Theorem: UniformOnFun.hasBasis_uniformity_of_covering_of_basis
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
tactic: have hne : 𝔖.Nonempty := (range_nonempty t).mono (range_subset_iff.2 ht)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
x✝¹ : Set α × ι'
s : Set α
i' : ι'
x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2
hs : (s, i').1 ∈ 𝔖
hi' : p (s, i').2
⊢ ∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)
tactic: refine (UniformOnFun.hasBasis_uniformity_of_basis α β 𝔖 hne hd hb).to_hasBasis
    (fun ⟨s, i'⟩ ⟨hs, hi'⟩ ↦ ?_) fun ⟨i, i'⟩ hi' ↦ ⟨(t i, i'), ⟨ht i, hi'⟩, Subset.rfl⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
x✝¹ : Set α × ι'
s : Set α
i' : ι'
x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2
hs : (s, i').1 ∈ 𝔖
hi' : p (s, i').2
⊢ ∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
x✝¹ : Set α × ι'
s : Set α
i' : ι'
x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2
hs : (s, i').1 ∈ 𝔖
hi' : p (s, i').2
i : ι
hi : s ⊆ t i
⊢ ∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)
tactic: rcases hex s hs with ⟨i, hi⟩
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
x✝¹ : Set α × ι'
s : Set α
i' : ι'
x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2
hs : (s, i').1 ∈ 𝔖
hi' : p (s, i').2
i : ι
hi : s ⊆ t i
⊢ ∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)
state_after: no goals
tactic: exact ⟨(i, i'), hi', UniformOnFun.gen_mono hi Subset.rfl⟩