ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : i ≤ n
⊢ ↑((r * (of (fun i => ↥(A i)) i) r') n) = ↑(r (n - i)) * ↑r'

case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑((r * (of (fun i => ↥(A i)) i) r') n) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
⊢ μ s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), μ t
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝² : HasWeakSheafify J A
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
L : A ⥤ Sheaf J A
adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)
F : Sheaf J A
⊢ IsDiscrete J ht F ↔ IsIso (adj.counit.app F)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝² : HasWeakSheafify J A
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
L : A ⥤ Sheaf J A
adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)
F : Sheaf J A
this : L.Faithful
⊢ IsDiscrete J ht F ↔ IsIso (adj.counit.app F)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝² : HasWeakSheafify J A
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
L : A ⥤ Sheaf J A
adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)
F : Sheaf J A
this✝ : L.Faithful
this : L.Full
⊢ IsDiscrete J ht F ↔ IsIso (adj.counit.app F)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝² : HasWeakSheafify J A
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
L : A ⥤ Sheaf J A
adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)
F : Sheaf J A
this✝ : L.Faithful
this : L.Full
⊢ IsDiscrete J ht F ↔ F ∈ L.essImage
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightDescent w⁻¹ i ↔ cs.IsLeftDescent w i
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
⊢ Continuous g
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)
G : X → C(Y, Z) := fun x => { toFun := fun y => g (x, y), continuous_toFun := ⋯ }
⊢ Continuous g
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)
G : X → C(Y, Z) := fun x => { toFun := fun y => g (x, y), continuous_toFun := ⋯ }
this : Continuous G
⊢ Continuous g
case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
⊢ IsInteger A x
case intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ IsInteger A x
case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = x
case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ ((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
case h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0
⊢ (algebraMap A K) ↑(den A x) * (((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x)) =
    (algebraMap A K) ↑(den A x) * mk' K (num A x) (den A x)
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).LeftMoves
P : (x + y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inl i))
hr : ∀ (i : y.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inr i))
⊢ P k
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
⊢ η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op =
    (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m2 : Multiset α
r : α → α → Prop
⊢ ∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ m2 → r a b) → card m1 = card m2 → Rel r m1 m2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsHermitian
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D)ᴴ = Matrix.fromBlocks A B C D
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
⊢ multiplicity p (a ^ 0) = 0 • multiplicity p a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ
⊢ multiplicity p (a ^ k.succ) = k.succ • multiplicity p a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2 → P y / P z ^ 3 ≠ W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.26952, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₂ ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
a : ↑R
ha : IsUnit (f.hom a)
⊢ IsUnit a
case h.e'_3
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
a : ↑R
ha : IsUnit (f.hom a)
⊢ a = f.inv (f.hom a)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
⊢ 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 1 =
    ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * ‖Polynomial.eval a F‖ /
      (‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖ * ‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖) =
    ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
case hc
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ≠ 0
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ + ε
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ Associated p λ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ p ∣ λ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ p ∣ λ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ p ∣ λ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ (1 * ↑η ^ 2 - 1 * 1) * gcd S.a S.b
⊢ p ∣ λ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)
⊢ p ∣ λ
case h.e'_4
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)
⊢ λ = -(↑η ^ 2 - 1) * ↑η
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i
⊢ (sumAddHom φ) (single i x) = (φ i) x
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i
⊢ ∑ i_1 ∈ {i}.toFinset, (φ i_1) (Pi.single i x i_1) = (φ i) x
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ
⊢ ⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.ofNat n) f) = Int.ofNat n • ⇑f
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ
⊢ ⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.negSucc n) f) = Int.negSucc n • ⇑f
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x y : ring.Term α
v : α → R
⊢ Term.realize v (x * y) = Term.realize v x * Term.realize v y
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedCosZeta a s = completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (of L ι G f j) ((f i j hij) x) = (of L ι G f i) x
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ Structure.Sigma.mk f j ((f i j hij) x) ≈ Structure.Sigma.mk f i x
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (f i j hij) x = (f j j ⋯) ((f i j hij) x)
case w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p
⊢ ι (Subtype.restrict p f) i ≫ fromSubtype f p ≫ π f j =
    ι (Subtype.restrict p f) i ≫ if h : p j then π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n✝ n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ n.bitIndices.toFinset, 2 ^ i = n
case acc
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
⊢ AccPt x (𝓟 (closure C))
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C
⊢ AccPt x (𝓟 C)
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C
⊢ (𝓝 x ⊓ 𝓟 C).NeBot
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ ((map f) p).support = p.support
case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ x ∈ ((map f) p).support
case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ coeff x ((map f) p) ≠ 0
case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ x ∉ p.support
case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ coeff x p = 0
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hyz : f y < f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) < f x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α
⊢ (A + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α
⊢ (A * 1 + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f f' : α →₀ M
s : α
hs : ¬s = a
⊢ (erase a (f + f')) s = (erase a f + erase a f') s
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R
⊢ abv (a - b) ≤ abv a + abv b
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.19934, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
⊢ b₁ + b₂ = b₃
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ a₃ h).hom.app X =
    (pullbackShiftIso C φ a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫
      (shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app X ≫
        (pullbackShiftIso C φ a₂ b₂ h₂).inv.app ((shiftFunctor C b₁).obj X) ≫
          (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ b₁ h₁).inv.app X)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
S : Set E
⊢ IsPurelyInseparable F ↥(adjoin F S) ↔ ∀ x ∈ S, ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (x - ↑m)
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
A : Action V G
⊢ A.ρ 1 = 𝟙 A.V
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
a b : α
x✝ : typein r a < typein r b
f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}
⊢ r a b
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
a b : α
x✝ : typein r a < typein r b
f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}
this : ↑f.top = a
⊢ r (↑f.top) b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ ker f = ⊥ ↔ ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : s ⊆ closedBall x r
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ r + r = 2 * r
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ↥(selfAdjoint ℂ)
⊢ ↑(selfAdjointEquiv z) = ↑z
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ seminormFromBounded' f x ≤ c * f x
n✝ m n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (castLE h)
⊢ ↑((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i
n✝ m n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (castLE h)
⊢ ↑(castLE h ((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩)) = ↑i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1
⊢ (closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)).Pairwise fun x y => ([x-[ℝ]y] \ frontier (closedBall 0 1)).Nonempty
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hne' : ‖a • x + b • y‖ ≠ 1
⊢ ([x-[ℝ]y] \ sphere 0 1).Nonempty
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)
⊢ (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) f = (expand p) f
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
d : D
⊢ L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂) α).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = α.app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ μ n = 0 ∨ μ n = 1 ∨ μ n = -1
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ IsOpen (support ↑f)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ IsOpen ((chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut)