Theorem: Orientation.abs_volumeForm_apply_le
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : Fin n → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin n, ‖v i‖
state_after: case zero
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
o : Orientation ℝ E (Fin 0)
v : Fin 0 → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin 0, ‖v i‖

case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: cases' n with n
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: haveI : FiniteDimensional ℝ E := .of_fact_finrank_eq_succ n
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: have : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ) := by simpa using _i.out
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: let b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: have hb : b.toBasis.det v = ∏ i, ⟪b i, v i⟫ := gramSchmidtOrthonormalBasis_det this v
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
tactic: rw [o.volumeForm_robust' b, hb, Finset.abs_prod]
state_before: case succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
state_after: case succ.h0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, 0 ≤ |⟪b i, v i⟫_ℝ|

case succ.h1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖
tactic: apply Finset.prod_le_prod
state_before: case succ.h1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖
state_after: case succ.h1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
i : Fin n.succ
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖
tactic: intro i _
state_before: case succ.h1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
i : Fin n.succ
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖
state_after: case h.e'_4
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
i : Fin n.succ
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖v i‖ = ‖b i‖ * ‖v i‖
tactic: convert abs_real_inner_le_norm (b i) (v i)
state_before: case h.e'_4
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
i : Fin n.succ
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖v i‖ = ‖b i‖ * ‖v i‖
state_after: no goals
tactic: simp [b.orthonormal.1 i]