Theorem: Pi.basis_repr_stdBasis
File: Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
⊢ (Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) = Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1
state_after: case h.mk
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
tactic: ext ⟨j', i'⟩
state_before: case h.mk
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
state_after: case pos
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : j = j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩

case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
tactic: by_cases hj : j = j'
state_before: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
state_after: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i),
          left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
        ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j')
      i' =
    (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
tactic: simp only [Pi.basis, LinearEquiv.trans_apply, Finsupp.sigmaFinsuppLEquivPiFinsupp_symm_apply,
    LinearEquiv.piCongrRight]
state_before: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i),
          left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
        ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j')
      i' =
    (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
state_after: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ((s j').repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i) j')) i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
tactic: dsimp
state_before: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ((s j').repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i) j')) i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
state_after: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ⟨j, i⟩ ≠ ⟨j', i'⟩
tactic: rw [stdBasis_ne _ _ _ _ (Ne.symm hj), LinearEquiv.map_zero, Finsupp.zero_apply,
    Finsupp.single_eq_of_ne]
state_before: case neg
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ⟨j, i⟩ ≠ ⟨j', i'⟩
state_after: case neg.refl
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
hj : ¬j = j
⊢ False
tactic: rintro ⟨⟩
state_before: case neg.refl
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
hj : ¬j = j
⊢ False
state_after: no goals
tactic: contradiction