Theorem: lucas_primality
File: Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean

Proof steps:
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
⊢ Nat.Prime p
tactic: have h0 : p ≠ 0 := by
    rintro ⟨⟩
    exact hd 2 Nat.prime_two (dvd_zero _) (pow_zero _)
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
⊢ Nat.Prime p
tactic: have h1 : p ≠ 1 := by
    rintro ⟨⟩
    exact hd 2 Nat.prime_two (dvd_zero _) (pow_zero _)
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
⊢ Nat.Prime p
tactic: have hp1 : 1 < p := lt_of_le_of_ne h0.bot_lt h1.symm
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
⊢ Nat.Prime p
tactic: have order_of_a : orderOf a = p - 1 := by
    apply orderOf_eq_of_pow_and_pow_div_prime _ ha hd
    exact tsub_pos_of_lt hp1
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ Nat.Prime p
tactic: haveI : NeZero p := ⟨h0⟩
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ Nat.Prime p
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
tactic: rw [Nat.prime_iff_card_units]
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
tactic: refine le_antisymm (Nat.card_units_zmod_lt_sub_one hp1) ?_
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
tactic: have hp' : p - 2 + 1 = p - 1 := tsub_add_eq_add_tsub hp1
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
state_after: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
a' : (ZMod p)ˣ := Units.mkOfMulEqOne a (a ^ (p - 2)) ⋯
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
tactic: let a' : (ZMod p)ˣ := Units.mkOfMulEqOne a (a ^ (p - 2)) (by rw [← pow_succ', hp', ha])
state_before: p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
a' : (ZMod p)ˣ := Units.mkOfMulEqOne a (a ^ (p - 2)) ⋯
⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
state_after: no goals
tactic: calc
    p - 1 = orderOf a := order_of_a.symm
    _ = orderOf a' := (orderOf_injective (Units.coeHom (ZMod p)) Units.ext a')
    _ ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ := orderOf_le_card_univ