Theorem: Matrix.BlockTriangular.det
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : LinearOrder α
hM : M.BlockTriangular b
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : LinearOrder α
hM : M.BlockTriangular b
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
tactic: clear N
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : LinearOrder α
hM : M.BlockTriangular b
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: case H
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
s : Finset α
ih :
  ∀ t ⊂ s,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
hs : image b univ = s
⊢ M.det = ∏ a ∈ s, (M.toSquareBlock b a).det
tactic: induction' hs : univ.image b using Finset.strongInduction with s ih generalizing m
state_before: case H
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
s : Finset α
ih :
  ∀ t ⊂ s,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
hs : image b univ = s
⊢ M.det = ∏ a ∈ s, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: case H
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
tactic: subst hs
state_before: case H
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: case H.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : IsEmpty m
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det

case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
tactic: cases isEmpty_or_nonempty m
state_before: case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
tactic: let k := (univ.image b).max' (univ_nonempty.image _)
state_before: case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det
state_after: case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ (M.toSquareBlockProp fun i => b i = k).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬b i = k).det =
    ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det

case H.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
hM : M.BlockTriangular b
ih :
  ∀ t ⊂ image b univ,
    ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m],
      M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det
h✝ : Nonempty m
k : α := (image b univ).max' ⋯
⊢ ∀ (i : m), b i = k → ∀ (j : m), ¬b j = k → M i j = 0
tactic: rw [twoBlockTriangular_det' M fun i => b i = k]