Theorem: Finset.four_functions_theorem
File: Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u✝ u : Finset α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ u.powerset
hℬ : ℬ ⊆ u.powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
state_after: case empty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ ∅ → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ ∅ → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ ∅.powerset
hℬ : ℬ ⊆ ∅.powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s

case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
ih :
  ∀ {f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β},
    0 ≤ f₁ →
      0 ≤ f₂ →
        0 ≤ f₃ →
          0 ≤ f₄ →
            (∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)) →
              ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)},
                𝒜 ⊆ u.powerset →
                  ℬ ⊆ u.powerset → (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
tactic: induction' u using Finset.induction with a u hu ih generalizing f₁ f₂ f₃ f₄ 𝒜 ℬ
state_before: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
ih :
  ∀ {f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β},
    0 ≤ f₁ →
      0 ≤ f₂ →
        0 ≤ f₃ →
          0 ≤ f₄ →
            (∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)) →
              ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)},
                𝒜 ⊆ u.powerset →
                  ℬ ⊆ u.powerset → (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
state_after: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
tactic: specialize ih (collapse_nonneg h₁) (collapse_nonneg h₂) (collapse_nonneg h₃) (collapse_nonneg h₄)
    (collapse_modular hu h₁ h₂ h₃ h₄ h 𝒜 ℬ) Subset.rfl Subset.rfl
state_before: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
state_after: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
tactic: have : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ powerset (insert a u) := by simpa using infs_subset h𝒜 hℬ
state_before: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
state_after: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this✝ : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
this : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
tactic: have : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ powerset (insert a u) := by simpa using sups_subset h𝒜 hℬ
state_before: case insert
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih :
  (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤
    (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this✝ : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
this : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
state_after: no goals
tactic: simpa only [powerset_sups_powerset_self, powerset_infs_powerset_self, sum_collapse,
    not_false_eq_true, *] using ih