Theorem: Ring.DirectLimit.of_injective
File: Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)
state_after: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
⊢ ∀ (x : G i), (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
tactic: suffices ∀ x, of G (fun i j h => f' i j h) i x = 0 → x = 0 by
    intro x y hxy
    rw [← sub_eq_zero]
    apply this
    rw [(of G _ i).map_sub, hxy, sub_self]
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
⊢ ∀ (x : G i), (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
state_after: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
⊢ x = 0
tactic: intro x hx
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
⊢ x = 0
state_after: case intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ x = 0
tactic: rcases of.zero_exact hx with ⟨j, hij, hfx⟩
state_before: case intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ x = 0
state_after: case intro.intro.a
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ (f' i j hij) x = (f' i j hij) 0
tactic: apply hf i j hij
state_before: case intro.intro.a
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ (f' i j hij) x = (f' i j hij) 0
state_after: no goals
tactic: rw [hfx, (f' i j hij).map_zero]