Theorem: MeasureTheory.Lp.ae_tendsto_of_cauchy_eLpNorm'
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: have h_summable : ∀ᵐ x ∂μ, Summable fun i : ℕ => f (i + 1) x - f i x := by
    have h1 :
      ∀ n, eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' i, B i :=
      eLpNorm'_sum_norm_sub_le_tsum_of_cauchy_eLpNorm' hf hp1 h_cau
    have h2 :
      ∀ n,
        (∫⁻ a, (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ≤
          (∑' i, B i) ^ p :=
      fun n => lintegral_rpow_sum_coe_nnnorm_sub_le_rpow_tsum hp1 n (h1 n)
    have h3 : (∫⁻ a, (∑' i, ‖f (i + 1) a - f i a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' i, B i :=
      lintegral_rpow_tsum_coe_nnnorm_sub_le_tsum hf hp1 h2
    have h4 : ∀ᵐ x ∂μ, (∑' i, ‖f (i + 1) x - f i x‖₊ : ℝ≥0∞) < ∞ :=
      tsum_nnnorm_sub_ae_lt_top hf hp1 hB h3
    exact h4.mono fun x hx => .of_nnnorm <| ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable.mp hx.ne
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: have h :
    ∀ᵐ x ∂μ, ∃ l : E,
      atTop.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) (𝓝 l) := by
    refine h_summable.mono fun x hx => ?_
    let hx_sum := hx.hasSum.tendsto_sum_nat
    exact ⟨∑' i, (f (i + 1) x - f i x), hx_sum⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
hx : ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: refine h.mono fun x hx => ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
hx : ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: cases' hx with l hx
state_before: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: have h_rw_sum :
      (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x := by
    ext1 n
    change
      (∑ i ∈ Finset.range n, ((fun m => f m x) (i + 1) - (fun m => f m x) i)) = f n x - f 0 x
    rw [Finset.sum_range_sub (fun m => f m x)]
state_before: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: rw [h_rw_sum] at hx
state_before: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
tactic: have hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x := by
    ext1 n
    abel
state_before: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
state_after: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x - f 0 x + f 0 x) atTop (𝓝 l)
tactic: rw [hf_rw]
state_before: case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)
x : α
l : E
hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)
h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x
hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n => f n x - f 0 x + f 0 x) atTop (𝓝 l)
state_after: no goals
tactic: exact ⟨l + f 0 x, Tendsto.add_const _ hx⟩