การแยกแบบโชเลสกี

ในเรื่องเมทริกซ์ การแยกแบบโชเลสกี () ซึ่งตั้งชื่อตาม หลุยส์ อ็องเดร โชเลสกี นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นวิธีการแยกเมทริกซ์ของเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอน (Symmetric positive-definite matrix) ไปเป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower triangular matrix) และ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) ใด ๆ A สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L และ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper triangular matrix) U หรือเรียกว่า การแยกแบบแอลยู (LU decomposition) ซึ่งหาก A เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอนแล้ว เราสามารถหาเมทริกซ์ U ที่เป็นเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ L ได้ เรียกวิธีนี้ว่า การแยกแบบโชเลสกี

ทั้งวิธีการแยกแบบแอลยู และ แบบโชเลสกี ใช้ในการแก้ปัญหาเรื่องสมการเชิงเส้น โดยวิธีการแยกแบบโชเลสกีจะมีประสิทธิภาพมากกว่า

นิยาม 
ให้ A เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอนของจำนวนจริง ดังนั้น A สามารถแยกเป็น

 

โดยที่ L คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่สมาชิกแนวทแยงมุมมีค่าเป็นบวก และ LT คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ L

ส่วนขยายจำนวนเชิงซ้อน 
จากนิยามข้างบนสามารถขยายไปยังเมทริกซ์ของจำนวนเชิงซ้อนได้โดย ถ้า A เป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัว (Self-adjoint matix หรือ Hermitian matrix) และเป็นบวกแน่นอนแล้ว A สามารถแยกได้เป็น

 

โดยที่ L* คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (Conjugate transpose) ของ L

การแยกแบบโชเลสกีมีคุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวกล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัวและเป็นบวกแน่นอนแล้ว จะมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีสมาชิกแนวทแยงมุมเป็นบวก L เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ A = LL* ในทางกลับกัน ถ้า A สามารถแยกได้เป็น LL* โดยที่ L เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีสมาชิกแนวทแยงมุมเป็นบวกแล้ว A จะเป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัวและเป็นบวกแน่นอน

การประยุกต์ใช้ 
การแยกแบบโชเลสกีส่วนใหญ่ใช้ในการแก้ปัญหาสมการเชิงเส้น Ax = b ถ้าเมทริกซ์ A สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน เราสามารถแก้ปัญหา Ax = b โดยเริ่มแรกการคำนวณการแยกแบบโชเลสกี A = LLT จากนั้นหา y ที่ทำให้ Ly = b และสุดท้ายหา x ที่ทำให้ LTx = y

ระบบที่มีรูปแบบ Ax = b โดยที่ A สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการประยุกต์ใช้ ยกตัวอย่างเช่น สมการทั่วไปในเรื่องกำลังสองน้อยสุดเชิงเส้น (linear least square) หรืออาจพบในเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชันพลังงานซึ่งต้องเป็นบวกในทางฟิสิกส์ และเกิดขึ้นบ่อยครั้งในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial differential equation)

การแยกแบบโชเลสกียังใช้ในเรื่อง วิธีมอนติคาร์โล (Monte Carlo method) ในการจำลองระบบที่มีหลายตัวแปรสัมพันธ์กัน โดยเมทริกซ์สหสัมพันธ์ (Correlation) ระหว่างตัวแปรจะถูกแยกเพื่อหาเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L เพื่อใช้กับเวกเตอร์ของช็อกจำลองที่ไม่สัมพันธ์กัน (Uncorrelated simulated shock) u ทำให้ได้ช็อกเวกเตอร์ (Shock vector) Lu มี่มีคุณสมบัติความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (Covariance) ของระบบที่เรากำลังจำลองอยู่

วิธีการคำนวณ 
การแยกแบบโชเลสกีมีวิธีคำนวณหลายแบบ ขั้นตอนวิธีที่อธิบายข้างล่างทั้งหมดนั้นใช้ n3/3 ฟล็อปส์ (FLOPS) โดยที่ n คือขนาดของเมทริกซ์ A ดังนั้นการแยกแบบอจึงมีประสิทธิภาพมากกว่าถึงสองเท่าเทียบกับการแยกแบบแอลยูซึ่งใช้ 2n3/3 ฟล็อปส์

ขั้นตอนวิธีอ 
ขั้นตอนวิธีโชเลสกี (Cholesky algorithm) เป็นวิธีการหาเมทริกซ์ L โดยปรับปรุงมาจากขั้นตอนวิธีเกาส์

ขั้นตอนวิธีเรียกซ้ำเริ่มต้นโดยให้ i := 1 และ
 

ที่ขั้นตอน i, เมทริกซ์ A (i)  มีรูปแบบดังนี้:
 
โดยที่ Ii−1 คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ที่มีขนาด i − 1.

ถ้าเรากำหนดให้เมทริกซ์ L<sub>i<sub> โดยที่
 
แล้วเราสามารถเขียน A (i)  เป็น
 
โดยที่
 

สังเกตว่า bi bi* คือ ผลคูณภายนอก ดังนั้นเราจึงเรียกวิธีนี้ว่า รูปแบบผลคูณภายนอก (Outer product version)

เราทำซ้ำตามวิธีการนี้ตั้งแต่ i เท่ากับ 1 จนถึง n โดยหลังจากจบขั้นตอนที่ n จะได้ A (n+1)  = I ดังนั้น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L ที่ต้องการคำนวณได้จาก

ดูเพิ่ม 
 วิธีการคำนวณเชิงตัวเลข (Numerical method)

คณิตศาสตร์