গ্রুপ (গণিত)

গণিতবিদ্যায় একটি সেটের ওপর বিশেষ কিছু শর্ত রেখে গ্রুপ নামক বীজগাণিতিক কাঠামো তৈরি করা হয়। যদি একটি সেটের উপর একটি নির্দিষ্ট দ্বিপদ প্রক্রিয়া সংযোজী হয়, সেই প্রক্রিয়ার অধীনে সেটের মধ্যে একটি অভেদ সদস্য থাকে আর প্রত্যেক সদস্যের জন্যে একটি করে বিপরীত সদস্য থাকে তাহলে সেই সেটকে সেই দ্বিপদ প্রক্রিয়ার সহিত একটি গ্রুপ বলা হয় (এই প্রত্যেকটি শব্দের অর্থ আমরা একটু বাদেই জানবো)।
গ্রুপের মাধ্যমে আমরা আকৃতিক প্রতিসাম্য আর জ্যামিতিক রূপান্তরনের ধারণা পাই। একটি গাণিতিক আকৃতির বিভিন্ন প্রতিসাম্যতা একটি প্রতিসাম্য গ্রুপ তৈরি করে। এই প্রতিসাম্য গ্রুপগুলির মধ্যে একটি অন্যতম গ্রুপ হলো লী গ্রুপ, যাকে কাজে লাগিয়ে আমরা আণবিক রসায়ন এবং পদার্থবিদ্যায় প্রতিসাম্যতা অধ্যয়ন করি। এছাড়াও বিশেষ আপেক্ষিকতার মধ্যে স্থান-কালের প্রতিসাম্যতা নিয়ে একটি জনপ্রিয় লী গ্রুপ, পোইনকার গ্রুপ তৈরি হয়।
গ্রুপতত্ত্বের শুরু হয় ১৮৩০-এর দশকে ফরাসি গণিতবিদ এভারিস্ট গ্যালোইসের হাত ধরে। তিনি গ্রুপ শব্দটি প্রথমবার ব্যবহার করেন বহুপদী সমীকরণের বীজ নিয়ে তৈরি প্রতিসাম্য গ্রুপ, বর্তমানে যাকে গ্যালোইস গ্রুপ বলা হয়, সেই ধারণার ব্যাখ্যা দিতে। ১৮৭০ সাল নাগাদ বিভিন্ন গাণিতিক শাখা যেমন জ্যামিতি, সংখ্যাতত্ত্ব প্রভৃতির অবদানে বর্তমান গ্রুপতত্ত্বের প্রতিষ্ঠা হয়। বর্তমানে আধুনিক গ্রুপতত্ত্বে স্বাধীনভাবে (অন্য কোনো শাখার উপর নির্ভরশীল না হয়ে) গ্রুপ নিয়ে গবেষণা হয়।
গ্রুপ গবেষণার সুবিধার্থে গ্রুপগুলিকে বিভিন্ন ছোট ছোট অংশে ভাগ করে নেওয়া হয়েছে, যেমন উপগ্রুপ, সাধারণ গ্রুপ আর কোশেন্ট (ভাগফল)গ্রুপ। এছাড়াও গ্রুপের বিভিন্ন দুর্বোধ্য ধর্মের কারণে গ্রুপ তাত্ত্বিকরা গ্রুপকে নানাভাবে প্রকাশ করে।
সম্প্রতি ২০০৪ সালে সসীম সাধারণ গ্রুপের শ্রেণীবিন্যাস উপস্থাপিত হয়েছে। ১৯৮০-এর দশক থেকে আজ অব্দি জ্যামিতিক গ্রুপতত্ত্ব নিয়ে নানা গবেষণা হয়ে চলেছে।
গণিতের পরিভাষায় গ্রুপ হল এমন একটি সেট, formula_1, যার সাথে একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া (formula_2 ) এমনভাবে যুক্ত আছে যাতে প্রত্যেক formula_3 গুলো ওই দ্বিপদ প্রক্রিয়ার স্বাপেক্ষে নির্দিষ্ট কিছু গাণিতিক নিয়ম মেনে চলে। নিয়মগুলি হলঃ
১) আবদ্ধতা:- 
যেকোনো formula_4 এর জন্য formula_5 হবে। অর্থাৎ, formula_6 থেকে যেকোন দুটি সদস্য নিয়ে তাদের মধ্যে দ্বিপদ প্রক্রিয়া করলে যা পাওয়া যাবে, তা আসলে formula_6 এরই একটি সদস্য হবে। অনেকসময় এই নিয়ম যাচাই করার প্রয়োজন পড়ে না কারণ দ্বিপদ প্রক্রিয়া সর্বদা এই নিয়ম পালন করে, তা না করলে দ্বিপদ প্রক্রিয়ার কোনো মানে দাঁড়ায় না।
২) সংযোজী:-
যেকোন formula_8 এর জন্য formula_9 হবে।
৩) অভেদ সদস্যের অস্তিত্ব:- formula_10-এর মধ্যে এমন একটি অনন্য উপাদান formula_11 থাকবেই, যার জন্য যেকোন 
formula_12 এর ক্ষেত্রে formula_13 হবে।
৪) বিপরীত সদস্যের অস্তিত্ব:-
যেকোন formula_14 জন্য এমন একটি সদস্য, formula_15 পাওয়া যাবে, যাতে করে, formula_16 হয়।
