স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা

পদার্থবিজ্ঞান ও রসায়নে, স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা (প্রতীক ) একটি কোয়ান্টাম সংখ্যা, যা কোনো ইলেকট্রন বা অন্য কোনো কণার নিজস্ব কৌণিক ভরবেগ বা স্পিনকে নির্দেশ করে। একই প্রকারের সব কণার জন্য এই সংখ্যা একই হয়—যেমন, সব ইলেকট্রনের জন্য = । বোসন কণাগুলোর জন্য এই সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন ফোটনের ক্ষেত্রে), আর ফার্মিয়ন কণাগুলোর জন্য হয় অর্ধজোড় সংখ্যা (যেমন ইলেকট্রন ও প্রোটনের ক্ষেত্রে)।
স্পিনের কোনো নির্দিষ্ট অক্ষের বরাবর উপাদানকে বলা হয় স্পিন চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা, যার প্রতীক । এটি মূলত স্পিন কৌণিক ভরবেগের সেই অংশ, যা একটি নির্দিষ্ট দিকের (সাধারণত –অক্ষ) সমান্তরাল। এর মান হতে পারে + থেকে − পর্যন্ত, ধাপে ধাপে একটি করে। ইলেকট্রনের ক্ষেত্রে এর মান হয় বা ।
"স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা" বলতে বোঝায় পরিমিত স্পিন কৌণিক ভরবেগ। এখানে হলো স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা এবং হলো স্পিন চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা, যাকে কখনও (স্পিনের z–অক্ষ বরাবর উপাদান) হিসেবেও প্রকাশ করা হয়।
স্পিনের মোট মান এবং z–অক্ষ বরাবর তার উপাদান—এই দুটি পরিমাপের জন্য দুটি আলাদা কোয়ান্টাম সংখ্যা ব্যবহৃত হয়: একটি স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা এবং অন্যটি স্পিন চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা। প্রতিটি মৌলিক কণার জন্য স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা নির্দিষ্ট এবং অপরিবর্তনীয়। তবে অনেক রসায়ন বইয়ে –কে এককভাবে 'স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা' বলা হয়, এবং –এর মান হওয়ায় তা আলাদাভাবে উল্লেখ করা হয় না; এমনকি অনেক ক্ষেত্রে প্রতীকটি –এর স্থানেও ব্যবহার করা হয়।
স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা formula_1 এবং formula_2 হলো স্পিন কৌণিক ভরবেগের জন্য, যেমন formula_3 এবং formula_4 হলো অরবিটাল কৌণিক ভরবেগের জন্য।
যেসব ব্যবস্থায় একাধিক ইলেকট্রনের স্পিন যুক্ত থাকে, সেখানে মোট স্পিনকে এবং z–অক্ষ বরাবর উপাদানকে বা দ্বারা প্রকাশ করা হয়। দুটি ইলেকট্রন যদি সিঙ্গলেট অবস্থায় থাকে, তবে = 0 হয়। আর যদি ট্রিপলেট অবস্থায় থাকে, তবে = 1 হয়, এবং এর মান −1, 0, বা +1 হতে পারে। নিউক্লিয়ার স্পিনের ক্ষেত্রে, স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা এবং তার z–অক্ষ উপাদানকে বা দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
"স্পিন" শব্দটির উৎস হলো ইলেকট্রনের ঘূর্ণনের ধারণা, যা প্রথম প্রস্তাব করেন উলেনবেক ও গুড্‌সমিট। যদিও পরবর্তীতে এটি দেখা যায় যে, ইলেকট্রনের প্রকৃত ঘূর্ণন হলে তা আলোর চেয়ে দ্রুত গতিতে ঘুরতে হতো, যা বাস্তবে সম্ভব নয়। তাই এই ধারণাটিকে পরে আরও বিমূর্ত কোয়ান্টাম গাণিতিক পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়।
