Theorem: VectorBundleCore.localTriv_coordChange_eq
File: Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
⊢ (Trivialization.coordChangeL R (Z.localTriv i) (Z.localTriv j) b) v = (Z.coordChange i j b) v
state_after: case a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
⊢ { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj ∈
    Z.baseSet i ∩
        Z.baseSet
          (Z.indexAt { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj) ∩
      Z.baseSet j

case hb
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
⊢ b ∈ (Z.localTriv i).baseSet ∩ (Z.localTriv j).baseSet
tactic: rw [Trivialization.coordChangeL_apply', localTriv_symm_fst, localTriv_apply, coordChange_comp]
state_before: case a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
⊢ { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj ∈
    Z.baseSet i ∩
        Z.baseSet
          (Z.indexAt { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj) ∩
      Z.baseSet j

case hb
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
⊢ b ∈ (Z.localTriv i).baseSet ∩ (Z.localTriv j).baseSet
state_after: no goals
tactic: exacts [⟨⟨hb.1, Z.mem_baseSet_at b⟩, hb.2⟩, hb]