হাইড্রোজেন সদৃশ পরমাণু

হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণু (বা হাইড্রোজেনিক পরমাণু) বলতে এমন কোনো পরমাণু বা আয়নকে বোঝায়, যার একটি মাত্র ভ্যালেন্স ইলেকট্রন থাকে। এই ধরনের পরমাণুগুলি হাইড্রোজেনের সঙ্গে সমইলেকট্রনিক।
হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে নিজস্ব হাইড্রোজেন, সব ক্ষার ধাতু যেমন Rb ও Cs, একবার আয়নিত ক্ষার-মৃত্তিকা ধাতু যেমন Ca ও Sr, এবং অন্যান্য আয়ন যেমন He, Li, Be—এবং এদের যেকোনো আইসোটোপ।
একটি হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর কেন্দ্রে থাকে ধনাত্মক চার্জযুক্ত একটি পারমাণবিক নিউক্লিয়াস এবং যেকোনো মূল ইলেকট্রন, যাদের চারপাশে একটি মাত্র ভ্যালেন্স ইলেকট্রন ঘোরে। মহাবিশ্বে হিলিয়ামের প্রাচুর্যের কারণে, একবার আয়নিত হিলিয়ামের বর্ণালীবিজ্ঞানের গুরুত্ব অনেক। এটি EUV জ্যোতির্বিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়, যেমন DO শ্রেণির সাদা বামন নক্ষত্র পর্যবেক্ষণে।
হাইড্রোজেন পরমাণুর জন্য অ-আপেক্ষিকতাবাদী শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ এবং আপেক্ষিকতাবাদী ডিরাক সমীকরণ বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা যায়, কারণ এটি একটি দুই-কণার সহজ শারীরিক ব্যবস্থা। এক-ইলেকট্রন বিশিষ্ট এই সমাধানগুলিকে "হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর অরবিটাল" বলা হয়। এই পরমাণুগুলি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এদের অরবিটাল গঠন হাইড্রোজেনের অরবিটালের সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ।
আরও কিছু ব্যবস্থা "হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণু" নামে পরিচিত, যেমন মিউঅনিয়াম (একটি অ্যান্টিমিউন ঘিরে একটি ইলেকট্রন), পজিট্রোনিয়াম (একটি ইলেকট্রন ও একটি পজিট্রন), কিছু বিরল পরমাণু (অন্য কণার মাধ্যমে গঠিত), অথবা রাইডবার্গ পরমাণু (যেখানে একটি ইলেকট্রন এত উচ্চ শক্তির স্তরে থাকে যে এটি বাকি পরমাণুকে কার্যত একটি বিন্দু আধান হিসেবে দেখে)।
অ-আপেক্ষিকতাবাদী শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধানে, হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর অরবিটালগুলি এক-ইলেকট্রন বিশিষ্ট কৌণিক ভরবেগ অপারেটর L এবং তার "z" উপাদান "L"-এর স্বতন্ত্র ফাংশন (eigenfunction)। একটি হাইড্রোজেন-সদৃশ অরবিটাল নির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত হয় প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা "n", অক্ষীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা "l", এবং চুম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা "m" দ্বারা।
