Theorem: CategoryTheory.LocalizerMorphism.homMap_map
File: Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.4748, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_10, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4760, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.4772, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ Φ.homMap L₁ L₂ (L₁.map f) = L₂.map (Φ.functor.map f)
state_after: C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.4748, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_10, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4760, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.4772, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).hom.app X ≫
      (Φ.localizedFunctor L₁ L₂).map (L₁.map f) ≫ (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).inv.app Y =
    L₂.map (Φ.functor.map f)
tactic: dsimp [homMap]
state_before: C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.4748, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_10, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4760, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.4772, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).hom.app X ≫
      (Φ.localizedFunctor L₁ L₂).map (L₁.map f) ≫ (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).inv.app Y =
    L₂.map (Φ.functor.map f)
state_after: C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.4748, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_10, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4760, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.4772, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ (Φ.functor ⋙ L₂).map f ≫
      (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).hom.app Y ≫
        (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).inv.app Y =
    L₂.map (Φ.functor.map f)
tactic: erw [← NatTrans.naturality_assoc]
state_before: C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.4748, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_10, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4760, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.4772, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : X ⟶ Y
⊢ (Φ.functor ⋙ L₂).map f ≫
      (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).hom.app Y ≫
        (CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ (Φ.localizedFunctor L₁ L₂)).inv.app Y =
    L₂.map (Φ.functor.map f)
state_after: no goals
tactic: simp