Theorem: MeasureTheory.condexpInd_nonneg
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpInd E hm μ s) x)
tactic: rw [← coeFn_le]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpInd E hm μ s) x)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
tactic: refine EventuallyLE.trans_eq ?_ (condexpInd_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).symm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
state_after: no goals
tactic: exact (coeFn_zero E 1 μ).trans_le (condexpIndSMul_nonneg hs hμs x hx)