0.999...

ในทางคณิตศาสตร์ ทศนิยมซ้ำ 0.999... ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป  หรือ  มีค่าเท่ากับจำนวนจริง 1 หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งคือ "0.999..." เป็นการนำเสนอจำนวนเดียวกันกับสัญลักษณ์ "1"

หรือจะกล่าวอีกแบบก็คือ ทุกๆจำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำ (ที่ไม่ใช่ 0) จะสามารถเขียนได้สองรูปแบบ (เช่น 8.32 กับ 8.31999...)

การพิสูจน์ 

ซ.ต.พ.

การพิสูจน์เชิงพีชคณิต

การดำเนินการทางพีชคณิต 

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

หรือง่ายกว่านี้ :

หรือ

สมบัติของจำนวนจริง 
การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

เศษส่วน 
เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = 1

ดูเพิ่ม 
 ทศนิยมซ้ำ
 อนุกรมเรขาคณิต
 อนุกรมลู่เข้า
 อนุกรมอนันต์
 ลิมิต

ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์
จำนวนจริง
หนึ่ง