Theorem: Algebra.IsPushout.symm
File: Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
⊢ IsPushout R R' S S'
state_after: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
⊢ IsPushout R R' S S'
tactic: let _ := (Algebra.TensorProduct.includeRight : R' →ₐ[R] S ⊗ R').toRingHom.toAlgebra
state_before: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
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P : Type u_2
Q : Type u_3
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inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
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inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ IsPushout R R' S S'
state_after: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
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inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
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inst✝¹⁷ : Algebra R T
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inst✝¹² : Module S O
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inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
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R' : Type u_6
S' : Type u_7
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inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsPushout R R' S S'
tactic: have :
    (toAlgHom R S S').toLinearMap =
      (e.toLinearMap.restrictScalars R).comp (TensorProduct.mk R R' S 1) := by
    ext
    simp [h.1.equiv_tmul, Algebra.smul_def]
state_before: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
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inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
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inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
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inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
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inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsPushout R R' S S'
state_after: case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
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inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsBaseChange R' (toAlgHom R S S').toLinearMap
tactic: constructor
state_before: case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
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inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
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f : M →ₗ[R] N
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P : Type u_2
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inst✝¹⁷ : Algebra R T
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inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
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inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsBaseChange R' (toAlgHom R S S').toLinearMap
state_after: case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
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inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsBaseChange R' (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1)
tactic: rw [this]
state_before: case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsBaseChange R' (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1)
state_after: no goals
tactic: exact (TensorProduct.isBaseChange R S R').comp (IsBaseChange.ofEquiv e)