Theorem: ContinuousLinearMap.isLeast_opNorm
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
tactic: refine IsClosed.isLeast_csInf ?_ bounds_nonempty bounds_bddBelow
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})
tactic: simp only [setOf_and, setOf_forall]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})
state_after: no goals
tactic: refine isClosed_Ici.inter <| isClosed_iInter fun _ ↦ isClosed_le ?_ ?_ <;> continuity