ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Finset.sup_cons
@[simp]
theorem sup_cons {b : β} (h : b ∉ s) : (cons b s h).sup f = f b ⊔ s.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} {b : β} (h : b ∉ s)
Goal: (Finset.cons b s h).sup f = f b ⊔ s.sup f
-- Finset.sup_insert
@[simp]
theorem sup_insert [DecidableEq β] {b : β} : (insert b s : Finset β).sup f = f b ⊔ s.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} [DecidableEq β] {b : β}
Goal: (insert b s).sup f = f b ⊔ s.sup f
-- Finset.sup_image
@[simp]
theorem sup_image [DecidableEq β] (s : Finset γ) (f : γ → β) (g : β → α) :
    (s.image f).sup g = s.sup (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] [DecidableEq β] (s : Finset γ) (f : γ → β) (g : β → α)
Goal: (Finset.image f s).sup g = s.sup (g ∘ f)
-- Finset.sup_map
@[simp]
theorem sup_map (s : Finset γ) (f : γ ↪ β) (g : β → α) : (s.map f).sup g = s.sup (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset γ) (f : γ ↪ β) (g : β → α)
Goal: (Finset.map f s).sup g = s.sup (g ∘ ⇑f)
-- Finset.sup_singleton
@[simp]
theorem sup_singleton {b : β} : ({b} : Finset β).sup f = f b 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {f : β → α} {b : β}
Goal: {b}.sup f = f b
-- Finset.sup_sup
theorem sup_sup : s.sup (f ⊔ g) = s.sup f ⊔ s.sup g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f g : β → α}
Goal: s.sup (f ⊔ g) = s.sup f ⊔ s.sup g
-- Finset.sup_congr
theorem sup_congr {f g : β → α} (hs : s₁ = s₂) (hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a) :
    s₁.sup f = s₂.sup g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s₁ s₂ : Finset β} {f g : β → α} (hs : s₁ = s₂) (hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a)
Goal: s₁.sup f = s₂.sup g
-- map_finset_sup
@[simp]
theorem _root_.map_finset_sup [SemilatticeSup β] [OrderBot β]
    [FunLike F α β] [SupBotHomClass F α β]
    (f : F) (s : Finset ι) (g : ι → α) : f (s.sup g) = s.sup (f ∘ g) 
Arguments: {F : Type u_1} {α : Type u_2} {β : Type u_3} {ι : Type u_5} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] [SemilatticeSup β] [OrderBot β] [FunLike F α β] [SupBotHomClass F α β] (f : F) (s : Finset ι) (g : ι → α)
Goal: f (s.sup g) = s.sup (⇑f ∘ g)
-- Finset.sup_le_iff
@[simp]
protected theorem sup_le_iff {a : α} : s.sup f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} {a : α}
Goal: s.sup f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
-- Finset.sup_const_le
theorem sup_const_le : (s.sup fun _ => a) ≤ a 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {a : α}
Goal: (s.sup fun x => a) ≤ a
-- Finset.le_sup
theorem le_sup {b : β} (hb : b ∈ s) : f b ≤ s.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} {b : β} (hb : b ∈ s)
Goal: f b ≤ s.sup f
-- Finset.le_sup_of_le
theorem le_sup_of_le {b : β} (hb : b ∈ s) (h : a ≤ f b) : a ≤ s.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} {a : α} {b : β} (hb : b ∈ s) (h : a ≤ f b)
Goal: a ≤ s.sup f
-- Finset.sup_union
theorem sup_union [DecidableEq β] : (s₁ ∪ s₂).sup f = s₁.sup f ⊔ s₂.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s₁ s₂ : Finset β} {f : β → α} [DecidableEq β]
Goal: (s₁ ∪ s₂).sup f = s₁.sup f ⊔ s₂.sup f
-- Finset.sup_biUnion
@[simp]
theorem sup_biUnion [DecidableEq β] (s : Finset γ) (t : γ → Finset β) :
