Theorem: HasFPowerSeriesAt.isBigO_image_sub_norm_mul_norm_sub
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
state_after: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
tactic: rcases hf with ⟨r, hf⟩
state_before: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
tactic: rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 hf.r_pos with ⟨r', r'0, h⟩
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')
tactic: refine (hf.isBigO_image_sub_image_sub_deriv_principal h).mono ?_
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')
state_after: no goals
tactic: exact le_principal_iff.2 (EMetric.ball_mem_nhds _ r'0)