নববিন্দু বৃত্ত

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুত্রয়, শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুত্রয় এবং ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র থেকে এর প্রতিটি শীর্ষের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দুত্রয় মোট এই নয়টি বিশেষ সমবৃত্তীয় বিন্দু দিয়ে যে বৃত্তটি অতিক্রম করে তাকে জ্যামিতির ভাষায় নববিন্দু বৃত্ত বলা হয়। আর নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রকে বলা হয় নববিন্দু কেন্দ্র যা আবার ঐ ত্রিভুজটির একটি ত্রিভুজ কেন্দ্র। নববিন্দু বৃত্ত এমনই একটি বৃত্ত যা সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রেই পাওয়া যাবে। উপর্যুক্ত নয়টি বিশেষ বিন্দু দিয়ে গঠিত হওয়ায় কাঠামোটির এরূপ নাম।
এছাড়াও নববিন্দু বৃত্ত আরও কয়েকটি নামে পরিচিত। যথা: ফয়েরবাখের বৃত্ত, অয়লারের বৃত্ত, টারকেমের বৃত্ত, ষড়বিন্দু বৃত্ত, দ্বাদশবিন্দু বৃত্ত, "n"-বিন্দু বৃত্ত, মধ্যঅন্তর্লিখিত বৃত্ত ("medioscribed"), মধ্য বৃত্ত ("mid circle") অথবা পরিমধ্যবৃত্ত ("circum-midcircle")।
উপরের চিত্রে নববিন্দু বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ নয়টি বিন্দু দেখানো হয়েছে। "D", "E" এবং "F" হলো ত্রিভুজের বাহু তিনটির মধ্যবিন্দু। "G", "H" এবং "I" হলো ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু ("A", "B", এবং "C") থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত লম্বগুলোর পাদবিন্দু। "J", "K" এবং "L" হলো ত্রিভুজটির প্রতিটি শীর্ষবিন্দু আর লম্বকেন্দ্র "S" এর সংযোজক রেখাংশগুলোর মধ্যবিন্দু।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে লম্বকেন্দ্র থেকে এর প্রতিটি শীর্ষের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দুত্রয় এবং শীর্ষগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুত্রয় মোট এই ছয়টি বিন্দু ঐ ত্রিভুজটির উপরই অবস্থান করবে। স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে উক্ত পাদ বিন্দু তিনটির মধ্যে দুটি বিন্দু ত্রিভুজটির বাইরে অবস্থান করবে, তথাপি সেগুলো নববিন্দু বৃত্তের অন্তর্ভুক্ত বলে গণ্য হবে।
নববিন্দু বৃত্ত আবিষ্কারের কৃতিত্ব কার্ল উইলহেম ফয়েরবাখকে দেওয়া হলেও তিনি পূর্ণাঙ্গভাবে এর আবিষ্কার করেননি। তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু ও এবং তিনটি বিপরীত বাহুর উপর টানা লম্বের তিনটি পাদবিন্দু মোট এই ছয়টি বিন্দু যে ষড়বিন্দু বৃত্তের জন্য তাৎপর্যপূর্ণ বলে স্বীকৃত তিনি বরং সেটি আবিষ্কার করেন। (চিত্র ৩ এর "D", "E", "F", "G", "H" এবং "I" বিন্দুগুলো লক্ষ্য করুন)। এর কিছুদিন পূর্বেই চার্লস জুলিয়েন ব্রায়ানশন এবং জ্যাঁ-ভিক্টর পৌন্সলে একই উপপাদ্যের বর্ণনা এবং প্রমাণ দেন। কিন্তু ফয়েরবাখের অল্প কিছু দিন পরেই গণিতবিদ অলরি টারকেম এককভাবে বৃত্তটির অস্তিত্বের প্রমাণ করেন। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ও লম্বকেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দু তিনটির বাড়তি তাৎপর্য তিনিই সর্বপ্রথম বুঝতে পারেন। (চিত্র ৩ এর "J", "K" এবং "L" বিন্দুগুলো দেখুন)। এই কারণে টারকেম হলেন নববিন্দু বৃত্ত নামটি ব্যবহারকারী প্রথম ব্যক্তি।
১৮২২ সালে কার্ল ফয়েরবাখ প্রমাণ করেন যে, যেকোন ত্রিভুজের নববিন্দু বৃত্তটি ত্রিভুজটির তিনটি বহির্বৃত্তকে বাইরে থেকে স্পর্শ করবে এবং ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তটিকে ভিতরের দিক থেকে স্পর্শ করবে। এই ফলাফলটি ফয়েরবাখের উপপাদ্য নামে পরিচিত। তিনি প্রমাণ করেন যে:
অন্তর্বৃত্ত এবং নববিন্দু বৃত্ত যে ত্রিভুজ কেন্দ্রে পরস্পরকে স্পর্শ করে তাকে ফয়েরবখ বিন্দু বলা হয়।
চিত্র ৪
চিত্র ৫
বৃত্ত হলো কনিকের একটি উদাহরণ। অনুরূপভাবে নববিন্দু বৃত্ত হলো সাধারণ নব বিন্দু কনিকের এমন একটি উদাহরণ যা একটি ত্রিভুজ এবং একটি চতুর্থ বিন্দুর ("ABC" ত্রিভুজ এবং "P" বিন্দু) সাপেক্ষে গঠিত যেখানে "P" বিন্দুটি "ABC" এর লম্বকেন্দ্র হলে নববিন্দু বৃত্ত নামের এই নির্দিষ্ট বৃত্তের প্রসঙ্গটি চলে আসে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো এবং "P" বিন্দুটি একটি পূর্ণ চতুর্ভুজকে এবং চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পরকে ছেদ করে এরূপ তিনটি "কর্ণবিন্দু" নির্দেশ করে। একটি চতুর্ভুজের ছয়টি "পার্শ্ববাহু" ("sideline") থাকে; নববিন্দু কনিক এদের মধ্যবিন্দুগুলোকে ছেদ করে এবং কর্ণবিন্দুগুলোও এদের অন্তর্ভুক্ত। যখন "P" বিন্দুটি "ABC" ত্রিভুজের ভিতরে থাকে অথবা ত্রিভুজটির সাথে বিপ্রতীপ কোণসমূহ গঠন করে এমন একটি অঞ্চলে থাকে তখন কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয়। কিন্তু তিনটি সন্নিহিত অঞ্চলের একটিতে "P" বিন্দুটি থাকলে কনিকটি একটি নববিন্দু অধিবৃত্ত হয়, আর "P" বিন্দুটি "ABC" ত্রিভুজের পরিবৃত্তের উপরে অবস্থান করলে অধিবৃত্তটি আয়তক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়।