দ্বিপদী সহগ

গণিতশাস্ত্রে দ্বিপদী সহগ (ইংরেজিঃ Binomial coefficient) বলতে সেসব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে যেসব সংখ্যা দ্বিপদী উপপাদ্যে সহগ হিসেবে বিদ্যমান। সাধারণভাবে দ্বিপদী সহগকে এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে formula_1এবং প্রকাশ করা হয় formula_2দ্বারা । এটি হলো দ্বিপদী ঘাত formula_3এর বিস্তৃতিতে formula_4এর সহগ, এবং এটি নিম্নোক্ত সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িতঃ
formula_5
উদাহরণস্বরূপ, formula_6এর পঞ্চম ঘাতের বিস্তৃতিঃ
formula_7
formula_8,
এবং formula_9পদটির দ্বিপদী সহগ formula_10।
formula_11কে formula_12মানসমূহের জন্য পর পর সারি অনুযায়ী সাজানো হলে একটি ত্রিভুজ সদৃশ পুনরাবৃত্তিমূলক সম্পর্ক পাওয়া যায় যাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলা হয়। এই সম্পর্কটি হলোঃ
formula_13
দ্বিপদী সহগসমূহ গণিতশাস্ত্রের অনেক শাখায় আবির্ভূত হয়, বিশেষত গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে (combinatorics)। formula_2প্রতীকটিকে মূলত পড়া হয় " formula_15 choose formula_16" কেননা, formula_15সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট কোনো একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে formula_16সংখ্যক অনন্য উপাদান নিয়ে মোট উপসেট তৈরী করার উপায় সংখ্যা হলো formula_2টি। উদাহরণস্বরূপ, formula_20সেটটি হতে formula_21টি অনন্য উপাদান নিয়ে মোট উপসেট তৈরী করা যায় formula_22টি, যেগুলো হলোঃ formula_23।
যেকোনো জটিল সংখ্যা formula_24এবং পূর্ণসংখ্যা formula_25এর জন্য দ্বিপদী সহগকে সাধারণভাবে formula_26আকারে প্রকাশ করা যায় এবং জটিল সংখ্যার অনেক বৈশিষ্ট্যই এভাবে আরো সাধারণ রূপে প্রকাশিত হয়।
১৮২৬ খ্রিস্টাব্দে আন্দ্রিয়াস ভন এটিইংসহাউসেন সর্বপ্রথম formula_2চিহ্নলিপিটি ব্যবহার করেন, যদিও এই সংখ্যাসমূহের বিষয়ে কয়েক শতাব্দী আগ হতেই জানা ছিলো। দ্বিপদী সহগের বিষয়ে সর্বপ্রথম বিস্তারিত আলোচনার প্রমাণ মেলে প্রাচীন সংস্কৃত ভাষায় রচিত পিঙ্গলার চন্দ্রসাস্ত্র("Chandaḥśāstra)" গ্রন্থে হালায়ুধার(Halayudha) নোট হতে। ১১৫০ খ্রিস্টাব্দের দিকে ভারতীয় গণিতবিদ দ্বিতীয় ভাস্কর তার লীলাবতী নামক গ্রন্থে দ্বিপদী সহগের বিষয়ে ব্যাখ্যা প্রদান করেন।
এছাড়াও ব্যবহৃত বিকল্প চিহ্নলিপিগুলো হলো formula_28এবং formula_29যেগুলোর প্রতিটিতেই formula_30নির্দেশ করে সমাবেশ বা বাছাই। অনেক ক্যাল্কুলেটরে formula_30চিহ্নলিপিটি ব্যবহার করা হয় কিছুটা ভিন্নভাবে যাতে তা একটি একক-লাইন বিশিষ্ট পর্দায় প্রকাশযোগ্য হয়।
স্বাভাবিক সংখ্যা formula_15 ও formula_16 এর জন্য দ্বিপদী সহগ formula_2কে সংজ্ঞায়িত করা যায় formula_35এর বিস্তৃতিতে formula_4 এর সহগ হিসেবে। এই একই সহগ আরো পাওয়া যায় নিম্নোক্ত দ্বিপদী সূত্রে(formula_37)
formula_38
দ্বিপদী সহগ আরো পরিলক্ষিত হয় গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে, যেখানে এর দ্বারা formula_15 সংখ্যক উপাদান হতে formula_16 সংখ্যক ভিন্ন উপাদান বাছাই এর উপায় সংখ্যা নির্দেশ করে; অথবা আরো রীত্যনুসারে বলা যায় formula_15 সংখ্যক উপাদানের সেট হতে formula_16 সংখ্যক উপাদান নিয়ে গঠিত উপসেট (অথবা formula_16 টি সমাবেশ সংখ্যা)।
দ্বিপদী সহগ formula_2 এর মান দ্বিপদী ঘাতের বিস্তৃতি বা formula_16 সংখ্যক সমাবেশ গণনা ব্যতীতও অনেক উপায়ে বের করা যায়।
দ্বিপদী সহগের মান গণনার একটি পদ্ধতি হলো পুনরাবৃত্তি সূত্র যা সম্পূর্ণ যোগাত্মক
formula_46
যেখানে সীমাস্থ মান,
formula_47
সূত্রটির ব্যাখ্যা দেয়া যায় এইভাবেঃ ধরা যাক একটি সেট formula_48। এ সেট হতে আলদা আলদাভাবে (ক) formula_49 সংখ্যক উপাদান নিয়ে গ্রূপ করা হলো যার প্রতিটিতে একটি সাধারণ উপাদান, ধরা যাক, formula_50 বিদ্যমান (যেহেতু, formula_50 ইতোমধ্যে ঐ গ্রূপের একটি স্থান দখল করেছে, তাই অবশিষ্ট formula_52 সংখ্যক উপাদান হতে formula_53 সংখ্যক উপাদান বাছাই করতে হবে) এবং (খ) formula_49 সংখ্যক উপাদান নিয়ে সম্ভাব্য সকল গ্রূপ যাতে ঐ formula_50 অন্তর্ভুক্ত না থাকে, (অর্থাৎ formula_52 সংখ্যক উপাদান হতে formula_49সংখ্যক উপাদান বাছাই করতে হবে) গণনা করলে তার সমষ্টি হলো নির্ণেয় মান।
কোনো একটি নির্দিষ্ট দ্বিপদী সহগের মান গণনার ক্ষেত্রে আরো কার্যকরী নিম্নের সূত্রটি,
formula_58
এখানে, প্রথম ভগ্নাংশের লব formula_59কে বলা হয় ক্রমহ্রাসমান ফ্যাক্টরিয়াল। এখানে সূত্রের লব হলো formula_15 সংখ্যক উপাদানের একটি সেট হতে formula_16 সংখ্যক উপাদান বাছাই এর মোট উপায় সংখ্যা যখন ক্রম বিবেচনাধীন এবং হর হলো অনন্য উপায় সংখ্যা ঐ একই formula_16 সংখ্যক সমাবেশের জন্য যখন ক্রম অবিবেচনাধীন।
দ্বিপদী সহগের formula_15 ও formula_64 এর সাপেক্ষে প্রতিসমতা ধর্মের কারণে এসব গণনা আরো সহজে সম্পন্ন করা যায়।
যদিও গণনার দিক দিয়ে এটি সময়সাপেক্ষ, এই সূত্রটি প্রমাণ ও প্রতিপাদনের ক্ষেত্রে বহূল ব্যবহ্রত,
formula_65
এখানে formula_66 নির্দেশ করে formula_15 এর ফ্যাক্টোরিয়াল। এই সুত্রটি পাওয়া যায় গুণক সূত্রের লব ও হর উভয়কে formula_68 দ্বারা গুণ করার মাধ্যমে যার ফলে লব ও হরে অনেকগুলো সাধারণ উৎপাদক তৈরী হয়। এই সূত্র হতে প্রতিসমতার ধর্ম খুব সহজেই বোধগম্য গুণক সুত্রের তুলনায়,
formula_69
এর থেকে ক্রমহ্রাসমান ফ্যাক্টরিয়াল এর ধারণা ব্যবহার করে আরো কার্যকরীভাবে দ্বিপদী সহগের মান গণনা করা যায়,
formula_70
প্যাস্কেলের সূত্র হলো একটি গুরুত্বপূর্ণ পুনরাবৃত্তিক সম্পর্ক
formula_71
যা গাণিতিক আরোহ বিধি ব্যবহারের মাধ্যমে প্রমাণ করা যায়।
প্যাস্কেলের সূত্র হতে পাওয়া যায় প্যাস্কেলের ত্রিভূজঃ
সারি নম্বর formula_15 এ বিদ্যমান সংখ্যাগুলো হলো formula_73 এর জন্য formula_2 এর মান। এটি তৈরী করা হয়েছে প্রথমে সর্ববহিঃস্থ অবস্থানগুলো 1 দ্বারা পূরণের মাধ্যমে। এরপর ভিতরের প্রতিটি অবস্থান পূরণ করা হয়েছে তার ঠিক উপরের দুটি পদের সমষ্টি দ্বারা। এই পদ্ধতির মাধ্যমে গুণ-ভাগ ব্যতীতই দ্রুততার সাথে দ্বিপদী সহগ গণনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ৫ম সারি হতে বলা যায়
formula_75
দ্বিপদী সহগ গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহার হয়। কেননা, প্রচলিত বিভিন্ন গণনা সংক্রান্ত সমস্যার জন্য সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা যায়। যেমনঃ
যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_16 এর জন্য formula_96কে সরলীকরণ করা যায় এবং formula_97 দিয়ে ভাগকৃত একটি বহুপদী হিসেবে ব্যাখ্যা করা যায়ঃ
formula_98
এটি মূলদ সহগযুক্ত formula_99এর একটি বহুপদী প্রকাশ করে।
যেমন, এই প্রাথমিক শর্ত দ্বারা যেকোনো বাস্তব বা জটিল সংখ্যা formula_99 এর জন্য দ্বিপদী সহগ ব্যাখ্যা করা যায়। এসব "সর্বজনীন দ্বিপদী সহগ" নিউটনের সর্বজনীন দ্বিপদী সহগেও আবির্ভূত হয়।
প্রতিটি formula_16 এর জন্য বহুপদী formula_96 কে বৈশিষ্টায়িত করা যায় অনন্য formula_16 ঘাতের বহুপদী formula_104হিসেবে, যেখানে, formula_105এবং formula_106।
এর সহগসমূহকে প্রথম ক্রমের স্টার্লিং সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়ঃ
formula_107
formula_96এর অন্তরজ গণনা করা যায় লগারিদমিক অন্তরীকরণ দ্বারাঃ
formula_109
প্রতিটি বহুপদী formula_96 পূর্ণসাংখ্যিকঃ formula_99 এর সকল পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা। অতএব, যেকোনো পূর্ণসাংখ্যিক রৈখিক সমাবেশের জন্য দ্বিপদী সহগসমূহও পূর্ণসাংখ্যিক।
formula_112এই পূর্ণসাংখ্যিক বহুপদীকে এভাবেও প্রকাশ করা যায়ঃ
formula_113
যদি formula_16 একটি ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং formula_15 ইচ্ছামূলক সংখ্যা হয়, তবে
formula_116
এবং,
formula_117
এছাড়া এটিও কার্যকরী হতে পারেঃ
formula_118
কোনো একটি নির্দিষ্ট formula_15 এর জন্য নিম্নোক্ত পুনরাবৃত্ততা পাওয়া যায়ঃ
formula_120
formula_121
এই সূত্র প্রকাশ করে যে প্যাসকেলের ত্রিভুজের formula_15তম সারির পদসমূহের যোগফল সর্বদা formula_123। দ্বিপদী উপপাদ্যে formula_124 ধরা হলে এটি পাওয়া যায়।
একইভাবে, পূর্ববর্তী রাশিকে formula_125 এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায় নিম্নের সূত্রঃ
formula_126
এবং একে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাওয়া যায়ঃ
formula_127
জটিল সংখ্যা formula_128 এবং অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_16এর জন্য প্রযোজ্য চিউ-ভ্যানডারমন্ড অভেদ থেকে পাওয়া যায়,
formula_130
বিশেষ ক্ষেত্র, formula_131 এর জন্য এটি দাঁড়ায়,
formula_132
এখানে, ডানপাশের পদটি হলো কেন্দ্রীয় দ্বিপদী সহগ।
চিউ-ভ্যানডারমন্ড অভেদের অপর একটি রূপ হলো,
formula_133
যেখানে, formula_134 এবং formula_135।
এক্ষত্রে, formula_136 হলে পাওয়া যায় হকি-স্টিক অভেদ,
formula_137
এবং এর অনুরূপ,
formula_138
formula_139 যদি formula_15 তম ফিবোনাচি সংখ্যা হয়, তবে,
formula_141
পূর্ণসংখ্যা formula_142 যেখানে formula_143 এর জন্য, বহুখন্ডীয় ধারা হতে দ্বিপদী সহগের সমষ্টির নিম্নোক্ত অভেদটি পাওয়া যায়,
