অনিশ্চয়তা নীতি

অনিশ্চয়তা‌ নীতি, যা হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি নামেও পরিচিত, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এক মৌলিক ধারণা। এই নীতি অনুযায়ী, কোনো একজোড়া ভৌত রাশির মান, যেমন অবস্থান ও ভরবেগ, একই সঙ্গে জানা থাকলে তাদের পরিমাপ একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত নির্ভুল হয়। অন্যভাবে বলতে গেলে, ঐ দুই রাশির মধ্যে যেকোনো একটি রাশি আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে অন্য রাশিটির পরিমাপ আরও কম নির্ভুল হবে।
আরও পোশাকি ভাষায় বলতে গেলে, অনিশ্চয়তা নীতি হচ্ছে অসমতার এক রূপ, যা কোনো একজোড়া কোয়ান্টাম রাশির পরিমাপের নির্ভুলতার গুণফলে এক মৌলিক সীমাকে প্রকাশ করে, যেমন অবস্থান "x" ও ভরবেগ "p"। এইধরনের চলরাশির যুগল পরিপূরক চলরাশি নামে পরিচিত।
১৯২৭ সালে জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী ভের্নার কার্ল হাইজেনবের্গ দ্বারা প্রকাশিত এই নীতি অনুযায়ী, কোনো কণার অবস্থান আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে প্রাথমিক অবস্থা থেকে ভরবেগ আরও কম নির্ভুলভাবে অনুমান করা হবে, এবং এর বিপরীত বিবৃতিও সত্য। ১৯২৭ সালে তাঁর প্রকাশিত গবেষণাপত্রে তিনি আসলে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে অনিশ্চয়তা নীতিটি হচ্ছে Δ"p"Δ"q" ≈ h, যেখানে h হচ্ছে প্লাঙ্ক ধ্রুবক। ঐ একই বছরে পরে এয়ার্লে হেসা কেনার্ড এবং ১৯২৮ সালে হারমান ভাইল অবস্থান "σ"-এর আদর্শ চ্যুতি এবং ভরবেগ "σ"-এর আদর্শ চ্যুতির সঙ্গে সম্পর্কিত নিম্নলিখিত অসমতাটি নির্ণয় করেছিলেন:
যেখানে = ।
ঐতিহাসিকভাবে এই অনিশ্চয়তা নীতিটি পদার্থবিজ্ঞানে পর্যবেক্ষক প্রভাবের সঙ্গে বিভ্রান্ত হয়েছে। পর্যবেক্ষক প্রভাব অনুযায়ী, কিছু সংস্থাকে পরিবর্তিত না করে তার পরিমাপ সম্পন্ন হয় না, হাইজেনবার্গ কোয়ান্টাম স্তরে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার এক ভৌত "ব্যাখ্যা" হিসাবে এধরনের পর্যবেক্ষক প্রভাব ব্যবহার করেছেন। তবে এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে অনিশ্চয়তা নীতিটি তরঙ্গের মতো সমস্ত সংস্থার বৈশিষ্ট্যের মধ্যে অন্তর্নিহিত, এবং সমস্ত কোয়ান্টাম বস্তুর পদার্থ তরঙ্গ প্রকৃতির জন্য এটি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান মধ্যে উদ্ভূত হয়। সুতরাং অনিশ্চয়তা নীতি আসলে কোয়ান্টাম সংস্থার একটি মৌলিক ধর্ম এবং কোনো বর্তমান প্রযুক্তির পর্যবেক্ষণগত সাফল্য সম্পর্কিত কোনো বিবৃতি নয়। প্রকৃতপক্ষে, এই অনিশ্চয়তার নীতির মূল হচ্ছে বলবিজ্ঞানের মৌলিক সমীকরণ লেখার জন্য ক্যালকুলাসের প্রয়োগ। এটি লক্ষণীয় যে এখানে "পরিমাপ" বলতে কেবল এমন কোনো প্রক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে না যেখানে পদার্থবিজ্ঞানী-পর্যবেক্ষক অংশগ্রহণ করেন, বরং কোনো পর্যবেক্ষক নির্বিশেষে চিরায়ত ও কোয়ান্টাম বস্তুর মধ্যে যেকোনো আন্তঃক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে।
যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এক মৌলিক ফলাফল, সেহেতু সাধারণ কোয়ান্টাম পরীক্ষাগুলোতে এর বিভিন্ন দিক পাওয়া যায়। কিছু পরীক্ষা তাদের প্রধান গবেষণা কর্মসূচির অংশ হিসাবে অনিশ্চয়তা নীতির এক নির্দিষ্ট রূপকে ইচ্ছাকৃতভাবে পরীক্ষা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অতিপরিবাহিতা কিংবা কোয়ান্টাম আলোকবিজ্ঞান সংস্থায় সংখ্যা–দশা অনিশ্চয়তা নীতির পরীক্ষা। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল এমন প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত নিম্ন-শব্দের প্রযুক্তি অন্তর্গত, যার মধ্যে মহাকর্ষীয় তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটার উল্লেখযোগ্য।
এই নীতি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে সরাসরি অনুভূত হয় না কারণ এটি ম্যাক্রোস্কোপিক স্তরে অস্পষ্ট। তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের দুটি ভিন্ন উপায় অনিশ্চয়তার নীতি ব্যাখ্যা করে। তরঙ্গ মেকানিক্স ভিজ্যুয়াল দৃষ্টিকোণে সহজবোধ্য, যেখানে ম্যাট্রিক্স মেকানিক্স এর ব্যাখ্যা আরও তাত্ত্বিক এবং সাধারণীকৃত।
গাণিতিক দিক থেকে, তরঙ্গ মেকানিক্সে স্থান এবং ভরবেগের অনিশ্চয়তা দেখা দেয় কারণ হিলবার্ট স্পেসে এই দুটি বৈশিষ্ট্যের প্রতিনিধিত্বকারী ফুরিয়ার রূপান্তর পরস্পরের সাথে সংযুক্ত। এর মানে হলো, একসাথে স্থান এবং ভরবেগ উভয়ই তীক্ষ্ণভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। এই অনিশ্চয়তা শুধু পদার্থবিজ্ঞানে নয়, সাউন্ড ওয়েভ বা অন্যান্য ফুরিয়ার বিশ্লেষণভিত্তিক সিস্টেমেও দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, সুরের ক্ষেত্রে একটি খাঁটি নোট একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে খুব তীক্ষ্ণ থাকে, তবে সময় ডোমেনে এটি ছড়িয়ে থাকা তরঙ্গ আকার ধারণ করে।
কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে, কণার অবস্থান তরঙ্গ আকারে প্রকাশ পায় এবং তার ভরবেগ ফুরিয়ার রূপান্তরে সংযুক্ত। দ্য ব্রগলি নীতির মাধ্যমে এটি নিশ্চিত হয়: , যেখানে হল তরঙ্গ সংখ্যা।
ম্যাট্রিক্স মেকানিক্সে, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামো অনুযায়ী, যেকোনো দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য গুণ, যা কমিউট করে না, সেগুলির জন্য অনুরূপ সীমাবদ্ধতা প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পরিমাপ করা হয়, তাহলে সিস্টেমটি সেই পর্যবেক্ষণযোগ্যটির নির্দিষ্ট অবস্থায় থাকে। তবে এই অবস্থা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের জন্য নির্দিষ্ট নাও হতে পারে।
অনিশ্চয়তার নীতি চিত্রিত করা যায়, যেখানে কণার অবস্থান এবং ভরবেগ তরঙ্গ ফাংশন ব্যবহার করা হয়।
যদি অবস্থান ফাংশন খুব সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে কণার অবস্থান নির্দিষ্ট এলাকায় পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি, কিন্তু এই ক্ষেত্রে ভরবেগ ফাংশন তুলনামূলকভাবে ছড়িয়ে পড়ে। বিপরীতে, ভরবেগ যদি সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে অবস্থানের সম্ভাবনা ছড়িয়ে যায়। এই তরঙ্গ ফাংশনগুলি একে অপরের ফুরিয়ার রূপান্তর।
ডি ব্রগলি অনুমান অনুসারে, পৃথিবীর প্রতিটি বস্তু একটি তরঙ্গ এর সাথে সম্পর্কিত। তাই প্রতিটি বস্তু, মৌলিক কণা থেকে শুরু করে পরমাণু, অণু, এবং গ্রহ এবং তার বাইরে পর্যন্ত সকল কিছু অনিশ্চয়তার নীতির আওতায় আসে।
একটি একক-মোড প্লেন তরঙ্গের সময়-নিরপেক্ষ তরঙ্গ ফাংশন যা তরঙ্গ সংখ্যা "k" বা ভরবেগ "p" এর সাথে সম্পর্কিত তা হল
formula_1
বর্ন নিয়ম অনুসারে, এটি একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব অ্যাম্প্লিটিউড ফাংশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত, যার মানে হল যে কণাটি "a" এবং "b" এর মধ্যে কোথাও পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা
formula_2
একক-মোড প্লেন তরঙ্গের ক্ষেত্রে, formula_3 হল "1" যদি formula_4 এবং অন্যথায় "0"। অর্থাৎ, কণার অবস্থান অত্যন্ত অনিশ্চিত, এটি কার্যত তরঙ্গ গুচ্ছ বরাবর যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে।
অন্যদিকে, একটি তরঙ্গ ফাংশন বিবেচনা করুন যা অনেক তরঙ্গের যোগফল, যা আমরা লিখতে পারি
formula_5
যেখানে "A" হল মোড "p" এর মোটের মধ্যে আপেক্ষিক অবদান। ডানপাশের চিত্রগুলো দেখায় যে অনেক প্লেন তরঙ্গ যোগ করলে, তরঙ্গ গুচ্ছ আরও স্থানীয় হতে পারে। আমরা এটি আরও একধাপ এগিয়ে নিতে পারি অবিরাম সীমা, যেখানে তরঙ্গ ফাংশন হল সমস্ত সম্ভাব্য মোডের উপর একটি ইন্টিগ্রাল
formula_6
যেখানে formula_7 এই মোডগুলির অ্যাম্প্লিটিউড এবং এটি ভরবেগ স্থানে তরঙ্গ ফাংশন বলা হয়। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা বলি যে formula_7 হল formula_9 এর "ফুরিয়ার রূপান্তর" এবং "x" এবং "p" হল সংকল্পিত ভেরিয়েবল। এই সমস্ত প্লেন তরঙ্গ একত্রিত করার ফলে একটি খরচ হয়, অর্থাৎ ভরবেগ কম স্পষ্ট হয়ে যায়, কারণ এটি বিভিন্ন ভরবেগের তরঙ্গের মিশ্রণ হয়ে যায়।
অবস্থান এবং ভরবেগের স্পষ্টতা পরিমাপ করার একটি উপায় হলো আদর্শ বিচ্যুতি "σ"। যেহেতু formula_3 হলো অবস্থানের জন্য একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, আমরা এর আদর্শ বিচ্যুতি হিসাব করি।
অনেক প্লেন তরঙ্গ ব্যবহার করে অবস্থানের স্পষ্টতা উন্নত করা যায়, অর্থাৎ "σ" হ্রাস করা যায়, যার ফলে ভরবেগের স্পষ্টতা দুর্বল হয়ে যায়, অর্থাৎ "σ" বৃদ্ধি পায়। একে অন্যভাবে বললে, "σ" এবং "σ" এর মধ্যে বিপরীত সম্পর্ক রয়েছে অথবা অন্তত নিচ থেকে সীমাবদ্ধ। এটি হল অনিশ্চয়তার নীতি, যার সঠিক সীমা হলো কেনার্ডের সীমা।
আমরা অবস্থান এবং ভরবেগের ভ্যারিয়েন্স নিয়ে আগ্রহী, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়
formula_11
formula_12
অব্যাহত ক্ষতি ছাড়া, আমরা ধরে নেব যে গণনা শূন্য, যা শুধু আমাদের স্থানাঙ্কের মূল পরিবর্তন করে। (এই অনুমান না করেও একটি সাধারণ প্রমাণ নিচে দেওয়া হয়েছে।) এর ফলে আমরা সহজতর আকারে পাই
formula_13
formula_14
ফাংশন formula_15 একটি ভেক্টর হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে একটি ফাংশন স্থান-এ। আমরা এই ভেক্টর স্থানে দুটি ফাংশন "u"("x") এবং "v"("x") এর জন্য একটি ইনার প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করতে পারি:
formula_16
এখানে অ্যাস্টারিস্ক চিহ্ন জটিল সহচর নির্দেশ করে।
এই ইনার প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করার সাথে সাথে আমরা লক্ষ্য করি যে অবস্থানের ভ্যারিয়েন্স লিখা যেতে পারে
formula_17
আমরা এটি আবার ভরবেগের জন্য পুনরাবৃত্তি করতে পারি, formula_18 কে একটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। তবে, আমরা এই সুবিধাটিও নিতে পারি যে formula_9 এবং formula_7 একে অপরের ফুরিয়ার রূপান্তর। আমরা বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ণয় করি:
formula_21
এখানে formula_22 ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস-এ ব্যবহৃত হয়েছে, বাতিল হওয়া পদটি শূন্যে পরিণত হয় কারণ তরঙ্গ ফাংশন অসীমে বিলুপ্ত হয়। এরপর আমরা ডিরাক ডেল্টা ফাংশন ব্যবহার করি যা বৈধ, কারণ formula_23 "p" এর উপর নির্ভর করে না।
পদ formula_24 কে অবস্থান স্থানে ভরবেগ অপারেটর বলা হয়। প্ল্যাঞ্চারেলের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা দেখতে পাই যে ভরবেগের ভ্যারিয়েন্স লেখা যেতে পারে: formula_25
কাউচি-শোয়ার্জ অসমতা বলে যে: formula_26
যেকোনো জটিল সংখ্যার মডুলাস স্কয়ার লেখা যেতে পারে: formula_27
এখানে formula_28 এবং formula_29 বসিয়ে দিলে পাই: formula_30
এখন শুধুমাত্র এই অভ্যন্তরীণ গুণফলগুলো নির্ণয় করা বাকি।
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে, পর্যবেক্ষণযোগ্য যেমন অবস্থান এবং ভরবেগকে স্ব-অধিকারী অপারেটর দিয়ে উপস্থাপন করা হয়। দুটি অবজারভেবলের ক্ষেত্রে, একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো "কমিউটেটর"। যদি দুটি অপারেটর এবং formula_31 থাকে, তাহলে তাদের কমিউটেটর নির্ধারণ করা হয় এভাবে:
formula_32
অবস্থান এবং ভরবেগের ক্ষেত্রে, তাদের কমিউটেটর হয় ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন:
formula_33
কমিউটেটরের এই অ-কমিউটেটিভ প্রকৃতি বোঝা যায় যখন অবস্থান এবং ভরবেগ আইজেন দশার ওপর এর প্রভাব দেখা হয়। ধরা যাক, formula_34 একটি অবস্থান আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান । অর্থাৎ,
formula_35
এই ইজেন দশার ওপর কমিউটেটর প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়:
formula_36
এখানে হলো আইডেন্টিটি অপারেটর।
এখন ধরে নিই, formula_34 একই সাথে একটি ভরবেগ আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান । যদি তা সত্য হয়, তাহলে লেখা যায়:
formula_38
কিন্তু আগের ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন থেকে পাওয়া যায়:
formula_39
এটি প্রমাণ করে যে কোনো কোয়ান্টাম দশা একই সাথে অবস্থান এবং ভরবেগের আইজেন দশা হতে পারে না।
