Theorem: torusIntegral_succAbove
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean

Proof steps:
state_before: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
state_after: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
tactic: set e : ℝ × ℝⁿ ≃ᵐ ℝⁿ⁺¹ := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun _ => ℝ) i).symm
state_before: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
state_after: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
tactic: have hem : MeasurePreserving e :=
    (volume_preserving_piFinSuccAbove (fun _ : Fin (n + 1) => ℝ) i).symm _
state_before: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
state_after: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
tactic: have heπ : (e ⁻¹' Icc 0 fun _ => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc (0 : ℝⁿ) fun _ => 2 * π :=
    ((OrderIso.piFinSuccAboveIso (fun _ => ℝ) i).symm.preimage_Icc _ _).trans (Icc_prod_eq _ _)
state_before: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) =
    ∮ (x : ℂ) in C(c i, R i), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth x y)
state_after: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π),
      ∫ (y : Fin n → ℝ) in Icc 0 fun x => 2 * π,
        (∏ i : Fin (n + 1), ↑(R i) * cexp (↑(e (x, y) i) * I) * I) • f (torusMap c R (e (x, y))) =
    ∫ (θ : ℝ) in Icc 0 (2 * π),
      deriv (circleMap (c i) (R i)) θ •
        ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ i.succAbove, R ∘ i.succAbove), f (i.insertNth (circleMap (c i) (R i) θ) y)

case hf
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
i : Fin (n + 1)
e : ℝ × (Fin n → ℝ) ≃ᵐ (Fin (n + 1) → ℝ) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove (fun x => ℝ) i).symm
hem : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
heπ : (⇑e ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π
⊢ IntegrableOn (fun x => (∏ i : Fin (n + 1), ↑(R i) * cexp (↑(e x i) * I) * I) • f (torusMap c R (e x)))
    (Icc 0 (2 * π) ×ˢ Icc 0 fun x => 2 * π) (volume.prod volume)
tactic: rw [torusIntegral, ← hem.map_eq, setIntegral_map_equiv, heπ, Measure.volume_eq_prod,
    setIntegral_prod, circleIntegral_def_Icc]