Nguyên lý bao hàm-loại trừ

Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, nguyên lý bao hàm-loại trừ (hay nguyên lý bao hàm và loại trừ hoặc nguyên lý bù trừ) là kỹ thuật đếm tổng quát cho phương phát tìm số các phần tử của hợp của hai tập hữu hạn sau:

 

trong đó A và B là hai tập hữu hạn và |S | là số lực lượng của tập hợp S (có thể coi là số phần tử trong tập hợp nếu tập hợp đó hữu hạn). Công thức trên nói rằng khi cộng kích thước của hai tập hợp với nhau, giá trị cho có thể quá lớn bởi có thể sẽ có một số phần tử bị đếm hai lần. Các phần tử bị đếm hai lần nằm trong phần giao của hai tập hợp đó và do đó để tìm ra đúng giá trị, ta trừ đi kích thước của phần giao.

Nguyên lý bao hàm-loại trừ là dạng tổng quát của trường hợp chỉ xét hai tập hợp, nên để bắt đầu ví dụ, ta xét công thức cho ba tập hợp A, B và C:

 

Ta có thể kiểm chứng công thức này bằng cách đếm số lần mỗi vùng trong biểu đồ Venn nằm trong vế phải của công thức. 

Tổng quát hoá các ví dụ này sẽ dẫn tới nguyên lý bao hàm-loại trừ. Để tìm lực lượng của hợp của  tập hợp:

 Thêm lực lượng của các tập hợp.
 Trừ lực lượng của các phần giao của 2 tập hợp.
 Thêm lực lượng của các phần giao của 3 tập hợp.
 Trừ lực lượng của các phần giao của 4 tập hợp.
 Thêm lực lượng của các phần giao của 5 tập hợp..
 Tiếp tục cho đến khi xét hết phần giao của n tập hợp. Bước cuối sẽ là thêm vào nếu  lẻ và trừ đi nếu  chẵn}}.

Tên bao hàm-loại trừ lấy từ ý tưởng ta thêm các bao hàm, rồi sau đó loại trừ các phần thừa.
Khái niệm này được gắn tên với Abraham de Moivre (1718), mặc dù nó ban đầu xuất hiện trong giấy của Daniel da Silva (1854) và sau đó trong bài viết của J. J. Sylvester (1883). Đôi khi, công thức này được gọi là công thức Da Silva hay công thức Sylvester, do quá trình xuất bản. Nguyên lý này cũng được coi là một ví dụ về một phương pháp sàng được dùng nhiều trong lý thuyết số và đôi khi cũng được gọi là công thức sàng trong bối cảnh đó.

Bởi các xác suất hữu hạn được đếm rồi tính tương ứng với lực lượng của không gian xác suất, công thức cho nguyên lý bao hàm-loại trừ vẫn hợp lệ khi ta thay lực lượng của các tập hữu hạn bằng các xác suất hữu hạn. Tổng quát hơn, cả hai phiên bản này đều có đặt nằm dưới lý thuyết độ đo.

Trong ngữ cảnh rất trừu tượng, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể biểu diễn bằng phép tính nghịch đảo của một ma trận nào đó. Nghịch đảo này có cấu trúc đặc biệt, nên nguyên lý này là một trong những kỹ thuật đếm cực kỳ hữu dụng trong tổ hợp và các nhánh toán học có liên quan. Theo lời của Gian-Carlo Rota:

"Một trong những nguyên lý hữu dụng nhất khi liệt kê trong xác suất rời rạc và lý thuyết tổ hợp là nguyên lý bao hàm-loại trừ trứ danh. Nếu áp dụng đúng cách, nguyên lý này có thể trả lời cho rất nhiều bài toán tổ hợp."

Công thức 
Trong công thức tổng quát của nó, nguyên lý bao hàm-loại trừ phát biểu rằng với  tập hợp hữu hạn , ta có định thức sau:

Công thức trên có thể viết gọn thành

 

hoặc

 

Nói bằng từ, để đếm số phần tử của hợp hữu hạn các tập hợp hữu hạn, trước hết lấy tổng các lực lượng của các tập hợp đó, rồi trừ đi lực lượng của tập các phần tử xuất hiện ít nhất trong hai tập hợp, sau đó thêm lại số phần tử xuất hiện trong ít nhất ba tập hợp và tiếp tục như thế. Quá trình luôn dừng là bởi không có phần tử nào xuất hiện nhiều hơn số tập hợp đang xét. (Ví dụ chẳng hạn, nếu  thì không có phần tử nào xuất hiện trong nhiều hơn  tập hợp)

Trong ứng dụng, ta thường dùng nguyên lý này dưới dạng sử dụng phần bù. Tức là, gọi  là tập phổ dụng hữu hạn chứa tất cả các tập  và ta gọi  là phần bù của  trong , theo luật De Morgan, ta có

 

Một phiên bản khác của công thức trên được phát biểu như sau: gọi  là danh sách các tính chất mà mỗi phần tử thuộc tập hợp  có thể có hoặc không có, khi đó nguyên lý bao hàm-loại hàm cho phép đếm số các phần tử thuộc  và không có tính chất nào trong các tính chất trên bằng cách đặt  là tập con của tập các phần tử thuộc  và có tính chất  và sử dụng nguyên lý trên trong dạng phần bù. Phiên bản này bắt nguồn từ J. J. Sylvester.

Các ví dụ

Đếm số nguyên 
Đây là ví dụ đơn giản trong áp dụng nguyên lý bao hàm-loại trừ, xét câu hỏi sau:

 Có bao nhiêu số nguyên trong tập {1, …, 100} không chia hết cho 2, 3 hoặc 5?

Gọi S = {1,…,100} và P1 là tính chất số nguyên chia hết cho 2, P2 là tính chất số nguyên chia hết cho 3 và P3 là tính chất số nguyên chia hết cho 5. Gọi Ai là tập con của S chứa các phần tử có tính chất Pi, ta đếm được rằng: |A1| = 50, |A2| = 33, và |A3| = 20. Có 16 số nguyên chia hết cho 6, 10 số chia hết cho 10, và 6 số chia hết cho 15. Và cuối cùng, chỉ có 3 số chia hết cho 30, nên số các số nguyên không chia hết cho bất kỳ 2, 3 hoặc 5 được tính bằng:

 100 − (50 + 33 + 20) + (16 + 10 + 6) − 3 = 26.

Đếm số mất thứ tự 
Một câu hỏi phức tạp hơn trên được phát biểu như sau.

Giả sử có bộ n lá bài được đánh số từ 1 đến n.  Ta gọi lá số m nằm đúng vị trí nếu nó là lá thứ m trong bộ bài. Hỏi có bao nhiêu cách, (ký hiệu là W), để xáo bộ bài sao cho trong bộ có ít nhất 1 lá nằm đúng vị trí?

Ta bắt đầu bằng cách định nghĩa Am, là số các thứ tự bài mà trong đó lá thứ m nằm đúng vị trí. Khi đó, số các thứ tự W, với ít nhất một lá nằm đúng vị trí được tính bởi

 

Áp dụng nguyên lý bao hàm-loại trừ,

 

Mỗi giá trị  biểu diễn tập các phép xáo trong đó có ít nhất p giá trị m1, …, mp đang nằm đúng vị trí.  Lưu ý rằng số các xáo trộn với ít nhất p giá trị nằm đúng chỉ phụ thuộc vào p, chứ không trên giá trị cụ thể của .  Ví dụ chẳn hạn, số các phép xáo có vị trí thứ 1, thứ ba và thứ 17 nằm đúng bằng với số các phép xáo có vị trí thứ 2, thứ 5 và thứ 14 nằm đúng.  Ta chỉ quan tâm rằn trong n lá đó và trong trường hợp xét ba lá, có 3 vị trí được chọn là vị trí đúng.  Do đó có  phần tử bằng nhau trong tổng thứ pth (xem tổ hợp).

 

 là số các thứ tự có p phần tử nằm đúng vị trí, và bằng với số xếp thứ tự với n − p phần tử còn lại, hay (n − p)!.Do đó cuối cùng ta được:

 

Hoán vị mà không có lá nào nằm đúng vị trí được gọi là mất thứ tự. Lấy n! là số các hoán vị, xác suất Q rằng một phép xáo ngẫu nhiên sẽ sinh ra xáo trộn được tính bởi

 

đây là dạng rút gọn về n + 1 phần tử của khai triển Taylor của e−1. Do đó xác suất đoán một thứ tự cho một bộ bài đã được xáo và sai mọi lá rơi vào khoảng e−1 hay 37%.

