ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Complex.tendsto_abs_tan_atTop
theorem tendsto_abs_tan_atTop (k : ℤ) :
    Tendsto (fun x => abs (tan x)) (𝓝[≠] ((2 * k + 1) * π / 2 : ℂ)) atTop 
Arguments: (k : ℤ)
Goal: Filter.Tendsto (fun x => Complex.abs (Complex.tan x))
  (nhdsWithin ((2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) {(2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2}ᶜ) Filter.atTop
-- Complex.continuousAt_tan
@[simp]
theorem continuousAt_tan {x : ℂ} : ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0 
Arguments: {x : ℂ}
Goal: ContinuousAt Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
-- Complex.differentiableAt_tan
@[simp]
theorem differentiableAt_tan {x : ℂ} : DifferentiableAt ℂ tan x ↔ cos x ≠ 0 
Arguments: {x : ℂ}
Goal: DifferentiableAt ℂ Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
-- Complex.deriv_tan
@[simp]
theorem deriv_tan (x : ℂ) : deriv tan x = 1 / cos x ^ 2 
Arguments: (x : ℂ)
Goal: deriv Complex.tan x = 1 / Complex.cos x ^ 2
-- Complex.contDiffAt_tan
@[simp]
theorem contDiffAt_tan {x : ℂ} {n : ℕ∞} : ContDiffAt ℂ n tan x ↔ cos x ≠ 0 
Arguments: {x : ℂ} {n : ℕ∞}
Goal: ContDiffAt ℂ n Complex.tan x ↔ Complex.cos x ≠ 0
-- Convex.radon_partition
theorem radon_partition {f : ι → E} (h : ¬ AffineIndependent 𝕜 f) :
    ∃ I, (convexHull 𝕜 (f '' I) ∩ convexHull 𝕜 (f '' Iᶜ)).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {f : ι → E} (h : ¬AffineIndependent 𝕜 f)
Goal: ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- _private.Mathlib.Analysis.Convex.Radon.0.Convex.helly_theorem_corner
private lemma helly_theorem_corner {F : ι → Set E} {s : Finset ι}
    (h_card_small : s.card ≤ finrank 𝕜 E + 1)
    (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty) :
    (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] {F : ι → Set E} {s : Finset ι} (h_card_small : s.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1) (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty)
Goal: (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
-- Convex.helly_theorem'
theorem helly_theorem' {F : ι → Set E} {s : Finset ι}
    (h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i))
    (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty) :
    (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] {F : ι → Set E} {s : Finset ι} (h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)) (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty)
Goal: (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
-- Convex.helly_theorem
theorem helly_theorem {F : ι → Set E} {s : Finset ι}
    (h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card)
    (h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i))
    (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty) :
    (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] {F : ι → Set E} {s : Finset ι} (h_card : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card) (h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)) (h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty)
Goal: (⋂ i ∈ s, F i).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_set'
theorem helly_theorem_set' {F : Finset (Set E)}
    (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X)
    (h_inter : ∀ G : Finset (Set E), G ⊆ F → G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ G : Set E).Nonempty) :
    (⋂₀ (F : Set (Set E))).Nonempty 
Arguments: {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] {F : Finset (Set E)} (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty)
Goal: (⋂₀ ↑F).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_set
theorem helly_theorem_set {F : Finset (Set E)}
    (h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card)
    (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X)
    (h_inter : ∀ G : Finset (Set E), G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ G : Set E).Nonempty) :
    (⋂₀ (F : Set (Set E))).Nonempty 
Arguments: {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] {F : Finset (Set E)} (h_card : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card) (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty)
Goal: (⋂₀ ↑F).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_compact'
theorem helly_theorem_compact' [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : ι → Set E}
    (h_convex : ∀ i, Convex 𝕜 (F i)) (h_compact : ∀ i, IsCompact (F i))
    (h_inter : ∀ I : Finset ι, I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty) :
    (⋂ i, F i).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : ι → Set E} (h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)) (h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)) (h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty)
Goal: (⋂ i, F i).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_compact
theorem helly_theorem_compact [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : ι → Set E}
    (h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ PartENat.card ι)
    (h_convex : ∀ i, Convex 𝕜 (F i)) (h_compact : ∀ i, IsCompact (F i))
    (h_inter : ∀ I : Finset ι, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty) :
    (⋂ i, F i).Nonempty 
Arguments: {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : ι → Set E} (h_card : ↑(FiniteDimensional.finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι) (h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)) (h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)) (h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty)
Goal: (⋂ i, F i).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_set_compact'
theorem helly_theorem_set_compact' [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : Set (Set E)}
    (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X)
    (h_inter : ∀ G : Finset (Set E), (G : Set (Set E)) ⊆ F → G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 →
    (⋂₀ G : Set E).Nonempty) :
    (⋂₀ (F : Set (Set E))).Nonempty 
Arguments: {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : Set (Set E)} (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X) (h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty)
Goal: (⋂₀ F).Nonempty
-- Convex.helly_theorem_set_compact
theorem helly_theorem_set_compact [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : Set (Set E)}
    (h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.encard)
    (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X)
    (h_inter : ∀ G : Finset (Set E), (G : Set (Set E)) ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 →
    (⋂₀ G : Set E).Nonempty) :
    (⋂₀ (F : Set (Set E))).Nonempty 
Arguments: {𝕜 : Type u_2} {E : Type u_3} [LinearOrderedField 𝕜] [AddCommGroup E] [Module 𝕜 E] [FiniteDimensional 𝕜 E] [TopologicalSpace E] [T2Space E] {F : Set (Set E)} (h_card : ↑(FiniteDimensional.finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard) (h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X) (h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X) (h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty)
Goal: (⋂₀ F).Nonempty
-- IsPicardLindelof.norm_le
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C) (t : ℝ)
Goal: t ∈ Set.Icc tMin tMax → ∀ x ∈ Metric.closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
-- IsPicardLindelof.lipschitz
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C) (t : ℝ)
Goal: t ∈ Set.Icc tMin tMax → LipschitzOnWith L (v t) (Metric.closedBall x₀ R)
-- IsPicardLindelof.ht₀
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C)
Goal: t₀ ∈ Set.Icc tMin tMax
-- IsPicardLindelof.hR
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C)
Goal: 0 ≤ R
-- IsPicardLindelof.cont
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C) (x : E)
Goal: x ∈ Metric.closedBall x₀ R → ContinuousOn (fun t => v t x) (Set.Icc tMin tMax)
-- IsPicardLindelof.C_mul_le_R
structure IsPicardLindelof {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] (v : ℝ → E → E) (tMin t₀ tMax : ℝ)
    (x₀ : E) (L : ℝ≥0) (R C : ℝ) : Prop where
  ht₀ : t₀ ∈ Icc tMin tMax
  hR : 0 ≤ R
  lipschitz : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, LipschitzOnWith L (v t) (closedBall x₀ R)
  cont : ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ContinuousOn (fun t : ℝ => v t x) (Icc tMin tMax)
  norm_le : ∀ t ∈ Icc tMin tMax, ∀ x ∈ closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
  C_mul_le_R : (C : ℝ) * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {L : ℝ≥0} {R C : ℝ} (self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C)
Goal: C * max (tMax - t₀) (t₀ - tMin) ≤ R
-- PicardLindelof.isPicardLindelof
structure PicardLindelof (E : Type*) [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] where
  toFun : ℝ → E → E
  (tMin tMax : ℝ)
  t₀ : Icc tMin tMax
  x₀ : E
  (C R L : ℝ≥0)
  isPicardLindelof : IsPicardLindelof toFun tMin t₀ tMax x₀ L R C
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (self : PicardLindelof E)
Goal: IsPicardLindelof self.toFun self.tMin (↑self.t₀) self.tMax self.x₀ self.L ↑self.R ↑self.C
-- PicardLindelof.tMin_le_tMax
theorem tMin_le_tMax : v.tMin ≤ v.tMax 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: v.tMin ≤ v.tMax
-- PicardLindelof.nonempty_Icc
protected theorem nonempty_Icc : (Icc v.tMin v.tMax).Nonempty 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: (Set.Icc v.tMin v.tMax).Nonempty
-- PicardLindelof.lipschitzOnWith
protected theorem lipschitzOnWith {t} (ht : t ∈ Icc v.tMin v.tMax) :
    LipschitzOnWith v.L (v t) (closedBall v.x₀ v.R) 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) {t : ℝ} (ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax)
Goal: LipschitzOnWith v.L (v.toFun t) (Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R)
-- PicardLindelof.continuousOn
protected theorem continuousOn :
    ContinuousOn (uncurry v) (Icc v.tMin v.tMax ×ˢ closedBall v.x₀ v.R) 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: ContinuousOn (Function.uncurry v.toFun) (Set.Icc v.tMin v.tMax ×ˢ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R)
-- PicardLindelof.norm_le
theorem norm_le {t : ℝ} (ht : t ∈ Icc v.tMin v.tMax) {x : E} (hx : x ∈ closedBall v.x₀ v.R) :
    ‖v t x‖ ≤ v.C 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) {t : ℝ} (ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax) {x : E} (hx : x ∈ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R)
Goal: ‖v.toFun t x‖ ≤ ↑v.C
-- PicardLindelof.tDist_nonneg
theorem tDist_nonneg : 0 ≤ v.tDist 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: 0 ≤ v.tDist
-- PicardLindelof.dist_t₀_le
theorem dist_t₀_le (t : Icc v.tMin v.tMax) : dist t v.t₀ ≤ v.tDist 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: dist t v.t₀ ≤ v.tDist
-- PicardLindelof.proj_coe
theorem proj_coe (t : Icc v.tMin v.tMax) : v.proj t = t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: v.proj ↑t = t
-- PicardLindelof.proj_of_mem
theorem proj_of_mem {t : ℝ} (ht : t ∈ Icc v.tMin v.tMax) : ↑(v.proj t) = t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) {t : ℝ} (ht : t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax)
Goal: ↑(v.proj t) = t
-- PicardLindelof.continuous_proj
@[continuity, fun_prop]
theorem continuous_proj : Continuous v.proj 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: Continuous v.proj
-- PicardLindelof.FunSpace.lipschitz'
structure FunSpace where
  toFun : Icc v.tMin v.tMax → E
  map_t₀' : toFun v.t₀ = v.x₀
  lipschitz' : LipschitzWith v.C toFun
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (self : v.FunSpace)
Goal: LipschitzWith v.C self.toFun
-- PicardLindelof.FunSpace.map_t₀'
structure FunSpace where
  toFun : Icc v.tMin v.tMax → E
  map_t₀' : toFun v.t₀ = v.x₀
  lipschitz' : LipschitzWith v.C toFun
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (self : v.FunSpace)
Goal: self.toFun v.t₀ = v.x₀
-- PicardLindelof.FunSpace.lipschitz
protected theorem lipschitz : LipschitzWith v.C f 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace)
Goal: LipschitzWith v.C f.toFun
-- PicardLindelof.FunSpace.continuous
protected theorem continuous : Continuous f 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace)
Goal: Continuous f.toFun
-- PicardLindelof.FunSpace.uniformInducing_toContinuousMap
theorem uniformInducing_toContinuousMap : UniformInducing (@toContinuousMap _ _ _ v) 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E}
Goal: UniformInducing ⇑PicardLindelof.FunSpace.toContinuousMap
-- PicardLindelof.FunSpace.range_toContinuousMap
theorem range_toContinuousMap :
    range toContinuousMap =
      {f : C(Icc v.tMin v.tMax, E) | f v.t₀ = v.x₀ ∧ LipschitzWith v.C f} 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E}
Goal: Set.range ⇑PicardLindelof.FunSpace.toContinuousMap = {f | f v.t₀ = v.x₀ ∧ LipschitzWith v.C ⇑f}
-- PicardLindelof.FunSpace.map_t₀
theorem map_t₀ : f v.t₀ = v.x₀ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace)
Goal: f.toFun v.t₀ = v.x₀
-- PicardLindelof.FunSpace.mem_closedBall
protected theorem mem_closedBall (t : Icc v.tMin v.tMax) : f t ∈ closedBall v.x₀ v.R 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: f.toFun t ∈ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R
-- PicardLindelof.FunSpace.vComp_apply_coe
theorem vComp_apply_coe (t : Icc v.tMin v.tMax) : f.vComp t = v t (f t) 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: f.vComp ↑t = v.toFun (↑t) (f.toFun t)
-- PicardLindelof.FunSpace.continuous_vComp
theorem continuous_vComp : Continuous f.vComp 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace)
Goal: Continuous f.vComp
-- PicardLindelof.FunSpace.norm_vComp_le
theorem norm_vComp_le (t : ℝ) : ‖f.vComp t‖ ≤ v.C 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) (t : ℝ)
Goal: ‖f.vComp t‖ ≤ ↑v.C
-- PicardLindelof.FunSpace.dist_apply_le_dist
theorem dist_apply_le_dist (f₁ f₂ : FunSpace v) (t : Icc v.tMin v.tMax) :
    dist (f₁ t) (f₂ t) ≤ dist f₁ f₂ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f₁ f₂ : v.FunSpace) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ dist f₁ f₂
-- PicardLindelof.FunSpace.dist_le_of_forall
theorem dist_le_of_forall {f₁ f₂ : FunSpace v} {d : ℝ} (h : ∀ t, dist (f₁ t) (f₂ t) ≤ d) :
    dist f₁ f₂ ≤ d 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} {f₁ f₂ : v.FunSpace} {d : ℝ} (h : ∀ (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)), dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ d)
Goal: dist f₁ f₂ ≤ d
-- PicardLindelof.FunSpace.intervalIntegrable_vComp
theorem intervalIntegrable_vComp (t₁ t₂ : ℝ) : IntervalIntegrable f.vComp volume t₁ t₂ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) (t₁ t₂ : ℝ)
Goal: IntervalIntegrable f.vComp MeasureTheory.volume t₁ t₂
-- PicardLindelof.FunSpace.next_apply
theorem next_apply (t : Icc v.tMin v.tMax) : f.next t = v.x₀ + ∫ τ : ℝ in v.t₀..t, f.vComp τ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: f.next.toFun t = v.x₀ + ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑t, f.vComp τ
-- PicardLindelof.FunSpace.hasDerivWithinAt_next
theorem hasDerivWithinAt_next (t : Icc v.tMin v.tMax) :
    HasDerivWithinAt (f.next ∘ v.proj) (v t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f : v.FunSpace) [CompleteSpace E] (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Set.Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- PicardLindelof.FunSpace.dist_next_apply_le_of_le
theorem dist_next_apply_le_of_le {f₁ f₂ : FunSpace v} {n : ℕ} {d : ℝ}
    (h : ∀ t, dist (f₁ t) (f₂ t) ≤ (v.L * |t.1 - v.t₀|) ^ n / n ! * d) (t : Icc v.tMin v.tMax) :
    dist (next f₁ t) (next f₂ t) ≤ (v.L * |t.1 - v.t₀|) ^ (n + 1) / (n + 1)! * d 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} {f₁ f₂ : v.FunSpace} {n : ℕ} {d : ℝ} (h : ∀ (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)), dist (f₁.toFun t) (f₂.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * d) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: dist (f₁.next.toFun t) (f₂.next.toFun t) ≤ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)! * d
-- PicardLindelof.FunSpace.dist_iterate_next_apply_le
theorem dist_iterate_next_apply_le (f₁ f₂ : FunSpace v) (n : ℕ) (t : Icc v.tMin v.tMax) :
    dist (next^[n] f₁ t) (next^[n] f₂ t) ≤ (v.L * |t.1 - v.t₀|) ^ n / n ! * dist f₁ f₂ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f₁ f₂ : v.FunSpace) (n : ℕ) (t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax))
Goal: dist ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₁).toFun t) ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₂).toFun t) ≤
  (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
-- PicardLindelof.FunSpace.dist_iterate_next_le
theorem dist_iterate_next_le (f₁ f₂ : FunSpace v) (n : ℕ) :
    dist (next^[n] f₁) (next^[n] f₂) ≤ (v.L * v.tDist) ^ n / n ! * dist f₁ f₂ 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : PicardLindelof E} (f₁ f₂ : v.FunSpace) (n : ℕ)
Goal: dist (PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₁) (PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₂) ≤
  (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
-- PicardLindelof.exists_contracting_iterate
theorem exists_contracting_iterate :
    ∃ (N : ℕ) (K : _), ContractingWith K (FunSpace.next : v.FunSpace → v.FunSpace)^[N] 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E)
Goal: ∃ N K, ContractingWith K PicardLindelof.FunSpace.next^[N]
-- PicardLindelof.exists_fixed
theorem exists_fixed : ∃ f : v.FunSpace, f.next = f 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) [CompleteSpace E]
Goal: ∃ f, f.next = f
-- PicardLindelof.exists_solution
theorem exists_solution :
    ∃ f : ℝ → E, f v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax,
      HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] (v : PicardLindelof E) [CompleteSpace E]
Goal: ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Set.Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Set.Icc v.tMin v.tMax) t
-- IsPicardLindelof.norm_le₀
theorem IsPicardLindelof.norm_le₀ {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E}
    {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {C R : ℝ} {L : ℝ≥0}
    (hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C) : ‖v t₀ x₀‖ ≤ C 
Arguments: {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} {x₀ : E} {C R : ℝ} {L : ℝ≥0} (hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C)
Goal: ‖v t₀ x₀‖ ≤ C
-- IsPicardLindelof.exists_forall_hasDerivWithinAt_Icc_eq
theorem IsPicardLindelof.exists_forall_hasDerivWithinAt_Icc_eq [CompleteSpace E] {v : ℝ → E → E}
    {tMin t₀ tMax : ℝ} (x₀ : E) {C R : ℝ} {L : ℝ≥0}
    (hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C) :
    ∃ f : ℝ → E, f t₀ = x₀ ∧
      ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [CompleteSpace E] {v : ℝ → E → E} {tMin t₀ tMax : ℝ} (x₀ : E) {C R : ℝ} {L : ℝ≥0} (hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C)
Goal: ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Set.Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Icc tMin tMax) t
-- exists_isPicardLindelof_const_of_contDiffAt
theorem exists_isPicardLindelof_const_of_contDiffAt (hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀) :
    ∃ ε > (0 : ℝ), ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun _ => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : E → E} (t₀ : ℝ) {x₀ : E} (hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀)
Goal: ∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C
-- exists_forall_hasDerivAt_Ioo_eq_of_contDiffAt
theorem exists_forall_hasDerivAt_Ioo_eq_of_contDiffAt (hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀) :
    ∃ f : ℝ → E, f t₀ = x₀ ∧
      ∃ ε > (0 : ℝ), ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t 
Arguments: {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] {v : E → E} (t₀ : ℝ) {x₀ : E} [CompleteSpace E] (hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀)
Goal: ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Set.Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t