Theorem: CategoryTheory.Equalizer.Presieve.sheaf_condition
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P R) ⋯))
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y
tactic: rw [Types.type_equalizer_iff_unique]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R),
      firstMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) = secondMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) →
        ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a
tactic: erw [← Equiv.forall_congr_right (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R),
      firstMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) = secondMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) →
        ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), a.Compatible → ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a
tactic: simp_rw [← compatible_iff, ← Iso.toEquiv_fun, Equiv.apply_symm_apply]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), a.Compatible → ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a
state_after: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R),
    a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a)
tactic: apply forall₂_congr
state_before: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R),
    a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a)
state_after: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ (∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
tactic: intro x _
state_before: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ (∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
state_after: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P R a = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
tactic: apply existsUnique_congr
state_before: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P R a = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
state_after: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P R t = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
tactic: intro t
state_before: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P R t = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
state_after: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
tactic: rw [Equiv.eq_symm_apply]
state_before: case h.h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
state_after: case h.h.mp
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t → (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x

case h.h.mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x → x.IsAmalgamation t
tactic: constructor