Theorem: add_tsub_add_eq_tsub_right
File: Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + c - (b + c) = a - b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a ≤ a + c - (b + c) + b
tactic: refine add_tsub_add_le_tsub_right.antisymm (tsub_le_iff_right.2 <| ?_)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a ≤ a + c - (b + c) + b
state_after: case bc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?a ≤ a + c - (b + c) + b + ?a

case a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ α
tactic: apply le_of_add_le_add_right
state_before: case bc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?a ≤ a + c - (b + c) + b + ?a

case a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ α
state_after: case bc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?bc.c ≤ a + c - (b + c) + (b + ?bc.c)

case bc.c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ α
tactic: rw [add_assoc]
state_before: case bc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a + ?bc.c ≤ a + c - (b + c) + (b + ?bc.c)

case bc.c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ α
state_after: no goals
tactic: exact le_tsub_add