ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case intro.mk.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing Rₘ
inst✝⁵ : CommRing Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Rₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : Algebra S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : Sₘ
s u : S
v : R
hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u
hx : x * (algebraMap S Sₘ) ↑(s, ⟨u, ⋯⟩).2 = (algebraMap S Sₘ) (s, ⟨u, ⋯⟩).1
v' : Rₘ
hv' : v' * (algebraMap R Rₘ) ↑⟨v, ⋯⟩ = 1
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem x
case a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq G
x : G
⊢ x ∈ Finset.image (fun i => x✝ ^ i) (Finset.range (orderOf x✝)) ↔ x ∈ (↑(zpowers x✝)).toFinset
a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ
⊢ angle (a * x) (a * y) = angle x y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[y, x]] ⊆ s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p k, 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
⊢ (∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃ p k, 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
κ : Kernel β Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = Measure.map X μ ⊗ₘ κ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map X μ, κ x = (condDistrib Y X μ) x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
κ : Kernel β Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = Measure.map X μ ⊗ₘ κ
heq : Measure.map X μ = (Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map X μ, κ x = (condDistrib Y X μ) x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
κ : Kernel β Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = Measure.map X μ ⊗ₘ κ
heq : Measure.map X μ = (Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂(Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst, κ x = (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
κ : Kernel β Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = Measure.map X μ ⊗ₘ κ
heq : Measure.map X μ = (Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst
⊢ (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst = Measure.map X μ
case h
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : MonoidAlgebra k G
y : (ofMulAction k G G).asModule
g a✝ : G
⊢ (((ofMulAction k G G).asAlgebraHom ((of k G) g)) y) a✝ = ((of k G) g * y) a✝
case h
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : MonoidAlgebra k G
y : (ofMulAction k G G).asModule
g a✝ : G
⊢ y (g⁻¹ * a✝) = (MonoidAlgebra.single g 1 * y) a✝
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : MonoidAlgebra k G
y✝ : (ofMulAction k G G).asModule
x y : MonoidAlgebra k G
hx : (fun z => z • y✝ = z * y✝) x
hy : (fun z => z • y✝ = z * y✝) y
⊢ (fun z => z • y✝ = z * y✝) (x + y)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : MonoidAlgebra k G
y : (ofMulAction k G G).asModule
r : k
x : MonoidAlgebra k G
hx : (fun z => z • y = z * y) x
⊢ ((ofMulAction k G G).asAlgebraHom (r • x)) y = r • x * y
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (⨆ i, I i).ringCon = ⨆ i, (I i).ringCon
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Finset R
⊢ (∏ a ∈ s, (X - C a)).roots = s.val
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ HasFDerivAt (⇑f) (f.linearDeriv x) x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ HasFDerivAt (⇑f) ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F) (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1))
    x
case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ x = 0 + x
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : ¬IsMax a
⊢ SuccOrder.limitRecOn (succ a) H_succ H_lim = H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : ¬IsMax a
h : ¬IsSuccLimit (succ a)
⊢ SuccOrder.limitRecOn (succ a) H_succ H_lim = H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : ¬IsMax a
h : ¬IsSuccLimit (succ a)
this :
  ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMax b} {hc : ¬IsMax c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_succ b hb (x b) = H_succ c hc (x c)
⊢ (let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = succ a) ⋯;
    ⋯ ▸
      H_succ ↑x ⋯
        ((fun y x =>
            ⋯.fix
              (fun a IH =>
                if h : IsSuccLimit a then H_lim a h IH
                else
                  let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = a) ⋯;
                  ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯))
              y)
          ↑x ⋯)) =
    H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : ¬IsMax a
h : ¬IsSuccLimit (succ a)
this :
  ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMax b} {hc : ¬IsMax c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_succ b hb (x b) = H_succ c hc (x c)
x : { x // ¬IsMax x ∧ succ x = succ a } := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = succ a) ⋯
⊢ (let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = succ a) ⋯;
    ⋯ ▸
      H_succ ↑x ⋯
        ((fun y x =>
            ⋯.fix
              (fun a IH =>
                if h : IsSuccLimit a then H_lim a h IH
                else
                  let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = a) ⋯;
                  ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯))
              y)
          ↑x ⋯)) =
    H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
S : IntermediateField K L'
h : S ≤ f.fieldRange
⊢ map f (comap f S) = S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
c : E
⊢ ∫ (x : α), c ∂μ = (μ univ).toReal • c
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f u
