Theorem: MeasureTheory.condexpL1_mono
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ g)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
tactic: rw [coeFn_le]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), 0 ≤ x → 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
tactic: have h_nonneg : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ x : E, 0 ≤ x → 0 ≤ condexpInd E hm μ s x :=
    fun s hs hμs x hx => condexpInd_nonneg hs hμs.ne x hx
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), 0 ≤ x → 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
state_after: no goals
tactic: exact setToFun_mono (dominatedFinMeasAdditive_condexpInd E hm μ) h_nonneg hf hg hfg