এই অরবিটালগুলোর শক্তি "l" বা "m"-এর উপর নির্ভর করে না, বরং শুধুমাত্র "n"-এর উপর নির্ভর করে। এর সঙ্গে যুক্ত হয় দ্বিমূল্য স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা "m" = ±, যা আউফবাউ নীতির ভিত্তি স্থাপন করে। এই নীতি অনুসারে একাধিক ইলেকট্রন বিশিষ্ট পরমাণুদের ইলেকট্রন বিন্যাসে চারটি কোয়ান্টাম সংখ্যার সম্ভাব্য মান নির্ধারিত হয়। হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুতে নির্দিষ্ট "n" এবং "l"-এর জন্য যেসব অরবিটালে "m" এবং "s" বিভিন্ন মান নিতে পারে, সেগুলো মিলে একটি পারমাণবিক শেল গঠন করে।
যেসব পরমাণু বা আয়নে একাধিক ইলেকট্রন রয়েছে, সেগুলোর জন্য শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা যায় না। এর কারণ ইলেকট্রনগুলোর মধ্যে কুলম্ব আকর্ষণ বল বিশ্লেষণকে জটিল করে তোলে। এক্ষেত্রে (আনুমানিক) তরঙ্গ-ফাংশন বা অন্যান্য বৈশিষ্ট্য নির্ধারণের জন্য সংখ্যাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়। হ্যামিল্টোনিয়ান-এর গোলীয় সমমিতির কারণে, পরমাণুর মোট কৌণিক ভরবেগ J একটি সংরক্ষিত রাশি। অনেক সংখ্যাত্মক পদ্ধতি শুরু হয় এমন অরবিটালের গুণফল দিয়ে, যেগুলি এক-ইলেকট্রন অপারেটর L ও "L"-এর স্বতন্ত্র ফাংশন। এই অরবিটালগুলোর রেডিয়াল অংশ অনেক সময় সংখ্যাত্মক সারণি আকারে দেওয়া হয় অথবা স্লেটার অরবিটাল হিসেবে ব্যবহৃত হয়। কৌণিক ভরবেগ সংযোজনের মাধ্যমে বহু-ইলেকট্রন বিশিষ্ট J (এবং সম্ভবত S) এর স্বতন্ত্র ফাংশন নির্মাণ করা হয়।
কোয়ান্টাম রসায়নের গণনায় হাইড্রোজেন-সদৃশ অরবিটালগুলি সম্প্রসারণ ভিত্তি (basis set) হিসেবে ব্যবহৃত হয় না, কারণ এগুলি পূর্ণাঙ্গ নয়। একটি সম্পূর্ণ সেট পেতে হলে, অর্থাৎ এক-ইলেকট্রন হিলবার্ট স্থান পুরোপুরি আবৃত করতে হলে, বর্গ যোগযোগ্য নয় এমন অবিচ্ছিন্ন (E > 0) অবস্থাগুলিও অন্তর্ভুক্ত করতে হয়।
সবচেয়ে সাধারণ মডেলে, হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণু বা আয়নের অরবিটাল হল গোলীয় সমমিতি সম্পন্ন বিভবের শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। এ ক্ষেত্রে বিভবটি কুলম্ব সূত্র অনুযায়ী হয়:
formula_1
এখানে,
তরঙ্গ-ফাংশনকে নিচের মতো বিভাজিত করে লেখা যায়:
formula_2
(এখানে ব্যবহৃত হয়েছে গোলীয় স্থানাঙ্ক), যেখানে formula_3 হলো গোলীয় হারমোনিক ফাংশন। এর ফলে নিম্নোক্ত শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে উপনীত হওয়া যায়:
formula_4
এখানে formula_5 হল প্রায় ইলেকট্রনের ভর (আসলে এটি ইলেকট্রন ও নিউক্লিয়াসের সমন্বয়ে গঠিত লঘু ভর), এবং formula_6 হল প্ল্যাংক ধ্রুবকের রিডিউসড রূপ।
