Theorem: Ideal.Filtration.Stable.bounded_difference
File: Mathlib/RingTheory/Filtration.lean

Proof steps:
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
state_after: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
tactic: obtain ⟨n₁, h₁⟩ := h.exists_forall_le (le_of_eq e)
state_before: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
state_after: case intro.intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
tactic: obtain ⟨n₂, h₂⟩ := h'.exists_forall_le (le_of_eq e.symm)
state_before: case intro.intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
tactic: use max n₁ n₂
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
n : ℕ
⊢ F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
tactic: intro n
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
n : ℕ
⊢ F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
state_after: no goals
tactic: refine ⟨(F.antitone ?_).trans (h₁ n), (F'.antitone ?_).trans (h₂ n)⟩ <;> simp