กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ () คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ

เค็พเพลอร์ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ 
 วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
 ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
 กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ  อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน

รายละเอียดทางคณิตศาสตร์

กฎข้อที่ 1 

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"

คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้

สมการคือ
 
โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
 

เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:
 

กึ่งแกนเอกของวงรี a คือมัชฌิมเลขคณิตของ rmin และ rmax:
 
กึ่งแกนโทของวงรี b คือมัชฌิมเรขาคณิตของ rmin และ rmax:
 
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

กฎข้อที่ 2 

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” 

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
 1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร
 
 2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเค็พเพลอร์:
 
 3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ:
 
 4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก:

กฎข้อที่ 3 
กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
 
  = คาบการโคจรของดาวเคราะห์
  = แกนกึ่งเอกของวงโคจร

ดังนั้น P2·a–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ P2·a–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ในหน่วยเอสไอ:

ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา 

ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
 s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
 z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
 c ศูนย์กลางของวงรี
 p ดาวเคราะห์
และ
  กึ่งแกนเอก ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
  ความเยื้องศูนย์กลาง
  กึ่งแกนโท
  ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
  ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t

และ
 , y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย

: ,

 
โดย T คือคาบการโคจร

 
 
Division by a²/2 gives Kepler's equation
 .
 

 
 
to get
 

 
จะได้
 
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
 

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:

การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2 

 

 
where  is the tangential unit vector, and
 

So the position vector
 
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
 
 

Note that for constant distance, , the planet is subject to the centripetal acceleration, , and for constant angular speed, , the planet is subject to the coriolis acceleration, .

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m, gives the vector equation of motion
 

Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
 
 

 
and integrate:
 
where  is a constant of integration, and exponentiate:
 
This says that the specific angular momentum  is a constant of motion, even if both the distance  and the angular speed  vary.

The area swept out from time t1 to time t2,
 
depends only on the duration t2−t1. This is Kepler's second law.

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1 

 

 
and get
 
and
 

 

Differentiate
 
twice:
 
 
Substitute into the radial equation of motion
 
and get
 
Divide by 

 

 

 
These solutions are
 
where  and  are arbitrary constants of integration. So the result is
 

Choosing the axis of the coordinate system such that , and inserting , gives:

 

If  this is Kepler's first law.

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3

 

where:
 T = planet's sidereal period
 r = radius of the planet's circular orbit
 G = the gravitational constant
 M = mass of the sun

 

โดย:
 T = object's sidereal period
 a = object's semimajor axis
 G = the gravitational constant = 6.67 × 10−11 N • m²/kg²
 M = mass of one object
 m = mass of the other object

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

ซ.ต.พ.

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 
 ปัญหาเค็พเพลอร์
 การเคลื่อนที่แบบวงกลม
 ความโน้มถ่วง
 ปัญหาวัตถุสองชิ้น
 การตกอย่างอิสระ

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html , an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
 David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html , an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
 University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion 
 Equant compared to Kepler: interactive model  
 Kepler's Third Law:interactive model 

กลศาสตร์ท้องฟ้า
สมการ
โยฮันเนิส เค็พเพลอร์