Indeks utama

Dalam matematik (dan khususnya dalam kombinatorik), indeks utama () dari sebuah pilih atur merupakan sebuah jumlah dari kedudukan penurunan permutasi. Dalam simbol, indeks utama dari permutasi  ialah

.

Contohnya, jika  diberikan dalam [[Permutasi#Notasi|notasi garis satu oleh  (iaitu,  ialah permutasi dari  sehingga , , dst.) maka  memiliki penurunan di kedudukan 2 (dari 5 sampai dengan 1) dan 4 (dari 6 sampai dengan 2) dan demikian .

Statistik ini dinamakan oleh Major Percy Alexander MacMahon yang ditunjukkan pada tahun 1913 bahawa sebaran dari indeks utama mengenai semua permutasi dari sebuah panjang tetap sama saja dengan sebaran balikan. Iaitu, jumlah permutasi panjang  dengan balikan  sama saja dengan jumlah permutasi panjang  dengan indeks utama sama dengan . (Bilangan-bilangan ini dikenali sebagai bilangan Mahon, juga untuk menghargai MacMahon.) Faktanya, sebuah hasil yang lebih kuat ialah benar: jumlah permutasi panjang  dengan indeks utama  dan balikkan  sama sahaja dengan jumlah permutasi panjang  dengan indeks utama  dan balikkan , iaitu, dua statistik adalah ekuisebaran. Contohnya, jumlah permutasi panjang 4 dengan indeks utama yang diberikan dan jumlah balikannya diberikan dalam jadual di bawah.

Rujukan 

 

Pilih atur