Theorem: IsPreirreducible.subset_irreducible
File: Mathlib/Topology/Irreducible.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
ht : IsPreirreducible t
hU : U.Nonempty
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
⊢ IsIrreducible S
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
ht : IsPreirreducible t
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
⊢ IsIrreducible S
tactic: obtain ⟨z, hz⟩ := hU
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
ht : IsPreirreducible t
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
⊢ IsIrreducible S
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
⊢ IsIrreducible S
tactic: replace ht : IsIrreducible t := ⟨⟨z, h₂ (h₁ hz)⟩, ht⟩
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
⊢ IsIrreducible S
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
⊢ IsPreirreducible S
tactic: refine ⟨⟨z, h₁ hz⟩, ?_⟩
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
⊢ IsPreirreducible S
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ S
hx' : x ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
⊢ (S ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: rintro u v hu hv ⟨x, hx, hx'⟩ ⟨y, hy, hy'⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ S
hx'✝ : x✝ ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
x : X
hx' : x ∈ ⋂₀ ↑{U, u, v}
⊢ (S ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ S
hx'✝ : x✝ ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
x : X
hx' : x ∈ U ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v
⊢ (S ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: replace hx' : x ∈ U ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v := by simpa using hx'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ S
hx'✝ : x✝ ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
x : X
hx' : x ∈ U ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v
⊢ (S ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: no goals
tactic: exact ⟨x, h₁ hx'.1, hx'.2⟩