Alhebrang basal

Sa alhebra, isang malawak na sangay ng matematika, ang alhebrang basal (kung minsan alhebrang moderno) (sa Ingles, abstract algebra) ay pag-aaral ng mga alhebraikong estruktura. Isinasama ng mga alhebraikong estruktura ang mga grupo, singsing, patlang, modulo, espasyong bektor, sala-sala (lattices) at alhebra. Ang terminong alhebrang basal ay nilikha noong ika-20 dantaon upang makilala itong sangay mula sa ibang mga sangay ng alhebra.

Ang mga alhebraikong estruktura, na may kaugnay na mga homomorpismo, ay bumubuo ng mga matematikal na kategorya. Ang teorya ng kategorya ay isang pormalismo na pinapayagan ang pinag-isang paraan upang maipahayag ang mga katangian at konstruksiyon na katulad para sa iba't ibang mga estruktura.

Ang alhebrang unibersal ay kaugnay na sangay na nag-aaral ng mga uri na alhebraikong estruktura bilang solong mga bagay. Halimbawa, ang estruktura ng mga grupo ay solong bagay sa alhebrang unibersal, na tinatawag ang pagkakaiba-iba ng mga grupo (variety of groups).

Kasaysayan 

Tulad ng sa ibang sangay ng matematika, ang mga nadaramang problema at halimbawa ay naglaro ng isang mahalagang papel sa pag-unlad ng alhebrang basal. Sa katapusan ng ika-19 na dantaon, ang maraming – marahil karamihang – ganyang problema ay nauugnay sa teorya ng mga alhebraikong ekwasyon. Isama ng mga pangunghing tema ang:

 Paglutas ng mga sistema ng linyar na ekwasyon, na humantong sa alhebrang linyar,
 Paghahanap para sa pormula para sa mga heneral na polinomial na ekwasyon, na may mas mataas na digri, na humantong sa pagtuklas na mga grupo bilang abstraktong pagpapakita ng simetriya, at
 Aritmetikong pagsisiyat na pormang kwadratiko at mas mataas, at na mga ekwasyon ni Diophantus, na humantong direkta sa mga nosyon ng singsing at na ideal.

Ang maraming aklat-aralin ay nagsisimula sa mga aksyomatikong depinisyon ng iba't ibang alhebraikong estruktura, at pagkatapos nagtatatag ng kanilang mga katangian. Gumagawa ang ito ng maling pakiramdam na sa alhebra ang mga aksiyoma ay pundasyon, pagkatapos pagganyak at batayan para sa mas maraming pag-aaral. Ang totoong kaayusan ng makasaysayang pagsulong ay halos eksaktong kabaligtaran. Halimbawa, ang mga hiperkomplikadong bilang ng ika-19 na dantaon ay may mga pagganyak na kinematikong at pisikal na pagganyak pero nilabanan ang pag-unawa. Ang karamihan sa mga teorya, na kinikilala ngayon bilang mga bahagi ng alhebra, ay nagsimula bilang mga koleksyon ng magkakaibang katotohanan, nakuha ng karaniwang tema na naglingkod bilang isang gitna kung saan naipangkat ang iba't ibang mga resulta, at sa wakas pinag-isa ng isang karaniwang hanay ng mga konsepto. Ang pangunahing halimbawa ng unti-unting pagbubuo ng ito ay kasaysayan ng teorya ng grupo.

Maagang teorya ng grupo 

Mayroong iba-ibang hibla sa maagang pag-unlad ng teorya ng grupo, na tumutugma maluwag (sa modernong wika) sa teorya ng bilang, teorya ng ekwasyon, at heometriya.