কোন সেট এর সদস্যসমূহ এই চারটি নিয়ম মেনে চললে সেট-টিকে ওই দ্বিপদ প্রক্রিয়ার এর স্বাপেক্ষে গ্রুপ বলা হয়, এবং এটিকে formula_17 দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
গ্রুপ তৈরি হওয়ার ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম, অর্থাৎ 
formula_18 হওয়ার কোনো প্রয়োজন নেই, কিন্তু যদি গ্রুপে এই নিয়মটি সিদ্ধ হয়, তাহলে গ্রুপটিকে বিনিময়ী গ্রুপ বা অ্যাবেলিয় গ্রুপ বলা হয়।
ওপরের সংজ্ঞা পড়ে গ্রুপ জিনিসটিকে একটু কঠিন মনে হলেও, আসলে এটি ততটা কঠিন নয়। একটি সহজ উদাহরণ এক্ষেত্রে বেশ কাজ করবে। ধরা যাক, আমরা পূর্ণ সংখ্যার সেট formula_19 নিয়ে গবেষণা করছি এবং দ্বিপদ প্রক্রিয়া হিসেবে প্রথমে সাধারণ যোগ (+)-কে বিবেচনা করছি। আমরা দেখব formula_20 গ্রুপ এর নিয়মগুলো মেনে চলে কিনা।
পূর্ণ সংখ্যার সেট formula_19 এর সদস্যগুলি হল ... -৩, -২, ০, ১, ২, ৩, ... ইত্যাদি ধণাত্মক ও ঋণাত্মক সকল পূর্ণ সংখ্যা। এদের মধ্যে দুটি বা তিনটি বেছে নাওয়া হল। ধরা যাক সংখ্যা গুলো হলঃ ৫, ৬ ও ৭ । আমরা দেখতে পাচ্ছি, এরা (+) এর ক্ষেত্রে উপরে বর্ণিত আবদ্ধতা নিয়মটি মেনে চলে। কারণ, ৫ + ৬ = ১১ । এই ১১ সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যার সেট-এরই একটি উপাদান।
আবার, ৫ + ( ৬ + ৭ ) = ( ৫ + ৬ ) + ৭ । 
এথেকে বোঝা যায়, ৫ কে ৬ ও ৭ এর সমষ্টির সাথে যোগ করলে যে ফল পাওয়া যায়, ৫ ও ৬ এর সমষ্টির সাথে ৭ কে যোগ করলেও একই ফল পাওয়া যায়। দুই ক্ষেত্রে যোগ করার ক্রম আলাদা হলেও, ফল একই পাওয়া যায়। সুতরাং formula_22 সংযোজী নিয়মটি মেনে চলে।
লক্ষ্য করলে দেখা যায়, (+) এর স্বাপেক্ষে ০ (শূন্য) উপাদানটি formula_23 এর অভেদ সদস্য। কারণ 
৫ + ০ = ০ + ৫ = ৫ । ৫ এর পরিবর্তে অন্য যেকোন পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রেও এই নিয়ম খাটে । সুতরাং formula_24 এ অভেদ উপাদান আছে এবং তা অনন্য।
আবার, (+) এর স্বাপেক্ষে formula_19 -এ ৫ এর জন্য আরেকটি উপাদান (-৫) আছে, যার সাথে ৫ কে যোগ করলে উত্তর হিসেবে অভেদ উপাদান (০) পাওয়া যায়।
৫ + (-৫) = (-৫) + ৫ = ০
-৫ ও ৫ সংখ্যা দুটি পরস্পরের বিপরীত। তেমনি ভাবে ৬, ৭, ৮, ... এর জন্য -৬, -৭, -৮, ... সংখ্যা গুলো formula_19 বিপরীত সদস্য হিসেবে খুজে পাওয়া যায়। সুতরাং, formula_19 এর সকল সদস্যের এর জন্য ইনভার্স সদস্য formula_19 এর ভেতর রয়েছে।
তাই বলা যায়, formula_29 একটি গ্রুপ নির্দেশ করে এবং এটি একটি বিনিময়ী গ্রুপ। একটু ভাবলেই বোঝা যায়, 
formula_30 কোন গ্রুপ নয় কারণ সেখানে সহযোগিতা নিয়মটি কাজ করেনা, উদাহরণস্বরুপ ৫-(৬-৭) = ৬, এবং (৫-৬)-৭ = -৮। একই ভাবে, formula_31 -ও কোন গ্রুপ নির্দেশ করেনা। কারণ, ৫ এর বিপরীত সদস্য গুণন প্রক্রিয়ার স্বাপেক্ষে ১/৫ = ০.২, যা formula_19 এর ভেতরে নেই।
সমতলে থাকা দুটি আকৃতিকি আমরা সর্বসম বলি যদি আকৃতিগুলি একে অন্যের আবর্তন, প্রতিফলন ও স্থানান্তরনের ফলে সৃষ্টি হয়।
যেকোনো আকৃতি নিজেই নিজের সাথে সর্বসম হয়। কিন্তু কিছু আকৃতি নিজের সাথে নানারকম ভাবে সর্বসম হতে পারে, এই নানারকম সমতাকে প্রতিসাম্যতা বলে। যেমন একটি চতুর্ভুজের ৮টি প্রতিসাম্যতা থাকে। সেগুলি হলো:
