ปริพันธ์

ในคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ หรือ อินทิกรัล () เป็นการกำหนดค่าให้กับฟังก์ชัน ซึ่งอาจมองได้เป็นการรวมปริมาณย่อยขนาดเล็กมาก ๆ ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกันในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับ การกระจัด พื้นที่ ปริมาตร และแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง เรียกกระบวนการหาปริพันธ์ว่า การหาปริพันธ์ หรือ อินทิเกรชัน () การหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามของกันและกันต่างเป็นการดำเนินการพื้นฐานของแคลคูลัส  

ปริพันธ์ที่หาค่าออกมาแล้วเรียกว่า ปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral) ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนระนาบ พร้อมกับกำหนดเครื่องหมายบวก/ลบ ให้กับพื้นที่ หากพื้นที่นั้นอยู่เหนือแกน X หรืออยู่ใต้แกน X ตามลำดับ บางครั้งคำว่าปริพันธ์อาจสื่อุถึงปฏิยานุพันธ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันที่กำหนด บางครั้งเรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสอธิบายความเกี่ยวข้องระหว่างแนวคิดทั้งสอง และความเกี่ยวข้องระหว่างปริพันธ์กับอนุพันธ์ 

แม้ว่าการหาพื้นที่และปริมาตรด้วยการรวมส่วนเล็ก ๆ เข้าด้วยกันจะปรากฏในคณิตศาสตร์สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดปริพันธ์อย่างในปัจจุบันนั้นกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดย ไอแซค นิวตัน และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ ต่างค้นพบด้วยตัวของตัวเองทั้งคู่ โดยมองว่าปริพันธ์คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยการรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งที่มีความยาวน้อยมาก ๆ เข้าด้วยกัน แบร์นฮาร์ด รีมันน์เป็นคนแรกที่นิยามแนวคิดดังกล่าวอย่างรัดกุม จึงได้ชื่อว่าเป็นปริพันธ์แบบรีมันน์ ในภายหลังมีการขยายแนวคิดปริพันธ์แบบรีมันน์ออกไปให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันได้เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ ปริพันธ์แบบเลอเบก

ประวัติ

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง 
โดยทั่วไปแล้ว ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง  เทียบกับตัวแปรค่าจริง  บนช่วงปิด  จะเขียนแทนด้วย

 

การหาปริพันธ์ข้างต้นแทนการหาปริพันธ์จำกัดเขต โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์ จุด  และ  หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, สัญลักษณ์  คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์หรือ ปริพัทธ์ (integrand) และสัญลักษณ์  ซึ่งเรียกว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของ  หรือ ดิฟเฟอเรนเชียลของ  บ่งว่าตัวแปรของการหาปริพันธ์คือ  

หากไม่ระบุช่วงที่หาอินทิกรัล หรือเขียนเป็น 

  

ปริพันธ์ข้างต้นเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ซึ่งแทนคลาสของฟังก์ชันทั้งหมดที่หาอนุพันธ์ได้ตัวปริพัทธ์  เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติดังกล่าวว่า ปฏิยานุพันธ์ของ  ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคุลัสจะเชื่อมโยงปริพันธ์ไม่จำเขตและปริพันธ์จำกัดเขตเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังมีการดัดแปลงสัญลักษณ์การหาปริพันธ์ข้างต้นไปสำหรับโดเมนอื่น ๆ หรือปริพันธ์ในมิติที่สูงกว่า 

ไลบ์นิซเป็นคนแรกที่ใช้เครื่องหมายปริพันธ์เป็น ∫ ซึ่งดัดแปลงมาจากตัว s ยาว (ſ) แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ที่มาของ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "summa" หรือเขียนว่า ſumma ซึ่งแปลว่าผลบวก สัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบันโดยมีการเขียน  และ  ใต้และบนเครื่องหมายของปริพันธ์มาจากฟูเรียร์

นิยามของปริพันธ์

ปริพันธ์แบบรีมันน์

ปริพันธ์แบบเลอเบก

วิธีการหาปริพันธ์ 
 การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
 การหาปริพันธ์เป็นส่วน
 การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย

อ้างอิง 

 
 
  Available in translation as 

แคลคูลัส
ฟังก์ชันและการจับคู่