Isaalang-alang si Leonhard Euler ang mga alhebraikong operasyon sa mga bilang modulo buumbilang—modular na aritmetiko—sa kanyang heneralisasyon ng maliit na teorema ni Fermat. Ang mga pagsisiyat na ito ay isinulong ng Carl Friedrich Gauss, na isaalang-alang ng estruktura ng mga multiplikatibong grupo ng mga nalalabi mod n at nagtatag maraming katangian ng mga siklikong at mas heneral na mga abelianong grupo na lumilitaw kaya. Sa kanyang pagsisiyat ng komposisyon ng mga binaryong kwadratikong porma, si Gauss ay tahasang sinabi ng nag-uunay ng batas para sa komposisyon ng mga porma, pero kagaya ni Euler bago siya, Gauss ay mas interesado sa mga nadaramang resulta higit sa teoryang heneral. Sa 1870, si Leopold Kronecker ay depinihin ang abelianong grupo sa konteksto ng mga grupong ideal na klase, na heneralisahin ang mag-trabaho ni Gauss, pero parang hindi pinag-isa ang kanyang kahulugan sa dating trabaho sa mga grupo, talaga mga grupong permutasyon. Sa 1882, si Heinrich M. Weber, na isaalang-alang ang parehong tanong, ay napansin ang koneksyon at ibinigay ang katulad na kahulugan, na nagdawit ng katangian ng pagkansela pero laktawan ang kabaligtaran elemento, na sumapat sa kanyang konteksto (mga may hangganan na grupo).

Inaral ang permutasyon ng Joseph-Louis Lagrange sa kanyang sanaysay noong 1770,  (Mga pag-iisip tungkol sa alhebraikong solusyon ng mga ekwasyon), na talakayin ang mga solusyon ng mga alhebraikong ekwasyon, at kung saan ipakilala ang mga resolbente ni Lagrange. Ang layunin ni Lagrange ay upang maunawaan kung bakit may mga pangkalahatang pormula para sa mga solusyon ng mga ekwasyon na may pangatlo o pang-apat na digri, at ikilala ang permutasyon ng sero ng punsiyon bilang isang pangunahing bagay. Ang mahalagang naiibang pagsulong ni Lagrange sa sanaysay na ito ay abstraktong pagtingin ng mga ugat,  bilang mga simbolo at hindi bilang numero. Gayunman, hindi isaalang-alang ang komposisyon ng mga permutasyon. Nagkataon, sa parehong taon lumitaw ang unang edisyon ng  (Pagmumuni-muni tungkol sa alhebra) ni Edward Waring, na may isang panalawak na bersyon noong 1782. Pinatunayan ng Waring ang pundamental na teorema ng mga simetrikong polinomial, at talaga isaalang-alang ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat ng isang kwartikong ekwasyon at kanyang resolbenteng kubiko.  (Alaala tungkol sa solusyon ng mga ekwasyon) ni Alexandre Vandermonde (1771) ay nagkabuo ng teorya ng mga simetrikong punsiyon mula sa bahagyang naiibang anggulo, pero bilang Lagrange, gusto niyang maunawaan ang mga solusyon ng mga alhebraikong ekwasyon.

Si Paolo Ruffini ay unang tao na bumuo na teorya ng mga permutasyong grupo, at bilang kanyang mga hinalinhan, sa konteksto ng solusyon ng mga alhebraikong ekwasyon. Gusto niyang magpakita ng pagka-imposible ng isang alhebraikong solusyon para sa heneral na alhebraikong ekwasyon na may digri na higit sa apat. Patungo sa layuning ito, ipakilala ang mga nosyon ng:

 Orden ng isang elemento ng isang grupo,
 Pagkakondyuget (conjugacy, yan ay, ng kondyuget na elemento sa isang grupo),
 Siklikong dekomposisyon ng mga elemento sa permutasyong grupo, at
 Mga nosyon ng nauna (primitive) at hindi-nauna,

at pinatunayan ang ilang mahahalagang teorema na kaugnay ng mga konsepto, halimbawa:

Gayunman, makaya niya nang walang ginawing pormal ang konsepto ng isang grupo, ni kahit ng permutasyong grupo. Ang susunod na pagsulong ay ginawa ng Évariste Galois noong 1832, bagaman ang kanyang trabaho ay hindi nai-publish hanggang 1846, kapag isaalang-alang, sa unang pagkakataon, ang katangian na tinatawag ngayon na katangian ng pagsara (closure property) ng grupo ng mga permutasyon, na ipinahayag niya kaya:

Ang teorya ng mga permutasyong grupo ay umunlad higit pa sa mga kamay ni Augustin Cauchy at Camille Jordan, sa pamamagitan ng pagpapakilang ng mga bagong konsepto at, samakatuwid, isang kayamanan ng mga resulta tungkol sa mga espesyal na klase ng mga permutasyong grupo at kahit ilang pangkalahatang mga teorema. Bukod sa ibang bagay, depinihin ng Jordan ang nosyon ng , pa rin sa konteksto ng mga permutasyong grupo, at hindi sinasadya, pinasikat ang termino ng grupo.

