เหตุผลวิบัติของนักการพนัน

เหตุผลวิบัติของนักการพนัน  () หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า  เหตุผลวิบัติมอนตีคาร์โล  () เป็นความเชื่อผิด ๆ ว่า  ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นบ่อยกว่าปกติในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ เหตุการณ์นั้นก็จะเกิดขึ้นบ่อยครั้งน้อยลงในอนาคต  หรือว่า  ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นน้อยกว่าปกติในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ เหตุการณ์นั้นก็จะเกิดบ่อยขึ้นในอนาคต  เพื่อที่จะให้เกิดการสมดุลกัน
แต่ว่าถ้าสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นเหตุการณ์สุ่ม
คือเป็นการลองตามลำดับที่เป็นอิสระทางสถิติ  (statistical independent trial)  ของกระบวนการสุ่ม
แม้ว่าความเชื่อนี้จะดึงดูดใจ  แต่ก็จะไม่เป็นความจริง
เหตุผลวิบัตินี้เกิดขึ้นได้ในสถานการณ์จริง ๆ มากมาย
แต่มักจะมีการกล่าวถึงในเรื่องของการเล่นการพนัน  เพราะเป็นเหตุผลวิบัติที่คนเล่นการพนันมีโดยสามัญ

ส่วนคำบัญญัติว่า  "เหตุผลวิบัติมอนตีคาร์โล"  มีกำเนิดมาจากตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของเหตุผลวิบัตินี้  ซึ่งเกิดขึ้นในบ่อนกาสิโนมอนตีคาร์โลในปี ค.ศ. 1913

การโยนเหรียญ

เหตุผลวิบัติของนักการพนันจะเห็นได้ในการโยนเหรียญที่สมดุล  
ที่ผลที่ออกแต่ละครั้งจะเป็นอิสระทางสถิติจากกันและกัน  และค่าความน่าจะเป็นของการออกหัวในแต่ละครั้งจะเป็น  คือหนึ่งในสอง พอดี
ดังนั้น  ความน่าจะเป็นของการออกหัวสองครั้งต่อกันก็จะเป็น  (1 ใน 4) และของการออกหัวสามครั้งต่อกันก็จะเป็น  (1 ใน 8)
ฉะนั้นถ้าสมมุติว่า Ai เป็นเหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i ออกหัว  เราก็จะได้
.

ถ้าตอนนี้เราสมมุติว่า  เหรียญได้ออกหัวสี่ครั้งต่อกันแล้ว
และการโยนเหรียญครั้งต่อไปก็จะออกหัวเช่นกัน  ก็จะเป็นการออกหัวต่อกันถึง 5 ครั้ง
เนื่องจากว่า  ความน่าจะเป็นของการออกหัว 5 ครั้งต่อกันมีค่าแค่  (1 ใน 32)
ผู้เสี่ยงต่อเหตุผลวิบัติของนักการพนันอาจจะเชื่อว่า  การโยนเหรียญครั้งต่อไปมีโอกาสจะออกหัวน้อยกว่าออกก้อย
แต่จริง ๆ แล้ว  ความคิดนี้ไม่ถูก  และเป็นลักษณะปรากฏของเหตุผลวิบัตินี้
คือความจริงแล้ว  การออกหัว 5 ครั้งต่อกัน หรือว่าการออกหัว 4 ครั้งและออกก้อยต่อมา  มีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กัน
คือมีค่าที่  ถ้าออกหัวมาแล้ว 4 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการออกหัวในครั้งต่อไปก็คือ 
.

แม้ว่า  การออกหัว 5 ครั้งต่อกันมีความน่าจะเป็นเพียง  = 0.03125 แต่ว่า นั่นเป็นค่าความน่าจะเป็นก่อนที่จะมีการโยนเหรียญครั้งแรก
แต่หลังจากที่มีการโยนเหรียญมา 4 ครั้งแล้ว  ผลที่ได้ก็เป็นสิ่งที่รู้แล้วเกิดขึ้นแล้ว  จึงมีความน่าจะเป็นคือ 1
ให้สังเกตว่า  การคิดโดยเหตุผลที่ไม่ตรงกับความจริงว่า  มีโอกาสที่การโยนเหรียญครั้งต่อไปจะออกก้อยมากกว่าจะออกหัวโดยอาศัยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว  เท่ากับบ่งว่า  เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้วในอดีตจะมีอิทธิพลต่อความน่าจะเป็นของอนาคต  นั่นแหละคือเหตุผลวิบัติของนักการพนัน

คำอธิบายอีกอย่างหนึ่ง
เราสามารถเห็นจากวิธีการข้างบนว่า  ถ้าเราโยนเหรียญ 21 ครั้ง  ความน่าจะเป็นของการออกหัวทุกครั้งจะเป็น 1 ใน 2,097,152
แต่จริง ๆ แล้ว  ความน่าจะเป็นของการออกหัว  "หลังจากการโยนเหรียญที่ออกหัวต่อ ๆ กันถึง 20 ครั้ง" ก็ยังเป็นเพียงแค่ 
นี่เป็นการประยุกต์ใช้ Bayes' theorem

ความจริงนี้สามารถเห็นได้โดยไม่ต้องรู้ว่า  มีการออกหัว 20 ครั้งต่อ ๆ กันจริง ๆ (คือไม่ต้องประยุกต์ใช้ Bayes' theorem)
ลองพิจารณาถึงความน่าจะเป็นสองอย่างนี้คือ 
 ความน่าจะเป็นของการออกหัว 20 ครั้ง  แล้วออกก้อย = 0.520 × 0.5 = 0.521
 ความน่าจะเป็นของการออกหัว 20 ครั้ง  แล้วออกหัว = 0.520 × 0.5 = 0.521
ซึ่งก็คือ  ความน่าจะเป็นทั้งสองมีค่าเท่ากันที่ 1 ใน 2,097,152
ดังนั้น  จึงเป็นไปได้เท่า ๆ กันที่จะออกหัว 21 ครั้ง  หรือออกหัว 20 ครั้งแล้วออกก้อย 1 ครั้ง  ในการโยนเหรียญสมดุล 21 ครั้ง
ยิ่งไปกว่านั้น  นี่เป็นค่าความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ 21 ครั้งที่ได้ผลหัวก้อยอย่างอื่น ๆ ทั้งหมด (มีผลที่เป็นไปได้ 2,097,152 รูปแบบ)
จากข้อสังเกตเช่นนี้  ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่า  โชค (หรือความน่าจะเป็น) จะเปลี่ยนไปเนื่องจากผลที่เกิดขึ้นในครั้งก่อน ๆ 
เพราะว่า  ไม่ว่าเราจะเห็นผลที่เกิดขึ้นในอดีตก็ดี  ไม่เห็นก็ดี  ความน่าจะเป็นของการออกหัวก้อยครั้งต่อไปก็ยังเท่า ๆ กันอยู่  ถ้าเป็นเหรียญสมดุล
ดังนั้น  เหมือนกับที่ Bayes' theorem แสดงให้เห็นแล้ว  ผลของการโยนเหรียญแต่ละครั้งก็คือค่าความน่าจะเป็นพื้นฐานของการโยนเหรียญสมดุล ซึ่งก็คือ  นั่นเอง

ตัวอย่างอื่น ๆ 
ในประเทศที่ผู้เล่นลอตเตอรี่สามารถเลือกเบอร์เองได้  
ผู้เล่นบางท่านจะเลือกเลขเดียวกันทุก ๆ ครั้ง  หรือว่า  จงใจเลือกเบอร์ใดเบอร์หนึ่ง
แต่ความจริงแล้ว  เลขทั้งสองมีโอกาสเท่ากันในการถูกรางวัลของการจับรางวัลแต่ละครั้ง
นอกจากนั้นแล้วก็ยังมีการเลือกเอาเบอร์ที่ถูกมาก่อนแล้ว  
ซึ่งจริง ๆ ก็ยังมีโอกาสถูกเท่ากับเบอร์อื่น ๆ อีกเหมือนกัน
ฉะนั้น  ถ้าจะเลือกเบอร์ให้สมเหตุผลแล้ว  ควรจะเลือกเบอร์ที่ไม่ตรงกับที่ผู้อื่นเลือก
เช่นเบอร์ที่ต่ำ (ต่ำกว่า 31 หรือยิ่งกว่านั้นต่ำกว่า 12) มักจะเป็นที่นิยมเพราะคนมักจะเลือกวันเกิดเป็น "เลขนำโชค" ของตน
ดังนั้น  ถ้าเลขเหล่านั้นถูกรางวัลจริง ๆ คนที่เลือกเลขเดียวกันก็จะต้องแบ่งรางวัลโดยได้เท่า ๆ กัน

มีเรื่องตลกที่นักคณิตศาสตร์เล่าเพื่อแสดงเหตุผลวิบัตินี้  คือ  มีชายคนหนึ่งขึ้นเครื่องบินโดยพกระเบิดมาด้วยทุกครั้ง  เขาคิดว่า  "โอกาสที่จะมีคนเอาระเบิดมาขึ้นเครื่องบินมีน้อยมาก ดังนั้น โอกาสที่จะมีคน 2 คนเอาระเบิดมาขึ้นเครื่องบินแทบจะไม่มีเลย"
มีหนังสือนิยายเรื่องหนึ่งที่พระเอกในเรื่องตัดสินใจจะซื้อบ้านหลังจากมีเครื่องบินลำเล็กตกลงใส่บ้าน  โดยคิดว่า  โอกาสที่จะมีเครื่องบินอีกลำหนึ่งตกใส่บ้านหลังนั้นลดลงแทบจะเกือบศูนย์

เหตุผลวิบัติในด้านตรงข้าม
ถ้าเกิดการออกก้อยบ่อย ๆ นักการพนันอาจจะคิดว่า  มีเรื่องเหนือธรรมชาติอะไรอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นโชคหรือพรหมลิขิต  ที่ทำให้ออกก้อยบ่อย ๆ 
จึงไม่เห็นเหตุผลที่จะไปแทงหัว
นี่เป็นเหตุผลวิบัติเพราะเชื่อว่า  โลกเหมือนกับจะเก็บความจำอะไรบางอย่าง  เกี่ยวกับสิ่งที่เกิดในอดีต  ที่สามารถเปลี่ยนแปลงเหตุการณ์ที่จะเกิดในอนาคต
แต่ว่า  จะไม่เป็นเหตุผลวิบัติถ้าคิดเป็นเหตุผลว่า  ความโน้มน้าวไปทางใดทางหนึ่ง (เช่นในการออกก้อย) เป็นหลักฐานว่า  เหรียญนี้ไม่สมดุล

เหตุผลวิบัติอีกอย่างหนึ่งที่มีบัญญัติชื่อว่า inverse gambler's fallacy (เหตุผลวิบัติผกผันของนักการพนัน) หมายถึงเหตุการณ์ที่นักการพนันเห็นคนโยนลูกเต๋า 2 ลูกได้ 6 แต้มทั้งสองลูก  แล้วสรุปอย่างผิด ๆ ว่า  คน ๆ นี้ต้องโยนลูกเต๋ามาเป็นเวลานานแล้ว  เพราะว่า  มีโอกาสน้อยที่จะโยนได้ 6 แต้มทั้งสองลูก  ในการโยนครั้งแรก  ๆ

ข้อควรระวัง
ในการกล่าวถึงเหตุผลวิบัติของนักการพนัน  จะต้องสมมุติว่าเหรียญนั้นสมดุล  แต่ในโลกจริง ๆ ข้อสมมุตินี้อาจจะไม่ตรงกับความจริง

ดังนั้น  ถ้าเราโยนเหรียญสมดุล 21 ครั้ง  ความน่าจะเป็นของการออกหัวต่อกับ 21 ครั้งก็จะเป็น 1 ใน 2,097,152 (ดังที่กล่าวมาก่อนแล้ว)  และถ้าเหรียญนั้นสมดุลจริง ๆ ความน่าจะเป็นของการออกหัวในการโยนครั้งต่อไปก็จะเป็น 1/2 แต่ว่า ถ้าเราไม่รู้ความน่าจะเป็นจริง ๆ ของการออกหัวก้อย  ก็อาจเป็นไปได้ว่า  มีอิทธิพลอะไรบางอย่างที่ทำให้เหรียญออกหัวต่อ ๆ กัน  เช่นอาจจะมีการบังคับด้วยแม่เหล็กเป็นต้น 
ในกรณีนี้  หลักฐานแสดงว่า  มีความเอนเอียงที่เหรียญนี้จะออกหัว  คัดค้านข้อสมมุติทั่ว ๆ ไปว่าเหรียญมีความสมดุล
ดังนั้น  การแทงหัวก็จะเป็นสิ่งที่สมควร

การคลอดลูก
ตัวอย่างของเหตุผลวิบัติของนักการพนันในเรื่องของการคลอดลูก  เห็นได้เริ่มตั้งแต่ ค.ศ. 1796 
คือปีแยร์-ซีมง ลาปลัสได้เขียนวิธีที่คุณพ่อคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกชายไว้ว่า  

ซึ่งโดยย่อก็คือ  คุณพ่อในอนาคตกลัวว่า  ถ้ามีทารกชายเกิดขึ้นในชุมชนรอบ ๆ 
ก็จะทำให้ตนมีโอกาสที่จะได้ลูกสาวเพิ่มขึ้น

ส่วนอนาคตคุณพ่อคุณแม่บางพวกเชื่อว่า  หลังจากที่มีลูกเพศเดียวกันมาหลายคนแล้ว  ก็จะถึงกำหนดที่จะมีลูกเพศตรงกันข้ามบ้าง
แม้ว่าจะมีทฤษฎี (Trivers-Willard hypothesis) ที่พยากรณ์ว่า  เพศของเด็กที่เกิด  ขึ้นอยู่กับสภาพความเป็นอยู่  (คือเด็กชายจะเกิดในสภาพความเป็นอยู่ที่ดีมากกว่า  และเด็กหญิงจะเกิดในสภาพความเป็นอยู่ที่ไม่ดีมากกว่า)
แต่นักวิทยาศาสตร์โดยทั่ว ๆ ไปยังพิจารณาความน่าจะเป็นของเพศเด็กที่เกิดว่า  เกือบจะเท่ากัน

ตัวอย่างที่มอนตีคาร์โล
ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของเหตุผลวิบัตินักการพนัน  เกิดขึ้นในการเล่นรูเล็ตต์  ที่กาสิโนมอนตีคาร์โลในประเทศโมนาโก  เมื่อวันที่ 18 สิงหาคม พ.ศ. 2456 
เมื่อลูกรูเล็ตต์ตกลงในช่องดำถึง 26 ครั้งต่อ ๆ กัน
ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่  "ไม่สามัญอย่างยิ่ง"  แม้ว่า  จริง ๆ แล้ว  ก็สามัญเท่ากับลำดับการตกลงช่องต่าง ๆ กัน 26 ครั้งที่มีถึง 67,108,863 รูปแบบอื่น ๆ 
ในเหตุการณ์นี้  นักการพนันเสียทรัพย์เป็นล้าน ๆ ฟรังก์ (รูปแบบเงินของประเทศฝรั่งเศสในเวลานั้น) โดยแทงตรงข้ามกับสีดำ  โดยมีเหตุผลที่ผิดพลาดว่า  ลำดับตกช่องดำที่เกิดต่อ ๆ กันแล้วนั้นก่อ  "ความไม่สมดุล"  ให้กับล้อรูเล็ตต์  เพราะฉะนั้น  จะต้องมีลำดับตกช่องแดงต่อ ๆ มา

ตัวอย่างเทียม
มีสถานการณ์หลายรูปแบบที่เหตุผลวิบัติของนักการพนันดูเหมือนจะเป็นเรื่องตรงประเด็น  
แต่ว่าจริง ๆ แล้วไม่ตรง  ตัวอย่างแรกก็คือ  ในการตรวจดูกระแสข้อมูลบิตสุ่ม  การพบบิต 110 จะเร็วกว่าการพบ 111

เพื่อที่จะทำความเข้าใจ  ดูแผนภาพสถานะสองแผนตามไปด้วย  (ซ้ายสำหรับบิต-111 ขวาสำหรับบิต-110) ถ้าพบ 11 แล้ว (วงที่สาม) การได้ 1 หรือ 0 ต่อจากนั้นมีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กัน
แต่ถ้า 0 เป็นบิตต่อมา  บิต-111 จะต้องรอ 1 อีก 3 ตัวจึงจะจบ  แต่ถ้า 1 เป็นบิตต่อมา  บิต-110 จะต้องรอ 0 อีกตัวเดียวจึงจะจบ

ดังนั้น  แม้ว่าเหตุการณ์สุ่มในอดีตจะไม่สามารถกำหนดเหตุการณ์สุ่มในอนาคต  ลำดับการเกิดขึ้นบางอย่างอาจจะพบได้เร็วกว่าลำดับอื่น ๆ 
ตัวอย่างนี้ให้ความเข้าใจว่า  ทำไมลำดับที่มีรูปแบบยิ่งกว่า (เช่น 111) มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่าในสายอักขระที่ยาวแต่มีกำหนด (คือไม่ใช่สายที่ไม่มีที่สิ้นสุด)
และทำไมในเหรียญสมดุลที่ออกหัว (ห) และก้อย (ก) เท่า ๆ กัน  "โดยตรงกับประสบการณ์ของเรา  การเกิดขึ้นของ  หหหก  มีความน่าจะเป็นมากกว่า  หหหห  (แต่ว่าจะไม่มากกว่าถ้าเห็น  หหห  แล้ว)"

นอกจากนั้นแล้ว  เหตุผลวิบัติของนักการพนันประยุกต์ใช้ไม่ได้เมื่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แต่ละอย่างไม่มีความอิสระทางสถิติจากกันและกัน
ซึ่งก็คือ  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในอนาคตอาจเปลี่ยนไปได้ขึ้นอยู่กับว่ามีอะไรเกิดขึ้นในอดีต  (ดู การเรียงสับเปลี่ยน)
โดยรูปนัยแล้ว  จะมีการบ่งระบบเช่นนี้ว่า "มีความจำ"
ตัวอย่างง่าย ๆ อย่างหนึ่งก็คือ  ไพ่ที่จั่วออกจากสำรับไพ่โดยไม่ได้เติมแทนให้เต็ม
เช่น  ถ้ามีการจั่วเอซออกจากสำรับโดยไม่ได้คืน  การจั่วครั้งต่อไปมีโอกาสที่จะได้เอซน้อยกว่าที่จะได้ไพ่เบอร์อื่น ๆ 
คือ  ถ้าสมมติว่า  เป็นไพ่ใบแรกที่จั่ว  และไม่มีไพ่โจ๊ก  ความน่าจะเป็นที่จะจั่วได้เอซ
จะลดลงจาก  (7.69%) ไปยัง  (5.88%)
ในขณะที่ความน่าจะเป็นในการจั่วได้ไพ่เบอร์อื่น ๆ จะเพิ่มจาก  (7.69%) เป็น  (7.84%)
นี่เป็นปรากฏการณ์ที่สามารถทำให้นับไพ่ (เพื่อใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็น) ในการเล่นไพ่บางอย่างได้  (เช่น 21)

ตัวอย่างเทียม: เมื่อไม่ทราบความน่าจะเป็น
ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซ้ำกันเป็นเรื่องที่ไม่ทราบ  ผลที่เป็นไปได้ทุก ๆ อย่างอาจมีโอกาสเกิดขึ้นไม่เท่ากัน
เช่นในกรณีที่โยนเหรียญ  ถ้าการออกหัวยิ่งติดต่อกันนานเท่าไร  ความเป็นไปได้ว่าเหรียญนั้นมีความเอนเอียงที่จะออกหัวก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น
ถ้าเราโยนเหรียญ 21 ครั้งแล้วออกหัวทั้ง 21 ครั้ง
เราก็สามารถจะสรุปได้อย่างสมเหตุสมผลว่า  มีความน่าจะเป็นระดับสูงที่เหรียญนี้เอนเอียงไปในการออกหัว
และดังนั้นก็จะสรุปได้ว่า  การโยนเหรียญครั้ง ๆ ต่อไปมีโอกาสสูงที่จะออกหัวอีกเช่นกัน
จริงอย่างนั้น  เมื่อไม่รู้อัตราส่วนของผลที่จะเกิดขึ้น  ในลำดับเหตุการณ์ (เช่นการโยนเหรียญ) ในระยะยาว   แต่ถ้าสามารถอนุมานใช้ Bayesian inference โดยแสดงว่า  ความเอนเอียงที่จะเกิดขึ้นมีโอกาสเท่า ๆ กันที่จะเป็นไปทางด้านไหนก็ได้
และแสดงว่า  ผลที่ปรากฏในเหตุการณ์ครั้งก่อน ๆ ได้แสดงด้านที่น่าจะมีความเอนเอียง
ดังนั้น  ผลที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นมากที่สุดก็คือค่าสังเกตในข้อมูลที่เกิดขึ้นแล้วบ่อยที่สุด

การทำงานของจิตที่เป็นฐานของเหตุผลวิบัติ

แหล่งกำเนิด 
เหตุผลวิบัติเกิดขึ้นจากการวางนัยทั่วไปเร็วเกินไป 
ซึ่งก็คือความเชื่อที่ผิดพลาดว่า  ตัวอย่างที่มีน้อยสามารถเป็นตัวแทนของประชากรกลุ่มที่ใหญ่กว่าได้
คือ  ตามเหตุผลวิบัตินี้  ลำดับการเกิดเหตุการณ์ที่เกิดช้ำต่อ ๆ กันจะต้องเปลี่ยนไปอีกด้าน  เพื่อที่จะมีลักษณะเป็นตัวแทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยรวม ๆ ได้ 
ในปี ค.ศ. 1971 อะมอส ทเวอร์สกี้  และแดเนียล คาฮ์นะมัน เสนอเป็นครั้งแรกว่า  เหตุผลวิบัติของนักการพนันเป็นความเอนเอียงทางประชานที่เกิดขึ้นจากฮิวริสติกที่เรียกว่า representativeness heuristic (ฮิวริสติกโดยความเป็นตัวแทน)
ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เสนอว่า  เราประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างโดยประเมินว่าเหมือนกับเหตุการณ์ที่เคยประสบมาก่อนแค่ไหน 

โดยมุมมองนี้  "หลังจากที่ลูกรูเล็ตต์ตกลงในช่องแดงในล้อรูเล็ตต์ต่อ ๆ กันเป็นลำดับยาว...  คนโดยมากเชื่ออย่างผิด ๆ ว่า  การตกลงในหลุมดำต่อไปจะทำให้เป็นลำดับที่เป็นตัวแทน (ของเหตุการณ์สุ่ม) ที่ดีกว่าการตกลงในหลุมแดง" 
ดังนั้น  มนุษย์จะหวังว่า  ผลสุ่มในลำดับที่สั้น ๆ ควรจะมีลักษณะที่คล้าย ๆ กันกับลำดับที่ยาว  ๆ
ซึ่งก็คือ  ความต่างออกไปจากลักษณะเฉลี่ย  ควรที่จะมีการปรับให้สมดุล

เมื่อมีการให้ผู้ร่วมการทดลองสร้างลำดับที่คล้ายกับลำดับสุ่มของการโยนเหรียญ
ผู้ร่วมการทดลองมักจะทำลำดับที่อัตราส่วนของการออกหัวและก้อยใกล้กับค่า 0.5 ในลำดับสั้น ๆ กว่าที่จะปรากฏในลำดับสุ่มจริง ๆ (ซึ่งเป็นความเอนเอียงที่เรียกว่า  ความด้านต่อขนาดตัวอย่าง  หรือ  insensitivity to sample size) 
คาฮ์นะมันและทเวอร์สกี้ตีความปรากฏการณ์เช่นนี้ว่า  เราเชื่อว่าลำดับสั้น ๆ ของเหตุการณ์สุ่มควรจะเหมือนกับลำดับยาว  ๆ 
มีการใช้ฮิวริสติกโดยความเป็นตัวแทนเป็นคำอธิบายต่อปรากฏการณ์ที่คล้าย ๆ กันคือ  การแปลการจับกลุ่มผิด  (clustering illusion)
ที่เราเห็นลำดับต่อ ๆ กันของเหตุการณ์สุ่มว่าไม่ใช่เกิดจากความสุ่ม
ทั้ง ๆ ที่ความจริงแล้ว  ลำดับที่มีลักษณะอย่างนั้น  มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นเมื่อมีขนาดตัวอย่างที่น้อย  มากกว่าที่เราคาดคิด

ความเอนเอียงของนักการพนันอาจจะเป็นเหตุของความเชื่อผิด ๆ ว่า  การพนัน (หรือแม้แต่ความสุ่มเอง) เป็นกระบวนการที่ยุติธรรมสม่ำเสมอ  ที่จะเกิดการปรับคืนเมื่อมีลำดับซ้ำต่อ ๆ กัน  ซึ่งเป็นความเชื่อที่เรียกว่า  สมมุติฐานโลกยุติธรรม (just-world hypothesis) 
มีนักวิชาการอื่น ๆ ที่เชื่อว่า  บุคคลที่มีโลคัสควบคุมภายใน (internal locus of control) ซึ่งก็คือผู้ที่เชื่อว่าผลการพนันเป็นผลจากทักษะความสามารถของตน
จะมีโอกาสเสี่ยงต่อความเอนเอียงของนักการพนันมากกว่า  เพราะว่า  คนเหล่านั้นจะปฏิเสธไอเดียว่า  การเกิดโดยสุ่มสามารถเอาชัยต่อทักษะความสามารถหรือพรสวรรค์ได้

แบบอื่น ๆ 
นักวิชาการบางพวกเชื่อว่า  ความเอนเอียงนี้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ แบบ 1 และ แบบ 2
แบบหนึ่งเป็นแบบคลาสสิก  เมื่อบุคคลเชื่อว่า  ผลบางอย่างถึงกำหนดที่จะเกิดขึ้นหลังจากมีลำดับการเกิดซ้ำ ๆ ต่อ ๆ กันของผลอย่างอื่น 
แบบที่สองได้รับการกำหนดจากนักวิชาการอีกลุ่มหนึ่ง (Gideon Keren and Charles Lewis)
ที่เกิดขึ้นเมื่อนักการพนันประเมินจำนวนการสังเกตการณ์ที่จำเป็นต้องมี  เพื่อที่จะตรวจจับผลที่มีอัตราการเกิดสูงกว่าได้
(เช่น  การสังเกตล้อรูเล็ตต์เป็นระยะเวลาหนึ่ง  แล้วตัดสินเบอร์หลุมที่ลูกรูเล็ตต์ตกลงบ่อยที่สุด)
คือ  การจะตรวจจับความเอนเอียงที่ทำให้เกิดผลที่มีอัตราเกิดสูงกว่าได้จริง ๆ จะต้องอาศัยการสังเกตเหตุการณ์เป็นจำนวนมากกว่าที่ปกติจะทำกันได้  เป็นเรื่องที่ทำได้ยากถ้าจะทำได้จริง ๆ 
ดังนั้น เราจึงตกเป็นเหยื่อของความเอนเอียงประเภทที่ 2 
ความแตกต่างระหว่างสองแบบของความเอนเอียงก็คือ  แบบแรกมีข้อสมมุติที่ผิด ๆ ว่า  สถานการณ์และกระบวนการต่าง ๆ เป็นไปอย่างยุติธรรมและสมบูรณ์
ในขณะที่แบบสองมีข้อสมมุติว่า  ถ้ามีผลที่มีความเอนเอียง  ความเอนเอียงนี้จะสามารถตรวจจับได้ภายในชั่วระยะเวลา (สั้นเกินความจริง) หนึ่ง

ในอีกรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่า เหตุผลวิบัติย้อนหลังของนักการพนัน (retrospective gambler's fallacy) เกิดขึ้น  เมื่อเราตัดสินว่า  เหตุการณ์หนึ่งที่ดูเหมือนกับจะเกิดไม่บ่อย  ต้องเกิดขึ้นในลำดับเหตุการณ์ที่ยาวนานกว่าเหตุการณ์ที่ดูเหมือนจะสามัญกว่า
ยกตัวอย่างเช่น  ถ้าเห็นการโยนลูกเต๋า 3 ลูกได้ 6 แต้มทั้งสามลูก  เราจะเชื่อว่า  การโยนลูกเต๋าต่อ ๆ กันต้องเป็นไปแล้วยาวนานถึง 3 เท่ากว่าถ้าเห็นลูกเต๋าโยนได้ 6 แต้มสองลูก
ปรากฏการณ์นี้จะพบได้ทั้งเมื่อมีการสังเกตการณ์เป็นครั้ง ๆ หรือแม้เป็นลำดับ
ตัวอย่างจริง ๆ ก็คือว่า เมื่อเด็กวัยรุ่นเกิดตั้งครรภ์เพราะมีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกัน
เรามักจะมีข้อสมมติว่า  เธอได้มีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกัน  
มายาวนานกว่าผู้ที่มีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกันแต่ยังไม่ตั้งครรภ์

ความสัมพันธ์กับ  hot-hand fallacy 
ส่วนอีกมุมมองหนึ่งทางจิตวิทยาเสนอว่า  เหตุผลวิบัตินี้สามารถเห็นเป็นคู่ของความเห็นวิบัติโดยมือขึ้น (hot-hand fallacy) ที่พบในกีฬาบาสเกตบอล
ที่ผู้ชมมักจะพยากรณ์ผลตามเหตุการณ์สุดท้ายที่เกิดขึ้น (positive recency)
คือ  นักกีฬาหรือทีมที่พึ่งได้แต้ม  ก็จะได้แต้มต่อไป
แต่ในเหตุผลวิบัติของนักการพนัน  เราพยากรณ์ผลตรงข้ามกับเหตุการณ์สุดท้าย  (negative recency)
เช่น  เพราะลูกรูเล็ตต์ได้ตกลงในช่องดำ 6 ครั้งสุดท้าย  มันถึงกำหนดที่จะตกลงในช่องแดงต่อ ๆ ไป
นักวิชาการกลุ่มหนึ่งตั้งสมมติฐานว่า  เราพยากรณ์ผลบวกตามเหตุการณ์สุดท้ายเนื่องกับเหตุผลวิบัติโดยมือขึ้น  ก็เพราะว่า  เป็นเรื่องเกี่ยวกับสมรรถภาพของมนุษย์
ในขณะเดียวกัน  เราไม่เชื่อว่าสิ่งไม่มีชีวิตจะเกิดความ "ขึ้น" ได้  ดังนั้นจึงพยากรณ์ผลตรงข้ามเหตุการณ์สุดท้ายเนื่องกับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน 
คือ  เราไม่รู้สึกว่า  สมรรถภาพมนุษย์เป็นเรื่องสุ่ม  ดังนั้น  เราจึงคิดว่า มนุษย์จะทำให้เกิดลำดับซ้ำ ๆ เพราะเราเชื่อว่า  กระบวนการที่ทำให้เกิดผลไม่ใช่เป็นเรื่องสุ่ม 
แต่ว่า  นักวิชาการพบว่า  เมื่อเรามีเหตุผลวิบัติของนักการพนัน  ปรากฏกว่า  เรามีโอกาสมากกว่าที่จะมีเหตุผลวิบัติโดยมือขึ้นด้วย  
ซึ่งบอกเป็นนัยว่า  กระบวนการจิตวิทยาอันเดียวกัน  เป็นแหล่งกำเนิดของเหตุผลวิบัติทั้งสองอย่าง

ความแตกต่างระหว่างเหตุผลวิบัติทั้งสองก็พบด้วยในการตัดสินใจทางเศรษฐกิจ
มีงานวิจัยในปี ค.ศ. 2010 ที่ตรวจสอบเหตุผลวิบัติทั้งสองโดยออกแบบการทดลองเลียนแบบตลาดการเงิน
มีการให้ผู้ร่วมการทดลองทางเลือกสามทาง  คือให้แทงผลของการโยนเหรียญตามลำดับเอง  ให้แทงโดยใช้ความเห็นของ "ผู้เชี่ยวชาญ" ที่มีประวัติสุ่ม หรือให้เลือกเอาการลงทุนที่ไร้ความเสี่ยงแต่ได้ผลกำไรที่น้อยกว่า
มีผู้ร่วมการทดลอง 24% ที่เลือกใช้ความเห็นของผู้เชี่ยวชาญ โดยเลือกผู้เชี่ยวชาญที่มีประวัติความสำเร็จที่มือกำลังขึ้น
ถ้าผู้เชี่ยวชาญให้คำแนะนำถูก 78% ของผู้ร่วมการทดลองจะเลือกใช้ความเห็นผู้เชี่ยวชาญอีก  เทียบกับ 57% ถ้าผู้เชี่ยวชาญให้คำแนะนำผิด
ในการทดลองนี้  ผู้ร่วมการทดลองปรากฏเหตุผลวิบัติของนักการพนันด้วย  คือการเลือกไม่ว่าจะเป็นหัวหรือก้อย  จะลดลง  ถ้าสังเกตเห็นการเกิดซ้ำ ๆ กันของผลเช่นนั้น
ผลการทดลองนี้สนับสนุนทฤษฎีว่า  มนุษย์ให้น้ำหนักกับสมรรถภาพมนุษย์  มากกว่าให้กับกระบวนการที่เป็นไปโดยสุ่ม (ทั้ง ๆ ที่จริง ๆ แล้วได้ผลสุ่มเหมือนกัน)

