Theorem: CategoryTheory.Presheaf.isSheaf_coherent_of_hasPullbacks_comp
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
tactic: rw [isSheaf_iff_preservesFiniteProducts_and_equalizerCondition (h := h)] at hF ⊢
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
tactic: have := hF.1.some
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
x✝² x✝¹ : C
π : x✝² ⟶ x✝¹
x✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ IsLimit (Fork.ofι ((F ⋙ s).map π.op) ⋯)
tactic: refine ⟨⟨inferInstance⟩, fun _ _ π _ c hc ↦ ⟨?_⟩⟩
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
x✝² x✝¹ : C
π : x✝² ⟶ x✝¹
x✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ IsLimit (Fork.ofι ((F ⋙ s).map π.op) ⋯)
state_after: no goals
tactic: exact isLimitForkMapOfIsLimit s _ (hF.2 π c hc).some