Trường hợp đặc biệt 

Trường hợp xảy ra trong ví dụ xáo trộn xảy ra nhiều lúc nên nhận được chú ý đáng kể. Cụ thể, trường hợp đặc biệt xảy ra khi kích thước của các tập giao xuất hiện trong công thức cho nguyên lý bao hàm-loại trừ chỉ dựa vào số tập hợp trong phần giao chứ không quan tâm tới tập nào xuất hiện trong đó. Nói bằng công thức, tức là:

 

có cùng số lực lượng, tức αk = |AJ|, với mọi tập con k phần tử J của {1, …, n}, thì

 

Hoặc viết dưới dạng phần bù, trong đó tập phổ dụng S có lực lượng α0,

Tổng quát hoá công thức 

Cho họ các tập con (cho phép lặp lại) A1, A2, ..., An của tập phổ dụng S, nguyên lý bao hàm-loại trừ tính số các phần tử thuộc S mà không nằm trong bất kỳ tập con nào trong họ này. Dạng tổng quát của khái này sẽ tính số các phần thuộc S và thuộc duy nhất m tập con.

Gọi N = [n] = {1,2,…,n}. Nếu ta định nghĩa , thì nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể viết lại như sau sử dụng ký hiệu trong đoạn trước: số các phần tử thuộc S nhưng không thuộc bất kỳ Ai là:

 

Nếu I là tập con cố định của tập chỉ số N, thì số phần tử thuộc Ai với mọi i thuộc I và không phần tử khác thuộc về là:

 

Định nghĩa các tập sau

 

Để tính số các phần tử không thuộc bất kỳ Bk nào, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ (với ), bằng với

 

Tương ứng K ↔ J = I ∪ K giữa các tập con của N \ I và các tập con của N có chứa I là song ánh và nếu J và K tương ứng với nhau dưới ánh xạ này thì BK = AJ, cho thấy kết quả hợp lệ.

Trong xác suất 

Trong xác suất, cho các biến cố A1, ..., An trong không gian xác suất , nguyên lý bao hàm-loại trừ cho trường hợp n = 2 là

 

và cho trường hợp n = 3:

 

và trong tổng quát

 

có thể viết gọn lại thành

 

trong đó tổng cuối chạy trên tất cả tập con I của 1, …, n và chứa chính xác k phần tử, và

 

là giao của tất cả các Ai với chỉ số thuộc I.

Theo các bất đẳng thức Bonferroni, tổng của các phần tử đầu tiên thay phiên là cận trên và cận dưới cho vế trái. Ta có thể dùng ý này để tính xấp xỉ khi công thức đầy đủ quá dài để tính. 

Đối với không gian độ đo (S,Σ,μ) và các tập con đo được A1, …, An với độ đo hữu hạn, các định thức trên vẫn đúng khi độ đo xác suất  được thay bằng độ đo μ.

Trường hợp đặc biệt 

Nếu, trong phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ, xác suất của giao các AI chỉ dựa trên số lực lượng của I, nghĩa là với mọi k thuộc {1, …, n} tồn tại ak sao cho

 

thì công thức trên giản hoá thành

 

,sử dụng suy luận tổ hợp với hệ số nhị thức . Ví dụ chẳng hạn, nếu các biến cố  đều độc lập và phân phối đều với nhau, thì  với mọi i, và ta có , và khi đó công thức ngay trên giản hoá tiếp thành

 

(Kết quả này cũng có thể thu được bằng xét phần giao của các phần bù của các biến cố .)

Tồn tại dạng giản hoá tương tự cho trường hợp không gian độ đo  và các tập con đo được A1, …, An với độ đo hữu hạn.

Các công thức khác 

Nguyên lý đôi khi được phát biểu dưới dạng sau : nếu

 

thì

Phiên bản tổ hợp và phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ đều lấy từ ().

Nếu ta coi  là tập các ước nguyên tố của nó, thì () là dạng tổng quát của công thức biến đổi ngược Möbius cho các số tự nhiên square-free (là các số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào). Do vậy, () được xem là công thức biến đổi ngược Möbius cho đại số liên thuộc của tập sắp thứ tự riêng phần tất cả tập con của A.

Đối với dạng tổng quát của bản đầy đủ của công thức biến đổi ngược Möbius, () phải được tổng quát hoá bằng cách xét các đa tập (cho phép có phần tử trùng nhau trong tập hợp). Khi dùng đa tập thay vì tập hợp, Công thức () trở trình

trong đó  là đa tập thoả mãn , và

 μ(S) =  1 nếu S là tập hợp (tức đa tập không có cặp phần tử trùng nhau) có số lực lượng chẵn
 μ(S) =  −1 nếu S là tập hợp có số lực lượng lẻ.
 μ(S) =  0 if S là đa tập (tức S có cặp phần tử trùng nhau).

Quan sát rằng  là  của () trong trường hợp  là tập hợp.

Ứng dụng 

Nguyên lý bao hàm-loại trừ được sử dụng rộng rãi nên chỉ có một vài được nhắc ở dưới đây.

Đếm số phần giao 
Nguyên lý bao hàm-loại trừ khi kết hợp với luật De Morgan, có thể dùng để đếm số lực lượng của phần giao của các tập hợp. Gọi  là phần bù của Ak tương ứng với tập phổ dụng A nào đó sao cho  với mỗi k. Khi đó ta có

 

Do đó chuyển bài toán từ đếm phần giao sang đếm phần hợp.

Tô màu đồ thị 
Nguyên lý bao hàm-loại trừ lập thành cơ sở của các thuật toán giải các bài phân hoạch đồ thị thuộc lớp NP-hard, ví dụ chẳng hạn như tô màu đồ thị.

Một ứng dụng nổi bật của nguyên lý là phương pháp xây đa thức xắc số.

So khớp hoàn hảo trong đồ thị hai phía 
Số các so khớp hoàn hảo của một đồ thị hai phía có thể tính bằng nguyên lý này.

Đếm số toàn ánh 
Câu hỏi đặt ra là cho hai tập con A và B, có bao nhiêu hàm toàn ánh đi từ A đến B? Không mất tính tổng quát, ta có thể lấy A = {1, ..., k} và B = {1, ..., n}, bởi ta chỉ quan tâm đến lực lượng của mỗi tập hợp. Gọi S là tập các hàm từ A đến B, và định nghĩa với mỗi i thuộc B, tính chất Pi :"hàm bỏ qua giá trị i thuộc B" (i không nằm trong ảnh của hàm số), nguyên lý bao hàm-loại trừ sẽ đếm số toàn ánh giữa A và B như sau:

Đếm các hoán vị cấm vị trí 
Hoán vị của tập hợp S = {1, ..., n} trong đó mỗi phần tử thuộc S có thể bị cấm ngồi vị trí nào đó (ở đây là hoán vị được coi là cách sắp xếp thứ tự các phần tử thuộc S) được ta tạm gọi là hoán vị cấm vị trí. Ví dụ chẳng hạn, cho S = {1,2,3,4}, các hoán vị thoả mãn hai điều kiện cấm: 1 không được nằm tại vị trí 1 hoặc 3, và 2 không nằm trong vị trí 4 là: 2134, 2143, 3124, 4123, 2341, 2431, 3241, 3421, 4231 và 4321. Đặt Ai là tập các vị trí mà i không được phép ngồi vào, và tính chất Pi là tính chất đặt i vào vị trí Ai, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể dùng để đếm số các hoán vị thoả mãn tất cả điều kiện cấm.

Trong ví dụ trên, có 12 = 2(3!) hoán vị thoả mãn tính chất P1, 6 = 3! hoán vị thoả mãn tính chất P2 và không có hoán vị nào cho P3 hoặc P4 bởi không có điều kiện cấm cho hai giá trị đó. Số các hoán vị thoả mãn các điều kiện cấm cho trước là:

 4! − (12 + 6 + 0 + 0) + (4) = 24 − 18 + 4 = 10.

Số 4 ở cuối bước tính toán là số các hoán vị thoả mãn đồng thời hai tính chất P1 và P2.

Đa thức quân xe 

Đa thức quân xe là hàm sinh số cách đặt các quân xe không tân công lẫn nhau trên bàn cờ B trông như tập con của các ô vuông của bảng kẻ ô; nghĩa là, bất kỳ hai con xe không được phép đặt cùng hàng hay cùng cột và bàn cờ B là tập con bất kỳ của các ô vuông của một bàn cờ hình chữ nhật có n hàng và m cột; ta có thể gọi nó là tập các ô được phép đặt quân lên. Hệ số rk(B) của xk trong đa thức quân xe RB(x) là số cách đặt k quân xe trong đó không có cái nào trong đó tấn công cái còn lại và có thể xếp trong bàn cờ B. Cho bất kỳ bàn B, có bàn bù  chứa các ô vuông cùa bàn hình chữ nhật và không nằm trong B. Cái bàn bù này cũng có đa thức quân xe  cùng với các hệ số 

Đôi khi để tiện cho tính toán, ta tính hệ số cao nhất trong đa thức quân xe bằng các hệ số của đa thức quân xe của bàn bù.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n ≤ m, do đó hệ số này là rn(B). Số cách đặt n quân xe không tấn công lẫn nhau trên bàn kẻ ô đầy đủ n × m (chưa quan tâm tới việc liệu các quân có đúng đặt trong bànB) được tính theo giai thừa giảm sau:

 

Gọi Pi là tính chất đặt n quân xe không tấn công nhau trên bàn đầy đủ có quân ở cột i và không nằm trong ô thuộc bàn B, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ, ta có công thức:

Hàm phi Euler 

Hàm phi Euler hay gọi ngắn lại đi là hàm phi, φ(n) là hàm số học đếm số các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Nghĩa là, nếu n là số nguyên dương, thì φ(n) là số các số nguyên k thuộc đoạn 1 ≤ k ≤ n không có ước chung với n nào khác ngoài 1. Nguyên lý bao hàm -loại trừ có thể dùng để tìm ra công thức cho φ(n). Gọi S là tập {1, …, n} và định nghĩa tính chất Pi là số thuộc S chia hết cho số nguyên tố pi, với 1 ≤ i ≤ r,trong đó phân tích thừa số nguyên tố của

 

thì,

Nguyên lý bao hàm-loại trừ bị pha loãng 

Trong nhiều trường hợp nguyên lý có thể đưa công thức chính xác (chẳng hạn như đếm số nguyên tố khi sử dụng sàng Eratosthenes), công thức suy ra được đôi khi không hữu dụng bởi số các phần tử của nó quá nhiều. Và, kể cả khi mỗi số hạng trong đó có thể được ước lượng chính xác, thì tổng các sai số có thể khiến cho công thức bao hàm-loại trừ không áp dụng trực tiếp được. Trong lý thuyết số, vấn đề này được Viggo Brun nhắc tới. Sau một khởi đầu chậm, các ý tưởng của ông dần được thu nhận bởi người khác, và từ đó một lượng lớn phương pháp sàng được phát triển dựa trên đó. Các phương pháp này có thể dùng để thử tìm cận trêm cho các tập "đã được sàng", thay vì phải tìm công thức chính xác.

Gọi A1, ..., An là các tập hợp tuỳ ý và p1, …, pn là các số thực thuộc đoạn [0, 1]. Khi đó, với mỗi số nguyên chẵn k thuộc {0, …, n}, các hàm chỉ thị đều thoả mãn bất đẳng thức sau:

Chứng minh công thức chính 

Chọn một phần từ nằm trong hợp tất cả các tập và gọi  là các tập chứa nó. Bởi phần tử được đếm 1 lần theo vế trái của phương trình (), nên ta cần chứng minh nó cũng được đếm duy nhất 1 lần theo vế phải. Trong vế phải, các phần cộng giá trị không diễn ra khi các tập con có chứa phần tử được chọn, tức là tất cả tập được chọn đều từ . Phần cộng đều bằng một cho mỗi tập hợp này (cộng hoặc trừ dựa trên số hạng) và do đó chỉ cần dựa trên số tập con được dùng. Khi đó ta có

 

Theo định lý nhị thức,

 

Sử dụng ý  là đổi chỗ các số hạng đi, ta được

 

và do vậ, phần tử được chọn được đếm duy nhất một lần trong vế phải của phương trình ().

Chứng minh bằng đại số 
Chứng minh bằng đại số theo các hàm chỉ thị (hay còn gọi là hàm đặc trưng). Hàm chỉ thị của tập con S của tập X là hàm

 

Nếu  và  là hai tập con của , thì 

 

Gọi A là hợp  của các tập hợp A1, …, An. Để chứng minh nguyên lý bao hàm-loại trừ trong tổng quát, trước hết ta cần kiểm tra định thức

cho hàm chỉ thị, trong đó:

 

Hàm sau

 

bằng không là bởi: nếu x không thuộc A, thì tất cả các nhân tử đều là 0 − 0 = 0; và ngược lại, nếu x có thuộc một số Am, thì nhân tử thứ m tương ứng là 1 − 1 = 0.Bằng cách mở rộng tích ở vế trái, suy ra phương trình ().

Để chứng minh nguyên lý bao hàm-loại trừ cho lực lượng của tập hợp , ta lấy tổng phương trình () trên tất cả các x thuộc hợp của A1, …, An. Để từ đây lấy ra phiên bản xác suất, cho giá trị kỳ vọng vào (). Và tổng quát hơn, lấy tích phân phương trình () tương ứng với to μ. Luôn sử dụng tính tuyến tính khi dẫn xuất ra các phiên bản này.

Xem thêm

Chú thích

Tham khảo 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Tổ hợp liệt kê
Lý thuyết xác suất

Nguyên lý toán học