Theorem: isNilpotent_of_finite_tfae
File: Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: case tfae_1_to_2
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
⊢ Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G

G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
tactic: tfae_have 1 → 2
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: case tfae_2_to_3
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
⊢ NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal

G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
tactic: tfae_have 2 → 3
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: case tfae_3_to_4
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
⊢ (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal

G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
tactic: tfae_have 3 → 4
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: case tfae_4_to_5
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
⊢ (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)

G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
tactic: tfae_have 4 → 5
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: case tfae_5_to_1
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
⊢ Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G) → Group.IsNilpotent G

G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
tfae_5_to_1 :
  Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G) → Group.IsNilpotent G
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
tactic: tfae_have 5 → 1
state_before: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : Group.IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
tfae_5_to_1 :
  Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G) → Group.IsNilpotent G
⊢ [Group.IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE
state_after: no goals
tactic: tfae_finish