Theorem: mfderiv_neg
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ z : M
f✝ g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
f : M → E'
x : M
⊢ mfderiv I 𝓘(𝕜, E') (-f) x = -mfderiv I 𝓘(𝕜, E') f x
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ z : M
f✝ g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
f : M → E'
x : M
⊢ (if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x then
        fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
      else 0
tactic: simp_rw [mfderiv]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ z : M
f✝ g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
f : M → E'
x : M
⊢ (if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x then
        fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
      else 0
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ z : M
f✝ g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
f : M → E'
x : M
hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x
⊢ (if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x then
        fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
      else 0

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ z : M
f✝ g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
f : M → E'
x : M
hf : ¬MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x
⊢ (if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -if MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x then
        fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
      else 0
tactic: by_cases hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') f x