สมการซิลเวสเตอร์

สมการซิลเวสเตอร์  () มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

โดยที่   คือ  เมทริกซ์  เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ  คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ 
โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product)  และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator  () เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

โดยที่  คือ  เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด  
หมายเหตุ:  อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า  และ   อยู่ในรูปแบบบัญญัติจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ  และ  แล้ว และ  และ  คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue)  ของ  และ  ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

เนื่องจาก  คือ  เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน  (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น  เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี  และ  ที่ทำให้ .

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ และ  ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข 
ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน  และ  ให้อยู่ในรูปของแบบของชูร์ (Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า  O

ดูเพิ่ม 
 สมการเลียปูนอฟ
 สมการริกกาตีเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)

อ้างอิง 

 J. Sylvester, Sur l’equations en matrices , C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71,  pp. 115 – 116.

 R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation , Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.

 R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation   ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.

 S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Online solver for arbitrary sized matrices.

ซ
ซ
ซ