Theorem: gaussSum_aux_of_mulShift
File: Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean

Proof steps:
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e
state_after: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift ↑u = e
tactic: suffices e.mulShift u = e by conv_lhs => rw [← this, gaussSum_mulShift]
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift ↑u = e
state_after: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1
tactic: rw [(by ring : u.val = (u - 1) + 1), ← mulShift_mul, mulShift_one, mul_left_eq_self]
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1
state_after: case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
tactic: rsuffices ⟨a, ha⟩ : (d : ℤ) ∣ (u.val.val - 1 : ℤ)
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
state_after: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
tactic: rw [← Units.eq_iff, Units.val_one, ZMod.unitsMap_def, Units.coe_map] at hu
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
state_after: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
tactic: have : ZMod.castHom hd (ZMod d) u.val = ((u.val.val : ℤ) : ZMod d) := by simp
state_before: N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
state_after: no goals
tactic: rwa [MonoidHom.coe_coe, this, ← Int.cast_one, eq_comm,
    ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub] at hu