Lumitaw ang abstraktong nosyon ng isang grupo sa unang pagkakataon sa mga papel ni Arthur Cayley noong 1854. Napagtanto na isang grupo ay hindi dapat isang permutasyong grupo (o kahit na may hangganan), at sa halip maaaring binubuo ang mga baskagan. Sa mga susunod na taon, imbestigahan nang puspusan ang kanilang mga katangian, tulad ng pagpaparami at mga pagbabaligtad. Sa paglaon, binisita muli ang tanong ng kung ang mga abstraktong grupo ay mas pangkalahatan kaysa sa mga permutasyong grupo, at pinakita na, sa katunayan, anumang grupo ay isomorpiko sa grupo ng mga permutasyon.

Alhebrang moderno 

Sa katapusan ng ika-19 at sa pagsisimula ng ika-20 dantaon, may pagbabago sa metodolohiya ng matematika. Umusbong ang alhebrang basal malapit sa simula ng ika-20 dantaon, may pangalan ng alhebrang moderno. Ang kanyang pag-aaral ay bahagi ng kailangan para sa mas maraming intelektwal na higpit (intellectual rigor) sa matematika. Sa simula, ang mga palagay sa alhebrang klasiko, na kung saan ang lahat ng matematika (at mahahalagang bahagi ng mga natural na agham) ay depende, ginawang mga aksyomatikong sistema. Ang mga matematiko, para sa kanino ang pagtukoy ng mga katangian ng nasasalat na mga bagay ay hindi na nasapat, ay sinimulan nilang isaalang-alang ang pangkalahatang teorya. Sa ika-19 na dantaon umusbong ang mga pormal na depinisyon ng tiyak na mga alhebraikong estruktura. Halimbawa, ang mga resulta tungkol sa iba't ibang grupo ng permutasyon ay nakita bilang mga halimbawa ng mga pangkalahatan teorema na nauugnay pangkalatahan nosyon ng isang grupong abstrakto. Naging mahalaga ang mga tanong tungkol sa estruktura at pag-uuri ng iba't ibang matematikal na bagay.

Ang mga ganoong proseso ay naganap sa buong matematika, pero naging lalo na kilalang sa alhebra. Ang mga pormal na depinisyon gamit ang mga batayang operasyon at mga aksiyoma ay imungkahi para sa maraming batayang alhebraikong estruktura, halimbawa mga grupo, singging, at patlang. Kaya naman ang mga bagay tulad ng teorya ng grupo at teorya ng singsing ay naging mga bahagi ng purong matematika. Depinihin ng alhebrang basal ang alhebraikong pagsisiyasat na mga heneral na patlang ni Ernst Steintz at na mga komutatibong (at mamaya heneral na) singsing ni David Hilbert, Emil Artin at Emmy Noether, na isulong ang trabaho ni Ernst Kummer, Leopold Kronecker at Richard Dedekind, na isaalang-alang ang mga ideal sa komutatibong singsing, at ni Georg Frobenius at Issai Schur, tungkol sa teorya ng representasyon ng mga grupo. Ang mga pagsulong na ito, sa huling isang-kapat ng ika-19 at sa unang isang-kapat ng ika-20 dantaon, ay inilarawan nang puspusan ng  ni Bartel van der Waerden, monograp na may dalawang bolyum, na i-publish noong 1930–1931, at na binago magpakailanman para sa matematikal na mundo ang kahulugan ng salitang alhebra, mula teorya ng mga ekwasyon hanggang teorya ng mga alhebraikong estruktura.

