วงเล็บลากรานจ์

วงเล็บลากรานจ์ (Lagrange bracket) เสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี ค.ศ.1808–1810 เพื่อเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก แต่แตกต่างจากวงเล็บปัวซง (Poisson brackets)

นิยาม 
กำหนดให้ (q1, …, qn, p1, …, pn) เป็นพิกัดคาโนนิคัล (canonical coordinates) ในปริภูมิเฟส(phase space) จะได้วงเล็บลากรานจ์

สมบัติของวงเล็บลากรานจ์ 

 วงเล็บลากรานจ์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดคาโนนิคัล (q, p) ถ้า (Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) ดังนั้น

เป็นการแปลงคาโนนิคัล สมบัติ invariant ของวงเล็บลากรานจ์เป็น

 

 ถ้า Ω คือ symplectic form ในปริภูมิเฟสสองมิติ W และ u1,…,u2n คือระบบพิกัดบนปริภูมิ W  พิกัดคาโนนิคัล (q,p) อาจเขียนได้เป็นฟังก์ชันของพิกัด u และเมตริกซ์ของวงเล็บลากรานจ์

 

แทนองค์ประกอบของ Ω ในรูปของเทนเซอร์ ในพิกัด u เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) เขียนให้อยู่ในรูปวงเล็บปัวส์ซอง

 

 พิกัด (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) ในปริภูมิเฟสเป็นพิกัดคาโนนิคอล วงเล็บลากรานจ์ระหว่างพิกัดทั้งสองเขียนได้เป็น

 
เมื่อ  คือ เดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta)

ดูเพิ่ม 

 กลศาสตร์ลากรานจ์
 กลศาสตร์แฮมินตัน

อ้างอิง 

 Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), .
 Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257–277.

แหล่งข้อมูลอื่น 

 
 

การดำเนินการทวิภาค
กลศาสตร์แฮมิลตัน