Theorem: MeasureTheory.integral_condexpL2_eq_of_fin_meas_real
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
tactic: rw [← L2.inner_indicatorConstLp_one (𝕜 := 𝕜) (hm s hs) hμs f]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, ↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f)⟫_𝕜
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
tactic: have h_eq_inner : ∫ x in s, (condexpL2 𝕜 𝕜 hm f : α → 𝕜) x ∂μ =
      inner (indicatorConstLp 2 (hm s hs) hμs (1 : 𝕜)) (condexpL2 𝕜 𝕜 hm f) := by
    rw [L2.inner_indicatorConstLp_one (hm s hs) hμs]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, ↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f)⟫_𝕜
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
state_after: no goals
tactic: rw [h_eq_inner, ← inner_condexpL2_left_eq_right, condexpL2_indicator_of_measurable hm hs hμs]