Theorem: IndexedPartition.piecewise_bij
File: Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
⊢ Bijective (hs.piecewise f)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
⊢ Bijective g
tactic: set g := piecewise hs f with hg
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
⊢ Bijective g
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
⊢ Bijective g
tactic: have hg_bij : ∀ i, BijOn g (s i) (t i) := by
    intro i
    refine BijOn.congr (hf i) ?_
    intro x hx
    rw [hg, piecewise_apply, hs.mem_iff_index_eq.mp hx]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
⊢ Bijective g
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)
⊢ Bijective g
tactic: have hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i) := by
    refine injOn_of_injective ?_
    refine piecewise_inj hs (fun i ↦ BijOn.injOn (hf i)) ?h_disjoint
    simp only [fun i ↦ BijOn.image_eq (hf i)]
    rintro i - j - hij
    exact ht.disjoint hij
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)
⊢ Bijective g
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)
⊢ BijOn g (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
tactic: rw [bijective_iff_bijOn_univ, ← hs.iUnion, ← ht.iUnion]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)
⊢ BijOn g (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
state_after: no goals
tactic: exact bijOn_iUnion hg_bij hg_inj