สมการเชบีเชฟ

สมการเชบีเชฟ () คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า  ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง  

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ  และ  ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้  และ  มีค่าเป็น  และ 

กรณี  = 1 ;  = 0 จะได้

และ

กรณี  = 0 ;  = 1 จะได้

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน  จะมีพจน์ถึงแค่  เมื่อ  เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน  จะมีพจน์ถึงแค่  เมื่อ  เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ  และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ  เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

 ถ้า  เป็นจำนวนคู่ 
 ถ้า  เป็นจำนวนคี่
โดยที่  คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ 

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่  เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่  เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง  และ  นั้นเอง

อ้างอิง

สมการเชบีเชฟ จากเว็ปของแพลเนตแมธ

ช