Theorem: MeasureTheory.LocallyIntegrableOn.exists_nat_integrableOn
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: rcases hf.exists_countable_integrableOn with ⟨T, T_count, T_open, sT, hT⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: let T' : Set (Set X) := insert ∅ T
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: have T'_count : T'.Countable := Countable.insert ∅ T_count
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: have T'_ne : T'.Nonempty := by simp only [T', insert_nonempty]
state_before: case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: rcases T'_count.exists_eq_range T'_ne with ⟨u, hu⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ s ⊆ ⋃ n, u n

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
⊢ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
tactic: refine ⟨u, ?_, ?_, ?_⟩