উপযোগ অপেক্ষক

ভোক্তার ভোগ পছন্দকে গাণিতিক ভাবে ব্যাখ্যার জন্য নীচের বাংলা শব্দ সমষ্টির প্রতিরূপগুলো লক্ষ্য করুনঃ
খুব ভালভাবে করতে পারে  ~  Well Defined
পছন্দের কাঠামো নির্ধারণ  ~  Preference
একবারের বাজার সদাই   ~  Bundle
বিভিন্ন বাজার সদাই এর মাঝে তুলনা করে ক্রম নির্ধারণ করা  ~  Ranking of the bundles
সামর্থ্য থাকা সাপেক্ষে পছন্দের গাণিতিক কাঠামোগত রুপ  ~  Choice Structure
বাইনারী সম্পর্ক ~  Binary relation
সাধ্যের মধ্যে কার্যকর সমাধান, তাই এটি-ই সম্ভাব্য (সমাধান) ~ Feasible (Solution)
ভোক্তার "ভোগ নির্ধারণকারী বান্ডেলের সেটকে" নীচের মত করে সংজ্ঞায়িত করা যায়। যদি বিভিন্ন পরিমাণ দ্রব্য formula_1 হয় তবে, formula_2 কে ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী সেট হিসেবে গাণিতিক ভাবে প্রকাশ করা যায়। তাহলে, formula_3 একটি বান্ডেল। যেখানে formula_4 ।
formula_3 কে চাইলে দুইটি ভাগে ভাগ করা যায়। ধরা যাক, ভাগ দুইটি formula_6 এবং formula_7 ।
ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী সেটকে ন্যূনতম নীচের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য গুলো ধারণ করতে হয় :
1. formula_8
2. formula_9 is closed
3. formula_9 is convex
4. formula_11
যদি এমন একটি ক্রমজোড় থাকে, ধরা যাক formula_12 এবং formula_13, যেখানে formula_14, তবে ভোক্তা যে পছন্দের কাঠামো নির্ধারণ করেন তাকে "বাইনারী সম্পর্ক" formula_15 দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব।
Axiom-1 : Completeness অর্থাৎ সম্পূর্ণ যৌক্তিক আচরণ
সকল formula_14 এর জন্য formula_17 অথবা formula_18 (অথবা উভয়ই) সত্য। অর্থাৎ ভোক্তার বাজার সদাই সম্পর্কে যথেষ্ট এবং পর্যাপ্ত জ্ঞান রয়েছে। সেজন্য ভোক্তা দুটো বান্ডেল এর মধ্যে তুলনা করতে পারেন এবং কোন বান্ডেলটি বেশি পছন্দনীয় সেই সিদ্ধান্ত নিতে পারেন।
Axiom-2 : Transitivity অর্থাৎ সক্রিয়তা
সকল formula_19 এর জন্য যদি formula_17 এবং formula_21 সত্য হয়, তবে formula_22 সত্য হবে। অর্থাৎ ভোক্তা বান্ডেলগুলোর মধ্যে যে পছন্দ ক্রম নির্ধারণ করেন তাতে সামাজ্ঞস্যতা রয়েছে।
Axiom-3 : Continuity অর্থাৎ ধারাবাহিক চলমান বৈশিষ্ট্য
সকল formula_23 এর জন্য formula_24 অথবা formula_25 উভয়ই formula_26 সমতলে বদ্ধ । অর্থাৎ ভোক্তা পছন্দের ক্রম নির্ধারণকারী কাঠামো একবার নির্ধারণ করলে, সেই পছন্দ নির্ধারণকারী কাঠামো তে পুনরায়, হঠাৎ ক্রমের বিন্যাস করে না।
Axiom-4' : Local Non-satiation অর্থাৎ নিকটবর্তী পরিসীমায় অপরিতৃপ্তি
সকল formula_27 এবং formula_28 এর জন্য এমন কিছু formula_29 এর অস্তিত্ব রয়েছে যাতে করে formula_30 সত্য হয়। এখানে formula_31 একটি উন্মুক্ত গোলক কে প্রকাশ করে যার ব্যাসার্ধ formula_28 এবং কেন্দ্র formula_6 ।
ভোক্তা যদি কোন একটি বান্ডেল পছন্দ করেন তবে, সেই বান্ডেলের নিকটবর্তী অন্তত ন্যূনতম আরো একটি বান্ডেল রয়েছে যা ভোক্তা আরো বেশি পছন্দ করেন।
Axiom-4 : Strict Monotonicity অর্থাৎ যথাযথ একই ধরন এবং রকম
সকল formula_34 এর জন্য যদি, formula_35 সত্য হয় তবে, formula_36 ও সত্য হবে। আর যখনই formula_37 সত্য হয় তখন formula_38 ও সত্য হবে।
একটি বান্ডেলকে অন্য বান্ডেলের সাথে তুলনা করলে, সেই বান্ডেলে অন্য বান্ডেলের ন্যূনতম একই পরিমাণ প্রত্যেকটি পণ্য রয়েছে।
Axiom-5' : Convexity অর্থাৎ উত্তলতা
যদি formula_36 সত্য হয় তবে, formula_40 এর জন্য formula_41 সত্য হবে।
Axiom-5 : Strict Convexity অর্থাৎ যথাযথ উত্তলতা
যদি formula_42 এবং formula_36 সত্য হয় তবে, formula_44 এর জন্য formula_45 সত্য হবে।
যদি নিরপেক্ষ রেখার টুকরোর অংশ গুলো নেয়া হয়, তবে শেষ দুইটি (Axiom-5', Axiom-5) স্বতঃসিদ্ধ নিশ্চিত করে যে টুকরো গুলো উত্তল নয়। উপরের অন্তত প্রথম তিনটি (Axiom-1, Axiom-2, Axiom-3) স্বতঃসিদ্ধ যদি সত্য হয়, তবে ভোক্তার যে "পছন্দের কাঠামো (Preference)" রয়েছে, তাকে "" দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব।  
ধরা যাক, formula_46 একটি উপযোগ অপেক্ষক।
formula_47
formula_48
গাড় কালিতে নির্দেশিত "চলকগুলো ম্যাট্রিক্স কে নির্দেশ করছে"।
ভোক্তার পছন্দের কাঠামো (Preference) যেহেতু উপযোগ অপেক্ষক (Utility Function) দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব, সেহেতু ধরে নেয়া যায় যে, ভোক্তা যুক্তিসঙ্গত আচরণ করছেন। সুতরাং formula_7 এবং formula_50 দুইটি বান্ডেলকে পছন্দের কাঠামোতে পছন্দের ক্রম নির্ধারণকারী বাইনারী সম্পর্ক formula_51 হলে,
formula_51
formula_53 [ এখানে formula_54 একটি উপযোগ অপেক্ষক, formula_55 একটি normalized ভেক্টর, যার সব মান 1 । formula_55 এর ব্যবহার করে formula_12 এর প্রেক্ষিতে বান্ডেল দুইটির পছন্দের কাঠামোতে formula_54 এর প্রতিরূপ নেয়া হয়েছে ]
formula_59
formula_60
সুতরাং formula_51 সত্য হলে formula_62 ও অবশ্যই সত্য হবে। আবার "বিপরীত দিক থেকে ও গাণিতিক অসমতাটি সত্য"।
মনে করি,
formula_63 [ formula_55 কে ব্যবহার করে formula_54 কে পছন্দের কাঠামোতে প্রতিরূপ হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে ]
formula_66 [ বান্ডেলের পছন্দ কাঠামোর সীমা নির্ধারণ করা হয়েছে ]
সুতরাং "বিপরীত উপযোগ অপেক্ষক (Inverse Utility Function)" ও হিসাব করে বের করা সম্ভব।
