ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน () เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น 

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่  เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท 
ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ 

ในกรณีที่  และ  เป็นฟังก์ชันในชั้น  (นั่นคือ  หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้

ตัวอย่าง 
พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์  กำหนดโดย

 

เมทริกซ์จาโคเบียนของ  คือ

 

โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

 

จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์  ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด  จะมีย่านใกล้เคียงของ  ที่ทำให้  หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า  จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า  ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ  ดังนั้น  เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน 

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน  กำหนดโดย

 และ  

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้ 

  และมีจุดที่ทำให้  ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0 

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน  ดังนั้น  จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี  

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน  ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์ 
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

การขยายนัยทั่วไป

แมนิโฟลด์ 
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น ) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ  

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด   ใน  แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด  ของ  ที่ทำให้

 

เป็นอนุพันธสัณฐาน  สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน  และ  ที่มี  และ  เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ  เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด  ใน  แล้วการส่ง  จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

ปริภูมิบานาค 
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค  และ   ให้  เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน  และ   เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช  ของ  ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด  ของ  ใน  และฟังก์ชัน  ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้  สำหรับทุก  

ยิ่งไปกว่านั้น  จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ

แมนิโฟลด์บานาค 
การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ 
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก  มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด  แล้วจะมีช่วงเปิด  ของ  และ  ของ  และอนุพันธสัณฐาน  และ  ที่ทำให้  และอนุพันธ์   มีค่าเท่ากับ   ซึ่งก็คือ  ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ  ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ  ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ  เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด  แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ  ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ  จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก 
ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก  นิยามบนเซตเปิดของ  ไปยัง  และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด  แล้ว  จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด  ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันพหุนาม 
ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม

ดูเพิ่ม 

 ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
 ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
 ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์

อ้างอิง

อ่านเพิ่ม 

 
 
 
 
 
 

คณิตวิเคราะห์