বিনিময় বৈশিষ্ট্য

গণিতবিদ্যায়, কোন বাইনারি অপারেশানকে তখনই বিনিময় বলা হবে যখন তার অপারেন্ডগুলোর জায়গা পরিবর্তনের কারণে ফল এর কোন পরিবর্তন হবে না। এটি অনেক বাইনারি অপেরাশন এর প্রাথমিক ভিত্তি বৈশিষ্ট্য এবং অনেক গাণিতিক প্রমাণ এর উপর নির্ভর করে। সর্বাধিক পরিচিত বিশিষ্টের যা এই নামের মধ্যে বলা হয়েছেঃ বা , এছাড়াও এই বিশিষ্টটি আরও বড় কোন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই নামটি দরকার ছিল কারণ আরও অনেক অপেরাশন আছে যেমন ভাগ ও বিয়োগ, যাদের এই বিশিষ্টটি নাই, এই অপেরাশনগুলো বিনিময় যোগ্য "না।" তাই এদের "অবিনিময় যোগ্য অপেরাশন" বলা হয়। অপেরাশনের সাধারণ ধারণা যেমন কোন সংখ্যার গুণ ও যোগ হল বিনিময়যোগ্য এবং অনেক বছর আগ থেকেই এই ধারনার প্রয়োগ রয়েছে। যদিও এই ১৯ শতকের আগ পর্যন্ত এর ধারনার কোন নাম ছিলোনা, যখন গণিতবিদ্যাকে বিধিবদ্ধ করা শুরু হয়েছিল। বাইনারি সম্পর্কগুলোর মধ্যে অনুরুপ সম্পর্ক বিদ্যমান; একটি বাইনারি সম্পর্ককে সদৃশ বলা হবে তখনই যখন তা অপারেন্ড এর ক্রমকে অগ্রাহ্য করবে। উদাহরণস্বরূপ, সমতা হল সেটাই যাতে দুটি সদৃশ গাণিতিক বস্তুর ক্রমকে অগ্রাহ্য করা হয়। 
বিনিময় বৈশিষ্ট্য এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা সাধারনত বাইনারি অপেরাশন ও ফাংশনসমূহের সাথে সম্পর্কযুক্ত। যদি কোন বাইনারি অপেরাশন একজড়া উপাদানকে বিনিময় বৈশিষ্ট্য হিসেবে ধরা হয় তবে ওই জোড়া উপাদানকে বিনিময় করতে বলা হয়।
বিনিময় শব্দটি বিভিন্ন সংশ্লিষ্ট অর্থে ব্যবহার হয়। 
 
বাইনারি অপেরাশনে বিনিময়ের দুটি চিরাচরিত উদাহরণ হলঃ
উদাহরণস্বরূপ, ৫ + ৪ = ৪ + ৫, উভয় রাশির যোগফল সমান ৯
উদাহরণস্বরূপ, ৫ x ৪ = ৪ x ৫, উভয় রাশির গুনফল সমান ১৫
উদাহরণস্বরূপ, যৌক্তিক দ্বিশর্তাধীন ফাংশন p ↔ q, q ↔ p এর সমতুল্য। এই ফাংশনটিকে অন্যভাবেও লেখা যায়, যেমন, p IFF q বা p ≡ q, অথবা Epq
কিছু অবিনিময়যোগ্য বাইনারি অপেরাশনঃ 
বিয়োগ হল অবিনিময় বৈশিষ্ট্য, যেহেতু, formula_6
ভাগ হল অবিনিময় বৈশিষ্ট্য, যেহেতু, formula_7
কিছু বাইনারি ট্রুথ ফাংশনও অবিনিময়যোগ্য, যেহেতু অপেরান্ডের ক্রম পরিবর্তন হলে ট্রুথ টেবিলে ফাংশনের পরিবর্তন হয়। উদাহরণস্বরূপ, "f" (A, B) A Λ ¬B (A AND NOT B) এবং "f" (B, A) B Λ ¬A এর ট্রুথ টেবিল হলঃ
আটটি অবিনিময়যোগ্য ফাংশনের জন্য, B"qp" = C"pq"; M"qp" = L"pq"; C"qp" = B"pq"; L"qp" = M"pq"; F"qp" = G"pq"; I"qp" = H"pq"; G"qp" = F"pq"; H"qp" = I"pq".
ম্যাট্রিক্সের গুণন প্রায় সব সময় অবিনিময়যোগ্য। উদাহরণস্বরূপঃ
ত্রিমাত্রিকভাবে যে কোন দুটি ভেক্টর গুণন (বা ক্রস গুণন) হল বিপরীত-বিনিময়যোগ্যঃ তার মানে, "b" × "a" = −("a" × "b")
আদিকাল থেকে বিনিময় বৈশিষ্ট্যের ব্যবহারের নমুনা পাওয়া যায়। মিশরীয়রা গুনফল বের করার ক্ষেত্রে গুণনকে সহজিকরন করার জন্য বিনিময় বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার করত। ইউক্লিড গুণনের ব্যবহার সম্পর্কে জানত বলে তার বই "এলিমেন্টস" থেকে ধারণা পাওয়া যায়। বিনিময় বৈশিষ্ট্যের আনুষ্ঠানিক ব্যবহার ১৮ শতকের শেষ ও ১৯ শতকের শুরুর দিক থেকে আরম্ভ হয়। তার পর থেকে গণিতবিদরা এই ফাংশনের তত্ত্ব নিয়ে কাজ শুরু করেন। বর্তমানে বিনিময় বৈশিষ্ট্য অতিপরিচিত ও গণিতবিদ্যার বিভিন্ন শাখার ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা হয়।
বিনিময় শব্দটি প্রথম পাওয়া যায় ১৮১৪ সালে ফ্রাঙ্কো সারভইস এর একটি আত্মজীবনীতে। সেই সময় তিনি যে ফাংশনটির জন্য বিনিময় শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন সেটিই এখন নিনিময় ফাংশন নামে পরিচিত। শব্দটি দুটি ফরাসি শব্দ থেকে এসেছে, একটি হল "কোম্যুতে" যার অর্থ "প্রতিষ্ঠাপিত করা বা স্থান পরিবর্তন" এবং এর বিভক্তি হিসেফবে আছে "আতিভ" যার অর্থ "কোন কিছু করার প্রবণতা" অতএব এদের মিলিত অর্থ হল "প্রতিস্থাপন বা স্থান পরিবর্তনের প্রবণতা"। ১৮৩৮ সালে এই শব্দটি ইংরেজিতে যুক্ত হয়, ট্রাঞ্জেকশন অফ দা রয়্যাল সোসাইটি অফ এডিনবার্গ, ডুঙ্কান ফ্রাকুহারসন গ্রিজোরি নিবন্ধটিকে "অন দা রিয়াল ন্যাচার অফ সিম্বোলিক অ্যালজেব্রা" নামে ১৮৪০ সালে প্রকাশিত করার সময় এটি ব্যবহার করে।
ট্রুথ-ফাংশনের প্রস্তাবিত যুক্তি হল, "বিনিময়" বা "বিনিময় যোগ্যতা" দুটি গ্রহণযোগ্য প্রতিস্থাপন নিয়মকে বোঝায়। এই নিয়মগুলো যুক্তিগত প্রমানের ক্ষেত্রে যুক্তিগত রাশির মধ্যে সমতুল্য চলকদের পক্ষান্তরিত করার অনুমতি দেয়। নিয়ম গুলো হলঃ
এবং
যেখানে "formula_11" হল একটি মেটালজিক্যাল সিম্বল যা "যা কোন প্রমানের প্রতিস্থাপনকে" প্রতিনিধিত্ব করে।
"বিনিময় যোগ্যতা" হল ট্রুথ ফাংশনের সমতুল্য যুক্তির কিছু যুক্তিগত সংযোজন। নিচের যুক্তিগত সাম্যতাগুলো যা প্রদর্শন করে তা হল বিনিময় যোগ্যতার নির্দিষ্ট সংযোগকারীর জন্য কিছু বৈশিষ্ট্যঃ
গ্রুপ বা সেট তত্ত্বে, অনেক বীজগাণিতিক কাঠামোকে বিনিময় যোগ্য বলা হয়, যখন কোন নির্দিষ্ট অপেরান্ড বিনিময় বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে। গণিতবিদ্যার উচু শাখাগুল, যেমন বিশ্লেষণ এবং Linear algebraরৈখিক বীজগণিতে বিনিময় যোগ্যতা সুপরিচিত অপারেশনগুলোর (যেমন বাস্তব ও জটিল সংখ্যার যোগ এবং গুণন) প্রমাণের জন্য প্রায়শই ব্যবহার করা হয় বা (বা নিখুঁতভাবে অনুমান করা হয়)। 
