Theorem: MeasureTheory.Memℒp.memℒp_of_exponent_le_of_measure_support_ne_top
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
⊢ Memℒp f p μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p μ
tactic: have : (toMeasurable μ s).indicator f = f := by
    apply Set.indicator_eq_self.2
    apply Function.support_subset_iff'.2 (fun x hx ↦ hf x ?_)
    contrapose! hx
    exact subset_toMeasurable μ s hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
tactic: rw [← this, memℒp_indicator_iff_restrict (measurableSet_toMeasurable μ s)] at hfq ⊢
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this : (toMeasurable μ s).indicator f = f
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this✝ : (toMeasurable μ s).indicator f = f
this : Fact (μ (toMeasurable μ s) < ⊤)
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
tactic: have : Fact (μ (toMeasurable μ s) < ∞) := ⟨by simpa [lt_top_iff_ne_top] using hs⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this✝ : (toMeasurable μ s).indicator f = f
this : Fact (μ (toMeasurable μ s) < ⊤)
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
state_after: no goals
tactic: exact memℒp_of_exponent_le hfq hpq