Theorem: FractionalIdeal.den_mem_inv
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
⊢ (algebraMap R₁ K) ↑I.den ∈ I⁻¹
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ y ∈ I, (algebraMap R₁ K) ↑I.den * y ∈ 1
tactic: rw [mem_inv_iff hI]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ y ∈ I, (algebraMap R₁ K) ↑I.den * y ∈ 1
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ (algebraMap R₁ K) ↑I.den * i ∈ 1
tactic: intro i hi
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ (algebraMap R₁ K) ↑I.den * i ∈ 1
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ ↑I.den • i ∈ 1
tactic: rw [← Algebra.smul_def (I.den : R₁) i, ← mem_coe, coe_one]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ ↑I.den • i ∈ 1
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) I.num ≤ 1
tactic: suffices Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) I.num ≤ 1 from
    this <| (den_mul_self_eq_num I).symm ▸ smul_mem_pointwise_smul i I.den I.coeToSubmodule hi
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) I.num ≤ 1
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) 1 ≤ 1
tactic: apply le_trans <| map_mono (show I.num ≤ 1 by simp only [Ideal.one_eq_top, le_top, bot_eq_zero])
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I
⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) 1 ≤ 1
state_after: no goals
tactic: rw [Ideal.one_eq_top, Submodule.map_top, one_eq_range]