১. formula_33: চতুর্ভুজের (পরিবর্তনহীন) প্রাথমিক অবস্থা।
২. formula_34: ঘড়ির কাঁটা অনুযায়ী একবার ৯০° আবর্তন।
৩. formula_35: ঘড়ির কাঁটা অনুযায়ী একবার ১৮০° আবর্তন।
৪. formula_36: ঘড়ির কাঁটা অনুযায়ী একবার ২৭০° আবর্তন।
৫. formula_37: উল্লম্ব (y-অক্ষ বরাবর) প্রতিফলন।
৬. formula_38: অনুভূমিক (x-অক্ষ বরাবর) প্রতিফলন।
৭. formula_39: কৌণিক প্রতিফলন।
৮. formula_40: (বিপ্রতীপ) কৌণিক প্রতিফলন।
প্রত্যেকটি প্রতিসাম্যতাই আসলে এক একটি অপেক্ষক বা চিত্রণ যা চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থান পরিবর্তন করে। যেমন abcd চতুর্ভুজকে (যেভাবে উপরের তালিকা-চিত্রে নাম্বারিং করা হয়েছিল সেই ক্রমে abcd) ঘড়ির কাঁটা অনুযায়ী ৯০° ঘোরালে a এর স্থানে c চলে আসে, b এর স্থানে a, c এর স্থানে d আর d এর স্থানে b। তেমনি যদি abcd চতুর্ভুজের a আর c শীর্ষবিন্দু দুটিকে যুক্ত করে সেই সরলরেখা বরাবর চতুর্ভুজটিকে ঘোরাই (যেভাবে খুশি) তাহলে b এর জায়গায় c চলে আসে ও c এর জায়গায় b। আমরা প্রথম উদাহরণে আবর্তন করেছি এবং দ্বিতীয় উদাহরণে কৌণিক প্রতিফলন করেছি, বাদবাকি ৬টি আবর্তন/প্রতিফলন একইভাবে কল্পনা করা সম্ভব। এবার দ্যাখা যায় যে এই সমস্ত চিত্রণগুলি আসলেই একটা গ্রুপ তৈরি করছে। দুটি চিত্রণকে একসাথে কাজ করালে সেটি উপরোক্ত ৮টি চিত্রণের মধ্যেই একটি চিত্রণ হয়, যেমন ১৮০° আবর্তন করার পর আবার ৯০° আবর্তন করলে সেটি আসলে চতুর্ভুজের ২৭০° আবর্তন হয়। formula_33 হলো এই গ্রুপের অনন্য অভেদ চিত্রণ আর প্রত্যেক চিত্রনেরই অনন্য বিপরীত চিত্রণ রয়েছে, তাই এই সমস্ত চিত্রণের সেট একটি গ্রুপ। এই প্রতিসাম্য গ্রুপকে, ডাইহেড্রাল গ্রুপ formula_42 বলা হয়। n-খানা বাহু নিয়ে গঠিত আকৃতির ডাইহেড্রাল গ্রুপকে সাধারণ ভাবে formula_43 বলে।
এই গ্রুপে দ্বিপদ প্রক্রিয়াটি হলো চিত্রনের সংযোজন বা মিশ্রণ, এটিকে আমরা formula_44 দিয়ে চিহ্নিত করি। যেমন formula_45
নিচে এই গ্রুপের মধ্যে সমস্ত প্রক্রিয়া/অপারেশনগুলিকে টেবিল আকারে দেওয়া হলো:
উপরের টেবিল দেখে বেশ ভালোভাবেই বোঝা যাচ্ছে যে formula_33 একটি অভেদ সদস্য। প্রতিফলনগুলি অবশ্যই নিজেই নিজেদের বিপরীত সদস্য কারণ একটি চতুর্ভুজকে দুবার ঘোরালে সেটি তার প্রাথমিক অবস্থাতেই (formula_33) ফিরে আসে। আবার ৯০° আবর্তনের বিপরীত সদস্য হলো আরেকটি ২৭০° আবর্তন, কারণ তাহলে মোটমাট আমরা ৩৬০° আবর্তন করছি যা কিনা চতুর্ভুজের প্রাথমিক অবস্থা। উল্টোদিক থেকে দেখলে ২৭০° আবর্তনেরও বিপরীত হলো ৯০° আবর্তন। একইভাবে formula_35 এর বিপরীত সদস্য হলো সেটি নিজেই।
পূর্ণ সংখ্যার গ্রুপটি অ্যাবিলিয় ছিল কারণ formula_49। কিন্তু এই ডাইহেড্রাল গ্রুপটি অ্যাবেলিয় নয়, formula_50 ও formula_51।
