Theorem: Set.PartiallyWellOrderedOn.subsetProdLex
File: Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
⊢ s.IsPWO
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
tactic: intro f hf
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
tactic: rw [isPWO_iff_exists_monotone_subseq] at hα
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
state_after: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
tactic: obtain ⟨g, hg⟩ : ∃ (g : (ℕ ↪o ℕ)), Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1 :=
    hα (fun n => (ofLex f n).1) (fun k => mem_image_of_mem (fun x => (ofLex x).1) (hf k))
state_before: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
state_after: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
tactic: have hhg : ∀ n, (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1 := fun n => hg n.zero_le
state_before: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
hc : ∃ n, (ofLex f (g 0)).1 < (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)

case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
hc : ¬∃ n, (ofLex f (g 0)).1 < (ofLex f (g n)).1
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
tactic: by_cases hc : ∃ n, (ofLex f (g 0)).1 < (ofLex f (g n)).1