Theorem: PresheafOfModules.Sheafify.smul_add
File: Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
state_after: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
tactic: let S := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
state_before: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
state_after: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
tactic: have hS : S ∈ J X.unop := by
    refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
    all_goals apply Presheaf.imageSieve_mem
state_before: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
state_after: case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
    S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
tactic: apply A.isSeparated _ _ hS
state_before: case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
    S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
state_after: case a.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀' : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀' = (A.val.map f.op) m'
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
tactic: rintro Y f ⟨⟨⟨r₀, hr₀⟩, ⟨m₀ : M₀.presheaf.obj _, hm₀⟩⟩, ⟨m₀' : M₀.presheaf.obj _, hm₀'⟩⟩
state_before: case a.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀' : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀' = (A.val.map f.op) m'
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
state_after: no goals
tactic: erw [(A.val.map f.op).map_add, map_smul_eq α φ r m f.op r₀ hr₀ m₀ hm₀,
    map_smul_eq α φ r m' f.op r₀ hr₀ m₀' hm₀',
    map_smul_eq α φ r (m + m') f.op r₀ hr₀ (m₀ + m₀')
      (by erw [map_add, map_add, hm₀, hm₀']; rfl),
    smul_add, map_add]