Theorem: exists_maximal_algebraicIndependent
File: Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean

Proof steps:
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
⊢ ∃ u,
    AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧
      s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
state_after: case right
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
⊢ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
tactic: use u, huai, hsu, hut
state_before: case right
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
⊢ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
state_after: case right
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
x : Set A
hxai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
huv : u ⊆ x
hxt : x ⊆ t
⊢ x = u
tactic: intro x hxai huv hxt
state_before: case right
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
x : Set A
hxai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
huv : u ⊆ x
hxt : x ⊆ t
⊢ x = u
state_after: no goals
tactic: exact hx _ ⟨hxai, _root_.trans hsu huv, hxt⟩ huv