দ্বিপদী ধারা

দ্বিপদী ধারা হল গণিতে বহুপদীর একটি সাধারণীকরণ যা একটি দ্বিপদ সূত্রের অভিব্যক্তি থেকে আসে। যেমন: formula_1 অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য formula_2 . বিশেষত, দ্বিপদী ধারা হল ফাংশনের জন্য ম্যাকলারিন ধারা formula_3, যেখানে formula_4 এবং formula_5 . স্পষ্টভাবে,
যেখানে ( ) এর ডানদিকের পাওয়ার ধারাকে (সাধারণকৃত) দ্বিপদ সহগগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়
মনে রাখবেন, যদি একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় তবে পদ এবং ধারার পরবর্তী সমস্ত পদ , যেহেতু প্রতিটিতে এর একটি গুণনীয়ক রয়েছে। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে, ধারটি সসীম এবং বীজগাণিতিক দ্বিপদী সূত্র দেয়।
যে (1) সংকুচিত হবে কিনা তা নির্ভর করে জটিল সংখ্যা α এবং এর মানের উপর। আরও সঠিকভাবে:
1. যদি || < 1 হয়, তবে ধারাটি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে।
2. যদি || = 1 হয়, তবে ধারাটি সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে কেবলমাত্র যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0, যেখানে Re(α) α এর বাস্তব অংশকে নির্দেশ করে।
3. যদি || = 1 এবং ≠ −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > −1।
4. যদি = −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0।
5. যদি || > 1 হয়, তবে ধারাটি বিভ্রান্ত হবে, যদি না α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা হয়, এই ক্ষেত্রে ধারাটি একটি সসীম যোগফল হবে।
বিশেষ করে, যদি α একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে সংকোচনের বৃত্তের সীমানায়, || = 1, অবস্থাটি নিম্নরূপে সারাংশ করা হয়:
নিম্নলিখিতগুলি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য প্রযোজ্য:
যদি α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা না হয় (এই ক্ষেত্রে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলি শূন্য হয়ে যায় যেহেতু k α এর চেয়ে বড় হয়), তবে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি উপকারী অমসৃণ সম্পর্ক হল, ল্যান্ডাউ নোটেশনে:
এটি আসলে ইউলারের গামা ফাংশনের সংজ্ঞার সমান:
যেখানে এবং কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক।
সাধারণীকৃত বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কের জন্য সূত্র (2) পুনর্লিখন করা যেতে পারে:
(i) এবং (v) প্রমাণ করতে, অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করুন এবং উপরের সূত্র (2) ব্যবহার করে দেখান যে, যখন formula_9 একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা নয়, তখন সম্মিলন ব্যাসার্ধ ঠিক 1। অংশ (ii) সূত্র (5) থেকে পাওয়া যায়, সঙ্গে তুলনা করে।
এবং তারপর (ii) এবং সূত্র (5) আবার ব্যবহার করে ধরা হবে যে, formula_12 হলে ডান দিকের সিরিজের সম্মিলন প্রমাণিত হবে। অন্যদিকে, সিরিজটি সম্মিলিত হয় না যদি formula_13 এবংformula_14, আবার সূত্র (5) দ্বারা। বিকল্পভাবে, আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে, সকল formula_15-এর জন্য,
formula_16
তাহলে, সূত্র (6) দ্বারা, সকল formula_17 এর জন্য,
এটি (iii) এর প্রমাণ সম্পন্ন করে। (iv) তে ফিরে আসা, আমরা উপরের পরিচয় (7) ব্যবহার করিformula_18 এবংformula_9 এর স্থলে রেখে, সঙ্গে সূত্র (4) ব্যবহার করে, প্রাপ্ত করব...
যেহেতু formula_21 এখন, (iv) তত্ত্বটিformula_22সিকুয়েন্সের অসিম্পটোটিক আচরণ থেকে অনুসৃত হয়, formula_22। (সঠিকভাবে, formula_24 অবশ্যই formula_25-এ প্রবণ হয় যদি formula_26 এবং formula_27-এ বিচ্যুত হয় যদি formula_28 যদি formula_29, তবে formula_30 প্রবণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যখন সিকুয়েন্স formula_31-এ প্রবণ হয়, যা অবশ্যই সত্য যদিformula_32, কিন্তু যদি formula_33, তবে এটি মিথ্যা: পরবর্তী ক্ষেত্রে সিকুয়েন্সটিformula_31-অনুযায়ী ঘন হয়, কারণ formula_35 বিচ্যুত হয় এবং formula_36 শূন্যে প্রবণ হয়।
দ্বিপদী ধারার সমষ্টি নির্ণয় করার জন্য প্রচলিত যুক্তি সাধারণত এইভাবে হয়। সহগমন ব্যাসার্ধের মধ্যে, যেখানে , ধারাটি পদক্রমে অন্তরজ করে এবং সূত্র (1) ব্যবহার করে, তখন ধারটির সমষ্টি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয় যা সাধারণ পার্থক্য সমীকরণ সমাধান করে, যার প্রাথমিক শর্ত হলো 
এই সমস্যার একমাত্র সমাধান হল ফাংশন । আসলে, ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করলে,
অতএব, ফাংশন একটি ধ্রুবক, যা প্রাথমিক শর্ত আমাদের বলছে যে এটি । অর্থাৎ, হল সেই দ্বিপদী ধারার সমষ্টি , যেখানে ।
বিপরীত দ্বিপদী ধারাটি ম্যাকলরিন ধারার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ফাংশনটি হল 
formula_38
এবং এখানেformula_4 এবংformula_5
যা মাল্টিসেট সহগের মাধ্যমে লেখা হয়,
যখন, একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, বেশ কয়েকটি প্রচলিত ধারা দেখা যায়। ক্ষেত্রে ধারা, দেয়, যেখানে প্রতিটি পদটির সহগ সরলভাবে ক্ষেত্রে ধারা, দেয়, যার সহগগুলি গণনা সংখ্যা। ক্ষেত্রে ধারা, দেয়, যার সহগগুলি ত্রিভুজ সংখ্যা। ক্ষেত্রে ধারা, দেয়, যার সহগগুলি টেট্রাহেড্রাল সংখ্যা, এবং অনুরূপভাবে উচ্চতর পূর্ণসংখ্যা মানগুলির জন্যও।
দ্বিপদী ধারার প্রথম ফলাফলগুলি ধনাত্নক-পূর্ণসংখ্যক সূচক ছাড়া অন্যান্য সূচকের জন্য স্যার আইজ্যাক নিউটন দ্বারা প্রদান করা হয়েছিল, যা কিছু বক্ররেখার নিচে ক্ষেত্রফলের গবেষণার সময়। জন ওয়ালিস এই কাজের উপর ভিত্তি করে এর মতো অভিব্যক্তি বিবেচনা করেন, যেখানে একটি ভগ্নাংশ। তিনি আবিষ্কার করেন যে (আধুনিক শর্তে লেখা) of এর পরপর আসা গুণাঙ্কগুলি পূর্ববর্তী গুণাঙ্কটিকে দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায় (যেমন পূর্ণসংখ্যক সূচকের ক্ষেত্রে), ফলে এই গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি সূত্রের প্রকাশ দেওয়া হয়। তিনি স্পষ্টভাবে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি লিখেন:
অতএব, দ্বিপদী ধারাটি কখনও কখনও "নিউটনের দ্বিপদী উপপাদ্য" হিসেবে অভিহিত করা হয়। নিউটন কোন প্রমাণ দেননি এবং ধারাটির প্রকৃতি সম্পর্কে স্পষ্টভাবে কিছু উল্লেখ করেননি। পরে, ১৮২৬ সালে নীলস হেনরিক আবেল এই বিষয়টি "ক্রেলস জার্নালে" প্রকাশিত একটি প্রবন্ধে আলোচনা করেন, যেখানে বিশেষভাবে সংকোচনের প্রশ্নগুলি বিবেচনা করা হয়।