Theorem: LieAlgebra.killingForm_apply_eq_zero_of_mem_rootSpace_of_add_ne_zero
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
tactic: let σ : (H → K) → (H → K) := fun γ ↦ α + (β + γ)
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
tactic: have hσ : ∀ γ, σ γ ≠ γ := fun γ ↦ by simpa only [σ, ← add_assoc] using add_left_ne_self.mpr hαβ
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
f : Module.End K L := (ad K L) x ∘ₗ (ad K L) y
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
tactic: let f : Module.End K L := (ad K L x) ∘ₗ (ad K L y)
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
f : Module.End K L := (ad K L) x ∘ₗ (ad K L) y
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
f : Module.End K L := (ad K L) x ∘ₗ (ad K L) y
hf : ∀ (γ : ↥H → K), MapsTo ⇑f ↑(rootSpace H γ) ↑(rootSpace H (σ γ))
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
tactic: have hf : ∀ γ, MapsTo f (rootSpace H γ) (rootSpace H (σ γ)) := fun γ ↦
    (mapsTo_toEnd_weightSpace_add_of_mem_rootSpace K L H L α (β + γ) hx).comp <|
      mapsTo_toEnd_weightSpace_add_of_mem_rootSpace K L H L β γ hy
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)
hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ
f : Module.End K L := (ad K L) x ∘ₗ (ad K L) y
hf : ∀ (γ : ↥H → K), MapsTo ⇑f ↑(rootSpace H γ) ↑(rootSpace H (σ γ))
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0
state_after: no goals
tactic: classical
  have hds := DirectSum.isInternal_submodule_of_independent_of_iSup_eq_top
    (LieSubmodule.independent_iff_coe_toSubmodule.mp <| independent_weightSpace K H L)
    (LieSubmodule.iSup_eq_top_iff_coe_toSubmodule.mp <| iSup_weightSpace_eq_top K H L)
  exact LinearMap.trace_eq_zero_of_mapsTo_ne hds σ hσ hf