Theorem: isLocalizedModule_iff_isBaseChange
File: Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f
state_after: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
⊢ IsLocalizedModule S f
tactic: refine ⟨fun _ ↦ IsLocalizedModule.isBaseChange S A f, fun h ↦ ?_⟩
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
⊢ IsLocalizedModule S f
state_after: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
⊢ IsLocalizedModule S f
tactic: have : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M) := IsLocalizedModule.isBaseChange S A _
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
⊢ IsLocalizedModule S f
state_after: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ IsLocalizedModule S f
tactic: let e := (this.equiv.symm.trans h.equiv).restrictScalars R
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ IsLocalizedModule S f
state_after: case h.e'_10
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M
tactic: convert IsLocalizedModule.of_linearEquiv S (LocalizedModule.mkLinearMap S M) e
state_before: case h.e'_10
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M
state_after: case h.e'_10.h
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝
tactic: ext
state_before: case h.e'_10.h
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝
state_after: no goals
tactic: rw [LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply,
    LinearEquiv.restrictScalars_apply, LinearEquiv.trans_apply, IsBaseChange.equiv_symm_apply,
    IsBaseChange.equiv_tmul, one_smul]