বিপরীত ম্যাট্রিক্স

রৈখিক বীজগণিতে, একটি "n"-বনাম-"n" বর্গ ম্যাট্রিক্স formula_1কে বিপরীত ম্যাট্রিক্স () বলা হয়, যদি এমন কোন "n"-বনাম-"n" বর্গ ম্যাট্রিক্স formula_2থাকে যেন,
formula_3হয়;
যেখানে formula_4একটি "n"-বনাম-"n" অভেদ ম্যাট্রিক্স এবং ব্যবহৃত গুণন প্রক্রিয়াটি সাধারণ ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়া। যদি ক্ষেত্রটি এমন হয়, তাহলে formula_2কে ম্যাট্রিক্স formula_1এর দ্বারা অনন্যভাবে নির্ণয় করা যায় এবং তাকে formula_1এর "বিপরীত" ম্যাট্রিক্স বলা হয়, যা formula_8দ্বারা নির্দেশ করা হয়।
কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স "বিপরীতযোগ্য না হলে", তাকে একক ("singular") বা বিচ্যুত ("degenerate") ম্যাট্রিক্স বলে। কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স একক হবে যদি ও কেবল যদি তার নির্ণায়কের মান formula_9হয়। একক ম্যাট্রিক্সসমূহকে এই হিসেবে বিরল বলা যায় যে, যথেচ্ছেভাবে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নির্বাচন করলে, যার উপাদানগুলো অবিচ্ছিন্ন ও সুষমভাবে বণ্টিত, তা প্রায় কখনোই একক হয় না।
বর্গ ম্যাট্রিক্স ব্যাতিরেকে ("m"-বনাম-"n" ম্যাট্রিক্স যার জন্য "m" ≠ "n") অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকে না। তা স্বত্বেও, কোন কোন ক্ষেত্রে ঐসব ম্যাট্রিক্সের বাম-বিপরীত অথবা ডান-বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকতে পারে। যদি formula_1"m"-বনাম-"n" হয়, এবং formula_1এর ক্রম formula_12হয়, তবে formula_1এর একটি বাম-বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: একটি ম্যাট্রিক্স formula_2যেন formula_15হয়। যদি formula_1এর ক্রম formula_17হয়, তবে formula_1এর একটি ডান-বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: একটি ম্যাট্রিক্স formula_2যেন formula_20হয়।
ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণ হচ্ছে ম্যাট্রিক্স formula_2 নির্ণয়ের প্রক্রিয়া, যা কোন প্রদত্ত বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স formula_1 এর জন্য, উপরিল্লিখিত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
যদিও সচরাচর বাস্তব বা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রেই সংজ্ঞা দেওয়া হয়, তবে সকল সংজ্ঞাই যে কোন চক্রের ("rings") ম্যাট্রিক্সের জন্যও দেওয়া যায়। তবে, চক্রটি বিনিময়যোগ্য হলে, বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীতযোগ্য হওয়ার শর্ত হচ্ছে এর নির্নায়কটি ঐ চক্রের মধ্যে বিপরীতযোগ্য হতে হবে, যা সাধারণত অশূন্য হওয়ার শর্ত অপেক্ষা কঠিনতর শর্ত। কোন অ-বিনিময়যোগ্য চক্রের ক্ষেত্রে, গতানুগতিক নির্ণায়ক সংজ্ঞায়িত নয়। বাম-বিপরীত বা ডান-বিপরীতের অস্তিত্ব থাকার শর্তাবলি চক্রের জন্য জটিলতর কেননা, ক্রম এর ধারণা কোন চক্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।
কোন formula_23বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সেট এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের প্রক্রিয়াটি একত্রে একটি গুচ্ছ ("group") গঠন করে, যা formula_24মাত্রার একটি সাধারণ রৈখিক গুচ্ছ।
ধরা যাক, কোন ক্ষেত্র formula_25-তে, formula_1 একটি formula_27 ম্যাট্রিক্স (যেমন- বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র formula_28)। তাহলে নিচের বাক্যগুলো সমতুল্য, অর্থাৎ, কোন প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে হয় সবগুলো সত্য অথবা সবগুলোই মিথ্যা:
ম্যাট্রিক্স formula_1 এর একটি বাম-বিপরীত (অর্থাৎ, এমন একটি ম্যাট্রিক্স formula_2 আছে যেন formula_70 হয়) অথবা ডান-বিপরীত (অর্থাৎ, এমন একটি ম্যাট্রিক্স formula_71 আছে যেন formula_72 হয়) ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান, উভয়ই বিদ্যমান থাকলে formula_73।
এছাড়াও, কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্স formula_1 এর জন্য নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য গুলো সত্য:
কোন ম্যাট্রিক্স formula_89 এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স formula_90 এর সারিগুলোর সাথে formula_89 এর কলামসমূহ অর্থোনরমাল (পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর)। এটা দেখার জন্য, ধরা যাক, formula_92, যেখানে formula_90 এর সারিগুলোকে formula_94 হিসেবে লেখা হয় এবং formula_89 এর কলামগুলোকে formula_96 (যখন formula_97) হিসেবে লেখা হয়। তাহলে পরিষ্কারভাবেই, এমন যে কোন দুটি উপাদানের ইউক্লিডীয় স্কেলার গুণফল formula_98। কোন কোন ক্ষেত্রে যেখানে formula_89 এর কলামের সাথে অভিলম্ব (অর্থোগোনাল) ভেক্টরের সেট (অর্থোনরমাল ভেক্টর না-ও হতে পারে) জানা থাকে, সেক্ষেত্রে এই ধর্ম কাজে লাগিয়ে কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স গঠন করা যায়, এবং এই প্রাথমিক সেটে পুনরাবৃত্তিমূলক গ্রাম-স্মিট প্রক্রিয়া ("Gram-Schmidt process") প্রয়োগ করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স formula_90 এর সারিসমূহ নির্ণয় করা যায়।
কোন ম্যাট্রিক্স যা তার নিজেরই বিপরীত ম্যাট্রিক্স যেন formula_101 এবং formula_102, তাকে বিজড়িত ম্যাট্রিক্স ("involutory matrix") বলা হয়।
কোন ম্যাট্রিক্স formula_1 এর অ্যাডজুগেট ব্যবহার করে ঐ ম্যাট্রিক্স এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নিম্নরূপে নির্ণয় করা যায়:
যদি formula_1 একটি formula_27 বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে
formula_106।
ম্যাট্রিক্স গুণনের সংযোজনশীলতা থেকে পাওয়া যায় যে, যদি
formula_107,
হয়, তাহলে "সসীম বর্গ" ম্যাট্রিক্স formula_1 এবং formula_2 এর জন্য,
formula_110।
বাস্তব সংখ্যাক্ষেত্রে, formula_111 এর উপসেট হিসেবে বিবেচনা করা যায়, এমন কোন একক formula_27 ম্যাট্রিক্সের সেট একটি ফাঁকা সেট হবে, অর্থাৎ, এর ল্যাবেগ পরিমাপ শূন্য। এটা সত্য এজন্য যে, একক ম্যাট্রিক্সসমূহ নির্ণায়ক ফাংশনের মূল। এটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, কেননা এটি ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি/ উপাদানে একটি বহুপদী। অতএব, পরিমাপ তত্ত্বের ভাষায় প্রায় সকল formula_27 ম্যাট্রিক্সই বিপরীতযোগ্য।
এছাড়াও, সকল formula_27 ম্যাট্রিক্সের টপোলজিক্যাল স্থানে, formula_27 বিপরীত ম্যাট্রিক্সসমূহ একটি ঘন উন্মুক্ত সেট। অনুরূপভাবে, কোন formula_27 ম্যাট্রিক্সের স্থানে, একক ম্যাট্রিক্সের সেট আবদ্ধ এবং কোথাও-ই ঘন নয়।
অবশ্য প্রায়োগিক ক্ষেত্রে অ-বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যেতে পারে। সাংখ্যিক বিশ্লেষণে, যে সকল বিপরীতযোগ্য কিন্তু অ-বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের নিকটবর্তী, সেগুলোও সমস্যা উদ্রেককারী হতে পারে; এ ধরনের ম্যাট্রিক্সকে মন্দ-শর্তাধীন বলা হয়ে থাকে।
নিচের ২x২ ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করা যাক:
formula_117
ম্যাট্রিক্স formula_1 বিপরীতযোগ্য। এটা দেখার জন্য নির্ণায়কটির মান, formula_119 বের করা যায়, যা অশূন্য।
অ-বিপরীতযোগ্য, বা একক ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ হিসেবে ধরা যাক,
formula_120
ম্যাট্রিক্স formula_2 এর নির্নায়ক শূন্য, যা কোন ম্যাট্রিক্সের অ-বিপরীতযোগ্য হওয়ার জন্য আবশ্যক ও পর্যাপ্ত শর্ত।
গাউস-জর্ডান অপনয়ন একটি অ্যালগরিদম, যা ব্যবহার করে কোন ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য কি-না তা বের করা যায় এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়। বিকল্প একটি পন্থা হচ্ছে নিম্ন-ঊর্ধ্ব বিশ্লেষণ ("LU decomposition"), যার মাধ্যমে ঊর্ধ্ব ও নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স তৈরি হয়, যেগুলোর বিপরীতকরণ সহজতর।
গৌণিক বিপরীতক অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত নিউটনের পদ্ধতির একটি সাধারণ রূপ ব্যবহার করা সুবিধাজনক হতে পারে, যদি উপযুক্ত সূচনা মান বাছাই করা যায়:
formula_122।
সূচনা মান বাছাইয়ের কয়েকটি উপায় পাওয়া যায় ভিক্টর পান এবং জন রিফ এর কৃত কাজে। এমন একটি পন্থার সংক্ষিপ্তসার বাইট সাময়িকীতে প্রকাশিত হয়েছে।
নিউটনের পদ্ধতি বিশেষভাবে কার্যকরী যখন কোন সম্পর্কযুক্ত ম্যাট্রিক্স গোষ্ঠী পর্যাপ্তভাবে, ওপরের হোমোটপি'র (সমস্থানিক অবিচ্ছিন্ন ফাংশন) জন্য উল্লিখিত অনুক্রমের ন্যায় আচরণ করে: কখনো কখনো নতুন বিপরীত ম্যাট্রিক্স পরিমার্জনের জন্য ভালো সূচনা বিন্দু হতে পারে, পূর্ববর্তী ম্যাট্রিক্সের ইতোমধ্যে নির্ণীত বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি, যা বর্তমান ম্যাট্রিক্সের সাথে অনেকটা সাদৃশ্যপূর্ণ, যেমন- ডেনম্যান-বিভার্স পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে, ম্যাট্রিক্সের বর্গমূল নির্ণয়ে ব্যবহৃত বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অনুক্রম-জোড়; এতে প্রতিটি নতুন ম্যাট্রিক্সে এক দফার বেশি পুনরাবৃত্তি করা লাগতে পারে, যদি সেগুলো একটা ম্যাট্রিক্সই যথেষ্ট হবার মত যথেষ্ট সাদৃশ্যপূর্ণ না হয়। গাউস-জর্ডান অ্যালগরিদম, যেখানে কম্পিউটারের ত্রুটিপূর্ণ গণনা-পদ্ধতির কারণে ক্ষুদ্র ত্রুটির উদ্রেক ঘটে, তা পরিমার্জনের জন্যও নিউটনের পদ্ধতি কার্যকরী।
কেইলি-হ্যামিলটন উপপাদ্য, formula_1 এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে formula_124, formula_1 এর পদাঙ্ক ("traces"; মুখ্যকর্ণের উপাদানগুলোর সমষ্টি) ও শক্তির মাধ্যমে প্রকাশ করে।
