Theorem: _private.Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing.0.Metric.glueDist_triangle
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inl z)
state_after: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y z : X
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl z).swap ≤
    glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inl z).swap
tactic: simp only [← glueDist_swap Φ]
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y z : X
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl z).swap ≤
    glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inl z).swap
state_after: no goals
tactic: apply glueDist_triangle_inl_inr_inr
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x y : Y
z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)
state_after: no goals
tactic: simpa only [glueDist_comm, add_comm] using glueDist_triangle_inl_inr_inr _ _ _ z y x
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x y : X
z : Y
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr z) ≤
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr z)
state_after: no goals
tactic: simpa only [← glueDist_swap Φ, glueDist_comm, add_comm, Sum.swap_inl, Sum.swap_inr]
      using glueDist_triangle_inl_inr_inr Ψ Φ ε z y x
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr z) ≤
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr z)
state_after: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inr z).swap ≤
    glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inr z).swap
tactic: simp only [← glueDist_swap Φ]
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inr z).swap ≤
    glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inr z).swap
state_after: case H
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ ∀ (p q : Z), |dist (Ψ p) (Ψ q) - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * ε
tactic: apply glueDist_triangle_inl_inr_inl
state_before: case H
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : Y
y : X
z : Y
⊢ ∀ (p q : Z), |dist (Ψ p) (Ψ q) - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * ε
state_after: no goals
tactic: simpa only [abs_sub_comm]