Theorem: Valued.closure_coe_completion_v_lt
File: Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) = {x | extensionValuation x < ↑γ}
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ x ∈ {x | extensionValuation x < ↑γ}
tactic: ext x
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ x ∈ {x | extensionValuation x < ↑γ}
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ x ∈ {x | extensionValuation x < ↑γ}
tactic: let γ₀ := extensionValuation x
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
⊢ γ₀ ≠ 0 → (x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ)
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
tactic: intro h
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
tactic: have hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x :=
    continuous_extension.continuousAt.preimage_mem_nhds
      (WithZeroTopology.singleton_mem_nhds_of_ne_zero h)
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ (∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t) ↔ γ₀ < ↑γ
tactic: rw [mem_closure_iff_nhds']
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ (∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t) ↔ γ₀ < ↑γ
state_after: case h.refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
hx : ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t
⊢ γ₀ < ↑γ

case h.refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
hx : γ₀ < ↑γ
s : Set (hat K)
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ y, ↑y ∈ s
tactic: refine ⟨fun hx => ?_, fun hx s hs => ?_⟩