บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง

อนุภาคในกล่อง 1 มิติ 
สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้

 เมื่อ      ,
        คือ ค่าคงที่ของพลังค์
       คือ มวขของอนุภาค
        คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)
   คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x
        คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง 
 
เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้

ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2<x<L/2 เท่านั้น โดยที่อนุภาคจะมีค่าพลังงานเป็นค่าใด ๆ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานของอนุภาคจะมีค่าได้เพียงบางค่าเท่านั้น และค่านั้นจะเป็นค่าเจาะลง (Eigen value) ของฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function ที่สอดคล้องกันในแต่ละขอบเขตที่พิจารณา โดยฟังก์ชันคลื่นแต่ละขอบเขตจะแตกต่างกันตามขอบเขตของ x ขึ้นอยู่กับว่าอยู่ภายในหรือภายนอกของกล่อง แบ่งขอบเขตของกล่องเป็น 3 ส่วนและเขียนฟังก์ชันคลื่นได้ดังนี้

ขอบเขตภายในกล่อง 
กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

เมื่อ      

ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น

ขอบเขตภายนอกกล่อง 
เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V0  เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ 

1.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V0) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า การกระเจิง (The Scattering)

2.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E<V0) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า สถานะจำกัดขอบเขต (Bound state) 

ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E< V0) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น

เมื่อ     

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  

และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้

การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state 
โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น
 
 
 
เมื่อพิจารณาที่  จะเห็นว่าเทอม  มีค่าไม่จำกัด

และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่   เทอม  จะมีจำกัด 

ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า

ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x= -L/2 และ L/2 

ตามสมการ

คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี 

1.     กรณีสมมาตร (symmetric case)           เมื่อ A = 0 และ G = H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)

2.     กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case)  เมื่อ B = 0 และ G = -H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)

ในกรณีเป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่) (A = 0 , B   0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้
 
 
 
แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้                                                .

และเช่นเดียวกันในกรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่)  จะได้            . 

จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข

อ้างอิง 

กลศาสตร์ควอนตัม