Định lý đa thức

Trong toán học, định lý đa thức mô tả khai triển của lũy thừa của một tổng theo lũy thừa của từng số hạng trong tổng đó. Nó là tổng quát hóa của định lý nhị thức, mở rộng từ các nhị thức cho các đa thức.

Định lý 
Đối với một số nguyên dương  và một số nguyên không âm bất kỳ , công thức định lý đa thức mô tả khai triển của tổng với  số hạng khi nâng lên một lũy thừa bất kỳ :

 

trong đó

 

được gọi là hệ số đa thức. Tổng được thực hiện trên tất cả các tổ hợp của các chỉ số nguyên không âm từ  đến  sao cho tổng của tất cả  là . Tức là, đối với mỗi số hạng của khai triển, các số mũ của  phải cộng lại bằng . Ngoài ra, tương tự với định lý nhị thức, các số có dạng  xuất hiện sẽ được lấy bằng 1 (ngay cả khi  bằng 0).

Trong trường hợp , mệnh đề này đơn giản thành định lý nhị thức.

Ví dụ 
Lũy thừa 3 của tam thức  được cho bởi

 

Điều này có thể tính được bằng tay, sử dụng tính chất phân phối của phép nhân cho phép cộng, nhưng nó cũng có thể được thực hiện (và có thể dễ dàng hơn) với định lý đa thức. Có thể "tính nhẩm" các hệ số đa thức từ các số hạng nhờ công thức hệ số đa thức. Ví dụ, số hạng:

  có hệ số 
  có hệ số

Biểu thức khác 
Biểu thức của định lý có thể được viết gọn hơn, sử dụng đa chỉ số:

 

trong đó

 

và

Chứng minh 
Chứng minh sau đây của định lý đa thức sử dụng định lý nhị thức và quy nạp trên biến .

Đầu tiên, với , hai vế đều bằng  do chỉ có một số hạng với  trong tổng. Đối với bước quy nạp, giả sử định lý đa thức đúng với . Khi đó:

 

bởi giả thiết quy nạp. Áp dụng định lý đa thức cho thừa số cuối,

 
 

từ đây hoàn thành quy nạp. Bước cuối cùng có được là do

 

có thể dễ dàng thấy được bằng cách viết ba hệ số trên với giai thừa như sau:

Hệ số đa thức 
Các số

 

xuất hiện trong định lý được gọi là các hệ số đa thức. Chúng có thể được biểu diễn bằng nhiều cách, bao gồm một tích của các hệ số nhị thức hoặc giai thừa:

Số cách chọn theo một phân bố 

Các hệ số đa thức có ý nghĩa toán học tổ hợp trực tiếp, là số cách để sắp xếp  vật thể phân biệt vào  ngăn phân biệt, với  vật trong ngăn thứ nhất,  vật trong ngăn thứ hai, và tiếp tục vậy đến . Nó cũng là số các hoán vị của một chuỗi với độ dài gồm  ký tự và mỗi ký tự phân biệt thứ  tới  xuất hiện tới đúng  lần.

Số các hoán vị được thiết lập bằng cách:

 Chọn  trong tổng số  vật để cho vào ngăn 1 (hay chọn  trong  vị trí trong chuỗi để điền vào ký tự thứ nhất). Có thể thực hiện điều này với  cách.
 Trong số  vật còn lại chọn  vật để cho vào ngăn 2. Số cách thực hiện là .
 Trong số  vật còn lại chọn  vật cho vào ngăn 3. Tuơng tự, số cách thực hiện là .

Nhân số cách chọn trong mỗi bước ta có được:

 

Sau khi khử và rút gọn ta có công thức trên.

Tổng của tất cả hệ số đa thức 
Thay các  đối với mọi  vào định lý đa thức

 

cho thấy ngay

 

Đây cũng là tổng số các hoán vị của một chuỗi độ dài , trong đó mỗi trong số  ký tự phân biệt có thể xuất hiện với số lần bất kỳ tới .

Số các hệ số đa thức 
Số các số hạng trong một tổng đa thức, ký hiệu là , bằng số các đơn thức bậc  trên các biến :

Tam giác Pascal tổng quát 
Ta có thể sử dụng định lý đa thức để tổng quát hóa tam giác Pascal của hệ số nhị thức thành hình chóp Pascal (đối với tam thức) hay đơn hình Pascal (đối với đa thức). Điều này cho phép cách lập nhanh một bảng tra cứu cho các hệ số đa thức.

Xem thêm 

 Phân phối đa thức

Tham khảo 

Giai thừa
Toán học tổ hợp