ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- LieSubmodule.sInf_coe
@[simp]
theorem sInf_coe (S : Set (LieSubmodule R L M)) : (↑(sInf S) : Set M) = ⋂ s ∈ S, (s : Set M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set (LieSubmodule R L M))
Goal: ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
-- LieSubmodule.iInf_coe
@[simp]
theorem iInf_coe {ι} (p : ι → LieSubmodule R L M) : (↑(⨅ i, p i) : Set M) = ⋂ i, ↑(p i) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (p : ι → LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
-- LieSubmodule.mem_iInf
@[simp]
theorem mem_iInf {ι} (p : ι → LieSubmodule R L M) {x} : (x ∈ ⨅ i, p i) ↔ ∀ i, x ∈ p i 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (p : ι → LieSubmodule R L M) {x : M}
Goal: x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
-- LieSubmodule.sup_coe_toSubmodule
@[norm_cast, simp]
theorem sup_coe_toSubmodule :
    (↑(N ⊔ N') : Submodule R M) = (N : Submodule R M) ⊔ (N' : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(N ⊔ N') = ↑N ⊔ ↑N'
-- LieSubmodule.sSup_coe_toSubmodule
@[simp]
theorem sSup_coe_toSubmodule (S : Set (LieSubmodule R L M)) :
    (↑(sSup S) : Submodule R M) = sSup {(s : Submodule R M) | s ∈ S} 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set (LieSubmodule R L M))
Goal: ↑(sSup S) = sSup {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}
-- LieSubmodule.sSup_coe_toSubmodule'
theorem sSup_coe_toSubmodule' (S : Set (LieSubmodule R L M)) :
    (↑(sSup S) : Submodule R M) = ⨆ N ∈ S, (N : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (S : Set (LieSubmodule R L M))
Goal: ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
-- LieSubmodule.iSup_coe_toSubmodule
@[simp]
theorem iSup_coe_toSubmodule {ι} (p : ι → LieSubmodule R L M) :
    (↑(⨆ i, p i) : Submodule R M) = ⨆ i, (p i : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (p : ι → LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)
-- LieSubmodule.mem_iSup_of_mem
theorem mem_iSup_of_mem {ι} {b : M} {N : ι → LieSubmodule R L M} (i : ι) (h : b ∈ N i) :
    b ∈ ⨆ i, N i 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} {b : M} {N : ι → LieSubmodule R L M} (i : ι) (h : b ∈ N i)
Goal: b ∈ ⨆ i, N i
-- LieSubmodule.iSup_induction
lemma iSup_induction {ι} (N : ι → LieSubmodule R L M) {C : M → Prop} {x : M}
    (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hN : ∀ i, ∀ y ∈ N i, C y) (h0 : C 0)
    (hadd : ∀ y z, C y → C z → C (y + z)) : C x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (N : ι → LieSubmodule R L M) {C : M → Prop} {x : M} (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y) (h0 : C 0) (hadd : ∀ (y z : M), C y → C z → C (y + z))
Goal: C x
-- LieSubmodule.iSup_induction'
@[elab_as_elim]
theorem iSup_induction' {ι} (N : ι → LieSubmodule R L M) {C : (x : M) → (x ∈ ⨆ i, N i) → Prop}
    (hN : ∀ (i) (x) (hx : x ∈ N i), C x (mem_iSup_of_mem i hx)) (h0 : C 0 (zero_mem _))
    (hadd : ∀ x y hx hy, C x hx → C y hy → C (x + y) (add_mem ‹_› ‹_›)) {x : M}
    (hx : x ∈ ⨆ i, N i) : C x hx 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (N : ι → LieSubmodule R L M) {C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop} (hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯) (h0 : C 0 ⋯) (hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯) {x : M} (hx : x ∈ ⨆ i, N i)
Goal: C x hx
-- LieSubmodule.disjoint_iff_coe_toSubmodule
theorem disjoint_iff_coe_toSubmodule :
    Disjoint N N' ↔ Disjoint (N : Submodule R M) (N' : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: Disjoint N N' ↔ Disjoint ↑N ↑N'
