Pelengkap (teori set)

Dalam teori set, pelengkap set , sering kali dilambangkan oleh  (atau ), adalah unsur yang bukan di .

Ketika semua set dalam pertimbangan dianggap menjadi subset diberikan set , pelengkap mutlak  ialah set unsur di , tetapi bukan di .

Pelengkap relatif  terhadap sebuah set , juga disebut beza set  dan , ditulis , adalah set unsur-unsur di  tapi bukan di .

Pelengkap mutlak

Takrifan 
Jika  ialah sebuah set, maka pelengkap mutlak ) ialah set unsur-unsur yang bukan di  (dalam sebuah set lebih besar yang secara implisit ditakrifkan). Dengan kata lain, misalkan  menjadi sebuah set yang berisi semua unsur-unsur yang diperhatikan, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan , sama ade kerana telah ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka pelengkap mutlak  ialah pelengkap relatif  di :

Atau secara formal:

.

Pelengkap mutlak  biasanya dilambangkan oleh . Notasi lainnya termasuk , , , dan .

Sebagai contoh, andaikan bahawa semesta ialah set nombor bulat. Jika  ialah set nombor ganjil, maka pelengkap  adalah set nombor genap. Jika  ialah set gandaan 3, maka pelengkap  ialah set bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, secara ringkasnya, nombor bulat bukan gandaan 3).

Sifat-sifat 
Andaikan  dan  menjadi dua set dalam sebuah semesta . Identiti berikut merangkumi sifat-sifat pelengkap mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:

 .
 .

 .
 .
 .
 .
 Jika , maka .

(ini diikuti daripada kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum pelengkap involusi atau ganda:

 .

Hubungan antara pelengkap mutlak dan relatif:

 .
 .

Hubungan dengan sebuah beza set:

 .

Dua hukum pelengkap pertama di atas menunjukkan bahawa jika  adalah sebuah set bukan kosong, subset , maka  ialah pemetakan .

Pelengkap relatif

Takrifan 
Jika  dan  ialah set, maka pelengkap relatif  dalam , juga disebut beza set  dan , adalah set unsur-unsur di  tapi bukan di .

Pelengkap relatif  di  dilambangkan  berdasarkan piawai ISO 31-11. Kadangkala, ini ditulis sebagai , tapi notasi ini bersifat samar kerana dalam beberapa konteks, ini dapat difahami sebagai set semua unsur , di mana  diambil dari  dan  diambil dari .

Secara formal:

.

Contoh 

 .
 .
 Jika  ialah set nombor nyata dan  ialah set nombor nisbah, maka  ialah set nombor bukan nisbah.

Sifat-sifat 
Andaikan , , dan  menjadi tiga set. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat penting pelengkap relatif:

 .
 .
 , dengan kes khusus penting  menunjukkan bahawa persilangan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi pelengkap relatif.
 .
 .
 .
 .
 .
 .

Hubungan pelengkap 
Sebuah hubungan binari  dapat ditakrifkan sebagai sebuah subset darab set . Hubungan pelengkap  merupakan pelengkap set  di . Pelengkap relatif  dapat ditulis

.

Di sini,  sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logik dengan baris mewakili unsur-unsur , dan unsur-unsur lajur . Kebenaran mengenai  berpadanan dengan 1 dalam baris , lajur . Menghasilkan hubungan pelenkap ke , kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 bagi matriks logik dari pelengkap.

Bersama dengan pelengkap relatif dan hubungan songsang, hubungan pelengkap dan algebra set merupakan operasi-operasi asas dalam kalkulus relatif.

Notasi LaTeX 
Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah \setminus biasanya digunakan dalam mewakili sebuah simbol beza set yang serupa dengan sebuah simbol garis palang terbalik. Ketika diucapkan, perintah \setminus terlihat serupa dengan \backslash, kecuali bahawa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang palang, sama dengan barisan LaTeX \mathbin{\backslash}. Sebuah varian \smallsetminus tersedia dalam pek amssymb.

Rujukan

Bibliografi

Pautan luar 

 
 
Operasi set