গ্রুপের আধুনিক ধারণা গণিতের একক কোন শাখা থেকে জন্মায়নি। গ্রুপতত্ত্বের একেবারে গোড়ার দিকের কাজগুলোর উদ্দেশ্য মোটেও "গ্রুপের সংজ্ঞা তৈরি করা"-জাতীয় কিছুই ছিলনা। ৪-ডিগ্রী বা তার চাইতে উঁচু ডিগ্রী (ঘাত) সম্পন্ন বহুপদি সমীকরণ সমাধানের উপায় বের করতে গিয়েই মূলত গ্রুপতত্ত্বের জন্ম হয়। ঊনবিংশ শতকে তরুণ ফরাসী গণিতবিদ এভরিস্ট গ্যালোইস একটি বহুপদি সমীকরনকে কীভাবে তার বীজ (সমাধান সেটের উপাদান) গুলোর প্রতিসাম্য গ্রুপের মাধ্যমে সমাধান করা যায়, সে সম্পর্কে ধারণা দেন। এই কাজটি ছিল রুফিনী এবং লাগ্রাঞ্জের গবেষণারই একটি পরিবর্ধন। "গ্যালোইস গ্রুপের" উপাদানগুলোর সাথে ওই বহুপদি বীজগুলোর কিছু বিন্যাসের সরাসরি সম্পর্ক আছে। প্রথমে গ্যালোইসের এই কাজ তখনকার গণিত-সমাজে গৃহীত হয়নি। তার জীবদ্দশায় এই কাজ কোথাও প্রকাশিতও হয়নি। পরবর্তিকালে কশি গবেষণা করেন বিন্যাস গ্রুপ নিয়ে। ১৮৫৪ সালে ক্যালি তার প্রকাশিত গবেষণাকর্ম, "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation formula_52" -এ প্রথম সসীম গ্রুপের সংজ্ঞা দেন।
১৮৭২ সালে ফেলিক্স ক্লাইনের হাত ধরে গ্রুপতত্ত্ব জ্যামিতিতে প্রবেশ করে। অধিবৃত্তিক জ্যামিতি এবং প্রজেক্টিভ জ্যামিতি বিকাশ লাভের পর ক্লাইন গ্রুপতত্ত্বকে আরো সুবিন্যস্ত উপায়ে ব্যবহার করেন। এই ধারণা কাজে লাগিয়ে ১৮৮৪ সালে সফাস লী সুচনা করেন গণিতের আরেক বিরাট শাখা - লী গ্রুপ। কণিকা-পদার্থবিদ্যা (Particle Physics) সম্পর্কে জানতে হলে লী গ্রুপের জ্ঞান ছাড়া এখন আর অগ্রসর হওয়া সম্ভব নয়।
সংখ্যাতত্ত্বও গ্রুপতত্ত্ব বিকাশে বড় ভূমিকা রেখেছে। কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস ১৭৯৮ সালে প্রকাশ করেন তার সংখ্যাতত্ত্ব-মূলক কাজ Disquisitiones Arithmeticae। কিছু আবেলীয় গ্রুপ কাঠামো তিনি পরোক্ষ ভাবে এই কাজে ব্যবহার করেন। এই কাঠামো আরো প্রত্যক্ষ ভাবে ব্যবহৃত হয় ক্রনেকারের গবেষণায়। ১৮৪৭ সালে কামার ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করার চেষ্টা করেন (এই উপবাদ্য সম্প্রতি প্রমাণিত হয়েছে স্যার এন্ড্রু উইলসের হাত ধরে)। তিনি তার কাজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বর্ণনাকারী গ্রুপ এবং মৌলিক সংখ্যার ভেতর সমন্বয় সাধন করেন।
গ্রুপের সংজ্ঞা থেকে আমরা বেশ কিছু ছোটখাটো বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাই। যেমন গ্রুপের সংযোজক নিয়মটি গ্রুপের সদস্যদের মধ্যে বার বার প্রয়োগ করলে দ্যাখা যায় যে নিয়মটি শুধুমাত্র ৩টি উপাদানের জন্যে না, অসংখ্য উপাদানের জন্যও খাটে। এটি একটি নিতান্তই তুচ্ছ ঘটনা। অন্যদিকে আমরা আগে উল্লেখ করেছিলাম যে গ্রুপে অভেদ উপাদানটি অনন্য, তার প্রমাণ নিচে করা হলো:
ধরা যাক, গ্রুপে formula_53 নামে দুটি অভেদ সদস্য রয়েছে। 
এবার অভেদ উপাদানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, 
formula_54 এবং formula_55।
সুতরাং formula_56, অতএব গ্রুপে অভেদ উপদানটি অনন্য।
বিপরীত সদস্যদের অনন্যতাও প্রমাণ করা হোক:
ধরা যাক, একটি গ্রুপের মধ্যে একটি সদস্য formula_57 এর দুটি বিপরীত সদস্য রয়েছে, formula_58। সংজ্ঞানুযায়ী, 
formula_59
এই একই প্রমাণ প্রথমে formula_60 ধরে করলেও হতো। এই পর্যায়ে এসে বলা ভালো যে বিপরীত সদস্য দুই প্রকারের হয়ে থাকে, ডান দিকের বিপরীত সদস্য ও বাম দিকের বিপরীত সদস্য, কিন্তু আদতে ডান দিকের আর বাম দিকের বিপরীত সদস্য গ্রুপের ক্ষেত্রে একই সদস্য। উপরে যে প্রমাণ আমরা করেছি সেখানে বাম দিক থেকে formula_61 কে প্রয়োগ করেছিলাম, সেখানে এটিকে বাম দিকের বিপরীত সদস্য বলা যেতেই পারে। সাধারণত গ্রুপে কোন দিন থেকে একটি সদস্যকে আরেকটি সদস্যের সাথে প্রয়োগ করছি সেটি একটি চিন্তার বিষয় কেননা গ্রুপ আবেলিয় নাই হতে পারে এবং সেক্ষেত্রে formula_62 হবে না।
একটি সেমিগ্রুপে ডান ও বাম দিকের বিপরীত সদস্য এক নাই হতে পারে। সেমিগ্রুপ একটি গ্রুপ নয়, সেমিগ্রূপে শুধুমাত্র সংযোজক নিয়মটিই খাটে। আবার অন্যদিকে শুধুমাত্র ডান ও বাম দিকের বিপরীত সদস্যের অস্তিত্ব থাকলেই যে সেই সেটটি একটি গ্রুপ হবে তারও কোনো মানে নেই।
গ্রুপ যেহেতু একটি সেটের ওপর তৈরি হয়, তাই গ্রুপের কিছু মৌলিক ধারণাও সেটতত্ত্বের মৌলিক কিছু ধারণার মতোই। গ্রুপতত্ত্ব জানতে গেলে সেটতত্ত্বের ধারণা না থাকাটা সম্ভব নয়। এছাড়াও আমাদের চিত্রণ সম্পর্কে অভিজ্ঞ হওয়া জরুরি। নিচে আমরা এইসমস্ত কিছু বিষয় নিয়ে আলোচনা করেছি।
গ্রুপ হোমোমর্ফিসম হলো এমন এক প্রকারের চিত্রণ যা একটি গ্রুপ থেকে আরেকটি গ্রুপের মধ্যে গ্রুপতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য বা কাঠামো বজায় রাখে। দুটি গ্রুপ formula_63এর মধ্যে যদি এমন একটি চিত্রণ formula_64 এর অস্তিত্ব থাকে, যাতে করে,
formula_65 হয় প্রত্যেক formula_66 এর জন্যে, তাহলে সেই চিত্রণটিকে একটি হোমোমর্ফিসম বলে।
হোমোমর্ফিসমের মাধ্যমে formula_67-এর অভেদ উপাদানটি formula_68-এর অভেদ উপাদানে যায়, অর্থাৎ formula_69 হয়। এছাড়াও,
formula_70 হয় প্রত্যেক formula_71-এর জন্যে। এই দুটিকেই সরাসরি গ্রুপের ও হোমোমর্ফিসমের সংজ্ঞা থেকে প্রমাণিত করা যায়।
formula_67 থেকে formula_67তে একটি হোমোমর্ফিসম এমনভাবে তৈরি করা সম্ভব, যাতে করে কিনা formula_67 এর প্রত্যেকটি সদস্য আবার নিজেদেরই সাথে চিত্রিত হয়, অর্থাৎ formula_75 প্রত্যেক formula_71-এর জন্যে। এই চিত্রণটিকে অভেদ চিত্রণ বলে। সব গ্রুপের মধ্যেই একটি নগন্য হোমোমর্ফিসম থাকে যা গ্রুপের প্রত্যেক সদস্যকে অপর গ্রুপটির অভেদ সদস্যে পাঠায়। তবে এই নগন্য চিত্রণটির গুরুত্ব বিশেষ কিছু নেই কেননা আমরা সাধারণত এমন চিত্রণ নিয়ে গবেষণা করি যা নগন্য নয়।
হোমোমর্ফিসম চিত্রণটি এক-এক হলে তাকে এপিমর্ফিসম বলা হয় এবং যদি সেটি উপরিচিত্রণ হয় তাহলে তাকে মোনোমর্ফিসম বলা হয়। যখন কোনো হোমোমর্ফিসম এক-এক ও উপরিচিত্রণ দুটোই হয়, তখন তাকে আমরা আইসোমর্ফিসম বলি। দুটি গ্রুপের মধ্যে আইসোমর্ফিসম থাকা মানে দুটি গ্রুপের বৈশিষ্ট্য এক, কাঠামো এক ও গ্রুপদুটি একই নিয়ম মেনে চলে। এতটাই সমান গ্রুপদুটি যে আমরা তাদেরকে একই গ্রুপ বলতে পারি আলাদা দুটি গ্রুপ না বলে। আবার বাইজেক্টিভ চিত্রণ থাকলে সেই চিত্রণের বিপরীত চিত্রনেরও অস্তিত্ব থাকবে এবং সেটিও একটি আইসোমর্ফিসম হবে। সংজ্ঞানুযায়ী একটি হোমোমর্ফিসম formula_64 এর বিপরীত হোমোমর্ফিসম হলো formula_78 যদি formula_79 ও formula_79 হয়, অর্থাৎ formula_81 প্রত্যেক formula_82-এর জন্যে এবং formula_83 প্রত্যেক formula_84-এর জন্যে।
