Theorem: QuadraticMap.nonneg_prod_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
tactic: simp_rw [Prod.forall, prod_apply]
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
state_after: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) → (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x

case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) → ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b
tactic: constructor