Theorem: MeasureTheory.condexp_mono
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
tactic: by_cases hm : m ≤ m0
state_before: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
tactic: swap
state_before: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
tactic: by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
state_before: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]

case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
tactic: swap
state_before: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
tactic: haveI : SigmaFinite (μ.trim hm) := hμm
state_before: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
state_after: no goals
tactic: exact (condexp_ae_eq_condexpL1 hm _).trans_le
    ((condexpL1_mono hf hg hfg).trans_eq (condexp_ae_eq_condexpL1 hm _).symm)