Theorem: lp.norm_sum_single
File: Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖↑(∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)) i‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
tactic: refine (hasSum_norm hp (∑ i ∈ s, lp.single p i (f i))).unique ?_
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖↑(∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)) i‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
tactic: simp only [lp.single_apply, coeFn_sum, Finset.sum_apply, Finset.sum_dite_eq]
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
tactic: have h : ∀ i ∉ s, ‖ite (i ∈ s) (f i) 0‖ ^ p.toReal = 0 := fun i hi ↦ by
    simp [if_neg hi, Real.zero_rpow hp.ne']
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
tactic: have h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖ite (i ∈ s) (f i) 0‖ ^ p.toReal := by
    intro i hi
    rw [if_pos hi]
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
state_after: no goals
tactic: simpa [Finset.sum_congr rfl h'] using hasSum_sum_of_ne_finset_zero h