Theorem: isIntegralCurveOn_Ioo_eqOn_of_contMDiff
File: Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean

Proof steps:
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ EqOn γ γ' (Ioo a b)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ EqOn γ γ' (Ioo a b)
tactic: set s := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b with hs
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ EqOn γ γ' (Ioo a b)
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Ioo a b ⊆ s
tactic: suffices hsub : Ioo a b ⊆ s from fun t ht ↦ mem_setOf.mp ((subset_def ▸ hsub) t ht).1
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Ioo a b ⊆ s
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ closure s ∩ Ioo a b ⊆ s

E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ IsOpen s
tactic: apply isPreconnected_Ioo.subset_of_closure_inter_subset (s := Ioo a b) (u := s) _
    ⟨t₀, ⟨ht₀, ⟨h, ht₀⟩⟩⟩