Elemen (Euclid)

Elemen (Greek:  Stoicheia) ialah karya matematik dan geometri yang terdiri daripada 13 buku yang ditulis oleh ahli matematik Greek, Euclid di Iskandariah, Mesir pada 300 SM. Ia merupakan satu koleksi definisi, postulat (aksiom), proposisi (teorem) dan pembinaan, dan bukti matematik untuk proposisi. Kesemua 13 buku menerangkan geometri Euclid dan teori nombor yang asas versi Yunani purba. Selain karya Autolycus Tentang Sfera Bergerak (On the Moving Sphere), Elemen merupakan salah satu karya tertua Matematik Greek yang masih wujud dan ia juga karya yang tertua menggunakan deduktif aksiom dalam matematik. Elemen telah memberi sumbangan yang sangat besar dalam pembangunan logik dan sains moden.

Elemen dianggap sebagai buku yang paling berjaya dan berpengaruh pernah ditulis. Dengan versi modennya pertama kali dicetak di Venice pada 1482, ia merupakan antara karya matematik yang terawal dicetak selepas penciptaan mesin cetak dan dianggarkan oleh Carl Benjamin Boyer berada di tempat kedua selepas Injil berdasarkan jumlah edisi yang diterbitkan, iaitu melebihi seribu edisi. Selama beberapa ratus tahun, apabila kuadrivium dimasukkan ke dalam kurikulum universiti, pengetahuan tentang sekurang-kurangnya sebahagian dari Elemen diwajibkan ke atas semua pelajar. Sehingga kurun ke-20, isinya telah diajar secara universal melalui buku teks sekolah, dan ia dianggap sebagai sesuatu yang dibaca oleh semua orang terpelajar.

Pengaruh
Elemen masih dianggap karya agung yang mengaplikasi logik dalam matematik. Dalam konteks sejarah, ia telah terbukti memberi pengaruh yang sangat besar dalam pelbagai bidang sains. Saintis seperti Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei, dan Isaac Newton kesemuanya dipengaruhi oleh Elemen, dan mengaplikasikan pengetahuan tentangnya ke dalam hasil kerja mereka. Ahli matematik dan ahli falsafah, seperti Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, dan Baruch Spinoza, telah mencuba untuk membuat "Elemen" asas mereka sendiri untuk disiplin-disiplin mereka, dengan mengguna pakai struktur deduktif yang diaksiomkan yang diperkenalkan oleh Euclid.

Keindahan sederhana geometri Euclid telah dilihat dalam budaya barat sebagai bayangan satu sistem kesempurnaan dan kepastian yang unik. Abraham Lincoln menyimpan satu salinan Elemen di dalam beg pelananya, dan mengkajinya pada lewat malam; kononnya beliau pernah berkata kepada dirinya sendiri, "Anda tidak akan dapat menjadi Peguam jika anda tidak memahami apa yang mendemonstrasikan cara-cara; dan aku tinggalkan situasi di Springfield, pulang ke rumah bapaku, dan kekal di situ sehingga aku mampu memberi sebarang proposisi dalam enam buku Euclid". Albert Einstein merujuk kepada satu salinan Elemen dan satu kompas magnetik sebagai dua hadiah yang memberi pengaruh besar kepadanya ketika zaman kanak-kanak, dan beliau menganggap Elemen sebagai "buku geometri kecil yang suci".

Kejayaan Elemen  adalah terutamanya kerana persembahan yang logik untuk kebanyakan ilmu matematik yang diketahui Euclid. Walaupun kebanyakan bahan adalah bukan asli dari beliau, kebanyakan bukti adalah hasil penemuannya sendiri. Pembangunan subjeknya yang sistematik, dari set aksiom yang kecil sehingga keputusan yang mendalam, dan pendekatan Eucllid yang konsisten, menggalakkan penggunaan Elemen sebagai buku teks matematik selama 2000 tahun. Elemen masih mempengaruhi kebanyakan buku geometri moden dan pendekatan aksiomatik yang logik dan bukti yang rapi masih menjadi batu asas utama kepada bidang matematik.

Kandungan 

Buku I hingga IV membincangkan geometri satah:
 Buku I 
Mengandungi 10 aksiom Euclid (5 postulat dinamakan-termasuk postulat selari-dan 5 aksiom dinamakan) dan proposisi asas geometri: Pons asinorum (proposisi 5), Teorem Pythagoras (Proposisi 47), kesamaan sudut dan luas, keselarian, jumlah sudut dalam satu segi tiga, dan tiga kes di mana segi tiga-segi tiga adalah "sama" (memiliki luas yang sama).
 Buku II
Juga digelar "Buku algebra geometri" kerana kebanyakan proposisinya adalah interpretasi geometri untuk identiti algebra seperti a(b + c + ...) = ab + ac + ... atau (2a + b)2 + b2 = 2(a2 + (a + b)2).
 Buku III
Membincangkan bulatan dan sifat-sifatnya: sudut terterap dalam, tangen, kuasa titik, Teorem Thales.
 Buku IV
Membina bulatan dalam dan bulatan lilit untuk segi tiga, dan membina poligon biasa dengan 4, 5, 6 dan 15 sisi.

Buku V hingga X memperkenalkan nisbah dan perkadaran:

 Buku V
Ialah satu karya tentang perkadaran magnitud. Proposisi 25 memiliki kes istimewa ketaksamaan cara aritmetik dan geometri.
 Buku VI
Mengaplikasi perkadaran ke dalam geometri
 Buku VII
Khusus membincangkan teori nombor yang asas: kebolehbahagian, nombor perdana, algoritma Euclid untuk mencari pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil. Proposisi 30 dan 32 umumnya sama dengan teorem asas aritmetik yang menyatakan setiap integer positif boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana dalam cara yang unik, walaupun Euclid sendiri mungkin mengalami kesukaran menyatakannnya dalam bentuk moden, kerana beliau tidak menggunakan hasil darab yang lebih dari 3 nombor.
 Buku VIII
Membincangkan perkadaran dalam teori nombor dan urutan geometri
 Buku IX
Mengaplikasi keputusan dari dua buku terdahulu dan memberi had nombor perdana (proposisi 20), hasil tambah siri geometri (proposisi 35), dan pembinaan nombor sempurna genap (proposisi 36).
 Buku X
Cuba mengklasifikasi magnitud tak selaras (dalam istilah moden, tak nisbah) dengan menggunakan kaedah "habisan", pendahulu kepada kamiran.

Buku XI hingga XIII membincangkan geometri ruang:
 Buku XI
Mengitlak (mengamkan) keputusan dari Buku I–VI kepada ruang: keserenjangan, keselarian, isi padu untuk paralelepiped.
 Buku XII
Mengkaji isi padu kon, piramid, dan silinder secara terperinci, contohnya dengan menunjukkan isi padu satu kon adalah satu pertiga isi padu untuk silinder yang sepadan . Ia membuat kesimpulan dengan menunjukkan isi padu satu sfera ialah berkadaran dengan kuasa tiga radiusnya dengan menyamakannya dengan gabungan banyak piramid.
 Buku XIII
Membina lima pepejal platonik biasa yang terterap dalam satu sfera, mengira nisbah tepiannya sehingga radius sfera, dan membuktikan yang tiada lagi pepejal biasa yang seterusnya.

Edisi

1460s, Regiomontanus (tidak lengkap)
1533, Editio Princeps oleh Simon Grynäus
1557, oleh Jean Magnien dan Pierre de Montdoré, disemak oleh Stephanus Gracilis (hanya proposisi, bukan bukti penuh, termasuk versi Greek asal dan terjemahan Latin)
1572, Commandinus
1574, Christoph Clavius

Terjemahan
1505, Bartolomeo Zamberti (Latin)
1543, Venturino Ruffinelli (Itali)
1555, Johann Scheubel (Jerman)
1557, Jean Magnien dan Pierre de Montdoré, disemak oleh Stephanus Gracilis (dari Greek kepada Latin)
1562, Jacob Kündig (Jerman)
1564, Pierre Forcadel de Béziers (Perancis)
1570, Henry Billingsley (Inggeris)
1576, Rodrigo de Zamorano (Sepanyol)
1594, Typografia Medicea (edisi terjemahan bahasa Arab oleh Nasir al-Din al-Tusi)
1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (Cina)
1660, Isaac Barrow (Inggeris)
1720 Jagannatha Samrat (Sanskrit, berdasarkan terjemahan bahasa Arab oleh Nasir al-Din al-Tusi)
1738 Ivan Satarov (Rusia dari Perancis)
1807 Józef Czech (Poland berdasarkan edisi Greek, Latin dan Inggeris)

Cetakan terkini
"Euclid's Elements - Kesemua 13 buku dalam satu jilid, diterbitkan oleh Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7
Berdasarkan terjemahan Heath.

Rujukan

Buku Matematik