Theorem: FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv_symm_apply_snd_fst
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
⊢ Function.LeftInverse (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩)
    fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩
state_after: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) =
    ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
tactic: rintro ⟨k, l, ⟨s : Finset (Fin <| k + l), hs : s.card = l⟩⟩
state_before: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) =
    ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
state_after: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
tactic: dsimp only [Subtype.coe_mk]
state_before: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
state_after: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ∀ (k' l' : ℕ),
    k' = k →
      l' = l →
        ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'),
          ⟨k', ⟨l', ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
tactic: suffices ∀ k' l', k' = k → l' = l → ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs'),
        (⟨k', l', ⟨s.map (finCongr hkl).toEmbedding, hs'⟩⟩ :
          Σk l : ℕ, { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) = ⟨k, l, ⟨s, hs⟩⟩ by
      apply this <;> simp only [hs, add_tsub_cancel_right]
state_before: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ∀ (k' l' : ℕ),
    k' = k →
      l' = l →
        ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'),
          ⟨k', ⟨l', ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
state_after: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k'✝ l'✝ : ℕ
s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))
hs : s.card = l'✝
hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝
hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝
⊢ ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩
tactic: rintro _ _ rfl rfl hkl hs'
state_before: case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k'✝ l'✝ : ℕ
s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))
hs : s.card = l'✝
hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝
hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝
⊢ ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩
state_after: no goals
tactic: simp only [Equiv.refl_toEmbedding, finCongr_refl, Finset.map_refl, eq_self_iff_true,
      OrderIso.refl_toEquiv, and_self_iff, heq_iff_eq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
⊢ Function.RightInverse (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩)
    fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩
state_after: case mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ (fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) =
    ⟨n, s⟩
tactic: rintro ⟨n, s⟩
state_before: case mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ (fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) =
    ⟨n, s⟩
state_after: no goals
tactic: simp [tsub_add_cancel_of_le (card_finset_fin_le s), finCongr_eq_equivCast]