ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเลขคณิต () คือลำดับของจำนวนซึ่งผลต่างของสมาชิกสองตัวใด ๆ ที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวเสมอ เรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (common difference) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d แล้วพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
 
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
 
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

ผลรวม 
วิธีการคำนวณผลรวม 2 + 5 + 8 + 11 + 14 โดยเขียนอนุกรมกลับหน้ามาหลังและบวกเข้ากับแต่ละพจน์ ผลรวมที่ได้จะเป็นลำดับคงตัวที่เท่ากับผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย  (2 + 14 = 16) ทำให้ได้ 16 × 5 = 80 ซึ่งเป็นสองเท่าของผลรวม
ผลรวมของสมาชิกในลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต () ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวม

ผมรวมของลำดับเลขคณิตข้างต้นสามารถหาได้อย่างรวดเร็ว โดยให้ n แทนจำนวนพจน์ทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 5) แล้วคูณด้วยผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายในลำดับเลขคณิต (ในกรณีนี้คือ 2 + 14 = 16) และสุดท้ายหารด้วย 2:

ในกรณีนี้จะได้ค่าของผลรวมคือ

สูตรนี้ใช้ได้สำหรับทุกลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ  และ  ใด ๆ

พิสูจน์ 
อนุกรมข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่สมมูลกันได้สองแบบ ได้แก่
 
 

บวกสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง
 

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า  ดังนั้นเราจะได้

ผลคูณ 
ผลคูณของสมาชิกในลำดับเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a1 ไปถึง an ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก
 

โดยที่สัญลักษณ์  หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ  แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของลำดับเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
 
จะมีค่าเท่ากับ
 
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 
 ลำดับเรขาคณิต
 อนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น 
 
 

ลำดับและอนุกรม