ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง () เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด  แล้ว  จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง  และ 

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสองต้องลากเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง 
ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน  ที่นิยามบน  สอดคล้องกับสมการ  และ  แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ  ใดที่สอดคล้องกับ  ทั้งนี้เพราะว่า  เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์ 
บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method) ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม

บทแทรก 
ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

 ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem): ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
 ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 
 ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
 ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์

ลิงก์เพิ่มเติม 

 บทพิสูจน์ใน Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4

แคลคูลัส
ทอพอโลยี