Theorem: CategoryTheory.Preadditive.DoldKan.equivalence_inverse
File: Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalenceAdditive.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
⊢ N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P) = 𝟙 (N.obj P)
state_after: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
⊢ N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P) = 𝟙 (N.obj P)
tactic: let α := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
⊢ N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P) = 𝟙 (N.obj P)
state_after: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P) = 𝟙 (N.obj P)
tactic: let β := N₂Γ₂.app (N.obj P)
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P) = 𝟙 (N.obj P)
state_after: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ 𝟙 (N.obj P) = N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P)
tactic: symm
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ 𝟙 (N.obj P) = N.map (Γ₂N₂.hom.app P) ≫ N₂Γ₂.hom.app (N.obj P)
state_after: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ 𝟙 (N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P)) = α.hom ≫ β.hom
tactic: change 𝟙 _ = α.hom ≫ β.hom
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ 𝟙 (N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P)) = α.hom ≫ β.hom
state_after: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ β.inv ≫ α.inv = 𝟙 ((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P))
tactic: rw [← Iso.inv_comp_eq, comp_id, ← comp_id β.hom, ← Iso.inv_comp_eq]
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
⊢ β.inv ≫ α.inv = 𝟙 ((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P))
state_after: no goals
tactic: exact AlgebraicTopology.DoldKan.identity_N₂_objectwise P