ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[-(f (i + 1) - f i)|↑𝒢 i]
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] -μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]
case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
x : Ω
hx : (μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x = 0 x
⊢ 0 x = (-μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ smul α φ 0 m = 0
case a.intro
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁ ++ l₂.erase a
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
b : α
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true
⊢ False
case h
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈ comap (MonoidHom.id N) K ↔ x✝ ∈ K
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
x y : M
⊢ x = y ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x) i = (b.repr y) i
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ n - x ^ m) / (x - 1)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : yoneda.map f ≫ η = s
⊢ MakesOverArrow η s f
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) k
⊢ IsGLB (Set.Ioc i j) k
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
⊢ (∀ x ∈ Set.Ioc i j, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1) → x ≤ k
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1
y : ι
hy : y ∈ Set.Ioi i
⊢ x ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] b) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i
case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i
case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ v.carrier
case intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∃ a, v ≤ a ∧ a ≠ v
case intro.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
v' : PartialRefinement u s
hlt : v < v'
⊢ ∃ a, v ≤ a ∧ a ≠ v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ c ≤ a ∆ b ⊔ b ∆ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b ⊔ b \ c ⊔ (c \ b ⊔ b \ a) = a ∆ b ⊔ b ∆ c
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y
C : Type u_1
C' : Type ?u.80223
D : Type u_5
D' : Type ?u.80229
H : Type u_2
H' : Type ?u.80235
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.80243, ?u.80223} C'
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝³ : Category.{?u.80251, ?u.80229} D'
inst✝² : Category.{u_4, u_2} H
inst✝¹ : Category.{?u.80259, ?u.80235} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F
C : Type u_1
C' : Type ?u.80223
D : Type u_5
D' : Type ?u.80229
H : Type u_2
H' : Type ?u.80235
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.80243, ?u.80223} C'
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝³ : Category.{?u.80251, ?u.80229} D'
inst✝² : Category.{u_4, u_2} H
inst✝¹ : Category.{?u.80259, ?u.80235} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
this : F.HasRightDerivedFunctor W ↔ W.Q.HasLeftKanExtension F
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Icc a b ⊆ Ici a
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
k : ℕ
x : 𝕜
⊢ deriv^[k] Inv.inv x = (∏ i ∈ Finset.range k, (-1 - ↑i)) * x ^ (-1 - ↑k)
f : Natβ Natα.succ → WType Natβ
⊢ ofNat (mk Natα.succ f).toNat = mk Natα.succ f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f✝ : X → Y
s : Set X
t : Set Y
f : X → Y
⊢ IsLocalHomeomorph f ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, OpenEmbedding (U.restrict f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ ⟪x, r • y⟫_𝕜 = r * ⟪x, y⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ (starRingEnd 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) r * ⟪y, x⟫_𝕜) = r * ⟪x, y⟫_𝕜
case intro
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W'.Equation ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Equation Q
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b
⊢ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b = ∅
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u✝ v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b
u : Sym2 V
ha : u ∈ G.incidenceSet a
hb : u ∈ G.incidenceSet b
⊢ False
J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j : J
⊢ Nonempty (F.toEventualRanges.obj j)
J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h✝ : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j i : J
f : i ⟶ j
h : F.eventualRange j = range (F.map f)
⊢ Nonempty (F.toEventualRanges.obj j)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
h₁ : P s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ extend m s₁ ≤ extend m s₂
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
h₁ : P s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : P s₂
⊢ extend m s₁ ≤ m s₂ h₂
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
this : ContinuousOn (fun x => (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)) s
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm x = l.next x hx
case intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
⊢ l.formPerm (l.get k) = l.next (l.get k) hx
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).inv.app X =
    (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫
      (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).inv.app X
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
⊢ InjOn f s ↔ BijOn f s s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s
⊢ SurjOn f s s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s
this : Finite ↑s
⊢ SurjOn f s s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (e.target ∩ t)
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
x : α
hx : x ∈ e.source ∩ s
hx' : x ∈ e'.source ∩ s
⊢ ↑e.symm (↑e x) = ↑e'.symm (↑e x)
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.1952
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
u v : U
f g : u ⟶ v
he : (fun f => φ.map f) f = (fun f => φ.map f) g
this : φ.star u (Star.mk f) = φ.star u (Star.mk g)
⊢ f = g
case intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
⊢ Disjoint ((fun i => (ϕ i).range) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j)
case intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)
hxp : f ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : ¬j = i), (ϕ j).range)
⊢ f ∈ ⊥
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
⊢ f ∈ ⊥
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
⊢ f ∈ ⊥
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ f = 1
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ orderOf f ∣ 1