Theorem: CategoryTheory.IsVanKampenColimit.map_reflective
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean

Proof steps:
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
⊢ IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
⊢ IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
tactic: have := adj.rightAdjointPreservesLimits
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
⊢ IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
⊢ IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
tactic: have : PreservesColimitsOfSize.{u', v'} Gl := adj.leftAdjointPreservesColimits
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
⊢ IsVanKampenColimit (Gl.mapCocone c)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: intro F' c' α f h hα
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') → ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: refine ⟨?_, H.isUniversal.map_reflective adj c' α f h hα⟩
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') → ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: intro ⟨hc'⟩ j
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: let α' := α ≫ (Functor.associator _ _ _).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: have hα' : NatTrans.Equifibered α' := hα.comp (NatTrans.equifibered_of_isIso _)
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: have hα'' : ∀ j, Gl.map (Gr.map <| α'.app j) = adj.counit.app _ ≫ α.app j := by
    intro j
    rw [← cancel_mono (adj.counit.app <| F.obj j)]
    dsimp [α']
    simp only [Category.comp_id, Adjunction.counit_naturality_assoc, Category.id_comp,
      Adjunction.counit_naturality, Category.assoc, Functor.map_comp]
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: let β := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: let hl := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: let hr := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit <| F' ⋙ Gr)
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: have : α.app j = β.inv.app _ ≫ Gl.map (Gr.map <| α'.app j) := by
    rw [hα'']
    simp [β]
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: rw [this]
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this :
  f =
    (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this :
  f =
    (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j)))
    ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫
      Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι }))
    ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
tactic: rw [this]
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this :
  f =
    (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j)))
    ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫
      Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι }))
    ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
state_after: case refine_2
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝³ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝² : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝¹ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this✝ :
  f =
    (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
this :
  IsPullback (Gl.map ((colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι.app j)) (Gl.map ((whiskerRight α' Gr).app j))
    (Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) (Gl.map (c.ι.app j))
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j)))
    ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫
      Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι }))
    ((Gl.mapCocone c).ι.app j)

case refine_1
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this :
  f =
    (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
⊢ whiskerRight α' Gr ≫ c.ι =
    (colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι ≫
      (Functor.const J).map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
tactic: have := ((H (colimit.cocone <| F' ⋙ Gr) (whiskerRight α' Gr)
    (colimit.desc _ ⟨_, whiskerRight α' Gr ≫ c.2⟩) ?_ (hα'.whiskerRight Gr)).mp
    ⟨(getColimitCocone <| F' ⋙ Gr).2⟩ j).map Gl