Theorem: MeasureTheory.martingalePart_bdd_difference
File: Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
state_after: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
tactic: filter_upwards [hbdd, predictablePart_bdd_difference ℱ hbdd] with ω hω₁ hω₂ i
state_before: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
state_after: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
tactic: simp only [two_mul, martingalePart, Pi.sub_apply]
state_before: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
state_after: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
this :
  |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| =
    |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|
⊢ |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
tactic: have : |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| =
      |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| := by
    ring_nf
state_before: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
this :
  |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| =
    |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|
⊢ |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
state_after: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
this :
  |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| =
    |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|
⊢ |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
tactic: rw [this]
state_before: case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
this :
  |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| =
    |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|
⊢ |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
state_after: no goals
tactic: exact (abs_sub _ _).trans (add_le_add (hω₁ i) (hω₂ i))