যেখানে formula_38 হচ্ছে formula_1 এর মাত্রা, formula_129 হচ্ছে ম্যাট্রিক্স formula_1 এর পদাঙ্ক যা মুখ্যকর্ণের উপাদানগুলোর সমষ্টি। এর সমষ্টি নেওয়া হয় formula_131 এবং সকল formula_132 এর সেটজুড়ে, যা রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ মেনে চলে।
formula_133।
এই সূত্রটি formula_134 আর্গুমেন্ট বিশিষ্ট, সম্পূর্ণ বেল বহুপদী দ্বারাও লেখা যায়:
যদি কোন ম্যাট্রিক্স আইগেন-বিশ্লেষণযোগ্য হয়, এবং যদি এর কোন আইগেন-মান শূন্য না হয়, তাহলে একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স ও এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হচ্ছে-
formula_136
যেখানে formula_137 হচ্ছে formula_138 বর্গ ম্যাট্রিক্স যার formula_139-তম কলাম হচ্ছে formula_140 এর আইগেন-ভেক্টর formula_141, এবং formula_142 হচ্ছে একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার কর্ণ উপাদানগুলি হচ্ছে এর সংশ্লিষ্ট আইগেন-মানসমূহ, অর্থাৎ, formula_143 । এছাড়াও, যেহেতু formula_142 একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স, এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা বেশ সহজ:
formula_145।
যদি ম্যট্রিক্স formula_140 ধনাত্মক নির্দিষ্ট হয়, তাহলে এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় নিম্নরূপে:
যেখানে formula_148 হচ্ছে formula_140 এর নিম্ন-ত্রিভুজাকার চোলেস্কি বিশ্লেষণ, এবং formula_150 দ্বারা formula_148 এর অনুবন্ধী বিম্ব ("conjugate transpose") ম্যাট্রিক্স নির্দেশ করে।
সহগুণক ("cofactor") ম্যাট্রিক্সের বিম্ব, যা অ্যাডজুগেট ম্যাট্রিক্স নামে পরিচিত, সেটিও "ক্ষুদ্র" কোন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের কার্যকর উপায় হতে পারে, কিন্তু বৃহৎ কোন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এই পুনরাবৃত্তিমূলক ("recursive") পদ্ধতিটি তেমন কার্যকর নয়। বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের জন্য আমাদেরকে সহগুণকের ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করতে হয়:
উপরিল্লিখিত "সহগুণক সমীকরণ" থেকে ২×২ ম্যাট্রিক্সের জন্য নিম্নোক্ত ফলাফল পাওয়া যায়। এসব ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকরণ নিম্নরূপে করা যায়:
এটা সম্ভব হয় একারণে যে, formula_159 হচ্ছে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের বিপরীত রাশি, এবং এই একই কৌশল অন্যান্য ক্রমের ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যায়।
কেইলি-হ্যামিলটন পদ্ধতি থেকে পাওয়া যায়:
গণনার দিক থেকে কার্যকর ৩×৩ ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণের একটি উপায় হচ্ছে-
(যেখানে স্কেলার formula_162 এর সাথে, ম্যাট্রিক্স formula_140 এর সংমিশ্রণ অনুচিত)।
যদি নির্ণায়ক অশূন্য হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য হয়, যেখানে উপরিল্লিখিত ম্যাট্রিক্সের ডান পাশের মধ্যবর্তী ম্যাট্রিক্সটির উপাদানগুলির মান হবে,
সারুসের নিয়ম প্রয়োগ করে নিম্নোক্তভাবে formula_140 এর নির্ণায়ক বের করা যায়:
