พหุนามฟีโบนัชชี

พหุนามฟีโบนัชชี () คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม 
พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :

 

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:
 
 
 
 
 
 
 

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :
 

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

 
 
 
 
 
 
 

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้  จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์  ที่  โดยที่ ดีกรีของ  คือ  และดีกรีของ  คือ 

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :

 
 

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

เอกลักษณ์ 

เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ  โดยนิยามว่า 
 
และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:
 
 
 
 

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ  จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :
 
เมื่อ
 
เป็นผลตอบ  ที่ได้จากสมการ

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด 

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ xk ใน Fn (x) เราจะเขียน  ใหม่ได้ว่า
 
นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1  จำนวน k อันเท่านั้น  ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น 

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

 

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form P (n, x) = (U^n-L^n) /d, where U= (x+d) /2, L= (x-d) /2, d= (4 + x^2) ^ (1/2).
 Triangle of numbers {C (n-k, k), n >= 0, 0<=k<=n/2 or triangle of coefficients of (one version of) Fibonacci polynomials.

ฟ
ฟ