Theorem: TensorPower.tprod_mul_tprod
File: Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ GradedMonoid.GMul.mul ((tprod R) a) ((tprod R) b) = (tprod R) (Fin.append a b)
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tmulEquiv R M) ((tprod R) a ⊗ₜ[R] (tprod R) b)) = (tprod R) (Fin.append a b)
tactic: dsimp [gMul_def, mulEquiv]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tmulEquiv R M) ((tprod R) a ⊗ₜ[R] (tprod R) b)) = (tprod R) (Fin.append a b)
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tprod R) fun i => Sum.elim a b i) = (tprod R) (Fin.append a b)
tactic: rw [tmulEquiv_apply R M a b]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tprod R) fun i => Sum.elim a b i) = (tprod R) (Fin.append a b)
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ ((tprod R) fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = (tprod R) (Fin.append a b)
tactic: refine (reindex_tprod _ _).trans ?_
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ ((tprod R) fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = (tprod R) (Fin.append a b)
state_after: case h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = Fin.append a b
tactic: congr 1
state_before: case h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = Fin.append a b
state_after: case h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr i)) = Fin.addCases a b
tactic: dsimp only [Fin.append, finSumFinEquiv, Equiv.coe_fn_symm_mk]
state_before: case h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr i)) = Fin.addCases a b
state_after: case h.e_6.h.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ ∀ (x : Fin (na + nb)), Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr x) = Fin.addCases a b x
tactic: apply funext
state_before: case h.e_6.h.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ ∀ (x : Fin (na + nb)), Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr x) = Fin.addCases a b x
state_after: no goals
tactic: apply Fin.addCases <;> simp