Theorem: CoxeterSystem.simple_determines_coxeterSystem
File: Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean

Proof steps:
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
⊢ Injective simple
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1 = cs2
tactic: intro cs1 cs2 h
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1 = cs2
state_after: case mulEquiv
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv = cs2.mulEquiv
tactic: apply CoxeterSystem.ext
state_before: case mulEquiv
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv = cs2.mulEquiv
state_after: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom = cs2.mulEquiv.toMonoidHom
tactic: apply MulEquiv.toMonoidHom_injective
state_before: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom = cs2.mulEquiv.toMonoidHom
state_after: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ ∀ (i : B), cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
tactic: apply cs1.ext_simple
state_before: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
⊢ ∀ (i : B), cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
state_after: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
i : B
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
tactic: intro i
state_before: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
i : B
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
state_after: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
i : B
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs2.simple i)
tactic: nth_rw 2 [h]
state_before: case mulEquiv.a
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple
i : B
⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs2.simple i)
state_after: no goals
tactic: simp [simple]