Theorem: WeierstrassCurve.Affine.nonsingular_iff_variableChange
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Nonsingular x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Nonsingular 0 0
state_after: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧
      (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔
    (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧
      (1 ^ 3 * (W.a₃ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₁ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0 ∨
        1 ^ 4 *
            (W.a₄ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * W.a₃ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₂ -
                  ({ u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t +
                      { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s) *
                    W.a₁ +
                3 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 -
              2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠
          0)
tactic: rw [nonsingular_iff', equation_iff_variableChange, equation_zero, ← neg_ne_zero, or_comm,
    nonsingular_zero, variableChange_a₃, variableChange_a₄, inv_one, Units.val_one]
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧
      (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔
    (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧
      (1 ^ 3 * (W.a₃ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₁ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0 ∨
        1 ^ 4 *
            (W.a₄ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * W.a₃ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₂ -
                  ({ u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t +
                      { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s) *
                    W.a₁ +
                3 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 -
              2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠
          0)
state_after: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ ↑1⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + x * W.a₄ + x ^ 2 * W.a₂ + x ^ 3 - y * W.a₃ - y ^ 2 - x * y * W.a₁) = 0 ∧
      (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔
    ↑1⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + x * W.a₄ + x ^ 2 * W.a₂ + x ^ 3 - y * W.a₃ - y ^ 2 - x * y * W.a₁) = 0 ∧
      (1 ^ 3 * (W.a₃ + x * W.a₁ + 2 * y) ≠ 0 ∨
        1 ^ 4 * (W.a₄ - 0 * W.a₃ + 2 * x * W.a₂ - (y + x * 0) * W.a₁ + 3 * x ^ 2 - 2 * 0 * y) ≠ 0)
tactic: simp only [variableChange]
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ ↑1⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + x * W.a₄ + x ^ 2 * W.a₂ + x ^ 3 - y * W.a₃ - y ^ 2 - x * y * W.a₁) = 0 ∧
      (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔
    ↑1⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + x * W.a₄ + x ^ 2 * W.a₂ + x ^ 3 - y * W.a₃ - y ^ 2 - x * y * W.a₁) = 0 ∧
      (1 ^ 3 * (W.a₃ + x * W.a₁ + 2 * y) ≠ 0 ∨
        1 ^ 4 * (W.a₄ - 0 * W.a₃ + 2 * x * W.a₂ - (y + x * 0) * W.a₁ + 3 * x ^ 2 - 2 * 0 * y) ≠ 0)
state_after: no goals
tactic: congr! 3 <;> ring1