Theorem: MvPolynomial.eval₂Hom_eq_zero
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
⊢ (eval₂Hom f g) φ = 0
state_after: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
⊢ ∑ x ∈ φ.support, (eval₂Hom f g) ((monomial x) (coeff x φ)) = 0
tactic: rw [φ.as_sum, map_sum]
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
⊢ ∑ x ∈ φ.support, (eval₂Hom f g) ((monomial x) (coeff x φ)) = 0
state_after: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
tactic: refine Finset.sum_eq_zero fun d hd => ?_
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
state_after: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
tactic: obtain ⟨i, hi, hgi⟩ : ∃ i ∈ d.support, g i = 0 := h d (Finsupp.mem_support_iff.mp hd)
state_before: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
state_after: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ g i ^ d i = 0
tactic: rw [eval₂Hom_monomial, Finsupp.prod, Finset.prod_eq_zero hi, mul_zero]
state_before: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ g i ^ d i = 0
state_after: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ d i ≠ 0
tactic: rw [hgi, zero_pow]
state_before: case intro.intro
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
⊢ d i ≠ 0
state_after: no goals
tactic: rwa [← Finsupp.mem_support_iff]