Theorem: Equiv.Perm.next_toList_eq_apply
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy : y ∈ p.toList x
⊢ (p.toList x).next y hy = p y
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
tactic: rw [mem_toList_iff] at hy
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
tactic: obtain ⟨k, hk, hk'⟩ := hy.left.exists_pow_eq_of_mem_support hy.right
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
tactic: rw [← nthLe_toList p x k (by simpa using hk)] at hk'
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next ((p.toList x).nthLe k ⋯) ⋯ = p ((p.toList x).nthLe k ⋯)
tactic: simp_rw [← hk']
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next ((p.toList x).nthLe k ⋯) ⋯ = p ((p.toList x).nthLe k ⋯)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.cycleOf x).IsCycle
tactic: rw [next_nthLe _ (nodup_toList _ _), nthLe_toList, nthLe_toList, ← mul_apply, ← pow_succ',
    length_toList, ← pow_mod_orderOf_cycleOf_apply p (k + 1), IsCycle.orderOf]
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.cycleOf x).IsCycle
state_after: no goals
tactic: exact isCycle_cycleOf _ (mem_support.mp hy.right)