Theorem: fourierCoeffOn_eq_integral
File: Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean

Proof steps:
state_before: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
⊢ fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
state_after: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
tactic: haveI := Fact.mk (by linarith : 0 < b - a)
state_before: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
state_after: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x =
    (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
tactic: rw [fourierCoeffOn, fourierCoeff_eq_intervalIntegral _ _ a, add_sub, add_sub_cancel_left]
state_before: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x =
    (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
state_after: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
tactic: congr 1
state_before: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
state_after: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume =
    ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
tactic: simp_rw [intervalIntegral.integral_of_le hab.le]
state_before: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume =
    ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
state_after: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
tactic: refine setIntegral_congr measurableSet_Ioc fun x hx => ?_
state_before: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
state_after: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ x ∈ Ioc a (a + (b - a))
tactic: rw [liftIoc_coe_apply]
state_before: case e_a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ x ∈ Ioc a (a + (b - a))
state_after: no goals
tactic: rwa [add_sub, add_sub_cancel_left]