Theorem: Continuous.strictMono_of_inj_boundedOrder
File: Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a b : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
⊢ StrictMono f
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
⊢ f a < f b
tactic: intro a b hab
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
⊢ f a < f b
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
⊢ False
tactic: by_contra! h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
⊢ False
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
⊢ False
tactic: have H : f b < f a := lt_of_le_of_ne h <| hf_i.ne hab.ne'
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
⊢ False
state_after: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f a ≤ f ⊥
⊢ False

case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : OrderTopology α
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : OrderTopology β
inst✝⁵ : Nonempty γ
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : ¬f a ≤ f ⊥
⊢ False
tactic: by_cases ha : f a ≤ f ⊥