Theorem: CocompactMapClass.norm_le
File: Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (cocompact F)
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
tactic: have h := cocompact_tendsto f
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (cocompact F)
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ∀ s ∈ cocompact F, ⇑f ⁻¹' s ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
tactic: rw [tendsto_def] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ∀ s ∈ cocompact F, ⇑f ⁻¹' s ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
tactic: specialize h (Metric.closedBall 0 ε)ᶜ (mem_cocompact_of_closedBall_compl_subset 0 ⟨ε, rfl.subset⟩)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
tactic: rcases closedBall_compl_subset_of_mem_cocompact h 0 with ⟨r, hr⟩
state_before: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
⊢ ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
tactic: use r
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
⊢ ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ ε < ‖f x‖
tactic: intro x hx
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ ε < ‖f x‖
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
tactic: suffices x ∈ f⁻¹' (Metric.closedBall 0 ε)ᶜ by aesop
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
state_after: case h.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ
tactic: apply hr
state_before: case h.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ
state_after: no goals
tactic: simp [hx]