มัชฌิม

มัชฌิม () ในทางสถิติศาสตร์มีความหมายได้สองทางคือ
 มัชฌิมเลขคณิต (ซึ่งแตกต่างจากมัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก) ในบางบริบทมีการใช้คำว่า ค่าเฉลี่ย แทนความหมายของมัชฌิมเลขคณิต แต่ค่าเฉลี่ยนั้นมีหลายประเภทที่แตกต่างกัน อาทิ มัฌชิม มัธยฐาน ฐานนิยม ตัวอย่างเช่น ราคาเฉลี่ยของบ้านและอาคาร จะใช้มัธยฐานเป็นค่าเฉลี่ยเสมอ
 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม บางครั้งก็เรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่มีค่าอยู่จริง มัชฌิมคือการคาดหมายค่าของ X แต่การแจกแจงความน่าจะเป็นบางอย่างไม่มีการนิยามมัชฌิม (หรือความแปรปรวน) ดูกรณีตัวอย่างในการแจกแจงโคชี (Cauchy distribution)

สำหรับชุดข้อมูลหนึ่ง ๆ มัชฌิมคือผลบวกของสิ่งที่สังเกตการณ์ หารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกตการณ์ มัชฌิมดังกล่าวมักจะมาคู่กันกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมัชฌิมใช้อธิบายตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้อธิบายความกระจัดกระจายของข้อมูล

นอกเหนือจากทางสถิติศาสตร์ มัชฌิมมักใช้ในเรื่องเรขาคณิตและคณิตวิเคราะห์ ซึ่งมัชฌิมหลายชนิดถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจุดประสงค์ต่าง ๆ ในวงกว้าง แต่มีที่ใช้น้อยในสถิติศาสตร์ ดังรายชื่อต่อไปนี้

ตัวอย่าง

มัชฌิมเลขคณิต 
มัชฌิมเลขคณิต เป็นค่าเฉลี่ยแบบมาตรฐานทั่วไป ซึ่งมักเรียกกันว่าเป็น ค่าเฉลี่ย หรือ มัชฌิม เฉย ๆ

ตัวอย่าง มัชฌิมเลขคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 (จำนวนหกค่า) คือ (34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 34) / 6 = 217 / 6 ≈ 36.167

มัชฌิมชนิดนี้มักเป็นที่สับสนกับค่าเฉลี่ยอย่างอื่นที่คล้ายกัน เช่น มัธยฐานหรือฐานนิยม มัชฌิมเลขคณิตจะเป็นการคำนวณเลขคณิตของผลเฉลี่ยจากค่าหลาย ๆ ค่า หรือการแจกแจง หรือแม้แต่การแจกแจงเบ้ (skewed) ซึ่งไม่เหมือนกับค่ากึ่งกลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด (ฐานนิยม)

มัชฌิมเรขาคณิต 
มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่เกี่ยวข้องกับผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก เช่น อัตราการเติบโต เป็นต้น

ตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ (34 × 27 × 45 × 55 × 22 × 34)1/6 = 1,699,493,4001/6 ≈ 34.545

มัชฌิมฮาร์มอนิก 
มัชฌิมฮาร์มอนิก เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่กำหนดความสัมพันธ์กับบางหน่วย เช่น ความเร็ว (ระยะทางต่อหน่วยเวลา) เป็นต้น

ตัวอย่าง มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ

มัชฌิมทั่วไป

มัชฌิมกำลัง 
มัชฌิมทั่วไป (generalized mean) หรือรู้จักกันในชื่อ มัชฌิมกำลัง (power mean) หรือ มัชฌิมเฮิลเดอร์ (Hölder mean) คือภาวะนามธรรมของมัชฌิมกำลังสอง เลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก ซึ่งนิยามโดย

โดยการเลือกค่า m ที่ต้องการเป็นพารามิเตอร์
 m → ∞ จะได้ ค่าสูงสุด
 m = 2 จะได้ มัชฌิมกำลังสอง
 m = 1 จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
 m → 0 จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต
 m = −1 จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
 m → −∞ จะได้ ค่าต่ำสุด

มัชฌิมกึ่งเลขคณิต 
มัชฌิมกึ่งเลขคณิต (quasi-arithmetic mean หรือ generalized f-mean) เป็นมัชฌิมที่มีความทั่วไปมากขึ้นไปกว่ามัชฌิมกำลัง นิยามโดย

โดยการเลือกฟังก์ชัน f ที่มีอินเวิร์ส เป็นพารามิเตอร์
  จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
  จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
  จะได้ มัชฌิมกำลัง
  จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก 
มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (โดยปกติจะเป็นมัชฌิมเลขคณิตที่ถ่วงน้ำหนัก) จะใช้ในกรณีที่ต้องการผสานค่าของน้ำหนักข้อมูลเข้ากับค่าเฉลี่ย จากตัวอย่างสุ่มในประชากรเดียวกันด้วยขนาดที่แตกต่างกัน

ซึ่ง wi แทนค่าน้ำหนักของข้อมูลของแต่ละตัว

อ้างอิง 
 สาขาวิชาวิทยาการจัดการ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. "9.1 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง". เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติเพื่อธุรกิจ หน่วยที่ 8-15. พิมพ์ครั้งที่ 23. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2552. หน้า 472–488. ISBN 974-613-367-5

 
การศึกษาคณิตศาสตร์