Theorem: hasDerivWithinAt_taylorWithinEval
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
n : ℕ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin n f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f n s t x) (((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s y)
    s' y
state_after: case zero
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑0) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin 0 f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f 0 s t x) (((↑0!)⁻¹ * (x - y) ^ 0) • iteratedDerivWithin (0 + 1) f s y)
    s' y

case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f (k + 1) s t x)
    (((↑(k + 1)!)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1 + 1) f s y) s' y
tactic: induction' n with k hk
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f (k + 1) s t x)
    (((↑(k + 1)!)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1 + 1) f s y) s' y
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    (((↑(k + 0).succ !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 0).succ) • iteratedDerivWithin ((k + 0).succ + 0).succ f s y) s' y
tactic: simp_rw [Nat.add_succ, taylorWithinEval_succ]
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    (((↑(k + 0).succ !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 0).succ) • iteratedDerivWithin ((k + 0).succ + 0).succ f s y) s' y
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
tactic: simp only [add_zero, Nat.factorial_succ, Nat.cast_mul, Nat.cast_add, Nat.cast_one]
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
tactic: have coe_lt_succ : (k : WithTop ℕ) < k.succ := Nat.cast_lt.2 k.lt_succ_self
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
tactic: have hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s' :=
    (hf.differentiableOn_iteratedDerivWithin coe_lt_succ hs_unique).mono h
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hk :
  ContDiffOn ℝ (↑k) f s →
    DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y →
      HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x)
        (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk :
  HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
    s' y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
tactic: specialize hk hf.of_succ ((hdiff y hy).mono_of_mem hs')
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk :
  HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
    s' y
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun t =>
      taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t)
    ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
state_after: case h.e'_7
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk :
  HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
    s' y
⊢ (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y =
    ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y +
      ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y -
        ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
tactic: convert hk.add (hasDerivWithinAt_taylor_coeff_within hs'_unique
    (nhdsWithin_mono _ h self_mem_nhdsWithin) hf') using 1
state_before: case h.e'_7
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk :
  HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
    s' y
⊢ (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y =
    ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y +
      ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y -
        ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)
state_after: no goals
tactic: exact (add_sub_cancel _ _).symm