ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) เป็นเส้นโค้งรูปแบบหนึ่งที่ถูกนิยามในปริภูมิแบบยุคลิด สองมิติ ℝ2 เป็นคำทั่วไปสำหรับเรียกเส้นโค้งที่มีระยะห่าง จากจุดสองจุด F และ F' ซึ่งเรียกว่า จุดโฟกัส เป็นค่าคงที่ โดยเส้นตรงที่ลากผ่านทั้งจุดโฟกัสทั้งสองนี้ และเส้นตรงตั้งฉากที่ลากแบ่งครึ่งกลางจุดโฟกัสทั้งสองนี้ จะเรียกว่า แกนหลัก (major axis)

สมการไฮเพอร์โบลา 

ไฮเพอร์โบลาสามารถแสดงด้วยสมการต่อไปนี้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีแกนพิกัดเป็นแกนหลัก

 

ในกรณีนี้ พิกัดของจุดโฟกัสอยู่ที่

  และ 

และผลต่างของระยะทาง |PF - PF'| จากจุดโฟกัสสองจุด F, F' ไปยังจุด P บนไฮเพอร์โบลาคือ 2a จุดกำเนิดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา และจุดสองจุด (±a, 0) เรียกว่าจุดยอดของไฮเพอร์โบลา

ระยะห่าง PF ระหว่างจุด P บนไฮเพอร์โบลากับจุดโฟกัส F และระยะห่างจากจุด P ไปยังเส้นบังคับ (directrix)  นั้นเป็นอัตราส่วนคงตัว โดยค่าของอัตราส่วนเทียบเท่ากับ ความเยื้องศูนย์กลาง  

นอกจากนี้ ไฮเพอร์โบลาประกอบด้วย เส้นกำกับ (asymptote) สองเส้น โดยสมการเส้นกำกับคือ

  และ 

ในกรณีเฉพาะเมื่อเส้นกำกับทั้งสองตั้งฉากกัน นั่นคือ a = b ไฮเพอร์โบลาจะเรียกเฉพาะเจาะจงว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (rectangular hyperbola)

กราฟของสมการแปรผกผัน  ก็ถือเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉากชนิดหนึ่ง

ไฮเพอร์โบลาสามารถทำเป็นสมการอิงตัวแปรเสริมโดยใช้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

ไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย 

ไฮเพอร์โบลาคือขอบเขตของระนาบตัดของกรวยด้านขวาที่ตัดโดยระนาบที่ไม่ผ่านปลายยอดของกรวยด้านขวา แต่ตัดทั้งกรวยบนและล่างขวา

ให้ Ce เป็นภาคตัดกรวย ที่มี ความเยื้องศูนย์กลางเป็น e ในที่นี้ ถ้า e > 1 แล้ว Ce จะกลายเป็นไฮเพอร์โบลา สมมติว่าเส้นบังคับคือ x = -f และหนึ่งในจุดโฟกัสคือ F(f ,0) สำหรับจุด P(x, y) ใด ๆ ของไฮเพอร์โบลา จะได้ว่า

 

โดย  ดังนั้น ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการข้างต้น และจัดรูปใหม่ได้เป็น

 

จากนั้นจัดรูปใหม่ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

 

นี่เป็นรูปแบบพื้นฐานของไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย จากนั้นทำการแปลงเพิ่มเติม , Y= y แล้วจัดเรียงใหม่ให้เหมาะสมก็จะได้รูปสมการดังที่กล่าวข้างต้น

อ้างอิง 
 
 
เส้นโค้ง
ภาคตัดกรวย