Theorem: Matrix.toBlock_inverse_eq_zero
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: let p i := b i < k
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: let q i := ¬b i < k
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: have h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0 := by
    rw [← toBlock_mul_eq_add, inv_mul_of_invertible M, toBlock_one_disjoint]
    rw [disjoint_iff_inf_le]
    exact fun i h => h.1 h.2
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: have h_zero : M.toBlock q p = 0 := by
    ext i j
    simpa using hM (lt_of_lt_of_le j.2 <| le_of_not_lt i.2)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: have h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0 := by simpa [h_zero] using h_sum
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this : Invertible (M.toBlock p p)
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: haveI : Invertible (M.toBlock p p) := hM.invertibleToBlock k
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this : Invertible (M.toBlock p p)
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this✝ : Invertible (M.toBlock p p)
this : (fun i => k ≤ b i) = q
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
tactic: have : (fun i => k ≤ b i) = q := by
    ext
    exact not_lt.symm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0
h_zero : M.toBlock q p = 0
h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0
this✝ : Invertible (M.toBlock p p)
this : (fun i => k ≤ b i) = q
⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0
state_after: no goals
tactic: rw [this, ← Matrix.zero_mul (M.toBlock p p)⁻¹, ← h_mul_eq_zero,
    mul_inv_cancel_right_of_invertible]