Theorem: StarAlgebra.adjoin_induction₂
File: Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
⊢ p a b
state_after: case refine_1
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
y : A
hy : y ∈ s ∪ star s
⊢ p x y

case refine_2
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
⊢ p ((algebraMap R A) r) x

case refine_3
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
⊢ p x ((algebraMap R A) r)
tactic: refine
    Algebra.adjoin_induction₂ ha hb (fun x hx y hy => ?_) Halg (fun r x hx => ?_) (fun r x hx => ?_)
      Hadd_left Hadd_right Hmul_left Hmul_right