ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k

⊢ |ξ - ↑(↑j / ↑k)| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑(↑j / ↑k).den)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k

⊢ |ξ - ↑(↑j / ↑k)| * ↑(↑j / ↑k).den ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k

⊢ |ξ - ↑(↑j / ↑k)| * ↑k ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a

⊢ a ⇔ b = a ⇨ b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R

⊢ ↑(ringChar R) = 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : b ≤ a

⊢ a \ b ⊔ b = a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ W.Nonsingular x (W.negY x y) ↔ W.Nonsingular x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * W.negY x y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ W.negY x y) ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t U : Set X

⊢ Continuous U.boolIndicator ↔ IsClopen U
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a

⊢ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = isubtree ps (f i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a

⊢ isubtree ps (f (cast ⋯ i)) = isubtree ps (f i)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m c : ℤ

⊢ 2 * ((2 * c + 1) / 2) + 1 = 2 * c + 1
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1

⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1

⊢ (eval (Fin.cons 1 0)) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0

⊢ (eval (Fin.cons 1 0)) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0

⊢ constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0

⊢ ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
d : Fin N →₀ ℕ

⊢ coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = coeff d 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
d : Fin N →₀ ℕ

⊢ coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0

⊢ coeff 0 (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
d : Fin N →₀ ℕ
hd : d ≠ 0

⊢ coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x (-y) + o.oangle y (-x) = 0
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb : Filter β
L : Filter (Set α)
l : Filter α

⊢ (fun L => L.bind 𝓟) L ≤ l ↔ L ≤ l.smallSets
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb : Filter β
L : Filter (Set α)
l : Filter α

⊢ L.bind 𝓟 ≤ l ↔ l.sets ⊆ powerset ⁻¹' L.sets
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s : Set α
x : α

⊢ Absorbs G₀ s {x} ↔ ∀ᶠ (c : G₀) in cobounded G₀, c⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⊢ ⌈a + 1⌉ = ⌈a⌉ + 1
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
x : ℝ
hx : ∀ (i : ι), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
xs : x ∈ s

⊢ DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set β
t : ι → Set β

⊢ s \ ⋂ i, t i = ⋃ i, s \ t i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set β
t : ι → Set β

⊢ ⋃ i, s ∩ (t i)ᶜ = ⋃ i, s \ t i
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
this : ↑(a.gcd c) = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
this : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
this✝ : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c
this : b * a * a.gcdA c + b * c * a.gcdB c = b

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
this✝ : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c
this : b * a * a.gcdA c + b * c * a.gcdB c = b

⊢ a ∣ b * a * a.gcdA c + b * c * a.gcdB c
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U

⊢ ∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)

⊢ ∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)
this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U

⊢ ∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)
this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U
r : ↑R
hr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)
hr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)

⊢ ∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)
this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U
r : ↑R
hr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)
hr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)
f : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X := Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯

⊢ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)
this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U
r : ↑R
hr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)
hr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)
f : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X := Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯

⊢ x ∈ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ∧ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ⊆ ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat
hxV : x ∈ V
R : CommRingCat
e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)
this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U
r : ↑R
hr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)
hr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)
f : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X := Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯

⊢ x ∈ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ∧ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑U
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K

⊢ ↑q < 0 ↔ q < 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
μ : Kernel α β
κ η : Kernel (α × β) γ
inst✝² : IsSFiniteKernel μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((μ ⊗ₖ (κ + η)) a) s = ((μ ⊗ₖ κ + μ ⊗ₖ η) a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
μ : Kernel α β
κ η : Kernel (α × β) γ
inst✝² : IsSFiniteKernel μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (κ (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} + (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ a = ∫⁻ (b : β), (κ (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ a + ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
μ : Kernel α β
κ η : Kernel (α × β) γ
inst✝² : IsSFiniteKernel μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun b => (κ (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b

⊢ upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = upperCrossingTime a b f N n ∧ lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = lowerCrossingTime a b f N n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hab' : 0 < b - a

⊢ upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = upperCrossingTime a b f N n ∧ lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = lowerCrossingTime a b f N n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hab' : 0 < b - a
hf : ∀ (ω : Ω) (i : ℕ), b - a ≤ (f i ω - a)⁺ ↔ b ≤ f i ω

⊢ upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = upperCrossingTime a b f N n ∧ lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = lowerCrossingTime a b f N n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hab' : 0 < b - a
hf : ∀ (ω : Ω) (i : ℕ), b - a ≤ (f i ω - a)⁺ ↔ b ≤ f i ω
hf' : ∀ (ω : Ω) (i : ℕ), (f i ω - a)⁺ ≤ 0 ↔ f i ω ≤ a

⊢ upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = upperCrossingTime a b f N n ∧ lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = lowerCrossingTime a b f N n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α

⊢ card {a, b} = 2
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ

⊢ ∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n

⊢ ∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n
this : DecidableEq Γ := e.decidableEq

⊢ ∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n
this : DecidableEq Γ := e.decidableEq
G : Fin n ↪ Fin n → Bool := { toFun := fun a b => decide (a = b), inj' := ⋯ }

⊢ ∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n
this : DecidableEq Γ := e.decidableEq
G : Fin n ↪ Fin n → Bool := { toFun := fun a b => decide (a = b), inj' := ⋯ }
H : Γ ↪ Vector Bool n := (e.toEmbedding.trans G).trans (Equiv.vectorEquivFin Bool n).symm.toEmbedding
enc : Γ ↪ Vector Bool n := H.setValue default (Vector.replicate n false)

⊢ ∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ

⊢ p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : ¬Prime p

⊢ p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p

⊢ p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b✝ m n p✝ b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
p : ℕ
pp : Prime p
hab : 0 ∣ b

⊢ p ^ (factorization 0) p ∣ p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
ha0 : a ≠ 0

⊢ p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
ha0 : a ≠ 0

⊢ a.factorization p ≤ b.factorization p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ

⊢ 0 < ∫ (x : α), Real.exp (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ

⊢ 0 < μ (Function.support fun x => Real.exp (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ

⊢ (Function.support fun x => Real.exp (f x)) = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ
x : α

⊢ (x ∈ Function.support fun x => Real.exp (f x)) ↔ x ∈ univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.Nontrivial

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.infsep = dist x y
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Quotient.lean
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp

⊢ (v.onQuot hJ).supp = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Quotient.lean
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp

⊢ (v.onQuot hJ).supp ≤ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp