Theorem: MeasureTheory.IsFundamentalDomain.measure_ne_zero
File: Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
⊢ μ s ≠ 0
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ
⊢ μ s ≠ 0
tactic: have hc := measure_univ_pos.mpr hμ
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ
⊢ μ s ≠ 0
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ μ univ ≤ 0
tactic: contrapose! hc
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ μ univ ≤ 0
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ μ (⋃ g, g • s) ≤ 0
tactic: rw [← measure_congr h.iUnion_smul_ae_eq]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ μ (⋃ g, g • s) ≤ 0
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ ∑' (i : G), μ (i • s) ≤ 0
tactic: refine le_trans (measure_iUnion_le _) ?_
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
⊢ ∑' (i : G), μ (i • s) ≤ 0
state_after: no goals
tactic: simp_rw [measure_smul, hc, tsum_zero, le_refl]