পঞ্চভুজ

জ্যামিতিতে, পঞ্চভুজ ( ) যে কোনো পাঁচমুখী বহুভুজ বা পঞ্চকোণ। একটি সরল পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৫৪০°।
পঞ্চভুজ সরল বা স্ব-ছেদী হতে পারে। একটি স্ব-ছেদী সুষম "পঞ্চভুজ" (বা "তারা পঞ্চভুজ" ) কে পেন্টাগ্রাম বলা হয়।
"সুষম পঞ্চভুজের" শ্লেফ্লি প্রতীক {5} এবং অভ্যন্তরীণ কোণ 108° হয়।
একটি "সুষম পঞ্চভুজের" আলোর প্রতিসাম্যের পাঁচটি রেখা রয়েছে এবং পাঁচ ক্রমের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রয়েছে (72°, 144°, 216° এবং 288° এর মধ্যে)। উত্তল সুষম পঞ্চভুজের কর্ণ এর বাহু সোনালী অনুপাতের মধ্যে থাকে। পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে formula_1 এর উচ্চতা formula_2 (একবাহু থেকে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব), প্রস্থ formula_3 (দুটি দূরতম পৃথক বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, যা তির্যক দৈর্ঘ্যের সমান formula_4 ) এবং পরিব্যাসার্ধ formula_5 দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
বাহুর দৈর্ঘ্যের সাহায্যে উত্তল সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল formula_7 দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
যদি একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিব্যাসার্ধ formula_5 দেওয়া থাকে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য formula_7 সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
এবং এর ক্ষেত্রফল হল:
যেহেতু পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল formula_13 সুষম পঞ্চভুজ তার পরিবৃত্তের প্রায় 0.7568 অংশের সমান।
যেকোনো সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল হল:
যেখানে "P" হল বহুভুজের পরিধি, এবং "r" হল অন্তঃব্যাসার্ধ (সমতুল্যভাবে অ্যাপথেম )। "P" এবং "r-এর" জন্য সুষম পঞ্চভুজের মানগুলি প্রতিস্থাপন করলে সূত্রটি পাওয়া যায়:
এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য "t"
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি অন্তঃবৃত্ত থাকে। সুষম পঞ্চভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ "r" এর অ্যাপথেমটি বাহুর দৈর্ঘ্য "t" এর সাথে সম্পর্কিত
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি পরিবৃত্ত থাকে। ক্রমাগত শীর্ষবিন্দু A, B, C, D, E সহ একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের জন্য, যদি B এবং C বিন্দুর মধ্যে বৃত্তের কোন বিন্দু P হয়, তাহলে PA + PD = PB + PC + PE।
পরিব্যাসার্ধ formula_5 সহ একটি সুষম পঞ্চভুজের সমতলে নির্বিচারে যেকোনো বিন্দুর জন্য , যার দূরত্ব সুষম পঞ্চভুজের ভরকেন্দ্র এবং এর পাঁচটি শীর্ষবিন্দু হতে যথাক্রমে formula_18 এবং formula_19, আমরা পাই 
যদি formula_19 একটি সুষম পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে তার পরিবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হয়, তাহলে 
সুষম পঞ্চভুজ পেন্সিল কম্পাস এবং রুলার দিয়ে সহজেই অঙ্কনযোগ্য, কারণ ৫ একটি ফার্ম্যাট প্রাইম । সুষম পঞ্চভুজ অঙ্কনের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি প্রচলিত। নিচে কিছু আলোচনা করা হল।
প্রদত্ত বৃত্তে সুষম পঞ্চভুজ নির্মাণের একটি পদ্ধতি রিচমন্ড বর্ণনা করেছেন এবং আরও আলোচনা করা হয়েছে ক্রমওয়েলের "পলিহেড্রায়" । 
