Theorem: IsCauSeq.series_ratio_test
File: Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
tactic: have har1 : |r| < 1 := by rwa [abs_of_nonneg hr0]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
tactic: refine (geo_series_const (abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ) har1).of_abv_le n.succ fun m hmn ↦ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ 0 * abv (f m)
har1 : |0| < 1
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * 0⁻¹ ^ n.succ * 0 ^ m

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
tactic: obtain rfl | hr := hr0.eq_or_lt
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m - n.succ = k
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
tactic: generalize hk : m - n.succ = k
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m - n.succ = k
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m = k + n.succ
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
tactic: replace hk : m = k + n.succ := (tsub_eq_iff_eq_add_of_le hmn).1 hk
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m = k + n.succ
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
state_after: case inr.zero
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
har1 : |r| < 1
hr : 0 < r
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hk : m = 0 + n.succ
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m

case inr.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
har1 : |r| < 1
hr : 0 < r
k : ℕ
ih :
  ∀ (n : ℕ),
    (∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)) →
      ∀ (m : ℕ), n.succ ≤ m → m = k + n.succ → abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hk : m = k + 1 + n.succ
⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
tactic: induction' k with k ih generalizing m n