Theorem: HomotopyCategory.Pretriangulated.complete_distinguished_triangle_morphism
File: Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨K₁, L₁, φ₁, ⟨e₁⟩⟩ := hT₁
state_before: case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨K₂, L₂, φ₂, ⟨e₂⟩⟩ := hT₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₂
ha' : a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨a', ha'⟩ : ∃ (a' : (quotient _ _).obj K₁ ⟶ (quotient _ _).obj K₂),
    a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁ := ⟨_, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₂
ha' : a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₂
ha' : a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂
hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨b', hb'⟩ : ∃ (b' : (quotient _ _).obj L₁ ⟶ (quotient _ _).obj L₂),
    b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂ := ⟨_, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₂
ha' : a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂
hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂
hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨a'', rfl⟩ := (quotient _ _).map_surjective a'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂
hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: obtain ⟨b'', rfl⟩ := (quotient _ _).map_surjective b'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: have H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂) := homotopyOfEq _ _ (by
    have comm₁₁ := e₁.inv.comm₁
    have comm₁₂ := e₂.hom.comm₁
    dsimp at comm₁₁ comm₁₂
    simp only [Functor.map_comp, ha', hb', reassoc_of% comm₁₁,
      reassoc_of% fac, comm₁₂, assoc])
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: let γ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: have comm₂ := γ.comm₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂
comm₃ : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map γ.hom₁ = γ.hom₃ ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: have comm₃ := γ.comm₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂
comm₃ : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map γ.hom₁ = γ.hom₃ ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫
      e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫
      T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: dsimp [γ] at comm₂ comm₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫
      e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫
      T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫
      e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫
      T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
tactic: simp only [ha', hb'] at comm₂ comm₃
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫
      e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫
      T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
state_after: no goals
tactic: exact ⟨γ.hom₃, by simpa [γ] using comm₂, by simpa [γ] using comm₃⟩