Theorem: IsFractional.div_of_nonzero
File: Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
tactic: obtain ⟨y, mem_J, not_mem_zero⟩ :=
      SetLike.exists_of_lt (show 0 < J by simpa only using bot_lt_iff_ne_bot.mpr h)
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
tactic: obtain ⟨y', hy'⟩ := hJ y mem_J
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ aI * y' ∈ R₁⁰ ∧ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
tactic: use aI * y'
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ aI * y' ∈ R₁⁰ ∧ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
state_after: case h.left
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ aI * y' ∈ R₁⁰

case h.right
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
tactic: constructor
state_before: case h.right
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
state_after: case h.right
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J
⊢ IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
tactic: intro b hb
state_before: case h.right
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J
⊢ IsInteger R₁ ((aI * y') • b)
state_after: case h.e'_6
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J
⊢ (aI * y') • b = aI • (b * aJ • y)
tactic: convert hI _ (hb _ (Submodule.smul_mem _ aJ mem_J)) using 1
state_before: case h.e'_6
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J
⊢ (aI * y') • b = aI • (b * aJ • y)
state_after: no goals
tactic: rw [← hy', mul_comm b, ← Algebra.smul_def, mul_smul]