কসি–শোয়ার্জের অসমতা

কসি–শোয়ার্জের অসমতা (যাকে কসি-বুনিয়াকোভস্কি-শোয়ার্জ অসমতাও বলা হয়) হল ভেক্টর নর্মের গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলের স্থানে(ইনার প্রোডাক্ট স্পেস) দুটি ভেক্টরের মধ্যে অভ্যন্তরীণ গুণফলের উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা। এটি গণিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং বহুল ব্যবহৃত অসমতার মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচিত হয়। 
ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সসীম যোগফল (সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের মাধ্যমে), অসীম সিরিজ ( সিকোয়েন্স স্পেসের ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) এবং ইন্টিগ্রাল ( হিলবার্ট স্পেসের ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। যোগের অসমতা অগাস্টিন লুইস কসি দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল ১৮২১ সালে। ইন্টিগ্রালের জন্য সংশ্লিষ্ট অসমতা প্রকাশ করেছিলেন ভিক্টর বুনিয়াকোভ্স্কি (১৮৫৯) এবং হারম্যান শোয়ার্জ (১৮৮৮)। শোয়ার্জ ইন্টিগ্রাল সংস্করণের আধুনিক প্রমাণ দিয়েছেন। 
কসি-শোয়ার্জ অসমতা বলে যে formula_1 এবং formula_2 সমস্ত ভেক্টরের জন্য একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট স্পেসে
কোথায় formula_3 হল ইনার প্রোডাক্ট । অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বাস্তব এবং জটিল ডট গুণফল ; অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলি দেখুন। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ গুণফল থেকে একটি ইউক্লিডীয় formula_4 নর্ম পাওয়া যায়, যাকে বা বলা হয়, যেখানে একটি ভেক্টর formula_1- এর নর্ম চিহ্নিত এবং সংজ্ঞায়িত করা হয়, formula_6 যেখানে formula_7 সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা (অভ্যন্তরীণ গুণফলটি জটিল-সংখ্যা হলেও)। উপরোক্ত অসমতার উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করে, কসি-শোয়ার্জ অসমতাকে নর্মের পরিপ্রেক্ষিতে আরও পরিচিত আকারে লেখা যেতে পারে:
এছাড়াও, উভয় পক্ষই সমান হবে, শুধুমাত্র যদি formula_1 এবং formula_2 রৈখিকভাবে নির্ভরশীল(লিনিয়ারলি ডিপেনডেন্ট) হয়। 
সেদ্রাকিয়ানের অসমতা, যা বার্গস্ট্রোমের অসমতা, এঙ্গেলের রূপ, টিটুর লেমা (অথবা T2 লেমা) নামেও পরিচিত, বলে যে formula_10 বাস্তব সংখ্যার জন্য এবং formula_11 ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য: formula_12অথবা, সমষ্টি চিহ্ন ব্যবহার করে বলা যেতে পারে, formula_13
এটি কসি-শোয়ার্জ অসমতার সরাসরি পরিণতি, যা ডট গুণফল formula_14-এর উপর ব্যবহার করে এবং formula_15 ও formula_16, এই প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে পাওয়া যায়। এই ফর্মটি বিশেষভাবে সহায়ক যখন অসমতা ভগ্নাংশের সাথে জড়িত, যেখানে ভগ্নাংশের লব একটি পূর্ণবর্গ ।
বাস্তব ভেক্টর স্পেস formula_17 দ্বিমাত্রিক সমতল নির্দেশ করে। এটি একটি দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানও(স্পেস) যেখানে অভ্যন্তরীণ গুণফল হল ডট গুণফল(ডট প্রোডাক্ট) । যদি formula_18 এবং formula_19 তাহলে কৌচি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে: formula_20কোথায় formula_21 হল formula_1 এবং formula_2 এর মধ্যে কোণ
