Theorem: AbsoluteValue.IsAdmissible.exists_approx_aux
File: Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
n : ℕ
h : abv.IsAdmissible
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
n : ℕ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
tactic: haveI := Classical.decEq R
state_before: R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
n : ℕ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: case zero
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ 0).succ → Fin 0 → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin 0), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε

case succ
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
tactic: induction' n with n ih
state_before: case succ
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
⊢ ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: case succ
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
tactic: intro ε hε b hb A
state_before: case succ
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: case succ
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h.card ε
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
tactic: let M := h.card ε
state_before: case succ.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h.card ε
s : Fin (M ^ n).succ → Fin (M ^ n.succ).succ
s_inj : Function.Injective s
hs : ∀ (i₀ i₁ : Fin (M ^ n).succ), ↑(abv (A (s i₁) 0 % b - A (s i₀) 0 % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: case succ.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h✝ : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h✝.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h✝.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h✝.card ε
s : Fin (M ^ n).succ → Fin (M ^ n.succ).succ
s_inj : Function.Injective s
hs : ∀ (i₀ i₁ : Fin (M ^ n).succ), ↑(abv (A (s i₁) 0 % b - A (s i₀) 0 % b)) < abv b • ε
k₀ k₁ : Fin (h✝.card ε ^ n).succ
hk : k₀ ≠ k₁
h : ∀ (k : Fin n), ↑(abv (Fin.tail (A (s k₁)) k % b - Fin.tail (A (s k₀)) k % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
tactic: obtain ⟨k₀, k₁, hk, h⟩ := ih hε hb fun x ↦ Fin.tail (A (s x))
state_before: case succ.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h✝ : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h✝.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h✝.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h✝.card ε
s : Fin (M ^ n).succ → Fin (M ^ n.succ).succ
s_inj : Function.Injective s
hs : ∀ (i₀ i₁ : Fin (M ^ n).succ), ↑(abv (A (s i₁) 0 % b - A (s i₀) 0 % b)) < abv b • ε
k₀ k₁ : Fin (h✝.card ε ^ n).succ
hk : k₀ ≠ k₁
h : ∀ (k : Fin n), ↑(abv (Fin.tail (A (s k₁)) k % b - Fin.tail (A (s k₀)) k % b)) < abv b • ε
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin (n + 1)), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
state_after: case succ.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h✝ : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h✝.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h✝.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h✝.card ε
s : Fin (M ^ n).succ → Fin (M ^ n.succ).succ
s_inj : Function.Injective s
hs : ∀ (i₀ i₁ : Fin (M ^ n).succ), ↑(abv (A (s i₁) 0 % b - A (s i₀) 0 % b)) < abv b • ε
k₀ k₁ : Fin (h✝.card ε ^ n).succ
hk : k₀ ≠ k₁
h : ∀ (k : Fin n), ↑(abv (Fin.tail (A (s k₁)) k % b - Fin.tail (A (s k₀)) k % b)) < abv b • ε
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑(abv (A (s k₁) 0 % b - A (s k₀) 0 % b)) < abv b • ε

case succ.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
h✝ : abv.IsAdmissible
this : DecidableEq R
n : ℕ
ih :
  ∀ {ε : ℝ},
    0 < ε →
      ∀ {b : R},
        b ≠ 0 →
          ∀ (A : Fin (h✝.card ε ^ n).succ → Fin n → R),
            ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : Fin n), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : Fin (h✝.card ε ^ (n + 1)).succ → Fin (n + 1) → R
M : ℕ := h✝.card ε
s : Fin (M ^ n).succ → Fin (M ^ n.succ).succ
s_inj : Function.Injective s
hs : ∀ (i₀ i₁ : Fin (M ^ n).succ), ↑(abv (A (s i₁) 0 % b - A (s i₀) 0 % b)) < abv b • ε
k₀ k₁ : Fin (h✝.card ε ^ n).succ
hk : k₀ ≠ k₁
h : ∀ (k : Fin n), ↑(abv (Fin.tail (A (s k₁)) k % b - Fin.tail (A (s k₀)) k % b)) < abv b • ε
i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ ↑(abv (A (s k₁) i.succ % b - A (s k₀) i.succ % b)) < abv b • ε
tactic: refine ⟨s k₀, s k₁, fun h ↦ hk (s_inj h), fun i ↦ Fin.cases ?_ (fun i ↦ ?_) i⟩