Theorem: IsFractionRing.isInteger_of_isUnit_den
File: Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(den A x)
⊢ IsInteger A x
state_after: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
⊢ IsInteger A x
tactic: cases' h with d hd
state_before: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
⊢ IsInteger A x
state_after: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ IsInteger A x
tactic: have d_ne_zero : algebraMap A K (den A x) ≠ 0 :=
    IsFractionRing.to_map_ne_zero_of_mem_nonZeroDivisors (den A x).2
state_before: case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ IsInteger A x
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = x
tactic: use ↑d⁻¹ * num A x
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = x
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
tactic: refine _root_.trans ?_ (mk'_num_den A x)
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ ((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
tactic: rw [map_mul, map_units_inv, hd]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ ((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) ↑(den A x) * (((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x)) =
    (algebraMap A K) ↑(den A x) * mk' K (num A x) (den A x)
tactic: apply mul_left_cancel₀ d_ne_zero
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) ↑(den A x) * (((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x)) =
    (algebraMap A K) ↑(den A x) * mk' K (num A x) (den A x)
state_after: no goals
tactic: rw [← mul_assoc, mul_inv_cancel d_ne_zero, one_mul, mk'_spec']