Theorem: ENNReal.exists_pos_tsum_mul_lt_of_countable
File: Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w : ι → ℝ≥0∞
hw : ∀ (i : ι), w i ≠ ⊤
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), w i * ↑(δ i) < ε
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w : ι → ℝ≥0
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
tactic: lift w to ι → ℝ≥0 using hw
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w : ι → ℝ≥0
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
tactic: rcases exists_pos_sum_of_countable hε ι with ⟨δ', Hpos, Hsum⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
tactic: have : ∀ i, 0 < max 1 (w i) := fun i ↦ zero_lt_one.trans_le (le_max_left _ _)
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
⊢ ∃ δ, (∀ (i : ι), 0 < δ i) ∧ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑(δ i) < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
⊢ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) < ε
tactic: refine ⟨fun i ↦ δ' i / max 1 (w i), fun i ↦ div_pos (Hpos _) (this i), ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
⊢ ∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) ≤ ↑(δ' i)
tactic: refine lt_of_le_of_lt (ENNReal.tsum_le_tsum fun i ↦ ?_) Hsum
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) ≤ ↑(δ' i)
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * (↑(δ' i) / ↑(max 1 (w i))) ≤ ↑(δ' i)
tactic: rw [coe_div (this i).ne']
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i * (↑(δ' i) / ↑(max 1 (w i))) ≤ ↑(δ' i)
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i ≤ ↑(max 1 (w i))
tactic: refine mul_le_of_le_div' (mul_le_mul_left' (ENNReal.inv_le_inv.2 ?_) _)
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι
⊢ (fun i => ↑(w i)) i ≤ ↑(max 1 (w i))
state_after: no goals
tactic: exact coe_le_coe.2 (le_max_right _ _)