Theorem: _private.Mathlib.Algebra.Module.Injective.0.Module.Baer.extensionOfMax_adjoin.aux1
File: Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
tactic: have mem1 : x.1 ∈ (_ : Set _) := x.2
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain + ↑(Submodule.span R {y})
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
tactic: rw [Submodule.coe_sup] at mem1
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain + ↑(Submodule.span R {y})
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : b ∈ Submodule.span R {y}
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
tactic: rcases mem1 with ⟨a, a_mem, b, b_mem : b ∈ (Submodule.span R _ : Submodule R N), eq1⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : b ∈ Submodule.span R {y}
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : ∃ a, a • y = b
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
tactic: rw [Submodule.mem_span_singleton] at b_mem
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : ∃ a, a • y = b
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
z : R
eq2 : z • y = b
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
tactic: rcases b_mem with ⟨z, eq2⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
z : R
eq2 : z • y = b
⊢ ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
state_after: no goals
tactic: exact ⟨⟨a, a_mem⟩, z, by rw [← eq1, ← eq2]⟩