ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atBot] fun x => x ^ (↑p - ↑q)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : x < 0
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map
      ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv +
        (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) =
    G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) +
      G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)
case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0
case intro
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
c : (contractibleTriangle T.obj₁).obj₃ ⟶ T.obj₃
hc :
  (contractibleTriangle T.obj₁).mor₂ ≫ c = T.mor₁ ≫ T.mor₂ ∧
    (contractibleTriangle T.obj₁).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 T.obj₁) = c ≫ T.mor₃
⊢ T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0
case some.mk
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
e : M q T.head = some (q', s)
⊢ FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })
case some.mk
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
this :
  TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =
    some
      { l := some (Λ'.normal q'), var := (),
        Tape :=
          match s with
          | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
          | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }
e : M q T.head = some (q', s)
⊢ Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }
    {
      l :=
        match
          match
            M q'
              (match s with
                | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
                | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with
          | some val => true
          | none => false with
        | true => some (Λ'.normal q')
        | false => none,
      var := (),
      Tape :=
        match s with
        | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
        | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
x : α
⊢ dist (f x) (g x) ≤ dist f g
case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M
⊢ b.sumCoords m = ∑ᶠ (i : ι), (b.coord i) m
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ (-G).grundyValue = G.grundyValue
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.40009, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
a b : A
⊢ F.commShiftIso (a + b) = CommShift.isoAdd' ⋯ (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddZeroClass M
d : M
⊢ AddEquiv.finsuppUnique.symm d = single () d
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ QuasiMeasurePreserving (⇑f) μ μ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ map (⇑f) μ ≪ μ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ ≪ μ
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ (p.scaleRoots ↑(den A x)).IsRoot (num A x)
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap A K) ((algebraMap A K) (num A x)) (p.scaleRoots ↑(den A x)) = 0
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ (aeval (mk' K (num A x) (den A x))) p = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n, Associated (p ^ n) x
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ Associated (p ^ Multiset.card fx) x
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associated fx.prod x
⊢ Associated (p ^ Multiset.card fx) x
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Associates.mk (p ^ Multiset.card fx) = Associates.mk x
case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk p)
case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧
    ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk p
case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
⊢ Associates.mk q = Associates.mk p
case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
⊢ Associated q p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
x✝ : 0 < 1
⊢ ‖a ^ 1‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 2
⊢ ‖a ^ (n + 2)‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ (n + 2)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree
⊢ g✝.degree = 1
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : g✝.degree = 1 ∧ p.degree = 0
⊢ g✝.degree = 1
case w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
f : c ⟶ d
⊢ f.hom ≫ 𝟙 d.pt = 𝟙 c.pt ≫ f.hom
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
⊢ IsStronglyCoatomic α
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
⊢ IsStronglyAtomic αᵒᵈ
case h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
l : α →₀ M
h : l ∈ supported M R ∅
a✝ : α
⊢ l a✝ = 0 a✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.32278, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.preOneHypercover.I₀
x✝ : C
p₁ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₁
p₂ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₂
w : p₁ ≫ S.preOneHypercover.f f₁ = p₂ ≫ S.preOneHypercover.f f₂
⊢ S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves x✝
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ ⋂ i, ⋂ (i_1 : i ∈ S), {x | p x i i_1} ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), {x | p x i hi} ∈ l
case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).hom, comm' := hf } ≫ { f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ }).f i = (𝟙 C₁).f i
case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ } ≫ { f := fun i => (f i).hom, comm' := hf }).f i = (𝟙 C₂).f i
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
t : Stream' α := s₁.tail ⋈ s₂.tail
⊢ corec
      (fun x =>
        match x with
        | (s₁, snd) => s₁.head)
      (fun x =>
        match x with
        | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail))
      (s₁, s₂) =
    s₁.head :: s₂.head :: t
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
t : Stream' α := s₁.tail ⋈ s₂.tail
⊢ s₁.head :: corec (fun x => x.1.head) (fun x => (x.2, x.1.tail)) (s₂, s₁.tail) = s₁.head :: s₂.head :: t
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K
n : ℕ
⊢ mk K p x ^ n = mk K p (x.1, x.2 ^ n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ < b₂
α : Type u
n : ℕ
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x > x_1) (iota n)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
⊢ (map f s).direction = Submodule.map f.linear s.direction
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
iso : e.inverse ≅ G
X : C
⊢ e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ iso.hom.app (e.functor.obj X)) ≫
      e.functor.map (iso.inv.app (e.functor.obj X)) ≫ e.counitIso.hom.app (e.functor.obj X) =
    𝟙 (e.functor.obj X)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointWeightsWithCircumcenter n i = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ ↑(n + 2 + 1) * (↑(n + 1))⁻¹ + -2 / ↑(n + 1) = 1
case mk
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
⊢ ω ∣ o'.repr
case mk
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
snd_eq✝ : n = m
⊢ ω ∣ (scale 1 a).repr
s : ℕ
⊢ (xgcd 0 s).1 = 0
case mk
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
⊢ p (Quot.mk Setoid.r x)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ p ⟦(P F).wMk a f' f⟧
case a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ LiftP (α.PredLast p) (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : LightCondensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f = g
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ x⁻¹ = -((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))
case convert_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (algebraMap K L) 0
case h.e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) p
case h.e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0))
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioo ↑a ⊤ = Ioi a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i : ↑M
⊢ 𝟙 M i i = 1
b x✝ y x : ℝ
⊢ logb b (-x) = logb b x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle x (r • y) = o.oangle x (-y)
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
h : Even (digits 10 n).length
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
⊢ 11 ∣ n
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
⊢ 11 ∣ n
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
⊢ dig.alternatingSum = 0
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : dig.reverse.alternatingSum = (-1) ^ (dig.length + 1) • dig.alternatingSum
⊢ dig.alternatingSum = 0
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum = -dig.alternatingSum
⊢ dig.alternatingSum = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Iio a = Iio (e a)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}

case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c < 1 ↔ c = 0
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s