Theorem: _private.Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic.0.MeasureTheory.eLpNorm_smul_measure_of_ne_zero_of_ne_top
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm' f p.toReal (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
tactic: simp_rw [eLpNorm_eq_eLpNorm' hp_ne_zero hp_ne_top]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm' f p.toReal (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
tactic: rw [eLpNorm'_smul_measure ENNReal.toReal_nonneg]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
state_after: case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ 1 / p.toReal = (1 / p).toReal
tactic: congr
state_before: case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ 1 / p.toReal = (1 / p).toReal
state_after: case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal⁻¹ = p⁻¹.toReal
tactic: simp_rw [one_div]
state_before: case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal⁻¹ = p⁻¹.toReal
state_after: no goals
tactic: rw [ENNReal.toReal_inv]