Teorem Lindemann–Weierstrass

Dalam teori nombor transenden, teorem Lindemann–Weierstrass (Jawi: ) ialah satu hasil yang amat berguna dalam mewujudkan jangkau nombor. Ia menyatakan bahawa  dalam kata lain medan perluasan  ada darjah jangkauan  atas 

Sebuah perumusan setara , berikut:   Kesetaraan ini menjelma satu hubungan linear atas nombor-nombor algebra ke dalam satu hubungan algebra atas  dengan menggunakan fakta berkenaan bahawa satu polinomial simetri yang hujah-hujahnya semuanya konjugat satu sama lain memberi satu nombor nisbah.

Teorem ini dinamakan sempena Ferdinand von Lindemann dan Karl Weierstrass. Lindemann membuktikan pada tahun 1882 bahawa  is transcendental bagi setiap nombor algebra bukan sifar  dan dengan itu mewujudkan bahawa  ialah transenden (lihat di bawah). Weierstrass membuktikan di atas lebih kenyataan umum pada tahun 1885.

Teorem ini, bersama dengan teorem Gelfond–Schneider, dilanjutkan oleh teorem Baker, dan semua ini diamkan lanjut oleh konjektur Schanuel.

Konvensyen penamaan
Teorem ini juga dikenali dengan pelbagai nama sebagai teorem Hermite–Lindemann dan teorem Hermite–Lindemann–Weierstrass. Charles Hermite pertama membuktikan teorem yang lebih biasa bahawa eksponen  perlu menjadi integer nisbah dan ketakbersandaran linear hanya terjamin atas integer nisbah, satu keputusan kadangkala dirujuk sebagai teorem Hermite. Walaupun rupa-rupanya satu kes yang agak istimewa atas teorem, keputusan umum boleh diturunkan ke kes yang lebih biasa ini.  Lindemann merupakan yang pertama untuk membenarkan nombor algebra ke dalam kerja Hermite pada tahun 1882.  Tidak lama kemudian, Weierstrass memperoleh keputusan penuh, dan pemudahan lanjut telah dibuat oleh beberapa ahli matematik, terutamanya oleh David Hilbert dan Paul Gordan.

Nota

Rujukan

Bacaan lanjut

Pautan luar

Rencana mengandungi bukti
E (pemalar matematik)
Eksponen
Pi
Teorem dalam teori nombor
Nombor transenden