Theorem: withSeminorms_iInf
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
this : TopologicalAddGroup E
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)
tactic: have : @TopologicalAddGroup E (⨅ i, t i) _ := topologicalAddGroup_iInf (fun i ↦ inferInstance)
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
this : TopologicalAddGroup E
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
tactic: simp_rw [@SeminormFamily.withSeminorms_iff_topologicalSpace_eq_iInf _ _ _ _ _ _ _ (_)] at hp ⊢
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, ⨅ j, UniformSpace.toTopologicalSpace
tactic: rw [iInf_sigma]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, ⨅ j, UniformSpace.toTopologicalSpace
state_after: no goals
tactic: exact iInf_congr hp