Theorem: SpectrumRestricts.eq_zero_of_neg
File: Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean

Proof steps:
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ a = 0
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
tactic: nontriviality A
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
tactic: rw [SpectrumRestricts.nnreal_iff] at ha₁ ha₂
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ a = 0
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ σ ℝ a ⊆ {0}
tactic: apply CFC.eq_zero_of_spectrum_subset_zero (R := ℝ) a
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ σ ℝ a ⊆ {0}
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ y ∈ σ ℝ a, y = 0
tactic: rw [Set.subset_singleton_iff]
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ y ∈ σ ℝ a, y = 0
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
⊢ ∀ y ∈ σ ℝ a, y = 0
tactic: simp only [← spectrum.neg_eq, Set.mem_neg] at ha₂
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
⊢ ∀ y ∈ σ ℝ a, y = 0
state_after: case h.h
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
this : 0 ≤ x
⊢ x = 0
tactic: peel ha₁ with x hx _
state_before: case h.h
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
this : 0 ≤ x
⊢ x = 0
state_after: no goals
tactic: linarith [ha₂ (-x) ((neg_neg x).symm ▸ hx)]