ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Module.moduleEndSelf_symm_apply
@[simps]
def moduleEndSelf : Rᵐᵒᵖ ≃+* Module.End R R 
Arguments: (R : Type u_1) [Semiring R] (f : Module.End R R)
Goal: (Module.moduleEndSelf R).symm f = MulOpposite.op (f 1)
-- Module.moduleEndSelf_apply
@[simps]
def moduleEndSelf : Rᵐᵒᵖ ≃+* Module.End R R 
Arguments: (R : Type u_1) [Semiring R] (s : Rᵐᵒᵖ)
Goal: (Module.moduleEndSelf R) s = DistribMulAction.toLinearMap R R s
-- Module.moduleEndSelfOp_symm_apply
@[simps]
def moduleEndSelfOp : R ≃+* Module.End Rᵐᵒᵖ R 
Arguments: (R : Type u_1) [Semiring R] (f : Module.End Rᵐᵒᵖ R)
Goal: (Module.moduleEndSelfOp R).symm f = f 1
-- Module.moduleEndSelfOp_apply
@[simps]
def moduleEndSelfOp : R ≃+* Module.End Rᵐᵒᵖ R 
Arguments: (R : Type u_1) [Semiring R] (s : R)
Goal: (Module.moduleEndSelfOp R) s = DistribMulAction.toLinearMap Rᵐᵒᵖ R s
-- Module.End.natCast_def
theorem End.natCast_def (n : ℕ) [AddCommMonoid N₁] [Module R N₁] :
    (↑n : Module.End R N₁) = Module.toModuleEnd R N₁ n 
Arguments: (R : Type u_1) {N₁ : Type u_10} [Semiring R] (n : ℕ) [AddCommMonoid N₁] [Module R N₁]
Goal: ↑n = (Module.toModuleEnd R N₁) n
-- Module.End.intCast_def
theorem End.intCast_def (z : ℤ) [AddCommGroup N₁] [Module R N₁] :
    (z : Module.End R N₁) = Module.toModuleEnd R N₁ z 
Arguments: (R : Type u_1) {N₁ : Type u_10} [Semiring R] (z : ℤ) [AddCommGroup N₁] [Module R N₁]
Goal: ↑z = (Module.toModuleEnd R N₁) z
-- LinearMap.coe_smulRight
@[simp]
theorem coe_smulRight (f : M₁ →ₗ[R] S) (x : M) : (smulRight f x : M₁ → M) = fun c => f c • x 
Arguments: {R : Type u_1} {S : Type u_4} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₁] [Module R M] [Module R M₁] [Semiring S] [Module R S] [Module S M] [IsScalarTower R S M] (f : M₁ →ₗ[R] S) (x : M)
Goal: ⇑(f.smulRight x) = fun c => f c • x
-- LinearMap.smulRight_apply
theorem smulRight_apply (f : M₁ →ₗ[R] S) (x : M) (c : M₁) : smulRight f x c = f c • x 
Arguments: {R : Type u_1} {S : Type u_4} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₁] [Module R M] [Module R M₁] [Semiring S] [Module R S] [Module S M] [IsScalarTower R S M] (f : M₁ →ₗ[R] S) (x : M) (c : M₁)
Goal: (f.smulRight x) c = f c • x
-- LinearMap.smulRight_zero
@[simp]
lemma smulRight_zero (f : M₁ →ₗ[R] S) : f.smulRight (0 : M) = 0 
Arguments: {R : Type u_1} {S : Type u_4} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₁] [Module R M] [Module R M₁] [Semiring S] [Module R S] [Module S M] [IsScalarTower R S M] (f : M₁ →ₗ[R] S)
Goal: f.smulRight 0 = 0
-- LinearMap.zero_smulRight
@[simp]
lemma zero_smulRight (x : M) : (0 : M₁ →ₗ[R] S).smulRight x = 0 
Arguments: {R : Type u_1} {S : Type u_4} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₁] [Module R M] [Module R M₁] [Semiring S] [Module R S] [Module S M] [IsScalarTower R S M] (x : M)
Goal: LinearMap.smulRight 0 x = 0
-- LinearMap.smulRight_apply_eq_zero_iff
@[simp]
lemma smulRight_apply_eq_zero_iff {f : M₁ →ₗ[R] S} {x : M} [NoZeroSMulDivisors S M] :
    f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0 
Arguments: {R : Type u_1} {S : Type u_4} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₁] [Module R M] [Module R M₁] [Semiring S] [Module R S] [Module S M] [IsScalarTower R S M] {f : M₁ →ₗ[R] S} {x : M} [NoZeroSMulDivisors S M]
Goal: f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
-- LinearMap.applyₗ'_apply_apply
@[simps]
def applyₗ' : M →+ (M →ₗ[R] M₂) →ₗ[S] M₂ 
Arguments: {R : Type u_1} (S : Type u_4) {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [Semiring R] [Semiring S] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R M₂] [Module S M₂] [SMulCommClass R S M₂] (v : M) (f : M →ₗ[R] M₂)
Goal: ((LinearMap.applyₗ' S) v) f = f v
-- LinearMap.compRight_apply
@[simp]
theorem compRight_apply (f : M₂ →ₗ[R] M₃) (g : M →ₗ[R] M₂) : compRight f g = f.comp g 
Arguments: {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [AddCommMonoid M₃] [Module R M] [Module R M₂] [Module R M₃] (f : M₂ →ₗ[R] M₃) (g : M →ₗ[R] M₂)
Goal: f.compRight g = f ∘ₗ g
-- LinearMap.applyₗ_apply_apply
@[simps]
def applyₗ : M →ₗ[R] (M →ₗ[R] M₂) →ₗ[R] M₂ 
Arguments: {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R M₂] (v : M) (f : M →ₗ[R] M₂)
Goal: (LinearMap.applyₗ v) f = f v
-- LinearMap.smulRightₗ_apply
@[simp]
theorem smulRightₗ_apply (f : M₂ →ₗ[R] R) (x : M) (c : M₂) :
    (smulRightₗ : (M₂ →ₗ[R] R) →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M) f x c = f c • x 
Arguments: {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R M₂] (f : M₂ →ₗ[R] R) (x : M) (c : M₂)
Goal: ((LinearMap.smulRightₗ f) x) c = f c • x
-- LinearMap.mem_eqLocus
@[simp]
theorem mem_eqLocus {x : M} {f g : F} : x ∈ eqLocus f g ↔ f x = g x 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] {x : M} {f g : F}
Goal: x ∈ LinearMap.eqLocus f g ↔ f x = g x
-- LinearMap.eqLocus_toAddSubmonoid
theorem eqLocus_toAddSubmonoid (f g : F) :
    (eqLocus f g).toAddSubmonoid = (f : M →+ M₂).eqLocusM g 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] (f g : F)
Goal: (LinearMap.eqLocus f g).toAddSubmonoid = (↑f).eqLocusM ↑g
-- LinearMap.eqLocus_eq_top
@[simp]
theorem eqLocus_eq_top {f g : F} : eqLocus f g = ⊤ ↔ f = g 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] {f g : F}
Goal: LinearMap.eqLocus f g = ⊤ ↔ f = g
-- LinearMap.eqLocus_same
@[simp]
theorem eqLocus_same (f : F) : eqLocus f f = ⊤ 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] (f : F)
Goal: LinearMap.eqLocus f f = ⊤
-- LinearMap.le_eqLocus
theorem le_eqLocus {f g : F} {S : Submodule R M} : S ≤ eqLocus f g ↔ Set.EqOn f g S 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] {f g : F} {S : Submodule R M}
Goal: S ≤ LinearMap.eqLocus f g ↔ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S
-- LinearMap.eqOn_sup
theorem eqOn_sup {f g : F} {S T : Submodule R M} (hS : Set.EqOn f g S) (hT : Set.EqOn f g T) :
    Set.EqOn f g ↑(S ⊔ T) 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] {f g : F} {S T : Submodule R M} (hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S) (hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T)
Goal: Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(S ⊔ T)
-- LinearMap.ext_on_codisjoint
theorem ext_on_codisjoint {f g : F} {S T : Submodule R M} (hST : Codisjoint S T)
    (hS : Set.EqOn f g S) (hT : Set.EqOn f g T) : f = g 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} {F : Type u_5} [FunLike F M M₂] [SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂] {f g : F} {S T : Submodule R M} (hST : Codisjoint S T) (hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S) (hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T)
Goal: f = g
-- LinearMap.eqLocus_eq_ker_sub
theorem eqLocus_eq_ker_sub (f g : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) : eqLocus f g = ker (f - g) 
Arguments: {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_3} {M₂ : Type u_4} [Ring R] [Ring R₂] [AddCommGroup M] [AddCommGroup M₂] [Module R M] [Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂} (f g : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂)
Goal: LinearMap.eqLocus f g = LinearMap.ker (f - g)
-- LieSubmodule.lie_mem
structure LieSubmodule extends Submodule R M where
  lie_mem : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ carrier → ⁅x, m⁆ ∈ carrier
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (self : LieSubmodule R L M) {x : L} {m : M}
Goal: m ∈ (↑self).carrier → ⁅x, m⁆ ∈ (↑self).carrier
-- LieSubmodule.coe_toSubmodule
@[norm_cast]
theorem coe_toSubmodule : ((N : Submodule R M) : Set M) = N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑↑N = ↑N
-- LieSubmodule.mem_carrier
@[simp, nolint simpNF]
theorem mem_carrier {x : M} : x ∈ N.carrier ↔ x ∈ (N : Set M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) {x : M}
Goal: x ∈ (↑N).carrier ↔ x ∈ ↑N
-- LieSubmodule.mem_mk_iff
theorem mem_mk_iff (S : Set M) (h₁ h₂ h₃ h₄) {x : M} :
    x ∈ (⟨⟨⟨⟨S, h₁⟩, h₂⟩, h₃⟩, h₄⟩ : LieSubmodule R L M) ↔ x ∈ S 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set M) (h₁ : ∀ {a b : M}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S) (h₂ : S 0) (h₃ :
  ∀ (c : R) {x : M},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier) (h₄ :
  ∀ {x : L} {m : M},
    m ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      ⁅x, m⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier) {x : M}
Goal: x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem := h₄ } ↔ x ∈ S
-- LieSubmodule.mem_mk_iff'
@[simp]
theorem mem_mk_iff' (p : Submodule R M) (h) {x : M} :
    x ∈ (⟨p, h⟩ : LieSubmodule R L M) ↔ x ∈ p 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (p : Submodule R M) (h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ p.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ p.carrier) {x : M}
Goal: x ∈ { toSubmodule := p, lie_mem := h } ↔ x ∈ p
-- LieSubmodule.mem_coeSubmodule
@[simp]
theorem mem_coeSubmodule {x : M} : x ∈ (N : Submodule R M) ↔ x ∈ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) {x : M}
Goal: x ∈ ↑N ↔ x ∈ N
-- LieSubmodule.mem_coe
theorem mem_coe {x : M} : x ∈ (N : Set M) ↔ x ∈ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) {x : M}
Goal: x ∈ ↑N ↔ x ∈ N
-- LieSubmodule.zero_mem
@[simp]
protected theorem zero_mem : (0 : M) ∈ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: 0 ∈ N
-- LieSubmodule.mk_eq_zero
theorem mk_eq_zero {x} (h : x ∈ N) : (⟨x, h⟩ : N) = 0 ↔ x = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) {x : M} (h : x ∈ N)
Goal: ⟨x, h⟩ = 0 ↔ x = 0
-- LieSubmodule.coe_toSet_mk
@[simp]
theorem coe_toSet_mk (S : Set M) (h₁ h₂ h₃ h₄) :
    ((⟨⟨⟨⟨S, h₁⟩, h₂⟩, h₃⟩, h₄⟩ : LieSubmodule R L M) : Set M) = S 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set M) (h₁ : ∀ {a b : M}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S) (h₂ : S 0) (h₃ :
  ∀ (c : R) {x : M},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier) (h₄ :
  ∀ {x : L} {m : M},
    m ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      ⁅x, m⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier)
Goal: ↑{ carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem := h₄ } = S
-- LieSubmodule.coe_toSubmodule_mk
theorem coe_toSubmodule_mk (p : Submodule R M) (h) :
    (({ p with lie_mem := h } : LieSubmodule R L M) : Submodule R M) = p 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (p : Submodule R M) (h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ p.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ p.carrier)
Goal: ↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h } = p
-- LieSubmodule.coeSubmodule_injective
theorem coeSubmodule_injective :
    Function.Injective (toSubmodule : LieSubmodule R L M → Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: Function.Injective LieSubmodule.toSubmodule
-- LieSubmodule.ext
@[ext]
theorem ext (h : ∀ m, m ∈ N ↔ m ∈ N') : N = N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M) (h : ∀ (m : M), m ∈ N ↔ m ∈ N')
Goal: N = N'
-- LieSubmodule.coe_toSubmodule_eq_iff
@[simp]
theorem coe_toSubmodule_eq_iff : (N : Submodule R M) = (N' : Submodule R M) ↔ N = N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑N = ↑N' ↔ N = N'
-- LieSubmodule.coe_copy
@[simp]
theorem coe_copy (S : LieSubmodule R L M) (s : Set M) (hs : s = ↑S) : (S.copy s hs : Set M) = s 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : LieSubmodule R L M) (s : Set M) (hs : s = ↑S)
Goal: ↑(S.copy s hs) = s
-- LieSubmodule.copy_eq
theorem copy_eq (S : LieSubmodule R L M) (s : Set M) (hs : s = ↑S) : S.copy s hs = S 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : LieSubmodule R L M) (s : Set M) (hs : s = ↑S)
Goal: S.copy s hs = S
-- LieSubmodule.coe_zero
@[simp, norm_cast]
theorem coe_zero : ((0 : N) : M) = (0 : M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑0 = 0
-- LieSubmodule.coe_add
@[simp, norm_cast]
theorem coe_add (m m' : N) : (↑(m + m') : M) = (m : M) + (m' : M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (m m' : ↥N)
Goal: ↑(m + m') = ↑m + ↑m'
-- LieSubmodule.coe_neg
@[simp, norm_cast]
theorem coe_neg (m : N) : (↑(-m) : M) = -(m : M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (m : ↥N)
Goal: ↑(-m) = -↑m
-- LieSubmodule.coe_sub
@[simp, norm_cast]
theorem coe_sub (m m' : N) : (↑(m - m') : M) = (m : M) - (m' : M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (m m' : ↥N)
Goal: ↑(m - m') = ↑m - ↑m'
-- LieSubmodule.coe_smul
@[simp, norm_cast]
theorem coe_smul (t : R) (m : N) : (↑(t • m) : M) = t • (m : M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (t : R) (m : ↥N)
Goal: ↑(t • m) = t • ↑m
-- LieSubmodule.coe_bracket
@[simp, norm_cast]
theorem coe_bracket (x : L) (m : N) : (↑⁅x, m⁆ : M) = ⁅x, ↑m⁆ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (x : L) (m : ↥N)
Goal: ↑⁅x, m⁆ = ⁅x, ↑m⁆
-- lie_mem_right
theorem lie_mem_right (I : LieIdeal R L) (x y : L) (h : y ∈ I) : ⁅x, y⁆ ∈ I 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L) (x y : L) (h : y ∈ I)
Goal: ⁅x, y⁆ ∈ I
-- lie_mem_left
theorem lie_mem_left (I : LieIdeal R L) (x y : L) (h : x ∈ I) : ⁅x, y⁆ ∈ I 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L) (x y : L) (h : x ∈ I)
Goal: ⁅x, y⁆ ∈ I
-- LieIdeal.coe_toSubalgebra
@[simp]
theorem LieIdeal.coe_toSubalgebra (I : LieIdeal R L) : ((I : LieSubalgebra R L) : Set L) = I 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: ↑(lieIdealSubalgebra R L I) = ↑I
-- LieIdeal.coe_to_lieSubalgebra_to_submodule
@[simp]
theorem LieIdeal.coe_to_lieSubalgebra_to_submodule (I : LieIdeal R L) :
    ((I : LieSubalgebra R L) : Submodule R L) = LieSubmodule.toSubmodule I 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L)
Goal: (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ↑I
-- LieIdeal.coe_bracket_of_module
@[simp]
theorem LieIdeal.coe_bracket_of_module {R L : Type*} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L]
    (I : LieIdeal R L) [LieRingModule L M] (x : I) (m : M) : ⁅x, m⁆ = ⁅(↑x : L), m⁆ 
Arguments: (M : Type w) [AddCommGroup M] {R : Type u_1} {L : Type u_2} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (I : LieIdeal R L) [LieRingModule L M] (x : ↥I) (m : M)
Goal: ⁅x, m⁆ = ⁅↑x, m⁆
-- Submodule.exists_lieSubmodule_coe_eq_iff
theorem Submodule.exists_lieSubmodule_coe_eq_iff (p : Submodule R M) :
    (∃ N : LieSubmodule R L M, ↑N = p) ↔ ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p 
Arguments: {R : Type u} (L : Type v) {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (p : Submodule R M)
Goal: (∃ N, ↑N = p) ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
-- LieSubalgebra.coe_toLieSubmodule
@[simp]
theorem coe_toLieSubmodule : (K.toLieSubmodule : Submodule R L) = K 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] (K : LieSubalgebra R L)
Goal: ↑K.toLieSubmodule = K.toSubmodule
-- LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule
@[simp]
theorem mem_toLieSubmodule (x : L) : x ∈ K.toLieSubmodule ↔ x ∈ K 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {K : LieSubalgebra R L} (x : L)
Goal: x ∈ K.toLieSubmodule ↔ x ∈ K
-- LieSubalgebra.exists_lieIdeal_coe_eq_iff
theorem exists_lieIdeal_coe_eq_iff :
    (∃ I : LieIdeal R L, ↑I = K) ↔ ∀ x y : L, y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {K : LieSubalgebra R L}
Goal: (∃ I, lieIdealSubalgebra R L I = K) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
-- LieSubalgebra.exists_nested_lieIdeal_coe_eq_iff
theorem exists_nested_lieIdeal_coe_eq_iff {K' : LieSubalgebra R L} (h : K ≤ K') :
