Theorem: ProbabilityTheory.iIndepSet.condexp_indicator_filtrationOfSet_ae_eq
File: Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean

Proof steps:
state_before: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(filtrationOfSet hsm) i] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
state_after: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(Filtration.natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯) i] =ᶠ[ae μ] fun x =>
    (μ (s j)).toReal
tactic: rw [Filtration.filtrationOfSet_eq_natural (β := ℝ) hsm]
state_before: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(Filtration.natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯) i] =ᶠ[ae μ] fun x =>
    (μ (s j)).toReal
state_after: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ (fun x => ∫ (x : Ω), (s j).indicator (fun _ω => 1) x ∂μ) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
tactic: refine (iIndepFun.condexp_natural_ae_eq_of_lt _ hs.iIndepFun_indicator hij).trans ?_
state_before: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ (fun x => ∫ (x : Ω), (s j).indicator (fun _ω => 1) x ∂μ) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
state_after: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ (fun x => (μ (s j)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
tactic: simp only [integral_indicator_const _ (hsm _), Algebra.id.smul_eq_mul, mul_one]
state_before: Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j
⊢ (fun x => (μ (s j)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
state_after: no goals
tactic: rfl