Theorem: domain_mvt
File: Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: set g : ℝ → E := fun t => AffineMap.lineMap x y t
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: set I := Icc (0 : ℝ) 1
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: have hsub : Ioo (0 : ℝ) 1 ⊆ I := Ioo_subset_Icc_self
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: have hmaps : MapsTo g I s := hs.mapsTo_lineMap xs ys
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: have hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) (f' (g t) (y - x)) I t := fun t ht =>
    (hf _ (hmaps ht)).comp_hasDerivWithinAt t AffineMap.hasDerivWithinAt_lineMap hmaps
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
hMVT : ∃ t ∈ Ioo 0 1, (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
tactic: rcases hMVT with ⟨t, Ht, hMVT'⟩
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) x_1)) (y - x)
tactic: rw [segment_eq_image_lineMap, exists_mem_image]
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) x_1)) (y - x)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) t)) (y - x)
tactic: refine ⟨t, hsub Ht, ?_⟩
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
⊢ f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) t)) (y - x)
state_after: no goals
tactic: simpa [g] using hMVT'.symm