Theorem: Complex.integral_boundary_rect_of_hasFDerivAt_real_off_countable
File: Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
tactic: set e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
tactic: have he : ∀ x y : ℝ, ↑x + ↑y * I = e (x, y) := fun x y => (mk_eq_add_mul_I x y).symm
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
he₁ : e (1, 0) = 1
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
tactic: have he₁ : e (1, 0) = 1 := rfl
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
he₁ : e (1, 0) = 1
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
tactic: have he₂ : e (0, 1) = I := rfl
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: simp only [he] at *
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: set F : ℝ × ℝ → E := f ∘ e
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: set F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp (e : ℝ × ℝ →L[ℝ] ℂ)
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: have hF' : ∀ p : ℝ × ℝ, (-(I • F' p)) (1, 0) + F' p (0, 1) = -(I • f' (e p) 1 - f' (e p) I) := by
    rintro ⟨x, y⟩
    simp only [F', ContinuousLinearMap.neg_apply, ContinuousLinearMap.smul_apply,
      ContinuousLinearMap.comp_apply, ContinuousLinearEquiv.coe_coe, he₁, he₂, neg_add_eq_sub,
      neg_sub]
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
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f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: set R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
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f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
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hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
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f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
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Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: set t : Set (ℝ × ℝ) := e ⁻¹' s
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
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Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: rw [uIcc_comm z.im] at Hc Hi
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: rw [min_comm z.im, max_comm z.im] at Hd
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: have hR : e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R := rfl
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: have htc : ContinuousOn F R := Hc.comp e.continuousOn hR.ge
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
tactic: have htd :
    ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t,
      HasFDerivAt F (F' p) p :=
    fun p hp => (Hd (e p) hp).comp p e.hasFDerivAt
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) -
      I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (w.re, x)))) -
      ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (z.re, x))) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (x_1 : ℝ) in w.im..z.im, (-(I • F' (x, x_1))) (1, 0) + (F' (x, x_1)) (0, 1)
tactic: simp_rw [← intervalIntegral.integral_smul, intervalIntegral.integral_symm w.im z.im, ←
    intervalIntegral.integral_neg, ← hF']
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) +
        ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (w.re, x)))) -
      ∫ (x : ℝ) in w.im..z.im, -(I • f (e (z.re, x))) =
    ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (x_1 : ℝ) in w.im..z.im, (-(I • F' (x, x_1))) (1, 0) + (F' (x, x_1)) (0, 1)
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
tactic: refine (integral2_divergence_prod_of_hasFDerivWithinAt_off_countable (fun p => -(I • F p)) F
    (fun p => -(I • F' p)) F' z.re w.im w.re z.im t (hs.preimage e.injective)
    (htc.const_smul _).neg htc (fun p hp => ((htd p hp).const_smul I).neg) htd ?_).symm
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
state_after: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  IntegrableOn ((fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ∘ ⇑measurableEquivRealProd.symm)
    (⇑measurableEquivRealProd.symm ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
tactic: rw [← (volume_preserving_equiv_real_prod.symm _).integrableOn_comp_preimage
    (MeasurableEquiv.measurableEmbedding _)] at Hi
state_before: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  IntegrableOn ((fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ∘ ⇑measurableEquivRealProd.symm)
    (⇑measurableEquivRealProd.symm ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
state_after: no goals
tactic: simpa only [hF'] using Hi.neg