Theorem: Bimod.whisker_assoc_bimod
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ whiskerRight (M.whiskerLeft f) P =
    (M.associatorBimod N P).hom ≫ M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫ (M.associatorBimod N' P).inv
state_after: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ whiskerRight (M.whiskerLeft f) P =
    (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
          ⋯).hom ≫
      M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
        (isoOfIso
            { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
            ⋯).inv
tactic: dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ whiskerRight (M.whiskerLeft f) P =
    (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
          ⋯).hom ≫
      M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
        (isoOfIso
            { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
            ⋯).inv
state_after: case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
            ⋯ ⋯).hom ≫
        M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
          (isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
              ⋯ ⋯).inv).hom
tactic: ext
state_before: case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
            ⋯ ⋯).hom ≫
        M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
          (isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
              ⋯ ⋯).inv).hom
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      ((isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
              ⋯).hom ≫
          M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
            (isoOfIso
                { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯,
                  inv_hom_id := ⋯ }
                ⋯ ⋯).inv).hom
tactic: apply coequalizer.hom_ext
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      ((isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
              ⋯).hom ≫
          M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
            (isoOfIso
                { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯,
                  inv_hom_id := ⋯ }
                ⋯ ⋯).inv).hom
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
          (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
                  ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
              Y.X ▷
            P.X)
          (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
                ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
            P.X)
          ⋯ ⋯) =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: dsimp
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
          (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
                  ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
              Y.X ▷
            P.X)
          (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
                ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
            P.X)
          ⋯ ⋯) =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: dsimp [AssociatorBimod.hom]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
      coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (AssociatorBimod.homAux M N P ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (AssociatorBimod.homAux M N P ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
              M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
            ⋯) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: dsimp [AssociatorBimod.homAux]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
            ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
              M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
            ⋯) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫
      colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
              ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
          P.X ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: refine (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 ?_
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫
      colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
              ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
          P.X ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
              ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
          P.X ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: rw [tensorRight_map]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X)
              ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷
          P.X ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_lhs 1 2 => rw [← comp_whiskerRight, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                    ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯)) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
          M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
            coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
          M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
            coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
                ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
                ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (M.X ◁
            (f.hom ▷ P.X ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
tactic: slice_rhs 2 3 => rw [← MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (M.X ◁
            (f.hom ▷ P.X ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (M.X ◁
            (f.hom ▷ P.X ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N' P) ⋯
tactic: dsimp [AssociatorBimod.inv]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (M.X ◁
            (f.hom ▷ P.X ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P)
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N' P) ⋯
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.invAux M N' P
tactic: slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.invAux M N' P
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
            ⋯
tactic: dsimp [AssociatorBimod.invAux]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
            ⋯
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      ((M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫
            M.X ◁
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X)
              ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
            coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
              coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
                ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          ⋯
tactic: slice_rhs 2 2 => rw [MonoidalCategory.whiskerLeft_comp]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      ((M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫
            M.X ◁
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X)
              ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
            coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
              coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
                ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
          ⋯
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫
        (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
tactic: slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫
        (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (M.X ◁ f.hom) ▷ P.X) ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫
        coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
tactic: slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality_middle]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (M.X ◁ f.hom) ▷ P.X) ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫
        coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
state_after: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    ((M.X ◁ f.hom) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫
      coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
tactic: slice_rhs 1 3 => rw [Iso.hom_inv_id_assoc]
state_before: case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    ((M.X ◁ f.hom) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫
      coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)
state_after: no goals
tactic: slice_lhs 1 1 => rw [comp_whiskerRight]