Theorem: not_monotone_not_antitone_iff_exists_le_le
File: Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
tactic: simp_rw [Monotone, Antitone, not_forall, not_le]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) →
    (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1

case refine_2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) →
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
tactic: refine Iff.symm ⟨?_, ?_⟩
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) →
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
tactic: rintro ⟨⟨a, b, hab, hfba⟩, c, d, hcd, hfcd⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
tactic: obtain hda | had := le_total d a
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
tactic: obtain hac | hca := le_total a c