ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- summable_of_summable_hasDerivAt
theorem summable_of_summable_hasDerivAt (hu : Summable u)
    (hg : ∀ n y, HasDerivAt (g n) (g' n y) y) (hg' : ∀ n y, ‖g' n y‖ ≤ u n)
    (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜) : Summable fun n => g n y 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {g g' : α → 𝕜 → F} {y₀ : 𝕜} (hu : Summable u) (hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y) (hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜)
Goal: Summable fun n => g n y
-- hasFDerivAt_tsum
theorem hasFDerivAt_tsum (hu : Summable u) (hf : ∀ n x, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x)
    (hf' : ∀ n x, ‖f' n x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀) (x : E) :
    HasFDerivAt (fun y => ∑' n, f n y) (∑' n, f' n x) x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {f' : α → E → E →L[𝕜] F} {x₀ : E} (hu : Summable u) (hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x) (hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀) (x : E)
Goal: HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x
-- hasDerivAt_tsum
theorem hasDerivAt_tsum (hu : Summable u) (hg : ∀ n y, HasDerivAt (g n) (g' n y) y)
    (hg' : ∀ n y, ‖g' n y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜) :
    HasDerivAt (fun z => ∑' n, g n z) (∑' n, g' n y) y 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {g g' : α → 𝕜 → F} {y₀ : 𝕜} (hu : Summable u) (hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y) (hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜)
Goal: HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
-- differentiable_tsum
theorem differentiable_tsum (hu : Summable u) (hf : ∀ n x, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x)
    (hf' : ∀ n x, ‖f' n x‖ ≤ u n) : Differentiable 𝕜 fun y => ∑' n, f n y 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {f' : α → E → E →L[𝕜] F} (hu : Summable u) (hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x) (hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n)
Goal: Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y
-- differentiable_tsum'
theorem differentiable_tsum' (hu : Summable u) (hg : ∀ n y, HasDerivAt (g n) (g' n y) y)
    (hg' : ∀ n y, ‖g' n y‖ ≤ u n) : Differentiable 𝕜 fun z => ∑' n, g n z 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {g g' : α → 𝕜 → F} (hu : Summable u) (hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y) (hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n)
Goal: Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
-- fderiv_tsum_apply
theorem fderiv_tsum_apply (hu : Summable u) (hf : ∀ n, Differentiable 𝕜 (f n))
    (hf' : ∀ n x, ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀) (x : E) :
    fderiv 𝕜 (fun y => ∑' n, f n y) x = ∑' n, fderiv 𝕜 (f n) x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {x₀ : E} (hu : Summable u) (hf : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (f n)) (hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀) (x : E)
Goal: fderiv 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (f n) x
-- deriv_tsum_apply
theorem deriv_tsum_apply (hu : Summable u) (hg : ∀ n, Differentiable 𝕜 (g n))
    (hg' : ∀ n y, ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜) :
    deriv (fun z => ∑' n, g n z) y = ∑' n, deriv (g n) y 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {g : α → 𝕜 → F} {y₀ : 𝕜} (hu : Summable u) (hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)) (hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) (y : 𝕜)
Goal: deriv (fun z => ∑' (n : α), g n z) y = ∑' (n : α), deriv (g n) y
-- fderiv_tsum
theorem fderiv_tsum (hu : Summable u) (hf : ∀ n, Differentiable 𝕜 (f n))
    (hf' : ∀ n x, ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀) :
    (fderiv 𝕜 fun y => ∑' n, f n y) = fun x => ∑' n, fderiv 𝕜 (f n) x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {x₀ : E} (hu : Summable u) (hf : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (f n)) (hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n) (hf0 : Summable fun n => f n x₀)
Goal: (fderiv 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (f n) x
-- deriv_tsum
theorem deriv_tsum (hu : Summable u) (hg : ∀ n, Differentiable 𝕜 (g n))
    (hg' : ∀ n y, ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀) :
    (deriv fun y => ∑' n, g n y) = fun y => ∑' n, deriv (g n) y 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] {u : α → ℝ} [NormedSpace 𝕜 F] {g : α → 𝕜 → F} {y₀ : 𝕜} (hu : Summable u) (hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)) (hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n) (hg0 : Summable fun n => g n y₀)
Goal: (deriv fun y => ∑' (n : α), g n y) = fun y => ∑' (n : α), deriv (g n) y
-- iteratedFDeriv_tsum
theorem iteratedFDeriv_tsum (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i))
    (hv : ∀ k : ℕ, (k : ℕ∞) ≤ N → Summable (v k))
    (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), (k : ℕ∞) ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) {k : ℕ}
    (hk : (k : ℕ∞) ≤ N) :
    (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' n, f n y) = fun x => ∑' n, iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {v : ℕ → α → ℝ} {N : ℕ∞} (hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)) (hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)) (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) {k : ℕ} (hk : ↑k ≤ N)
Goal: (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
-- iteratedFDeriv_tsum_apply
theorem iteratedFDeriv_tsum_apply (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i))
    (hv : ∀ k : ℕ, (k : ℕ∞) ≤ N → Summable (v k))
    (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), (k : ℕ∞) ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) {k : ℕ}
    (hk : (k : ℕ∞) ≤ N) (x : E) :
    iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y => ∑' n, f n y) x = ∑' n, iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {v : ℕ → α → ℝ} {N : ℕ∞} (hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)) (hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)) (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) {k : ℕ} (hk : ↑k ≤ N) (x : E)
Goal: iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
-- contDiff_tsum
theorem contDiff_tsum (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i)) (hv : ∀ k : ℕ, (k : ℕ∞) ≤ N → Summable (v k))
    (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), (k : ℕ∞) ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) :
    ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' i, f i x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {v : ℕ → α → ℝ} {N : ℕ∞} (hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)) (hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)) (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i)
Goal: ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
-- contDiff_tsum_of_eventually
theorem contDiff_tsum_of_eventually (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i))
    (hv : ∀ k : ℕ, (k : ℕ∞) ≤ N → Summable (v k))
    (h'f :
      ∀ k : ℕ,
        (k : ℕ∞) ≤ N →
          ∀ᶠ i in (Filter.cofinite : Filter α), ∀ x : E, ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) :
    ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' i, f i x 
Arguments: {α : Type u_1} {𝕜 : Type u_3} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [RCLike 𝕜] [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] [NormedAddCommGroup F] [CompleteSpace F] [NormedSpace 𝕜 F] {f : α → E → F} {v : ℕ → α → ℝ} {N : ℕ∞} (hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)) (hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)) (h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in Filter.cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i)
Goal: ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
-- ApproximatesLinearOn.exists_homeomorph_extension
theorem exists_homeomorph_extension {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E]
    {F : Type*} [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] [FiniteDimensional ℝ F] {s : Set E}
    {f : E → F} {f' : E ≃L[ℝ] F} {c : ℝ≥0} (hf : ApproximatesLinearOn f (f' : E →L[ℝ] F) s c)
    (hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖(f'.symm : F →L[ℝ] E)‖₊⁻¹) :
    ∃ g : E ≃ₜ F, EqOn f g s 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {F : Type u_2} [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] [FiniteDimensional ℝ F] {s : Set E} {f : E → F} {f' : E ≃L[ℝ] F} {c : ℝ≥0} (hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c) (hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹)
Goal: ∃ g, Set.EqOn f (⇑g) s
-- HasStrictDerivAt.map_nhds_eq
theorem map_nhds_eq : map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] [CompleteSpace 𝕜] {f : 𝕜 → 𝕜} {f' a : 𝕜} (hf : HasStrictDerivAt f f' a) (hf' : f' ≠ 0)
Goal: Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- HasStrictDerivAt.to_localInverse
theorem to_localInverse : HasStrictDerivAt (hf.localInverse f f' a hf') f'⁻¹ (f a) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] [CompleteSpace 𝕜] {f : 𝕜 → 𝕜} {f' a : 𝕜} (hf : HasStrictDerivAt f f' a) (hf' : f' ≠ 0)
Goal: HasStrictDerivAt (HasStrictDerivAt.localInverse f f' a hf hf') f'⁻¹ (f a)
-- HasStrictDerivAt.to_local_left_inverse
theorem to_local_left_inverse {g : 𝕜 → 𝕜} (hg : ∀ᶠ x in 𝓝 a, g (f x) = x) :
    HasStrictDerivAt g f'⁻¹ (f a) 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] [CompleteSpace 𝕜] {f : 𝕜 → 𝕜} {f' a : 𝕜} (hf : HasStrictDerivAt f f' a) (hf' : f' ≠ 0) {g : 𝕜 → 𝕜} (hg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 a, g (f x) = x)
Goal: HasStrictDerivAt g f'⁻¹ (f a)
-- isOpenMap_of_hasStrictDerivAt
theorem isOpenMap_of_hasStrictDerivAt {f' : 𝕜 → 𝕜}
    (hf : ∀ x, HasStrictDerivAt f (f' x) x) (h0 : ∀ x, f' x ≠ 0) : IsOpenMap f 
Arguments: {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] [CompleteSpace 𝕜] {f f' : 𝕜 → 𝕜} (hf : ∀ (x : 𝕜), HasStrictDerivAt f (f' x) x) (h0 : ∀ (x : 𝕜), f' x ≠ 0)
Goal: IsOpenMap f
-- memℓp_zero_iff
theorem memℓp_zero_iff {f : ∀ i, E i} : Memℓp f 0 ↔ Set.Finite { i | f i ≠ 0 } 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i}
Goal: Memℓp f 0 ↔ {i | f i ≠ 0}.Finite
-- memℓp_zero
theorem memℓp_zero {f : ∀ i, E i} (hf : Set.Finite { i | f i ≠ 0 }) : Memℓp f 0 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : {i | f i ≠ 0}.Finite)
Goal: Memℓp f 0
-- memℓp_infty_iff
theorem memℓp_infty_iff {f : ∀ i, E i} : Memℓp f ∞ ↔ BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖) 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i}
Goal: Memℓp f ⊤ ↔ BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)
-- memℓp_infty
theorem memℓp_infty {f : ∀ i, E i} (hf : BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)) : Memℓp f ∞ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖))
Goal: Memℓp f ⊤
-- memℓp_gen_iff
theorem memℓp_gen_iff (hp : 0 < p.toReal) {f : ∀ i, E i} :
    Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) {f : (i : α) → E i}
Goal: Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
-- memℓp_gen
theorem memℓp_gen {f : ∀ i, E i} (hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) : Memℓp f p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal)
Goal: Memℓp f p
-- memℓp_gen'
theorem memℓp_gen' {C : ℝ} {f : ∀ i, E i} (hf : ∀ s : Finset α, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C) :
    Memℓp f p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {C : ℝ} {f : (i : α) → E i} (hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C)
Goal: Memℓp f p
-- zero_memℓp
theorem zero_memℓp : Memℓp (0 : ∀ i, E i) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)]
Goal: Memℓp 0 p
-- zero_mem_ℓp'
theorem zero_mem_ℓp' : Memℓp (fun i : α => (0 : E i)) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)]
Goal: Memℓp (fun i => 0) p
-- Memℓp.finite_dsupport
theorem finite_dsupport {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f 0) : Set.Finite { i | f i ≠ 0 } 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f 0)
Goal: {i | f i ≠ 0}.Finite
-- Memℓp.bddAbove
theorem bddAbove {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f ∞) : BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖) 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f ⊤)
Goal: BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖)
-- Memℓp.summable
theorem summable (hp : 0 < p.toReal) {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) :
    Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) {f : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f p)
Goal: Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
-- Memℓp.neg
theorem neg {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) : Memℓp (-f) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f p)
Goal: Memℓp (-f) p
-- Memℓp.neg_iff
@[simp]
theorem neg_iff {f : ∀ i, E i} : Memℓp (-f) p ↔ Memℓp f p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : (i : α) → E i}
Goal: Memℓp (-f) p ↔ Memℓp f p
-- Memℓp.of_exponent_ge
theorem of_exponent_ge {p q : ℝ≥0∞} {f : ∀ i, E i} (hfq : Memℓp f q) (hpq : q ≤ p) : Memℓp f p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {p q : ℝ≥0∞} {f : (i : α) → E i} (hfq : Memℓp f q) (hpq : q ≤ p)
Goal: Memℓp f p
-- Memℓp.add
theorem add {f g : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) (hg : Memℓp g p) : Memℓp (f + g) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f g : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f p) (hg : Memℓp g p)
Goal: Memℓp (f + g) p
-- Memℓp.sub
theorem sub {f g : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) (hg : Memℓp g p) : Memℓp (f - g) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f g : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f p) (hg : Memℓp g p)
Goal: Memℓp (f - g) p
-- Memℓp.finset_sum
theorem finset_sum {ι} (s : Finset ι) {f : ι → ∀ i, E i} (hf : ∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) :
    Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {ι : Type u_3} (s : Finset ι) {f : ι → (i : α) → E i} (hf : ∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p)
Goal: Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p
-- Memℓp.const_smul
theorem const_smul {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) (c : 𝕜) : Memℓp (c • f) p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {𝕜 : Type u_3} [NormedRing 𝕜] [(i : α) → Module 𝕜 (E i)] [∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)] {f : (i : α) → E i} (hf : Memℓp f p) (c : 𝕜)
Goal: Memℓp (c • f) p
-- Memℓp.const_mul
theorem const_mul {f : α → 𝕜} (hf : Memℓp f p) (c : 𝕜) : Memℓp (fun x => c * f x) p 
Arguments: {α : Type u_1} {p : ℝ≥0∞} {𝕜 : Type u_3} [NormedRing 𝕜] {f : α → 𝕜} (hf : Memℓp f p) (c : 𝕜)
Goal: Memℓp (fun x => c * f x) p
-- lp.ext
@[ext]
theorem ext {f g : lp E p} (h : (f : ∀ i, E i) = g) : f = g 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f g : ↥(lp E p)} (h : ↑f = ↑g)
Goal: f = g
-- lp.ext_iff
protected theorem ext_iff {f g : lp E p} : f = g ↔ (f : ∀ i, E i) = g 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f g : ↥(lp E p)}
Goal: f = g ↔ ↑f = ↑g
-- lp.eq_zero'
theorem eq_zero' [IsEmpty α] (f : lp E p) : f = 0 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] [IsEmpty α] (f : ↥(lp E p))
Goal: f = 0
-- lp.monotone
protected theorem monotone {p q : ℝ≥0∞} (hpq : q ≤ p) : lp E q ≤ lp E p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {p q : ℝ≥0∞} (hpq : q ≤ p)
Goal: lp E q ≤ lp E p
-- lp.memℓp
protected theorem memℓp (f : lp E p) : Memℓp f p 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f : ↥(lp E p))
Goal: Memℓp (↑f) p
-- lp.coeFn_zero
@[simp]
theorem coeFn_zero : ⇑(0 : lp E p) = 0 
Arguments: {α : Type u_1} (E : α → Type u_2) (p : ℝ≥0∞) [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)]
Goal: ↑0 = 0
-- lp.coeFn_neg
@[simp]
theorem coeFn_neg (f : lp E p) : ⇑(-f) = -f 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f : ↥(lp E p))
Goal: ↑(-f) = -↑f
-- lp.coeFn_add
@[simp]
theorem coeFn_add (f g : lp E p) : ⇑(f + g) = f + g 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f g : ↥(lp E p))
Goal: ↑(f + g) = ↑f + ↑g
-- lp.coeFn_sum
theorem coeFn_sum {ι : Type*} (f : ι → lp E p) (s : Finset ι) :
    ⇑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ⇑(f i) 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {ι : Type u_3} (f : ι → ↥(lp E p)) (s : Finset ι)
Goal: ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
-- lp.coeFn_sub
@[simp]
theorem coeFn_sub (f g : lp E p) : ⇑(f - g) = f - g 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f g : ↥(lp E p))
Goal: ↑(f - g) = ↑f - ↑g
-- lp.norm_eq_card_dsupport
theorem norm_eq_card_dsupport (f : lp E 0) : ‖f‖ = (lp.memℓp f).finite_dsupport.toFinset.card 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f : ↥(lp E 0))
Goal: ‖f‖ = ↑⋯.toFinset.card
-- lp.norm_eq_ciSup
theorem norm_eq_ciSup (f : lp E ∞) : ‖f‖ = ⨆ i, ‖f i‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f : ↥(lp E ⊤))
Goal: ‖f‖ = ⨆ i, ‖↑f i‖
-- lp.isLUB_norm
theorem isLUB_norm [Nonempty α] (f : lp E ∞) : IsLUB (Set.range fun i => ‖f i‖) ‖f‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] [Nonempty α] (f : ↥(lp E ⊤))
Goal: IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) ‖f‖
-- lp.norm_eq_tsum_rpow
theorem norm_eq_tsum_rpow (hp : 0 < p.toReal) (f : lp E p) :
    ‖f‖ = (∑' i, ‖f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) (f : ↥(lp E p))
Goal: ‖f‖ = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
-- lp.norm_rpow_eq_tsum
theorem norm_rpow_eq_tsum (hp : 0 < p.toReal) (f : lp E p) :
    ‖f‖ ^ p.toReal = ∑' i, ‖f i‖ ^ p.toReal 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) (f : ↥(lp E p))
Goal: ‖f‖ ^ p.toReal = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- lp.hasSum_norm
theorem hasSum_norm (hp : 0 < p.toReal) (f : lp E p) :
    HasSum (fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) (f : ↥(lp E p))
Goal: HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
-- lp.norm_nonneg'
theorem norm_nonneg' (f : lp E p) : 0 ≤ ‖f‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (f : ↥(lp E p))
Goal: 0 ≤ ‖f‖
-- lp.norm_zero
@[simp]
theorem norm_zero : ‖(0 : lp E p)‖ = 0 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)]
Goal: ‖0‖ = 0
-- lp.norm_eq_zero_iff
theorem norm_eq_zero_iff {f : lp E p} : ‖f‖ = 0 ↔ f = 0 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : ↥(lp E p)}
Goal: ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
-- lp.eq_zero_iff_coeFn_eq_zero
theorem eq_zero_iff_coeFn_eq_zero {f : lp E p} : f = 0 ↔ ⇑f = 0 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : ↥(lp E p)}
Goal: f = 0 ↔ ↑f = 0
-- lp.norm_neg
@[simp]
theorem norm_neg ⦃f : lp E p⦄ : ‖-f‖ = ‖f‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] ⦃f : ↥(lp E p)⦄
Goal: ‖-f‖ = ‖f‖
-- lp.tsum_mul_le_mul_norm
protected theorem tsum_mul_le_mul_norm {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal)
    (f : lp E p) (g : lp E q) :
    (Summable fun i => ‖f i‖ * ‖g i‖) ∧ ∑' i, ‖f i‖ * ‖g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal) (f : ↥(lp E p)) (g : ↥(lp E q))
Goal: (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
-- lp.summable_mul
protected theorem summable_mul {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal)
    (f : lp E p) (g : lp E q) : Summable fun i => ‖f i‖ * ‖g i‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal) (f : ↥(lp E p)) (g : ↥(lp E q))
Goal: Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖
-- lp.tsum_mul_le_mul_norm'
protected theorem tsum_mul_le_mul_norm' {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal)
    (f : lp E p) (g : lp E q) : ∑' i, ‖f i‖ * ‖g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {p q : ℝ≥0∞} (hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal) (f : ↥(lp E p)) (g : ↥(lp E q))
Goal: ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
-- lp.norm_apply_le_norm
theorem norm_apply_le_norm (hp : p ≠ 0) (f : lp E p) (i : α) : ‖f i‖ ≤ ‖f‖ 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : p ≠ 0) (f : ↥(lp E p)) (i : α)
Goal: ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖
-- lp.sum_rpow_le_norm_rpow
theorem sum_rpow_le_norm_rpow (hp : 0 < p.toReal) (f : lp E p) (s : Finset α) :
    ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) (f : ↥(lp E p)) (s : Finset α)
Goal: ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal
-- lp.norm_le_of_forall_le'
theorem norm_le_of_forall_le' [Nonempty α] {f : lp E ∞} (C : ℝ) (hCf : ∀ i, ‖f i‖ ≤ C) :
    ‖f‖ ≤ C 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] [Nonempty α] {f : ↥(lp E ⊤)} (C : ℝ) (hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C)
Goal: ‖f‖ ≤ C
-- lp.norm_le_of_forall_le
theorem norm_le_of_forall_le {f : lp E ∞} {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) (hCf : ∀ i, ‖f i‖ ≤ C) :
    ‖f‖ ≤ C 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] {f : ↥(lp E ⊤)} {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) (hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C)
Goal: ‖f‖ ≤ C
-- lp.norm_le_of_tsum_le
theorem norm_le_of_tsum_le (hp : 0 < p.toReal) {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) {f : lp E p}
    (hf : ∑' i, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal) : ‖f‖ ≤ C 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) {f : ↥(lp E p)} (hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal)
Goal: ‖f‖ ≤ C
-- lp.norm_le_of_forall_sum_le
theorem norm_le_of_forall_sum_le (hp : 0 < p.toReal) {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) {f : lp E p}
    (hf : ∀ s : Finset α, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal) : ‖f‖ ≤ C 
Arguments: {α : Type u_1} {E : α → Type u_2} {p : ℝ≥0∞} [(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)] (hp : 0 < p.toReal) {C : ℝ} (hC : 0 ≤ C) {f : ↥(lp E p)} (hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal)
Goal: ‖f‖ ≤ C