Theorem: LinearMap.trace_tensorProduct
File: Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ (mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N)) = (lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)
state_after: R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ ((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N) =
    ((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)
tactic: apply
    (compl₁₂_inj (show Surjective (dualTensorHom R M M) from (dualTensorHomEquiv R M M).surjective)
        (show Surjective (dualTensorHom R N N) from (dualTensorHomEquiv R N N).surjective)).1
state_before: R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ ((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N) =
    ((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)
state_after: case a.h.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : Module.Dual R M
m : M
g : Module.Dual R N
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry
                (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M)
                  (dualTensorHom R N N)))
              f)
            m))
        g)
      n =
    ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry
                (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)))
              f)
            m))
        g)
      n
tactic: ext f m g n
state_before: case a.h.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : Module.Dual R M
m : M
g : Module.Dual R N
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry
                (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M)
                  (dualTensorHom R N N)))
              f)
            m))
        g)
      n =
    ((AlgebraTensorModule.curry
          (((AlgebraTensorModule.curry
                (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)))
              f)
            m))
        g)
      n
state_after: no goals
tactic: simp only [AlgebraTensorModule.curry_apply, toFun_eq_coe, TensorProduct.curry_apply,
    coe_restrictScalars, compl₁₂_apply, compr₂_apply, mapBilinear_apply,
    trace_eq_contract_apply, contractLeft_apply, lsmul_apply, Algebra.id.smul_eq_mul,
    map_dualTensorHom, dualDistrib_apply]