ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

⊢ a ≫ f₁ = b ≫ f₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ν : Measure δ
g : δ → β
f : α → δ
hf : MeasurePreserving f μ ν
hg : AEStronglyMeasurable g ν

⊢ Integrable (g ∘ f) μ ↔ Integrable g ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ν : Measure δ
g : δ → β
f : α → δ
hf : MeasurePreserving f μ ν
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

⊢ Integrable (g ∘ f) μ ↔ Integrable g (Measure.map f μ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty

⊢ ∃ p' ∈ s, ∀ p ∈ Submodule.span R s, p.degree ≤ p'.degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty
a : R[X]
has : a ∈ s
hmax : ∀ a' ∈ s, a.degree ≤ a'.degree → a.degree = a'.degree

⊢ ∃ p' ∈ s, ∀ p ∈ Submodule.span R s, p.degree ≤ p'.degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty
a : R[X]
has : a ∈ s
hmax : ∀ a' ∈ s, a.degree ≤ a'.degree → a.degree = a'.degree
p : R[X]
hp : p ∈ Submodule.span R s

⊢ p.degree ≤ a.degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty
a : R[X]
has : a ∈ s
hmax : ∀ a' ∈ s, a.degree ≤ a'.degree → a.degree = a'.degree
p : R[X]
hp : p ∈ Submodule.span R s
p' : R[X]
hp' : p' ∈ s ∧ p.degree ≤ p'.degree

⊢ p.degree ≤ a.degree
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ inl a ∈ s.disjSum t ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ (∃ a_1 ∈ s, inl a_1 = inl a) ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ ¬∃ b ∈ t, inr b = inl a
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b✝ : β
x : α ⊕ β
b : β
left✝ : b ∈ t
hb : inr b = inl a

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ s'

⊢ G'.deleteEdges s' ≤ G'.deleteEdges s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ s'

⊢ ∀ ⦃v w : V⦄, G'.Adj v w → s(v, w) ∉ s' → s(v, w) ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source

⊢ Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y)) ↔ Tendsto g l (𝓝 y)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y

⊢ g ⁻¹' u ∈ l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y)))

⊢ g ⁻¹' u ∈ l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)

⊢ g ⁻¹' u ∈ l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)
z : α
hz : g z ∈ f.source
hzu : z ∈ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g ⁻¹' u

⊢ z ∈ g ⁻¹' u
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean

⊢ Continuous negMulLog
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
c : Cardinal.{u}

⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ #α ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
c : Cardinal.{u}

⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ (#α + 1) ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u

⊢ #{ t // #↑t ≤ #β } ≤ (#α + 1) ^ #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u

⊢ (fun α β => β → α) (α ⊕ ULift.{u, 0} (Fin 1)) β → { t // #↑t ≤ #β }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u

⊢ Surjective ?h.f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β

⊢ ∃ a, (fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) a = ⟨s, ⋯⟩
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β

⊢ ((fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) fun y => if h : ∃ x, g x = y then Sum.inl ↑(Classical.choose h) else Sum.inr { down := 0 }) = ⟨s, ⋯⟩
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β

⊢ ↑((fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) fun y => if h : ∃ x, g x = y then Sum.inl ↑(Classical.choose h) else Sum.inr { down := 0 }) = ↑⟨s, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z✝ : C
f : Y ⟶ X
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
j : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Type u_2
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → j f H → C
k : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → (i : j f H) → W f H i ⟶ Y

⊢ ((ofArrows Z g).bind fun Y f H => ofArrows (W f H) (k f H)) = ofArrows (fun i => W (g i.fst) ⋯ i.snd) fun ij => k (g ij.fst) ⋯ ij.snd ≫ g ij.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
j : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Type u_2
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → j f H → C
k : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → (i : j f H) → W f H i ⟶ Y
Y : C

⊢ ((ofArrows Z g).bind fun Y f H => ofArrows (W f H) (k f H)) = ofArrows (fun i => W (g i.fst) ⋯ i.snd) fun ij => k (g ij.fst) ⋯ ij.snd ≫ g ij.fst
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i

⊢ (funMap F fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = ⟦Structure.Sigma.mk f i (funMap F x)⟧
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i

⊢ (funMap F fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) ≈ Structure.Sigma.mk f i (funMap F x)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
ik : i ≤ k
jk : Classical.choose ⋯ ≤ k

⊢ (f (Classical.choose ⋯) k jk) (funMap F (unify f (fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) (Classical.choose ⋯) ⋯)) = (f i k ik) (funMap F x)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
F : L.Functions n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
ik : i ≤ k
jk : Classical.choose ⋯ ≤ k

⊢ funMap F (unify f (fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) k ⋯) = funMap F (⇑(f i k ik) ∘ x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ

⊢ a⁻¹ < 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : a ≤ 0

⊢ a⁻¹ < 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a

⊢ a⁻¹ < 1 ↔ a ≤ 0 ∨ 1 < a
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ∀ (a : α) (s : Set γ), MeasurableSet s → ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_eq_add : ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)

⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

⊢ Disjoint (univ.pi t₁) (univ.pi t₂) ↔ ∃ i, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n.descFactorial k = k ! * n.choose k
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
h : n < k

⊢ n.descFactorial k = k ! * n.choose k
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
h : n ≥ k

⊢ n.descFactorial k = k ! * n.choose k
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
h : n ≥ k

⊢ n.descFactorial k = n.choose k * k !
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
h : n ≥ k

⊢ n.descFactorial k * (n - k)! = n.choose k * k ! * (n - k)!
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R M

⊢ p ≤ ker f ↔ map f p = ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : R

⊢ (X - C x).Separable
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g

⊢ e.inv.left ≫ e.hom.left = 𝟙 g.left
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0

⊢ IsClosed {f | LipschitzWith K f}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K

⊢ i ∈ I ⊔ J * K
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : 1 ∈ I ⊔ J
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K

⊢ i ∈ I ⊔ J * K
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = 1
i : R
hi : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ K, y + z = i

⊢ ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J * K, y + z = i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
i i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
hi : i' + k = i

⊢ ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J * K, y + z = i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
i i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
hi : i' + k = i

⊢ i' + i1 * k + j * k = i
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
r : Finset α
har : a ∉ r
h : (s ∪ r).card + (s ∩ r).card = s.card + r.card

⊢ (s ∪ insert a r).card + (s ∩ insert a r).card = s.card + (insert a r).card
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ zip appendStream' s.inits s.tails = const s
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ ∀ (n : ℕ), (zip appendStream' s.inits s.tails).get n = (const s).get n
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ

⊢ (zip appendStream' s.inits s.tails).get n = (const s).get n
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β

⊢ ((e.symm.trans (swap a b)).trans e) x = (swap (e a) (e b)) x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β
this : ∀ (a : α), e.symm x = a ↔ x = e a

⊢ ((e.symm.trans (swap a b)).trans e) x = (swap (e a) (e b)) x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β
this : ∀ (a : α), e.symm x = a ↔ x = e a

⊢ e (if x = e a then b else if x = e b then a else e.symm x) = if x = e a then e b else if x = e b then e a else x
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
x : X
hx : x ∈ s

⊢ tᶜ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
x : X
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ (closure t)ᶜ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

⊢ mfderivWithin (I.prod I') I' Prod.snd s x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

⊢ mfderiv (I.prod I') I' Prod.snd x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ (if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card = if p 0 then (filter (p ∘ succ) univ).card + 1 else (filter (p ∘ succ) univ).card
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F

⊢ (S.comp (T.comp (adjoint S))).IsPositive
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
x : F

⊢ 0 ≤ (S.comp (T.comp (adjoint S))).reApplyInnerSelf x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
x : F

⊢ 0 ≤ re ⟪(T.comp (adjoint S)) x, (adjoint S) x⟫_𝕜
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π

⊢ ∃ b, b.Countable ∧ inst✝¹ = generateFrom b
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
V : Set (Set X)
V_countable : V.Countable
V_generates : IsTopologicalBasis V

⊢ ∃ b, b.Countable ∧ inst✝¹ = generateFrom b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable fun b => ⨆ i, f i b