Theorem: Convex.strictConvex
File: Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
⊢ StrictConvex 𝕜 s
state_after: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ fun ⦃a b⦄ => ([a-[𝕜]b] \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap a b) c ∈ interior s
tactic: refine hs.strictConvex' <| h.imp_on fun x hx y hy _ => ?_
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ fun ⦃a b⦄ => ([a-[𝕜]b] \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap a b) c ∈ interior s
state_after: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ (⇑(lineMap x y) '' Icc 0 1 \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
tactic: simp only [segment_eq_image_lineMap, ← self_diff_frontier]
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
⊢ (⇑(lineMap x y) '' Icc 0 1 \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
tactic: rintro ⟨_, ⟨⟨c, hc, rfl⟩, hcs⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ (lineMap x y) c ∈ [x-[𝕜]y]
tactic: refine ⟨c, hs.segment_subset hx.1 hy.1 ?_, hcs⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty
x : E
hx : x ∈ s \ interior s
y : E
hy : y ∈ s \ interior s
x✝ : x ≠ y
c : 𝕜
hc : c ∈ Icc 0 1
hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s
⊢ (lineMap x y) c ∈ [x-[𝕜]y]
state_after: no goals
tactic: exact (segment_eq_image_lineMap 𝕜 x y).symm ▸ mem_image_of_mem _ hc