Theorem: _private.Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.AsTensorProduct.0.AdicCompletion.ofTensorProduct_comp_ofTensorProductInvOfPiFintype
File: Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ ↑(AdicCompletion.ofTensorProductInvOfPiFintype I ι) = LinearMap.id
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ
      ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) =
    LinearMap.id
tactic: dsimp only [ofTensorProductInvOfPiFintype]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ
      ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) =
    LinearMap.id
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ
      ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ
        ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) =
    LinearMap.id
tactic: rw [LinearEquiv.coe_trans, ofTensorProduct_eq, LinearMap.comp_assoc]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ
      ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ
        ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) =
    LinearMap.id
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ
      (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ
          ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ
        ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) =
    LinearMap.id
tactic: nth_rw 2 [← LinearMap.comp_assoc]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ
      (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ
          ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ
        ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) =
    LinearMap.id
state_after: no goals
tactic: simp