Theorem: IsIntegral.of_mul_unit
File: Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
hx : IsIntegral R (x * y)
⊢ IsIntegral R x
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ IsIntegral R x
tactic: obtain ⟨p, p_monic, hp⟩ := hx
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ IsIntegral R x
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x (p.scaleRoots r) = 0
tactic: refine ⟨scaleRoots p r, (monic_scaleRoots_iff r).2 p_monic, ?_⟩
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x (p.scaleRoots r) = 0
state_after: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval ((algebraMap R B) r * (x * y)))
tactic: convert scaleRoots_aeval_eq_zero hp
state_before: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval ((algebraMap R B) r * (x * y)))
state_after: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval (x * y * (algebraMap R B) r))
tactic: rw [Algebra.commutes] at hr ⊢
state_before: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval (x * y * (algebraMap R B) r))
state_after: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval x)
tactic: rw [mul_assoc, hr, mul_one]
state_before: case h.e'_2.h.e
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : y * (algebraMap R B) r = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval x)
state_after: no goals
tactic: rfl