Theorem: AffineMap.restrict.surjective
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean

Proof steps:
state_before: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
⊢ Function.Surjective ⇑(φ.restrict ⋯)
state_after: case mk
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩
tactic: rintro ⟨x, hx : x ∈ F⟩
state_before: case mk
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩
state_after: case mk
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx✝⟩
tactic: rw [← h, AffineSubspace.mem_map] at hx
state_before: case mk
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx✝⟩
state_after: case mk.intro.intro
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
y : P₁
hy : y ∈ E
hx : φ y ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨φ y, hx⟩
tactic: obtain ⟨y, hy, rfl⟩ := hx
state_before: case mk.intro.intro
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
y : P₁
hy : y ∈ E
hx : φ y ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨φ y, hx⟩
state_after: no goals
tactic: exact ⟨⟨y, hy⟩, rfl⟩