Theorem: ContinuousMultilinearMap.piEquiv_symm_apply
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap R M₁ (M' i)
⊢ (fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) (pi f) = f
state_after: case h.H
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap R M₁ (M' i)
x✝¹ : ι'
x✝ : (i : ι) → M₁ i
⊢ ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) (pi f) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
tactic: ext
state_before: case h.H
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → ContinuousMultilinearMap R M₁ (M' i)
x✝¹ : ι'
x✝ : (i : ι) → M₁ i
⊢ ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) (pi f) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
state_after: no goals
tactic: rfl
state_before: R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ ((i : ι') → M' i)
⊢ pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) f) = f
state_after: case H.h
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ ((i : ι') → M' i)
x✝¹ : (i : ι) → M₁ i
x✝ : ι'
⊢ (pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) f)) x✝¹ x✝ = f x✝¹ x✝
tactic: ext
state_before: case H.h
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f✝ f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (M' i)
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ ((i : ι') → M' i)
x✝¹ : (i : ι) → M₁ i
x✝ : ι'
⊢ (pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap f) f)) x✝¹ x✝ = f x✝¹ x✝
state_after: no goals
tactic: rfl