Theorem: splits_X_pow_sub_one_of_X_pow_sub_C
File: Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean

Proof steps:
state_before: F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have ha' : i a ≠ 0 := mt ((injective_iff_map_eq_zero i).mp i.injective a) ha
state_before: F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case pos
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : n = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: by_cases hn : n = 0
state_before: case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have hn' : 0 < n := pos_iff_ne_zero.mpr hn
state_before: case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0 :=
    ne_of_eq_of_ne (degree_X_pow_sub_C hn' a) (mt WithBot.coe_eq_coe.mp hn)
state_before: case neg
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : eval₂ i b (X ^ n - C a) = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: obtain ⟨b, hb⟩ := exists_root_of_splits i h hn''
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
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n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : eval₂ i b (X ^ n - C a) = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: rw [eval₂_sub, eval₂_X_pow, eval₂_C, sub_eq_zero] at hb
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
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n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have hb' : b ≠ 0 := by
    intro hb'
    rw [hb', zero_pow hn] at hb
    exact ha' hb.symm
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
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ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: let s := ((X ^ n - C a).map i).roots
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = C (i (X ^ n - C a).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have hs : _ = _ * (s.map _).prod := eq_prod_roots_of_splits h
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
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inst✝ : Field E
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ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = C (i (X ^ n - C a).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
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inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: rw [leadingCoeff_X_pow_sub_C hn', RingHom.map_one, C_1, one_mul] at hs
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
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n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
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F : Type u_3
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E : Type u_4
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i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
tactic: have hs' : Multiset.card s = n := (natDegree_eq_card_roots h).symm.trans natDegree_X_pow_sub_C
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
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F : Type u_3
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i : F →+* E
n : ℕ
a : F
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h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
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inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) =
    C (i (X ^ n - 1).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (fun c => c / b) s)).prod
tactic: apply @splits_of_exists_multiset F E _ _ i (X ^ n - 1) (s.map fun c : E => c / b)
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) =
    C (i (X ^ n - 1).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (fun c => c / b) s)).prod
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
tactic: rw [leadingCoeff_X_pow_sub_one hn', RingHom.map_one, C_1, one_mul, Multiset.map_map]
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
tactic: have C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1 := by
    rw [← C_mul, ← i.map_mul, inv_mul_cancel ha, i.map_one, C_1]
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
tactic: have key1 : (X ^ n - 1 : F[X]).map i = C (i a⁻¹) * ((X ^ n - C a).map i).comp (C b * X) := by
    rw [Polynomial.map_sub, Polynomial.map_sub, Polynomial.map_pow, map_X, map_C,
      Polynomial.map_one, sub_comp, pow_comp, X_comp, C_comp, mul_pow, ← C_pow, hb, mul_sub, ←
      mul_assoc, C_mul_C, one_mul]
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
tactic: have key2 : ((fun q : E[X] => q.comp (C b * X)) ∘ fun c : E => X - C c) = fun c : E =>
      C b * (X - C (c / b)) := by
    ext1 c
    dsimp only [Function.comp_apply]
    rw [sub_comp, X_comp, C_comp, mul_sub, ← C_mul, mul_div_cancel₀ c hb']
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
state_after: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ (Multiset.map (fun c => X - C (c / b)) s).prod = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
tactic: rw [key1, hs, multiset_prod_comp, Multiset.map_map, key2, Multiset.prod_map_mul,
    -- Porting note: needed for `Multiset.map_const` to work
    show (fun (_ : E) => C b) = Function.const E (C b) by rfl,
    Multiset.map_const, Multiset.prod_replicate, hs', ← C_pow, hb, ← mul_assoc, C_mul_C, one_mul]
state_before: case neg.intro
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))
⊢ (Multiset.map (fun c => X - C (c / b)) s).prod = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod
state_after: no goals
tactic: rfl