ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩
case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k'✝ l'✝ : ℕ
s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))
hs : s.card = l'✝
hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝
hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝
⊢ ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩
case mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ (fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) =
    ⟨n, s⟩
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun n => (1 - p) ^ n) (1 - (1 - p))⁻¹
⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) ((1 - (1 - p))⁻¹ * p)
⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) (p⁻¹ * p)
⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I✝ : MultispanIndex C
K : Multicofork I✝
I : MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)
⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y),
    I.multispan.map f ≫
        (fun x =>
            match x with
            | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a)
            | WalkingMultispan.right b => π b)
          Y =
      (fun x =>
            match x with
            | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a)
            | WalkingMultispan.right b => π b)
          X ≫
        ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ (fun x y z => 𝒰.gluedCoverT' x y z) x y z ≫
      pullback.snd ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y z)
        ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y x) =
    pullback.fst ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x y)
        ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x z) ≫
      (fun x y => (pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom) x y
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
xs : Stream' α
⊢ (take n xs).dropLast = take (n - 1) xs
p q : ℝ
hp : 0 < p
hq : -1 < q
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ q * rexp (-x ^ p) = 1 / p * Gamma ((q + 1) / p)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ zeroLocus {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus {f} ∪ zeroLocus {g}
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ x ∈ t • s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ t⁻¹ • x ∈ s
m n✝ p n : ℕ
_h : 0 ≤ ↑n
⊢ ↑(↑n).toNat = ↑↑n
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ (P.lieConj h).symm A = P⁻¹ * A * P
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).2.card
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑(⋯.choose, ⋯.choose).2.card
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ (spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ * spanSingleton R₁⁰ x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a - a = 0
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)
inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)
⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.center G) + ∑ x ∈ (noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
p : { a // a ∈ s } → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidablePred p
⊢ filter p s.attach = map (Subtype.map id ⋯) (filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩) s).attach
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
⊢ I.iso.inv ≫ (injectiveResolutions C).map f = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ J.iso.inv
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
⊢ (dTwo A) f = 0 ↔ ∀ (g h j : G), (A.ρ g) (f (h, j)) - f (g * h, j) + f (g, h * j) - f (g, h) = 0
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
⊢ (∀ (a : G × G × G), (dTwo A) f a = 0 a) ↔
    ∀ (g h j : G), (A.ρ g) (f (h, j)) - f (g * h, j) + f (g, h * j) - f (g, h) = 0
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑p ^ (k - s + 1)) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this : FiniteDimensional K L
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s
case refine_2
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) (η₁ + 1 - 1) = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮η⟯ * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = FiniteDimensional.finrank K L
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : (↑p - 1) * (↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L) = (↑p - 1) * ↑p ^ (k.succ - 1)
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ (k.succ - 1)
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ (k.succ - 1)
Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
case refine_2.e_a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * ↑p ^ s
Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s
a b : ℤ
H : b ≠ 0
⊢ a % b < |b|
a b : ℤ
H : b ≠ 0
⊢ a % |b| < |b|
case w
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
case w
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁✝ γ₂✝ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ₁ γ₂ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (γ₁ + γ₂) = γ₁.leftUnshift n hn + γ₂.leftUnshift n hn
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered K
inst✝ : Finite J
⊢ Function.Injective (colimitLimitToLimitColimit F)
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
s : Cotrident f
j : J
⊢ f j ≫ s.ι.app one = s.ι.app zero
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
⊢ f.range.FG
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
⊢ (map f ⊤).FG
α : Type u_1
a : α
inst✝ : Preorder α
x : ↑(Iic a)
⊢ x = ⊤ ↔ ↑x = a
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
β : Type u
f : ℕ → α → β → m β
b : β
as : List α
inst✝ : LawfulMonad m
⊢ foldrIdxM f b as = foldrM (uncurry f) b as.enum
case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LocalRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a : R
⊢ IsUnit (f a) ∨ IsUnit (1 - f a)
case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LocalRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a : R
⊢ IsUnit (1 - a) → IsUnit (1 - f a)
case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LocalRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a : R
⊢ IsUnit (1 - a) → IsUnit (f (1 - a))
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
hb : b ∈ s.centralizer
⊢ a / b ∈ s.centralizer
a : Cardinal.{u_1}
⊢ ↑(toENat a) = a ↔ a ≤ ℵ₀
a : Cardinal.{u_1}
⊢ (∃ a_1, a = ↑a_1) ↔ a ≤ ℵ₀
α : Type u
β : Type v
S T : WSeq (Computation α)
a : α
h1 : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
H : WSeq.LiftRel Equiv S T
h2 : ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t ~> a := (parallel_congr_lem H).mp h1
a' : α
h : a' ∈ parallel S
⊢ a' ∈ parallel T
α : Type u
β : Type v
S T : WSeq (Computation α)
a : α
h1 : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
H : WSeq.LiftRel Equiv S T
h2 : ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t ~> a := (parallel_congr_lem H).mp h1
a' : α
h : a ∈ parallel S
aa : a = a'
⊢ a ∈ parallel T
α : Type u
β : Type v
S T : WSeq (Computation α)
a : α
h1 : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
H : WSeq.LiftRel Equiv S T
h2 : ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t ~> a := (parallel_congr_lem H).mp h1
a' : α
h : a' ∈ parallel T
⊢ a' ∈ parallel S