ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- StrictConvexOn.sup
theorem StrictConvexOn.sup (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g) :
    StrictConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
-- StrictConcaveOn.inf
theorem StrictConcaveOn.inf (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g) :
    StrictConcaveOn 𝕜 s (f ⊓ g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 s (f ⊓ g)
-- ConvexOn.le_on_segment'
theorem ConvexOn.le_on_segment' (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜}
    (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) : f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1)
Goal: f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)
-- ConcaveOn.ge_on_segment'
theorem ConcaveOn.ge_on_segment' (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    {a b : 𝕜} (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) : min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1)
Goal: min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)
-- ConvexOn.le_on_segment
theorem ConvexOn.le_on_segment (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ [x -[𝕜] y]) : f z ≤ max (f x) (f y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ [x-[𝕜]y])
Goal: f z ≤ max (f x) (f y)
-- ConcaveOn.ge_on_segment
theorem ConcaveOn.ge_on_segment (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ [x -[𝕜] y]) : min (f x) (f y) ≤ f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ [x-[𝕜]y])
Goal: min (f x) (f y) ≤ f z
-- StrictConvexOn.lt_on_open_segment'
theorem StrictConvexOn.lt_on_open_segment' (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) :
    f (a • x + b • y) < max (f x) (f y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1)
Goal: f (a • x + b • y) < max (f x) (f y)
-- StrictConcaveOn.lt_on_open_segment'
theorem StrictConcaveOn.lt_on_open_segment' (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) :
    min (f x) (f y) < f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1)
Goal: min (f x) (f y) < f (a • x + b • y)
-- StrictConvexOn.lt_on_openSegment
theorem StrictConvexOn.lt_on_openSegment (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) : f z < max (f x) (f y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y)
Goal: f z < max (f x) (f y)
-- StrictConcaveOn.lt_on_openSegment
theorem StrictConcaveOn.lt_on_openSegment (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) : min (f x) (f y) < f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hxy : x ≠ y) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y)
Goal: min (f x) (f y) < f z
-- ConvexOn.le_left_of_right_le'
theorem ConvexOn.le_left_of_right_le' (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) (hfy : f y ≤ f (a • x + b • y)) :
    f (a • x + b • y) ≤ f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) (hfy : f y ≤ f (a • x + b • y))
Goal: f (a • x + b • y) ≤ f x
-- ConcaveOn.left_le_of_le_right'
theorem ConcaveOn.left_le_of_le_right' (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) (hfy : f (a • x + b • y) ≤ f y) :
    f x ≤ f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1) (hfy : f (a • x + b • y) ≤ f y)
Goal: f x ≤ f (a • x + b • y)
-- ConvexOn.le_right_of_left_le'
theorem ConvexOn.le_right_of_left_le' (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f x ≤ f (a • x + b • y)) :
    f (a • x + b • y) ≤ f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f x ≤ f (a • x + b • y))
Goal: f (a • x + b • y) ≤ f y
-- ConcaveOn.right_le_of_le_left'
theorem ConcaveOn.right_le_of_le_left' (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f (a • x + b • y) ≤ f x) :
    f y ≤ f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f (a • x + b • y) ≤ f x)
Goal: f y ≤ f (a • x + b • y)
-- ConvexOn.le_left_of_right_le
theorem ConvexOn.le_left_of_right_le (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f y ≤ f z) : f z ≤ f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f y ≤ f z)
Goal: f z ≤ f x
-- ConcaveOn.left_le_of_le_right
theorem ConcaveOn.left_le_of_le_right (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f z ≤ f y) : f x ≤ f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f z ≤ f y)
Goal: f x ≤ f z
-- ConvexOn.le_right_of_left_le
theorem ConvexOn.le_right_of_left_le (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f x ≤ f z) : f z ≤ f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f x ≤ f z)
Goal: f z ≤ f y
-- ConcaveOn.right_le_of_le_left
theorem ConcaveOn.right_le_of_le_left (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f z ≤ f x) : f y ≤ f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f z ≤ f x)
Goal: f y ≤ f z
-- ConvexOn.lt_left_of_right_lt'
theorem ConvexOn.lt_left_of_right_lt' (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfy : f y < f (a • x + b • y)) :
    f (a • x + b • y) < f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfy : f y < f (a • x + b • y))
Goal: f (a • x + b • y) < f x
-- ConcaveOn.left_lt_of_lt_right'
theorem ConcaveOn.left_lt_of_lt_right' (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfy : f (a • x + b • y) < f y) :
    f x < f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) {a b : 𝕜} (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfy : f (a • x + b • y) < f y)
Goal: f x < f (a • x + b • y)
-- ConvexOn.lt_right_of_left_lt'
theorem ConvexOn.lt_right_of_left_lt' (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f x < f (a • x + b • y)) :
    f (a • x + b • y) < f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f x < f (a • x + b • y))
Goal: f (a • x + b • y) < f y
-- ConcaveOn.lt_right_of_left_lt'
theorem ConcaveOn.lt_right_of_left_lt' (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s)
    (hy : y ∈ s) (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f (a • x + b • y) < f x) :
    f y < f (a • x + b • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y : E} {a b : 𝕜} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) (hab : a + b = 1) (hfx : f (a • x + b • y) < f x)
Goal: f y < f (a • x + b • y)
-- ConvexOn.lt_left_of_right_lt
theorem ConvexOn.lt_left_of_right_lt (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f y < f z) : f z < f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f y < f z)
Goal: f z < f x
-- ConcaveOn.left_lt_of_lt_right
theorem ConcaveOn.left_lt_of_lt_right (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f z < f y) : f x < f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hyz : f z < f y)
Goal: f x < f z
-- ConvexOn.lt_right_of_left_lt
theorem ConvexOn.lt_right_of_left_lt (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f x < f z) : f z < f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f x < f z)
Goal: f z < f y
-- ConcaveOn.lt_right_of_left_lt
theorem ConcaveOn.lt_right_of_left_lt (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s)
    (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f z < f x) : f y < f z 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [LinearOrderedCancelAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) {x y z : E} (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) (hz : z ∈ openSegment 𝕜 x y) (hxz : f z < f x)
Goal: f y < f z
-- neg_convexOn_iff
@[simp]
theorem neg_convexOn_iff : ConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ ConcaveOn 𝕜 s f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: ConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ ConcaveOn 𝕜 s f
-- neg_concaveOn_iff
@[simp]
theorem neg_concaveOn_iff : ConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ ConvexOn 𝕜 s f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: ConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ ConvexOn 𝕜 s f
-- neg_strictConvexOn_iff
@[simp]
theorem neg_strictConvexOn_iff : StrictConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConcaveOn 𝕜 s f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConcaveOn 𝕜 s f
-- neg_strictConcaveOn_iff
@[simp]
theorem neg_strictConcaveOn_iff : StrictConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConvexOn 𝕜 s f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConvexOn 𝕜 s f
-- ConvexOn.sub
theorem ConvexOn.sub (hf : ConvexOn 𝕜 s f) (hg : ConcaveOn 𝕜 s g) : ConvexOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) (hg : ConcaveOn 𝕜 s g)
Goal: ConvexOn 𝕜 s (f - g)
-- ConcaveOn.sub
theorem ConcaveOn.sub (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) (hg : ConvexOn 𝕜 s g) : ConcaveOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) (hg : ConvexOn 𝕜 s g)
Goal: ConcaveOn 𝕜 s (f - g)
-- StrictConvexOn.sub
theorem StrictConvexOn.sub (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g) :
    StrictConvexOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
-- StrictConcaveOn.sub
theorem StrictConcaveOn.sub (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g) :
    StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g)
-- ConvexOn.sub_strictConcaveOn
theorem ConvexOn.sub_strictConcaveOn (hf : ConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g) :
    StrictConvexOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) (hg : StrictConcaveOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
-- ConcaveOn.sub_strictConvexOn
theorem ConcaveOn.sub_strictConvexOn (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g) :
    StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) (hg : StrictConvexOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g)
-- StrictConvexOn.sub_concaveOn
theorem StrictConvexOn.sub_concaveOn (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : ConcaveOn 𝕜 s g) :
    StrictConvexOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (hg : ConcaveOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s (f - g)
-- StrictConcaveOn.sub_convexOn
theorem StrictConcaveOn.sub_convexOn (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : ConvexOn 𝕜 s g) :
    StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommGroup β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] {s : Set E} {f g : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (hg : ConvexOn 𝕜 s g)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g)
-- StrictConvexOn.translate_right
theorem StrictConvexOn.translate_right (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (c : E) :
    StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCancelCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (c : E)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z)
-- StrictConcaveOn.translate_right
theorem StrictConcaveOn.translate_right (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (c : E) :
    StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCancelCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (c : E)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => c + z)
-- StrictConvexOn.translate_left
theorem StrictConvexOn.translate_left (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (c : E) :
    StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCancelCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) (c : E)
Goal: StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
-- StrictConcaveOn.translate_left
theorem StrictConcaveOn.translate_left (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (c : E) :
    StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedSemiring 𝕜] [AddCancelCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} (hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f) (c : E)
Goal: StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
-- ConvexOn.smul
theorem ConvexOn.smul {c : 𝕜} (hc : 0 ≤ c) (hf : ConvexOn 𝕜 s f) : ConvexOn 𝕜 s fun x => c • f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedCommSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} {c : 𝕜} (hc : 0 ≤ c) (hf : ConvexOn 𝕜 s f)
Goal: ConvexOn 𝕜 s fun x => c • f x
-- ConcaveOn.smul
theorem ConcaveOn.smul {c : 𝕜} (hc : 0 ≤ c) (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) :
    ConcaveOn 𝕜 s fun x => c • f x 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [OrderedCommSemiring 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [Module 𝕜 β] [OrderedSMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β} {c : 𝕜} (hc : 0 ≤ c) (hf : ConcaveOn 𝕜 s f)
Goal: ConcaveOn 𝕜 s fun x => c • f x
-- ConvexOn.comp_affineMap
theorem ConvexOn.comp_affineMap {f : F → β} (g : E →ᵃ[𝕜] F) {s : Set F} (hf : ConvexOn 𝕜 s f) :
    ConvexOn 𝕜 (g ⁻¹' s) (f ∘ g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} {β : Type u_5} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [AddCommGroup F] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] [SMul 𝕜 β] {f : F → β} (g : E →ᵃ[𝕜] F) {s : Set F} (hf : ConvexOn 𝕜 s f)
Goal: ConvexOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
-- ConcaveOn.comp_affineMap
theorem ConcaveOn.comp_affineMap {f : F → β} (g : E →ᵃ[𝕜] F) {s : Set F} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f) :
    ConcaveOn 𝕜 (g ⁻¹' s) (f ∘ g) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {F : Type u_3} {β : Type u_5} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [AddCommGroup F] [OrderedAddCommMonoid β] [Module 𝕜 E] [Module 𝕜 F] [SMul 𝕜 β] {f : F → β} (g : E →ᵃ[𝕜] F) {s : Set F} (hf : ConcaveOn 𝕜 s f)
Goal: ConcaveOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
-- convexOn_iff_div
theorem convexOn_iff_div {f : E → β} :
    ConvexOn 𝕜 s f ↔
      Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b →
        f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: ConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 ≤ a →
                0 ≤ b →
                  0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
-- concaveOn_iff_div
theorem concaveOn_iff_div {f : E → β} :
    ConcaveOn 𝕜 s f ↔
      Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b →
        (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y ≤ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: ConcaveOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 ≤ a →
                0 ≤ b →
                  0 < a + b → (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y ≤ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y)
-- strictConvexOn_iff_div
theorem strictConvexOn_iff_div {f : E → β} :
    StrictConvexOn 𝕜 s f ↔
      Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b →
        f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommMonoid E] [OrderedAddCommMonoid β] [SMul 𝕜 E] [SMul 𝕜 β] {s : Set E} {f : E → β}
Goal: StrictConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ s →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ s →
            x ≠ y →
              ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
                0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y