Theorem: CategoryTheory.IsPullback.of_map
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ IsPullback f g h i
state_after: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ IsLimit (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))
tactic: refine ⟨⟨e⟩, ⟨isLimitOfReflects F <| ?_⟩⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ IsLimit (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))
state_after: case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).pt ≅ H.cone.pt

case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.left =
    ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.left

case refine_3
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.right =
    ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.right
tactic: refine
    (IsLimit.equivOfNatIsoOfIso (cospanCompIso F h i) _ _ (WalkingCospan.ext ?_ ?_ ?_)).symm
      H.isLimit
state_before: case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).pt ≅ H.cone.pt

case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.left =
    ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.left

case refine_3
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.right =
    ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.right
state_after: no goals
tactic: exacts [Iso.refl _, (Category.comp_id _).trans (Category.id_comp _).symm,
    (Category.comp_id _).trans (Category.id_comp _).symm]