Theorem: Orientation.oangle_add_left_smul_rotation_pi_div_two
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean

Proof steps:
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
state_after: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r = 0
⊢ o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)

case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
tactic: by_cases hr : r = 0
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
tactic: rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj, ←
    neg_neg ((π / 2 : ℝ) : Real.Angle), ← rotation_neg_orientation_eq_neg, add_comm]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
tactic: have hx : x = r⁻¹ • (-o).rotation (π / 2 : ℝ) (r • (-o).rotation (-(π / 2 : ℝ)) x) := by simp [hr]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
      (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)) =
    ↑(Real.arctan r⁻¹)
tactic: nth_rw 3 [hx]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
      (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)) =
    ↑(Real.arctan r⁻¹)
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x ≠ 0
tactic: refine (-o).oangle_add_right_smul_rotation_pi_div_two ?_ _
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)
⊢ r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x ≠ 0
state_after: no goals
tactic: simp [hr, h]