Theorem: CategoryTheory.Limits.image.preComp_comp
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h = eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h
state_after: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ (preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h) ≫ ι h = (eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h) ≫ ι h
tactic: apply (cancel_mono (image.ι h)).1
state_before: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ (preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h) ≫ ι h = (eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h) ≫ ι h
state_after: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ (lift (MonoFactorisation.mk (image (g ≫ h)) (ι (g ≫ h)) (f ≫ factorThruImage (g ≫ h)) ⋯) ≫
        lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) (g ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫
      ι h =
    (lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫
        lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫
      ι h
tactic: dsimp [image.preComp, image.eqToHom]
state_before: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ (lift (MonoFactorisation.mk (image (g ≫ h)) (ι (g ≫ h)) (f ≫ factorThruImage (g ≫ h)) ⋯) ≫
        lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) (g ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫
      ι h =
    (lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫
        lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫
      ι h
state_after: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ ι (f ≫ g ≫ h) =
    lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫
      lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯) ≫ ι h
tactic: repeat (rw [Category.assoc,image.lift_fac])
state_before: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)
⊢ ι (f ≫ g ≫ h) =
    lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫
      lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯) ≫ ι h
state_after: no goals
tactic: rw [image.lift_fac,image.lift_fac]