ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม () คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle) และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม  (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง  จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิสูจน์  

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้  คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้  เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้  คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม  ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า  เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ 

จาก  จะพบว่า 
 
จาก  จะพบว่า 

เนื่องจาก  ดังนั้น   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว 

เนื่องจาก    เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า  (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ 

 เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม    

ในทำนองเดียวกัน   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป 

เนื่องจาก  เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า  (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ 

  ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม 

เนื่องจาก    เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา   

 

จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม   ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ  ซึ่งจะได้ว่ามุม  ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก

ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม ,  และ  เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

ดังนั้นแสดงว่า   เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

หมายเหตุ 
ก.   ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗

ข.   รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม 

ค.  จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ 
เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector) 
จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด

ดูเพิ่ม 
 Carnot's theorem
 Sangaku
 Wasan

อ้างอิง 

ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม