Theorem: PartialHomeomorph.continuousWithinAt_writtenInExtend_iff
File: Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ContinuousWithinAt (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(f.extend I) y) ↔
    ContinuousWithinAt g s y
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y)
      (𝓝 ((↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) y))) ↔
    Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))
tactic: unfold ContinuousWithinAt
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y)
      (𝓝 ((↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) y))) ↔
    Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y)
      (𝓝 (↑(f'.extend I') (g (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y))))) ↔
    Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))
tactic: simp only [comp_apply]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y)
      (𝓝 (↑(f'.extend I') (g (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y))))) ↔
    Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) z ∈ f'.source
tactic: rw [extend_left_inv _ _ hy, f'.tendsto_extend_comp_iff _ _ hgy,
    ← f.map_extend_symm_nhdsWithin I hy, tendsto_map'_iff]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) z ∈ f'.source
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) a) ∈ f'.source
tactic: rw [← f.map_extend_nhdsWithin I hy, eventually_map]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) a) ∈ f'.source
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) z) ∈ f'.source
tactic: filter_upwards [inter_mem_nhdsWithin _ (f.open_source.mem_nhds hy)] with z hz
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) z) ∈ f'.source
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ g z ∈ f'.source
tactic: rw [comp_apply, extend_left_inv _ _ hz.2]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ g z ∈ f'.source
state_after: no goals
tactic: exact hmaps hz.1