Theorem: Finset.sum_bij'
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean

Proof steps:
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
state_after: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ a1 = a2
tactic: refine prod_bij i hi (fun a1 h1 a2 h2 eq ↦ ?_) (fun b hb ↦ ⟨_, hj b hb, right_inv b hb⟩) h
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ a1 = a2
state_after: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ j (i a1 h1) ⋯ = j (i a2 h2) ⋯
tactic: rw [← left_inv a1 h1, ← left_inv a2 h2]
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
⊢ j (i a1 h1) ⋯ = j (i a2 h2) ⋯
state_after: no goals
tactic: simp only [eq]