Theorem: MeasureTheory.Measure.haar.le_addIndex_mul
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
state_after: case intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
tactic: obtain ⟨s, h1s, h2s⟩ := index_elim K.isCompact K₀.interior_nonempty
state_before: case intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
state_after: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
tactic: obtain ⟨t, h1t, h2t⟩ := index_elim K₀.isCompact hV
state_before: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V
state_after: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ t.card * s.card
tactic: rw [← h2s, ← h2t, mul_comm]
state_before: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ t.card * s.card
state_after: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ (t * s).card
tactic: refine le_trans ?_ Finset.card_mul_le
state_before: case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ (t * s).card
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ (t * s).card ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
tactic: apply Nat.sInf_le
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ (t * s).card ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ t * s ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
tactic: refine ⟨_, ?_, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ t * s ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: rw [mem_setOf_eq]
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: refine Subset.trans h1s ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ∀ i ∈ s, (fun h => i * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: apply iUnion₂_subset
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ ∀ i ∈ s, (fun h => i * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
⊢ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: intro g₁ hg₁
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
⊢ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
⊢ ∀ (a : G), g₁ * a ∈ ↑K₀ → a ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: rw [preimage_subset_iff]
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
⊢ ∀ (a : G), g₁ * a ∈ ↑K₀ → a ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: intro g₂ hg₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
this : g₁ * g₂ ∈ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: have := h1t hg₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
this : g₁ * g₂ ∈ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
g₃ : G
hg₃ : g₃ ∈ t
h2V : g₁ * g₂ ∈ (fun h => (fun h => g₃ * h) ⁻¹' V) hg₃
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: rcases this with ⟨_, ⟨g₃, rfl⟩, A, ⟨hg₃, rfl⟩, h2V⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
g₃ : G
hg₃ : g₃ ∈ t
h2V : g₁ * g₂ ∈ (fun h => (fun h => g₃ * h) ⁻¹' V) hg₃
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: case intro.intro.intro.intro.hm.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
g₃ : G
hg₃ : g₃ ∈ t
h2V : g₃ * g₁ * g₂ ∈ V
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
tactic: rw [mem_preimage, ← mul_assoc] at h2V
state_before: case intro.intro.intro.intro.hm.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
g₂ : G
hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀
g₃ : G
hg₃ : g₃ ∈ t
h2V : g₃ * g₁ * g₂ ∈ V
⊢ g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
state_after: no goals
tactic: exact mem_biUnion (Finset.mul_mem_mul hg₃ hg₁) h2V