সিলভেস্টারের ক্রম

সংখ্যাতত্ত্বে সিলভেস্টারের ক্রম হচ্ছে পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রম যেখানে ক্রমের অন্তর্গত প্রত্যেকটি সংখ্যা ক্রমের আগের সবগুলি সংখ্যার গুণফলের সাথে এক যোগ করে পাওয়া যায়। এই ক্রমের প্রথম কিছু সংখ্যা হলঃ
সিলভেস্টারের ক্রমের নামকরণ করা হয়েছে জেমস জোসেফ সিলভেস্টার ( "ইংরেজিঃ" ) এর নামানুসারে যে এই ক্রমটি উদ্ভাবন করে ১৮৮০ সালে। এই ক্রমের মান বাড়তে থাকে মত করে এবং এই সংখ্যাক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলো ধারা গঠন করে যার একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ সংখ্যার যোগফল অন্য যেকোন ধারার চেয়ে দ্রুত ১ এর দিকে আগাতে থাকে। এই ক্রমের যেকোন সংখ্যা দ্রুত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় এই ক্রমটি যে রিকারেন্স দিয়ে নির্ধারিত সেজন্য। কিন্তু এই ক্রমের সংখ্যাগুলোর মান খুব দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়ায় খুব কম সংখ্যাকেই সম্পূর্ণরূপে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা গেছে। এই ক্রমের সংখ্যাগুলো ১ এর সসীম তৈরি করা, এবং এর কঠিন নমুনার ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়।
সিলভেস্টারের ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এই ফর্মূলা দিয়েঃ
যেহেতু শূন্য সংখ্যক সংখ্যার গুণফলের মান 1 সেহেতু
"s" = 2.
এই ক্রমকে এই রিকারেন্স দিয়ে অন্যভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়ঃ
গাণিতিক আরোহ দিয়ে সহজেই দেখানো যায় যে দুইটি সংজ্ঞার একটা অন্যটার সমতুল্য।
সিলভেস্টারের সংখ্যাগুলো "n" এর একটা ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন অনুসারে বৃদ্ধি পায়। নির্দিষ্টভাবে এটা দেখানো যায় যেঃ
আনুমানিক 1.264084735305302 মানের একটা সংখ্যা "E" এর জন্য। নিম্নবর্ণিত অ্যালগোরিদমটি উপরের ফর্মূলাকে প্রভাবিত করেঃ
এটা কাজে লাগানোর মত একটা অ্যালগোরিদম তখনই হবে যখন আমরা s এর মান বের করে বারবার তার বর্গমূল নেয়ার চেয়ে ভালভাবে প্রয়োজনীয় সংখ্যক বার E এর মান বের করতে পারব।
সিলভেস্টার ক্রমের ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল বৃদ্ধি ফার্মা সংখ্যা "F" এর সাথে তুলনা করা বিস্ময়কর নয়; ফার্মা সংখ্যাগুলো সাধারণত একটা ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল ফর্মূলা formula_4 দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিন্তু ফার্মা সংখ্যাকে সিলভেস্টার ক্রমের মতই একটা প্রোডাক্ট ফর্মূলা দিয়ে প্রকাশ করা যায়ঃ
সিলভেস্টার ক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলোর দ্বারা গঠিত একক ভগ্নাংশগুলো একটা অসীম ধারা গঠন করেঃ
এই ধারার আংশিক ভগ্নাংশকে খুব সহজেই লেখা যায়,
গাণিতিক আরোহ দিয়ে এটা প্রমাণ করা যেতে পারে অথবা সরাসরি একটা রিকার্শন খেয়াল করে যে,
যেহেতু ("s"-2)/("s"-1) আংশিক ভগ্নাংশের এই ক্রমটি এক এর দিকে অভিসৃত হয়, সম্পূর্ণ সিরিজটি এক এর একটি অসীম মিশরীয় ভগ্নাংশের রিপ্রেজেন্টেশন গঠন করে।
এক এর মিশরীয় ভগ্নাংশ রিপ্রেজেন্টেশন যেকোন দৈর্ঘ্যের করা সম্ভব। উপরের সিরিজকে কেটে এবং শেষের হর থেকে এক বিয়োগ করেঃ
"k" পদের মিশরীয় ভগ্নাংশের এক এর রিপ্রেজেন্টেশনের সবচেয়ে কাছাকাছি কিন্তু ছোট মান দেয় অসীম সিরিজটির প্রথম "k" টি পদের যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম চারটি পদ যোগ করলে 1805/1806 হয় এবং সেজন্য (1805/1806,1) খোলা ব্যবধিতে যেকোন সংখ্যার মিশরীয় ভগ্নাংশের জন্য অন্তত পাঁচটি পদ দরকার।
সিলভেস্টার ক্রমকে মিশরীয় ভগ্নাংশের একটা গ্রিডি অ্যালগোরিদম হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে যেটা প্রত্যেকটি স্টেপে সবচে ছোট হরকে নেয় যাতে আংশিক ভগ্নাংশ এক এর চেয়ে কম থাকে। অন্যভাবে, এই ক্রমের প্রথমটির পরের সবগুলো পদকে 1/2 এর এর হর হিসেবে দেখা যেতে পারে।
সিলভেস্টার নিজেই খেয়াল করেন যে দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়া মানের দিক থেকে সিলভেস্টার ক্রম অনন্য যেখানে একইসাথে এই ক্রমের মানগুলোর বিপ্রতীপ গুলো একটি ধারা গঠন করে যা একটি মূলদ সংখ্যায় অভিসৃত হয়। ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ই যথেষ্ট নয় একটি পূর্ণসংখ্যার ধারাকে অমূলদ হতে - এই ক্রম তার একটি উদাহরণ।
একে আরও যথাযথ ভাবে বলতে গেলে, এর উত্তরগুলো থেকে দেখা যায় যে, যদি একটি পূর্ণসংখ্যার ক্রম formula_12 দ্রুত বৃদ্ধি পায় যাতে 
এবং যদি ধারা
একটি মূলদ সংখ্যা "A" এর দিকে অভিসৃত হয়, তাহলে সব "n" এর জন্য, এই ক্রমটি এভাবেই সংজ্ঞায়িত করতে হবে
যেটা দিয়ে সিলভেস্টার ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
যদি "i" < "j" হয় তবে সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় "s" ≡ 1 (mod "s"). সুতরাং সিলভেস্টার ক্রমের যেকোন দুইটি সংখ্যা সহ-মৌলিক। এই ক্রম দিয়ে প্রমাণ করা যায় যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব আছে যেহেতু একটা মৌলিক সংখ্যা এই ধারার সর্বোচ্চ একটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। আরও জোর দিয়ে বলা যায়, এই ধারার কোন মৌলিক উৎপাদকই 5 (mod 6) এর সর্বসম হতে পারবে না। এবং এই ধারা দিয়ে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করা যেতে পারে যারা 7 (mod 12) এর সর্বসম। 
সিলভেস্টার ক্রমের সংখ্যাগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিয়ে অনেক কিছুই অজানা। উদহরণস্বরূপ, এটা এখনো জানা যায় নি সিলভেস্টার ক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যাই বর্গমুক্ত কি না যদিও জানা সংখ্যাগুলো বর্গমুক্ত।
সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করে এমন মৌলিক সংখ্যার সেট, সবগুলো মৌলিক সংখ্যার সেটে শূন্য ঘনত্বের: আসলেই, "x" এর চেয়ে ছোট এমন মৌলিক সংখ্যার সংখ্যাঃ formula_17.
এই সংখ্যাগুলোর জানা উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের টেবিলে দেখান হল, (প্রথম চারটি বাদে যারা নিজেরাই মৌলিক সংখ্যা):
P"n" এবং C"n" দিয়ে "n" অঙ্কের মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা বোঝানো হয়েছে।
বিজোড় মাত্রার বা এর বিশিষ্ট এর বড় বড় সংখ্যার সংজ্ঞা দিতে সিলভেস্টার ক্রমের গুণাবলী ব্যবহার করেন। তারা দেখান‌ যে 2"n" − 1 মাত্রার একটা এর উপর ভিন্ন ভিন্ন সাসাকিয়ান আইনস্টাইন অন্তত "s" এর সমানুপাতিক এবং তাই "n" এর সাথে ডাবল এক্সপোনেনশিয়ালি বৃদ্ধি পায়।