Kumpulan (matematik)

Dalam matematik, kumpulan ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada sebuah set dan dilengkapi dengan operasi dedua yang menggabungkan dua unsur daripada set tadi untuk menghasilkan unsur ketiga. Struktur ini hendaklah mematuhi beberapa aksiom, iaitu tutupan, kalis sekutuan, identiti, dan songsangan. Kumpulan yang mematuhi aksiom tambahan kalis tukar tertib dinamakan kumpulan Abel.

Takrif 

Kumpulan ditakrifkan oleh suatu pasangan  yang terdiri daripada set  dan operasi dedua *, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

Tutupan
Untuk semua ,  dalam ,  juga dalam .

Kalis sekutuan
Untuk semua , ,  dalam , .

Identiti
Wujud suatu unsur identiti  dalam , di mana untuk semua  dalam , . Unsur identiti biasanya ditulis 1 atau .

Songsangan
Untuk semua  dalam , wujud unsur songsang  dalam  di mana .

Tertib penggunaan operasi dedua boleh menjadi signifikan. Dalam kata lain, hasil gabungan unsur  dengan unsur  tidak semestinya sama dengan hasil gabungan unsur  dengan unsur ; iaitu persamaan

tidak selalunya benar. Sebarang kumpulan yang mana persamaan  selalunya benar adalah kalis tukar tertib dan dipanggil kumpulan Abel.

Contoh-contoh 

 Set integer  dengan operasi tambah, ditulis  membentuk sebuah kumpulan.

Teori kumpulan
Struktur algebra