Theorem: MeasureTheory.stoppedValue_eq_of_mem_finset
File: Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ stoppedValue u τ = ∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
state_after: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ stoppedValue u τ y = (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) y
tactic: ext y
state_before: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ stoppedValue u τ y = (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) y
state_after: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ u (τ y) y = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s, u i y
tactic: rw [stoppedValue, Finset.sum_apply, Finset.sum_indicator_eq_sum_filter]
state_before: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ u (τ y) y = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s, u i y
state_after: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s = {τ y}
tactic: suffices Finset.filter (fun i => y ∈ {ω : Ω | τ ω = i}) s = ({τ y} : Finset ι) by
    rw [this, Finset.sum_singleton]
state_before: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
⊢ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s = {τ y}
state_after: case h.a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s ↔ ω ∈ {τ y}
tactic: ext1 ω
state_before: case h.a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s ↔ ω ∈ {τ y}
state_after: case h.a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ s ∧ τ y = ω ↔ ω = τ y
tactic: simp only [Set.mem_setOf_eq, Finset.mem_filter, Finset.mem_singleton]
state_before: case h.a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
⊢ ω ∈ s ∧ τ y = ω ↔ ω = τ y
state_after: case h.a.mp
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
h : ω ∈ s ∧ τ y = ω
⊢ ω = τ y

case h.a.mpr
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
h : ω = τ y
⊢ ω ∈ s ∧ τ y = ω
tactic: constructor <;> intro h