ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a'✝ : α
b✝ b'✝ : β
c✝ c'✝ : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x✝¹ x✝ : α × β × γ
a : α
b : β
c : γ
a' : α
b' : β
c' : γ
⊢ (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a, b, c) = (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a', b', c') →
    (a, b, c) = (a', b', c')
S : ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)
⊢ S.iCycles (S.abLeftHomologyData.cyclesIso.inv x) = ↑x
case intro.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
g : G
hg : g ∈ ↑P
⊢ ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut G) G) (MulAut.conj ↑h)) g ∈ H
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => f i * a
⊢ Summable f
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (r • 1) • x = r • x
case c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
r' : X
s : ↥S
⊢ (r • 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c w : ℂ
R : ℝ
⊢ CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹) c R ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
⊢ HasFiniteIntegral f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ g.op ≫ f.op = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ f ≫ factorThruImage g = 0
case h
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel g.op f.op ⋯ ≫ (kernelSubobject f.op).arrow =
    ((imageSubobjectIso g.op ≪≫ (imageOpOp g).symm).hom ≫
        (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).op ≫ (kernelSubobjectIso f.op ≪≫ kernelOpOp f).inv) ≫
      (kernelSubobject f.op).arrow
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ y ⧏ -x ↔ x ⧏ -y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
⊢ traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P * traceMatrix A b * Pᵀ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
⊢ (transposeAddEquiv κ κ A) (traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b)) =
    (transposeAddEquiv κ κ A) (P * traceMatrix A b * Pᵀ)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ ∑ x ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 =
    p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
case mk
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j) ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
case neg
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : ¬i < p.natTrailingDegree
hj : ¬j < q.natTrailingDegree
⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
case neg
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j
⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
case neg
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j
⊢ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).1 = (i, j).1 ∧ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).2 = (i, j).2
R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ μ p = -1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = s ↔ ∀ x ∈ s, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, g i
b : ι
hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, g i
hab : a ≠ b
⊢ (Disjoint on f) a b
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
⊢ (Disjoint on f) a b
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ hA.sqrt.PosSemidef
case hA
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ (diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)).PosSemidef
case hA
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n
⊢ 0 ≤ (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter p (s ∩ t) ↔ a✝ ∈ filter p s ∩ filter p t
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c
⊢ c * a * star c < c * b * star c
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
h : circulant v = circulant w
k : n
⊢ v k = w k
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
⊢ cyclotomic d R ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
case inr
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0
⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
case inr
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0
⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ
case inr.ha
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0
⊢ d ∈ n.divisors.erase 1
z : ℝ
h : 0 < z
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y
⊢ (fun x => x ^ z) x < (fun x => x ^ z) y
case intro
z : ℝ
h : 0 < z
y : ℝ≥0∞
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < y
⊢ (fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) y
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
hs : Dense s
⊢ range f ⊆ closure (f '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
hs : Dense s
⊢ f '' closure s ⊆ closure (f '' s)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K
⊢ house (∑ i ∈ s, α i) ≤ ∑ i ∈ s, house (α i)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K
⊢ ‖∑ x ∈ s, (canonicalEmbedding K) (α x)‖ ≤ ∑ x ∈ s, ‖(canonicalEmbedding K) (α x)‖
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ nodal s v = (X - C (v i)) * nodal (s.erase i) v
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ QuasiCompact f ↔ ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ (∀ (U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)) ↔
    ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace
hU : IsOpen U
hU' : IsCompact U
⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)
case intro.intro
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
S : Set ↑Y.affineOpens
hS : S.Finite
hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' ⋃ i ∈ S, ↑↑i)
case intro.intro
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
S : Set ↑Y.affineOpens
hS : S.Finite
hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
⊢ IsCompact (⋃ i ∈ S, ⇑f.val.base ⁻¹' ↑↑i)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
h₀ : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum f vol π) (integral I l f vol) ≤ ε
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
h₀ : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (⋯.choose c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum f vol π) (integral I l f vol) ≤ ε
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L
⊢ (killingForm R L).Nondegenerate
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]
⊢ |d - c| ≤ |b - a|
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]
⊢ max c d - min c d ≤ max a b - min a b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : min a b ≤ min c d ∧ max c d ≤ max a b
⊢ max c d - min c d ≤ max a b - min a b
case intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s
⊢ ∃ x, a * x * x + b * x + c = 0
case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s
⊢ a * ((-b + s) / (2 * a)) * ((-b + s) / (2 * a)) + b * ((-b + s) / (2 * a)) + c = 0
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∉ l.keys
⊢ kerase a l = l
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ (𝓓 a 𝒜).card = 𝒜.card
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑(filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜)
⊢ s ∈ {s | a ∈ s}
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∉ 𝒜
⊢ s ∈ {s | a ∈ s}
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMinOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
⊢ μ = ν
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V
⊢ Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V
this : Nonempty ι
⊢ Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
inst✝² : ContinuousAdd M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x y : (i : ι) → M₁ i
⊢ (∑ i : ι,
        (let __src := f.toLinearMap x i;
            { toLinearMap := __src, cont := ⋯ }).comp
          (ContinuousLinearMap.proj i))
      y =
    ∑ i : ι, f (update x i (y i))
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ f '' Icc a b
⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))
⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
I : Set β
S : β → Set α
H : I.Finite
⊢ BddAbove (⋃ i ∈ ∅, S i) ↔ ∀ i ∈ ∅, BddAbove (S i)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝¹ t : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
I : Set β
S : β → Set α
H : I.Finite
a✝ : β
s✝ : Set β
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
hs : BddAbove (⋃ i ∈ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ s✝, BddAbove (S i)
⊢ BddAbove (⋃ i ∈ insert a✝ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ insert a✝ s✝, BddAbove (S i)
n : ℕ
⊢ 0 < φ n ↔ 0 < n
case h.h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Finite ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
j : M
x✝ : ι
⊢ (ofEquivFun e).equivFun j x✝ = e j x✝
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
n : ℕ
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p f = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
n : ℕ
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n
case intro.succ
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
ih :
  (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 →
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
      ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))
case intro.succ.intro
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
ih :
  (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 →
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
      ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x = (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k + 1)) f
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))
case intro.succ.intro
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
ih :
  (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 →
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
      ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x = (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k + 1)) f
h1 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))
case intro.succ.intro
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
ih :
  (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 →
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
      ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x = (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k + 1)) f
h1 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
h2 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (x ^ p) ≠ 0
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h =
    ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
s : Set ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i
⊢ IsInternal fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
s : Set ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i
p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
s : Set ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i
p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i
hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p
e : Submodule R ↥p ≃o ↑(Set.Iic p) := p.mapIic
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)
case h.a.h
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
s : Set ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i
p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i
hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p
e : Submodule R ↥p ≃o ↑(Set.Iic p) := p.mapIic
i : ↑s
m : M
⊢ m ∈ Submodule.map p.subtype (Submodule.comap p.subtype (A ↑i)) ↔ m ∈ ↑⟨A ↑i, ⋯⟩
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonAssocSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B
⊢ (mul x) (1 ⊗ₜ[R] 1) = x