ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
K : ℝ
h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x

⊢ Tendsto (fun a => K * dist a x) (𝓝 x) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
K : ℝ
h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x

⊢ K * dist (id x) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0

⊢ angle x 1 = |x.arg|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

⊢ ae μ = ⊥ ↔ μ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ a * b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ (0 < a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ a) ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b

⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ Inducing F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ inst✝¹ = TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) (UniformFun.topologicalSpace X α) ↔ inst✝¹ = TopologicalSpace.induced F Pi.topologicalSpace
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

⊢ ∃ ω, cs.IsReduced ω ∧ w = cs.wordProd ω
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)

⊢ ∃ ω_1, cs.IsReduced ω_1 ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω_1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)

⊢ cs.IsReduced ω ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q

⊢ DiscreteValuationRing R
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q

⊢ IsPrincipalIdealRing R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R

⊢ IsPrincipalIdealRing R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y

⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

⊢ ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

⊢ Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op) ∈ distinguishedTriangles C
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ≅ Triangle.mk g f.unop h
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length

⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.toDFA.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length

⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.toDFA.accepts
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : x ∉ s

⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x

⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

⊢ (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0

⊢ (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0

⊢ -(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * (aeval ↑x) p.divX) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0

⊢ -(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

⊢ MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Opens G), μ.outerMeasure (↑U ∩ A) + μ.outerMeasure (↑U \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

⊢ MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Set G) (hU : IsOpen U), μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } ∩ A) + μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑{ carrier := U, is_open' := hU }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)), μ.innerContent { carrier := ⋃ i, f i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := f i, is_open' := ⋯ }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

⊢ ∀ ⦃s₁ s₂ : Set G⦄ (hs₁ : IsOpen s₁) (hs₂ : IsOpen s₂), s₁ ⊆ s₂ → μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ } ≤ μ.innerContent { carrier := s₂, is_open' := hs₂ }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄, (∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)) → IsOpen (⋃ i, f i)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_2
p✝ q : α → Bool
β : Type u_1
p : β → Bool
f : α → β
a : α
l : List α

⊢ countP p (map f (a :: l)) = countP (p ∘ f) (a :: l)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_2
p✝ q : α → Bool
β : Type u_1
p : β → Bool
f : α → β
a : α
l : List α

⊢ (countP (p ∘ f) l + if p (f a) = true then 1 else 0) = countP (p ∘ f) l + if (p ∘ f) a = true then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/WellFounded.lean
α : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
x : α →₀ N
h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a

⊢ Acc (Finsupp.Lex r s) x
-- Mathlib/Data/Finsupp/WellFounded.lean
α : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
x : α →₀ N
h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a

⊢ Acc (InvImage (DFinsupp.Lex r fun x => s) toDFinsupp) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c

⊢ Summable f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ range n, f i

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω

⊢ succ o < ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω
n : ℕ
e : o = ↑n

⊢ succ o < ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω
n : ℕ
e : o = ↑n

⊢ succ ↑n < ω
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U

⊢ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in φ, EqOn ((cderiv δ ∘ F) n) ((deriv ∘ F) n) K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
n : ι
h : DifferentiableOn ℂ (F n) U
z : ℂ
hz : z ∈ K

⊢ (cderiv δ ∘ F) n z = (deriv ∘ F) n z
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsZero T.obj₁
h₂ : IsZero T.obj₂

⊢ IsZero ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₂ : IsZero T.obj₂
h₁ : 𝟙 T.obj₁ = 0

⊢ 𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) = 0
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ

⊢ f ↑n = f 0 + n • b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid

⊢ (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝

⊢ (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝

⊢ (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }

⊢ (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
l' r' : List Char
h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)

⊢ (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => f (star x)) a = cfc f (star a)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ NrRealPlaces K + 2 * NrComplexPlaces K = finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ card { φ // ComplexEmbedding.IsReal φ } ≤ card (K →+* ℂ)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³¹ : CommSemiring R✝
S✝ : Submonoid R✝
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝²⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²⁷ : CommSemiring A
inst✝²⁶ : Algebra R✝ A
inst✝²⁵ : Module A M'
inst✝²⁴ : IsLocalization S✝ A
inst✝²³ : Module R✝ M✝
inst✝²² : Module R✝ M'
inst✝²¹ : Module R✝ M''
inst✝²⁰ : IsScalarTower R✝ A M'
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] M'
g : M✝ →ₗ[R✝] M''
M₀ : Type ?u.1244734
M₀' : Type ?u.1244737
inst✝¹⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝¹⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝¹⁷ : Module R✝ M₀
inst✝¹⁶ : Module R✝ M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R✝] M₀'
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₀
M₁ : Type ?u.1246805
M₁' : Type ?u.1246808
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁'
inst✝¹² : Module R✝ M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R✝] M₁'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S✝ f₁
M₂ : Type ?u.1248876
M₂' : Type ?u.1248879
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂'
inst✝⁷ : Module R✝ M₂
inst✝⁶ : Module R✝ M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R✝] M₂'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₂
R : Type u_6
S : Type u_7
S' : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R S'
M : Submonoid R
f : S →ₐ[R] S'
h₁ : ∀ x ∈ M, IsUnit ((algebraMap R S') x)
h₂ : ∀ (y : S'), ∃ x, x.2 • y = f x.1
h₃ : ∀ (x : S), f x = 0 → ∃ m, m • x = 0

⊢ IsLocalizedModule M f.toLinearMap