تسطار جبري

التسطار الجبري، اولا الهندسة الجبرية هي واحد الفَرع من لماط اللي كيستعمل تقنيات ديال الجبر المجرد، وبالخصوص ديال الجبر التبادلي، باش يحلّ مسائل هندسية. فالطريقة الكلاسيكية، الهندسة الجبرية كتدرس جذور ديال حدوديات متعددة المتغيرات؛ فالطريقة العصرية كتعمّم هاد الفكرة بطرق مختلفة. الحوايج الاساسية فالهندسة الجبرية هما التشكيلات الجبرية، اللي كيمثلوا الشكل الهندسي ديال الحلول ديال نظمات ديال معادلات حدودية. من الامثلة لي مشهورة: المستقيمات، الدواير، البارابولات، الاهليلجات، الهيبربولات، المنحنيات التكعيبية بحال المنحنيات الاهليلجية، والمنحنيات من الدرجة الرابعة بحال نظاضر برنولي والاهليجيات ديال كاسيني. اي نقطة فالمستوى كتكون في منحنى جبري الا كان الاحداثيات ديالها كيحققو واحد معادلة حدودية. الاسئلة البسيطة كتهم نقاط خاصة بحال النقط الفريدة، نقط الانعطاف، والنقط فالمالانهاية. والاسئلة المتقدمة كتدخل حتى فـ الطوبولوجيا ديال المنحنى والعلاقة بين منحنيات معروفة بمعادلات مختلفة. الهندسة الجبرية عندها بلاصة مركزية فـ لماط العصري، وكنلقاوها فكثير ديال المجالات بحال تحليل عقدي، طوبولوجيا، ونظرية الاعداد. كدراسة لنظمات من معادلات حدودية بعدة متغيرات، البداية ديالها كتكون بالبحث على حلول معينة، ومن بعد كتقلب تفهم الخصائص الهندسية و الطبولوجية ديال مجموعة الحلول. هاد الفهم كيتطلب النظرية المفهومية والتقنيات الحسابية بجوج. فـ القرن العشرين، الهندسة الجبرية تفرعات لبزاف ديال المجالات: واحد من اهم التطورات الحديثة هو نظرية المخططات ديال غروتنديك، اللي خلات ممكن نستعمل الحزم (sheaves) لدراسة الاصناف الجبرية، بحال الطريقة اللي كنستعملوهافي المانيفولضات التفاضلية و التحليلية. هاد الشي توسع مفهوم النقطة: فالهندسة الجبرية الكلاسيكية النقطة كتطابق مع ايديال ماكسيمال ديال حلقة الاحداثيات، ولكن فالمخطط النقطة كيمكن تكون اي ايديال اولي، يعني النقطة ممكن تكون فعلاً نقطة عادية اولا حتى تشكيلة جزئية. هاد الطريقة وحدات اللغة والادوات ديال الهندسة الجبرية الكلاسيكية ونظرية الاعداد الجبرية. برهان وايلز على مبرهنة فيرما الاخيرة مثال كبير على القوة ديال هاد المنهج. المفاهيم الاساسية. اصفار نظمات الحدوديات. فالهندسة الجبرية الكلاسيكية، الحوايج الرئيسية محل الاهتمام هما مجموعات الانعدام ديال الحدوديات، يعني مجموعة جميع النقاط اللي كتحقق فـ نفس الوقت واحد اولا اكثر من المعادلات الحدودية. مثال: الكرة ثنائية الابعاد عندها 1 فالشعاع فـ الفضاء الاقليدي ثلاثي الابعاد R3 ممكن نعرفوها كمجموعة جميع النقاط formula_1 اللي كتحقق: formula_2 و"الدائرة المائلة" فـ R3 كتتعرف كمجموعة جميع النقاط formula_1 اللي كتحقق هاد الجوج ديال المعادلات: formula_4 formula_5 التشكيلات الافينية. كنبداو مع حقل "k". فالهندسة الجبرية الكلاسيكية، هاد الحقل كان ديما هو الاعداد العقدية C، ولكن بزاف من النتائج كيبقاو صحاح الا افترضنا غير ان "k" مسدود جبرياً. كنعتابرو فضاء افيني عندو البعد "n" على "k"، كنرمزولو An("k") (او ببساطة A"n" ملي "k" كيكون واضح من السياق). ملي كنثبتو نظام ديال الاحداثيات، نقدرو نطابقو An("k") مع "k""n". الهدف من هاد التمييز هو اننا "كننساو" البنية ديال الفضاء المتجهي اللي عند "k"n. دالة "f" : A"n" → A1 كتسمى "حدودية" (او "منتظمة") الا كان ممكن نكتبوها كـ حدودية، يعني كاين "p" فـ "k"["x"1… ،"x""n"] بحيث "f"("M") = "p"("t"1… ،"t""n") لكل نقطة "M" عندها الاحداثيات ("t"1… ،"t""n") فـ A"n". هاد الخاصية ديال "كونها حدودية" ما كتعتمدش على نظام الاحداثيات. الى خدّينا نظام احداثيات، الدوال المنتظمة على الفضاء الافيني "n" كيقدرو يتطابقو مع حلقةالدوال الحدودية فـ "n" متغيرات على "k". كنرمزو لهاد الحلقة ب "k"[A"n"]. كنقولو على واحد الحدودية انها "كتنعدم" فواحد النقطة الا كان الحساب ديالها فديك النقطة كيعطي صفر. نخليو "S" مجموعة ديال الحدوديات فـ "k"[An]. "مجموعة الانعدام ديال S" (او "محل الانعدام" اولا "مجموعة الاصفار") هو المجموعة "V"("S") ديال جميع النقاط فـ A"n" اللي كل حدودية فـ "S" كتنعدم فيها. بالرموز: formula_6 اي مجموعة جزئية من A"n" اللي على شكل "V"("S")، كنسماوها "مجموعة جبرية" (algebraic set). الحرف "V" كيرمز لـ "تشكيلة".