Theorem: IsLocalHomeomorphOn.of_comp_right
File: Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
⊢ ∀ x ∈ f '' s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
tactic: rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
tactic: obtain ⟨f, hxf, rfl⟩ := hf x hx
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
tactic: obtain ⟨gf, hgf, he⟩ := hgf x hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
⊢ ↑f x ∈ ↑f.symm.symm.symm ⁻¹' gf.source

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
y : Y
hy : y ∈ (f.symm.trans gf).source
⊢ g y = ↑(f.symm.trans gf) y
tactic: refine ⟨f.symm.trans gf, ⟨f.map_source hxf, ?_⟩, fun y hy ↦ ?_⟩