কোণ ত্রিখণ্ডন

কোণ ত্রিখন্ডিত করা কম্পাস ও দাগহীন রুলার দিয়ে জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কণ সংক্রান্ত গ্রিক গণিতের একটি ধ্রুপদী সমস্যা। এ ধরনের সমস্যা সমাধানে দুটি হাতিয়ার ব্যবহার করা যেতে পারে: ১) একটি দাগ না-কাটা রুলার ও ২) একটি কম্পাস. সমস্যা হচ্ছে- এমন একটি কোণ তৈরি করতে হবে যা প্রদত্ত যে কোন কোণের এক-তৃতীয়াংশ। কেবলমাত্র এ দুটি হাতিয়ার ব্যবহার করে এটি করা অসম্ভব। এ কাজটি করার জন্যে ঘন মূল নেয়ার প্রয়োজন পড়ে, যা এ ধরনের হাতিয়ারের সাহায্যে নির্ণয় করা সম্ভবপর নয়। তবে "সাধারণভাবে" কোন উপায়েই কোণকে কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে তিনভাগ করা যায় না মানে এই নয় যে কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে কোন কোণকেই তিনভাগ করা সম্ভব নয়। এছাড়াও, বিশ্লেষণী উপায়ে কোণকে ত্রিখন্ডিত করা যেতে পারে।
কেবলমাত্র দাগহীন সোজাপ্রান্ত ও কম্পাস কম্পাস ব্যবহার করে গ্রিক গণিতবিদগণ সরলরেখাকে যেকোন সংখ্যক সমানভাগে ভাগ করা, সমান্তরাল রেখা অঙ্কণ, কোণ কোণ দ্বিখণ্ডিত করা, বিভিন্ন বহুভুজ অঙ্কণ করা এবং কোন বহুভুজের সমান বা দ্বিগুণ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গ অঙ্কণ করার কৌশল উদ্ভাবন করেন।
তিনটি সমস্যার সমাধান দুরূহ প্রমাণিত হয়:
কোন ত্রিখণ্ডিত করার জ্যামিতক সমস্যাকে বীজগণিতের সাথে তুলনা করা যায়- বিশেষত ঘন বহুপদীর সাথে- কোনের তিনগুণের সূত্রের সাহায্যে: formula_1
মূলদ সংখ্যাকে এভাবে চিহ্নিত করা যায়: formula_2।
এখানে লক্ষণীয় এক ধাপে একটি ক্ষেত্র formula_3 থেকে অঙ্কনযোগ্য একটি সংখ্যা হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান। আরও লক্ষ করুন formula_4 রেডিয়ান (60 ডিগ্রি, 60° লেখা হয়) অঙ্কনযোগ্য।
যদিও formula_4 রেডিয়ান (60 ডিগ্রি) কোণকে ত্রিখণ্ডিত করা যায় না।
লক্ষ করুন formula_6।
যদি 60° কে তিন ভাগ করা যেত, তাহলে formula_7 ভাগ formula_2 এর সর্বনিম্ন বহুপদী হত দ্বিতীয় ঘাতের। এই ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে পাই formula_9. এখন ধরি formula_10।
উপরের অভেদ অনুসারে, formula_11. তাই formula_12. এদের গুণ করে পাই formula_13, বা formula_14. এখন প্রতিস্থাপন করি formula_15, যেন formula_16. ধরি formula_17.
এখানে "x" এর (ফলে formula_7) সর্বনিম্ন বহুপদী formula_19 এর একটি উৎপাদক। যদি formula_19 এর একটি মূলদ মূল থাকে, তবে মূলদ মূলের তত্ত্বানুযায়ী তা হবে 1 অথবা −1, স্পষ্টতই যার কোনটিই মূল নয়। ফলে formula_19 একটি formula_2 এর জন্যে ইরিডিউসিবল, এবং formula_7 এর সর্বনিম্ন পলিনমিয়াল এর ঘাত 3. 
ফলে formula_24 রেডিয়ান কোণকে তিনভাগ করা সম্ভবপর নয়।
কিছু বিশেষ কোণ ত্রিখন্ডিত করা সম্ভব (গ্রিক পন্থায়)। কোন কোণ formula_25 দেয়া থাকলে ঐ কোণের তিনগুণ কোণ formula_26 ত্রিখন্ডিত হয়। আবার কিছু অনির্মাণযোগ্য কোণ যদি দেয়া থাকে, তবে তাদের ত্রিখন্ডিত করা যায়, যেমন formula_27। (formula_27 কে পাঁচ গুণ করা হলে formula_29 কোণ পাওয়া যায়, যা হল একটি পূর্ণ বৃত্ত ও formula_30 কোণ।) সাধারণভাবে কোন প্রদত্ত পূর্ণ সংখ্যা formula_31 এর জন্যে formula_32 কোণটি ত্রিখণ্ডনীয়, যদি এবং কেবল যদি formula_33 দ্বারা formula_31 বিভাজ্য না হয়। 
কোণ ত্রিখণ্ডিত করবার একটি পন্থা হল গ্রিক পদ্ধতির "কিছুটা" পরিবর্তন করে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার। আর্কিমিডিস প্রথম এ পদ্ধতির সাহায্যে কোণ তিনভাগ করেন।
এই প্রমাণটি জ্যামিতির নিম্নোক্ত উপপাদ্য মেনে তৈরিকৃত (ডানে):
ডানের চিত্রে দিকে লক্ষ করে দেখুন; "a" কোণটি "B" বিন্দুর বাঁয়ে অবস্থিত। আমরা "a" কে ত্রিখণ্ডিত করবো।
প্রথমত, একটি রুলারে "AB" দূরত্বে দাগ কাটা আছে। রেখাটিকে বর্দ্ধিত করে কোণটিকে ছেদ করানো হয় এবং "AB" ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কণ করা হল। 
রুলারটিকে "A" বিন্দুতে ধরা হল, এবং তারপর সরিয়ে "C" বিন্দুতে একটি ও "D" বিন্দুতে একটি দাগ এমনভাবে কাটা হল যেন "CD = AB" হয়। "BC" ব্যাসার্ধ অঙ্কণ করা হল। "BCD" ত্রিভুজের দুই বাহু সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
তাহলে, "AB", "BC", এবং "CD" রেখাংশ সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।
এখন: ত্রিভুজ "ABC" এবং "BCD" সমদ্বিবাহু, ফলে উপপাদ্য তিন অনুযায়ী তাদের দুটি কোণ সমান। ছবিটি পুনরায় আঁকা হল, এবং কোণগুলো চিহ্নিত করা হল।
অনুমিতি: "AD" একটি প্রদত্ত রেখা, এবং "AB", "BC", এবং "CD" প্রত্যেকেই সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট,
উপসংহার: কোণ formula_35.
প্রমাণ:
ধাপসমূহ:
এখন, formula_47, or formula_48, প্রমাণিত।