Theorem: QPF.has_good_supp_iff
File: Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ (∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u) ↔
    ∃ a f, abs ⟨a, f⟩ = x ∧ ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
state_after: case mp
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ (∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u) →
    ∃ a f, abs ⟨a, f⟩ = x ∧ ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

case mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ (∃ a f, abs ⟨a, f⟩ = x ∧ ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ) →
    ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
tactic: constructor
state_before: case mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
⊢ (∃ a f, abs ⟨a, f⟩ = x ∧ ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ) →
    ∀ (p : α → Prop), Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
state_after: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
tactic: rintro ⟨a, f, xeq, h⟩ p
state_before: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ Liftp p x ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
state_after: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
tactic: rw [liftp_iff]
state_before: case mpr.intro.intro.intro
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) ↔ ∀ u ∈ supp x, p u
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mp
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) → ∀ u ∈ supp x, p u

case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∀ u ∈ supp x, p u) → ∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
tactic: constructor
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
⊢ (∀ u ∈ supp x, p u) → ∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
⊢ ∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
tactic: intro h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
⊢ ∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
⊢ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
tactic: refine ⟨a, f, xeq.symm, ?_⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
⊢ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ p (f i)
tactic: intro i
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ p (f i)
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ f i ∈ supp x
tactic: apply h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ f i ∈ supp x
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a → α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f i ∈ f_1 '' univ
tactic: rw [mem_supp]
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ ∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a → α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f i ∈ f_1 '' univ
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f i ∈ f' '' univ
tactic: intro a' f' xeq'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f i ∈ f' '' univ
state_after: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f i ∈ f '' univ
tactic: apply h a' f' xeq'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.mpr.a.a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x
⊢ f i ∈ f '' univ
state_after: no goals
tactic: apply mem_image_of_mem _ (mem_univ _)