Theorem: Submodule.isIdempotentElemEquiv_symm_apply_coe
File: Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ p
state_after: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ range ↑f
tactic: simp_rw [← f.2.2]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ range ↑f
state_after: no goals
tactic: exact mem_range_self f.1 x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x✝ : ↥p
x : E
hx : x ∈ p
⊢ ↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨x, hx⟩) = ↑⟨x, hx⟩
state_after: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x✝ : ↥p
x : E
hx : ↑f x ∈ p
⊢ ↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨↑f x, hx⟩) = ↑⟨↑f x, hx⟩
tactic: obtain ⟨x, rfl⟩ := f.2.2.symm ▸ hx
state_before: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x✝ : ↥p
x : E
hx : ↑f x ∈ p
⊢ ↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨↑f x, hx⟩) = ↑⟨↑f x, hx⟩
state_after: no goals
tactic: exact DFunLike.congr_fun f.2.1 x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // ∀ (x : ↥p), f ↑x = x }
x : E
⊢ (p.subtype ∘ₗ ↑f * p.subtype ∘ₗ ↑f) x = (p.subtype ∘ₗ ↑f) x
state_after: no goals
tactic: simp [f.2]