ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุโลเอ็น

ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น  () ในเรื่องทฤษฎีจำนวนนั้นได้ถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม  โดยเริ่มต้นจากปัญหาที่ว่า " จงหาจำนวนเต็ม x,y ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง เมื่อกำหนดจำนวนเต็ม n " โดย
  
ซึ่งการใช้ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ ()  โดยการพยายามแยกตัวประกอบของ n ในรูปแบบ n = x2 − y2 = (x + y) (x − y). นั้น ต้องใช้เวลาที่ยาวนานมากในการค้นหาคำตอบ เพราะต้องค้นหาคำตอบที่เป็นไปได้เป็นจำนวนมาก และมีตัวเลขที่อาจเป็นคำตอบได้จริงน้อยมาก ในทางปฏิบัติจึงไม่นิยมใช้ แต่จะอาศัยการแยกตัวประกอบจากปัญหาที่ง่ายกว่า ซึ่งคือ ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น  ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้ 

      และเพิ่มข้อกำหนดว่า  เพื่อจำกัดปริมาณชุดคำตอบที่ได้ให้อยู่ในขอบเขตที่ต้องการ

ขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหา 
จากสมการ   จะได้ว่าเราสามารถเปลี่ยนรูปของปัญหาดังนี้    
 
  
ซึ่งหมายความว่า   สามารถหาร  ลงตัว แต่ด้วยข้อกำหนดที่ว่า   จึงจะได้ว่า หรือ  ไม่สามารถหารด้วย n ลงตัวได้เพียงตัวใดตัวหนึ่ง โดยอาจใช้วิธีการแก้ปัญหาดังนี้         
                                                                                                                                                              
1.) ใช้วิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการของยูคลิด ซึ่งในที่นี้  แทนตัวหารร่วมมากของ a และ b จากที่กล่าวไปดังข้างต้น จึงสามารถอธิบายได้ว่า   และ  ต้องมีตัวประกอบทุกตัวของ n หรือสามารถอธิบายได้ว่า  โดย k คือจำนวนเต็มบวกตัวหนึ่ง โดยเราจะพิจารณา  ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมีค่าอยู่ระหว่าง   ถึง  และทำการค้นหา y ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ x+y เป็นตัวประกอบ และทำการตรวจสอบว่าค่าของ (x-y,n) ว่ามีค่าสอดคล้องตามที่ต้องการหรือไม่ โดยวิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยขั้นตอนวิธีการของยูคลิด() ดังนี้
ในการหาตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b โดยกำหนด a > b จะมีวิธีการหาตัวหารร่วมมากดังนี้ โดยมีข้อกำหนดว่า ทุกๆขั้นตอนที่ k ใดๆ ( k คือ 0 หรือ จำนวนเต็มบวกใดๆ)    rk−2 = qk rk−1 + rk    ซึ่ง   ( 0≤ rk   ,         qk  ±   โดย qkจะมีเครื่องหมายเป็นลบเมื่อ a เป็นจำนวนเต็มบวก และ b เป็นจำนวนเต็มลบ หรือ a เป็นจำนวนเต็มลบ และ b เป็นจำนวนเต็มบวก)   โดยจะมีขั้นตอนการดำเนินการดังนี้

 a = q0 b + r0 
 b = q1 r0 + r1
 r0 = q2 r1 + r2
 r1 = q3 r2 + r3
 …
rn-2 = qn rn-1 

จากสมการข้างต้นจะได้ qn =  ซึ่งจะเห็นได้ว่า จะสามารถตรวจคำตอบได้อย่างรวดเร็วซึ่งใช้เวลาไม่เกิน O(h) โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h =  + 1  ( โดย k= log10(b) )

2.)ทำการค้นหา   โดยค้นหา x ที่มีค่าระหว่าง  ถึง n แล้วทำการตรวจสอบค่า z ที่ได้ว่า  เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ถ้าเป็นจำนวนเต็มก็จะกำหนดให้  แล้วทำการตรวจสอบตัวหารร่วมมากระหว่าง (x-y) และ (x+y) ว่าตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดหรือไม่    ตัวอย่าง เช่น  กำหนดให้ n = 35 จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ที่ทำให้   จะได้ว่าทำการค้นหาค่า x ตั้งแต่ 6 ถึง 35 แต่ได้พบว่าเมื่อ x = 6 จะได้ว่า
 เพราะฉะนั้นจะได้ว่า x = 6 , y = 1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ซึ่งจากการตรวจสอบ (6-1,35) = 5 และ (6+1,35) =  7 ซึ่งจะพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดไว้ จึงถือว่า x=6,y=1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้

รหัสเทียมและประสิทธิภาพการทำงาน 
จากแนวคิดขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาข้างต้น จะพบว่า ถ้าจะทำการเขียนรหัสเทียม ()   เพื่อแสดงขั้นตอนการทำงานที่เกิดขึ้น หรือเป็นการแสดงขั้นตอนเบื้องต้นที่เกิดขึ้นในการใช้คอมพิวเตอร์ในการดำเนินการแก้ไขปัญหานั้น จะสามารถแสดงขั้นตอนต่างๆเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

