Theorem: Filter.map₂_distrib_le_left
File: Mathlib/Order/Filter/NAry.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
⊢ map₂ m f (map₂ n g h) ≤ map₂ n' (map₂ m₁ f g) (map₂ m₂ f h)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ s ∈ map₂ m f (map₂ n g h)
tactic: rintro s ⟨t₁, ⟨u₁, hu₁, v, hv, ht₁⟩, t₂, ⟨u₂, hu₂, w, hw, ht₂⟩, hs⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ s ∈ map₂ m f (map₂ n g h)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ image2 m (u₁ ∩ u₂) (image2 n v w) ⊆ s
tactic: refine ⟨u₁ ∩ u₂, inter_mem hu₁ hu₂, _, image2_mem_map₂ hv hw, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ image2 m (u₁ ∩ u₂) (image2 n v w) ⊆ s
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ image2 m₁ (u₁ ∩ u₂) v ⊆ t₁

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m₁ : α → β → β'
m₂ : α → γ → γ'
n' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)
s : Set ε
t₁ : Set β'
u₁ : Set α
hu₁ : u₁ ∈ f
v : Set β
hv : v ∈ g
ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁
t₂ : Set γ'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
u₂ : Set α
hu₂ : u₂ ∈ f
w : Set γ
hw : w ∈ h
ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂
⊢ image2 m₂ (u₁ ∩ u₂) w ⊆ t₂
tactic: refine (image2_distrib_subset_left h_distrib).trans ((image2_subset ?_ ?_).trans hs)