সিংমাস্টারের অনুমান

সিংমাস্টারের অনুমান () হল সংখ্যাতত্ত্বের একটি অনুমানভিত্তিক ধারণা, যা প্যাসকালের ত্রিভুজে (Pascal's triangle) বাইনোমিয়াল সংখ্যা formula_1 গুলোর পুনরাবৃত্তি কতবার হতে পারে তার একটি সর্বোচ্চ সীমা নির্ধারণ করার প্রস্তাব দেয়। এই ধারণাটি ১৯৭১ সালে ডেভিড সিংমাস্টার প্রথম প্রস্তাব করেন।
প্যাসকালের ত্রিভুজে প্রতিটি উপাদান formula_1 আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে formula_3 ও formula_4 স্বাভাবিক সংখ্যা। সিংমাস্টারের অনুমান অনুযায়ী, 1 ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে পুনরাবৃত্তি হয় যে তার পুনরাবৃত্তির সংখ্যা একটি সর্বোচ্চ ধ্রুবক formula_5 দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকবে। অধিকাংশ গবেষক ধারণা করেন যে, formula_6 হতে পারে, অর্থাৎ 1 ব্যতীত কোনো একটি সংখ্যা সর্বাধিক ৮ বার প্যাসকালের ত্রিভুজে দেখা যাবে।
উদাহরণস্বরূপ, প্যাসকালের ত্রিভুজে formula_7 অসীম সংখ্যক বার উপস্থিত থাকে, তবে অন্যান্য সংখ্যা যেমন formula_8, formula_9, formula_10 ইত্যাদি শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যকবারই পুনরাবৃত্তি হয়।
এখনো পর্যন্ত এটি অজানা যে কোনো সংখ্যা আটবারের বেশি উপস্থিত হয়েছে কিনা, কিংবা ৩০০৩ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা আদৌ কি এতবার (আটবার) দেখা গেছে কিনা! ধারণা করা হয়, এই সীমাটি সর্বোচ্চ ৮ পর্যন্ত হতে পারে, তবে সিংমাস্টার অনুমান করেছিলেন এটি ১০ বা ১২ও হতে পারে। তাছাড়া, কোনো সংখ্যা ঠিক পাঁচ বা সাতবার উপস্থিত হয়েছে কিনা—সেটিও এখনো রহস্যাবৃত্ত।
ধরা যাক,formula_11 হচ্ছে সেই সংখ্যা, যা নির্দেশ করে যে formula_12 সংখ্যাটি (যেখানে formula_13) প্যাসকালের ত্রিভুজে কতবার উপস্থিত হয়েছে। বড় O সংকেত অনুসারে, অনুমানটি হলো:
ধরা যাক, কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা formula_15 প্যাসকালের ত্রিভুজে বিভিন্ন formula_16 জুটিতে প্রকাশিত হয়েছে, অর্থাৎ
formula_17
সমীকরণের সমাধান রয়েছে। সিংমাস্টারের অনুমান অনুসারে, formula_18 এর জন্য এই সমাধানগুলোর সংখ্যা এমন একটি সর্বোচ্চ ধ্রুবক formula_5 দ্বারা আবদ্ধ থাকবে, অর্থাৎ
formula_20
সিংমাস্টার (১৯৭১) দেখিয়েছেন যে,
অ্যাবট, এরডস, এবং হ্যানসন (১৯৭৪) এই অনুমানকে পরিমার্জিত করে লিখেছেন:
বর্তমানে পরিচিত সর্বোত্তম (নিঃশর্ত) সীমা হলো,
এবং এটি কেন (২০০৭)-এর দেওয়া। অ্যাবট, এরডস, এবং হ্যানসন উল্লেখ করেছেন যে, ক্রামারের অনুমান (ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ব্যবধান সম্পর্কিত) অনুযায়ী,
প্রতিটি formula_25-এর জন্য সঠিক।
সিংমাস্টার (১৯৭৫) দেখিয়েছেন যে, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ
দুটি চলক "n" এবং "k"-এর জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এটি থেকে বোঝা যায় যে, প্যাসকেলের ত্রিভুজে অন্তত ৬ বার উপস্থিত হওয়া অসীম সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে: যেকোনো অঋণাত্মক "i"-এর জন্য, প্যাসকেলের ত্রিভুজে ছয়বার উপস্থিত হওয়া একটি সংখ্যা "a" নিম্নলিখিত দুটি অভিব্যক্তির যেকোনো একটি দ্বারা দেওয়া যায়,
যেখানে "F" হলো "j"-তম ফিবোনাচ্চি সংখ্যা (এই সূচনায় "F" = 0 এবং "F" = 1 ধরা হয়েছে)। উপরের দুটি অভিব্যক্তি দুটি উপস্থিতির অবস্থান নির্দেশ করে; আরও দুটি উপস্থিতি ত্রিভুজে প্রতিসমভাবে অবস্থিত; এবং বাকি দুটি উপস্থিতি হলো formula_29 এবং formula_30-এ।
প্যাসকেলের ত্রিভুজে "n" সংখ্যাটি যতবার উপস্থিত হয় তার সংখ্যা হলো:
∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... 
অ্যাবট, এরডস এবং হ্যানসনের (১৯৭৪) গবেষণা অনুযায়ী, "x"-এর চেয়ে বড় নয় এমন পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা, যেগুলো প্যাসকেলের ত্রিভুজে দুইবারের বেশি উপস্থিত হয়, তা হলো:formula_42.
প্যাসকেলের ত্রিভুজে "n" বা তার বেশি বার উপস্থিত হওয়া ১-এর চেয়ে বড় সবচেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা হলো:
2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... 
প্যাসকেলের ত্রিভুজে যেসব সংখ্যা অন্তত পাঁচবার দেখা যায় সেগুলো হলো:
1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ... 
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে, সিংমাস্টারের অসীম পরিবারে যেগুলো রয়েছে সেগুলো হলো:
এখন পর্যন্ত বিভিন্ন গবেষণায় প্রমাণিত হয়েছে যে:
সিংমাস্টারের অনুমান এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসেবে রয়েছে এবং সংখ্যাতত্ত্ব ও কম্বিনেটরিক্সে ব্যাপক গবেষণা চলছে।
সিংমাস্টারের অনুমান প্যাসকালের ত্রিভুজে সংখ্যাগুলোর পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সম্পর্কে গভীর ধারণা প্রদান করে। অনুমানটি সত্য হলে, তা গণিতের অনেক শাখায় গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলের সূত্রপাত করতে পারে, তবে এর প্রমাণ এখনও অনিশ্চিত এবং এটি ভবিষ্যতের গবেষণা ক্ষেত্রে একটি চ্যালেঞ্জ হিসেবে দাঁড়িয়েছে।