Theorem: BoxIntegral.BoxAdditiveMap.upperSubLower_apply
File: Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Additive.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
⊢ ∀ (I : Box (Fin (n + 1))),
    ↑I ≤ ↑I₀ →
      ∀ {i_1 : Fin (n + 1)} {x : ℝ},
        x ∈ Set.Ioo (I.lower i_1) (I.upper i_1) →
          Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (I.splitLower i_1 x) +
              Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (I.splitUpper i_1 x) =
            (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) I
state_after: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : ↑J ≤ ↑I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) →
    Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) +
        Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) =
      (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
tactic: intro J hJ j x
state_before: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : ↑J ≤ ↑I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) →
    Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) +
        Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) =
      (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
state_after: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) →
    Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) +
        Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) =
      (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
tactic: rw [WithTop.coe_le_coe] at hJ
state_before: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) →
    Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) +
        Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) =
      (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo (J.lower i) (J.upper i)
⊢ Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower i x) +
      Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper i x) =
    (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J

case refine_2
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j✝ : Fin (n + 1)
x : ℝ
j : Fin n
hx : x ∈ Set.Ioo (J.lower (i.succAbove j)) (J.upper (i.succAbove j))
⊢ Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower (i.succAbove j) x) +
      Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper (i.succAbove j) x) =
    (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
tactic: refine i.succAboveCases (fun hx => ?_) (fun j hx => ?_) j