Theorem: CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.pushforwardFamily_compatible
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
⊢ (pushforwardFamily α x).Compatible
state_after: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
⊢ ∀ {Z : D} {W₁ W₂ : C} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁) (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂),
    iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ →
      ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
tactic: suffices ∀ {Z W₁ W₂} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁)
      (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂), iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ →
      ℱ'.1.map iZW₁.op (α.app _ (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.1.map iZW₂.op (α.app _ (ℱ.map iWX₂.op x)) by
    rintro Y₁ Y₂ Z iZY₁ iZY₂ f₁ f₂ h₁ h₂ e
    simp only [pushforwardFamily, ← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← op_comp]
    generalize Nonempty.some h₁ = l₁
    generalize Nonempty.some h₂ = l₂
    obtain ⟨W₁, iYW₁, iWX₁, rfl⟩ := l₁
    obtain ⟨W₂, iYW₂, iWX₂, rfl⟩ := l₂
    exact this _ _ _ _ (by simpa only [Category.assoc] using e)
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
⊢ ∀ {Z : D} {W₁ W₂ : C} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁) (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂),
    iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ →
      ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
state_after: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
⊢ ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
tactic: introv e
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
⊢ ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
state_after: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
V : C
iVZ : G.obj V ⟶ Z
⊢ ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x))) =
    ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x)))
tactic: refine ext G _ _ fun V iVZ ↦ ?_
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
V : C
iVZ : G.obj V ⟶ Z
⊢ ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x))) =
    ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x)))
state_after: no goals
tactic: simp only [← op_comp, ← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← Functor.map_comp, naturality_apply,
    Category.assoc, e]