Hangganan (kalkulo)

Ang hangganan(limit) ng isang punsiyon ay isang pangunahing konsepto sa kalkulo at matematikal na analisis tungkol sa pag-aasal ng isang punsiyon kung ito ay malapit sa ibinigay na input.

Depinisyon

Simpleng depinisyon
Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na c kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa c. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa c. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa  halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng c ngunit hindi eksakstong c. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:

Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng  ng  habang ang  ay papalapit sa ". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay  at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang  ay papalapit sa . Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong . Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:

Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:

Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang  ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng  ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang  ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng  habang ang  ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang  ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".

Pormal na depinisyon

Ang letrang ε(epsilon) ay maaaring maunawaan na "kamalian"(error) ng halaga ng punsiyon(f(x)) sa hangganan(L) at ang δ(delta) ang "distansiya" ng x sa a. Ang ε ay mapapaliit kung ang δ ay mapapaliit. Kung pipili tayo ng ε, makakahanap tayo ng δ na sa bawat ε, merong δ kung saan ang distansiya ng f(x) at L ay mas maliit sa ε:   kung ang distansiya ng x sa c ay mas maliit sa δ: 

Halimbawa, ang hangganan ng punsiyong  habang ang  ay papalapit sa 4 ay 11 o sa notasyong hangganan ay: 

Upang patunayan na ang hangganan ay talaga ngang 11, kailangan nating patunayan na kahit ano ang halaga ng  na ibinigay, makakahanap tayo ng halaga ng  kung saan ang: 

sa tuwing ang: 

Kung itatakda ang , kailangang patunayan na ang:

Ngayon, itumbas ang δ sa ε:

.

Ang resulta ay  

Pansinin na ang  ay naging katumbas ng : 

na siya nating nais patunayan.

Kontinuidad
Ang isang punsiyon na ƒ  ay sinasabing tuloy tuloy(continuous) sa c kung ito ay inilalarawan sa c at ang halaga sa c ay katumbas ng hangganan ng f habang ang x ay papalapit sa c: 

 
Kung ang kondisyong 0 < |x − c| ay inalis sa depinisyon ng hangganan, ang resultang depinisyon ay katumbas ng pag-aatas na ang f ay maging tuloy tuloy sa c. 

Kung ang punsiyong f ay may halagang real, ang hangganan ng f sa p ay L kung at tanging kung ang parehong kanang hangganan at kaliwang hangganan ng f at p ay umiiral at katumbas ng L. 

Ang punsiyong f ay tuloy tuloy sa p kung at tanging kung ang hangganan ng f  f(x) sa x habang papalapit sa p ay umiiral at katumbas ng f(p). Kung ang f : M → N ay isang punsiyon sa pagitan ng mga metrikong espasyo na M at N, kung gayon, ito ay katumbas na f ay binabago ang bawat sekwensiya(sequence) sa M na nagtatagpo(converges) patungo sa p sa sekwensiya sa N na nagtatagopo patungo sa f(p).

Kung ang N ay isang espasyong bektor na normado(normed vector space), ang operasyong hangganan ay linyar sa pagkaunawang: kung ang hangganang f(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L at ang hangganan ng g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay P, kung gayon ang hangganan ng f(x) + g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L + P. Kung  ang a ay skalar sa baseng field, kung gayon ang hangganan ng af(x) habang ang x ay papalapit sa p ay aL.

