Theorem: schwartz_withSeminorms
File: Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : WithSeminorms (schwartzSeminormFamily ℝ E F)
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)
tactic: have A : WithSeminorms (schwartzSeminormFamily ℝ E F) := ⟨rfl⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : WithSeminorms (schwartzSeminormFamily ℝ E F)
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)
⊢ nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)
tactic: rw [SeminormFamily.withSeminorms_iff_nhds_eq_iInf] at A ⊢
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)
⊢ nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)
⊢ ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0) =
    ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)
tactic: rw [A]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)
⊢ ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0) =
    ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)
state_after: no goals
tactic: rfl