Theorem: LieSubalgebra.lie_mem_sup_of_mem_normalizer
File: Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
hz : z ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : ∃ y_1 ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z ∈ H.toSubmodule, y_1 + z = y
hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
tactic: rw [Submodule.mem_sup] at hy hz
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : ∃ y_1 ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z ∈ H.toSubmodule, y_1 + z = y
hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
⊢ ⁅u₁ + v, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
tactic: obtain ⟨u₁, hu₁, v, hv : v ∈ H, rfl⟩ := hy
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
⊢ ⁅u₁ + v, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
⊢ ⁅u₁ + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
tactic: obtain ⟨u₂, hu₂, w, hw : w ∈ H, rfl⟩ := hz
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
⊢ ⁅u₁ + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
tactic: obtain ⟨t, rfl⟩ := Submodule.mem_span_singleton.mp hu₁
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
tactic: obtain ⟨s, rfl⟩ := Submodule.mem_span_singleton.mp hu₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ H.toSubmodule
tactic: apply Submodule.mem_sup_right
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ H.toSubmodule
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ s • ⁅v, x⁆ + (t • ⁅x, w⁆ + ⁅v, w⁆) ∈ H
tactic: simp only [LieSubalgebra.mem_coe_submodule, smul_lie, add_lie, zero_add, lie_add, smul_zero,
    lie_smul, lie_self]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ s • ⁅v, x⁆ + (t • ⁅x, w⁆ + ⁅v, w⁆) ∈ H
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅v, x⁆ ∈ H

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅x, w⁆ ∈ H
tactic: refine H.add_mem (H.smul_mem s ?_) (H.add_mem (H.smul_mem t ?_) (H.lie_mem hv hw))
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅v, x⁆ ∈ H

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
⊢ ⁅x, w⁆ ∈ H
state_after: no goals
tactic: exacts [(H.mem_normalizer_iff' x).mp hx v hv, (H.mem_normalizer_iff x).mp hx w hw]