Theorem: Char.card_pow_char_pow
File: Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card R)) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
state_after: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card R)) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
tactic: have : gaussSum χ ψ ≠ 0 := by
    intro hf
    rw [hf, zero_pow two_ne_zero, eq_comm, mul_eq_zero] at hg
    exact not_isUnit_prime_of_dvd_card p
        ((CharP.cast_eq_zero_iff R' p _).mp <| hg.resolve_left (isUnit_one.neg.map χ).ne_zero) hp
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (χ (-1) * ↑(Fintype.card R)) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
state_after: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
tactic: rw [← hg]
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)
state_after: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) * gaussSum χ ψ = χ (↑p ^ n) * gaussSum χ ψ
tactic: apply mul_right_cancel₀ this
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
p n : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
hp' : p ≠ 2
hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
this : gaussSum χ ψ ≠ 0
⊢ (gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) * gaussSum χ ψ = χ (↑p ^ n) * gaussSum χ ψ
state_after: no goals
tactic: rw [← hχ.gaussSum_frob_iter p n hp ψ, ← pow_mul, ← pow_succ,
    Nat.two_mul_div_two_add_one_of_odd (fp.1.eq_two_or_odd'.resolve_left hp').pow]