Theorem: QPF.Cofix.bisim'
File: Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
⊢ Liftr R x.dest y.dest
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ Liftr R x.dest y.dest
tactic: rcases h x' Qx' with ⟨a, f, f', ux'eq, vx'eq, h'⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ Liftr R x.dest y.dest
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ ∃ a f₀ f₁, x.dest = abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y.dest = abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), R (f₀ i) (f₁ i)
tactic: rw [liftr_iff]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u_1
Q : α → Prop
u v : α → Cofix F
h :
  ∀ (x : α),
    Q x →
      ∃ a f f',
        (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
x✝¹ : α
Qx : Q x✝¹
R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'
x y : Cofix F
x✝ : R x y
x' : α
Qx' : Q x'
xeq : x = u x'
yeq : y = v x'
a : (P F).A
f f' : (P F).B a → Cofix F
ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩
vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'
⊢ ∃ a f₀ f₁, x.dest = abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y.dest = abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), R (f₀ i) (f₁ i)
state_after: no goals
tactic: exact ⟨a, f, f', xeq.symm ▸ ux'eq, yeq.symm ▸ vx'eq, h'⟩