Theorem: UniqueMDiffWithinAt.smooth_bundle_preimage
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
tactic: set e := trivializationAt F Z p.proj
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
tactic: have hp : p ∈ e.source := FiberBundle.mem_trivializationAt_proj_source
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
tactic: have : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (e p) := by
    rw [← Prod.mk.eta (p := e p), FiberBundle.trivializationAt_proj_fst]
    exact hs.prod (uniqueMDiffWithinAt_univ _)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) (↑e.symm (↑e.toPartialHomeomorph p))
tactic: rw [← e.left_inv hp]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) (↑e.symm (↑e.toPartialHomeomorph p))
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ e.symm.target ∩ ↑e.symm.symm ⁻¹' s ×ˢ univ ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s
tactic: refine (this.preimage_partialHomeomorph e.mdifferentiable.symm (e.map_source hp)).mono ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
⊢ e.symm.target ∩ ↑e.symm.symm ⁻¹' s ×ˢ univ ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
y : TotalSpace F Z
hy : y ∈ e.symm.target
hys : (↑e.symm.symm y).1 ∈ s
⊢ y ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
tactic: rintro y ⟨hy, hys, -⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
y : TotalSpace F Z
hy : y ∈ e.symm.target
hys : (↑e.symm.symm y).1 ∈ s
⊢ y ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
state_after: no goals
tactic: rwa [PartialHomeomorph.symm_symm, e.coe_coe, e.coe_fst hy] at hys