কিছু উপযোগ অপেক্ষকের কাঠামো লক্ষ্য করুন :
formula_67 [ এই উপযোগ অপেক্ষকটি ভোক্তার কোন একটি পছন্দ কাঠামোতে, কোন একটি বান্ডেলে থাকা দুইটি বিকল্প দ্রব্যের ("দ্রব্য এবং পণ্যের মিশ্রণ ও থাকতে পারে") ভোগ হতে পাওয়া উপযোগকে নির্দেশ করে। ]
formula_68 [ একটি দ্রব্য আরেকটি দ্রব্যের পরিপূরক হলে (দ্রব্য এবং পণ্যের মিশ্রণ ও থাকতে পারে) ]
formula_69 [ কোয়াসি লিনিয়ার উপযোগ অপেক্ষক ]
formula_70 যেখানে, formula_71 [ কব ড্যগলাস উপযোগ অপেক্ষক ]
formula_72[ সি.ই.এস. উপযোগ অপেক্ষক। এই উপযোগ অপেক্ষকের পরিবর্তীত এবং বর্ধিত অনেক রূপ রয়েছে। ]
বিভিন্ন পাঠ্য পুস্তক এবং গবেষণা প্রবন্ধে আরো প্রচুর উপযোগ অপেক্ষক সম্পর্কে বিস্তর আলোচনা পাবেন (নিচে রেফারেন্স অনুচ্ছেদে কিছু পাঠ্য পুস্তকের নাম উল্লেখ করা আছে)।
মনে করি, formula_73 একটি উপযোগ অপেক্ষক এবং formula_74 নির্ভর করে formula_75 এর উপর। নিচের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।
formula_76
formula_77
formula_78
formula_79
সুতরাং formula_80 এর পরিবর্তনের ফলে, formula_73 এর পরিবর্তন কি পরিমাণে হয় তা বের করা সম্ভব।
পুরো পছন্দের কাঠামোতে, যে কোন একটি নির্দিষ্ট নিরপেক্ষ রেখাতে (যদি নিরপেক্ষ রেখার অস্তিত্ব এবং অবস্থান সঠিক ভাবে নিরূপণ করা সম্ভব হয়) উপযোগ স্থির থাকে (অন্তত পক্ষে কোন একটি "ব্যান্ড" পাওয়া গেলেও, সেখানে উপযোগ স্থির বলে ধরে নেয়া হয়) । সুতরাং নিচের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।
formula_82 [ উপযোগ স্থির রাখতে সংশ্লিষ্ট নিরপেক্ষ রেখাতে এই শর্তটি পূরণ হতেই হবে ]
formula_83 ; যা formula_75 এর প্রেক্ষিতে formula_74 এর "" নামে পরিচিত।
আমাদের আশেপাশে যে বাজার ব্যবস্থা দেখতে পাই, সেখানে প্রধানত এবং সাধারণত পণ্য এবং দ্রব্যের দাম, ভোক্তার আয়, ভোগকৃত এবং/অথবা ভোগ যোগ্য পণ্য এবং দ্রব্যের পরিমাণ উপযোগ অপেক্ষকে অন্তর্ভুক্ত থাকে। ক্ষেত্র বিশেষে গাণিতিক পদ্ধতির সক্ষমতা সাপেক্ষে, আরো বহু চলক উপযোগ অপেক্ষকে অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে, যার মাঝে, এমনও হতে পারে যে অনেক চলকের উপর বাজার ব্যবস্থার নিয়ন্ত্রণ নেই।
একজন ভোক্তা যে কোন পণ্য-দ্রব্য বাজার থেকে ক্রয় করে ভোগ করার পরে, তার উপযোগ কতটুকু তা যদি আপনি জানতে আগ্রহী হন, তবে প্রথমত, আপনি হয়তবা ধারণা করার চেষ্টা করবেন। কারণ এই ক্ষেত্রে ভোক্তার তৃপ্তি নির্ধারণকারী চলকগুলোর মান কত তা আপনার জানা নাই। তবে, ভোক্তা কোন বান্ডেল ক্রয়ের জন্য কত মূল্য দিতে চান এবং ভোক্তার আয় কত, তার প্রায় নিকটবর্তী মান জানা সম্ভব। মনে রাখা দরকার, বাজার, ভোক্তার উপর দাম চাপিয়ে দেয় না, বরং ভোক্তা