ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Seminorm.sup_apply
theorem sup_apply (p q : Seminorm 𝕜 E) (x : E) : (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] (p q : Seminorm 𝕜 E) (x : E)
Goal: (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x
-- Seminorm.smul_sup
theorem smul_sup [SMul R ℝ] [SMul R ℝ≥0] [IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ] (r : R) (p q : Seminorm 𝕜 E) :
    r • (p ⊔ q) = r • p ⊔ r • q 
Arguments: {R : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] [SMul R ℝ] [SMul R ℝ≥0] [IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ] (r : R) (p q : Seminorm 𝕜 E)
Goal: r • (p ⊔ q) = r • p ⊔ r • q
-- Seminorm.coe_le_coe
@[simp, norm_cast]
theorem coe_le_coe {p q : Seminorm 𝕜 E} : (p : E → ℝ) ≤ q ↔ p ≤ q 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E}
Goal: ⇑p ≤ ⇑q ↔ p ≤ q
-- Seminorm.coe_lt_coe
@[simp, norm_cast]
theorem coe_lt_coe {p q : Seminorm 𝕜 E} : (p : E → ℝ) < q ↔ p < q 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E}
Goal: ⇑p < ⇑q ↔ p < q
-- Seminorm.le_def
theorem le_def {p q : Seminorm 𝕜 E} : p ≤ q ↔ ∀ x, p x ≤ q x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E}
Goal: p ≤ q ↔ ∀ (x : E), p x ≤ q x
-- Seminorm.lt_def
theorem lt_def {p q : Seminorm 𝕜 E} : p < q ↔ p ≤ q ∧ ∃ x, p x < q x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddGroup E] [SMul 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E}
Goal: p < q ↔ p ≤ q ∧ ∃ x, p x < q x
-- Seminorm.coe_comp
theorem coe_comp (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) : ⇑(p.comp f) = p ∘ f 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂)
Goal: ⇑(p.comp f) = ⇑p ∘ ⇑f
-- Seminorm.comp_apply
@[simp]
theorem comp_apply (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) : (p.comp f) x = p (f x) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E)
Goal: (p.comp f) x = p (f x)
-- Seminorm.comp_id
@[simp]
theorem comp_id (p : Seminorm 𝕜 E) : p.comp LinearMap.id = p 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E)
Goal: p.comp LinearMap.id = p
-- Seminorm.comp_zero
@[simp]
theorem comp_zero (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) : p.comp (0 : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂)
Goal: p.comp 0 = 0
-- Seminorm.zero_comp
@[simp]
theorem zero_comp (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) : (0 : Seminorm 𝕜₂ E₂).comp f = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂)
Goal: Seminorm.comp 0 f = 0
-- Seminorm.comp_comp
theorem comp_comp [RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] (p : Seminorm 𝕜₃ E₃) (g : E₂ →ₛₗ[σ₂₃] E₃)
    (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) : p.comp (g.comp f) = (p.comp g).comp f 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {𝕜₃ : Type u_5} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} {E₃ : Type u_9} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] [SeminormedRing 𝕜₃] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] {σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃} [RingHomIsometric σ₂₃] {σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃} [RingHomIsometric σ₁₃] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [AddCommGroup E₃] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] [Module 𝕜₃ E₃] [RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] (p : Seminorm 𝕜₃ E₃) (g : E₂ →ₛₗ[σ₂₃] E₃) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂)
Goal: p.comp (g.comp f) = (p.comp g).comp f
-- Seminorm.add_comp
theorem add_comp (p q : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) :
    (p + q).comp f = p.comp f + q.comp f 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p q : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂)
Goal: (p + q).comp f = p.comp f + q.comp f
-- Seminorm.comp_add_le
theorem comp_add_le (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f g : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) :
    p.comp (f + g) ≤ p.comp f + p.comp g 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f g : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂)
Goal: p.comp (f + g) ≤ p.comp f + p.comp g
-- Seminorm.smul_comp
theorem smul_comp (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : R) :
    (c • p).comp f = c • p.comp f 
Arguments: {R : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] [SMul R ℝ] [SMul R ℝ≥0] [IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : R)
Goal: (c • p).comp f = c • p.comp f
-- Seminorm.comp_mono
theorem comp_mono {p q : Seminorm 𝕜₂ E₂} (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (hp : p ≤ q) : p.comp f ≤ q.comp f 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] {p q : Seminorm 𝕜₂ E₂} (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (hp : p ≤ q)
Goal: p.comp f ≤ q.comp f
-- Seminorm.pullback_apply
@[simps]
def pullback (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) : Seminorm 𝕜₂ E₂ →+ Seminorm 𝕜 E 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (p : Seminorm 𝕜₂ E₂)
Goal: (Seminorm.pullback f) p = p.comp f
-- Seminorm.coe_bot
@[simp]
theorem coe_bot : ⇑(⊥ : Seminorm 𝕜 E) = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E]
Goal: ⇑⊥ = 0
-- Seminorm.bot_eq_zero
theorem bot_eq_zero : (⊥ : Seminorm 𝕜 E) = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E]
Goal: ⊥ = 0
-- Seminorm.smul_le_smul
theorem smul_le_smul {p q : Seminorm 𝕜 E} {a b : ℝ≥0} (hpq : p ≤ q) (hab : a ≤ b) :
    a • p ≤ b • q 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E} {a b : ℝ≥0} (hpq : p ≤ q) (hab : a ≤ b)
Goal: a • p ≤ b • q
-- Seminorm.finset_sup_apply
theorem finset_sup_apply (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (x : E) :
    s.sup p x = ↑(s.sup fun i => ⟨p i x, apply_nonneg (p i) x⟩ : ℝ≥0) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (x : E)
Goal: (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
-- Seminorm.exists_apply_eq_finset_sup
theorem exists_apply_eq_finset_sup (p : ι → Seminorm 𝕜 E) {s : Finset ι} (hs : s.Nonempty) (x : E) :
    ∃ i ∈ s, s.sup p x = p i x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) {s : Finset ι} (hs : s.Nonempty) (x : E)
Goal: ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
-- Seminorm.zero_or_exists_apply_eq_finset_sup
theorem zero_or_exists_apply_eq_finset_sup (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (x : E) :
    s.sup p x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, s.sup p x = p i x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (x : E)
Goal: (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
-- Seminorm.finset_sup_smul
theorem finset_sup_smul (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (C : ℝ≥0) :
    s.sup (C • p) = C • s.sup p 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (C : ℝ≥0)
Goal: s.sup (C • p) = C • s.sup p
-- Seminorm.finset_sup_le_sum
theorem finset_sup_le_sum (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) : s.sup p ≤ ∑ i ∈ s, p i 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι)
Goal: s.sup p ≤ ∑ i ∈ s, p i
-- Seminorm.finset_sup_apply_le
theorem finset_sup_apply_le {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {a : ℝ} (ha : 0 ≤ a)
    (h : ∀ i, i ∈ s → p i x ≤ a) : s.sup p x ≤ a 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {a : ℝ} (ha : 0 ≤ a) (h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ a)
Goal: (s.sup p) x ≤ a
-- Seminorm.le_finset_sup_apply
theorem le_finset_sup_apply {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {i : ι}
    (hi : i ∈ s) : p i x ≤ s.sup p x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {i : ι} (hi : i ∈ s)
Goal: (p i) x ≤ (s.sup p) x
-- Seminorm.finset_sup_apply_lt
theorem finset_sup_apply_lt {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {a : ℝ} (ha : 0 < a)
    (h : ∀ i, i ∈ s → p i x < a) : s.sup p x < a 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {s : Finset ι} {x : E} {a : ℝ} (ha : 0 < a) (h : ∀ i ∈ s, (p i) x < a)
Goal: (s.sup p) x < a
-- Seminorm.norm_sub_map_le_sub
theorem norm_sub_map_le_sub (p : Seminorm 𝕜 E) (x y : E) : ‖p x - p y‖ ≤ p (x - y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (x y : E)
Goal: ‖p x - p y‖ ≤ p (x - y)
-- Seminorm.comp_smul
theorem comp_smul (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : 𝕜₂) :
    p.comp (c • f) = ‖c‖₊ • p.comp f 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedCommRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : 𝕜₂)
Goal: p.comp (c • f) = ‖c‖₊ • p.comp f
-- Seminorm.comp_smul_apply
theorem comp_smul_apply (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : 𝕜₂) (x : E) :
    p.comp (c • f) x = ‖c‖ * p (f x) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [SeminormedCommRing 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] [AddCommGroup E] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜₂ E₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (c : 𝕜₂) (x : E)
Goal: (p.comp (c • f)) x = ‖c‖ * p (f x)
-- Seminorm.bddBelow_range_add
theorem bddBelow_range_add : BddBelow (range fun u => p u + q (x - u)) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {p q : Seminorm 𝕜 E} {x : E}
Goal: BddBelow (Set.range fun u => p u + q (x - u))
-- Seminorm.inf_apply
@[simp]
theorem inf_apply (p q : Seminorm 𝕜 E) (x : E) : (p ⊓ q) x = ⨅ u : E, p u + q (x - u) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p q : Seminorm 𝕜 E) (x : E)
Goal: (p ⊓ q) x = ⨅ u, p u + q (x - u)
-- Seminorm.smul_inf
theorem smul_inf [SMul R ℝ] [SMul R ℝ≥0] [IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ] (r : R) (p q : Seminorm 𝕜 E) :
    r • (p ⊓ q) = r • p ⊓ r • q 
Arguments: {R : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [SMul R ℝ] [SMul R ℝ≥0] [IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ] (r : R) (p q : Seminorm 𝕜 E)
Goal: r • (p ⊓ q) = r • p ⊓ r • q
-- Seminorm.coe_sSup_eq'
protected theorem coe_sSup_eq' {s : Set <| Seminorm 𝕜 E}
    (hs : BddAbove ((↑) '' s : Set (E → ℝ))) : ↑(sSup s) = ⨆ p : s, ((p : Seminorm 𝕜 E) : E → ℝ) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {s : Set (Seminorm 𝕜 E)} (hs : BddAbove (DFunLike.coe '' s))
Goal: ⇑(sSup s) = ⨆ p, ⇑↑p
-- Seminorm.bddAbove_iff
protected theorem bddAbove_iff {s : Set <| Seminorm 𝕜 E} :
    BddAbove s ↔ BddAbove ((↑) '' s : Set (E → ℝ)) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {s : Set (Seminorm 𝕜 E)}
Goal: BddAbove s ↔ BddAbove (DFunLike.coe '' s)
-- Seminorm.bddAbove_range_iff
protected theorem bddAbove_range_iff {ι : Sort*} {p : ι → Seminorm 𝕜 E} :
