Theorem: IsLocallyConstant.of_germ_isConstant
File: Mathlib/Topology/Germ.lean

Proof steps:
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
⊢ IsLocallyConstant f
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
tactic: intro s
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ ∀ x ∈ f ⁻¹' s, f ⁻¹' s ∈ 𝓝 x
tactic: rw [isOpen_iff_mem_nhds]
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ ∀ x ∈ f ⁻¹' s, f ⁻¹' s ∈ 𝓝 x
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
tactic: intro a ha
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
state_after: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
tactic: obtain ⟨b, hb⟩ := h a
state_before: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
state_after: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s
tactic: apply mem_of_superset hb
state_before: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
⊢ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s
state_after: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
tactic: intro x hx
state_before: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
state_after: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
tactic: have : f x = f a := (mem_of_mem_nhds hb) ▸ hx
state_before: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
state_after: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ f a ∈ s
tactic: rw [mem_preimage, this]
state_before: case intro
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
⊢ f a ∈ s
state_after: no goals
tactic: exact ha