กฎของโคไซน์

ในตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์ () เป็นกฎที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมกับโคไซน์ของมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของโคไซน์เขียนได้ดังสมการต่อไปนี้ กำหนดให้ชื่อของด้านและมุมเป็นไปตามรูปที่ 1

เมื่อ  เป็นมุมระหว่างด้านที่มีความยาว  และ  และตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว 

กฎของโคไซน์นั้นกล่าวครอบคลุมถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้ามุม  เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90° หรือ  เรเดียน) แล้ว  จะได้กฎของโคไซน์ที่ลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎของโคไซน์มีประโยชน์ในการคำนวณความยาวด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่มีด้านทั้งสองนั้นเป็นด้านประกอบ และสามารถคำนวณมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าทราบความด้านทั้งสาม

การพิสูจน์

การใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด 

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว , , , เมื่อ  คือ ขนาดของมุมตรงข้ามของด้านยาว  รูปสามเหลี่ยมรูปนี้สามารถวางบนระบบพิกัดคาร์ทีเชียนโดยการลงจุดดังรูปที่ 2

จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

จากนั้นแก้สมการ

ข้อดีของการพิสูจน์นี้ คือ มันไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกเป็นกรณีต่าง ๆ ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 

ลากเส้นตรง  ให้ตั้งฉากกับ 

สมมติให้  ยาว  หน่วย

จาก  ดังนั้น 

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

เนื่องจาก 

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

ดูเพิ่ม 
 กฎของไซน์
 กฎของแทนเจนต์
 กฎของโคแทนเจนต์
 รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

แหล่งข้อมูลอื่น 
 
 Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
 Interactive applet of Law of Cosines

ตรีโกณมิติ
มุม
รูปสามเหลี่ยม