ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Quotient.lean
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp

⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp ≤ (v.onQuot hJ).supp
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
t : Set α
h : InjOn f s

⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' (s ∩ t)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
t : Set α
h : InjOn f s

⊢ Disjoint (f '' (s \ t)) (f '' (s ∩ t))
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ma ∩ mb ∈ a ∩ b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 ∩ a = ma ∩ mb
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I

⊢ M.Indep (insert f I \ {e}) ↔ f ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ f ∈ I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I

⊢ M.Indep (insert e I \ {e}) ↔ e ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ e ∈ I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I
hne : e ≠ f

⊢ M.Indep (insert f I \ {e}) ↔ f ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ f ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
r : R

⊢ (r • p).smeval x = r • p.smeval x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
ℱ : Sheaf J A

⊢ Presheaf.IsSheaf K (G.op.ran.obj ℱ.val)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
ℱ : Sheaf J A

⊢ ∀ (X : D) (S : K.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork (G.op.ran.obj ℱ.val)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
ℱ : Sheaf J A
X : D
S : K.Cover X

⊢ Nonempty (IsLimit (S.multifork (G.op.ran.obj ℱ.val)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V

⊢ Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

⊢ ∀ u ∈ Submodule.map f U, ∀ v ∈ Submodule.map f V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

⊢ ∀ a ∈ U, ∀ a_2 ∈ V, ⟪a, a_2⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
l : List α

⊢ (lookmap f l).length = l.length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
l : List α

⊢ ∀ (a b : α), b ∈ f a → () = ()
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)

⊢ P M
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)
val✝ : Fintype m

⊢ P M
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n

⊢ P M
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n

⊢ P (∑ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, stdBasisMatrix x.1 x.2 (M x.1 x.2))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
P : Matrix m n α → Prop
M : Matrix m n α
h_zero : P 0
h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)
h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n

⊢ ∀ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, P (stdBasisMatrix x.1 x.2 (M x.1 x.2))
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ

⊢ (m + n)# = m# * ∏ p ∈ filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1)), p
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ

⊢ 0 ≤ m + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ

⊢ m + 1 ≤ m + n + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ

⊢ Disjoint (filter Nat.Prime (Ico 0 (m + 1))) (filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
g : SL(2, R)
hg : ↑g 1 0 = 0

⊢ ∃ a b, ∃ (h : a ≠ 0), g = ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : ↑⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ 1 0 = 0

⊢ ∃ a_1 b_1, ∃ (h : a_1 ≠ 0), ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ = ⟨!![a_1, b_1; 0, a_1⁻¹], ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : c = 0

⊢ ∃ a_1 b_1, ∃ (h : a_1 ≠ 0), ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ = ⟨!![a_1, b_1; 0, a_1⁻¹], ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : c = 0
had : a * d = 1

⊢ ∃ a_1 b_1, ∃ (h : a_1 ≠ 0), ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ = ⟨!![a_1, b_1; 0, a_1⁻¹], ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : c = 0
had : a * d = 1

⊢ ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ = ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g

⊢ DiophFn fun v => f v ^ g v
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph (((fun v => v &2 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 1 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &2} ∩ (((fun v => v &1 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &1} ∩ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | (v ∘ &4 :: &8 :: &1 :: &0 :: []) ∈ fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3} ∩ ((fun v => v &1 ≡ v &0 * (v &4 - v &7) + v &6 [MOD v &3]) ∩ ((fun v => const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 2 v * v &4 * v &7 = v &3 + (v &7 * v &7 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)) ∩ ({v | v &6 < v &3} ∩ ({v | v &7 ≤ v &5} ∩ ({v | v &8 ≤ v &5} ∩ fun v => v &4 * v &4 - ((v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 * v &2) * (v &5 * v &2) = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)))))}}}}}}))

⊢ DiophFn fun v => f v ^ g v
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph (((fun v => v &2 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 1 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &2} ∩ (((fun v => v &1 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &1} ∩ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | (v ∘ &4 :: &8 :: &1 :: &0 :: []) ∈ fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3} ∩ ((fun v => v &1 ≡ v &0 * (v &4 - v &7) + v &6 [MOD v &3]) ∩ ((fun v => const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 2 v * v &4 * v &7 = v &3 + (v &7 * v &7 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)) ∩ ({v | v &6 < v &3} ∩ ({v | v &7 ≤ v &5} ∩ ({v | v &8 ≤ v &5} ∩ fun v => v &4 * v &4 - ((v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 * v &2) * (v &5 * v &2) = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)))))}}}}}}))
this : Dioph {v | v &2 = 0 ∧ v &0 = 1 ∨ 0 < v &2 ∧ (v &1 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ 0 < v &1 ∧ ∃ w a t z x y, (∃ (a1 : 1 < a), xn a1 (v &2) = x ∧ yn a1 (v &2) = y) ∧ x ≡ y * (a - v &1) + v &0 [MOD t] ∧ 2 * a * v &1 = t + (v &1 * v &1 + 1) ∧ v &0 < t ∧ v &1 ≤ w ∧ v &2 ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)}

⊢ DiophFn fun v => f v ^ g v
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ

⊢ Tendsto (fun x => (f x).toNNReal) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Analysis/Complex/Circle.lean
z : ↥circle

