Theorem: range_derivWithin_subset_closure_span_image
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
⊢ range (derivWithin f s) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: rintro - ⟨x, rfl⟩
state_before: case intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case intro.inl
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case intro.inr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: rcases eq_or_neBot (𝓝[s \ {x}] x) with H|H
state_before: case intro.inr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: by_cases H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: swap
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: have I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot := by
    rw [← mem_closure_iff_nhdsWithin_neBot] at H ⊢
    have A : closure (s \ {x}) ⊆ closure (closure (s ∩ t) \ {x}) :=
      closure_mono (diff_subset_diff_left h)
    have B : closure (s ∩ t) \ {x} ⊆ closure ((s ∩ t) \ {x}) := by
      convert closure_diff; exact closure_singleton.symm
    simpa using A.trans (closure_mono B) H
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
tactic: have : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x)) := by
    apply Tendsto.mono_left (hasDerivWithinAt_iff_tendsto_slope.1 H'.hasDerivWithinAt)
    rw [inter_comm, inter_diff_assoc]
    exact nhdsWithin_mono _ inter_subset_right
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
state_after: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
tactic: rw [← closure_closure, ← Submodule.topologicalClosure_coe]
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
state_after: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x, slope f x x_1 ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
tactic: apply mem_closure_of_tendsto this
state_before: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
⊢ ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x, slope f x x_1 ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
state_after: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ slope f x y ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
tactic: filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with y hy
state_before: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ slope f x y ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
state_after: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ (y - x)⁻¹ • (f y - f x) ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
tactic: simp only [slope, vsub_eq_sub, SetLike.mem_coe]
state_before: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ (y - x)⁻¹ • (f y - f x) ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
state_after: case h.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ f y ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure

case h.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ f x ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
tactic: refine Submodule.smul_mem _ _ (Submodule.sub_mem _ ?_ ?_)