Theorem: isPurelyInseparable_iff_pow_mem
File: Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
state_after: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
⊢ (∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)) ↔
    ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
tactic: rw [isPurelyInseparable_iff]
state_before: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
⊢ (∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)) ↔
    ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
state_after: case refine_1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
x : E
⊢ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range

case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
tactic: refine ⟨fun h x ↦ ?_, fun h x ↦ ?_⟩
state_before: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
state_after: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
tactic: have hdeg := (minpoly.natSepDegree_eq_one_iff_pow_mem q).2 (h x)
state_before: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
state_after: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
tactic: have halg : IsIntegral F x := by_contra fun h' ↦ by
    simp only [minpoly.eq_zero h', natSepDegree_zero, zero_ne_one] at hdeg
state_before: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x
⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
state_after: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
tactic: refine ⟨halg, fun hsep ↦ ?_⟩
state_before: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
state_after: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : F⟮x⟯ = ⊥
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
tactic: rw [hsep.natSepDegree_eq_natDegree, ← adjoin.finrank halg,
    IntermediateField.finrank_eq_one_iff] at hdeg
state_before: case refine_2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : F⟮x⟯ = ⊥
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
state_after: no goals
tactic: simpa only [hdeg] using mem_adjoin_simple_self F x