Theorem: ContinuousLinearMap.comp_smul
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Monoid S
inst✝²⁹ : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²² : TopologicalSpace M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝²⁰ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁷ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁴ : Module R N₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃
inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝³ : DistribMulAction S N₂
inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R
hₗ : N₂ →L[R] N₃
c : S
fₗ : M →L[R] N₂
⊢ hₗ.comp (c • fₗ) = c • hₗ.comp fₗ
state_after: case h
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Monoid S
inst✝²⁹ : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²² : TopologicalSpace M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝²⁰ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁷ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁴ : Module R N₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃
inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝³ : DistribMulAction S N₂
inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R
hₗ : N₂ →L[R] N₃
c : S
fₗ : M →L[R] N₂
x : M
⊢ (hₗ.comp (c • fₗ)) x = (c • hₗ.comp fₗ) x
tactic: ext x
state_before: case h
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Monoid S
inst✝²⁹ : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²² : TopologicalSpace M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝²⁰ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁷ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁴ : Module R N₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃
inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝³ : DistribMulAction S N₂
inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R
hₗ : N₂ →L[R] N₃
c : S
fₗ : M →L[R] N₂
x : M
⊢ (hₗ.comp (c • fₗ)) x = (c • hₗ.comp fₗ) x
state_after: no goals
tactic: exact hₗ.map_smul_of_tower c (fₗ x)