Theorem: Ideal.exists_minimalPrimes_comap_eq
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p
tactic: obtain ⟨p', h₁, h₂, h₃⟩ := Ideal.exists_comap_eq_of_mem_minimalPrimes f p H
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p
tactic: obtain ⟨q, hq, hq'⟩ := Ideal.exists_minimalPrimes_le h₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
⊢ ∃ p' ∈ I.minimalPrimes, comap f p' = p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
⊢ p = comap f q
tactic: refine ⟨q, hq, Eq.symm ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
⊢ p = comap f q
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this : q.IsPrime
⊢ p = comap f q
tactic: have := hq.1.1
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this : q.IsPrime
⊢ p = comap f q
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this✝ : q.IsPrime
this : comap f q ≤ p
⊢ p = comap f q
tactic: have := (Ideal.comap_mono hq').trans_eq h₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this✝ : q.IsPrime
this : comap f q ≤ p
⊢ p = comap f q
state_after: no goals
tactic: exact (H.2 ⟨inferInstance, Ideal.comap_mono hq.1.2⟩ this).antisymm this