Theorem: threeAPFree_frontier
File: Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
⊢ ThreeAPFree (frontier s)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
b : E
hb : b ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
habc : a + c = b + b
⊢ a = b
tactic: intro a ha b hb c hc habc
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
b : E
hb : b ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
habc : a + c = b + b
⊢ a = b
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
⊢ a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
tactic: obtain rfl : (1 / 2 : 𝕜) • a + (1 / 2 : 𝕜) • c = b := by
    rwa [← smul_add, one_div, inv_smul_eq_iff₀ (show (2 : 𝕜) ≠ 0 by norm_num), two_smul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
⊢ a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
tactic: have :=
    hs₁.eq (hs₀.frontier_subset ha) (hs₀.frontier_subset hc) one_half_pos one_half_pos
      (add_halves _) hb.2
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ c = (2⁻¹ + 2⁻¹) • c
tactic: simp [this, ← add_smul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ c = (2⁻¹ + 2⁻¹) • c
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ c = 1 • c
tactic: ring_nf
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
⊢ c = 1 • c
state_after: no goals
tactic: simp