ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: CompleteLattice.independent_def''
File: Mathlib/Order/SupIndep.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ (∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})
tactic: rw [independent_def']
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ (∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})
state_after: no goals
tactic: aesop
Theorem: Submodule.span_singleton_smul_eq
File: Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
r : R
hr : IsUnit r
x : M
⊢ span R {r • x} = span R {x}
state_after: case intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ
⊢ span R {↑r • x} = span R {x}
tactic: lift r to Rˣ using hr
state_before: case intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ
⊢ span R {↑r • x} = span R {x}
state_after: case intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ
⊢ span R {r • x} = span R {x}
tactic: rw [← Units.smul_def]
state_before: case intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ
⊢ span R {r • x} = span R {x}
state_after: no goals
tactic: exact span_singleton_group_smul_eq R r x
Theorem: IsClosedMap.of_nonempty
File: Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
⊢ IsClosedMap f
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
tactic: intro s hs
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (f '' s)
state_after: case inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
h2s : s = ∅
⊢ IsClosed (f '' s)

case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
⊢ IsClosed (f '' s)
tactic: rcases eq_empty_or_nonempty s with h2s | h2s
Theorem: AffineMap.decomp'
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean

Proof steps:
state_before: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = ⇑f - fun x => f 0
state_after: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = (⇑f.linear + fun x => f 0) - fun x => (⇑f.linear + fun x => f 0) 0
tactic: rw [decomp]
state_before: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
⊢ ⇑f.linear = (⇑f.linear + fun x => f 0) - fun x => (⇑f.linear + fun x => f 0) 0
state_after: no goals
tactic: simp only [LinearMap.map_zero, Pi.add_apply, add_sub_cancel_right, zero_add]
Theorem: PMF.mem_support_uniformOfFintype
File: Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
a : α
⊢ a ∈ (uniformOfFintype α).support
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: FractionalIdeal.ne_zero_of_mul_eq_one
File: Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I = 0
⊢ 0 = 1
state_after: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I = 0
⊢ 0 = I * J
tactic: convert h
state_before: case h.e'_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I = 0
⊢ 0 = I * J
state_after: no goals
tactic: simp [hI]
Theorem: NNRat.div_def
File: Mathlib/Algebra/Order/Field/Rat.lean

Proof steps:
state_before: p q : ℚ≥0
⊢ p / q = divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num)
state_after: case a
p q : ℚ≥0
⊢ ↑(p / q) = ↑(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num))
tactic: ext
state_before: case a
p q : ℚ≥0
⊢ ↑(p / q) = ↑(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num))
state_after: no goals
tactic: simp [Rat.div_def', num_coe, den_coe]
Theorem: CategoryTheory.Linear.units_smul_comp
File: Mathlib/CategoryTheory/Linear/Basic.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type w
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R C
X Y Z : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (r • f) ≫ g = r • f ≫ g
state_after: no goals
tactic: apply Linear.smul_comp
Theorem: WeakFEPair.h_feq'
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)) • P.f x
state_after: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k))) • P.g (1 / x)
tactic: rw [(div_div_cancel' (one_ne_zero' ℝ) ▸ P.h_feq (1 / x) (one_div_pos.mpr hx):), ← mul_smul]
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k))) • P.g (1 / x)
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k)) = 1
tactic: convert (one_smul ℂ (P.g (1 / x))).symm using 2
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * ↑((1 / x) ^ P.k)) = 1
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * (↑(x ^ P.k))⁻¹) = 1
tactic: rw [one_div, inv_rpow hx.le, ofReal_inv]
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * (↑(x ^ P.k))⁻¹) = 1
state_after: no goals
tactic: field_simp [P.hε, (rpow_pos_of_pos hx _).ne']
Theorem: MeasureTheory.integral_rnDeriv_smul
File: Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean

Proof steps:
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x ∂ν = ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: case pos
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x ∂ν = ∫ (x : α), f x ∂μ

case neg
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x ∂ν = ∫ (x : α), f x ∂μ
tactic: by_cases hf : Integrable f μ
Theorem: CategoryTheory.Functor.ranAdjunction_counit
File: Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Adjunction.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F
⊢ (L.ranAdjunction H).counit = L.ranCounit
state_after: case w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F
F : C ⥤ H
⊢ (L.ranAdjunction H).counit.app F = L.ranCounit.app F
tactic: ext F : 2
state_before: case w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F
F : C ⥤ H
⊢ (L.ranAdjunction H).counit.app F = L.ranCounit.app F
state_after: case w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F
F : C ⥤ H
⊢ 𝟙 (L ⋙ L.ran.obj F) ≫ L.ranCounit.app F = L.ranCounit.app F
tactic: dsimp [ranAdjunction, homEquivOfIsRightKanExtension]
state_before: case w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F
F : C ⥤ H
⊢ 𝟙 (L ⋙ L.ran.obj F) ≫ L.ranCounit.app F = L.ranCounit.app F
state_after: no goals
tactic: simp
Theorem: Set.unbounded_lt_iff_unbounded_le
File: Mathlib/Order/Bounded.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
state_after: no goals
tactic: simp_rw [← not_bounded_iff, bounded_le_iff_bounded_lt]
Theorem: Polynomial.separable_prod'
File: Mathlib/FieldTheory/Separable.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h1 : ∀ x ∈ insert a s, ∀ y ∈ insert a s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)
h2 : ∀ x ∈ insert a s, (f x).Separable
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x).Separable
state_after: R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 :
  ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧
    (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x).Separable
tactic: simp_rw [Finset.forall_mem_insert, forall_and] at h1 h2
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 :
  ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧
    (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (∏ x ∈ insert a s, f x).Separable
state_after: R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 :
  ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧
    (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (f a * ∏ x ∈ s, f x).Separable
tactic: rw [prod_insert has]
state_before: R : Type u
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s✝ : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable
h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable
h1 :
  ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧
    (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)
⊢ (f a * ∏ x ∈ s, f x).Separable
state_after: no goals
tactic: exact
      h2.1.mul (ih h1.2.2 h2.2)
        (IsCoprime.prod_right fun i his => h1.1.2 i his <| Ne.symm <| ne_of_mem_of_not_mem his has)
Theorem: List.Pairwise.sublists'
File: Mathlib/Data/List/Sublists.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ Pairwise (Lex (swap R)) (a :: l).sublists'
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ Pairwise (Lex (swap R)) l.sublists' ∧
    Pairwise (fun a_1 b => Lex (swap R) (a :: a_1) (a :: b)) l.sublists' ∧
      ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
tactic: simp only [sublists'_cons, pairwise_append, pairwise_map, mem_sublists', mem_map, exists_imp,
      and_imp]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ Pairwise (Lex (swap R)) l.sublists' ∧
    Pairwise (fun a_1 b => Lex (swap R) (a :: a_1) (a :: b)) l.sublists' ∧
      ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
tactic: refine ⟨H₂.sublists', H₂.sublists'.imp fun l₁ => Lex.cons l₁, ?_⟩
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
⊢ ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₁ : List α
sl₁ : l₁ <+ l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
⊢ Lex (swap R) l₁ (a :: l₂)
tactic: rintro l₁ sl₁ x l₂ _ rfl
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₁ : List α
sl₁ : l₁ <+ l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
⊢ Lex (swap R) l₁ (a :: l₂)
state_after: case nil
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
sl₁ : [] <+ l
⊢ Lex (swap R) [] (a :: l₂)

case cons
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
b : α
l₁ : List α
sl₁ : b :: l₁ <+ l
⊢ Lex (swap R) (b :: l₁) (a :: l₂)
tactic: cases' l₁ with b l₁
state_before: case cons
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
b : α
l₁ : List α
sl₁ : b :: l₁ <+ l
⊢ Lex (swap R) (b :: l₁) (a :: l₂)
state_after: no goals
tactic: exact Lex.rel (H₁ _ <| sl₁.subset <| mem_cons_self _ _)
Theorem: FreeAddGroup.Red.red_iff_irreducible
File: Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ Red [(x1, !b1), (x2, b2)] L ↔ L = [(x1, !b1), (x2, b2)]
state_after: case h
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step [(x1, !b1), (x2, b2)] b
tactic: apply reflTransGen_iff_eq
state_before: case h
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step [(x1, !b1), (x2, b2)] b
state_after: case h
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L' : List (α × Bool)
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L'
⊢ ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step L' b
tactic: generalize eq : [(x1, not b1), (x2, b2)] = L'
state_before: case h
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L' : List (α × Bool)
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L'
⊢ ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step L' b
state_after: case h
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L' : List (α × Bool)
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L'
L : List (α × Bool)
h' : Step L' L
⊢ False
tactic: intro L h'
state_before: case h
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L' : List (α × Bool)
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L'
L : List (α × Bool)
h' : Step L' L
⊢ False
state_after: case h.not
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝
⊢ False
tactic: cases h'
state_before: case h.not
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝
⊢ False
state_after: case h.not
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : L₁✝ = [] ∧ (x✝ = x1 ∧ b✝ = !b1) ∧ (x✝ = x2 ∧ (!b✝) = b2) ∧ L₂✝ = []
⊢ False
tactic: simp [List.cons_eq_append, List.nil_eq_append] at eq
state_before: case h.not
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : L₁✝ = [] ∧ (x✝ = x1 ∧ b✝ = !b1) ∧ (x✝ = x2 ∧ (!b✝) = b2) ∧ L₂✝ = []
⊢ False
state_after: case h.not.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
b1 : Bool
x✝ : α
h : (x✝, b1) ≠ (x✝, !!b1)
⊢ False
tactic: rcases eq with ⟨rfl, ⟨rfl, rfl⟩, ⟨rfl, rfl⟩, rfl⟩
state_before: case h.not.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
b1 : Bool
x✝ : α
h : (x✝, b1) ≠ (x✝, !!b1)
⊢ False
state_after: no goals
tactic: simp at h