হোমোমর্ফিসমের মাধ্যমে সম্পর্কিত সমস্ত গ্রুপের কালেকশনকে ক্যাটাগরি বলে। ধরা যাক formula_85 একটি একক হোমোমর্ফিসম। এই চিত্রণটিকে (গ্রুপের) ধর্মসম্মতভাবে একটি আইসোমর্ফিসম বলা হবে যদি formula_86 হয়, অর্থাৎ formula_87 যদি formula_67এর কোনো উপগ্রুপ formula_68-এর সাথে আইসোমর্ফিক হয়।
যদি formula_67 গ্রুপের কোনো একটি উপসেট, গ্রুপের দ্বিপদ প্রক্রিয়ার অধীনে নিজস্ব একটি স্বাধীন গ্রুপ তৈরি করে, তাহলে সেটিকে formula_67 গ্রুপের উপগ্রুপ বলা হয়। বলা বাহুল্য যে গ্রুপের অভেদ উপাদানটি উপগ্রূপের অভেদ উপাদান যেহেতু দুক্ষেত্রেই দ্বিপদ প্রক্রিয়াটি এক। গ্রুপ তৈরি হওয়ার শর্তানুযায়ী formula_92 যদি formula_68-এর মধ্যে থাকে, তাহলে formula_94ও formula_68-এর মধ্যে থাকবে এবং তাদের বিপরীত উপাদান formula_96ও formula_68-এর মধ্যে থাকবে। এই দুটি নিয়ম লাঘু হলেই উপসেটটি উপগ্রুপ হয়ে যাবে।
উদাহরণস্বরুপ formula_42 গ্রুপের একটি উপগ্রুপ হলো formula_99; এই উপগ্রুপটিকে আমরা আগেই চিহ্নিত করে রেখেছিলাম formula_42 গ্রুপ টেবিলে। একটু পর্যবেক্ষন করলেই বোঝা যায় যে এই উপসেটটি সত্যিই একটি গ্রুপ। তবে উপগ্রুপ পরক্ষণ করার সহজ একটি উপায় হলো formula_101 উপসেটে আছে কিনা সেটা যাচাই করা প্রত্যেক formula_102 এর জন্যে।
formula_67-এর কোনো একটি উপসেট " formula_104 থেকে উৎপন্ন উপগ্রুপ " বলতে আমরা সেই গ্রুপকে বুঝি যার সদস্যগুলি হলো formula_104 এরই সদস্য এবং তাদের প্রত্যেকের উপর দ্বিপদ প্রক্রিয়া করে করে formula_67-এর যে সদস্যগুলি তৈরি হয় তাদের সমষ্টি। এই উপগ্রুপটি হলো formula_67-এর মধ্যে formula_104-কে ঘিরে তৈরি হওয়া সবচেয়ে ছোট উপগ্রুপ।
জ্যামিতিকভাবে কোসেটকে জানতে গেলে আমরা একটি ছোট উদাহরণ নিয়ে অগ্রসর হতে পারি। ধরা যাক formula_109 হলো একটি সরলরেখা। এবার আমরা যদি formula_110 এর সাথে ১,২... যোগ করতে থাকি তাহলে সরলরেখাটি বামদিকে সরে যেতে থাকবে। তেমনি যদি -১, -২... ইত্যাদি যোগ করতে থাকি তাহলে সরলরেখাটি ডানদিকে সরতে থাকবে। গ্রুপের ক্ষেত্রেও যদি কোনো উপগ্রুপের সমস্ত সদস্যের সাথে গ্রুপের কিছু সদস্য দ্বিপদ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে যুক্ত করি তাহলে সেটি উপগ্রুপটির সরণ নির্দেশ করবে (জরুরি নয় যে আমরা জ্যামিতিক সরণের কথা বলছি)।
formula_67-এর কোনো একটি উপগ্রুপ formula_68-এর বাম ও ডান কোসেট বলতে আমরা আমরা বোঝাই 
formula_113 এবং 
formula_114 ।
সুতরাং যেকোনো formula_115 নিয়েই আমরা বাম ও ডান কোসেট তৈরি করতে পারি। যদি আমরা উপগ্রুপেরই সদস্য নিয়ে কোসেট তৈরি করতে যাই তাহলে উপগ্রুপটিই ফিরে আসবে।
সমস্ত বাম/ডান কোসেট গ্রুপের মধ্যে একটি পার্টিশান তৈরি করে, অর্থাৎ গ্রুপ থেকে যদি আমরা কোনো একটি সদস্য বেছে নিই তাহলে সেটি নির্দিষ্ট একটি কোসেটে থাকবে; এমন কখনই হতে পারে না যে বেছে নেওয়া সদস্যটি ভিন্ন দুটি কোসেটের মধ্যে আছে। সমস্ত কোসেটের সমষ্টি মূল গ্রুপকেই ফিরিয়ে দেয় এবং সমস্ত কোসেটের সদস্যদের মধ্যে কোনো মিল নেই।
দুটি কোসেট formula_116 হওয়া মানে formula_117 হওয়া। সাধারণত সব বাম ও ডান কোসেট এক হয়না, যদি হয় তাহলে formula_68-কে নর্মাল উপগ্রুপ বলা হয়। তবে একটি আবেলিয় গ্রুপের ক্ষেত্রে সব উপগ্রুপই নর্মাল।
formula_42 গ্রুপে শুধুমাত্র আবর্তনগুলিকে নিয়ে যে উপগ্রুপ formula_120 তৈরি হয়, সেটি একটি নর্মাল উপগ্রুপ। প্রত্যেকটি প্রতিফলন দ্বারা গঠিত (বাম ও ডান) কোসেট আসলে একই, 
formula_121 এবং 
formula_122 ।
ধরা যাক formula_123 হচ্ছে formula_67-এর একটি নর্মাল উপগ্রুপ। এবার আমরা এই সেটটির কথা চিন্তা করি, formula_125 । এটি হচ্ছে formula_123-এর সমস্ত কোসেটের সেট, অর্থাৎ এই সেটের সদস্যগুলি formula_123-এর এক একটা কোসেট। এখন আমরা এই সেটে একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া এমনভাবে সংজ্ঞাত করি যাতে, দুটি কোসেট formula_128-কে যুক্ত করলে আরেকটি কোসেট formula_129 তৈরি হয়। নিশ্চই formula_123 সদস্যটি এই গ্রুপের একটি অভেদ সদস্য এবং formula_131-এর বিপরীত সদস্য হলো formula_132। সুতরাং formula_133 সেটটি এই দ্বিপদ প্রক্রিয়ার অধীনে একটি গ্রুপ তৈরি করছে। এই বিশেষ গ্রুপকে আমরা কোশেন্ট গ্রুপ বা বাংলায় ভাগফল গ্রুপ বলে থাকি।
উদাহরণস্বরূপ formula_134 হলো একটি ভাগফল গ্রুপ। এই গ্রুপের সদস্যগুলি হলো formula_135 যেখানে formula_136 । এই গ্রুপের টেবিলটি নিচে দেওয়া হলো:
formula_120 এবংformula_138 দুটি গ্রুপই আবেলিয় কিন্তু দেখার বিষয় যে formula_42 গ্রুপটি নিজে আবেলিয় নয়।
প্রথম আইসোমর্ফিসম উপপাদ্য অনুযায়ী কোনো গ্রুপ formula_67 থেকে আরেকটি গ্রুপ formula_68-এ যদি একটি মোনোমর্ফিসম formula_142 থেকে থাকে, তাহলে formula_143 হবে। formula_144 হচ্ছে formula_67-এর সেই উপসেট যার সদস্যগুলি formula_142 এর মাধ্যমে formula_68-এর অভেদ উপাদানে যায়। এছাড়াও আরো দুটি উপপাদ্য রয়েছে আইসোমর্ফিসমে যা আদতে প্রথম উপপাদ্য থেকেই উদ্ভূত।
একটি গ্রুপকে সসীম বলা হবে যদি তার সদস্যসংখ্যা সসীম হয়। সুতরাং একটি অসীম গ্রুপের সদস্যসংখ্যা অবশ্যই অসীম। কোনো গ্রুপের মধ্যে একটি উপাদানের ক্রম বলতে আমরা বোঝাই সেই উপাদানকে নিজের সাথে কমপক্ষে কতবার যুক্ত করলে গ্রুপের অভেদ উপাদানটি ফিরে আসে। একটি সসীম গ্রুপে তাহলে অবশ্যই প্রত্যেক উপাদানের ক্রম সসীম হবে। অন্যদিকে যদি এমন একটা উপাদান খুঁজে পাওয়া যায় যার ক্রম অসীম, তাহলে গ্রুপটিও অসীম।
একটি গ্রুপের ক্রম বলতে আমরা গ্রুপের সদস্য সংখ্যাটিকে নির্দেশ করি। একটি গুরুত্বপূর্ণ সসীম গ্রুপের উদাহরণ হলো N-খানা বস্তুর বিন্যাসের গ্রুপ formula_148। এটি একটি প্রতিসাম্য গ্রুপও বটে। ধরা যাক আমরা ৩ খানা ইংরাজি অক্ষর A,B, C নিলাম। তাহলে এদের বিন্যাসগুলি হবে ABC, ACB, BAC, CAB, BCA, CBA। এই ৬ খানা (৩ ফ্যাক্টরিয়াল) বিন্যাস নিয়ে formula_149 গ্রুপটি তৈরি হয় যার দ্বিপদ প্রক্রিয়াটি হলো বিন্যাসের সমন্বয়। এই গ্রুপের অভেদ উপাদানটি হলো সেই সমন্বয়টি, যার মাধ্যমে সব অক্ষরের স্থান অপরিবর্তিত থাকে। কেলি'স উপপাদ্য অনুযায়ী সমস্ত সসীম গ্রুপই কোনো না কোনো বিন্যাস গ্রুপের উপগ্রুপের সাথে সমান। আমাদের উপরোক্ত উদাহরণে ৩ খানা অক্ষর না নিয়ে একটা সমবাহু ত্রিভূজ নিলেও হতো। তখন সেক্ষেত্রে সেই ত্রিভুজের প্রতিসাম্যগুলিকে নিয়ে গ্রুপটি তৈরি হতো, বলা বাহুল্য এই গ্রুপটি আদতে formula_150।
একটি বৃত্তস্থ (সাইক্লিক) গ্রুপ হলো এমন একটি গ্রুপ যাকে শুধুমাত্র একটা উপদান দিয়েই তৈরি করা যাবে। মানে কোনো গ্রুপ formula_67-তে যদি formula_57 একটি সদস্য হয়, তাহলে গ্রুপটিকে formula_153 হিসেবে লেখা যাবে। এখানে formula_154 মানে 
formula_155
যার অর্থ formula_57-কে নিজের সাথে n বার যুক্ত করছি। গ্রুপে একটি উপাদানের ক্রম, সেই উপাদান থেকে উৎপন্ন বৃত্তস্থ গ্রুপের ক্রমের সাথে সমান।
ল্যাগরাঞ্জের উপপাদ্য আমাদের জানায় যে কোনো সসীম গ্রুপের উপগ্রুপের ক্রম সেই গ্রুপের ক্রমকে ভাগ করে। কিন্ত এই উপপাদ্যের উল্টো দিকটা সত্য নয়, অর্থাৎ গ্রুপের ক্রমকে যদি কোনো সংখ্যা ভাগ করে, তাহলে এমন একটি উপগ্রুপের অস্তিত্ব থাকবে যার ক্রম সেই সংখ্যাটি। এই উল্টো যুক্তির আংশিক প্রমাণ দেয় সাইলো উপপাদ্য।
formula_42 গ্রুপের ক্রম ৮ এবং formula_34 সদস্যটির ক্রম ৪। formula_34 দিয়ে উৎপন্ন উপগ্রুপটির ক্রমও ৪ যা ৮ কে ভাগ করে, ল্যাগরাঞ্জের উপপাদ্য সত্য। formula_160 যদি একটা মৌলিক সংখ্যা হয় তাহলে গুণক মডিউলো p-এর গ্রুপ formula_161-এর ক্রম হলো formula_162।
সসীম আবেলিয় গ্রুপের মৌলিক উপপাদ্য থেকে জানা যায় যেকোনো সসীম আবেলিয় গ্রুপ আসলে একজোট সসীম বৃত্তস্থ গ্রুপের সাথে আইসোমর্ফিক।
যেকোনো formula_160 ক্রমের গ্রুপ (formula_160 হলো মৌলিক) formula_165 গ্রুপের সাথে আইসোমর্ফিক। formula_166 ক্রমের যেকোনো গ্রুপ আবেলিয় এবং formula_167 বা formula_168 গ্রুপের সাথে আইসোমর্ফিক। তবে formula_169 ক্রমের গ্রুপ আবেলিয় নয়, যেমন formula_150 গ্রুপের ক্রম formula_171 ও এই গ্রুপটি আবেলিয় নয়।
একটি গ্রুপ formula_67-এর যদি formula_173 ও formula_67 ছাড়া আর কোনো নর্মাল উপগ্রুপ না থাকে তাহলে সেই গ্রুপটিকে সরল গ্রুপ বলা হয়। পূর্ণসংখ্যার সেটে মৌলিক সংখ্যা যেরকম রয়েছে, গ্রুপতত্ত্বেও সরল গ্রুপ সেভাবেই রয়েছে। এই বিষয়টি আরো বিস্তারিত ভাবে জানতে গেলে জর্ডান-হোল্ডার উপপাদ্য পড়া প্রয়োজন।
সমস্ত সসীম গ্রুপের শ্রেণীবিন্যাস করা গণিতশাস্ত্রে একটি ভারী কঠিন কাজ হিসেবে গণ্য করা হয়। আধুনিক কম্পিউটার বীজগাণিতিক সিস্টেমের মাধ্যমে এখনো পর্যন্ত ২০০০ ক্রম অব্দি সসীম গ্রুপ মন্ডলের শ্রেণীবিন্যাস করা গেছে। তাও কিছু অসীম গ্রুপমন্ডল ও ২৬ টি বিক্ষিপ্ত গ্রুপের অস্তিত্ব আছে যাদের এই শ্রেণীবিন্যাসে আনা সম্ভব হয়নি। এদের মধ্যে সবথেকে বৃহত্তম বিক্ষিপ্ত গ্রুপটিকে মনস্টার গ্রুপ বলা হয়। মনস্টারাস মুনসাইন অনুযায়ী মনস্টার গ্রুপগুলোর সাথে নির্দিষ্ট কিছু মডিউলার অপেক্ষকের সম্পর্ক রয়েছে, যা পরে গিয়ে রিচার্ড বচার্ডস প্রমাণিতও করেন।
সমস্ত গ্রুপের শ্রেণীবিন্যাস ও সরল গ্রুপের শ্রেনীবিন্যাসের মধ্যে কি পার্থক্য রয়েছে তা আমরা এক্সটেনশন সমস্যা থেকে জানতে পারি।