Theorem: Finset.map_affineCombination
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean

Proof steps:
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
tactic: have b := Classical.choice (inferInstance : AffineSpace V P).nonempty
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
tactic: have b₂ := Classical.choice (inferInstance : AffineSpace V₂ P₂).nonempty
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((s.weightedVSubOfPoint p b) w +ᵥ b) = (s.weightedVSubOfPoint (⇑f ∘ p) (f b)) w +ᵥ f b
tactic: rw [s.affineCombination_eq_weightedVSubOfPoint_vadd_of_sum_eq_one w p hw b,
    s.affineCombination_eq_weightedVSubOfPoint_vadd_of_sum_eq_one w (f ∘ p) hw b₂, ←
    s.weightedVSubOfPoint_vadd_eq_of_sum_eq_one w (f ∘ p) hw (f b) b₂]
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((s.weightedVSubOfPoint p b) w +ᵥ b) = (s.weightedVSubOfPoint (⇑f ∘ p) (f b)) w +ᵥ f b
state_after: no goals
tactic: simp only [weightedVSubOfPoint_apply, RingHom.id_apply, AffineMap.map_vadd,
    LinearMap.map_smulₛₗ, AffineMap.linearMap_vsub, map_sum, Function.comp_apply]