-- LieSubmodule.codisjoint_iff_coe_toSubmodule
theorem codisjoint_iff_coe_toSubmodule :
    Codisjoint N N' ↔ Codisjoint (N : Submodule R M) (N' : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: Codisjoint N N' ↔ Codisjoint ↑N ↑N'
-- LieSubmodule.isCompl_iff_coe_toSubmodule
theorem isCompl_iff_coe_toSubmodule :
    IsCompl N N' ↔ IsCompl (N : Submodule R M) (N' : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: IsCompl N N' ↔ IsCompl ↑N ↑N'
-- LieSubmodule.independent_iff_coe_toSubmodule
theorem independent_iff_coe_toSubmodule {ι : Type*} {N : ι → LieSubmodule R L M} :
    CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i ↦ (N i : Submodule R M) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Type u_1} {N : ι → LieSubmodule R L M}
Goal: CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(N i)
-- LieSubmodule.iSup_eq_top_iff_coe_toSubmodule
theorem iSup_eq_top_iff_coe_toSubmodule {ι : Sort*} {N : ι → LieSubmodule R L M} :
    ⨆ i, N i = ⊤ ↔ ⨆ i, (N i : Submodule R M) = ⊤ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} {N : ι → LieSubmodule R L M}
Goal: ⨆ i, N i = ⊤ ↔ ⨆ i, ↑(N i) = ⊤
-- LieSubmodule.add_eq_sup
@[simp]
theorem add_eq_sup : N + N' = N ⊔ N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M)
Goal: N + N' = N ⊔ N'
-- LieSubmodule.mem_inf
@[simp]
theorem mem_inf (x : M) : x ∈ N ⊓ N' ↔ x ∈ N ∧ x ∈ N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M) (x : M)
Goal: x ∈ N ⊓ N' ↔ x ∈ N ∧ x ∈ N'
-- LieSubmodule.mem_sup
theorem mem_sup (x : M) : x ∈ N ⊔ N' ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N N' : LieSubmodule R L M) (x : M)
Goal: x ∈ N ⊔ N' ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x
-- LieSubmodule.eq_bot_iff
nonrec theorem eq_bot_iff : N = ⊥ ↔ ∀ m : M, m ∈ N → m = 0 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: N = ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
-- LieSubmodule.toSubmodule_orderEmbedding_apply
@[simps] def toSubmodule_orderEmbedding : LieSubmodule R L M ↪o Submodule R M 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (self : LieSubmodule R L M)
Goal: (LieSubmodule.toSubmodule_orderEmbedding R L M) self = ↑self
-- LieSubmodule.wellFounded_of_noetherian
theorem wellFounded_of_noetherian [IsNoetherian R M] :
    WellFounded ((· > ·) : LieSubmodule R L M → LieSubmodule R L M → Prop) 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [IsNoetherian R M]
Goal: WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- LieSubmodule.wellFounded_of_isArtinian
theorem wellFounded_of_isArtinian [IsArtinian R M] :
    WellFounded ((· < ·) : LieSubmodule R L M → LieSubmodule R L M → Prop) 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [IsArtinian R M]
Goal: WellFounded fun x x_1 => x < x_1
-- LieSubmodule.subsingleton_iff
@[simp]
theorem subsingleton_iff : Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton M 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton M
-- LieSubmodule.nontrivial_iff
@[simp]
theorem nontrivial_iff : Nontrivial (LieSubmodule R L M) ↔ Nontrivial M 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: Nontrivial (LieSubmodule R L M) ↔ Nontrivial M
-- LieSubmodule.nontrivial_iff_ne_bot
theorem nontrivial_iff_ne_bot {N : LieSubmodule R L M} : Nontrivial N ↔ N ≠ ⊥ 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : LieSubmodule R L M}
Goal: Nontrivial ↥↑N ↔ N ≠ ⊥
-- LieSubmodule.incl_coe
@[simp]
theorem incl_coe : (N.incl : N →ₗ[R] M) = (N : Submodule R M).subtype 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑N.incl = (↑N).subtype