"l" এর বিভিন্ন মান বিভিন্ন কৌণিক ভরবেগসম্পন্ন সমাধান প্রদান করে, যেখানে "l" একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং এটি অরবিটাল কৌণিক ভরবেগের কোয়ান্টাম সংখ্যা। চুম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা "m" (যা formula_7 শর্ত পূরণ করে) অরবিটাল কৌণিক ভরবেগের "z"-অক্ষ বরাবর নির্ধারিত মান। এই সমীকরণের সমাধানে ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ পেতে দেখুন: এই অংশ।
"l" ও "m" ছাড়াও, একটি তৃতীয় পূর্ণসংখ্যা "n" > 0 তরঙ্গ-ফাংশনের রেডিয়াল অংশ "R"-এর উপর আরোপিত সীমা শর্ত থেকে নির্ধারিত হয়। "R" ও "Y" ফাংশনগুলি এই পূর্ণসংখ্যাগুলোর মান অনুসারে ভিন্ন ভিন্ন রূপ ধারণ করে, এবং এদেরকে কোয়ান্টাম সংখ্যা বলা হয়। তরঙ্গ-ফাংশনগুলোতে সাধারণত সংশ্লিষ্ট কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলোর মান সূচক হিসেবে যুক্ত থাকে। স্বাভাবিকীকৃত তরঙ্গ-ফাংশনের চূড়ান্ত রূপ হলো:
formula_8
এখানে রেডিয়াল অংশ formula_9 হলো:
formula_10
এখানে:
formula_20
এই তরঙ্গ-ফাংশনগুলিই হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর কোয়ান্টাম যান্ত্রিক আচরণ বর্ণনার মূল ভিত্তি গঠন করে।
কোয়ান্টাম সংখ্যা formula_23, formula_24 এবং formula_25 পূর্ণসংখ্যা এবং এদের মান হতে পারে নিম্নরূপ:
formula_26 
formula_27 
formula_28
এই কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলোর গোষ্ঠীতাত্ত্বিক ব্যাখ্যার জন্য দেখুন এই নিবন্ধ। সেখানে গোষ্ঠীতাত্ত্বিক পদ্ধতিতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে কেন formula_29 এবং formula_30 হওয়া উচিত।
প্রতিটি পরমাণু অরবিটাল একটি কৌণিক ভরবেগ L-এর সঙ্গে সম্পর্কিত। এটি একটি ভেক্টর অপারেটর এবং এর বর্গের স্বতন্ত্র মান (eigenvalue) — যেখানে formula_31 — নিচেরভাবে নির্ধারিত হয়:
formula_32
এই ভেক্টরের যেকোনো দিক বরাবর প্রক্ষেপণ কোয়ান্টাইজড। যদি ঐ দিকটিকে "z"-অক্ষ ধরা হয়, তবে কোয়ান্টাইজেশন হবে:
formula_33
এখানে "m" এর মান পূর্বে বর্ণিত সীমার মধ্যে সীমাবদ্ধ। লক্ষ্যণীয়, "L" এবং "L" পরস্পর কমিউট করে এবং এদের একটি সাধারণ স্বতন্ত্র অবস্থা থাকে, যা হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতির সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
তবে "L" এবং "L" "L"-এর সঙ্গে কমিউট করে না, ফলে একই সঙ্গে তিনটি উপাদানেরই নির্দিষ্ট মানবিশিষ্ট একটি অবস্থা থাকা সম্ভব নয়। এই কারণে "x" ও "y" উপাদানের মান অনির্দিষ্ট থাকে এবং এদের মান একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বন্টনের মধ্যে পড়ে। এর অর্থ, কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরের নির্দিষ্ট দিক নির্ধারণ করা যায় না, যদিও তার "z"-অক্ষ বরাবর প্রক্ষেপণ নির্দিষ্ট থাকে।
