Theorem: HahnModule.add_smul
File: Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean

Proof steps:
state_before: Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
⊢ (x + y) • z = x • z + y • z
state_after: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
tactic: ext a
state_before: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
state_after: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
tactic: have hwf := x.isPWO_support.union y.isPWO_support
state_before: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
state_after: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff + y.coeff) ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 =
    ((of R).symm (x • z) + (of R).symm (y • z)).coeff a

case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
tactic: rw [smul_coeff_left hwf, HahnSeries.add_coeff', of_symm_add]
state_before: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff + y.coeff) ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 =
    ((of R).symm (x • z) + (of R).symm (y • z)).coeff a

case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
state_after: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a,
      (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) =
    ((of R).symm (x • z)).coeff a + ((of R).symm (y • z)).coeff a

case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
tactic: simp_all only [Pi.add_apply, HahnSeries.add_coeff']
state_before: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a,
      (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) =
    ((of R).symm (x • z)).coeff a + ((of R).symm (y • z)).coeff a

case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
state_after: case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a,
      (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) =
    ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 +
      ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, y.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2

case h.h
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO
⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
tactic: rw [smul_coeff_left hwf Set.subset_union_right,
    smul_coeff_left hwf Set.subset_union_left]