ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

⊢ addHaarMeasure b.parallelepiped = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
g : Module.End R M
m : M

⊢ ((toEnd R (Module.End R M) M) g) m = (LieHom.id g) m
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ I.IsPrime
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ I.IsProper ∧ IsPFilter (↑I)ᶜ
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ IsPFilter (↑I)ᶜ
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ (↑I)ᶜ.Nonempty
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) (↑I)ᶜ
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

⊢ ∀ {x y : P}, x ≤ y → x ∈ (↑I)ᶜ → y ∈ (↑I)ᶜ
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι

⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I (ι → R))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ W.Equation x (W.negY x y) ↔ W.Equation x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ (-y - W.a₁ * x - W.a₃) ^ 2 + W.a₁ * x * (-y - W.a₁ * x - W.a₃) + W.a₃ * (-y - W.a₁ * x - W.a₃) = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆ ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}

⊢ Admissible {p, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
hp3 : p < 3

⊢ Admissible {p, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
hp3 : p ∈ Finset.Iio 3

⊢ Admissible {p, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}

⊢ Admissible {2, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
hq4 : q < 4

⊢ Admissible {2, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
hq4 : q ∈ Finset.Ico 2 4

⊢ Admissible {2, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}

⊢ Admissible {2, 3, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
hr6 : r < 6

⊢ Admissible {2, 3, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
hr6 : r ∈ Finset.Ico 3 6

⊢ Admissible {2, 3, r}
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k ↔ i.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k → i.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k

⊢ i.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a

⊢ i.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b

⊢ i.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b

⊢ b = k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b

⊢ b = k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = b * i.gcd k

⊢ b = k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = b * i.gcd k

⊢ (ζ ^ (i.gcd k * a)) ^ b = 1
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R

⊢ eval r (p * (X - C r)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R

⊢ ((p * (X - C r)).sum fun e a => a * r ^ e) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ ((p * (X - C r)).sum fun e a => a * r ^ e) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ ∑ a ∈ range (p.natDegree + 2), (p * (X - C r)).coeff a * r ^ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * r ^ n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ ∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p * (X - C r)).coeff (k + 1) * r ^ (k + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ ∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p.coeff k * r ^ (k + 1) - p.coeff (k + 1) * r ^ (k + 1 + 1)) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2

⊢ p.coeff 0 * r ^ (0 + 1) - p.coeff (p.natDegree + 1) * r ^ (p.natDegree + 1 + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J

⊢ (s.pt.mul ≫ limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝ = (MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ (limit F).mul) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J

⊢ MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul = MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ MonoidalCategory.tensorHom (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) ≫ (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J

⊢ MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul = MonoidalCategory.tensorHom (((forget C).mapCone s).π.app j✝) (((forget C).mapCone s).π.app j✝) ≫ (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j

⊢ m.hom = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
j : J

⊢ m.hom ≫ limit.π ((monFunctorCategoryEquivalence J C).inverse.obj F).X j = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom ≫ limit.π ((monFunctorCategoryEquivalence J C).inverse.obj F).X j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
j : J

⊢ m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
j : J

⊢ m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = (s.π.app j).hom
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M

⊢ (toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R

⊢ coeff m ((monomial s) r * p) = if s ≤ m then r * coeff (m - s) p else 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R

⊢ coeff m (p * (monomial s) r) = if s ≤ m then coeff (m - s) p * r else 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
e : α ↪o β
x y : α

⊢ ⇑e ⁻¹' uIcc (e x) (e y) = uIcc x y
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this : Algebra R S := f.toAlgebra

⊢ f.IsIntegralElem z
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {y})).FG

⊢ f.IsIntegralElem z
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x, y})).FG

⊢ f.IsIntegralElem z
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]

⊢ x✝ ∈ LinearMap.ker (mapRingHom f).toSemilinearMap ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]

⊢ (↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝ = 0 ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]

⊢ (∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), x✝.coeff n ∈ RingHom.ker f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]

⊢ (∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), f (x✝.coeff n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S

⊢ eval₂ f 1 p = f (eval 1 p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S

⊢ 1 = f 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0

⊢ HasStrictDerivAt Inv.inv (-(x ^ 2)⁻¹) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0

⊢ (fun p => (p.1 - p.2) * ((x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => (p.1 - p.2) * 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0

⊢ Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0

⊢ Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 ((x * x)⁻¹ - (x * x)⁻¹))
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ

⊢ range (evalᵢ σ K) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ

⊢ Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C

⊢ discr A b = discr A (⇑f ∘ b)
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C

⊢ (traceMatrix A b).det = discr A (⇑f ∘ b)
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
i✝ j✝ : ι

⊢ traceMatrix A b i✝ j✝ = traceMatrix A (⇑f ∘ b) i✝ j✝
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen s
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsUpperSet s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

⊢ rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
I : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)

⊢ p i
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
I : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none

⊢ p i
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
I : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : Fin n
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some j

⊢ p i
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A

⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctorComm C n 0).hom.app X ≫ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A

⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A

⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y