সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য

"যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক হবে ঐ অক্ষের সমান্তরাল ও বস্তুর ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক এবং ঐ বস্তুর ভর ও দুই অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দুরত্বের বর্গের গুনফলের সমষ্টির সমান।" উক্ত বিবৃতিটি সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যকে সংজ্ঞায়িত করে। এই উপপাদ্য, যা হুইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্য হিসাবেও পরিচিত, বা শুধু স্টেইনারের উপপাদ্য, যা ক্রিশ্চিয়ান হুইজেনস এবং স্টেইনারের নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে, কোনো অক্ষের দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক বা ক্ষেত্র ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয় এবং ভরকেন্দ্রের মাধ্যমে এবং অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্বের মধ্য দিয়ে সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কে বস্তুর জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়।সংজ্ঞা অনুযায়ী, কণাটির জড়তার ভ্রামক
জড়তার ভ্রামক কণা বা কণাসমূহের তথা বস্তুর কৌণিক বেগের উপর নির্ভর করে না। এটি নির্ভর করে ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে বস্তুর ভর বন্টনের উপর। কৌণিক বেগ কম বা বেশি হলে কৌণিক ভরবেগ ও গতিশক্তি কম বা বেশি হবে কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভ্রামক অপরিবর্তিত থাকবে।
ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।
কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।
তাৎপর্যঃকোন অক্ষের সাপেক্ষে কোন বস্তুর জড়তার ভ্রামক {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}বলতে বােঝায় ঐ বস্তুর
প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}।
জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।
বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।
জড়তার ভ্রামক কণা বা কণাসমূহের তথা বস্তুর কৌণিক বেগের উপর নির্ভর করে না। এটি নির্ভর করে ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে বস্তুর ভর বন্টনের উপর। কৌণিক বেগ কম বা বেশি হলে কৌণিক ভরবেগ ও গতিশক্তি কম বা বেশি হবে কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভ্রামক অপরিবর্তিত থাকবে।
ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।
কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।
তাৎপর্যঃকোন অক্ষের সাপেক্ষে কোন বস্তুর জড়তার ভ্রামক {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}বলতে বােঝায় ঐ বস্তুর
প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}।
জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।
বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।
অর্থাৎ, {\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}একটি কণার ভর ও ঘূর্ণন অক্ষ হতে এর লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলকে উক্ত কণার জড়তার ভ্রামক বলে। বস্তুর মধ্যস্থিত সবগুলো কণার জড়তার ভ্রামকের সমষ্টিকে উক্ত বস্তুর জড়তার ভ্রামক বলে।
কোন অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোন বস্তুর ওপর যে টর্ক প্রয়োগ করলে তাতে একক কৌণিক ত্বরণের সৃষ্টি হয় তাকে ওই অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক বলে।
একটা বস্তু সরলেরেখায় চললে ভরের যে ভূমিকা , কৌণিক গতিতে চললে জড়তার ভ্রামকের একই ভূমিকা।
মনেকরি, একটি বস্তু উল্লম্ব অক্ষ এর সাপেক্ষে ঘূর্ণরত।
জড়তার ভ্রামক
ঘূর্ণন অক্ষ হতে এর দূরত্ব = {\displaystyle r_{1}}Monday, February 27, 2017
মোমেন্ট অফ ইনার্শিয়া বা জড়তার ভ্রামক কী (Moment of Inertia)
মোমেন্ট অফ ইনার্শিয়া বা জড়তার ভ্রামক কী? ইনারশিয়াল মাস বা ইনারশিয়া (জড়তা)যেমন বস্তুর গতির আবির্ভাবে বাঁধা দেয় (একই ভাবে স্থিতির আবির্ভাবেও), যেটার জন্য বল ছাড়া তার গতির পরিবর্তন হতে চায় না, বস্তুতে যেটার পরিমাণ বাড়ার জন্য একই ত্বরণ তৈরিতে বল বাড়াতে হয়, তেমনি মোমেন্ট অফ ইনারশিয়া বা রোটেশনাল ইনারশিয়াও একটি রাশি যা বস্তুর ঘুর্ণন গতির পরিবর্তনে বাঁধা দেয়। একে I দিয়ে প্রকাশ করি।
জড়তার ভ্রামক কণা বা কণাসমূহের তথা বস্তুর কৌণিক বেগের উপর নির্ভর করে না। এটি নির্ভর করে ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে বস্তুর ভর বন্টনের উপর। কৌণিক বেগ কম বা বেশি হলে কৌণিক ভরবেগ ও গতিশক্তি কম বা বেশি হবে কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভ্রামক অপরিবর্তিত থাকবে।
ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।
কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।
তাৎপর্যঃকোন অক্ষের সাপেক্ষে কোন বস্তুর জড়তার ভ্রামক {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}বলতে বােঝায় ঐ বস্তুর
প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}।
জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।
বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।
অর্থাৎ, {\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}একটি কণার ভর ও ঘূর্ণন অক্ষ হতে এর লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলকে উক্ত কণার জড়তার ভ্রামক বলে। বস্তুর মধ্যস্থিত সবগুলো কণার জড়তার ভ্রামকের সমষ্টিকে উক্ত বস্তুর জড়তার ভ্রামক বলে।
কোন অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোন বস্তুর ওপর যে টর্ক প্রয়োগ করলে তাতে একক কৌণিক ত্বরণের সৃষ্টি হয় তাকে ওই অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক বলে।
একটা বস্তু সরলেরেখায় চললে ভরের যে ভূমিকা , কৌণিক গতিতে চললে জড়তার ভ্রামকের একই ভূমিকা।
মনেকরি, একটি বস্তু উল্লম্ব অক্ষ এর সাপেক্ষে ঘূর্ণরত।
জড়তার ভ্রামক
ঘূর্ণন অক্ষ হতে এর দূরত্ব = {\displaystyle r_{1}}Monday, February 27, 2017
মোমেন্ট অফ ইনার্শিয়া বা জড়তার ভ্রামক কী (Moment of Inertia)
মোমেন্ট অফ ইনার্শিয়া বা জড়তার ভ্রামক কী? ইনারশিয়াল মাস বা ইনারশিয়া (জড়তা)যেমন বস্তুর গতির আবির্ভাবে বাঁধা দেয় (একই ভাবে স্থিতির আবির্ভাবেও), যেটার জন্য বল ছাড়া তার গতির পরিবর্তন হতে চায় না, বস্তুতে যেটার পরিমাণ বাড়ার জন্য একই ত্বরণ তৈরিতে বল বাড়াতে হয়, তেমনি মোমেন্ট অফ ইনারশিয়া বা রোটেশনাল ইনারশিয়াও একটি রাশি যা বস্তুর ঘুর্ণন গতির পরিবর্তনে বাঁধা দেয়। একে I দিয়ে প্রকাশ করি।
জড়তার ভ্রামক কণা বা কণাসমূহের তথা বস্তুর কৌণিক বেগের উপর নির্ভর করে না। এটি নির্ভর করে ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে বস্তুর ভর বন্টনের উপর। কৌণিক বেগ কম বা বেশি হলে কৌণিক ভরবেগ ও গতিশক্তি কম বা বেশি হবে কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষ সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভ্রামক অপরিবর্তিত থাকবে।
ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।
কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।
তাৎপর্যঃকোন অক্ষের সাপেক্ষে কোন বস্তুর জড়তার ভ্রামক {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}বলতে বােঝায় ঐ বস্তুর
প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}।
জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।
বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।
ধরা যাক, formula_1 ভরের একটি বস্তু তার ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে formula_2 অক্ষ বরাবর ঘুরছে। অক্ষ বরাবর বস্তুটির জড়তার ভ্রামক formula_3। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে, যদি বস্তুটিকে নতুন অক্ষ formula_4 বরাবর ঘুরানো হয়, যা প্রথম অক্ষের সাথে সমান্তরাল এবং এটি থেকে formula_5 দূরত্বে স্থানচ্যুত হয়, তবে নতুন অক্ষের সাথে জড়তার ভ্রামক formula_6, নিম্নের সমীকরণ দ্বারা formula_3 এর সাথে সম্পর্কিত,
formula_8
স্পষ্টতই, formula_5 হচ্ছে formula_2 এবং formula_4 অক্ষের মধ্যে লম্ব দূরত্ব। 
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি বিভিন্ন আকারের জড়তার ভ্রামকগুলো নির্ণয় করতে, স্ট্রেচ রুল এবং লম্ব অক্ষ উপপাদ্যের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।
ধরা যাক, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্ব formula_12-অক্ষের সাথে অবস্থিত এবং ভরকেন্দ্রের উৎস এর কেন্দ্রে অবস্থিত। formula_13-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত জড়তার ভ্রামক,
formula_14
formula_15-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত জড়তার ভ্রামক, যা ভরকেন্দ্র থেকে formula_12-অক্ষ বরাবর লম্ব দূরত্ব formula_17,
formula_18
বন্ধনী ফলন প্রসারিত করে,
formula_19
প্রথম পদটি formula_3 এবং দ্বিতীয় পদটি হল formula_21। চূড়ান্ত পদে যোগজ হল ভর কেন্দ্রের formula_12-স্থানাংকের গুণক, ভর কেন্দ্রটি উৎসে অবস্থিত হওয়ার কারণে এর মান শূন্য। সুতরাং, সমীকরণটি হবেঃ
formula_23
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যকে জড়তা টেন্সরের সাহায্যে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। ধরা যাক, formula_24 ভরকেন্দ্রে নির্ণীত করা একটি বস্তুর জড়তা টেনসর। তাহলে, জড়তা টেনসর formula_25 একটি নতুন বিন্দুর সাপেক্ষে হিসাব করলে,
formula_26
যেখানে formula_27 ভরকেন্দ্র থেকে নতুন বিন্দুতে স্থানচ্যূত ভেক্টর, এবং formula_28 হল ক্রোনেকার ডেলটা।
কৌণিক উপাদানগুলোর জন্য (যখন formula_29), স্থানচ্যুতির ঘুর্ণন অক্ষের সাথে লম্ব সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের উপরের সরলীকৃত সমীকরণ প্রকাশ করে।
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সাধারণ সংস্করণ, স্থানাঙ্ক-মুক্ত চলক আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে
formula_30
যেখানে, E হল 3 × 3 অভেদক ম্যাট্রিক্স এবং formula_31 বাহ্যিক ফলাফল।
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সাধারণীকরণ কোনো জড়তা টেনসরকে অরথোগোনাল অক্ষগুলো প্রদান করে যা উল্লেখিত সেট x, y এবং z এর সমান্তরাল এবং যা উল্লেখিত জড়তা টেনসর এর সাথে যুক্ত, তা ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাক বা না যাক।
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি একটি সমতল ক্ষেত্র D এর জন্য দ্বিতীয় ক্ষেত্র ভ্রামক(জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক) এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্যঃ
formula_32
যেখানে formula_33 সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে D এর জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক, formula_34 ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে D এর জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক, A হচ্ছে সমতল ক্ষেত্র D এর ক্ষেত্রফল। formula_35 হচ্ছে নতুন অক্ষ formula_2 থেকে সমতল ক্ষেত্রের ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দুরত্ব। D এর ভরকেন্দ্র একই আকারের সমান ঘনত্বের একটি ভৌত প্লেটের ভরকেন্দ্রের সাথে মিলিত হয়।
