ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !

⊢ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑p / ↑m ^ n ! ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑p / ↑m ^ n !| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !

⊢ partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n ≠ partialSum (↑m) n ∧ |partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n - partialSum (↑m) n| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !
hpos : 0 < remainder (↑m) n

⊢ partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n ≠ partialSum (↑m) n ∧ |partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n - partialSum (↑m) n| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ (r • j).posPart = (-r).toNNReal • j.negPart
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

⊢ x₀ ∈ eigenspace ↑T ↑(T.rayleighQuotient x₀)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

⊢ ↑T x₀ = ↑(T.rayleighQuotient x₀) • x₀
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α

⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β), f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree

⊢ f.coeff n ∈ 𝓟
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
h₁ : n < f.natDegree

⊢ f.coeff n ∈ 𝓟
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
h₂ : n > f.natDegree

⊢ f.coeff n ∈ 𝓟
-- Mathlib/Order/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ

⊢ a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) x → a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) y
-- Mathlib/Order/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ

⊢ ∀ x_1 ∈ f x, a ∈ g x x_1 → ∃ a_3 ∈ f y, a ∈ g y a_3
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, N⁆ = ⊥ ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ (∀ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, m = 0) ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W

⊢ (fderiv ℝ (fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))) v) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W

⊢ 2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)) * ↑((L y) w) = 2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ

⊢ ↑1 n = 1 n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G

⊢ ↑(μ.toFun (K₁ ⊔ K₂)) ≤ ↑(μ.toFun K₁) + ↑(μ.toFun K₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G

⊢ μ.toFun (K₁ ⊔ K₂) ≤ μ.toFun K₁ + μ.toFun K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y

⊢ MeasurableSet (⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty ((triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ fun x => -x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ fun x => -↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s

⊢ ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s

⊢ ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = affineCombinationSingleWeights k i i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (deriv g x) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

⊢ WittVector.ghostFun 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i j : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ≠ j

⊢ degreeOf i (f * X j) = degreeOf i f
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ

⊢ a ⊔ b + 1 - a ⊓ b = (↑b - ↑a).natAbs + 1
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
a : ℕ

⊢ (cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
a : ℕ

⊢ Nat.rec (cf.eval (a, 0).1) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair (a, 0).1 (Nat.pair y i))) (a, 0).2 = cf.eval a
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
a : ℕ

⊢ Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) 0 = cf.eval a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0

⊢ f =O[l] g'' ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0

⊢ (∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) ↔ ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g'' a‖ ≤ b
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
n : ℕ
x : 𝕎 R

⊢ mapFun (⇑f) (n • x) = n • mapFun (⇑f) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

⊢ midpoint R x y = y ↔ x = y
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝

⊢ Measurable (pdf X ℙ μ)
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ frontier {z | z.re ≤ a} = {z | z.re = a}
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.16556, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16560, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : q + 1 = p

⊢ p + -1 = q
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a✝) _auto✝
f : R → R
a : A
hf : ¬ContinuousOn f (σₙ R a)

⊢ cfcₙ f a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂

⊢ (map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂ = toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂

⊢ ∀ (X : F₁.Elementsᵒᵖ), ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).obj X = (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂

⊢ autoParam (∀ (X Y : F₁.Elementsᵒᵖ) (f : X ⟶ Y), ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).map f = eqToHom ⋯ ≫ (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v

⊢ u ≠ v ↔ u = -v
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F

⊢ Continuous fun A => y (A x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E

⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E

⊢ thickenedIndicatorAux δ E x = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E

⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E

⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ

⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - 1

⊢ 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b

⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a c
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b

⊢ (Finset.Ico a c).val = Ico a c
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }

⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯

⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯

⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯

⊢ d ⊥ = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝¹ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this✝ : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
this : BotHomClass ({ l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }) { l // l ≤ m } { l // l ≤ n } := OrderIsoClass.toBotHomClass

⊢ d ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
m n : ℕ

⊢ (m, n).1 - (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2 = m % n
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
m n : ℕ

⊢ (m, n).1 = m % n + (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0

⊢ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0

⊢ 0 ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A

⊢ (↑(star a)).fst = (star ↑a).fst
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 ≤ b ^ 2
hb : 0 ≤ b

⊢ |a| ≤ b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀

⊢ (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
this : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)

⊢ (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀
this : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)

⊢ ({x_1 | x_1 i₀ ∈ Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)