ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
x y : ↥↑I₁

⊢ (inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ

⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ

⊢ (b.digits 0).length ≤ (b.digits (0 + 1)).length
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≤ 1

⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : 1 < b

⊢ (b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
r : R
q : R[X]
h : p = C r * q

⊢ IsUnit r
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X

⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∃ U, ↑U ≤ F ∧ Tendsto u (↑U) (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
K : Finset I
f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ
a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

⊢ (πJ C K) f' ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
K : Finset I
f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ
a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

⊢ ⇑(πJ C K) '' Set.range (eval (π C fun x => x ∈ K)) ⊆ Set.range (Products.eval C)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
K : Finset I
f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ
a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤
m : { l // Products.isGood (π C fun x => x ∈ K) l }

⊢ (πJ C K) (eval (π C fun x => x ∈ K) m) ∈ Set.range (Products.eval C)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n✝ : ℕ

⊢ (coeff S n✝) ((map f) X) = (coeff S n✝) X
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i j : ι

⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inl i)).1) j = (b.repr (b i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i j : ι

⊢ (Finsupp.single (Sum.inl i) 1) (Sum.inl j) = (Finsupp.single i 1) j
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ContinuousAffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0

⊢ ‖f‖ = max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ContinuousAffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0

⊢ max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖ = max 0 ‖f.contLinear‖
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
t : Set X

⊢ (∃ x_1, (x ∈ x_1ᶜ ∧ IsOpen x_1ᶜ) ∧ x_1ᶜ ⊆ t) ↔ ∃ i, (x ∉ i ∧ IsClosed i) ∧ iᶜ ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
hm : m ∈ ↑f.ker

⊢ (f.comp f.ker.incl) ⟨m, hm⟩ = 0 ⟨m, hm⟩
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X

⊢ ⇑h '' frontier s = frontier (⇑h '' s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R

⊢ (C c * X ^ n).support ⊆ {n}
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : 0 ≤ x

⊢ √x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) Set.univ x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k

⊢ IsIntegral k z
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z

⊢ IsIntegral k z
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z

⊢ IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

⊢ (W.baseChange B).preΨ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
x : AutGalois F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

⊢ ((autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := x }).hom.app A a = F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
x : AutGalois F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

⊢ F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) (MulOpposite.unop { unop' := x })).hom a = F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z w : ℂ

⊢ (abs z * w) = (abs z) * abs w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
x : E

⊢ Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑(g x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z

⊢ Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x (y + z)) atTop (𝓝 ↑(g (y + z)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}

⊢ Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x y) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E

⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))

⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))
H : ∀ (n : ℕ) (x y : E), (⇑f)^[n] (x - y) = (⇑f)^[n] x - (⇑f)^[n] y

⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x

⊢ (e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x

⊢ (sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant

⊢ ConvolutionExistsAt g f x L.flip μ ↔ ConvolutionExistsAt f g x L μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖id x‖ ^ 2 ≠ 0

⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
left✝ : Classical.choose ⋯ ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
right✝ : ∀ g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y, HD (Classical.choose ⋯) ≤ HD g

⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

⊢ ∀ {x y : V}, ¬G.Adj x y → ¬G.Adj y x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜

⊢ (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|) ↔ P.degree ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|

⊢ P.degree ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : 0 < P.degree

⊢ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⊢ (μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⊢ (μ.withDensity f) s ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s

⊢ (μ.withDensity f) s ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ m ^ 2 < n → n < (m + 1) ^ 2 → ¬∃ t, t ^ 2 = n
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

⊢ integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, integralSum f vol (πi J)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes

⊢ (vol J') (f ((π.biUnionTagged πi).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c

⊢ a + b ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c

⊢ a + b ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c

⊢ a + b ≤ a + (c - a)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c

⊢ b ≤ c - a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
hb✝ : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
hb : c - a < b

⊢ False
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j

⊢ (Disjoint on fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i j
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
x : α

⊢ x ∈ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i → x ∉ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) j
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
x : α

⊢ ∀ (a : β), encode a = i → x ∈ f a → ∀ (b : β), encode b = j → x ∉ f b
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
x : α
a : β
ha : x ∈ f a
b : β
ij : encode a ≠ encode b
hb : x ∈ f b

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β

⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {x})

⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), ↑f ⁻¹' {x} = ∅ ∨ ↑f ⁻¹' {x} = univ

⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

⊢ flatten (Computation.pure s) = s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

⊢ Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s' s : Seq (Option α)
h : flatten (Computation.pure s) = s'

⊢ Seq.BisimO (fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1) (Seq.destruct (flatten (Computation.pure s))) s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s' s : Seq (Option α)
h : flatten (Computation.pure s) = s'

⊢ match match match s.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) with | none => none | some (a, b) => some (a, Seq.corec (fun c => match c.destruct with | Sum.inl s => match Seq.destruct s with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) | Sum.inr c' => some (none, c')) b), s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ Seq.corec (fun c => match c.destruct with | Sum.inl s => match Seq.destruct s with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) | Sum.inr c' => some (none, c')) (Computation.pure s') = s | x, x_1 => False
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a

⊢ update (update f a v) b w = update (update f b w) a v
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a
c : α

⊢ update (update f a v) b w c = update (update f b w) a v c
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ g.compFormalMultilinearSeries p m = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ g.compContinuousMultilinearMap 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : Fin m → E

⊢ (g.compContinuousMultilinearMap 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)

⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)