Theorem: Set.exists_superset_subset_encard_eq
File: Mathlib/Data/Set/Card.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard = ⊤
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard ≠ ⊤
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k
tactic: obtain (hs | hs) := eq_or_ne s.encard ⊤
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard ≠ ⊤
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k
state_after: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
tactic: obtain ⟨k, rfl⟩ := exists_add_of_le hsk
state_before: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
tactic: obtain ⟨k', hk'⟩ := exists_add_of_le hkt
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
hk : k ≤ (t \ s).encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
tactic: have hk : k ≤ encard (t \ s) := by
    rw [← encard_diff_add_encard_of_subset hst, add_comm] at hkt
    exact WithTop.le_of_add_le_add_right hs hkt
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
hk : k ≤ (t \ s).encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + r'.encard
tactic: obtain ⟨r', hr', rfl⟩ := exists_subset_encard_eq hk
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
⊢ ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + r'.encard
state_after: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
⊢ (s ∪ r').encard = s.encard + r'.encard
tactic: refine ⟨s ∪ r', subset_union_left, union_subset hst (hr'.trans diff_subset), ?_⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
⊢ (s ∪ r').encard = s.encard + r'.encard
state_after: no goals
tactic: rw [encard_union_eq (disjoint_of_subset_right hr' disjoint_sdiff_right)]