ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- exists_extension_of_le_sublinear
theorem exists_extension_of_le_sublinear (f : E →ₗ.[ℝ] ℝ) (N : E → ℝ)
    (N_hom : ∀ c : ℝ, 0 < c → ∀ x, N (c • x) = c * N x) (N_add : ∀ x y, N (x + y) ≤ N x + N y)
    (hf : ∀ x : f.domain, f x ≤ N x) :
    ∃ g : E →ₗ[ℝ] ℝ, (∀ x : f.domain, g x = f x) ∧ ∀ x, g x ≤ N x 
Arguments: {E : Type u_2} [AddCommGroup E] [Module ℝ E] (f : E →ₗ.[ℝ] ℝ) (N : E → ℝ) (N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x) (N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y) (hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x)
Goal: ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- IsMinOn.of_isLocalMinOn_of_convexOn_Icc
theorem IsMinOn.of_isLocalMinOn_of_convexOn_Icc {f : ℝ → β} {a b : ℝ} (a_lt_b : a < b)
    (h_local_min : IsLocalMinOn f (Icc a b) a) (h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f) :
    IsMinOn f (Icc a b) a 
Arguments: {β : Type u_2} [OrderedAddCommGroup β] [Module ℝ β] [OrderedSMul ℝ β] {f : ℝ → β} {a b : ℝ} (a_lt_b : a < b) (h_local_min : IsLocalMinOn f (Set.Icc a b) a) (h_conv : ConvexOn ℝ (Set.Icc a b) f)
Goal: IsMinOn f (Set.Icc a b) a
-- IsMinOn.of_isLocalMinOn_of_convexOn
theorem IsMinOn.of_isLocalMinOn_of_convexOn {f : E → β} {a : E} (a_in_s : a ∈ s)
    (h_localmin : IsLocalMinOn f s a) (h_conv : ConvexOn ℝ s f) : IsMinOn f s a 
Arguments: {E : Type u_1} {β : Type u_2} [AddCommGroup E] [TopologicalSpace E] [Module ℝ E] [TopologicalAddGroup E] [ContinuousSMul ℝ E] [OrderedAddCommGroup β] [Module ℝ β] [OrderedSMul ℝ β] {s : Set E} {f : E → β} {a : E} (a_in_s : a ∈ s) (h_localmin : IsLocalMinOn f s a) (h_conv : ConvexOn ℝ s f)
Goal: IsMinOn f s a
-- IsMaxOn.of_isLocalMaxOn_of_concaveOn
theorem IsMaxOn.of_isLocalMaxOn_of_concaveOn {f : E → β} {a : E} (a_in_s : a ∈ s)
    (h_localmax : IsLocalMaxOn f s a) (h_conc : ConcaveOn ℝ s f) : IsMaxOn f s a 
Arguments: {E : Type u_1} {β : Type u_2} [AddCommGroup E] [TopologicalSpace E] [Module ℝ E] [TopologicalAddGroup E] [ContinuousSMul ℝ E] [OrderedAddCommGroup β] [Module ℝ β] [OrderedSMul ℝ β] {s : Set E} {f : E → β} {a : E} (a_in_s : a ∈ s) (h_localmax : IsLocalMaxOn f s a) (h_conc : ConcaveOn ℝ s f)
Goal: IsMaxOn f s a
-- IsMinOn.of_isLocalMin_of_convex_univ
theorem IsMinOn.of_isLocalMin_of_convex_univ {f : E → β} {a : E} (h_local_min : IsLocalMin f a)
    (h_conv : ConvexOn ℝ univ f) : ∀ x, f a ≤ f x 
Arguments: {E : Type u_1} {β : Type u_2} [AddCommGroup E] [TopologicalSpace E] [Module ℝ E] [TopologicalAddGroup E] [ContinuousSMul ℝ E] [OrderedAddCommGroup β] [Module ℝ β] [OrderedSMul ℝ β] {f : E → β} {a : E} (h_local_min : IsLocalMin f a) (h_conv : ConvexOn ℝ Set.univ f) (x : E)
Goal: f a ≤ f x
-- IsMaxOn.of_isLocalMax_of_convex_univ
theorem IsMaxOn.of_isLocalMax_of_convex_univ {f : E → β} {a : E} (h_local_max : IsLocalMax f a)
    (h_conc : ConcaveOn ℝ univ f) : ∀ x, f x ≤ f a 
Arguments: {E : Type u_1} {β : Type u_2} [AddCommGroup E] [TopologicalSpace E] [Module ℝ E] [TopologicalAddGroup E] [ContinuousSMul ℝ E] [OrderedAddCommGroup β] [Module ℝ β] [OrderedSMul ℝ β] {f : E → β} {a : E} (h_local_max : IsLocalMax f a) (h_conc : ConcaveOn ℝ Set.univ f) (x : E)
Goal: f x ≤ f a
-- BoxIntegral.integralSum_biUnionTagged
theorem integralSum_biUnionTagged (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) (π : Prepartition I)
    (πi : ∀ J, TaggedPrepartition J) :
    integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, integralSum f vol (πi J) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.Prepartition I) (πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J)
Goal: BoxIntegral.integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, BoxIntegral.integralSum f vol (πi J)
-- BoxIntegral.integralSum_biUnion_partition
theorem integralSum_biUnion_partition (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F)
    (π : TaggedPrepartition I) (πi : ∀ J, Prepartition J) (hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition) :
    integralSum f vol (π.biUnionPrepartition πi) = integralSum f vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I) (πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J) (hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition)
Goal: BoxIntegral.integralSum f vol (π.biUnionPrepartition πi) = BoxIntegral.integralSum f vol π
-- BoxIntegral.integralSum_inf_partition
theorem integralSum_inf_partition (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) (π : TaggedPrepartition I)
    {π' : Prepartition I} (h : π'.IsPartition) :
    integralSum f vol (π.infPrepartition π') = integralSum f vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I) {π' : BoxIntegral.Prepartition I} (h : π'.IsPartition)
Goal: BoxIntegral.integralSum f vol (π.infPrepartition π') = BoxIntegral.integralSum f vol π
-- BoxIntegral.integralSum_fiberwise
theorem integralSum_fiberwise {α} (g : Box ι → α) (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F)
    (π : TaggedPrepartition I) :
    (∑ y ∈ π.boxes.image g, integralSum f vol (π.filter (g · = y))) = integralSum f vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} {α : Type u_1} (g : BoxIntegral.Box ι → α) (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I)
Goal: ∑ y ∈ Finset.image g π.boxes, BoxIntegral.integralSum f vol (π.filter fun x => g x = y) =
  BoxIntegral.integralSum f vol π
-- BoxIntegral.integralSum_sub_partitions
theorem integralSum_sub_partitions (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F)
    {π₁ π₂ : TaggedPrepartition I} (h₁ : π₁.IsPartition) (h₂ : π₂.IsPartition) :
    integralSum f vol π₁ - integralSum f vol π₂ =
      ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        (vol J (f <| (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J) -
          vol J (f <| (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) {π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I} (h₁ : π₁.IsPartition) (h₂ : π₂.IsPartition)
Goal: BoxIntegral.integralSum f vol π₁ - BoxIntegral.integralSum f vol π₂ =
  ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
    ((vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) -
      (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)))
-- BoxIntegral.integralSum_disjUnion
@[simp]
theorem integralSum_disjUnion (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) {π₁ π₂ : TaggedPrepartition I}
    (h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion) :
    integralSum f vol (π₁.disjUnion π₂ h) = integralSum f vol π₁ + integralSum f vol π₂ 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) {π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I} (h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion)
Goal: BoxIntegral.integralSum f vol (π₁.disjUnion π₂ h) = BoxIntegral.integralSum f vol π₁ + BoxIntegral.integralSum f vol π₂
-- BoxIntegral.integralSum_add
@[simp]
theorem integralSum_add (f g : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) (π : TaggedPrepartition I) :
    integralSum (f + g) vol π = integralSum f vol π + integralSum g vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f g : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I)
Goal: BoxIntegral.integralSum (f + g) vol π = BoxIntegral.integralSum f vol π + BoxIntegral.integralSum g vol π
-- BoxIntegral.integralSum_neg
@[simp]
theorem integralSum_neg (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) (π : TaggedPrepartition I) :
    integralSum (-f) vol π = -integralSum f vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I)
Goal: BoxIntegral.integralSum (-f) vol π = -BoxIntegral.integralSum f vol π
-- BoxIntegral.integralSum_smul
@[simp]
theorem integralSum_smul (c : ℝ) (f : ℝⁿ → E) (vol : ι →ᵇᵃ E →L[ℝ] F) (π : TaggedPrepartition I) :
    integralSum (c • f) vol π = c • integralSum f vol π 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} (c : ℝ) (f : (ι → ℝ) → E) (vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I)
Goal: BoxIntegral.integralSum (c • f) vol π = c • BoxIntegral.integralSum f vol π
-- BoxIntegral.HasIntegral.tendsto
theorem HasIntegral.tendsto (h : HasIntegral I l f vol y) :
    Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I ⊤) (𝓝 y) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y)
Goal: Filter.Tendsto (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I ⊤) (𝓝 y)
-- BoxIntegral.hasIntegral_iff
theorem hasIntegral_iff : HasIntegral I l f vol y ↔
    ∀ ε > (0 : ℝ), ∃ r : ℝ≥0 → ℝⁿ → Ioi (0 : ℝ), (∀ c, l.RCond (r c)) ∧
      ∀ c π, l.MemBaseSet I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F}
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y ↔
  ∀ ε > 0,
    ∃ r,
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c : ℝ≥0) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (BoxIntegral.integralSum f vol π) y ≤ ε
-- BoxIntegral.HasIntegral.of_mul
theorem HasIntegral.of_mul (a : ℝ)
    (h : ∀ ε : ℝ, 0 < ε → ∃ r : ℝ≥0 → ℝⁿ → Ioi (0 : ℝ), (∀ c, l.RCond (r c)) ∧ ∀ c π,
      l.MemBaseSet I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε) :
    HasIntegral I l f vol y 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} (a : ℝ) (h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I),
            l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (BoxIntegral.integralSum f vol π) y ≤ a * ε)
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y
-- BoxIntegral.integrable_iff_cauchy
theorem integrable_iff_cauchy [CompleteSpace F] :
    Integrable I l f vol ↔ Cauchy ((l.toFilteriUnion I ⊤).map (integralSum f vol)) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} [CompleteSpace F]
Goal: BoxIntegral.Integrable I l f vol ↔ Cauchy (Filter.map (BoxIntegral.integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I ⊤))
-- BoxIntegral.integrable_iff_cauchy_basis
theorem integrable_iff_cauchy_basis [CompleteSpace F] : Integrable I l f vol ↔
    ∀ ε > (0 : ℝ), ∃ r : ℝ≥0 → ℝⁿ → Ioi (0 : ℝ), (∀ c, l.RCond (r c)) ∧
      ∀ c₁ c₂ π₁ π₂, l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
        π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} [CompleteSpace F]
Goal: BoxIntegral.Integrable I l f vol ↔
  ∀ ε > 0,
    ∃ r,
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
            π₁.IsPartition →
              l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
                π₂.IsPartition → dist (BoxIntegral.integralSum f vol π₁) (BoxIntegral.integralSum f vol π₂) ≤ ε
-- BoxIntegral.HasIntegral.mono
theorem HasIntegral.mono {l₁ l₂ : IntegrationParams} (h : HasIntegral I l₁ f vol y) (hl : l₂ ≤ l₁) :
    HasIntegral I l₂ f vol y 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} {l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l₁ f vol y) (hl : l₂ ≤ l₁)
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l₂ f vol y
-- BoxIntegral.Integrable.hasIntegral
protected theorem Integrable.hasIntegral (h : Integrable I l f vol) :
    HasIntegral I l f vol (integral I l f vol) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (h : BoxIntegral.Integrable I l f vol)
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l f vol (BoxIntegral.integral I l f vol)
-- BoxIntegral.Integrable.mono
theorem Integrable.mono {l'} (h : Integrable I l f vol) (hle : l' ≤ l) : Integrable I l' f vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {l' : BoxIntegral.IntegrationParams} (h : BoxIntegral.Integrable I l f vol) (hle : l' ≤ l)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l' f vol
-- BoxIntegral.HasIntegral.unique
theorem HasIntegral.unique (h : HasIntegral I l f vol y) (h' : HasIntegral I l f vol y') : y = y' 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y y' : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y) (h' : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y')
Goal: y = y'
-- BoxIntegral.HasIntegral.integrable
theorem HasIntegral.integrable (h : HasIntegral I l f vol y) : Integrable I l f vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l f vol
-- BoxIntegral.HasIntegral.integral_eq
theorem HasIntegral.integral_eq (h : HasIntegral I l f vol y) : integral I l f vol = y 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y)
Goal: BoxIntegral.integral I l f vol = y
-- BoxIntegral.HasIntegral.add
nonrec theorem HasIntegral.add (h : HasIntegral I l f vol y) (h' : HasIntegral I l g vol y') :
    HasIntegral I l (f + g) vol (y + y') 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y y' : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y) (h' : BoxIntegral.HasIntegral I l g vol y')
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (f + g) vol (y + y')
-- BoxIntegral.Integrable.add
theorem Integrable.add (hf : Integrable I l f vol) (hg : Integrable I l g vol) :
    Integrable I l (f + g) vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol) (hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (f + g) vol
-- BoxIntegral.integral_add
theorem integral_add (hf : Integrable I l f vol) (hg : Integrable I l g vol) :
    integral I l (f + g) vol = integral I l f vol + integral I l g vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol) (hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol)
Goal: BoxIntegral.integral I l (f + g) vol = BoxIntegral.integral I l f vol + BoxIntegral.integral I l g vol
-- BoxIntegral.HasIntegral.neg
nonrec theorem HasIntegral.neg (hf : HasIntegral I l f vol y) : HasIntegral I l (-f) vol (-y) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y : F} (hf : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y)
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (-f) vol (-y)
-- BoxIntegral.Integrable.neg
theorem Integrable.neg (hf : Integrable I l f vol) : Integrable I l (-f) vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (-f) vol
-- BoxIntegral.Integrable.of_neg
theorem Integrable.of_neg (hf : Integrable I l (-f) vol) : Integrable I l f vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l (-f) vol)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l f vol
-- BoxIntegral.integrable_neg
@[simp]
theorem integrable_neg : Integrable I l (-f) vol ↔ Integrable I l f vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F}
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (-f) vol ↔ BoxIntegral.Integrable I l f vol
-- BoxIntegral.integral_neg
@[simp]
theorem integral_neg : integral I l (-f) vol = -integral I l f vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F}
Goal: BoxIntegral.integral I l (-f) vol = -BoxIntegral.integral I l f vol
-- BoxIntegral.HasIntegral.sub
theorem HasIntegral.sub (h : HasIntegral I l f vol y) (h' : HasIntegral I l g vol y') :
    HasIntegral I l (f - g) vol (y - y') 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {y y' : F} (h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y) (h' : BoxIntegral.HasIntegral I l g vol y')
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (f - g) vol (y - y')
-- BoxIntegral.Integrable.sub
theorem Integrable.sub (hf : Integrable I l f vol) (hg : Integrable I l g vol) :
    Integrable I l (f - g) vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol) (hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (f - g) vol
-- BoxIntegral.integral_sub
theorem integral_sub (hf : Integrable I l f vol) (hg : Integrable I l g vol) :
    integral I l (f - g) vol = integral I l f vol - integral I l g vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {f g : (ι → ℝ) → E} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol) (hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol)
Goal: BoxIntegral.integral I l (f - g) vol = BoxIntegral.integral I l f vol - BoxIntegral.integral I l g vol
-- BoxIntegral.hasIntegral_const
theorem hasIntegral_const (c : E) : HasIntegral I l (fun _ => c) vol (vol I c) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (c : E)
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (fun x => c) vol ((vol I) c)
-- BoxIntegral.integral_const
@[simp]
theorem integral_const (c : E) : integral I l (fun _ => c) vol = vol I c 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (c : E)
Goal: BoxIntegral.integral I l (fun x => c) vol = (vol I) c
-- BoxIntegral.integrable_const
theorem integrable_const (c : E) : Integrable I l (fun _ => c) vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} (c : E)
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (fun x => c) vol
-- BoxIntegral.hasIntegral_zero
theorem hasIntegral_zero : HasIntegral I l (fun _ => (0 : E)) vol 0 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F}
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (fun x => 0) vol 0
-- BoxIntegral.integrable_zero
theorem integrable_zero : Integrable I l (fun _ => (0 : E)) vol 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F}
Goal: BoxIntegral.Integrable I l (fun x => 0) vol
-- BoxIntegral.integral_zero
theorem integral_zero : integral I l (fun _ => (0 : E)) vol = 0 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F}
Goal: BoxIntegral.integral I l (fun x => 0) vol = 0
-- BoxIntegral.HasIntegral.sum
theorem HasIntegral.sum {α : Type*} {s : Finset α} {f : α → ℝⁿ → E} {g : α → F}
    (h : ∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) :
    HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i) 
Arguments: {ι : Type u} {E : Type v} {F : Type w} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] {I : BoxIntegral.Box ι} [Fintype ι] {l : BoxIntegral.IntegrationParams} {vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F} {α : Type u_1} {s : Finset α} {f : α → (ι → ℝ) → E} {g : α → F} (h : ∀ i ∈ s, BoxIntegral.HasIntegral I l (f i) vol (g i))
Goal: BoxIntegral.HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)