Theorem: LieAlgebra.IsSemisimple.isSimple_of_isAtom
File: Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ ∀ (I_1 : LieIdeal R ↥↑I), I_1 = ⊥ ∨ I_1 = ⊤
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
⊢ J = ⊥ ∨ J = ⊤
tactic: intro J
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
⊢ J = ⊥ ∨ J = ⊤
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
⊢ ¬J = ⊤ → J = ⊥
tactic: rw [or_iff_not_imp_right]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
⊢ ¬J = ⊤ → J = ⊥
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J = ⊥
tactic: intro hJ
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J = ⊥
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' = ⊥
tactic: suffices J' = ⊥ by
      rw [eq_bot_iff] at this ⊢
      intro x hx
      suffices x ∈ J → x = 0 from this hx
      simpa [J'] using @this x.1
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' = ⊥
state_after: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' < I
tactic: apply hI.2
state_before: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' < I
state_after: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≤ I ∧ J' ≠ I
tactic: rw [lt_iff_le_and_ne]
state_before: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≤ I ∧ J' ≠ I
state_after: case a.left
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≤ I

case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≠ I
tactic: constructor
state_before: case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≠ I
state_after: case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ J = ⊤
tactic: contrapose! hJ
state_before: case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ J = ⊤
state_after: case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ ⊤ ≤ J
tactic: rw [eq_top_iff]
state_before: case a.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ ⊤ ≤ J
state_after: case a.right.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
x : L
hx : x ∈ ↑I
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ J
tactic: rintro ⟨x, hx⟩ -
state_before: case a.right.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
x : L
hx : x ∈ ↑I
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ J
state_after: case a.right.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
x : L
hx✝ : x ∈ ↑I
hx : x ∈ ↑J'
⊢ ⟨x, hx✝⟩ ∈ J
tactic: rw [← hJ] at hx
state_before: case a.right.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
x : L
hx✝ : x ∈ ↑I
hx : x ∈ ↑J'
⊢ ⟨x, hx✝⟩ ∈ J
state_after: case a.right.mk.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
y : ↥↑I
hy : y ∈ ↑↑J
hx : ↑I.incl y ∈ ↑I
⊢ ⟨↑I.incl y, hx⟩ ∈ J
tactic: rcases hx with ⟨y, hy, rfl⟩
state_before: case a.right.mk.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
y : ↥↑I
hy : y ∈ ↑↑J
hx : ↑I.incl y ∈ ↑I
⊢ ⟨↑I.incl y, hx⟩ ∈ J
state_after: no goals
tactic: exact hy