ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
case h.h
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫
      (total.map ((shiftFunctor₁ C x).map f) (up ℤ)).f n ≫ (L.totalShift₁Iso x).hom.f n =
    ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f n ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)
case h.h
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ (f.f (i₁ + x)).f i₂ ≫
      𝟙 ((L.X (i₁ + x)).X i₂) ≫ L.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((L.total (up ℤ)).X (n + x)) =
    𝟙 ((K.X (i₁ + x)).X i₂) ≫
      K.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)
case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
x : K
m : ℕ
ih : mk K p (n, x) = mk K p (m + n, (⇑(frobenius K p))^[m] x)
⊢ mk K p (n, x) = mk K p (m + 1 + n, (⇑(frobenius K p))^[m + 1] x)
case intro.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
c : 𝕜ˣ
⊢ HasFiniteIntegral f μ → HasFiniteIntegral (↑c • f) μ
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ P ∈ Finset.filter (fun P => P.IsPrime) ({⊥} ∪ (normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset) ↔
    P ∈ {I | I.IsPrime}
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ (P = ⊥ ∨ P ∈ normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)) ∧ P.IsPrime ↔ P.IsPrime
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) =
    filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
X✝ Y✝ : MonoOver A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : MonoOver A
⊢ pullback.lift (pullback.fst g.arrow X✝.arrow) (pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ k.left) ⋯ ≫
      pullback.snd g.arrow Y✝.arrow ≫ Y✝.arrow =
    pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ X✝.arrow
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
⊢ Forall₂ R (drop l₁.length l) l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
h' : Forall₂ R (drop l₁.length l) (drop l₁.length (l₁ ++ l₂))
⊢ Forall₂ R (drop l₁.length l) l₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q + -r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p (-r))
case inr
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
case inr
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
case inr.intro.intro
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
m n : ℤ
H :
  (y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ x = 2 * m * n ∨ y = 2 * m * n ∧ x = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
⊢ h.IsPrimitiveClassified
case h
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
m n : ℤ
H :
  (y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ x = 2 * m * n ∨ y = 2 * m * n ∧ x = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂
⊢ map e.hom c₁₂ ≫ map e.inv c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂
⊢ map e.inv c₁₂ ≫ map e.hom c₁₂ = 𝟙 (L.total c₁₂)
case h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : T
m : M
s : ↥S
⊢ (x + y) • mk m s = x • mk m s + y • mk m s
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : FunLike F E ℝ
inst✝ : NonarchAddGroupSeminormClass F E
f : F
x y : E
⊢ f (x - y) ≤ max (f x) (f y)
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : FunLike F E ℝ
inst✝ : NonarchAddGroupSeminormClass F E
f : F
x y : E
⊢ f (x + -y) ≤ max (f x) (f (-y))
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
c : Set ↑s
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
p : { x // x ∈ s }
hpc : p ∈ c
q : { x // x ∈ s }
hqc : q ∈ c
hpq : ↑p ≠ ↑q
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑p ↑q ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑q ↑p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
⊢ Dense ↑A.domain
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
h : ¬Dense ↑A.domain
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : A† = A
h : ¬Dense ↑A.domain
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.coroot i = 0
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x x' : α
⊢ typein r x ≤ typein r x' ↔ ¬r x' x
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = factor (I * J) I ⋯
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
h : k ≤ Fintype.card σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
⊢ (∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Fintype.card σ - k)
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ (∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Multiset.card s - k)
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val).prod.coeff k =
    (Multiset.map X univ.val).esymm (Multiset.card s - k)
case h.e'_2.h.e'_3.h.e'_3
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val =
    Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ ∀ (a_1 : Multiset α) (s : Multiset (Multiset α)),
    (a ∈ s.join ↔ ∃ s_1 ∈ s, a ∈ s_1) → (a ∈ (a_1 ::ₘ s).join ↔ ∃ s_1 ∈ a_1 ::ₘ s, a ∈ s_1)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))) (⇑eEF ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x)
case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑((↑eEF).comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ a.Coprime p
case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ p.Coprime a
case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
h : p ∣ a
⊢ False
case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
h : ↑a = 0
⊢ False
case neg
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).coeff 0 = 0
h : ↑a = 0
hone : ¬n = 1
⊢ False
case neg
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : 1 = 0
h : ↑a = 0
hone : ¬n = 1
⊢ False
case c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
r' : X
s : ↥S
⊢ (r /ₒ 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)
case refine_1
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ IntervalIntegrable (fun x => -↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) MeasureTheory.volume a b

case refine_2
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ IntervalIntegrable cos MeasureTheory.volume a b
m n : ℕ
⊢ (subNatNat m n).bodd = xor m.bodd n.bodd
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ a • b₂ ≤ a • b₁
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ -a • b₁ ≤ -a • b₂
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable f s
case intro.intro
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
y : ℝ
hy : LSeriesSummable f ↑y
hys : y < s.re
⊢ LSeriesSummable f s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Ioi a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
this : ∃ x, x < ⊤
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Ioi a
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = ‖(1 - P) • x‖ + ‖(1 - (1 - P)) • x‖
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = ‖P • x‖ + ‖(1 - P) • x‖
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
inst✝ : PartialOrder α
l : List α
h₁ : Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
h₂ : l.Nodup
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x_1 ≠ x) l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' s = ν s
case intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
⊢ μ' s = ν s
case intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}
m : Set G
m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m
mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k
sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)
⊢ μ' s = ν s
R : Type v
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
S T : StarSubsemiring R
h : S.toSubsemiring = T.toSubsemiring
x : R
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
c : Chain α
⊢ OrderHom.id (ωSup c) = ωSup (c.map OrderHom.id)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ⊔
      Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.fst R M N) ≤
    (f.tunnel' i n).fst
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f ⊤)) ≤
    (f.tunnel' i n).fst
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) =
    (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) x +
      (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) y
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) =
    (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R x + FreeAlgebra.ι R y)
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
⊢ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) =
    (RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun x