Theorem: ultrafilter_extend_eq_iff
File: Mathlib/Topology/StoneCech.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
tactic: let b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := b.map pure
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
tactic: have t : ↑b' ≤ 𝓝 b := ultrafilter_converges_iff.mpr (bind_pure _).symm
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 c
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
tactic: rw [← h]
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
tactic: have := (continuous_ultrafilter_extend f).tendsto b
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f) ↑b'
tactic: refine le_trans ?_ (le_trans (map_mono t) this)
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f) ↑b'
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f ∘ pure) ↑b
tactic: change _ ≤ map (Ultrafilter.extend f ∘ pure) ↑b
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f ∘ pure) ↑b
state_after: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map f ↑b
tactic: rw [ultrafilter_extend_extends]
state_before: α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map f ↑b
state_after: no goals
tactic: exact le_rfl