Theorem: precise_refinement
File: Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ (fun r => ↑r) a
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
tactic: have := ParacompactSpace.locallyFinite_refinement (range u) (fun r ↦ (r : Set X))
    (forall_subtype_range_iff.2 uo) (by rwa [← sUnion_range, Subtype.range_coe])
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ (fun r => ↑r) a
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ (∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i) ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ i, t b ⊆ u i
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
tactic: simp only [exists_subtype_range_iff, iUnion_eq_univ_iff] at this
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ (∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i) ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ i, t b ⊆ u i
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
hXt : ∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i
htf : LocallyFinite t
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
tactic: choose α t hto hXt htf ind hind using this
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
hXt : ∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i
htf : LocallyFinite t
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
htf : LocallyFinite t
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
tactic: choose t_inv ht_inv using hXt
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
htf : LocallyFinite t
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
tactic: choose U hxU hU using htf
state_before: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
state_after: case refine_1
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), IsOpen ((fun i => ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a)

case refine_2
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ⋃ i, (fun i => ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) i = univ

case refine_3
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ LocallyFinite fun i => ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a

case refine_4
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), (fun i => ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a ⊆ u a
tactic: refine ⟨fun i ↦ ⋃ (a : α) (_ : ind a = i), t a, ?_, ?_, ?_, ?_⟩