Theorem: LinearIndependent.totalEquiv_symm_apply
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ (ι →₀ R) ≃ₗ[R] ↥(span R (range v))
state_after: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ Bijective ⇑(LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.total ι M R v) ?m.413661)

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (c : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) c ∈ span R (range v)
tactic: apply LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.total ι M R v) _)
state_before: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ Bijective ⇑(LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.total ι M R v) ?m.413661)

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (c : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) c ∈ span R (range v)
state_after: case left
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ Injective ⇑(LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.total ι M R v) ?m.413661)

case right
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.total ι M R v) ?m.413661)

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (c : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) c ∈ span R (range v)
tactic: constructor