ลำดับโคชี

ในคณิตศาสตร์ ลำดับโคชี () เป็นลำดับที่สมาชิกเข้าใกล้กันมากขึ้นเมื่อลำดับนั้นล่วงไป หรือเมื่อพิจารณาพจน์ที่ตำแหน่งสูงขึ้นเรื่อย ๆ  หากกล่าวให้รัดกุมยิ่งขึ้นคือ เมื่อกำหนดระยะห่างค่าบวกเป็นค่าน้อยเท่าไหร่ก็ตาม เกือบทุกสมาชิกของลำดับยกเว้นแต่สมาชิกจำนวนจำกัดตัว จะอยู่ห่างกันน้อยกว่าระยะห่างที่กำหนด

ลำดับนี้ตั้งชื่อตามโอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี

เงื่อนไขที่ว่าทุกพจน์ติดกันของลำดับจะอยู่ใกล้กันเท่าไรก็ได้ (arbitrarily close) นั้นไม่เพียงพอ  ตัวอย่างเช่น ลำดับของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ  พจน์ที่อยู่ติดกันจะอยู่ใกล้กันเท่าไหร่ก็ได้ เนื่องจาก

 

แต่ลำดับดังกล่าวไม่เป็นลำดับลู่เข้า ทั้งนี้เพราะว่าพจน์  มีค่ามากได้ไม่จำกัด และทุกจำนวนเต็มบวก  และระยะทางค่าบวก  ใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก  ที่ทำให้  ลำดับดังกล่าวจึงไม่เป็นลำดับโคชี

ในระบบจำนวนจริง 
ลำดับ  ของจำนวนจริงจะเรียกว่าเป็นลำดับโคชี ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก  จะมีจำนวนเต็มบวก  ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนนับ  จะได้ว่า 

สำหรับจำนวนจริง  ใด ๆ ลำดับที่เกิดจากการกระจายทศนิยมแล้วตัดทอนทศนิยมตำแหน่งต่าง ๆ ของ  จะเป็นลำดับโคชี ตัวอย่างเช่น เมื่อ  จะสร้างลำดับโคชีได้เป็น (3, 3.1, 3.14, 3.141, . . . ) เทอมที่  และ  ของลำดับจะต่างกันได้มากสุด  เมื่อ  จึงส่งผลให้เมื่อ  มีค่าโตขึ้น ผลต่างของเทอมที่  และ  จะน้อยกว่าจำนวนบวก  ใดที่กำหนดได้

ในปริภูมิเมตริก 
เนื่องจากนิยามของลำดับโคชีนั้นใช้แนวคิดเกี่ยวกับเมตริกเท่านั้น จึงสามารถขยายนัยทั่วไปยังปริภูมิเมตริก  ใด ๆ ได้ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ของ  เป็นฟังก์ชันเมตริก  ของปริภูมิเมตริกนั้น

ความบริบูรณ์ 
ปริภูมิเมตริก  ที่ทุกลำดับโคชีลู่เข้าใน  เรียกว่าปริภูมิสมบูรณ์

ตัวอย่าง 
ระบบจำนวนจริงเป็นปริภูมิสมบูรณ์ภายใต้เมตริกค่าสัมบูรณ์ปกติ และวิธีการสร้างจำนวนจริงที่รู้จักกันทั่วไปนั้นใช้ลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ ในการสร้างจำนวนจริงข้างต้น ทุกชั้นสมมูลของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่มีพฤติกรรมอย่างเดียวกัน จะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริง

อ้างอิง 

ลำดับและอนุกรม
พีชคณิตนามธรรม
ทอพอโลยี