Các định lý đẳng cấu

Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, các định lý đẳng cấu (hay còn được biết với tên các định lý đẳng cấu của Noether) là các định lý mô tả các mối quan hệ giữa thương, đồng cấu và vật con.  Các định lý này có các phiên bản dành cho nhóm, vành, không gian vectơ, môđun, đại số Lie, và nhiều cấu trúc đại số khác. Trong đại số phổ dụng, các định lý đẳng cấu được tổng quát hóa dưới các đại số và các phép tương đẳng.

Lịch sử 
Các định lý đẳng cấu được lần đầu viết thành công thức bởi Emmy Noether trong bài Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, bài viết được xuất bản năm 1927 trong tạo chí Mathematische Annalen.  Các phiên bản ít tổng quát hơn có thể được tìm thấy trong công trình của Richard Dedekind và các bài viết trước của Noether.

Ba năm sau, B.L. van der Waerden xuất bản cuốn sách trứ danh Moderne Algebra, cuốn sách này là sách đại số trừu tượng đầu tiên sử dụng hương tiếp cận nhóm-vành-trường cho chủ đề này. Van der Waerden ghi công các bài giảng của Noether trên lý thuyết nhóm và Emil Artin trên đại số, và chuyên đề được thực hiện bởi Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, và chính van der Waerden tự ghi chính mình cho các ideal làm nguồn tham khảo chính.

Nhóm

Lưu ý về số thứ tự và tên 
Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.

Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là định lý dàn, làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.

Phát biểu các định lý

Định lý A (nhóm) 

Đặt G và H là nhóm, và đặt f : G → H là đồng cấu nhóm. Khi đó:

 Hạt nhân của f là nhóm con chuẩn tắc của G,
 Ảnh của f là nhóm con của H, và
 Ảnh của f đẳng cấu với nhóm thương G / ker(f).

Đặc biệt là, nếu f là toàn ánh thì H đẳng cấu với G / ker(f).

Định lý B (nhóm) 

Đặt  là nhóm .  Gọi  là nhóm con của , và  là nhóm con chuẩn tắc của . Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn:

 Tích  là nhóm con của ,
 Phần giao  là nhóm con chuẩn tắc của , và
 Hai nhóm thương  và  đẳng cấu với nhau.

Song,thực ra  không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần  là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của  trong  là được. Trong trường hợp này, giao  không phải nhóm con chuẩn tắc của , nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của .

Định lý này đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu, định lý hình thoi hoặc định lý hình bình hành.

Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt , nhóm của các ma trận phức khả nghịch kích thước 2 × 2, , là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và  là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar , ta có , trong đó  là ma trận đơn vị, và . Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:

Định lý C (nhóm) 
Gọi  là nhóm và  là nhóm con chuẩn tắc của .
Khi đó

 Nếu  là nhóm con của  sao cho , thì  có nhóm con đẳng cấu với .
 Mọi nhóm con của  có dạng  cho một số nhóm  của  sao cho .
 Nếu  là nhóm con chuẩn tắc của  sao cho , thì  có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với .
 Mọi nhóm con chuẩn tắc của  có dạng  cho một số nhóm con chuẩn tắc  của  sao cho .
 Nếu  là nhóm con chuẩn tắc của  sao cho , thf nhóm thương  đẳng cấu với .

Định lý D (nhóm) 

Định lý tương ứng (hay còn được gọi là định lý dàn) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ ba hoặc thứ tư.

Bổ đề Zassenhaus (hay còn gọi là bổ đề con bướm) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ tự.

Vành 
Phát biểu cho các vành cũng tương tự với nhóm, trong đó thay nhóm con chuẩn tắc bằng ideal.

Định lý A (vành) 
Đặt R và S là vành và φ : R → S là đồng cấu vành. Khi đó:

 Hạt nhân của φ là ideal của R,
 Ảnh của φ là vành con của S, và
 Ảnh của φ đẳng cấu với vành thương R / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì S đẳng cấu với R / ker(φ).

