Theorem: NNReal.Lp_add_le_tsum
File: Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
tactic: have pos : 0 < p := lt_of_lt_of_le zero_lt_one hp
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
tactic: have H₁ : ∀ s : Finset ι,
      (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ≤
        ((∑' i, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' i, g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p := by
    intro s
    rw [one_div, ← NNReal.rpow_inv_le_iff pos, ← one_div]
    refine le_trans (Lp_add_le s f g hp) (add_le_add ?_ ?_) <;>
        rw [NNReal.rpow_le_rpow_iff (one_div_pos.mpr pos)] <;>
      refine sum_le_tsum _ (fun _ _ => zero_le _) ?_
    exacts [hf, hg]
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
tactic: have bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) := by
    refine ⟨((∑' i, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' i, g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p, ?_⟩
    rintro a ⟨s, rfl⟩
    exact H₁ s
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
tactic: have H₂ : Summable _ := (hasSum_of_isLUB _ (isLUB_ciSup bdd)).summable
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧
    (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
tactic: refine ⟨H₂, ?_⟩
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
state_after: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ ∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
tactic: rw [one_div, NNReal.rpow_inv_le_iff pos, ← one_div]
state_before: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ :
  ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ ∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
state_after: no goals
tactic: exact tsum_le_of_sum_le H₂ H₁