রায়চৌধুরী সমীকরণ

রায়চৌধুরী সমীকরণ বা ল্যান্ডাউ-রায়চৌধুরী সমীকরণ হলো সাধারণ আপেক্ষিকতার একটি মৌলিক ফলাফলভিত্তিক এমন এক সমীকরণ যা বস্তুর কাছাকাছি কণাসমূহের গতির বর্ণনা দেয়।
সাধারণ আপেক্ষিকতার সঠিক সমাধান অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে এবং পেনরোজ-হকিংয়ের সিঙ্গুলারিটি তত্ত্বের ক্ষেত্রে এই সমীকরণটি একটি মৌলিক লেমা হিসেবে গুরুত্বপূর্ণ হলেও এটি স্বতন্ত্র একটি আগ্রহেরও উদ্রেক ঘটায়। এর কারণ হলো, নিউটনের মহাকর্ষ তত্ত্বে যেমনটা হয়, তেমনইভাবে সাধারণ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রেও মহাকর্ষ বলকে ভর-শক্তিযুক্ত যেকোনো দুটি বস্তুর মধ্যকার একটি সর্বজনীন আকর্ষণ বল হওয়া উচিত বলে আমাদের যে একটি স্বতঃস্ফূর্ত-স্বজ্ঞাত প্রত্যাশা থাকে তার একটি সহজ ও সাধারণ বৈধতা দেয় এই সমীকরণ।
ভারতীয় পদার্থবিদ অমল কুমার রায়চৌধুরী এবং সোভিয়েত পদার্থবিদ লেভ ল্যান্ডাউ দুজনেই স্বতন্ত্রভাবে এই সমীকরণটি আবিষ্কার করেন।
বিবেচ্য কণাসমূহের জন্য বিশ্বরেখাসমূকে সময়-সদৃশ এবং চতুর্মাত্রিক একটি একক ভেক্টর ক্ষেত্র formula_1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক, যেখানে এই ভেক্টর ক্ষেত্রটিকে পরস্পর অছেদ্য বিশ্বরেখাসমূহের একটি পরিবাররূপে অথবা এদের কংগ্রুয়েন্স হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। বিশ্বরেখাসমূহ পারস্পরিক অছেদ্য হওয়ায় কণাসমূহের মধ্যে সংঘর্ষ ঘটে না এবং এদের জিওডেসিক ধর্ম থাকার বাধ্যবাধ্যকতা না থাকায় এই সমীকরণটি বাহ্যিক বল ক্ষেত্রের জন্যও প্রযোজ্য।
মেট্রিক টেন্সর formula_2 এবং ভেক্টর ক্ষেত্র formula_1 থেকে নিচের টেন্সরটি পাওয়া যায়:
এখানে, formula_5 হলো ভেক্টর ক্ষেত্রটির লম্ব হাইপারফেসগুলোর অভিক্ষেপ টেন্সর।
এখন, নিচের লম্ব হাইপারফেসগুলোর ওপর ভেক্টরক্ষেত্রটির কোভ্যারিয়েন্ট অন্তরজের অভিক্ষেপই হচ্ছে রায়চৌধুরী সমীকরণের আলোচনার মূল বিষয়:
সম্পসারণ স্কেলার formula_7 এর জন্য এই টেন্সরটিকে এর প্রতিসাম্যিক অংশে বিভাজন করলে পাওয়া যাবে:
এবং টেন্সরটিকে স্কিউ-প্রতিসাম্যিক অংশে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যাবে:
যেখানে, formula_10 এবং formula_11 হচ্ছে যথাক্রমে সম্প্রসারণ টেন্সর এবং ভর্টিসিটি টেন্সর।
আবার, formula_10-এর জন্য শিয়ার টেন্সরটি হবে:
এখন শিয়ার টেন্সর formula_14 ও ভর্টিসিটি টেন্সর formula_11-এর অঋণাত্মক দ্বিঘাত ইনভ্যারিয়েন্ট হচ্ছে যথাক্রমে: formula_16 ও formula_17
যেখানে,
formula_20-কে formula_10-এর ট্রেসও বলা হয়। 
