จำนวนกาตาล็อง

จำนวนกาตาล็อง () ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ปรากฏอยู่ในปัญหาการนับหลายๆ ปัญหา โดยส่วนใหญ่มักอยู่ในรูปการเรียกซ้ำ (recursive) จำนวนกาตาล็องถูกตั้งชื่อตามชื่อของเออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและเบลเยียม

จำนวนกาตาล็องตัวที่ n สามารถหาได้โดยใช้สูตรสัมประสิทธิ์ทวินาม ดังนี้

จำนวนกาตาล็องเมื่อ n = 0, 1, 2, 3, … คือ

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

คุณสมบัติ 

Cn สามารถเขียนอีกแบบได้

ซึ่งแสดงให้เห็นว่า Cn เป็นจำนวนธรรมชาติ 

จำนวนกาตาล็อง เขียนในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด ได้ดังนี้

หรือเขียนอีกแบบได้

จำนวนกาตาล็องมีค่าประมาณ

การประยุกต์ใช้ 

 Cn คือจำนวนของ Dyck word ที่มีความยาว 2n. Dyck word คือ ข้อความที่ประกอบด้วย X และ Y อย่างละ n ตัว และเมื่ออ่านข้อความจากทางซ้ายทีละตัวอักษร จะไม่มีทางนับจำนวนตัว Y ได้มากกว่าตัว X. ตัวอย่าง Dyck words ที่มีความยาว 6

 XXXYYY     XYXXYY     XYXYXY     XXYYXY     XXYXYY

 Cn คือจำนวนวงเล็บ n คู่ทั้งหมดที่อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง
 ((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()()) 

 Cn คือจำนวนต้นไม้ทวิภาค (binary tree) ที่มีใบ n + 1 ใบทั้งหมดที่เป็นไปได้

 Cn คือ จำนวนวิถีทางเดียว (monotonic path) ทั้งหมดบนตารางขนาด n × n ช่อง ที่ไม่ตัดเส้นทแยงมุม. วิถีทางเดียว คือ เส้นทางที่เริ่มจากมุมล่างซ้าย และจบที่มุมบนขวา โดยเส้นเชื่อมจะชี้ไปทางขวา หรือข้างบนได้เท่านั้น. ตัวอย่างกรณี n = 3:

 Cn คือจำนวนวิธีตัดรูปหลายเหลี่ยมที่มี n + 2 ด้านให้เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยการตัดจะตัดจากจุดยอดของรูป และตัดเป็นเส้นตรง. ตัวอย่าง กรณี n = 4:

ประวัติ 

ลำดับกาตาล็องถูกค้นพบตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งเขาสนใจจำนวนวิธีตัดรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม. ลำดับนี้ถูกตั้งชื่อโดย Eugène Charles Catalan เขาได้ค้นพบว่าจำนวนกาตาล็องมีความเกี่ยวข้องกับจำนวนวงเล็บทั้งหมดที่เป็นไปได้

อ้างอิง 

 Stanley, R.P. (1999): Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge University Press. (pp. 219-229)

ลำดับจำนวนเต็ม
การเรียงสับเปลี่ยน
แฟคทอเรียลและหัวข้อเรื่องทวินาม
คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง