ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์

ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ () หรือ วิธีซิมเพล็กซ์ () จะอาศัยหลักการของเมทริกซ์เข้าช่วยในการหาผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งจะทำให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในแต่ละขั้นตอนอย่างมีเหตุผล และเปลี่ยนแปลงไปในทางที่จะนำมาซึ่งผลลัพธ์ที่โมเดลทางคณิตศาสตร์ต้องการ

บทนำ 
การแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น หรือ กำหนดการเชิงเส้น (Linear programming) สำหรับโมเดลคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรไม่มาก เราก็สามารถหาคำตอบได้ไม่ยากนัก แต่หากตัวแปรมีมากขึ้น ก็จำเป็นต้องหาวิธีการอื่นเข้ามาช่วยในการหาคำตอบของโมเดล ซึ่งวิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีการหนึ่งที่ให้ผลดี และเข้าใจได้ง่าย

ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เป็นวีธีการของ จอร์จ แดนท์ซิก (George Dantzig) ที่ได้รับความนิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น ซึ่งชื่อของขั้นตอนวิธีนี้ มาจากแนวคิดของ ซิมเพล็กซ์ นั่นเอง

วิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากในการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น (Linear programming) ซึ่งเป็นกระบวนการทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยการกระทำซ้ำ ๆ กันเพื่อให้ได้คำตอบที่ดีที่สุด ยกตัวอย่างเช่น

 ค่าที่มากที่สุดของ  

 ภายใต้เงื่อนไข

ปัญหาในลักษณะเช่นนี้จะสามารถใช้วิธีซิมเพล็กซ์ในการหาคำตอบได้ โดยจำเป็นจะต้องเปลี่ยนปัญหาที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน (Standard Form) โดยจะต้องแปลงอสมการของปัญหาให้เป็นสมการ ซึ่งจะมีการเพิ่มตัวแปรเข้าไปในแต่ละอสมการเรียกว่าตัวแปรแบบ Slack หรือ Surplus ดังนั้น เราจะเขียนตัวอย่างข้างต้นได้ใหม่เป็น

 ค่าที่มากที่สุดของ  

 ภายใต้เงื่อนไข

รูปมาตรฐาน 
การจะแปลงกำหนดการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สามารถทำได้โดยการแปลง อสมการที่มีเครื่องหมาย  ให้อยู่ในรูปของสมการ ซึ่งเราจะเพิ่มตัวแปรเข้าไปในสมการที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และย้ายตัวแปรทั้งหมดไว้ด้านขวา ส่วนตัวเลขที่เหลือไว้ด้านซ้าย ซึ่งรูปมาตรฐานจะอยู่ในรูป

 ค่าที่มากที่สุดของ  

 ภายใต้เงื่อนไข

จากรูปแบบโมเดลคณิตศาสตร์ของโปรแกรมเชิงเส้น

 ค่าที่มากที่สุดของ  

 ภายใต้เงื่อนไข

เขียนสมการเพื่อเพิ่มเติมตัวแปรช่วย ได้ดังนี้

ตัวแปรที่เพิ่มเข้ามา 
 ตัวแปรแบบ Slack
ในอสมการที่มี  โดยทางซ้ายเป็นการดำเนินการของตัวแปร และทางขวาเป็นค่าตัวเลขตัวหนึ่ง เราสามารถเพิ่มตัวแปรแบบ Slack เข้าไปทางซ้ายได้เพื่อเป็นตัวแทนเพิ่มค่าให้เท่ากับค่าทางขวา เช่น

 จากข้อจำกัด   สามารถเขียนเป็น     เมื่อ 
 ตัวแปรแบบ Surplus
ในอสมการที่มี  โดยทางซ้ายเป็นการดำเนินการของตัวแปร และทางขวาเป็นค่าตัวเลขตัวหนึ่ง เราสามารถเพิ่มตัวแปรแบบ Surplus เข้าไปทางซ้ายได้เพื่อเป็นตัวแทนลดค่าให้เท่ากับค่าทางขวา เช่น

 จากข้อจำกัด   สามารถเขียนเป็น     เมื่อ

ขั้นตอนวิธี 
วิธีการต่อไปนี้จะเป็นการดำเนินการตามขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เพื่อหาผลเฉลยที่มีค่ามากที่สุด แต่หากต้องการหาผลเฉลยที่มีค่าน้อยสุดสามารถทำได้โดย ค่าน้อยสุดของ  ค่ามากสุดของ

วิธีการ 
1. จัดรูป กำหนดการเชิงเส้น ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

2. สร้างตารางซิมเพล็กซ์ดังนี้
 {| class="wikitable"
|-
! !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! 
|-
|  || ||  ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  ||  ||  ||  ||  ||  || 
|}

3. เลือกตัวแปรขาเข้า (entering variable) คือการเลือกตัวแปรที่ไม่เป็นตัวแปรมูลฐาน (non-basic variable) ให้เป็นตัวแปรมูลฐาน (basic variable) โดยดูจากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการเป้าหมาย (แถว Z) ที่ติดลบมากที่สุด แต่ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรทุกตัวเป็นบวกหรือศูนย์แล้ว แสดงว่าถึงจุดที่เหมาะสม  (optimal solution) ไม่ต้องทำต่อไปอีก

4. เลือกตัวแปรขาออก (leaving variable) ด้วยการหาอัตราส่วนของค่าผลลัพธ์กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเข้าที่เลือกไว้ในขั้นที่ 3 (ไม่ต้องคำนึงถึงสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบหรือศูนย์) เลือกอัตราส่วนต่ำสุดของตัวแปรมูลฐาน อยู่ที่ตัวใดแสดงว่าตัวนั้นจะเป็นตัวแปรออก

5. เปลี่ยนตัวแปรมูลฐาน ด้วยการแลกที่กันระหว่างตัวแปรขาเข้าและตัวแปรขาออก ด้วยการคำนวณโดยใช้การดำเนินการตามแถว (row operation)

6. ให้กลับไปทำขั้นที่ 3 - 5 ต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งถึงจุดที่เหมาะสมแล้ว

ตัวอย่าง 
ค่ามากที่สุด  

จากข้อจำกัด  

สามารถเขียนเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้

ค่ามากที่สุด  

จากข้อจำกัด  

นำรูปแบบมาตรฐานที่ได้ไปสร้างตารางซิมเพล็กซ์ ได้ดังนี้

พิจารณาแถวแรก  ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าน้อยสุด คือ  จึงเลือก  เป็นตัวแปรขาเข้า จากนั้นพิจารณาอัตราส่วนของค่า  กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรขาเข้า จะได้ว่า แถวที่    มีอัตราส่วนเป็น  และแถวที่    มีอัตราส่วนเป็น  ดังนั้นจึงเลือก  เป็นตัวแปรขาออก

เปลี่ยนให้  เป็นตัวแปรมูลฐาน โดยแลกที่กับ  ด้วยวิธีการดำเนินการตามแถว จะได้ตารางซิมเพล็กซ์ ดังนี้

พิจารณาแถวแรก  ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าน้อยสุด คือ  จึงเลือก  เป็นตัวแปรขาเข้า จากนั้นพิจารณาอัตราส่วนของค่า  กับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรขาเข้า จะได้ว่า แถวที่    มีอัตราส่วนเป็น  และแถวที่    มีอัตราส่วนเป็น  ดังนั้นจึงเลือก  เป็นตัวแปรขาออก

เปลี่ยนให้  เป็นตัวแปรมูลฐาน โดยแลกที่กับ  ด้วยวิธีการดำเนินการตามแถว จะได้ตารางซิมเพล็กซ์ ดังนี้

เมื่อพิจารณาตารางซิมเพล็กซ์ก็จะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ในสมการเป้าหมาย (พิจารณาแถว Z) มีค่าไม่ติดลบทั้งหมด ดังนั้นเราก็ได้ผลเฉลยที่เหมาะสมที่สุดแล้วดังนี้

ค่ามากที่สุดของ

ประสิทธิภาพ 
ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์ เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติ และได้รับการพัฒนามากกว่าวิธีที่คิดค้นขึ้นมาก่อนหน้า อย่างไรก็ตามในปี พ.ศ. 2515 Klee และ Minty ได้เสนอตัวอย่างที่ที่แสดงให้เห็นว่าในกรณีเลวร้ายที่สุด ประสิทธิภาพการทำงานของขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์จะใช้เวลาเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ตั้งแต่นั้นมาการกระทำหรือการดำเนินการด้วยขั้นตอนวิธีนี้ก็ถูกแสดงว่าเป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพที่แย่

การวิเคราะห์เชิงปริมาณและการสังเกตว่าขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติแม้ว่าจะมีใช้เวลาเป็นเอกซ์โพแนนเชียลในกรณีที่เลวร้ายที่สุดก็ตาม และได้นำไปสู่​​การพัฒนาที่จะวัดประสิทธิภาพในรูปแบบอื่น ซึ่งจริงๆ แล้ว ขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์จะใช้เวลาเป็นโพลิโนเมียลในกรณีเฉลี่ยทั่วไป ภายใต้การแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งความแม่นยำของประสิทธิภาพในเชิงเฉลี่ยนี้จะขึ้นอยู่กับการเลือกการแจกแจงความน่าเป็นของโมเดลทางคณิตศาสตร์ และการนำเสนออื่นๆ ได้แสดงให้เห็นว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับขั้นตอนวิธีซิมเพล็กซ์นั้นมีผลน้อยมากต่อประสิทธิภาพโดยรวม

อ้างอิง 
 http://staff.cs.psu.ac.th/natikan/OR/OR2002/lesson/4/lesson4-1-4.php
 http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/simplex/simplex.htm 
 www.scaat.in.th/Bachelor/new/1_2552/003_1.doc
 www.cs.duke.edu/courses/spring08/cps296.2/simplex.pdf 
 http://www2.isye.gatech.edu/~spyros/LP/LP.html 

กำหนดการเชิงเส้น
การวิจัยดำเนินการ
ขั้นตอนวิธี