Theorem: CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonLeftAdjointHomEquiv_symm_apply
File: Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ { f // F.map A.a ≫ f = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ f } ≃
    { g // G.map (F.map g) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ g }
state_after: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ ∀ (a : F.obj A.A ⟶ B),
    F.map A.a ≫ a = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ a ↔
      G.map (F.map ((adj.homEquiv A.A B) a)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ (adj.homEquiv A.A B) a
tactic: refine (adj.homEquiv _ _).subtypeEquiv ?_
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
⊢ ∀ (a : F.obj A.A ⟶ B),
    F.map A.a ≫ a = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ a ↔
      G.map (F.map ((adj.homEquiv A.A B) a)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ (adj.homEquiv A.A B) a
state_after: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ F.map A.a ≫ f = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ f ↔
    G.map (F.map ((adj.homEquiv A.A B) f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ (adj.homEquiv A.A B) f
tactic: intro f
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ F.map A.a ≫ f = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ f ↔
    G.map (F.map ((adj.homEquiv A.A B) f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ (adj.homEquiv A.A B) f
state_after: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔
    G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
tactic: rw [← (adj.homEquiv _ _).injective.eq_iff, Adjunction.homEquiv_naturality_left,
        adj.homEquiv_unit, adj.homEquiv_unit, G.map_comp]
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔
    G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
state_after: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (G.obj (F.obj A.A)) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔
    G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
tactic: dsimp
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (G.obj (F.obj A.A)) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔
    G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
state_after: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = G.map f ↔ G.map f = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
tactic: rw [adj.right_triangle_components_assoc, ← G.map_comp, F.map_comp, Category.assoc,
        adj.counit_naturality, adj.left_triangle_components_assoc]
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : F.obj A.A ⟶ B
⊢ A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = G.map f ↔ G.map f = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f
state_after: no goals
tactic: apply eq_comm
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
g : { g // G.map (F.map g) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ g }
⊢ (fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) ((fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) g) = g
state_after: case a
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
g : { g // G.map (F.map g) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ g }
⊢ ↑((fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) ((fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) g)) = ↑g
tactic: ext
state_before: case a
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
g : { g // G.map (F.map g) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ g }
⊢ ↑((fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) ((fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) g)) = ↑g
state_after: no goals
tactic: rfl
state_before: C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : A ⟶ (comparison adj).obj B
⊢ (fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) ((fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) f) = f
state_after: case h
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : A ⟶ (comparison adj).obj B
⊢ ((fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) ((fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) f)).f = f.f
tactic: ext
state_before: case h
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
A : adj.toMonad.Algebra
B : D
inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
f : A ⟶ (comparison adj).obj B
⊢ ((fun g => { f := ↑g, h := ⋯ }) ((fun f => ⟨f.f, ⋯⟩) f)).f = f.f
state_after: no goals
tactic: rfl