Theorem: Padic.complete'
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
tactic: obtain ⟨N, hN⟩ := exi_rat_seq_conv f (half_pos hε)
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
state_after: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
tactic: obtain ⟨N2, hN2⟩ := padicNormE.defn (lim' f) (half_pos hε)
state_before: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
state_after: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
tactic: refine ⟨max N N2, fun i hi ↦ ?_⟩
state_before: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
state_after: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i) + (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i)) < ε
tactic: rw [← sub_add_sub_cancel _ (lim' f i : ℚ_[p]) _]
state_before: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i) + (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i)) < ε
state_after: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε
tactic: refine (padicNormE.add_le _ _).trans_lt ?_
state_before: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε
state_after: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε / 2 + ε / 2
tactic: rw [← add_halves ε]
state_before: case intro.intro
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε / 2 + ε / 2
state_after: case intro.intro.h₁
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2

case intro.intro.h₂
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
N2 : ℕ
hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2
i : ℕ
hi : i ≥ max N N2
⊢ padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε / 2
tactic: apply _root_.add_lt_add