เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ () คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในหลากหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในสาขาฟิสิกส์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในทุก ๆ แขนงของฟิสิกส์ที่มีอยู่ เช่น กลศาสตร์, ทัศนศาสตร์ (Optics), แม่เหล็กไฟฟ้า, กลศาสตร์ควอนตัม หรือ ไฟฟ้ากระแสควอนตัม มีการใช้ทฤษฎีเมทริกซ์ในการศึกษาปรากฎการณ์ทางฟิสิกส์ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุ ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการทำคอมพิวเตอร์กราฟฟิก โดยใช้สร้างโมเดล 3 มิติ เพื่อแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่เป็น 2 มิติ

ในทางสถิติศาตร์ มีการใช้เมทริกซ์แบบสโตแคสติกในการอธิบายถึงชุด (Set) ของความน่าจะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่าง Google ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเมทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์ (Derivative) และฟังก์ชั่นเอกซ์โพเนนเชียลในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

นิยาม 
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน  และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี  แถว และ  หลัก เรียกว่า เมทริกซ์  เราเรียกจำนวน  และ  ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญญลักษณ์  เพื่อหมายถึง เมทริกซ์  ซึ่งมี  แถว และ  หลัก โดยที่  (หรือ ) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว  และ หลัก  ของเมทริกซ์

การกระทำระหว่างเมทริกซ์

การบวก 

ให้  และ  เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก  ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด  ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก  แล้ว

ยกตัวอย่างเช่น

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์ 
กำหนดเมทริกซ์  และจำนวน  เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์  ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด  ที่คำนวณโดยการนำ  ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ  กล่าวคือ หาก  แล้ว  ยกตัวอย่างเช่น

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด  ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ  ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ 
ถ้า  และ  เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ  เท่ากับจำนวนแถวของ  แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ  ว่าเป็นเมทริกซ์  โดยที่
 
กล่าวคือสมาชิกในแถว  หลัก  ของผลคูณ  คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก  ของ  และสมาชิกของคอลัมน์  ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง  ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้  เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว  ของ  และให้  เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก  ของ  แล้ว เราจะได้ว่า  เมื่อ  คือผลคูณจุดของ  และ  เช่น
ให้  และ   

แล้ว 
และ

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
 สมบัติการเปลี่ยนหมู่:  สำหรับเมทริกซ์  ขนาด ,  ขนาด , และ  ขนาด  ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
 สมบัติการแจกแจงทางขวา:  สำหรับเมทริกซ์  และ  ขนาด  และ  ขนาด  ใดๆ
 สมบัติการแจกแจงทางซ้าย:  สำหรับเมทริกซ์  และ  ขนาด  และ  ขนาด  ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์  ขนาด  และ  ขนาด  ใดๆ 
 ถ้า  แล้ว ผลคูณ  ไม่มีนิยาม
 แม้  แต่ถ้า  แล้ว  เป็นเมทริกซ์ขนาด  ส่วน  เป็นเมทริกซ์ขนาด  ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
 แม้  แต่ส่วนมากแล้ว  มักจะมีค่าไม่เท่ากับ  ยกตัวอย่างเช่น
 

เรากล่าวว่าเมทริกซ์  แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์  ถ้า  เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยน 

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ AT ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์จัตุรัส 
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ 
 เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด  มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

 เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ  หรือ  สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
 เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ หรือ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
 เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้  หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า 
 เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ

อ้างอิง 

 
พีชคณิตเชิงเส้น