ผลรวม

ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม () หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ผลบวก (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

สัญกรณ์ 
ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ  ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล  ว่าเป็น  หรือ  เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)

ถ้าหากผลรวมหนึ่งๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น

สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่ 
คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้  หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ  เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น

ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น
 จะมีความหมายเทียบเท่ากับ 

หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ

คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น
 จะมีความหมายเหมือนกับ

สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม 
ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน
sum (x[m:n+1])
ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ
sum (x(m:n))
ภาษาเจ
+/x

ส่วนในภาษาอื่นๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์
Sum = 0
For I = M To N
    Sum = Sum + X (I)
Next I
หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว
int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++) {
    sum += x[i];
}

ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล
$sum = 0;
$sum += $x[$_] for ($m..$n) ;
ภาษารูบี
x[m..n].inject{|a,b| a+b}
x[m..n].inject (0) {|a,b| a+b}
สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้
std::accumulate (&x[m], &x[n + 1], 0)

สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

กรณีพิเศษ 
มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว
 ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ x ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ x กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m = n ตามนิยามข้างบน
 ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m > n หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์ 
การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

และฟังก์ชันลด f

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

เอกลักษณ์ 
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ
 เมื่อ C เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)
 เมื่อ C เป็นค่าคงตัว

 เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ x
 (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)
 (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)

 เมื่อ  เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ k

 (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)
 (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ m = 0)

 (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)

 (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)

 (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)
 สำหรับการกระจายทวินาม

อัตราการเติบโต 
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา
 สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า −1

 สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า 1
 สำหรับจำนวนจริง c ที่ไม่เป็นลบ
 สำหรับจำนวนจริง c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด
 สำหรับจำนวนจริง b > 1, c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

ดูเพิ่ม 
 สัญกรณ์ไอน์สไตน์
 ผลรวมตรวจสอบ (checksum)
 ผลคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น 

 Nicholas J. Higham, "The accuracy of floating point summation", SIAM J. Scientific Computing 14 (4), 783–799 (1993).

เลขคณิต
สัญกรณ์คณิตศาสตร์