Theorem: Order.embedding_from_countable_to_dense
File: Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: cases nonempty_encodable α
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: rcases exists_pair_lt β with ⟨x, y, hxy⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: cases' exists_between hxy with a ha
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: haveI : Nonempty (Set.Ioo x y) := ⟨⟨a, ha⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: let our_ideal : Ideal (PartialIso α _) :=
    idealOfCofinals default (definedAtLeft (Set.Ioo x y))
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ↪o β)
tactic: let F a := funOfIdeal a our_ideal (cofinal_meets_idealOfCofinals _ _ a)
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ↪o β)
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
tactic: refine
    ⟨RelEmbedding.trans (OrderEmbedding.ofStrictMono (fun a ↦ (F a).val) fun a₁ a₂ ↦ ?_)
        (OrderEmbedding.subtype _)⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
tactic: rcases (F a₁).prop with ⟨f, hf, ha₁⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
tactic: rcases (F a₂).prop with ⟨g, hg, ha₂⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
m : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
_hm : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
tactic: rcases our_ideal.directed _ hf _ hg with ⟨m, _hm, fm, gm⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
m : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
_hm : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
state_after: no goals
tactic: exact (lt_iff_lt_of_cmp_eq_cmp <| m.prop (a₁, _) (fm ha₁) (a₂, _) (gm ha₂)).mp