হ্যামিলটোনিয়ান (কোয়ান্টাম বলবিদ্যা)

কোয়ান্টাম মেকানিক্স-এ, একটি সিস্টেমের 'হ্যামিলটোনিয়ান হল একটি অপারেটর যা সেই সিস্টেমের মোট শক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যার মধ্যে গতিশক্তি এবং বিভব শক্তি উভয়ই রয়েছে। সম্ভাব্য শক্তি। এটির স্পেকট্রাম, সিস্টেমের "শক্তি বর্ণালী" বা এর "শক্তি ইজেনভ্যালুস" এর সেট, সিস্টেমের মোট শক্তির পরিমাপ থেকে প্রাপ্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। একটি সিস্টেমের শক্তি বর্ণালী এবং টাইম-বিবর্তন এর সাথে ঘনিষ্ঠ সম্পর্কের কারণে, বেশিরভাগ কোয়ান্টাম তত্ত্বের সূত্র এর মৌলিক গুরুত্ব রয়েছে।
হ্যামিলটোনিয়ানের নামকরণ করা হয়েছে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন, যিনি নিউটনের গতিসূত্রসমূহ এর একটি বিপ্লবী সংস্কার তৈরি করেছিলেন, যা হ্যামিলটোনিয়ান মেকানিক্স নামে পরিচিত, যা কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যার বিকাশের জন্য ঐতিহাসিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ ছিল। ভেক্টর স্বরলিপি এর মতো, এটি সাধারণত formula_1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে হ্যাট নির্দেশ করে যে এটি একটি অপারেটর। এটি formula_2 বা formula_3 হিসাবেও লেখা যেতে পারে।
একটি সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ান সিস্টেমের মোট শক্তি প্রতিনিধিত্ব করে; অর্থাৎ, সিস্টেমের সাথে যুক্ত সমস্ত কণার গতি এবং সম্ভাব্য শক্তির সমষ্টি। হ্যামিলটোনিয়ান বিভিন্ন রূপ ধারণ করে এবং কিছু ক্ষেত্রে বিশ্লেষণের অধীনে সিস্টেমের কংক্রিট বৈশিষ্ট্যগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে সরলীকৃত করা যেতে পারে, যেমন সিস্টেমের একক বা একাধিক কণা, কণার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া, সম্ভাব্য শক্তির প্রকার, সময় পরিবর্তিত সম্ভাবনা বা সময় স্বাধীন। এক
ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স এর সাথে সাদৃশ্য অনুসারে, হ্যামিলটোনিয়ানকে সাধারণত অপারেটর এর যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা হয় কাইনেটিক এবং সম্ভাব্য আকারে একটি সিস্টেমের শক্তি
formula_4
যেখানে
formula_5
হল সম্ভাব্য শক্তি অপারেটর এবং
formula_6
হল গতিশক্তি অপারেটর যেখানে formula_7 হল কণার ভর, বিন্দুটি ভেক্টরের ডট পণ্য নির্দেশ করে এবং
formula_8
হল মোমেন্টাম অপারেটর যেখানে একটি formula_9 হল del অপারেটর। formula_9-এর ডট প্রোডাক্ট নিজেই হল ল্যাপ্লাসিয়ান formula_11। তিনটি মাত্রায় কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে ল্যাপ্লেস অপারেটর
formula_12
যদিও এটি হ্যামিলটোনিয়ান ইন ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স এর প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা নয়, এটি সাধারণত যে রূপটি গ্রহণ করে। এইগুলিকে একত্রিত করলে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ-এ ব্যবহৃত ফর্মটি পাওয়া যায়:
formula_13
যা একজনকে ওয়েভ ফাংশন formula_14 দ্বারা বর্ণিত সিস্টেমগুলিতে হ্যামিলটোনিয়ান প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়। শ্রোডিঞ্জারের তরঙ্গ মেকানিক্সের আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রাথমিক চিকিত্সার ক্ষেত্রে এটি সাধারণত নেওয়া হয়।
কেউ নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ফিট করার জন্য নির্দিষ্ট ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপনও করতে পারে, যেমন কিছু ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ফিল্ড জড়িত।
এটি দেখানো যেতে পারে যে হ্যামিলটোনিয়ানের প্রত্যাশা মান যা শক্তি প্রত্যাশার মান দেয় তা সর্বদা সিস্টেমের ন্যূনতম সম্ভাবনার চেয়ে বেশি বা সমান হবে।
গতিশক্তির প্রত্যাশা মান গণনা বিবেচনা করুন:
formula_15
তাই গতিশক্তির প্রত্যাশা মান সর্বদা অ-নেতিবাচক। এই ফলাফলটি মোট শক্তির প্রত্যাশা মান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা একটি স্বাভাবিক তরঙ্গ ফাংশনের জন্য দেওয়া হয়:
formula_16
যার মাধ্যমে প্রমাণ সম্পন্ন হয়। অনুরূপভাবে, এই শর্তটি ডাইভারজেন্স থিওরেম ব্যবহার করে যে কোনো উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।
আনুষ্ঠানিকতাকে formula_17 কণাতে প্রসারিত করা যেতে পারে:
formula_18
যেখানে
formula_19
সম্ভাব্য শক্তি ফাংশন, এখন সিস্টেম এবং সময়ের স্থানিক কনফিগারেশনের একটি ফাংশন (সময়ের কিছু মুহূর্তে স্থানিক অবস্থানের একটি নির্দিষ্ট সেট একটি কনফিগারেশনকে সংজ্ঞায়িত করে) এবং
formula_20
formula_21 কণার গতিশক্তি অপারেটর, formula_22 হল কণার formula_21, এবং formula_24 এর গ্রেডিয়েন্ট > হল ল্যাপ্লাসিয়ান কণা :
formula_25
এইগুলিকে একত্রিত করলে formula_17-কণা ক্ষেত্রের জন্য শ্রোডিঙ্গার হ্যামিল্টোনিয়ান পাওয়া যায়:
formula_27
যাইহোক, জটিলতা দেখা দিতে পারে অনেক-শরীরের সমস্যা। যেহেতু সম্ভাব্য শক্তি কণার স্থানিক বিন্যাসের উপর নির্ভর করে, তাই গতিশক্তিও শক্তি সংরক্ষণের জন্য স্থানিক কনফিগারেশনের উপর নির্ভর করবে। যে কোনো একটি কণার কারণে গতি সিস্টেমের অন্য সব কণার গতির কারণে পরিবর্তিত হবে। এই কারণে হ্যামিলটোনিয়ানে গতিশক্তির ক্রস টার্মগুলি উপস্থিত হতে পারে; দুটি কণার জন্য গ্রেডিয়েন্টের মিশ্রণ:
formula_28
যেখানে formula_29 এই অতিরিক্ত গতিশক্তির ফলে কণার সংগ্রহের ভরকে বোঝায়। এই ফর্মের শর্তগুলি "ভর মেরুকরণ পদ" নামে পরিচিত এবং বহু-ইলেক্ট্রন পরমাণুর হ্যামিলটোনিয়ানে প্রদর্শিত হয় (নীচে দেখুন)।
formula_17 মিথস্ক্রিয়াকারী কণাগুলির জন্য, অর্থাৎ যে কণাগুলি পারস্পরিকভাবে যোগাযোগ করে এবং একটি বহু-দেহের পরিস্থিতি গঠন করে, সম্ভাব্য শক্তি ফাংশন formula_31 শুধুমাত্র পৃথক সম্ভাবনার সমষ্টি "নয়" (এবং অবশ্যই একটি পণ্য নয়, কারণ এটি মাত্রিকভাবে ভুল)। সম্ভাব্য শক্তি ফাংশন শুধুমাত্র উপরের হিসাবে লেখা যেতে পারে: প্রতিটি কণার সমস্ত স্থানিক অবস্থানের একটি ফাংশন।
অ-ইন্টার্যাক্টিং কণার জন্য, অর্থাৎ যে কণাগুলি পারস্পরিক যোগাযোগ করে না এবং স্বাধীনভাবে চলে না, সিস্টেমের সম্ভাব্যতা হল প্রতিটি কণার জন্য পৃথক সম্ভাব্য শক্তির সমষ্টি, অর্থাৎ
formula_32
এই ক্ষেত্রে হ্যামিল্টোনিয়ানের সাধারণ রূপ হল:
formula_33
যেখানে যোগফল সমস্ত কণা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনার উপর নেওয়া হয়; ফলাফল হল যে সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ান হল প্রতিটি কণার জন্য পৃথক হ্যামিলটোনিয়ানদের সমষ্টি। এটি একটি আদর্শিক পরিস্থিতি - বাস্তবে কণাগুলি প্রায় সবসময়ই কিছু সম্ভাবনা দ্বারা প্রভাবিত হয় এবং অনেক-শরীরের মিথস্ক্রিয়া রয়েছে। দুই-দেহের মিথস্ক্রিয়াটির একটি উদাহরণমূলক উদাহরণ যেখানে এই ফর্মটি প্রযোজ্য হবে না চার্জযুক্ত কণার কারণে ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক সম্ভাবনার জন্য, কারণ তারা কুলম্ব মিথস্ক্রিয়া (ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক বল) দ্বারা একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে, যেমনটি নীচে দেখানো হয়েছে।
হ্যামিলটোনিয়ান কোয়ান্টাম অবস্থার সময় বিবর্তন তৈরি করে। যদি formula_34 হল সিস্টেমের অবস্থা formula_35, তারপর
formula_36
এই সমীকরণটি হল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ। এটি হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণ এর মতোই রূপ নেয়, যেটির একটি কারণ formula_2 কে হ্যামিল্টনিয়ানও বলা হয়। কিছু প্রারম্ভিক সময়ে (formula_38) অবস্থা দেওয়া হলে, আমরা পরবর্তী যেকোনো সময়ে অবস্থা পেতে এটি সমাধান করতে পারি। বিশেষ করে, যদি formula_2 সময় থেকে স্বাধীন হয়, তাহলে
formula_40শ্রেডিঙ্গার সমীকরণের ডান পাশে এক্সপোনেনশিয়াল অপারেটর সাধারণত H তে সম্পর্কিত শক্তি সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। কেউ লক্ষ্য করতে পারেন যে, এমন পলিনোমিয়াল বা শক্তি সিরিজ নেওয়া যা সীমাহীন অপারেটর সমূহের জন্য প্রযোজ্য নয়, যেগুলি সব জায়গায় সংজ্ঞায়িত নয়, তা গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে যুক্তিসংগত নাও হতে পারে। কঠোরভাবে, সীমাহীন অপারেটরের ফাংশন নিতে, একটি ফাংশনাল ক্যালকুলাস প্রয়োজন। এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের ক্ষেত্রে, অবিচ্ছিন্ন, অথবা শুধু হোলোমর্ফিক ফাংশনাল ক্যালকুলাস যথেষ্ট। তবে, আমরা আবার উল্লেখ করছি যে, সাধারণ গণনায় পদার্থবিদদের সূত্রটি যথেষ্ট।
কার্যকরী ক্যালকুলাসের *-হোমোমরফিজম বৈশিষ্ট্য দ্বারা, অপারেটর
formula_41
একটি ইউনিটারী অপারেটর। এটি একটি বন্ধ কোয়ান্টাম সিস্টেমের "সময় বিবর্তন অপারেটর" বা "প্রচারকারী" । হ্যামিলটোনিয়ান যদি সময়-স্বাধীন হয়, formula_42 একটি এক প্যারামিটার ইউনিটারি গ্রুপ (একটি সেমিগ্রুপ); এটি বিশদ ভারসাম্য এর শারীরিক নীতির জন্ম দেয়।
তবে, বেশি সাধারণ রূপে ডিরাক এর ফরমালিজমে, হ্যামিলটনিয়ান সাধারণত একটি অপারেটর হিসেবে হিলবার্ট স্থান-এ নিম্নরূপে বাস্তবায়িত হয়:
H এর ইগেনকেটস, যা formula_43 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অর্থোনরমাল বেসিস প্রদান করে হিলবার্ট স্পেসের জন্য। সিস্টেমের অনুমোদিত শক্তির স্তরের স্পেকট্রাম হলো eigenvalues-এর সেট, যাformula_44, দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং সমীকরণটি সমাধান করে:
formula_45
যেহেতু H একটি হার্মিটিয়ান অপারেটর, শক্তি সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা হয়।
গণিতগতভাবে সঠিক দৃষ্টিকোণ থেকে, উপরোক্ত অনুমানগুলি নিয়ে সতর্কতা অবলম্বন করা প্রয়োজন। অপরিসীম মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে অপারেটরগুলির নিজস্ব মান নাও থাকতে পারে ( নিজস্ব মান-এর সেটটি একটি অপারেটরের স্পেকট্রাম এর সাথে মিল নাও খেতে পারে)। তবে, সব রুটিন কোয়ান্টাম যান্ত্রিক হিসাবগুলি পদার্থবিজ্ঞানীদের রূপক ব্যবহার করে করা যেতে পারে।
নিম্নে বেশ কয়েকটি পরিস্থিতিতে হ্যামিল্টোনিয়ানের অভিব্যক্তি রয়েছে। অভিব্যক্তিগুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করার সাধারণ উপায় হল কণার সংখ্যা, মাত্রার সংখ্যা এবং সম্ভাব্য শক্তি ফাংশনের প্রকৃতি - গুরুত্বপূর্ণভাবে স্থান এবং সময় নির্ভরতা। ভরগুলিকে formula_7 দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং formula_47 দ্বারা চার্জ করা হয়।
কণাটি কোনো সম্ভাব্য শক্তি দ্বারা আবদ্ধ নয়, তাই সম্ভাব্য শূন্য এবং এই হ্যামিলটোনিয়ান সবচেয়ে সহজ। এক মাত্রার জন্য:
formula_48
এবং উচ্চ মাত্রায়:
formula_49
ধ্রুব সম্ভাবনার একটি অঞ্চলে একটি কণার জন্য formula_50 (স্থান বা সময়ের উপর কোন নির্ভরতা নেই), একটি মাত্রায়, হ্যামিলটোনিয়ান হল:
formula_51
তিন মাত্রায়
formula_52
এটি প্রাথমিক "একটি বাক্সে কণা" সমস্যা এবং পদক্ষেপ সম্ভাব্যগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
একটি মাত্রায় একটি সরল হারমোনিক অসিলেটর জন্য, সম্ভাব্য অবস্থানের সাথে পরিবর্তিত হয় (কিন্তু সময় নয়), অনুযায়ী:
formula_53
যেখানে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি formula_54, কার্যকর বসন্ত ধ্রুবক formula_55, এবং অসিলেটরের ভর formula_7 সন্তুষ্ট করে:
formula_57
তাই হ্যামিলটোনিয়ান হল:
formula_58
তিন মাত্রার জন্য, এটি হয়ে যায়
formula_59
যেখানে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক অবস্থান ভেক্টর formula_60 হল formula_61, এর মাত্রা হল
formula_62
হ্যামিলটোনিয়ানকে সম্পূর্ণরূপে লিখলে দেখায় যে এটি প্রতিটি দিকের এক-মাত্রিক হ্যামিলটোনিয়ানদের সমষ্টি:
formula_63
একটি অনমনীয় রটার-এর জন্য—অর্থাৎ, কোনো অক্ষের চারপাশে অবাধে ঘুরতে পারে এমন কণার ব্যবস্থা, কোনো সম্ভাবনায় আবদ্ধ নয় (যেমন নগণ্য কম্পনের সাথে মুক্ত অণু স্বাধীনতার ডিগ্রি , বলুন কারণে ডাবল বা ট্রিপল রাসায়নিক বন্ধন, হ্যামিলটোনিয়ান হল:
formula_64
যেখানে formula_65, formula_66, এবং formula_67 হল জড়তার মুহূর্ত উপাদান (প্রযুক্তিগতভাবে জড়তা টেনসরের মুহূর্ত) এর তির্যক উপাদান, এবং এবং formula_68 মোট কৌণিক ভরবেগ অপারেটর (উপাদান), যথাক্রমে formula_69, formula_70, এবং formula_71 অক্ষ সম্পর্কে।
কুলম্ব সম্ভাব্য শক্তি দুটি বিন্দু চার্জ formula_72 এবং formula_73 (অর্থাৎ, যেগুলির স্বতন্ত্রভাবে কোন স্থানিক ব্যাপ্তি নেই), তিনটি মাত্রায়, হল (SI একক—গাউসিয়ান ইউনিট এর পরিবর্তে যা প্রায়শই ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিজম এ ব্যবহৃত হয়):
formula_74
যাইহোক, এটি শুধুমাত্র একটি পয়েন্ট চার্জ অন্য কারণে সম্ভাব্য। যদি অনেকগুলি চার্জযুক্ত কণা থাকে, তবে প্রতিটি চার্জের প্রতিটি বিন্দু চার্জের কারণে একটি সম্ভাব্য শক্তি থাকে (নিজেকে ছাড়া)। formula_17 চার্জের জন্য, অন্যান্য সমস্ত চার্জের কারণে চার্জের সম্ভাব্য শক্তি formula_76 হল (এছাড়াও দেখুন বিচ্ছিন্ন বিন্দু চার্জের কনফিগারেশনে ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক সম্ভাব্য শক্তি সঞ্চিত):
formula_77
যেখানে formula_78 হল formula_79-এ চার্জের ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক সম্ভাব্য formula_76। সিস্টেমের মোট সম্ভাব্যতা হল formula_81 এর সমষ্টি:
formula_82
তাই হ্যামিলটোনিয়ান হল:
formula_83
একটি ইলেকট্রিক ডাইপোল মোমেন্ট formula_84, যার চার্জের পরিমাণ formula_47, একটি অভ্যন্তরীণ ইলেকট্রোস্ট্যাটিক ক্ষেত্র (সময়-স্বাধীন) formula_86 এ অবস্থান করা হলে, পটেনশিয়াল হবে:
formula_87
ডাইপোল মোমেন্ট নিজেই হলো অপারেটর
formula_88
যেহেতু কণা স্থির, ডাইপোলের কোন অনুবাহন কাইনেটিক শক্তি নেই, তাই ডাইপোলের হ্যামিলটনিয়ান শুধু পটেনশিয়াল শক্তি হবে:
formula_89
চৌম্বক ডাইপোল মোমেন্টের জন্য formula_90 একটি অভিন্ন, চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের (সময়-স্বাধীন) formula_91, এক জায়গায় অবস্থান করে, সম্ভাব্য হল :
formula_92
যেহেতু কণাটি স্থির, তাই ডাইপোলের কোন অনুবাদমূলক গতিশক্তি নেই, তাই ডাইপোলের হ্যামিলটোনিয়ান কেবল সম্ভাব্য শক্তি:
formula_93
একটি স্পিন- কণার জন্য, সংশ্লিষ্ট স্পিন চৌম্বকীয় মোমেন্ট হল:
formula_94
যেখানে formula_95 হল "স্পিন g-ফ্যাক্টর" (যাকে জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত এর সাথে বিভ্রান্ত করা যাবে না), formula_96 হল ইলেকট্রনের চার্জ, formula_97 হল স্পিন অপারেটর ভেক্টর, যার উপাদানগুলি পাউলি ম্যাট্রিস, ফলে
formula_98
একটি ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ফিল্ডে ভর formula_7 এবং চার্জ formula_47 এর জন্য, স্ক্যালার পটেনশিয়াল formula_101 এবং ভেক্টর দ্বারা বর্ণিত সম্ভাব্য formula_102, হ্যামিলটোনিয়ানের প্রতিস্থাপনের জন্য দুটি অংশ রয়েছে। ক্যানোনিকাল ভরবেগ অপারেটর formula_103, যা formula_102 ফিল্ড থেকে একটি অবদান অন্তর্ভুক্ত করে এবং প্রামানিক কম্যুটেশন রিলেশন পূরণ করে, হতে হবে quantized;
formula_105
যেখানে formula_106 হল কাইনেটিক ভরবেগ। কোয়ান্টাইজেশন প্রেসক্রিপশন পড়ে
formula_107
তাই সংশ্লিষ্ট গতিশক্তি অপারেটর হয়
formula_108
এবং সম্ভাব্য শক্তি, যা formula_101 ক্ষেত্রের কারণে হয়, দ্বারা দেওয়া হয়
formula_110
হ্যামিলটোনিয়ানে এই সব কাস্টিং দেয়
formula_111
অনেক সিস্টেমে, দুটি বা তার বেশি এনার্জি আইজেনস্টেটের একই এনার্জি থাকে। এর একটি সহজ উদাহরণ হলো একটি মুক্ত কণা, যার এনার্জি আইজেনস্টেটগুলির ওয়েভফাংশনগুলি প্রপাগেটিং প্লেন ওয়েভ। প্রতিটি প্লেন ওয়েভের এনার্জি তার ওয়েভলেন্থ এর বর্গের বিপরীত সাপেক্ষে। একটি ওয়েভ যা formula_69 দিকের মধ্যে প্রপাগেট করছে, এটি formula_70 দিকের মধ্যে প্রপাগেট করা অন্য একটি অবস্থার থেকে আলাদা, কিন্তু যদি তাদের একই ওয়েভলেন্থ থাকে, তবে তাদের এনার্জি একই হবে। যখন এটি ঘটে, তখন বলা হয় যে অবস্থাগুলি "ডিজেনারেট"।
এটি দেখা গেছে যে ডিজেনারেসি তখনই ঘটে যখন একটি অ-ট্রিভিয়াল ইউনিটারি অপারেটর formula_114 কমিউট করে হ্যামিলটনিয়ানের সাথে। এটি দেখার জন্য, ধরুন যে formula_115 একটি এনার্জি আইজেনকেট। তখন formula_116 একটি এনার্জি আইজেনকেট হবে যার একই আইজেনভ্যালু, কারণ
formula_117
যেহেতু formula_114 অ-ট্রিভিয়াল, কমপক্ষে একটি formula_115 এবং formula_116 এর জোড়া আলাদা অবস্থাগুলি উপস্থাপন করতে হবে। সুতরাং, formula_2 এর কমপক্ষে একটি ডিগেনারেট এনার্জি আইজেনকেট জোড়া আছে। মুক্ত কণার ক্ষেত্রে, ইউনিটারি অপারেটর যা সিমেট্রি তৈরি করে তা হলো রোটেশন অপারেটর, যা কিছু কোণ দ্বারা ওয়েভফাংশনগুলিকে রোটেট করে, অন্যথায় তাদের আকার সংরক্ষণ করে।
একটি সিমেট্রি অপারেটরের অস্তিত্ব সংরক্ষিত অবজার্ভেবল এর অস্তিত্ব নির্দেশ করে। ধরুন formula_122 হলো formula_114 এর হারমিটিয়ান জেনারেটর:
formula_124
এটি দেখানো সহজ যে যদি formula_114 formula_2 এর সাথে কমিউট করে, তবে formula_122 ও এর সাথে কমিউট করবে:
formula_128
সুতরাং,
formula_129
এই ফলাফলটি পাওয়ার সময়, আমরা শ্রডিঙ্গার সমীকরণ ব্যবহার করেছি, যেমন এর ডুয়াল,
formula_130
অতএব, অবজার্ভেবল formula_122 এর প্রত্যাশিত মান সিস্টেমের যেকোনো অবস্থায় সংরক্ষিত থাকে। মুক্ত কণার ক্ষেত্রে, সংরক্ষিত পরিমাণ হলো কোণাকৃতি গতি.
