Theorem: MeasureTheory.contDiffOn_convolution_right_with_param_aux
File: Mathlib/Analysis/Convolution.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : RCLike 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G E' F P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
state_after: case h0
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : RCLike 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G P : Type uP
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 0 (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

case hsuc
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : RCLike 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G P : Type uP
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

case htop
𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : RCLike 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G P : Type uP
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F)
    {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
tactic: induction' n using ENat.nat_induction with n ih ih generalizing g E' F