- 6.3 mahami Masalah yaitu mengenai luas tanah berbentuk segiti- ga. Diharapkan masalah ini dapat diselesaikan menggu- dengan prinsip garis nakan tinggi bebe- dan rapa prinsip trigonome- tri untuk menyelesaikan masalah tersebut. Masalah-6.3 Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di samping. Panjang sisi AB adalah 30 m, panjang sisi BC adalah 16 m dan besar sudut BAC adalah 300. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp250.000,00 untuk setiap meter persegi. Tentukan harga penjualan tanah tersebut. C 16 30○ A B P 30 Gambar	6.10.	Segitiga	ABC Alternatif Penyelesaian Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC sehingga CP tegak lurus AB . 1 2 × AB × CP... (1) Luas ∆ABC = Dari segitiga ACP diketahui CP AC , sehingga CP = AC × sin A... (2) sin A = Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh 1 2 1 2 = 120 Luas ∆ABC = × AB × AC × sin A × 30 × 16 × sin 300 = Maka luas tanah tersebut adalah 120 m2. 232
Matematika Jika harga 1 m2 tanah adalah Rp250.000,00, maka harga jual tanah tersebut ditentukan dengan 120 × 250.000 = 30.000.000. Maka harga jual tanah tersebut adalah Rp30.000.000,00 Perhatikan Gambar 6.11 berikut. untuk Pandu informasi mendapatkan pada segitiga ABC pada Gambar 6.11 terkait pene- muan prinsip luas segitiga siswa Gambar 6.11 Segitiga ABC Garis BP merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga AC tegak lurus BP . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. Ingat kembali rumus menentukan luas daerah segitiga. 1 2 × AC × BP... (1) Luas ∆ABC= Dari segitiga ABP diketahui BP AB , sehingga BP = AB × sin A... (2) sin A = Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh 1 2 1 2 1 2 × AC × BP Luas ∆ABC = Luas ∆ABC = × AC × AB × sin A Luas ∆ABC = × b × c × sin A 233
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Perhatikan Gambar 6.12 berikut. B a c Q A C b Gambar	6.12	Segitiga	ABC Garis AQ merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga BC tegak lurus AQ . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. 1 2 Dari segitiga ABQ diketahui Luas ∆ABC= × BC × AQ ... (1) AQ AB sin B = , sehingga AQ = AB × sin B ... (2) Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh 1 2 1 2 1 2 Luas ∆ABC = × BC × AQ Luas ∆ABC = × BC × AB × sin B Luas ∆ABC = × a × c × sin B Latihan 6.2 Latihan ini bertujuan un- tuk menguji pemahaman siswa terhadap prinsip trigonometri dalam me- nentukan luas segitiga Dengan menggunakan ∆BPC pada Gambar 6.11 dan ∆AQC pada Gambar 6.12, tentukanlah rumus Luas ∆ABC. Berdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas sebarang segitiga sebagai berikut. 234
Matematika Berdasarkan penyele- saian Latihan 6.2 diha- rapkan siswa dengan ban- tuan guru dapat membuat Definisi Luas segitiga sembarang. Minta siswa membuat alasan bahwa luas segitiga adalah ½ alas × tinggi. Definisi 6.1 Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- 1 2 sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C,	berlaku	Luas	∆ABC = 1 2 × 1 2 ab sin C = × bc sin A = × ac sin B. Latihan 6.3 Dengan menggunakan segitiga ABC tumpul seperti Gambar 1 2 Berikan Latihan 6.3 un- tuk diselesaikan siswa. Penyelesaian ini menun- tut kemampuan siswa da- lam menerapkan segitiga siku-siku dalam penyele- saian masalah × bc sin A. 6.13 dibawah, buktikan bahwa Luas ∆ABC = Gambar 6.13. Segitiga tumpul ABC Berdasarkan Gambar 6.13 diperoleh ΔBQA siku-siku di Q, sehingga BQ = c sin A dan diperoleh juga BQ = a sin C karena Luas ΔABC = 1 2 1 2 Csin b ' 'BQ b = Contoh 6.3 Arahkan siswa menjawab soal pada Contoh 6.3. Minta siswa memahami Gambar 6.14. Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. 235
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 6.14 Segiempat ABCD pada lingkaran L Tentukan luas segiempat ABCD dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. Pandu siswa memaha- mi proses penyelesaian langkah per langkah pada altenatif penyelesaian di samping. Pandu siswa memanfaatkan aturan co- sinus, konsep trigonome- tri, dan rumus luas segi- tiga. Alternatif Penyelesaian Langkah 1. Bagi daerah ABCD menjadi dua bagian dengan menarik garis AC atau BD. Misalkan, kita pilih garis BD sehingga gambar menjadi: Gambar	6.15	Daerah	segiempat	ABCD	terbagi	atas	dua	segitiga Langkah 2. Manfaatkan aturan cosinus pada masing-masing daerah. Perhatikan segitiga BAD Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: 236
Matematika BD2 = AB2 + AD2 - 2AB.AD.cos A BD2 = 12 + 42 - 2.1.4.cos A BD2 = 17 - 8.cos A Perhatikan segitiga BCD Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: BD2 = BC2 + CD2 - 2BC.CD.cos C BD2 = 22 + 32 - 2.2.3.cos C BD2 = 13 - 12.cos C Berdasarkan konsep sudut pada lingkaran maka ∠A + ∠C = 180˚ sehingga ∠C = 1800 - ∠A sehingga diperoleh: 17 - 8.cos A = 13 - 12.cos C 17 - - 8.cos A = 13 - 12.cos (180˚ - A) (ingat konsep trigonometri di kelas X) 17 - 8.cos A = 13 + 12.cos A 20.cos A = 4 Pandu siswa memanfaat- kan aturan cosinus pada segitiga ABCD 1 5 cos A = Langkah 3. Berdasarkan konsep trigonometri pada kelas X maka Ingatkan siswa konsep dasar trigonometri 1 5 . Perhatikan diperoleh segitiga siku-siku dengan cos A = Gambar! Dengan Phytagoras maka diperoleh panjang sisi di depan −= = . 24 2 6 sudut A adalah 25 1 Dengan konsep trigonometri dasar maka diperoleh: 2 6 5 sin A = Langkah 4. Jadi, luas ∆ABCD = luas ∆BAD + luas ∆BCD 1 2 1 2 luas ∆ABCD = .AB.AD.sin A + .CB.CD.sin C 237
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1 2 luas ∆ABCD = 2.sin A + 3.sin A luas ∆ABCD = 5.sin A 1 2 luas ∆ABCD = .2.3.sin (180o - A) .1.4.sin A + 2 6 5 luas ∆ABCD = 5 × luas ∆ABCD = 2 6 Jadi, luas segiempat ABCD pada lingkaran tersebut adalah 2 6 satuan luas. Arahkan siswa menyele- saikan Contoh 6.4. (soal telah di samping) Contoh 6.4 diselesaikan Pada segitiga ABC dengan luas L. Panjang AB = p, AC = q. Jika D pada BC sehingga AD membagi sudut BAC menjadi dua bagian yang sama yaitu xo maka tentukan panjang AD. Alternatif Penyelesaian. Langkah 1. Gambar	6.17	Garis	bagi	AD	pada	segitiga	ABC Langkah 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 .AB.AD.sin xo Luas ΔBAD = .p.AD.sin xo = .AC.AD.sin xo Luas ΔCAD = .q.AD.sin xo = 238
Matematika Langkah 2. Luas ΔABC = Luas ΔBAD + Luas ΔCAD 1 2 1 2 .p.AD.sin xo + .q.AD.sin xo L = 2L = (p +.q)AD.sin xo 2L )sin AD = xo 2L )sin ( p q Jadi, panjang AD adalah xo ( p q Uji Kompetensi 6.1 Soal-soal Uji Kompetensi ini diberikan kepada siswa berupa tu- gas untuk dikerjakan di rumah. Soal uji kompe- tensi ini bertujuan untuk kemampuan mengukur siswa terkait prinsip atur- an sinus dan cosinus. pada 1. Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan dengan jurusan tiga angka 1020 dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 2320. Hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam, jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam. 2. Tentukan sisi-sisi segitiga ABC, jika diketahui sebagai berikut. a) b) a + b = 10, ∠ A= 600, dan ∠ B = 450 a - b = 6, ∠ A= 450, dan ∠ B = 300 3. Dua sisi yang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 84 cm dan 68 cm. Sudut apit sisi itu adalah 72°. Hitunglah luas jajargenjang tersebut. 4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di samping. ± Buktikanlah bahwa a b sin ± A sin sin C B 4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di samping. ± Buktikanlah bahwa a b sin ± A sin sin C B 4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di samping. ± Buktikanlah bahwa a b sin ± A sin sin C B . 239
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B a c A C b 5. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui berikut ini. ∆ABC dengan a = 24 cm, b = 32 cm, dan ∠ B = 520 ∆ABC dengan b = 20 cm, b = 18 cm, dan ∠ B = 1240 6. Hitunglah besar sudut-sudut pada segitiga ABC, jika diketahui a = 5 cm, b = 7 cm, dan c = 9 cm. 7. Diketahui segitiga PQR seperti gambar di samping. sin( ) Buktikanlah bahwa = p r + Q R sin R . Q p r P R q 8. Diketahui jajargenjang ABCD dengan panjang diagonal c dan d seperti gambar di samping. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga, buktikanlah bahwa c 2 + d 2 = 2(a2 + b2). D C c a a d A B b 240
Matematika 9. Diketahui segiempat ABCD seperti gambar di samping. Jika panjang diagonal BD = 6 cm, dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga tentukanlah panjang diagonal AC. C 4 cm 3,5 cm D B 6 cm 5,5 cm A 10. Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan 3 cm berpotongan pada dua titik. Pada salah satu titik potong, garis singgung kedua lingkaran membentuk sudut 600 seperti gambar di samping. Tentukanlah jarak kedua titik pusat lingkaran tersebut. 60○ 5cm 3cm O P 11. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC, buktikanlah bahwa a) b) c) c2 < a2 + b2 jika ∠ C lancip; c2 > a2 + b2 jika ∠ C tumpul; dan c2 = a2 + b2 jika ∠ C siku-siku. 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa A cos a B cos b C cos c 2 2 2 + + c a b abc + − a b c a 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa A cos a B cos b C cos c 2 2 2 + + c a b abc + − a b c a 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa A cos a B cos b C cos c 2 2 2 + + c a b abc + − a b c a 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa A cos a B cos b C cos c 2 2 2 + + c a b abc + − a b c a 12. Untuk sebarang segitiga ABC, buktikanlah bahwa A cos a B cos b C cos c 2 2 2 + + c a b abc + − a b c a = 2 2 2 2 c a b c + + − + + − ( ) b a c b abc ( ) ( ) + + b) cos A cos B cos C 2 241
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Projek Lukislah sebuah segitiga sembarang. Dengan menggunakan penggaris dan busur kemudian ukurlah panjang masing-masing sisi dan sudutnya. Selanjutnya buktikanlah bahwa aturan sinus dan aturan kosinus berlaku pada segitiga tersebut (Agar perhitunganmu akurat, gunakan kalkulator untuk menghitung nilai sinus dan kosinus sudut- sudut segitiga tersebut). Buatlah laporan hasilnya dan persentasikan di depan kelas. D. PENUTUP Berdasarkan uraian materi pada Bab 6 ini, beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan sebagai berikut. 1. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan sinus a sin b sin c sin = = . A B C 2. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi- sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan cosinus (i) a2 = b2 + c2 - 2bc cos A (ii) b2 = a2 + c2 - 2ac cos B (iii) c = a2 + b2 - 2ab cos C 3. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas 1 2 1 2 1 2 3. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas 1 2 1 2 1 2 3. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas 1 2 1 2 1 2 3. Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku Luas 1 2 1 2 1 2 × ab × bc × ac sinB Beberapa hal yang telah kita rangkum di atas adalah modal dasar bagi kamu dalam belajar materi trigonometri secara lebih mendalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan baik karena akan membantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. 242
Bab 7 Kompetensi DasarPengalaman Belajar STATISTIKA A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnnya. 2. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 3. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar: •	Berdiskusi,	bertanya	dalam	menemukan	konsep dan prinsip statistik melalui pemecahan masalah autentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan. Berkolaborasi	memecahkan	masalah	autentik dengan pola interaksi edukatif. Berpikir	tingkat	tinggi	dalam	menyajikan,	serta menganalisis statistik deskriptif. 4. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 5. Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan, letak dan penyebaran data sesuai dengan karakteristik data melalui aturan dan rumus serta menafsirkan dan mengomunikasikannya. 6. Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. Mean •	Median •	Modus •	Simpangan	baku •	Varian •	Histogram •	Quartil •	Desil •	Persentil
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP BILANGAN MATERI PRASYARAT PENGUKURAN Masalah Otentik Statistika Pengumpulan Penyajian Data Pengolahan Data Diagram Tabel Grafik Angket Wawancara Observasi Median Rata-rata Modus 244
Matematika apersepsi Berikan pemusatan mengenai data dan ingatkan pula akan materi yang pernah dipelajari pada kelas 10 serta materi prasyaratnya. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. UKURAN PEMUSATAN Mean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari data yang telah diurutkan, dan modus yaitu data yang sering muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan. Untuk lebih memahami tentang ukuran pemusatan data, mari kita cermati dari masalah berikut ini. Berikan kesempatan siswa untuk mengamati dan persoalan mencoba untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan kreatifitasnya. data Masalah-7.1 Kepala	Sekolah	SMA	Negeri	1	Bakara-Baktiraja	ingin	mengevaluasi	hasil	belajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap 64 siswa/siswi kelas XI dinyatakan sebagai berikut. 61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48 80 63 76 49 84 79 80 70 68 92 61 83 88 81 82 72 83 87 81 82 81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97 75 83 79 86 80 51 71 72 82 70 93 72 91 67 88 80 63 76 49 84 Guru berencana menyederhanakan data tunggal tersbut menjadi bentuk data berinterval	dan	membuat	statitistiknya,	hal	ini	dilakukan	untuk	mengefisienkan	laporan	evaluasi	hasil	belajar	siswa.	Bantulah	guru	tesebut	untuk	menyusun	laporannya! Alternatif Penyelesaian Untuk dapat memudahkan penggunaan data tersebut, susun data berdasarkan urutan terkecil hingga terbesar. Urutan data tersebut dinyatakan sebagai berikut. untuk Arahkan melakukan langkah- langkah dalam mengurai permasalahan. siswa 38 48 48 49 49 51 56 60 61 61 63 63 63 65 66 67 68 70 70 70 71 72 72 72 73 74 74 74 75 75 76 76 76 76 78 79 79 80 80 80 80 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 84 84 85 85 86 87 88 88 88 88 88 89 90 90 90 90 91 91 92 92 92 93 93 97 97 98 245
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Setelah data diurutkan, dengan mudah kita temukan, data terbesar adalah 98 dan data terkecil adalah 38. Selisih data terbesar dengan data terkecil disebut sebagai jangkauan data. Untuk data yang kita kaji, diperoleh: Jangkauan Data adalah 60. Langkah kita selanjutnya adalah untuk mendistribusikan data-data tersebut ke dalam kelas- kelas interval. Untuk membagi data menjadi beberapa kelas, kita menggunakan aturan Sturgess. Aturan tersebut dinyatakan bahwa jika data yang diamati banyaknya n dan banyak kelas adalah k, banyak kelas dirumuskan sebagai berikut: k = 1 + (3, 3). log n Untuk data di atas diperoleh, Banyak Kelas = 1 + (3,3). log 80 = 1 + (3,3). (1,903) = 7,28 ≈ 7 Ingatkan kembali sebelumnya materi sehingga siswa mampu menggunakan rumus/ materi dalam pemecahan masalah. Jadi, 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval. Pertanyaan kritis: Jelaskan mengapa angka pembulatan yang dipilih angka 7 bukan angka 8? Coba minta siswa untuk membentuk data menjadi 8 kelas interval, lalu minta siswa mengamati terhadap apa yang terjadi? Petunjuk jawaban: Pemilihan banyak kelas dimaksudkan sebagai upaya penyesuaian agar semua data yang dapat tercakup dalam distribusi frekuensi. Sekarang kita perlu menentukan berapa banyak data yang terdapat pada satu kelas interval. Banyak data dalam satu interval, disebut panjang interval kelas, yang dirumuskan sebagai berikut: Jangkauan data Banyak kelas Maka diperoleh: Panjang Kelas = dari data di atas dapat di peroleh Jangkauan Banyak Kelas 60 7 9 = = 8,57 Panjang Kelas = Selanjutnya, dengan adanya banyak kelas adalah 7 dan panjang kelas adalah 9 dapat kita gunakan untuk membentuk kelas interval yang dinyatakan sebagai berikut: 246
Matematika Kelas I Kelas II Kelas III Kelas IV Kelas V Kelas VI Kelas VII Dari hasil pengolahan data di atas dapat dibentuk ke dalam bentuk tabel berikut. : 38 - 46 : 47 - 55 : 56 - 64 : 65 - 73 : 74 - 82 : 83 - 91 : 92 - 100 Tabel 7.1. Tabel Frekuensi Kelas Frekuensi 38 - 46 1 47 - 55 5 56 - 64 7 65 - 73 12 74 - 82 25 83 - 91 22 92 - 100 8 80 Perlu dicermati bahwa pembentukan interval kelas tersebut harus memuat semua data. Jika ada satu data yang tidak tercakup pada interval kelas, maka terdapat kesalahan dalam mendistribusikan data. Bentuk histogram dari hasil pengolahan data nilai siswa di atas digambarkan sebagai berikut. Gambar 7.1 Histogram Data Nilai Siswa 247
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Mengajak siswa untuk menemukan mencoba salah konsep satu pemusatan data yakni nilai rata-rata dengan beberapa cara. Ingatkan mengenai mean sudah dipelajari di SMP. 1 2 a. Menentukan Nilai Mean (Rata-rata) Sajian data pada tabel di atas, tentunya harus kita memaknai setiap angka yang tersaji. Dari Interval 38 - 46 dapat diartikan bahwa: 38 disebut batas bawah interval 46 disebut batas atas interval. juga siswa yang Titik tengah interval, dinotasikan xi , diperoleh: 1 2 ( ) + ( )
i = x ( batas bawah interval ke i batas atas interval ke ii - ( ) + )
i = x batas bawah interval ke i batas atas interval ke ii - 1 2 x 38 46 1 Sehingga: 42 Setiap interval memiliki batas bawah, batas atas, dan titik tengah interval ( xi ). Data hasil belajar siswa di atas, dapat diperbaharui sebagai berikut: Tabel 7.2 Tabel Frekuensi Kelas xi F xi . F 38 - 46 42 1 42 47 - 55 51 5 255 56 - 64 60 7 420 65 - 73 69 12 828 74 - 82 78 25 1,950 83 - 91 87 22 1,914 92 - 100 96 8 768 Total 80 6,177 Titik tengah setiap interval diartikan sebagai perwakilan data setiap interval. Nilai ini digunakan untuk menentukan rata-rata data tersebut. 248
Matematika Data yang diperoleh dari Tabel 7.2 dapat digambarkan kedalam bentuk histogram Gambar 7.2 Histogram Data Nilai Siswa Dengan mengembangkan konsep mean pada data tunggal, yakni, mean merupakan perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data. Dari tabel dan histogram dapat kita peroleh jumlah seluruh data, yakni, jumlah perkalian nilai tengah terhadap frekuensi masing-masing. Maka jumlah seluruh data adalah: = (1) 42 + (5) 51 + (7) 60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 78 + (22) 87 + (8) 96 Sehingga diperoleh rata-rata (mean): ( ) 1 42 ( ) 5 51 ( ) ( ) + 12 69 7 60 + + + + 1 5 7 12 ) ( + 25 78 + 25 222+8 + ( ) ( ) + + 22 87+ 8 96 = 6177 80 = = 77.21 Mencoba mengkontruksi konsep dengan meng- permasalahan analisis yang diberikan. Dengan demikian, dengan tabel frekuensi di atas dan nilai rata-rata data, ditemukan: Ø	Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di bawah nilai rata-rata! Ø	Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di atas nilai rata-rata! 249
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Perhitungan rata-rata di atas dapat kita dirumuskan secara matematis menjadi: + f 1 + + + + ... + + ... f f x 1 1 f x 2 2 + f f x 3 3 f f x k k ( ) = Mean x 2 3 k k ( .∑∑ x f i ) i = i 1 = k ∑ fi = i 1 di atas, tentunya dapat Nah, melalui pembahasan disimpulkan bahwa rata-rata (mean) merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut. Guru bersama-sama dengan siswa membuat konsep rata-rata yang melibatkan frekuensi dari data yang diberikan. k ∑ f x i i + f 1 + + + + ... + + f ... f x 1 1 f x 2 2 + f f x 3 3 f f x k k = 1 k i = = x ∑ 2 3 k f i = 1 i dimana: fi xi Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata- rata. Dengan data yang sama, cermati langkah-langkah di bawah ini. : frekuensi kelas ke-i : nilai tengah kelas ke-i Tabel 7.3 Perhitungan Rataan sementara di = xi-xs xs = 78 -36 -27 -18 -9 0 Interval (xi) fi fi. di 38 - 46 42 1 36 -135 -126 -108 0 198 36 -135 -126 -108 0 198 47 - 55 51 5 56 - 64 60 7 65 - 73 69 12 74 - 82 78 25 83 - 91 87 22 9 92 - 100 96 8 144 Total 80 63 250
Matematika Dengan cara memperkirakan bahwa nilai rata-rata sementara yang dipilih pada kelas yang memiliki frekuensi tertinggi dan letak rata-rata sementara tersebut adalah titik tengah kelas interval. Secara lengkap, langkah-langkah menentukan rata-rata data dengan menggunakan rata-rata sementara sebagai berikut Minta untuk siswa memahami penjelasan dari informasi yang diberikan tentang menentukan rata- rata dengan menggunakan sementara. rataan Diharapkan siswa memahami makna dari rata-rata tersebut. Langkah 1. Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar sebagai mean sementara xs Langkah 2. Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan mean sementara dan catat hasilnya dalam kolom di	=	xi	-	xs. Langkah 3. Hitung hasil kali f, d, dan tuliskan hasilnya pada sebuah kolom, dan hitung totalnya. Langkah 4. Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan sementara. Sehingga diperoleh rata-rata adalah: k ( ) ∑ f d . i i = 1 i = + x x s k ∑ f i = 1 i dengan: xs di : deviasi atau simpangan terhadap rata-rata. fi : frekuensi interval kelas ke-i. : nilai tengah interval kelas ke-i. xs Maka untuk data di atas dapat diperoleh: : rata-rata sementara. k ( ) ∑ f d . i i − 117 64 = 1 i = + = + = Mean x s 78 . . 77 21 k ∑ f i = 1 i 251
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Melakukan apersepsi tentang modus data yang telah dipelajari pada data tunggal. b. Menentukan Nilai Modus Pada waktu SMP kamu telah membahas modus untuk data tunggal, untuk data berkelompok secara prinsip adalah sama yakni nilai yang sering muncul. Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita mengambil 3 kelas interval yakni kelas interval dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas interval sebelum dan sesudah kelas modus. Dengan bantuan histogram dapat digambarkan sebagai berikut: Mencoba mengkontruksi nilai modus melalui grafik histogram. untuk Minta pengertian memahami sudah yang modus dipelajari sewaktu di SMP. Selanjutnya berikan data yang telah disajikan dalam bentuk histogram terhadap berkelompok. data dengan Selanjutnya menggunakan konsep dan prinsip kesebangunan arahkan untuk siswa dapat memperoleh konsep modus data berkelompok. siswa D Gambar 7.3 Penentuan Modus dengan Histogram Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa ∆ ABG sebangun dengan ∆ DCG, dan panjang AB = d1 ; CD = d2 ; EG = ∆x dan FG = k - ∆x. Secara geometri dari kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini; ∆ x − ∆ x 2 ) = ∆ ( d x d k 1 ⇔ − ∆ = ∆ d x d x d k 1 1 = ⇔ ∆ + ∆ 2 xx d x d 1 ) = ( ⇔ ∆ x d d 1 d 1 d AB CD EG = ⇔ FG = k ⇔ − ∆ x 2 2 d k 1 d k 1 252 + 2 d k 1 + d ⇔ ∆ = x ( ) d 1 2
d 1 +
⇔ ∆ =
x k
d 1 d
Matematika ∆ x − ∆ x 2 ) = ∆ ( d k x d 1 ⇔ − ∆ = ∆ d d x x d k 1 1 = ⇔ ∆ + ∆ 2 xx d x d 1 ) = ( ⇔ ∆ x d d 1 d 1 d AB CD EG = ⇔ FG = k ⇔ − ∆ x 2 2 d k 1 d k 1 + 2 d k 1 + d ⇔ ∆ = x ( ) d 1 2
d 1 + ⇔ ∆ = x k d 1 d 2 Sehingga dapat diperoleh modus adalah: = + ∆ x M t b 0
d 1 + = + t b k d 1 d 2
d 1 + = + t b M k 0 d 1 d 2 dimana: M0 tb k d1 : Modus : Tepi bawah kelas modus : Panjang kelas : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas d2 sesudahnya Perhatikan tabel berikut. Tabel 7.4 Perhitungan Modus Titik tengah (xi) 42 No 1 Kelas 38 - 46 Frekuensi (fi) 1 2 47 - 55 51 5 3 56 - 64 60 7 4 65 - 73 69 12 5 74 - 82 78 25 6 83 - 91 87 22 7 92 - 100 96 8 253
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut: Tampak modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus 74 - 82 dengan dan panjang kelas k = 9. Oleh karena itu, tb= 73,5, dan d1= 25 - 12 =13 serta d2= 25 - 22 = 3. Jadi modus data di atas adalah:
d 1 + = + b M t o k d 1 d 2
, 13 + 13 3 = + 73 5 9 , = + 73 5 7 31 , = , 80 81 M o c. Median Berikut diberikan ini rumusan tentang median atau nilai tengah dari data yang telah diurutkan. data yang diberikan dalam median menentukan adalah data berkelompok. Median dari sekelompok data yang telah terurut merupakan nilai yang terletak di tengah data yang membagi data menjadi dua bahagian yang sama. Untuk data berkelompok berdistribusi frekuensi median ditentukan sebagai berikut:
n 2 − F = + b M t e k f m dengan : Me tb k n F fm = Median = tepi bawah kelas median = panjang kelas = banyak data dari statistik terurut ∑ fi = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median = frekuensi kelas median Dari data sebelumnya diperoleh k = 9 ; tb = 73,5 ; N = 80; fm = 25 sehingga: 254
Matematika Masih menggunakan data di atas maka kita bentuk tabel berikut ini. Tabel 7.5 Perhitungan Median Minta untuk siswa mengamati data yang kemudian diberikan, dengan dta yang diberikan minta untuk siswa menentukan median data berkelompok tersebut. Kelas Frekuensi fi Frekuensi Kumulatif F 38 - 46 1 1 47 - 55 5 6 56 - 64 7 13 65 - 73 12 25 74 - 82 25 50 83 - 91 22 72 92 - 100 8 80 80
n 2
F Median = +
t b k
f m
, 33 705 80 2 − 25 = + , 73 5 9 25 = + , 73 5 = , 77 205 Pertanyaan kritis: Ÿ Dari ketiga pembahasan tentang ukuran pemusatan data pada data kelompok, dapatkah kamu menemukan hubungan antara ketiga pemusatan data di atas? Diskusikan dengan temanmu! = = Ÿ Dapatkah terjadi nilai ukuran x Mo Me pada sekumpulan data, jelaskan. Petunjuk jawaban: . x Me x Mo 3 Arahkan siswa menemukan hubungan 255
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK apersepsi Berikan letak mengenai ukuran data dan ingatkan pula akan materi yang pernah dipelajari pada kelas 10 yakni pada data tunggal. 2. UKURAN LETAK DATA Ukuran letak data yang dimaksud dalam subbab ini adalah kuartil, desil, dan persentil. Ingat kembali materi statistik yang telah kamu pelajari di kelas X, konsep kuartil dan desil untuk data berdistribusi analog dengan yang ada pada data tunggal. a. Kuartil Jika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil dan data terbesar, maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang membagi empat bagian dari sekumpulan data disebut kuartil. Mencoba mengkotruksi konsep kuartil melalui grafik. Untuk lebih memahami pengertian kuartil perhatikan ilustrasi berikut. Xmin Q1 Q3 Q2 Xmax Gambar 7.4 Letak Kuartil Untuk menentukan Kuartil data berdistribusi, dirumuskan:
i 4 − n F Q = + Q i L i k f Qi n k Qi : Kuartil ke-i data, untuk i = 1,2, 3. Li Fq : jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i. Fi : frekuensi kelas yang memuat Kuartil ke-i. : banyak data : panjang kelas : Tepi bawah kelas ke-i. Li= batas bawah - 0.5. 7.1 Berikan Contoh kepada siswa, minta siswa untuk memahami penyelesaian contoh tersebut, setelah itu minta perwakilan siswa untuk menjelaskan penyelesaian Contoh 7.1 Perhatikan tabel berikut ini dan tentukan a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3) 256
Matematika itu. Jika siswa contoh mengalami masih kesulitan sebaiknya guru memberikan contoh lain agar siswa paham dalam prinsip menerapkan tentang kuartil Tabel 7.6 Distribusi Frekuensi Kelas 42 - 46 Frekuensi fi 2 47 - 51 5 52 - 56 5 57 - 61 15 62 - 66 7 67 - 71 4 72 - 76 2 Alternatif Penyelesaian Dengan melengkapi tabel 7.6 diperoleh: Tabel 7.7 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kelas Frekuensi fi Frekuensi Kumulatif F 42 - 46 2 2 47 - 51 5 7 52 - 56 5 12 57 - 61 15 27 62 - 66 7 34 67 - 71 4 38 72 - 76 2 40 a. Kuartil ke-1 Kuartil bawah dapat juga disebut kuartil ke-1 (Q1), dan untuk menentukan letak Q1 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat Q1 yakni dengan 1 Hal ini 4 berarti Q1 adalah data ke-10, kelas interval 52 - 56, 1 n 4 (40) 10. menghitung nilai dari dan fi = 11. 1Qf Dari tabel juga diperoleh L1 = 51,5, FQ = 7, = 5, k = 5. 257
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sehingga kuartil bawah diperoleh: i 4
− n F Q = + Q i L i k f Qi ( − 10 6 ) = + , Q 1 51 5 5 5 = + , 51 5 4 , 55 5 = Q 1 Sehingga kuartil ke-1 adalah 55,5 b. Kuartil ke-2 Analog dengan mencari Q1 maka diperoleh nilai Q2, yakni: 2 4 1 n = ( 4 ) = . Hal ini berarti Q2 berada 40 20 2Qf = 15. pada kelas interval 57 - 61, dan 2Qf = 15, Dari tabel juga diperoleh L2 = 56,5, FQ = 12, k = 5. Sehingga dapat ditentukan kuartil tengah adalah:
i 4 − n F Q = + Q i L i k f Qi ( ) − 20 12 = + , 56 5 5 Q 2 15 = + 56 5 2 66 , , = ,116 Q 2 59 Sehingga kuartil ke-2 adalah 59,16 c. Kuartil ke-3 Analog dengan mencari Q1 dan maka diperoleh nilai-nilai yang Q2 kita perlukan untuk memperoleh nilai Q3 , yakni: 258
Matematika 3 4 interval 62 - 66, dan 3 n = ( 4 ) = . Hal ini berarti Q3 berada pada kelas 40 30 3Qf = 7. 3Qf = 7, k Dari tabel juga diperoleh L1 = 61,5, FQ = 27, = 5. Sehingga dapat ditentukan kuartil atas adalah:
i 4 − n F Q = + Q i L i k f Qi − 30 27 ( ) = + , Q 3 61 5 5 7 = + 61 5 2 14 , 44 , , = Q 3 63 6 Sehingga kuartil ke-3 adalah 63,64 b. Desil Guru menjelaskan kepada siswa bahwa materi yang akan dibahas selanjutnya adalah tentang desil, ajak siswa untuk mencoba rumus mengkontruksi berpikir desil dengan secara analogi tentang kuartil. Prinsip untuk mencari desil hampir sama dengan kuartil, jika kuartil membagi data yang terurut menjadi empat bagian maka desil menjadi 10 bagian dengan ukuran data n > 10. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 9 nilai desil, yakni D1, D2, D3, ..., D9 Untuk menentukan Desil, dirumuskan sebagai berikut:
i 10 − n F D = D L i + k i f Di i Di Li FD iDf n k = 1,2, 3, ... , 9 : Desil ke-i : Tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i : jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i : frekuensi kelas yang memuat desil ke-i : Banyak data : panjang kelas. 259
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikan Contoh 7.2 ini kepada siswa untuk melatih kemampuan siswa dalam menerapkan prinsip desil. Diharapkan siswa menjelaskan mampu penyelesaian dari contoh yang diberikan. Contoh 7.2 Dari 1.000 siswa peserta Olimpiade Matematika diperoleh data skor berupa tabel berikut. Tabel 7.8 Skor Olimpiade Matematika Skor 0-9 Frekuensi 5 10-19 54 20-29 215 30-39 263 40-49 223 50-59 124 60-69 72 70-79 38 80-89 5 90-99 1 Tentukanlah desil a. Desil ke-1 b. Dan desil ke-8 Alternatif Penyelesaian Dengan melengkapi tabel 7.8 diperoleh: Tabel 7.9 Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif F 5 Skor Frekuensi 0-9 5 10-19 54 59 20-29 215 274 30-39 263 537 40-49 223 760 50-59 124 884 60-69 72 956 260
Matematika Frekuensi Kumulatif F 994 Skor Frekuensi 70-79 38 80-89 5 999 90-99 1 1000 a. Desil ke-1 terlebih Untuk yang mencari dahulu memuat D1 yakni dengan menghitung nilai dari 1 10 ke-100 yaitu, kelas interval 20 - 29, dan D1 kelas menentukan letak kita 1 10 ( 1000 ) = n = 100 . Hal ini berarti D1 adalah data 1Df = 215. 1Df = 215, Dari tabel juga diperoleh L1 = 19,5, FD = 59, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh:
i 10 − n F D = + D i L i k f Di ( − 100 59 ) = + 19 5 10 , D 1 215 = + 19 5 43 76 , , = D 11 , 63 26 Sehingga kuartil ke-1 adalah 63,26 b. Desil ke-8 Untuk menentukan letak mencari yakni ) = D8 kelas dengan terlebih yang dahulu memuat kita D8 8 10 8 10 ( 1000 n = 800 . Hal ini menghitung nilai dari berarti D8 adalah data ke-800, kelas interval 40 - 49, 8Df = 223. dan 261
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 8Df = Dari tabel juga diperoleh L8 = 39,5, FD = 573, 223, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh:
i 10 − n F D = + D i L i k f Di ( ) − 800 573 = + , 9 5 10 D 8 3 223 = + 39 5 10 17 , , = DD8 , 49 67 Sehingga kuartil ke-8 adalah 49,67 Guru menjelaskan kepada siswa bahwa untuk letak data itu ada bentuk yang lain persentil. Diharapkan siswa mampu memahami prinsip tentang berdasarkan persentil analogi berpikir tentang prinsip kuartil dan desil. c. Persentil Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut menjadi empat dan sepuluh bagian maka desil menjadi 100 bagian data. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 99 nilai persentil, yakni P1, P2, P3, ..., P99. Untuk menentukan persentil, dirumuskan sebagai yaitu berikut:
i 100 − n F P = P L i i + k f Pi i = 1,2, 3, ... , 9 : Persentil ke-i : Tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-i : jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i : frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i : Banyak data : panjang kelas. Pi Li FP iPf n k 262
Matematika Berikan Contoh 7.3 kepada siswa agar siswa tentang memahami penerapan prinsip persentil dalam sebuah yang permasalahan diberikan. Diharapkan guru mampu memotivasi siswa siswa sehingga memahami mampu tentang prinsip persentil dengan baik dan benar. Contoh 7.3 Dengan menggunakan data pada contoh 7.2 Tentukanlah a. persentil ke-10 b. persentil ke-99 Alternatif Penyelesaian Perhatikan tabel berikut Tabel 7.10 Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif F 5 Skor Frekuensi 0-9 5 10-19 54 59 20-29 215 274 30-39 263 537 40-49 223 760 50-59 124 884 60-69 72 956 70-79 38 994 80-89 5 999 90-99 1 1.000 a. Persentil ke-10 Untuk menentukan letak P10 yang memuat terlebih dahulu kita mencari kelas P10 10 100 data ke-100, kelas interval 20 - 29, dan yakni dengan menghitung nilai dari 10 100 ( 1000 ) = . Hal ini berarti P10 adalah n = 100 10Pf = 215. 10Pf = Dari tabel juga diperoleh L10 = 19,5, FP = 59, 215, k = 10. 263
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sehingga kuartil bawah diperoleh: i 10
− n F P = + P i L i k f ( − 100 59 Pi ) = + 19 5 10 , P 10 215 = + 19 5 43 76 = , , PP10 , 63 26 Sehingga persentil ke-10 adalah 63,26 b. Persentil ke-99 Untuk menentukan letak P99 terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat P99 yakni dengan 99 100 99 100 ( 1000 ) = n = 990 menghitung nilai dari . Hal ini berarti P99 adalah data ke-990, kelas interval 70 - 99Pf = 38. 79, dan 99Pf = Dari tabel juga diperoleh L99 = 69,5, FP = 956, 38, k = 10. Sehingga kuartil bawah diperoleh:
i 10 − n F P = + P i L i k f ( Pi ) − 990 956 = + , 9 5 10 P 99 6 38 = + 69 5 8 94 = , 78 44 , , P 999 Sehingga persentil ke-99 adalah 78,44 Dari ukuran letak data yang telah dibahas di atas tentu kita akan menemukan keterkaitan nilai ukuran satu dengan yang lainnya. Misalkan data yang dimiliki Berdasarkan permasala- dan han-permasalahan yang soal beberapa 264
Matematika telah diselesaikan minta siswa untuk membuat kesimpulan tentang hubungan kuartil, desil dan persentil. adalah sama maka akan ditemukan nilai median = Q2 = D5 = P50, dan Q1 = P2, dan Q3 = P75. Cobalah membuktikannya dengan teman kelompokmu. 3. UKURAN PENYEBARAN DATA Ukuran penyebaran data menunjukkan perbedaan data yang satu dengan data yang lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Adapun ukuran penyebaran data yang akan kita kaji adalah sebagai berikut. kepada Informasikan siswa bahawa materi selanjutnya yang akan dibahas adalah mengenai ukuran penyebaran data yang terdiri dari rentang, simpangan kuartil dan simpangan rata-rata. a. Rentang Data atau Jangkauan (Range) Masalah-7.2 Minta siswa untuk mengamati Masalah Berdasarkan 7.2 masalah yang diberikan minta siswa untuk menyelesaikan dengan caranya sendiri. Diharapkan dengan d i s e l e s a i k a n n y a siswa masalah memahami tentang prinsip rentang data, simpangan kuartil data, dan simpangan rata-rata data. Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah sekolah diperoleh data tinggi badan siswa yang mendaftar adalah sebagai berikut: Tabel 7.11 Distribusi Tinggi Badan Siswa Tinggi badan (cm) Banyak siswa yang mendaftar (fi) 140-144 7 145-149 8 150-154 12 ini 155-159 16 160-164 24 165-169 13 170-174 2 Tentukanlah rentang (range) dari data distribusi di atas! Alternatif Penyelesaian Range merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Sedangkan untuk data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan data terendah diambil dari nilai kelas yang terendah, sehingga diperoleh: + 170 174 2 Nilai tengah kelas tertinggi = = 172 265
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK + 140 144 2 Nilai tengah kelas terendah = = 142 Sehingga dari kedua hasil di atas diperoleh range untuk data berdistribusi adalah: Rentang (R) = 172 - 142 = 30 b. Rentang Antar Kuartil (Simpangan Kuartil) rentang merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil, maka rentang antar kuartil dirumuskan dengan selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil yakni kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1), maka dapat dituliskan dengan: simpangan kuartil = Q3 - Q1 Dengan pemahaman yang sama yakni Dengan menggunakan hasil pada contoh 7.1 maka dapat kita peroleh rentang antar kuartil data tersebut adalah: Simpangan kuartil = 63, 4 - 55, 5 = 7,9 c. Simpangan Rata-Rata Andaikan kita memiliki data x1, x2, x3, ..., xn maka dengan konsep nilai rentang data kita dapat menentukan rentang nilai rata-rata atau simpangan rata-rata sehingga diperoleh urutan data yang baru yaitu: ) x x ( ) ( ) −( x 1 ( ) − − − , x 2 x , x 3 , , x n x Dalam urutan data di atas mungkin ada yang positif dan negatif namun konsep jarak atau rentang tidak membedakan keduanya, untuk itu diambil harga mutlak sehingga diperoleh: − − − − x 1 x , x 2 x , x 3 x , , x n x Dan jika urutan nilai data tersebut dijumlahkan kemudian dibagi dengan banyak data (n) maka akan diperoleh simpangan rata-rata sebagai berikut: 266
Matematika Melatih pemahaman siswa melalui contoh pe- nentuan nilai desil. n ∑ − x i x = i 1 = S R n dengan : SR = Simpangan rata-rata xi = nilai data ke-i x- = nilai rata-rata n = banyak data Formula di atas merupakan simpangan rata-rata untuk data tunggal. Data berdistribusi memiliki nilai frekuensi dalam tiap kelompok atau interval data dan nilai data pengamatan merupakan nilai tengah kelas sehingga untuk data berdistribusi diperoleh simpangan rata-rata yang dituliskan sebagai berikut: n ∑ − f x i i x = i 1 = S R n ∑ f i = i 1 dengan : SR = Simpangan rata-rata xi = nilai tengah kelas ke -i x- = nilai rata-rata fi = frekuensi kelas ke -i Contoh 7.4 Berikan Contoh 7.4 ini kepada siswa untuk melatih kemampuan siswa dalam menggunakan prinsip simpangan rata- yang dari rata diberikan. Dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi sebagai berikut: Tabel 7.12 Distribusi Frekuensi Kelas 38	-	46 Frekuensi 1 data 47	-	55 5 56	-	64 7 267
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Kelas 65	-	73 Frekuensi 12 74	-	82 25 83	-	91 22 92	-	100 8 80 dan rata-rata = 77.21. Tentukanlah simpangan rata-rata dari data di atas! Alternatif Penyelesaian Dengan melengkapi tabel 7.12 agar dapat diperoleh nilai- nilai yang diperlukan, sehingga diperoleh tabel yang baru seperti berikut ini: Tabel 7.13 Distribusi Frekuensi Frekuensi (fi) Titik Tengah (xi) i − x i − x f x x Kelas 35.21 35,21 38 - 46 1 42 26.21 131,05 47 - 55 5 51 17.21 120,47 56 - 64 7 60 8.21 98,52 65 - 73 12 69 0.79 19,75 74 - 82 25 78 9.79 215,38 83 - 91 22 87 18.79 150,32 92 - 100 8 96 Σ fi ǀ xi - ǀ= 639.65 fi = 80 268
Matematika Sehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh: n ∑ − f x i i x 639.65 80 = 1 i = = = , 7 99 S R n ∑ f i = 1 i Jadi, simpangan rata-rata data di atas adalah 7,99 d. Ragam dan Simpangan Baku rata-rata memiliki simpangan kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang berakibat simpangan rata-rata tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dan lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut ahli statistik menggunakan simpangan baku yang menggunakan kuadrat pada rentang datanya, simpangan baku dirumuskan sebagai berikut: Penentuan nilai 2 r ∑1 . n −( x i ) = S f . x B i = 1 i Ragam, atau sering disebut varian merupakan kuadrat dari nilai simpangan baku, data berdistribusi dirumuskan sebagai berikut: 2 r 1 n −( x i ) ∑. 2 B = S f . x i = 1 i dengan: SB : Simpangan baku S2 B : Ragam/varian. fi xi x- n : frekuensi kelas ke-i. : titik tengah interval ke-i. : rata-rata. : ukuran data. 269
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 7.5 Masih dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi sebagai berikut: Titik Tengah (xi) 42 Frekuensi (fi) 2 2 x x x ix ( ix ) f x ( i ) Kelas 38	-	46 1 35,21 1239,74 1239,744 47	-	55 5 51 26,21 686,96 3434,821 56	-	64 7 60 17,21 296,18 2073,289 65	-	73 12 69 8,21 67,40 808,8492 74	-	82 25 78 0,79 0,62 15,6025 83	-	91 22 87 9,79 95,84 2108,57 92	-	100 8 96 18,79 353,06 2824,513 Σ fi ǀ xi - ǀ=12505,38 Σ fi =80 7.5 Berikan Contoh ini kepada siswa untuk melatih kemampuan siswa dalam menggunakan prinsip simpangan baku dan varians data yang diberikan. Sehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh: Ÿ Simpangan baku 2 r ∑1 . n −( x i ) = S f . x B i = 1 i 1 80 Ÿ Ragam atau varian 1 −( ∑. x i n SB = = .12505.39 12.5 2 r ) 2 B = S f . x i = 1 i Untuk semua jenis ukuran penyebaran data ini, tentunya tidaklah sesuatu hal yang sulit untuk menentukan nilainya. Namun, yang penting dari semua adalah memahami makna setiap angka statistik yang diperoleh. 270
Matematika ini Uji kepada diberikan siswa sebagai alat ukur untuk mengetahui apakah siswa memiliki dalam kemampuan materi statistic yang terkait dengan ukuran pemusatan dan penyebaran data. kompetensi Uji Kompetensi 7 1. Perhatikan tabel penjualan 4 jenis mainan anak-anak pada sebuah toko pada periode 5 minggu berturut-turut. Minggu Mainan 1 Mainan 2 Mainan 3 Mainan 4 48 1 50 64 51 2 52 55 34 53 3 35 52 43 32 4 20 12 30 30 5 15 20 25 28 172 187 196 194 Jumlah Dari tabel diatas, Ÿ Gambarkan diagram batang, garis, serta lingkaran pada masing-masing jenis mainan dalam 5 minggu. Ÿ Tentukanlah semua ukuran yang terdapat pada data tersebut! 2. Tentulah nilai mean, median, dan modus pada data penghasilan orang tua siswa di suatu yayasan sekolah swasta berikut ini. Pengahasilan tiap bulan (Rp) Banyak orang tua 1.000.000 - 2.000.000 300 2.000.000 - 3.000.000 590 3.000.000 - 4.000.000 750 4.000.000 - 5.000.000 150 5.000.000 - 10.000.000 70 > 10.000.000 40 3. Suatu pertandingan karate mewajibkan setiap team yang akan masuk babak final harus memperoleh poin rata-rata 205 pada empat kali pertandingan. Pada babak semifinal diperoleh 3 tim dengan data sebagai berikut. 271
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Tim Nilai Setiap Pertandingan 1 2 3 4 I 210 195 200 x II 200 200 195 x III 205 198 218 x Tentukanlah tim yang akan lolos pada babak final jika tim tersebut memperoleh nilai 215 pada pertandingan keempat. 4. Tentukalah nilai a dan b dari tabel distrubusi frekuensi dibawah ini, jika median adalah 413,11 dan ∑ f = 1000 Nilai 200	-	234 Frekuensi 80 235	-	249 9 250	-	274 17 275	-	299 a 300	-	324 88 325	-	349 b 350	-	374 326 475	-	499 5 5. Data berikut mempunyai modus 162. Nilai Frekuensi 140-149 3 150-159 8 x 160-169 170-179 2 Tentukanlah : a. Nilai x b. Mean c. Modus 6. Gaji karyawan suatu pabrik ditampilkan dalam tabel berikut. 272
Matematika Gaji (×Rp 10.000) Frekuensi 66-70 3 71-75 12 76-80 x 81-85 36 86-90 24 91-95 y 96-100 9 a. Tentukan rata-rata gaji jika setiap data mendapat tambahan sebesar Rp50.000,00. b. Jika modus data di atas adalah Rp830.000,00, dan banyak data 120, tentukanlah nilai x - y. 7. Dengan menggunakan tabel yang lengkap pada soal no.5, tentukan: a. Kuartil ke-1 b. Kuartil ke-2 c. Kuartil ke-3 8. Dari grafik histogram di bawah ini, bentuklah tabel tentukan seluruh ukuran realatif dan frekuensi pemusatan data. 9. Dari tabel data di bawah ini tentukanlah : a. Simpangan kuartil b. Simpangan rata-rata c. Simpangan baku 273
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Nilai Frekuensi 40-44 5 45-49 8 50-54 7 55-59 4 60-64 4 65-69 3 70-74 2 75-80 1 10. Suatu penelitian terhadap dua merek baterai mendapatkan hasil pengukuran daya tahan pemakaian yang ditampilkan pada data berikut ini. Nilai statitik Banyak	sampel Jenis 1 100 Jenis 2 80 Rentang 240 120 Kuartil bawah 468 488 Kuartil atas 533 562 Simpangan baku 40 20 Simpangan kuartil 65 74 Rata-rata 500 600 Median 500 500 Berdasarkan data penelitian di atas jelaskan merek baterai mana yang memiliki ukuran penyebaran yang besar! 274
Matematika Berikan tugas projek ini kepada siswa dan berikan batasan waktu tertentu untuk menyelesaikannya. Buat ini tugas projek dalam bentuk kelompok dan pada waktu yang telah ditetapkan minta tiap siswa kelompok mempresentasikannya di kelas. Projek Kumpulkanlah perkembangan data-data ekonomi yang ada di Indonesia, misal data pergerakan nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing (dolar, ringgit, dll). Tabulasi dan gambarkan data tersebut kedalam diagram. Analisislah data tersebut dalam bentuk statistik deskriptif serta presentasikan di depan kelas. D. PENUTUP telah kita uraikan di atas, beberapa konsep perlu kita rangkum guna untuk mengingatkan kamu kembali akan konsep yang nantinnya sangat berguna bagi kamu sebagai berikut. Berdasarkan materi yang Bagian ini merupakan rangkuman statistika yang materi dibahas dalam bab ini. rangkuman Adapun untuk ini siswa mengingatkan tentang kembali konsep prinsip dan ukuran pemusatan dan penyebaran data. penutup 1. Jangkauan Data = Data tertinggi - Data terendah = xmaks - xmin. bertujuan 2. Statistik yang membagi data menjadi empat bagian disebut Kuartil. 3. Statistik terurut memiliki kuartil jika banyak data ≥ 4, sebab kuartil Q1 dan Q2 membagi data menjadi empat kelompok yang sama. 4. Statistik yang membagi data menjadi 10 bagian disebut Desil. 5. Jika banyak data ≥ 10, maka kita dapat membagi data menjadi 10 kelompok yang sama, dengan setiap 1 10 5. Jika banyak data ≥ 10, maka kita dapat membagi data menjadi 10 kelompok yang sama, dengan setiap 1 10 data. Ukuran statistik ini 275
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 6. Mean untuk data berkelompok didefinisikan dengan k ∑ f x i i + + + + + f x 1 1 f x 2 2 + f f x 3 3 + f f x k k + dengan fi = 1 k i = = x f 1 f
