আবেলের উপপাদ্য

অ্যাবেলের উপপাদ্য (Abel's theorem) গণিতে একটি পাওয়ার সিরিজের সীমাকে তার গুণকগুলোর যোগফলের সাথে সম্পর্কিত করে। এটি নরওয়েজীয় গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেলের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৮২৬ সালে প্রমাণ করেছিলেন।
ধরা যাক টেইলর শ্রেণি
formula_1
একটি ঘাত শ্রেণি, যার বাস্তব সহগ formula_2 এবং অভিসারিত ব্যাসার্ধ formula_3 ধরে নেওয়া হয়েছে। ধরা যাক যে শ্রেণি
formula_4
অভিসারিত।
তাহলে formula_5 বামদিক থেকে অবিচ্ছিন্ন formula_6-এ, অর্থাৎ
formula_7
একই উপপাদ্য জটিল ঘাত শ্রেণির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য,
formula_8
যদি formula_9 সম্পূর্ণরূপে একক "স্টল্ৎস সেক্টর" এর মধ্যে থাকে, যা হলো উন্মুক্ত একক বৃত্তের এমন একটি অঞ্চল যেখানে
formula_10
একটি স্থির এবং সীমিত formula_11 এর জন্য। এই শর্ত ব্যতীত সীমা বিদ্যমান নাও থাকতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, ঘাত শ্রেণি
formula_12
formula_13-এ formula_14-এ অভিসারিত হয়, কিন্তু formula_15 আকারের যেকোনো বিন্দুর কাছে এটি সীমাবদ্ধ নয়। ফলে, formula_16 একক বৃত্তে ১-এর দিকে ধাবিত হলে এই মান সীমা হিসেবে গণ্য হয় না।
উল্লেখ্য, formula_17 বন্ধ অন্তর formula_18-এ অবিচ্ছিন্ন, যেখানে formula_19, কারণ এই শ্রেণিটি সমজাত অভিসারণ এর মাধ্যমে সংযোজিত বৃত্তের সঙ্কুচিত উপসেটগুলিতে অভিসারিত হয়। তবে, অ্যাবেলের উপপাদ্য অনুযায়ী formula_17 এর formula_21 এর উপর সংযোজনটি অবিচ্ছিন্ন।
স্টল্ৎস সেক্টর formula_22 এর নির্দিষ্ট সমীকরণ হলো
formula_23
এবং এটি ডানদিকে বিভিন্ন মানের জন্য চিত্রিত করা হয়েছে।
সেক্টরের বাম প্রান্ত হলো formula_24, এবং ডান প্রান্ত হলো formula_25। ডান প্রান্তে এটি একটি শঙ্কুতে পরিণত হয়, যার কোণ formula_26, যেখানে formula_27।
এই উপপাদ্যের সরাসরি একটি ফলাফল হল, যদি formula_16 কোনও অশূন্য জটিল সংখ্যা হয়, যার জন্য ধারাটি
formula_29
অবসিত হয়, তবে এটি প্রমাণ করে যে:
formula_30
যেখানে সীমাটি নিচ থেকে নেওয়া হয়।
এই উপপাদ্যটি এমন ধারাগুলোর জন্যও সাধারণীকৃত হতে পারে, যেগুলো অসীমে অভিসারিত হয়। যদি
formula_31
তবে
formula_32
তবে, যদি ধারা কেবলমাত্র অসংগতি প্রমাণিত হয়, কিন্তু অন্য কোনও কারণে অসীমে না পৌঁছায়, তাহলে উপপাদ্যের দাবি ব্যর্থ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের ধারাটি দেখুন:
formula_33
যেখানে formula_13, ধারাটি হয় formula_35 কিন্তু formula_36
উল্লেখযোগ্য বিষয় হল, এই উপপাদ্যটি formula_37 ব্যতিরেকে অন্যান্য অভিসারণ ব্যাসার্ধের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। ধরা যাক,
formula_38
একটি শক্তি ধারা যার অভিসারণ ব্যাসার্ধ formula_39 এবং ধরে নেওয়া হয় যে ধারা formula_40-এ অভিসারিত হয়। তাহলে formula_5 formula_40-এ বামে থেকে ক্রমাগত, অর্থাৎ:
formula_43
অ্যাবেলের উপপাদ্যের প্রয়োগ হল, এটি আমাদের একটি শক্তি ধারার সীমা নির্ণয় করতে সহায়তা করে যখন তার আর্গুমেন্ট (formula_16) formula_45-এর কাছাকাছি নিচ থেকে পৌঁছায়, এমন ক্ষেত্রেও যেখানে শক্তি ধারার অভিসারণ ব্যাসার্ধ, formula_39 সমান formula_45 এবং সীমাটি সসীম কিনা তা নিশ্চিত হওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদ ধারার ক্ষেত্রে এটি দেখুন। অ্যাবেলের উপপাদ্য আমাদের অনেক ধারার সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয়ে সাহায্য করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন
formula_48
তখন আমরা পাই:
formula_49
যেখানে জ্যামিতিক শক্তি ধারাটি সমজাতীয়ভাবে অভিসারিত। এইভাবে,
formula_50
অ্যাবেলের উপপাদ্য দ্বারা formula_51-এ অভিসারিত হয়। অনুরূপভাবে,
formula_52
অভিসারিত হয় formula_53
formula_54 কে উৎপাদক ফাংশন বলা হয়, যা formula_55 ক্রমের জন্য উৎপাদক। অ্যাবেলের উপপাদ্য প্রায়োগিক সম্ভাবনার গ্যালটন-ওয়াটসন প্রক্রিয়ার মতো বিভিন্ন বাস্তব সংখ্যিক ও অঋণাত্মক ক্রমের উৎপাদক ফাংশন নিয়ন্ত্রণে সহায়ক।
যখন formula_56-এর থেকে একটি ধ্রুবক বিয়োগ করা হয়, তখন আমরা ধরে নিতে পারি যে formula_57 এখন formula_58 হিসেবে ধরা যাক। তারপর, formula_59 ধরে এবং ধারাটির সরল রূপান্তর (summation by parts) করলে পাই:
formula_60
যদি formula_61 হয়, তবে এমন একটি formula_62 নির্বাচন করা সম্ভব যাতে formula_63 হয় সব formula_64 জন্য এবং দেখা যায় যে:
formula_65
যখন formula_16 নির্দিষ্ট স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে। যথেষ্ট ছোট formula_16 যখন formula_45-এর নিকটবর্তী হয়, তখন পাই:
formula_69
ফলে formula_70 হয় যখন formula_16 যথেষ্টভাবে formula_45-এর নিকটবর্তী এবং স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে।
অ্যাবেলের উপপাদ্যের বিপরীত গুলিকে টবারীয় উপপাদ্য বলা হয়: কোনও সুনির্দিষ্ট বিপরীত নেই, তবে কিছু শর্তাধীন অনুমানের উপর ভিত্তি করে ফলাফল পাওয়া যায়। অসংগতি ধারা এবং এর যোগফল পদ্ধতি নিয়ে গবেষণার ক্ষেত্রটিতে অনেক উপপাদ্য "অ্যাবেলীয়" এবং "টবারীয়" ধরণের।