Theorem: exists_msmooth_zero_iff_one_iff_of_isClosed
File: Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
tactic: rcases exists_msmooth_support_eq_eq_one_iff I hs.isOpen_compl ht hd.subset_compl_left with
    ⟨f, f_diff, f_range, fs, ft⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0
tactic: refine ⟨f, f_diff, f_range, ?_, ft⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0
state_after: no goals
tactic: simp [← nmem_support, fs]