Theorem: charpoly_leftMulMatrix
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
state_after: case inl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Subsingleton R
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen

case inr
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
tactic: cases subsingleton_or_nontrivial R
state_before: case inr
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
state_after: case inr.hp
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ (aeval h.gen) ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = 0

case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (q : R[X]), q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree → q = 0 ∨ (aeval h.gen) q ≠ 0
tactic: apply minpoly.unique' R h.gen (charpoly_monic _)
state_before: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (q : R[X]), q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree → q = 0 ∨ (aeval h.gen) q ≠ 0
state_after: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree
h0 : ¬q = 0
⊢ (aeval h.gen) q ≠ 0
tactic: refine fun q hq => or_iff_not_imp_left.2 fun h0 => ?_
state_before: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree
h0 : ¬q = 0
⊢ (aeval h.gen) q ≠ 0
state_after: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ↑h.dim
h0 : ¬q = 0
⊢ (aeval h.gen) q ≠ 0
tactic: rw [Matrix.charpoly_degree_eq_dim, Fintype.card_fin] at hq
state_before: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ↑h.dim
h0 : ¬q = 0
⊢ (aeval h.gen) q ≠ 0
state_after: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h0 : ¬q = 0
hq : (aeval h.gen) q = 0
⊢ ↑h.dim ≤ q.degree
tactic: contrapose! hq
state_before: case inr.hl
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h0 : ¬q = 0
hq : (aeval h.gen) q = 0
⊢ ↑h.dim ≤ q.degree
state_after: no goals
tactic: exact h.dim_le_degree_of_root h0 hq