ไพรมอเรียล

ไพรมอเรียล () เป็นคำที่รวมกันระหว่างจำนวนเฉพาะ (prime) กับแฟกทอเรียล (factorial) ตั้งโดย ฮาร์วีย์ ดับเนอร์ (Harvey Dubner) มีความหมายสองแบบ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

ฟังก์ชันไพรมอเรียลถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ให้กับทฤษฎีบทของยุคลิด ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์

ความหมายที่หนึ่ง 

ไพรมอเรียล pn# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ n ตัวแรก  นั่นคือ

เมื่อ pk คือจำนวนเฉพาะตัวที่ k

ตัวอย่างเช่น p5# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 5 ตัวแรก

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล pn# บางตัวมีดังนี้
1, 2, 6, 30, 210, 2310, ... 
ลำดับดังกล่าวรวมถึง p0# = 1 ซึ่งเป็นผลคูณว่างด้วย

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

เมื่อ exp คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ex และ o คือสัญกรณ์โอเล็ก (ดูเพิ่มในสัญกรณ์โอใหญ่) 

ลอการิทึมธรรมชาติของไพรมอเรียลคือฟังก์ชันเชบีเชฟที่หนึ่ง (the first Chebyshev function) เขียนแทนด้วย ϑ (n) หรือ θ (n) ซึ่ง n จะเข้าใกล้เชิงเส้นเมื่อ n มีค่ามากๆ

ความหมายที่สอง 

ไพรมอเรียล n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า n เมื่อ n ≥ 1  นิยามโดย

ซึ่งมีความหมายเทียบเท่ากับ 

เมื่อ π (n) คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ  โดยให้จำนวนของจำนวนเฉพาะไม่มากกว่า n

ตัวอย่างเช่น 7# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า 7 นั่นคือ

และเนื่องจาก π (7) = 4 ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้อีกวิธีเป็น

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล n# บางตัวมีดังนี้
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ...
จะเห็นว่าไพรมอเรียล n# ซึ่ง n เป็นจำนวนประกอบ จะซ้ำกับจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าคือ (n − 1)# ตามที่ได้กำหนดไว้ในนิยาม

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

ตารางค่าไพรมอเรียล

อ้างอิง 

 Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes".  J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

ลำดับจำนวนเต็ม
จำนวนเฉพาะ