উপরের ফর্মটি সম্ভবত অসমতা বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায়, কারণ কোসাইনের বর্গ সর্বাধিক ১ হতে পারে, যা তখন ঘটে যখন ভেক্টরগুলি একই বা বিপরীত দিকে থাকে। এটি formula_24, formula_25, formula_26, এবং formula_27 ভেক্টর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে পুনরায় বর্ণনা করা যেতে পারে যেমন formula_28যেখানে সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি formula_29 ভেক্টরের একই বা বিপরীত দিকে formula_30ভেক্টর থাকে, অথবা যদি তাদের মধ্যে একটি শূন্য ভেক্টর হয়।
ইউক্লিডীয় স্পেসে formula_14 ও এই স্পেসের আদর্শ অভ্যন্তরীণ গুণফল, যা ডট গুণফল, দিয়ে কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রকাশ করলে: formula_32
এই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র প্রাথমিক বীজগণিত ব্যবহার করে কৌচি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করা যেতে পারে, ডান এবং বাম দিকের পার্থক্য হল পর্যবেক্ষণ করলেformula_33
অথবা নিম্নলিখিত formula_34 এর দ্বিঘাত বহুপদী বিবেচনা করলেformula_35
যেহেতু পরের বহুপদীটি অঋণাত্মক, তাই এর সর্বাধিক একটি বাস্তব মূল আছে, তাই এর বিভেদক শূন্যের চেয়ে কম বা সমান। অর্থাৎ, formula_36
যদি formula_37 এবং formula_38 ও formula_39 (যেখানে formula_40 এবং formula_41 ) এবং যদি অভ্যন্তরীণ গুণফল ভেক্টর স্পেস formula_42-এর ক্যানোনিকাল জটিল অভ্যন্তরীণ গুণ (দ্বারা সংজ্ঞায়িত formula_43 যেখানে জটিল সংযোজনের জন্য বার নোটেশন ব্যবহার করা হয়), তাহলে অসমতাটি আরও স্পষ্টভাবে নিম্নরূপে পুনঃনির্ধারণ করা যেতে পারে: formula_44
অর্থাৎ, formula_45
বর্গাকার-সমন্বিত জটিল-মূল্যযুক্ত ফাংশনের অভ্যন্তরীণ গুণফল জনেসেরয, নিম্নলিখিত অসমতাটি ধারণ করে। formula_46
হোল্ডার বৈষম্য হলো এর একটি সাধারণীকরণ।
যেকোনো অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থানে, ত্রিভুজ বৈষম্য হল কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যের ফলাফল, যেমনটি এখন দেখানো হয়েছে: formula_47
ত্রিভুজ অসমতার বর্গমূল নিলে পাওয়া যায়: formula_48
অভ্যন্তরীণ গুণফল দ্বারা সৃষ্ট টপোলজির সাপেক্ষে অভ্যন্তরীণ গুণফল একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন তা প্রমাণ করার জন্য কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করা হয়। 
কসি-শোয়ার্জ অসমতা "দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ" ধারণাটিকে যেকোনো বাস্তব অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেস পর্যন্ত প্রসারিত করার অনুমতি দেয়: formula_49
কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করে যে এই সংজ্ঞাটি যুক্তিসঙ্গত, এখানে দেখানো হয় যে ডান দিকটি ব্যবধানে অবস্থিত এবং এই ধারণাটিকে ন্যায্যতা দেয় যে (প্রকৃত) হিলবার্ট স্পেসগুলি কেবল ইউক্লিডীয় স্পেসের সাধারণীকরণ। জটিল অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেসে পরম মান বা ডান দিকের বাস্তব অংশ গ্রহণ করে, একটি কোণ সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমনটি কোয়ান্টাম ফিডেলিটি থেকে একটি মেট্রিক বের করার সময় করা হয়।
ধরা হল, formula_50 এবং formula_51 এলোমেলো ভেরিয়েবল। সুতরাং সহভ্যারিয়েন্স অসমতা থেকে পাওয়া যায়: formula_52
দৈব চলকের সেটে তাদের প্রোডাক্টের প্রত্যাশা ব্যবহার করে অভ্যন্তরীণ গুণফল সংজ্ঞায়িত করার পর, formula_53কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে formula_54
কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করে সহ-প্রকরণ বৈষম্য প্রমাণ করতে, ধরুন formula_55 এবং formula_56 তারপর formula_57যেখানে formula_58 ভেদাঙ্ক(ভ্যারিয়েন্স) নির্দেশ করে এবং formula_59 সহ-ভেদাঙ্ক বোঝায়।
