ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ x ∈ cthickening (ε + δ) s → x ∈ cthickening ε (thickening δ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ → infEdist x s - ENNReal.ofReal δ ≤ ENNReal.ofReal ε
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
⊢ ∃ p, p.Separable ∧ Polynomial.IsSplittingField F E p
case intro
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ ∃ p, p.Separable ∧ Polynomial.IsSplittingField F E p
case adjoin_rootSet'
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E) = ⊤
case adjoin_rootSet'
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ F⟮α⟯.toSubalgebra ≤ Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E)
case adjoin_rootSet'
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ Algebra.adjoin F {α} ≤ Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E)
case adjoin_rootSet'.H
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ {α} ⊆ (minpoly F α).rootSet E
case adjoin_rootSet'.H
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ minpoly F α ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval α) (minpoly F α) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
⊢ eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊
case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊
case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
⊢ q * (1 / q) = 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
⊢ f ≫ g ≫ e.counitInv.app Y = f' ≫ g' ≫ e.counitInv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ finrank F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ (fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t ↔ x✝ ∈ image2 f s t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ HasSum (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) (p.sum (x + y))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) ((p n) fun x_1 => x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩)
    (∑ s : Finset (Fin n), (p n) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩)
    (∑ x_1 : Finset (Fin n),
      ((p.changeOriginSeriesTerm (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).fst
            (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.fst ↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.snd ⋯)
          fun x_2 => x)
        fun x => y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)
⊢ (⋂₀ c).Nonempty ↔ ∃ a, ∀ b ∈ c, a ∈ b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
x : S
p : R[ℕ]
⊢ eval₂ f x { toFinsupp := p } = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
⊢ f₁.bind g₁ ≤ f₂.bind g₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
s : Set β
hs : s ∈ (map g₂ f₁).join
⊢ s ∈ f₁.bind g₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
s : Set β
hs : g₂ ⁻¹' {t | s ∈ t} ∈ f₁
⊢ {a | s ∈ g₁ a} ∈ f₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
hy : y ∈ Icc 0 1
⊢ dist x y ≤ 1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
μ : R
⊢ (cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
μ : R
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R (FractionRing R))
⊢ (cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
μ : R
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R (FractionRing R))
this : NeZero ↑n
⊢ (cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ :=
  gradedMul R 𝒜 ℬ
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y)) z = ((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) y) z)
case a.H.h.H.h.a.H.h.H.h.a.H.h.H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ :=
  gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ)
        (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb))
          ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb)))
      ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb) =
    ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb))
      (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb)) ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb))
case a.H.h.H.h.a.H.h.H.h.a.H.h.H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ :=
  gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb
⊢ ↑↑((-1) ^ (ixb * iya)) •
      (-1) ^ ((ixb + iyb) * iza) •
        ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R]
          ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb)) =
    ↑↑((-1) ^ (iyb * iza)) •
      (-1) ^ (ixb * (iya + iza)) •
        ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R]
          ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb))
case h
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ V.character g = W.character g
case h
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ (trace k (CoeSort.coe V)) (V.ρ g) = (trace k (CoeSort.coe W)) ((isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g))
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i + ∑ i ∈ t, w i = 0
hz : ∑ i ∈ s, w i • z i + ∑ i ∈ t, w i • z i = 0
⊢ s.centerMass w z = t.centerMass w z
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X Y Z : C × C
⊢ tensor_μ C X Y ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C (X ⊗ Y) Z ≫ __src✝.map (α_ X Y Z).hom =
    (α_ (__src✝.obj X) (__src✝.obj Y) (__src✝.obj Z)).hom ≫ __src✝.obj X ◁ tensor_μ C Y Z ≫ tensor_μ C X (Y ⊗ Z)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom =
    (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ __src✝.obj (X₁, X₂) ≫ tensor_μ C (𝟙_ (C × C)) (X₁, X₂) ≫ __src✝.map (λ_ (X₁, X₂)).hom
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom =
    __src✝.obj (X₁, X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (𝟙_ (C × C)) ≫ __src✝.map (ρ_ (X₁, X₂)).hom
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ
⊢ log b (↑b ^ z) = z
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ ∀ (m : R) (x : ↥(fst R M M₂)),
    { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) =
      (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun x
case mk.mk
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy : (x, y) ∈ fst R M M₂
⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy⟩) = ⟨(x, y), hy⟩
case mk.mk
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy✝ : (x, y) ∈ fst R M M₂
hy : y = 0
⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy✝⟩) =
    ⟨(x, y), hy✝⟩
case a.mk
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α
⊢ (a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft
⊢ B.SeparatingLeft
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
h : ￢a = ⊤
⊢ ∂ a = a
case intro
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
b✝ b : α
⊢ ￢∂ b = ⊤
case intro
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
⊢ ∃ g,
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
case intro
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g,
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
case intro
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤
⊢ ∃ g,
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
⊢ ∃ g,
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').counit.app (L₂.obj X₂) =
    G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫
      (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
⊢ False
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds 0)
⊢ False
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
⊢ False
case intro
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : ∀ n_1 ≥ N, |f n_1| < |f n|
⊢ False
case intro
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : |f (max n N)| < |f n|
⊢ False
case intro
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
⊢ |f n| ≤ |f (max n N)|