Theorem: UniqueSums.toTwoUniqueSums_of_addGroup
File: Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean

Proof steps:
state_before: G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : 1 < A.card * B.card
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: simp_rw [Nat.one_lt_mul_iff, card_pos] at hc
state_before: G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: obtain ⟨a, ha, b, hb, hu⟩ := uniqueMul_of_nonempty hc.1 hc.2.1
state_before: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: let C := A.map ⟨_, mul_right_injective a⁻¹⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: let D := B.map ⟨_, mul_left_injective b⁻¹⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: have hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card := by simp_rw [C, D, card_map]; exact hc.2.2
state_before: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
hC : 1 ∈ C
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: have hC : 1 ∈ C := mem_map.mpr ⟨a, ha, inv_mul_self a⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
hC : 1 ∈ C
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
state_after: case intro.intro.intro.intro
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
tactic: have hD : 1 ∈ D := mem_map.mpr ⟨b, hb, mul_inv_self b⟩