ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
r : ℝ
hr : ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (centroid ℝ univ s.points) = r

⊢ s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ rec g (mk x) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g

⊢ rec g (mk x) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩

⊢ recF g ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩

⊢ g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']

⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω

⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
h_inter_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']

⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ range m ∈ map m f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ m '' univ ∈ map m f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]

⊢ Splits (RingHom.id L) (map i f) ↔ Splits i f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y

⊢ a + -a = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α

⊢ |min a b - min c d| ≤ max |a - c| |b - d|
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b

⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u ⊥ < a
hb : limsup v ⊥ < b

⊢ limsup (u + v) ⊥ ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot

⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot

⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup (fun x => a + b) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot

⊢ ∀ (x : α), u x < a ∧ v x < b → (u + v) x ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot

⊢ ∀ (x : α), u x < a → v x < b → u x + v x ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
x : α

⊢ u x < a → v x < b → u x + v x ≤ a + b
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ

⊢ #ℝ = 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ

⊢ #ℝ ≤ 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ

⊢ 𝔠 ≤ #ℝ
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ LowerSemicontinuousAt f x
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)

⊢ ((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)

⊢ (((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)

⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal

⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal

⊢ IsJacobson (R ⧸ P')
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
x : R ⧸ P'
hx : C x ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P

⊢ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
z : R
hx : C ((Quotient.mk P') z) ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P

⊢ (Quotient.mk P') z = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν

⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν

⊢ AEMeasurable (fun x => f x * μ.rnDeriv ν x) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν

⊢ μ.withDensity f = 0 + ν.withDensity fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite

⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite

⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, ↑(UpperSet.Ici i))
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
b₁ b₂ : α

⊢ op (fold op b₁ (s₁ ∪ s₂)) (fold op b₂ (s₁ ∩ s₂)) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ s₂)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ deriv (fun x => x⁻¹) 0 = -(0 ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hne : x ≠ 0

⊢ deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps

⊢ affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ ↑(affineSpan k ps)

⊢ affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

⊢ (_root_.orthogonalProjection s.direction) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

⊢ p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) ∈ s.directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
c : V
hc : c ∈ s.direction

⊢ ⟪c, p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p

⊢ (∏ p ∈ s, p).primeFactors = s
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0

⊢ (∏ p ∈ s, p).primeFactors = s
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ

⊢ p ∈ (∏ p ∈ s, p).primeFactors ↔ p ∈ s
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ

⊢ (Prime p ∧ ∃ a ∈ s, p ∣ a) ↔ p ∈ s
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ

⊢ (Prime p ∧ ∃ a ∈ s, p ∣ a) → p ∈ s
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ s
hpq : p ∣ q

⊢ p ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S

⊢ IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M)) ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S

⊢ IsUnit ((Algebra.lsmul R R M) ((algebraMap R R') ↑s))
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α

⊢ B ∈ {B | M✶.Base B} ↔ B ∈ (fun X => M.E \ X) '' {B | M.Base B}
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α

⊢ M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E ↔ ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
x✝ : ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
h : M.E \ B' = B

⊢ M.Base (M.E \ B)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∈ (embDomain f x).support

⊢ g ∈ ⇑f '' x.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∉ ⇑f '' x.support

⊢ g ∉ (embDomain f x).support
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

⊢ Set.Sized r ↑(𝓒 u v 𝒜)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄, (x ∈ 𝒜 ∧ compress u v x ∈ 𝒜 ∨ x ∉ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ 𝒜, compress u v b = x) → x.card = r
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0

⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'

⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))

⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))

⊢ abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)