Theorem: continuousOn_prod_of_subset_closure_continuousOn_lipschitzOnWith
File: Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
⊢ ContinuousOn f (s ×ˢ t)
state_after: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
⊢ ContinuousWithinAt f (s ×ˢ t) (x, y)
tactic: rintro ⟨x, y⟩ ⟨hx : x ∈ s, hy : y ∈ t⟩
state_before: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
⊢ ContinuousWithinAt f (s ×ˢ t) (x, y)
state_after: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: refine EMetric.nhds_basis_closed_eball.tendsto_right_iff.2 fun ε (ε0 : 0 < ε) => ?_
state_before: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: replace ε0 : 0 < ε / 2 := ENNReal.half_pos ε0.ne'
state_before: case mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ : ℝ≥0, 0 < δ ∧ (δ : ℝ≥0∞) * ↑(3 * K) < ε / 2 :=
    ENNReal.exists_nnreal_pos_mul_lt ENNReal.coe_ne_top ε0.ne'
state_before: case mk.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: rw [← ENNReal.coe_pos] at δpos
state_before: case mk.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: rcases EMetric.mem_closure_iff.1 (hss' hx) δ δpos with ⟨x', hx', hxx'⟩
state_before: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: have A : s ∩ EMetric.ball x δ ∈ 𝓝[s] x :=
    inter_mem_nhdsWithin _ (EMetric.ball_mem_nhds _ δpos)
state_before: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: have B : t ∩ { b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2 } ∈ 𝓝[t] y :=
    inter_mem self_mem_nhdsWithin (ha x' hx' y hy (EMetric.closedBall_mem_nhds (f (x', y)) ε0))
state_before: case mk.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
⊢ ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
state_after: case h
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
a : α
b : β
has : (a, b).1 ∈ s
hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ
hbt : (a, b).2 ∈ t
hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2}
⊢ f (a, b) ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
tactic: filter_upwards [nhdsWithin_prod A B] with ⟨a, b⟩ ⟨⟨has, hax⟩, ⟨hbt, hby⟩⟩