গণিতে প্রতিসাম্য

সমমিতি কেবল জ্যামিতিতেই নয়, গণিতের অন্যান্য শাখাতেও ঘটে। সমমিতি এক ধরনের অপরিবর্তনশীলতা—যেখানে কোনো গাণিতিক বস্তু নির্দিষ্ট কিছু অপারেশন বা রূপান্তর করার পরেও অপরিবর্তিত থাকে।
যেকোনো ধরণের কাঠামোগত বস্তু "X" থাকলে, তার একটি সমমিতি হলো এমন একটি নকশা যা বস্তুটিকে নিজেই নিজের সাথে মানচিত্রিত করে, যাতে তার কাঠামো অক্ষুণ্ন থাকে। এটি বিভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি "X" এমন একটি সেট হয় যার কোনো অতিরিক্ত কাঠামো নেই, তাহলে এর একটি সমমিতি হলো সেটটির নিজস্ব একটি বাইজেকটিভ মানচিত্র, যা পরিবর্তনশীল গোষ্ঠী তৈরি করে।
যদি "X" সমতলে বিন্দুসমূহের একটি সেট হয়, যেখানে মেট্রিক কাঠামো বা অন্য কোনো মেট্রিক স্পেস রয়েছে, তাহলে একটি সমমিতি হলো সেটটির এমন একটি bijection, যা প্রতিটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব অপরিবর্তিত রাখে (যেমন, একটি isometry বা সমদৈর্ঘ্য রূপান্তর)।
সাধারণভাবে, গণিতের প্রতিটি কাঠামোর নিজস্ব ধরনের সমমিতি থাকে, এবং উপরের আলোচনায় এমন অনেক ধরনের সমমিতির উদাহরণ দেওয়া হয়েছে।
প্রাথমিক জ্যামিতিতে যে ধরনের সমতা নিয়ে আলোচনা করা হয়, তার মধ্যে রয়েছে প্রতিফলন সমতা, ঘূর্ণন সমতা, স্থানান্তর সমতা এবং গ্লাইড প্রতিফলন সমতা। এসব বিষয়ের বিস্তারিত ব্যাখ্যা মূল নিবন্ধে পাওয়া যাবে: (জ্যামিতি).
ধরা যাক, "f"("x") একটি প্রকৃত মানের ফাংশন, যেখানে ইনপুটও একটি প্রকৃত সংখ্যা। যদি "f" নিম্নলিখিত সমীকরণটি সকল "x" এবং "-x" এর জন্য পূরণ করে, তবে একে জোড় ফাংশন বলা হয়:
formula_1
জ্যামিতিকভাবে, একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফ সাম্যতা হয় "y"-অক্ষের প্রতি। অর্থাৎ, "y"-অক্ষের উপর প্রতিফলিত হলে গ্রাফের চেহারা অপরিবর্তিত থাকে। জোড় ফাংশনের কিছু সাধারণ উদাহরণ হলো , "x", "x", cos"(x)", এবং cosh"(x)"।
একটি বিপরীত ফাংশনের ইন্টিগ্রাল −"A" থেকে +"A" পর্যন্ত শূন্য হয়, যদি "A" সসীম হয় এবং ফাংশনটি ইন্টিগ্রেবল (যেমন, −"A" থেকে +"A" পর্যন্ত কোন উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট না থাকে) হয়।
একটি সোজা ফাংশনের ইন্টিগ্রাল −"A" থেকে +"A" পর্যন্ত 0 থেকে +"A" পর্যন্ত ইন্টিগ্রালের দ্বিগুণ হয়, যদি "A" সসীম হয় এবং ফাংশনটি ইন্টিগ্রেবল (যেমন, −"A" থেকে +"A" পর্যন্ত কোন উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট না থাকে) হয়। এটি তখনও সত্য থাকে যখন "A" অসীম হয়, তবে কেবলমাত্র যদি ইন্টিগ্রালটি সম্মিলিত হয়।
একটি সোজা ফাংশনের ম্যাকলরিন সিরিজ শুধুমাত্র সোজা শক্তির অন্তর্ভুক্ত করে।একটি বিপরীত ফাংশনের ম্যাকলোরিন সিরিজ শুধুমাত্র বিপরীত শক্তির অন্তর্ভুক্ত করে। একটি পিরিয়ডিক সোজা ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ শুধুমাত্র cosine শব্দগুলো অন্তর্ভুক্ত করে। একটি পিরিয়ডিক বিপরীত ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ শুধুমাত্র sine শব্দগুলো অন্তর্ভুক্ত করে।
রৈখিক বীজগণিতে, একটি সমমিত ম্যাট্রিক্স (বর্গাকার ম্যাট্রিক্স) হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স, যা তার স্থানান্তরিত রূপের সমান থাকে। অর্থাৎ, এটি স্থানান্তরের (transposition) পরেও অপরিবর্তিত থাকে।
আনুষ্ঠানিকভাবে, ম্যাট্রিক্স "A" সমমিত হবে যদি—
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি ম্যাট্রিক্স তখনই সমান হবে যখন তাদের প্রতিটি সন্নিহিত উপাদান (entries) সমান হবে। যেহেতু ভিন্ন আকারের ম্যাট্রিক্স একে অপরের সমান হতে পারে না, তাই শুধুমাত্র বর্গাকার ম্যাট্রিক্সই সমমিত হতে পারে।
একটি সমমিত ম্যাট্রিক্সের উপাদানসমূহ প্রধান কর্ণের (main diagonal) বিপরীত দিকেও সমান হয়। যদি কোনো ম্যাট্রিক্স "A" = ("a") হিসেবে লেখা হয়, তাহলে এর উপাদানগুলো "a"= "a" হবে, যেখানে i ও j হলো সারি ও স্তম্ভের সূচক।
উদাহরণস্বরূপ, নিচের ৩×৩ ম্যাট্রিক্সটি একটি সমমিত ম্যাট্রিক্স:
প্রত্যেক বর্গাকার কর্ণীয় ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) সমমিত, কারণ এতে কর্ণের বাইরে থাকা সব উপাদান শূন্য থাকে। একইভাবে, একটি বাঁকা-সমমিত (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি কর্ণীয় উপাদান শূন্য হতে হবে, কারণ প্রতিটি উপাদান নিজেই তার বিপরীত।
রৈখিক বীজগণিতে, একটি বাস্তব সংখ্যা-সংবলিত সমমিত ম্যাট্রিক্স একটি স্ব-অনুবন্ধী অপারেটরকে (self-adjoint operator) উপস্থাপন করে, যা একটি বাস্তব অভ্যন্তরীণ গুণফল ক্ষেত্রের (real inner product space) ওপর সংজ্ঞায়িত থাকে। অন্যদিকে, একটি জটিল সংখ্যা-সংবলিত অভ্যন্তরীণ গুণফল ক্ষেত্রের জন্য সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স (Hermitian matrix) হয়, যা তার যুগ্ম স্থানান্তরের ( conjugate transpose) সমান থাকে। ফলে, জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত "সমমিত ম্যাট্রিক্স" বলতে বাস্তব উপাদানযুক্ত ম্যাট্রিক্স বোঝানো হয়।
সমমিত ম্যাট্রিক্স বিভিন্ন গণিত ও প্রকৌশল সমস্যায় স্বাভাবিকভাবে উপস্থিত হয় এবং আধুনিক সংখ্যাতত্ত্বভিত্তিক রৈখিক বীজগণিত সফটওয়্যারসমূহ এগুলোর জন্য বিশেষ অপ্টিমাইজেশন ব্যবহার করে।