∑ k 2 3 f i = 1 i = frekuensi kelas ke-i; xi = nilai tengah kelas ke-i. 7. Mean untuk data berkelompok dengan rumusan rataan k ∑ + = 1 i k ∑ f d i i = sementara didefinisikan dengan x x dengan s f i = 1 i fi = frekuensi kelas ke-i; xi = nilai tengah kelas ke-i. 8. Modus untuk data berkelompok didefinisikan dengan
d 1 + b= + M t o k dengan tb = tepi bawah kelas d 1 d 2 modus; k = panjang kelas; d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya; d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya. 9. Median untuk data berkelompok didefinisikan dengan n 2 9. Median untuk data berkelompok didefinisikan dengan n 2 9. Median untuk data berkelompok didefinisikan dengan n 2 − F + Median = t b f Dengan tb = tepi bawah kelas median; k = panjang kelas; N = banyak data dari statistik terurut = ∑ fi ; F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median; fm = frekuensi kelas median. 276
Matematika 10. Simpangan rata-rata untuk data berkelompok didefinisikan dengan: n ∑ − f x i i x = 1 i = S R n ∑ f i = 1 i 11. Simpangan baku dan varian untuk data berkelompok di-definisikan dengan: 2 r ∑1 . n −( x i ) = S f . x B i = 1 i 2 r 1 n −( x i ) ∑. 2 B = S f . x i = 1 i 277
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ... 278
Bab 8 Kompetensi DasarPengalaman Belajar ATURAN PENCACAHAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya. 3. Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata. Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar: •	Berdiskusi,	bertanya	dalam	menemukan	konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan. Berkolaborasi	memecahkan	masalah	autentik dengan pola interaksi edukatif. .•	Berpikir tinggi	dalam	menyelidiki,	memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik. tingkat 4. Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan. 5. Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/ rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan-alasannya. 6. Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Pencacahan •	Permutasi	•	Kombinasi	•	Kejadian •	Ruang	Sampel •	Titik	Sampel •	Peluang
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Setelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu: 7. Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya. Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar: •	Berdiskusi,	bertanya	dalam	menemukan	konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan. 8.	Mengidentifikasi	masalah	nyata	dan	menerapkan	aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut. Berkolaborasi	memecahkan	masalah	autentik dengan pola interaksi edukatif. 9.	Mengidentifikasi,	menyajikan	model	matematika	dan menentukan Peluang dan harapan suatu kejadian dari masalah kontektual. .•	Berpikir tinggi	dalam	menyelidiki,	memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik. tingkat
Matematika B. PETA KONSEP Masalah Otentik Peluang dapat dihitung melalui dihitung menggunakan Kaidah Pencacahan Unsur Peluang Aturan Perkalian Permutasi Kombinasi Teorema Binomal Ruang Sampel Titik Sampel 281
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Guru memberitahukan informasi dan kompetensi yang akan dicapai dalam pembelajaran. Berikan beberapa ilustrasi terkait materi pencacahan. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Pencacahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) a. Aturan Perkalian Setiap orang pasti pernah dihadapkan dalam permasalahan memilih atau mengambil keputusan. Misalnya: setelah tamat sekolah akan memilih program studi dan di perguruan tinggi yang mana? Ketika berangkat ke sekolah memilih jalur yang mana. Dalam matematika kita dibantu untuk menentukan banyak pilihan yang akan diambil. Untuk lebih memahami cermati masalah dan kegiatan berikut. untuk Minta Masalah memahami 8.1. Setelah itu minta siswa untuk mencoba menyelesaikannya dengan caranya sendiri. siswa Masalah-8.1 Beni,	seorang	siswa	Jurusan	lulusan	dari	SMA	Negeri	1	Tarutung	Tahun	2013	ingin	menjadi	mahasiswa di salah satu perguruan tinggi negeri (PTN)	yang	ada	di	pulau	Sumatera	pada	Tahun	2013.	Ayah	Beni	menyetujui	cita-cita	Beni	asalkan	kuliah	di	Medan.	Di	Medan	terdapat	PTN	dan	juga	memiliki jurusan yang digemari dan yang dipilih oleh Beni,	yaitu	Biologi	atau	Pendidikan	Biologi.	Panitia	SNMPTN	memberikan	kesempatan	kepada	calon	mahasiswa untuk memilih maksimum tiga jurusan di PTN	yang	ada	di	Indonesia.	Bantulah	Beni	untuk	mengetahui	semua	kemungkinan	pilihan	pada	saat	mengikuti	SNMPTN	tahun	2013? IPA Penyelesaian dari adalah ini masalah untuk membentuk prinsip aturan pencacahan yang melibatkan aturan perkalian. Alternatif Penyelesaian Untuk mengetahui semua pilihan yang mungkin, kita harus mengetahui apakah semua PTN di Medan memiliki Jurusan Biologi atau Jurusan Pendidikan Biologi. Ternyata, hanya USU dan Unimed saja yang memiliki pilihan Beni tersebut. USU hanya memiliki Jurusan Biologi, tetapi Unimed memiliki Jurusan Biologi dan Jurusan Pendidikan Biologi. 282
Matematika Sesuai aturan panitia SNMPTN, Beni diberi kesempatan memilih maksimal 3 dan minimal 1 jurusan. Mari kita uraikan pilihan-pilihan yang mungkin. Untuk 3 Pilihan 1. Seandainya Beni memilih 3 pilihan tersebut di satu kota, maka pilihannya adalah: Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Pend. Biologi UNIMED Pilihan 3: Biologi UNIMED Untuk 2 Pilihan 1. Beni hanya boleh memilih 2 jurusan di UNIMED, yaitu: Pilihan 1: Pend. Biologi UNIMED Pilihan 2: Biologi UNIMED 2. Beni juga memilih 1 jurusan di USU dan 1 di UNIMED, yaitu: Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Pend. Biologi UNIMED Ingat!!!! Atau Ada strategi memilih jurusan. Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Biologi UNIMED Untuk 1 Pilihan 1. Beni boleh hanya memilih Biologi USU. 2. Beni boleh hanya memilih Pend. Biologi UNIMED 3. Beni boleh hanya memilih Biologi UNIMED Jadi, banyak cara memilih yang mungkin yang dimiliki Beni sebanyak 7 cara. •	Menurut kamu, seandainya tidak ada strategi memilih Guru memberi penjelasan kepada siswa bagaimana startegi memilih jurusan saat mengikuti pada SNMPTN. Tanyakan kepada siswa beberapa jurusan, berapa cara yang dimiliki Beni? Coba kamu pikirkan, bagaimana pola rumusan untuk menghitung banyak cara yang mungkin untuk Masalah 8.1. 283
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK kemungkinan berapa cara Beni memilih tidak ada strategi memilih jurusan. Alternatif Penyelesaian jurusan berarti peserta Tidak ada strategi memilih SNMPTN bebas memilih jurusan, mungkin satu, dua, atau tiga jurusan. i. Jika peserta SNMPTN memilih 1 jurusan, maka Selanjutnya ajak siswa untuk bersama-sama merumuskan pola yang digunakan untuk banyaknya menentukan cara yang mungkin. Harapan jawaban siswa seperti yang tersaji di .samping ini terdapat: 3 cara. ii. Jika peserta SNMPTN memilih 2 jurusan, maka banyak cara memilih dihitung melalui: (Pilihan 1) × 3 + (Pilihan 2) × 2 = 6 pilihan. iii. Jika peserta SNMPTN memilih tiga jurusan, maka banyak cara memilih dihitung melalui: (Pilihan 1) × 3 + (Pilihan 2) × 2 +(Pilihan 3) × 1 = 6 pilihan Secara umum, jika terdapat n jurusan yang dapat dipilih dan hanya terdapat 3 pilihan, maka banyak cara memilih dihitung dengan aturan: (Pilihan 1) × n + (Pilihan 2) × (n - 1) + (Pilihan 3) × (n - 2) = n × (n - 1) × (n - 2) pilihan Pernahkah kamu mengikuti pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu? Memotivasi siswa dengan lingkungan melibatkan nyatanya yaitu tentang pengurus osis. Mari kita cermati contoh berikut, sebagai masukan jika suatu saat kamu menjadi panitia pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu. Sebagai penerapan atas rumusan pola yang sudah ditemukan pada Masalah 8.1 minta siswa memahami Contoh selanjutnya minta 8.1, perwakilan dari siswa untuk menjelaskannya di depan kelas. Contoh 8.1 Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS? 284
Matematika Jawaban yang diharapkan dari siswa adalah siswa tahu cara untuk menjawabnya yaitu dengan menggunakan cara mendaftar dan cara diagram. Alternatif Penyelesaian Ada beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut. i. Cara Mendaftar Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu: a. Jabatan ketua OSIS Untuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara. Jabatan sekretaris OSIS b. Karena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa. Jabatan bendahara OSIS c. Karena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu kandidat. Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat untuk menjadi pengurus OSIS adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. iI. Cara Diagram Untuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut. Gambar	8.1	Diagram	Pohon	Pemilihan	Ketua	OSIS 285
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK ♦ Misalnya, Abdul merupakan siswa kelas X, Beny dan Cindy dari Kelas XI. Berapa banyak cara memilih pengurus OSIS jika Bendahara OSIS merupakan siswa dari kelas XI. kemungkinan Berikan di seperti siswa samping, minta menyelesaikan untuk permasalahan tersebut. Diharapkan jawaban dari siswa adalah seperti yang tersaji di samping berikut. peristiwa Biasanya di kota-kota besar terdapat banyak jalur alternatif menuju suatu tempat dan jalur ini diperlukan para pengendara untuk menghindari macet atau mengurangi lama waktu perjalanan. Contoh berikut mengajak kita mempelajari banyak cara memilih jalur dari suatu kota ke kota lain. Alternatif Penyelesaian Misalkan, posisi ketua, sekretaris, dan bendahara diilustrasikan sebagai berikut: Ketua Sekretaris Bendahara 1×2×2 = 4 cara 1 kemungkinan 2 kemungkinan 2 kemungkinan Informasikan kepada siswa bahwa kejadian yang ada di lingkungan sangat juga sekitar banyak terkait yang dengan prinsip aturan seperti pencacahan menentukan alternatif jalur perjalanan untuk waktu. menghemat juga Informasikan yang kejadian-kejadian mungkin di kehidupan sehari-hari. Minta memahami 8.2. Biasanya di kota-kota besar terdapat banyak jalur alternatif menuju suatu tempat dan jalur ini diperlukan para pengendara untuk menghindari macet atau mengurangi lama waktu perjalanan. Contoh berikut mengajak kita mempelajari banyak cara memilih jalur dari suatu kota ke kota lain. Contoh 8.2 Dari Kota A menuju Ibukota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar 8.1. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D? dijumpai siswa untuk Contoh siswa Pastikan 286
Matematika memahami tentang soal diberikan. Contoh bertujuan untuk menunjukkan kebergunaan dari tentang aturan prinsip pencacahan yang terjadi dalam kehidupan sehari- hari. yang ini Gambar	8.2	Jalur	dari	Kota	A	ke	Kota	D Alternatif Penyelesaian Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota B Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat dilalui, sedangkan dari kota B terdapat 3 jalur yang dapat dilalui menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 4 × 3 = 12 cara. Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota C Terdapat 3 jalur dari kota A menuju kota C dan 3 jalur dari kota C menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 3 × 3 = 9 cara. Jadi banyak jalur yang dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 12 + 9 = 21 cara. Berikan pertanyaan bagaimana jika yang satu ada menghubungkan kota B ke kota C dan menentukan banyak jalur dari kota A ke kota D. jalur ♦ Seandainya ada satu jalur yang menghubungkan kota B dan kota C, berapa banyak jalur yang dapat dipilih dari kota A menuju kota D? Alternatif Penyelesaian Banyak jalur dari kota A ke kota B = 4 jalur, banyak jalur dari kota B ke kota D = 3 jalur. Jika kota B terhubung dengan kota C (1 jalur), dan banyak jalur dari kota C ke kota D = 3 jalur, maka banyak jalur dari kota A ke kota D melalui kota B kemudian kota C adalah: 287
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK (4 × 1 × 3) + (4 × 3) = 24 cara. Jika dari kota A ke kota D memilih jalur C, maka banyak pilihan jalur adalah: (3 × 1 × 3) + (3 × 3) = 18 cara. Jadi banyak pilihan jalur dari kota A ke kota D adalah sebanyak 42 jalur. untuk Minta Kegiatan melakukan 8.1. Tujuan Kegiatan ini adalah ingin membangun prinsip tentang kaidah pencacahan yang terkait dengan prinsip kombinasi. siswa Kegiatan 8.1 Catatlah baju, celana, dan sepatumu berdasarkan warna, kemudian isilah dalam bentuk tabel berikut ini: Tabel 8.1 Tabel Daftar Warna Pakaian Baju Celana Sepatu siswa Diharapakan dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diberikan setelah siswa selesai melakukan kegiatan tersebut. Putih Hitam Coklat Merah Abu-abu Hitam Biru Coklat Putih Salin dan lengkapi tabel di atas kemudian perhatikan data yang diperoleh dan cobalah menjawab pertanyaan berikut: 1. Jika diasumsikan setiap warna dapat dipasangkan, berapa banyak kemungkinan warna baju dan warna celana yang dapat dipasangkan? 2. Berapakah banyak kemungkinan pakaian lengkap yakni baju, celana, dan sepatu kamu yang dapat dipasangkan? Alternatif Penyelesaian 1. Jika diasumsikan setiap warna pada baju, celana dan sepatu dapat dipasangkan maka dapat ditentukan kemungkinan pasangan yang dihasilkan; yakni: Banyak warna baju × banyak warna celana = Banyak pasangan warna baju dan celana. 288
Matematika 2. Banyak pemasangan baju, celana, dan sepatu untuk tabel di atas adalah: Banyak warna baju × Banyak warna celana × Banyak warna sepatu = Banyak kombinasi warna pakaian. Dalam dunia kerja seorang pemimpin atau karyawan juga pernah dihadapkan dengan bagaimana memilih cara untuk menyusun unsur atau memilih staff. Masalah berikut ini, mengajak kita untuk memahami bagaimana cara kerja pada suatu supermarket. Masalah-8.2 untuk Minta Masalah memahami tentang cara 8.2 yaitu menyusun barang jika barang tersebut memiliki nomor seri. Penyelesaian masalah ini diharapkan siswa memahami proses aturan perkalian yang ingin dibentuk. siswa ingin menyusun Seorang manajer supermarket barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun	nomor	seri	yang	dimulai	dari	nomor	3000	sampai	dengan	8000	dan	tidak	memuat	angka	yang	sama.	Tentukan	banyak	nomor	seri	yang	disusun	dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Alternatif Penyelesaian Mari kita uraikan permasalahan di atas. Ÿ Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi: Ÿ Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan. 289
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ÿ Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin (mengapa?). Ÿ Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin (mengapa?). Ÿ Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?). Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: 5 7 6 5 Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara. Berikan pertanyaan berikut ini untuk melatih siswa dalam menerapkan prinsip yang ditemukan pada penyelesaian Masalah 8.2. Alternatif jawaban diberikan di samping sebagai berikkut. Berkaitan dengan Masalah 8.2, Ÿ Hitunglah banyak cara menyusun nomor seri barang, jika angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 diperbolehkan berulang. Ÿ Seandainya manager supermarket tersebut ingin menyusun nomor seri barang adalah bilangan- bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka. Berapa cara menyusun nomor seri tersebut. Alternatif Penyelesaian 1. Karena nomor seri barang terdiri dari 4 angka, dan boleh berulang maka susunan nomor seri barang hitung dengan aturan: 1 1 1 1 8 × 8 × 8 × 8 = 4.096 cara 8 kemungkinan 8 kemungkinan 8 8 kemungkinan 290
Matematika Jika nomor seri barang tersebut merupakan bilangan ganjil maka susunan nomor seri barang tersebut dihitung dengan aturan: 8 6 4 3 5 × 6 × 7 × 4 = 840 cara 6 kemungkinan 4 kemungkinan 5 7 kemungkinan Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini. Bersama-sama dengan siswa menarik kesimpulan aturan tentang perkalian. Ajak siswa mengumpulkan untuk informasi berdasarkan p e r m a s a l a h a n - permasalahan dan contoh-contoh soal yang diberikan selanjutnya dapat ditarik kesimpulan. Aturan Perkalian : Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan: n1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun n3 = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun : nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek- unsur sebelumnya tersusun Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah: n1 × n2 × n3 × ... × nk. Motivasi siswa dan minta siswa untuk memahami di aturan atas,dan minta siswa untuk menyebutkan kira- kira dalam kehidupan sehari-hari hal apa saja yang dapat digunakan aturan perkalian. perkalian ♦	Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini. Matematika merupakan bahasa simbol. Oleh karena itu, penulisan aturan perkalian di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan faktorial. 291
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Mari kita pelajari dengan teliti materi berikut. menjelaskan Guru bahwa kepada selanjutnya materi mengenai adalah Faktorial. Berikan beberapa contoh tentang faktorial, lalu minta siswa konsep mendefinisikan faktorial. b. Faktorial siswa Pada pembahasan di atas kamu telah melakukan perkalian 3 × 2 × 1 = 6. Coba anda lakukan perkalian berikut: 1) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ... 2) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ... 3) 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ... Perkalian-perkalian semua bilangan bulat positif berurut di atas dalam matematika disebut faktorial, yang biasa disimbolkan dengan "!" Maka perkalian tersebut dapat dituliskan ulang menjadi: 1) 3 × 2 × 1 = 3! 2) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! 3) 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7! 4) 9 × 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 9! Secara umum faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi 8.1 a)	Jika	n bilangan asli maka n! (dibaca "n faktorial") didefinisikan	dengan:
n! = n × n -1 × n - 2 × n - 3 × ... × 3 × 2 ×1 atau n! =1× 2 × 3 × ...× n - 3 × n - 2 × n -1 × n b)	0!	=	1 Berikan beberapa contoh tentang faktorial agar siswa memahami apa yang dimaksud dengan faktorial. Contoh 8.3 1. Hitunglah: 7! 4! a. 7! + 4! b. 7! × 4! c. 292
Matematika Alternatif Penyelesaian a. 7! + 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1) = 5.040 + 24 = 5.064 b. 7! × 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1) = 5.040 × 24 = 120.960 7! 4! 7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 4 × 3 × 2 × 1 c. = = 210 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk faktorial. a. 7 × 6 b. (6!) × 7 × 8 c. n × (n - 1) × (n - 3) Alternatif Penyelesaian 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 a. 7 × 6 = 7 5 ! ! = 7! 5! Maka dapat dituliskan bahwa 7 × 6= . b. (6!) × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! c. Kerjakan secara mandiri n n 4 ! 1 !. n n 5. !. 5 !
14.
4! 120
, tentukanlah nilai 3. Diketahui n, dengan n bilangan asli. Alternatif Penyelesaian n n 4 ! 1 !. 14. n n 5. !. 5 ! n n 4 ! 14. 1 !.
1 !. 4! 120 4! 4 ! 120
⇔ 5. . n n n 5 . n 14 n n 4! 120 ⇔ 5. . 5 293
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 14 ⇔	n n . 5! 120 5 ⇔	n2 - 5n -14 = 0 ∴	n = 7. c. Permutasi 1) Permutasi dengan Unsur yang Berbeda kepada Informasikan bahwa materi siswa adalah selanjutnya mengenai permutasi. Untuk memahami makna dari permutasi, minta siswa untuk memahami Masalah 8.3. Masalah-8.3 Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka dari angka 1, 2,	3,	dan	4.	Tentukan	banyak	pilihan	nomor	antrian	dibuat dari: a.	Tiga	angka	pertama. b. Empat angka yang tersedia. Alternatif Penyelesaian a. Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah: 123 132 Terdapat 6 angka kupon antrian. b. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah: 213 231 312 321 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 243 241 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian. Mari kita cermati bagaimana menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan konsep faktorial. 294
Matematika 1. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3 maka banyak susunan nomor antrian adalah: × × 3 2 1 1 3 ! ! 1 ! 3 −( 3 3 = × × = = = 6 3 2 1 ) ! 2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah: × × × 4 3 2 1 1 4 ! ! 1 ! 4 −( 4 3 2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah: × × × 4 3 2 1 1 4 ! ! 1 ! 4 −( 4 3 2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah: × × × 4 3 2 1 1 4 ! ! 1 ! 4 −( 4 3 2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah: × × × 4 3 2 1 1 4 ! ! 1 ! 4 −( 4 3 24 4 3 2 1 ) ! Demikian selanjutnya jika diteruskan, banyak susunan k angka dari n angka yang disediakan yang dapat dibuat adalah: n ! n k dengan n ≥ k. ! Untuk menguji kebenaran pola rumusan (*), coba kita gunakan untuk memecahkan masalah berikut ini. Untuk kebenaran pola rumusan (*), Minta siswa untuk menyelesaikan masalah berikut ini. (*) Masalah-8.4 8.4 Berikan Masalah siswa, minta kepada siswa untuk memahami masalah tersebut. tahun	Sekolah	SMA	Generasi	Emas,	setiap	mengadakan	acara	pentas	seni.	Biasanya	8	bulan	sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan	diri;	yakni,	Ayu	(A),	Beni	(B),	Charli	(C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana	kita	mengetahui	banyak	cara	memilih	ketua dan sekretaris untuk acara pentas seni sekolah tersebut? Alternatif Penyelesaian Untuk mengetahui banyak susunan pengurus dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain: 295
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a) Dengan cara mendaftar: masalah Penyelesaian siswa menuntut ini lebih memahami untuk tentang banyak susunan k benda dari n benda yang diberikan. Penyelesaian juga dapat menggunakan cara mendaftar seperti yang telah dibahas sebelumnya. Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut: AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED ini Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara. b) Dengan Aturan Perkalian Untuk masalah ini, akan dipilih 2 pengurus dari 5 kandidat yang ada. Dengan menggunakan pola rumusan (*) diperoleh: n = 5 dan k = 2 n 5! ! maka 5 2 ! n k
= 20 cara ! Dengan pembahasan Masalah 8.3 dan 8.4 ditemukan bahwa banyak susunan k unsur berbeda dari n unsur yang tersedia dan memperhatikan urutan susunannya n ! −( n k dapat dirumuskan dengan dikenal dengan "permutasi". . Bentuk susunan ini ) ! Berdasarkan penyelesaian masalah, guru bersama- siswa dengan sama mendefinisikan konsep permutasi seperti yang terdapat pada Definisi 8.2 Definisi 8.2 Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan •	Banyak	permutasi	n unsur ditentukan dengan n kP serta P(n, k) dengan k	≤	n. kP atau n aturan
n nP = n× n 1 × n 2 × L× 3 × 2 ×1 = n!
Banyak	permutasi	unsur	dari	n	unsur	yang tersedia, dapat ditentukan dengan: n! n - k ! n P = k 296
Matematika Pada buku ini, penulisan permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia kita menggunakan: n kP . Sekarang cermati permutasi-permutasi di bawah ini: 10 9! 9! 10! 10 1 ! 10 P 1 1)
10 Diperlukan strategi untuk menyelesaikan perkalian dengan faktorial. 10! 10 9 ! 10! 1! 10 P 9 10! 2) 8! 8 7 ! 8! 1! 8 P 7 8! 3) 45! 45 44 ! 45! 1! 45 P 44 4) 45!
1.000!
1.000 999!
1.000 P 1
5) 1.000 1.000 1 ! 999! 2.014! 2.014! 1! 2.014 P 2.013 6)
2.014!
2.014
2.013 !
1.000!
1.000! 0!
1.000 P 1.000
7) 1.000! 1.000 1.000 ! Dari pembahasan permutasi-permutasi di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini. Sifat 8.1 n! n - k ! n P = k Diketahui , dengan n	≥	k. n! n - k ! n P = k =	n!. 1) Jika	n - k	=	1,	maka n! n - k ! n P = k =	n. 2) Jika	k	=	1,	maka n! n - k ! n P = k =	n!. 3) Jika	n - k	=	0,	maka 297
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Bukti: n ! n k ! n P k
, dengan n ≥ k, dan n - k = 1 1) Diketahui atau n = k + 1. Akibatnya: n ! n k ! ! n ⇔	k n k ! n k 1 ! n n 1! n P k n P k
! ! ! ! n ∴ = n!. n k ! n P k ! n , dengan n ≥ k, maka: n k 2) Diketehui k = 1 dan ! 2) Diketehui k = 1 dan ! n 1 ! n 1 ! n n ! n ! n P ⇔	1 n k ! 1 ! n P k
n n 3) Kerjakan sebagai latihanmu. 2) Permutasi dengan Unsur-Unsur yang Sama untuk Minta memahami Masalah 8.5. dan minta siswa untuk menyelesaikannya dengan caranya sendiri. Jika ada siswa yang sudah memahami tentang penyelesaiannya minta untuk menjelasknnya di depan kelas. Diharapkan dengan diselesaikannya akan masalah prinsip membentuk permutasi unsur-unsur yang sama. siswa Masalah-8.5 Berapa	banyak	susunan	yang	dapat	dibentuk	dari	3	huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA? Alternatif Penyelesaian Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A. ini Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, huruf-huruf yang 298
Matematika sama (huruf A) diberi label A1, dan A2. Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah: A1PA2, A2PA1, A1A2P, A2A1P, PA1A2, PA2A1. Susunan-susunan tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila labelnya dihapuskan. Misalnya: Ÿ Kelompok A1PA2 dan A2PA1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA . Ÿ Kelompok A1A2P, A2A1P , jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP. Ÿ Kelompok PA1A2, PA2A1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA. Dalam tiap-tiap kelompok di atas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur A1 dan A2. Sedangkan A1 dan A2 menjadi unsur-unsur yang sama jika labelnya dihapuskan. Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut. 3! 2!.1! 3 P 3 susunan 2,1 Minta untuk siswa memahami Masalah 8.6. ini memiliki masalah permasalahan yang analogi dengan Masalah 8.5. diharapkan dengan penyelesaian masalah ini maka prinsip tentang permutasi unsur yang sama dapat dipahami siswa dengan baik dan benar. Masalah-8.6 Pada sebuah upacara pembukaan turnamen olah raga disusun beberapa bendera klub yang ikut	bertanding.	Terdapat	3	bendera	berwarna	putih, 2 bendera berwarna biru, dan 1 bendera berwarna	merah.	Tentukanlah	susunan	bendera	yang ditampilkan pada acara upacara pembukaan tersebut! 299
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian Dengan analogi yang sama pada Masalah 8.5 diperoleh: Banyak unsur yang tersedia 6, sedangkan unsur yang sama adalah 1. 3 bendera berwarna putih 2. 2 bendera berwarna biru dan 1warna merah. Oleh karena itu dapat diperoleh banyak permutasi dari 6 unsur yang memuat 3 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama adalah 6! 3!.2!.1! 6 P 3,2,1 susunan Dari pembahasan Masalah 8.5 dan 8.6 , dapat kita rumuskan pola secara umum permutasi n unsur dengan melibatkan sebanyak k1, k2, k3, ..., kn unsur yang sama adalah sebagai berikut. Berdasarkan penyelesaian masalah dan contoh yang sebelumnya, minta siswa untuk memahami prinsip tentang banyak permutasi dari n unsur. Sifat 8.2 Misalkan dari n unsur terdapat k1, k2, k3, ..., kn unsur yang sama dengan k1 + k2 + k3 + ...+ kn	≤	n.	Banyak	permutasi dari unsur tersebut adalah n k k k ! ! 1 2 ! n P , , k k k 1 2 3
,..., k k !... ! n 3 n 8.4 Berikan Contoh untuk kepada dipahami. Contoh ini bertujuan untuk melatih menggunakan siswa prinsip tentang permutasi dari n unsur. Contoh 8.4 siswa Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K? Alternatif Penyelesaian Tersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K. Dari 13 unsur yang 300
Matematika tersedia memuat 4 huruf I yang sama, 2 huruf K yang sama dan 2 huruf T yang sama. Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K adalah sebagai berikut: kK + kO + kG + kN + kI + kT + kV + kS = 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 13. Jadi permutasi yang melibatkan unsur yang sama, dihitung dengan menggunakan Sifat 8.2, diperoleh: ! n k !. 13! 2!.1!.1!.1!.4!.2!.1!.1!
129.729.600 cara. k k !. 1 k !.... ! 2 3 k Sampai sejauh ini, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan susunan unsur baik yang melibatkan unsur yang sama atau tidak. Pernahkan kamu melihat susunan objek- unsur dalam suatu meja berputar? Bagaimana menentukan banyak cara menyusun unsur jika disusun melingkar? Berikut ini, kita akan pelajari permutasi siklis sebagai cara menentukan banyak cara menyusun unsur yang tersusun melingkar. c. Permutasi Siklis Masalah-8.7 Kajian selanjutnya adalah tentang permutasi siklis. Agar siswa dapat memahaminya minta siswa untuk memahami Masalah 8.7. Untuk menyelesaikan masalah ini, minta siswa mencoba- coba kemungkinan cara keempat orang dapat duduk mengelilingi meja bundar. Beny	(B),	Edo	(E),	dan	Lina	(L)	berencana	makan	bersama di sebuah restoran. Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka. Selang beberapa waktu Siti datang bergabung	dengan	mereka.	Berapa	banyak	cara	keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar	tersebut? Alternatif Penyelesaian Meskipun dalam keseharian kita tidak mempersoalkan urutan posisi duduk mengitari suatu meja, tidak ada 301
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK salahnya kita menyelidiki posisi duduk Beny, Edo, Lina, dan Siti yang duduk mengitari meja bundar. Adapun posisi duduk yang mungkin keempat orang tersebut adalah sebagai berikut: Berikut ini merupakan kemungkinan cara duduk yang mungkin terbentuk yaitu sebanyak 6 cara. E S E B L B S E B L S L (c) (a) (b) L S L B B L B S E S E E B e r d a s a r k a n penyelesaian yang telah dilakukan, minta siswa untuk menemukan pola penyelesaian masalah. Jika masih siswa kesulitan mengalami beberapa berikan permasalahan lain siswa dapat sehingga bahwa menyimpulkan permutasi siklis itu adalah (n - 1)!. (f) (d) (e) Gambar 8.3 Susunan posisi tempat duduk Terdapat 6 cara posisi duduk keempat mengitari meja bundar tersebut. Ternyata, pola (n - 1)! Akan menghasilkan banyak cara dengan banyak cara yang diperoleh dengan cara manual, yaitu (4 - 1)! = 3! = 6 cara. Coba temukan susunan posisi duduk Beny, Edo, dan Lina secara manual. Kemudian bandingkan dengan menggunakan pola (n - 1)!. 302
Matematika Masalah-8.8 untuk siswa Minta memahami Masalah 8.8. Penyelesaian masalah ini melibatkan permutasi siklis. Minta siswa untuk menyelesaikan dengan caranya sendiri . Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta	akan	melakukan	rotasi	kepala	cabang	yang	terdapat	di	5	kota	besar,	yaitu	Fahmi	(Jakarta),	Cintha	(Surabaya),	Trisnawati	(Bandung),	Novand	(Medan),	dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah	staff	ahli	tersebut	untuk	menyusun	pilihan	rotasi kepala cabang bank swasta tersebut Alternatif Penyelesaian Misalkan kelima kepala cabang tersebut duduk melingkar, seperti diilustrasikan pada gambar berikut ini. Berikut ini disajikan hanya beberapa kemungkinan rotasi duduknya kepala Diharapkan cabang. memahami dengan siklis permutasi siswa menyelesaikan dapat kemungkinan bahwa rotasi kepala cabang itu adalah 24 cara. S S C C J F T B J F T B R N N R P M P M Pilihan rotasi 1 Posisi kepala cabang sebelum rotasi S S C C J F J F R B R B N T T N P M P M Pilihan rotasi 2 Pilihan rotasi 3 S S R R J F J F C B C B N T N T P P M M Pilihan rotasi 4 Pilihan rotasi 5 Gambar	8.4	Ilustrasi	rotasi	kepala	cabang	bank	swasta 303
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK ♦ Menurut kamu, ada berapakah pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut? Berikan penjelasanmu. Untuk menentukan banyak cara menyusun unsur dalam posisi melingkar, kita dapat menguji validitas pola (n - 1)!. • Jika terdapat 4 unsur, maka banyak susunan adalah Berdasarkan pola (n - 1)! Minta siswa untuk menguji kebenaran dari pola tersebut, misalnya dengan mencoba pola itu atas 5 unsur, 4 unsur, 3 unsur atau beberapa unsur. (4 - 1)! = 3! = 6 cara. Jika terdapat 3 unsur, maka banyak susunan adalah (3 - 1)! = 2! = 2 cara. Jika terdapat 5 unsur, maka banyak susunan adalah (5 - 1)! = 4! = 24 cara. Secara umum, jika terdapat n unsur yang disusun melingkar, maka banyak susunan unsur yang mungkin disebut permutasi siklis, dinyatakan dalam sifat berikut ini. Sifat 8.3 Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar.	Banyak	permutasi	siklis	dari	n unsur tersebut dinyatakan: = n 1 ! siklisP Berikan masalah ini kepada siswa, selanjutnya periksa. ♦ Perhatikan kembali Masalah 8.8, karena alasan keluarga Fahmi dan Trisnawati hanya mau dirotasi jika mereka berdua ditempatkan di pulau yang sama. Berapa pilihan rotasi kepala cabang bank swasta yang mungkin? Kerjakan secara mandiri dan bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu. Alternatif Penyelesaian S C J R T B N F P M 304
Matematika Jika Fahmi di Jakarta dan Trisnawati di Bandung atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Surabaya, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × (1 × 1) × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Jakarta dan Trisnawati di Surabaya atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Bandung, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × (1 × 1) × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Bandung dan Trisnawati di Surabaya atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Jakarta, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × (1 × 1) × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Medan dan Trisnawati di Padang, maka terdapat 3 kemungkinan di Surabaya, 2 kemungkinan di Bandung dan 1 kemungkinan di Jakarta. Akibat diperoleh: 2 × (1 × 1) × 3 × 2 × 1 = 12 cara. Jadi banyak rotasi kepala cabang bank swasta tersebut yang mungkin adalah: 48 cara. 1.4 Kombinasi Cara menyusun unsur dengan memperhatikan urutan telah dikaji pada sub pokok bahasan permutasi. Selanjutnya, dalam percakapan sehari-hari kita mungkin pernah mengatakan "kombinasi warna pakaian kamu sangat tepat" atau tim sepakbola itu merupakan kombinasi pemain- pemain handal". Apakah kamu memahami arti kombinasi dalam kalimat itu? I n f o r m a s i k a n kepada bahwa siswa pembelajaran selanjutnya kombinasi. adalah Dalam hal siswa ini harus memahami bahwa kombinasi itu merupakan susunan tanpa unsur memperhatikan urutan. Untuk menjawabnya, mari kita pelajari makna kombinasi melalui memecahkan masalah-masalah berikut ini. 305
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Masalah-8.9 Minta untuk siswa memahami Masalah 8.9. Dengan diselesaikannya masalah ini diharapkan dapat dikonstruk tentang prinsip kombinasi dengan yang mengamati pola terbentuk. Hasil	seleksi	PASKIBRA	di	Kabupaten	Bantul	tahun	2012,	panitia	harus	memilih	3	PASKIBRA	sebagai	pengibar	bendera	dari	5	PASKIBRA	yang	terlatih,	yaitu	Abdul	(A),	Beny	(B),	Cyndi	(C),	Dayu	(D),	dan	Edo	(E).	3	PASKIBRA	yang	dipilih	dianggap memiliki kemampuan sama, sehingga tidak	perhatikan	lagi	PASKIBRA	yang	membawa	bendera atau penggerek bendera. Berapa	banyak	pilihan	PASKIBRA	yang	dimiliki	panitia	sebagai	pengibar	bendera? Alternatif Penyelesaian Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara manual, sambil memikirkan bagaimana pola rumusan untuk menyelesaikannya. Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai pengibar bendera adalah sebagai berikut: Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo Pilihan 10: Cyndi, Dayu, Edo Terdapat 10 pilihan PASKIBRA sebagai pengibar bendera. Dengan menggunakan faktorial, 10 cara yang ditemukan dapat dijabar sebagai berikut: 306
Matematika 5 4 3 2 1 atau 3! 3 2 1 2 1 5! 2!.3! 5 3
10 10 = (#) ♦ Seandainya terdapat 4 PASKIBRA, berapa banyak cara memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera? Coba kerja dengan cara manual, kemudian coba uji dengan menggunakan pola (#). Selanjutnya pertanyaan ada 4 untuk Paskriba. penyelesaiannya dilihat di samping. beri seandainya Paskibra 3 Alternatif dapat memilih Alternatif Penyelesaian Misal keempat PASKIBRA itu adalah Abdul (A), Beny (B), Cyndi (C), Dayu (D), maka pilihan PASKIBRA pengibar bendera adalah sebagai berikut: • Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi • Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu • Pilihan 3: Abdul, Cyndi, Dayu • Pilihan 4: Badu, Cyndi, Dayu tanyakan Selanjutnya siswa juga jika pembawa bendera semuanya harus perempuan. kepada semua Ada 4 cara memilih pengibar bendera. Dengan menggunakan pola (#), maka diperoleh: 4 3 2 1 1!. 3 2 1 4! 1!.3! 4 3
atau 4 . 3 4 = ini perlu Perlu kita cermati, bahwa susunan kali digarisbawahi bahwa pilihan (Abdul, Badu, Cyndi) sama dengan pilihan (Abdul, Cyndi, Badu) atau (Badu, Abdul, Cyndi) atau (Badu, Cyndi, Abdul) atau (Cyndi, Abdul, Badu) atau (Cyndi, Badu, Abdul). ♦ Jika pembawa bendera harus PASKIBRA perempuan, berapa banyak pilihan pengibar bendera yang mungkin? Coba kerjakan secara mandiri. Alternatif Penyelesaian Dari 5 PASKIBRA tersebut terdapat 5 PASKIBRA perempuan yaitu: Cyndi, Dayu. Jika diharuskan perempuan menjadi pembawa bendera,maka banyak pilihan pengibar bendera dirumuskan dengan aturan berikut: 307
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Edo Dayu Abdul 3 × 2 × 2 = 12	cara 2 pilihan 3 pilihan 2 pilihan Masalah-8.10 Berikan Masalah 8.10 kepada siswa, minta memahami siswa masalah yang diberikan. penyelesaian Dengan ini dari permasalahan diharapkan siswa dapat mengkonstruk konsep kombinasi. Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda campuran. Berapa	banyak	pasangan	yang	dapat	dipilih	oleh	tim	pelatih? Alternatif Penyelesaian Mari kita selesaikan masalah ini dengan menggunakan cara manual. Untuk memilih 1 pasangan ganda campuran berarti memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan memilih 1 atlit laki-laki dari 4 atlit laki-laki. Misalkan tiga atlit wanita kita beri inisial: AW1, AW2, AW3; dan 4 atlit laki-laki kita beri inisial: AL1, AL2, AL3, AL4. Dengan menggunakan metode diagram, banyak pilihan 1 pasangan ganda campuran dinyatakan sebagai berikut: AL1 AL2 AW1 AL3 AL4 AL1 Terdapat 12 pasangan ganda campuran yang dapat dipilih. AL2 AW2 AL3 AL4 AL1 AL2 AW3 AL3 AL4 Gambar 85 Diagram pohon pilihan pasangan ganda campuran 308
Matematika Dengan menggunakan faktorial, mari kita mencoba menentukan jabarkan 12 cara dengan menerapakan pola (#).
3 1 4 1 3! 1!.2! 4! 1!.3!
1! 1! 12 = 3 × 4 = Dari pembahasan Masalah 8.9 dan 8.10, memilih k unsur dari n unsur tanpa memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi. Kombinasi k unsur dari n unsur yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 8.3 Berdasarkan penyelesaian beberapa permasalahan bersama-sama dengan siswa membentuk konsep kombinasi k unsur dari n unsur. n kC ; Kombinasi k unsur dari n unsur biasa dituliskan n r kC ; C(n, k) atau n Banyak	kombinasi	k unsur dari n unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan: n! n - k !.k! n C = k , dengan n	≥	k, n, k merupakan bilangan asli. Untuk keseragaman notasi, pada buku ini kita sepakati kC untuk menyatakan kombinasi k menggunakan simbol unsur dari n unsur yang tersedia. n Perhatikan perhitungan kombinasi di bawah ini. 6 5! 1!.5! 6! 6 5 !.5! 6 C 5
6 1) 26 25! 1!.25! 26! 26 25 !.25! 26 25
C 26 2) 9 8! 8!.1! 9! 9 1 !.1! 9 C 1
8 3)
309
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2000 1999! 1!.1999! 2000! 2000 1999 !.1999! 2000 1999
C 2000
4)
100! 100 100 !.100! 100! 0!.100! 100 C 100
1 5)
Agar siswa dapat melatih kemampuan dalam memahami konsep yang telah dibentuk, minta siswa untuk mengamati contoh yang diberikan. Contoh 8.5 n kC . n Selidiki hubungan kP dengan Alternatif Penyelesaian n ! n k ! . n P k n ! n k Pada Definisi 8.2 . Sedangkan berdasarkan n k
C Definisi 8.3 k !. ! Dari kedua definisi tersebut, dipereoleh hubungan: n P . k ! k n k C n n kC ♦ Secara hitungan matematis, hubungan kP dengan n P k k ! n k . Jelaskan arti hubungan tersebut adalah C secara deskriptif. Dari pembahasan komputasi dan Contoh 8.5 di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini. 310
Matematika Sifat 8.4 n! n - k !.k! n C = k Diketahui , dengan n	≥	k. n! n - k !.k! n C = k =	n. 1)	Jika	n	- k	=	1,	maka n! n - k !.k! n C = k =	n. 2)	Jika	k	=	1,	maka n! n - k !.k! n C = k =1. 3)	Jika	n	=	k,	maka n P k k! n! n - k ! n P = k n C = k , maka . 4)	Jika Bukti: n ! n k n k
C 1) Diketahui k !. ! atau n = k + 1, maka: , dengan n ≥ k, dan n - k = 1 k 1 ! k 1 ! !. ! 1 k k k k k k !. ! 1 1 ! k k k k 1 = 1 !. ! k k 1 !. ! n ! k n k !. ! ! 1 . k n n k . 1 n k
C = k 1 ! k k !. ! 1 k k 1 k 1 !. ! 2) Karena k = 1, dan !
n . 1 =
k n ! k n k !. ! n k
, dengan n ≥ k, C maka: n n 1 ! n 1 !. 1 ! n ! k n k !. ! n ! n 1 !.1! n k n C 1
n . C 3) Kerjakan sebagai latihanmu. 1.5 Binomial Newton kepada Informasikan siswa bahwa materi selanjutnya yang akan dibahas adalah Binomial Kamu telah mempelajari tentang kombinasi sebagai bagian dari aturan pencacahan. Dengan menggunakan konsep kombinasi dapat juga kita kembangkan pada bahasan binomial. Perhatikan perpangkatan berikut ini. 311
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikan Newton. bilangan penjumlahan lalu pangkatkan mulai dari pangkat nol, satu, tiga, pangkat tertentu lalu minta siswa menemukan pola dari hasil penjabaran bilangan berpangkat itu. 0 1 a b a a b 1 a b a b a b 1 b 1 2 sampai 2 2 b 2 1 a 1 a b a b a b a b a 1 2 b a b a 1 3 1 ab 3 2
2 2 ab b 1 2 3 2 3 ab 3 4 3 a b a b a b a b a 1 3 a b a 4 1 6
3 2 a b 3 2 3 b ab 1 3 4 2 2 a b 3 3 b ab 1 4 Bagaimana untuk penjabaran pada perpangkatan yang lebih tinggi? Untuk itu perhatikan langkah berikut. Dengan menggunakan sifat distribusi penjabaran dari (a + b)4 adalah: ) ×( a + ×( b ) 4 3 a b 2 2 a b 3 3 + + + + a 1 ab b 1 4 6 4 5 4 a b 4bb 3 2 a b 3 2 a b 2 3 a b 2 3 a b 4 + + + 1 a 4 6 4 ab + 4 5 + + + + 4 6 4 ab 1 b 1 a 5 4 a b 3 2 a b 2 3 a b 4 5 + + + + + 1 a 5 10 10 5 ab 1 b Sehingga diperoleh (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5. Koefisien-koefisien penjabaran di atas jika disusun dalam bentuk diagram dapat menghasilkan gambar di bawah ini: 1 Berdasarkan pola yang ditemukan bantulah siswa untuk membentuk bilangan diagaram ini seperti di samping yanng dinamakan segitga Pascal. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Diagram di atas dikenal dengan sebutan segitiga Pascal 312
Matematika Sekarang amati pola segitiga Pascal. Dengan menggunakan rC dapat dikaitkan dengan pola segitiga konsep kombinasi Pascal di atas yakni: n 0 C 0 1 C 0 1 C 1 2 C 0 2 CC 2 3 = CC 0 3 3 4 0 4 4 5 0 5 C 5 = = = = = = C = C = = = 1 2 C 1 = 2 3 = C C 1 3 2 dan seterusnya = 33 sehingga dengan menggunakan konsep kombinasi maka dapat diperoleh pola segitiga Pascal yang baru, yakni: Dari uraian di atas maka penjabaran perpangkatan dapat kita tuliskan kembali dalam bentuk kombinasi yaitu 0 +( a b +( a b +( a b +( a b +( a b +( a b ) = ) = ) = ) = ) = ) = 0 C 0 1 1 + C a C b 1 1 0 2 2 C a 0 2 2 2 + C ab C b 2 2 1 + 3 3 C 00 2 a C a b C ab 3 3 1 3 2 2 3 3 C b 3 + + + 4 4 C a 0 4 2 2 + C a b C a b 4 1 3 4 2 4 C ab 3 33 4 3 C b 4 + + + 5 5 C a 0 5 3 2 + C a b C a b 5 1 4 5 2 5 3 2 3 5 4 4 5 5 C b 5 + + + C a b C ab + 313
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dengan pola di atas, dikenal sebagai aturan Binomial Newton (ekspansi binomial) dan bentuk umum (a + b)n dituliskan sebagai berikut: Berdasarkan pola yang dengan dan dibentuk bantuan guru maka minta siswa untuk membentuk suatu aturan yang disebut dengan Aturan Binomial Newton. Aturan Binomial Newton +( a b atau n ) = − − 1 1 1 n C a b n n C b n n C a 0 n n 1 n C ab − 1 n n + + + +
n n +( a b ) = ∑ − rr r n C a r n b = r 0 n,	r	merupakan bilangan asli. untuk Minta Contoh memahami ini 8.6. latihan merupakan untuk meningkatkan kemampuan siswa dalam aturan menggunakan Binomial Newton danlam permasalahan. siswa Contoh 8.6 contoh Jabarkan bentuk binomial berikut ini: 1. (2a - 5)3 = 2. (a + b)5 = 3. (3a + 2b)4 = 5 2 a a 4. 14 1 2a a 5. Diketahui binomial . Jabarkanlah 3 suku pertama dan dua suku terakhir. 6. Tentukanlah koefisien dari pada bentuk binomial 12 6. Tentukanlah koefisien dari pada bentuk binomial 12 2 . 314
Matematika Alternatif Penyelesaian 1. Dari soal di atas diketahui a = 2a dan b = 5 maka 3 3 2 1 0 ( ) = ( ) 3 + 5 C 1 + ( )11 3 4 + + ) ( 1 2 a 5 ) + ( 5 3 2 + ) 2 5 a + ( ) 25 1 1 125 ( ( ) 3 C 0 = ( 2 8 0 3 2 2 3 C 3 3 5 − + + 2 a 5 2 a C ) 2 a 3 2 a a a 3 ( ) = 3 2 − a a a a 2 5 16 60 150 125 2. 6 +( a b ) = − − − − 6 0 6 C a b 0 6aa + C b C a 5 5 1 6 a b a 1 1 6 5 6 a b 6 1 1 C a b C a 6 1 6 2 6 2 2 b 6 C a 3 6 3 3 6 4 6 4 4 b + + + + b C a + − − 6 5 5 6 6 + 6 6 6 b 4 4 a b 4 4 a b + 00 6 b a 1 3 3 a b 3 3 a b 2 4 a b 2 4 a b 1 5 a b 6 = + + + + 15 20 15 6 6 = + + + + + + a 6 15 20 15 6 ab b 3. Cermati ekpansi di bawah ini. − 4 1 − 4 2 − 4 3 4 4 ) ( 3 a b ( ) 4 CC a b 4 = ( ) + ( 1 81 1 4 3 a + ( = a 881 4 81 + 324 ( ) = ( ) ( ) ( ) 4 C a 3 4 C 0 0 4 C 1 1 + b C 4 2 2 3 + + + + a 3 b 2 a 3 a 3 b b − 4 4 4 3 ) 1 a b ) + ( 6 9 2 2 + 54 a b 2 ) a b 1 ) a b 0 ) a b + ( 6 3 ) 2 a b + 12 + ( 4 3 ) a b 4+ b + ( 1 3 4 2 3 4 + ( 4 3 4 3 a b 2 3 4 + b 1 3 4 3 a b = a 81 bb a ♦ Sebagai latihan untuk mengasah kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal binomial newton, kerjakan secara mandiri soal nomor 4, 5, dan 6. Alternatif Penyelesaian 1. 5 2 a 0 2 a 4 2 a 1 2 a 5 2 . a 2 2 a 3 2 a 5 4 3 2 . . . . 5 C a 0 5 C a 1 5 C a 2 5 C a 3
a 1 0 . . 5 C a 4 5 C a 5 315
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 8 10 3 a 5 10
2 a 4 2 a 5 4 3 2 1 1 a a a a = 5
16 32 5 4 a a a 1 1 1 a
32 1 3 5 a a 5 3
a 10 a 40 a 80 = 5. Tiga suku pertama dan dua suku terakhir dari ekspansi 14 5. Tiga suku pertama dan dua suku terakhir dari ekspansi 14 adalah: 0 1 a 14 a 2 14 C 0
→ suku pertama. 1 1 a 13 a 2 14 C 1 → suku kedua.
