Theorem: StrictConvexOn.eq_of_isMinOn
File: Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x = y
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
⊢ False
tactic: by_contra hxy
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
⊢ False
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
⊢ False
tactic: let z := (2 : 𝕜)⁻¹ • x + (2 : 𝕜)⁻¹ • y
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
⊢ False
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ False
tactic: have hz : z ∈ s := hf.1 hx hy (by norm_num) (by norm_num) <| by norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ False
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ f z < f z
tactic: refine lt_irrefl (f z) ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ f z < f z
state_after: no goals
tactic: calc
    f z < _ := hf.2 hx hy hxy (by norm_num) (by norm_num) <| by norm_num
    _ ≤ (2 : 𝕜)⁻¹ • f z + (2 : 𝕜)⁻¹ • f z := by gcongr; exacts [hfx hz, hfy hz]
    _ = f z := by rw [← _root_.add_smul]; norm_num