উল্লেখ্য, উপরোক্ত সম্পর্কগুলি ইলেকট্রনের মোট কৌণিক ভরবেগ নির্ধারণ করে না। ইলেকট্রনের স্পিন-কেও এতে অন্তর্ভুক্ত করতে হয়।
এই কৌণিক ভরবেগের কোয়ান্টাইজেশন ১৯১৩ সালে নিলস বোর কর্তৃক প্রস্তাবিত বোর মডেলের সঙ্গে মিল রাখে, যদিও সে সময় তরঙ্গ-ফাংশনের ধারণা বিদ্যমান ছিল না।
বাস্তব পরমাণুতে, একটি গতিশীল ইলেকট্রনের স্পিন নিউক্লিয়াসের তড়িৎ ক্ষেত্রের সঙ্গে আপেক্ষিকতাবাদী প্রভাবের মাধ্যমে অন্তঃক্রিয়া করতে পারে। এই ঘটনাকে বলা হয় স্পিন–অরবিট অন্তঃক্রিয়া (spin–orbit interaction)। এই coupling বিবেচনায় নেওয়া হলে, ইলেকট্রনের স্পিন এবং অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ আর আলাদাভাবে সংরক্ষিত থাকে না। এর ফলে ইলেকট্রনের precession (ঘূর্ণায়মান গতির মতো আচরণ) দেখা যায়।
এই কারণে, কোয়ান্টাম সংখ্যা "l", "m" এবং স্পিনের প্রক্ষেপণ "m"-এর পরিবর্তে নতুন কোয়ান্টাম সংখ্যা ব্যবহার করতে হয়, যা ইলেকট্রনের মোট কৌণিক ভরবেগ (অরবিটাল ও স্পিন সহ) নির্দেশ করে—"j" এবং "m"। এর পাশাপাশি পারিটির কোয়ান্টাম সংখ্যাও বিবেচনা করতে হয়।
এই coupling অন্তর্ভুক্ত করে সমাধানের জন্য পরবর্তী অনুচ্ছেদে ডিরাক সমীকরণ আলোচনা করা হয়েছে।
১৯২৮ সালে ইংল্যান্ডে পল ডিরাক এমন একটি সমীকরণ প্রস্তাব করেন, যা বিশেষ আপেক্ষিকতার সঙ্গে সম্পূর্ণ সঙ্গতিপূর্ণ। একই বছরে জার্মান পদার্থবিদ ভাল্টার গর্ডন এই সমীকরণের হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর জন্য সমাধান প্রদান করেন (ধরা হয়েছিল একটি বিন্দু আধানের চারপাশে একটি সাধারণ কুলম্ব বিভব)।
শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের মতো একটি একক (সম্ভবত জটিল) ফাংশনের পরিবর্তে, ডিরাক সমীকরণের সমাধানে চারটি জটিল ফাংশন খুঁজে বের করতে হয়, যেগুলি মিলে একটি বাইস্পিনর গঠন করে। এই বাইস্পিনরের প্রথম ও দ্বিতীয় উপাদান (বা স্পিনরের উপাদান) সাধারণত স্পিন "আপ" ও "ডাউন" অবস্থার সঙ্গে সম্পর্কিত; তৃতীয় ও চতুর্থ উপাদানও একই রকম ব্যাখ্যা পায়।
"স্পিন আপ" ও "স্পিন ডাউন" শব্দ দুটি একটি নির্দিষ্ট নির্বাচিত দিকের (সাধারণত z-অক্ষ) সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত। ইলেকট্রন একযোগে স্পিন আপ ও ডাউন অবস্থায় থাকতে পারে, অর্থাৎ একটি সুপারপজিশন অবস্থায়, যেখানে তার স্পিন-অক্ষ অন্য কোনো দিকে নির্দেশ করে। এই স্পিন অবস্থা অবস্থানভেদে পরিবর্তিত হতে পারে।
নিউক্লিয়াসের সান্নিধ্যে থাকা ইলেকট্রনের ক্ষেত্রে তৃতীয় ও চতুর্থ উপাদানগুলোর মান শূন্য হয় না। নিউক্লিয়াস থেকে অনেক দূরে এই উপাদানগুলোর মান ছোট হলেও, নিউক্লিয়াসের কাছাকাছি এগুলোর মান উল্লেখযোগ্যভাবে বেড়ে যায়।