2 1 a 12 a 2 → suku ketiga. 14 2
C 14 1 a 0 a 2 → suku terakhir. 14 14
C 13 1 a 1 a 2 14 13 → suku sebelum suku terakhir. C 6. Agar diperoleh a6, hanya dipenuhi pada saat 6 . Koefisien a6 hitung dari perkalian berikut ini. 2a dan 6 2 a 6 a 6 2 a 6. Agar diperoleh a6, hanya dipenuhi pada saat 6 . Koefisien a6 hitung dari perkalian berikut ini. 2a dan 6 2 a 6 a 6 2 a 6. Agar diperoleh a6, hanya dipenuhi pada saat 6 . Koefisien a6 hitung dari perkalian berikut ini. 2a dan 6 2 a 6 a 6 2 a 6 a 6 924 2 1848 a Jadi koefisien a6 adalah 1.848. 316
Matematika Uji Kompetensi 8.1 Uji ini Kompetensi bertujuan untuk mengukur tingkat kemampuan siswa dan terhadap konsep aturan perkalian, permutasi, kombinasi, dan Binomial Newton. Uji kompetensi ini dapat juga dijadikan sebagai tugas di rumah. 1. Seorang staff ahli di suatu POLDA mendapat tugas untuk menyusun nomor pada plat kendaraan roda empat yang terdiri 3 angka dan 4 angka. Staff tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk plat yang terdiri dari 3 angka dan angka 0 sampai 9 untuk plat yang terdiri 4 angka. a) Berapa cara menyusun plat kendaraan yang terdiri dari 3 angka dan 4 angka? b) Jika nomor-nomor plat tersebut akan dilengkapi dengan seri yang terdiri dari dua huruf vokal. Berapa banyak susunan seri plat yang mungkin? prinsip 2. Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Rangkailah bilangan yang terdiri dari 5 angka yang berbeda dengan syarat: a) Bilangan ganjil b) Bilangan genap 3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut. × 89 38 ! ! × 86 41 ! ! 4. Tentukan nilai dari: 5. Sederhanakanlah persamaan berikut: ! n )1 !−( n a. +( n )2 ! ! b. n +( n −( n ) 1 ) 1 ! c. ! 317
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 6. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris? 7. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris? 8. Tentukan banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola voli yang terdiri dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak bisa bermain karena cedera! 9. Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 anak laki- laki dan 2 anak perempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak? 10. Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Hitunglah banyak cara memilih delegasi tersebut. 11. Seminar Matematika dihadiri oleh 20 orang. Pada saat bertemu mereka saling berjabat tangan satu dengan yang lain. Berapakah jabat tangan yang terjadi? 12. Perhatikan gambar berikut. Jika suatu segitiga dibentuk dengan menggunakan 3 titik. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk. 13. Tentukanlah banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf: a. MATEMATIKA b. PENDIDIKAN c. TRIGONOMETRI d. MALAKA 318
Matematika 11. Jabarkanlah bentuk binomial berikut ini: 6
c. 2 b 2 a. (2a + 3b)8 + a 8
d. 2 a 3 1 b 3 b. (4a + 2b)10 + Projek Berikan tugas projek ini sebagai tugas tambahan yang dikerjakan secara berkelompok. Rancang suatu permainan yang menggunakan konsep aturan pencacahan. Sebelum kamu susun laporan projek lakukan simulasi sebagai uji validitas penggunaan konsep. ini, terlebih dahulu 2. PELUANG Kamu sudah mempelajari konsep peluang pada Bab 12 Buku Matematika kelas X. Dengan pengalaman belajar itu, kita akan mengembangkan konsep peluang dengan memperhatikan banyak cara semua kejadian mungkin terjadi dan banyak cara suatu kejadian mungkin terjadi. Dengan demikian, pada sub bab ini, kita akan mendalami bagaimana menentukan banyak anggota ruang sampel kejadian dengan menggunakan konsep aturan pencacahan. kepada Informasikan bahwa materi siswa yang dibahas akan adalah peluang dengan melibatkan. Mari kita mulai sub bab ini dengan mengkaji ruang sampel suatu kejadian. Informasikan kepada siswa bahwa pembahasan tentang ruang konsep sampel pada waktu SMP akan dibahas kembali dengan melibatkan aturan pencacahan yang telah dipelajari. 2.1 Konsep Ruang Sampel Masih ingatkah kamu konsep himpunan yang kamu pelajari di kelas VII SMP? Pada sub bab ini, kita ingin membangun konsep ruang sampel dengan menggunakan konsep aturan pencacahan melalui konsep himpunan bagian. 319
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Mari kita cermati pembahasan di bawah ini. Diberikan S = {p, r, s, t} n(S) = 4. Tentu kamu masih ingat bagaimana cara menentukan himpunan bagian dari S. Semua himpunan bagian S disajikan di tabel berikut ini. Tabel 8.2: Himpunan bagian S dengan tidak memperhatikan urutan Himpunan Bagian Beranggota 2 Kejadian 0 ∅ 1 3 4 {p}, {r}, {s}, {t} {p,r}, {p,s}, {p,t}, {r,s}, {r,t}, {s,t} {p,r,s}, {p,r,t}, {p,s,t} {r,s,t} {p,	r,	s,	t} Total 1 4 6 4 1 16 2n 4 0C 4 1C 4 2C 4 3C 4 4C Perhatikan angka-angka; 1, 4, 6, 4, 1 merupakan koefisien binomial untuk ekspansi (a + b)4, yang dapat ditentukan berturut-turut melalui 4 4C . Dari tabel di atas, dapat diartikan bahwa banyak kejadian munculnya 2 anggota himpunan bagian dari S adalah 2C = 6. Banyak semua himpunan bagian dari himpunan S = 24 = 16. Himpunan kuasa S adalah koleksi semua himpunan bagian S (Ingat kembali konsep himpunan kuasa seperti yang telah kamu pelajari pada kelas VII SMP). Jadi 16 adalah banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian S. 4 0C , 4 4 4 1C , 2C , 3C , dan 4 jika kita memperhatikan urutan anggota. Kondisi ini disajikan pada tabel berikut ini. Selanjutnya Tabel 8.2 akan berubah 320
Matematika Tabel 8.3: Himpunan bagian S dengan memperhatikan urutan Himpunan Bagian Beranggota 2 Kejadian 0 ∅ 1 3 4 {p}, {r}, {s}, {t} {p,r},{r,p} {p,s},{s,p} {p,t},{t,p} {r,s},{s,r} {r,t},{t,r} {s,t},{t,s} {p,r,s}, {p,s,r}, ... {p,r,t}, {p,t,r}, ... {p,s,t}, {p,s,t}, ... {p,	r,	s,	t}, {p,	r,	t,	s}, {p,	s,	r,	t}, ... {r,s,t}, {r,t,s}, ... Total 1 4 6 24 24 65 4 0P 4 1P 4 2P 4 3P 4 4P Pada kasus memperhatikan urutan anggota, konsep kombinasi yang digunakan pada Tabel 8.2 berubah menjadi konsep permutasi. Analog dengan kombinasi, banyak anggota kejadian munculnya himpunan bagian S beranggota dua (dengan memperhatikan urutan) adalah 2P = 12. Sedangkan 65 merupakan banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian dengan memperhatikan urutan anggotanya. 4 Tentunya sudah punya gambaran tentang penerapan konsep permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak kejadian muncul pada suatu percobaan. Berikut ini seorang ibu memiliki kesempatan memilih, mari kita selidiki apakah masalah tersebut menggunakan konsep permutasi atau kombinasi. 321
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK untuk Minta Masalah memahami 8.11 dan masalah ini bertujuan untuk melatih siswa dalam menentukan sampel dengan ruang melibatkan kombinasi. siswa Masalah-8.11 Pada suatu tempat penitipan anak berusia 3 - 6 tahun menyediakan makanan dan minimum bergizi yang	bervariasi.	Bu	Sity,	karena	alasan	jam	kerja	memilih menitipkan anaknya di tempat penitipan ini.	Dari	semua	variasi	makanan	dan	minimum,	Bu	Sity harus memilih 2 jenis buah dari 4 jenis buah yang disediakan dan memilih 4 makanan dari 6 jenis makanan yang disediakan. Berapa	banyak	pilihan	yang	dimiliki	oleh	Bu	Sity?	Diasumsikan setiap anak makan juga harus makan buah. Alternatif Penyelesaian Diketahui: Tersedia 4 jenis buah dan akan dipilih 2 jenis buah. Tersedia 6 jenis makanan dan akan dipilih 4 jenis makanan. Setiap si anak makan harus makan bauh. Ditanya: Banyak pilihan jenis susu dan jenis makanan. Untuk kasus ini, misalnya Bu Sity memilih jenis buah 1 (b1) dan jenis buah 2 (b2) sama saja dengan memilih b2 dan b1. Demikian juga makanan, jika Bu Sity makanan 1 (m1) dan makanan 3 (m3) sama saja dengan memilih m3 dan m1(mengapa?). Dengan demikian kita menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan banyak pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity. Karena setiap makan anak Bu Sity juga harus makan bauh, maka banyak kombinasi pilihan makanan dan minuman dinyatakan sebagai berikut: 4 2 6 4 C C pilihan. 6 15 90 322
Matematika ♦ Menurut kamu, apa alasannya mengapa kita menggunakan operasi perkalian? Mengapa bukan operasi penjumlahan? Berikan alasanmu serta berikan contoh yang menggunakan operasi penjumlahan. Contoh 8.7 penguatan Sebagai terhadap penguasaan siswa dalam menentukan sampel dengan ruang kombinasi melibatkan berikan 8.7 berikut. Bu Jein Mumu, seorang guru matematika di Ambon. Suatu ketika dia ingin memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap di atas rata- rata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika berbentuk essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumu hanya meminta si anak mengerjakan 10 soal, tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15. contoh Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu? Alternatif Penyelesaian Siswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan kombinasi (beri alasannya), yaitu: 12 11 10 9 8 7! 7! 12! 12 7 !.7! 12 C 7 cara.
729 5 4 3 2 1 Contoh 8.8 untuk siswa Minta memahami Contoh 8.8 contoh ini bertujuan untuk melatih dalam siswa menentukan ruang sampel dengan melibatkan permutasi. Toko perhiasan yang berlokasi pusat perbelanjaan menerima 5 jenis cincin keluaran terbaru, misalkan C1, C2, C3, C4, dan C5. Tidak lama setelah toko itu buka, 4 wanita berminat mencoba kelima cincin itu. Berapakah banyak cara pemasangan cincin tersebut? 323
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian Untuk menyelesaikan ini, kita menggunakan aturan kaidah pencahahan. Semua kemungkinan pemasangan cincin dengan keempat wanita tersebut, diilustrasikan sebagai berikut: C1 C2 C1 C2 C3 C3 W2 W1 C4 C4 C5 C5 10 cara 10 cara C1 C2 C1 C2 C3 C3 W3 W4 C4 C4 C5 C5 Gambar 8.6 Diagram pemasangan cincin Dengan menggunakan permutasi pemasangan cincin ditentukan sebagai berikut: 4! 5! 4 1 ! 5 4 ! 5 P 1 4 P 1
5 4 20 cara. ♦ Jelaskan mengapa perhitungan permutasi di atas menggunakan operasi perkalian! Seandainya setiap dua wanita pertama ingin membeli masing-masing 1 cincin. Banyak pilihan cincin untuk kedua wanita itu dihitung dengan permutasi, yaitu: 5 P 5 4 20 1 skema pencacahan). 4 1 P cara (selidiki dengan menggambarkan Dari pembahasan kajian, masalah-masalah, dan contoh- contoh di atas perlu kita tarik kesimpulan penggunaan permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak 324
Matematika susunan/cara dalam memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Kesimpulan itu dinyatakan dalam prinsip berikut ini. Prinsip-8.1 beberapa Berdasarkan penyelesaian yang sudah diselesaikan ajak siswa untuk menentukan cara memilih melalui prinsip Permutasi dan Kombinasi. Misalkan dipilih k unsur dari n unsur (secara acak) yang tersedia, dengan n	≥	k, i. Jika	ada	urutan	dalam	pemilihan	k	unsur,	maka	menentukan banyak cara pemilihan ditentukan n kP . dengan ii.	Jika	tidak	urutan	dalam	pemilihan	k unsur, maka menentukan banyak cara pemilihan ditentukan n kC . dengan Contoh 8.9 Berikan contoh berikut sebagai pemantapan bagi siswa dalam memahami tentang penggunaan prinsip kombinasi. Dalam sebuah kantong berisi 8 manik putih dan 5 manik merah. Dari kantong itu diambil 6 buah manik. Berapa banyak pilihan untuk mengambil manik-manik itu, jika 6 buah manik itu terdiri atas: a) 5 manik putih dan 1 manik merah? b) 4 manik merah dan 2 manik putih? Alternatif Penyelesaian Objek yang akan diambil dari kantong adalah objek yang tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian, menentukan banyak pilihan menggunakan konsep kombinasi, yaitu: 8! C C cara. 3!.5! 4!.1! 5! 8 5 5 1 280 a) 8! 5! 8 4 5 2 C C cara. 4!.4! 2!.3! b) 700 325
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2.2 Peluang Kejadian Majemuk Masih ingatkah kamu konsep peluang yang telah kamu pelajari pada kelas X SMA? Definisi 12.3 pada buku matematika kelas X menyatakan: n E n S
P E Pada kelas X, kamu sudah mempelajari bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk kejadian tunggal. Pada Sub bab 2.1 di atas, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk suatu kejadian majemuk. Sekarang kita akan mempelajari menentukan peluang suatu kejadian dengan kejadian yang dimaksud adalah kejadian majemuk. Mari kita mulai sub bab ini, dengan memecahkan masalah berikut ini. Berikan Masalah 8.12 kepada siswa. Minta siswa untuk memahami masalah tersebut, lalu minta perwakilan siswa untuk menjelaskan penyelesaian terhadap masalah yang diberikan. siswa mengalami kesulitan ingatkan kembali siswa dan tentang prinsip yang melibatkan kombinasi. Masalah-8.12 Dalam	sebuah	kolam	kecil	terdapat	sebanyak	10	ikan lele dan sebanyak 5 ikan gurame. Dengan menggunakan jaring tangan, akan diambil 12 ikan secara acak. Hitunglah nilai peluangnya jika yang terambil itu adalah: a)	10	ikan	lele	dan	2	ikan	gurame, b) 9 ikan lele dan 3 ikan gurame, c) 7 ikan lele dan 5 ikan gurame. Jika konsep peluang Alternatif Penyelesaian Jelas untuk kasus ini, banyak cara memilih 12 ikan dari 15 ikan yang ada dihitung dengan menggunakan kombinasi, 15 14 13 12! 3 2 1 .12! 15! 3!.12! 15 12
C 455 yaitu: cara. Artinya banyak anggota ruang sampel memilih 12 ikan dari 15 ikan adalah 455. 326
Matematika a) Banyak cara memilih 10 ikan lele dari 10 ikan lele dan memilih 2 ikan gurame dari 5 ikan gurame, dihitung menggunakan konsep kombinasi, yaitu: 10 10 5 2 C 1 × 10 = 10 cara. C Artinya banyak kejadian terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah 10 cara. Jadi, peluang terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah: n E n S 10 2 P E
⇔ 455 91 10 n E C 9 n S 5 C 3 15 12 10 10 455 20 91 b) P E
C n E n S 10 C 7 5 C 5 15 12 24 91 120 455 c) P E C Uji Kompetensi 8.2 Berikan soal-soal yang terdapat Uji Kompetensi 8.2 kepada siswa untuk mengukur tingkat penguasaan siswa dan terhadap konsep yang prinsip peluang melibatkan permutasi dan kombinasi. pada 1. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah: a) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut. b) Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama. c) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya. d) Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling sedikit terambil 2. 327
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda. Tentukanlah: a) Banyak bilangan yang dapat dibentuk. b) Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000. c) Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima. Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750. d) e) Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari angka di posisi satuan. 3. Tentukan banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata: a) ATURAN b) c) KURIKULUM d) STATISTIKA INDONESIA 4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata PERMUTASI dengan selalu mengandung unsur kata TAMU. 5. Sepuluh buku yaitu: 6 buku IPA, 2 buku IPS, dan 2 buku Bahasa akan disusun di atas meja. Tentukanlah: a) Banyak susunan jika disusun berjajar. b) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan. c) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPA selalu berada di pinggir. d) Banyak susunan jika disusun secara siklis. e) Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan. 328
Matematika 6. Bayu pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 5 pintu masuk/keluar maka tentukan banyak cara Bayu memilih masuk ke stadion dengan dan keluar melalui pintu yang berbeda. 7. Dua orang pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 6 pintu masuk/keluar maka: a. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda. b. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk. 8. Didalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang sama dan berbeda warna, yaitu 6 bola berwarna Merah, 4 bola berwarna Biru, dan 2 berwarna hijau. Jika, seorang anak mengambil 3 bola secara acak maka tentukan: Peluang pengambilan ketiga bola tersebut a. Peluang terambil 2 bola berwarna merah b. Peluang terambil ketiga bola berbeda warna c. Peluang terambil banyak bola berwarna merah d. selalu lebih banyak dari bola lainnya. Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau. e. 9. Di dalam kandang terdapat 40 ekor ayam, yaitu 18 ekor ayam jantan, 6 diantaranya berbulu tidak hitam dan 21 ekor ayam berwarna hitam. Ibu memilih 2 ekor ayam untuk dipotong, maka tentukanlah peluang bahwa ayam yang terpilih untuk dipotong adalah ayam betina berbulu tidak hitam. 329
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 10. Siti menyusun bilangan ratusan dari angka 0, 1, 2, 3, dan 5. Siti menuliskan setiap bilangan di kertas dan menggulungnya dan mengumpulkannya di dalam sebuak kotak. Siti meminta Udin mengambil sebuah gulungan secara acak. Tentukanlah: a. b. c. Peluang yang terambil adalah bilangan 123. Peluang yang terambil adalah bilangan ganjil Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah bilangan prima. Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321 d. 11. Dua puluh lima titik disusun membentuk pola bilangan persegi (5 5), seperi gambar Jika dibentuk segitiga dengan menghubungkan tiga titik maka tentukan banyak segitiga yang dapat dibentuk. 12. Didalam kelas terdapat 10 siswa (6 pria dan 4 wanita) sebagai calon pengurus OSIS, yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan peluang terpilih kepengurusan dengan: a. Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak menduduki salah satu posisi. b. Ketua dan sekretaris harus pria c. Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanita d. Ketua harus seorang pria. n C 1 13. Tunjukkan bahwa n C 0 n n C 3 n 2 n n C ... C 2 dengan n bilangan bulat positif. 330
Matematika n kC 5 n 22 3 n kP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan 14. Jika nC adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka nP 3 n maka tentukan nilai 5 n n kC 15. Jika kP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi n P 2 n C 1 n n P 2 n 3 n n P 3 n penutup D. PENUTUP konsep Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep aturan pencacahan, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut. 1. Aturan pencacahan merupakan metode untuk menentukan banyak cara/susunan/pilihan pada saat memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Aturan pencacahan ini meliputi perkalian berurut (faktorial), permutasi, dan kombinasi. 2. Faktorial dinyatakan dengan n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1. 3. Permutasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dalam satu urutan. Terdapat tiga jenis unsur permutasi yakni 1. Permutasi dengan unsur-unsur yang berbeda, 2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan 3. Permutasi siklis. Secara umum banyak permutasi dinyatakan dengan: n P k n ! n k ! n ,dengan k . 3. Permutasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dalam satu urutan. Terdapat tiga jenis unsur permutasi yakni 1. Permutasi dengan unsur-unsur yang berbeda, 2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan 3. Permutasi siklis. Secara umum banyak permutasi dinyatakan dengan: n P k n ! n k ! n ,dengan k . 331
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 4. Kombinasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dengan tanpa memperhatikan urutannya, dinyatakan n ! dengan n k k ! ! n k n k C ,dengan . 5. Untuk kejadian majemuk, banyak anggota ruang sampel n(S) suatu kejadian merupakan banyak cara/ susunan suatu kejadian majemuk tersebut. Sedangkan banyak anggota kejadian n(E) merupakan kombinasi atau permutasi suatu kejadian pada kejadian majemuk. 6. Peluang suatu kejadian majemuk (E) dirumuskan: P E n E . n S Dengan memiliki sikap, pengetahuan, dan keterampilan akan aturan pecacahan dapat kamu aplikasikan mengatasi masalah dunia nyata. Untuk selanjutnya, konsep dasar aturan pencacahan ini akan membantu kamu memahami konsep peluang majemuk dan matematika diskrit. Selanjutnya kita akan membahas materi lingkaran, tentunya pengalaman belajar yang kita peroleh pada Bab VIII ini harus membantu cara berpikir kita memecahkan masalah. 332
Bab Kompetensi DasarPengalaman Belajar 9 LINGKARAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran lingkaran siswa mampu: 1. Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan menggu-nakan metode koordinat. 2. Mendeskripsikan konsep dan Kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan umum lingkaran dengan metode koordinat. Melalui proses pembelajaran lingkaran, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut. •	menemukan	konsep	persamaan lingkaran	berpusat di (0, 0) dan (a, b) melalui pemecahan masalah otentik; menemukan	persamaan	garis	singgung	yang melalui suatu titik pada lingkaran; Menemukan	persamaan	garis	singgung	yang 3. Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaran yang melalui suatu titik tertentu, membuat model Matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan masalah tersebut. 4. M e r a n c a n g d a n m e n g a j u k a n m a s a l a h nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannya dengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran.
gradiennya diketahui; berkolaborasi	memecahkan	masalah	aktual	dengan pola interaksi sosial kultur dalam menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan menggunakan diskriminan; berpikir	tingkat	tinggi	(berpikir	kritis,	kreatif)	dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep lingkaran dalam memecahkan masalah otentik. Persamaan	lingkaran •	Persamaan	garis	singgu- ng	lingkaran Kedudukan	garis	pada lingkaran Kedudukan	titik	pada	ling- karan Diskriminan
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Masalah Otentik Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Lingkaran Tempat Kedudukan Titik pada Lingkaran Pusat di (0, 0) jari-jari r Pusat di (a, b) jari-jari r Melalui sebuah titik di luar lingkaran Pusat di (0, 0) jari-jari r Pusat di (a, b) jari-jari r Gradien m Gradien m Bentuk Umum Melalui (x, y) pada lingkaran Melalui (x, y) pada lingkaran 334
Matematika kepada Menjelaskan kompetensi- siswa kompetensi dasar yang harus siswa dimiliki setelah menyelesaikan lingkaran. materi Tanyakan kepada siswa tentang konsep lingkaran yang digunakan dalam kehidupan nyata seperti ban sepeda, jam dinding, dan jenis yang lain. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-hari. Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri. Masalah-9.1 Selanjutnya ajak siswa untuk memahami Masalah 9.1. masalah ini adalah masalah yang benar-benar terjadi yaitu mengenai letusan gunung Sinabung. Ajak siswa untuk memahami Peta Kabupaten Karo tempat terjadinya letusan gunung itu. Beri pemahaman kepada siswa bahwa yang merupakan titik lingkaran adalah puncak gunung Sinabung. Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo) Alternatif Penyelesaian informasi juga Berikan kepada bahwa siswa wilayah Indonesia banyak sekali gunung berapinya, sehingga ada kejadian seperti ini perlu kepada diinformasikan siswa akan bahaya letusan gunung berapi tersebut. jika Gambar 9.1: Peta Kabupaten Karo 335
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari- jari) sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung. Ajak juga siswa untuk bersikap saling mengasihi sesamanya terjadi bencana alam, sehingga mereka dapat menolong melalui sesamanya perbuatan sekecil apapun. jika Berdasarkan penyelesaian masalah 9.1 fasilitasi siswa untuk membuat definisi 9.1 dan memahami definisi yang telah dibuat Definisi 9.1 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu Masalah-9.2 Selanjutnya ajak siswa untuk memahami masalah 9.2. siswa Setelah memahami maksud dari Masalah 9.2 suruh siswa untuk menyelesaikan masalah tersebut. Tujuan diselesaikannya masalah 9.2 ini adalah agar siswa dapat menentukan rumus lingkaran dari bentuk yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Pandu siswa untuk menyelesaikan masalah 9.2 dan ingatkan kembali tentang siswa kepada rumus titik jarak dua sebagai bekal awal untuk menyelesaikan masalah tersebut. Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut! Alternatif penyelesaian Gambar 9.2: Lingkaran pusat P(0, 0) dan jari-jari r = 3 336
Matematika jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan dengan rumus: 2 2 −( x ) + −( y ) = PS 0 0 Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka 2 2 −( x ) + −( y ) ⇔ = r 0 0 2 2 −( x ) + −( y ) = 0 0 r Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh (x - 0)2 + (y - 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2 Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 Sifat 9.1 Dengan diselesaikannya 9.2, Masalah pastikan dapat bentuk mendefinisikan persamaan baku lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari- jari r sehingga siswa memahami arti dari Sifat 9.1 Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 = r2 siswa Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2} Contoh 9.1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut: uji Sebagai pemahaman tentang siswa terhadap Definisi 9.2, suruh siswa untuk memahami contoh 9.1 dan menyelesaikannya dengan caranya sendiri. bentuk a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 337
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16 c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62 ⇔ x2 + y2 = 36 Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah 9.3 dan siswa untuk menyelesaikannya dengan caranya sendiri, selanjutnya fasilitasi siswa jika ada yang bertanya. Agar siswa memahami dengan baik masalah yang diberikan suruh siswa untuk mencoba m e n g g a m b a r k a n n y a selanjutnya ajak siswa untuk menyimpulkan hasil dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan menyelesaikan dari adalah ini masalah agar dapat siswa bentuk mendefinisikan baku dari persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari- Masalah-9.3 suruh Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di	P (a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran tersebut! Alternatif Penyelesaian: Gambar 9.3: Lingkaran pusat P(a, b) dilalui titik S(x, y) 338
Matematika Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b) adalah −( y b jari r. Seperti halnya menyelesaikan Masalah 9.2, kembali siswa tentang rumus jarak dua titik sebagai bekal awal untuk menyelesaikan masalah tersebut. 2 2 −( x a ) + ) = PS ingatkan Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka 2 2 −( x a ) + −( y b ) ⇔ = r 2 2 −( x a ) + −( y b ) = r Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh (x - a)2 + (y - b)2 = 32 ⇔ (x - a)2 + (y - b)2 = 9 Sifat 9.2 Dengan diselesaikannya 9.3, Masalah pastikan dapat bentuk mendefinisikan baku persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari- jari r sehingga siswa memahami arti dari sifat 9.2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r	adalah (x - a)2 + (y - b)2 = r2 siswa Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka L {(x, y) | (x	-	a)2 + (y	-	b)2 = r2} Sebagai uji tentang pemahaman siswa terhadap Sifat 9.2, suruh siswa untuk memahami contoh 9.2 dan 9.3 serta menyelesaikannya dengan caranya sendiri. bentuk Contoh 9.2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2. 339
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 9.4 : Lingkaran pusat (2, 2) dan r = 2 Alternatif Penyelesaian: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 a = 2; b = 2; c = 2 ⇔ (x - 2)2 + (y - 2)2 = 22 ⇔ (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 Contoh 9.3 Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut! a. (x - 2)2 + (y + 2)2 = 4 b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 c. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 d. (x + 2)2 + y 2 = 16 340
Matematika Alternatif Penyelesaian: a. (x - 2)2 + (y + 2)2 = 4 ⇔ (x - 2)2 + (y + 2)2 = 22 a = 2; b = -2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik (2, - 2) dan berjari- jari 2 b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 ⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 32 a = -2; b = -2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik (-2, -2) dan berjari- jari 3 c. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + (y - 2)2 = 42 a = -2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (-2, 2) dan berjari- jari 4 d. (x + 2)2 + y2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + y2 = 16 a = -2; b = 0; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (-2, 0) dan berjari- jari 4 Berikan informasi kepada siswa bahwa materi yang akan dibahas selanjutnya mengenai adalah lingkaran yang sebuah digambarkan pada kartesius koordinat berjari-jari yang berpusat di (0, 0) dan (a, b). informasikan juga bahwa siswa kepada persamaan di samping dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran . 2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalah x2 + y2 = r2 r b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah (x - a)2 + (y - b)2 = r2 341
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran. ini merupakan Berikut kegiatan untuk mengekspansi persamaan lingkaran yang berpusat (a, b) dalam di menemukan bentuk umum persamaan lingkaran. Kegiatan 9.1 siswa Jabarkanlah persamaan (x - a)2 + (y - b)2 = r2. titik Alternatif Penyelesaian (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ⇔ x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2= r2 ⇔ x2 - y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Jika -a = A; -b = B; dan a2 + b2 - r2 = C maka diperoleh ⇔ x2 + y2 + 2ax + 2By + C = 0 Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x2 + y2 + 2a + 2by + C = 0, persamaan tersebut merupakan persamaan umum lingkaran. Sebagai bentuk evaluasi pemahaman terhadap bentuk siswa persamaan umum lingkaran, berikan contoh 9.4 dan 9.5. jika siswa telah selesai menyelesaikannya untuk siswa suruh menjelaskannya kepada temannya yang lain. Contoh 9.4 tentang Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan a2 + b2 - r2 = C dengan -a = A; -b = B, tentukanlah nilai r. Alternatif Penyelesaian Karena a2 + b2 - r2 = C dan -a = A; -b = B, maka r2 = A2 + B2 - C2 ⇔ r 2 2 = ± + − A B C Contoh 9.5 Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran! 342
Matematika Alternatif Penyelesaian x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 ⇔ x2 + y2 + 2Ax + 2By = -C ⇔ (x2 + 2Ax + A2)- A2 + (y2 + 2By + B2)- B2 = -C ⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 = -C ) ( 2 2 2 ⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = + − A B C Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.2 diperoleh bahwa ) adalah ( 2 2 2 + − persamaan (x + A)2 + (y + B)2 = A B C persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(-A, -B) dan 2 2 = + − berjari-jari r A B C Berdasarkan penyelesaian dari contoh 9.4 dan 9.5 ajak siswa untuk mengamati penyelesaian bertanya- itu, hati tanya kemungkinan- tentang hal-hal kemungkinan dilakukan perlu yang pastikan selanjutnya siswa masing-masing dan telah mencoba hal- mengelompokkan hal yang perlu untuk mendefinisikan sesuatu dari penyelesaian latihan telah dilakukan. yang Selanjutnya suruh siswa menyimpulkan untuk penyelesaian dari masalah yang dilakukan dengan membuat sebuah Fakta bentuk tentang umum lingkaran. Sifat 9.3 Bentuk Umum persamaan lingkaran adalah lalu dalam x2 + y2 + 2Ax + 2By + C	= 0 dengan titik pusat P(-A, -B) dan berjari-jari 2 2 = + − r A B C dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2	≥	C2 343
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK berikut Berikan uji sebagai pemahaman siswa tentang jari-jari. Pastikan siswa memahami maksud dari jari-jari. soal bentuk Pertanyaan Kritis 1. Berdasarkan Fakta 9.1 diperoleh bahwa 2 2 + r yang kamu peroleh? 2. Mengapa C2 ≤ A2 + B2 = − A B C . Bagaimana jika A2 + B2 = 0? Apa Alternatif Penyelesaian: 1. Jika A2 + B2 - C = 0 akan diperoleh jari-jari yang bernilai nol. Jika jari-jari suatu lingkaran bernilai nol maka bentuknya seperti sebuah titik. 2. Nilai C haruslah lebih besar sama dengan A2 + B2. Nilai C itu harus terpenuhi karena dalam bentuk akar ada persamaan A2 + B2 - C sehingga nilai tersebut haruslah bernilai nol atau positif. Berikan Contoh 9.6 sebagai penerapan dari dan prinsip titik lingkaran, minta siswa memahami penyelesaian contoh yang siswa diberikan. kesulitan mengalami minta siswa yang lain menjelaskan untuk contoh penyelesaian tersebut. Contoh 9.6 jari-jari Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 10x - 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius! pusat Jika Alternatif Penyelesaian: x2 + y2 + 10x - 8y + 25 = 0 A = -5; B = 4, dan C = 25 Titik Pusat (-5, 4) Jari-jari lingkaran 2 2 = + − r A B C Gambar 9.5 : Lingkaran x2 + y2 + 10x 2 −( 5 ) + 2 ⇒ r = − = 4 25 4 - 8y + 25 = 0 344
Matematika 9.1 Latihan Berikan untuk siswa kepada menguji siswa apakah memahami tentang konsep dan prinsip persamaan siswa lingkaran. kesulitan mengalami pertanyaan- berikan pertanyaan tentang persamaan-persamaan lingkaran dan kaitannya dengan jari-jari lingkaran yang dibentuk. Pertanyaan Kritis Latihan 9.1 Tentukanlah persamaan-persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan lingkaran. a. x - y = 16 b. x2 + 4y2 + 8x - 6 - 16y = 25 c. x2 + y2 + 6x - 8y + 21 = 0 d. x2 - y2 + 8x - 2y + 100 = 0 1. Berdasarkan Fakta 9.1 diperoleh bahwa 2 2 = + − r A B C . Bagaimana jika A2 + B2 = 0? Apa yang kamu peroleh? 2. Mengapa C2 ≤ A2 + B2 Jika Alternatif Penyelesaian: Alternatif Penyelesaian a. x - y = 16 bukan persamaan lingkaran karena x dan y Jika A2 + B2 - C = 0 akan diperoleh jari-jari yang 1. bernilai nol. Jika jari-jari suatu lingkaran bernilai nol berpangkat 1. maka bentuknya seperti sebuah titik. b. x2 + 4y2 + 8x - 6 - 16y = 25 bukan persamaan lingkaran karena koefisien x2 tidak sama dengan koefisien y2. c. x2 + y2 + 6x - 8y + 21 = 0 persamaan lingkaran dengan 2. Nilai C haruslah lebih besar sama dengan A2 + B2. Nilai C itu harus terpenuhi karena dalam bentuk akar ada persamaan A2 + B2 - C sehingga nilai tersebut titik pusat (-3, 4) dan berjari-jari r = 2 haruslah bernilai nol atau positif. d. x2 - y2 + 8x - 2y + 100 = 0 bukan persamaan lingkaran karena jari-jari nya imaginer. Berikan 9.2 dan ajak siswa untuk secara mengamati pertanyaan seksama yang lalu hal-hal tanyakan mengenai persamaan bentuk umum lingkaran dan ajak siswa untuk mencoba menyelesaikan permasalahan tersebut. diperoleh yang Hasil didiskusikan untuk ditarik kesimpulannya. Latihan Latihan 9.2 Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik (3, 3), desa sukameriah terletak pada titik (-1, 2), dan desa Kutatonggal terletak pada titik (2, -1) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya! Contoh 9.6 Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 10x - 8y + 25 = 0, lalu gambarkan diberikan, lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius! Alternatif Penyelesaian: x2 + y2 + 10x - 8y + 25 = 0 A = -5; B = 4, dan C = 25 Titik Pusat (-5, 4) Jari-jari lingkaran 2 2 = + − r A B C 2 −( ) + 2 ⇒ r = − = 5 4 25 4 Gambar 9.6 Lingkaran dilalui titik (3, 3), (-1, 2), (2, -1) 345
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian: Untuk menentukan persamaan lingkarannya digunakan bentuk umum persamaan lingkaran yaitu x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 Persamaan 1) lingkaran yang melalui titik (3, 3) 32 + 32 + 2A(3) + 2By + C = 0 ⇔ 9 + 9 + 6A + 6B + C= 0 ⇔ 6A + 6B + C = -18 ... (1) 2) Persamaan lingkaran yang melalui titik (-1, 2) (-1)2 + 22 + 2A(-1) + 2B(2) + C = 0 ⇔ 1 + 4 - 2A + 4B + C = 0 ⇔ - 2A + 4B + C = -5 ... (2) 3) Persamaan lingkaran yang melalui titik (2, -1) 22 + (-1)2 + 2A(2) + 2B(-1) + C = 0 ⇔ 4 + 1 + 4A - 2B + C = 0 ⇔ 4A - 2B + C = -5 ... (3) Berdasarkan penyelesaian di atas diperoleh tiga persamaan yaitu: 6A + 6B + C = -18 - 2A + 4B + C = -5 4A - 2B + C = -5 Dengan menyelesaikan ketiga persamaan di atas diperoleh 39 30 39 30 168 5 A = - = -13, B = - = -13, C = - = 33,6, sehingga persamaan lingkarannya menjadi x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 x2 + y2 + 2(-1,3)x + 2(-1,3)y + 3,6 = 0 x2 + y2 -2,6x + 2,6y + 3,6 = 0 Berdasarkan persamaan lingkaran yang diperoleh maka dapat ditentukan bahwa titik pusatnya (gunung Sinabung) adalah P(- 1,3, - 1,3) dan berjari-jari r = 5,78. 346
Matematika uji Berikan ini sebagai kompetensi tugas di rumah, yang bertujuan untuk seberapa mengetahui penguasaan besarkah terhadap materi siswa persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan (a, b). soal-soal Uji Kompetensi 9.1 1. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan melalui titik berikut. a. (1, 2) b. (3, 2) c. (0, 1) d. (4, 0) 2. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari sebagai berikut. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 3. Tulislah dan gambarkan pada bidang koordinat Kartesius persamaan lingkaran yang a. Pusat di titik P(1, 2) dan panjang jari-jari 1 b. Pusat di titik P( -1, 2) dan panjang jari-jari 2 c. Pusat di titik P(1, -2) dan panjang jari-jari 3 d. Pusat di titik P(-1, -2) dan panjang jari-jari 4 4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut. a. x2 + y2 = 5 b. x2 + y2 - 4 = 5 0 c. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 30 g. (x - p)2 + (y - q)2 = 25 d. x2 + (y - 4)2 = 15 e. x2 + y2 - 4x -2y - 31 = 0 f. 4x2 + 4y2 + 8x - 4y - 10 = h. 2x2 + 2y2 - 8x + 6y = 20 5. Tulis dan gambarkanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut. a. Titik A(-4 , 7), B(-1, 7), dan C(0, 5) b. Titik A(-2, 7), B(2, 7), dan C(0, 4) c. Titik A(0, 6), B(0, 3), dan C(-4, 3) d. Titik A(-2, 1), B(1, 1), dan C(-1, -1) 6. Tentukan pusat lingkaran x2 + y2 + 4x - 6y - 13 = 0. 7. Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 - 4x + 6y - 12 = 0. 347
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 8. Nyatakanlah persamaan lingkaran-lingkaran berikut ini ke dalam bentuk umum a. Pusat (1, 2), dan jari-jari 1 b. Pusat (-3, -4), dan jari-jari 2 1 , dan jari-jari 3 2
1 2 , − c. Pusat , dan jari-jari d. Pusat 1 1 2 1 3 1 2 , 9. Carilah pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini. a. x2 + (y - 2)2 = 1 b. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 c. x2 + y2 + 2x - 4y = -3 d. x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0 e. x2 + y2 - 4y + 1 = 0 f. x2 + y2 - 4y + 3 = 0 10. Titik A(-2, a) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 4x - 8y - 5 = 0? 348
Matematika Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah 9.4 dan siswa untuk menyelesaikannya dengan caranya sendiri, selanjutnya fasilitasi siswa jika ada yang bertanya. Agar siswa memahami dengan baik masalah suruh yang diberikan siswa untuk mencoba m e n g g a m b a r k a n n y a selanjutnya ajak siswa untuk menyimpulkan hasil dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan menyelesaikan dari masalah ini adalah agar siswa dapat kedudukan suatu titik pada sebuah lingkaran yang berpusat di titik (0, 0). 3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran suruh Masalah-9.4 Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Misalkan Gambar 9.7 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan desa Bekerah berdasarkan gambar di atas. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi? Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5 Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25 Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5) Jika disubstitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 maka diperoleh 02 + 52 = 0 + 25 = 25 = 25 Artinya titik (0, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25 349
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Oleh karena itu desa Sigaranggarang terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25 Kesimpulannya, penduduk desa Sigaranggarang perlu mengungsi. Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4) Jika disubstitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 maka diperoleh 52 + 42 = 25 + 16 = 41 > 25 Artinya titik (5, 4) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25 Oleh karena itu desa Sukatepu terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25 Kesimpulannya, penduduk desa Sukatepu tidak perlu mengungsi. Untuk desa Bekerah dengan titik (2, -1) Jika disubstitusikan titik (2, -1) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 maka diperoleh 22 + (-1)2 = 4 + 1 = 5 < 25 Artinya (2, -1) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25 Oleh karena itu desa Bekerah terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25. Kesimpulannya, penduduk desa Bekerah perlu mengungsi. Berdasarkan penyelesaian Masalah 9.4 arahkan siswa dapat untuk kesimpulan membuat dan mendefinisikan tentang kedudukan suatu titik sebuah lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) Definisi 9.2 1. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 < r2. 2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 = r2. 3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 > r2. terhadap 350
Matematika Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah siswa untuk 9.5 ajak masalah mengamati tersebut fasilitasi siswa jika ada yang bertanya. Agar siswa memahami dengan baik masalah yang diberikan suruh siswa untuk mencoba m e n g g a m b a r k a n n y a selanjutnya ajak siswa untuk menyimpulkan hasil dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan dari menyelesaikan masalah ini adalah agar siswa dapat kedudukan suatu titik pada sebuah lingkaran yang berpusat di titik (a, b). Masalah-9.5 Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi? Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P(3, 2) dan r = 5 Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, -2) Jika disubstitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 maka diperoleh (0 - 3)2 + (- 2 - 2)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 25 Ternyata desa Sukameriah terletak pada lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 Kesimpulannya, penduduk desa Sukameriah perlu mengungsi. 351
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3) Jika disubstitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 maka diperoleh (6 - 3)2 + (3 - 2)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 < 25 Ternyata desa Simacem terletak di dalam lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 Kesimpulannya, penduduk desa Simacem perlu mengungsi. Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7) Jika disubstitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 maka diperoleh (9 - 3)2 + (7 - 2)2 = 62 + 52 = 36 + 25 = 61 > 25 Ternyata desa Simacem terletak di luar lingkaran (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25 Kesimpulannya, penduduk desa Ndeskati tidak perlu mengungsi. Berdasarkan penyelesaian Masalah 9.5 arahkan siswa dapat untuk kesimpulan membuat dan mendefinisikan tentang kedudukan suatu titik sebuah lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) Definisi 9.3 1. Suatu titik A(v,	w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r	jika (v	-	a)2 + (w-	b)2 < r2. 2. Suatu titik A(v,	w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r	jika (v	-	a)2 + (w-	b)2 = r2. terhadap 3. Suatu titik A(v,	w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r	jika (v	-	a)2 + (w-	b)2 > r2. Berikan contoh 9.7 berikut untuk siswa kepada mengetahui pemahaman siswa terhadap Definisi 9.3, suruh siswa untuk memahami contoh 9.9 dan menyelesaikannya dengan caranya sendiri. Contoh 9.7 Apakah titik-titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 - 8x + 6y + 20 = 0 ? a. Q(-1, -1) b. R(2, -3) c. S(0, 5) d. T(-4, 0) 352
Matematika Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 - 8x + 6y + 20 = 0 ? Alternatif Penyelesaian: Persamaan lingkaran x2 + y2 - 8x + 6y + 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku persamaan kuadrat menjadi (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 1. Q(-1, -1) disubstitusikan ke persamaan (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (-1 - 4)2 + (-1 + 3)2 = (-5)2 + 22 = 29 > 5 Titik Q(-1, -1) berada di luar lingkaran (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 2. R(2, -3) disubstitusikan ke persamaan (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (2 - 4)2 + (-3 + 3)2 = (-2)2 + 0 = 4 < 5 Titik R(2, -3) berada di dalam lingkaran (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 3. S(4, -3) disubstitusikan ke persamaan (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (4 - 4)2 + (-3 + 3)2 = 0 + 0 = 0 < 5 Titik S(4, -3) berada di dalam lingkaran (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 353
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 4. T(2, -4) disubstitusikan ke persamaan (x - 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh (2 - 4)2 + (-4 + 3)2 = (-2)2 + (-1)2 = 4 + 1 = 5 = 5 Titik T(2, -4) berada pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 3)2 untuk Pertanyaan siswa apakah menguji titik memahami terhadap lingkaran. Bentuk persamaan suatu lingkaran tidak harus diubah ke dalam bentuk lingkaran persamaan pada baku. Misalkan contoh 9.9 jika titik S(4, -3)di ke persamaan lingkaran x2 + y2 -8x + 6y + 20 = 0 maka diperoleh - 5< 0, ini menunjukkan bahwa titik S(4, -3) berada di luar lingkaran. Ajak siswa untuk mencoba titik-titik lain pada contoh 9.9 ini = 5 Pertanyaan Kritis Mengapa (pada contoh 9.7) untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus berbentuk persamaan lingkaran baku? letak subsitusikan 4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah 9.6 fasilitasi siswa jika bertanya. ada Agar siswa memahami dengan baik masalah yang diberikan suruh siswa untuk mencoba gambar menyelidiki selanjutnya tersebut ajak untuk siswa menyimpulkan hasil dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan menyelesaikan dari Masalah-9.6 yang Perhatikan gambar berikut ini Gambar 9.10 : Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran 354
Matematika Gambar 9.10 merupakan kedudukan garis terhadap lingkaran. Berdasarkan gambar di atas, buatlah pendapatmu mengenai gambar tersebut! masalah ini adalah agar siswa dapat kedudukan suatu garis pada sebuah lingkaran. Alternatif Penyelesaian: Gambar 9.10 (i) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran di dua titik yang berlainan. Gambar 9.10 (ii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran. Gambar 9.10 (iii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran. Contoh 9.8 Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.11: garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9 355
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian : 2x + y = 2 ... (1) x2 + y2 = 9 ... (2) digambarkan pada bidang Kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.11. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (2 - 2x)2 = 5 ⇔ x2 + 4 - 8x + 4x2 = 5 ⇔ 5x2 - 8x - 1 = 0 Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah 5x2 - 8x - 1 = 0, dengan nilai diskriminan D = b2 - 4ac = (-8)2 - 4(5)(-1) = 64 + 20 = 84 Contoh 9.9 Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.12 : garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5 356
Matematika Alternatif Penyelesaian: 2x + y = 5 ... (1) x2 + y2 = 5 ... (2) Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.12. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (-2x + 5)2 = 5 ⇔ x2 + 4x2 - 20x + 25 - 5 = 0 ⇔ 5x2 + 20x2 + 20 = 0 ⇔ x2 + 4x + 4 = 0 Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 4x + 4 = 0 dengan nilai diskriminan D = b2 - 4ac = (4)2 - 4(1) (4) = 16 - 16 = 0 Contoh 9.10 Diberikan sebuah garis -x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5 , selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. (-1,2) (-2,1) Gambar 9.13 garis -x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5 357
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian: -x + y = 3 ... (1) x2 + y2 = 5... (2) Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.13. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (3 + x)2 = 5 ⇔ x2 + 9 + 6x + x2 = 5 ⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0 ⇔ x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 2) (x + 1) = 0 ⇔ x = -2 atau x = -1 Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah (-2, 1) dan (-1, 2). Nilai diskriminan D = 32 - 4 . 12 = 1. Berdasarkan x + y = 2 dan diperoleh x = 2 - y sehingga (2 - 2y)2 + y2 = 9 Latihan 9.3 Diketahui sebuah garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.14, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya. ⇔ 2y2 - 4y - 5 = 0 Gambar 9.14 garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 358
Matematika Berdasarkan y = 3 dan x2 + y2 = 9 diperoleh x2 + (3)2 = 9 Latihan 9.4 Diketahui sebuah garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.15, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai dis-kriminannya. ⇔ x2 = 0 Gambar 9.15 garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 Latihan 9.5 Diketahui sebuah garis -x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya. Berdasarkan -x + y = 5 dan diperoleh y = 5 + x sehingga x2 + (5 + x)2 = 9 ⇔ x2 + 5 x + 8 = 0 Gambar 9.16 garis -x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9 359
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Latihan 9.6 Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran? Syarat yang harus dipenuhi oleh garis jika memotong lingkaran adalah diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran lebih besar dari nol. Syarat yang harus dipenuhi oleh garis jika menyinggung lingkaran adalah diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran sama dengan nol. Syarat yang harus dipenuhi oleh garis jika tidak memotong maupun menyinggung lingkaran adalah diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran lebih kecil dari nol. Ajak untuk siswa memahami sifat 9.4 yaitu tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Untuk menentukan nilai diskriminannya yaitu: substitusikan y = ax + b ke persamaan x2 + y2 = r2 diperoleh x2 + (ax + b)2 = r2 sehingga x2 + a2x2 + 2abx + b2 + r2. diperoleh (1 + a2)x2 + 2abx + b2 - r2 = 0 Berdasarkan persamaan tersebut kuadrat maka nilai diskriminannya adalah D = (1 + a2) r2 - b2 Sifat 9.4 Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2 Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + a2)r2 - b2, yaitu: (1) D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan (2) D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran (3) D < 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran tidak memotong maupun diperoleh 360
Matematika berikut Masalah untuk ini membangun konsep persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari- jari r. perlu dijelaskan kepada siswa bahwa tutup botol yang dipermainkan sebuah itu lingkaran yang melintasi sebuah lintasan. 5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran diberikan a. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r Masalah-9.7 Beberapa anak berkumpul dan sedang bermain. Di tangan mereka terdapat beberapa tutup botol plastik yang dijadikan permainan ibarat kelereng. Tutup botol dibuat berdiri, lalu bagian atasnya ditekan dengan telunjuk agar tutup botol itu meluncur ke depan. Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. dianggap Gambar 9.17 Tutup Botol terletak di lantai Dari gambar 9.17 di atas jelas terlihat bahwa lantai yang dilalui tutup botol selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di lantai yang dilalui tutup botol dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara tutup botol dan lantai disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan lantai. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (0, 0). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut! Alternatif Penyelesaian: Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2 + y2 = r2. 361
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah mop = y 1 x 1 garis g adalah m , garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien x 1 y 1 1 m 1 y 1 x 1 = − = − = − . Akibatnya, g OP persamaan garis singgung g adalah y - y1 = mg (x - x1) −( x x 1 y 1 ) − = − ⇔ y y 1 x 1 ⇔ (y - y1)y1 = -x1 (x - x1) ⇔ yy1 - y1 2 = -xx1 2 ⇔ xx1 - yy1 2 = x1 2 + y1 2 Gambar 9.18 : Lingkaran Pusat (0, 0) dan jari-jari r Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2, maka 2 r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran diperoleh x1 2 y1 362
Matematika yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r adalah x1x + y1y = r2 Ajak untuk 9.5 memahami tentang persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat lingkaran (0, 0). siswa Sifat 9.5 sifat Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2	adalah x1x + y1y = r2 Contoh 9.11 Minta untuk siswa memahami contoh 9.11 sebagai penerapan dari prinsip persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik (0, 0). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3! Alternatif Penyelesaian: (0, Persamaan lingkaran y2 = 9 0) dan berjari-jari 3 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah dengan pusat x2 + adalah x1x + y1y = r2 ⇔ xx1 + yy1 = 9 ⇔ x(2) + y(0)= 9 ⇔ 2x - 9 = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x - 9 = 0 363
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK berikut Masalah untuk ini membangun konsep persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari- jari r. perlu dijelaskan kepada siswa bahwa tutup botol yang dipermainkan sebuah itu lingkaran yang melintasi sebuah lintasan. b. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari r diberikan Masalah-9.8 dianggap Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dinding Seorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (a, b). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut! Alternatif Penyelesaian: Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2. Perhatikan gambar 9.20. − − y 1 x 1 b a Gradien garis PA adalah m . PA = 364
Matematika Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik A(x1, y1) Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien − − x 1 y 1 a b 1 m = − = − garis singgung g adalah m g PA Persamaan garis singgung g adalah y - y1 mg (x - x1) − − x 1 y 1 a b −( x ) − = − ⇔ y y 1 x 1 ⇔ (y - y1)(y1 - b) = - (x1 - a)(x - x1) ⇔ yy1 - yb - y1 2 + y1b = -(x1x - x1 2 - ax + ax1) ⇔ yy1 - yb - y1 2 + yb = -x1x + x1 2 + ax - ax1 ⇔ xx1 - xa + x1a + yy1 - yb + y1b = x1 2 - y1 2 Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2, maka diperoleh (x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2 ⇔ x1 2 - 2x1a + a2 + y1 ⇔ x1 2 + y1 2 - 2y1b + b2 = r2 2 = r2 + 2x1 - a2 + a2 + 2y1b - b2 365
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2 = r2 + 2x1 - a2 + a2 + 2y1b - b2 ke 2 + y1 Substitusikan x1 persamaan garis singgung di atas, diperoleh xx1 - xa + x1a + yy1 - yb + y1b = r2 + 2x1a - a2 + 21yb - b2 ⇔ (xx1 - xa + x1a + a2) + (yy1 - yb + y1b + b2) = r2 ⇔ (x - a)(x1 - a)+ (y - b)(y1 - b) = r2 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2 adalah (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 untuk Ajak memahami 9.6 tentang persamaan garis lingkaran singgung dengan pusat lingkaran (a, b). siswa Sifat 9.6 Sifat Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2 adalah (x - a)(x1 - q) + (y1 - b) = r2 Contoh 9.12 untuk siswa Minta memahami contoh 9.12 sebagai penerapan dari prinsip persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik (a, b). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5. Alternatif Penyelesaian: Persamaan garis singgung lingkaran (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 yang melalui titik (2, 4) adalah (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 ⇔ (x - 1)(x1 - 1) + (y - 2)(y1 - 2) = 5 ⇔ (x - 1)(2 - 1) + (y - 2)(4 -2) = 5 ⇔ (x - 1)1 + (y - 2)2 = 5 ⇔ x - 1 + 2y - 4 = 5 ⇔ x + 2y = 0 366
Matematika Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0 Latihan 9.7 1. Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0 yang melalui titik A(x1, y1)! Minta untuk siswa menyelesaikan latihan 9.7 Soal no 1 bertujuan untuk memberitahukan kepada siswa bahwa persamaan dapat lingkaran berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan juga Alternatif Penyelesaian: Jika diberikan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan diminta untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) maka yang akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan menggunakan konsep tentang persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).
1 1 − − jari-jari P A , B 2 2 dan menerapkan prinsip persamaan garis singgung lingkaran Soal no 2 bertujuan untuk tentang menerapkan konsep persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan jari- Karena persamaan lingkaran yang berpusat di P(A, B) adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 maka persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 berpusat di titik
P A ,
B 2
1 1 Berdasarkan prinsip persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2 diperoleh persamaannya adalah (x - a) (x1 - a) + (y - b) (y1 - b) = r2 Karena -a = A dan -b = B sehingga persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 yang melalui A(x1, y1) 2 + − − jari P A , B 2 2
= 1 2 1 2 1 2 1 2 − − − − adalah x a x 1 a y b y 1 b r 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x - 12y + 25 = 0 di titik a. (5, 12) b. (1, 6) c. (-5, 0) 367
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan persamaan lingkaran yang diberikan yaitu maka pusat lingkarannya adalah penyelesaian soal no 2 dapat digunakan prinsip yang ditemukan dalam soal no 1 sehingga a. Untuk titik (5, 12) diperoleh
= 1 2 1 2 1 2 1 2 2 − − − − x a x 1 a y b y 1 b r ⇔ x
= 1 2 1 2 1 − ( ) 6 2 1 − ( ) 6 2 −( 5 ) −( 5 ) − − y 611 5 12 ⇔ x
+ 5 2 5 2 −( y ) 3 12 3 ( ) = + + − 61 5 ⇔ 30x + 36y - 521 = 0 b. Untuk titik (1, 6) diperoleh
= 1 2 1 2 1 2 1 2 2 − − − − x a x 1 a y b y 1 b r ⇔ x − 1
= 1 2 ⇔ 14x + 12y - 245 = 0 1 2 1 − ( ) 6 2 1 − ( ) 6 2 −( 5 ) −( 5 ) − y 61 6 c. Untuk titik (-5, 0) diperoleh
= 1 2 1 2 1 2 1 2 2 − − − − x a x 1 a y b y 1 b r ⇔ x -
( ) 6 = 6 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 5 + y - ) ( ) 6 11 5 5 - 0 - ⇔ 10x + 12y + 233 = 0 368
Matematika berikut Masalah untuk ini membangun konsep persamaan garis singgung lingkaran dari sebuah titik di luar lingkaran. perlu dijelaskan kepada siswa bahwa tutup botol yang dipermainkan itu dianggap menyinggung lain tutup botol yang dua sehingga kemungkinan titik singgungnya. c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran diberikan melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran Masalah-9.9 Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur (seperti pada gambar), lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan. ada Gambar 9.21 Dua buah tutup botol Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan A(x1, y1) adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g1 dan g2 tersebut! Alternatif Penyelesaian: Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) dan digambarkan sebagai berikut. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut: 369
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah m sehingga diperoleh persamaan. y - y1 = m(x - x1) ⇔ y - y1 = mx - mx1 ⇔ y = mx - mx1 + y1 2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx - mx1 + y1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx - mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut. Contoh 9.13 Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1). Alternatif Penyelesaian: Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25 sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 > 25 Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25 Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki persamaan y = mx - mx1 + y1 ⇒ y = mx -7m + 1 370
Matematika Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang menyinggung Lingkaran Substitusikan nilai y = mx -7m + 1 ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh x2 + (mx - 7m + 1)2 = 25 ⇔ x2 + m2x2 - 49m2 + 1 - 14m2x + 2m - 14m = 25 ⇔ (1 + m2)x2 + (2m - 14m2)x + (-49m2 - 14m - 24) = 0 Selanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b2 - 4ac D = (2m - 14 m2)2 - 4(1 + m2)(49m2 - 14m - 24) = 4m2 - 56m3 + 196m4 - 4(49m2 - 14m - 24 + 49m4 - 14m3 - 24m2) = 4m2 - 56mm3 + 1196m4 - 196m2 + 56m + 96 - 196m4 + 56m3 + 96m2 = 4m2 + 96m2 - 196m2 + 56m + 96 = -96m2 + 56m + 96 Syarat D = 0 -96m2 + 56m + 96 = 0 ⇔ 96m2 - 56m - 96 = 0 ⇔ 12m2 - 7m - 12 = 0 ⇔ (4m + 3)(3m - 4) = 0 3 4 4 3 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung 3x - 4y - 25 = 0 atau 4x - 3y - 25 = 0 ⇔ m = − atau m = 371
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK ini ingin Latihan kemampuan mengasah siswa dalam menentukan letak terhadap lingkaran. latihan ini tentu tidak dapat diselesaikan karena titik (0, 2) berada di lingkaran, berarti tidak mungkin ada garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0, 2) Latihan 9.8 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0, 2). titik dalam uji Berikan kompetensi ini sebagai tugas di rumah, yang untuk bertujuan seberapa mengetahui besarkah penguasaan terhadap materi siswa persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan (a, b). soal-soal Uji Kompetensi 9.2 1. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25. 2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x2 + y2 = r? 3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0) dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0! 4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x - 2y = 0 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama! 5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 melalui titik (6, -6)! 6. Jika lingkaran x2 + y2 - 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a! 7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran terhadap gaaris y = - x ! 372
Matematika 8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 bergradien 1! 9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (-3, -4)! 10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 8 di titik A pada kuadran pertama! 11. Tentukanlah nilai k, jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x - 5y - 12 = 0! 12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25! 13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0 tegak lurus garis 2x - y + 3 = 0! Projek Tugas proyek diberikan sebagai tugas kelompok untuk menginformasikan kepada bahwa siswa belajar tentang lingkaran sangat diperlukan dalam perkembangan ilmu dan dalam menyelesaikan permasalahan kehidupan. Kumpulkanlah kejadian yang terkait tentang permasalahan penerapan sifat-sifat lingkaran dalam kehidupan nyata yang ada di sekitarmu. Ujilah sifat-sifat dan rumus lingkaran di dalam pemecahan masalah tersebut, kemudian buatlah laporan hasil karyamu untuk disajikan di depan kelas. 373
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Bagian merupakan tentang konsep persamaan lingkaran. ini rangkuman informasi dan prinsip dan penutup D. PENUTUP Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Lingkaran, disajikan sebagai berikut: 1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu. 2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut a. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x - a)2 + (y - b)2 = r2 c. Bentuk Umum persamaan lingkaran yang memiliki dan A, B, C 2 2 jari-jari r dengan r bilangan real adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 = + − A B C 3. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran ada tiga yaitu di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran. 4. Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + r2 sehingga membentuk linear-kuadrat. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan persamaan garis y = mx - mx1 + y1 yang bergradien m dengan syarat diskriminan pada selesaian sistem persamaan linear-kuadrat sama dengan nol kemudian mensubstitusikan nilai m ke persamaan y = mx - mx1 + y1 sistem persamaan 374
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 10 TRANSFORMASI A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan stra-tegi menyelesaikan masalah. 2. M e n g a n a l i s i s s i f a t - s i f a t t r a n s f o r m a s i geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi dan rotasi) dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah. transformasi Melalui proses pembelajaran transformasi, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut. •	Terlatih	berpikir	kritis	dan	berpikir	kreatif. ilmu	•	Menemukan pengetahuan dari pemecahan masalah nyata Mengajak	untuk	melakukan	penelitian	dasar dalam membangun konsep. •	Dilatih	bekerjasama	dalam tim	untuk menemukan solusi permasalahan. Dilatih	mengajukan	ide-ide	secara	bebas	dan terbuka 3. Menyajikan objek kontekstual, menganalisis info rmasi terkait sifat-sifat objek dan m e n e r a p k a n a t u r a n t r a n s f o r m a s i geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah. Merasakan	manfaat	matematika	dalam kehidupan sehari-hari. Translasi •	Refleksi •	Rotasi •	Dilatasi
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Bangun Datar MATERI PRASYARAT Sistem Koordinat MASALAH OTENTIK TRANSFORMASI Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencerminan) Rotasi (Perputaran) Dilatasi (Perkalian) Hasil Transformasi Sifat-Sifat 376
Matematika siswa materi Ingatkan yang transformasi dipelajari SMP berhubungan erat dengan materi transformasi di SMA. Materi tingkat transformasi disini adalah secara analitik kajian dengan pendekatan koordinat dan objek (titik, garis dan bidang). C. MATERI PEMBELAJARAN Kamu masih ingat pelajaran transformasi di kelas VII, bukan? Nah, kita akan melanjutkan pelajaran transformasi tersebut kebentuk analitik atau dengan pendekatan koordinat. Sebagai langkah awal, kita akan mengingat kembali sifat-sifat transformasi dengan menggunakan media atau obyek nyata dalam kehidupan sehari-hari dan objek (titik, bidang dan kurva) dalam bidang koordinat transformasi kartesius. Menemukan kembali konsep translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian) dengan pendekatan koordinat. di 1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) Untuk mengingat kembali sifat-sifat translasi, kita akan mencoba mengamati dan mempelajari serta mengambil kesimpulan terhadap pergeseran beberapa benda. 1.1 Menemukan Sifat-Sifat Translasi Siswa di pandu untuk menemukan - dengan sfat mengamati pergeseran benda - benda nyata. Ajukan Masalah 10.1 kepada dan pandu siswa mengamati pergeseran beberapa objek di dalam kelas. Tanya siswa bagaimana bentuk, dan posisi setiap benda yang bergeser. sifat translasi Masalah-10.1 Coba kamu perhatikan dan amati bentuk dan ukuran setiap benda yang bergerak (bergeser) atau berpindah tempat yang ada di sekitarmu. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, orang yang sedang berjalan ataupun berlari, bola yang memantul ataupun menggelinding, dan lain- lain. Menurutmu, apakah bentuk objek tersebut berubah? atau apakah ukuran objek tersebut berubah	oleh	karena	perpindahan	tersebut?	Tentu	tidak, bukan? Jika demikian, pada sistem koordinat Kartesius, apakah kurva berubah bentuk dan ukuran bila digeser? Perhatikan pergeseran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem koordinat kartesius berikut. siswa, ukuran 377
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Setelah siswa menemukan ukuran sifat dan posisi pergeseran objek nyata, minta siswa mengamati pergeseran objek secara analitik pada gambar 10.1. Minta siswa mengamati satu persatu pergeseran objek tersebut, dimulai dari pergeseran titik, kurva dan bidang pada bidang koordinat kartesius. bentuk, Gambar 10.1 Pergeseran titik, bidang dan kurva pada bidang koordinat Kartesius Secara analitik, titik, bidang dan kurva (garis) pada gambar di atas tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran oleh pergeseran, bukan? Tetapi letak mereka pasti berubah; artinya, koordinat benda setelah mengalami pergeseran akan berubah dari koordinat semula. Dengan demikan, kita akan mempelajari lebih lanjut tentang koordinat pergeseran suatu titik pada sistem koordinat. Berikut adalah sifat-sifat pergeseran atau translasi. siswa membaca Minta setiap objek koordinat sesudah dan sebelum berubah bergeser, atau Lakukan pengamatan perubahan letak setiap benda yang bergeser di depan kelas. tidak? Sifat 10.1 Berdasarkan pengamatan pergeseran terhadap objek nyata dan objek abstrak, siswa menyimpulkan sifat-sifat (sifat 10.1 pergeseran dan sifat 10.2) berikut. Minta siswa menunjukkan kembali sifat-sifat tersebut pada pergeseran objek nyata. Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. pandu Sifat 10.2 Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi. 378
Matematika kepada Informasikan bahwa mereka siswa akan menemukan konsep translasi dengan pendekatan koordinat. arahkan siswa memahami Masalah 10.2. 1.2 Menganalisis Konsep Translasi Masalah-10.2 Empat orang anak dan seorang guru olahraga sedang berlatih mengover bola voli di lapangan olahraga. Mereka membuat formasi sebagai berikut: Keempat anak berdiri di empat penjuru (utara, selatan, timur, dan barat) sedangkan guru mereka berdiri	sebagai	pusat	penjuru.	Tiap-tiap	anak	berjarak 4 meter ke guru olah raga mereka. Aturan latihan sebagai berikut: 1. Guru mengirim bola ke anak yang di utara dan anak tersebut akan mengirimnya kembali ke gurunya, kemudian 2. Guru langsung mengirim bola ke anak yang di timur dan anak tersebut akan mengirim kembali ke gurunya, 3.	Demikian	seterusnya,	bola	selalu	dikirim	ke	gurunya, dan guru mengirim bola secara siklis dari utara ke timur, ke selatan, ke barat dan kembali ke utara. Permasalahan: 1. Dapatkah kamu gambarkan formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka sesuai permasalahan di atas? Arahkan untuk mensketsa formasi guru dan keempat siswa dalam latihan bola voli tersebut. siswa 2. Seandainya mereka dianggap sebagai titik, dapatkah kamu kembali menggambarkan formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius? Anggap guru olah raga tersebut adalah titik pusat O(0, 0). 3. Seandainya posisi guru dianggap sebagai titik P(1, 3), dapatkah kamu menggambar kembali formasi mereka di koordinat Kartesius? 4. Jika guru olah raga mengintruksikan kepada siswa untuk bebas mengover bola ke teman-temannya maka dapatkah kamu temukan pola pergeseran bola voli 379
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK tersebut? Coba kamu amati, teliti dengan baik hubungan koordinat Kartesius pada setiap titik. Dapatkah kamu temukan konsep pergeseran? Minta untuk siswa menggambarkan formasi mereka latihan bola voli sesuai dengan masalah tersebut. Ingatkan siswa masalah arah mata angin untuk meletakkan titik di utara, timur, selatan dan barat. Perhatikan Gambar 10.2 di samping. Alternatif Penyelesaian. 1. Gambar formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka pada latihan mengirim bola boli sesuai permasalahan di atas adalah sebagai berikut: Gambar 10.2: Formasi guru dan siswa dalam latihan bola voli 2. Formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius. Anggap guru olah raga tersebut adalah titik pusat O(0, 0). Minta siswa mensketsa kembali formasi pada Gambar 10.2 ke bidang kartesius. koordinat Ingatkan siswa bahwa posisi guru adalah di O(0,0). Minta siswa memperhatikan Gambar siswa, apa arti panah pada gambar? 10.3. Tanya tanda Gambar 10.3 Formasi 4 orang siswa dan 1 orang guru pada koordinat kartesius 3. Coba kamu gambarkan formasi mereka dalam bidang koordinat Kartesius dengan guru olah raga tersebut adalah titik pusat P(1, 3). siswa Minta menggambarkan formasi latihan bola voli tersebut koordinat ke kembali 380
Matematika Langkah 1. Letakkanlah titik P(1, 3) di koordinat kartesius dengan mengubah posisi guru olah raga ke koordinat siswa P(1,3), pandu mengikuti - langkah di samping. Kartesius. Langkah 2. Buatlah garis di empat penjuru (utara, timur, selatan, dan barat) dengan titik P adalah titik pusatnya. langkah Langkah 3. Bergeraklah 4 satuan ke masing-masing penjuru dan letakkanlah sebuah titik serta berilah nama titik A, B, C dan D. Langkah 4. Tentukanlah koordinat titik A, B, C dan D tersebut. 4. Perhatikan tabel berikut. Tabel 10.1 Posisi keempat siswa dalam bidang koordinat Kartesius dan hubungannya. Siswa 1 A(0, 4) Siswa 2 B(4, 0) Siswa 3 C(0, -4) Siswa 4 D(-4, 0) Dari/ke
0 4 0 4 0 0 4 0 0 4 4 − 4 0 − 4 0 4 0 − 8 − − 4
Siswa 1 A(0,4)
− 4 0
4 0 4 0 0 0 − 4 − 4 − − 8
Siswa 2 B(4,0)
− 4
− 4 4
4 0 0 − 4 4 − 4 0 − 4 0 − 4 0 0
0 Siswa 3 C(0,
4)
− 4
− 4
− 4 4
8 0
− 4 0
− 4 0
− 4
0 4 4 4 4 8 0 4 Siswa 4 D(-4,0) = + = + = + − 4 − 4 4 0 4 0 0 0 0 Minta siswa melengkapi setiap sel pada tabel di samping. Minta siswa mengamati penjumlahan bilangan pada matriks pada tabel. Arahkan siswa mengamati hubungan antar koordinat asal dan tujuan pada setiap sel. Ingatkan siswa materi Matriks di kelas X. Coba kamu isi sel yang masih kosong pada tabel di atas. Secara umum dapat kita lihat bahwa: jika titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b), koordinat hasil translasinya adalah A'(x + a, y + b). Perhatikan definisi berikut. 381
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Informasikan! Pada penjumlahan setiap sel diperoleh matriks baru selain matriks awal dan tujuan. Contoh di sel baris 1 kolom 1 diperoleh Definisi 10.1 Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi	titik	A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x	+	a, y	+	b), secara notasi ditulis: . siswa, matriks Tanya lain yang diperoleh pada sel lainnya. Dengan mengamati penjumlahan matriks di atas, guru bersama sama dengan siswa menarik pendefinisian berikut. 0 0 a T b →
matriks + x a + y b
x y A A ' Mari kita pelajari beberapa soal berikut yang diselesaikan dengan definisi di atas. Contoh 10.1 - Sebuah titik A(10, -8) ditranlasikan berturut-turut dengan T1(-1, 2) dilanjutkan T2(1,-12) dan T3(-5, -6) kemudian dilanjutkan lagi dengan. Tentukan koordinat titik banyangan A tersebut setelah ditranslasikan. tingkat Untuk melihat pemahaman siswa tentang definisi di atas, minta siswa memahami penyelesaian Contoh soal 10.1 berdasarkan definisi tersebut. Guru sebagai fasilitator dan mengawasi kebenaran pendapat siswa. Alternatif Penyelesaian-1 Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan: − T 1 2 → − T 3 − → 1 1 T 2 − 12 → 5
x y ' ' xx y x y 10 − 8 " " ''' ''' 6 A A ' A '' A ''' Dengan demikian, proses translasi dapat dilakukan secara bertahap (3 tahap) Pandu siswa memahami translasi setiap proses bertahap berikut. Pastikan siswa memahami penggunaan konsep atau definisi di atas pada masing - masing tahap. Tahap 1. − T 1 2 → 1
' ' 10 − 8 x y
A A ' − 1 2 − + 1 10 − 2 8
10 − 8 9 − 6 x y ' ' 382
Matematika Jadi, koordinat bayangan pada tahap 1 adalah A'(9,-6). Tahap 2. 1 T 2 − 12 →
x y ' ' x y " " A ' A '' + 1 9 − − 12 6
= + = = 10 − 18 x y '' '' 1 − 12 9 − 6 Jadi, koordinat bayangan pada tahap 2 adalah A''(10, -18). Tahap 3. − T 3 − → 5
x y
" "
x y
''' '''
6 A
''
'''
− 5 − 6
− + − −
x y
10 − 18 5 10 6 18 5 − 244 ''' ''' Jadi, koordinat bayangan pada tahap 3 adalah A'''(5, -24). Dengan demikian, bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T1(-1, 2), T2(1, -12), dilanjutkan dengan T3(-5, -6) adalah A'''(5, -24). Alternatif Penyelesaian-2 Permasalahan translasi di atas, dapat juga kita proses secara langsung atau tidak bertahap sebagai berikut: Arahkan siswa memahami penyelesaian alternatif samping. kedua di siswa, Tanya kenapa proses translasi dapat dilakukan sekaligus (tidak bertahap)? Minta siswa untuk menyampaikan pendapatnya. − T 1 2 → − T 3 − → 1 1 T 2 − 12 → 5
x y ' ' xx y x y 10 − 8 " " ''' '''
6 A A ' A '' A ''' − 5 − 6 − 1 2 −− + − + − −
1 − 12 10 − 8 5 1 1 10 + − 6 12 2 8 5 − 24 x y ''' ''' Dengan demikian, bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T1(-1, 2), T2(1, -12) dilanjutkan dengan T2(-5, -6) adalah A'''(5, -24). 383
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta siswa mengamati pergerakan titik (objek) oleh translasi pada tahap 1, 2 dan 3 pada gambar di samping. Tanya siswa, dimanakah translasi yang membuat pergeseran dapat dilakukan sekaligus (alternatif penyelesaian siswa Minta 2)? menggambarkan proses translasi pada alternatif penyelesaian 2. Alternatif Penyelesaian-3 Permasalahan di atas, dapat kita selesaikan secara geometri atau dengan menggambar pada bidang koordinat Kartesius. adalah 10.2 Contoh proses yang translasi dilakukan pada sebuah garis objek. sebagai Arahkan siswa memahami proses penyelesaian di samping. Tanya siswa, titik A(x,y) yang bagaimana yang dimaksud disamping? Pastikan siswa mengerti bahwa titik A(x,y) yang titik dimaksud adalah yang memenuhi garis (objek) tersebut. Gambar 10.4 Pergeseran bertahap sebuah titik Contoh 10.2 Sebuah garis g dengan persamaan y = mx, ditranslasikan dengan T(x1, y1) sehingga terbentuk garis g. Jika garis g melalui titik B(x2, y2) maka tentukanlah nilai m. 384
Matematika Alternatif Penyelesaian x 1 T y → 1
x y x y
' '
A A
x 1 y 1 x 1 y 1 x y
= = x y ' ' x y Diperoleh x' = x1 + x atau x = x' - x1 serta y = y' − y1 atau y' = y1 − y sehingga dengan mensubstitusi ke persamaan garis g diperoleh garis g' dengan persamaan: Ingatkan siswa konsep gradien pada persamaan garis yang dipelajari di SMP. y = mx ⇒ y = y' - y1 ⇒ y' - y1 = m(x - x1) Karena garis g' melalui titik A(x2, y2) maka y2 - y1 = y 1 x 1 − − y x 2 = m(x2 - x1) sehingga m 2 2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan) Minta siswa menjelaskan pengalamannya pada saat bercermin. Arahkan siswa menjelaskan bentuk dan ukuran dan jarak bayangan setiap objek pada cermin. 2.1 Menemukan Sifat-Sifat Refleksi Pada saat kamu berdiri di depan cermin (cermin datar), kemudian kamu berjalan mendekati cermin dan mundur menjauhi cermin, bagaimana dengan gerakan bayanganmu? Tentu saja bayanganmu mengikuti gerakanmu bukan? Bagaimana dengan jarak dirimu dan bayanganmu dengan cermin? Jarak dirimu dengan cermin sama dengan jarak bayanganmu dengan cermin. Mari kita lihat dan amati bentuk, ukuran dan posisi suatu objek bila dicerminkan pada sistem koordinat. Perhatikan gambar berikut. Minta siswa mengamati pencerminan objek pada bidang koordinat kartesius berikut. Arahkan siswa mengamati bentuk, ukuran dan posisi titik, kurva. dan bidang Beri kesempatan pada siswa menyampaikan pendapatnya. 385
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 10.5 Pencerminan titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius.3 Bersama - sama dengan siswa, guru memandu sifat - menyimpulkan sifat pencerminan pada dunia nyata dan pada pendekatan koordinat. Pada sistem koordinat Kartesius di atas, objek (titik, bidang, kurva lingkaran) mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama tetapi letak berubah bila dicerminkan (dengan garis). Perhatikan sifat- sifat pencerminan berikut. Sifat 10.3 Minta siswa mengutarakan pendapatnya masing - masing tentang sifat - pencerminan. Arahkan siswa memahami Sifat 10.3 dan Sifat 10.4 Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) mengalami perubahan bentuk dan ukuran. tidak sifat Sifat 10.4 Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. Pandu dalam siswa bekerja kelompok. Bentuk kelompok siswa terdiri dari 3 atau 4 orang. Arahkan mereka bekerja dan mempresentasikan kelompoknya. kerja kesempatan Berikan Kerja kelompok. Perhatikan gambar berikut. Jika garis 1 dan garis 2 adalah cermin maka berdasarkan sifat pencerminan, gambarkanlah bayangan kurva berikut! kerja 386
Matematika yang pada dan lain menanggapi m e m p r e s e n t a s i k a n hasil kelompok mereka masing - masing. telah (Bayangan dilengkapi pada gambar) kelompok kerja Gambar 10.6 Pencerminan kurva oleh cermin garis 1 dan garis 2 2.2 Menganalisis Konsep Refleksi Arahkan siswa, setelah mereka memahami sifat pencerminan maka siswa akan menemukan konsep pencerminan pada bidang koordinat (pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, titik asal, garis x = h, y = k, y = x dan y = -x) Berdasarkan sifat pencerminan (pada cermin datar), jarak objek dengan cermin sama dengan jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Secara analitik, konsep dapat kita temukan dengan melakukan beberapa percobaan. Objek yang digunakan adalah titik pada koordinat kartesius dan garis sebagai cermin. Dengan demikian, kamu diminta mengamati perubahan koordinat titik menjadi bayangan titik oleh cermin. Tentu garis sebagai cermin yang kita kaji adalah garis lurus. Ingatlah kembali (atau pelajari kembali) buku Matematika di kelas VII pada pokok bahasan Transformasi. Guru meminta kepada siswa mengamati gambar berikut. Arahkan siswa menjelaskan hubungan setiap pasangan titik yang dengan dihubungkan garis putus - putus pada koordinat kartesius. Minta siswa memberikan contoh pasangan titik yang sesuai dengan gambar tersebut (contoh dirancang siswa itu sendiri). Menemukan konsep pencerminan terhadap titik asal O(0,0) Coba amati gambar berikut! 387
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 10.7 Pencerminan terhadap titik asal koordinat Setiap pasangan titik dan banyangan pada gambar mendefinisikan garis melalui titik asal O(0,0). Jarak setiap titik ke titik asal sama dengan jarak banyangan titik tersebut ke titik asal. Sebagai contoh, titik A berpasangan dengan titik B dan jarak A ke O sama dengan jarak B ke O. Dengan demikian, titik O adalah sebuah cermin. Tabel 10.2 Koordinat titik objek dan bayangannya oleh pencerminan terhadap titik O Minta siswa mengamati setiap koordinat objek dan koordinat bayangan pada tabel berikut. Beri kepada kesempatan menyampaikan siswa pendapatnya terkait hubungan masing- masing koordinat pasangan tersebut. Koordinat bayangan Koordinat objek A (3, 3) B (-3, -3) C (-3, 3) D	(3,	-3) E (-3, 3) F (-1, -4) G (-2, 5) H (2, -5) I (-6, 1) J (6, -1) 388
Matematika Berdasarkan pengamatanmu terhadap koordinat objek dengan koordinat bayangan dari setiap titik pada tabel di atas, dapatkah kamu ambil pola hubungan setiap pasangan titik tersebut? Jika koordinat objek adalah titik A(a, b) maka koordinat bayangan adalah A(-a, -b). Ingat konsep matriks! Koordinat A(a, b) dapat dituliskan dengan Arahkan ke materi matriks sehingga titik A(a,b) hubungan bayangan dengan memenuhi A'(-a,-b) a = b siswa
1 0 0 1 a b
1 0 0 1 a b a b Perhatikan definisi berikut. memahami Dengan kesamaan matriks hubungan koordinat objek bayangannya dengan maka siswa matriks bahwa pencerminan terhadap titik asal (0,0) adalah Definisi 10.2 Pencerminan terhadap titik asal (0,0) Jika titik P(a, b) dicerminkan terhadap/ke titik asal (0, 0) maka bayangannya adalah P(-a, -b). arahkan − −
CO →
a b a b
0 0 , )
Dituliskan,	A A
a b a b 1 0 0 1 − a b − 1 0
0 − 1 a b dengan Dengan demikian pencerminan terhadap titik O . − 1 0
0 − 1 = ditunjukkan dengan matriks CO( , 0 0 ) Menemukan konsep pencerminan sumbu x (atau y = 0) terhadap Minta siswa mengamati koordinat objek pada kartesius berikut. Minta menyampaikan siswa tentang pendapatnya koodinat pengamatan tersebut. Minta siswa membuat contoh pasangan titik yang lain. Perhatikan pencerminan beberapa titik berikut terhadap sumbu x! 389
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK y x Gambar 10.8 Pencerminan titik terhadap sumbu x Mari kita sajikan setiap pasangan titik pada tabel berikut. Tabel 10.3 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap sumbu x A(1, 1) C(3, 2) E(6, 4) G(-2,3) I(-5, 2) K(-7, 1) Objek B(1, -1) D(3,	-2) F(6, -4) H(-2,-3) J(-5, -2) L(-7, -1) Bayangan memudahkan Untuk minta pengamatan, menyajikan siswa setiap koordinat objek dan pada bayangan tabel. Perhatikan Tabel siswa minta 10.3, koordinat mengamati kemudian menemukan polanya. Arahkan siswa pola mendapatkan pencerminan terhadap sumbu x untuk sembarang titik A(a,b). Secara umum, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu x (garis dengan persamaan y = 0) akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b'). Perhatikan gambar berikut. Gambar 10.9 Pencerminan terhadap sumbu x 390
Matematika Jika kamu amati gambar di atas, dengan menentukan koordinat bayangan dari setiap objek yang dicerminkan terhadap sumbu x maka nilai absis tetap tetapi nilai ordinat berubah yaitu: jika koordinat objek adalah A(a, b) maka koordinat bayangan adalah A'(a, ˗b). Ingat konsep matriks bahwa koordinat A(a, -b) dapat dituliskan dengan . Berikut adalah pencerminan sembarang sumbu titik x. siswa memahami pencerminan tersebut dan membuat matriks kesamaan hubungan koordinat objek dan bayangannya, berikut: sebagai a = b terhadap Arahkan
1 0 0 − 1 a − b a b Perubahan diformulasikan pada konsep sebagai berikut. koordinat bayangan tersebut dapat
1 0 0 − 1 a − b . Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0) Arahkan kembali kesamaan 1 a = − b 0 siswa Pandu bahwa menyimpulkan matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah siswa menemukan matriks a b Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya adalah A(a,-b).	Dituliskan,
a b a − b Csumbu x → A A '
0 − 1
1 0 0 − 1 a − b a b dengan Dengan demikian pencerminan ditunjukkan dengan matriks. terhadap sumbu x =
a − b a b
1 0 0 − 1
1 0 0 − 1 Csumbu x = untuk Pandu konsep menemukan pencerminan terhadap garis y = h. Ingatkan siswa sifat jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. siswa Menemukan konsep pencerminan garis y = h terhadap Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x atau garis dengan persamaan y = h akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b'). Perhatikan gambar berikut! 391
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 10.10 Pencerminan terhadap garis y = h Pandu siswa membentuk kelompok. Minta siswa membuat percobaan pencerminan titik dengan garis y = h. Guru menentukan nilai h yang berbeda setiap pada kelompok. Siswa bebas menentukan titik yang akan dicerminkan. Kemudian, kesempatan beri kelompok pada mempresentasikan pola hubungan koordinat objek dan bayangan yang mereka temukan. Minta siswa mengamati setiap titik koordinat (objek) dan koordinat (bayangan) pada titik koordinat kartesius berikut. Arahkan siswa titik membuat yang lain dan menentukan koordinat bayangannya. Kerja Kelompok Perhatikan gambar di atas! Berikan komentar anda, mengapa koordinat bayangan A'(a, 2h - b) jika objek A(a, b) dicerminkan ter-hadap garis y = k. Untuk menjawabnya, kamu harus menggunakan sifat pencerminan, yaitu AC sama dengan A'C. Menemukan konsep pencerminan sumbu y (atau x = 0) terhadap Perhatikan pencerminan titik terhadap sumbu y atau garis x = 0 berikut. setiap contoh Gambar 10.11 Pencerminan titik terhadap sumbu y 392
Matematika Perhatikan tabel berikut Tabel	10.4	Koordinat	titik	dan	bayangannya	oleh	pencerminan	terhadap sumbu y A(-1, 1) C(-3, -2) E(-2, 3) G(-4, 4) I(-5, -3) K(-8, -4) Objek B(1, 1) D(3,	-2) F(2, 3) H(4, 4) J(5, -3) L(8, -4) Bayangan Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y atau garis dengan persamaan x = 0 akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b'). Minta siswa mengamati dan koordinat bayangannya pada tabel di atas. Minta menemukan siswa pola hubungan kedua koordinat untuk masing- masing pasangan titik tersebut. objek Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0) Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y (garis	x = 0) maka bayangannya adalah A(-a, b). − Csumbu y 0 → 1 0
− a b
a b 1 Dituliskan, A A ' − 1 0 1` 0 − a b =
a b Pandu siswa membentuk kelompok. Minta siswa membuat eksperimen pencerminan sembarang titik terhadap garis x = k. Guru menentukan nilai k yang berbeda untuk setiap dan kelompok siswa bebas menentukan objek koordinat yang dicerminkan. akan Minta siswa menemukan hubungan koordinat objek, koordinat bayangan dan cermin. Beri kesempatan kepada siswa mempresentasikan masing hasil kerja Arahkan masing. - siswa membentuk pola pencerminan terhadap garis x = k secara umum. dengan Tugas Kelompok Coba kamu temukan konsep pencerminan dengan garis x = k kepada 393
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Arahkan siswa kembali konsep menemukan pencerminan terhadap garis y = x. Arahkan siswa ke permasalahan 10.3. Minta siswa mengamati objek koordinat dan bayangan pencerminan titik - titik pada koordinat kartesius di bawah. Menemukan konsep pencerminan garis y = k terhadap Masalah-10.3 Kamu pernah berbelanja sepatu di sebuah toko, bukan? Jika kita memilih sepatu dan mencobanya, maka toko tersebut menyediakan sebuah cermin yang membuat kita bisa melihat sepatu yang sedang kita pakai, bukan. Cermin tersebut adalah cermin datar namun diletakkan miring terhadap objek yang dicerminkan. Seandainya, permasalahan ini, kita bawakan ke pendekatan koordinat dengan memisalkan kembali bahwa objek yang dicerminkan adalah sebuah titik pada koordinat kartesius dengan cermin tersebut adalah sebuah garis, maka dapatkah kamu temukan hubungan koordinat objek dengan koordinat bayangannya? Ingat, kamu harus memegang sifat pencerminan bahwa jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. Mari kita kaji konsep pencerminan pada garis y = x	dan y = -x. Coba kamu amati pencerminan titik A(1, 2), B(2, -3), C(-2, 3), D(-4, -2), dan E(1, -4) terhadap garis y = x berikut. adalah Berikut pencerminan beberapa titik terhadap garis y = x. Tanya siswa, kenapa koordinat bayangan dapat ditemukan seperti pada gambar? Pastikan siswa menjawab mengarah ke sifat pencerminan: jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. Gambar 10.12 Pencerminan beberapa titik terhadap garis y = x 394
Matematika Minta siswa mengamati koordinat titik (objek) dan koordinat titik (bayangan) tabel 10.5. Beri pada kesempatan kepada siswa memberi komentar hubungan tentang pasangan setiap koordinat. Arahkan menentukan siswa konsep pencerminan titik terhadap garis y = x. Perhatikan tabel berikut. Tabel 10.5 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap garis y = x Koordinat bayangan A (2, 1) Koordinat objek A (1, 2) B (2, -3) B (-3, 2) C (-2, 3) C (3, -2) D	(-4,	-2) D	(-2,	-4) E (1, -4) E (-4, 1) Secara umum, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan Pandu siswa menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = x. Ingatkan siswa sifat jarak pada pencerminan. garis maka koordinat bayangannya adalah A(b, a). Perhatikan gambar berikut. konsep Berdasarkan terhadap pencerminan garis y = x, minta siswa konsep menemukan terhadap pencerminan -x. Pandu garis y = siswa menemukan konsep berdasarkan kesamaan matriks hubungan antara titik A(a,b) dengan A'(b,a) Gambar 10.13 Pencerminan terhadap garis y = x Dapatkah kamu melihat hubungan koordinat objek jika dengan koordinat bayangannya. Perhatikanlah, titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka koordinat bayangannya adalah A(b, a). Ingat pada matriks bahwa koordinat A(b, a) dapat dituliskan dengan
b a 0 1 1 0 a b adalah
b a 0 1 1 0 a b
siswa Arahkan matriks menentukan pencerminan terhadap garis y = x adalah .
b a 0 1 1 0 . a b
395
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK konsep Berdasarkan terhadap pencerminan garis y = x maka arahkan bekerja siswa untuk kelompok menemukan pencerminan matriks terhadap garis y = -x. 1. Minta siswa menggambar garis y = -x. 2. Minta menentukan siswa sembarang titik yang akan dicerminkan. 3. Dengan menggunakan sifat tentukan pencerminan, koordinat bayangan. 4. Letakkan pasangan titik bayangan objek dalam tabel. 5. Amati pola yang diperoleh. Perhatikan konsep berikut. Pencerminan terhadap garis y = x Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x) maka bayangannya	adalah	A(b,	a).	Dituliskan,
C y x → =
a b b a A A '
b a 0 1 1 0 a b
dengan Dengan demikian pencerminan terhadap garis y = x
0 1 1 0 ditunjukkan dengan matriks C xy= = . dan Tugas Kelompok Coba kamu tunjukkan bahwa pencerminan terhadap garis −
0 − 1 1 0 y=− = . y = - x diwakili dengan matriks C x Dengan demikian, matriks pencerminan dapat disajikan seperti berikut ini. Matriks pencerminan terhadap
− 1
0 − 1 4. Garis y = x 1. Titik O(0,0) 1 0 0 − 1
0 − 1 5. Garis y = -x
1 0 1−
2. Sumbu x 0
− 0
1 0 3. Sumbu y 1 396
Matematika Minta siswa memahami soal pada Contoh 10.3 dengan memanfaatkan konsep pencerminan terhadap sumbu x. Contoh 10.3 Tentukan bayangan titik A(1, -2) dan B(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x. Alternatif Penyelesaian. Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan: untuk Minta menunjukkan pencer- minan secara geometri pada bidang koordinat kartesius. siswa 1 Csumbu x 0 → 0 −
' ' 1 − 2 x y 1 A A '
1 − 2
1 0 0 − 1 1 2 x y ' ' Jadi bayangan titik A(1, -2) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A'(1, 2). 1 Csumbu x 0 → 0 −
− 3 5
' '
x y 1
B B
− 3 − 5
− 3 5
1 0 0 − 1 x y ' ' Jadi bayangan titik A(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A'(-3, -5). 10.4 Contoh memanfaatkan pencerminan sumbu y dan garis y = x. dengan konsep terhadap Contoh 10.4 Sebuah titik P(10, 5) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik tersebut. Berikut pencerminan dilakukan bertahap. siswa adalah yang secara Arahkan memahami Alternatif Penyelesaian-1 − C 0 → 1 0 0 1 C 1 0 →
x y '' '' x y ' ' 10 − 5 = y x sumbu y 1 P '' P P ' 397
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Permasalahan ini dapat diselesaikan secara bertahap, proses pencerminan dengan memanfaatkan konsep. Minta siswa menunjukkan untuk pencerminan secara geometri pada bidang koordinat kartesius. sebagai berikut: Tahap 1. − Csumbu y 0 → 1 0
' ' 10 − 5 x y 1 P P ' − 1 0 1 0 − 10 − 5
= 10 − 5 x y ' '
Jadi, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y adalah P'(-10, -5). Bayangan ini akan dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x pada tahap 2, sebagai berikut: Tahap 2. 0 1 C y x = 1 0 →
x y
' '
x y
'' ''
''
− 10 − 5
− 5 − 10
x y
'' ''
0 1 1 0 Jadi, bayangan titik P'(-10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y = x adalah P"(-5, -10). Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y, dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P"(-5, -10). dapat Contoh diselesaikan secara langsung (tidak bertahap). Pandu siswa memahami proses penyelesaian di samping. Ingatkan siswa kembali konsep perkalian matriks. 10.4 Alternatif Penyelesaian-2 Permasalahan di atas, dapat juga diselesaikan secara langsung sebagai berikut: − C 0 → 1 0 0 1 C 1 0 →
x y '' '' x y ' ' 10 − 5 = y x sumbu y 1 P '' P P ' − 1 0 1 0 − 5 − 10
10 − 5
0 1 1 0 1 0 − 1 0 10 −− 5 x y '' '' 398
Matematika Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y, dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P''(-5, -10). Arahkan siswa memahami proses pencerminan suatu kurva (lingkaran) pada Contoh 10.5 Contoh 10.5 Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0 dicermin-kan terhadap garis y = -x. Tentukan persamaan bayangan lingkaran yang terjadi. siswa Minta proses menyelesaikan di matriks samping dengan menggunakan konsep invers matriks, Alternatif Penyelesaian-1 Misalkan titik P(x, y) dilalui oleh lingkaran tersebut atau terletak pada kurva lingkaran sehingga permasalahan di atas dapat dinotasikan sebagai berikut: − 1 − 0 C y − 1 → 1
− 1 0
x y 0 − 1 x y ' '
x y x y
' '
=−
x 0
− 1 0
− −
0 − 1 x y ' ' x y y x Diperoleh x' = -y atau y = -x' serta y' = -x atau x = -y' sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan lingkaran maka diperoleh bayangan lingkaran dengan persamaan: 2 2 3 0 ⇔ − + − ( 2 y − − 2 ( 2 + 2 y + − 2 x ( ) − = . 3 0 2 x − = ( y ) ) x + x ) y − Dengan demikian, bayangan lingkaran: x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0 setelah dicerminkan terhadap garis y = -x adalah y2 + x2 + 2y - 2x - 3 = 0. 399
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikan soal - soal uji ini sebagai kompetensi tugas di rumah bagi siswa. Tujuan pemberian uji kompetensi ini adalah untuk mengetahui apakah siswa sudah memahami tentang konsep translasi dan refleksi Uji Kompetensi 10.1 1. Tunjukkanlah secara gambar pergeseran dari beberapa titik berikut! Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif. a. Titik A(2, -3) bila digeser 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah. b. Titik A(-3, 4) bila digeser 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas. c. Titik A(1, 2) bila digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas dilanjutkan dengan pergeseran 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(-3, 3) dan R(8, 0) bila digeser 3 satuan ke kiri dan 6 satuan ke bawah. Tentukanlah luas segitiga dan bayangannya. 2. Tentukanlah persamaan kurva oleh translasi T berikut, tunjukkanlah sketsa pergeseran kurva kemudian tersebut. Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif. a. Garis lurus 2x - 3y + 4 = 0 digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah. b. Parabola y = x2 - 2x - 8 ditranslasikan oleh T(-3, 9). c. Lingkaran x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 ditranslasikan dengan P(a, b) di mana P(a, b) adalah koordinat lingkaran tersebut. 3. Titik A(-2, 1) ditranslasikan berturut-turut dengan translasi � n + n translasi ke-2013. 2 � �� � 1 2 3. Titik A(-2, 1) ditranslasikan berturut-turut dengan translasi � n + n translasi ke-2013. 2 � �� � 1 2 � ÷÷ untuk n ∈ N. Tentukan posisi titik pada � = 400
Matematika 4. Tunjukkanlah secara gambar pencerminan dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, -3)bila dicerminkan terhadap sumbu x. b. Titik A(-3, 4) bila dicerminkan terhadap garis x = 5. c. Titik A(1, 2) bila bila dicerminkan dengan garis y = x dilanjutkan terhadap garis y = -2. d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(-3, 3) dan R(8, 0) bila dicerminkan dengan sumbu x. Tentukanlah luas segitiga dan bayangannya. 5. Tentukanlah persamaan kurva oleh pencerminan C berikut, kemudian tunjukkanlah sketsa pencerminan kurva tersebut. a. Garis lurus 2x - 3y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x. b. Garis lurus x + 2y + 3 = 0 dicerminkan terhadap garis y = -x. c. Parabola y = -x2 - 2x - 8 dicerminkan terhadap garis x = 1. d. Parabola y = x2 + x - 6 dicerminkan terhadap garis y = 1. e. Lingkaran x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 dicerminkan terhadap 4 cermin yaitu dengan garis y = -4, dengan garis y = 6, dengan garis y = -1, dan terhadap garis x = 6. 401
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 6. Tunjukkan dan berilah tanda "v" pada tabel di bawah ini, pencerminan yang mungkin ada pada setiap kurva berikut. Pencerminan terhadap No. Pers. Kurva Titik O(0, 0) Sumbu x Sumbu y y = x y = -x 1 Lingkaran x2 +	y2 = r2, r > 0 Parabola y = x2 Parabola x = y2 Kurva y = x3 Kurva y = |x| 2 3 4 5 6 Kurva y = cos x Kurva y = sin2013x 7 3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) Minta siswa menyebutkan objek beberapa yang dilingkungan berputar siswa sekitar. Minta memberi komentar tentang bentuk, ukuran dan posisi benda yang berputar. Arahkan siswa mengamati rotasi beberapa objek dalam sistem koordinat. Arahkan siswa memperhatikan gambar di bawah. 3.1 Menemukan Sifat-Sifat Rotasi Coba kamu perhatikan benda-benda yang berputar di sekelilingmu. Contohnya, jarum jam dinding, kincir angin, dan lain-lain. Menurutmu apakah bentuk dan ukuran benda tersebut berubah oleh perputaran tersebut? Tentu tidak, bukan. Bagaimana dengan objek yang diputar pada sistem koordinat, apakah bentuk dan ukurannya berubah juga? Perhatikan gambar berikut! 402
Matematika Gambar 10.14 Rotasi titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius Coba kamu amati perputaran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem koordinat di atas. Titik, bidang dan kurva bila diputar tidak berubah bentuk dan ukuran tetapi mengalami perubahan posisi atau letak. Jadi, bentuk dan ukuran objek tidak berubah karena rotasi tersebut tetapi posisinya berubah. Perhatikan sifat-sifat rotasi berikut. Pandu siswa memahami sifat - sifat perputaran Berikan atau kesempatan kepada siswa menunjukkan kebenaran sifat - sifat perputaran tersebut dengan melihat perputaran objek dalam dunia nyata. Kemudian, minta siswa menunjukkan kebenaran sifat - sifat sistem tersebut dalam kartesius koordinat dengan mengerjakan tugas kelompok di bawah ini. Sifat 10.5 Bangun yang diputar perubahan bentuk dan ukuran. (rotasi) tidak mengalami rotasi. Sifat 10.6 Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi. Tugas kelompok. Putarlah kurva berikut sebesar 2700 searah putaran jarum jam. Tunjuk-kanlah bahwa rotasi kurva tersebut memenuhi sifat-sifat rotasi. untuk Arahkan bekerja kelompok. Minta mereka mengamati kurva dab bayangannya pada perputaran 2700 pada Gambar 10.15 di samping. Minta siswa menunjukkan Sifat 10.5 dan 10.6 dipenuhi pada perputaran tersebut. siswa Gambar 10.15 Kurva yang akan dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat O(0,0) 403
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pandu siswa melakukan berikut. percobaan Sebaiknya, penyediaan bahan dan alat sudah dikonfirmasikan di hari Arahkan sebelumnya. siswa mengerjakan percobaan dalam bentuk kerja kelompok. Pandu siswa memahami rotasi suatu objek bergantung rotasinya pada pusat berdasarkan hasil percobaan tersebut. 3.2 Menemukan Konsep Rotasi Percobaan 10.1 Bahan. Selembar kertas karton Selembar bidang berbentuk persegi panjang (beri nama bidang ABCD) Sebuah pensil (atau alat tulis lainnya) Sebuah paku payung Sebuah lidi Lem secukupnya Percobaan 1. Letakkanlah bidang ABCD di atas kertas karton. Lukislah garis di atas kertas karton tersebut mengikuti keliling bidang ABCD dan berilah nama di kertas karton tersebut mengikuti nama bidang ABCD tersebut. Tusuklah dengan paku payung di pusat bidang ABCD menembus bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu. Percobaan 2. Tusuklah dengan paku payung di salah satu titik sudut bidang ABCD menembus bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu. Percobaan 3. Rekatlah salah satu ujung sebuah lidi pada bidang ABCD, kemudian peganglah lidi di ujung yang lain. Putarlah lidi tersebut sesuai keinginanmu. Dari percobaan 1, 2, dan 3, kesimpulan apa yang dapat kamu berikan. Mari kaji lebih lanjut percobaan ini. Misalkan percobaan 1, 2, dan 3 ditunjukkan dengan Gambar 10.16. 404
Matematika Perhatikan beberapa gambar berikut. Berikut adalah gambar hasil percobaan dengan tiga pusat pemutaran. Siswa boleh diarahkan untuk menentukan sendiri pusat pemutaran. a b c Gambar 10.16 Sebidang kertas dirotasi dengan pusat rotasi yang berbeda Berdasarkan gambar di atas, letak sebuah titik atau bidang setelah rotasi dipengaruhi oleh titik pusat rotasinya. Dengan demikian, mari kita temukan konsep rotasi sebuah titik dengan menampilkan percobaan tersebut ke dalam koordinat kartesius. Kamu diharapkan aktif dalam mengamati rotasi titik di pokok bahasan ini. untuk Pandu menarik kesimpulan dari percobaan tersebut. Pastikan siswa memahami bahwa rotasi bergantung pada pusat rotasi. siswa Rotasi pada Pusat O(0, 0) Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat O(0, 0) sebagai berikut. Setelah siswa memahami bahwa rotasi suatu objek bergantung pada pusat berikut rotasi maka rotasi dengan adalah pusat (lihat O(0,0) Gambar 10.16a). Arahkan siswa mengamati rotasi titik beberapa dengan pusat O(0,0) di samping. Siswa dapat diminta menentukan rotasi titik yang lain. Contoh 10.6 Rotasi titik sebesar 900 dengan pusat O(0, 0) Gambar 10.17 Rotasi 900 beberapa titik pada bidang koordinat Kartesius dengan pusat O(0,0) 405
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rotasi titik pada gambar di atas disajikan pada tabel berikut. Pandu siswa menyajikan (objek) koordinat dan rotasinya (bayangan) pada Gambar 10.17 ke dalam Tabel 10.6. Pandu siswa mengamati pola hubungan antara koordinat dan rotasinya. titik Tabel 10.6 Koordinat titik dan bayangannya oleh rotasi sejauh 900 dengan pusat O(0, 0) hasil Rotasi sejauh 900 dengan Pusat Rotasi O(0, 0) Titik Objek Titik Bayangan Pola � 0 � �� 3 � 0 � �� 1 � 1 3 � � �� ÷÷ 0 � � objek � ÷÷ � � =÷÷ � A(3, 0) A(0, 3) 0 �� �� 4 � � 1 0 � �� 1 � 1 4 � � �� ÷÷ 1 � � � =÷÷ � � ÷÷ � B(4, 1) B(-1, 4) 0 �� �� 5 � � 2 0 � �� 1 � 1 5 � � �� ÷÷ 2 � � � =÷÷ � � ÷÷ � C(5, 2) C(-2, 5) 0 Dengan demikian, rotasi 900 dengan pusat O(0, 0) − 1
0 = diwakili dengan matriks R o O[ 0 , 0 0 ( , )] 1 0 memperdalam Untuk pemahaman terhadap rotasi sebesar 90o dengan pusat A(0,0) rotasi siswa arahkan maka menyelesaikan soal pada Contoh 10.7 Contoh 10.7 Bidang ABCD dengan A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3) dan D(0, 3) dirotasikan sebesar 900 dengan pusat A(0, 0). Tunjukkan dan tentukan koordinat objek setelah dirotasikan. Alternatif Penyelesaian Perhatikan gambar berikut. Gambar	10.18	Rotasi	sebuah	bidang	ABCD	dengan	pusat	O(0,	0) 406
Matematika Hasil rotasi setiap titik A, B, C, dan D menghasilkan bayangan titik A', B', C', dan D' yang dapat kita ketahui koordinatnya seperti pada tabel berikut. Dengan mengamati Tabel 10.6 dan Tabel 10.7 maka siswa menarik pandu kesimpulan bahwa matriks rotasi 900 dengan pusat O(0,0) adalah Tabel 10.7 Koordinat titik dan bayangan bidang ABCD oleh rotasi sejauh 900 dengan pusat O(0, 0) − 1 0
0 1 Rotasi sejauh 900 dengan Pusat Rotasi A(0, 0) Titik Objek A(0, 0) Titik Bayangan A(0, 0) B(4, 0) B(0, 4) C(4, 3) C(-3, 4) D(0,	3) D(-3,	0) Secara umum, kamu pasti sudah dapat melihat pola atau hubungan antara koordinat objek dengan koordinat bayangan, bukan? Jika sebuah titik A(a, b) dirotasikan dengan sudut 900 searah jarum jam dan pusat rotasi O(0, 0) maka koordinat bayangan adalah A'(-b, a). Ingat koordinat �� �� a � � b 0 � �� 1 � 1 a � � �� ÷÷ b � � � =÷÷ � � ÷÷ . � A'(-b, a) dapat dituliskan dengan 0 Contoh 10.8 Setelah memahami rotasi pada sudut 900, arahkan siswa ke rotasi 1800 dengan pusat rotasi O(0,0). Minta siswa mengamati rotasi pada Gambar 10.19 Rotasi titik sebesar 1800 dengan pusat O(0, 0) Gambar 10.19 Rotasi 1800 titik pada koordinat kartesius dengan pusat O(0, 0) 407
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rotasi titik pada gambar 10.19 di atas disajikan pada Pandu siswa mengamati titik objek, titik bayangan dan hubungan kedua titik dan polanya pada Tabel 10.8 tabel berikut. Tabel 10.8 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh 1800 dan pusat O(0, 0) Rotasi sejauh 1800 dengan Pusat Rotasi O(0, 0) Titik Objek Titik Bayangan Pola Arahkan siswa menemukan atau menarik kesimpulan bahwa matriks rotasi 1800 dan pusat O(0,0) diwakili dengan matriks 0 − 1 � � �� � �� �� 0 � 2 1 0 � 2 � � �� ÷÷ 1 0 � � � ÷÷ � � =÷÷ � A(2, 0) A'(-2, 0) 0 � � �� � � � � �� � 3 1 0 � 3 � � ÷÷ �� 1 � � � =÷÷ � � ÷÷ � B(3, 1) B'(-3, -1) 1 0 1 − 1
= R o O � � �� � � � � �� � 4 1 0 � 4 � � ÷÷ �� 1 2 � � � =÷÷ � � ÷÷ � 180 [ , 0 0 ( , )] 0 C(4, 2) C'(-4, -2) 2 0 Dengan demikian, rotasi 1800 dengan pusat O(0,0) diwakili − 1
0 − 1 = dengan matriks R o O 180 [ , 0 0 ( , )] 0 Pandu siswa membentuk kelompok. Minta siswa memahami kembali konsep rotasi pada contoh sebelumnya. Minta siswa menemukan konsep rotasi titik sebesar -900 dengan pusat O(0,0). Berikan kesempatan pada siswa mempresentasikan hasil kerja mereka. Tugas Kelompok Tunjukkan matriks yang mewakili rotasi titik sebesar -900 dengan pusat O(0, 0) Dengan demikian, matriks rotasi dapat disajikan pada tabel berikut: Matriks rotasi dengan sudut
0 −
− 1
4. -90o
0 − 1 1. 270o 1 0 0 − 1 0 1 5. -180o −
− 1
0 − 1 2. 180o 0 0 − 1 − 1
0 0 3. 90o 6. -270o 1 0 1 0 408
Matematika Bimbing siswa ke konsep yang lebih dalam yaitu pusat rotasi dengan P(a,b). Minta siswa memahami Contoh 10.9 Rotasi pada Pusat P(a,b) Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat P(a, b) sebagai berikut. Contoh 10.9 Arahkan siswa, jika rotasi dilakukan pada pusat P(a,b), mereka melakukan translasi T(-a,-b) terlebih dahulu sehingga diperoleh rotasi terhadap pusat O(0,0) dan hasilnya ditranslasi kemudian lagi T(a,b). Pandu pemahaman siswa melalui pengamatan pada Gambar 10.20 Rotasi titik sebesar 900 dengan pusat P(a, b) Tunjukkanlah rotasi titik A(-5, 4) sebesar 900 dengan pusat P(1, 2) pada sistem koordinat. dengan Gambar 10.20 Rotasi 900 titik A(-5,4) pada sistem koordinat Kartesius dengan pusat P(1, 2) Langkah-langkah rotasi sebagai berikut. Langkah 1. Translasikan koordinat objek dengan (-a, -b) sehingga pusat rotasi berubah menjadi O(0, 0) Titik A(-5, 4) ditranslasi dengan T(-1, -2) diperoleh A'(-6, -2) Berikan waktu kepada siswa mempelajari sendiri rotasi langkah-langkah berikut. Minta siswa menghubungkan langkah- tersebut langkah rotasi dengan Gambar 10.20. Guru harus memandu siswa memahami langkah- langkah tersebut, kemdian sebuah guru membuat masalah untuk baru dikerjakan oleh siswa. Langkah 2. Rotasikan objek yang telah ditranslasikan sebesar sudut rotasi. Titik A'(-6, -2) dirotasikan sebesar 900 dan pusat O(0, 0) diperoleh A"(-2, -6) Langkah 3. Translasikan kembali koordinat hasil langkah 2 dengan pusat rotasi P(a, b). Titik A"(-2, -6) ditranslasikan kembali dengan (1, 2) diperoleh A"'(-1,-4) Jadi, banyangan rotasi titik A(-5, 4) dengan rotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi P(1, 2) adalah A"'(-1, -4) 409
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Untuk memperdalam pemahaman siswa, ajukan soal pada Contoh 10.10. Contoh 10.10 Perhatikan bidang ABCD adalah A(0, 0), B(4, 0), C(4,3) dan D(0, 3) dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi P(7, 3). Arahkan siswa mengamati gambar di samping. Perhatikan gambar! Minta siswa mengamati setiap koordinat pada tabel ini. Pandu siswa menemukan koordinat bayangan dari rotasi titik dengan pusat P(-7,-3) berdasarkan langkah - langkah rotasi di atas. di bawah Gambar	10.21	Rotasi	sebuah	bidang	ABCD	dengan	pusat	P(7,3) Tabel 10.9 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh -900 dan pusat P(7, 3) Rotasi sejauh -900 dengan Pusat Rotasi P(7, 3) Rotasi -900 Pusat O(0, 0) A2 (-3, 7) B2 (-3, 3) C2 (0, 3) D2 (0, 7) Translasi P(7, 3) = Titik Bayangan (-3,7) + (7,3) = A(4, 10) Titik Objek Tranlasi T(-7, -3) A(0, 0) A1 (-7, -3) B1 (-3, -3) C1 (-3, 0) D1(-7, 0) (-3, 3) + (7,3) = B(4,6) B(4, 0) (0, 3) + (7,3) = C(7, 6) C(4, 3) (0,	7)	+	(7,	3)	=	D(7,10) D(0,	3) siswa Arahkan menemukan proses rotasi dengan pusat P(p,q). Rotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q) Jika titik A(a,b) dirotasi dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q) adalah A′(b,a). −
M R Dituliskan,
− b q b
q 410
Matematika Dengan memanfaatkan konsep di atas, pandu siswa memahami proses rotasi kurva (garis) pada Contoh 10.11 di samping. Pandu siswa langkah per langkah pada proses di samping. Contoh 10.11 Sebuah garis 2x - 3y - 4 = 0 dirotasikan sebesar 1800 dengan titik pusat rotasi P(1, -1). Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan. Alternatif Penyelesaian. Dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. Misalkan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang dilalaui oleh garis tersebut, sehingga: R ]0 [ ���� � ),1,1( P 180 � ® yxA ,( ) yxA ,'(' )' Langkah 1. Translasi dengan T(-1,1) �� �� 1 � � x � �� y � 1 x � �� y � 1 � +÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � + 1 Langkah 2. Rotasi dengan sudut 1800 dan pusat O(0,0) � � �� � � +� x � �� �� y � 1 0 � x � � �� ÷÷ y � � 1 1 � ÷÷ 1 � � =÷÷ � + 0 1 1 Langkah 3. Translasi dengan P(1,-1) +� x � �� �� y � +� x � �� �� y � 1 1 � �� � � 2 2 � +÷÷ 1 � � =÷÷ � � ÷÷ � 1 +� x � �� �� y � x � �� y � ' 2 2 � =÷÷ � � atau x = -x'+2 dan y = -y'-2 sehingga ÷÷ � persamaan garis setelah dirotasikan adalah: Jadi, ' +� x =���� (2 (3)2 y 4)2 0 � ++ =�+ 46 2 x 34 y 0 � + =+ 6 2 x 3 y 0 411
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Arahkan siswa mengamati perkalian (dilatasi) objek pada sistem koordinat di bawah ini. Arahkan siswa mengamati (dilatasi) perkalian objek - objek tersebut. Arahkan siswa mengamati ukuran bentuk dan perkalian objek Berikan tersebut. kepada kesempatan siswa menyampaikan pendapatnya. 4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) 4.1 Menemukan Sifat-Sifat Dilatasi Kamu pernah mengamati sebuah balon yang dihembus atau diisi dengan udara, bukan? Makin banyak udara yang dipompa ke balon balon makin membesar. Pembesaran tersebut merupakan dilatasi sebuah benda. Perhatikan dilatasi beberapa objek pada gambar berikut. oleh Minta siswa mengamati bentuk ukuran dan objek setelah didilatasi pada bidang koordinat pada Gambar 10.22 di samping. Minta komentar siswa akan bentuk, ukuran dan posisi objek setelah didilatasi. Gambar	10.22	Dilatasi	titik,	bidang	dan	kurva	pada	koordinat	kartesius. Berdasarkan gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak akan berubah, bukan? Tetapi bagaimana dengan ukurannya? Ukuran objek yang didilatasi akan berubah. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut. siswa menarik Pandu sebagai kesimpulan sifat dilatasi melalui pengamatan dilatasi pada bidang koordinat tersebut. Lihat Sifat 10.7 -10.11 Sifat 10.7 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k	>	1	maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Sifat 10.8 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k	=	1	maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. 412
Matematika Sifat 10.9 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k	<	1	maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Sifat 10.10 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika -1 < k	<	0 - 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Sifat 10.11 Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k	<	-	1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. 4.2 Menemukan Konsep Dilatasi Arahkan siswa melakukan percobaan seperti pada masalah 10.4. Minta siswa mengamati setiap gelombang yang muncul di permukaan air. Minta siswa menggambar bentuk gelombang air yang diamatinya. Masalah-10.4 Pernahkah kamu melihat gelombang di permukaan air yang tenang. Coba kamu isi air pada ember dengan permukaan berbentuk lingkaran kemudian biarkan sejenak agar permukaan air tidak beriak atau tenang. Kemudian, coba kamu jatuhkan setetes air ke permukaan air yang tenang tersebut. Pengamatan apa yang kamu peroleh? Tentu	kamu	melihat	ada	gelombang	di	permukaan	air. Misalkan gelombang air tersebut kita ilustrasikan sebagai berikut. 413
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta siswa menjelaskan pengaruh pola gelombang jatuhnya dengan posisi tetesan tersebut. air Tentu saja, jelas nampak bahwa pola perbesaran gelombang dipengaruhi posisi air diteteskan. Gambar 10.23 Bentuk gelombang pada permukaan air Gambar 10.23 a terjadi jika kamu jatuhkan setetes air di tengah permukaan air tersebut. Coba kamu lakukan sebuah percobaan tersebut di sekolah atau di rumah. Gambar 10.23 b terjadi jika kamu menjatuhkan air di permukaan di luar titik pusatnya. Jika demikian, dapatkah kamu berikan komentar, di manakah dijatuhkan setetes air pada permukaan air agar terbentuk pola gelombang air pada gambar 10.23 c? Kamu dapat melakukan pengamatan pada beberapa percobaan sederhana di rumahmu. Mari kita lakukan kembali pengamatan pada gambar 10.23 a, 10.23 b, 10.23 c di atas. Berdasarkan gambar tersebut, gelombang diperbesar atau diperkecil bergantung kepada sebuah faktor pengali. Perhatikan kembali sifat- sifat dilatasi. Perhatikan kembali gambar tersebut, bentuk dilatasi gelombang tersebut juga bergantung pada pusat dilatasi. Dengan demikian, kita akan mempelajari kasus ini kembali untuk membangun konsep dilatasi. Ingat kembali materi dilatasi pada pokok bahasan transformasi di saat kamu di kelas VII. Mari kita angkat kembali permasalahan dilatasi bangun tersebut. Amatilah perkalian bangun pada koordinat kartesius berikut. 414
Matematika Minta siswa mengamati (dilatasi) perkalian contoh titik 10.12. Arahkan siswa langkah- memahami penyelesaian langkah di bawah ini. Berikan kesempatan pada siswa menyampaikan untuk terkait pemahamannya contoh dilatasi tersebut. Contoh 10.12 pada Sketsalah dilatasi titik berikut: Titik A(1, 3) dengan skala 2 dan pusat O(0, 0) Titik B(3, 2) dengan skala 3 dan pusat O(0, 0) Alternatif Penyelesaian Langkah 1 : Letakkanlah titik A atau titik B pada bidang koordinat Kartesius lurus yang Tariklah menghubungkan titik A atau titik B ke titik pusat dilatasi. Tentukanlah titik A' atau B' yang jaraknya 2 kali dari titik A atau titik B dengan pusat dilatasi. Titik tersebut adalah dilatasi titik A dengan faktor skala 2 dan pusat dilatasi. Langkah 2 : sebuah garis Langkah 3 : Langkah 4 : Gambar	10.24	Dilatasi	dua	buah	titik	dengan	pusat	O(0,	0) Dengan demikian bayangan titik A atau B oleh didilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat O(0, 0) adalah A'(2, 6) atau B'(6, 4). 415
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta siswa memahami Contoh 10.13. Arahkan siswa mempelajari terlebih dahulu kemudian proses arahkan sesi pembelajaran tanya jawab. Contoh 10.13 Sketsalah dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2) dan skala 2 Perhatikan sketsa dilatasi titik di atas. ke Gambar	10.25	Dilatasi	titik	A(2,	5)	dengan	pusat	P(-1,	2) untuk Pandu menemukan proses dilatasi pada sebuah titik secara umum. Pandu siswa memahami langkah per langkah. siswa Agar proses dilatasi titik dengan pusat P(p, q) dan skala k dapat dengan mudah diproses maka perlu dialihkan ke dilatasi dengan pusat O(0, 0), yaitu dengan melakukan translasi T(-p, -q), hasil dilatasi akan ditranslasikan kembali dengan translasi P(p, q). Dengan demikian, proses dilatasi adalah: Langkah 1. Translasikan pusat P(p, q) dan objek A(a, b) dengan translasi T(-p, � a p � �� � qb � q). a � �� b � � =÷÷ � Langkah 2. Dilatasikan A'(a - p, b - q) dengan skala k � ÷÷ � Diperoleh: dan pusat O(0, 0) � a � �� b � '' a � �� � qb � p � ÷÷ � � =÷÷ � k Diperoleh: '' 416
Matematika Langkah 3. Translasikan A" dengan P(p, q) � a � �� b � ''' a � �� � qb � p p � =÷÷ � � +÷÷ � � �� q � � ÷÷ � k Diperoleh: ''' Contoh 10.14 Minta siswa mengamati gambar pada Contoh siswa 10.14. Minta kembali mengkaitkan samping gambar di dengan sifat dilatasi di atas. Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = 2, k = -1, dan k = -3 serta pusat O(0, 0) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"' sifat - Alternatif Penyelesaian Arahkan siswa mengamati koordinat dan bayangannya pada Tabel siswa 10.10. Arahkan menemukan polanya. Gambar	10.26	Dilatasi	bidang	pada	pusat	O(0,	0)	dan	faktor	berbeda objek Perhatikan tabel berikut. Tabel 10.10 Dilatasi bidang ABC pada pusat O(0,0) dan faktor berbeda 1 � �� A 2 � 2 � �� 1 � 4 � �� 1 � � ÷÷ � � ÷÷ � � ÷÷ � B C Titik Obyek Faktor skala 0 � �� 0 � 0 � �� 0 � 0 � �� 0 � � ÷÷ � � ÷÷ � � ÷÷ � O O O Pusat 2 � �� 4 � 1 � �� 2 2 � 4 � �� 2 � 2 � �� 2 1 � 8 � �� 2 � 4 � �� 2 1 � � =÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � Titik Bayangan 1 'A 'B 'C k = 2 417
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK � � �� � � 1 1 � � �� �=÷÷ 1 2 � � � � �� � � 2 2 � � �=÷÷ �� 1 1 � � � � �� � � 4 4 � � �� �=÷÷ 1 1 � � � ÷÷ � � ÷÷ � � ÷÷ � Titik Bayangan 2 ''A ''B ''C k = -1 1 1 2 − � � �� � � � � �� � � 3 6 6 3 1 � � �� �=÷÷ 3 2 � � 2 � � �=÷÷ �� 3 1 � � = − 3
12 − 3 4 1 � ÷÷ � � ÷÷ � Titik Bayangan 3 '''A '''B C ''' k = -3 Bentuk kelompok siswa orang. dua terdiri Sebaiknya teman satu meja atau yang berdekatan. Minta mereka memahami contoh 10.15. Berikan kesempatan pada siswa menjelaskan pemahaman tentang contoh mereka tersebut. Guru dilatasi mengarahkan siswa berinteraksi tanya-jawab. Guru memperbaiki jawaban siswa dan konsep mereka yang menyimpang Contoh 10.15 Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = a, k = b, dan k = c serta pusat C(4, 1) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"' Gambar	10.27	Dilatasi	sebuah	bidang	dengan	pusat	pada	salah	satu	titik Arahkan siswa mengamati koordinat dan bayangannya pada Tabel siswa 10.11. Arahkan menemukan polanya. pojoknya objek Perhatikan tabel berikut. Tabel 10.11 Dilatasi bidang ABC pada pusat P(4, 1) dan faktor berbeda 1 � �� 2 � 2 � �� 1 � 4 � �� 1 � � ÷÷ � � ÷÷ � � ÷÷ � Titik Obyek A B C Faktor skala 4 � �� 1 � 4 � �� 1 � 4 � �� 1 � � ÷÷ � � ÷÷ � � ÷÷ � C C C Pusat Titik Bayangan 1 1 � �� 2 � 2 � �� 1 � 4 � �� 2 1 � 2 � �� 4 � 4 � �� 2 � 8 � �� 2 � � =÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � ',A ',B 2 2 'C k = 2 418
Matematika Titik Bayangan 2 � � �� � � 1 2 1 � �� 2 � � � �� � � 2 2 � �� 1 � � �=÷÷ 1 � � ÷÷ � � � �� � � 4 1 4 � �� 1 � � �=÷÷ 1 � � ÷÷ � � ÷÷ � � �=÷÷ 1 � ''A ''B ''C k = -1 1 Titik Bayangan 3 � � �� � � � � �� � � � 12 � �� � � 3 6 1 � �� 2 � 2 � �� 1 � 4 � � �� �=÷÷ 3 1 � � � �=÷÷ 3 � � ÷÷ � � �=÷÷ 3 � � ÷÷ � � ÷÷ � '''A '''B '''C k = -3 6 3 3 Dengan melakukan pengamatan pada contoh - contoh dan tabel di atas, guru dan siswa menarik kesimpulan dalam bentuk definisi dilatasi di samping. 1.	Dilatasi	dengan	pusat	O(0,	0)	dan	faktor	skala	k baA ,'(' )' [ , ),( baA � a � � �� =÷÷ � b � � ] kOD �� ® � a � � �� ÷÷ b � � k 2.	Dilatasi	dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k kqpPD [ ��� � ), , ( � a p � � �� +÷÷ � qb � � 2.	Dilatasi	dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k kqpPD [ ��� � ), , ( � a p � � �� +÷÷ � qb � � �� , ) ® ),( baA � a � � �� =÷÷ � b � � (' baA p � � �� ÷÷ q � � k Contoh 10.16 Minta siswa mengerjakan Contoh 10.16. Pandu siswa tetap menggunakan definisi dilatasi di atas. � y 3 =� 6 2 x 0 Sebuah garis g: didilatasikan dengan )2,1( �P . faktor k = 3 dan pusat dilatasi pada titik Tentukanlah bayangannya. Minta menunjukkan dilatasi menggunakan pada koordinat kartesius. siswa untuk proses dengan gambar Alternatif Penyelesaian. yxA ,( ) Misalkan titik yang akan didilatasikan, sehingga: adalah sembarang titik pada garis � ]3),2,1( [ PD ���� � ® yxA ,( ) yxA ,'(' )' � � x � �� y � ' x 1 1 � �� � � 3 � �� 3 � x 2 � =÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � �� 3 y � � +÷÷ � + + ' 2 2 y 4 419
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2'+ 3 x = y 3' + y 4 = x 3' � x 2 = x atau atau sehingga dan 4'� 3 y = y � y 3 =� 6 2 x 0 sehingga bayangan garis adalah + 3 � 3 x 2 y 4 � y 3 =� 2 2 x 0 � (3) =� (2 6) 0 atau . Berikan soal - soal uji ini sebagai kompetensi tugas di rumah bagi siswa. Tujuan pemberian uji kompetensi ini adalah untuk mengetahui apakah siswa sudah memahami tentang konsep rotasi dan dilatasi Uji Kompetensi 10.2 1. Tunjukkanlah secara gambar perputaran dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, -3) dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0). b. Titik A(2, -3) dirotasi sebesar - 900 dengan pusat rotasi O(0, 0). c. Titik A(-3, 4) dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi P(-1, 1). d. Titik A(-3, 4) dirotasi sebesar - 1800 dengan pusat rotasi P(-1, 1). e. Titik A(1, 2) bila dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0) kemudian dilanjutkan dengan rotasi sebesar -2700dengan pusat rotasi O(0, 0). f. TitikA(-1, 3) bila dirotasi sebesar - 900 dengan pusat rotasi P(1, 2) kemudian dilanjutkan dengan rotasi sebesar 1800 dengan pusat rotasi Q(-1, 1). g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(-3, 3) dan R(8, 0) bila dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi salah satu titik pojoknya. 420
Matematika 2. Tentukanlah persamaan kurva oleh rotasi R berikut! � y 3 =+ 2 x 04 dirotasi sebesar 900 a. Garis lurus dengan pusat rotasi O(0, 0). � y 3 =+ 2 x 04 dirotasi sebesar 900 b. Garis lurus dengan pusat rotasi P(1, -1). =+ x 04 32 � � y x dirotasi sebesar 1800 c. Parabola dengan pusat rotasi O(0, 0). � =+ x 32 � y x 04 dirotasi sebesar 2700 d. Parabola dengan pusat rotasi pada titik puncaknya. 2 2 + � � � = 20 0 x y 2 x 4 x e. Lingkaran dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik O(0, 0). 2 2 + � � � = 20 0 x y 2 x 4 x f. Lingkaran dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik P(6, 3). 2 2 + � � � = 20 0 x y 2 x 4 x g. Lingkaran dirotasi sebesar 900 dengan pusat rotasi pada titik P(8, 1). 3. Tunjukkanlah secara gambar dilatasi dari beberapa titik berikut! a. Titik A(2, -3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0). b. Titik A(-3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(0, 0). c. Titik A(1, 2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0) dilanjutkan dengan dilatasi dengan skala -3 dan pusat P(0, 0). d. Titik A(-3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(1, -1). e. Titik A(2, -3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-2, 0). 421
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK f. Titik A(2, -3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-1, 1) dilanjutkan dengan dilatasi dengan skala -1 dan pusat P(2, -1). g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(-3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat P(0, 0). h. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(-3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan dengan faktor skala -3 dengan pusat P(1, 1). 4. Tentukanlah persamaan kurva oleh Dilatasi D berikut! 32 � didilatasi dengan a. Parabola =+ 04 � x y x faktor skala 2 dengan pusat rotasi O(0, 0). x 4. Tentukanlah persamaan kurva oleh Dilatasi D berikut! 32 � didilatasi dengan a. Parabola =+ 04 � x y x faktor skala 2 dengan pusat rotasi O(0, 0). x 32 � =+ didilatasi dengan faktor skala -2 dengan pusat rotasi pada titik puncaknya. c. Lingkaran � y x 04 2 2 didilatasi � x dengan faktor skala 1/2 dengan pusat rotasi pada titik O(0, 0). 2 y + � � = 20 0 x y 2 4 x 2 = didilatasi � x dengan faktor skala -1 dengan pusat rotasi pada titik P(1,-5). x e. Lingkaran + � � x 2 4 x 20 0 d. Lingkaran 2 2 = didilatasi � x dengan faktor skala -1 dan pusat P(0,0) dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala -1 dengan pusat rotasi pada titik P(1,5). + � � y 2 4 x 20 0 422
Matematika D. PENUTUP Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep transoformasi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut. 1. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) adalah menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh � �÷÷ � x � �� A y � 2. Refleksi a � � ÷÷ �� T b � � �� ® + ax � �� + by � � ÷÷ � 1. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) adalah menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh � �÷÷ � x � �� A y � 2. Refleksi a � � ÷÷ �� T b � � �� ® + ax � �� + by � � ÷÷ � 1. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) adalah menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh � �÷÷ � x � �� A y � 2. Refleksi a � � ÷÷ �� T b � � �� ® + ax � �� + by � � ÷÷ � jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. atau pencerminan adalah satu a. Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal � � �� � � a a � �� A b � � � �� � � ÷÷ dengan � � �÷÷ � 1 0 OC �� ® )0,0( A ' (0, 0) b �� a �� b � 0 � 1 b. Pencerminan titik A (a, b) terhadap a � � �� ÷÷ b � � � ÷÷ � � =÷÷ � sumbu x = h didefinisikan dengan: xC � = �� ® � bahA baA ,( ) 2(' , ) h , sedangkan pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu y = k didefinisikan dengan: yC � = �� ® � bk baA ,( ) aA 2,(' ) k 423
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a � �� A b � a � �� � � a � �� � � 1 � �� 0 � 0 � a � � �� ÷÷ 1 b � � � �÷÷ � � ÷÷ � � =÷÷ � � ÷÷ � C �� ® ' A dengan sumbu x c. b b d. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x e. Pencerminan A(a, b) terhadap garis y = x dengan b � �� a � 10 � �� 01 � a � � �� ÷÷ b � � � =÷÷ � � ÷÷ � 3. Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang lain dengan memindahkan suatu perputaran tertentu. Rotasi terhadap terhadap titik O(0, 0) sebesar 900 dirumuskan dengan: titik ke titik pusat titik A a b ( , ) O � � � � �® ( 0,0),90 ] 0 R [ � A b a '( , . ) 4. Dilatasi suatu transformasi yang memperbesar atau memperkecil tidak mengubah bentuk. Dilatasi bangun k dengan pusat O(0, 0) dan : dirumuskan ), q) sedangkan dengan: dan . )] atau perubahan skala adalah tetapi faktor O kD [ ], � � �® pusat skala dengan ( , ) A a b dengan k '( A ka kb , P(p, dilatasi skala faktor D [ dirumuskan ] P p q k , ( ), � � � �® + A p k a � + � A a b ( , ) '[ ( p q k b q ), ( 424
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 11 TURUNAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu: 1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2. Mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks lain dan menerapkannya. 3. Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi. 4. M e n d e s k r i p s i k a n k o n s e p t u r u n a n d a n menggunakannya untuk menganalisis grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi naik dan fungsi turun. Melalui pembelajaran materi memperoleh pengalaman belajar: • Terlatih kritis, berpikir menganalisis permasalahan. turunan, siswa kreatif dalam Bekerjasama dalam tim dalam menemukan solusi permaslahan melalui pengamatan, diskusi, dan menghargai pendapat dalam saling memberikan argumen. Terlatih melakukan penelitian dasar terhadap penemuan konsep. Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait turunan. • Merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan turunan. 5. Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis singgung kurva, garis tangen, dan garis normal. 6. Mendeskripsikan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok). Turunan •	Fungsi	naik •	Fungsi	turun •	Garis	singgung	fungsi
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Setelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu: 7. Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum. Melalui pembelajaran materi memperoleh pengalaman belajar: model • Menyelesaikan turunan, siswa matematika untukmenganalisis dan mendapatkan solusi per- masalahan yang diberikan. Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep turunan berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya. 8. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar. Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan turunan berdasarkan konsep yang sudah dimiliki. 9. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun. 10 Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maksimum, titik minimum dan titik belok). 11.Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan mengkomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum. Menerapkan berbagai sifat turunan dalam pemecahan masalah.