formula_144
formula_145 এর ছোট মানের জন্য এসব ধারার চমৎকার রুপ দেখা যায়; উদাহরণস্বরূপ
formula_146
formula_147
formula_148
formula_149
formula_150
formula_151
formula_152
যদিও দ্বিপদী সহগের আংশিক সমষ্টির কোনো নির্দিষ্ট সূত্র নেই, প্যাস্কেলের অভেদক এবং গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে, formula_153 এর জন্য
formula_154
এবং বিশেষ ক্ষেত্রে,
formula_155
যখন formula_156।
ডিক্সনের অভেদকটি হলো,
formula_157
formula_158
formula_159
এগুলো প্রমাণ করা যায় অয়লারের সূত্র দ্বারা। এজন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে সূচকীয় জটিল সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করে, দ্বিপদী সহগ অনুযায়ী বিস্তৃত করে, প্রতিটি পদকে আলাদা আলাদাভাবে যোগজীকরণ করতে হয়।
formula_15 এর কোনো একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য formula_161 ধারাটির সাধারণ উদ্ভূত ফাংশন হলো,
formula_162
formula_16 এর কোনো একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য formula_164 ধারাটির সাধারণ উদ্ভূত ফাংশন হলো,
formula_165
আর formula_166 উভয়ই পরিবির্তনশীল হলে দ্বিপদী সহগ হবে,
formula_167
দ্বিপদী সহগের অপর একটি প্রতিসম সাধারণ উদ্ভূত ফাংশন হলো,
formula_168
দ্বিপদী সহগের একটি প্রতিসম দ্বিপরিবির্তনশীল উদ্ভূত ফাংশন হলোঃ
formula_169
১৮৫২ খ্রিস্টাব্দে আরনেস্ট কামার প্রমাণ করেন যে, যদি formula_170 ও formula_15 অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং formula_172 একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে formula_172 এর সর্বোচ্চ যে ঘাত দ্বারা formula_174 বিভাজ্য তা হলো formula_175; যেখানে formula_176 হলো formula_170 ও formula_15 কে formula_172 ভিত্তিতে যোগ করার ফলে প্রাপ্ত ক্যারি এর সংখ্যা। একইভাবে formula_2 এ কোনো একটি মৌলিক সংখ্যা formula_172 এর সূচকের মান অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_182 এর সমান যাতে formula_183 এর ফ্যাক্টরিয়াল অংশ formula_184 এর ফ্যাক্টরিয়াল অংশ অপেক্ষা বড় হয়। এটি হতে সিদ্ধান্তে আসা যায় যে, formula_2, formula_186 দ্বারা বিভাজ্য। এর থেকে পরবর্তীতে পাওয়া যায় সকল ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_187এর জন্য যাতে formula_188 , formula_172দ্বারা বিভাজ্য। তবে এটি formula_172 এর উচ্চ ঘাতের জন্য প্রযোজ্য নয়।
ডেভিড সিংমাস্টার এর ফলাফল হতে দেখা যায়, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা প্রায় সকল দ্বিপদী সহগ দ্বারা বিভাজ্য। আরো সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা formula_191 নির্দিষ্ট করে formula_192 যদি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা formula_2 এর দ্বিপদী সহগসমূহ নির্দেশ করে এবং formula_194 হয়, আর formula_2, formula_191 দ্বারা বিভাজ্য হয়। তাহলে
formula_197
যেহেতু formula_194শর্ত পূরণকারী দ্বিপদী সহগের সংখ্যা formula_199, তাই এটি নির্দেশ করে formula_191 দ্বারা বিভাজ্য দ্বিপদী সহগ প্রাপ্তির পরিমাণ তথা দ্বিপদী সহগ ঘনত্ব যার মান দাঁড়ায় ১।
দ্বিপদী সহগসমূহের বিভাজ্যতার সাথে ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার লসাগুর সাথে সম্পর্ক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ
formula_201, formula_202 দ্বারা বিভাজ্য।
formula_201, formula_204 এর গুণিতক।
এছাড়াও কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা formula_205 একটি মৌলিক সংখ্যা হবে যদি ও কেবল যদি সকল মধ্যবর্তী দ্বিপদী সহগ
formula_206
formula_15 দ্বারা বিভাজ্য হয়।
formula_2 এর জন্য নিম্নোক্ত সীমা formula_209 শর্ত পূরণকারী সকল formula_166 এর মানের ক্ষেত্রে প্রযোজ্যঃ
formula_211
প্রথম অসমতাটি আসে নিচের সম্পর্ক্টি হতে,
formula_212
কেননা এক্ষেত্রে গুণফলের প্রতিটি formula_16 যুক্ত পদ formula_214। একই যুক্তি দিয়ে দেখানো যায়,
formula_215
আর সর্বশেষ অসমতাটি পাওয়া যায় formula_216 কে formula_217 এর জন্য টেইলর সিরিজ দ্বারা গুণ করার মাধ্যমে বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য থেকে বলা যায়,
formula_218
যা হতে দুটি অসমতাই পাওয়া যায়।
formula_221 যথেষ্ট বড় হলে স্টার্লিং এর সূত্র হতে নিচের আসন্ন মান পাওয়া যায়,
formula_222
যেহেতু স্টার্লিং এর সূত্রের অসমতা ফ্যাক্টরিয়ালকেও সীমাস্থ করে থাকে, তাই উপরের অসীমতটের অনুমিত মানকে সামান্য পরিবর্তন করলে যথাযথ সীমাস্থ মান পাওয়া যায়।
নির্দিষ্টভাবে, যখন formula_15 যথেচ্ছভাবে বড় হয়ঃ
formula_224 এবং formula_225
এবং সাধারণভাবে, formula_226 এবং formula_227 এর জন্য,
formula_228
যখন formula_15 যথেষ্ট বড় এবং formula_16 যথেষ্ট ছোট, তখন,
formula_233
যা হতে পাওয়া যায় স্টার্লিং এর সূত্রের সদৃশ রূপঃ
formula_234
আরো যথাযথ মান পাওয়ার জন্য formula_235 কে যোগজ দ্বারা অনুমিতভাবে প্রকাশ করা যায়,
formula_236
যদি formula_15 বড় এবং formula_16, formula_15 এর সাথে সরলরৈখিকভাবে সম্পর্কিত হয়, তবে দ্বিপদী সহগ formula_240 এর বিভিন্ন যথাযথ অসীমতট মান পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি formula_241, তাহলে
formula_242
যেখানে, formula_243
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিপদী সহগসমূহের সমষ্টির সাধারণ ও আসন্ন ঊর্ধ্ব সীমা পাওয়া যায়ঃ
formula_244
formula_16 এবং formula_64 উভয়ই ১ অপেক্ষা যথেষ্ট বড় হলে স্টার্লিং এর আসন্নমান হতে নিম্নের অনুমিত আসীমতট পাওয়া যায়ঃ
formula_247
যেখানে, formula_248 হলো formula_249 এর দ্বৈত এন্ট্রপি। আরো যথাযথভাবে, সকল পূর্ণসংখ্যা formula_250 এর জন্য ও formula_251 হলে, প্রথম formula_252 টি দ্বিপদী সহগের সমষ্টি নিম্নরূপে মোটামুটিভাবে গণনা করা যায়ঃ
formula_253
গ্যামা ফাংশনের অসীম গুণনের সূত্র থেকেও দ্বিপদী সহগের রাশিমালা পাওয়া যায়,
formula_254
যা প্রদান করে অসীমতটের সূত্রসমূহ,
formula_255 এবং formula_256
যখন formula_257।
এই অসীমতটের ধর্ম অনুমানের মধ্যেও অন্তর্ভুক্ত
formula_258
এখানে, formula_259 হলো formula_16 তম হারমোনিক সংখ্যা এবং formula_261 হলো অয়লার-মাস্কেরোনি ধ্রুবক।
এছাড়াও কিছু জটিল সংখ্যা formula_125 এর জন্য যখন formula_263 ও formula_264 হয়, সেক্ষেত্রে অসীমতটের সূত্রটি সত্য হয়,
formula_265 এবং formula_266।
দ্বিপদী সহগকে যৌগিক পদের সহগ হিসেবে সাধারণীকরণ করা যায়, যেখানে যৌগিক পদের সহগ সংজ্ঞায়িত নিম্নোক্ত রূপেঃ
formula_267
যেখানে
formula_268
উল্লেখ্য, দ্বিপদী সহগসমূহ প্রকাশ করে formula_269 এর সহগসমূহ; আর যৌগিক পদের সহগসমূহ প্রকাশ করে
formula_270
বহুপদীর সহগসমূহ।
এক্ষেত্রে formula_271 হলে পাওয়া যায় দ্বিপদী সহগঃ
formula_272
যৌগিক পদের সহগের অনেক ধর্ম দ্বিপদী সহগের ধর্মের মতোই। উদাহরণস্বরূপ, পুনরাবৃত্তি ধর্মঃ
formula_273
এবং প্রতিসমতাঃ
formula_274
যেখানে, formula_275 হলো formula_276 এর একটি বিন্যাস।
প্রথম ক্রমের স্টার্লিং সংখ্যা ব্যবহার করে যেকোনো ইচ্ছামূলক বিন্দু formula_277 এ ধারার বিস্তৃতিতে পাওয়া যায়,
formula_278
formula_279
formula_15 বাস্তব সংখ্যা ও formula_16 পূর্ণসংখ্যার জন্য দ্বিপদী সহগের সংজ্ঞা সম্প্রসারিত করা যায়।
বিশেষ করে নিম্নের অভেদটি যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রযোজ্যঃ
formula_283
এটি পাওয়া যায় নিউটনের দ্বিপদী ধারা অনুসারে formula_284 কে সম্প্রসারণ করার মাধ্যমেঃ
formula_285
দ্বিপদী সহগসমূহের গুণফলকে দ্বিপদী সহগের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়ঃ
formula_286
যেখানে সংযোগ সহগগুলো হলো যৈগিক পদের সহগসমূহ।
দ্বিপদী সহগের পূরকের আংশিক ভগ্নাংশে ভাঙন নিচের রাশি দ্বারা প্রকাশিত,
formula_287 formula_288
নিউটনের দ্বিপদী ধারা হলো অসীম পদ পর্যন্ত দ্বিপদী উপপাদ্যের সরলীকরণঃ
formula_289।
এই অভেদটি পাওয়া যায় উভয় পাশ অন্তরক সমীকরণ formula_290কে সিদ্ধ করে তা দেখানোর মাধ্যমে।
এই ধারার অভিসৃতির ব্যাসার্ধ ১। এর একটি বিকল্প রূপ হলোঃ
formula_291
যেখানে নিচের অভেদটি প্রয়োগ করা হয়েছে,
formula_292
দ্বিপদী সহগ দ্বারা কোনো একটি সেটের নির্ধারিত সংখ্যক উপাদান নিয়ে উপসেট গণনা করা যায়। এর সাথে সংশ্লিষ্ট গুচ্ছ-বিন্যাসতাত্ত্বিক সমস্যা হলো যেকোনো সেট হতে নির্ধারিত সংখ্যক উপাদান নিয়ে যৌগিক সেট গণনা তথা কোনো সেট হতে নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান বাছাই করার উপায় এই শর্তে যে একই উপাদান একাধিকবার বাছাই করা যাবে। এর মাধ্যমে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোকে বলা হয় যৌগিক সেটের সহগ; formula_15 সংখ্যক উপাদানের একটি সেট হতে formula_16 সংখ্যক উপাদান নিয়ে "যৌগিক বাছাই" এর উপায়কে প্রকাশ করা হয় formula_295 দ্বারা।
যৌগিক সেটের সহগসমূহকে দ্বিপদী সহগ দ্বারাও প্রকাশ করা যেতে পারে নিম্নোক্ত নিয়ম ব্যবহার করে
formula_296।
এই অভেদের একটি সম্ভাব্য বিকল্প বৈশিষ্ট্য দেয়া যেতে পারে এভাবেঃ নিম্নগামী ফ্যাক্টরিয়াল প্রকাশ করা যায় এভাবে,
