Theorem: Filter.mem_iInf'
File: Mathlib/Order/Filter/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ i ∈ I, V i ∧ U = ⋂ i, V i
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) ↔
    ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
tactic: simp only [mem_iInf, SetCoe.forall', biInter_eq_iInter]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) ↔
    ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) →
    ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
tactic: refine ⟨?_, fun ⟨I, If, V, hVs, _, hVU, _⟩ => ⟨I, If, fun i => V i, fun i => hVs i, hVU⟩⟩
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) →
    ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
I : Set ι
If : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
⊢ ∃ I_1,
    I_1.Finite ∧
      ∃ V_1, (∀ (i : ι), V_1 i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I_1, V_1 i = univ) ∧ ⋂ i, V i = ⋂ x, V_1 ↑x ∧ ⋂ i, V i = ⋂ i, V_1 i
tactic: rintro ⟨I, If, V, hV, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
I : Set ι
If : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
⊢ ∃ I_1,
    I_1.Finite ∧
      ∃ V_1, (∀ (i : ι), V_1 i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I_1, V_1 i = univ) ∧ ⋂ i, V i = ⋂ x, V_1 ↑x ∧ ⋂ i, V i = ⋂ i, V_1 i
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
I : Set ι
If : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
i : ι
⊢ (fun i => if hi : i ∈ I then V ⟨i, hi⟩ else univ) i ∈ s i

case intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
I : Set ι
If : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
i : ι
hi : i ∉ I
⊢ (fun i => if hi : i ∈ I then V ⟨i, hi⟩ else univ) i = univ

case intro.intro.intro.intro.refine_3
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
I : Set ι
If : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
⊢ ⋂ i, V i = ⋂ x, (fun i => if hi : i ∈ I then V ⟨i, hi⟩ else univ) ↑x ∧
    ⋂ i, V i = ⋂ i, (fun i => if hi : i ∈ I then V ⟨i, hi⟩ else univ) i
tactic: refine ⟨I, If, fun i => if hi : i ∈ I then V ⟨i, hi⟩ else univ, fun i => ?_, fun i hi => ?_, ?_⟩