Theorem: LieAlgebra.toLieSubmodule_le_rootSpace_zero
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H.toLieSubmodule
⊢ x ∈ rootSpace H 0
tactic: intro x hx
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H.toLieSubmodule
⊢ x ∈ rootSpace H 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
⊢ x ∈ rootSpace H 0
tactic: simp only [LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule] at hx
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
⊢ x ∈ rootSpace H 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
⊢ ∀ (x_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) x_1 ^ k) x = 0
tactic: simp only [mem_weightSpace, Pi.zero_apply, sub_zero, zero_smul]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
⊢ ∀ (x_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) x_1 ^ k) x = 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: intro y
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case mk.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := (inferInstance : IsNilpotent R H)
state_before: case mk.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: use k
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: let f : Module.End R H := toEnd R H H y
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: let g : Module.End R L := toEnd R H L y
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
tactic: have hfg : g.comp (H : Submodule R L).subtype = (H : Submodule R L).subtype.comp f := by
    ext z
    simp only [toEnd_apply_apply, Submodule.subtype_apply,
      LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, LieSubalgebra.coe_bracket, Function.comp_apply,
      LinearMap.coe_comp]
    rfl
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ ((g ^ k) ∘ₗ H.subtype) ⟨x, hx⟩ = 0
tactic: change (g ^ k).comp (H : Submodule R L).subtype ⟨x, hx⟩ = 0
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ ((g ^ k) ∘ₗ H.subtype) ⟨x, hx⟩ = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
tactic: rw [LinearMap.commute_pow_left_of_commute hfg k]
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
tactic: have h := iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries R H H y ⟨x, hx⟩ k
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
tactic: rw [hk, LieSubmodule.mem_bot] at h
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (⇑f)^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
tactic: simp only [Submodule.subtype_apply, Function.comp_apply, LinearMap.pow_apply, LinearMap.coe_comp,
    Submodule.coe_eq_zero]
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (⇑f)^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
state_after: no goals
tactic: exact h