Theorem: Matroid.comap_basis_iff
File: Mathlib/Data/Matroid/Map.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
⊢ (N.comap f).Basis I X ↔ N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : (N.comap f).Basis I X
⊢ N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
⊢ (N.comap f).Basis I X
tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
⊢ (N.comap f).Basis I X
state_after: case refine_2.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
⊢ (N.comap f).Indep I

case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
tactic: refine Indep.basis_of_forall_insert ?_ h.2.2 fun e ⟨heX, heI⟩ ↦ ?_
state_before: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
state_after: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
tactic: have hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E := by
      simp_rw [comap_ground_eq, ← image_subset_iff]
      exact (image_subset _ (insert_subset heX h.2.2)).trans h.1.subset_ground
state_before: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
state_after: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E
⊢ N.Indep (insert (f e) (f '' I)) → ∃ x ∈ I, f x = f e
tactic: suffices N.Indep (insert (f e) (f '' I)) → ∃ x ∈ I, f x = f e
    by simpa [← not_indep_iff hIE, injOn_insert heI, h.2.1, image_insert_eq]
state_before: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E
⊢ N.Indep (insert (f e) (f '' I)) → ∃ x ∈ I, f x = f e
state_after: no goals
tactic: exact h.1.mem_of_insert_indep (mem_image_of_mem f heX)