Theorem: MeasureTheory.UnifIntegrable.ae_eq
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
⊢ UnifIntegrable g p μ
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: intro ε hε
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: obtain ⟨δ, hδ_pos, hfδ⟩ := hf hε
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)
tactic: refine ⟨δ, hδ_pos, fun n s hs hμs => (le_of_eq <| eLpNorm_congr_ae ?_).trans (hfδ n s hs hμs)⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
x : α
hx : f n x = g n x
⊢ s.indicator (g n) x = s.indicator (f n) x
tactic: filter_upwards [hfg n] with x hx
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
x : α
hx : f n x = g n x
⊢ s.indicator (g n) x = s.indicator (f n) x
state_after: no goals
tactic: simp_rw [Set.indicator_apply, hx]