Theorem: CategoryTheory.Idempotents.whiskeringLeft_obj_preimage_app
File: Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app P =
    F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
state_after: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ F.map P.decompId_i ≫
      (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫
        G.map P.decompId_p =
    F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
tactic: rw [natTrans_eq]
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ F.map P.decompId_i ≫
      (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫
        G.map P.decompId_p =
    F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
state_after: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = τ.app P.X
tactic: congr 2
state_before: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = τ.app P.X
state_after: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } =
    (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).map
          (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ)).app
      P.X
tactic: rw [← congr_app (((whiskeringLeft _ _ _).obj (toKaroubi _)).map_preimage τ) P.X]
state_before: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } =
    (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).map
          (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ)).app
      P.X
state_after: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } =
    (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app ((toKaroubi C).obj P.X)
tactic: dsimp
state_before: case e_a.e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } =
    (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app ((toKaroubi C).obj P.X)
state_after: no goals
tactic: congr