- รหัสเทียมเพื่อการค้นหาตัวหารร่วมมาก
function gcd(a, b)
while b ≠ 0
begin
t := b
b := a mod b
a := t
end
return a
จากรหัสเทียมข้างต้น function gcd จะทำการหาค่าของตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b แล้วทำการคืนค่าตัวหารร่วมมากกลับมาจากการเรียกใช้ function โดยจะเสียเวลาทำงานไม่เกิน  O(h)  โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h =  + 1  ( โดย k= log10(b) ) ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น  ซึ่งเมื่อนำไปใช้ต่อไปในขั้นตอนการแก้ปัญหาต่อไปในรูปแบบที่นำเสนอไปดังข้างต้น ซึ่งอาจเขียนเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้ 

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 1.)
function csquare(n)
x = ceil(sqrt(n))    
while x <= n
 begin
   y := 1 
   while y < x
   begin
  if (gcd(x+y,n) > 1)
  begin
  if (gcd(x-y,n) * gcd(x+y,n) mod n == 0)  
  begin   
  print(x)        print(y)  break
  end
 end
 y:=y+1
  end
x := x+1
 end
จากรหัสข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้ โดยเริ่มต้นนั้นกำหนดค่าให้ x=  เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง  ถึง n  ตามต้องการ แล้วจึงทำการทดสอบค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (ตั้งแต่ 1 ถึง x) ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวนภายนอก Θ (n) และกระบวนการทำงานภายในที่ต้องวิ่งแปรผันตามค่า x รวมทั้งสิ้น O(x) จึงเสียเวลา O() และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O( log(n)) 

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 2.)
function csquare(n)
x = ceil(sqrt(n))    
while x <= n
begin
   z := (x*x) mod n  
   if (sqrt(z) is integer)
 begin
   y := sqrt(z)
  if (gcd(x-y,n) * gcd(x+y,n) mod n == 0)  
  begin   
  print(x)        print(y)  break
  end
 end
x := x+1
end
จากรหัสข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้ โดยเริ่มต้นนั้นกำหนดค่าให้ x=  เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง  ถึง n  ตามต้องการ เช่นเดียวกับรูปแบบที่ 1.) แล้วจึงทำการหาค่า z โดย   โดยทำการทดสอบว่า  เป็นจำนวนเต็มหรือไม่  โดยถ้าเป็นจำนวนเต็มจะกำหนดให้ y =  แล้วจึงทำการตรวจคำตอบโดยการตรวจสอบตัวหารร่วมมากของ (x+y,n) และ (x-y,n) ว่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดหรือไม่ ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวน Θ (n) และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O(n log(n)) ซึ่งจะเห็นได้ว่าอาจทำงานเร็วกว่ารูปแบบที่ 1.) แต่ก็จะใช้หน่วยความจำที่มากกว่าเพราะต้องคำนวณ  mod n

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง
สำหรับปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็นนั้น โดยวิธีการแก้ปัญหาที่ได้นำเสนอนั้น เป็นวิธีการพื้นฐานเท่านั้น ซึ่งได้มีผู้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวเพื่อให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้นในทางปฏิบัติ เช่น 
วิธีการแยกตัวประกอบแบบดิกซ์ซัน()  รวมถึงเป็นพื้นฐานในการแก้ไขปัญหาอื่นๆอีกมากที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ปัญหาตะแกรงกำลังสอง() , ปัญหาตะแกรงของจำนวนเต็มใดๆ() เป็นต้น

เพิ่มเติม
สำหรับนิยามสัญกรณ์เชิงเวลาที่ได้ใช้เพื่อประเมินประสิทธิภาพเชิงเวลา เช่น สัญกรณ์โอใหญ่ ()  รวมถึง ความรู้เกี่ยวกับสัญกรณ์เชิงเวลาในรูปแบบภาพยนตร์เพื่อการศึกษาภาษา  ซึ่งสามารถค้นคว้าเพิ่มเติมได้ทั้งในรูปแบบของภาพยนตร์เพื่อการศึกษาและบทความเพื่อความเข้าใจ รวมถึงข้อมูลอื่นๆเพื่อประกอบการแก้ปัญหานั้น เช่น บทความทางด้านความรู้ต่างๆเกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ความรู้ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตมอดุลาร์() รวมถึงความสัมพันธ์ในรูปแบบคอนกรูเอนซ์() และสัญลักษณ์ต่างๆที่ใช้ในการเขียนรหัสเทียม รวมถึงหลักภาษาในการเขียนรหัสเทียมเพื่อบรรยายขั้นตอนวิธีเพื่อการทำงานตามความต้องการ สามารถอ่านเพิ่มเติมได้ในบทความ  How to write Pseudocode  (ในรูปแบบ.doc) รวมถึง  รวมถึงความรู้เพื่อประกอบความเข้าใจอื่นๆซึ่งสามารถพบได้ในส่วนของอ้างอิง

อ้างอิง 

หนังสือประกอบการอ้างอิง
  .
  .

ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
เลขคณิตมอดุลาร์