Theorem: LinearMap.IsSymmetric.inner_map_self_eq_zero
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ T = 0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ ∀ (x : E), T x = 0
tactic: simp_rw [LinearMap.ext_iff, zero_apply]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ ∀ (x : E), T x = 0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ T x = 0
tactic: refine ⟨fun h x => ?_, fun h => by simp_rw [h, inner_zero_left, forall_const]⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ T x = 0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ (⟪T (x + T x), x + T x⟫_𝕜 - ⟪T (x - T x), x - T x⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • T x), x + I • T x⟫_𝕜 +
        I * ⟪T (x - I • T x), x - I • T x⟫_𝕜) /
      4 =
    0
tactic: rw [← @inner_self_eq_zero 𝕜, hT.inner_map_polarization]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ (⟪T (x + T x), x + T x⟫_𝕜 - ⟪T (x - T x), x - T x⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • T x), x + I • T x⟫_𝕜 +
        I * ⟪T (x - I • T x), x - I • T x⟫_𝕜) /
      4 =
    0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ (0 - 0 - I * 0 + I * 0) / 4 = 0
tactic: simp_rw [h _]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E
⊢ (0 - 0 - I * 0 + I * 0) / 4 = 0
state_after: no goals
tactic: ring