Theorem: LinearIsometry.coe_injective
File: Mathlib/Analysis/Normed/Operator/LinearIsometry.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Injective fun f => ⇑f
state_after: case mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
toLinearMap✝¹ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝¹ : ∀ (x : E), ‖toLinearMap✝¹ x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝ : ∀ (x : E), ‖toLinearMap✝ x‖ = ‖x‖
⊢ (fun f => ⇑f) { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      (fun f => ⇑f) { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ } →
    { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ }
tactic: rintro ⟨_⟩ ⟨_⟩
state_before: case mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
toLinearMap✝¹ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝¹ : ∀ (x : E), ‖toLinearMap✝¹ x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝ : ∀ (x : E), ‖toLinearMap✝ x‖ = ‖x‖
⊢ (fun f => ⇑f) { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      (fun f => ⇑f) { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ } →
    { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ }
state_after: no goals
tactic: simp