Theorem: IsConformalMap.comp
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/ConformalLinearMap.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
hg : IsConformalMap g
hf : IsConformalMap f
⊢ IsConformalMap (g.comp f)
state_after: case intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
g : N →L[R] G
c : R
hg : IsConformalMap g
cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
⊢ IsConformalMap (g.comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))
tactic: rcases hf with ⟨cf, hcf, lif, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
g : N →L[R] G
c : R
hg : IsConformalMap g
cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
⊢ IsConformalMap (g.comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ IsConformalMap ((cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))
tactic: rcases hg with ⟨cg, hcg, lig, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ IsConformalMap ((cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ (cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap) =
    (cg * cf) • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap
tactic: refine ⟨cg * cf, mul_ne_zero hcg hcf, lig.comp lif, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ (cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap) =
    (cg * cf) • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ cg • cf • lig.toContinuousLinearMap.comp lif.toContinuousLinearMap = cg • cf • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap
tactic: rw [smul_comp, comp_smul, mul_smul]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G
⊢ cg • cf • lig.toContinuousLinearMap.comp lif.toContinuousLinearMap = cg • cf • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap
state_after: no goals
tactic: rfl