Theorem: isClosedMap_iff_isClosedMap_of_iSup_eq_top
File: Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ (∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f
tactic: refine ⟨fun h i => h.restrictPreimage _, ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ (∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
tactic: rintro H s hs
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
tactic: rw [isClosed_iff_coe_preimage_of_iSup_eq_top hU]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
tactic: intro i
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
state_after: case h.e'_3.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
⊢ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
tactic: convert H i _ ⟨⟨_, hs.1, eq_compl_comm.mpr rfl⟩⟩
state_before: case h.e'_3.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
⊢ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
state_after: case h.e'_3.h.h.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
tactic: ext ⟨x, hx⟩
state_before: case h.e'_3.h.h.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
state_after: case h.e'_3.h.h.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
tactic: suffices (∃ y, y ∈ s ∧ f y = x) ↔ ∃ y, y ∈ s ∧ f y ∈ U i ∧ f y = x by
    simpa [Set.restrictPreimage, ← Subtype.coe_inj]
state_before: case h.e'_3.h.h.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
state_after: no goals
tactic: exact ⟨fun ⟨a, b, c⟩ => ⟨a, b, c.symm ▸ hx, c⟩, fun ⟨a, b, _, c⟩ => ⟨a, b, c⟩⟩