formula_22 হলো বিশ্বরেখা বরাবর গণনাকৃত প্রকৃত সময়ের সাপেক্ষে formula_20-এর ব্যবকলন এবং formula_24 হলো কণার ত্বরণ ক্ষেত্র।
উপরের সমীকরণগুলো ব্যবহার করলে রায়চৌধুরী সমীকরণটিকে নিম্নরূপভাবে পাওয়া যাবে:
এখানে, formula_26 হচ্ছে টাইডাল টেন্সর formula_27-এর ট্রেস, যাকে রায়চৌধুরী স্কেলারও বলা হয়।
অতএব, 
সুতরাং রায়চৌধুরী সমীকরণের আরেকটি রূপ হলো:
সম্প্রসারণ স্কেলার দিয়ে ভগ্নাংশের হার পরিমাপ করা হয়, যেখানে সমবগে চলমান ("comoving") একটি কেন্দ্রীয় পর্যবেক্ষকের গণনাকৃত সময়ের সাপেক্ষে পদার্থের একটি ছোট বলের আয়তনের পরিবর্তন ঘটে (আর তাই এর মান ঋণাত্মকও হতে পারে)। অন্যভাবে বলা যায়, সময়সদৃশ কংগ্রুয়েন্সের সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে উপর্যুক্ত সমীকরণটি থেকে আমার বিবর্তন সমীকরণটি পাব। একটি নির্দিষ্ট ঘটনার পরে যদি প্রকৃত সময়ের সাপেক্ষে এই রাশিটির অন্তরজ কিছু বিশ্বরেখা বরাবর ঋণাত্মক হতে দেখা যায়, তাহলে পদার্থের একটি ছোট বলের (যে বলের ভরকেন্দ্র উল্লেখিত বিশ্বরেখাক অনুসরণ করে) যেকোনো সম্প্রসারণ অবশ্যই পুনঃপতনের ("recollapse") ওপর নির্ভর করবে। আর এটা না ঘটলে তবেই চলমান সম্প্রসারণ সম্ভব।
পদার্থের তৈরি প্রাথমিকভাবে গোলাকার একটি বলের উপবৃত্তাকার কাঠামোয় বিকৃত হওয়ার যেকোনো প্রবণতার পরিমাপ করা হয় শিয়ার টেনসর দিয়ে। আর ভর্টিসিটি টেনসর দিয়ে পরিমাপ করা হয় কাছাকাছি বিশ্বরেখাগুলোর একে অপরের সাথে পেঁচিয়ে যাওয়ার যে কোনো প্রবণতাকে; এমনটা ঘটলে পদার্থের ছোট ব্লব ঘুরছে বলতে হবে, যেমনটা ঘটছে প্রবাহী পদার্থের একটি সাধারণ প্রবাহে (যে প্রবাহ অশূন্য ভর্টিসিটি প্রদর্শন করে) বিদ্যমান প্রবাহী উপাদানগুলোতে।
রায়চৌধুরী সমীকরণের ডানপক্ষ দু ধরনের পদ নিয়ে গঠিত:
১. সমীকরণের যে পদটি (পুনঃ)পতনের কথা তুলে ধরে
২. সমীকরণের যে পদটি (পুনঃ)পতনের বিপরীত
এ দুটি পদের মধ্যে সাধারণত একটি টিকে থাকে। যাইহোক, এমন কিছু পরিস্থিতি রয়েছে যেগুলোর কারণে ভারসাম্যের সৃষ্টি হতে পারে। এই ভারসাম্যগুলো হতে পারে:
ধরা যাক, আমাদের বিবেচনাধীন স্থানকালের কিছু অঞ্চলে শক্তিশালী শক্তির অবস্থাটি সংঘটিত হয়েছে। উপরন্তু, formula_1-কে "বিলীয়মান ভর্টিসিটি"যুক্ত একটি সময়-সদৃশ "জিওডেসিক" একক ভেক্টরক্ষেত্ররূপে অথবা অনুরূপ কোনো একক ভেক্টরক্ষেত্ররূপে বিবেচনা করা যাক, যেখানে এই ভেক্টরক্ষেত্রটি হাইপারসারফেস লম্ব। উদাহরণস্বরূপ, যে মহাজাগতিক মডেলগুলো আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণের সঠিক ধূলিকণা-সমাধান, সেই মহাজাগতিক মডেলগুলোতে ধূলিকণার বিশ্বরেখার অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে এই পরিস্থিতির উদ্ভব হতে পারে; (আর এটা হবে এই শর্তে যে, এই বিশ্বরেখাগুলো একে অপরের সাথে প্যাঁচিয়ে যাবে না এবং যেক্ষেত্রে কংগ্রুয়েন্সটির অশূন্য ভর্টিসিটি থাকবে)।