    (s.biUnion t).sup f = s.sup fun x => (t x).sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {f : β → α} [DecidableEq β] (s : Finset γ) (t : γ → Finset β)
Goal: (s.biUnion t).sup f = s.sup fun x => (t x).sup f
-- Finset.sup_const
theorem sup_const {s : Finset β} (h : s.Nonempty) (c : α) : (s.sup fun _ => c) = c 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} (h : s.Nonempty) (c : α)
Goal: (s.sup fun x => c) = c
-- Finset.sup_bot
@[simp]
theorem sup_bot (s : Finset β) : (s.sup fun _ => ⊥) = (⊥ : α) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β)
Goal: (s.sup fun x => ⊥) = ⊥
-- Finset.sup_ite
theorem sup_ite (p : β → Prop) [DecidablePred p] :
    (s.sup fun i => ite (p i) (f i) (g i)) = (s.filter p).sup f ⊔ (s.filter fun i => ¬p i).sup g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f g : β → α} (p : β → Prop) [DecidablePred p]
Goal: (s.sup fun i => if p i then f i else g i) = (Finset.filter p s).sup f ⊔ (Finset.filter (fun i => ¬p i) s).sup g
-- Finset.sup_mono_fun
theorem sup_mono_fun {g : β → α} (h : ∀ b ∈ s, f b ≤ g b) : s.sup f ≤ s.sup g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f g : β → α} (h : ∀ b ∈ s, f b ≤ g b)
Goal: s.sup f ≤ s.sup g
-- Finset.sup_mono
@[gcongr]
theorem sup_mono (h : s₁ ⊆ s₂) : s₁.sup f ≤ s₂.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s₁ s₂ : Finset β} {f : β → α} (h : s₁ ⊆ s₂)
Goal: s₁.sup f ≤ s₂.sup f
-- Finset.sup_comm
protected theorem sup_comm (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β → γ → α) :
    (s.sup fun b => t.sup (f b)) = t.sup fun c => s.sup fun b => f b c 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β → γ → α)
Goal: (s.sup fun b => t.sup (f b)) = t.sup fun c => s.sup fun b => f b c
-- Finset.sup_attach
@[simp, nolint simpNF] -- Porting note: linter claims that LHS does not simplify
theorem sup_attach (s : Finset β) (f : β → α) : (s.attach.sup fun x => f x) = s.sup f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (f : β → α)
Goal: (s.attach.sup fun x => f ↑x) = s.sup f
-- Finset.sup_product_left
theorem sup_product_left (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α) :
    (s ×ˢ t).sup f = s.sup fun i => t.sup fun i' => f ⟨i, i'⟩ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α)
Goal: (s ×ˢ t).sup f = s.sup fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
-- Finset.sup_product_right
theorem sup_product_right (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α) :
    (s ×ˢ t).sup f = t.sup fun i' => s.sup fun i => f ⟨i, i'⟩ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α)
Goal: (s ×ˢ t).sup f = t.sup fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
-- Finset.sup_prodMap
@[simp] lemma sup_prodMap (hs : s.Nonempty) (ht : t.Nonempty) (f : ι → α) (g : κ → β) :
    sup (s ×ˢ t) (Prod.map f g) = (sup s f, sup t g) 
Arguments: {ι : Type u_7} {κ : Type u_8} {α : Type u_9} {β : Type u_10} [SemilatticeSup α] [SemilatticeSup β] [OrderBot α] [OrderBot β] {s : Finset ι} {t : Finset κ} (hs : s.Nonempty) (ht : t.Nonempty) (f : ι → α) (g : κ → β)
Goal: (s ×ˢ t).sup (Prod.map f g) = (s.sup f, t.sup g)
-- Finset.sup_erase_bot
@[simp]
theorem sup_erase_bot [DecidableEq α] (s : Finset α) : (s.erase ⊥).sup id = s.sup id 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] [DecidableEq α] (s : Finset α)
Goal: (s.erase ⊥).sup id = s.sup id
-- Finset.sup_sdiff_right
theorem sup_sdiff_right {α β : Type*} [GeneralizedBooleanAlgebra α] (s : Finset β) (f : β → α)
    (a : α) : (s.sup fun b => f b \ a) = s.sup f \ a 
Arguments: {α : Type u_7} {β : Type u_8} [GeneralizedBooleanAlgebra α] (s : Finset β) (f : β → α) (a : α)
Goal: (s.sup fun b => f b \ a) = s.sup f \ a
-- Finset.comp_sup_eq_sup_comp
theorem comp_sup_eq_sup_comp [SemilatticeSup γ] [OrderBot γ] {s : Finset β} {f : β → α} (g : α → γ)
    (g_sup : ∀ x y, g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y) (bot : g ⊥ = ⊥) : g (s.sup f) = s.sup (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] [SemilatticeSup γ] [OrderBot γ] {s : Finset β} {f : β → α} (g : α → γ) (g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y) (bot : g ⊥ = ⊥)
Goal: g (s.sup f) = s.sup (g ∘ f)
-- Finset.sup_coe
theorem sup_coe {P : α → Prop} {Pbot : P ⊥} {Psup : ∀ ⦃x y⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)} (t : Finset β)
    (f : β → { x : α // P x }) :
    (@sup { x // P x } _ (Subtype.semilatticeSup Psup) (Subtype.orderBot Pbot) t f : α) =
      t.sup fun x => ↑(f x) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {P : α → Prop} {Pbot : P ⊥} {Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)} (t : Finset β) (f : β → { x // P x })
Goal: ↑(t.sup f) = t.sup fun x => ↑(f x)
-- Finset.sup_toFinset
@[simp]
theorem sup_toFinset {α β} [DecidableEq β] (s : Finset α) (f : α → Multiset β) :
    (s.sup f).toFinset = s.sup fun x => (f x).toFinset 
Arguments: {α : Type u_7} {β : Type u_8} [DecidableEq β] (s : Finset α) (f : α → Multiset β)
Goal: (s.sup f).toFinset = s.sup fun x => (f x).toFinset
-- List.foldr_sup_eq_sup_toFinset
theorem _root_.List.foldr_sup_eq_sup_toFinset [DecidableEq α] (l : List α) :
    l.foldr (· ⊔ ·) ⊥ = l.toFinset.sup id 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] [DecidableEq α] (l : List α)
Goal: List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l = l.toFinset.sup id
-- Finset.subset_range_sup_succ
theorem subset_range_sup_succ (s : Finset ℕ) : s ⊆ range (s.sup id).succ 
Arguments: (s : Finset ℕ)
Goal: s ⊆ Finset.range (s.sup id).succ
-- Finset.exists_nat_subset_range
theorem exists_nat_subset_range (s : Finset ℕ) : ∃ n : ℕ, s ⊆ range n 
Arguments: (s : Finset ℕ)
Goal: ∃ n, s ⊆ Finset.range n
-- Finset.sup_induction
theorem sup_induction {p : α → Prop} (hb : p ⊥) (hp : ∀ a₁, p a₁ → ∀ a₂, p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂))
    (hs : ∀ b ∈ s, p (f b)) : p (s.sup f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] {s : Finset β} {f : β → α} {p : α → Prop} (hb : p ⊥) (hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)) (hs : ∀ b ∈ s, p (f b))
Goal: p (s.sup f)
-- Finset.sup_le_of_le_directed
theorem sup_le_of_le_directed {α : Type*} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Set α)
    (hs : s.Nonempty) (hdir : DirectedOn (· ≤ ·) s) (t : Finset α) :
    (∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, x ≤ y) → ∃ x ∈ s, t.sup id ≤ x 
Arguments: {α : Type u_7} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Set α) (hs : s.Nonempty) (hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s) (t : Finset α)
Goal: (∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, x ≤ y) → ∃ x ∈ s, t.sup id ≤ x
-- Finset.sup_mem
theorem sup_mem (s : Set α) (w₁ : ⊥ ∈ s) (w₂ : ∀ᵉ (x ∈ s) (y ∈ s), x ⊔ y ∈ s)
    {ι : Type*} (t : Finset ι) (p : ι → α) (h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s) : t.sup p ∈ s 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Set α) (w₁ : ⊥ ∈ s) (w₂ : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ⊔ y ∈ s) {ι : Type u_7} (t : Finset ι) (p : ι → α) (h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s)
Goal: t.sup p ∈ s
-- Finset.sup_eq_bot_iff
@[simp]
protected theorem sup_eq_bot_iff (f : β → α) (S : Finset β) : S.sup f = ⊥ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊥ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (f : β → α) (S : Finset β)
Goal: S.sup f = ⊥ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊥
-- Finset.sup_eq_iSup
theorem sup_eq_iSup [CompleteLattice β] (s : Finset α) (f : α → β) : s.sup f = ⨆ a ∈ s, f a 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset α) (f : α → β)
Goal: s.sup f = ⨆ a ∈ s, f a
-- Finset.sup_id_eq_sSup
theorem sup_id_eq_sSup [CompleteLattice α] (s : Finset α) : s.sup id = sSup s 
Arguments: {α : Type u_2} [CompleteLattice α] (s : Finset α)
Goal: s.sup id = sSup ↑s
-- Finset.sup_id_set_eq_sUnion
theorem sup_id_set_eq_sUnion (s : Finset (Set α)) : s.sup id = ⋃₀ ↑s 
Arguments: {α : Type u_2} (s : Finset (Set α))
Goal: s.sup id = ⋃₀ ↑s
-- Finset.sup_set_eq_biUnion
@[simp]
theorem sup_set_eq_biUnion (s : Finset α) (f : α → Set β) : s.sup f = ⋃ x ∈ s, f x 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} (s : Finset α) (f : α → Set β)
Goal: s.sup f = ⋃ x ∈ s, f x
-- Finset.sup_eq_sSup_image
theorem sup_eq_sSup_image [CompleteLattice β] (s : Finset α) (f : α → β) :
    s.sup f = sSup (f '' s) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [CompleteLattice β] (s : Finset α) (f : α → β)
Goal: s.sup f = sSup (f '' ↑s)
-- Finset.inf_def
theorem inf_def : s.inf f = (s.1.map f).inf 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α}
Goal: s.inf f = (Multiset.map f s.val).inf
-- Finset.inf_empty
@[simp]
theorem inf_empty : (∅ : Finset β).inf f = ⊤ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {f : β → α}
Goal: ∅.inf f = ⊤
-- Finset.inf_cons
@[simp]
theorem inf_cons {b : β} (h : b ∉ s) : (cons b s h).inf f = f b ⊓ s.inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} {b : β} (h : b ∉ s)
Goal: (Finset.cons b s h).inf f = f b ⊓ s.inf f
-- Finset.inf_insert
@[simp]
theorem inf_insert [DecidableEq β] {b : β} : (insert b s : Finset β).inf f = f b ⊓ s.inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} [DecidableEq β] {b : β}
Goal: (insert b s).inf f = f b ⊓ s.inf f
-- Finset.inf_image
@[simp]
theorem inf_image [DecidableEq β] (s : Finset γ) (f : γ → β) (g : β → α) :
    (s.image f).inf g = s.inf (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] [DecidableEq β] (s : Finset γ) (f : γ → β) (g : β → α)
Goal: (Finset.image f s).inf g = s.inf (g ∘ f)
-- Finset.inf_map
@[simp]
theorem inf_map (s : Finset γ) (f : γ ↪ β) (g : β → α) : (s.map f).inf g = s.inf (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset γ) (f : γ ↪ β) (g : β → α)
Goal: (Finset.map f s).inf g = s.inf (g ∘ ⇑f)
-- Finset.inf_singleton
@[simp]
theorem inf_singleton {b : β} : ({b} : Finset β).inf f = f b 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {f : β → α} {b : β}
Goal: {b}.inf f = f b
-- Finset.inf_inf
theorem inf_inf : s.inf (f ⊓ g) = s.inf f ⊓ s.inf g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f g : β → α}
