Theorem: ProbabilityTheory.IndepFun.integral_mul_of_integrable
File: Mathlib/Probability/Integration.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: let pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: let neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have posm : Measurable pos := measurable_id'.max measurable_const
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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negm : Measurable neg
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: let Xp := pos ∘ X
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
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negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: let Ym := neg ∘ Y
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hXpm : X = Xp - Xm := funext fun ω => (max_zero_sub_max_neg_zero_eq_self (X ω)).symm
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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hXpm : X = Xp - Xm
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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posm : Measurable pos
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hYpm : Y = Yp - Ym := funext fun ω => (max_zero_sub_max_neg_zero_eq_self (Y ω)).symm
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hp1 : 0 ≤ Xm := fun ω => le_max_right _ _
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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hp2 : 0 ≤ Xp
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hX : Integrable X μ
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hp1 : 0 ≤ Xm
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
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hp1 : 0 ≤ Xm
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
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hm1 : AEMeasurable Xm μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hm1 : AEMeasurable Xm μ := hX.1.aemeasurable.neg.max aemeasurable_const
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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X Y : Ω → ℝ
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
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hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
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hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hm2 : AEMeasurable Xp μ := hX.1.aemeasurable.max aemeasurable_const
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hm3 : AEMeasurable Ym μ := hY.1.aemeasurable.neg.max aemeasurable_const
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
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Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
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Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
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hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hm4 : AEMeasurable Yp μ := hY.1.aemeasurable.max aemeasurable_const
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
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hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hv1 : Integrable Xm μ := hX.neg_part
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
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f g : Ω → ℝ≥0∞
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hX : Integrable X μ
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hm1 : AEMeasurable Xm μ
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hv1 : Integrable Xm μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
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state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
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hv1 : Integrable Xm μ
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
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state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hv1 : Integrable Xm μ
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mΩ : MeasurableSpace Ω
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hv1 : Integrable Xm μ
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hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
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mΩ : MeasurableSpace Ω
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hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
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hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
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mΩ : MeasurableSpace Ω
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mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
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posm : Measurable pos
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hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
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hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
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posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
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hXpm : X = Xp - Xm
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hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
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⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ := hi2.integrable_mul hv2 hv3
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
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hX : Integrable X μ
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posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
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Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
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hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
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hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
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hv3 : Integrable Ym μ
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hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ := hi3.integrable_mul hv1 hv4
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ := hi4.integrable_mul hv2 hv4
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ := hl4.sub hl3
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
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posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
tactic: have hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ := hl2.sub hl1
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (Xp * Yp - Xm * Yp - (Xp * Ym - Xm * Ym)) = integral μ (Xp - Xm) * integral μ (Yp - Ym)
tactic: rw [hXpm, hYpm, mul_sub, sub_mul, sub_mul]
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ (Xp * Yp - Xm * Yp - (Xp * Ym - Xm * Ym)) = integral μ (Xp - Xm) * integral μ (Yp - Ym)
state_after: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ Xp * integral μ Yp - integral μ Xm * integral μ Yp -
      (integral μ Xp * integral μ Ym - integral μ Xm * integral μ Ym) =
    (∫ (a : Ω), Xp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Xm a ∂μ) * (∫ (a : Ω), Yp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Ym a ∂μ)
tactic: rw [integral_sub' hl5 hl6, integral_sub' hl4 hl3, integral_sub' hl2 hl1, integral_sub' hv2 hv1,
    integral_sub' hv4 hv3, hi1.integral_mul_of_nonneg hp1 hp3 hm1 hm3,
    hi2.integral_mul_of_nonneg hp2 hp3 hm2 hm3, hi3.integral_mul_of_nonneg hp1 hp4 hm1 hm4,
    hi4.integral_mul_of_nonneg hp2 hp4 hm2 hm4]
state_before: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ
⊢ integral μ Xp * integral μ Yp - integral μ Xm * integral μ Yp -
      (integral μ Xp * integral μ Ym - integral μ Xm * integral μ Ym) =
    (∫ (a : Ω), Xp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Xm a ∂μ) * (∫ (a : Ω), Yp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Ym a ∂μ)
state_after: no goals
tactic: ring