Theorem: iInter_halfspaces_eq
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
⊢ ⋂ l, {x | ∃ y ∈ s, l x ≤ l y} = s
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
⊢ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y} = s
tactic: rw [Set.iInter_setOf]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
⊢ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y} = s
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
⊢ x ∈ s
tactic: refine Set.Subset.antisymm (fun x hx => ?_) fun x hx l => ⟨x, hx, le_rfl⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
⊢ x ∈ s
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
h : x ∉ s
⊢ False
tactic: by_contra h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
h : x ∉ s
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsClosed s✝
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}
h : x ∉ s✝
l : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s
hl : s < l x
⊢ False
tactic: obtain ⟨l, s, hlA, hl⟩ := geometric_hahn_banach_closed_point hs₁ hs₂ h
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsClosed s✝
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}
h : x ∉ s✝
l : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s
hl : s < l x
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsClosed s✝
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}
h : x ∉ s✝
l : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s
hl : s < l x
y : E
hy : y ∈ s✝
hxy : l x ≤ l y
⊢ False
tactic: obtain ⟨y, hy, hxy⟩ := hx l
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsClosed s✝
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}
h : x ∉ s✝
l : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s
hl : s < l x
y : E
hy : y ∈ s✝
hxy : l x ≤ l y
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact ((hxy.trans_lt (hlA y hy)).trans hl).not_le le_rfl