Theorem: Complex.isPrimitiveRoot_iff
File: Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean

Proof steps:
state_before: ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
state_after: ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
tactic: have hn0 : (n : ℂ) ≠ 0 := mod_cast hn
state_before: ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
state_after: case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ

case mpr
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ) → IsPrimitiveRoot ζ n
tactic: constructor
state_before: case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ

case mpr
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ) → IsPrimitiveRoot ζ n
state_after: case mpr
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ) → IsPrimitiveRoot ζ n

case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
tactic: swap
state_before: case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
state_after: case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
tactic: intro h
state_before: case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
state_after: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ ∃ i_1 < n, ∃ (_ : i_1.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
tactic: obtain ⟨i, hi, rfl⟩ :=
    (isPrimitiveRoot_exp n hn).eq_pow_of_pow_eq_one h.pow_eq_one (Nat.pos_of_ne_zero hn)
state_before: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ ∃ i_1 < n, ∃ (_ : i_1.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
state_after: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
tactic: refine ⟨i, hi, ((isPrimitiveRoot_exp n hn).pow_iff_coprime (Nat.pos_of_ne_zero hn) i).mp h, ?_⟩
state_before: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
state_after: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑n))
tactic: rw [← exp_nat_mul]
state_before: case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑n))
state_after: case mp.intro.intro.e_z
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑n)
tactic: congr 1
state_before: case mp.intro.intro.e_z
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑n)
state_after: no goals
tactic: field_simp [hn0, mul_comm (i : ℂ)]