Theorem: ContinuousAlternatingMap.piEquiv_symm_apply
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/Alternating/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] N i
⊢ (fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) (pi f) = f
state_after: case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] N i
x✝¹ : ι'
x✝ : ι → M
⊢ ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) (pi f) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
tactic: ext
state_before: case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : (i : ι') → M [⋀^ι]→L[R] N i
x✝¹ : ι'
x✝ : ι → M
⊢ ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) (pi f) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
state_after: no goals
tactic: rfl
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : M [⋀^ι]→L[R] ((i : ι') → N i)
⊢ pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) f) = f
state_after: case H.h
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : M [⋀^ι]→L[R] ((i : ι') → N i)
x✝¹ : ι → M
x✝ : ι'
⊢ (pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) f)) x✝¹ x✝ = f x✝¹ x✝
tactic: ext
state_before: case H.h
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : Module R M'
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g : M [⋀^ι]→L[R] N✝
ι' : Type u_7
N : ι' → Type u_8
inst✝² : (i : ι') → AddCommMonoid (N i)
inst✝¹ : (i : ι') → TopologicalSpace (N i)
inst✝ : (i : ι') → Module R (N i)
f : M [⋀^ι]→L[R] ((i : ι') → N i)
x✝¹ : ι → M
x✝ : ι'
⊢ (pi ((fun f i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap f) f)) x✝¹ x✝ = f x✝¹ x✝
state_after: no goals
tactic: rfl