ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: List.Perm.sum_eq'
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ l₁.prod = l₂.prod
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x
tactic: refine h.foldl_eq' ?_ _
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x
state_after: case H
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ Symmetric fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x

case H₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ ∀ x ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * x = z * x * x

case H₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ Pairwise (fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x) l₁
tactic: apply Pairwise.forall_of_forall
Theorem: DirichletCharacter.unit_norm_eq_one
File: Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Bounds.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ = 1
state_after: F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ ^ Nat.card (ZMod n)ˣ = 1
tactic: refine (pow_eq_one_iff_of_nonneg (norm_nonneg _) (Nat.card_pos (α := (ZMod n)ˣ)).ne').mp ?_
state_before: F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ
⊢ ‖χ ↑a‖ ^ Nat.card (ZMod n)ˣ = 1
state_after: no goals
tactic: rw [← norm_pow, ← map_pow, ← Units.val_pow_eq_pow_val, pow_card_eq_one', Units.val_one, map_one,
    norm_one]
Theorem: CategoryTheory.Limits.prod.comp_diag
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct Y Y
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ diag Y = lift f f
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: Matrix.toLinearEquiv_apply
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean

Proof steps:
state_before: n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis n R M
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
x : M
⊢ ((toLin b b) A⁻¹) ({ toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
state_after: no goals
tactic: simp_rw [← LinearMap.comp_apply, ← Matrix.toLin_mul b b b, Matrix.nonsing_inv_mul _ hA,
      toLin_one, LinearMap.id_apply]
state_before: n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis n R M
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
x : M
⊢ { toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (((toLin b b) A⁻¹) x) = x
state_after: no goals
tactic: simp_rw [← LinearMap.comp_apply, ← Matrix.toLin_mul b b b, Matrix.mul_nonsing_inv _ hA,
      toLin_one, LinearMap.id_apply]
Theorem: ContinuousMultilinearMap.mkPiRing_eq_iff
File: Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂
state_after: R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁).toMultilinearMap =
      (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂).toMultilinearMap ↔
    z₁ = z₂
tactic: rw [← toMultilinearMap_injective.eq_iff]
state_before: R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁).toMultilinearMap =
      (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂).toMultilinearMap ↔
    z₁ = z₂
state_after: no goals
tactic: exact MultilinearMap.mkPiRing_eq_iff
Theorem: LocallyConstant.mulIndicator_apply
File: Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
R : Type u_5
inst✝ : One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
s : Set R
⊢ IsOpen (U.mulIndicator ⇑f ⁻¹' s)
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
R : Type u_5
inst✝ : One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
s : Set R
⊢ IsOpen (⇑f ⁻¹' s ∩ U ∪ 1 ⁻¹' s ∩ Uᶜ)
tactic: rw [mulIndicator_preimage, Set.ite, Set.diff_eq]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
R : Type u_5
inst✝ : One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
s : Set R
⊢ IsOpen (⇑f ⁻¹' s ∩ U ∪ 1 ⁻¹' s ∩ Uᶜ)
state_after: no goals
tactic: exact ((f.2 s).inter hU.isOpen).union ((IsLocallyConstant.const 1 s).inter hU.compl.isOpen)
Theorem: Complex.exp_nat_mul
File: Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean

Proof steps:
state_before: x✝ y x : ℂ
⊢ cexp (↑0 * x) = cexp x ^ 0
state_after: no goals
tactic: rw [Nat.cast_zero, zero_mul, exp_zero, pow_zero]
state_before: x✝ y x : ℂ
n : ℕ
⊢ cexp (↑n.succ * x) = cexp x ^ n.succ
state_after: no goals
tactic: rw [pow_succ, Nat.cast_add_one, add_mul, exp_add, ← exp_nat_mul _ n, one_mul]
Theorem: AddSubmonoid.coe_sSup_of_directedOn
File: Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean

Proof steps:
state_before: M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
state_after: no goals
tactic: simp [mem_sSup_of_directedOn Sne hS]
Theorem: Pretrivialization.symm_apply_mk_proj
File: Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (proj x, (↑e x).2) = x
state_after: no goals
tactic: rw [← e.coe_fst ex, ← e.coe_coe, e.left_inv ex]
Theorem: Filter.Tendsto.atTop_mul
File: Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
state_after: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ (fun x => f x * (C / 2)) ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x
tactic: refine tendsto_atTop_mono' _ ?_ (hf.atTop_mul_const (half_pos hC))
state_before: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ (fun x => f x * (C / 2)) ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x
state_after: no goals
tactic: filter_upwards [hg.eventually (lt_mem_nhds (half_lt_self hC)), hf.eventually_ge_atTop 0]
    with x hg hf using mul_le_mul_of_nonneg_left hg.le hf
Theorem: CategoryTheory.CommSq.left_adjoint_hasLift_iff
File: Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Adjunction.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ ⋯.HasLift ↔ sq.HasLift
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct
tactic: simp only [HasLift.iff]
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct
state_after: no goals
tactic: exact Equiv.nonempty_congr (sq.leftAdjointLiftStructEquiv adj).symm
Theorem: MeasureTheory.Measure.measure_toMeasurable_inter_of_cover
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
⊢ μ (toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
⊢ μ
      ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose
        else
          if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose
          else ⋯.choose) ∩
        s) =
    μ (t ∩ s)
tactic: rw [toMeasurable]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
⊢ μ
      ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose
        else
          if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose
          else ⋯.choose) ∩
        s) =
    μ (t ∩ s)
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
ht : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t
⊢ μ (ht.choose ∩ s) = μ (t ∩ s)

