Theorem: leibniz_cross
File: Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct u) ((crossProduct v) w) = (crossProduct ((crossProduct u) v)) w + (crossProduct v) ((crossProduct u) w)
state_after: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ ![u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 -
        u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1,
      u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 -
        u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2,
      u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 -
        u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0] =
    ![![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 +
        (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 -
          v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 +
        (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 -
          v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 +
        (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 -
          v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)]
tactic: simp_rw [cross_apply, vec3_add]
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ ![u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 -
        u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1,
      u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 -
        u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2,
      u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 -
        u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0] =
    ![![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 +
        (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 -
          v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 +
        (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 -
          v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 +
        (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 -
          v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)]
state_after: no goals
tactic: apply vec3_eq <;> norm_num <;> ring