Theorem: MeasureTheory.indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ indicatorConstLp 2 hs hμs x = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᶠ[ae μ]
    ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
tactic: ext1
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᶠ[ae μ]
    ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
tactic: refine indicatorConstLp_coeFn.trans ?_
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
    ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a =
      (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
tactic: have h_compLp :=
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).coeFn_compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ))
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
    ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a =
      (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
tactic: rw [← EventuallyEq] at h_compLp
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
tactic: refine EventuallyEq.trans ?_ h_compLp.symm
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y =
    (fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)) y
tactic: refine (@indicatorConstLp_coeFn _ _ _ 2 μ _ s hs hμs (1 : ℝ)).mono fun y hy => ?_
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y =
    (fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)) y
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y)
tactic: dsimp only
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (s.indicator (fun x => 1) y)
tactic: rw [hy]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (s.indicator (fun x => 1) y)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = s.indicator (fun x => 1) y • x
tactic: simp_rw [ContinuousLinearMap.toSpanSingleton_apply]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp :
  ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a =>
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
y : α
hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y
⊢ s.indicator (fun x_1 => x) y = s.indicator (fun x => 1) y • x
state_after: no goals
tactic: by_cases hy_mem : y ∈ s <;> simp [hy_mem]