ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this : eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ' = eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_eLpNorm_ne_top : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ').toReal < ε
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this : eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ' = eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_eLpNorm_ne_top : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_eLpNorm_ne_top' : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ').toReal < ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op =
    X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
⊢ IsAlgebraic R ↑n
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap R A) ↑n)
case h
α : Type u
a : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
g : G
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ ((zmultiplesHom G) g).ker ↔ x✝ ∈ zmultiples ↑(addOrderOf g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x, -y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) (-⟪y, x⟫_𝕜) = -⟪x, y⟫_𝕜
case a
α : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
f✝ g✝ : Perm α
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Fintype β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Perm α
b : β
⊢ b ∈ (g.extendDomain f).support ↔ b ∈ map f.asEmbedding g.support
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ seminormFromBounded' f ≠ 0
case intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : f x ≠ 0 x
⊢ seminormFromBounded' f ≠ 0
case intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : f x ≠ 0 x
⊢ ∃ a, seminormFromBounded' f a ≠ 0 a
case h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : f x ≠ 0 x
⊢ seminormFromBounded' f x ≠ 0 x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen r
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
init : Fin E.order → α
n : Fin E.order
⊢ (if h : ↑n < E.order then init ⟨↑n, h⟩
    else
      ∑ k : Fin E.order,
        let_fun x := ⋯;
        E.coeffs k * E.mkSol init (↑n - E.order + ↑k)) =
    init n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y
case a.h
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
⊢ (delayReflRight 0 γ) t = (γ.trans (refl y)) t
case neg
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ (qRight (t, 0)) = y

case pos
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ (qRight (t, 0)) = γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩
case neg
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ (qRight (t, 0)) = γ 1

case pos
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
⊢ γ (qRight (t, 0)) = γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩
case neg.a
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) = ↑1

case pos.a
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) = ↑⟨2 * ↑t, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Seq1 β
⊢ (ret a).bind f = f a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ⇑f ⁻¹' ball 0 ε ⊆ ball 0 1
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ⇑f
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
case neg.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖σ₁₂ c ^ n • f x‖ < ↑ε
hle : ‖σ₁₂ c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖σ₁₂ c‖ * ‖f x‖
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
case neg.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ \ s₂ = s₁ ↔ s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E
hs : MeasurableSet s
⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a✝ : K
H : Irreducible (X ^ n - C a✝)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
a : K
α : L
ha : α ^ finrank K L = (algebraMap K L) a
hα : K⟮α⟯ = ⊤
this : X ^ finrank K L - C a = minpoly K α
⊢ Irreducible (X ^ finrank K L - C a)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
⊢ dickson 2 0 0 = X ^ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
⊢ dickson 2 0 1 = X ^ 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
⊢ dickson 2 0 (n + 2) = X ^ (n + 2)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
⊢ X * dickson 2 0 (n + 1) = X ^ (n + 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =o[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this : (fun x => 1) =o[l] k
⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this✝ : (fun x => 1) =o[l] k
this : f =o[l] fun x => k x * k x ^ (z - 1)
⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this✝ : (fun x => 1) =o[l] k
this : f =o[l] fun x => k x * k x ^ (z - 1)
x : α
hkx : k x ≠ 0
⊢ ‖k x * k x ^ (z - 1)‖ = 1 * ‖k x ^ z‖
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra
this : Algebra S A := g.toAlgebra
⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra
this✝ : Algebra S A := g.toAlgebra
this : IsScalarTower R S A := IsScalarTower.of_algebraMap_eq fun x => rfl
f₁ : R →ₗ[R] S := Algebra.linearMap R S
g₁ : S →ₗ[R] A := (IsScalarTower.toAlgHom R S A).toLinearMap
⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
case h.H
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : Fin n → E
⊢ (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0 n) x = (0 n) x
R : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : Field K✝
inst✝¹⁶ : Field L✝
inst✝¹⁵ : CommRing M
inst✝¹⁴ : Algebra R K✝
inst✝¹³ : Algebra R L✝
inst✝¹² : Algebra R M
x✝ : L✝
int✝ : IsIntegral R x✝
h : Splits (algebraMap R K✝) (minpoly R x✝)
inst✝¹¹ : Algebra K✝ M
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M
x : M
int : IsIntegral R x
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommRing E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
R : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : Field K✝
inst✝¹⁶ : Field L✝
inst✝¹⁵ : CommRing M
inst✝¹⁴ : Algebra R K✝
inst✝¹³ : Algebra R L✝
inst✝¹² : Algebra R M
x✝ : L✝
int✝ : IsIntegral R x✝
h : Splits (algebraMap R K✝) (minpoly R x✝)
inst✝¹¹ : Algebra K✝ M
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M
x : M
int : IsIntegral R x
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommRing E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(Submodule.span E (Set.range fun i => ↑((Module.Free.chooseBasis F ↥L) i))) ≤
    Cardinal.mk (Module.Free.ChooseBasisIndex F ↥L)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
⊢ N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor =
    karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙
      N₁ ⋙
        (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙
          (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b
⊢ a ∣ b
case inr
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b
ha : a ≠ 1
⊢ a ∣ b
case inr.intro
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b
ha : a ≠ 1
p : ℕ
hp : Prime p ∧ p ∣ a
⊢ a ∣ b
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ
⊢ (X ^ n).smeval x = x ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
⊢ vanishingIdeal ∅ = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-a) b = -(toIcoDiv hp a (-b) + 1)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
⊢ LinearIndependent K v ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (X ^ n * p).coeff (d + n) = p.coeff d
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (s ∩ t)
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s ∩ interior t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ TransGen r a c ↔ ∃ b, r a b ∧ ReflTransGen r b c
case mk
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : R ⧸ I
r : R
⊢ (quotientMap I ↑f.symm ⋯) ((↑↑__src✝).toFun (Quot.mk Setoid.r r)) = Quot.mk Setoid.r r
case mk
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : S ⧸ J
s : S
⊢ (↑↑__src✝).toFun ((quotientMap I ↑f.symm ⋯) (Quot.mk Setoid.r s)) = Quot.mk Setoid.r s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
f : R[X]
⊢ ((mkDerivation R) 1) f = derivative f
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x✝¹ y✝ : X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
hT : ∀ t ∈ T, R1Space X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
x y : X
⊢ x ⤳ y ∨ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
⊢ (fun x => 0) =Θ[l] g'' ↔ g'' =ᶠ[l] 0
K✝ : Type u
V✝ : Type v
inst✝⁹ : Ring K✝
inst✝⁸ : StrongRankCondition K✝
inst✝⁷ : AddCommGroup V✝
inst✝⁶ : Module K✝ V✝
K V : Type u
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ #V = #K ^ Module.rank K V
case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ (fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩)
      ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) =
    ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