ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- summable_condensed_iff_of_nonneg
theorem summable_condensed_iff_of_nonneg {f : ℕ → ℝ} (h_nonneg : ∀ n, 0 ≤ f n)
    (h_mono : ∀ ⦃m n⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m) :
    (Summable fun k : ℕ => (2 : ℝ) ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f 
Arguments: {f : ℕ → ℝ} (h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n) (h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m)
Goal: (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
-- Real.summable_nat_rpow_inv
@[simp]
theorem summable_nat_rpow_inv {p : ℝ} :
    Summable (fun n => ((n : ℝ) ^ p)⁻¹ : ℕ → ℝ) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Real.summable_nat_rpow
@[simp]
theorem summable_nat_rpow {p : ℝ} : Summable (fun n => (n : ℝ) ^ p : ℕ → ℝ) ↔ p < -1 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => ↑n ^ p) ↔ p < -1
-- Real.summable_one_div_nat_rpow
theorem summable_one_div_nat_rpow {p : ℝ} :
    Summable (fun n => 1 / (n : ℝ) ^ p : ℕ → ℝ) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
-- Real.summable_nat_pow_inv
@[simp]
theorem summable_nat_pow_inv {p : ℕ} :
    Summable (fun n => ((n : ℝ) ^ p)⁻¹ : ℕ → ℝ) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℕ}
Goal: (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Real.summable_one_div_nat_pow
theorem summable_one_div_nat_pow {p : ℕ} :
    Summable (fun n => 1 / (n : ℝ) ^ p : ℕ → ℝ) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℕ}
Goal: (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
-- Real.summable_one_div_int_pow
theorem summable_one_div_int_pow {p : ℕ} :
    (Summable fun n : ℤ ↦ 1 / (n : ℝ) ^ p) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℕ}
Goal: (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
-- Real.summable_abs_int_rpow
theorem summable_abs_int_rpow {b : ℝ} (hb : 1 < b) :
    Summable fun n : ℤ => |(n : ℝ)| ^ (-b) 
Arguments: {b : ℝ} (hb : 1 < b)
Goal: Summable fun n => |↑n| ^ (-b)
-- Real.not_summable_natCast_inv
theorem not_summable_natCast_inv : ¬Summable (fun n => n⁻¹ : ℕ → ℝ) 
Goal: ¬Summable fun n => (↑n)⁻¹
-- Real.not_summable_one_div_natCast
theorem not_summable_one_div_natCast : ¬Summable (fun n => 1 / n : ℕ → ℝ) 
Goal: ¬Summable fun n => 1 / ↑n
-- Real.tendsto_sum_range_one_div_nat_succ_atTop
theorem tendsto_sum_range_one_div_nat_succ_atTop :
    Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 / (i + 1) : ℝ)) atTop atTop 
Goal: Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, 1 / (↑i + 1)) Filter.atTop Filter.atTop
-- NNReal.summable_rpow_inv
@[simp]
theorem summable_rpow_inv {p : ℝ} :
    Summable (fun n => ((n : ℝ≥0) ^ p)⁻¹ : ℕ → ℝ≥0) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- NNReal.summable_rpow
@[simp]
theorem summable_rpow {p : ℝ} : Summable (fun n => (n : ℝ≥0) ^ p : ℕ → ℝ≥0) ↔ p < -1 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => ↑n ^ p) ↔ p < -1
-- NNReal.summable_one_div_rpow
theorem summable_one_div_rpow {p : ℝ} :
    Summable (fun n => 1 / (n : ℝ≥0) ^ p : ℕ → ℝ≥0) ↔ 1 < p 
Arguments: {p : ℝ}
Goal: (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
-- sum_Ioc_inv_sq_le_sub
theorem sum_Ioc_inv_sq_le_sub {k n : ℕ} (hk : k ≠ 0) (h : k ≤ n) :
    (∑ i ∈ Ioc k n, ((i : α) ^ 2)⁻¹) ≤ (k : α)⁻¹ - (n : α)⁻¹ 
Arguments: {α : Type u_1} [LinearOrderedField α] {k n : ℕ} (hk : k ≠ 0) (h : k ≤ n)
Goal: ∑ i ∈ Finset.Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
-- sum_Ioo_inv_sq_le
theorem sum_Ioo_inv_sq_le (k n : ℕ) : (∑ i ∈ Ioo k n, (i ^ 2 : α)⁻¹) ≤ 2 / (k + 1) 
Arguments: {α : Type u_1} [LinearOrderedField α] (k n : ℕ)
Goal: ∑ i ∈ Finset.Ioo k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ 2 / (↑k + 1)
-- Real.not_summable_indicator_one_div_natCast
lemma Real.not_summable_indicator_one_div_natCast {m : ℕ} (hm : m ≠ 0) (k : ZMod m) :
    ¬ Summable ({n : ℕ | (n : ZMod m) = k}.indicator fun n : ℕ ↦ (1 / n : ℝ)) 
Arguments: {m : ℕ} (hm : m ≠ 0) (k : ZMod m)
Goal: ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator fun n => 1 / ↑n)
-- Real.summable_one_div_nat_add_rpow
lemma Real.summable_one_div_nat_add_rpow (a : ℝ) (s : ℝ) :
    Summable (fun n : ℕ ↦ 1 / |n + a| ^ s) ↔ 1 < s 
Arguments: (a s : ℝ)
Goal: (Summable fun n => 1 / |↑n + a| ^ s) ↔ 1 < s
-- Real.summable_one_div_int_add_rpow
lemma Real.summable_one_div_int_add_rpow (a : ℝ) (s : ℝ) :
    Summable (fun n : ℤ ↦ 1 / |n + a| ^ s) ↔ 1 < s 
Arguments: (a s : ℝ)
Goal: (Summable fun n => 1 / |↑n + a| ^ s) ↔ 1 < s
-- Submodule.mem_orthogonal
theorem mem_orthogonal (v : E) : v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E) (v : E)
Goal: v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.mem_orthogonal'
theorem mem_orthogonal' (v : E) : v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪v, u⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E) (v : E)
Goal: v ∈ Kᗮ ↔ ∀ u ∈ K, ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.inner_right_of_mem_orthogonal
theorem inner_right_of_mem_orthogonal {u v : E} (hu : u ∈ K) (hv : v ∈ Kᗮ) : ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K : Submodule 𝕜 E} {u v : E} (hu : u ∈ K) (hv : v ∈ Kᗮ)
Goal: ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.inner_left_of_mem_orthogonal
theorem inner_left_of_mem_orthogonal {u v : E} (hu : u ∈ K) (hv : v ∈ Kᗮ) : ⟪v, u⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K : Submodule 𝕜 E} {u v : E} (hu : u ∈ K) (hv : v ∈ Kᗮ)
Goal: ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_right
theorem mem_orthogonal_singleton_iff_inner_right {u v : E} : v ∈ (𝕜 ∙ u)ᗮ ↔ ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {u v : E}
Goal: v ∈ (Submodule.span 𝕜 {u})ᗮ ↔ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left
theorem mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left {u v : E} : v ∈ (𝕜 ∙ u)ᗮ ↔ ⟪v, u⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {u v : E}
Goal: v ∈ (Submodule.span 𝕜 {u})ᗮ ↔ ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.sub_mem_orthogonal_of_inner_left
theorem sub_mem_orthogonal_of_inner_left {x y : E} (h : ∀ v : K, ⟪x, v⟫ = ⟪y, v⟫) : x - y ∈ Kᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K : Submodule 𝕜 E} {x y : E} (h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜)
Goal: x - y ∈ Kᗮ
-- Submodule.sub_mem_orthogonal_of_inner_right
theorem sub_mem_orthogonal_of_inner_right {x y : E} (h : ∀ v : K, ⟪(v : E), x⟫ = ⟪(v : E), y⟫) :
    x - y ∈ Kᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K : Submodule 𝕜 E} {x y : E} (h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜)
Goal: x - y ∈ Kᗮ
-- Submodule.inf_orthogonal_eq_bot
theorem inf_orthogonal_eq_bot : K ⊓ Kᗮ = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: K ⊓ Kᗮ = ⊥
-- Submodule.orthogonal_disjoint
theorem orthogonal_disjoint : Disjoint K Kᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: Disjoint K Kᗮ
-- Submodule.orthogonal_eq_inter
theorem orthogonal_eq_inter : Kᗮ = ⨅ v : K, LinearMap.ker (innerSL 𝕜 (v : E)) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: Kᗮ = ⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)
-- Submodule.isClosed_orthogonal
theorem isClosed_orthogonal : IsClosed (Kᗮ : Set E) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: IsClosed ↑Kᗮ
-- Submodule.orthogonal_gc
theorem orthogonal_gc :
    @GaloisConnection (Submodule 𝕜 E) (Submodule 𝕜 E)ᵒᵈ _ _ orthogonal orthogonal 
Arguments: (𝕜 : Type u_1) (E : Type u_2) [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E]
Goal: GaloisConnection Submodule.orthogonal Submodule.orthogonal
-- Submodule.orthogonal_le
theorem orthogonal_le {K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E} (h : K₁ ≤ K₂) : K₂ᗮ ≤ K₁ᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E} (h : K₁ ≤ K₂)
Goal: K₂ᗮ ≤ K₁ᗮ
-- Submodule.orthogonal_orthogonal_monotone
theorem orthogonal_orthogonal_monotone {K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E} (h : K₁ ≤ K₂) : K₁ᗮᗮ ≤ K₂ᗮᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E} (h : K₁ ≤ K₂)
Goal: K₁ᗮᗮ ≤ K₂ᗮᗮ
-- Submodule.le_orthogonal_orthogonal
theorem le_orthogonal_orthogonal : K ≤ Kᗮᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: K ≤ Kᗮᗮ
-- Submodule.inf_orthogonal
theorem inf_orthogonal (K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E) : K₁ᗮ ⊓ K₂ᗮ = (K₁ ⊔ K₂)ᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E)
Goal: K₁ᗮ ⊓ K₂ᗮ = (K₁ ⊔ K₂)ᗮ
-- Submodule.iInf_orthogonal
theorem iInf_orthogonal {ι : Type*} (K : ι → Submodule 𝕜 E) : ⨅ i, (K i)ᗮ = (iSup K)ᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {ι : Type u_4} (K : ι → Submodule 𝕜 E)
Goal: ⨅ i, (K i)ᗮ = (iSup K)ᗮ
-- Submodule.sInf_orthogonal
theorem sInf_orthogonal (s : Set <| Submodule 𝕜 E) : ⨅ K ∈ s, Kᗮ = (sSup s)ᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (s : Set (Submodule 𝕜 E))
Goal: ⨅ K ∈ s, Kᗮ = (sSup s)ᗮ
-- Submodule.top_orthogonal_eq_bot
@[simp]
theorem top_orthogonal_eq_bot : (⊤ : Submodule 𝕜 E)ᗮ = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E]
Goal: ⊤ᗮ = ⊥
-- Submodule.bot_orthogonal_eq_top
@[simp]
theorem bot_orthogonal_eq_top : (⊥ : Submodule 𝕜 E)ᗮ = ⊤ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E]
Goal: ⊥ᗮ = ⊤
-- Submodule.orthogonal_eq_top_iff
@[simp]
theorem orthogonal_eq_top_iff : Kᗮ = ⊤ ↔ K = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: Kᗮ = ⊤ ↔ K = ⊥
-- Submodule.orthogonalFamily_self
theorem orthogonalFamily_self :
    OrthogonalFamily 𝕜 (fun b => ↥(cond b K Kᗮ)) fun b => (cond b K Kᗮ).subtypeₗᵢ
  
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (K : Submodule 𝕜 E)
Goal: OrthogonalFamily 𝕜 (fun b => ↥(bif b then K else Kᗮ)) fun b => (bif b then K else Kᗮ).subtypeₗᵢ
-- bilinFormOfRealInner_orthogonal
@[simp]
theorem bilinFormOfRealInner_orthogonal {E} [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace ℝ E]
    (K : Submodule ℝ E) : K.orthogonalBilin bilinFormOfRealInner = Kᗮ 
Arguments: {E : Type u_4} [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace ℝ E] (K : Submodule ℝ E)
Goal: K.orthogonalBilin bilinFormOfRealInner = Kᗮ
-- Submodule.isOrtho_iff_le
theorem isOrtho_iff_le {U V : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ V ↔ U ≤ Vᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ V ↔ U ≤ Vᗮ
-- Submodule.IsOrtho.symm
@[symm]
theorem IsOrtho.symm {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) : V ⟂ U 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V)
Goal: V ⟂ U
-- Submodule.isOrtho_comm
theorem isOrtho_comm {U V : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ V ↔ V ⟂ U 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ V ↔ V ⟂ U
-- Submodule.symmetric_isOrtho
theorem symmetric_isOrtho : Symmetric (IsOrtho : Submodule 𝕜 E → Submodule 𝕜 E → Prop) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E]
Goal: Symmetric Submodule.IsOrtho
-- Submodule.IsOrtho.inner_eq
theorem IsOrtho.inner_eq {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) {u v : E} (hu : u ∈ U) (hv : v ∈ V) :
    ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) {u v : E} (hu : u ∈ U) (hv : v ∈ V)
Goal: ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.isOrtho_iff_inner_eq
theorem isOrtho_iff_inner_eq {U V : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ V ↔ ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ V ↔ ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.isOrtho_bot_left
@[simp]
theorem isOrtho_bot_left {V : Submodule 𝕜 E} : ⊥ ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {V : Submodule 𝕜 E}
Goal: ⊥ ⟂ V
-- Submodule.isOrtho_bot_right
@[simp]
theorem isOrtho_bot_right {U : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ ⊥
-- Submodule.IsOrtho.mono_left
theorem IsOrtho.mono_left {U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E} (hU : U₂ ≤ U₁) (h : U₁ ⟂ V) : U₂ ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E} (hU : U₂ ≤ U₁) (h : U₁ ⟂ V)
Goal: U₂ ⟂ V
-- Submodule.IsOrtho.mono_right
theorem IsOrtho.mono_right {U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E} (hV : V₂ ≤ V₁) (h : U ⟂ V₁) : U ⟂ V₂ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E} (hV : V₂ ≤ V₁) (h : U ⟂ V₁)
Goal: U ⟂ V₂
-- Submodule.IsOrtho.mono
theorem IsOrtho.mono {U₁ V₁ U₂ V₂ : Submodule 𝕜 E} (hU : U₂ ≤ U₁) (hV : V₂ ≤ V₁) (h : U₁ ⟂ V₁) :
    U₂ ⟂ V₂ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U₁ V₁ U₂ V₂ : Submodule 𝕜 E} (hU : U₂ ≤ U₁) (hV : V₂ ≤ V₁) (h : U₁ ⟂ V₁)
Goal: U₂ ⟂ V₂
-- Submodule.isOrtho_self
@[simp]
theorem isOrtho_self {U : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ U ↔ U = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ U ↔ U = ⊥
-- Submodule.isOrtho_orthogonal_right
@[simp]
theorem isOrtho_orthogonal_right (U : Submodule 𝕜 E) : U ⟂ Uᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (U : Submodule 𝕜 E)
Goal: U ⟂ Uᗮ
-- Submodule.isOrtho_orthogonal_left
@[simp]
theorem isOrtho_orthogonal_left (U : Submodule 𝕜 E) : Uᗮ ⟂ U 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] (U : Submodule 𝕜 E)
Goal: Uᗮ ⟂ U
-- Submodule.IsOrtho.le
theorem IsOrtho.le {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) : U ≤ Vᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V)
Goal: U ≤ Vᗮ
-- Submodule.IsOrtho.ge
theorem IsOrtho.ge {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) : V ≤ Uᗮ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V)
Goal: V ≤ Uᗮ
-- Submodule.isOrtho_top_right
@[simp]
theorem isOrtho_top_right {U : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ ⊤ ↔ U = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ ⊤ ↔ U = ⊥
-- Submodule.isOrtho_top_left
@[simp]
theorem isOrtho_top_left {V : Submodule 𝕜 E} : ⊤ ⟂ V ↔ V = ⊥ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {V : Submodule 𝕜 E}
Goal: ⊤ ⟂ V ↔ V = ⊥
-- Submodule.IsOrtho.disjoint
theorem IsOrtho.disjoint {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) : Disjoint U V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V)
Goal: Disjoint U V
-- Submodule.isOrtho_sup_left
@[simp]
theorem isOrtho_sup_left {U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E} : U₁ ⊔ U₂ ⟂ V ↔ U₁ ⟂ V ∧ U₂ ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E}
Goal: U₁ ⊔ U₂ ⟂ V ↔ U₁ ⟂ V ∧ U₂ ⟂ V
-- Submodule.isOrtho_sup_right
