รูปอนันต์เหลี่ยม

ตามทฤษฎีของเรขาคณิตแบบยุคลิค รูปอนันต์เหลี่ยม (Apeirogon) คือการลดรูปหลายเหลียมแบบหนึ่งที่มีจำนวนด้านเป็นอนันต์นับได้ 

คุณสมบัติเหมือนกับรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่ประกอบไปด้วยลำดับการต่อกันของเส้นที่ลากเชื่อมจุด
และมุม แต่ต่างกันตรงที่ รูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมไม่มีจุดสิ้นสุด
เพราะนำมาต่อกันเป็นวงจรปิด ส่วนรูปอนันต์เหลี่ยมไม่มีจุดสิ้นสุด เพราะคุณไม่สามารถเอาจุดอนันต์ของปลายทั้งสองด้านของรูปเหลี่ยมอนันต์มาเชื่อมต่อกันได้
รูปเหลี่ยมอนันต์ปิดสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อมุมของอนุกรมใดอนุกรมหนึ่งมาบรรจบเข้ามากันที่จุดเดียวกัน (มุมหนึ่งจากแต่ละด้าน เริ่มจากจุดไหนก็ได้) จุดบรรจบดังกล่าวเรียกว่าจุดสะสม จุดสะสม และรูปอนันต์เหลี่ยมปิดใดๆ จะมีอย่างน้อยหนึ่งจุดสะสม 

สองรูปอนันต์เหลี่ยมสามารถอยู่บนระนาบเทสเซลเลชันได้ และสัญลักษณ์ชเลฟลีของระนาบเทสเซลเลชันนี้คือ {∞, 2}

รูปอนันต์เหลี่ยมปกติ
รูปอนันต์เหลี่ยมปกติ คือรูปเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน และมุมเท่ากัน เหมือนกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ โดยมีสัญลักษณ์ชเลฟลีเป็น {∞} ถ้ามุมของรูปอนันต์เหลี่ยมมีมุม 180° แล้วจะมันมีรูปลักษณะเหมือนเส้นตรง ดังรูป

......

จากเส้นตรงนี้อาจจะมองว่าเป็นวงกลมรัศมีอนันต์ก็ได้ โดยเปรียบว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเป็นจำนวนมหาศาลมาต่อกันจนเป็นวงกลม

รูปแบบความเบ้

เมื่อวาดรูปเหลี่ยมอนันต์ปกติแบบหนึ่งที่มีลักษณะเป็นเกลียวของสามเหลี่ยมด้านเท่า (อังกฤษ: equilateral triangular helix)  ด้วยมุมมอง 3 มิติ

บางครั้งคนก็คิดว่ารูปเหลี่ยมอนันต์ก็เป็นตัวอย่างความปกติแบบหนึ่ง จนเมื่อ Branko Grünbaum ค้นพบเพิ่มอีกสองสิ่ง คือถ้ามุมของแต่ละจุดสลับด้านกันไป รูปเหลี่ยนอนันต์จะมีหน้าตาเป็นเส้นซิกแซก และเป็นรูปสมมาตรรูปเดียวกันต่อเนื่องกัน เท่ากับ 2*∞ อย่างไรก็ตามรูปแบบนี้จะเป็นปกติก็ต่อเมื่อด้านหนึ่งไม่ไปทับอีกด้านหนึ่ง และมองว่ามันไม่มีรูปร่าง

......

ถ้าแต่ละมุมถูกแยกออกจากแนวระนาบของมุมก่อนหน้านี้ รูปเหลี่ยมอนันต์จะประกอบออกมาเป็นรูปเกลียวสามเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่บนระนาบเดียวกันแบบนี้ เรียกว่าความเบ้ รูปวาดด้านขวาเป็นรูปในมุมสามมิติของรูปเหลี่ยมอนันต์เบ้ปกติอย่างหนึ่ง

รูปหลายเหลี่ยมนี้สร้างขึ้นจากอนุกรมของเซตย่อยของด้านที่ต่อมีการต่อซ้อนอย่างเป็นรูปแบบแอนติปริซึมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอย่างไม่สิ้นสุดอย่าง่ แม้จะไม่เหมือนแอนติปริซึมซะทีเดียวก็ตาม มุมที่ถูกบิดไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเป็นจำนวนเต็มหารของ 180° รูปหลายเหลี่ยมรูปนี้มีแกนเบ้ ลำดับอนุกรมของด้านของเกลียวของบอร์ดิจค์ค็อกซีเตอร์ สามารถแสดงเป็นรูปเหลี่ยมอนันต์เบ้ปกติได้

เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา
ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา รูปเหลี่ยมอนันต์ ไม่สามารถลดรูปได้และมีรูปร่างเป็นแผ่น เช่น {∞, 3} ที่มีจุดยอดตามวงล้อโฮโร

ดูเพิ่ม
Apeirogonal tiling
Apeirogonal prism
Apeirogonal antiprism
Apeirohedron
Circle

อ้างอิง
 p. 296, Table II: Regular honeycombs
Grünbaum, B. Regular polyhedra - old and new, ''Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)

แหล่งข้อมูลอื่น

รูปหลายเหลี่ยม
อนันต์