ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
f : A →⋆ₙₐ[R] C
c : StarSubalgebra R C

⊢ (starLift f).range ≤ c ↔ StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range f) ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
f : A →⋆ₙₐ[R] C
c : StarSubalgebra R C

⊢ NonUnitalStarAlgHom.range f ≤ c.toNonUnitalStarSubalgebra ↔ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range f) ⊆ ↑c
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n

⊢ 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n

⊢ 0 < ∑ i ∈ range 2, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range 2, x ^ i < 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n

⊢ ∀ (n : ℕ), 2 ≤ n → 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1 → 0 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i ∧ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
n : ℕ
hmn✝ : 2 ≤ n
ihn : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i ∧ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
n : ℕ
hmn✝ : 2 ≤ n
ihn : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1

⊢ -x * ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1 ∧ x * ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ : Type u_1
inst✝⁸ : Zero α✝
inst✝⁷ : One α✝
inst✝⁶ : Neg α✝
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddGroupWithOne α
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : SubtractionMonoid β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : AddMonoidHomClass F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
f : F
s : SignType

⊢ f ↑s = ↑s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W'.negY Q * P z ^ 3

⊢ P y ≠ W'.negY P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W'.negY Q * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 = 0

⊢ P y ≠ W'.negY P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy' : P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 = 0
hy : P y = W'.negY P

⊢ P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
i : ι
x : ℝ

⊢ I.splitUpper i x = ⊥ ↔ I.upper i ≤ x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
i : ι
x : ℝ

⊢ (I.upper i ≤ max x (I.lower i) ∨ ∃ x, x ≠ i ∧ I.upper x ≤ I.lower x) ↔ I.upper i ≤ x
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
H : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ s n
inst✝ : (x : α) → (n : ℕ) → Decidable (x ∈ s n)
n : ℕ
x : α

⊢ x ∈ (fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {n} ↔ x ∈ disjointed s n
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x y : ⨂[R] (i : ι), s i
p q : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
hp : p ∈ x.lifts
hq : q ∈ y.lifts

⊢ p + q ∈ (x + y).lifts
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x y : ⨂[R] (i : ι), s i
p q : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
hp : p ∈ x.lifts
hq : q ∈ y.lifts

⊢ ↑p + ↑q = x + y
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ

⊢ 0 < r.toNNReal ↔ 0 < r
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ

⊢ f (x - n • c) = ↑n.negOnePow • f x
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ t ∈ s.ssubsets ↔ t ⊂ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

⊢ inversion c R ⁻¹' ↑(perpBisector c y) = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral

⊢ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S

⊢ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

⊢ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯

⊢ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯

⊢ ∀ (I : Ideal Sₘ), I.IsMaximal → (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝¹ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this : (comap φ' I).IsPrime

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝² : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝¹ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝ : (comap φ' I).IsPrime
this : ⊥.IsPrime

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝² : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝¹ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝ : (comap φ' I).IsPrime
this : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝² : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝¹ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝ : (comap φ' I).IsPrime
this : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝² : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝¹ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝ : (comap φ' I).IsPrime
this : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝³ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝² : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝¹ : (comap φ' I).IsPrime
this✝ : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this : (comap φ' I).IsMaximal

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁴ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝³ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝² : (comap φ' I).IsPrime
this✝¹ : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝ : (comap φ' I).IsMaximal
this : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝³ : (comap φ' I).IsPrime
this✝² : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal
this✝ : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal
this : (comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I)).IsMaximal

⊢ (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝³ : (comap φ' I).IsPrime
this✝² : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal
this✝ : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal
this : ⊥.IsMaximal

⊢ ⊥.IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : IsDomain S
Rₘ✝ : Type u_3
Sₘ✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝
inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobson R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝³ : (comap φ' I).IsPrime
this✝² : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal
this✝ : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal
this : ⊥.IsMaximal

⊢ f.IsIntegral
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ s.sup' H f < a ↔ ∀ i ∈ s, f i < a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ (∀ b ∈ s, (WithBot.some ∘ f) b < ↑a) ↔ ∀ i ∈ s, f i < a
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t✝ : Set α
hf : Surjective f
s t : Set β
h : Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)

⊢ Disjoint s t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

⊢ J.toPlus (P ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toPlus P) F