ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: LinearMap.polyCharpoly_map_eq_charpoly
File: Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpoly b) = charpoly (φ x)
state_after: no goals
tactic: rw [polyCharpoly, polyCharpolyAux_map_eq_charpoly]
Theorem: MeasureTheory.Integrable.bdd_mul
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : IsEmpty α
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : Nonempty α
⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
tactic: cases' isEmpty_or_nonempty α with hα hα
Theorem: Set.mem_accumulate
File: Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : LE α
x : α
z : β
⊢ z ∈ Accumulate s x ↔ ∃ y ≤ x, z ∈ s y
state_after: no goals
tactic: simp_rw [accumulate_def, mem_iUnion₂, exists_prop]
Theorem: CategoryTheory.Limits.biproduct.ι_map
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean

Proof steps:
state_before: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ ι f j ≫ map p = p j ≫ ι g j
state_after: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ ι f j ≫ map' p = p j ≫ ι g j
tactic: rw [biproduct.map_eq_map']
state_before: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ ι f j ≫ map' p = p j ≫ ι g j
state_after: no goals
tactic: apply
    Limits.IsColimit.ι_map (biproduct.isColimit f) (biproduct.bicone g).toCocone
    (Discrete.natTrans fun j => p j.as) (Discrete.mk j)
Theorem: CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTrans_obj_str
File: Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F✝
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
F G : C ⥤ C
α : F ⟶ G
X✝ Y✝ : Coalgebra F
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) X✝).str ≫ G.map f.f =
    f.f ≫ ((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) Y✝).str
state_after: no goals
tactic: rw [Category.assoc, ← α.naturality, ← Category.assoc, f.h, Category.assoc]
Theorem: StrictConvex.add_smul_sub_mem
File: Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y
tactic: apply h.openSegment_subset hx hy hxy
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
tactic: rw [openSegment_eq_image']
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
state_after: no goals
tactic: exact mem_image_of_mem _ ⟨ht₀, ht₁⟩
Theorem: SameRay.of_subsingleton
File: Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R x y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R 0 y
tactic: rw [Subsingleton.elim x 0]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R 0 y
state_after: no goals
tactic: exact zero_left _
Theorem: ZFSet.sInter_singleton
File: Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean

Proof steps:
state_before: x y : ZFSet
⊢ y ∈ ⋂₀ {x} ↔ y ∈ x
state_after: no goals
tactic: simp_rw [mem_sInter (singleton_nonempty x), mem_singleton, forall_eq]
Theorem: MultilinearMap.map_add_univ
File: Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
state_after: no goals
tactic: simpa using f.map_piecewise_add m m' Finset.univ
Theorem: RCLike.norm_I_of_ne_zero
File: Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hI : I ≠ 0
⊢ ‖I‖ = 1
state_after: no goals
tactic: rw [← mul_self_inj_of_nonneg (norm_nonneg I) zero_le_one, one_mul, ← norm_mul,
    I_mul_I_of_nonzero hI, norm_neg, norm_one]
Theorem: MvQPF.recF_eq
File: Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean

Proof steps:
state_before: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ⟨a, splitFun f' (recF g ∘ f)⟩)
state_after: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) =
    g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)
tactic: rw [recF, MvPFunctor.wRec_eq]
state_before: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
⊢ g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) =
    g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)
state_after: no goals
tactic: rfl
Theorem: CategoryTheory.GradedObject.hasMap_of_iso
File: Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean

Proof steps:
state_before: I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e✝ : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p✝ : I → J
j✝ : J
e : X ≅ Y
p : I → J
inst✝ : X.HasMap p
j : J
⊢ HasCoproduct (Y.mapObjFun p j)
state_after: I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e✝ : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p✝ : I → J
j✝ : J
e : X ≅ Y
p : I → J
inst✝ : X.HasMap p
j : J
α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j)
⊢ HasCoproduct (Y.mapObjFun p j)
tactic: have α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j) :=
    Discrete.natIso (fun ⟨i, _⟩ => (GradedObject.eval i).mapIso e)
state_before: I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e✝ : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p✝ : I → J
j✝ : J
e : X ≅ Y
p : I → J
inst✝ : X.HasMap p
j : J
α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j)
⊢ HasCoproduct (Y.mapObjFun p j)
state_after: no goals
tactic: exact hasColimitOfIso α.symm
Theorem: Finset.fold_insert_idem
File: Mathlib/Data/Finset/Fold.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
⊢ fold op b f (insert a s) = op (f a) (fold op b f s)
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
h : a ∈ s
⊢ fold op b f (insert a s) = op (f a) (fold op b f s)

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
h : a ∉ s
⊢ fold op b f (insert a s) = op (f a) (fold op b f s)
tactic: by_cases h : a ∈ s
Theorem: Polynomial.mapEquiv_apply
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
e : R ≃+* S
⊢ (↑(mapRingHom ↑e.symm)).comp ↑(mapRingHom ↑e) = RingHom.id R[X]
state_after: no goals
tactic: ext <;> simp
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
e : R ≃+* S
⊢ (↑(mapRingHom ↑e)).comp ↑(mapRingHom ↑e.symm) = RingHom.id S[X]
state_after: no goals
tactic: ext <;> simp
Theorem: map_comp_zero
File: Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : OneHomClass F M N
f : F
⊢ ⇑f ∘ 1 = 1
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: Rat.intCast_add
File: .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean

Proof steps:
state_before: a b : Int
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
state_after: a b : Int
⊢ ↑(a + b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den + (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
tactic: rw [add_def]
state_before: a b : Int
⊢ ↑(a + b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den + (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
state_after: no goals
tactic: simp [normalize_eq]
Theorem: MulAction.set_mem_fixedBy_of_subset_fixedBy
File: Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g
state_after: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
tactic: rw [← fixedBy_inv]
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
state_after: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s
tactic: ext x
state_before: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s
state_after: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ g • x ∈ s ↔ x ∈ s
tactic: rw [Set.mem_inv_smul_set_iff]
state_before: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
⊢ g • x ∈ s ↔ x ∈ s
state_after: case xs
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
tactic: refine ⟨fun gxs => ?xs, fun xs => (s_ss_fixedBy xs).symm ▸ xs⟩
state_before: case xs
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
state_after: case xs
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
tactic: rw [← fixedBy_inv] at s_ss_fixedBy
state_before: case xs
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s
⊢ x ∈ s
state_after: no goals
tactic: rwa [← s_ss_fixedBy gxs, inv_smul_smul] at gxs
Theorem: EuclideanDomain.gcd_mul_lcm
File: Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ gcd x y * lcm x y = x * y
state_after: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
tactic: rw [lcm]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
state_after: case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : gcd x y = 0
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y

case neg
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
tactic: by_cases h : gcd x y = 0
state_before: case neg
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
state_after: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
tactic: rcases gcd_dvd x y with ⟨⟨r, hr⟩, ⟨s, hs⟩⟩
state_before: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
state_after: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y r s : R
hs : y = gcd x y * s
g : R
h : ¬g = 0
hr : x = g * r
⊢ g * (x * y / g) = x * y
tactic: generalize gcd x y = g at h hr ⊢
state_before: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y r s : R
hs : y = gcd x y * s
g : R
h : ¬g = 0
hr : x = g * r
⊢ g * (x * y / g) = x * y
state_after: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s
⊢ g * (g * r * y / g) = g * r * y
tactic: subst hr
state_before: case neg.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s
⊢ g * (g * r * y / g) = g * r * y
state_after: no goals
tactic: rw [mul_assoc, mul_div_cancel_left₀ _ h]
Theorem: Set.Countable.isGδ_compl
File: Mathlib/Topology/Separation.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
⊢ IsGδ sᶜ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
⊢ IsGδ (⋂ i ∈ s, {i}ᶜ)
tactic: rw [← biUnion_of_singleton s, compl_iUnion₂]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
⊢ IsGδ (⋂ i ∈ s, {i}ᶜ)
state_after: no goals
tactic: exact .biInter hs fun x _ => .compl_singleton x
Theorem: WithZero.map'_id
File: Mathlib/Algebra/GroupWithZero/WithZero.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
inst✝ : MulOneClass γ
⊢ ↑(map' (MonoidHom.id β)) = MonoidHom.id (WithZero β)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
inst✝ : MulOneClass γ
x : WithZero β
⊢ ↑(map' (MonoidHom.id β)) x = (MonoidHom.id (WithZero β)) x
tactic: ext x
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
inst✝ : MulOneClass γ
x : WithZero β
⊢ ↑(map' (MonoidHom.id β)) x = (MonoidHom.id (WithZero β)) x
state_after: no goals
tactic: induction x <;> rfl
Theorem: Orientation.oangle_add_right_smul_rotation_pi_div_two
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean

Proof steps:
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
state_after: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)

case inr.inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
⊢ o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)

case inr.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
tactic: rcases lt_trichotomy r 0 with (hr | rfl | hr)
Theorem: Stream'.WSeq.LiftRelO.swap
File: Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
⊢ Function.swap (LiftRelO R C) = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)
state_after: case h.h
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)
⊢ Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y
tactic: funext x y
state_before: case h.h
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)
⊢ Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y
state_after: no goals
tactic: rcases x with ⟨⟩ | ⟨hx, jx⟩ <;> rcases y with ⟨⟩ | ⟨hy, jy⟩ <;> rfl
Theorem: Matroid.Indep.exists_base_subset_union_base
File: Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
tactic: obtain ⟨B', hB', hIB'⟩ := hI.subset_basis_of_subset <| subset_union_left (t := B)
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
state_after: no goals
tactic: exact ⟨B', hB.base_of_basis_superset subset_union_right hB', hIB', hB'.subset⟩
Theorem: LipschitzWith.mul_edist_le
File: Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ (↑K)⁻¹ * edist (f x) (f y) ≤ edist x y
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) / ↑K ≤ edist x y
tactic: rw [mul_comm, ← div_eq_mul_inv]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) / ↑K ≤ edist x y
state_after: no goals
tactic: exact ENNReal.div_le_of_le_mul' (h x y)
Theorem: NumberField.ComplexEmbedding.IsReal.coe_embedding_apply
File: Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
⊢ ↑(hφ.embedding x) = φ x
state_after: case a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
⊢ (↑(hφ.embedding x)).re = (φ x).re

case a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
⊢ (↑(hφ.embedding x)).im = (φ x).im
tactic: apply Complex.ext