Theorem: Matrix.charpoly_degree_eq_dim
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)
state_after: case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 0
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)

case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)
tactic: by_cases h : Fintype.card n = 0
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)) + ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
tactic: rw [← sub_add_cancel M.charpoly (∏ i : n, (X - C (M i i)))]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)) + ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)

case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree
tactic: rw [degree_add_eq_right_of_degree_lt]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)
tactic: rw [h1]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)
tactic: apply lt_trans (charpoly_sub_diagonal_degree_lt M)
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ Fintype.card n - 1 < Fintype.card n
tactic: rw [Nat.cast_lt]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ Fintype.card n - 1 < Fintype.card n
state_after: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (Fintype.card n).pred < Fintype.card n
tactic: rw [← Nat.pred_eq_sub_one]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (Fintype.card n).pred < Fintype.card n
state_after: case neg.a
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ Fintype.card n ≠ 0
tactic: apply Nat.pred_lt
state_before: case neg.a
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ Fintype.card n ≠ 0
state_after: no goals
tactic: apply h