Theorem: FormalMultilinearSeries.isLittleO_of_lt_radius
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
tactic: have := (TFAE_exists_lt_isLittleO_pow (fun n => ‖p n‖ * (r : ℝ) ^ n) 1).out 1 4
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: rw [this]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
h : ∃ i i_1, ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ i_1), ↑r < ↑i
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: simp only [radius, lt_iSup_iff] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
h : ∃ i i_1, ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ i_1), ↑r < ↑i
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: rcases h with ⟨t, C, hC, rt⟩
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : r < t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: ENNReal.coe_lt_coe,
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : r < t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: ← NNReal.coe_lt_coe
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
this : 0 < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: have : 0 < (t : ℝ) := r.coe_nonneg.trans_lt rt
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
this : 0 < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
tactic: rw [← div_lt_one this] at rt
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * (↑r / ↑t) ^ n
tactic: refine ⟨_, rt, C, Or.inr zero_lt_one, fun n => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * (↑r / ↑t) ^ n
state_after: no goals
tactic: calc
    |‖p n‖ * (r : ℝ) ^ n| = ‖p n‖ * (t : ℝ) ^ n * (r / t : ℝ) ^ n := by
      field_simp [mul_right_comm, abs_mul]
    _ ≤ C * (r / t : ℝ) ^ n := by gcongr; apply hC