Theorem: AEMeasurable.isLUB
File: Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
⊢ AEMeasurable g μ
tactic: nontriviality α
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
⊢ AEMeasurable g μ
tactic: haveI hα : Nonempty α := inferInstance
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : IsEmpty ι
⊢ AEMeasurable g μ

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
⊢ AEMeasurable g μ
tactic: cases' isEmpty_or_nonempty ι with hι hι
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
⊢ AEMeasurable g μ
tactic: let p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB { a | ∃ i, f' i = a } (g x)
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some
⊢ AEMeasurable g μ
tactic: let g_seq := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun _ => hα.some
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some
hg_seq : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, aeSeq hf p i b = a} (g_seq b)
⊢ AEMeasurable g μ
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some
hg_seq : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, aeSeq hf p i b = a} (g_seq b)
⊢ g =ᶠ[ae μ] g_seq
tactic: refine ⟨g_seq, Measurable.isLUB (aeSeq.measurable hf p) hg_seq, ?_⟩
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
a✝ : Nontrivial α
hα : Nonempty α
hι : Nonempty ι
p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)
g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some
hg_seq : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, aeSeq hf p i b = a} (g_seq b)
⊢ g =ᶠ[ae μ] g_seq
state_after: no goals
tactic: exact
    (ite_ae_eq_of_measure_compl_zero g (fun _ => hα.some) (aeSeqSet hf p)
        (aeSeq.measure_compl_aeSeqSet_eq_zero hf hg)).symm