Theorem: orthogonalProjection_tendsto_self
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean

Proof steps:
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : ⊤ ≤ (⨆ t, U t).topologicalClosure
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)
tactic: rw [← eq_top_iff] at hU'
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)
state_after: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x = ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
tactic: convert orthogonalProjection_tendsto_closure_iSup U hU x
state_before: case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x = ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x ∈ (⨆ i, U i).topologicalClosure
tactic: rw [orthogonalProjection_eq_self_iff.mpr _]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x ∈ (⨆ i, U i).topologicalClosure
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x ∈ ⊤
tactic: rw [hU']
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x ∈ ⊤
state_after: no goals
tactic: trivial