Theorem: Metric.totallyBounded_of_finite_discretization
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
⊢ TotallyBounded s
state_after: case inl
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
hs : s = ∅
⊢ TotallyBounded s

case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
hs : s.Nonempty
⊢ TotallyBounded s
tactic: rcases s.eq_empty_or_nonempty with hs | hs
state_before: case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
hs : s.Nonempty
⊢ TotallyBounded s
state_after: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
⊢ TotallyBounded s
tactic: rcases hs with ⟨x0, hx0⟩
state_before: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
⊢ TotallyBounded s
state_after: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
⊢ TotallyBounded s
tactic: haveI : Inhabited s := ⟨⟨x0, hx0⟩⟩
state_before: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
⊢ TotallyBounded s
state_after: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
tactic: refine totallyBounded_iff.2 fun ε ε0 => ?_
state_before: case inr.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
tactic: rcases H ε ε0 with ⟨β, fβ, F, hF⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
tactic: let Finv := Function.invFun F
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
tactic: refine ⟨range (Subtype.val ∘ Finv), finite_range _, fun x xs => ?_⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
tactic: let x' := Finv (F ⟨x, xs⟩)
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
tactic: have : F x' = F ⟨x, xs⟩ := Function.invFun_eq ⟨⟨x, xs⟩, rfl⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ range (Subtype.val ∘ Finv), ball y ε
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ ∃ i, ∃ (_ : ∃ y, (Subtype.val ∘ Finv) y = i), x ∈ ball i ε
tactic: simp only [Set.mem_iUnion, Set.mem_range]
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ ∃ i, ∃ (_ : ∃ y, (Subtype.val ∘ Finv) y = i), x ∈ ball i ε
state_after: no goals
tactic: exact ⟨_, ⟨F ⟨x, xs⟩, rfl⟩, hF _ _ this.symm⟩