ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f g : ℕ → ℝ≥0∞
h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤
h₂ : g ≤ f
this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i
⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) + ∑' (i : ℕ), g i = ∑' (i : ℕ), f i
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
⊢ ‖↑z‖ = ‖↑z‖
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝¹ b a : α
s : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ s \ {a} ↔ a✝ ∈ s.erase a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
⊢ IsTopologicalBasis (lawsonBasis α)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 :
  lawsonBasis α =
    image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α))
      {U | IsOpen U}
⊢ IsTopologicalBasis
    (image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α))
      {U | IsOpen U})
case h.e'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 :
  lawsonBasis α =
    image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α))
      {U | IsOpen U}
⊢ inst✝¹ =
    induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓
      induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
case h.e'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 :
  lawsonBasis α =
    image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α))
      {U | IsOpen U}
⊢ lower α ⊓ scott α =
    induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓
      induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 :
  lawsonBasis α =
    image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α))
      {U | IsOpen U}
x✝ : TopologicalSpace α := scott α
⊢ scott α = induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f (1 * y) ≤ c * f 1 * f y
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f y ≤ 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
⊢ x ∈ (extChartAt I x).source
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
case inr
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
case inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
⊢ p ^ k ∣ a * b → p ^ k ∣ a ∨ p ^ k ∣ b
case inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
⊢ k ≤ a.factorization p + b.factorization p → k ≤ a.factorization p ∨ k ≤ b.factorization p
case inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
this : a.factorization p = 0 ∨ b.factorization p = 0
⊢ k ≤ a.factorization p + b.factorization p → k ≤ a.factorization p ∨ k ≤ b.factorization p
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Gamma s ≠ 0
s : ℂ
hs : 0 < s.re
m : ℕ
⊢ s ≠ -↑m
s : ℂ
m : ℕ
hs : s = -↑m
⊢ s.re ≤ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (range ↑I) (↑(f'.extend I) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ↑(f'.extend I) x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source
⊢ ↑(f'.extend I) x ∈ ↑(f'.extend I) '' (f'.source ∩ f.source)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
⊢ fract (-x) = 0 ↔ fract x = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
⊢ (∃ z, -x = ↑z) ↔ ∃ z, x = ↑z
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ iSup K
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (colim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).hom =
    ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f =
    ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv
case w
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ colimit.ι (X✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G X✝).inv ≫ G.map (colimMap f) =
    (whiskerRight f G).app j ≫ colimit.ι (Y✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G Y✝).inv
case w
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map (colimit.ι X✝ j ≫ colimMap f) = G.map (f.app j ≫ colimit.ι Y✝ j)
case mk.mk
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame
⊢ ¬Quot.mk Setoid.r x ⧏ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ≤ Quot.mk Setoid.r x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π / 2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (l.erase a).length + 1 = l.length
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W
⊢ ((1 ⊗ ρW).asAlgebraHom r) (x ⊗ₜ[k] y) = x ⊗ₜ[k] (ρW.asAlgebraHom r) y
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W
⊢ (Finsupp.sum r fun i d => d • x ⊗ₜ[k] (ρW i) y) = x ⊗ₜ[k] Finsupp.sum r fun i d => d • (ρW i) y
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
⊢ LocalRing R
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
this : Nontrivial R
⊢ LocalRing R
case h
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
this : Nontrivial R
a b : R
⊢ a ∈ nonunits R → b ∈ nonunits R → a + b ∈ nonunits R
case h
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
this : Nontrivial R
a b : R
⊢ f a ∈ nonunits S → f b ∈ nonunits S → f a + f b ∈ nonunits S
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
a : 𝕜
j : ι
⊢ single i a j = if j = i then a else 0
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => (s - ↑(1 / 2)) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] ↑(1 / 2)) (𝓝 (1 * 1))
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => (s - 1 / 2) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] (1 / 2)) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => (s - 1 / 2) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] (1 / 2)) (𝓝 1)
s : ℂ
⊢ ((fun s => (s - 1 / 2) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ range (extend f g g') ⊆ range g ∪ g' '' (range f)ᶜ
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
⊢ (mapL fun i => ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
case a.H.H
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑(mapL fun i => ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ =
    ((↑(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
⊢ 1 < a ∧
    k ≤ yn a1 k ∧
      (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
a k x y : ℕ
x✝ : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
kpos : k > 0
⊢ k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ u v s t b,
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
a k x y : ℕ
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ 0
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ u v s t b,
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
ji : j ≡ i [MOD 4 * n]
⊢ i = k
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky✝ : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
x✝ :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ u v s t b,
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
iln : i ≤ n
yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n
jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ki : k + i < 4 * yn a1 i
ji : j ≡ i [MOD 4 * n]
this : i % (4 * yn a1 i) = k % (4 * yn a1 i)
⊢ i = k
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.negAddY P Q / addZ P Q ^ 3 =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
      (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
⊢ (succ o).IsFundamentalSequence 1 fun x x => o
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : ¬v = 0
⊢ ⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw⟩⟫_𝕜 = 0
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw⟩⟫_𝕜 = 0
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫_𝕜 = 0
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ν = μ ∨ ⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫_𝕜 = 0
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : (X₂ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)
X X' : GradedObject I C
φ : X ⟶ X'
⊢ tensorHom (𝟙 tensorUnit) φ ≫ (leftUnitor X').hom = (leftUnitor X).hom ≫ φ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G
⊢ (hHT.equiv g₁).2 = (hHT.equiv g₂).2 ↔ RightCosetEquivalence (↑H) g₁ g₂