ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- SimpleGraph.CompleteBipartiteGraph.chromaticNumber
theorem CompleteBipartiteGraph.chromaticNumber {V W : Type*} [Nonempty V] [Nonempty W] :
    (completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2 
Arguments: {V : Type u_3} {W : Type u_4} [Nonempty V] [Nonempty W]
Goal: (completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2
-- SimpleGraph.IsClique.card_le_of_coloring
theorem IsClique.card_le_of_coloring {s : Finset V} (h : G.IsClique s) [Fintype α]
    (C : G.Coloring α) : s.card ≤ Fintype.card α 
Arguments: {V : Type u} {G : SimpleGraph V} {α : Type u_1} {s : Finset V} (h : G.IsClique ↑s) [Fintype α] (C : G.Coloring α)
Goal: s.card ≤ Fintype.card α
-- SimpleGraph.IsClique.card_le_of_colorable
theorem IsClique.card_le_of_colorable {s : Finset V} (h : G.IsClique s) {n : ℕ}
    (hc : G.Colorable n) : s.card ≤ n 
Arguments: {V : Type u} {G : SimpleGraph V} {s : Finset V} (h : G.IsClique ↑s) {n : ℕ} (hc : G.Colorable n)
Goal: s.card ≤ n
-- SimpleGraph.IsClique.card_le_chromaticNumber
theorem IsClique.card_le_chromaticNumber {s : Finset V} (h : G.IsClique s) :
    s.card ≤ G.chromaticNumber 
Arguments: {V : Type u} {G : SimpleGraph V} {s : Finset V} (h : G.IsClique ↑s)
Goal: ↑s.card ≤ G.chromaticNumber
-- SimpleGraph.Colorable.cliqueFree
protected theorem Colorable.cliqueFree {n m : ℕ} (hc : G.Colorable n) (hm : n < m) :
    G.CliqueFree m 
Arguments: {V : Type u} {G : SimpleGraph V} {n m : ℕ} (hc : G.Colorable n) (hm : n < m)
Goal: G.CliqueFree m
-- SimpleGraph.cliqueFree_of_chromaticNumber_lt
theorem cliqueFree_of_chromaticNumber_lt {n : ℕ} (hc : G.chromaticNumber < n) :
    G.CliqueFree n 
Arguments: {V : Type u} {G : SimpleGraph V} {n : ℕ} (hc : G.chromaticNumber < ↑n)
Goal: G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card
structure IsSRGWith (n k ℓ μ : ℕ) : Prop where
  card : Fintype.card V = n
  regular : G.IsRegularOfDegree k
  of_adj : ∀ v w : V, G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = ℓ
  of_not_adj : Pairwise fun v w => ¬G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = μ
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (self : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: Fintype.card V = n
-- SimpleGraph.IsSRGWith.of_adj
structure IsSRGWith (n k ℓ μ : ℕ) : Prop where
  card : Fintype.card V = n
  regular : G.IsRegularOfDegree k
  of_adj : ∀ v w : V, G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = ℓ
  of_not_adj : Pairwise fun v w => ¬G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = μ
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (self : G.IsSRGWith n k ℓ μ) (v w : V)
Goal: G.Adj v w → Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) = ℓ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.of_not_adj
structure IsSRGWith (n k ℓ μ : ℕ) : Prop where
  card : Fintype.card V = n
  regular : G.IsRegularOfDegree k
  of_adj : ∀ v w : V, G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = ℓ
  of_not_adj : Pairwise fun v w => ¬G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = μ
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (self : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: Pairwise fun v w => ¬G.Adj v w → Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) = μ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.regular
structure IsSRGWith (n k ℓ μ : ℕ) : Prop where
  card : Fintype.card V = n
  regular : G.IsRegularOfDegree k
  of_adj : ∀ v w : V, G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = ℓ
  of_not_adj : Pairwise fun v w => ¬G.Adj v w → Fintype.card (G.commonNeighbors v w) = μ
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (self : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: G.IsRegularOfDegree k
-- SimpleGraph.bot_strongly_regular
theorem bot_strongly_regular : (⊥ : SimpleGraph V).IsSRGWith (Fintype.card V) 0 ℓ 0 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {ℓ : ℕ}
Goal: ⊥.IsSRGWith (Fintype.card V) 0 ℓ 0
-- SimpleGraph.IsSRGWith.top
theorem IsSRGWith.top :
    (⊤ : SimpleGraph V).IsSRGWith (Fintype.card V) (Fintype.card V - 1) (Fintype.card V - 2) μ 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {μ : ℕ}
Goal: ⊤.IsSRGWith (Fintype.card V) (Fintype.card V - 1) (Fintype.card V - 2) μ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card_neighborFinset_union_eq
theorem IsSRGWith.card_neighborFinset_union_eq {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) :
    (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card =
      2 * k - Fintype.card (G.commonNeighbors v w) 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card_neighborFinset_union_of_not_adj
theorem IsSRGWith.card_neighborFinset_union_of_not_adj {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
    (hne : v ≠ w) (ha : ¬G.Adj v w) :
    (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) (hne : v ≠ w) (ha : ¬G.Adj v w)
Goal: (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card_neighborFinset_union_of_adj
theorem IsSRGWith.card_neighborFinset_union_of_adj {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
    (ha : G.Adj v w) : (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - ℓ 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} {v w : V} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) (ha : G.Adj v w)
Goal: (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - ℓ
-- SimpleGraph.compl_neighborFinset_sdiff_inter_eq
theorem compl_neighborFinset_sdiff_inter_eq {v w : V} :
    (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) =
      ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {v w : V}
Goal: (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) =
  ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})
-- SimpleGraph.sdiff_compl_neighborFinset_inter_eq
theorem sdiff_compl_neighborFinset_inter_eq {v w : V} (h : G.Adj v w) :
    ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) =
      (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {v w : V} (h : G.Adj v w)
Goal: ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) = (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.compl_is_regular
theorem IsSRGWith.compl_is_regular (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) :
    Gᶜ.IsRegularOfDegree (n - k - 1) 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: Gᶜ.IsRegularOfDegree (n - k - 1)
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card_commonNeighbors_eq_of_adj_compl
theorem IsSRGWith.card_commonNeighbors_eq_of_adj_compl (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) {v w : V}
    (ha : Gᶜ.Adj v w) : Fintype.card (Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) {v w : V} (ha : Gᶜ.Adj v w)
Goal: Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2
-- SimpleGraph.IsSRGWith.card_commonNeighbors_eq_of_not_adj_compl
theorem IsSRGWith.card_commonNeighbors_eq_of_not_adj_compl (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) {v w : V}
    (hn : v ≠ w) (hna : ¬Gᶜ.Adj v w) :
    Fintype.card (Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ) 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) {v w : V} (hn : v ≠ w) (hna : ¬Gᶜ.Adj v w)
Goal: Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ)
-- SimpleGraph.IsSRGWith.compl
theorem IsSRGWith.compl (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) :
    Gᶜ.IsSRGWith n (n - k - 1) (n - (2 * k - μ) - 2) (n - (2 * k - ℓ)) 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: Gᶜ.IsSRGWith n (n - k - 1) (n - (2 * k - μ) - 2) (n - (2 * k - ℓ))
-- SimpleGraph.IsSRGWith.param_eq
theorem IsSRGWith.param_eq (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) (hn : 0 < n) :
    k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) (hn : 0 < n)
Goal: k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- SimpleGraph.IsSRGWith.matrix_eq
theorem IsSRGWith.matrix_eq {α : Type*} [Semiring α] (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) :
    G.adjMatrix α ^ 2 = k • (1 : Matrix V V α) + ℓ • G.adjMatrix α + μ • Gᶜ.adjMatrix α 
Arguments: {V : Type u} [Fintype V] [DecidableEq V] {G : SimpleGraph V} [DecidableRel G.Adj] {n k ℓ μ : ℕ} {α : Type u_1} [Semiring α] (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ)
Goal: SimpleGraph.adjMatrix α G ^ 2 = k • 1 + ℓ • SimpleGraph.adjMatrix α G + μ • SimpleGraph.adjMatrix α Gᶜ
-- SimpleGraph.isClique_iff
theorem isClique_iff : G.IsClique s ↔ s.Pairwise G.Adj 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α}
Goal: G.IsClique s ↔ s.Pairwise G.Adj
-- SimpleGraph.isClique_iff_induce_eq
theorem isClique_iff_induce_eq : G.IsClique s ↔ G.induce s = ⊤ 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α}
Goal: G.IsClique s ↔ SimpleGraph.induce s G = ⊤
-- SimpleGraph.isClique_empty
lemma isClique_empty : G.IsClique ∅ 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α}
Goal: G.IsClique ∅
-- SimpleGraph.isClique_singleton
lemma isClique_singleton (a : α) : G.IsClique {a} 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} (a : α)
Goal: G.IsClique {a}
-- SimpleGraph.IsClique.of_subsingleton
theorem IsClique.of_subsingleton {G : SimpleGraph α} (hs : s.Subsingleton) : G.IsClique s 
Arguments: {α : Type u_1} {s : Set α} {G : SimpleGraph α} (hs : s.Subsingleton)
Goal: G.IsClique s
-- SimpleGraph.isClique_pair
lemma isClique_pair : G.IsClique {a, b} ↔ a ≠ b → G.Adj a b 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {a b : α}
Goal: G.IsClique {a, b} ↔ a ≠ b → G.Adj a b
-- SimpleGraph.isClique_insert
@[simp]
lemma isClique_insert : G.IsClique (insert a s) ↔ G.IsClique s ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → G.Adj a b 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Set α} {a : α}
Goal: G.IsClique (insert a s) ↔ G.IsClique s ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → G.Adj a b
-- SimpleGraph.isClique_insert_of_not_mem
lemma isClique_insert_of_not_mem (ha : a ∉ s) :
    G.IsClique (insert a s) ↔ G.IsClique s ∧ ∀ b ∈ s, G.Adj a b 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Set α} {a : α} (ha : a ∉ s)
Goal: G.IsClique (insert a s) ↔ G.IsClique s ∧ ∀ b ∈ s, G.Adj a b
-- SimpleGraph.IsClique.insert
lemma IsClique.insert (hs : G.IsClique s) (h : ∀ b ∈ s, a ≠ b → G.Adj a b) :
    G.IsClique (insert a s) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Set α} {a : α} (hs : G.IsClique s) (h : ∀ b ∈ s, a ≠ b → G.Adj a b)
Goal: G.IsClique (insert a s)
-- SimpleGraph.IsClique.mono
theorem IsClique.mono (h : G ≤ H) : G.IsClique s → H.IsClique s 
Arguments: {α : Type u_1} {G H : SimpleGraph α} {s : Set α} (h : G ≤ H)
Goal: G.IsClique s → H.IsClique s
-- SimpleGraph.IsClique.subset
theorem IsClique.subset (h : t ⊆ s) : G.IsClique s → G.IsClique t 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s t : Set α} (h : t ⊆ s)
Goal: G.IsClique s → G.IsClique t
-- SimpleGraph.isClique_bot_iff
@[simp]
theorem isClique_bot_iff : (⊥ : SimpleGraph α).IsClique s ↔ (s : Set α).Subsingleton 
Arguments: {α : Type u_1} {s : Set α}
Goal: ⊥.IsClique s ↔ s.Subsingleton
-- SimpleGraph.IsClique.map
protected theorem IsClique.map (h : G.IsClique s) {f : α ↪ β} : (G.map f).IsClique (f '' s) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {s : Set α} (h : G.IsClique s) {f : α ↪ β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s)
-- SimpleGraph.isClique_map_iff_of_nontrivial
theorem isClique_map_iff_of_nontrivial {f : α ↪ β} {t : Set β} (ht : t.Nontrivial) :
    (G.map f).IsClique t ↔ ∃ (s : Set α), G.IsClique s ∧ f '' s = t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {f : α ↪ β} {t : Set β} (ht : t.Nontrivial)
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- SimpleGraph.isClique_map_iff
theorem isClique_map_iff {f : α ↪ β} {t : Set β} :
    (G.map f).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ (s : Set α), G.IsClique s ∧ f '' s = t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {f : α ↪ β} {t : Set β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- SimpleGraph.isClique_map_image_iff
@[simp] theorem isClique_map_image_iff {f : α ↪ β} :
    (G.map f).IsClique (f '' s) ↔ G.IsClique s 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {s : Set α} {f : α ↪ β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
-- SimpleGraph.isClique_map_finset_iff_of_nontrivial
theorem isClique_map_finset_iff_of_nontrivial (ht : t.Nontrivial) :
    (G.map f).IsClique t ↔ ∃ (s : Finset α), G.IsClique s ∧ s.map f = t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {f : α ↪ β} {t : Finset β} (ht : t.Nontrivial)
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ Finset.map f s = t
-- SimpleGraph.isClique_map_finset_iff
theorem isClique_map_finset_iff :
    (G.map f).IsClique t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ (s : Finset α), G.IsClique s ∧ s.map f = t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {f : α ↪ β} {t : Finset β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ Finset.map f s = t
-- SimpleGraph.IsClique.finsetMap
protected theorem IsClique.finsetMap {f : α ↪ β} {s : Finset α} (h : G.IsClique s) :
    (G.map f).IsClique (s.map f) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {f : α ↪ β} {s : Finset α} (h : G.IsClique ↑s)
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(Finset.map f s)
-- SimpleGraph.IsNClique.clique
structure IsNClique (n : ℕ) (s : Finset α) : Prop where
  clique : G.IsClique s
  card_eq : s.card = n
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} (self : G.IsNClique n s)
Goal: G.IsClique ↑s
-- SimpleGraph.IsNClique.card_eq
structure IsNClique (n : ℕ) (s : Finset α) : Prop where
  clique : G.IsClique s
  card_eq : s.card = n
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} (self : G.IsNClique n s)
Goal: s.card = n
-- SimpleGraph.isNClique_iff
theorem isNClique_iff : G.IsNClique n s ↔ G.IsClique s ∧ s.card = n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {n : ℕ} {s : Finset α}
Goal: G.IsNClique n s ↔ G.IsClique ↑s ∧ s.card = n
-- SimpleGraph.isNClique_empty
@[simp] lemma isNClique_empty : G.IsNClique n ∅ ↔ n = 0 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ}
Goal: G.IsNClique n ∅ ↔ n = 0
-- SimpleGraph.isNClique_singleton
@[simp]
lemma isNClique_singleton : G.IsNClique n {a} ↔ n = 1 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {a : α}
Goal: G.IsNClique n {a} ↔ n = 1
-- SimpleGraph.IsNClique.mono
theorem IsNClique.mono (h : G ≤ H) : G.IsNClique n s → H.IsNClique n s 
Arguments: {α : Type u_1} {G H : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} (h : G ≤ H)
Goal: G.IsNClique n s → H.IsNClique n s
-- SimpleGraph.IsNClique.map
protected theorem IsNClique.map (h : G.IsNClique n s) {f : α ↪ β} :
    (G.map f).IsNClique n (s.map f) 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} (h : G.IsNClique n s) {f : α ↪ β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsNClique n (Finset.map f s)
-- SimpleGraph.isNClique_map_iff
theorem isNClique_map_iff (hn : 1 < n) {t : Finset β} {f : α ↪ β} :
    (G.map f).IsNClique n t ↔ ∃ s : Finset α, G.IsNClique n s ∧ s.map f = t 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} (hn : 1 < n) {t : Finset β} {f : α ↪ β}
Goal: (SimpleGraph.map f G).IsNClique n t ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ Finset.map f s = t
-- SimpleGraph.isNClique_bot_iff
@[simp]
theorem isNClique_bot_iff : (⊥ : SimpleGraph α).IsNClique n s ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n 
Arguments: {α : Type u_1} {n : ℕ} {s : Finset α}
Goal: ⊥.IsNClique n s ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n
-- SimpleGraph.isNClique_zero
@[simp]
theorem isNClique_zero : G.IsNClique 0 s ↔ s = ∅ 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Finset α}
Goal: G.IsNClique 0 s ↔ s = ∅
-- SimpleGraph.isNClique_one
@[simp]
theorem isNClique_one : G.IsNClique 1 s ↔ ∃ a, s = {a} 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Finset α}
Goal: G.IsNClique 1 s ↔ ∃ a, s = {a}
-- SimpleGraph.IsNClique.insert
theorem IsNClique.insert (hs : G.IsNClique n s) (h : ∀ b ∈ s, G.Adj a b) :
