ลำดับพรือเฟอร์

ลำดับพรือเฟอร์ () เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัด, ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ คือลำดับการเข้าร่วมกับต้นไม้ ลำดับพรือเฟอร์ สำหรับต้นไม้ที่มี n จุดยอด จะมีขนาด n-2 ตัว เสมอ และสามารถสร้างต้นไม้ได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่จะกล่าวในส่วนต่อไป ลำดับพรือเฟอร์ ถูกใช้ครั้งแรกสำหรับการพิสูจน์ Cayley's formula โดยไฮนซ์ พรือเฟอร์ (Heinz Prüfer) ใน ค.ศ. 1918

นิยาม 
ลำดับพรือเฟอร์ n ลำดับ คือลำดับของเลขจำนวนเต็ม (integers) :
 ( a1,a2,…,an−2) 
 ดังนั้น ∀i : 1 ≤ i ≤ n−2 : 1 ≤ ai ≤n
 ซึ่งจะเป็นลำดับที่มีขนาด n−2 ตัวและมีค่าระหว่าง 1 ถึง n
 แนวคิดนี้กำหนดไว้เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ Cayley's formula

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์ 
กำหนด ต้นไม้ T ซึ่งสามารถนำมาสร้าง ลำดับพรือเฟอร์ ที่สามารถใช้แทนกันได้
ต้นไม้ T มี n จุดยอด ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีค่า 1 ถึง n ไม่ซ้ำกันในแต่ละจุดยอด
 ถ้าต้นไม้ T มีจุดยอดทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ( n ≤ 2 ) จะหยุดการทำงาน ,ถ้าไม่ใช่ ทำขึ้นตอนที่ 2 
 เลือกใบของต้นไม้ที่มีค่าต่ำที่สุด
 นำค่าจากใบที่ติดกับใบที่เราเลือกใส่ลงใน ลำดับพรือเฟอร์
 ลบใบที่เราเลือกออกจากต้นไม้ แล้ววนกลับไปทำขั้นตอนที่ 1 ใหม่

 ความจำกัด () : ทุกครั้งที่ผ่านขั้นตอนที่ 4 จุดยอดจะหายไป 1 จุดเสมอ เมื่อผ่านไป n-2 รอบ จะเหลือจุดยอดเพียง 2 จุด ขั้นตอนวิธีก็จะหยุดทำงาน
 ข้อมูลนำเข้า () : ต้นไม้ T
 ข้อมูลนำออก () : ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งมีขนาด n-2 ตัว

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงลำดับพรือเฟอร์ไปเป็นต้นไม้

Pseudocode 
กำหนด ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n ตัว {a[1], a[2], ..., a[n]} จะแปลงได้ต้นไม้ที่มีจุดยอด n+2 จุด
  Convert-Prüfer-to-Tree (a)
  1 n ← length[a]
  2 T ← a graph with n + 2 isolated nodes, numbered 1 to n + 2
  3 degree ← an array of integers
  4 for each node i in T
  5     do degree[i] ← 1
  6 for each value i in a
  7     do degree[i] ← degree[i] + 1

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) ระหว่างจุดยอดโดยเลือกจากใบที่อยู่ล่างสุดของ tree
  8 for each value i in a
  9     for each node j in T
 10         if degree[j] = 1
 11             then Insert edge[i, j] into T
 12                  degree[i] ← degree[i] - 1
 13                  degree[j] ← degree[j] - 1
 14                  break

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) กับจุดยอดที่เหลืออันสุดท้ายเข้ากับต้นไม้
 15 u ← v ← 0
 16 for each node i in T
 17     if degree[i] = 1
 18         then if u = 0
 19             then u ← i
 20             else v ← i
 21                  break
 22 Insert edge[u, v] into T
 22 degree[u] ← degree[u] - 1
 23 degree[v] ← degree[v] - 1
 24 return T

Cayley's formula 
ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ที่มี n จุดยอดนั้น จะชัดเจนแล้วว่าลำดับพรือเฟอร์ จะมีขนาด n − 2 และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n แต่สิ่งที่ชัดเจนน้อยกว่าคือ ถ้าให้ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n-2 ช่อง และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n
จะมีต้นไม้ที่แปลงจาก ลำดับพรือเฟอร์ นั้นออกมาเป็นต้นไม้ได้  ผลที่ได้ตามมาก็คือ ลำดับพรือเฟอร์ ให้ bijection ระหว่าง กลุ่มของต้นไม้ที่มี n จุดยอด กับ กลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ ที่มีขนาด n-2 ตัว และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n ซึ่งในกลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ มีขนาด nn-2 ดังนั้นการมี bijection นี้แสดงถึงการพิสูจน์ Cayley's formula เช่น จะมีต้นไม้ที่มี n จุดยอด nn-2 ต้น

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ 
 Cayley's formula สามารถนำไปพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้: จำนวน spanning tree ใน complete graph Kn ที่มีชั้น d1,d2,...,dn จะเท่ากับ  การพิสูจน์จะเห็นได้ว่าในลำดับพรือเฟอร์ ลำดับที่ i จะปรากฏตรงกับ (di − 1) ครั้ง
 Cayley's formula ทั่วไป : ต้นไม้ที่เป็น spanning tree ใน complete graph โดยจำกัดการนับ ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งวิธีการคล้ายกับการหาจำนวน  spanning tree ของ  complete bipartite graph ถ้ากราฟ G เป็น  complete bipartite graph ที่มีจุดยอด 1 ถึง n1 ในส่วนแรก และ n1+1 ถึง n ในส่วนที่สอง แล้ว จำนวนของ spanning tree ของกราฟ G เท่ากับ n1n2-1n2n1-1 เมื่อ n=n1+n2

อื่นๆ 
 ตัวอย่าง ลำดับพรือเฟอร์ จาก ต้นไม้
 ตัวอย่าง ต้นไม้ จากลำดับพรือเฟอร์

อ้างอิง 
 ขั้นที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Pr%C3%BCfer_Sequence_from_Labeled_Tree#Finiteness
 bijection ระหว่างลำดับพรือเฟอร์กับต้นไม้  http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_between_Pr%C3%BCfer_Sequences_and_Labeled_Trees
 นิยามของลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Pr%C3%BCfer_Sequence
 Prüfer, H. (1918). "Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen". Arch. Math. Phys. 27: 742–744.
 Jens Gottlieb, Bryant A. Julstrom, Günther R. Raidl, and Franz Rothlauf. (2001). "Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search" . Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2001) : 343–350.

ต้นไม้ (ทฤษฎีกราฟ)
คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง