Theorem: IsMaxChain.range_fin_of_covBy
File: Mathlib/Data/Fin/FlagRange.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
tactic: have hmono : Monotone f := Fin.monotone_iff_le_succ.2 fun k ↦ (hcovBy k).1
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
⊢ IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ range f
tactic: refine ⟨hmono.isChain_range, fun t htc hbt ↦ hbt.antisymm fun x hx ↦ ?_⟩
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ range f
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ y, f y = x
tactic: rw [mem_range]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ y, f y = x
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
⊢ False
tactic: by_contra! h
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
⊢ False
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
⊢ ∀ (k : Fin (n + 1)), f k < x
tactic: suffices ∀ k, f k < x by simpa [hlast] using this (.last _)
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
⊢ ∀ (k : Fin (n + 1)), f k < x
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
k : Fin (n + 1)
⊢ f k < x
tactic: intro k
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
k : Fin (n + 1)
⊢ f k < x
state_after: no goals
tactic: induction k using Fin.induction with
  | zero => simpa [h0, bot_lt_iff_ne_bot] using (h 0).symm
  | succ k ihk =>
    rw [range_subset_iff] at hbt
    exact (htc.lt_of_le (hbt k.succ) hx (h _)).resolve_right ((hcovBy k).2 ihk)