ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y)))
⊢ g ⁻¹' u ∈ l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)
⊢ g ⁻¹' u ∈ l
α : Type u
inst✝ : Infinite α
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ #α ^ c
α : Type u
inst✝ : Infinite α
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ (#α + 1) ^ c
case h
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
⊢ #{ t // #↑t ≤ #β } ≤ (#α + 1) ^ #β
case h.hf.mk.intro
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β
⊢ ∃ a, (fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) a = ⟨s, ⋯⟩
case h
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β
⊢ ((fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) fun y =>
      if h : ∃ x, g x = y then Sum.inl ↑(Classical.choose h) else Sum.inr { down := 0 }) =
    ⟨s, ⋯⟩
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z✝ : C
f : Y ⟶ X
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
j : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Type u_2
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → j f H → C
k : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → (i : j f H) → W f H i ⟶ Y
⊢ ((ofArrows Z g).bind fun Y f H => ofArrows (W f H) (k f H)) =
    ofArrows (fun i => W (g i.fst) ⋯ i.snd) fun ij => k (g ij.fst) ⋯ ij.snd ≫ g ij.fst
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i
⊢ (funMap F fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = ⟦Structure.Sigma.mk f i (funMap F x)⟧
case intro.intro
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
ik : i ≤ k
jk : Classical.choose ⋯ ≤ k
⊢ (f (Classical.choose ⋯) k jk)
      (funMap F (unify f (fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) (Classical.choose ⋯) ⋯)) =
    (f i k ik) (funMap F x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 < a
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ∀ (a : α) (s : Set γ), MeasurableSet s → ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add :
  ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) =
    (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ Disjoint (univ.pi t₁) (univ.pi t₂) ↔ ∃ i, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
case inr
n k : ℕ
h : n ≥ k
⊢ n.descFactorial k = k ! * n.choose k
case inr
n k : ℕ
h : n ≥ k
⊢ n.descFactorial k = n.choose k * k !
case inr
n k : ℕ
h : n ≥ k
⊢ n.descFactorial k * (n - k)! = n.choose k * k ! * (n - k)!
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ p ≤ ker f ↔ map f p = ⊥
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : R
⊢ (X - C x).Separable
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g
⊢ e.inv.left ≫ e.hom.left = 𝟙 g.left
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
⊢ IsClosed {f | LipschitzWith K f}
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K
⊢ i ∈ I ⊔ J * K
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : 1 ∈ I ⊔ J
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K
⊢ i ∈ I ⊔ J * K
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
i i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
hi : i' + k = i
⊢ ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J * K, y + z = i
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
i i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
hi : i' + k = i
⊢ i' + i1 * k + j * k = i
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
r : Finset α
har : a ∉ r
h : (s ∪ r).card + (s ∩ r).card = s.card + r.card
⊢ (s ∪ insert a r).card + (s ∩ insert a r).card = s.card + (insert a r).card
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
⊢ zip appendStream' s.inits s.tails = const s
case a
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ
⊢ (zip appendStream' s.inits s.tails).get n = (const s).get n
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β
⊢ ((e.symm.trans (swap a b)).trans e) x = (swap (e a) (e b)) x
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β
this : ∀ (a : α), e.symm x = a ↔ x = e a
⊢ ((e.symm.trans (swap a b)).trans e) x = (swap (e a) (e b)) x
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
x : X
hx : x ∈ s
⊢ tᶜ ∈ 𝓝 x
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
x : X
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ (closure t)ᶜ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
⊢ mfderivWithin (I.prod I') I' Prod.snd s x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
⊢ mfderiv (I.prod I') I' Prod.snd x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card =
    if p 0 then (filter (p ∘ succ) univ).card + 1 else (filter (p ∘ succ) univ).card
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
⊢ (S.comp (T.comp (adjoint S))).IsPositive
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
x : F
⊢ 0 ≤ (S.comp (T.comp (adjoint S))).reApplyInnerSelf x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
x : F
⊢ 0 ≤ re ⟪(T.comp (adjoint S)) x, (adjoint S) x⟫_𝕜
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ inst✝¹ = generateFrom b
case intro.intro.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
V : Set (Set X)
V_countable : V.Countable
V_generates : IsTopologicalBasis V
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ inst✝¹ = generateFrom b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
this : Measurable fun _b => sSup ∅
⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ ↑(sInf S).toSubalgebra = ↑(sInf (toSubalgebra '' S))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
⊢ MapsTo (s.piecewise f₁ f₂) (s.ite s₁ s₂) (t.ite t₁ t₂)
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
⊢ EqOn f₁ (s.piecewise f₁ f₂) (s₁ ∩ s)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
⊢ EqOn f₂ (s.piecewise f₁ f₂) (s₂ ∩ sᶜ)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
⊢ split I i x = ⊤
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
J : Box ι
hJ : J ∈ ⊤.boxes
⊢ J ∈ (split I i x).boxes
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)
⊢ J ∈ (split J i x).boxes
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)
⊢ ↑J = J.splitLower i x ∨ ↑J = J.splitUpper i x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f [[a, b]] μ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) = p
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
X : C
⊢ F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj X)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
X : C
⊢ F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((shiftFunctor C n ⋙ F).obj X)
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y
⊢ ‖x‖ • y = ‖y‖ • x
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
⊢ ‖a • u‖ • b • u = ‖b • u‖ • a • u
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
⊢ a • ‖u‖ • b • u = b • ‖u‖ • a • u
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R
⊢ IsUnit (gcd x y) ↔ IsCoprime x y
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X
⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a b : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a + b } = Polynomial.add { toFinsupp := a } { toFinsupp := b }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma ++ mb ∈ a ++ b
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β✝
inst✝ : Primcodable σ
β : Type u_4
e : β ≃ α
this : Primcodable β := Primcodable.ofEquiv α e
⊢ Primrec fun a => encode (e (e.symm a))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
⊢ f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
this : f.coeff i = 0 → f.degree ≠ ↑i
⊢ f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ HD (candidatesBDist X Y) ≤ diam univ + 1 + diam univ
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ finrank K ↥s + finrank K ↥t ≤ finrank K V
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K V
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)
ha : a ∈ s
⊢ G.CliqueFreeOn (s ∩ G.neighborSet a) n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a ≤ b
⊢ Ioc (pred a) b = insert a (Ioc a b)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Z ≅ Y
⊢ f ≫ g ≫ h.inv = f' ≫ g' ≫ h.inv ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
g : ι → α → ℝ
hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
x : ℤ
r : ℝ
⊢ ball x r = Ioo ⌊↑x - r⌋ ⌈↑x + r⌉
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex)
    ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop {z | 0 < z.im}
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex)
    ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop (Subtype.val '' Set.univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : MeasurableSpace δ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E
h : Integrable (fun a => L (φ a)) μ
⊢ Integrable φ μ
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
⊢ (Subtype.val <$>
      Seq.seq
        ((fun x x_1 =>
            match x with
            | ⟨a, h₁⟩ =>
              match x_1 with
              | ⟨b, h₂⟩ => ⟨a b, ⋯⟩) <$>
          f)
        fun x_1 => x) =
    Seq.seq (Subtype.val <$> f) fun x_1 => Subtype.val <$> x
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
⊢ (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_1 =>
      Seq.seq (Seq.seq (pure fun x x_2 => ⟨x.val x_2.val, ⋯⟩) fun x => f) fun x_2 => x) =
    Seq.seq (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_2 => x