    G.IsNClique (n + 1) (insert a s) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} {a : α} [DecidableEq α] (hs : G.IsNClique n s) (h : ∀ b ∈ s, G.Adj a b)
Goal: G.IsNClique (n + 1) (insert a s)
-- SimpleGraph.is3Clique_triple_iff
theorem is3Clique_triple_iff : G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {a b c : α} [DecidableEq α]
Goal: G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
-- SimpleGraph.is3Clique_iff
theorem is3Clique_iff :
    G.IsNClique 3 s ↔ ∃ a b c, G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c ∧ s = {a, b, c} 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {s : Finset α} [DecidableEq α]
Goal: G.IsNClique 3 s ↔ ∃ a b c, G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c ∧ s = {a, b, c}
-- SimpleGraph.is3Clique_iff_exists_cycle_length_three
theorem is3Clique_iff_exists_cycle_length_three :
    (∃ s : Finset α, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ (u : α) (w : G.Walk u u), w.IsCycle ∧ w.length = 3 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α}
Goal: (∃ s, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ u w, w.IsCycle ∧ w.length = 3
-- SimpleGraph.IsNClique.not_cliqueFree
theorem IsNClique.not_cliqueFree (hG : G.IsNClique n s) : ¬G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α} (hG : G.IsNClique n s)
Goal: ¬G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.not_cliqueFree_of_top_embedding
theorem not_cliqueFree_of_top_embedding {n : ℕ} (f : (⊤ : SimpleGraph (Fin n)) ↪g G) :
    ¬G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} (f : ⊤ ↪g G)
Goal: ¬G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.not_cliqueFree_iff
theorem not_cliqueFree_iff (n : ℕ) : ¬G.CliqueFree n ↔ Nonempty ((⊤ : SimpleGraph (Fin n)) ↪g G) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} (n : ℕ)
Goal: ¬G.CliqueFree n ↔ Nonempty (⊤ ↪g G)
-- SimpleGraph.cliqueFree_iff
theorem cliqueFree_iff {n : ℕ} : G.CliqueFree n ↔ IsEmpty ((⊤ : SimpleGraph (Fin n)) ↪g G) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ}
Goal: G.CliqueFree n ↔ IsEmpty (⊤ ↪g G)
-- SimpleGraph.not_cliqueFree_card_of_top_embedding
theorem not_cliqueFree_card_of_top_embedding [Fintype α] (f : (⊤ : SimpleGraph α) ↪g G) :
    ¬G.CliqueFree (card α) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} [Fintype α] (f : ⊤ ↪g G)
Goal: ¬G.CliqueFree (Fintype.card α)
-- SimpleGraph.cliqueFree_bot
@[simp]
theorem cliqueFree_bot (h : 2 ≤ n) : (⊥ : SimpleGraph α).CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {n : ℕ} (h : 2 ≤ n)
Goal: ⊥.CliqueFree n
-- SimpleGraph.CliqueFree.mono
theorem CliqueFree.mono (h : m ≤ n) : G.CliqueFree m → G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {m n : ℕ} (h : m ≤ n)
Goal: G.CliqueFree m → G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.CliqueFree.anti
theorem CliqueFree.anti (h : G ≤ H) : H.CliqueFree n → G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G H : SimpleGraph α} {n : ℕ} (h : G ≤ H)
Goal: H.CliqueFree n → G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.CliqueFree.comap
theorem CliqueFree.comap {H : SimpleGraph β} (f : H ↪g G) : G.CliqueFree n → H.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {H : SimpleGraph β} (f : H ↪g G)
Goal: G.CliqueFree n → H.CliqueFree n
-- SimpleGraph.cliqueFree_map_iff
@[simp] theorem cliqueFree_map_iff {f : α ↪ β} [Nonempty α] :
    (G.map f).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {β : Type u_2} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {f : α ↪ β} [Nonempty α]
Goal: (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.cliqueFree_of_card_lt
theorem cliqueFree_of_card_lt [Fintype α] (hc : card α < n) : G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} [Fintype α] (hc : Fintype.card α < n)
Goal: G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.cliqueFree_completeMultipartiteGraph
theorem cliqueFree_completeMultipartiteGraph {ι : Type*} [Fintype ι] (V : ι → Type*)
    (hc : card ι < n) : (completeMultipartiteGraph V).CliqueFree n 
