ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ 

เมื่อ       เป็นตัวดำเนินการ

a     เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ

ψ    เป็นฟังก์ชันไอเกน

ฟังก์ชันคลื่น 
ให้ ψ เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ

ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม :

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ

ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง 

เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า การแจกแจงแบบปกติ (normalized) 

สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม

ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม 
แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่

1. กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง  
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis  ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)

เมื่อ ci =  เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า  ลงบน   ซึ่ง |ci|2 = ci*ci คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ

2. กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง  
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis   ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral) 

เมื่อ  คือ   และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง ||2 = * เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม

ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ 
          ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R 

ค่าคาดหวัง  ของตัวดำเนินการ  จะหาได้จาก

และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น

ตัวอย่าง ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ ψ

ตัวดำเนินการเอมิตเชียน 
ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ   

เมื่อ  เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา “” เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger) 

จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา(bar) - เค็ท(ket) ได้ดังนี้

คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน 
1.      ค่าไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนเป็นจำนวนจริงเสมอ

2.      ฟังก์ชันไอเกน (สถานะไอเกน) ที่มีค่าไอเกนแตกต่างกันจะมีสมบัติ Orthogonality

3.      ฟังก์ชันไอเกน สามารถเป็น Orthonormal basis

ฟิสิกส์ทฤษฎี