Theorem: intervalIntegral.measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae'
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
state_after: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

case neg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
tactic: by_cases hE : CompleteSpace E
state_before: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

case neg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
state_after: case neg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ

case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
tactic: swap
state_before: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
state_after: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
tactic: have A := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hu.Ioc hv)
state_before: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
state_after: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
tactic: have B := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hv.Ioc hu)
state_before: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
state_after: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)) =o[lt]
    fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1
tactic: simp_rw [integral_const', sub_smul]
state_before: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)) =o[lt]
    fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1
state_after: case pos.refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖

case pos.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ‖(μ (Ioc (v t) (u t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖

case pos.refine_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i =>
    (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
t : ι
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c -
      (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c) =
    ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)
tactic: refine ((A.trans_le fun t ↦ ?_).sub (B.trans_le fun t ↦ ?_)).congr_left fun t ↦ ?_