Theorem: NonarchimedeanAddGroup.cauchySeq_sum_of_tendsto_cofinite_zero
File: Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
⊢ CauchySeq fun s => ∏ i ∈ s, f i
state_after: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
⊢ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
tactic: apply cauchySeq_finset_iff_prod_vanishing.mpr
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
⊢ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
state_after: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
tactic: intro U hU
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
state_after: case intro
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
tactic: rcases is_nonarchimedean U hU with ⟨V, hV⟩
state_before: case intro
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
state_after: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∀ (t : Finset α), Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯) → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
tactic: use (tendsto_def.mp hf V V.mem_nhds_one).toFinset
state_before: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
⊢ ∀ (t : Finset α), Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯) → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
state_after: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ U
tactic: intro t ht
state_before: case h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ U
state_after: case h.a
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ ↑V
tactic: apply hV
state_before: case h.a
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ ↑V
state_after: case h.a.h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∀ c ∈ t, f c ∈ ↑V
tactic: apply Subgroup.prod_mem
state_before: case h.a.h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
⊢ ∀ c ∈ t, f c ∈ ↑V
state_after: case h.a.h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
i : α
hi : i ∈ t
⊢ f i ∈ ↑V
tactic: intro i hi
state_before: case h.a.h
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
i : α
hi : i ∈ t
⊢ f i ∈ ↑V
state_after: no goals
tactic: simpa using Finset.disjoint_left.mp ht hi