ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ในพีชคณิต ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม () หรือทฤษฎีบทเล็กของเบซู (ตั้งชื่อตามเอเตียน เบซู (Étienne Bézout)) เป็นการประยุกต์ใช้การหารพหุนามแบบยุคลิด (Euclidean division of polynomial) ซึ่งทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเศษเหลือจากการหารพหุนาม  ด้วยพหุนามเชิงเส้น  เท่ากับ  และ  เป็นตัวหารของ  ก็ต่อเมื่อ  เป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1 
ให้  การหารพหุนาม  ด้วย  ให้ผลหาร  และเหลือเศษ  เพราะฉะนั้น

ตัวอย่าง 2
แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2  ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้
.

ในเมื่อ  เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า .

การพิสูจน์ 
ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัว (ตัวตั้งหาร) และ  (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร  และพหุนามเศษเหลือ  เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ
 และ  หรือ 

ถ้าตัวหาร  เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง  หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี   เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ  คือ

เมื่อกำหนดให้  ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า  เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป  ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย  เพราะ

การประยุกต์ 
ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา  ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ  แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้ง

อ้างอิง 

ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม