Theorem: AffineBasis.affineSpan_eq_top_of_toMatrix_left_inv
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
tactic: cases nonempty_fintype ι
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i : ι), b i ∈ affineSpan k (range p)
tactic: suffices ∀ i, b i ∈ affineSpan k (range p) by
    rw [eq_top_iff, ← b.tot, affineSpan_le]
    rintro q ⟨i, rfl⟩
    exact this i
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i : ι), b i ∈ affineSpan k (range p)
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
tactic: intro i
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
tactic: have hAi : ∑ j, A i j = 1 := by
    calc
      ∑ j, A i j = ∑ j, A i j * ∑ l, b.toMatrix p j l := by simp
      _ = ∑ j, ∑ l, A i j * b.toMatrix p j l := by simp_rw [Finset.mul_sum]
      _ = ∑ l, ∑ j, A i j * b.toMatrix p j l := by rw [Finset.sum_comm]
      _ = ∑ l, (A * b.toMatrix p) i l := rfl
      _ = 1 := by simp [hA, Matrix.one_apply, Finset.filter_eq]
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
tactic: have hbi : b i = Finset.univ.affineCombination k p (A i) := by
    apply b.ext_elem
    intro j
    rw [b.coord_apply, Finset.univ.map_affineCombination _ _ hAi,
      Finset.univ.affineCombination_eq_linear_combination _ _ hAi]
    change _ = (A * b.toMatrix p) i j
    simp_rw [hA, Matrix.one_apply, @eq_comm _ i j]
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
state_after: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)
tactic: rw [hbi]
state_before: case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)
state_after: no goals
tactic: exact affineCombination_mem_affineSpan hAi p