Theorem: CategoryTheory.Functor.additive_of_full_essSurj_comp
File: Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
state_after: case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
tactic: obtain ⟨f', hf'⟩ := F.map_surjective ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫
      (F.objObjPreimageIso Y).inv)
state_before: case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
state_after: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
tactic: obtain ⟨g', hg'⟩ := F.map_surjective ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫
      (F.objObjPreimageIso Y).inv)
state_before: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
state_after: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map
      ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv +
        (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) =
    G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) +
      G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)
tactic: simp only [← cancel_mono (G.map (F.objObjPreimageIso Y).inv),
      ← cancel_epi (G.map (F.objObjPreimageIso X).hom),
      Preadditive.add_comp, Preadditive.comp_add, ← Functor.map_comp]
state_before: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map
      ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv +
        (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) =
    G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) +
      G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)
state_after: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = (F ⋙ G).map (f' + g')
tactic: erw [← hf', ← hg', ← (F ⋙ G).map_add]
state_before: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = (F ⋙ G).map (f' + g')
state_after: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))
tactic: dsimp
state_before: case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))
state_after: no goals
tactic: rw [F.map_add]