Theorem: HasConstantSpeedOnWith.union
File: Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f s l
hft : HasConstantSpeedOnWith f t l
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ HasConstantSpeedOnWith f (s ∪ t) l
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ ∀ ⦃x : ℝ⦄,
    x ∈ s ∪ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s ∪ t → x ≤ y → eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
tactic: rw [hasConstantSpeedOnWith_iff_ordered] at hfs hft ⊢
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ ∀ ⦃x : ℝ⦄,
    x ∈ s ∪ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s ∪ t → x ≤ y → eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
state_after: case inl.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
z : ℝ
zs : z ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
zy : z ≤ y
⊢ eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc z y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - z))

case inl.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
z : ℝ
zs : z ∈ s
y : ℝ
yt : y ∈ t
zy : z ≤ y
⊢ eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc z y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - z))

case inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
z : ℝ
zt : z ∈ t
y : ℝ
ys : y ∈ s
zy : z ≤ y
⊢ eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc z y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - z))

case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
z : ℝ
zt : z ∈ t
y : ℝ
yt : y ∈ t
zy : z ≤ y
⊢ eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc z y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - z))
tactic: rintro z (zs | zt) y (ys | yt) zy