ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- ContinuousLinearEquiv.isBigO_comp_rev
theorem isBigO_comp_rev {α : Type*} (f : α → E) (l : Filter α) : f =O[l] fun x' => e (f x') 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {𝕜₂ : Type u_2} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [SeminormedAddCommGroup E] [SeminormedAddCommGroup F] [NontriviallyNormedField 𝕜] [NontriviallyNormedField 𝕜₂] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedSpace 𝕜₂ F] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} {σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜} [RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁] [RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂] (e : E ≃SL[σ₁₂] F) [RingHomIsometric σ₂₁] {α : Type u_7} (f : α → E) (l : Filter α)
Goal: f =O[l] fun x' => e (f x')
-- ContinuousLinearEquiv.isBigO_sub_rev
theorem isBigO_sub_rev (l : Filter E) (x : E) : (fun x' => x' - x) =O[l] fun x' => e (x' - x) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} {𝕜₂ : Type u_2} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [SeminormedAddCommGroup E] [SeminormedAddCommGroup F] [NontriviallyNormedField 𝕜] [NontriviallyNormedField 𝕜₂] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedSpace 𝕜₂ F] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂} {σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜} [RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁] [RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂] (e : E ≃SL[σ₁₂] F) [RingHomIsometric σ₂₁] (l : Filter E) (x : E)
Goal: (fun x' => x' - x) =O[l] fun x' => e (x' - x)
-- EulerSine.antideriv_cos_comp_const_mul
theorem antideriv_cos_comp_const_mul (hz : z ≠ 0) (x : ℝ) :
    HasDerivAt (fun y : ℝ => Complex.sin (2 * z * y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * x)) x 
Arguments: {z : ℂ} (hz : z ≠ 0) (x : ℝ)
Goal: HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x
-- EulerSine.antideriv_sin_comp_const_mul
theorem antideriv_sin_comp_const_mul (hz : z ≠ 0) (x : ℝ) :
    HasDerivAt (fun y : ℝ => -Complex.cos (2 * z * y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * x)) x 
Arguments: {z : ℂ} (hz : z ≠ 0) (x : ℝ)
Goal: HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- EulerSine.integral_cos_mul_cos_pow_aux
theorem integral_cos_mul_cos_pow_aux (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0) :
    (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ n) =
      n / (2 * z) *
        ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.sin (2 * z * x) * sin x * (cos x : ℂ) ^ (n - 1) 
Arguments: {z : ℂ} {n : ℕ} (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0)
Goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n =
  ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(Real.sin x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 1)
-- EulerSine.integral_sin_mul_sin_mul_cos_pow_eq
theorem integral_sin_mul_sin_mul_cos_pow_eq (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0) :
    (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.sin (2 * z * x) * sin x * (cos x : ℂ) ^ (n - 1)) =
      (n / (2 * z) * ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ n) -
        (n - 1) / (2 * z) *
          ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ (n - 2) 
Arguments: {z : ℂ} {n : ℕ} (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0)
Goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(Real.sin x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 1) =
  (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n) -
    (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 2)
-- EulerSine.integral_cos_mul_cos_pow
theorem integral_cos_mul_cos_pow (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0) :
    (((1 : ℂ) - (4 : ℂ) * z ^ 2 / (n : ℂ) ^ 2) *
      ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ n) =
      (n - 1 : ℂ) / n *
        ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ (n - 2) 
Arguments: {z : ℂ} {n : ℕ} (hn : 2 ≤ n) (hz : z ≠ 0)
Goal: (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n =
  (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 2)
-- EulerSine.integral_cos_mul_cos_pow_even
theorem integral_cos_mul_cos_pow_even (n : ℕ) (hz : z ≠ 0) :
    (((1 : ℂ) - z ^ 2 / ((n : ℂ) + 1) ^ 2) *
        ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ (2 * n + 2)) =
      (2 * n + 1 : ℂ) / (2 * n + 2) *
        ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ (2 * n) 
Arguments: {z : ℂ} (n : ℕ) (hz : z ≠ 0)
Goal: (1 - z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (2 * n + 2) =
  (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (2 * n)
-- EulerSine.integral_cos_pow_eq
theorem integral_cos_pow_eq (n : ℕ) :
    (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, cos x ^ n) = 1 / 2 * ∫ x in (0 : ℝ)..π, sin x ^ n 
Arguments: (n : ℕ)
Goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ n
-- EulerSine.integral_cos_pow_pos
theorem integral_cos_pow_pos (n : ℕ) : 0 < ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, cos x ^ n 
Arguments: (n : ℕ)
Goal: 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n
-- EulerSine.sin_pi_mul_eq
theorem sin_pi_mul_eq (z : ℂ) (n : ℕ) :
    Complex.sin (π * z) =
      ((π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, ((1 : ℂ) - z ^ 2 / ((j : ℂ) + 1) ^ 2)) *
          ∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, Complex.cos (2 * z * x) * (cos x : ℂ) ^ (2 * n)) /
        (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, cos x ^ (2 * n) : ℝ) 
Arguments: (z : ℂ) (n : ℕ)
Goal: Complex.sin (↑π * z) =
  ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
      ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (2 * n)) /
    ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ (2 * n))
-- EulerSine.tendsto_integral_cos_pow_mul_div
theorem tendsto_integral_cos_pow_mul_div {f : ℝ → ℂ} (hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))) :
    Tendsto
      (fun n : ℕ => (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, (cos x : ℂ) ^ n * f x) /
        (∫ x in (0 : ℝ)..π / 2, cos x ^ n : ℝ))
      atTop (𝓝 <| f 0) 
Arguments: {f : ℝ → ℂ} (hf : ContinuousOn f (Set.Icc 0 (π / 2)))
Goal: Filter.Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(Real.cos x) ^ n * f x) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n))
  Filter.atTop (𝓝 (f 0))
-- Complex.tendsto_euler_sin_prod
theorem _root_.Complex.tendsto_euler_sin_prod (z : ℂ) :
    Tendsto (fun n : ℕ => π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, ((1 : ℂ) - z ^ 2 / ((j : ℂ) + 1) ^ 2))
      atTop (𝓝 <| Complex.sin (π * z)) 
Arguments: (z : ℂ)
Goal: Filter.Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) Filter.atTop
  (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))
-- Real.tendsto_euler_sin_prod
theorem _root_.Real.tendsto_euler_sin_prod (x : ℝ) :
    Tendsto (fun n : ℕ => π * x * ∏ j ∈ Finset.range n, ((1 : ℝ) - x ^ 2 / ((j : ℝ) + 1) ^ 2))
      atTop (𝓝 <| sin (π * x)) 
Arguments: (x : ℝ)
Goal: Filter.Tendsto (fun n => π * x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) Filter.atTop (𝓝 (Real.sin (π * x)))
-- NNReal.rpow_eq_pow
@[simp]
theorem rpow_eq_pow (x : ℝ≥0) (y : ℝ) : rpow x y = x ^ y 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y : ℝ)
Goal: x.rpow y = x ^ y
-- NNReal.coe_rpow
@[simp, norm_cast]
theorem coe_rpow (x : ℝ≥0) (y : ℝ) : ((x ^ y : ℝ≥0) : ℝ) = (x : ℝ) ^ y 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y : ℝ)
Goal: ↑(x ^ y) = ↑x ^ y
-- NNReal.rpow_zero
@[simp]
theorem rpow_zero (x : ℝ≥0) : x ^ (0 : ℝ) = 1 
Arguments: (x : ℝ≥0)
Goal: x ^ 0 = 1
-- NNReal.rpow_eq_zero_iff
@[simp]
theorem rpow_eq_zero_iff {x : ℝ≥0} {y : ℝ} : x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0 
Arguments: {x : ℝ≥0} {y : ℝ}
Goal: x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
-- NNReal.zero_rpow
@[simp]
theorem zero_rpow {x : ℝ} (h : x ≠ 0) : (0 : ℝ≥0) ^ x = 0 
Arguments: {x : ℝ} (h : x ≠ 0)
Goal: 0 ^ x = 0
-- NNReal.rpow_one
@[simp]
theorem rpow_one (x : ℝ≥0) : x ^ (1 : ℝ) = x 
Arguments: (x : ℝ≥0)
Goal: x ^ 1 = x
-- NNReal.one_rpow
@[simp]
theorem one_rpow (x : ℝ) : (1 : ℝ≥0) ^ x = 1 
Arguments: (x : ℝ)
Goal: 1 ^ x = 1
-- NNReal.rpow_add
theorem rpow_add {x : ℝ≥0} (hx : x ≠ 0) (y z : ℝ) : x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} (hx : x ≠ 0) (y z : ℝ)
Goal: x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
-- NNReal.rpow_add'
theorem rpow_add' (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (h : y + z ≠ 0) : x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z 
Arguments: (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (h : y + z ≠ 0)
Goal: x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
-- NNReal.rpow_add_of_nonneg
theorem rpow_add_of_nonneg (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (hy : 0 ≤ y) (hz : 0 ≤ z) :
    x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z 
Arguments: (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (hy : 0 ≤ y) (hz : 0 ≤ z)
Goal: x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
-- NNReal.rpow_of_add_eq
lemma rpow_of_add_eq (x : ℝ≥0) (hw : w ≠ 0) (h : y + z = w) : x ^ w = x ^ y * x ^ z 
Arguments: {w y z : ℝ} (x : ℝ≥0) (hw : w ≠ 0) (h : y + z = w)
Goal: x ^ w = x ^ y * x ^ z
-- NNReal.rpow_mul
theorem rpow_mul (x : ℝ≥0) (y z : ℝ) : x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y z : ℝ)
Goal: x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
-- NNReal.rpow_neg
theorem rpow_neg (x : ℝ≥0) (y : ℝ) : x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹ 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y : ℝ)
Goal: x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
-- NNReal.rpow_neg_one
theorem rpow_neg_one (x : ℝ≥0) : x ^ (-1 : ℝ) = x⁻¹ 
Arguments: (x : ℝ≥0)
Goal: x ^ (-1) = x⁻¹
-- NNReal.rpow_sub
theorem rpow_sub {x : ℝ≥0} (hx : x ≠ 0) (y z : ℝ) : x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} (hx : x ≠ 0) (y z : ℝ)
Goal: x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
-- NNReal.rpow_sub'
theorem rpow_sub' (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (h : y - z ≠ 0) : x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z 
Arguments: (x : ℝ≥0) {y z : ℝ} (h : y - z ≠ 0)
Goal: x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
-- NNReal.rpow_inv_rpow_self
theorem rpow_inv_rpow_self {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0) : (x ^ y) ^ (1 / y) = x 