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f univ x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f u
case e_a.h
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
a : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {K | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑K}
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_mp : minpoly K x = minpoly K y
⊢ (algEquiv hx h_mp) (AdjoinSimple.gen K x) = AdjoinSimple.gen K y
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_mp : minpoly K x = minpoly K y
hy : IsAlgebraic K y
⊢ (algEquiv hx h_mp) (AdjoinSimple.gen K x) = AdjoinSimple.gen K y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
⊢ min x y = if x < y then x else y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
⊢ (if ¬y ≤ x then x else y) = if x < y then x else y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
ι : Type u
g : ι → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
a : Ordinal.{max u w}
⊢ f (Ordinal.sup g) ≤ a ↔ Ordinal.sup (f ∘ g) ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
ι : Type u
g : ι → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
a : Ordinal.{max u w}
⊢ f (Ordinal.sup g) ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f (g i) ≤ a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective fun a => f a b
⊢ (image₂ f s {b}).card = s.card
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.24683, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.24691, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.24695, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.24703, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.24707, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (id W₁).homMap L₁ L₁ f = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
⊢ StarConvex 𝕜 y (Iic x)ᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
hz : z ∈ (Iic x)ᶜ
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • y + b • z ∈ (Iic x)ᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
hz : ¬z ≤ x
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ ¬a • y + b • z ≤ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • y + b • z ≤ x
⊢ b • z < b • x
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ u • v = -v ↔ ↑u < 0
case h
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ ↑A * ↑(B ⊓ C) ↔ x✝ ∈ ↑A * ↑B ∩ ↑C
case h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
y : G
hy : y ∈ ↑A
z : G
hz : z ∈ ↑B
hyz : y * z ∈ ↑C
⊢ y⁻¹ * (y * z) ∈ C
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A✝ B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A✝
A X : C
inst✝ : Exponentiable A
⊢ uncurry (𝟙 (A ⟹ X)) = (exp.ev A).app X
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ 0
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : ℕ
⊢ Finite a b ↔ a ≠ 1 ∧ 0 < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : ℕ
⊢ (∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b) ↔ a = 1 ∨ b = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (constantCoeff σ k) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u = φ⁻¹
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (constantCoeff σ k) φ = ↑u
⊢ φ.invOfUnit u = φ.invOfUnit (Units.mk0 ((constantCoeff σ k) φ) ⋯)
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (constantCoeff σ k) φ = ↑u
⊢ u = Units.mk0 ((constantCoeff σ k) φ) ⋯
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (constantCoeff σ k) φ = ↑u
⊢ ↑u = ↑(Units.mk0 ((constantCoeff σ k) φ) ⋯)
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
h : l.idxFun i = Sum.inr e
⊢ ↑l x i = x e
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.negDblY P / W.dblZ P ^ 3 =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
      (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b✝ : α
s : Set α
b : α
⊢ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b} = b
case intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, CompleteLattice.IsCompactElement x
⊢ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ sSup s} = sSup s
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b ≤ b'
hr : 0 ≤ r
⊢ (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b') r
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b ≤ b'
hr : 0 ≤ r
⊢ (1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r) • a + r • b'
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ infEdist x s = ⊤ ↔ s = ∅
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic (n * p) R = cyclotomic n R ^ p
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) ^ p
u : Level
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℤ
⊢ ↑k = ↑(k % ↑p)
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B
⊢ Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) (f₂ A, g₂ A) (f₂ B, g₂ B)
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B
⊢ A ⊓ K ≤ B ⊓ K ∧ ¬B ⊓ K ≤ A ⊓ K ∨ (A ⊓ K ≤ B ⊓ K ∧ B ⊓ K ≤ A ⊓ K) ∧ A ⊔ K ≤ B ⊔ K ∧ ¬B ⊔ K ≤ A ⊔ K
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B
⊢ A ⊓ K < B ⊓ K ∨ A ⊓ K = B ⊓ K ∧ A ⊔ K < B ⊔ K
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 0 → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 0) (hy : y ∈ evenOdd Q 0),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 0), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 0
⊢ motive x hx
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
⊢ M.charpoly.degree = ↑(Fintype.card n)
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)) + ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ Fintype.card n - 1 < Fintype.card n
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0
h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)
⊢ (Fintype.card n).pred < Fintype.card n