১৯১৬ থেকে ১৯২৫ সালের মধ্যে, পর্যায় সারণিতে ইলেকট্রনের বিন্যাস নিয়ে নানা গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার হয়। জিম্যান প্রভাব ব্যাখ্যা করতে সমারফেল্ড তিনটি কোয়ান্টাম সংখ্যা (n, k, এবং m) প্রস্তাব করেন, যা ইলেকট্রনের কক্ষপথের আকার, প্রকৃতি ও দিক নির্ধারণ করে। আর্ভিং ল্যাংমুইর ১৯১৯ সালে একটি প্রবন্ধে বলেন, “রিডবার্গ দেখিয়েছেন এই সংখ্যা formula_5 সূত্রে পাওয়া যায়, যেখানে ২ গুণফলটি একটি মৌলিক দ্বিগুণ গঠন বোঝায়।” স্টোনার এই বিন্যাসকে ১৯২৪ সালের একটি প্রবন্ধে আরও বিস্তৃতভাবে ব্যবহার করেন।
তবে দুর্বল চৌম্বক ক্ষেত্রে অসামান্য জিম্যান প্রভাবের ব্যাখ্যা এ পদ্ধতিতে সম্ভব হয়নি। ১৯২৪ সালের ডিসেম্বরে, ভল্‌ফগ্যাং পাউলি দেখান যে শুধু বাইরের ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ এই প্রভাবের জন্য দায়ী। তিনি অনুমান করেন, এর ব্যাখ্যার জন্য একটি চতুর্থ কোয়ান্টাম সংখ্যা প্রয়োজন, যার দুটি সম্ভাব্য মান রয়েছে। পরবর্তীতে সেটিই স্পিন চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা হিসেবে পরিচিত হয়।
স্পিন- কণা হিসেবে ইলেকট্রনের স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা = । শ্রোডিনজার-পাউলি সমীকরণ অনুযায়ী, স্পিন কৌণিক ভরবেগ নির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত হয়, যার মান:
formula_6
হাইড্রোজেন বর্ণালির সূক্ষ্ম গঠন (fine structure) স্পষ্টভাবে দুটি রেখায় বিভক্ত থাকে। এটি স্পিন কৌণিক ভরবেগের z–অক্ষ বরাবর উপাদানের দুটি সম্ভাব্য মানকে নির্দেশ করে:
formula_7
অর্থাৎ, ইলেকট্রনের স্পিন z–অক্ষ বরাবর কেবল দুটি মান নিতে পারে—যেগুলোকে সাধারণভাবে "স্পিন-আপ" ও "স্পিন-ডাউন" বলা হয়।
ইলেকট্রনের এই স্পিনের কারণে একটি চৌম্বক মুহূর্ত তৈরি হয়, যা চতুর্থ কোয়ান্টাম সংখ্যা নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ।
এই চৌম্বক মুহূর্তের ভেক্টরকে বোঝানো যায়:
formula_8
এখানে, formula_9 হলো ইলেকট্রনের চার্জ, formula_10 হলো ইলেকট্রনের ভর এবং formula_11 হলো স্পিন g-ফ্যাক্টর, যার আনুমানিক মান ২.০০২৩।
z–অক্ষ বরাবর এই চৌম্বক মুহূর্তের মান হয়:
formula_12
এখানে, formula_13 হলো বোর চৌম্বকীয় ধ্রুবক।
যেসব পরমাণুতে ইলেকট্রনের সংখ্যা জোড়, সেখানে প্রতি জোড়া ইলেকট্রনের স্পিন বিপরীতমুখী হয়, ফলে মোট স্পিন থাকে না। কিন্তু অনেক পরমাণুতে ইলেকট্রনের সংখ্যা বিজোড়, বা কিছু ইলেকট্রনের স্পিন একমুখী থাকে। এই 'অজোড় স্পিন' বিশিষ্ট ইলেকট্রন ইলেকট্রন স্পিন রেজোন্যান্স (ESR) প্রযুক্তিতে শনাক্ত করা যায়।
নিউক্লিয়াসেও স্পিন থাকে। এই নিউক্লিয়ার স্পিন () প্রতিটি নিউক্লিয়াসের একটি নির্দিষ্ট ধর্ম, যা পূর্ণসংখ্যা বা অর্ধজোড় সংখ্যা হতে পারে। এর z–অক্ষ বরাবর উপাদান (2 + 1)টি ভিন্ন মান নিতে পারে: , −1, ..., −। উদাহরণস্বরূপ, N–এর ক্ষেত্রে = 1, ফলে এর তিনটি উপাদান হতে পারে: +1, 0 ও −1।
নিউক্লিয়ার স্পিন ব্যাখ্যার জন্য নিউক্লিয়ার শেল মডেল ব্যবহার করা হয়। যেসব নিউক্লিয়াসে প্রোটন ও নিউট্রন দুটোই জোড়সংখ্যক (যেমন C বা O), সেগুলোর স্পিন থাকে ০। কিন্তু বিজোড় ভরবিশিষ্ট নিউক্লিয়াস, যেমন Li–এ , C–এ এবং O–এ —এই মানগুলো সাধারণত সর্বশেষ নিউক্লিয়নের কৌণিক ভরবেগ থেকে আসে।
যেসব নিউক্লিয়াসে প্রোটন ও নিউট্রন উভয়ই বিজোড় (যেমন B–এ ৩, N–এ ১), সেগুলোর স্পিন হয় পূর্ণসংখ্যা।
প্রতিটি মৌলিক উপাদানের আইসোটোপ তালিকায় নিউক্লিয়ার স্পিনের মান উল্লেখ থাকে (যেমন অক্সিজেনের আইসোটোপ, অ্যালুমিনিয়ামের আইসোটোপ ইত্যাদি)।
হাইড্রোজেন বর্ণালির সূক্ষ্ম বিভাজন (fine structure) হলো ইলেকট্রনের স্পিনের প্রথম প্রমাণগুলোর একটি। পরবর্তীতে স্টার্ন–গারলাখ পরীক্ষায় ইলেকট্রনের নিজস্ব কৌণিক ভরবেগ সরাসরি পর্যবেক্ষণ করা সম্ভব হয়।
১৯২২ সালে, ওটো স্টার্ন ও ভাল্টার গারলাখ একটি পরীক্ষা চালান যাতে ইলেকট্রনের স্পিনের প্রভাব সরাসরি দেখা যায়—যদিও তখনো 'স্পিন' ধারণাটি আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি হয়নি।
তাঁরা সিলভার পরমাণুকে উত্তপ্ত করে একটি কণাপুঞ্জ তৈরি করেন এবং তা অমসৃণ চৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্য দিয়ে একটি ধাতব পাতের দিকে চালনা করেন। ধ্রুপদী তত্ত্ব অনুযায়ী, সব পরমাণু পাতের ওপর একটি সরল রেখায় জমা হতো। কিন্তু পরীক্ষায় দেখা যায়, কণাপুঞ্জটি দুটি আলাদা রেখায় বিভক্ত হয়েছে।
এই বিভাজন বোঝায় যে রূপা পরমাণুর বহিঃকক্ষে থাকা একমাত্র ইলেকট্রনের স্পিন দুটি সম্ভাব্য অবস্থানে থাকতে পারে। এই অজোড় স্পিন ছোট একটি চৌম্বক দ্ব্বিধ্রুবক তৈরি করে, যা চৌম্বক ক্ষেত্রে নির্দিষ্টভাবে প্রতিক্রিয়া দেখায়। এর ফলে কিছু পরমাণু চৌম্বক ক্ষেত্র থেকে সরে যায়, আবার কিছুটা তার দিকে আকৃষ্ট হয়।
যদি ইলেকট্রনের স্পিন হয়, তবে তা দূরে সরে যায়; আর হলে তা আকর্ষিত হয়। এর ফলে রূপা কণাপুঞ্জটি দুটি ভাগে বিভক্ত হয়।
পরবর্তীতে ১৯২৭ সালে ফিপস ও টেলর একইরকম পরীক্ষা হাইড্রোজেন পরমাণু নিয়ে করেন এবং একই ফল পান। এর পরে তামা, সোনা, সোডিয়াম ও পটাসিয়ামের মতো এক ইলেকট্রনবিশিষ্ট পরমাণু দিয়েও একই ফলাফল পাওয়া যায়—সবক্ষেত্রেই পাতের ওপর দুটি রেখা তৈরি হয়।
যদিও নিউক্লিয়াসেও স্পিন থাকে, প্রোটন ও নিউট্রনের ভর ইলেকট্রনের তুলনায় অনেক বেশি হওয়ায়, তাদের চৌম্বক মুহূর্ত অনেক দুর্বল। পরবর্তীতে স্টার্ন, ফ্রিশ ও ইস্টারম্যান এই ক্ষুদ্র চৌম্বক মুহূর্ত মাপতে সক্ষম হন।
যেসব পরমাণু বা অণুতে একটি অজোড় (unpaired) ইলেকট্রন থাকে, সেখানে একটি বিশেষ ধরনের রূপান্তর ঘটতে দেখা যায়। এই রূপান্তরে শুধু ইলেকট্রনের স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যার পরিবর্তন হয়—অন্য কোনো কোয়ান্টাম সংখ্যা বা কক্ষপথের পরিবর্তন হয় না। এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় ইলেকট্রন প্যারাম্যাগনেটিক রেজোন্যান্স (EPR), বা ইলেকট্রন স্পিন রেজোন্যান্স (ESR)। এটি সাধারণত ফ্রি র‍্যাডিকেল বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়।
যেহেতু কেবল স্পিন-সংক্রান্ত চৌম্বকীয় প্রভাব বদলায়, তাই এ ক্ষেত্রে শক্তির পরিবর্তন খুব সামান্য হয়। ফলে এই রেজোন্যান্স সাধারণত মাইক্রোওয়েভ তরঙ্গদৈর্ঘ্যে পর্যবেক্ষণ করা যায়।
