Theorem: _private.Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.0.MeasureTheory.Lp.lintegral_rpow_sum_coe_nnnorm_sub_le_rpow_tsum
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
tactic: have hp_pos : 0 < p := zero_lt_one.trans_le hp1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
tactic: rw [← inv_inv p, @ENNReal.le_rpow_inv_iff _ _ p⁻¹ (by simp [hp_pos]), inv_inv p]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
tactic: simp_rw [eLpNorm', one_div] at hn
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
hn : (∫⁻ (a : α), (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
tactic: change
    (∫⁻ a, (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ p⁻¹ ≤
      ∑' i, B i at hn
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
hn : (∫⁻ (a : α), (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: no goals
tactic: rwa [h_nnnorm_nonneg] at hn