Theorem: MeasureTheory.StronglyMeasurable.norm_approxBounded_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖↑(hf.approxBounded c n) x‖ ≤ c
state_after: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
tactic: simp only [StronglyMeasurable.approxBounded, SimpleFunc.coe_map, Function.comp_apply]
state_before: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
state_after: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
tactic: refine (norm_smul_le _ _).trans ?_
state_before: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
state_after: case pos
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c

case neg
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
tactic: by_cases h0 : ‖hf.approx n x‖ = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
state_after: case neg.inl
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c

case neg.inr
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : c ≤ ‖↑(hf.approx n) x‖
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
tactic: rcases le_total ‖hf.approx n x‖ c with h | h