Theorem: ProbabilityTheory.Kernel.indep_biSup_limsup
File: Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean

Proof steps:
state_before: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ Indep (⨆ n ∈ t, s n) (limsup s f) κ μα
state_after: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ limsup s f ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
tactic: refine indep_of_indep_of_le_right (indep_biSup_compl h_le h_indep t) ?_
state_before: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ limsup s f ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
state_after: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ∀ᶠ (n : MeasurableSpace Ω) in Filter.map s f, n ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
tactic: refine limsSup_le_of_le (by isBoundedDefault) ?_
state_before: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ∀ᶠ (n : MeasurableSpace Ω) in Filter.map s f, n ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n
state_after: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in f, s a ≤ ⨆ n, ⨆ (_ : n ∉ t), s n
tactic: simp only [Set.mem_compl_iff, eventually_map]
state_before: α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in f, s a ≤ ⨆ n, ⨆ (_ : n ∉ t), s n
state_after: no goals
tactic: exact eventually_of_mem (hf t ht) le_iSup₂