ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0
⊢ ‖f‖ = max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0
⊢ max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖ = max 0 ‖f.contLinear‖
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
t : Set X
⊢ (∃ x_1, (x ∈ x_1ᶜ ∧ IsOpen x_1ᶜ) ∧ x_1ᶜ ⊆ t) ↔ ∃ i, (x ∉ i ∧ IsClosed i) ∧ iᶜ ⊆ t
case h.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
hm : m ∈ ↑f.ker
⊢ (f.comp f.ker.incl) ⟨m, hm⟩ = 0 ⟨m, hm⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' frontier s = frontier (⇑h '' s)
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R
⊢ (C c * X ^ n).support ⊆ {n}
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x = 0 ↔ x = 0
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) Set.univ x
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
⊢ IsIntegral k z
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z
⊢ IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).preΨ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ n)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
x : AutGalois F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
⊢ ((autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := x }).hom.app A a =
    F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a
z w : ℂ
⊢ (abs z * w) = (abs z) * abs w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
x : E
⊢ Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑(g x))
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
⊢ Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x y) atTop (𝓝 0)
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))
⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))
H : ∀ (n : ℕ) (x y : E), (⇑f)^[n] (x - y) = (⇑f)^[n] x - (⇑f)^[n] y
⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ (e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e ⟨x, hx⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ (sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e ⟨x, hx⟩)
case h
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ (f.lift ⋯) x✝ = j x✝
case h
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2) * j x✝
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
⊢ ConvolutionExistsAt g f x L.flip μ ↔ ConvolutionExistsAt f g x L μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖id x‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ ∀ {x y : V}, ¬G.Adj x y → ¬G.Adj y x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
⊢ (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|) ↔ P.degree ≤ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|
⊢ P.degree ≤ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : 0 < P.degree
⊢ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
⊢ (μ.withDensity f) s ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ^ 2 < n → n < (m + 1) ^ 2 → ¬∃ t, t ^ 2 = n
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
⊢ integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, integralSum f vol (πi J)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes
⊢ (vol J') (f ((π.biUnionTagged πi).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
⊢ a + b ≤ a + (c - a)
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
⊢ b ≤ c - a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
⊢ (Disjoint on fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
x : α
⊢ x ∈ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i → x ∉ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
x : α
a : β
ha : x ∈ f a
b : β
ij : encode a ≠ encode b
hb : x ∈ f b
⊢ False
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), ↑f ⁻¹' {x} = ∅ ∨ ↑f ⁻¹' {x} = univ
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ flatten (Computation.pure s) = s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s' s : Seq (Option α)
h : flatten (Computation.pure s) = s'
⊢ Seq.BisimO (fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1) (Seq.destruct (flatten (Computation.pure s))) s.destruct
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a
⊢ update (update f a v) b w = update (update f b w) a v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ g.compFormalMultilinearSeries p m = 0
case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : Fin m → E
⊢ (g.compContinuousMultilinearMap 0) x✝ = 0 x✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
case inr
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasStrictFDerivAt f f' x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s
⊢ (Filter.comap (fun x => (x.1.toUniformOnFunIsCompact, x.2.toUniformOnFunIsCompact))
        (𝓤 (α →ᵤ[{K | IsCompact K}] β))).HasBasis
    (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) = 1
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)
case h.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯
⊢ IsIntegral K x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
⊢ b ∈ (map f v).toList ↔ f v.head = b ∨ ∃ a ∈ v.tail.toList, f a = b
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂
⊢ associated (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
⊢ (lift fe) ε = (↑fe).2
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
A : Cᵒᵖ
T : Triangle C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
x : Opposite.unop A ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃
⊢ ((preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x =
    x ≫ (shiftFunctor C n₀).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥
⊢ False
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : hζ.toInteger = 1
⊢ False
case h.mk
α : Type u_1
s t : Set α
x y : α
⊢ ((x, y) ∈ range fun x => (x, x)) ↔ (x, y) ∈ diagonal α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
⊢ d ∣ y
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
⊢ d ∣ y
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
⊢ d ∣ y
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
c : R
hc : d = a * c
⊢ d ∣ y
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
ha : Squarefree a
c : R
eq : c * (a * c) = b
hc : d = a * c
⊢ d ∣ y
case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
x✝ : ι
⊢ (⇑f ∘ (g / h)) x✝ = (⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h) x✝
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod)
    (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ ⊤.direction = ⊤