Theorem: VectorFourier.fourierIntegral_smul_const
File: Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) = r • fourierIntegral e μ L f
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w
tactic: ext1 w
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • r • f v ∂μ = ∫ (a : V), r • e (-(L a) w) • f a ∂μ
tactic: simp only [Pi.smul_apply, fourierIntegral, ← integral_smul]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • r • f v ∂μ = ∫ (a : V), r • e (-(L a) w) • f a ∂μ
state_after: case h.e_f.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
v : V
⊢ e (-(L v) w) • r • f v = r • e (-(L v) w) • f v
tactic: congr 1 with v
state_before: case h.e_f.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
v : V
⊢ e (-(L v) w) • r • f v = r • e (-(L v) w) • f v
state_after: no goals
tactic: rw [smul_comm]