สมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ

ปัญหาที่สำคัญหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม คือ อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร กล่าวคือ มีศักย์ที่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอนุภาคและจุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอนุภาคนั้น คือ อิเล็กตรอนและมีศักย์เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ปัญหานี้จะสามารถใช้อธิบายอะตอมหรือไอออนของไฮโดรเจน 

ในกรณีทั่วไป ฮามิลโตเนียนของอนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร เป็นไปตามสมการ

เมื่อ     คือ มวลของอนุภาค

         คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัม

         คือ พลังงานศักย์ ขึ้นอยู่กับ r เท่านั้น

ฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function และพลังงาน (Eigenvalues) สามารถหาได้จากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ โดยมีรูปทั่วไปใน 3 มิติ เป็น

ปกติที่ใช้กันมากในวิชาฟิสิกส์จะเป็นการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดฉากและพิกัดทรงกลม ซึ่งระบบพิกัดทรงกลมจะใช้ได้เหมาะสมมากกว่า เนื่องจากความเป็นทรงกลมสมมาตรของระบบ (อนุภาค) และวิธีหนึ่งที่จะช่วยในการแก้สมการได้สะดวกขึ้น คือ วิธีการแยกตัวแปร (Separation of variable)

อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร 

พิจารณาพิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ตามรูปด้าน

โดยระบุ ทิศทางของเวกเตอร์ r เป็นระยะทาง r จากจุดกำเนิด

          มุม θ (เซต้า) มีทิศทำมุมกับแกน Z 

           มุม φ (ฟี) โปรเจกชั่นของทิศทางบนระนาบ x-y มีทิศทำมุมกับแกน x

ซึ่งมีความสัมพันธ์กับพิกัดฉากตามสมการ

ดังนั้นจากสมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ (1) สามารถเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดทรงกลมได้เป็น

เมื่อ ตัวดำเนินการลาปราส () ในพิกัดทรงกลม เป็น

ใช้วิธีการแยกตัวแปร โดยกำหนดให้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ r คูณกับฟังก์ชันที่ขึ้นกับ θ และ φ ตามสมการ

หลังจากแก้สมการชเรอดิงเงอร์ตามสมการ (2) จะได้สมการทั้งหมด ดังนี้

เมื่อ 

โดย สมการ (3) เรียกว่า Radial equation

      สมการ (4) เป็นส่วนของ Angular equation

สมการในส่วนของมุม (Angular equation) 
พิจารณาส่วนของมุม (Angular) ตามสมการ (4) ซึ่งนักฟิสิกส์พยายามที่จะใช้วิธีการแยกตัวแปร เพื่อแยกตัวแปรเกี่ยวกับมุม ให้อยู่ในรูป แต่ไม่สามารถแยกตัวแปร  กับ  ให้เป็นอิสระต่อกันได้ และจากสมการ (4) จะได้
 
 
ได้คำตอบในส่วนของมุมเป็น 

โดย  และเรียก l ว่า Orbital angular momentum quantum number

  และเรียก m ว่า Magnetic quantum number

และเรียก  ว่า Spherical harmonics  ซึ่งจะมีสมบัติ Orthonormal ตามสมการ

สมการในส่วนของรัศมี (Radial equation) 
จากสมการ (3) เราจะสามารถแก้สมการได้ง่ายขึ้น ถ้าทำการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ 

จัดรูปใหม่จะได้ 

จะพบว่ามีรูปแบบเหมือนกับสมการชเรอดิงเงอร์ใน 1 มิติ ยกเว้นจะมีเทอมของศักย์ยังผล (Effective potential) เพิ่มเข้ามา

Orbital angular momentum 
ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม L หาค่าได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของตัวดำเนินการตำแหน่งของฟังก์ชันคลื่น r กับ ตัวดำเนินการโมเมนตัม p  ตามสมการ  ซึ่งจะคล้ายคลึงกับการนิยาม โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ดั้งเดิม

เนื่องจาก  

ดังนั้น จะได้

 

เมื่อ 

ถ้านำ  ไป operate กับ  จะได้ 

จะพบว่าในวงเล็บ () ของสมการ (6) จะตรงกับสมการ (4) โดยมี  เป็น eigenvalue เขียนสมการใหม่เป็น 

และถ้าพิจารณา L ในแนวแกน Z จะได้ 

ฟิสิกส์คณิตศาสตร์