Theorem: MeasureTheory.exists_not_mem_null_laverage_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
tactic: have := measure_laverage_le_pos hμ hint
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
tactic: rw [← measure_diff_null hN] at this
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
hxN : x ∉ N
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
tactic: obtain ⟨x, hx, hxN⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero this.ne'
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
hxN : x ∉ N
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
state_after: no goals
tactic: exact ⟨x, hxN, hx⟩