เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ  (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม   ปริภูมิมิงคอฟสกี   (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น  การหมุนใน 3 มิติ  (spatial rotations) และ  การบูสต์  (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา 

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า  การแปลงโลเร็นตซ์  (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น  กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ 

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า  เหตุการณ์ (event)  และถูกบรรยายด้วย  เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector)  กำหนดโดย

สำหรับ  เมื่อ  เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light) 

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ  กับ  ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation) 

เมื่อ  เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)  

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ  สเปซไลค์ (spacelike)  ไทม์ไลค์ (timelike)  และ  นัล (lightlike หรือ null)  

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์ 

เมื่อ  คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น  เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)  ถูกกำหนดโดย:

หรือ

เมื่อ

สำหรับ  สังเกตว่า

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)  ถูกกำหนดโดย:

หรือ

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ  

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)  ถูกกำหนดโดย

หรือ

เมื่อ  คือมวลของอนุภาค และ  คือโมเมนตัมของอนุภาค 

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force)  ถูกกำหนดโดย

หรือ

เมื่อ

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc2 

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้  พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า 

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น 

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)  กำหนดโดย

 

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density)  และ ความหนาแน่นประจุ (charge density)   

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)  กำหนดโดย

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential)  และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential)    

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย  เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency)  ดังนี้

เมื่อ  เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น   สังเกตว่า

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า  null vector

อ้างอิง 
 Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
 Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
 ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา  โดย ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์

ดูเพิ่ม 
ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
แรงสี่มิติ (four-force)
ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)

วเกเตอร์สี่มิติ
หลักการสำคัญของฟิสิกส์
กาล-อวกาศมินคอฟสกี