Matematik tulen

Secara umum, matematik tulen ialah matematik yang dimotivasikan sepenuhnya untuk taakulan dan kesimpulan, bukan untuk aplikasi. Ia dibezakan dengan rigor, pengabstrakan, dan keindahan matematik. Sejak kurun ke-18 dan seterusnya, ia diiktiraf sebagai salah satu kategori dalam aktiviti matematik, kadang-kadang digambarkan sebagai matematik spekulatif , dan berbeza dengan trend memenuhi keperluan aplikasi dalam navigasi, astronomi, fizik, kejuruteraan dan sebagainya. Ada pandangan yang menyatakan matematik tulen itu sebagai matematik yang tidak semestinya diaplikasikan.

Sejarah

Yunani Purba

Ahli matematik Yunani purba adalah antara yang pertama membezakan antara matematik tulen dan matematik gunaan. Plato membantu menetapkan jurang antara "aritmetik" (sekarang dipanggil teori nombor) dengan "logistik" (sekarang dipanggil aritmetik). Plato menganggap logistik (aritmetik) sesuai untuk ahli perniagaan dan pemimpin tentera yang "..mesti mempelajari seni nombor, jika tidak mereka tidak akan tahu bagaimana menyusun tentera mereka..", manakala aritmetik (teori nombor) hanya sesuai untuk ahli falsafah "..kerana mereka perlu keluar dari lautan perubahan dan mencari kebenaran." Apabila Euclid dari Iskandariah ditanya oleh salah seorang pelajarnya tentang apa perlunya mempelajari geometri, beliau lantas menyuruh hambanya memberikan pelajar tersebut threepence (wang syiling), dan berkata "kerana dia memerlukan keuntungan untuk setiap apa yang dipelajarinya." Ahli matematik Yunani Apollonius dari Perga pernah ditanya tentang kegunaan beberapa teoremnya dalam Buku IV kitab Konik", dengan bangganya beliau menjawab:

Oleh kerana banyak dari keputusan-keputusannya tidak boleh diaplikasikan ke dalam sains atau kejuruteraan pada zamannya, Apollonius berhujah dalam kata pengantar kitab Konik yang subjek tersebut adalah salah satu subjek yang "..kelihatan layak dikaji untuk kepentingannya sendiri".

Abad ke-19
Istilah ini sendiri diabadikan dalam judul penuh kursi Sadleir yang diasaskan (sebagai jawatan profesor) pada pertengahan kurun ke-19. Idea tentang disiplin berasingan untuk matematik tulen mungkin mula muncul pada masa ini. Generasi sezaman dengan Gauss tidak membuat perbezaan ketara antara tulen dan gunaan. Tahun-tahun berikutnya, pengkhususan dan pengikhtisasan (terutamanya dalam pendekatan Weierstrass untuk analisis matematik) telah mula membongkar selok belok bidang ini.

Abada ke-20
Pada permulaan abad ke-20, ahli matematik menggunakan kaedah aksiom yang mendapat pengaruh kuat dari contoh David Hilbert. Formulasi logik untuk matematik tulen dicadangkan oleh Bertrand Russell dalam bentuk satu struktur pengkuantiti proposisi yang menjadikannya kelihatan semakin munasabah kerana semakin banyak bahagian matematik yang diaksiomkan, dan oleh itu ia tertakluk pada kriteria bukti rigor.

Sesungguhnya dalam tetapan aksiomatik, rigor tidak menambah apa pun kepada idea bukti. Menurut satu pandangan yang berkaitan dengan kumpulan Bourbaki, matematik tulen ialah matematik yang dibuktikan. Ahli matematik tulen kemudiannya menjadi satu kerjaya yang diiktiraf, dan dapat dicapai melalui latihan.

Sifat umum dan pengabstrakan
Konsep utama dalam matematik tulen ialah idea sifat umum; matematik tulen sering menunjukkan kecenderungan pada penambahan sifat umum.

 Teorem atau struktur matematik yang bersifat umum boleh memberi pemahaman lebih mendalam tentang teorem dan struktur asli.
 Sifat umum boleh meringkaskan persembahan bahan, menghasilkan bukti atau hujah yang lebih pendek dan mudah diikuti.
 Sifat umum boleh digunakan untuk mengelakkan usaha berganda, ia dapat membuktikan keputusan yang umum berbanding perlu membuktikan kes-kes berasingan satu persatu, atau menggunakan keputusan dari bidang matematik yang lain.
 Sifat umum boleh memudahkan hubungan antara cabang matematik yang berbeza. Teori kategori ialah salah satu bidang matematik yang meneroka kesamaan struktur ini, kerana ia berhubung dengan beberapa bidang dalam matematik.

Kesan sifat umum ke atas intuisi atau gerak hati adalah bergantung kepada subjek serta keutamaan atau gaya pembelajaran peribadi. Sering juga sifat umum dilihat sebagai halangan kepada gerak hati, walaupun ia sepatutnya berfungsi sebagai bantuan kepadanya, terutamanya apabila ia memberikan kiasan-kiasan untuk bahan bagi seseorang yang sudah memiliki gerak hati yang baik.

Sebagai contoh utama sifat umum, program Erlangen melibatkan pengembangan subjek geometri yang memberi ruang kepada sub bidang seperti geometri bukan Euclid dan bahagian topologi, serta bentuk lain geometri, dengan melihat geometri sebagai kajian ruang bersama-sama dengan kumpulan transformasi. Subjek algebra dalam cabang nombor pada peringkat siswazah, boleh berkembang kepada algebra abstrak pada peringkat yang lebih tinggi; dan subjek kalkulus dalam cabang fungsi pada peringkat terawal kolej, akan menjadi analisis matematik dan analisis fungsi pada peringkat yang lebih tinggi. Hakikatnya, setiap cabang-cabang matematik yang lebih abstrak ini mungkin mempunyai banyak sub-pengkhususan dan terdapat banyak kaitan antara disiplin matematik tulen dan matematik gunaan. Bagaimanapun, tidak dinafikan yang terdapat peningkatan yang besar dalam pengabstrakan seperti dilihat pada pertengahan kurun ke-20.

Dalam praktik, perkembangan ini menyebabkan penyimpangan yang besar dari fizik, terutamanya seperti yang terjadi antara tahun 1950 hingga 1980. Hal ini mendapat kritikan contohnya dari Vladimir Arnold yang berpendapat, ia terlalu banyak mengambil kaedah Hilbert, dan kurang mengambil kaedah Poincaré. Inti perdebatan ini nampaknya tidak dapat diselesaikan (tidak seperti kontrovesi asas mengenai teori set), dengan teori rentetan menjauhi ke satu arah, sementara matematik diskret menariknya kembali ke arah bukti sebagai pusat.

Purisme (ketulenan)

Ahli matematik sentiasa memiliki pendapat berlainan tetang perbezaan antara matematik tulen dan gunaan. Antara contoh moden untuk perdebatan ini yang terkenal (tetapi mungkin juga disalah tafsir) boleh didapati dalam karya G.H. Hardy, A Mathematician's Apology.

Adalah dipercayai ramai yang Hardy menganggap matematik gunaan sebagai hodoh dan kusam. Walaupun adalah benar Hardy memilih matematik tulen yang beliau bandingkan dengan seni lukis dan sajak, Hardy melihat perbezaan antara matematik tulen dan gunaan dengan ringkas: matematik gunaan cenderung untuk mengungkap kebenaran fizikal dalam rangka kerja matematik, sementara matematik tulen mengungkap kebenaran yang tidak bergantung pada dunia fizikal. Hardy membuat perbezaan berasingan dalam matematik antara apa yang beliau gelar matematik "sebenar" (matematik tulen), "yang mempunyai nilai estetik yang berkekalan", dan "bahagian asas dan kusam dalam matematik" yang dapat dipraktikkan (matematik gunaan).

Hardy menganggap beberapa ahli fizik seperti Einstein dan Dirac, antara ahli matematik "sebenar", tetapi ketika beliau menulis Apology'' beliau juga menganggap kerelatifan am dan mekanik kuantum sebagai "tak berguna", membenarkan beliau berpegang pada pendapat yang hanya matematik "kusam" yang berguna. Selain itu, Hardy secara ringkas mengakui yang - sepertimana aplikasi teori matriks dan teori kumpulan dalam fizik yang tidak dijangka - mungkin akan sampai masanya beberapa jenis matematik "sebenar" yang indah, dapat dipraktikkan juga.

Pandangan lain diberikan oleh Magid:
"Saya sentiasa menganggap model yang baik ini boleh diperolehi dari teori gelanggang. Dalam subjek tersebut, salah satunya memiliki sub bidang teori gelanggang komutatif dan teori gelanggang tak komutatif. Seorang pemerhati yang tidak diberitahu mungkin terfikir yang ini mungkin mewakili satu pembahagian dua, tetapi hakikatnya satu gelanggang tak komutatif ialah gelanggang yang tak semestinya komutatif. Jika kita menggunakan perumpamaan yang sama, maka kita merujuk kepada matematik gunaan dan matematik tak gunaan, dengan matematik tak gunaan bermaksud matematik yang tak semestinya diaplikasikan… [emphasis added]"

Rujukan

Lihat juga
Matematik gunaan
Logik
Metalogik
Metamatematik

Pautan luar
What is pure mathematics? Jabatan Matematik Tulen, University of Waterloo
 What is pure mathematics? oleh Profesor P.J. Giblin The University of Liverpool
 Prinsip Matematik  oleh Bertrand Russell
How to Become a Pure Mathematician (or Statistician)  - senarai buku teks dan nota syarahan peringkat siswa dan graduan asas, dengan beberapa komen dan pautan untuk penyelesaian, laman teman, set data, dan muka ralat, etc.

Matematik