ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: WittVector.coeff_p_pow_eq_zero
File: Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i j : ℕ
hj : j ≠ i
⊢ (↑p ^ i).coeff j = 0
state_after: case zero
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
j : ℕ
hj : j ≠ 0
⊢ (↑p ^ 0).coeff j = 0

case succ
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hi : ∀ {j : ℕ}, j ≠ i → (↑p ^ i).coeff j = 0
j : ℕ
hj : j ≠ i + 1
⊢ (↑p ^ (i + 1)).coeff j = 0
tactic: induction' i with i hi generalizing j
Theorem: Multiset.add_cons
File: Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α
⊢ s + a ::ₘ t = a ::ₘ (s + t)
state_after: no goals
tactic: rw [add_comm, cons_add, add_comm]
Theorem: List.map_foldl_erase
File: Mathlib/Data/List/Basic.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α
⊢ map f (foldl List.erase l₁ l₂) = foldl (fun l a => l.erase (f a)) (map f l₁) l₂
state_after: no goals
tactic: induction l₂ generalizing l₁ <;> [rfl; simp only [foldl_cons, map_erase finj, *]]
Theorem: CliffordAlgebra.ι_range_comap_reverse
File: Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.comap reverse (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)
state_after: no goals
tactic: rw [← submodule_map_reverse_eq_comap, ι_range_map_reverse]
Theorem: ContinuousLinearMap.adjointAux_adjointAux
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ adjointAux (adjointAux A) = A
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
⊢ (adjointAux (adjointAux A)) v = A v
tactic: ext v
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
⊢ (adjointAux (adjointAux A)) v = A v
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjointAux (adjointAux A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
tactic: refine ext_inner_left 𝕜 fun w => ?_
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjointAux (adjointAux A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
state_after: no goals
tactic: rw [adjointAux_inner_right, adjointAux_inner_left]
Theorem: SetTheory.PGame.lf_zero
File: Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean

Proof steps:
state_before: xl xr : Type u
x : PGame
⊢ x ⧏ 0 ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
state_after: xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∃ i,
        (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ moveLeft 0 i) ∧
          ∀ (j : (moveLeft 0 i).RightMoves), x ⧏ (moveLeft 0 i).moveRight j) ∨
      ∃ j,
        (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0) ∧
          ∀ (j' : RightMoves 0), x.moveRight j ⧏ moveRight 0 j') ↔
    ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
tactic: rw [lf_def]
state_before: xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∃ i,
        (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ moveLeft 0 i) ∧
          ∀ (j : (moveLeft 0 i).RightMoves), x ⧏ (moveLeft 0 i).moveRight j) ∨
      ∃ j,
        (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0) ∧
          ∀ (j' : RightMoves 0), x.moveRight j ⧏ moveRight 0 j') ↔
    ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: CategoryTheory.Subobject.underlyingIso_top_hom
File: Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
⊢ (underlyingIso (𝟙 B)).hom = ⊤.arrow
state_after: case h.e'_2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
⊢ (underlyingIso (𝟙 B)).hom = (underlyingIso (𝟙 B)).hom ≫ 𝟙 B
tactic: convert underlyingIso_hom_comp_eq_mk (𝟙 B)
state_before: case h.e'_2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
⊢ (underlyingIso (𝟙 B)).hom = (underlyingIso (𝟙 B)).hom ≫ 𝟙 B
state_after: no goals
tactic: simp only [comp_id]
Theorem: Matrix.schur_complement_eq₁₁
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean

Proof steps:
state_before: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) =
    star (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) ᵥ* A ⬝ᵥ (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) + star y ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ y
state_after: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) =
    star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y) +
      (star y ᵥ* D ⬝ᵥ y - star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y)
tactic: simp [Function.star_sum_elim, fromBlocks_mulVec, vecMul_fromBlocks, add_vecMul,
    dotProduct_mulVec, vecMul_sub, Matrix.mul_assoc, vecMul_mulVec, hA.eq,
    conjTranspose_nonsing_inv, star_mulVec]
state_before: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) =
    star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y) +
      (star y ᵥ* D ⬝ᵥ y - star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y)
state_after: no goals
tactic: abel
Theorem: linearDependent_comp_subtype'
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι
⊢ ¬LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔
    ∃ f ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) f = 0 ∧ f ≠ 0
state_after: no goals
tactic: simp [linearIndependent_comp_subtype, and_left_comm]
Theorem: Set.sInter_prod_sInter
File: Mathlib/Data/Set/Lattice.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
hS : S.Nonempty
hT : T.Nonempty
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
tactic: obtain ⟨s₁, h₁⟩ := hS
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
tactic: obtain ⟨s₂, h₂⟩ := hT
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
⊢ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : x ∈ ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
tactic: refine Set.Subset.antisymm (sInter_prod_sInter_subset S T) fun x hx => ?_
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : x ∈ ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : ∀ i ∈ S ×ˢ T, x ∈ i.1 ×ˢ i.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
tactic: rw [mem_iInter₂] at hx
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : ∀ i ∈ S ×ˢ T, x ∈ i.1 ×ˢ i.2
⊢ x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T
state_after: no goals
tactic: exact ⟨fun s₀ h₀ => (hx (s₀, s₂) ⟨h₀, h₂⟩).1, fun s₀ h₀ => (hx (s₁, s₀) ⟨h₁, h₀⟩).2⟩
Theorem: MeasurableEmbedding.stronglyMeasurable_extend
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
⊢ StronglyMeasurable (Function.extend g f g')
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
⊢ ∀ (x : γ),
    Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))
tactic: refine ⟨fun n => SimpleFunc.extend (hf.approx n) g hg (hg'.approx n), ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
⊢ ∀ (x : γ),
    Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
x : γ
⊢ Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))
tactic: intro x
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
x : γ
⊢ Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
x : γ
hx : ∃ y, g y = x
⊢ Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g✝ f : α → β
g : α → γ
g' : γ → β
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace β
hg : MeasurableEmbedding g
hf : StronglyMeasurable f
hg' : StronglyMeasurable g'
x : γ
hx : ¬∃ y, g y = x
⊢ Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).extend g hg (hg'.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (Function.extend g f g' x))
tactic: by_cases hx : ∃ y, g y = x
Theorem: lp.norm_eq_zero_iff
File: Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0
tactic: refine ⟨fun h => ?_, by rintro rfl; exact norm_zero⟩
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0
state_after: case inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0

case inr.inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0

case inr.inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
⊢ f = 0
tactic: rcases p.trichotomy with (rfl | rfl | hp)
Theorem: pairwise_on_bool
File: Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a✝ b✝ : α
hr : Symmetric r
a b : α
⊢ Pairwise (r on fun c => bif c then a else b) ↔ r a b
state_after: no goals
tactic: simpa [Pairwise, Function.onFun] using @hr a b
Theorem: LieSubalgebra.exists_nested_lieIdeal_coe_eq_iff
File: Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
tactic: simp only [exists_lieIdeal_coe_eq_iff, coe_bracket, mem_ofLe]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K

case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K
tactic: constructor
Theorem: CategoryTheory.TwoSquare.guitartExact_iff_initial
File: Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean

Proof steps:
state_before: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ (∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) → w.GuitartExact
state_after: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ (∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) →
    ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
tactic: rw [guitartExact_iff_isConnected_downwards]
state_before: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ (∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) →
    ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
state_after: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
a✝ : ∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial
X₂✝ : C₂
X₃✝ : C₃
g✝ : R.obj X₂✝ ⟶ B.obj X₃✝
⊢ IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g✝)
tactic: intros
state_before: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
a✝ : ∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial
X₂✝ : C₂
X₃✝ : C₃
g✝ : R.obj X₂✝ ⟶ B.obj X₃✝
⊢ IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g✝)
state_after: no goals
tactic: infer_instance
Theorem: LinearMap.ker_eq_bot_of_cancel
File: Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ ker f = ⊥
state_after: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ ker f = ⊥
tactic: have h₁ : f.comp (0 : ker f →ₗ[R] M) = 0 := comp_zero _
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ ker f = ⊥
state_after: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ range 0 = ⊥
tactic: rw [← Submodule.range_subtype (ker f),
    ← h 0 f.ker.subtype (Eq.trans h₁ (comp_ker_subtype f).symm)]
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ range 0 = ⊥
state_after: no goals
tactic: exact range_zero
Theorem: ENNReal.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean

Proof steps:
state_before: x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y
⊢ x ^ y < x ^ z
state_after: case intro
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < ↑x
hx1 : ↑x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
tactic: lift x to ℝ≥0 using ne_of_lt (lt_of_lt_of_le hx1 le_top)
state_before: case intro
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < ↑x
hx1 : ↑x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
state_after: case intro
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
tactic: simp only [coe_lt_one_iff, coe_pos] at hx0 hx1
state_before: case intro
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
state_after: no goals
tactic: simp [coe_rpow_of_ne_zero (ne_of_gt hx0), NNReal.rpow_lt_rpow_of_exponent_gt hx0 hx1 hyz]
Theorem: Filter.tendsto_lift
File: Mathlib/Order/Filter/Lift.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β
l : Filter γ
⊢ Tendsto m l (f.lift g) ↔ ∀ s ∈ f, Tendsto m l (g s)
state_after: no goals
tactic: simp only [Filter.lift, tendsto_iInf]