Theorem: MulAction.automorphize_smul_left
File: Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) = g • automorphize f
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
tactic: ext x
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
tactic: apply @Quotient.inductionOn' β (MulAction.orbitRel α β) _ x _
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
⊢ ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
tactic: intro b
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
tactic: simp only [automorphize, Pi.smul_apply', comp_apply]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
tactic: set π : β → Quotient (MulAction.orbitRel α β) := Quotient.mk (MulAction.orbitRel α β)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
tactic: have H₁ : ∀ a : α, π (a • b) = π b := by
    intro a
    apply (@Quotient.eq _ (MulAction.orbitRel α β) (a • b) b).mpr
    use a
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) =
    g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ ∑' (a : α), g (π (a • b)) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
tactic: change ∑' a : α, g (π (a • b)) • f (a • b) = g (π b) • ∑' a : α, f (a • b)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ ∑' (a : α), g (π (a • b)) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ ∑' (a : α), g (π b) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
tactic: simp_rw [H₁]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
⊢ ∑' (a : α), g (π b) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
state_after: no goals
tactic: exact tsum_const_smul'' _