ফ্রাইসে সীমা

গাণিতিক যুক্তিবিদ্যায়, বিশেষ করে মডেল তত্ত্বের ক্ষেত্রে, ফ্রাইসে সীমা (যাকে ফ্রাইসে কন্সট্রাকশন বা ফ্রাইসে এমালগেমেশনও বলা হয়) হলো একটি পদ্ধতি যা (সীমিত) অবকাঠামো থেকে (অসীম) গাণিতিক কাঠামো তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। এটি একটি বিভাগে সরাসরি সীমার সাধারণ ধারণার একটি বিশেষ উদাহরণ। এই কৌশলটি ১৯৫০-এর দশকে ফরাসি যুক্তিবিদ রোল্যান্ড ফ্রেসির নাম অনুসারে তৈরি করা হয়েছিল। 
ফ্রাইসে-এর নির্মাণের মূল বিষয় হলো কীভাবে কেউ একটি ( গণনাযোগ্য ) কাঠামোকে তার সীমাবদ্ধ অবকাঠামো দ্বারা আনুমানিক করতে পারে তা দেখানো। একটা formula_1 ক্লাস সীমিত সম্পর্কীয় কাঠামোর, যদি formula_1 নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলোকে সন্তুষ্ট করে (নীচে বর্ণিত), তাহলে একটি অনন্য গণনাযোগ্য formula_3 কাঠামো বিদ্যমান, এর ফ্রাইসে সীমাকে বলা হয় formula_1, যা এর সমস্ত উপাদান ধারণ করে formula_1 অবস্ট্রাকচার হিসেবে।
ফ্রাইসে সীমা এবং সম্পর্কিত ধারণাগুলোর সাধারণ অধ্যয়নকে কখনো কখনো ফ্রাইসে তত্ত্ব বলা হয়। এই ক্ষেত্রটির গণিতের অন্যান্য অংশে ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে টপোলজিকাল গতিবিদ্যা, কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং রামসে তত্ত্ব । 
একটি ভাষা ঠিক করুন যা হলো formula_6 । "formula_6" দ্বারা " একটি কাঠামো ধরা হয়", যা একটি formula_6 স্বাক্ষরসহ যৌক্তিক কাঠামো।
একটি formula_6 - কাঠামোতে formula_10 ডোমেইনসহ formula_11, এবং একটি উপসেট formula_12-কে আমরা ব্যবহার করি formula_13 এর সর্বনিম্ন অবকাঠামো বোঝাতে। formula_10 যার ডোমেইন রয়েছে formula_15 (অর্থাৎ formula_15-এর মধ্যে সমস্ত ফাংশন এবং ধ্রুবক চিহ্নের অধীনে রয়েছে formula_6 )
একটি সাবস্ট্রাকচার formula_18 এর formula_10-কে তখন "পরিশেষে জেনারেট" হতে বলা হয় যদি formula_20 কিছু "সীমাবদ্ধ" উপসেটের জন্য formula_12 হয়। "বয়স যদি formula_10 হয়," নির্দেশিত formula_23, হলো সমস্ত "formula_10"-এর সীমাবদ্ধভাবে উৎপাদিত অবস্ট্রাকচারের শ্রেণী।
যেকোনো ক্লাস প্রমাণ করতে পারে যে formula_1 কিছু কাঠামোর বয়সের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত দুইটি শর্ত পূরণ করে:
বংশগত সম্পত্তি (এইচপি)
জয়েন্ট এমবেডিং প্রপার্টি (জেইপি)
উপরের হিসেবে, যেকোনো formula_6 - কাঠামো "formula_10, formula_23" এইচপি এবং জেইপিকে সন্তুষ্ট করে। ফ্রাইসে একটি সর্ট-অব-কনভার্স-এর ফলাফল প্রমাণ করে: যখন formula_1 সীমিতভাবে উৎপন্ন কোনো অ-খালি, গণনাযোগ্য সেট formula_6 - যে কাঠামোর উপরোক্ত দুইটি বৈশিষ্ট্য থাকে, আর তখন এটি কিছু গণনাযোগ্য কাঠামোর বয়স।
উপরন্তু, এটাও অনুমান করা হয় যে formula_1 নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট করবে।
একত্রিত সম্পত্তি (এপি)
অপরিহার্য গণনাযোগ্যতা (ইসি)
সেক্ষেত্রে, আমরা বলি যে K-তে একটি "ফ্রাইসে" "শ্রেণী", এবং একটি অনন্য (আইসোমরফিজম পর্যন্ত), গণনাযোগ্য, সমজাতীয় কাঠামো রয়েছে যেখানে formula_3 এবং যার বয়স formula_1। এই কাঠামোকে formula_1-এর "ফ্রাইসে" "সীমা" বলা হয়।
