Theorem: MeasureTheory.integrableOn_iUnion_of_summable_integral_norm
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ IntegrableOn f (iUnion s) μ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
tactic: refine ⟨AEStronglyMeasurable.iUnion fun i => (hi i).1, (lintegral_iUnion_le _ _).trans_lt ?_⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
tactic: have B := fun i => lintegral_coe_eq_integral (fun x : X => ‖f x‖₊) (hi i).norm
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
tactic: rw [tsum_congr B]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
tactic: have S' :
    Summable fun i : ι =>
      (⟨∫ x : X in s i, ‖f x‖₊ ∂μ, setIntegral_nonneg (hs i) fun x _ => NNReal.coe_nonneg _⟩ :
        NNReal) := by
    rw [← NNReal.summable_coe]; exact h
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ↑⟨∫ (x : X) in s a, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩ = ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
tactic: have S'' := ENNReal.tsum_coe_eq S'.hasSum
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ↑⟨∫ (x : X) in s a, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩ = ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' :
  ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) =
    ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
tactic: simp_rw [ENNReal.coe_nnreal_eq, NNReal.coe_mk, coe_nnnorm] at S''
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' :
  ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) =
    ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)
⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
state_after: no goals
tactic: convert ENNReal.ofReal_lt_top