สมการเค็พเพลอร์

สมการเค็พเพลอร์ () เป็นสมการอดิศัยในทางกลศาสตร์วงโคจร ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง , มุมกวาดเฉลี่ย  และ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร  ในปัญหาเค็พเพลอร์ที่ใช้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

เมื่อแทนค่าความเยื้องศูนย์กลาง  ที่กำหนดโดยวงโคจรในสมการนี้ ตำแหน่งของดาวเคราะห์ในวงโคจรสามารถระบุได้โดยการหาค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง  ในรูปของฟังก์ชันของค่ามุมกวาดเฉลี่ย

ประวัติศาสตร์ 

ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา (, ดาราศาสตร์ใหม่) ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)
 สามเหลี่ยม  KHN +  เซกเตอร์  KHA  

โดยที่  คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้,  คือความเยื้องศูนย์กลาง และ  คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร T เขียนเป็น
 

หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย  แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย  เขียนสมการใหม่ได้ในรูป
 

ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า สมการเค็พเพลอร์

ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร  และ  ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี ) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า  และ  เราต้องแก้หาว่า  สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ  และ  ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย

การแก้ 
วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น
 

โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ  มีขนาดเล็ก

ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่  ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า
 

โดยในที่นี้  คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่

อ้างอิง 

วงโคจร
กลศาสตร์ท้องฟ้า
กลศาสตร์ดั้งเดิม
โยฮันเนิส เค็พเพลอร์