Theorem: Submodule.quotientPi_aux.right_inv
File: Mathlib/LinearAlgebra/QuotientPi.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.RightInverse (invFun p) (toFun p)
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.RightInverse ⇑(piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯)
tactic: dsimp only [toFun, invFun]
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.RightInverse ⇑(piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯)
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) = ⇑LinearMap.id
tactic: rw [Function.rightInverse_iff_comp, ← coe_comp, ← @id_coe R]
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) = ⇑LinearMap.id
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯)
      (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j =
    LinearMap.id (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j
tactic: refine congr_arg _ (pi_ext fun i x => Quotient.inductionOn' x fun x' => funext fun j => ?_)
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯)
      (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j =
    LinearMap.id (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (fun i_1 => (p i_1).mkQ ((single i) x' i_1)) j = Pi.single i (Quotient.mk x') j
tactic: rw [comp_apply, piQuotientLift_single, Quotient.mk''_eq_mk, mapQ_apply,
    quotientPiLift_mk, id_apply]
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (fun i_1 => (p i_1).mkQ ((single i) x' i_1)) j = Pi.single i (Quotient.mk x') j
state_after: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
hij : i = j
⊢ Quotient.mk (Pi.single i x' j) = Pi.single i (Quotient.mk x') j

case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
hij : ¬i = j
⊢ Quotient.mk (Pi.single i x' j) = Pi.single i (Quotient.mk x') j
tactic: by_cases hij : i = j <;> simp only [mkQ_apply, coe_single]