Theorem: stereo_left_inv
File: Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x) = x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ ↑(stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x)) = ↑x
tactic: ext
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ ↑(stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x)) = ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        4 • ↑((2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) +
      (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: simp only [stereoToFun_apply, stereoInvFun_apply, smul_add]
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        4 • ↑((2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) +
      (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        4 • ↑((2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) +
      (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: set a : ℝ := innerSL _ v x
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        4 • ↑((2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) +
      (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ •
        (‖(2 / (1 - a)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: set y := orthogonalProjection (ℝ ∙ v)ᗮ x
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: have split : ↑x = a • v + ↑y := by
    convert (orthogonalProjection_add_orthogonalProjection_orthogonal (ℝ ∙ v) x).symm
    exact (orthogonalProjection_unit_singleton ℝ hv x).symm
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: have hvy : ⟪v, y⟫_ℝ = 0 := Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_right.mp y.2
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: have ha : 1 - a ≠ 0 := by
    have : a < 1 := (inner_lt_one_iff_real_of_norm_one hv (by simp)).mpr hx.symm
    linarith
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
tactic: have h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1 := by
    field_simp; simp only [Submodule.coe_norm] at *; nlinarith
state_before: case a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
h₂ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 - 4) = a
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    ↑x
state_after: case h.e'_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
h₂ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 - 4) = a
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    Add.add ((fun t => t • ↑y) ((2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a))))
      ((fun t => t • v) ((2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 - 4)))

case h.e'_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
h₂ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 - 4) = a
⊢ ↑x = Add.add ((fun t => t • ↑y) 1) ((fun t => t • v) a)
tactic: convert
    congr_arg₂ Add.add (congr_arg (fun t => t • (y : E)) h₁) (congr_arg (fun t => t • v) h₂) using 1