Theorem: NormedAddGroupHom.SurjectiveOnWith.mono
File: Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean

Proof steps:
state_before: V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
⊢ f.SurjectiveOnWith K C'
state_after: V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
k : V₂
k_in : k ∈ K
⊢ ∃ g, f g = k ∧ ‖g‖ ≤ C' * ‖k‖
tactic: intro k k_in
state_before: V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
k : V₂
k_in : k ∈ K
⊢ ∃ g, f g = k ∧ ‖g‖ ≤ C' * ‖k‖
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ∃ g_1, f g_1 = f g ∧ ‖g_1‖ ≤ C' * ‖f g‖
tactic: rcases h k k_in with ⟨g, rfl, hg⟩
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ∃ g_1, f g_1 = f g ∧ ‖g_1‖ ≤ C' * ‖f g‖
state_after: case right
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖
tactic: use g, rfl
state_before: case right
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖
state_after: case pos
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
Hg : ‖f g‖ = 0
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖

case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
Hg : ¬‖f g‖ = 0
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖
tactic: by_cases Hg : ‖f g‖ = 0