Theorem: MeasureTheory.posConvolution_eq_convolution_indicator
File: Mathlib/Analysis/Convolution.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
⊢ posConvolution f g L ν = (Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g
state_after: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ posConvolution f g L ν x = ((Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g) x
tactic: ext1 x
state_before: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ posConvolution f g L ν x = ((Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g) x
state_after: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x else 0) =
    ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
tactic: unfold convolution posConvolution indicator
state_before: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x else 0) =
    ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
state_after: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν else 0) =
    ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
tactic: simp only
state_before: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
⊢ (if x ∈ Ioi 0 then ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν else 0) =
    ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
state_after: case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν =
    ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν

case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
inst✝ : NoAtoms ν
x : ℝ
h : x ∉ Ioi 0
⊢ 0 = ∫ (t : ℝ), (L (if t ∈ Ioi 0 then f t else 0)) (if x - t ∈ Ioi 0 then g (x - t) else 0) ∂ν
tactic: split_ifs with h