ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য

গণিতের তথ্য তত্ত্ব এবং সিদ্ধান্ত তত্ত্ব বিষয়গুলিতে, ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য তথ্য কাঠামো বা পরীক্ষার র‍্যাংকিংয়ের সাথে সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। এটি বলে যে তিনটি সম্ভাব্য র‍্যাংকিংয়ের মধ্যে একটি সমতুল্যতা রয়েছে: একটি "প্রত্যাশিত উপযোগিতা" ভিত্তিক, অন্যটি "তথ্যমূলকতা" ভিত্তিক এবং অন্যটি "সম্ভাব্যতা" ভিত্তিক। এই র‍্যাংকিংটি তথ্য কাঠামোর উপর একটি আংশিক ক্রম সংজ্ঞায়িত করে, যা ব্ল্যাকওয়েল ক্রম বা ব্ল্যাকওয়েলের মানদণ্ড নামে পরিচিত।
উপপাদ্যটি এমন সমতুল্য শর্তগুলো বলে, যার অধীনে প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক করা যেকোনো সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী তথ্য কাঠামো formula_1 কে formula_2 এর উপরে পছন্দ করবে, যেকোনো সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যার জন্য। এই ফলাফলটি প্রথমে ডেভিড ব্ল্যাকওয়েল দ্বারা ১৯৫১ সালে প্রমাণিত হয় এবং ১৯৫৩ সালে সাধারণীকৃত হয়।
একজন সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী বিশ্ব পরিস্থিতির একটি সেট formula_3 এবং একটি কর্মের সেট formula_4 এর মুখোমুখি হন। প্রতিটি formula_5 এবং formula_6 এর জন্য, তার উপযোগিতা formula_7। তিনি বিশ্ব পরিস্থিতি formula_8 জানেন না, তবে প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থার জন্য একটি প্রথমিক সম্ভাব্যতা formula_9 রয়েছে। তিনি যে কোনো কর্ম গ্রহণ করেন তার জন্য তার প্রত্যাশিত উপযোগিতা হয়
এই প্রথমিক formula_11 এর ভিত্তিতে, তিনি একটি কর্ম formula_6 বেছে নেন যাতে তার প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক হয়। আমরা এই সর্বাধিক প্রাপ্তব্য উপযোগিতাকে (সর্বোত্তম কর্ম গ্রহণের প্রত্যাশিত মান) চিহ্নিত করি
আমরা এই ডেটাকে formula_14 একটি "সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যা" হিসাবে উল্লেখ করি।
একটি "তথ্য কাঠামো" (বা একটি "পরীক্ষা") উপযোগিতার উন্নত করার একটি পদ্ধতি হিসেবে দেখা যায়, অর্থাৎ সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীকে আরও তথ্য সরবরাহ করা। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি তথ্য কাঠামো হল একটি টুপল formula_15, যেখানে formula_16 একটি সংকেত স্থান এবং formula_17 একটি ফাংশন যা সংকেত formula_18 দেখার শর্তাধীন সম্ভাব্যতা formula_19 প্রদান করে যখন বিশ্ব পরিস্থিতি formula_8।
সংকেত formula_21 দেখার মাধ্যমে, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী বায়েসের নিয়ম ব্যবহার করে বিশ্ব পরিস্থিতি formula_8 সম্পর্কে তার বিশ্বাস আপডেট করতে পারেন, যা পরবর্তী সম্ভাব্যতা দেয়
যেখানে formula_24। সংকেত formula_21 দেখার মাধ্যমে এবং তথ্য কাঠামো formula_15 দিয়ে তার বিশ্বাস আপডেট করার ফলে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর নতুন প্রত্যাশিত উপযোগিতা হয়
এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর জন্য formula_15 এর "প্রত্যাশিত মান" (অর্থাৎ তথ্য কাঠামোতে সর্বোত্তম কর্ম গ্রহণের প্রত্যাশিত মান) সংজ্ঞায়িত হয়
যদি দুটি তথ্য কাঠামো formula_15 এবং formula_31 একই সংকেত স্থান ব্যবহার করে, তবে কিছু ক্ষেত্রে formula_1 এবং formula_2 উভয়কেই তথ্য কাঠামো হিসেবে উল্লেখ করা হয়। আমরা বলি যে formula_2 হল formula_1-এর গার্বলিং যদি একটি স্টোকাস্টিক ম্যাপ (সীমিত সংকেত স্থান formula_16-এর জন্য একটি মারকভ ম্যাট্রিক্স) formula_37 থাকে, যেখানে
স্বজ্ঞার দিক থেকে, গার্বলিং হল একটি তথ্য কাঠামোতে "শব্দ" যোগ করার পদ্ধতি, যাতে গার্বলড তথ্য কাঠামোটি তুলনামূলকভাবে কম তথ্যপূর্ণ হয়।
মিশ্র কৌশল সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্যার প্রেক্ষিতে একটি ফাংশন formula_39, যা প্রতিটি সংকেত formula_18 এর জন্য একটি সম্ভাবনা বন্টন formula_41 প্রদান করে formula_4-এর সম্ভাব্য পদক্ষেপগুলির উপর। তথ্য কাঠামো formula_15 দিয়ে একটি কৌশল formula_44 একটি স্টোকাস্টিক ম্যাপ হিসেবে পদক্ষেপের বন্টনকে প্রণোদিত করে formula_45, যেখানে
অর্থাৎ, formula_45 এমন পদক্ষেপ formula_6 নেওয়ার সম্ভাবনা প্রদান করে, যেখানে পৃথিবীর অবস্থা হল formula_5 এবং এটি তথ্য কাঠামো formula_15 এর অধীনে। আমরা বলি যে formula_45 একটি তথ্য কাঠামো formula_15-এর অধীনে একটি "সম্ভাব্য" কৌশল।
তথ্য কাঠামো formula_15-এর জন্য
প্রতিটি কৌশল সেটের (পদক্ষেপের সম্ভাবনা) সম্ভাব্য সেট নির্ধারণ করে।
যদি দুটি তথ্য কাঠামো formula_15 এবং formula_31, থাকে, তাহলে formula_1 "তুলনামূলক বৃহত্তর সম্ভাব্য কৌশলের সেট" প্রদান করে, যদি
ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি একটি সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যা formula_14 এবং দুটি তথ্য কাঠামো formula_1 এবং formula_2 থাকে, তবে নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্য:
ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা তথ্য কাঠামোগুলোর উপর একটি আংশিক ক্রম তৈরি করতে পারি। আমরা বলি যে, formula_1 "ব্ল্যাকওয়েল অর্থে বেশি তথ্যপূর্ণ" (অথবা সংক্ষেপে ব্ল্যাকওয়েল তথ্যপূর্ণ) formula_2-এর তুলনায় যদি ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্যের যে কোনও (এবং তাই সব) শর্ত প্রযোজ্য হয়, এবং এটিকে লিখি formula_73।
ক্রম formula_74 সম্পূর্ণ নয় এবং বেশিরভাগ পরীক্ষাগুলি এই ক্রমে স্থান পায় না। আরও নির্দিষ্টভাবে, এটি তথ্য কাঠামোগুলোর আংশিক-ক্রমিত সেটের চেইন।
ব্ল্যাকওয়েল ক্রমের সিদ্ধান্ত তত্ত্ব এবং অর্থনীতিতে অনেক প্রয়োগ রয়েছে, বিশেষ করে চুক্তি তত্ত্ব-এ। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি প্রধান-প্রতিনিধি মডেলে দুটি তথ্য কাঠামো ব্ল্যাকওয়েল অর্থে ক্রম অনুসারে সাজানো যায়, তবে বেশি তথ্যপূর্ণটি বেশি কার্যকরী হয়। এটি দ্বিতীয়-সর্বোত্তম কার্যক্ষমতা প্রয়োগে কম খরচ সম্পন্ন করে।