ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
hg : eLpNorm (f - g) (↑p.toNNReal) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
g_cont : Continuous g
g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous g
g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ
hg : eLpNorm (f - g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))

⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous g
g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹

⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n✝ : ℕ
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ

⊢ nthRoots n 0 = replicate n 0
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ ll o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) ll → Valid' o₁ (ll.merge r) o₂ ∧ (ll.merge r).size = ll.size + r.size
IHlr : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ lr o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) lr → Valid' o₁ (lr.merge r) o₂ ∧ (lr.merge r).size = lr.size + r.size
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
IHrl : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rl o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rl) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rl.size
r_ih✝ : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rr o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rr) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rr.size
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
sep : All (fun x => All (fun y => x < y) (Ordnode.node rs rl rx rr)) (Ordnode.node ls ll lx lr)

⊢ Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ ll o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) ll → Valid' o₁ (ll.merge r) o₂ ∧ (ll.merge r).size = ll.size + r.size
IHlr : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ lr o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) lr → Valid' o₁ (lr.merge r) o₂ ∧ (lr.merge r).size = lr.size + r.size
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
IHrl : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rl o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rl) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rl.size
r_ih✝ : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rr o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rr) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rr.size
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
sep : All (fun x => All (fun y => x < y) (Ordnode.node rs rl rx rr)) (Ordnode.node ls ll lx lr)

⊢ Valid' o₁ (if delta * ls < rs then ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).balanceL rx rr else if delta * rs < ls then ll.balanceR lx (lr.merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) else (Ordnode.node ls ll lx lr).glue (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂ ∧ (if delta * ls < rs then ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).balanceL rx rr else if delta * rs < ls then ll.balanceR lx (lr.merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) else (Ordnode.node ls ll lx lr).glue (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ : Multiset α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
s : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
b : β

⊢ count b (map f s) = card (filter (fun a => b = f a) s)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
inst✝ : Finite α

⊢ f.SameCycle x y → ∃ i < orderOf f, (f ^ i) x = y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂

⊢ List.filter p l₁ <+ List.filter p l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂

⊢ filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ <+ filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α

⊢ sᶜ ≠ univ ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

⊢ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).inv) = (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ ((α_ W X Y).hom ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0

⊢ (C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = normalize r * p.support.gcd p.coeff
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0

⊢ (C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = p.support.gcd fun x => r * p.coeff x
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : 1 < normSq ↑z

⊢ normSq ↑(S • z) < 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0

⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : eval y (minpolyDiv R x * (X - C x)) = 0

⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : eval y (minpolyDiv R x) = 0 ∨ y - x = 0

⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ

⊢ ↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M

⊢ (-f).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q

⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α

⊢ μ s = ⨅ t, μ ↑t
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1

⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * m * n).natAbs

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)
hp2m : p ∣ (2 * m).natAbs

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ ↑p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ ↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ ↑p ∣ m * m
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2 + n * n
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs

⊢ ↑p ∣ n * n
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I

⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I

⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp ((lift I ⋯ (f.comp ↑e)).comp ↑e.symm) = f
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)

⊢ root (X ^ n - C a) = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
hn : 0 < n

⊢ root (X ^ n - C a) = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
hn : 0 < n

⊢ a = 0 → root (X ^ n - C a) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)

⊢ root (X ^ n - C 0) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)
this : n = 1

⊢ root (X ^ n - C 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : r ∈ unitary R

⊢ f r ∈ unitary S
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : star r * r = 1 ∧ r * star r = 1

⊢ f r ∈ unitary S
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ ‖y‖ / Real.tan (angle x (x + y)) = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ ‖y‖ / (‖y‖ / ‖x‖) = ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p ≤ μ s
s_mble : MeasurableSet s

⊢ μ sᶜ ≤ 1 - p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ 0 < angle x (x + y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ ‖x‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) < 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
hx : ¬x = 0

⊢ ‖x‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) < 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
hx : ¬x = 0

⊢ ‖x‖ * ‖x‖ < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ

⊢ IsJacobson R[X] ↔ IsJacobson R
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ

⊢ IsJacobson R[X] → IsJacobson R
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
H : IsJacobson R[X]

⊢ IsJacobson R
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V

⊢ B.orthogonal (B.orthogonal W) = W
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V

⊢ finrank K ↥(B.orthogonal (B.orthogonal W)) ≤ finrank K ↥W
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V

⊢ finrank K V - (finrank K V - finrank K ↥W) ≤ finrank K ↥W
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W ≤ finrank K V

⊢ finrank K V - (finrank K V - finrank K ↥W) ≤ finrank K ↥W
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : (Q₁.prod Q₂).Anisotropic

⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), Q₁ a + Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0

⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z

⊢ s(a, Mem.other h) = z
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι

⊢ a✝ ∈ (f ⊔ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∪ g.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι

⊢ ¬f a✝ ⊔ g a✝ = ⊥ ↔ ¬f a✝ = ⊥ ∨ ¬g a✝ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
c : ℕ
fc : f.support.card = c + 1

⊢ f.eraseLead.support.card = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i

⊢ Quotient.out x ∈ x.lifts