Theorem: separableClosure.adjoin_eq_of_isAlgebraic_of_isSeparable
File: Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ x ∈ adjoin E ↑(separableClosure F K)
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
⊢ x ∈ adjoin E ↑S
tactic: set S := separableClosure F K
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
⊢ x ∈ adjoin E ↑S
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
⊢ x ∈ L
tactic: set L := adjoin E (S : Set K)
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
tactic: have := Algebra.isSeparable_tower_top_of_isSeparable E L K
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
⊢ x ∈ L
tactic: let i : S →+* L := Subsemiring.inclusion fun x hx ↦ subset_adjoin E (S : Set K) hx
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝¹ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
⊢ x ∈ L
tactic: let _ : Algebra S L := i.toAlgebra
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝¹ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
⊢ x ∈ L
tactic: let _ : SMul S L := Algebra.toSMul
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
⊢ x ∈ L
tactic: have : IsScalarTower S L K := IsScalarTower.of_algebraMap_eq (congrFun rfl)
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this : Algebra.IsAlgebraic F K
⊢ x ∈ L
tactic: have : Algebra.IsAlgebraic F K := Algebra.IsAlgebraic.trans (L := E)
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this : Algebra.IsAlgebraic F K
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝² : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝¹ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
this : IsPurelyInseparable (↥S) K
⊢ x ∈ L
tactic: have : IsPurelyInseparable S K := separableClosure.isPurelyInseparable F K
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝² : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝¹ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
this : IsPurelyInseparable (↥S) K
⊢ x ∈ L
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
tactic: have := IsPurelyInseparable.tower_top S L K
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
state_after: case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝² : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝¹ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
y : ↥L
x✝ : (algebraMap (↥L) K) y ∈ ⊤
⊢ (algebraMap (↥L) K) y ∈ L
tactic: obtain ⟨y, rfl⟩ := IsPurelyInseparable.surjective_algebraMap_of_isSeparable L K x
state_before: case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝² : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝¹ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
y : ↥L
x✝ : (algebraMap (↥L) K) y ∈ ⊤
⊢ (algebraMap (↥L) K) y ∈ L
state_after: no goals
tactic: exact y.2