Matematika B. PETA KONSEP Fungsi MATERI PRASYARAT Limit Fungsi MASALAH OTENTIK Turunan Fungsi f '(x) < 0 f '(x) > 0 f '(x) = 0 Fungsi Turun Fungsi Naik Titik Stasioner f ''(x) < 0 f ''(x) > 0 f ''(x) = 0 Titik Balik Maksimum Titik Balik Minimum Titik Belok Grafik Fungsi 427
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Perkenalkan kepada siswa materi yang akan disampaikan. Bangun motivasi siswa dengan memberikan informasi kebergunaan konsep ini sehari- di aplikasi hari, bidang di teknik (geometri, fisika, .)dan lain-lain C. MATERI PEMBELAJARAN 1.Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga penguasaan kamu terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi membantu kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari- hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik/ turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan. Kita memulainya dengan menemukan konsep persamaan garis tangen/singgung. kehidupan seperti berbagai Ingat konsep kembali gradien persamaan garis yang dipelajari di SMP dan di Bab IV kelas XI. Minta siswa menyebutkan kembali konsep gradien tersebut. 1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung. Masalah-11.1 Ajukan Masalah 11.1 sebagai siswa kepada salah satu masalah nyata terkait garis sekan dan garis tangen. Beri kesempata kepada siswa untuk memahami kasus dan mempelajari sketas pada Gambar 11.2. untuk Minta menuliskan yang diketahui, dan ditanyakan, m e n g i n t e r p r e t a s i masalah dalam gambar, untuk menunjukkan pergerakan pemain ski dan menemukan konsep Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang bergelombang. Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan. Perhatikan gambar di bawah. siswa apa Gambar 11.1 Bermain ski 428
Matematika terkait hubungannya dengan garis sekan dan garis tangen. Permasalahan Secara analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan sudut pandang tegak lurus ke depan dan papan ski adalah sebuah garis lurus sehingga terdapat dua garis lurus. Dapatkah kamu tunjukkan hubungan kedua garis tersebut? Minta siswa mengamati gambar. Jika kurva f)x) disamping adalah lintasan yang dilalui peluncur maka titik pada kurva setiap sehingga dilalui akan peluncur perpindahan dianggap perpindahan setiap Q ke arah titik P. Alternatif Penyelesaian Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan deskripsi permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar berikut. Gambar 11.2 Garis sekan, garis singgung dan garis normal terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Tujuan kita adalah mendapatkan persamaan garis singgung (PGS). Posisi tegak pemain Minta siswa mengamati gambar di atas kembali dan meminta mengajukan pertanyaan berbagai serta gambar terkait menemukan pemaknaan istilah tali busur, garis normal, garis dan kurva. singgung pada Minta siswa mengamati setiap garis yang dibentuk titik Q dan P, kemudian mencari hubungan garis normal, garis sekan dan garis tangen. Misalkan pemain ski mulai bergerak dari titik Q(x2, y2) dan melayang ke udara pada saat titik P(x1, y1) sehingga ia akan bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan kedua titik disebut garis tali busur atau garis sekan. Sepanjang pergerakan tersebut, terdapat banyak garis sekan yang dapat dibentuk dari titik Q menuju − − y 2 x 2 y 1 x 1 sec = titik P dengan gradien awal m . 429
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x2 = x1 + ∆x dan y2 = y1 + ∆y sehingga: jika ∆x makin kecil maka Q akan bergerak mendekati P atau jika ∆x → 0 maka Meminta siswa mencoba tali menggambarkan busur )garis sekan) PQ, dengan posisi titik Q berada pada kurva yang semakin mendekati posisi titik P. Arahkan siswa menganalisis perubahan gerakan busur tali PQ, untuk menemukan pengertian garis sekan. Tanya terdapat siswa, berapa banyakkah garis sekan yang dapat dibuat dari pergerakan titik Q ke titik P pada gambar di samping? secara Arahkan kelompok menuliskan ciri-ciri garis sekan dan pengertian menuliskan garis sekan, garis tangen. Arahkan siswa mencari gradien sekan. garis Minta siswa menyebutkan kembali konsep gradien pada garis lurus. Hasil diskusi dijelaskan oleh masing - masing kelompok. Q → P. Perhatikan gambar! Gambar 11.3 Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgung siswa Karena y = f (x) maka gradien garis sekan PQ adalah − − ∆ y ∆ x ( f x 2 x 2 ) ( f x 1 x 1 ) PQ = = = m m . sec ∆ + x ) ∆ + x − − + ∆ x ) ∆ x − f x ( 1 ( x 1 ( f x 1 x 1 ) ( f x 1 ( f x 1 ) = ⇔ = m m PQ PQ ) Definisi 11.1 Misalkan f : R	→ R	adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + ∆y) pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien + ∆ x ) ∆ x − ( f x 1 ( f x 1 ) = m sec Pandu untuk siswa membentuk Definisi 11.1 berikut. Minta siswa memberikan penjelasan Definisi dengan 11.1 kata-katanya uraian sendiri. Guru memandu dan mengarahkan bila Amati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka ∆x →0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien: + ∆ ) x ∆ x − ( f x 1 ( f x 1 ) ( ) = m lim ∆ → 0 x jika limitnya ada . PGS 430
Matematika muncul jawaban yang menyimpang dari definisi. Ingatkan siswa bahwa materi Limit Fungsi pada Bab X di kelas X adalah materi prasyarat terhadap pelajaran ini. Definisi 11.2 Misalkan f	adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis: + ∆ x ) ∆ x − ( f x 1 ( f x 1 ) ( Jika limitnya ada)) = = m lim → ∆ 0 x m lim → ∆ 0 x Arahkan siswa memahami Definisi 11.2. PGS sec Contoh 11.1 Tanya siswa, apa arti dari Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = -1 pada kurva f(x) = x4. lim m →0 sec ? Arahkan ∆x kembali ke Gambar 11.3. Guru mengajukan bebe- rapa contoh dan mengajak siswa bersama-sama men- coba menyelesaikan soal yang diajukan. Alternatif Penyelesaian. Misalkan x1 = -1 dan y1 = (-1)4 = 1 sehingga titik singgung P(-1,1). Jadi, gradien garis singgung adalah: − 1 ) ∆ x ) ∆ x 4 − + ∆ ∆ − − + ( ) x 1 1 ) x ∆ ∆ x x 2 4 − + ∆ − + ∆ x [( ) 1 ) ( x 1 ∆ x 2 ∆ ) x − + 1 − f ( f ( = m lim ∆ → 0 x PGS Minta siswa menjabarkan tanpa menggu- − +1 ( nakan Binomial Newton. 4 − − − ) ( 1 1 ) ( f 4∆x ) ( f = = lim lim PGS ∆ → ∆ → 0 x 0 x ⇔ m m PGS 2 4 + − − − ) ][( ( 1 ) ( 1 ∆ x 2 + − ) ][( ( 1 ∆ x ∆ x ∆ xx ∆ ∆ ] x x 2 2 − − ) ] ( 1 − + 1 ∆ x ) ⇔ ⇔ = = mm m lim lim → ∆ ∆ → 0 x 0 x PGS PGS 2 2 − − ( 1 ) ] − + 1 − + 1 ∆ x [( ) ⇔ = mm lim ∆ → 0 x PGS 2 2 + − ) ][( ( 1 − + 1 − + 1 + − )][( ( 1 − + 1 − − )] ( 1 ∆ x ∆ x [( ) ) ) ⇔ = m lim ∆ → 0 x PGS 2 − + 1 + ][ 1 ∆ x 2 1 + ][ − + 2 ∆ x [( ) ⇔ = lim ∆ → 0 x m PGS ⇔ = − + 1 − + 2 ∆x = − 4 ∆ x lim[( ∆ → 0 x m )) ] PGS Jadi, persamaan garis singgung adalah y - 1 = -4(x - (-1)) atau y + 4x + 3 = 0. Perhatikan gambar berikut. 431
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta siswa mengamati grafik di samping. Minta siswa mengamati garis tangen, garis sekan dan kurva. Gambar 11.4 Garis singgung dan garis normal kurva f(x) = x4 di titik P(-1,1) Arahkan siswa kembali mengamati Gambar 11.3. Tanya siswa, jika titik P dengan absis x berada disepanjang kurva maka apa arti ∆ x ∆ x 1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi Kita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep turunan. + − f x ( f x ( ) ) ? lim → ∆ 0 x Coba kamu perhatikan dan amati kembali sketsa kurva pada Gambar 11.3. Dengan memisalkan x2 = x1 + ∆x dan y2 = y1 + ∆y maka titik Q akan bergerak mendekati P untuk ∆x makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada titik P yang disimbolkan dengan: + ∆ x ) ∆ x − ( f x 1 ( f x 1 ) ( Jika limitnya ada ) = = m '( f x 1 ) lim ∆ → x 0 . tan Jika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah: + ∆ ) x ∆ x − ( f x ( ) f x ( Jika limitnya ada ) = '( ) f x lim →∆ 0 x . diperkenalkan Perlu turunan simbol-simbol agar terjadi tidak kebingungan bila simbol Perlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat berbeda-beda. Beberapa simbol turunan yang sering dituliskan adalah: 432
Matematika tersebut berubah di buku ajar lainnya. Notasi Newton
f (x) atau y turunan pertama fungsi Notasi Leibniz ( ) df x dx dy dx atau turunan pertama fungsi
Pandu siswa memahami Definisi 11.3 dan Definisi 11.4 Minta siswa menjelaskan kembali Definisi 11.3 dengan menggunakan gambar. Definisi 11.3 Misalkan fungsi f	: S	→ R, S ⊆ R dengan (c - ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika + ∆ ) x ∆ x − f c ( f c ( ) lim → ∆ 0 x ada. Definisi 11.4 Misalkan f	: S	→ R dengan S	⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S. Masalah-11.2 Ajukan Masalah 11.2 untuk dipahami siswa. Ingatkan kembali siswa materi nilai mutlak pada Bab 2 kelas X. Minta siswa mensketsa fungsi nilai mutlak tersebut terbang melayang di Seekor burung ikan di permukaan udara dan melihat seekor terbang menukik dan laut. Burung menyambar terbang ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi f(x) = |x| pada batas x tentukan. Dapatkah kamu sketsa grafik tersebut. Coba amati dan teliti dengan cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0). camar tersebut ikan kemudian langsung Alternatif Penyelesaian Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas X Misalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O(0,0) sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut (ingat cara menggambar kurva f(x) = |x| di kelas X): 433
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta siswa memperhati- kan sketsa fungsi nilai mutlak di samping. Seka- rang, arahkan siswa untuk mendapatkan turunan fungsi tersebut. Gambar 11.5 Kurva fungsi f(x) = |x| Berdasarkan definisi nilai mutlak pada Bab 2 kelas X (Definisi 2.1) dan konsep turunan, pandu siswa turunan menemukan fungsi f)x) = |x|. Ingatkan siswa konsep limit kiri dan limit kanan pada Bab 10 kelas X. Berdasarkan konsep turunan di atas maka ∆ x ) ∆ x + − ( f x ( ) f x = '( ) f x lim →∆ 0 x bila limitnya ada. i. Jika x ≥ 0 maka f(x) = x sehingga: ( f x + ∆ x ) ∆ x − + ∆ x ∆ x − ( ) f x ( x ) x = = = lim ∆ → x 0 (limit kanan ada). '( ) f x lim ∆ → 0 x 1 ii. Jika x < 0 maka f(x) = -x sehingga: + ∆ x ) ∆ x − − + x ( ∆ x ) ∆ x − − ( ( f x ( ) f x x ) 1 = = = − '( ) f x lim ∆ → 0 x lim ∆ → 0 x (limit kiri ada). Coba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju 0 didekati dari kiri, maka + ∆ ) x ∆ x − ( f x ( ) f x tidak sama, bukan? Hal ini = '( ) f x lim →∆ 0 x mengakibatkan turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0. 434
Matematika Pandu siswa memahami Definisi 11.5. Minta siswa menemukan fungsi yang mempunyai nilai turunan kanan tidak sama dengan turunan kiri selain fungsi nilai mutlak di atas. Definisi 11.5 Misalkan fungsi f	: S→R, S ⊆ R dengan (c - ∆x, c + ∆x) ⊆ S • Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika + f c ( ∆ ) x ∆ x − f c ( ) lim → + ∆ 0 x ada. Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika + ∆ ) x ∆ x − f c ( f c ( ) ada. lim → − ∆ 0 x Berdasarkan pembahasan masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut. Sifat 11.1 Pandu siswa memahami Sifat 11.1. siswa membuat Minta sebuah dan menunjukkan turunan kiri dan kanan fungsi tersebut. Misalkan fungsi f	: S→R, S ⊆ R dengan x ⊆ S dan L ⊆ R. Fungsi f	dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis: fungsi + ∆ x ) ∆ x − + ∆ x ) ∆ x − ( f x ( ) f x ( f x ( ) f x = ⇔ L = = '( ) f x lim ∆ → 0 x lim ∆ → 0 x L + − Keterangan: f x ( + ∆ x ) ∆ x − f x ( ) lim → + ∆ 0 x 1. adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S. f x ( ) + ∆ ) x ∆ x − f x ( 2. adalah turunan fungsi f di titik x lim → − ∆ 0 x yang didekati dari kiri pada domain S. Guru mengajukan Contoh 11.2 dan mengajak siswa bersama-sama mencoba menyelesaikan soal yang diajukan tersebut. Contoh 11.2 = 2 Tentukan turunan fungsi y x 435
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Guru membuat contoh lainnya untuk dikerjakan oleh siswa. Alternatif Penyelesaian ( ) = 2 Jika f x x + ∆ x ) ∆ x ∆ x 2 ∆ x 2∆∆ x ∆ x 2 + − ( f x ( ) f x = '( ) maka f x lim ∆ → 0 x + − x x 2 2 = lim ∆ → 0 x + − + ∆ x ∆ x + Ingatkan siswa tentang perkalian sekawan pada Bab 1 di kelas X. 2 x 2 x 2 2 x x 2 = . lim ∆ → 0 x + + x x 2 2 2 ∆ x ∆ x = lim ∆ → x 0 + ∆ x ( ) x x 2 2 2 2 +∆ x = lim ∆ → 00 x + 2 x 2 2 x untuk Pandu konsep menggunakan turunan limit fungsi untuk menemukan turunan fungsi aljabar. siswa 1.3 Turunan Fungsi Aljabar Mari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi berdasarkan limit fungsi yang telah dijelaskan di atas. Coba pelajari permasalahan berikut. sebagai Masalah-11.3 Berikan beberapa contoh fungsi menurunkan aljabar siswa menggunakan dengan sehingga limit menemukan mereka dan kesedehanaan kesulitan proses dalam konsep menggunakan ini. siswa Arahkan mengerjakan Contoh 11.3 -11.6. Pada subbab di atas, telah dijelaskan bahwa kepada turunan merupakan limit suatu fungsi, yaitu: ∆ x ) ∆ x fungsi + − ( f x ( ) f x = '( ) f x lim →∆ 0 x . Coba kamu amati dan pelajari beberapa contoh penurunan beberapa fungsi berikut dengan konsep limit fungsi: 436
Matematika Pada Contoh 11.3 dan 11.4, siswa masih dengan mudah menjabarkan x2 dan x4. Contoh 11.3 + ∆ x ) ∆ x 2 − ∆ ) x ∆ x ∆ x − f x ( f x ( ) Jika f(x) = x2 maka f '(x) = lim ∆ → 0 x 2 + ( x x = lim ∆ → 0 x = + lim ∆ → 0 x 2 x x 2 = Contoh 11.4 Minta siswa menjawab soal di samping dengan menjabarkan bentuk )x + ∆x)4 terlebih dulu. Jika f(x) = x4 maka f '(x) + ∆ x ) ∆ x 4 − ∆ ) x ∆ x 34 ∆ x x − f x ( f x ( ) = lim ∆ → 0 x 4 + ( x x = lim ∆ → 0 x 2 3 4 ( ) + ∆ x 2 ) + ( ( ) + ( ) − 4 2 4 + ++ ∆ x ∆ x ∆ x 6 x 4 x x x = lim ∆ → 0 x ( ) 3 ( )) 3 2 ∆ x + ∆ x + ∆ x ∆ x x x x 4 6 4 = lim → ∆ 0 x ∆ x 34 x = 437
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK siswa Minta soal memperhatikan pada contoh di samping. Tanya dimana siswa, letak kesulitan pada soal. Minta siswa menjawab soal di samping dengan menjabarkan bentuk )x + ∆x)100 terlebih dulu. Contoh 11.5 + ∆ ) x ∆ x 100 ∆ ) x ∆ x − f x ( f x ( ) Jika f(x) = x100 maka f '(x) = lim ∆ → 0 x 100 x + − ( x = lim ∆ → 0 x ? ∆ x = lim ∆ → 0 x = ....? (dengan menjabarkan; proses semakin sulit, bukan?) Contoh 11.6 3 5 maka f '(x) = + ∆ ) x ∆ x 3 5 − f x ( f x ( ) Jika f(x) = x lim ∆ → 0 x 3 5 + − ∆ ) x ∆ x ( x x = lim ∆ → 0 x ? ∆ x = lim ∆ → 0 x = ..? .. (dengan menjabarkan; proses juga semakin sulit, bukan?) Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Jelas, kita kesulitan dan harus mempunyai banyak strategi aljabar untuk melanjutkan proses pada Contoh 11.5 dan 11.6. Bentuk suatu fungsi beragam sehingga penurunannya dengan menggunakan limit fungsi akan ada yang sederhana diturunkan dan ada yang sangat sulit diturunkan. Kita harus mempermudah proses penurunan suatu fungsi dengan menemukan aturan-aturan penurunan. 438
Matematika Informasikan kepada siswa bahwa kesulitan mencari fungsi turunan pada contoh di atas dapat dengan diatasi bentuk menemukan turunan secara umum. Arahkan siswa memahami proses fungsi di samping. siswa Minta menyelesaikan kembali soal pada Contoh 11.3- 11.6 di atas. Minta siswa membuktikan jika dan ada, maka menggunakan dengan fungsi. konsep )Jawaban di samping). Contoh 11.5 dan 11.6 dijawab di samping. 1.3.1 Menemukan turunan fungsi f(x) = axn,untuk n bilangan asli + ∆ x ) ∆ x ax − ( f x ( ) f x = '( ) f x lim ∆ → 0 x n n + − ∆ ) x ∆ x anx ( a x ( ) = lim ∆ → 0 x Gunakan Biinomial Newton
− 1 − nn n n n n 2 n 2 2 − ∆ ∆ x ∆ a x + + + + ... ax x aC x ∆ x + + ∆ x ... ax limit = lim ∆ → 0 x − 1 − − 1 n 2 n n n aC x 2 ∆ x + ∆ ∆ a x x anx ( ) = lim ∆ → 0 x − 1 n = anx Coba kamu buktikan sendiri jika f (x) = au(x) dan u'(x) ada, maka f '(x) = au'(x) 1.3.2 Menemukan turunan jumlah fungsi f(x) = limit ada u(x) + v(x) dengan u'(x) dan v'(x) ada. ∆ + x + + ∆ + x ∆ x − [ ( ( )] v x ∆ x ( v x − [ ( u x ) ( v x )] [ ( ) u x ( )] v x = '( ) f x lim ∆ → 0 x − + − + ∆ xx ∆ x [ ( u x ) u x ) ( )] v x = lim ∆ → 0 x Dengan cara yang sama, minta siswa memahami proses penurunan fungsi f)x) = u)x) + v)x) di samping. + − + − ∆ ) x ∆ x v x '( ) ∆ ) x ∆ x ( u x ( ) u x x (( ) v = + lim ∆ → 0 x = + u x '( ) (Ingat Sifat 10.6 pada Bab 10 di kelas X) Dengan cara yang sama, buktikan sendiri bahwa turunan fungsi f(x) = u(x) - v(x) adalah f '(x) = u'(x) - v'(x) Dengan memanfaatkan jumlah turunan konsep dan selisih fungsi di atas, minta siswa memahami Contoh Guru 11.7. diharapkan mengajukan contoh soal lainnya. Contoh 11.7 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut! a. f(x) = 5x4 - 4x3 + 3x2 - 2x + 1 Alternatif Penyelesaian f '(x) = 5.4x4-1 - 4.3x3-1 + 3.2x2-1 - 2.1x1-1 + 1.0x0-1 f '(x) = 20x3 - 12x2 + 6x - 2 439
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1 3 1 4 1 3 2 5 ( ) = f x − x x b. Alternatif Penyelesaian 1 3 1 4 1 3 1 12 1 4 2 5 1 3 2 3 − 1 − 1 = − '( ) f x . x . x 3 4 2 15 − − = − '( ) f x x x 1.3.3 Menemukan turunan fungsi f(x) = [u(x)]n dengan u'(x) ada, n bilangan asli. kelompok Bentuk memahami untuk disamping. proses Minta kelompok mempresentasikan proses penemuan turunan fungsi f)x) = [u)x)]n. Arahkan untuk belajar dengan sesi tanya jawab. siswa Ingatkan menjabarkan dengan menggunakan Binomial Newton. Dengan konsep limit fungsi. + ∆ x ) ∆ x n − [ ( )] u x − ( f x ( ) f x = '( ) f x lim ∆ → 0 x n )] ∆ x − ) + ∆ x [ ( u x = lim ∆ → 0 x siswa n ( )] n [ ( )] u x + ∆ x + ( ) u x ∆ x − [ ( u x u x = li ∆ x mm → 0 = + ∆ x − [ ( u x ) ( )] Misal P u x n ( )] ∆ x − n n 1 C P 1 n [ ( )] u x + P u x − [ ( ) = llim → ∆ 0 x Gunakan Binomial Newton − − 1 n x [ (( )] u n u x [ ( )] n n C P 2 n n − n 1 n [ ( )] 2 2 [ ( )] u x + + + + ... ∆ x + + ... ∆ x n [ ( )] + − P [ ( )] u x C P u x = lim ∆ → 0 xx − 1 − − − 1 2 CC P u x n − n n [ ( )] 2 n − 1 n n [ ( )] n n n C P 2 n 2 2 [ ( )] u x + + + [ ( )] u x C P u x P nP 2 = lim ∆ → 0 x − − 1 − 1 − 2 n C P u x − n ∆ x n C u x − n 1 n [ ( )] 2 )] 2 n n + + + ... + ( P P [ ( u xx ) nP 2 = lim → ∆ 0 x P ∆ x − 1 − − − 1 n n 2 2 [ ( )] u x n − n n [ ( )] 2 n C u x − 1 n n [ ( )] = + + + ... + lim → ∆ x 0 lim → ∆xx 0 ( P nP C P u x ) 2 (Ingat Sifat 10.5 pada Bab 10 di kelas X) + ∆ ) x ∆ x − ) − P ∆ x = P u x ( u x ( ) = = Karena lim → 0 lim → ∆ 0 x u x '( ) ∆ x + ∆ x = lim → ∆ 0 x lim →→ ∆ 0 x ( u x ( ) u x 0 − 1 n [ ( )] n u x − 1 n '( )[ ( )] = + u x '( )[ 0 = nu x u x 440
Matematika sama Bersama guru dengan mengumpulkan semua aturan turunan yang telah diperoleh. Guru dapat mengajukan beberapa soal penurunan terkait fungsi aljabar pemanfaatan dengan di aturan samping. - siswa, Aturan Turunan: Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka: f(x) = a → f '(x) = 0 f(x) = ax → f	'(x) = a f(x) = axn → f '(x) = naxn-1 f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x) f(x) = u(x) → f '(x) = u'(x) ± v'(x) f(x) = u(x)v(x) → f	'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) turunan − u x ( ) ( ) v x '( ) ( ) u x v x ( ) '( ) u x v x 2 [ ( )] v x = → = f x ( ) '( ) f x Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva akan lebih mudah ditentukan, bukan? Perhatikan contoh berikut! Mengingat pada sub- bab awal, gradien garis ditentukan singgung dengan menggunakan konsep limit, maka pada kesempatan ini, gradien ditentukan dengan konsep turunan. Guru mengajukan beberapa contoh siswa dan mengajak bersama-sama mencoba menyelesaikan soal yang diajukan. Contoh 11.11 2 x ( ) = Tentukan persamaan garis singgung kurva f x di titik P(2, 4). − x 1 Alternatif Penyelesaian. 2 x ( ) = Titik P(2, 4) berada pada kurva f x sebab jika − x 2 2 1 = = . 4 kita subtitusikan nilai x = 2 maka f ( )2 − 2 1 Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi 2 x ( ) = f x dengan memisalkan u(x) = x2 sehingga siswa Pandu menggunakan aturan turunan untuk menentukan gradien garis singgung. − x 1 1 2 sehingga = − = 1 − u'(x) = 2x dan v x ( ) 1 1 2 . Dengan demikian, turunan pertama 2 x ( x 1 ) suatu − = − '( ) v x ( x 1 ) 441
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK − '( ) ( ) u x v x ( ) '( ) u x v x 2 = fungsi adalah f x '( ) atau ( ( )) v x 1 2 2 x 2 − 1 − − − 1 − 2 ( 1 ) x x x = '( ) f x . x Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalah − 4 2 1 = = sehingga persamaan garis singgung f '( )2 2 tersebut adalah y - 4 = 2(x - 2) atau y - 2x = 0. Setelah siswa memahami cara menemukan gradien dan garis singgung kurva tersebut, minta siswa memahami kasus tersebut dengan sketsa di samping. 2 x ( ) = Gambar 11.5 Garis singgung kurva f x di titik P(2, 4). − x 1 Berikan soal - soal Uji ini sebagai Kompetensi tugas di rumah bagi siswa. Tujuan pemberian uji kompetensi ini adalah untuk mengetahui apakah siswa sudah memahami tentang konsep turunan fungsi aljabar dan garis singgung suatu fungsi. Uji Kompetensi 11.1 1. Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 1 pada tiap-tiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi. a. f(x) = 2x b. f(x) = 2x2 c. f(x) = 2x3 - 1 2 1x + 2 2x d. f(x) = e. f(x) = 442
Matematika 2. Misalkan u(x), v(x), w(x), h(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan. Dengan menggunakan konsep turunan sebagai limit fungsi, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = (2x + 1)2 b. f(x) = (x2 - x + 1)2 2 x x 3 d. f(x) = u(x)v(x)w(x) e. f(x) = (h°g)(x) + + 1 4 c. f(x) = 3. Dengan menggunakan konsep turunan, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = x3(2x + 1)5 1 2 1 ( 2 2 3 3 4 2 x− 3 1 − 3 x b. f(x) = 1 4 2 = ( ) f x c. f(x) = x x ) x+ +1 x d. f(x) = 2 3 n 1 ! 0 x 1 ! x 2 x 3 ! x n + + + + + ... + ... e. f(x) = ! ! 5. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(-1,1) pada masing-masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan. a. f(x) = (x + 2)-9 3 x − 12 b. f(x) = 2 c. f(x) = -x3(x + 2)-2 d. f(x) = − − 2 + 2 12 − + x x 2 x x 2 e. f(x) = 443
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Informasikan kepada siswa bahwa pada sub- bab ini akan mereka pelajari konsep turunan dalam menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva. 2. Aplikasi Turunan Konsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva. 2.1 Fungsi Naik dan Turun Coba bayangkan ketika kamu pergi ke plaza atau mall, di sana kita temukan ekskalator atau lift. Gerakan lift dan ekskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan ekskalator saat turun dapat diilustrasikan sebagai fungsi turun. Amatilah beberapa grafik fungsi naik dan turun di bawah ini dan coba tuliskan cirri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide untuk mendefinisikan fungsi naik dan turun. Pandu siswa memahami fungsi naik, tidak naik, turun dan tidak turun. Beberapa grafik fungsi turun dari kiri ke kanan Minta siswa memahami grafik fungsi naik/ turun di samping. Pandu siswa memahami bentuk grafik fungsi naik, tidak naik, turun dan tidak turun. siswa membuat Minta atau menggambar grafik yang naik, tidak naik, turun dan tidak turun. Minta siswa menentukan fungsi yang mempunyai grafik naik, tidak naik, turun dan tidak turun. y d y y y y d y y = f(x) y = f(x) y = f(x) x d x d x d Beberapa grafik fungsi naik dari kiri ke kanan y d y y d y y d y y = f(x) x d x y = f(x) y = f(x) x d x Dari beberapa contoh grafik fungsi naik dan turun di atas, mari kita definisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut. 444
Matematika Pandu siswa memahami Definisi 11.5. Berikan fungsi sebuah yang sederhana dan pandu siswa untuk menunjukkan kebenaran Definisi 11.5. Definisi 11.5 Misalkan fungsi, • Fungsi f dikatakan naik jika ∀ x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Fungsi f dikatakan turun jika ∀ x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Contoh 11.12 Pandu siswa menujukkan kebenaran Definisi 11.5 pada Contoh 11.12 kesempatan Berikan untuk siswa kepada berkomentar dan saling tanya jawab. Guru sebagai fasilitator. Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3, x ∈ R dan x > 0 adalah fungsi naik. lternatif Penyelesaian f(x) = x3, x ∈ R dan x > 0 Ambil sebarang x1, x2 0 < x1 < x2 x = x1 ⇒ f(x1) = x1 x = x1 ⇒ f(x2) = x2 ∈ R dengan 3 Minta siswa berkelompok menganalisis grafik fungsi f)x) = x3 untuk x < 0. Minta siswa menunjukkan Definisi dengan 11.5 pembuktian dan grafik. 3 3 < x2 3 maka f(x1) < f(x2) 3 Karena 0 < x1 < x2 maka x1 3 < x2 Karena x1 Dengan demikian ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Bagaimana jika f(x) = x3, x ∈ R dan x < 0, apakah grafik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki! untuk Pandu keterkaitan menemukan konsep turunan dengan fungsi naik/turun. siswa 2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun Mari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun dengan memperhatikan dan mengamati permasalahan berikut. 445
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK untuk Ajak aplikasi memikirkan fungsi naik/turun dalam sehari-hari. kehidupan Salah satu yang telah adalah diinformasikan eskalator lift berjalan. Arahkan siswa memahami Masalah 11.4. siswa Masalah-11.4 Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukakaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat ia akan lumba-lumba menyelam maka melihatnya melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan. atau Permasalahan Dari ilustrasi ini, dapatkah kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Ingat pengertian periode pada pelajaran trigonometri di kelas X. Dapatkah kamu tentukan pada interval waktu berapakah lumba- lumba tersebut bergerak naik atau turun? Dapatkah kamu temukan konsep fungsi naik/turun? Alternatif Penyelesaian Minta siswa mengamati sketsa sederhana pergerakan lumba - lumba siswa tersebut. Minta menunjukkan grafik naik/ turun serta menunjukkan interval fungsi disaat naik/turun. Gambar 11.7 Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentu 446
Matematika Arahkan siswa mengamati Gambar 11.8 untuk dapat melihat jelas interval pembuat fungsi naik/turun pada Gambar 11.7. dengan Gambar 11.8 Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam Pandu siswa menentukan interval fungsi naik/turun dari pembacaan sketsa pada Gambar 11.8 Pandu siswa mengamati Gambar 11.9 pengamatan tertentu Secara geometri pada sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interval 0 < t < 7,5 atau 16,5 < t < 25,5 atau 34,5 < t < 36 dan disebut bergerak naik di interval 7,5 < t < 16,5 atau 25,5 < t < 34,5. Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun. Minta siswa menunjukkan grafik naik/turun. siswa membuat Minta sebanyak mungkin PGS di fungsi )kurva) naik kemudian lihat kuadran sudut yang dibentuk PGS dengan sumbu x positif. sepanjang Gambar 11.9 Garis singgung di interval fungsi naik/turun Tanya siswa, dikuadran berapakah semua sudut yang dibentuk PGS disaat kurva menyinggung di )Dari pengamatan, semua sudut berada dikuadran 1). Selanjutnya, mari kita bahas hubungan persamaan garis singgung dengan fungsi naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu positif sama dengan fungsi naik? 447
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK nilai turunan pertama di titik singgungnya. Pada gambar di atas, misalkan besar masing-masing sudut adalah 00 < α 1 < 900, 00 < α 3 < 900, 00 < α 4 < 900 sehingga nilai gradien atau tangen sudut setiap garis singgung ditunjukkan pada tabel berikut: Tanya siswa, bertanda apakah nilai tangen sudut )melalui di kuadran1? trigonometri, konsep maka sudut tangen bernilai positif di kuadran 1). siswa koonsep trigonometri di kelas X. 2 < 900, 00 < α Tabel 11.1 Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turun Ingatkan PGS Sudut α 1 Nilai tangen Menyinggung di m = tan (α m = tan (3600 - α 1) = f '(x) > 0 2) = PGS 1 Fungsi Naik Demikian tanya siswa sifat PGS disaat menyinggung di fungsi kuadran turun? Tanya sudut yang dibentuk PGS dengan sumbu x positif dan nilai tangen sudut tersebut. Arahkan siswa mengamati dan memahami Tabel 11.1 juga, PGS 2 3600 - α 2 Fungsi Turun f '(x) < 0 m = tan (α m = tan (3600 - α α3 3) = f '(x) > 0 4) = Fungsi Naik PGS 3 PGS 4 3600 - α 4 Fungsi Turun f '(x) < 0 Coba kamu amati Gambar 11.9 dan Tabel 11.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi naik/turun. Coba kamu perhatikan kesimpulan berikut:
Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi naik maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0. Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi turun maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0. pemahaman Dengan pengamatan terhadap pada 11.9 Gambar dan Tabel 11.1, siswa hubungan menemukan gradien, turunan dan fungsi naik/turun yaitu m = f')x) > 0 untuk PGS di fungsi naik dan m = f')x) < 0 untuk PGS di fungsi turun.
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa fungsi f(x) yang dapat diturunkan pada interval I, akan mempunyai kondisi sebagai berikut: Tabel 11.2 Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turun untuk Arahkan menemukan konsep fungsi naik/turun. Pandu siswa memahami Tabel 11.2 Guru dapat membuat sebuah contoh sederhana siswa No. Nilai turunan pertama Keterangan 1 f ' (x) > 0 Fungsi selalu naik 2 f ' (x) < 0 Fungsi selalu turun 3 f ' (x) ≥ 0 Fungsi tidak pernah turun 4 f ' (x) ≤ 0 Fungsi tidak pernah naik 448
Matematika untuk kebenaran Tabel 11.2 Tanya apakah siswa, fungsi tidak pernah turun berarti naik? fungsi )jawabannya tentu tidak, lihat Tabel 11.2) menunjukkan Sifat 11.2 Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x	∈ I maka 1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I. 2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I. 3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I. Dengan pemahaman pada teori di atas, siswa dan guru membentuk Sifat fungsi naik/tidak naik/ turun dan turun. Lihat Sifat 11.2. 4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I. Konsep di atas dapat digunakan jika kita sudah memiliki fungsi yang akan dianalisis. Tetapi banyak kasus sehari- hari harus dimodelkan terlebih dahulu sebelum dianalisis. Perhatikan kembali permasalahan berikut! tidak Masalah-11.5 Ajukan Masalah 11.5 kepada untuk siswa belajar membuat model matematika dan sebuah kemudian cerita dan menganalisis fungsi yang ditemukan dengan memanfaatkan konsep fungsi nain/turun yang telah ditemukan. Minta siswa memahami masalah di samping. Tiga orang anak sedang berlomba melempar buah mangga di ketinggian 10 meter. Mereka berbaris menghadap pohon mangga sejauh 5 meter. Anak pertama akan melempar buah mangga tersebut kemudian akan dilanjutkan dengan anak kedua bila tidak mengenai sasaran. Lintasan lemparan setiap anak membentuk kurva parabola. Lemparan anak pertama mencapai ketinggian 9 meter dan batu jatuh 12 meter dari mereka. Lemparan anak kedua melintas di atas sasaran setinggi 5 meter. Anak ketiga berhasil mengenai sasaran. Tentu saja pemenangnya anak ketiga, bukan? Permasalahan. Dapatkah kamu mensketsa lintasan lemparan ketiga anak tersebut? Dapatkah kamu membuat model matematika lintasan lemparan? Dapatkah kamu menentukan interval jarak agar masing-masing lemparan naik atau turun berdasarkan konsep turunan? 449
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Pandu siswa mendapatkan sketsa dan mengamati ketiga anak lemparan tersebut berdasarkan data yang diketahui pada cerita. Alternatif Penyelesaian a. Sketsa Lintasan Lemparan Permasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius, sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut. Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3 Pandu siswa mendapatkan model lemparan ketiga anak berdasarkan data yang diketahui pada cerita. b. Model Lintasan Lemparan fungsi Kamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat kembali konsep fungsi kuadrat yang melalui titik puncak P(xp, yp) dan titik sembarang P(x, y) adalah y - yp = a(x - xp)2 sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1, x2 dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(x - x1)(x - x2), dengan x dan a ≠ 0, a bilangan real. Jadi, model +1 x 2 x 2 p = lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah: Lintasan lemparan anak pertama Pandu siswa mendapatkan lemparan model anak pertama, kedua dan ketiga. Ingatkan kembali siswa materi persamaan dan fungsi kuadrat di kelas X Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1(6,9). y = a(x - 0)(x - 12) ó 9 = a(6 - 0)(6 - 12) ó a = -0,25 Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = -0,25x2 + 3x. fungsi 450 Sasaran
Matematika Alternatif Penyelesaian Lintasan lemparan anak kedua a. Sketsa Lintasan Lemparan Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P2(5,15). y - 15 = a(x - 5)2 ó 0 - 15 = a(0 - 5)2 ó a = -0,6 Fungsi lintasan lemparan anak kedua adalah y = -0,6x2 + 6x. Permasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius, sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut. Lintasan lemparan anak ketiga Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P3(5,10). y - 0 = a(x - 5)2 ó a = -0,4 Fungsi lintasan lemparan anak ketiga adalah y = -0,4x2 + 4x. ó 0 - 10 = a(0 - 5)2 Minta siswa mendapatkan naik/ interval turun berdasarkan sketsa kurva lintasan lemparan masing-masing anak pada Gambar 11.11. C. Interval Fungsi Naik/Turun Fungsi Lintasan Coba kamu amati kembali Gambar 11.11! Secara geometri, jelas kita lihat interval fungsi naik/turun pada masing- masing lintasan, seperti pada tabel berikut: fungsi Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3 Tabel 11.3 Fungsi dan interval naik/turun fungsi lemparan anak 1, 2, dan 3 b. Model Lintasan Lemparan Kamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat Pengamatan sketsa kurva pada Gambar 11.11 yang diperoleh disesuai dengan Tabel 11.3 berikut. Minta menunjukkan siswa kembali fungsi interval naik/turun untuk masing- masing pada gambar. Secara Geometri Lintasan ke Fungsi kembali konsep fungsi kuadrat yang melalui titik puncak Interval Naik Interval Turun P(xp, yp) dan titik sembarang P(x, y) adalah y - yp = a(x y = -0,25x2 + 3x 0 < x < 6 6 < x < 12 1 - xp)2 sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1, y = -0,6x2 + 6x 0 < x < 5 5 < x < 10 2 x2 dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(x - x1)(x - x2), y = -0,4x2 + 4x 0 < x < 5 5 < x < 10 3 +1 x x 2 p = dengan x dan a ≠ 0, a bilangan real. Jadi, model 2 Mari kita tunjukkan kembali interval fungsi naik/turun dengan meng-gunakan konsep turunan yang telah kita pelajari sebelumnya. lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah: kurva Lintasan lemparan anak pertama Minta siswa mendapatkan interval naik/ turun berdasarkan model fungsi lemparan yang telah ditemukan dengan konsep memanfaatkan siswa turunan. Minta Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1(6,9). Fungsi naik/turun pada lintasan lemparan anak 1 Fungsi yang telah diperoleh adalah y = -0,25x2 + 3x sehingga y = -0,5x2 + 3x. Jadi, fungsi akan naik: y = -0,5x2 + 3x ⇔ x < 6 fungsi akan turun: y = -0,5x + 3 < 0 ⇔ x > 6 fungsi y = a(x - 0)(x - 12) ó 9 = a(6 - 0)(6 - 12) ó a = -0,25 Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = -0,25x2 + 3x. 451 Sasaran
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Menurut ilustrasi, batu dilempar dari posisi awal O(0,0) dan jatuh pada posisi akhir Q(12,0) sehingga lintasan lemparan akan naik pada 0 < x < 6 dan turun pada 6 < x < 12. • Bagaimana menunjukkan interval fungsi naik/turun dengan konsep turunan pada fungsi lintasan lemparan anak 2 dan anak 3 diserahkan kepadamu. membandingkan jawaban yang diperoleh dengan Tabel 11.3 Minta siswa melanjutkan analisis dengan cara yang sama pada fungsi lintasan lemparan anak yang lain. Untuk memperdalam pemahaman siswa, ajukan Contoh 11.13. Pandu siswa memahami proses penyelesaian pada contoh tersebut. Ingatkan pertidaksamaan. Contoh 11.13 Tentukanlah interval fungsi naik/turun fungsi f(x) = x4 - 2x2 Alternatif Penyelesaian Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga: f '(x) = 4x3 - 4x > 0 ⇔ 4x(x - 1)(x + 1) > 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = -1 siswa materi Pandu siswa menentukan naik/ interval turun dari tanda pada interval penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Dengan menggunakan interval. fungsi Interval Naik Interval Naik +
+ 0 1� 1 Interval Turun Interval Turun Pandu siswa mensketsa fungsi f)x) = x4-2x2 menggunakan dengan beberapa titik bantu. Guru berperan dalam mensketsa kurva berikut. Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval l -1 < x < 0 atau x > 1 tetapi turun pada interval x < -1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 - 2x2 tersebut. aktif Minta siswa menganalisis kembali sketsa kurva yang diperoleh di samping. Minta siswa menunjukkan interval fungsi naik/turun. Gambar 11.12 Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4 - 2x2 452
Matematika Guru mengajukan contoh siswa dan mengajak bersama-sama mencoba menyelesaikan soal pada Contoh 11.14. Contoh 11.14 −2 ( ) = Tentukanlah interval fungsi naik f x x x Ingatkan syarat numerus bentuk akar. Ingatkan siswa materi pertidaksamaan. siswa Alternatif Penyelesaian Masih ingatkah kamu syarat numerus P x( ) adalah P(x) ≥ ( ) = 0. Jadi, syarat numerus f x adalah x2 - x ≥ 0. −2 x x Ingatlah kembali cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan. x2 - x ≥ 0 ⇔ x(x - 1) ≥ 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 Dengan menggunakan interval. +
+ 0 1 Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x ≤ 0 atau x ≤ 1 Berdasar-kan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga: − 2 x 1 '( ) = > f x 0 2 ⇔ 2x - 1 > 0 karena x − > dan 0 x 2 − 2 x x x ≠ 0, x ≠ 1 1 2 ⇔ x > Dengan menggunakan interval. naik 0 1 1 2 453
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x > 1. −2 ( ) = Perhatikanlah grafik fungsi f x x x berikut! Minta siswa mengamati fungsi naik/turun dan intervalnya pada sketsa grafik berikut. Minta siswa menentukan interval fungsi untuk turun pada Contoh 11.14 dengan cara yang sama pada saat menentukan fungsi naik. −2 ( ) = Gambar 11.13 Fungsi naik/turun fungsi f x x x Coba kamu lakukan dengan cara yang sama untuk mencari interval fungsi turun! Jika kamu benar mengerjakannya maka fungsi turun pada interval x < 0. 2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam memandu, Setelah siswa mengarahkan aplikasi memahami turunan dalam menentukan fungsi naik/ turun maka pada bagian ini, siswa dipandu untuk menemukan titik balik dan nilai maksimum/minimum pada suatu fungsi yang terdiferensialkan. Permasalahan Maksimum dan Minimum Setelah menemukan konsep fungsi naik dan turun, kita akan melanjutkan pembelajaran ke permasalahan maksimum dan minimum serta titik belok suatu fungsi. Tentu saja, kita masih melakukan pengamatan terhadap garis singgung kurva. Aplikasi yang akan dibahas adalah permasalahan titik optimal fungsi dalam interval terbuka dan tertutup, titik belok, dan permasalahan kecepatan maupun percepatan. 454
Matematika 2.2.1 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbuka Masalah-11.6 Pandu untuk siswa menemukan konsep titik )maksimum atau balik minimum) pada suatu fungsi. Arahkan siswa kembali konsep persamaan ke singgung. Pada garis kesempatan ini, PGS diarahkan ke titik balik suatu kurva. Seorang anak menarik sebuah tali yang cukup panjang. Kemudian dia membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah sehingga terbentuk sebuah gelombang berjalan. Dia terus mengamati gelombang tali yang dia buat. Dia melihat bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi? Alternatif Penyelesaian Minta siswa menunjukkan titik balik )maksimum) dan titik balik )minimum) pada Gambar 11.15. siswa membuat Minta garis singgung pada setiap titik balik tersebut. Tentu yang diperoleh adalah garis yang horizontal atau sejajar sumbu x. Ingatkan siswa kembali ke konsep gradien persamaan garis lurus. Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya. Gambar 11.15 Sketsa gelombang tali Minta siswa mengamati PGS1, PGS2,PGS3 dan PGS4 pada kurva. Minta siswa menemukan gradien keempat garis singgung tersebut. Coba kamu amati gambar di atas. Garis singgung (PGS 1, PGS 2, PGS 3 dan PGS 4) adalah garis horizontal atau y = c, c konstan, sehingga gradiennya adalah m = 0. Keempat garis singgung tersebut menyinggung kurva di titik puncak/optimal, di absis x 455
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4. Dari pengamatan, dapat disimpulkan bahwa sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu daerah jika m = f '(x) = 0. Titik yang memenuhi f '(x) = 0 disebut titik stasioner. Berikutnya, kita akan mencoba menemukan hubungan antara titik stasioner dengan turunan kedua fungsi. Pada Gambar 11.15, f '(x1) = 0, f '(x2) = 0, f '(x3) = 0 dan f '(x4) = 0. Artinya kurva turunan pertama fungsi melalui sumbu x di titik A(x1, 0), B(x2, 0), C(x3, 0) dan D(x4, 0). • Coba kamu amati kurva turunan pertama fungsi dan garis singgungnya sebagai berikut. Kesimpulan apa yang kamu dapat berikan? Dengan pengamatan dan pemahaman pada teori, siswa arahkan menemukan konsep titik stasioner dengan f')x)=0. Berikut adalah sketsa turunan pertama suatu fungsi y = m)x)=f')x) terdapat beberapa dan garis pada singgung kurva turunan pertama. Arahkan siswa mengamati Gambar 11.16. Pandu siswa mengamati ketujuh garis singgung. Gambar 11.16 Hubungan garis singgung kurva m = f '(x) dengan titik stasioner gradien Misalkan garis singgung adalah dengan M konsep bab, M=m')x)=f")x). Arahkan siswa menganalisis gradien masing - masing garis singgung. Arahkan menyimpulkan siswa ke konsep titik balik m a k s i m u m / m i n i m u m suatu fungsi. Titik A(x1, y1) adalah titik maksimum pada Gambar 11.15 sehingga titik dengan absis x = x1 adalah titik stasioner karena f '(x1) = 0. Per-samaan garis singgung kurva dengan gradien M pada fungsi m = f '(x) menyinggung di titik x = x1 membentuk sudut di kuadran IV sehingga nilai tangen sudut bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan M = m ' = f ''(x1) < 0. Dengan kata lain, titik A(x1, y1) adalah titik maksimum jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0. sehingga diawal Kesimpulan: Lihat Gambar 11.16, misalkan gradien persamaan garis singgung kurva m = f '(x) adalah M sehingga M = m ' = f ''(x) maka hubungan turunan kedua dengan titik stasioner adalah: 456
Matematika Arahkan siswa memahami Tabel 11.4. Guru mengajukan suatu fungsi yang baru untuk dianalisis oleh berdasarkan siswa Tabel 11.4. Tabel 11.4 Hubungan turunan kedua fungsi dengan titik optimal (stasioner) PGS Gradien M = m ' = f ''(x) Jenis Titik Pergerakan kurva Ma = f	"(x1) < 0 Max Naik-Max-Turun a Mb = f	"(x2) > 0 Min Turun-Min-Naik b Mc = f	"(x3) < 0 Max Naik-Max-Turun c Md =	f	"(x4) > 0 Min Turun-Min-Naik d Mp = f	"(x5) = 0 T. Belok Turun-Belok-Turun p Mq = f"(x6) = 0 T. Belok Naik-Belok-Naik q Mr = f"(x7) = 0 T. Belok Turun-Belok-Turun r Sifat 11.3 pemahaman Dengan pada teori, guru dan siswa bersama - sama membentuk sebuah kesimpulan dalam bentuk sifat turunan. Arahkan siswa memahami Sifat 11.3. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga: 1. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1))disebut stasioner/ kritis 2. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titk (x1, f(x1)) disebut titik balik minimum fungsi 3. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik balik maksimum fungsi 4. Jika f	''(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok Contoh 11.15 Pandu menyelesaikan 11.15. Ingatkan menentukan dengan konsep fungsi kuadrat. siswa Contoh Tentukanlah titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x + 3 siswa titik balik menggunakan Alternatif Penyelesaian 1 (Berdasarkan Konsep Fungsi Kuadrat) Dengan mengingat kembali pelajaran fungsi kuadrat. Sebuah fungsi f(x) = ax2 + bx + c mempunyai titik balik b 2 a D 4 a − − B ( , ) di mana fungsi mencapai maksimum untuk 457
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a < 0 dan mencapai minimum untuk a > 0 sehingga fungsi f(x) = x2 - 4x + 3 mempunyai titik balik minimum pada 2 − 4 ( ) 2 1 − ) 4 − ( ( )( ) 4 1 3 ( ) 4 1 . − − = − ( , 2 1 ) ) B ( , B siswa Pandu menyelesaikan Contoh 11.15 kembali dalamv titik balik menentukan menggunakan dengan konsep turunan. Alternatif Penyelesaian 2 (Berdasarkan Konsep Turunan) Dengan menggunakan konsep turunan di atas maka fungsi f(x) = x2 - 4x + 3 mempunyai stasioner: f '(x) = 2x - 4 = 0 atau x = 2 dan dengan mensubstitusi nilai x = 2 ke fungsi y = f(x) = x2 - 4x + 3 diperoleh y = -1 sehingga titik stasioner adalah B(2, -1). Mari kita periksa jenis keoptimalan fungsi tersebut dengan melihat nilai turunan keduanya pada titik tersebut. f "(x) = 2 atau f "(2) = 2 > 0. Berdasarkan konsep, titik tersebut adalah titik minimum. Jadi, titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x + 3 adalah minimum di B(2, -1). Minta siswa menggambar f)x)=x2-4x+3 kurva dan mengamati fungsi titik dan naik/turun balik maksimum/ minimum. Minta siswa m e n g h u b u n g k a n n y a kembali dengan Tabel 11.4 dan Sifat 11.2. Gambar 11.17 Titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 4x + 3 y = Kurva dianalisis f)x) dapat kurva berdasarkan turunan pertamanya. Berikut adalah contoh fungsi soal analisis berdasarkan kurva turunan pertamanya pada Contoh 11.16. fungsi Contoh 11.16 Analisislah kurva fungsi y = f(x) berdasarkan sketsa kurva turunan pertamanya berikut. Gambar 11.18 Sketsa turunan pertama suatu fungsi y = f(x) 458
