Theorem: _private.Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange.0.LieAlgebra.ExtendScalars.bracket_leibniz_lie
File: Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean

Proof steps:
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)
tactic: simp only [bracket_def]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)
state_after: case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z)

case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x : A) (y_1 : L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y_1)) y)) z +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) z)

case refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x y_1 : A ⊗[R] L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y_1) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) z) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y_1)) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) z)
tactic: refine x.induction_on ?_ ?_ ?_