একটি দৃঢ় বস্তুর ভর বৈশিষ্ট্য যা একটি সমতল ক্ষেত্রে সমান্তরালে স্থানান্তরিত হতে বাধ্য হয়, উক্ত সমতলে তা সংজ্ঞায়িত করা হয় তার ভরকেন্দ্র R = (x, y) এবং এর অক্ষের চারপাশে এর জড়তা I"" এর পোলার ভ্রামকের(যা সমতলের সাথে লম্ব) মাধ্যমে। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য একটি ঐচ্ছিক বিন্দু S এর জড়তার ভ্রামক I এবং ভরকেন্দ্র R এর জড়তার ভ্রামক I এর মধ্যে একটি সুবিধাজনক সম্পর্ক স্থাপন করে।
মনে রাখা দরকার যে, ভরকেন্দ্রে,
formula_37
যেখানে, r বস্তুর আয়তন V এর উপর একীভূত। প্ল্যানার গতির মধ্যে থাকা কোনো বস্তুর জড়তার পোলার ভ্রামকটি কোনো মানবিন্দু S এর তুলনায় গণনা করা যেতে পারে,
formula_38
যেখানে S ধ্রুবক এবং r বস্তুর আয়তন V এর উপর একীভূত হয়।
জড়তা I এর ভ্রামকের শর্তে জড়তা I এর ভ্রামক পেতে হলে, ভেক্টর S থেকে d, ভরকেন্দ্র R-এ প্রবর্তন করতে হবে,
formula_39
প্রথম পদ হল জড়তা I এর ভ্রামক, দ্বিতীয় পদটি ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য এবং শেষ পদটি হল ভেক্টর d এর বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের মোট ভর। তাই,
formula_40
যা সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।
কোনো কণার একটি দৃঢ় ব্যবস্থার জড়তা ম্যাট্রিক্স, মানবিন্দুর নির্বাচনের উপর নির্ভর করে। ভরকেন্দ্র R এর সাথে এবং অন্য একটি বিন্দু S এর সাথে জড়তা ম্যাট্রিক্সের একটি কার্যকর সম্পর্ক রয়েছে। এই সম্পর্কটিকে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য বলা হয়।
একটি মানবিন্দু S এর তুলনায় পরিমাপকৃত কণার দৃঢ় ব্যবস্থার জন্য প্রাপ্ত জড়তা ম্যাট্রিক্স [I] বিবেচনা করা যাক,
formula_41
যেখানে, "P" কণার অবস্থান নির্ধারণ করে r (i = 1, ..., n)। মনে রাখা দরকার যে, ["r" − "S"] হল বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স যা ক্রস প্রোডাক্ট সম্পাদন করে,
formula_42
একটি স্বাধীন ভেক্টর y এর জন্য।
ধরা যাক, R দৃঢ় ব্যবস্থার ভর কেন্দ্র। তাহলে,
formula_43
যেখানে d হল ভেক্টর যা মানবিন্দু S থেকে ভরকেন্দ্র R-এ অবস্থিত। এই সমীকরণ দিয়ে জড়তা ম্যাট্রিক্স নির্ণয়,
formula_44
সমীকরণটি প্রসারিত করা হলে,
formula_45
প্রথম পদটি হল ভরকেন্দ্রের সাথে সম্পর্কিত জড়তা ম্যাট্রিক্স [I""]। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ ভরকেন্দ্র R এর সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য,
formula_46
এবং শেষ পদটি হল ব্যবস্থার মোট ভর যা d থেকে তৈরি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স [d] এর বর্গের গুনফল।
যার ফলাফল হচ্ছে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য,
formula_47
যেখানে d হল মানবিন্দু S থেকে ভরকেন্দ্র R পর্যন্ত ভেক্টর।
বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং টেনসর সূত্র ব্যবহার করে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সূত্রের তুলনা করার জন্য, নিম্নলিখিত অভেদকগুলো কার্যকর।
ধরা যাক, [R] হল অবস্থান ভেক্টর R = ("x", "y", "z") এর সাথে যুক্ত বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স, তাহলে জড়তা ম্যাট্রিক্সের ফলাফল হবে,
formula_48
এই ফলাফলটি বাহ্যিক ফলাফল [R R] দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে,
formula_49
যেখানে, ["E"] হল 3 × 3 অভেদক ম্যাট্রিক্স।
এছাড়াও,
formula_50
যেখানে tr বাহ্যিক ফলাফল ম্যাট্রিক্সের কৌণিক উপাদানগুলোর যোগফলকে নির্দেশ করে, এটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হিসাবেও পরিচিত।