Mga batayang konsepto 

Sa pamamagitan ng pag-abstract ng mga partikular, depinihin ng mga matematiko ang iba't ibang alhebraikong estruktura na ginagamit sa maraming sangay ng matematika. Halimbawa, halos lahat ng mga sistema na pinag-aaralan ay mga pangkat, kung saan malalapat ang mga panuntunan ng teorya ng pangkat. Ang mga pangkat, kung saan ginamit ang isang tiyak na binaryong operasyon, ay bumubuo ng mga magma, kung saan malalapat ang mga konsepto tungkol sa mga magma, pati na rin yung mga nauugnay sa pangkat. At saka, maidagdag ang iba't ibang pagpigil, bilang pagkaakibat (upang makalikha ng mga semigrupo), identidad, at pagbabaligtad (upang makalikha ng mga grupo). Gamit ang karagdagang estruktura, maaari silang mapatunayan ang mas maraming teorema, pero bumababa ang kanilang kasaklawan. Ang "herarkiya" ng mga alhebraikong bagay (tungkol sa kasaklawan) ay gumawa ng herarkiya ng mga kaukulang teorya: halimbawa, ang mga teorema ng teorya ng grupo ay maaari silang magamit para sa pag-aaral ng mga singsing (mga alhebraikong bagay na may dalawang binaryong operasyon na namang may tiyak na mga aksiyoma) kasi ang isang singsing ay isang grupo tungkol sa partikular na operasyon. Karaniwan may balanse sa pagitan ng kasaklawan at kayamanan ng isang teorya: mas pangkahalatan ng mga estruktura ay may mas kaunting kapaki-pakinabang na teorema at mas kaunting paggamit.

Mga halimbawa ng mga alhebraikong estruktura na may solong binaryong operasyon ay:

 Magma
 Kwasigrupo
 Monoide
 Semigrupo
 Grupo

Mga halimbawa na may iba-ibang operasyon ay:

 Singsing
 Patlang
 Modulo
 Espasyong bektor
 Alhebra sa kabilang patlang
 Alhebrang nag-uugnay
 Alhebra ni Lie
 Sala-sala (matematika) (lattice)
 Alhebrang Boolean

Mga paggamit 

Dahil sa kayamanan nito, ang alhebrang basal ay ginagawit sa maraming sangay ng matematika at ng agham. Halimbawa, gumawa ang alhebraikong topolohiya ng mga alhebraikong bagay upang pag-aaral mga topolohiya. Ang haka-haka ni Poincaré, na pinatunayan noong 2003, nagpapahayag na ang pundamental na grupo ng isang manifold, na i-encode ang impormasyon tungkol sa pagkakakonekta, maaaring magamit upang matukoy kung ang isang manifold ay isang espera. Nag-aaral ang alhebraikong teorya ng bilang ng iba't ibang singsing ng bilang, upang gawing pangkalahatan ng pangkat na mga buumbilang. Gamit ang teoryang ito, si Andrew Wiles ay pinatunayan ang huling teorema ni Fermat.

Sa pisika, ginagamit ang mga grupo upang kumatawan ng mga simetriyang operasyon, at paggamit ng teorya ng grupo ay maaaring gawing simple ang mga diperensiyal na ekwasyon. Sa teorya ng panukat (gauge theory) ang pangangailangan ng lokal na simetriya ay maaaring magamit upang hinuhain ang mga ekwasyon na ilalarawan ang isang sistema. Ang mga grupo na ito, na ilalarawan ang mga simetriya na ito, ay grupo ni Lie, at ang pag-aaral ng mga grupo ni Lie at mga alhebra ni Lie ay isiniwalat ang marami tungkol sa pisikal na sistema. Halimbawa, bilang ng mga tagadala ng puwersa sa isang teorya ay katumbas na dimensiyon ng alhebra ni Lie, at mga boson na ito ay nakikipag-ugnayan sa puwersa na kontrolin, kung ang alhebrang Lie ay hindi abeliano.

Tingnan din 

 Teorya ng pag-code
 Teorya ng grupo
 Listahan ng mga publikasyon tungkol sa alhebrang basal

Mga sanggunian 

Abstraktong alhebra