কোলাৎজ অনুমান

কোলাৎজ অনুকল্প গণিতের সর্বাধিক বিখ্যাত অমীমাংসিত সমস্যাগুলোর একটি। এই অনুমানটি জিজ্ঞাসা করে যে দুটি সরল গাণিতিক প্রক্রিয়া বারংবার প্রয়োগের মাধ্যমে সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকেই কি শেষ পর্যন্ত ১-এ রূপান্তর করা সম্ভব? এটি পূর্ণসংখ্যার অনুক্রমগুলোর সাথে সম্পর্কিত, যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে নিম্নরূপে পাওয়া যায়: কোনো পদ জোড় হলে, পরবর্তী পদ হবে তার অর্ধেক। পদটি বিজোড় হলে, পরবর্তী পদ হবে পূর্ববর্তী পদের তিন গুণের সাথে ১ যোগ। এই অনুমান অনুসারে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে অনুক্রম শুরু করলেই তা শেষে ১-এ পৌঁছাবে। যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য এই অনুকল্পটি ২.৩৬ × ১০ পর্যন্ত যাচাই করা হয়েছে, তবে কোনো সাধারণ প্রমাণ এখনো পাওয়া যায়নি। 
এটির নামকরণ করা হয়েছে গণিতবিদ লোথার কোলাৎজের নামে, যিনি ডক্টরেট পাওয়ার দুই বছর পর ১৯৩৭ সালে এই ধারণাটি প্রবর্তন করেন। সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলির অনুক্রমকে কখনও কখনও হেইলস্টন অনুক্রম, শিলাবৃষ্টি সংখ্যা বা শিলাবৃষ্টি অঙ্ক (কারণ মানগুলো সাধারণত মেঘে শিলাবৃষ্টির মতো একাধিকবার উপরে-নিচে ওঠানামা করে) অথবা বিস্ময়কর সংখ্যা বলা হয়। 
পল এর্ডশ কোলাৎজ অনুকল্প সম্পর্কে বলেছিলেন: "গণিত হয়তো এখনো এমন সমস্যাগুলোর জন্য প্রস্তুত নয়।" জেফ্রি লাগারিয়াস ২০১০ সালে উল্লেখ করেন যে কোলাৎজ অনুকল্প "একটি অসাধারণভাবে কঠিন সমস্যা, যা বর্তমান গণিতের সম্পূর্ণ আওতার বাইরে"। তবে, যদিও কোলাৎজ অনুকল্প নিজে অমীমাংসিত রয়ে গেছে, এটি সমাধানের প্রচেষ্টা নতুন কৌশল এবং অনেক আংশিক ফলাফলের জন্ম দিয়েছে।
 
যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর নিম্নলিখিত অপারেশনটি বিবেচনা করুন: 
মডুলার গাণিতিক নোটেশনে, ফাংশন কে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়: 
formula_1 
যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে শুরু করে এই অপারেশনটি বারংবার প্রয়োগ করে একটি অনুক্রম গঠন করুন, যেখানে প্রতিটি ধাপের ফলাফল পরবর্তী ধাপের ইনপুট হিসেবে ব্যবহৃত হয়। 
গণিতের ভাষায়: 
formula_2 
কোলাৎজ অনুকল্পের মূল বক্তব্য: "যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে শুরু করলেই এই প্রক্রিয়াটি শেষে সংখ্যা ১-এ পৌঁছাবে। অর্থাৎ, প্রতিটি" formula_3 এর জন্য এমন কোনো formula_4 বিদ্যমান যেখানে formula_5। 
অনুকল্পটি মিথ্যা হলে একমাত্র সম্ভব হবে যদি এমন কোনো প্রারম্ভিক সংখ্যা থাকে যা ১-বিহীন কোনো অনুক্রম তৈরি করে। এমন অনুক্রম হয় ১-বর্জিত কোনো পুনরাবৃত্ত চক্রে প্রবেশ করবে, অথবা সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পাবে। এখন পর্যন্ত এমন কোনো অনুক্রম পাওয়া যায়নি। 
ক্ষুদ্রতম যার জন্য হয়, তাকে এর থামার সময় (stopping time) বলা হয়। অনুরূপভাবে, ক্ষুদ্রতম যার জন্য হয়, তাকে এর মোট থামার সময় (total stopping time) বলা হয়। যদি বা এর কোনোটি বিদ্যমান না থাকে, তবে আমরা বলি থামার সময় বা মোট থামার সময় যথাক্রমে অসীম। 
কোলাৎজ অনুকল্প দাবি করে যে প্রতিটি এর মোট থামার সময় সসীম। এটি এই কথারও সমতুল্য যে প্রতিটি এর একটি সসীম থামার সময় আছে। 
যেহেতু বিজোড় হলে সর্বদা জোড় হয়, তাই কোলাৎজ ফাংশনের একটি "শর্টকাট" রূপ ব্যবহার করা যেতে পারে: 
formula_6 
এই সংজ্ঞাটি প্রক্রিয়ার সামগ্রিক গতিবিদ্যা পরিবর্তন না করেই থামার সময় ও মোট থামার সময়ের মান হ্রাস করে।
উদাহরণস্বরূপ, দিয়ে শুরু করে এবং "শর্টকাট" ছাড়া ফাংশন প্রয়োগ করলে অনুক্রমটি পাওয়া যায়: । 
যেসব প্রারম্ভিক মানের মোট থামার সময় তাদের থেকে ছোট যেকোনো প্রারম্ভিক মানের চেয়ে বেশি, তাদের অনুক্রম শুরু হয়: 
যেসব প্রারম্ভিক মানের সর্বোচ্চ ট্র্যাজেক্টরি বিন্দু যেকোনো ছোট প্রারম্ভিক মানের চেয়ে বেশি, সেগুলো হলো: 
সর্বাধিক মোট থামার সময়সহ প্রারম্ভিক মান 
এই সংখ্যাগুলো নির্দিষ্ট ধাপ সংখ্যার জন্য সর্বনিম্ন মান, তবে প্রদত্ত সীমার মধ্যে একমাত্র নয়। যেমন, এরও এর মতো ১১৩২ ধাপ আছে। 
ডিজিট সংখ্যার (বাইনারি) সাপেক্ষে সর্বনিম্ন মোট থামার সময় বিশিষ্ট প্রারম্ভিক মানগুলি হলো দুটির ঘাত (powers of two), যেহেতু কে ১-এ পৌঁছাতে বার অর্ধেক করা হয় এবং এটি কখনও বৃদ্ধি পায় না।