ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : IsEmpty ι

⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι

⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}

⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
this : Measurable fun _b => sSup ∅

⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
this : Measurable fun _b => sSup ∅

⊢ ∀ b ∈ {b | BddAbove (range fun i => f i b)}, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (⨆ i, f i b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hι : Nonempty ι
A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}
this : Measurable fun _b => sSup ∅

⊢ EqOn (fun b => ⨆ i, f i b) (fun _b => sSup ∅) {b | BddAbove (range fun i => f i b)}ᶜ
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)

⊢ ↑(sInf S).toSubalgebra = ↑(sInf (toSubalgebra '' S))
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)

⊢ MapsTo (s.piecewise f₁ f₂) (s.ite s₁ s₂) (t.ite t₁ t₂)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)

⊢ EqOn f₁ (s.piecewise f₁ f₂) (s₁ ∩ s)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)

⊢ EqOn f₂ (s.piecewise f₁ f₂) (s₂ ∩ sᶜ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)

⊢ split I i x = ⊤
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
J : Box ι
hJ : J ∈ ⊤.boxes

⊢ J ∈ (split I i x).boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)
hJ : J ∈ ⊤.boxes

⊢ J ∈ (split J i x).boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)

⊢ J ∈ (split J i x).boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)

⊢ ↑J = J.splitLower i x ∨ ↑J = J.splitUpper i x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ≤ J.lower i ∨ J.upper i ≤ x

⊢ ↑J = J.splitLower i x ∨ ↑J = J.splitUpper i x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ

⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f [[a, b]] μ
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) = p
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
X : C

⊢ F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
X : C

⊢ F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((shiftFunctor C n ⋙ F).obj X)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y

⊢ ‖x‖ • y = ‖y‖ • x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)

⊢ ‖a • u‖ • b • u = ‖b • u‖ • a • u
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)

⊢ a • ‖u‖ • b • u = b • ‖u‖ • a • u
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R

⊢ IsUnit (gcd x y) ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a b : R[ℕ]

⊢ { toFinsupp := a + b } = Polynomial.add { toFinsupp := a } { toFinsupp := b }
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ma ++ mb ∈ a ++ b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 ++ a = ma ++ mb
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β✝
inst✝ : Primcodable σ
β : Type u_4
e : β ≃ α
this : Primcodable β := Primcodable.ofEquiv α e

⊢ Primrec fun a => encode (e (e.symm a))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ

⊢ f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
this : f.coeff i = 0 → f.degree ≠ ↑i

⊢ f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ HD (candidatesBDist X Y) ≤ diam univ + 1 + diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y z t : X ⊕ Y
x : X

⊢ ⨅ y, (candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y✝ z t : X ⊕ Y
y : Y

⊢ ⨅ x, (candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t

⊢ finrank K ↥s + finrank K ↥t ≤ finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t

⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)
ha : a ∈ s

⊢ G.CliqueFreeOn (s ∩ G.neighborSet a) n
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a ≤ b

⊢ Ioc (pred a) b = insert a (Ioc a b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Z ≅ Y

⊢ f ≫ g ≫ h.inv = f' ≫ g' ≫ h.inv ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : LipschitzOnWith K f s

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => ↑(f x) i) g s

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
g : ι → α → ℝ
hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
g : ι → α → ℝ
hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) ∅
hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) ∅

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g ∅
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
g : ι → α → ℝ
hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s
a₀ : α
ha₀_in_s : a₀ ∈ s

⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean
x : ℤ
r : ℝ

⊢ ball x r = Ioo ⌊↑x - r⌋ ⌈↑x + r⌉
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ≥0

⊢ Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a

⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop {z | 0 < z.im}
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop (Subtype.val '' Set.univ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n z => ∑ x ∈ n, eisSummand k (↑x) z) (eisensteinSeries_SIF a k).toFun Filter.atTop ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N

⊢ MapsTo (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph UpperHalfPlane.coe openEmbedding_coe).symm) (OpenEmbedding.toPartialHomeomorph UpperHalfPlane.coe openEmbedding_coe).target ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : MeasurableSpace δ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E
h : Integrable (fun a => L (φ a)) μ

⊢ Integrable φ μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }

⊢ (Subtype.val <$> Seq.seq ((fun x x_1 => match x with | ⟨a, h₁⟩ => match x_1 with | ⟨b, h₂⟩ => ⟨a b, ⋯⟩) <$> f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Subtype.val <$> f) fun x_1 => Subtype.val <$> x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }

⊢ (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_1 => Seq.seq (Seq.seq (pure fun x x_2 => ⟨x.val x_2.val, ⋯⟩) fun x => f) fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_2 => x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }

⊢ (Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq ((fun h => h Subtype.val) <$> Function.comp <$> Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }

⊢ (Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun h => h Subtype.val) fun x => Seq.seq (pure Function.comp) fun x => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K

⊢ (frobenius (PerfectClosure K p) p) (mk K p x) = mk K p (x.1, x.2 ^ p)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K

⊢ mk K p x ^ p = mk K p (x.1, x.2 ^ p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
x : ℝ
hx : x ∈ Ico a b

⊢ HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
s✝ : Finset β✝
H : s✝.Nonempty
f✝ : β✝ → α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t

⊢ (s.sup' ⋯ f, t.sup' ⋯ g) ≤ i ↔ (s ×ˢ t).sup' ⋯ (Prod.map f g) ≤ i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
s✝ : Finset β✝
H : s✝.Nonempty
f✝ : β✝ → α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t

⊢ ((∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2) ↔ ∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α

⊢ ∀ {s : Set α}, MeasurableSet s → IsClopenable s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α

⊢ ∀ (U : Set α), IsOpen U → IsClopenable U
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α

⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → IsClopenable t → IsClopenable tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α

⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), IsClopenable (f i)) → IsClopenable (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a : Multiset α

⊢ Rel r a 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a : Multiset α

⊢ (a = 0 ∧ 0 = 0 ∨ ∃ a_1 b as bs, r a_1 b ∧ Rel r as bs ∧ a = a_1 ::ₘ as ∧ 0 = b ::ₘ bs) ↔ a = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n < xs.length

⊢ xs.formPerm (xs.nthLe n hn) = xs.nthLe ((n + 1) % xs.length) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : ι → R

⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval x) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ (b.repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x)))
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n : ℕ

⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑a / ↑b ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)

⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑a / ↑b ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)

⊢ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑↑p / ↑(↑m ^ n !) ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑↑p / ↑(↑m ^ n !)| < 1 / ↑(↑m ^ n !) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)

⊢ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑p / ↑m ^ n ! ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑p / ↑m ^ n !| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n