ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ Function.Injective ⇑M.vecMulLinear ↔ LinearIndependent R fun i => M i
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ (∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0) ↔ ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractRight ((contractRight x) d)) d' = -(contractRight ((contractRight x) d')) d
case a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ Mᵀ.updateRow j c i✝ j✝ = (M.updateColumn j c)ᵀ i✝ j✝
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0
⊢ ¬a * b ≺ b
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0
⊢ ¬b * a ≺ b
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Tendsto f l (𝓝 b)
h : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => a ^ f x) l (𝓝 (a ^ b))
case intro
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ exponent α = Fintype.card α
case intro.a
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ Fintype.card α ∣ exponent α
case intro.a
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ orderOf g ∣ exponent α
cs cs' : List Char
⊢ { byteIdx := utf8ByteSize.go cs } ≤ { data := cs ++ cs' }.endPos
a : ℕ
han : 0 < a
ha : φ a ≤ 1
⊢ a ∣ 2
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
⊢ g = lift (g ≫ base arrows) (fun j => g ≫ π arrows j) ⋯
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α → Prop
q : Prop
p : α → Prop
inst✝ : Decidable q
⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
case up.up.refl
C : Type u
X : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
down✝ : X.as = X.as
⊢ inclusion.map { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 =
    ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i)
y : Fin n → ℝ
hy : y ∈ ↑(I.face i)
⊢ i.insertNth x y ∈ ↑I
ι : Type u_1
k : ℕ
l : List ℕ
⊢ k.Coprime l.prod ↔ ∀ n ∈ l, k.Coprime n
case w.h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
X : C
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s volume
ht : MeasurableSet t
⊢ volume (Subtype.val ⁻¹' t) = volume (t ∩ s)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂ =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
      𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ ((β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X₁).hom) ▷ X₂ =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ b * (c / b) ↔ a ≤ b * c
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ c * b / b ↔ a ≤ c * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
⊢ ⋃ x, Accumulate s x = ⋃ x, s x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' s ∈ 𝓝 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), F.map f ≫ M y = M x
x : C
⊢ (lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) ≫ (liftStar F M hM).hom = (inclLift F M hM).hom.app x ≫ M x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z) ≫ F.map (α_ X Y Z).inv =
    (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv ≫ F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ Integrable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
case neg
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))
⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ
case neg
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))
hg : Integrable g ℙ
⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
⊢ ((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel =
    (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj
      (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ i, ⨆ a ∈ s i, f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ s i), f j
case a
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).adjugate i j = A.adjugate.submatrix (⇑e) (⇑e) i j
case a
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n
⊢ (fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)) = Pi.single (e i) 1
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ↔
    (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ∧ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
h : MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
⊢ s₁ ∥ s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
hxi : x ≠ v i
⊢ eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
case intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
b : A
b_nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A
a : A
hab : (algebraMap A K) a = ↑⟨b, b_nonzero⟩ • x
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
⊢ mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = x
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
⊢ (algebraMap A K) (c' * b') * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) (c' * b') * x
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) a' = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x
⊢ (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x < f^[n + 1] x
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x < f^[n] (f x)
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ multichoose (r - ↑0 + 1) 0 = (r + 1) ^ 0
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ (fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose (r - ↑0 + 1) 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) ((r + 1) ^ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (p.bindOnSupport f) b = 0 ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (∀ (i : α), ¬p i = 0 → (if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0) ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)
case h
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
⊢ 0 ≤ C ∧ C ≤ A + B ∧ HasSum (fun a => (f a + g a) ^ p) (C ^ p)
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
⊢ mk 1 ^ (d + 1) = mk fun n => ↑((d + n).choose d)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (volume (univ.pi fun i => Ico (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
case refine_2
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))
case refine_2.succ
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
case h.e'_3
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = 2
case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2
case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2
case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (Int.castRingHom ℚ) 2
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.einfsep = ⊤
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ F =ᶠ[ae μ] fun a => ⨅ n, f n a
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (b.toDual ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f)) (b i) = f i