สรีรภาพทางประสาท 
แม้ว่า  นักจิตวิทยาจะถือเอาว่า  representativeness heuristic  และความเอนเอียงทางประชานประเภทอื่น ๆ เป็นเหตุของเหตุผลวิบัติของนักการพนันบ่อยครั้งที่สุด
แต่ก็มีงานวิจัยที่เสนอว่า  มีองค์ประกอบทางประสาทที่เป็นเหตุด้วย
คือมีการพบโดยใช้การสร้างภาพสมองโดย fMRI ว่า  หลังจากเสียการพนัน  เครือข่ายประสาทในกลีบขมับด้านหน้า (frontoparietal network) จะเกิดการทำงาน  ซึ่งทำให้เกิดพฤติกรรมที่เสี่ยงยิ่งขึ้น
และมีการทำงานที่ลดระดับลงในอะมิกดะลา, caudate nucleus และ ventral striatum (ซึ่งเป็นส่วนของ ฺbasal ganglia)
แต่การทำงานของอะมิกดะลานั้นมีสหสัมพันธ์เชิงลบกับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน  คือยิ่งมีการทำงานเพิ่มขึ้นเท่าไร
บุคคลนั้นมีโอกาสที่จะตกเป็นเหยื่อของเหตุผลวิบัติน้อยลงเท่านั้น
ผลการทดลองบอกเป็นนัยว่า  เหตุผลวิบัตินี้อาศัยการทำงานของคอร์เทกซ์กลีบหน้าผากส่วนหน้า (prefrontal cortex) มากกว่า  เป็นเขตซึ่งมีหน้าที่เกี่ยวกับ executive functions และกระบวนการมีจุดมุ่งหมาย (goal-directed processes)  และอาศัยเขตสมองที่ควบคุมการตัดสินใจทางอารมณ์  (มีอะมิกดะลาเป็นต้น)  น้อยกว่า  

ความต้องการที่จะเล่นพนันต่อไปมีการควบคุมโดยเขตสมอง striatum (ซึ่งเป็นส่วนของ basal ganglia) ซึ่งมีหน้าที่อุปถัมภ์การเรียนรู้แบบขึ้นอยู่กับการเลือกกระทำและผลที่ได้  (choice-outcome contingency learning)
คือ  striatum จะประมวลความผิดพลาดของการพยากรณ์  และจะทำให้เกิดการเปลี่ยนพฤติกรรม
หลังจากการชนะ  พฤติกรรมจะเกิดการเสริมกำลัง  และหลังจากการแพ้  พฤติกรรมจะมีการปรับภาวะให้มีการหลีกเลี่ยง
ในบุคคลที่ปรากฏเหตุผลวิบัติของนักการพนัน  ระบบการเรียนรู้แบบนี้จะมีความเสียหาย  และผู้เล่นจะมีพฤติกรรมเสี่ยงต่อ ๆ ไปแม้ว่าจะแพ้ต่อ ๆ กันมาเป็นลำดับแล้ว

การแก้ปัญหา 
เนื่องจากเหตุผลวิบัตินี้เป็นความเอนเอียงทางประชานที่ฝังแน่น  ดังนั้นการกำจัดจึงเป็นเรื่องยากมาก
โดยทั่วไปแล้ว  การให้ข้อมูลเกี่ยวกับธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่ม  ไม่มีผลต่อการลดกำลังหรือกำจัดความเอนเอียงนี้
ในงานวิจัยยุคต้น ๆ ในปี ค.ศ. 1967 มีการใช้ไพ่สับที่แสดงรูปร่างเพื่อให้ผู้ร่วมการทดลองเดาว่า  จะจั่วได้รูปไหนในลำดับต่อไป
มีการให้ข้อมูลกับกลุ่มทดลองเกี่ยวกับธรรมชาติและความเกิดขึ้นของเหตุผลวิบัติของนักการพนัน
และมีการบอกไม่ให้พึ่งลำดับที่ผ่านมาแล้ว  ในการเดารูปร่างที่จะจั่วได้ 
ส่วนกลุ่มควบคุมไม่ได้รับข้อมูลนี้
ถึงกระนั้น  สไตล์การเดาของกลุ่มทั้งสองนั้นคล้ายกัน  ซึ่งบ่งว่ากลุ่มทดลองก็ยังเลือกอาศัยลำดับที่ผ่านมาแล้ว
จึงปรากฏชัดว่า  การให้ข้อมูลเรื่องเหตุการณ์สุ่ม  ไม่เพียงพอในการลดระดับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน

ความเสี่ยงต่อเหตุผลวิบัติของนักการพนันดูเหมือนจะลดลงตามอายุ
ในปี ค.ศ. 1997 มีการให้คน 5 กลุ่มตอบคำถาม คือนักเรียน ป.5 ม.1 ม.3 ม.5 
และนักศึกษามหาวิทยาลัยที่ศึกษาเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์
ผู้ร่วมการทดลองทั้ง 5 กลุ่มไม่เคยเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็นมาก่อน
คำถามคือ "รอนนี่โยนเหรียญ 3 ครั้งและออกหัวทั้ง 3 ครั้ง  รอนนี่ตั้งใจจะโยนเหรียญอีก  มีโอกาสเท่าไรที่จะออกหัวเป็นครั้งที่ 4"
ผลแสดงว่า  เมื่อนักเรียนเจริญวัยขึ้น  มีโอกาสน้อยลงที่จะให้คำตอบว่า "น้อยกว่าโอกาสที่จะออกก้อย" ซึ่งเป็นคำตอบผิดที่แสดงความเอนเอียงนี้
35% ของนักเรียน ป.5, 35% ของนักเรียน ม.1, และ 20% ของนักเรียน ม.3 ให้คำตอบที่ผิด
แต่มี 10% ของนักเรียน ม.5 เท่านั้นที่ให้คำตอบที่ผิด  และนักศึกษามหาวิทยาลัยก็ไม่แสดงปรากฏการณ์นี้เลย
ดังนั้นนักวิจัยจึงตั้งสมมติฐานว่า  แนวโน้มของบุคคลที่จะพึ่ง  representativeness heuristic  และความเอนเอียงทางประชานอื่น ๆ อาจจะข้ามได้เมื่อเจริญวัยขึ้น

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นการป้องกันล่วงหน้าอย่างหนึ่งมาจากแนวคิดของนักจิตวิทยาเกสทอลต์
ผู้เสนอว่า  เหตุผลวิบัติอาจจะกำจัดได้โดยการจัดกลุ่ม
คือ  เมื่อเหตุการณ์หนึ่งในอนาคต (เช่นการโยนเหรียญ) ปรากฏเป็นส่วนหนึ่งตามลำดับ  ไม่ว่าจะมีความสุ่มแค่ไหน  เราจะพิจารณาเหตุการณ์นั้นว่ามีความสัมพันธ์กับเหตุการณ์ในอดีตโดยอัตโนมัติ  ทำให้เกิดเหตุผลวิบัติของนักการพนัน
แต่เมื่อเราพิจารณาว่า  เหตุการณ์ทุกเหตุการณ์  เป็นอิสระต่อกันและกัน  เหตุผลวิบัตินี้จะมีการลดระดับไป
ในงานทดลองแนวเกสทอลต์นี้  มีการบอกผู้ร่วมการทดลองว่า  จะให้พนันการโยนเหรียญที่แบ่งออกเป็นสองชุด  แต่ละชุดมีการโยน 6 ครั้ง  หรือมีการโยน 7 ครั้ง
การโยนเหรียญครั้งที่ 4 5 และ 6 ล้วนแต่เกิดผลเช่นกัน  คือ หัว 3 ครั้ง  หรือก้อย 3 ครั้ง
ส่วนการโยนเหรียญครั้งที่ 7 มีการจัดกลุ่มเป็นท้ายสุดร่วมกับการโยนเหรียญชุดแรก  (สำหรับกลุ่มที่พนันชุดที่มีการโยน 7 ครั้ง) หรือเป็นต้นสุดร่วมกับการโยนเหรียญชุดที่สอง (สำหรับกลุ่มที่พนันชุดที่มีการโยน 6 ครั้ง)
ผู้ร่วมการทดลองมีเหตุผลวิบัตินี้ในระดับสูงสุดถ้าการโยนเหรียญครั้งที่ 7 จัดให้อยู่ท้ายสุดของชุดแรก
ทันทีหลังจากลำดับของการออกหัวหรือก้อย 3 ครั้งต่อ ๆ กัน
นอกจากนั้นแล้ว  ยังมีการชี้ให้ผู้ร่วมการทดลองเข้าใจว่า เหตุผลวิบัตินี้ฝังลึกได้ขนาดไหน  ผู้ร่วมการทดลองที่ไม่แสดงความเอนเอียงนี้ก็จะมีความมั่นใจน้อยลงในการแทง และทำการแทงน้อยครั้งกว่าผู้ร่วมการทดลองที่ปรากฏเหตุผลวิบัตินี้ 
แต่ว่า  เมื่อการโยนเหรียญครั้งที่ 7 มีการจัดให้อยู่ร่วมกับชุดที่สอง  (และดังนั้นผู้ร่วมการทดลองจึงไม่รู้สึกว่า  เป็นส่วนของเหตุการณ์ที่เกิดต่อซ้ำ ๆ กัน) เหตุผลวิบัตินี้จะไม่เกิดขึ้น

นักวิจัยจึงเสนอว่า  การแก้ปัญหานี้ก็คือ  แทนที่จะสอนคนแต่ละคนเกี่ยวกับธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่ม  ควรจะสอนให้ปฏิบัติต่อเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ว่าเป็นการเริ่มใหม่  ไม่ใช่เป็นการสืบต่อจากเหตุการณ์ก่อน ๆ 
นี้จะป้องกันไม่ให้ทำการพนันในเวลาที่กำลังเสียพนัน  โดยมีความหวังลม ๆ แล้ง ๆ ว่า  
โอกาสที่จะชนะของตนใกล้ถึงกำหนดที่จะเพิ่มขึ้น

ดู
 ฮิวริสติกโดยความเข้าถึงได้ง่าย

เชิงอรรถและอ้างอิง

การเงินเชิงพฤติกรรม
เหตุผลวิบัติโดยเหตุ
ศัพท์การพนัน
ปฏิทรรศน์ทางสถิติ
ความเอนเอียงทางประชาน
เหตุผลวิบัติโดยประเด็น