โคมไฟของทอมสัน

โคมไฟของทอมสัน เป็นปริศนาทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับเรื่องอนันต์ กำเนิดขึ้นมาในปี 1954 โดยนักปรัชญาชาวอังกฤษ เจมส์ เอฟ. ทอมสัน เป็นผู้ที่เริ่มการวิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ของซูเปอร์ทาสก์ ที่ซึ่งเกี่ยวกับตัวเลขอนันต์

ปัญหา 
ให้หลอดไฟมีระบบเปิดปิดที่ใช้ทอกเกิลสวิตช์ ที่เมื่อกดสวิตช์หนึ่งครั้งแล้วหลอดไฟจะเปิด เมื่อกดอีกครั้งจะปิด ต่อไป ให้กระทำการตามขั้นตอนต่อไปนี้ : เริ่มตัวจับเวลา จะมีคนเปิดไฟ เมื่อผ่านไปหนึ่งนาที ก็ปิดไฟ และเมื่อผ่านไปอีกครึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/4 ของหนึ่งนาที ก็ปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/8 ของหนึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยรอให้ถึงครึ่งหนึ่งของ ณ เวลานั้น ๆ จึงกดสวิตช์  ผลรวมของเวลาอนุกรมอนันต์นี้คือสองนาที

คำถามก็คือ : หลอดไฟจะเปิดหรือปิดภายในเวลาสองนาที? ทอมสันได้ให้เหตุผลเรื่องความขัดแย้งไว้ดังนี้ :

 ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ หลอดไฟจะเปิดไม่ได้ เพราะไม่มีสักครั้งที่จะเปิดหลอดไฟโดยที่ไม่ปิดมาก่อนเลย หลอดไฟจะปิดไม่ได้ เพราะก่อนจะปิดได้นั้นก็ต้องเปิดมาก่อน แล้วต่อจากนั้น ก็จะไม่ปิดโดยที่ไม่เปิดมาก่อนได้ แต่หลอดไฟต้องเปิดหรือปิดอย่างแน่นอน แต่กลับกลายเป็นข้อขัดแย้งไปซะเอง

การเปรียบเทียบกับอนุกรมทางคณิตศาสตร์ 
ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกับอนุกรมแกรนดี

 S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

สำหรับผลรวมของอนุกรมข้างต้น หาก n เป็นจำนวนคู่ ผลรวมจะเท่ากับ 1 แต่หาก n เป็นจำนวนคี่ ผลรวมจะได้ 0 หรือก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับอนุกรมจะเป็น {1, 0, 1, 0...} ซึ่งแสดงถึงสถานะของหลอดไฟ อนุกรมนี้จะไม่บรรจบกัน แต่ก็ไม่ใช่อนุกรมอนันต์

หรือเมื่อจัดรูปอนุกรมใหม่จะได้ :

 S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

อนุกรมอนันต์ที่อยู่ในวงเล็บมีค่าเท่ากับอนุกรม S ซึ่งก็หมายความว่าS = 1 − S จะได้ S = 1⁄2 ซึ่งในความเป็นจริง ผลรวมนี้ออกแบบมาเพื่อสนับสนุนข้อที่ว่า : มีการจำกัดผลรวมของอนุกรมที่ทำให้ค่าอนุกรมแกรนดีเท่ากับ 1⁄2

ส่วนหนึ่งของงานเขียนของเขาในปี 1954 ได้เขียนเรื่องการเปรียบเทียบของอนุกรมแกรนดีกับโคมไฟของเขาไว้

 "แล้วคำถามที่ว่าโคมไฟจะเปิดหรือปิด...คือคำถามที่ว่า : ผลรวมของลำดับลู่ออก
 +1, −1, +1, …?
 "นักคณิตศาสตร์ก็ได้ออกมากล่าวว่าลำดับนี้มีผลรวม พวกเขาบอกว่าผลรวมคือ 1⁄2 แล้วคำตอบนั่นก็ไม่ได้ช่วยอะไรเราเลย เพราะเราไม่ยอมรับที่จะบอกว่าโคมไฟนั้นกึ่งปิดกึ่งเปิด ซึ่งหมายความว่า จะยังไม่มีคำตอบโดยสมบูรณ์ว่าอะไรจะได้คำตอบลงไปอีกเมื่อซูเปอร์ทาสก์นั้นได้คำตอบ ... เราไม่อาจคาดหวังที่จะเลือกความคิดนี้แค่เพียงเพราะเรามีความคิดเรื่องทาสก์ หรือหลาย ๆ ทาสก์ที่เราได้พิสูจน์ตามความคุ้นเคยกับจำนวนเหนืออนันต์ (Transfinite Numbers)"

ดูเพิ่ม 

 ปฏิทรรศน์

หมายเหตุ

อ้างอิง 

Earman, John and Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. In Benacerraf and his Critics, Adam Morton and Stephen P. Stich (Eds.), p. 231-261.

ปฏิทรรศน์
ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์