Theorem: Matrix.BlockTriangular.toBlock_inverse_mul_toBlock_eq_one
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
tactic: let p i := b i < k
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
tactic: have h_sum :
    M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p +
        (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p =
      1 := by
    rw [← toBlock_mul_eq_add, inv_mul_of_invertible M, toBlock_one_self]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
h_zero : M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 0
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
tactic: have h_zero : M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 0 := by
    ext i j
    simpa using hM (lt_of_lt_of_le j.2 (le_of_not_lt i.2))
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
h_zero : M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 0
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
state_after: no goals
tactic: simpa [h_zero] using h_sum