Theorem: LinearPMap.image_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ (x, y) ∈ f.graph
state_after: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
tactic: rw [mem_graph_iff]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
h : y = ↑f ⟨x, hx⟩
⊢ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2

case mpr
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
tactic: constructor <;> intro h
state_before: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
state_after: case mpr.intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : ↑⟨x', hx'⟩ = (x, y).1
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = (x, y).2
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
tactic: rcases h with ⟨⟨x', hx'⟩, ⟨h1, h2⟩⟩
state_before: case mpr.intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : ↑⟨x', hx'⟩ = (x, y).1
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = (x, y).2
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
state_after: case mpr.intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : x' = x
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = y
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
tactic: simp only [Submodule.coe_mk] at h1 h2
state_before: case mpr.intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : x' = x
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = y
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩
state_after: no goals
tactic: simp only [← h2, h1]