ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Module.End.eigenspace_zero
@[simp]
theorem eigenspace_zero (f : End R M) : f.eigenspace 0 = LinearMap.ker f 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M)
Goal: f.eigenspace 0 = LinearMap.ker f
-- Module.End.hasEigenvalue_of_hasEigenvector
theorem hasEigenvalue_of_hasEigenvector {f : End R M} {μ : R} {x : M} (h : HasEigenvector f μ x) :
    HasEigenvalue f μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {x : M} (h : f.HasEigenvector μ x)
Goal: f.HasEigenvalue μ
-- Module.End.mem_eigenspace_iff
theorem mem_eigenspace_iff {f : End R M} {μ : R} {x : M} : x ∈ eigenspace f μ ↔ f x = μ • x 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {x : M}
Goal: x ∈ f.eigenspace μ ↔ f x = μ • x
-- Module.End.HasEigenvector.apply_eq_smul
theorem HasEigenvector.apply_eq_smul {f : End R M} {μ : R} {x : M} (hx : f.HasEigenvector μ x) :
    f x = μ • x 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {x : M} (hx : f.HasEigenvector μ x)
Goal: f x = μ • x
-- Module.End.HasEigenvector.pow_apply
theorem HasEigenvector.pow_apply {f : End R M} {μ : R} {v : M} (hv : f.HasEigenvector μ v) (n : ℕ) :
    (f ^ n) v = μ ^ n • v 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {v : M} (hv : f.HasEigenvector μ v) (n : ℕ)
Goal: (f ^ n) v = μ ^ n • v
-- Module.End.HasEigenvalue.exists_hasEigenvector
theorem HasEigenvalue.exists_hasEigenvector {f : End R M} {μ : R} (hμ : f.HasEigenvalue μ) :
    ∃ v, f.HasEigenvector μ v 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} (hμ : f.HasEigenvalue μ)
Goal: ∃ v, f.HasEigenvector μ v
-- Module.End.HasEigenvalue.pow
lemma HasEigenvalue.pow {f : End R M} {μ : R} (h : f.HasEigenvalue μ) (n : ℕ) :
    (f ^ n).HasEigenvalue (μ ^ n) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} (h : f.HasEigenvalue μ) (n : ℕ)
Goal: (f ^ n).HasEigenvalue (μ ^ n)
-- Module.End.HasEigenvalue.isNilpotent_of_isNilpotent
lemma HasEigenvalue.isNilpotent_of_isNilpotent [NoZeroSMulDivisors R M] {f : End R M}
    (hfn : IsNilpotent f) {μ : R} (hf : f.HasEigenvalue μ) :
    IsNilpotent μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] {f : Module.End R M} (hfn : IsNilpotent f) {μ : R} (hf : f.HasEigenvalue μ)
Goal: IsNilpotent μ
-- Module.End.HasEigenvalue.mem_spectrum
theorem HasEigenvalue.mem_spectrum {f : End R M} {μ : R} (hμ : HasEigenvalue f μ) :
    μ ∈ spectrum R f 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} (hμ : f.HasEigenvalue μ)
Goal: μ ∈ spectrum R f
-- Module.End.hasEigenvalue_iff_mem_spectrum
theorem hasEigenvalue_iff_mem_spectrum [FiniteDimensional K V] {f : End K V} {μ : K} :
    f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ spectrum K f 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] {f : Module.End K V} {μ : K}
Goal: f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ spectrum K f
-- Module.End.eigenspace_div
theorem eigenspace_div (f : End K V) (a b : K) (hb : b ≠ 0) :
    eigenspace f (a / b) = LinearMap.ker (b • f - algebraMap K (End K V) a) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] (f : Module.End K V) (a b : K) (hb : b ≠ 0)
Goal: f.eigenspace (a / b) = LinearMap.ker (b • f - (algebraMap K (Module.End K V)) a)
-- Module.End.mem_genEigenspace
@[simp]
theorem mem_genEigenspace (f : End R M) (μ : R) (k : ℕ) (m : M) :
    m ∈ f.genEigenspace μ k ↔ ((f - μ • (1 : End R M)) ^ k) m = 0 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (μ : R) (k : ℕ) (m : M)
Goal: m ∈ (f.genEigenspace μ) k ↔ ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
-- Module.End.genEigenspace_zero
@[simp]
theorem genEigenspace_zero (f : End R M) (k : ℕ) :
    f.genEigenspace 0 k = LinearMap.ker (f ^ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (k : ℕ)
Goal: (f.genEigenspace 0) k = LinearMap.ker (f ^ k)
-- Module.End.exp_ne_zero_of_hasGenEigenvalue
theorem exp_ne_zero_of_hasGenEigenvalue {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ}
    (h : f.HasGenEigenvalue μ k) : k ≠ 0 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k : ℕ} (h : f.HasGenEigenvalue μ k)
Goal: k ≠ 0
-- Module.End.genEigenspace_le_maximal
theorem genEigenspace_le_maximal (f : End R M) (μ : R) (k : ℕ) :
    f.genEigenspace μ k ≤ f.maxGenEigenspace μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (μ : R) (k : ℕ)
Goal: (f.genEigenspace μ) k ≤ f.maxGenEigenspace μ
-- Module.End.mem_maxGenEigenspace
@[simp]
theorem mem_maxGenEigenspace (f : End R M) (μ : R) (m : M) :
    m ∈ f.maxGenEigenspace μ ↔ ∃ k : ℕ, ((f - μ • (1 : End R M)) ^ k) m = 0 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (μ : R) (m : M)
Goal: m ∈ f.maxGenEigenspace μ ↔ ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
-- Module.End.maxGenEigenspace_eq
theorem maxGenEigenspace_eq [h : IsNoetherian R M] (f : End R M) (μ : R) :
    maxGenEigenspace f μ =
      f.genEigenspace μ (maxGenEigenspaceIndex f μ) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [h : IsNoetherian R M] (f : Module.End R M) (μ : R)
Goal: f.maxGenEigenspace μ = (f.genEigenspace μ) (f.maxGenEigenspaceIndex μ)
-- Module.End.hasGenEigenvalue_of_hasGenEigenvalue_of_le
theorem hasGenEigenvalue_of_hasGenEigenvalue_of_le {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ}
    {m : ℕ} (hm : k ≤ m) (hk : f.HasGenEigenvalue μ k) :
    f.HasGenEigenvalue μ m 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k m : ℕ} (hm : k ≤ m) (hk : f.HasGenEigenvalue μ k)
Goal: f.HasGenEigenvalue μ m
-- Module.End.eigenspace_le_genEigenspace
theorem eigenspace_le_genEigenspace {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k) :
    f.eigenspace μ ≤ f.genEigenspace μ k 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k)
Goal: f.eigenspace μ ≤ (f.genEigenspace μ) k
-- Module.End.hasGenEigenvalue_of_hasEigenvalue
theorem hasGenEigenvalue_of_hasEigenvalue {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k)
    (hμ : f.HasEigenvalue μ) : f.HasGenEigenvalue μ k 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k) (hμ : f.HasEigenvalue μ)
Goal: f.HasGenEigenvalue μ k
-- Module.End.hasEigenvalue_of_hasGenEigenvalue
theorem hasEigenvalue_of_hasGenEigenvalue {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ}
    (hμ : f.HasGenEigenvalue μ k) : f.HasEigenvalue μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hμ : f.HasGenEigenvalue μ k)
Goal: f.HasEigenvalue μ
-- Module.End.hasGenEigenvalue_iff_hasEigenvalue
@[simp]
theorem hasGenEigenvalue_iff_hasEigenvalue {f : End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k) :
    f.HasGenEigenvalue μ k ↔ f.HasEigenvalue μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {μ : R} {k : ℕ} (hk : 0 < k)
Goal: f.HasGenEigenvalue μ k ↔ f.HasEigenvalue μ
-- Module.End.genEigenspace_le_genEigenspace_finrank
theorem genEigenspace_le_genEigenspace_finrank [FiniteDimensional K V] (f : End K V)
    (μ : K) (k : ℕ) : f.genEigenspace μ k ≤ f.genEigenspace μ (finrank K V) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : Module.End K V) (μ : K) (k : ℕ)
Goal: (f.genEigenspace μ) k ≤ (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
-- Module.End.iSup_genEigenspace_eq_genEigenspace_finrank
@[simp] theorem iSup_genEigenspace_eq_genEigenspace_finrank
    [FiniteDimensional K V] (f : End K V) (μ : K) :
    ⨆ k, f.genEigenspace μ k = f.genEigenspace μ (finrank K V) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : Module.End K V) (μ : K)
Goal: ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
-- Module.End.genEigenspace_eq_genEigenspace_finrank_of_le
theorem genEigenspace_eq_genEigenspace_finrank_of_le [FiniteDimensional K V]
    (f : End K V) (μ : K) {k : ℕ} (hk : finrank K V ≤ k) :
    f.genEigenspace μ k = f.genEigenspace μ (finrank K V) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : Module.End K V) (μ : K) {k : ℕ} (hk : FiniteDimensional.finrank K V ≤ k)
Goal: (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V)
-- Module.End.mapsTo_genEigenspace_of_comm
lemma mapsTo_genEigenspace_of_comm {f g : End R M} (h : Commute f g) (μ : R) (k : ℕ) :
    MapsTo g (f.genEigenspace μ k) (f.genEigenspace μ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f g : Module.End R M} (h : Commute f g) (μ : R) (k : ℕ)
Goal: Set.MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
-- Module.End.mapsTo_iSup_genEigenspace_of_comm
lemma mapsTo_iSup_genEigenspace_of_comm {f g : End R M} (h : Commute f g) (μ : R) :
    MapsTo g ↑(⨆ k, f.genEigenspace μ k) ↑(⨆ k, f.genEigenspace μ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f g : Module.End R M} (h : Commute f g) (μ : R)
Goal: Set.MapsTo ⇑g ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
-- Module.End.isNilpotent_restrict_sub_algebraMap
lemma isNilpotent_restrict_sub_algebraMap (f : End R M) (μ : R) (k : ℕ)
    (h : MapsTo (f - algebraMap R (End R M) μ)
      (f.genEigenspace μ k) (f.genEigenspace μ k) :=
      mapsTo_genEigenspace_of_comm (Algebra.mul_sub_algebraMap_commutes f μ) μ k) :
    IsNilpotent ((f - algebraMap R (End R M) μ).restrict h) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (μ : R) (k : ℕ) (h : Set.MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k) := ⋯)
Goal: IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) h)
-- Module.End.isNilpotent_restrict_iSup_sub_algebraMap
lemma isNilpotent_restrict_iSup_sub_algebraMap [IsNoetherian R M] (f : End R M) (μ : R)
    (h : MapsTo (f - algebraMap R (End R M) μ)
      ↑(⨆ k, f.genEigenspace μ k) ↑(⨆ k, f.genEigenspace μ k) :=
      mapsTo_iSup_genEigenspace_of_comm (Algebra.mul_sub_algebraMap_commutes f μ) μ) :
    IsNilpotent ((f - algebraMap R (End R M) μ).restrict h) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [IsNoetherian R M] (f : Module.End R M) (μ : R) (h : Set.MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) :=
  ⋯)
Goal: IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ) h)
-- Module.End.disjoint_genEigenspace
lemma disjoint_genEigenspace [NoZeroSMulDivisors R M]
    (f : End R M) {μ₁ μ₂ : R} (hμ : μ₁ ≠ μ₂) (k l : ℕ) :
    Disjoint (f.genEigenspace μ₁ k) (f.genEigenspace μ₂ l) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M) {μ₁ μ₂ : R} (hμ : μ₁ ≠ μ₂) (k l : ℕ)
Goal: Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)
-- Module.End.disjoint_iSup_genEigenspace
lemma disjoint_iSup_genEigenspace [NoZeroSMulDivisors R M]
    (f : End R M) {μ₁ μ₂ : R} (hμ : μ₁ ≠ μ₂) :
    Disjoint (⨆ k, f.genEigenspace μ₁ k) (⨆ k, f.genEigenspace μ₂ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M) {μ₁ μ₂ : R} (hμ : μ₁ ≠ μ₂)
Goal: Disjoint (⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k) (⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k)
-- Module.End.injOn_genEigenspace
lemma injOn_genEigenspace [NoZeroSMulDivisors R M] (f : End R M) :
    InjOn (⨆ k, f.genEigenspace · k) {μ | ⨆ k, f.genEigenspace μ k ≠ ⊥} 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M)
Goal: Set.InjOn (fun x => ⨆ k, (f.genEigenspace x) k) {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
-- Module.End.independent_genEigenspace
theorem independent_genEigenspace [NoZeroSMulDivisors R M] (f : End R M) :
    CompleteLattice.Independent (fun μ ↦ ⨆ k, f.genEigenspace μ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M)
Goal: CompleteLattice.Independent fun μ => ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k
-- Module.End.eigenspaces_independent
theorem eigenspaces_independent [NoZeroSMulDivisors R M] (f : End R M) :
    CompleteLattice.Independent f.eigenspace 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M)
Goal: CompleteLattice.Independent f.eigenspace
-- Module.End.eigenvectors_linearIndependent
theorem eigenvectors_linearIndependent [NoZeroSMulDivisors R M]
    (f : End R M) (μs : Set R) (xs : μs → M)
    (h_eigenvec : ∀ μ : μs, f.HasEigenvector μ (xs μ)) : LinearIndependent R xs 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] (f : Module.End R M) (μs : Set R) (xs : ↑μs → M) (h_eigenvec : ∀ (μ : ↑μs), f.HasEigenvector (↑μ) (xs μ))
Goal: LinearIndependent (ι := ↑μs) R xs
-- Module.End.genEigenspace_restrict
theorem genEigenspace_restrict (f : End R M) (p : Submodule R M) (k : ℕ) (μ : R)
    (hfp : ∀ x : M, x ∈ p → f x ∈ p) :
    genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ k =
      Submodule.comap p.subtype (f.genEigenspace μ k) 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (p : Submodule R M) (k : ℕ) (μ : R) (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p)
Goal: (Module.End.genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)
-- Submodule.inf_genEigenspace
lemma _root_.Submodule.inf_genEigenspace (f : End R M) (p : Submodule R M) {k : ℕ} {μ : R}
    (hfp : ∀ x : M, x ∈ p → f x ∈ p) :
    p ⊓ f.genEigenspace μ k =
      (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ k).map p.subtype 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (p : Submodule R M) {k : ℕ} {μ : R} (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p)
Goal: p ⊓ (f.genEigenspace μ) k = Submodule.map p.subtype ((Module.End.genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k)
-- Module.End.eigenspace_restrict_le_eigenspace
theorem eigenspace_restrict_le_eigenspace (f : End R M) {p : Submodule R M} (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p)
    (μ : R) : (eigenspace (f.restrict hfp) μ).map p.subtype ≤ f.eigenspace μ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) {p : Submodule R M} (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p) (μ : R)
Goal: Submodule.map p.subtype (Module.End.eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) ≤ f.eigenspace μ
-- Module.End.generalized_eigenvec_disjoint_range_ker
theorem generalized_eigenvec_disjoint_range_ker [FiniteDimensional K V] (f : End K V) (μ : K) :
    Disjoint (f.genEigenrange μ (finrank K V))
      (f.genEigenspace μ (finrank K V)) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : Module.End K V) (μ : K)
Goal: Disjoint (f.genEigenrange μ (FiniteDimensional.finrank K V)) ((f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V))
-- Module.End.eigenspace_restrict_eq_bot
theorem eigenspace_restrict_eq_bot {f : End R M} {p : Submodule R M} (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p)
    {μ : R} (hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p) : eigenspace (f.restrict hfp) μ = ⊥ 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] {f : Module.End R M} {p : Submodule R M} (hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p) {μ : R} (hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p)
Goal: Module.End.eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ = ⊥
-- Module.End.pos_finrank_genEigenspace_of_hasEigenvalue
theorem pos_finrank_genEigenspace_of_hasEigenvalue [FiniteDimensional K V] {f : End K V}
    {k : ℕ} {μ : K} (hx : f.HasEigenvalue μ) (hk : 0 < k) :
    0 < finrank K (f.genEigenspace μ k) 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] [FiniteDimensional K V] {f : Module.End K V} {k : ℕ} {μ : K} (hx : f.HasEigenvalue μ) (hk : 0 < k)
Goal: 0 < FiniteDimensional.finrank K ↥((f.genEigenspace μ) k)
-- Module.End.map_genEigenrange_le
theorem map_genEigenrange_le {f : End K V} {μ : K} {n : ℕ} :
    Submodule.map f (f.genEigenrange μ n) ≤ f.genEigenrange μ n 
Arguments: {K : Type v} {V : Type w} [Field K] [AddCommGroup V] [Module K V] {f : Module.End K V} {μ : K} {n : ℕ}
Goal: Submodule.map f (f.genEigenrange μ n) ≤ f.genEigenrange μ n
-- Module.End.iSup_genEigenspace_le_smul
lemma iSup_genEigenspace_le_smul (f : Module.End R M) (μ t : R) :
    (⨆ k, f.genEigenspace μ k) ≤ ⨆ k, (t • f).genEigenspace (t * μ) k 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : Module.End R M) (μ t : R)
Goal: ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≤ ⨆ k, ((t • f).genEigenspace (t * μ)) k
-- Module.End.iSup_genEigenspace_inf_le_add
lemma iSup_genEigenspace_inf_le_add
    (f₁ f₂ : End R M) (μ₁ μ₂ : R) (h : Commute f₁ f₂) :
    (⨆ k, f₁.genEigenspace μ₁ k) ⊓ (⨆ k, f₂.genEigenspace μ₂ k) ≤
    ⨆ k, (f₁ + f₂).genEigenspace (μ₁ + μ₂) k 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f₁ f₂ : Module.End R M) (μ₁ μ₂ : R) (h : Commute f₁ f₂)
Goal: (⨆ k, (f₁.genEigenspace μ₁) k) ⊓ ⨆ k, (f₂.genEigenspace μ₂) k ≤ ⨆ k, ((f₁ + f₂).genEigenspace (μ₁ + μ₂)) k
-- Module.End.map_smul_of_iInf_genEigenspace_ne_bot
lemma map_smul_of_iInf_genEigenspace_ne_bot [NoZeroSMulDivisors R M]
    {L F : Type*} [SMul R L] [FunLike F L (End R M)] [MulActionHomClass F R L (End R M)] (f : F)
    (μ : L → R) (h_ne : ⨅ x, ⨆ k, (f x).genEigenspace (μ x) k ≠ ⊥)
    (t : R) (x : L) :
    μ (t • x) = t • μ x 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] {L : Type u_1} {F : Type u_2} [SMul R L] [FunLike F L (Module.End R M)] [MulActionHomClass F R L (Module.End R M)] (f : F) (μ : L → R) (h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥) (t : R) (x : L)
Goal: μ (t • x) = t • μ x
-- Module.End.map_add_of_iInf_genEigenspace_ne_bot_of_commute
lemma map_add_of_iInf_genEigenspace_ne_bot_of_commute [NoZeroSMulDivisors R M]
    {L F : Type*} [Add L] [FunLike F L (End R M)] [AddHomClass F L (End R M)] (f : F)
    (μ : L → R) (h_ne : ⨅ x, ⨆ k, (f x).genEigenspace (μ x) k ≠ ⊥)
    (h : ∀ x y, Commute (f x) (f y)) (x y : L) :
    μ (x + y) = μ x + μ y 
Arguments: {R : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] [NoZeroSMulDivisors R M] {L : Type u_1} {F : Type u_2} [Add L] [FunLike F L (Module.End R M)] [AddHomClass F L (Module.End R M)] (f : F) (μ : L → R) (h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥) (h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)) (x y : L)
Goal: μ (x + y) = μ x + μ y
-- birkhoffAverage_zero
theorem birkhoffAverage_zero (f : α → α) (g : α → M) (x : α) :
    birkhoffAverage R f g 0 x = 0 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M) (x : α)
Goal: birkhoffAverage R f g 0 x = 0
-- birkhoffAverage_zero'
@[simp] theorem birkhoffAverage_zero' (f : α → α) (g : α → M) : birkhoffAverage R f g 0 = 0 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M)
Goal: birkhoffAverage R f g 0 = 0
-- birkhoffAverage_one
theorem birkhoffAverage_one (f : α → α) (g : α → M) (x : α) :
    birkhoffAverage R f g 1 x = g x 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M) (x : α)
Goal: birkhoffAverage R f g 1 x = g x
-- birkhoffAverage_one'
@[simp]
theorem birkhoffAverage_one' (f : α → α) (g : α → M) : birkhoffAverage R f g 1 = g 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M)
Goal: birkhoffAverage R f g 1 = g
-- map_birkhoffAverage
theorem map_birkhoffAverage (S : Type*) {F N : Type*}
    [DivisionSemiring S] [AddCommMonoid N] [Module S N] [FunLike F M N]
    [AddMonoidHomClass F M N] (g' : F) (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α) :
    g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (g' ∘ g) n x 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (S : Type u_4) {F : Type u_5} {N : Type u_6} [DivisionSemiring S] [AddCommMonoid N] [Module S N] [FunLike F M N] [AddMonoidHomClass F M N] (g' : F) (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α)
Goal: g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (⇑g' ∘ g) n x
-- birkhoffAverage_congr_ring
theorem birkhoffAverage_congr_ring (S : Type*) [DivisionSemiring S] [Module S M]
    (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α) :
    birkhoffAverage R f g n x = birkhoffAverage S f g n x 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (S : Type u_4) [DivisionSemiring S] [Module S M] (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α)
Goal: birkhoffAverage R f g n x = birkhoffAverage S f g n x
-- birkhoffAverage_congr_ring'
theorem birkhoffAverage_congr_ring' (S : Type*) [DivisionSemiring S] [Module S M] :
    birkhoffAverage (α := α) (M := M) R = birkhoffAverage S 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (S : Type u_4) [DivisionSemiring S] [Module S M]
Goal: birkhoffAverage R = birkhoffAverage S
-- Function.IsFixedPt.birkhoffAverage_eq
theorem Function.IsFixedPt.birkhoffAverage_eq [CharZero R] {f : α → α} {x : α} (h : IsFixedPt f x)
    (g : α → M) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) : birkhoffAverage R f g n x = g x 
Arguments: (R : Type u_1) {α : Type u_2} {M : Type u_3} [DivisionSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] [CharZero R] {f : α → α} {x : α} (h : Function.IsFixedPt f x) (g : α → M) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0)
Goal: birkhoffAverage R f g n x = g x
-- birkhoffAverage_apply_sub_birkhoffAverage
theorem birkhoffAverage_apply_sub_birkhoffAverage {α M : Type*} (R : Type*) [DivisionRing R]
    [AddCommGroup M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α) :
    birkhoffAverage R f g n (f x) - birkhoffAverage R f g n x =
      (n : R)⁻¹ • (g (f^[n] x) - g x) 
Arguments: {α : Type u_1} {M : Type u_2} (R : Type u_3) [DivisionRing R] [AddCommGroup M] [Module R M] (f : α → α) (g : α → M) (n : ℕ) (x : α)
Goal: birkhoffAverage R f g n (f x) - birkhoffAverage R f g n x = (↑n)⁻¹ • (g (f^[n] x) - g x)
-- pNilradical_le_nilradical
theorem pNilradical_le_nilradical {R : Type*} [CommSemiring R] {p : ℕ} :
    pNilradical R p ≤ nilradical R 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ}
Goal: pNilradical R p ≤ nilradical R
-- pNilradical_eq_nilradical
theorem pNilradical_eq_nilradical {R : Type*} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : 1 < p) :
    pNilradical R p = nilradical R 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : 1 < p)
Goal: pNilradical R p = nilradical R
-- pNilradical_eq_bot
theorem pNilradical_eq_bot {R : Type*} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : ¬ 1 < p) :
    pNilradical R p = ⊥ 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : ¬1 < p)
Goal: pNilradical R p = ⊥
-- pNilradical_eq_bot'
theorem pNilradical_eq_bot' {R : Type*} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : p ≤ 1) :
    pNilradical R p = ⊥ 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : p ≤ 1)
Goal: pNilradical R p = ⊥
-- pNilradical_prime
theorem pNilradical_prime {R : Type*} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : p.Prime) :
    pNilradical R p = nilradical R 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p)
Goal: pNilradical R p = nilradical R
-- pNilradical_one
theorem pNilradical_one {R : Type*} [CommSemiring R] :
    pNilradical R 1 = ⊥ 
Arguments: {R : Type u_1} [CommSemiring R]
Goal: pNilradical R 1 = ⊥