Theorem: UniformSpace.Completion.continuous_hatInv
File: Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt hatInv x
state_after: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)
tactic: refine denseInducing_coe.continuousAt_extend ?_
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)
state_after: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ {0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
tactic: apply mem_of_superset (compl_singleton_mem_nhds h)
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ {0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
state_after: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
tactic: intro y y_ne
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
state_after: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
tactic: rw [mem_compl_singleton_iff] at y_ne
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
state_after: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
tactic: apply CompleteSpace.complete
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
state_after: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
tactic: have : (fun (x : K) => (↑x⁻¹ : hat K)) =
      ((fun (y : K) => (↑y : hat K))∘(fun (x : K) => (x⁻¹ : K))) := by
    unfold Function.comp
    simp
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
state_after: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))
tactic: rw [this, ← Filter.map_map]
state_before: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))
state_after: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
tactic: apply Cauchy.map _ (Completion.uniformContinuous_coe K)
state_before: K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
state_after: case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ Cauchy (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))

case a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹
⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap (↑K) (𝓝 y) = ⊥
tactic: apply CompletableTopField.nice