จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (, , ) คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 5, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เศษของจำนวนเต็มเป็นเศษย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, ...) ศูนย์ (0) และตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (−1, −2, −3, ...)

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา (หรือ  ตัวหนาบนกระดานดำ,  U+2124) มาจากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen  แปลว่าจำนวน

จำนวนเต็ม (พร้อมด้วยการดำเนินการการบวก) ก่อร่างเป็นกรุปเล็กที่สุดอันประกอบด้วยโมนอยด์เชิงการบวกของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มก่อให้เกิดเซตอนันต์นับได้เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตทำให้เข้าใจได้โดยสามัญว่า จำนวนเต็มซึ่งฝังตัวอยู่ในฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจากจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่ได้นิยามไว้กว้างกว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนนับ

สมบัติทางพีชคณิต 
Z เป็นเซตปิดสำหรับการดำเนินการการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ ผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็ม แต่ Z ยังเป็นเซตปิด เมื่อรวมจำนวนธรรมชาติลบและ 0 ด้วย แต่ Z ไม่เป็นเซตปิดสำหรับการหาร เนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มไม่เปิดเซตปิดภายใต้การยกกำลัง ซึ่งต่างจากจำนวนธรรมชาติ (เพราะเมื่อยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นบวกจะได้เศษส่วน)

ตารางด้านล่างแสดงสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม a, b และ c ใด ๆ

ตามศัพท์ของพีชคณิตนามธรรม คุณสมบัติห้าข้อแรกข้างบนสามารถบอกได้ว่าเซต Z กับการบวกเป็น อบิเลียนกรุป

สมบัติการเรียงลำดับ 
Z เป็น เซตเรียงลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

จำนวนเต็มหนึ่งๆ จะเป็นจำนวนบวก ถ้ามันมากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ ถ้ามันน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

การเรียงลำดับจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต ดังนี้
 ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d
 ถ้า a < b และ 0 < c แล้ว ac < bc
 ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc.

จำนวนเต็มในการคำนวณ 
จำนวนเต็มมักเป็นชนิดข้อมูลพื้นฐานในภาษาโปรแกรม แต่จำนวนเต็มในภาษาโปรแกรมมีความจุจำกัด และมักมีจำนวนบิตที่ตายตัว ทำให้สามารถเก็บค่าได้แค่บางส่วนจากจำนวนเต็มทั้งหมดทางคณิตศาสตร์ แต่ในอีกด้านหนึ่ง แบบจำลองทางทฤษฎีทางคำนวณ เช่น เครื่องจักรทัวริง สมมุติให้เครื่องคำนวณมีความจุไม่มีที่สิ้นสุด
(a+)-b

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 
 The Positive Integers - divisor tables and numeral representation tools

ทฤษฎีกรุป
จำนวน
ทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎีเซต
คณิตศาสตร์มูลฐาน
จำนวนเต็ม