Theorem: Submodule.inf_comap_le_comap_add
File: Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q ≤ comap (f₁ + f₂) q
state_after: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q → x ∈ comap (f₁ + f₂) q
tactic: rw [SetLike.le_def]
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q → x ∈ comap (f₁ + f₂) q
state_after: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : m ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q
⊢ m ∈ comap (f₁ + f₂) q
tactic: intro m h
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : m ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q
⊢ m ∈ comap (f₁ + f₂) q
state_after: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : m ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q
⊢ f₁ m + f₂ m ∈ q
tactic: change f₁ m + f₂ m ∈ q
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : m ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q
⊢ f₁ m + f₂ m ∈ q
state_after: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : f₁ m ∈ q ∧ f₂ m ∈ q
⊢ f₁ m + f₂ m ∈ q
tactic: change f₁ m ∈ q ∧ f₂ m ∈ q at h
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : f₁ m ∈ q ∧ f₂ m ∈ q
⊢ f₁ m + f₂ m ∈ q
state_after: no goals
tactic: apply q.add_mem h.1 h.2