Theorem: ProbabilityTheory.evariance_mul
File: Mathlib/Probability/Variance.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * evariance X μ
state_after: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ =
    ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ
tactic: rw [evariance, evariance, ← lintegral_const_mul' _ _ ENNReal.ofReal_lt_top.ne]
state_before: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ =
    ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ
state_after: case e_f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ (fun ω => ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = fun a => ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
tactic: congr
state_before: case e_f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ (fun ω => ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = fun a => ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
state_after: case e_f.h
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
tactic: ext1 ω
state_before: case e_f.h
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
state_after: case e_f.h
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑(‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = ↑((c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2)
tactic: rw [ENNReal.ofReal, ← ENNReal.coe_pow, ← ENNReal.coe_pow, ← ENNReal.coe_mul]
state_before: case e_f.h
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ↑(‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = ↑((c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2)
state_after: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = (c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
tactic: congr
state_before: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = (c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
state_after: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖|c| * (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ)‖₊ ^ 2
tactic: rw [← sq_abs, ← Real.rpow_two, Real.toNNReal_rpow_of_nonneg (abs_nonneg _), NNReal.rpow_two,
    ← mul_pow, Real.toNNReal_mul_nnnorm _ (abs_nonneg _)]
state_before: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖|c| * (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ)‖₊ ^ 2
state_after: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖c * X ω - c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
tactic: conv_rhs => rw [← nnnorm_norm, norm_mul, norm_abs_eq_norm, ← norm_mul, nnnorm_norm, mul_sub]
state_before: case e_f.h.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖c * X ω - c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
state_after: case e_f.h.e_a.e_a.e_a.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
tactic: congr
state_before: case e_f.h.e_a.e_a.e_a.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
state_after: case e_f.h.e_a.e_a.e_a.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = (∫ (x : Ω), X x ∂μ) * c
tactic: rw [mul_comm]
state_before: case e_f.h.e_a.e_a.e_a.e_a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω
⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = (∫ (x : Ω), X x ∂μ) * c
state_after: no goals
tactic: simp_rw [← smul_eq_mul, ← integral_smul_const, smul_eq_mul, mul_comm]