Theorem: MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.iSup_succ_eq_sup
File: Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean

Proof steps:
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
state_after: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
⊢ c = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
tactic: set c := ⨆ (k : ℕ) (_ : k ≤ m + 1), f k a with hc
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
⊢ c = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
state_after: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ c = d
tactic: set d := f m.succ a ⊔ ⨆ (k : ℕ) (_ : k ≤ m), f k a with hd
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ c = d
state_after: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧
    f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
tactic: rw [le_antisymm_iff, hc, hd]
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧
    f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
state_after: case left
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a

case right
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
⊢ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
tactic: constructor