Theorem: Convex.second_derivative_within_at_symmetric
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: rcases hne with ⟨y, hy⟩
state_before: case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: obtain ⟨z, hz⟩ : ∃ z, z = ((1 : ℝ) / 4) • (y - x) := ⟨((1 : ℝ) / 4) • (y - x), rfl⟩
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: have A : ∀ m : E, Filter.Tendsto (fun t : ℝ => x + (4 : ℝ) • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y) := by
    intro m
    have : x + (4 : ℝ) • (z + (0 : ℝ) • m) = y := by simp [hz]
    rw [← this]
    refine tendsto_const_nhds.add <| tendsto_const_nhds.smul <| tendsto_const_nhds.add ?_
    exact continuousAt_id.smul continuousAt_const
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: have B : ∀ m : E, ∀ᶠ t in 𝓝[>] (0 : ℝ), x + (4 : ℝ) • (z + t • m) ∈ interior s := by
    intro m
    apply nhdsWithin_le_nhds
    apply A m
    rw [mem_interior_iff_mem_nhds] at hy
    exact interior_mem_nhds.2 hy
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: choose t ts tpos using fun m => ((B m).and self_mem_nhdsWithin).exists
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: have C : ∀ m : E, f'' m z = f'' z m := by
    intro m
    have : f'' (z + t m • m) (z + t 0 • (0 : E)) = f'' (z + t 0 • (0 : E)) (z + t m • m) :=
      s_conv.second_derivative_within_at_symmetric_of_mem_interior hf xs hx (ts 0) (ts m)
    simp only [ContinuousLinearMap.map_add, ContinuousLinearMap.map_smul, add_right_inj,
      ContinuousLinearMap.add_apply, Pi.smul_apply, ContinuousLinearMap.coe_smul', add_zero,
      ContinuousLinearMap.zero_apply, smul_zero, ContinuousLinearMap.map_zero] at this
    exact smul_right_injective F (tpos m).ne' this
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (f'' (z + t v • v)) (z + t w • w) = (f'' (z + t w • w)) (z + t v • v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: have : f'' (z + t v • v) (z + t w • w) = f'' (z + t w • w) (z + t v • v) :=
    s_conv.second_derivative_within_at_symmetric_of_mem_interior hf xs hx (ts w) (ts v)
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (f'' (z + t v • v)) (z + t w • w) = (f'' (z + t w • w)) (z + t v • v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: simp only [ContinuousLinearMap.map_add, ContinuousLinearMap.map_smul, smul_add, smul_smul,
    ContinuousLinearMap.add_apply, Pi.smul_apply, ContinuousLinearMap.coe_smul', C] at this
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
tactic: rw [add_assoc, add_assoc, add_right_inj, add_left_comm, add_right_inj, add_right_inj, mul_comm]
    at this
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
state_after: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ t v * t w ≠ 0
tactic: apply smul_right_injective F _ this
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ t v * t w ≠ 0
state_after: no goals
tactic: simp [(tpos v).ne', (tpos w).ne']