Theorem: spectrum.subset_polynomial_aeval
File: Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
⊢ (fun x => eval x p) '' σ a ⊆ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
tactic: rintro _ ⟨k, hk, rfl⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
tactic: let q := C (eval k p) - p
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : q.IsRoot k
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
tactic: have hroot : IsRoot q k := by simp only [q, eval_C, eval_sub, sub_self, IsRoot.def]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : q.IsRoot k
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
tactic: rw [← mul_div_eq_iff_isRoot, ← neg_mul_neg, neg_sub] at hroot
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
tactic: have aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - aeval a p = aeval a q := by
    simp only [q, aeval_C, map_sub, sub_left_inj]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ (fun x => eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
tactic: rw [mem_iff, aeval_q_eq, ← hroot, aeval_mul]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
tactic: have hcomm := (Commute.all (C k - X) (-(q / (X - C k)))).map (aeval a : 𝕜[X] →ₐ[𝕜] A)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X))
tactic: apply mt fun h => (hcomm.isUnit_mul_iff.mp h).1
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X))
state_after: no goals
tactic: simpa only [aeval_X, aeval_C, map_sub] using hk