পাউলি সমীকরণ বা ডিরাক সমীকরণ সমাধান করলে দেখা যায়, স্পিন কৌণিক ভরবেগের পরিমাণ নির্দিষ্টভাবে হয়:
formula_14
এখানে,
যদি একটি নির্দিষ্ট দিককে (সাধারণত z–অক্ষ) ধরা হয়, তাহলে সেই দিক বরাবর স্পিনের মান হবে:
এখানে হলো স্পিন চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা, যার মান − থেকে + পর্যন্ত এক করে বাড়তে বা কমতে পারে। ফলে মোট টি ভিন্ন মান পাওয়া যায়।
স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যার মান সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য, এবং এটি পূর্ণসংখ্যা অথবা অর্ধ-জোড় সংখ্যা হতে পারে। ফার্মিয়ন (যেমন ইলেকট্রন, প্রোটন, নিউট্রন)–এর ক্ষেত্রে = , আর বোসন (যেমন ফোটন, মেসন)–এর ক্ষেত্রে এটি পূর্ণসংখ্যা।
স্পিনের গাণিতিক আচরণ অনেকটাই কোয়ান্টাম কৌণিক ভরবেগের মতো।
স্পিন তিনটি উপাদান (x, y, z) নিয়ে গঠিত, যেগুলোর মধ্যে সম্পর্ক নিচের মত:
formula_19
formula_20
এখানে formula_21 হলো লেভি-চিভিতা প্রতীক, যা নির্দেশ করে—একই সঙ্গে স্পিনের একাধিক উপাদান নির্ভুলভাবে মাপা যায় না। এটি অনিশ্চয়তা নীতির একটি ফল।
formula_22 ও formula_23–এর মান বা স্বত্ব মান (eigenvalue) নিম্নরূপ:
formula_24
formula_25
এছাড়া, formula_26 অপারেটরের মাধ্যমে স্পিন ধাপে ধাপে বাড়ানো বা কমানো যায়:
formula_27
১৯২৮ সালে পল ডিরাক একটি আপেক্ষিকতাবাদভিত্তিক সমীকরণ তৈরি করেন, যা এখন ডিরাক সমীকরণ নামে পরিচিত। এটি ইলেকট্রনের স্পিন চৌম্বকীয় মুহূর্ত সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হয় এবং ইলেকট্রনকে একটি বিন্দুর মতো কণা হিসেবে বিবেচনা করে। ডিরাক সমীকরণ সমাধান করলে হাইড্রোজেন পরমাণুর শক্তিস্তর ও চারটি কোয়ান্টাম সংখ্যা (, , , ) স্বাভাবিকভাবেই বের হয়ে আসে, এবং সেগুলোর মান পরীক্ষাগারে পর্যবেক্ষণের সঙ্গে মিলে যায়।
কোনো পরমাণু বা অণুতে একাধিক অজোড় ইলেকট্রনের স্পিন একে অন্যের সঙ্গে যুক্ত হয়ে মোট একটি স্পিন তৈরি করতে পারে, যাকে মোট স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা () বলা হয়।
এই সংযুক্তি সাধারণত হালকা পরমাণু বা অণুতে ঘটে, যেখানে স্পিন–অরবিট সংযোগ দুর্বল থাকে এবং স্পিন বা অরবিটাল কৌণিক ভরবেগের পারস্পরিক সংযোগ বেশি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। একে LS সংযোগ বলা হয়, কারণ এখানে (মোট অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ) ও উভয়ই স্থির থাকে।
এই অবস্থায় মাল্টিপ্লিসিটি বা গুণফল হয় , অর্থাৎ কতগুলো ভিন্ন স্পিন-বিন্যাস সম্ভব তা বোঝায়। যেমন, যদি = 1 হয়, তবে তিনটি অবস্থা সম্ভব—যাকে ট্রিপলেট অবস্থা বলা হয়। এই অবস্থাগুলিতে –এর মান হতে পারে: +, ০ এবং −।
এ ধরনের অবস্থা বোঝাতে টার্ম সিম্বল ব্যবহার করা হয়, যাতে , , এবং –এর মান উল্লেখ থাকে।
উদাহরণস্বরূপ, অক্সিজেন পরমাণু ও ডাইঅক্সিজেন অণু উভয়েরই ভূমিস্থ অবস্থা ট্রিপলেট, কারণ এতে দুটি অজোড় ইলেকট্রন থাকে। অক্সিজেন পরমাণুর টার্ম সিম্বল P, আর অণুটির জন্য Σ।