Theorem: Composition.sigma_pi_composition_eq_iff
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
u v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
⊢ u = v ↔ (ofFn fun i => (u.snd i).blocks) = ofFn fun i => (v.snd i).blocks
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
u v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
H : (ofFn fun i => (u.snd i).blocks) = ofFn fun i => (v.snd i).blocks
⊢ u = v
tactic: refine ⟨fun H => by rw [H], fun H => ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
u v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
H : (ofFn fun i => (u.snd i).blocks) = ofFn fun i => (v.snd i).blocks
⊢ u = v
state_after: case mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (⟨a, b⟩.snd i).blocks) = ofFn fun i => (v.snd i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = v
tactic: rcases u with ⟨a, b⟩
state_before: case mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
v : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i))
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (⟨a, b⟩.snd i).blocks) = ofFn fun i => (v.snd i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = v
state_after: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (⟨a, b⟩.snd i).blocks) = ofFn fun i => (⟨a', b'⟩.snd i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
tactic: rcases v with ⟨a', b'⟩
state_before: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (⟨a, b⟩.snd i).blocks) = ofFn fun i => (⟨a', b'⟩.snd i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
state_after: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
tactic: dsimp at H
state_before: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
state_after: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
h : a = a'
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
tactic: have h : a = a' := by
    ext1
    have :
      map List.sum (ofFn fun i : Fin (Composition.length a) => (b i).blocks) =
        map List.sum (ofFn fun i : Fin (Composition.length a') => (b' i).blocks) := by
      rw [H]
    simp only [map_ofFn] at this
    change
      (ofFn fun i : Fin (Composition.length a) => (b i).blocks.sum) =
        ofFn fun i : Fin (Composition.length a') => (b' i).blocks.sum at this
    simpa [Composition.blocks_sum, Composition.ofFn_blocksFun] using this
state_before: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
h : a = a'
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a', b'⟩
state_after: case mk.mk.refl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a, b'⟩
tactic: induction h
state_before: case mk.mk.refl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩ = ⟨a, b'⟩
state_after: case mk.mk.refl.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ ⟨a, b⟩.fst = ⟨a, b'⟩.fst

case mk.mk.refl.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
n : ℕ
a : Composition n
b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
a' : Composition n
b' : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)
H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks
⊢ HEq ⟨a, b⟩.snd ⟨a, b'⟩.snd
tactic: ext1