Theorem: MeasureTheory.locallyIntegrableOn_of_locallyIntegrable_restrict
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
⊢ LocallyIntegrableOn f s μ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
tactic: intro x _
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
tactic: obtain ⟨t, ht_mem, ht_int⟩ := hf x
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
u : Set X
hu_sub : u ⊆ t
hu_o : IsOpen u
hu_mem : x ∈ u
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
tactic: obtain ⟨u, hu_sub, hu_o, hu_mem⟩ := mem_nhds_iff.mp ht_mem
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
u : Set X
hu_sub : u ⊆ t
hu_o : IsOpen u
hu_mem : x ∈ u
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
u : Set X
hu_sub : u ⊆ t
hu_o : IsOpen u
hu_mem : x ∈ u
⊢ IntegrableOn f (s ∩ u) μ
tactic: refine ⟨_, inter_mem_nhdsWithin s (hu_o.mem_nhds hu_mem), ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)
x : X
a✝ : x ∈ s
t : Set X
ht_mem : t ∈ 𝓝 x
ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)
u : Set X
hu_sub : u ⊆ t
hu_o : IsOpen u
hu_mem : x ∈ u
⊢ IntegrableOn f (s ∩ u) μ
state_after: no goals
tactic: simpa only [IntegrableOn, Measure.restrict_restrict hu_o.measurableSet, inter_comm] using
    ht_int.mono_set hu_sub