Theorem: Algebra.FormallyUnramified.of_isLocalization
File: Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
⊢ FormallyUnramified R Rₘ
state_after: case comp_injective
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
⊢ ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B),
    I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
tactic: constructor
state_before: case comp_injective
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
⊢ ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B),
    I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
state_after: case comp_injective
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ f₁ = f₂
tactic: intro Q _ _ I _ f₁ f₂ _
state_before: case comp_injective
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ f₁ = f₂
state_after: case comp_injective.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ ↑f₁ = ↑f₂
tactic: apply AlgHom.coe_ringHom_injective
state_before: case comp_injective.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ ↑f₁ = ↑f₂
state_after: case comp_injective.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ (↑f₁).comp (algebraMap R Rₘ) = (↑f₂).comp (algebraMap R Rₘ)
tactic: refine IsLocalization.ringHom_ext M ?_
state_before: case comp_injective.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ (↑f₁).comp (algebraMap R Rₘ) = (↑f₂).comp (algebraMap R Rₘ)
state_after: case comp_injective.a.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝¹ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
x✝ : R
⊢ ((↑f₁).comp (algebraMap R Rₘ)) x✝ = ((↑f₂).comp (algebraMap R Rₘ)) x✝
tactic: ext
state_before: case comp_injective.a.a
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝¹ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
x✝ : R
⊢ ((↑f₁).comp (algebraMap R Rₘ)) x✝ = ((↑f₂).comp (algebraMap R Rₘ)) x✝
state_after: no goals
tactic: simp