Theorem: Filter.Eventually.germ_congr_set
File: Mathlib/Topology/Germ.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑g
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
⊢ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
tactic: rw [eventually_nhdsSet_iff_forall] at *
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
⊢ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
tactic: intro x hx
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g
tactic: apply ((hf x hx).and (h x hx).eventually_nhds).mono
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ P y ↑g
tactic: intro y hy
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ P y ↑g
state_after: case h.e'_2
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ ↑g = ↑f
tactic: convert hy.1 using 1
state_before: case h.e'_2
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x
⊢ ↑g = ↑f
state_after: no goals
tactic: exact Germ.coe_eq.mpr hy.2