ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : { i // i ∈ P.parts.offDiag }
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

⊢ ↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 + ((if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) - ε ^ 5 / 25) ≤ (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : { i // i ∈ P.parts.offDiag }
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

⊢ (↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) ≤ (∑ i ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ×ˢ (chunk hP G ε ⋯).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ map f (comap f J) ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J I : FractionalIdeal R₁⁰ K

⊢ I / 1 = I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J I : FractionalIdeal R₁⁰ K

⊢ ⟨↑I / ↑1, ⋯⟩ = I
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : tsze R' M

⊢ ((map f) x).fst = x.fst
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)

⊢ (m.toMeasure h) s = m s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)

⊢ (m.toMeasure h) s ≤ m s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t✝ : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)
t : Set α
hts : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
heq : t =ᶠ[ae (m.toMeasure h)] s

⊢ (m.toMeasure h) s ≤ m s
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : 2 = ↑2

⊢ legendreSym p 2 = χ₈ ↑p
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ

⊢ IsUnit u ↔ u = 1 ∨ u = -1
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
h : u = 1 ∨ u = -1

⊢ IsUnit u
-- Mathlib/Data/Fintype/Order.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
s : Set γ
hs : s.Finite

⊢ ∃ z, ∀ i ∈ s, r (f i) (f z)
-- Mathlib/Data/Fintype/Order.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
s : Set γ
hs : s.Finite
x✝ a✝ : γ

⊢ a✝ ∈ s ↔ a✝ ∈ hs.toFinset
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f

⊢ f ≫ Cofork.π s = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C

⊢ (h.F (m₁ + (m₂ + m₃))).obj X = (h.F (m₁ + m₂ + m₃)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C

⊢ (h.F m₃).map ((h.add m₁ m₂).inv.app X) ≫ (h.add (m₁ + m₂) m₃).inv.app X = (h.add m₂ m₃).inv.app ((h.F m₁).obj X) ≫ (h.add m₁ (m₂ + m₃)).inv.app X ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C

⊢ 𝟙 ((h.F m₃).obj ((h.F m₁ ⋙ h.F m₂).obj X)) = 𝟙 ((h.F m₂ ⋙ h.F m₃).obj ((h.F m₁).obj X))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

⊢ ContinuousOn (fun x => (f ⋆[L, μ] g x) (v x)) s
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

⊢ MapsTo (fun x => (_root_.id x, v x)) s (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s

⊢ (fun x => (_root_.id x, v x)) x ∈ s ×ˢ univ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + (⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι

⊢ FiniteType R (MvPolynomial ι R)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι

⊢ FiniteType R (MvPolynomial ι R)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2

⊢ padicNorm p (limSeq f j - limSeq f (max N N2)) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2

⊢ padicNormE (↑(limSeq f j) - ↑f (max N N2) + (↑f (max N N2) - ↑(limSeq f (max N N2)))) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2

⊢ padicNormE (↑(limSeq f j) - ↑f (max N N2) + (↑f (max N N2) - ↑(limSeq f (max N N2)))) ≤ ?b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2

⊢ ?b < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2

⊢ ℚ
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j') ∈ s ×ˢ t
h : (i, i') ≠ (j, j')

⊢ (Disjoint on f) (i, i') (j, j')
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t
h : (i, i') ≠ (j, j')

⊢ (Disjoint on f) (i, i') (j, j')
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
j' : ι'
hj : (i, j').1 ∈ s ∧ (i, j').2 ∈ t
h : (i, i') ≠ (i, j')

⊢ (Disjoint on f) (i, i') (i, j')
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t
h : (i, i') ≠ (j, j')
hij : i ≠ j

⊢ (Disjoint on f) (i, i') (j, j')
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝³ : Bornology α✝
inst✝² : Bornology β✝
inst✝¹ : (i : ι) → Bornology (π i)
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝ : Bornology β
f : α → β

⊢ BoundedSpace α ↔ IsBounded (range f)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α

⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Iic b ↔ x ∈ Iic (e.symm b)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'

⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'

⊢ (∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x) → ∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'

⊢ (∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = x) → ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ ‖(innerSL 𝕜) x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ ‖x‖ ≤ ‖(innerSL 𝕜) x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

⊢ ‖0‖ ≤ ‖(innerSL 𝕜) 0‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
h : x ≠ 0

⊢ ‖x‖ ≤ ‖(innerSL 𝕜) x‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ eval 1 p.mirror = eval 1 p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ ∑ x ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.mirror.coeff x = ∑ x ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ (a : ℕ) → a ∈ Finset.range (p.natDegree + 1) → p.mirror.coeff a ≠ 0 → ℕ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ ∀ (a : ℕ) (h₁ : a ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)) (h₂ : p.mirror.coeff a ≠ 0), ?refine_1 a h₁ h₂ ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ ∀ (a₁ : ℕ) (h₁₁ : a₁ ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)) (h₁₂ : p.mirror.coeff a₁ ≠ 0) (a₂ : ℕ) (h₂₁ : a₂ ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)) (h₂₂ : p.mirror.coeff a₂ ≠ 0), ?refine_1 a₁ h₁₁ h₁₂ = ?refine_1 a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ ∀ b ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff b ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)) (h₂ : p.mirror.coeff a ≠ 0), ?refine_1 a h₁ h₂ = b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ ∀ (a : ℕ) (h₁ : a ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)) (h₂ : p.mirror.coeff a ≠ 0), p.mirror.coeff a = p.coeff (?refine_1 a h₁ h₂)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ y ∈ sphere x ε ↔ dist x y = ε
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h : ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y), (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f

⊢ t ≤ compactlyGenerated X
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h : ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y), (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f

⊢ Continuous id
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h : ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y), (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
S : CompHaus
g : C(↑S.toTop, X)
f : (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)) × ↑i.fst.toTop → X := fun x => match x with | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s

⊢ ∀ (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h : ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y), (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
S : CompHaus
g : C(↑S.toTop, X)
f : (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)) × ↑i.fst.toTop → X := fun x => match x with | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.offDiag = ∅

⊢ (↑s).infsep = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : ¬s.offDiag.Nonempty

⊢ (↑s).infsep = 0
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a

⊢ lookup a (singleton a b) = some b
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ

⊢ esymm σ R = (Multiset.map X univ.val).esymm
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
seq : X → Y × Z
f : Filter X
p : Y × Z

⊢ Tendsto seq f (𝓝 p) ↔ Tendsto (fun n => (seq n).1) f (𝓝 p.1) ∧ Tendsto (fun n => (seq n).2) f (𝓝 p.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ fundamentalInterior G s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

⊢ μ (⋃ i, i⁻¹ • fundamentalInterior G s)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s

⊢ μ (⋃ i, i⁻¹ • fundamentalInterior G s)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s

⊢ μ.measureOf ((⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s)ᶜ = ⊥