ภาวะแตกต่าง

ภาวะแตกต่าง หมายถึง ภาวะที่สิ่งใดๆ สองสิ่งหรือมากกว่า ไม่ได้เป็นสิ่งเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ สิ่งใดๆ จะเกิดภาวะแตกต่าง ก็ต่อเมื่อสิ่งเหล่านั้นไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง 
ในสมการกำลังสอง (quadratic equation) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ เช่น
x2 − 3x + 2 = 0
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
(x − 1)(x − 2) = 0
จะได้รากของสมการคือ x = 1 และ x = 2 ในเมื่อ 1 กับ 2 ไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงเกิดภาวะแตกต่างในรากของสมการ

ในทางตรงข้าม สมการนี้
x2 − 2x + 1 = 0
สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
(x − 1)(x − 1) = 0
จะได้รากของสมการคือ x = 1 และ x = 1 ในเมื่อ 1 กับ 1 เท่ากัน ดังนั้นจะไม่เกิดภาวะแตกต่างในรากของสมการนี้ แต่จะเรียกว่า ทับกันสนิท

การพิสูจน์ความแตกต่าง 
เพื่อที่จะพิสูจน์ว่าสองสิ่งมีภาวะแตกต่างหรือไม่ เรามักจะใช้คุณสมบัติที่มีในสิ่งแรกแต่ไม่มีในสิ่งหลังเป็นตัวเปรียบเทียบ ดังเช่นในสมการที่ยกตัวอย่าง เราอาจสงสัยว่า 1 กับ 2 มีภาวะแตกต่างกันหรือไม่ เราอาจพิสูจน์โดยสันนิษฐานว่า 1 เป็นจำนวนคี่ แต่ 2 เป็นจำนวนคู่ เพียงเท่านี้ก็ได้ว่า 1 กับ 2 มีภาวะแตกต่างกันแล้ว

คณิตศาสตร์มูลฐาน