ทฤษฎีเซต

ทฤษฎีเซต เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซต แนวคิดพื้นฐานของเซตคือการรวบรวมวัตถุไว้ด้วยกัน ซึ่งได้พัฒนาเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แทบทุกอย่างในคณิตศาสตร์สามารถนิยามได้โดยใช้เซต

การศึกษาเซตเริ่มต้นโดย เกออร์ค คันทอร์ และ ริชารด์ เดเดคินด์ ในช่วงหลังของศตวรรษที่ 19 แต่ต่อมาพบว่าทฤษฎีเซตสามัญนั้นก่อให้เกิดปฏิทรรศน์ตามมา เช่น ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ จึงทำให้นักคณิตศาสตร์นิยามเซตผ่านระบบสัจพจน์แทน ระบบสัจพจน์ของเซตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดคือ ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล ทั้งแบบที่มีและไม่มีสัจพจน์การเลือก

ปัจจุบันทฤษฎีเซตถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แล้ว โดยเฉพาะทฤษฎีเซตในรูปแบบทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมด้วยทฤษฎีเซต ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ยังได้รับการวิจัยค้นคว้าอย่างต่อเนื่องจนถึงปัจจุบัน

ประวัติ 

ทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่ามีจุดเริ่มต้นจากเกออร์ค คันทอร์ ในขณะที่บุคคลที่มีอิทธิพลต่อคันทอร์คือ ริชาร์ด เดเดคินด์ บทความแรกของคันทอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตชื่อว่า สมบัติข้อหนึ่งของกลุ่มรวมจำนวนพีชคณิตทั้งหมด ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen") ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1874 ในบทความนี้คันทอร์พิสูจน์ว่า เซตของจำนวนพีชคณิตสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งได้กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ 

ทฤษฎีเซตในระดับพื้นฐานเป็นทฤษฎีที่ไม่ซับซ้อน และเป็นไปตามสามัญสำนึกของเราว่า เราสามารถสร้างเซตที่สมาชิกของเซตนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขใด ๆ ที่กำหนดขึ้นมาได้ แต่การศึกษาทฤษฎีเซตขั้นสูงพบว่า ข้อสมมตินี้ทำให้เกิดปฏิทรรศน์ในทฤษฎีเซต โดยปฏิทรรศน์ที่ทำให้เกิดปัญหามากและเป็นที่รู้จักคือ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์  ปฏิทรรศน์บูราลี-ฟอร์ติ และ ปฏิทรรศน์ของริชาร์ด จึงทำให้นักคณิตศาสตร์พยายามกำจัดปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้นโดยกำหนดสัจพจน์เป็นกฎเกณฑ์ว่าเซตแบบใดจึงจะสร้างขึ้นหรือมีอยู่ได้ เรียกว่า ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ที่นิยมศึกษากันมากที่สุดคือทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล (Zermelo–Fraenkel set theory) ซึ่งเรียกโดยย่อว่า ZF นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีเซตที่เป็นส่วนย่อยของ ZF ได้แก่
 ทฤษฎีเซตแซร์เมโล
 ทฤษฎีเซตทั่วไป
 ทฤษฎีเซตคริปเคอ-พลาเต็ก 
นักคณิตศาสตร์จำนวนมากนิยมทำงานกับทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล โดยมี สัจพจน์การเลือก (axiom of choice) เพิ่มเข้ามา  จึงเรียกทฤษฎีเซตนั้นว่า ZFC

ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิลเป็นการขยายทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมสัจพจน์การเลือกอย่างอนุรักษ์ โดยเพิ่มคลาสเข้ามาในทฤษฎี

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น 
 Handbook of Set Theory -- Edited by M. Foreman, A. Kanamori & M. Magidor.
 
 

 
วิธีการรูปนัย
คณิตตรรกศาสตร์