ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E

⊢ infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * infDist x s
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x

⊢ ∫ (t : G), (L (f t)) (g (-x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x

⊢ (fun a => (L (f a)) (g (-x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => (L (f (-a))) (g (x + a))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)

⊢ (L (f t)) (g (-x - t)) = (L (f (-t))) (g (x + t))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x

⊢ ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x

⊢ ∫ (x_1 : G), (L (f (- -x_1))) (g (x + -x_1)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0

⊢ ↑(q * r) = ↑q * ↑r
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0

⊢ ↑(q.num * r.num) / ↑(q.den * r.den) = ↑q.num * ↑r.num / (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : M
x✝ : N

⊢ (((mk R M N).compr₂ (map LinearMap.id LinearMap.id)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ LinearMap.id) x✝¹) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y

⊢ (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ f = (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ arccos x ≤ π / 4 ↔ √2 / 2 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ π / 2 - arcsin x ≤ π / 4 ↔ π / 4 ≤ arcsin x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β

⊢ ⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y} = f ⁻¹' s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/NonabelianCohomology/H1.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂.toOneCochain α

⊢ γ₂.IsCohomologous γ₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/NonabelianCohomology/H1.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂✝ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂✝.toOneCochain α
β : ZeroCochain G U
h' : OneCohomologyRelation γ₂✝.toOneCochain γ₂.toOneCochain β

⊢ γ₁.IsCohomologous γ₂
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ K = ofReal.fieldRange ∨ K = ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ ↑K
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ closure (range (ofReal' ∘ Rat.cast))
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ closure (ofReal' '' range Rat.cast)
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ ofReal' '' closure (range Rat.cast)
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ ofReal' '' univ
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

⊢ range ofReal' ⊆ range ofReal'
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl hd' : List α
tl' : List (List α)
ih : (intersperse [x] (hd' :: tl')).join = tl
h' : splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl = hd' :: tl'

⊢ (intersperse [x] (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) (hd :: tl))).join = hd :: tl
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl hd' : List α
tl' : List (List α)
ih : (intersperse [x] (hd' :: tl')).join = tl
h' : splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl = hd' :: tl'

⊢ (intersperse [x] (if (hd == x) = true then [] :: splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl else modifyHead (cons hd) (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl))).join = hd :: tl
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α

⊢ 𝓝 (⨅ i, f i) = ⨅ i, 𝓝 (f i)
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α

⊢ (⨅ i, f i).lift' (Iic ∘ 𝓟) = ⨅ i, (f i).lift' (Iic ∘ 𝓟)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/Data/List/ProdSigma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
head✝ : α
l : List α

⊢ ((head✝ :: l).sigma fun a => []) = []
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ

⊢ ⇑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h x) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

⊢ ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7

⊢ 1 / 2 < eulerMascheroniSeq 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7

⊢ 7 < rexp (49 / 20 - 1 / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7

⊢ 7 < ∑ i ∈ Finset.range 7, (49 / 20 - 1 / 2) ^ i / ↑i.factorial
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7

⊢ 7 < ∑ i ∈ Finset.range 0, (49 / 20 - 1 / 2) ^ i / ↑i.factorial + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 0 / ↑(Nat.factorial 0) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 1 / ↑((0 + 1) * Nat.factorial 0) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 2 / ↑((1 + 1) * ((0 + 1) * Nat.factorial 0)) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 3 / ↑((2 + 1) * ((1 + 1) * ((0 + 1) * Nat.factorial 0))) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 4 / ↑((3 + 1) * ((2 + 1) * ((1 + 1) * ((0 + 1) * Nat.factorial 0)))) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 5 / ↑((4 + 1) * ((3 + 1) * ((2 + 1) * ((1 + 1) * ((0 + 1) * Nat.factorial 0))))) + (49 / 20 - 1 / 2) ^ 6 / ↑((5 + 1) * ((4 + 1) * ((3 + 1) * ((2 + 1) * ((1 + 1) * ((0 + 1) * Nat.factorial 0))))))
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ Chain R a (b :: t) ↔ (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ (R a b ∧ (∀ (h : 0 < t.length), R b (t.get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < t.length - 1), R (t.get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i + 1, ⋯⟩)) ↔ (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
h0 : ∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)
h : ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
i : ℕ
w : i < t.length - 1

⊢ R (t.get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b

⊢ min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b

⊢ ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ a + b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a

⊢ min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a

⊢ ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ b → p ^ n ∣ a + b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

⊢ h.p ≫ opcyclesMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData = S.rightHomologyData.p
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
hr : r • y ∈ (extensionOfMax i f).domain

⊢ (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, hr⟩
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x✝ a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
x : α

⊢ x ∈ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico c b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x✝ a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
x : α

⊢ a ≤ x ∧ c ≤ x ∧ x < b ↔ c ≤ x ∧ x < b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = (n + 3) / 2
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i

⊢ (take i c.blocks).sum = n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i

⊢ take i c.blocks = c.blocks
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a✝ b c d : ℝ
μ ν : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a✝ b c d : ℝ
μ ν : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∀ k ∈ Ico m m, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a✝ b c d : ℝ
μ ν : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)) → (∀ k ∈ Ico m (n + 1), IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a (n + 1))
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℤ
e : ↑n = ↑m * k

⊢ n = m * ↑k
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℤ
e : ↑n = ↑m * k

⊢ ↑(↑m * k) = m * ↑k
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)

⊢ map f atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)

⊢ atTop ≤ map f atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)

⊢ atTop ≤ ⨅ a, 𝓟 (f '' {a' | a ≤ a'})
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
a : α
b : β
hb : b ∈ Ici (f a ⊔ b')

⊢ b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
a : α
b : β
hb : f a ≤ b ∧ b' ≤ b

⊢ b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Lemmas.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ

⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

⊢ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst

⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg

⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r

⊢ HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r

⊢ HasFPowerSeriesOnBall (g ∘ f) (q.comp p) x (min rf' ↑r)