Theorem: LieSubmodule.lcs_le_lcs_of_is_nilpotent_span_sup_eq_top
File: Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
tactic: suffices
    ∀ l,
      ((⊤ : LieIdeal R L).lcs M (i + l) : Submodule R M) ≤
        (I.lcs M j : Submodule R M).map (toEnd R L M x ^ l) ⊔
          (I.lcs M (j + 1) : Submodule R M)
    by simpa only [bot_sup_eq, LieIdeal.incl_coe, Submodule.map_zero, hxn] using this n
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
l : ℕ
⊢ ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
tactic: intro l
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
l : ℕ
⊢ ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
state_after: case zero
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
⊢ ↑(⊤.lcs M (i + 0)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ 0) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))

case succ
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
l : ℕ
ih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
⊢ ↑(⊤.lcs M (i + (l + 1))) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
tactic: induction' l with l ih