Theorem: mdifferentiableWithinAt_iff
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
        (↑(extChartAt I x) x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
        (↑(extChartAt I x) x)
tactic: rw [mdifferentiableWithinAt_iff']
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
        (↑(extChartAt I x) x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      (↑(extChartAt I x) x)
tactic: refine and_congr Iff.rfl (exists_congr fun f' => ?_)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      (↑(extChartAt I x) x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      (↑(extChartAt I x) x)
tactic: rw [inter_comm]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      (↑(extChartAt I x) x)
state_after: no goals
tactic: simp only [HasFDerivWithinAt, nhdsWithin_inter, nhdsWithin_extChartAt_target_eq]