อนุกรมเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ

ผลรวม

ผลรวมย่อย 
ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ

 

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ได้

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1
 
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
 

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย 
 
จะได้สูตร
 

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่
 
จะได้สูตร

ผลรวมทั้งหมด 
สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

 

ซึ่ง  จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ  ดังนั้น
 

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร
 

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร
 

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ  เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

การนำไปใช้

ทศนิยมซ้ำ 
สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212...  เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทศนิยมซ้ำที่มีช่วงซ้ำยาว n หลัก จะสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนที่มีเศษเป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำ และส่วนเป็น 10n - 1

อนุกรมกำลัง 
จากสูตร

 เมื่อ 

สามารถนำไปพิสูจน์อนุกรมอื่น ๆ ได้โดยแคลคูลัส เช่น เมื่อนำสูตรนี้ไปหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ จะได้

 เมื่อ 

 เมื่อ 

เมื่อ 

เป็นเช่นนี้เรื่อยไป
อนุกรม
แคลคูลัส