Theorem: Set.Finite.convexHull_eq_image
File: Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
⊢ (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
state_after: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
tactic: letI := hs.fintype
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
state_after: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s =
    (convexHull R) (range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0))
tactic: rw [← convexHull_basis_eq_stdSimplex, LinearMap.image_convexHull, ← Set.range_comp]
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ (convexHull R) s =
    (convexHull R) (range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0))
state_after: case h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ s = range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0)
tactic: apply congr_arg
state_before: case h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ s = range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0)
state_after: case h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ s = range fun x => (∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x = j then 1 else 0
tactic: simp_rw [Function.comp]
state_before: case h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
⊢ s = range fun x => (∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x = j then 1 else 0
state_after: case h.e'_3.h.e'_3.h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
x✝ : ↑s
⊢ ((∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x✝ = j then 1 else 0) = ↑x✝
tactic: convert Subtype.range_coe.symm
state_before: case h.e'_3.h.e'_3.h
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
x✝ : ↑s
⊢ ((∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x✝ = j then 1 else 0) = ↑x✝
state_after: no goals
tactic: simp [LinearMap.sum_apply, ite_smul, Finset.filter_eq, Finset.mem_univ]