ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s ∧ (a ⊔ u) \ v ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
hva : v ≤ a
hua : Disjoint u a

⊢ (a ⊔ u) \ v ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s

⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s
hu : u = ⊥

⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s
hu : u = ⊥
hv : v = ⊥

⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝔸

⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
d : 𝔸

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) univ x
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0

⊢ (b + a) / b = 1 + a / b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α

⊢ foldl (n + 1) f x = f (foldl n (fun x x_1 => f x x_1.castSucc) x) (last n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α

⊢ foldl n (fun x i => f x i.succ) (f x 0) = f (foldl n (fun x x_1 => f x x_1.castSucc) x) (last n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

⊢ (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 0 ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct fun b => G.obj (f b)
P : C
g : (j : β) → f j ⟶ P
j : β

⊢ Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ sigmaComparison G f ≫ G.map (Sigma.desc g) = Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ Sigma.desc fun j => G.map (g j)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V

⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)

⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
this : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)

⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
this✝ : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)
this : SeparatedNhds (K \ U) (K \ V)

⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
this : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)
O₁ O₂ : Set X
h1O₁ : IsOpen O₁
h1O₂ : IsOpen O₂
h2O₁ : K \ U ⊆ O₁
h2O₂ : K \ V ⊆ O₂
hO : Disjoint O₁ O₂

⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

⊢ (∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)) → IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω

⊢ stoppedProcess u τ n ω = ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) ω
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω

⊢ stoppedProcess u τ n ω = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) ω + ∑ c ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = c}.indicator (u c) ω
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
h : n ≤ τ ω

⊢ stoppedProcess u τ n ω = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) ω + ∑ c ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = c}.indicator (u c) ω
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
h : τ ω < n

⊢ stoppedProcess u τ n ω = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) ω + ∑ c ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = c}.indicator (u c) ω
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α

⊢ closure s = ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α

⊢ closure s ⊆ ↑(lowerClosure s) ∧ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α

⊢ closure s ⊆ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

⊢ IsClosed s ↔ ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

⊢ (∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) → IsClosed s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

⊢ (∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) → closure s ⊆ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
h : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s
x : Ordinal.{u}
hx : x ∈ closure s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
h : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hx : sup f ∈ closure s

⊢ sup f ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N

⊢ (lcongr e₁ e₂).symm (single k n) = single (e₁.symm k) (e₂.symm n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N

⊢ (lcongr e₁ e₂) ((lcongr e₁ e₂).symm (single k n)) = (lcongr e₁ e₂) (single (e₁.symm k) (e₂.symm n))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ✝ φ : A →ₐ[R] B
x✝ : B

⊢ x✝ ∈ ↑φ.range ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ✝ φ : A →ₐ[R] B
x✝ : B

⊢ (∃ x, φ x = x✝) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i fst✝¹ : ι
snd✝¹ : G fst✝¹
hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i
fst✝ : ι
snd✝ : G fst✝
hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i
j : ι
w✝¹ : fst✝¹ ≤ j
w✝ : fst✝ ≤ j
h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
h : (f j k jk) ((f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹) = (f j k jk) ((f fst✝ j w✝) snd✝)

⊢ (f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd = (f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i fst✝¹ : ι
snd✝¹ : G fst✝¹
hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i
fst✝ : ι
snd✝ : G fst✝
hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i
j : ι
w✝¹ : fst✝¹ ≤ j
w✝ : fst✝ ≤ j
h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
h : (f j k jk) ((f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹) = (f j k jk) ((f fst✝ j w✝) snd✝)

⊢ (f i k ik) ((f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd) = (f i k ik) ((f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i fst✝¹ : ι
snd✝¹ : G fst✝¹
hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i
fst✝ : ι
snd✝ : G fst✝
hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i
j : ι
w✝¹ : fst✝¹ ≤ j
w✝ : fst✝ ≤ j
h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
h : (f fst✝¹ k ⋯) snd✝¹ = (f fst✝ k ⋯) snd✝

⊢ (f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst k ⋯) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd = (f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst k ⋯) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α

⊢ IsAtom s ↔ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

⊢ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

⊢ Submodule.span ↥(reesAlgebra I) ↑F.submodule = F.submodule
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ ClosedEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), ClosedEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsClosed (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔ (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), IsClosed (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ IsClosed (range f) ↔ ∀ (x : ι), IsClosed (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
this : HasStrictDerivAt log (rexp (log x))⁻¹ x

⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J

⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx this : |x| ≤ 1

⊢ |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx this✝ : |x| ≤ 1
this : Complex.abs (cexp ↑x - 1) ≤ 2 * Complex.abs ↑x

⊢ |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx this✝ : |x| ≤ 1
this : |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|

⊢ |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
n : ℤ

⊢ ↑↑n.natAbs = ↑(nnabs ↑n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R

⊢ (A * Aᴴ) *ᵥ v = 0 ↔ Aᴴ *ᵥ v = 0
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : x ∈ t

⊢ 0 < t.size
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : Ordnode.mem x ↑t = true

⊢ 0 < t.size
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_2
D : Type ?u.23461
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.23469, ?u.23461} D
X : C
S : Presieve X
T : Sieve X
h : S.FactorsThru T.arrows
Y W : C
i : Y ⟶ W
e : W ⟶ X
h1 : T.arrows e
hf : i ≫ e ∈ S

⊢ i ≫ e ∈ T.arrows
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n

⊢ c.boundary 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α

⊢ Odd (a + a + (2 * b + 1))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)

⊢ Measurable fun a r => (preCDF ρ r a).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)

⊢ ∀ (a : ℚ), Measurable fun x => (preCDF ρ a x).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

⊢ (sieveOfSubfunctor S.functorInclusion).arrows f✝ ↔ S.arrows f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

⊢ (∃ t, ↑t = f✝) ↔ S.arrows f✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ Even (n * (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ Even n ∨ ¬Even n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g✝ : β → E
g : β → F
hf : MeasurableEmbedding f

⊢ Memℒp g p (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ

⊢ volume (uIcc a b) = ofReal |b - a|
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α

⊢ IsTotallyDisconnected (f '' s) ↔ IsTotallyDisconnected s
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
u : Set β
hus : u ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected u

⊢ u.Subsingleton
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
v : Set α
hvs : v ⊆ s
hus : f '' v ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected (f '' v)

⊢ (f '' v).Subsingleton
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
v : Set α
hvs : v ⊆ s
hus : f '' v ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected v

⊢ (f '' v).Subsingleton
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 1 f
hg : LocallyIntegrable g μ
x₀ : G

⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((fderiv 𝕜 f ⋆[precompL G L, μ] g) x₀) x₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 1 f
hg : LocallyIntegrable g μ
x₀ : G

⊢ HasFDerivAt (g ⋆[L.flip, μ] f) ((g ⋆[(precompL G L).flip, μ] fderiv 𝕜 f) x₀) x₀
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ κ : Kernel α β
y' y : α
hy' : y' ∈ measurableAtom y
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (κ y') s = (κ y) s
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
A : Matrix m n α

⊢ ‖A‖₊ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ < r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s

⊢ LSeriesSummable (-f) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/GeneralLinearGroup/Card.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Fintype V
k : ℕ
hk : k ≤ n

⊢ Nat.card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i : Fin k, (q ^ n - q ^ ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/GeneralLinearGroup/Card.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Fintype V
k : ℕ
hk : k ≤ n

⊢ card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i : Fin k, (q ^ n - q ^ ↑i)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω

⊢ (cs.rightInvSeq ω).Nodup
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω

⊢ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < (cs.rightInvSeq ω).length → (cs.rightInvSeq ω).get? i ≠ (cs.rightInvSeq ω).get? j
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
dup : (cs.rightInvSeq ω).get? j = (cs.rightInvSeq ω).get? j'
j'_lt_length : j' < ω.length

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω
j j' : ℕ
j_lt_j' : j < j'
j'_lt_length : j' < ω.length
dup : some ((cs.rightInvSeq ω).get ⟨j, ⋯⟩) = some ((cs.rightInvSeq ω).get ⟨j', ⋯⟩)

⊢ False