Theorem: affineIndependent_of_ne
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean

Proof steps:
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂]
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
tactic: rw [affineIndependent_iff_linearIndependent_vsub k ![p₁, p₂] 0]
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
tactic: let i₁ : { x // x ≠ (0 : Fin 2) } := ⟨1, by norm_num⟩
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
tactic: haveI : Unique { x // x ≠ (0 : Fin 2) } := ⟨⟨i₁⟩, he'⟩
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
state_after: case a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ ![p₁, p₂] ↑default -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
tactic: apply linearIndependent_unique
state_before: case a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ ![p₁, p₂] ↑default -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
state_after: case a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ ![p₁, p₂] ↑i₁ -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
tactic: rw [he' default]
state_before: case a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }
⊢ ![p₁, p₂] ↑i₁ -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
state_after: no goals
tactic: simpa using h.symm