Theorem: LinearMap.BilinForm.dualSubmoduleToDual_injective
File: Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
⊢ Function.Injective ⇑(B.dualSubmoduleToDual N)
state_after: R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ x = y
tactic: intro x y e
state_before: R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ x = y
state_after: case a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ ↑x = ↑y
tactic: ext
state_before: case a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ ↑x = ↑y
state_after: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ B ↑x = B ↑y
tactic: apply LinearMap.ker_eq_bot.mp hB.ker_eq_bot
state_before: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ B ↑x = B ↑y
state_after: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ Set.EqOn ⇑(B ↑x) ⇑(B ↑y) ↑N
tactic: apply LinearMap.ext_on hN
state_before: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
⊢ Set.EqOn ⇑(B ↑x) ⇑(B ↑y) ↑N
state_after: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
z : M
hz : z ∈ ↑N
⊢ (B ↑x) z = (B ↑y) z
tactic: intro z hz
state_before: case a.a
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
z : M
hz : z ∈ ↑N
⊢ (B ↑x) z = (B ↑y) z
state_after: no goals
tactic: simpa using congr_arg (algebraMap R S) (LinearMap.congr_fun e ⟨z, hz⟩)