ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
this : SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) id e.source
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
this :
  SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB (fun x => (id x).proj) e.source ∧
    SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (id x)).2) e.source
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Nat.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Fintype.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Finset.univ.biUnion fun x => x.supp.toFinset).card ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ u : G.ConnectedComponent, u.supp.toFinset.card) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔
    Odd (Finset.filter (fun x => x ∈ {x | Odd (Nat.card ↑x.supp)}) Finset.univ).card
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y Z : C
q n : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
f : Z ⟶ Y
j : Fin (n + 1)
hj : n + 1 ≤ ↑j + q
⊢ (f ≫ φ) ≫ X.δ j.succ = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < (μ t).toReal * C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < (μ t).toReal * C
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ((μ.restrict t) univ).toReal * C
case left
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.L
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.left a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.left a✝)

case right
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.R
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)
case right
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.R
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : x ≠ y
⊢ dirac x ≠ dirac y
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : x ≠ y
A : Set α
A_mble : MeasurableSet A
x_in_A : x ∈ A
y_notin_A : y ∉ A
⊢ dirac x ≠ dirac y
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set M
a : α
⊢ span R (single a '' s) = map (lsingle a) (span R s)
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
this : (p : Submodule R M) → DecidableEq (M ⧸ p)
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f) = Module.rank R M
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ finSepDegree F F = 1
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.mk (Emb F F) = 1
⊢ finSepDegree F F = 1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ t : Set Ω
hA : MeasurableSet t
⊢ μ[|s] t = (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a 1
⊢ (multiplicity a 1).get ha = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a 1
⊢ 1 ∣ 1 ∧ ¬a ^ (0 + 1) ∣ 1
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ =
    (fun j => G.map (A.π.app j)) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map f.hom ≫
      ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j =
    ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
⊢ (p + q).smeval x = p.smeval x + q.smeval x
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
⊢ (p + q).sum (smul_pow x) = p.sum (smul_pow x) + q.sum (smul_pow x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : β → Filter α
s : Set β
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s
ne : s.Nonempty
t : Set α
⊢ t ∈ (⨅ i ∈ s, f i).sets ↔ t ∈ ⋃ i ∈ s, (f i).sets
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k
case refine_1
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ ∑ a ∈ range n.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤
    (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑ x ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f x

case refine_2
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑C
case refine_2
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑C
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : EMetricSpace X
inst✝¹⁰ : EMetricSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : BorelSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
x y : P
s : Set ℝ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ μH[1] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x_1 => x_1 • (y -ᵥ x)) '' s)) = nndist x y • μH[1] s
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ a • b < b ↔ a • b < 1 • b
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a % b < b
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
this : a % b < |b|
⊢ a % b < b
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
a : α
h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
x : α
⊢ noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (noncommFold op s h' x)
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
m : z ∈ slitPlane
⊢ AnalyticAt ℂ log z
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
m : z ∈ slitPlane
⊢ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ log z
case h
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z✝ : ℂ
x : E
s : Set E
m✝ : z✝ ∈ slitPlane
z : ℂ
m : z ∈ slitPlane
⊢ DifferentiableAt ℂ log z
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
⊢ G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ ¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∃ u p, p.IsCycle ∧ s(v, w) ∈ p.edges
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ G.Adj v w ∧ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ((∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₃ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₃ = s.center
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ (∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ = (∡ p₃ p₁ s.center).tan
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5.convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ + 2 • ∡ p₃ p₁ s.center = ↑π