Theorem: HasFDerivWithinAt.hasLineDerivWithinAt
File: Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivWithinAt f L s x
v : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
hf : HasFDerivWithinAt f L s x
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
tactic: let F := fun (t : 𝕜) ↦ x + t • v
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
hf : HasFDerivWithinAt f L s x
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
tactic: rw [show x = F (0 : 𝕜) by simp [F]] at hf
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F (0 + 1 • v) (F ⁻¹' s) 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
tactic: have A : HasDerivWithinAt F (0 + (1 : 𝕜) • v) (F ⁻¹' s) 0 :=
    ((hasDerivAt_const (0 : 𝕜) x).add ((hasDerivAt_id' (0 : 𝕜)).smul_const v)).hasDerivWithinAt
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F (0 + 1 • v) (F ⁻¹' s) 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F v (F ⁻¹' s) 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
tactic: simp only [one_smul, zero_add] at A
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F v (F ⁻¹' s) 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
state_after: no goals
tactic: exact hf.comp_hasDerivWithinAt (x := (0 : 𝕜)) A (mapsTo_preimage F s)