হ্যামিল্টোনিয়ান-এর স্বতন্ত্র ফাংশন (eigenfunction), অর্থাৎ যেগুলোর শক্তি নির্দিষ্ট এবং যেগুলো শুধুমাত্র একটি ফেজ শিফট ছাড়া সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত হয় না, তাদের শক্তি শুধুমাত্র "n" কোয়ান্টাম সংখ্যার উপর নির্ভর করে না (যেমনটি শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে দেখা যায়), বরং "n" ও একটি অতিরিক্ত কোয়ান্টাম সংখ্যা "j"-এর উপর নির্ভর করে, যাকে বলা হয় মোট কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা। 
"j" নির্দেশ করে তিনটি কৌণিক ভরবেগ উপাদানের বর্গগুলির যোগফল formula_34 হবে (দেখুন: প্ল্যাংক ধ্রুবক)। এই কৌণিক ভরবেগগুলোর মধ্যে রয়েছে অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ (ψ-এর কৌণিক নির্ভরতা সংক্রান্ত) ও স্পিন কৌণিক ভরবেগ (স্পিন অবস্থা সংক্রান্ত)। একই প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা "n"-এর জন্য ভিন্ন ভিন্ন "j"-এর কারণে শক্তির যে পার্থক্য ঘটে, তাকে বলা হয় সূক্ষ্ম গঠন (fine structure)। মোট কৌণিক ভরবেগ সংখ্যা "j"-এর মান 1/2 থেকে "n"−1/2 পর্যন্ত হতে পারে।
একটি নির্দিষ্ট অবস্থার অরবিটাল দুটি রেডিয়াল ফাংশন এবং দুটি কৌণিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। রেডিয়াল ফাংশনগুলি প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা "n" এবং একটি পূর্ণসংখ্যা "k"-এর উপর নির্ভর করে, যেটি নিচেরভাবে সংজ্ঞায়িত:
formula_35
এখানে ℓ হলো অক্ষীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা, যার মান 0 থেকে "n"−1 পর্যন্ত হতে পারে। কৌণিক ফাংশনগুলি "k" এবং একটি কোয়ান্টাম সংখ্যা "m"-এর উপর নির্ভর করে, যার মান −"j" থেকে "j" পর্যন্ত ১ করে বৃদ্ধি পায়।
এই অবস্থাগুলো ℓ-এর মান অনুযায়ী S, P, D, F ইত্যাদি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় (ℓ = 0, 1, 2, 3 ইত্যাদি) এবং সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে "j" যুক্ত থাকে। যেমন, "n"=4 এর জন্য অবস্থাগুলো নিচের সারণীতে দেখানো হয়েছে (প্রতিটি অবস্থার আগে "n" যুক্ত থাকে, যেমন 4S):
এই অবস্থাগুলোকে আরও বিস্তারিতভাবে "m"-এর মানসহ চিহ্নিত করা যায়। একটি নির্দিষ্ট প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা "n"-এর জন্য মোট 2"n" টি অবস্থা থাকে। এদের মধ্যে প্রতিটি বৈধ "j"-এর জন্য 4"j"+2 টি অবস্থা থাকে, তবে সর্বোচ্চ "j" = "n"−1/2-এর জন্য সংখ্যা হয় 2"j"+1। যেহেতু ডিরাক সমীকরণ অনুসারে নির্দিষ্ট "n" ও "j"-এর অরবিটালগুলোর শক্তি অভিন্ন, তাই এই অবস্থা গুলো মিলে ঐ শক্তির জন্য একটি ভিত্তি সেট গঠন করে।
"n" এবং |"k"| (যার মান "j" + 1/2) এর উপর নির্ভরশীলভাবে শক্তির মান হয়:
formula_36