Kung ang f ay isang punsiyon na may halagang real o kompleks, ang pagkuha ng hangganan at umaayon sa mga operasyong alhebraiko, kung ang mga hangganan sa kanang bahagi ng ekwasyon ay umiiral. Ang tawag dito ay Alhebraikong teorema ng hangganan. Ang mga patakaran ng teoremang ito ay ang sumusunod:  

Sa bawat kaso sa itaas, kung ang hangganan sa kanan ay hindi umiiral o sa huling kaso, ang hangganan sa parehong numerador at denominador ay sero, gayunpaman ang hangganan sa kaliwa na tinatawag na anyong hindi matukoy(indeterminate form) ay maaari pa ring umiral. Ito ay depende sa mga punsiyong f at g. Ang mga patakarang ito ay balido sa isang gilid na mga hangganan sa kaso ng p = ±∞, gayundin sa inpinadong hangganan(infinite limit) gamit ang sumusunod na mga patakaran:  
q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
q × ∞ = ∞ if q > 0
q × ∞ = −∞ if q < 0
q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

Walang pangakalahatang patakaran sa kaso ng  q / 0; ito ay depende sa kung paano ang 0 ay nilalapitan. Ang mga hindi matukoy na anyo gaya ng 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞—are ay hindi sakop ng mga patakarang ito, ngunit ang mga katumbas na hangganan ay matutukoy gamit ang Patakarang L'Hôpital o ang Teorema ng piga.

Diskontinuidad

Ang diskontinuidad(discontinuity) ay punto kung saan ang isang punsiyon ay hindi tuloy tuloy(continuity). Maraming mga instansiya na ito ay maaaring mangyari. Halimbawa, ang punsiyong  ay hindi tuloy tuloy sa  dahil kung ilalapat ang hangganan sa puntong ito, ang praksiyon ay magreresulta sa  na sa matematika ay hindi matutukoy(undefined). Gayunpaman, ang isang diskontinuidad ay maaalis dahil kung babaguhin ang punsiyon sa puntong ito, maaari nating alisin ang diskontinuidad at gawin ang punsiyon na tuloy tuloy. Upang gawing tuloy tuloy ito, kailangang pasimplehin ang   upang magresulta ng . Maaari na tayong maglarawan ng bagong punsiyon na  kung saan ang . Ang punsiyong ito ay hindi pareho sa orihinal na punsiyong  dahil maaaring tukuyin ang  sa . Ang  ay tuloy tuloy sa  dahil ang . Gayunpaman, sa tuwing ang , ; ang ating ginawa sa   upang magresulta ng  ay gawin itong matutukoy sa halagang . 

Hindi lahat ng diskontinuidad ay maaaring alisin sa isang punsiyon. Halimbawa ang punsiyon na: 

Dahil ang  ay hindi umiiral, walang paraan na maaaring muling tukuyin ang   sa isang punto upang ito'y maging tuloy tuloy sa 0. Ang parehong isang gilid na mga hangganan ay umiiral:  at  ngunit ang dalawang ito ay hindi magkatumbas kaya ang talangguhit ay tumatalon mula sa isang gilid ng 0 hanggang sa kabila. Sa kasong ito, ang punsiyon ay may "tumatalong diskontinuidad"(jump discontinuity). Ang tumatalong diskontinuidad ay isang uri ng diskontinuidad na hindi maaalis.

Paghahanap ng hangganan
Kung ang isang punsiyon ay naglalarawan ng rasyonal, trigonometriko, logaritmiko at eksponensiyal na mga punsiyon at ang bilang na  ay nasa sakop ng punsiyon, kung gayon ang hangganan sa   ay hanganan sa halaga ng punsiyon sa  . Kung ang  ay wala sa sakop ng punsiyon, kung gayon sa maraming instansiya(gaya ng sa rasyonal na punsiyon), ang sakop ng punsiyon ay kinabibilangan ng lahat ng punto na malapit sa  ngunit hindi mismong sa . Ang isang halimbawa ay kung nais nating hanapin ang  , kung saan ang sakop ay kinabibilangan ng lahat ng mga bilang maliban sa sero. Sa instansiyang ito, upang mahanap ang   kailangan nating maghanap ng punsiyon na  na katulad ng  maliban sa butas(hole) sa . Ang mga hangganan ng  at ay pareho gaya ng makikita sa depinisyon ng  hangganan. Sa depinisyon ito, ang hangganan ay depende sa  lamang sa mga punto kung ang  ay malapit sa  ngunit hindi katumbas nito, kaya ang hangganan sa  ay hindi dumidepende sa halaga ng punsiyon sa . Samakatuwid, kung ang , . At dahil sa ang sakop ng ating bagong punsiyon ay kinabibilangan ng , maaari na natin ilapat ang hangganan sa  (kung ipagpalagay nating ang punsiyon ay naglalarawan pa rin sa rasyonal, trigonometriko, logaritmiko, at eksponensiyal na mga punsiyon). Ang resulta ay . Sa ating halimbawa, ang pagkakansela ng  sa numerador at denominador ay nagreresulta sa  na katumbas ng   sa lahat ng mga punto maliban sa sero. Ang hangganan ay  . Sa pangkalahatan, kung kukwentahin ang mga hangganan ng mga rasyonal na punsiyon, ang isang mabuting ideya ay maghanap ng mga karaniwang mga paktor sa numerador at denominador. 

