ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ (sup fun n => o ^ ↑n) = o ^ ω
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ c ∈ a.bind (f.comp g) ↔ c ∈ (a.bind g).bind f
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ a_1 x, a_1 ∈ a ∧ x ∈ g a_1 ∧ c ∈ f x) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1
case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ b, ∃ a_1 ∈ a, b ∈ g a_1 ∧ c ∈ f b) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ cgf (-X) μ t = cgf X μ (-t)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt (toIocMod hp a) (Iic x) x
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
this : ContinuousNeg 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt ((fun x => p - x) ∘ toIcoMod hp (-a) ∘ Neg.neg) (Iic x) x
case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
j✝¹ j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ map p ≫ π g j✝¹ = ι f j✝ ≫ map' p ≫ π g j✝¹
case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
j✝¹ j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ π f j✝¹ ≫ p j✝¹ = p j✝ ≫ ι g j✝ ≫ π g j✝¹
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
this : ∃ n, (lift fun a => if a ∈ s then 0 else X) (of p) = ↑n
⊢ p ∈ s
case neg
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
this : ∃ n, X = ↑n
⊢ False
case neg.intro
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = ↑w
⊢ 1 = 0
case neg.intro
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = C ↑w
this : X.coeff 1 = (C w).coeff 1
⊢ 1 = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this : la'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ∫ (x : ℝ) in va a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..ub a✝, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)
case isAlgebraic
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
R : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ IsAlgebraic R x
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : IsPartition c
x : α
t : Set α
ht : (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) t ∧ ∀ (y : Set α), (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) y → y = t
⊢ t ∈ c ∧ x ∈ t
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : IsPartition c
x : α
t : Set α
ht : (t ∈ c ∧ x ∈ t) ∧ ∀ (y : Set α), y ∈ c ∧ x ∈ y → y = t
⊢ t ∈ c ∧ x ∈ t
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
f : α → β
s : Multiset α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ countP p (map f s) = card (filter (fun a => p (f a)) s)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
⊢ x ^ y < 1 ↔ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y
⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
case intro
d : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ d
⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite
⊢ (f ⁻¹' s).Finite
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite
⊢ (⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y}).Finite
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G
⊢ f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op =
    (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫
      Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b
⊢ f (a ⊓ b) ≤ f ⊥
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 2
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(cos x) ^ n * f x) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 (f 0))
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
c_zero_pos : 0 < cos 0
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
c_zero_pos : 0 < cos 0
zero_mem : 0 ∈ closure (interior (Icc 0 (π / 2)))
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.IsIdealMorphism
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' Ioo b c = Ioo (a * b) (a * c)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = 0 ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {q})) p = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f'✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f g f' g' : Module.End R M
h : B.IsAdjointPair B f g
h' : B.IsAdjointPair B f' g'
x y : M
⊢ (B ((f * f') x)) y = (B x) ((g' * g) y)
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B
⊢ A * B * ⅟B = A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card + sᶜ.card = Fintype.card α
case intro
N✝ : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
N : ℕ+
HN : Gamma ↑N ≤ Γ
⊢ Gamma ↑N ≤ g • Γ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
case h.e_5.h.h.e_5.h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯).toAlgebra = inst✝¹
case h.e_5.h.h.e_5.h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
x' : R ⧸ p
x : R
⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯) ((Quotient.mk p) x) =
    (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ k ∈ Ioc k n, (↑k ^ 2)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ((↑n + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) / ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) ≤ 1 / ↑n
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ 𝓝 a
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h :
  (MonoidHom.toAdditive'
        ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp
          (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom))
      a₁✝ =
    (MonoidHom.toAdditive'
        ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp
          (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom))
      a₂✝
⊢ a₁✝ = a₂✝
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h :
  (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K)))
      ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₁✝)) =
    (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K)))
      ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₂✝))
⊢ a₁✝ = a₂✝
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g) =
    (sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)