Theorem: LieSubmodule.exists_smul_add_of_span_sup_eq_top
File: Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : y ∈ ⊤
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
tactic: have hy : y ∈ (⊤ : Submodule R L) := Submodule.mem_top
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : y ∈ ⊤
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : ∃ y_1, (∃ a, a • x = y_1) ∧ ∃ z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule, y_1 + z = y
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
tactic: simp only [← hxI, Submodule.mem_sup, Submodule.mem_span_singleton] at hy
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : ∃ y_1, (∃ a, a • x = y_1) ∧ ∃ z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule, y_1 + z = y
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
t : R
z : L
hz : z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule
⊢ ∃ t_1, ∃ z_1 ∈ I, t • x + z = t_1 • x + z_1
tactic: obtain ⟨-, ⟨t, rfl⟩, z, hz, rfl⟩ := hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
t : R
z : L
hz : z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule
⊢ ∃ t_1, ∃ z_1 ∈ I, t • x + z = t_1 • x + z_1
state_after: no goals
tactic: exact ⟨t, z, hz, rfl⟩