Theorem: LinearMap.toAddMonoidHom'_apply
File: Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
⊢ toAddMonoidHom 0 = 0
state_after: case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝ : M
⊢ (toAddMonoidHom 0) x✝ = 0 x✝
tactic: ext
state_before: case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝ : M
⊢ (toAddMonoidHom 0) x✝ = 0 x✝
state_after: no goals
tactic: rfl
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
⊢ ∀ (x y : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂),
    { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) =
      { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun y
state_after: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝ y✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝ + y✝) =
    { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝ + { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun y✝
tactic: intros
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝ y✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝ + y✝) =
    { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝ + { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun y✝
state_after: case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝¹ y✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x✝ : M
⊢ ({ toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝¹ + y✝)) x✝ =
    ({ toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝¹ + { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
tactic: ext
state_before: case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
x✝¹ y✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x✝ : M
⊢ ({ toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝¹ + y✝)) x✝ =
    ({ toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝¹ + { toFun := toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
state_after: no goals
tactic: rfl