Theorem: Basis.smulTower_apply
File: Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
ij : ι × ι'
⊢ (b.smulTower c) ij = b ij.1 • c ij.2
state_after: case mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2
tactic: obtain ⟨i, j⟩ := ij
state_before: case mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2
state_after: case mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1
tactic: rw [Basis.apply_eq_iff]
state_before: case mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
⊢ (b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1
state_after: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ ((b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2)) (i', j') = (single (i, j) 1) (i', j')
tactic: ext ⟨i', j'⟩
state_before: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ ((b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2)) (i', j') = (single (i, j) 1) (i', j')
state_after: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ (b.repr (b (i, j).1 • if (i, j).2 = (i', j').2 then 1 else 0)) (i', j').1 = (single (i, j) 1) (i', j')
tactic: rw [Basis.smulTower_repr, LinearEquiv.map_smul, Basis.repr_self, Finsupp.smul_apply,
    Finsupp.single_apply]
state_before: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ (b.repr (b (i, j).1 • if (i, j).2 = (i', j').2 then 1 else 0)) (i', j').1 = (single (i, j) 1) (i', j')
state_after: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ (b.repr (b i • if j = j' then 1 else 0)) i' = (single (i, j) 1) (i', j')
tactic: dsimp only
state_before: case mk.h.mk
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ (b.repr (b i • if j = j' then 1 else 0)) i' = (single (i, j) 1) (i', j')
state_after: case pos
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
hi : j = j'
⊢ (b.repr (b i • 1)) i' = (single (i, j) 1) (i', j')

case neg
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
hi : ¬j = j'
⊢ (b.repr (b i • 0)) i' = (single (i, j) 1) (i', j')
tactic: split_ifs with hi