Theorem: ContMDiffAt.mfderiv
File: Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
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inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
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H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
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F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
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J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
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F₁ : Type u_14
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⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: have h4f : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀ :=
    ContinuousAt.comp_of_eq hf.continuousAt (continuousAt_id.prod hg.continuousAt) rfl
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
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H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
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inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
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inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
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inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
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inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
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⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
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inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
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h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: have h4f := h4f.preimage_mem_nhds (extChartAt_source_mem_nhds I' (f x₀ (g x₀)))
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝²¹ : TopologicalSpace H
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inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
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inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
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h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
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N' : Type u_13
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F₁ : Type u_14
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inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
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F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
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J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
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m n : ℕ∞
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f : N → M → M'
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hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
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inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
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N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
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h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: have h2f : ∀ᶠ x₂ in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂) := by
    refine ((continuousAt_id.prod hg.continuousAt).tendsto.eventually h3f).mono fun x hx => ?_
    exact hx.comp (g x) (contMDiffAt_const.prod_mk contMDiffAt_id)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
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f : N → M → M'
g : N → M
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h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
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G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
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F' : Type u_11
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inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
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inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
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F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
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f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: have h2g := hg.continuousAt.preimage_mem_nhds (extChartAt_source_mem_nhds I (g x₀))
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
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f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
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J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
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inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
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h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: have :
    ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
      (fun x =>
        fderivWithin 𝕜 (extChartAt I' (f x₀ (g x₀)) ∘ f x ∘ (extChartAt I (g x₀)).symm) (range I)
          (extChartAt I (g x₀) (g x)))
      x₀ := by
    simp_rw [contMDiffAt_iff_source_of_mem_source (mem_chart_source G x₀),
      contMDiffWithinAt_iff_contDiffWithinAt, Function.comp]
    exact this
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
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m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
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hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝¹ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
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    x₀
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
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inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
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inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
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inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
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G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
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F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
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inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
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J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
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hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
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this✝¹ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
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    x₀
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: letI _inst : ∀ x, NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) :=
    fun _ => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
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inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
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inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
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inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
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m n : ℕ∞
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hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
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h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
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h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝¹ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
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state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
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inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
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hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
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h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝¹ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
tactic: letI _inst : ∀ x, NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) :=
    fun _ => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
⊢ inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ =ᶠ[𝓝 x₀] fun x =>
    (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
          (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
        (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
          (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))
tactic: refine this.congr_of_eventuallyEq ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
⊢ inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ =ᶠ[𝓝 x₀] fun x =>
    (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
          (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
        (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
          (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
x : N
hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
⊢ inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ x =
    (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
          (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
        (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
          (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))
tactic: filter_upwards [h2g, h4f] with x hx h2x
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
x : N
hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
⊢ inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ x =
    (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
          (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
        (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
          (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
x : N
hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
⊢ ((tangentBundleCore I' M').coordChange (achart H' (f x (g x))) (achart H' (f x₀ (g x₀))) (f x (g x))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp ((tangentBundleCore I M).coordChange (achart H (g x₀)) (achart H (g x)) (g x))) =
    (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
          (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
      ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
        (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
          (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))

case h.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
x : N
hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
⊢ g x ∈ (chartAt H (g x₀)).source

case h.hy
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this✝² :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this✝¹ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
this✝ :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      fderivWithin 𝕜
        (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘
          ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘
            writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    x₀
_inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)
_inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)
this :
  ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x =>
      (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I')
            (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp
        ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp
          (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I)
            (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))))
    x₀
x : N
hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
⊢ f x (g x) ∈ (chartAt H' (f x₀ (g x₀))).source
tactic: rw [inTangentCoordinates_eq]