Theorem: card_support_eq_three_iff
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ σ.support.card = 3 ↔ σ.IsThreeCycle
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: refine ⟨fun h => ?_, IsThreeCycle.card_support⟩
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : σ.cycleType = 0
⊢ σ.IsThreeCycle

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: by_cases h0 : σ.cycleType = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := exists_mem_of_ne_zero h0
state_before: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : σ.cycleType.erase n = 0
⊢ σ.IsThreeCycle

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: by_cases h1 : σ.cycleType.erase n = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: obtain ⟨m, hm⟩ := exists_mem_of_ne_zero h1
state_before: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: rw [← sum_cycleType, ← cons_erase hn, ← cons_erase hm, Multiset.sum_cons, Multiset.sum_cons] at h
state_before: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
this : ∀ {k : ℕ}, 2 ≤ m → 2 ≤ n → n + (m + k) = 3 → False
⊢ σ.IsThreeCycle
tactic: have : ∀ {k}, 2 ≤ m → 2 ≤ n → n + (m + k) = 3 → False := by omega
state_before: case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
this : ∀ {k : ℕ}, 2 ≤ m → 2 ≤ n → n + (m + k) = 3 → False
⊢ σ.IsThreeCycle
state_after: no goals
tactic: cases this (two_le_of_mem_cycleType (mem_of_mem_erase hm)) (two_le_of_mem_cycleType hn) h