Matematika Arahkan siswa mengamati dan Gambar mengkaitkannya dengan Tabel 11.4 serta Sifat 11.2 Alternatif Penyelesaian 11.19 Secara geometri sketsa turunan pertama fungsi di atas, nilai setiap fungsi di bawah sumbu x adalah negatif dan bernilai positif untuk setiap fungsi di atas sumbu x. h Gambar 11.19 Analisis fungsi berdasarkan konsep turunan fungsi y = f(x) Dengan demikian, melalui pengamatan dan terhadap grafik turunan pertama dan konsep turunan maka fungsi y = f(x) akan: Arahkan siswa ke hasil Contoh pengamatan 11.16. Minta siswa kembali mengkaitkan hasil disamping dengan gambar dan Sifat 11.2 Minta siswa menunjukkan/ atau menjelaskan di mempresentasikan depan kelas. Naik (f '(x) > 0) pada a < x < c, c < x < e dan x > i • Turun (f '(x) < 0) pada x < a, e < x < g dan g < x < i • Stasioner (f '(x) = 0) pada absis x = a, x = c, x = e, x = g dan x = i Optimal maksimum (f '(x) = 0 dan f "(x) < 0) pada absis x = e Optimal minimum (f '(x) = 0 dan f "(x) > 0) pada absis x = a dan x = i. Titik belok ( f "(x) = 0) pada absis x = b, x = c, x = d, x = f, x = g dan x = h 459
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Setelah siswa memahami balik nilai konsep atau maksimum minimum suatu fungsi maka arahkan siswa menentukan nilai m a k s i m u m / m i n i m u m suatu bila fungsi ditentukan domainnya. 2.2.2 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbuka pada Masalah-11.7 Coba kamu amati posisi titik maksimum dan minimum dari beberapa gambar berikut. Minta siswa mengamati empat gambar di samping. Gambar A adalah kurva terbuka pada tiga gambar sementara kurva lainnya adalah dengan interval tertutup. interval Minta siswa menunjukkan titik balik maksimum/ minimum pada Gambar B, C dan D kemudian minta siswa menunjukkan nilai maksimum/minimum pada kurva berdasarkan interval telah ditentukan )di kotak). Gambar 11.20 Titik maksimum dan minimum suatu fungsi Kesimpulan apa yang kamu peroleh? yang Alternatif Penyelesaian Gambar A di atas telah kita bahas pada permasalahan 11.6. Jika kamu amati dengan teliti, perbedaan antara gambar A dengan ketiga gambar lainnya (B, C dan D) adalah terdapat sebuah daerah yang membatasi kurva. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum/ minimum sebuah fungsi pada daerah terbuka dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi. 460
Matematika membantu Untuk siswa pemahaman tersebut, akan ajukan Contoh 11.17 dan pandu siswa untuk menyelesaikannya. Contoh 11.17 konsep Sebuah pertikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 - 9t2 + 24t - 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukanlah nilai optimal pergerakan partikel tersebut. Alternatif Penyelesaian. Daerah asal fungsi adalah {t | 0 ≤ t ≤ 6} Titik stasioner f '(t) = 0 f(t) = t3 - 9t2 + 24t - 16 sehingga f '(t) = 3(t2 - 6t + 8) dan f "(t) = 6t - 18 f '(t) = 3(t - 2)(t - 4) = 0 t = 2 → f (2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0 Minta siswa menentukan titik dan stasioner titik memeriksa apakah stasioner ada di dalam daerah asal atau tidak. Karena daerah asal {t | 0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga: t = 0→ f(0) = -16 dan t = 6 → f(6) = 20 Nilai minimum keempat titik adalah -16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0,-16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6,20). Perhatikan gambar. Arahkan siswa membandingkan jawaban yang diperoleh dengan pengamatan pada gambar di samping. Gambar 11.21 Titik optimal kurva f(t) = t3 - 9t2 + 24t - 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6. 461
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ajukan Masalah 11.8 siswa. Minta kepada siswa memahami masalah tersebut. Pandu membuat matematika tersebut diperoleh fungsi biaya. Masalah-11.8 Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran tetapi terbuat dari bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume 43.120 cm3. Biaya pembuatan alas adalah Rp150,- per cm2, biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp80,- per cm2 sementara biaya pembuatan atap adalah Rp50,- per cm2. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan anak tersebut? siswa untuk model masalah sehingga Alternatif Penyelesaian. Mari kita sketsa tabung yang akan dibuat. Misal-kan r Pandu siswa memahami proses penyelesaian di samping. adalah radius alas dan atap tabung, t adalah tinggi tabung 22 7 π = . r r t t 2 πr r Gambar 11.22 Tabung 22 7 7 22 43120 2 r 2 r t = = ⇔ = t V 43120 x Biaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya Pandu siswa membentuk berikut. biaya fungsi Arahkan siswa ke Gambar 11.22. selimut) + (Luas atap × biaya atap) Biaya = 22 7 22 7 22 7 2 2 × × + × r 50 + rt 80 r 50 462
Matematika Biaya = 22 7 siswa Minta konsep memanfaatkan turunan dalam menentukan titik stasioner. 22 7 7 22 43120 2 r 22 7 2 2 × 1 + × × × 80 + × r 50 r r 50 22 7 43120 r 2r + × × 200 80 Biaya = Biaya B(r) adalah fungsi atas radius r (dalam Rupiah). 4400 7 8800 7 34496 22 r 3449600 r 2 = + ( ) B r r 3449600 2 r = − = '( ) B r r 0 88 7 3 = r r3 = 2744 = 143 ó r = 14 Minta siswa menentukan fungsi kedua turunan biaya dan tersebut mensubstitusi r = 14 yang telah diperoleh. Jadi biaya minimum 22 7 616 = 123200 = 43120 14 80 2 = × × + × 200 80 14 = × + × 200 + 3080 246400 369.6600 Biaya minimum adalah Rp369.600,- adalah 11.18 Contoh contoh telah yang diajukan dan diselesaikan pada Bab X kelas X. Namun pada saat ini, kita kaji ulang kembali penyelesaiannya dengan menggunakan konsep turunan. Ingatkan kembali proses tentang siswa Contoh 11.18 Kamu masih ingat soal pada Bab Limit Fungsi di kelas X, bukan? Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0, 25t2 + 0,5t(cm2). Tentukanlah kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit. 463
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK penyelesaian menggunakan limit fungsi berikut. dengan konsep Alternatif penyelesaian pertama (dengan Numer- ik) Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu. Perhatikan tabel! Tabel 11.5: Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2 + 0,5t pada saat t mendekati 5 Arahkan siswa memperhatikan Tabel siswa 11.5. Arahkan untuk mengingat kembali penyelesaian limit fungsi dengan numerik. )pandu mengamati nilai limit kiri dan kanan). 12 ∆t = t-5 ∆f = f(t)-f(5) -8 ∆f /∆t 1 4 2 2 3 6,75 2,25 3 2 5 2,5 4 1 2,75 2,75 4,5 0,5 1,4375 2,875 4,9 0,1 0,2975 2,975 4,99 0,01 0,029975 2,9975 4,999 0,001 0,00299975 2,99975 4,9999 0,0001 0,000299997 2,999975 5 0,0000 0 ? 5,0001 0,0001 0,000300002 3,000025 5,001 0,001 0,00300025 3,00025 5,01 0,01 0,030025 3,0025 5,1 0,1 0,3025 3,025 5,5 0,5 1,5625 3,125 6 1 3,25 3,25 Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t) akan mendekati 3 (cm2/menit). 464
Matematika Setelah memahami proses penyelesaian contoh soal dengan numerik maka Guru meminta siswa proses memperhatikan dengan penyelesaian konsep fungsi berikut. Alternatif Penyelesaian kedua (dengan konsep Limit) f(t) = 0,25t2 + 0,5t f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75 2 − − + − ( ) t t ( ) 5 , t 0 5 − 5 t t , 0 5 − t 5 2 + − t t , ( , 0 5 0 5 − t 5 + t , ( , t , )( 33 5 0 5 0 5 − t 5 + , ) 3 5 ( , 0 25 t ) f f 5 f 5 ( ) = limit lim → 5 t lim → 5 t 0 25 22 , t + − , 8 75 = lim → 5 t , ) 17 5 = lim → 5 t − ) 5 = lim → 5 t = lim , ( , → t 5 , ( , 0 5 0 5 t 0 5 0 5 = + , ) 5 3 5 x = 3 Alternatif Penyelesaian ketiga (dengan konsep Turunan) f(t) = 0,25t2 + ,5t f '(t) = 0,5t + 0,5 = 0 f(5) = 2,5 + 0,5 = 3 Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah 3 (cm2/menit). untuk Arahkan proses memahami contoh penyelesaian dengan tersebut serta turunan konsep m e m b a n d i n g k a n n y a dengan proses di atas. siswa 465
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh adalah 11.19 contoh soal pemakaian konsep nilai balik suatu fungsi. Minta siswa memahami konsep nilai balik suatu fungsi di atas. Arahkan siswa terlebih untuk membuat dulu model matematika mendapatkan untuk fungsi biaya, kemudian menggunakan konsep untuk menentukan biaya minimum. Pandu siswa langkah langkah per memberikan dengan kepada kesempatan siswa untuk mengerjakan terlebih dulu. Contoh 11.19 Seorang karyawan berencana akan tinggal di rumah kontarakan setelah dia diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya pengeluaran, ia berharap dapat tinggal di kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja dan uang sewa kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka biaya transportasi adalah c rupiah per km per tahun. Biaya kontrakan adalah b x +1 konstanta bernilai real positif dan b > c. Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran karyawan tersebut? per tahun (dalam rupiah), dengan b dan c adalah Alternatif Penyelesaian Langkah 1. Modelkan permasalahan Biaya = Biaya transportasi + Biaya sewa (per tahun) b +1 dengan daerah asal x ≥ 0 ( ) = + B x cx x Langkah 2. Tentukan titik stasioner B(x) = cx + b(x + 1)-1 sehingga B'(x) = c - b(x + 1)-2 = 0 2 + ) 1 + 1 ) − 2 c x ( ( b ⇔ = 0 x b c b c ⇔ = − − = − + 1 x 1 atau x Karena b > c dan x ≥ 0 maka nilai x yang digunakan adalah b c = − +1 x 466
Matematika Langkah 3. Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi B'(x) = c - b(x + 1)-2 = 0 sehingga B"(x) = 2b(x + 1)-3 = 2 b 1 3 )+ x( b c b 2 b c c c 2 = = − + 1 B ''( ) b 3 ( ) Karena b dan c adalah konstanta bernilai real positif maka b c − + 1 > B ''( ) 0 atau merupakan ekstrim minimum. Langkah 4. Tentukan biaya minimum b c Mensubstitusikan nilai x = -1 + ke fungsi B(x) sehingga b c − + 1 = − + c B ( ) 2 bc Jadi, biaya minimum karyawan tersebut adalah: − +c (dalam rupiah) per tahun. 2 bc Guru menyampaikan bahwa aplikasi turunan ada berbagai bidang. Salah satu adalah di bidang fisika yaitu masalah kecepatan dan percepatan. Untuk memperkenalkan salah satu penerapan turunan dalam fisika, guru meminta siswa memahami Masalah 11.9. Tanya siswa, apa pada dirasakan yang saat berada disebuah kendaraan yang sedang 2.4 Permasalahan Kecepatan dan Percepatan Aplikasi Konsep Turunan dalam pada Secara arti fisis, konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi. Amati dan pelajarilah permasalahan berikut! Masalah-11.9 Seorang	pembalap	melakukan	latihan	di	sebuah	arena	balap	dengan	lintasan	yang	berkelok-kelok.	Dia	melaju	kencang	meninggalkan	garis	start	dengan	kecepatan	yang	diatur	dengan	baik.	Di	setiap 467
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK melaju cepat atau lambat, atau pada saat melaju di jalan yang berkelok - kelok. Arahkan siswa ke pemahaman kecepatan yang dipercepat dengan diperlambat. belokan	lintasan,	dia	menurunkan	kecepatannya	tetapi	berharap	dengan	secepat	mungkin	menaikkan	kecepatan	setelah	meninggalkan	titik	belokan	tersebut.	Demikian	dia	berlatih	membalap	dan	akhirnya	dia	berhenti	mendekati	titik	finish.	Apakah	kamu	dapat	menemukan	hubungan	jarak	lintasan	dan	kecepatan?	Dapatkah	kamu	jelaskan	ilustrasi	di	atas	berdasarkan	konsep	turunan? Alternatif Penyelesaian. Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menemukan konsep turunan dan mengaplikasikannya kembali. Misalkan lintasan arena balap tersebut adalah sebuah lintasan yang berupa siklis yaitu garis start dan garis finish adalah sama, tetapi dipandang berlawanan arah. Garis start berarti garis tersebut ditinggalkan atau bergerak menjauhi sementara garis finish berarti garis tersebut didekati. Perhatikan gambar berikut: Pandu siswa memahami bentuk lintasan berikut. kenapa Tanya siswa, kenderaan harus diperlambat atau harus percepat? Gambar 11.24 Lintasan balap Jika pada arena balap yang menjadi variabel adalah waktu maka lin-tasan yang ditempuh merupakan fungsi waktu s = f(t). Dengan demikian, daerah asal fungsi adalah waktu t ≥ 0 karena dihitung sejak diam. Setiap titik pada lintasan akan didekati dan dijauhi, bukan? Hal ini berarti ada peranan kecepatan v(t). Untuk titik yang dijauhi berarti kecepatan positif, dan titik yang akan didekati berarti kecepatan negatif. Minta siswa memahami penjelasan di samping. Kaitkan penjelasan tersebut dengan gambar di atas. Dengan pemahaman yang diperoleh, arahkan siswa memahami Tabel 11.6. 468
Matematika Tabel 11.6 Kecepatan suatu fungsi dan posisinya Posisi Diam Nilai v(t)= 0 Bergerak menjauhi titik tetap (Start) v(t) > 0 Bergerak mendekati titik tetap (Finish) v(t) < 0 Jadi, bergerak semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti ada terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan, yaitu: siswa Arahkan mengkaitkan kecepatan dengan percepatan dengan m e n g h u b u n g k a n n y a limit dengan fungsi. Minta siswa penjelasan memahami di dan samping memperhatikan Tabel 11.7 konsep + ∆ t ) ∆ t − f ( t f ( ) t = = ( ) v t lim →∆ 0 t '( ) t f atau v(t) = s'(t) Pergerakan pembalap pada titik belok diperlambat atau dipercepat, sehingga posisi percepatan adalah sebagai berikut: lintasan di Tabel 11.7 Percepatan suatu fungsi dan posisinya Posisi Nilai Konstan a(t) = 0 Bergerak diperlambat a(t) < 0 Bergerak dipercepat a(t) > 0 Jadi, bergerak dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan kenderaan terjadi perubahan kecepatan kenderaan. Percepatan a(t) adalah laju perubahan dari kecepatan, yaitu: tersebut, yaitu + ∆ t ) ∆ t − ( v t ( ) v t = = ( ) a t lim →∆ 0 t '( ) v t atau a(t) = v'(t) = s"(t) 469
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh Ajukan pandu dan 11.20 siswa menyelesaikan berdasarkan konsep yang telah ditemukan. Contoh 11.20 Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t yaitu s(t) = t4 - 6t2 + 12.Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan. Alternatif Penyelesaian Diketahui: s(t) = t4 - 6t2 + 12 Ditanya: s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0 Proses penyelesaian Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi v(t) = s'(t) = 4t2 -12t Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan a(t) = v'(t) = 12t2 - 12 = 0 12(t + 1)(t - 1) = 0 Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga: v(1) = s'(1) = 4(1)3 - 12(1) = -8 s(1) = (1)4 - 6(1)2 + 12 = 7 Minta siswa mendapatkan titik stasioner, interval fungsi naik atau turun, titik optimal )maksimum dan atau minimum) titik kemudian belok, m e n g g a m b a r k a n n y a pada koordinat kartesius. Pandu siswa memahami langkah perlangkah pada proses penyelesaian berikut. 3. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan Berdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah contoh berikut. Contoh 11.21 Analisis dan sketsalah kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3. 470
Matematika Alternatif Penyelesaian. Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi. f(x) = x4 + 2x3 ó x3(x + 2) = 0 ó ó x3 = 0 atau x + 2 = 0 x = 0 atau x = -2 Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0,0) atau B(-2,0) Langkah 2. Menentukan titik stasioner. f '(x) = 4x3 + 6x3 = 0 ó 2x2(2x + 3) = 0 ó 2x2 = 0 atau 2x + 3 = 0 3 2 ó x = 0 atau x = − 3 )− 2 27 16 = − Nilai f(0) = 0 atau f ( Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau 3 2 27 16 . − − C( , ) Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah: f '(x) = 4x3 + 6x3 > 0 ó 2x2(2x + 3) > 0 3 2 x = 0 atau x = − ó Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X. Interval Naik Interval Naik + +
0 3� 2 Interval Turun 471
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 3 2 Jadi, fungsi akan naik pada x < − atau x > 0 dan turun 3 pada − < < 2 0x . Langkah 4. Menentukan fungsi Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan kedua fungsi. f "(x) = 12x2 + 12 x sehingga f "(0) = 0 Titik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik. titik balik 3 )− 2 = > f "(x) = 12x2 + 12x sehingga f ''( 9 0 3 2 27 16 − − Titik C( adalah titik balik , ) minimum. Langkah 5. Menentukan titik belok f "(x) = 12x2 + 12x = 0 ó 12x(x + 1) = 0 ó 12x = 0 atau x + 1 = 0 ó x = 0 atau x = -1 Nilai f(0) = 0 atau f(-1) = -1 Jadi, titik belok fungsi adalah A(0,0) atau D(-1, -1). Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu x 7/4 -343/256 1/2 -3/16 1/4 9/256 1/2 5/16 y = x4 + 2x3 (x,y) P(-7/4,-343/256) Q(-1/2,-3/16) R(1/4,9/256) S(1/2,5/16) 472
Matematika Gambar 11.25 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3. Setelah siswa mempelajari konsep- konsep turunan di atas maka guru mengajak siswa bersama-sama mencoba menyelesaikan contoh soal berikut. Minta memperhatikan siswa langkah - langkah berikut. Guru dapat menguji kemampuan pemahaman siswa dengan memberikan contoh lainnya. Contoh 11.22 2 x − x ( ) = Analisis dan sketsalah kurva fungsi f x . 1 Alternatif Penyelesaian. Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi. 2 2 x − x x − x = ( ) = f x 0 ó 1 1 ó x2 = 0 dan x - 1 ≠ 0 ó x = 0 dan x ≠ 1 Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik A(0,0) Langkah 2. Menentukan titik stasioner. 2 − − 1 ) x 2 − 1 ) 2 ( x x ( 1 ( ) ó 2x(x - 1) - x2(1) dan = = '( ) f x 0 x (x - 1)2 ≠ 0 ó x2 - 2x = 0 dan x ≠ 1 ó x(x - 2) dan x ≠ 1 ó x = 0 atau x = 2 Nilai f(0) = 0 atau f(2) = 4 Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau B(2,4). 473
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah: 2 − − x ( x 2 x 2 ) 1 ó (x2 - 2x)(x - 1)2 > 0 > = f x '( ) 0 ó x(x - 2)(x - 1)2 > 0 ó x = 0, x = 2 atau x = 1 Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X. Interval Naik Interval Naik
+ 1 0 2 Interval Turun Interval Turun Jadi, fungsi akan naik pada x < 0 atau x > 2 dan fungsi akan turun pada 0 < x < 1 atau 1 < x < 2. titik balik fungsi Untuk Langkah 4. Menentukan menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasionernya ke turunan kedua fungsi. 2 − − x ( x 2 x 2 1 ) = f x '( ) sehingga 2 2 − − − − 4 − 2 2 1 ) 2 2 ) ( x 1 1 )( ) 2 − 1 ) ( )( ( x − 1 ) x x x = = f ''( ) x 3 ( ( x x f "(0) = -2 < 0 dan f "(2) = 2 > 0 Titik A(0, 0) adalah titik balik maksimum dan titik A(2, 4)adalah titik balik minimum. 474
Matematika Langkah 5. Menentukan titik belok 2 − ) 1 ó tidak ada nilai x = = f ''( ) x 0 3 ( x Jadi, tidak ada titik belok pada fungsi tersebut. Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu X 1 1/2 4 5 2 x − x = y 1/2 1/2 16/3 25/4 1 (x,y) P(-1,-1/2) Q(1/2,-1/2) R(4,16/3) S(5,25/4) Minta untuk siswa memperhatikan gambar di samping. Minta siswa menunjukkan kembali titik balik fungsi, interval fungsi naik/turun. gambar, Berdasarkan minta siswa memberikan pengertian garis asimtot. Guru berperan sebagai fasilitator. 2 x − x ( ) = Gambar 11.26 Sketsa kurva fungsi f x . 1 475
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikan soal - soal Uji ini sebagai Kompetensi tugas di rumah bagi siswa. Tujuan pemberian uji kompetensi ini adalah untuk mengetahui apakah siswa sudah memahami tentang konsep turunan fungsi untuk aljabar tafsiran menentukan )stasioner, geometris fungsi naik/turun, titik balik dan titik belok) dan aplikasi turunan. Uji Kompetensi 11.2 1. Tentukanlah titik balik fungsi-fungsi berikut! a. f(x) = x2 - 2x 1 2 2 3 3 4 2 ( ) = − + − b. f x x x c. f(x) = x3 - x d. f(x) = x3 - 6x - 9x + 1 e. f(x) = x4 - x2 2. Analisis dan sketsalah bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan menunjukkan interval fungsi naik/ turun, titik maksimum/minimum dan titik belok! a. f(x) = x2 - 2x b. f(x) = x3 - x c. f(x) = x4 - x2 1 − x 1 − 2 x + 1 x ( ) = d. f x ( ) = e. f x 3. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva dari suatu fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya. a. 476
Matematika b. c. d . 4. Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Kemudian, dia berencana membuat sebuah bangun segiempat di dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segiempat menyinggung keliling kurva. 477
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut. b. Buatlah segiempat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah jenis-jenis segiempat yang dapat dibuat. c. Hitunglah masing-masing segiempat yang diperoleh. d. Segiempat yang manakah yang mempunyai luas terbsar? Carilah luas segiempat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep difeensial. 5. Sebuah segiempat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = (x - 1)2. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas. Projek Minta untuk siswa mengerjakan soal proyek berikut dan membuat laporan. Arahkan siswa untuk mempresentasikan hasil kerja. Jika f adalah fungsi bernilai real pada - ∞ < x < ∞. Berdasarkan konsep, turunan adalah sebuah + ∆ x ) ∆ x − ( f x ( ) f x = '( ) limit fungsi, yaitu f x lim →∆ 0 x . Nyatakanlah turunan kedua fungsi f "(x) sebagai limit fungsi. Kemudian tentukanlah turunan ( ) = 2 pada x > 0. kedua dari f x Buatlah laporan projekmu dan presentasikanlah di depan teman-temanmu dan gurumu! x 478
Matematika Berikut adalah kesimpulan pembelajaran dari turunan. Arahkan siswa kembali memhami konsep berdasarkan kesimpulan berikut. D. PENUTUP Kita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat- sifatnya dari berbagai pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut: 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + ∆y) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan titik P dan Q dengan − + ∆ x ) ∆ x ( f x 1 ( f x 1 ) = gradien m sec 2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva. Gradien garis tangen/singgung di titik P(x1, y1) adalah nilai limit garis sekan di titik P(x1, + ∆ x ) ∆ x − ( f x 1 ( f x 1 ) = = y1), ditulis m lim ∆ → 0 x m lim ∆ → 0 x tan sec 3. Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ P dengan (c - ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan ∆ x ) ∆ x + − f c ( f c ( ) ada. hanya jika nilai lim ∆ x → 0 4. Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S. 5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turunan kanan, ditulis: f '(c)= lim c ( ) f x x − − f c ( ) c = lim → c x ( ) f x x − − f c ( ) c = . L 5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turunan kanan, ditulis: f '(c)= lim c ( ) f x x − − f c ( ) c = lim → c x ( ) f x x − − f c ( ) c = . L 5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turunan kanan, ditulis: f '(c)= lim c ( ) f x x − − f c ( ) c = lim → c x ( ) f x x − − f c ( ) c = . L → x 479
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 6. Aturan Turunan: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka: f (x) = a → f '(x) = 0 f(x) = ax → f '(x) = a f(x) = axn → f '(x) = axn-1 f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x) f(x) = a[u(x)]n → f '(x) = au'(x)[u(x)]n-1 f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v'(x) f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) − ( ) u x ( ) v x '( ) ( ) u x v x ( ) '( ) u x v x 2 [ ( )] v x = → = f x ( ) '( ) f x 7. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada x ∈ I maka Jika f '(x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval I Jika f '(x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval I Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval I Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I 8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga: Jika f '(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut dengan stasioner/kritis. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik minimum fungsi. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik maksimum fungsi. Jika f "(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik belok. 480
Matematika 9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: ∆ t ) ( ) v t ∆ t + − f ( t f ( ) t = = lim →∆ 0 t '( ) t f atau v(t) = s'(t) Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: ∆ − t ) ∆ t + ( v t ( ) v t = = ( ) a t lim →∆ 0 t '( ) v t atau a(t) = v'(t) = s"(t) 481
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ... 482
Kompetensi DasarPengalaman Belajar Bab 12 INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu: 1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2. Mendeskripsikan konsep integral tak tentu suatu fungsi sebagai kebalikan dari turunan fungsi. 3. Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan matematika yang melibatkan turunan dan integral tak tentu dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya. 4. Menurunkan aturan dan sifat integral tak tentu dari aturan dan sifat turunan fungsi. Melalui proses pembelajaran memiliki pengalaman belajar sebagai berikut. •	menemukan integral, siswa konsep integral	melalui
pemecahan masalah otentik; berkolaborasi	memecahkan	masalah	aktual	dengan pola interaksi sosial kultur; berpikir	tingkat	tinggi	(berpikir	kritis,	kreatif)	dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep integral dalam memecahkan masalah otentik. 5. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika Dalam memecahkan masalah nyata tentang integral tak tentu dari fungsi aljabar. Integral	tak	tentu •	Fungsi	aljabar •	Derivatif •	Antiderivatif
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Masalah Otentik Integral Integral Tak Tentu Integral Tentu Fungsi Aljabar Penerapan 484
Matematika Perkenalkan kepada siswa istilah antiturunan. Minta siswa mempelajari kembali aturan turunan pada bab sebelumnya. Minta siswa menentukan sebuah dan turunannya. Perkenalkan kepada siswa antiturunan dari turunan fungsi yang disebutkannya. I n f o r m a s i k a n kepada tujuan siswa pembelajaran. C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari Turunan Fungsi Mari kita ingat kembali konsep aplikasi turunan pada bidang fisika. Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak dan percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Bila kita berpikir kembali tentang aplikasi ini, bagaimana hubungan kecepatan jika percepatan yang diketahui. Hal ini mempunyai pemikiran terbalik dengan turunan, bukan? Nah, konsep inilah yang akan kita pelajari, yang disebut dengan integral. fungsi Integral adalah konsep yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu matematika dan penerapan diberbagai bidang. Ini berarti integral banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu pengetahuan. kali orang mengemukakan tentang ide integral adalah Archimedes yang merupakan seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 - 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur, dan sebagainya. Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Menurut sejarah pengembangan kalkulus juga sangat besar jasa dan peranan dari George Friederick Benhard Riemann (1826 - 1866). Berikan kepada siswa beberapa contoh aplikasi diberbagai turunan berikan bidang, kesempatan kepada siswa untuk memberikan contoh aplikasi lainnya. Informasikan konsep antiturunan yang dipakai dalam aplikasi yang telah dibicarakan. Menurut sejarah, yang pertama Perkenalkan sejarah turunan dan antiturunan siswa. Minta kepada siswa dan mencari menggali lebih dalam sejarah konsep turunan dan integral dari berbagai sumber. Pada bab ini akan dibahas tentang arti "antiturunan" (anti derivatif), "integral tak tentu", dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika turunannya diketahui. 485
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ajukan Masalah 12.1 kepada siswa. Ingatkan siswa proses pergerakan objek (barang) mengikuti konsep transformasi (translasi). Minta siswa membuat sketsa sederhana sesuai dengan cerita pada masalah tersebut. Masalah-12.1 Di pelabuhan selalu terjadi bongkar muat barang dari kapal ke dermaga dengan menggunakan mesin pengangkat/pemindah barang. Barang dalam jaring diangkat dan diturunkan ke dermaga. Terkadang barang diturunkan ke sebuah bidang miring agar mudah dipindahkan ke tempat yang diharapkan. Dari permasalahan ini, dapatkah kamu sketsa perpindahan barang tersebut? Dapatkah kamu temukan hubungan masalah	ini	dengan	konsep	turunan	(Ingat	pelajaran	Turunan	pada	Bab	XI) Alternatif Penyelesaian: Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut: Berikut adalah sederhana Masalah 12.1. Minta siswa menghubungkan Gambar 12.1 dengan cerita pada Masalah 12.1. sketsa berdasarkan Gambar 12.1 Barang yang diturunkan ke bidang miring Pandu siswa mengubah masalah nyata menjadi masalah abstrak dengan menggunakan pendekatan koordinat. (barang) yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius. Sekarang, kita misalkan jaring untuk Pandu membentuk sketsa sederhana masalah di atas menggunakan dengan siswa 486
Matematika y bidang kartesius. Minta siswa mempelajari sketsa berikut dan kembali menghubungkan dengan cerita pada Masalah 12.1 koordinat jaring diturunkan bidang miring x Gambar 12.2 Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat kartesius Ingatkan siswa konsep telah translasi dipelajari bab sebelumnya. Minta siswa memberi komentar, apa maksud dari nilai c1, c2, c3 dan ck pada gambar di samping. Minta siswa mengingat kembali konsep turunan terkait persamaan garis singgung. Tanya apa siswa, hubungan gradien garis singgung dengan fungsi yang disinggung? Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 12.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi) pada Bab X, terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali. yang pada y y = f(x)+c1 y = f(x)+c2 y = f(x)+c3 .... y = f(x)+ck garis singgung y = mx + n x Gambar 12.3 Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva Berdasarkan Gambar 12.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung pada Bab XI bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 12.3 memberikan informasi bahwa: m dy = f ′(x) (ingat adalah turunan pertama y′ atau m = dx 487
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK notasi turunan di Bab XI) sehingga y adalah anti turunan dari m. Dengan demikian anti turunan dari m adalah y = f(x) + ck. Hal ini berarti bahwa nilai konstanta ck dapat berubah- ubah. Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Dan anti turunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut. Ajukan Masalah 12.2 Beri kepada kesempatan kepada siswa untuk mempelajari masalah tersebut terlebih dahulu. Masalah-12.2 siswa. Berdasarkan konsep fungsi tersebut bila diturunkan menghasilkan fungsi yang sama. Jika digunakan konsep antiturunan pada fungsi tersebut, bagaimanakah fungsinya? Apakah dapat kembali ke fungsi asal? Berikut adalah fungsi-fungsi turunan, beberapa 1 1 x4 ,	b)	F(x)	= x4 + 4, yang	akan	diamati.	a)	F(x)	= 4 1 4 1 1 1 x4 -	8,	d)	F(x)	= x4 - ,	e)	F(x)	= c)	F(x)	= 4 4 4 2 13 x4 - . Turunkan fungsi-fungsi tersebut kemudian 207 amatilah turunan nilai konstantanya! Hubungkan kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya! Buatlah kesimpulan dari hasil pengamatan dari	penyelesaian	yang	kamu	peroleh!	(petunjuk:	turunan fungsi F(x)	adalah	F′(x)	=	f(x)	=	y′ Minta siswa menurunkan semua tersebut fungsi dan mengamati, apa yang terjadi? Alternatif Penyelesaian: 1 4 4x a) F(x) = = x3
d dx 1 4 4 x adalah F '(x) = f(x) = y' = 488
Matematika 1 4 4x + 4 b) F(x) = = x3
1 4 d dx 4 + adalah F '(x) = f(x) = y' 4 x 1 4 84x − c) F(x) = = x3
1 4 d dx 4 8− x adalah F '(x) = f(x) = y' = 1 4x − 2 = 1 d) F(x) = 4
1 1 d 4 3 = = − = adalah F x '( ) ( ) f x y ' x x 4 2 dx 1 13 4x − e) F(x) = 4 207 =
1 13 d 4 3 = = − = '( ) adalah F x ( ) f x y ' x x 4 207 dx Jika dilakukan pengamatan kepada ketiga fungsi, maka seluruh fungsi F(x) tersebut di atas adalah antiturunan dari fungsi f(x) = x3, sementara fungsi F(x) mempunyai konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta. Pandu siswa mengamati hubungan turunan dan antiturunan masing - masing fungsi. turunan anti turunan F(x) f(x) F(x) + c Perhatikan dan pahami definisi dan sifat berikut. Arahkan siswa memahami Definisi 12.1, Sifat 12.1 dan Sifat 12.2. siswa membuat Minta berdasarkan contoh definisi dan kedua sifat tersebut. Definisi 12.1 f	:	R	→	R	dan	F	:	R	→	R	disebut antiturunan atau integral tak tentu	f	jika	F	'(x)	=	f(x)	∀x	∈	R 489
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Sifat 12.1 dy Proses menemukan y dari merupakan kebalikan dx dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan. Sifat 12.2 Jika F(x)	adalah	sebuah	fungsi	dengan	F	'(x)	=	f(x) dikatakan bahwa a. turunan F(x)	adalah	f	(x)	dan b. antiturunan dari f(x)	adalah	F(x) dapat Ajukan Contoh 12.1 pada siswa. Minta salah satu siswa memberikan penjelasan terkait hubungan gradien garis singgung dengan turunan serta mengaitkan kembali dengan antiturunan. Penjelasan yang diberikan merupakan penyegaran teori atau konsep turunan kepada siswa. Contoh 12.1 Jika m = 2x - 4 adalah gradien garis singgung dari sembarang kurva f(x). Tunjukkan bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi. Alternatif Penyelesaian: Dengan mengingat konsep gradien suatu garis singung dengan turunan bahwa gradien adalah turunan pertama fungsi tersebut maka m = dy dx = 2x - 4. Berdasarkan Definisi 12.1 maka y adalah antiturunan dy dx = 2x - 4 sehingga dengan konsep turunan dari gradien maka y = x2 - 4x + c dengan c adalah konstanta bernilai real. Dengan c adalah konstanta bernilai real maka terdapat banyak fungsi y = f(x) yang memenuhi gradien garis singgung tersebut. 490
Matematika Perhatikan gambar berikut! Minta siswa mengamati gambar berikut. Minta siswa mengaitkan gambar tersebut dengan permasalahan pada tersebut. Minta soal salah satu siswa untuk memberikan komentar dan pendapatnya tentang gambar di samping. Arahkan siswa mengaitkan gambar di samping dengan konsep lurus, persamaan garis konsep persamaan garis singgung dalam turunan, translasi serta konsep pada transformasi. Arahkan proses belajar ke jawab siswa dengan antara siswa, sebagai guru fasilitator dan penengah bila ada pendapat yang berlawanan atau keluar dari kebenaran konsep PGS y c1 PGS PGS c2 c3 c4 PGS x Gambar	12.4	Persamaan	garis	singgung	dan	fungsi	f(x) Pada Gambar 12.4 terdapat banyak persamaan garis singgung yang sejajar. Ingat kembali definisi persamaan garis yang sejajar. Dengan demikian, terdapat juga banyak fungsi (kurva) yang disinggung oleh garis singgung tersebut. sesi tanya Uji Kompetensi 12.1 tingkat Untuk melihat pemahamanan siswa akan hubungan antara turunan dan antiturunan, ajukan Uji Kompetensi 12.1 tugas sebagai pribadi. Soal ini, dapat diberikan sebagai tugas rumah. Guru sebaiknya memberikan soal tambahan. 1. Tentukan antiturunan dari a. f(x) = 2x b. f(x) = 3x c. f(x) = 4x d. f(x) = 4x e. f. g. h. f(x) = 6x f(x) = 7x f(x) = 8x f(x) = 9x 491
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 2. Tentukan antiturunan dari fungsi f(x) berikut! f(x) = 2x2 f(x) = 2x3 f(x) = 3x2 f(x) = 3x3 f(x) = 4x2 f(x) = 4x3 f(x) = axn a. b. c. d. e. f. g. 3. Tentukan antiturunan dari f(x) = x-2 f(x) = 2x-3 1 2 a. b. 3. Tentukan antiturunan dari f(x) = x-2 f(x) = 2x-3 1 2 a. b. − c. ( ) = f x x 1 3 1 3 d. ( ) = f x ( ) = f x x − e. 5 x 3 −2 x ( ) = f x f. 2 3 100 a 1 − ( ) = f x ( ) = f x g. 4 x h. xn b rasional. 4. Tentukan antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) dibawah ini! a. Jika f(x) = 8x3 + 4x dan g(x) = x4 + x2 ( ) = ( ) = dan g x x x b. Jika f x c. Jika f(x) = (x + 2)3 dan g(x) = (x + 2)4 x 5. Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi m = x2 - 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi gradien tersebut. 492
Matematika Setelah siswa memahami bahwa antiturunan adalah balikan dari turunan. 2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu 2.1 Notasi Integral Perkenalkan kepada siswa integral sebagai notasi pengganti antiturunan yang lazim dipakai. Kita telah banyak membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya pada beberapa fungsi yang sederhana pada sub-bab di atas. Pada kesempatan ini, kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari sebuah fungsi f(x) ditulis dengan menggunakan notasi "∫" (baca: integral). 12.2. Alternatif penyelesaian di atas, dapat kita tuliskan kembali dengan menggunakan notasi integral tersebut. Perhatikan kembali Masalah 1 4 sehingga diperoleh = x3
1 4 d dx siswa Pandu menggunakan notasi integral pada contoh soal pada Masalah 12.2. Ingatkan siswa notasi differensial dy/dx untuk siswa Minta mengamati setiap fungsi yang oleh dihasilkan masing-masing integrasi di atas. Tanya siswa, kenapa integral hasil menjadi F(x) + c 4x Adalah F '(x) = f(x) = y' = 4 x a) F(x) = 41 x 4 tentang 3 x dx = ∫ = ∫ = + ( ) F x ( ) f x dx c 1 4 = x3
d dx 1 4 4x + adalah F '(x) = f(x) = y' = 4 + 4 b) F(x) = x 4 sehingga diperoleh 41 x 4 3 x dx = ∫ = ∫ = + ( ) F x ( ) f x dx c 1 4 = x3
d dx 1 4 84x − adalah F '(x) = f(x) = y' = 4 8− x c) F(x) = sehingga diperoleh 41 x 4 3 x dx = ∫ = ∫ = + ( ) F x ( ) f x dx c 493
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berikan soal pada Contoh 12.2 untuk dikerjakan siswa terlebih dahulu. Berikan soal yang lain kepada untuk siswa dikerjakan. Minta siswa membuat yang lain dan mengintegralkan fungsi yang mereka buat masing-masing. Contoh 12.2 dy dx Jika y = 3x4 + 2x3, carilah nilai , kemudian tentukan ∫ 4x3 + 2x2dx. fungsi Alternatif Penyelesaian: dy dx Jika y = 3x4 + 2x3 maka = 12x3 + 6x2 sehingga diperoleh ∫ 12x3 + 6x2dx = 3x4 + 2x3 + c ∫ 3(4x3 + 2x2)dx = 3x4 + 2x3 + c 3 ∫ 4x3 + 2x2dx = 3x4 + 2x3 + c 2 ∫ 4x3 + 2x2dx = x4 + x3 + c 3 Pandu untuk siswa menemukan aturan dari integral tak tentu. Tanya integral siswa, kenapa disebut tentu? tak kesempatan Berikan kepada untuk memberikan komentar atau pendapatnya. 2.2 Rumus Dasar Integral Tak Tentu Berdasarkan pengamatan pada beberapa contoh di atas, jika semua fungsi yang hanya dibedakan oleh nilai konstantanya diturunkan maka akan menghasilkan fungsi turunan yang sama sehingga bila diintegralkan akan mengembalikan fungsi turunan tersebut ke fungsi semula tetapi dengan konstanta c. Nilai konstanta c disebut tak tentu karena dapat digantikan oleh semua bilangan. Nilai konstanta c akan dapat ditentukan bila diketahui titik yang dilalui oleh fungsi asal tersebut. Titik asal (initial value) dapat disubstitusi ke fungsi hasil antiturunan sehingga nilai c dapat ditentukan. siswa Arahkan siswa memahami Sifat 12.3 dan minta siswa membuat contoh sesuai dengan Sifat 12.3 tersebut. Sifat 12.3 Jika F(x)	adalah	fungsi	dengan	F′(x)	maka	∫ f(x)dx	=	F(x)	+ c Dengan c sembarang konstanta 494
Matematika Ajukan Masalah 12.3 kepada siswa. Ingatkan bagaimana siswa menemukan proses aturan turunan dengan pengamatan pada soal- soal dan menemukan pola. Minta siswa melakukan hal yang sama pada konsep integral. Dengan mengingat proses penemuan pola turunan fungsi, pandu siswa untuk penemuan menemukan proses integrasi. Masalah-12.3 Pada konsep turunan, kita dapat memperoleh aturan turunan dengan menggunakan konsep limit fungsi sehingga proses penurunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan lebih sederhana dan cepat. Bagaimana dengan konsep integral suatu fungsi? Adakah aturan yang dapat dimiliki agar proses integrasi suatu fungsi atau mengembalikan fungsi turunan ke fungsi semula dapat dilakukan dengan cepat? Alternatif Penyelesaian: Untuk menjawab permasalahan ini, kita akan melakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 12.1 Tabel 12.1 Pola hubungan turunan dan antiturunan fungsi y = axn Minta siswa mengamati turunan dan antiturunan setiap fungsi pada kolom 1 dan kolom 2. Pandu siswa mengamati pola menemukan antiturunan fungsi jika turunan (kolom 1) Pandu siswa membentuk pola dan menarik kesimpulan secara umum. Bila pola telah ditemukan, pandu siswa membentuk aturan antiturunan fungsi pada baris terakhir pada Tabel sehingga 12.1 tanda"?" dapat dijawab. Turunan Fungsi (f(x)) Antiturunan Fungsi (F(x)) Pola 1 1 0 1 0+1 x 1 = x = x 1 x 1 0 +1 diketahui. 2 2 1 2 1+1 x2 2 x = x = x 2x 2 1+ 1 3 3 1 3 2+1 3x2 x3 3 x = x = x 3 2 +1 8 8 3 3 3+1 8x3 2x4 8 x = x = x 4 3 +1 25 25 4 5 4+1 25x4 5x5 25 x = x = x 5 4 +1 495
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Turunan Fungsi (f(x)) Antiturunan Fungsi (F(x)) Pola ... ... ... a an n n n 1 ( 1)+1 anx x x = = anxn-1 axn
n 1 ( 1) + 1 a n+1 axn x ? n +1 Dari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau pola anti turunan dari a 1 1 n ax dx n n x . turunannya yaitu telah Jika aturan menemukan pada antiturunan minta tabel memperdalam siswa dengan pemahaman melihat pembuktian contoh yang lebih banyak. siswa ini, Agar kamu dapat melihat kebenaran pola kamu harus memperlihatkan lebih banyak contoh yang melahirkan aturan tersebut seperti pada Tabel 12.1. Kamu lakukan kembali proses yang dilakukan pada Tabel 12.1 pada kegiatan berikut. 12.1, Kegiatan 12.1 Tentukanlah turunan dan antiturunan fungsi-fungsi yang diberikan pada tabel berikut seperti yang dilakukan pada Tabel 12.1 Arahkan siswa melakukan Kegiatan 12.1 secara pribadi atau berkelompok dengan 2 orang. Minta mempelajari siswa kembali Tabel 12.1 dan melakukan hal yang sama pada Tabel 12.2. Tabel 12.2 Pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi F(x) Turunan Fungsi (f(x)) Antiturunan Fungsi (F(x)) Pola ... ... x10 ... ... x-2 496
Matematika Turunan Fungsi (f(x))
Antiturunan Fungsi (F(x))
Pola
3x
3x5 + 4x
5 0,5x0,5
1,25x1,5 + 2,5x
1,5
1 32x
x 2
3 2 x x 2 ... ... 2x-1 ... ... 0,55x-1 13 x 2 ... ... Minta siswa mengamati pola ditemukan pada Tabel 12.2 dan m e n g h u b u n g k a n n y a dengan pola pada Tabel 12.1. siswa, Tanya apakah ada masalah yang ditemukan pada Tabel bagaimana 12.2 mengatasi masalah tersebut? Dari hasil pengamatanmu pada Tabel 12.2, dapatkah kamu tentukan syarat n pada y = axn agar pola integrasi tersebut berlaku secara umum? Apa yang kamu peroleh pada tiga baris terakhir pada Tabel 12.2? Tariklah sebuah kesimpulan dari hasil pengamatanmu. yang Dengan adanya aturan tersebut, proses penyelesaian soal pada Contoh 12.2 dapat lebih sederhana. Kamu amati kembali proses penyelesaian contoh tersebut pada Contoh 12.3 berikut tanpa melihat fungsi asalnya. dan 497
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ajukan Contoh 12.3 untuk dikerjakan siswa dengan aturan memanfaatkan integrasi telah diperoleh. Minta siswa membandingkan jawaban dan proses penyelesaian dengan hasil integasi pada Contoh 12.2 Contoh 12.3 Tentukan nilai ∫ 4x3 + 2x2dx. yang Alternatif Penyelesaian: 4 3 1 2 2 1 3 1 2 1
c x x ∫ 4x3 + 2x2dx = 4 2 4 3
x x c = 4 3 32 x 3 4 x c = Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian jika 2 F′(x) = 4x3 + 2x2, maka F(x) = x4 + x3 + c 3 2 F(x) = x4 + x3 + c 3 Tanya siswa, apa yang dimaksud dengan titik awal? Minta siswa menjelaskan Guru pendapatnya. membantu memberikan penjelasan. memperdalam Untuk pemahaman tentang nilai awal (initial value), ajukan soal pada Contoh 12.4 kepada siswa. Pandu siswa proses dalam penyelesaian contoh di samping. Berdasarkan konsep yang telah kita peroleh pada subbab di atas, setiap hasil integrasi suatu fungsi menghasilkan fungsi dengan konstanta c, bukan? Konstanta c dapat ditentukan nilainya jika diketahui titik awal (initial value) yang dilalui fungsi asal tersebut. Perhatikan contoh berikut! Contoh 12.4 3 2 2 Jika fungsi melalui titik F x ( ) 3 x x x dx 1 1 A maka tentukanlah nilai F(x) (1, ) 12 498
Matematika Alternatif Penyelesaian: 2 3 2 F x ( ) 3 x x x dx 1 3 2 1 3 c 4 2 F x ( ) x x x x 4 3 2 1 1 F 12 (1) A artinya ) Jika fungsi melalui titik sehingga diperoleh: (1, 12 1 1 12 2 3 2 4 1 3 1 2 1 F (1) 1 c 4 3 23 1 c atau c = -2. 12 12 Jadi, Fungsi tersebut adalah 1 2 3 2 4 3 2 F x ( ) x x x x 2 4 3 Dengan demikian, berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, kita menarik sebuah kesimpulan akan aturan sebuah integrasi, sebagai berikut: Arahkan siswa memahami Sifat 12.4. Tanya siswa, kenapa n harus bilangan rasional? Tanya siswa, kenapa n ≠ - 1? Seandainya n = 1, apa yang terjadi pada hasil integral dan apa solusi atas masalah ini? Sifat 12.4 Untuk n bilangan rasional dengan n ≠ - 1, dan a, c adalah bilangan real maka berlaku aturan: 1 n x dx n +1 a. = + x c +1 n a n ax dx 1 n 1 n c b. x 499
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ajukan soal pada Contoh 12.5 kepada siswa untuk dikerjakan secara pribadi kembali. Guru merancang soal yang lain untuk dikerjakan oleh siswa. Contoh 12.5 Hitunglah integral berikut! 34x dx 3x dx 1 c. a. 1 dx 2 dx
b. d. 3 x x Alternatif Penyelesaian: 4 3 1 c 3 1 34x dx x = a. = x4 + c 1 2 2x dx dx = b. x 1 2 1 c 2 1 x = c 1x = 1 c x = 3 c. = 2x dx 3x dx 3 1 1 2 x = 3 1 2 5 21 x 5 = 2 22 x 5 c x = 500
Matematika 1
3 2x
dx
d. = dx 3 x 3 1 2 1 3 2 x = 1 1 2 1 1 2 2 x = c = x Sifat 12.5 Arahkan siswa memahami Sifat 12.5. Minta siswa membuat contoh terkait dengan aturan-aturan pada sifat di samping. Jika f(x)	dan	g(x)	merupakan	dua	fungsi	yang	dapat	diintegralkan dan c, k bilangan real, maka: 1. dx = x + c 2. k dx = kx + c n+ 1 x 3. n 3. n + c n + k f(x)dx = k f(x)dx 1 4. 5. 6.
f(x) + g(x) dx= f(x)dx + g(x)dx f(x) - g(x) dx= f(x)dx - g(x)dx
501
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Ajukan soal pada Contoh 12.6 kepada siswa. Minta siswa meunjukkan sifat - sifat yang dipakai pada setiap proses penyelesaian pada masing - masing soal. Contoh 12.6 Tentukanlah hasil dari a. 4 3 x dx 2x b. 2 dx 1x x dx 3 2 x c. x Alternatif Penyelesaian: 3 2 2 .x x dx 3 4 2 .x x dx 3 2 = a. 4 3 x dx 2x 4 = 2 4 2 x = dx 11 2 x dx = 2 1 11 2 1 13 2 13
c 2
x 2
13 c 2 2 x = 4 c 2 = x 13 b. 2 dx 1x 2 x 2 x 1 dx = 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 x
x c x
502
Matematika 1 3 2 x = x x c 3 x dx 3 x 2 x dx 3 2 x x c. = x x
dx 1 2 1 2 3 x x .
