Theorem: CategoryTheory.braiding_rightUnitor_aux₂
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
state_after: no goals
tactic: coherence
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫
      (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫
        (β_ (𝟙_ C) X).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫
      (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫
        (β_ (𝟙_ C) X).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫
      (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫
        (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
state_after: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom) ≫
      𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫
      (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫
        (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
tactic: (slice_lhs 1 3 => rw [← hexagon_reverse])
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom) ≫
      𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫
      (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫
        (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
state_after: no goals
tactic: simp only [assoc]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫
      (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫
        (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
state_after: no goals
tactic: rw [braiding_rightUnitor_aux₁]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
state_after: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ ((ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
tactic: (slice_lhs 2 3 => rw [← braiding_naturality_left])
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ ((ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
state_after: no goals
tactic: simp only [assoc]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv =
    (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X
state_after: no goals
tactic: rw [Iso.hom_inv_id, comp_id]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom
state_after: no goals
tactic: rw [triangle_assoc_comp_right]