Theorem: AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty.of_comp
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean

Proof steps:
state_before: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
⊢ P f
state_after: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ P f

P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
⊢ P f
tactic: wlog hZ : IsAffine Z generalizing X Y Z
state_before: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
⊢ P f
state_after: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
⊢ P f

P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY : IsAffine Y
⊢ P f
tactic: wlog hY : IsAffine Y generalizing X Y
state_before: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY : IsAffine Y
⊢ P f
state_after: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY✝ : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} {f : X ⟶ Y}, P (f ≫ g) → IsAffine X → P f
hY : ¬IsAffine X
⊢ P f

P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : P (f ≫ g)
hY : IsAffine X
⊢ P f
tactic: wlog hY : IsAffine X generalizing X
state_before: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : P (f ≫ g)
hY : IsAffine X
⊢ P f
state_after: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : Q (Scheme.Hom.app (f ≫ g) ⊤)
hY : IsAffine X
⊢ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
tactic: rw [iff_of_isAffine (P := P)] at h ⊢
state_before: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hY✝ : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
h : Q (Scheme.Hom.app (f ≫ g) ⊤)
hY : IsAffine X
⊢ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
state_after: no goals
tactic: exact H _ _ h