Kuasa dua sempurna

Dalam matematik, nombor kuasa dua sempurna ialah integer yang merupakan kuasa dua integer; dengan kata lain, ia adalah hasil darab suatu integer dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 9 ialah nombor kuasa dua sempurna, kerana ia sama dengan  dan boleh ditulis sebagai .

Notasi lazim kuasa dua nombor n bukanlah hasil darab , tetapi eksponen setara , biasanya disebut sebagai "n kuasa dua". Unit luas ditakrifkan sebagai luas unit persegi (). Oleh itu, segi empat sama dengan panjang sisi n mempunyai luas . Jika nombor kuasa dua diwakili oleh n titik, titik boleh disusun dalam baris sebagai segi empat sama setiap sisinya mempunyai bilangan titik yang sama dengan punca kuasa dua n.

Nombor kuasa dua sempurna besifat bukan negatif. Integer bukan negatif ialah nombor kuasa dua apabila punca kuasa duanya sekali lagi ialah integer. Sebagai contoh,  jadi 9 ialah nombor kuasa dua sempurna.

Integer positif yang tidak mempunyai pembahagi kuasa dua kecuali 1 dipanggil bebas kuasa dua.

Bagi integer bukan negatif n, nombor kuasa dua ke-n ialah , dengan  ialah nombor sifar. Konsep segi empat sama boleh diperluaskan terhadap beberapa sistem nombor lain. Jika nombor nisbah disertakan, maka nombor kuasa dua sempurna ialah nisbah dua integer kuasa dua, dan, sebaliknya, nisbah dua integer kuasa dua ialah nombor kuasa dua, sebagai contoh, .

Bermula dengan 1, ada  nombor kuasa dua hingga dan termasuk m, di mana ungkapan  mewakili lantai nombor x.

Contoh 
Nombor kuasa dua sempurna  lebih kecil daripada 602 = 3600 ialah: 02 = 0
 12 = 1
 22 = 4
 32 = 9
 42 = 16
 52 = 25
 62 = 36
 72 = 49
 82 = 64
 92 = 81 102 = 100
 112 = 121
 122 = 144
 132 = 169
 142 = 196
 152 = 225
 162 = 256
 172 = 289
 182 = 324
 192 = 361 202 = 400
 212 = 441
 222 = 484
 232 = 529
 242 = 576
 252 = 625
 262 = 676
 272 = 729
 282 = 784
 292 = 841 302 = 900
 312 = 961
 322 = 1024
 332 = 1089
 342 = 1156
 352 = 1225
 362 = 1296
 372 = 1369
 382 = 1444
 392 = 1521 402 = 1600
 412 = 1681
 422 = 1764
 432 = 1849
 442 = 1936
 452 = 2025
 462 = 2116
 472 = 2209
 482 = 2304
 492 = 2401 502 = 2500
 512 = 2601
 522 = 2704
 532 = 2809
 542 = 2916
 552 = 3025
 562 = 3136
 572 = 3249
 582 = 3364
 592 = 3481Perbezaan antara mana-mana kuasa dua sempurna dan pendahulunya diungkapkan dengan rumus . Secara setara, adalah mungkin untuk mengira nombor kuasa dua dengan menambah bersama kuasa dua terakhir, punca kuasa dua terakhir, dan punca semasa, iaitu, .

Sifat 
Nombor m ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya jika seseorang boleh menyusun m titik dalam segi empat sama:

Ungkapan bagi nombor kuasa dua ke-n ialah . Ini juga sama dengan jumlah nombor ganjil n pertama seperti yang boleh dilihat dalam gambar di atas, di mana nombor kuasa dua terhasil daripada yang sebelumnya dengan menambah bilangan mata ganjil (ditunjukkan dalam magenta). Sifat ini menuruti formula berikut:

 

Contohnya,  .

Ganjil genap 
Kuasa dua nombor genap adalah genap, dan boleh dibahagi dengan 4, kerana (2n)2 = 4n2. Kuasa dua nombor ganjil pula adalah ganjil, dan adalah kongruen dengan 1 modulo 8, kerana (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1, dan n(n + 1) sentiasa genap. Dengan kata lain, semua nombor kuasa dua ganjil mempunyai baki 1 apabila dibahagikan dengan 8.

Nota 

Teori nombor
Integer