-- LieSubmodule.incl_apply
@[simp]
theorem incl_apply (m : N) : N.incl m = m 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M) (m : ↥N)
Goal: N.incl m = ↑m
-- LieSubmodule.incl_eq_val
theorem incl_eq_val : (N.incl : N → M) = Subtype.val 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ⇑N.incl = Subtype.val
-- LieSubmodule.injective_incl
theorem injective_incl : Function.Injective N.incl 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: Function.Injective ⇑N.incl
-- LieSubmodule.coe_inclusion
@[simp]
theorem coe_inclusion (m : N) : (inclusion h m : M) = m 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N N' : LieSubmodule R L M} (h : N ≤ N') (m : ↥N)
Goal: ↑((LieSubmodule.inclusion h) m) = ↑m
-- LieSubmodule.inclusion_apply
theorem inclusion_apply (m : N) : inclusion h m = ⟨m.1, h m.2⟩ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N N' : LieSubmodule R L M} (h : N ≤ N') (m : ↥N)
Goal: (LieSubmodule.inclusion h) m = ⟨↑m, ⋯⟩
-- LieSubmodule.inclusion_injective
theorem inclusion_injective : Function.Injective (inclusion h) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N N' : LieSubmodule R L M} (h : N ≤ N')
Goal: Function.Injective ⇑(LieSubmodule.inclusion h)
-- LieSubmodule.mem_lieSpan
theorem mem_lieSpan {x : M} : x ∈ lieSpan R L s ↔ ∀ N : LieSubmodule R L M, s ⊆ N → x ∈ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s : Set M} {x : M}
Goal: x ∈ LieSubmodule.lieSpan R L s ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N
-- LieSubmodule.subset_lieSpan
theorem subset_lieSpan : s ⊆ lieSpan R L s 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s : Set M}
Goal: s ⊆ ↑(LieSubmodule.lieSpan R L s)
-- LieSubmodule.submodule_span_le_lieSpan
theorem submodule_span_le_lieSpan : Submodule.span R s ≤ lieSpan R L s 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s : Set M}
Goal: Submodule.span R s ≤ ↑(LieSubmodule.lieSpan R L s)
-- LieSubmodule.lieSpan_le
@[simp]
theorem lieSpan_le {N} : lieSpan R L s ≤ N ↔ s ⊆ N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s : Set M} {N : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L s ≤ N ↔ s ⊆ ↑N
-- LieSubmodule.lieSpan_mono
theorem lieSpan_mono {t : Set M} (h : s ⊆ t) : lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s t : Set M} (h : s ⊆ t)
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L s ≤ LieSubmodule.lieSpan R L t
-- LieSubmodule.lieSpan_eq
theorem lieSpan_eq : lieSpan R L (N : Set M) = N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L ↑N = N
-- LieSubmodule.coe_lieSpan_submodule_eq_iff
theorem coe_lieSpan_submodule_eq_iff {p : Submodule R M} :
    (lieSpan R L (p : Set M) : Submodule R M) = p ↔ ∃ N : LieSubmodule R L M, ↑N = p 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {p : Submodule R M}
Goal: ↑(LieSubmodule.lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∃ N, ↑N = p
-- LieSubmodule.span_empty
@[simp]
theorem span_empty : lieSpan R L (∅ : Set M) = ⊥ 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L ∅ = ⊥
-- LieSubmodule.span_univ
@[simp]
theorem span_univ : lieSpan R L (Set.univ : Set M) = ⊤ 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M]
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L Set.univ = ⊤
-- LieSubmodule.lieSpan_eq_bot_iff
theorem lieSpan_eq_bot_iff : lieSpan R L s = ⊥ ↔ ∀ m ∈ s, m = (0 : M) 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) (M : Type w) [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {s : Set M}
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L s = ⊥ ↔ ∀ m ∈ s, m = 0
-- LieSubmodule.span_union