যখন একটি দশা পরিমাপ করা হয়, তখন সেটি সংশ্লিষ্ট পর্যবেক্ষণযোগ্য কণার আইজেন দশায় প্রজেক্ট হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো কণার অবস্থান মাপা হয়, তবে দশাটি অবস্থান আইজেন দশা হয়। তবে এটি আর ভরবেগ আইজেন দশা থাকে না বরং এটি ভরবেগের অনেক আইজেন দশার যোগফল হয়। অর্থাৎ, ভরবেগ কম নির্দিষ্ট হয়ে যায়। এই নির্দিষ্টতাকে পরিমাপ করা যায় স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন দিয়ে:
formula_40
formula_41
উপরের তরঙ্গ মেকানিক্সের ব্যাখ্যার মতো, এখানেও দেখা যায় যে এই দুইটি পরিমাপের নির্ভুলতার মধ্যে একধরনের ভারসাম্য রয়েছে, যা অনিশ্চয়তার নীতির মাধ্যমে প্রকাশ পায়।
একটি একমাত্রিক কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রে, অবস্থান (পজিশন) এবং গতি (মোমেন্টাম) অপারেটরগুলোকে সৃষ্টি এবং ধ্বংসের অপারেটর-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:
formula_42
formula_43
সৃষ্টির এবং ধ্বংসের অপারেটরের নিয়ম অনুযায়ী, শক্তির নির্দিষ্ট অবস্থাগুলোতে:
formula_44
formula_45
এগুলো ব্যবহার করে অবস্থান এবং গতির অস্থিরতা (variance) নির্ণয় করা যায়:
formula_46
formula_47
এরপর, এই অবস্থান এবং গতির জন্য অস্থিরতার গুণফল হয়:
formula_48
বিশেষত, উপরের নিয়ম অনুযায়ী, এটি ন্যূনতম হয় যখন । এই অবস্থায় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সাধারণ গাউস বন্টনের মতো হয়।
একটি কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর, যার কৌণিক কম্পাঙ্ক "ω", এর অবস্থান যদি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে সরিয়ে x রাখা হয়, তবে প্রাথমিক অবস্থাটি হবে:
formula_49
যেখানে Ω হলো প্রাথমিক অবস্থার প্রস্থ, কিন্তু এটি "ω" এর সমান হতে হবে এমন নয়।
প্রসারণের (propagator) মাধ্যমে সমাধান বের করলে দেখা যায়:
formula_50
formula_51
এগুলোর মাধ্যমে অস্থিরতার গুণফল বের হয়:
formula_52
একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা হল অ্যানিহিলেশন অপারেটর-এর একটি সঠিক বৈশিষ্ট্য অবস্থা,
formula_53
যেটি ফক অবস্থান এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে
formula_54
(যতক্ষণ না গুণকের মান শূন্য নয়)।
এটি একটি সার্বজনীন ফলাফল, তবে এটি নির্ভর করে যে কোন পর্যবেক্ষণযোগ্য প্যারামিটার নির্বাচন করা হয়েছে এবং formula_55 এবং formula_56 এর বিচ্যুতি একটি নির্দিষ্ট অবস্থার জন্য গণনা করা হয়েছে।
formula_57 এবং বৈশিষ্ট্যিক সময় হিসেবে
formula_58
নির্বাচন করলে একটি এনার্জি–টাইম সম্পর্ক পাওয়া যায়: formula_59
যদিও formula_60 এর মাত্রা সময়ের মত, এটি সেই সময়ের পরামিতি "t" থেকে আলাদা, যা Schrödinger equation এ প্রবাহিত হয়। এই formula_60 কে এমনভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে এটি সেই সময়, যেখানে পর্যবেক্ষণযোগ্য formula_62 এর প্রত্যাশিত মান এক স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন সমান পরিমাণ পরিবর্তন হয়।
উদাহরণ:
formula_66
এই অবস্থার সম্ভাবনা অম্প্লিচুডের মধ্যে সময়-নির্ভর হস্তক্ষেপের একটি শর্ত থাকে:
formula_67
অলকেলের সময়ের পরিবর্তন শক্তির পার্থক্যের সাথে বিপরীতভাবে সম্পর্কিত: formula_68.
প্রত্যেকটি উদাহরণে সময়ের অনিশ্চয়তার একটি আলাদা অর্থ রয়েছে, এটি নির্ভর করে ব্যবহৃত পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাপ এবং অবস্থার উপর।
কিছু কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এর ফর্মুলেশন পরিসংখ্যানের জন্য আস্থায়ী ইলেকট্রন–পজিট্রন জোড়ার ব্যবহার করে, যেগুলোকে ভার্চুয়াল কণা বলা হয়। এই কণাগুলির ভর-এনার্জি এবং আয়ু এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত। কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির শক্তি যথেষ্ট সঠিকভাবে জানা যায় না, তাই তাদের আচরণ একক, সরল ইতিহাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ করা যায় না। এইভাবে "সমস্ত ইতিহাস" কোয়ান্টাম হিসাবের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, যার মধ্যে সেগুলির শক্তি ক্যালকুলেটেড/পরিমাপিত শক্তির গড়ের চেয়ে অনেক বেশি বা কম।
এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক আপেক্ষিকতা বা শক্তি সংরক্ষণ এর লঙ্ঘন করে না; এটি মানে নয় যে শক্তি "ঋণ" নেওয়া যেতে পারে এবং যতদিন এটি "পুনরুদ্ধার" করা হয় ছোট সময়ে, ততদিন। মহাবিশ্বের শক্তি কোনো সময়েই সঠিকভাবে জানা যায় না। যখন ঘটনাগুলি খুব ছোট সময়সীমায় ঘটে, তখন এই ঘটনাগুলির শক্তি সম্পর্কে অনিশ্চয়তা থাকে।
হারমোনিক বিশ্লেষণ এর প্রেক্ষিতে অনিশ্চয়তা সম্পর্কের মানে হল যে, কোনো ফাংশন এবং তার ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের মান একযোগে লোকালাইজ করা সম্ভব নয়। সুতরাং, নিচের অসমতা প্রতিপালিত থাকে,
formula_69
অতিরিক্ত গাণিতিক অনিশ্চয়তা অসাম্য, যার মধ্যে উপরের এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা অন্তর্ভুক্ত, একটি ফাংশন এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম এর মধ্যে বিদ্যমান:
formula_70
সময়–ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ এর প্রেক্ষাপটে অনিশ্চয়তা নীতিগুলোকে গ্যাবর সীমা বলা হয়, ডেনিস গ্যাবর এর নামানুসারে, অথবা কখনও কখনও এটি "হাইজেনবার্গ–গ্যাবর সীমা" হিসেবেও পরিচিত। মূল ফলাফল, যা "বেনেডিক্সের থিওরেম" থেকে পাওয়া যায়, হলো যে একটি ফাংশন একসাথে সময় সীমিত এবং ব্যান্ড সীমিত হতে পারে না (একটি ফাংশন এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম একসাথে সীমিত ডোমেইন ধারণ করতে পারে না)—দেখুন bandlimited versus timelimited। আরো সঠিকভাবে, "সময়-ব্যান্ডউইডথ" অথবা "সময়-দৈর্ঘ্য-ব্যান্ডউইডথ" গুণফল সন্তুষ্ট হয়
formula_71
যেখানে formula_72 এবং formula_73 হল সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি শক্তির কনসেনট্রেশনগুলোর স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন, যথাক্রমে। গ্যাবর (গাউসিয়ান) আকৃতির পালসের জন্য এই সর্বনিম্ন মানটি অর্জিত হয় ([গ্যাবর ওয়েভলেট])। [গাউসিয়ান (অথবা সিগন্যালের এমপ্লিটিউড) এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের ম্যাগনিটিউডের জন্য formula_74; গুণফল স্কয়ার করা হলে প্রতিটি formula_75 কে formula_76 দ্বারা ভাগ করা হয়।] আরেকটি সাধারণ পরিমাপ হল সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সির ফুল উইথ অ্যাট হাফ ম্যাক্সিমাম (শক্তি/এনার্জি), যা গাউসিয়ান জন্য সমান হয় formula_77 (দেখুন bandwidth-limited pulse)।
আরেকভাবে বললে, একজন সিগন্যাল কে একসাথে সময় ডোমেইন এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন এ যথাযথভাবে লোকালাইজ করা সম্ভব নয়।
ফিল্টার এর ক্ষেত্রে এটি নির্দেশ করে যে কেউ একসাথে উচ্চ সময় রেজোলিউশন এবং উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন অর্জন করতে পারে না; একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হলো শর্ট-টাইম ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের রেজোলিউশন সমস্যা—যদি কেউ একটি বিস্তৃত উইন্ডো ব্যবহার করে, তাহলে সে ভালো ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন অর্জন করবে, তবে সময় রেজোলিউশনের খরচে, এবং যদি একটি সংকীর্ণ উইন্ডো ব্যবহার করে তবে তার বিপরীত ট্রেড-অফ হবে।
বিকল্প থিওরেমগুলো আরো সুনির্দিষ্ট পরিমাণগত ফলাফল দেয়, এবং সময়-ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণে, (এক-মাত্রিক) সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনগুলো আলাদাভাবে ব্যাখ্যা না করে, পরিবর্তে সেগুলোর সমর্থন হিসেবে (দ্বিমাত্রিক) সময়-ফ্রিকোয়েন্সি প্লেনে একটি সীমা হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। বাস্তবে, গ্যাবর সীমা সীমাবদ্ধ সময়-ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন নির্ধারণ করে যা কোনো হস্তক্ষেপ ছাড়াই অর্জন করা সম্ভব; এটি উচ্চ রেজোলিউশন অর্জন করা সম্ভব, তবে তা সিগন্যালের বিভিন্ন উপাদানের একে অপরের সাথে হস্তক্ষেপের খরচে।
এজন্য, যখন সিগন্যালগুলির ট্রানজিয়েন্ট গুরুত্বপূর্ণ হয়, তখন সাধারণত ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করা হয় ফোরিয়ার পরিবর্তে।
ধরা যাক formula_78 একটি 'N'টি জটিল সংখ্যা সমাহার এবং formula_79 তার ডিসক্রিট ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম।
formula_80 দ্বারা বোঝানো হয় সময় সিকোয়েন্স formula_81 এর মধ্যে যেগুলোর মান শূন্য নয় তাদের সংখ্যা এবং formula_82 দ্বারা বোঝানো হয় ফ্রিকোয়েন্সি সিকোয়েন্স formula_83 এর মধ্যে যেগুলোর মান শূন্য নয় তাদের সংখ্যা। সেক্ষেত্রে,
formula_84
এই অসমতা sharp (তীক্ষ্ণ) এবং সমতা অর্জিত হয় যখন "x" অথবা "X" একটি ডিরাক মাস হয়, অথবা আরো সাধারণভাবে যখন "x" একটি ননজিরো গুণফল হয় একটি ডিরাক কম্বের যা একটি উপগ্রুপে সমর্থিত হয় মৌলিক সংখ্যা "N" এর মধ্যে (এক্ষেত্রে "X"-ও একটি ডিরাক কম্ব হয়, যা পরিপূরক উপগ্রুপে সমর্থিত থাকে, এবং বিপরীত)।
আরো সাধারণভাবে, যদি "T" এবং "W" মৌলিক সংখ্যা "N" এর মডুলোতে অবস্থিত সেট হয়, তাহলে formula_85 দ্বারা সময়-সীমাবদ্ধ অপারেটর এবং ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ অপারেটর নির্দেশ করা হয়। তাহলে,
formula_86
যেখানে নরম হল অপারেটর নরম হিলবার্ট স্পেস formula_87 এর উপর অপারেটরগুলোর, যা মৌলিক সংখ্যা "N" এর মধ্যে ফাংশনের উপর প্রযোজ্য। এই অসমতার সিগন্যাল পুনর্গঠন signal reconstruction এর জন্য প্রভাব ফেলে।
যখন "N" একটি prime number (প্রাথমিক সংখ্যা), তখন একটি শক্তিশালী অসমতা কাজ করে:
formula_88
এটি টেরেন্স টাও দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল এবং এটি তীক্ষ্ণ।
আমরিন–বারথিয়ের এবং বেনেডিক্সের থিওরেম আংশিকভাবে বলে যে, যেখানে শূন্য নয় এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম শূন্য নয়, তাদের উভয়ের সমর্থন ছোট হতে পারে না।
বিশেষভাবে, এটি অসম্ভব যে একটি ফাংশন যা এর মধ্যে এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম উভয়েই সমর্থিত হয় সিমিত Lebesgue measure (লেবেগ পরিমাপ) সেটের উপর। আরো পরিমাণগত সংস্করণ হল
formula_89
এটি আশা করা হয় যে, ফ্যাক্টর দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, যা কেবল তখনই জানা যায় যদি অথবা কোণযুক্ত হয়।
গণিতজ্ঞ G. H. Hardy নিম্নলিখিত অনিশ্চয়তা নীতি প্রস্তাব করেছিলেন: এটি সম্ভব নয় যে এবং উভয়েই "খুব দ্রুত হ্রাসপ্রাপ্ত" হবে। বিশেষভাবে, যদি formula_90 এর মধ্যে এমন হয় যে
formula_91
এবং
formula_92 (formula_93 একটি পূর্ণসংখ্যা),
তাহলে, যদি , তাহলে শূন্য হয়ে যাবে, তবে যদি , তবে একটি পলিনোমিয়াল থাকবে যার ডিগ্রি এবং যেটি
formula_94
এটি পরবর্তীতে আরো উন্নত করা হয়েছে যে: যদি formula_95 এর মধ্যে এমন হয় যে
formula_96
তাহলে
formula_97
যেখানে একটি পলিনোমিয়াল যার ডিগ্রি এবং একটি বাস্তব পজিটিভ ডিফিনিট ম্যাট্রিক্স।
এই ফলাফলটি বেউরলিংয়ের পূর্ণ রচনাতে প্রমাণ ছাড়াই উল্লিখিত হয়েছিল এবং হর্মান্ডার (ক্ষেত্র ) এবং বোনামি, ডেমাঙ্গে, এবং জামিং দ্বারা (সাধারণ ক্ষেত্রে) প্রমাণিত হয়। লক্ষ্য করা যায় যে, হর্মান্ডার-বেউরলিংয়ের সংস্করণ হার্ডির থিওরেমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন বোনামি-ডেমাঙ্গে-জামিং সংস্করণ হার্ডির থিওরেমের পুরো শক্তি কভার করে। বেউরলিংয়ের থিওরেমের একটি ভিন্ন প্রমাণ যা লিউভিলের থিওরেমের উপর ভিত্তি করে, সেই প্রমাণটি পরবর্তীতে প্রকাশিত হয়েছে।
একটি পূর্ণ বর্ণনা ক্ষেত্রে এবং তার সাথে স্কোয়ার্টজ ক্লাসের বণ্টনগুলির জন্য বর্ধিত সংস্করণ একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্সে পাওয়া যায়।
কোয়ান্টাম মেট্রোলজি এবং বিশেষভাবে ইন্টারফেরোমেট্রিতে, হেইজেনবার্গ সীমা হল একটি পরিমাপের সঠিকতা যে পরিমাণে শক্তির সাথে স্কেল করতে পারে তা চূড়ান্ত। সাধারণত, এটি একটি ধাপের পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত (যা একটি বিম-স্প্লিটার এর এক শাখায় প্রয়োগ করা হয়) এবং শক্তি হল পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত ফোটনের সংখ্যা। যদিও কিছু লোক দাবি করে যে তারা হেইজেনবার্গ সীমা ভেঙে ফেলেছে, এটি স্কেলিং সম্পদের সংজ্ঞা সম্পর্কে অমিলকে প্রতিফলিত করে। সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হলে, হেইজেনবার্গ সীমা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মৌলিক নীতিগুলির ফলস্বরূপ এবং এটি ভাঙা যায় না, যদিও দুর্বল হেইজেনবার্গ সীমা ভাঙা যেতে পারে।
