Theorem: EReal.limsup_add_bot_of_ne_top
File: Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean

Proof steps:
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ limsup (u + v) f = ⊥
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ limsup (u + v) f ≤ ⊥
tactic: apply le_bot_iff.1
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ limsup (u + v) f ≤ ⊥
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ ∀ (z : ℝ), ⊥ < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z
tactic: apply (le_iff_le_forall_real_gt ⊥ (limsup (u + v) f)).1
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
⊢ ∀ (z : ℝ), ⊥ < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x : ℝ
⊢ ⊥ < ↑x → limsup (u + v) f ≤ ↑x
tactic: intro x
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x : ℝ
⊢ ⊥ < ↑x → limsup (u + v) f ≤ ↑x
state_after: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
⊢ ⊥ < ↑x → limsup (u + v) f ≤ ↑x
tactic: rcases exists_between_coe_real (h'.lt_top) with ⟨y, ⟨hy, _⟩⟩
state_before: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
⊢ ⊥ < ↑x → limsup (u + v) f ≤ ↑x
state_after: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
⊢ ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y → limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y
tactic: rw [← sub_add_cancel x y, coe_add (x - y) y, coe_sub x y]
state_before: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
⊢ ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y → limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y
state_after: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y
tactic: intro _
state_before: case intro.intro
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ limsup u f < ↑x - ↑y
tactic: apply @limsup_add_le_of_lt α f u v (x - y) y _ hy
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ limsup u f < ↑x - ↑y
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ ⊥ < ↑(x - y)
tactic: rw [h, ← coe_sub x y]
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y
⊢ ⊥ < ↑(x - y)
state_after: no goals
tactic: exact bot_lt_coe (x - y)