Theorem: Submodule.isInternal_prime_power_torsion
File: Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
state_after: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
tactic: have hM' := Module.isTorsionBySet_annihilator_top R M
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
state_after: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
tactic: have hI := Submodule.annihilator_top_inter_nonZeroDivisors hM
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
state_after: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
tactic: refine isInternal_prime_power_torsion_of_is_torsion_by_ideal ?_ hM'
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
state_after: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
tactic: rw [← Set.nonempty_iff_ne_empty] at hI
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty
⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
state_after: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty
⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
tactic: rw [Submodule.ne_bot_iff]
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty
⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
state_after: case intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
x : R
H : x ∈ ↑⊤.annihilator
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)
⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
tactic: obtain ⟨x, H, hx⟩ := hI
state_before: case intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
x : R
H : x ∈ ↑⊤.annihilator
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)
⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
state_after: no goals
tactic: exact ⟨x, H, nonZeroDivisors.ne_zero hx⟩