ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"

กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม  เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า  เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) ในกรณีที่สามเหลี่ยม  เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่  แล้วเส้นมัธยฐาน  จะตั้งฉากกับ  ในกรณีดังกล่าวทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียสจะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานสมมูลกับทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส ผ่านความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

พิสูจน์ทฤษฎีบท 
ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดูกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์

ให้สามเหลี่ยมมีด้าน  โดยมีเส้นมัธยฐาน  ลากไปด้าน  ให้  คือความยาวส่วนของด้าน  ที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นมัธยฐาน ดังนั้น  คือครึ่งหนึ่งของ  ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน  และเส้นมัธยฐาน  เป็น  และ  ตามลำดับ โดยที่  อยู่ในฝั่งที่มีด้าน  และ  อยู่ในฝั่งที่มีด้าน  ดังนั้น  มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ 

จากกฎของโคไซน์จะได้

นำสองสมการมาบวกกัน จะได้

อ้างอิง 

เรขาคณิตแบบยุคลิด
เรขาคณิตสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบทเรขาคณิต