পরম সন্নিবেশ

গণিত-এ, সংখ্যার একটি অসীম সিরিজ বলা হয় একদম একত্রিত (বা একদম অভিসারী) যদি যোগফল হয় পরম মানসম্যান্ডগুলি সীমাবদ্ধ। আরও স্পষ্ট করে বললে, একটি বাস্তব বা জটিল সিরিজ formula_1 বলা হয় একদম একত্রিত হয় যদি formula_2 কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য formula_3 একইভাবে, একটি ফাংশন, formula_4 বলা হয় একেবারে একত্রিত হয় যদি ইন্টিগ্র্যান্ডের পরম মানের অখণ্ডিত হয় সসীম—অর্থাৎ, যদি formula_5 একটি অভিসারী সিরিজ যা একেবারে অভিসারী নয় তাকে শর্তগতভাবে অভিসারী বলা হয়।
অসীম সিরিজের অধ্যয়নের জন্য পরম অভিসারীতা গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এর সংজ্ঞা নিশ্চিত করে যে একটি সিরিজের কিছু "সুন্দর" আচরণ থাকবে সসীম সমষ্টির যা সমস্ত অভিসারী সিরিজের অধিকারী নয়। উদাহরণস্বরূপ, পুনর্বিন্যাস যোগফলের মান পরিবর্তন করে না, যা শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের জন্য অগত্যা সত্য নয়।
একটি সীমিত সংখ্যক পদ যোগ করার সময়, সংযোজন উভয়ই অ্যাসোসিয়েটিভ এবং কম্যুটেটিভ, যার অর্থ গ্রুপিং এবং পুনর্বিন্যাস চূড়ান্ত যোগফলকে পরিবর্তন করে না। উদাহরণস্বরূপ, formula_6 formula_7 এবং formula_8 উভয়ের সমান . যাইহোক, সহযোগীতা এবং commutativity অসীম রাশির জন্য অগত্যা ধরে না। একটি উদাহরণ হল অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ
formula_9 ফাংশনের জন্য ম্যাক্লোরিন সিরিজ ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা সকল formula_10:
formula_11
প্রতিস্থাপন formula_12 প্রকাশ করে যে আসল যোগফল formula_13 এর সমান। যোগফল নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে:
formula_14
এই পুনর্বিন্যাসে, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা-এর [[গুণিক বিপরীত যাইহোক, বন্ধনীর ভিতরে পদগুলি মূল্যায়ন করলে ফল পাওয়া যায়
formula_11
অথবা অর্ধেক মূল সিরিজ. যোগের সহযোগীতা এবং কম্যুটেটিভিটির লঙ্ঘন প্রকাশ করে যে বিকল্প হারমোনিক সিরিজ হল [[শর্তগত অভিসারী|শর্তগতভাবে অভিসারী]]। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি পদের পরম মানের সমষ্টি হল formula_16, অথবা ভিন্ন ভিন্ন [[হারমোনিক সিরিজ (গণিত)|হারমোনিক সিরিজ]] . [[রিম্যান সিরিজের উপপাদ্য]] অনুসারে, যেকোন শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজকে অনুমতি দেওয়া যেতে পারে যাতে এর যোগফল যেকোন সসীম বাস্তব সংখ্যা হয় বা যাতে এটি ভিন্ন হয়। যখন একটি সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ পুনর্বিন্যাস করা হয়, তখন তার যোগফল সর্বদা সংরক্ষিত থাকে।
বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার যোগফল formula_17 একেবারে অভিসারী হয় যদি formula_18 [[কনভারজেন্ট সিরিজ|কনভারজেস]]।
একই সংজ্ঞা formula_17 সিরিজের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যার পদগুলি formula_20 সংখ্যা নয় বরং একটি নির্বিচারের উপাদান। [[টপোলজিক্যাল অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ|অ্যাবেলিয়ান টপোলজিক্যাল গ্রুপ]]। সেক্ষেত্রে, [[পরম মান]] ব্যবহার না করে, সংজ্ঞার জন্য গ্রুপের একটি [[নর্ম (গণিত)|নর্ম]] থাকতে হবে, যা একটি ইতিবাচক বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন formula_21 একটি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী formula_22 (লিখিত [[আবেলিয়ান গ্রুপ#নোটেশন|অ্যাডিটিভলি]], পরিচয় উপাদান 0 সহ) যেমন:
এই ক্ষেত্রে, ফাংশন formula_32 গঠনকে প্ররোচিত করে
formula_33-এ একটি [[মেট্রিক স্পেস]] (এক ধরনের [[টপোলজি]])
তারপর, formula_34
বিশেষ করে, এই বিবৃতিগুলি বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার জায়গায় আদর্শ formula_35 ([[পরম মান]]) ব্যবহার করে প্রযোজ্য।
যদি formula_36 একটি [[টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস]] (TVS) হয় এবং formula_37 হয় formula_36 এ একটি (সম্ভবত [[অগণিত]]) পরিবার তাহলে এই পরিবারটি একদম সংযোজনযোগ্য if
যদি formula_36 একটি স্বাভাবিক স্থান হয় এবং যদি formula_37 হয় তাহলে <math-এ একটি সম্পূর্ণ সংযোজনযোগ্য পরিবার >X,<nowiki></math></nowiki> তাহলে অগত্যা formula_54-এর একটি গণনাযোগ্য সংগ্রহ ব্যতীত সবগুলি হল 0৷
[[পারমাণবিক স্থান]]-এর তত্ত্বে সম্পূর্ণরূপে যোগযোগ্য পরিবারগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
যদি formula_22 মেট্রিক formula_56 এর ক্ষেত্রে [[সম্পূর্ণ (টপোলজি)|সম্পূর্ণ]] হয় তবে প্রতিটি একেবারে অভিসারী সিরিজ অভিসারী। প্রমাণটি জটিল-মূল্যবান সিরিজের মতোই: অভিসারের জন্যকাউশি সঁকেত বের করার জন্য সম্পূর্ণতা ব্যবহার করুন—একটি সিরিজ অভিসারী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর লেজগুলিকে স্বাভাবিকভাবে ছোট করা যায়—এবং ত্রিভুজ অসমতা প্রয়োগ করুন।<!- - খুব কিভাবে? -->
বিশেষ করে, যেকোনো [[বানচ স্পেস]]-এ মান সহ সিরিজের জন্য, পরম অভিসারতা অভিসারকে বোঝায়। কথোপকথনটিও সত্য: যদি নিখুঁত অভিন্নতা একটি আদর্শ স্থানের অভিসারকে বোঝায়, তবে স্থানটি একটি বানাচ স্থান।যদি একটি সিরিজ অভিসারী হয় কিন্তু একেবারে অভিসারী না হয় তবে তাকে [[শর্তগতভাবে অভিসারী]] বলা হয়। শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের একটি উদাহরণ হল [[অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ]]। বিবর্তন এবং অভিসারণের জন্য অনেকগুলি আদর্শ পরীক্ষা, বিশেষত [[অনুপাত পরীক্ষা]] এবং [[মূল পরীক্ষা]] সহ, পরম অভিসারতা প্রদর্শন করে। এর কারণ হল একটি [[পাওয়ার সিরিজ]]<nowiki> তার কনভারজেন্সের ডিস্কের অভ্যন্তরে একেবারে অভিসারী। অভিসার ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ, কনভারজেন্সের ডিস্কটি এমন সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত যার জন্য পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হয়।}}</nowiki>
ধরুন যে formula_57 কনভারজেন্ট। তারপর সমানভাবে, formula_58 কনভারজেন্ট, যা বোঝায় যে formula_59 এবং formula_60 এবং formula_61 তাহলে, formula_62 অনুসরণ করবে, জটিল-মূল্যের সিরিজের অভিসারের সংজ্ঞা অনুসারে।
পূর্ববর্তী আলোচনা দেখায় যে আমাদের শুধুমাত্র প্রমাণ করতে হবে যে formula_63-এর অভিসৃতি বোঝায় formula_64
formula_63 কে অভিসারী হতে দিন। যেহেতু formula_66 আমাদের আছে formula_67 কনভারজেন্ট, formula_68 হল একটি [[ক্রম#বাউন্ডেড|বাউন্ডেড]] [[ক্রম#বর্ধমান এবং decreasing|monotonic]] [[sequence]] এর আংশিক যোগফল, এবং formula_69ও একত্রিত হতে হবে। উল্লেখ্য যে <nowiki>formula_70</nowiki> হল অভিসারী সিরিজের পার্থক্য, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে এটিও একটি অভিসারী সিরিজ, ইচ্ছামত।
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
একটি জটিল সিরিজের একত্রিত হওয়ার জন্যকাউশি সঁকেত প্রয়োগ করে, আমরা এই সত্যটিকে [[ত্রিভুজ অসমতা]]-এর একটি সরল অন্তর্নিহিততা হিসাবে প্রমাণ করতে পারি। দ্বারা [[Cauchy's convergence test|Cauchy criterion]], formula_71 একত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনো formula_72 সেখানে formula_73 থাকে যেমন formula_74 এর জন্য formula_75 কিন্তু ত্রিভুজ অসমতা বোঝায় যে formula_76 যাতে formula_77-এর জন্য formula_78 যা ঠিক formula_79-এর জন্য কাউশি সঁকেত।
উপরের ফলাফল সহজেই প্রতিটি [[Banach space]] formula_80 চলুন formula_81 এ একটি সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ হতে হবে যেমন formula_82 হল একটি যে কোনো formula_83 এবং যথেষ্ট বড় [[প্রাকৃতিক সংখ্যা]]s formula_84 এর জন্য বাস্তব সংখ্যার [[কচি ক্রম]]:
formula_85
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা]]
[[বিষয়শ্রেণী:ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস]]