Theorem: GaussianInt.mod_four_eq_three_of_nat_prime_of_prime
File: Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
⊢ False
state_after: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : IsUnit { re := 1, im := 1 } ∨ IsUnit { re := 1, im := -1 }
⊢ False
tactic: have := h ⟨1, 1⟩ ⟨1, -1⟩ (hp2.symm ▸ rfl)
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : IsUnit { re := 1, im := 1 } ∨ IsUnit { re := 1, im := -1 }
⊢ False
state_after: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : { re := 1, im := 1 }.norm.natAbs = 1 ∨ { re := 1, im := -1 }.norm.natAbs = 1
⊢ False
tactic: rw [← norm_eq_one_iff, ← norm_eq_one_iff] at this
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : { re := 1, im := 1 }.norm.natAbs = 1 ∨ { re := 1, im := -1 }.norm.natAbs = 1
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact absurd this (by decide)
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
⊢ False
state_after: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
⊢ False
tactic: have hp41 : p % 4 = 1 := by
        rw [← Nat.mod_mul_left_mod p 2 2, show 2 * 2 = 4 from rfl] at hp1
        have := Nat.mod_lt p (show 0 < 4 by decide)
        revert this hp3 hp1
        generalize p % 4 = m
        intros; interval_cases m <;> simp_all
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
⊢ False
state_after: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ZMod p
hk : -1 = k * k
⊢ False
tactic: let ⟨k, hk⟩ := (ZMod.exists_sq_eq_neg_one_iff (p := p)).2 <| by rw [hp41]; decide
state_before: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ZMod p
hk : -1 = k * k
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
⊢ False
tactic: obtain ⟨k, k_lt_p, rfl⟩ : ∃ (k' : ℕ) (_ : k' < p), (k' : ZMod p) = k := by
        exact ⟨k.val, k.val_lt, ZMod.natCast_zmod_val k⟩
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
⊢ False
tactic: have hpk : p ∣ k ^ 2 + 1 := by
        rw [pow_two, ← CharP.cast_eq_zero_iff (ZMod p) p, Nat.cast_add, Nat.cast_mul, Nat.cast_one,
          ← hk, add_left_neg]
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
tactic: have hkmul : (k ^ 2 + 1 : ℤ[i]) = ⟨k, 1⟩ * ⟨k, -1⟩ := by ext <;> simp [sq]
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
⊢ False
tactic: have hkltp : 1 + k * k < p * p :=
        calc
          1 + k * k ≤ k + k * k := by
            apply add_le_add_right
            exact (Nat.pos_of_ne_zero fun (hk0 : k = 0) => by clear_aux_decl; simp_all [pow_succ'])
          _ = k * (k + 1) := by simp [add_comm, mul_add]
          _ < p * p := mul_lt_mul k_lt_p k_lt_p (Nat.succ_pos _) (Nat.zero_le _)
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
tactic: have hpk₁ : ¬(p : ℤ[i]) ∣ ⟨k, -1⟩ := fun ⟨x, hx⟩ =>
        lt_irrefl (p * x : ℤ[i]).norm.natAbs <|
          calc
            (norm (p * x : ℤ[i])).natAbs = (Zsqrtd.norm ⟨k, -1⟩).natAbs := by rw [hx]
            _ < (norm (p : ℤ[i])).natAbs := by simpa [add_comm, Zsqrtd.norm] using hkltp
            _ ≤ (norm (p * x : ℤ[i])).natAbs :=
              norm_le_norm_mul_left _ fun hx0 =>
                show (-1 : ℤ) ≠ 0 by decide <| by simpa [hx0] using congr_arg Zsqrtd.im hx
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
state_after: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
⊢ False
tactic: have hpk₂ : ¬(p : ℤ[i]) ∣ ⟨k, 1⟩ := fun ⟨x, hx⟩ =>
        lt_irrefl (p * x : ℤ[i]).norm.natAbs <|
          calc
            (norm (p * x : ℤ[i])).natAbs = (Zsqrtd.norm ⟨k, 1⟩).natAbs := by rw [hx]
            _ < (norm (p : ℤ[i])).natAbs := by simpa [add_comm, Zsqrtd.norm] using hkltp
            _ ≤ (norm (p * x : ℤ[i])).natAbs :=
              norm_le_norm_mul_left _ fun hx0 =>
                show (1 : ℤ) ≠ 0 by decide <| by simpa [hx0] using congr_arg Zsqrtd.im hx
state_before: case intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
⊢ False
tactic: obtain ⟨y, hy⟩ := hpk
state_before: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
this : ↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 } ∨ ↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
tactic: have := hpi.2.2 ⟨k, 1⟩ ⟨k, -1⟩ ⟨y, by rw [← hkmul, ← Nat.cast_mul p, ← hy]; simp⟩
state_before: case intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
this : ↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 } ∨ ↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
⊢ False
state_after: no goals
tactic: tauto