Quy tắc Cramer

Trong đại số tuyến tính, quy tắc Cramer là một công thức tường minh cho nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính với số ẩn bằng số phương trình, chỉ áp dụng khi hệ có nghiệm duy nhất. Nó biểu diễn nghiệm của hệ theo các định thức của ma trận hệ số (vuông) và của các ma trận được tạo ra từ nó bằng cách thay một cột của ma trận hệ số bởi vectơ cột gồm các giá trị ở vế trái của các phương trình. Nó được đặt tên theo Gabriel Cramer (1704–1752), người đã xuất bản quy tắc cho số ẩn bất kỳ năm 1750, mặc dù Colin Maclaurin cũng đã xuất bản một vài trường hợp đặc biệt của quy tắc vào năm 1748 (và có thể đã biết về nó sớm nhất năm 1729). Quy tắc Cramer thường được sử dụng trong các bài toán biện luận nghiệm của hệ phương trình nhưng ít khi được sử dụng trong tính toán bằng số.

Trường hợp tổng quát 
Xét hệ  phương trình tuyến tính với  ẩn,

còn có thể được biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận như sau:

 

trong đó ma trận  cỡ  là ma trận hệ số, và vectơ là vectơ cột gồm các biến (ẩn số), vectơ cột gồm các giá trị ở vế trái.

Giả thiết rằng ma trận  có định thức khác 0.

Định lý khẳng định rằng trong trường hợp này hệ có nghiệm  duy nhất, các giá trị của từng biến một của nghiệm được cho bởi:

 

trong đó  là ma trận được tạo ra bằng thay cách thay cột thứ  của ma trận  bởi vectơ cột .

Chứng minh

Một chứng minh ngắn 
Một chứng minh ngắn gọn cho quy tắc Cramer có thể được đưa ra như sau: chú ý rằng  chính là định thức của ma trận sau

 

Mặt khác, giả thiết rằng ma trận ban đầu  là khả nghịch, ma trận  này có các cột , trong đó  là cột thứ n của ma trận . Nhớ lại rằng ma trận  có các cột là , suy ra . Vì thế, sử dụng kết quả rằng định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức, ta có

 

Chứng minh tương tự đối với các ẩn  khác.

Diễn giải hình học 

Quy tắc Cramer có một cách diễn giải hình học mà có thể được xem là một chứng minh trực quan hay đơn giản chỉ là đưa ra một cái nhìn sâu sắc về bản chất hình học của nó. Những lập luận hình học được đưa ra dưới đây là có hiệu lực trong tổng quát và không chỉ đúng trong trường hợp hệ hai phương trình hai ẩn được trình bày dưới đây.

Cho hệ phương trình tuyến tính

 

Có thể coi nó là một phương trình giữa các vectơ

 

Diện tích hình bình hành tô đậm thứ nhất trong hình, xác định bởi hai vectơ  và  được cho bởi định thức của hệ phương trình:

 

Nói chung, khi có nhiều hơn số biến và số phương trình, định thức của hệ  vectơ với  thành phần sẽ cho thể tích của hình hộp lục diện xác định bởi  vectơ đó trong không gian Euclid  chiều.

Vì thế, diện tích của hình bình hành thứ hai, xác định bởi hai vectơ  và , phải bằng  lần với diện tích của hình bình hành thứ nhất, vì một cạnh của nó đã được nhân lên với hệ số này. Cuối cùng, diện tích hình bình hành này, bởi nguyên lý Cavalieri, nó phải có diện tích bằng diện tích hình bình hành thứ ba được xác định bởi các vectơ

 và 

Diện tích của các hình bình hành thứ hai và thứ ba là bằng nhau, lập phương trình và thay vào các định thức tương ứng với các diện tích, ta có phương trình sau

 

từ đây quy tắc Cramer với  được suy ra, làm tương tự với , ta có điều phải chứng minh.

Ứng dụng

Biện luận tường minh hệ phương trình cỡ nhỏ 
Xét hệ phương trình tuyến tính

 

dưới dạng ma trận nó là

 

Giả sử  khác 0. Khi đó, nhờ các định thức, các ẩn  và  có thể tìm được tường minh bằng quy tắc Cramer như sau:

 

Quy tắc đối với ma trận  cũng tương tự. Cho hệ

 

có biểu diễn dưới dạng ma trận

 

Khi đó biểu thức các giá trị  và  có thể tìm được như sau:

Tìm ma trận nghịch đảo 
Cho  là một ma trận vuông  với các phần tử thuộc một trường . Khi đó:

 

trong đó  ký hiệu cho ma trận phụ hợp,  là định thức, và  là ma trận đơn vị. Nếu  khác 0 (khả nghịch) thì ma trận nghịch đảo của  là

 

Điều này cho ta một công thức để tính nghịch đảo của , nếu . Thật vậy, công thức này đúng khi  là một vành giao hoán, giả thiết  là một đơn vị. Nếu  không là đơn vị thì  không khả nghịch trên vành đó (nó có thể khả nghịch trên một vành lớn hơn trong đó một số phần tử khác đơn vị của  có thể khả nghịch).

Tham khảo

Liên kết ngoài 

 Proof of Cramer's Rule 
 WebApp descriptively solving systems of linear equations with Cramer's Rule 
 Online Calculator of System of linear equations
 Wolfram MathWorld explanation on this subject

Đại số tuyến tính
Định thức
Khoa học năm 1750