Theorem: equicontinuousWithinAt_iInf_dom
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean

Proof steps:
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F S x₀
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀
state_after: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
⊢ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
tactic: simp [equicontinuousWithinAt_iff_continuousWithinAt (tX := _)] at hk ⊢
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
⊢ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
state_after: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
tactic: unfold ContinuousWithinAt nhdsWithin at hk ⊢
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
state_after: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
tactic: rw [nhds_iInf]
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
state_after: no goals
tactic: exact hk.mono_left <| inf_le_inf_right _ <| iInf_le _ k