Theorem: IndepMatroid.ofFinitary_E
File: Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
state_after: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h : ¬∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
⊢ False
tactic: by_contra h
state_before: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h : ¬∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
⊢ False
state_after: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h : ∃ I e, Indep I ∧ ¬Indep (insert e I) ∧ ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
⊢ False
tactic: push_neg at h
state_before: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
h : ∃ I e, Indep I ∧ ¬Indep (insert e I) ∧ ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
⊢ False
tactic: obtain ⟨I, e, -, hIe, h⟩ := h
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
J : Set α
hJss : J ⊆ insert e I
hJfin : J.Finite
⊢ Indep J
tactic: refine hIe <| indep_compact _ fun J hJss hJfin ↦ ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)
J : Set α
hJss : J ⊆ insert e I
hJfin : J.Finite
⊢ Indep J
state_after: no goals
tactic: exact indep_subset (h (J \ {e}) (by rwa [diff_subset_iff]) (hJfin.diff _)) (by simp)
state_before: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
⊢ ∀ ⦃I B : Set α⦄,
    Indep I →
      I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} →
        B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
hBmax : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: intro I B hI hImax hBmax
state_before: α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
hBmax : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ∃ x, Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: simp only [mem_maximals_iff, mem_setOf_eq, not_and, not_forall, exists_prop,
      exists_and_left, iff_true_intro hI, true_imp_iff] at hImax hBmax
state_before: α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ∃ x, Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: obtain ⟨I', hI', hII', hne⟩ := hImax
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: obtain ⟨e, heI', heI⟩ := exists_of_ssubset (hII'.ssubset_of_ne hne)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: have hins : Indep (insert e I) := indep_subset hI' (insert_subset heI' hII')
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
tactic: obtain (heB | heB) := em (e ∈ B)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ¬∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
⊢ False
tactic: by_contra hcon
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ¬∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
⊢ False
tactic: push_neg at hcon
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
⊢ False
tactic: have heBdep : ¬Indep (insert e B) :=
      fun hi ↦ heB <| insert_eq_self.1 (hBmax.2 hi (subset_insert _ _)).symm
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
⊢ False
tactic: obtain ⟨B₀, hB₀B, hB₀fin, hB₀e⟩ := htofin B e hBmax.1  heBdep
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
⊢ False
tactic: have hB₀ := indep_subset hBmax.1 hB₀B
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
hexI₀ : ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ False
tactic: have hexI₀ : ∃ I₀, I₀ ⊆ I ∧ I₀.Finite ∧ ∀ x, x ∈ B₀ \ I₀ → ¬Indep (insert x I₀) := by
      have hchoose : ∀ (b : ↑(B₀ \ I)), ∃ Ib, Ib ⊆ I ∧ Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (b : α) Ib) := by
        rintro ⟨b, hb⟩; exact htofin I b hI (hcon b ⟨hB₀B hb.1, hb.2⟩)
      choose! f hf using hchoose
      have := (hB₀fin.diff I).to_subtype
      refine ⟨iUnion f ∪ (B₀ ∩ I),
        union_subset (iUnion_subset (fun i ↦ (hf i).1)) inter_subset_right,
        (finite_iUnion fun i ↦ (hf i).2.1).union (hB₀fin.subset inter_subset_left),
        fun x ⟨hxB₀, hxn⟩ hi ↦ ?_⟩
      have hxI : x ∉ I := fun hxI ↦ hxn <| Or.inr ⟨hxB₀, hxI⟩
      refine (hf ⟨x, ⟨hxB₀, hxI⟩⟩).2.2 (indep_subset hi <| insert_subset_insert ?_)
      apply subset_union_of_subset_left
      apply subset_iUnion
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
hexI₀ : ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ False
tactic: obtain ⟨I₀, hI₀I, hI₀fin, hI₀⟩ := hexI₀
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
⊢ False
tactic: set E₀ := insert e (I₀ ∪ B₀)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
⊢ False
tactic: have hE₀fin : E₀.Finite := (hI₀fin.union hB₀fin).insert e
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
⊢ False
tactic: obtain ⟨J, ⟨hB₀J, hJ, hJss⟩, hJmax⟩ := Finite.exists_maximal_wrt (f := id)
      (s := {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀})
      (hE₀fin.finite_subsets.subset (by simp))
      ⟨B₀, Subset.rfl, hB₀, subset_union_right.trans (subset_insert _ _)⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
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htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
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e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
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heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
⊢ False
tactic: have heI₀ : e ∉ I₀ := not_mem_subset hI₀I heI
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
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I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
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B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
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hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
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E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
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heI₀ : e ∉ I₀
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
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hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
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heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
⊢ False
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state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
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hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
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B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
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hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
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hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
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heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
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  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
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B₀ : Set α
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heI₀ : e ∉ I₀
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⊢ False
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α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
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I B : Set α
hI : Indep I
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I' : Set α
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B₀ : Set α
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I✝ B✝ X E : Set α
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I B : Set α
hI : Indep I
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I' : Set α
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B₀ : Set α
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⊢ False
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α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
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hJfin : J.Finite
hcard : (insert e I₀).ncard ≤ J.ncard
⊢ False
tactic: have hcard : (insert e I₀).ncard ≤ J.ncard := by
      refine not_lt.1 fun hlt ↦ ?_
      obtain ⟨f, hfI, hfJ, hfi⟩ := indep_aug hJ hJfin heI₀i (hI₀fin.insert e) hlt
      have hfE₀ : f ∈ E₀ := mem_of_mem_of_subset hfI (insert_subset_insert subset_union_left)
      refine hfJ (insert_eq_self.1 <| Eq.symm (hJmax _
        ⟨hB₀J.trans <| subset_insert _ _,hfi,insert_subset hfE₀ hJss⟩ (subset_insert _ _)))
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : (insert e I₀).ncard ≤ J.ncard
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
⊢ False
tactic: rw [ncard_insert_of_not_mem heI₀ hI₀fin, ← Nat.lt_iff_add_one_le] at hcard
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
f : α
hfJ : f ∈ J
hfI₀ : f ∉ I₀
hfi : Indep (insert f I₀)
⊢ False
tactic: obtain ⟨f, hfJ, hfI₀, hfi⟩ := indep_aug (indep_subset hI hI₀I) hI₀fin hJ hJfin hcard
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
f : α
hfJ : f ∈ J
hfI₀ : f ∉ I₀
hfi : Indep (insert f I₀)
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact hI₀ f ⟨Or.elim (hJss hfJ) (fun hfe ↦ (heJ <| hfe ▸ hfJ).elim) (by aesop), hfI₀⟩ hfi
state_before: α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
⊢ ∀ X ⊆ E, ExistsMaximalSubsetProperty Indep X
state_after: α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
tactic: rintro X - I hI hIX
state_before: α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
state_after: case refine_2
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
hzorn : ∃ m ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, I ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, m ⊆ a → a = m
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty

case refine_1
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ ∀ c ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X},
    IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
tactic: have hzorn := zorn_subset_nonempty {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} ?_ I ⟨hI, Subset.rfl, hIX⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
⊢ ∀ c ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X},
    IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
state_after: case refine_1.refine_1
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ Indep (⋃₀ Is)

case refine_1.refine_2
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ I ⊆ ⋃₀ Is

case refine_1.refine_3
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ ⋃₀ Is ⊆ X
tactic: refine fun Is hIs hchain ⟨K, hK⟩ ↦ ⟨⋃₀ Is, ⟨?_,?_,?_⟩, fun _ ↦ subset_sUnion_of_mem⟩
state_before: case refine_1.refine_3
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is
⊢ ⋃₀ Is ⊆ X
state_after: no goals
tactic: exact sUnion_subset fun X hX ↦ (hIs hX).2.2