กราฟของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน f () ในทางคณิตศาสตร์ คือการรวบรวมคู่อันดับ  ทั้งหมด ถ้าฟังก์ชันรับค่า x เป็นสเกลาร์ กราฟนี้จะเป็นกราฟสองมิติ และจะกลายเป็นเส้นโค้งสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันรับค่า x เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง  กราฟนี้จะเป็นการรวบรวมสามสิ่งอันดับ  ทั้งหมด หรือเป็นกราฟสามมิติ และจะกลายเป็นพื้นผิวสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

หากกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ ถ้า x เป็นจำนวนจริง และ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง กราฟ อาจหมายถึงตัวแทนเชิงภาพ (graphical representation) ของการรวบรวมเหล่านี้ในรูปแบบกราฟเส้น นั่นคือเส้นโค้งบนระนาบคาร์ทีเซียน และแกนคาร์ทีเซียนเป็นต้น การวาดกราฟบนระนาบคาร์ทีเซียนบางครั้งก็อาจเรียกว่า การร่างเส้นโค้ง (curve sketching) กราฟของฟังก์ชันจำนวนจริงอาจลงจุดได้โดยตรงบนตัวแทนเชิงภาพของฟังก์ชันนั้น สำหรับฟังก์ชันทั่วไป ตัวแทนเชิงภาพไม่จำเป็นว่าจะต้องสามารถหาได้ และนิยามของกราฟของฟังก์ชันก็เพียงพอต่อความต้องการในประโยคคณิตศาสตร์ต่าง ๆ แล้ว ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทกราฟปิด (closed graph theorem) ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

มโนทัศน์ของกราฟของฟังก์ชันสามารถวางนัยทั่วไปเป็นกราฟของความสัมพันธ์ (graph of a relation) สังเกตว่าถึงแม้ฟังก์ชันหนึ่ง ๆ สามารถระบุได้ด้วยกราฟของมันเสมอ แต่ฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโคโดเมนต่างกันก็อาจมีกราฟเหมือนกันได้ ฟังก์ชันเหล่านั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกัน ยกตัวอย่าง ฟังก์ชันพหุนามกำลังสามในตัวอย่างเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) ถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนจริง แต่จะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ x หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวยืน (vertical line test) ในทางกลับกัน การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ y หรือไม่ ให้ใช้การทดสอบเส้นแนวนอน (horizonal line test) ถ้าฟังก์ชันนั้นมีฟังก์ชันผกผัน กราฟของฟังก์ชันผกผันจะหาได้จากเงาสะท้อนในกระจกของกราฟของฟังก์ชันเดิม โดยมีเส้นตรง  เป็นแกน

ในทางวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เทคโนโลยี การเงิน และอื่น ๆ กราฟถูกใช้เป็นเครื่องมืออเนกประสงค์ กรณีง่ายสุดคือตัวแปรหนึ่ง ๆ จะถูกลงจุด (plot) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น โดยใช้แกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากตามปกติ

ในรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่อันเป็นที่รู้จักกันว่าทฤษฎีเซต ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันโดยพื้นฐานถือว่าคือสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันตัวแปรเดียว 

กราฟของฟังก์ชัน
 
คือ
{ (1,a), (2,d), (3,c) }

กราฟของพหุนามกำลังสามบนเส้นจำนวนจริง
 
คือ
 { (x, x3 − 9x) : x เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระนาบคาร์ทีเซียน ผลลัพธ์จะได้เส้นโค้งตามภาพ (2)

ฟังก์ชันสองตัวแปร 

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 f(x, y) = sin(x2) · cos(y2)
คือ
 { (x, y, sin(x2) · cos(y2)) : x และ y เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ผลลัพธ์จะได้พื้นผิวตามภาพ (3)

บางครั้งการใส่เกรเดียนต์ของฟังก์ชันและเส้นโค้งระดับไว้บนกราฟก็อาจมีประโยชน์ เส้นโค้งระดับสามารถวาดบนกราฟพื้นผิวของฟังก์ชันหรือฉายลงบนระนาบข้างล่าง

ภาพถัดมา (4) แสดงการวาดกราฟของฟังก์ชัน

 f(x, y) = −(cos(x2) + cos(y2))2

แนวฉากของกราฟ 
กำหนดให้ฟังก์ชัน f รับค่าตัวแปร n ตัว ได้แก่  แนวฉากของกราฟคือ
 
(ขึ้นอยู่กับการคูณด้วยค่าคงตัว) สิ่งนี้สามารถพบได้โดยพิจารณากราฟว่าเป็นเซตระดับ (level set) ของฟังก์ชัน  และการใช้  เป็นแนวฉากของเซตระดับ

การวางนัยทั่วไป 
กราฟของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ตัวอย่างเช่น ระนาบ xy เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือแกน x กับแกน y, ผิวทรงกระบอกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงกับรูปวงกลม ซึ่งความสูง รัศมี และมุมเป็นตัวกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุดต่าง ๆ มัดเส้นใย (fiber bundle) ตามปกติไม่เป็นผลคูณคาร์ทีเซียน แต่ถ้าหากมองเข้าไปใกล้ก็อาจเห็นเป็นผิวชนิดหนึ่งและนับเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนได้ สัญกรณ์ที่สอดคล้องของกราฟบนมัดเส้นใยเรียกว่า ภาคตัด (section)

ดูเพิ่ม 

 เส้นกำกับ
 แผนภูมิ
 ฟังก์ชันคองเคฟ
 ฟังก์ชันคอนเวกซ์
 เส้นชั้นความสูง

 จุดวิกฤต
 อนุพันธ์
 เอพิกราฟ
 กราฟ (คณิตศาสตร์)
 ทฤษฎีกราฟ

 ความชัน
 สมการ
 เททระวิว
 การเลื่อนขนานแนวยืน
 ระยะตัดแกน y

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 

 Graph of function, derivative and antiderivative plotter 
 Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

แผนภูมิ
ฟังก์ชันและการจับคู่

pt:Função#Gráficos de função