หลายสิ่งอันดับ

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล () เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย -สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง  สิ่ง (เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น  เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ  หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา

คุณสมบัติ 
โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ -สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ
  ก็ต่อเมื่อ 

คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
 หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ  แต่เซต 
 อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ  แต่เซต 
 หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

นิยาม 
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

นิยามด้วยฟังก์ชัน 
ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม -สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ -สิ่งอันดับ คือ
 
เมื่อ
 
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน 
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม -สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ -สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
 -สิ่งอันดับ เมื่อ  นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
 
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 

ตัวอย่างเช่น
 

หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
 -สิ่งอันดับ เมื่อ  นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
 
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 

ตัวอย่างเช่น

นิยามด้วยเซตซ้อน 
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ -สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
 กำหนดให้  เป็น -สิ่งอันดับ  และกำหนดให้  จะได้ว่า  (เรียกว่า  เชื่อมกับ )

ตัวอย่างเช่น

อ้างอิง 

 
 Keith Devlin, The Joy of Sets. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
 Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Foundations of set theory, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
 Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
 George J. Tourlakis, Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193

มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
ทฤษฎีอันดับ
ทฤษฎีแบบชนิด