Theorem: Matrix.Pivot.exists_isTwoBlockDiagonal_list_transvec_mul_mul_list_transvec
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean

Proof steps:
state_before: n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
state_after: case pos
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : M.IsTwoBlockDiagonal
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal

case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
tactic: by_cases H : IsTwoBlockDiagonal M
state_before: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
state_after: case pos
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal

case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : ¬M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
tactic: by_cases hM : M (inr unit) (inr unit) ≠ 0
state_before: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : ¬M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
state_after: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
tactic: push_neg at hM
state_before: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
state_after: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
H :
  (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨
    ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
tactic: simp only [not_and_or, IsTwoBlockDiagonal, toBlocks₁₂, toBlocks₂₁, ← Matrix.ext_iff] at H
state_before: case neg
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
H :
  (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨
    ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j
this : ∃ i, M (inl i) (inr ()) ≠ 0 ∨ M (inr ()) (inl i) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
state_after: case neg.intro.inl
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
H :
  (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨
    ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j
i : Fin r
h : M (inl i) (inr ()) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal

case neg.intro.inr
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) = 0
H :
  (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨
    ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j
i : Fin r
h : M (inr ()) (inl i) ≠ 0
⊢ ∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal
tactic: rcases this with ⟨i, h | h⟩