สมการกำลังสาม

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว  คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

ดิสคริมิแนนต์ 
สมการกำลังสามทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะมีรากของสมการ 3 คำตอบเสมอ ซึ่งจะต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่เป็นคำตอบ ตามทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem) และคำตอบเหล่านั้นอาจจะเท่ากันบางค่าก็ได้ ส่วนอีกสองจำนวนที่เหลือสามารถแยกแยะได้จากการพิจารณาดิสคริมิแนนต์ ซึ่งคำนวณจาก

คำตอบของสมการจะเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้
 ถ้า Δ < 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ที่แตกต่างกันทั้งหมด
 ถ้า Δ > 0 คำตอบของสมการจะมีหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริง และอีกสองจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคซึ่งกันและกัน
 ถ้า Δ = 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งมีสองจำนวนเป็นค่าเดียวกัน หรือ เป็นค่าเดียวกันทั้งสามจำนวน อย่างใดอย่างหนึ่ง

สูตรกำลังสาม 
ถ้าหาก  เป็นคำตอบของสมการกำลังสามแล้ว เราจะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสามได้ดังนี้

กำหนดให้

คำตอบของสมการทั้งสามค่าสามารถคำนวณได้จากสูตร

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

อ้างอิง 
 W. S. Anglin; & J. Lambek (1995). "Mathematics in the Renaissance", in The heritage of Thales, Ch. 24. Springers.
 Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
 R.W.D. Nickalls (1993). A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed , The Mathematical Gazette, 77:354-359.

ดูเพิ่ม 
 สมการเชิงเส้น
 สมการกำลังสอง
 สมการกำลังสี่
 สมการกำลังห้า

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Tartaglia's work (and poetry) on the solution of the Cubic Equation  at Convergence 
 Cubic Equation Solver.
 Quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.
 
 Cardano solution calculator as java applet  at some local site. Only takes natural coefficients.
 Graphic explorer for cubic functions With interactive animation, slider controls for coefficients
 On Solution of Cubic Equations  at Holistic Numerical Methods Institute
 Dave Auckly, Solving the cubic with a pencil American Math Monthly 114:1 (2007) 29--39

พีชคณิตมูลฐาน
สมการ
พหุนาม