ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Filter.HasBasis.restrict
theorem HasBasis.restrict (h : l.HasBasis p s) {q : ι → Prop}
    (hq : ∀ i, p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i) : l.HasBasis (fun i => p i ∧ q i) s 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s) {q : ι → Prop} (hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i)
Goal: l.HasBasis (fun i => p i ∧ q i) s
-- Filter.HasBasis.restrict_subset
theorem HasBasis.restrict_subset (h : l.HasBasis p s) {V : Set α} (hV : V ∈ l) :
    l.HasBasis (fun i => p i ∧ s i ⊆ V) s 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s) {V : Set α} (hV : V ∈ l)
Goal: l.HasBasis (fun i => p i ∧ s i ⊆ V) s
-- Filter.HasBasis.hasBasis_self_subset
theorem HasBasis.hasBasis_self_subset {p : Set α → Prop} (h : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s) id)
    {V : Set α} (hV : V ∈ l) : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s ∧ s ⊆ V) id 
Arguments: {α : Type u_1} {l : Filter α} {p : Set α → Prop} (h : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s) id) {V : Set α} (hV : V ∈ l)
Goal: l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s ∧ s ⊆ V) id
-- Filter.HasBasis.ge_iff
theorem HasBasis.ge_iff (hl' : l'.HasBasis p' s') : l ≤ l' ↔ ∀ i', p' i' → s' i' ∈ l 
Arguments: {α : Type u_1} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
-- Filter.HasBasis.le_iff
theorem HasBasis.le_iff (hl : l.HasBasis p s) : l ≤ l' ↔ ∀ t ∈ l', ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s)
Goal: l ≤ l' ↔ ∀ t ∈ l', ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
-- Filter.HasBasis.le_basis_iff
theorem HasBasis.le_basis_iff (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    l ≤ l' ↔ ∀ i', p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i' 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
-- Filter.HasBasis.ext
theorem HasBasis.ext (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
    (h : ∀ i, p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i) (h' : ∀ i', p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i') :
    l = l' 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') (h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i) (h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i')
Goal: l = l'
-- Filter.HasBasis.inf'
theorem HasBasis.inf' (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    (l ⊓ l').HasBasis (fun i : PProd ι ι' => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∩ s' i.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: (l ⊓ l').HasBasis (fun i => p i.fst ∧ p' i.snd) fun i => s i.fst ∩ s' i.snd
-- Filter.HasBasis.inf
theorem HasBasis.inf {ι ι' : Type*} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop}
    {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    (l ⊓ l').HasBasis (fun i : ι × ι' => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∩ s' i.2 
Arguments: {α : Type u_1} {l l' : Filter α} {ι : Type u_6} {ι' : Type u_7} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: (l ⊓ l').HasBasis (fun i => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∩ s' i.2
-- Filter.hasBasis_iInf'
theorem hasBasis_iInf' {ι : Type*} {ι' : ι → Type*} {l : ι → Filter α} {p : ∀ i, ι' i → Prop}
    {s : ∀ i, ι' i → Set α} (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    (⨅ i, l i).HasBasis (fun If : Set ι × ∀ i, ι' i => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, p i (If.2 i))
      fun If : Set ι × ∀ i, ι' i => ⋂ i ∈ If.1, s i (If.2 i) 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : ι → Type u_7} {l : ι → Filter α} {p : (i : ι) → ι' i → Prop} {s : (i : ι) → ι' i → Set α} (hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i))
Goal: (⨅ i, l i).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, p i (If.2 i)) fun If => ⋂ i ∈ If.1, s i (If.2 i)
-- Filter.hasBasis_iInf
theorem hasBasis_iInf {ι : Type*} {ι' : ι → Type*} {l : ι → Filter α} {p : ∀ i, ι' i → Prop}
    {s : ∀ i, ι' i → Set α} (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    (⨅ i, l i).HasBasis
      (fun If : Σ I : Set ι, ∀ i : I, ι' i => If.1.Finite ∧ ∀ i : If.1, p i (If.2 i)) fun If =>
      ⋂ i : If.1, s i (If.2 i) 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : ι → Type u_7} {l : ι → Filter α} {p : (i : ι) → ι' i → Prop} {s : (i : ι) → ι' i → Set α} (hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i))
Goal: (⨅ i, l i).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), p (↑i) (If.snd i)) fun If => ⋂ i, s (↑i) (If.snd i)
-- Filter.hasBasis_iInf_of_directed'
theorem hasBasis_iInf_of_directed' {ι : Type*} {ι' : ι → Sort _} [Nonempty ι] {l : ι → Filter α}
    (s : ∀ i, ι' i → Set α) (p : ∀ i, ι' i → Prop) (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i))
    (h : Directed (· ≥ ·) l) :
    (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' : Σi, ι' i => p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : ι → Type u_7} [Nonempty ι] {l : ι → Filter α} (s : (i : ι) → ι' i → Set α) (p : (i : ι) → ι' i → Prop) (hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l)
Goal: (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' => p ii'.fst ii'.snd) fun ii' => s ii'.fst ii'.snd
-- Filter.hasBasis_iInf_of_directed
theorem hasBasis_iInf_of_directed {ι : Type*} {ι' : Sort _} [Nonempty ι] {l : ι → Filter α}
    (s : ι → ι' → Set α) (p : ι → ι' → Prop) (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i))
    (h : Directed (· ≥ ·) l) :
    (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' : ι × ι' => p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : Type u_7} [Nonempty ι] {l : ι → Filter α} (s : ι → ι' → Set α) (p : ι → ι' → Prop) (hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l)
Goal: (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' => p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2
-- Filter.hasBasis_biInf_of_directed'
theorem hasBasis_biInf_of_directed' {ι : Type*} {ι' : ι → Sort _} {dom : Set ι}
    (hdom : dom.Nonempty) {l : ι → Filter α} (s : ∀ i, ι' i → Set α) (p : ∀ i, ι' i → Prop)
    (hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom) :
    (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' : Σi, ι' i => ii'.1 ∈ dom ∧ p ii'.1 ii'.2) fun ii' =>
      s ii'.1 ii'.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : ι → Type u_7} {dom : Set ι} (hdom : dom.Nonempty) {l : ι → Filter α} (s : (i : ι) → ι' i → Set α) (p : (i : ι) → ι' i → Prop) (hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom)
Goal: (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' => ii'.fst ∈ dom ∧ p ii'.fst ii'.snd) fun ii' => s ii'.fst ii'.snd
-- Filter.hasBasis_biInf_of_directed
theorem hasBasis_biInf_of_directed {ι : Type*} {ι' : Sort _} {dom : Set ι} (hdom : dom.Nonempty)
    {l : ι → Filter α} (s : ι → ι' → Set α) (p : ι → ι' → Prop)
    (hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom) :
    (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' : ι × ι' => ii'.1 ∈ dom ∧ p ii'.1 ii'.2) fun ii' =>
      s ii'.1 ii'.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {ι' : Type u_7} {dom : Set ι} (hdom : dom.Nonempty) {l : ι → Filter α} (s : ι → ι' → Set α) (p : ι → ι' → Prop) (hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)) (h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom)
Goal: (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' => ii'.1 ∈ dom ∧ p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2
-- Filter.hasBasis_principal
theorem hasBasis_principal (t : Set α) : (𝓟 t).HasBasis (fun _ : Unit => True) fun _ => t 
Arguments: {α : Type u_1} (t : Set α)
Goal: (𝓟 t).HasBasis (fun x => True) fun x => t
-- Filter.hasBasis_pure
theorem hasBasis_pure (x : α) :
    (pure x : Filter α).HasBasis (fun _ : Unit => True) fun _ => {x} 
Arguments: {α : Type u_1} (x : α)
Goal: (pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
-- Filter.HasBasis.sup'
