Theorem: _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.edgeDensity_chunk_aux
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2

case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ε ^ 5 / 50 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2
tactic: obtain hGε | hGε := le_total (G.edgeDensity U V : ℝ) (ε ^ 5 / 50)
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ε ^ 5 / 50 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2
tactic: rw [← sub_nonneg] at hGε
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^
      2
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50) ^ 2
tactic: refine le_trans ?_ (pow_le_pow_left hGε this 2)
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50) ^ 2
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) - (ε ^ 5 / 50) ^ 2 ≤ ε ^ 5 / 25
tactic: rw [sub_sq, sub_add, sub_le_sub_iff_left]
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) - (ε ^ 5 / 50) ^ 2 ≤ ε ^ 5 / 25
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) ≤ ε ^ 5 / 25
tactic: refine (sub_le_self _ <| sq_nonneg <| ε ^ 5 / 50).trans ?_
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ 2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) ≤ ε ^ 5 / 25
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 5 * 25⁻¹ * ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 * 25⁻¹
tactic: rw [mul_right_comm, mul_div_left_comm, div_eq_mul_inv (ε ^ 5),
    show (2 : ℝ) / 50 = 25⁻¹ by norm_num]
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 5 * 25⁻¹ * ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 * 25⁻¹
state_after: no goals
tactic: exact mul_le_of_le_one_right (by sz_positivity) (mod_cast G.edgeDensity_le_one _ _)