ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: Module.isTorsionBySet_singleton_iff
File: Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
⊢ IsTorsionBySet R M {a} ↔ IsTorsionBy R M a
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : IsTorsionBy R M a
x : M
⊢ ∀ ⦃a_1 : ↑{a}⦄, ↑a_1 • x = 0
tactic: refine ⟨fun h x => @h _ ⟨_, Set.mem_singleton _⟩, fun h x => ?_⟩
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : IsTorsionBy R M a
x : M
⊢ ∀ ⦃a_1 : ↑{a}⦄, ↑a_1 • x = 0
state_after: case mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
x : M
b : R
h : IsTorsionBy R M b
⊢ ↑⟨b, ⋯⟩ • x = 0
tactic: rintro ⟨b, rfl : b = a⟩
state_before: case mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
x : M
b : R
h : IsTorsionBy R M b
⊢ ↑⟨b, ⋯⟩ • x = 0
state_after: no goals
tactic: exact @h _
Theorem: PiTensorProduct.mul_one
File: Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x : ⨂[R] (i : ι), A i
⊢ (mul x) ((tprod R) 1) = x
state_after: no goals
tactic: induction x using PiTensorProduct.induction_on with
  | smul_tprod => simp
  | add _ _ h1 h2 => simp [h1, h2]
Theorem: MeasureTheory.NullMeasurable.aemeasurable_of_aerange
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
t : Set β
inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑t
h : NullMeasurable f μ
hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ AEMeasurable f μ
state_after: case inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
h : NullMeasurable f μ
inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑∅
hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ ∅
⊢ AEMeasurable f μ

case inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
t : Set β
inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑t
h : NullMeasurable f μ
hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
hne : t.Nonempty
⊢ AEMeasurable f μ
tactic: rcases eq_empty_or_nonempty t with rfl | hne
Theorem: Nat.one_ascFactorial
File: Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean

Proof steps:
state_before: k : ℕ
⊢ ascFactorial 1 (k + 1) = (k + 1)!
state_after: no goals
tactic: rw [ascFactorial_succ, one_ascFactorial k, Nat.add_comm, factorial_succ]
Theorem: AlternatingMap.curryLeft_same
File: Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
x : Fin n → M''
⊢ Matrix.vecCons m (Matrix.vecCons m x) 0 = Matrix.vecCons m (Matrix.vecCons m x) 1
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: IsCompact.mem_prod_nhdsSet_of_forall
File: Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
K : Set Y
l : Filter X
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ y ∈ K, s ∈ l ×ˢ 𝓝 y
⊢ s ∈ ⨆ y ∈ K, l ×ˢ 𝓝 y
state_after: no goals
tactic: simpa using hs
Theorem: LinearMap.finiteDimensional_of_det_ne_one
File: Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
⊢ FiniteDimensional 𝕜 M
state_after: case pos
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } 𝕜 M)
⊢ FiniteDimensional 𝕜 M

case neg
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
H : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } 𝕜 M)
⊢ FiniteDimensional 𝕜 M
tactic: by_cases H : ∃ s : Finset M, Nonempty (Basis s 𝕜 M)
Theorem: OrdinalApprox.le_lfpApprox
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ≤ lfpApprox f x a
state_after: α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ≤ sSup ({x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x})
tactic: unfold lfpApprox
state_before: α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ≤ sSup ({x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x})
state_after: case a
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ∈ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}
tactic: apply le_sSup
state_before: case a
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}
⊢ x ∈ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}
state_after: no goals
tactic: simp only [exists_prop, Set.union_singleton, Set.mem_insert_iff, Set.mem_setOf_eq, true_or]
Theorem: Fintype.total_apply_single
File: Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ ((Fintype.total R S) v) (Pi.single i r) = r • v i
state_after: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ (∑ x : α, if x = i then r • v x else 0) = r • v i
tactic: simp_rw [Fintype.total_apply, Pi.single_apply, ite_smul, zero_smul]
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ (∑ x : α, if x = i then r • v x else 0) = r • v i
state_after: no goals
tactic: rw [Finset.sum_ite_eq', if_pos (Finset.mem_univ _)]
Theorem: CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.map_rightHomologyMap'
File: Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
⊢ F.map (rightHomologyMap' φ hr₁ hr₂) = rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
γ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
⊢ F.map (rightHomologyMap' φ hr₁ hr₂) = rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)
tactic: have γ : ShortComplex.RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂ := default
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
γ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
⊢ F.map (rightHomologyMap' φ hr₁ hr₂) = rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)
state_after: no goals
tactic: rw [γ.rightHomologyMap'_eq, (γ.map F).rightHomologyMap'_eq,
    ShortComplex.RightHomologyMapData.map_φH]
Theorem: SetTheory.PGame.quot_right_distrib
File: Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean

Proof steps:
state_before: x y z : PGame
⊢ ⟦(x + y) * z⟧ = ⟦x * z⟧ + ⟦y * z⟧
state_after: no goals
tactic: simp only [quot_mul_comm, quot_left_distrib]
Theorem: Multiset.prod_filter_mul_prod_filter_not
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (filter p s).prod * (filter (fun a => ¬p a) s).prod = s.prod
state_after: no goals
tactic: rw [← prod_add, filter_add_not]
Theorem: LinearMap.range_zero
File: Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
⊢ range 0 = ⊥
state_after: no goals
tactic: simpa only [range_eq_map] using Submodule.map_zero _
Theorem: Filter.EventuallyEq.hasLineDerivWithinAt_iff
File: Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₀ f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f₁ (x + t • v)

case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ f₀ (x + 0 • v) = f₁ (x + 0 • v)
tactic: apply hasDerivWithinAt_iff
Theorem: iUnion_Icc_add_zsmul
File: Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ n, Icc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
state_after: no goals
tactic: simpa only [iUnion_Ioc_add_zsmul hp a, univ_subset_iff] using
    iUnion_mono fun n : ℤ => (Ioc_subset_Icc_self : Ioc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) ⊆ Icc _ _)
Theorem: ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.setLIntegral
File: Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic x) ≠ ⊤
tactic: rw [← ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal (hf.integrable a x).restrict
    (ae_of_all _ (fun _ ↦ hf.nonneg _ _)), hf.setIntegral a hs x, ENNReal.ofReal_toReal]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic x) ≠ ⊤
state_after: no goals
tactic: exact measure_ne_top _ _
Theorem: RelEmbedding.prodLexMkRight_apply
File: Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
b : β
h : ¬s b b
⊢ ∀ {a b_1 : α},
    Prod.Lex r s ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } a) ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } b_1) ↔ r a b_1
state_after: no goals
tactic: simp [Prod.lex_def, h]
Theorem: LieSubmodule.comap_bracket_eq
File: Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ comap f ⁅I, N₂⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ comap f ⁅I, map f (comap f N₂)⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆
tactic: conv_lhs => rw [← map_comap_eq N₂ f hf₂]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ comap f ⁅I, map f (comap f N₂)⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆
state_after: no goals
tactic: rw [← map_bracket_eq, comap_map_eq _ f hf₁]
Theorem: Set.Finite.exists_finset_coe
File: Mathlib/Data/Set/Finite.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
⊢ ∃ s', ↑s' = s
state_after: case intro
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' = s
tactic: cases h.nonempty_fintype
state_before: case intro
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' = s
state_after: no goals
tactic: exact ⟨s.toFinset, s.coe_toFinset⟩
Theorem: HasCompactSupport.convolution_integrand_bound_right_of_subset
File: Mathlib/Analysis/Convolution.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖) t
state_after: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G
⊢ ‖g i‖ ≤ ⨆ i, ‖g i‖
tactic: refine convolution_integrand_bound_right_of_le_of_subset _ (fun i => ?_) hx hu
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G
⊢ ‖g i‖ ≤ ⨆ i, ‖g i‖
state_after: no goals
tactic: exact le_ciSup (hg.norm.bddAbove_range_of_hasCompactSupport hcg.norm) _
Theorem: MulAction.le_stabilizer_smul_left
File: Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
⊢ stabilizer G a ≤ stabilizer G (a • b)
state_after: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x • a = a → (x • a) • b = a • b
tactic: simp_rw [SetLike.le_def, mem_stabilizer_iff, ← smul_assoc]
state_before: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x • a = a → (x • a) • b = a • b
state_after: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
a : G
h : a • a✝ = a✝
⊢ (a • a✝) • b = a✝ • b
tactic: rintro a h
state_before: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
a : G
h : a • a✝ = a✝
⊢ (a • a✝) • b = a✝ • b
state_after: no goals
tactic: rw [h]
Theorem: Matrix.vandermonde_cons
File: Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) = Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i j : Fin (n + 1)
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i j
tactic: ext i j
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i j : Fin (n + 1)
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i j
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j
tactic: refine Fin.cases (by simp) (fun i => ?_) i
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j✝ : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j.succ =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j.succ
tactic: refine Fin.cases (by simp) (fun j => ?_) j
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j✝ : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j.succ =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j.succ
state_after: no goals
tactic: simp [pow_succ']