Theorem: MeasureTheory.integral_eq_iff_of_ae_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ↔ f =ᶠ[ae μ] g
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] f
tactic: refine ⟨fun h_le ↦ EventuallyEq.symm ?_, fun h ↦ integral_congr_ae h⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ g =ᶠ[ae μ] f
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫ (x : α), (g - f) x ∂μ = 0
tactic: rw [← sub_ae_eq_zero,
    ← integral_eq_zero_iff_of_nonneg_ae ((sub_nonneg_ae _ _).mpr hfg) (hg.sub hf)]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫ (x : α), (g - f) x ∂μ = 0
state_after: no goals
tactic: simpa [Pi.sub_apply, integral_sub hg hf, sub_eq_zero, eq_comm]