Theorem: exists_forall_closed_ball_dist_add_le_two_mul_sub
File: Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
state_after: case inl
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ

case inr
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
tactic: obtain hr | hr := le_or_lt r 0
state_before: case inr
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
state_after: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
tactic: obtain ⟨δ, hδ, h⟩ := exists_forall_closed_ball_dist_add_le_two_sub E (div_pos hε hr)
state_before: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
state_after: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖x‖ ≤ r
y : E
hy : ‖y‖ ≤ r
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
tactic: refine ⟨δ * r, mul_pos hδ hr, fun x hx y hy hxy => ?_⟩
state_before: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖x‖ ≤ r
y : E
hy : ‖y‖ ≤ r
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
state_after: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
tactic: rw [← div_le_one hr, div_eq_inv_mul, ← norm_smul_of_nonneg (inv_nonneg.2 hr.le)] at hx hy
state_before: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
state_after: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε / r ≤ ‖r⁻¹ • x - r⁻¹ • y‖ → ‖r⁻¹ • x + r⁻¹ • y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
tactic: have := h hx hy
state_before: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε / r ≤ ‖r⁻¹ • x - r⁻¹ • y‖ → ‖r⁻¹ • x + r⁻¹ • y‖ ≤ 2 - δ
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
state_after: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
tactic: simp_rw [← smul_add, ← smul_sub, norm_smul_of_nonneg (inv_nonneg.2 hr.le), ← div_eq_inv_mul,
    div_le_div_right hr, div_le_iff hr, sub_mul] at this
state_before: case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
state_after: no goals
tactic: exact this hxy