Theorem: Lagrange.natDegree_basis
File: Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
state_after: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
tactic: have H : ∀ j, j ∈ s.erase i → basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0 := by
    simp_rw [Ne, mem_erase, basisDivisor_eq_zero_iff]
    exact fun j ⟨hij₁, hj⟩ hij₂ => hij₁ (hvs hj hi hij₂.symm)
state_before: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
state_after: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = ∑ x ∈ s.erase i, 1
tactic: rw [← card_erase_of_mem hi, card_eq_sum_ones]
state_before: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = ∑ x ∈ s.erase i, 1
state_after: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, 1 = ∑ i_1 ∈ s.erase i, (basisDivisor (v i) (v i_1)).natDegree
tactic: convert natDegree_prod _ _ H using 1
state_before: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, 1 = ∑ i_1 ∈ s.erase i, (basisDivisor (v i) (v i_1)).natDegree
state_after: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ v i ≠ v j
tactic: refine sum_congr rfl fun j hj => (natDegree_basisDivisor_of_ne ?_).symm
state_before: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ v i ≠ v j
state_after: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0
tactic: rw [Ne, ← basisDivisor_eq_zero_iff]
state_before: case h.e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0
state_after: no goals
tactic: exact H _ hj