Theorem: specializes_TFAE
File: Mathlib/Topology/Inseparable.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_1_to_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
⊢ x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 1 → 2
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_2_to_3
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
⊢ pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 2 → 3
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_3_to_4
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
⊢ (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 3 → 4
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_4_to_5
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
⊢ (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 4 → 5
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_6_iff_5
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
⊢ closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 6 ↔ 5
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_5_iff_7
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
⊢ y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
tfae_5_iff_7 : y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 5 ↔ 7
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
tfae_5_iff_7 : y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: case tfae_5_to_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
tfae_5_iff_7 : y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)
⊢ y ∈ closure {x} → x ⤳ y

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
tfae_5_iff_7 : y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)
tfae_5_to_1 : y ∈ closure {x} → x ⤳ y
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
tactic: tfae_have 5 → 1
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
x y : X
tfae_1_to_2 : x ⤳ y → pure x ≤ 𝓝 y
tfae_2_to_3 : pure x ≤ 𝓝 y → ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s
tfae_3_to_4 : (∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) → ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s
tfae_4_to_5 : (∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) → y ∈ closure {x}
tfae_6_iff_5 : closure {y} ⊆ closure {x} ↔ y ∈ closure {x}
tfae_5_iff_7 : y ∈ closure {x} ↔ ClusterPt y (pure x)
tfae_5_to_1 : y ∈ closure {x} → x ⤳ y
⊢ [x ⤳ y, pure x ≤ 𝓝 y, ∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s, ∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s,
      y ∈ closure {x}, closure {y} ⊆ closure {x}, ClusterPt y (pure x)].TFAE
state_after: no goals
tactic: tfae_finish