Theorem: StructureGroupoid.LocalInvariantProp.liftPropWithinAt_inter'
File: Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean

Proof steps:
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x
state_after: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s
tactic: rw [liftPropWithinAt_iff', liftPropWithinAt_iff', continuousWithinAt_inter' ht, hG.congr_set]
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s
state_after: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
tactic: simp_rw [eventuallyEq_set, mem_preimage,
    (chartAt _ x).eventually_nhds' (fun x ↦ x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s) (mem_chart_source _ x)]
state_before: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
state_after: no goals
tactic: exact (mem_nhdsWithin_iff_eventuallyEq.mp ht).symm.mem_iff