Teorem terakhir Fermat

Teorem terakhir Fermat ialah salah satu teorem dalam teori nombor. Ia pertama kali dikonjekturkan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 dalam nota di birai halaman satu salinan Arithmetica yang buktinya didakwa beliau terlalu besar untuk ditulis di birai tersebut. Tiada pembuktian yang berjaya diterbitkan sehingga tahun 1995 walaupun percubaan dibuat oleh ramai ahli matematik. Masalah yang tidak diselesaikan ini mencetus pembangunan teori nombor algebra pada kurun ke-19 dan bukti teorem kemodularan pada kurun ke-20. Teorem ini merupakan antara yang paling terkenal dalam sejarah matematik dan sebelum pembuktiannya pada tahun 1995, ia tersenarai di dalam Guinness World Records sebagai "masalah matematik yang paling sukar".

Konjektur Fermat 
Masalah II.8 di dalam Arithmetica bertanyakan bagaimana memecahkan nombor kuasa dua diberi kepada dua lagi nombor kuasa dua; dalam erti kata lain; untuk satu nombor nisbah k yang diberi, cari nombor nisbah u dan v yang membentuk persamaan k2 = u2 + v2. Diophantus menunjukkan bagaimana untuk menyelesaikan masalah penambahan nombor kuasa dua untuk k = 4 (penyelesaiannya ialah u = 16/5 and v = 12/5).

Sekitar tahun 1637, Fermat menulis teorem terakhirnya pada birai salinan Arithmetica miliknya, bersebelahan dengan penyelesaian Diophantus:

Dalam erti kata lain, konjektur ini menyatakan:

Untuk n > 2, tiada integer positif x, y, dan z yang dapat melengkapi persamaan

Penyelesaian 
Fermat tidak meninggalkan bukti konjektur bagi semua n, tetapi beliau telah membuktikan kes khas n = 4. (kes ini bagaimanapun telah lama dibuktikan oleh Leonardo Fibonacci pada tahun 1225 dalam karyanya Liber quadratorum, dan fakta ini sering dilupakan dalam perbincangan tentang teorem terakhir Fermat.) Ini telah mengurangkan masalah kepada pembuktian teorem untuk eksponen n yang merupakan nombor perdana. Untuk dua kurun berikutnya (1637-1839), konjektur ini telah dibuktikan hanya untuk nombor perdana 3, 5, dan 7, manakala Sophie Germain membuktikan kes khas untuk semua nombor perdana di bawah 100. Pada pertengahan kurun ke-19, Ernst Kummer membuktikan teorem untuk kelas nombor perdana yang besar (mungkin juga tak terhingga) yang dikenali sebagai nombor perdana biasa. Berdasarkan hasil kerja Kummer dan penggunaan komputer, ahli matematik lain berjaya membuktikan konjektur ini untuk kesemua nombor perdana ganjil sehingga empat juta.

Bukti terakhir konjektur untuk semua n muncul pada penghujung kurun ke-20. Pada tahun 1984, Gerhard Frey mencadangkan pendekatan pembuktian melalui konjektur kemodularan untuk keluk eliptik. Berdasarkan hasil kerja Ken Ribet, Andrew Wiles berjaya membuktikan konjektur kemodularan yang cukup untuk membuktikan teorem terakhir Fermat, dengan bantuan Richard Taylor. Pencapaian Wiles dilaporkan di akhbar terkenal, dan dipopularkan dalam buku dan rancangan televisyen.

Rujukan

Pautan luar 
 
 
  A blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Pierre Fermat to Andrew Wiles.
  Discusses various material which is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
  The story, the history and the mystery.
 
 
 
  The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
  Edited version of ~2,000-word essay published in Prometheus magazine, describing Andrew Wiles's successful journey.
  Simon Singh and John Lynch's film tells the enthralling and emotional story of Andrew Wiles.

Konjektur
Teorem