প্রাথমিক বীজগণিত

প্রাথমিক বীজগণিত, এটি কলেজ বীজগণিত নামেও পরিচিত, বীজগণিতের মৌলিক ধারণাগুলোর সমন্বয়ে এটি গঠিত। এটি পাটিগণিতের আলোচ্য বিষয়গুলো থেকে অনেকটাই বিপরীত: পাটিগণিতে নির্দিষ্ট সংখ্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়, সেখানে বীজগণিতে চলক (কোন নির্দিষ্ট মান ছাড়াই পরিমাণ বুঝানোর ক্ষেত্রে) নিয়ে আলোচনা করা হয়।
চলকের ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে বীজগাণিতিক লিপির ব্যবহার এবং পাটিগণিতের মধ্যে প্রবর্তিত ক্রিয়াকলাপের সাধারণ নিয়মগুলো যেমনঃ যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদি। প্রাথমিক বীজগণিত বাস্তব সংখ্যা এবং জটিল সংখ্যার বাইরের বীজগণিতীয় কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত নয়, কিন্তু বিমূর্ত বীজগণিতে এসবের বাইরেও আলোচনা করা হয়।এটি সাধারণত বিদ্যালয়ে মাধ্যমিক স্তরের শিক্ষার্থীদের এবং মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের প্রাথমিক কলেজ স্তরে শেখানো হয়, এবং পাটিগণিতের অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে এটি নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি চলক ব্যবহার করে পরিমাণ বোঝানোর মাধ্যমে পরিমাণের মধ্যে সাধারণ সম্পর্কগুলোকে আনুষ্ঠানিক এবং সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করার এবং এইভাবে সমস্যাগুলো নিয়ে আরও বিস্তর পরিধিতে সমাধান করার সুযোগ তৈরি করে দেয়। বিজ্ঞান এবং গণিতের অনেক পরিমাণগত সম্পর্ক বীজগাণিতিক সমীকরণ হিসাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে।
বীজগাণিতিক স্বরলিপিতে গাণিতিক অভিব্যক্তি লেখার নিয়মাবলী বর্ণনা করা হয়, সেইসাথে অভিব্যক্তি প্রকাশের বিভিন্ন অংশগুলো নিয়েও আলোচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, formula_1 অভিব্যক্তিটিতে নিম্নলিখিত উপাদান রয়েছে:
"সহগ" হল একটি সংখ্যাসূচক মান, বা অক্ষর যা একটি সংখ্যাসূচক ধ্রুবক প্রকাশ করে, যা একটি চলকের সাথে গুন করা হয় (অপারেটর ছাড়াই)। "পদ" হলো একটি যোগ বা সমষ্টি, সহগ, চলক, ধ্রুবক এবং সূচকগুলোর একটি গ্রুপ যা যোগ এবং বিয়োগ অপারেটর দিয়ে অন্যান্য পদ থেকে পৃথক রাখে। অক্ষরগুলো চলক এবং ধ্রুবক প্রকাশ করে। নিয়ম অনুসারে, বর্ণমালার শুরুর অক্ষর (যেমন formula_2 ) সাধারণত ধ্রুবক, এবং বর্ণমালার শেষের দিকের অক্ষর (যেমন formula_3 এবং ) চলকের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলো সাধারণত তির্যকভাবে মুদ্রিত হয়.
বীজগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলি পাটিগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলির মতো একইভাবে কাজ করে, যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ এবং সূচক । এবং এগুলো বীজগাণিতিক চলক এবং পদগুলোতে ব্যবহার করা হয়। গুণন চিহ্নগুলো সাধারণত বাদ দেওয়া হয়, এবং যখন দুটি চলক বা পদের মধ্যে কোনও ফাঁকাস্থান না থাকে, বা যখন একটি সহগ ব্যবহার করা হয় তখন এটিকে উহ্য রাখা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, formula_4 কে formula_5 হিসেবে লেখা হয়, এবং formula_6 কে formula_7 হিসেবে লেখা যেতে পারে।
সাধারণত সর্বোচ্চ শক্তি ( সূচক ) নির্দেশক পদগুলো বাম দিকে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ, formula_8-এ সূচককে এর বাম দিকে লেখা হয়। যখন একটি সহগের মান এক হয়, তখন এটিকে সাধারণত বাদ দেওয়া হয় (যেমন formula_9 কে formula_8 হিসেবে লেখা হয় ) একইভাবে যখন সূচকের (শক্তি) মান এক হয়, (যেমন formula_11 কে formula_12 হিসেবে লেখা হয়) যখন সূচক শূন্য হয়, ফলাফল সর্বদা 1 হয় (যেমন formula_13 কে সর্বদা হিসেবে লেখা হয়)। যাহোক formula_14, অসংজ্ঞায়িত হওয়ায়, কোন অভিব্যক্তিতে এটি ব্যবহার করা উচিত নয়, এবং অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার ক্ষেত্রে খেয়াল করা উচিত যেখানে চলকগুলো সূচকগুলোর মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারে।
অন্যান্য ধরনের লিপি বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহার করা হয় যখন প্রয়োজনীয় বিন্যাস পাওয়া যায় না, বা উহ্য করাও যায়না, যেমন যেসব ক্ষেত্রে শুধুমাত্র অক্ষর এবং প্রতীক পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যখন সূচকগুলিকে সুপারস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করে ফর্ম্যাট করা হয়, যেমন, formula_8, প্লেইন টেক্সটে, এবং TeX মার্ক-আপ ল্যাঙ্গুয়েজে, ক্যারেট চিহ্ন দিয়ে সূচক প্রকাশ করা হয়, তাই formula_8 কে "x^2" হিসাবে লেখা হয়। এটি লুয়ার মতো কিছু প্রোগ্রামিং ভাষার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। অ্যাডা, ফরট্রান, পার্ল, পাইথন এবং রুবি এর মতো প্রোগ্রামিং ভাষায় এক্ষেত্রে দুটি তারকাচিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাই formula_8 কে "x**2" হিসাবে লেখা হয়। অনেক প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজ এবং ক্যালকুলেটর গুণন চিহ্ন প্রকাশ করতে একটি তারকাচিহ্ন ব্যবহার করে, এটি অবশ্যই স্পষ্টভাবে ব্যবহার করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, formula_12 কে "3*x" হিসেবে লেখা হয়ে থাকে।
প্রাথমিক বীজগণিত মূলত পাটিগণিতের ধারণার উপর ভিত্তি করেই গড়ে উঠেছে। বীজগণিতে সাধারণ (অ-নির্দিষ্ট) সংখ্যা প্রকাশ করার জন্য চলক নামক অক্ষর প্রবর্তন করা হয়েছে এবং পাটিগণিতের ধারণাকে প্রসারিত করা হয়েছে। এটি বিভিন্ন কারণে প্রয়োজনীয়।
বীজগাণিতিক রাশি মূল্যায়ন এবং সরলীকরণের ক্ষেত্রে, পাটিগণিতের মূল কিছু প্রক্রিয়া (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ এবং সূচকীকরণ) ব্যবহৃত হয়ে থাকে। উদাহরণস্বরূপ,
সমতার প্রতীক ব্যবহার করে একটি সমীকরণ বলে যে দুটি রাশির মান সমান, = ( সমান চিহ্ন )। পিথাগোরাসের সূত্র একটি সুপরিচিত সমীকরণ যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক বর্ণনা করে:
এই সমীকরণ বলে যে formula_39, বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গকে প্রকাশ করে যেটি ডান কোণের বিপরীত দিকের কর্ণের, অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির (যোগ) সমান যার দৈর্ঘ্যকে এবং দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
একটি সমীকরণ দাবি করে যে এটির দুইপাশের অভিব্যক্তির মান একই এবং সমান। কিছু সমীকরণ এর মধ্যে উল্লিখিত চলকের সকল মানের জন্য সত্য (যেমন formula_40 ); এই ধরনের সমীকরণগুলিকে পরিচয় বলা হয়। শর্তসাপেক্ষ সমীকরণ শুধুমাত্র উল্লিখিত চলকের কিছু মানের জন্য সত্য, যেমন formula_41 সত্য শুধুমাত্র formula_42 এবং formula_43 হলে। সমীকরণ সমাধানের মাধ্যমে চলকের মানগুলো পাওয়া যায় যা সমীকরণটিকে সত্য হিসেবে প্রমাণ করে।
আরেক ধরনের সমীকরণ হল অসমতা। অসমতাগুলো প্রকাশ করে যে সমীকরণের একটি দিক অন্যটির চেয়ে বেশি বা কম। এর জন্য ব্যবহৃত চিহ্নগুলো হল: formula_44 যেখানে formula_45 বুঝায় 'এর চেয়ে বড়', পড়া হয় b এর চেয়ে a বড় এবং formula_46 যেখানে formula_47 বুঝায় 'এর চেয়ে কম', পড়া হয় b এর চেয়ে a কম। সাধারণ সমতা সমীকরণের মতো এখানেও, সংখ্যাগুলো যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করা যায়। একমাত্র ব্যতিক্রম হল যে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার সময়, অসমতা প্রতীকটি উল্টে যাবে।
সংজ্ঞা অনুসারে, সমতা হলো একটি সমতা সম্পর্ক, যার অর্থ এটি প্রতিফলিত (যেমন formula_48 ), প্রতিসম (যেমন যদি formula_49 তারপর formula_50 ), এবং ট্রানজিটিভ (যেমন যদি formula_49 এবং formula_52 হয় তবে formula_53 ) এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটিকেও প্রকাশ করে যেখানে যদি দুটি প্রতীক সমান জিনিসের জন্য ব্যবহার করা হয়, তবে যে কোনও সত্য বিবৃতিতে একটি প্রতীক অন্যটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে এবং তারপরও বিবৃতিটি সত্যই থাকবে। এটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলো বোঝায়:
অসম সম্পর্কে "কম" formula_47 এবং এর চেয়ে বড় formula_45 এর মধ্যে ট্রানজিটিভিটির বৈশিষ্ট্য আছে:
অসম সমীকরণটি উল্টে দিলে, formula_47 এবং formula_45 অদলবদল করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ:
প্রতিস্থাপন একটি নতুন অভিব্যক্তি তৈরি করার জন্য অভিব্যক্তির পদগুলো প্রতিস্থাপিত করাকে বুঝায়। অভিব্যক্তিটিতে এর বদলে 3 ব্যবহার করলে একটি নতুন রাশি তৈরি হয় যেখানে এর মান । একটি বিবৃতির পদ্গুলো প্রতিস্থাপন করলে একটি নতুন বিবৃতি তৈরি হয়। যখন মূল বিবৃতিটি সত্য হয় এবং পদের মানগুলোর উপর নির্ভরশীল হয়না, তখন প্রতিস্থাপিত বিবৃতিটিও সত্য হয়। সুতরাং, সংজ্ঞাগুলো প্রতীকী পদের মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে এবং প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যদি formula_81 কে formula_82 দ্বারা নিজের সাথে এর গুণফল হিসাবে বোঝানো হয়, এবং কে দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয় তবে পুরো বিবৃতিটি পাঠককে অবহিত করে যে formula_83 মানে । প্রায়ই এটা জানা যায় না যে বিবৃতিটি পদের মানগুলোর থেকে স্বাধীনভাবে সত্য কিনা। এবং, প্রতিস্থাপন একজনকে সম্ভাব্য মানগুলোর উপর বিধিনিষেধ আনতে বা বিবৃতিটি কোন শর্তের অধীনে রয়েছে তা দেখাতে সাহায্য করে। উদাহরণ স্বরূপ, বিবৃতিটি বিবেচনা করলে, যদি দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে এটি বোঝায় , যা মিথ্যা, এটি বোঝায় যে হলে হতে পারে না।
যদি " বোঝায় বা " হিসাবে বলা হয়, তাহলে " বিবেচনা করুন " বলার ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন করার সময় পদের দ্বন্দ্ব তৈরি হবে। তবুও উপরের যুক্তিটি এখনও বৈধ যে যদি হয় তবে বা বা হলে, এবং এর পরিবর্তে, একটি এর পরিবর্তে এবং এর জন্য (এবং) এর সাথে, এর জন্য এবং এর জন্য )। এ থেকে বুঝা যায় যে একটি বিবৃতিতে পদ্গুলো প্রতিস্থাপন করার মানে এই না যে বিবৃতির পদগুলো সর্বদা প্রতিস্থাপিত পদগুলোর সমান হবে৷ এক্ষেত্রে এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি মূল সমীকরণের পদকে অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপন করি, তাহলে " মানে বা " বিবৃতিতে a-কে নির্দেশ করবেনা।
নীচে আলোচ্য অনুচ্ছেদ্গুলোতে সচরাচর ব্যবহৃত কিছু বীজগাণিতিক সমীকরণের উদাহরণ দেয়া হয়েছে।
রৈখিক সমীকরণগুলো এদের নামের মতোই, কারণ যখন এদেরকে প্লট করা হয়, তারা একটি সরল রেখাকেই বর্ণনা করে। সমাধান করার জন্য সবচেয়ে সহজ সমীকরণ হল রৈখিক সমীকরণ যার শুধুমাত্র একটি চলক রয়েছে। তারা শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা এবং সূচক ছাড়া একটি একক চলক নিয়ে গঠিত। উদাহরণ হিসাবে, বিবেচনা করুন:
এধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য, সমীকরণের উভয়পক্ষকে একই সংখ্যা দিয়ে যোগ, বিয়োগ, গুন বা ভাগ করে চলককে সমীকরণের একপাশে পাঠাতে হয়। চলক একপাশে চলে গেলে, সমীকরণের অপর পক্ষই হচ্ছে চলকের মান। সমস্যা এবং এর সমাধান এভাবে করা হয়ঃ
কথায়: শিশুটির বয়স ৪ বছর।
একটি চলক সহ রৈখিক সমীকরণের সাধারণ রূপটি এভাবে লেখা যেতে পারে: formula_85
একই পদ্ধতি অনুসরণ করে (যেমন, সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে ' বিয়োগ করে এবং ' দ্বারা ভাগ করে), সাধারণ সমাধানকে এভাবে দেখানো যায়, formula_86
দুটি চলক সহ একটি রৈখিক সমীকরণের অনেকগুলি (অর্থাৎ অসীম সংখ্যক) সমাধান রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ:
এটা নিজে থেকে সমাধান করা যাবে না. যদি ছেলের বয়স জানা যেতো, তবে দুটি অজানা (চলক) থাকত না। সমস্যাটি তখন শুধুমাত্র একটি চলকের রৈখিক সমীকরণে পরিণত হতো, যা উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে সমাধান করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি:
এখন দুটি সম্পর্কিত রৈখিক সমীকরণ রয়েছে, প্রতিটিতে দুটি অজানা চলক রয়েছে, যা একটি রৈখিক সমীকরণকে অন্যটি থেকে বিয়োগ করে শুধুমাত্র একটি চলকের রৈখিক সমীকরণে পরিণত করতে সাহায্য করে (এটিকে নির্মূল পদ্ধতি বলা হয়): 
অন্য কথায়, ছেলের বয়স ১২, এবং যেহেতু বাবা ২২ বছরের বড়, তার বয়স অবশ্যই ৩৪ হবে। ১০ বছর পরে, ছেলের বয়স হবে ২২, এবং বাবার বয়স তার দ্বিগুণ হবে, অর্থাৎ ৪৪। এই সমস্যাটি সমীকরণের সংশ্লিষ্ট প্লটে চিত্রিত করা হয়েছে।
এই ধরণের সমীকরণগুলো সমাধান করার অন্যান্য উপায়গুলোর জন্য, নীচে দেখুন, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম ।
দ্বিঘাত সমীকরণ হল সেই সমীকরণ যা ২ এর সূচক সহ একটি পদকে অন্তর্ভুক্ত করে, উদাহরণস্বরূপ, formula_30, এবং উচ্চতর সূচক সহ কোন পদ সেখানে থাকবেনা। নামটি ল্যাটিন "কোয়াড্রাস" থেকে এসেছে, যার অর্থ বর্গক্ষেত্র। সাধারণভাবে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে formula_92 আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে শূন্য নয় (যদি এটি শূন্য হতো, তাহলে সমীকরণটি দ্বিঘাত এর পরিবর্তে রৈখিক হতো)। এই কারণে একটি দ্বিঘাত সমীকরণে অবশ্যই formula_93 থাকতে হবে, যা দ্বিঘাত শব্দ হিসাবে পরিচিত। তাই formula_94, হওয়ার ফলে এটিকে আমরা দ্বারা ভাগ করতে পারি এবং সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে পুনর্বিন্যাস করতে পারি
যেখানে formula_96 এবং formula_97 . বর্গাকার সমাপ্তি নামে পরিচিত একটি প্রক্রিয়ায় এটি সমাধান করলে এটিকে এই দ্বিঘাত সূত্রে রূপান্তরিত করা যায়
যেখানে "±" প্রতীকটি নির্দেশ করে
উভয়েই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
দ্বিঘাত সমীকরণগুলোকে ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে (যার বিপরীত প্রক্রিয়াটি সম্প্রসারণ, তবে দুটি রৈখিক পদের জন্য কখনও কখনও ফয়েলিং বোঝানো হয়)। ফ্যাক্টরিংয়ের উদাহরণ হিসাবে:
যা নিচের সমীকরণের মতোই
এটি শূন্য-গুণন বৈশিষ্ট্য অনুসরণ করে যেখানে, হয় formula_102 অথবা formula_103 হল সমাধান, যেহেতু সুনির্দিষ্টভাবে একটি ফ্যাক্টর অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে। জটিল সংখ্যা পদ্ধতিতে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমাধান থাকবে, কিন্তু বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতিতে কোনো সমাধানের প্রয়োজন নেই। উদাহরণ স্বরূপ,
এক্ষেত্রে কোনো বাস্তব সংখ্যার সমাধান নেই কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ −1 এর সমান নয়। কখনও কখনও একটি দ্বিঘাত সমীকরণের ২ বহুগুণের একটি মূল থাকে, যেমন:
এই সমীকরণের জন্য, −1 হল 2 গুণের মূল। এর মানে হল −1 দুবার দেখা যাচ্ছে, যেহেতু সমীকরণটিকে ফ্যাক্টর আকারে এভাবে লেখা যেতে পারে
সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল সংখ্যায় ঠিক দুটি সমাধান থাকে (তবে তারা একে অপরের সমানও হতে পারে), এই বিভাগে বাস্তব সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা এবং বাস্তব ও কাল্পনিক সংখ্যার যোগফল অন্তর্ভুক্ত থাকে। জটিল সংখ্যাগুলো প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সূত্র শেখানোর সময় উদ্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণটি
যার সমাধান
থেকে formula_109 কোনো বাস্তব সংখ্যা নয়, "x" এর জন্য এই দুটি সমাধানই জটিল সংখ্যা।
একটি সূচকীয় সমীকরণ হল একটি ফর্ম যা formula_110 এর জন্য formula_111, যার সমাধান হচ্ছে
যেখানে formula_113 . প্রাথমিক বীজগাণিতিক কৌশলগুলো সমীকরণের সমাধানে পৌঁছানোর আগে উপরে উল্লিখিত উপায়ে একটি প্রদত্ত সমীকরণ পুনরায় লিখতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি
হয় তাহলে, সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1 বিয়োগ করে, এবং তারপর উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই
যেখানে
বা
লগারিদমিক সমীকরণ হল formula_110 এর জন্য formula_119 ফর্মের একটি সমীকরণ, যার সমাধান
হয়, সমীকরণের দুই পক্ষে ২ যোগ করে ৪ দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই
সেখান থেকে
যা থেকে আমরা পাই
একটি আমূল সমীকরণ হল এমন একটি সমীকরণ যা একটি মৌলিক চিহ্ন অন্তর্ভুক্ত করে, যার মধ্যে বর্গমূল রয়েছে, formula_125 ঘন মূল, formula_126, এবং "n" তম শিকড়, formula_127 . মনে রাখবেন যে একটি "n" তম মূল সূচক বিন্যাসে পুনরায় লেখা যেতে পারে, যেখানে formula_127 এর সমতুল্য হলো formula_129 . সাধারণ সূচক (শক্তি) এর সাথে মিলিত, তারপর formula_130 ( এর ঘন এর বর্গমূল), হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে formula_131 . তাই আমূল সমীকরণের একটি সাধারণ রূপ formula_132 (formula_133 এর সমতুল্য) যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা । এটির বাস্তব সমাধান রয়েছে:
উদাহরণস্বরূপ, যদি
যেহেতু জানা যায় যে formula_102 সত্য, তাহলে মূল দুটি সমীকরণের যেকোনো একটি দ্বারা ( এর পরিবর্তে "2" ব্যবহার করে) নির্ণয় করা সম্ভব যে formula_136 তাহলে এই সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান
এবং এর ফলে
দুটি চলক সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানে নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহারের উদাহরণ:
দ্বিতীয় সমীকরণের পদগুলিকে 2 দ্বারা গুণ করে:
দুটি সমীকরণ একসাথে যোগ করলে পাওয়া যায়:
যা সহজ করে
যেহেতু আমরা জানি যে xformula_102, তাহলে আমরা আসল দুটি সমিকরং থেকে ("" এর বদলে "২" ব্যবহার করে) নির্ণয় করতে পারি যে y
formula_136, সমস্যাটির পূর্ণ সমাধান দাড়ায়
এটিই সমাধানের একমাত্র উপায় নয়; চাইলে ' এর সমাধান ' এর আগে করা যেতো।
রৈখিক সমীকরণের একই সিস্টেম সমাধান করার আরেকটি উপায় হল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি।
দুটি সমীকরণের একটি ব্যবহার করে এর সমতুল্য নির্ণয় করা যেতে পারে। দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে:
সমীকরণের প্রতিটি দিক থেকে formula_149 বিয়োগ করে:
এবং −1 দ্বারা গুণ করে:
মূল সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে এ এর মান ব্যবহার করে:
সমীকরণের প্রতিটি পাশে "2" যোগ করে:
সহজ করে লিখলে
যেকোন একটি সমীকরণে এই মানটি ব্যবহার করলে, আগের পদ্ধতির মতো একই সমাধান পাওয়া যায়।
এটিই সমীকরণগুলো সমাধানের একমাত্র উপায় নয়; এই ক্ষেত্রেও, এর আগে এর সমাধান করা যেত।
উপরের উদাহরণে, একটি সমাধান বিদ্যমান। কিন্তু, সমীকরণের এমন সিস্টেমও রয়েছে যার কোন সমাধান নেই। এই ধরনের ব্যবস্থাকে বলা হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম। এটির একটি উদাহরণ হল
0≠2 হিসাবে, সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণের কোন সমাধান নেই। অতএব, এই সিস্টেমের কোন সমাধান নেই। যাইহোক, সমস্ত অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম প্রথমবার দেখলেই বোঝা যায়না। একটি উদাহরণ হিসাবে, এই সিস্টেমটি বিবেচনা করুন
দ্বিতীয় সমীকরণের উভয় পাশে 2 দ্বারা গুণ করলে এবং প্রথমটির সাথে যোগ করলে ফলাফল পাওয়া যায়
যার আসলেই কোন সমাধান নেই।
এমন সিস্টেমও রয়েছে যার অসীম অনেকগুলি সমাধান রয়েছে, একটি অনন্য সমাধান সহ একটি সিস্টেমের বিপরীতে (অর্থাৎ, এবং এর মানগুলির একটি অনন্য জোড়া) উদাহরণস্বরূপ:
দ্বিতীয় সমীকরণে বিচ্ছিন্ন করা:
এবং সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে এই মানটি ব্যবহার করলে:
সমতাটি সত্য হলেও, এটি এর জন্য কোন মান প্রদান করে না। প্রকৃতপক্ষে, কেউ সহজেই যাচাই করতে পারে (শুধুমাত্র এর কিছু মান পূরণ করে) যে এর যেকোনো মানের জন্য একটি সমাধান আছে যতক্ষণ না formula_162 . এই সিস্টেমের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
রৈখিক সমীকরণের সংখ্যার চেয়ে বেশি চলক উপস্থিত এমন সিস্টেমগুলোকে বলা হয় আন্ডারডেটারমিনড । এই ধরনের কোন সিস্টেমে, যদি কোন সমাধান থেকেও থাকে, সেটি অনন্য হয় না বরং তাদের অসীম সংখ্যক সমাধান সম্ভব। এই ধরনের ব্যবস্থার একটি উদাহরণ
এটি সমাধান করার সময়, কিছু চলককে অন্য চলকের ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করার প্রয়োজন পরে, যদি কোনো সমাধানও বিদ্যমান থাকে তবে "সমস্ত" সমাধানকে সংখ্যাগতভাবে প্রকাশ করতে পারে না কারণ সেক্ষেত্রে সমাধানের সংখ্যা অসীম সংখ্যক হয়ে থাকে।
চলকের চেয়ে বেশি সংখ্যক সমীকরণ যেই সিস্টেমে থাকে তাকে ওভারডিটারমিনড সিস্টেম বলা হয়। যদি একটি ওভারডিটারমিনড সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে, সেগুলো কিছু সমীকরণের রৈখিক সমন্বয় হয়ে থাকে।