Heometriyang deribatibo

Ang diperensiyal na heometriya ay isang disiplina sa matematika na gumagamit ng mga tekniko ng diperensiyal at integral na kalkulo gayundin ang linyar at multilinear algebra upang pag-aralan ang mga problema sa heometriya. Simula noong huling yugto noong ikalabing siyam na siglo, ang diperensiyal na heometriya ay lumago sa larangang nauukol sa mas heneral na mga heometrikong straktura sa mga manipoldong diperensiyable. Ito ay malapit na nauugnay din sa diperensiyal na topolohiya at sa mga aspetong heometiko ng ng teoriya ng mga diperensiyal na ekwasyon. Ang patunay ni Grigori Perelman ng konhekturang Poincaré gamit ang mga tekniko ng daloy Ricci ay nagpakita ng kapangyarihan ng paraang diperensiyal heometriko sa mga katanungan sa topolohiya at nagbigay diin din ito ng mahalagang papel na ginagampanan sa mga paraang analitiko. Ang diperensiyal na heometriya ng mga surpasiyo ay sumasakop sa maraming mga mahahalagang ideya at tekniko na katangian ng larangang ito.

Mga sangay

Heometriyang Riemannian

Ang heometriyang Riemannian ay nag-aaral ng mga manipoldong Riemannian, mga diperensiyableng manipoldo na inihahayag sa pamamagitan ng makinis na positibong depinidong metriko. Eto ay konsepto ng distantansiya sa mga espasyong tangent sa bawat punto. Ang heometriyang Riemannian ay nilalahat ang heometriyang Euclidean sa mga espasyo na hindi kinakailangang patag bagaman ang mga ito'y katumbas pa rin ng espasyong Euclidean sa bawat puntong inpinitesimal o sa unang order ng aproksimasyon. Ang iba't ibang mga konsepto ng haba gaya ng arkong haba ng mga kurba, area ng mga rehiyong plano at bolyum ng mga solido ay tumatanggap ng mga natural na analogo ng heometriyang Riemannian. Ang nosyon ng direksiyonal na deribatib ng isang punsiyon sa multibariabulong kalkulo ay pinalawig sa heometriyang Riemannian sa nosyon ng mga kobariantong deribatibo ng isang tensor. Maraming mga konsepto at tekniko ng analisis at diperensiyal na ekwasyon ay nilahat sa kinalalagyan ng mga manipoldong Riemannian. 

Ang nag-iingat ng distansiyang dipeomorpismo sa pagitan ng mga manipoldong Riemannian ay tinatawag na isometriya. Ang nosyong ito ay inilalarawan ng lokal o sa mga maliit na kapitbahay ng mga punto. Ang anumang dalawang regular na mga kurba ay isometriko sa lokal. Gayunpaman, ang Theorema Egregium ni Carl Friedrich Gauss ay nagpapakita na sa mga surpasiyo, ang eksistensiya ng mga lokal na isometriya ay nagtatakda ng malakas ng kompatibilidad na mga kondisyon sa mga metriko nito: ang mga kurbadang Gaussian sa kaakibat na mga punto ay dapat pareho. Sa mataas na dimensiyon, ang kurbadang tensor na Riemann ay isang mahalaga inbarianto sa mga punto na nauugnay sa isang manipoldong Riemannian na sumusukat kung paano kalapit ito sa pagiging patag. Ang isang mahalagang uri ng manipoldong Riemannian ang simetrikong mga espasyong Riemannian na ang kurbada ay hindi kinakailangang konstante. Ang mga ito ang pinakamalapit na analogo sa isang ordinaryong plano at espasyo na itinuturing sa Euclidean at hindi-Euclidean na heometriya.

Heometriyang Pseudo-Riemannian
Ang heometriyang Pseudo-Riemannian ay isang kaso kung saan ang metrikong tensor ay hindi kinakailangang positibo-depinido. Ang isang espesyal na kaso nito ang manipoldong Lorentzian na matematikal na basehan ng teoriyang pangkahalatan ng relatibidad ni Albert Einstein.

Heometriyang Finsler 
Ang Heometriyang Finsler ay mayroong manipoldong Finsler bilang pangunahing obhekto ng pag-aaral. Eto ang diperensiyableng manipoldo na may metrikong Finsler o normang Banach na inilalarawan sa bawat espasyong tangent. Ang isang metrikong Finsler ay mas heneral na straktura kesa sa isang metrikong Riemannian. Ang isang strakturang Finsler sa isang manipoldong M ay isang punsiyong F : TM → [0,∞) kung saan:
 F(x, my) = |m|F(x,y) for all x, y sa TM,
 F ay walang hangganang diperensiyable sa TM − {0},
 Ang bertikal na Hessian ng F2 ay positibo depinido.

Heometriyang Simplektiko
Ang heometriyang simplektiko ang pag-aaral ng mga manipoldong simplektiko. Ang isang halos na manipoldong simplektiko ay isang diperensiyableng manipoldo na may makinis na nag-iibang hindi dehenerado simetrikong-lihis na anyong bilinyar sa bawat espasyong tangent o hindi deheneradong 2-anyong ω, na tinatawag na anyong simplektiko. Ang isang manipoldong simplektiko ay halos manipoldong simplektiko kung saan ang anyong simplektikong ω ay sarado: dω = 0.

Ang dipeomorpismo sa pagitan ng dalawang manipoldong simplektiko na nag-iingat sa anyong simplektiko ay tinatawag na simplektomorpismo. Ang hindi deheneradong simetrikong-libis na anyong bilinyar ay maaari lamang umiral sa even na mga dimensiyon na espasyong bektor kaya ang mga manipoldong simplektiko ay kinakailangang may even na dimensiyon. Sa dimensiyong 2, ang isang manipoldong simplektiko ay isa lamang surpasiyo na may anyong area at ang simplektomorpismo ay nag-iingat ng areang dipeomorpismo. Ang espasyong phase ng isang sistemang mekanikal ay isang manipoldong simplektiko at ang mga ito ay lumabas sa akda ni Lagrange sa analitikal na mekaniks at kalaunan ay sa pormulasyon nina Jacobi at Hamilton ng klasikong mekaniks. 

Sa pagsasalungat sa heometriyang Riemannian kung saan ang kurbada ay nagbibigay ng lokal na inbarianto ng mga manipoldong Riemannian, ang teorema ni Darboux's ay nagsasaad na ang lahat ng mga manipoldong simplektiko ay lokal na isomorpiko. Ang mga tanging inbarianto ng isang manipoldong simplektio ay global sa kalikasan at ang mga aspetong topolohikal ay malamang ang teoremang Poincaré-Birkhoff na kinonhektura ni Henri Poincaré at napatunayan ni  George Birkhoff noong 1912. Ito ay nag-aangkin na kung ang mapang nag-iingat ng area ng isang annulus ay pinipilipit ang bawat hangganang komponente sa kabaligtarang direksiyon, kung gayon ang mapa ay may kahit papaanong dalawang nakapirmeng punto.

Heometriyang kontakt
Ang heometriyang kontakt ay hinggil sa ilang mga manipoldo na may dimensiyong odd. Ito ay malapit sa heometriyang simplektiko at tulad ng huli, ito ay nagmula sa mga tanong ng klasikong mekaniks. Ang isang strakturang kontakt sa (2n+1)-dimensiyonal manipoldong M ay ibinibigay ng isang makinis na hiperplanong field na H sa bigkis na tangent(tangent bundle) na pinakamalayo na maugnay sa mga lebel na hanay ng diperensiyable punsiyon sa M (ang teknikal na termino ay "buong buong hindi integrableng tangent hiperplanong distribusyon" o "completely nonintegrable tangent hyperplane distribution"). Sa bawat malapit sa puntong p, ang isang hiperplanong distribusyon ay matutukoy sa pamamagitan ng wala saanmang naglalahong 1-form na  na uniko(unique) hanggang sa multiplikasyon ng isang wala saanmang naglalahong punsiyong: 

 

Ang lokal na 1-anyo sa M ay isang anyong kontakt kung ang restriksiyon ng panlabas na deribatibo nito sa H ay hindi deheneradong 2-anyo kaya ito ay naghihimok ng isang simplektikong straktura sa Hp sa bawat punto. Kung ang distribusyong H ay maaaring ilarawan ng isang global na 1-anyong , ang anyong ito ay kontakt kung at tanging kung ang tuktok na anyong dimensiyonal na 

 

ay isang anyong bolyum sa M o hindi naglalaho saan man. Ang isang analogong kontakt ng teoremang Darboux ay nagsasaad na: lahat ng mga strakturang kontakt sa isang odd-dimensiyonal na manipoldo ay lokal na isomorpiko at maaaring gawing isang lokal na anyong normal sa pamamamagitan ng nararapat na mapagpipiliang sistemang koordinado.

Heometriyang kompleks at Kähler
Ang kompleks na diperensiyal na heometriya ay pag-aaral ng mga manipoldong kompleks. Ang isang halos na manipoldong kompleks ay isang real na manipoldong  na may tensor ng uring (1,1) o endomorpismong bigkis na bektor(na tinawag na halos kompleks na straktura) 
, such that .

Sumusunod sa depinsiyong ito na ang halos kompleks na manipoldo ay even dimensiyonal. 

Ang isang halos kompleks na manipoldo ay tinatawag na kompleks kung ang , kung saan ang  ay tensor na uring(2,1) na kaugnay ng  na tinatawag na tensor na Nijenhuis (o minsan ay torsiyon).

Ang isang halos kompleks na manipoldo ay kompleks kung at tanging kung tumatanggap ito ng holomorpikongatlas na koordinado.

Ang isang manipoldong Hermitian ay ibinibigay ng halos kompleks na strakturang J, kasama ang metrikong riemannian na g na sumasapat sa kondisyong kompatibilidad
. 

Ang halos strakturang hermitian ay natural na naglalarawan ng 2-anyong diperensiyal.

.

Ang mga sumusunod na dalawang kondisyon ay magkatumbas:

 
 

kung saan ang  ang koneksiyong Levi-Civita ng . Sa kasong ito, ang  ay tinatawag na manipoldong Kähler at ang manipoldong Kähler ay mayroong strakturang Kähler. Sa partikular, ang manipoldong Kähler ay parehong kompleks at simplektikong manipoldo. Ang malaking klase ng mga manipoldong Kähler(ang klase ng manipoldong Hodge) ay ibinibigay ng lahat ng makinis na kompleks na prohektibong mga bariedad.

Heometriyang CR
Ang heometriyang CR ang pag-aaral ng mga intrinsik na heometriya ng mga hangganan ng mga sakop sa mga manipoldong kompleks.

Topolohiyang diperensiyal
Ang topolohiyang diperensiyal ang pag-aaral ng (global) na mga inbariantong heometriko na walang metriko o anyong simplektiko. Ito ay nagsisimula mula sa mga natural na operasyon gaya ng deribatibong Lie ng natural na mga bigkis na bektor at diperensiyal ng mga anyong de Rham. Bukod sa Lie alhebroid ang Kourant alhebroid ay nagsimulang gumanap ng mas mahalagang papel.

Mga grupong Lie
Ang isang grupong Lie ay isang grupo sa kategorya ng mga manipoldong makinis o bukod sa mga katangiang alhebraiko, eto ay nagtatamasa ng mga diperensiyal na heometrikong mga katangian. Ang pinakahalatang konstruksiyon ay ng alhebrang Lie na isang espasyong tangent sa unit na may braket Lie sa pagitan ng mga kaliweteng-inbariantong bektor field. Bukod sa teoriya ng straktura, meron ding malawak na larangan ng teoriyang representasyon. 

Diperensiyal na heometriya