Theorem: CategoryTheory.topologyOfClosureOperator_sieves
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X Y : C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X Y : C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
hS : (c X) S = ⊤
⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
tactic: rw [Set.mem_setOf_eq] at hS
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X Y : C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
hS : (c X) S = ⊤
⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
state_after: no goals
tactic: rw [Set.mem_setOf_eq, hc, hS, Sieve.pullback_top]
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
tactic: rw [Set.mem_setOf_eq] at hS
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ (c X) S ≤ (c X) ((c X) R)
tactic: rw [Set.mem_setOf_eq, ← (c X).idempotent, eq_top_iff, ← hS]
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ (c X) S ≤ (c X) ((c X) R)
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → ((c X) R).arrows f
tactic: apply (c X).monotone fun Y f hf => _
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → ((c X) R).arrows f
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ ((c X) R).arrows f
tactic: intros Y f hf
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ ((c X) R).arrows f
state_after: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (c Y) (Sieve.pullback f R) = ⊤
tactic: rw [Sieve.pullback_eq_top_iff_mem, ← hc]
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
hS : (c X) S = ⊤
R : Sieve X
hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (c Y) (Sieve.pullback f R) = ⊤
state_after: no goals
tactic: apply hR hf