ระยะทางแบบยุคลิด

ระยะทางแบบยุคลิด () คือระยะทางปกติระหว่างจุดสองจุดในแนวเส้นตรง ซึ่งอาจสามารถวัดได้ด้วยไม้บรรทัด มีที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เหตุที่เรียกว่า แบบยุคลิด เนื่องจากเป็นการวัดระยะทางในปริภูมิแบบยุคลิด (หรือแม้แต่ปริภูมิผลคูณภายใน) คือไม่มีความโค้งและไม่สามารถทำให้โค้งงอ และการใช้สูตรนี้วัดระยะทางทำให้กลายเป็นปริภูมิอิงระยะทาง ค่าประจำ (norm) ที่เกี่ยวข้องก็จะเรียกว่าเป็น ค่าประจำแบบยุคลิด (Euclidean norm) เช่นกัน (งานเขียนสมัยก่อนเรียกการวัดอย่างนี้ว่า ระยะทางแบบพีทาโกรัส)

นิยาม 
ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด p และ q คือความยาวของส่วนของเส้นตรง  ถ้า  และ  ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นจุดสองจุดบนปริภูมิยุคลิด n มิติ ระยะทางระหว่างจุด p กับ q คำนวณได้จาก

ค่าประจำแบบยุคลิด คือระยะทางจากจุดหนึ่งจุด p ไปยังจุดกำเนิด  บนปริภูมิยุคลิด

ซึ่งสมการตัวหลังเกี่ยวข้องกับผลคูณจุด เป็นขนาดของเวกเตอร์ p จากจุดกำเนิด ระยะทางแบบยุคลิดจึงอาจนิยามได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

กรณีพิเศษ 
ในหนึ่งมิติ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองค่านั้น ดังนั้นถ้าให้ p และ q เป็นจุดสองจุด (หรือจำนวนสองจำนวน) บนเส้นจำนวนจริงแล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q จึงคำนวณได้จาก

ในสองมิติแบบยุคลิด ถ้า p = (p1, p2) และ q = (q1, q2) แล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q สามารถคำนวณได้ดังนี้ ซึ่งมีสูตรเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จากนิยามแบบที่สองของระยะทางแบบยุคลิด ถ้าหาก p = (r1, θ1) และ q = (r2, θ2) ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะสามารถคำนวณระยะทางได้จากสูตรนี้

ในสามมิติแบบยุคลิด ระยะทางระหว่าง p และ q ก็คือ

เมื่อมิติเพิ่มขึ้น พจน์ภายในก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนมิติ เช่นนี้เรื่อยไป

ดูเพิ่ม 
 ระยะทางแมนฮัตตัน
 ระยะทางเชบีเชฟ

การวัดความคล้ายกันของสายอักขระ
เรขาคณิตอิงระยะทาง
ความยาว