Theorem: tendsto_setIntegral_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto_aux
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 0)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
tactic: refine Metric.tendsto_nhds.2 fun ε εpos => ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
tactic: obtain ⟨δ, hδ, δpos, δone⟩ : ∃ δ, (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 2 * δ < ε ∧ 0 < δ ∧ δ < 1 := by
    have A :
      Tendsto (fun δ => (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 2 * δ) (𝓝[>] 0)
        (𝓝 ((0 * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 2 * 0)) := by
      apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
      exact (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds).add (tendsto_id.const_mul _)
    rw [zero_mul, zero_add, mul_zero] at A
    have : Ioo (0 : ℝ) 1 ∈ 𝓝[>] 0 := Ioo_mem_nhdsWithin_Ioi ⟨le_rfl, zero_lt_one⟩
    rcases (((tendsto_order.1 A).2 ε εpos).and this).exists with ⟨δ, hδ, h'δ⟩
    exact ⟨δ, hδ, h'δ.1, h'δ.2⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
tactic: suffices ∀ᶠ i in l, ‖∫ x in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 2 * δ by
    filter_upwards [this] with i hi
    simp only [dist_zero_right]
    exact hi.trans_lt hδ
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
tactic: obtain ⟨u, u_open, x₀u, ut, hu⟩ :
      ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ s ∩ u ⊆ t ∧ ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ := by
    rcases mem_nhdsWithin.1 (Filter.inter_mem h'ts (hcg (ball_mem_nhds _ δpos)))
      with ⟨u, u_open, x₀u, hu⟩
    refine ⟨u, u_open, x₀u, ?_, hu.trans inter_subset_right⟩
    rw [inter_comm]
    exact hu.trans inter_subset_left
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
tactic: filter_upwards [tendstoUniformlyOn_iff.1 (hlφ u u_open x₀u) δ δpos,
    (tendsto_order.1 (tendsto_iff_norm_sub_tendsto_zero.1 hiφ)).2 δ δpos, hnφ,
    integrableOn_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto hs h'ts hlφ hiφ h'iφ hmg hcg]
    with i hi h'i hφpos h''i
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
tactic: have I : IntegrableOn (φ i) t μ := by
    apply Integrable.of_integral_ne_zero (fun h ↦ ?_)
    simp [h] at h'i
    linarith
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ 2 * δ
C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ
⊢ ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ
state_after: no goals
tactic: calc
    ‖∫ x in s, φ i x • g x ∂μ‖ =
      ‖(∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ) + ∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ := by
      conv_lhs => rw [← diff_union_inter s u]
      rw [integral_union disjoint_sdiff_inter (hs.inter u_open.measurableSet)
          (h''i.mono_set diff_subset) (h''i.mono_set inter_subset_left)]
    _ ≤ ‖∫ x in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ + ‖∫ x in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ := norm_add_le _ _
    _ ≤ (δ * ∫ x in s, ‖g x‖ ∂μ) + 2 * δ := add_le_add C B