Theorem: FormalMultilinearSeries.radius_le_radius_continuousLinearMap_comp
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
⊢ p.radius ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius
tactic: refine ENNReal.le_of_forall_nnreal_lt fun r hr => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1
tactic: apply le_radius_of_isBigO
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
tactic: apply (IsBigO.trans_isLittleO _ (p.isLittleO_one_of_lt_radius hr)).isBigO
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ IsBigOWith ‖f‖ atTop (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖) fun n => ‖p n‖
tactic: refine IsBigO.mul (@IsBigOWith.isBigO _ _ _ _ _ ‖f‖ _ _ _ ?_) (isBigO_refl _ _)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ IsBigOWith ‖f‖ atTop (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖) fun n => ‖p n‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
n : ℕ
⊢ ‖‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖‖ ≤ ‖f‖ * ‖‖p n‖‖
tactic: refine IsBigOWith.of_bound (eventually_of_forall fun n => ?_)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
n : ℕ
⊢ ‖‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖‖ ≤ ‖f‖ * ‖‖p n‖‖
state_after: no goals
tactic: simpa only [norm_norm] using f.norm_compContinuousMultilinearMap_le (p n)