আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ

আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ (ইএফই; "আইনস্টাইন সমীকরণ" নামেও পরিচিত) হল আলবার্ট আইনস্টাইন এর সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্বে বর্ণিত ১০ টি সমীকরণ এর একটি সেট যা ভর ও শক্তি দ্বারা স্থানকাল-এ সৃষ্ট বক্রতার ফলাফল হিসেবে মহাকর্ষের মৌলিক বল বর্ণনা করে। টেনসর সমীকরণ হিসেবে ইএফই আইনস্টাইন কর্তৃক প্রথম প্রকাশিত হয় ১৯১৫ সালে, যা স্থানকাল বক্রতাকে (আইনস্টাইন টেনসর দ্বারা প্রকাশিত) সেই স্থানকাল (স্ট্রেস-এনার্জী টেনসর দ্বারা ব্যক্ত) এর স্থানীয় শক্তি ও ভরবেগ এর সাথে সমীকরণে প্রকাশ করে।
ম্যাক্সওয়েল সমীকরণের মাধ্যমে আধান ও তড়িৎ প্রবাহ ব্যবহার করে যেমন তড়িৎ-চুম্বকীয় ক্ষেত্র নির্ধারণ করা হয়, তেমনি ভর-শক্তি এবং রৈখিক ভরবেগের উপস্থিতির ফলাফলস্বরূপ স্থানকাল জ্যামিতি নির্ধারণে ইএফই ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ, তারা স্থানকালে একটি নির্দিষ্ট সজ্জার স্ট্রেস-এনার্জীর জন্য স্থানকালের মেট্রিক টেনসর নির্ধারণ করে। এভাবে ব্যবহৃত হওয়ায়, মেট্রিক টেনসর এবং আইনস্টাইন টেনসর এর মধ্যকার সম্পর্কই ইএফইকে অরৈখিক আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ এর একটি সেট হিসেবে লেখার অনুমোদন দেয়। ইএফইয়ের সমাধানগুলোই হল মেট্রিক টেনসরের উপাদানসমূহ। পরবর্তীতে জিওডেসিক সমীকরণ ব্যবহার করে কণাসমূহ এবং বিকিরণ(জিওডেসিক) এর প্রাথমিক জ্যামিতিক সঞ্চারপথ হিসেব করা হয়।
স্থানীয় শক্তি-ভরবেগ নিত্যতা মেনে চলার সাথে সাথে, যেখানে মহাকর্ষ ক্ষেত্র দুর্বল এবং গতিবেগ আলোর বেগ অপেক্ষা অনেক কম, সেখানে ইএফই নিউটনের মহাকর্ষ আইনে পরিণত হয়ে যায়।
প্রতিসাম্যতার মত কিছু অনুমিত জিনিস সরলীকরণ করার মাধ্যমেই ইএফই এর সঠিক সমাধান পাওয়া সম্ভব। ঘূর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বর এবং প্রসারণশীল মহাবিশ্ব এর মত অনেক মহাকর্ষীয় ঘটনার মডেল উপস্থাপনের জন্য অনেকসময়ই প্রকৃত সমাধান এর কিছু বিশেষায়িত শাখা অধ্যয়ন করা হয়ে থাকে। এছাড়াও সামান্য বিচ্যুতিতে বক্র স্থানকালকে প্রায় সমতল ধরে নিয়ে ইএফই এর আরো সরলীকরণ করা সম্ভব যা একে রৈখিক ইএফইতে রূপান্তর করে। এই ধরনের সমীকরণ মহাকর্ষীয় তরঙ্গের মত কিছু ঘটনা বুঝতে ব্যব্যহৃত হয়।
আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ (ইএফই) এভাবে লেখা যেতে পারেঃ
যেখানে "R" হল রিক্কি টেনসর, "R" হল স্কেলার কার্ভেচার, "g" হল মেট্রিক টেনসর, "Λ" মহাজাগতিক ধ্রুবক, "G" নিউটনের মহাকর্ষ ধ্রুবক,"c" শূণ্যস্থানে আলোর বেগ এবং "T" হল স্ট্রেস-এনার্জী টেনসর
ইএফই একসেট ৪x৪ মাত্রার প্রতিসাম্য টেনসর এর সাথে সম্পর্কযুক্ত একটি টেনসর সমীকরণ।
প্রতিটি টেনসরেরই ১০টি স্বাধীন উপাংশ রয়েছে। চার বিয়াংকী অভেদ ১০টি স্বাধীন উপাংশকে কমিয়ে ৬টি তে নিয়ে আসে, যা মেট্রিকে চারটি গজ ফিক্সিং ডিগ্রী অফ ফ্রীডম রাখে, যা স্বাধীনভাবে স্থানাঙ্ক পদ্ধতি বেছে নেওয়ার সাথে সম্পর্কিত।
যদিও প্রথমদিকে চতুর্মাত্রিক তত্ত্ব প্রসঙ্গে আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ গঠন করা হয়, তাত্ত্বিকগণ উচ্চ মাত্রার ক্ষেত্রেও এর ফলাফল বিশ্লেষণ করেছেন। সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্বের প্রাসঙ্গিকতার বাইরের এসব সমীকরণকেও এখন আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ হিসেবে উল্লেখ করা হয়। শূণ্যস্থানে ক্ষেত্র সমীকরণ(যখন "T" অভিন্নরূপে শূণ্য) আইনস্টাইন বহুধার কে বর্ণনা করে।
দেখতে সাদামাটা হওয়া সত্ত্বেও সমীকরণগুলো আসলে কিছুটা জটিল। স্ট্রেস-এনার্জী টেনসরের আকারে শক্তি ও ভরের একটি নির্দিষ্ট বণ্টনব্যবস্থায়, মেট্রিক টেনসর "g" এর সমীকরণ থেকে ইএফই বোঝা যায়, যেহেতু রিক্কি টেনসর এবং স্কেলার কার্ভেচার উভয়েই জটিল ও অরৈখিকভাবে মেট্রিকের উপর নির্ভর করে। প্রকৃতপক্ষে, পুরোপুরি লেখলে, ইএফই ১০ টি যুগ্ম, অরৈখিক, অধি-উপবৃত্তীয় আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের একটি ব্যবস্থা।
আইনস্টাইন টেনসর বর্ণনার মাধ্যমে যেকেউ আরো সংক্ষেপে ইএফই কে লেখতে পারে,
যেটি একটি দ্বিতীয় র‍্যাঙ্কের প্রতিসম টেনসর যা মেট্রিকের একটি ফাংশন॥
ইএফই কে তখন লেখা যায়,
জ্যামিতিক একক যেখানে G = c = 1 ব্যবহার করে, একে আবারো লেখা যায়,
বামপাশের রাশিমালা মেট্রিকে নির্ধারিত স্থানকাল বক্রতাকে বর্ণনা করে; ডানপাশের রাশিমালা বর্ণনা করে ঐ স্থানকালে বস্তু/শক্তিকে।
এই সমীকরণগুলোই স্থানকালের ভেতর দিয়ে মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর গতি বর্ণনাকারী জিওডেসিক সমীকরণের সাথে যৌথভাবে সাধারণ আপেক্ষিকতার গাণিতিক ভিত্তির গোড়াপত্তন করে।
উপরে উল্লেখিত ইএফই মিজনার, থোর্ণ, এবং হুইলার কর্তৃক প্রতিষ্ঠিত একটি আদর্শ অবস্থা। রচয়িতাগণ নিচের তিনটি চিহ্ন (S1, S2, S3) অনুসারে বিদ্যমান সকল ধরনের প্রথা বিশ্লেষণ এবং শ্রেণিবিন্যাস করেছেনঃ
উপরের তৃতীয় চিহ্নটি রিক্কি টেনসরের প্রথা বেছে নেওয়ার সাথে সম্পর্কিতঃ
এই সংজ্ঞানুসারে, মিজনার,থোর্ণ, এবং হুইলার এদের (+++) হিসেবে শ্রেণীবদ্ধ করেছেন, যেখানে ওয়াইনবার্গ(১৯৭২) এর ক্ষেত্রে এটি(+--),পীবলস(১৯৮০) এবং এফস্টাথিও(১৯৯০) (-++), যখন পীকক(১৯৯৪),রিনডলার(১৯৭৭),এটওয়াটার(১৯৭৪), কলিন্স মার্টিন ও স্কোয়ারস(১৯৮৯) অনুযায়ী (-+-)।
আইনস্টাইন সহ অন্যান্য লেখকগণ রিক্কি টেনসরের সংজ্ঞায় একটি ভিন্ন চিহ্নের ব্যবহার করেছেন ফলাফলস্বরূপ যা ডানপক্ষের ধ্রুব পদটিকে ঋণাত্মক রাখে।
মহাজাগতিক পদটির চিহ্ন(অত্যন্ত ছোট) উভয়ই সংস্করণেই পরিবর্তন হবে, মি-থো-হু (-+++)মেট্রিক চিহ্ন প্রথার বদলে যদি(+---) মেট্রিক চিহ্ন প্রথা ব্যবহৃত হয়।
ইএফই এর উভয়পক্ষে মেট্রিকের সাপেক্ষে ট্রেস নিয়ে পাই,
যেখানে "D" হল স্থানকাল মাত্রা। এই রাশিমালাকে এভাবেও লেখা যায়,
এর সাথে যদি −"g" গুণ করে ইএফই সমীকরণে বসানো যায়,তবে নিচের তূল্য "ট্রেস-রিভার্স" অবস্থাটি পাওয়া যায়,
উদাহরণস্বরূপ, "D" = 4 এর জন্য সমীকরণটি পরিণত হয়,
একে আবার "ট্রেস-রিভার্স" করলে আসল ইএফই পাওয়া যায়। "ট্রেস-রিভার্স" গঠনটি কিছুক্ষেত্রে অধিক সুবিধা তৈরী করে( উদাহরনস্বরূপ,দুর্বল-ক্ষেত্র সীমায় কোন প্রকার উল্লেখযোগ্য সূক্ষ্মতার পরিবর্তন না করে এর ডানপক্ষের "g" এর পরিবর্তে মিনস্কৌকি মেট্রিক ব্যবহার করা যায়)।
আইনস্টাইন তার সমীকণে মেট্রিক এর সমানুপাতিক একটি মহাজাগতিক ধ্রুবক অন্তর্ভূক্ত করতে সমীকরণে কিছুটা পরিবর্তন আনেন,
যেহেতু,"Λ" একটি ধ্রুবক, তাই, শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি বিঘ্নিত হচ্ছেনা।
মূলত মহাজাগতিক ধ্রুবক পদটি আইনস্টাইন এনেছিলেন স্থির বিশ্ব(যা প্রসারিত বা সংকোচিত কিছুই হচ্ছে না) প্রতিষ্ঠার জন্য। এরূপ চেষ্টা ফলপ্রসূ হয়নি কেননাঃ
তাই, আইনস্টাইন (তার) জীবনের সবচে বড় ভুল উল্লেখ করে "Λ" কে পরিত্যাগ করেন।
আইনস্টাইনের মহাজাগতিক ধ্রবক পদটি নিয়ে আসা সত্ত্বেও, এধরনের কোন পদ সমীকরণে কোন অসঙ্গতি সৃষ্টি করেনি। বহুবছর ধরে সার্বজনীনভাবে মহাজাগতিক ধ্রুবক পদটি প্রায় ০ বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু আধুনিক উন্নত জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক কলাকৌশলে ত্বরণশীল মহাবিশ্ব ব্যাখ্যার জন্য formula_13 এর ধনাত্মক মানের প্রয়োজনীয়তা উঠে আসে।
যদিও আইনস্টাইন মহাজাগতিক ধ্রুবককে একটি স্বাধীন মাপকাঠি হিসেবে ভেবে নিয়েছিলেন, কিন্তু স্ট্রেস-এনার্জী টেনসরের অংশ হিসেবে লেখলে, ক্ষেত্র-সমীকরণে অন্যপাশেও এর পদ বসতে পারেঃ
লব্ধি শূন্যস্থান শক্তি(vacuum energy) ধ্রুব এবং লেখা যায়
অর্থাৎ,মহাজাগতিক ধ্রুবকের অস্তিত্ব একটি অশূন্য শূণ্যস্থান শক্তির সমতূল্য
আর তাই, সাধারণ আপেক্ষিকতত্ত্বে 'মহাজাগতিক ধ্রুবক' এবং 'শূন্যস্থান শক্তি' এ দুটি পদ পারস্পারিক রূপান্তর যোগ্য।
সাধারণ আপেক্ষিকতা স্থানীয় শক্তি ও ভরবেগের সংরক্ষণশীলতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যা এভাবে প্রকাশিত,
যা স্থানীয় স্ট্রেস-এনার্জী সংরক্ষনশীলতা প্রকাশ করে। এই সংরক্ষনশীলতা একটি ভৌত প্রয়োজনীয়তা। এই ক্ষেত্র সমীকরণ দিয়ে আইনস্টাইন শক্তির নিত্যতা নীতির সাধারণ আপেক্ষিকতত্ত্বের সঙ্গতি নিশ্চিত করেন।
অরৈখিকতা সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্বকে পদার্থবিজ্ঞানের অন্যান্য তত্ত্ব থেকে পৃথক করেছে। উদাহরণস্বরূপ, তড়িৎ এবং চুম্বকক্ষেত্রে, এবং আধান ও তড়িত-প্রবাহ বণ্টনের ক্ষেত্রে তড়িৎ-চুম্বকত্বের ম্যাক্সওয়েল সমীকরণ একটি রৈখিক সমীকরণ। ওয়েভফাংশনের ক্ষেত্রে কোয়ান্টাম মেকানিক্স এর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণও রৈখিক সমীকরণের আরেকটি উদাহরণ।
দুর্বল মহাকর্ষ ক্ষেত্রে এবং ধীরগতির ক্ষেত্রে আসন্ন মান ব্যবহার করে ইএফই হতে নিউটনের মহাকর্ষ আইন প্রতিপাদন করা যায়। মূলত, ইএফই তে ধ্রুবক "G" কে আনা-ই হয়েছে এ দুটি বিষয় ধরে নিয়ে।
!নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র প্রতিপাদন
নিউটনীয়ান মহাকর্ষ স্কেলার ক্ষেত্রের তত্ত্ব থেকে "Φ" কে মহাকর্ষ বিভব হিসেবে লেখা যেতে পারে, যা জুল পার কেজি এককে
যেখানে "ρ" হল ঘণত্ব. একটি মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর কক্ষপথ নিচের সমীকরণকে সিদ্ধ করে,
টেনসর রূপে লেখলে, দাঁড়ায়