Theorem: SmoothPartitionOfUnity.exists_pos_of_mem
File: Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
⊢ False
tactic: by_contra! h
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
⊢ False
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
⊢ False
tactic: have H : ∀ i, f i x = 0 := fun i ↦ le_antisymm (h i) (f.nonneg i x)
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
⊢ False
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
⊢ False
tactic: have := f.sum_eq_one hx
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
⊢ False
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), 0 = 1
⊢ False
tactic: simp_rw [H] at this
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), 0 = 1
⊢ False
state_after: no goals
tactic: simpa