@[simp]
theorem isOrtho_sup_right {U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E} : U ⟂ V₁ ⊔ V₂ ↔ U ⟂ V₁ ∧ U ⟂ V₂ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U V₁ V₂ : Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ V₁ ⊔ V₂ ↔ U ⟂ V₁ ∧ U ⟂ V₂
-- Submodule.isOrtho_sSup_left
@[simp]
theorem isOrtho_sSup_left {U : Set (Submodule 𝕜 E)} {V : Submodule 𝕜 E} :
    sSup U ⟂ V ↔ ∀ Uᵢ ∈ U, Uᵢ ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U : Set (Submodule 𝕜 E)} {V : Submodule 𝕜 E}
Goal: sSup U ⟂ V ↔ ∀ Uᵢ ∈ U, Uᵢ ⟂ V
-- Submodule.isOrtho_sSup_right
@[simp]
theorem isOrtho_sSup_right {U : Submodule 𝕜 E} {V : Set (Submodule 𝕜 E)} :
    U ⟂ sSup V ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {U : Submodule 𝕜 E} {V : Set (Submodule 𝕜 E)}
Goal: U ⟂ sSup V ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ
-- Submodule.isOrtho_iSup_left
@[simp]
theorem isOrtho_iSup_left {ι : Sort*} {U : ι → Submodule 𝕜 E} {V : Submodule 𝕜 E} :
    iSup U ⟂ V ↔ ∀ i, U i ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {ι : Sort u_4} {U : ι → Submodule 𝕜 E} {V : Submodule 𝕜 E}
Goal: iSup U ⟂ V ↔ ∀ (i : ι), U i ⟂ V
-- Submodule.isOrtho_iSup_right
@[simp]
theorem isOrtho_iSup_right {ι : Sort*} {U : Submodule 𝕜 E} {V : ι → Submodule 𝕜 E} :
    U ⟂ iSup V ↔ ∀ i, U ⟂ V i 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {ι : Sort u_4} {U : Submodule 𝕜 E} {V : ι → Submodule 𝕜 E}
Goal: U ⟂ iSup V ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i
-- Submodule.isOrtho_span
@[simp]
theorem isOrtho_span {s t : Set E} :
    span 𝕜 s ⟂ span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫ = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {s t : Set E}
Goal: Submodule.span 𝕜 s ⟂ Submodule.span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Submodule.IsOrtho.map
theorem IsOrtho.map (f : E →ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V) : U.map f ⟂ V.map f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (f : E →ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 E} (h : U ⟂ V)
Goal: Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V
-- Submodule.IsOrtho.comap
theorem IsOrtho.comap (f : E →ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 F} (h : U ⟂ V) :
    U.comap f ⟂ V.comap f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (f : E →ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 F} (h : U ⟂ V)
Goal: Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
-- Submodule.IsOrtho.map_iff
@[simp]
theorem IsOrtho.map_iff (f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 E} : U.map f ⟂ V.map f ↔ U ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 E}
Goal: Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V ↔ U ⟂ V
-- Submodule.IsOrtho.comap_iff
@[simp]
theorem IsOrtho.comap_iff (f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 F} : U.comap f ⟂ V.comap f ↔ U ⟂ V 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F) {U V : Submodule 𝕜 F}
Goal: Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V ↔ U ⟂ V
-- orthogonalFamily_iff_pairwise
theorem orthogonalFamily_iff_pairwise {ι} {V : ι → Submodule 𝕜 E} :
    (OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => V i) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) ↔ Pairwise ((· ⟂ ·) on V) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {ι : Type u_4} {V : ι → Submodule 𝕜 E}
Goal: (OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) ↔ Pairwise ((fun x x_1 => x ⟂ x_1) on V)
-- OrthogonalFamily.isOrtho
theorem OrthogonalFamily.isOrtho {ι} {V : ι → Submodule 𝕜 E}
    (hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => V i) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) {i j : ι} (hij : i ≠ j) :
    V i ⟂ V j 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] {ι : Type u_4} {V : ι → Submodule 𝕜 E} (hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) {i j : ι} (hij : i ≠ j)
Goal: V i ⟂ V j
-- LinearPMap.IsFormalAdjoint.symm
@[symm]
protected theorem IsFormalAdjoint.symm (h : T.IsFormalAdjoint S) :
    S.IsFormalAdjoint T 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} {S : F →ₗ.[𝕜] E} (h : T.IsFormalAdjoint S)
Goal: S.IsFormalAdjoint T
-- LinearPMap.adjointDomainMkCLM_apply
theorem adjointDomainMkCLM_apply (y : T.adjointDomain) (x : T.domain) :
    adjointDomainMkCLM T y x = ⟪(y : F), T x⟫ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (T : E →ₗ.[𝕜] F) (y : ↥T.adjointDomain) (x : ↥T.domain)
Goal: (T.adjointDomainMkCLM y) x = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
-- LinearPMap.adjointDomainMkCLMExtend_apply
@[simp]
theorem adjointDomainMkCLMExtend_apply (y : T.adjointDomain) (x : T.domain) :
    adjointDomainMkCLMExtend hT y (x : E) = ⟪(y : F), T x⟫ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} (hT : Dense ↑T.domain) (y : ↥T.adjointDomain) (x : ↥T.domain)
Goal: (LinearPMap.adjointDomainMkCLMExtend hT y) ↑x = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
-- LinearPMap.adjointAux_inner
theorem adjointAux_inner (y : T.adjointDomain) (x : T.domain) :
    ⟪adjointAux hT y, x⟫ = ⟪(y : F), T x⟫ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} (hT : Dense ↑T.domain) [CompleteSpace E] (y : ↥T.adjointDomain) (x : ↥T.domain)
Goal: ⟪(LinearPMap.adjointAux hT) y, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜
-- LinearPMap.adjointAux_unique
theorem adjointAux_unique (y : T.adjointDomain) {x₀ : E}
    (hx₀ : ∀ x : T.domain, ⟪x₀, x⟫ = ⟪(y : F), T x⟫) : adjointAux hT y = x₀ 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} (hT : Dense ↑T.domain) [CompleteSpace E] (y : ↥T.adjointDomain) {x₀ : E} (hx₀ : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪x₀, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜)
Goal: (LinearPMap.adjointAux hT) y = x₀
-- LinearPMap.mem_adjoint_domain_iff
theorem mem_adjoint_domain_iff (y : F) : y ∈ T†.domain ↔ Continuous ((innerₛₗ 𝕜 y).comp T.toFun) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] (T : E →ₗ.[𝕜] F) [CompleteSpace E] (y : F)
Goal: y ∈ T.adjoint.domain ↔ Continuous ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun)
-- LinearPMap.mem_adjoint_domain_of_exists
theorem mem_adjoint_domain_of_exists (y : F) (h : ∃ w : E, ∀ x : T.domain, ⟪w, x⟫ = ⟪y, T x⟫) :
    y ∈ T†.domain 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} [CompleteSpace E] (y : F) (h : ∃ w, ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜)
Goal: y ∈ T.adjoint.domain
-- LinearPMap.adjoint_apply_of_not_dense
theorem adjoint_apply_of_not_dense (hT : ¬Dense (T.domain : Set E)) (y : T†.domain) : T† y = 0 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} [CompleteSpace E] (hT : ¬Dense ↑T.domain) (y : ↥T.adjoint.domain)
Goal: ↑T.adjoint y = 0
-- LinearPMap.adjoint_apply_of_dense
theorem adjoint_apply_of_dense (y : T†.domain) : T† y = adjointAux hT y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [InnerProductSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [InnerProductSpace 𝕜 F] {T : E →ₗ.[𝕜] F} (hT : Dense ↑T.domain) [CompleteSpace E] (y : ↥T.adjoint.domain)
Goal: ↑T.adjoint y = (LinearPMap.adjointAux hT) y