Theorem: FirstOrder.Language.Embedding.isElementary_of_exists
File: Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean

Proof steps:
state_before: L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
⊢ ∀ {n : ℕ} (φ : L.Formula (Fin n)) (x : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
state_after: L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
⊢ ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty n) (xs : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize default xs
tactic: suffices h : ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty n) (xs : Fin n → M),
      φ.Realize (f ∘ default) (f ∘ xs) ↔ φ.Realize default xs by
    intro n φ x
    exact φ.realize_relabel_sum_inr.symm.trans (_root_.trans (h n _ _) φ.realize_relabel_sum_inr)
state_before: L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
⊢ ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty n) (xs : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize default xs
state_after: case refine_1
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty n
⊢ ∀ {n : ℕ} (xs : Fin n → M),
    BoundedFormula.falsum.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ BoundedFormula.falsum.Realize default xs

case refine_2
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty n
⊢ ∀ {n : ℕ} (t₁ t₂ : L.Term (Empty ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M),
    (BoundedFormula.equal t₁ t₂).Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ (BoundedFormula.equal t₁ t₂).Realize default xs

case refine_3
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty n
⊢ ∀ {n l : ℕ} (R : L.Relations l) (ts : Fin l → L.Term (Empty ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M),
    (BoundedFormula.rel R ts).Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ (BoundedFormula.rel R ts).Realize default xs

case refine_4
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty n
⊢ ∀ {n : ℕ} (f₁ f₂ : L.BoundedFormula Empty n),
    (∀ (xs : Fin n → M), f₁.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ f₁.Realize default xs) →
      (∀ (xs : Fin n → M), f₂.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ f₂.Realize default xs) →
        ∀ (xs : Fin n → M), (f₁ ⟹ f₂).Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ (f₁ ⟹ f₂).Realize default xs

case refine_5
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty n
⊢ ∀ {n : ℕ} (f_1 : L.BoundedFormula Empty (n + 1)),
    (∀ (xs : Fin (n + 1) → M), f_1.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ f_1.Realize default xs) →
      ∀ (xs : Fin n → M), (∀'f_1).Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ (∀'f_1).Realize default xs
tactic: refine fun n φ => φ.recOn ?_ ?_ ?_ ?_ ?_