Theorem: LieAlgebra.IsKilling.disjoint_ker_weight_corootSpace
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥
tactic: rw [disjoint_iff]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
⊢ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : x ∈ ↑Weight.ker
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
⊢ x = 0
tactic: refine (Submodule.eq_bot_iff _).mpr fun x ⟨hαx, hx⟩ ↦ ?_
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : x ∈ ↑Weight.ker
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
⊢ x = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : α x = 0
⊢ x = 0
tactic: replace hαx : α x = 0 := by simpa using hαx
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : α x = 0
⊢ x = 0
state_after: no goals
tactic: exact eq_zero_of_apply_eq_zero_of_mem_corootSpace x α hαx hx