Theorem: MvPolynomial.exists_fin_rename
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean

Proof steps:
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q, p = (rename f) q
state_after: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
tactic: obtain ⟨s, q, rfl⟩ := exists_finset_rename p
state_before: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
state_after: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
tactic: let n := Fintype.card { x // x ∈ s }
state_before: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
state_after: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
tactic: let e := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
state_before: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ ∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1
state_after: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ (rename Subtype.val) q = (rename (Subtype.val ∘ ⇑e.symm)) ((rename ⇑e) q)
tactic: refine ⟨n, (↑) ∘ e.symm, Subtype.val_injective.comp e.symm.injective, rename e q, ?_⟩
state_before: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ (rename Subtype.val) q = (rename (Subtype.val ∘ ⇑e.symm)) ((rename ⇑e) q)
state_after: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ (rename Subtype.val) q = (rename Subtype.val) ((rename (⇑e.symm ∘ ⇑e)) q)
tactic: rw [← rename_rename, rename_rename e]
state_before: case intro.intro
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R
n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }
⊢ (rename Subtype.val) q = (rename Subtype.val) ((rename (⇑e.symm ∘ ⇑e)) q)
state_after: no goals
tactic: simp only [Function.comp, Equiv.symm_apply_apply, rename_rename]