Theorem: Matrix.det_vandermonde
File: Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (vandermonde v).det = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
state_after: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
tactic: unfold vandermonde
state_before: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
state_after: case zero
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 0 → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin 0, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)

case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (n + 1), ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
tactic: induction' n with n ih
state_before: case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (n + 1), ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
state_after: case succ.calc_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ ∀ (i j : Fin n.succ),
    of (fun i j => v i ^ ↑j) i j =
      of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) i j +
        vecCons 0 1 i * of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) 0 j

case succ.calc_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (n + 1) → R
⊢ (det fun i j => ∑ k ∈ range (↑j + 1), v i.succ ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v i.succ ^ ↑j
tactic: calc
    det (of fun i j : Fin n.succ => v i ^ (j : ℕ)) =
        det
          (of fun i j : Fin n.succ =>
            Matrix.vecCons (v 0 ^ (j : ℕ)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ (j : ℕ) - v 0 ^ (j : ℕ)) i) :=
      det_eq_of_forall_row_eq_smul_add_const (Matrix.vecCons 0 1) 0 (Fin.cons_zero _ _) ?_
    _ =
        det
          (of fun i j : Fin n =>
            Matrix.vecCons (v 0 ^ (j.succ : ℕ))
              (fun i : Fin n => v (Fin.succ i) ^ (j.succ : ℕ) - v 0 ^ (j.succ : ℕ))
              (Fin.succAbove 0 i)) := by
      simp_rw [det_succ_column_zero, Fin.sum_univ_succ, of_apply, Matrix.cons_val_zero, submatrix,
        of_apply, Matrix.cons_val_succ, Fin.val_zero, pow_zero, one_mul, sub_self,
        mul_zero, zero_mul, Finset.sum_const_zero, add_zero]
    _ =
        det
          (of fun i j : Fin n =>
              (v (Fin.succ i) - v 0) *
                ∑ k ∈ Finset.range (j + 1 : ℕ), v i.succ ^ k * v 0 ^ (j - k : ℕ) :
            Matrix _ _ R) := by
      congr
      ext i j
      rw [Fin.succAbove_zero, Matrix.cons_val_succ, Fin.val_succ, mul_comm]
      exact (geom_sum₂_mul (v i.succ) (v 0) (j + 1 : ℕ)).symm
    _ =
        (∏ i ∈ Finset.univ, (v (Fin.succ i) - v 0)) *
          det fun i j : Fin n =>
            ∑ k ∈ Finset.range (j + 1 : ℕ), v i.succ ^ k * v 0 ^ (j - k : ℕ) :=
      (det_mul_column (fun i => v (Fin.succ i) - v 0) _)
    _ = (∏ i ∈ Finset.univ, (v (Fin.succ i) - v 0)) *
    det fun i j : Fin n => v (Fin.succ i) ^ (j : ℕ) := congr_arg _ ?_
    _ = ∏ i : Fin n.succ, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i) := by
      simp_rw [Fin.prod_univ_succ, Fin.prod_Ioi_zero, Fin.prod_Ioi_succ]
      have h := ih (v ∘ Fin.succ)
      unfold Function.comp at h
      rw [h]