Định lý B (vành) 
Đặt R là vành. Gọi S là vành con của R, và gọi I là ideal của R.  Khi đó:

 Tổng S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } là vành con của R,
 Phần giao S ∩ I là ideal của S, và
 Hai vành thương (S + I) / I và S / (S ∩ I) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (vành) 
Đặt R là vành, và I là ideal của R.  Khi đó

 Nếu  là vành con của  sao cho , thì  là vành con của .
 Mọi vành con của  có dạng  cho một số vành con  của  sao cho .
 Nếu  là ideal của  sao cho , thì  à ideal của .
 Mọi ideal của  có dạng  cho một số ideal  của  sao cho .
 Nếu  là ideal của  sao cho , thì vành thương  đẳng cấu với .

Định lý D (vành) 
Gọi  là ideal của .Phép tương ứng  là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con  chứa  của  sang tập các vành con của . Hơn nữa,  (vành con chứa ) là ideal của  khi và chỉ khi  là ideal của .

Môđun 
Phát biểu của các định lý dành cho các môđun đơn giản hơn vì ta luôn thu được môđun thương từ bất kỳ môđun con. Các định lý đẳng cấu cho không gian vectơ (môđun trên một trường) và nhóm giao hoán (môđun trên ) là các trường hợp đặc biệt.  Đối với các không gian vectơ hữu hạn số chiều, tất cả các định lý này đều có thể suy ra được từ định lý về hạng.

Dưới đây, từ "môđun" luôn có nghĩa "R-môđun" cho một số vành cố định R.

Định lý A (môđun) 
Đặt M và N là môđun và φ : M → N là đồng cấu môđun.  Khi đó:

 Hạt nhân của φ là môđun con của M,
 Ảnh của φ là môđun con của N, và
 Ảnh của φ đẳng cấu với môđun thương M / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì N đẳng cấu với M / ker(φ).

Định lý B (môđun) 
Đặt M là môđun, và đặt S và T là môđun con của M. Khi đó:

 Tổng S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} là môđun con của M,
 Phần giao S ∩ T là môđun con của M, và
 Môđun thương (S + T) / T và S / (S ∩ T) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (môđun) 
Đặt M là môđun, T là môđun con của M.

 Nếu  là môđun con của  sao cho , then  là môđun con của .
 Mọi môđun con of  có dạng  cho một số môđun con  của  sao cho .
 Nếu  là môđun con of  sao cho , thì môđun thương  đẳng cấu với .

Định lý D (môđun) 
Đặt  là môđun, và  là môđun con của . Khi đó có song ánh giữa các môđun con của  có chứa  và các môđun con của . Phép tương ứng được cho bởi  với mọi . Phép tương ứng này giao hoán với quá trình lấy tổng và phần giao (tức là nó là đồng cấu dàn giữa dàn của các môđun con của  và dàn của các môđun con  có chứa ).

Đại số phổ dụng 
Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.

Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số  là quan hệ tương đương  tạo đại số con của , đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần.  Ta có thể biến tập của các lớp tương đương  thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi  là đại số con của . Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.

Định lý A (đại số phổ dụng) 
Gọi  là đồng cấu đại số.  Khi đó ảnh của  là đại số con của , quan hệ cho bởi  (tức hạt nhân của ) tương đẳng trên , và hai đại số  và  đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm,   , nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)

Định lý B (đại số phổ dụng) 
Cho đại số , và đại số con  của , cùng với tương đẳng  trên , gọi  là vết của  trong  và  là họ các lớp tương đương giao với . Khi đó

  là tương đẳng trên ,
  là đại số con của , và
 Đại số  đẳng cấu với đại số .

Định lý C (đại số phổ dụng) 
Cho là đại số và  là hai quan hệ tương đẳng trên  sao cho . Khi đó  tương đẳng trên , và  đẳng cấu với

Định lý D (đại số phổ dụng) 
Cho  là đại số và đặt  là tập các tương đẳng trên . Tập
 là dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa.
Nếu  là tương đẳng và ta ký hiệu  là tập tất cả các tương đẳng chứa  (tức là  là bộ lọc chính của , hơn nữa nó còn là dàn con), khi đo
ánh xạ  là đẳng cấu dàn.

Chú thích

Tham khảo 

 Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96  (1927) pp. 26–61
 Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
 
 Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57