কেইলি-হ্যামিলটন বিশ্লেষণ থেকে পাওয়া যায়:
formula_167।
সাধারণ ৩×৩ বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে ক্রস গুণফল এবং ত্রিমাত্রিক গুণফল দ্বারা অর্থপূর্ণভাবে প্রকাশ করা যায়। যদি কোন ম্যাট্রিক্স formula_168 (কলাম ভেক্টর formula_169 দ্বারা গঠিত) বিপরীতযোগ্য হয়, তাহলে এর বিপরীত ম্যট্রিক্সটি হবে:
লক্ষ্য রাখতে হবে যে, formula_171 হচ্ছে formula_172, formula_173, এবং formula_174 এর ত্রিমাত্রিক গুণফলের সমান- যা এর সারি বা কলাম দ্বারা গঠিত প্যারালেলেপাইপেড ("parallelepiped") এর আয়তন এর সমান:
সূত্রটির যথার্থতা যাচাই করা যায় ক্রস ও ত্রিমাত্রিক গুণফলের বৈশিষ্ট্যাবলি থেকে এবং গুচ্ছের ("group") জন্য সেগুলো ব্যবহার করলে, বাম ও ডান বিপরীতদ্বয় সর্বদা সমাপতিত হয়। সজ্ঞামূলকভাবে, ক্রস গুণফল হবার কারণে formula_176 এর প্রতিটি সারিই formula_140 এর বাকি দুই কলামের সাথে লম্বভাবে থাকে (ফলস্বরূপ, formula_178 এর কর্ণ-বহির্ভূত পদগুলো শূন্য হয়)।
formula_175 দ্বারা ভাগ করলে,
formula_178 এর কর্ণস্থ পদগুলোর মান হয় ১।
উদাহরণস্বরূপ, প্রথম কর্ণ হচ্ছে:
formula_181।
মাত্রা বাড়তে থাকলে, formula_140 এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের রাশিগুলো জটিল হতে থাকে। হলে, কেইলি-হ্যামিলটন পদ্ধতি থেকে এমন একটি রাশি পাওয়া যায় যা ব্যবহারযোগ্য:
নিম্নোক্ত বিশ্লেষণাত্মক বিপরীতকরণ সূত্র ব্যবহার করে "জোটবদ্ধভাবেও" ("blockwise") বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়:formula_184যেখানে formula_185, এবং formula_186 হচ্ছে যেকোন আকারের ম্যাট্রিক্স উপজোট (formula_140 অবশ্যই বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে যেন তার বিপরীতকরণ সম্ভব হয়। এছাড়াও, formula_140 এবং formula_189 একক ম্যাটিক্স নয়)। এই কৌশলটি বিশেষত সুবিধাজনক যদি formula_140 একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স এবং formula_189 (formula_140 এর শুর পরিপূরক) একটি ক্ষুদ্রাকার ম্যাট্রিক্স হয়, কেননা এই দুটি ম্যাট্রিক্সেরই কেবল বিপরীত নির্ণয় করতে হয়।
এই পদ্ধতিটি বেশ কয়েকবার পুনরুদ্ভাবিত হয় এবং হান্স বোল্টজ (১৯২৩), যিনি ভূগাণিতিক ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকরণে এটা ব্যবহার করেন আর তাদেউশ বানাশেভিচ (১৯৩৭), যিনি এর সাধারণ রূপ দান ও যথার্থতা প্রমাণ করেন; তাদের জন্যই পদ্ধতিটি প্রতিষ্ঠিত হয়।
শূন্যতার উপপাদ্য অনুসারে, formula_140 এর শূন্যতা এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ডান দিকের নিম্নভাগের উপজোটের শূন্যতার সমান হয়, এবং formula_194এর শূন্যতা এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ডান দিকের ঊর্ধ্বভাগের শূন্যতার সমান হয়।
যে বিপরীতকরণ প্রক্রিয়ায় ওপরের সমীকরণ (1) পাওয়া যায়, সেখানে ম্যাট্রিক্স জোট অপারেশন প্রথমে formula_156 ও formula_186 এর ওপর প্রয়োগ করা হয়। তার পরিবর্তে যদি formula_140 ও formula_194 এর ওপর প্রথমে প্রযুক্ত হয়, যেখানে formula_140 এবং formula_200 একক-নয়, তাহলে পাওয়া যায়,
