Theorem: Ideal.isPrime_of_maximally_disjoint
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
⊢ I ≠ ⊤
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
⊢ False
tactic: rintro rfl
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
⊢ False
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
this : 1 ∈ ↑S
⊢ False
tactic: have : 1 ∈ (S : Set α) := S.one_mem
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
this : 1 ∈ ↑S
⊢ False
state_after: no goals
tactic: aesop
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
⊢ x ∈ I ∨ y ∈ I
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
⊢ False
tactic: by_contra! rid
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
⊢ False
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
⊢ False
tactic: have hx := maximally_disjoint (I ⊔ span {x}) (Submodule.lt_sup_iff_not_mem.mpr rid.1)
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
⊢ False
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
hy : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {y}) ↑S
⊢ False
tactic: have hy := maximally_disjoint (I ⊔ span {y}) (Submodule.lt_sup_iff_not_mem.mpr rid.2)
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
hy : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {y}) ↑S
⊢ False
state_after: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ∃ x_1, (∃ y ∈ I, ∃ z, x ∣ z ∧ y + z = x_1) ∧ x_1 ∈ S
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
⊢ False
tactic: simp only [Set.not_disjoint_iff, mem_inter_iff, SetLike.mem_coe, Submodule.mem_sup,
      mem_span_singleton] at hx hy
state_before: α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ∃ x_1, (∃ y ∈ I, ∃ z, x ∣ z ∧ y + z = x_1) ∧ x_1 ∈ S
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
⊢ False
tactic: obtain ⟨s₁, ⟨i₁, hi₁, ⟨_, ⟨r₁, rfl⟩, hr₁⟩⟩, hs₁⟩ := hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ False
tactic: obtain ⟨s₂, ⟨i₂, hi₂, ⟨_, ⟨r₂, rfl⟩, hr₂⟩⟩, hs₂⟩ := hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = s₁ * s₂
tactic: refine disjoint.ne_of_mem
      (I.add_mem (I.mul_mem_left (i₁ + x * r₁) hi₂) <| I.add_mem (I.mul_mem_right (y * r₂) hi₁) <|
        I.mul_mem_right (r₁ * r₂) hxy)
      (S.mul_mem hs₁ hs₂) ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = s₁ * s₂
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = (i₁ + x * r₁) * (i₂ + y * r₂)
tactic: rw [← hr₁, ← hr₂]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
⊢ (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = (i₁ + x * r₁) * (i₂ + y * r₂)
state_after: no goals
tactic: ring