ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ () มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง x หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า x เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π(x)

ประวัติศาสตร์
หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดย เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π(x) จะมีค่าใกล้เคียงกลับ

เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า

ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ

เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)

ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่า

สำหรับค่าคงที่บวก  บางจำนวน โดยที่  คือ สัญกรณ์โอใหญ่

ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ  ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า

จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน  และ  เป็นไปตามสมการ

สำหรับ 

สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ  ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ  ไม่มีค่ามากเกินไป)  จะมีค่ามากกว่า  อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน  เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว

รูปแบบแม่นตรง 
สำหรับ  ให้  เมื่อ  เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว  บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ 

เมื่อ

โดยที่  คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส,  คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, ρ เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ  ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก  โดยที่  คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง 

ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว  สามารถประมาณค่าได้โดย

สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ

ตารางของ (x), x / log x และ li(x) 

ตารางแสดงฟังก์ชัน (x), x / log x และ li(x) เปรียบเทียบที่ตัวแปร x ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม และ

{| class="wikitable" style="text-align: right"
! x 
! (x)
! 
! 
! 
! 
|-
| 10
| 4
| 0
| 2
| 2.500
| −8.57%
|-
| 102
| 25
| 3
| 5
| 4.000
|13.14%
|-
| 103
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|13.83%
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
|11.66%
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
|9.45%
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.739
|7.79%
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 339
| 15.047
|6.64%
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
|5.78%
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
|5.10%
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
|4.56%
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
|4.13%
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
|3.77%
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
|3.47%
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
|3.21%
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
|2.99%
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 3,214,632
| 35.812
|2.79%
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,928
| 7,956,589
| 38.116
|2.63%
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
|2.48%
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,961
| 99,877,775
| 42.725
|2.34%
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,702
| 222,744,644
| 45.028
|2.22%
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
|2.11%
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
|2.02%
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
|1.93%
|-
| 1024
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
|1.84%
|-
| 1025
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
|1.77%
|-
| 1026
| 1,699,246,750,872,437,141,327,603
| 28,883,358,936,853,188,823,261
| 155,891,678,121
| 58.850
|1.70%
|-
|1027
|16,352,460,426,841,680,446,427,399
|267,479,615,610,131,274,163,365
|508,666,658,006
|61.153
|1.64%
|-
|1028
|157,589,269,275,973,410,412,739,598
|2,484,097,167,669,186,251,622,127
|1,427,745,660,374
|63.456
|1.58%
|-
|1029
|1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
|23,130,930,737,541,725,917,951,446
|4,551,193,622,464
|65.759
|1.52%
|}

อ้างอิง 

จำนวนเฉพาะ