Theorem: finsum_sum_comm
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
tactic: have hU :
    (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆
      (s.finite_toSet.biUnion fun b hb => h b (Finset.mem_coe.1 hb)).toFinset := by
    rw [Finite.coe_toFinset]
    intro x hx
    simp only [exists_prop, mem_iUnion, Ne, mem_mulSupport, Finset.mem_coe]
    contrapose! hx
    rw [mem_mulSupport, not_not, Finset.prod_congr rfl hx, Finset.prod_const_one]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ y ∈ s, ∏ x ∈ ⋯.toFinset, f x y = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
tactic: rw [finprod_eq_prod_of_mulSupport_subset _ hU, Finset.prod_comm]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ y ∈ s, ∏ x ∈ ⋯.toFinset, f x y = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
⊢ (mulSupport fun x => f x b) ⊆ ↑⋯.toFinset
tactic: refine Finset.prod_congr rfl fun b hb => (finprod_eq_prod_of_mulSupport_subset _ ?_).symm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
⊢ (mulSupport fun x => f x b) ⊆ ↑⋯.toFinset
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b
⊢ a ∈ ↑⋯.toFinset
tactic: intro a ha
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b
⊢ a ∈ ↑⋯.toFinset
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑s), a ∈ mulSupport fun a => f a i
tactic: simp only [Finite.coe_toFinset, mem_iUnion]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑s), a ∈ mulSupport fun a => f a i
state_after: no goals
tactic: exact ⟨b, hb, ha⟩