theorem HasBasis.sup' (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    (l ⊔ l').HasBasis (fun i : PProd ι ι' => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∪ s' i.2 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: (l ⊔ l').HasBasis (fun i => p i.fst ∧ p' i.snd) fun i => s i.fst ∪ s' i.snd
-- Filter.HasBasis.sup
theorem HasBasis.sup {ι ι' : Type*} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop}
    {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    (l ⊔ l').HasBasis (fun i : ι × ι' => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∪ s' i.2 
Arguments: {α : Type u_1} {l l' : Filter α} {ι : Type u_6} {ι' : Type u_7} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: (l ⊔ l').HasBasis (fun i => p i.1 ∧ p' i.2) fun i => s i.1 ∪ s' i.2
-- Filter.hasBasis_iSup
theorem hasBasis_iSup {ι : Sort*} {ι' : ι → Type*} {l : ι → Filter α} {p : ∀ i, ι' i → Prop}
    {s : ∀ i, ι' i → Set α} (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    (⨆ i, l i).HasBasis (fun f : ∀ i, ι' i => ∀ i, p i (f i)) fun f : ∀ i, ι' i => ⋃ i, s i (f i) 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_6} {ι' : ι → Type u_7} {l : ι → Filter α} {p : (i : ι) → ι' i → Prop} {s : (i : ι) → ι' i → Set α} (hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i))
Goal: (⨆ i, l i).HasBasis (fun f => ∀ (i : ι), p i (f i)) fun f => ⋃ i, s i (f i)
-- Filter.HasBasis.sup_principal
theorem HasBasis.sup_principal (hl : l.HasBasis p s) (t : Set α) :
    (l ⊔ 𝓟 t).HasBasis p fun i => s i ∪ t 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (t : Set α)
Goal: (l ⊔ 𝓟 t).HasBasis p fun i => s i ∪ t
-- Filter.HasBasis.sup_pure
theorem HasBasis.sup_pure (hl : l.HasBasis p s) (x : α) :
    (l ⊔ pure x).HasBasis p fun i => s i ∪ {x} 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (x : α)
Goal: (l ⊔ pure x).HasBasis p fun i => s i ∪ {x}
-- Filter.HasBasis.inf_principal
theorem HasBasis.inf_principal (hl : l.HasBasis p s) (s' : Set α) :
    (l ⊓ 𝓟 s').HasBasis p fun i => s i ∩ s' 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (s' : Set α)
Goal: (l ⊓ 𝓟 s').HasBasis p fun i => s i ∩ s'
-- Filter.HasBasis.principal_inf
theorem HasBasis.principal_inf (hl : l.HasBasis p s) (s' : Set α) :
    (𝓟 s' ⊓ l).HasBasis p fun i => s' ∩ s i 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (s' : Set α)
Goal: (𝓟 s' ⊓ l).HasBasis p fun i => s' ∩ s i
-- Filter.HasBasis.inf_basis_neBot_iff
theorem HasBasis.inf_basis_neBot_iff (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    NeBot (l ⊓ l') ↔ ∀ ⦃i⦄, p i → ∀ ⦃i'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: (l ⊓ l').NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃i' : ι'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty
-- Filter.HasBasis.inf_neBot_iff
theorem HasBasis.inf_neBot_iff (hl : l.HasBasis p s) :
    NeBot (l ⊓ l') ↔ ∀ ⦃i⦄, p i → ∀ ⦃s'⦄, s' ∈ l' → (s i ∩ s').Nonempty 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s)
Goal: (l ⊓ l').NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃s' : Set α⦄, s' ∈ l' → (s i ∩ s').Nonempty
-- Filter.HasBasis.inf_principal_neBot_iff
theorem HasBasis.inf_principal_neBot_iff (hl : l.HasBasis p s) {t : Set α} :
    NeBot (l ⊓ 𝓟 t) ↔ ∀ ⦃i⦄, p i → (s i ∩ t).Nonempty 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (hl : l.HasBasis p s) {t : Set α}
Goal: (l ⊓ 𝓟 t).NeBot ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → (s i ∩ t).Nonempty
-- Filter.HasBasis.disjoint_iff
theorem HasBasis.disjoint_iff (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s') :
    Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i') 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
-- Disjoint.exists_mem_filter_basis
theorem _root_.Disjoint.exists_mem_filter_basis (h : Disjoint l l') (hl : l.HasBasis p s)
    (hl' : l'.HasBasis p' s') : ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i') 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {ι' : Sort u_5} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {p' : ι' → Prop} {s' : ι' → Set α} (h : Disjoint l l') (hl : l.HasBasis p s) (hl' : l'.HasBasis p' s')
Goal: ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
-- Pairwise.exists_mem_filter_basis_of_disjoint
theorem _root_.Pairwise.exists_mem_filter_basis_of_disjoint {I} [Finite I] {l : I → Filter α}
    {ι : I → Sort*} {p : ∀ i, ι i → Prop} {s : ∀ i, ι i → Set α} (hd : Pairwise (Disjoint on l))
    (h : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    ∃ ind : ∀ i, ι i, (∀ i, p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i)) 
Arguments: {α : Type u_1} {I : Type u_7} [Finite I] {l : I → Filter α} {ι : I → Sort u_6} {p : (i : I) → ι i → Prop} {s : (i : I) → ι i → Set α} (hd : Pairwise (Disjoint on l)) (h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i))
Goal: ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
-- Set.PairwiseDisjoint.exists_mem_filter_basis
theorem _root_.Set.PairwiseDisjoint.exists_mem_filter_basis {I : Type*} {l : I → Filter α}
    {ι : I → Sort*} {p : ∀ i, ι i → Prop} {s : ∀ i, ι i → Set α} {S : Set I}
    (hd : S.PairwiseDisjoint l) (hS : S.Finite) (h : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    ∃ ind : ∀ i, ι i, (∀ i, p i (ind i)) ∧ S.PairwiseDisjoint fun i => s i (ind i) 
Arguments: {α : Type u_1} {I : Type u_6} {l : I → Filter α} {ι : I → Sort u_7} {p : (i : I) → ι i → Prop} {s : (i : I) → ι i → Set α} {S : Set I} (hd : S.PairwiseDisjoint l) (hS : S.Finite) (h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i))
Goal: ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ S.PairwiseDisjoint fun i => s i (ind i)
-- Filter.inf_neBot_iff
theorem inf_neBot_iff :
    NeBot (l ⊓ l') ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ l → ∀ ⦃s'⦄, s' ∈ l' → (s ∩ s').Nonempty 
Arguments: {α : Type u_1} {l l' : Filter α}
Goal: (l ⊓ l').NeBot ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ l → ∀ ⦃s' : Set α⦄, s' ∈ l' → (s ∩ s').Nonempty
-- Filter.inf_principal_neBot_iff
theorem inf_principal_neBot_iff {s : Set α} : NeBot (l ⊓ 𝓟 s) ↔ ∀ U ∈ l, (U ∩ s).Nonempty 
Arguments: {α : Type u_1} {l : Filter α} {s : Set α}
Goal: (l ⊓ 𝓟 s).NeBot ↔ ∀ U ∈ l, (U ∩ s).Nonempty
-- Filter.mem_iff_inf_principal_compl
theorem mem_iff_inf_principal_compl {f : Filter α} {s : Set α} : s ∈ f ↔ f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥ 
Arguments: {α : Type u_1} {f : Filter α} {s : Set α}
Goal: s ∈ f ↔ f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
-- Filter.not_mem_iff_inf_principal_compl
theorem not_mem_iff_inf_principal_compl {f : Filter α} {s : Set α} : s ∉ f ↔ NeBot (f ⊓ 𝓟 sᶜ) 
Arguments: {α : Type u_1} {f : Filter α} {s : Set α}
Goal: s ∉ f ↔ (f ⊓ 𝓟 sᶜ).NeBot
-- Filter.disjoint_principal_right
@[simp]
theorem disjoint_principal_right {f : Filter α} {s : Set α} : Disjoint f (𝓟 s) ↔ sᶜ ∈ f 
Arguments: {α : Type u_1} {f : Filter α} {s : Set α}
Goal: Disjoint f (𝓟 s) ↔ sᶜ ∈ f
-- Filter.disjoint_principal_left
@[simp]
theorem disjoint_principal_left {f : Filter α} {s : Set α} : Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f 
Arguments: {α : Type u_1} {f : Filter α} {s : Set α}
Goal: Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f
-- Filter.disjoint_principal_principal
@[simp 1100] -- Porting note: higher priority for linter
theorem disjoint_principal_principal {s t : Set α} : Disjoint (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s t 
Arguments: {α : Type u_1} {s t : Set α}
Goal: Disjoint (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s t
-- Filter.disjoint_pure_pure
@[simp]
theorem disjoint_pure_pure {x y : α} : Disjoint (pure x : Filter α) (pure y) ↔ x ≠ y 
Arguments: {α : Type u_1} {x y : α}
Goal: Disjoint (pure x) (pure y) ↔ x ≠ y
-- Filter.compl_diagonal_mem_prod
@[simp]
theorem compl_diagonal_mem_prod {l₁ l₂ : Filter α} : (diagonal α)ᶜ ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ Disjoint l₁ l₂ 
Arguments: {α : Type u_1} {l₁ l₂ : Filter α}
Goal: (Set.diagonal α)ᶜ ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ Disjoint l₁ l₂
-- Filter.HasBasis.disjoint_iff_left
theorem HasBasis.disjoint_iff_left (h : l.HasBasis p s) :
    Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l' 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s)
Goal: Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l'
-- Filter.HasBasis.disjoint_iff_right
theorem HasBasis.disjoint_iff_right (h : l.HasBasis p s) :
    Disjoint l' l ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l' 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l l' : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s)
Goal: Disjoint l' l ↔ ∃ i, p i ∧ (s i)ᶜ ∈ l'
-- Filter.le_iff_forall_inf_principal_compl
theorem le_iff_forall_inf_principal_compl {f g : Filter α} : f ≤ g ↔ ∀ V ∈ g, f ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥ 
Arguments: {α : Type u_1} {f g : Filter α}
Goal: f ≤ g ↔ ∀ V ∈ g, f ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
-- Filter.inf_neBot_iff_frequently_left
theorem inf_neBot_iff_frequently_left {f g : Filter α} :
    NeBot (f ⊓ g) ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ x in f, p x) → ∃ᶠ x in g, p x 
Arguments: {α : Type u_1} {f g : Filter α}
Goal: (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in g, p x
-- Filter.inf_neBot_iff_frequently_right
theorem inf_neBot_iff_frequently_right {f g : Filter α} :
    NeBot (f ⊓ g) ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ x in g, p x) → ∃ᶠ x in f, p x 
Arguments: {α : Type u_1} {f g : Filter α}
Goal: (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x
-- Filter.HasBasis.eq_biInf
theorem HasBasis.eq_biInf (h : l.HasBasis p s) : l = ⨅ (i) (_ : p i), 𝓟 (s i) 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s)
Goal: l = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (s i)
-- Filter.HasBasis.eq_iInf
theorem HasBasis.eq_iInf (h : l.HasBasis (fun _ => True) s) : l = ⨅ i, 𝓟 (s i) 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis (fun x => True) s)
Goal: l = ⨅ i, 𝓟 (s i)
-- Filter.hasBasis_iInf_principal
theorem hasBasis_iInf_principal {s : ι → Set α} (h : Directed (· ≥ ·) s) [Nonempty ι] :
    (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun _ => True) s 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {s : ι → Set α} (h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) s) [Nonempty ι]
Goal: (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun x => True) s
-- Filter.hasBasis_iInf_principal_finite
theorem hasBasis_iInf_principal_finite {ι : Type*} (s : ι → Set α) :
    (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t : Set ι => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} (s : ι → Set α)
Goal: (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i
-- Filter.hasBasis_biInf_principal
theorem hasBasis_biInf_principal {s : β → Set α} {S : Set β} (h : DirectedOn (s ⁻¹'o (· ≥ ·)) S)
    (ne : S.Nonempty) : (⨅ i ∈ S, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun i => i ∈ S) s 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : β → Set α} {S : Set β} (h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S) (ne : S.Nonempty)
Goal: (⨅ i ∈ S, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun i => i ∈ S) s
-- Filter.hasBasis_biInf_principal'
theorem hasBasis_biInf_principal' {ι : Type*} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α}
    (h : ∀ i, p i → ∀ j, p j → ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i ∧ s k ⊆ s j) (ne : ∃ i, p i) :
    (⨅ (i) (_ : p i), 𝓟 (s i)).HasBasis p s 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_6} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι), p j → ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i ∧ s k ⊆ s j) (ne : ∃ i, p i)
Goal: (⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (s i)).HasBasis p s
-- Filter.HasBasis.map
theorem HasBasis.map (f : α → β) (hl : l.HasBasis p s) : (l.map f).HasBasis p fun i => f '' s i 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (f : α → β) (hl : l.HasBasis p s)
Goal: (Filter.map f l).HasBasis p fun i => f '' s i
-- Filter.HasBasis.comap
theorem HasBasis.comap (f : β → α) (hl : l.HasBasis p s) :
    (l.comap f).HasBasis p fun i => f ⁻¹' s i 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (f : β → α) (hl : l.HasBasis p s)
Goal: (Filter.comap f l).HasBasis p fun i => f ⁻¹' s i
-- Filter.comap_hasBasis
theorem comap_hasBasis (f : α → β) (l : Filter β) :
    HasBasis (comap f l) (fun s : Set β => s ∈ l) fun s => f ⁻¹' s 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (l : Filter β)
Goal: (Filter.comap f l).HasBasis (fun s => s ∈ l) fun s => f ⁻¹' s
-- Filter.HasBasis.forall_mem_mem
theorem HasBasis.forall_mem_mem (h : HasBasis l p s) {x : α} :
    (∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ i, p i → x ∈ s i 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s) {x : α}
Goal: (∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
-- Filter.HasBasis.biInf_mem
protected theorem HasBasis.biInf_mem [CompleteLattice β] {f : Set α → β} (h : HasBasis l p s)
    (hf : Monotone f) : ⨅ t ∈ l, f t = ⨅ (i) (_ : p i), f (s i) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} [CompleteLattice β] {f : Set α → β} (h : l.HasBasis p s) (hf : Monotone f)
Goal: ⨅ t ∈ l, f t = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), f (s i)
-- Filter.HasBasis.biInter_mem
protected theorem HasBasis.biInter_mem {f : Set α → Set β} (h : HasBasis l p s) (hf : Monotone f) :
    ⋂ t ∈ l, f t = ⋂ (i) (_ : p i), f (s i) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} {f : Set α → Set β} (h : l.HasBasis p s) (hf : Monotone f)
Goal: ⋂ t ∈ l, f t = ⋂ i, ⋂ (_ : p i), f (s i)
-- Filter.HasBasis.ker
protected theorem HasBasis.ker (h : HasBasis l p s) : l.ker = ⋂ (i) (_ : p i), s i 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} {l : Filter α} {p : ι → Prop} {s : ι → Set α} (h : l.HasBasis p s)
Goal: l.ker = ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i
-- Filter.IsAntitoneBasis.antitone
structure IsAntitoneBasis extends IsBasis (fun _ => True) s'' : Prop where
    protected antitone : Antitone s''
Arguments: {α : Type u_1} {ι'' : Type u_6} [Preorder ι''] {s'' : ι'' → Set α} (self : Filter.IsAntitoneBasis s'')
Goal: Antitone s''
-- Filter.HasAntitoneBasis.antitone
structure HasAntitoneBasis (l : Filter α) (s : ι'' → Set α)
    extends HasBasis l (fun _ => True) s : Prop where
    protected antitone : Antitone s
Arguments: {α : Type u_1} {ι'' : Type u_6} [Preorder ι''] {l : Filter α} {s : ι'' → Set α} (self : l.HasAntitoneBasis s)
Goal: Antitone s
-- Filter.HasAntitoneBasis.map
protected theorem HasAntitoneBasis.map {l : Filter α} {s : ι'' → Set α}
    (hf : HasAntitoneBasis l s) (m : α → β) : HasAntitoneBasis (map m l) (m '' s ·) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι'' : Type u_6} [Preorder ι''] {l : Filter α} {s : ι'' → Set α} (hf : l.HasAntitoneBasis s) (m : α → β)
Goal: (Filter.map m l).HasAntitoneBasis fun x => m '' s x
-- Filter.HasAntitoneBasis.comap
protected theorem HasAntitoneBasis.comap {l : Filter α} {s : ι'' → Set α}
    (hf : HasAntitoneBasis l s) (m : β → α) : HasAntitoneBasis (comap m l) (m ⁻¹' s ·) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι'' : Type u_6} [Preorder ι''] {l : Filter α} {s : ι'' → Set α} (hf : l.HasAntitoneBasis s) (m : β → α)
Goal: (Filter.comap m l).HasAntitoneBasis fun x => m ⁻¹' s x
-- Filter.HasAntitoneBasis.iInf_principal
lemma HasAntitoneBasis.iInf_principal {ι : Type*} [Preorder ι] [Nonempty ι] [IsDirected ι (· ≤ ·)]
    {s : ι → Set α} (hs : Antitone s) : (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasAntitoneBasis s 
Arguments: {α : Type u_1} {ι : Type u_7} [Preorder ι] [Nonempty ι] [IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1] {s : ι → Set α} (hs : Antitone s)
Goal: (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasAntitoneBasis s
-- Filter.HasBasis.tendsto_left_iff
theorem HasBasis.tendsto_left_iff (hla : la.HasBasis pa sa) :
    Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {ι : Sort u_4} {la : Filter α} {pa : ι → Prop} {sa : ι → Set α} {lb : Filter β} {f : α → β} (hla : la.HasBasis pa sa)
Goal: Filter.Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ Set.MapsTo f (sa i) t