Arguments: {n : ℕ} {ι : Type u_3} [Fintype ι] (V : ι → Type u_4) (hc : Fintype.card ι < n)
Goal: (SimpleGraph.completeMultipartiteGraph V).CliqueFree n
-- SimpleGraph.CliqueFree.replaceVertex
protected theorem CliqueFree.replaceVertex [DecidableEq α] (h : G.CliqueFree n) (s t : α) :
    (G.replaceVertex s t).CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} [DecidableEq α] (h : G.CliqueFree n) (s t : α)
Goal: (G.replaceVertex s t).CliqueFree n
-- SimpleGraph.cliqueFree_two
@[simp]
theorem cliqueFree_two : G.CliqueFree 2 ↔ G = ⊥ 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α}
Goal: G.CliqueFree 2 ↔ G = ⊥
-- SimpleGraph.CliqueFree.sup_edge
protected theorem CliqueFree.sup_edge (h : G.CliqueFree n) (v w : α) :
    (G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1) 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} (h : G.CliqueFree n) (v w : α)
Goal: (G ⊔ SimpleGraph.edge v w).CliqueFree (n + 1)
-- SimpleGraph.CliqueFreeOn.subset
theorem CliqueFreeOn.subset (hs : s₁ ⊆ s₂) (h₂ : G.CliqueFreeOn s₂ n) : G.CliqueFreeOn s₁ n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s₁ s₂ : Set α} {n : ℕ} (hs : s₁ ⊆ s₂) (h₂ : G.CliqueFreeOn s₂ n)
Goal: G.CliqueFreeOn s₁ n
-- SimpleGraph.CliqueFreeOn.mono
theorem CliqueFreeOn.mono (hmn : m ≤ n) (hG : G.CliqueFreeOn s m) : G.CliqueFreeOn s n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α} {m n : ℕ} (hmn : m ≤ n) (hG : G.CliqueFreeOn s m)
Goal: G.CliqueFreeOn s n
-- SimpleGraph.CliqueFreeOn.anti
theorem CliqueFreeOn.anti (hGH : G ≤ H) (hH : H.CliqueFreeOn s n) : G.CliqueFreeOn s n 
Arguments: {α : Type u_1} (G H : SimpleGraph α) {s : Set α} {n : ℕ} (hGH : G ≤ H) (hH : H.CliqueFreeOn s n)
Goal: G.CliqueFreeOn s n
-- SimpleGraph.cliqueFreeOn_empty
@[simp]
theorem cliqueFreeOn_empty : G.CliqueFreeOn ∅ n ↔ n ≠ 0 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {n : ℕ}
Goal: G.CliqueFreeOn ∅ n ↔ n ≠ 0
-- SimpleGraph.cliqueFreeOn_singleton
@[simp]
theorem cliqueFreeOn_singleton : G.CliqueFreeOn {a} n ↔ 1 < n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {a : α} {n : ℕ}
Goal: G.CliqueFreeOn {a} n ↔ 1 < n
-- SimpleGraph.cliqueFreeOn_univ
@[simp]
theorem cliqueFreeOn_univ : G.CliqueFreeOn Set.univ n ↔ G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {n : ℕ}
Goal: G.CliqueFreeOn Set.univ n ↔ G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.CliqueFree.cliqueFreeOn
protected theorem CliqueFree.cliqueFreeOn (hG : G.CliqueFree n) : G.CliqueFreeOn s n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α} {n : ℕ} (hG : G.CliqueFree n)
Goal: G.CliqueFreeOn s n
-- SimpleGraph.cliqueFreeOn_of_card_lt
theorem cliqueFreeOn_of_card_lt {s : Finset α} (h : s.card < n) : G.CliqueFreeOn s n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {n : ℕ} {s : Finset α} (h : s.card < n)
Goal: G.CliqueFreeOn (↑s) n
-- SimpleGraph.cliqueFreeOn_two
@[simp]
theorem cliqueFreeOn_two : G.CliqueFreeOn s 2 ↔ s.Pairwise (G.Adjᶜ) 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α}
Goal: G.CliqueFreeOn s 2 ↔ s.Pairwise G.Adjᶜ
-- SimpleGraph.CliqueFreeOn.of_succ
theorem CliqueFreeOn.of_succ (hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)) (ha : a ∈ s) :
    G.CliqueFreeOn (s ∩ G.neighborSet a) n 
Arguments: {α : Type u_1} (G : SimpleGraph α) {s : Set α} {a : α} {n : ℕ} (hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)) (ha : a ∈ s)
Goal: G.CliqueFreeOn (s ∩ G.neighborSet a) n
-- SimpleGraph.mem_cliqueSet_iff
@[simp]
theorem mem_cliqueSet_iff : s ∈ G.cliqueSet n ↔ G.IsNClique n s 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ} {s : Finset α}
Goal: s ∈ G.cliqueSet n ↔ G.IsNClique n s
-- SimpleGraph.cliqueSet_eq_empty_iff
@[simp]
theorem cliqueSet_eq_empty_iff : G.cliqueSet n = ∅ ↔ G.CliqueFree n 
Arguments: {α : Type u_1} {G : SimpleGraph α} {n : ℕ}
Goal: G.cliqueSet n = ∅ ↔ G.CliqueFree n
-- SimpleGraph.cliqueSet_mono
@[mono]
theorem cliqueSet_mono (h : G ≤ H) : G.cliqueSet n ⊆ H.cliqueSet n 
Arguments: {α : Type u_1} {G H : SimpleGraph α} {n : ℕ} (h : G ≤ H)
Goal: G.cliqueSet n ⊆ H.cliqueSet n