উপরে বর্ণিত অসমতাগুলি পরিমাপযোগ্য গুণাবলীর "পরিসংখ্যানগত ভুল"-এর উপর ফোকাস করে, যা মানদণ্ডের মাধ্যমে পরিমাপ করা হয়। তবে হেইজেনবার্গের মূল সংস্করণ ছিল "প্রণালীগত ত্রুটি"-এর সাথে সম্পর্কিত, যা পরিমাপ যন্ত্রপাতির মাধ্যমে কোয়ান্টাম সিস্টেমের একটি বিঘ্ন সৃষ্টি করে, অর্থাৎ এটি একটি পর্যবেক্ষক প্রভাব।
যদি একটি পরিমাপের ত্রুটি (অর্থাৎ, অসঠিকতা) এবং পরবর্তী পরিমাপে কনজুগেট পরিবর্তনশীলতার দ্বারা সৃষ্ট বিঘ্ন হয়, তখন মাশানো ওজাওয়ার পরামর্শকৃত অসমতা — যা উভয় প্রণালীগত এবং পরিসংখ্যানগত ত্রুটি অন্তর্ভুক্ত করে — সঠিক থাকে:
হেইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা সিধান্তি, যেমনটি 1927 সালের সংস্করণে বর্ণিত হয়েছে, কেবলমাত্র ওজাওয়া অসমতার প্রথম অংশটি উল্লেখ করেছে, যা "প্রণালীগত ত্রুটি" নিয়ে কাজ করছে। উপরের নোটেশন ব্যবহার করে, "ত্রুটি/বিঘ্ন" প্রভাবের বর্ণনা (প্রথমে "A", তারপর "B" পরিমাপ) এরূপ লেখা যেতে পারে:
হেইজেনবার্গের সম্পর্কের আনুষ্ঠানিক প্রমাণ সম্ভব, তবে এটি একেবারেই বোধগম্য নয়। এটি "হেইজেনবার্গ" দ্বারা প্রস্তাবিত হয়নি, তবে এটি সাম্প্রতিক বছরগুলিতে গাণিতিকভাবে সঙ্গতিপূর্ণভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।
এছাড়াও, এটা জোর দিয়ে বলা উচিত যে হেইজেনবার্গের সংস্করণ শুধুমাত্র পরিসংখ্যানগত ত্রুটিগুলিকে এবং বিবেচনায় নেয় না। পরীক্ষাগুলির উদাহরণ রয়েছে যা দেখায় যে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা শুধুমাত্র হেইজেনবার্গের শর্ত দ্বারা বর্ণনা করা যায় না, বরং ওজাওয়া অসমতার সমস্ত তিনটি অংশের উপস্থিতি প্রয়োজন।
একই ফরমালিজম ব্যবহার করে, এটি সম্ভব অন্যান্য ধরনের শারীরিক পরিস্থিতি উপস্থাপন করা, যা প্রায়ই পূর্বেরটির সাথে বিভ্রান্ত হয়, অর্থাৎ "একই সময়ের মধ্যে পরিমাপ" ("A" এবং "B" একসাথে):
"A" এবং "B" এর দুইটি একসাথে পরিমাপ অবশ্যই "unsharp" অথবা "weak" হবে।
এছাড়া একটি অনিশ্চয়তার সম্পর্ক ডেরিভ করা সম্ভব যা, যেমনটা Ozawa'র ক্ষেত্রে, উভয়টি—পরিসংখ্যানিক এবং পদ্ধতিগত ত্রুটি—উপাদানকে একত্রিত করে, কিন্তু এখনও Heisenberg এর মূল অসমতার খুব কাছাকাছি একটি রূপ রাখে। Robertson এবং Ozawa সম্পর্কগুলো যোগ করে আমরা পাই:
এবং Ozawa সম্পর্কের মাধ্যমে আমরা পাই:
formula_98
এই চারটি উপাদানকে লেখা যেতে পারে:
formula_99
এখন যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি:
formula_100
এটি হবে পরিমাপিত মানের "অস্বচ্ছতা" এবং
formula_101
এটি হবে সম্পর্কিত ভেরিয়েবলের "ফ্লাকচুয়েশন"। Kazuo Fujikawa একটি অনিশ্চয়তা সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করেছেন যা Heisenberg এর মূল সম্পর্কের মতো, কিন্তু "পদ্ধতিগত এবং পরিসংখ্যানিক ত্রুটির জন্য" বৈধ:
অনেক ধরনের বণ্টনের জন্য, মানক ডেভিয়েশন একটি প্রাকৃতিক উপায় নয় কাঠামো পরিমাপের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, এমন অনিশ্চয়তা সম্পর্ক যেখানে একটি পর্যবেক্ষণ হল কোণ, তার জন্য এক পিরিয়ডের চেয়ে বড় ফ্লাকচুয়েশন গুলি তেমন কোনও শারীরিক গুরুত্ব রাখে না। অন্যান্য উদাহরণ গুলির মধ্যে রয়েছে উচ্চমাত্রার বাইমোডাল বণ্টন অথবা ইউনিমোডাল বণ্টন গুলির, যাদের ভ্যারিয়েন্স বিচিত্র।
এমন একটি সমাধান যা এই সমস্যাগুলি দূর করতে পারে, তা হল অনিশ্চয়তা যেটি ভ্যারিয়েন্সের গুণফল না হয়ে, এনট্রপিক অনিশ্চয়তা ভিত্তিক। ১৯৫৭ সালে যখন হিউ এভারেট III কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ম্যনি-ওয়ার্ল্ডস তত্ত্ব প্রস্তাবনা করেছিলেন, তখন তিনি একটি শক্তিশালী বিস্তার প্রস্তাব করেছিলেন যা ছিল এন্ট্রপিক সেন্টার্টির ভিত্তিতে অনিশ্চয়তার সুত্র। এই প্রস্তাবনাটি, যেটি I. I. Hirschman দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং ১৯৭৫ সালে W. Beckner এবং Iwo Bialynicki-Birula এবং Jerzy Mycielski দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, তা হল যে, দুটি স্বাভাবিকীকৃত, মাত্রাহীন ফুরিয়ের রূপান্তর জোড়া এবং এর জন্য যেখানে
শ্যানন তথ্য এনট্রপি গুলি
formula_104
এবং
formula_105
এই সীমাবদ্ধতার মধ্যে রয়েছে,
যেখানে লগারিদম গুলি যেকোনো ভিত্তিতে হতে পারে।
পজিশন ওয়েভ ফাংশন এবং মোমেন্টাম ওয়েভ ফাংশন এর সাথে সম্পর্কিত সম্ভাব্য বণ্টন ফাংশন গুলি যথাক্রমে বিপরীত দৈর্ঘ্য এবং মোমেন্টামের মাত্রা রয়েছে, তবে এনট্রপিগুলি মাত্রাহীন হতে পারে 
formula_106
formula_107
এখানে এবং হল কিছু অতিরিক্ত দৈর্ঘ্য এবং মোমেন্টাম, যা লগারিদমের আর্গুমেন্টগুলিকে মাত্রাহীন করে তোলে। তবে এই এনট্রপিগুলি এই নির্বাচিত প্যারামিটারগুলির উপর নির্ভরশীল হবে। পজিশন ওয়েভ ফাংশন এবং মোমেন্টাম ওয়েভ ফাংশনের মধ্যে ফুরিয়ের রূপান্তর সম্পর্কের কারণে, উপরের সীমাবদ্ধতা এই এনট্রপিগুলির জন্য লেখা যেতে পারে 
যেখানে হল প্লাঙ্ক কনস্ট্যান্ট।
নির্বাচিত পণ্যটির উপর নির্ভর করে, এই প্রকাশটি অনেকভাবে লেখা যেতে পারে। যদি কে হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তবে
formula_108
যদি, পরিবর্তে, কে হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তবে
formula_109
যদি এবং কে ঐকিক হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তখন
formula_110
এখানে হল একটি মাত্রাহীন সংখ্যা, যেটি নির্বাচিত ইউনিট সিস্টেমে প্লাঙ্ক কনস্ট্যান্টের মানের সমান। মনে রাখবেন যে এই অসমতারগুলি মাল্টিমোড কোয়ান্টাম অবস্থানগুলির জন্য বা একাধিক স্থানে ওয়েভফাংশনের জন্য সম্প্রসারিত করা যেতে পারে।
কোয়ান্টাম এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতিটি হেইজনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতির তুলনায় বেশি সীমাবদ্ধ। ইনভার্স লগারিদমিক সোবলেভ অসাম্য
formula_111
formula_112
(এটি সমানভাবে, কারণ স্বাভাবিক বিতরণগুলি সর্বোচ্চ এনট্রপির সম্ভাবনা বিতরণ যা একটি নির্দিষ্ট বৈচিত্র্য সহ থাকে), সহজেই এই ধরনের দেখা যায় যে এই এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতি 'স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন'-এর ভিত্তিতে থাকা নীতির চেয়ে শক্তিশালী, কারণ
formula_113
অর্থাৎ, হেইজনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতির একটি ফলস্বরূপ, কিন্তু এর বিপরীত নয়। এই অসাম্যগুলির উপর কয়েকটি মন্তব্য। প্রথমত, ভিত্তি e নির্বাচনটি পদার্থবিজ্ঞানে একটি জনপ্রিয় প্রচলন। লগারিদমটি যে কোনও ভিত্তিতে হতে পারে, provided that it be consistent on both sides of the inequality. দ্বিতীয়ত, মনে রাখবেন যে শ্যানন এনট্রপি ব্যবহার করা হয়েছে, "কিন্তু" কোয়ান্টাম ভন নিউম্যান এনট্রপি নয়। অবশেষে, স্বাভাবিক বিতরণটি এই অসাম্যটি পূর্ণ করে, এবং এটি একমাত্র বিতরণ যা এই বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করে, কারণ এটি নির্দিষ্ট বৈচিত্র্য সহ সমস্ত সম্ভাব্য বিতরণগুলির মধ্যে সর্বাধিক এনট্রপি প্রবণতা (দেখুন এখানে প্রমাণের জন্য)।
একটি পরিমাপ যন্ত্রে এর আউটপুটগুলি বিনে বিভক্ত হয়ে একটি সীমানা নির্ধারণ করা হয়, যার সম্ভাবনা বর্ন নীতির মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। আমরা সবচেয়ে সাধারণ পরীক্ষামূলক পরিস্থিতি বিবেচনা করব, যেখানে বিনগুলির আকার সমান হয়। "δx" হল স্পেসিয়াল রেজোলিউশনের পরিমাপ। আমরা ধারণা করি যে শূন্যতম বিনটি মৌলিকভাবে উৎপত্তির কাছাকাছি কেন্দ্রীভূত, হয়তো কিছু ছোট নির্দিষ্ট "c" সহ। j তম বিনে পড়ার সম্ভাবনা হবে:
formula_114
এই ডিসক্রিটাইজেশনকে হিসাব করার জন্য, আমরা একটি শ্যানন এন্ট্রপি সংজ্ঞায়িত করি, যা একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ যন্ত্রের জন্য তরঙ্গ ফাংশনের এন্ট্রপি হবে:
formula_115
উপরোক্ত সংজ্ঞার অধীনে, এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্ক হবে:
formula_116
এখানে আমরা লক্ষ্য করি যে হল একটি সাধারণ অদ্বিতীয় পরিমাপ যেটি পরমাণু পার্টিশন ফাংশন গণনায় ব্যবহৃত হয়। এই অসাম্যটি কঠোর এবং কোনো অবস্থায় সমান হয় না। এটি উন্নত করার জন্য প্রচেষ্টা বর্তমানে গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র।
!সাধারণ বন্টন উদাহরণ
formula_117
বিনগুলির মধ্যে পড়ার সম্ভাবনা ত্রুটি ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।
formula_118
মোমেন্টাম সম্ভাবনাগুলি পুরোপুরি অনুরূপ।
formula_119
সরলতার জন্য, আমরা রেজোলিউশনগুলি নির্ধারণ করব:
formula_120
formula_121
তাহলে সম্ভাবনাগুলি পরিণত হবে:
formula_122
শ্যানন এন্ট্রপি সংখ্যা হিসাব করা যেতে পারে।
formula_123
এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা সত্যিই সীমিত মানের চেয়ে বড়।
formula_124
অবশ্যই উপযুক্ত ক্ষেত্রে থাকা সত্ত্বেও, অসমতা পূর্ণরূপে পূর্ণ হয় না।
একটি উদাহরণ হিসেবে, যে সিংক ফাংশনটি একটি একমুখী বিতরণ এবং অনন্ত বৈচিত্র্য সহ থাকে। যদি তরঙ্গ ফাংশনটি সঠিকভাবে স্বীকৃত ইউনিফর্ম বিতরণ হয়,
formula_125
তাহলে এর ফোরিয়র রূপান্তর হবে সিংক ফাংশন,
formula_126
যা কেন্দ্রীভূত আকার থাকা সত্ত্বেও অনন্ত গতির বৈচিত্র্য উৎপন্ন করে। তবে, এন্ট্রপিক অস্থিরতা সীমিত। সরলতার জন্য ধরি যে স্থানিক রেজুলেশন একটি দুই-বিন পরিমাপ, "δx" = "a", এবং গতি রেজুলেশন হল "δp" = "h"/"a"।
ইউনিফর্ম স্থানিক বিতরণটি দুটি সমান বিনে ভাগ করা সহজ। আমরা অফসেট "c" = 1/2 সেট করি যাতে দুটি বিন বিতরণটি আচ্ছাদিত করে।
formula_127
formula_128
formula_129
গতির জন্য বিনগুলি পুরো বাস্তব রেখাটি আচ্ছাদিত করতে হবে। যেমন স্থানিক বিতরণে করা হয়েছিল, আমরা একটি অফসেট প্রয়োগ করতে পারি। তবে, এটি দেখা গেছে যে শ্যানন এন্ট্রপিটি সর্বনিম্ন হয় যখন গতির জন্য শূন্যতম বিনটি কেন্দ্রস্থলে থাকে। (পাঠককে অফসেট যোগ করার চেষ্টা করতে উৎসাহিত করা হচ্ছে।) গতির একটি বিনে থাকার সম্ভাবনা সাইন ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।
formula_130
শ্যানন এন্ট্রপিটি গাণিতিকভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে।
formula_131
এন্ট্রপিক অস্থিরতা সত্যিই সীমিত মানের চেয়ে বেশি।
formula_132
তিনটি কোণীয় গতির উপাদানের সাথে অস্থিরতা সম্পর্ক
একটি কণা যার মোট কোণীয় গতির মান formula_133 এর জন্য নিম্নলিখিত অস্থিরতা সম্পর্ক প্রযোজ্য
formula_134
যেখানে formula_135 হল কোণীয় গতির উপাদান। এই সম্পর্কটি থেকে প্রাপ্ত হয়
formula_136
এবং
formula_137
এটি শক্তিশালী করা যেতে পারে
formula_138
যেখানে formula_139 হল কোয়ান্টাম ফিশার তথ্য।
ইতিহাস
১৯২৫ সালে হাইজেনবার্গ তাঁর "Umdeutung" (পুনঃব্যাখ্যা) প্রবন্ধ প্রকাশ করেন যেখানে তিনি দেখিয়েছিলেন যে কোয়ান্টাম তত্ত্বের একটি মূল দিক ছিল না-কমিউটেটিভিটি: তত্ত্বটি ইঙ্গিত করছিল যে অবস্থান এবং গতি পরিমাপের আপেক্ষিক অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ। Max Born এবং Pascual Jordan এর সাথে কাজ করে, তিনি ম্যাট্রিক্স মেকানিক্স উন্নত করতে থাকেন, যা পরবর্তীতে প্রথম আধুনিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স রূপান্তর হবে। 
১৯২৬ সালের মার্চে, বোহরের ইনস্টিটিউটে কাজ করতে গিয়ে হাইজেনবার্গ বুঝতে পারেন যে না-কমিউটেটিভিটি অস্থিরতা তত্ত্বের জন্ম দেয়। ১৯২৭ সালের ফেব্রুয়ারিতে তিনি Wolfgang Pauli এর কাছে একটি চিঠি লিখে মৌলিক ধারণাগুলি আলোচনা করেন।
তার বিখ্যাত ১৯২৭ সালের প্রবন্ধ "" ("কোয়ান্টাম তত্ত্বীয় কাইনেমেটিক্স এবং মেকানিক্সের প্রাঞ্জল বিষয়বস্তুতে") এ হাইজেনবার্গ এই প্রকাশনা প্রতিষ্ঠা করেন যা যে কোনো অবস্থান পরিমাপের কারণে অগ্রাধিকারমূলক গতির ব্যাঘাতের পরিমাণ ছিল অপরিহার্য, তবে তিনি অস্থিরতা Δx এবং Δ"p" এর সঠিক সংজ্ঞা দেননি। তার প্রবন্ধটি বোহর দ্বারা ভুল হিসেবে চিহ্নিত হয়েছিল; হাইজেনবার্গ এটি সংশোধনের জন্য একটি পরিশিষ্ট যুক্ত করেছিলেন।
তার 1930 সালের শিকাগো বক্তৃতায় তিনি তার তত্ত্বটি পরিমার্জন করেন:
পরে আরও কাজের মাধ্যমে ধারণাটি সম্প্রসারিত হয়। যে দুটি ভেরিয়েবল একে অপরের সাথে কমিউট করে না, তা একসাথে পরিমাপ করা যায় না—যতটা একটির মান সঠিকভাবে জানা যাবে, অন্যটির মান ততটাই কম সঠিকভাবে জানা যাবে। হেইসেনবার্গ লিখেছিলেন:এটি সবচেয়ে সহজভাবে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: একে অপরকে সঠিকভাবে জানানো কখনো সম্ভব নয়—যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান একটি ছোট কণার গতি নির্ধারণ করে—তার অবস্থান এবং তার বেগ। একই সময়ে "উভয়" অবস্থান এবং দিক এবং গতি সঠিকভাবে নির্ধারণ করা অসম্ভব।
কেনার্ড 1927 সালে আধুনিক অসাম্য প্রমাণ করেন:
যেখানে , এবং , হল অবস্থান এবং গতি মাপকরণের মানদণ্ড। (হেইসেনবার্গ শুধুমাত্র গাউসিয়ান অবস্থা বিশেষ ক্ষেত্রে সম্পর্ক () প্রমাণ করেছিলেন।) 1929 সালে রবার্টসন অসাম্যটি সমস্ত অবজার্ভেবলসের জন্য সাধারণীকৃত করেন এবং 1930 সালে শ্রোডিঙ্গার অপারেটরের কোভেরিয়েন্সকে শূন্যের বাইরে ব্যাপকতর আকারে প্রসারিত করেন; এই ফলাফলটি রবার্টসন-শ্রোডিঙ্গার অসাম্য নামে পরিচিত।
তার মূল 1927 সালের কাগজটির মধ্যে, যা জার্মান ভাষায় লেখা ছিল, হেইসেনবার্গ "Ungenauigkeit" শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন,
মূল তাত্ত্বিক তত্ত্ব বর্ণনা করতে। শুধু শেষের নোটে তিনি "Unsicherheit" শব্দে পরিবর্তিত হন। পরবর্তী সময়ে তিনি সর্বদা "Unbestimmtheit" শব্দটি ব্যবহার করেছেন। তবে যখন হেইসেনবার্গের পাঠ্যপুস্তকের ইংরেজি সংস্করণ, "The Physical Principles of the Quantum Theory", 1930 সালে প্রকাশিত হয়, তখন শুধুমাত্র ইংরেজি শব্দ "uncertainty" ব্যবহৃত হয় এবং এটি ইংরেজি ভাষায় পরিভাষা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।
এই তত্ত্বটি বেশ বিপরীতধর্মী, তাই কোয়ান্টাম তত্ত্বের প্রথম শিক্ষার্থীদের এটি নিশ্চিত করতে হয়েছিল যে তা লঙ্ঘন করতে সক্ষম এমন পরিমাপগুলি সবসময় অকার্যকর হবে। হেইসেনবার্গ প্রথমবারের মতো এক ধরনের কল্পনাপ্রসূত মাইক্রোস্কোপ ব্যবহার করে অজানা তত্ত্বটির অন্তর্নিহিত অক্ষমতা দেখানোর চেষ্টা করেছিলেন।
তিনি একটি পরীক্ষা কল্পনা করেছিলেন যেখানে গবেষক একটি ফোটন ইলেকট্রনের অবস্থান এবং গতি পরিমাপ করতে এটিতে শুট করবে।
এই ট্রেড-অফগুলির সমন্বয়ে এমন কিছু প্রমাণিত হয় যে, কোন ধরনের ফোটন তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং অ্যাপারচার আকার ব্যবহার করেই না কেন, পরিমাপিত অবস্থান এবং গতি অনিশ্চয়তার গুণফল সর্বনিম্ন সীমার চেয়ে বড় বা সমান, যা (ছোট একটি গাণিতিক গুণফল ব্যতীত) প্লাঙ্ক ধ্রুবক এর সমান। হেইসেনবার্গ এই অসাম্যকে একটি নির্দিষ্ট সীমা হিসেবে গঠন করতে চাননি, বরং এটি একটি হিউরিস্টিক পরিমাণগত বিবৃতি হিসেবে ব্যবহার করেছিলেন, যা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের নতুন অ-কমিউটেটিভিটি অবধি অনিবার্য ছিল।
ঐতিহাসিকভাবে, অনিশ্চয়তা নীতিটি প্রায়ই ভৌতবিজ্ঞানে একটি সম্পর্কিত প্রভাবের সঙ্গে বিভ্রান্ত হয়েছে, যেটি অবজার্ভার প্রভাব নামে পরিচিত, যা বলে যে কিছু সিস্টেমের পরিমাপ করা সম্ভব নয় যে সিস্টেমে কিছু না কিছু প্রভাব না ফেলেই। হেইসেনবার্গ এই ধরনের অবজার্ভার প্রভাবটি কোয়ান্টাম স্তরে ব্যবহার করেছিলেন (নীচে দেখুন) কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার একটি শারীরিক "ব্যাখ্যা" হিসেবে। তবে পরবর্তীতে এটি স্পষ্ট হয়েছে যে, অনিশ্চয়তা নীতি হল সমস্ত তরঙ্গ-সদৃশ সিস্টেম এর মধ্যে একটি অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য, এবং এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সে শুধু কোয়ান্টাম বস্তুগুলির ম্যাটার তরঙ্গ প্রকৃতির কারণে উদ্ভূত। অতএব, অনিশ্চয়তা নীতিটি আসলে কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং এটি বর্তমান প্রযুক্তির পর্যবেক্ষণগত সফলতার একটি বক্তব্য নয়।
কোپنহেগেন তাত্ত্বিক মেকানিক্স এবং হেইসেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি, প্রকৃতপক্ষে, প্রথমে সমালোচকদের দ্বারা দুটি লক্ষ্য হিসাবে দেখা হয়েছিল। কোپنহেগেন তাত্ত্বিক মেকানিক্স অনুযায়ী, কোয়ান্টাম অবস্থান যা বর্ণিত, তা কোনও মৌলিক বাস্তবতা নয়, শুধুমাত্র পরীক্ষামূলক ফলাফল হিসাব করার জন্য একটি নিয়ম। কোনো সিস্টেমের অবস্থা মৌলিকভাবে কী, তা বলা সম্ভব নয়, কেবল কীভাবে পর্যবেক্ষণের ফলাফল হতে পারে তা বলা সম্ভব।
আলবার্ট আইনস্টাইন বিশ্বাস করতেন যে, এলোমেলোতা আমাদের বাস্তবতার কিছু মৌলিক গুণাবলীর অজানা অবস্থার প্রতিফলন, তবে নিলস বোহর বিশ্বাস করতেন যে, সম্ভাব্যতা বিতরণগুলি মৌলিক এবং অপরিবর্তনীয়, এবং এটি নির্ভর করে আমরা কোন পরিমাপগুলি করতে চাই।
উলফগ্যাং পাউলি আইনস্টাইনের মৌলিক আপত্তিকে "বিচ্ছিন্ন পর্যবেক্ষকের আদর্শ" (জার্মান থেকে অনূদিত শব্দবন্ধ) বলেছিলেন:
আইনস্টাইন তার অনিশ্চয়তা নীতির প্রথম চিন্তাভাবনাটি এইভাবে প্রকাশ করেছিলেন:
বোহরের প্রতিক্রিয়া ছিল যে দেয়ালও কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল, এবং গতি পরিমাপ করার জন্য, দেয়ালের গতি এই সঠিকতা জানার জন্য কণা দেয়াল পার হওয়ার আগে জানা উচিত। এর ফলে দেয়ালের অবস্থানে একটি অনিশ্চয়তা এবং স্লিটের অবস্থানে অনিশ্চয়তা দেখা দেয়, যেটি অবস্থান পরিমাপের জন্য যথেষ্ট পরিমাণে অনিশ্চিত হয়ে ওঠে।
একই ধরনের বিশ্লেষণ কণা যা একাধিক স্লিটের মাধ্যমে তির্যক হচ্ছে, তা রিচার্ড ফেইনম্যান দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।
বোহর উপস্থিত ছিলেন যখন আইনস্টাইন চিন্তাভাবনা করেছিলেন যে যা পরবর্তী সময়ে আইনস্টাইনের বাক্স নামে পরিচিত হয়েছে। আইনস্টাইন যুক্তি দিয়েছিলেন যে "হেইসেনবার্গের অনিশ্চয়তা সমীকরণ থেকে আমরা জানি যে সময়ের অনিশ্চয়তা শক্তির অনিশ্চয়তার সাথে সম্পর্কিত, এবং দুটির গুণফল প্লাঙ্ক ধ্রুবক থেকে সম্পর্কিত।" তিনি বলেছিলেন, "ধরা যাক, একটি আদর্শ বাক্স, যা আয়না দ্বারা সজ্জিত, যেন এটি অনন্তকাল ধরে আলো ধারণ করতে পারে। বাক্সটি পরিমাপ করা যেতে পারে আগে একটি ক্লকওয়ার্ক যন্ত্রটি একটি আদর্শ শাটার খোলার মাধ্যমে একটি একক ফটোন বের হতে দেয়। এখন, আইনস্টাইন বলেছিলেন, আমরা সঠিকভাবে জানি যে ফটোনটি কখন বাক্সটি ছেড়েছে।" এখন, বাক্সটি আবার পরিমাপ করুন। ভরের পরিবর্তন থেকে নির্ধারণ করা যাবে নিঃসন্দেহে নির্দিষ্ট শক্তি, যেটি আইনস্টাইনের মতে অনিশ্চয়তা নীতির বিরোধিতা করবে।
বোহার একটি অবিশ্রান্ত রাত কাটান এই যুক্তি নিয়ে ভাবনা চিন্তা করতে, এবং অবশেষে বুঝতে পারলেন যে এটি ত্রুটিপূর্ণ। তিনি পরামর্শ দেন যে যদি বাক্সটি ওজন করা হয়, যেমন একটি স্প্রিং এবং পয়েন্টার সহ একটি স্কেলে, "যেহেতু বাক্সটি তার ওজনের পরিবর্তনের সাথে উল্লম্বভাবে সরতে হবে, সেখানে তার উল্লম্ব গতির অস্থিরতা হবে এবং এর ফলে তার টেবিলের উপরে উচ্চতার অস্থিরতা হবে। ... এছাড়াও, পৃথিবীর পৃষ্ঠের উচ্চতার সম্পর্কিত অস্থিরতা ঘড়ির গতির উপরও প্রভাব ফেলবে", কারণ আইনস্টাইনের নিজস্ব তত্ত্ব অনুযায়ী মাধ্যাকর্ষণের প্রভাব সময়ে পড়ে। "এই সমস্ত অস্থিরতার মাধ্যমে, বোহার দেখিয়েছেন যে আইনস্টাইনের আলো বাক্স পরীক্ষা একসাথে ফটোনের শক্তি এবং তার পালিয়ে যাওয়ার সময়ের সঠিক পরিমাপ করতে পারবে না।"
১৯৩৫ সালে, আইনস্টাইন, বোরিস পডোলস্কি এবং নাথান রোজেন একত্রিত কণার (EPR প্যারাডক্স) বিশ্লেষণ প্রকাশ করেন। EPR-এর মতে, একটির অবস্থান এবং দ্বিতীয়টির গতি পরিমাপ করা হলে, সেই পরিমাপ থেকে উভয় কণার অবস্থান এবং গতি যেকোনো নির্দিষ্টতা পর্যন্ত অনুমান করা যাবে, যা অস্থিরতা তত্ত্বের বিরুদ্ধে যাবে। এ থেকে বুঝা যায় যে, একটি কণার পরিমাপের জন্য অন্য কণার সম্ভাব্যতা বিতরণকে অবিলম্বে পরিবর্তন করতে হবে, যা স্থানীয়তা নীতির লঙ্ঘন হতে পারে।
১৯৬৪ সালে, জন স্টুয়ার্ট বেল দেখিয়েছিলেন যে এই ধারণাটি ভ্রান্ত, কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট অবস্থা প্রমাণ করতে পারে যা আলাদা পরীক্ষা গুলোর সম্ভাবনাগুলির মধ্যে অসম্পূর্ণতা সৃষ্টি করবে। প্রায়োগিক ফলাফল কুয়ান্টাম মেকানিক্সের পূর্বাভাসের সমর্থনে আসে, যা EPR-এর মূল ধারণা স্থানীয় হিডেন ভেরিয়েবলের বিরুদ্ধে প্রমাণিত করে।
বিজ্ঞান দার্শনিক কার্ল পপার অস্থিরতার সমস্যা একটি যৌক্তিক এবং মেটাফিজিক্যাল রিয়েলিজম হিসেবে বিশ্লেষণ করেছিলেন। তিনি একক কণার উপর অস্থিরতা সম্পর্কগুলির প্রয়োগের বিরোধিতা করেছিলেন এবং একে কুয়ান্টাম সংগ্রহ বা সমানভাবে প্রস্তুত কণার একত্রিত সংখ্যা হিসেবেও পরিচিতি দিতেন, যাকে তিনি "পরিসংখ্যানগত ছড়ানো সম্পর্ক" বলে উল্লেখ করেছেন। এই পরিসংখ্যানিক ব্যাখ্যায়, একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ যেকোনো সুনির্দিষ্টতা পর্যন্ত করা যেতে পারে, যা কুয়ান্টাম তত্ত্বকে ভুল প্রমাণ করবে না।
১৯৩৪ সালে, পপার প্রকাশ করেন ("অস্থিরতা সম্পর্কের সমালোচনা") , এবং একই বছর (অনুবাদ ও আপডেট করেছেন "The Logic of Scientific Discovery" ১৯৫৯ সালে), যা তার পরিসংখ্যানিক ব্যাখ্যার যুক্তি তুলে ধরেছিল। ১৯৮২ সালে, তিনি তার তত্ত্ব আরও উন্নত করেন "Quantum theory and the schism in Physics"-এ, লিখেছিলেন:
পপার একটি পরীক্ষা প্রস্তাব করেছিলেন ভ্রান্ত করতে অস্থিরতা সম্পর্ক, যদিও তিনি পরে তার প্রাথমিক সংস্করণ প্রত্যাহার করেন কার্ল ফ্রিডরিচ ভন ভাইজস্যাকার, হেইসেনবার্গ এবং আইনস্টাইনের সাথে আলোচনা করার পর; পপার তার পত্রটি আইনস্টাইনকে পাঠিয়েছিলেন এবং এটি EPR প্যারাডক্সের ফর্মুলেশনকে প্রভাবিত করতে পারে।
কিছু বিজ্ঞানী, আর্থার কম্পটন এবং মার্টিন হেইসেনবার্গ, ধারণা করেছেন যে অস্থিরতা তত্ত্ব, অথবা কুয়ান্টাম মেকানিক্সের সাধারণ সম্ভাব্য প্রকৃতি, স্বাধীন ইচ্ছার দুটি স্তরের মডেলটির প্রমাণ হতে পারে। তবে একটি সমালোচনা হলো যে কুয়ান্টাম মেকানিক্স জীববিজ্ঞানে একটি মৌলিক ভূমিকা রাখলেও, জীববিজ্ঞানী প্রক্রিয়া যেখানে কুয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োজন তেমন কিছু অপ্রত্যাশিত নয়, কারণ কক্ষের তাপমাত্রায় কুয়ান্টাম সিস্টেমের দ্রুত ডিকোহেরেন্স সময় ঘটে। এই তত্ত্বের সমর্থকরা সাধারণত বলেন যে এই ডিকোহেরেন্স জীবাণু কোষে স্ক্রীনিং এবং ডিকোহেরেন্স-ফ্রি সাবস্পেসগুলির মাধ্যমে সমাধান করা হয়।
এমন কিছু কারণ আছে যা থেকে মনে করা হয় যে অনিশ্চয়তা নীতি ভঙ্গ করা মানে দ্বিতীয় তাপগতির নীতি ভঙ্গ করা। দেখুন গিবস পারাডক্স।
অনিশ্চয়তা নীতিগুলি কোয়ান্টাম কণার সাথে সম্পর্কিত – যেমন ইলেকট্রন – যা ক্লাসিক্যাল ধারণাগুলির সাথে – অবস্থান এবং গতি। এটি ধরা হয় যে কোয়ান্টাম কণার অবস্থান এবং গতি আছে। এডউইন সি. কেম্বল ১৯৩৭ সালে উল্লেখ করেছিলেন যে এমন গুণাবলী পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা সম্ভব নয় এবং এগুলিকে অস্তিত্ব দেওয়া অনেক সংকট সৃষ্টি করে; একইভাবে রুডলফ হাগ উল্লেখ করেছেন যে কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অবস্থানে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে, যেমন একটি ইলেকট্রনের এবং একটি ডিটেকটরের মধ্যে, এটি একটি অন্তর্নিহিত গুণ নয়। এই দৃষ্টিকোণ থেকে অনিশ্চয়তা নীতি একটি মৌলিক কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য নয়, বরং এটি একটি ধারণা যা "আমাদের পূর্বপুরুষদের ভাষা থেকে নেওয়া হয়েছে", যেমন কেম্বল বলেছিলেন।
যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতার একটি মৌলিক ফলাফল, সাধারণ কোয়ান্টাম যান্ত্রিক পরীক্ষাগুলি এর বিভিন্ন দিক পর্যবেক্ষণ করে থাকে। সমস্ত ধরনের স্পেকট্রোস্কোপি, পদার্থবিজ্ঞান এর মধ্যে এই সম্পর্ক ব্যবহার করা হয় পরিমাপিত শক্তি লাইনের প্রস্থ এবং কোয়ান্টাম অবস্থার আয়ু সম্পর্কিত করার জন্য। তবে কিছু পরীক্ষায় অনিশ্চয়তা নীতির একটি নির্দিষ্ট রূপ পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা হয়, যা তাদের মূল গবেষণার অংশ। এর মধ্যে কিছু পরীক্ষার উদাহরণ হলো সুপারকন্ডাক্টিভিটি বা কোয়ান্টাম অপটিক্স সিস্টেমগুলো। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল কিছু প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত কম গোলমাল প্রযুক্তি রয়েছে যেমন মহাকর্ষ তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটারগুলো।