การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร () เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ(หลายตัวแปร)
เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุกๆผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลายๆตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ๆกับค่ามัชฌิม

สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์ 
การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector)  สามารถเขียนได้ดังนี้:
 

หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้
 

โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ
 
และ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ

คำนิยาม 
เวกเตอร์สุ่ม จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขดังนี้:

<li> ทุกๆผลรวมเชิงเส้น Y = a1X1 + … + akXk มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ , ตัวแปรสุ่ม  จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

<li> เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ), และ เมทริกซ์ A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ 

<li> เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ) และ เมทริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ
 

<li> ในกรณีที่ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน(nonsigular) จะมีเวกเตอร์ μ (ขนาด k) และ เมตริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ดังนี้: 
โดย |Σ| เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของ Σ

บทความที่เกี่ยวข้อง 
 การแจกแจงแบบปรกติ

อ้างอิง 

การแจกแจงความน่าจะเป็น