Theorem: CoalgebraCat.MonoidalCategoryAux.leftUnitor_hom_toLinearMap
File: Mathlib/Algebra/Category/CoalgebraCat/ComonEquivalence.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (TensorProduct.mk R
          ↑(Opposite.unop
              (Opposite.unop
                  ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                    ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
          ↑(Opposite.unop
              (Opposite.unop
                  ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                    ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
      (λ_ (of R M)).hom.toCoalgHom.toLinearMap =
    (TensorProduct.mk R
          ↑(Opposite.unop
              (Opposite.unop
                  ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                    ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
          ↑(Opposite.unop
              (Opposite.unop
                  ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                    ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
      ↑(TensorProduct.lid R M)
state_after: case h.h
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
x✝ :
  ↑(Opposite.unop
      (Opposite.unop
          ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
            ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)
⊢ (((TensorProduct.mk R
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
          (λ_ (of R M)).hom.toCoalgHom.toLinearMap)
        1)
      x✝ =
    (((TensorProduct.mk R
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
          ↑(TensorProduct.lid R M))
        1)
      x✝
tactic: ext
state_before: case h.h
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
x✝ :
  ↑(Opposite.unop
      (Opposite.unop
          ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
            ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)
⊢ (((TensorProduct.mk R
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
          (λ_ (of R M)).hom.toCoalgHom.toLinearMap)
        1)
      x✝ =
    (((TensorProduct.mk R
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (𝟙_ (CoalgebraCat R))))).X)
              ↑(Opposite.unop
                  (Opposite.unop
                      ((Comon_.Comon_EquivMon_OpOp (ModuleCat R)).symm.inverse.obj
                        ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M)))).X)).compr₂
          ↑(TensorProduct.lid R M))
        1)
      x✝
state_after: no goals
tactic: rfl