Theorem: IsPreconnected.image
File: Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsPreconnected (f '' s)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: rintro u v hu hv huv ⟨_, ⟨x, xs, rfl⟩, xu⟩ ⟨_, ⟨y, ys, rfl⟩, yv⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: rcases continuousOn_iff'.1 hf u hu with ⟨u', hu', u'_eq⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: rcases continuousOn_iff'.1 hf v hv with ⟨v', hv', v'_eq⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: replace huv : s ⊆ u' ∪ v' := by
    rw [image_subset_iff, preimage_union] at huv
    replace huv := subset_inter huv Subset.rfl
    rw [union_inter_distrib_right, u'_eq, v'_eq, ← union_inter_distrib_right] at huv
    exact (subset_inter_iff.1 huv).1
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: obtain ⟨z, hz⟩ : (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty := by
    refine H u' v' hu' hv' huv ⟨x, ?_⟩ ⟨y, ?_⟩ <;> rw [inter_comm]
    exacts [u'_eq ▸ ⟨xu, xs⟩, v'_eq ▸ ⟨yv, ys⟩]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ f ⁻¹' u ∩ s ∩ (f ⁻¹' v ∩ s)
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
tactic: rw [← inter_self s, inter_assoc, inter_left_comm s u', ← inter_assoc, inter_comm s, inter_comm s,
    ← u'_eq, ← v'_eq] at hz
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ f ⁻¹' u ∩ s ∩ (f ⁻¹' v ∩ s)
⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
state_after: no goals
tactic: exact ⟨f z, ⟨z, hz.1.2, rfl⟩, hz.1.1, hz.2.1⟩