142857

142857 คือชุดตัวเลขหกหลักในทศนิยมซ้ำของ  นั่นคือ 0. และเป็นจำนวนวัฏจักรอันเป็นที่รู้จักในเลขฐานสิบ ซึ่งหากคูณจำนวนนี้ด้วย 2, 3, 4, 5 และ 6 จะได้คำตอบเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวัฏจักร (หรือเชิงวงกลม) ของจำนวนนี้เอง และสอดคล้องกับตัวเลขในทศนิยมซ้ำของ , , ,  และ  ตามลำดับ

การคำนวณ 

 1 × 142,857 = 142,857
 2 × 142,857 = 285,714
 3 × 142,857 = 428,571
 4 × 142,857 = 571,428
 5 × 142,857 = 714,285
 6 × 142,857 = 857,142
 7 × 142,857 = 999,999

หากคูณด้วยจำนวนเต็มที่มากกว่า 7 มีกระบวนการอย่างง่ายเพื่อให้เกิดการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวัฏจักรของ 142857 โดยแยกผลลัพธ์ออกเป็นสองจำนวน จำนวนหนึ่งเป็นหกหลักสุดท้ายของผลลัพธ์ (หลักหน่วยถึงหลักแสน) อีกจำนวนเป็นหลักตัวเลขที่เหลือ นำจำนวนทั้งสองมาบวกกัน ถ้าผลบวกที่ได้มากกว่าหกหลักให้ทำซ้ำกระบวนการนี้อีก สุดท้ายจะได้การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวัฏจักรของ 142857 ดังตัวอย่าง

 142,857 × 8 = 1,142,856
 1 + 142,856 = 142,857

 142,857 × 815 = 116,428,455
 116 + 428,455 = 428,571

 142,8572 = 142,857 × 142,857 = 20,408,122,449
 20,408 + 122,449 = 142,857

แต่ถ้าคูณด้วยพหุคูณของ 7 จะได้ผลลัพธ์เป็น 999999 ในกระบวนการนี้

 142,857 × 74 = 342,999,657
 342 + 999,657 = 999,999

หากแบ่งจำนวนนี้ออกเป็นสองจำนวน จำนวนละสามหลัก นำแต่ละจำนวนยกกำลังสอง แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาลบกัน จะได้การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวัฏจักรของจำนวนนี้เช่นกัน

 8572 = 734,449
 1422 = 20,164
 734,449 − 20,164 = 714,285

ชุดตัวเลขซ้ำในการแทนแบบฐานสิบของจำนวนตรรกยะ  = 0. ก็เป็นตัวเลขชุดนี้เช่นกัน ดังนั้นพหุคูณของ  จึงมีชุดตัวเลขซ้ำที่สอดคล้องกับพหุคูณของ 142857 ด้วย

 1 ÷ 7 = 0.
 2 ÷ 7 = 0.
 3 ÷ 7 = 0.
 4 ÷ 7 = 0.
 5 ÷ 7 = 0.
 6 ÷ 7 = 0.
 7 ÷ 7 = 0.
 8 ÷ 7 = 1.
 9 ÷ 7 = 1.
 …

142,857 ในฐานสิบก็จัดเป็นจำนวนฮาร์ชาดและจำนวนกาปีการ์อีกด้วย

อ้างอิง 

จำนวนเต็ม