Theorem: complementedLattice_of_complementedLattice_Iic
File: Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Intervals.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
⊢ ComplementedLattice α
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
tactic: apply complementedLattice_of_sSup_atoms_eq_top
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
this : ∀ i ∈ s, ∃ t, f i = sSup t ∧ ∀ a ∈ t, IsAtom a
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
tactic: choose t ht ht' using this
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
tactic: let u : Set α := ⋃ i, ⋃ hi : i ∈ s, t i hi
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
tactic: have hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a} := by
    rintro a ⟨-, ⟨i, rfl⟩, ⟨-, ⟨hi, rfl⟩, ha : a ∈ t i hi⟩⟩
    exact ht' i hi a ha
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
tactic: have hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i := by simp_rw [u, sSup_iUnion, biSup_congr' ht]
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup u ≤ sSup {a | IsAtom a}
tactic: rw [eq_top_iff, ← h', ← hu₂]
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set ι
f : ι → α
h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))
h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)
ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1
u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi
hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}
hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i
⊢ sSup u ≤ sSup {a | IsAtom a}
state_after: no goals
tactic: exact sSup_le_sSup hu₁