ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).get ⟨j, ⋯⟩ = (cs.rightInvSeq ω).get ⟨j', ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))
h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))
h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length
h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length + 1 + 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))
h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length
h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length + 1 + 1
h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))
h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length
h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ (ω.eraseIdx j).length + 1
h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1
t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1
h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1
h₄ : t * t' = 1
h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))
h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length
h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ ω.length
h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R

⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x + g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) + ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F✝
inst✝³ : Module ℝ F✝
inst✝² : TopologicalSpace F✝
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
a✝ : x ∈ univ

⊢ (convexHull ℝ) (connectedComponentIn univ x) = univ
-- Mathlib/Algebra/CharP/Reduced.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k m : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x : R

⊢ x ^ (p ^ k * m) = 1 ↔ x ^ m = 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Reduced.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k m : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x : R

⊢ (x ^ m) ^ p ^ k = 1 ↔ x ^ m = 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Reduced.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k m : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x : R

⊢ (iterateFrobenius R p k) 1 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
this : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
this : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
this : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a) atTop (𝓝 (f a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
F : ℕ → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
this : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ

⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ ≤ᶠ[ae μ] bound
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
a : α
a✝ : ι
s✝ : Set ι
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
hT : 𝓝[⋃ i ∈ s✝, s i] a = ⨆ i ∈ s✝, 𝓝[s i] a

⊢ 𝓝[⋃ i ∈ insert a✝ s✝, s i] a = ⨆ i ∈ insert a✝ s✝, 𝓝[s i] a
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ ((∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ moveLeft 0 i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0) ∧ ∀ (j : RightMoves 0), (∃ i, x ≤ (moveRight 0 j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ moveRight 0 j) ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0
-- Mathlib/Data/Int/ConditionallyCompleteOrder.lean
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/Data/Int/ConditionallyCompleteOrder.lean
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s

⊢ sInf s = ↑((Classical.choose h2).leastOfBdd ⋯ h1)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis' I X

⊢ M.closure I = M.closure X
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
α β : Type u_3
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s

⊢ (#α).ord ≤ type s ↔ #α ≤ (type s).card
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
α β : Type u_3
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r

⊢ (#α).ord ≤ type s ↔ #α ≤ (type s).card
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
α β : Type u_3
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r

⊢ (#α).ord ≤ type s ↔ #α ≤ #β
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ (map f s).WOppSide (f x) (f y) ↔ s.WOppSide x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
h : (map f s).WOppSide (f x) (f y)

⊢ s.WOppSide x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : fp₁ ∈ map f s
fp₂ : P'
hfp₂ : fp₂ ∈ map f s
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (fp₂ -ᵥ f y)

⊢ s.WOppSide x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y ∈ s, f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y ∈ s, f y = fp₂
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (fp₂ -ᵥ f y)

⊢ s.WOppSide x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f p₂ -ᵥ f y)

⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
Z : C
g : Y ⟶ Z

⊢ inv f ≫ f ≫ g = g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
b : M

⊢ f = single a b ↔ f.support ⊆ {a} ∧ f a = b
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
b : M

⊢ f.support ⊆ {a} ∧ f a = b → f = single a b
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
f : α →₀ M
a : α
h : f.support ⊆ {a}
x : α

⊢ f x = (single a (f a)) x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
f : α →₀ M
a : α
h : f.support ⊆ {a}
x : α
hx : ¬a = x

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
x : β
hx : IsGenericPoint x (f '' S✝)

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (f '' S✝)

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x S✝
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (f '' S✝)

⊢ IsGenericPoint y S✝
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (f '' S✝)

⊢ f '' closure {y} = f '' S✝
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X X' Y : C
p : X = X'
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y
h : g = eqToHom ⋯ ≫ f

⊢ eqToHom p ≫ eqToHom ⋯ ≫ f = f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
this : (fun t => Ring.inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] _root_.id

⊢ HasFDerivAt Ring.inverse (-((mulLeftRight 𝕜 R) ↑x⁻¹) ↑x⁻¹) ↑x
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁✝ s₂✝ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ 𝒫 s
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ 𝒫 s
h' : f '' s₁ = f '' s₂

⊢ s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
f✝ : β → α
t : Finset β
f g : β → α
H : t.Nonempty
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x

⊢ t.sup' H f = t.sup' ⋯ g
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
f✝ : β → α
t : Finset β
f g : β → α
H : t.Nonempty
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
c : α

⊢ t.sup' H f ≤ c ↔ t.sup' ⋯ g ≤ c
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set α
p : Set β → Prop

⊢ (∃ t ⊆ f '' s, t.Finite ∧ p t) ↔ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ p (f '' t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M

⊢ φ ∈ W.dualAnnihilator ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M

⊢ W.dualRestrict φ = 0 ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M

⊢ (∀ (x : ↥W), φ ↑x = 0 x) ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s

⊢ (affineSpan k (insert p2 ↑s)).direction = Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ⊔ s.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s

⊢ (affineSpan k (↑s ∪ ↑(affineSpan k {p2}))).direction = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s

⊢ (s ⊔ affineSpan k {p2}).direction = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s

⊢ s.direction ⊔ vectorSpan k {p2} ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso (leftHomologyMap' φ h₁ h₂)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ s.encard ≤ t.encard
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP : ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β) (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f
hg : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) g

⊢ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ≫ g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP : ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β) (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f
hg : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) g

⊢ P (⇑g.val.base ∘ ⇑f.val.base)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t

⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : IsEmpty β

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t