theorem span_union (s t : Set M) : lieSpan R L (s ∪ t) = lieSpan R L s ⊔ lieSpan R L t 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (s t : Set M)
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L (s ∪ t) = LieSubmodule.lieSpan R L s ⊔ LieSubmodule.lieSpan R L t
-- LieSubmodule.span_iUnion
theorem span_iUnion {ι} (s : ι → Set M) : lieSpan R L (⋃ i, s i) = ⨆ i, lieSpan R L (s i) 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {ι : Sort u_1} (s : ι → Set M)
Goal: LieSubmodule.lieSpan R L (⋃ i, s i) = ⨆ i, LieSubmodule.lieSpan R L (s i)
-- LieSubmodule.isCompactElement_lieSpan_singleton
lemma isCompactElement_lieSpan_singleton (m : M) :
    CompleteLattice.IsCompactElement (lieSpan R L {m}) 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (m : M)
Goal: CompleteLattice.IsCompactElement (LieSubmodule.lieSpan R L {m})
-- LieSubmodule.sSup_image_lieSpan_singleton
@[simp]
lemma sSup_image_lieSpan_singleton : sSup ((fun x ↦ lieSpan R L {x}) '' N) = N 
Arguments: (R : Type u) (L : Type v) {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] (N : LieSubmodule R L M)
Goal: sSup ((fun x => LieSubmodule.lieSpan R L {x}) '' ↑N) = N
-- LieSubmodule.coe_map
@[simp] theorem coe_map : (N.map f : Set M') = f '' N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M') (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(LieSubmodule.map f N) = ⇑f '' ↑N
-- LieSubmodule.coeSubmodule_map
@[simp]
theorem coeSubmodule_map : (N.map f : Submodule R M') = (N : Submodule R M).map (f : M →ₗ[R] M') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M') (N : LieSubmodule R L M)
Goal: ↑(LieSubmodule.map f N) = Submodule.map ↑f ↑N
-- LieSubmodule.coeSubmodule_comap
@[simp]
theorem coeSubmodule_comap :
    (N'.comap f : Submodule R M) = (N' : Submodule R M').comap (f : M →ₗ[R] M') 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M') (N' : LieSubmodule R L M')
Goal: ↑(LieSubmodule.comap f N') = Submodule.comap ↑f ↑N'
-- LieSubmodule.map_le_iff_le_comap
theorem map_le_iff_le_comap : map f N ≤ N' ↔ N ≤ comap f N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N : LieSubmodule R L M} {N' : LieSubmodule R L M'}
Goal: LieSubmodule.map f N ≤ N' ↔ N ≤ LieSubmodule.comap f N'
-- LieSubmodule.gc_map_comap
theorem gc_map_comap : GaloisConnection (map f) (comap f) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] (f : M →ₗ⁅R,L⁆ M')
Goal: GaloisConnection (LieSubmodule.map f) (LieSubmodule.comap f)
-- LieSubmodule.map_inf_le
theorem map_inf_le : (N ⊓ N₂).map f ≤ N.map f ⊓ N₂.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N N₂ : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.map f (N ⊓ N₂) ≤ LieSubmodule.map f N ⊓ LieSubmodule.map f N₂
-- LieSubmodule.map_inf
theorem map_inf (hf : Function.Injective f) :
    (N ⊓ N₂).map f = N.map f ⊓ N₂.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N N₂ : LieSubmodule R L M} (hf : Function.Injective ⇑f)
Goal: LieSubmodule.map f (N ⊓ N₂) = LieSubmodule.map f N ⊓ LieSubmodule.map f N₂
-- LieSubmodule.map_sup
@[simp]
theorem map_sup : (N ⊔ N₂).map f = N.map f ⊔ N₂.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N N₂ : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.map f (N ⊔ N₂) = LieSubmodule.map f N ⊔ LieSubmodule.map f N₂
-- LieSubmodule.comap_inf
@[simp]
theorem comap_inf {N₂' : LieSubmodule R L M'} :
    (N' ⊓ N₂').comap f = N'.comap f ⊓ N₂'.comap f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N' N₂' : LieSubmodule R L M'}
Goal: LieSubmodule.comap f (N' ⊓ N₂') = LieSubmodule.comap f N' ⊓ LieSubmodule.comap f N₂'
-- LieSubmodule.map_iSup
@[simp]
theorem map_iSup {ι : Sort*} (N : ι → LieSubmodule R L M) :
    (⨆ i, N i).map f = ⨆ i, (N i).map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {ι : Sort u_1} (N : ι → LieSubmodule R L M)
Goal: LieSubmodule.map f (⨆ i, N i) = ⨆ i, LieSubmodule.map f (N i)
-- LieSubmodule.mem_map
@[simp]
theorem mem_map (m' : M') : m' ∈ N.map f ↔ ∃ m, m ∈ N ∧ f m = m' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N : LieSubmodule R L M} (m' : M')
Goal: m' ∈ LieSubmodule.map f N ↔ ∃ m ∈ N, f m = m'
-- LieSubmodule.mem_map_of_mem
theorem mem_map_of_mem {m : M} (h : m ∈ N) : f m ∈ N.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N : LieSubmodule R L M} {m : M} (h : m ∈ N)
Goal: f m ∈ LieSubmodule.map f N
-- LieSubmodule.mem_comap
@[simp]
theorem mem_comap {m : M} : m ∈ comap f N' ↔ f m ∈ N' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N' : LieSubmodule R L M'} {m : M}
Goal: m ∈ LieSubmodule.comap f N' ↔ f m ∈ N'
-- LieSubmodule.comap_incl_eq_top
theorem comap_incl_eq_top : N₂.comap N.incl = ⊤ ↔ N ≤ N₂ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N N₂ : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.comap N.incl N₂ = ⊤ ↔ N ≤ N₂
-- LieSubmodule.comap_incl_eq_bot
theorem comap_incl_eq_bot : N₂.comap N.incl = ⊥ ↔ N ⊓ N₂ = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N N₂ : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.comap N.incl N₂ = ⊥ ↔ N ⊓ N₂ = ⊥
-- LieSubmodule.map_mono
@[mono]
theorem map_mono (h : N ≤ N₂) : N.map f ≤ N₂.map f 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N N₂ : LieSubmodule R L M} (h : N ≤ N₂)
Goal: LieSubmodule.map f N ≤ LieSubmodule.map f N₂
-- LieSubmodule.map_comp
theorem map_comp
    {M'' : Type*} [AddCommGroup M''] [Module R M''] [LieRingModule L M''] {g : M' →ₗ⁅R,L⁆ M''} :
    N.map (g.comp f) = (N.map f).map g 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N : LieSubmodule R L M} {M'' : Type u_1} [AddCommGroup M''] [Module R M''] [LieRingModule L M''] {g : M' →ₗ⁅R,L⁆ M''}
Goal: LieSubmodule.map (g.comp f) N = LieSubmodule.map g (LieSubmodule.map f N)
-- LieSubmodule.map_id
@[simp]
theorem map_id : N.map LieModuleHom.id = N 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] {N : LieSubmodule R L M}
Goal: LieSubmodule.map LieModuleHom.id N = N
-- LieSubmodule.map_bot
@[simp] theorem map_bot :
    (⊥ : LieSubmodule R L M).map f = ⊥ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'}
Goal: LieSubmodule.map f ⊥ = ⊥
-- LieSubmodule.map_le_map_iff
lemma map_le_map_iff (hf : Function.Injective f) :
    N.map f ≤ N₂.map f ↔ N ≤ N₂ 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} {N N₂ : LieSubmodule R L M} (hf : Function.Injective ⇑f)
Goal: LieSubmodule.map f N ≤ LieSubmodule.map f N₂ ↔ N ≤ N₂
-- LieSubmodule.map_injective_of_injective
lemma map_injective_of_injective (hf : Function.Injective f) :
    Function.Injective (map f) 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} (hf : Function.Injective ⇑f)
Goal: Function.Injective (LieSubmodule.map f)
-- LieSubmodule.mapOrderEmbedding_apply
@[simps] def mapOrderEmbedding {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} (hf : Function.Injective f) :
  LieSubmodule R L M ↪o LieSubmodule R L M' 
Arguments: {R : Type u} {L : Type v} {M : Type w} {M' : Type w₁} [CommRing R] [LieRing L] [AddCommGroup M] [Module R M] [LieRingModule L M] [AddCommGroup M'] [Module R M'] [LieRingModule L M'] {f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'} (hf : Function.Injective ⇑f) (N : LieSubmodule R L M)
Goal: (LieSubmodule.mapOrderEmbedding hf) N = LieSubmodule.map f N