ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง ()  คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

ตัวอย่างเช่น ให้ฟังก์ชัน  เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา  ไปยังความสูงของต้นไม้ที่เวลานั้น เราได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน  ที่ส่งความสูง  ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มีความสูง  เหนือจุดพิกัดทางภูมิศาสตร์จุดหนึ่ง ในทางกลับกัน ถ้า  เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา  ไปยังจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีธนาคาร เราได้ว่า  ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงแบบก้าวกระโดดเมื่อมีการฝากเงินหรือถอนเงินเข้าหรือออกจากบัญชี

ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีอันดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง 
สมมติว่า  เป็นฟังก์ชันที่ส่งช่วงช่วงหนึ่งของจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ดังเช่นฟังก์ชัน , , และ  ข้างต้น ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนแทนด้วยกราฟของฟังก์ชันบนระนาบคาร์ทีเซียน เราอาจกล่าวโดยหยาบๆ ว่าฟังก์ชัน  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นที่ไม่มีจุดแหว่งหรือการก้าวกระโดด กล่าวคือ เราสามารถเขียนกราฟได้โดยไม่ต้องยกปากกา

ถ้าจะกล่าวให้รัดกุมตามหลักคณิตศาสตร์แล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชัน  ต่อเนื่องที่จุด  ถ้าเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง
 ฟังก์ชัน  มีนิยามที่จุด 
 ให้  เป็นจุดลิมิตของโดเมนของ  แล้ว ลิมิตของ  เมื่อ  เข้าใกล้  มีค่าเท่ากับ 

เรากล่าวว่าฟังก์ชัน  ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ หรือเรียกย่อๆ ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า  ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน

นิยามเอปไซลอน-เดลตา

ตัวอย่าง 
 ทุก ๆ ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
 ทุก ๆ ฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิธึม ฟังก์ชันรากที่ n ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (บนโดเมนที่หาค่าฟังก์ชันได้)
 ทุก ๆ ฟังก์ชันขั้นบันได เช่น ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น 1 เมื่อ x > 0 นอกนั้นฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 1, เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
 ฟังก์ชันดิริชเลต์ (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันข้าวโพดคั่ว) เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิอิงระยะทาง

ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี 
นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถขยายให้กว้างขึ้น เพื่อให้ครอบคลุมฟังก์ชันระหว่างปริภูมิทอพอโลยี ได้ดังนี้:

จะเรียกฟังก์ชัน  ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเซตเปิด  แล้วบุพภาพ

 

จะเป็นเซตเปิดด้วย

อนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าในปริภูมิยุคลิด นิยามข้างต้นและนิยามเอปไซลอน-เดลตาเหมือนกันทุกประการ. จากนิยามนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ทราบแก่นที่แท้จริงของความต่อเนื่องคือ การนิยามเซตเปิดในระบบนั่นเอง ไม่ใช่ฟังก์ชันระยะทางดังที่เคยเข้าใจมา

แคลคูลัส
ทอพอโลยี