যৌথতা বৈশিষ্ট্যটি বিনিময় বিশিষ্টের সাথে ঘনিষ্ঠ ভাবে সম্পর্কিত। কোন একটি এক্সপ্রেশনের যৌথতা বৈশিষ্ট্য হল কোন অপেরাটরের একই অবস্থানে দুই বা ততোধিক ঘটনা যার অপেরাশনের ক্রম তার ফলকে প্রভাবিত করে না, যতক্ষণ পর্যন্ত না তাদের পদের ক্রমের পরিবর্তন হয়। অপরদিকে বিনিময় বিশিষ্টের ক্ষেত্রে পদের ক্রমের পরিবর্তন ফলকে প্রভাবিত করে না।
দৈনন্দিন জীবনে যে সব বিনিময় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয় তার বেশির ভাগই যৌথতা। কিন্তু বিনিময়যোগ্যতা পরোক্ষভাবে যৌথতা নয়। তার একটি বিপরিত-উদাহরণ হল একটি ফাংশন
যা পরিষ্কারভাবে বিনিময় যোগ্য ("x" ও "y" এর স্থান পরিবর্তনে ফলের মধ্যে কোন আসবে না), কিন্তু এটি যৌথতাযোগ্য নয় (যেহেতু, উদাহরণস্বরূপ, formula_17 but formula_18 ) 
কমুটেটিভে নন-এসোসিয়েটিভ মাগমস এ ধরনের আরও উদাহরণ খুজে পাওয়া যেতে পারে।
কিছু প্রতিসাম্যতা সরাসরি বিনিময়যোগ্য। যখন কোন বিনিময়যোগ্য অপেরাটরকে বাইনারি ফাংশনে লেখা হয় তখন যে ফাংশনটি পাওয়া যায় তা "y = x" লাইনটি মেনে চলে। ধরি, যদি "f" একটি সংযোজন ফাংশন (একটি বিনিময়যোগ্য অপেরাশন) "f"("x","y") = "x" + "y" হয়, তবে "f" একটি প্রতিসাম্য ফাংশন। যা ডানপাশের ছবিটিতে দ্যাখা যাচ্ছে।
সম্পর্কের ক্ষেত্রে, প্রতিসাম্যতার সম্পর্ক অনেকটা বিনিময় অপেরাশনের মত। এখানে যদি "R" এর সম্পর্কটি প্রতিসাম্য হয় তবে, formula_19
স্রডিঞ্জার এর প্রতিয়মান করা কোয়ান্টাম ম্যাকানিক্সে, বাস্তব চলককে লিনিয়ার অপেরাটর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেমন, "x" ("x" দ্বারা গুণ) এবং formula_20। formula_21 and formula_22 (এদের গুণন অপেরাটর বলে) এর সংযোজনকে বিবেচনা করলে একমাত্রিক তরঙ্গ ফাংশন formula_23: এর মধ্যে এই দুটি অপেরাটরকে যেভাবে দেখা যাচ্ছে সেভাবে বিনিময় করা যাবে নাঃ
হেইজেরবারগ এর অনিশ্চয়তা নীতি অনুসারে, যদি দুটি অপেরাটরকে একজোড়া চলক দ্বারা প্রকাশ করা হয় যা বিনিময় করা যায় না, তবে চলক জোড়া পরস্পর পরস্পরের পরিপূরক। তার মানে হল, তাদের মান একসাথে বের করা যাবে না এবং তা নিখুঁতভাবে জানা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, কোন একটি কণার X অক্ষে অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগ যথাক্রমে formula_25 ও formula_26 দ্বারা প্রকাশ করা হয় (এখানে formula_27 হল সংখিপ্ত প্লাঙ্ক ধ্রুবক)। এই উদাহরণটি formula_28 বাদে বাকীদের জন্য প্রযোজ্য, তার যদি অপেরাটরটি বিনিময় করা না যায় এবং তার বাস্তব অর্থ হল যেকোনো দিকে তার অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগ পরস্পর পরস্পরের পরিপূরক।