Nombor kompleks

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk:

 

di mana a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan.  bersamaan dengan .  dipanggil bahagian nyata nombor itu, dan  dipanggil bahagian khayalan. Nombor nyata boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan , manakala nombor khayalan pula boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan .

Contohnya,  ialah sebuah nombor kompleks dengan bahagian nyata 3 dan bahagian khayalan 2. Katakan , bahagian nyatanya ditulis  atau , manakala bahagian khayalannya ditulis  atau .

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab dan dibahagi seperti nombor nyata, tetapi dengan sifat lain. Contohnya, nombor nyata sendiri tidak boleh memberi jawapan untuk semua persamaan polinomial, manakala nombor khayalan boleh.

Dalam beberapa bidang (terutamanya kejuruteraan elektrik) di mana i ialah simbol untuk arus elektrik, unit khayalan ditulis j.

Kesamaan

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Dalam kata lain, jika dua nombor komples ditulis sebagai  dan  dengan , , , dan  adalah nyata, maka kedua-dua nombor itu adalah sama jika dan hanya jika  dan .

Operasi-operasi

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab, dan dibahagi dengan mengenakan hukum-hukum kalis sekutuan, kalis tukar tertib, dan kalis agihan, serta persamaan :

Campur

Tolak

Darab

Bahagi

di mana  dan  bukan sifar. Ini diperoleh dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut , iaitu .

Konjugat

Konjugat untuk nombor kompleks  z = a + ib adalah z' = a - ib
 Z' = Z
 (Z1+ Z2)' = Z'1 + Z'2
 (Z1.Z2 )'  =  Z1' .Z2'
 (Z1 / Z2 )' = Z'1 / Z2 '

Rujukan

Rujukan matematik

Rujukan sejarah

 
A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
 
An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

 
Matematik asas