Theorem: Cardinal.Categorical.isComplete
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Proof steps:
state_before: L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
⊢ T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
state_after: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
tactic: obtain ⟨_, _⟩ := Theory.exists_model_card_eq ⟨hS.some, hT hS.some⟩ κ h1 h2
state_before: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
state_after: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ∨ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ Formula.not φ
tactic: rw [Theory.models_sentence_iff, Theory.models_sentence_iff]
state_before: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ∨ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ Formula.not φ
state_after: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
con : (∃ M, ¬↑M ⊨ φ) ∧ ∃ M, ¬↑M ⊨ Formula.not φ
⊢ False
tactic: by_contra! con
state_before: case intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
con : (∃ M, ¬↑M ⊨ φ) ∧ ∃ M, ¬↑M ⊨ Formula.not φ
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ¬↑MT ⊨ Formula.not φ
⊢ False
tactic: obtain ⟨⟨MF, hMF⟩, MT, hMT⟩ := con
state_before: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ¬↑MT ⊨ Formula.not φ
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
⊢ False
tactic: rw [Sentence.realize_not, Classical.not_not] at hMT
state_before: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: refine hMF ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this : Infinite ↑MT
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: haveI := hT MT
state_before: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this : Infinite ↑MT
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: haveI := hT MF
state_before: case intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: obtain ⟨NT, MNT, hNT⟩ := exists_elementarilyEquivalent_card_eq L MT κ h1 h2
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: obtain ⟨NF, MNF, hNF⟩ := exists_elementarilyEquivalent_card_eq L MF κ h1 h2
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)
⊢ ↑MF ⊨ φ
tactic: obtain ⟨TF⟩ := h (MNT.toModel T) (MNF.toModel T) hNT hNF
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)
⊢ ↑MF ⊨ φ
state_after: no goals
tactic: exact
      ((MNT.realize_sentence φ).trans
        ((TF.realize_sentence φ).trans (MNF.realize_sentence φ).symm)).1 hMT