Theorem: Polynomial.iterate_derivative_eq_zero
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
state_after: case h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
n✝ : ℕ
ih : ∀ m < n✝, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
h : p.natDegree = n✝
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
tactic: induction' h : p.natDegree using Nat.strong_induction_on with _ ih generalizing p x
state_before: case h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
n✝ : ℕ
ih : ∀ m < n✝, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
h : p.natDegree = n✝
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
state_after: case h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
tactic: subst h
state_before: case h
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
⊢ (⇑derivative)^[x] p = 0
state_after: case h.intro
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
⊢ (⇑derivative)^[t.succ] p = 0
tactic: obtain ⟨t, rfl⟩ := Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero (pos_of_gt hx).ne'
state_before: case h.intro
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
⊢ (⇑derivative)^[t.succ] p = 0
state_after: case h.intro
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
tactic: rw [Function.iterate_succ_apply]
state_before: case h.intro
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
state_after: case pos
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : p.natDegree = 0
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0

case neg
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
tactic: by_cases hp : p.natDegree = 0
state_before: case neg
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
state_after: case neg
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
this : (derivative p).natDegree < p.natDegree
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
tactic: have := natDegree_derivative_lt hp
state_before: case neg
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
hp : ¬p.natDegree = 0
this : (derivative p).natDegree < p.natDegree
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
state_after: no goals
tactic: exact ih _ this (this.trans_le <| Nat.le_of_lt_succ hx) rfl