Theorem: IsProperMap.isCompact_preimage
File: Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ ∀ (f_1 : Ultrafilter X), ↑f_1 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K) → ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑f_1 ≤ 𝓝 x
tactic: rw [isCompact_iff_ultrafilter_le_nhds]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ ∀ (f_1 : Ultrafilter X), ↑f_1 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K) → ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑f_1 ≤ 𝓝 x
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑𝒰 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
tactic: intro 𝒰 h𝒰
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑𝒰 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
tactic: rw [← comap_principal, ← map_le_iff_le_comap, ← Ultrafilter.coe_map] at h𝒰
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
y : Y
hyK : y ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 y
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
tactic: rcases hK.ultrafilter_le_nhds _ h𝒰 with ⟨y, hyK, hy⟩
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
y : Y
hyK : y ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 y
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hyK : f x ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 (f x)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
tactic: rcases h.ultrafilter_le_nhds_of_tendsto hy with ⟨x, rfl, hx⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hyK : f x ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 (f x)
⊢ ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: no goals
tactic: exact ⟨x, hyK, hx⟩