Theorem: LinearPMap.le_graph_of_le
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
⊢ f.graph ≤ g.graph
state_after: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : x ∈ f.graph
⊢ x ∈ g.graph
tactic: intro x hx
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : x ∈ f.graph
⊢ x ∈ g.graph
state_after: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
tactic: rw [mem_graph_iff] at hx ⊢
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
state_after: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
tactic: cases' hx with y hx
state_before: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑⟨↑y, ⋯⟩ = x.1 ∧ ↑g ⟨↑y, ⋯⟩ = x.2
tactic: use ⟨y, h.1 y.2⟩
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑⟨↑y, ⋯⟩ = x.1 ∧ ↑g ⟨↑y, ⋯⟩ = x.2
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2
tactic: simp only [hx, Submodule.coe_mk, eq_self_iff_true, true_and_iff]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2
state_after: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = ↑f y
tactic: convert hx.2 using 1
state_before: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = ↑f y
state_after: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑y = ↑⟨x.1, ⋯⟩
tactic: refine (h.2 ?_).symm
state_before: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ↑y = ↑⟨x.1, ⋯⟩
state_after: no goals
tactic: simp only [hx.1, Submodule.coe_mk]