Theorem: QuadraticForm.tmul_comp_tensorComm
File: Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean

Proof steps:
state_before: R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) = Q₁.tmul Q₂
state_after: R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)
tactic: refine (QuadraticMap.associated_rightInverse R).injective ?_
state_before: R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)
state_after: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
          (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
                ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))))
              m₁)
            m₂))
        m₁')
      m₂' =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
          (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂))) m₁) m₂))
        m₁')
      m₂'
tactic: ext m₁ m₂ m₁' m₂'
state_before: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
          (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
                ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))))
              m₁)
            m₂))
        m₁')
      m₂' =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry
          (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂))) m₁) m₂))
        m₁')
      m₂'
state_after: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ (((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') =
    (((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
tactic: dsimp [-associated_apply]
state_before: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ (((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') =
    (((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
state_after: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₂).tmul (associated Q₁)) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)
          ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))
        (m₁ ⊗ₜ[R] m₂))
      (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') =
    (((associated Q₁).tmul (associated Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
tactic: simp only [associated_tmul, QuadraticMap.associated_comp]
state_before: case a.h.h.a.h.h
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₂).tmul (associated Q₁)) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)
          ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))
        (m₁ ⊗ₜ[R] m₂))
      (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') =
    (((associated Q₁).tmul (associated Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
state_after: no goals
tactic: exact mul_comm _ _