সংকোচনশীল ধারা

যে ধারার যোগফল, পদগুলির সংখ্যা অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে অভিন্ন হয়, তাকে সংকোচনশীল ধারা বা অভিসারী ধারা বলা হয়। আরও স্পষ্টভাবে, একটি অসীম ক্রম formula_1 একটি সিরিজ সংজ্ঞায়িত করে যা চিহ্নিত করা হয়
একটি ধারা সংকোচনশীল হয় যদি এবং কেবল যদি অনুক্রম formula_4 এর আংশিক যোগফল একটি সীমাতে থাকে; যার মানে formula_5 সূচকের ক্রমানুসারে যখন ধারার পদগুলোকে একের পর এক যোগ করা হয়, তখন প্রাপ্ত আংশিক যোগফলগুলো ধীরে ধীরে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছাকাছি চলে আসে।। আরও স্পষ্টভাবে, একটি ধারা সংকোচনশীল হয় যদি এবং কেবল যদি একটি নির্দিষ্ট মান formula_6 থাকে এবং যেকোনো ছোট মান formula_7-এর জন্য, এমন একটি পূর্ণসংখ্যা formula_8 পাওয়া যায় যা সবার জন্য formula_9, formula_8-তম পদ থেকে শুরু করে পরবর্তী সকল পদের যোগফল formula_6-এর খুব কাছাকাছি থাকে (formula_7 দূরত্বের মধ্যে)।
সিরিজটি অভিসারী হলে, (অগত্যা অনন্য) সংখ্যা formula_6 "সিরিজের যোগফল" বলা হয়। যদি ধারাটি সংকোচনশীল হয়, অর্থাৎ যদি তার যোগফল একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে অভিন্ন হয়,তাহলে সেই নির্দিষ্ট মান formula_6 কেই ঐ ধারাবাহিকের যোগফল বলা হয়।
ধারার ক্ষেত্রে সেই একই প্রতীক
আমরা ব্যবহার করি যা ধারাকে নিজে এবং যদি এটি সংকোচনশীল হয়, তবে তার যোগফলকেও নির্দেশ করে। এই পদ্ধতিটি যোগের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়, যেখানে চিহ্নটি ' এবং ' যোগ করার প্রক্রিয়াকে এবং এই যোগফলের মানকেও নির্দেশ করে।
সংকোচনশীল নয় এমন যেকোন ধারাকে বলা হয় অপসারণশীল বা বিচ্যুত ধারা।
কোনো ধারাবাহিক অভিসারী নাকি অপসারী তা নির্ধারণ করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে।
তুলনা পরীক্ষা হল একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পদ্ধতি যা কোনো অসীম ধারাবাহিক অভিসারী হবে নাকি অপসারী, তা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।
ধরা যাক দুটি অনুক্রম formula_28 এবং formula_29 রয়েছে। যদি প্রতিটি "n" -এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ হয়:
তাহলে ধারাটি formula_32​ ও অভিসারী হবে।
অনুপাত পরীক্ষা :ধরা যাক একটি ধারা formula_32 রয়েছে এবং প্রতিটি "n" -এর জন্য formula_34 শূন্য নয়। এখন,
যদি r<1: ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি তাহলে ধারাটি অপসারী হয়। যদি হলে অনুপাত পরীক্ষা অস্পষ্ট, এবং এই ক্ষেত্রে ধারা অভিসারী বা অপসারী হতে পারে।
রুট টেস্ট বা "এন" রুট টেস্ট । মনে করুন অনুক্রমের শর্তাবলী অ-নেতিবাচক । "r" এর সংজ্ঞা:
যদি r<1: ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি তাহলে ধারাটি অপসারী হয়। যদি হলে অনুপাত পরীক্ষা অস্পষ্ট, এবং এই ক্ষেত্রে ধারা অভিসারী বা অপসারী হতে পারে।
অনুপাত পরীক্ষা এবং মূল পরীক্ষা উভয়ই একটি জ্যামিতিক ধারাবাহিকের সাথে তুলনা করে কাজ করে, এবং এইভাবে তারা একই রকম পরিস্থিতিতে কার্যকরী। আসলে, যদি অনুপাত পরীক্ষা কাজ করে (অর্থাৎ সীমা বিদ্যমান থাকে এবং 1 এর সমান না হয়) তবে মূল পরীক্ষাও কাজ করে; তবে বিপরীতটি সত্য নয়। অতএব মূল পরীক্ষা আরও সাধারণভাবে প্রযোজ্য, তবে বাস্তবিক দৃষ্টিকোণ থেকে সাধারণত দেখা যায় এমন ধরনের ধারাবাহিকের জন্য সীমা গণনা করা প্রায়শই কঠিন।
অখণ্ড পরীক্ষায় একটি ধারাবাহিকের পদগুলিকে একটি অখণ্ডের অন্তরীকরণের মানের সাথে তুলনা করা হয়। এই তুলনার মাধ্যমে আমরা ধারাবাহিকটি অভিসারী হবে নাকি বিচ্যুত হবে তা নির্ধারণ করতে পারি। ধরা যাক formula_37 একটি পজিটিভ এবং মনটোনাস হ্রাস ফাংশন হবে, যদি
সীমা তুলনা পরীক্ষা . ধরা যাক, দুটি ধারা formula_39, এবংformula_40 অস্তিত্ব করে এবং শূন্য নয়, যদি formula_31 অভিসারী হয়, তাহলে formula_32 ও অভিসারী হবে। যদি formula_31 অপসারী হয়, তাহলে formula_32 ও অপসারী হবে।
অল্টারনেটিং সিরিজ টেস্ট । এটিকে লাইবনিজ মানদণ্ড (Leibniz Criterion) নামেও ডাকা হয়। যদি একটি পর্যায়ক্রমিক ধারা নিচের আকারের হয়:formula_45এবং formula_28 ধারাটি নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করেঃ
তাহলে ধারা অভিসারী হবে।
কচি ঘনীভবন পরীক্ষা । যদি formula_28 একটি ধনাত্মক এবং মনোটোনিক হ্রাসমান ধারা হয়, formula_49 অভিসারী হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি formula_50 অভিসারী হয়।
ডিরিচলেটের পরীক্ষা
হাবিলের পরীক্ষা
যদি একটি ধারা formula_51 অভিসারী হয়, তবে বলা হয় যে formula_32 ধারা পূর্ণভাবে অভিসারী। যদি formula_32 পূর্ণভাবে অভিসারী হয়, তবে এটি অভিসারীও হবে। তবে বিপরীতটি সবসময় সত্য নয়। সূচকীয় ফাংশনের এর ম্যাকলরিন সিরিজ এই গুণাবলীর একটি উদাহরণ।
একটি ধারা formula_32 শর্তসাপেক্ষ অভিসারী হয় যদি formula_51 অপসারী হয়, এবং formula_32 অভিসারী হয়। formula_57 এর ম্যাকলরিন ধারা 
<nowiki>রিম্যান সিরিজের উপপাদ্যটি</nowiki> বলে যে, যদি কোনো অসীম ধারাবাহিক শর্তসাপেক্ষে অভিসারী হয়, তবে ধারাবাহিকের পদগুলিকে এমনভাবে পুনর্বিন্যস্ত করা যায় যে নতুন ধারাবাহিকটি যেকোনো বাস্তব সংখ্যায় অভিসারী হবে, বা এমনকি বিচ্যুত হবে। Agnew-এর উপপাদ্যটি এমন পুনর্বিন্যস্তকরণগুলিকে চিহ্নিত করে যা সমস্ত ধারাবাহিকের জন্য অভিসারণ বজায় রাখে।
ধরা যাক, formula_58 হলো একটি ফাংশনের ধারার অনুক্রম। সিরিজ formula_59 বলা হয় সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে অভিসারী যদি ফাংশনের আংশিক যোগফলগুলোর অনুক্রম formula_60 , যেখানে
"f-" এ অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়।
অনন্ত ফাংশন ধারাবাহিকের জন্য তুলনা পরীক্ষার একটি অনুরূপ রয়েছে যাকে ওয়াইয়ারস্ট্রাস এম-পরীক্ষা বলা হয়।
কাউশি অভিসারণ মানদণ্ড অনুযায়ী, একটি সিরিজ
অভিসারী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার আংশিক যোগফলগুলোর অনুক্রম একটি কাউশি অনুক্রম (Cauchy sequence) হয়। এর মানে হলো, প্রতিটি formula_63
formula_64 এর জন্য
যার সমতুল্য
formula_66