হ্যামিলটন ক্লাসিক্যাল হ্যামিল্টনিয়ান মেকানিক্স এর সমীকরণ কোয়ান্টাম মেকানিক্সে সরাসরি সাদৃশ্য রয়েছে। ধরুন আমাদের বেসিস স্টেটের একটি সেট আছে formula_132, যা অগত্যা শক্তির ইজেনস্টেট হতে হবে না। সরলতার জন্য, আমরা ধরে নিই যে তারা বিচ্ছিন্ন, এবং তারা অর্থনর্মাল, অর্থাৎ,
formula_133
নোট করুন যে এই ভিত্তি রাজ্যগুলি সময়ের থেকে স্বাধীন বলে ধরে নেওয়া হয়। আমরা ধরে নেব যে হ্যামিল্টোনিয়ানও সময়ের থেকে স্বাধীন।
সময়ে সিস্টেমের তাৎক্ষণিক অবস্থা formula_35, formula_135, এই ভিত্তি অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে প্রসারিত করা যেতে পারে:
formula_136
যেখানে
formula_137
সহগগুলি formula_138 হল জটিল চলক। এগুলোকে স্থানাঙ্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যা সিস্টেমের অবস্থা নির্ধারণ করে, ঠিক যেমন অবস্থান এবং ভরবেগ স্থানাঙ্ক একটি ক্লাসিক্যাল সিস্টেম নির্ধারণ করে। ক্লাসিক্যাল স্থানাঙ্কের মতো, এগুলো সাধারণত সময়ের সাথে ধ্রুবক থাকে না, এবং এদের সময়-নির্ভরতা পুরো সিস্টেমের সময়-নির্ভরতা সৃষ্টি করে।
এই রাজ্যের হ্যামিল্টোনিয়ানের প্রত্যাশা মান, যা গড় শক্তিও
formula_139
যেখানে শেষ পদটি formula_135 কে বেসিস স্টেটগুলির মাধ্যমে বিস্তার করে পাওয়া গিয়েছিল।
প্রতিটি formula_138 আসলে "দুইটি" স্বাধীন ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে সম্পর্কিত, কারণ চলকটির একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কল্পনা অংশ রয়েছে। আমরা এখন নিম্নলিখিত কৌশলটি প্রয়োগ করি: বাস্তব এবং কল্পনা অংশগুলি স্বাধীন চলক হিসেবে ব্যবহারের পরিবর্তে, আমরা formula_138 এবং তার কমপ্লেক্স কনজুগেট formula_143 ব্যবহার করি। এই স্বাধীন চলকের নির্বাচন দিয়ে, আমরা আংশিক ডেরিভেটিভ হিসাব করতে পারি
formula_144
শ্রডিঙ্গারের সমীকরণ প্রয়োগ করে এবং বেসিস স্টেটগুলির অরথোনরমালিটি ব্যবহার করে, এটি আরও সংকুচিত হয়
formula_145
একইভাবে, কেউ এটি প্রমাণ করতে পারে যে
formula_146
যদি আমরা "কনজুগেট মোমেন্টাম" চলকগুলি formula_147 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করি
formula_148
তাহলে উপরের সমীকরণগুলি হয়ে যায়
formula_149
যা সঠিকভাবে হ্যামিলটনের সমীকরণের রূপ, যেখানে formula_150 গুলি সাধারণকৃত কোঅর্ডিনেট, formula_147 গুলি কনজুগেট মোমেন্টা, এবং formula_152 ক্লাসিক্যাল হ্যামিলটনিয়ানের স্থানে আছে।