การหาปริพันธ์ทีละส่วน

ในแคลคูลัส และในคณิตวิเคราะห์ การหาปริพันธ์ทีละส่วน () เป็นทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงระหว่างปริพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันคู่หนึ่ง กับปริพันธ์ของอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันคู่นั้น มีการหาปริพันธ์วิธีนี้อย่างบ่อยครั้ง โดยการแปลงรูปฟังก์ชันที่หาปฏิยานุพันธ์ยาก แล้วหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่หาได้ง่ายกว่า กฎนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในหนึ่งบรรทัดโดยการหาปริพันธ์ของกฎผลคูณอนุพันธ์

กำหนดให้    และ    และกำหนดให้    และ    สำหรับการหาปริพันธ์ทีละส่วน จะได้ว่า

หรือในรูปที่กระทัดรัดกว่า

ทฤษฎีบท

ผลคูณของสองฟังก์ชัน 
ทฤษฎีบทนี้แสดงได้ดังสมการข้างล่างนี้ สมมติว่า u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จากกฎผลคูณ (ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ):

หาปริพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x

จากนั้นใช้นิยามของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

จะได้สูตรสำหรับการหาปริพันธ์ทีละส่วน

เมื่อ du และ dv เป็นผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชันของตัวแปร x

ปริพันธ์ทางซ้ายของสมการ ∫uv′ dx ประกอบด้วย v′ (อนุพันธ์ของ v) เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทนี้ได้นั้น ต้องหาค่า v (ปฏิยานุพันธ์ของ v′) ก่อน แล้วจึงหาปริพันธ์ทางขวา ∫vu′ dx

การตีความโดยใช้กราฟ 

กำหนดเส้นโค้งพาราเมตริก (x, y) = (f(t), g(t)) สมมติว่าเส้นโค้งนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะสามารถกำหนดได้ว่า

พื้นที่ของบริเวณสีน้ำเงินคือ

ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของบริเวณสีแดง คือ

พื้นที่รวม A1 + A2 มีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใหญ่ x2y2 ลบด้วยพื้นที่ของรูปเล็ก x1y1:

สมมติว่าเส้นโค้งนี้เรียบในบริเวณใกล้เคียง ทำให้กล่าวถึงปริพันธ์ไม่จำกัดเขต:

จัดรูปใหม่:

เพราะฉะนั้น การหาปริพันธ์ทีละส่วนสามารถพิจารณาได้ว่าพื้นที่สีน้ำเงินมาจากพื้นที่รวมลบด้วยพื้นที่สีแดง

การตีความให้เห็นภาพนี้ยังอธิบายได้ว่าทำไมการหาปริพันธ์ทีละส่วนสามารถหาปริพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน f−1(x) ได้ เมื่อทราบปริพันธ์ของฟังก์ชัน f(xv) อันที่จริงแล้ว ฟังก์ชัน x(y) และ y(x) เป็นส่วนกลับกัน และปริพันธ์ ∫x dy สามารถคำนวณได้ดังข้างบน เมื่อทราบปริพันธ์ ∫y dx

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 

 
 Integration by parts—from MathWorld

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์