Theorem: Algebra.FiniteType.of_restrictScalars_finiteType
File: Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean

Proof steps:
state_before: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
⊢ FiniteType S A
state_after: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ FiniteType S A
tactic: obtain ⟨s, hS⟩ := hA.out
state_before: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ FiniteType S A
state_after: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
tactic: refine ⟨⟨s, eq_top_iff.2 fun b => ?_⟩⟩
state_before: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
state_after: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
tactic: have le : adjoin R (s : Set A) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S s) := by
    apply (Algebra.adjoin_le _ : adjoin R (s : Set A) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s))
    simp only [Subalgebra.coe_restrictScalars]
    exact Algebra.subset_adjoin
state_before: case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)
⊢ b ∈ adjoin S ↑s
state_after: no goals
tactic: exact le (eq_top_iff.1 hS b)