ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- IsMaxOn.on_subset
theorem IsMaxOn.on_subset (hf : IsMaxOn f t a) (h : s ⊆ t) : IsMaxOn f s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} {t : Set α} (hf : IsMaxOn f t a) (h : s ⊆ t)
Goal: IsMaxOn f s a
-- IsExtrOn.on_subset
theorem IsExtrOn.on_subset (hf : IsExtrOn f t a) (h : s ⊆ t) : IsExtrOn f s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} {t : Set α} (hf : IsExtrOn f t a) (h : s ⊆ t)
Goal: IsExtrOn f s a
-- IsMinOn.inter
theorem IsMinOn.inter (hf : IsMinOn f s a) (t) : IsMinOn f (s ∩ t) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMinOn f s a) (t : Set α)
Goal: IsMinOn f (s ∩ t) a
-- IsMaxOn.inter
theorem IsMaxOn.inter (hf : IsMaxOn f s a) (t) : IsMaxOn f (s ∩ t) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMaxOn f s a) (t : Set α)
Goal: IsMaxOn f (s ∩ t) a
-- IsExtrOn.inter
theorem IsExtrOn.inter (hf : IsExtrOn f s a) (t) : IsExtrOn f (s ∩ t) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsExtrOn f s a) (t : Set α)
Goal: IsExtrOn f (s ∩ t) a
-- IsMinFilter.comp_mono
theorem IsMinFilter.comp_mono (hf : IsMinFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsMinFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsMinFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsMinFilter (g ∘ f) l a
-- IsMaxFilter.comp_mono
theorem IsMaxFilter.comp_mono (hf : IsMaxFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsMaxFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsMaxFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsMaxFilter (g ∘ f) l a
-- IsExtrFilter.comp_mono
theorem IsExtrFilter.comp_mono (hf : IsExtrFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsExtrFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsExtrFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsExtrFilter (g ∘ f) l a
-- IsMinFilter.comp_antitone
theorem IsMinFilter.comp_antitone (hf : IsMinFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsMaxFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsMinFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsMaxFilter (g ∘ f) l a
-- IsMaxFilter.comp_antitone
theorem IsMaxFilter.comp_antitone (hf : IsMaxFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsMinFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsMaxFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsMinFilter (g ∘ f) l a
-- IsExtrFilter.comp_antitone
theorem IsExtrFilter.comp_antitone (hf : IsExtrFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsExtrFilter (g ∘ f) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} (hf : IsExtrFilter f l a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsExtrFilter (g ∘ f) l a
-- IsMinOn.comp_mono
theorem IsMinOn.comp_mono (hf : IsMinOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsMinOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMinOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsMinOn (g ∘ f) s a
-- IsMaxOn.comp_mono
theorem IsMaxOn.comp_mono (hf : IsMaxOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsMaxOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMaxOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsMaxOn (g ∘ f) s a
-- IsExtrOn.comp_mono
theorem IsExtrOn.comp_mono (hf : IsExtrOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g) :
    IsExtrOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsExtrOn f s a) {g : β → γ} (hg : Monotone g)
Goal: IsExtrOn (g ∘ f) s a
-- IsMinOn.comp_antitone
theorem IsMinOn.comp_antitone (hf : IsMinOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsMaxOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMinOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsMaxOn (g ∘ f) s a
-- IsMaxOn.comp_antitone
theorem IsMaxOn.comp_antitone (hf : IsMaxOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsMinOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsMaxOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsMinOn (g ∘ f) s a
-- IsExtrOn.comp_antitone
theorem IsExtrOn.comp_antitone (hf : IsExtrOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) :
    IsExtrOn (g ∘ f) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} (hf : IsExtrOn f s a) {g : β → γ} (hg : Antitone g)
Goal: IsExtrOn (g ∘ f) s a
-- IsMinFilter.bicomp_mono
theorem IsMinFilter.bicomp_mono [Preorder δ] {op : β → γ → δ}
    (hop : ((· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·)) op op) (hf : IsMinFilter f l a) {g : α → γ}
    (hg : IsMinFilter g l a) : IsMinFilter (fun x => op (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type x} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} [Preorder δ] {op : β → γ → δ} (hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op) (hf : IsMinFilter f l a) {g : α → γ} (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => op (f x) (g x)) l a
-- IsMaxFilter.bicomp_mono
theorem IsMaxFilter.bicomp_mono [Preorder δ] {op : β → γ → δ}
    (hop : ((· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·)) op op) (hf : IsMaxFilter f l a) {g : α → γ}
    (hg : IsMaxFilter g l a) : IsMaxFilter (fun x => op (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type x} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {l : Filter α} {a : α} [Preorder δ] {op : β → γ → δ} (hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op) (hf : IsMaxFilter f l a) {g : α → γ} (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => op (f x) (g x)) l a
-- IsMinOn.bicomp_mono
theorem IsMinOn.bicomp_mono [Preorder δ] {op : β → γ → δ}
    (hop : ((· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·)) op op) (hf : IsMinOn f s a) {g : α → γ}
    (hg : IsMinOn g s a) : IsMinOn (fun x => op (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type x} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} [Preorder δ] {op : β → γ → δ} (hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op) (hf : IsMinOn f s a) {g : α → γ} (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
-- IsMaxOn.bicomp_mono
theorem IsMaxOn.bicomp_mono [Preorder δ] {op : β → γ → δ}
    (hop : ((· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·) ⇒ (· ≤ ·)) op op) (hf : IsMaxOn f s a) {g : α → γ}
    (hg : IsMaxOn g s a) : IsMaxOn (fun x => op (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type x} [Preorder β] [Preorder γ] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} [Preorder δ] {op : β → γ → δ} (hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op) (hf : IsMaxOn f s a) {g : α → γ} (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
-- IsMinFilter.comp_tendsto
theorem IsMinFilter.comp_tendsto {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsMinFilter f l (g b))
    (hg : Tendsto g l' l) : IsMinFilter (f ∘ g) l' b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {l : Filter α} {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsMinFilter f l (g b)) (hg : Filter.Tendsto g l' l)
Goal: IsMinFilter (f ∘ g) l' b
-- IsMaxFilter.comp_tendsto
theorem IsMaxFilter.comp_tendsto {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsMaxFilter f l (g b))
    (hg : Tendsto g l' l) : IsMaxFilter (f ∘ g) l' b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {l : Filter α} {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsMaxFilter f l (g b)) (hg : Filter.Tendsto g l' l)
Goal: IsMaxFilter (f ∘ g) l' b
-- IsExtrFilter.comp_tendsto
theorem IsExtrFilter.comp_tendsto {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsExtrFilter f l (g b))
    (hg : Tendsto g l' l) : IsExtrFilter (f ∘ g) l' b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {l : Filter α} {g : δ → α} {l' : Filter δ} {b : δ} (hf : IsExtrFilter f l (g b)) (hg : Filter.Tendsto g l' l)
Goal: IsExtrFilter (f ∘ g) l' b
-- IsMinOn.on_preimage
theorem IsMinOn.on_preimage (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsMinOn f s (g b)) :
    IsMinOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsMinOn f s (g b))
Goal: IsMinOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b
-- IsMaxOn.on_preimage
theorem IsMaxOn.on_preimage (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsMaxOn f s (g b)) :
    IsMaxOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsMaxOn f s (g b))
Goal: IsMaxOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b
-- IsExtrOn.on_preimage
theorem IsExtrOn.on_preimage (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsExtrOn f s (g b)) :
    IsExtrOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsExtrOn f s (g b))
Goal: IsExtrOn (f ∘ g) (g ⁻¹' s) b
-- IsMinOn.comp_mapsTo
theorem IsMinOn.comp_mapsTo {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsMinOn f s a) (hg : MapsTo g t s)
    (ha : g b = a) : IsMinOn (f ∘ g) t b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsMinOn f s a) (hg : Set.MapsTo g t s) (ha : g b = a)
Goal: IsMinOn (f ∘ g) t b
-- IsMaxOn.comp_mapsTo
theorem IsMaxOn.comp_mapsTo {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : MapsTo g t s)
    (ha : g b = a) : IsMaxOn (f ∘ g) t b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : Set.MapsTo g t s) (ha : g b = a)
Goal: IsMaxOn (f ∘ g) t b
-- IsExtrOn.comp_mapsTo
theorem IsExtrOn.comp_mapsTo {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsExtrOn f s a)
    (hg : MapsTo g t s) (ha : g b = a) : IsExtrOn (f ∘ g) t b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [Preorder β] {f : α → β} {s : Set α} {a : α} {t : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsExtrOn f s a) (hg : Set.MapsTo g t s) (ha : g b = a)
Goal: IsExtrOn (f ∘ g) t b
-- IsMinFilter.add
