Theorem: Polynomial.IsSplittingField.splits_iff
File: Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
⊢ ⊤ = ⊥
state_after: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
⊢ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset ⊆ ↑⊥
tactic: rw [eq_bot_iff, ← adjoin_rootSet L f, rootSet, aroots, roots_map (algebraMap K L) h,
      Algebra.adjoin_le_iff]
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
⊢ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset ⊆ ↑⊥
state_after: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : y ∈ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset
⊢ y ∈ ↑⊥
tactic: intro y hy
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : y ∈ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset
⊢ y ∈ ↑⊥
state_after: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : ∃ a ∈ f.roots.toFinset, (algebraMap K L) a = y
⊢ y ∈ ↑⊥
tactic: rw [Multiset.toFinset_map, Finset.mem_coe, Finset.mem_image] at hy
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
hy : ∃ a ∈ f.roots.toFinset, (algebraMap K L) a = y
⊢ y ∈ ↑⊥
state_after: case intro.intro
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y
⊢ y ∈ ↑⊥
tactic: obtain ⟨x : K, -, hxy : algebraMap K L x = y⟩ := hy
state_before: case intro.intro
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y
⊢ y ∈ ↑⊥
state_after: case intro.intro
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y
⊢ (algebraMap K L) x ∈ ↑⊥
tactic: rw [← hxy]
state_before: case intro.intro
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y
⊢ (algebraMap K L) x ∈ ↑⊥
state_after: no goals
tactic: exact SetLike.mem_coe.2 <| Subalgebra.algebraMap_mem _ _
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ Splits ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).trans (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm).toRingHom f
state_after: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ Splits
    ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm.toRingHom.comp
      (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).toRingHom)
    f
tactic: rw [RingEquiv.toRingHom_trans]
state_before: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ Splits
    ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm.toRingHom.comp
      (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).toRingHom)
    f
state_after: no goals
tactic: exact splits_comp_of_splits _ _ (splits L f)