Transformasi Laplace

Transformasi Laplace nyaéta hiji téknik pikeun nyederhanakeun masalah dina hiji sistem anu ngandung asupan (input) sarta kaluaran (output), kalayan ngalakonan transformasi ti hiji domain ka domain séjénna.

Dina matematika wanda transformasi ieu mangrupa hiji konsép anu penting minangka bagian tina analisis fungsional, anu bisa mantuan dina ngalakonan analisa sistem invarian-waktu linier, kawas rangkéan éléktronik, osilator harmonik, pakakas optik sarta sistem-sistem mékanik. Ku cara nganyahokeun gambaran (déksripsi) matematika atawa fungsional basajan ti input atawa output hiji sistem, transformasi Laplace bisa méré  déeskripsi funsional alternatif anu sakapeung bisa nyederhanakan prosés analisis.

Dina sistem fisik sabenerna transformasi Laplace mindeng dianggap minangka hiji transformasi ti domain-waktu (di mana input sarta output dipikaharti salku fungsi tina waktu) ka domain-frékuénsi (di mana input sarta kaluaran kasebut ditempo salaku fungsi tina frékuénsi sudut kompléks, atawa radian pér hijian waktu. Transformasi ieu henteu ngan nyadiakeun cara dasar séjén pikeun mikaharti gawéna hiji sistem, tapi ogé sacara drastis ngurangan karumit itungan matematika anu diperlukeun dina nganalisis hiji sistem.

Transformasi Laplace ngabogaan peran penting dina aplikasi-aplikasi dina widang fisika, optik, rékayasa listrik, rékayasa kadali, pamrosésan sinyal.

Ngaran transformasi ieu dicokot tina ngaran Pierre-simon Laplace, saurang ahli matematika jeung astronomi anu ngagunakeun téknik transformasi ieu dina hasil karyanya. Sabenerna téknik ieu kapanggih saméméhna ku Leonhard Euler, saurang ahli matematika prolific Swiss dina abad kedelapanbelas.

Définisi formal 

Transformasi Laplace ti hiji fungsi f(t), anu ditetepkeun pikeun kabéh niléy t riil kalayan t ≥ 0, nyaéta fungsi F(s), anu ditetepkeun sabagé:

 F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Wates handap 0^- nyaéta kapondokan tina \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \ sarta mastikeun inklusi ti sakabéh fungsi bungin Dirac \delta (t) \ dina 0 lamun aya hiji impuls dina f(t) dina 0.

Sacara umum paraméter s boga ajén kompléks:

s = \sigma + i \omega \,

Wanda transformasi integral ieu ngabogaan sajumlah sipat anu ngajadikeun ieu transformasi kacida kapaké pikeun analisis sistem dinamik liniér. Kapinunjulan utama tina cara ieu téh nyaéta ngarobah prosés diferensiasi jadi pakalian sarta integrasi jadi babagian, kalawan ayana s (Hal ieu jiga fungsi logaritma anu ngarobah operasi pakalian sarta babagian jadi pajumlahan jeung kukurangan). Parobahan persamaan integral sarta diferensial jadi wangun polinomial nyederhanakan prosés ditimukeunana jawaban masalah.