Theorem: Submodule.LinearDisjoint.of_linearDisjoint_fg_right
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : Module.Finite R ↥N'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
tactic: obtain ⟨N', hN, hFG, h⟩ :=
    TensorProduct.exists_finite_submodule_right_of_finite' {x, y} (Set.toFinite _)
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : Module.Finite R ↥N'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
tactic: rw [Module.Finite.iff_fg] at hFG
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
⊢ x = y
tactic: obtain ⟨x', hx'⟩ := h (show x ∈ {x, y} by simp)
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ x = y
tactic: obtain ⟨y', hy'⟩ := h (show y ∈ {x, y} by simp)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y'
tactic: rw [← hx', ← hy']
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.h.e_6.h
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ x' = y'
tactic: congr
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.h.e_6.h
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ x' = y'
state_after: no goals
tactic: exact (H N' hN hFG).injective (by simp [← mulMap_comp_lTensor _ hN, hx', hy', hxy])