ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ (∀ (n : ℕ), ¬¬a ^ (n + 1) ∣ b) ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ (∀ (n : ℕ), a ^ (n + 1) ∣ b) ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
case h.a
a b✝ c b x : ℕ
⊢ x ∈ Iio b ↔ x ∈ range b
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => eval x p) (eval x (derivative p)) x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
u v : m → α
⊢ (1 + col ι u * row ι v).det = 1 + v ⬝ᵥ u
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (condCount s) (s ∩ t) = (condCount s) t
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ oddKernel a x = 0
case H
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ
⊢ oddKernel (↑a') x = 0
case succ
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
⊢ (hn + 1).primeFactorsList <+ ((hn + 1) * k).primeFactorsList
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
⊢ (hn + 1).primeFactorsList <+~ ((hn + 1) * k).primeFactorsList
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
⊢ (hn + 1).primeFactorsList <+~ hn.succ.primeFactorsList ++ k.primeFactorsList
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → γ
g' : β → γ
hg : Measurable g
hg' : Measurable g'
⊢ Measurable (extend f g g')
case succ
s : Finset ℕ
n✝ : ℕ
hsub : s ⊆ (n✝ + 1).properDivisors
⊢ ∑ x ∈ s, x = ∑ x ∈ (n✝ + 1).properDivisors, x → s = (n✝ + 1).properDivisors
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ (∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) =
    cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
S : Set X
⊢ ∀ {x y : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel x S
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
S : Set X
⊢ ∀ {x y z : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel z S → x.HomotopicRel z S
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
⊢ egauge 𝕜 s 0 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
this : 0 ∈ 0 • s
⊢ egauge 𝕜 s 0 = 0
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : {x}.Nontrivial
⊢ False
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : ∃ y ∈ {x}, y ≠ x
y : α
hy : y ∈ {x}
hya : y ≠ x
⊢ False
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
⊢ (↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft) x = (Dual.eval R M) x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
a : α
⊢ a ∈ f.neLocus g ↔ f a ≠ g a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Iic x)).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ Disjoint a bᶜᶜ ↔ Disjoint a b
case nonempty
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∅ ∉ Set.range fun g => g • B

case cover
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ Set.range fun g => g • B) ∧ a ∈ b

case mem_blocks
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∀ b ∈ Set.range fun g => g • B, IsBlock G b
n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
⊢ b.digits n = [n] ∧ 1 < b ∧ 0 < n
n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
b2 : 1 < b
⊢ b.digits n = [n]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
⊢ s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hr :
  Set.univ.Pairwise fun i j =>
    dist (s.points i) (centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (centroid ℝ univ s.points)
⊢ s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
case intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
r : ℝ
hr : ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (centroid ℝ univ s.points) = r
⊢ s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ rec g (mk x) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
case mk
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩
⊢ recF g ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
case mk
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩
⊢ g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω),
    (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
      ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω},
      (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) →
        μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ range m ∈ map m f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
⊢ m '' univ ∈ map m f
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
⊢ Splits (RingHom.id L) (map i f) ↔ Splits i f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
⊢ a + -a = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ |min a b - min c d| ≤ max |a - c| |b - d|
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
case inr
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
case inr
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup (fun x => a + b) f
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
⊢ ∀ (x : α), u x < a ∧ v x < b → (u + v) x ≤ a + b
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
x : α
⊢ u x < a → v x < b → u x + v x ≤ a + b
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
⊢ #ℝ = 𝔠
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ LowerSemicontinuousAt f x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
⊢ ((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp
      ((Quotient.mk P).comp C)).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
⊢ (((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
x : R ⧸ P'
hx : C x ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P
⊢ x = 0
case intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
z : R
hx : C ((Quotient.mk P') z) ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P
⊢ (Quotient.mk P') z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite
⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite
⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, ↑(UpperSet.Ici i))
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
b₁ b₂ : α
⊢ op (fold op b₁ (s₁ ∪ s₂)) (fold op b₂ (s₁ ∩ s₂)) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ s₂)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
⊢ affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ ↑(affineSpan k ps)
⊢ affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ (_root_.orthogonalProjection s.direction) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = 0
case hv
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
c : V
hc : c ∈ s.direction
⊢ ⟪c, p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)⟫_ℝ = 0
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
⊢ (∏ p ∈ s, p).primeFactors = s
case a
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
⊢ p ∈ (∏ p ∈ s, p).primeFactors ↔ p ∈ s
case a
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
⊢ (Prime p ∧ ∃ a ∈ s, p ∣ a) ↔ p ∈ s
case a.intro.intro.intro
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ s
hpq : p ∣ q
⊢ p ∈ s
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S
⊢ IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M)) ↑s)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S
⊢ IsUnit ((Algebra.lsmul R R M) ((algebraMap R R') ↑s))
case h
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
⊢ B ∈ {B | M✶.Base B} ↔ B ∈ (fun X => M.E \ X) '' {B | M.Base B}
case h
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
⊢ M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E ↔ ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
case h
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
x✝ : ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
h : M.E \ B' = B
⊢ M.Base (M.E \ B)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∈ (embDomain f x).support
⊢ g ∈ ⇑f '' x.support
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∉ ⇑f '' x.support
⊢ g ∉ (embDomain f x).support
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized r ↑(𝓒 u v 𝒜)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
⊢ abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
⊢ abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) <
    abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) b)