Theorem: Submodule.mem_ideal_smul_span_iff_exists_sum
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
state_after: case mp
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x

case mpr
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → x ∈ I • span R (Set.range f)
tactic: constructor
state_before: case mp
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x

case mpr
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → x ∈ I • span R (Set.range f)
state_after: case mpr
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → x ∈ I • span R (Set.range f)

case mp
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
tactic: swap
state_before: case mp
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
state_after: case mp.refine_1
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∀ x ∈ ⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ Set.range f, {a • b}, ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x

case mp.refine_2
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = 0

case mp.refine_3
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∀ (x y : M),
    (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) →
      (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = y) →
        ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x + y

case mp.refine_4
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
⊢ ∀ (a : R) (x : M),
    (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) →
      ∃ a_2, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a_2 i ∈ I), (a_2.sum fun i c => c • f i) = a • x
tactic: refine fun hx => span_induction (mem_smul_span.mp hx) ?_ ?_ ?_ ?_