Theorem: Normal.of_algEquiv
File: Mathlib/FieldTheory/Normal.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : Normal F E
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ Normal F E'
state_after: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ ∀ (x : E'), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
tactic: rw [normal_iff] at h ⊢
state_before: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
f : E ≃ₐ[F] E'
⊢ ∀ (x : E'), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
state_after: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
tactic: intro x
state_before: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
state_after: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
tactic: specialize h (f.symm x)
state_before: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)
state_after: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F (f (f.symm x)) ∧ Splits ((↑↑f).comp (algebraMap F E)) (minpoly F (f.symm x))
tactic: rw [← f.apply_symm_apply x, minpoly.algEquiv_eq, ← f.toAlgHom.comp_algebraMap]
state_before: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E ≃ₐ[F] E'
x : E'
h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))
⊢ IsIntegral F (f (f.symm x)) ∧ Splits ((↑↑f).comp (algebraMap F E)) (minpoly F (f.symm x))
state_after: no goals
tactic: exact ⟨h.1.map f, splits_comp_of_splits _ _ h.2⟩