Theorem: exists_seq_norm_le_one_le_norm_sub
File: Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
state_after: case intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
tactic: obtain ⟨c, hc⟩ : ∃ c : 𝕜, 1 < ‖c‖ := NormedField.exists_one_lt_norm 𝕜
state_before: case intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
state_after: case intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
tactic: have A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1 := by linarith
state_before: case intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
f : ℕ → E
hf : (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
tactic: rcases exists_seq_norm_le_one_le_norm_sub' hc A h with ⟨f, hf⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
f : ℕ → E
hf : (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
state_after: no goals
tactic: exact ⟨‖c‖ + 1, f, hc.trans A, hf.1, hf.2⟩