Theorem: entry_norm_bound_of_unitary
File: Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Matrix.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
tactic: have diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = (∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2 : ℝ) := by
    simp only [Matrix.mul_apply, Matrix.conjTranspose_apply, ← starRingEnd_apply, RCLike.mul_conj,
      RCLike.normSq_eq_def', RCLike.ofReal_pow]; norm_cast
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
tactic: have re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2 := by
    rw [RCLike.ext_iff] at diag_eq_norm_sum
    rw [diag_eq_norm_sum.1]
    norm_cast
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
tactic: have mul_eq_one : U * Uᴴ = 1 := unitary.mul_star_self_of_mem hU
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
tactic: have diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1 := by
    simp only [mul_eq_one, eq_self_iff_true, Matrix.one_apply_eq, RCLike.one_re]
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ≤ 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
tactic: rw [← sq_le_one_iff (norm_nonneg (U i j)), ← diag_eq_one, re_diag_eq_norm_sum]
state_before: 𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i j : n
norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)
re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
mul_eq_one : U * Uᴴ = 1
diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1
⊢ ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2
state_after: no goals
tactic: exact norm_sum