    (∃ I : LieIdeal R K', ↑I = ofLe h) ↔ ∀ x y : L, x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} [CommRing R] [LieRing L] [LieAlgebra R L] {K K' : LieSubalgebra R L} (h : K ≤ K')
Goal: (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
-- LieSubmodule.coe_injective
theorem coe_injective : Function.Injective ((↑) : LieSubmodule R L M → Set M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: Function.Injective SetLike.coe
-- LieSubmodule.coeSubmodule_le_coeSubmodule
@[simp, norm_cast]
theorem coeSubmodule_le_coeSubmodule : (N : Submodule R M) ≤ N' ↔ N ≤ N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑N ≤ ↑N' ↔ N ≤ N'
-- LieSubmodule.bot_coe
@[simp]
theorem bot_coe : ((⊥ : LieSubmodule R L M) : Set M) = {0} 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: ↑⊥ = {0}
-- LieSubmodule.bot_coeSubmodule
@[simp]
theorem bot_coeSubmodule : ((⊥ : LieSubmodule R L M) : Submodule R M) = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: ↑⊥ = ⊥
-- LieSubmodule.coeSubmodule_eq_bot_iff
@[simp]
theorem coeSubmodule_eq_bot_iff : (N : Submodule R M) = ⊥ ↔ N = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑N = ⊥ ↔ N = ⊥
-- LieSubmodule.mk_eq_bot_iff
@[simp] theorem mk_eq_bot_iff {N : Submodule R M} {h} :
    (⟨N, h⟩ : LieSubmodule R L M) = ⊥ ↔ N = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : Submodule R M} {h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier}
Goal: { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊥ ↔ N = ⊥
-- LieSubmodule.mem_bot
@[simp]
theorem mem_bot (x : M) : x ∈ (⊥ : LieSubmodule R L M) ↔ x = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (x : M)
Goal: x ∈ ⊥ ↔ x = 0
-- LieSubmodule.top_coe
@[simp]
theorem top_coe : ((⊤ : LieSubmodule R L M) : Set M) = univ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: ↑⊤ = Set.univ
-- LieSubmodule.top_coeSubmodule
@[simp]
theorem top_coeSubmodule : ((⊤ : LieSubmodule R L M) : Submodule R M) = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: ↑⊤ = ⊤
-- LieSubmodule.coeSubmodule_eq_top_iff
@[simp]
theorem coeSubmodule_eq_top_iff : (N : Submodule R M) = ⊤ ↔ N = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑N = ⊤ ↔ N = ⊤
-- LieSubmodule.mk_eq_top_iff
@[simp] theorem mk_eq_top_iff {N : Submodule R M} {h} :
    (⟨N, h⟩ : LieSubmodule R L M) = ⊤ ↔ N = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : Submodule R M} {h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier}
Goal: { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊤ ↔ N = ⊤
-- LieSubmodule.mem_top
@[simp]
theorem mem_top (x : M) : x ∈ (⊤ : LieSubmodule R L M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (x : M)
Goal: x ∈ ⊤
-- LieSubmodule.inf_coe
@[simp]
theorem inf_coe : (↑(N ⊓ N') : Set M) = ↑N ∩ ↑N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(N ⊓ N') = ↑N ∩ ↑N'
-- LieSubmodule.inf_coe_toSubmodule
@[norm_cast, simp]
theorem inf_coe_toSubmodule :
    (↑(N ⊓ N') : Submodule R M) = (N : Submodule R M) ⊓ (N' : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(N ⊓ N') = ↑N ⊓ ↑N'
-- LieSubmodule.sInf_coe_toSubmodule
@[simp]
theorem sInf_coe_toSubmodule (S : Set (LieSubmodule R L M)) :
    (↑(sInf S) : Submodule R M) = sInf {(s : Submodule R M) | s ∈ S} 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set (LieSubmodule R L M))
Goal: ↑(sInf S) = sInf {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}
-- LieSubmodule.sInf_coe_toSubmodule'
theorem sInf_coe_toSubmodule' (S : Set (LieSubmodule R L M)) :
    (↑(sInf S) : Submodule R M) = ⨅ N ∈ S, (N : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set (LieSubmodule R L M))
Goal: ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
-- LieSubmodule.iInf_coe_toSubmodule
@[simp]
theorem iInf_coe_toSubmodule {ι} (p : ι → LieSubmodule R L M) :
    (↑(⨅ i, p i) : Submodule R M) = ⨅ i, (p i : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (p : ι → LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(⨅ i, p i) = ⨅ i, ↑(p i)