Theorem: ContinuousAlternatingMap.compContinuousLinearMapₗ_apply
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/Alternating/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
g g' : M' [⋀^ι]→L[R] N
⊢ (fun g => g.compContinuousLinearMap f) (g + g') =
    (fun g => g.compContinuousLinearMap f) g + (fun g => g.compContinuousLinearMap f) g'
state_after: case H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
g g' : M' [⋀^ι]→L[R] N
x✝ : ι → M
⊢ ((fun g => g.compContinuousLinearMap f) (g + g')) x✝ =
    ((fun g => g.compContinuousLinearMap f) g + (fun g => g.compContinuousLinearMap f) g') x✝
tactic: ext
state_before: case H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
g g' : M' [⋀^ι]→L[R] N
x✝ : ι → M
⊢ ((fun g => g.compContinuousLinearMap f) (g + g')) x✝ =
    ((fun g => g.compContinuousLinearMap f) g + (fun g => g.compContinuousLinearMap f) g') x✝
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
c : R
g : M' [⋀^ι]→L[R] N
⊢ { toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun (c • g) =
    (RingHom.id R) c • { toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun g
state_after: case H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
c : R
g : M' [⋀^ι]→L[R] N
x✝ : ι → M
⊢ ({ toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun (c • g)) x✝ =
    ((RingHom.id R) c • { toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun g) x✝
tactic: ext
state_before: case H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
f : M →L[R] M'
c : R
g : M' [⋀^ι]→L[R] N
x✝ : ι → M
⊢ ({ toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun (c • g)) x✝ =
    ((RingHom.id R) c • { toFun := fun g => g.compContinuousLinearMap f, map_add' := ⋯ }.toFun g) x✝
state_after: no goals
tactic: simp