কে অবাধ স্বাধীনতা দেয় যাতে করে পরিশ্রমী ক্রেতা এবং বিক্রেতা উভয়ই, নিজেদের সামর্থ্য অনুযায়ী "দর কষাকষির মাধ্যমে", কাঙ্ক্ষিত পণ্য-দ্রব্য কাঙ্ক্ষিত দামে ক্রয় এবং বিক্রয় করতে পারেন। দামের বিপরীতে শ্রমের মূল্য (Value) যতই বাড়তে থাকবে (অর্থাৎ পরিশ্রম তখন মূল্য (Value) তৈরি করে), বাজার ততই শক্তিশালী হতে থাকবে। শক্তিশালী বাজারে ভোক্তার উপযোগ থাকে বেশি।
ধরা যাক, ভোক্তার সামর্থ্য তার হাতে থাকা বাজেটে প্রকাশ পায়। ভোক্তার পছন্দ অনুযায়ী নির্ধারিত বান্ডেল এবং বাজেটের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।
ভোক্তার "Choice Structure" formula_86 যেখানে, formula_87 অর্থাৎ ভোক্তার এই ক্ষেত্রে পছন্দ formula_88 বাজেট । formula_51 কে এই ক্ষেত্রে একটু পরিবর্তন করে, formula_90 দ্বারা প্রকাশ করব, কারণ গঠনগত ভাবে, ভোক্তা যে পছন্দ কাঠামো নির্ধারণ করেছেন, "তা গাণিতিক যৌক্তিক ক্ষেত্রে প্রকাশমান"। অর্থাৎ যিনি গাণিতিক যুক্তিকে অনুধাবন করতে পারেন, তাঁর কাছে ভোক্তার পছন্দের গঠনগত ক্ষেত্রটির প্রতিরূপ প্রকাশ পায়।
formula_90 এর অর্থ হচ্ছে, এখানে অন্তত কিছু বাজেট formula_92 রয়েছে এবং এই বাজেট গুলোর জন্য,
formula_93 সত্য হবে।
formula_94 অথবা formula_95 অথবা উভয়ই সত্য হবে।
বাইনারী সম্পর্ক formula_96 দ্বারা "" প্রকাশ পাচ্ছে।
ধরা যাক, ভোক্তা বাজারে দাম formula_97 এর "মুখোমুখি হয়" এবং "একই সময়ে" ভোক্তার কাছে থাকা "সম্পদের পরিমাণ" formula_98। আরো ধরা যাক, ভোক্তার পছন্দ কাঠামোতে থাকা পছন্দ গুলো "Feasible" । যদি এই অবস্থা সত্য হয় তবে, "ওয়ালরাস" এর উপস্থাপিত বাজেট সেট এর গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন,
formula_99
স্বতঃসিদ্ধ monotonicity এর কারণে, উপযোগ অপেক্ষকের নিচের বৈশিষ্ট্য টি প্রকাশ পায়।
formula_100
সুতরাং বাজেট সমীকরণকে, উপযোগ সমীকরণের সাথে যুক্ত করে, উপযোগ সমীকরণকে বাজেট সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে রূপান্তর করা সম্ভব।
নিচের, লক্ষ্য করুন,
formula_101 যেখানে, বাজেট সমীকরণ হল, formula_102
এক্ষেত্রে করতে, গাণিতিক সমাধান করে প্রাপ্ত ফলাফলকে (কিছু হিসাব করতে হয়) নিচের মত করে প্রকাশ করা যায়।
formula_103
এবং,
formula_104
আনুপাতিক সম্পর্ক নিয়ে পাই,
formula_105 এবং এখান থেকে উপযোগ সর্বোচ্চ করতে, ভোগের পরিমাণ formula_106এবং formula_107 হিসাব করে পাওয়া সম্ভব,
যেখানে, formula_108 এবং formula_109 হল, অপেক্ষক।
ভোগের পরিমাণ formula_106এবং formula_107 হতে পরোক্ষ উপযোগ অপেক্ষক পাওয়া সম্ভব।
ধরা যাক, পরোক্ষ উপযোগ অপেক্ষকটি formula_112
সুতরাং formula_113 সত্য এবং সম্ভব।