Theorem: ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt_iteratedFDerivWithin
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: rcases h.contDiffOn' (ENat.add_one_le_of_lt hmn) with ⟨u, uo, xu, hu⟩
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: set t := insert x s ∩ u
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: have A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s := by
    simp only [set_eventuallyEq_iff_inf_principal, ← nhdsWithin_inter']
    rw [← inter_assoc, nhdsWithin_inter_of_mem', ← diff_eq_compl_inter, insert_diff_of_mem,
      diff_eq_compl_inter]
    exacts [rfl, mem_nhdsWithin_of_mem_nhds (uo.mem_nhds xu)]
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: have B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t :=
    iteratedFDerivWithin_eventually_congr_set' _ A.symm _
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: have C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x :=
    hu.differentiableOn_iteratedFDerivWithin (Nat.cast_lt.2 m.lt_succ_self) (hs.inter uo) x
      ⟨mem_insert _ _, xu⟩
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
tactic: rw [differentiableWithinAt_congr_set' _ A] at C
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
state_after: no goals
tactic: exact C.congr_of_eventuallyEq (B.filter_mono inf_le_left) B.self_of_nhds