ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen (f.source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ HasDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') L (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') =ᶠ[L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ] fun y => slope f x y - f'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
y : 𝕜
hy : y ∈ {x}ᶜ

⊢ slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f' = slope f x y - f'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto (slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 f')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x => x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup Q
inst✝⁴ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
a : N →ₗ.[R] Q
a_le : LinearMap.range i ≤ a.domain
e1 : ∀ (m : M), f m = ↑a ⟨i m, ⋯⟩
b : N →ₗ.[R] Q
b_le : LinearMap.range i ≤ b.domain
e2 : ∀ (m : M), f m = ↑b ⟨i m, ⋯⟩
domain_eq : { toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain = { toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain
to_fun_eq : ∀ ⦃x : ↥{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain⦄ ⦃y : ↥{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.toLinearPMap x = ↑{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.toLinearPMap y

⊢ a = b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ derivative (T R n) = ↑n * U R (n - 1)
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = (P.parts.biUnion id).card
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = ∑ u ∈ P.parts, (id u).card
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation

⊢ e.toBasis.det = -f.toBasis.det
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation

⊢ e.toBasis.det ⇑f.toBasis • f.toBasis.det = -f.toBasis.det
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂

⊢ p₁ ~ᵤ p₂
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
this : p₁ ∣ p₂ ^ k₂

⊢ p₁ ~ᵤ p₂
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
this : p₁ ∣ p₂ ^ k₂

⊢ p₁ ∣ p₂
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ZMod 2

⊢ -a = a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ ↑(-1) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α

⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
hle : n ≤ 1

⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
hlt : 1 < n

⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ a * b = b ↔ a ^ ω ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a = 0

⊢ a * b = b ↔ a ^ ω ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a

⊢ a * b = b ↔ a ^ ω ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
c : Ordinal.{u_1}
hc : b = a ^ ω * c

⊢ a * b = b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≤ n

⊢ ReflTransGen r n m
-- Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≤ n

⊢ ReflTransGen (swap r) m n
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B

⊢ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1)) ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B

⊢ r z ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β

⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p (α × β))

⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
this : (fun x => ((WithLp.equiv p (α × β)) x.1, (WithLp.equiv p (α × β)) x.2)) = id

⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)

⊢ g m = μ • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)

⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β

⊢ (M.mapEmbedding f).Base B ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β

⊢ (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β

⊢ (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) → M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set α
hB : M.Base B

⊢ M.Base (⇑f ⁻¹' (⇑f '' B)) ∧ ⇑f '' B ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set α
hB : M.Base B

⊢ M.Base B ∧ ⇑f '' B ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s

⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ ↑C * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s

⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ eval 0 (bernoulli n) = _root_.bernoulli n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range n, eval 0 ((monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x))) + eval 0 ((monomial (n - n)) (_root_.bernoulli n * ↑(n.choose n))) = _root_.bernoulli n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
this : ∑ x ∈ range n, _root_.bernoulli x * ↑(n.choose x) * 0 ^ (n - x) = 0

⊢ ∑ x ∈ range n, eval 0 ((monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x))) + eval 0 ((monomial (n - n)) (_root_.bernoulli n * ↑(n.choose n))) = _root_.bernoulli n
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
h₁ : x.isLeft = true
h₂ : x.getLeft?.isSome = true

⊢ x.getLeft h₁ = x.getLeft?.get h₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0

⊢ IsRightRegular k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0
x y : α
h' : x * k = y * k

⊢ (x - y) * k = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)

⊢ ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)

⊢ ∃ U ⊇ ∅, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)

⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → (∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)

⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, (∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → (∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → ∃ U ⊇ s ∪ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)

⊢ ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0

⊢ p.IsRoot 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

⊢ W.add P Q = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β

⊢ (f ×ˢ g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ z.arg < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ (0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0

⊢ (0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re = 0

⊢ (0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 < z.re

⊢ (0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ m.sqrt < n ↔ m < n * n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : NonAssocSemiring R
v : V
vec : V → R

⊢ (degMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s t u : Multiset α
a : α
hr : ∀ a' ∈ u, r a' a
he : s + {a} = t + u

⊢ InvImage (Finsupp.Lex (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) fun x x_1 => x < x_1) (⇑toFinsupp) s t
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s t u : Multiset α
a : α
he : s + {a} = t + u
hr : ∀ (a' : α), ¬r a' a → a' ∉ u

⊢ InvImage (Finsupp.Lex (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) fun x x_1 => x < x_1) (⇑toFinsupp) s t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂

⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R
h : c ≠ 0

⊢ (C c * X ^ n).support = {n}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

⊢ ProperSpace E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace 𝕜

⊢ ProperSpace E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace 𝕜
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯

⊢ ProperSpace E
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Gaussian.lean
n : ℕ
x : ℝ

⊢ (aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x * Real.exp (x ^ 2 / 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Gaussian.lean
n : ℕ
x : ℝ

⊢ (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x / (Real.exp (x ^ 2 / 2))⁻¹ = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x * Real.exp (x ^ 2 / 2)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M

⊢ ∃ y, 0 ≠ y
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ⊥ ≠ ⊤

⊢ ∃ y, 0 ≠ y
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ∀ (y : M), 0 = y

⊢ ⊥ = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ∀ (y : M), 0 = y
x : M

⊢ x ∈ ⊥ ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K

⊢ (preservesLimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv ≫ (limit.π F j).app k = limit.π (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K

⊢ (limit.π F j).app k = (preservesLimitIso ((evaluation K C).obj k) F).hom ≫ limit.π (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail

⊢ q.IsTrail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges

⊢ q.IsTrail
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d

⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r