Theorem: AddMonCat.FilteredColimits.colimitAddAux_eq_of_rel_right
File: Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean

Proof steps:
state_before: J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
x y y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) y y'
⊢ colimitMulAux F x y = colimitMulAux F x y'
state_after: case mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
x y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ y'
⊢ colimitMulAux F x ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F x y'
tactic: cases' y with j₁ y
state_before: case mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
x y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ y'
⊢ colimitMulAux F x ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F x y'
state_after: case mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ y'
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ y'
tactic: cases' x with j₂ x
state_before: case mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
y' : (j : J) × ↑(F.obj j)
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ y'
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ y'
state_after: case mk.mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ ⟨j₃, y'⟩
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
tactic: cases' y' with j₃ y'
state_before: case mk.mk.mk
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
hyy' : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget MonCat) ⟨j₁, y⟩ ⟨j₃, y'⟩
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
state_after: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
tactic: obtain ⟨l, f, g, hfg⟩ := hyy'
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
state_after: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
tactic: simp only [Functor.comp_obj, Functor.comp_map, forget_map] at hfg
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
state_after: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
tactic: obtain ⟨s, α, β, γ, h₁, h₂, h₃⟩ :=
    IsFiltered.tulip (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)
      (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) f g
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
state_after: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ∃ k f g,
    (F.map f)
        ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst,
            (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
              (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd =
      (F.map g)
        ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst,
            (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
              (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
tactic: apply M.mk_eq
state_before: case mk.mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ ∃ k f g,
    (F.map f)
        ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst,
            (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
              (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd =
      (F.map g)
        ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst,
            (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
              (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α)
      ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst,
          (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
            (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd =
    (F.map γ)
      ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst,
          (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
            (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
tactic: use s, α, γ
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α)
      ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst,
          (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
            (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd =
    (F.map γ)
      ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst,
          (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd *
            (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) =
    (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
tactic: dsimp
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) =
    (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) =
    (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
tactic: simp_rw [MonoidHom.map_mul]
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) =
    (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) y =
    (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) y'
tactic: change (F.map _ ≫ F.map _) _ * (F.map _ ≫ F.map _) _ =
    (F.map _ ≫ F.map _) _ * (F.map _ ≫ F.map _) _
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) y =
    (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) y'
state_after: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y =
    (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'
tactic: simp_rw [← F.map_comp, h₁, h₂, h₃, F.map_comp]
state_before: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y =
    (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'
state_after: case h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map g ≫ F.map β) y'
tactic: congr 1
state_before: case h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map g ≫ F.map β) y'
state_after: case h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map β) ((F.map f) y) = (F.map β) ((F.map g) y')
tactic: change F.map _ (F.map _ _) = F.map _ (F.map _ _)
state_before: case h.e_a
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map β) ((F.map f) y) = (F.map β) ((F.map g) y')
state_after: no goals
tactic: rw [hfg]