Theorem: Set.Countable.isLindelof_biUnion
File: Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ ∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X),
    (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
tactic: apply isLindelof_of_countable_subcover
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ ∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X),
    (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
tactic: intro i U hU hUcover
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
tactic: have hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i :=
    fun _ is ↦ _root_.subset_trans (subset_biUnion_of_mem is) hUcover
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
tactic: have iSets := fun i is ↦ (hf i is).elim_countable_subcover U hU (hiU i is)
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
tactic: choose! r hr using iSets
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
tactic: use ⋃ i ∈ s, r i
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
state_after: case h.left
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable

case h.right
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
tactic: constructor