লক্ষ্য করুন, যদি এর মান ১৩৭-এর বেশি হত (যা কোনো বিদ্যমান মৌলিক উপাদানের চেয়ে বেশি), তবে S ও P অরবিটালগুলোর জন্য উপরোক্ত সূত্রের বর্গমূলের ভিতরে নেতিবাচক মান আসত। এর অর্থ, ঐ কক্ষপথগুলো অস্তিত্বহীন হয়ে যেত।
শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ অনুসারে, উপরোক্ত দ্বিতীয় অভিব্যক্তির ভিতরের বন্ধনীগুলোর মানকে ১ ধরে নেওয়া হয়। হাইড্রোজেন পরমাণুর সবচেয়ে নিচের দুইটি অবস্থার শক্তি ব্যবধান শ্রোডিঙ্গার সমাধান থেকে নির্ণয় করলে তা প্রায় ৯ ppm ভুল হয় (প্রায় ১০ eV এর মধ্যে ৯০ μeV কম)। অপরদিকে, ডিরাক সমীকরণ থেকে নির্ণয় করলে একই ব্যবধান প্রায় ৩ ppm বেশি আসে।
শ্রোডিঙ্গার সমাধান সাধারণত ডিরাক সমীকরণের তুলনায় অবস্থাগুলোর শক্তি সামান্য বেশি দেখায়। ডিরাক সমীকরণ হাইড্রোজেনের কিছু স্তরের শক্তি অনেক নির্ভুলভাবে দেয় (যেমন 4P স্তরের শক্তি প্রায় eV বেশি দেয়), তবে অন্য কিছু ক্ষেত্রে কম নির্ভুল (যেমন 2S স্তরের শক্তি প্রায় eV কম দেয়)।
শ্রোডিঙ্গার সমাধানের পরিবর্তে ডিরাক সমীকরণ ব্যবহারের ফলে শক্তির যেসব পরিবর্তন আসে, তা α মানের অনুপাতে। এই কারণেই α-কে সূক্ষ্ম গঠন ধ্রুবক বলা হয়।
সাধারণ ক্ষেত্রে, কোয়ান্টাম সংখ্যা "n", "k" এবং "m" এর জন্য ডিরাক সমীকরণের সমাধান হয়:
formula_37
এখানে, Ω হলো দুইটি গোলীয় হারমোনিক ফাংশন-এর সমন্বয়ে গঠিত কলাম। formula_38 দ্বারা একটি গোলীয় হারমোনিক ফাংশন বোঝানো হয়েছে:
formula_39
এখানে, formula_40 হলো সহযোগী ল্যাজান্দ্র বহুপদী। (Ω সংজ্ঞায়িত করতে গিয়ে এমন গোলীয় হারমোনিক ব্যবহার হতে পারে যা অস্তিত্বহীন, যেমন formula_41, তবে সেই পদে সহগ হবে শূন্য।)
নিম্নে কিছু কৌণিক ফাংশনের আচরণ দেখানো হয়েছে (সহজতর করার জন্য স্বাভাবিকীকরণ গুণক বাদ দেওয়া হয়েছে):
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
এগুলি থেকে দেখা যায়, S অরবিটালে ("k" = −1) Ψ-এর উপরের দুটি উপাদানের অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ নেই, ঠিক যেমন শ্রোডিঙ্গারের S অরবিটাল; কিন্তু নিচের দুটি উপাদান শ্রোডিঙ্গারের P অরবিটালের মতো। অপরদিকে, P সমাধানে ("k" = 1) পরিস্থিতি উল্টো। উভয় ক্ষেত্রেই প্রতিটি উপাদানের স্পিন তার কৌণিক ভরবেগকে এমনভাবে পূরণ করে যে z-অক্ষ বরাবর মোট কৌণিক ভরবেগ সঠিক হয়।
এই দুই Ω স্পিনর obey করে সম্পর্কটি:
formula_46
formula_47 এবং formula_48 ফাংশন দুটি লিখতে আমরা একটি স্কেল করা ব্যাসার্ধ ρ সংজ্ঞায়িত করি:
formula_49, যেখানে 
formula_50
এখানে E হলো পূর্বোক্ত শক্তি (formula_51)। এছাড়া,
formula_52
এই দুটি ফাংশন দুটি সাধারণ ল্যাগুয়ের বহুপদীর উপর ভিত্তি করে, যেগুলোর অর্ডার formula_53 এবং formula_54।
formula_55
formula_56
এখানে "A" হলো গামা ফাংশন ভিত্তিক স্বাভাবিকীকরণ ধ্রুবক:
formula_57
"f" এর মান তুলনামূলকভাবে "g" এর চেয়ে ছোট (বিশেষ করে বড় "r"-এর জন্য)। কারণ, "k" ধনাত্মক হলে প্রথম পদগুলি প্রধান হয় এবং তখন α > γ−"k"। আর "k" ঋণাত্মক হলে দ্বিতীয় পদগুলি প্রাধান্য পায় এবং তখন α < γ−"k"।
প্রধান পদটি শ্রোডিঙ্গার সমাধানের সঙ্গে অনেকটা সাদৃশ্যপূর্ণ — ল্যাগুয়ের বহুপদীর ঊর্ধ্ব সূচক কিছুটা কম (2γ+1 বা 2γ−1, যেখানে শ্রোডিঙ্গারে হয় 2ℓ+1), ρ-র ঘাতও (γ বা γ−1) ℓ থেকে সামান্য ভিন্ন। এক্সপোনেনশিয়াল ক্ষয় শ্রোডিঙ্গার সমাধানের তুলনায় একটু দ্রুত ঘটে।
স্বাভাবিকীকরণ ধ্রুবকটি তরঙ্গ-ফাংশনের বর্গমাত্রিক মানের স্থানজুড়ে যোগফল ১ করে তোলে।
যখন "k" = −"n", তখন এটি প্রদর্শন করে যে সংশ্লিষ্ট "j" হলো নির্দিষ্ট "n"-এর জন্য সর্বোচ্চ মান, যেমন 1S, 2P, 3D ইত্যাদি। এই অবস্থায় formula_47 এবং formula_48 এর রূপ হয়:
formula_60
formula_61
এখানে "A" এর মান সরলীকৃতভাবে দাঁড়ায়:
formula_62
লক্ষ্য করুন, "f"("r") এর তুলনায় "g"("r") বড় কারণ এতে Zα গুণফল রয়েছে, যা সাধারণত ক্ষুদ্র। এছাড়া, এই ক্ষেত্রে শক্তির মান হয়:
formula_63
এবং রেডিয়াল ক্ষয় ধ্রুবক "C" হয়:
formula_64
এই বিশ্লেষণ দেখায়, "k" = −"n" অবস্থায় তরঙ্গ-ফাংশনের গঠন অনেক সরল হয় এবং এর শক্তি ও রেডিয়াল আচরণ বিশ্লেষণ করা তুলনামূলকভাবে সহজ।
এখানে 1S অরবিটালের স্পিন-আপ অবস্থার স্বাভাবিকীকরণবিহীন রূপ দেখানো হয়েছে:
formula_65
এখানে, γ মানটি ১-এর চেয়ে সামান্য কম, ফলে উপরের ফাংশনটি মূলত একটি "r" নির্ভর ঘনবেগে ক্ষয়মান ফাংশনের মতো। তবে খুব ছোট "r"-এ formula_66 পদটি তাত্ত্বিকভাবে অসীমে পৌঁছে যেতে পারে। কিন্তু formula_66 এর মান ১০ ছাড়িয়ে যেতে পারে কেবলমাত্র এমন "r"-এ, যার মান formula_68-এর চেয়েও ছোট—এটি খুবই ক্ষুদ্র একটি মান, সাধারণত একটি প্রোটনের ব্যাসার্ধের চেয়েও অনেক কম, যদি না অত্যন্ত বড় হয়।
এবার 1S অরবিটালের স্পিন-ডাউন অবস্থার (স্বাভাবিকীকরণবিহীন) রূপ:
এই দুটি অবস্থা মিলিয়ে এমন সুপারপজিশন তৈরি করা যায়, যেখানে স্পিন অন্য কোনো দিকে নির্দেশ করে। যেমন, নিচের তরঙ্গ-ফাংশনটি x-অক্ষ বরাবর স্পিন ও কৌণিক ভরবেগ নির্দেশ করে:
formula_70
এভাবে, যদি স্পিন-ডাউন অবস্থাটিকে একটি কাল্পনিক গুণ ("i") করে স্পিন-আপ অবস্থার সঙ্গে যোগ করা হয়, তবে তা y-অক্ষ বরাবর নির্দেশিত একটি স্পিন ও কৌণিক ভরবেগ তৈরি করে।
এই তরঙ্গ-ফাংশনের ভিন্ন সংমিশ্রণ স্পিনের বিভিন্ন অভিমুখ এবং সংশ্লিষ্ট কৌণিক ভরবেগ প্রদর্শনে ব্যবহৃত হয়।
আরও একটি উদাহরণ হিসাবে, 2P অরবিটালের স্পিন-আপ অবস্থাটি নিম্নরূপ:
formula_71
লক্ষ্য করুন, যখন formula_73 α-এর তুলনায় ছোট (অর্থাৎ "r" < formula_74), তখন বাইস্পিনরের তৃতীয় উপাদানটি — যা "S" ধরণের অরবিটাল — প্রধান হয়ে ওঠে।
