Theorem: MvPolynomial.IsHomogeneous.rename_isHomogeneous
File: Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean

Proof steps:
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n
state_after: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ (∑ x ∈ φ.support, (rename f) ((monomial x) (coeff x φ))).IsHomogeneous n
tactic: rw [← φ.support_sum_monomial_coeff, map_sum]
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ (∑ x ∈ φ.support, (rename f) ((monomial x) (coeff x φ))).IsHomogeneous n
state_after: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ (∑ x ∈ φ.support, (monomial (mapDomain f x)) (coeff x φ)).IsHomogeneous n
tactic: simp_rw [rename_monomial]
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ (∑ x ∈ φ.support, (monomial (mapDomain f x)) (coeff x φ)).IsHomogeneous n
state_after: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ∀ d ∈ φ.support, (mapDomain f d).degree = n
tactic: apply IsHomogeneous.sum _ _ _ fun d hd ↦ isHomogeneous_monomial _ _
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ∀ d ∈ φ.support, (mapDomain f d).degree = n
state_after: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (mapDomain f d).degree = n
tactic: intro d hd
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (mapDomain f d).degree = n
state_after: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = n
tactic: apply (Finsupp.sum_mapDomain_index_addMonoidHom fun _ ↦ .id ℕ).trans
state_before: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = n
state_after: case h.e'_2
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = (weight 1) d
tactic: convert h (mem_support_iff.mp hd)
state_before: case h.e'_2
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = (weight 1) d
state_after: no goals
tactic: simp only [weight_apply, AddMonoidHom.id_apply, Pi.one_apply, smul_eq_mul, mul_one]