สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ () เป็นสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการเดียวกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การดำเนินการสามารถกระทำได้โดยไม่สำคัญว่าลำดับของตัวถูกดำเนินการจะเป็นอย่างไร นั่นหมายความว่า การใส่วงเล็บเพื่อบังคับลำดับการคำนวณในนิพจน์ จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น
(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8
นิพจน์ข้างซ้ายจะบวก 5 กับ 2 ก่อนแล้วค่อยบวก 1 ส่วนนิพจน์ข้างขวาจะบวก 2 กับ 1 ก่อนแล้วค่อยบวก 5 ไม่ว่าลำดับของวงเล็บจะเป็นอย่างไร ผลบวกของนิพจน์ก็เท่ากับ 8 ไม่เปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสมบัตินี้เป็นจริงในการบวกของจำนวนจริงใด ๆ เรากล่าวว่า การบวกของจำนวนจริงเป็นการดำเนินการที่ เปลี่ยนหมู่ได้ (associative)

ไม่ควรสับสนระหว่างสมบัติการเปลี่ยนหมู่กับสมบัติการสลับที่ สมบัติการสลับที่เป็นการเปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการในนิพจน์ ในขณะที่สมบัติการเปลี่ยนหมู่ไม่ได้สลับตัวถูกดำเนินการเหล่านั้น เพียงแค่เปลี่ยนลำดับการคำนวณ เช่นตัวอย่างต่อไปนี้
(5 + 2) + 1 = (2 + 5) + 1
ไม่ใช่ตัวอย่างของสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เพราะว่า 2 กับ 5 สลับที่กัน

การดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้มีมากมายในคณิตศาสตร์ และด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการดำเนินการทวิภาคที่เปลี่ยนหมู่ได้เป็นส่วนประกอบ อย่างไรก็ตามการดำเนินการหลายอย่างที่สำคัญก็ เปลี่ยนหมู่ไม่ได้ หรือ ไม่เปลี่ยนหมู่ (non-associative) เช่นผลคูณไขว้ของเวกเตอร์วิคเตอร์ โรเนลเเมสซี

นิยาม 
กำหนดการดำเนินการทวิภาค  บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น เปลี่ยนหมู่ได้ ถ้าหาก

และเนื่องจากลำดับของการดำเนินการไม่มีความสำคัญ เราจึงอาจไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บ ดังนี้

อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่จะต้องจดจำคือ การเปลี่ยนลำดับของการดำเนินการจะต้องไม่ทำให้ตัวถูกดำเนินการเปลี่ยนตำแหน่งไปภายในนิพจน์

กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : A×A → B เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น เปลี่ยนหมู่ได้ ถ้าหาก

ตัวอย่าง 
ตัวอย่างบางส่วนของการดำเนินการเปลี่ยนหมู่มีดังนี้
 ในเลขคณิต การบวกและการคูณสามารถเปลี่ยนหมู่ได้

 การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนและควอเทอร์เนียนก็สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ สำหรับการบวกของออกโทเนียนนั้นเปลี่ยนหมู่ได้ แต่การคูณของออกโทเนียนไม่เปลี่ยนหมู่
 ฟังก์ชันตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยก็เปลี่ยนหมู่ได้
 
 เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่สามารถนำเสนอได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ ซึ่งเป็นการนำเสนอของการประกอบฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทันทีว่าการคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนหมู่ได้
 อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ดังนี้
 
 ถ้า M เป็นเซตเซตหนึ่ง และ S แทนเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก M ไปยัง M แล้วการดำเนินการของฟังก์ชันประกอบบน S เปลี่ยนหมู่ได้

 ในกรณีทั่วไป กำหนดให้เซต M, N, P, Q และการจับคู่ h : M → N, g: N → P, f: P → Q, แล้ว

ดังนั้น การจับคู่จึงเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้เสมอ

การดำเนินการไม่เปลี่ยนหมู่ 
กำหนดการดำเนินการทวิภาค  บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น เปลี่ยนหมู่ไม่ได้ ถ้าหาก

การดำเนินการเช่นนั้น ลำดับของการคำนวณจึงมีความสำคัญ เช่นการลบ การหาร และการยกกำลัง

เครื่องหมายวงเล็บจึงถูกใช้เพื่อแสดงลำดับของการดำเนินการ เมื่อมีการดำเนินการเหล่านี้มากกว่าหนึ่งครั้งในนิพจน์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ได้ยอมรับลำดับความสำคัญของการดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนหมู่หลายชนิด เป็นหลักการในการเขียนเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้วงเล็บ แบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่การดำเนินการที่จัดกลุ่มทางซ้าย

และการดำเนินการที่จัดกลุ่มทางขวา

ดูเพิ่ม 
 สมบัติการสลับที่
 สมบัติการแจกแจง

พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิตมูลฐาน
การดำเนินการทวิภาค
การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน