Theorem: LinearMap.trace_eq_sum_trace_restrict'
File: Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
tactic: let _ : Fintype {i // N i ≠ ⊥} := hN.fintype
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
tactic: let _ : Fintype {i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
state_after: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ ∑ i : { i // N i ≠ ⊥ }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯) =
    ∑ i : { x // x ∈ hN.toFinset }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯)

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ ∀ (i : { i // N i ≠ ⊥ }), MapsTo ⇑f ↑(N ↑i) ↑(N ↑i)
tactic: rw [← Finset.sum_coe_sort, trace_eq_sum_trace_restrict (isInternal_ne_bot_iff.mpr h) _]
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ ∑ i : { i // N i ≠ ⊥ }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯) =
    ∑ i : { x // x ∈ hN.toFinset }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯)

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype
⊢ ∀ (i : { i // N i ≠ ⊥ }), MapsTo ⇑f ↑(N ↑i) ↑(N ↑i)
state_after: no goals
tactic: exact Fintype.sum_equiv hN.subtypeEquivToFinset _ _ (fun i ↦ rfl)