Theorem: ContinuousLinearMap.norm_iteratedFDerivWithin_le_of_bilinear_aux
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
Du Eu Fu Gu : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Du
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Du
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
B : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu
f : Du → Eu
g : Du → Fu
n : ℕ
s : Set Du
x : Du
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
    ‖B‖ *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
state_after: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
Du : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Du
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Du
s : Set Du
x : Du
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
Eu Fu Gu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
B : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu
f : Du → Eu
g : Du → Fu
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑0) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑0) g s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
    ‖B‖ *
      ∑ i ∈ Finset.range (0 + 1),
        ↑(Nat.choose 0 i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (0 - i) g s x‖

case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
Du : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Du
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Du
s : Set Du
x : Du
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu Fu Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu]
    [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] (B : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu)
    {f : Du → Eu} {g : Du → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
          ‖B‖ *
            ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
              ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
Eu Fu Gu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
B : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu
f : Du → Eu
g : Du → Fu
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) g s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
    ‖B‖ *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + 1),
        ↑((n + 1).choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1 - i) g s x‖
tactic: induction' n with n IH generalizing Eu Fu Gu