বক্ররেখা

সরল ভাষায় সরল নয় এমন রেখাকে অঙ্কে বক্ররেখা বলা হয়। ইউক্লিড তার দ্য এলিমেন্টস গ্রন্থে আজ থেকে প্রায় ২০০০ বছর আগে লিখেন "The [curved] line[a] is […] the first species of quantity, which has only one dimension, namely length, without any width nor depth, and is nothing else than the flow or run of the point which […] will leave from its imaginary moving some vestige in length, exempt of any width."" 
অর্থাৎ কোনো চলমান বিন্দু দ্বারা অঙ্কিত পথই হল বক্ররেখা।
বর্তমানে উচ্চতর গনিতে বক্ররেখা বলতে বাস্তব সংখ্যার ইনটারভালকে কোনো টপলজিকাল স্পেস-এ চিত্রিত করে এমন কোনো সন্তত অপেক্ষকের প্রতিবিম্বকে বোঝায়। 
মানব সভ্যতার বহু প্রাচীনকাল থেকেই বিভিন্ন শিল্পকর্মে বক্ররেখার অস্তিত্ব পাওয়া যায়, গণিতের জন্মেরও আগের বিভিন্ন কারিগরিতে এর অস্তিত্ব পরিলিক্ষিত হয়।
পুর্বে রেখা বলতে মূলত বক্ররেখাকেই বোঝানো হত। তাই সরলরেখা শব্দটির উৎপত্তি হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিড তার দ্য এলিমেন্টস (book 1) এ রেখা বলতে বলেন "প্রস্থবিহীন দৈর্ঘ্য", সরলরেখা বলতে বুঝান "একটি রেখা যার উপর সকল বিন্দু সমভাবে বন্টিত"। তিনি আরও বলেন "সরলরেখার দুই প্রান্ত বিন্দু"। পরবর্তীকালে প্রাচীন পণ্ডিতরা রেখাকে আরও কতগুলি ভাগে বিভক্ত করেন। যথা 
গ্রিক জ্যামিতিবিদরা বিভিন্ন ধরনের বক্ররেখা নিয়ে গবেষণা শুরু করেন।
যদি formula_1 হয় যেখানে formula_2 হল বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি অন্তরাল, formula_3 হল টপগণিতীয় স্পেস এবং formula_4 হল সন্তত অপেক্ষক তবে formula_5 এর প্রতিবিম্বকে বক্র নামে ডাকা হয়। যদিও অনেক সময়ই formula_5 কেই বক্ররেখা বলা হয়।
বক্ররেখার এই সংজ্ঞার ক্ষেত্র বিপুল পরিমানে বিস্তৃত, কারণ এই সংজ্ঞা অনুযায়ী অনেক অবজেক্ট বক্রের সংজ্ঞাভুক্ত হয় যারা সাধারণ বক্ররেখার ধারণার উর্ধ্বে। যেমন পিয়ানো বক্র বা ফ্রাক্টাল বক্র।
formula_5কে একটি বদ্ধ বক্র বলা হবে যদি formula_8 এবং formula_9 হয়। যে সকল বক্ররেখা বদ্ধ নয় তাদের মুক্ত বক্র বলা হয়।
যদি কোনো বক্রের ক্ষেত্র formula_10 হয় তবে তাকে পথ বা টপগণিতীয় চাপ বলা হয়।
একটি বক্ররেখাকে সাধারণ বলা হয় যদি এটি একটি বৃত্তের বা ইনটারভালের উপর সন্তত অন্তঃচিত্রণ হয়। সহজ ভাবে বলতে গেলে যদি বক্রটি নিজেকে নিজেই ছেদ না করে (কেবল ইনটারভালের প্রান্তবিন্দু ছাড়া) তবে তাকে সাধারণ বক্ররেখা বলা হয়। 
যদি formula_11 ইউক্লিডিয় তল হয় হয় তবে তাকে তলীয় বক্র বলা হয়, যেমন অভিক্ষেপ তল। যদি formula_11 ত্রিমাত্রিক হয় তবে বক্রটিকে স্পেস বক্র বলা হয়। যদি কোনো বক্র কোনো নির্দিষ্ট তলে অবস্থান না করে তবে তাকে স্কিউ বক্র বলে।
একটি বক্র যদি তলীয় ও বদ্ধ হয় তবে তাকে জর্ডন বক্র বলা হয়। জর্ডন বক্র বলতে স্ব-চ্ছেদী নয় এমন সন্তত বদ্ধ বক্রকে বোঝায়।
জর্ডন বক্র উপপাদ্য অনুযায়ী এই ধরণের বক্ররেখা কোনো তলকে দুটি অঞ্চল এ ভাগ করে। জর্ডন বক্রের অন্ততস্থ অঞ্চলটিকে জর্ডন অঞ্চল বলা হয়।
টপগণিতীয় বক্রের সংজ্ঞা এমন কিছু আকৃতিকে বক্রের আওতায় আনে যাদের কে সাধারণত বক্র বলে ধরা হয় না। এর সর্বৎকৃষ্ট উদাহরণ হল ফ্রাক্টাল বক্র। এই ধরণের বক্রের হসডর্ফ মাত্রা ১ এর অধিক হয়ে থাকে। কশ স্নোফ্লেক বা ড্রাগন বক্র এর কতগুলি উদাহরণ।
যদি formula_13 একটি অন্তরকলযোগ্য অন্তঃচিত্রণ হয় , যেখানে formula_14 বাস্তব সংখ্যার একটি অন্তরাল এবং formula_11 একটি অন্তকলযোগ্য ম্যানিফোল্ড (বেশিরভাগ ক্ষেত্রে formula_16) তবে formula_5এর প্রতিবিম্বকে অন্তরকলযোগ্য বক্র বলা হবে।
অন্যভাবে বলতে গেলে, একটি অন্তকলযোগ্য বক্র হল 
এমন formula_18 যার প্রতিটি সন্নিহিত অঞ্চল formula_19 এর জন্য formula_20 একটি ডিফিওমর্ফিসম। এক কথায় একমাত্রিক অন্তরকলযোগ্য ম্যানিফল্ডকে অন্তরকলযোগ্য বক্র বলা হয়। 
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে অন্তরকলযোগ্য বক্রের সংযুক্ত উপসেটকে অন্তরকলযোগ্য চাপ বলে।
কোনো সরলরেখার চাপকে সরলরেখাংশ বলে।
বৃত্তের চাপকে বৃত্তচাপ বলা হয়। একই ভাবে গোলকের মহাবৃত্তের চাপকে মহাচাপ বলে।
যদি formula_21 একটি formula_22 মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেস এবং formula_23 একটি সন্তত অন্তঃচিত্রণ হয় তবে formula_5 এর দৈর্ঘ্য হবে
formula_25
যদি formula_26 অন্তরালে সংজ্ঞায়িত কোনো সন্তত অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক formula_27 এর গ্রাফের দৈর্ঘ্য s হয় তবে 
formula_28
কোনো বক্র অতিক্ষুদ্র অসংখ্য সরলরেখার সমষ্টি হিসেবে বিচার করে তাতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে এই ফল পাওয়া যাবে।
আরও সূক্ষ বিচারে যদি formula_29, formula_30 মেট্রিক যুক্ত একটি মেট্রিক স্পেস হয় তবে formula_31 এর দৈর্ঘ্য হবে
formula_32
কোনো বক্রের দৈর্ঘ্য সসীম হলে তাকে রেক্টিফাইয়েবল বক্র বলা হয়। কোনো বক্র formula_33 কে "স্বাভাবিক" বলা হবে যদি formula_34 এবং formula_35 হলে formula_36
যদি formula_33 একটি লিপশিজ সন্তত অপেক্ষক হয় তবে এর প্রতিবিম্ব অর্থাৎ বক্ররেখাটি অবশ্যই রেক্টিফাইয়েবল হবে এবং এক্ষেত্রে কোনো বিন্দু formula_38 গতিবেগ (মেট্রিক অন্তরকলজ) হবে,
formula_39
এর থেকে প্রমাণ করা যায়,
formula_40