ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับศักยะขั้นบันได

ในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีการกระเจิง ศักย์แบบขั้นบันได () แบบ 1 มิติ เป็นระบบในอุดมคติที่ใช้ในการอธิบายคลื่นอนุภาคที่มีการตกกระทบ การสะท้อน และการทะลุผ่าน ในหัวข้อนี้ จะใช้สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์ แบบ 1 มิติ

การคำนวณ

สมการชเรอดิงเงอร์และฟังก์ชันของศักย์ 

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่น  คือ

 
โดยที่ 

H คือ ฮามิลโทเนียน

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

m คือ มวล 

E คือ พลังงานของอนุภาค

ศักย์แบบขั้นบันได มีสมการเป็น

 
โดยสิ่งกีดขวางจะอยู่ที่ตำแหน่ง x = 0 ศักย์แบบขั้นบันได จะแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วน คือ x < 0 และ x > 0 ซึ่งทั้ง 2 ส่วนนี้จะมีศักย์เป็นค่าคงที่

การแก้ปัญหาสมการชเรอดิงเงอร์สามารถเขียนเป็นการซ้อนทับ (Superposition) ของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและทางขวา โดยที่
 ,
 
ซึ่งทั้ง 2 สมการมีรูปแบบเดียวกับความสัมพันธ์ของเดอบรอย์

เงื่อนไขขอบเขต 
ฟังก์ชันคลื่นในทั้งสองบริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ที่บริเวณรอยต่อ x = 0 ดังสมการ 

 ,

วิเคราะห์ผลการคำนวณ 
ให้อนุภาคแต่ละตัวมีพลังงาน  ตกลงบนศักย์จากด้านซ้านมือของศักย์แบบขั้น โดยแบ่งพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้

เมื่อ E < V0 
ในกรณีนี้ตามกลศาสตร์ดั้งเดิม อนุภาคจะผ่านศักย์แบบขั้นไปได้เสมอ แต่สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมจะมีโอกาสข้ามศักย์แบบขั้นได้จำกัด บางครั้งอนุภาคจะสะท้อนกลับ จะพบว่าในบริเวณ x < 0 จะมีทั้งคลื่นที่ตกกระทบและคลื่นสะท้อน ส่วนในบริเวณ x > 0 จะมีแต่คลื่นที่ทะลุผ่านอย่างเดียว โดยมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านและการสะท้อน ดังนี้

เมื่อ E > V0 
ฟังก์ชันคลื่นในบริเวณ x < 0 ยังมีลักษณะเหมือนเดิม ส่วนบริเวณ x > 0 มีความน่าจะเป็นของการพบอนุภาคอยู่บ้าง ซึ่งตามกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่มีโอกาสพบอนุภาคเลย

อ้างอิง 
http://www.rmutphysics.com/charud/oldnews/206/index206.htm 

กลศาสตร์ควอนตัม
สมการชเรอดิงเงอร์
ทฤษฎีการกระเจิง
แบบจำลองควอนตัม