Theorem: ProbabilityTheory.Kernel.integral_fn_integral_add
File: Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a =
    ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x =>
    F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
tactic: refine integral_congr_ae ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x =>
    F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))
⊢ F (∫ (y : γ), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) =
    F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) + ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
tactic: filter_upwards [hf.compProd_mk_left_ae, hg.compProd_mk_left_ae] with _ h2f h2g
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))
⊢ F (∫ (y : γ), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) =
    F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) + ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
state_after: no goals
tactic: simp [integral_add h2f h2g]