Theorem: PowerBasis.exists_smodEq
File: Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
state_after: case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Subsingleton B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]

case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial B
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ ∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
tactic: refine ⟨pb.basis.repr b ⟨0, pb.dim_pos⟩, ?_⟩
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : ∑ i : Fin pb.dim, (pb.basis.repr b) i • pb.basis i = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
tactic: have H := pb.basis.sum_repr b
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : ∑ i : Fin pb.dim, (pb.basis.repr b) i • pb.basis i = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
tactic: rw [← insert_erase (mem_univ ⟨0, pb.dim_pos⟩), sum_insert (not_mem_erase _ _)] at H
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk b =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
tactic: rw [SModEq, ← add_zero (algebraMap _ _ _), Quotient.mk_add]
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk b =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk
      ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
tactic: nth_rewrite 1 [← H]
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk
      ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
state_after: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩) +
      Submodule.Quotient.mk (∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
tactic: rw [Quotient.mk_add]
state_before: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩) +
      Submodule.Quotient.mk (∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0
state_after: case inr.e_a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩) =
    Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩))

case inr.e_a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b
⊢ Submodule.Quotient.mk (∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) = Submodule.Quotient.mk 0
tactic: congr 1