Theorem: MeasureTheory.FinMeasAdditive.map_empty_eq_zero
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
⊢ T ∅ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
⊢ T ∅ = 0
tactic: have h_empty : μ ∅ ≠ ∞ := (measure_empty.le.trans_lt ENNReal.coe_lt_top).ne
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
⊢ T ∅ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
tactic: specialize hT ∅ ∅ MeasurableSet.empty MeasurableSet.empty h_empty h_empty (Set.inter_empty ∅)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
tactic: rw [Set.union_empty] at hT
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ + 0 = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
tactic: nth_rw 1 [← add_zero (T ∅)] at hT
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ + 0 = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
state_after: no goals
tactic: exact (add_left_cancel hT).symm