อนุกรมสลับ

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ () คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป

 หรือ 

โดยที่ an > 0 สำหรับทุก n แต่ละพจน์ของอนุกรมจะมีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน เช่นเดียวกับอนุกรมอื่นๆ อนุกรมสลับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ลู่เข้า

ตัวอย่าง 

 อนุกรมเรขาคณิต 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ เป็นอนุกรมสลับที่มีผลรวมเป็น 1/3
 อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ (1 - 1/2 + 1/3 - ⋯) เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรมฮาร์มอนิก (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯) เป็นอนุกรมลู่ออก
 อนุกรมเมอร์เคเตอร์เป็นอนุกรมสลับที่แสดงค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ:

 ไซน์และโคไซน์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถนิยามเป็นอนุกรมสลับได้ในแคลคูลัส:

  

ถ้าเอาแฟกเตอร์ (-1)n ซึ่งทำให้อนุกรมทั้งสองนี้เป็นอนุกรมสลับออก จะได้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก sinh และ cosh ตามลำดับ

การทดสอบอนุกรมสลับ 
การทดสอบอนุกรมสลับ () เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่า อนุกรมสลับใด ๆ จะลู่เข้า ถ้าลำดับของ an ลู่เข้าหา 0 ทางเดียว (นั่นคือเป็นลำดับไม่เพิ่ม)

ข้อพิสูจน์: สมมติให้ an ลู่เข้าหา 0 และเป็นลำดับไม่เพิ่ม หาก m เป็นคี่และ m < n แล้ว จากการคำนวณจะได้ค่าประมาณว่า

ซึ่งเนื่องจาก an เป็นลำดับไม่เพิ่ม พจน์  ในผลบวกจึงเป็นลบทุกพจน์ จึงได้ว่า  ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า  ซึ่งเนื่องจาก am ลู่เข้าหา 0 จะได้ว่าลำดับของผลรวมจำกัด Sm เป็นลำดับโคชี ซึ่งลู่เข้า สำหรับกรณี m เป็นคู่ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

อ้างอิง 

อนุกรม