ระบบพิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลม () เป็นระบบพิกัดสามมิติที่กำหนดตำแหน่งของจุดโดยใช้ระยะทางจากจุดกำเนิด มุมเชิงขั้ว ที่วัดจากแกนอ้างอิง และมุมทิศ ที่วัดจากทิศอ้างอิงของภาพฉายบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน

ในบางที่ ใช้พิกัดมุมยก หรือละติจูด แทนมุมเชิงขั้ว

ระบบพิกัดทรงกลมใช้ได้ในหลายแขนงที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ เช่น ระบบพิกัดภูมิศาสตร์และระบบพิกัดทรงกลมฟ้า

แนวคิดของพิกัดทรงกลมเป็นการขยายระบบพิกัดเชิงขั้วมาใช้ในสามมิติ(ซึ่งทำได้สองวิธี อีกวิธีคือระบบพิกัดทรงกระบอก)สามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้น ได้เป็นพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์

นิยาม 
จุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดทรงกลมแสดงโดยสามสิ่งอันดับได้แก่

 รัศมี คือระยะห่างของ P จากจุดกำเนิด O

 มุมเชิงขั้ว คือมุมระหว่างแกนอ้างอิงกับเส้นตรง OP หรืออาจใช้ มุมยก คือมุมที่วัดจากระนาบอ้างอิงขึ้นมาหาเส้นตรง OP ซึ่งเท่ากับ 90 องศาลบด้วยมุมเชิงขั้ว
 มุมทิศ คือมุมที่คิดเครื่องหมาย ระหว่างทิศอ้างอิงและภาพฉายของ OP บนระนาบอ้างอิง

ตามปกติรัศมีจะแทนด้วย r หรือบางครั้ง ρ ส่วนพิกัดมุมทั้งสองมีการใช้สัญกรณ์ต่างกันไป โดยในวิชาคณิตศาสตร์มักใช้ φ แทนมุมทิศและ θ แทนมุมเชิงขั้ว (ซึ่งจะกลับกันกับในระบบพิกัดเชิงขั้วหรือทรงกระบอก) ส่วนในวิชาฟิสิกส์มักใช้ θ แทนมุมทิศและ φ แทนมุมเชิงขั้ว สัญกรณ์แบบฟิสิกส์นี้เป็นมาตรฐานที่แนะนำโดย ISO

ในการใช้ระบบพิกัดทรงกลมที่ r, θ, φ เป็นรัศมี มุมเชิงขั้ว และมุมทิศตามลำดับ เพื่อให้ทุกจุดมีพิกัดแบบเดียว จะต้องจำกัดขอบเขตของพิกัด โดยปกติมักให้ r ≥ 0, 0° ≤ θ ≤ 180° และ 0° ≤ φ < 360°

การแปลงระหว่างระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 
แกน z ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถือเป็นแกนอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม และแกน x ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แสดงทิศอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม ได้เป็นสูตรแปลงระบบพิกัดทรงกลม(สัญกรณ์แบบฟิสิกส์)ว่า

และ

ระบบพิกัดทรงกระบอก 
การแปลงระหว่างระบบพิกัดทรงกระบอก (รัศมี , มุมทิศ , ความสูง ) กับระบบพิกัดทรงกลม (รัศมี , มุมเชิงขั้ว , มุมทิศ ) มีสูตรว่า

และ

ระบบพิกัด