Theorem: HasFPowerSeriesOnBall.fderiv
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (_root_.fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x r
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x r

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = _root_.fderiv 𝕜 f z
tactic: refine .congr (f := fun z ↦ continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F (p.changeOrigin (z - x) 1)) ?_
    fun z hz ↦ ?_
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = _root_.fderiv 𝕜 f z
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1) = _root_.fderiv 𝕜 f z
tactic: dsimp only
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1) = _root_.fderiv 𝕜 f z
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ ↑‖z - x‖₊ < r
tactic: rw [← h.fderiv_eq, add_sub_cancel]
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ ↑‖z - x‖₊ < r
state_after: no goals
tactic: simpa only [edist_eq_coe_nnnorm_sub, EMetric.mem_ball] using hz