ตะแกรงกำลังสอง

ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง () เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มให้อยู่ในรูปของผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะซึ่งยังเป็นสิ่งที่น่าสนใจเนื่องจากมีการนำไปใช้ในการเข้ารหัส (โดยถ้าใช้บางขั้นตอนวิธีอาจจะต้องใช้เวลามากกว่าอายุของจักรวาลเสียอีก)  Carl Pomerance เป็นผู้ค้นพบขั้นตอนวิธีนี้ในปี ค.ศ. 1981 จากการปรับขั้นตอนวิธีตะแกรงเชิงเส้นของชโรโพล (Schroeppel's linear sieve) ซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาเดียวกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วที่สุดสำหรับจำนวนเต็มที่มีจำนวนหลักน้อยกว่าเท่ากับ 100 หลัก แต่ในกรณีถัวเฉลี่ยของจำนวนเต็มใดๆ นั้นจะพบว่า ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วเป็นอันดับสองรองจากตะแกรงของเขตข้อมูลจำนวนเต็มทั่วไป (general number field sieve) ซึ่งจะพบว่าขั้นตอนวิธีแบบตะแกรงกำลังสองนั้นสามารถเข้าใจได้ง่าย เวลาที่ใช้ในการคำนวณนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของจำนวนเต็มที่จะนำมาแยกตัวประกอบ โดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างและคุณสมบัติของตัวเลขมากนัก

จุดประสงค์ 

จากดังกล่าวจะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองนั้นเป็นขั้นตอนวิธีที่พยายามใช้พื้นฐานของขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod n) ซึ่งขั้นตอนวิธีดังกล่าวได้ถูกนำไปในใช้ในการแก้ปัญหาการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มหลากหลายขั้นตอนวิธี รวมถึงขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองเอง โดยเราจะพิจารณาแบ่งขั้นตอนวิธีนี้ออกเป็นสองส่วนคือ การเก็บสะสมข้อมูล (data collection) ซึ่งจะเก็บข้อมูลที่มีโอกาสทำให้เกิดการคอนกรูเอ็นกำลังสองเพื่อเตรียมไปประมวลผล หลังจากนั้นพิจารณาทำให้ส่วนที่สองที่เป็นการนำข้อมูลมาประมวลผล (data processing) ซึ่งจะนำข้อมูลที่เก็บมาใส่เมทริกซ์แล้วพิจารณาคำนวณค่าเพื่อหาคำตอบ จนกระทั่งพบการเกิดคอนกรูเอ็นกำลังสองจริงๆ  ในส่วนแรกนั้นเราสามารถทำได้โดยใช้ระบบคู่ขนานของระบบประมวลผลของคอมพิวเตอร์ แต่ในส่วนที่สองนั้นจะต้องไปยุ่งเกี่ยวกับหน่วยความจำเนื่องจากต้องจองพื้นที่สำหรับการสร้างเมทริกซ์ ซึ่งอาจจะต้องใช้ ขั้นตอนวิธีกล่องวีดด์แมนน์ (block Wiedemann algorithm) เข้าช่วยในการทำให้การทำงานส่วนที่สองมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นในการระบบสามารถที่จะเก็บเมทริกซ์ได้

จะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังสองนั้นมีการดัดแปลงมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของดิกสัน
โดยเวลาในการรันสำหรับขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม n ใด คือ

