Theorem: IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.exists_nat
File: Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
⊢ ∃ n, μ = ↑n
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
tactic: suffices ∃ n : ℕ, (ψ n) = 0 by
    obtain ⟨n, hn₁, hn₂⟩ := Nat.exists_not_and_succ_of_not_zero_of_exists P.ne_zero this
    refine ⟨n, ?_⟩
    have := lie_e_pow_succ_toEnd_f P n
    rw [hn₂, lie_zero, eq_comm, smul_eq_zero_iff_left hn₁, mul_eq_zero, sub_eq_zero] at this
    exact this.resolve_left <| Nat.cast_add_one_ne_zero n
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
tactic: have hs : (range <| fun (n : ℕ) ↦ μ - 2 * n).Infinite := by
    rw [infinite_range_iff (fun n m ↦ by simp)]; infer_instance
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0
⊢ False
tactic: by_contra! contra
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact hs ((toEnd R L M h).eigenvectors_linearIndependent
    {μ - 2 * n | n : ℕ}
    (fun ⟨s, hs⟩ ↦ ψ Classical.choose hs)
    (fun ⟨r, hr⟩ ↦ by simp [lie_h_pow_toEnd_f P, Classical.choose_spec hr, contra,
      Module.End.HasEigenvector, Module.End.mem_eigenspace_iff])).finite