Theorem: hasFDerivWithinAt_apply
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
tactic: let id' := ContinuousLinearMap.id 𝕜 (∀ i, F' i)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
tactic: have h := ((hasFDerivWithinAt_pi'
             (Φ := fun (f : ∀ i, F' i) (i' : ι) => f i') (Φ' := id') (x := f) (s := s'))).1
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
tactic: have h' : comp (proj i) id' = proj i := by rfl
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) ((proj i).comp id') s' f
tactic: rw [← h']
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) ((proj i).comp id') s' f
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f
tactic: apply h
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
⊢ HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f
state_after: no goals
tactic: apply hasFDerivWithinAt_id