Theorem: toIcoDiv_neg
File: Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -(toIocDiv hp (-a) b + 1)
state_after: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b
tactic: suffices toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b by
    rwa [neg_add, ← sub_eq_add_neg, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add', toIocDiv_add_right] at this
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b
state_after: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-(a + p)) b = -toIcoDiv hp a (-b)
tactic: rw [← neg_eq_iff_eq_neg, eq_comm]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-(a + p)) b = -toIcoDiv hp a (-b)
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
tactic: apply toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
state_after: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
tactic: obtain ⟨hc, ho⟩ := sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a (-b)
state_before: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
state_after: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
tactic: rw [← neg_lt_neg_iff, neg_sub' (-b), neg_neg, ← neg_smul] at ho
state_before: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
state_after: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
tactic: rw [← neg_le_neg_iff, neg_sub' (-b), neg_neg, ← neg_smul] at hc
state_before: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
state_after: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ -a = -(a + p) + p
tactic: refine ⟨ho, hc.trans_eq ?_⟩
state_before: case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ -a = -(a + p) + p
state_after: no goals
tactic: rw [neg_add, neg_add_cancel_right]