ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว () หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า สำหรับ x ใด ๆ หรือ สำหรับทุก x 

ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ  และ \forall ในระบบ LaTeX

พื้นฐาน 
เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง

" และ  และ  เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"

ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:

""

ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย

รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า 

ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า  ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "" จะเป็นจริง

ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์

ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า  ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น  ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ  ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า

"สำหรับจำนวนประกอบ  ใด ๆ เราจะได้ว่า "

สมมูลกับ

"สำหรับจำนวนธรรมชาติ  ใด ๆ ถ้า  เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า "

ดูเพิ่ม 
ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ  (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935

ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า  เป็นภาคแสดง และ  เป็นตัวแปร แล้ว  จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง  แทน

นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้  หรือ  แทนประพจน์ 

ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้  แทนภาคแสดง "" และ  เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

 ซึ่งก็คือ 

จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)

เช่นกัน หากกำหนด  แทนภาคแสดง " เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)

สมบัติ

การนิเสธ 
ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้   อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า  เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์  คือเซตของมนุษย์ทุกคน 

ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย 

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ

"" เป็นจริง

ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ  จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า

โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้

ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว"  (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ

ตัวเชื่อมอื่นๆ 
ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚  เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว 
กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด  () กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

เมื่อ  เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ () กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ  จะเขียนได้ในรูป :

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง 
โดยปกติแล้ว รูปแบบ   นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า จะเป็นภาคแสดงใด : ดูที่ค่าความจริงว่าง

การปิดแบบทั้งหมด 
การปิดแบบทั้งหมด () ของสูตร  เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน  ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

คือ

นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด 
ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย

ให้   เป็นเซตใดๆ และ  แทนพาวเวอร์เซตของ 

สำหรับฟังก์ชัน  ใด ๆ ระหว่างเซต   และ  จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน  ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ  คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว () ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว ()

นั่นคือ ฟังก์เตอร์  เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต  ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต  กำหนดโดย

นั่นคือ  อยู่ในอิมเมจของ  ภายใต้  

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์  เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต  จะคืนค่าเป็นสับเซต  กำหนดโดย

นั่นคือ  เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้  อยู่ใน  ทั้งหมด

เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก  โดยให้  ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์  ที่ทำให้  เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้  เป็นจริง และ

จะเป็นจริง หาก  ไม่ใช่เซตว่าง และ

จะเป็นเท็จ หาก  ไม่ใช่ 

ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้

ดูเพิ่ม 

 รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
 ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

อ้างอิง

บรรณานุกรม 

 
แคลคูลัสเชิงประพจน์