Theorem: MeasureTheory.integral_target_eq_integral_abs_det_fderiv_smul
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
⊢ ∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
state_after: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
tactic: have : f '' f.source = f.target := PartialEquiv.image_source_eq_target f.toPartialEquiv
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
state_after: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
tactic: rw [← this]
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
state_after: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∀ x ∈ f.source, HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
tactic: apply integral_image_eq_integral_abs_det_fderiv_smul μ f.open_source.measurableSet _ f.injOn
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∀ x ∈ f.source, HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
state_after: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
x : E
hx : x ∈ f.source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
tactic: intro x hx
state_before: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f✝ : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : PartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
x : E
hx : x ∈ f.source
⊢ HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x
state_after: no goals
tactic: exact (hf' x hx).hasFDerivWithinAt