Theorem: VectorFourier.norm_fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le
File: Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ‖fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
state_after: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ‖fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
tactic: rw [fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral L hf h'f hk hn]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ‖fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
state_after: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
tactic: apply (norm_fourierIntegral_le_integral_norm _ _ _ _ _).trans
state_before: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
state_after: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
tactic: have I p (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)) :
      Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ := by
    simp only [Finset.mem_product, Finset.mem_range_succ_iff] at hp
    exact h'f _ _ (le_trans (by simpa using hp.1) hk) (le_trans (by simpa using hp.2) hn)
state_before: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
state_after: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    ∫ (a : V),
      (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖ ∂μ
tactic: rw [← integral_finset_sum _ I, ← integral_mul_left]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ ∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤
    ∫ (a : V),
      (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖ ∂μ
state_after: case hf
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖

case hgi
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ Integrable
    (fun a =>
      (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖)
    μ

case h
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ (fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a =>
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖
tactic: apply integral_mono_of_nonneg