รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้

รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ คือรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างขึ้นด้วยวงเวียนและสันตรง ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมปรกติ เป็นรูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ในขณะที่รูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติเป็นรูปที่ไม่สามารถสร้างได้

เงื่อนไขที่ทำให้สามารถสร้างได้ 

รูปหลายเหลี่ยมปรกติบางรูปสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยวงเวียนและสันตรง แต่ก็มีบางรูปที่สร้างไม่ได้ ด้วยสิ่งนี้จึงทำให้เกิดคำถามที่ว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทั้งหมด จะสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ถ้าไม่ได้ มีรูปใดบ้างที่สร้างได้หรือไม่ได้

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ได้พิสูจน์ว่ารูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติสามารถสร้างได้เมื่อ พ.ศ. 2339 (ค.ศ. 1796) และห้าปีต่อมา เขาก็ได้สร้างทฤษฎี Gaussian periods ในงานเขียน Disquisitiones Arithmeticae ซึ่งทฤษฎีนี้ทำให้เขาสามารถกำหนดเงื่อนไขเพียงพอขึ้นมาอย่างหนึ่ง เพื่อที่จะทดสอบความสามารถในการสร้างของรูปหลายเหลี่ยมปรกติดังนี้

เกาส์คาดการณ์ว่าเงื่อนไขนี้อาจเป็นเงื่อนไขจำเป็น แต่เขาก็ไม่ได้เสนอการพิสูจน์สำหรับคำกล่าวนี้ จนกระทั่งได้รับการพิสูจน์โดย Pierre Wantzel เมื่อ พ.ศ. 2380 (ค.ศ. 1837) คำกล่าวนี้อาจดูเหมือนว่าเกาส์ไม่ได้มีการพิสูจน์ที่ถูกต้อง เพราะหากให้ n = 9 การสร้างรูปเก้าเหลี่ยมปรกติจะยุติลงด้วยความเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุม 120° ออกเป็นสามส่วนเท่ากัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่เกาส์ได้ตระหนักไว้แล้ว

ผลจากทฤษฎีของเกาส์ 
จำนวนแฟร์มาต์มีเพียง 5 จำนวนแรกเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, และ F4 = 65537
ซึ่งจำนวนแฟร์มาต์ถัดไปอีก 7 จำนวนคือ F5 ถึง F11 เป็นจำนวนประกอบ 

ดังนั้นรูป n เหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างได้ ได้แก่
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ... 

ส่วนรูป n เหลี่ยมปรกติที่สร้างไม่ได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ได้แก่
n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, ...

ทฤษฎีทั่วไป 
หลักการของการพิสูจน์ข้างต้นได้ถูกอธิบายไว้อย่างเด่นชัดด้วยทฤษฎีกาลัว (Galois theory) ซึ่งแสดงไว้อย่างตรงไปตรงมาในเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า ความยาวที่สามารถสร้างได้ จะต้องมาจากความยาวพื้นฐานที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองบางลำดับ ในพจน์ของทฤษฎีฟีลด์ ความยาวเช่นนั้นจะต้องถูกบรรจุอยู่ในภาคขยายฟีลด์ (field extension) ที่สร้างขึ้นจากการซ้อนทับกันของภาคขยายกำลังสอง (quadratic extension) ดังนั้นฟีลด์ที่ถูกสร้างขึ้นจะมีดีกรีเหนือฟีลด์ฐานเท่ากับกำลังของ 2 จำนวนหนึ่ง

ในกรณีเฉพาะสำหรับรูป n เหลี่ยมปรกติ คำถามในตอนแรกจึงลดทอนลง กลายเป็นว่าการสร้างเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับ  จะสามารถทำได้อย่างไร

จำนวนนี้  วางตัวอยู่ในฟีลด์ไซโคลโทมิก (cyclotomic field) ที่ n และด้วยข้อเท็จจริงก็อยู่ในฟีลด์ย่อยของจำนวนจริงด้วย ซึ่งเป็นฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม (totally real field) และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตรรกยะของมิติ ½φ(n) เมื่อ φ(n) คือฟังก์ชันทอเทียนต์ของออยเลอร์ (Euler's totient function) ผลลัพธ์ของ Wantzel ก็มาจากการคำนวณที่แสดงว่า φ(n) คือกำลังของ 2 ในกรณีดังกล่าว

จากการสร้างรูปแบบเกาส์ เมื่อกรุปของกาลัวเป็น 2-กรุป จะบอกได้ว่ามีลำดับของกรุปย่อยของจำนวน 1, 2, 4, 8, ... ที่ซ้อนในกันอยู่โดยสมาชิกแต่ละตัวกับตัวถัดไป (ในเรื่องทฤษฎีกรุปคืออนุกรมประกอบ) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการอุปนัยว่ากรณีเช่นนี้เป็นกรุปอาบีเลียน เพราะฉะนั้นจึงมีฟีลด์ย่อยหลายฟีลด์ที่ซ้อนอยู่ภายในฟีลด์ไซโคลโทมิก โดยแต่ละตัวนั้นยกกำลัง 2 ของตัวก่อนหน้า การสร้างจำนวนขึ้นในฟีลด์จึงสามารถเขียนขึ้นด้วยทฤษฎี Gaussian period ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ n = 17 จะมีช่วงคาบหนึ่งที่เป็นผลบวกของ 8 รากของ 1, คาบหนึ่งที่เป็น 4 รากของ 1, และอีกคาบหนึ่งเป็นผลบวกของ 2 รากของ 1 ซึ่งนั่นก็คือ 

รากปฐมฐานแต่ละตัวเป็นรากของสมการกำลังสองดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ นอกจากนั้นสมการเหล่านี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นหลักการเช่นนี้จึงสามารถนำไปใช้ในการสร้างรูปทางเรขาคณิตได้ เพราะว่าทุกอย่างที่ทำมาตั้งแต่ต้นอยู่ในฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม

การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรง 
เราทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ สามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงทั้งหมด ถ้ากำหนดให้ n = p·q โดยให้ p = 2 หรือให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ดังนั้นรูป n เหลี่ยมจะสามารถสร้างขึ้นได้จากรูป p เหลี่ยมและรูป q เหลี่ยมดังนี้

 ถ้า p = 2: วาดรูป q เหลี่ยมและแบ่งครึ่งมุมที่ศูนย์กลางของมันมุมหนึ่ง จากกรณีนี้ เราจะได้รูป 2q เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นมา
 ถ้า p > 2: วาดรูป p เหลี่ยมและรูป q เหลี่ยมภายในวงกลมรูปเดียวกัน โดยให้ใช้จุดยอดจุดหนึ่งร่วมกัน เนื่องจาก p และ q เป็นจำนวนเฉพาะที่สัมพันธ์กัน ดังนั้นจะมีจุดยอดสองจุดที่แบ่งมุมที่ศูนย์กลางออกเป็นขนาด 360°/(p·q) จากกรณีนี้ เราจะได้รูป p·q เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นมา

ดังนั้นจึงเหลือเพียงกรณีที่จะต้องหาว่า รูป n เหลี่ยมสามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงอย่างไร เมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์
 การสร้างรูปสามเหลี่ยมปรกติ (ด้านเท่า) นั้นเป็นเรื่องง่าย มีการค้นพบมาตั้งแต่สมัยโบราณ
 การสร้างรูปห้าเหลี่ยมปรกติ ได้อธิบายไว้โดยยุคลิด ในงานเขียนชื่อ Elements เมื่อประมาณ พ.ศ. 243 (300 ปีก่อนคริสตกาล) และโดยทอเลมี ในงานเขียนชื่อ Almagest เมื่อประมาณ พ.ศ. 693 (ค.ศ. 150)
 ถึงแม้ว่าเกาส์สามารถพิสูจน์ได้ว่า รูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติสามารถสร้างได้ แต่เขาก็ไม่ได้แสดงวิธีการสร้างให้ดู การสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติเป็นครั้งแรกนั้นกระทำโดย Erchinger ในหนึ่งปีให้หลัง หลังจากผลงานของเกาส์
 การสร้างรูป 257 เหลี่ยมปรกติโดยละเอียดเป็นครั้งแรก อธิบายไว้โดย Friedrich Julius Richelot เมื่อ พ.ศ. 2375 (ค.ศ. 1832) 
 การสร้างรูป 65537 เหลี่ยมปรกติเป็นครั้งแรก อธิบายไว้โดย Johann Gustav Hermes เมื่อ พ.ศ. 2437 (ค.ศ. 1894) ซึ่งการสร้างนั้นซับซ้อนมาก Hermes ใช้เวลาถึง 10 ปีเพื่อที่จะเขียนต้นฉบับลายมือกว่า 200 หน้า (อย่างไรก็ตาม John Horton Conway ได้ตั้งข้อสงสัยต่อความถูกต้องในงานเขียนของ Hermes)

การสร้างแบบอื่น 
แนวคิดของความสามารถในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปรกติทั้งหมดที่กล่าวมา เป็นการเน้นย้ำว่าใช้เพียงวงเวียนและสันตรง ดังนั้นการสร้างแบบอื่นจึงสามารถเกิดขึ้นได้หากมีเครื่องมืออื่นๆ มาช่วย ตัวอย่างเช่นวิธีการหนึ่งคือ การสร้างแบบนิวซิส (neusis construction) ซึ่งจำเป็นต้องใช้ไม้บรรทัดที่มีสเกลแทนสันตรง การสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติด้วยวิธีการนิวซิสจึงสามารถทำได้ง่าย ถึงแม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมอีกจำนวนมากก็ยังคงไม่สามารถสร้างได้

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 
 
 
 Regular Polygon Formulas, Ask Dr. Math FAQ.
 Why Gauss could not have proved necessity of constructible regular polygons 

สร้างได้
เรขาคณิตบนระนาบยุคลิด