Theorem: ClassGroup.mk0_eq_mk0_inv_iff
File: Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ mk0 I = (mk0 J)⁻¹ ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}
tactic: rw [eq_inv_iff_mul_eq_one, ← _root_.map_mul, ClassGroup.mk0_eq_one_iff,
    Submodule.isPrincipal_iff, Submonoid.coe_mul]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
⊢ a ≠ 0
tactic: refine ⟨fun ⟨a, ha⟩ ↦ ⟨a, ?_, ha⟩, fun ⟨a, _, ha⟩ ↦ ⟨a, ha⟩⟩
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
⊢ a ≠ 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
this : a = 0
⊢ False
tactic: by_contra!
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
this : a = 0
⊢ False
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = ⊥
this : a = 0
⊢ False
tactic: rw [this, Submodule.span_zero_singleton] at ha
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}
a : R
ha : ↑I * ↑J = ⊥
this : a = 0
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact nonZeroDivisors.coe_ne_zero _ <| J.prop _ ha