Theorem: StructureGroupoid.LocalInvariantProp.liftPropWithinAt_indep_chart_target_aux2
File: Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean

Proof steps:
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
state_after: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
tactic: have hcont : ContinuousWithinAt (f ∘ g) s x := (f.continuousAt xf).comp_continuousWithinAt hgs
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
state_after: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
tactic: rw [← hG.left_invariance (compatible_of_mem_maximalAtlas hf hf') hcont
      (by simp only [xf, xf', mfld_simps])]
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
state_after: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ ↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g
tactic: refine hG.congr_iff_nhdsWithin ?_ (by simp only [xf, mfld_simps])
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ ↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g
state_after: no goals
tactic: exact (hgs.eventually <| f.eventually_left_inverse xf).mono fun y ↦ congr_arg f'