Theorem: CategoryTheory.Functor.IsMittagLeffler.toPreimages
File: Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean

Proof steps:
state_before: J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j : J
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
state_after: case intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
tactic: obtain ⟨j₁, g₁, f₁, -⟩ := IsCofilteredOrEmpty.cone_objs i j
state_before: case intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
tactic: obtain ⟨j₂, f₂, h₂⟩ := F.isMittagLeffler_iff_eventualRange.1 h j₁
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
⊢ range ((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁)) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
tactic: refine ⟨j₂, f₂ ≫ f₁, fun j₃ f₃ => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
⊢ range ((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁)) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
tactic: rintro _ ⟨⟨x, hx⟩, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
tactic: have : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁ := by
      rw [h₂]
      exact ⟨_, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
tactic: obtain ⟨y, hy, h₃⟩ := h.subset_image_eventualRange F (f₃ ≫ f₂) this
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.intro.intro
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.intro.intro.refine_1
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
g₂ : j₃ ⟶ i
⊢ y ∈ F.map g₂ ⁻¹' s

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.intro.intro.refine_2
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
⊢ ↑((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁) ⟨y, ⋯⟩) = ↑((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩)
tactic: refine ⟨⟨y, mem_iInter.2 fun g₂ => ?_⟩, Subtype.ext ?_⟩