Theorem: ConvexOn.map_add_sum_le
File: Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
tactic: let W j := Option.elim j v w
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
tactic: let P j := Option.elim j q p
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
this : f (∑ j ∈ insertNone t, W j • P j) ≤ ∑ j ∈ insertNone t, W j • f (P j)
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
tactic: have : f (∑ j ∈ insertNone t, W j • P j) ≤ ∑ j ∈ insertNone t, W j • f (P j) :=
    hf.map_sum_le (forall_mem_insertNone.2 ⟨hv, h₀⟩) (by simpa using h₁)
      (forall_mem_insertNone.2 ⟨hq, hmem⟩)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
this : f (∑ j ∈ insertNone t, W j • P j) ≤ ∑ j ∈ insertNone t, W j • f (P j)
⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
state_after: no goals
tactic: simpa using this