Theorem: IsFractional.map
File: Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
⊢ IsInteger R (a • b)
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g.toLinearMap b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
tactic: obtain ⟨b', b'_mem, hb'⟩ := Submodule.mem_map.mp hb
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g.toLinearMap b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
tactic: rw [AlgHom.toLinearMap_apply] at hb'
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ IsInteger R (a • b)
tactic: obtain ⟨x, hx⟩ := hI b' b'_mem
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ IsInteger R (a • b)
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ (algebraMap R P') x = a • b
tactic: use x
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'
⊢ (algebraMap R P') x = a • b
state_after: no goals
tactic: rw [← g.commutes, hx, _root_.map_smul, hb']