ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s

⊢ μ.measureOf ((⋃ g, g • fundamentalFrontier G s) ∪ {a | ∃ g, g • a ∈ s}ᶜ) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R

⊢ Sbtw R x ((lineMap x y) r) y ↔ x ≠ y ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R

⊢ x ≠ y → ((lineMap x y) r ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioo 0 1 ↔ r ∈ Set.Ioo 0 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
hxy : x ≠ y

⊢ (lineMap x y) r ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioo 0 1 ↔ r ∈ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i

⊢ ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (M.updateColumn j c).map f i✝ j✝ = (M.map f).updateColumn j (f ∘ c) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n

⊢ f (if j✝ = j then c i✝ else M i✝ j✝) = if j✝ = j then (f ∘ c) i✝ else f (M i✝ j✝)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source

⊢ MDifferentiableAt I I (↑e) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source

⊢ ContinuousAt (↑e) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑e ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' e.source) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑e ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑e ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' e.source))) (↑I (↑(chartAt H x) x))

⊢ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' e.source) ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p q r : α → α → Prop
a b : α
c : { x // p a x ∧ q x b }
h : ∀ {x : α}, r (↑c) x → p a x
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ {x | p a x ∧ q x b} ∩ {y | r (↑c) y} ↔ x✝ ∈ {y | r (↑c) y ∧ q y b}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]

⊢ (p ^ 0).degree ≤ 0 • p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]

⊢ degree 1 ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p ^ (n + 1)).degree ≤ (p ^ n).degree + p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p ^ n * p).degree ≤ (p ^ n).degree + p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p ^ n).degree + p.degree ≤ (n + 1) • p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p ^ n).degree + p.degree ≤ n • p.degree + p.degree
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ ⋂ n, Ici ↑n = {⊤}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hwf : WellFounded r

⊢ hwf.rank a = sup fun b => succ (hwf.rank ↑b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hwf : WellFounded r

⊢ (sup fun b => succ ⋯.rank) = sup fun b => succ (hwf.rank ↑b)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ

⊢ Prime ↑n ↔ Nat.Prime n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ

⊢ (↑n ≠ 0 ∧ ¬IsUnit ↑n ∧ ∀ (a b : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ a * b → ↑n ∣ a ∨ ↑n ∣ b) ↔ n ≠ 0 ∧ ¬IsUnit n ∧ ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ

⊢ ¬IsUnit ↑n ↔ ¬IsUnit n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ a * b → ↑n ∣ a ∨ ↑n ∣ b
b c : ℕ
hbc : n ∣ b * c

⊢ n ∣ b ∨ n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : b * c < ℵ₀

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
this : ∀ {a b : Cardinal.{u}} {n : ℕ} {m : ℕ}, (∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b) → ∀ (b c : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ b * c → ℵ₀ ≤ b * c → b ≠ 0 → c ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c → ↑n ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b → ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
n✝ : ℕ
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
hℵ₀b : ℵ₀ ≤ b

⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
this : ∀ {a b : Cardinal.{u}} {n : ℕ} {m : ℕ}, (∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b) → ∀ (b c : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ b * c → ℵ₀ ≤ b * c → b ≠ 0 → c ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c → ↑n ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b → ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b

⊢ ↑n ∣ c * b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
this : ∀ {a b : Cardinal.{u}} {n : ℕ} {m : ℕ}, (∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b) → ∀ (b c : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ b * c → ℵ₀ ≤ b * c → b ≠ 0 → c ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c → ↑n ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b → ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b

⊢ ℵ₀ ≤ c * b
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ

⊢ IsCoprime ↑m ↑n ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Order/MinMax.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
hf : Monotone f

⊢ f (max a b) = max (f a) (f b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.46756, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.46760, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.46764, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.46776, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : X ⟶ Y

⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (L₁.map f) = L₂.map f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : ¬s a b = true

⊢ merge s (a :: l) (b :: r) = b :: merge s (a :: l) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
htwo : Invertible 2
B : BilinForm R M
Q : QuadraticMap R M R
hB₁✝ hB₁ : (QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q ≠ 0

⊢ ∃ x, ¬IsOrtho ((QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q) x x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
htwo : Invertible 2
B : BilinForm R M
Q : QuadraticMap R M R
hB₁✝ hB₁ : (QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q ≠ 0
x : M
hx : Q x ≠ 0

⊢ ∃ x, ¬IsOrtho ((QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q) x x
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ inv (𝟙 X) = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ 𝟙 X ≫ 𝟙 X = 𝟙 X
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
t : ℝ

⊢ ‖cexp (↑t * I)‖ = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2051, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

⊢ S.Exact ↔ IsZero h.H
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2051, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

⊢ IsZero S.homology ↔ IsZero h.H
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected

⊢ f a ⩿ f b
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : β
ha : f a < c
hb : c < f b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : α
ha : f a < f c
hb : f c < f b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : α
ha : a < c
hb : c < b

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv