ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (F.obj (op U))
V : C
i : V ⟶ U
⊢ ∃ t, (f.app (op V)) t = (G.map i.op) ((f.app (op U)) s)
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
hi : optParam (i.castSucc ≠ 0) ⋯
⊢ p.predAbove i.castSucc = i.castSucc.pred hi
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
g : B →+* C
f : A →+* B
hg : g.FinitePresentation
hf : f.FinitePresentation
ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra
ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra
ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
a : A
b : B
c : C
⊢ (a • b) • c = a • b • c
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨆ b ∈ range f, g b = ⨆ i, g (f i)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
this✝ : p.coeff p.natDegree ≠ 0
this : (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = 0
⊢ False
case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property : a ∈ f ⁻¹' {h c}
⊢ o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ =
    (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩
case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ =
    (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩
case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c
case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ eqToHom ⋯ ≫
      biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
        z ≫
          ((∑ j : β, biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫
            biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c
case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ ∑ j : β,
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            ((biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫
              biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
c d : Concept α β r
⊢ c.toProd.2 ⊂ d.toProd.2 ↔ d < c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊓ s.sup f = s.sup fun i => a ⊓ f i
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)
⊢ I • ↑(negISMul a) = ↑a
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ
case intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
e : α ≃ β
this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
e : α ≃ β
this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e
h1 : Fintype.card α = Fintype.card β
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ
case a
i j : Fin 2
⊢ (LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) conjAe.toLinearMap i j = !![1, 0; 0, -1] i j
⊢ 2 ^ System.Platform.numBits ≤ 2 ^ 64
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * riemannZeta s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.natDegree ≤ Fintype.card n
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i).natDegree ≤ Fintype.card n
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ Finset.fold max 0 (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ ≤
    Fintype.card n
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ.val,
    x ≤ Fintype.card n
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).natDegree ≤ 1
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (X * C (A (g i) i) + C (B (g i) i)).natDegree ≤ 1
b : Bool
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ
⊢ shiftLeft' b m n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) s
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
r' : List α
⊢ foldr List.cons (node size✝ l x r) r' = (node size✝ l x r).toList ++ r'
a b m n p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
h_mult : ∀ (x y : ℕ), x.Coprime y → f (x * y) = f x * f y
hf0 : f 0 = 1
hf1 : f 1 = 1
⊢ f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b * z ^ b
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖f n * z ^ n‖ ≤ C * (‖z‖ / ‖w‖) ^ n
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ * ‖z‖ ^ n ≤ C / ‖w‖ ^ n * ‖z‖ ^ n
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C / ‖w‖ ^ n
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ * ‖z‖ ^ n ≤ C / ‖w‖ ^ n * ‖z‖ ^ n
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : eval {fun x => false} nil ∈ Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {m | m < nil})
⊢ False
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ op ((x - 1) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (x ^ n - 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Finset β
f : β → α
⊢ ∏ i ∈ p, Associates.mk (f i) = Associates.mk (∏ i ∈ p, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Finset β
f : β → α
this : (fun i => Associates.mk (f i)) = Associates.mk ∘ f
⊢ ∏ i ∈ p, Associates.mk (f i) = Associates.mk (∏ i ∈ p, f i)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod)
    (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧
    HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ)
      ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
this :
  Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧
    HasDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧
    HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ)
      ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P✝ Q✝ : Submodule R A
m n : A
P Q : Submodule R A
x : A
hx : x ∈ P * Q
⊢ x ∈ span R (↑P * ↑Q)
case mpr
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
⊢ (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α
case mpr.refine_1
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ IsClosed (closure (orbit M x✝))

case mpr.refine_2
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ ∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)

case mpr.refine_3
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ ¬closure (orbit M x✝) = ∅
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g
⊢ (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ snd = snd'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset β
f : β → α
h : p ∣ (Multiset.map f s).prod
⊢ ∃ a ∈ s, p ∣ f a
J : Type v'
inst✝¹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ Y
αY : Y' ⟶ X
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX g
hg : IsPullback g' αW αY f
hh : CommSq h' αX αZ i
hi : CommSq i' αY αZ h
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ i ∧ IsPullback i' αY αZ h
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
⊢ Algebra.IsAlgebraic K A ↔ Algebra.IsIntegral K A
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b✝ : α
inst✝³ : Mul H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a b : H
⊢ Commute (g • a) b ↔ Commute a b
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ (bernsteinPolynomial R n ν).comp (1 - X) = bernsteinPolynomial R n (n - ν)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ (f.genEigenspace μ) k = f.eigenspace μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
m : M
hm : m ∈ (f.genEigenspace μ) k
⊢ f m = μ • m
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
⊢ e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ : R[X]
p : ℕ
n : R
x✝ :
  eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) =
    Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X)
      (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) =
    Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Injective f
l : β →₀ M
hl : ↑l.support ⊆ Set.range f
⊢ mapDomain f (comapDomain f l ⋯) = l
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
⊢ s = a ::ₛ ⟨m, this⟩
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α✝
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s ≠ univ ↔ ∃ a, a ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
x : Part α
⊢ ∀ (a : β), a ∈ x.bind (some ∘ f) ↔ a ∈ map f x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (1 - A * B).det = (1 - B * A).det
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ ∀ (i : (α × α) × α × α),
    i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔
      (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈
        filter
          (fun x =>
            match x with
            | ((a, b), c, d) => a * b = c * d)
          ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis p fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 S (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
⊢ (comap (Prod.map S.restrict S.restrict) (𝓤 (↑S → β))).HasBasis p fun i =>
    Prod.map (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (↑S) β (s i)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
⊢ u ⬝ᵥ (v + w) = u ⬝ᵥ v + u ⬝ᵥ w