Cramér-Rao inequality

Dina statistik, Ka-teusarua-an Cramér-Rao, ngaran keur ngahargaan ka Harald Cramér jeung Calyampudi Radhakrishna Rao, ngagambarkeun wates luhur dina présisi éstimator statistis, dumasar kana informasi Fisher.

Katangtuanna nyaéta informasi Fisher bulak balik, , paraméter , mangrupa wates handap variance paraméter éstimator unbiased (dilambangkeun ).

Dina sababaraha kasus, taya unbiased éstimator kapanggih dina wates handapna.

Cramér-Rao inequality disebut ogé Cramér-Rao bounds (CRB) atawa Cramér-Rao lower bounds (CRLB) sabab dicokot tina wates handap variance .

Bukti

Anggap variabel random X, mibanda probability density function f(x,θ).   Di dieu T = t(X) nyaéta statistic dipaké salaku estimator keur θ.  Lamun V mangrupa score, nyaéta

mangka expectation V, ditulikeun E(V), sarua jeung.  Lamun urang nganggap covariance cov(V, T) V sarta T urang mibanda cov(V, T) = E(VT) sabab ekspektasi V sarua jeung zero.  Ngalegaan tina rumus ieu urang mibanda

Ieu bisa dilegaan ku ngagunakeun identitas 

sarta harti ekspektasi nu dibérékeun, sanggeus nunda f(x; θ),

Ayeuna lamun turunan ditukerkeun ku integral, mangka ieu ngan sakadar turunan (wrt θ) tina ekspektasi t(X), atawa
 

Sabab T mangrupa unbiased, ekspektasi-na θ; we are left with 1.

Cauchy-Schwarz inequality nembongkeun yen

mangka dina kasus ieu

di mana I(θ) mangrupa Fisher information.  Ieu mangrupa kateusaruaan Cramér-Rao; aya di wates dina varian tina unbiased éstimators.

Efisiensi T dihartikeun ku

atawa varian minimum nu mungkin keur unbiased éstimator dibagi ku varian nu sabenerna.  Mangka wates handap Cramér-Rao dibérékeun ku e(T) ≤ 1.

Statistika