formula_201সমীকরণ (1) ও (2) কে সমীকৃত করে পাওয়া যায়,formula_202formula_203formula_204formula_205যেখানে সমীকরণ (3) হচ্ছে উডবারি ম্যাট্রিক্স অভেদ, যা দ্বিপদী বিপরীত উপপাদ্যের সমতুল্য।
যেহেতু কোন formula_27 ম্যাট্রিক্সের জোটবদ্ধ বিপরীতকরণ প্রক্রিয়ায় দুটি অর্ধ-আকৃতির ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকরণ ও তাদের মধ্যে ৬টি গুণন প্রক্রিয়া সম্পন্ন করতে হয়, সেহেতু এটা দেখানো যায় যে, জোটবদ্ধ বিপরীতকরণে যে বিভাজন ও বিজয় অ্যালগরিদম ("divide-and-conquer algorithm") ব্যবহৃত হয়, তার সময়-সংক্রান্ত জটিলতা, অভ্যন্তরীণভাবে ব্যবহৃত ম্যাট্রিক্স গুণন অ্যালগরিদমের মতোই। অপারেশনের জটিলতা formula_207 বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স গুণন অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব পাওয়া যায়, যেখানে সর্বনিম্ন প্রমাণিত সীমা হচ্ছে formula_208।
এই সূত্রটি উল্লখেযোগ্যভাবে সরল হয়ে যায় যখন ঊর্ধ্ব-ডান জোট ম্যাট্রিক্স formula_194 একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়। এই সূত্রটি কার্যকর যখন formula_140 এবং formula_186 এর বিপরীতকরণ সূত্রদ্বয় তুলনামূলভাবে সরল (অথবা ছদ্ম-বিপরীত যেখানে সকল জোট বর্গ ম্যাট্রিক্স নয়)। এই বিশেষ ক্ষেত্রে, জোট ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণের উপরিল্লিখিত সম্পূর্ণ সাধারণ সূত্রটি দাঁড়ায়,
formula_212।
যদি ম্যাট্রিক্স formula_140 এর এমন কোন বৈশিষ্ট্য থাকে যে,
তাহলে formula_140 ম্যাট্রিক্সটি একক-নয় ("non-singular") এবং এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সটিকে নিউম্যান ধারা দ্বারা প্রকাশ করা যায়:
সমষ্টির পদসংখ্যা কমিয়ে আনলে একটি "কাছাকাছি" বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যা একটি প্রাক-শর্তারোপক ("pre-conditioner") হিসেবে উপযোগী। নিউম্যান ধারাকে একটি জ্যামিতিক ধারা হিসেবে লিখলে কোন হ্রাসকৃত ধারা নিয়ে এক্সপোনেনসিয়ালভাবে অগ্রসর হওয়া যায়। যেমন- এটি
অতএব, সমষ্টির formula_218 সংখ্যক পদ নির্ণয়ে কেবলমাত্র formula_219 সংখ্যক ম্যাট্রিক্স গুণন করা দরকার হয়।
আরও সাধারণভাবে, যদি formula_140 কোন বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স formula_221 এর "নিকটবর্তী" হয়, এই অর্থে যে,
সেক্ষেত্রে formula_140 একক-নয় এবং এর বিপরীত হচ্ছে
যদি এমন হয় যে, formula_225 এর ক্রম ("rank") ১ হয়, তাহলে এর সরলীকৃত রূপ দাঁড়ায়,
যদি formula_140 এমন একটি ম্যাট্রিক্স হয় যার সহগসমূহ পূর্ণ বা মূলদ সংখ্যা, এবং কোন ইচ্ছামাফিক-নির্ভুলতা বিশিষ্ট গণনা-পদ্ধতিতে এর সমাধান খোঁজা হয়, তাহলে কোন "p"-adic অনুমান পদ্ধতি তার নির্ভুল ("exact") সমাধানের দিকে অভিসারী হয়, যেখানে প্রমিত ম্যাট্রিক্স গুণন ব্যবহৃত হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়। এই পদ্ধতিটি "p"-adic অনুমানের ডিক্সন পদ্ধতির মাধ্যমে formula_38-সংখ্যক রৈখিক ব্যবস্থা সমাধানের ওপর নির্ভরশীল এবং ইচ্ছামাফিক-নির্ভুলতা বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স অপারেশনের জন্য বিশেষায়িত সফটওয়্যার, যেমন- আইএমএল এ সহজলভ্য।
ধরা যাক, কোন বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স formula_140 একটি পরামিতিক রাশি formula_230 এর ওপর নির্ভরশীল। তাহলে formula_230 এর সাপেক্ষে formula_140 এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অন্তরক হবে
formula_140 এর বিপরীত ম্যট্রিক্সের অন্তরকের জন্য ওপরের রাশি প্রতিপাদন করতে হলে, বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা formula_235 এর ব্যবকলন করা যায় এবং তারপর formula_140 এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের জন্য সমাধান করা হয়:
উভয় পক্ষ হতে formula_238 বিয়োগ করে এবং ডানপাশে formula_239 দ্বারা গুণ করলে বিপরীত ম্যাট্রিক্সটির অন্তরকের যথার্থ রাশিটি পাওয়া যায়:
অনুরূপভাবে, যদি formula_241 একটি ক্ষুদ্র সংখ্যা হয় তাহলে,
আরও সাধারণভাবে, যদি
তাহলে,
অতএব,
সাধারণীকৃত বিপরীত ম্যাট্রিক্সসমূহ (যেমন- মুর-পেনরোজ বিপরীত ম্যাট্রিক্স), যাদেরকে যেকোন formula_248 ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত করা যায়, তাদের মধ্যে বিপরীত ম্যাট্রিক্সের কিছু কিছু বৈশিষ্ট্য দেখা যায়।
অধিকাংশ বাস্তব প্রয়োগের ক্ষেত্রেই, কোন রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকরণ জরুরি "নয়" ; তবে কোন অনন্য সমাধানের ক্ষেত্রে, সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য হওয়া আবশ্যক।
বিশ্লেষণ পদ্ধতি যেমন- LU বিশ্লেষণ, বিপরীতকরণের তুলনায় দ্রুততর, এবং বিশেষ শ্রেণিভুক্ত রৈখিক ব্যবস্থাসমূহের জন্য বেশ কিছু দ্রুতগতির অ্যালগরিদম তৈরি হয়েছে।
অজানা রাশির ভেক্টর নির্ণয়ে যদিও প্রত্যক্ষভাবে কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্সের প্রয়োজন হয় না, তবে তাদের নির্ভুলতা যাচাইয়ের সবচেয়ে সহজ উপায় এটাই, যা কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্সের কর্ণ থেকে পাওয়া যায় (অজানা রাশির পশ্চাদ্বর্তী-সহভেদাংক ("posterior-covariance") ম্যাট্রিক্স)। যাই হোক, অনেক ক্ষেত্রেই কোন বিপরীত ম্যাট্রিক্সের শুধুমাত্র কর্ণ উপাদানগুলো নির্ণয়ের জন্য দ্রুততর অ্যালগিরদম জানা রয়েছে।
ম্যাট্রিক্স বিপরীকরণ কম্পিউটার গ্রাফিক্সে, বিশেষ করে ত্রিমাত্রিক গ্রাফিক্স ও ত্রিমাত্রিক প্রতিরূপে (সিমুলেশনে) উল্লেখযোগ্য ভূমিকা পালন করে। এর উদাহরণের মধ্যে রয়েছে স্ক্রিন-টু-ওয়ার্ল্ড রশ্মি প্রক্ষেপণ, ওয়ার্ল্ড-টু-সাবস্পেস-টু-ওয়ার্ল্ড বস্তু রূপান্তর, এবং ভৌত প্রতিরূপসমূহ।
তারহীন যোগাযোগব্যবস্থায় মাইমো (MIMO: Multiple-Input, Multiple-Output) প্রযুক্তিতে বিপরীত ম্যাট্রিক্স একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। একটি MIMO ব্যবস্থায় N-সংখ্যক প্রেরক ও M-সংখ্যক গ্রাহক অ্যান্টেনা থাকে। একই কম্পাঙ্ক বর্ণালিতে বিদ্যমান অনন্য সংকেতসমূহকে N-প্রেরক অ্যান্টেনার মাধ্যমে পাঠানো হয় এবং M-গ্রাহক অ্যান্টেনার মাধ্যমে গৃহীত হয়। প্রতিটি গ্রাহক অ্যান্টেনায় পৌঁছানো সংকেত হবে, N-সংখ্যক প্রেরিত সংকেতের একটি রৈখিক বিন্যাস, যা একটি formula_249 প্রেরণ-ম্যাট্রিক্স formula_250 গঠন করে। গ্রাহক যেন প্রেরিত তথ্যের মর্মোদ্ধার করতে পারে সেজন্য, formula_250 ম্যাট্রিক্সটি বিপরিতযোগ্য হওয়া বাঞ্ছনীয়।