ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ () หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ n เขียนแทนด้วย gn คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ n+1 กับ n ดังนี้

ดังนั้นเราจะได้ g1 = 1, g2 = g3 = 2, และ g4 = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ...

ข้อสังเกตเบื้องต้น 
สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ เราสามารถเขียน P# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ P ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า P และกำหนดให้ Q เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก P ดังนั้น ลำดับนี้

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน Q−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ Q−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง gn > P (เลือก n ที่ทำให้ pn มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า P# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ n อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า n# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด

ผลลัพธ์เชิงตัวเลข 
กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen  ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain 

เราจะกล่าวว่า gn เป็น ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด (maximal prime gap) ถ้าหาก gm < gn สำหรับทุกค่าของ m < n เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669 

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ gn) / ln(pn) เรียกว่าเป็นอัตรา merit ของ gn ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98

ผลลัพธ์ต่อๆ ไป 
ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง gn < pn

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ gn < εpn สำหรับทุกค่าของ n > N

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก  ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ gn / pn จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn  และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov 

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham  ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก

จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้

สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n3 และ (n + 1)3 เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n2 กับ (n + 1)2 ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้  และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้

ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ 
ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)

ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า

และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory

จำนวนเฉพาะ