Theorem: ContDiffWithinAt.fderivWithin
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
tactic: rw [← insert_eq_self.mpr hx₀] at hf
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
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f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
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c : F
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t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
tactic: refine hf.fderivWithin' hg ?_ hmn hst
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
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x x₀ : E
c : F
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
tactic: rw [insert_eq_self.mpr hx₀]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
state_after: no goals
tactic: exact eventually_of_mem self_mem_nhdsWithin fun x hx => ht _ (hst hx)