Theorem: CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitMonoOfCokernel_inl
File: Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean

Proof steps:
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (𝟙 Y - (𝟙 Y - retraction f ≫ f)) ≫ Cofork.π c = 0
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
c' : CokernelCofork (𝟙 Y - (𝟙 Y - retraction f ≫ f)) := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯
⊢ 𝟙 Y - (𝟙 Y - retraction f ≫ f) = retraction f ≫ f
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
c' : CokernelCofork (𝟙 Y - (𝟙 Y - retraction f ≫ f)) := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯
i' : IsColimit c' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯
i'' : IsColimit (coforkOfCokernelCofork c') := isColimitCoforkOfCokernelCofork i'
⊢ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ≫ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) = 𝟙 Y - retraction f ≫ f
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ f ≫ retraction f = 𝟙 X
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ f ≫ Cofork.π c = 0
state_after: no goals
tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯;
      let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯;
      let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i';
      (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫
      retraction f =
    0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯
          (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫
      retraction f =
    0
tactic: dsimp only
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯
          (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫
      retraction f =
    0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0
tactic: rw [splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork_section_,
      isColimitCoforkOfCokernelCofork_desc, isCokernelEpiComp_desc]
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
tactic: dsimp only [cokernelCoforkOfCofork_ofπ]
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
tactic: letI := epi_of_isColimit_cofork i
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
tactic: apply zero_of_epi_comp c.π
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f - retraction f = 0
tactic: simp only [sub_comp, comp_sub, Category.comp_id, Category.assoc, IsSplitMono.id, sub_self,
      Cofork.IsColimit.π_desc_assoc, CokernelCofork.π_ofπ, IsSplitMono.id_assoc]
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f - retraction f = 0
state_after: case a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f = retraction f
tactic: apply sub_eq_zero_of_eq
state_before: case a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f = retraction f
state_after: no goals
tactic: apply Category.id_comp
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯;
      let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯;
      let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i';
      (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫
      Cofork.π c =
    𝟙 c.pt
state_after: no goals
tactic: apply SplitEpi.id