ปัญหาบาเซิล

ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277 ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์

ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม

ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ  และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277

วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์ 
วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่  จึงได้เป็นผลคูณว่า

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

ซึ่งจากสมบัติว่า  เมื่อ  แสดงว่า  ดังนั้น

จับสัมประสิทธิ์ของ  ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

สรุปได้ว่า เป็นผลรวมของอนุกรม

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 
 A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®

ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีจำนวน