ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- IsLocalExtr.comp_continuousOn
theorem IsLocalExtr.comp_continuousOn [TopologicalSpace δ] {s : Set δ} (g : δ → α) {b : δ}
    (hf : IsLocalExtr f (g b)) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s) : IsLocalExtrOn (f ∘ g) s b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f : α → β} [TopologicalSpace δ] {s : Set δ} (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsLocalExtr f (g b)) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s)
Goal: IsLocalExtrOn (f ∘ g) s b
-- IsLocalMinOn.comp_continuousOn
theorem IsLocalMinOn.comp_continuousOn [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} {g : δ → α}
    {b : δ} (hf : IsLocalMinOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s) :
    IsLocalMinOn (f ∘ g) s b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f : α → β} [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsLocalMinOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s)
Goal: IsLocalMinOn (f ∘ g) s b
-- IsLocalMaxOn.comp_continuousOn
theorem IsLocalMaxOn.comp_continuousOn [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} {g : δ → α}
    {b : δ} (hf : IsLocalMaxOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s) :
    IsLocalMaxOn (f ∘ g) s b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f : α → β} [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} {g : δ → α} {b : δ} (hf : IsLocalMaxOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s)
Goal: IsLocalMaxOn (f ∘ g) s b
-- IsLocalExtrOn.comp_continuousOn
theorem IsLocalExtrOn.comp_continuousOn [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} (g : δ → α)
    {b : δ} (hf : IsLocalExtrOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s)
    (hb : b ∈ s) : IsLocalExtrOn (f ∘ g) s b 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} {δ : Type x} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f : α → β} [TopologicalSpace δ] {t : Set α} {s : Set δ} (g : δ → α) {b : δ} (hf : IsLocalExtrOn f t (g b)) (hst : s ⊆ g ⁻¹' t) (hg : ContinuousOn g s) (hb : b ∈ s)
Goal: IsLocalExtrOn (f ∘ g) s b
-- IsLocalMin.add
nonrec theorem IsLocalMin.add (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMin (fun x => f x + g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => f x + g x) a
-- IsLocalMax.add
nonrec theorem IsLocalMax.add (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMax (fun x => f x + g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => f x + g x) a
-- IsLocalMinOn.add
nonrec theorem IsLocalMinOn.add (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => f x + g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => f x + g x) s a
-- IsLocalMaxOn.add
nonrec theorem IsLocalMaxOn.add (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => f x + g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommMonoid β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => f x + g x) s a
-- IsLocalMin.neg
nonrec theorem IsLocalMin.neg (hf : IsLocalMin f a) : IsLocalMax (fun x => -f x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a)
Goal: IsLocalMax (fun x => -f x) a
-- IsLocalMax.neg
nonrec theorem IsLocalMax.neg (hf : IsLocalMax f a) : IsLocalMin (fun x => -f x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a)
Goal: IsLocalMin (fun x => -f x) a
-- IsLocalExtr.neg
nonrec theorem IsLocalExtr.neg (hf : IsLocalExtr f a) : IsLocalExtr (fun x => -f x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} (hf : IsLocalExtr f a)
Goal: IsLocalExtr (fun x => -f x) a
-- IsLocalMinOn.neg
nonrec theorem IsLocalMinOn.neg (hf : IsLocalMinOn f s a) : IsLocalMaxOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => -f x) s a
-- IsLocalMaxOn.neg
nonrec theorem IsLocalMaxOn.neg (hf : IsLocalMaxOn f s a) : IsLocalMinOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => -f x) s a
-- IsLocalExtrOn.neg
nonrec theorem IsLocalExtrOn.neg (hf : IsLocalExtrOn f s a) : IsLocalExtrOn (fun x => -f x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalExtrOn f s a)
Goal: IsLocalExtrOn (fun x => -f x) s a
-- IsLocalMin.sub
nonrec theorem IsLocalMin.sub (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMin (fun x => f x - g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => f x - g x) a
-- IsLocalMax.sub
nonrec theorem IsLocalMax.sub (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMax (fun x => f x - g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => f x - g x) a
-- IsLocalMinOn.sub
nonrec theorem IsLocalMinOn.sub (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => f x - g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => f x - g x) s a
-- IsLocalMaxOn.sub
nonrec theorem IsLocalMaxOn.sub (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => f x - g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [OrderedAddCommGroup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => f x - g x) s a
-- IsLocalMin.sup
nonrec theorem IsLocalMin.sup (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMin (fun x => f x ⊔ g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => f x ⊔ g x) a
-- IsLocalMax.sup
nonrec theorem IsLocalMax.sup (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMax (fun x => f x ⊔ g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => f x ⊔ g x) a
-- IsLocalMinOn.sup
nonrec theorem IsLocalMinOn.sup (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
-- IsLocalMaxOn.sup
nonrec theorem IsLocalMaxOn.sup (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
-- IsLocalMin.inf
nonrec theorem IsLocalMin.inf (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMin (fun x => f x ⊓ g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => f x ⊓ g x) a
-- IsLocalMax.inf
nonrec theorem IsLocalMax.inf (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMax (fun x => f x ⊓ g x) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => f x ⊓ g x) a
-- IsLocalMinOn.inf
nonrec theorem IsLocalMinOn.inf (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
-- IsLocalMaxOn.inf
nonrec theorem IsLocalMaxOn.inf (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [SemilatticeInf β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊓ g x) s a
-- IsLocalMin.min
nonrec theorem IsLocalMin.min (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMin (fun x => min (f x) (g x)) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => min (f x) (g x)) a
-- IsLocalMax.min
nonrec theorem IsLocalMax.min (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMax (fun x => min (f x) (g x)) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => min (f x) (g x)) a
-- IsLocalMinOn.min
nonrec theorem IsLocalMinOn.min (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
-- IsLocalMaxOn.min
nonrec theorem IsLocalMaxOn.min (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => min (f x) (g x)) s a
-- IsLocalMin.max
nonrec theorem IsLocalMin.max (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a) :
    IsLocalMin (fun x => max (f x) (g x)) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMin f a) (hg : IsLocalMin g a)
Goal: IsLocalMin (fun x => max (f x) (g x)) a
-- IsLocalMax.max
nonrec theorem IsLocalMax.max (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a) :
    IsLocalMax (fun x => max (f x) (g x)) a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} (hf : IsLocalMax f a) (hg : IsLocalMax g a)
Goal: IsLocalMax (fun x => max (f x) (g x)) a
-- IsLocalMinOn.max
nonrec theorem IsLocalMinOn.max (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a) :
    IsLocalMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMinOn f s a) (hg : IsLocalMinOn g s a)
Goal: IsLocalMinOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
-- IsLocalMaxOn.max
nonrec theorem IsLocalMaxOn.max (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a) :
    IsLocalMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [LinearOrder β] {f g : α → β} {a : α} {s : Set α} (hf : IsLocalMaxOn f s a) (hg : IsLocalMaxOn g s a)
Goal: IsLocalMaxOn (fun x => max (f x) (g x)) s a
-- Filter.EventuallyLE.isLocalMaxOn
theorem Filter.EventuallyLE.isLocalMaxOn {f g : α → β} {a : α} (hle : g ≤ᶠ[𝓝[s] a] f)
    (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMaxOn f s a) : IsLocalMaxOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (hle : g ≤ᶠ[𝓝[s] a] f) (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMaxOn f s a)
Goal: IsLocalMaxOn g s a
-- IsLocalMaxOn.congr
nonrec theorem IsLocalMaxOn.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMaxOn f s a)
    (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s) : IsLocalMaxOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMaxOn f s a) (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalMaxOn g s a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalMaxOn_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isLocalMaxOn_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g)
    (hmem : a ∈ s) : IsLocalMaxOn f s a ↔ IsLocalMaxOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalMaxOn f s a ↔ IsLocalMaxOn g s a
-- Filter.EventuallyLE.isLocalMinOn
theorem Filter.EventuallyLE.isLocalMinOn {f g : α → β} {a : α} (hle : f ≤ᶠ[𝓝[s] a] g)
    (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMinOn f s a) : IsLocalMinOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (hle : f ≤ᶠ[𝓝[s] a] g) (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMinOn f s a)
Goal: IsLocalMinOn g s a
-- IsLocalMinOn.congr
nonrec theorem IsLocalMinOn.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMinOn f s a)
    (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s) : IsLocalMinOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMinOn f s a) (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalMinOn g s a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalMinOn_iff
nonrec theorem Filter.EventuallyEq.isLocalMinOn_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g)
    (hmem : a ∈ s) : IsLocalMinOn f s a ↔ IsLocalMinOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalMinOn f s a ↔ IsLocalMinOn g s a
-- IsLocalExtrOn.congr
nonrec theorem IsLocalExtrOn.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalExtrOn f s a)
    (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s) : IsLocalExtrOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalExtrOn f s a) (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalExtrOn g s a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalExtrOn_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isLocalExtrOn_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g)
    (hmem : a ∈ s) : IsLocalExtrOn f s a ↔ IsLocalExtrOn g s a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {s : Set α} {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g) (hmem : a ∈ s)
Goal: IsLocalExtrOn f s a ↔ IsLocalExtrOn g s a
-- Filter.EventuallyLE.isLocalMax
theorem Filter.EventuallyLE.isLocalMax {f g : α → β} {a : α} (hle : g ≤ᶠ[𝓝 a] f) (hfga : f a = g a)
    (h : IsLocalMax f a) : IsLocalMax g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (hle : g ≤ᶠ[𝓝 a] f) (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMax f a)
Goal: IsLocalMax g a
-- IsLocalMax.congr
nonrec theorem IsLocalMax.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMax f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalMax g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMax f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalMax g a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalMax_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isLocalMax_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalMax f a ↔ IsLocalMax g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalMax f a ↔ IsLocalMax g a
-- Filter.EventuallyLE.isLocalMin
theorem Filter.EventuallyLE.isLocalMin {f g : α → β} {a : α} (hle : f ≤ᶠ[𝓝 a] g) (hfga : f a = g a)
    (h : IsLocalMin f a) : IsLocalMin g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (hle : f ≤ᶠ[𝓝 a] g) (hfga : f a = g a) (h : IsLocalMin f a)
Goal: IsLocalMin g a
-- IsLocalMin.congr
nonrec theorem IsLocalMin.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMin f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalMin g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalMin f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalMin g a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalMin_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isLocalMin_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalMin f a ↔ IsLocalMin g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalMin f a ↔ IsLocalMin g a
-- IsLocalExtr.congr
nonrec theorem IsLocalExtr.congr {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalExtr f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalExtr g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (h : IsLocalExtr f a) (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalExtr g a
-- Filter.EventuallyEq.isLocalExtr_iff
theorem Filter.EventuallyEq.isLocalExtr_iff {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g) :
    IsLocalExtr f a ↔ IsLocalExtr g a 
Arguments: {α : Type u} {β : Type v} [TopologicalSpace α] [Preorder β] {f g : α → β} {a : α} (heq : f =ᶠ[𝓝 a] g)
Goal: IsLocalExtr f a ↔ IsLocalExtr g a
-- IsLUB.frequently_mem
theorem IsLUB.frequently_mem {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty) :
    ∃ᶠ x in 𝓝[≤] a, x ∈ s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, x ∈ s
-- IsLUB.frequently_nhds_mem
theorem IsLUB.frequently_nhds_mem {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty) :
    ∃ᶠ x in 𝓝 a, x ∈ s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s
-- IsGLB.frequently_mem
theorem IsGLB.frequently_mem {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty) :
    ∃ᶠ x in 𝓝[≥] a, x ∈ s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≥] a, x ∈ s
-- IsGLB.frequently_nhds_mem
theorem IsGLB.frequently_nhds_mem {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty) :
    ∃ᶠ x in 𝓝 a, x ∈ s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s
-- IsLUB.mem_closure
theorem IsLUB.mem_closure {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty) : a ∈ closure s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: a ∈ closure s
-- IsGLB.mem_closure
theorem IsGLB.mem_closure {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty) : a ∈ closure s 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsGLB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: a ∈ closure s
-- IsLUB.nhdsWithin_neBot
theorem IsLUB.nhdsWithin_neBot {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty) :
    NeBot (𝓝[s] a) 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α} (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty)
Goal: (𝓝[s] a).NeBot
-- IsGLB.nhdsWithin_neBot
theorem IsGLB.nhdsWithin_neBot : ∀ {a : α} {s : Set α}, IsGLB s a → s.Nonempty → NeBot (𝓝[s] a) 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {a : α} {s : Set α}
Goal: IsGLB s a → s.Nonempty → (𝓝[s] a).NeBot
-- isLUB_of_mem_nhds
theorem isLUB_of_mem_nhds {s : Set α} {a : α} {f : Filter α} (hsa : a ∈ upperBounds s) (hsf : s ∈ f)
    [NeBot (f ⊓ 𝓝 a)] : IsLUB s a 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {s : Set α} {a : α} {f : Filter α} (hsa : a ∈ upperBounds s) (hsf : s ∈ f) [(f ⊓ 𝓝 a).NeBot]
Goal: IsLUB s a
-- isLUB_of_mem_closure
theorem isLUB_of_mem_closure {s : Set α} {a : α} (hsa : a ∈ upperBounds s) (hsf : a ∈ closure s) :
    IsLUB s a 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {s : Set α} {a : α} (hsa : a ∈ upperBounds s) (hsf : a ∈ closure s)
Goal: IsLUB s a
-- isGLB_of_mem_nhds
theorem isGLB_of_mem_nhds :
    ∀ {s : Set α} {a : α} {f : Filter α}, a ∈ lowerBounds s → s ∈ f → NeBot (f ⊓ 𝓝 a) → IsGLB s a 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {s : Set α} {a : α} {f : Filter α}
Goal: a ∈ lowerBounds s → s ∈ f → (f ⊓ 𝓝 a).NeBot → IsGLB s a
-- isGLB_of_mem_closure
theorem isGLB_of_mem_closure {s : Set α} {a : α} (hsa : a ∈ lowerBounds s) (hsf : a ∈ closure s) :
    IsGLB s a 
Arguments: {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] {s : Set α} {a : α} (hsa : a ∈ lowerBounds s) (hsf : a ∈ closure s)
Goal: IsGLB s a
-- IsLUB.mem_upperBounds_of_tendsto
theorem IsLUB.mem_upperBounds_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ]
    {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsLUB s a)
    (hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)) : b ∈ upperBounds (f '' s) 
Arguments: {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsLUB s a) (hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b))
Goal: b ∈ upperBounds (f '' s)
-- IsLUB.isLUB_of_tendsto
theorem IsLUB.isLUB_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ}
    {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty)
    (hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)) : IsLUB (f '' s) b 
Arguments: {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsLUB s a) (hs : s.Nonempty) (hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b))
Goal: IsLUB (f '' s) b
-- IsGLB.mem_lowerBounds_of_tendsto
theorem IsGLB.mem_lowerBounds_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ]
    {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsGLB s a)
    (hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)) : b ∈ lowerBounds (f '' s) 
Arguments: {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsGLB s a) (hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b))
Goal: b ∈ lowerBounds (f '' s)
-- IsGLB.isGLB_of_tendsto
theorem IsGLB.isGLB_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ}
    {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) :
    IsGLB s a → s.Nonempty → Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) → IsGLB (f '' s) b 
Arguments: {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s)
Goal: IsGLB s a → s.Nonempty → Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) → IsGLB (f '' s) b
-- IsLUB.mem_lowerBounds_of_tendsto
theorem IsLUB.mem_lowerBounds_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ]
    {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : AntitoneOn f s) (ha : IsLUB s a)
    (hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)) : b ∈ lowerBounds (f '' s) 
Arguments: {α : Type u_1} {γ : Type u_3} [TopologicalSpace α] [LinearOrder α] [OrderTopology α] [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ] {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : AntitoneOn f s) (ha : IsLUB s a) (hb : Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b))
Goal: b ∈ lowerBounds (f '' s)