মধ্যমা

জ্যামিতির ভাষায় কোন ত্রিভুজের মধ্যমা হলো সেই রেখাংশ যা ত্রিভুজটির একটি শীর্ষবিন্দুকে শীর্ষবিন্দুটির বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সাথে যুক্ত করে তথা সেই বাহুটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সোজা কথায়, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশই মধ্যমা। প্রতিটি ত্রিভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে এক একটি করে মোট ঠিক তিনটি মধ্যমা থাকে। এই মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়, যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে যা কেবল ত্রিভুজটির ভিতরেই অবস্থান করে, এমনকি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের উপরেও এর অবস্থান অসম্ভব। সে যাই হোক, সমদ্বিবাহু এবং সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে এর যে কোণের সন্নিহিত বাহুদুটির দৈর্ঘ্য সমান সেই কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যমাটি সেই কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। একারণে মধ্যমা দ্বারা তিনটি কোণই সমদ্বিখণ্ডিত হয়; পক্ষান্তরে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে কেবল একটি কোণ মধ্যমা দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
মধ্যমার ধারণাটিকে চতুষ্তলকে সম্প্রসারিত করা যায়।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ("centroid") হলো ত্রিভুজটির মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু। অর্থাৎ ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমা ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে। এখন অসীমভাবে পাতলা সুষম ঘনত্বের ত্রিভুজাকৃতির একটি পাতের যে বিন্দুতে এর সমস্ত ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে বিবেচনা করা যায় সেই বিন্দুটি অর্থাৎ ত্রিভুজাকৃতি পাতটির যে বিন্দুতে বল প্রয়োগ করলে পাতটি কেবল বলের দিকে গতিশীল হবে বা হতে চাইবে সেই বিন্দুটি যাকে বলা হয় বস্তুর ভরকেন্দ্র ("center of mass") সেটি ত্রিভুজটির মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু এই ভরকেন্দ্রেই অবস্থান করে। মধ্যমাত্রয়ের এই ছেদবিন্দুতেই ত্রিভুজাকার পাতটি তার ভারসাম্য ধরে রাখে। ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্রটি যতদূরে থাকে ভরকেন্দ্রটি ঐ বাহুর বিপরীত শীর্ষবিন্দু থেকে সেই দূরত্বের দ্বিগুণ দূরত্বে অবস্থান করে। আরেকভাবে বলা যায়, প্রতিটি মধ্যমা ভরকেন্দ্রে ২ঃ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত করে। একারণে সুষম ঘনত্বের ত্রিভুজাকার পাতের ভারসাম্য এর মধ্যমাগুলোতেও বজায় থাকে। মধ্যমা ব্যতীত আর যেসব রেখা ত্রিভুজকে সমদ্বিখণ্ডিত করে সেগুলো এই ভরকেন্দ্র দিয়ে গমন করে না। ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফলযুক্ত মোট ছয়টি ক্ষুদ্র ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
ধরাযাক "ABC" একটি ত্রিভুজ যেখানে "D", "E" এবং "F" যথাক্রমে formula_1, formula_2 এবং formula_3 বাহুর মধ্যবিন্দু এবং "O" হলো ভরকেন্দ্র ( একে সচরাচর "G" দ্বারা সূচিত করা হয়।)
সংজ্ঞানুসারে, formula_4। এই কারণে, formula_5 এবং formula_6। এখানে formula_7 এর দ্বারা ত্রিভুজ formula_8 এর ক্ষেত্রফল নির্দেশ করা হয়েছে। এখানে প্রত্যেকটি জোড়ার ক্ষেত্রে ত্রিভুজগুলোর ভূমি এবং উচ্চতা একই হওয়ার এরা পরস্পর সমান হয়েছে।
এখন আমার পাব:
সুতরাং, formula_11 এবং formula_12
এখন যেহেতু formula_13 
তাই
একই পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে, formula_15
২০১৪ সালে লি স্যালোস এই উপপাদ্যটি আবিষ্কার করেন:
কোন ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য formula_16 এবং formula_17 হলে এবং এই বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যমাগুলো যথাক্রমে formula_18 এবং formula_19 হলে অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে মধ্যমাগুলোর দৈর্ঘ্য হবে:
formula_20
formula_21
formula_22
এই সূত্রগুলো থেকে নিচের সম্পর্কগুলো পাওয়া যাবে:
formula_23
formula_24
formula_25
চতুষ্তলক হলো এমন একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু যার চারটি ত্রিভুজাকার পৃষ্ঠতল বিদ্যমান। চতুষ্তলকের একটি শীর্ষবিন্দুর সাথে এই শীর্ষবিন্দুর বিপরীত দিকে বিদ্যমান ত্রিভুজাকার পৃষ্ঠতলটির ভরকেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশটিকে চতুষ্তলকটির একটি মধ্যমা বলা হয়। একটি চতুষ্তলকে চারটি মধ্যমা থাকে এবং এদের প্রতিটিই চতুষ্তলকের "ভরকেন্দ্র" সমবিন্দুগামী হয়। দ্বিমাত্রিক ব্যবস্থার ক্ষেত্রে চতুষ্তলকের ভরকেন্দ্রটি হবে সেই বিন্দু যেখানে বল প্রয়োগ করলে কাঠামোটি বলের দিকে গতিশীল হবে বা হতে চাইবে অর্থাৎ এক্ষেত্রে ভরকেন্দ্রটি "center of mass" এর ভূমিকা পালন করবে। সে যাই হোক, দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রের বিপরীতে চতুষ্তলকের ভরকেন্দ্রটি মধ্যমাগুলোকে ২ঃ১ অনুপাতে বিভক্ত না করে বরং ৩ঃ১ অনুপাতে বিভক্ত করে (কমান্ডিনোর উপপাদ্য)।