Theorem: BoundedContinuousFunction.exists_extension_forall_mem_of_closedEmbedding
File: Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
state_after: case inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : IsEmpty X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f

case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
tactic: cases isEmpty_or_nonempty X
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
state_after: case inr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
tactic: rcases exists_extension_forall_exists_le_ge_of_closedEmbedding f he with ⟨g, hg, hgf⟩
state_before: case inr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
state_after: case inr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
⊢ g y ∈ t
tactic: refine ⟨g, fun y => ?_, hgf⟩
state_before: case inr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
⊢ g y ∈ t
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
xl xu : X
h : g y ∈ Icc (f xl) (f xu)
⊢ g y ∈ t
tactic: rcases hg y with ⟨xl, xu, h⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
xl xu : X
h : g y ∈ Icc (f xl) (f xu)
⊢ g y ∈ t
state_after: no goals
tactic: exact hs.out (hf _) (hf _) h