Theorem: UV.mem_of_mem_compression
File: Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ 𝓒 u v s
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
tactic: rw [mem_compression] at ha
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s
⊢ a ∈ s

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h : compress u v b = a
⊢ a ∈ s
tactic: obtain ha | ⟨_, b, hb, h⟩ := ha
state_before: case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h : compress u v b = a
⊢ a ∈ s
state_after: case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h : (if Disjoint u b ∧ v ≤ b then (b ⊔ u) \ v else b) = a
⊢ a ∈ s
tactic: unfold compress at h
state_before: case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h : (if Disjoint u b ∧ v ≤ b then (b ⊔ u) \ v else b) = a
⊢ a ∈ s
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h✝ : Disjoint u b ∧ v ≤ b
h : (b ⊔ u) \ v = a
⊢ a ∈ s

case neg
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
left✝ : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
h✝ : ¬(Disjoint u b ∧ v ≤ b)
h : b = a
⊢ a ∈ s
tactic: split_ifs at h