Theorem: MeasureTheory.eLpNormEssSup_indicator_const_eq
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ≤ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ
tactic: refine le_antisymm (eLpNormEssSup_indicator_const_le s c) ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ≤ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
⊢ False
tactic: by_contra! h
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
⊢ False
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ¬↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊ < ↑‖c‖₊} = 0
⊢ False
tactic: have h' := ae_iff.mp (ae_lt_of_essSup_lt h)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ¬↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊ < ↑‖c‖₊} = 0
⊢ False
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
⊢ False
tactic: push_neg at h'
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
⊢ False
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
x : α
hx_mem : x ∈ s
⊢ x ∈ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊}
tactic: refine hμs (measure_mono_null (fun x hx_mem => ?_) h')
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
x : α
hx_mem : x ∈ s
⊢ x ∈ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊}
state_after: no goals
tactic: rw [Set.mem_setOf_eq, Set.indicator_of_mem hx_mem]