Theorem: HomologicalComplex.truncGE'.d_comp_d
File: Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/TruncGE.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j k : ι
⊢ d K e i j ≫ d K e j k = 0
state_after: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j k : ι
⊢ ((if hij : c.Rel i j then
        if hi : e.BoundaryGE i then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) ≫
      if hij : c.Rel j k then
        if hi : e.BoundaryGE j then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) =
    0
tactic: dsimp [d]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j k : ι
⊢ ((if hij : c.Rel i j then
        if hi : e.BoundaryGE i then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) ≫
      if hij : c.Rel j k then
        if hi : e.BoundaryGE j then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) =
    0
state_after: case pos
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j k : ι
hij : c.Rel i j
⊢ ((if hij : c.Rel i j then
        if hi : e.BoundaryGE i then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) ≫
      if hij : c.Rel j k then
        if hi : e.BoundaryGE j then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) =
    0

case neg
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j k : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ ((if hij : c.Rel i j then
        if hi : e.BoundaryGE i then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) ≫
      if hij : c.Rel j k then
        if hi : e.BoundaryGE j then (XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
        else (XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f j) (e.f k) ≫ (XIso K e ⋯).inv
      else 0) =
    0
tactic: by_cases hij : c.Rel i j