Theorem: dist_le_of_trajectories_ODE_of_mem
File: Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
tactic: have f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0 := by intros; rw [dist_self]
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
tactic: have g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0 := by intros; rw [dist_self]
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
tactic: intro t ht
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
state_after: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
this : dist (f t) (g t) ≤ gronwallBound δ (↑K) (0 + 0) (t - a)
⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
tactic: have :=
    dist_le_of_approx_trajectories_ODE_of_mem hv hf hf' f_bound hfs hg hg' g_bound hgs ha t ht
state_before: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
this : dist (f t) (g t) ≤ gronwallBound δ (↑K) (0 + 0) (t - a)
⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
state_after: no goals
tactic: rwa [zero_add, gronwallBound_ε0] at this