এখানে, "সমজাতীয়" মানে যেকোনো আইসোমরফিজম "formula_53" দুইটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন সাবস্ট্রাকচারের মধ্যে formula_31 পুরো কাঠামোর একটি অটোমরফিজম পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে।
প্রথাগত উদাহরণ হলো ক্লাস formula_55-এর সমস্ত সসীম রৈখিক ক্রমগুলোর মধ্যে, যার জন্য ফ্রাইসে সীমাটি হলো শেষবিন্দু ছাড়াই একটি ঘন রৈখিক ক্রম (অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম বা বৃহত্তম উপাদান নয়)। ক্যান্টরের আইসোমরফিজম উপপাদ্য অনুসারে, আইসোমরফিজম পর্যন্ত, এটি সর্বদা গঠনের সমতুল্য formula_56, যথা স্বাভাবিক ক্রমসহ মূলদ সংখ্যা ।
একটি অ-উদাহরণ হিসেবে, মনে রাখবেন যে না formula_57 বা formula_58 এর ফ্রাইসে সীমা formula_55। এর কারণ, যদিও উভয়ই গণনাযোগ্য এবং formula_55 আছে তাদের বয়স হিসেবে, তাই কেউই সমজাতীয় নয়। সেক্ষেত্রে, সাবস্ট্রাকচারগুলো বিবেচনা করুন formula_61 এবং formula_62, এবং আইসোমরফিজম formula_63 তাদের মধ্যে এটি একটি স্বয়ংক্রিয়তা বাড়ানো যাবে না formula_57 বা formula_58 যেহেতু formula_66-কে আমরা ম্যাপ করতে পারি এমন কোনো উপাদান নেই, যতক্ষণ আদেশ সংরক্ষণ করা হবে ততক্ষণ।
আরেকটি উদাহরণ হলো ক্লাস formula_67 সমস্ত সসীম গ্রাফের, যার ফ্রাইসে সীমা হলো রাডো গ্রাফ । 
যেকোনো মৌলিক "p" এর জন্য, বৈশিষ্ট্যগত "p" এর সসীম ক্ষেত্রগুলোর শ্রেণির ফ্রাইসে সীমা হলো formula_68-এর বীজগণিতীয় বন্ধ।
সসীম অ্যাবেলিয়ান <nowiki>পি</nowiki> -গ্রুপের ক্লাসের ফ্রাইসে সীমা হলো formula_69 ( প্রুফার গ্রুপের গণনাযোগ্যভাবে অনেক নকলের সরাসরি যোগফল)। সমস্ত সসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শ্রেণীর ফ্রাইসে সীমা হলো formula_70 .
সমস্ত সসীম গ্রুপের ক্লাসের ফ্রাইসে সীমা হলো হলের সার্বজনীন গ্রুপ ।
অতুচ্ছ সসীম বুলিয়ান বীজগণিত শ্রেণীর ফ্রাইসে সীমা হলো অনন্য গণনাযোগ্য পরমাণুবিহীন বুলিয়ান বীজগণিত।
বিবেচনাধীন ক্লাস formula_1-কে বলা হয় "অভিন্নভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত" যদি প্রত্যেকের জন্য formula_72, আকারের উপর আবদ্ধ একটি ইউনিফর্ম থাকে যা formula_72 -এর মধ্যে তৈরি করা (সাবস্ট্রাকচারের) formula_1-এর কাঠামো। formula_1-এর ফ্রাইসে সীমা ω-শ্রেণীগত যদি এবং শুধুমাত্র যদি formula_1 সমানভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত। যদি formula_1 সমানভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত হয়, তারপর ফ্রাইসে-এর সীমা formula_1-এর কোয়ান্টিফায়ার নির্মূল আছে। 
যদি formula_1-এর ভাষা সসীম, এবং শুধুমাত্র সম্পর্ক এবং ধ্রুবক নিয়ে গঠিত তাহলে formula_1 স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত।
উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থির ক্ষেত্রের উপর সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্থানগুলোর শ্রেণী সর্বদা একটি ফ্রাইসে শ্রেণী, তবে ক্ষেত্রটি সসীম হলেই এটি স্থানীয়ভাবে সমানভাবে সসীম। সসীম বুলিয়ান বীজগণিতের শ্রেণী স্থানীয়ভাবে সমানভাবে সসীম, যেখানে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের সসীম ক্ষেত্রের শ্রেণী বা সসীম গোষ্ঠী বা অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলো নয়, কারণ এই শ্রেণীর মধ্যে 1-উৎপন্ন কাঠামোর ইচ্ছামতো বড় সসীম আকার থাকতে পারে।