কোশি অনুক্রম

গণিতশাস্ত্রে কোশি অনুক্রম () বলতে সেইসব অনুক্রমকে বোঝায় যেখানে অনুক্রমের অগ্রগতির সাথে সাথে পদ বা উপাদানগুলি একে অপরের সঙ্গে যতখুশি নিকটবর্তী হতে থাকে। আরও নির্দিষ্টভাবে বললে, যদি যেকোনো ধনাত্মক দূরত্ব-সীমা বেঁধে দেওয়া হয়, তাহলে সসীম সংখ্যক নির্দিষ্ট কয়েকটি পদকে বাদ দিলে বাকি প্রতিটি পদ একে অন্যের থেকে ঐ দূরত্ব-সীমার মধ্যে অবস্থান করবে। গণিতবিদ অগাস্টিন-লুইস কোশির নামে এই অনুক্রমগুলি নামাঙ্কিত। এদের কখনো কখনো মৌলিক অনুক্রম-ও বলা হয়।
তার মানে কিন্তু এটা দাঁড়ায় না যে "পরপর ক্রমিক" পদগুলির পার্থক্য যতখুশি ছোট হতে থাকলেই অনুক্রমটি কোশি হবে। যেমন, স্বাভাবিক সংখ্যাদের বর্গমূলের অনুক্রমকে নিলে:formula_1পরপর ক্রমিক পদগুলির পার্থক্য শূন্যের দিকে যেতে থাকে।formula_2কিন্তু; "n" অসীমের দিকে অগ্রসর হতে থাকলে, formula_3 ও অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, মানে যত ইচ্ছে (সসীম সংখ্যক) পদই বাদ দেওয়া হোক না কেন, বাকি সমস্ত পদগুলি কখনোই পরস্পরের কোনও নির্দিষ্ট দূরত্বের মধ্যে আসতে পারে না। এক্ষেত্রে যে কোনও সূচক "formula_4" এবং দূরত্ব-সীমা "formula_5" নেওয়া হলে দুটি এমন সূচক "formula_6" (উদাহরণ- "formula_7" ) পাওয়া যাবেই যাতে সেই পদগুলির পার্থক্য অন্তত "formula_8" হয়। সুতরাং এই অনুক্রমটি কোশি হতে পারে না।
কোশি অনুক্রমের সুবিধে হল যে, সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেসে (যেসব মেট্রিক স্পেসে সব কোশি অনুক্রমের ক্রম-সীমা বা লিমিট বর্তমান অর্থাৎ তারা সবাই অভিসারী), একটি অনুক্রমের অভিসারিত্ব শুধুই সেটির পদগুলির ওপরেই নির্ভর করে, যেখানে অভিসারিত্বের সাধারণ লিমিট সংজ্ঞা অনুক্রমের পদগুলির সঙ্গে সঙ্গে লিমিটটির মানের ওপরেও নির্ভরশীল। এই বৈশিষ্ট্যটি অনেকসময় বিভিন্ন তাত্ত্বিক ও ফলিত অ্যালগরিদমে ব্যবহার করা হয়, কারণ কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির ফলাফলগুলির অনুক্রম যে কোশি ধর্ম মেনে চলবে সেটা দেখানো তুলনামূলক সহজ; ফলশ্রুতিতে পদ্ধতিটির সমাপ্তি বা অন্য যৌক্তিক শর্ত মেনে চলা দেখানো যেতে পারে।
আরও বিমূর্ত ইউনিফর্ম স্পেসে কোশি অনুক্রমগুলির সাধারণিকরণ বিদ্যমান, যেমন কোশি ফিল্টার এবং কোশি নেটগুলির আকারে।
বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রমformula_9-কে কোশি অনুক্রম বলা হয়, যদি প্রতিটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার formula_10 জন্য পাল্টা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা formula_11 থাকে, যাতে করে তারপর থেকে সব স্বাভাবিক সংখ্যা- formula_12 -এর জন্যformula_13সিদ্ধ হয়, যেখানে উল্লম্ব রেখাদুটি পরম মান চিহ্নিত করে। অনুরূপভাবে মূলদ বা জটিল সংখ্যার কোশি অনুক্রমের সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব। কোশি এই শর্তটিকে ব্যাখ্যা করেছিলেন এইভাবে-- "m", "n" যেকোনো অসীম জোড়ের জন্য formula_14 কে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র হতে হবে।
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা "r"-এর জন্য, সেটির n-দশমিক অঙ্ক পর্যন্ত নেওয়া আসন্ন মানগুলির অনুক্রম কোশি অনুক্রম হয়। যথা, formula_15 এর জন্য অনুক্রমটি হবে (৩, ৩.১, ৩.১৪, ৩.১৪১, ...), এবং তার "m-"তম ও "n-"তম পদ দুটির পার্থক্য হয় বড়জোর formula_16 (formula_17 ধরে); "m" যত বড় হয় এই পার্থক্যের পরিমাণ যেকোনো পূর্বনির্দিষ্ট ধনাত্মক রাশির থেকে কম হয়ে যায়।
যদি formula_18, formula_19 সেটের অন্তর্গত একটি অনুক্রম হয়, তাহলে ঐ অনুক্রমের একটি "কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক" হবে স্বাভাবিক সংখ্যাদের সেট থেকে নিজেতে অঙ্কিত এমন একটি অপেক্ষক formula_20, যাতে করে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা formula_21 এবং স্বাভাবিক সংখ্যা formula_22 এর জন্য, formula_23 সিদ্ধ হয়।
কোনো অনুক্রমের যদি কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক থাকে, তাহলে সেটি কোশি অনুক্রম হতে বাধ্য। যেকোনো কোশি অনুক্রমেরও একটি কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক থাকতেই হবে-- স্বাভাবিক সংখ্যাদের ধর্ম থেকে এটা প্রতিষ্ঠা করা যায় (যেমন formula_24 কে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে-- formula_25 কে formula_26 নিলে কোশি অনুক্রমের সংজ্ঞায় ক্ষুদ্রতম যে formula_4 কাজ করে, সেই মান)। থেকেও এই গুণাঙ্কের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যায়। কোনো অনুক্রমের যদি "বিশেষ" একটি গুণাঙ্ক থেকে থাকে (সাধারণত formula_28 or formula_29), তাহলে অনুক্রমটিকে "সুষম কোশি অনুক্রম" বলা যায়। কোনোরকম পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার না করেই প্রমাণ করা যায়, যে কোনো কোশি অনুক্রম একটি সুষম কোশি অনুক্রমের তুল্যমূল্য।
যেসব গঠনমূলক গণিতবিদরা কোনো রকম পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করতে চান না, তাঁরা কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক ব্যবহার করেন। কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্কের ব্যবহার, গঠনমূলক গাণিতিক বিশ্লেষণে বিভিন্ন সংজ্ঞা ও উপপাদ্যকে সরলীকৃত করে। ও গঠনমূলক গাণিতিক বিশ্লেষণের পাঠ্যবইয়ে সুষম কোশি অনুক্রম ব্যবহার করেছিলেন।
কোনও মেট্রিক স্পেস ("X", "d") -কে সম্পূর্ণ বলা হয়, যখন "X" এর মধ্যের প্রতিটি কোশি অনুক্রম "X" এর মধ্যে অভিসারী হয়, অর্থাৎ এরকম একটি অনুক্রম নিলে তা "X" এর কোনো একটি সংশ্লিষ্ট সদস্যে অভিসৃত হয়।
দূরত্ব বা মেট্রিক হিসেবে পার্থক্যের পরম মান নিলে, বাস্তব সংখ্যা-দের সেটটি সম্পূর্ণ। আর বাস্তব সংখ্যার সেট-এর নির্মাণ করার একটি আদর্শ পদ্ধতি হল মূলদ সংখ্যা-দের কোশি অনুক্রমের মাধ্যমে। এই নির্মাণে, মূলদ কোশি অনুক্রমদের প্রতিটি এক একটি বাস্তব সংখ্যা, যে সম্পর্কে দুটি মূলদ কোশি অনুক্রমকে তুল্য বলে যদি তাদের মধ্যের দূরত্ব শূন্যের প্রতি যথেচ্ছভাবে অগ্রসর হতে থাকে।
যেকোনো মেট্রিক স্পেস "X" -কে বিচ্ছিন্ন দূরত্ব মেট্রিক দিলে (যেখানে যেকোনো দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব ধরা হয় 1) একটা খুবই অন্য ধাঁচের উদাহরণ তৈরি হয়। "X"-এর যেকোনো কোশি অনুক্রমকে একটা নির্দিষ্ট ক্রমের পর বাধ্যতামূলকভাবে পরিবর্তনহীন হয়ে পড়তে হয়, এবং সেই অপরিবর্তনশীল মানটিই অনুক্রমের ক্রম-সীমা হয়।
formula_30 অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা-দের সেটটি সম্পূর্ণ নয় (স্বাভাবিক দূরত্ব নিলে):
এমন অনেক মূলদ অনুক্রম আছে যারা (বাস্তব বা formula_31 সংখ্যার অনুক্রম হিসেবে) অমূলদ সংখ্যায় অভিসৃত হয়; formula_30 এর মধ্যে এরা কোশি অনুক্রম হলেও formula_30-এর মধ্যে এদের কোনও ক্রমসীমা নেই। প্রকৃতপক্ষে, যদি "x" একটি অমূলদ বাস্তব সংখ্যা হয়, আর "x" যদি তার "n-"দশমিক পর্যন্ত আসন্ন মান হয়, তাহলে ("x") একটি মূলদ কোশি অনুক্রম হবে যার ক্রমসীমা "x" অমূলদ। formula_31-এ নিশ্চিতভাবেই অমূলদ সংখ্যারা বর্তমান, যেমন:
বাস্তবদের সাবসেট হিসেবে মুক্ত ব্যবধান formula_40 এবং স্বাভাবিক মেট্রিক নিলে সেটি সম্পূর্ণ হয় না। যেমন, এর মধ্যের একটি অনুক্রম formula_41 কোশি হলেও, এটি formula_19-এর মধ্যে অভিসারী নয় — এর বাস্তব "ক্রমসীমা" শূন্য, যা formula_43 এর অন্তর্গত নয়।
 সাথে এই শেষ দুটি ধর্ম যোগ করে বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতার একটি আদর্শ প্রমাণ পাওয়া সম্ভব, যা বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য এবং উভয়ের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি কোশি অনুক্রম সীমাবদ্ধ, তাই বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাসের একটি অভিসারী অনুক্রম রয়েছে, তাই পূর্বোক্ত অনুক্রমটি নিজেই অভিসারী। বাস্তব সংখ্যার সেটের সম্পূর্ণতার এই প্রমাণটি অন্তর্নিহিতভাবে ব্যবহার করে। বাস্তব সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যার হিসাবে গঠন করার পূর্বোল্লিখিত বিকল্প পদ্ধতি, বাস্তব সংখ্যাদের সম্পূর্ণতাকে স্বয়ংক্রিয় করে তোলে।
কোশি অনুক্রমগুলির সাথে কাজ করার এবং সম্পূর্ণতা ব্যবহার করতে পারার যে সুবিধা, তার একটি গড়পড়তা উদাহরণ হল বাস্তব সংখ্যার একটি সমষ্টির বিশ্লেষণ (বা, আরও ব্যাপকভাবে, অসীম সিরিজটি কোনও সম্পূর্ণ , বা সদস্যদের নিয়ে হতে পারে)। এই ধরনের সিরিজ formula_51 কে অভিসারী বলে ধরা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি formula_52 এর অনুক্রম অভিসারী হয়, যেখানে formula_53। আংশিক রাশির অনুক্রম কোশি কিনা তা নির্ধারণ করা একটি গতেবাঁধা ব্যাপার, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা formula_54 এর জন্যformula_55যদি formula_56, "M" এবং "N" মেট্রিক স্পেসগুলির মধ্যে একটি অপেক্ষক হয় এবং ("x"), "M" -এ একটি কোশি অনুক্রম হয়, তাহলে formula_57 "N" -এ একটি কোশি অনুক্রম হবে। যদি formula_58 ও formula_59 মূলদ, বাস্তব বা জটিল সংখ্যার দুটি কোশি অনুক্রম হয়, তাহলে তাদের যোগফল formula_60 এবং গুণফল formula_61ও কোশি অনুক্রম হবে।
কোনো টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেস formula_19 এর জন্যও কোশি অনুক্রমের একটি ধারণা রয়েছে। 0-র সাপেক্ষে formula_19 এর জন্য একটি স্থানীয় বেস formula_64 চয়ন করলে; (formula_65)-কে কোশি অনুক্রম বলা হবে যদি formula_64-এর প্রতিটি সদস্যের জন্য (formula_67) একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা formula_4 থাকে যাতে করে formula_69 হলেই formula_70, formula_71-এর মধ্যে থাকে। যদি formula_19-এর টপোলজি একটি formula_73-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তাহলে এটি আগের সংজ্ঞার সঙ্গে মিলে যায়।
যেহেতু কোশি অনুক্রমের টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস সংজ্ঞার জন্য শুধুমাত্র একটি সন্তত "বিয়োগ" প্রক্রিয়া থাকা প্রয়োজন, তাই এটি একটি প্রসঙ্গেও বলা যেতে পারে: টপোলজিক্যাল গ্রুপ formula_74-তে একটি অনুক্রম formula_75 কোশি অনুক্রম হবে যদি formula_74-তে একক বা পদের প্রতিটি মুক্ত পরিপার্শ্ব formula_77-এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা formula_4 থাকে যাতে করে formula_69 হলে formula_80 হয়। আগের সংজ্ঞার মতোই, formula_74-তে আইডেন্টিটি পদের যে কোনও স্থানীয় বেসে আশেপাশের পরিপার্শ্বগুলির জন্য এটি পরীক্ষা করাই যথেষ্ট।
একটি মতো, formula_74-তে কোশি অনুক্রমের পারস্পরিক সম্পর্ককে আরও সংজ্ঞায়িত করা যায় যে formula_75 এবং formula_84 সমতুল্য যদি formula_74-তে আইডেন্টিটি পদের প্রতিটি মুক্ত formula_77-এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা formula_4 থাকে যাতে করে formula_69 হলে formula_80 হয়। এই সম্পর্কটি একটি । এটি প্রতিফলনশীল কারণ অনুক্রমগুলি কোশি অনুক্রম। এটি প্রতিসম যেহেতু formula_90 যা formula_91ম্যাপের সন্তততার দরুন আরেকটি মুক্ত পরিপার্শ্ব। এটি যেহেতু formula_92 যেখানে formula_93 এবং formula_94 আইডেন্টিটি পদের দুটি মুক্ত পরিপার্শ্ব যাতে formula_95; গ্রুপ প্রক্রিয়ার সন্তততার জন্য এই ধরনের জোড়া সর্বদাই বিদ্যমান।
কোনো গ্রুপ formula_74-তেও কোশি অনুক্রমের একটি ধারণা রয়েছে। ধরা যাক formula_74-এর সসীম, ও formula_98 হল formula_74-এর কিছু একটি হ্রাসমান অনুক্রম। তাহলে formula_74-এর একটি অনুক্রম formula_58 কে কোশি (formula_102-এর সাপেক্ষে) বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যেকোনো formula_103-এর জন্য একটি formula_4 থাকে যাতে করে formula_105 সিদ্ধ হয়।
চুলচেরা ভাবে, এটি formula_74-তে টপোলজির একটি নির্দিষ্ট পছন্দের জন্য (যেটির জন্য formula_102 একটি স্থানীয় ভিত্তি) টপোলজিক্যাল গ্রুপ কোশি অনুক্রমের সমান।
এই ধরনের কোশি অনুক্রমের সেট formula_108 একটি গ্রুপ গঠন করে (উপাংশ অনুসারে গুণফলের জন্য), এবং "নাল" অনুক্রমের (যেসব অনুক্রমের জন্য formula_109 সিদ্ধ হয়) সেট formula_110 হল formula_108-এর একটি নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপ। formula_112 কে বলা হয় formula_102-এর সাপেক্ষে formula_74-এর সম্পূর্ণা‌য়ন।
দেখানো যায় যে এই সম্পূর্ণা‌য়নটি formula_115 অনুক্রমের সঙ্গে আইসোমরফিক।
সংখ্যাতত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে পরিচিত এই নির্মাণের একটি উদাহরণ হল একটি মৌলিক formula_116-এর সাপেক্ষে পূর্ণসংখ্যাগুলির formula_116- নির্মাণ। এই ক্ষেত্রে, formula_74 হল যোগ প্রক্রিয়ার অধীনে পূর্ণসংখ্যার সেট, এবং formula_119 হল অ্যাডিটিভ সাবগ্রুপ যা formula_120-এর গুণিতকদের নিয়ে গঠিত।
যদি formula_102 একটি কোফাইনাল অনুক্রম হয় (অর্থাৎ, সসীম সূচকবিশিষ্ট যেকোনো নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপে কোনো formula_119 থাকে), তাহলে এই সম্পূর্ণা‌য়নটি এই অর্থে ক্যানোনিকাল যে এটি formula_123 এর বিপরীত সীমার সঙ্গে আইসোমরফিক, যেখানে formula_102 সসীম সূচকের সমস্ত নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপের থেকে মান নেয়। আরও বিস্তারিত জানার জন্য, এর "Algebra" তে Ch. I.10 দ্রষ্টব্য।
একটি বাস্তব অনুক্রম formula_125 -এর একটি স্বাভাবিক প্রসারণ রয়েছে, যা "সাধারণ" স্বাভাবিক সংখ্যা "n" ছাড়াও সূচক "n"-এর মান "H" এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। অনুক্রমটি কোশি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি অসীম "H" এবং "K" এর জন্য,formula_126 এবং formula_127 -এদের মান যদৃচ্ছভাবে কাছাকাছি, বা , অর্থাৎ,
যেখানে "st" হল ।
ক্রউসে () কোনো কোশি সম্পূর্ণায়নের একটি ধারণা দিয়েছেন। formula_30-তে প্রয়োগ করলে (সেই ক্যাটেগরি যার বা বস্তুগুলি হল মূলদ সংখ্যারা, এবং "x" থেকে "y"-তে বর্তমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি formula_130), এই কোশি সম্পূর্ণায়নটি formula_131 দেয় (একইভাবে, এর স্বাভাবিক ক্রম অনুসারে ক্যাটেগরি হিসেবে ধরলে)।