Theorem: MeasureTheory.Measure.tendsto_addHaar_inter_smul_zero_of_density_zero_aux2
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
tactic: set t' := R⁻¹ • t with ht'
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
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F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
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x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
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F : Type u_2
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x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
tactic: set u' := R⁻¹ • u with hu'
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
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F : Type u_2
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x : E
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t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] (R * 0))
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
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μ : Measure E
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F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
tactic: rw [mul_zero] at B
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
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inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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inst✝ : CompleteSpace F
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x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r =>
    μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
tactic: apply (A.comp B).congr' _
state_before: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r =>
    μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0,
    ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) a = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)
tactic: filter_upwards [self_mem_nhdsWithin]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0,
    ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) a = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
tactic: rintro r -
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
tactic: have T : (R * r) • t' = r • t := by
    rw [mul_comm, ht', smul_smul, mul_assoc, mul_inv_cancel Rpos.ne', mul_one]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
U : (R * r) • u' = r • u
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
tactic: have U : (R * r) • u' = r • u := by
    rw [mul_comm, hu', smul_smul, mul_assoc, mul_inv_cancel Rpos.ne', mul_one]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
U : (R * r) • u' = r • u
⊢ ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) r = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
U : (R * r) • u' = r • u
⊢ μ (s ∩ ({x} + (R * r) • t')) / μ ({x} + (R * r) • u') = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
tactic: dsimp
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
U : (R * r) • u' = r • u
⊢ μ (s ∩ ({x} + (R * r) • t')) / μ ({x} + (R * r) • u') = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
state_after: no goals
tactic: rw [T, U]