ลิมิตของฟังก์ชัน

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin x)/x จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin x)/x มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง

นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน  จะรับค่า  แล้วคืนค่าออกมาคือ  เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน  มีลิมิต  ที่จุด  ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน  จะเข้าใกล้  มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า  ที่เข้าใกล้ค่า  ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย

ประวัติ 
ดูที่ คณิตวิเคราะห์

นิยามเป็นทางการ

นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต 
กำหนดให้  เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ  เป็นจำนวนจริงโดยที่  เราจะกล่าวว่าลิมิตของ  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้  คือ  ก็ต่อเมื่อ 

สำหรับทุกค่า  จะมีจำนวนจริง  ที่ทำให้สำหรับทุกค่า  ถ้า  แล้ว  

ถ้าลิมิตของ  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้  คือ  แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

 

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น 

 เมื่อ  (อ่านว่า " มีค่าเข้าใกล้  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้ ") 

สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ  ที่จุด  ยิ่งไปกว่านั้น  ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง 
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า:ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว,  dN(f(x), L) < ε

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง 

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว
 เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน
 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่  0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า
 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย :

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์ 

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน 

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น  จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง 

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ 

เราจะเขียน

ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันค่าจริง

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง 
 ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z2, z3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
 ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

คุณสมบัติ 
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค
"สำหรับลำดับลู่เข้า (xn) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(xn)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"
ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"

คณิตวิเคราะห์ 
แคลคูลัส

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p)
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)