Theorem: IntermediateField.restrictScalars_adjoin_of_algEquiv
File: Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ restrictScalars F (adjoin L S) = restrictScalars F (adjoin L' S)
state_after: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ (restrictScalars F (adjoin L S)).toSubfield = (restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubfield
tactic: apply_fun toSubfield using (fun K K' h ↦ by
    ext x; change x ∈ K.toSubfield ↔ x ∈ K'.toSubfield; rw [h])
state_before: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ (restrictScalars F (adjoin L S)).toSubfield = (restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubfield
state_after: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap L E) ∪ S) = Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap L' E) ∪ S)
tactic: change Subfield.closure _ = Subfield.closure _
state_before: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap L E) ∪ S) = Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap L' E) ∪ S)
state_after: case e_s.e_a
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap L E) = Set.range ⇑(algebraMap L' E)
tactic: congr
state_before: case e_s.e_a
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap L E) = Set.range ⇑(algebraMap L' E)
state_after: case e_s.e_a.h
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L E) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L' E)
tactic: ext x
state_before: case e_s.e_a.h
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L E) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L' E)
state_after: no goals
tactic: exact ⟨fun ⟨y, h⟩ ↦ ⟨i y, by rw [← h, hi]; rfl⟩,
    fun ⟨y, h⟩ ↦ ⟨i.symm y, by rw [← h, hi, Function.comp_apply, AlgEquiv.apply_symm_apply]⟩⟩