Integrasyon sa pagpapaliit

Ang Integrasyon sa pagpapaliit(Integration by reduction formula) ay isang paraan para mahanap ang integral ng isang punsiyon.  Ang paraang ito ang isa sa pinakaunang paraan ng integrasyon sa buong mundo.

Paraan
Ang pagpapaliit na pormula ay maaaring matamo gamit ang anumang karaniwang paraan ng integrasyon gaya ng Integrasyon sa substitusyon,
Integrasyon ng mga bahagi, Trigonometrikong substitusyon, Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon at iba pa. Ang ideya ay ihayag ang integral na kinasasangkutan ng isang kapangyarihan ng isang punsiyon na kumakatawan sa In sa mga termino ng integral na kinasasangkutan ng mas mababang kapangyarihan ng punsiyong ito, halimbawa ang example In-2. Sa paraaang ito, ang pagpapaliit na pormula ay nagiging ugnayang rekursibo. Sa ibang salita, ang pagpapaliit na pormula ay inihahayag ang ang integral na  sa mga termino ng , kung saan ang  . Upang kwentahin ang integral, ang n ay papalitan ng halaga nito at gagamitin ang pagpapaliit na pormula ng paulit ulit hanggang maabot ang punto kung saan ang punsiyon na iintegraduhin(integrate) ay maaaring kwentahin na karawniwan kung ito ay kapangyarihan ng 0 o 1. Tapos ihahalili ang resulta ng paurong hanggang sa makwenta ang  In.

Halimbawa

Magtakda ng pagpapaliit na pormula na maaaring gamitin upang mahanap ang . Samakatuwid, hanapin ang .

Ang pagpapaliit na pormula:

Upang mahanap ang :
: 
: 

，

, where C is a constant.

Mga tabla ng pagpapaliit na pormula

Mga rasyonal na punsiyon
Ang mga sumusunod na integral
 ay naglalaman ng:
Mga paktor ng linyar ng radikal na 
Mga linyar na paktor  at ang linyar na radikal na
Mga kwadratikong paktor na 
Mga kwadratikong paktor na , para sa 
Mga kwadratikong paktor , para sa 
Hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor(Irreducible quadratic factors) na 
Mga radikal ng hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor na 

tandaan na sa batas ng mga indises(law of indices) ng eksponente:

Mga punsiyong transendental

Ang mga sumusunod na integral  ay naglalaman ng:
Mga paktor ng sine
Mga paktor ng cosine
Mga paktor ng produkto at kosiyente ng sine at cosine products 
Produkto/kosiyente ng eksponesiyal na mga paktor at mga kapangyarihan ng x
Mga produkto ng ekponensiyal at sine/cosine na mga paktor

Pagtatamo ng mga pangkalahatang integral
Sa sumusunod, ang mga indises(indices) ay mga positibong mga intedyer na
.

Mga deribasyon
Kung papansin, maraming mga pagpapaliit na pormula ng isang indeks na In (o hindi naglalaman ng dalawang indises kung saan ang Im,n) ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo: 

kung saan ang  ay kumakatawan sa paglipat(shift) ng mga integral na p ng paurong relatibo sa  , at ang A at B ang mga tinipong mga dagdag na mga termino(hindi mga konstante), ang pangkalahatang pormula para sa mga integral na ito ay matatagpuan gamit ang paulit ulit na paghalali ng pagurong(backward subtitution):   

etc., so the general recurrence shift is:

kung saan ang q ay isang multiple ng p. Isagawa ang paurong na paghalili sa indeks na n - pq, at maingat na palawgin ang mga braket:

na nagreresulta ng:

{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|
|}

Ito ay maaaring gamitin upang makamit ang integral na kasing layo pabalik sa mga indises na pq relatibo sa n, ngunit makakatulong kung babaguhin ang mga indises sa q, depende sa piniling p (hindi mahalaga kung ang n o q ang indeks). Ang pagbabago ay isang simpleng paghalili:

Kung ang I0 ay alam, maaaring itakda ang , tapos ang  upang ang 

Kung ang  I0 ay alam, maaaring itakda ang , tapos  upang ang 

Malimit, gaya ng makikita sa mga tabla sa taas ang p = 1 o p = 2, upang ang pagpapaliit na pormula ay maaring itakda gaya ng:

Pagpapatunay

Ang isang indaktibong pagpapatunay ay magpapakita na ang pangkahalatang pormula na   upang maging totoo ang . Ang pagpapatunay ay maaaring hatiin sa dalawa sa katulad na paraan sa itaas:

Kasong 1: one for  so 

Kasong 2: one for  so 

Sa kasong 2, ang paglipat ng indeks ay  +1, upang ang pagpapatunay maging katulad sa kasong 1. Ang kasong 1 lamang ang pinatunayan sa ibaba:

Kasong 1''':

Maaaring mahanap na ang:

ay totoo para sa q = 1;

Ngayon ipagpapalagay na:

ay totoo para sa isang  q > 1, tapos ipakita ang pormula ay totoo para sa q + 1:

na umaayon sa paglipat ng indeks mula  I0 patungo sa Ip at Ipq patungo I''pq+p sa +p. Kaya ang pormula ay tototoo .

Sanggunian

calculus