Paktoryal

Sa matematika, lalo na sa kombinatorika, ang paktoryal (Ingles at Kastila: factorial) ng isang di-negatibong buumbilang , itinala ng , ay pagpaparami ng lahat ng mga positibong buumbilang menos kaysa o katumbas sa . Ang paktoryal ng  din ay katumbas sa bunga ng  at kasunod na mas maliit na paktoryal:

Halimbawa,

Ang saysay ng 0! ay 1, ayon sa kumbensyon para sa isang basyong bunga ().

Nadiskubre ang mga paktoryal ng maraming sinaunang kultura, lalo na sa matematikang Indiyano sa kanonikong mga obra ng panitikan ng Hainismo, at ng mga mistikong Hudyo sa Talmudikong aklat Sefer Yetzirah. Hinahanap ang operasyong paktoryal sa maraming sangay ng matematika, lalo na sa kombinatorika, kung saan ang pinakabasal na paggamit ay bumibilang ng mga posibleng natatanging sekwensiya — mga permutasyon — ng  natatanging bagay: may . Sa pagsusuring matematikal, ginagamit ang mga paktoryal sa mga makapangyarihang serye para sa eksponensiyal na punsiyon at ibang mga punsiyon, at saka may mga aplikasyon sa alhebra, teorya ng bilang, teorya ng probabilidad, at agham pangkompyuter.

Nilinang ang karamihan ng matematika ng punsiyong paktoryal noong huling bahagi ng ika-18 at unang bahagi ng ika-19 na mga siglo. Idinudulot ng aproksimasyon ni Stirling ang tamang aproksimasyon ng mga paktoryal ng mga malalaking bilang, at ipinapakita na lumalaki mas mabilis kaysa sa eksponensiyal na paglaki. Inilalarawan ng pormula ni Legendre ang mga eksponente ng mga pangunahing bilang sa pangunahing paktorisasyon ng mga paktoryal, at nagagamit para sa bumilang ng pinal na mga sero ng mga paktoryal. Nagamit nina Daniel Bernoulli at Leonhard Euler ang paktoryal na punsiyon sa patuloy na punsiyon ng mga komplikadong bilang, kundi sa mga negatibong mga buumbilang, sa madaling salita, ang punsiyong gama (, o ).

Ang maraming ibang sikat na mga punsiyon at mga sekwensiya ng bilang ay malapit na kaugnay sa mga paktoryal. Mga ito ay sumasaklaw ng koepisyenteng binomyal, ng dobleng paktoryal, ng paktoryal na nagbabawas, ng primoryal, at ng subpaktoryal. Ang mga implementasyon ng paktoryal na punsiyon ay karaniwan na ginagamit para sa ipakita ang mga estilo sa pagpoprograma sa kompyuter, at sinasaklaw sa mga kalkulador pang-agham.

Kombinatorika
Elementaryong Alhebra
Mga punsiyon at pagmamapa