Theorem: CategoryTheory.Limits.colimit.pre_post
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean

Proof steps:
state_before: J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
⊢ post (E ⋙ F) G ≫ G.map (pre F E) = pre (F ⋙ G) E ≫ post F G
state_after: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ post (E ⋙ F) G ≫ G.map (pre F E) = ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E ≫ post F G
tactic: ext j
state_before: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ post (E ⋙ F) G ≫ G.map (pre F E) = ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E ≫ post F G
state_after: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
tactic: rw [← assoc, colimit.ι_post, ← G.map_comp, colimit.ι_pre, ← assoc]
state_before: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
state_after: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
this : HasColimit (E ⋙ F ⋙ G)
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
tactic: haveI : HasColimit (E ⋙ F ⋙ G) := h
state_before: case w
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
this : HasColimit (E ⋙ F ⋙ G)
⊢ G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G
state_after: no goals
tactic: erw [colimit.ι_pre (F ⋙ G) E j, colimit.ι_post]