Theorem: _private.Mathlib.GroupTheory.SchurZassenhaus.0.Subgroup.SchurZassenhausInduction.step3
File: Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
tactic: have key := step2 h1 h2 h3 (K.map N.subtype) (map_subtype_le K)
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
tactic: rw [← map_bot N.subtype] at key
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = N
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
tactic: conv at key =>
    rhs
    rhs
    rw [← N.subtype_range, N.subtype.range_eq_map]
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
inj : Function.Injective (map N.subtype)
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
tactic: have inj := map_injective N.subtype_injective
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'],
    Nat.card G' < Nat.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
inj : Function.Injective (map N.subtype)
⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
state_after: no goals
tactic: rwa [inj.eq_iff, inj.eq_iff] at key