অন্যদিকে, 2S অরবিটালের স্পিন-আপ অবস্থাটি:
formula_75
এখানে বাইস্পিনরের প্রথম উপাদানটি S-সদৃশ, এবং formula_76 এর আশেপাশে এটি শূন্যে পৌঁছে যায় — যা S অরবিটালের ঐতিহ্যগত আচরণ। নিচের দুটি উপাদান, অর্থাৎ তৃতীয় ও চতুর্থ, P-ধরনের অরবিটালের মতো আচরণ করে।
এই বিশ্লেষণ থেকে বোঝা যায় যে ডিরাক সমীকরণ অনুসারে প্রতিটি অরবিটালে S ও P ধরণের উপাদান মিশে থাকে, যা স্পিন ও কৌণিক ভরবেগের সম্মিলিত আচরণ প্রদর্শন করে।
ডিরাক সমীকরণের আবদ্ধ অবস্থাগুলোর পাশাপাশি এমন কিছু সমাধানও রয়েছে, যেগুলোর শক্তি এমন এক ইলেকট্রনের চেয়ে বেশি, যা নিউক্লিয়াস থেকে অসীম দূরত্বে বিচ্ছিন্ন। এই ধরনের সমাধান অ-আবদ্ধ ইলেকট্রনের নিউক্লিয়াসের সঙ্গে মিথস্ক্রিয়াকে বোঝায়। এই সমাধানগুলো স্বাভাবিকীকরণযোগ্য নয়, তবে এমন সমাধান পাওয়া যায় যেগুলো formula_77 হলে শূন্যের দিকে ধাবিত হয় — যা formula_78 অবস্থায় সম্ভব নয়, শুধুমাত্র পূর্বে উল্লিখিত আবদ্ধ শক্তিমানের ক্ষেত্রেই সম্ভব।
এছাড়াও, formula_79 এর জন্যও অনুরূপ সমাধান বিদ্যমান। এই ঋণাত্মক-শক্তির সমাধানগুলো ইতিবাচক-শক্তির সমাধানের মতোই, শুধু পার্থক্য হলো: নিউক্লিয়াস ইলেকট্রনকে আকর্ষণ না করে বিকর্ষণ করে। এর ফলে বাইস্পিনরের উপরের দুটি উপাদান নিচের দুটি উপাদানের জায়গা নেয়।
ঋণাত্মক-শক্তির সমাধান এমনকি নিউক্লিয়াস দ্বারা সৃষ্ট কুলম্ব বল অনুপস্থিত হলেও ডিরাক সমীকরণে উপস্থিত থাকে। ডিরাক অনুমান করেন যে এইসব ঋণাত্মক-শক্তির অবস্থাগুলো প্রায় সবই পূর্ণ (অর্থাৎ ইলেকট্রনে পরিপূর্ণ)। যদি এর মধ্যে কোনো একটি অবস্থায় ইলেকট্রন না থাকে (অর্থাৎ ফাঁকা থাকে), তাহলে সেটি একটি ইলেকট্রন হিসেবে প্রকাশ পায় যা ধনাত্মক আধানযুক্ত নিউক্লিয়াস দ্বারা বিকর্ষিত হয়। 
এই ভাবনা থেকেই ডিরাক ধনাত্মক আধানযুক্ত ইলেকট্রনের অস্তিত্বের পূর্বাভাস দেন, যা পরবর্তীতে পজিট্রন আবিষ্কারের মাধ্যমে নিশ্চিত হয়।
বিন্দু-আকারের অ-চুম্বকীয় নিউক্লিয়াস দ্বারা সৃষ্ট একটি সাধারণ কুলম্ব বিভবের জন্য ডিরাক সমীকরণের সমাধান (গর্ডনের সমাধান) চূড়ান্ত নয়, এবং এর পূর্বাভাস পরীক্ষামূলক ফলাফলের সঙ্গে সম্পূর্ণ মেলে না — যেমনটি পূর্বে উল্লেখ করা হয়েছে।
আরও নিখুঁত ফলাফল পেতে হলে কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডাইনামিক্সের রেডিয়েটিভ সংশোধনসমূহ যুক্ত করতে হয়, যার ফলে ল্যাম্ব স্থানচ্যুতি (Lamb shift) দেখা যায় এবং এর পাশাপাশি হাইপারফাইন গঠন (hyperfine structure) হিসেবেও ক্ষুদ্র স্তর বিভাজন ঘটে।
এই সমস্ত প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করলে হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর শক্তিস্তরের পূর্বাভাস আরও সঠিকভাবে বাস্তব পরীক্ষার সঙ্গে মেলে।