เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต () เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐาน

รากของระบบพหุนาม 

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R3 เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R3 ทั้งหมดที่ทำให้

 

อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R3 ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

วาไรตีเชิงพีชคณิต 

วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี V เหนือ Rn  (หรือ Cn) เป็นเซตของจุด (x1,...,xn) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม fi (x1,...,xn) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2  วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต 

ให้  เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์  มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง 

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย  (บางครั้งเขียน  เมื่อ  ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้  แล้ว  จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์  เหตุผลที่เราไม่พิจารณา  โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า  มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน  จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม  ที่ทำให้  สำหรับทุกจุด  ที่มีพิกัด  ใน  ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน  ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย 

ให้  เป็นเซตของพหุนามใน  เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต  ของจุดทั้งหมดใน  ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน  เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

 

จะเรียกสับเซต  ใด ๆ ของ  ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก  สามารถเขียนได้ในรูป  สำหรับบางเซต

ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต 
เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต  ใด ๆ ของ  มา สามารถหาเซตของพหุนาม  ที่ก่อกำเนิด  (หรือก็คือ ) ได้หรือไม่ 

นิยามเซต  แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี  เป็นสับเซต สัญลักษณ์  มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ 

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

 กำหนดเซต  ใด ๆ เมื่อไรที่ 
 กำหนดเซตของพหุนาม  เมื่อไรที่ 

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน  เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ  แล้วจะได้ว่า  ก็ต่อเมื่อ  เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า  เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย  ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน  และเซตเชิงพีชคณิตใน  เป็นอย่างเดียวกัน

วาไรตีสัมพรรค 

เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค 

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ  ของ  ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล

ประวัติ

คริสต์ศตวรรษที่ 20 
วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 

 
 
 
 The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry โดย Ravi Vakil
 The Stacks Project หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

สาขาของคณิตศาสตร์
เรขาคณิตเชิงพีชคณิต