Theorem: _private.Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk.0.SzemerediRegularity.eps_le_card_star_div
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
tactic: have hm : (0 : ℝ) ≤ 1 - (↑m)⁻¹ := sub_nonneg_of_le (inv_le_one <| one_le_m_coe hPα)
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
tactic: have hε : 0 ≤ 1 - ε / 10 :=
    sub_nonneg_of_le (div_le_one_of_le (hε₁.trans <| by norm_num) <| by norm_num)
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
state_after: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
tactic: have hε₀ : 0 < ε := by sz_positivity
state_before: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
state_after: no goals
tactic: calc
    4 / 5 * ε = (1 - 1 / 10) * (1 - 9⁻¹) * ε := by norm_num
    _ ≤ (1 - ε / 10) * (1 - (↑m)⁻¹) * ((G.nonuniformWitness ε U V).card / U.card) := by
        gcongr
        exacts [mod_cast (show 9 ≤ 100 by norm_num).trans (hundred_le_m hPα hPε hε₁),
          (le_div_iff' <| cast_pos.2 (P.nonempty_of_mem_parts hU).card_pos).2 <|
           G.le_card_nonuniformWitness hunif]
    _ = (1 - ε / 10) * (G.nonuniformWitness ε U V).card * ((1 - (↑m)⁻¹) / U.card) := by
      rw [mul_assoc, mul_assoc, mul_div_left_comm]
    _ ≤ ((star hP G ε hU V).biUnion id).card * ((1 - (↑m)⁻¹) / U.card) :=
      (mul_le_mul_of_nonneg_right
        (one_sub_eps_mul_card_nonuniformWitness_le_card_star hV hUV hunif hPε hε₁) (by positivity))
    _ ≤ (star hP G ε hU V).card * (m + 1) * ((1 - (↑m)⁻¹) / U.card) :=
      (mul_le_mul_of_nonneg_right card_biUnion_star_le_m_add_one_card_star_mul (by positivity))
    _ ≤ (star hP G ε hU V).card * (m + ↑1) * ((↑1 - (↑m)⁻¹) / (↑4 ^ P.parts.card * m)) :=
      (mul_le_mul_of_nonneg_left (div_le_div_of_nonneg_left hm (by sz_positivity) <|
        pow_mul_m_le_card_part hP hU) (by positivity))
    _ ≤ (star hP G ε hU V).card / ↑4 ^ P.parts.card := by
      rw [mul_assoc, mul_comm ((4 : ℝ) ^ P.parts.card), ← div_div, ← mul_div_assoc, ← mul_comm_div]
      refine mul_le_of_le_one_right (by positivity) ?_
      have hm : (0 : ℝ) < m := by sz_positivity
      rw [mul_div_assoc', div_le_one hm, ← one_div, one_sub_div hm.ne', mul_div_assoc',
        div_le_iff hm]
      linarith