Theorem: is_simple_module_of_finrank_eq_one
File: Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
⊢ IsSimpleOrder (Submodule A V)
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
⊢ IsSimpleOrder (Submodule A V)
tactic: haveI := nontrivial_of_finrank_eq_succ h
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
⊢ IsSimpleOrder (Submodule A V)
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬S = ⊥
⊢ S = ⊤
tactic: refine ⟨fun S => or_iff_not_imp_left.2 fun hn => ?_⟩
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬S = ⊥
⊢ S = ⊤
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
tactic: rw [← restrictScalars_inj K] at hn ⊢
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
tactic: haveI : FiniteDimensional _ _ := .of_finrank_eq_succ h
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(restrictScalars K S)
tactic: refine eq_top_of_finrank_eq ((Submodule.finrank_le _).antisymm ?_)
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(restrictScalars K S)
state_after: no goals
tactic: simpa only [h, finrank_bot] using Submodule.finrank_strictMono (Ne.bot_lt hn)