Theorem: LinearMap.isSymm_iff_eq_flip
File: Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ IsSymm B ↔ B = flip B
state_after: case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : IsSymm B
⊢ B = flip B

case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
⊢ IsSymm B
tactic: constructor <;> intro h
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
⊢ IsSymm B
state_after: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
x y : M
⊢ (RingHom.id R) ((B x) y) = (B y) x
tactic: intro x y
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
x y : M
⊢ (RingHom.id R) ((B x) y) = (B y) x
state_after: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
x y : M
⊢ (RingHom.id R) (((flip B) x) y) = (B y) x
tactic: conv_lhs => rw [h]
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B✝ : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
B : LinearMap.BilinForm R M
h : B = flip B
x y : M
⊢ (RingHom.id R) (((flip B) x) y) = (B y) x
state_after: no goals
tactic: rfl