ในสัญลักษณ์ของ L (L-notation)  
โดย e คือค่าที่นิยมใช้เป็นฐานของลอการิทึม

แนวความคิดหลัก 

ขั้นตอนวิธีดังกล่าวมีแนวความคิดมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ (Fermat's factorization method) โดยพิจารณาจาก ทฤษฎีบทที่ว่าถ้าพิจารณาให้ n เป็นจำนวนคี่แล้วจะได้ว่ามี a b ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ :N = a2 - b2 ซึ่งเมื่อพิจารณาให้ x mod y คือ เศษที่ได้จากการหาร x ด้วย y นั่นคือเราเพียงพอที่จะหา a ที่ทำให้ a2 mod n ให้มีค่าเป็น b2 เพื่อที่จะแยกตัวประกอบของ  n โดยอาศัยค่าที่ได้จาก a, bและ n ที่ได้มาจากดังกล่าว แต่เนื่องจากการหาค่า a นั้นเป็นเรื่องที่ยากมากโดยเฉพาะสำหรับในกรณีที่จำนวนเต็มที่ต้องการแยกตัวประกอบมีขนาดใหญ่มาก ซึ่งขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองจะพิจารณาปรับปรุงในส่วนดังกล่าว โดยจะพิจารณาจากการคำนวณ ในหลายๆ ค่าของ a จากนั้นจะพิจารณาเลือกกลุ่มของ a ที่ทำให้ผลคูณของในแต่ละ a สามารถอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง

ยกตัวอย่างเช่น 412 mod 1649 = 32, 422 mod 1649 = 115, และ 432 mod 1649 คือ 200 ซึ่งจะพบว่าการหาเศษที่ได้ทั้ง 4 ค่าของ a นั้นไม่อยู่ในรูปกำลังของจำนวนเต็ม แต่เมื่อพิจารณาจากผลคูณของ (32) (200) = 6400 = 802, and mod 1649,  (32) (200) = (412) (432) = ((41) (43)) 2 จะพบว่าอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง นั่นคือจะได้ว่า 1142 ≡ 802 (mod 1649) ซึ่งเมื่อจะพิจารณาขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ n จากค่า a, b ที่ได้นั้นสามารถทำได้โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ถ้ามี a, b ที่เป็นจำนวนมีซึ่ง a และ a2=b2 mod n นั่นคือจะได้ว่า GCD (a+b, n) และ GCD (a-b,n) เป็นตัวประกอบของ ซึ่งสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ในเรื่องของ คอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod n)

ซึ่งจากดังกล่าวก็มาถึงปัญหาที่ว่าถ้าให้ set ของจำนวนเต็มมาหนึ่งจำนวน จะทราบได้อย่างไรว่าผลคูณของตัวเลขใน set เหล่านั้น จะมีบางกลุ่มที่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มได้ ซึ่งจากดังกล่าวจะอาศัยการเขียนอยู่ในรูปแบบของ เวกเตอร์หรือที่เรียกกันว่าเวกเตอร์ชี้กำลัง exponent vector ยกตัวอย่างเช่น ในการแยกตัวประกอบของจำรวนเต็มที่ทำให้อยู่ในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะของ 504 คือ 23325071 นั่นคือสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ชี้กำลัง (exponent vector) (3,2,0,1) ซึ่งเป็นค่าของเลขชี้กำลังของ 2, 3, 5, 7 ตามลำดับ ในกรณีของ 490 ก็สามารถเขียนได้ในทำนองเดียวกันโดยสามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ชี้กำลังได้เป็น (1,0,1,2) โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันของ (504) (490) ก็เปรียบเสมือนการนำค่าในเวกเตอร์ชี้กำลังมาบวกกันในแต่ละสมาชิกที่มีดัชนีตรงกัน ซึ่งจะบวกได้เป็น (4,2,1,3) ทั้งนี้มาจากทฤษฎีบทที่ว่า am + n = aman

จากดังกล่าวชัดเจนว่าเมื่อตัวเลขในเวกเตอร์ชี้กำลังของจำนวนๆหนึ่งนั้นเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดนั่นคือจะได้ว่าจำนวนดังกล่าวสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของกำลังสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเรานำเวกเตอร์ (3,0,0,1) มาบวกกับเวกเตอร์ (1,2,0,1) ได้เป็นเวกเตอร์ (4,2,0,2) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด โดยจะมีค่าเป็น (56) (126) ซึ่งเป็นค่ายกกำลังสองของจำนวนเต็ม นั่นคือการที่จะพิจารณาว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มรึเปล่านั้นสามารถพิจารณาได้ง่ายจากการพิจารณาความเป็นคู่/คี่ของเวกเตอร์ชี้กำลัง ซึ่งเราสามารถนำสมาชิกในแต่ละตัวของเวกเตอร์ชี้กำลังมาหารด้วยสองแล้วเปลี่ยนค่าสมาชิกก่อนที่จะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาบวก ซึ่งเมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ ในรูปแบบดังกล่าว แล้วนำเวกเตอร์ผลลัพธ์มาทำในทำนองเดียวกันจะพบว่าจะอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์เมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์นั่นเองตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่แล้วเราสามารถทำได้ในรูปแบบดังกล่าวและบวกกันได้เป็น (1,0,0,1) + (1,0,0,1) = (0,0,0,0) ซึ่งในการบวก vector นั้นเราเพียงพอที่จะทำได้ง่ายโดยการนำมาทำการ XOR กันแบบบิตต่อบิตที่ดัชนีตรงกัน

จากดังกล่าวจะเห็นได้ชัดว่าปัญหาได้เล็กลง โดยพิจารณาปัญหาที่ว่าให้เซ็ตของเวกเตอร์ชี้กำลังที่อยู่ในรูป 0/1 เราจะหาเซ็ตย่อยที่สามารถบวกกันได้เป็นเวกเตอร์ศูนย์ได้อย่างไร จากดังกล่าวเราจะพิจารณาใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นนั่นคือการพิจารณาจาก ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์นั่นเอง กล่าวคือจะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาใส่ในแต่ละแถวของเมทริกซ์จากนั้นใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) ซึ่งจะสามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้นเนื่องจากเป็นเวกเตอร์ที่ถูกนำมาสมาชิกหารด้วยสองแล้วพิจารณาเพียงแค่เศษ ซึ่งจะพิจารณาได้เซตย่อยที่เป็นคำตอบในกรณีที่เวกเตอร์ภายในเซตย่อยเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

อย่างไรก็ตาม จะพบว่าเลขสุ่มบางเลขเมื่อพิจารณาเศษที่ได้จากการหารด้วย n ตามขั้นตอนก่อนหน้านี้ จะพบว่าอาจจะมีขนาดใหญ่มากและส่งผลให้เมื่อแยกตัวประกอบดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนมากซึ่งส่งผลโดยตรงทำให้เวกเตอร์ที่ได้มีขนาดยาวและเมทริกซ์ที่จะใช้ในการหาความเป็นอิสระเชิงเส้นนั้นมีขนาดใหญ่ ซึ่งการแก้ปัญหาดังกล่าวคือ ต้องหาค่า a ที่ทำให้ a2 mod n  สามารถแยกตัวประกอบแล้วได้จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนน้อย ซึ่งภายหลังจะเรียกว่าจำนวนนุ่มนวล (Smooth Numbers) ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์ชี้กำลังและเมทริกซ์มีขนาดเล็กลงแม้จะยากในการหาจำนวนดังกล่าวก็ตาม ซึ่งจากดังกล่าวเราจะหาจำนวนนุ่มนวลดังกล่าวโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการร่อนตะแกรง (sieving นั่นเอง) ซึ่งจะพิจารณากันต่อไป

ขั้นตอนวิธี 

จากที่ได้กล่าวไปแล้วในก่อนหน้านี้เราจะสรุปได้เป็นขั้นตอนดังต่อไปนี้
 เลือกค่าที่นุ่มนวลที่สุด B  (เกี่ยวข้องกับจำนวนนุ่มนวล Smooth Numbers) เพื่อพิจารณานำมาเป็นขอบเขต โดย π (B) หมายถึงจำนวนของจำนวนเฉพาะ (ที่ได้จากการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม) มีค่าน้อยกว่า B ซึ่งจำนวนดังกล่าวจะส่งผลโดยตรงต่อขนาดและจำนวนของเวกเตอร์ชี้กำลัง
 จากนั้นทำการร่อนตะแกรงเพื่อหา ai จำนวนทั้งหมด π (B)  + 1 ตัวเลขซึ่ง bi= (ai2 mod n เป็นจำนวนนุ่มนวลขนาด B (B-smooth)
 พิจารณาแยกตัวประกอบสำหรับแต่ละ bi แล้วนำมาทำเป็นเวกเตอร์ชี้กำลัง mod 2
 นำพีชคณิตเชิงเส้นมาใช้ในการพิจารณาเกี่ยวกับเซตย่อยของเวกเตอร์ที่ได้มาจากจำนวนที่มาจากการ่อนตะแกรง ว่าเมื่อนำเวกเตอร์เหล่านั้นมาบวกกันแล้วจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์หรือไม่ตามที่ได้กล่าวไว้แล้วในก่อนหน้านี้  จากนั้นเมื่อพบเซตย่อยที่ทำให้ได้รับคำตอบในส่วนดังกล่าวก็จะนำ ai  มาพิจารณาคูณกันทั้งหมดแล้วนำมาพิจารณาหาค่าเศษที่ได้จากการหารด้วย n โดยให้ค่าดังกล่าวเป็น a และพิจารณาในทำนองเดียวกับ bi ซึ่งจะพบว่าผลคูณยังคงอยู่ในรูปของจำนวนนุ่มนวลขนาด B
 จากก่อนหน้านี้เราจะพบว่าเราจะได้สมการคอนกรูเอนซ์ a2=b2 mod n จากนั้นเราจะพิจาณาหาค่าของ a, b 
 จากสมการคอนกรูเอนซ์ก่อนหน้านี้เราสามารถที่จะแปลงสมการดังกล่าวได้เป็น  นั่นคือเราจะพิจารณาคำนวณค่า หรม. ของผลต่างหรือผลรวมของ a, b กับ n ซึ่งค่า หรม. ดังกล่าวจะเป็นตัวประกอบหนึ่งของ n นั่นเอง ซึ่งอาจจะเกิดปัญหาในกรณีที่หรม.ที่หามาได้นั้นมีค่าเป็น n หรือ 1 ซึ่งก็จะต้องพิจารณาหาเลือกเซตย่อยเพื่อหาค่า a ค่าอื่นแทน 

ซึ่งในส่วนที่เหลือของบทความดังกล่าวจะกล่าวถึงรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมจากขั้นตอนวิธีดังกล่าวก่อนหน้านี้

การใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์ 
ในขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังนั้นจะอาศัยการหาคู่ตัวเลขของจำนวนเต็มระหว่าง x และ y (x)  ซึ่ง y (x)  คือฟังก์ชันของ x โดยจะเลือกเซตของจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า ฐานตัวประกอบ (factor base) ซึ่งจะหาค่า x ซึ่งคือเศษของน้อยสุดและเป็นบวกที่ทำให้ y (x)  = x2 mod n มีตัวประกอบทั้งหมดมาจากฐานตัวประกอบ ซึ่งจะเรียก x ตัวนั้นว่า นุ่มนวล (smooth) กับ ฐานตัวประกอบเหล่านั้น
โดยจากดังกล่าวขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองได้เพิ่มความเร็วโดยอาศัยหลักการที่จะหาความสัมพันธ์โดยการพิจารณาทำให้ x ที่มีค่าเข้าใกล้รากที่สองของ n ซึ่งทำให้มั่นใจได้มากขึ้นว่า y (x)  จะมีค่าเล็กขึ้น และเพิ่มโอกาสที่จะทำให้นุ่มนวลมากขึ้นด้วย

จากดังกล่าวจะเห็นว่าค่า y ว่ามีค่าประมาณ 2x[√n] อย่างไรก็ตามก็แดงให้เห็นว่าอัตราการเติบโตของ y นั้นเป็นเชิงเส้นกับ x เท่าของรากที่สองของ n
นอกจากนี้ยังจะพบว่ายังมีวิธีอื่นที่จะเพิ่มความนุ่มนวลเช่นกัน ซึ่งทำได้ง่ายโดยการเพิ่มขนาดของฐานตัวประกอบนั่นเองแต่ถึงอย่างไรนั้น ก็ยังเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องหาความสัมพันธ์ที่นุ่มนวลอย่างน้อยมากกว่าจำนวนฐานของตัวประกอบอยู่ดีเพื่อให้มั่นใจได้ว่ายังมีโอกาสที่จะเกิดอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ชี้กำลัง

ความสัมพันธ์เมื่อทำไปแล้วเพียงบางส่วน (Partial relation) และวงวน (Cycles) 
จากดังกล่าวเราจะพบว่าบางครั้ง y (x)  นั้นอาจจะไม่นุ่มนวลแต่ก็สามารถจะรวมความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนย่อย (partial relations) เหล่านั้นเข้าด้วยกัน เช่น ถ้า y สองค่าเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่เหมือนกันที่อยู่นอกเหนือจากฐานตัวประกอบ (แต่เท่ากับ ฐานตัวประกอบเมื่อถูกขยายแล้ว) ยกตัวอย่างเช่นมี ฐานตัวประกอบเป็น {2, 3, 5, 7} และ n = 91 เราจะได้ความสัมพันธ์ในส่วนย่อยดังนี้

โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันจะได้ดังต่อไปนี้

จากนั้นพิจารณาการคูณทั้งสองข้างด้วย (11−1) 2 modulo 91และจาก 11−1 modulo 91 มีค่าเป็น 58 ดังนั้น

โดยในการสร้างความสัมพันธ์แบบเต็มรูปแบบในแต่ความสัมพันธ์ที่เต็มรูปแบบจะถูกเรียกว่าวงวน (cycle)

การร่อนตะแกรง
พิจารณากระบวนการต่อไปนี้

ซึ่งจะเห็นได้ว่าได้ว่าเมื่อ y(x) ≡ 0 (mod p) สำหรับ x ใดๆที่ได้คำตอบจะพบว่า y ที่สอดคล้องกับค่าดังกล่าวนั้นจะหารด้วย p ลงตัวและจากดังกล่าวปัญหาที่เราทำคือการหารากที่สองของการมอดุลโลจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะพบว่ามีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพในการกระทำดังกล่าว เช่น ขั้นตอนวิธีของแชงค์และโทเนลลี่(Shanks–Tonelli algorithm)เป็นต้น
โดยในการร่อนตะแกรงนั้นจะเริ่มด้วยการให้ทุกๆสมาชิกในอาเรย์ A[] เป็นค่า 0 และสำหรับในแต่ละ p ของฐานตัวประกอบก็จะถูกนำมาแก้สมการกำลังสองมอดุลโล p ซึ่งจะให้คำตอบสองค่าคือα และ β จากนั้นก็จะให้ค่าประมาณ log(p) ให้กับสมาชิกที่มี y(x) = 0 mod p ซึ่งก็จะอยู่ในรูปแบบ A[kp + α] และ A[kp + β] นั่นเอง

ตัวอย่าง 
จากดังกล่าวเราจะอธิบายตัวอย่างพื้นฐานของการประยุกต์ใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง ในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม ซึ่งเรายกตัวอย่างตัวเลขที่มีขนาดเล็กก่อนกล่าวคือสามารถแก้ปัญหาได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้การลดรูปด้วยการลดรูปแบบลอการึทึมหรืออื่นๆ(logarithm optimization or prime powers)โดยตัวเลขจะนำมาแยกตัวประกอบคือ N = 15347 ซึ่งจะพบว่าค่าจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของจำนวนดังกล่าวคือ 124 และเนื่องจาก N มีค่าเล็กมาก จึงเพียงพอที่ใช้พหุนามในการหาคำตอบ ซึ่งจะใช้สมการกำลังสองดังกล่าวคือ y(x) = (x + 124)2 − 15347

การนำข้อมูลมาประมวลผล (Data processing)
เนื่องจาก N มีขนาดเล็กจึงเพียงพอที่จะใช้จำนวนเฉพาะเพียงแค่ 4 ตัวเพื่อเป็นฐานตัวประกอบ โดยจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรกที่  ยังคงหาค่าได้คือ ซึ่งจำนวน 2, 17, 23, 29 เฉพาะดังกล่าวจะใช้ในการร่อนตะแกรงเพื่อหาตัวประกอบนั่นเอง
เริ่มต้นด้วยการสร้างตะแกรงชื่อว่า  ของ

โดยเริ่มการร่อนตะแกรงสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะทั้ง 4 ตัวที่ได้มา โดยเลือกที่จะร่อนตะแกรงตัวเลข 0 ≤ X < 100 ของ Y(X) ดังต่อไปนี้

ขั้นตอนถัดไปเราจะพิจารณาปรับเปลี่ยนตะแกรงของเราโดยจะพิจารณาจำนวนเฉพาะ p ในฐานตัวประกอบของเราได้แก่  ในการแก้สมการ

เพื่อที่จะหาสมาชิกในตาราง V ว่ามีค่าใดบ้างที่หารด้วย p ลงตัว
โดยเริ่มต้นพิจารณาสำหรับ p = 2 นั่นคือ  ซึ่งจะได้คำตอบเป็น

ดังนั้น เมื่อพิจารณา X=1 และเพิ่มค่าทีละ 2 จะพบว่าค่าของสมาชิกที่ดัชนีดังกล่าวจะสามารถหารด้วย 2 ลงตัว
นั่นคือจะพิจารณาหารที่ดัชนีนั้นๆด้วย 2 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ 

 

ในทำนองเดียวกันกับจำนวนเฉพาะที่เราจะนำไปพิจารณาต่อที่เหลือคือ 
ซึ่งเมื่อทำในทำนองเดียวกันจะได้เป็น

 

โดยจะสังเกตเห็นได้ว่าเมื่อ p > 2 จะได้ค่าของคำตอบเชิงเส้นจำนวน 2 คำตอบ  ซึ่งสอดคล้องกับการใช้รากที่ 2 นั่นเอง
ในแต่ละสมการ  คำตอบใน  จะหารด้วย p ลงตัวเมื่อ x = a สำหรับแต่ละพหุคูณของ p นั่นคือเมื่อเราพิจาณาหารค่าสมาชิกใน V ที่ตำแหน่ง a, a+p, a+2p, a+3p,... สำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะที่เป็นฐานตัวประกอบเพื่อค้นหาจำนวนนุ่มนวลในคุณสมบัติที่ว่ามันต้องพบแต่ละจำนวนเฉพาะดังกล่าวไม่เกิน 1 ครั้งเท่านั้น

 

ซึ่งจากดังกล่าวดังนั้นเราจะพิจารณาเลือกสมาชิกใน V  ที่มีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งสอดคล้องกับการเป็นจำนวนนุ่มนวล จากตัวอย่างจะพบสามค่าบางส่วนที่มีคุณสมบัติดังกล่าว ได้แก่ , , and  ซึ่งมีค่าเป็น 1 ซึ่งจะสามารถทำเป็นตารางอธิบายได้ดังนี้

การนำข้อมูลมาประมวลผลผ่านเมทริกซ์ (Matrix processing)
เนื่องจากคุณสมบัติของ Smooth Number จึงสามารแก้ไขปัญหาได้ด้วยการใช้คุณสมบัติที่ว่า 
โดยเริ่มต้นในส่วนนี้เราจะเขียนค่าในเซตย่อยที่เราเลือกมาจากขั้นตอนที่แล้วมาเขียนรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เราพิจารณาใช้เป็นฐานตัวประกอบ ซึ่งจะได้ดังต่อไปนี้

 

จากนั้นพิจาณาเขียนในรูปเวกเตอร์ชี้กำลังตามที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้เพื่อที่จะนำมาใส่เมทริกซ์เพื่อพิจารณาแก้ปัญหาดังต่อไปนี้

 

ซึ่งจะพบว่าเราจะได้เมทริกซ์ S ดังกล่าวเป็น

 

นั่นคือจะได้ว่าผลคูณของค่าสามค่าในเซตย่อยดังกล่าวสามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสอง(mod N)ได้กล่าวคือ

