Teorem asas aritmetik

Dalam teori nombor, teorem asas aritmetik, juga dikenali sebagai teorem pemfaktoran unik atau teorem pemfaktoran perdana unik, menyatakan yang setiap integer lebih daripada 1 adalah sama ada nombor perdana ataupun hasil darab beberapa nombor perdana, dan hasil darab ini, termasuklah kuasa faktor-faktor, adalah unik untuk semua nombor. Misalnya,

1200 = 24 × 31 × 52 = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = dll.

Teorem ini menyatakan dua perkara: pertama, bahawa 1200 boleh dinyatakan sebagai hasil darab nombor-nombor perdana, dan kedua, dengan cara apa sekalipun, akan sentiasa ada hanya empat angka 2, satu angka 3, dua angka 5, dan tiada nombor perdana lain dalam hasil darabnya.

Adalah perlu bagi faktor-faktor yang dinyatakan dalam teorem ini bersifat perdana: pemfaktoran dengan nombor gubahan boleh jadi tidak unik (misalnya, 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Teorem ini adalah salah satu sebab utama mengapa 1 tidak dikira sebagai nombor perdana: jika 1 adalah nombor perdana, pemfaktoran bagi sebarang nombor tidak akan menjadi unik kerana, sebagai contoh, 2 boleh sama dengan 2 × 1 dan 2 × 1 × 1 dan seterusnya.

Sejarah
Buku VII, proposisi 30 dan 32 Euclid's Elements adalah pada dasarnya pernyataan dan bukti bagi teorem asas ini.

Proposisi 30 juga dikenali sebagai lema Euclid, dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.

Proposisi 31 diterbitkan daripada proposisi 30.

Proposisi 32 diterbitkan daripada proposisi 31.

Artikel 16 Disquisitiones Arithmeticae Gauss adalah pernyataan dan pembuktian moden awal yang menggunakan aritmetik modular.

Aplikasi

Perwakilan kanonik integer positif
Setiap integer positif n > 1 boleh diwakilkan dalam hanya satu cara sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:

di mana p1 < p2 < ... < pk adalah nombor perdana dan αi adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa hasil darab kosong adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan k = 0).

Perwakilan ini dinamakan perwakilan kanonik untuk n, atau bentuk piawai bagi n.

Misalnya 999 = 33 × 37, 1000 = 23 × 53, 1001 = 7 × 11 × 13

Perhatikan bahawa faktor-faktor p0 = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai n (contohnya, 1000 = 23 × 30 × 53). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu hasil darab tak terhingga semua nombor perdana positif,

di mana sejumlah terhad ni adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, nombor-nombor nisbah positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.

Operasi aritmetik
Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, pembahagi sepunya terbesar (gcd) dan gandaan sepunya terkecil (lcm):

Namun, oleh sebab pemfaktoran integer bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.

Fungsi aritmetik

Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi bertambahan dan berdaraban ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.

Pembuktian
Pembuktian ini menggunakan lema Euclid (Elements VII, 30): jika satu nombor perdana p membahagi hasil darab dua nombor asli a dan b, maka sama ada p membahagi a atau p membahagi b (atau kedua-duanya).

Kewujudan
Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan n. Jika n adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer a dan b, di mana n = ab, dan 1 < a ≤ b < n. Melalui hipotesis aruhan, a = p1p2...pj dan b = q1q2...qk adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini n = ab = p1p2...pjq1q2...qk adalah hasil darab nombor-nombor perdana.

Keunikan
Andaikan yang s > 1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:

Kita perlu tunjukkan bahawa m = n dan qj adalah susunan semula pi.

Mengikut lema Euclid, p1 pasti membahagi salah satu daripada qj; labelkan semula qj jika perlu, katakanlah yang p1 membahagi q1. Tetapi q1 adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, p1 = q1, lantas

Menggunakan taakulan yang sama, p2 pasti sama dengan salah satu daripada qj yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah p2 = q2. Kemudian

Ini boleh dilakukan untuk setiap satu pi m, menunjukkan bahawa m ≤ n dan setiap pi ialah qj. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan  dan  diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa n ≤ m (oleh itu m = n) dan setiap qj ialah pi.

Nota

Rujukan
Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemah daripada bahasa Latin ke bahasa Inggeris dan Jerman. Edisi bahasa Jerman menyertakan semua hasil kerja beliau dalam teori nombor: semua pembuktian kesalingan kuadratik, penentuan tanda bagi hasil tambah Gauss, kajian berkenaan kesalingan bikuadratik, dan nota-nota yang tidak diterbitkan.
 
 

Dua monograf yang Gauss telah terbitkan berkenaan kesalingan bikuadratik mempunyai seksyen-seksyen yang dinomborkan secara berturutan: yang pertama mempunyai §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Nota-nota kaki yang merujuk monograf ini dinyatakan dalam bentuk "Gauss, BQ, § n". Nota-nota kaki yang menrujuk Disquisitiones Arithmeticae dinyatakan dalam bentuk "Gauss, DA, Art. n".
 
 

Semua ini terdapat dalam Werke Gauss, Jilid II, ms. 65–92 dan 93–148; terjemahan Jerman adalah dalam ms. 511–533 dan 534–586 dalam Disquisitiones edisi Jerman.
 
 
 
 
 .
 .
 
 
 
Teorem berkenaan nombor perdana
Teorem asas