ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- SzemerediRegularity.card_eq_of_mem_parts_chunk
theorem card_eq_of_mem_parts_chunk (hs : s ∈ (chunk hP G ε hU).parts) :
    s.card = m ∨ s.card = m + 1 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {s : Finset α} (hs : s ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts)
Goal: s.card = Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card ∨
  s.card = Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card + 1
-- SzemerediRegularity.m_le_card_of_mem_chunk_parts
theorem m_le_card_of_mem_chunk_parts (hs : s ∈ (chunk hP G ε hU).parts) : m ≤ s.card 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {s : Finset α} (hs : s ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts)
Goal: Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card ≤ s.card
-- SzemerediRegularity.card_le_m_add_one_of_mem_chunk_parts
theorem card_le_m_add_one_of_mem_chunk_parts (hs : s ∈ (chunk hP G ε hU).parts) : s.card ≤ m + 1 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {s : Finset α} (hs : s ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts)
Goal: s.card ≤ Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card + 1
-- SzemerediRegularity.card_biUnion_star_le_m_add_one_card_star_mul
theorem card_biUnion_star_le_m_add_one_card_star_mul :
    (((star hP G ε hU V).biUnion id).card : ℝ) ≤ (star hP G ε hU V).card * (m + 1) 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {V : Finset α}
Goal: ↑((SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤
  ↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).card * (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1)
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.le_sum_card_subset_chunk_parts
private theorem le_sum_card_subset_chunk_parts (h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hs : s ∈ 𝒜) :
    (𝒜.card : ℝ) * s.card * (m / (m + 1)) ≤ (𝒜.sup id).card 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {𝒜 : Finset (Finset α)} {s : Finset α} (h𝒜 : 𝒜 ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts) (hs : s ∈ 𝒜)
Goal: ↑𝒜.card * ↑s.card *
    (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) /
      (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1)) ≤
  ↑(𝒜.sup id).card
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.sum_card_subset_chunk_parts_le
private theorem sum_card_subset_chunk_parts_le (m_pos : (0 : ℝ) < m)
    (h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hs : s ∈ 𝒜) :
    ((𝒜.sup id).card : ℝ) ≤ 𝒜.card * s.card * ((m + 1) / m) 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U : Finset α} {hU : U ∈ P.parts} {𝒜 : Finset (Finset α)} {s : Finset α} (m_pos : 0 < ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card)) (h𝒜 : 𝒜 ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts) (hs : s ∈ 𝒜)
Goal: ↑(𝒜.sup id).card ≤
  ↑𝒜.card * ↑s.card *
    ((↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1) /
      ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card))
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.one_sub_le_m_div_m_add_one_sq
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {ε : ℝ} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
Goal: 1 - ε ^ 5 / 50 ≤
  (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) /
      (↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1)) ^
    2
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.m_add_one_div_m_le_one_add
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {ε : ℝ} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1)
Goal: ((↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card) + 1) /
      ↑(Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card)) ^
    2 ≤
  1 + ε ^ 5 / 49
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.density_sub_eps_le_sum_density_div_card
private theorem density_sub_eps_le_sum_density_div_card [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)}
    (hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts) :
    (G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ A.product B, (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) / (A.card * B.card) 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)} (hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts)
Goal: ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
  (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.sum_density_div_card_le_density_add_eps
private theorem sum_density_div_card_le_density_add_eps [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)}
    (hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts) :
    (∑ ab ∈ A.product B, G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) / (A.card * B.card) ≤
    G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id) + ε ^ 5 / 49 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)} (hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts)
Goal: (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.average_density_near_total_density
private theorem average_density_near_total_density [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)}
    (hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts) :
    |(∑ ab ∈ A.product B, G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) / (A.card * B.card) -
      G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)| ≤ ε ^ 5 / 49 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)} (hA : A ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts)
Goal: |(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) -
      ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤
  ε ^ 5 / 49
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.edgeDensity_chunk_aux
private theorem edgeDensity_chunk_aux [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts) :
    (G.edgeDensity U V : ℝ) ^ 2 - ε ^ 5 / ↑25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts,
      (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) / ↑16 ^ P.parts.card) ^ 2 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts)
Goal: ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
  ((∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
        ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
      16 ^ P.parts.card) ^
    2
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.abs_density_star_sub_density_le_eps
private theorem abs_density_star_sub_density_le_eps (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUV' : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V) :
    |(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id) : ℝ) -
      G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U)| ≤ ε / 5 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUV' : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V)
Goal: |↑(G.edgeDensity ((SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id)
          ((SzemerediRegularity.star hP G ε hV U).biUnion id)) -
      ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))| ≤
  ε / 5
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.eps_le_card_star_div
private theorem eps_le_card_star_div [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α)
    (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts)
    (hUV : U ≠ V) (hunif : ¬G.IsUniform ε U V) :
    ↑4 / ↑5 * ε ≤ (star hP G ε hU V).card / ↑4 ^ P.parts.card 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts) (hUV : U ≠ V) (hunif : ¬G.IsUniform ε U V)
Goal: 4 / 5 * ε ≤ ↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
-- _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.edgeDensity_star_not_uniform
private theorem edgeDensity_star_not_uniform [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUVne : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V) :
    ↑3 / ↑4 * ε ≤
    |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) /
      ((star hP G ε hU V).card * (star hP G ε hV U).card) -
        (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts,
          (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) / (16 : ℝ) ^ P.parts.card| 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUVne : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V)
Goal: 3 / 4 * ε ≤
  |(∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).product (SzemerediRegularity.star hP G ε hV U),
          ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
        (↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).card * ↑(SzemerediRegularity.star hP G ε hV U).card) -
      (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
          ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
        16 ^ P.parts.card|
-- SzemerediRegularity.edgeDensity_chunk_not_uniform
theorem edgeDensity_chunk_not_uniform [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α)
    (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts}
    (hUVne : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V) :
    (G.edgeDensity U V : ℝ) ^ 2 - ε ^ 5 / ↑25 + ε ^ 4 / ↑3 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts,
      (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) ^ 2) / ↑16 ^ P.parts.card 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUVne : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V)
Goal: ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ε ^ 4 / 3 ≤
  (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
      ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) /
    16 ^ P.parts.card
-- SzemerediRegularity.edgeDensity_chunk_uniform
theorem edgeDensity_chunk_uniform [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α)
    (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts) :
    (G.edgeDensity U V : ℝ) ^ 2 - ε ^ 5 / ↑25 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts,
      (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) ^ 2) / ↑16 ^ P.parts.card 
Arguments: {α : Type u_1} [Fintype α] [DecidableEq α] {P : Finpartition Finset.univ} {hP : P.IsEquipartition} {G : SimpleGraph α} [DecidableRel G.Adj] {ε : ℝ} {U V : Finset α} [Nonempty α] (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α) (hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) (hU : U ∈ P.parts) (hV : V ∈ P.parts)
Goal: ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
  (∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
      ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) /
    16 ^ P.parts.card
-- Mathlib.Tactic.Qify.intCast_eq
@[qify_simps] lemma intCast_eq (a b : ℤ) : a = b ↔ (a : ℚ) = (b : ℚ) 
Arguments: (a b : ℤ)
Goal: a = b ↔ ↑a = ↑b
-- Mathlib.Tactic.Qify.intCast_le
@[qify_simps] lemma intCast_le (a b : ℤ) : a ≤ b ↔ (a : ℚ) ≤ (b : ℚ) 
Arguments: (a b : ℤ)
Goal: a ≤ b ↔ ↑a ≤ ↑b
-- Mathlib.Tactic.Qify.intCast_lt
@[qify_simps] lemma intCast_lt (a b : ℤ) : a < b ↔ (a : ℚ) < (b : ℚ) 
Arguments: (a b : ℤ)
Goal: a < b ↔ ↑a < ↑b
-- Mathlib.Tactic.Qify.intCast_ne
@[qify_simps] lemma intCast_ne (a b : ℤ) : a ≠ b ↔ (a : ℚ) ≠ (b : ℚ) 
Arguments: (a b : ℤ)
Goal: a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b
-- Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.assoc_liftHom₂
@[nolint unusedArguments]
theorem assoc_liftHom₂ {f g h i : a ⟶ b} [LiftHom f] [LiftHom g] [LiftHom h]
    (η : f ⟶ g) (θ : g ⟶ h) (ι : h ⟶ i) [LiftHom₂ η] [LiftHom₂ θ] : η ≫ θ ≫ ι = (η ≫ θ) ≫ ι 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} {f g h i : a ⟶ b} [Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom f] [Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom g] [Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom h] (η : f ⟶ g) (θ : g ⟶ h) (ι : h ⟶ i) [Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom₂ η] [Mathlib.Tactic.BicategoryCoherence.LiftHom₂ θ]
Goal: η ≫ θ ≫ ι = (η ≫ θ) ≫ ι
-- Tactic.Elementwise.forall_congr_forget_Type
theorem forall_congr_forget_Type (α : Type u) (p : α → Prop) :
    (∀ (x : (forget (Type u)).obj α), p x) ↔ ∀ (x : α), p x 
Arguments: (α : Type u) (p : α → Prop)
Goal: (∀ (x : (CategoryTheory.forget (Type u)).obj α), p x) ↔ ∀ (x : α), p x
-- Tactic.Elementwise.forget_hom_Type
theorem forget_hom_Type (α β : Type u) (f : α ⟶ β) : DFunLike.coe f = f 
Arguments: (α β : Type u) (f : α ⟶ β)
Goal: ⇑f = f
-- Tactic.Elementwise.hom_elementwise
theorem hom_elementwise {C : Type*} [Category C] [ConcreteCategory C]
    {X Y : C} {f g : X ⟶ Y} (h : f = g) (x : X) : f x = g x 
Arguments: {C : Type u_1} [CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C] [CategoryTheory.ConcreteCategory C] {X Y : C} {f g : X ⟶ Y} (h : f = g) (x : (CategoryTheory.forget C).obj X)
Goal: f x = g x
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.isIso
class BicategoricalCoherence (f g : a ⟶ b) where
    hom : f ⟶ g
  [isIso : IsIso hom]
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} {f g : a ⟶ b} [self : CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal: CategoryTheory.IsIso ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.refl_hom
@[simps]
instance refl (f : a ⟶ b) : BicategoricalCoherence f f 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f : a ⟶ b)
Goal:  ⊗𝟙 = 𝟙 f
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.whiskerLeft_hom
@[simps]
instance whiskerLeft (f : a ⟶ b) (g h : b ⟶ c)
    [BicategoricalCoherence g h] : BicategoricalCoherence (f ≫ g) (f ≫ h) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g h : b ⟶ c) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence g h]
Goal:  ⊗𝟙 = f ◁ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.whiskerRight_hom
@[simps]
instance whiskerRight (f g : a ⟶ b) (h : b ⟶ c)
    [BicategoricalCoherence f g] : BicategoricalCoherence (f ≫ h) (g ≫ h) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b c : B} (f g : a ⟶ b) (h : b ⟶ c) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ▷ h
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.tensorRight_hom
@[simps]
instance tensorRight (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ b)
    [BicategoricalCoherence (𝟙 b) g] : BicategoricalCoherence f (f ≫ g) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence (𝟙 b) g]
Goal:  ⊗𝟙 = (ρ_ f).inv ≫ f ◁ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.tensorRight'_hom
@[simps]
instance tensorRight' (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ b)
    [BicategoricalCoherence g (𝟙 b)] : BicategoricalCoherence (f ≫ g) f 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence g (𝟙 b)]
Goal:  ⊗𝟙 = f ◁ ⊗𝟙 ≫ (ρ_ f).hom
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.left_hom
@[simps]
instance left (f g : a ⟶ b) [BicategoricalCoherence f g] :
    BicategoricalCoherence (𝟙 a ≫ f) g 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f g : a ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal:  ⊗𝟙 = (λ_ f).hom ≫ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.left'_hom
@[simps]
instance left' (f g : a ⟶ b) [BicategoricalCoherence f g] :
    BicategoricalCoherence f (𝟙 a ≫ g) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f g : a ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (λ_ g).inv
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.right_hom
@[simps]
instance right (f g : a ⟶ b) [BicategoricalCoherence f g] :
    BicategoricalCoherence (f ≫ 𝟙 b) g 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f g : a ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal:  ⊗𝟙 = (ρ_ f).hom ≫ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.right'_hom
@[simps]
instance right' (f g : a ⟶ b) [BicategoricalCoherence f g] :
    BicategoricalCoherence f (g ≫ 𝟙 b) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} (f g : a ⟶ b) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (ρ_ g).inv
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.assoc_hom
@[simps]
instance assoc (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c) (h : c ⟶ d) (i : a ⟶ d)
    [BicategoricalCoherence (f ≫ g ≫ h) i] :
    BicategoricalCoherence ((f ≫ g) ≫ h) i 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b c d : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c) (h : c ⟶ d) (i : a ⟶ d) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence (f ≫ g ≫ h) i]
Goal:  ⊗𝟙 = (α_ f g h).hom ≫ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.BicategoricalCoherence.assoc'_hom
@[simps]
instance assoc' (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c) (h : c ⟶ d) (i : a ⟶ d)
    [BicategoricalCoherence i (f ≫ g ≫ h)] :
    BicategoricalCoherence i ((f ≫ g) ≫ h) 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b c d : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c) (h : c ⟶ d) (i : a ⟶ d) [CategoryTheory.BicategoricalCoherence i (f ≫ g ≫ h)]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (α_ f g h).inv
-- CategoryTheory.bicategoricalComp_refl
@[simp]
theorem bicategoricalComp_refl {f g h : a ⟶ b} (η : f ⟶ g) (θ : g ⟶ h) : η ⊗≫ θ = η ≫ θ 
Arguments: {B : Type u} [CategoryTheory.Bicategory B] {a b : B} {f g h : a ⟶ b} (η : f ⟶ g) (θ : g ⟶ h)
Goal: η ⊗≫ θ = η ≫ θ
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.isIso
-- We could likely turn this into a `Prop` valued existential if that proves useful.
class MonoidalCoherence (X Y : C) where
    hom : X ⟶ Y
  [isIso : IsIso hom]
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] {X Y : C} [self : CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y]
Goal: CategoryTheory.IsIso ⊗𝟙
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.refl_hom
@[simps]
instance refl (X : C) : MonoidalCoherence X X 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] (X : C)
Goal:  ⊗𝟙 = 𝟙 X
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.whiskerLeft_hom
@[simps]
instance whiskerLeft (X Y Z : C) [MonoidalCoherence Y Z] :
    MonoidalCoherence (X ⊗ Y) (X ⊗ Z) 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y Z : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence Y Z]
Goal:  ⊗𝟙 = X ◁ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.whiskerRight_hom
@[simps]
instance whiskerRight (X Y Z : C) [MonoidalCoherence X Y] :
    MonoidalCoherence (X ⊗ Z) (Y ⊗ Z) 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y Z : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ▷ Z
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.tensor_right_hom
@[simps]
instance tensor_right (X Y : C) [MonoidalCoherence (𝟙_ C) Y] :
    MonoidalCoherence X (X ⊗ Y) 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence (𝟙_ C) Y]
Goal:  ⊗𝟙 = (ρ_ X).inv ≫ X ◁ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.tensor_right'_hom
@[simps]
instance tensor_right' (X Y : C) [MonoidalCoherence Y (𝟙_ C)] :
    MonoidalCoherence (X ⊗ Y) X 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence Y (𝟙_ C)]
Goal:  ⊗𝟙 = X ◁ ⊗𝟙 ≫ (ρ_ X).hom
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.left_hom
@[simps]
instance left (X Y : C) [MonoidalCoherence X Y] :
    MonoidalCoherence (𝟙_ C ⊗ X) Y 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y]
Goal:  ⊗𝟙 = (λ_ X).hom ≫ ⊗𝟙
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.left'_hom
@[simps]
instance left' (X Y : C) [MonoidalCoherence X Y] :
    MonoidalCoherence X (𝟙_ C ⊗ Y) 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y]
Goal:  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (λ_ Y).inv
-- CategoryTheory.MonoidalCoherence.right_hom
@[simps]
instance right (X Y : C) [MonoidalCoherence X Y] :
    MonoidalCoherence (X ⊗ 𝟙_ C) Y 
Arguments: {C : Type u} [CategoryTheory.Category.{v, u} C] [CategoryTheory.MonoidalCategory C] (X Y : C) [CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y]
Goal:  ⊗𝟙 = (ρ_ X).hom ≫ ⊗𝟙