Theorem: one_add_mul_self_lt_rpow_one_add
File: Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean

Proof steps:
state_before: s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: have hp' : 0 < p := zero_lt_one.trans hp
state_before: s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inl
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0
⊢ 1 + p * -1 < (1 + -1) ^ p

case inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: rcases eq_or_lt_of_le hs with rfl | hs
state_before: case inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: have hs1 : 0 < 1 + s := neg_lt_iff_pos_add'.mp hs
state_before: case inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inr.inl
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 1 + p * s ≤ 0
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p

case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: rcases le_or_lt (1 + p * s) 0 with hs2 | hs2
state_before: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: have hs3 : 1 + s ≠ 1 := hs' ∘ add_right_eq_self.mp
state_before: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
tactic: have hs4 : 1 + p * s ≠ 1 := by
    contrapose! hs'; rwa [add_right_eq_self, mul_eq_zero, eq_false_intro hp'.ne', false_or] at hs'
state_before: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ 1 + p * s < (1 + s) ^ p
state_after: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ rexp (log (1 + p * s)) < rexp (log (1 + s) * p)
tactic: rw [rpow_def_of_pos hs1, ← exp_log hs2]
state_before: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ rexp (log (1 + p * s)) < rexp (log (1 + s) * p)
state_after: case inr.inr.a
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
tactic: apply exp_strictMono
state_before: case inr.inr.a
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
state_after: case inr.inr.a.inl
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p

case inr.inr.a.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
tactic: cases' lt_or_gt_of_ne hs' with hs' hs'