ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
x✝ : A[X]

⊢ (aeval ((algebraMap A S) r)) x✝ = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s) x✝
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W

⊢ fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W

⊢ fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n = (fun w => fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w n) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W

⊢ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set α

⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ Disjoint (interior s) (frontier s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range

⊢ f ∈ lifts (algebraMap R K)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod ∈ liftsRing (algebraMap R K)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
P : K[X]
hP : P ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots

⊢ P ∈ liftsRing (algebraMap R K)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
b : K
hb : b ∈ f.roots
hP : X - C b ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots

⊢ X - C b ∈ liftsRing (algebraMap R K)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
y : L'

⊢ y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
y : L'

⊢ y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : n ≤ ramificationIdx f p P

⊢ map f p ≤ P ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : ¬map f p ≤ P ^ n

⊢ ramificationIdx f p P < n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
n : ℕ
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => x ^ n) a = a ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ

⊢ (f * g) ∣[k1 + k2] ↑A = (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ

⊢ (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ

⊢ 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0

⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1

⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s

⊢ f a / s.gcd f = g a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s

⊢ s.gcd f ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)

⊢ finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R

⊢ finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a✝¹ a✝ : ℝ

⊢ ↑a✝¹ * ↑a✝ = ↑a✝ * ↑a✝¹
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

⊢ (algebraMap K F) ((norm K) x) = ((minpoly K x).aroots F).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A

⊢ (fromBlocks A B C D).det = A.det * (D - C * ⅟A * B).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w

⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
fst✝ : Type v
bs : Basis fst✝ R M

⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α

⊢ univ.sup' ⋯ f = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ angle x (x + y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (‖x‖ * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (√(‖x‖ ^ 2) * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G

⊢ μ.innerContent ⊥ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G

⊢ μ.innerContent ⊥ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G

⊢ μ.innerContent ⊥ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥
this : K = ⊥

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0

⊢ Martingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f i - f (i + 1)|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[-(f (i + 1) - f i)|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ

⊢ 0 =ᶠ[ae μ] -μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
x : Ω
hx : (μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x = 0 x

⊢ 0 x = (-μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)

⊢ smul α φ 0 m = 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)

⊢ ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve φ m).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ ↑0 * rexp (-4 * √(log ↑0)) ≤ ↑(rothNumberNat 0)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
h₁ : 4096 ≤ N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
h₁ : N < 4096

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁

⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁ ++ l₂.erase a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁

⊢ ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬(a == b) = true
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
b : α
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true

⊢ False
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
b : α
h : ¬b ∈ l₁
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
x y : M

⊢ x = y ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x) i = (b.repr y) i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ n - x ^ m) / (x - 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : yoneda.map f ≫ η = s

⊢ MakesOverArrow η s f
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) k

⊢ IsGLB (Set.Ioc i j) k
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k

⊢ (∀ x ∈ Set.Ioc i j, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1) → x ≤ k
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1

⊢ ∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1
y : ι
hy : y ∈ Set.Ioi i

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1
y : ι
hy : y ∈ Set.Ioi i
h_le : y ≤ j

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1
y : ι
hy : y ∈ Set.Ioi i
h_lt : j < y

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b

⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] b) l
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b

⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l
-- Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub

⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i
-- Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v

⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i