Theorem: infinite_not_isOfFinOrder
File: Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean

Proof steps:
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
tactic: let s := { n | 0 < n }.image fun n : ℕ => x ^ n
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
tactic: have hs : s ⊆ { y : G | ¬IsOfFinOrder y } := by
    rintro - ⟨n, hn : 0 < n, rfl⟩ (contra : IsOfFinOrder (x ^ n))
    apply h
    rw [isOfFinOrder_iff_pow_eq_one] at contra ⊢
    obtain ⟨m, hm, hm'⟩ := contra
    exact ⟨n * m, mul_pos hn hm, by rwa [pow_mul]⟩
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ s.Infinite
tactic: suffices s.Infinite by exact this.mono hs
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ s.Infinite
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
⊢ IsOfFinOrder x
tactic: contrapose! h
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
⊢ IsOfFinOrder x
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
this : ¬Injective fun n => x ^ n
⊢ IsOfFinOrder x
tactic: have : ¬Injective fun n : ℕ => x ^ n := by
    have := Set.not_injOn_infinite_finite_image (Set.Ioi_infinite 0) (Set.not_infinite.mp h)
    contrapose! this
    exact Set.injOn_of_injective this
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
this : ¬Injective fun n => x ^ n
⊢ IsOfFinOrder x
state_after: no goals
tactic: rwa [injective_pow_iff_not_isOfFinOrder, Classical.not_not] at this