Theorem: cfcₙ_nonneg_iff
File: Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1140245) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ 0 ≤ cfcₙ f a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (x : ↑(σₙ R a)), 0 x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔
    ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
tactic: rw [cfcₙ_apply .., cfcₙHom_nonneg_iff, ContinuousMapZero.le_def]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (x : ↑(σₙ R a)), 0 x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔
    ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (a_1 : R) (b : a_1 ∈ σₙ R a), 0 ⟨a_1, b⟩ ≤ f a_1) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
tactic: simp only [ContinuousMapZero.coe_mk, ContinuousMap.coe_mk, Set.restrict_apply, Subtype.forall]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (∀ (a_1 : R) (b : a_1 ∈ σₙ R a), 0 ⟨a_1, b⟩ ≤ f a_1) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
state_after: no goals
tactic: congr!