Theorem: krullTopology_t2
File: Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: let φ := f⁻¹ * g
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: cases' DFunLike.exists_ne hfg with x hx
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: have hφx : φ x ≠ x := by
        apply ne_of_apply_ne f
        change f (f.symm (g x)) ≠ f x
        rw [AlgEquiv.apply_symm_apply f (g x), ne_comm]
        exact hx
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: let E : IntermediateField K L := IntermediateField.adjoin K {x}
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: let h_findim : FiniteDimensional K E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional
        (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: let H := E.fixingSubgroup
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: have h_basis : (H : Set (L ≃ₐ[K] L)) ∈ galGroupBasis K L := ⟨H, ⟨E, ⟨h_findim, rfl⟩⟩, rfl⟩
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ↑H ∈ 𝓝 1
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: have h_nhd := GroupFilterBasis.mem_nhds_one (galGroupBasis K L) h_basis
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ↑H ∈ 𝓝 1
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ∃ t ⊆ ↑H, IsOpen t ∧ 1 ∈ t
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: rw [mem_nhds_iff] at h_nhd
state_before: case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
h_nhd : ∃ t ⊆ ↑H, IsOpen t ∧ 1 ∈ t
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
tactic: rcases h_nhd with ⟨W, hWH, hW_open, hW_1⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g
state_after: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ Disjoint (f • W) (g • W)
tactic: refine ⟨f • W, g • W,
        ⟨hW_open.leftCoset f, hW_open.leftCoset g, ⟨1, hW_1, mul_one _⟩, ⟨1, hW_1, mul_one _⟩, ?_⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ Disjoint (f • W) (g • W)
state_after: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ ∀ ⦃a : L ≃ₐ[K] L⦄, a ∈ f • W → a ∉ g • W
tactic: rw [Set.disjoint_left]
state_before: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
⊢ ∀ ⦃a : L ≃ₐ[K] L⦄, a ∈ f • W → a ∉ g • W
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : (fun x => f • x) w1 = (fun x => g • x) w2
⊢ False
tactic: rintro σ ⟨w1, hw1, h⟩ ⟨w2, hw2, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : (fun x => f • x) w1 = (fun x => g • x) w2
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : f * w1 = g * w2
⊢ False
tactic: dsimp at h
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : f * w1 = g * w2
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
⊢ False
tactic: rw [eq_inv_mul_iff_mul_eq.symm, ← mul_assoc, mul_inv_eq_iff_eq_mul.symm] at h
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : w1 * w2⁻¹ ∈ H
⊢ False
tactic: have h_in_H : w1 * w2⁻¹ ∈ H := H.mul_mem (hWH hw1) (H.inv_mem (hWH hw2))
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : w1 * w2⁻¹ ∈ H
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : f⁻¹ * g ∈ H
⊢ False
tactic: rw [h] at h_in_H
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : f⁻¹ * g ∈ H
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : φ ∈ E.fixingSubgroup
⊢ False
tactic: change φ ∈ E.fixingSubgroup at h_in_H
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : φ ∈ E.fixingSubgroup
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : ∀ x ∈ E, φ x = x
⊢ False
tactic: rw [IntermediateField.mem_fixingSubgroup_iff] at h_in_H
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : ∀ x ∈ E, φ x = x
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : x ∈ E → φ x = x
⊢ False
tactic: specialize h_in_H x
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : x ∈ E → φ x = x
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : x ∈ E → φ x = x
hxE : x ∈ E
⊢ False
tactic: have hxE : x ∈ E := by
        apply IntermediateField.subset_adjoin
        apply Set.mem_singleton
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : x ∈ E → φ x = x
hxE : x ∈ E
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact hφx (h_in_H hxE)