Theorem: setOf_liouvilleWith_subset_aux
File: Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

Proof steps:
state_before: ⊢ {x | ∃ p > 2, LiouvilleWith p x} ⊆
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
state_after: case intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
tactic: rintro x ⟨p, hp, hxp⟩
state_before: case intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
state_after: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < p - 2
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
tactic: rcases exists_nat_one_div_lt (sub_pos.2 hp) with ⟨n, hn⟩
state_before: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < p - 2
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
state_after: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
tactic: rw [lt_sub_iff_add_lt'] at hn
state_before: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ x ∈
    ⋃ m,
      (fun x => x + ↑m) ⁻¹'
        ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}
state_after: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ ∀ (y : ℝ),
    LiouvilleWith p y →
      y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: suffices ∀ y : ℝ, LiouvilleWith p y → y ∈ Ico (0 : ℝ) 1 → ∃ᶠ b : ℕ in atTop,
      ∃ a ∈ Finset.Icc (0 : ℤ) b, |y - a / b| < 1 / (b : ℝ) ^ (2 + 1 / (n + 1 : ℕ) : ℝ) by
    simp only [mem_iUnion, mem_preimage]
    have hx : x + ↑(-⌊x⌋) ∈ Ico (0 : ℝ) 1 := by
      simp only [Int.floor_le, Int.lt_floor_add_one, add_neg_lt_iff_le_add', zero_add, and_self_iff,
        mem_Ico, Int.cast_neg, le_add_neg_iff_add_le]
    exact ⟨-⌊x⌋, n + 1, n.succ_pos, this _ (hxp.add_int _) hx⟩
state_before: case intro.intro.intro
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ ∀ (y : ℝ),
    LiouvilleWith p y →
      y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ ∀ (y : ℝ),
    LiouvilleWith p y →
      y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: clear hxp x
state_before: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ ∀ (y : ℝ),
    LiouvilleWith p y →
      y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: intro x hxp hx01
state_before: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))) ∧ 1 ≤ x_1 →
      ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑x_1, |x - ↑a / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: refine ((hxp.frequently_lt_rpow_neg hn).and_eventually (eventually_ge_atTop 1)).mono ?_
state_before: case intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))) ∧ 1 ≤ x_1 →
      ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑x_1, |x - ↑a / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))
⊢ ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: rintro b ⟨⟨a, -, hlt⟩, hb⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))
⊢ ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
tactic: rw [rpow_neg b.cast_nonneg, ← one_div, ← Nat.cast_succ] at hlt
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
tactic: refine ⟨a, ?_, hlt⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
hb : 1 ≤ b
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
hb : 1 ≤ ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
tactic: replace hb : (1 : ℝ) ≤ b := Nat.one_le_cast.2 hb
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
hb : 1 ≤ ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
tactic: have hb0 : (0 : ℝ) < b := zero_lt_one.trans_le hb
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
tactic: replace hlt : |x - a / b| < 1 / b := by
    refine hlt.trans_le (one_div_le_one_div_of_le hb0 ?_)
    calc
      (b : ℝ) = (b : ℝ) ^ (1 : ℝ) := (rpow_one _).symm
      _ ≤ (b : ℝ) ^ (2 + 1 / (n + 1 : ℕ) : ℝ) :=
        rpow_le_rpow_of_exponent_le hb (one_le_two.trans ?_)
    simpa using n.cast_add_one_pos.le
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
tactic: rw [sub_div' _ _ _ hb0.ne', abs_div, abs_of_pos hb0, div_lt_div_right hb0, abs_sub_lt_iff,
    sub_lt_iff_lt_add, sub_lt_iff_lt_add, ← sub_lt_iff_lt_add'] at hlt
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ ↑(-1) < ↑a ∧ ↑a < ↑(1 + ↑b)
tactic: rw [Finset.mem_Icc, ← Int.lt_add_one_iff, ← Int.lt_add_one_iff, ← neg_lt_iff_pos_add, add_comm, ←
    @Int.cast_lt ℝ, ← @Int.cast_lt ℝ]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ ↑(-1) < ↑a ∧ ↑a < ↑(1 + ↑b)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + ↑b
tactic: push_cast
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + ↑b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 ≤ x * ↑b - 1

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 1 + x * ↑b ≤ 1 + ↑b
tactic: refine ⟨lt_of_le_of_lt ?_ hlt.1, hlt.2.trans_le ?_⟩