= x x 2 . x dx 5 1 22 x = 2 5 1 1 2 1 1 1 2 2 x x c = 5 1 1 2 2 7 3 1 7 2 x 3 2 2 x c = 2 2 2 4 x 3 7 3 2 2 = x c 7 32 x 7 4 3 x x x c = Contoh 12.7 Pandu siswa memahami Contoh 12.7. Tanya siswa, contoh soal di samping aplikatif ke bidang apa? Beri tugas kepada siswa untuk mencari informasi atau penjelasan tentang biaya marginal! Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya dengan produksi terhadap banyak 2 6 Q dC dQ barang . Tentukan fungsi biaya total C dalam M C 3 satu bulan! 503
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK dimana: Q = banyak produksi (Quantity) C = Biaya produksi total (Total Cost) MC = Biaya marginal (Marginal Cost) Pandu memahami integrasi. siswa untuk proses Alternatif Penyelesaian: 6 2 Q
dQ C(Q) = 3 2 = dQ Q 3 3 2 = dQ Q 3 3 2 1 3 2
2 Q c Q 3 = 21 Q 3 Q c = 2 12.8 Ajukan Contoh kepada sebagai siswa bentuk variasi soal. Tanya siswa, kenapa soal di samping disebut dengan persamaan differensial. Contoh 12.8 Tentukan fungsi y = F(x) dari persamaan diferensial 2 x dy 2 dengan y = 1 di x = 1 y x dx Pandu menyelesaikan perlangkah. Pada Langkah 1, ingatkan siswa konsep eksponen. siswa langkah Alternatif Penyelesaian: Langkah 1. Ubah bentuk persamaan diferensial tersebut menjadi: 2 x dy dy 2 y x 2 x ⇔ dx 2 y x dx 3 2 x dx 2 y dy ⇔ (ingat sifat eksponen) 504
Matematika Lankah 2. Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh: Pandu menggunakan integral di kedua ruas. Tanya siswa, bagaimana jika penambahan konstanta berbeda terjadi di masing-masing integral (ruas kiri dan kanan), apakah hasil masih sama dengan hasil di samping? siswa konsep 3 2 x dx ⇔ 2 y dy 3 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 c ⇔ y x 1 1 22 x ⇔ 1 y c 2 x 1 y ⇔ c Pandu siswa mensubstitusi titik awal ke fungsi yang telah ditemukan pada Langkah Ingatkan 2. siswa konsep relasi dan fungsi. Langkah 3. Dengan mensubstitusi titik awal ke 2 x 1 y c 2 1 1 1 atau c = 1. Jadi, c Karena y = 1 di x = 1 maka 2 atau x 1 y x 2 1 y . fungsi tersebut adalah x Minta memahami Sifat 12.6. Minta siswa mengaitkan sifat ini dengan Sifat 12.5(5) dan Sifat12.5(6). siswa untuk Sifat 12.6 f (x),f (x),...,f (x) adalah fungsi yang dapat Misalkan 1 diintegralkan.	Integral	tak	tentu	hasil	penjumlahan	dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu: x dx = f x dx + ...+ f f x + ...+ f 1 n n 2 n x dx
1 siswa Pandu Contoh menyelesaikan 12.9. siswa Minta menunjukkan Sifat 12.6 pada contoh. Tanya siswa, setiap bagaimana pada proses Contoh 12.9 Tentukan nilai dari x 3 x dx 1 6 2 2 jika integral 505
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK masing - masing suku konstanta ditambahkan c yang berbeda, apakah masih dengan sama jawaban di samping? siswa Pandu Contoh menyelesaikan 12.10. Minta siswa menentukan nilai tak tentu c dengan mensubstitusikan titik awal yang diketahui. Alternatif Penyelesaian: 6 x dx x 3 2 x dx 1 3 3 2 1 dx 3 7 Contoh 12.10 6 2 2 x dx = 2 3 7 3 x C x x = 3 2 dan f(0) = 1 3 Carilah nilai f(x) jika f x '( ) x 4 x Alternatif Penyelesaian: 4 x x 3 2 f x ( ) 3 dx 2 maka x x 4 x 3 f x '( ) x 4 3 3 2 f x ( ) 3 dx 1 4 4 3 4 3 , karena f(0) = 1 x x 3 x c ⇒ f(x) = ⇒ f(0) = 0 - 0 + 0 + c = 1, berarti c = 1 sehingga 1 4 4 3 3 x 1 4 f x ( ) x 3 x Untuk melihat pemahaman siswa terkait proses integrasi pada Contoh 12.10, ajukan contoh untuk berikut dikerjakan! Soal Fungsi f(x), f′′(x), dan f′′′(x) adalah turunan pertama, kedua dan ketiga suatu fungsi f(x) serta memenuhi . '( ) f x dx , ''( ) x dx f x ''( ) f x '''( ) f f '(1) . ''(1) 0 2 f (1) f x '''( ) 60 f x 18 dan Jika Tentukan fungsi f(x)? Pandu siswa memahami proses bertahap pada alternatif penyelesaian. Tanya siswa, mengapa penyelesaian proses dilakukan secara bertahap? Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan aturan tersebut di atas maka: 60 x 2 f x ''( ) 18 dx 3 x x 18 f ''( ) 20 x c 506
Matematika f maka ''(1) 0 0 f ''(1) 20 18 c Dengan nilai awal 3 . 2 f ''( ) 20 x x 18 x sehingga c = -2. Jadi, Berdasarkan aturan tersebut di atas kembali maka: 20 3 2 dx x f x '( ) x 18 4 2 9 f x '( ) 5 x x 2 x d 0 f maka f '(1) 5 9 2 d '(1) 0 Dengan nilai awal 2 . x 4 f x '( ) 5 x 9 2 x 6 sehingga d = 6. Jadi, Berdasarkan aturan integral, diperoleh: 5 x 4 2 x f x ( ) 9 x 2 dx 6 3 x 5 2 f x ( ) x 3 x x 6 e f maka (1) 0 0 f (1) 1 3 1 6 e Dengan nilai awal 5 3 2 . x sehingga e = -3. Jadi, f x ( ) x 3 x 6 x 3 Contoh 12.11 Minta siswa mengerjakan soal pada Contoh 12.11. untuk siswa Arahkan mengintegralkan fungsi menjabarkan dengan fungsi terlebih dahulu. Ingatkan siswa kembali definisi perpangkatan dan Binomial Newton untuk menjabarkan masing - masing fungsi. Tentukanlah integral dari fungsi-fungsi berikut! a. F(x) = (x + 2)4 b. F(x) = (2x - 3)5 c. F(x) = (3x - 2)6 tersebut 1 n x 3! 1 1 0! 1! 1 2! 1 4! 1 n ! 2 3 4 F x ( ) x x x x ... d. e. F(x) = (ax + b)n Alternatif Penyelesaian: Untuk menyelesaian contoh soal berikut, kita harus menjabarkan atau dengan menggunakan Binomial Newton. Untuk itu, ingat kembali prinsip Binomial Newton pada Bab 8. Soal - soal yang diberikan untuk dikerjakan siswa telah di Arahkan samping. diselesaikan 507
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a. F(x) = (x + 2)4 = (x + 2)(x + 2)(x + 2)(x + 2) sehingga siswa untuk menemukan penyelesaian soal - soal tersebut. diperoleh F(x) = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 F x dx ( ) x (dengan menggunakan Sifat 12.6) 4 3 2 24 8 x x 32 x 16 dx 8 4 1 5 24 3 32 2 F x dx ( ) 5 4 3 2
x c x x x x 16 1 5 F x dx ( ) 3 c x 5 4 2 x 2 x 8 16 x 16 x (Dengan Binomial Newton) F(x) = (s + 2)4 4 2 C x 2 ( ) (2) 2 4 3 1 C x 1 ( ) (2) 4 4 C x 0 ( ) (2) 4 1 C x 3 ( ) (2) 0 F(x) = + + 3 4 0 C x 4 ( ) (2) 4 + + F(x) = (1)(1)x4 + (4)(2)x3 + (6)(4)x2 + (4)(8)x + (1)(16) 4 3 2 16 x x 8 x 24 32 x F(x) = F x dx ( ) x F x dx ( ) 4 3 2 24 (Sifat 12.6) 8 x x 32 x 16 dx 8 4 1 5 24 3 32 2 5 4 3 2
x c x x x x 16 1 5 F x dx ( ) 3 c x 5 4 2 x 2 x 8 16 x 16 x b. Coba kerjakan dengan menjabarkan berdasarkan definisi perpangkatan dan dengan menggunakan Bonomial Newton (diserahkan kepada siswa) c. Dengan menggunakan Binomial Newton maka Silahkan didiskusikan penyelesaian pada bagian b. diperoleh: F(x) = (3x - 2)6 508
Matematika 1 x + 6 5 x + 6 4 C 1 (3 ) ( 2) C 2 (3 ) ( 2) 6 2 6 1 x + x + C 5 (3 ) ( 2) C 4 (3 ) ( 2) 6 0 6 x 6 (3 ) ( 2) 2 6 6 0 (3 ) ( 2) 3 3 6 3 (3 ) ( 2) C 0 x + 5 x F(x) = C C + 4 5 4 (15)(81)(4)x 6 (6)(243)( 2)x + (1)(729)(1)x + F(x) = 3 2 (20)(27)( 8)x + (15)(9)(16)x + + (6)(3)( 32)x + (1)(1)(64) 6 5 4 3 2
F(x) =
729 x
2916 x
4860 x
4320 x
2160 x
576 x
64 6
64 729 x 2916 x 4860 x 4320 x 2160 x 576 x sehingga dengan menggunakan Sifat 12.6 F x dx ( ) 729 6 5 4 3 2
x 2916
x 4860
x 4320
x 2160
x 576
x 64
dx
729 6
F x dx ( ) x 2916 x 4860 x 4320 x 2160 x 576 x 64 dx 729 7 2916 6 4860 5 4320 4 2160 3 576 2 F x dx ( ) 7 6 5 4 3 2
64 c x x x x x x x 729 2916 6 4860 5 4320 4 2160 3 576 2
64 c x F x dx ( ) x x x x x x 7 729 7 F x dx ( ) 7 6 5 4 3 2
64 c x x
486 x
972 x
1080 x
720 x
288 x
729
64 c x F x dx ( ) x 486 x 972 x 1080 x 720 x 288 x 7 d. Dengan menggunakan Sifat 12.6. 1 1 F x dx ( ) 0! 1! 1 n ! 1 2! 1 3! 1 4! 2 3 4 n x dx x x x x ... 1 1.0! 1 2.1! 1 3.2! 1 4.3! 1 5.4! 1 n 1) ! 1 F x dx ( ) n 2 3 4 5
... ( x x x x x x n 1 1 2.1! 1 3.2! 1 4.3! 1 5.4! 1 n 1) ! 1
... (
F x dx x
x x
x x
( )
n 1.0!
509
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 1 1! 1 2! 1 3! 1 4! 1 5! 1 1 F x dx ( ) 2 3 4 5 n ( x x x x x x ... n 1)! 1 1! 1 2! 1 3! 1 4! 1 5! 1 1 F x dx ( ) 2 3 4 5 n ( x x x x x x ... n 1)! e. Dengan menggunakan Binomial Newton. )n ax b ( 1 1 n C ax ( 0 n b ) ( ) 0 n C ax ( 1 n 1 b ( ) n 1 n 1 b ) ( ) n n C ax ( n 0 b ) ( ) n =
C ...
) ( ax 1 1 n n b ) ( ) 0 n C ax ( 1 n 1 b ( ) n 1 n 1 b ) ( ) n n C ax ( n 0 b ) ( ) n
... C
C ax ( ) ( ax 0 sehingga ax b dx ( )n 1 1 n C ax ( 0 n C ax ( n n b ) ( ) 0 n C ax ( 1 n 1 b ( ) n 1 n 1 b ) ( ) n n C ax ( n 0 ) ( ) n b dx
... C
) ( ax = 1 1 n C ax ( 0 n b ) ( ) 0 n C ax ( 1 n 1 b ( ) n 1 n 1 b ) ( ) n 0 ) ( ) n b dx
... C ) ( ax n 0 ( C ax n nC 1( n n a C 0 1 n n C ax 1 ( n nC ax ( n ) ( ) 0 b dx n 1 1 b dx ( ) ) = + + ... + dx 1 0 ) ( ) n b dx 1 b ) ( ) n ax + 1 n ab C 1 n bC 1 n n 1 n n b C 1 n n n a 1 n n 2 ...
c x x x x = 2 Ajukan Masalah 12.4 kepada siswa. Ingatkan tentang aplikasi siswa konsep terkait turunan kecepatan dan percepatan. Pandu siswa menunjukkan pemanfaatan antiturunan pada permasalahan kecepatan dan percepatan. Masalah-12.4 Konsep antiturunan atau integral banyak berperan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang Fisika. Pada bidang ini juga banyak diperankan oleh konsep Turunan, contohnya adalah permasalahan kecepatan dan percepatan. Dengan mengingat integral adalah balikan dari turunan, maka dapatkah kamu temukan hubungan integral dalam permasalahan konsep kecepatan dan percepatan? Coba kamu tunjukkan peran integrasi pada hubungan besaran tersebut? turunan dan 510
Matematika Minta siswa mengingat kembali konsep turunan terkait linasan, jarak kecepatan dan percepatan pada bab sebelumnya. Pandu siswa menentukan konsep antiturunan dalam fungsi jarak, kecepatan dan percepatan. Pandu siswa memahami aturan yang diperoleh dengan pemahaman pada operasi antiturunan pada turunan masing - masing besaran. Alternatif Penyelesaian: Kita ingat kembali konsep yang telah diuraikan pada pelajaran Turunan pada bab sebelumnya. Pergerakan sebuah objek yang semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti ada terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu, yaitu: ds t ( ) dt v t dt ( ) s t sehingga ( ) s t v t atau ( ) '( )
v t ( ) Pergerakan dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan objek tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kendaraan. Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu, yaitu: dv t ( ) dt ( ) a t dt sehingga ( ) v t
a t atau ( ) v t '( ) s t ''( ) a t ( ) dimana: t = waktu s(t ) = fungsi lintasan v(t ) = fungsi kecepatan a(t ) = fungsi percepatan Contoh 12.12 memahami Untuk antiturunan konsep terkait pada masalah fungsi jarak, kecepatan dan percepatan, ajukan untuk 12.12 Contoh dikerjakan siswa terlebih dahulu. Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi a(t) = -2t2 + 3t +1 . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut? 511
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Minta komentar fungsi setelah diintegralkan. Minta siswa mensketsa masing - masing fungsi dengan bantuan beberapa titik. siswa memberi terkait setiap yang diperoleh Alternatif Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep di atas maka: t 2 1 dt 2 atau ( ) a t dt v t ( ) t 3 v t ( ) 3 c 2 2 3 3 2 v t ( ) t t t kemudian 2 3 3 2 3 2 atau ( ) v t dt s t ( ) t t t cdt s t ( ) 2 3 4 3 2 3 1 ct d t 2 4 3 2
s t ( ) t t 1 6 1 2 1 2 3 ct d 4 2 s t ( ) t t t Untuk melihat tingkat pemahamanan siswa akan hubungan konsep integral dan aplikasinya, ajukan Uji Kompetensi 12.2 sebagai tugas pribadi. Soal ini, dapat diberikan rumah. tugas sebagai Guru baiknya memberikan soal tambahan. Uji Kompetensi 12.2 1. Selesaikanlah! dy dx 72x dx dy dx 1 22x dx dan tentukan 2x x , carilah nilai Jika y = 2 4 x 3 tentukan x dx x 4 16 7x dx Jika y = x8, carilah kemudian tentukan a. dan tentukan 1 2 x , carilah y kemudian tentukan nilai b. Jika 1 dx dy dx 4 2 c. kemudian dy dx d. Jika y = 4 1x , carilah nilai tentukan 3 dx 1x 3 kemudian 3 512
Matematika dy dx , carilah nilai x e. Jika kemudian y 1 4 1 x dx 1 4 tentukan 2. Selesaikan integral berikut! 10x dx 28x dx 20x dx 2 x 4 3x dx 33x dx 45x dx 5x dx a. e. 27 f. b. 59 c. g. dx d. h. 3. Tentukan nilai dari 3 x dx x 1 2 x 31 5 x x 3 dx 4 x 2 a. c.
2 x x b. dx 4. Buktikan! a. b. Petunjuk: anggap F(x) merupakan antiturunan dari f(x) dan G(x) merupakan antiturunan dari g(x). selanjutnya carilah f x dx ( ) g x dx ( ) f x dx g x dx ( ) ( ) F x G x ( ) F x G x ( ) f x ( ) ( ) ( ) d atau dx d dx g x dx ( ) g x dx ( )
f x ( ) 5. Tentukan nilai dari 3 2x dx x c. 3 dx 1x a. 2 x 4 2 x b. 10 dx x x 513
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 6. Selesaikanlah integral berikut! ) 1 x dx ∫ b. 2 ( dx − − x e. d. x x 9 ∫ ∫ ∫ c. 3 x 3 2 x − 1 dx f. ∫ 2 1 x 6. Selesaikanlah integral berikut! ) 1 x dx ∫ b. 2 ( dx − − x e. d. x x 9 ∫ ∫ ∫ c. 3 x 3 2 x − 1 dx f. ∫ 2 1 x 6. Selesaikanlah integral berikut! ) 1 x dx ∫ b. 2 ( dx − − x e. d. x x 9 ∫ ∫ ∫ c. 3 x 3 2 x − 1 dx f. ∫ 2 1 x 6. Selesaikanlah integral berikut! ) 1 x dx ∫ b. 2 ( dx − − x e. d. x x 9 ∫ ∫ ∫ c. 3 x 3 2 x − 1 dx f. ∫ 2 1 x ∫ a. x dx 2
3 x − x 7. Tentukan nilai y jika d. dy dx e. dy dx f. dy dx a. dy dx dy dx = 10 3 2 = + 4 x 3 x 1 10 2 + − x 2 x 2 x 5 = b. = dy dx 2 2 c. x= 2 − = + 4 2 x x 8. Carilah nilai f(x) dan f(1) = 1 jika x f x '( ) 2 1 a. 2 3
f x '( ) x b. x 9. Selesaikanlah berikut: 9. Selesaikanlah berikut: persamaan-persamaan dy dx 23 x , y = 5 di x = 2 1 4 x a. dy dx , y = 6 di x = 0 b. 4 1 2 x dy dx 2 x 2 c. , y = 1 di x = 0 2 y 2 514
Matematika 10. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, - 1) dan gradien garis singgung di setiap titik (x, y), pada grafiknya ditentukan persamaan y x 4 y , y . 0 11. Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 yang melalui titik (4, 0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh persamaan f x ( ) . x 1 x 12. Tentukan persamaan fungsi f jika grafik fungsi y = f(x) melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung di setiap 0 titiknya ditentukan oleh persamaan . x 4 , ' 1 16 y x 13. Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a (dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v0 (dalam centimeter per detik) dan jarak s0 (dalam centimeter). Tentukanlah kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik. a. a = t, v0 = 2, s0 = 0 b. a = 3 , v0 = 4, s0 = 6 1 t 1t , v0 = 0, s0 = 10 , v0 = 4, s0 = 0 1 t c. a = 3 2 d. a = 3 Projek bekerja Minta atau secara untuk berkelompok mengerjakan soal projek interval berikut dalam waktu yang kerja ditentukan guru. Minta siswa membuat laporan dan mempresentasikan siswa individu tentang penerapan Kumpulkanlah masalah integral tak tentu dari fungsi aljabar dalam berbagai bidang maupun masalah nyata yang ada di sekitarmu. Ujilah sifat-sifat dan rumus dasar tentang integral tak tentu di dalam pemecahan masalah tersebut, kemudian buatlah laporan hasil karyamu untuk disajikan di depan kelas. 515
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK hasil kerja di depan kelas. Arahkan proses belajar dalam sesi tanya jawab. Guru menjadi fasilitator. Berikut adalah kesimpulan ini. Minta dari materi siswa memahami kesimpulan berikut. D. PENUTUP Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Integral, disajikan sebagai berikut: 1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan turunan. 2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa a. Turunan dari F(x) adalah f(x) dan b. Antiturunan dari f(x) adalah F(x) 3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x). ( ) = f x dx F x C ∫ 5. Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan c, k bilangan real, serta n bilangan rasional dengan n ≠ -1, maka: + ( ) 4. Jika F '(x) = f(x) maka c x c kx n x dx 1 ( ) k k f x dx f x dx ( ) d. e. f x dx ( ) g x dx f x ( ) ( ) ( ) g x dx f. f x dx g x dx ( ) ( ) g x dx f x ( ) ( ) a. dx b. k dx 1 n c x n c.
516
Matematika A. Petunjuk Pelaksanaan Penilaian Setiap sub bab terdapat uji kompetensi yang berisi soal-soal atau penugasan projek, produk, unjuk kerja. Unsur-unsur penilaian dalam buku petunjuk guru adalah 1) Penilaian kompetensi pengetahuan Untuk menilai kompetensi pengetahuan yang dimiliki siswa, maka setiap akhir sub bab atau bab buku ini, guru sebaiknya menguji kemampuan siswa dengan memberikan tes atau non tes atau penugasan berupa soal-soal yang tersedia pada uji kompetensi yang tersedia pada setiap bab buku ini. Untuk penentuan skor yang diperoleh siswa, guru harus mengembangkan pedoman penskoran atau rubrik penilaian. Sebagai contoh teknik tes untuk dipedomani guru, disajikan sebagai berikut. Contoh Teknik Tes Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran Kelas Kompetensi dasar : Matematika : XI : Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannya dengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran. Indikator : Siswa menemukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di titik (a, b). : Lingkaran Materi Soal Seorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat 517
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (a, b). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut! Pedoman Penskoran No Kunci Jawaban Skor 1 1. titik A(x1, y1) r y b terletak pada lingkaran Diketahui: 2 x a 2 . Garis g melalui titik A(x1, y1) 2 2. Ditanya: Persamaan garis g (garis singgung lingkaran) 1 3. Alternatif Penyelesaian 1 Mensketsa gambar permasalahan 4. 1 b . a y 1 x 1 m Gradien garis PA adalah PA Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah 1 a b x 1 1 y m PA 1 m g 518
Matematika No Kunci Jawaban Skor 1 5. Persamaan garis singgung g adalah x 1 y m x 1 y g 1 a b ⇔ x 1 y 1 x x 1 y y 1 ⇔ 1 y 1 x x 1 1 y y 1 b a x 1 x x 1
2 y 1 2 x 1 ⇔
yy 1 yb y b 1 ax ax 1 1 2 y 1 2 x 1 ⇔
yy 1 yb y b 1 x x 1 ax ax 1 1 ⇔ 2 x 1 2 y 1 yb xx 1 xa x a 1 yy 1 y b 1 6. Karena 2 x a A(x1, y b 1 y1) terletak , maka diperoleh 2 r pada lingkaran 2 1 2 y x 1 1 2 2 r a b 2 x 1 2 r y 1 2 2 2 ⇔ 2 x a a 1 2 y b b 1 1 ⇔ 2 x 1 2 y 1 2 2 2 y b b x a a 1 1 r 2 2 7. 1 2 y 2 Substitusikan 1 persamaan garis singgung di atas, diperoleh 2 x 1 2 ke 2 2 r 2 x a a 1 y b b 1 2 2 2 y b b 1 xx 1 xa x a 1 yy 1 yb y b 1 r 2 x a a 1 2 1 ⇔ xx 1 r yy 1 2 2 2 xa x a a 1 yb y b b 1 1 ⇔ 2 r x a x 1 b a y b y 1 519
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK No Kunci Jawaban Skor Kesimpulan: Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x a 1 8. 2 2 2 adalah y b r 2 x a x r 1 b a y b y 1 Skor maksimal 18 Skor Perolehan Skor Maksimal
Nilai 100 Contoh Penilaian Penugasan Produk Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran Kelas Kompetensi dasar : Matematika : XI : Menganalisis transformasi geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi dan rotasi) dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah. sifat-sifat Indikator : Siswa dapat membuat media sederhana untuk menjelaskan tentang sifat-sifat trnasformasi geometri. Materi Tugas : Transformasi Rancanglah media dengan menggunakan bahan karton, benang, besi, atau tripleks, untuk menjelaskan tentang sifat-sifat transformasi geometri (translasi, rfleksi garis, dilatasi, dan rotasi) dengan pendekatan koordinat. kerjakan secara kelompok dengan waktu 2 minggu. 520
Matematika Rubrik Penilaian Produk Kriteria Skor Produk (hasil kerja) sesuai dengan konsep dan prinsip 4 matematika; • Kerja kreatif; • Produk (hasil kerja) asli; • Diselesaikan tepat waktu; • Kerapian sangat baik. Produk (hasil kerja) sesuai dengan konsep dan prinsip 3 matematika; Kerja kurang kreatif; • Produk (hasil kerja) asli; • Diselesaikan tidak tepat waktu; • Kerapian cukup baik. Produk (hasil kerja) kurang sesuai dengan konsep dan prinsip 2 matematika; Kerja tidak kreatif; • Produk (hasil kerja) asli; • Diselesaikan tidak tepat waktu; • kerapian kurang baik. Produk (hasil kerja) sesuai dengan konsep dan prinsip 1 matematika; Kerja tidak kreatif; • Produk (hasil kerja) tidak asli; • Diselesaikan tidak tepat waktu; • Kerapian tidak baik, • Tidak ada laporan hasil kerja yang dapat disajikan di depan kelas. 0 Kerja tidak kreatif; • Produk (hasil kerja) tidak asli; • Diselesaikan tidak tepat waktu; • Kerapian tidak baik, • Tidak ada laporan hasil kerja yang dapat disajikan di depan kelas. 0 521
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rubrik Tugas Produk Kelompok No. Kriteria 1 2 3 4 5 6 7 8 Kesesuaian dengan konsep dan prinsip matematika 1. 2. Kreatifitas 3. Keaslian produk 4. Ketepatan waktu 5. Kerapian 2) Penilaian kompetensi keterampilan Untuk mengetahui kompetensi keterampilan siswa, guru melakukan 3 teknik penilaian, yaitu: (1) tes unjuk kerja, (2) penilaian projek, (3) penilaian portofolio. Setiap akhir bab buku ini, guru harus melaksanaan salah satu dari tiga jenis penilaian tersebut untuk mengukur keterampilan matematik siswa. Di bagian ini diberi contoh penilaian unjuk kerja dan penilaian projek beserta rubrik penilaiannya yang dapat dipedomani guru. Contoh Penilaian Unjuk Kerja Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran Kelas Kompetensi dasar : Matematika : X : 4.18 Menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif. Menyajikan objek kontekstual, menganalisis dan informasi sifat-sifat menerapkan aturan transformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah. terkait objek 522
Matematika Indikator : Siswa dapat menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi Materi : Peluang Tugas Unjuk Kerja Rotasi Pusat P(a, b) Perhatikan titik A(0,0), B(4,0), C(4,3) dan D(0,3) kemudian tentukan bayangannya jika dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi P(7,3). Rubrik Penilaian Unjuk kerja Kriteria Skor 4 Jawaban menunjukkan pengetahuan matematika mendasar yang berhubungan dengan tugas ini. Ciri-ciri: • Semua jawaban benar tetapi ada cara yang tidak sesuai atau ada satu jawaban salah. Sedikit kesalahan perhitungan dapat diterima 3 Jawaban menunjukkan pengetahuan matematika mendasar yang berhubungan dengan tugas ini. Ciri-ciri: • Semua jawaban benar tetapi ada cara yang tidak sesuai atau ada satu jawaban salah. Sedikit kesalahan perhitungan dapat diterima, atau Salah satu bagian a atau kedua-duanya dijawab salah. Siswa tidak membuat diagram pohon tetapi jawaban lain benar. Sedikit kesalahan perhitungan dapat diterima, atau Bagian a dijawab benar, tetapi bagian b atau c salah atau tidak dijawab tetapi metode yang digunakan sesuai. 523
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Kriteria Skor Jawaban menunjukkan keterbatasan atau kurangnya pengetahuan matematika yang berhubungan dengan masalah ini. Ciri-ciri: • Dua bagian pertanyaan dijawab salah atau tidak selesai dikerjakan tetapi satu pertanyaan dijawab dengan tepat menggunakan prosedur yang benar kerapian kurang baik. 2
Jawaban hanya menunjukkan sedikit atau sama sekali tidak ada pengetahuan matematika yang berhubungan dengan masalah ini. Ciri-ciri: • Semua jawaban salah, atau • 1 Jawaban benar tetapi tidak ada bukti bahwa jawaban diperoleh melalui prosedur yang benar. Tidak ada jawaban atau lembar kerja kosong 0 Unjuk Kerja Matematika Siswa harus membuat gambar titik A(0,0), B(4,0), C(4,3) dan D(0,3) kemudian dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi P(7,3). 524
Matematika Siswa mungkin akan menyelesaikan permasalahan di atas dengan menggambarkannya atau menggunakan Dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. Misalkan titik A(x,y) adalah sembarang titik yang dilalaui oleh garis tersebut, sehingga: R [ 0
P a b ( , ), ] A x y ( , ) A x y '( ', ') Sehingga Untuk menentukan bayangan titik A Rotasi sejauh -900 dengan Pusat Rotasi P(7,3). Langkah-langkhanya adalah sebagai berikut. Langkah 1. Translasi dengan T(-7, -3) 7 3 7 3 0 0
Langkah 2. Rotasi dengan sudut -900 dan pusat O(0,0) 7 3 0 1 1 0 3 7 Langkah 3. Translasi dengan P(1,-1) 7 3 3 7 4 10 Jadi untuk titik A(0, 0) diperoleh bayangan A′(4, 10) Dengan cara yang sama diperoleh bayangan dari titik B(4, 0), C(4, 3), dan D(0, 3) dan diperoleh tabel sebagai berikut. Tabel 10.9 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh -900 dan pusat P(7,3) Rotasi sejauh -900 dengan Pusat Rotasi P(7,3) Translasi P(7,3) = Titik Bayangan A(0,0) Rotasi -900 Pusat O(0,0) A1 (-7,-3) B1 (-3,-3) C1 (-3,0) D1 (-7,0) Tranlasi T(-7,-3) Titik Objek A2 (-3,7) (-3,7) + (7,3) = A'(4,10) B2 (-3,3) (-3,3) + (7,3) = B'(4,6) B(4,0) C2 (0,3) (0,3) + (7,3) = C'(7,6) C(4,3) D2 (0,7) (0,7) + (7,3) = D'(7,10) D(0,3) 525
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Berdasarkan rubrik yang sudah dibuat dapat dinilai tugas unjuk kerja yang dikerjakan siswa. Skor yang diperoleh masih harus diubah ke dalam skala angka yang ditetapkan. (Misal dalam bentuk 0 - 100). Skor Perolehan 2 0 Kriteria Bobot Nilai 1 3 4 Pendekatan pemecahan masalah • Sistematika pemecahan masalah • Bentuk penyelesaian masalah X X 16 16 4 Ketepatan Perhitungan • Ketepatan pengunaan rumus (prinsip 16 X 4 translasi dan rotasi) 16 Kebenaran hasil yang diperoleh X Gambar • Ketepatan gambar sebagai interpretasi 8 X masalah 8 Kesesuaian gambar dalam pemecahan masalah 2 X 8 Kerapian dan penyajian X Penjelasan • Kejelasan uraian jawaban • Pemahaman terhadap aspek hubungan 6 6 X X 1,5 Nilai yang diperoleh 100 Misalkan Siti memperoleh skor seperti pada kolom skor perolehan Skor Perolehan 2 0 Kriteria Bobot Nilai 1 3 4 Pendekatan pemecahan masalah • Sistematika pemecahan masalah • Bentuk penyelesaian masalah X 8 16 4 X 526
Matematika Skor Perolehan 2 0 Kriteria Bobot Nilai 1 3 4 Ketepatan Perhitungan • Ketepatan pengunaan rumus (prinsip X 12 4 translasi dan rotasi) Kebenaran hasil yang diperoleh X 12 Gambar • Ketepatan gambar sebagai interpretasi 8 X masalah 8 Kesesuaian gambar dalam pemecahan masalah 2 X 8 Kerapian dan penyajian X Penjelasan • Kejelasan uraian jawaban • Pemahaman terhadap aspek hubungan 6 6 X X 1,5 Nilai yang diperoleh 84 Jadi nilai akhir siti adalah 84 Contoh Penilaian Projek Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran Kelas Kompetensi dasar : Matematika : XI : Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya. Indikator : Siswa dapat menerapkan berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan , membuat model dan penyelesaian projek matematika dalam bidang fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi. Materi : Eksponen 527
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Tugas Projek Rancang sebuah permasalahan terkait transportasi yang melibatkan determinan dan invers matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya transportasi. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. Rubrik Penilaian Projek Kriteria Skor Menunjukkan kreatifitas yang tinggi dalam pemecahan masalah; • Kejelasan atau keterangan jawaban sangat lengkap; • Kebenaran jawaban masalah sangat tepat; • Kerjasama kelompok sangat baik; • • Penggunaan strategi benar dan tepat; • Kerapian sangat baik. • Laporan disusun dengan baik dan lengkap • Kemampuan komunikasi dalam presentase hasil kerja baik Interpretasi jawaban masalah/gambar sangat akurat; Menunjukkan kreatifitas yang cukup dalam pemecahan masalah; • Kejelasan atau keterangan jawaban cukup lengkap; • Kebenaran jawaban masalah cukup tepat; • Kerjasama kelompok cukup baik; • • Penggunaan strategi benar dan tepat; • Kerapian cukup baik. • Laporan disusun dengan cukup dan kurang lengkap • Kemampuan komunikasi dalam presentase hasil kerja baik Interpretasi jawaban masalah/gambar cukup akurat; 3 Menunjukkan kreatifitas yang cukup dalam pemecahan masalah; • Kejelasan atau keterangan jawaban cukup lengkap; • Kebenaran jawaban masalah cukup tepat; • Kerjasama kelompok cukup baik; • • Penggunaan strategi benar dan tepat; • Kerapian cukup baik. • Laporan disusun dengan cukup dan kurang lengkap • Kemampuan komunikasi dalam presentase hasil kerja baik Interpretasi jawaban masalah/gambar cukup akurat; 3 528
Matematika Kriteria Skor Menunjukkan kreatifitas yang rendah dalam pemecahan masalah, • • • • • • kejelasan atau keterangan jawaban cukup lengkap, kebenaran jawaban masalah cukup tepat, kerjasama kelompok cukup baik, interpretasi jawaban masalah/gambar kurang akurat, penggunaan strategi benar dan tepat, kerapian kurang baik. 2 1 Menunjukkan kreatifitas yang rendah dalam pemecahan masalah, • Kejelasan atau keterangan jawaban tidak lengkap, • Kebenaran jawaban tidak tepat, kerjasama kelompok kurang baik, Interpretasi jawaban masalah/gambar tidak akurat, • Penggunaan strategi benar dan tepat, • Kerapian tidak baik, • Tidak ada laporan hasil kerja yang dapat disajikan di depan kelas. Tidak melakukan tugas proyek 0 Rubrik Tugas Otentik: Projek Matematika Kelompok No. Kriteria 1 2 3 4 5 6 7 8 1. Kreativitas 2. Kejelasan atau keterangan jawaban lengkap 3. Kebenaran jawaban Kerjasama kelompok dengan sesama anggota 4. 5. Keakuratan interpretasi jawaban/gambar 6. Penggunaan strategi benar dan tepat 7. Kerapian 529
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 3) Penilaian kompetensi sikap Penilaian kompetensi sikap dilakukan pada saat berlangsungnya proses belajar mengajar. Instrumen penilaiannya dapat berupa: a) Lembar observasi b) Lembar penilaian diri (self assessment) c) Angket untuk penilaian antar peserta didik (peer assessment) d) Jurnal Seluruh instrumen yang dibuat, harus dilengkapi dengan pedoman penskoran atau rubrik penilaian. Berikut berbagai contoh instrumen penilaian sikap. Contoh Penilaian Sikap KUESIONER SIKAP SISWA TERHADAP KOMPONEN DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah : ... . Kelas/Semester : ... . Mata Pelajaran : ... . Hari/tanggal : ... . Materi : ... . Nama : ... . A. TUJUAN Tujuan penggunaan kuesioner ini adalah untuk menjaring data sikap siswa terhadap kegiatan dan komponen pembelajaran dalam pelaksanaan pembelajaran matematika. 530
Matematika B. PETUNJUK Beri tanda cek (√) pada kolom yang sesuai menurut pendapatmu. No Aspek Senang Tidak Senang Bagaimana sikapmu terhadap komponen berikut? a. Materi pelajaran b. Buku Siswa c. Lembar Kerja Siswa (LKS) d. Suasana belajar di kelas e. Cara guru mengajar ... I ... Berikan alasan secara singkat atas jawaban yang diberikan! Baru Tidak Baru Bagaimana pendapatmu terhadap ... komponen berikut? a. Materi pelajaran b. Buku Siswa c. Lembar Kerja Siswa (LKS) d. Suasana belajar di kelas e. Cara guru mengajar ... II ... Berikan alasan secara singkat atas jawaban yang diberikan! 531
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Tidak Berminat Berminat Apakah kamu berminat mengikuti ... III kegiatan belajar selanjutnya seperti ... yang telah kamu ikuti sekarang? Berikan alasan secara singkat atas jawaban yang diberikan! Tidak Ya Bagaimana pendapatmu terhadap aktivitas belajar matematika di kelas dan di luar kelas? a. Apakah Ananda merasa terbebani terhadap tugas matematika yang diberikan guru? ... IV ... b. Aktivitas belajar matematika menurut saya adalah menarik ... Berikan alasan secara singkat atas jawaban yang diberikan! 532
Matematika Bermanfaat Tidak Bermanfaat Bagaimana menurut pendapatmu, apakah V matematika bermanfaat dalam kehidupan? Berikan alasan secara singkat atas jawaban yang diberikan! Rubrik Penilaian Sikap Kriteria Skor Jawaban menunjukkan pengetahuan matematika mendasar yang berhubungan dengan tugas (kerja) yang diberikan. Ciri-ciri: • Langkah-lagkah kerja pemecahan masalah dilakukan dengan sangat baik, cermat, dan penuh tanggungjawab. Semua jawaban 4 benar tetapi ada cara yang tidak sesuai atau ada satu jawaban salah. Sedikit kesalahan perhitungan dapat diterima. 533
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Kriteria Skor Jawaban menunjukkan pengetahuan matematika mendasar yang berhubungan dengan tugas (kerja) yang diberikan. Ciri-ciri: • Langkah-lagkah kerja pemecahan masalah dilakukan dengan baik, cermat, dan penuh tanggungjawab. Semua jawaban benar tetapi 3 ada beberapa cara yang tidak sesuai atau ada beberapa pekerjaan yang salah. Sedikit kesalahan perhitungan dapat diterima. Jawaban menunjukkan keterbatasan atau kurangnya pengetahuan matematika yang berhubungan dengan masalah ini. Ciri-ciri: • Langkah-lagkah kerja pemecahan masalah dilakukan dengan kurang baik, kurang cermat, dan penuh tanggungjawab. Beberapa 2 langkah pekerjaan benar tetapi banyak prosedur pengerjaan yang tidak sesuai dengan prinsip matematika. Jawaban hanya menunjukkan sedikit atau sama sekali tidak ada pengetahuan matematika yang berhubungan dengan masalah ini. Ciri-ciri: • Semua jawaban salah, atau • Langkah pengerjaan tugas tidak tepat, tidak ada bukti bahwa 1 jawaban diperoleh melalui prosedur kerja yang benar. Tidak ada jawaban atau lembar kerja kosong 0 534
Matematika Contoh Penilaian Diri PENILAIAN DIRI DALAM KELOMPOK (SELF-ASSESSMENT IN GROUP) Nama : ... .... ... Anggota Kelompok : ... Kegiatan Kelompok : ... ... Untuk pertanyaan 1 sampai dengan 5 tulis masing-masing huruf sesuai dengan pendapatmu • A = Selalu • B = Jarang • C = Jarang Sekali • D = Tidak pernah 1 2 3 Selama diskusi saya memberikan saran kepada kelompok untuk didiskusikan Selama diskusi saya memberikan saran kepada kelompok untuk didiskusikan. Ketika Kami berdiskusi, setiap anggota memberikan masukan untuk didiskusikan 4 Semua anggota kelompok harus melakukan sesuatu dalam kegiatan kelompok 5 Setiap anggota kelompok mengerjakan kegiatannya sendiri dalam kegiatan kelompok Selama kegiatan, saya .... Mendengarkan Bertanya Merancang gagasan Mengendalikan kelompok Mengganggu kelompok Tidur 6 Selama kegiatan kelompok, tugas apa yang kamu lakukan? 535
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh Penilaian Partisipasi Siswa LEMBAR PENILAIAN PARTISIPASI Nama : Kelas : Hari/Tanggal : Kamu telah mengikuti pelajaran matematika hari ini. Ingatlah kembali bagaimana partisipasi kamu dalam kelas matematika hari ini. Jawablah pertanyaan berikut sejujurnya: Apakah kamu berpartisipasi dalam diskusi? • Apakah kamu telah mempersiapkan diri sebelum masuk kelas, atau telah mengerjakan PR, sehingga kamu dapat menjawab pertanyaan di kelas? Apakah kamu bertanya ketika kamu tidak paham? • Jika ada teman bertanya (kepada guru/kepadamu/kepada teman lain), apakah kamu menyimaknya ? Berikan skor atas partisipasi kamu, menurut ketentuan berikut ini. Jika kamu menjawab "ya" pada semua pertanyaan di atas, bagus ..., kamu telah melakukan partisipasi yang sempurna. Berikan nilai untuk dirimu 5. Jika kamu menjawab "ya" pada tiga pertanyaan di atas, berikan nilai untuk dirimu 4. Jika kamu menjawab "ya" pada dua pertanyaan di atas, berikan nilai untuk dirimu 3. Jika kamu hanya menjawab "ya" paling banyak pada satu pertanyaan di atas berikan nilai untuk dirimu 2, dan upayakan untuk meningkatkan partisipasimu dalam pelajaran matematika. Nilai partisipasi saya hari ini adalah : ____________. Tanda tangan________________________. 536
Matematika LEMBAR PARTISIPASI (Lembar ini diisi setiap jam belajar matematika) Tulislah dengan jujur, partisipasi anda dalam belajar matematika di kelas hari ini. Partisipasi yang dimaksud adalah: • Bertanya kepada teman di dalam kelas • Bertanya kepada guru di dalam kelas • Menyelesaikan tugas belajar dalam kelompok • Mempresentasikan hasil kerja di depan kelas • Menawarkan ide / menjawab pertanyaan teman di dalam kelas • Menawarkan ide / menjawab pertanyaan guru di dalam kelas • Membantu teman dalam belajar Pertanyaan utama yang harus dijawab pada tabel berikut adalah: Partisipasi apa yang kamu lakukan dalam belajar Matematika hari ini? Hari/Tanggal Partisipasi apa yang kamu lakukan? 537
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika a. Pengelolan Skor Kompetensi Pengetahuan Setelah pelaksanaan uji kompetensi pengetahuan matematika melalui tes dan penugasan dengan contoh instrumen dan pedoman penskoran yang telah disajikan di atas maka diperoleh skor. Dari beberapa kali pemberian tes dan penugasan dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru. Skor Skor Akhir KD Tes Penugasan Skala 1 - 100 Skala 1 - 4 3.1 84 90 86 3.44 3.2 76 84 79 3.16 3.3 80 70 77 3.08 3.4 84 87 85 3.40 Rata-Rata Skor Akhir 3.22 Cara konversi ke skala 1 - 4 adalah Skor diperoleh Skor maksimal
4 = skor akhir b. Pengelolan Skor Kompetensi Keterampilan Setelah pelaksanaan uji kompetensi keterampilan matematika melalui penilaian unjuk kerja, projek, dan portofolio dengan contoh instrumen dan rubrik yang telah disajikan di atas maka diperoleh skor. Dari beberapa kali pemberian tes dan penugasan dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru. 538
Matematika Skor
Skor Akhir KD
Tes Praktik Projek
Portofolio Skala 1
100 Skala 1
4 4.1 84
87 3.48 4.2 76
80 3.20 4.3 65 60 70 65 2.60 Rata-Rata Skor Akhir 3.09 Cara konversi ke skala 1 - 4 adalah Skor diperoleh Skor maksimal
4 = skor akhir Petunjuk 1. Penilaian setiap mata pelajaran meliputi kompetensi pengetahuan, kompetensi keterampilan, dan kompetensi sikap. K 2. Kompetensi pengetahuan dan kompetensi keterampilan menggunakan skala 1-4 (kelipatan 0.33), sedangkan kompetensi sikap menggunakan skala Sangat Baik (SB), Baik (B), Cukup (C), dan Kurang (K), yang dapat dikonversi ke dalam predikat A - D seperti pada tabel di bawah ini. Tabel : Konversi Kompetensi Pengetahuan, Keterampilan, dan Sikap Nilai Kompetensi Predikat Pengetahuan 4 3,66 3,33 3 2,66 2,33 2 1,66 1,33 1 Keterampilan 4 3,66 3,33 3 2,66 2,33 2 1,66 1,33 1 Sikap A A - B+ B B - C+ C C - D+ D - SB B C K 539
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 3. Ketuntasan minimal untuk seluruh kompetensi dasar pada kompetensi pengetahuan dan kompetensi keterampilan yaitu 2.66 (B-) 4. Pencapaian minimal untuk kompetensi sikap adalah B. Untuk kompetensi yang belum tuntas, kompetensi tersebut dituntaskan melalui pembelajaran remedial sebelum melanjutkan pada kompetensi berikutnya. Untuk mata pelajaran yang belum tuntas pada semester berjalan, dituntaskan melalui pembelajaran remedial sebelum memasuki semester berikutnya. B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan Kurikulum Matematika 2013 adalah kurikulum berbasis kompetensi dengan pendekatan pembelajaran tuntas. Pembelajaran tuntas (mastery learning) dalam proses pembelajaran berbasis kompetensi dimaksudkan adalah pendekatan dalam pembelajaran yang mempersyaratkan peserta didik menguasai secara tuntas seluruh kompetensi dasar pokok bahasan atau mata pelajaran tertentu. Peserta didik dikatakan menguasai secara tuntas seluruh kompetensi dasar pada pokok bahasan atau mata pelajaran matematika pada kelas tertentu, apabila peserta didik tersebut memperoleh hasil penilaian/uji kompetensi lebih besar atau sama dengan dari Kriteria Ketuntasan Minimum (> KKM) yang ditetapkan dalam kurikulum. Sebaliknya peserta didik dikatakan tidak tuntas. Bagi peserta didik yang memperoleh hasil penilaian/uji kompetensi pada pokok bahasan mata pelajaran matematika kurang dari KKM, wajib diberi pembelajaran remedial. Pembelajaran remedial pada hakikatnya adalah pemberian bantuan bagi peserta didik yang mengalami kesulitan atau kelambatan belajar. Bantuan dalam pembelajaran remedial mencakup (1) mengkaji ulang materi pada kompetensi dasar yang belum dicapai peserta didik, (2) pemberian tugas tersrtuktur yang dilakukan secara mandiri dan pemberian feetback atas hasil kerja peserta didik, (3) tutor sebaya dalam implementasi model pembelajaran koperatif tipe jigsaw, dan (4) kerjasaman sekolah dengan orang tua/ wali peserta didik mengatasi masalah belajar peserta didik. Pemberian pembelajaran remedial meliputi dua langkah pokok, yaitu pertama mendiagnosis kesulitan belajar dan kedua memberikan perlakuan (treatment) pembelajaran remedial. Bagi peserta didik yang memperoleh hasil penilaian/uji kompetensi pada pokok bahasan mata pelajaran matematika kurang dari KKM, wajib diberi pembelajaran pengayaan. Pembelajaran pengayaan adalah pembelajaran yang memberikan 540
Matematika pengalaman (membangun berpikir tingkat tinggi, yaitu berpikir kritis dan kreatif) lebih mendalami materi terkait kompetensi atau kegiatan peserta didik yang melampaui persyaratan minimal yang ditentukan oleh kurikulum dan tidak semua peserta didik dapat melakukannya. Pendekatan pembelajaran yang diterapkan dalam pelaksanaan pengayaan melalui (1) pembelajaran berbasis masalah dan proyek untuk melatih peserta didik berpikir kritis dan kreatif, ketangguhan diri beradaptasi dan memecahkan masalah, (2) pemberian asesmen portofolio tambahan berbasis masalah, proyek, keterampilan proses, chek up diri dan asesmen kerjasama kelompok, dan (3) pemanfaatan IT dan ICT dalam proses pembelajaran. Seluruh hasil belajar siswa yang tampak pada hasil penilaian/uji kompetensi dan asesmen otentik/portofolio dijadikan bahan kajian guru, guru konseling, dan kepala sekolah. Hasil belajar tersebut dilaporkan kepada pemangku kepentingan (terutama pada orang tua) setiap bulannya. Secara garis besar, alur utama pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan disajikan pada skema berikut. 541
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK 542
Matematika Anton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, Inc Ball, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All Students (Toward a Strategic Research and Development Program in Mathematics Education). United States of America: RAND. Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United States of America: The Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD). Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press. Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education national research council (2001). Educating Teachers of science, mathematics, and technology (new practice for new millennium. United States of America: the national academy of sciences. Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United States of America: Clay Mathematics Institute. Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael's College Colchester. Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem Solving 7. Columbus-USA, The McGraw-Hill Companies, Inc. Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University of Cambridge. 543
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge. Slavin, Robert, E. (1994). Educational psychology, theories and practice. Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers. Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA. Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore: Federal Publication (S) Pte Lsd. Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics For Yhe International Student (International Baccalaureate Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication. Van de Walle, John A. (1990). Elementary school mathematics: teaching developmentally. New York: Longman. Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (teaching developmentally). United States of America: Allyn & Bacon. 544