รากที่สองของสอง

รากที่ 2 ของ 2  หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย √2 เป็นจำนวนจริงบวก ที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095

ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก

ประวัติ 

จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ  ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ  จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก

 

บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น:-

 

การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก

วิธีการทำ 
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจำนวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้

 เลือก a0 >0 ค่า a0 ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น
 ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคำนวณ a1, a2, a3, ..., an
 
 ตัวอย่างการคำนวณโดยเลือก a0=1 ได้ผลดังนี้

{|
| a0 || || || = || 1
|-
| a1 || = || 3/2 || = || 1.5
|-
| a2 || = || 17/12 || = || 1.416...
|-
| a3 || = || 577/408 || = || 1.414215...
|-
| a4 || = || 665857/470832 || = || 1.4142135623746...
|}

ในปี ค.ศ.1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444

เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb

อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด

การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ 
√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง: 

 สมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า √2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ สมมุติว่าเศษส่วนนี้คือ a/b ดังนั้น a และ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม
 จาก √2 = a/b จะได้ √2 b = a ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 2b2 = a2 
 จาก 2b2 = a2 แสดงว่า a2 เป็นจำนวนคู่ 
 ดังนั้น a เป็นจำนวนคู่ (เพราะถ้า a เป็นจำนวนคี่ a2 จะเป็นคี่) นั่นคือ a = 2k สำหรับบางจำนวนเต็ม k
 แทน a = 2k ในข้อ 3 จะได้ 2b2 = (2k)2 = 4k2 ดังนั้น b2 = 2k2 และ b2 เป็นจำนวนคู่
 ดังนั้น b ก็เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติในตอนแรก เพราะ a และ b มี 2 เป็นตัวประกอบร่วม

ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

ขนาดกระดาษ 
√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4,A3,A0,ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น√2 เท่าเดิม

ความสับสนในภาษาไทย 
คำว่า ราก ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง รากที่สองของสอง จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x2=2 นั่นคือ +√2 และ -√2

เครื่องหมาย กรณฑ์ ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง กรณฑ์ที่สองของสอง จึงเป็นการหมายถึง รากที่สองที่เป็นบวกของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น

อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง แต่ไม่ได้หมายความว่าเป็นรากที่สองอย่างเดียว แต่เป็นรากที่ 8 ด้วย  ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา

อ้างอิง 

ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์
จำนวนอตรรกยะ