কসি-শোয়ার্জ বৈষম্যের বিভিন্ন সাধারণীকরণ বিদ্যমান। হোল্ডারের বৈষম্য এটির সাধারণীকরণ করে formula_60 নর্মে। আরও সাধারণভাবে, এটিকে ব্যানাচ স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটরের নর্ম-এর সংজ্ঞার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে (যেমন, যখন স্থানটি একটি হিলবার্ট স্পেস হয়)। আরও সাধারণীকরণ করা যায় অপারেটর তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে, যেমন অপারেটর-উত্তল ফাংশন এবং অপারেটর বীজগণিতের জন্য, যেখানে ডোমেন এবং/অথবা রেঞ্জ একটি C*-বীজগণিত বা W*-বীজগণিত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
একটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত করতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি হিলবার্ট স্থান দেওয়া হয়েছে formula_61 একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ(ফাইনাইট মেজার) হওয়ায়, আদর্শ অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট প্রকাশ করা হয় একটি ইতিবাচক অপেক্ষক formula_62 দ্বারা formula_63 বিপরীতভাবে, প্রতিটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক formula_62 এর উপর formula_65 একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে formula_66 যখন formula_67 হল এর বিন্দুভিত্তিক জটিল সংযোজক formula_68এর। এই ভাষায়, কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে যায় formula_69
যা C*-বীজগণিতের ধনাত্মক ফাংশনাল পর্যন্ত প্রসারিত হয়:
পরবর্তী দুটি উপপাদ্য অপারেটর বীজগণিতের আরও উদাহরণ।
এটি এই সত্যটিকে আরও বিস্তৃত করে formula_70 যখন formula_62 একটি রৈখিক অপেক্ষক। এই ঘটনাটি যখন formula_72 স্ব-সংযুক্ত, অর্থাৎ, formula_73 তখন ক্যাডিসনের বৈষম্য নামে পরিচিত।
আরেকটি সাধারণীকরণ হল কসি-শোয়ার্জ অসমতার উভয় পক্ষের মধ্যে প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি পরিমার্জন:
এই উপপাদ্যটি হোল্ডারের অসমতা থেকে অনুমান করা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্সের অপারেটর এবং টেনসর প্রোডাক্টের নন-কমিউটেটিভ সংস্করণও রয়েছে। 
কসি-শোয়ার্জ অসমতা এবং ক্যান্টোরোভিচ বৈষম্যের বেশ কয়েকটি ম্যাট্রিক্স সংস্করণ রৈখিক রিগ্রেশন মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। 
নিচে দেওয়া প্রমাণ ছাড়াও কচি-শোয়ার্জ অসমতার আরও অনেক প্রমাণ রয়েছে। অন্যান্য উৎসের সাথে পরামর্শ করার সময়, প্রায়শই বিভ্রান্তির দুটি উৎস থাকে। প্রথমত, কিছু লেখক প্রথম যুক্তির পরিবর্তে দ্বিতীয় যুক্তিতে -কে রৈখিক হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। দ্বিতীয়ত, কিছু প্রমাণ কেবল তখনই বৈধ যখন ক্ষেত্রটি formula_74 এবং formula_75নয়। 
এই অংশটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের দুটি প্রমাণ দেয়:
নিচে দেওয়া দুটি প্রমাণেই, প্রাথমিক ক্ষেত্রের প্রমাণ যেখানে কমপক্ষে একটি ভেক্টর শূন্য (অথবা সমতুল্য, যেখানে formula_76 ) একই রকম। পুনরাবৃত্তি কমাতে এটি নীচে কেবল একবার উপস্থাপন করা হয়েছে। এতে উপরে প্রদত্ত সমতা চরিত্রায়নের প্রমাণের সহজ অংশটিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে; অর্থাৎ, এটি প্রমাণ করে যে যদি formula_1 এবং formula_2 তাহলে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় তবে,formula_79
By definition, formula_1 and formula_2 are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. 
If formula_82 where formula_83 is some scalar then 
formula_84
which shows that equality holds in the . 
The case where formula_85 for some scalar formula_83 follows from the previous case:
formula_87
In particular, if at least one of formula_1 and formula_2 is the zero vector then formula_1 and formula_2 are necessarily linearly dependent (for example, if formula_92 then formula_82 where formula_94), so the above computation shows that the Cauchy–Schwarz inequality holds in this case. 
ফলস্বরূপ, কসি-শোয়ার্জ অসমতা কেবলমাত্র অ-শূন্য ভেক্টরগুলির জন্য প্রমাণ করতে হবে এবং সমতা চরিত্রায়নের কেবল ট্রিভিয়াল নয় এমন দিকটিও দেখাতে হবে।
বিশেষ ক্ষেত্রে formula_95 উপরে প্রমাণিত হয়েছে তাই এখন থেকে ধরে নেওয়া হচ্ছে যে formula_96 ধরি,formula_97
এটির প্রথম যুক্তিতে অভ্যন্তরীণ গুণফলের রৈখিকতা থেকে এটি অনুসরণ করা যায় যে: formula_98
অতএব, formula_99 ভেক্টরের একটি লম্বক ভেক্টর formula_2 (প্রকৃতপক্ষে, formula_99 হল formula_1-এর প্রক্ষেপণ formula_103এর অরথোগোনালে থাকা সমতলের দিকে) আমরা এইভাবে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি formula_104যা থেকে পাওয়া যায়formula_105
কসি-শোয়ার্জ অসমরতার সাথে formula_106 গুণ করলে এবং তারপর বর্গমূল নেওয়া হলে। তাছাড়া, যদি সম্পর্কটি formula_107 উপরের অভিব্যক্তিতে আসলে একটি সমতা, তাহলে formula_108 এবং তাই formula_109 formula_99 এর সংজ্ঞা তারপর formula_1 এবং formula_103এর মধ্যে রৈখিক নির্ভরতার সম্পর্ক স্থাপন করে যা এই বিভাগের শুরুতে বিপরীতটি প্রমাণিত হয়েছিল, তাই প্রমাণটি সম্পূর্ণ। formula_113
এক জোড়া ভেক্টর বিবেচনা করুন formula_114 . একটি ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন formula_115, যখন formula_116দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যখন formula_117 একটি জটিল সংখ্যা যা এবং এবং formula_118 .এমন একটি formula_117 যদি থেকে বিদ্যমান থাকে তবে, formula_120 তারপর formula_117-কে ১ হিসেবে ধরা যেতে পারে।
যেহেতু অভ্যন্তরীণ গুণফলটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট, formula_122 শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক বাস্তব মান গ্রহণ করে। অন্যদিকে, formula_122 অভ্যন্তরীণ গুণফলের দ্বি-রৈখিকতা ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে: formula_124সুতরাং, formula_125 বহুপদী যার ডিগ্রি formula_126 (যদি না formula_127 যা এমন একটি কেস যা আগে পরীক্ষা করা হয়েছিল)। formula_125-এর চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না, এই বহুপদীটির নির্ণায়ক অবশ্যই অ-ধনাত্মক হতে হবে: formula_129উপসংহারটি নিম্নরূপ। 
সমতার ক্ষেত্রে, লক্ষ্য করুন যে formula_130 যদি এবং তা শুধুমাত্র ঘটে যদি formula_131 যদি formula_132 তারপর formula_133 এবং তাই formula_134