Theorem: CauSeq.lim_inv
File: Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ f.lim ≠ 0
state_after: no goals
tactic: rwa [← lim_eq_zero_iff] at hf
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
tactic: have h₂ : g - f * inv f hf * g = 1 * g - f * inv f hf * g := by rw [one_mul g]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
tactic: have h₃ : f * inv f hf * g = (f * inv f hf) * g := by simp [mul_assoc]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
tactic: have h₄ : g - f * inv f hf * g = (1 - f * inv f hf) * g := by rw [h₂, h₃, ← sub_mul]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
tactic: have h₅ : g - f * inv f hf * g = g * (1 - f * inv f hf) := by rw [h₄, mul_comm]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
tactic: have h₆ : g - f * inv f hf * g = g * (1 - inv f hf * f) := by rw [h₅, mul_comm f]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g * (1 - f.inv hf * f)).LimZero
tactic: rw [h₆]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)
⊢ (g * (1 - f.inv hf * f)).LimZero
state_after: no goals
tactic: exact mul_limZero_right _ (Setoid.symm (CauSeq.inv_mul_cancel _))
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim⁻¹ - (const abv f.lim - f) * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹)).LimZero
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) -
      (const abv f.lim⁻¹ - f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹))).LimZero
tactic: rw [sub_mul, ← sub_add, sub_sub, sub_add_eq_sub_sub, sub_right_comm, sub_add]
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) -
      (const abv f.lim⁻¹ - f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹))).LimZero
state_after: no goals
tactic: exact sub_limZero
                (by rw [← mul_assoc, mul_right_comm, const_inv hl]; exact h₁ _ _ _)
                (by rw [← mul_assoc]; exact h₁ _ _ _)