คู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ คู่อันดับ (a, b) เป็นคู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดย a เรียกว่า สมาชิกตัวหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง คู่อันดับอาจจะมองเป็นพิกัดก็ได้ สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ (b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} เท่ากับคู่ไม่อันดับ {b, a}

คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ (a,b,c) สามารถนิยามโดย (a, (b,c)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ

ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน

หลักโดยทั่วไป 
กำหนดคู่อันดับ  และ  เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ

 ก็ต่อเมื่อ  และ 

เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต X และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต Y เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า X×Y ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต X ไปเซต Y ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ X×Y

ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ  แทน  ตามปกติได้

การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต 
เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

นิยามของ Wiener 
Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914

เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย 

Wiener ใช้ {{b}} แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้  เป็นประเภทเดียวกันกับ

นิยามของ Hausdorff 
ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน
 
โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b

นิยามของ Kuratowski 
ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ว่า

มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
 
เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct)  จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y1 ≠ Y2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่
หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

อ้างอิง 

มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
ทฤษฎีอันดับ
ทฤษฎีแบบชนิด