Theorem: CategoryTheory.Presheaf.isLimit_iff_isSheafFor
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ), IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
state_after: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
tactic: dsimp [IsSheafFor]
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
tactic: simp_rw [compatible_iff_sieveCompatible]
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty ((X_1 : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)) → Unique (X_1 ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
tactic: rw [((Cone.isLimitEquivIsTerminal _).trans (isTerminalEquivUnique _ _)).nonempty_congr]
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty ((X_1 : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)) → Unique (X_1 ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ (∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
tactic: rw [Classical.nonempty_pi]
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ (∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) ↔
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: case mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ (∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) →
    ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t

case mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ (∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) →
    ∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))
tactic: constructor