Theorem: LinearMap.restrictScalars₁₂_apply_apply
File: Mathlib/LinearAlgebra/BilinearMap.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N
⊢ (fun x x_1 => (B x) x_1) (r' • m) x✝ = r' • (fun x x_1 => (B x) x_1) m x✝
state_after: R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N
⊢ (B (r' • m)) x✝ = r' • (B m) x✝
tactic: dsimp only
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N
⊢ (B (r' • m)) x✝ = r' • (B m) x✝
state_after: no goals
tactic: rw [← smul_one_smul R r' m, map_smul₂, smul_one_smul]