ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Real.rpow_inv_le_iff_of_neg
theorem rpow_inv_le_iff_of_neg (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) (hz : z < 0) :
    x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ y ^ z ≤ x 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) (hz : z < 0)
Goal: x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ y ^ z ≤ x
-- Real.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt
theorem rpow_lt_rpow_of_exponent_lt (hx : 1 < x) (hyz : y < z) : x ^ y < x ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 1 < x) (hyz : y < z)
Goal: x ^ y < x ^ z
-- Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le
@[gcongr]
theorem rpow_le_rpow_of_exponent_le (hx : 1 ≤ x) (hyz : y ≤ z) : x ^ y ≤ x ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hyz : y ≤ z)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z
-- Real.rpow_lt_rpow_of_exponent_neg
theorem rpow_lt_rpow_of_exponent_neg {x y z : ℝ} (hy : 0 < y) (hxy : y < x) (hz : z < 0) :
    x ^ z < y ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hy : 0 < y) (hxy : y < x) (hz : z < 0)
Goal: x ^ z < y ^ z
-- Real.strictAntiOn_rpow_Ioi_of_exponent_neg
theorem strictAntiOn_rpow_Ioi_of_exponent_neg {r : ℝ} (hr : r < 0) :
    StrictAntiOn (fun (x : ℝ) => x ^ r) (Set.Ioi 0) 
Arguments: {r : ℝ} (hr : r < 0)
Goal: StrictAntiOn (fun x => x ^ r) (Set.Ioi 0)
-- Real.rpow_le_rpow_of_exponent_nonpos
theorem rpow_le_rpow_of_exponent_nonpos {x y : ℝ} (hy : 0 < y) (hxy : y ≤ x) (hz : z ≤ 0) :
    x ^ z ≤ y ^ z 
Arguments: {z x y : ℝ} (hy : 0 < y) (hxy : y ≤ x) (hz : z ≤ 0)
Goal: x ^ z ≤ y ^ z
-- Real.antitoneOn_rpow_Ioi_of_exponent_nonpos
theorem antitoneOn_rpow_Ioi_of_exponent_nonpos {r : ℝ} (hr : r ≤ 0) :
    AntitoneOn (fun (x : ℝ) => x ^ r) (Set.Ioi 0) 
Arguments: {r : ℝ} (hr : r ≤ 0)
Goal: AntitoneOn (fun x => x ^ r) (Set.Ioi 0)
-- Real.rpow_le_rpow_left_iff
@[simp]
theorem rpow_le_rpow_left_iff (hx : 1 < x) : x ^ y ≤ x ^ z ↔ y ≤ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 1 < x)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z ↔ y ≤ z
-- Real.rpow_lt_rpow_left_iff
@[simp]
theorem rpow_lt_rpow_left_iff (hx : 1 < x) : x ^ y < x ^ z ↔ y < z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 1 < x)
Goal: x ^ y < x ^ z ↔ y < z
-- Real.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt
theorem rpow_lt_rpow_of_exponent_gt (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y) : x ^ y < x ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y)
Goal: x ^ y < x ^ z
-- Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge
theorem rpow_le_rpow_of_exponent_ge (hx0 : 0 < x) (hx1 : x ≤ 1) (hyz : z ≤ y) : x ^ y ≤ x ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x ≤ 1) (hyz : z ≤ y)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z
-- Real.rpow_le_rpow_left_iff_of_base_lt_one
@[simp]
theorem rpow_le_rpow_left_iff_of_base_lt_one (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) :
    x ^ y ≤ x ^ z ↔ z ≤ y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z ↔ z ≤ y
-- Real.rpow_lt_rpow_left_iff_of_base_lt_one
@[simp]
theorem rpow_lt_rpow_left_iff_of_base_lt_one (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) :
    x ^ y < x ^ z ↔ z < y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1)
Goal: x ^ y < x ^ z ↔ z < y
-- Real.rpow_lt_one
theorem rpow_lt_one {x z : ℝ} (hx1 : 0 ≤ x) (hx2 : x < 1) (hz : 0 < z) : x ^ z < 1 
Arguments: {x z : ℝ} (hx1 : 0 ≤ x) (hx2 : x < 1) (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z < 1
-- Real.rpow_le_one
theorem rpow_le_one {x z : ℝ} (hx1 : 0 ≤ x) (hx2 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z) : x ^ z ≤ 1 
Arguments: {x z : ℝ} (hx1 : 0 ≤ x) (hx2 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z)
Goal: x ^ z ≤ 1
-- Real.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg
theorem rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg {x z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : z < 0) : x ^ z < 1 
Arguments: {x z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : z < 0)
Goal: x ^ z < 1
-- Real.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos
theorem rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos {x z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : z ≤ 0) : x ^ z ≤ 1 
Arguments: {x z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : z ≤ 0)
Goal: x ^ z ≤ 1
-- Real.one_lt_rpow
theorem one_lt_rpow {x z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : 0 < z) : 1 < x ^ z 
Arguments: {x z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : 0 < z)
Goal: 1 < x ^ z
-- Real.one_le_rpow
theorem one_le_rpow {x z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : 0 ≤ z) : 1 ≤ x ^ z 
Arguments: {x z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : 0 ≤ z)
Goal: 1 ≤ x ^ z
-- Real.one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg
theorem one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0) :
    1 < x ^ z 
Arguments: {x z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0)
Goal: 1 < x ^ z
-- Real.one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos
theorem one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos (hx1 : 0 < x) (hx2 : x ≤ 1) (hz : z ≤ 0) :
    1 ≤ x ^ z 
Arguments: {x z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x ≤ 1) (hz : z ≤ 0)
Goal: 1 ≤ x ^ z
-- Real.rpow_lt_one_iff_of_pos
theorem rpow_lt_one_iff_of_pos (hx : 0 < x) : x ^ y < 1 ↔ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 < x)
Goal: x ^ y < 1 ↔ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y
-- Real.rpow_lt_one_iff
theorem rpow_lt_one_iff (hx : 0 ≤ x) :
    x ^ y < 1 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0 ∨ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x)
Goal: x ^ y < 1 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0 ∨ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y
-- Real.rpow_lt_one_iff'
theorem rpow_lt_one_iff' {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y) :
    x ^ y < 1 ↔ x < 1 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y)
Goal: x ^ y < 1 ↔ x < 1
-- Real.one_lt_rpow_iff_of_pos
theorem one_lt_rpow_iff_of_pos (hx : 0 < x) : 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ x < 1 ∧ y < 0 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 < x)
Goal: 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ x < 1 ∧ y < 0
-- Real.one_lt_rpow_iff
theorem one_lt_rpow_iff (hx : 0 ≤ x) : 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ 0 < x ∧ x < 1 ∧ y < 0 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x)
Goal: 1 < x ^ y ↔ 1 < x ∧ 0 < y ∨ 0 < x ∧ x < 1 ∧ y < 0
-- Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge'
theorem rpow_le_rpow_of_exponent_ge' (hx0 : 0 ≤ x) (hx1 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z) (hyz : z ≤ y) :
    x ^ y ≤ x ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx0 : 0 ≤ x) (hx1 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z) (hyz : z ≤ y)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z
-- Real.rpow_left_injOn
theorem rpow_left_injOn {x : ℝ} (hx : x ≠ 0) : InjOn (fun y : ℝ => y ^ x) { y : ℝ | 0 ≤ y } 
Arguments: {x : ℝ} (hx : x ≠ 0)
Goal: Set.InjOn (fun y => y ^ x) {y | 0 ≤ y}
-- Real.rpow_left_inj
lemma rpow_left_inj (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0) : x ^ z = y ^ z ↔ x = y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0)
Goal: x ^ z = y ^ z ↔ x = y
-- Real.rpow_inv_eq
lemma rpow_inv_eq (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0) : x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0)
Goal: x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
-- Real.eq_rpow_inv
lemma eq_rpow_inv (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0) : x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 ≤ y) (hz : z ≠ 0)
Goal: x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
-- Real.le_rpow_iff_log_le
theorem le_rpow_iff_log_le (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) : x ≤ y ^ z ↔ Real.log x ≤ z * Real.log y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 < x) (hy : 0 < y)
Goal: x ≤ y ^ z ↔ Real.log x ≤ z * Real.log y
-- Real.le_rpow_of_log_le
theorem le_rpow_of_log_le (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y) (h : Real.log x ≤ z * Real.log y) :
    x ≤ y ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y) (h : Real.log x ≤ z * Real.log y)
Goal: x ≤ y ^ z
-- Real.lt_rpow_iff_log_lt
theorem lt_rpow_iff_log_lt (hx : 0 < x) (hy : 0 < y) : x < y ^ z ↔ Real.log x < z * Real.log y 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 < x) (hy : 0 < y)
Goal: x < y ^ z ↔ Real.log x < z * Real.log y
-- Real.lt_rpow_of_log_lt
theorem lt_rpow_of_log_lt (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y) (h : Real.log x < z * Real.log y) :
    x < y ^ z 
Arguments: {x y z : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hy : 0 < y) (h : Real.log x < z * Real.log y)
Goal: x < y ^ z
-- Real.rpow_le_one_iff_of_pos
theorem rpow_le_one_iff_of_pos (hx : 0 < x) : x ^ y ≤ 1 ↔ 1 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 < x)
Goal: x ^ y ≤ 1 ↔ 1 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y
-- Real.abs_log_mul_self_rpow_lt
theorem abs_log_mul_self_rpow_lt (x t : ℝ) (h1 : 0 < x) (h2 : x ≤ 1) (ht : 0 < t) :
    |log x * x ^ t| < 1 / t 
Arguments: (x t : ℝ) (h1 : 0 < x) (h2 : x ≤ 1) (ht : 0 < t)
Goal: |Real.log x * x ^ t| < 1 / t
-- Real.log_le_rpow_div
lemma log_le_rpow_div {x ε : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hε : 0 < ε) : log x ≤ x ^ ε / ε 
Arguments: {x ε : ℝ} (hx : 0 ≤ x) (hε : 0 < ε)
Goal: Real.log x ≤ x ^ ε / ε
-- Real.log_natCast_le_rpow_div
lemma log_natCast_le_rpow_div (n : ℕ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε) : log n ≤ n ^ ε / ε 
Arguments: (n : ℕ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε)
Goal: Real.log ↑n ≤ ↑n ^ ε / ε
-- Real.strictMono_rpow_of_base_gt_one
lemma strictMono_rpow_of_base_gt_one {b : ℝ} (hb : 1 < b) :
    StrictMono (b ^ · : ℝ → ℝ) 
Arguments: {b : ℝ} (hb : 1 < b)
Goal: StrictMono fun x => b ^ x
-- Real.monotone_rpow_of_base_ge_one
lemma monotone_rpow_of_base_ge_one {b : ℝ} (hb : 1 ≤ b) :
    Monotone (b ^ · : ℝ → ℝ) 
Arguments: {b : ℝ} (hb : 1 ≤ b)
Goal: Monotone fun x => b ^ x
-- Real.strictAnti_rpow_of_base_lt_one
lemma strictAnti_rpow_of_base_lt_one {b : ℝ} (hb₀ : 0 < b) (hb₁ : b < 1) :
    StrictAnti (b ^ · : ℝ → ℝ) 
Arguments: {b : ℝ} (hb₀ : 0 < b) (hb₁ : b < 1)
Goal: StrictAnti fun x => b ^ x
-- Real.antitone_rpow_of_base_le_one
lemma antitone_rpow_of_base_le_one {b : ℝ} (hb₀ : 0 < b) (hb₁ : b ≤ 1) :
    Antitone (b ^ · : ℝ → ℝ) 
Arguments: {b : ℝ} (hb₀ : 0 < b) (hb₁ : b ≤ 1)
Goal: Antitone fun x => b ^ x
-- Complex.norm_prime_cpow_le_one_half
lemma norm_prime_cpow_le_one_half (p : Nat.Primes) {s : ℂ} (hs : 1 < s.re) :
    ‖(p : ℂ) ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2 
Arguments: (p : Nat.Primes) {s : ℂ} (hs : 1 < s.re)
Goal: ‖↑↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2
-- Complex.one_sub_prime_cpow_ne_zero
lemma one_sub_prime_cpow_ne_zero {p : ℕ} (hp : p.Prime) {s : ℂ} (hs : 1 < s.re) :
    1 - (p : ℂ) ^ (-s) ≠ 0 
Arguments: {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p) {s : ℂ} (hs : 1 < s.re)
Goal: 1 - ↑p ^ (-s) ≠ 0
-- Complex.norm_natCast_cpow_le_norm_natCast_cpow_of_pos
lemma norm_natCast_cpow_le_norm_natCast_cpow_of_pos {n : ℕ} (hn : 0 < n) {w z : ℂ}
    (h : w.re ≤ z.re) :
    ‖(n : ℂ) ^ w‖ ≤ ‖(n : ℂ) ^ z‖ 
Arguments: {n : ℕ} (hn : 0 < n) {w z : ℂ} (h : w.re ≤ z.re)
Goal: ‖↑n ^ w‖ ≤ ‖↑n ^ z‖
-- Complex.norm_natCast_cpow_le_norm_natCast_cpow_iff
lemma norm_natCast_cpow_le_norm_natCast_cpow_iff {n : ℕ} (hn : 1 < n) {w z : ℂ} :
    ‖(n : ℂ) ^ w‖ ≤ ‖(n : ℂ) ^ z‖ ↔ w.re ≤ z.re 
Arguments: {n : ℕ} (hn : 1 < n) {w z : ℂ}
Goal: ‖↑n ^ w‖ ≤ ‖↑n ^ z‖ ↔ w.re ≤ z.re
-- Complex.norm_log_natCast_le_rpow_div
lemma norm_log_natCast_le_rpow_div (n : ℕ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε) : ‖log n‖ ≤ n ^ ε / ε 
Arguments: (n : ℕ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε)
Goal: ‖Complex.log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε
-- Real.sqrt_eq_rpow
theorem sqrt_eq_rpow (x : ℝ) : √x = x ^ (1 / (2 : ℝ)) 
Arguments: (x : ℝ)
Goal: √x = x ^ (1 / 2)
-- Real.rpow_div_two_eq_sqrt
theorem rpow_div_two_eq_sqrt {x : ℝ} (r : ℝ) (hx : 0 ≤ x) : x ^ (r / 2) = √x ^ r 
Arguments: {x : ℝ} (r : ℝ) (hx : 0 ≤ x)
Goal: x ^ (r / 2) = √x ^ r
-- Real.exists_rat_pow_btwn_rat_aux
theorem exists_rat_pow_btwn_rat_aux (hn : n ≠ 0) (x y : ℝ) (h : x < y) (hy : 0 < y) :
    ∃ q : ℚ, 0 < q ∧ x < (q : ℝ) ^ n ∧ (q : ℝ) ^ n < y 
Arguments: {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) (x y : ℝ) (h : x < y) (hy : 0 < y)
Goal: ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Real.exists_rat_pow_btwn_rat
theorem exists_rat_pow_btwn_rat (hn : n ≠ 0) {x y : ℚ} (h : x < y) (hy : 0 < y) :
    ∃ q : ℚ, 0 < q ∧ x < q ^ n ∧ q ^ n < y 
Arguments: {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) {x y : ℚ} (h : x < y) (hy : 0 < y)
Goal: ∃ q, 0 < q ∧ x < q ^ n ∧ q ^ n < y
-- Real.exists_rat_pow_btwn
theorem exists_rat_pow_btwn {α : Type*} [LinearOrderedField α] [Archimedean α] (hn : n ≠ 0)
    {x y : α} (h : x < y) (hy : 0 < y) : ∃ q : ℚ, 0 < q ∧ x < (q : α) ^ n ∧ (q : α) ^ n < y 
Arguments: {n : ℕ} {α : Type u_1} [LinearOrderedField α] [Archimedean α] (hn : n ≠ 0) {x y : α} (h : x < y) (hy : 0 < y)
Goal: ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Complex.cpow_inv_two_re
lemma cpow_inv_two_re (x : ℂ) : (x ^ (2⁻¹ : ℂ)).re = sqrt ((abs x + x.re) / 2) 
Arguments: (x : ℂ)
Goal: (x ^ 2⁻¹).re = √((Complex.abs x + x.re) / 2)
-- Complex.cpow_inv_two_im_eq_sqrt
lemma cpow_inv_two_im_eq_sqrt {x : ℂ} (hx : 0 ≤ x.im) :
    (x ^ (2⁻¹ : ℂ)).im = sqrt ((abs x - x.re) / 2) 
Arguments: {x : ℂ} (hx : 0 ≤ x.im)
Goal: (x ^ 2⁻¹).im = √((Complex.abs x - x.re) / 2)
-- Complex.cpow_inv_two_im_eq_neg_sqrt
lemma cpow_inv_two_im_eq_neg_sqrt {x : ℂ} (hx : x.im < 0) :
    (x ^ (2⁻¹ : ℂ)).im = -sqrt ((abs x - x.re) / 2) 
Arguments: {x : ℂ} (hx : x.im < 0)
Goal: (x ^ 2⁻¹).im = -√((Complex.abs x - x.re) / 2)
-- Complex.abs_cpow_inv_two_im
lemma abs_cpow_inv_two_im (x : ℂ) : |(x ^ (2⁻¹ : ℂ)).im| = sqrt ((abs x - x.re) / 2) 
Arguments: (x : ℂ)
Goal: |(x ^ 2⁻¹).im| = √((Complex.abs x - x.re) / 2)
-- Mathlib.Meta.NormNum.isNat_rpow_pos
theorem isNat_rpow_pos {a b : ℝ} {nb ne : ℕ}
    (pb : IsNat b nb) (pe' : IsNat (a ^ nb) ne) :
    IsNat (a ^ b) ne 
Arguments: {a b : ℝ} {nb ne : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ nb) ne)
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
-- Mathlib.Meta.NormNum.isNat_rpow_neg
theorem isNat_rpow_neg {a b : ℝ} {nb ne : ℕ}
    (pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : IsNat (a ^ (Int.negOfNat nb)) ne) :
    IsNat (a ^ b) ne 
Arguments: {a b : ℝ} {nb ne : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ Int.negOfNat nb) ne)
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
-- Mathlib.Meta.NormNum.isInt_rpow_pos
theorem isInt_rpow_pos {a b : ℝ} {nb ne : ℕ}
    (pb : IsNat b nb) (pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)) :
    IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne) 
Arguments: {a b : ℝ} {nb ne : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne))
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib.Meta.NormNum.isInt_rpow_neg
theorem isInt_rpow_neg {a b : ℝ} {nb ne : ℕ}
    (pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : IsInt (a ^ (Int.negOfNat nb)) (Int.negOfNat ne)) :
    IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne) 
Arguments: {a b : ℝ} {nb ne : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ Int.negOfNat nb) (Int.negOfNat ne))
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib.Meta.NormNum.isRat_rpow_pos
theorem isRat_rpow_pos {a b : ℝ} {nb : ℕ}
    {num : ℤ} {den : ℕ}
    (pb : IsNat b nb) (pe' : IsRat (a ^ nb) num den) :
    IsRat (a ^ b) num den 
Arguments: {a b : ℝ} {nb : ℕ} {num : ℤ} {den : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat b nb) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ nb) num den)
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ b) num den
-- Mathlib.Meta.NormNum.isRat_rpow_neg
theorem isRat_rpow_neg {a b : ℝ} {nb : ℕ}
    {num : ℤ} {den : ℕ}
    (pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : IsRat (a ^ (Int.negOfNat nb)) num den) :
    IsRat (a ^ b) num den 
Arguments: {a b : ℝ} {nb : ℕ} {num : ℤ} {den : ℕ} (pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)) (pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ Int.negOfNat nb) num den)
Goal: Mathlib.Meta.NormNum.IsRat (a ^ b) num den
-- PiTensorProduct.projectiveSeminormAux_nonneg
theorem projectiveSeminormAux_nonneg (p : FreeAddMonoid (𝕜 × Π i, E i)) :
    0 ≤ projectiveSeminormAux p 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] (p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i)))
Goal: 0 ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminormAux p
-- PiTensorProduct.projectiveSeminormAux_add_le
theorem projectiveSeminormAux_add_le (p q : FreeAddMonoid (𝕜 × Π i, E i)) :
    projectiveSeminormAux (p + q) ≤ projectiveSeminormAux p + projectiveSeminormAux q 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] (p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i)))
Goal: PiTensorProduct.projectiveSeminormAux (p + q) ≤
  PiTensorProduct.projectiveSeminormAux p + PiTensorProduct.projectiveSeminormAux q
-- PiTensorProduct.projectiveSeminormAux_smul
theorem projectiveSeminormAux_smul (p : FreeAddMonoid (𝕜 × Π i, E i)) (a : 𝕜) :
    projectiveSeminormAux (List.map (fun (y : 𝕜 × Π i, E i) ↦ (a * y.1, y.2)) p) =
    ‖a‖ * projectiveSeminormAux p 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] (p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))) (a : 𝕜)
Goal: PiTensorProduct.projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) =
  ‖a‖ * PiTensorProduct.projectiveSeminormAux p
-- PiTensorProduct.bddBelow_projectiveSemiNormAux
theorem bddBelow_projectiveSemiNormAux (x : ⨂[𝕜] i, E i) :
    BddBelow (Set.range (fun (p : lifts x) ↦ projectiveSeminormAux p.1)) 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] [(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)] (x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i)
Goal: BddBelow (Set.range fun p => PiTensorProduct.projectiveSeminormAux ↑p)
-- PiTensorProduct.projectiveSeminorm_apply
theorem projectiveSeminorm_apply (x : ⨂[𝕜] i, E i) :
    projectiveSeminorm x = iInf (fun (p : lifts x) ↦ projectiveSeminormAux p.1) 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] [(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)] (x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i)
Goal: PiTensorProduct.projectiveSeminorm x = ⨅ p, PiTensorProduct.projectiveSeminormAux ↑p
-- PiTensorProduct.projectiveSeminorm_tprod_le
theorem projectiveSeminorm_tprod_le (m : Π i, E i) :
    projectiveSeminorm (⨂ₜ[𝕜] i, m i) ≤ ∏ i, ‖m i‖ 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] [(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)] (m : (i : ι) → E i)
Goal: PiTensorProduct.projectiveSeminorm (⨂ₜ[𝕜] (i : ι), m i) ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖
-- PiTensorProduct.norm_eval_le_projectiveSeminorm
theorem norm_eval_le_projectiveSeminorm (x : ⨂[𝕜] i, E i) (G : Type*) [SeminormedAddCommGroup G]
    [NormedSpace 𝕜 G] (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G) :
    ‖lift f.toMultilinearMap x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖f‖ 
Arguments: {ι : Type uι} [Fintype ι] {𝕜 : Type u𝕜} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : ι → Type uE} [(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)] [(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)] (x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i) (G : Type u_1) [SeminormedAddCommGroup G] [NormedSpace 𝕜 G] (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G)
Goal: ‖(PiTensorProduct.lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ PiTensorProduct.projectiveSeminorm x * ‖f‖
-- GaussianFourier.norm_cexp_neg_mul_sq_add_mul_I
theorem norm_cexp_neg_mul_sq_add_mul_I (b : ℂ) (c T : ℝ) :
    ‖cexp (-b * (T + c * I) ^ 2)‖ = exp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2)) 
Arguments: (b : ℂ) (c T : ℝ)
Goal: ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * Complex.I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2))
-- GaussianFourier.norm_cexp_neg_mul_sq_add_mul_I'
theorem norm_cexp_neg_mul_sq_add_mul_I' (hb : b.re ≠ 0) (c T : ℝ) :
    ‖cexp (-b * (T + c * I) ^ 2)‖ =
      exp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re))) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : b.re ≠ 0) (c T : ℝ)
Goal: ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * Complex.I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)))
-- GaussianFourier.verticalIntegral_norm_le
theorem verticalIntegral_norm_le (hb : 0 < b.re) (c : ℝ) {T : ℝ} (hT : 0 ≤ T) :
    ‖verticalIntegral b c T‖ ≤
      (2 : ℝ) * |c| * exp (-(b.re * T ^ 2 - (2 : ℝ) * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2)) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c : ℝ) {T : ℝ} (hT : 0 ≤ T)
Goal: ‖GaussianFourier.verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
-- GaussianFourier.tendsto_verticalIntegral
theorem tendsto_verticalIntegral (hb : 0 < b.re) (c : ℝ) :
    Tendsto (verticalIntegral b c) atTop (𝓝 0) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c : ℝ)
Goal: Filter.Tendsto (GaussianFourier.verticalIntegral b c) Filter.atTop (𝓝 0)
-- GaussianFourier.integrable_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I
theorem integrable_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I (hb : 0 < b.re) (c : ℝ) :
    Integrable fun x : ℝ => cexp (-b * (x + c * I) ^ 2) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c : ℝ)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * Complex.I) ^ 2)) MeasureTheory.volume
-- GaussianFourier.integral_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I
theorem integral_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I (hb : 0 < b.re) (c : ℝ) :
    ∫ x : ℝ, cexp (-b * (x + c * I) ^ 2) = (π / b) ^ (1 / 2 : ℂ) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c : ℝ)
Goal: ∫ (x : ℝ), cexp (-b * (↑x + ↑c * Complex.I) ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
-- integral_cexp_quadratic
theorem _root_.integral_cexp_quadratic (hb : b.re < 0) (c d : ℂ) :
    ∫ x : ℝ, cexp (b * x ^ 2 + c * x + d) = (π / -b) ^ (1 / 2 : ℂ) * cexp (d - c^2 / (4 * b)) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : b.re < 0) (c d : ℂ)
Goal: ∫ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
-- integrable_cexp_quadratic'
lemma _root_.integrable_cexp_quadratic' (hb : b.re < 0) (c d : ℂ) :
    Integrable (fun (x : ℝ) ↦ cexp (b * x ^ 2 + c * x + d)) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : b.re < 0) (c d : ℂ)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) MeasureTheory.volume
-- integrable_cexp_quadratic
lemma _root_.integrable_cexp_quadratic (hb : 0 < b.re) (c d : ℂ) :
    Integrable (fun (x : ℝ) ↦ cexp (-b * x ^ 2 + c * x + d)) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c d : ℂ)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) MeasureTheory.volume
-- fourierIntegral_gaussian
theorem _root_.fourierIntegral_gaussian (hb : 0 < b.re) (t : ℂ) :
    ∫ x : ℝ, cexp (I * t * x) * cexp (-b * x ^ 2) =
    (π / b) ^ (1 / 2 : ℂ) * cexp (-t ^ 2 / (4 * b)) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (t : ℂ)
Goal: ∫ (x : ℝ), cexp (Complex.I * t * ↑x) * cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) * cexp (-t ^ 2 / (4 * b))
-- fourierIntegral_gaussian_pi'
theorem _root_.fourierIntegral_gaussian_pi' (hb : 0 < b.re) (c : ℂ) :
    (𝓕 fun x : ℝ => cexp (-π * b * x ^ 2 + 2 * π * c * x)) = fun t : ℝ =>
    1 / b ^ (1 / 2 : ℂ) * cexp (-π / b * (t + I * c) ^ 2) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re) (c : ℂ)
Goal: (𝓕 fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x)) = fun t =>
  1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + Complex.I * c) ^ 2)
-- fourierIntegral_gaussian_pi
theorem _root_.fourierIntegral_gaussian_pi (hb : 0 < b.re) :
    (𝓕 fun (x : ℝ) ↦ cexp (-π * b * x ^ 2)) =
    fun t : ℝ ↦ 1 / b ^ (1 / 2 : ℂ) * cexp (-π / b * t ^ 2) 
Arguments: {b : ℂ} (hb : 0 < b.re)
Goal: (𝓕 fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2)) = fun t => 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * ↑t ^ 2)
-- GaussianFourier.integrable_cexp_neg_sum_mul_add
theorem integrable_cexp_neg_sum_mul_add {ι : Type*} [Fintype ι] {b : ι → ℂ}
    (hb : ∀ i, 0 < (b i).re) (c : ι → ℂ) :
    Integrable (fun (v : ι → ℝ) ↦ cexp (- ∑ i, b i * (v i : ℂ) ^ 2 + ∑ i, c i * v i)) 
Arguments: {ι : Type u_2} [Fintype ι] {b : ι → ℂ} (hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re) (c : ι → ℂ)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) MeasureTheory.volume
-- GaussianFourier.integrable_cexp_neg_mul_sum_add
theorem integrable_cexp_neg_mul_sum_add {ι : Type*} [Fintype ι] (hb : 0 < b.re) (c : ι → ℂ) :
    Integrable (fun (v : ι → ℝ) ↦ cexp (- b * ∑ i, (v i : ℂ) ^ 2 + ∑ i, c i * v i)) 
Arguments: {b : ℂ} {ι : Type u_2} [Fintype ι] (hb : 0 < b.re) (c : ι → ℂ)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) MeasureTheory.volume
-- GaussianFourier.integrable_cexp_neg_mul_sq_norm_add_of_euclideanSpace
theorem integrable_cexp_neg_mul_sq_norm_add_of_euclideanSpace
    {ι : Type*} [Fintype ι] (hb : 0 < b.re) (c : ℂ) (w : EuclideanSpace ℝ ι) :
    Integrable (fun (v : EuclideanSpace ℝ ι) ↦ cexp (- b * ‖v‖^2 + c * ⟪w, v⟫)) 
Arguments: {b : ℂ} {ι : Type u_2} [Fintype ι] (hb : 0 < b.re) (c : ℂ) (w : EuclideanSpace ℝ ι)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) MeasureTheory.volume
-- GaussianFourier.integrable_cexp_neg_mul_sq_norm_add
theorem integrable_cexp_neg_mul_sq_norm_add (hb : 0 < b.re) (c : ℂ) (w : V) :
    Integrable (fun (v : V) ↦ cexp (-b * ‖v‖^2 + c * ⟪w, v⟫)) 
Arguments: {b : ℂ} {V : Type u_1} [NormedAddCommGroup V] [InnerProductSpace ℝ V] [FiniteDimensional ℝ V] [MeasurableSpace V] [BorelSpace V] (hb : 0 < b.re) (c : ℂ) (w : V)
Goal: MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) MeasureTheory.volume
-- GaussianFourier.integral_cexp_neg_sum_mul_add
theorem integral_cexp_neg_sum_mul_add {ι : Type*} [Fintype ι] {b : ι → ℂ}
    (hb : ∀ i, 0 < (b i).re) (c : ι → ℂ) :
    ∫ v : ι → ℝ, cexp (- ∑ i, b i * (v i : ℂ) ^ 2 + ∑ i, c i * v i)
      = ∏ i, (π / b i) ^ (1 / 2 : ℂ) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i)) 
Arguments: {ι : Type u_2} [Fintype ι] {b : ι → ℂ} (hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re) (c : ι → ℂ)
Goal: ∫ (v : ι → ℝ), cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) =
  ∏ i : ι, (↑π / b i) ^ (1 / 2) * cexp (c i ^ 2 / (4 * b i))