theorem IsMinFilter.add (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => f x + g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => f x + g x) l a
-- IsMaxFilter.add
theorem IsMaxFilter.add (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => f x + g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => f x + g x) l a
-- IsMinOn.add
theorem IsMinOn.add (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) : IsMinOn (fun x => f x + g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => f x + g x) s a
-- IsMaxOn.add
theorem IsMaxOn.add (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) : IsMaxOn (fun x => f x + g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => f x + g x) s a
-- IsMinFilter.neg
theorem IsMinFilter.neg (hf : IsMinFilter f l a) : IsMaxFilter (fun x => -f x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => -f x) l a
-- IsMaxFilter.neg
theorem IsMaxFilter.neg (hf : IsMaxFilter f l a) : IsMinFilter (fun x => -f x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => -f x) l a
-- IsExtrFilter.neg
theorem IsExtrFilter.neg (hf : IsExtrFilter f l a) : IsExtrFilter (fun x => -f x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsExtrFilter f l a)
Goal: IsExtrFilter (fun x => -f x) l a
-- IsMinOn.neg
theorem IsMinOn.neg (hf : IsMinOn f s a) : IsMaxOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => -f x) s a
-- IsMaxOn.neg
theorem IsMaxOn.neg (hf : IsMaxOn f s a) : IsMinOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a)
Goal: IsMinOn (fun x => -f x) s a
-- IsExtrOn.neg
theorem IsExtrOn.neg (hf : IsExtrOn f s a) : IsExtrOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsExtrOn f s a)
Goal: IsExtrOn (fun x => -f x) s a
-- IsMinFilter.sub
theorem IsMinFilter.sub (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a
-- IsMaxFilter.sub
theorem IsMaxFilter.sub (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => f x - g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => f x - g x) l a
-- IsMinOn.sub
theorem IsMinOn.sub (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) :
    IsMinOn (fun x => f x - g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => f x - g x) s a
-- IsMaxOn.sub
theorem IsMaxOn.sub (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) :
    IsMaxOn (fun x => f x - g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => f x - g x) s a
-- IsMinFilter.sup
theorem IsMinFilter.sup (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a
-- IsMaxFilter.sup
theorem IsMaxFilter.sup (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => f x ⊔ g x) l a
-- IsMinOn.sup
theorem IsMinOn.sup (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) : IsMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
-- IsMaxOn.sup
theorem IsMaxOn.sup (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) : IsMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
-- IsMinFilter.inf
theorem IsMinFilter.inf (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a
-- IsMaxFilter.inf
theorem IsMaxFilter.inf (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => f x ⊓ g x) l a
-- IsMinOn.inf
theorem IsMinOn.inf (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) : IsMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
-- IsMaxOn.inf
theorem IsMaxOn.inf (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) : IsMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
-- IsMinFilter.min
theorem IsMinFilter.min (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a
-- IsMaxFilter.min
theorem IsMaxFilter.min (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => min (f x) (g x)) l a
-- IsMinOn.min
theorem IsMinOn.min (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) :
    IsMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
-- IsMaxOn.min
theorem IsMaxOn.min (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) :
    IsMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
-- IsMinFilter.max
theorem IsMinFilter.max (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a) :
    IsMinFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMinFilter f l a) (hg : IsMinFilter g l a)
Goal: IsMinFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a
-- IsMaxFilter.max
theorem IsMaxFilter.max (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) :
    IsMaxFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a)
Goal: IsMaxFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a
-- IsMinOn.max
theorem IsMinOn.max (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a) :
    IsMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMinOn f s a) (hg : IsMinOn g s a)
Goal: IsMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
-- IsMaxOn.max
theorem IsMaxOn.max (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a) :
    IsMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsMaxOn f s a) (hg : IsMaxOn g s a)
Goal: IsMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
-- Filter.EventuallyLE.isMaxFilter
theorem Filter.EventuallyLE.isMaxFilter {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α}
    {l : Filter α} (hle : g ≤ᶠ[l] f) (hfga : f a = g a) (h : IsMaxFilter f l a) :
    IsMaxFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hle : g ≤ᶠ[l] f) (hfga : f a = g a) (h : IsMaxFilter f l a)
Goal: IsMaxFilter g l a
-- IsMaxFilter.congr
theorem IsMaxFilter.congr {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α}
    (h : IsMaxFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsMaxFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (h : IsMaxFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsMaxFilter g l a
-- Filter.EventuallyEq.isMaxFilter_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isMaxFilter_iff {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α}
    {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsMaxFilter f l a ↔ IsMaxFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsMaxFilter f l a ↔ IsMaxFilter g l a
-- Filter.EventuallyLE.isMinFilter
theorem Filter.EventuallyLE.isMinFilter {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α}
    {l : Filter α} (hle : f ≤ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) (h : IsMinFilter f l a) :
    IsMinFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (hle : f ≤ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) (h : IsMinFilter f l a)
Goal: IsMinFilter g l a
-- IsMinFilter.congr
theorem IsMinFilter.congr {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α}
    (h : IsMinFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsMinFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (h : IsMinFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsMinFilter g l a
-- Filter.EventuallyEq.isMinFilter_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isMinFilter_iff {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α}
    {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsMinFilter f l a ↔ IsMinFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsMinFilter f l a ↔ IsMinFilter g l a
-- IsExtrFilter.congr
theorem IsExtrFilter.congr {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α}
    (h : IsExtrFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsExtrFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (h : IsExtrFilter f l a) (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsExtrFilter g l a
-- Filter.EventuallyEq.isExtrFilter_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isExtrFilter_iff {α β : Type*} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α}
    {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a) : IsExtrFilter f l a ↔ IsExtrFilter g l a 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} {l : Filter α} (heq : f =ᶠ[l] g) (hfga : f a = g a)
Goal: IsExtrFilter f l a ↔ IsExtrFilter g l a
-- IsMaxOn.iSup_eq
theorem IsMaxOn.iSup_eq (hx₀ : x₀ ∈ s) (h : IsMaxOn f s x₀) : ⨆ x : s, f x = f x₀ 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [ConditionallyCompleteLinearOrder α] {f : β → α} {s : Set β} {x₀ : β} (hx₀ : x₀ ∈ s) (h : IsMaxOn f s x₀)
Goal: ⨆ x, f ↑x = f x₀
-- IsMinOn.iInf_eq
theorem IsMinOn.iInf_eq (hx₀ : x₀ ∈ s) (h : IsMinOn f s x₀) : ⨅ x : s, f x = f x₀ 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [ConditionallyCompleteLinearOrder α] {f : β → α} {s : Set β} {x₀ : β} (hx₀ : x₀ ∈ s) (h : IsMinOn f s x₀)
Goal: ⨅ x, f ↑x = f x₀
-- subset_intentClosure_iff_subset_extentClosure
theorem subset_intentClosure_iff_subset_extentClosure :
    t ⊆ intentClosure r s ↔ s ⊆ extentClosure r t 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {r : α → β → Prop} {s : Set α} {t : Set β}
Goal: t ⊆ intentClosure r s ↔ s ⊆ extentClosure r t
-- gc_intentClosure_extentClosure
theorem gc_intentClosure_extentClosure :
    GaloisConnection (toDual ∘ intentClosure r) (extentClosure r ∘ ofDual) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} (r : α → β → Prop)
Goal: GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ intentClosure r) (extentClosure r ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
-- intentClosure_swap
theorem intentClosure_swap (t : Set β) : intentClosure (swap r) t = extentClosure r t 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} (r : α → β → Prop) (t : Set β)
Goal: intentClosure (Function.swap r) t = extentClosure r t
-- extentClosure_swap
theorem extentClosure_swap (s : Set α) : extentClosure (swap r) s = intentClosure r s 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} (r : α → β → Prop) (s : Set α)
Goal: extentClosure (Function.swap r) s = intentClosure r s