 
และ
 

ซึ่งจากดังกล่าวเมื่อพิจารณาคูณทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์จะได้ว่า

 

ซึ่งจะได้ว่า GCD(3070860 - 22678, 15347) = 103 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 15347 และจะได้ตัวประกอบที่เหลือของ 15347 คือ 149

รหัสเทียม 
จากดังกล่าวจะพิจารณาอ้างอิงถึงรหัสเทียมที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหาตะแกรงกำลังสองดังต่อไปนี้
ซึ่งง่ายต่อการเข้าใจและอยากให้ผู้อ่านไปศึกษาเพิ่มเติมด้วยตัวเอง

ขั้นตอนวิธีที่ 1 วิธีการของตะแกรงของเอราโตสเทเนส (The Sieve of Eratosthenes)
 for i∈[2,B] do
  a[i] is unmarked
 end for
 for i ∈ [2,p] do
  if i is unmarked then
   for each multiple j of i ∈ [i + 1,√B]
    Mark a[j]
   end for
  end if
 end for
 return All unmarked a[i]
ขั้นตอนวิธีที่ 2 การตรวจสอบว่า N เป็นจำนวนนุ่มนวลขนาด B หรือไม่ โดยพิจารณาให้ PB เป็นเซ็ตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า B
 for i∈PB do
  while N mod i = 0 do
   N ← N mod i
  end while
 end for
 if N = 1 then
  return Is Smooth
 else
  return Not Smooth
 end if
ขั้นตอนวิธีที่ 3 เป็นการลบค่าของ p ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดออกจาก N
 //FactorOut(N,p)
 while N mod p = 0 do
  N ← N mod p
 end while
 return N
ขั้นตอนที่ 4 การร่อนตะแกรง
 B ← L(n)½
 pB ← SieveOfEratosthenes(B)
 for p ∈ pB do
  z ← N(p-1)/2 mod p
  if z = 1 then
   F ← F ∪ {p}
  end if
 end for
 ให้ I ประกอบไปด้วยช่วง [a, b] ขนาดใหญ่ หนึ่งช่วงสำหรับแต่ละระบบประมวลผล 
 for [a, b] ∈ I do
  for x ∈ [a, b] do
   R[x - a] ← x2 - N
  end for
  for p ∈ F do
   หาค่า s ซึ่งทำให้ s2= N mod p
   x ← a/pp
   while x - s ≤ b do
    if a < x - s < b then
     R[x - a] ← FactorOut(x - s, p)
    end if
    if a < x + s < b then
     R[x + a] ← FactorOut(x + s, p)
    end if
    x ← x + p
   end while
  end for
  for x ∈ [a, b] do
    if R[x] = 1 then
     L ← L ∪ {x}
    end if
  end for
 end for
 รวมทุกๆลีสต์ L จากทุกระบบประมวลผล

สรุป 
จากดังกล่าวเราจะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังสองนั้นเป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีสำหรับการแยกตัวประกอบของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ โดยสำหรับตัวเลขที่มี 40 หลักถึง 100 หลักจะพบว่าเป็นขั้นตอนวิธีที่มีความเร็วในการแยกตัวประกอบมากที่สุด แต่ยังเป็นอันดับสองในกรณีทีจำนวนเต็มที่ต้องการแยกตัวประกอบมีมากกว่า 100 หลัก
นอกจากนี้เรายังได้เห็นการลดรูปในหลายขั้นตอนเช่นการร่อนตะแกรงผ่าน (ax + b)2 - N  แทน x2 - N และเนื่องด้วยการลดปัญหาโดยใช้วิธีดังกล่าวทำให้เราสามารถแบ่งการแยกตัวประกอบผ่านเครือข่ายขนาดใหญ่ของคอมพิวเตอร์โดยใช้สมการพหุนามแค่สมการเดียว

อ้างอิง 

  Section 6.1: The quadratic sieve factorization method, pp. 227-244.

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Reference paper  มหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์แบนา-แชมเปญจน์

ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม