ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- LieSubmodule.orderIsoMapComap_apply
@[simps] def orderIsoMapComap (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M') :
    LieSubmodule R L M ≃o LieSubmodule R L M' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M') (N : LieSubmodule R L M)
Goal: (LieSubmodule.orderIsoMapComap e) N = LieSubmodule.map e.toLieModuleHom N
-- LieSubmodule.orderIsoMapComap_symm_apply
@[simps] def orderIsoMapComap (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M') :
    LieSubmodule R L M ≃o LieSubmodule R L M' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M') (N' : LieSubmodule R L M')
Goal: (RelIso.symm (LieSubmodule.orderIsoMapComap e)) N' = LieSubmodule.comap e.toLieModuleHom N'
-- LieIdeal.top_coe_lieSubalgebra
@[simp]
theorem top_coe_lieSubalgebra : ((⊤ : LieIdeal R L) : LieSubalgebra R L) = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L]
Goal: lieIdealSubalgebra R L ⊤ = ⊤
-- LieIdeal.map_coeSubmodule
@[simp]
theorem map_coeSubmodule (h : ↑(map f I) = f '' I) :
    LieSubmodule.toSubmodule (map f I) = (LieSubmodule.toSubmodule I).map (f : L →ₗ[R] L') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (I : LieIdeal R L) (h : ↑(LieIdeal.map f I) = ⇑f '' ↑I)
Goal: ↑(LieIdeal.map f I) = Submodule.map ↑f ↑I
-- LieIdeal.comap_coeSubmodule
@[simp]
theorem comap_coeSubmodule :
    (LieSubmodule.toSubmodule (comap f J)) = (LieSubmodule.toSubmodule J).comap (f : L →ₗ[R] L') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (J : LieIdeal R L')
Goal: ↑(LieIdeal.comap f J) = Submodule.comap ↑f ↑J
-- LieIdeal.map_le
theorem map_le : map f I ≤ J ↔ f '' I ⊆ J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (I : LieIdeal R L) (J : LieIdeal R L')
Goal: LieIdeal.map f I ≤ J ↔ ⇑f '' ↑I ⊆ ↑J
-- LieIdeal.mem_map
theorem mem_map {x : L} (hx : x ∈ I) : f x ∈ map f I 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} {x : L} (hx : x ∈ I)
Goal: f x ∈ LieIdeal.map f I
-- LieIdeal.mem_comap
@[simp]
theorem mem_comap {x : L} : x ∈ comap f J ↔ f x ∈ J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {J : LieIdeal R L'} {x : L}
Goal: x ∈ LieIdeal.comap f J ↔ f x ∈ J
-- LieIdeal.map_le_iff_le_comap
theorem map_le_iff_le_comap : map f I ≤ J ↔ I ≤ comap f J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} {J : LieIdeal R L'}
Goal: LieIdeal.map f I ≤ J ↔ I ≤ LieIdeal.comap f J
-- LieIdeal.gc_map_comap
theorem gc_map_comap : GaloisConnection (map f) (comap f) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: GaloisConnection (LieIdeal.map f) (LieIdeal.comap f)
-- LieIdeal.map_sup
@[simp]
theorem map_sup : (I ⊔ I₂).map f = I.map f ⊔ I₂.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I I₂ : LieIdeal R L}
Goal: LieIdeal.map f (I ⊔ I₂) = LieIdeal.map f I ⊔ LieIdeal.map f I₂
-- LieIdeal.map_comap_le
theorem map_comap_le : map f (comap f J) ≤ J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {J : LieIdeal R L'}
Goal: LieIdeal.map f (LieIdeal.comap f J) ≤ J
-- LieIdeal.comap_map_le
theorem comap_map_le : I ≤ comap f (map f I) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L}
Goal: I ≤ LieIdeal.comap f (LieIdeal.map f I)
-- LieIdeal.map_mono
@[mono]
theorem map_mono : Monotone (map f) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'}
Goal: Monotone (LieIdeal.map f)
-- LieIdeal.comap_mono
@[mono]
theorem comap_mono : Monotone (comap f) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'}
Goal: Monotone (LieIdeal.comap f)
-- LieIdeal.map_of_image
theorem map_of_image (h : f '' I = J) : I.map f = J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} {J : LieIdeal R L'} (h : ⇑f '' ↑I = ↑J)
Goal: LieIdeal.map f I = J
-- LieHom.idealRange_eq_lieSpan_range
theorem idealRange_eq_lieSpan_range : f.idealRange = LieSubmodule.lieSpan R L' f.range 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.idealRange = LieSubmodule.lieSpan R L' ↑f.range
-- LieHom.idealRange_eq_map
theorem idealRange_eq_map : f.idealRange = LieIdeal.map f ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.idealRange = LieIdeal.map f ⊤
-- LieHom.isIdealMorphism_def
@[simp]
theorem isIdealMorphism_def : f.IsIdealMorphism ↔ (f.idealRange : LieSubalgebra R L') = f.range 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.IsIdealMorphism ↔ lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
-- LieHom.IsIdealMorphism.eq
theorem IsIdealMorphism.eq (hf : f.IsIdealMorphism) : f.idealRange = f.range 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} (hf : f.IsIdealMorphism)
Goal: lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
-- LieHom.isIdealMorphism_iff
theorem isIdealMorphism_iff : f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z : L, ⁅x, f y⁆ = f z 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
-- LieHom.range_subset_idealRange
theorem range_subset_idealRange : (f.range : Set L') ⊆ f.idealRange 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: ↑f.range ⊆ ↑f.idealRange
-- LieHom.map_le_idealRange
theorem map_le_idealRange : I.map f ≤ f.idealRange 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (I : LieIdeal R L)
Goal: LieIdeal.map f I ≤ f.idealRange
-- LieHom.ker_le_comap
theorem ker_le_comap : f.ker ≤ J.comap f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (J : LieIdeal R L')
Goal: f.ker ≤ LieIdeal.comap f J
-- LieHom.ker_coeSubmodule
@[simp]
theorem ker_coeSubmodule : LieSubmodule.toSubmodule (ker f) = LinearMap.ker (f : L →ₗ[R] L') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: ↑f.ker = LinearMap.ker ↑f
-- LieHom.mem_ker
@[simp]
theorem mem_ker {x : L} : x ∈ ker f ↔ f x = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') {x : L}
Goal: x ∈ f.ker ↔ f x = 0
-- LieHom.mem_idealRange
theorem mem_idealRange (x : L) : f x ∈ idealRange f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (x : L)
Goal: f x ∈ f.idealRange
-- LieHom.mem_idealRange_iff
@[simp]
theorem mem_idealRange_iff (h : IsIdealMorphism f) {y : L'} :
    y ∈ idealRange f ↔ ∃ x : L, f x = y 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (h : f.IsIdealMorphism) {y : L'}
Goal: y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y
-- LieHom.le_ker_iff
theorem le_ker_iff : I ≤ f.ker ↔ ∀ x, x ∈ I → f x = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (I : LieIdeal R L)
Goal: I ≤ f.ker ↔ ∀ x ∈ I, f x = 0
-- LieHom.ker_eq_bot
theorem ker_eq_bot : f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
-- LieHom.range_coeSubmodule
@[simp]
theorem range_coeSubmodule : (f.range : Submodule R L') = LinearMap.range (f : L →ₗ[R] L') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.range.toSubmodule = LinearMap.range ↑f
-- LieHom.range_eq_top
theorem range_eq_top : f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L')
Goal: f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
-- LieHom.idealRange_eq_top_of_surjective
@[simp]
theorem idealRange_eq_top_of_surjective (h : Function.Surjective f) : f.idealRange = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (h : Function.Surjective ⇑f)
Goal: f.idealRange = ⊤
-- LieHom.isIdealMorphism_of_surjective
theorem isIdealMorphism_of_surjective (h : Function.Surjective f) : f.IsIdealMorphism 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] (f : L →ₗ⁅R⁆ L') (h : Function.Surjective ⇑f)
Goal: f.IsIdealMorphism
-- LieIdeal.map_eq_bot_iff
@[simp]
theorem map_eq_bot_iff : I.map f = ⊥ ↔ I ≤ f.ker 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L}
Goal: LieIdeal.map f I = ⊥ ↔ I ≤ f.ker
-- LieIdeal.coe_map_of_surjective
theorem coe_map_of_surjective (h : Function.Surjective f) :
    LieSubmodule.toSubmodule (I.map f) = (LieSubmodule.toSubmodule I).map (f : L →ₗ[R] L') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} (h : Function.Surjective ⇑f)
Goal: ↑(LieIdeal.map f I) = Submodule.map ↑f ↑I
-- LieIdeal.mem_map_of_surjective
theorem mem_map_of_surjective {y : L'} (h₁ : Function.Surjective f) (h₂ : y ∈ I.map f) :
    ∃ x : I, f x = y 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} {y : L'} (h₁ : Function.Surjective ⇑f) (h₂ : y ∈ LieIdeal.map f I)
Goal: ∃ x, f ↑x = y
-- LieIdeal.bot_of_map_eq_bot
theorem bot_of_map_eq_bot {I : LieIdeal R L} (h₁ : Function.Injective f) (h₂ : I.map f = ⊥) :
    I = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} (h₁ : Function.Injective ⇑f) (h₂ : LieIdeal.map f I = ⊥)
Goal: I = ⊥
-- LieIdeal.coe_inclusion
@[simp]
theorem coe_inclusion {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂) (x : I₁) : (inclusion h x : L) = x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂) (x : ↥I₁)
Goal: ↑((LieIdeal.inclusion h) x) = ↑x
-- LieIdeal.inclusion_apply
theorem inclusion_apply {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂) (x : I₁) :
    inclusion h x = ⟨x.1, h x.2⟩ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂) (x : ↥I₁)
Goal: (LieIdeal.inclusion h) x = ⟨↑x, ⋯⟩
-- LieIdeal.inclusion_injective
theorem inclusion_injective {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂) :
    Function.Injective (inclusion h) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {I₁ I₂ : LieIdeal R L} (h : I₁ ≤ I₂)
Goal: Function.Injective ⇑(LieIdeal.inclusion h)
-- LieIdeal.map_sup_ker_eq_map
theorem map_sup_ker_eq_map : LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) = LieIdeal.map f I 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L}
Goal: LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) = LieIdeal.map f I
-- LieIdeal.map_sup_ker_eq_map'
@[simp]
theorem map_sup_ker_eq_map' :
    LieIdeal.map f I ⊔ LieIdeal.map f (LieHom.ker f) = LieIdeal.map f I 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L}
Goal: LieIdeal.map f I ⊔ LieIdeal.map f f.ker = LieIdeal.map f I
-- LieIdeal.map_comap_eq
@[simp]
theorem map_comap_eq (h : f.IsIdealMorphism) : map f (comap f J) = f.idealRange ⊓ J 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {J : LieIdeal R L'} (h : f.IsIdealMorphism)
Goal: LieIdeal.map f (LieIdeal.comap f J) = f.idealRange ⊓ J
-- LieIdeal.comap_map_eq
@[simp]
theorem comap_map_eq (h : ↑(map f I) = f '' I) : comap f (map f I) = I ⊔ f.ker 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {L' : Type w₂} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] [LieRing L'] [LieAlgebra R L'] {f : L →ₗ⁅R⁆ L'} {I : LieIdeal R L} (h : ↑(LieIdeal.map f I) = ⇑f '' ↑I)
Goal: LieIdeal.comap f (LieIdeal.map f I) = I ⊔ f.ker
-- LieIdeal.incl_range
@[simp]
theorem incl_range : I.incl.range = I 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: I.incl.range = lieIdealSubalgebra R L I
-- LieIdeal.incl_apply
@[simp]
theorem incl_apply (x : I) : I.incl x = x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L) (x : ↥I)
Goal: I.incl x = ↑x
-- LieIdeal.incl_coe
@[simp]
theorem incl_coe : (I.incl.toLinearMap : I →ₗ[R] L) = (I : Submodule R L).subtype 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: ↑I.incl = (lieIdealSubalgebra R L I).subtype
-- LieIdeal.incl_injective
lemma incl_injective (I : LieIdeal R L) : Function.Injective I.incl 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: Function.Injective ⇑I.incl
-- LieIdeal.comap_incl_self
@[simp]
theorem comap_incl_self : comap I.incl I = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: LieIdeal.comap I.incl I = ⊤
-- LieIdeal.ker_incl
@[simp]
theorem ker_incl : I.incl.ker = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: I.incl.ker = ⊥
-- LieIdeal.incl_idealRange
@[simp]
theorem incl_idealRange : I.incl.idealRange = I 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: I.incl.idealRange = I
-- LieIdeal.incl_isIdealMorphism
theorem incl_isIdealMorphism : I.incl.IsIdealMorphism 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: I.incl.IsIdealMorphism
-- LieModuleHom.ker_coeSubmodule
@[simp]
theorem ker_coeSubmodule : (f.ker : Submodule R M) = LinearMap.ker (f : M →ₗ[R] N) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: ↑f.ker = LinearMap.ker ↑f
-- LieModuleHom.ker_eq_bot
theorem ker_eq_bot : f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
-- LieModuleHom.mem_ker
@[simp]
theorem mem_ker (m : M) : m ∈ f.ker ↔ f m = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ N} (m : M)
Goal: m ∈ f.ker ↔ f m = 0
-- LieModuleHom.ker_id
@[simp]
theorem ker_id : (LieModuleHom.id : M →ₗ⁅R,L⁆ M).ker = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: LieModuleHom.id.ker = ⊥
-- LieModuleHom.comp_ker_incl
@[simp]
theorem comp_ker_incl : f.comp f.ker.incl = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ N}
Goal: f.comp f.ker.incl = 0
-- LieModuleHom.le_ker_iff_map
theorem le_ker_iff_map (M' : LieSubmodule R L M) : M' ≤ f.ker ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ N} (M' : LieSubmodule R L M)
Goal: M' ≤ f.ker ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥
-- LieModuleHom.coe_range
@[simp]
theorem coe_range : (f.range : Set N) = Set.range f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: ↑f.range = Set.range ⇑f
-- LieModuleHom.coeSubmodule_range
@[simp]
theorem coeSubmodule_range : (f.range : Submodule R N) = LinearMap.range (f : M →ₗ[R] N) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: ↑f.range = LinearMap.range ↑f
-- LieModuleHom.mem_range
@[simp]
theorem mem_range (n : N) : n ∈ f.range ↔ ∃ m, f m = n 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N) (n : N)
Goal: n ∈ f.range ↔ ∃ m, f m = n
-- LieModuleHom.map_top
@[simp]
theorem map_top : LieSubmodule.map f ⊤ = f.range 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: LieSubmodule.map f ⊤ = f.range
-- LieModuleHom.range_eq_top
theorem range_eq_top : f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N)
Goal: f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
-- LieModuleHom.codRestrict_apply
@[simp]
lemma codRestrict_apply (P : LieSubmodule R L N) (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N) (h : ∀ m, f m ∈ P) (m : M) :
    (f.codRestrict P h m : N) = f m 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {N : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup N] [Module R N] [LieRingModule L N] (P : LieSubmodule R L N) (f : M →ₗ⁅R,L⁆ N) (h : ∀ (m : M), f m ∈ P) (m : M)
Goal: ↑((LieModuleHom.codRestrict P f h) m) = f m
-- LieSubmodule.ker_incl
@[simp]
theorem ker_incl : N.incl.ker = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: N.incl.ker = ⊥
-- LieSubmodule.range_incl
@[simp]
theorem range_incl : N.incl.range = N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: N.incl.range = N
-- LieSubmodule.comap_incl_self
@[simp]
theorem comap_incl_self : comap N.incl N = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: LieSubmodule.comap N.incl N = ⊤
-- LieSubmodule.map_incl_top
theorem map_incl_top : (⊤ : LieSubmodule R L N).map N.incl = N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: LieSubmodule.map N.incl ⊤ = N
-- LieSubmodule.map_le_range
@[simp]
lemma map_le_range {M' : Type*}
    [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M') :
    N.map f ≤ f.range 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : LieSubmodule R L M} {M' : Type u_1} [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M')
Goal: LieSubmodule.map f N ≤ f.range
-- LieSubmodule.map_incl_lt_iff_lt_top
@[simp]
lemma map_incl_lt_iff_lt_top {N' : LieSubmodule R L N} :
    N'.map (LieSubmodule.incl N) < N ↔ N' < ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : LieSubmodule R L M} {N' : LieSubmodule R L ↥↑N}
Goal: LieSubmodule.map N.incl N' < N ↔ N' < ⊤
-- LieSubmodule.map_incl_le
@[simp]
lemma map_incl_le {N' : LieSubmodule R L N} :
    N'.map N.incl ≤ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : LieSubmodule R L M} {N' : LieSubmodule R L ↥↑N}
Goal: LieSubmodule.map N.incl N' ≤ N
-- LieSubalgebra.topEquiv_apply
@[simp]
theorem LieSubalgebra.topEquiv_apply (x : (⊤ : LieSubalgebra R L)) : LieSubalgebra.topEquiv x = x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (x : ↥⊤)
Goal: LieSubalgebra.topEquiv x = ↑x
-- LieIdeal.topEquiv_apply
@[simp, nolint simpNF]
theorem LieIdeal.topEquiv_apply (x : (⊤ : LieIdeal R L)) : LieIdeal.topEquiv x = x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (x : ↥⊤)
Goal: LieIdeal.topEquiv x = ↑x
-- LieModuleEquiv.ofTop_apply
@[simp, nolint simpNF] lemma LieModuleEquiv.ofTop_apply (x : (⊤ : LieSubmodule R L M)) :
    LieModuleEquiv.ofTop R L M x = x 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] (M : Type u_1) [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (x : ↥⊤)
Goal: (LieModuleEquiv.ofTop R L M) x = ↑x
-- LieModuleEquiv.range_coe
@[simp] lemma LieModuleEquiv.range_coe {M' : Type*}
    [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M') :
    LieModuleHom.range (e : M →ₗ⁅R,L⁆ M') = ⊤ 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] (M : Type u_1) [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {M' : Type u_2} [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M')
Goal: e.range = ⊤
-- Function.Periodic.funext
protected theorem Periodic.funext [Add α] (h : Periodic f c) : (fun x => f (x + c)) = f 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → β} {c : α} [Add α] (h : Function.Periodic f c)
Goal: (fun x => f (x + c)) = f
-- Function.Periodic.comp
protected theorem Periodic.comp [Add α] (h : Periodic f c) (g : β → γ) : Periodic (g ∘ f) c 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : α → β} {c : α} [Add α] (h : Function.Periodic f c) (g : β → γ)
Goal: Function.Periodic (g ∘ f) c