ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
⊢ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) =
    (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) ((RingHom.id R) r • FreeAlgebra.ι R x)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ x : M
hx : ↑f x = 1 x
⊢ 1 x ≠ 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p)))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) =
    ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) =
    ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x % p) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) =
    ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑↑(↑a * ↑x).val
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p)) =
    ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card +
      ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card +
      ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs) =
    ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
⊢ x ∈ torsion K ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
⊢ IsOfFinOrder x ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
case intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ (κ.map (fun a => (a, f a)) ⋯).fst = κ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t
⊢ liminf s atTop =ᶠ[ae μ] t
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∣ Associates.mk a
case hm
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∈ (Associates.mk a).factors
case hm
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∈ ↑(factors' a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : 2 * n < (s ∪ t).ncard
⊢ ∃ r, n < r.ncard ∧ (r ⊆ s ∨ r ⊆ t)
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝² : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
inst✝¹ : IsIso (prodComparison F A B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A' B')
⊢ inv (prodComparison F A B) ≫ F.map (prod.map f g) = prod.map (F.map f) (F.map g) ≫ inv (prodComparison F A' B')
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
hx : IsIntegral R x
p : R[X]
hp : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R B) x p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap A B) x (Polynomial.map (algebraMap R A) p) = 0
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
m : t.pt ⟶ W
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f✝ ≫ (fun b => t.ι.app b ≫ m) Y✝ = (fun b => t.ι.app b ≫ m) X✝ ≫ ((const J).obj W).map f✝
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
⊢ Even (x ^ 2 + y ^ 2)
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
⊢ 2 * 2 * m = (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
⊢ (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : 2 ∣ x + y
hxsuby : 2 ∣ x - y
⊢ (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
⊢ (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2 = 2 * 2 * (((x - y) / 2) ^ 2 + ((x + y) / 2) ^ 2)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j
⊢ ↑(((decompose ℳ) x) j) = 0
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L ≃ₐ[F] L), map (↑σ) K ≤ K
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
⊢ f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
⊢ |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
⊢ |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
⊢ 1 / ((of v).dens n * (of v).dens (n + 1)) ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : OrderedRing S
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
abv : R → S
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
a b c : R
⊢ abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)
case cons
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ p (a ::ₘ s).prod
case neg
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
⊢ p (a * s.prod)
case neg
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hps : ∀ x ∈ s, p x
⊢ p (a * s.prod)
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hyz : f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) ≤ f x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ ∀ x ∈ s, p a x
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hf : eval₂ ϕ α f = 0
hg : eval₂ ϕ α g = 0
⊢ eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫
          pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
x✝ : NonAssocSemiring γ
g : β →+* γ
f₁ f₂ : α →+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.228574}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
h2 : s ⊆ range f
⊢ #↑(f ⁻¹' s) = #↑s
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
hp : p ∈ normalizedFactors a
q : α
hq : q ∈ normalizedFactors a
hdvd : p ∣ q
⊢ p = q
k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k ∣ m * n
⊢ k ∣ n * m
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint ↑K₁ ↑K₂
h₁ : IsClosed ↑K₁
h₂ : IsClosed ↑K₂
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ ¬s₂ ⊆ s₁
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))
case intro
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))
case intro
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramified k v
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
⊢ (norm R) x = 1
case intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
s : Finset S
b : Basis { x // x ∈ s } R S
⊢ Module.Finite R S
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v + e (-(L v) w) • g v ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
h : map id f ^ n = map (id ^ n) (f ^ n)
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToSection 𝒜 f ≫
      (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫
        (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).hom =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToSection 𝒜 f ≫
      (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Presheaf.germ (structureSheaf 𝒜).val ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
a n b' : ℤ
hb' : a + b' = n + y
h : a + (b' - y) = n
⊢ (K.ιTotal (up ℤ) a b' (n + y) hb' ≫
      𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y)) ≫
        K.totalDesc fun p q hpq =>
          (p * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) p (q - y) n ⋯) =
    (a * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) a (b' - y) n h
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U
⊢ LiftPropAt Q (id ∘ Subtype.val) x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U
⊢ LiftPropAt Q id ↑x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝ : Fintype R
⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n R) = Fintype.card R ^ n
case mk.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : (a, b) ≠ (c, d)
⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (a, b) (c, d) = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ
hd : dist x y ≤ d
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r
case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : dist x y ≤ ↑d
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r
case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r
case h.a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N
⊢ ↑((g ^ k) m) = ↑(0 m)
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den