Theorem: exists_pos_lt_subset_ball
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
hs : IsClosed ∅
h : ∅ ⊆ ball x r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, ∅ ⊆ ball x r'

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
tactic: rcases eq_empty_or_nonempty s with (rfl | hne)
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
tactic: have : IsCompact s :=
    (isCompact_closedBall x r).of_isClosed_subset hs (h.trans ball_subset_closedBall)
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
tactic: obtain ⟨y, hys, hy⟩ : ∃ y ∈ s, s ⊆ closedBall x (dist y x) :=
    this.exists_isMaxOn (β := α) (α := ℝ) hne (continuous_id.dist continuous_const).continuousOn
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
tactic: have hyr : dist y x < r := h hys
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
r' : ℝ
hyr' : dist y x < r'
hrr' : r' < r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
tactic: rcases exists_between hyr with ⟨r', hyr', hrr'⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
r' : ℝ
hyr' : dist y x < r'
hrr' : r' < r
⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
state_after: no goals
tactic: exact ⟨r', ⟨dist_nonneg.trans_lt hyr', hrr'⟩, hy.trans <| closedBall_subset_ball hyr'⟩