Theorem: le_gauge_of_not_mem
File: Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
⊢ a ≤ gauge s x
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
⊢ a ≤ gauge s x
tactic: rw [starConvex_zero_iff] at hs₀
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
⊢ a ≤ gauge s x
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s
⊢ a ≤ gauge s x
tactic: obtain ⟨r, hr, h⟩ := hs₂.exists_pos
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s
⊢ a ≤ gauge s x
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s
⊢ ∀ b ∈ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • s}, a ≤ b
tactic: refine le_csInf ⟨r, hr, singleton_subset_iff.1 <| h _ (Real.norm_of_nonneg hr.le).ge⟩ ?_
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s
⊢ ∀ b ∈ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • s}, a ≤ b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
⊢ a ≤ b
tactic: rintro b ⟨hb, x, hx', rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
⊢ a ≤ b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
⊢ (fun x => b • x) x ∈ a • s
tactic: refine not_lt.1 fun hba => hx ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
⊢ (fun x => b • x) x ∈ a • s
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x => b • x) x ∈ a • s
tactic: have ha := hb.trans hba
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x => b • x) x ∈ a • s
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ * b ≤ 1

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}
hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x => a • x) ((a⁻¹ * b) • x) = (fun x => b • x) x
tactic: refine ⟨(a⁻¹ * b) • x, hs₀ hx' (by positivity) ?_, ?_⟩