ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันได คือฟังก์ชันบนจำนวนจริงซึ่งเกิดจากการรวมกันระหว่างฟังก์ชันคงตัวจากโดเมนที่แบ่งออกเป็นช่วงหลายช่วง กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะเป็นส่วนของเส้นตรงหรือรังสีในแนวราบเป็นท่อน ๆ ตามช่วง ในระดับความสูงต่างกัน

นิยาม 
ฟังก์ชัน f : R → R จะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นบันได ถ้าฟังก์ชัน f สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้
 สำหรับทุกจำนวนจริง x

เมื่อ n ≥ 0, αi เป็นจำนวนจริง (ค่าคงตัว), Ai คือช่วงต่าง ๆ และ χA คือฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) ของช่วง A นั่นคือ

ในนิยามเช่นนี้ ช่วง Ai ต่าง ๆ จะต้องมีสมบัติที่สมมติขึ้นสองประการดังนี้
 ช่วงต่าง ๆ จะต้องไม่มีส่วนร่วมต่อกัน นั่นคือ Ai ∩ Aj = ∅ โดยที่ i ≠ j
 ยูเนียนของช่วงทุกช่วง คือเซตจำนวนจริงทั้งเซต นั่นคือ ∪i Ai = R

ในกรณีที่สมบัติของฟังก์ชันเริ่มต้นไม่เป็นไปตามข้อสันนิษฐาน เช่นช่วงซ้อนกัน หรือยูเนียนแล้วแต่ไม่ครบเซตจำนวนจริง เราอาจเลือกช่วงใหม่ที่เทียบเท่าอันทำให้มีสมบัติดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันขั้นบันไดนี้

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

ซึ่งผลลัพธ์จากฟังก์ชันจะยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่าง 

 ฟังก์ชันคงตัวเป็นตัวอย่างอย่างง่ายของฟังก์ชันขั้นบันได ซึ่งประกอบด้วยช่วงเพียงช่วงเดียวคือ A0 = R
 ฟังก์ชันเฮฟวีไซด์ (Heaviside function) เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งที่สำคัญ เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการทดสอบสัญญาณไฟฟ้า เช่นที่ใช้ในการตอบสนองขั้นบันไดของระบบพลวัต
 ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันรถตู้แบบบรรทัดฐาน (normalized boxcar function) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันขั้นบันได ใช้เพื่อเป็นแบบจำลองของพัลส์หนึ่งหน่วย

ในทางตรงข้าม 
 ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็ม ไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดตามนิยามที่ระบุในบทความนี้ เพราะมีจำนวนช่วงขั้นเป็นอนันต์ (n → ∞) ไม่เป็นจำนวนจำกัด

สมบัติ 
 ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่างพีชคณิตขึ้นมาเหนือจำนวนจริง
 ฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง Ai ต่าง ๆ ซึ่ง i = 0, 1, …, n ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จะได้ว่า f (x) = αi สำหรับทุกค่าของ x ∈ Ai
 ปริพันธ์เลอเบกของฟังก์ชันขั้นบันได  คือ  เมื่อ  คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง Ai ทั้งหมดมีความยาวจำกัด ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก

อ้างอิง 

ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน