Theorem: CategoryTheory.Functor.isLeftKanExtension_iff_postcomp₁
File: Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Basic.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.104517, u_2} C'
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_3} H
inst✝³ : Category.{?u.104525, u_4} H'
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D
inst✝¹ : Category.{u_9, u_6} D'
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
G : D ⥤ D'
inst✝ : G.IsEquivalence
e : L ⋙ G ≅ L'
F : C ⥤ H
F' : D' ⥤ H
α : F ⟶ L' ⋙ F'
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔ (G ⋙ F').IsLeftKanExtension (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)
state_after: C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.104517, u_2} C'
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_3} H
inst✝³ : Category.{?u.104525, u_4} H'
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D
inst✝¹ : Category.{u_9, u_6} D'
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
G : D ⥤ D'
inst✝ : G.IsEquivalence
e : L ⋙ G ≅ L'
F : C ⥤ H
F' : D' ⥤ H
α : F ⟶ L' ⋙ F'
eq : StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk F' α) ≃
  StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk (G ⋙ F') (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)) :=
  (LeftExtension.isUniversalPostcomp₁Equiv G e F (LeftExtension.mk F' α)).trans
    (IsInitial.equivOfIso
      (StructuredArrow.isoMk (Iso.refl ((LeftExtension.postcomp₁ G e.inv F).obj (LeftExtension.mk F' α)).right) ⋯))
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔ (G ⋙ F').IsLeftKanExtension (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)
tactic: let eq : (LeftExtension.mk _ α).IsUniversal ≃
      (LeftExtension.mk _
        (α ≫ whiskerRight e.inv _ ≫ (Functor.associator _ _ _).hom)).IsUniversal :=
    (LeftExtension.isUniversalPostcomp₁Equiv G e F _).trans
    (IsInitial.equivOfIso (StructuredArrow.isoMk (Iso.refl _)))
state_before: C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.104517, u_2} C'
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_3} H
inst✝³ : Category.{?u.104525, u_4} H'
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D
inst✝¹ : Category.{u_9, u_6} D'
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
G : D ⥤ D'
inst✝ : G.IsEquivalence
e : L ⋙ G ≅ L'
F : C ⥤ H
F' : D' ⥤ H
α : F ⟶ L' ⋙ F'
eq : StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk F' α) ≃
  StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk (G ⋙ F') (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)) :=
  (LeftExtension.isUniversalPostcomp₁Equiv G e F (LeftExtension.mk F' α)).trans
    (IsInitial.equivOfIso
      (StructuredArrow.isoMk (Iso.refl ((LeftExtension.postcomp₁ G e.inv F).obj (LeftExtension.mk F' α)).right) ⋯))
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔ (G ⋙ F').IsLeftKanExtension (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)
state_after: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.104517, u_2} C'
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_3} H
inst✝³ : Category.{?u.104525, u_4} H'
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D
inst✝¹ : Category.{u_9, u_6} D'
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
G : D ⥤ D'
inst✝ : G.IsEquivalence
e : L ⋙ G ≅ L'
F : C ⥤ H
F' : D' ⥤ H
α : F ⟶ L' ⋙ F'
eq : StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk F' α) ≃
  StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk (G ⋙ F') (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)) :=
  (LeftExtension.isUniversalPostcomp₁Equiv G e F (LeftExtension.mk F' α)).trans
    (IsInitial.equivOfIso
      (StructuredArrow.isoMk (Iso.refl ((LeftExtension.postcomp₁ G e.inv F).obj (LeftExtension.mk F' α)).right) ⋯))
⊢ F'.IsLeftKanExtension α → (G ⋙ F').IsLeftKanExtension (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)

case mpr
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.104517, u_2} C'
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_3} H
inst✝³ : Category.{?u.104525, u_4} H'
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D
inst✝¹ : Category.{u_9, u_6} D'
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
G : D ⥤ D'
inst✝ : G.IsEquivalence
e : L ⋙ G ≅ L'
F : C ⥤ H
F' : D' ⥤ H
α : F ⟶ L' ⋙ F'
eq : StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk F' α) ≃
  StructuredArrow.IsUniversal (LeftExtension.mk (G ⋙ F') (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom)) :=
  (LeftExtension.isUniversalPostcomp₁Equiv G e F (LeftExtension.mk F' α)).trans
    (IsInitial.equivOfIso
      (StructuredArrow.isoMk (Iso.refl ((LeftExtension.postcomp₁ G e.inv F).obj (LeftExtension.mk F' α)).right) ⋯))
⊢ (G ⋙ F').IsLeftKanExtension (α ≫ whiskerRight e.inv F' ≫ (L.associator G F').hom) → F'.IsLeftKanExtension α
tactic: constructor