ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: Sym.append_comm
File: Mathlib/Data/Sym/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s s' : Sym α n'
⊢ s.append s' = (Sym.cast ⋯) (s'.append s)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s s' : Sym α n'
⊢ ↑(s.append s') = ↑((Sym.cast ⋯) (s'.append s))
tactic: ext
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s s' : Sym α n'
⊢ ↑(s.append s') = ↑((Sym.cast ⋯) (s'.append s))
state_after: no goals
tactic: simp [append, add_comm]
Theorem: lt_div_iff_mul_lt'
File: Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ b < c / a ↔ a * b < c
state_after: no goals
tactic: rw [lt_div_iff_mul_lt, mul_comm]
Theorem: inCoordinates_tangent_bundle_core_model_space
File: Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x y₀ y ϕ = ϕ
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ ((tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)
          y).comp
      (ϕ.comp
        ((tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x)
          x)) =
    ϕ
tactic: erw [VectorBundleCore.inCoordinates_eq] <;> try trivial
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ ((tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)
          y).comp
      (ϕ.comp
        ((tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x)
          x)) =
    ϕ
state_after: no goals
tactic: simp_rw [tangentBundleCore_indexAt, tangentBundleCore_coordChange_model_space,
    ContinuousLinearMap.id_comp, ContinuousLinearMap.comp_id]
Theorem: not_isOfFinAddOrder_of_injective_nsmul
File: Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
⊢ ¬IsOfFinOrder x
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), 0 < x_1 → ¬x ^ x_1 = 1
tactic: simp_rw [isOfFinOrder_iff_pow_eq_one, not_exists, not_and]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), 0 < x_1 → ¬x ^ x_1 = 1
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = 1
⊢ False
tactic: intro n hn_pos hnx
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = 1
⊢ False
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
tactic: rw [← pow_zero x] at hnx
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < 0
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
tactic: rw [h hnx] at hn_pos
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < 0
hnx : x ^ n = x ^ 0
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact irrefl 0 hn_pos
Theorem: AlgebraicGeometry.Scheme.openCoverOfIsIso_J
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean

Proof steps:
state_before: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
state_after: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.univ

X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
tactic: rw [Set.range_iff_surjective.mpr]
state_before: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.univ

X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
state_after: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
tactic: all_goals try trivial
state_before: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
state_after: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Epi ((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
tactic: rw [← TopCat.epi_iff_surjective]
state_before: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ Epi ((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
state_after: no goals
tactic: infer_instance
Theorem: sbtw_vsub_const_iff
File: Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ Sbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z
state_after: no goals
tactic: rw [Sbtw, Sbtw, wbtw_vsub_const_iff, (vsub_left_injective p).ne_iff,
    (vsub_left_injective p).ne_iff]
Theorem: HasStrictFDerivAt.hasFDerivAt
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f f' x
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
tactic: rw [HasFDerivAt, hasFDerivAtFilter_iff_isLittleO, isLittleO_iff]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
state_after: no goals
tactic: exact fun c hc => tendsto_id.prod_mk_nhds tendsto_const_nhds (isLittleO_iff.1 hf hc)
Theorem: Matrix.conjTranspose_add
File: Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean

Proof steps:
state_before: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M N : Matrix m n α
⊢ ∀ (i : n) (j : m), (M + N)ᴴ i j = (Mᴴ + Nᴴ) i j
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: ProbabilityTheory.mgf_zero_measure
File: Mathlib/Probability/Moments.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ mgf X 0 t = 0
state_after: no goals
tactic: simp only [mgf, integral_zero_measure]
Theorem: ArithmeticFunction.abs_moebius
File: Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
n : ℕ
⊢ |μ n| = if Squarefree n then 1 else 0
state_after: case pos
R : Type u_1
n : ℕ
h : Squarefree n
⊢ |μ n| = 1

case neg
R : Type u_1
n : ℕ
h : ¬Squarefree n
⊢ |μ n| = 0
tactic: split_ifs with h
Theorem: intervalIntegral.smul_integral_comp_add_mul
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
state_after: no goals
tactic: by_cases hc : c = 0 <;> simp [hc, integral_comp_add_mul]
Theorem: lipschitzWith_iff_norm_sub_le
File: Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean

Proof steps:
state_before: 𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
state_after: no goals
tactic: simp only [lipschitzWith_iff_dist_le_mul, dist_eq_norm_div]
Theorem: rank_matrix'
File: Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean

Proof steps:
state_before: R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m n : Type v
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{u, v} (#m * #n)
state_after: no goals
tactic: rw [rank_matrix, lift_mul, lift_umax.{v, u}]
Theorem: PiLp.nndist_eq_sum
File: Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean

Proof steps:
state_before: p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
hp : p ≠ ⊤
x y : PiLp p β
⊢ ↑(nndist x y) = ↑((∑ i : ι, nndist (x i) (y i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))
state_after: p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
hp : p ≠ ⊤
x y : PiLp p β
⊢ dist x y = (∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
tactic: push_cast
state_before: p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
hp : p ≠ ⊤
x y : PiLp p β
⊢ dist x y = (∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
state_after: no goals
tactic: exact dist_eq_sum (p.toReal_pos_iff_ne_top.mpr hp) _ _
Theorem: FreeAddGroup.Red.Step.lift
File: Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
x y : FreeGroup α
f : α → β
H : Step L₁ L₂
⊢ Lift.aux f L₁ = Lift.aux f L₂
state_after: case not
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
x y : FreeGroup α
f : α → β
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b : Bool
⊢ Lift.aux f (L₁✝ ++ (x✝, b) :: (x✝, !b) :: L₂✝) = Lift.aux f (L₁✝ ++ L₂✝)
tactic: cases' H with _ _ _ b
state_before: case not
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
x y : FreeGroup α
f : α → β
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b : Bool
⊢ Lift.aux f (L₁✝ ++ (x✝, b) :: (x✝, !b) :: L₂✝) = Lift.aux f (L₁✝ ++ L₂✝)
state_after: no goals
tactic: cases b <;> simp [Lift.aux]
Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_mono_left
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x ≤ ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
tactic: simp_rw [setToSimpleFunc]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x ≤ ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
state_after: no goals
tactic: exact sum_le_sum fun i _ => hTT' _ i
Theorem: List.get?_iterate
File: Mathlib/Data/List/Iterate.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
h : i < n
⊢ (iterate f a n).get? i = some (f^[i] a)
state_after: no goals
tactic: simp only [get?_eq_getElem?, length_iterate, h, Option.some.injEq, getElem?_iterate]
Theorem: Real.log_mul
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean

Proof steps:
state_before: x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ rexp (log (x * y)) = rexp (log x + log y)
state_after: no goals
tactic: rw [exp_log_eq_abs (mul_ne_zero hx hy), exp_add, exp_log_eq_abs hx, exp_log_eq_abs hy, abs_mul]
Theorem: WithZeroTopology.nhds_eq_update
File: Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ 𝓝 = update pure 0 (⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ))
state_after: α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ pure 0 ≤ ⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)
tactic: rw [nhds_nhdsAdjoint, sup_of_le_right]
state_before: α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ pure 0 ≤ ⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)
state_after: no goals
tactic: exact le_iInf₂ fun γ hγ ↦ le_principal_iff.2 <| zero_lt_iff.2 hγ
Theorem: tendsto_self_mul_const_pow_of_lt_one
File: Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h'r : r < 1
⊢ Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)
state_after: no goals
tactic: simpa only [pow_one] using tendsto_pow_const_mul_const_pow_of_lt_one 1 hr h'r
Theorem: Module.End.mapsTo_genEigenspace_of_comm
File: Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean

Proof steps:
state_before: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
k : ℕ
⊢ MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
state_after: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
⊢ MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
tactic: replace h : Commute ((f - μ • (1 : End R M)) ^ k) g :=
    (h.sub_left <| Algebra.commute_algebraMap_left μ g).pow_left k
state_before: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
⊢ MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
state_after: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
⊢ g x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
tactic: intro x hx
state_before: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
⊢ g x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
state_after: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : ((f - μ • 1) ^ k) x = 0
⊢ ((f - μ • 1) ^ k) (g x) = 0
tactic: simp only [SetLike.mem_coe, mem_genEigenspace] at hx ⊢
state_before: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : ((f - μ • 1) ^ k) x = 0
⊢ ((f - μ • 1) ^ k) (g x) = 0
state_after: no goals
tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← LinearMap.mul_eq_comp, h.eq, LinearMap.mul_eq_comp,
    LinearMap.comp_apply, hx, map_zero]
Theorem: MeasureTheory.setIntegral_condexpIndSMul
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
x : G'
⊢ (∫ (a : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)) a ∂μ) • x = (μ (t ∩ s)).toReal • x
state_after: no goals
tactic: rw [setIntegral_condexpL2_indicator hs ht hμs hμt]