Theorem: MeasureTheory.Memℒp.eLpNorm_indicator_norm_ge_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : p = 0
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: by_cases hp_ne_zero : p = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : p = ⊤
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: by_cases hp_ne_top : p = ∞
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: obtain ⟨M, hM', hM⟩ := Memℒp.integral_indicator_norm_ge_nonneg_le
    (μ := μ) (hf.norm_rpow hp_ne_zero hp_ne_top) (Real.rpow_pos_of_pos hε p.toReal)
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ ∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm ({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
tactic: refine ⟨M ^ (1 / p.toReal), ?_⟩
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm ({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ENNReal.ofReal ε ^ 1
tactic: rw [eLpNorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_ne_zero hp_ne_top, ← ENNReal.rpow_one (ENNReal.ofReal ε)]
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ENNReal.ofReal ε ^ 1
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ENNReal.ofReal ε ^ (p.toReal * (1 / p.toReal))
tactic: conv_rhs => rw [← mul_one_div_cancel (ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top).ne.symm]
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ENNReal.ofReal ε ^ (p.toReal * (1 / p.toReal))
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
tactic: rw [ENNReal.rpow_mul,
    ENNReal.rpow_le_rpow_iff (one_div_pos.2 <| ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top),
    ENNReal.ofReal_rpow_of_pos hε]
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
state_after: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x✝ : α
⊢ ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x✝‖₊ ^ p.toReal =
    ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x✝‖₊
tactic: convert hM
state_before: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x✝ : α
⊢ ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x✝‖₊ ^ p.toReal =
    ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x✝‖₊
state_after: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal =
    ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊
tactic: rename_i x
state_before: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal =
    ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊
state_after: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
tactic: rw [ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ ENNReal.toReal_nonneg, nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm,
    nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm]
state_before: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
state_after: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
tactic: have hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ‖f x‖₊ ↔ M ≤ ‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊ := by
    rw [coe_nnnorm, coe_nnnorm, Real.norm_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _), norm_norm,
      ← Real.rpow_le_rpow_iff hM' (Real.rpow_nonneg (norm_nonneg _) _)
        (one_div_pos.2 <| ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top), ← Real.rpow_mul (norm_nonneg _),
      mul_one_div_cancel (ENNReal.toReal_pos hp_ne_zero hp_ne_top).ne.symm, Real.rpow_one]
state_before: case h.e'_3.h.e'_4.h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊
hx : x ∈ {x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM :
  ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊
hx : x ∉ {x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}
⊢ ↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) =
    ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
tactic: by_cases hx : x ∈ { x : α | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ‖f x‖₊ }