ยูเนียน

ยูเนียน () หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

นิยาม 

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

สมบัติ 
ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
 ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
 
 ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
 
 สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
 
 เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
 
 ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
 
 
 ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน

รูปแบบ

ยูเนียนจำกัด 
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต  ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

ยูเนียนไม่จำกัด 
อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย  หรือ  ดังนี้

การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์  หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

อ้างอิง 
 วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม 
 ผลต่างสมมาตร
 อินเตอร์เซกชัน
 ส่วนเติมเต็ม
 การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น 

 Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิต
ทฤษฎีเซต
การดำเนินการทวิภาค