Merong intansiya na ang hanggangan ay hindi umiiral: 
May pagitan: Kung may pagitan(hindi lamang sa isang punto) kung saan ang punsiyon ay hindi matutukoy. Halimbawa, sa punsiyong , ang  ay hindi umiiral kung ang . Walang paraan na malalapitan ang gitna ng grapo. Upang ang hangganan ay umiral, ang punto ay dapat malalapitan mula sa kaliwa at kanang gilid.
Tumatalon: Kung ang grapo(talangguhit) ay biglang tumatalon sa ibang antas, ang hangganan ay hindi umiiral sa puntong ito ng pagtalon. Halimbawa, kung itatakda ang  na maging pinakamalaking intedyer na . Kung gayon, kung ang  ay isang intedyer kung ang  ay papalapit sa  mula sa kanan, habang ang  ang  ay papalapit mula . Sa gayon, ang  ay hindi iiral. 
Bertikal na asymptote: Kung ang grapo ay nagiging sobrang taas habang papalapit sa sero gaya ng sa punsiyong 

Walang hangganang osilasyon(pag urong sulong). Kung ang grapo ay patuloy na tumataas sa taas at babagsak sa ilalim ng linyang horisontal. Sa ibang salita, ang grapo ay nag-aasal ng ganito ng walang hanggan kung ito ay papalapit sa isang halaga ng . Gayunpaman, kung ang taas ng bawat osilasyon ay papaliit habang ang grapo ay papalapit sa isang partikular na halaga ng , maaaring ito ay may hangganan. Ang halimbawa nito ay ang punsiyong trigonometriko na . Habang ang  ay papalapit sa 0, ang punsiyon ay patuloy na nagpapaurong sulong sa pagitan ng  at 1. Ang katunayan, ang  ay nagpapaurong sulong sa walang hanggang bilang sa interbal ng 0 at anumang positibong halaga ng . Ang punsiyong sine ay katumbas ng sero sa tuwing ang kung saan ang  ay isang positibong intedyer. Sa pagitan ng bawat dalawang intedyer na , ang   ay nagpapaurong sulong sa pagitan ng 0 at  o 0 at 1. Samakatuwid, ang  sa bawat . Sa bawat magkasunod na mga pares ng halagang  at , ang  ay nagpapaurong sulong mula sa 0 patungo sa  o mula 1 pabalik sa 0. Maaaring mapansin na mayroong walang hanggang bilang ng mga pares na ito at ito'y nasa pagitan ng 0 at . Merong may hangganang bilang ng mga gayong pares sa pagitan ng positibong halaga ng  at kaya may walang hangganang bilang sa pagitan ng anumang positibong halaga ng  at 0. Sa ating pangangatwiran, maaari nating mahinuha na habang ang  ay papalapit sa 0 mula sa kanan, ang punsiyong   ay hindi papalapit sa anumang spesipikong halaga. Samakatuwid, ang   ay hindi umiiral.

Mga basikong(basic) patakaran ng hangganan at pagpapatunay nito

Upang mapatunayan na ang , kailangan nating hanapin ang isang  na sa bawat ,  sa tuwing .   at , kaya   ay idependiyenteng masasapatan sa bawat halaga ng ; samakatuwid, maaari tayong pumili ng anumang  na ating naisin at ang  na kundisyon ay totoo.

Upang patunayan ang , kailangan nating humanap ng  na sa bawat ,  sa tuwing ang . Kung pipiliin , ito ay sasapat sa kondisyon. 

Dahil sa binigyan tayo ng , mayroon isang punsiyon na tawagin nating , na sa bawat ,  sa tuwing ang . Ngayon, kailangan nating humanap ng  na sa lahat ng ,  sa tuwing ang .
Una, ipagpalagay natin na ang .  , kaya ang . Sa kasong ito, kung itatakda ang , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganans.
Ngayon kung ipagpalagay nating ang . Dahil sa ang  ay may hangganan sa , alam natin sa depinisyon ng hangganan na ang  ay inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng  (maliban siguro kung sa  mismo). Sa partikular, alam nating ang  ay hindi lumalaki sa inpinidad sa loob ng D (maliban na lang siguro sa , ngunit hindi ito makakaapekto sa hangganan), kaya ang   sa D. Dahil sa ang  ay isang konstanteng punsiyon na  sa D, ang hangganan na  sa pamamagitan ng konstanteng patakaran para sa mga hangganan.
Ngayon, ipagpalagay na ang .  , kaya ang  . Sa kasong ito, kung itatakda ang , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganan. 

Dahil sa binigyan tayo ng  at , mayroon dapat mga punsiyon na tawagin nating  at , na sa lahat ng ,  sa tuwing ang , at . sa tuwing ang  .
Kung idagdag ang dalawang inekwalidad ay magreresulta ng . Sa pamamagitan ng inekwalidad ng tatsulok, mayroon tayong , kaya mayroon tayong   sa tuwing ang  at . Itakda natin ang  na maging mas maliit sa  at . Sa gayon, ang   ito ay sasapat sa depinisyon ng hangganan para sa  na mayroon hangganan na .

Ilarawan ang . Sa pamamagitan ng patakaran produkto para sa mga hangganan, .  Sa pamamagitan ng patakaran suma para sa mga hangganan, .

Itakda natin ang  na maging kahit anong positibong bilang. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahiwatig ng pag-iral mga positibong bilang na  na ang 
 kapag ang 
 kapag ang 
 when 
Ayon sa ikatlong kondisyon, makikita natin na ang:
 when 
Ipagpalagay nating ang  at gamit ang (1) at (2) makakamit natin ang 

Kung maipapakita nating ang , kung gayon ay maaari tayong maglarawan ng isang punsiyon na  bilang  at gamitin ang patakaran produkto para sa mga hangganan upang patunayan ang teorema. Kaya kailangan lang nating patunayan na ang  .
Itakda natin ang   na maging anumang positibong bilang. Ang pagpapalagay ay nagpapahiwatig ng pag-iral ng mga positibong mga bilang na  na sa 
 kapag ang 
 kapag ang 
Ayon sa ikalawang kondisyon, makikita nating ang 
 kapag ang 
na nagpapahiwatig na: 
 kapag ang 
Ipagpalagay nating na ang  at gamit ang (1) at (3), makakamit natin ang: 

Mula sa mga asumpsiyon, alam nating may umiiral na  na kung  at  kapag ang .
Ang mga inekwalidad na ito ay katumbas ng   at  kapag ang  .
Kung gagamitin ang alam natin na relatibong pag-aayos ng , at , mayroon tayong 
 kapag ang .
o
 kapag ang .
Kaya ang 
 kapag ang .

Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon

Iba pang hangganan

Hangganan ng Logaritmiko at eksponensiyal na punsiyon

Hangganan ng mga trigonometrikong punsiyon

Espesyal na hangganan

Tignan din
Kalkulo
calculus
nl:Limiet#Limiet van een functie