ฟีลด์

ในคณิตศาสตร์ ฟีลด์ () คือเซตที่สามารถนิยามการบวก ลบ คูณ และหารได้ และสามารถดำเนินการเหล่านั้นได้เหมือนกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง ฟีลด์จึงมักถือว่าเป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักจะถูกใช้ในพีชคณิต, ทฤษฎีจำนวน และคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ

ตัวอย่างฟีลด์ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ ฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ ฟีลด์ของจำนวนจริง ตลอดจนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังมีฟีลด์อื่น ๆ อีกมากมาย เช่น ฟีลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ฟีลด์ฟังก์ชันเชิงพีชคณิต ฟีลด์จำนวนเชิงพีชคณิต และฟีลด์ของจำนวนพี-แอดิก ก็มักจะถูกใช้และศึกษาในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต วิทยาการเข้ารหัสใช้ฟีลด์จำกัดซึ่งก็คือฟีลด์ที่มีสมาชิกจำกัดเป็นสำคัญ

ฟิลด์หนึ่งอาจขยายไปเป็นอีกฟิลด์หนึ่งได้ด้วยแนวคิดเรื่องฟีลด์ภาคขยาย ทฤษฎีกาลัวเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาความสมมาตรของฟีลด์ภาคขยายซึ่งริเริ่มโดยเอวาริสต์ กาลัว

นิยาม 
โดยสังเขปแล้ว ฟีลด์คือเซตที่มีฟังก์ชันสองตัวถูกกำหนดบนเซตนั้น ฟังก์ชันการบวกเขียนด้วยสัญลักษณ์ a + b ฟังก์ชันการคูณเขียนด้วยสัญลักษณ์ a ⋅ b ฟังก์ชันทั้งสองมีคุณสมบัติเหมือนกับที่อยู่ในจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง รวมไปถึงการมีตัวผกผันการบวก −a สำหรับสมาชิก a ทั้งหมด และตัวผกผันการคูณ b−1 สำหรับสมาชิก b ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด นี่ทำให้เราเห็นสิ่งที่เรียกว่าตัวดำเนินการผกผัน ซึ่งก็คือการลบ a − b และการหาร a / b โดยการนิยามว่า
 a − b = a + (−b),
 a / b = a · b−1.

ตัวอย่าง

จำนวนตรรกยะ 
จำนวนตรรกยะถูกใช้อย่างกว้างขวางก่อนที่จะมีการใช้คำว่าฟีลด์อย่างจริงจัง จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วน a/b, โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0. ตัวผกผันการบวกของฟังก์ชันดังกล่าวคือ −a/b, และตัวผกผันการคูณของเศษส่วนดังกล่าวคือ b/a  (ถ้า a ≠ 0)

อ้างอิง 

 

พีชคณิต