গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম হলো জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর সাথে গাণিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর উপাদান-অনুপাতে গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রমের "n"-তম উপাদান হলো গাণিতিক ক্রমের "n"-তম উপাদান এবং জ্যামিতিক ক্রমের "n"-তম উপাদানের গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা হলো সেই ক্রমের উপাদানগুলোর যোগফল। গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম এবং ধারা বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন সম্ভাবনা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মান গণনার ক্ষেত্রে (বিশেষত বার্নুলি প্রক্রিয়াসমূহে)।
উদাহরণস্বরূপ নিম্নের ক্রমটি তথা
একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক অংশটি নীল রঙে (উপরে) এবং জ্যামিতিক অংশটি সবুজ রঙে (নিচে) চিহ্নিত। এই ক্রমের অসীম উপাদানগুলোর ধারা যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এর মান ২। সাধারণভাবে,
গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম শব্দটি মাঝে মাঝে এমন বিভিন্ন বস্তু বোঝাতেও ব্যবহৃত হয় যা গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয়ের বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, বলতে এমন ক্রমকে বোঝানো হয় যা পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক formula_3 পূরণ করে, যা গাণিতিক ক্রমের সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক formula_4 এবং জ্যামিতিক ক্রমের formula_5 সংযুক্ত করে। এই ক্রমগুলো তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ-এর একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অপরিবর্তিত সহগবিশিষ্ট অসম প্রথম শ্রেণির স্থির সহগযুক্ত রৈখিক পুনরাবৃত্তি।
গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম formula_6-এর উপাদানগুলো হলো গাণিতিক ক্রম formula_7 (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিক ক্রম formula_8 (সবুজ রঙে) এর উপাদানগুলোর গুণফল। এখানে গাণিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান formula_9 এবং সাধারণ পার্থক্য formula_10, যেখানে formula_11 এবং জ্যামিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান formula_12 এবং সাধারণ অনুপাত formula_13, যেখানে formula_14 তাই
এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং এগুলো তিনটি পরামিতিতে সংকুচিত করা যেতে পারে: formula_16 formula_17 এবং formula_18
যে ক্রমটি
এটি একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম, যেখানে formula_20, formula_21, এবং formula_22।
গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা formula_23-এর প্রথম formula_24 পদগুলোর যোগফল নিচের রূপে প্রকাশিত হয়:
যেখানে formula_26 এবং formula_27 যথাক্রমে গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রমের formula_28-তম উপাদান।
এই আংশিক যোগফলের বন্ধ-রূপ অভিব্যক্তি হলো: 
formula_30 সমীকরণটি formula_13-এর সাথে গুণ করলে: 
formula_33-কে formula_34 থেকে বিয়োগ করা, উভয় পক্ষকে formula_12 দ্বারা ভাগ করা, এবং টেলিস্কোপিক ধারা (দ্বিতীয় সমীকরণ) ও সীমিত জ্যামিতিক ধারার যোগফলের সূত্র (পঞ্চম সমীকরণ) ব্যবহার করলে: 
যা প্রমাণিত হলো।
যদি −1 < "r" < 1 হয়, তবে গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারার যোগফল "S", অর্থাৎ এর উপাদানগুলোর আংশিক যোগফলের সীমা, নিচের সূত্রে দেওয়া যায়:
যদি "r" উপরের পরিসরের বাইরে থাকে, "b" শূন্য না হয়, এবং "a" এবং "d" একসাথে শূন্য না হয়, তবে সীমা অস্তিত্বে থাকে না এবং সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়।
ধারা
formula_20, formula_21, এবং formula_41 দ্বারা সংজ্ঞায়িত গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা formula_42-তে অভিসারিত হয়। এই ক্রমটি মুদ্রা নিক্ষেপের মাধ্যমে প্রথমবার "টেল" পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যার সমান। "টেল" প্রথমবার পাওয়ার সম্ভাবনা formula_43 হলো:
তাই, প্রথমবার "টেল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা নিক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা:
এভাবে, ধারা
একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা formula_47, formula_48, formula_49, এবং formula_50 দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এটি formula_51-এ অভিসারিত হয়।
এই ক্রমটি ছয়-পার্শ্বযুক্ত পাশা নিক্ষেপের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট মান (যেমন "৫") পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যাকে নির্দেশ করে।
সাধারণভাবে, এমন ধারা যেখানে formula_47, formula_48, formula_54, এবং formula_55, সেগুলো বার্নুলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সফলতার জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা"-এর প্রত্যাশা প্রকাশ করে, যেখানে "সফলতার সম্ভাবনা" formula_56।
প্রত্যেক ফলাফলের সম্ভাবনাগুলো জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং ধারার পদের জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলো তৈরি করে। প্রত্যেক ফলাফলের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা গাণিতিক ক্রমের উপাদান সরবরাহ করে।