Theorem: szemeredi_regularity
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Lemma.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: obtain hα | hα := le_total (card α) (bound ε l)
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: let t := initialBound ε l
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: have htα : t ≤ (univ : Finset α).card :=
    (initialBound_le_bound _ _).trans (by rwa [Finset.card_univ])
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: obtain ⟨dum, hdum₁, hdum₂⟩ :=
    exists_equipartition_card_eq (univ : Finset α) (initialBound_pos _ _).ne' htα
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : 1 ≤ ε
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: obtain hε₁ | hε₁ := le_total 1 ε
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
tactic: have : Nonempty α := by
    rw [← Fintype.card_pos_iff]
    exact (bound_pos _ _).trans_le hα
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
tactic: intro i
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[0] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑0 ≤ ↑(P.energy G))

case inr.intro.intro.inr.succ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
ih :
  ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: induction' i with i ih
state_before: case inr.intro.intro.inr.succ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
ih :
  ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr.succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: obtain ⟨P, hP₁, hP₂, hP₃, hP₄⟩ := ih
state_before: case inr.intro.intro.inr.succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : ¬P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: by_cases huniform : P.IsUniform G ε
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : ¬P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: replace hP₄ := hP₄.resolve_left huniform
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: have hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5 :=
    (hundred_lt_pow_initialBound_mul hε l).le.trans
      (mul_le_mul_of_nonneg_right (pow_le_pow_right (by norm_num) hP₂) <| by positivity)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: have hi : (i : ℝ) ≤ 4 / ε ^ 5 := by
    have hi : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ 1 := hP₄.trans (mod_cast P.energy_le_one G)
    rw [div_mul_eq_mul_div, div_le_iff (show (0 : ℝ) < 4 by norm_num)] at hi
    norm_num at hi
    rwa [le_div_iff' (pow_pos hε _)]
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: have hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t :=
    hP₃.trans (monotone_iterate_of_id_le le_stepBound (Nat.le_floor hi) _)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
tactic: have hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α :=
    (Nat.mul_le_mul hsize (Nat.pow_le_pow_of_le_right (by norm_num) hsize)).trans hα
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ (increment hP₁ G ε).parts.card

case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ (increment hP₁ G ε).parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t

case neg.refine_3
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4
tactic: refine ⟨increment hP₁ G ε, increment_isEquipartition hP₁ G ε, ?_, ?_, Or.inr <| le_trans ?_ <|
    energy_increment hP₁ ((seven_le_initialBound ε l).trans hP₂) hεl' hPα huniform hε.le hε₁⟩