ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ ((ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv) ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯

⊢ p.succAbove (i.pred hi) = i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
c : Cardinal.{u_3}

⊢ o.card ≤ c ↔ o < (succ c).ord
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I

⊢ s i ∈ f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s

⊢ s i ∈ f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i

⊢ x ∈ s i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i
this : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty

⊢ x ∈ s i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i

⊢ x ∈ s i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
this : update g i x ∈ I'.pi t

⊢ x ∈ s i
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.filterMap (Option.guard p) l = List.filter (fun b => decide (p b)) l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.filterMap (Option.guard p) l = List.filterMap (Option.guard fun x => decide (p x) = true) l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ Option.guard p = Option.guard fun x => decide (p x) = true
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
a : α

⊢ Option.guard p a = Option.guard (fun x => decide (p x) = true) a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ 0 ≤ ⌊a⌋ ↔ 0 ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β✝ → β✝
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β✝
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β✝ γ
β : Type u_6
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β

⊢ s.noncommProd f ⋯ = s.prod f
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β✝ → β✝
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β✝
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β✝ γ
β : Type u_6
inst✝ : CommMonoid β
f : α → β

⊢ ∅.noncommProd f ⋯ = ∅.prod f
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β✝ → β✝
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β✝
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β✝ γ
β : Type u_6
inst✝ : CommMonoid β
f : α → β
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
IH : s.noncommProd f ⋯ = s.prod f

⊢ (cons a s ha).noncommProd f ⋯ = (cons a s ha).prod f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ HasStrictFDerivAt (exp 𝕂) 1 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 𝔸 𝔸) (expSeries 𝕂 𝔸 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
x : 𝔸

⊢ x = (expSeries 𝕂 𝔸 1) fun x_1 => x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * 1 = -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂') * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂'))) = -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (-c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')) = -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X

⊢ IsOpen (⇑e.symm ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X

⊢ s = ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s

⊢ μ k = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s

⊢ μ ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s

⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → μ t = 0 → μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s

⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, μ s = 0 → μ t = 0 → μ (s ∪ t) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s

⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, μ t = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n k : ℕ
a✝ : Fin k → ℕ

⊢ a✝ ∈ univ.piAntidiag n ↔ a✝ ∈ Nat.antidiagonalTuple k n
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
k : ℕ
i : Fin k

⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length

⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length
h₁ : (finRange k).get ⟨indexOf i (finRange k), this⟩ = i

⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length
h₁ : (finRange k).get ⟨indexOf i (finRange k), this⟩ = i
h₂ : (finRange k).get ⟨↑i, ⋯⟩ = i

⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (g ∘ f) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (g ∘ f) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (x : γ) in map (g ∘ f) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((g ∘ f) a) c

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((g ∘ f) a) c
b : β
hb : ∀ a ≥ b, c < g a

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((δ ∘ N) x) ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

⊢ ∫⁻ (a : ℕ), ↑(δ a) ∂Measure.map N μ < ε
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S

⊢ T R (-2) = 2 * X ^ 2 - 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ (p.concat h).support = p.support.concat w
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ

⊢ predictablePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] g n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω

⊢ predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = g n ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω

⊢ f n ω + predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω + g n ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω

⊢ f n ω + predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = (martingalePart (f + g) ℱ μ + predictablePart (f + g) ℱ μ) n ω
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)

⊢ S = ⊤
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p : MvPolynomial σ R
hp : p ∈ ⊤

⊢ p ∈ S
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p : MvPolynomial σ R

⊢ p ∈ S
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length

⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ l.set n a' = l₁ ++ a' :: l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length

⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ modifyNth (fun x => a') n l = l₁ ++ a' :: l₂
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, bernoulliFun k x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ bernoulliFun (k + 1) 1 / (↑k + 1) - bernoulliFun (k + 1) 0 / (↑k + 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ (bernoulliFun (k + 1) 0 + if k + 1 = 1 then 1 else 0) / (↑k + 1) - bernoulliFun (k + 1) 0 / (↑k + 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonAssocSemiring R✝
M : Submonoid R✝
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R

⊢ centralizer s.centralizer.centralizer = centralizer s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonAssocSemiring R✝
M : Submonoid R✝
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R

⊢ ↑(centralizer s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer s)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h : b < a

⊢ b + 0 < a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h✝ : b < a
c : Ordinal.{u_4}
h : c < a - b

⊢ succ c < a - b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h✝ : b < a
c : Ordinal.{u_4}
h : c < a - b

⊢ succ (b + c) < a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R✝ : Type u
A✝ : Type v
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Ring A✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A✝
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R

⊢ (algebraMap R S) r ∈ spectrum S a ↔ r ∈ σ a
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n

⊢ ∃ β x sgn g, (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a

⊢ ∃ β x sgn g, (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 : ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘ Neg.neg) =O[atBot] ((fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg)

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 : ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘ Neg.neg) =O[atBot] ((fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 : ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘ Neg.neg) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 : ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘ Neg.neg) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)
x : ℝ

⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ ‖((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘ Neg.neg) x‖