Theorem: MvPolynomial.prime_C_iff
File: Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0
⊢ r = 0
state_after: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0
⊢ 0 = C 0
tactic: rw [← C_inj, h]
state_before: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0
⊢ 0 = C 0
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ IsUnit r
state_after: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ IsUnit (constantCoeff (C r))

R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ Type ?u.214285
tactic: rw [← constantCoeff_C _ r]
state_before: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ IsUnit (constantCoeff (C r))

R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)
⊢ Type ?u.214285
state_after: no goals
tactic: exact h.map _
state_before: R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
a b : MvPolynomial σ R
hd : C r ∣ a * b
⊢ C r ∣ a ∨ C r ∣ b
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : C r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
tactic: obtain ⟨s, a', b', rfl, rfl⟩ := exists_finset_rename₂ a b
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : C r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
tactic: rw [← algebraMap_eq] at hd
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
tactic: have : algebraMap R _ r ∣ a' * b' := by
        convert killCompl Subtype.coe_injective |>.toRingHom.map_dvd hd <;> simp
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
tactic: rw [← rename_C ((↑) : s → σ)]
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →+* MvPolynomial σ R := (rename Subtype.val).toRingHom
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
tactic: let f := (rename (R := R) ((↑) : s → σ)).toRingHom
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
s : Finset σ
a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'
this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'
f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →+* MvPolynomial σ R := (rename Subtype.val).toRingHom
⊢ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'
state_after: no goals
tactic: exact (((prime_C_iff_of_fintype s).2 hr).2.2 a' b' this).imp f.map_dvd f.map_dvd