ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย () ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต

ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจากกฎว่าด้วยจำนวนมาก ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์
หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลาย ๆ ครั้งมาก ๆ

นิยาม

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด 
สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x1 ด้วยความน่าจะเป็น p1,มีโอกาสมีค่าเป็น x2 ด้วยความน่าจะเป็น p2, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น xk ด้วยความน่าจะเป็น pk แล้วค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X จะถูกนิยามได้เป็น
 

ตัวอย่างที่ 1. ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น ) ค่าคาดหมายของ X คือ
 

ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า n ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ n ใหญ่ขึ้น

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด 
สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x, x, ... ด้วยความน่าจะเป็น p, p, ... ตามลำดับ
ค่าคาดหมายของ X จะนิยามได้ว่า
 

ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ X ไม่ปรากฏ
ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น , , , , ..., โดย  (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1)
ค่าของอนุกรมจะเป็น
 
ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า 
แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ X ในกรณีนี้จึงไม่มี

ตัวแปรต่อเนื่อง 
เมื่อตัวแปรสุ่ม X มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น  f(x) ค่าคาดหมายของ X สามารถคำนวณได้จาก

อ้างอิง 

ทฤษฎีความน่าจะเป็น