Theorem: maximal_orthonormal_iff_basis_of_finiteDimensional
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
tactic: haveI := proper_rclike 𝕜 (span 𝕜 v)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
tactic: rw [maximal_orthonormal_iff_orthogonalComplement_eq_bot hv]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
tactic: rw [Submodule.orthogonal_eq_bot_iff]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
hv_coe : Set.range Subtype.val = v
⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
tactic: have hv_coe : range ((↑) : v → E) = v := by simp
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
hv_coe : Set.range Subtype.val = v
⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
hv_coe : Set.range Subtype.val = v
⊢ span 𝕜 v = ⊤ → ∃ b, ⇑b = Subtype.val

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)
hv_coe : Set.range Subtype.val = v
⊢ (∃ b, ⇑b = Subtype.val) → span 𝕜 v = ⊤
tactic: constructor