Segi tiga sudut tegak

Segi tiga sudut tegak adalah segi tiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tegak (yaitu, sudut 90 darjah). Hubungan antara sisi dan sudut segi tiga sudut tegak adalah dasar untuk trigonometri.

Sisi yang berseberangan dengan sudut tegak disebut hipotenus (sisi c pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki. Sisi a dapat dikenal pasti sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut B dan berlawanan dengan sudut A, sedangkan sisi b adalah sisi yang berdekatan dengan sudut A dan berlawanan dengan sudut B.

Jika panjang ketiga-tiga sisi segi tiga sudut tegak adalah bilangan bulat, segi tiga tersebut disebut segi tiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai triplet Pythagoras.

Sifat utama

Luas 
Seperti mana-mana segi tiga lazim, luasnya sama dengan setengah darab panjang kaki darab tinggi yang sesuai. Dalam segi tiga sudut tegak, jika satu kaki diambil kira, maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segi tiga sudut tegak adalah setengah darab kedua-dua kaki. Sebagai rumus, Luas T adalah

 

di mana a dan b adalah kaki-kaki segi tiga. Jika satu bulatan dalam bertangen dengan AB pada titik P, maka dengan mewakilkan semi-perimeter sebagai s, kita miliki  dan , dan luas diberikan oleh

 

Rumus ini hanya terpakai bagi segi tiga sudut tegak.

Tinggi 

Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke hipotenus, maka segi tiga dapat dibahagikan menjadi dua segi tiga yang lebih kecil, yang kedua-duanya mirip dengan segi tiga aslinya, dan oleh itu, mirip satu sama lain. Dari ini:

 Ketinggian hipotenus ialah purata/min geometrik (min proporsi) dari dua segmen hipotenus.

 Setiap kaki segi tiga ialah sebahgian min hipotenus dan segmen hipotenus yang berdekatan dengan kaki.

Dalam persamaan,

  (ini kadang-kadang dikenal sebagai teorema tinggi segi tiga sudut tegak)
 
 

di mana a, b, c, d, e, f adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram. Jadi

 

Selain itu, tinggi ke hipotenus terkait dengan kaki-kaki segi tiga kanan

 

Tinggi dari kedua-dua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Oleh kerana garis berpotongan di sudut tegak, pusat orto segi tiga sudut tegak — persilangan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut tegak.

Teorem Pythagoras 

Teorem Pythagoras menyatakan bahawa:Dalam setiap segi tiga sudut tegak, luas segi empat sama dengan sisinya ialah hipotenus (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah luas segi empat sama yang sisi-sisinya ialah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan).Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

 

di mana c adalah panjang hipotenus, dan a dan b adalah panjang dari sisi-sisi lain.

Triplet Pythagoras ialah nilai integer dari a, b, c yang memenuhi persamaan ini.

Ciri 
Segi tiga ABC dengan sisi , semiperimeter s, luas T, tinggi h berlawanan dengan sisi terpanjang, jejari bulatan terlilit R, jejari dalaman r, jejari luaran ra, rb, rc (bersinggungan dengan a, b, c masing-masing), dan median ma, mb, mc ialah segi tiga sudut tegak jika dan hanya jika salah satu dari pernyataan dalam enam kategori berikut ini benar. Semuanya tentu saja juga ciri-ciri dari segi tiga sudut tegak, karena ciri-ciri ini bersifat setara.

Sisi dan semiperimeter

Sudut 

 A dan B adalah komplemen.

Luas 

 
 
 
  di mana P adalah titik tangen bulatan dalaman di sisi terpanjang AB.

Radius dalaman dan luaran

Tinggi dan median 

 
 
 Panjang satu median sama dengan jejari bulatan lilit.
 Tinggi terpendek (yang dari sudut dengan sudut terbesar) adalah min geometri dari segmen garis yang membagi sisi yang berlawanan (terpanjang) menjadi. Ini adalah teorema ketinggian segi tiga sudut tegak.

Bulatan dalaman dan luaran 

 Segi tiga dapat ditulis dalam semibulatan, dengan satu sisi bertepatan dengan keseluruhan diameter (teorem Thales).
 Titik ukurlilit adalah titik tengah dari sisi terpanjang.
 Sisi terpanjang adalah diameter bulatan 
 Bulatan itu bertangen dengan bulatan sembilan titik.
 Pusat orto terletak di bulatan.
 Jarak antara pusat dalaman dan pusat orto sama dengan .

Nisbah trigonometri 
Fungsi trigonometri sudut tirus dapat ditakrif sebagai nisbah sisi-sisi segi tiga sudut tegak. Bagi sudut tertentu, segi tiga sudut tegak dapat dihasilkan dengan sudut ini, dan sisi berlabel berlawanan, berdekatan dan hipotenus dengan merujuk sudut ini sesuai dengan definisi di atas. Nisbah sisi-sisi ini tidak bergantung pada segi tiga sudut tegak tertentu yang dipilih, tetapi hanya pada sudut yang diberikan, oleh kerana semua segi tiga yang dibangun dengan cara ini adalah setara. Jika, bagi sudut tertentu α, sisi yang berlawanan, sisi yang berdekatan dan hipotenus masing-masing diberi label O, A dan H, maka fungsi trigonometri adalah

Segi tiga sudut tegak khusus 
Nilai fungsi trigonometri dapat dikira dengan tepat bagi sudut tertentu menggunakan segi tiga sudut tegak dengan sudut khusus. Ini termasuk segi tiga 30-60-90 yang dapat digunakan untuk mencari fungsi trigonometri untuk gandaan π/6, dan segi tiga 45-45-90 yang dapat digunakan untuk mencari fungsi trigonometri bagi gandaan π/4.

Segi tiga Kepler 
Dengan H, G, dan A menjadi min harmonik, min geometri, dan min aritmetik dua bilangan positif a dan b dengan a > b. Jika segi tiga sudut tegak memiliki kaki H dan G dan hipotenus A, maka.

 

dan

 

di mana  ialah nisbah emas  Oleh kerana sisi-sisi segi tiga sudut tegak ini berada dalam janjang geometri, ini ialah segi tiga Kepler.

Teori Thales 

Teorem Thales menyatakan bahawa jika A adalah titik mana pun dari lingkaran dengan diameter BC (kecuali B atau C sendiri), ABC adalah segi tiga sudut tegak, di mana A merupakan sudut kanan. Sama dengan sebaliknya, jika segi tiga sudut tegak termasuk dalam bulatan, maka hipotenus akan menjadi diameter bulatan. Satu perkara wajar adalah bahawa panjang hipotenus adalah dua kali jarak dari sudut sudut kanan ke titik tengah hipotenus. Juga, pusat bulatan yang membatasi segi tiga kanan adalah titik tengah hipotenus dan jari-jarinya ialah setengah panjang hipotenus.

Garis Euler 
Dalam segi tiga sudut tegak, garis Euler berisi median hipotenus - iaitu melewati titik sudut kanan dan titik tengah sisi yang berlawanan dengan titik itu. Ini kerana pusat orto segi tiga kanan, persilangan ketinggiannya, jatuh pada sudut tegak, sementara pusat jejari lilit, persimpangan garis-garis sisi yang tegak lurus, berada di titik tengah hipotenus.

Rujukan

Pautan luar 

 Kalkulator untuk segi tiga sudut tegak 
 Kalkulator segi tiga sudut tegak lengkap

Segi tiga
Geometri segi tiga