ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: Ideal.le_comap_pow
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
n : ℕ
⊢ comap f K ^ n ≤ comap f (K ^ n)
state_after: case zero
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
⊢ comap f K ^ 0 ≤ comap f (K ^ 0)

case succ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
n : ℕ
n_ih : comap f K ^ n ≤ comap f (K ^ n)
⊢ comap f K ^ (n + 1) ≤ comap f (K ^ (n + 1))
tactic: induction' n with n n_ih
Theorem: CategoryTheory.Limits.Sigma.whiskerEquiv_inv
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean

Proof steps:
state_before: β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : Type u_1
K : Type u_2
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct g
k : K
⊢ g k = g (e (e.symm k))
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: WeierstrassCurve.Affine.Equation.map
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ Equation (WeierstrassCurve.map W f) (f x) (f y)
state_after: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ f (evalEval x y W.polynomial) = f 0
tactic: rw [Equation, map_polynomial, map_mapRingHom_evalEval, ← f.map_zero]
state_before: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y
⊢ f (evalEval x y W.polynomial) = f 0
state_after: no goals
tactic: exact congr_arg f h
Theorem: Perfection.map_apply_coe
File: Mathlib/RingTheory/Perfection.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u₁
inst✝³ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CharP R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (fun n => φ ((coeff R p n) f)) (n + 1) ^ p = (fun n => φ ((coeff R p n) f)) n
state_after: no goals
tactic: rw [← φ.map_pow, coeff_pow_p']
Theorem: Matrix.submatrix_succAbove_det_eq_negOnePow_submatrix_succAbove_det'
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Misc.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ (M.submatrix id j₁.succAbove).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det
state_after: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ ∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j = 0
tactic: rw [← det_transpose, transpose_submatrix,
    submatrix_succAbove_det_eq_negOnePow_submatrix_succAbove_det M.transpose ?_ j₁ j₂,
    ← det_transpose, transpose_submatrix, transpose_transpose]
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ ∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j = 0
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ (∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j) x✝ = 0 x✝
tactic: ext
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ (∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j) x✝ = 0 x✝
state_after: no goals
tactic: simp_rw [Finset.sum_apply, transpose_apply, hv, Pi.zero_apply]
Theorem: Cardinal.powerlt_aleph0_le
File: Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

Proof steps:
state_before: c : Cardinal.{u_1}
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
state_after: case inl
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀

case inr
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
tactic: rcases le_or_lt ℵ₀ c with h | h
state_before: case inr
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
state_after: case inr
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ ∀ x < ℵ₀, c ^ x ≤ max c ℵ₀
tactic: rw [powerlt_le]
state_before: case inr
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
⊢ ∀ x < ℵ₀, c ^ x ≤ max c ℵ₀
state_after: no goals
tactic: exact fun c' hc' => (power_lt_aleph0 h hc').le.trans (le_max_right _ _)
Theorem: Nat.shiftLeft_sub
File: Mathlib/Data/Nat/Bits.lean

Proof steps:
state_before: m n x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ x✝¹
⊢ x✝² <<< (x✝¹ - x✝) = x✝² <<< x✝¹ >>> x✝
state_after: no goals
tactic: simp only [← shiftLeft'_false, shiftLeft'_sub false _ hk]
Theorem: CauSeq.exists_gt
File: Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0
⊢ 1 ≤ ↑(const (K + 1) - f) i
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0
⊢ ↑f i ≤ K
tactic: rw [sub_apply, const_apply, le_sub_iff_add_le', add_le_add_iff_right]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0
⊢ ↑f i ≤ K
state_after: no goals
tactic: exact le_of_lt (abs_lt.1 (H _)).2
Theorem: isClosed_compl_iff
File: Mathlib/Topology/Basic.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed sᶜ ↔ IsOpen s
state_after: no goals
tactic: rw [← isOpen_compl_iff, compl_compl]
Theorem: AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackP1Iso_hom_ι
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram i = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
state_after: no goals
tactic: rw [← gluing_ι, ← pullbackP1Iso_inv_fst, Iso.hom_inv_id_assoc]
Theorem: HomologicalComplex.isZero_zero
File: Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasZeroObject V
⊢ IsZero zero
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasZeroObject V
X : HomologicalComplex V c
f : zero ⟶ X
⊢ f = default

case refine_2
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasZeroObject V
X : HomologicalComplex V c
f : X ⟶ zero
⊢ f = default
tactic: refine ⟨fun X => ⟨⟨⟨0⟩, fun f => ?_⟩⟩, fun X => ⟨⟨⟨0⟩, fun f => ?_⟩⟩⟩
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasZeroObject V
X : HomologicalComplex V c
f : zero ⟶ X
⊢ f = default

case refine_2
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasZeroObject V
X : HomologicalComplex V c
f : X ⟶ zero
⊢ f = default
state_after: no goals
tactic: all_goals
    ext
    dsimp only [zero]
    subsingleton
Theorem: NNReal.summable_schlomilch_iff
File: Mathlib/Analysis/PSeries.lean

Proof steps:
state_before: C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f
state_after: C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤ ↔ ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤
tactic: simp only [← tsum_coe_ne_top_iff_summable, Ne, not_iff_not, ENNReal.coe_mul]
state_before: C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤ ↔ ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤
state_after: case mp
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
h : ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤

case mpr
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
h : ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤
⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤
tactic: constructor <;> intro h
Theorem: LieHom.le_ker_iff
File: Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ I ≤ f.ker ↔ ∀ x ∈ I, f x = 0
state_after: case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : I ≤ f.ker
x : L
hx : x ∈ I
⊢ f x = 0

case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ∀ x ∈ I, f x = 0
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ f.ker
tactic: constructor <;> intro h x hx
Theorem: MeasureTheory.Measure.rnDeriv_mul_rnDeriv
File: Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ AEMeasurable (μ.rnDeriv ν) κ

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ ⊤

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ
tactic: refine (rnDeriv_withDensity_left ?_ ?_).symm.trans ?_
Theorem: mulRothNumber_map_mul_right
File: Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ mulRothNumber (map (mulRightEmbedding a) s) = mulRothNumber s
state_after: no goals
tactic: rw [← mulLeftEmbedding_eq_mulRightEmbedding, mulRothNumber_map_mul_left s a]
Theorem: HomologicalComplex.unopInverse_obj
File: Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.51124, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : HomologicalComplex V c.symm
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j
⊢ (fun i => (f.f i).op) i ≫ X✝.opSymm.d i j = Y✝.opSymm.d i j ≫ (fun i => (f.f i).op) j
state_after: no goals
tactic: simp only [opSymm_d, ← op_comp, f.comm]
Theorem: cfc_zero
File: Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
⊢ cfc 0 a = 0
state_after: case pos
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : p a
⊢ cfc 0 a = 0

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : ¬p a
⊢ cfc 0 a = 0
tactic: by_cases ha : p a
Theorem: CategoryTheory.Limits.cospanExt_hom_app_one
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Cospan.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iZ.hom
wg : iY.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (cospanExt iX iY iZ wf wg).hom.app WalkingCospan.one = iZ.hom
state_after: no goals
tactic: dsimp [cospanExt]
Theorem: Matrix.det_one_add_X_smul
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = 1 + M.trace • X + (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * X ^ 2
state_after: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = (1 + X • M.map ⇑C).det.divX * X + C 1
tactic: rw [Algebra.smul_def (trace M), ← C_eq_algebraMap, pow_two, ← mul_assoc, add_assoc,
    ← add_mul, ← coeff_det_one_add_X_smul_one, ← coeff_divX, add_comm (C _), divX_mul_X_add,
    add_comm (1 : R[X]), ← C.map_one]
state_before: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = (1 + X • M.map ⇑C).det.divX * X + C 1
state_after: case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_6
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ 1 = (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 0
tactic: convert (divX_mul_X_add _).symm
state_before: case h.e'_3.h.e'_6.h.e'_6
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
⊢ 1 = (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 0
state_after: no goals
tactic: rw [coeff_zero_eq_eval_zero, eval_det_add_X_smul, det_one, eval_one]
Theorem: intervalIntegral.integral_lt_integral_of_ae_le_of_measure_setOf_lt_ne_zero
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
state_after: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ 0 < (μ.restrict (Ioc a b)) (support fun x => g x - f x)

case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] fun x => g x - f x

case hfi
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g x - f x) (μ.restrict (Ioc a b))
tactic: rw [← sub_pos, ← integral_sub hgi hfi, integral_of_le hab,
    MeasureTheory.integral_pos_iff_support_of_nonneg_ae]
state_before: case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] fun x => g x - f x

case hfi
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g x - f x) (μ.restrict (Ioc a b))
state_after: no goals
tactic: exacts [hle.mono fun x => sub_nonneg.2, hgi.1.sub hfi.1]
Theorem: CategoryTheory.Limits.Types.Small.limitCone_pt
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean

Proof steps:
state_before: J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫
      (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j' =
    (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j
⊢ (((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫
        (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j')
      x =
    ((fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f) x
tactic: funext x
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j
⊢ (((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫
        (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j')
      x =
    ((fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f) x
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: convexHull_range_eq_exists_affineCombination
File: Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ (convexHull R) (Set.range v) = {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
state_after: case refine_1
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ Set.range v ⊆ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

case refine_2
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

case refine_3
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E
⊢ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x} ⊆ (convexHull R) (Set.range v)
tactic: refine Subset.antisymm (convexHull_min ?_ ?_) ?_