เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข  ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

สัญลักษณ์ 
เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

ด้วยสัญลักษณ์

หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

หรือ

(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction) เป็นลิมิต

โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม , , , ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง 
การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง  ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ  แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก  การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ  เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ 

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด 
สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ

ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น 

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ 
เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง  (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ ) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ  และส่วนคือ  เราจะได้ว่า , , , และ  เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

ดังนั้น

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1 
สำหรับจำนวนจริงบวก  ใดๆ

ทฤษฎีบท 2 
คอนเวอร์เจนท์ของ [a0, a1, a2, ...] อยู่ในรูป

ทฤษฎีบท 3 
ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่  ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ  แล้ว

บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ  และ  จะต้องหาร  ลงตัว)

บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1

บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้

บทเสริม 4: แมทริกซ์

มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์

ทฤษฎีบท 4 
คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้  เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง  และให้  และ  เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ 

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน 

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า

ทฤษฎีบท 5 

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น 
 โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง 
 เศษส่วนต่อเนื่องบนต้นไม้ สเติร์น-โบรคอท 
 cfc - โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง  สำหรับ POSIX และ Cygwin 
 เศษส่วนต่อเนื่องและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 
 เศษส่วนต่อเนื่องพื้นฐาน

อ้างอิง 
 A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 
 Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
 Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.

ศเศษส่วนต่อเนื่อง
ศเศษส่วนต่อเนื่อง
คณิตวิเคราะห์