Theorem: LinearPMap.mkSpanSingleton'_apply
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) ⟨c • x, h⟩ = c • y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • y = c • y
tactic: dsimp [mkSpanSingleton']
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • y = c • y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ (Classical.choose ⋯ - c) • y = 0
tactic: rw [← sub_eq_zero, ← sub_smul]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ (Classical.choose ⋯ - c) • y = 0
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ (Classical.choose ⋯ - c) • x = 0
tactic: apply H
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ (Classical.choose ⋯ - c) • x = 0
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • x = c • x
tactic: simp only [sub_smul, one_smul, sub_eq_zero]
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • x = c • x
state_after: no goals
tactic: apply Classical.choose_spec (mem_span_singleton.1 h)