ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
t✝¹ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
f✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : α
⊢ b ∈ t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ ↔ b ∈ filter (fun c => f c ∈ t) s
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ toSubmodule (adjoin E ↑L) = span E S
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ span E ↑(span F S) = span E S
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae (ν.withDensity f)] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
μ : Measure α
c : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map (fun x => c) μ) s = (μ univ • dirac c) s
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
s : Set c.pt
ls : Set lc.pt
⊢ descSet hc ls = s ↔ ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n * p).comp r = ↑n * p.comp r
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ ∀ x ∈ s, p a x
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha✝ : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < wellOrderSucc a
inst✝ : IsWellOrderLimitElement (wellOrderSucc a)
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
h4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
h4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ (μ π.iUnion).toReal = ∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ b ∈ π.boxes, MeasurableSet ↑b

ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ a ∈ π.boxes, μ ↑a ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
⊢ AEDisjoint μ s (t ∪ u) ↔ AEDisjoint μ s t ∧ AEDisjoint μ s u
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
⊢ volume (frontier s) = 0
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
⊢ x ∈
    {x |
        (fun x =>
            Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0)
              (𝓝 ((closure s).indicator 1 x)))
          x}ᶜ
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
h : lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range (f ∘ₗ p.subtype))) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑m - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
⊢ DirSupInacc sᶜ ↔ DirSupClosed s
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s =>
    MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ LinearMap.ker (orthogonalProjection K) ↔ x✝ ∈ Kᗮ
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ map₂ f (span R s) (span R t) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
⊢ PerfectField F ↔ ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
case refine_2
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
⊢ PerfectField F
case refine_2.intro
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
p : ℕ
h✝ : ExpChar F p
⊢ PerfectField F
case refine_2.intro
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
p : ℕ
h✝ : ExpChar F p
this : PerfectRing F p
⊢ PerfectField F
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ (∑ x : l, ∑ x_1 : n, ‖∑ j : m, A x j * B j x_1‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) ≤
    (∑ i : l, ∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ i : m, ∑ j : n, ‖B i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ^ 2 ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) * ∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2
case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
this :
  ‖⟪(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j), (WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j⟫_α‖₊ ≤
    ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j)‖₊ * ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j‖₊
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
h : e.det = 0
⊢ False
case a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α
⊢ a✝ ∈ powersetCard 0 s ↔ a✝ ∈ {∅}
case a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α
⊢ a✝ ⊆ s ∧ a✝ = ∅ ↔ a✝ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Indep (f '' I) ↔ M.Indep I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
x✝ : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : f '' I = f '' J
⊢ M.Indep I
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 2), ↑((n + 1).choose i) * f i (n + 1 - i) =
    ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f i (n + 1 - i) + ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f (i + 1) (n - i)
x y : ℝ
⊢ cos x * cos x ≤ 1
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
⊢ (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) x) =
    (map I (component R ι M j)) x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearMap.range hv.repr = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
⊢ (⋃ i, f i).innerDualCone = ⨅ i, (f i).innerDualCone
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : x ∈ ⨅ i, (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) =ᶠ[atTop] fun c =>
    ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
case h.e_f.h
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w =
    ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
case intro
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M
⊢ finrank R M = b.card
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) =
    hA.eigenvalues j • (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : M
hx : x ∈ ker g
⊢ f x ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
⊢ wellOrderSucc b < a
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
c : α
hc₁ : b < c
hc₂ : c < a
⊢ wellOrderSucc b < a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) x = (∑ j ∈ u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)) x
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ ∀ m ≤ j, (i, m) ∈ μ
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ P3 (-x₂) (-x₁) y₁ y₂
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.888157
S' : Type ?u.888160
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.890591
S'' : Type ?u.890594
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ f.toAlgHom ↑x ∈ P'.ker
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
p n : R
hp : Irreducible p
⊢ IsCoprime p n ↔ ¬p ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
⊢ ↑e '' (e.source ∩ e'.source) = e.target ∩ e'.target
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) s = (ρ.condKernel x) s
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in t, (ρ.condKernel x) s ∂ρ.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ κ) (t ×ˢ s)