กฎของเบนฟอร์ด

กฎของเบนฟอร์ด () หรือ กฎเลขโดดตัวแรก หมายถึง ความถี่การกระจายเลขโดดในหลายแหล่งข้อมูลในชีวิตจริง (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ในการกระจายนี้ ปรากฏว่าเลข 1 เป็นเลขหลักแรกมากถึงราว 30% ของทั้งหมด ขณะที่เลขมากกว่า 1 มีความถี่เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า โดยเลข 9 เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า 5% ของทั้งหมด กฎของเบนฟอร์ดยังว่าด้วยการกระจายคาดหมายของเลขโดดหลักอื่นด้วย ซึ่งมาใกล้การกระจายเป็นรูปแบบเดียวกัน

พบว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับชุดข้อมูลหลากหลาย รวมถึงใบแจ้งหนี้ไฟฟ้า ที่อยู่ถนน ราคาหลักทรัพย์ จำนวนประชากร อัตราตาย ความยาวแม่น้ำ ค่าคงตัวทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ และกระบวนการซึ่งอธิบายด้วยกฎเลขยกกำลัง ซึ่งพบได้บ่อย กฎของเบนฟอร์ดมีแนวโน้มแม่นยำที่สุดเมื่อค่ามีการกระจายตัวที่หลากหลายอันดับของขนาด  

กราฟที่แสดงขวามือแสดงกฎของเบนฟอร์ดสำหรับฐาน 10 มีนัยทั่วไปของกฎต่อจำนวนที่แสดงในฐานอื่น (เช่น ฐาน 16) และยังมีนัยทั่วไปตั้งแต่เลขโดดหลักแรกจนถึงเลขโดด n หลักแรก

กฎนี้ได้ชื่อตามนักฟิสิกส์ แฟรงก์ เบนฟอร์ด ซึ่งระบุใน ค.ศ. 1938 แม้ไซมอน นิวคอมบ์จะเคยระบุไว้ก่อนแล้วใน ค.ศ. 1881

นิยาม 
เซตของจำนวน เรียกว่าเป็นไปตามกฎของเบนฟอร์ด เมื่อหลักแรกสุด d มีการกระจายตามสูตรความน่าจะเป็น

ซึ่งคิดเป็นตัวเลขได้เป็น:

จากสูตรแสดงว่า โอกาส P(d) แปรผันตรงกับพื้นที่ระหว่าง d กับ d + 1 บนสเกลลอการิทึม ซึ่งตรงกับการที่ลอการิทึมของจำนวนมีการแจกแจงเอกรูป 

ตัวอย่างเช่น จำนวน x ใด ๆ ที่ 1≤ x < 10 จะขี้นต้นด้วย 1 ถ้า 1 ≤ x < 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า 9 ≤ x < 10 แต่จากการแจกแจงเอกรูปของลอการิทึม เราจึงคำนึงจากการที่ x ขี้นต้นด้วย 1 ถ้า log 1 ≤ log x < log 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า log 9 ≤ log x < log 10 ซึ่งช่วง [log 1, log 2] มีขนาดกว้างกว่า [log 9, log 10] มาก (0.301 กับ 0.046 ตามลำดับ) จึงมีโอกาสสูงกว่าที่ x จะขึ้นต้นด้วย 1

กฎของเบนฟอร์ดในฐานอื่น ๆ 
สูตรกฎของเบนฟอร์ดข้างต้น สามารถใช้ในฐาน b ≥ 2 ใด ๆ ได้โดยปรับลอการิทึมให้เป็นฐาน b เป็นสูตรทั่วไปว่า

ในกรณีฐานสอง กฎของเบนฟอร์ดกล่าวว่าทุกจำนวน (นอกจาก 0) ขึ้นต้นด้วย 1 ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นชัด

กฎของเบนฟอร์ดสำหรับหลักนอกเหนือจากหลักแรก 
กฎของเบนฟอร์ดสามารถใช้กับหลักแรกมากกว่าหนึ่งหลัก โดยโอกาสที่จำนวนจะขึ้นด้วยเลขหลายหลัก n คือ

เช่น โอกาสที่จำนวนจะขึ้นต้นด้วย 314 คือ 

จากสูตรนี้ สามารถหาความน่าจะเป็นของเลขโดดในตำแหน่งที่ไม่ใช่หลักแรกได้ เช่น โอกาสที่จำนวนใด ๆ จะมี 3 อยู่ในตำแหน่งที่สอง เท่ากับโอกาสที่จำนวนนั้นจะขึ้นต้นด้วยจำนวนใด ๆ ใน {13, 23, ...93} เท่ากับ

ในทำนองเดียวกัน โอกาสที่ d (d = 0, 1, 2, ...9) จะอยู้ในตำแหน่งที่ n เท่ากับ

ซึ่งเมื่อ n เพิ่มขึ้นการแจกแจงนี้จะขยับเข้าหาการแจกแจงเอกรูปอย่างรวดเร็วดังตาราง

อ้างอิง 

กฎทางสถิติศาสตร์
ทฤษฎีการแจกแจงความน่าจะเป็น