Theorem: segment_inter_eq_endpoint_of_linearIndependent_sub
File: Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] = {c}
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] ⊆ {c}

case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ {c} ⊆ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y]
tactic: apply Subset.antisymm
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] ⊆ {c}

case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ {c} ⊆ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y]
state_after: case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ {c} ⊆ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y]

case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] ⊆ {c}
tactic: swap
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] ⊆ {c}
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
z : E
hzt : z ∈ [c-[𝕜]x]
hzs : z ∈ [c-[𝕜]y]
⊢ z ∈ {c}
tactic: intro z ⟨hzt, hzs⟩
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
z : E
hzt : z ∈ [c-[𝕜]x]
hzs : z ∈ [c-[𝕜]y]
⊢ z ∈ {c}
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
z : E
hzt : ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, (1 - x_1) • c + x_1 • x = z
hzs : ∃ x ∈ Icc 0 1, (1 - x) • c + x • y = z
⊢ z ∈ {c}
tactic: rw [segment_eq_image, mem_image] at hzt hzs
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
z : E
hzt : ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, (1 - x_1) • c + x_1 • x = z
hzs : ∃ x ∈ Icc 0 1, (1 - x) • c + x • y = z
⊢ z ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
hzs : ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, (1 - x_1) • c + x_1 • y = (1 - p) • c + p • x
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: rcases hzt with ⟨p, ⟨p0, p1⟩, rfl⟩
state_before: case h₁.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
hzs : ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, (1 - x_1) • c + x_1 • y = (1 - p) • c + p • x
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: rcases hzs with ⟨q, ⟨q0, q1⟩, H⟩
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: have Hx : x = (x - c) + c := by abel
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: have Hy : y = (y - c) + c := by abel
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + (q • (y - c) + q • c) = (1 - p) • c + (p • (x - c) + p • c)
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: rw [Hx, Hy, smul_add, smul_add] at H
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + (q • (y - c) + q • c) = (1 - p) • c + (p • (x - c) + p • c)
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + (q • (y - c) + q • c) = (1 - p) • c + (p • (x - c) + p • c)
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
this : c + q • (y - c) = c + p • (x - c)
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
tactic: have : c + q • (y - c) = c + p • (x - c) := by
    convert H using 1 <;> simp [sub_smul]
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
p : 𝕜
p0 : 0 ≤ p
p1 : p ≤ 1
q : 𝕜
H : (1 - q) • c + (q • (y - c) + q • c) = (1 - p) • c + (p • (x - c) + p • c)
q0 : 0 ≤ q
q1 : q ≤ 1
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
this : c + q • (y - c) = c + p • (x - c)
⊢ (1 - p) • c + p • x ∈ {c}
state_after: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
p0 : 0 ≤ 0
p1 : 0 ≤ 1
q0 : 0 ≤ 0
q1 : 0 ≤ 1
H : (1 - 0) • c + (0 • (y - c) + 0 • c) = (1 - 0) • c + (0 • (x - c) + 0 • c)
this : c + 0 • (y - c) = c + 0 • (x - c)
⊢ (1 - 0) • c + 0 • x ∈ {c}
tactic: obtain ⟨rfl, rfl⟩ : p = 0 ∧ q = 0 := h.eq_zero_of_pair' ((add_right_inj c).1 this).symm
state_before: case h₁.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
Hx : x = x - c + c
Hy : y = y - c + c
p0 : 0 ≤ 0
p1 : 0 ≤ 1
q0 : 0 ≤ 0
q1 : 0 ≤ 1
H : (1 - 0) • c + (0 • (y - c) + 0 • c) = (1 - 0) • c + (0 • (x - c) + 0 • c)
this : c + 0 • (y - c) = c + 0 • (x - c)
⊢ (1 - 0) • c + 0 • x ∈ {c}
state_after: no goals
tactic: simp