Theorem: norm_add_lt_of_not_sameRay
File: Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
tactic: simp only [sameRay_iff_inv_norm_smul_eq, not_or, ← Ne.eq_def] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
tactic: rcases h with ⟨hx, hy, hne⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
tactic: rw [← norm_pos_iff] at hx hy
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
tactic: have hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖ := add_pos hx hy
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
tactic: have :=
    combo_mem_ball_of_ne (inv_norm_smul_mem_closed_unit_ball x)
      (inv_norm_smul_mem_closed_unit_ball y) hne (div_pos hx hxy) (div_pos hy hxy)
      (by rw [← add_div, div_self hxy.ne'])
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
state_after: no goals
tactic: rwa [mem_ball_zero_iff, div_eq_inv_mul, div_eq_inv_mul, mul_smul, mul_smul, smul_inv_smul₀ hx.ne',
    smul_inv_smul₀ hy.ne', ← smul_add, norm_smul, Real.norm_of_nonneg (inv_pos.2 hxy).le, ←
    div_eq_inv_mul, div_lt_one hxy] at this