แม็ปลอจิสติก

แม็ปลอจิสติก () เป็น แม็ป(ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน และ เรนจ์ อยู่ในปริภูมิเดียวกัน) พหุนาม  นิยมใช้เป็นตัวอย่างของระบบพลวัตไม่เป็นเชิงเส้นอย่างง่ายที่สามารถแสดงพฤติกรรมความอลวนได้  แม็ปลอจิสติกนี้เริ่มเป็นที่รู้จักกว้างขวางจากผลงานตีพิมพ์ของนักชีววิทยา โรเบิร์ต เมย์ (Robert May)  แรกเริ่มนั้น แม็ปลอจิสติกนี้ถูกสร้างขึ้นโดย ปิแอร์ ฟรองซัว เวอฮัลสท์ (Pierre François Verhulst) เพื่อเป็นแบบจำลองการกระจายปริมาณประชากรมนุษย์ ต่อมาถูกนำไปใช้สำหรับ การเพิ่มปริมาณประชากรของสปีชีส์อื่นๆ ภายใต้สภาวะแวดล้อมจำกัด เช่น อาหาร, โรค, และ อื่นๆ  ซึ่งแบบจำลองจะมีพฤติกรรมจากผลของ :
 การสืบพันธุ์  คือ จำนวนประชากร จะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตามจำนวนประชากรในขณะนั้น
 การขาดอาหาร คือ จำนวนประชากรจะลดลงด้วยอัตรา ที่แปรผันตาม จำนวนประชากรที่สภาพแวดล้อมนั้นสามารถรองรับได้ในทางทฤษฎี ลบออกด้วยค่าจำนวนประชากรในขณะนั้น

ซึ่งสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังนี้

โดยที่:
, ใช้หมายถึงปริมาณประชากร ที่ปี n, และ x0 หมายถึงปริมาณประชากรเริ่มต้น(ที่ปี 0)
r เป็นจำนวนบวก ใช้หมายถึง ค่าผลรวมของอัตรา การสืบพันธุ์ และ การขาดอาหาร

พฤติกรรมตามค่า r 

พฤติกรรมของระบบ ที่ค่าพารามิเตอร์ r ต่างๆ 
 , ประชากรจะตายไปจนหมดโดยไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น   โดยระบบมีจุดตายตัว (fixed point) เพียงจุดเดียวที่  ซึ่งเป็นจุดตายตัวแบบดึงดูด(attracting fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดดูดซับ" (sink) และดึงดูดค่าเริ่มต้นทุกค่าใน [0,1]
 , ระบบมีจุดตายตัว 2 จุดคือที่  และ  โดยที่  เป็นจุดตายตัวแบบผลักออก(repelling fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดกำเนิด" (source) และ  เป็น จุดตายตัวแบบดึงดูด
 ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 จำนวนประชากรจะลู่เข้าหาค่า  และคงตัวอย่างรวดเร็ว
 ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 2 และ 3 จำนวนประชากรจะเริ่มแกว่งก่อนลู่เข้าหาจุดดูดซับ โดยมีอัตราการลู่เข้าเป็นเชิงเส้น
 ที่ค่า r เท่ากับ 3 อัตราการลู่เข้าจะช้ากว่าอัตราที่เป็นเชิงเส้น
  (ประมาณ 3.45) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 2 ค่า ซึ่ง 2 ค่านี้ขึ้นกับค่า r แต่ไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น  ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดวงรอบคาบ 2 แบบดึงดูด หรือ จุดดูดซับแบบวงรอบคาบ2 
  (โดยประมาณ) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 4 ค่า ไม่ขึ้นกับค่เริ่มต้น ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดดูดซับแบบวงรอบคาบ 4 
 เมื่อค่า r มีค่าเพิ่มมากกว่า 3.54 จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับ เป็นวงรอบด้วยคาบ 8,16,32 และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ  ช่วงการเพิ่มของค่า r ที่ส่งผลให้คาบวงรอบการแกว่งเพิ่มขึ้นจะลดลงอย่างรวดเร็ว  สัดส่วนของระยะของค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้มีการเพิ่มคาบ (หรือเรียก ช่วงระยะไบเฟอร์เคชัน) ที่อยู่ถัดกัน จะลู่เข้าหา ค่าคงที่ไฟเกนบอม (Feigenbaum constant) δ = 4.669  ซึ่งพฤติกรรมดังกล่าวนี้จะไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้นแต่อย่างใด
 ที่ค่า r= 3.57 (โดยประมาณ) เป็นจุดที่ระบบเริ่มมีพฤติกรรมความอลวน ระบบจะไม่มีพฤติกรรมการแกว่งเป็นวงรอบดังค่า r ที่ผ่านมา  แต่ระบบจะมีพฤติกรรมที่ไวต่อค่าเริ่มต้นซึ่งเป็นคุณลักษณะของความอลวน  ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยของค่าจำนวนประชากรเริ่มต้น จะมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของค่าประชากรในระยะยาว   
 ค่า r ระหว่าง 3.57 และ 4 มีหลายค่าที่ระบบมีพฤติกรรมความอลวน แต่ก็ยังมีค่า r บางค่าที่ระบบไม่แสดงพฤติกรรมความอลวน ตัวอย่างเช่น ที่ r ประมาณ 3.82 จะมีบางช่วงที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 และที่ค่า r สูงขึ้นเล็กน้อยจะแกว่งเป็นวงรอบคาบ 6, 12 และเพิ่มขึ้นตามลำดับ  และจะมีบางช่วงที่มีการแกว่งเป็นคาบ 5 และอื่นๆ ซึ่งพฤติกรรมทั้งหมดนี้จะมีการแกว่งเป็นวงรอบ และไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น
 ที่ค่า r = 4 และมากกว่านั้น ค่าของระบบจะลู่ออก สำหรับทุกค่าเริ่มต้นใน [0,1]

แผนผังไบเฟอร์เคชัน (bifurcation diagram) ดังรูป แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมดังกล่าวข้างต้นนี้ โดยที่แกนนอนของแผนผังเป็น ค่า r และ แกนตั้งเป็นค่าจำนวนประชากร หรือค่าของระบบในระยะยาว  

แผนผังไบเฟอร์เคชันนี้เป็น แฟร็กทัล ถ้าเราพิจารณาที่ค่า r = 3.82 ที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 เมื่อเราเลือกกิ่งหนึ่งใน 3 และขยายที่กิ่งนั้นเราจะเห็นภาพที่มีลักษณะเหมือนภาพเดิม

แม็ปเคออสติก