Theorem: _private.Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples.0.coprime_sq_sub_sq_add_of_even_odd
File: Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean

Proof steps:
state_before: m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
state_after: m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
⊢ False
tactic: by_contra H
state_before: m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs
⊢ False
tactic: obtain ⟨p, hp, hp1, hp2⟩ := Nat.Prime.not_coprime_iff_dvd.mp H
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
⊢ False
tactic: rw [← Int.natCast_dvd] at hp1 hp2
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
⊢ False
tactic: have h2m : (p : ℤ) ∣ 2 * m ^ 2 := by
    convert dvd_add hp2 hp1 using 1
    ring
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
⊢ False
tactic: have h2n : (p : ℤ) ∣ 2 * n ^ 2 := by
    convert dvd_sub hp2 hp1 using 1
    ring
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
⊢ False
tactic: have hmc : p = 2 ∨ p ∣ Int.natAbs m := prime_two_or_dvd_of_dvd_two_mul_pow_self_two hp h2m
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
⊢ False
tactic: have hnc : p = 2 ∨ p ∣ Int.natAbs n := prime_two_or_dvd_of_dvd_two_mul_pow_self_two hp h2n
state_before: case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
⊢ False
state_after: case pos
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
⊢ False

case neg
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : ¬p = 2
⊢ False
tactic: by_cases h2 : p = 2