ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d

⊢ edist x y ≤ ↑d
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂

⊢ B₁.encard = B₂.encard
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct X I
hI : IsInitial I

⊢ X ⨯ I ≅ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct X I
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.snd

⊢ X ⨯ I ≅ I
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ f a ⊓ f b ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ f (a ⊓ b) ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)

⊢ ↑(↑(stereographic' n v).symm x) = let U := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr; (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑(U.symm x) + (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 - 4) • ↑v
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ All P (node size✝ l x r) ↔ ∀ (x_1 : α), Emem x_1 (node size✝ l x r) → P x_1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDenom_eq : (of v).partDens.get? n = some b

⊢ b * (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDenom_eq : (of v).partDens.get? n = some b

⊢ b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ (of v).dens (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ Function.Injective fun x => x.ringHomComp f
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ↑⌈a⌉ - a = 1 - fract a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ↑⌈a⌉ - a = 1 - (a + 1 - ↑⌈a⌉)
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S S' : IntermediateField K L
h : S.toSubalgebra = S'.toSubalgebra
x✝ : L

⊢ x✝ ∈ S ↔ x✝ ∈ S'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
f : α → Multiset β
s : Finset α
b : β

⊢ b ∈ ∑ x ∈ s, f x ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ m.gcd n = 1 → n.gcd m = 1
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ n.gcd m = 1 → n.gcd m = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x ≤ y

⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hy : x ∈ s
hya : x ≠ a
hxy : x ≤ x

⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f x - f a) / (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y

⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a

⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x > a

⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

⊢ multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity p m
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity (↑(d.symm (d ⟨p, ⋯⟩))) m
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
this : DecidableEq (Associates N) := Classical.decEq (Associates N)

⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity (↑(d.symm (d ⟨p, ⋯⟩))) m
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y

⊢ f' ≤ slope f x y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R

⊢ eval₂ f (f r) p = f (eval r p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R

⊢ ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * f r ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (p.coeff x * r ^ x)
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Constructions.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝² : FiberBundle F₂ E₂
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x

⊢ (continuousLinearEquivAt 𝕜 (e₁.prod e₂) x hx) (v₁, v₂) = ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Constructions.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝² : FiberBundle F₂ E₂
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x

⊢ (fun y => (↑{ toFun := Prod.toFun' e₁ e₂, invFun := Prod.invFun' e₁ e₂, source := TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet), target := (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯, baseSet := e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet, open_baseSet := ⋯, source_eq := ⋯, target_eq := ⋯, proj_toFun := ⋯ } { proj := x, snd := y }).2) (v₁, v₂) = ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
x y : α
h : diag x = diag y

⊢ x = y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q✝ q : ℚ

⊢ q < 1 ↔ q.num < ↑q.den
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → ↥⊤
xs : Fin n → ↥⊤

⊢ φ.Realize v xs ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → ↥⊤
xs : Fin n → ↥⊤

⊢ φ.Realize (⇑topEquiv ∘ v) (⇑topEquiv ∘ xs) ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ

⊢ (p ^ n) x ∈ p.toList x ↔ x ∈ p.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ

⊢ x ∈ p.support → p.SameCycle x ((p ^ n) x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ
x✝ : x ∈ p.support

⊢ p.SameCycle ((p ^ n) x) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))

⊢ ((r.comp q).comp p n) v = (r.comp (q.comp p) n) v
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))

⊢ ∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c = ∑ c : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)), g c
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))

⊢ ∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c = ∑ i : (a : Composition n) × Composition a.length, g ((sigmaEquivSigmaPi n) i)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))

⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, f x = g ((sigmaEquivSigmaPi n) x)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

⊢ f ⟨a, b⟩ = g ⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

⊢ ∀ (i : ℕ) (him : i < b.length) (hin : i < (a.gather b).length), q.applyComposition ⟨a, b⟩.snd (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v) ⟨i, him⟩ = (q (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hin⟩).length) (p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hin⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hin⟩)))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length

⊢ q.applyComposition ⟨a, b⟩.snd (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v) ⟨i, hi1⟩ = (q (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).length) (p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length

⊢ ∀ (i_1 : ℕ) (him : i_1 < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩) (hin : i_1 < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length), (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩)) ⟨i_1, him⟩ = p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ⟨i_1, hin⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length
j : ℕ
hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩
hj2 : j < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length

⊢ (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩)) ⟨j, hj1⟩ = p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ⟨j, hj2⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length
j : ℕ
hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩
hj2 : j < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length

⊢ ∀ (i_1 : ℕ) (him : i_1 < a.blocksFun ((b.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩)) (hin : i_1 < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).blocksFun ⟨↑⟨j, hj1⟩, ⋯⟩), (v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.fst.embedding ((⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩))) ⟨i_1, him⟩ = ((v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ∘ ⇑((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).embedding ⟨j, hj2⟩)) ⟨i_1, hin⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length
j : ℕ
hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩
hj2 : j < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length
k : ℕ
hk1 : k < a.blocksFun ((b.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩)
hk2 : k < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).blocksFun ⟨↑⟨j, hj1⟩, ⋯⟩

⊢ (v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.fst.embedding ((⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩))) ⟨k, hk1⟩ = ((v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ∘ ⇑((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).embedding ⟨j, hj2⟩)) ⟨k, hk2⟩