ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণ

রুডলফ ক্লাউজিউস এবং ব্যনোয়া পোল এমিল ক্লাপেরোঁ-র নামানুসারে ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সম্পর্কটির নামকরণ করা হয়েছে, যা কোন পদার্থের দুটি দশার মধ্যে বিচ্ছিন্ন দশা রুপান্তরের একটি রূপকার হিসেবে কাজ করে।
এটি মূলত সাম্যাবস্থায় কোন পদার্থের দুটি দশার চাপ এবং তাপমাত্রাকে ব্যবকলনীয় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করে।
চাপ বনাম তাপমাত্রা লেখচিত্রে যেই রেখা দুটি ভিন্ন দশাকে পৃথক করে তা সহাবস্থান লেখ হিসাবে পরিচিত। ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সম্পর্ক মূলত কোন বিন্দুতে এই লেখের স্পর্শকের ঢাল নির্দেশ করে। গাণিতিকভাবে,
যেখানে formula_2 হচ্ছে সহাবস্থান লেখের কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, formula_3 আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, formula_4 তাপমাত্রা, formula_5 দশা পরিবর্তনের কারণে আপেক্ষিক আয়তনের পরিবর্তন এবং formula_6 দশা পরিবর্তনের কারণে আপেক্ষিক এনট্রপির পরিবর্তন।
অবস্থা স্বীকার্য (স্টেট পসটুলেট) ব্যবহার করে ধরা যাক কোন সমজাতিক পদার্থের আপেক্ষিক এনট্রপি formula_7 বস্তুটির আপেক্ষিক আয়তন formula_8 এবং তাপমাত্রা formula_4 এর একটি ফাংশন ।
ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সম্পর্ক বদ্ধ সিস্টেমে স্থির তাপমাত্রা ও চাপে দশা পরিবর্তনের বৈশিষ্ট্য রুপায়িত করে। অতএব,
উপযুক্ত ম্যাক্সওয়েল সমীকরণ ব্যবহার করে পাওয়া যায়
যেখানে formula_13 চাপ নির্দেশ করে। যেহেতু তাপমাত্রা এবং চাপ ধ্রুবক, এতএব সংজ্ঞানুসারে বলা যায় তাপমাত্রার সাথে চাপের অন্তরজ পরিবর্তিত হয় না। সুতরাং আপেক্ষিক এন্ট্রপির আংশিক অন্তরজ কে পূর্ণ অন্তরজে পরিবর্তন করে পাওয়া যায়
এবং প্রারম্ভিক দশা formula_15 থেকে চূড়ান্ত দশা formula_16 পর্যন্ত সমাকলনে তাপমাত্রার সাপেক্ষে চাপের পূর্ণ অন্তরজ পাওয়া যেতে পারে
যেখানে formula_18 এবং formula_19 যথাক্রমে আপেক্ষিক এনট্রপি এবং আপেক্ষিক আয়তনের পরিবর্তন। দশা পরিবর্তনকে অভ্যন্তরীণভাবে একটি প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়া এবং প্রদত্ত সিস্টেমকে বদ্ধ সিস্টেম ধরা হলে তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র থেকে পাওয়া যায়
যেখানে formula_21 সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি । ধ্রুব চাপ এবং তাপমাত্রা ধরে নিয়ে (দশা পরিবর্তনের সময়) এবং আপেক্ষিক এনথালপির সংজ্ঞা formula_22 হতে আমরা পাই
দশা পরিবর্তনের সময় চাপ ও তাপমাত্রা স্থির ধরে নেওয়ায় আমরা পাই
আপেক্ষিক সুপ্ততাপকে formula_27 দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাওয়া যায়
উপরে বর্ণিত চাপ অন্তরজে ( formula_29 ) এই মান প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই
এই সমীকরণটি (ক্লাপেরোঁ সমীকরণ নামেও পরিচিত) সহাবস্থান লেখের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল formula_2 কে নির্দিষ্ট সুপ্ত তাপ formula_3, তাপমাত্রা formula_4, এবং আপেক্ষিক আয়তনের পরিবর্তন formula_5 এর ফাংশন (formula_35 ) হিসেবে প্রকাশ করে ।
ধরা যাক দুটি দশা সাম্যাবস্থায় পরস্পরের সংস্পর্শে অবস্থান করে। তাদের রাসায়নিক বিভব নিম্নোক্ত সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্কিত
সহাবস্থান লেখ বরাবর,
এখানে গিবস-ডুহেম সমীকরণ
(যেখানে formula_7 আপেক্ষিক এনট্রপি, formula_8 আপেক্ষিক আয়তন, এবং formula_41 মোলার ভর) ব্যবহার করে পাওয়া যায়
পুর্নবিন্যাস করে পাই
যা থেকে পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদের মতো ক্লাপেরোঁ সমীকরণ উপপাদন করা যায়।
যখন কোন পদার্থের ক্রান্তি তাপমাত্রারও অনেক নিচে পদার্থটির গ্যাসীয় অবস্থা থেকে তরল বা কঠিনে দশা পরিবর্তন ঘটে তখন গ্যাসীয় দশার আপেক্ষিক আয়তন formula_44 ঘনীভূত দশার (তরল বা কঠিন) আপেক্ষিক আয়তন formula_45 অপেক্ষা অনেক বৃদ্ধি পায়। সুতরাং কম তাপমাত্রার ক্ষেত্রে এটা আসন্নায়ন করা যেতে পারে যে
যদি চাপও কম থাকে তবে গ্যাসটিকে আদর্শ গ্যাসের সূত্রের মাধ্যমে লেখা যেতে পারে
যেখানে formula_13 চাপ, formula_49 সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, এবং formula_4 তাপমাত্রা। উপর্যুক্ত রাশি নিচের -ক্লাপেরোঁ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণ পাওয়া যায়
ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণ
সমীকরণটি নিম্ন তাপমাত্রা এবং চাপের জন্য, যেখানে formula_3 পদার্থের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ ।
formula_15 এবং formula_16 দশা দুটির মধ্যে সহাবস্থান লেখে যেকোন দুটি বিন্দু formula_56 এবং formula_57 নেওয়া হলো। সাধারণত, এমন দুটি বিন্দুর মধ্যে formula_3 এর মান তাপমাত্রার ফাংশন হিসেবে পরিবর্তিত হয়। কিন্তু যদি formula_3 ধ্রুবক হয়,
বা
শেষের সমীকরণগুলি বেশ কার্যকর কারণ এগুলো সম্পৃক্ত বাষ্প চাপ এবং তাপমাত্রাকে আপেক্ষিক আয়তন ব্যাতিরেকেই দশা পরিবর্তনের সুপ্ত তাপের সাথে সম্পর্কিত করে।
গ্যাসীয় হতে ঘনীভূত দশার পরিবর্তনের ক্ষেত্রে উপরের বর্ণিত আসন্নায়নের মাধ্যমে সমীকরণটি এভাবে লেখা যায়
যেখানে formula_65 একটি ধ্রুক। তরল-গ্যাসীয় পরিবর্তন প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে formula_3 বাষ্পায়নের আপেক্ষিক সুপ্ত তাপ (অথবা আপেক্ষিক এনথালপি); কঠিন-গ্যাসীয় পরিবর্তনের ক্ষেত্রে formula_3 উর্ধ্বপাতনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ । যদি সুপ্ততাপের মান জানা থাকে তবে সহাবস্থান লেখের উপরে একটি বিন্দুর তথ্য থেকে বাকি লেখটি বের করে ফেলা যায়। বিপরীতভাবে, formula_68 এবং formula_69 মধ্যে সম্পর্ক রৈখিক হওয়ায় লিনিয়ার রিগ্রেশন ব্যবহার করে সুপ্ততাপ বের করা হয়।
বায়ুমণ্ডলীয় জলীয় বাষ্প অনেকগুলো গুরুত্বপূর্ণ আবহাওয়া সংক্রান্ত ঘটনার (বিশেষত বৃষ্টিপাত ) নিয়ামক হিসেবে কাজ করে, যা আমাদেরকে এর কার্যকারিতার প্রতি আগ্রহী করে তোলে। সাধারণ বায়ুমণ্ডলীয় অবস্থায় জলীয় বাষ্পের জন্য ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণ (আদর্শ তাপমাত্রা এবং চাপের কাছাকাছি মানের ক্ষেত্রে) নিম্নোক্ত
যেখানেঃ
এক্ষেত্রে সুপ্ত তাপ formula_75 এর (এবং সম্পৃক্ত বাষ্প চাপ formula_76 এর) তাপমাত্রার উপর নির্ভরশীলতা উপেক্ষা করা যায় না। তবে সৌভাগ্যক্রমে, অগাস্ট-রশ-ম্যাগনাস (August–Roche–Magnus) এর নিমোক্ত সূত্রটি এসব ক্ষেত্রে বেশ ভালো আসন্নায়ন করতে পারে
উপরের রাশিতে, formula_76 (হেক্টো প্যাসকেল) এবং formula_4 সেলসিয়াসে এককে প্রকাশিত যেখানে এই পৃষ্ঠার অন্য সকল স্থানে formula_4 কেলভিন এককে প্রকাশিত। (এটিকে কখনও কখনও "ম্যাগনাস" বা "ম্যাগনাস – টিটেনস" আসন্নায়ন বলা হয়, যদিও "ঐতিহাসিকভাবে" নামকরণটি ভুল বলে প্রতীয়মান হয়) 
সাধারণ বায়ুমন্ডলীয় শর্তাবলীতে সূচকের হর "T" এর উপর সামান্যই নির্ভরশীল (সেলসিয়াস এককে প্রকাশিত)। সুতরাং, অগাস্ট-রশ-ম্যাগনাস (August–Roche–Magnus) সমীকরণ থেকে প্রতীয়মান হয় যে সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ সাধারণ বায়ুমন্ডলীয় শর্তাবলীতে সূচকীয়ভাবে বৃদ্ধি পায় ফলে প্রতি ১° সেলসিয়াস তাপমাত্রা বৃদ্ধির কারণে বায়ুমন্ডলের পানি ধারণ ক্ষমতা প্রায় ৭% বৃদ্ধি পায়।
এই সমীকরণের অনেক ব্যবহারের মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য ব্যবহার হলো প্রদত্ত অবস্থায় দশা পরিবর্তন হবে কিনা তা নির্ণয় করা। 0° সেলসিয়াস এর নিচে formula_81 তাপমাত্রার কোন বরফকে কি পরিমাণ চাপ প্রয়োগ করে গলানো যায় এমন প্রশ্নের উত্তরও ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণের মাধ্যমে দেওয়া যায়। এখানে লক্ষণীয় যে বরফ গলনের সময় এর আয়তন হ্রাস পায় ফলে আয়তনের পরিবর্তন ঋণাত্মক হয়। আমরা ধরে নিতে পারি
এবং নিচের মানগুলো প্রতিস্থাপন করি
মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই
−7 °C এর বরফকে গলাতে কি পরিমাণ চাপ দরকার তার একটা ধারণা দিতে বলা যায় এক্ষেত্রে চাপের মান অতি ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল (১ বর্গসেমি) এর উপর প্রায় ১০০০কেজি ভরের একটি গাড়িকে স্থির রাখতে যে পরিমাণ চাপ লাগে তার সমান।
ক্লাউজিউস-ক্লাপেরোঁ সমীকরণ সহাবস্থান লেখের ঢাল প্রকাশ করলেও এটি লেখের বক্রতা বা দ্বিতীয় অন্তরজ সম্পর্কে কোনও ধারণা দেয় না। দশা 1 এবং 2 এর সহাবস্থান লেখের দ্বিতীয় অন্তরজ নিম্নোক্তভাবে দেওয়া যায়
যেখানে 1 এবং 2 সাবস্ক্রিপ্টগুলি বিভিন্ন দশা বোঝায়, formula_88 ধ্রুব চাপে আপেক্ষিক তাপ ধারণ ক্ষমতা, formula_89 হ'ল তাপীয় প্রসারণ সহগ, এবং formula_90 সমতাপীয় সংকোচনশীলতা গুণাঙ্ক।