ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖

⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α

⊢ s₁ \ s₂ = s₁ ↔ s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E
hs : MeasurableSet s

⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a✝ : K
H : Irreducible (X ^ n - C a✝)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
a : K
α : L
ha : α ^ finrank K L = (algebraMap K L) a
hα : K⟮α⟯ = ⊤
this : X ^ finrank K L - C a = minpoly K α

⊢ Irreducible (X ^ finrank K L - C a)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R

⊢ dickson 2 0 0 = X ^ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R

⊢ 3 - ↑2 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R

⊢ dickson 2 0 1 = X ^ 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ

⊢ dickson 2 0 (n + 2) = X ^ (n + 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ

⊢ X * dickson 2 0 (n + 1) = X ^ (n + 2)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =o[l] fun a => k a ^ z
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ

⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0

⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this : (fun x => 1) =o[l] k

⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this✝ : (fun x => 1) =o[l] k
this : f =o[l] fun x => k x * k x ^ (z - 1)

⊢ f =o[l] fun a => k a ^ z
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this✝ : (fun x => 1) =o[l] k
this : f =o[l] fun x => k x * k x ^ (z - 1)
x : α
hkx : k x ≠ 0

⊢ ‖k x * k x ^ (z - 1)‖ = 1 * ‖k x ^ z‖
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra
this : Algebra S A := g.toAlgebra

⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra
this✝ : Algebra S A := g.toAlgebra
this : IsScalarTower R S A := IsScalarTower.of_algebraMap_eq fun x => rfl

⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing A
f : R →+* S
g : S →+* A
hf : (RingHom.ker f).FG
hg : (RingHom.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra
this✝ : Algebra S A := g.toAlgebra
this : IsScalarTower R S A := IsScalarTower.of_algebraMap_eq fun x => rfl
f₁ : R →ₗ[R] S := Algebra.linearMap R S
g₁ : S →ₗ[R] A := (IsScalarTower.toAlgHom R S A).toLinearMap

⊢ (RingHom.ker (g.comp f)).FG
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : Fin n → E

⊢ (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0 n) x = (0 n) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : Fin n → E

⊢ (match n with | 0 => ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 E 0 | x => 0) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Field.lean
R : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : Field K✝
inst✝¹⁶ : Field L✝
inst✝¹⁵ : CommRing M
inst✝¹⁴ : Algebra R K✝
inst✝¹³ : Algebra R L✝
inst✝¹² : Algebra R M
x✝ : L✝
int✝ : IsIntegral R x✝
h : Splits (algebraMap R K✝) (minpoly R x✝)
inst✝¹¹ : Algebra K✝ M
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M
x : M
int : IsIntegral R x
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommRing E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L

⊢ Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Field.lean
R : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : Field K✝
inst✝¹⁶ : Field L✝
inst✝¹⁵ : CommRing M
inst✝¹⁴ : Algebra R K✝
inst✝¹³ : Algebra R L✝
inst✝¹² : Algebra R M
x✝ : L✝
int✝ : IsIntegral R x✝
h : Splits (algebraMap R K✝) (minpoly R x✝)
inst✝¹¹ : Algebra K✝ M
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M
x : M
int : IsIntegral R x
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommRing E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L

⊢ Module.rank E ↥(Submodule.span E (Set.range fun i => ↑((Module.Free.chooseBasis F ↥L) i))) ≤ Cardinal.mk (Module.Free.ChooseBasisIndex F ↥L)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NReflectsIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C

⊢ N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor = karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NReflectsIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

⊢ (N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor).obj P = (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NReflectsIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi (SimplicialObject C)
f : P ⟶ Q

⊢ (N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor).map f = eqToHom ⋯ ≫ (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ 1 → p * 1 ∣ b

⊢ 1 ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b
ha : a ≠ 1

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n a b : ℕ
hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b
ha : a ≠ 1
p : ℕ
hp : Prime p ∧ p ∣ a

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ

⊢ (X ^ n).smeval x = x ^ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

⊢ vanishingIdeal ∅ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp (-a) b = -(toIcoDiv hp a (-b) + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

⊢ LinearIndependent K v ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

⊢ (∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ

⊢ (X ^ n * p).coeff (d + n) = p.coeff d
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior (s ∩ t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior s ∩ interior t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ

⊢ s.GammaSeq n = ↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1)
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

⊢ TransGen r a c ↔ ∃ b, r a b ∧ ReflTransGen r b c
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : TransGen r a c

⊢ ∃ b, r a b ∧ ReflTransGen r b c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivation.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
f : R[X]

⊢ ((mkDerivation R) 1) f = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivation.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
f : R[X]

⊢ derivative' f = derivative f
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x✝¹ y✝ : X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
hT : ∀ t ∈ T, R1Space X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
x y : X

⊢ x ⤳ y ∨ Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x✝¹ y✝ : X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
hT : ∀ t ∈ T, R1Space X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
x y : X

⊢ ⨅ t ∈ T, 𝓝 x ≤ ⨅ t ∈ T, 𝓝 y ∨ Disjoint (⨅ t ∈ T, 𝓝 x) (⨅ t ∈ T, 𝓝 y)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Theta.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α

⊢ (fun x => 0) =Θ[l] g'' ↔ g'' =ᶠ[l] 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K✝ : Type u
V✝ : Type v
inst✝⁹ : Ring K✝
inst✝⁸ : StrongRankCondition K✝
inst✝⁷ : AddCommGroup V✝
inst✝⁶ : Module K✝ V✝
K V : Type u
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V

⊢ #V = #K ^ Module.rank K V
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1

⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun n => (1 - p) ^ n) (1 - (1 - p))⁻¹

⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) ((1 - (1 - p))⁻¹ * p)

⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) (p⁻¹ * p)

⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) 1

⊢ HasSum (fun n => (1 - p) ^ n * p) 1
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
xs : Stream' α

⊢ (take n xs).dropLast = take (n - 1) xs
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p q : ℝ
hp : 0 < p
hq : -1 < q

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ q * rexp (-x ^ p) = 1 / p * Gamma ((q + 1) / p)
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
x : PrimeSpectrum R

⊢ x ∈ zeroLocus {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus {f} ∪ zeroLocus {g}
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t

⊢ x ∈ t • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t

⊢ t⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ p n : ℕ
_h : 0 ≤ ↑n

⊢ ↑(↑n).toNat = ↑↑n
-- Mathlib/Algebra/Lie/Matrix.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P

⊢ (P.lieConj h).symm A = P⁻¹ * A * P
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t

⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).2.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t

⊢ ↑t.card * ε ≤ ↑(⋯.choose, ⋯.choose).2.card
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ (spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ * spanSingleton R₁⁰ x = 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}

⊢ a - a = 0
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)
inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.center G) + ∑ x ∈ (noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)
inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.center G) = Nat.card ↥(Subgroup.center G)
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)
inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

⊢ ∑ x ∈ (noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = ∑ᶠ (x : ConjClasses G) (_ : x ∈ noncenter G), Nat.card ↑x.carrier
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)
inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

⊢ Fintype.card G = Nat.card G
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
p : { a // a ∈ s } → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidablePred p

⊢ filter p s.attach = map (Subtype.map id ⋯) (filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩) s).attach
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0

⊢ I.iso.inv ≫ (injectiveResolutions C).map f = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ J.iso.inv