ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- StrictConvexOn.derivWithin_lt_slope
lemma derivWithin_lt_slope (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x) :
    derivWithin f S x < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x)
Goal: derivWithin f S x < slope f x y
-- StrictConvexOn.lt_slope_of_hasDerivAt
lemma lt_slope_of_hasDerivAt (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hf' : HasDerivAt f f' x) :
    f' < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' x)
Goal: f' < slope f x y
-- StrictConvexOn.deriv_lt_slope
lemma deriv_lt_slope (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableAt ℝ f x) :
    deriv f x < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: deriv f x < slope f x y
-- StrictConvexOn.slope_lt_of_hasDerivWithinAt_Iio
lemma slope_lt_of_hasDerivWithinAt_Iio (hfc : StrictConvexOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y)  :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConvexOn.slope_lt_left_deriv
lemma slope_lt_left_deriv (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Iio y) y)  :
    slope f x y < derivWithin f (Iio y) y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y)
Goal: slope f x y < derivWithin f (Set.Iio y) y
-- StrictConvexOn.slope_lt_of_hasDerivWithinAt
lemma slope_lt_of_hasDerivWithinAt (hfc : StrictConvexOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y) :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConvexOn.slope_lt_derivWithin
lemma slope_lt_derivWithin (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y) :
    slope f x y < derivWithin f S y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y)
Goal: slope f x y < derivWithin f S y
-- StrictConvexOn.slope_lt_of_hasDerivAt
lemma slope_lt_of_hasDerivAt (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hf' : HasDerivAt f f' y) :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' y)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConvexOn.slope_lt_deriv
lemma slope_lt_deriv (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableAt ℝ f y) :
    slope f x y < deriv f y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f y)
Goal: slope f x y < deriv f y
-- StrictConvexOn.strictMonoOn_derivWithin
lemma strictMonoOn_derivWithin (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S) :
    StrictMonoOn (derivWithin f S) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S)
Goal: StrictMonoOn (derivWithin f S) S
-- StrictConvexOn.strictMonoOn_deriv
lemma strictMonoOn_deriv (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x) :
    StrictMonoOn (deriv f) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : StrictConvexOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: StrictMonoOn (deriv f) S
-- ConcaveOn.slope_le_of_hasDerivWithinAt_Ioi
lemma slope_le_of_hasDerivWithinAt_Ioi (hfc : ConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x) :
    slope f x y ≤ f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x)
Goal: slope f x y ≤ f'
-- ConcaveOn.slope_le_right_deriv
lemma slope_le_right_deriv (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x) :
    slope f x y ≤ derivWithin f (Ioi x) x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x)
Goal: slope f x y ≤ derivWithin f (Set.Ioi x) x
-- ConcaveOn.slope_le_of_hasDerivWithinAt
lemma slope_le_of_hasDerivWithinAt (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : HasDerivWithinAt f f' S x) :
    slope f x y ≤ f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : HasDerivWithinAt f f' S x)
Goal: slope f x y ≤ f'
-- ConcaveOn.slope_le_derivWithin
lemma slope_le_derivWithin (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x) :
    slope f x y ≤ derivWithin f S x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x)
Goal: slope f x y ≤ derivWithin f S x
-- ConcaveOn.slope_le_of_hasDerivAt
lemma slope_le_of_hasDerivAt (hfc : ConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' x) :
    slope f x y ≤ f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' x)
Goal: slope f x y ≤ f'
-- ConcaveOn.slope_le_deriv
lemma slope_le_deriv (hfc : ConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f x) :
    slope f x y ≤ deriv f x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: slope f x y ≤ deriv f x
-- ConcaveOn.le_slope_of_hasDerivWithinAt_Iio
lemma le_slope_of_hasDerivWithinAt_Iio (hfc : ConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y) :
    f' ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y)
Goal: f' ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.left_deriv_le_slope
lemma left_deriv_le_slope (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Iio y) y) :
    derivWithin f (Iio y) y ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y)
Goal: derivWithin f (Set.Iio y) y ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.le_slope_of_hasDerivWithinAt
lemma le_slope_of_hasDerivWithinAt (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y) :
    f' ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y)
Goal: f' ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.derivWithin_le_slope
lemma derivWithin_le_slope (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y) :
    derivWithin f S y ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y)
Goal: derivWithin f S y ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.le_slope_of_hasDerivAt
lemma le_slope_of_hasDerivAt (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hf' : HasDerivAt f f' y) :
    f' ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' y)
Goal: f' ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.deriv_le_slope
lemma deriv_le_slope (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableAt ℝ f y) :
    deriv f y ≤ slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f y)
Goal: deriv f y ≤ slope f x y
-- ConcaveOn.antitoneOn_derivWithin
lemma antitoneOn_derivWithin (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S) :
    AntitoneOn (derivWithin f S) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S)
Goal: AntitoneOn (derivWithin f S) S
-- ConcaveOn.antitoneOn_deriv
theorem antitoneOn_deriv (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x) :
    AntitoneOn (deriv f) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : ConcaveOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: AntitoneOn (deriv f) S
-- StrictConcaveOn.slope_lt_of_hasDerivWithinAt_Ioi
lemma slope_lt_of_hasDerivWithinAt_Ioi (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x) :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConcaveOn.slope_lt_right_deriv
lemma slope_lt_right_deriv (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x) :
    slope f x y < derivWithin f (Ioi x) x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Ioi x) x)
Goal: slope f x y < derivWithin f (Set.Ioi x) x
-- StrictConcaveOn.slope_lt_of_hasDerivWithinAt
lemma slope_lt_of_hasDerivWithinAt (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : HasDerivWithinAt f f' S x) :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : HasDerivWithinAt f f' S x)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConcaveOn.slope_lt_derivWithin
lemma slope_lt_derivWithin (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x) :
    slope f x y < derivWithin f S x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x)
Goal: slope f x y < derivWithin f S x
-- StrictConcaveOn.slope_lt_of_hasDerivAt
lemma slope_lt_of_hasDerivAt (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : HasDerivAt f f' x) :
    slope f x y < f' 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : HasDerivAt f f' x)
Goal: slope f x y < f'
-- StrictConcaveOn.slope_lt_deriv
lemma slope_lt_deriv (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableAt ℝ f x) :
    slope f x y < deriv f x 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: slope f x y < deriv f x
-- StrictConcaveOn.lt_slope_of_hasDerivWithinAt_Iio
lemma lt_slope_of_hasDerivWithinAt_Iio (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y) :
    f' < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y)
Goal: f' < slope f x y
-- StrictConcaveOn.left_deriv_lt_slope
lemma left_deriv_lt_slope (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Iio y) y) :
    derivWithin f (Iio y) y < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y)
Goal: derivWithin f (Set.Iio y) y < slope f x y
-- StrictConcaveOn.lt_slope_of_hasDerivWithinAt
lemma lt_slope_of_hasDerivWithinAt (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f)
    (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y) :
    f' < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivWithinAt f f' S y)
Goal: f' < slope f x y
-- StrictConcaveOn.derivWithin_lt_slope
lemma derivWithin_lt_slope (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y) :
    derivWithin f S y < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y)
Goal: derivWithin f S y < slope f x y
-- StrictConcaveOn.lt_slope_of_hasDerivAt
lemma lt_slope_of_hasDerivAt (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hf' : HasDerivAt f f' y) :
    f' < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y f' : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hf' : HasDerivAt f f' y)
Goal: f' < slope f x y
-- StrictConcaveOn.deriv_lt_slope
lemma deriv_lt_slope (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y)
    (hfd : DifferentiableAt ℝ f y) :
    deriv f y < slope f x y 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} {x y : ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hx : x ∈ S) (hy : y ∈ S) (hxy : x < y) (hfd : DifferentiableAt ℝ f y)
Goal: deriv f y < slope f x y
-- StrictConcaveOn.strictAntiOn_derivWithin
lemma strictAntiOn_derivWithin (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S) :
    StrictAntiOn (derivWithin f S) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hfd : DifferentiableOn ℝ f S)
Goal: StrictAntiOn (derivWithin f S) S
-- StrictConcaveOn.strictAntiOn_deriv
theorem strictAntiOn_deriv (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x) :
    StrictAntiOn (deriv f) S 
Arguments: {S : Set ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hfc : StrictConcaveOn ℝ S f) (hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x)
Goal: StrictAntiOn (deriv f) S
-- Convex.starConvex
theorem Convex.starConvex (hs : Convex 𝕜 s) (hx : x ∈ s) : StarConvex 𝕜 x s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s : Set E} {x : E} (hs : Convex 𝕜 s) (hx : x ∈ s)
Goal: StarConvex 𝕜 x s
-- convex_iff_segment_subset
theorem convex_iff_segment_subset : Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → [x -[𝕜] y] ⊆ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s
-- Convex.segment_subset
theorem Convex.segment_subset (h : Convex 𝕜 s) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) :
    [x -[𝕜] y] ⊆ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s : Set E} (h : Convex 𝕜 s) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
Goal: [x-[𝕜]y] ⊆ s
-- Convex.openSegment_subset
theorem Convex.openSegment_subset (h : Convex 𝕜 s) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) :
    openSegment 𝕜 x y ⊆ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s : Set E} (h : Convex 𝕜 s) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
Goal: openSegment 𝕜 x y ⊆ s
-- convex_iff_pointwise_add_subset
theorem convex_iff_pointwise_add_subset :
    Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • s + b • s ⊆ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • s + b • s ⊆ s
-- convex_empty
theorem convex_empty : Convex 𝕜 (∅ : Set E) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E]
Goal: Convex 𝕜 ∅
-- convex_univ
theorem convex_univ : Convex 𝕜 (Set.univ : Set E) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E]
Goal: Convex 𝕜 Set.univ
-- Convex.inter
theorem Convex.inter {t : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t) : Convex 𝕜 (s ∩ t) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {s t : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t)
Goal: Convex 𝕜 (s ∩ t)
-- convex_sInter
theorem convex_sInter {S : Set (Set E)} (h : ∀ s ∈ S, Convex 𝕜 s) : Convex 𝕜 (⋂₀ S) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {S : Set (Set E)} (h : ∀ s ∈ S, Convex 𝕜 s)
Goal: Convex 𝕜 (⋂₀ S)
-- convex_iInter
theorem convex_iInter {ι : Sort*} {s : ι → Set E} (h : ∀ i, Convex 𝕜 (s i)) :
    Convex 𝕜 (⋂ i, s i) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {ι : Sort u_5} {s : ι → Set E} (h : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (s i))
Goal: Convex 𝕜 (⋂ i, s i)
-- convex_iInter₂
theorem convex_iInter₂ {ι : Sort*} {κ : ι → Sort*} {s : ∀ i, κ i → Set E}
    (h : ∀ i j, Convex 𝕜 (s i j)) : Convex 𝕜 (⋂ (i) (j), s i j) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {ι : Sort u_5} {κ : ι → Sort u_6} {s : (i : ι) → κ i → Set E} (h : ∀ (i : ι) (j : κ i), Convex 𝕜 (s i j))
Goal: Convex 𝕜 (⋂ i, ⋂ j, s i j)
-- Convex.prod
theorem Convex.prod {s : Set E} {t : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t) :
    Convex 𝕜 (s ×ˢ t) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [AddCommMonoid F] [SMul 𝕜 E] [SMul 𝕜 F] {s : Set E} {t : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t)
Goal: Convex 𝕜 (s ×ˢ t)
-- convex_pi
theorem convex_pi {ι : Type*} {E : ι → Type*} [∀ i, AddCommMonoid (E i)] [∀ i, SMul 𝕜 (E i)]
    {s : Set ι} {t : ∀ i, Set (E i)} (ht : ∀ ⦃i⦄, i ∈ s → Convex 𝕜 (t i)) : Convex 𝕜 (s.pi t) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} [OrderedSemiring 𝕜] {ι : Type u_5} {E : ι → Type u_6} [(i : ι) → AddCommMonoid (E i)] [(i : ι) → SMul 𝕜 (E i)] {s : Set ι} {t : (i : ι) → Set (E i)} (ht : ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Convex 𝕜 (t i))
Goal: Convex 𝕜 (s.pi t)
-- Directed.convex_iUnion
theorem Directed.convex_iUnion {ι : Sort*} {s : ι → Set E} (hdir : Directed (· ⊆ ·) s)
    (hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)) : Convex 𝕜 (⋃ i, s i) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {ι : Sort u_5} {s : ι → Set E} (hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s) (hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i))
Goal: Convex 𝕜 (⋃ i, s i)
-- DirectedOn.convex_sUnion
theorem DirectedOn.convex_sUnion {c : Set (Set E)} (hdir : DirectedOn (· ⊆ ·) c)
    (hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A) : Convex 𝕜 (⋃₀ c) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [SMul 𝕜 E] {c : Set (Set E)} (hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c) (hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A)
Goal: Convex 𝕜 (⋃₀ c)
-- convex_iff_openSegment_subset
theorem convex_iff_openSegment_subset :
    Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → openSegment 𝕜 x y ⊆ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → openSegment 𝕜 x y ⊆ s
-- convex_iff_forall_pos
theorem convex_iff_forall_pos :
    Convex 𝕜 s ↔
      ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: Convex 𝕜 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
-- convex_iff_pairwise_pos
theorem convex_iff_pairwise_pos : Convex 𝕜 s ↔
    s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: Convex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
-- Convex.starConvex_iff
theorem Convex.starConvex_iff (hs : Convex 𝕜 s) (h : s.Nonempty) : StarConvex 𝕜 x s ↔ x ∈ s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E} {x : E} (hs : Convex 𝕜 s) (h : s.Nonempty)
Goal: StarConvex 𝕜 x s ↔ x ∈ s
-- Set.Subsingleton.convex
protected theorem Set.Subsingleton.convex {s : Set E} (h : s.Subsingleton) : Convex 𝕜 s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E} (h : s.Subsingleton)
Goal: Convex 𝕜 s
-- convex_singleton
theorem convex_singleton (c : E) : Convex 𝕜 ({c} : Set E) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] (c : E)
Goal: Convex 𝕜 {c}
-- convex_zero
theorem convex_zero : Convex 𝕜 (0 : Set E) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E]
Goal: Convex 𝕜 0
-- convex_segment
theorem convex_segment (x y : E) : Convex 𝕜 [x -[𝕜] y] 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] (x y : E)
Goal: Convex 𝕜 [x-[𝕜]y]
-- Convex.linear_image
theorem Convex.linear_image (hs : Convex 𝕜 s) (f : E →ₗ[𝕜] F) : Convex 𝕜 (f '' s) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [AddCommMonoid F] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] {s : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) (f : E →ₗ[𝕜] F)
Goal: Convex 𝕜 (⇑f '' s)
-- Convex.is_linear_image
theorem Convex.is_linear_image (hs : Convex 𝕜 s) {f : E → F} (hf : IsLinearMap 𝕜 f) :
    Convex 𝕜 (f '' s) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [AddCommMonoid F] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] {s : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) {f : E → F} (hf : IsLinearMap 𝕜 f)
Goal: Convex 𝕜 (f '' s)
-- Convex.linear_preimage
theorem Convex.linear_preimage {s : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) (f : E →ₗ[𝕜] F) :
    Convex 𝕜 (f ⁻¹' s) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [AddCommMonoid F] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] {s : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) (f : E →ₗ[𝕜] F)
Goal: Convex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)
-- Convex.is_linear_preimage
theorem Convex.is_linear_preimage {s : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) {f : E → F} (hf : IsLinearMap 𝕜 f) :
    Convex 𝕜 (f ⁻¹' s) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [AddCommMonoid F] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] {s : Set F} (hs : Convex 𝕜 s) {f : E → F} (hf : IsLinearMap 𝕜 f)
Goal: Convex 𝕜 (f ⁻¹' s)
-- Convex.add
theorem Convex.add {t : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t) : Convex 𝕜 (s + t) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s t : Set E} (hs : Convex 𝕜 s) (ht : Convex 𝕜 t)
Goal: Convex 𝕜 (s + t)
-- coe_convexAddSubmonoid
@[simp, norm_cast]
theorem coe_convexAddSubmonoid : ↑(convexAddSubmonoid 𝕜 E) = {s : Set E | Convex 𝕜 s} 
Arguments: (𝕜 : Type u_1) (E : Type u_2) [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E]
Goal: ↑(convexAddSubmonoid 𝕜 E) = {s | Convex 𝕜 s}
-- mem_convexAddSubmonoid
@[simp]
theorem mem_convexAddSubmonoid {s : Set E} : s ∈ convexAddSubmonoid 𝕜 E ↔ Convex 𝕜 s 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Set E}
Goal: s ∈ convexAddSubmonoid 𝕜 E ↔ Convex 𝕜 s
-- convex_list_sum
theorem convex_list_sum {l : List (Set E)} (h : ∀ i ∈ l, Convex 𝕜 i) : Convex 𝕜 l.sum 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {l : List (Set E)} (h : ∀ i ∈ l, Convex 𝕜 i)
Goal: Convex 𝕜 l.sum
-- convex_multiset_sum
theorem convex_multiset_sum {s : Multiset (Set E)} (h : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 i) : Convex 𝕜 s.sum 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [Module 𝕜 E] {s : Multiset (Set E)} (h : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 i)
Goal: Convex 𝕜 s.sum