উপরের প্যানেলটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত পঞ্চভুজের বাহু অঙ্কন করতে রিচমন্ডের পদ্ধতিতে দেখায়। পঞ্চভুজটি একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্তে অন্তর্লিখিত। এর কেন্দ্রটি "C" বিন্দুতে অবস্থিত এবং একটি মধ্যবিন্দু "M" এর ব্যাসার্ধ বরাবর অর্ধেক পথ চিহ্নিত করা হয়েছে। এই বিন্দুটি "D" বিন্দুতে কেন্দ্রের উপরে উল্লম্বভাবে পরিধির সাথে যুক্ত হয়েছে। কোণ "CMD" দ্বিখণ্ডিত, এবং দ্বিখণ্ডকটি উল্লম্ব অক্ষকে "Q" বিন্দুতে ছেদ করে। "Q এর" মধ্য দিয়ে একটি অনুভূমিক রেখা বৃত্তটিকে "P" বিন্দুতে ছেদ করে, এবং জ্যা "PD" হল খোদাই করা পঞ্চভুজের প্রয়োজনীয় দিক।
এই বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, দুটি সমকোণী ত্রিভুজ "DCM" এবং "QCM" বৃত্তের নীচে চিত্রিত করা হয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং দুটি বাহু ব্যবহার করে বৃহত্তর ত্রিভুজের কর্ণ পাওয়া যায় formula_23 . ছোট ত্রিভুজের পার্শ্ব "h" তারপর অর্ধ-কোণ সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়:
যেখানে বৃহত্তর ত্রিভুজ থেকে "ϕ" এর কোসাইন এবং সাইন জানা যায়। ফলাফল হল:
যদি DP সত্যিই একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পাশে হয়, formula_26, তাই DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos (54°), এবং CQ = 1 − 2cos (54°), যা কোসাইন দ্বারা −cos(108°) সমান ডবল কোণ সূত্র । এটি 72° এর কোসাইন, যা সমান formula_27 ইচ্ছামত
কার্লাইল বৃত্তটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য একটি জ্যামিতিক পদ্ধতি হিসাবে উদ্ভাবিত হয়েছিল। এই পদ্ধতিটি একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। ধাপগুলো নিম্নরূপঃ 
পদক্ষেপ 6-8 নিম্নলিখিত সংস্করণের সমতুল্য, অ্যানিমেশনে দেখানো হয়েছে:
একটি নিয়মিত পেন্টাগন একটি কম্পাস এবং সোজা প্রান্ত ব্যবহার করে গঠনযোগ্য, হয় একটি প্রদত্ত বৃত্তে একটিকে খোদাই করে বা একটি প্রদত্ত প্রান্তে একটি নির্মাণ করে। এই প্রক্রিয়াটি ইউক্লিড তার "Elements" circa 300 BC-তে বর্ণনা করেছিলেন। 
The "regular pentagon" has Dih symmetry, order 10. Since 5 is a prime number there is one subgroup with dihedral symmetry: Dih, and 2 cyclic group symmetries: Z, and Z.
These 4 symmetries can be seen in 4 distinct symmetries on the pentagon. John Conway labels these by a letter and group order. Full symmetry of the regular form is r10 and no symmetry is labeled a1. The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices (d for diagonal) or edges (p for perpendiculars), and i when reflection lines path through both edges and vertices. Cyclic symmetries in the middle column are labeled as g for their central gyration orders.
Each subgroup symmetry allows one or more degrees of freedom for irregular forms. Only the g5 subgroup has no degrees of freedom but can be seen as directed edges.
A pentagram or pentangle is a regular star pentagon. Its Schläfli symbol is {5/2}. Its sides form the diagonals of a regular convex pentagon – in this arrangement the sides of the two pentagons are in the golden ratio.
একটি সমবাহু পঞ্চভুজ হলো এমন একটি বহুভুজ, যার পাঁচটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তবে, এর পাঁচটি অভ্যন্তরীণ কোণের মান বিভিন্ন হতে পারে, যার প্রত্যেকটি একেকটি পঞ্চভুজ (ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে)। এর বিপরীতে, একটি সুষম পঞ্চভুজ অনুরূপতার দৃষ্টিকোণ থেকে অনন্য, কারণ এটি সমবাহু এবং সমকোণী (এর পাঁচটি কোণ সমান)।
একটি বৃত্তীয় পঞ্চভুজ হল এমন একটি পঞ্চভুজ যার সমস্ত পাঁচটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত যায়, যাকে পরিবৃত্ত বলা হয়। সাধারণ পঞ্চভুজ হল বৃত্তীয় পঞ্চভুজের একটি উদাহরণ। একটি বৃত্তীয় পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল, তা সাধারণ হোক বা না হোক, পঞ্চভুজের বাহুগুলির ফাংশন হিসাবে একটি সেপ্টিক সমীকরণ-এর মূলগুলির মধ্যে একটির বর্গমূলের এক চতুর্থাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
যেসব বৃত্তীয় পঞ্চভুজের বাহু এবং ক্ষেত্রফল মূলদ সংখ্যা হয়, তাদের রবিন্স পঞ্চভুজ বলা হয়। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে একটি রবিন্স পঞ্চভুজের কর্ণগুলি হয় সবই মূলদ হতে হবে অথবা সবই অমূলদ হতে হবে, এবং এটি অনুমান করা হয় যে সমস্ত কর্ণই মূলদ হবে।
For all convex pentagons with sides formula_28 and diagonals formula_29, the following inequality holds:
একটি সাধারণ পঞ্চভুজ কোনো সাধারণ বহুভুজের টাইলিং-এ উপস্থিত হতে পারে না। প্রথমে, এটি প্রমাণ করে যে একটি পঞ্চভুজ সুষম টাইলিং গঠন করতে পারে না (যেখানে সমস্ত মুখ সর্বসম হয়, অর্থাৎ সমস্ত বহুভুজ পঞ্চভুজ হতে হবে), লক্ষ্য করা যায় যে (যেখানে 108° হল অভ্যন্তরীণ কোণ), যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়; সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দুতে কোনো পূর্ণসংখ্যার সংখ্যক পঞ্চভুজ শেয়ার করে এবং তাদের মধ্যে কোনো ফাঁক না রেখে টাইলিং সম্ভব নয়। আরও কঠিন হল এই প্রমাণ করা যে একটি পঞ্চভুজ সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো প্রান্ত-থেকে-প্রান্ত টাইলিং-এ থাকতে পারে না:
সাধারণ পঞ্চভুজের সর্বাধিক পরিচিত প্যাকিং ঘনত্ব হল formula_31, যা ডাবল ল্যাটিস প্যাকিং দ্বারা অর্জিত হয়। 2016 সালে প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টে, থমাস হেলস এবং ওয়োডেন কুসনার ঘোষণা করেছিলেন যে সাধারণ পঞ্চভুজের এই ডাবল ল্যাটিস প্যাকিং (যা "পেন্টাগোনাল আইস-রে" চাইনিজ ল্যাটিস ডিজাইন নামে পরিচিত, আনুমানিক 1900 সালের) সমতলে সাধারণ পঞ্চভুজের সমস্ত প্যাকিংয়ের মধ্যে সর্বোত্তম ঘনত্ব রয়েছে।
4 বা তার বেশি সাধারণ বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয়ে একটি পঞ্চভুজ ধারণ করতে পারে না। 3টি বহুভুজের সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে, যদি 3টি বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় এবং একটির বাহুর সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে অন্য দুটি সর্বসম হতে হবে। এর কারণ হল পঞ্চভুজের প্রান্তসমূহ স্পর্শ করা বহুভুজগুলি পঞ্চভুজের চারপাশে পর্যায়ক্রমে থাকতে হবে, যা পঞ্চভুজের বিজোড় সংখ্যক বাহুর কারণে অসম্ভব। পঞ্চভুজের জন্য, এটি এমন একটি বহুভুজ তৈরি করে যার কোণগুলি সবই । এই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করতে, ফলাফল হল , যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং, সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো টাইলিং-এ একটি পঞ্চভুজ উপস্থিত হতে পারে না।
15 শ্রেণীর পঞ্চভুজ রয়েছে যা সমতলকে মনোহেড্রালভাবে টাইল করতে পারে। সাধারণভাবে এই পঞ্চভুজগুলির কোনো প্রতিসাম্য নেই, যদিও কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে দর্পণ প্রতিসাম্য থাকতে পারে।