Nisbah keemasan

Dalam matematik dan seni, dua kuantiti berada dalam nisbah keemasan sekiranya nisbah hasil tambah kuantiti-kuantiti itu kepada kuantiti yang lebih besar adalah setara dengan nisbah kuantiti yang lebih besar kepada kuantiti yang lebih kecil. Nisbah keemasan adalah pemalar matematik tak nisbah, bernilai lebih kurang 1.6180339887. Sebutan lain yang sering digunakan untuk nisbah keemasan adalah seksyen keemasan (Latin: sectio aurea) dan purata keemasan. Istilah lain yang biasa ditemui termasuklah nisbah lampau dan purata, seksyen pertengahan, perkadaran Ilahi, seksyen Ilahi (Latin: sectio divina), perkadaran keemasan, potongan keemasan, nombor keemasan, dan purata Phidias. Dalam rencana ini, nisbah keemasan diwakili oleh huruf kecil Yunani, phi ( ) , manakala angka silangannya  atau , diwakili oleh huruf besar Phi, ().

Rajah di sebelah kanan menunjukkan hubungan geometri yang mentakrifkan pemalar ini. Secara algebra diungkapkan sebagai:

Persamaan ini mempunyai satu penyelesaian positif dalam nombor tak nisbah algebra:

 

Sekurang-kurangnya sejak Renaissance, ramai artis dan arkitek menyeimbangkan karya-karya mereka kira-kira pada nisbah keemasan-terutamanya dalam bentuk segi empat tepat keemasan, yang nisbah sisi yang lebih panjang pada yang lebih pendek adalah nisbah keemasan- dengan memercayai perkadaran ini memberikan kesenangan estetik. Ahli matematik telah mengkaji nisbah keemasan kerana sifat-sifatnya unik dan menarik.

Pengiraan

Dua kuantiti a dan b dapat dikatakan berada dalam nisbah keemasan φ jika:

Persamaan ini dengan jelas mentakrifkan φ.

Pecahan di sebelah kiri dapat dialih kepada:

Pendaraban dengan φ menghasilkan

yang dapat disusun semula menjadi

Satu-satunya penyelesaian positif bagi persamaan kuadratik ini ialah

Sejarah

Nisbah keemasan telah mempesonakan intektual Barat dari pelbagai minat untuk sekurang-kurangan 2400 tahun. Menurut Mario Livio:

Ahli-ahli matematik Yunani Purba adalah yang pertama mengkaji apa yang kita panggil nisbah keemasan kerana kerap muncul dalam geometri. Pembahagian satu garisan kepada "nisbah yang lampau dan purata" (seksyen keemasan) adalah penting dalam geometri pentagram dan pentagon tetap. Orang Yunani lazimnya mengaitkan penemuan konsep ini dengan Pythagoras atau para pengikutnya. Pentagram tetap yang mmepunyai satu pentagon tetap yang tertera di dalamnya merupakan simbol pengikut Pythagoras.

Elements (bahasa Yunani: ) karangan Euclid memberikan takrifan bertulis yang pertama mengenai apa yang kini dinamakan sebagai nisbah keemasan: "Satu garisan lurus dikatakan terpotong dalam nisbah lampau dan purata apabila keseluruhan garisan itu pada bahagian yang lebih besar, begitu juga yang lebih besar pada yang kurang." Euclid menjelaskan binaan bagi pemotongan (pembahagian) satu garisan " dalam nisbah yang lampau dan purata", yakni nisbah keemasan. Di serata tempat dalam Elements, beberapa dalil (teorem dalam istilah moden) dan pembuktiannya menggunakan nisbah keemasan. Sebahagian dalil-dalil ini menunjukkan bahawa nisbah keemasan adalah nombor tak nisbah.

"Nisbah lampau dan purata" merupakan istilah utama yang digunakan dari kurun ke-3 SM hingga kurun ke-18 M.

Sejarah moden nisbah keemasan bermula dengan De divina proportione tulisan Luca Pacioli pada tahun 1509, yang memukau ramai pelukis, arkitek, ahli sains, dan ahli mistik dengan sifat-sifat nisbah keemasan.

Anggaran pertama yang diketahui mengenai (angka silangan) nisbah keemasan dengan pecahan perpuluhan, dinyatakan sebagai "kira-kira 0.6180340," telah ditulis pada tahun 1597 oleh Michael Maestlin dari University of Tübingen di dalam sepucuk surat kepada bekas pelajarnya Johannes Kepler.

Sejak kurun ke-20, nisbah keemasan telah diwakili oleh abjad Yunani Φ atau φ (phi, bersempena Phidias, seorang pengarca yang dikatakan telah menggunakannya) atau kurang lazim oleh τ (tau, huruf pertama Yunani Purba kata akar τομή—yang bererti potong).

Garis masa
Garis masa menurut Priya Hemenway.
 Phidias (490–430 SM) membina patung-patung Parthenon yang kelihatan mengandungi nisbah keemasan.
 Plato (427–347 SM), dalam Timaeusnya mengambarkan lima pepejal tetap yang mungkin (Pepejal Plato):tetrahedron, kubus, oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron, sesetengahnya yang berkait rapat dengan nisbah keemasan.
 Euclid (c. 325–c. 265 SM), dalam Elements, mencatatkan takrifan terawal nisbah keemasan yang disebutkannya sebagai "nisbah lampau dan purata" (bahasa Yunani: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).
 Fibonacci (1170–1250) menyebutkan siri nombor yang kini dinamakan sempenanya dalam Liber Abaci; nisbah bagi unsur-unsur berjujukan dalam nombor Fibonacci mendekati nisbah keemasan secara simptot.
 Luca Pacioli (1445–1517) mentakrifkan nisbah keemasan sebagai "perkadaran Ilahi" dalam bukunya, Divina Proportione.
 Johannes Kepler (1571–1630) membuktikan bahawa nisbah keemasan adalah batas bagi nisbah nombor Fibonacci yang berjujukan, dan menggambarkan nisbah keemasan sebagai "permata berharga": "Geometri mempunyai dua khazanah agung: satu adalah Theorem Pythagoras, dan yang satu lagi adalah pembahagian satu garisan kepada nisbah yang lampau dan purata; kita boleh bandingkan yang pertama untuk menyukat emas, manakala yang kedua untuk batu permata." Kedua-dua harta ini digabungkan dalam segitiga Kepler.
 Charles Bonnet (1720–1793) menyatakan bahawa terdapat dua siri Fibonacci berturutan yang kerap dalam filotaksis pilin bagi tumbuh-tumbuhan yang bergerak arah jam dan lawan arah jam.
 Martin Ohm (1792–1872) dipercayai menjadi orang pertama yang menggunakan istilah goldener Schnitt (seksyen keemasan) untuk menggambarkan nisbah ini pada tahun 1835.
 Edouard Lucas (1842–1891) memberi nama kepada jujukan nombor yang kini dikenali sebagai jujukan Fibonacci.
 Mark Barr (kurun ke-20) mencadangkan abjad Yunani phi (φ), huruf besar bagi nama pengarca Yunani Phidias sebagai satu simbol bagi nisbah keemasan.

 Roger Penrose (l.1931) menemui corak simetri yang menggunakan nisbah keemasan dalam bidang jubin tak berkala yang membawa kepada penemuan baru mengenai kuasikristal

Penggunaan dan pemerhatian

Estetik

De Divina Proportione, sebuah karya tiga jilid oleh Luca Pacioli telah diterbitkan pada tahun 1509. Pacioli, seorang rahib Franciscan, amat dikenali sebagai seorang ahli matematik, namun dia juga terlatih dan amat berminat dengan seni. De Divina Proportione menerokai matematik nisbah keemasan. Walaupun kerap dikatakan bahawa Pacioli mendukung penggunaan nisbah keemasan untuk memberikan perkadaran yang menyenangkan dan harmoni, Livio menegaskan bahawa penafsiran itu berdasarkan satu kesilapan pada tahun 1799, dan bahawa Pacioli sebenarnya mendukung sistem Vitruvian bagi perkadaran nisbah. Pacioli juga nampak kepentingan keagamaan Katolik dalam nisbah itu, yang menyumbang pada judul karyanya. Mengandungi gambarajah-gambarajah bongkah sekata oleh Leonardo Da Vinci, kawan lama dan rakan usaha sama Pacioli, De Divina Proportione memberi pengaruh besar terhadap generasi pelukis dan juga arkitek.

Senibina

Muka bangunan Parthenon dan juga unsur-unsur padanya dan tempat lain dikatakan oleh sesetengah orang diterap lilit oleh segiempat tepat keemasan. Sarjana-sarjana lain menafikan bahawa orang Yunani memiliki sebarang kaitan estetik dengan nisbah keemasan.
Contohnya, ujar Midhat J. Gazalé, "Bagaimana pun, sifat-sifat matematik nisbah keemasan tidak pernah dikaji sehinggalah zaman Euclid. Dalam buku Elements (308 SM), ahli matematik Yunani itu hanya menganggap nombor tersebut sebagai nombor tak nisbah yang menarik, dalam kaitan dengan nisbah-nisbah pertengahan dan melampau. Keberlakuannya dalam pentagon dan dekagon sekata telah diperhatikan seperti yang sepatutnya, begitu juga dalam dodekahedron (polihedron sekata dengan 12 mukanya adalah pentagon sekata). Perkara itu dapat menjadi contoh bahawa Euclid secara samar menyifatkan nombor tersebut sebagai apa yang sebenarnya ia tanpa mengaitkannya dengan selain daripada sifat-sifat sebenarnya, bertentangan dengan generasi-generasi mistik yang mengikut kemudian." Dan ujar Keith Devlin, "Pastinya dakwaan yang kerap didengari bahawa Parthenon di Athens berasaskan nisbah keemasan tidak disokong oleh pengukuran sebenar. Hakikatnya, keseluruhan cerita tentang orang Yunani dan nisbah keemasan kelihatan tidak mempunyai asas. Satu perkara yang kita ketahui dengan pasti ialah bahawa Euclid, dalam buku teks terkenalnya Elements yang ditulis sekitar 300 SM, menunjukkan cara mengira nilainya." Sumber-sumber sezaman terdekat seperti Vitruvius membincangkan sepenuhnya perkadaran-perkadaran yang dapat diungkapkan dalam keseluruhan nombor-nombor yakni setara sebagai bertentangan dengan perkadaran tak nisbah.

Satu analisis geometri pada tahun 2004 dari kajian awal mengenai Masjid Agung Kairouan mendedahkan penggunaan nisbah keemasan secara konsisten pada segenap rekabentuk menurut Boussora dan Mazouz. Mereka menemui nisbah-nisbah yang hampir dengan nisbah keemasan di dalam keseluruhan perkadaran pelan dan di dalam dimensi ruang solat, halaman dan menara azan. Bagaimana pun, para penulis tersebut mencatatkan bahawa kawasan-kawasan yang nisbahnya menghampiri nisbah keemasan ditemui bukan sebahagian daripada binaan asal, dan memberi teori bahawa unsur-unsur ini ditambah semasa pembinaan semula masjid itu.

Rujukan dan notakaki

Pautan luar

 "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 Geometry instruction with problems to solve.
  Information and activities by a mathematics professor.
 
 .

 
Nombor tak nisbah
Pemalar matematik
Geometri satah Euclid
Ciptaan orang Yunani
Teori seni tampak