Theorem: WittVector.exists_eq_pow_p_mul
File: Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
c : 𝕎 k
hc : c.coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] c
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: obtain ⟨m, c, hc, hcm⟩ := WittVector.verschiebung_nonzero ha
state_before: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
c : 𝕎 k
hc : c.coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] c
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : ((⇑frobenius)^[m] b).coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: obtain ⟨b, rfl⟩ := (frobenius_bijective p k).surjective.iterate m c
state_before: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : ((⇑frobenius)^[m] b).coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: rw [WittVector.iterate_frobenius_coeff] at hc
state_before: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = ((⇑verschiebung)^[m] ∘ (⇑frobenius)^[m]) b
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: have := congr_fun (WittVector.verschiebung_frobenius_comm.comp_iterate m) b
state_before: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = ((⇑verschiebung)^[m] ∘ (⇑frobenius)^[m]) b
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: simp only [Function.comp_apply] at this
state_before: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
tactic: rw [← this] at hcm
state_before: case intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ b.coeff 0 ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ a = ↑p ^ m * b
tactic: refine ⟨m, b, ?_, ?_⟩