Theorem: MeasureTheory.integral_comp_smul_deriv_Ioi
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
state_after: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
tactic: rw [integrableOn_Ici_iff_integrableOn_Ioi] at hg2
state_before: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
state_after: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
tactic: have t2 := intervalIntegral_tendsto_integral_Ioi _ hg2 tendsto_id
state_before: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
state_after: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
tactic: have : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a :=
    Ioi_subset_Ici_self.trans <|
      IsPreconnected.intermediate_value_Ici isPreconnected_Ici left_mem_Ici
        (le_principal_iff.mpr <| Ici_mem_atTop _) hf hft
state_before: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
state_after: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
tactic: have t1 := (intervalIntegral_tendsto_integral_Ioi _ (hg1.mono_set this) tendsto_id).comp hft
state_before: E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
state_after: no goals
tactic: exact tendsto_nhds_unique (Tendsto.congr' (eventuallyEq_of_mem (Ioi_mem_atTop a) eq) t2) t1