Theorem: IsCompactOperator.comp_clm
File: Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Compact.lean

Proof steps:
state_before: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
state_after: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 (g 0))
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
tactic: have := g.continuous.tendsto 0
state_before: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 (g 0))
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
state_after: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
tactic: rw [map_zero] at this
state_before: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
state_after: case intro.intro
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)
K : Set M₃
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
tactic: rcases hf with ⟨K, hK, hKf⟩
state_before: case intro.intro
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)
K : Set M₃
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ IsCompactOperator (f ∘ ⇑g)
state_after: no goals
tactic: exact ⟨K, hK, this hKf⟩