Theorem: MeasureTheory.memℒp_stoppedValue_of_mem_finset
File: Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (stoppedValue u τ) p μ
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ
tactic: rw [stoppedValue_eq_of_mem_finset hbdd]
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
tactic: refine memℒp_finset_sum' _ fun i _ => Memℒp.indicator ?_ (hu i)
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ (Set.range τ).Countable
tactic: refine ℱ.le i {a : Ω | τ a = i} (hτ.measurableSet_eq_of_countable_range ?_ i)
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ (Set.range τ).Countable
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
ω : ι
hω : ω ∈ Set.range τ
⊢ ω ∈ ↑s
tactic: refine ((Finset.finite_toSet s).subset fun ω hω => ?_).countable
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
ω : ι
hω : ω ∈ Set.range τ
⊢ ω ∈ ↑s
state_after: case intro
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
y : Ω
⊢ τ y ∈ ↑s
tactic: obtain ⟨y, rfl⟩ := hω
state_before: case intro
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
y : Ω
⊢ τ y ∈ ↑s
state_after: no goals
tactic: exact hbdd y