Theorem: CategoryTheory.associator_monoidal
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ▷ (X₃ ⊗ Y₃) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ ((α_ (X₁ ⊗ X₂) X₃ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Y₃)).hom ≫
        (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂) Y₃).inv ≫
          (X₁ ⊗ X₂) ◁ (β_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Y₃ ≫
            (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).inv) ≫
      ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫
            X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷
          (X₃ ⊗ Y₃) ≫
        (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      ((α_ X₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₁ ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫
          X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃)).inv ≫
            X₁ ◁ (β_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁).hom ▷ (Y₂ ⊗ Y₃) ≫
              X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).inv) ≫
        (X₁ ⊗ Y₁) ◁
          ((α_ X₂ X₃ (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫
            X₂ ◁ (α_ X₃ Y₂ Y₃).inv ≫ X₂ ◁ (β_ X₃ Y₂).hom ▷ Y₃ ≫ X₂ ◁ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom ≫ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)
tactic: dsimp only [tensor_μ]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ ((α_ (X₁ ⊗ X₂) X₃ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Y₃)).hom ≫
        (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂) Y₃).inv ≫
          (X₁ ⊗ X₂) ◁ (β_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Y₃ ≫
            (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).inv) ≫
      ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫
            X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷
          (X₃ ⊗ Y₃) ≫
        (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      ((α_ X₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₁ ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫
          X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃)).inv ≫
            X₁ ◁ (β_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁).hom ▷ (Y₂ ⊗ Y₃) ≫
              X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).inv) ≫
        (X₁ ⊗ Y₁) ◁
          ((α_ X₂ X₃ (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫
            X₂ ◁ (α_ X₃ Y₂ Y₃).inv ≫ X₂ ◁ (β_ X₃ Y₂).hom ▷ Y₃ ≫ X₂ ◁ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom ≫ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)
state_after: no goals
tactic: calc
    _ = 𝟙 _ ⊗≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (β_ X₃ Y₁).hom ▷ Y₂ ▷ Y₃ ⊗≫
      X₁ ◁ ((X₂ ⊗ Y₁) ◁ (β_ X₃ Y₂).hom ≫
        (β_ X₂ Y₁).hom ▷ (Y₂ ⊗ X₃)) ▷ Y₃ ⊗≫ 𝟙 _ := by simp; coherence
    _ = _ := by rw [whisker_exchange]; simp; coherence