เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของอ็อยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:

สมการประกอบด้วย:
 คือ เลขของอ็อยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 
 คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ )
 คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตามเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิส ได้ชื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว (, , , 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

ความงามทางคณิตศาสตร์ 
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน: 

 หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
 หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
 ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
 จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของอ็อยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
 ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์

Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชกสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของอ็อยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"

Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของอ็อยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์  อธิบายถึงอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"

Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"

แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์" ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"

การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ

หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์:

 Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)
 A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)
 Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).

คำอธิบาย

เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ 
โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ แสดงออกว่า มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ คือ รูปพิเศษหนึ่งของ  โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว  ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของอ็อยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

สำหรับจำนวนจริง  ถ้าเราให้  จะได้

จากนิยามของ

และ

เราจะได้

  หรือ

อ้างอิง 
การวิเคราะห์เชิงซ้อน
การยกกำลัง
อเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์
เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera