Theorem: Algebra.discr_powerBasis_eq_prod
File: Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean

Proof steps:
state_before: A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
state_after: A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ ∏ x : Fin pb.dim, (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2 =
    ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
tactic: rw [discr_eq_det_embeddingsMatrixReindex_pow_two K E pb.basis e,
    embeddingsMatrixReindex_eq_vandermonde, det_transpose, det_vandermonde, ← prod_pow]
state_before: A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ ∏ x : Fin pb.dim, (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2 =
    ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
state_after: case e_f
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (fun x => (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2) = fun i => ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
tactic: congr
state_before: case e_f
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (fun x => (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2) = fun i => ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
state_after: case e_f.h
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
i : Fin pb.dim
⊢ (∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen)) ^ 2 = ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
tactic: ext i
state_before: case e_f.h
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
i : Fin pb.dim
⊢ (∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen)) ^ 2 = ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2
state_after: no goals
tactic: rw [← prod_pow]