Theorem: GradedTensorProduct.comm_coe_tmul_coe
File: Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b)) = (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
state_after: R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a =
    (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
tactic: simp_rw [auxEquiv_comm, auxEquiv_tmul, decompose_coe, ← lof_eq_of R, gradedComm_of_tmul_of,
      @Units.smul_def _ _ (_) (_), ← Int.cast_smul_eq_nsmul R]
state_before: R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a =
    (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
state_after: R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a =
    ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a
tactic: erw [LinearMap.map_smul, auxEquiv_tmul]
state_before: R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a =
    ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a
state_after: no goals
tactic: simp_rw [decompose_coe, lof_eq_of]