ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case succ.inr
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : HahnSeries Γ R
h : ℕ
IH : (x ^ h).order = h • x.order
hx : x ≠ 0
⊢ (x ^ (h + 1)).order = (h + 1) • x.order
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r d : R
hr : r ≠ 0
hd : d ∈ normalizedFactors r
⊢ multiplicity d r = multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨d, hd⟩)) (span {r})
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ (cdf μ).measure = μ
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
a : ℝ
⊢ (cdf μ).measure (Iic a) = μ (Iic a)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
⊢ (-1) ^ t.1.card * ((∏ a ∈ t.1, X a) * X t.2 ^ (k - t.1.card)) +
      (-1) ^ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card *
        ((∏ a ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1, X a) *
          X (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ^ (k - (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card)) =
    0
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)
⊢ (-1) ^ t.1.card * ((∏ a ∈ t.1, X a) * X t.2 ^ (k - t.1.card)) +
      (-1) ^ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card *
        ((∏ a ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1, X a) *
          X (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ^ (k - (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card)) =
    0
case e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (fun a => r * f a) = fun a => ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a
case e_f.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ r * f a = ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι' → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋂ y, ⋂ (hy : p y), ⋂ x, ⋂ (hx : q x y), s x y ⋯
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] M₂
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
x✝ : M₁
⊢ (B' ((f - f') x)) x✝ = (B x) ((g - g') x✝)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : ⊤ ≤ (⨆ t, U t).topologicalClosure
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)
case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x = ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))
case intro
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), c ∂μ = c * μ univ
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, f (inl x, inr y) + C)
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, f (inl x, inr y) + C)
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
x : X
⊢ ⨅ y, f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ a
h₂ : c ≤ b
⊢ c ≤ min a b
case mk
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ ⟨n, b'⟩ = ⟨0, Basis.empty ↥⊥⟩
case mk
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
b' : Basis (Fin 0) R ↥⊥
e : Fin 0 ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ ⟨0, b'⟩ = ⟨0, Basis.empty ↥⊥⟩
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
⊢ HasCountableSeparatingOn α p t
case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
⊢ HasCountableSeparatingOn α p t
case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h✝ : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s
⊢ x = y
case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h✝ : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s
U : Set ↑t
hU : U ∈ S
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U ↔ ⟨y, hy⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ 0
⊢ ∃ n, (↑n)⁻¹ < a⁻¹⁻¹
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j j' : ι
w : c.Rel j' j
⊢ (prevD j) f = f j j' ≫ D.d j' j
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
⊢ IsClosed (⋃ i, s i)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)ᶜ
⊢ IsOpen (⋂ i, (s i)ᶜ)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
h : IsRelPrime 0 0
⊢ False
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ id) (antidiagonal n)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ (∃ b_1, b - a = (Equiv.symm (Equiv.neg ℤ)) b_1 • p) ↔ b ≡ a [PMOD p]
case intro.intro
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
t' : Set M
h : t'.Finite
⊢ ((closure L).toFun t').FG
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
B : Bicone F
j : J
⊢ B.ι j ≫ B.π j = 𝟙 (F j)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ
⊢ log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = ∑ x ∈ s, log (mgf (X x) μ t)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) = span R ↑(Submonoid.closure s)
case a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ span R ↑(Submonoid.closure s) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
case a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ Submonoid.closure s ≤ (adjoin R s).toSubmonoid
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ (↑n.pred').succ = ↑n
α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
h : ↑1 = ↑n
⊢ ↑(Num.casesOn 0 1 bit1) = (↑n + ↑n).pred
α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
p : PosNum
h : (↑p).succ = ↑n
⊢ ↑(Num.casesOn (pos p) 1 bit1) = ((↑p).succ + (↑p).succ).pred
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h
⊢ F.map₂ (f ◁ η) =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f h).inv
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝
⊢ F.map₂ (η ▷ h) =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g✝ h).inv
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.map₂ (α_ f g h).hom =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).hom ≫
      ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h ≫
        (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫
          F.map f ◁ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g h).inv ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (g ≫ h)).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ
this : ↑(x + 1 / 2) = ↑x + 1 / 2
⊢ round ↑x = round x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂count = ∑' (a : α), f a
case e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i) = fun a => f a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ image2 f (↑s ∪ ↑s') ↑t = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : ∀ (k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), (σ ^ k) v = f k v
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
⊢ ∃ x, orderOf x = p
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
hv₀ : σ v₀ = v₀
⊢ ∃ x, orderOf x = p
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
hv₀ : σ v₀ = v₀
v : ↑(vectorsProdEqOne G p)
hv1 : σ v = v
hv2 : v ≠ v₀
⊢ ∃ x, orderOf x = p
θ : Angle
⊢ (2 • ↑θ.toReal).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal
θ : Angle
⊢ π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ 3 * π ↔ π / 2 < θ.toReal
n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
⊢ Prime n
n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
m : ℕ
mlt : m < n
mdvd : m ∣ n
⊢ m = 1
n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
m : ℕ
mlt : m < n
mdvd : m ∣ n
hm : m ≠ 0
⊢ m = 1
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ (k + 1)) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k