ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f'✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f g f' g' : Module.End R M
h : B.IsAdjointPair B f g
h' : B.IsAdjointPair B f' g'
x y : M

⊢ (B ((f * f') x)) y = (B x) ((g' * g) y)
-- Mathlib/Data/Matrix/Invertible.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B

⊢ A * B * ⅟B = A
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ s.card + sᶜ.card = Fintype.card α
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
N : ℕ+
HN : Gamma ↑N ≤ Γ

⊢ Gamma ↑N ≤ g • Γ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
N : ℕ+
HN : Gamma ↑N ≤ Γ

⊢ Gamma ↑N ≤ Γ
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal

⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)

⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p

⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P) = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p

⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯).toAlgebra = inst✝¹
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
x' : R ⧸ p
x : R

⊢ (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) (Quotient.mk'' x) = (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) (Quotient.mk'' x)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
x' : R ⧸ p
x : R

⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯) ((Quotient.mk p) x) = (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n

⊢ ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n

⊢ ∑ i ∈ Ioc k k, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑k)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n

⊢ ∀ (n : ℕ), k ≤ n → ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ → ∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹

⊢ ∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹

⊢ ∑ k ∈ Ioc k n, (↑k ^ 2)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹

⊢ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹

⊢ ((↑n + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n

⊢ ((↑n + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1

⊢ (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) / ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) ≤ 1 / ↑n
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1

⊢ 0 ≤ 1 * ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) - (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) * ↑n
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1

⊢ 0 < (↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ 𝓝 a
i : ι
hi : i ∈ I

⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)
i : ι
hi : i ∈ I

⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h : (MonoidHom.toAdditive' ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom)) a₁✝ = (MonoidHom.toAdditive' ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom)) a₂✝

⊢ a₁✝ = a₂✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h : (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))) ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₁✝)) = (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))) ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₂✝))

⊢ a₁✝ = a₂✝
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N

⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g) = (sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N

⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N

⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N

⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm (f ≫ g).hom = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv Q₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm g.hom
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N

⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N) (f ≫ g) = ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ M) f ≫ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).map g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N

⊢ (toPresheaf R₀).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N) (f ≫ g)) = (toPresheaf R₀).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ M) f ≫ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).map g)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N

⊢ ((sheafificationHomEquiv α) (f ≫ g)).hom = ((sheafificationHomEquiv α) f).hom ≫ g.val.hom
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N

⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map (f ≫ g)) = ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫ g.val.hom
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N

⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map f ≫ (SheafOfModules.toSheaf R).map g) = ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫ g.val.hom
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
n : Nat
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.nextn n { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0

⊢ (B a) b = (B b) c
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) a + (B a) b + (B a) c = (B a) c + (B b) c + (B c) c

⊢ (B a) b = (B b) c
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) c + (B a) b = (B a) c + (B b) c

⊢ (B a) b = (B b) c
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α

⊢ {a}.diag = {(a, a)}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ exp ℝ q = exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ Commute (↑q.re) q.im
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I : FractionalIdeal R₁⁰ K
x✝ : ∃ J, I * J = 1
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : I * J = 1

⊢ I * I⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)
hP : P.IsMaximal

⊢ (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R ⧸ P)).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)
hP : P.IsMaximal

⊢ P.IsMaximal
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P

⊢ z -ᵥ p ∈ affineSegment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
a : α

⊢ p.toOuterMeasure {a} = p a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
a b : α
hb : b ≠ a

⊢ {a}.indicator (⇑p) b = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
a : α

⊢ {a}.indicator (⇑p) a = p a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E p)

⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E 0)

⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E ⊤)

⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E p)
h : 0 < p.toReal

⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
x : Filter β
a : α

⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (b : β) in x, |f b - a| < ε
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L

⊢ 1 = chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L

⊢ 1 ≤ chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : k • f = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x

⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0