Theorem: TendstoLocallyUniformlyOn.continuousOn
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
⊢ ContinuousOn f s
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
tactic: refine continuousOn_of_locally_uniform_approx_of_continuousWithinAt fun x hx u hu => ?_
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
state_after: case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
tactic: rcases h u hu x hx with ⟨t, ht, H⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
n : ι
hFc : ContinuousOn (F n) s
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
tactic: rcases (hc.and H).exists with ⟨n, hFc, hF⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
n : ι
hFc : ContinuousOn (F n) s
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
state_after: no goals
tactic: exact ⟨t, ht, ⟨F n, hFc.continuousWithinAt hx, hF⟩⟩