ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Theorem: unitInterval.qRight_zero_right
File: Mathlib/Topology/Homotopy/HSpaces.lean

Proof steps:
state_before: t : ↑I
⊢ ↑(qRight (t, 0)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
state_after: t : ↑I
⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
tactic: simp only [qRight, coe_zero, add_zero, div_one]
state_before: t : ↑I
⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
state_after: case pos
t : ↑I
h✝ : ↑t ≤ 1 / 2
⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = 2 * ↑t

case neg
t : ↑I
h✝ : ¬↑t ≤ 1 / 2
⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = 1
tactic: split_ifs
Theorem: TwoSidedIdeal.rel_iff
File: Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ x - y ∈ I
state_after: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ I.ringCon (x - y) 0
tactic: rw [mem_iff]
state_before: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y ↔ I.ringCon (x - y) 0
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon x y → I.ringCon (x - y) 0

case mpr
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
⊢ I.ringCon (x - y) 0 → I.ringCon x y
tactic: constructor
Theorem: CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison_eq_coimageImageComparison'
File: Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Images.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ coimageImageComparison f = coimageImageComparison' f
state_after: case h.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ coimageImageComparison f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 =
    (coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ coimageImageComparison' f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0
tactic: ext
state_before: case h.h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ (coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ coimageImageComparison f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 =
    (coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ coimageImageComparison' f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0
state_after: no goals
tactic: simp [coimageImageComparison, coimageImageComparison']
Theorem: MulAction.mem_stabilizer_set_iff_subset_smul_set
File: Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ s ⊆ a • s
state_after: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ↑s ⊆ a • ↑s
tactic: lift s to Finset α using hs
state_before: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ↑s ⊆ a • ↑s
state_after: no goals
tactic: classical
  rw [stabilizer_coe_finset, mem_stabilizer_finset_iff_subset_smul_finset, ← Finset.coe_smul_finset,
    Finset.coe_subset]
Theorem: Polynomial.continuous_eval₂
File: Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R
⊢ Continuous fun x => eval₂ f x p
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R
⊢ Continuous fun x => p.sum fun e a => f a * x ^ e
tactic: simp only [eval₂_eq_sum, Finsupp.sum]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R
⊢ Continuous fun x => p.sum fun e a => f a * x ^ e
state_after: no goals
tactic: exact continuous_finset_sum _ fun c _ => continuous_const.mul (continuous_pow _)
Theorem: CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.isIso_i
File: Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
state_after: no goals
tactic: rw [hg, id_comp]
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
⊢ h.i ≫ h.liftK (𝟙 S.X₂) ⋯ = 𝟙 h.K
state_after: no goals
tactic: simp only [← cancel_mono h.i, id_comp, assoc, liftK_i, comp_id]
Theorem: NNReal.summable_of_sum_range_le
File: Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ Summable f
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
⊢ False
tactic: refine summable_iff_not_tendsto_nat_atTop.2 fun H => ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
⊢ False
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ Finset.range n, f i
⊢ False
tactic: rcases exists_lt_of_tendsto_atTop H 0 c with ⟨n, -, hn⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ Finset.range n, f i
⊢ False
state_after: no goals
tactic: exact lt_irrefl _ (hn.trans_le (h n))
Theorem: Ordinal.IsFundamentalSequence.cof_eq
File: Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ a.cof.ord ≤ o
state_after: α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ (o.blsub f).cof.ord ≤ o
tactic: rw [← hf.2.2]
state_before: α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ (o.blsub f).cof.ord ≤ o
state_after: no goals
tactic: exact (ord_le_ord.2 (cof_blsub_le f)).trans (ord_card_le o)
Theorem: tangentMap_id
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
⊢ tangentMap I I id = id
state_after: case h.mk
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
v : TangentSpace I x
⊢ tangentMap I I id { proj := x, snd := v } = id { proj := x, snd := v }
tactic: ext1 ⟨x, v⟩
state_before: case h.mk
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
v : TangentSpace I x
⊢ tangentMap I I id { proj := x, snd := v } = id { proj := x, snd := v }
state_after: no goals
tactic: simp [tangentMap]
Theorem: SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.Graph.in₁₀_iff'
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
⊢ (graph t).Adj (in₁ b) (in₀ a) → ∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.1 = a
state_after: case in₁₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
c✝ : γ
a✝ : (a, b, c✝) ∈ t
⊢ ∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.1 = a
tactic: rintro ⟨⟩
state_before: case in₁₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
c✝ : γ
a✝ : (a, b, c✝) ∈ t
⊢ ∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.1 = a
state_after: no goals
tactic: exact ⟨_, ‹_›, by simp⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
⊢ (∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.1 = a) → (graph t).Adj (in₁ b) (in₀ a)
state_after: case intro.mk.mk.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ (graph t).Adj (in₁ (a, b, c).2.1) (in₀ (a, b, c).1)
tactic: rintro ⟨⟨a, b, c⟩, h, rfl, rfl⟩
state_before: case intro.mk.mk.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ (graph t).Adj (in₁ (a, b, c).2.1) (in₀ (a, b, c).1)
state_after: case intro.mk.mk.intro.intro.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ ((a, b, c).1, (a, b, c).2.1, ?intro.mk.mk.intro.intro.c) ∈ t

case intro.mk.mk.intro.intro.c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ γ
tactic: constructor
state_before: case intro.mk.mk.intro.intro.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ ((a, b, c).1, (a, b, c).2.1, ?intro.mk.mk.intro.intro.c) ∈ t

case intro.mk.mk.intro.intro.c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a' : α
b' : β
c✝ c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
a : α
b : β
c : γ
h : (a, b, c) ∈ t
⊢ γ
state_after: no goals
tactic: assumption
Theorem: posMulReflectLE_iff_mulPosReflectLE
File: Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulReflectLE α ↔ MulPosReflectLE α
state_after: no goals
tactic: simp only [PosMulReflectLE, MulPosReflectLE, IsSymmOp.symm_op]
Theorem: AddMonoidAlgebra.mem_adjoin_support
File: Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ f ∈ adjoin R (of' R M '' ↑f.support)
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ span R (of' R M '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support))
tactic: suffices span R (of' R M '' f.support) ≤
      Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' f.support)) by
    exact this (mem_span_support f)
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ span R (of' R M '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support))
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ of' R M '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support)))
tactic: rw [Submodule.span_le]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ of' R M '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support)))
state_after: no goals
tactic: exact subset_adjoin
Theorem: NumberField.ComplexEmbedding.IsConj.coe_stabilzer_mk
File: Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean

Proof steps:
state_before: k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
⊢ ↑(Stab (mk φ)) = {1, σ}
state_after: case h
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x✝ : K ≃ₐ[k] K
⊢ x✝ ∈ ↑(Stab (mk φ)) ↔ x✝ ∈ {1, σ}
tactic: ext
state_before: case h
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x✝ : K ≃ₐ[k] K
⊢ x✝ ∈ ↑(Stab (mk φ)) ↔ x✝ ∈ {1, σ}
state_after: no goals
tactic: rw [SetLike.mem_coe, mem_stabilizer_mk_iff, Set.mem_insert_iff, Set.mem_singleton_iff,
    ← h.ext_iff, eq_comm (a := σ)]
Theorem: LinearMap.flip_separatingLeft
File: Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
⊢ B.flip.SeparatingLeft ↔ B.SeparatingRight
state_after: no goals
tactic: rw [← flip_separatingRight, flip_flip]
Theorem: isPathConnected_singleton
File: Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean

Proof steps:
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
⊢ IsPathConnected {x}
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
⊢ ∀ {y : X}, y ∈ {x} → JoinedIn {x} x y
tactic: refine ⟨x, rfl, ?_⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
⊢ ∀ {y : X}, y ∈ {x} → JoinedIn {x} x y
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
y : X
⊢ JoinedIn {y} y y
tactic: rintro y rfl
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
y : X
⊢ JoinedIn {y} y y
state_after: no goals
tactic: exact JoinedIn.refl rfl
Theorem: convexHull_toCone_isLeast
File: Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (Convex.toCone ((convexHull 𝕜) s) ⋯)
state_after: case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ {t | s ⊆ ↑t} = {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
tactic: convert (convex_convexHull 𝕜 s).toCone_isLeast using 1
state_before: case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ {t | s ⊆ ↑t} = {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
state_after: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
t : ConvexCone 𝕜 E
⊢ t ∈ {t | s ⊆ ↑t} ↔ t ∈ {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
tactic: ext t
state_before: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
t : ConvexCone 𝕜 E
⊢ t ∈ {t | s ⊆ ↑t} ↔ t ∈ {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
state_after: no goals
tactic: exact ⟨fun h => convexHull_min h t.convex, (subset_convexHull 𝕜 s).trans⟩
Theorem: Real.sqrtTwoAddSeries_succ
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

Proof steps:
state_before: x✝ x : ℝ
n : ℕ
⊢ x.sqrtTwoAddSeries (n + 1 + 1) = (√(2 + x)).sqrtTwoAddSeries (n + 1)
state_after: no goals
tactic: rw [sqrtTwoAddSeries, sqrtTwoAddSeries_succ _ _, sqrtTwoAddSeries]
Theorem: Behrend.dValue_pos
File: Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
⊢ 0 < dValue N
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < dValue N
tactic: have hN₀ : 0 < (N : ℝ) := cast_pos.2 (succ_pos'.trans_le hN₃)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < dValue N
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ log 2 * ↑(nValue N) ≤ log ↑N

α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < ↑(nValue N)

α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ ≠ 0

α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / 2
tactic: rw [dValue, floor_pos, ← log_le_log_iff zero_lt_one, log_one, log_div _ two_ne_zero, log_rpow hN₀,
    inv_mul_eq_div, sub_nonneg, le_div_iff]
Theorem: MeasureTheory.integral_finset_sum
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → α → G
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
⊢ ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, f i a ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f i a ∂μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → α → G
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, f i a ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f i a ∂μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → α → G
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, f i a ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f i a ∂μ
tactic: by_cases hG : CompleteSpace G
Theorem: LocalRing.map_tensorProduct_mk_eq_top
File: Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
S : Type ?u.62994
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N✝ : Type ?u.63459
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N✝
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
P : Type ?u.64599
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
N : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Submodule.map ((mk R k M) 1) N = ⊤ ↔ N = ⊤
state_after: case mp
R : Type u_1
S : Type ?u.62994
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N✝ : Type ?u.63459
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N✝
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
P : Type ?u.64599
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
N : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Submodule.map ((mk R k M) 1) N = ⊤ → N = ⊤

case mpr
R : Type u_1
S : Type ?u.62994
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N✝ : Type ?u.63459
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N✝
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
P : Type ?u.64599
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
N : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ N = ⊤ → Submodule.map ((mk R k M) 1) N = ⊤
tactic: constructor