Theorem: List.chain'_join
File: Mathlib/Data/List/Chain.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
x✝ : ¬[] ∈ []
⊢ Chain' R [].join ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ [] → Chain' R l) ∧
      Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) []
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x✝ : ¬[] ∈ [l]
⊢ Chain' R [l].join ↔
    (∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ [l] → Chain' R l_1) ∧
      Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) [l]
state_after: no goals
tactic: simp [join]
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : ¬[] ∈ l₁ :: l₂ :: L
⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
state_after: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L
⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
tactic: rw [mem_cons, not_or, ← Ne] at hL
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L
⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
state_after: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧
        ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
        Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
tactic: rw [join, chain'_append, chain'_join hL.2, forall_mem_cons, chain'_cons]
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧
        ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
        Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
state_after: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧
        ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
        Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
tactic: rw [mem_cons, not_or, ← Ne] at hL
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧
        ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔
    (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧
      (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
        Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
state_after: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      Chain' R l₂ ∧
        (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L) ∧
            ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔
    Chain' R l₁ ∧
      Chain' R l₂ ∧
        (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
            Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
tactic: simp only [forall_mem_cons, and_assoc, join, head?_append_of_ne_nil _ hL.2.1.symm]
state_before: α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧
      Chain' R l₂ ∧
        (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L) ∧
            ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔
    Chain' R l₁ ∧
      Chain' R l₂ ∧
        (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧
          (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧
            Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
state_after: no goals
tactic: exact Iff.rfl.and (Iff.rfl.and <| Iff.rfl.and and_comm)