formula_297,
এবং সংশ্লিষ্ট ঊর্ধ্বগামী ফ্যাক্টরিয়াল প্রকাশ করা যায় এভাবে,
formula_298
উদাহরণস্বরূপ,
formula_299
তবে দ্বিপদী সহগকে এভাবে উল্লেখ করা যেতে পারে,
formula_300,
যখন সংশ্লিষ্ট যৌগিক সহগ সংজ্ঞায়িত নিম্নগামী ফ্যাক্টরিয়াল ঊর্ধ্বগামী ফ্যাক্টরিয়াল দ্বারা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমেঃ
formula_301
formula_15 এর যেকোনো মানের জন্য,
formula_303
formula_304
formula_305
formula_306
বিশেষত, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য গণনাকৃত দ্বিপদী সহগ চিহ্নযুক্ত যৌগিক সেটের সহগ দ্বারা গণনা করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্র formula_307 এর জন্য এটি দাঁড়ায়,
formula_308।
গ্যামা ফাংশন বা বেটা ফাংশন দ্বারা দ্বিপদী সহগ দুটি বাস্তব বা জটিল মানের আর্গুমেন্টের জন্য সাধারণভাবে প্রকাশ করা যায়,
formula_309
এই সংজ্ঞা হতে formula_310 থেকে নিম্নের বৈশিষ্ট্যসমূহ পাওয়া যায়ঃ
formula_311
অধিকন্তু,
formula_312
দ্বিপদী সহগের "q-analog" সাধারণীকরণ বিদ্যমান যা গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগ নামে পরিচিত।
দ্বিপদী সহগের সংজ্ঞা অসীম কার্ডিনালের জন্য সাধারণীকরণ করা যায় এভাবেঃ
formula_313
যেখানে formula_314 হলো একটি সেট যার কার্ডিনালিটি formula_315।
formula_240 চিহ্নটি হাতে লিখার জন্য সুবিধাজনক হলেও টাইপরাইটার এবং কম্পিউটার প্রান্তের জন্য তা সমস্যাদায়ক। অনেক প্রোগ্রামিং ভাষাই দ্বিপদী সহগ গণনার জন্য কোনো প্রমাণ সাবরুটিন প্রদান করে না। তবে "APL" প্রোগ্রামিং ভাষা এবং "J" প্রোগ্রামিং ভাষা এটি প্রকাশের জন্য বিস্ময় চিহ্ন ব্যবহার করেঃ formula_317।
ফ্যাক্টরিয়াল সূত্রের সরল রূপায়ন দেখা যায়, যেমন নিচের পাইথনের "snippet,"
from math import factorial
def binomialCoefficient(n, k):
অনেক ধীরগতিসম্পন্ন এবং বেশ বড় কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল গণনার ক্ষেত্রে তা প্রায় অকার্যকর। গুণক সূত্রের সরাসরি প্রয়োগ এক্ষেত্রে ভালো ফলাফল দেয়ঃ
def binomialCoefficient(n, k):
প্যাস্কেলের সূত্র হতে পুনরাবৃত্তির একটি সংজ্ঞা দেয় যা পাইথনে ব্যবহার করা গেলেও এর কার্যকরিতা কমঃ
def binomialCoefficient(n, k):
উপরে উল্লিখিত উদাহরণ ফাংশন আকারেও লিখা যায়। নিচে স্কিম প্রোগ্রামিং ভাষায় রচিত প্রোগ্রামটি পুনরাবৃত্ত সংজ্ঞা ব্যবহার করে,
formula_320
নিচের কোডটিতে এ ধারণা ব্যবহার করা হয়েছে,
 (define (binomial-iter n k i prev)
 (if (< k (- n k))
কোনো নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের পূর্ণসংখ্যা বিশিষ্ট প্রোগ্রামিং ভাষায় formula_321 গণনার সময় formula_322 দ্বারা গুণন যখন ফলাফল পাওয়া সম্ভন সেক্ষেত্রেও ওভারফ্লো হতে পারে। এটি এড়ানো যায় প্রথমে ভাগ প্রক্রিয়ার প্রয়োগ এবং ভাগশেষ ব্যবহার করার মাধ্যমেঃ
formula_323
C ভাষায় এর প্রয়োগঃ
unsigned long binomial(unsigned long n, unsigned long k) {