Goal: s.inf (f ⊓ g) = s.inf f ⊓ s.inf g
-- Finset.inf_congr
theorem inf_congr {f g : β → α} (hs : s₁ = s₂) (hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a) :
    s₁.inf f = s₂.inf g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s₁ s₂ : Finset β} {f g : β → α} (hs : s₁ = s₂) (hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a)
Goal: s₁.inf f = s₂.inf g
-- map_finset_inf
@[simp]
theorem _root_.map_finset_inf [SemilatticeInf β] [OrderTop β]
    [FunLike F α β] [InfTopHomClass F α β]
    (f : F) (s : Finset ι) (g : ι → α) : f (s.inf g) = s.inf (f ∘ g) 
Arguments: {F : Type u_1} {α : Type u_2} {β : Type u_3} {ι : Type u_5} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] [SemilatticeInf β] [OrderTop β] [FunLike F α β] [InfTopHomClass F α β] (f : F) (s : Finset ι) (g : ι → α)
Goal: f (s.inf g) = s.inf (⇑f ∘ g)
-- Finset.le_inf_iff
@[simp] protected theorem le_inf_iff {a : α} : a ≤ s.inf f ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ f b 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} {a : α}
Goal: a ≤ s.inf f ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ f b
-- Finset.le_inf_const_le
theorem le_inf_const_le : a ≤ s.inf fun _ => a 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {a : α}
Goal: a ≤ s.inf fun x => a
-- Finset.inf_le
theorem inf_le {b : β} (hb : b ∈ s) : s.inf f ≤ f b 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} {b : β} (hb : b ∈ s)
Goal: s.inf f ≤ f b
-- Finset.inf_le_of_le
theorem inf_le_of_le {b : β} (hb : b ∈ s) (h : f b ≤ a) : s.inf f ≤ a 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} {a : α} {b : β} (hb : b ∈ s) (h : f b ≤ a)
Goal: s.inf f ≤ a
-- Finset.inf_union
theorem inf_union [DecidableEq β] : (s₁ ∪ s₂).inf f = s₁.inf f ⊓ s₂.inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s₁ s₂ : Finset β} {f : β → α} [DecidableEq β]
Goal: (s₁ ∪ s₂).inf f = s₁.inf f ⊓ s₂.inf f
-- Finset.inf_biUnion
@[simp] theorem inf_biUnion [DecidableEq β] (s : Finset γ) (t : γ → Finset β) :
    (s.biUnion t).inf f = s.inf fun x => (t x).inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {f : β → α} [DecidableEq β] (s : Finset γ) (t : γ → Finset β)
Goal: (s.biUnion t).inf f = s.inf fun x => (t x).inf f
-- Finset.inf_const
theorem inf_const (h : s.Nonempty) (c : α) : (s.inf fun _ => c) = c 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} (h : s.Nonempty) (c : α)
Goal: (s.inf fun x => c) = c
-- Finset.inf_top
@[simp] theorem inf_top (s : Finset β) : (s.inf fun _ => ⊤) = (⊤ : α) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β)
Goal: (s.inf fun x => ⊤) = ⊤
-- Finset.inf_ite
theorem inf_ite (p : β → Prop) [DecidablePred p] :
    (s.inf fun i ↦ ite (p i) (f i) (g i)) = (s.filter p).inf f ⊓ (s.filter fun i ↦ ¬ p i).inf g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f g : β → α} (p : β → Prop) [DecidablePred p]
Goal: (s.inf fun i => if p i then f i else g i) = (Finset.filter p s).inf f ⊓ (Finset.filter (fun i => ¬p i) s).inf g
-- Finset.inf_mono_fun
theorem inf_mono_fun {g : β → α} (h : ∀ b ∈ s, f b ≤ g b) : s.inf f ≤ s.inf g 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f g : β → α} (h : ∀ b ∈ s, f b ≤ g b)
Goal: s.inf f ≤ s.inf g
-- Finset.inf_mono
@[gcongr]
theorem inf_mono (h : s₁ ⊆ s₂) : s₂.inf f ≤ s₁.inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s₁ s₂ : Finset β} {f : β → α} (h : s₁ ⊆ s₂)
Goal: s₂.inf f ≤ s₁.inf f
-- Finset.inf_comm
protected theorem inf_comm (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β → γ → α) :
    (s.inf fun b => t.inf (f b)) = t.inf fun c => s.inf fun b => f b c 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β → γ → α)
Goal: (s.inf fun b => t.inf (f b)) = t.inf fun c => s.inf fun b => f b c
-- Finset.inf_attach
theorem inf_attach (s : Finset β) (f : β → α) : (s.attach.inf fun x => f x) = s.inf f 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (f : β → α)
Goal: (s.attach.inf fun x => f ↑x) = s.inf f
-- Finset.inf_product_left
theorem inf_product_left (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α) :
    (s ×ˢ t).inf f = s.inf fun i => t.inf fun i' => f ⟨i, i'⟩ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α)
Goal: (s ×ˢ t).inf f = s.inf fun i => t.inf fun i' => f (i, i')
-- Finset.inf_product_right
theorem inf_product_right (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α) :
    (s ×ˢ t).inf f = t.inf fun i' => s.inf fun i => f ⟨i, i'⟩ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (t : Finset γ) (f : β × γ → α)
Goal: (s ×ˢ t).inf f = t.inf fun i' => s.inf fun i => f (i, i')
-- Finset.inf_prodMap
@[simp] lemma inf_prodMap (hs : s.Nonempty) (ht : t.Nonempty) (f : ι → α) (g : κ → β) :
    inf (s ×ˢ t) (Prod.map f g) = (inf s f, inf t g) 
Arguments: {ι : Type u_7} {κ : Type u_8} {α : Type u_9} {β : Type u_10} [SemilatticeInf α] [SemilatticeInf β] [OrderTop α] [OrderTop β] {s : Finset ι} {t : Finset κ} (hs : s.Nonempty) (ht : t.Nonempty) (f : ι → α) (g : κ → β)
Goal: (s ×ˢ t).inf (Prod.map f g) = (s.inf f, t.inf g)
-- Finset.inf_erase_top
@[simp]
theorem inf_erase_top [DecidableEq α] (s : Finset α) : (s.erase ⊤).inf id = s.inf id 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] [DecidableEq α] (s : Finset α)
Goal: (s.erase ⊤).inf id = s.inf id
-- Finset.comp_inf_eq_inf_comp
theorem comp_inf_eq_inf_comp [SemilatticeInf γ] [OrderTop γ] {s : Finset β} {f : β → α} (g : α → γ)
    (g_inf : ∀ x y, g (x ⊓ y) = g x ⊓ g y) (top : g ⊤ = ⊤) : g (s.inf f) = s.inf (g ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} {γ : Type u_4} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] [SemilatticeInf γ] [OrderTop γ] {s : Finset β} {f : β → α} (g : α → γ) (g_inf : ∀ (x y : α), g (x ⊓ y) = g x ⊓ g y) (top : g ⊤ = ⊤)
Goal: g (s.inf f) = s.inf (g ∘ f)
-- Finset.inf_coe
theorem inf_coe {P : α → Prop} {Ptop : P ⊤} {Pinf : ∀ ⦃x y⦄, P x → P y → P (x ⊓ y)} (t : Finset β)
    (f : β → { x : α // P x }) :
    (@inf { x // P x } _ (Subtype.semilatticeInf Pinf) (Subtype.orderTop Ptop) t f : α) =
      t.inf fun x => ↑(f x) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {P : α → Prop} {Ptop : P ⊤} {Pinf : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊓ y)} (t : Finset β) (f : β → { x // P x })
Goal: ↑(t.inf f) = t.inf fun x => ↑(f x)
-- List.foldr_inf_eq_inf_toFinset
theorem _root_.List.foldr_inf_eq_inf_toFinset [DecidableEq α] (l : List α) :
    l.foldr (· ⊓ ·) ⊤ = l.toFinset.inf id 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] [DecidableEq α] (l : List α)
Goal: List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l = l.toFinset.inf id
-- Finset.inf_induction
theorem inf_induction {p : α → Prop} (ht : p ⊤) (hp : ∀ a₁, p a₁ → ∀ a₂, p a₂ → p (a₁ ⊓ a₂))
    (hs : ∀ b ∈ s, p (f b)) : p (s.inf f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] {s : Finset β} {f : β → α} {p : α → Prop} (ht : p ⊤) (hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊓ a₂)) (hs : ∀ b ∈ s, p (f b))
Goal: p (s.inf f)
-- Finset.inf_mem
theorem inf_mem (s : Set α) (w₁ : ⊤ ∈ s) (w₂ : ∀ᵉ (x ∈ s) (y ∈ s), x ⊓ y ∈ s)
    {ι : Type*} (t : Finset ι) (p : ι → α) (h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s) : t.inf p ∈ s 
Arguments: {α : Type u_2} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Set α) (w₁ : ⊤ ∈ s) (w₂ : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ⊓ y ∈ s) {ι : Type u_7} (t : Finset ι) (p : ι → α) (h : ∀ i ∈ t, p i ∈ s)
Goal: t.inf p ∈ s
-- Finset.inf_eq_top_iff
@[simp]
protected theorem inf_eq_top_iff (f : β → α) (S : Finset β) : S.inf f = ⊤ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊤ 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (f : β → α) (S : Finset β)
Goal: S.inf f = ⊤ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊤
-- Finset.toDual_sup
@[simp]
theorem toDual_sup [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (f : β → α) :
    toDual (s.sup f) = s.inf (toDual ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (f : β → α)
Goal: OrderDual.toDual (s.sup f) = s.inf (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
-- Finset.toDual_inf
@[simp]
theorem toDual_inf [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (f : β → α) :
    toDual (s.inf f) = s.sup (toDual ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (f : β → α)
Goal: OrderDual.toDual (s.inf f) = s.sup (⇑OrderDual.toDual ∘ f)
-- Finset.ofDual_sup
@[simp]
theorem ofDual_sup [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (f : β → αᵒᵈ) :
    ofDual (s.sup f) = s.inf (ofDual ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeInf α] [OrderTop α] (s : Finset β) (f : β → αᵒᵈ)
Goal: OrderDual.ofDual (s.sup f) = s.inf (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)
-- Finset.ofDual_inf
@[simp]
theorem ofDual_inf [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (f : β → αᵒᵈ) :
    ofDual (s.inf f) = s.sup (ofDual ∘ f) 
Arguments: {α : Type u_2} {β : Type u_3} [SemilatticeSup α] [OrderBot α] (s : Finset β) (f : β → αᵒᵈ)
Goal: OrderDual.ofDual (s.inf f) = s.sup (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)
-- Finset.sup_inf_distrib_left
theorem sup_inf_distrib_left (s : Finset ι) (f : ι → α) (a : α) :
    a ⊓ s.sup f = s.sup fun i => a ⊓ f i 
Arguments: {α : Type u_2} {ι : Type u_5} [DistribLattice α] [OrderBot α] (s : Finset ι) (f : ι → α) (a : α)
Goal: a ⊓ s.sup f = s.sup fun i => a ⊓ f i
-- Finset.sup_inf_distrib_right
theorem sup_inf_distrib_right (s : Finset ι) (f : ι → α) (a : α) :
    s.sup f ⊓ a = s.sup fun i => f i ⊓ a 
Arguments: {α : Type u_2} {ι : Type u_5} [DistribLattice α] [OrderBot α] (s : Finset ι) (f : ι → α) (a : α)
Goal: s.sup f ⊓ a = s.sup fun i => f i ⊓ a
-- Finset.disjoint_sup_right
protected theorem disjoint_sup_right : Disjoint a (s.sup f) ↔ ∀ ⦃i⦄, i ∈ s → Disjoint a (f i) 
Arguments: {α : Type u_2} {ι : Type u_5} [DistribLattice α] [OrderBot α] {s : Finset ι} {f : ι → α} {a : α}
Goal: Disjoint a (s.sup f) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Disjoint a (f i)