ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rn  โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn  จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ 
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

ข้อความ

พิสูจน์ 
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ  (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน  ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า  เป็นลำดับมีขอบเขต ใน  โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป () จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน  ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด  ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่น 
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง  เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต  :เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า  เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ ) แล้วอินเตอร์เซคชัน  จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า  เป็นจุดเกาะกลุ่มของ 

กำหนดย่านใกล้เคียง  ของ  ใด ๆ มา  เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง ที่เป็นสับเซตแท้ของ   เนื่องจาก  บรรจุสมาชิกของ  เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ , ดังนั้น  บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ ทำให้ได้ว่า  เป็นจุดเกาะกลุ่มของ  ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ  ที่ลู่เข้า

ดูเพิ่ม 
 ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
 ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
 ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
 หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

อ้างอิง

บรรณานุกรม 
 
 

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
การวิเคราะห์เชิงจริง