Theorem: LieAlgebra.IsKilling.chainLength_nsmul
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean

Proof steps:
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
state_after: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
tactic: by_cases hα : α.IsZero
state_before: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
state_after: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
tactic: let x' := (chainTop α β).exists_ne_zero.choose
state_before: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
state_after: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
tactic: have h : x' ∈ rootSpace H (chainTop α β) ∧ x' ≠ 0 :=
    (chainTop α β).exists_ne_zero.choose_spec
state_before: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
state_after: case neg.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0
k : K
hx : k • x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
⊢ chainLength α β • k • x' = ⁅coroot α, k • x'⁆
tactic: obtain ⟨k, rfl⟩ : ∃ k : K, k • x' = x := by
    simpa using (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' ⟨x', h.1⟩ (by simpa using h.2)).mp
      (finrank_rootSpace_eq_one _ (chainTop_isNonZero α β hα)) ⟨_, hx⟩
state_before: case neg.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose
h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0
k : K
hx : k • x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
⊢ chainLength α β • k • x' = ⁅coroot α, k • x'⁆
state_after: no goals
tactic: rw [lie_smul, smul_comm, chainLength, dif_neg hα, (chainLength_aux α β hα h.1).choose_spec]