Theorem: surjective_of_nonzero_of_finrank_eq_one
File: Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
⊢ Surjective ⇑f
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
tactic: change Surjective (f.restrictScalars K)
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
state_after: case intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
tactic: obtain ⟨v, n⟩ := DFunLike.ne_iff.mp w
state_before: case intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
state_after: case intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
z : W
⊢ ∃ a, (↑K f) a = z
tactic: intro z
state_before: case intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
z : W
⊢ ∃ a, (↑K f) a = z
state_after: case intro.intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
c : K
⊢ ∃ a, (↑K f) a = c • f v
tactic: obtain ⟨c, rfl⟩ := (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' (f v) n).mp h z
state_before: case intro.intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
c : K
⊢ ∃ a, (↑K f) a = c • f v
state_after: no goals
tactic: exact ⟨c • v, by simp⟩