ทฤษฎีบทของโรลล์

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทของโรลล์ หรือ บทแทรกของโรล กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่งอย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น หรืออีกนัยหนึ่งคือ จะต้องมีจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์ นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับแรก

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท 

ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ อีกด้วย

ประวัติ 
แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย  ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม 
กำหนดรัศมี   พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

 

กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด  และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด  แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย   และ  ทั้งสอง

เนื่องจาก  เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ  เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ 

ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

 

พบว่า  แต่ไม่มีค่า  ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้  ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด  ไม่ได้ 

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ  เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด  แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน  ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า  มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว

กรณีทั่วไป 
 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก  แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

ข้อสังเกต 

 ถ้า  เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
 รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 

 ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
 ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
 การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
 ทฤษฎีบทเกาส์-ลูกาส์

ลิงก์ภายนอก 

 
 Rolle's and Mean Value Theorems ที่cut-the-knot.
 บทพิสูจน์ในระบบมิซาร์ proof: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

แคลคูลัส
การวิเคราะห์เชิงจริง