Theorem: IsBaseChange.ofEquiv
File: Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ IsBaseChange R ↑e
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
tactic: apply IsBaseChange.of_lift_unique
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
tactic: intro Q I₁ I₂ I₃ I₄ g
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
tactic: have : I₂ = I₃ := by
    ext r q
    show (by let _ := I₂; exact r • q) = (by let _ := I₃; exact r • q)
    dsimp
    rw [← one_smul R q, smul_smul, ← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄, smul_eq_mul]
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
state_after: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
tactic: cases this
state_before: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
state_after: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∀ (y : N →ₗ[R] Q), (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑e = g) y → y = g ∘ₗ ↑e.symm
tactic: refine
    ⟨g.comp e.symm.toLinearMap, by
      ext
      simp, ?_⟩
state_before: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∀ (y : N →ₗ[R] Q), (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑e = g) y → y = g ∘ₗ ↑e.symm
state_after: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
⊢ y = (↑R y ∘ₗ ↑e) ∘ₗ ↑e.symm
tactic: rintro y (rfl : _ = _)
state_before: case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
⊢ y = (↑R y ∘ₗ ↑e) ∘ₗ ↑e.symm
state_after: case h.refl.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
x✝ : N
⊢ y x✝ = ((↑R y ∘ₗ ↑e) ∘ₗ ↑e.symm) x✝
tactic: ext
state_before: case h.refl.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
x✝ : N
⊢ y x✝ = ((↑R y ∘ₗ ↑e) ∘ₗ ↑e.symm) x✝
state_after: no goals
tactic: simp