Theorem: LieSubmodule.mono_lie
File: Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅J, N'⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : m ∈ ⁅I, N⁆
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
tactic: intro m h
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : m ∈ ⁅I, N⁆
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
tactic: rw [lieIdeal_oper_eq_span, mem_lieSpan] at h
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
tactic: rw [lieIdeal_oper_eq_span, mem_lieSpan]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
⊢ m ∈ N
tactic: intro N hN
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
⊢ m ∈ N
state_after: case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
tactic: apply h
state_before: case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
state_after: case a.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ m' ∈ ↑N
tactic: rintro m' ⟨⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩, hm⟩
state_before: case a.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ m' ∈ ↑N
state_after: case a.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ ↑N
tactic: rw [← hm]
state_before: case a.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ ↑N
state_after: case a.intro.mk.intro.mk.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
tactic: apply hN
state_before: case a.intro.mk.intro.mk.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: no goals
tactic: use ⟨x, h₁ hx⟩, ⟨n, h₂ hn⟩