Theorem: Algebra.FinitePresentation.ker_fG_of_surjective
File: Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean

Proof steps:
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
tactic: obtain ⟨n, g, hg, _⟩ := FinitePresentation.out (R := R) (A := A)
state_before: case intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case h.e'_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ RingHom.ker f.toRingHom = Ideal.map g.toRingHom (RingHom.ker (f.comp g).toRingHom)
tactic: convert (ker_fg_of_mvPolynomial (f.comp g) (hf.comp hg)).map g.toRingHom
state_before: case h.e'_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ RingHom.ker f.toRingHom = Ideal.map g.toRingHom (RingHom.ker (f.comp g).toRingHom)
state_after: case h.e'_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ Ideal.comap ↑f ⊥ = Ideal.map (↑g) (Ideal.comap ((↑f).comp ↑g) ⊥)
tactic: simp_rw [RingHom.ker_eq_comap_bot, AlgHom.toRingHom_eq_coe, AlgHom.comp_toRingHom]
state_before: case h.e'_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
⊢ Ideal.comap ↑f ⊥ = Ideal.map (↑g) (Ideal.comap ((↑f).comp ↑g) ⊥)
state_after: no goals
tactic: rw [← Ideal.comap_comap, Ideal.map_comap_of_surjective (g : MvPolynomial (Fin n) R →+* A) hg]