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)
ht : ¬∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t
⊢ μ (A.choose ∩ s) = μ (t ∩ s)
tactic: split_ifs with ht
Theorem: CategoryTheory.Subobject.factorThru_self
File: Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
P : Subobject X
h : P.Factors P.arrow
⊢ P.factorThru P.arrow h = 𝟙 (underlying.obj P)
state_after: case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
P : Subobject X
h : P.Factors P.arrow
⊢ P.factorThru P.arrow h ≫ P.arrow = 𝟙 (underlying.obj P) ≫ P.arrow
tactic: ext
state_before: case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
P : Subobject X
h : P.Factors P.arrow
⊢ P.factorThru P.arrow h ≫ P.arrow = 𝟙 (underlying.obj P) ≫ P.arrow
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: IsSelfAdjoint.conj_adjoint
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F
⊢ IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (adjoint S)))
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ adjoint (S.comp (T.comp (adjoint S))) = S.comp (T.comp (adjoint S))
tactic: rw [isSelfAdjoint_iff'] at hT ⊢
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ adjoint (S.comp (T.comp (adjoint S))) = S.comp (T.comp (adjoint S))
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ (S.comp T).comp (adjoint S) = S.comp (T.comp (adjoint S))
tactic: simp only [hT, adjoint_comp, adjoint_adjoint]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ (S.comp T).comp (adjoint S) = S.comp (T.comp (adjoint S))
state_after: no goals
tactic: exact ContinuousLinearMap.comp_assoc _ _ _
Theorem: contDiff_pi
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
⊢ ContDiff 𝕜 n Φ ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => Φ x i
state_after: no goals
tactic: simp only [← contDiffOn_univ, contDiffOn_pi]
Theorem: WeierstrassCurve.Jacobian.addMap_of_Z_eq_zero_left
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q : PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.NonsingularLift Q
hPz : P z = 0
⊢ W.addMap ⟦P⟧ Q = Q
state_after: case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q✝ : PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
Q : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r Q)
⊢ W.addMap ⟦P⟧ (Quot.mk Setoid.r Q) = Quot.mk Setoid.r Q
tactic: rcases Q with ⟨Q⟩
state_before: case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q✝ : PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
Q : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r Q)
⊢ W.addMap ⟦P⟧ (Quot.mk Setoid.r Q) = Quot.mk Setoid.r Q
state_after: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q✝ : PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
Q : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r Q)
hQz : Q z = 0
⊢ W.addMap ⟦P⟧ (Quot.mk Setoid.r Q) = Quot.mk Setoid.r Q

case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q✝ : PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
Q : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r Q)
hQz : ¬Q z = 0
⊢ W.addMap ⟦P⟧ (Quot.mk Setoid.r Q) = Quot.mk Setoid.r Q
tactic: by_cases hQz : Q z = 0
Theorem: intervalIntegral.integral_mono_ae_restrict
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
state_after: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), f x ≤ g x :=
  Eventually.filter_mono (ae_mono (Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self (le_refl μ))) h
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
tactic: let H := h.filter_mono <| ae_mono <| Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self <| le_refl μ
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), f x ≤ g x :=
  Eventually.filter_mono (ae_mono (Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self (le_refl μ))) h
⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
state_after: no goals
tactic: simpa only [integral_of_le hab] using setIntegral_mono_ae_restrict hf.1 hg.1 H
Theorem: Finset.prod_range_div'
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ range n, f i / f (i + 1) = f 0 / f n
state_after: no goals
tactic: apply prod_range_induction <;> simp
Theorem: ENNReal.addLECancellable_iff_ne
File: Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean

Proof steps:
state_before: a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ AddLECancellable a ↔ a ≠ ⊤
state_after: case mp
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ AddLECancellable a → a ≠ ⊤

case mpr
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ a ≠ ⊤ → AddLECancellable a
tactic: constructor
Theorem: AffineSubspace.wOppSide_vadd_left_iff
File: Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide (v +ᵥ x) y ↔ s.WOppSide x y
state_after: case mp
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide (v +ᵥ x) y → s.WOppSide x y

case mpr
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide x y → s.WOppSide (v +ᵥ x) y
tactic: constructor
Theorem: CategoryTheory.Limits.IsColimit.hom_ext
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean

Proof steps:
state_before: J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ f = f'
state_after: J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f, naturality := ⋯ } } =
    h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f', naturality := ⋯ } }
tactic: rw [h.hom_desc f, h.hom_desc f']
state_before: J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f, naturality := ⋯ } } =
    h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f', naturality := ⋯ } }
state_after: case h.e_8.h.e_ι.e_app
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ (fun b => t.ι.app b ≫ f) = fun b => t.ι.app b ≫ f'
tactic: congr
state_before: case h.e_8.h.e_ι.e_app
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'
⊢ (fun b => t.ι.app b ≫ f) = fun b => t.ι.app b ≫ f'
state_after: no goals
tactic: exact funext w
Theorem: Unitization.norm_inr
File: Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Unitization.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A
⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
state_after: no goals
tactic: simp [norm_eq_sup]