Theorem: Orientation.oangle_eq_pi_sub_two_zsmul_oangle_sub_of_norm_eq
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean

Proof steps:
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - 2 • o.oangle (y - x) y
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - (o.oangle (y - x) y + o.oangle (y - x) y)
tactic: rw [two_zsmul]
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - (o.oangle (y - x) y + o.oangle (y - x) y)
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - (o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y)
tactic: nth_rw 1 [← o.oangle_sub_eq_oangle_sub_rev_of_norm_eq h]
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle y x = ↑π - (o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y)
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
tactic: rw [eq_sub_iff_add_eq, ← oangle_neg_neg, ← add_assoc]
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
tactic: have hy : y ≠ 0 := by
    rintro rfl
    rw [norm_zero, norm_eq_zero] at h
    exact hn h
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
tactic: have hx : x ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.1 (h.symm ▸ norm_ne_zero_iff.2 hy)
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
state_after: case h.e'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y =
    o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (-(y - x)) + o.oangle (y - x) (- -y)
tactic: convert o.oangle_add_cyc3_neg_right (neg_ne_zero.2 hy) hx (sub_ne_zero_of_ne hn.symm) using 1
state_before: case h.e'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y =
    o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (-(y - x)) + o.oangle (y - x) (- -y)
state_after: no goals
tactic: simp