Theorem: MeasureTheory.integrable_comp_smul_iff
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => f (R • x)) μ ↔ Integrable f μ
state_after: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x => g (S • x)) μ
tactic: suffices
    ∀ {g : E → F} (_ : Integrable g μ) {S : ℝ} (_ : S ≠ 0), Integrable (fun x => g (S • x)) μ by
    refine ⟨fun hf => ?_, fun hf => this hf hR⟩
    convert this hf (inv_ne_zero hR)
    rw [← mul_smul, mul_inv_cancel hR, one_smul]
state_before: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x => g (S • x)) μ
state_after: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
tactic: intro g hg S hS
state_before: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
state_after: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
tactic: let t := ((Homeomorph.smul (isUnit_iff_ne_zero.2 hS).unit).toMeasurableEquiv : E ≃ᵐ E)
state_before: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ Integrable g (Measure.map (fun x => S • x) μ)
state_after: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0
tactic: rwa [map_addHaar_smul μ hS, integrable_smul_measure _ ENNReal.ofReal_ne_top]
state_before: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0
state_after: no goals
tactic: simpa only [Ne, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, abs_pos] using inv_ne_zero (pow_ne_zero _ hS)