Kontradiksiyon

Sa klasikong lohika, ang isang kontradiksiyon o salungatan ay binubuo ng isang inkompatibilidad na lohikal sa pagitan ng dalawa o higit pang mga proposisyon. Ito ay nangyayari kapag ang mga proposiyon na pinagsama ay nagbibigay ng dalawang mga konklusyon na bumubuo ng lohikal na karaniwan ay magkabaliktad na pagbabaliktad ng bawat isa. Ayon sa batas ng kawalang kontradiksiyon ni Aristotle, "ang isa ay hindi makapagsasabi ng isang bagay na ito ay at ito ay hindi sa parehong respeto at parehong panahon". Sa ektensiyon sa labas ng klasikong lohika, ang isa ay makapagsasalita ng mga kontradiksiyon sa pagitan ng mga aksiyon kapag ang isa ay nagpapalagay na ang kanilang mga motibo ay sumasalungat sa bawat isa.

Kontradiksiyon sa pormal na lohika

Paliwanag: Ang simbolong  (falsum) ay kumakatawan sa arbitraryong kontradiksiyon. Ang dual na simbolong  ay tumutukoy sa arbitraryong tautolohiya. Ang kontradiksiyon ay minsang sinisimbolo ng "Opq", at ang tautolohiya ng "Vpq".  Ang simbolong turnstile,  ay kadalasang binabasa bilang "nagbibigay" o "nagpapatunay".

Sa klasikong lohika, partikular na sa lohikang proposisyonal at lohikang unang order, ang proposisyong  ay isang kontradiksiyon kung at tanging kun ang . Dahil para sa kontradiktoryong   totoo na ang   para sa lahat ng  (dahil ang ), mapapatunayan ng isa ang anumang proposisyon mula sa isang hanay ng mga aksiyom na naglalaman ng mga kontradiksiyon. Ito ay tinatawag na prinsipyo ng pagsabog o "ex falso quodlibet" ("mula sa pagiging hindi totoo, anuman ang nais mo").

Sa lohikang kakumpletuhan, ang isang pormula ay kontradiktoryo kung at tanging kung ito ay hindi masasapatan.

Patunay sa pamamagitan ng kontradiksiyon
Para sa isang proposisyong  totoo na ang , i. e. na ang  ay isang tautolohiya i. e. na ito ay palaging totoo kung at tanging kung ang , i. e. kung ang negasyon ng    ay isang kontradiksiyon. Kaya, ang isang patunay na ang  ay nagpapatunay rin na ang  ay too. Ang paggamit ng katotohanang ito ay bumubuo ng pamamaraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksiyon na malawak na ginagamit ng mga matematiko. Ito ay lumalapat lamang sa isang lohikang gumagamit ng hindi isinamang gitnang   bilang isang aksiyom. Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksiyon ay ginagamit sa matematika upang lumikha ng mga patunay.

Kalkulus na proposisyonal
Lohika