รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน

รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน (Heronian triangle) หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด ตั้งชื่อตามเฮโรแห่งอะเล็กซานเดรีย นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์โบราณ

รูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีความยาวของด้านเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triple) ก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนด้วย เนื่องจากในสามสิ่งอันดับ ความยาวของด้านเป็นจำนวนเต็ม และพื้นที่ก็เป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่กว้างยาวเท่ากับด้านประกอบมุมฉากในรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนที่ไม่เป็นมุมฉากเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากับ 5, 5, 6 หน่วย ซึ่งมีพื้นที่ 12 ตารางหน่วย รูปสามเหลี่ยมนี้เกิดจากการนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขนาด 3, 4, 5 หน่วยมาต่อกัน บนด้านที่ยาว 4 หน่วย สำหรับกรณีทั่วไป การนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสองรูปมาต่อกัน บนด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งซึ่งยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นใหม่จะเป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนด้วย (แต่อาจไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) ดังตัวอย่างในรูปทางขวามือ เมื่อสามเหลี่ยม (a, b ,c) รวมกับสามเหลี่ยม (a, d, e) บนด้าน a จะได้รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น c, e และ b + d หน่วย และมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะเท่ากับ  ตารางหน่วย

แต่ในทางกลับกัน รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนบางรูปอาจไม่สามารถประกอบขึ้นมาจากรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสได้อย่างลงตัว ถ้าความยาวด้านหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เป็นจำนวนเต็ม เช่น รูปสามเหลี่ยมขนาด 0.5, 0.5, 0.6 หน่วย (0.012 ตารางหน่วย) หรือ 5, 29, 30 หน่วย (72 ตารางหน่วย) เมื่อแบ่งพื้นที่ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ด้านใดๆ เป็นฐาน ความยาวด้านหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะไม่เข้ากับหลักเกณฑ์ของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งต้องเป็นจำนวนเต็ม

ดูเพิ่ม 
 รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า (almost-equilateral Heronian triangle)

เรขาคณิตไม่ต่อเนื่อง
รูปสามเหลี่ยม