ควอเทอร์เนียน

ในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียน () เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป  โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง และ  ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีสมบัติการสลับที่

ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ ควอเทอร์เนียนสามารถใช้ควบคู่กับวิธีอื่นๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์

พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร H (จากชื่อ Hamilton) หรือ ℍ (Unicode U+210D)

ความเป็นมา 
ควอเทอร์เนียน ถูกสร้างขึ้นโดย วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ 

วันที่ 16 ตุลาคม ปี ค.ศ. 1843 แฮมิลตันได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน ระหว่างทางที่เขากำลังเดินทางไปยัง Royal Irish Academy แฮมิลตันตื่นเต้นมากจนถึงขั้นสลักสมการต่อไปนี้ของควอเทอร์เนียนเอาไว้

นิยาม 
ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R4) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R4 และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R4 ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R4 ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, i, j และ k ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน a1 + bi + cj + dk เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง และมี 1, i, j และ k เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป a + bi + cj + dk ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการแจกแจง

การคูณระหว่างฐานหลัก 
ฐานหลักของควอเทอร์เนียนมีสมบัติ คือ  โดย i, j และ k เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า  สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ

จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย k จะได้

สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้

ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product) 
สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน a1 + b1i + c1j + d1k และ a2 + b2i + c2j + d2k ผลคูณฮามิลตัน (a1 + b1i + c1j + d1k)(a2 + b2i + c2j + d2k) สามารถหาได้โดยการใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้
 
เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ
 

คณิตศาสตร์