Theorem: MeasureTheory.setToFun_congr_smul_measure
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
tactic: by_cases hc0 : c = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
state_after: case neg.refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ ≠ ⊤

case neg.refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ μ = c⁻¹ • c • μ
tactic: refine setToFun_congr_measure c⁻¹ c ?_ hc_ne_top (le_of_eq ?_) le_rfl hT hT_smul f