Theorem: HasStrictFDerivAt.to_implicitFunctionOfComplemented
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ HasStrictFDerivAt (implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL 0
state_after: case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt

case convert_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')

case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0
tactic: convert (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).implicitFunction_hasStrictFDerivAt
    (ker f').subtypeL _ _
state_before: case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt

case convert_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')

case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0
state_after: case convert_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')

case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt

case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0
tactic: swap
state_before: case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt

case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0
state_after: case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0

case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt
tactic: swap
state_before: case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
⊢ 0 =
    (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun
      (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt
state_after: no goals
tactic: simp only [implicitFunctionDataOfComplemented, map_sub, sub_self]