Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.memℒp_of_finite_measure_preimage
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : p = 0
⊢ Memℒp (↑f) p μ

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
⊢ Memℒp (↑f) p μ
tactic: by_cases hp0 : p = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
⊢ Memℒp (↑f) p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p μ

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p μ
tactic: by_cases hp_top : p = ∞
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ Memℒp (↑f) p μ
state_after: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
tactic: refine ⟨f.aestronglyMeasurable, ?_⟩
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
state_after: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p.toReal) < ⊤
tactic: rw [eLpNorm_eq_eLpNorm' hp0 hp_top, f.eLpNorm'_eq]
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p.toReal) < ⊤
state_after: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range
⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
tactic: refine ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg (by simp) (ENNReal.sum_lt_top_iff.mpr fun y _ => ?_).ne
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range
⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range
hy0 : y = 0
⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range
hy0 : ¬y = 0
⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
tactic: by_cases hy0 : y = 0