Theorem: Submodule.exists_isTorsionBy
File: Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
tactic: let oj := List.argmax (fun i => pOrder hM <| s i) (List.finRange d)
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
tactic: have hoj : oj.isSome :=
    Option.ne_none_iff_isSome.mp fun eq_none =>
      hd <| List.finRange_eq_nil.mp <| List.argmax_eq_none.mp eq_none
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))
tactic: use Option.get _ hoj
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∀ (y : Fin d), s y ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))
tactic: rw [isTorsionBy_iff_torsionBy_eq_top, eq_top_iff, ← hs, Submodule.span_le,
    Set.range_subset_iff]
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∀ (y : Fin d), s y ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ s i ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))
tactic: intro i
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ s i ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
tactic: change (p ^ pOrder hM (s (Option.get oj hoj))) • s i = 0
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
tactic: have : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s <| Option.get _ hoj) :=
    List.le_of_mem_argmax (List.mem_finRange i) (Option.get_mem hoj)
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
state_after: no goals
tactic: rw [← Nat.sub_add_cancel this, pow_add, mul_smul, pow_pOrder_smul, smul_zero]