ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty

⊢ (image f s).min' h = f (s.min' ⋯)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty

⊢ s.inf' ⋯ (id ∘ f) = f (s.inf' ⋯ id)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S

⊢ (-p).rootSet S = p.rootSet S
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))
L : ℝ
hL : Tendsto (fun n => ↑(f n)) atTop (𝓝 L)

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))
L : ℝ
hL : Tendsto (fun n => ↑(f n)) atTop (𝓝 L)
hL0 : 0 ≤ L

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α

⊢ scottHausdorff α ≤ L
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α

⊢ scottHausdorff α ≤ lawson α
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y

⊢ BicartesianSq 0 0 biprod.inl biprod.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ (fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F = 𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ ∀ (X : CostructuredArrow yoneda F), ((fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F).obj X = (𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ ∀ (X Y : CostructuredArrow yoneda F) (f : X ⟶ Y), ((fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)).map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F

⊢ (Trivialization.coordChangeL R (Z.localTriv i) (Z.localTriv j) b) v = (Z.coordChange i j b) v
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F

⊢ { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet (Z.indexAt { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj) ∩ Z.baseSet j
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F

⊢ b ∈ (Z.localTriv i).baseSet ∩ (Z.localTriv j).baseSet
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R

⊢ J l R ∈ symplecticGroup l R
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R

⊢ fromBlocks ((0 * 0 + -1 * 1) * 0ᵀ + (0 * -1 + -1 * 0) * (-1)ᵀ) ((0 * 0 + -1 * 1) * 1ᵀ + (0 * -1 + -1 * 0) * 0ᵀ) ((1 * 0 + 0 * 1) * 0ᵀ + (1 * -1 + 0 * 0) * (-1)ᵀ) ((1 * 0 + 0 * 1) * 1ᵀ + (1 * -1 + 0 * 0) * 0ᵀ) = fromBlocks 0 (-1) 1 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ imageSubobject (C.dTo j) = imageSubobject (C.d i j)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ imageSubobject ((C.xPrevIso r).hom ≫ C.d i j) = imageSubobject (C.d i j)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
h : Nat.Primrec fun n => ack n n

⊢ False
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
h : Nat.Primrec fun n => ack n n
m : ℕ
hm : ∀ (n : ℕ), ack n n < ack m n

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

⊢ (-1) ^ n * ∏ k ∈ range n, (μ ^ (k + 1) - 1) = ↑n + 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : (-1) ^ n = ∏ k ∈ range n, -1

⊢ (-1) ^ n * ∏ k ∈ range n, (μ ^ (k + 1) - 1) = ↑n + 1
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ l.tail <:+ l
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ drop 1 l <:+ l
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t

⊢ upperClosure t ⊓ s.sdiff t = s
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
this : {x} ∈ pure x

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
this : {x} ∈ pure y

⊢ x = y
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g

⊢ l.BoundedAtFilter (f * g)
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g

⊢ (fun x => 1 x * 1 x) =O[l] 1
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
x✝ : α

⊢ 1 x✝ = 1 x✝ * 1 x✝
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α
h : some x = none

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G 0
z₂ : Cochain G K n₂
m₂ : ℤ
h₂ : n₂ + 1 = m₂

⊢ 1 + n₂ = m₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ≥0
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M
e : E
φ : E →L[𝕜] ι → 𝕜 := ↑v.equivFunL

⊢ ‖u e‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖φ‖₊ * M * ‖e‖₊
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31588, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
W : C
p₁ : W ⟶ f₁.Y
p₂ : W ⟶ f₂.Y
w : p₁ ≫ f₁.f = p₂ ≫ f₂.f
Y : C
f : Y ⟶ W

⊢ (S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows f ↔ ⊤.arrows f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31588, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
W : C
p₁ : W ⟶ f₁.Y
p₂ : W ⟶ f₂.Y
w : p₁ ≫ f₁.f = p₂ ≫ f₂.f
Y : C
f : Y ⟶ W

⊢ (S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows f
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)

⊢ ∃ k, g ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ⟨ϕ ↑g, ⋯⟩ ^ p ^ j = 1

⊢ ∃ k, g ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1

⊢ ∃ k, g ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ⟨↑g ^ p ^ j, hj⟩ ^ p ^ k = 1

⊢ ∃ k, g ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ↑g ^ p ^ (j + k) = ↑1

⊢ ∃ k, g ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀

⊢ absNorm I = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α

⊢ extend f g e' (f a) = g a
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α

⊢ g (Classical.choose ⋯) = g a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Linear.lean
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ rightHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • rightHomologyMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α

⊢ WEquiv (wrepr x) x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)) → WEquiv (wrepr ((P F).wMk a f' f)) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)

⊢ WEquiv ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)

⊢ WEquiv (match ⟨a, splitFun f' (wrepr ∘ f)⟩ with | ⟨a, f⟩ => (P F).wMk a (dropFun f) (lastFun f)) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p

⊢ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
n : ℕ

⊢ χ.ringHomComp f ^ n = (χ ^ n).ringHomComp f
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f

⊢ ∀ (x : α), ContinuousAt f x
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
x : α
K : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hK : LipschitzOnWith K f t

⊢ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (∏ i ∈ s, f i).degrees ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degrees
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α

⊢ range (familyOfBFamily' r ho f) = o.brange f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
a : α

⊢ a ∈ range (familyOfBFamily' r ho f) → a ∈ o.brange f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
a : α

⊢ a ∈ o.brange f → a ∈ range (familyOfBFamily' r ho f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j

⊢ ¬(c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i)) ∧ ∀ (k : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j

⊢ c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i)) → ∃ x, c'.Rel (e.f i) (e.f x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j
a✝ : c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i))

⊢ ∃ x, c'.Rel (e.f i) (e.f x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

⊢ (PInfty ≫ PInfty).f n = PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl

⊢ IsUnit ((toStalk R x) ↑f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl

⊢ IsUnit (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) ((toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen ↑f)) ↑f))
-- Mathlib/Data/Finsupp/Fin.lean
n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ (cons y s).support

⊢ i = 0 ∨ ∃ a, ¬s a = 0 ∧ a.succ = i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Fin.lean
n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ (cons y s).support

⊢ ∀ (a : Fin n), i = a.succ → ¬s a = 0 ∧ a.succ = i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Fin.lean
n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin n
hi : i.succ ∈ (cons y s).support

⊢ ¬s i = 0 ∧ i.succ = i.succ
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s

⊢ (e.restr s).source = e.source ∩ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1

⊢ a • b ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Ideal.MvPolynomial.Cₐ R S) ⋯

⊢ (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral