Theorem: isBigO_norm_Icc_restrict_atTop
File: Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
state_after: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
tactic: have claim : ∀ x : ℝ, max 0 (-2 * R) < x → ∀ y : ℝ, x + R ≤ y →
      y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b) := fun x hx y hy ↦ by
    rw [max_lt_iff] at hx
    obtain ⟨hx1, hx2⟩ := hx
    rw [← mul_rpow] <;> try positivity
    apply rpow_le_rpow_of_nonpos <;> linarith
state_before: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : IsBigOWith c atTop ⇑f fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
tactic: obtain ⟨c, hc, hc'⟩ := hf.exists_pos
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : IsBigOWith c atTop ⇑f fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : ∃ a, ∀ b_1 ≥ a, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
⊢ ∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
tactic: simp only [IsBigO, IsBigOWith, eventually_atTop] at hc' ⊢
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : ∃ a, ∀ b_1 ≥ a, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
⊢ ∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
⊢ ∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
tactic: obtain ⟨d, hd⟩ := hc'
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
⊢ ∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : x ≥ max (1 + max 0 (-2 * R)) (d - R)
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: refine ⟨c * (1 / 2) ^ (-b), ⟨max (1 + max 0 (-2 * R)) (d - R), fun x hx => ?_⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : x ≥ max (1 + max 0 (-2 * R)) (d - R)
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: rw [ge_iff_le, max_le_iff] at hx
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : max 0 (-2 * R) < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: have hx' : max 0 (-2 * R) < x := by linarith
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : max 0 (-2 * R) < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: rw [max_lt_iff] at hx'
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
⊢ ∀ (x_1 : ↑(Icc (x + R) (x + S))),
    ‖(ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f) x_1‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: rw [norm_norm, ContinuousMap.norm_le _ (by positivity)]
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
⊢ ∀ (x_1 : ↑(Icc (x + R) (x + S))),
    ‖(ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f) x_1‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: refine fun y => (hd y.1 (by linarith [hx.1, y.2.1])).trans ?_
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
tactic: have A : ∀ x : ℝ, 0 ≤ |x| ^ (-b) := fun x => by positivity
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
state_after: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |↑y| ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * |x| ^ (-b)
tactic: rw [mul_assoc, mul_le_mul_left hc, norm_of_nonneg (A _), norm_of_nonneg (A _)]
state_before: case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |↑y| ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * |x| ^ (-b)
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |↑y| = ↑y

case h.e'_4.h.e'_6.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |x| = x
tactic: convert claim x (by linarith only [hx.1]) y.1 y.2.1