Theorem: MeasureTheory.tendsto_setIntegral_of_antitone
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋂ n, s n, f x ∂μ))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
tactic: set S := ⋂ i, s i
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
tactic: have hSm : MeasurableSet S := MeasurableSet.iInter hsm
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
tactic: have hsub i : S ⊆ s i := iInter_subset _ _
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
tactic: set ν := μ.withDensity fun x => ‖f x‖₊ with hν
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ε
tactic: refine Metric.nhds_basis_closedBall.tendsto_right_iff.2 fun ε ε0 => ?_
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ε
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: lift ε to ℝ≥0 using ε0.le
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: rcases hfi with ⟨i₀, hi₀⟩
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: have νi₀ : ν (s i₀) ≠ ∞ := by
    simpa [hsm i₀, ν, ENNReal.ofReal, norm_toNNReal] using hi₀.norm.lintegral_lt_top.ne
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: have νS : ν S ≠ ∞ := ((measure_mono (hsub i₀)).trans_lt νi₀.lt_top).ne
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: have : ∀ᶠ i in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ε) (ν S + ε) := by
    apply tendsto_measure_iInter hsm h_anti ⟨i₀, νi₀⟩
    apply ENNReal.Icc_mem_nhds νS (ENNReal.coe_pos.2 ε0).ne'
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
tactic: filter_upwards [this, Ici_mem_atTop i₀] with i hi h'i
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ↑‖∫ (x : X) in s i \ S, f x ∂μ‖₊ ≤ ↑ε
tactic: rw [mem_closedBall_iff_norm, ← integral_diff hSm (hi₀.mono_set (h_anti h'i)) (hsub i),
    ← coe_nnnorm, NNReal.coe_le_coe, ← ENNReal.coe_le_coe]
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ↑‖∫ (x : X) in s i \ S, f x ∂μ‖₊ ≤ ↑ε
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ∫⁻ (a : X) in s i \ S, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ↑ε
tactic: refine (ennnorm_integral_le_lintegral_ennnorm _).trans ?_
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ∫⁻ (a : X) in s i \ S, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ↑ε
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ν (s i) - ν S ≤ ↑ε
tactic: rw [← withDensity_apply _ ((hsm _).diff hSm), ← hν, measure_diff (hsub i) hSm νS]
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
i₀ : ι
hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ
νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤
νS : ν S ≠ ⊤
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
h'i : i ∈ Ici i₀
⊢ ν (s i) - ν S ≤ ↑ε
state_after: no goals
tactic: exact tsub_le_iff_left.2 hi.2