ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E✝ → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E✝ F
x : E✝
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E✝}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E✝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))
E : HasSum (fun n => (q.comp p n) fun _j => y) (g (f (x + y)))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E✝ → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E✝ F
x : E✝
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E✝}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E✝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))
E : HasSum (fun n => (q.comp p n) fun _j => y) (g (f (x + y)))

⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) (g (f (x + y)))
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β

⊢ ⟨a, splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f)⟩ = (TypeVec.id ::: corec P g) <$$> ⟨a, f⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β

⊢ ⟨a, splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f)⟩ = ⟨a, (TypeVec.id ::: corec P g) ⊚ f⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β

⊢ splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f) = (TypeVec.id ::: corec P g) ⊚ f
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β

⊢ splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f) = splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f) (corec P g ∘ lastFun f)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re

⊢ MellinConvergent f s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
s : Set α
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : S.Countable
hS : ⋂₀ S ⊆ s

⊢ s ∈ countableGenerate g
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
s : Set α
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : S.Countable
hS : ⋂₀ S ⊆ s

⊢ ∀ s ∈ S, s ∈ countableGenerate g
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V

⊢ IsUnit f ↔ range f = ⊤
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop

⊢ ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det

⊢ A.det • b ᵥ* A⁻¹ = Aᵀ.cramer b
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T', T ⊨ᵇ φ
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ

⊢ T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
h : ∀ φ ∈ T', ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ

⊢ T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
h : ∀ φ ∈ T', ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ
M : T.ModelType

⊢ ∀ (v : α → ↑M) (xs : Fin 0 → ↑M), BoundedFormula.Realize φ v xs
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
h : ∀ φ ∈ T', ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ
M : T.ModelType
hM : ↑M ⊨ T'

⊢ ∀ (v : α → ↑M) (xs : Fin 0 → ↑M), BoundedFormula.Realize φ v xs
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : CircleIntegrable f c R

⊢ IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume

⊢ IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume

⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume

⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ι 0 (2 * π)), ‖(circleMap 0 R a * I) • f (circleMap c R a)‖ ≤ |R| * ‖f (circleMap c R a)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X

⊢ Continuous ⇑diracProbaEquiv.symm
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X

⊢ ∀ (x : ↑(range diracProba)), ContinuousAt (⇑diracProbaEquiv.symm) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)

⊢ ContinuousAt (⇑diracProbaEquiv.symm) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)

⊢ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) (𝓝 μ) (𝓝 (diracProbaInverse μ))
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n
h : 0 < i

⊢ 0 < i.castSucc
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂

⊢ Icc a b₁ ⊆ Ico a b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂

⊢ Set.Icc a b₁ ⊆ Set.Ico a b₂
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

⊢ Integrable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

⊢ Integrable (fun ω => rexp (t * X ω) * rexp (t * Y ω)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

⊢ μ (⋃ i, s i) = ⨆ i, μ (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
val✝ : Encodable ι

⊢ μ (⋃ i, s i) = ⨆ i, μ (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t

⊢ μ (⋃ n, t n) = ⨆ n, μ (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t

⊢ μ (⋃ n, t n) ≤ ⨆ n, μ (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
T : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (t n)
Td : ℕ → Set α := disjointed T

⊢ μ (⋃ n, t n) ≤ ⨆ n, μ (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
T : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (t n)
Td : ℕ → Set α := disjointed T
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Td n)

⊢ μ (⋃ n, t n) ≤ ⨆ n, μ (t n)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α

⊢ (if IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) then (fun p => f p.2) ((), a) else defaultRatCDF) = if IsRatStieltjesPoint f a then f a else defaultRatCDF
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N

⊢ map N.incl N' ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N

⊢ map N.incl N' ≤ map N.incl ⊤
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

⊢ (∃ r, ↑r = z) ↔ ∃ r, z = ↑r
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α

⊢ BddBelow (closure s) ↔ BddBelow s
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
d : Dir
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ

⊢ map f (move d { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }) = move d (map f { head := head✝, left := left✝, right := right✝ })
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

⊢ f ∈ cylinder s₁ S₁ ∪ cylinder s₂ S₂ ↔ f ∈ cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∪ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

⊢ (fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet

⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict tᶜ, μ.rnDeriv (ν + ν') x = μ.rnDeriv ν x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν.restrict tᶜ)] μ.rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = ((ν + ν').restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν'))

⊢ (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv ν)
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
l : List α

⊢ s ∈ powersetCard n ⟦l⟧ ↔ s ≤ ⟦l⟧ ∧ card s = n