สมบัติการสลับที่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการสลับที่ () คือกระบวนการเปลี่ยนลำดับของบางสิ่ง โดยไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลง เป็นสมบัติเบื้องต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายชนิด และการพิสูจน์หลายอย่างก็ขึ้นอยู่กับสมบัตินี้

สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการพื้นฐาน อาทิการบวกหรือการคูณของจำนวน ถูกสมมติขึ้นโดยไร้ข้อกังขามาเป็นเวลายาวนาน และสมบัตินี้ไม่เคยมีการตั้งชื่อหรือการให้เหตุผลจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่นักคณิตศาสตร์เริ่มจัดระเบียบแบบแผนของทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์

การใช้ทั่วไป 
สมบัติการสลับที่ (หรือกฎการสลับที่) เป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทวิภาคและฟังก์ชัน และในทางเดียวกัน ถ้าสมบัติการสลับที่มีอยู่สำหรับสมาชิกคู่หนึ่ง ภายใต้การดำเนินการทวิภาคที่แน่นอนแล้ว เราจะกล่าวได้ว่าสมาชิกสองตัวนั้นสามารถสลับที่ (commute) บนการดำเนินการดังกล่าว

ในทฤษฎีกรุปและทฤษฎีเซต เราจะเรียกโครงสร้างเชิงพีชคณิตว่าเป็นโครงสร้างสลับที่ได้ (commutative) เมื่อมีตัวดำเนินการที่แน่นอนทำให้เกิดสมบัติการสลับที่ ในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไป เช่นคณิตวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงเส้น สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการที่รู้จักเป็นอย่างดี (อย่างการบวกและการคูณของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) มักจะมีการใช้งานมาก (หรือสมมติขึ้นมา) ในการพิสูจน์ต่าง ๆ

นิยาม 
คำว่า สลับที่ (commute) หรือ สลับที่ได้ (commutative) มีการใช้งานในหลายประเด็นดังนี้ 

 กำหนดการดำเนินการทวิภาค  บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก
  
 ส่วนการดำเนินการที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขด้านบน จะถือว่าเป็นการดำเนินการที่ สลับที่ไม่ได้ หรือ ไม่สลับที่ (non-commutative)
 เราอาจกล่าวได้ว่า x สามารถ สลับที่ กับ y ภายใต้การดำเนินการ  ถ้าหาก
   
 กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : A×A → B เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก

ตัวอย่าง

การดำเนินการสลับที่ได้ในชีวิตประจำวัน 
 การใส่รองเท้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ได้ เพราะไม่สำคัญว่าจะใส่รองเท้าข้างซ้ายหรือข้างขวาก่อน ผลสุดท้ายก็เหมือนกันคือได้ใส่รองเท้าทั้งสองข้าง
 ในการแลกเปลี่ยนเงินตรา เราสามารถใช้ประโยชน์จากสมบัติการสลับที่ของการบวก ซึ่งไม่สำคัญว่าเราจะแลกเปลี่ยนอะไรก่อน ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะรวมกันได้เท่าเดิม

การดำเนินการสลับที่ได้ในคณิตศาสตร์ 
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่มีสมบัติการสลับที่ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีได้แก่ 
 การบวกของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
 
 ตัวอย่างเช่น 4 + 5 = 5 + 4 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 9
 การคูณของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
 
 ตัวอย่างเช่น 3 × 5 = 5 × 3 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 15

ตัวอย่างการดำเนินการอื่น ๆ เช่น การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน การบวกของเวกเตอร์ อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต เป็นต้น

การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในชีวิตประจำวัน 

 การซักผ้าและการตากผ้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ไม่ได้ เพราะถ้าหากเราตากผ้าก่อนซักผ้า ผลลัพธ์จะต่างไปจากที่เราซักผ้าก่อนแล้วค่อยตาก
 ลูกบาศก์ของรูบิคไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น ถ้าหากบิดส่วนหน้าตามเข็มนาฬิกา ส่วนบนตามเข็ม และส่วนหน้าทวนเข็ม (FUF') หน้าบนลูกบาศก์จะให้ผลไม่เหมือนกับการบิดส่วนหน้าตามเข็ม และบิดทวนเข็มกลับ ตามด้วยส่วนบนตามเข็ม (FF'U) ลำดับการบิดลูกบาศก์ของรูบิคจึงสลับที่ไม่ได้ เป็นกรณีหนึ่งที่มีการศึกษาในทฤษฎีกรุป

การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในคณิตศาสตร์ 
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่ไม่มีสมบัติการสลับที่เช่น 
 การลบ เพราะว่า 0 − 1 ≠ 1 − 0
 การหาร เพราะว่า 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1
 การคูณของเมทริกซ์ เพราะว่า

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ 
 อาบีเลียนกรุป คือกรุปที่มีการดำเนินการของกรุป ที่สลับที่ได้ 
 ริงสลับที่ คือริงที่มีการคูณ ที่สลับที่ได้ (สำหรับการบวกนั้นสลับที่ได้อยู่แล้วตามนิยาม) 
 ในฟีลด์หนึ่ง ๆ ทั้งการบวกและการคูณสามารถสลับที่ได้

อ้างอิง

ดูเพิ่ม 
 สมบัติการสลับที่กลับเครื่องหมาย (anticommutativity)
 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
 สมบัติการแจกแจง

พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิตมูลฐาน
สมมาตร
การดำเนินการทวิภาค
หลักการสำคัญของฟิสิกส์
การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน