Theorem: FormalMultilinearSeries.changeOriginSeries_sum_eq_partialSum_of_finite
File: Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
⊢ (p.changeOriginSeries k).sum = (p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k)
state_after: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ((p.changeOriginSeries k).sum x) x✝ = ((p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x) x✝
tactic: ext x
state_before: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ((p.changeOriginSeries k).sum x) x✝ = ((p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x) x✝
state_after: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ∀ b ∉ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k b) fun x_1 => x) = 0
tactic: rw [partialSum, FormalMultilinearSeries.sum,
    tsum_eq_sum (f := fun m => p.changeOriginSeries k m (fun _ => x)) (s := Finset.range (n - k))]
state_before: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
⊢ ∀ b ∉ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k b) fun x_1 => x) = 0
state_after: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range (n - k)
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
tactic: intro m hm
state_before: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range (n - k)
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
state_after: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : n - k ≤ m
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
tactic: rw [Finset.mem_range, not_lt] at hm
state_before: case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : n - k ≤ m
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
state_after: no goals
tactic: rw [p.changeOriginSeries_finite_of_finite hn k (by rw [add_comm]; exact Nat.le_add_of_sub_le hm),
    ContinuousMultilinearMap.zero_apply]