Theorem: Polynomial.degree_map_eq_iff
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
state_after: case inl
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p = 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0

case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
tactic: rcases eq_or_ne p 0 with h|h
state_before: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
state_after: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0
tactic: simp only [h, or_false]
state_before: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0
state_after: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
tactic: refine ⟨fun h2 ↦ ?_, degree_map_eq_of_leadingCoeff_ne_zero f⟩
state_before: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
state_after: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
tactic: have h3 : natDegree (map f p) = natDegree p := by simp_rw [natDegree, h2]
state_before: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
state_after: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
h4 : map f p ≠ 0
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
tactic: have h4 : map f p ≠ 0 := by
    rwa [ne_eq, ← degree_eq_bot, h2, degree_eq_bot]
state_before: case inr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
h4 : map f p ≠ 0
⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
state_after: no goals
tactic: rwa [← coeff_natDegree, ← coeff_map, ← h3, coeff_natDegree, ne_eq, leadingCoeff_eq_zero]