Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_smul
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
state_after: α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ c • 0 = 0
tactic: rw [smul_eq_map c f, map_setToSimpleFunc T h_add hf]
state_before: α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ c • 0 = 0
state_after: no goals
tactic: rw [smul_zero]
state_before: α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
x✝ : b ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • (T (↑f ⁻¹' {b})) b
state_after: no goals
tactic: rw [h_smul]
state_before: α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
state_after: no goals
tactic: simp only [setToSimpleFunc, smul_sum, smul_smul, mul_comm]