Theorem: MeasureTheory.eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv
File: Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
state_after: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑p)⁻¹
tactic: refine eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv_of_le μ hu h2u hp h2p ?_ hs
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑p)⁻¹
state_after: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ ↑p⁻¹
tactic: norm_cast
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ ↑p⁻¹
state_after: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ 0 ≤ (↑(finrank ℝ E))⁻¹
tactic: simp only [tsub_le_iff_right, le_add_iff_nonneg_right]
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ 0 ≤ (↑(finrank ℝ E))⁻¹
state_after: no goals
tactic: positivity