ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasSum (fun n => (↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) (oddKernel (↑a) x)
a x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))
a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))
a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))
a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ ↑((↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) =
    cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ (↑n + ↑a) * cexp (-↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 * ↑x) =
    (↑n + ↑a) * cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x + (2 * ↑π * I * ↑n * (↑a * I * ↑x) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑x)))
a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ -↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 = -↑π * ↑a ^ 2 + (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2) * I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
⊢ supported R Set.univ = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
hS : S.Countable
⊢ IsGδ (⋂₀ S)
x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn ℝ n log {0}ᶜ
x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ log {0}ᶜ
x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ DifferentiableOn ℝ log {0}ᶜ ∧ ContDiffOn ℝ ⊤ (deriv log) {0}ᶜ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ I.incl.idealRange = I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ b
α : Type u
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 2), 0 ^ i = if n + 2 = 0 then 0 else 1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => c - f y) s x = -derivWithin f s x
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R M
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R ↥(range f) ≤ Module.rank R M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)
⊢ AEStronglyMeasurable (s.piecewise f g) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)
⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae μ] s.piecewise (AEStronglyMeasurable.mk f hf) (AEStronglyMeasurable.mk g hg)
θ : Angle
⊢ ↑(↑θ.expMapCircle).arg = θ
case h
x✝ : ℝ
⊢ ↑(↑(↑x✝).expMapCircle).arg = ↑x✝
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A₁ : Type u_7
B₁ : Type u_8
A₂ : Type u_9
B₂ : Type u_10
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : CommRing B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : CommRing B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x : B₁
this : Algebra A₁ B₂ := ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)).toAlgebra
e' : B₁ ≃ₐ[A₁] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
⊢ (trace A₁ B₁) x = e₁.symm ((trace A₂ B₂) (e₂ x))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
⊢ lp.single p i (c • a) = c • lp.single p i a
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (extChartAt I (fs.c i)).source
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (chartAt H (fs.c i)).source
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : Differentiable 𝕜 fun y => f y + c
⊢ Differentiable 𝕜 f
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ sinKernel a x = 0
case H
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ
⊢ sinKernel (↑a') x = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.202561}
α : Type u
A : Set (Set α)
⊢ #↑(⋃₀ A) ≤ #↑A * ⨆ s, #↑↑s
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.202561}
α : Type u
A : Set (Set α)
⊢ #↑(⋃ i, ↑i) ≤ #↑A * ⨆ s, #↑↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet {a | ∃ i, p i a}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet (⋃ i, {x | p i x})
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.63018, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
⊢ Hom.comp (homMk z₁) (homMk z₂) = homMk (z₁.comp₀ z₂ z₃)
case intro.mk.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g u v : R[X]
h1 : u * v = 1
h2 : v * u = 1
ha : f * ↑{ val := u, inv := v, val_inv := h1, inv_val := h2 } = g
a b : R[X]
h : (a * f + b * derivative f) * (u * v) = 1 * 1
h3 : derivative (u * v) = derivative 1
⊢ (a * v + b * derivative v) * g + b * v * derivative g = 1
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ (p + q).degree ≤ max p.degree q.degree
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅
case h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
⊢ ((γ.rightUnshift n hn').rightShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝ : Bornology α
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.Finite
⊢ IsBounded (⋃ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, IsBounded (f i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : n = 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ padicNorm p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≤ 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ (↑p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num)⁻¹ ≤ 1
case ha
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ 1 ≤ p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num
case ha.h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ 0 < p
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ f.eraseLead ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ ¬(f.support.erase f.natDegree).card = 0
case w.w.h
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} B
inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
Y' : B
⊢ eB.inverse.map ((equivalence₁ hF).counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y')) ≫ eB.unitIso.inv.app Y' =
    (equivalence₂CounitIso eB hF).hom.app Y'
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact
⊢ S.δ₀.Exact
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact
⊢ S.δ₀.Exact
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ LiftPropWithinAt P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
inst✝ : IsFiniteKernel ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) atTop (𝓝 (κ.density ν a x s))
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X) =
    𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)
case w
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
          (𝟙 X)) ∘
      FreeAlgebra.ι R =
    ⇑(𝟙
          ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S),
                map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj
            X)) ∘
      FreeAlgebra.ι R
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
      (f✝ ≫ g✝) =
    { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫
      { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝
case w
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
          (f✝ ≫ g✝)) ∘
      FreeAlgebra.ι R =
    ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
            f✝ ≫
          { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
            g✝) ∘
      FreeAlgebra.ι R
case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ =
    (⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝
case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ =
    ((⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝))) ∘
        FreeAlgebra.ι R)
      x✝
case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) =
    ((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) (((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝)) (FreeAlgebra.ι R x✝))
m n✝ n : ℤ
⊢ Even (n * (n + 1))
R : Type u
X : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.rank R (FreeAlgebra R X) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (List X))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α
⊢ edist ((fun x => (f x, g x)) x) ((fun x => (f x, g x)) y) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α
⊢ max (edist ((fun x => (f x, g x)) x).1 ((fun x => (f x, g x)) y).1)
      (edist ((fun x => (f x, g x)) x).2 ((fun x => (f x, g x)) y).2) ≤
    max (↑Kf * edist x y) (↑Kg * edist x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Icc a b \ {b} ↔ x ∈ Ico a b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : End X
⊢ (refl X).conj f = f
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K
⊢ ∀ (i : ι),
    ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) =
      x✝.comp (of i)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K
⊢ ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (base φ) =
    x✝.comp (base φ)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }
fst✝ : (i : ι) → G i →* K
snd✝ : H →* K
property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2
⊢ (fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩)
      ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) =
    ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
k n : ℕ
⊢ replicate k a ≤ replicate n a ↔ List.replicate k a <+ List.replicate n a
n m N : ℕ
a : ZMod N
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (unitsMap ⋯) u = hu₀.unit
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d
case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ a = ↑u * ↑d
case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ d * a₀ % N = d * (↑u).val % N
case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ a₀ % N₀ = (↑u).val % N₀
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Star R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint (r • x)
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (F.obj (op U))
V : C
i : V ⟶ U
⊢ (imageSieve f ((f.app (op U)) s)).arrows i ↔ ⊤.arrows i