তাহলে, রায়চৌধুরী সমীকরণ হবে:
এখন, সমীকরণটির ডান পক্ষটি সর্বদা ঋণাত্মক বা শূন্য হওয়ায় সম্প্রসারণ স্কেলারটি কখনোই সময়ের সাথে বৃদ্ধি পাবে না।
যেহেতু শেষ দুটি পদ অ-ঋণাত্বক, অতএব আমরা যা পাব:
প্রকৃত সময় formula_39-এর সাপেক্ষে এই অসমতাকে সমাকলন করে পাওয়া যাবে:
সম্প্রসারণ স্কেলারের প্রাথমিক মান formula_41 ঋণাত্মক হওয়ার মানে হলো, প্রাথমিক মান formula_41-এর পরিমাপের পরে প্রকৃত সময় সর্বোচ্চ formula_43-এর মধ্যে, জিওডেসিকসমূহ অবশ্যই একটি কস্টিকে মিলিয়ে যাবে, (formula_20 ঋণাত্মক অসীমের দিকে ধাবিত হবে)। একটি "বক্রতা সিঙ্গুলারিটি"র সাথে মুখোমুখি হওয়ার ক্ষেত্রে এর ইঙ্গিত দেওয়ার কোনো প্রয়োজন পড়ে না, তবে মহাকাশীয় ধূলিকণার গতির ক্ষেত্রে আমাদের গাণিতিক বর্ণনায় এটি অবশ্যই ভাঙ্গনের একটি ইঙ্গিত দেয়।
আলোক-সদৃশ জিওডেসিক তথা শূন্য জিওডেসিক কংগ্রুয়েন্সের জন্য রায়চৌধুরীর সমীকরণের একটি আলোকীয় (বা শূন্য) সংস্করণও রয়েছে, যাকে আলোক-সদৃশ ভেক্টর formula_45 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:
সম্প্রসারণ, শিয়ার এবং ভর্টিসিটি যে কেবল অনুপ্রস্থ দিকগুলোর ওপর নির্ভর করে, সমীকরণটিতে প্রতীকগুলোর ওপর দেওয়া টুপি চিহ্নগুলো সেই ইঙ্গিতই দেয়। যখন ভর্টিসিটি শূন্য হয়, তখন শূন্য শক্তির অবস্থা বিবেচনা করা হলে, অ্যাফাইন প্যারামিটার formula_47-এ পৌঁছানোর আগেই কস্টিক গঠিত হবে।
ঘটনা দিগন্তকে নাল অসীমতার কার্যকারণ অতীতের ("causal past") সীমানারূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের সীমানা শূন্য ("null") জিওডেসিকের মাধ্যমে উৎপন্ন হয়। শূন্য অসীমের যত কাছাকাছি পৌঁছানো যাবে, অ্যাফাইন প্যারামিটার ততই অসীমের দিকে চলে যাবে এবং শূন্য অসীমে পৌঁছানোর পূর্বে কোনো কস্টিক গঠিত হবে না। সুতরাং, ঘটনা দিগন্তের সম্প্রসারণকে অ-ঋণাত্মক হতে হবে। যেহেতু এই সম্প্রসারণ থেকে ক্ষেত্র-ঘনত্বের লগারিদমের পরিবর্তনের হার পাওয়া যায়, এর মানে হলো ঘটনা দিগন্তের ক্ষেত্রটি কখনই নিচে নেমে যেতে পারে না, অন্ততপক্ষে যদি তাত্ত্বিকভাবে শূন্য শক্তির অবস্থা ধরে নেওয়া হয়।
The Meaning of Einstein's Field Equation by John C. Baez and Emory F. Bunn. Raychaudhuri's equation takes center stage in this well known (and highly recommended) semi-technical exposition of what Einstein's equation says.