সমান্তর প্রগমন

যদি নির্দিষ্ট বা অনির্দিষ্ট সংখ্যক সংখ্যা নিয়ে গঠিত কোন অনুক্রমের যেকোন দুটি ধারাবাহিক পদের অন্তর সর্বদা একটি ধ্রুব সংখ্যা হয় তবে এই অনুক্রমকে সমান্তর প্রগমন বা সমান্তর প্রগতি বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, . . . অনুক্রমটি একটি সমান্তর প্রগমন যার সাধারণ অন্তর হল ৫। সাধারণ অন্তর হল সমান্তর প্রগমনের ধারাবাহিক দুটি পদের বিয়োগফল।
যদি সমান্তর প্রগমনের প্রথম পদ formula_1 এবং পর পর দুটি পদপর বিয়োগফল তথা সাধারণ অন্তর formula_2 হয় তবে প্রগমনটির "n"-তম পদ formula_3 কে নিম্নোক্তরূপে লেখা যায়:—
সাধারণভাবে লিখে পাই—
কোন সমান্তর প্রগমনের একটি নির্দিষ্ট (সসীম) অংশকে সসীম সমান্তর প্রগমন বলা হয়। কখনো কখনো একে শুধু সমান্তর প্রগমনও বলা হয়ে থাকে। আর একটি সসীম সমান্তর প্রগমনের সমষ্টিকে বলা হয় সমান্তর ধারা।
সসীম সমান্তর প্রগমনের সংখ্যাগুলোর সমষ্টিকে সমান্তর ধারা বলা হয়। উদাহরণ হিসেবে নিচের সমান্তর ধারাটির সমষ্টি বিবেচনা করা যাক—
প্রগমনটির প্রথম ও শেষ পদের সমষ্টিকে (2 + 14 = 16) পদসংখ্যা "n" (এক্ষেত্রে 5) দ্বারা গুণ করে অতঃপর গুণফলকে 2 দ্বারা ভাগ করে খুব সহজেই প্রগমনটির সমষ্টি বের করা যায়। সূত্রাকারের লিখলে আমরা পাব—
উপরের সমস্যাটির ক্ষেত্রে আমরা নিচের সমীকরণটি পাই—
এই সূত্রটি যেকোন বাস্তব সংখ্যা formula_1 এবং formula_3 এর জন্য প্রযোজ্য। উদাহরণ দেখুন:
উপরের সূত্রটি প্রতিপাদনের নিমিত্তে সমান্তর ধারাটিকে প্রথমে দুটি ভিন্ন রাশিমালার মাধ্যমে প্রকাশ করা যাক:
এখন সমীকরণের উভয় পক্ষকে যোগ করে এবং formula_2 যুক্ত সকল পদ পরিহার করে পাই:—
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে সমীকরণটির নিম্নোক্ত সাধারণ রূপটি পাওয়া যাবে—
এই সমীকরণে formula_17 প্রতিস্থাপন করে বিকল্প আরেকটি সূত্র পাওয়া যাবে—
অধিকন্তু একে পদসংখ্যা formula_19 ভাগ করলে ধারাটির গড় বের হবে:
এই সূত্রটি প্রায় বিচ্ছিন্ন সুসম বণ্টনের গড়ের অনুরূপ।
formula_1 প্রথম পদ, formula_2 সাধারণ অন্তর এবং formula_19 সংখ্যক সদস্য নিয়ে গঠিত একটি সমান্তর ধারার সকল পদের গুণজ বা গুণফলকে নিম্নোক্ত বদ্ধ রাশিমালার দ্বারা নির্ধারণ করা হয়:
এখানে formula_25 হল গামা ফাংশন। formula_26 এর মান ঋণাত্মক ও শূন্য হলে এই সূত্রটি কাজ করবে না।
formula_27 প্রগমনটির গুণজ formula_28 ফ্যাক্টরিয়াল এবং যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_29 এবং formula_19 এর জন্য
রাশিমালাটির গুণজ হল
সমান্তর ধারার সকল পদের গুণজ নির্ণয়ের উপর্যুক্ত বদ্ধ সমীকরণটি এই দুটি গুণজেরই একটি সাধারণিকরণ।
এখানে formula_34 হল ঊর্ধগামী ফ্যাক্টরিয়াল।
By the recurrence formula formula_35, valid for a complex number formula_36,
সুতরাং ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা formula_29 এবং ধনাত্মক জটিল সংখ্যা formula_40 এর জন্য পাই—
একইভাবে, formula_42 হলে আমরা পাব—
এবং সবশেষে পাব—
formula_45 এর মাধ্যমে সূচিত formula_46 সমান্তর প্রগমনটির 50 পদ পর্যন্ত গুণজ হবে
formula_48 প্রগমনটির প্রথম ১০টি পদের গুণজ হবে
যেকোন সমান্তর প্রগমনের আদর্শ বিচ্যুতিকে নিচের সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা যায়:
এখানে formula_51 হল পদসংখ্যা এবং formula_52 হল সাধারণ অন্তর। এই সূত্রটি একটি "বিচ্ছিন্ন সুসম বণ্টনের" আদর্শ বিচ্যুতির প্রায় অনুরূপ।
যেকোন দুটি দ্বিগুণ অসীম সমান্তর প্রগমনের ছেদ হয় শূন্য হবে অথবা ভিন্ন আরেকটি সমান্তর প্রগমন হবে যা চৈনিক ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে বের করা যেতে পারে। যদি দ্বিগুণ অসীম সমান্তর প্রগমনের কোন গুচ্ছে প্রতি জোড়া প্রগমনের অ-শূন্য ছেদ থাকে তবে এদের সকলের মধ্যে একটি সাধারণ সংখ্যার অস্তিত্ব থাকবে যা হবে অসীম সমান্তর প্রগমন আকারের একটি হেলি গুচ্ছ। অধিকন্তু অসীম সংখ্যক "অসীম সমান্তর প্রগমনের" ছেদ একটি অসীম প্রগমন না হয়ে বরং একক সংখ্যাও হতে পারে।
কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস ছোটবেলায় যখন প্রাথমিক বিদ্যালয়ে পড়তেন তখন নাকি তিনি প্রতি জোড়া এর মান দ্বারা জোড়া সংখ্যাকে গুণনের মাধ্যমে 1 থেকে 100 পর্যন্ত পূর্ণ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি বের করার একটি পদ্ধতি পুনরাবিষ্কার করেছিলেন, তার সম্পর্কে প্রচলিত একটি অনির্ভরযোগ্য গালগপ্প সেই কথাই বলছে। এই গল্পের সত্যতা যাই হোক না কেন, এই সূত্রটি প্রথম আবিষ্কারের কৃতিত্ব গাউসের নয় এবং খ্রিস্টপূর্ব ৫ম শতকের পিথাগোরীয়দের থেকে এর উৎপত্তি হয়েছে বলে কেউ কেউ মনে করেন। পুরাকালের আর্কিমিডিস, হিপ্সিকলস এবং দিওফ্যান্টাস; চীনে ঝাং সুয়ানজিং; ভারতে আর্যভট্ট, ব্রহ্মগুপ্ত এবং দ্বিতীয় ভাস্কর; এবং মধ্যযুগীয় ইউরোপে আলকুইন, দিকুইল, ফিবোনাচ্চি, জোহানেস ডি স্যাক্রোবোস্কো এবং তালমুদের তোসাফো নামক ভাষ্য রচনাকারী অজানা তোসাফিস্টদেরও নিকট একই ধরনের সূত্র জানা ছিল।