Theorem: LieModule.iInf_lowerCentralSeries_eq_posFittingComp
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = posFittingComp R L M
state_after: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M
tactic: refine le_antisymm ?_ (posFittingComp_le_iInf_lowerCentralSeries R L M)
state_before: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M
state_after: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)
tactic: apply iInf_lcs_le_of_isNilpotent_quot
state_before: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)
state_after: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
tactic: rw [LieModule.isNilpotent_iff_forall']
state_before: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
state_after: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
tactic: intro x
state_before: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
state_after: case h.intro
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := Filter.eventually_atTop.mp (toEnd R L M x).eventually_iInf_range_pow_eq
state_before: case h.intro
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
state_after: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ (toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k = 0
tactic: use k
state_before: case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ (toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k = 0
state_after: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
x✝ : M ⧸ posFittingComp R L M
m : M
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
tactic: ext ⟨m⟩
state_before: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
x✝ : M ⧸ posFittingComp R L M
m : M
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
state_after: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
tactic: set F := posFittingComp R L M
state_before: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
state_after: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
tactic: replace hk : (toEnd R L M x ^ k) m ∈ F := by
    apply posFittingCompOf_le_posFittingComp R L M x
    simp_rw [← LieSubmodule.mem_coeSubmodule, posFittingCompOf, hk k (le_refl k)]
    apply LinearMap.mem_range_self
state_before: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
state_after: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
tactic: suffices (toEnd R L (M ⧸ F) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk (N := F) m) =
    LieSubmodule.Quotient.mk (N := F) ((toEnd R L M x ^ k) m) by simpa [this]
state_before: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
state_after: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
this :
  (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m =
    (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
tactic: have := LinearMap.congr_fun (LinearMap.commute_pow_left_of_commute
    (LieSubmodule.Quotient.toEnd_comp_mk' F x) k) m
state_before: case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
this :
  (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m =
    (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
state_after: no goals
tactic: simpa using this