    BddAbove (range p) ↔ ∀ x, BddAbove (range fun i ↦ p i x) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {ι : Sort u_13} {p : ι → Seminorm 𝕜 E}
Goal: BddAbove (Set.range p) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (Set.range fun i => (p i) x)
-- Seminorm.coe_sSup_eq
protected theorem coe_sSup_eq {s : Set <| Seminorm 𝕜 E} (hs : BddAbove s) :
    ↑(sSup s) = ⨆ p : s, ((p : Seminorm 𝕜 E) : E → ℝ) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {s : Set (Seminorm 𝕜 E)} (hs : BddAbove s)
Goal: ⇑(sSup s) = ⨆ p, ⇑↑p
-- Seminorm.coe_iSup_eq
protected theorem coe_iSup_eq {ι : Sort*} {p : ι → Seminorm 𝕜 E} (hp : BddAbove (range p)) :
    ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ((p i : Seminorm 𝕜 E) : E → ℝ) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {ι : Sort u_13} {p : ι → Seminorm 𝕜 E} (hp : BddAbove (Set.range p))
Goal: ⇑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ⇑(p i)
-- Seminorm.sSup_apply
protected theorem sSup_apply {s : Set (Seminorm 𝕜 E)} (hp : BddAbove s) {x : E} :
    (sSup s) x = ⨆ p : s, (p : E → ℝ) x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {s : Set (Seminorm 𝕜 E)} (hp : BddAbove s) {x : E}
Goal: (sSup s) x = ⨆ p, ↑p x
-- Seminorm.iSup_apply
protected theorem iSup_apply {ι : Sort*} {p : ι → Seminorm 𝕜 E}
    (hp : BddAbove (range p)) {x : E} : (⨆ i, p i) x = ⨆ i, p i x 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {ι : Sort u_13} {p : ι → Seminorm 𝕜 E} (hp : BddAbove (Set.range p)) {x : E}
Goal: (⨆ i, p i) x = ⨆ i, (p i) x
-- Seminorm.sSup_empty
protected theorem sSup_empty : sSup (∅ : Set (Seminorm 𝕜 E)) = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E]
Goal: sSup ∅ = ⊥
-- _private.Mathlib.Analysis.Seminorm.0.Seminorm.isLUB_sSup
private theorem isLUB_sSup (s : Set (Seminorm 𝕜 E)) (hs₁ : BddAbove s) (hs₂ : s.Nonempty) :
    IsLUB s (sSup s) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [NormedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (s : Set (Seminorm 𝕜 E)) (hs₁ : BddAbove s) (hs₂ : s.Nonempty)
Goal: IsLUB s (sSup s)
-- Seminorm.mem_ball
@[simp]
theorem mem_ball : y ∈ ball p x r ↔ p (y - x) < r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {x y : E} {r : ℝ}
Goal: y ∈ p.ball x r ↔ p (y - x) < r
-- Seminorm.mem_closedBall
@[simp]
theorem mem_closedBall : y ∈ closedBall p x r ↔ p (y - x) ≤ r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {x y : E} {r : ℝ}
Goal: y ∈ p.closedBall x r ↔ p (y - x) ≤ r
-- Seminorm.mem_ball_self
theorem mem_ball_self (hr : 0 < r) : x ∈ ball p x r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {x : E} {r : ℝ} (hr : 0 < r)
Goal: x ∈ p.ball x r
-- Seminorm.mem_closedBall_self
theorem mem_closedBall_self (hr : 0 ≤ r) : x ∈ closedBall p x r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {x : E} {r : ℝ} (hr : 0 ≤ r)
Goal: x ∈ p.closedBall x r
-- Seminorm.mem_ball_zero
theorem mem_ball_zero : y ∈ ball p 0 r ↔ p y < r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {y : E} {r : ℝ}
Goal: y ∈ p.ball 0 r ↔ p y < r
-- Seminorm.mem_closedBall_zero
theorem mem_closedBall_zero : y ∈ closedBall p 0 r ↔ p y ≤ r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {y : E} {r : ℝ}
Goal: y ∈ p.closedBall 0 r ↔ p y ≤ r
-- Seminorm.ball_zero_eq
theorem ball_zero_eq : ball p 0 r = { y : E | p y < r } 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {r : ℝ}
Goal: p.ball 0 r = {y | p y < r}
-- Seminorm.closedBall_zero_eq
theorem closedBall_zero_eq : closedBall p 0 r = { y : E | p y ≤ r } 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {r : ℝ}
Goal: p.closedBall 0 r = {y | p y ≤ r}
-- Seminorm.ball_subset_closedBall
theorem ball_subset_closedBall (x r) : ball p x r ⊆ closedBall p x r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (x : E) (r : ℝ)
Goal: p.ball x r ⊆ p.closedBall x r
-- Seminorm.closedBall_eq_biInter_ball
theorem closedBall_eq_biInter_ball (x r) : closedBall p x r = ⋂ ρ > r, ball p x ρ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (x : E) (r : ℝ)
Goal: p.closedBall x r = ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ
-- Seminorm.ball_zero'
@[simp]
theorem ball_zero' (x : E) (hr : 0 < r) : ball (0 : Seminorm 𝕜 E) x r = Set.univ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {r : ℝ} (x : E) (hr : 0 < r)
Goal: Seminorm.ball 0 x r = Set.univ
-- Seminorm.closedBall_zero'
@[simp]
theorem closedBall_zero' (x : E) (hr : 0 < r) : closedBall (0 : Seminorm 𝕜 E) x r = Set.univ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {r : ℝ} (x : E) (hr : 0 < r)
Goal: Seminorm.closedBall 0 x r = Set.univ
-- Seminorm.ball_smul
theorem ball_smul (p : Seminorm 𝕜 E) {c : NNReal} (hc : 0 < c) (r : ℝ) (x : E) :
    (c • p).ball x r = p.ball x (r / c) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {c : ℝ≥0} (hc : 0 < c) (r : ℝ) (x : E)
Goal: (c • p).ball x r = p.ball x (r / ↑c)
-- Seminorm.closedBall_smul
theorem closedBall_smul (p : Seminorm 𝕜 E) {c : NNReal} (hc : 0 < c) (r : ℝ) (x : E) :
    (c • p).closedBall x r = p.closedBall x (r / c) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {c : ℝ≥0} (hc : 0 < c) (r : ℝ) (x : E)
Goal: (c • p).closedBall x r = p.closedBall x (r / ↑c)
-- Seminorm.ball_sup
theorem ball_sup (p : Seminorm 𝕜 E) (q : Seminorm 𝕜 E) (e : E) (r : ℝ) :
    ball (p ⊔ q) e r = ball p e r ∩ ball q e r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p q : Seminorm 𝕜 E) (e : E) (r : ℝ)
Goal: (p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r
-- Seminorm.closedBall_sup
theorem closedBall_sup (p : Seminorm 𝕜 E) (q : Seminorm 𝕜 E) (e : E) (r : ℝ) :
    closedBall (p ⊔ q) e r = closedBall p e r ∩ closedBall q e r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p q : Seminorm 𝕜 E) (e : E) (r : ℝ)
Goal: (p ⊔ q).closedBall e r = p.closedBall e r ∩ q.closedBall e r
-- Seminorm.ball_finset_sup'
theorem ball_finset_sup' (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (H : s.Nonempty) (e : E) (r : ℝ) :
    ball (s.sup' H p) e r = s.inf' H fun i => ball (p i) e r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (H : s.Nonempty) (e : E) (r : ℝ)
Goal: (s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i => (p i).ball e r
-- Seminorm.closedBall_finset_sup'
theorem closedBall_finset_sup' (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (H : s.Nonempty) (e : E)
    (r : ℝ) : closedBall (s.sup' H p) e r = s.inf' H fun i => closedBall (p i) e r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} {ι : Type u_12} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (H : s.Nonempty) (e : E) (r : ℝ)
Goal: (s.sup' H p).closedBall e r = s.inf' H fun i => (p i).closedBall e r
-- Seminorm.ball_mono
theorem ball_mono {p : Seminorm 𝕜 E} {r₁ r₂ : ℝ} (h : r₁ ≤ r₂) : p.ball x r₁ ⊆ p.ball x r₂ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x : E} {p : Seminorm 𝕜 E} {r₁ r₂ : ℝ} (h : r₁ ≤ r₂)
Goal: p.ball x r₁ ⊆ p.ball x r₂
-- Seminorm.closedBall_mono
theorem closedBall_mono {p : Seminorm 𝕜 E} {r₁ r₂ : ℝ} (h : r₁ ≤ r₂) :
    p.closedBall x r₁ ⊆ p.closedBall x r₂ 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x : E} {p : Seminorm 𝕜 E} {r₁ r₂ : ℝ} (h : r₁ ≤ r₂)
Goal: p.closedBall x r₁ ⊆ p.closedBall x r₂
-- Seminorm.ball_antitone
theorem ball_antitone {p q : Seminorm 𝕜 E} (h : q ≤ p) : p.ball x r ⊆ q.ball x r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x : E} {r : ℝ} {p q : Seminorm 𝕜 E} (h : q ≤ p)
Goal: p.ball x r ⊆ q.ball x r
-- Seminorm.closedBall_antitone
theorem closedBall_antitone {p q : Seminorm 𝕜 E} (h : q ≤ p) :
    p.closedBall x r ⊆ q.closedBall x r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x : E} {r : ℝ} {p q : Seminorm 𝕜 E} (h : q ≤ p)
Goal: p.closedBall x r ⊆ q.closedBall x r
-- Seminorm.ball_add_ball_subset
theorem ball_add_ball_subset (p : Seminorm 𝕜 E) (r₁ r₂ : ℝ) (x₁ x₂ : E) :
    p.ball (x₁ : E) r₁ + p.ball (x₂ : E) r₂ ⊆ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (r₁ r₂ : ℝ) (x₁ x₂ : E)
Goal: p.ball x₁ r₁ + p.ball x₂ r₂ ⊆ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
-- Seminorm.closedBall_add_closedBall_subset
theorem closedBall_add_closedBall_subset (p : Seminorm 𝕜 E) (r₁ r₂ : ℝ) (x₁ x₂ : E) :
    p.closedBall (x₁ : E) r₁ + p.closedBall (x₂ : E) r₂ ⊆ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂) 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (r₁ r₂ : ℝ) (x₁ x₂ : E)
Goal: p.closedBall x₁ r₁ + p.closedBall x₂ r₂ ⊆ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
-- Seminorm.sub_mem_ball
theorem sub_mem_ball (p : Seminorm 𝕜 E) (x₁ x₂ y : E) (r : ℝ) :
    x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) (x₁ x₂ y : E) (r : ℝ)
Goal: x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r
-- Seminorm.vadd_ball
theorem vadd_ball (p : Seminorm 𝕜 E) : x +ᵥ p.ball y r = p.ball (x +ᵥ y) r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x y : E} {r : ℝ} (p : Seminorm 𝕜 E)
Goal: x +ᵥ p.ball y r = p.ball (x +ᵥ y) r
-- Seminorm.vadd_closedBall
theorem vadd_closedBall (p : Seminorm 𝕜 E) : x +ᵥ p.closedBall y r = p.closedBall (x +ᵥ y) r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [SMul 𝕜 E] {x y : E} {r : ℝ} (p : Seminorm 𝕜 E)
Goal: x +ᵥ p.closedBall y r = p.closedBall (x +ᵥ y) r
-- Seminorm.ball_comp
theorem ball_comp (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) (r : ℝ) :
    (p.comp f).ball x r = f ⁻¹' p.ball (f x) r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [SeminormedRing 𝕜₂] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜₂ E₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) (r : ℝ)
Goal: (p.comp f).ball x r = ⇑f ⁻¹' p.ball (f x) r
-- Seminorm.closedBall_comp
theorem closedBall_comp (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) (r : ℝ) :
    (p.comp f).closedBall x r = f ⁻¹' p.closedBall (f x) r 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {𝕜₂ : Type u_4} {E : Type u_7} {E₂ : Type u_8} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [SeminormedRing 𝕜₂] [AddCommGroup E₂] [Module 𝕜₂ E₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} [RingHomIsometric σ₁₂] (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) (r : ℝ)
Goal: (p.comp f).closedBall x r = ⇑f ⁻¹' p.closedBall (f x) r
-- Seminorm.preimage_metric_ball
theorem preimage_metric_ball {r : ℝ} : p ⁻¹' Metric.ball 0 r = { x | p x < r } 
Arguments: {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_7} [SeminormedRing 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] (p : Seminorm 𝕜 E) {r : ℝ}
Goal: ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r = {x | p x < r}