ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ (replicate (n + 2) x).dedup = [x]
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars
case h
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
x✝ : Γ
⊢ x✝ ∈ (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).support ↔ x✝ ∈ x.support
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ IsSemisimple LinearMap.id
case intro
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ
⊢ IsRegular ↑a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (mk s (-x)) i = (-mk s x) i
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (if H : i ∈ s then (-x) ⟨i, H⟩ else 0) = -if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
⊢ (w.whiskerVertical α.hom β.inv).GuitartExact
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
⊢ ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
e : (w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂ ≅
  w.structuredArrowDownwards X₂ ⋙ (StructuredArrow.mapIso (β.app X₂)).functor :=
  NatIso.ofComponents (fun f => StructuredArrow.isoMk (α.symm.app f.right) ⋯) ⋯
⊢ ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial
case mk
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁y₁ : (x₁, y₁) ∈ A
hx₁y₂ : (x₁, y₂) ∈ A
hx₂y₁ : (x₂, y₁) ∈ A
hxy : x₁ + y₂ = x₂ + y₁
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂)
case neg
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0
f' : ι → ℝ≥0 := fun i => f i / (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p)
g' : ι → ℝ≥0 := fun i => g i / (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
⊢ ∑ i ∈ s, f' i * g' i ≤ 1
z : ℍ
⊢ r1 z = 1 / ((z.re / z.im) ^ 2 + 1)
S : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
X : DifferentialObject S C
⊢ (eqToHom ⋯).f = eqToHom ⋯
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
h : x.num = 0
⊢ x = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ χ = 1 ↔ χ.conductor = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
⊢ χ = 1
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
h' : χ.conductor ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R χ.conductor
h : χ = (changeLevel h') χ₀
⊢ χ = 1
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y + x * z) x
⊢ IsCoprime y x
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
⊢ IsIntegral (↥L) x ∧ (IsSeparable (↥L) x → x ∈ (algebraMap (↥L) E).range)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
hx : x ∈ restrictScalars F (↥L)⟮x⟯
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ (c : C), 𝟙 c ∈ (sInf s).arrows c c
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ (c : C), ∀ i ∈ s, 𝟙 c ∈ i.arrows c c
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, γ ∈ (sInf s).arrows c c → Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ (sInf s).arrows d d
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, (∀ i ∈ s, γ ∈ i.arrows c c) → ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ i.arrows d d
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hu₂ : Tendsto (fun j => addOrderOf (u j)) atTop atTop
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![1, 1, 0]⟧
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x‖ ≤ C * |b - a|
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂volume‖ ≤ C * |b - a|
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
⊢ (comap f (𝓝 (f x))).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty
⊢ False
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
⊢ False
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
h' : sInf s ≠ 0
⊢ sInf s = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
⊢ Finite ι
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
⊢ Finite ι
case intro
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
n : ℕ
hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b
⊢ Finite ι
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
⊢ IsUnit a
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
⊢ IsUnit a
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
ha' : (↑a)⁻¹ ∈ A
⊢ IsUnit a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : δ
⊢ x✝ ∈ (f.comp g).comp h x✝¹ ↔ x✝ ∈ f.comp (g.comp h) x✝¹
case h
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
⊢ init (snoc p x) i = p i
case h
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
⊢ p (i.castSucc.castLT ⋯) = p i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
⊢ derivative (p.comp (1 - X)) = -(derivative p).comp (1 - X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
g : β → γ
f : α → β
l : Language α
⊢ (map g) ((map f) l) = (map (g ∘ f)) l
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
P : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, ⋃ (_ : p i), s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.δ ≫ f.f₃.τ₁ = f.f₀.τ₃ ≫ S₂.δ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
case intro
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α
⊢ f a ∈ ↑(lift f).range
q✝ q : ℕ+
⊢ ωb * ω = 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ (s₁ ∪ s₂) ○ t = s₁ ○ t ∪ s₂ ○ t
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ (1 / y)) ^ y = x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ (g * g).IsThreeCycle
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ Nat.Coprime 2 (_root_.orderOf g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * infDist x s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), (L (f t)) (g (-x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ (fun a => (L (f a)) (g (-x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => (L (f (-a))) (g (x + a))
case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)
⊢ (L (f t)) (g (-x - t)) = (L (f (-t))) (g (x + t))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (x_1 : G), (L (f (- -x_1))) (g (x + -x_1)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q * r) = ↑q * ↑r
case intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
n : ℤ
a : α
⊢ IsSquare ((a * a) ^ n)
case H.h.h
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((mk R M N).compr₂ (map LinearMap.id LinearMap.id)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ LinearMap.id) x✝¹) x✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y
⊢ (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ f =
    (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ g
x✝ y x : ℝ
⊢ arccos x ≤ π / 4 ↔ √2 / 2 ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β
⊢ ⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y} = f ⁻¹' s
case intro
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂.toOneCochain α
⊢ γ₂.IsCohomologous γ₁
case intro.intro
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂✝ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂✝.toOneCochain α
β : ZeroCochain G U
h' : OneCohomologyRelation γ₂✝.toOneCochain γ₂.toOneCochain β
⊢ γ₁.IsCohomologous γ₂
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ K = ofReal.fieldRange ∨ K = ⊤
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ range ofReal' ⊆ ↑K
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ range ofReal' ⊆ closure (range (ofReal' ∘ Rat.cast))
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ range ofReal' ⊆ closure (ofReal' '' range Rat.cast)
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ range ofReal' ⊆ ofReal' '' closure (range Rat.cast)
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
⊢ range ofReal' ⊆ ofReal' '' univ
case cons.cons
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl hd' : List α
tl' : List (List α)
ih : (intersperse [x] (hd' :: tl')).join = tl
h' : splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl = hd' :: tl'
⊢ (intersperse [x] (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) (hd :: tl))).join = hd :: tl
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α
⊢ 𝓝 (⨅ i, f i) = ⨅ i, 𝓝 (f i)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α
⊢ (⨅ i, f i).lift' (Iic ∘ 𝓟) = ⨅ i, (f i).lift' (Iic ∘ 𝓟)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
head✝ : α
l : List α
⊢ ((head✝ :: l).sigma fun a => []) = []
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
⊢ ⇑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h x) r
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
⊢ 1 / 2 < eulerMascheroniSeq 6
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
⊢ 7 < rexp (49 / 20 - 1 / 2)
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
⊢ 7 < ∑ i ∈ Finset.range 7, (49 / 20 - 1 / 2) ^ i / ↑i.factorial
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
⊢ Chain R a (b :: t) ↔
    (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧
      ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
case mpr.intro.right.right
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
h0 : ∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)
h : ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
i : ℕ
w : i < t.length - 1
⊢ R (t.get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
⊢ min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
⊢ ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a
⊢ min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)