Theorem: PadicInt.isCauSeq_nthHom
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
⊢ IsCauSeq (padicNorm p) fun n => ↑(nthHom f r n)
state_after: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
tactic: intro ε hε
state_before: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
state_after: case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
tactic: obtain ⟨k, hk⟩ : ∃ k : ℕ, (p : ℚ) ^ (-((k : ℕ) : ℤ)) < ε := exists_pow_neg_lt_rat p hε
state_before: case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∀ j ≥ k, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
tactic: use k
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∀ j ≥ k, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
tactic: intro j hj
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
tactic: refine lt_of_le_of_lt ?_ hk
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f r j) - ↑(nthHom f r k)) ≤ ↑p ^ (-↑k)
tactic: beta_reduce
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p (↑(nthHom f r j) - ↑(nthHom f r k)) ≤ ↑p ^ (-↑k)
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
tactic: norm_cast
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
state_after: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ ↑(p ^ k) ∣ nthHom f r j - nthHom f r k
tactic: rw [← padicNorm.dvd_iff_norm_le]
state_before: case h
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ ↑(p ^ k) ∣ nthHom f r j - nthHom f r k
state_after: no goals
tactic: exact mod_cast pow_dvd_nthHom_sub f_compat r k j hj