Theorem: MeasureTheory.condexpIndL1_smul'
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
tactic: by_cases hs : MeasurableSet s
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
state_after: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x

case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
tactic: swap
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
tactic: by_cases hμs : μ s = ∞