Theorem: Seminorm.ball_zero_absorbs_ball_zero
File: Mathlib/Analysis/Seminorm.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
tactic: rcases exists_pos_lt_mul hr₁ r₂ with ⟨r, hr₀, hr⟩
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ x ∈ a • p.ball 0 r₁
tactic: refine .of_norm ⟨r, fun a ha x hx => ?_⟩
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ x ∈ a • p.ball 0 r₁
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
tactic: rw [smul_ball_zero (norm_pos_iff.1 <| hr₀.trans_le ha), p.mem_ball_zero]
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : p x < r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
tactic: rw [p.mem_ball_zero] at hx
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : p x < r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
state_after: no goals
tactic: exact hx.trans (hr.trans_le <| by gcongr)