⊢ normSq ↑z = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J

⊢ (pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫ 𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackHom f i = (𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackHom (𝒰.pullbackHom f i.fst) i.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J

⊢ (pullbackSymmetry ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.fst (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
e_1✝ : (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ Spec (𝒰.affineRefinement.obj i)) = (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ (𝒰.obj i.fst).affineCover.obj i.snd)
e_5✝ : Spec (𝒰.affineRefinement.obj i) = (𝒰.obj i.fst).affineCover.obj i.snd

⊢ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.fst (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.fst ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
c : α

⊢ c ∈ p.support
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'

⊢ n' + m = t'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'
p q : ℤ
hpq : p + t' = q
h' : n' + m = t'

⊢ ((γ.comp γ' h).leftShift a t' ht').v p q hpq = (a * m).negOnePow • ((γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯).v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'
p q : ℤ
hpq : p + t' = q
h' : n' + m = t'

⊢ ((a * (n' + m)).negOnePow * (a * (a - 1) / 2).negOnePow) • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (p + n') ⋯ ≫ γ'.v (p + n') q ⋯ = ((a * m).negOnePow * (a * n').negOnePow * (a * (a - 1) / 2).negOnePow) • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (p + n') ⋯ ≫ γ'.v (p + n') q ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'
p q : ℤ
hpq : p + t' = q
h' : n' + m = t'

⊢ (a * (n' + m)).negOnePow = (a * m).negOnePow * (a * n').negOnePow
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M ≃ₗ[𝕜] M

⊢ LinearMap.det ↑f.symm = (LinearMap.det ↑f)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivation.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d : Derivation R A M
a : A

⊢ ∀ (a_1 b : R[X]), { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (a_1 * b) = a_1 • { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } b + b • { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a_1
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
P : Ideal R
q : R[X]
c : (R ⧸ P)[X]
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hn0 : n ≠ 0

⊢ eval 0 q ∈ P
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ (inv f).op = inv f.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ f.op ≫ (inv f).op = 𝟙 (op Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
f : β → α
l : Filter β

⊢ Tendsto (fun x => dist (f x) c) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Functor.lean
α β : Type u
f : Type u → Type v
inst✝¹ : Functor f
inst✝ : LawfulFunctor f
x : f α

⊢ (mapEquiv f (Equiv.refl α)) x = (Equiv.refl (f α)) x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Functor.lean
α β : Type u
f : Type u → Type v
inst✝¹ : Functor f
inst✝ : LawfulFunctor f
x : f α

⊢ ⇑(Equiv.refl α) <$> x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Indicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A

⊢ Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Indicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A

⊢ MeasurableSet A
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x : t β
x✝ : t α

⊢ traverse pure x✝ = pure x✝
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ

⊢ log b 1 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z

⊢ (𝟙 Y ⊗ f) ≫ (g ⊗ 𝟙 X) = g ⊗ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z

⊢ 𝟙 Y ≫ g ⊗ f ≫ 𝟙 X = g ⊗ f
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
β : Type u_2
f : β → α
h : (Monotone fun s => m ↑s) ∨ Surjective f

⊢ (comap f) (boundedBy m) = boundedBy fun s => m (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
β : Type u_2
f : β → α
h : (Monotone fun s => m ↑s) ∨ Surjective f

⊢ (Monotone fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) ∨ Surjective f
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
β : Type u_2
f : β → α
h : (Monotone fun s => m ↑s) ∨ Surjective f

⊢ OuterMeasure.ofFunction (fun s => ⨆ (_ : (f '' s).Nonempty), m (f '' s)) ⋯ = boundedBy fun s => m (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ μ (s ∆ t) = 0 ↔ s =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ l₁.app U ⟨s, hs⟩ = l₂.app U ⟨s, hs⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F'.map f.op (l₁.app U ⟨s, hs⟩) = F'.map f.op (l₂.app U ⟨s, hs⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : F.map i.op s ∈ G.obj (op V)

⊢ F'.map i.op (l₁.app U ⟨s, hs⟩) = F'.map i.op (l₂.app U ⟨s, hs⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : F.map i.op s ∈ G.obj (op V)

⊢ l₁.app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨s, hs⟩) = l₂.app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨s, hs⟩)
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α

⊢ 1 + l * l∗ = l∗
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α

⊢ l ^ 0 + ⨆ i, l ^ (i + 1) = ⨆ i, l ^ i
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

⊢ ((HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom ≫ (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom).f 0 = (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

⊢ (HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom.f 0 ≫ (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom.f 0 ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom.f 0 = (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
e_4✝ : (compForgetAugmented.toModule k G).left.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) = (forget₂ToModuleCat k G).X 0

⊢ (HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom.f 0 = 𝟙 ((forget₂ToModuleCat k G).X 0)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

⊢ (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom.f 0 ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom.f 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a b : Solution₁ d

⊢ (a * b).x = a.x * b.x + d * (a.y * b.y)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a b : Solution₁ d

⊢ (a * b).x = a.x * b.x + d * a.y * b.y
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
hab : ¬a = b
hax : ¬x = a
hbx : ¬x = b

⊢ (swap a b) x ≠ x ↔ a ≠ b ∧ (x = a ∨ x = b)