ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫
      (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm
      (f ≫ g).hom =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫
      ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv Q₀.presheaf
            ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm
        g.hom
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N) (f ≫ g) =
    ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ M) f ≫ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).map g
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((sheafificationHomEquiv α) (f ≫ g)).hom = ((sheafificationHomEquiv α) f).hom ≫ g.val.hom
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N))
      ((SheafOfModules.toSheaf R).map (f ≫ g)) =
    ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M))
        ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫
      g.val.hom
case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N))
      ((SheafOfModules.toSheaf R).map f ≫ (SheafOfModules.toSheaf R).map g) =
    ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M))
        ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫
      g.val.hom
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
n : Nat
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.nextn n { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
⊢ (B a) b = (B b) c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) a + (B a) b + (B a) c = (B a) c + (B b) c + (B c) c
⊢ (B a) b = (B b) c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) c + (B a) b = (B a) c + (B b) c
⊢ (B a) b = (B b) c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
⊢ {a}.diag = {(a, a)}
q : ℍ
⊢ exp ℝ q = exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
q : ℍ
⊢ Commute (↑q.re) q.im
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I : FractionalIdeal R₁⁰ K
x✝ : ∃ J, I * J = 1
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : I * J = 1
⊢ I * I⁻¹ = 1
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)
hP : P.IsMaximal
⊢ (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R ⧸ P)).IsIntegral
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ z -ᵥ p ∈ affineSegment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
a : α
⊢ p.toOuterMeasure {a} = p a
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
x : Filter β
a : α
⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (b : β) in x, |f b - a| < ε
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
⊢ 1 = chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : ⁅f, k • f⁆ = ⁅f, ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x⁆
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ False
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
this : ↑(↑(chainLength α 0) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) 0)) = 0 (coroot α)
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0
case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
this : chainLength α 0 = 2 * chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S✝ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_9
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : ℤ
a : M
⊢ f (↑x • a) = ↑x • f a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r₁ r₂ : R
⊢ (ι 0) r₁ * (ι 0) r₂ = 0
α✝ β : Type u
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Countable ∧ s.Infinite ↔ Nonempty (Denumerable ↑s)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι
⊢ (∀ j ∈ t, s j ≠ 0) → (Splits i (∏ x ∈ t, s x) ↔ ∀ j ∈ t, Splits i (s j))
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
E : Set α
ε : ℝ
hε✝ : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hε :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator ((fun i => E.indicator (f i)) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
⊢ z ∈ closure (s \ {z}) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≠] z, x ∈ s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X✝ Y P : C
f : Z ⟶ X✝
g : Z ⟶ Y
inl : X✝ ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ 0 ≫ ((coprodZeroIso X).symm ≪≫ (pushoutZeroZeroIso X 0).symm).hom = pushout.inr 0 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cosh ↑x) = cosh ↑x
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ deriv f = enumOrd (fixedPoints f)
case h.e'_3.h.e'_1
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ fixedPoints f = ⋂ i, fixedPoints f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
⊢ Tendsto (fun x => μ (Ico a x)) atTop (𝓝 (μ (Ici a)))
case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)
case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)
case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_Ici : Ici a = ⋃ n, Ico a (xs n)
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)
case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_Ici : Ici a = ⋃ n, Ico a (xs n)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Ico a (xs n)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ (fun x => P.f x - P.f₀) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-P.k)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀ + ((P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀ - P.f₀)) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-P.k)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ y ^ z < x ^ z
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ x ^ (-z) < y ^ (-z)

case hx
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 ≤ y

case hx
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 ≤ x

case ha
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 < x ^ z

case hb
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 < y ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ ¬Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : Disjoint s t
⊢ μ s + μ t ≤ μ u
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
⊢ x \ y < x
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
h : x \ y = x
⊢ y = ⊥
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
h : x ⊓ y = ⊥
⊢ y = ⊥
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Ideal.span {X} = RingHom.ker (constantCoeff R)
case h
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
φ : R⟦X⟧
⊢ φ ∈ Ideal.span {X} ↔ φ ∈ RingHom.ker (constantCoeff R)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ i ∈ ρ.fintsupport x₀
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)
case a
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ x₀ ∈ support ⇑(ρ i)
f : ℕ → ℂ
h : f =O[atTop] 1
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ T2Space (SeparationQuotient X) ↔ R1Space X
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
⊢ x ≡ y [SMOD U] ↔ x - y ∈ U
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
p : α
h1 : p ≠ 0
h2 : ¬IsUnit p
h3 : ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
⊢ Prime (-p)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ p') (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p p'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (Prod.mk c ∘ ↿F) (p ×ˢ p') (𝓤 β) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p p'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s✝ t s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ filter q (filter p s) ↔ a ∈ filter (fun a => p a ∧ q a) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : γ → α
g : γ → β
s : Set γ
hα : WellFounded (rα on f)
hβ : ∀ (a : α), (f ⁻¹' {a}).WellFoundedOn (rβ on g)
⊢ WellFounded (Prod.Lex rα rβ on fun c => (f c, g c))