উইলসনের উপপাদ্য

সংখ্যা তত্ত্ব ও বীজগণিতে উইলসনের উপপাদ্য একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য। উইলসনের উপপাদ্য অনুযায়ী, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা formula_1 এর জন্য formula_2 হবে কেবল এবং কেবল যদি formula_3 একটি মৌলিক সংখ্যা হয়। অর্থাৎ, যদি formula_4 একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, কেবল তখনই formula_5 এর মান formula_4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে ।
আনু. খ্রিস্টীয় ১০০০ সালের দিকে উইলসনের উপপাদ্য সর্বপ্রথম আলোকপাত করেছিলেন মুসলিম বিজ্ঞানী হাসান ইবনুল হায়সাম। ১৭৭০ সালে এডওয়ার্ড ওয়ারিং এই উপপাদ্যটি বিবৃত করেন কিন্তু কোনো প্রমাণ দেননি। তিনি এই আবিষ্কারের কৃতিত্ব তার ছাত্র জন উইলসনকে দেন। ১৭৭১ সালে প্রথমবার জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ এই উপপাদ্যের প্রমাণ দেন। এর প্রায় এক শতাব্দী আগে লিবনিজও এই ফলাফল সম্পর্কে জানতেন বলে প্রমাণ রয়েছে, কিন্তু তিনি এটি কখনো প্রকাশ করেননি।
প্রতিটি formula_3-এর জন্য (formula_8 থেকে formula_9 পর্যন্ত), নিম্নলিখিত সারণী formula_10 এর মান এবং formula_10-কে formula_3 দ্বারা ভাগ করার পর ভাগশেষ প্রদর্শন করে। (মডুলার পাটিগণিতের নোটেশনে, formula_13-কে formula_3 দ্বারা ভাগ করার পর ভাগশেষ "formula_15" দ্বারা লেখা হয়।)
সারণীর ব্যাকগ্রাউন্ডের রঙ এখানে নীল, মৌলিক মানের জন্য এবং সোনালী, যৌগিক মানের জন্য।
ধরি, formula_3 একটি যৌগিক সংখ্যা।
যেহেতু যৌগিক সংখ্যার দুইয়ের বেশি উৎপাদক থাকে, formula_17 আকারে, যেখানে formula_18.
এখন, formula_19
আবার, formula_20
সুতরাং, formula_21
এখন, formula_22 এবং formula_23 হল formula_10 এর যেকোনো দুটি উৎপাদক যা formula_25 দ্বারা বিভাজ্য।
তাই, formula_26
যেহেতু formula_27, formula_28
দেওয়া আছে যে formula_29
এর অর্থ formula_30
এটি বোঝায় যে formula_31
তাই, formula_32 যার অর্থ formula_33 কে formula_3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ formula_35 হবে।
এটি বোঝায় যে formula_36, যা বিরোধিতা সৃষ্টি করে কারণ formula_3 একটি যৌগিক সংখ্যা (আমাদের অনুমান অনুযায়ী), এবং formula_33 কোনো যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না।
আবার, formula_39 হওয়াটাও একটি কারণ যে formula_27, formula_33 কে ভাগ করতে পারে না।
সুতরাং, আমাদের অনুমান ভুল। formula_3 অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা হবে।
ধরি, formula_3 একটি মৌলিক সংখ্যা।
মডুলো formula_3-এ পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রটি বিবেচনা করে, ফার্মার লিটল থিওরেম থেকে আমরা জানি:
উক্ত ক্ষেত্রের প্রতিটি অশূন্য উপাদান formula_45 বহুপদীর একটি মূল।
যেহেতু ক্ষেত্রটিতে মাত্র formula_46 টি অশূন্য উপাদান আছে, তাই হয় formula_47 অথবা formula_48 জোড় সংখ্যা।
formula_47 হলে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা formula_50 এর জন্য, formula_51
formula_48 এর জন্য, formula_53
সুতরাং, formula_54
formula_55 বসালে, আমরা পাই formula_56
ধরি, formula_3 একটি মৌলিক সংখ্যা।
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার জন্য, formula_47: formula_59। (সত্য)
যদি formula_60 হয়, তবে যেকোনো formula_61 এর জন্য, এমন একটি formula_62 আছে, যেখানে formula_63
সেট formula_64 এর প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা formula_50 এর মডুলো formula_3-এ একটি গৌণিক বিপরীত সংখ্যা আছে।
এই গৌণিক বিপরীত সংখ্যাটি অনন্য এবং এটিকে formula_67 দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যদি formula_68 হয়, তবে formula_69
তারপর formula_70, যার মডুলো formula_3-এ দুটি মূল আছে: formula_72 এবং formula_73
এটি বোঝায় যে formula_74 অথবা formula_75
আমরা formula_33 থেকে formula_48 পর্যন্ত সকল পূর্ণসংখ্যাকে, formula_33 এবং formula_48 বাদে, formula_80 জোড়ায় সাজাতে পারি, যেখানে formula_63, শুধুমাত্র formula_33 এবং formula_48 বাদে যাদের গুণফল formula_84।
সুতরাং, formula_85।
উদাহরণস্বরূপ, formula_86 হলে:
formula_87
আবার, ফলাফলটি formula_88 এর জন্য প্রমাণিত, তাই ধরে নেই formula_4 একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, formula_90।
formula_91 বহুপদীটি বিবেচনা করি ।
এখানে formula_92-এর ডিগ্রী formula_93, প্রধান পদ formula_94, এবং ধ্রুবক পদ formula_95। এর formula_96টি মূল হল formula_97 ।
এখন বিবেচনা করি:
