Theorem: IsSelfAdjoint.eq_smul_self_of_isLocalExtrOn_real
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
tactic: obtain ⟨a, b, h₁, h₂⟩ := hT.linearly_dependent_of_isLocalExtrOn hextr
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
tactic: by_cases hx₀ : x₀ = 0
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : b = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
tactic: by_cases hb : b = 0
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
tactic: let c : ℝ := -b⁻¹ * a
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
tactic: have hc : T x₀ = c • x₀ := by
    have : b * (b⁻¹ * a) = a := by field_simp [mul_comm]
    apply smul_right_injective F hb
    simp [c, eq_neg_of_add_eq_zero_left h₂, ← mul_smul, this]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
tactic: convert hc
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this : ‖x₀‖ ≠ 0
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
tactic: have : ‖x₀‖ ≠ 0 := by simp [hx₀]
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this : ‖x₀‖ ≠ 0
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (T x₀) = (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (c • x₀)
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
tactic: have := congr_arg (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) hc
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (T x₀) = (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (c • x₀)
⊢ T.rayleighQuotient x₀ = c
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : ⟪T x₀, x₀⟫_ℝ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
⊢ T.reApplyInnerSelf x₀ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
tactic: field_simp [inner_smul_left, real_inner_self_eq_norm_mul_norm, sq] at this ⊢
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : ⟪T x₀, x₀⟫_ℝ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
⊢ T.reApplyInnerSelf x₀ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
state_after: no goals
tactic: exact this