Theorem: Function.Surjective.isEngelian
File: Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
⊢ LieAlgebra.IsEngelian R L₂
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: intro M _i1 _i2 _i3 _i4 h'
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: letI : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: letI : LieModule R L M := compLieHom M f
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: have hnp : ∀ x, IsNilpotent (toEnd R L M x) := fun x => h' (f x)
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: have surj_id : Function.Surjective (LinearMap.id : M →ₗ[R] M) := Function.surjective_id
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
tactic: haveI : LieModule.IsNilpotent R L M := h M hnp
state_before: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
state_after: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, LinearMap.id m⁆ = LinearMap.id ⁅x, m⁆
tactic: apply hf.lieModuleIsNilpotent surj_id
state_before: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, LinearMap.id m⁆ = LinearMap.id ⁅x, m⁆
state_after: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, LinearMap.id m✝⁆ = LinearMap.id ⁅x✝, m✝⁆
tactic: intros
state_before: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, LinearMap.id m✝⁆ = LinearMap.id ⁅x✝, m✝⁆
state_after: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, m✝⁆ = ⁅x✝, m✝⁆
tactic: simp only [LinearMap.id_coe, id_eq]
state_before: case hfg
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M
⊢ ⁅f x✝, m✝⁆ = ⁅x✝, m✝⁆
state_after: no goals
tactic: rfl