Theorem: Finset.subset_image_iff
File: Mathlib/Data/Finset/Image.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
state_after: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s → ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t

case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ (∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t) → ↑t ⊆ f '' s
tactic: constructor
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s → ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t

case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ (∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t) → ↑t ⊆ f '' s
state_after: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ (∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t) → ↑t ⊆ f '' s

case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s → ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
tactic: swap
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
⊢ ↑t ⊆ f '' s → ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
state_after: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
h : ↑t ⊆ f '' s
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
tactic: intro h
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
h : ↑t ⊆ f '' s
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
state_after: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
h : ↑t ⊆ f '' s
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
tactic: letI : CanLift β s (f ∘ (↑)) fun y => y ∈ f '' s := ⟨fun y ⟨x, hxt, hy⟩ => ⟨⟨x, hxt⟩, hy⟩⟩
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
t : Finset β
f : α → β
h : ↑t ⊆ f '' s
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = t
state_after: case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = image (f ∘ Subtype.val) t
tactic: lift t to Finset s using h
state_before: case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = image (f ∘ Subtype.val) t
state_after: case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) = image (f ∘ Subtype.val) t
tactic: refine ⟨t.map (Embedding.subtype _), map_subtype_subset _, ?_⟩
state_before: case mp.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) = image (f ∘ Subtype.val) t
state_after: case mp.intro.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
y : β
⊢ y ∈ image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) ↔ y ∈ image (f ∘ Subtype.val) t
tactic: ext y
state_before: case mp.intro.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s :=
  {
    prf := fun y x =>
      match x with
      | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
y : β
⊢ y ∈ image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) ↔ y ∈ image (f ∘ Subtype.val) t
state_after: no goals
tactic: simp