Theorem: AffineIndependent.convexHull_inter
File: Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) (↑t₁ ∩ ↑t₂) = (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂
state_after: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)
tactic: refine (Set.subset_inter (convexHull_mono inf_le_left) $
    convexHull_mono inf_le_right).antisymm ?_
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)
state_after: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ ∀ (x : E),
    ((∃ w, (∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁, w y • y = x) ∧
        ∃ w, (∀ y ∈ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₂, w y • y = x) →
      ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: simp_rw [Set.subset_def, mem_inter_iff, Set.inf_eq_inter, ← coe_inter, mem_convexHull']
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ ∀ (x : E),
    ((∃ w, (∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁, w y • y = x) ∧
        ∃ w, (∀ y ∈ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₂, w y • y = x) →
      ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: rintro x ⟨⟨w₁, h₁w₁, h₂w₁, h₃w₁⟩, w₂, -, h₂w₂, h₃w₂⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: let w (x : E) : R := (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: have h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0 := by simp [w, Finset.inter_eq_right.2, *]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: replace hs := hs.eq_zero_of_sum_eq_zero_subtype h₁w $ by
    simp only [w, sub_smul, zero_smul, ite_smul, Finset.sum_sub_distrib, ← Finset.sum_filter, h₃w₁,
      Finset.filter_mem_eq_inter, Finset.inter_eq_right.2 ht₁, Finset.inter_eq_right.2 ht₂, h₃w₂,
      sub_self]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
tactic: have ht (x) (hx₁ : x ∈ t₁) (hx₂ : x ∉ t₂) : w₁ x = 0 := by
    simpa [w, hx₁, hx₂] using hs _ (ht₁ hx₁)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w₁ y

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w₁ y = 1

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w₁ y • y = x
tactic: refine ⟨w₁, ?_, ?_, ?_⟩