ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : PartialOrder α

⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ t
s : Finset α

⊢ s.erase a ∪ t = s ∪ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasLimit (D ⋙ E ⋙ F)
this : HasLimit ((D ⋙ E) ⋙ F)
j : L

⊢ (pre F E ≫ pre (E ⋙ F) D) ≫ π (D ⋙ E ⋙ F) j = pre F (D ⋙ E) ≫ π (D ⋙ E ⋙ F) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasLimit (D ⋙ E ⋙ F)
this : HasLimit ((D ⋙ E) ⋙ F)
j : L

⊢ π F (E.obj (D.obj j)) = π F ((D ⋙ E).obj j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef

⊢ hA.sqrt ^ 2 = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary

⊢ hA.sqrt ^ 2 = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)

⊢ hA.sqrt ^ 2 = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)

⊢ C * (E * (star C * C) * E) * star C = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)
this : E * E = diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⋯.eigenvalues)

⊢ C * (E * (star C * C) * E) * star C = A
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => x ∈ s)))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I

⊢ Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I

⊢ Set.range (spanFinBasis C s) ⊆ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

⊢ spanFinBasis C s x ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

⊢ (factors C s x).prod ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
a : 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 ι

⊢ ⟪v, single i a⟫_𝕜 = a * (starRingEnd ((fun x => 𝕜) i)) (v i)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
n✝ : ℤ

⊢ ↑n✝ / ↑0 = ↑0
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v

⊢ Finite ι
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

⊢ Finite ι
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥

⊢ v i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
this : v i ∈ span R {v i}

⊢ v i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ toNat (Module.rank R ↥⊤) = toNat (Module.rank R M)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β

⊢ y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : FloorDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β

⊢ ∀ (c : β), c ≤ a • b ⌊/⌋ a ↔ c ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
r : T

⊢ (X - C r).aroots S = {(algebraMap T S) r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f

⊢ MeasurableSpace.map f inst✝⁸ = borel Y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
d : Measurable f

⊢ MeasurableSpace.map f inst✝⁸ = borel Y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
d : Measurable f
this✝ : MeasurableSpace Y := borel Y
this : BorelSpace Y

⊢ MeasurableSpace.map f inst✝⁸ = borel Y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ p) x‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖p‖ * ‖‖f x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ p * (‖f x‖ ^ (p - 2) * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖) ≤ p * (‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖f x‖ ^ (p - 2) * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖f x‖ ^ (p - 2) * (‖(innerSL ℝ) (f x)‖ * ‖fderiv ℝ f x‖) = ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖f x‖ ^ (p - 2 + 1) * ‖fderiv ℝ f x‖ = ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0

⊢ ∃ b, Quot.mk Setoid.r a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : b * a + c = 1

⊢ ∃ b, Quot.mk Setoid.r a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1

⊢ ∃ b, Quot.mk Setoid.r a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1

⊢ Setoid.r ((fun x x_1 => x * x_1) a b) 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1

⊢ a * b - 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : c = 1 - a * b

⊢ a * b - 1 ∈ I
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v : V
x : P

⊢ dist (v +ᵥ x) x = ‖v‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set α

⊢ span s = ⊤ ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ span ↑s' = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set α

⊢ 1 ∈ span s ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ 1 ∈ span ↑s'
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0

⊢ List.range n = []
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a / 2) b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ b % 2 = 1
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ 2 ∣ 8
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ

⊢ (monomial n) (a - b) = (monomial n) a - (monomial n) b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ

⊢ (monomial n) a + -(monomial n) b = (monomial n) a - (monomial n) b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y

⊢ a + b + c = a + (b + c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y

⊢ a - -b + c = a + (b + c)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
F✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NonAssocSemiring S✝
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
hn : NeZero ↑n

⊢ NeZero (f ↑n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0

⊢ b = a * b ↔ a = 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

⊢ ((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom = (μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

⊢ ∀ (a : X), (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X

⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X

⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X

⊢ ∀ (a : X'), ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'

⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x' = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x'
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'

⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'

⊢ ∀ (a : Y ⊗ Y'), ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1) a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
y : Y
y' : Y'

⊢ ((finsuppTensorFinsupp' R Y Y') (Finsupp.mapDomain f (Finsupp.single x 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.mapDomain g (Finsupp.single x' 1))) (y, y') = (Finsupp.mapDomain (f ⊗ g) ((finsuppTensorFinsupp' R X X') (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x' 1))) (y, y')
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
y : Y
y' : Y'

⊢ (Finsupp.single (f x, g x') 1) (y, y') = (Finsupp.single (f x, g x') 1) (y, y')
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a / b ≤ c / d
he : 0 ≤ e

⊢ a / (b * e) ≤ c / (d * e)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a / b ≤ c / d
he : 0 ≤ e

⊢ a / b * (1 / e) ≤ c / d * (1 / e)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < cos x

⊢ tan x / √(1 + tan x ^ 2) = sin x
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x y a : R
s : Finset α
p : α → R
hp : ∀ i ∈ s, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ s, p i

⊢ ∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
p : α → R
x y a : R
hp : ∀ i ∈ ∅, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ ∅, p i

⊢ ∃ t u b c, t ∪ u = ∅ ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
p : α → R
i : α
s : Finset α
his : i ∉ s
ih : ∀ {x y a : R}, (∀ i ∈ s, Prime (p i)) → x * y = a * ∏ i ∈ s, p i → ∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
x y a : R
hp : ∀ i_1 ∈ insert i s, Prime (p i_1)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ insert i s, p i

⊢ ∃ t u b c, t ∪ u = insert i s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E

⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p univ x ↔ HasFPowerSeriesAt f p x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S

⊢ (algebraMap R S) (sec M z).1 = (algebraMap R S) ↑(sec M z).2 * z
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑(r i x) - b i * ↑x‖ ≤ ↑x / log ↑x ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑(r i x) - b i * ↑x‖ ≤ ↑x / log ↑x ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n

⊢ ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)

⊢ ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k

⊢ ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k

⊢ ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n