Theorem: ProbabilityTheory.iCondIndepSets_iff
File: Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndepSets m' hm' π μ ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
tactic: simp only [iCondIndepSets, Kernel.iIndepSets]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
tactic: have h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i, i ∈ s → f i ∈ π i) i (_hi : i ∈ s),
      (fun ω ↦ ENNReal.toReal (condexpKernel μ m' ω (f i))) =ᵐ[μ] μ⟦f i | m'⟧ :=
    fun s f H i hi ↦ condexpKernel_ae_eq_condexp hm' (hπ i (f i) (H i hi))
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
tactic: have h_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i, i ∈ s → f i ∈ π i), ∀ᵐ ω ∂μ,
      ∀ i ∈ s, ENNReal.toReal (condexpKernel μ m' ω (f i)) = (μ⟦f i | m'⟧) ω := by
    intros s f H
    simp_rw [← Finset.mem_coe]
    rw [ae_ball_iff (Finset.countable_toSet s)]
    exact h_eq' s f H
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
tactic: have h_inter_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i, i ∈ s → f i ∈ π i),
      (fun ω ↦ ENNReal.toReal (condexpKernel μ m' ω (⋂ i ∈ s, f i)))
        =ᵐ[μ] μ⟦⋂ i ∈ s, f i | m'⟧ := by
    refine fun s f H ↦ condexpKernel_ae_eq_condexp hm' ?_
    exact MeasurableSet.biInter (Finset.countable_toSet _) (fun i hi ↦ hπ i _ (H i hi))
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
state_after: case refine_1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)
⊢ μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']

case refine_2
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h : μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)
tactic: refine ⟨fun h s f hf ↦ ?_, fun h s f hf ↦ ?_⟩ <;> specialize h s hf