ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : IsEmpty ι

⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι

⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
h : univ.pi s = ∅

⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
h : (univ.pi s).Nonempty

⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E

⊢ HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasStrictFDerivAt f f' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x

⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s

⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s

⊢ (Filter.comap (fun x => (x.1.toUniformOnFunIsCompact, x.2.toUniformOnFunIsCompact)) (𝓤 (α →ᵤ[{K | IsCompact K}] β))).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den

⊢ (num / ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den

⊢ (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x

⊢ (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x

⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)

⊢ IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯

⊢ IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯

⊢ (Subalgebra.toSubmodule K⟮x⟯.toSubalgebra).FG
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯

⊢ x ∈ K⟮x⟯.toSubalgebra
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α (n + 1)
f : α → β

⊢ b ∈ (map f v).toList ↔ f v.head = b ∨ ∃ a ∈ v.tail.toList, f a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂

⊢ associated (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂

⊢ BilinMap.tmul (LinearMap.mul A A) (associated Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)
-- Mathlib/Algebra/DualNumber.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }

⊢ (lift fe) ε = (↑fe).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Yoneda.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
A : Cᵒᵖ
T : Triangle C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
x : Opposite.unop A ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃

⊢ ((preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x = x ≫ (shiftFunctor C n₀).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K

⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : hζ.toInteger = 1

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x y : α

⊢ ((x, y) ∈ range fun x => (x, x)) ↔ (x, y) ∈ diagonal α
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R

⊢ d ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b

⊢ d ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a

⊢ d ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
c : R
hc : d = a * c

⊢ d ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
ha : Squarefree a
c : R
eq : c * (a * c) = b
hc : d = a * c

⊢ d ∣ y
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ

⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1

⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι

⊢ affineSpan k (range p) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι

⊢ ∀ (i : ι), b i ∈ affineSpan k (range p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι

⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1

⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)

⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)

⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x

⊢ HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x

⊢ HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map ((fun x_1 => g x_1 x) ∘ Subtype.val) u.attach).prod) (Multiset.map ((fun x_1 => (Multiset.map (fun x_2 => g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod • g' x_1) ∘ Subtype.val) u.attach).sum x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P

⊢ ⊤.direction = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P

⊢ ⊤.direction = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V

⊢ v ∈ ⊤.direction ↔ v ∈ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤

⊢ v ∈ ⊤.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤
hpv : v +ᵥ p -ᵥ p ∈ ⊤.direction

⊢ v ∈ ⊤.direction
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H

⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)

⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)

⊢ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ a b, ↑H.toLieSubmodule.incl (↑(LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯)) ⋯) (a ⊗ₜ[R] b)) = x} ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ ↑(rootSpace H α), ∃ z ∈ ↑(rootSpace H (-α)), ⁅y, z⁆ = x}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1

⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1
A : Tendsto (fun n => (ξ ^ n - 1) * (ξ - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (ξ - 1)⁻¹))

⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1
A : Tendsto (fun n => (ξ ^ n - 1) * (ξ - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (ξ - 1)⁻¹))

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ξ ^ i) atTop (𝓝 (1 - ξ)⁻¹)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1
A : Tendsto (fun n => (ξ ^ n - 1) * (ξ - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (ξ - 1)⁻¹))

⊢ Summable fun i => ‖ξ ^ i‖
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)

⊢ sublists'Aux a r₁ r₂ = (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁) 0).toList
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)

⊢ foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁).data).toList
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)
this : foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) (toArray r₂).toList r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) r₁).toList

⊢ foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁).data).toList
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α

⊢ (filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ

⊢ Function.Injective ⇑(powQuotSuccInclusion f p P i)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ

⊢ ∀ (m : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1)))), (powQuotSuccInclusion f p P i) m = 0 → m = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
x : S ⧸ P ^ e
hx : x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hx0 : (powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩ = 0

⊢ ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
x : S ⧸ P ^ e
hx : x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hx0 : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩) = ↑0

⊢ ↑⟨x, hx⟩ = ↑0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤

⊢ ‖(Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤

⊢ (↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)).toReal = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ ∃ M, 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M

⊢ ∃ M, 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M

⊢ 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M

⊢ 1 ∈ {w | 1 - ε < w.re}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m✝ n✝ : ℕ
ha : a ≠ 0
m n : ℤ

⊢ a ^ (m - n) = a ^ m / a ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

⊢ b.addHaar = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1