กลศาสตร์ดั้งเดิม

กลศาสตร์ดั้งเดิม หรือ กลศาสตร์นิวตัน () เป็นหนึ่งในสองวิชาที่สำคัญที่สุดของกลศาสตร์ (โดยอีกวิชาหนึ่ง คือ กลศาสตร์ควอนตัม) ซึ่งอธิบายถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ ภายใต้อิทธิพลจากระบบของแรง โดยวิชานี้ถือเป็นวิชาที่ครอบคลุมในด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีมากที่สุดวิชาหนึ่ง อีกทั้งยังเป็นวิชาที่เก่าแก่ ซึ่งมีการศึกษาในการเคลื่อนที่ของวัตถุตั้งแต่สมัยโบราณ โดยกลศาสตร์ดั้งเดิมรู้จักในวงกว้างว่า กลศาสตร์นิวตัน

ในทางฟิสิกส์ กลศาสตร์ดั้งเดิมอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่โดยแปลงการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ให้กลายเป็นส่วนของเครื่องจักรกล เหมือนกันกับวัตถุทางดาราศาสตร์ อาทิ ยานอวกาศ ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และ ดาราจักร รวมถึงครอบคลุมไปยังทุกสถานะของสสาร ทั้งของแข็ง ของเหลว และแก๊ส โดยจะให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูง แต่เมื่อวัตถุมีขนาดเล็กหรือมีความเร็วที่สูงใกล้เคียงกับความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมจะมีความถูกต้องที่ต่ำลง ต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมในการศึกษาแทนกลศาสตร์ดั้งเดิมเพื่อให้มีความถูกต้องในการคำนวณสูงขึ้น โดยกลศาสตร์ควอนตัมจะเหมาะสมที่จะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ซึ่งได้ถูกปรับแต่งให้เข้ากับลักษณะของอะตอมในส่วนของความเป็นคลื่น-อนุภาคในอะตอมและโมเลกุล แต่เมื่อกลศาสตร์ทั้งสองไม่สามารถใช้ได้ จากกรณีที่วัตถุขนาดเล็กเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงเป็นตัวเลือกที่นำมาใช้ในการคำนวณแทนกลศาสตร์ทั้งสอง

คำว่า กลศาสตร์ดั้งเดิม  (classical mechanics) ได้ถูกใช้เป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 เพื่อกล่าวถึงระบบทางฟิสิกส์ของไอแซก นิวตันและนักปรัชญาธรรมชาติคนอื่นที่อยู่ร่วมสมัยในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 17 ประกอบกับทฤษฎีทางดาราศาสตร์ในช่วงแรกเริ่มของโยฮันเนส เคปเลอร์จากข้อมูลการสังเกตที่มีความแม่นยำสูงของทือโก ปราเออ และการศึกษาในการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ที่อยู่บนโลกของกาลิเลโอ โดยมุมมองของฟิสิกส์ได้ถูกเปลี่ยนแปลงเรื่อยมาอย่างยาวนานก่อนที่จะมีทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแต่เดิม ในบางแห่งทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ไม่ถูกจัดอยู่ในกลศาสตร์ดั้งเดิม แต่อย่างไรก็ตามเมื่อเวลาผ่านไป หลายแห่งเริ่มจัดให้สัมพัทธภาพเป็นกลศาสตร์ดั้งเดิมในรูปแบบที่ถูกต้อง และถูกพัฒนามากที่สุด

แต่เดิมนั้น การพัฒนาในส่วนของกลศาสตร์ดั้งเดิมมักจะกล่าวถึงกลศาสตร์นิวตัน ซึ่งมีการใช้หลักการทางฟิสิกส์ประกอบกับวิธีการทางคณิตศาสตร์โดยนิวตัน ไลบ์นิซ และบุคคลอื่นที่เกี่ยวข้อง และวิธีการปกติหลายอย่างได้ถูกพัฒนา นำมาสู่การกำหนดกลศาสตร์ครั้งใหม่ ไม่ว่าจะเป็น กลศาสตร์แบบลากรางจ์ และกลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งสิ่งเหล่านี้ได้ถูกพัฒนาขึ้นเป็นอย่างมากในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 18 และ 19 อีกทั้งได้ขยายความรู้เป็นอย่างมากพร้อมกับกลศาสตร์นิวตันโดยเฉพาะอย่างยิ่งการนำกลศาสตร์เหล่านี้ไปใช้ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์อีกด้วย

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม วัตถุที่อยู่ในโลกของความเป็นจริงจะถูกจำลองให้อยู่ในรูปของอนุภาคจุด (วัตถุที่ไม่มีการอ้างอิงถึงขนาด) โดยเคลื่อนที่ของอนุภาคจุดจะมีการกำหนดลักษณะเฉพาะของวัตถุ ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุ มวล และแรงที่กระทำต่อวัตถุ ซึ่งจะกำหนดไว้เป็นตัวเลขที่อาจมีหน่วยกำหนดไว้ และกล่าวถึงมาเป็นลำดับ

เมื่อมองจากความเป็นจริง วัตถุต่าง ๆ ที่กลศาสตร์ดั้งเดิมกำหนดไว้ว่าวัตถุมีขนาดไม่เป็นศูนย์เสมอ (ซึ่งถ้าวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ๆ อย่างเช่น อิเล็กตรอน กลศาสตร์ควอนตัมจะอธิบายได้อย่างแม่นยำกว่ากลศาสตร์ดั้งเดิม) วัตถุที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์จะมีความซับซ้อนในการศึกษามากกว่าอนุภาคจุดตามทฤษฎี เพราะวัตถุมีความอิสระของมันเอง (Degrees of freedom) อาทิ ลูกตะกร้อสามารถหมุนได้ขณะเคลื่อนที่หลังจากที่ถูกเดาะขึ้นไปบนอากาศ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของอนุภาคจุดสามารถใช้ในการศึกษาจำพวกวัตถุทั่วไปได้โดยสมมุติว่าเป็นวัตถุนั้น หรือสร้างอนุภาคจุดสมมุติหลาย ๆ จุดขึ้นมา ดังเช่นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่แสดงเป็นอนุภาคจุด

กลศาสตร์ดั้งเดิมใช้สามัญสำนึกเป็นแนวว่าสสารและแรงเกิดขึ้นและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร โดยตั้งสมมุติฐานว่าสสารและพลังงานมีความแน่นอน และมีคุณสมบัติที่รู้อยู่แล้ว ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ (Space) และความเร็วของวัตถุ อีกทั้งยังสามารถสมมุติว่ามีอิทธิพลโดยตรงกับสิ่งที่อยู่รอบวัตถุในขณะนั้นได้อีกด้วย (หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Principle of locality)

หลักการของกลศาสตร์ดั้งเดิม 
เพื่อความง่ายในการวิเคราะห์ วัตถุที่อยู่ในโลกของความเป็นจริงจะถูกจำลองให้อยู่ในรูปของอนุภาคจุด (ไม่สนใจในขนาดของวัตถุ) โดยการเคลื่อนที่ของอนุภาคจุดจะมีการกำหนดเป็นพารามิเตอร์ที่มีค่าน้อย ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุ มวล และแรงที่กระทำต่อวัตถุ ซึ่งจะกำหนดไว้เป็นตัวเลขที่อาจมีหน่วยกำหนดไว้ และกล่าวถึงมาเป็นลำดับ

เมื่อมองจากความเป็นจริง วัตถุต่าง ๆ ที่กลศาสตร์ดั้งเดิมกำหนดไว้ว่าวัตถุมีขนาดไม่เป็นศูนย์เสมอ (ซึ่งถ้าวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ๆ อย่างเช่น อิเล็กตรอน กลศาสตร์ควอนตัมจะอธิบายได้อย่างถูกต้องกว่ากลศาสตร์ดั้งเดิม) วัตถุที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์จะมีความซับซ้อนในการศึกษามากกว่าอนุภาคจุดตามทฤษฎี เพราะวัตถุมีระดับความอิสระ (Degrees of freedom) ที่มาก อาทิ ลูกตะกร้อสามารถหมุนได้ขณะเคลื่อนที่หลังจากที่ถูกเดาะขึ้นไปบนอากาศ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์สำหรับอนุภาคจุดสามารถใช้ในการศึกษาจำพวกวัตถุทั่วไปได้โดยสมมุติว่าเป็นวัตถุนั้น หรือสร้างอนุภาคจุดสมมุติหลาย ๆ จุดขึ้นมา ดังเช่นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่แสดงเป็นอนุภาคจุด

กลศาสตร์ดั้งเดิมใช้สามัญสำนึกเป็นแนวว่าสสารและแรงเกิดขึ้นและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร โดยตั้งสมมุติฐานว่าสสารและพลังงานมีความแน่นอน และมีคุณสมบัติที่รู้อยู่แล้ว ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ (Space) และความเร็วของวัตถุ อีกทั้งยังสามารถสมมุติว่ามีอิทธิพลโดยตรงกับสิ่งที่อยู่รอบวัตถุในขณะนั้นได้อีกด้วย (หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Principle of locality)

ตำแหน่งและอนุพันธ์ของตำแหน่ง 

ตำแหน่ง ของอนุภาคจุดได้ถูกกำหนดตามจุดอ้างอิงที่กำหนดได้เองในปริภูมิ เรียกว่า จุดกำเนิด (Origin) ซึ่งในปริภูมิ จะให้ตำแหน่งอยู่ในระบบพิกัด โดยในระบบพิกัดอย่างง่ายมักกำหนดตำแหน่งวัตถุ และมีลูกศรที่มีทิศทางเป็นเวกเตอร์ในกลศาสตร์ดั้งเดิม โดยเริ่มจากจุดกำเนิดลากไปยังตำแหน่งของวัตถุ เช่น ตำแหน่ง r อยู่ในฟังก์ชันของ t (เวลา) ในสัมพัทธภาพช่วงก่อนไอน์สไตน์ (หรือเป็นที่รู้จักในชื่อ สัมพัทธภาพกาลิเลโอ) เวลาเป็นสิ่งสัมบูรณ์ คือ เวลาที่สังเกตมีระยะเท่ากันหมดในทุกผู้สังเกต ยิ่งไปกว่าเวลาสัมบูรณ์ กลศาสตร์ดั้งเดิมยังให้โครงสร้างของปริภูมิมีลักษณะโครงสร้างเป็นเรขาคณิตยูคลิดอีกด้วย

ความเร็วและอัตราเร็ว 
ความเร็ว หรือ อัตราการเปลี่ยนของตำแหน่งต่อเวลา ได้นิยามไว้ด้วยอนุพันธ์เวลาของตำแหน่งดังนี้

โดยกำหนดให้ v เป็นความเร็ว dr เป็นเวกเตอร์ระยะห่างของตำแหน่งเดิมและตำแหน่งใหม่ dt เป็นระยะเวลาที่ใช้เวลาเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งใหม่

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม ความเร็วสามารถเพิ่มและลดได้โดยตรง ยกตัวอย่างเช่น ถ้ารถโดยสารประจำทางสายหนึ่งเดินทางด้วยความเร็ว 40 กม./ชม.ทิศตะวันตก แล้วมีรถจักรยานยนต์คันหนึ่งเดินทางด้วยความเร็ว 25 กม./ชม. ไปยังทิศตะวันออก เมื่อมองจากรถจักรยานยนต์ซึ่งมีอัตราเร็วต่ำกว่า รถโดยสารจะเดินทางด้วยความเร็ว 40-25 = 15 กม./ชม. ด้านทิศตะวันตก อีกด้านหนึ่ง ในด้านของรถโดยสารประจำทาง จะเห็นรถจักรยานเดินทางด้วยความเร็ว 15 กม./ชม. ด้านทิศตะวันออก ดังนั้นความเร็วสามารถเพิ่มหรือลดได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งต้องจัดการโดยเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าความเร็วของวัตถุแรกให้เป็น u = ud และความเร็วของวัตถุที่สองให้เป็น v = ve โดย v และ u เป็นอัตราเร็วของวัตถุแรก และวัตถุที่สองตามลำดับ และ d กับ e เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งแสดงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังนั้นความเร็วของวัตถุแรกที่เห็นโดยวัตถุที่สอง คือ

เช่นเดียวกับวัตถุที่หนึ่งที่มองกับวัตถุที่สอง

เมื่อวัตถุเดินทางในทิศทางเดียวกัน สามารถทำสมการให้เป็นรูปอย่างง่ายดังนี้

หรือถ้าไม่คำนึงถึงทิศทาง ความต่างนี้จะอยู่ในรูปของอัตราเร็วเท่านั้น ดังสมการนี้

ความเร่ง 
ความเร่ง หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคืออนุพันธ์เวลาของความเร็ว (อนุพันธ์เวลาที่สองของตำแหน่ง) สามารถแสดงได้ดังนี้

โดยความเร่งจะแสดงถึงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปในช่วงเวลานั้น ๆ ไม่ว่าเป็นอัตราเร็ว ทิศทางของความเร็ว หรือทั้งสองอย่าง ซึ่งถ้าความเร็วลดลงไปเรื่อย ๆ เพียงอย่างเดียว ก็สามารถเรียกได้ว่าความหน่วงเช่นกัน แต่ปกติแล้ว ทั้งความหน่วงและความเร่งมักถูกเรียกง่าย ๆ ว่าความเร่งเพียงอย่างเดียว

กรอบอ้างอิง 
ขณะที่ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้ด้วยผู้สังเกตจากสถานะการเคลื่อนที่ใด ๆ ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมสามารถสมมุติได้ว่ากรอบอ้างอิงพิเศษที่อยู่ในธรรมชาติอยู่ในรูปแบบง่าย ๆ มีอยู่จริง โดยเรียกกรอบเหล่านี้ว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อย จากนิยามเบื้องต้น กรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็นการมองจากสิ่ง ๆ หนึ่งที่ไม่มีแรงมากระทำมา กล่าวคือกรอบอ้างอิงเฉื่อยจะไม่เคลื่อนที่หรือเคลื่อนที่ด้วยคงที่ด้วยเส้นตรง กรอบเหล่านี้จะถูกกำหนดไว้โดยแหล่งที่สามารถยืนยันได้ที่เป็นแรงมากระทำต่อผู้สังเกต ซึ่งคือ สนาม เช่น สนามไฟฟ้า (เกิดจากประจุไฟฟ้าสถิต) สนามแม่เหล็ก (เกิดจากประจุที่เคลื่อนที่) สนามแรงโน้มถ่วง (เกิดจากมวล) และอื่น ๆ กรอบอ้างอิงไม่เฉื่อยเป็นการมองจากสิ่ง ๆ หนึ่งที่มีความเร่งโดยอ้างอิงจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย และในกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย อนุภาคจะปรากฏว่ามีแรงอื่น ๆ มากระทำที่ไม่สามารถอธิบายได้โดยสนามที่มีอยู่ โดยเรียกได้หลายอย่างทั้ง แรงในนิยาย แรงเฉื่อย หรือแรงเทียม ซึ่งสมการของการเคลื่อนที่จะมีแรงเหล่านี้เพิ่มในสมการเพื่อให้ตรงต่อผลลัพธ์จากการสังเกตในกรอบที่มีความเร่ง ในทางปฏิบัติ กรอบอ้างอิงเฉื่อยขึ้นอยู่กับดาวที่อยู่ไกล (จุดที่อยู่ไกลมาก ๆ) ซึ่งไม่มีความเร่งถือเป็นการประมาณการที่ดีสำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

พิจารณากรอบอ้างอิงเฉื่อย 2 กรอบ คือ S และ S' ผู้สังเกตแต่ละคนจะตีกรอบเหตุการณ์ให้อยู่ในพิกัดปริภูมิ-เวลาของ (x,y,z,t) สำหรับกรอบ S และ (x',y',z',t') ในกรอบ S' โดยให้เวลาที่สังเกตนั้นเท่ากันในทุกกรอบอ้างอิง และถ้าเราให้ x = x' เมื่อ t = 0 จากนั้นความสัมพพันธ์ระหว่างพิกัดปริภูมิ-เวลาของเหตุการณ์เดียวกันที่มองจาก S และ S ซึ่งเคลื่อนที่อยู่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์ที่ U ในทิศทาง x คือ

โดยชุดสูตรเหล่านี้ถูกนิยามไว้ว่าเป็นการแปลงแบบกลุ่มหรือรู้จักในชื่อว่า การแปลงแบบกาลิเลโอ กลุ่มนี้มีข้อจำกัดในส่วนของกลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งข้อจำกัดที่ว่าจะมีผลเมื่อความเร็ว u มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับ c หรือความเร็วแสง

การแปลงจะมีผลที่ตามมาดังนี้

 (ความเร็ว v' ของอนุภาคจากมุมมองของ S ช้ากว่า v จากมุมมองของ S ที่เท่ากับ u)

 (ความเร่งคงที่เสมอในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)

 (แรงที่กระทำเท่าเดิมในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)

ความเร็วแสงไม่ใช่ค่าคงที่ในกลศาสตร์ดั้งเดิม หรือไม่ใช่เป็นตำแหน่งพิเศษที่ถูกให้โดยความเร็วแสงในกลศาสตร์สัมพัทธภาพซึ่งตรงข้ามกับกลศาสตร์ดั้งเดิม

สำหรับบางปัญหา มันอาจจะต้องใช้พิกัดที่หมุนอยู่เป็นกรอบอ้างอิงเพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ปัญหา หรืออาจจะใช้กรอบอ้างอิงที่เหมาะสม หรืออาจเพิ่มแรงหนีสู่ศูนย์กลาง และ แรงโคริออลิส ซึ่งเป็นแรงเทียม

 แรงในกฎข้อที่สองของนิวตัน 
นิวตันเป็นคนแรกที่อธิบายความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างแรงและโมเมนตัม นักฟิสิกส์บางคนตีความกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตันว่าเป็นนิยามของแรงและมวล ในขณะที่คนอื่นพิจารณาให้มันเป็นสัจพจน์พื้นฐาน หากจะตีความอีกรูปแบบหนึ่งในผลที่ตามมาทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน หรือในทางประวัติศาสตร์เรียกว่า "กฎข้อที่สองของนิวตัน" ซึ่งก็คือ

ปริมาณ mv ถูกเรียกว่า โมเมนตัม (คาโนนิคัล) แรงลัพธ์ของอนุภาคจะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของอนุภาคเมื่อเทียบกับเวลา เมื่อนิยามของความเร่งคือ a = dv/dt กฎสามารถเขียนในรูปที่ง่ายและคุ้นเคยกว่า คือ

ถ้ารู้ว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคมีค่าคงที่ กฎของนิวตันข้อที่สองเพียงพอที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาค แต่ถ้าแรงใดแรงหนึ่งขึ้นกับความสัมพันธ์แบบอิสระ สามารถแทนความสัมพันธ์นั้นได้ในกฎของนิวตันข้อสอง จึงได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary differential function) ซึ่งสามารถเรียกว่า สมการการเคลื่อนที่ 

ยกตัวอย่างในกรณีหนึ่ง สมมุติว่าแรงเสียดทานกระทำเพียงบนอนุภาคเท่านั้นและสามารถจำลองโดยใช้ฟังก์ชันของความเร็วของอนุภาค เช่น

โดยให้ λ เป็นค่าคงที่บวก และสถานะของเครื่องหมายลบคือความเร็วตรงกันข้ามกับเวกเตอร์อ้างอิง ดังนั้นจะได้สมการการเคลื่อนที่ว่า

โดยสามารถแทนเป็นความเร็วได้โดยใช้การปริพันธ์

โดยให้ v0 เป็นความเร็วในขณะเริ่มต้น หมายความว่าความเร็วของอนุภาคมีการลดลงเชิงเอ็กซ์โพเนนเชียล ความเร็วมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อเวลาผ่านไปนานขึ้น ในกรณีนี้ สามารถเทียบเท่าได้กับพลังงานจลน์ที่ถูกซับไปจากการเสียดทาน (กลายเป็นพลังงานความร้อนที่เกี่ยวเนื่องกับการอนุรักษ์พลังงาน) และอนุภาคเคลื่อนที่ช้าลง นิพจน์นี้สามารถทำการปริพันธ์เพิ่มเติมเพื่อแทนเป็นตำแหน่ง r ต่อฟังก์ชันของเวลา 

แรงที่สำคัญจะรวมถึงแรงโน้มถ่วงและแรงลอเรนซ์สำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า นอกจากนั้น กฎของนิวตนข้อที่สามสามารถอนุมานได้เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุ คือ ถ้ารู้ว่าอนุภาค A กระทำแรง F ต่ออนุภาค B ทำให้ B ต้องออกแรงปฏิกิริยา ซึ่งขนาดเท่ากัน แต่อยู่ในทิศตรงข้าม -F บน A รูปแบบที่เข้มแข็ง (Strong form) ของกฎข้อที่สามของนิวตัน คือ แรง F และ -F กระทำกันบนเส้นที่ลากผ่านระหว่าง A และ B ซึ่งรูปแบบอย่างอ่อนจะไม่เป็นแบบรูปแบบอย่างเข้ม มักจะพบเจอในแรงแม่เหล็ก 

 งานและพลังงาน 
ถ้าแรงที่กระทำคงที่ F กระทำต่ออนุภาค โดยก่อให้เกิดการกระจัด Δr งานสุดท้ายโดยแรงที่กระทำนิยามเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและเวกเตอร์การกระจัด ซึ่งคือ

เมื่อทำให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้น ถ้าแรงที่กระทำไม่คงที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งที่อนุภาคเคลื่อนที่จากจุด r1 ถึง r2 ไปตามเส้นทาง C งานสุดท้ายของอนุภาคจะถูกให้นิยามโดยปริพันธ์ตามเส้น (Line Integral) ดังนี้

ถ้างานสุดท้ายในการเคลื่อนที่ของอนุภาคจากจุด r1 ถึง r2 เท่าเดิมเมื่อได้เดินตามเส้นทางแล้ว แรงพวกนี้จะเรียกได้ว่าแรงอนุรักษ์ แรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์ เช่นเดียวกับแรงที่กระทำต่อสปริงในอุดมคติ ซึ่งให้โดยกฎของฮุก แต่ถ้าแรงขึ้นอยู่กับความเสียดทาน แรงนั้นจะเป็นแรงไม่อนุรักษ์

พลังงานจลน์ Ek ของอนุภาคที่มีมวล m ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ถูกให้นิยามโดย

แรงอนุรักษ์สามารถอธิบายได้ด้วยเกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ หรือรู้จักกันในชื่อพลังงานศักย์ และแทนด้วย Ep ซึ่งก็คือ

ถ้าแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคเป็นแรงอนุรักษ์ และ Ep เป็นพลังงานศักย์ทั้งหมด (ซึ่งนิยามโดยงานของแรงที่เกี่ยวโยงสู่การย้ายตำแหน่งของวัตถุร่วมกัน) เมื่อนำพลังงานศักย์ทั้งหมดมารวมกันตรงกับแรงแต่ละแรง

การลดลงของพลังงานศักย์มีค่าเท่ากับการเพิ่มของพลังงานจลน์

สิ่งนี้รู้จักในชื่อว่า กฎการอนุรักษ์พลังงาน และสภาวะของพลังงานทั้งหมดจึงเป็น

ซึ่งเป็นค่าคงที่ตลอดเวลา กฎอนุรักษ์พลังงานมักจะมีประโยชน์ เพราะแรงทั่วไปที่กระทำอยู่จำนวนมากเป็นแรงอนุรักษ์

 นอกเหนือจากกฎของนิวตัน 
กลศาสตร์ดั้งเดิมสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนกว่านี้อย่างอนุภาคที่มีลักษณะไม่คล้ายจุด กฎของออยเลอร์ช่วยให้ขยายการใช้กฎของนิวตันในส่วนนี้ เช่นเดียวกับแนวคิดของโมเมนตัมเชิงมุมจะขึ้นอยู่กับแคลคูลัสชุดเดียวกันที่อธิบายการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ สมการจรวดได้ขยายแนวคิดของอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งมีผลกระทบ คือ การสูญเสียมวล

กลศาสตร์ดั้งเดิมได้มีการจัดรูปที่แตกต่างจากกลศาสตร์นิวตันอยู่สองแบบที่สำคัญ คือ กลศาสตร์แบบลากรางจ์ และ กลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งกลศาสตร์เหล่านี้หรือการจัดรูปในยุคใหม่มักไม่ใช้แนวคิดของ "แรง" โดยจะแทนด้วยปริมาณทางฟิสิกส์อื่น ๆ เช่น พลังงาน อัตราเร็ว และ โมเมนตัม เพื่ออธิบายระบบกลไกในพิกัดทั่วไป

นิพจน์เหล่านี้ได้ถูกให้นิยามไปแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานจลน์ในส่วนก่อนหน้าซึ่งมีอยู่เมื่องไม่มีแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องอย่างมีนัยสำคัญ ในแม่เหล็กไฟฟ้า กฎของนิวตันข้อที่สองสำหรับสายสำหรับไว้ย้ายประจุไฟฟ้าจะใช้ไม่ได้เมื่อมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องกับโมเมนตัมของระบบซึ่งอธิบายโดยพอยน์ติงเวกเตอร์ (Poynting vector) หารด้วย c2 เมื่อ c เป็นความเร็วแสงในพื้นที่เปล่า

ข้อจำกัดของกลศาสตร์ดั้งเดิม

หลาย ๆ สาขาของกลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของรูปแบบที่มีความถูกต้องกว่า ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมที่มีความถูกต้องที่สุด 2 อัน คือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และ กลศาสตร์เชิงสถิติแบบสัมพัทธภาพ เช่น ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเป็นการประมาณของทฤษฎีควอนตัมของแสง และไม่มีรูปแบบที่ดีกว่านี้ในกลศาสตร์ดั้งเดิมอีก

เมื่อทั้งกลศาสต์ควอนตัมและกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้ เช่น ในระดับขนาดที่เล็กมาก ๆ ที่มีระดับความเป็นอิสระมาก ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงถูกนำมาใช้แทน ซึ่งทฤษฎีสนามควอนตัมจะใช้ในระยะทางที่ใกล้และมีความเร็วที่สูงด้วยระดับความเป็นอิสระที่มาก พอ ๆ กับความเป็นไปได้ที่จำนวนของอนุภาคจะเปลี่ยนไปด้วยอันตรกิริยา เมื่อเปลี่ยนระดับขนาดเป็นขนาดใหญ่ขึ้น กลศาสตร์สถิติเริ่มสามารถใช้ได้ ซึ่งกลศาสตร์สถิติอธิบายพฤติกรรมของอนุภาคจำนวนมาก (แต่ยังสามารถนับได้) และปฏิกิริยาในระดับขนาดใหญ่ กลศาสตร์สถิติถูกใช้หลัก ๆ กับอุณหพลศาสตร์สำหรับระบบที่ยังอยู่ในอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม ในกรณีสำหรับวัตถุที่มีความเร็วสูงใกล้เคียงความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมถูกเพิ่มเติมโดยทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้รวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ให้นักฟิสิกส์ได้ศึกษาความโน้มถ่วงในระดับที่ลึกยิ่งขึ้น

 การคาดประมาณในกลศาสตร์นิวตันกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ 
ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ โมเมนตัมของอนุภาคให้นิยามโดย

เมื่อ m คือมวลของอนุภาคที่อยู่นิ่ง v คือความเร็วของอนุภาค และ c คือความเร็วแสง

ถ้า v มีค่าน้อยมาเมื่อเทียบกับ c ทำให้ v2/c2 มีค่าประมาณ 0 แล้ว

ดังนั้นสมการแบบนิวตัน p = mv''' เป็นการประมาณของสมการแบบสัมพัทธภาพสำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่น้อยเมื่อเทียบกับความเร็วแสง

ยกตัวอย่างเช่น ความถี่ไซโคลตรอนแบบสัมพัทธภาพสำหรับเครื่องเร่งอนุภาคไซโคลตรอน (Cyclotron) ท่อไจโรตรอน (Gyrotron) หรือ แมกนิตรอน (Magnetron) สามารถเขียนได้ว่า

ซึ่ง fc คือความถี่ของอนุภาคประจุ (เช่น อิเล็กตรอน) ในกลศาสตร์ดั้งเดิมด้วยพลังงานจลน์ T และมวลที่อยู่นิ่ง m0 วิ่งวนอยู่รอบสนามแม่เหล็ก ซึ่งมวลที่อยู่นิ่งของอิเล็กตรอนมีค่าเท่ากับ 511 keV ดังนั้นความถูกต้องความถี่ของอิเล็กตรอนเท่ากับร้อยละ 1 ของท่อแม่เหล็กสูญญากาศด้วยกระแสตรงที่มีค่าความต่างศักย์ 5.11 kV

 การคาดประมาณในกลศาสตร์ดั้งเดิมกับกลศาสตร์ควอนตัม 
การประมาณรังสีในกลศาสตร์ดั้งเดิมใช้ไม่ได้ เมื่อความยาวคลื่นเดอบรอยไม่ได้น้อยกว่าความยาวคลื่นของมิติอื่นของระบบ สำหรับอนุภาคที่ไม่เป็นแบบสัมพัทธภาพ ความยาวคลื่นเท่ากับ

เมื่อ h เป็นค่าคงที่พลังก์ และ p'' คือโมเมนตัม

และสิ่งนี้ได้เกิดขึ้นกับอิเล็กตรอนก่อประวัติของกลศาสตร์ดั้งเดิมนที่จะขึ้นในอนุภาคหนักในภายหลัง เช่น อิเล็กตรอนที่คลินตัน เดวิสสัน และ เลสเตอร์ เจอเมอร์ใช้ใน พ.ศ. 2470 มีความต่างศักย์ 54 โวลต์ และมีความยาวคลื่น 0.167 นาโนเมตร ซึ่งมีความยาวพอที่จะเกิดการเลี้ยวเบนพูด้านข้างอันเดียว เมื่อสะท้อนจากผิวของผลึกนิกเกิลด้วยช่องว่างระหว่างอะตอม 0.215 นาโนเมตรที่ห้องสูญญากาศขนาดใหญ่ จะเห็นได้ว่ามันง่ายที่จะเพิ่มความละเอียดเชิงมุมจากประมาณเรเดียนเป็นหลักมิลลิเรเดียน และเห็นการเลี้ยวเบนควอนตัมจากรูปแบบคาบของวงจรรวมในที่เก็บความจำของคอมพิวเตอร์

เมื่อมองตัวอย่างที่ใกล้ชีวิตประจำวันมากขึ้นของความล้มเหลวในกลศาสตร์ดั้งเดิมที่มีอยู่ในอัตราส่วนวิศวกรรม คือ การทำอุโมงค์ควอนตัม (Quantum Tunneling) ภายในอุโมงค์ไดโอด และมีประตูทรานซิสเตอร์ (Transistor gate) ที่แคบมากในวงจรรวม

กลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของคลื่นที่มีความที่สูงมากและเท่าเดิมตลอดดั่งทัศนศาสตร์เรขาคณิต ซึ่งมักจะมีความถูกต้องเพราะมันอธิบายอนุภาคและวัตถุที่มวลหยุดนิ่ง ซึ่งมีโมเมนตัมมากกว่าและดังนั้นความยาวคลื่นเดอบรอยสั้นกว่าอนุภาคที่ไม่มีมวล เช่น แสงที่มีพลังงานจลน์เท่าเดิม

ประวัติ

สาขาวิชา 
กลศาสตร์ดั้งเดิมแบ่งออกเป็นสามสาขาหลัก ดังนี้
 สถิตยศาสตร์ ศึกษาเกี่ยวกับสภาพสมดุลภายใต้ความสัมพันธ์กับแรง
 พลศาสตร์ ศึกษาการเคลื่อนที่ภายใต้ความสัมพันธ์กับแรง
 จลน์ศาสตร์ เกี่ยวข้องกับการอธิบายการเคลื่อนที่ โดยไม่คำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนที่นั้น

ดูเพิ่ม 

 ระบบพลวัต (Dynamical systems)
 ประวัติของกลศาสตร์ดั้งเดิม
 รายชื่อสมการในกลศาสตร์ดั้งเดิม
 รายชื่อสิ่งตีพิมพ์ที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ดั้งเดิม
 พลวัตโมเลกุล
 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
 ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
 กลศาสตร์ควอนตัม
 ทฤษฎีสนามควอนตัม

กลศาสตร์ดั้งเดิม
หลักการสำคัญของฟิสิกส์