Theorem: NonUnitalSubalgebra.starClosure_carrier
File: Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean

Proof steps:
state_before: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ S ⊔ star S
⊢ star a ∈ S ⊔ star S
state_after: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ a ∈ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S)))
tactic: simp only [← mem_star_iff _ a, ← (@NonUnitalAlgebra.gi R A _ _ _ _ _).l_sup_u _ _] at *
state_before: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ a ∈ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S)))
state_after: case h.e'_5
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))) = NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
tactic: convert ha using 2
state_before: case h.e'_5
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R A A
inst✝⁷ : SMulCommClass R A A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : StarModule R B
S : NonUnitalSubalgebra R A
a : A
ha : a ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))) = NonUnitalAlgebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
state_after: no goals
tactic: simp only [Set.sup_eq_union, star_adjoin_comm, Set.union_star, coe_star, star_star,
      Set.union_comm]