อสมการโคชี-ชวาร์ซ

อสมการโคชี-ชวาร์ซ ( บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์  อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

ประวัติ 
อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859   และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885

อสมการโคชี-ชวาร์ซ 

ให้  เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ 

โดยที่  คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า

 

โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ  และ  เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต,  และ  ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี  เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ  และ   อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

โดยที่ x1, ..., xn, and y1, ..., yn เป็นสมาชิกของเวกเตอร์  และ  

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

การพิสูจน์  

พิจารณา กรณี  จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี 
ถ้า  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ 
จากอสมการจะได้ว่า  

พบว่าถ้าแทน  ด้วย   แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง

อ้างอิง 

ค
ค
ค
ค