Theorem: MeasureTheory.integral_simpleFunc_larger_space
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

Proof steps:
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
tactic: simp_rw [← f.coe_toLargerSpace_eq hm]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
tactic: have hf_int : Integrable (f.toLargerSpace hm) μ := by rwa [SimpleFunc.coe_toLargerSpace_eq]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ
⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ
⊢ ∑ x ∈ (SimpleFunc.toLargerSpace hm f).range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
tactic: rw [SimpleFunc.integral_eq_sum _ hf_int]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ
⊢ ∑ x ∈ (SimpleFunc.toLargerSpace hm f).range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x =
    ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
state_after: no goals
tactic: congr 1