ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r

⊢ (toOpen (↑R) U ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r

⊢ (CommRingCat.ofHom f ≫ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r

⊢ CommRingCat.ofHom f ≫ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
R : CommRingCat
f : R ⟶ Γ.obj (op X)
β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R
w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base
h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))
r : ↑R
U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r

⊢ CommRingCat.ofHom f ≫ X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen (f r)).leTop.op ≫ eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme

⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme
this : Scheme.Γ.rightOp.map (adjunction.unit.app X) ≫ adjunction.counit.app (Scheme.Γ.rightOp.obj X) = 𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)

⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op ≫ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤))

⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤)) ≫ inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op

⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme
this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op

⊢ Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α
s : Set β

⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

⊢ mk I = 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

⊢ (equiv K) (mk I) = (equiv K) 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

⊢ (∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I) ↔ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

⊢ (↑↑I).IsPrincipal → ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal

⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}

⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x

⊢ ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι

⊢ ↑(mk' (a✝¹.lower ⊔ a✝.lower) (a✝¹.upper ⊓ a✝.upper)) = ↑↑a✝¹ ∩ ↑↑a✝
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
i✝ : α → β
di : DenseInducing i✝
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝ : TopologicalSpace γ
i : α → β
c : Continuous i
dense : ∀ (x : β), x ∈ closure (range i)
H : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓝 (i a), ∀ (b : α), i b ∈ t → b ∈ s
a : α

⊢ comap i (𝓝 (i a)) ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.5761, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.5765, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J

⊢ e.hom j ≫ e.inv j = 𝟙 (X j)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b ≠ a
h : b ≠ a := x✝

⊢ indexOf a (b :: l) = (indexOf a l).succ
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑Y
x : ↥((Opens.map α.base).obj U)

⊢ Y.presheaf.germ ⟨α.base ↑x, ⋯⟩ ≫ Hom.stalkMap α ↑x = α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ x
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
m n : ℤ
hn : n ≠ 0

⊢ (↑m / ↑n).den = 1 ↔ n ∣ m
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0

⊢ (↑m / ↑n).den = 1 ↔ n ∣ m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
co : m.Coprime n

⊢ d ∣ 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
co : m.Coprime n

⊢ d ∣ m.gcd n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S

⊢ W_ R 1 = C ↑p * X 1 + X 0 ^ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A✝ A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A✝ B
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasBinaryCoproducts D
F : C ⥤ D
A f : C

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y), (F ⋙ coprod.functor.obj (F.obj A)).map f_1 ≫ (fun B => coprodComparison F A B) Y = (fun B => coprodComparison F A B) f ≫ (coprod.functor.obj A ⋙ F).map f_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ f ⊓ g ≤ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(f ⊓ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝

⊢ ↑(f ⊓ g) a✝ ≤ ↑f a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝

⊢ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑f a✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : MapsTo (⇑e) Φ Φ

⊢ IsOfFinOrder e
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ

⊢ IsOfFinOrder e
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he

⊢ IsOfFinOrder e
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ

⊢ IsOfFinOrder e
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1

⊢ IsOfFinOrder e
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M

⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ

⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ

⊢ (e ^ k) m = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ

⊢ (e ^ k) x = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ

⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : e' ^ k = 1

⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : (e' ^ k) ⟨x, hx⟩ = 1 ⟨x, hx⟩

⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S

⊢ (aeval pb.gen) pb.minpolyGen = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S

⊢ pb.gen ^ pb.dim - ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S

⊢ (Finsupp.total (Fin pb.dim) S A ⇑pb.basis) (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) = ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
s : String

⊢ s.revFind p = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) s.data.reverse).tail?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝

⊢ (a :: l₂).Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝

⊢ ¬a ∈ l₁ ∧ l₂.Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1

⊢ lineMap p₀ p₁ = (lineMap p₁ p₀).comp (lineMap 1 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1

⊢ lineMap p₀ p₁ = lineMap ((lineMap p₁ p₀) 1) ((lineMap p₁ p₀) 0)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α

⊢ a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f g : ℕ → ℝ≥0∞
h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤
h₂ : g ≤ f
this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i

⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) + ∑' (i : ℕ), g i = ∑' (i : ℕ), f i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ

⊢ ‖↑z‖ = ‖↑z‖
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝¹ b a : α
s : Finset α
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ s \ {a} ↔ a✝ ∈ s.erase a
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α

⊢ IsTopologicalBasis (lawsonBasis α)
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ IsTopologicalBasis (lawsonBasis α)
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U})
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ inst✝¹ = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ lawson α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ lower α ⊓ scott α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ lower α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}

⊢ scott α = induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}
x✝ : TopologicalSpace α := scott α

⊢ scott α = induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f (1 * y) ≤ c * f 1 * f y

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f y ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f y ≤ 0
z : R
hz : f z ≠ 0 z

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M

⊢ x ∈ (extChartAt I x).source
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n

⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n b : ℕ
hn : IsPrimePow n
hab : Coprime 0 b

⊢ n ∣ 0 * b ↔ n ∣ 0 ∨ n ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0

⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a : ℕ
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hab : a.Coprime 0

⊢ n ∣ a * 0 ↔ n ∣ a ∨ n ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b