পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড়

গণিতে, দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং এর পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় (ইংরেজি Arithmetic–geometric mean বা AGM ) হল পাটিগণিত উপায়ের একটি ক্রম এবং জ্যামিতিক উপায়ের একটি ক্রমের পারস্পরিক সীমা। পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় দ্রুত অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয় সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং অন্যান্য বিশেষ ফাংশনের জন্য, সেইসাথে কিছু গাণিতিক ধ্রুবক, বিশেষ করে, π কম্পিউটিং ।
পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অর্থের অসমতা তা বোঝায় formula_1 এবং এইভাবে formula_2 অর্থাৎ, ক্রম কমছে না এবং উপরে এবং এর বড় দ্বারা আবদ্ধ। একঘেয়ে অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা, ক্রমটি অভিসারী, তাই সেখানে একটি আছে যেমন: formula_3 যাইহোক, আমরা এটিও দেখতে পারি: formula_4 এবং তাই: formula_5
পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড়কে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করা যেতে পারে এবং যখন বর্গমূলের শাখাগুলিকে অসঙ্গতভাবে নেওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়, তখন সাধারণত এটি একটি বহুমূল্যের ফাংশন । 
 এবং এর পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় খুঁজে পেতে, নিম্নরূপ পুনরাবৃত্তি করুন: formula_6 প্রথম পাঁচটি পুনরাবৃত্তি নিম্নলিখিত মান দেয়:
সংখ্যার সংখ্যা যেখানে এবং সম্মত (আন্ডারলাইন) প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে প্রায় দ্বিগুণ হয়। ২৪ এবং ৬ এর পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় হল এই দুটি অনুক্রমের সাধারণ সীমা, যা প্রায় ।
এই ক্রম জোড়ার উপর ভিত্তি করে প্রথম অ্যালগরিদম Lagrange (ল্যাগ্রঞ্জ) এর কাজগুলিতে উপস্থিত হয়েছিল। এর বৈশিষ্ট্যগুলি গাউস দ্বারা আরও বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। 
দুটি সংখ্যার মধ্যে এবং দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় এবং গাণিতিক গড় উভয়ই রয়েছে। (এগুলি "কঠোরভাবে" যখন মধ্যে থাকে।) দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় কখনই পাটিগণিত গড় থেকে বেশি হয় না। সুতরাং জ্যামিতিক মানে হল একটি ক্রমবর্ধমান ক্রম ; পাটিগণিতের অর্থ হল একটি ক্রমহ্রাসমান ক্রম ; এবং যেকোনো এর জন্য। এইগুলি কঠোর অসমতা যদি হয়।
১ এর পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় এবং ২ এর বর্গমূলের পারস্পরিক অর্থ হল গাউসের ধ্রুবক । formula_13 ১৭৯৯ সালে, গাউস প্রমাণ করেছিলেন যে formula_14 যেখানে formula_15 লেমনিসকেট ধ্রুবক।
১৯৪১ সালে, formula_16 (এবং তাই formula_17 ) থিওডর স্নাইডার দ্বারা অতীন্দ্রিয় প্রমাণিত হয়েছিল। সেট formula_18 বীজগণিতভাবে স্বাধীন ওভার formula_19, কিন্তু সেট formula_20 (যেখানে প্রাইম দ্বিতীয় ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভকে বোঝায়) বীজগণিতভাবে স্বাধীন নয় formula_19 . আসলে, formula_22 জ্যামিতিক-হারমনিক গড় GH জ্যামিতিক এবং সুরেলা উপায়ের সাদৃশ্য ক্রম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে এবং আসলে । পাটিগণিত–হারমোনিক গড় জ্যামিতিক গড়ের সমতুল্য ।
পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে - অন্যদের মধ্যে - লগারিদম, প্রথম এবং দ্বিতীয় ধরণের সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড, এবং জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশন । 
পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অর্থের অসমতা তা বোঝায় formula_1 এবং এইভাবে formula_2 অর্থাৎ, ক্রম কমছে না এবং উপরে এবং এর বড় দ্বারা আবদ্ধ। একঘেয়ে অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা, ক্রমটি অভিসারী, তাই সেখানে একটি আছে যেমন: formula_3 যাইহোক, আমরা এটিও দেখতে পারি: formula_4 এবং তাই: formula_5
এই প্রমাণ গাউস দিয়েছেন। যাক
formula_28
formula_29
ইন্টিগ্রেশন এর পরিবর্তনশীল পরিবর্তন formula_30, কোথায়
formula_31
formula_32
formula_33
formula_28
formula_29
এই ফলন formula_36
দেয়
formula_37
এইভাবে, আমরা আছে
formula_38 শেষ সমতা যে পর্যবেক্ষণ থেকে আসে formula_39 .
অবশেষে, আমরা পছন্দসই ফলাফল প্রাপ্ত
formula_40
গাউস-লেজেন্ডার অ্যালগরিদম অনুসারে,
formula_41
যেখানে
formula_42
সঙ্গে formula_43 এবং formula_44, যা ব্যবহার করে নির্ভুলতার ক্ষতি ছাড়াই গণনা করা যেতে পারে
formula_45
নিচ্ছেন formula_46 এবং formula_47 AGM ফলন
formula_48
যেখানে হল প্রথম ধরনের একটি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড :
formula_49
অর্থাৎ এজিএমের মাধ্যমে এই ত্রৈমাসিক সময়টি দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে, formula_50
জন ল্যান্ডেন এর আরোহী রূপান্তর সহ AGM-এর এই বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে, রিচার্ড পি. ব্রেন্ট প্রাথমিক ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ফাংশনগুলির দ্রুত মূল্যায়নের জন্য প্রথম এজিএম অ্যালগরিদমের পরামর্শ দিয়েছেন ( , , )। পরবর্তীকালে, অনেক লেখক এজিএম অ্যালগরিদমগুলির ব্যবহার অধ্যয়ন করতে গিয়েছিলেন।