Konjektur abc

Konjetur abc atau konjektur Oesterlé–Masser ialah sebuah konjektur dalam teori nombor yang mula-mula diperkenalkan oleh Joseph  Oesterlé (1988) dan David Masser (1985) sebagai analog integer bagi teorem Mason–Stothers untuk polinomial. Konjektur ini dinyatakan dalam sebutan tiga integer positif yakni a, b dan c, yang faktornya tidak serupa dan memuaskan a + b = c. Jika d dianggap sebagai hasil darab faktor-faktor perdana berbeza bagi abc, konjektur ini menyatakan bahawa d mestilah lebih besar daripada c.

Pada bulan Ogos 2012, Shinichi Mochizuki telah mengeluarkan sebuah laporan dengan dakwaan dapat membuktikan konjektur abc. Mochizuki menamakan teori bagi asas kepada bukti tersebut sebagai teori Teichmüller antara semesta, dan ia mempunyai lain kegunaan termasuklah bukti bagi konjektur Szpiro serta konjektur Vojta.

Perumusan 
Konjektur abc boleh diungkapkan seperti berikut:
Bagi setiap ε > 0, hanya terdapat banyak terhingga tetiga integer positif seperdana a + b  c supaya c > d (1+ε), di mana d ialah hasil darab faktor-faktor perdana berbeza bagi abc.

Untuk menjelaskan sebutan-sebutan yang digunakan, jika 
a = 16 = 24, 
b = 17, dan 
c = 16 + 17 = 33 = 3·11, 
maka d = 2·17·3·11 = 1122, yakni lebih besar daripada c. Maka c lebih kecil daripada d(1+ε) bagi setiap ε dan a,b,c bukannya tetiga yang sebegini. Menurut konjektur ini, kebanyakan tetiga seperdana di mana a + b = c adalah seperti yang digunakan dalam contoh ini, dan cuma ada "sedikit" pengecualian pada mana c > d(1+ε).

Adding additional terminology:
Bagi integer positif n, radikal n, rad(n), ialah hasil tambah bagi faktor-faktor perdana berbeza n. Sebagai contoh

 rad(16) = rad(24) = 2,
 rad(17) = 17,
 rad(18) = rad(2·32) = 2·3 = 6.

Jika a, b, dan c adalah integer positif yang seperdana supaya a + b = c, "pada kebisaannya" c < rad(abc). The abc conjecture deals with the exceptions. Secara khusus, ia menyatakan bahawa untuk setiap ε>0 hanya ada banyak terhingga tetiga (a,b,c) integer positif seperdana dengan a + b = c supaya

An equivalent formulation states that for any ε > 0, there exists a constant K such that, for all triples of coprime positive integers (a, b, c) satisfying a + b = c, the inequality

holds.

A third formulation of the conjecture involves the quality
q(a, b, c) of the
triple (a, b, c), defined by:

 

Sebagai contoh,

 q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820…
 q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565…

A typical triple (a, b, c) of coprime positive integers with a + b = c will have c < rad(abc), i.e. q(a, b, c) < 1. Triples with q > 1 such as in the second example are rather special, they consist of numbers divisible by high powers of small prime numbers.

Konjektur abc menyatakan bahawa bagi setiap ε > 0, there exist only finitely many triples (a, b, c) of integer positif yang perdana secara relatif dengan a + b = c supaya q(a, b, c) > 1 + ε.

Whereas it is known that there are infinitely many triples (a, b, c) of coprime positive integers with a + b = c such that q(a, b, c) > 1, the conjecture predicts that only finitely many of those have q > 1.01 or q > 1.001 or even q > 1.0001, etc.

Rujukan 

Konjektur
Teori nombor