formula_98
formula_99-এরও ডিগ্রী formula_93 এবং প্রধান পদ formula_94 মডুলো formula_4। ফার্মার লিটল থিওরেম বলে যে, এটিতেও একই formula_96টি মূল আছে: formula_97।
অবশেষে, বিবেচনা করি:
formula_105
formula_106-এর ডিগ্রী সর্বাধিক formula_107 (যেহেতু প্রধান পদগুলি বাতিল হয়ে যায়), এবং মডুলো formula_4-এরও একই formula_96টি মূল আছে: formula_97।
কিন্তু লাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য বলে যে এটির সর্বাধিক formula_111টি মূল থাকতে পারে। অতএব, formula_106 অবশ্যই মডুলো formula_4 আইডেন্টিক্যালি শূন্য হতে হবে, তাই এর ধ্রুবক পদ হল formula_114। এটি উইলসনের উপপাদ্য।
উইলসনের উপপাদ্যকে সাইলোর উপপাদ্যের একটি নির্দিষ্ট প্রয়োগ থেকে নির্ণয় করা সম্ভব।
ধরা যাক, formula_4 একটি মৌলিক সংখ্যা।
সহজেই দেখা যায় যে, formula_4-এর জন্য formula_117 (সমমিতিক গ্রুপ) এ formula_4-ক্রম বিশিষ্ট formula_119 সংখ্যক উপাদান রয়েছে, যেগুলো formula_4-চক্রগুলোর সমষ্টি, অর্থাৎ formula_121।
অন্যদিকে, formula_117-এ প্রতিটি সাইলো formula_4-উপগ্রুপ আসলে formula_121-এর একটি অনুলিপি । ফলে, সাইলো formula_4-উপগ্রুপের সংখ্যা formula_126
তৃতীয় সাইলো উপপাদ্য থেকে পাই:
formula_127
এখন উভয় পাশকে formula_96 দ্বারা গুণ করলে পাওয়া যায়:
formula_129
উইলসনের উপপাদ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এটি একটি দ্বি-মুখী শর্ত প্রদান করে - অর্থাৎ একটি সংখ্যা মৌলিক হলেই কেবল এই শর্ত পূরণ করবে এবং শর্তটি পূরণ করলে সংখ্যাটি অবশ্যই মৌলিক হবে। এই বৈশিষ্ট্যটি অন্যান্য মৌলিকত্ব পরীক্ষার পদ্ধতিগুলোতে সেভাবে পাওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ, ফার্মার বা লুকাস-লেহমার পরীক্ষাগুলি শুধুমাত্র নির্দিষ্ট ধরনের সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য।
তবে উইলসনের উপপাদ্যের কিছু গুরুতর সীমাবদ্ধতাও রয়েছে। প্রথমত, বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে formula_95 গণনা করা অত্যন্ত কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ। দ্বিতীয়ত, কম্পিউটারে বড় ফ্যাক্টোরিয়াল মান সংরক্ষণ করা কঠিন, কারণ এই মান দ্রুত বৃদ্ধি পায়। এছাড়া, মডুলার পাটীগণিত ব্যবহার করেও বড় সংখ্যার জন্য গণনা করা কঠিন হয়ে পড়ে।
বাস্তব প্রয়োগের ক্ষেত্রে, উইলসনের উপপাদ্য মূলত ছোট মৌলিক সংখ্যা পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করা হয়। বড় সংখ্যার মৌলিকত্ব পরীক্ষার জন্য আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিতে মিলার-রাবিন বা সোলোভে-স্ট্রাসেন পরীক্ষার মতো সম্ভাব্যতামূলক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়। তবে তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে, উইলসনের উপপাদ্য মৌলিকত্ব পরীক্ষার একটি নির্ভুল ও সুন্দর পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত হয়।
উইলসনের উপপাদ্য ব্যবহার করে, যেকোনো বিজোড় মৌলিক সংখ্যা formula_131 এর জন্য, আমরা formula_132 সমীকরণের বাম পাশটি পুনর্বিন্যস্ত করতে পারি ।
এই সমীকরণটি পাওয়া যায়:
formula_133
অতএব,
formula_134
অথবা
formula_135
আমরা এই তথ্যটি ব্যবহার করে একটি বিখ্যাত ফলাফলের একটি অংশ প্রমাণ করতে পারি: যেকোনো মৌলিক সংখ্যা formula_4 এর জন্য, যেখানে formula_137, অর্থাৎ কোনো পূর্ণসংখ্যা formula_138 এর জন্য formula_139। সুতরাং formula_140 নিলে হয়:
formula_141।
উইলসনের উপপাদ্য ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র]] তৈরি করা হয়েছে, তবে সেগুলো ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে খুবই ধীর। যেমন:
১৯৬৪ সালে, সি.পি. উইলিয়ানস নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রদান করেন:
formula_142
যেখানে formula_143 হলো formula_3-তম মৌলিক সংখ্যা।
উইলসনের উপপাদ্য p-অ্যাডিক গামা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে সহায়তা করে।
গাউস প্রমাণ করেছিলেন যে formula_145
যেখানে "p" একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং formula_146 একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।
"Disquisitiones Arithmeticae" গাউসের সিসেরোনিয়ান ল্যাটিন থেকে ইংরেজি এবং জার্মান ভাষায় অনূদিত হয়েছে। জার্মান সংস্করণে সংখ্যা তত্ত্বের উপর তার সমস্ত কাজ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: কোয়াড্রাটিক রিসিপ্রোসিটির সমস্ত প্রমাণ, গাউসের যোগফলের চিহ্ন নির্ধারণ, বাইকোয়াড্রাটিক রিসিপ্রোসিটি ইনভেস্টিগেশন, এবং প্রকাশিত না হওয়া নোটগুলি।