Theorem: EuclideanGeometry.OrthocentricSystem.affineIndependent
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean

Proof steps:
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
⊢ AffineIndependent ℝ p
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
tactic: rcases ho with ⟨t, hto, hst⟩
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
tactic: rw [hst] at hps
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
state_after: case intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
c : P
left✝ : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hc : ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
⊢ AffineIndependent ℝ p
tactic: rcases exists_dist_eq_circumradius_of_subset_insert_orthocenter hto hps hpi with ⟨c, _, hc⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
c : P
left✝ : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hc : ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
⊢ AffineIndependent ℝ p
state_after: no goals
tactic: exact Cospherical.affineIndependent ⟨c, t.circumradius, hc⟩ Set.Subset.rfl hpi