Arguments: {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0)
Goal: (x ^ y) ^ (1 / y) = x
-- NNReal.rpow_self_rpow_inv
theorem rpow_self_rpow_inv {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0) : (x ^ (1 / y)) ^ y = x 
Arguments: {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0)
Goal: (x ^ (1 / y)) ^ y = x
-- NNReal.inv_rpow
theorem inv_rpow (x : ℝ≥0) (y : ℝ) : x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹ 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y : ℝ)
Goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- NNReal.div_rpow
theorem div_rpow (x y : ℝ≥0) (z : ℝ) : (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z 
Arguments: (x y : ℝ≥0) (z : ℝ)
Goal: (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
-- NNReal.sqrt_eq_rpow
theorem sqrt_eq_rpow (x : ℝ≥0) : sqrt x = x ^ (1 / (2 : ℝ)) 
Arguments: (x : ℝ≥0)
Goal: NNReal.sqrt x = x ^ (1 / 2)
-- NNReal.rpow_natCast
@[simp, norm_cast]
theorem rpow_natCast (x : ℝ≥0) (n : ℕ) : x ^ (n : ℝ) = x ^ n 
Arguments: (x : ℝ≥0) (n : ℕ)
Goal: x ^ ↑n = x ^ n
-- NNReal.rpow_ofNat
@[simp]
lemma rpow_ofNat (x : ℝ≥0) (n : ℕ) [n.AtLeastTwo] :
    x ^ (no_index (OfNat.ofNat n) : ℝ) = x ^ (OfNat.ofNat n : ℕ) 
Arguments: (x : ℝ≥0) (n : ℕ) [n.AtLeastTwo]
Goal: x ^ OfNat.ofNat n = x ^ OfNat.ofNat n
-- NNReal.rpow_two
theorem rpow_two (x : ℝ≥0) : x ^ (2 : ℝ) = x ^ 2 
Arguments: (x : ℝ≥0)
Goal: x ^ 2 = x ^ 2
-- NNReal.mul_rpow
theorem mul_rpow {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} : (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ}
Goal: (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
-- NNReal.rpowMonoidHom_apply
@[simps]
def rpowMonoidHom (r : ℝ) : ℝ≥0 →* ℝ≥0 
Arguments: (r : ℝ)
Goal: ∀ (x : ℝ≥0), (NNReal.rpowMonoidHom r) x = x ^ r
-- NNReal.list_prod_map_rpow
theorem list_prod_map_rpow (l : List ℝ≥0) (r : ℝ) :
    (l.map (· ^ r)).prod = l.prod ^ r 
Arguments: (l : List ℝ≥0) (r : ℝ)
Goal: (List.map (fun x => x ^ r) l).prod = l.prod ^ r
-- NNReal.list_prod_map_rpow'
theorem list_prod_map_rpow' {ι} (l : List ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ) :
    (l.map (f · ^ r)).prod = (l.map f).prod ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (l : List ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ)
Goal: (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
-- NNReal.multiset_prod_map_rpow
lemma multiset_prod_map_rpow {ι} (s : Multiset ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ) :
    (s.map (f · ^ r)).prod = (s.map f).prod ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (s : Multiset ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ)
Goal: (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
-- NNReal.finset_prod_rpow
lemma finset_prod_rpow {ι} (s : Finset ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ) :
    (∏ i ∈ s, f i ^ r) = (∏ i ∈ s, f i) ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (s : Finset ι) (f : ι → ℝ≥0) (r : ℝ)
Goal: ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
-- Real.list_prod_map_rpow
theorem _root_.Real.list_prod_map_rpow (l : List ℝ) (hl : ∀ x ∈ l, (0 : ℝ) ≤ x) (r : ℝ) :
    (l.map (· ^ r)).prod = l.prod ^ r 
Arguments: (l : List ℝ) (hl : ∀ x ∈ l, 0 ≤ x) (r : ℝ)
Goal: (List.map (fun x => x ^ r) l).prod = l.prod ^ r
-- Real.list_prod_map_rpow'
theorem _root_.Real.list_prod_map_rpow' {ι} (l : List ι) (f : ι → ℝ)
    (hl : ∀ i ∈ l, (0 : ℝ) ≤ f i) (r : ℝ) :
    (l.map (f · ^ r)).prod = (l.map f).prod ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (l : List ι) (f : ι → ℝ) (hl : ∀ i ∈ l, 0 ≤ f i) (r : ℝ)
Goal: (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
-- Real.multiset_prod_map_rpow
theorem _root_.Real.multiset_prod_map_rpow {ι} (s : Multiset ι) (f : ι → ℝ)
    (hs : ∀ i ∈ s, (0 : ℝ) ≤ f i) (r : ℝ) :
    (s.map (f · ^ r)).prod = (s.map f).prod ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (s : Multiset ι) (f : ι → ℝ) (hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) (r : ℝ)
Goal: (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
-- Real.finset_prod_rpow
theorem _root_.Real.finset_prod_rpow
    {ι} (s : Finset ι) (f : ι → ℝ) (hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) (r : ℝ) :
    (∏ i ∈ s, f i ^ r) = (∏ i ∈ s, f i) ^ r 
Arguments: {ι : Type u_1} (s : Finset ι) (f : ι → ℝ) (hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) (r : ℝ)
Goal: ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
-- NNReal.rpow_le_rpow
@[gcongr] theorem rpow_le_rpow {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (h₁ : x ≤ y) (h₂ : 0 ≤ z) : x ^ z ≤ y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (h₁ : x ≤ y) (h₂ : 0 ≤ z)
Goal: x ^ z ≤ y ^ z
-- NNReal.rpow_lt_rpow
@[gcongr] theorem rpow_lt_rpow {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (h₁ : x < y) (h₂ : 0 < z) : x ^ z < y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (h₁ : x < y) (h₂ : 0 < z)
Goal: x ^ z < y ^ z
-- NNReal.rpow_lt_rpow_iff
theorem rpow_lt_rpow_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ^ z < y ^ z ↔ x < y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z < y ^ z ↔ x < y
-- NNReal.rpow_le_rpow_iff
theorem rpow_le_rpow_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ^ z ≤ y ^ z ↔ x ≤ y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z ≤ y ^ z ↔ x ≤ y
-- NNReal.le_rpow_inv_iff
theorem le_rpow_inv_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
-- NNReal.le_rpow_one_div_iff
@[deprecated le_rpow_inv_iff (since := "2024-07-10")]
theorem le_rpow_one_div_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
-- NNReal.rpow_inv_le_iff
theorem rpow_inv_le_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- NNReal.rpow_one_div_le_iff
@[deprecated rpow_inv_le_iff (since := "2024-07-10")]
theorem rpow_one_div_le_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ^ (1 / z) ≤ y ↔ x ≤ y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ^ (1 / z) ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- NNReal.lt_rpow_inv_iff
theorem lt_rpow_inv_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^z < y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
-- NNReal.rpow_inv_lt_iff
theorem rpow_inv_lt_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z) : x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z
-- NNReal.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt
@[gcongr] theorem rpow_lt_rpow_of_exponent_lt {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx : 1 < x) (hyz : y < z) :
    x ^ y < x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx : 1 < x) (hyz : y < z)
Goal: x ^ y < x ^ z
-- NNReal.rpow_le_rpow_of_exponent_le
@[gcongr] theorem rpow_le_rpow_of_exponent_le {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hyz : y ≤ z) :
    x ^ y ≤ x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hyz : y ≤ z)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z
-- NNReal.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt
theorem rpow_lt_rpow_of_exponent_gt {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y) :
    x ^ y < x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x < 1) (hyz : z < y)
Goal: x ^ y < x ^ z
-- NNReal.rpow_le_rpow_of_exponent_ge
theorem rpow_le_rpow_of_exponent_ge {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x ≤ 1) (hyz : z ≤ y) :
    x ^ y ≤ x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {y z : ℝ} (hx0 : 0 < x) (hx1 : x ≤ 1) (hyz : z ≤ y)
Goal: x ^ y ≤ x ^ z
-- NNReal.rpow_pos
theorem rpow_pos {p : ℝ} {x : ℝ≥0} (hx_pos : 0 < x) : 0 < x ^ p 
Arguments: {p : ℝ} {x : ℝ≥0} (hx_pos : 0 < x)
Goal: 0 < x ^ p
-- NNReal.rpow_lt_one
theorem rpow_lt_one {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : x < 1) (hz : 0 < z) : x ^ z < 1 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : x < 1) (hz : 0 < z)
Goal: x ^ z < 1
-- NNReal.rpow_le_one
theorem rpow_le_one {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx2 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z) : x ^ z ≤ 1 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx2 : x ≤ 1) (hz : 0 ≤ z)
Goal: x ^ z ≤ 1
-- NNReal.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg
theorem rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : z < 0) : x ^ z < 1 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : z < 0)
Goal: x ^ z < 1
-- NNReal.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos
theorem rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : z ≤ 0) : x ^ z ≤ 1 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 ≤ x) (hz : z ≤ 0)
Goal: x ^ z ≤ 1
-- NNReal.one_lt_rpow
theorem one_lt_rpow {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : 0 < z) : 1 < x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : 1 < x) (hz : 0 < z)
Goal: 1 < x ^ z
-- NNReal.one_le_rpow
theorem one_le_rpow {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (h : 1 ≤ x) (h₁ : 0 ≤ z) : 1 ≤ x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (h : 1 ≤ x) (h₁ : 0 ≤ z)
Goal: 1 ≤ x ^ z
-- NNReal.one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg
theorem one_lt_rpow_of_pos_of_lt_one_of_neg {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1)
    (hz : z < 0) : 1 < x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x < 1) (hz : z < 0)
Goal: 1 < x ^ z
-- NNReal.one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos
theorem one_le_rpow_of_pos_of_le_one_of_nonpos {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x ≤ 1)
    (hz : z ≤ 0) : 1 ≤ x ^ z 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx1 : 0 < x) (hx2 : x ≤ 1) (hz : z ≤ 0)
Goal: 1 ≤ x ^ z
-- NNReal.rpow_le_self_of_le_one
theorem rpow_le_self_of_le_one {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : x ≤ 1) (h_one_le : 1 ≤ z) : x ^ z ≤ x 
Arguments: {x : ℝ≥0} {z : ℝ} (hx : x ≤ 1) (h_one_le : 1 ≤ z)
Goal: x ^ z ≤ x
-- NNReal.rpow_left_injective
theorem rpow_left_injective {x : ℝ} (hx : x ≠ 0) : Function.Injective fun y : ℝ≥0 => y ^ x 
Arguments: {x : ℝ} (hx : x ≠ 0)
Goal: Function.Injective fun y => y ^ x
-- NNReal.rpow_eq_rpow_iff
theorem rpow_eq_rpow_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0) : x ^ z = y ^ z ↔ x = y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0)
Goal: x ^ z = y ^ z ↔ x = y
-- NNReal.rpow_left_surjective
theorem rpow_left_surjective {x : ℝ} (hx : x ≠ 0) : Function.Surjective fun y : ℝ≥0 => y ^ x 
Arguments: {x : ℝ} (hx : x ≠ 0)
Goal: Function.Surjective fun y => y ^ x
-- NNReal.rpow_left_bijective
theorem rpow_left_bijective {x : ℝ} (hx : x ≠ 0) : Function.Bijective fun y : ℝ≥0 => y ^ x 
Arguments: {x : ℝ} (hx : x ≠ 0)
Goal: Function.Bijective fun y => y ^ x
-- NNReal.eq_rpow_inv_iff
theorem eq_rpow_inv_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0) : x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0)
Goal: x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
-- NNReal.eq_rpow_one_div_iff
@[deprecated eq_rpow_inv_iff (since := "2024-07-10")]
theorem eq_rpow_one_div_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0) : x = y ^ (1 / z) ↔ x ^ z = y 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0)
Goal: x = y ^ (1 / z) ↔ x ^ z = y
-- NNReal.rpow_inv_eq_iff
theorem rpow_inv_eq_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0) : x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0)
Goal: x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
-- NNReal.rpow_one_div_eq_iff
@[deprecated rpow_inv_eq_iff (since := "2024-07-10")]
theorem rpow_one_div_eq_iff {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0) : x ^ (1 / z) = y ↔ x = y ^ z 
Arguments: {x y : ℝ≥0} {z : ℝ} (hz : z ≠ 0)
Goal: x ^ (1 / z) = y ↔ x = y ^ z
-- NNReal.rpow_rpow_inv
@[simp] lemma rpow_rpow_inv {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0) : (x ^ y) ^ y⁻¹ = x 
Arguments: {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0)
Goal: (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
-- NNReal.rpow_inv_rpow
@[simp] lemma rpow_inv_rpow {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0) : (x ^ y⁻¹) ^ y = x 
Arguments: {y : ℝ} (hy : y ≠ 0) (x : ℝ≥0)
Goal: (x ^ y⁻¹) ^ y = x
-- NNReal.pow_rpow_inv_natCast
theorem pow_rpow_inv_natCast (x : ℝ≥0) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) : (x ^ n) ^ (n⁻¹ : ℝ) = x 
Arguments: (x : ℝ≥0) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0)
Goal: (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- NNReal.rpow_inv_natCast_pow
theorem rpow_inv_natCast_pow (x : ℝ≥0) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) : (x ^ (n⁻¹ : ℝ)) ^ n = x 
Arguments: (x : ℝ≥0) {n : ℕ} (hn : n ≠ 0)
Goal: (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
-- Real.toNNReal_rpow_of_nonneg
theorem _root_.Real.toNNReal_rpow_of_nonneg {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x) :
    Real.toNNReal (x ^ y) = Real.toNNReal x ^ y 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x)
Goal: (x ^ y).toNNReal = x.toNNReal ^ y
-- NNReal.strictMono_rpow_of_pos
theorem strictMono_rpow_of_pos {z : ℝ} (h : 0 < z) : StrictMono fun x : ℝ≥0 => x ^ z 
Arguments: {z : ℝ} (h : 0 < z)
Goal: StrictMono fun x => x ^ z
-- NNReal.monotone_rpow_of_nonneg
theorem monotone_rpow_of_nonneg {z : ℝ} (h : 0 ≤ z) : Monotone fun x : ℝ≥0 => x ^ z 
Arguments: {z : ℝ} (h : 0 ≤ z)
Goal: Monotone fun x => x ^ z
-- NNReal.orderIsoRpow_apply
@[simps! apply]
def orderIsoRpow (y : ℝ) (hy : 0 < y) : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 
Arguments: (y : ℝ) (hy : 0 < y) (x : ℝ≥0)
Goal: (NNReal.orderIsoRpow y hy) x = x ^ y
-- NNReal.orderIsoRpow_symm_eq
theorem orderIsoRpow_symm_eq (y : ℝ) (hy : 0 < y) :
    (orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) (one_div_pos.2 hy) 
Arguments: (y : ℝ) (hy : 0 < y)
Goal: (NNReal.orderIsoRpow y hy).symm = NNReal.orderIsoRpow (1 / y) ⋯
-- Real.nnnorm_rpow_of_nonneg
theorem _root_.Real.nnnorm_rpow_of_nonneg {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x) : ‖x ^ y‖₊ = ‖x‖₊ ^ y 
Arguments: {x y : ℝ} (hx : 0 ≤ x)
Goal: ‖x ^ y‖₊ = ‖x‖₊ ^ y
-- ENNReal.rpow_eq_pow
@[simp]
theorem rpow_eq_pow (x : ℝ≥0∞) (y : ℝ) : rpow x y = x ^ y 
Arguments: (x : ℝ≥0∞) (y : ℝ)
Goal: x.rpow y = x ^ y
-- ENNReal.rpow_zero
@[simp]
theorem rpow_zero {x : ℝ≥0∞} : x ^ (0 : ℝ) = 1 
Arguments: {x : ℝ≥0∞}
Goal: x ^ 0 = 1
-- ENNReal.top_rpow_def
theorem top_rpow_def (y : ℝ) : (⊤ : ℝ≥0∞) ^ y = if 0 < y then ⊤ else if y = 0 then 1 else 0 
Arguments: (y : ℝ)
Goal: ⊤ ^ y = if 0 < y then ⊤ else if y = 0 then 1 else 0
-- ENNReal.top_rpow_of_pos
@[simp]
theorem top_rpow_of_pos {y : ℝ} (h : 0 < y) : (⊤ : ℝ≥0∞) ^ y = ⊤ 
Arguments: {y : ℝ} (h : 0 < y)
Goal: ⊤ ^ y = ⊤
-- ENNReal.top_rpow_of_neg
@[simp]
theorem top_rpow_of_neg {y : ℝ} (h : y < 0) : (⊤ : ℝ≥0∞) ^ y = 0 
Arguments: {y : ℝ} (h : y < 0)
Goal: ⊤ ^ y = 0
-- ENNReal.zero_rpow_of_pos
@[simp]
theorem zero_rpow_of_pos {y : ℝ} (h : 0 < y) : (0 : ℝ≥0∞) ^ y = 0 
Arguments: {y : ℝ} (h : 0 < y)
Goal: 0 ^ y = 0
-- ENNReal.zero_rpow_of_neg
@[simp]
theorem zero_rpow_of_neg {y : ℝ} (h : y < 0) : (0 : ℝ≥0∞) ^ y = ⊤ 
Arguments: {y : ℝ} (h : y < 0)
Goal: 0 ^ y = ⊤
-- ENNReal.zero_rpow_def
theorem zero_rpow_def (y : ℝ) : (0 : ℝ≥0∞) ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤ 
Arguments: (y : ℝ)
Goal: 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
-- ENNReal.zero_rpow_mul_self
@[simp]
theorem zero_rpow_mul_self (y : ℝ) : (0 : ℝ≥0∞) ^ y * (0 : ℝ≥0∞) ^ y = (0 : ℝ≥0∞) ^ y 
Arguments: (y : ℝ)
Goal: 0 ^ y * 0 ^ y = 0 ^ y
-- ENNReal.coe_rpow_of_ne_zero
@[norm_cast]
theorem coe_rpow_of_ne_zero {x : ℝ≥0} (h : x ≠ 0) (y : ℝ) : (x : ℝ≥0∞) ^ y = (x ^ y : ℝ≥0) 
Arguments: {x : ℝ≥0} (h : x ≠ 0) (y : ℝ)
Goal: ↑x ^ y = ↑(x ^ y)
-- ENNReal.coe_rpow_of_nonneg
@[norm_cast]
theorem coe_rpow_of_nonneg (x : ℝ≥0) {y : ℝ} (h : 0 ≤ y) : (x : ℝ≥0∞) ^ y = (x ^ y : ℝ≥0) 
Arguments: (x : ℝ≥0) {y : ℝ} (h : 0 ≤ y)
Goal: ↑x ^ y = ↑(x ^ y)
-- ENNReal.coe_rpow_def
theorem coe_rpow_def (x : ℝ≥0) (y : ℝ) :
    (x : ℝ≥0∞) ^ y = if x = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(x ^ y) 
Arguments: (x : ℝ≥0) (y : ℝ)
Goal: ↑x ^ y = if x = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(x ^ y)
-- ENNReal.rpow_one
@[simp]
theorem rpow_one (x : ℝ≥0∞) : x ^ (1 : ℝ) = x 
Arguments: (x : ℝ≥0∞)
Goal: x ^ 1 = x
-- ENNReal.one_rpow
@[simp]
theorem one_rpow (x : ℝ) : (1 : ℝ≥0∞) ^ x = 1 
Arguments: (x : ℝ)
Goal: 1 ^ x = 1
-- ENNReal.rpow_eq_zero_iff
@[simp]
theorem rpow_eq_zero_iff {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} : x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ 0 < y ∨ x = ⊤ ∧ y < 0 
Arguments: {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ}
Goal: x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ 0 < y ∨ x = ⊤ ∧ y < 0
-- ENNReal.rpow_eq_zero_iff_of_pos
lemma rpow_eq_zero_iff_of_pos {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} (hy : 0 < y) : x ^ y = 0 ↔ x = 0 
Arguments: {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} (hy : 0 < y)
Goal: x ^ y = 0 ↔ x = 0
-- ENNReal.rpow_eq_top_iff
@[simp]
theorem rpow_eq_top_iff {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} : x ^ y = ⊤ ↔ x = 0 ∧ y < 0 ∨ x = ⊤ ∧ 0 < y 
Arguments: {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ}
Goal: x ^ y = ⊤ ↔ x = 0 ∧ y < 0 ∨ x = ⊤ ∧ 0 < y
-- ENNReal.rpow_eq_top_iff_of_pos
theorem rpow_eq_top_iff_of_pos {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} (hy : 0 < y) : x ^ y = ⊤ ↔ x = ⊤ 
Arguments: {x : ℝ≥0∞} {y : ℝ} (hy : 0 < y)
Goal: x ^ y = ⊤ ↔ x = ⊤