Theorem: LieAlgebra.SpecialLinear.sl_non_abelian
File: Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean

Proof steps:
state_before: n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
state_after: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
tactic: rcases Fintype.exists_pair_of_one_lt_card h with ⟨j, i, hij⟩
state_before: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
state_after: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
tactic: let A := Eb R i j hij
state_before: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
state_after: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
tactic: let B := Eb R j i hij.symm
state_before: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
state_after: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
⊢ False
tactic: intro c
state_before: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
⊢ False
state_after: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
c' : ↑A * ↑B = ↑B * ↑A
⊢ False
tactic: have c' : A.val * B.val = B.val * A.val := by
    rw [← sub_eq_zero, ← sl_bracket, c.trivial, ZeroMemClass.coe_zero]
state_before: case intro.intro
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
c' : ↑A * ↑B = ↑B * ↑A
⊢ False
state_after: no goals
tactic: simpa [A, B, stdBasisMatrix, Matrix.mul_apply, hij] using congr_fun (congr_fun c' i) i