Urutan pengiraan

Dalam bidang matematik dan pengaturcaraan komputer, urutan pengiraan (boleh dikenali sebagai keutamaan pengiraan, susunan pengiraan atau tertib pengiraan) merupakan satu himpunan aturan-aturan yang mencerminkan kelaziman tentang langkah-langkah yang mana satu perlu didahulukan untuk mencerakin satu ungkapan matematik tertentu.

Contohnya, dalam bidang matematik dan kebanyakan bahasa aturan komputer, pendaraban diberikan keutamaan terlebih dahulu berbanding penambahan, dan kaedah seperti ini telah pun mantap diasaskan sejak pengenalan tatatanda algebra moden. Oleh itu, ungkapan  secara lalainya ditafsirkan sebagai , dan bukan  . Apabila ungkapan eksponen diperkenalkan pada abad ke-16 dan ke-17, ia diberi keutamaan berbanding penambahan dan pendaraban, dan boleh diletakkan hanya sebagai superskrip di sebelah kanan nombor asasnya. Maka wujudlah ungkapan  dan .

Kelaziman ini wujud untuk menghapuskan ketaksaan tatatanda, di samping membenarkan sesuatu tatatanda menjadi sesingkat yang mungkin. Jika ada keperluan untuk mengatasi urutan tatatanda, atau sekadar untuk menekankan kepentingan urutan tersebut, tanda kurung ( ) boleh digunakan. Contoh,  memaksa penambahan untuk mendahului pendaraban, manakala  memaksa penambahan untuk mendahului eksponen. Jika berbilang pasangan kurungan diperlukan dalam ungkapan matematik, kurungan biasa boleh digantikan dengan kurungan siku atau kurungan dakap untuk mengelakkan kekeliruan, contohnya seperti  .

Istilah 
Urutan pengiraan, yakni ketertiban yang wajib dituruti dalam pengiraan sesuatu formula digunakan di seluruh bidang matematik, sains, teknologi dan pelbagai bahasa pengaturcaraan komputer. Aturan susunan adalah seperti berikut:

 Subungkapan kurungan
 Pengeksponenan
 Pendaraban dan Pembahagian
 Penambahan dan Penolakan

Maksud di sini adalah untuk mencerakin sesuatu ungkapan, seseorang terlebih dahulu perlu mencerakin mana-mana subungkapan yang ada di dalam kurungan, mengikut turutan dari dalam ke luar jika terdapat lebih daripada satu set kurungan. Sama ada berada di dalam kurungan ataupun tidak, pengiraan pada aras turutan yang lebih tinggi berdasarkan senarai di atas hendaklah diutamakan dahulu.

Aturan tukar tertib dan sekutuan bagi kiraan penambahan dan pendaraban membenarkan faktor-faktor tambahan and gandaan dalam sebarang susunan—tetapi operasi bercampur pelbagai aras urutan mesti mematuhi urutan operasi standard tersebut.

Pembahagian yang digantikan dengan pengiraan salingan (penyongsangan berdaraban) serta penolakan yang digantikan dengan penambahan nilai negatif (penyongsangan berdaya tambah) adalah berguna dalam sesetengah konteks. Contohnya, dalam bidang Sebagai contoh, dalam bidang algebra komputer, penyongsangan tersebut membolehkan seseorang mengendalikan bilangan operasi dedua yang lebih sedikit dan meringkaskan kerja pemudahan ungkapan yang lebih besar menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan. Makanya ; yang bermaksud hasil bahagi 3 dengan 4 bersamaan dengan hasil darab 3 dengan . Hal ini sama juga untuk operasi ; yang bermaksud nilai beza antara 3 dan 4 bersamaan dengan hasil tambah 3 dan −4. Maka,  boleh dianggap sebagai hasil tambah , dan penambahan tiga nilai berbeza itu boleh disusun dalam mana-mana urutan depan atau belakang dalam proses penambahan, dengan hasil yang sama iaitu 5.

Simbol akar √ lazimnya dipanjangkan dengan garis (dipanggil tanda vinkulum) di atas radikan (bagi mengelakkan keperluan tanda kurung mengelilingi nilai radikan). Fungsi lain penggunaan kurungan di sekeliling input adalah untuk mengelakkan ketaksaan. Tanda kurung boleh diabaikan jika input ialah pembolehubah berangka tunggal atau pemalar, seperti dalam kes  dan  .  Satu lagi kelaziman pintasan yang kadangkala digunakan adalah sewaktu input itu bersifat monomial; maka,  berbanding , tetapi , kerana  bukan bersifat monomial. Walau bagaimanapun, kelaziman tersebut bersifat samar dan tidak difahami secara universal di luar konteks tertentu.  Sesetengah kalkulator dan bahasa pengaturcaraan memerlukan tanda kurungan di sekeliling input fungsi, manakala sesetengah yang lain tidak.

Simbol pengumpulan (kurungan dan garisan) boleh digunakan untuk mengatasi susunan operasi biasa. Simbol pengumpulan boleh dianggap sebagai satu ungkapan.  Simbol pengumpulan boleh dibuang menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan, serta boleh juga disisihkan jika ungkapan di dalam simbol pengumpulan itu cukup dipermudahkan sehingga penyingkirannya tidak mewujudkan kesamaran hasil kiraan.

Contoh 
Pendaraban didahulukan sebelum penambahan:

 

Subungkapan berkurung dikira dahulu:

 

Pengeksponenan dikira sebelum pendaraban, pendaraban dikira sebelum penolakan:

 

Apabila ungkapan ditulis dalam superskrip, superskrip dianggap dikumpulkan mengikut kedudukannya di atas nilai asasnya:

  manakala dalam program C ungkapan tersebut menjadi 1 + 2 ^ 3 + 4  membawa nilai kepada 

Lingkuran kiraan sesuatu simbol akar ditentukan oleh sepanjang mana garis atas melitupi ungkapan matematik tersebut:

 

Garis pecahan mendatar juga bertindak sebagai simbol pengumpulan:

 

Untuk mudah dibaca, lain-lain simbol pengumpulan seperti tanda kurung dakap  } atau tanda kurung siku , kadangkala digunakan bersama tanda kurung biasa . Contohnya:

Nemonik
Nemonik kadangkala digunakan untuk membantu pelajar menghafal aturan tersebut yang melibatkan satu atau dua huruf terawal untuk setiap operasi pengiraan. Terdapat pelbagai nemonik digunakan pada negara-negara yang berbeza.
 Di Malaysia, "KUDABATATO" digunakan sebagai nemonik yang bermaksud "Kurung, Darab, Bahagi, Tambah, Tolak". 
 Di negara Amerika Syarikat serta Perancis, akronim PEMDAS selalu digunakan. Ia mewakili "Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction". PEMDAS selalunya dikembangkan nemonik nemonik "Please Excuse My Dear Aunt Sally" di sekolah. 
 Negara Kanada dan New Zealand pula menggunakan BEDMAS, yang mewakili "Brackets, Exponents, Division/Multiplication, Addition/Subtraction".
 Di negara-negara seperti United Kingdom (UK), Pakistan, India, Bangladesh dan Australia serta sesetengah negara yang menggunakan bahasa Inggeris, BODMAS digunakan yang mewakili "Brackets, Order, Division/Multiplication, Addition/Subtraction". Negara Nigeria dan beberapa negara Afrika Barat juga guna BODMAS. Di UK turut menggunakan BIDMAS yang mewakili "Brackets, Indices, Division/Multiplication, Addition/Subtraction".

Nemonik sedemikian mungkin boleh membawa kekeliruan apabila ditulis dalam bentuk begini. Misalnya, menyalahtafsirkan mana-mana aturan di atas sehingga membawa makna "tambah dahulu, tolak kemudian" akan membawa kepada penilaian ungkapan yang tidak tepat kerana  boleh disalahtafsir menjadi , sedangkan penilaian ungkapan yang betul ialah . Nilai-nilai tersebut akan berbeza apabila . 

"Tambah/Tolak" dalam nemonik sepatutnya ditafsir sebagai penolakan adalah penambahan nilai yang bertentangan, manakala ungkapan  adalah kabur dan boleh dibaca dalam pelbagai cara kerana  adalah berbeza daripada  apabila 

Ketaksaan tambahan yang disebabkan oleh cara pengiraan darab yang disusun berdampingan serta penggunaan tanda miring mewakili pembahagian telah dibincagkan pada bahagian berikut. Umumnya, gunakanlah tanda kurung untuk mengelak ketaksaan.

Kes khas

Pengeksponenan bersiri 
Jika pengeksponenan ditunjukkan oleh simbol-simbol bertindan menggunakan notasi superskrip, aturan yang biasa adalah dikira dari atas ke bawah:   

 

dan tidak sama dengan (ab)c. Konvensyen ini berguna kerana terdapat sifat eksponen tertentu yang menunjukkan (ab)c = abc, jadi tidak perlu menggunakan eksponensi bersiri untuk ungkapan ini.

Walau bagaimanapun, apabila menggunakan tatatanda operator dengan tanda tinggal (^) atau tanda anak panah (↑), tiada kelaziman piawai. Contohnya, Microsoft Excel dan bahasa pengaturcaraan pengiraan MATLAB menilai a^b^c sebagai (ab)c, tetapi Carian Google dan Wolfram Alpha menilai ungkapan tersebut sebagai a(bc). Oleh itu hasil pengiraan 4^3^2 dalam situasi pertama ialah 4,096 dan dalam situasi kedua ialah 262,144.

Tanda tolak sesatu 
Terdapat kelaziman yang berbeza mengenai tanda sesatu − (juga lazim dikenali sebagai "tanda tolak"). Dalam keadaan penulisan atau percetakan melibatkan matermatik, ungkapan −32 ditafsirkan sebagai .

Dalam sesetengah aplikasi dan bahasa pengaturcaraan, terutamanya Microsoft Excel, PlanMaker (dan aplikasi hamparan lain) dan bahasa pengaturcaraan bc, pengendalian sesatu mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pengendalian binari, maksudnya, penolakan sesatu di hadapan nombor mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pengeksponenan, jadi dalam bahasa pengaturcaraan tersebut −32 akan ditafsirkan sebagai . Hal ini tidak terpakai kepada pengendali tolak binari −; contohnya dalam Microsoft Excel formula =−2^2, =-(2)^2 dan =0+−2^2 hasilnya 4, formula =0−2^2 dan =−(2^2) hasilnya − 4.

Pembahagian dan pendaraban bercampur 
Dalam sesetengah kertas kerja akademik, pendaraban yang disusun berdampingan (juga dikenali sebagai pendaraban tersirat) ditafsirkan mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pembahagian, maka  sama dengan , bukan . Contohnya, arahan penyerahan manuskrip untuk jurnal Physical Review menyatakan bahawa pendaraban adalah lebih diutamakan berbanding pembahagian, dan ini juga merupakan konvensyen yang diperhatikan dalam buku teks fizik terkemuka seperti buku teks Course of Theoretical Physics karangan Landau dan Lifshitz serta buku teks Feynman Lectures on Physics. 

Ketaksaan ini sering dieksploitasi oleh meme internet seperti "  ", dengan terdapatnya dua tafsiran yang bercanggah: 8÷[2(2+2)] = 1 dan [8÷2](2+ 2) = 16.

Ketaksaan ini juga boleh disebabkan oleh penggunaan tanda miring, '/', untuk pembahagian. Arahan penyerahan Physical Review mencadangkan untuk mengelakkan ungkapan berbentuk a/b/c; ketaksaan boleh dielakkan dengan menulis (a/b)/c atau a/(b/c).

Lihat juga 

 Notasi operator umum (untuk penerangan yang lebih formal)
 Hiperoperasi
 Operator kesekutuan
 Operator lebih muatan
 Keutamaan operator dalam C dan C++
 Notasi Poland
 Notasi Poland songsang

Nota penerangan

Rujukan

Bacaan lanjut 

 
 
Algebra
Sumber bahasa Jerman CS1 (de)