Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:207-214 EFISIENSI SISTEM BONUS MALUS SEBAGAI MODEL RANTAI MARKOV Supandi Jurusan Teknik Informatika Universitas AKI Jl. Pemuda 95-97 Semarang h_supandi@yahoo.co.uk Abstract. Developed bonus malus system (BMS) is to make the premium paid by insured will be as closed as possible with expected occurrence of claim in every year basis. To study the efficiency of a BMS, we must previously observe the effect of claim frequency on value of premium. The efficiency of Bonus Malus System can be found through its Markov model; that is by found a stationary distribution in form of line vectors of its BMS Markov chain with its components as a function of claim frequency. In this paper, the BMS used is that of Brazil. Keywords: bonus malus system, markov chain, stasionary, efficiency. 1. PENDAHULUAN Premi asuransi dibentuk proposio- nal dengan risiko yang terjadi. Khususnya dalam asuransi kendaraan bermotor/mobil premi dasar ditentukan berdasarkan besar, harga atau kapasitas dari kendaraan yang diasuransikan. Setelah masuk asuransi, pe- nentuan besar premi pada tahun berikut- nya hanya dipengaruhi oleh banyaknya ke- celakaan dalam satu tahun periode sebe- lumnya. Dimana dengan adanya kecelaka- an maka akan terjadi klaim. Sistem seperti penentuan premi seperti ini disebut de- ngan sistem bonus-malus (BMS). Sistem ini pertama kali diperkenalkan dan dikem- bangkan di Eropa pada awal tahun 1960 ([1],[2],[3]). Setiap negara jika tidak setiap perusahaan memiliki sistem BMS yang berbeda, yang memungkinkan lebih baik satu dari yang lainnya ([5],[6]). Penentuan premi dengan menggunakan sistem BMS dapat dipandang sebagai model multiple state (keadaan multipel). Dasar model sto- kastik keadaan multipel ini adalah rantai Markov dengan banyak keadaan berhing- ga. Sebagai ilustrasi perubahan premi ken- daraan bermotor dari tahun pertama ke tahun kedua, dengan tahun pertama tidak ada klaim, atau ada satu klaim, atau dua klaim, dan seterusnya direalisasikan seba- gai bentuk transisi dari keadaan. Dalam paper ini akan dibahas pengaruh perubahan besar premi terhadap nilai efisiensi dari sistem bonus malus, yaitu sistem bonus malus Brasil. 2. SISTEM BONUS MALUS Sistem bonus-malus (BMS) mem- presentasikan banyaknya tarif grup yang berhingga dan bergantung pada premi ta- hunan. Setiap tahun, tarif grup ditetapkan sebagai tarif grup dari tahun sebelumnya dan banyaknya klaim yang tercatat dari ter- tanggung asuransi pada perusahaan asu- ransi selama tahun itu. Jika tidak ada klaim atau klaim tidak tercatat maka tertanggung tersebut akan mendapat bonus yang ber- bentuk pengurangan nilai premi. Sedang- kan jika terjadi klaim, paling sedikit satu klaim yang tercatat maka premi yang harus dibayar pada tahun berikutnya oleh ter- tanggung akan naik. Dengan kata lain jika dalam satu tahun periode terjadi klaim ma- ka akan mendapat malus. Sistem bonus-malus dapat dinyatakan se- bagai berikut. 1. Banyaknya tarif grup berhingga di awal periode dari asuransi dinotasikan de- ngan Ci, dimana i = 1,2,....n. Sedang- kan banyaknya tarif grup di akhir perio- de asuransi dinotasikan dengan Cj, j = 1,2...n. Tarif grup terendah disebut de- 207
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:207-214 ngan superbonus dan tarif grup tertinggi disebut dengan super-malus. Premi ta- hunan bergantung pada banyaknya tarif grup yang terjadi. 2. Prosentasi dari premi dasar ri (dalam %) menotasikan prosentasi yang akan dikalikan dengan premi dasar sebagai premi berikutnya yang harus dibayar, dengan r1£ r2£ r3£ ....... £ rn. 3. Perpindahan dari tarif grup sebelum- nya (ke-i) ke tarif grup berikutnya (ke-j) dengan k klaim yang tercatat, dinyata- kan dengan tij = 1, , 0 terjadi perpindaha grup lainnya. i ke -ke tarif n dari tarif grup ke .j (2.1) Untuk selanjutnya, misalkan untuk seorang pemegang polis, klaim yang tercatat da- lam satu tahun adalah berbentuk suatu barisan X1, X2,.... Xm dari suatu peubah acak yang saling bebas dengan fungsi peluang bersama {qk}. Dinotasikan bahwa C1,C2,... adalah tarif grup dari tahun ke tahun dari pemegang polis. Tarif grup ta- hun sebelumnya dengan banyaknya klaim yang tercatat. Dengan demikian maka per- masalahan sistem bonus-malus dapat di- pandang sebagai model rantai markov. Dengan menggunakan teori Markov, maka {Cn} barisan peubah acak dengan ruang tarif grup berhingga. {Cn} adalah Rantai Markov yang memiliki matrik M=(pij) sedemikian hingga untuk semua n=1,2,... dan i0,i1,...,in, Pr(Cn = in | Cn-1 = in-1,...., C0 = i0 ) = ip - ( n dimana Pr(Cn-1 = in-1,...., C0 = i0 )>0. . i , 1 n ) (2.2) Menurut [8] peluang transisi pij merupa- kan peluang perpindahan dari tarif grup ke- i ke tarif grup ke-j dari pemegang polis dapat dituliskan sebagai p ij ¥ ∑= =0k tq ijk (k) . 208 Menurut ([4],[7]) banyaknya klaim (k) yang terjadi dan tercatat oleh pemegang polis diasumsikan memenuhi definisi pro- ses Poisson dengan laju l . Dengan meng- gunakan persamaan (2.1) maka matrik transisi pij dari rantai markov dapat men- jadi M(l ) = dengan (λp[ ij (λpij ) )] k λ ¥ ∑= = 0k dan ∑ k! 0 e λ n = 0k )k(t ij (λp ij , (2.3) ) = 1 . (p n j Dari persamaan (2.3) peluang untuk tidak ada klaim adalah positif, p0(l ) > 0. Dengan menggunakan sifat dari rantai markov yang reguler maka diperoleh i. Jika distribusi peluang untuk banyak- nya klaim selama satu periode adalah saling bebas terhadap periode, maka ta- rif grup untuk polisnya berbentuk ran- tai Markov dengan matrik transisi M(l ) yang diberikan dalam persamaan (2.3). ii. Jika peluang untuk tidak ada klaim da- lam satu periode p0(l )>0, maka disebut dengan regular. l =) P(Yn( L Misal didefinisikan )=j ). pk(l )>0. Dengan demikian Akibatnya rantai Markov dari sistem bonus-malus ini adalah regular. Artinya terdapat bilangan q‡ 1, sehingga {M(l )}q semua unsurnya bernilai positif murni. Dalam kasus regular dengan nilai eigen satu yaitu nilai eigen dari matrik M. Dis- tribusi stasioner, vektor kolom p (l ) meru- pakan solusi tunggal dari persamaan p (l ) = p (l ) M(l ), (2.4) dengan ∑ ˛ Ej p 1= . j Atau dengan kata lain distribusi stasioner yang diperoleh merupakan nilai dari eigen vektor dari persamaan (2.4) yang bersesu- aian dengan nilai eigen satu dari matrik M. 3. EFISIENSI SISTEM BONUS MALUS Dalam BMS premi stasioner dino- tasikan dengan b(l ) dan dituliskan sebagai jumlahan dari perkalian vektor baris distri-
Supandi (Efisiensi Sistem Bonus Malus sebagai Model Rantai Markov) busi stasioner dari rantai Markov (π = π1, π2, ...πn) dengan vektor kolom nilai premi B untuk setiap keadaan aktual. Notasi "b(l )" ini tidak bergantung pada keadaan awal i. b(l )= ( p p 21 p ,..., n )
b 1 b 2 ⋮ b n
∑= i p i b i =p B, (3.1) tanggung sama dengan premi pada sistem Bonus Malus. Perubahan pada banyaknya klaim yang diharapkan pada tiap periode dl /l mengakibatkan perubahan pada premi rata-rata db(l )/b(l ). Secara umum persa- maan (3.4) merupakan rasio dari variansi dari premi stasioner dengan variansi dari frekuensi klaim dan disebut sebagai efi- siensi dari BMS yang dinotasikan dengan e(l ), e l )( = b l l )( l db )( l d = d log d b log l )( l . (3.5) dengan bi adalah premi yang dibayarkan pada keadaan ke-i sesuai denga tarif grup pada keadaan ke-i. Notasi "b(l )" merupa- kan fungsi naik dari l . Dengan mengasumsikan bahwa barisan dari klaim adalah iid (independent iden- tically distributed) mempunyai mean V [7], maka premi netto (premi yang dibayarkan tanpa adanya biaya) yang dibayarkan ada- lah l V, maka persamaan (3.1) dapat ditu- liskan sebagai Nilai e(l ) dari persamaan (3.5) adalah posi-tif karena b(l )>0 dan secara umum 0<e(l )<1. Selanjutnya dari persamaan (3.5), bagian db(l )/dl diperoleh dengan menurunkan persamaan (3.1) terhadap l , sehingga di- peroleh l ) ( db ∑= l d i p d l d i b i . (3.6) b(l ) = l V . (3.2) Fungsi b(l ) merupakan fungsi dalam l , dan tidak linier. Untuk dapat melinierkan persamaan (3.2), karena b(λ)>0, maka fungsi tersebut dapat diambil logaritmanya untuk kedua sisinya. Dengan demikian fungsi logaritma dari persamaan (3.2) ada- lah turunan dp i/dl Sedangkan persamaan diperoleh dengan menurunkan persamaan (3.1) yaitu p =p M dan , 1=∑ p terhadap l i p d l d ∑ i p d l d p id l d = M 0= + p i dM l d , (3.7) logb(l )=logl +logV. (3.3) dengan bentuk matrik dM/dl diperoleh dari persamaan berikut Dengan menurunkan terhadap λ pada ma- sing-masing ruas pada persamaan (3.3) di- peroleh dM d l )( l = m ∑ k = 0 exp( l ) l k k ! ( T k + - 1 T k ) (3.8) b 1 l )( l )( db l d = 1 l , dengan Tk = tij(k) dengan tij(k) seperti pada persamaan (2.1) atau l db )( l b ( ) l d )( l = 1 . (3.4) Persamaan (3.4) menunjukkan bahwa un- tuk setiap premi yang dibayarkan oleh ter- 4. METODE MENCARI NILAI EFISIENSI METODE EKSAK Misalkan model BMS dari Brasil pada Tabel 1, tetapi hanya diambil untuk 3 keadaan saja. Dengan nilai preminya men- jadi (100,90,80) dan bentuk tabelnya men- jadi 209
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:207-214 Tabel 1. Sistem Bonus-malus (Ci, ri) (Tarif grup, Prosentasi (3, 100) (2 , 90) (1 , 80) Tarif Grup setelah satu tahun Banyaknya klaim 1 0 3 2 3 1 2 1 2+ 3 3 3 Tabel 2. Tabel transisi dari Sistem Bonus 1 2 3 malus 1 {1,2,..} {1,2,..} {2,3,..} 2 {0} . {1} 3 . {0} {0} Dari Tabel 1 dan Tabel 2 diatas maka bentuk matrik transisi rantai Markovnya, M(l ) menjadi 1(1
1 e
e 0 l
l M(l ) =
· l + 1 e 0
l e ) e e , q=e-l Misalkan p=1-e-l maka bentuk matrik M(l ) dari contoh BMS adalah dan r=l e-l )M(l =
p p rp
0q q0 r q
Selanjutnya dari matrik M(l ) diatas akan ditentukan distribusi stasionernya. Dengan menggunakan persamaan (2.4) maka dapat dituliskan menjadi ( p 1 p 2 p 3 ) = ( p 1 p 2 p 3 )
p p rp
0q q0 q r
. Dengan menggunakan sistem per- samaan linier dan memasukan nilai p, q, dan r maka diperoleh nilai p 1 ,p 2 ,p 3 yaitu p p 1 3 = = 1 1 e l
· l e l l ( l e
· 2 l 2 . l l + )1 , p 2 =
· l 1 1( l e
· 2 l l ) , 210 Selanjutnya dengan menggunakan nilai
-nilai dari tarif grup yaitu (100, 90, dan 80) diperoleh premi stasioner sebagai berikut. 100 ) 90 80 Sehingga turunan premi stasioner dalam l diperoleh ) db )( = 100
· d ( p p p p l = ∑= i ( b ib i . ) 3 1 2 ( 1 ( e ) l
l 2
l l 1 l e ) ( 1
+ 1 e ( 1 )( - e 1 )l l 2 e )2 100· l
l 2 e ) ( e ( 1 l 2 ) l 2 ) ( e 2 l
+ 90
)l
( 1 l
)( l
( 1
l 2
+ )2 2
( 1
l 2
· 80
· 80
· e
2 l
l 2 e l ( ( 1
2 l 2 l l e + 2 l l 2 )2 e 2 l ) Dengan mengambil l =l 0=0.1 diperoleh = (p 1 p 2 p 3) = ( 0.01447458531 0.09378514307 0.8917402715 ) p Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3.1) diperoleh nilai dari premi stasioner, yaitu (b =l ). 10 ( p= p 21 3 )
b 1 b 2 b 3
∑ p= i 0 + b i i = 0144745853 . 1 0 0937851430 . 7 100 90 + 0.89174027
80 15 = dan nilai dari 22734313 . 81 l db )( l d = 14.29779228. | =l 1.0 Sehingga nilai efisiensi dapat dicari de- ngan menggunakan persamaan (3.5) yaitu
Supandi (Efisiensi Sistem Bonus Malus sebagai Model Rantai Markov) . 10 =l = ). 10 (e 14.2977922 8 22734313 . 81 = 0.01760219124 Metode Numerik Dari Tabel 1 dan Tabel 2, dengan meng- gunakan asumsi pada persamaan (2.3), ma- ka bentuk matrik transisi rantai Markov- nya , M(l ) menjadi e l
1(1
e 0 l 1
M(l ) =
1 e l +
0 e
l e e ) e dan M(l =0.1) 0.09516258 0.09516258 0.00467884 80 0.90483741 20
0 = 0 0.90483741 0.90483741 80 80 20 02 0.09048374 Matrik M(l ) ini akan stasioner setelah n=22 yaitu diperoleh matrik M21(l =0.1) 0.01447458 0.01447458 0.01447458 180 0.09378514 0.09378514 Sehingga diperoleh distribusi stasioner dari matrik rantai Markov M((l ) untuk pemi- lihan distribusi awal tertentu yaitu p adalah 553 0.09378514 10 0.89174027 3030 = 3030 3030 553 553 0.89174027 0.89174027 10 10 dM(l )/dl =
· l e l l l 1(
· 0 l ) l e l 0
· e l l
Bentuk matrik transisi M(l ) diatas mem- punyai nilai determinan det(M(l ))=-l e-2l . Selanjutnya dari bentuk matrik M(l ) ini akan dicari distribusi stasionernya, yaitu p . Dengan mengambil awal p 1=(a1,b1,c1) dengan a1+b1+c1=1 diperoleh p 2=p 1 M(l ) distribusi
1(1
· 1
· l
= (a1,b1,c1)
e l +
e )+c1(1
(1+l )e
= [(a1+b1)(1
l +c1l e
(b1+c1)(1
) ]
0 l
l e )a1e
p = (0.01447458553 0.09378514303 0.8917402710) Selanjutnya dengan menggunakan persa- maan (3.1) diperoleh nilai dari premi sta- sioner yaitu b ( l = 10 ). = ( p 1 p , 2 p 3 )
b 1 b 2 b 3
∑= i 0 . + p b i i = 0144745855 0.09378514 3 303 100 90 + 0.89174027 10 80 = 81.2273431 1 p 3=p 2 M(l ) = [(a1+b1)(1-e-l +c1l e-l 1 1 1(1 p 4=p 2 M(l ) ⋮ p n+1=p n M(l ), p =p M(l ) dimana untuk nfi ∞, maka dengan p sebagai vektor baris dengan komponennya merupakan fungsi dari l . Dengan mengambil l =0.1 maka bentuk matrik diatas adalah )+c1(1-(1+l )e-l ) ] 0 l )a1e-l (b1+c1)(1-e-l e e l + l l
· l
· 0
l ) e e e Proses selanjutnya yaitu menentukan nilai dari db(l )/dl ini akan ditentukan terlebih dahulu nilai dari dp /dl dengan menggunakan proses iterasi seperti ketika menghitung distribusi stasi- oner dari matrik rantai Markov M(l ). Pandang bahwa p dan M(l ) masih dalam bentuk fungsi dalam l merupa- kan suatu vektor baris yang komponen- komponennya fungsi dari l dan matrik M(l ) juga merupakan matrik dengan un- sur-unsurnya dalam bentuk fungsi l , maka bentuk turunan dari dp /dl adalah seperti dalam persamaan (3.6). Selanjutnya misal- kan bahwa s=dp /dl maka bentuk iterasi dari persamaan (3.7) adalah . Sebelumnya db(l )/dl . Karena p s1=s0M(l )+p (dM(l )/dl ) s2=s1M(l )+p (dM(l )/dl ) ...... 211
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:207-214 ...... sn+1= snM(l )+p (dM(l )/dl ) untuk nfi ∞, maka s=sM(l )+p (dM(l )/dl ) dengan s sebagai vektor baris dengan komponen-komponennya merupakan fung- si dari l . Dengan mengambil nilai l =0.1 dengan bantuan program Maple dan me- ngambil nilai s0=(-0.6,0.6,0), maka diper- oleh nilai stasioner setelah n=21 dengan tingkat kesalahan 10-10, yaitu s21=[0.28245925 , 0.86486071,-1.1473199] sehingga untuk nilai dari db(l )/dl dapat diketahui yaitu l (db ) i b i l d p d l d = (0.28245925· 100 + 0.86486071· 90 -1.1473199· 80) = 14.29779230 Dengan nilai dari frekuensi klaim l , premi stasioner b(l ) dan nilai dari db(l )/dl , maka untuk l =0.1 diperoleh nilai efisiensi untuk BMS contoh dalam Tabel 1 dan Tabel 2 dengan menggunakan persamaan 9, yaitu ∑= i (e l = 10 ). = l l (b ) l (db l d ) = (0.1/81.22734311)· = 0.01760219119 14.29779230 Dengan demikian maka untuk l =0.1 model BMS dalam kasus ini memberikan sebesar nilai 0.01760219119. Dari hasil perhitungan dengan menggunakan metode eksak mau- pun metode numerik akan diperoleh nilai efisiensi yang tidak jauh berbeda. Untuk kasus dimana bentuk matrik transisi mem- punyai ukuran ukuran yang kecil akan le- bih mudah menggunakan metode eksak. Sebaliknya untuk matrik transisi yang di- hasilkan dari sistem bonus malus besar ma- ka disarankan akan lebih mudah dengan menggunakan metode pendekatan yaitu metode numerik. Dalam perhitungan selan- jutnya semua nilai l ini berada antara 0 dan 1. Didalam beberapa negara rata-rata frekuensi klaim (l ) adalah 10% [4]. Nilai efisiensi 212 10% ini selanjutnya digunakan dalam pa- per ini untuk untuk menentukan nilai efi- siensi dari model BMS. 5. STUDI KASUS MODEL BMS BRASIL Dalam sistem bonus-malus, negara Brasil mempunyai tujuh tarif grup bonus yang dinomori dari 1 hingga 7 dengan tingkatan tarif grup 100, 90, 85, 80, 75, 70, 65. Tarif grup dimulai pada tarif grup per- tama yaitu tarif grup 100. Jika tidak terjadi klaim dalam satu tahun tarif grup akan turun satu tingkat ke tarif grup yang lebih rendah prosentasinya. Sedangkan jika ter- jadi klaim sebanyak k dengan k‡ 1, maka untuk setiap klaimnya mengakibatkan tarif grup naik satu tingkat ke tarif grup yang lebih besar prosentasinya. BMS model Brasil ini disajikan dalam Tabel 3. Selanjutnya dengan menggunakan metode numerik untuk l =0.1, distribusi stasioner dari matrik rantai markov BMS Brasil ini adalah p = (p 1, p 2, ..., p 7) yaitu p 1=0.8894840186, p 2=0.09354785089 p 3=0.01443796240, p 4=0.002154210974 p 5=0.0003209884896, p 6= .00004783874242, p 7=0.000007129849606 dengan nilai efisiensi e(l )= 0.0127589. Untuk frekuensi klaim yang lain dengan 0£ 2 dengan pertambahan 0.1, efisiensi BMS Brasil disajikan dalam plot efisiensi dalam Gambar 1. l £ Berdasarkan Gambar 1, efisiensi BMS negara Brasil terjadi kenaikan yang l =0 sampai dengan tajam mulai dari l =0.6. Untuk l >0.6 efisiensi mengalami penurunan. Sedangkan efisiensi tertinggi dicapai pada saat l =0.6 yaitu 0.3520103. Modifikasi premi Pada modifikasi ini dilakukan peru- bahan premi pada keadaan paling atas. Pe- rubahan ini antara lain dengan menaikkan dan menurunkan premi paling atas (100) dengan 105, 102 dan 95 serta 98 disajikan
Supandi (Efisiensi Sistem Bonus Malus sebagai Model Rantai Markov) dalam Gambar 2. Pada modifikasi pertama yaitu dengan menaikkan premi menjadi 105 untuk setiap l (0<l ≤ 2) terjadi kenai- rata-rata kan yaitu dengan kenaikan sebesar 1.1%. Untuk efisiensi tertinggi di- l =0.6 yaitu dengan nilai capai ketika 0.3842114345. Modifikasi selanjutnya de- ngan menurunkan premi menjadi 95. Dengan modifikasi ini efisiensinya me- ngalami penurunan untuk setiap l (0<l ≤2) dengan rata-rata penurunan 1.99%. Efisi- ensi tertinggi dicapai pada saat l =0.6 yaitu sebesar 0.3191357753. Untuk dapat memberikan gambaran bahwa dengan menaikkan/menurunkan premi akan menaikkan/menurunkan efisi- ensi dilakukan perubahan dengan premi 102 dan 98. Tabel 3. Sistem Bonus malus negara Brasil (Ci, ri) (Tarif grup,Prosentasi) ( 7 , 100 ) ( 6 , 90 ) ( 5 , 85 ) ( 4 , 80 ) ( 3 , 75 ) ( 2 , 70 ) ( 1, 65 ) Tarif Grup Setelah Satu Tahun Banyaknya Klaim 5 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 7 5 6 4 0 6 5 4 3 2 1 1 1 7 7 6 5 4 3 2 2 7 7 7 6 5 4 3 4 7 7 7 7 7 6 5 6+ 7 7 7 7 7 7 7 Ef isiensi B M S B r asil 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Frekuensi klaim Gambar 1. Plot efisiensi BMS Brasil untuk 0£ l £ 2 dengan pertambahan 0.1 Efisiensi Modifikasi BMS Brasil (perubahan premi atas) 0.45 95 98 Semula 102 105 0.40 0.35 0.30 i s n e i s i f E 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Frekuensi klaim Gambar 2. Efisiensi Modifikasi BMS Brasil dengan perubahan pada premi atas 213
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:207-214 Pada perubahan premi dengan 102 (0<l ≤ 2) juga nilai efisiensi untuk setiap l mengalami kenaikan rata-rata 0.76% dengan efisiensi tertinggi dicapai ketika l =0.6 yaitu 0.3649703583. Dari Gambar 2 menunjukkan bahwa untuk modifikasi ini plot nilai efisiensi selalu berada BMS Brasil semula dan modifikasi BMS Brasil dengan perubahan premi atas dengan 105. Modifikasi berikutnya yaitu dengan mengubah premi atas menjadi 98. Dalam modifikasi ini menghasilkan nilai efisiensi yang lebih kecil untuk setiap l (0<l ≤ 2), dimana nilai efisiensi rata-rata mengalami penurunan sebesar 0.9%. Efisiensi tertinggi dicapai ketika l =0.6 yaitu 0.338942435. Dari Gambar 2 terlihat bahwa plot nilai efisiensi untuk modifikasi ini selalu berada diantara BMS Brasil semula dan modifi- kasi BMS Brasil dengan 95. Dengan modifikasi premi pada ke- adaan paling atas ini menunjukkan bahwa untuk 0<l <0.4 cenderung perbedaan efi- siensi sangat kecil (Gambar 2). Sedangkan untuk l >0.4 terjadi perubahan nilai efisien- si yaitu terjadi kenaikan efisiensi jika premi atas dinaikan dan penurunan efisien- si jika premi atas diturunkan. Hal ini me- nunjukkan bahwa dengan modifikasi ini pihak yang mengasuransikan akan cende- rung berhati-hati dengan kendaraan bermo- tornya bila premi atas dinaikkan jika di- bandingkan dengan penurunan premi atas, sehingga akan mendapatkan bonus penuru- nan premi untuk tahun pembayaran premi berikutnya. 5. KESIMPULAN Berdasarkan pada bagian sebelumnya dapat disimpulkan bah- wa tarif grup untuk tahun berikutnya dihi- tung berdasarkan tarif grup tahun sebelum- nya dengan banyaknya klaim yang terca- tat. Dengan demikian maka permasalahan sistem bonus-malus (BMS) dapat dipan- dang sebagai Model Rantai Markov. Mo- del keadaan multiple (model Markov) me- rupakan suatu model stokastik yang diba- ngun berdasarkan rantai markov waktu dis- krit dengan ruang keadaan hingga. pembahasan 214 Dalam menentukan efisiensi dari BMS dengan menggunakan distribusi sta- sioner dari rantai Markov. Distribusi sta- sioner ini digunakan untuk menentukan premi stasioner. Untuk dapat meningkat- kan efisiensi dari BMS terdapat dua faktor yang sangat penting, yaitu dengan merubah premi sehingga perbandingan premi ter- tinggi dan paling rendah menjadi lebih besar. Perubahan premi akan menghasil- kan nilai efisiensi dari BMS yang lebih bervariasi sehingga akan dapat diketahui kecenderungan pihak yang mengasuransi- kan kendaraan bermotornya berada di frekuensi klaim mana akan berhati-hati (pada umumnya untuk BMS Brasil diawal masuk asuransi) 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Bichsel., F. (1964), Erlahrungs-Tarif- fierung in der Motorfahrzeug haftp- flicht-Versicherung, Mtt Verein Schw- iez Versicherungsmath, 64: 119-129. [2] Buhlmann, H. (1964), Optimale Pra- mienstufensysteme, Mitt Verein Schw- iez Versicherungsmath, 64: 193-213. [3] Delaporte, P. (1965), Tarification du risque individual d'accidents d'auto- mobiles par la prime modelee sur le risque, ASTIN Bull III, 3. [4] Lemaire J. (1998), Bonus-Malus Sys- tem, The European and Asian Appro- ach to Merit Rating. North American Actuarial Journal, 2(1): 26-47. [5] Lemaire,J and Hongmin Zi. (1994), A Comparative Analysis of 30 Bonus- Malus System. ASTIN BULETIN, 24(2): 287-309. [6] Loimaranta, K. (1972), Some Asym- totic Properties of Bonus Malus, ASTIN BULLETIN, 6(3): 233-245. [7] Rolski.T, Schmidli,H., Schmidt, V., and Tugels, J. (1999). Stochastic Pro- cesses for Insurance and Finance, John Wiley & Sons, New york. [8] Ross. (2000), Introduction to Proba- bility Models , Seventh Edition, Aca- demic Press, London, UK.